Smirnov CursMatSupII Ro OCR

.PREFAŢĂ

.. Curs de matematici superioa.re" (vol. 1'- V) acad V. I. Smirnov · t z.ns • cu pr~miul Stalin pe anul 1948 d~s

Ediţia de faţă a volumului al doilea se deosebeşte mult de cea precedentă. Primul capitol al ediţiei precedente, care cuprindea teoria numerelor complexe, bazele algebrei superioare şi integrarea funcţiilor, a trecut în întregime în volumul întîi, iar din primul volum a trecut în al doilea tot materialul care se referă la bazele algebrei vectoriale. Acest material este reunit cu analiza vectorială şi intră în capitolul 1 V. In celelalte capitole s-au adus modificări esenţiale. In parti· cular, această expunere se referă la capitolele III, VI şi VII. In capitolul III, între altele, s-a adăugat un paragraf special consacrat expunerii teoriei măsurii şi teoriei riguroase a integra• lelor multiple. In capitolul VI, materialul a fost regrupat şi s-a adăugat demonstrarea ecuaţiei de închidere, pe baza teoremei lui Weierstrass, privind aproximarea funcţiilor continue prin polinoame. Jn capitolul VII sînt adăuga e problemele propagării undelor sferice şi cilindrice şi formula lui Kirchhoff pentru rezol .. varea ecuaţiei undelor. Expunerea ecuaţiilor diferenţiale liniare se face la început fără aplicarea metodei simbolice. . Primele paragrafe ale fiecărui capitol au păstrat caracterul anterior al expunerii. Exemplele şi materialul teoretic complimentar sînt redate cu caractere mici, iar materialul de bază, cu caractere obişnuite, putînd fi citit independent de rest. Prof. G. M. Fichtengolţ a citit în întregime manuscrisul de faţă şi mioa dat indica{ii preţioase în ceea ce priveşte expunerea~ pentru care îi exprim mulţumirile mele.

AI
KYPO BLICIIIEH MATEMArrnKH TOM BTOPOfi l

rOCJ' JJAPCTBEHHOE H3,ll:ATEJI.bCTEO EXHHKO~TEOPE'l IiqECI\Ofi JIH1EP'ATTP"bl

MomtDR t91i2 JieRHHrpa.ll

LA EDIŢIA A ŞASEA

V. SMIRNOV

13 iunie 19::r;

CAPITOLUL l

PREPA TA DA EDIŢIA A NOUA ECUA'fll

In această ediţie sua m tificat esenţial capitolul ufcritor !,,; ecuatiile fizicii matematice. lceasta a J.ost. nec~sar pentru ,.a a~n:.o· niza conţinutul capitolulu.i -.- care const~tu.~e o ~ntroducete ln fuu;t; m.atematică- cn noua ecli, te a vob..~-mulnl- IV.

ORDINARE

§ 1. ECUAŢII DE ORDINUJ~ ÎNTÎI

1. Noţiuni ecuaţie care,

ecuaţie

generale. Prin

diferenţiaiă

se

inţelege

pe lîngă variabilele independente şi funcţiile necunoscute de aceste variabile independente, conţine şi deri· vatele funcţiilor necunoscute sau d.iferenţialele lor [1, 51]. Dacă funcţiile care f: gurează în ecu~ţia diferenţială nu depind decît de o singură variabilă independentă, ecuaţia se numeşte ecuaţie diferenţială ordinară. Dacă, însă, ecuaţia conţine derivate par· ţiale în raport cu mai multe variabile independente ale funcţiilor necunoscute, ecuatia se numeste ecuatie ·diferentială cu derivate parţiale. In acest c~pitol ne vodt ocupa ~umai de ~cuaţiile diferen· ţ.iale ordinare şi cea mai mare parte a lui va fi consacrată cazului ·unei singu1·e ecuaţii cu o singură funcţie necunoscută. Fie x variabila independentă şi y funcţia de această varia· :hilă, pe care o căutăm. Forma generală a ecuaţiei diferenţiale ste: (x, y, y', y", ... , yrn>) = O.

o0

V. SMtHNO\'

DIFERENŢIA.I.,E

Ordinul cel mai înalt n de derivare a .funcţiei necunoscute -care intră în ecuaţie, se nltmeşte ordinul ecuaţiei diferenţiale. f.n paragraful de fată vom considera ecuatii diferentiale ordinare •le ordinu-l întîi. F~rma generală a unei 'astfe] de 'ecuaţii este :

rezolvată .Dacă

o

(1)

în rapol't cu y',

o funcţie

y'

= .f (x, .r).

(2)

y

=

(3)

cp (x)

tJerifică ecu,aţia diferenţială, cu alte cuvinte, dacă această ecuaţie e:e transformă într-o identitate atunci cînd se înlocuieşte y şi y'

•

Tespectiv prin cp (x) şi cp' (x), funcţia cp (x) se numeşte soluţiw ~cuatiei diferenţiale.

'Problema determinăr'i soluţiilor ecuaţiei diferenţiale sEt numeşte, de altfel, problema integrării ecuaţiei diferenţiale. Dacă se consideră x şi y coordonatele unu~ punct din plan,, ecuatia diferentială (1) [sau (2)] reprezintă o relaţie între coor~· dona'tele punct~lor unei curbe şi coeficientu! unghiula:t ~l .tan· uentei acestei curbe în punctele corespunzatoare. Soluţiei (3} ~ ecuatiei diferentiale îi corespunde o curbă, de-a ungul căreia' coordo~atele pun'ctelor şi coefi<;lientul unghiular al tangentei> verifică ecuatia diferentială. Această curbă se numeşte curbQ:. integrală a ec'uaţiei dife/enţiale date. · · ·· .. · :t"1li.~ ; În cazul cel mai simplu, cînd membrul d1n dreapta al ecuw· aţiei (2) nu conţine pe y, obţinem o ecuaţie diferenţială de forma

y' =f(x). Aflarea soluţiei acestei ecuatii reprezintă problema de bază a calculului integral 86], i~r toate __ soluţiile ei sînt date de .formula

fi,

, y

dx ~i trecem totul în primul membru, putem aduce forma: M ( x, y) dx N ( x, y) dy = O,

+

termenul

ipţegralei

"cvadratu:ră".

rv (

1

(5) lmpărţind ambii membri ai ecuaţiei prin M 2 (y) N 1 (x), obţinem : Ml (x) d --X

N 1 (x)

+N2 (y) y d - , 0

dx

+ ( N2 (y) dy'

) N 1 (x)

ecuaţia

la.

) M 2 (y)

~i faptul că diferentia1a acestei expresii este nulă, echivalează .eu faptul ,că expresia considerată este o constantă arbitrară : . ( Mt (x)

dx

..· ) N 1 (x)

+ ( N2 (y) d_y = JMil (y)

C~

. ( 7)

unde C este o constantă arbitrară •. Această , formulă.. ne 'dă o mulţime infinită de so1nţ.ii.,, iar in interpretare geometrică ea t'epredntă ecuaţia implicită a. unei familii de curbe integrale. Dacă în ecuaţia (7) efectuăm cvadraturile şi rezolvăm in raport cu y, obţinem ecuaţia familiei curbelor integrale (solqţiil,: ecua .. ţiei diferenţiale) sub formă explicită:

y = cp ( x, C). Exemplu. Aria OAMN, mărginită .de axele de coordonate, arct;tLde -curbă AM şi ordonata MN (fig. 1), este egală cu aria dreptunghiului O.BCN, cu .baza ON == x şi înălţimea '1) : ~

{4)

este legat nemijlocit de calculul ariei ; de aici provine' · .

(6)

M 3 (y)

dec:J, coeficientul lui dx depinde numai de x, iar coeficientul tui. dy, numai de y. Ecuaţia (5) se numeşte ecuaţie cu varia· bilele separate [1, 931, iar calea urmată pentru a o aduce la forma (6) poartă numele de "metoda separării variabilelor". Primul membru al ecuaţiei (6) este diferenţia1a expresiei 1 , ( M.t (x)

dx ·

. 1). c~,~~1u1

rol, deoarece ecuaţia (4) nu ne impune alegerea functiei necunoscute. Putem lua sau p'<' x sau pe y, indiferent~ -.ca f~nctie necunoscută. · S1 ·presupunem că fiecare dintre funcţiile M (x, y) şi x, y) .reprezintă produsul a doi factori, dintre care unul depinde' numai de x, iar celălalt numai de y: .

= ~ f (x) dx + C,

nnde C este o constantă arbitrară. În acest caz simplu, obţinem,.. o solutie a ecuatiei diferentiale, care conţine o constantă a sadar ' ' , , , l l . arbitrară. J)upă cum vom vedea, şi în cazul genera . a un~ll ecuatii diferentiale de ordinul întîi, vom obtine o soluţie conţi~· nînd' o consta~tă arbitrară; o astfel de solutie se numeşte inte~ graUî generală a ecuaţiei. Dacă d~m a~est.ei 'const~nte arbitrarC' diferite valori numerice, vom obţine ·diferite soluţn ale ecuaţiei~. aşaRnumitele .soluţii particulare ale ecuaţiei. . . .., În subdiviziunile paragrafu)ui care urmează Indwam citeva, tipuri de ecuaţii . de ordinul întîi, a căror integrare .se reducela calculul integralelor nedefinite, sau, cum se spune, Integrarea. lor se reduce la cvadraturi i ) . 2. Ecuaţii cu variabilele separate. Dacă înlocuim în ecuaţia .diferenţială (2) pe y' prin dy înmulţim ambii membri cu:

.. .

"'-"ate•'iÎD' unele cazuri, este mai comodă. Ambele variabile ~ ~i y

.joacă acelaşi

~ o .Mărimea '1) se numeşte

~

y d:l! =

X'tj;

~=

: .~

u d•.

(8)

o

ordonata medie a curbei tn intervalul (O,

~).

1

Să găsim curb ele pentru care ordonata medie este curbei NM. Pe baza formulei (8} putem scrie:

proporţională

cu ordonat-3

:;pentru care ordonata medie este o treime a ordonatei extreme. Pentru k = 2 41bţinem familia de curbe:

I1J

~

(9)·

y

ecuaţia (9). obţinem ecuaţia.

:pentru care ordonata medie este de

ydz = kxy,

c .

= ----,

v-x

o unde k-este coeficientul de diferenţială :

proporţionalitate.

y = ky

+ kxy'

Derivind sau xy'

=

două

ori mai mare decît cea

extremă

(fig. 3).

(10)>

ay,

unde

a=

Prin derivare s-au putut introduce

1-k

(10.

k

soluţii străine, căci,

din egalitatea derivatelor •.

rezultă numai că funcţiile nu diferă decit printr-un termen constant. In cazu}

A

o

..1

N

nostru, însă, nu există soluţii străine. Intradevăr, din ecuaţia (10), obţinută prin derivarea ecuaţiei (9), rezultă că ambii, membri ai ecu~ţici (9) nu pot să difere dectt prin o constantă. Se vede '1nsă• imediat ~ă. pentru x = O, aceşti membri: stnt egali cu zero şi, prin urmare, termenul constant, despre care s-a vorbit mai sus. e~ote nul ; aceasta tnseamnă că orice· soluţie a ecuaţiei (10) va fi soluţie a ecuaţiei (9). Să trecem acum Ia integrarea ecuaţiei (10). Putem sA o scriem sub forma~ ~

Fig. 1.

ti variabilele .•e

separă

:J.

dy

-=ay, dx

obţinem

c = ·eOs este o

.

:

=

a ln

X

+ C1 sau ţJ =

numeşte ecuaţie omogenă.

.

dă

x, introducem fn locul

y = xu, de unde y' = u C~,

(12}

Ecuaţia

constantă arbitrară.

Pentru k = -3- avem a= 2, ceea ce ne

.8

de forma :

Păstrînd ca variabilă independentă funcţiei y o nouă funcţie u :

· Conform formulei (11), ctnd k creşte de la O la + oo, a descreşte deJa+ O'.l la (- 1) şi, prin urmare, trebuie să socotim a > - 1, aşa că, în orice caz, integrala care se găseşte tn membrul tnUi al ecuaţiei (9) are sens. Pentru k = 1 vom avea a = O, şi formula (12) dă ca sol"4ţie evidentă familia de drepte paralele la axa Ox1

ecuaţie

omogene. O

(13)

ln y und~

Ecuaţii

:

-se

lntegrtnd,

Fig. 3 .

Fig. 2.

o familie de y)grnbole

(fig. 2;), ~ .

se u

1)

ttt.unci,

transformă

+-

numai de raportul

(1.4)

în du

xu' = J(u) sau x - =fVt) --

Să observăm că funcţia

funcţie

+ xu'.

dx

de

~

două

·

N.

variabile

, ctnd

şi

numai

mărimea cp (z, y) rămîne neschimbatA

pe z şi pe y printr-un factor arbitrar t, adică cp (tx, ty) == cp (z. y). Ac~astă condiţie este echivalentă cu condiţia ca cp (x, y) să fie funcţie omogenă de a:. ş1 de_ y, de putere egală cu zero [1, UHJ . dacă înmulţi~

V aria bilele tie separă :

~7 x

lnsemnind cu

fh

+

dacă se alege adecvat constanta k. Rezultatul obţinut ipoate fi formulat astfel : toate curbele integrale ale unei ecuaţii
(16), u --

du f (u)

=O.

(u.) eoeficientul lui du, obţinem :

tg ~ ~1nde

de unde

,\: = Ce-J'IJI1(U) du

= e0

SaU

X

= C ~(u),

este o constantă arbitrară. Dac-ă revenim la vechea var~abilă, putem scrie ec·uaţia fami~ tiei de curbe integrale sub forma :

unde C

= f (tg 8),

1

y (15)

f Să conside1·ăm o omotetie · a planului XO Y, centrul de omotetie fiind în origine. Această transformare se reduce· X la aceea că punctul ( x, y) t~ţce în noua. ~"::-~=----::-'--+---

tg (X este coeficientul unghiular al tangenteî, iar O este unghiul format de raza vectoare dusă d'n origine' cu direcţia .pozit.vă a axei OX. Aşadar, ecuaţia (13) stabileşte o legătură :intre unghiurile (X şi .astfel că, de-a .lungul oricărei 'drepte care ·•trece prin origine, tangentele la curbele integrale ale unei ecuaţii -lDmogene sunt paralele între ele (fig. 4). · Din această proprietate a tangentelor reiese evident că omotetia (cu c~ntrul de omotetie in· origine) transformă o curb! ~ntegrală tot intr-o curbă ·in te.: _ .grală, deoarece, prin prelungirea Y4 1 · ·razelor vectoare ale punctelor ~urbei in acelaşi raport, · direc• . ·141 14 ,~

e,

.

,tl~

poziţie

'!Vy 1 ~2/U.

lj

y 1 = ky. (k >O)

Fig. 4.

Irit

\'

V:.

(16}

'!

,..Y

sau" ceea ce este acelaşi lucru, ea. se. reduce la o~ înmulţire, cu coeficientul k, a lungimii razei vectoare a fiecărui punct din plan cu conservarea direcţiei acestei raze. Dacă M estef poziţia iniţi!ală . a ·puJ;tctului şi M 1 . poziţia după .transforpuţre, ~tune)

(fig. 4) :

!

'

.

'

'

'

o.Ml: OM=

xl: X:- Yl :y

=

k.

Fig. 5.

Aplicind transformarea (16) :ec:uaţiei {15); obţinem ecuaţia :

Fig. 6.

(17}

ţiile~-tangentelor relative 1~ aceeaşi rază vectoa:re nu se schim.bă {fig. 5). ' . . -

din cauz~ că constanta C es:te arbitrară, nu se, d~os~heşte de ecuaţia (15), alie cuvinte, transformarea''(l6f'nu'·'schhnhă :intreaga mulţime' a curbelor (15), ci transformă numai: una dint~e cu:r:h~Je_ famjlie! . (15) Jn alt.ă curbă din aceeaşi f~tnili~.·. pri~ţ,; .c.urbă din (amilia· (15) poate fi evident obţinută dintr~ o' curhă. bine determinată a aceleiaşi f~t'milii cu ajutorul transformării

E x e m p 1 u. Să se determine curbele pentru care segmentul M T de tangentă de la punctul de contact ptnă la tntretăierea T cu axa· OX este egal cu segmentul ·O T al acestei axe (fig~ 6). ., . .. ~ ·

.., ==k c ~ ( ~:} ~Jare,

cu

Dacă aplicăm omotetia indicată mai sus unei curbe :i.nte.. .grale care este reprezentată printr-o dreaptă ce trece prin origine, atunci, după transformare, obţinem aceeaşi dreaptă, aşa că, tn .acest caz, metoda de mai sus pentru a obţine curbele integrale cu ajutorul uneia di1;1tre ele .devine inaplicabilă ..

.Ll

E~~tmtia

geuaţia difen"nţială

tangentei este

=

Y - y

yJ (X -

-~!/_

x),

uude (X, Y) sunt coordonatele curente ale unui punct de pe Y =o. determinăm urma tangentei pe axa OX:

:

(ax+ by c·), ,

=f

tangentă, Făcînd

(2 2 )

-1-

a 1 x+b1 y+c1

d:r.

după eu1n vo:m a1·ăta imediat, se reduce la o ecuaţie omogena.

Introducem in locul lui x şi y variabile noi ~ şi X

şi c
r = O Ta ne dă [I, 77} ;: +

de unde

:l

~ (x-

y'

nnde

Gt

_d1J

Să definim pe atX nouă funcţie

SuhsUtuind tn

şJ

variabilele

,

~~ separă

2u 1 - u

du a+ ua x - - - - - = O, 1-

dx

.u~

1 - u3 --~du=O. 8

=

variabilă

x2

yg

+ ya -

Cy

=

(21)

O,

adică

curbele căutate sint cercuri care trec prin· origine şi tangente fn acest punct la axa OX (fig. 6). Pentru a trece de la ecuaţia (19) la ecuaţia (20) am fost obligaţi să împărţim ambii membri ai ecuaţiei cu (u + u3 ) şi, deci, am putut pierde soluţia u =O sau, eeea ce este acelaşi lucru, y = O. Substituind in ecuaţia (18), vedem că, in adevăr. u = O este o soluţie, însă ea este conţinută tn formula (21 ). Pentru a o obţine9' este de ajuns să lmpărţim ambii membri ai ecuaţiei (21) cuC şi să facem C = oc. Fiecare dintre cercurile (21) poate fi obţinut din unul dintre ele cu nju-'torul omotetiei cu centrul tn origine, aşa că (fig. 6) :

12

c ) ,

+ b11J + a1 u +· b1~ + c1

+ b~ + c =

O,

a 1 et

+ b1 ~ -1- c1 =

O.

=

f

a+b2L] ~

l

al+ bl

t .

-+-

by

+ c =O

şi a1 x

+ b y +· c 1

1

=~O.

(24)

H.el!iultatele obţinute mai sus vor fi, prin urmare, aplicabil(: eeuaţiei (22), cu singura deosebire că rolul originii coordonatelor il va juca punctul ((X, ~). . • Dacă dreptele (24) sînt pa:ra1ele, transformarea de ma1 sus nu mai poate avea loc. În acest caz, însă, după cum se ~ştie din geometria analitică, coeficienţii în ecuaţiile (24) trebuie să fie p:roporţionali :

'j

C

u tau. revenind. ta vechea

(23)

Transformării (23) îi corespunde o translaţie a. axelor de <:oo:rdonate astfel înctt originea coordonatelor să treacă în punctul (0!:, .~) de intersecţie a dreptelor

a.x

: x (ul +~2:2

-f- ~t

~i ~ prin condiţiile :

d~ (19)

u+u

obţinem

1j

in ace-ste condiţii, ecuaţia ia forma omogenă :

relaţia

: d:t

lutegrtud,

Ct

d't)

+ u = - -2 sau

y =

a~ + lrfJ + ax + br1 +

f (

a1 ~

:

ecuaţie, obţinem

xu

=

rl = xu' + u.

y = xu ;

G( ;

şi [1 sint constante pe care le vom determina imediat. fi, cu noile variabile : d~

. u, prin

+

Eeua'ţia (22) va

obţinem ecuaţia diferenţială:

evident omogenă. Introducem tn locul lui y o

~

=.:

'Y) :

OM1

= .OM~ =

OM3

ON1

ON2

ON3

_

...

~ a

= .!!1_ = b

/.. şi a1 x

"+ b y 1

~:_ A (ax

+ by) ;

î:nt.rochleînd 'in locul lui y noua variabilă u : tt

=ax+ by,

obţinem. ~ cum este uşor de văzut, o ecuaţie cu variabile separate,

Vom întîlni mai departe o aplicaţie foarte importantă a ecuaţiei omogene la studiul mişcării fluidelor.

13

liniar4ă. Edeuaţii. liniare ~.i ee~aţia lui Bernoulli. Se numeşte ecuaţie e ordinul întn o ecuaţie de forma :

y'

v

+ P(x)y + Q(x) =O.

{25)

Să considerăm deocamdată ecua.ţia. coresp· unziiwa.ri:'

menul liber Q (x) :

+ .P (x) z -

z'

ti

'

obţinem:

v

fârd ~n~

O,

=

(.;'U.Îm

P() · x dx =O

z = Ce--fP(aJ)d~ ,

(.2())

.

Pe~tr~ ~ntegrarea ~cuaţiei liniare date (25), ne servim de metoda

vanaţ~ei con~.tante1 ar~itrare, şi anume, vom căuta· 0 soluţie 8 acestei ecuaţu de forma analoagă formei (26) obţinută pentru z :

Y = u e~JP<~)dm, (27) unde însă u • • . " 'd n'! ~ 81 este o constantă, ci o funcţie necunoscută d• .e. D erlVIn , gasxm ·

iniţială

.

a

soluţiei.

Pentru a mar(~a acest lucru se înt:rebuinţ.ează :notaţia : (30}

~.rin

urmare, dacă valoarea initială a solutiei căutate este dată pentru x = x 0 , atunci formula' (29) ne dă' o soluţie a ecuaţiei,

perfe.r:t determinată,

)' = e

. y' =

u'e-JP(aJ)d0-

u' e --JP
= --

=

dP<•> .. [ C-

ca.re satisface

ăx şi ~

11

(31)

...

J Q(x) efP<•> ""dx l

,{ + condiţia

P (x) y

=

O, ·

(30) : il)

(28)

h1ati

Q(x) efP dill ăx,

deoarece o adăugare la ele de constante arbitrare nu face dooh . ..

să schimbe valoarea lui O.·

JP(~t)!J~.ăx -j ·

efXJe

-JP(z)d;l'

una din valorile integralelo:r nedefinite

P(x)

J Q (x)

=

omogene

.JP'"'"" d.

Pentr~ determinarea lui y, după această formulă. trebuie

~

(. .

Condiţia (30), care se numeşte condiţie iniţială, este echi .. valentă, din punct de vedere geometric, faptului de a căuta curba integrală care trece prin punctul dai (x(), y 0). ' · Dacă presupunem Q (x) Q, atunci obţinem soluţia ecuaţiei

ti, in definitiv, conform egalităţii (27)~ obţinem :

=

~-

Yo

3lfJ

!f,fr

O

Q(x) efP<"l"", de unde u = C- ~ Q (x)

y

-~j P{re)~ l.

p (x) ue-JP(z)i.ial,

Substituind in ecuaţia (25), obţinem :

u'

(2~)

e

umle x 0 ee;te un număr determinat, ales după voie. Dacă înlo· limita supel'Îoară x cu numărul x 0 , membrul al doilea al formulei (29) se reduce la C, deoarece o integrală cu aceea~i lin1ită superioară şi inferioară este egală cu. zero ; în sfhşit, con..
Aici va:_riahilele s~ separă:

~+

lnlocuindu.·le prin integrale definite cu limită superioară [I, 96], putem scrie formula (28) în modul urrnător :

adal~Hă

Ql.

Y = Din formula (29) tinhue au fo:r~·a :.

n:':zultă

y

=

(31)

Yo~

că in.tegralele

ecuaţiei

+· ~ 2 (x),

diferenţiale

(32)

adică y este o Juncţ"e f~nr-ar:ă de o const(J,ntd arb"trord. Fie y 1 o soluţie a ecuaţiei (25). Punînd· .Y: ;= Y1 Ţ z, · 15·

obţinem ecuaţia

z'

în z :

·+ P (x) z + [y/ + P (x) y

1

-+- Q (~:)] =

rnentul B 1 B 2 tinde către segmentul A 1A 2, direcţiile acestor coarde tind către direcţiile tangentelor la curbe în punctele A 1, A şi A 2 ; obţinem astfel următoarea proprietate a tangen· telor la curbele integrale ale unei ecuaţii Hniare : tangentele la

O.

Suma care figurează în paranteza dreaptă este e!!ală co zero .. deoarece, prin ipoteză, y 1 este o soluţie a ecuaţi~i (25). l!.dn turnare, z este o soluţie a ecuaţiei respective flh·ă termen Hhf>r şi este determinată prin formula (26); atunci

y

= Y:t ·+

Ce- f.P
curbele integrale ale unei ecuaţii liniare, în punctele rle a.le acestor curbe cu o dreaptă paralelă cu axa O Y, sau se întretaie întraun singur pz..tnct, sau.. sînt pa.ralele.

(33)

Să presupunem acum că mai cunoa~tem o a doua integrală y 2 a ecuaţiei (25) şi presupunem că această. solutie se obţine din formula (33) pentru C =a: ·

1.~

1 J

(34} Eliminînd pe e·- f PC:eid
el

este o constantă arbitrară eare inlocuie~te pe

Y?. - y =

eare

arată că

1-

C2,

Cl =

.

di

t1=Rl+L-t dt

.rk unde deducem pentru i

Fig- 7. ecuaţia ·Jiniară

R • O r -didi + ~l ~ - · · = u. L L

c din

Socotind că R şi L sint constante. iar integralele care figurează in formula (31) :

precedente. Din ecuaţia (:~5) rezultă relaţia :

Y- YJ

E x e m p 1 e. 1. Să examinăm procesul de stabilire a unui curent într-un circuit cu inductanţă. Fie i - intensitatea curentului, v-tensiunea, Rrezistenţa circuitului şi 1" - inductanţa. Avem relaţia:

1

{1

notaţiile

inter·secţic

t

(36)

~

Cx

o

raportul

t

t

P dt

=

~ ~

di "'"

~

o

f.;

~ Qe

11

o funcţie

JPdJ

dată

de timpul t, t

0

di

=

!!.t

~-· ~ ~ u/

o

calculăm

df.

(1

Insemnind cu i 0 valoarea iniţială a lui i, adică valoa.rea intensităţiî curentului ;pentru t = O, obţinem, tn conformitate cu (31), formula care determină pe i fu orice moment: t

constantă, adică familia curbelor integrale a unei ecuaţii tiniare ~ste o familie de curbe care împart, în raport conb stant, -segmentul ordonatei cuprins intre două curbe oarecare

. este o marime

ale acestei famdii. Prin · urmare, dacă se cunosc două curbe integrale L 1 şi L 2 ale ecuaţiei liniare, atunci, oricare altă curbă integrală L se determină prin valoarea constantă a rapoartelor (fig. 7) AA 2 A A 1

BB2

-CC2

= Btfl = . C C = 1

DD2 D D 1

i-• ( i,+ l ~ vei~!:.

dt ) ·

o Pentru cazul tensiunii constante (u

".· ..~1 ·:

.

t

~

i=

=

const.) vom

obţine~

(t·- i)·-~· +i·

1

=

ln virtutea acestei egalităţi, coardele A 1 B 1, AB şi AaBa sau se taie într-un acelaşi punct, sau sînt paralele. Dacă seg.. 1()

li

i - .--

-~t Cind t creşte, factorul e L descreşte rapid şi, din punct de vedere practic, fntr-un interval de timp scurt, procesul poate fi considerat staţionar~ şi anume. u intensitatea curentului se determină după legea lui Ohm : i = - · R

.2. cura de matematici SUl~rfoare

1 'l

In particular, pentru

~~

obţinem formuh~

,= o

: ecuaţia:

Aceasta ne conduce la

di

-dt+ .pentru intensitatea curentului la tnchiderea circuitului. Presupunînd v formula curentului amortizat la deconectarea circuitul!li ~

=

O, avem

Exprimînd pe t tn fracţiuni de "t', trebuie x. conform relaţiei :

s:lluăm,

tn locul lui t, o

nouă "'m·ia~

bilă independentă

~-!!!

= i0 e

i

L

L

Constanta - se numeşte constanta de ti.mp a circuitului considerat. R Să examinăm cazul tensiunii de caracter sinusoidal : v = A. sin CI) t. Confort~ e,galităţii ( 31), obţinem !

tn care x variază dela O (momentul conectare). Ecuaţia ia forma:

iniţial)

di

R

-;

0 ---+ dx L (1- x)

la 1 (momentul stîugerll scinteii, .

de~

OT .

i--=0. 14

(39)

.eu conditia

i(Al-O. = Aplictnd formula (28),

91, prin

- t urmare~.

-4mde trebuie

lntrodudnd fn expresia lui i,

obţinem

:

să

!38}

-.. !!,

x

=

O,

x)

Bt

două

cu

uşurinţă

l. L. J(1 --... ;r,) V't' (

integrala -·

~e~

dx

generală

+C

J

,

a

ecuaţiel

t

(40)

cazurl :

găsim

i ·şi, făcînd

Primul termen, care conţine factorul e L , se amortizează repede, şi, practic, tntr-un scurt interval de timp după t = O. intensitatea curentului va fi determinată pl'in suma celor doi termeni. rămaşi tn formula (38). Această sumă reprezintă o

(1 -

deosebim

tn primul caz,

wLA

=

obţinem

io

= ~-~ (1 J?n~-L

determinăm

constanta

-- x)

+ C f1

arbitrară C :

v,

mărime sinusoidală cu aceeaşi frecvenţă CJ> ca şi tensiunea dar cu altă amplitu~ şi altă fază. Observăm, de asemenea, că această sumă. care dă procesul

dine

staţionar,

nu depinde de valoarea iniţială i0 a intensităţii curentului. . 2. în fenomenele de racor.dare, cind se.iveşte.scînteia, rezistenţa R nu poate li considerată constantă. E.a creşte de l!ii valoarea iniţială Ro pînă la valoarea ·;tnfinită (în momentul deconectării 't'). Se admite uneori că dependenţa lui R de ·ti:mp•Ji t se exprimă prin formula R

=

2Lt ='_Rol.. 't'- 1 t

fi, in definitiv

fn mod analog, găsim in cazul al doilea i

=

{1 -· x)

.

18

ri

•

0 ·-

.!!::.tg (1 L

1.9

Ecuatia lui Bernoulli este o generalizare a ee natiei diferel] ~ ţiale linia~e (25) : ~

y'

+-

P (x) y

+ Q (x) yrrt

(41)

ecuaţia

u'

= (1 ·-· m) j---m_y~,

se reduce la forma:

u'

+ P1 (x) u + l)

1

(x) = 0~

unde ~-

P1 (x) = (1

m) P (x)

şi

Q1 (x) = (1 - m) Q (x),

adică, prin substituţia u = y 1 -m, ecuaţia lui Bernoulli (41) devine o ecuaţie liniară şi se integrează ca atare. Să remarcăm că integrarea ecuaţiei diferenţiale de fonna :

y'

+ P (x} y ·+· Q (x) y + R \X) = 2

O,

(41 1)

care se numeşte ecuaţia Ricatti, nu se reduce la cvadraturi~ dacă coeficienţii P, Q, R sînt oarecare. Ea se reduce la o ecuaţie liniară, dacă i se cunoaşte o integrală particulară. Intr-adevăr. fie y 1{x) o soluţie a ecuaţiei (41 1), adică :

Y~

+ P (x) y 1 -!- Q (x) }'~ + R (x) =

O.

(*)

Introducem în ecuaţia (411), tn locul lui y, o nouă funcţie u~ prin formula

Y =Yt

i

·+-u ·

Introducînd în (41 1) şi ţinînd seamă de egalitatea (*}, obţinem pentru u ecuaţia liniară :

u' ~ [ P ( x)

+ 2 Q ( x) y1] u -

Q ( x) = O.

Integrala generală a acestei ecuaţii are forma : u = C cp (x)

20

+ ~ (x).

=

y1

această

+ }.:_ obtinem Il

•

expresie a lui u în egalitatea

_precedentă,

integrala generală a ecuaţiei Hicatti suh

forma

y=··

C qJ1(x) C tp 2(x)

+. ~1(x) + tj; 2(x)

'

5. Detenninarea solutiei ecuatiei diferentiale iniţială. Ecuaţia diferen.ţi~lă de o;dinul întîi' y' =f(x,y)

introducind in locul lui y, noua funcţie u ~

u. = yt-m;

y

.

= 0,

unde exponentul m trebuie considerat diferit de O şi de 1, deoa~ rece, în aceste cazuri, ecuaţia va fi liniară. Împărţind amhH me·mhri prin ym :

'i

Suhstituind

după

conditia (42)

reprezintă, după. cum am mai spus, o legătură dintre coordonatele· (x, y) ale punctului şi coeficientul unghiular al tangentei :l în acest punct. Să presupunem că f (x, y) este o funcţie uniformă fi continuă de (x, y). În aceste condiţii, unui punct arbitra:r din plan, în care funcţia f (x, .Y) este definită, îi corespunde. pe .baza ecuaţiei ( 42), o direcţie determinată, de coeficient unghiular f (x, y). Indicînd această direcţie printr-o săgeată care trece prin punctul corespunzător, vom obţine, în plan, un cîmp de dir-ecţii, fiecare direcţie fiind legată de un anumit punct din plan. Curbele integrale. ale eouaţiei ( 42) sînt curbele pentru care direcţiile menţionate coincid cu direcţiile tangentelor: acestecurbe pot fi numite curbele integrale ale cîmpului de dire«~ţii dat. Ca exemplu, se poate da cîmpul magnetic al suprafeţei terestre. Considerînd plană o porţiune a suprafeţei terestre, putem avea, în fiecare punct, o direcţie determinată pe care o are în acest punct, acul magnetic. Să trecem acum la problema determinării curhelor integrale ale ecuaţiei (42). Pentru a determina complet poziţia curbei integrale, mai trebuie să ni se dea un punct oarecare prin care este obligată să treacă curba integrală, de exemplu, punctul de întretăiere a curbei integrale cu dreapta x = x 0 , paralelă cu axa OY, sau, ceea ce este acelaşi lucru, valoarea iniţială y 0 a funcţiei căutate y, valoare pe care aceasta trebuie să o ia pentru valoarea dată lui x = x 0 :

, Ylm=a:o = Yo· Pentru construirea aproximativă a curbei integrale ca.rc trece prin punctul dat (x0 , y 0), se poate aplica metoda lui Euler, expusă mai jos. Să figurăm In planul coordonatelor o reţea de mici pătrate prin drepte paralele cu axele de coordonate, iar pe axa OX"' în direcţia negativă, segmentul OP, de lungime egală cu unitatea (fig. 3). Substituind în membrul al doilea al ecuaţiei (42) x = X& 21

.şi

y = y 0 , determinăm m.ărimea f(x 0 , y 0), pe car~ figurăm prin segmentul OA 0 pe axa o:rdonatelor. Segmentul .PA 0 va avea, ·evident, coeficientul unghiular egal cu f (x0 , y 0 ) şi va fi, prin urmare, paralel cu tangenta la curba integrală tn punctul (x0 , .Yo)• Să trecem acum la construirea_aproximativă a curbei integrale sub forma unei linii frînte. l)in punctul (x 0 , y 0 ) ducem raza M 0 Af1 paralelă cu P A 0 ~f care are, deci, coeficientul unghiular y~ = f (x0 ,y0 ). Fie . M 1 (~, y 1) primul punct de inter~ sectie a acestei ·raze cu o latură a r~ţelei . pătratice. Figurăm pe #.ţ L.t:" 1~ axa ordo.natelor segmentul OA1, 1 egal cu f(x1, y 1), şi prin punctul 4z_ / fii?M 1 ( x1, y 1) ducem raza M 1 M 2, ~ paralelă cu P A1, şi avind, deci~ ' __ coeficientul unghiular )~ = = f( x,.,y 1), pînă la primul ei punct X de· intersecţie M 2 ( x 2, y 2) cu una dintre laturile reţelei pătrâtice o etc. Această construcţie se poate executa atît în direcţia absciFig, ~t selor crescînde, cît şi în direcţia ahsciselor descrescînde. Linia .frîntă construită în modul indicat reprezintă, aproximativ, curb~ integrală căutată. _ · Să; ri:uii observăm că pentru construirea segmentului OP şi a. segmentelor OA 0 , OA 1,. • • se poate face de o scară diferită de scara întrebuinţată pentru coordonatele ,x şi y, deoarece .direcţia segmentelor ~ A 0 , P A 1 , • ••. nu .depinde, evident, de ale· gerea scării pentru aceste segmente. Din constructia indicată, rezultă "~evident faptul că prin punctul dat (x 0 , 0 ) trece num'ai o singură curbă int~g~ală a ·ecuaţiei (42). Această afirmaţie este exacţă şi poate f~ n?uros demonstrată dacă funcţia f (x, y) posedă, afară de continUitate, incă o anumită proprietate. Astfel, de exemplu, dacă în vec~nă~ :latea punctulu~ (x 0 , y 0 ) futtcfta f (x, .r) este continuă în raport c~ ambele· argum~nte şi ·are- o derivată continuă în raport cu y, atuncJ prin punctul (x0 , y 0 ) trece numai o singură curbă integrală a ecuaţiei (42). · Teorema aceasta, pe care o acceptăm, pentru moment, fără .demonstrare 9 se numeşte, de obicei, teorema existenţei şi unicităţii soluţiei ecuaţiei diferenţ~ale, pentru ·. o condiţie iniţială. dată. La .,sfîr~itul capitolului următor vom da demonstrarea acestel teoreme ..

't-·

/A,

Afară de interpretarea geometrică a teoremei formulate1t knterpretare indicată m~i sus, să mai dăm şi o interpretare analitică a unui important caz particular, şi anume, cazul î.n care membrul al doilea al ecuaţiei ( 42) este o serie ordonată după puterile întregi şi pozitive, ale diferenţelo:r ( x -- x0 ) şi. (v - y 0 ) fi, 161] : 00

.f (x, y)

op,q=O

care este convergentă, dacă valorile absolute ale acestor dife~ rente sînt suficient de mici. ~ În acest caz, sohiţia ecuaţiei (42), care verifică condiţiile

§Î

iniţiale

(43}

_",

~

uz

poate fi .reprezentată sub forma seriei fraylor, ordon:ată; ·:după puterile întregi şi pozitive ale .diferenţe_i. (x -;- x 0), iar ~cuaţ~~· (:t2) determină ·. c?m.Plet valorile coefici~nţi.lo·r acest~!. sern, Într-adevăr, suhstituind în membrul al dmlea al' ec~aţ1e1 (42)9 1.1 = x 0 şi y = y 0 , obţinem pe y~, prima derivată a lui y penti'u X = Xo·. Derivînd ecuaţia (42) în raport cu ~' obţinem :

in membrul al doilea : . x = x 0, y = Yb' y' = y~, dete.r~ minăm valoarea lui y~. D.erivînd încă o dată în raport cu .x, obţinem o ecuaţie pentru y'" etc. În acest m:od se determină P-e:ria Taylor ! făcînd,

y

22

~ava (x ~ :to}~' (y .,., Yo).;

=

"

'

Y = Yo

Yo + --( x 11

~. Xo )

Yo ( + _.. x 21

-~" ~o )2

+ · · ··

(44)·

care ne va da, pţntru valorile lui x vecine .cu x 0 , soluţia ecuaţiei (42) care satisface condiţia iniţială (43). În loc de metoda deter:niinării succesive a derivatelor pentl'u x = x 0 , se poate întrebuinţa un alt procedeu, şi an~me, .~~toda coeficientilor nedeterminati. Să .substituim în" ambii meinh:ri ai, ecuaţiei (42), în·loculluiy; seria de· puteti cu coeficienţi nedete:r· minaţi:

Ordonînd membrul al doilea după puterile lui ( x --. x 0) şi -egalînd coeficienţii termenilor cu puteri identice în ambii membri, putem obţine succesiv coeficienţii a 1, a 2 , • • • Este uşor să ne eonvingem că seriile (44} şi {45) coincid E x e m p 1 u.

Să găsim soluţia ecuaţiei

,

xy =-· 2

y condiţiile iniţiale

care satisface

!46)

: (47)

y 1 ro=O =- 1,

sub forma unei serii de puteri UJ

=

11

1

+ ~ a,al, 8=1

-JUnde am luat termenul liber egal cu unitatea, ln virtutea condiţiei iniţiale (47). Să derivăm această

serie :

== ~

y'

sa.8

xl'-1 •

8=-l

Introducem expresiile CXt """

obţinute

tn locul lui y

şi

y' tn

ecuaţia

(46):

+ 2a.2 x + 3cx3i + . . . + (n + 1) «,.+ 1 x"" + . . . = ~ x (1 + cxlx + ~,x2 + ... + «n-1 x'fl,-1-+ •.. ). 2

Egaltnd coeficîenţii aceloraşi puteri ale lui x tn ambii membri ai egaUtăţU rn-ecedente, obţinem relaţiile din tabelă. a:l

1

2-4

:2

+ :, ( :

2

r

r

+ :, ( x: + ... + :, (:

r

+ ., . = e4.

= f(xo, YoHxl ~

Xo),

deoarece segmentele M 0 N şi N M1 sînt exprimate prin numerele

' 1 •iexs= -~i

xl x 0 şi y 1 - y 0 , construcţie, egală cu

Din punctul (x1,y1} ducem raza M1 M 2, de coeficient unghiular (x1, y 1), pînă la intersecţia ei în punctul M 2 cu dreapta x = x 2" paralelă cu axa O Y. Ordonata punctului de intersecţie se va determina, ca şi mai sus, din relaţia:

1

~n+l = . . . = O ;

ex4 = - ; .. ·; 214•

~n=

-----

iar tangenta unghiului NM0 M 1 este, prin

f {x 0 , y 0}.

f

:

= «a = «s = . . . = 4

+

Y1 - Ye

2

«a=-;

1

2Cla = 2

1 4a4 = -t:Y.t

este~ clar că

=

in definitiv [1, 126],

6. Metoda lui ·Euler-Cauchy. Construcţia aproximativă a curbei integrale a ecuaţiei (42), indicată mai sus, se poate simpli.. fica întrebuinţînd, în locul reţ~lei pătrate, numai drepte paralele. cu axa OY. Metoda lui Euler, astfel modificată, conduce la ometodă relativ simplă şi practic comodă, pentru y calculul aproximativ al ordonatei curbei integrale y, cînd ahscisa este dată. Fie M 0 ( x 0 , y 0) pune· tul initial al curbei integrale' (fig. 9). Din acest. punct ducem raza de coeficient unghiular f(x 0 , y 0} pînă la intersecţia ei, în punctul M 1, cu dreapta x = x 1, pa- p o ralelă cu axa OY. Fie y 1 ordonata lui M 1• Ea se Fig. 9. determină, evident, din relaţia :

=o

2

exl

y

1

,xl

Din aceasta

adică,

i n 14""

--;

Exact tn acelaşi mod, plecînd din punctul M 2 (x 2, y 2) se poate determina punctul următor M 3 ( x3 , y 3 ) etc. Razele P A 0 , P A 1 , ••• joacă, în fig. 9, acelaşi rol ca şi în fig. 8. Să presupunem acum că este vorba de a determina, valoarea lui x fiind dată, valoarea soluţiei y a ecuaţiei (42}, care Verifică

25

'. ·condiţia iniţială (43). Pe baza celor spuse mai astfel : împărţim intervalul (x0 , x) în porţiuni :

Xo

<

x1

<

x2

<

Xa

< ... <

<

Xn-2

-şi determinăm succesiv ordonatele y 1 ~

Xn-1

sus, procedăm

<

X. • •

( 48)

E x e rn p 1 u. S~ aplic~rn această metod~ la rezolvarea ecuaţiei (46), condi.. fiind (47). Intervalele (x0 , x1 ), (x1 , x2), ••• vor fi socotite ca fiind egal~ ,eu 0,1. Rezultatele calculelor sint date tn tabela alăturată. ţiUe iniţiale

y 2, ••• , Yn-1 cu ajutorul

1

formulelor :

o

1 l

Yn-1 - Yn--2 = f(xn-2' Yn-2)(xn--1 -- Xn-~) Y ..;_ Yn-1 = f(xn-h .'Yn-l.)(x - Xn-1)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

(49)

t J

In condiţiile indicate în [5] cu privire la propr:etăţile funcţiei · (x, y), dacă numărul intervalelor creşte, iar fiecare din ele tinde către zero, atunci mărimea Y, obţinută din formulele (49), tinde către ordonata adevărată. y a curbei integrale căutate, ·dacă valoarea dată lui x este suficient de apropiată de x 0 • Dacă adunăm egalităţile (49) membru cu membru, obţinem

f

'11

1

-

.Yt - Yo .= f(x~, Yo) {xl -- xo) Y2- Y1 = f(xl, Y1} (x2- xl) Ya - Y2-: f(x2, Y2) (xa - x2)

l

;,:,y le

1 1 1 1,005 1,0151 1,0303 1,0509 1,0772 1,1095 1,1483 1,1942

l

Prima

2

l

1

1

a:S

e4

• 0,1

"

1

1 -

o

1 0,05 0,1005 0,15230,2061 0,2627 0,3232 0,3883 0,4593 0,5374

1

X'li

llu = -

1

0,005 0,0101 0,0152 0,0206 0,0263 0,0323 0,0388 0,0459 0,0537

1

1 1,0025 1,0100 1,0227 1,0408 1,0645 1,0942 1,1303 1,1735 1,2244

1

coloană conţine mărimile

valorile lui /(x, y), adică

x, a doua -

mărimi1e

3!!., a patra- diferenţele 2

y corespunzătoare, a treia -·

&y= y

B+l

- y şi tn sftrşlt 8

uşor:

+ f(xo, YoHxl- Xo) + f(xl, Y1)(x2- xl) + •·· + + f(~n-2t Yn-2)(xn-1- Xn-2) + f(xn-h Yn-l)(x .- Xn-1)• (50)

. Y

''V

'

•

!!)2

Y = Yo

tn

,ultima - valoriJe ordonate1or obţinute pentru curba integrală y = 1' Pentru x = 0,9, după cum se vede din tabelă, eroarea este mai 0,031, adică reprezintă aproximativ 2,5 %·

7. Integrala

cazul cel mai simplu al ecuaţiei

generală. Dacă

nrecedentă

devine : n-1

Yo

+ 'E f

(.~,)(xs+l --

care dă, după cum se ştie [1, 87], !llărimea integralei y 0

dec'it

în condiţia iniţială

schimbăm

·!tJ,

1!=0

(Il

mică

Y \ x~·xu= Yo

>'' =f(x), formula

4.

o expresie

'

+ ~ f (x) dx,

aproximativă pentru

•

adică pentru . soluţia ecuaţiei

date. Calculele se efectuează după formulele (49), în ordinea urmă· toare. Prima din formulele (49} dă diferenţa (y1 - y 0 ). Adunînd cu y 0 , obţinem ordonata a doua y 1 şi, cu ajutorul formulei a d.oua din formulele (49), găsim diferenţa y 2 - y 1• Adunind aceasta din urmă cu y 1, obţinem a treia ordonată y 2 şi, s·ervindu·ne de a treia formulă din formulele (49), obţinem diferenţa (y3 - yJ etc. Adăugînd lui y 0 toate·- aceste diferenţe, găsim pe Y.

valoarea y0 ;·'obţinem o mu]ţime infinită de solutii ~le ecuaţiei (~_2), sau, în interpretare geometrică, familia de curbe Jntegrale, depmzînd de o constantă arbitrară y 0 - ordonata pune· tului de i~tersecţie a curbei integrale cu dreapta x = x 0 • Con.. stanta arbitrară poate intra în soluţie nu numaidec:t ca valoare iniţială a lui y, ci şi sub forma ge11-erală :

y

=

ep(x, C).

(51)

. O astfel de soluţie a ecuaţiei (42), conţinînd o constantă

arbitrară, se numeşte, după cum am mai spus [1], integrala generală a acestei ecuaţii. Ea poate fi de formă implicită: ~(x, Dacă dăm constantei C .()bţinem o soluţie determinată

y, C)

=

O.

(52)

o valoare numerică determinată 9 a ecuaţiei (42); o astfel de soluţie

27

se numeste solutie particulară a ecuatiei. Pentru ca din familia de curbe' a integ;alei generale {52) să a'legem acea curbă care trece ,printraun punct dat (x 0 , y 0 ) trebuie să determinăm valoarea num.erică a lui C din condiţia :

(53) Problema inversă problemei integrării ecuaţiei diferenţiale de ordinul întîi constă în: fiind dată familia de curbe (52) care

deoarece condiţia htiţială (43) este arbitrară in teorema existentei şi unicităţii, valorile x şi y pot fi luate după voie, dacă luăm to~te soluţiile 'ecuaţiei {42), adică funcţia c.v(x, y) trebuie să verifice .ecuaţia (56) identic în raport cu x şi y. Să arătăm, în sfîrşit, cum se poate verifica o soluţie a ecuaţiei (42), cînd ea este dată sub forma implicită : 6>1(x, y) = O. (57 1)

Ca

depinde de un parametru C, se cere ecuaţia diferenţială pentru care familia dată coincide cu familia ăe curbe a integralei generale. Derivînd ecuaţia (52) în raport cu x, obţinem : otjJ(x, y, C) ax

+· ·
y' = 0.

BY

(54)

Eliminînd parametrul C între (52) şi {54), ohţinem eeuaţia a familiei {52)

.fliferenţială căutată.

şi

mai sus,

obţinem ecuaţia

dUl1(x,_!!2

+

ax.

Să considerăm,

de

e·lu~mplu, ecuaţia

Integrala generală (52) poate fi scrisă sub formă explieită, ·in raport cu constanta arhit1·ară :

În cazul ecuaţiei cu variabilele separate [2], integrala gene~ se obţine sub această formă. Funcţia w( x, y), care se găseşte în primul membru al ecuaţiei (55), se numeşte integrală a ecua'ţiei {42). Punînd în această funcţie~ în loc de y, o soluţie particulară a ecuaţiei (42), trebuie să obţinem o constantă, adică integrala ecuaţiei (42) este o funcţie x şi y, a cărei derivată în raport cu x este egală cu zero, în virtutea ecuaţiei (42). Luînd derivata în raport cu x a ambilor membri ai ecuaţiei. -(55) obţinem [1, 69] : __g_'!!_(X, y)

+

OUl(X,

' f)oo(x, lJ)

ax

şi

f.l) 1

(x, rJ)

=

x2

2x

+ (Jw(x, y) .. au

+ y2

+ •2y

--

f

(x, y)

=

O.

(56)

Funcţia w (x, y) trebuie să satisfacă această ecuaţie, indi· ;ferent de solutia (42) introdusă in această functie. Însă, , ecuatiei , , .

~"'

o.

x2 x

1 -

adică

.care este, evident, verificată în virtutea ecuaţiei c.ercului. generală a ecuaţiei diferentiale date va fi :

+ xy 2 - x = y) = :r..S + xy 2 -

xll

ldcutic

verificată,

1 - 3x2 -

yz

= --------

1, egalitntca (57 2) are forma :

1 - 3x2 -- y2 ·-------··2xp

3x2

-sau. deoarece y este, prin ipoteză, o soluţie a ecuaţiei (42), înlo·cuind pe y' prin f(x, y), obţinem :

cercul

.e;:te o soluţie a acestei ecuatii. într-adevăr~ în cazul de faţă, f(x. u)

f)y

()x

:

2xy d~

Se vede imediat

Substituind în (56)

Y}_ y' = O, '

y) ~= 0 ;

J(x,

2 - y2 y' = 1 _-_3x_ ___::::_

(55)

rală

y)

această relaţie trebuie să fie îndeplinită pentru toate punctele curbei (571), adică -egalitatea {57 2) trebuie să fie îndeplinită însă nu obligatoriu identic în raport cu x şi cu y, ci numai în virtutea Iui {571), cu alte cuvinte, pe scurt, (57 2) trebuie să. fie o consecinţă ,a lui ( 571). ·

(x, Y,' y') = O.

c.v(x, y) = C.

Boo 1 (x, i)y

N 1(x,

+y

2

--

1

pentru fiecare x

+ 2xy şi

y2

-

·= O.

Să arătăm că

iuter.;rn!a

C.

x, .obţinem :

1 - 3x2- y 2

- """'

2xu

o.

y.

Să presupunem că ecuaţia diferenţială este dată sn b. formă î.n raport cu y' :

implicită

(x, y, y') = O. (58) Rezolvînd-o în raport cu y', o aducem la forma (tt2). însă fun.~ţia f(x, y) :poate -fi mult formă. Să presupunem că ea admite

m valori diferite, aşa că pentru x şi y daţi, corespund m. valori diferite pentru y~, adică la un punct dat nu corespunde o singură direcţie, ci m direcţii. În felul acesta, obţinem în plan ·nu unul; ci ~· cîmpuri diferite de direcţii. Pentru fiecare din aceste cîmpuri~ printroun punct dat trece o curbă integrală, aşa că, în fond, prin fiecare cîmp dat trec m curbe integrale ale ecuaţiei (58). Integrala generală a acestei ecuatii va ·· contine totusi numai o singură constantă arbitrară, adi~ă va avea form.a (52), însă ecuaţia (53) trebuie să dea, în general, nu una, ci m valori diferite pentru C. fn legătură cu aceasta~ dă{n un exemplu tn c:.>.re soluţia care conţine constanta arbitrară nu este, strict vorbind, integrală generală. Considerăm ecuaţia diferen~ U~: .

, ·

y' 2

f(x, y)

=

cl~ali <1> (x~y,

CI) ;:;::::

o.

Fi~care curbă a acestei familii este locul geometric al pune· telor di~ p~an, cărora le corespunde.•una şi aceeaşi direcţie a tangentei., ŞI, de aceea, întreaga familie este numită familia de· .eurbe izocline 8 ecuaţiei diferenţiale sau familia curbelor de·

y

{59)

xy' =O.

-

}nl~cuind in ecuaţ}a di~e:renyială (42! [sau în. ~cuaţia (58)J rpe J pnntr·O COnstanta arbitrara C1, obţinem famiha de Clll'he :

Membrul tntîi se descompune tn factori y' (y' - x)

=

O; obţinem, tn fond~ două

ecuaţii dHerenţiale diferit~·:

y;

=

0 ŞÎ y' --

X

=

0,

care au, ca integrale generale, respectiv:

y-C=O

Fig. 10.

şi

1 f}-2

Putem reuni aceste

X

două ecuaţii

2

-

.,

C

==

0.

tn una singură :

care dă integrala generală a ecuaţiei (59). Prin fiecare punct din plan trec două integrale : dreapta. (591 ) şi parabola (59 2 ). Formula (59 1 ),. y = C~ dă evident o soluţie a ecuaţiei (59) conţinînd o constantă arbitrară; această soluţie nu este integrală general~ a ecuaţiei (59), ci numai a ecuaţiei y' = O.

Ecuaţiile ,(4!~)sau (58} pot avea soluţii care nu fac parte din '"'familia integralei generale, adică nu pot fi obţinute din formula (52} dînd o valoare particulară constantei. Astfel de soluţii se numesc soluţii singulare ale ecuaţiei. În [10] ne vom ocupa cu problema aflării şi interpretării geometrice a unor astfel de soluţii. Riguros vm·bind, integrală generală trebuie să se numească o astfel de soluţie, conţinînd o constantă arbitrară, care să fie familia tuturor solutiilor date prin teorema de existentă si ·unici• tate, pentru condiţii iniţiale arbitrare. Soluţia singul~ră' trebuie să se numească a solutie pentru care conditiile teoremei de existenţă şi unicitate n~ sînt îndeplinite. Toate aceste definiţii se precizează în anumite ipoteze relative la funcţia f(x, y) [sau ct>(x, j, y')] din ecuaţia (42} [sau (58)]. 30.

~~ntă egală:, l~ pa~ticular: in ~a~ul eîmpului magnetic la supra~ fa~a !erestra, '~zochnele Sint hnnle, de-a lungul cărora direcţia .acului magnetic este constantă. . Pe?t!u ecuaţia omogenă [3] iz o ciinele sînt drepte. care trec prut origine. Să vedem în ce cazuri j7;9_~Jina este o curbă integrală a ecuaţiei,. arlică ne dă o soluţie a ecuaţiei. Să luăm o izoclină

el

?ore~punzătoare valorii particulare = b• .În punctele acestei tzochne ecuaţia diferenţială dă una şi aceeaşi directie pentru tangente, şi a~ntme. ~, = .b. Pent~~ ca izoclina ~l.(··~'şi soluţie, ·est~ ne?e~ar ŞI sufiCient ca coeficientul unghiufâr· iH tangentei la Izochna în· t...o~tc p~nct~le. ei ~ă fie, de. asemenea, egal cu b, ·de ~n?e rezulta ~mediat ca Izochna trebuie să fie o dreaptă cu ·CoefiCientul unghiular b,. de?arece din y' ~ b deducem y = bx c~ unde c este o constanta oarecare. Aşadar, izoclina va fi s~luţi! a ecuaţiei numai. în. ca.zul ~înd .ea este o dreaptă şi cî;"d .d."recţ'ta aceste." drepte co."nc."de cu dlrecţla constantă a tangentelor .rleterminată de ecuaţia diferenţială în punctele acestei izocline. •

+

E X}~ m P l u. Să se g~sc.ască curbele pentru care lungimea normglei j\tJN este egal~ cu cons.tant.a a (fig. 10). Utilizind expresia lungimii normnki n, 771 vom obţme ecuaJia d1ferenţială : · '

± u Vt-4- y'2

=

u.

(60)

Ridicind Ia

pătrat

ambii membri

şi

rezolvind

Va2 _

dy

-- = ± Membrul al doilea al acestei lntrc dreptele

y2

y

dx

tn

ecuaţ.ia

ecuaţii

in l'
.

este definit numai pentru 1 y

obţinem

(61)

l
fişia cuprinsă

y =a căci altfel expresia de mb radical fîşii, y' are două valori diferite.

şi

y

=-a,

(62)

este negativă şi. in fiecare punct interior al acestei

coincide cu direcţia constantă a tangentclor, determinată prin -ecuaţia diferenţială în punctele acestei drepte. Din cele spuse în numărul precedent, urmează că fiecare din dreptele (66) este ·şi soluţie a ecuaţiei (65), adică familia de izocline (66) este, in acelaşi timp, şi familia integralei generale a ecuaţiei (65). Să arătăm acum un alt procedeu pentru a obţine integrala generală a ecuaţiei (65), procedeu care ne dă nu numai integrala generală~ dar şi integrala singulară a ecuaţiei (65). Punînd = p, scriem ecuaţia (65) :

:l

y

ln eeuaţia (61) variabilele se separă : y dy

= ±

dx.

(63)

+ ya =

as,

(64)

...-.::...._=----

V a2- y2 Integrînd

obţinem. fără

greutate" (x _ C)2

adică o familie de eercuri cu centrele pe OX şi raza egală cu a (fig. 10). Toate aceste cercuri se găsesc in fîşia mărginită de (62) şi prin fiecare punct din interiorul acestei t:işii trec două cercuri din famtlia (64). Penti'U a putea trece de Ja ecuaţia (61) la ecuaţia (63) a trebuit să împărţim

Va

y 2 şi. prin urmare, am putut pierde soluţia y = ± a. Prin substituire directă ne convingem uşor că y = ± a sînt efectiv .. oluţii ale lui (61 ). Geometric, aceste soluţii se reprezintă prin rlreptele (62) şi ele nu fac parte din familia inte~ graJ ei generale (64) : cu alte cuvinte, aceste soluţii nu pot fi obţinute din formula (64), oricare ar fi valoarea constantei C, adică ele stnt soluţii singulare ale ecuaţiei. Substituind tn locul lui y' constanta C1, tn ecuaţia (60), obţinem familia de izocline

prin

2 -

± adică

(64)

YV 1 + c2 =a, 1

o familie- de drepte paralele cu axa OX. De-a lungul lor, tangentele la

<~ercurile

conservă direcţia constantă.

Jn particular, dreptele (62) sint de asemenea izocline şi, de-a-lungul acestor drepte, y' pă!:!t,rează valoarea constantă nulă, valoare care coincirle cu coeficientul unghiular al ''âcestQr drepte ; prin urmare, dreptele sînt, in acelaşi timp, şi soluţii ale· ecuaţiei (61). ·

8. Ecuatia lui Clairaut. Se numeşte ecuatie Clairaut o ecuatie de forma : ' , , y = xy' ep (y'). (65)

+

Dacă înlocuim pe y' printr-o constantă arbitrară C, obţinem familia de izocline a acestei ecuaţii :

y = xC

+ ~(C).

(66)

Se vede că toate izoclinele sînt linii drepte şi coeficientul un· ghiular C al fiecăreia dintre aceste d1·epte este aceeaşi constantă cu care am înlocuit pe y', adică direcţia fiecărei din dreptele ( 66)

xp

+

rp(p).

(67)

Chestiunea se reduce la aflarea lui p ca funcţie de x: (j) (x), care, pus în membrul al doilea al ecuaţiei (67), să dea pentru y o astfel de funcţie de x, încît derivata să fie egală cu y' = p = ep (x). Luînd dife1·enţialele ambilor membri în (67) şi punînd în me~brul întîi dy = y' dx = p dx, obţinem o ecuaţie diferenţială de "''ordinul întîi pentru p :

p

=

p dx

=7

p dx -!- x dp

·+·

ep'(p} dp

sau] [x

:,-t-
Egalînd cu ze1·o fieca1·e din factori, vom avea de considerat două cazuri : dp = O şi x -t- q/(p) = O. În primul caz avem p = C. C este o constantă arbitrară ; suhstituind p = C în ecuaţia (67) obţinem din nou, integrala generală (66). În cazul al doilea: (68} X -f- q/ (p) = 0. Dacă eliminăzn

•

=

y

p între

= xp

ecuaţiile

+ cp (p)

şi

x

:

-+

q;' (p) = O,

'(69)

obtinem o solutie a ecuatiei (65) care nu contine constantă. .Ac~astă soluţie; în generaÎ, este o soluţie singuÎară a ecuaţiei. La ecuaţia Clairaut conduc problemele geometrice în care se cere determinarea unei curbe printr-o proprietate impusă tangentei sale, această proprietate depinzînd însă numai de tangentă, nu şi de JlUnctul de contact. Într-adevăr, ecuaţia tangentei este :

Y- y = y' (X .:_ x) sau Y = y' X

+ (y -

şi orice prop1·ietate a tangentei se exprimă printr-:o ()t - xy') şi .r' :
xy.t),

relaţie

între

Dacă rezolvăm în raport cu (y - x y'), ajungem la o ecuaţie de· ·forma (65). Dreptele ·care reprezi11tă integrala generală a 3. Curs de mat.ematici superioare

ecuaţiei

Clairaut nu prezintă, evident, nici un interes in ceea ce

priveşte răspunsul la problema pusă ; acest răspuns va fi dat:

de integrala singulară

a ·ecuaţiei.

E x e m p 1 u. , Să se găsească o curbă de aşa natură, încît segmentul 7'1 Tz: al tangentei cuprins :intre axele de coordonate să aibă o lungime~ constantă a (fig. '11). · Determinînd cu ajutorul ecuaţiei tangentei, urmele OT1 şi 07'2 ale tangente.t pe axele de coordonate, stabilim imeJiat ecuaţia diferenţială a curbei căutate : (y _ xy')2

·

y'2

+ (1!-

xy') 2 =a 2 sau y

=

xy'

ay'

± ~: ~1 + y':!.

Integi·ala

][ mpărţind cu dp,

+ C2

,

.·

(70)

V1 +

=

Fig. 11. p2 p2 1

Dacă

-

1

V +-;

+ p2

=

.

O care se reduce la forma x

(71)

+P

a ± ----3; =o. (1

+ p2)

,2

punem p==~t{(q>, obţinem:

= =f a cos3 cp

x şi,

ap

± -====·2 V1

din (71), deducem pentru y valoarea:

y

=

Ţ a coss

cp tg cp ± a sin

Hidicînrl ultimele două ~alităţi la puterea 2

2

x"i +·yi

=

2

sinll~q>. şi ~dunind, obţinem.

3

2

a3,

adică curba căutată este o astroidă despre care am mai vorbit [J, 80}. Dreptele (70) reprezintă o familie de tangente ale astroidei (fig. 11). ·

9. Ecuaţia lui Lagrange. ·Se· numeşte ecuaţia lui Lagrange o ecuaţie de forma.: . Y' _;..;: X ([>1 (y') (jl2 (y'), (72}

+

34 1

cip

(731 )

:

+ q>~(p) X+ cp2(p) =

o.

care este o ecuaţie diferenţială liniară, dacă considerăm pe x de p. Dacă împărţim ambii mem~ri prin [q>1(p)- p] o aducem la forma (25) şi obţinem integrala generală sub forma:

~a funcţie

şi

--~""'"'"

X±

;rp

+ x q-Hp) dp + q~(p) dp.

obţinem ecuaţia

[q;l(P) - p] -~~

eare reprezintă o familie de linii drepte care determină, intre O Y şi OX, un .segment de lungime a. Integrala singulară se obţine prin eliminarea Jui p tntre ecuaţiile : y

Luînd diferenţialele ambilor membri, găsim ecuaţia diferenţiala de ordinul întîi pentru ·p : '

este :

aC 1

care· presupunem că c:p1 (y') este diferit ~de~ y', deoarece, în cazul q-51 (y') = y', obţinem ecuaţia deja studiată a lui Clairaut. Aplicăm ecuaţiei ·(72) aceeaşi m.etodă . de deriva1·e ca şi pentru ecuaţia lui Clairaut. Punînd. y' =-=.-: p, scriem ecuaţia sub for,:rna: (73)

p dx --: g1 (p) dx

generală

y =:= xC± V

î~.

X=

-+- th(p) • expresie a lui x în ecuatia

tf.'t(p) C

Introducînd această pentru .Y o expresie de forma :

'

(74) (72), obtinem , (75)

Forriiulele (74) şi (75) exprimă pe x· şi pe y- în funcţie de constanta arbitrară C şi parametrul variabil p, adică dau o reprezentare parametrică a integralei generale a ecuaţiei lui Lagrange. Dacă între ecuaţiile (74) şj (75) eliminăm parametrul p, atunci obţinem ecuaţia obişnuită a integralei generale. Prin împărţirea ecuaţiei cu . dp, am putut pierde soluţiile care corespund ecuaţiei~ dp = O, adică corespunzij.toare valorilor constante ale lui p şau, ceea ce este acelaşi lucru, ale lui Y.'· Însă o valoa1·e constantă a lui y' ne conduce la un polinom de gradul întii Jn y, adică aceste .soluţi:i p'ierdute, dacă există trebuie să fie linii drepte. Mai remarcăm că pentru p constant : p = a, ecuaţia (731) ne dă adx = cp1 (a) dx, cu alte cuvinte valoarea constantă a·. trebuie să fie determinată de ecuatia q:>1 (a)- a= O. · • · · Să dăm o interpretare geometrică acestui fapt. Intl·oducem ~n ee~aţia (72). în locul lui,.., c?n!'ţanta C1 ; obţinem astfel ecuaţia l!Zochnelor : · (76) adică izoclinele ecuaţiei Lagrange sînt linii drepte. Printre izocline t::rehuie căutate şi acele soluţii care sînt rep1·ezentate prin Jinii

35

drepte. Pentru aceasta, trebuie pusă condiţia ca coeficientua unghiular cp1( C1) al izoclinei să coincidă cu valoarea constantă C,_ a coeficientului unghiu.lar al tangentei de-a lungul izoclinei :

înfăşnrăto:arei

a

este :

.(80)

Rezolvînd această ecuaţie şi introducînd valoarea găsită pentru în ecuaţia (76), obţinem soluţiile căutate printre care trebuie s-ă fie incluse şi soluţiile singulare indicate.

el

Infăşurătoarele

eă ecuaţia căutată

el = o.

fP1(C1) -

10.

Presupunem

familiei de curbe

şi soluţiile

Putem considera că R (x, y) arţ f01·ma ~ (x, y, C), unde C nu ,este o constantă, ci o funcţie necunoscută de x şi y. Într-adevăr, pentru orice funcţie R ( x, y) putem scrie egalitatea

singulare.

R(:%~,

y)

=

!.J;(x, y, C),

Am avut două exemple în e
·.,cuaţia infăşurătoarei şi svb forma (78), socot.ind însă că C nu

(x - C) 2 + y 2 == a 2 cu centrele pe axa OX şi raza constantă a.

mai este o constantă, ci funcţie nec.l,lnoscută.• de x şi y. Luînd diferenţiala an1bilor membri ai ecuaţiei (78), , şi ţinînd seamă ~ii C nu maî este o constantă, obţinem 1·elaţia:

(77)

Integ1·ale singulare erau dreptele y = ± a, paralele cu axa OX. Aceste drepte sînt tangente, în fie~are punct al lor, unui cerc din familia (77) (fig. 10). În exemplul din [8], integrala generală este o familie de drepte, pentru care lungimea segmentului lor cuprins între axele de coordonate este o constantă dată a; integrala singulară este astroida tangentă, în fiecare punct al ei, uneia din dreptele de mai sus, cu alte cuvinte, familia de drepte amintită este familia tangentelor astroideî. Aceste exemple ne conduc, în mod natural, la noţiunea de înfăşurătoare a unei familii de curbe date. Fie dată familia de curbe (78) unde C este o constantă arbitrară. Se numeşte înfăşurătoare_ti farniliei de curbe (78), curba care în toate punctele ei este tangentă la diferite curbe ale familiei, adică are, în fiecare punct al ei, o. tangentă comună cu o curbă din familia (78) care trece prin acest punct. _ Să găsim regula pentru aflarea acestei î:nfăşurătoare. Mai întîi să determinăm coeficientul unghiular al tangentei la curbe~e familiei (78). Derivînd egalitatea (78) şi ţinînd seamă că·)· esie flil_l?ţie de x, iar C o constantă, obţinem : -~~(x, y, CL_

+

_§r.j;(x,

ax

!!!_El__ . !!JL = O,

8y

dx

de unde [1, 69] 8~(x,

!!:H~-· = dx ;!

_:_ _

l)~(x,.

y,

au

9>

ne determină pe C ca funcţie de x şi y. Aşadar, p·utem căuta

o

,_Q_~~.=_,-~_~:L dx + '" 8~(x, y, ~)_ dy ' ':' ot{:

IP

~oe

(79)

fjy

.

+

{j~(x, y,_!;!L_ dC = O,

ac

••

f'1c1ent • u} ung h'n1l ar a l . tangente1 . . •

lllJ

-~---,

dx

(81)

} a In " f.v v aştuatoaxea cău· ·

tată, trebuie să fie, 1nin ipoteză, acelaţ;i ca şi pentru curba (78)~ ca:re tt·ece prin acelaşi punct, adică egalitatea (81) trebuie să ~· . dea pentru ____ "!__ valoarea precedentă (79), îhsă aceasta va dx

·

_

avea loc numai in cazul în care terrpenul al tr.~ilea din (81) este egal cu zexo, adică a~(x, y, C) dC = O. Posibilitatea dC =--=-c: O dă

-"

.

ac

C -:-. const., ceea ee ne duce din nou la cu1·ba familiei şi nu la înf~şurătoare~ aşa că, pentru ~ a.vea înfăşluătoarea, trebuie să punem. _!:~( x, !!~__C)_

ac-

= o.

Această ecuaţie ne detexmină pe C ca funcţie de (x, y). Suhsti~ tuind valoarea lui C in primul membru al ecuaţiei (78), obţinem ecuaţia căutată a înfăşurătoarei (80), adică ecuaţia înfăşură· loarei familiei (78) . poate fi obţinută prin eliminarea lui C între ecu.aţiil(;! : ~·( x,

y, C)

ax .

~are

y ~ C) = O;

d~(x, y, C)

ac

= O.

(82)

Cînd ne mişcă1n pe înfăşurătoa1·e, atingem diferitele curbe ale ·familiei (78), fiecare dintre ele fiind determinată prin valoarea c·onstantei C, aşa că devine clar faptul că noi am căutat ecuaţia Jnfăşurătoarei· liot, s-ub. forma (78), însă socotind pe C variabil.

37

Să ne diferenţiale.

a

intoarcem actîm la soluţiile .~ingula:rc -ale: ~euaţiei Presupunem că (78) este familia integralei generale

ec:uaţiei

(x, .y, y') 7= o,. · ·(83) adică, pe o curbă . oarecare .• a familiei . (78), 'coordonatele (x, y} şi coeficientul unghiular. al' farigentei . .t' verifică ecuaţia (83). In fiecare punct al i~făş.urătoarei ·f, y şi y' vor coincide cu mări· mile_ analoge ale unei curbe .din familia (78),. adică>. x, y şi y' ale înfăŞurătoarei vor verific~ ·Şi ele: (83).'' Aşadar,· înfăşlirătoa.rea Jamilie'i ·i.nte·gralei: · generale este şi ea o curbă integrală a

Yi ·

.. ecuaţiei.

dacă ~(x;: y, C) =--= O ·este a . ecuaţiei (83), eliminarea lui' C între ·ecuaţiile '(82) ne· duce, in anumite x cazuri, la o soluţie singulară. Adăugarea ex~~,..__ _., presiei "în anumite cazuri" (şi nu totdeauna) se : justifică prin următoarele considerente. EJiminînd pe C între ecuaţiile (82), este posibil să o.bţinem nu numai infăşurătoarea, dar şi, afară de ea, ·mulţimea tuturor punctelor singulare ale .. curbelor familiei (78), adică locul geometric al punctelor în care curbele (78) nu au o tangentă determinată [1; 76] ~ Afară de acestea, se întîmplă. cîteodată ca însăşi înfăşurătoarea să facă parte din familia de curbe (78). Nu ne Fig. 12. oprim la o expunere riguroasă a teoriei înfăşul'ătoarelor şi a soluţiiloi· · · singltlare. Asemenea teorie trebuie să fie strîns legată cu teorema existenţei şi unicităţii, despre care am amintit în (5]. Ne vom mărgini a lămuri chestiunea prin cîteva exemple. · Ca încheiere, să observăm că, dacă trecînd de la ec~afia diferenţială la integrala ei ·generală n-am alte1·at prin n1c1 o operaţie echivalenţa ecuaţiilor, atunci nu pot fi soluţii singulare .. În caz contrar·,. evident ·că soluţiile shigulare trebuie căutate printre soluţiile pierdute, aŞ·a .cum am făcut în [7] ~

Prin· urmare;

i.ntegr~la generală

1. Vom

căuta înfăşurătoarea ;

îu caznl de

faţă; ecuaţiile {82)

(x -

+

devin :

y2 = a 2 ;

- 2 (x - C:)

=

q>(C).

·lnfăşurătoarea se obţine prin eliminarea lui C între ecuaţiile ·~ . li

= xc

+ q)(C);

o ;= X+

q/{C).

Aceste ecuaţii coincid cu ecuaţiile (69) din [8], cu schimbarea, neesenţială, a literei !P în litera C, adică obţinem regula precedentă pentru găsirea soluţiei singulare .a ecuaţiei (.îairaut. .. . .. 3. Curba y2 = x:S reprezintă, aşa num1ta parabolă semicubică (fig. 12). Transportînd-o paralel cu axa O Y. _.obţinem familia de parabole semicubiee : (!/

+ C)2 =

x3.

Fiecare din aceste. .curbe are mi punct de intoarcere pe axa OY, pund fn care există tangentă la ·dreapta paralelă cu ax.a .OX. Ecuaţiile (82) au, în -.acest caz, forma :

-X

+ C)2 = ,t:a; 2 (y + C) =O.

(y

Eliminind pe C ob-ţinem x ==O sau OY, care ,nu reprezintă înfăşură toarea familiei, ci locul :geometric· al punctelor singulare al familiei de curbe. 4. Să considerăm fai!.nilia. de.curbc.

Fig. 13.

Pe1l.ti:u C =t= O avem parabole, iar pentru C y

Eenaţia

=

a doua ne

•obt:inem y= .O sau y

'

C (x -

dă

C

= ~ x3.

C)2;

=

=

O, axa OX~ Ecuaţiile (82) sînt :

(x -- C)(x -

x sau C

= 2_ :r. 3

3 C) =~ O.

Substituind in prima .

Prima linie este axa OX,

27

~cuaţie,

~are este conţinută 'in

x3 este tnfăşurătoarea familiei. 27 5. Să considerăm coardele cercului cu centrul în origine şi raza unitate. ;perpendiculare pe axa OX, şi să construim pe fiecare coardă, ca diametru, un cerc. în felul acesta, se obţine o familie de cercuri. Dacă x = C este punctul de inter·;;ecţie a coardei OX, a tun ci pătratul razei cercului corespunz~'ttor fi (1- C2 ) (fig. 13), şi ecuaţia familiei este :

a2,

cu

O.

a doua dă C = x şi~ substituiud-o în prima ecuaţie, obţinem y 3 ansamblul celor două drepte y = ± a pe care l:am obţ·lnut mai sus.

.Ecuaţia adică

C) 2

+ y2· ==

= xc +

y

cp(y') va fr: · ·

rtnsăşi. familia de curbe, iar parabola cubică y = -~

familiei de eereuri (77) :

. (.v _ C)2

= ·X!J" +

2. Integrala generală a ecuaţiei lui Clairaut y

=

ttll.

va

( x - C)2

+ y2

~ 1 -- c~.

39

C~ obţinem ecuaţia

Deriviud tn raport cu

:

- 2 (x-.,. C) =""' -

eliminind pe C tntre ultimele doui\ ,.2

ecuaţii,

---~

-r-

!,1 2

4G; obţine

vo.m

=

ecuav a :

1.,

2

adică o elipsă de semiaxe Y2 şi l. pentru care axele de coordo e sînt axe de -simetrie. Din figură se vede că elipsa nu e ta11geiită la
proape, din punctul de vedere al al doilea tn raport cu y'.

soluţiilor

=

(x, y, y')

y' 2

singulare,

ecuaţiile diferenţiale

+ 2J>(x, y) y' ·+·

=

Q(x, y)

de gradul (84)·

O,

nnde P (x, y) şi Q. (x, y) stnt funcţii uniforme, continue şi cu derivate continue In raport cu y pe Intregul plan, de exemplu, polinoame în x şi y. Rezolvind tn raport cu y', avem : y'

= - P(:t~,

y)

± V'R(~~-y)~

(85)

unde am pus~ R (x, y) = [P (x, y)] 2 - Q (x, y). în aeca porţiune a phţUttlUi in care R (x, y) > O, ecuaţia (85) este echivalentă cu două ecuaţii diferenţiale şi, in conformitate cu teorema existenţei şi a unicităţii, prin fiecare punet al.acestei regiu~i trec două şi numai două curbe integrale. în această regiune a planului nu poate fi nici o soluţie singulară pentru ecuaţia diferenţială (84). în,pQrţiunea diu plan, tn care R (x, y) < O, ecuaţia (85) dă pentru y' valori imaginare şţ nu există eurbe integrale în această porţiune din plan. Să considerăm, în sfîrşit, ecuaţ.ia R(x, y) =O,

(86}

familia de curbe cat·e taie curbele familiei date sub un unghi constant. Dacă acest unghi este drept, atunci traiectoriile ,~-izo,gonale se numesc traiectorii ortogonale. Vom arăta că aflarea traiectoriilor izogonale se reduce la integrarea unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi. Eliminînd pe C între ecuaţiile

·'·( C) --- O ,• 't' x,y,

obţinem ecuaţia diferenţială

"

Ultima cu

u'.

ecuaţie exprimă

a> .

(x

y

') y '-

=

o, adică y' + p (x, y)

că ecuaţia

faptul

{84) arc o

=

rădăcină multiplă,

·

îu raport

1. în cazul ecuaţiei y

=

xy'

+ y'2

x2 . formula (86) aJ·c forma --- + y

sau

y' 2

+ :ry'

- u

O,

= 2

= O, şi

parabola y

4

==

4

formula (86) ne dă y = admite soluţii singulare.

+ 2xy' + y = nu

O, verifică ecuaţia, aşa că

aceasta nu

12. Traiectorii izogonale. Se numesc traiectorii izogonale ale familiei de curbe t.Y

40

(x, y, C) =O

8y

r.

.-·'V =

O t

a familiei date (87) [7]

=

O.

(83)

lncepem prin a determina traiectoriile ortogonale.

După

ţială a familiei de curbe dată, să schimblim pe y' în ( - ~ţ-)

.

Prin urmare, problema aflării t1·aiectoriilor ortogonale se Jf·educe la integrarea ecuaţiei : 1 ) 1x, Y1'- -·-·,

ih ( '-V

\.

funcţia

=

O,

Y1.

căutată.

de x

Să ne întoaxcem acum la problema generală a tl·aiectoriilor izogonale şi fie cp unghiul constant sub care curbele căutate trebuie să taie curbele familiei (87). Însemnînd, ca mai sus, prin y 1 ordonata curbei căutate şi ţinînd seamă de expresia tangentei diferenţei a ·două unghiuri :

.tg ('. (.j)l

tg cp

Clairaut de mai sus. 2. În cazul ecuaţ'iei x 2 • Această parabolă

(jy(x, y, C)

~-este soluţie singular[~

~ ecuaţiei

y' 2

,

definiţia ortogonalităţii, curba căutată are, în punctul ei deintersecţie cu orice curbă din familia (87), faţă de aceaşta din urmă, un coeficient unghiular al tangentei, invers, ca mă1·ime, ~i contrar, ca semn ; p1·in urmare, pentru a avea ecuaţia diferenţială a traiectoriilor ortogonale, trebuie ca, în ecuaţia diferen-

unde .h este

o.

-L

(I)(x, y, y')

<',are poate să determine una sau mai multe curbe în plan. Numai printre aceste c~urbe se pot găsi soluţii singulare ale ecuaţiei (84). Observăm că ecuaţia (86) poate: :fi obţinută prin eliminarea lui y' între ecuaţia (84) şi ecuaţia a

i)y(x, y, C)

----~-

1

·') 'f :.= '.tgq;l-.ctgy-· , 1+ t g '+' t g 4'1

-

unde tg ~ = y' este coeficientul unghiular al tangentei la curbele (87), iar tg ~ 1 = coeficientul unghiul ar al tangentei la enrhele căutate, putem scrie:

y;

y~- y' 1

. (87)

1

+ y'yl

tg

~'

(89).

41

'un
punct al planului (:t:, y) este definit un vector v, viteza mişcării. Dacă acest vector al vitezei depinde numai de poziţia punctului in plan şi nu de timpul t, ~tund mişcarea se numeşte staţionară; vom considera numai o astfel de mişcare. Afară de aceasta:, vom presupune că viteza admite un potenţial, cu alte cuvinte, că proiecţ.iile · ·. · . au(x, y) au(x. lj) . d ·L' ( x, y ) pe axele coor onate sint derivatele pm·ţtale - - - - - şi ___.:._ ...:_:_ aie ax

unei

funcţii

Să găsim

traiectoriile izogonale ale famHiei y= cxm:

ecuaţiile

· Eliminînd pe _C tntre

y

y' = Cm:-ct~t-l, a familiei (92) : 1 y

= Cxm ;

Y =m--·. :t

Subslituind tn (89). in loc de y', valoarea 'diferenţială a familiei căuta te :

=

1 . y y-m-x 1 ----=-,

(HO)

C

1+m~

X

~

v(x,y) se numesc linii de carenl şi dau traiectoriile particulelor în mişcare. Să arătăm ·că aceste linii de curertt sînt traiectoriile ortogonale ale familiei de linii echipotim.ţiale.

..,.

Mărimile ~(x, .

ţiile

-+

lui V{x, y) pe axele de coordonate, dll(X, y)

ax

şi

y)

ax

-7

= lv l · cos

Şi·

tp ş1

i)x

_,

---- y IJy

=

=IVI · sin

au

~i, prin ·genă [3].

rp,

-~-

au(x, .!!2_

(H1)

echipotenţiale

(90) se

Qbţiue

=

+

y. Această

1

X

~--·---

(93)

O, de unde y'

urmare, este o

ecuaţie

omo-

Dad'L m = 1, familia (92) va fi lamilia de raze care trec prin origine, iar .curbele căutate care trebuie. &ă le taie sub •'1.111 unghi constant, vor fi spirale logardtmice [I, 83] sau cercuri. Dacă· m = - 1 şi k = O, problemţ~. ~se reduce la determinarea traiectoriilor fOrtogonale a hiperbolelor echilatere : xy ~" C.

f)x

= -- __;__::_._

i)u(x, y)

i}y

42

.

X

i)u(x, y)

oeare este invers ca mărime şi de semn schimbat coeficientului (91), De aici urmează .că liniile echipotenţiale şi cele de curent se taie ortogonal. · Prin urmare, dacă o famil~e oarecare. de curbe este familie de ·linii echipotenţiale, atunci familia de traiectorii ortogonale lor formează familia liniilor corespunzătoare de curent, şi invers. în cazul cîmpului electrostatic plan, liniile de forţă ale acestui cîmp vor fi b·aiectoriile ortogonale ale• familiei liniilor echipotenţiale.

tn locul lui Yt am scris

k-mL

i)u(x,_}})_

i)u(x, y)

y'

dY

i)x

+

km _!!__

_§_u(x,__!!)_ sînt, prin ipoteză, proiec-

Coeficientul unghiular al tangentei la liniile :prin derivarea ecuaţiei (90) în raport cu x : i)u(x, y)

şi

se reduce la forma :

adică:

.

=

k

!vl . .,. . - lun-

-de unde deducem coeficientul unghiul ar nl tangent ei la linia de c-urent : __E_!_z (x, Y)_ i)y

tg
1 •unde am însemnat prin - -- constanta tg tp
-7

Fie

k

yy'

numesc, tn acest caz, linii echipotenjiale. . Curbele ale căror tangente coincid, ca direcţie, în orice punct cu vectorul

;gimea acestui vector.

precedentă, obţinem ecuaţâoa

(Jy

u ( x, y). Liniile familiei : u (x, y)

~e

E x e m p l u.

Eeuaţ.ia

Fig. H.

(94)

(98) se reduce, în acest caz, la o dy ==

dx

_!__ sau x dx -

ecuaţie

!1 dy

=

cn variabilele separate ::

O.

y

Integrînd, obţinem din nou o familie de hiperbole ech.ilatere insii raportată la :axele de simetrie : xs- y2 = c. După cum se poate verifica u5or, această familie se obţilie diu familia dată >1(94), dacă o rotim cu 45° în jurul originei. în general, pentru k = O, ecuaţia (93) se .a:educe la forma: · d[!

X

dx

my

aceste condiţii, y 0 , y(;, ... , y~t- ' sint numere date. hine determinate. Pentru ecuaţia de ordinul n, ca şi pentru ecuaţia de ordinul :întîi, are loc o teoremă de existenţă şi unicitate care poate fi Jormulată în modul următor: dacă funcţia f(x, y, y', ... , y(n--ll) ·-este o funcţie uniformă de argumentele sale, continuă pentru toate valorile lui x ~·ecine lui x 0 , şi valorile lui y, y', ... , y(n-1 J vecine lui (5) şi dacă are deriva-te parţiale continue de ordinul întîi în raport -cu y, y', ... , y(n--l) , atunci, la condiţiile iniţiale (5)~ le corespunde ·V soluţie determinatii a ecuctţiei (2). Dacă variem în condiţiile iniţiale constantele .ro, y~, ... , 1 y~"-- l, obtinem o multin1e infinită de solutii, sau, mai exact, .oht.ine1n ~familie de s~lutii ca1·e depinde de 1J.,constante arbitraxe .. Ac~ste constante arhitr~re pot intra în soluţie nu numai sub formă de condiţii iniţiale, dar şi sub formă :mai generală : 1

ln

(~ărei integrală

a

general:)_

est.~.

:. my2

+

,;:2

=:c

c,

traiectoriile ortogonale ale familiei (92}, pentrţi .m > O, vor forma o familie' de elipse asemenea, iar pentru m < O, o familie de hiperbole. In fig. 14 sînt repre-zentate traiectoriile ortogonale ale parabole1or 11 = Cx2,

adică

§ 2. EClJAl'll DIFI~UENTIAl. E In; OIU)JN SlJPimiOR ŞI SISTEME. nE EeUAŢII

l~l~ Noţiuni nenernle. Ecuaţia diferenţială ordinară de ordiu\ n a1·e forma :

rezolvată

in raport cu ....v\nJ=

... , Y \n)) ---·O

(1)'

y(·ril,

f(x ' y ' )'' , ...v" '

...

y·.(n·-lJ)

~

.

(2}

Orice funcţie y de variabila independentă x care verifică. ecuaţia {1) sau {2), se numeşte soluţie- a acestei ecuaţii, iar problema, aflării soluţiei ecuaţiei diferenţiale se numeşte problema integrării. ecuaţiei diferenţiale. Ca exemplu, să considerăm mişcarea recti -· linie a unui punct de masă m sub acţiunea forţei F, depinzînd de- timpul t, de poziţia punctului şi de viteza lui. Dacă luă1n ca axă OX dreapta pe care se mişcă punctul, putem sQcoti că forţa.

F este o

funcţie dată

de x, t

şi ~f. După legea lui Newton, produsul

masei prin acceleraţia ei trebuie să fie egal cu forţa care acţio. . nează. Aceasta ne dă ecuaţia diferenţială a mişcării : d2x

lfl -----

d/ 2

= F

( .

t,

X

d:r ·\

~

.--- "·

dl

1

1

Prin integra1·ea acestei ecua-ţii de ordinul al doilea, se dete1·mină legătura între x şi t, adică mişcarea punctului sub influenta fortei date. Pentru a obtine o solutie determinată a problem~i trebuie să ~ai cunoaşte~ condiţiile' iniţiale ale mişcării, anum;, poziţia pun~tului şi viteza lui, într-un moment iniţial, de exemplu pentru t == O : X

( tc~O

= x0 ;

d.r ] -----

dt

t

! f=IJ

(4)

Xo•

Pentru ecuaţia de ordinul n (1) sau (2), condiţiile iniţiale con~istă în a se da funcţia y şi derivatele ei, pînă la ordinul (n - 1) indu.siv, pentru o valoare determinată a lui x, x = x 0 :

Y

1.~,, = Yo

;

y'

,~,~ = Yo ;. · • ;

yln-1) 1

M"

~-.

44

,.

'"0

= y~~----1).

(5)

y = cp (x, C1 , C2 , ••• , Cn)· (6) O astfel de soluţie a ecuaţiei (2), conţinînd n consta.nte arbitrare, :se numeşte integrala generală a. ecuaţiei (2). Ecuaţia integralei :generale poate fi scrisă şi sub forma implicită : (7) Dacă se dau constantelor arbitrare C1 , C2 , ••• , Cu, valori .determinate, se obtine o solutie particulară a ecuat.iei. Derivînd ecuatia (6) sau· (7) de (n -- 1) ori î~ raport cu x

~i

apoi x =::~ x 0 ~

făcînd

l

1

:::--:.: y 0 ,

Y/ (

••• ,

yfn-lll,·

,-c~~ 0

= Yo(n--'-li, ;c.;t 0

-obtinem n ecuatii care determină valorile constantelor arbitrare -că;ora le coresp'unde soluţia care satisface coudiţ.iile iniţiale (5). Dacă membrul al doilea al ecuaţiei (2) este desvoltat în serie
(x- Xo), (y- Yo), (y'- y~), ... , (y(n-1) -- y6n . ·Il), :atunci şi solutia care verifică conditiile initiale (5) poate fi, ,(le asemenea, ;eprezentată sub forma 'seJ:iei , Y = Yo

-

+ _!!_!! (x11

x0 ) ·-+-

Yo

2!

(x - x0 ) 2 +

... ,

(8)

unde coeficientii se1·iei sînt determinati, ca şi în cazul ecuatiei de -ordinul întîi [5], prin ecuaţia diferenţială. Înt1·-adevăr, făc'înd în .ecuaţie x = x 0 şi introducînd condiţiile iniţiale (5), obţinem pe y ~>. Derivînd apoi ecuaţia (2) în raport cu x, făcînd x = x 0 ,

introducînd conditiile initiale (5) şi ~··v::n; = )"nl, determinăm pe. .. ' o etc. Pentru determinarea coeficienţilor se poate proceda şi astfel : se substituie, în ambii membri ai eeuaţiei (2), în loc de _y· seria de . puteri :

)'o (n·+tl

,

y

· y0

"

(a.- --1}

·

+ ---(x -- x + (x- x + ... + (n-·-------11 --1 )! + an (x- Xo)n + a.n+l (X-- Xo) + ... !lo

. Yo ~21

0)

0

1 Jo

)2

(

x

-~-

x 0)

n ~1.

Substituind valorile iniţiale (10) în ecuaţia (9) şi în ecuaţiile (11), calculăm valorile iniţiale ale derivatelor:

~uccesiv

::t' =-= 1 · x' -

'

căutată

1):

x1

=

x;

E x e m p l u. Să con~iderăm mişcarea unui punct de masă m pe o dreaptă, echilibru, proporplus, că mişcarea doi termeni, unul proporţional puterii întti, al doilea.- puterii · a treia, a vitezei. Insemnind prin x: depărtarea punctului de poziţia de echilibru, avem ecuaţia diferenţială :

influenţa unei forţe elastice, tinzînd a-l readuce tn poziţie de ţ.ională cu distanţa punctului la această poziţie. Presupuneli1, în a.re loc într-un mediu tn care rezistenţa se exprimă prin suma a

mx"

= -

k 1 x - k 2 x' - k 3

x'8 ,

şi krj stnt coeficienţi de proporţionalitate Să luăm un exemplu numeric :

unde k 1 , k 2

x" :şi

vom

căuta

acea

a ei care

x!

= X0

verifică condiţiile iniţiale

=1;

t=O

ordonată după

X

1

l

=

=

1,2 - 0,52t

1

Xo = 1,

!t=O

puterile lui t. Derivînd în raport cu t ecuaţia (9),.

o 52 ·

-

J

0,2160; x(~I)

=

=

x(IVl --

o-

'

o· '"''""' ;:; ...~ '.

::r(V>

. o

3,145:3.

+ 0,272i2 + 0,03fll3 + 0,1311t4.

x; şi x; pentru valorile lui t:

----,~-----.,-·-~-----·-·~-ţ2

0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0,49 0,64 0,81 _!~-- 1,00

~__

&

Il

~

+t

0,2 0,3 0.,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

1

)

l

1- o.os~7

- o.6 t2

11

t4

- 0,0240 - 0,0540 - 0,0960 -- 0,1500 - 0,2160 -0,29401 - 0,38401 -. 0,4860 - 0,6000.

\

-

o,ooo1

o

----

0,0007 0,0023 0,0055 0,0108 0,0187 0,0297 0,0444 0,0632 0,0867

o

o

1

l

0,0002 0,0006 0,0014 0,0029 0,0055 0,0093 0,0149 0,0227

u

1

o

X0

+.

,,

X1 =X

1

o

o

0,0000 1 0,0003 i 0,0024 1 0,0102 1 0,0313 i 0,0778 1 0,1681 1 0,3277 1 0,5905 1 1,0000 .

[2

2!

i

0,0000 1 0,0001 1 0,0007 0,0041 0,0156 1 0,0467 0,1176 1 0,2621 0,5314 1,0000 !

0,0000 0,0000 ! 0,0002 ! 0,0016 1 0,0078 ' 0,0280 0,0823 !' 0,2097 0,4783 1 1,0000 1 11

!

o.~o44-~~~~--~ = _A~t~07 -~----=- ! t7

!

o

1.

o

1

!.

-i~-~-.~93;---~---r-11,094:

1,17531 o 1,2439j o 1 11,2991! o 1 0,0001 1,3408! o ' 0,0002 1,3685! o 1 0,0005 1,3826 11 -- 0,0001 0,0012 1,3827 -- 0,0001 0,002311,3691. -- 0,0003 0,0044 1,34221 - 0,0007

1,175 1,244 1,299, 1,341· 1,368 1,382 1,380 1,369 1,342

x; nu se obţ.in prin derivarea

seriei.

o o

0,0001 0,0001 0,0003 0,0006 0,0011 0,0018

o

1

o o

1

~

x (Wl

X0 ..L. 1

1

formula lui Taylor :

-

t X

u

x;

!'

------1

.

Să observăm că seriile pentru x 1 şi

X

t7

-----~------- ,------~-'

ta li o o227 t'lo.ools tr.jl

pentru a~1 , ci aplictnd pentru x~ şi

--~-~·~---·--

f6

l

Calculul lui x 1

l

1

1"

0,001 1 0,0001 , 0,008 0,0016 0,027 1" 0,0081 1 0,064 0,0256 1 0,125 1 0,0625 1 0,216 0,1296 1 0,343 . 0,2401 1 0,512 0,4096 0,729 0,6561 1 1,000 1,0000 1

1

1,2000 1,3000 1,4000 1,5000 1,6000 1,7000 1,8000 1,9000 2,0000

1 1

t8

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

;"tl =

46

-

o -

Dăm tabela în care ·sunt c&knlate valorile lui x1 , de la O ]a 1, cu interval de O,l.

l·-o-,-:1,_1-,1-o-oo--'---o-,oo6o 1 (9)>

X

., '

··

1

pozitivi.

x - O,lx'- 0,1xra,

-

soluţ.ie

sub forma unei serii obţinem:

=

o -

1 + t - 0,6!2 - 0,0867t3 + 0,0227i4 + 0,0018l5 + 0,004,!16 1 ·- 1,2t- 0,26t2 + 0,907t8 + 0,0090t' + 0,0262ts, '

x; = -

rH-1

sub

'

Utilizind formula lui Taylor, ohţ.in em valoarea apropiată xp pentru solut.iar

+·.

cu coeficienţii nedeterminaţi a11 , a.n+b • • • Ordonînd membrul al doilea după puterile lui (x --- x 0), putem determina succesiv coeficienţii amintiţi mai sus, egalînd termenii cu aceleaşi puteri; ale lui (x- x 0 ) în ambii membri ai identităţii [5]. · Dacă membrul al doilea al ecuaţiei (2) este o funcţie multi-· formă de argumentele ei, atunci, la condiţiile iniţiale date (5} pot corespunde nu una, ci mai multe soluţii pentru ecuaţia [7] ~ Orice soluţie care nu se include în familia integralei generale~. adică, care nu po~te fi obţinută p:rin ·formula (6), dînd valori particulare constantelor C8 , se numeşte soluţie singula.ră a ecuaţiei~

111

1 · x'l --- - 1 2 ·

o-

+ -0 31

X(IV)

o

X~

t3

+ -41

X(V)

o

+ -t + - - t2 + - 1 21 3!

xt~Il

[4

+ - - [5. 51

X (Yl)

' o

(il..i.. - - f4; 1

4!

4.7'

Calculul fui :r1

Introducem în x 1 termenul suplimentar 1Xl 7 , aşa incit diferenţa (- :r1 , ti - 0,1x1 - 0,1x 1 ) - x 1 , egală, conform tabelei, cu - 0,032 pentru l = 1, să fie cit mai aproapeposibil de zero pentru: t = 1, adică diferenţa amintită să capete -a corectare apropiată de 0,032. Pentru t = 1, corecţia pentru.x1 va fiiX; corecţ.ia pentru x~ va fi 71Xls, unde t = 1, adică 7'X. Dezvoltînd pe (x~ 71X)3 şi reţintnd

-:,-

~-T~ ~-~-=:-F~:}.•""• +··";,,!---~~~ ~i~~~T -1 ••

~3

+

. ----···---·---·----..----,-----~---~---~ ·---~---------T----·----··--·-~------· 0,0 1,0000 i o o o 1 o 1 1,00001 o i 1,000 0,1 0,8800 1 - 0,0026 0,0001 o o 1 0,87751 o i 0,878 li

numai termenul in

IX,

obţinem pentru x'3 corecţia 3

!1

0,2 0,3 '0,4 l 0,5 i 0,6 0,7 i 0,8 i 0,9

0,7600 1 0,6400 0,5200 0,4000 0,2800 0,1600 0,0400 1 -- 0,0800'

i

-

-----

-

0,0104/ 0,0234 0,0416 0,0650 0,0936 0,1274 o, 16641 0,2106

0,00071 0,0024 0,0058 0,0113 0,0196 0,0311 0,0464 0,0661

1!:~--=--~·20~~1-- 0,260_91~~0907 1

o

o

0,00011 0,0002 0,0006 0,0012 0,0022 0,0038 0,0059 0,0090

o o o

0,7503i 0,61921

1

i 1 1

0,750 0,619 0,485 0,348 0,209 0,070 ·- 0,0691 --- 0,206

0,0001 1 0,0003' 0,48471 0,0008 0,3477 - 0,0001 0,0020 0,2092 - 0,00021 O,OOH 0,0703 1 - 0,0006 0,0086 - 0,0677 11 - 0,00131 0,01551 ·-- 0,2031 - 0,00251 0,026:1 -- 0,33~~-~=:!... 2?_~~=-~~~~-

Calculul lai x 1

~l~:

Oio2t

1

0,272

~

10,0361:-~~.13111'~----:,1

j---~--~----~-··-·

~·

o,o

1

1 -

0,1 0,2 0,3

o

- 1,2520' 0,0027 - 1,30·10! 0,0109 - 1,35601 0,0245 - 1,4080 0,0435 -- 1,460.0 0,0680 - 1,51201 0,0979 - 1,56401 o,t333 - 1,6160! 0,1'741 -- 1,6680 1 0,2203 - 1,72001 0,2720

0,5 0,6

o,7

o,s 0,9 1,0

-~--------~---:

o

1

1

0,4 1.

1,2oo.o!

o

,.

o

o

l

0,0003 0,0010

0,0002 0,0011

i

1

~

1,2oool o 1 - 1,24931 o l1 - 1,29261 o 1 ·- 1,32941 -- 0,0001 ---

O,OO~H

0,0023

0,0045 o,o12a

o,o3tr~

1

o,0184

o,o5::n

0,0262 0,0360

0,08\:iO 0,1311

1

1,200 1,249

1,293

--- l,37H3 1 -- 0,0009 -- 1,:18931 ·--- 0,00231 - 1,38691 - o.oo-19 --- 1,3698\1 -- o:oo96! ·--- 1,3355 --- 0,0174-~ --- l,~-~91 --- 0,02~4

- oc- 0,7

IX~

0,2 IX- 42

sfîrşit,

=

X:;

1

expresia

+t

-

aproximativă

0,6 t 2

-

0,0867

------------

'

1

i

x1

0,1 .t

1

0,1

x'~

;,:·'

·1 1'

1

:r;" ---

---~-----··---------·---------------·~-----·-·---·----·~-·-·--------~-------

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

1,000 1,0941,17[·)·

1,244 1,290

1,341 1,368 1,383 1,383 1 ,36!) 1,342

0,100

0,100

0,088

0,0681'

--- J ,250

0,075 0,062 0,048 0,035 0,021 0,007 0,007 0,020

0,042

-- 1,292 - 1,330 1,358 - 1,380 1,390 - 1,390

0.03:~

1

0,024

0,011 0,004 . 0,001 0,000 0,000 0,001 0,00"1

1

: 1

1 1

--

1,3~6

- 1,3u0 - 1,313

-------·--·---------------·----·---~--

48

1,200

-

x1, x~, x:.

Vom obţine,

-

0,0007

{i'

= 1 (x,

(12)

!/, y').

Fie s lungimea ar<~ului curbei integrale şi fie oc unghi'ul format de direcţia a tangentei eu direcţia pozitiv:"t a axei ax. Avem [1, 701:

l)OZitivă

du

=

__:c_

dx dx

to·

OC •

o

'

= COS IX,

ds :şi,

deri\'înd in raport cu x,

obţinem:

doc

~·

i

t -- 0,000 ' 1,249 1 -- 0,001 1,293 ., - 0,001 1,329 -- 0,001 1,359 - 0,001 1,379 1 - 0,001 1,389 + 0,001 1 1,387 1 - 0,003 ' 1,3?~ 0,0061 1,336 1 - 0,014 1,281 ! - 0,032 1

ins:"t

da:

ds

este, după cum se ştie [1, 711, curbura cm·hei da 1 === __ ,

dos

1

1

0,000i.

1

i - 1,200 ··---

-

dă

,r.;

!

i

1

IX =

o bună aproximaţie pentru t nu prea departe de origine. 14. i\Ietode graiiee pentru integrarea ecuapei diferentiale de ordinul al doilea. ()ricărei soluţii a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n îi corespunde o curbă, pe oeare, analog cazului ecuaţiei de ordinul întîi, o vom numi curbă integrală a acestei -ecuaţii. Ecuaţiei diferenţiale de ordinul intii a corespuns cîmpul de direcţii [51. Să lămurim acum sensul geometric al ccuaţiei de ordinul al doilea

care

1,31~--

----·------~~-~--------;··---------~-----~--.,..----

0,032;

+ 0,0227 t4 + 0,0018 f> + O,OOH i 6

(3

Dacă introducem în membrul al doilea al ecuaţiei (9) valorile eakulate ale lui x1 şi x~, atunci'nu obţinem x~, ci o alUt mărim-e x", deoareee x1 nu este decît {)valoare apropiată a soluţiei ecua~iei (9). Jn tabela eare urmeuză este determinată

diferenţa xn - ;;.

ii;locuind,

:

y"

1,392 1,3791 1,353

IX=

Această corecţie este introdusă în calculul lui fn

-- 1,380 --

unde,

x;

1,329

- 1,392

x'; . 'i
'2

conform tabelei, pentru x1 m:1rimea :t• 1 prin (- 0,33) 2, obţinem, tn sfîrşit, pentnl x'3 corecţ.ia 21X; in sfîrşit, corecţia pentru va fi 7 • tkt t 5 , adică, pentru It = 1, va fi 42-oc. Aşadar, coeficientul IX trebuie determinat din ecuaţia :

-- 1.3.5881 - 0.00031 -- 1,359

0,0082 0,0170

0,00'78

1 1

~~~~.:= r-,~:.----~

,

+

~i

egalitatea

precedentă

ne

+

dă

R

: 1 R

COS'1
d 2 y. dx 2

.........----~~------~·---~-·~-----

4. Curs de nm.temMid

~nw~rioare

49

Considerăm pc R pozitiv dadt

O(

neşte împreună cu s şi riegativ,· daci'i

iX:

rlescreşte

drid · s creşte. · Presupunem, de exemplu~ ctt axa OX este ditijat.t\ la 'dreapta. şi axa OY dirijată în sus (fig. 15). în aceste condiţii, dad't R > O, cînd s creşte, curba se· răsuceşte de la dreapta la stînga (invers acelor unui ceasornic), iar dacii R < o, 4e la stînga la dreapta. Conform formulei ·(H), eeuntia (12) st~ poate scrie : ·

_!:_ =

{(:c, !J, tg O() eos 3 rr..

(ti)),

R De aici se vede că. ecuufia di/etenfiali'i de ordinul al doilea dt'i mărimea de curburii d((cil sint dale: pozitia punctului şi directia tangenlei in punctul dot.

Nt:'!i:.

de semnul lui U 1 , ~i din C1 ca centru descrien:1 llll are mic M 1 lltl 2 de rmdî. R .•. Pentru punctul M2 ~ Cf!. şi.pentru M 1, obţinem din ecuaţia (15) valoarea: R = R 2 , figurăm ~egmentul J\1I2G; egal cu R 2 et<~. Pentru această construeţ.ie se întrebuinţează o riglă, la uuul din capetele căreia se găseşte o gaură pentru creion. De la această gaură porneşte de-a lungul •·iglei o dreaptă cu diviz.iuni, pe care se măsoară mărimea R. Folosim şi un trepied mi,c, la {:are o deschidere se fixeaz:'\ în punctul de pe dreapt:l corespunzător mărimii R, iar celelalte două., pc hirtie. Deplastnd trepiedul în punctele M 1 , 1\l,l etc. de-a lungul dreptei divizate, (~orespunzător cu variaţia mărimii R; directia tangentei tn ·aceste puncte nu se schimln\; obţinem, astfelj curba cerută. .. Să indicăm aenm un alt procedeu de integrare grafică a ecuaţ.iei (12), eare dii o reprezentare apropiată a curbei integrale sub forma unei Unii frînte. Acest pro· ·ce'deu este o generalizare a- procedeului indkat în fig. 9. Afar:1 de ]1, s<"t mni intro · dilcem o funcţie necunoseută z = y'. ln locul ecuatiei unice de ordinul al doilea, vom avea atunci un sistem dl~ y două ecuatii de ordinul intii (:U dou:'l funcţii 11e~unoscute y şi z :

t

dy dx =-"' z;

dz

---- ~ dX

---

(l:, !h z).

Metoda pe care o expunem o la cazul general a două ecu;;~ţii oarecure, de ordinul întîi :

X

aplicăm

o

dy

Fjg. lfi.

Fig. JG.

Din această împrejurare rezulti't un procedeu de aproximare a eurbei iute-· grale a unei. _ecuaţii _diferenţiale de ordinul al doilea, cu a:jutorul unei curbe cn tangenta va:mul conlLI}uu şi com;ousc"i din arce ·de cerc. Acest procedeu este analog procedeuhu d<~ aproxuuare a curbelor integrale ale ecuaţ.iei de ordinul inUL eu. ajutorul unei linii frînte [5]. · Presupunem că condiţiile iniţiale pentru curba integrală c:\utatrt sint : Y 1 ro "'~

y'j ro=

x0

x0

Yo;

Y~.

Marcăm punctul (a:0 , ,110 ) )i ducem prin acest punct d.ireeţia 1H0 T 0 eu etJel'icientul unghiular y' = tg t:1. = (fig. 16). ___ Eeuaţia (15) ne dă 1n.ărimea. corespunzătoare R =-= R 0 • Figunhn scgmenlu1 M 0 Co egal cu RM perpendicular pe direcţia JV/0 T 0 , şi din punctul G0 ca eentru descriem arcul mic M 0 M 1 de circumferinţă de rază B.0 • Obs:rvăm, cu aceas~ă oca:t.ic, că direcţia segmentului Af0 C0 , în virtutea (~elor· spuse mm sus, se determmă prin semnul lui R 0 • Dacă, de exemplu, R 0 < O, misc:area pe arcul de circumferinţă de la M 0 la M 1 are loc în sensul misd)rii acelor ele· ceaso.rnic (fig. 16). F~e. (xp y1 ) eoordonatele punctului .iv/1 şi tg ;.1 , eoeficientul unghmlar nl tangente1 M 1 1'1 la cercul eonsiderat în punctul 1H1 • Ecuaţia (15) ne dă mări~nea corespunzătoa!·e. I~ = H. 1 . Figun1m ~egmentul )H1 C1 de mih'ime R 1 şi perpcndJctllar pe ~~11 T1 , nrhea sttunt pc dreapta J11 C,1, sensul s~1u fiind determinat

y(;

50

f

(Hi)

-- = g (x~

dx

y, z);

dz

- =

dx

X

P

f(x, 11> z).

Fig. 17.

(17)

Vom considera pe a; ca abscisă, iar pe y şi z ca ordonate în unul şi aceia~i sistem de axe de coordonate, aşa c:l fh~cărei soluţii a, sistemului (17) 'ii va {~.ores-· punde două curbe integrale. · Figurăm pe axa absciselor segmentul OP, egal cu unitatea şi dirijat înspre x negativi (fig. 17). Pe axa. O Y figurăm valorile fum~ţj.ilor f(x, y, z) şi g (x, ?J, z). Scara pentru aceste mL\'rih1i poate fi şi diferită 'de scara: pentru :r, y ~i .z, iar lungimea segmentului OP serveşte ca unitate a scării pentru f(x, y, ·.z) · şi g(x, z). Presuptmeiil că se cere solutia sistemulni (17) (~are satisface la conditiile ,iniţiale : ' · · · ·

y,

y j a:

X=

&o """'

!lo;

x0 ;

51

şi punctele M 0 şi N 0 de coordonate (.x0 , y 0 ) şi (x0 , z0 ). Fixăm pe axa O Y segmentele O.i10 şi AB0, egale cu g(x0 , y0 , z0 ) şi f(x0 , !fo· z0 ). Direcţiile PA 0 şi P B 0 vor avea drept coeficienţi unghiulari g(~ lfo• z0 ) şi f(x 0 , !lo• z0 ); ele pot deci să ne dea direcţiile curbelor integrale în punctele iniţiale M 0 şi N 0 • Dln acestrpuncte ducem segmentele ..M0 M1 şi N 0 Np paraleie cu P .A 0 şi P B 0 , ptnă la tntretăierea cu dreapta x = x 1 • Fie {x1 , y1 ) coordonatele punctului M~, iar (:t:1, i~i,. '~ele ale lui N 1• Figurînd pe axa ()rdonatelor segmentele OA1 şi OB1 , de mărime g(x1 , y1 , z1 ) respectiv f (x 11 !h·· z1 ). Din.pu~lCtelc M 1 şi N 1 ducem segmentele ..M1 ..M2 şi N 1 N 2 , .paralele cu P ./i; şi P B1 , piuă la întretăierea 101' cu re = x2 etc. în modul acesta se obţin două linii frînte J110 1\11 ~U 2 ••• şi N 0 N 1 N 2 ••• , care ne dau reprezentări aproximative pentru curbele integrale căutate. în cazul sistemului (1G), g (;x:, y, z) coincide cu ordonata z a liniei N 0 N 1 N 2 ••• , şi construcţia &e simplifică. Această linie dă, în acest caz, o aproximare a primei derivate y'. Construcţia se simplifică simţitor dacă ecuaţia diferenţială.

are forma: y"

= It (x) + /2 (y)

năm ~ai

Yinl(x) · f(x). Introducem în locul lui y o nouă formula· ·

des. tn studiul unui sistem material cu un singur grad de libertate. Ecuaţia precedentă este echivalentă cu sistemul : oscilaţiilor

- = f1

dx

(x)

+ 1-J. (y) + /3 (z).

Avînd graficul funcţiilor / 1 , f:: şi { 3 cu o scară identică a ordonatelor, putem determina pe f(x, y, z) prin simplă adunare a ordonatclor acestor trei curbe, pe11tru valori ale absciselor x, y şi z adecvat alese. Metoda expusă se aplică şi la sisteme de n ecuaţii de ordinul intii, cu n funcţii necunoscute. Să remarcăm că, uneod, este mai comod a fixa segmentul. însemnat de noi prin OP, şi valorile funcţiilor g (x, y, z) şi f (x, y, .::), nu plecind· de la originea coordonatelor, ci de la un alt punct 0 1 al axei O Y. Aceasta se face· pentru a evita intersecţia segmentelor P A 0 , PB0 , ••• , care dau direcţ.ia liniilor ft·înte cu aceste linii. In fig. 18 este indicată construcţia soluţiei ecuaţiei (9), care satisface condiţiile iniţiale

15.

saa, în vhtutea

identităţii

funcţie necunoscută

+ z~

(19) z, prin (20)

obţinem

l)entru z

ecuaţia

+ z(nl = J(x)

(19),

z"n) =

O.

Dacă derivata a n-a a functiei z trebuie să fie nulă, atunci funcţia z este un polinom de gr~dul (n ...:_ 1) cu coeficienţi con.stanţi arbitrari

z = C1 şi

fo1·mura (20) ne

dă

+

C2 x

+ ... +

integrala

Cnx

gene1·ală

a

n--1

,

ecuaţiei

(18)

n-1 Y = Y1 (x) + Cl + C2x + · · · + C"'nx , adică integrala generală a ecuaţiei ( 18) este suma unei soluţii particulare a acestei ecuaţii şi a unui polinom de gradul ( n - 1) cu. coeficienţi arbitrari.

ecuaţiei iniţiale

pînă

rămîne,

pl"in u1·ma1·e, să găsim o soluţie particula1·ă a căuta acea soluţie ca1·e satisface condiţiile

(18). Vom nule :

y

1 X=

Xu

y'

1 X=

:;'o

o; o;

(21)

Integrînd ecuaţia (18) termen cu termen de la valoarea la valoarea variabilă x, avem:

x~

(10).

Ecuaţia

yCnl

= f (x). ycnl

Ecuaţia

(x) = f(x)

y('n -

1)

-y~n-1) = ~~ (x) dx, Xo

(18) un·de

52

(18),

yP~l

Ne dz

Fig. 18.

1

ecuaţia

Suhstituind în

1

:

= Yl (x)

y

+ fa (y'),

întîmplă

ceea ce se

(reneralizarea imediată a ·ecuaţiei y' = f (x). · Să determiîntîi formula integralei generale a ecuaţiei (18). Fie )'! (x) o soluţie oareca1·e a acestei ecuaţii, adică ~ste

y

1·, 0 - · (n

}

}

•

e-ste va oarea u1 y

(n-1)

pentru x = x 0 •

5.3

condiţiile (2l)t

Pe baza ultimei din vont avea: J

(It

--

=

l)

y~'-

11

=0, -~1 deci

~ f (X) d X •

Integrînd din nou de la x 0 la x,.

obţinem

pe

yl'11

--·

i!l

etc.

După

n integrări vom obtine functia căutată. Această integrare 1·epe~

tată se scrie de obic~i, astfel ;

;1'

~

dx

~ f(x)

dx.

(22)

Aceste n integrări repetate pot fi înlocuite printr-una sin, gu1·ă, după cum vom arăta imediat. Să scriem pentru funcţia y (x) formula lui Taylor~ cu 1·estul sub formă de integt·ală [I~ 126] :

y(x) =Yo

+

(x

--xo)~+ (x1! ·

-; (x-

(n·-·1\ ·

xo)2

2Y,~+ ;TJ

x0 )n---\~t~--1)!+ (n-~-l)! ~ (x- t)"-- 1y('')(t) dt,

în ca1·e y 0, y~, .Y~, ... , yg'-- 11 sînt valodle lui y şi ale derivatelor .sale pentru x = x 0 , ia1· lite1·a t este variabila de integrare.·. Pe baza condiţiilor-iniţiale (21),

Yo = Yn

==

Yo --:--- ... = Yci"--t:·= O,

iar, în virtutea ecua-ţiei diferenţiale (18), y(u 1(t) = f(t), fonnula lui Taylm·, indicată mai sus, ne dă

y(x)

=

1 -- ( (n--1)!

-

J (x---,--

t)'''- 1f(t) dt.

aşa că

:grarea se efectuează în raport cu t, iar x este considerat ca o constantă. Formula (23) este valabilă, evident, şi pentru n ::=:: 1, dacă convenim că O ! = 1. 16. 1neovoierea grinzii. Să considerăm o grindă prismatică, t~lastlcă, care ·:se încovoaie sub acţiunea forţelor exterioare, atît a celor distribuite continuu (greutate .. sarcină)~ cit şi a celor concentrate. Dirijăm axa OX dup{t axa neutră a grinzii în starea ei nedeformaUt şi axa O Y vertical:\ în jos (fig. lH). Convenim să considerăm pozitive forţ.ele care acţio · nettză. asupra grim:ii, daeă ele sint dirijate in jos. Separăm secţiunea N a grinzii, t~are are abscba :r. w însemnăm cu y deplasarea punctului '(} <~Xei neutre si cu R raza de curbură a axei deformate. După cum se arată in teoria rezistenţei materialelor, în anumite ipoteze relative la caracterul deformării şi la aşe zarea grinzii în raport eu axele OX şi O Y, pentru ca să obţinem ecuaţia de echilibru, trebuie să înlăturăm sau portiunea de grind:"t situată la stînga lui N, sau porţiunea ci din .dreapta lui N, şi să calcul{un momentul fncovoietor M (x), care este suma momentelor în raport cu linia neutră a sectiunii N, a tuturor forţ.elor exterioare care aeţioneaz[t F.ig, 19. .asupra porţiunii înlăturate ; aceste momente se socotesc pozitive ctnd este 'inl{tturată porţiunea din stînga, dadt ele o rotesc în sens in vers acelor de ecasornie, şi nega:tive cînd este înlăturată porţiunea din dreapta, dac;1 o .rotesc în şensul acelor de ceasornic. Ecuaţia diferentială a axei îneovoiate va fi atund:

(:!·!)

în care b' este coeficientul de clasticitate, iar 1 este nwmcntnl de inerţie al secţiunii transversale considerate în raport eu linia neutră situată în ea. Soeotind că deformările sînt in general mici şi că axa grinzii,.după deformare, ·difer:"t pu ţ.in de axa (~.X~ putem neglijn pătratul mărimii u' în exvresin lui R [1, 71) ': R

(23)

formula· (23) =dă ·o soluţie a ecuaţiei (18) pent,:u condinule (21) sau, ceea· te este acelaşi -lucru, dă expresia integralei repetate (22), sub forma unei integrale simple. Adăugînd la soluţia (23) polinomul de grad (n - 1) cu coeficienţi arbitrari, obţinem integrala gene1·ală a ecuaţiei (18). Observăm că în membrul al doilea al formulei (23) x int1·ă atît la

54

=-~

(J

+ y'

2 ) 3 Î2

1

---- !!" - · ....., y" ,-··

.. ,,.,:

-carr, substituită în ecuatia (24), 11p d::-t:

Aşadar, ţiile iniţiale

limita superioară a int~gr..alţi, cît şi su}) şemnul integralei. l:nţ~-7

.

y"

1ll (x)

' (25)

E'l Să şi

admitem acum că forţele concentrate se găsesc nunwi la cxtremit.iiţile sint egale, respectiv, cu P 0 şi Pz (în cazul fig. 19, P 0 este o mărime nega· tivă); afară d~ .~te~asta, la cxtrell),ită_ţi, se_găşesc,cuplurile ..
·grinzii

Să calcuh\m suma momentelor forţelor exterioare care acţionează asupra porţiunii NL (fig. 19). Luît1d un element d~ de abscisă 1; avem ca sareini't pe aecsl clement mărimea f ( ~) d ţ, iar ca moment în raport cu .1\T :

Amintind formulele eare exprimtt integrala repetată sub forma unei integrale simple [15], putem scrie, pc baza lui (27), X

.M(x) =

iar pentru momentul total a întregii sarcini a acestei porţiuni:.

j (; -

x)

f ('EJ

---" =

S(x)

dx

x) P 1 , şi cuplul de moment

+ xP0 + J/0 ,

(30)

~

=

+

(Bl).

/(~) d~

P,"

o ({! 1\1 ( x)

- - - - ' - - = /(x).

l

M(x) =

J(~ -

x)

/{~) d~ + ( l -

x) P1

(26)

Evaluind suma momentelor tuturor forţelor exterioare care acţionează

~supra porţiunii ON şi ţinînd seamă: de regula semnelor stabilită, se obţ.ine : X

1li(x)

= ·~ (x-

~) f{f.) d~ + xP0 + My.

(27)

o Se verifică uşor că aceste două~ expresii sînt egale. Înh:-adevăr, egalitatea re

L

f(:C")

dţ + ( l - x)

Pz

+ 1l1z =

•

~

(x- ;)

/(~)

df.

+ xP0 + M 0

o următoarea

:

l

f ~ /(;) d; + P

l

0

-t-

P1

o

1-1 )'

!; [(!;) d!;

+ IPz-

M0

-t-

(32)

dx 2

+ 1\fz.

x

dx

X

JY11, obţinem

conduce la

~ f(:c) o

d1kl(;-c)

Adăugindu-i momentul forţei Pz, egal cu (/ -

De

d:c

d~.

:ll

x)

~ o

l

J(~ -

X

M1

l~

~h\rimea S(;{;), egală cu suma tuturor forţ.elor exterioare care aeţ.ioneaztt la stînga punctului N, se numeşte efortul de tăiere in punctul N. Ecuaţia (31) uNdă· că efortul de tăiere este egal cu derivata momenlului de încovoiere. -p Ecuaţia (32) are aceeaşi formă ca şi (25 ), dacă în aceasta din urmă înlocuim funcţia ne()~--X cunoscută y prin M(x), iar în partea dreaptă, lll(x) l Je - - - }Jrin /( x). AceasU't observa tie este EI . · foarte importantă pentru diferitele construcţii de statică grafic:l. L 1;: x e m p 1 e. 1. Grinda e stc încastrată la extremitatea O şi este supus:\, la capătul L, y unei forţe Ycrtic~\le concenirate p' (fig;' 20) ; greutatea grinzii se poate neglija. În acest caz, Fig. 20. f(x)

O,

şi ecuaţia ele

=

O; Pt = P; .Z~1!

=

O; M(:v) = (l -

.t:) Pt,

echilibru va fi :

1)

v"

însă a~eastă egalitate este o urmare imediată a egalit.ăţilor : l

~ f(f") d~ + P + Pl =O, 0

(28}

o

ţ /(f.(d~ + lPz + Mt -

(2!)}

o dintre care, prima exprimă nulitatea sumei tuturor forţelor exterioare, iar a doua,.. nu}itaţea stunei momenteJor.1n raport cu O a tuturor forţelor exterioare care acţio· lrlează asupra grinzii, :ulidi_: condiţiile de echilibru.

(l -

x).

ţiilc iniţiale

Y!x=O Nl0 = O,

1'

EI

La extremitatea incastrată x = O tncovoierea trebuie sil fie nulă, iar tan •. genta Ja fibra medie încovoiată ti·ebuie să coincidi't cu axa OX; adică avem COlHli-·-

l

\

= -

=

O şi

Y'lx=O

=

O,

de unde deducem [tii] : X

J

x3)

p ( l - ţ) dţ = ~ p ( l:r.2-- . y = · (x- ~)EI 2EI 3

o

56 5T

lneovoit't'ea

cxtremiti'rţii

/. a grinzii este

dată de

fo.rmula:

Ecuatia

difc1·tmţ.ia.lă

a

îm~ovo.ierii

(26) va fi :

PJ3 3B1

(3il)

Hcaf:ţ.iuuile

-de .-~i

vor actiona numai la extremitatea O. Tinind seamă că în cazul garcina continuă lipseşte şi că Ml = O, din egalităţile (28) şi (29)_vom avea: R 0 = P = - P (forţa reacţiunii); Mu = lPl (cuplu de reacţmne). · 2. Să determine curba de încovoiere a unei plăci rezemată în capetele A B (fig. 21) şi supusă presiunii apei, al cărui nivel este in dreptul reazemului de sus (dio). Fortele care acţionează aici asupra plăcii se reduc la : 1) ~resiun'ea apei distribuită continuu şi 2) reactiunile în A reazeme. Fie b lăţimea plăcii şi p greutatea specifică a ~pei. Considerînd o fîşie mică a plăcii de lungime dx, la adinc1mea x sub nivelul apei, vom obţine, pentru presiunea apei la suprafaţă, greutatea unei coloane de apă a cărei baz.ă;;cşte egală· cu baza fîşiei şi a cărei îniHţhne este egală cu ·adîn_____,_,r..JJB cimea, adid't l'a~ă

s:

p . b • dx . x = k:r d:r,

Fig. 21. Aşadar,

$Î

::iar condiţiile evidente sint :

(k =

şi

C 2 se determin:\ din

condiţiile

(34) :

·de Ulldc, în definitiv.

Problema dată se reduce, prin urmare, lrt studiul îucovoierii unei grinzi mplu rezemate, sub acţiunea sarcinii distribuite continuu f(x) = b.:. Să calculăm mai întîi reacţiunile în reazeme P 0 şi P 1• Sarcina total{l va fi : l

=

Constantele G1

pb)

în aecst caz,

p

Integrala gcneralft va fi :

Pentru a găsi punctul de cea mai mnre încovoiere şi săgeata încovoierii, pmwm x = lt şi transcriem expresia precedenfi:i a lui y, suh forma :

k[2

~ k~ d~ o

Sarcina

elementară k~ d~

d:'t, confonn regulH pîrghiilor, rcaepunile in O

şi

/, :

În interiorul intervalului (0,1) derivata polinomului
+

r-------

'o=

.de unde se vede dt

V1-2l/fs ~ 0,~·)19 ... ,

l }J

- -o-

~ ~~ţ (~.-=-~

k[2 (/.; =

'):

1), Pt

---

=

--

P -

3

l.

P0

=

-

3

o După

l

Nl(x)

~." \ (~

-

x)

kE,d·~

(l- x) Pt

1'.

-cm·e corespunde maximului pentru. y. . .. . .. Astfel, cea mai mare încovoiere m1 va fi la mijloe, ei mai aproape de ext.r·cmitntea L. Săgeata încovoicrii va fi :

"= 1/1

formula (26) awm : 1

:_

= k~ (ţ--,-

:t:)

~dţ

--

~ ·-·d

P(l-

.~)

;
kl" . ij • :l kl5 - - - (3 i 0 --101 0 -:-7!)::::::: 0 360 R l ' 360 EI

2,.:A~ =

p[3

' ,, .,

--~ · 2,.:>4~.

180 RI

17. Reducerea ordinului ecuatiei diferentiale. Indicăm cîteva ·cazuri particulare; în care ordinul' ecuaţiei p~ate fi redus. 1. Să p1·esupunem că ecuaţia nu conţine funcţia .Y şi deriva~tele y'', y"' . ; . ' y(k·-ll, aşa că ecuaţia . are' :forma

""· (x ,. ytk' '

'V

58

' .., . '

y)•·H) .

.,

•. • • '

y(n))

·~ · -·

0•

59

i

[1.1.1

lj'

1'

1

il

1

nouă funcţ.ie

Introducind o cu k unităţi :

ţ.iei

generală

integrala

z = 'P (x, atunci y se

determină y(k)

·conside1·ată în [15]. 2. Dacă ecuaţia -dacă are forma :

m

luăm funcţie p =

pe y ca

ecuaţia

= cp (x,

e(t-7:),

••• ,

y = e

:

e1 , e2 ,

(v y' ' .,,

)t'' '

• • • .,

,din

J,-(nl) -_

introducem o

nouă

y'.

Socotind că p este funcţie de y şi prin intermediul lui depinde ,(le x, şi aplicînd regula derivării funcţiilor compuse, obţinem; pentru derivatele lui y în raport cu x :

următoarele

"

=

dp

-= dx

y ' =elru.d:~ u;

'' sud.c (u , y=e

1

2); •.• u

«ivide ambii membri ai ecuaţiei. Constanta aditivă, care figuîn exponentul lui e, va fi un factor arbitrar pentru y.

:rează

E x e m p 1 e, 1.

dy

· dy , dy

2

d p 2 T1 (cip = . --p - )

1

2 y'dx

2

dy 2

dy

Ecuaţia

Dacă această ecuaţie

a1·e ca

p = q> (y,

de forma

1 (y)

(35)

cazului 2. Ea poate fi integrată imediat. Inmulţim ambii membri cu 2 dy:

2y'u"dx

In membrul întîi figrircar.::i

integrală generală

e1 , C2,

=

p,

fi

·(n- 1). ••• ,

ecuaţiei

t (y) dy.

diferenţiala lui y'2 şi, integrînd, avem :

/(u)

dy

+-

C1 = ft
+ C1,

(36)

'ilo

separîn d variabilele

şi

inlegrînd,

obţinem

:

date se 1·educe

Dacă

de unde x

2

=

V

,,, f Y~ = J 2

:

en-1),

atunci determinarea integralei generale a la cvadratura :

+efi.

Una din constantele arbitrare Cn figurează sub fo1·mă de termen" adiţional la x şi aceasta este echivalent cu faptul că fiecare curbă 1 .integrală- poate fi depJasată paralel cu axa OX. 60

1

~e va pune în evidenţă, ca factor, o puter.e oarecare a funcţiei .exponenţiale (din cauza omogeneităţii), factor cu care se pot

:aparţine

dy

~le unde rezultă că, cu noile variabile, ordinul ecuaţiei va

__

rezultă .

dp

~p,

d (dpp ) = d- (' --p dp ) p y "' = -

dx

1). Aceasta

formule evidente :

u" =

y

'

:şi din faptul că, după suhstituirea în membrul intii al ecuaţie!.,

0'

variabilă independentă şi

fud.~

o0bţinem pentt·u u o ecua-ţie de ordinul (n -

e11-1.),

••• ,

O

=

~ste o funcţie unif01·mă [1, 154] de argumentele y, y', ... , y\n\_ .atunci, introducînd în loc de y o nouă funcţie u( x) definită prin Jormula

:

nu conţine variabila independentă x, adicăt

':1:'

.atunci

prin

ecuaţii

a acestei

e1 , e2,

(J>( X, Y' y'' • • •' y(nl)

= 0.

m. (x ,., ""' _, ... , ""-(n-1.:1) w . , ...,, Dacă găsim

3. Dacă 1n·imul membru al ecuaţiei

z = yU"l, 1·educem ordinul ecua-

condiţiile iniţiale

sint

y'!x=x..,

=

atunci, punînd în (36) şi (37) x = x 0 , y = y 0 şi y'

Y~ • =

y~, avem

61

şi soluţja r:1u1ată

vn fi : tntîi

şi

Să presupunem că un punct se deplasează pc axa OX sub acţiunea forţe,_ F (x), <~are nu depinde decit de poziţia punetului. Ecuaţia diferenţială a mişeru·i,. va fi:

Introditcînd. VlH'iabila p = y', obţinem variabilele sepaJ·at.c :

(l

ccual;ie difm·cnpahl de onlinut

t'U

integrînd avem :

de mHie

m

F:ie a:0

şi

u0 abs(;isu

iniţială şi

vile:w iniţ.iaJtt a rmnd.ului pentru l =O

x·l

It= o

c:,-c;l:o;

<·eer.-1 ce

dă

:

înnmltind ambii membri ai eeuaţ..iei cu dx dt si integrind, obtinem : ' dt ' ..

!1 """'

>

~

r,JJ

(:l:) dx

+ c~.

,:t:o

în cazul cind grinda a fost încastrută la capătul x """"' O şi supusil unei :-;nrcinii la celălalt capăt x = l, avem [16] :

«~!HH:entrate

M(x)

Primul termen din memhrnl

întîi.~~ mj~) . dt} 2

2

rcprezint:1
dnetică,

im·

Ecuaţia

:o-.-, (/ --

. . ( l - x)P . :c)P; tp(:r) '= --·-El · = 2k (/ --- :1:)

va fi cleei:

u"

~1

doilea termen[.-

~

F(:e) d.t:

1

potenţiHli'î.

a punctului mobil

şi,

'.!: /;· {l - :r),

y'2) '"

i::~r condiţiile iniţiale:

1 ,_ .... '"""(O

H

este o

('

din

t38),' rezultă că suma energ1e1 cinetice şi potenţiale r:1mine constantrt in tol timpul mişcării. Dacă rezolvăm egalitatea (38) tn raport cu dt şi integrăm, obţinem I'elaţia dintre t şi a:. · 2. Dacă în încovoierea grinzii, încovoierea este atit de mare incit nu se poate· .înlocui curbura prin 11" [16], atunci, în loc de ecuaţia aproximativă (25), trebuie să considerăm ecuaţia exactă (24). Prin prmare, ajungem la problema următoare : s:'t se găsească curba a cărei curbură· este o funet.ie dată de abscisă :

..\(:eastă ecua~.k

~'"'

:J:

energia

-~--.·)··

( k '"" '2RI

.

=

dx

de onlinul al d<;ika

= O

O, atunci, pe baza celei de a doua şi obţ.inem :

X

~ 2k ( l ~~L

(.r}.

ecuaţie diferenţială

Dacă facem in formula (40) x;1 iniţinle~ trebuie si'\ socotim că C1

=

:r) d :1:

r~-. - = = . /1 - fJ2k (t -- ;t:) dx 1

vl ~ ;;, (;1;-:)(:-

r .

o

=k

x (2l .._ :r)

=·= ],··--:=·-..~--·-:--.. --~. 1 -- k 2 x 2 (2/ -- :r) 2

V

x)'J'

condiţii:

Integrînd qin nou

şi

condiţia

utilizînd

Yj,u=O

=

O,

găsim

Ca

pentru y :

şi

şi în cazul unei singure ecuaţii, avem o unicitate : dacă funcţiile

teoremă

de

existenţă

X

y

k

=

~o V

x (2 l - x) -dX.

1 - k 2 x 2 (2l -

Integrala precedentă nu poate fi exprimată prin fmicţii elementare. Curba ~orespunzătoare ecuaţiei (41) se numeşte curba elastică. 3. Să considerăm ecuaţia :

Yi =

tn care ambii membri sînt funcţii omogt'ne :in y, y', y". Fădnd substituţia

~bţinem:

(u'

a,-2

de unde

rezultă,

pentru u,

cărei

integrare

2

+-

:

1 x2


1x=x0

=

(O}

Y1

;

Y2

1 1

wi

(x),

: (0)

x=x 0

=Y2

;

• • • ;

Yn

1

re=Xo

=

(0)

Yn

•

(43)

··

Putem varia, în condiţiile iniţiale, valorile y<~>, aşa că soluţia generală a sistemului ( 42) conţine n constante arbitrare. Aceste constante arbitrar~ pot figura in soluţie nu numaidecit ca valori iniţiale y, ci sub forma generală :

xur~.

= (1 -

u - -

x

Y1

= o.

Yi = ii (x, e1, e2,

••• ,

en)

(i = 1, 2, ... , n).

(44)

en

dă

u înlocuind pe u :in

2)

care satisface

Jttdx

ecuaţia liniară

u' a

+u

sînt continue şi au derivate parţiale continue în raport cu Yi pentrrt valorile x = x 0 şi Yi = y(?l şi în vecinătaU~a lor, atunci există o soluţie şi numai una a sistemului (42)

xy')2'

x2yy" = (u -

y=e

(i = l, 2, ... , n)

(41)

x):!

ecuaţia

= x-• (C1 + de

x)

substituţie,

=

C1 x-

2

+ x-1 .

prin valoarea lui,

ohţ.inem

:

Dacă dăm constantelor e1 , e2 , ••• , anumite valo;ri numerice, VOifl Qhţine soluţii particui.are ale sistemului (42). Pentru ca din această familie să determinăm solutia care satisface conditiile . (43), trebuie să determinăm constanteÎe arbitrare din ecuaţiile :

(i=l,2, ... ,n) şi să

~au

y = C~xeC 1 x-- 1 • ilmde am :inlocuit pe (- C1 ) prin C1 ,

şi

am pus

e,C =

C:!.

18. Sisteme de ecuatii diferentiale ordina1·e. Forma sistemului de n ecuatii de o~dinul intii cu n functii necunoscute, .rezolvat in raport cu derivatele sale, va fi : '

substituim v3;lorile găsite în formulele (44). Rezolvînd egalităţile (44) în raport cu constantele arbitrare, obţinem formulele care dau soluţia generală a sistemului, sub forma: (45) (i = 1, 2, ... , n), unde este esenţial faptu,l ca ecuaţiile (45) să fie rez~lvate în rapo1·t cu y 1 , y 2 , ••• , Yn• Fiecare din egalităţile {45) se numeşte integrală a sistemului {4"2), şi, prin urmare, pentru a avea soluţia generală a sistemului (42), trebuie găsite n astfel de in.tegrale ale sistemului, încît sistemul (45) să fie rezolv abil în 1·aport cu .YJ.' Y2' •••,Yn• · Putem transcrie sist~mul (42) şi sub forma unui şir de. rapoarte: dx = ~--'---d_y..;::_l_ dy2 (46) It (x, Yv Y2• · • ·, Yn) /2 (x, Yt• Y2• • · ·' Yn) ... = 5. Curs de matematici superioare

dyn

Înmultind toti numitorii cu acelaşi factor, obţinem pentru primul rap~rt ca ~umitor nu unitat~a, ci. o anumită f~nc1ie de Notînd pentru s1metne, aceste vanabde cu X Y ' 1' Y 2' • • . ' Y n• ' • • d .. literele x1 , x 2, ••• , Xn , Xn+h. t· ranscn em Sistemul "1 e .,; ""cmat,n '-' diferenţiale sub forma dx1 = X1

dx

~~ =-=

= -11

X 16

X1

dXn+l

=---,

(47)-

Xn+l

X 1' X 2' • • • , X 1P X"+, sînt functii date de x 1 , x 2, ••• , x,;, Xn+l~ ' . Scrierea sistemului (42) sub formă simetrică. (47) est~ comodă pentru raţionamentele ulterioare .. În pa:r:tiCu~ar, daca: sistemul este scris. sub forma (4 7), atunci nu este fixat ca~e anume din cele (n 1) variabile x1 , x 2, ••• , xn ~ Xn+l es~e con~I derată ca variabilă independentă. Integralele sistemului (45) _In noile notaţii vor fi :

Und.e

+

q:>, (x1 , x 2, ••• , Xn+l) =

C,

(i = 1, 2, ... , n).

(48)

În ceea ce priveşte numărul constantelor arh.itr~re ale soluţiei (44), este esenţial ca numărul lor să nu poată fi miCşorat~ . De exemplu, în formulele

Yt

= (el +~C2)

X+

Ca; Yz

=

Ca x2; Ya

= x2+Ca X +:el+

+

=

C,

(i

=

1, 2, ... , k).

. ((49}

Uneori nu se numesc integrale ale sistemului egalităţile (49) ci chiar fui1ctiile Cf>i ( x1 , x 2, ••• , Xn+l), adică funcţia q:>( x:, x 2 , ••• , Xn+l), s.e nu~eşte vinteg~ală a si~temulu~, dacă .substituind în ea o soluţ~e arbarara a s~stemulu~ aceasta funcţJ,e seredu,ce la o constantă. Aici se socoteşte, desigur, că q:> (xl, x2, · · ·, initiale ale solu• • ··, X n+l ) nu este o constantă. Întrucît conditiile , • tiei sînt arbitrare, valorile acestei constante pot fi oricare (con~tan.tă arbitrară). Dacă formăm cu me.mbr~i întîi ~i .egalităţi~ ( 49) o funcţie F ( cp1 , q:> 2 , ••• , q:>k), atunci, prin substituuea unet

66

arbitrare, toate funcţiile C?i şi, prin urmare, şi. noua functie

F, se reduc la constante, adică, la fel cu integralele (49), av~m integrala:

(50) unde F este o funcţie arbitrară de argumentele ei. Cu alte euvinte : o funcţie arbitrară de oricare dint1'e integralele sistemului este de asemenea o integrală a sistemului. Integrala ohţinut.ă (50) este o consecinţă a integralelor (49) şi nu dă nimic nou. Să presupunem că avem n integrale (48) ale sistemului (47). Ele se numesc independente, dacă egalităţile ( 48) pot fi rezoJ~ va te în raport cu oricare dintre variabilele x1 , x 2 ,. •• ~ x n+] O astfel de rezolvare ne dă n funcţii de o singură variabilă inot;· pendentă, adică formule analoge formulelor (44), care, su.h forma (48), sînt rezolvate în raport cu constantele arbitrare" ceea ce. arată că n integrale independente (43) ale sistemului echivalează cu inte~rala. generală. Se poate demonstra că con~ diţia de independenţă a integralelor (48) este echivalentă c·u faptul că nici una dintre integralele (48) nu este o consecinţă a celorlalte, în sensu] arătat mai sus, sau, că între memhrn -din stînga ai egalităţilor (48) nu există vreo relaţie de forma

c2~

cele trei c onstante arbitrare pot fi reduse la do'?ă, punînd c = el c2. Pentru ca aceasta să ~uj ~ibă loc .ŞI pentru ca. formulele (44) să dea integrala generala a sistemului, este n~cesar ca prin alegerea convenabilă a constantelor ~ă put~m. satisface orice conditii initiale adică sistemul (441} sa poata f1 rezolvat ' ' Cn, oricare ar f'1va}on'}e Iniţia , , , l e Y.;,tOl a 1e· în raport cu, el, ,c2, ... f~nctiilor căutate. Considerăm că membrii din dreapta ai ecuaţiilo; (42) satisfac condiţiile de mai sus. . . Să studiem amănunţit integralele sistemului. Presupunem că avem k din integralele sistemului (47) : q:>i (x1, x 2, •• • ,~Xn+l)

,soluţ:H

identică. în raport cu

În cele ~e mai sus nu am dat nici un criteriu, după care să

~e poată judeca dacă integralele (48) sînt integrale independente~ Săi considerărrJ. eazul n 2:

=

(51) ca

Amintindu-ne de teorema funcţiilor Implicite [l, Hi9]~ conehideni că _pentru (51) să poată fi rezolvate în raport cu x 2 şi x3 este &uficient ea

ecuaţ.me

a~. ~ea (cp cp > == a~. iYcp2 _ _at:?I 1'

1\

a~

axa

axs

•

acv~

qx'},

s:':i. lie diferit de zero. Un rezultat analog se va obţine penhu variabilele x~~ x1 sau ~, x 2 • Dacă presupunem că cp1 şi cp2 sînt continue împreună cu derivatele lor de ordinul întîi, se poate demonstra teorema : condiţia necesară şi suficientă pentru· ea integralele (51) să fie independente, este ca cel puţii1' una din expresiile a~. ~ ('h,
Âruz. ~l

( cpl,
â~et. '~'1: ( cpl, 1:?2)

Bă nu fie identic nulă. !n volumul III vom reveni la problema, independenţei sistemelor de funcţii cu orice număr de variabile. · . 19. Exemple. 1. Să considerăm sistemul dz (52)

Simplificind

nt}:_,

z

obţinem

e~'.uaţia

ecuaţie

o

dx

dy

xz

yz

cu variabilele

ln x

0:-'

In y -·· C,

~eparate, adică

care integrat:\ ne y

)n-

Integrala generală a acestui. sistem conţine şase constante atbitrare, pentru determinarea cărora trebuie să fie date: pozfţia punctului şi viteza lui la momentul iniţial. · Din egalităţile (54) rezultă următoarele trei egalităţi :

dă:

d2".

=

m (Y

C,

d2y'

dt~

. ,. . z dt2 )

d21J

d2x)

yZ - z Y

=

X

ceea ce este echi.valent cu

m (·.X_____:_ - y -..: dt2 :. dt2 Considerăm o .a dou,a cGţtaţie

care pot fi scrise

_d.x

z Integrind,

. .

găsită,

şi

sub forma :

dz d m .( ydz dy) = yZ -- - z ....,...:..

xz integrala

xY- yX,

.

a sistemului dx

şi, tntrebuinţt:nd

=

dt

punem !J

=

1 C1x; simplificînd cu,_., obtinem :

O.

..!!:_

- dt

obţinem

;

z}:

, dt

-~~

·, "· ;; m (z

X

= -:--- dz ------;;-- , adic.ă (t + C Î) x d;r: + z dz = - {1 +Ci) X ,

dt

-x

m(x dt

dy -y

~;) =

zX --- xZ

dx). = xYdt

(55)

yX.

Preimpune:in că foi·tâ este central'ă, adică direc'ţia ei trece totdeauna . prindrept origine a axeloi• de coordonate. Deoarece proiecţiile unui vector sînt proporţionale cu cosinuşii directori, [iar în ~~~) de faţă rlirecţia v~ctorului trece prin origine şi prin punctul (x, y, z), vom avea:

tr-urî P'unCt fix, ntl1nit centru, pe care tlluăm sau, înlocuind C1

=

_!!_ , avem o a doua integrală a sistemului ,Ţ,

Aşadar,

cele

două

integrale ale sistemului sînt

)!_

=

el ;

x2

membrii din dreat>ta. ai sistemulUi (54)

+ y2 + z2 =--= c:!.

2. Sistemul de ecuaţii diferenţiale ale mişcării unui punct material de m, sub acţiunea unei forţe date, are forma :

=

masă

Z,

unde X, Y şi z sînt proiecţiile forţei pe axele d~ c~ordonate şi dep~nd ,de ,timp, de pozitia punctului şi de viteza lui, adică de vanalnlele l, x, y, z, x , Y , z • , · Introducînd ca noi funcţii necunoscute - derivatele în raport cu t : x , y', z' ale lui x, y, z,- înlocuim sistemul (54) prin sistemul de şase ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi : dx -=x'; dt

dy_ = y';

dz

dt

dl

= z';

dx'

m--- =X; dl

m

y

z

X

y

z

egalităţilor

(55) se anulează şi obţinem trei integrale ale

(5~s)

X

d 2z m-dt 2

X

dy' dt

dz' Y; m - =Z. dt

dz dt

. dy ) "''"el; .. dt ,

m ( zdx - - x -dz- )

m

( {J

a

proiecţiilor punctului mobil, pe planele Din egalităt.ile (56) rezultă:

- - -Z-:--

,

dl

dl

=

. . Cz.'

m ( Xdy- -y -dx- ) =Ca. dt

di

(56)

Ele exprimă, după cum se ştie din mecanică, invariabilitatea vitezei areolare de coordonate. C1 x

+ C2 y + C3::: =O,

din care se vede că traiectoria este o curbă plană. Planul traiectoriei este determinat de centrul forţelor şi vectorul viteză la momentul iniţial. · Să presupunem acum că X, 'Y, Z sînt derivatele parţiale ale unei funcţii u. care depinde de .:r, y, z. Această funcţie U se numeşte potenţialul forţelor, iar ( - U), energia potenţială a punctului :

- au ax

X -

€9

Să

Inniulţind ecuaţiile

au

tJ.Ix

m-=-;

~respectiv,

cu dx

dt1

ax

dy

.!!=. şi

dt'dt'dt dx

m(

adunind,

d'x

-;ii·

au

m d 2z dt 8

tPy m-=dl8

dy

presupunem

.:r:.onţine pe

i}y

f.

(58) nu

că ecuaţiile

conţin

pe t. Atunci nici T

şi

U. nu vor

Inmulţim ecuaţiile (59). respectiv, eu q~, q~, ... q~ şi adunăm :

=au i)z (60)

obţinem tfdy

dz

dBz)

dt2+dt·dtZ+dt·-;jj

dU

=di"

sau

.!!_ lE. 2

dt

[('dx)• + (~)• + ( dz )B] .;., dU dt dt dt di• in cazul de faţă, Teste un polinom omogen tn

de unde obţinem integrala : (57)

T- U=C,

unde

T =

~ [( d~

r+ { ~ r+ ( :: rJ

=

~

x-; = C?i (ql, q2, •.• , qk,

t);

y, =

tYi (qt,qz, ••• ,~q", t);

~

=

i)T =2T,

s-1

mpl

Zi ,.";, 0t (qt, qa, ••• , qk, f) (i

1:

~ q8

-este energia cinetici1. a ·punctului. Egalitatea (57) exprimă invarianţa energiei totale tn tot timpul mişcării". energia totală fiind suma energiei cinetice T şi a energiei potenţiale ( - U). 3. Să considerăm un sistem de n puncte, legate Intre ele ,astfel tnctt coor· donatele unui punct arbitrar al sistemului să fie funcţie de k parametri independenţi : q1 , q2 , ••• ,Qk şi de timpul t : (58)

q: şi

~oe

baza teoremei lui Euler

relativă

~

k

q;

_!!_(o}_:)_~

formula (60) ne

~

()q8

dl

a-1

'1§\it

funcţiile

la

le

~

âq,

s-1

q'8 f)T i)q8

omogene [1, 154]. De aici

rezultă că

= 2 dT -~ = ~' df

dt'

dt

dă

1, 2, ... , n).

dT

dU

--~·~-.

Să presupunem că forţele care acţionează asupra punctelor .sistemului au un potenţial U, care depinde numai de coordonatele punctelor astfel că proiecţiile pe axele de coordonate Xi, Y,, Z,b ale forţei care este aplicată punctului x,, Yt, zi sînt derivatele parţiale ale lui U tn raport cu xi, Yi• Fie m1 , m 2, ... , m,. masele ;punctelor considerate. Cu ajutorul egalităţilor (58) putem exprima energia .ein~tică : '

z,.

n

T

=~

r; r(d;,·r + ( :~-r + ( ~;ri·

i-1

şi funcţia U cu ajutorul parametrilor q1 , q2 , ... ,q7c, iar mişcarea sistemului va fi determinată, după cum se ştie din mecanică, cu ecuaţiile lui Lagrange :

~ (8 dt ~

T) - Jr!. = §!!.

aq:

aq,

aq~~

dl

'de tinde s:e obţine integrala sistemului (59) (integrala forţelor oii):

T-U= C• .4. Existenţa integralei ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării sistemului ne tpermite, ~n. ~mele ca~~ri, să rezolvăm problema stabilităţii oscilaţiilor mici în Jurul po~Iţtei ~e ~ch1hbru. ~ă for~ulă m matematic problema, mărginindu-ne, ,pentru f~:car~a Idm.lor, la trei funcţn necunoscute x, y, z, care satisfac sistemul

·de

ecuaţn diferenţiale

1) :

!!::_ = dt

·

(s= 1,2, ... , k) ..

dt

dz

X •

dy -

y •

'

dt -

•

----- =Z. dt .

şi

t, care se

(61)

(59)

(UJnde X, Y, Z sînt

funcţii

cunoscute de x,

y~

z

anulează.

pentru

:Funcţia T

este, evident, un polinom de gradul al doilea tn ql' q2 , ••• , qk, .care sint derivatele parametrilor in raport cu timpul t, şi ecuaţiile (59) reprezintA k ecuaţii de ordinul al doilea, ceea ce echivalează cu 2k ecuaţii de ordinul tntti; intregrarea ecuaţiilor (59) dă expresia lui qk sub forma unor funcţii de t şi 2~ constante arbitrare.

10

X=

1

)

y

= 11: =

0.

In cazul mişcării unui punct material există şase fuucţ.ii

(62)

necunoscute ..

71

Sistemul (Gl) admite, în aceste condiţii, soluţia evidentă (62), căreia îi corespunde poziţia de echilibru. Această poziţie de echilibru fsau, pe scurt, s-oluţia (62)] se numeşte stabilă, dacă pentru e: dat pozitiv, arbitrar de mic, există u'n astfel de 1), aşa îndt, pentru orice soluţie a sistemului (61), care satisface condi ţHle iniţiale,

să

avem pentru t >O 1x

1, 1Y l

şi

lz ] <

(63)

e,

(64)

Presupunem

că

sistemul (61) admite integrala q> (x, y, z)

=

C,

(65)

care nu conţine pe t şi-i astfel încît funcţia q>(+~ y, z) are pentru x = y = z = O un maxim sau un minim. Să arătăm că, in acest~ condiţii, poziţia de echilibru va fi stabilă. Schimbind, dacă este necesar semnul lui cp, putem socoti că cp are un minim; adăugînd lui cp o constantă, putem considera că acest minim este zero. ·· , ,~,,Aşadar, fnncţţa cp se anulează in punctul x = y = z = O şi est.11 p.q2;ţtivă in toate punctele apropiate de (O, O, O, ), dar diferite de el. Să construim în jurul origi.nii eubul ,.8e, eu centrul în origine şi cu latu:r:a de Iungim,e 2:::. Pe suprafaţa aeestui cub, îuncţia co~1ţţnuă cp este p'oziti'vă şi, prln urmare, atinge cea mai mică valoare a ei pozitivă m, astfel încît pe întreaga supraf~ţă avem (66)

2·1'),

Să construim acum în jurul originii eubul concentric ~11 cu latura inc1t în interiorul acestui cub să aibă loc inegalitatea

ceea ce este posibil, deoarece cp (0, O, 0,) = O. Presupunem ţial, punctul (x, y, z) se găseşte în interiorul cubului verifieată. Inegalitatea (67) va fi verificată nu numai

a.IJ

că

(59) admit

atunci, un sistem de trei

"d"ii;_

-.- = ;dx

ecuaţii dy

dx

s-o înlocuim cu

de ordinul întîi : dy

Y2; ··--2 = Ya; .-3 f'

[d;t;_..

= f (. x, Y1' Y2' Ya)•

Am procedat astfel în [14]. Tot aşa, dacă avem, de exemplu, un sistem de două ecuaţii de ordinul al doilea·:

y"

= Jl.f'

( x, •

y' y ' ' z, z ') ; z "

=

.r (x, y' y ' . . , z '

J2

1

-

')

unde y şi z sînt funcţii de x, vom putea să-I înlocuim printr-un sistem de pat1·u ecuaţii de o1·dinul întîi. Pentru aceasta, introducem patru funcţii: y = y 1 , y' = y 2 , z = y 3 , z' = Y4 • Sistemul precedent se va transcrie sub forma :

Să arătăm că, invers, integrarea unui sistem, in general, poate fi redusă la integrarea unei singure ecua-ţii de ordin superior. Vom considera numai cazul sistemului d.e trei ecuatii de ordinul întîi :rezolvat în raport cu derivatele ,

Y~

, y~

=fi (x, Y1' Y2' Ya);

= /2 (x, Y1' Y2' Ya); Y~ = fs (x, Y1' Y2' Ys)·

fJU

soluţ.ia evidentă

f (x, y, y', y"), punînd y = y 1 ; y' = y 2 ; y" = y 3 , putem y"' =

la momentul ini-

- = - = .... fJql Bq2

Ecuaţiile

20. Sisteme de ecuaţii şi ecuaţii de ordin superior. Să stabilim relatia între un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul întîi şi o si~gură ecuaţie de ordin superidr. Dacă a.;em, de exemplu, o ecuaţie diferenţială de ordinul al treilea:

,adică condiţia (64) este momentul iniţial, da1 şi

la tn tot timpul mişcării. Intr-adevăr, cp, în virtutea lui (65), păstrează în timpul mişcării valoarea constantă C. Insă, dacă este aşa, atunci în tot timpul mişcărH punctul (x, y, z) nu poate traversa suprafaţa cubului 3e, căci pe această si1prafaţă are loc inegalitatea (66), care contrazice inegalitatea (67); aşadar, condiţia (63) este satisfăcută pentru toţi i>O, ceea ce trebuia demonstrat. ' Funcţiile x, y, z pot avea orice semnificaţie geometrică sau mecanică . şi numai pentru intuitivitatea demonstraţiei le-am considerat drept coordonatele unui punct. Să presupunem, de exemplu, că în ecuaţiile (59), T şi Unu depind de t, aşa eli are loc integrala forţelor vii. Admitem că pentru q15 ==O (s = 1, 2, ... , k).au Joc egalităţile : f)U

(68), deoarece, în acest caz, T, care nu poate fi negativ, se anulează, adică are la rindul lui tot un minim. Prin urme~re, vedem că, în cazul minimului energiei potenţiale, poziţia de echilibru corespunzătoare va. fi sta~;ilă în raport cu rn~irimile iL& ~i q,/ (teorema lui Lagrange- Dirichlet).

(67)

cp
•

ctd 'iuh'gime

aşa

căreia îi corespunde poziţia de echilibru a sistemului. Dacă, afară de aceasta, se constată că pentru valorile q8 = O, energia potenţială ( - U) are un minim, atunci se poate afirma că diferenţa ( 1' -- U) are de asemenea un minim pentru valorile

(69)

1

Presupunem că prima ecuaţie conţine pe y 2 • Rezolvînd-o în raport cu această necunoscută, avem :

:

qs = q: =0,

l

(68)

(70)

73

Înlocuind această valoare în ecua-ţiile rămase~ vom obţine de forma:

două ecuaţii

(Jwl ax+--;--Y1 + -;-- Y~ + ---.- Y1 = 8Y1 vYt uYs a(;)l

OWt

,

'

Y; =

OC;)l

,,

·'·

(

'!'2

q;s (x, .Y1; Yi; )'a)

1

)

x, Y1' Y 1, Ys ;

·

Introducînd în prima ecuaţie valoarea lui y~ scoasă din a doua, şi rezolvînd prima ecuaţie în raport cu y~, obţinem un sistem de două ecuaţii cu două funcţii necunoscute .Yl şi y 3 de forma: ·

Y; =
ecuaţie

=

~ (x, Yt' y~, Y3)~

(71),

conţine

(71)

pe y 3 • Rezolvînd

Amintim

că

egalitatea ~

(x1 , x2 , ••• ,

Xn+l)

=

C

~Sau funcţia

variabila

x:

va trebui să dispară şi, prin urmare, derivata totală

.a acestui rezultat in raport cu ~' trebuie să fie egală cu zero

,[1, 69].:

(72)

·Şi inlocuind în a doua ecuaţie (71), obţinem o ecuaţie de o~dinul

ott> dXn+l+ fJxn+l --•

al treilea în raport cu y 1, care poate fi scrisă sub forma :

y;' = F (x, y1 ~ y~, y';). Să

(73)

presupunem că am integrat această ecuaţie :

Y1

=

<1> (x,

Cl, C2, Ca)·

Substituind în (72), obţinem pe y 3 şi, înlocuind apm In (70), obţinem şi pe y 2, totul. fără nici o integrare. Dacă prima ecuaţie (71) nu conţine pe y 3 , atunci avem deja o ecuaţie de ordinul al doilea în y 1 • Integrala ei generală va conţine două constante arbitrare. Înlocuind această integrală generală în ecuaţia a doua (71), vom obţine o ecuaţie de ordinul întîi pentru y 3 , care prin integra1·e dă a. treia constantă arbitrară. În sfirşit, formula (71) dă funcţia y 2 fără nici o integrare. 21. Eeua!ii liniare eu derivate parţiale. Pînă acum am ·considerat numai ecuatii diferentiale care contin derivatele unei funcţii în raport cu ~ singură· variabilă independentă. Astfel de ecuaţii, după cum am mai amintit, se numesc ecuaţii diferentiale ordinare. Acum vom considera o clasă de ecuatii ·CU derivate parţiale, întrucît aceste ecuaţii sînt în legăt~ă ·directă cu teoria sistemelor de ecuatii diferentiale ordinare. Să revenim la sistemul de ecua'ţii diferen.'ţiale. (4 7)

14

dx1

= dx,. =

xl

x2

o·

•

(75)

\

Însă, dacă am substituit o soluţie a sistemului (74), atunci ,aiferenţialele dx, trebuie să fie proporţionale cu mărimile X. ~Şi, înlocuind în (75) pe dx11 prin. mărimea proporţională X.., .obţinem pentru

+ X n+t uxn+l .:~ 0 ~ =

O.]

(76)

Funcţia cp( x1 , x 2, ••• , Xn+t) trebuie să satisfacă aceste •ecuatii independent de ce anume soluţie a sistemului .(74) am .,intro'dus în ea. Însă, deoarece condiţiile iniţiale sînt, conform ...cu teorema de existenţă şi unicitate arbitrare, valorile variaililelor x 1, x 2 , Xn+l pot fi luate după voie, dacă considerăm ~oate soluţiile sistemului (74), cu alte cuvinte funcţia cp (x1, x 2, ••• , ., •• , Xn+t) este obligată să verifice ecuaţia (76) identic, 'În raport cu ~{~, x 2, •.•• , Xn+t)• Obţinem astfe~ teorema următoare: . Teoremă. Daţ,;ă cp(xi, x 2,. •• , Xn+t) = C este o ~nte grală a sistemului (74), atunci funcţia q,(x1 , x 2,. • • , Xn+t) otrebuie să verifice ecuaţia, cu derivate parţiale (76). · Se demonstrează cu uşurintă teorema inversă : T e o re mă.· Dacă q.(x1 , x 2 ,. •• , Xn+t) este o soluţie a ..ecuaţiei (76), atunci q.(x1 , x 2 , ••• , Xn+t) = C este o integrală tta sistemului (74). o •• ,

#

(74)

75

parţiale (76), trebuie să co~siderăm diferenţiale ordinare (7 4), corespunzător, şi

der.ivate Într-adevăr, să introducem în

o soluţie oarecare a sistemului (74) ,şi să calculăm diferenţiala rezultatului :

. drp' (ii, i2, .. ·.; Xn+1Y...:.:..:. f)cp. dxl ... · .

·

,

.; . _;

. . i)x1

.

Xn+ 1)

+~cp dx2 + ... + "'a~-dxn+l·

~

'in

'.Deoarece a·m substituit o soluţie a sistemului, putem~': virtutea lu.!. (74) îpl9cui. pe dx9 pri~ mă~ime~ prop.orţioii'~lă X 8 , . a·di~.ă· .dx 8 . . . ÂX81 . unde Â ~ste iui coeffc~~nt. de prop():rţiQ~ naliiate. De aici . deducem,: . . . .

,J'm,_~,·;~.,· x2···· • •., r \•-J. 7

.,.

:

·. .:

. _:·,

= "-(·X1 11ax.
Xn+: t). .

·;..

:

,

.~: 1 .

.. . .

,_L_... • · .

Ţ

2

~'

•• .

..

Xn+l)

=

= c1 ; ({)2 = c2 ; . . . ; C?l!i = ck

.

xi

căutată cp, iar termenul independent nu figurează. În cazul general al ecuaţiei liniare, vom avea o ecuaţie de forma :

[(78) î.n car.e Y1, Y 2 , ••• , Yn+l conţin x1 , x 2 , ••• , xn şi rp. Vom căuta de soluţii ale e.cuaţiei (78) sub forma unei funcţii implicite

famili~

cu(x1 , x 2 , ••• , xn, p) = C,

Cl ; • • • ; ~n (il, ~2, • • •'

Xn+l)

(79 1)

în care C este o constantă arbitrară. După regula derivării funcţiei implicite: (Jw

Bcp Axi • -=---, axi

()w

(Jcp

.substituind în (78), obţinem pentr.u Aw Y1 A~

+ Y.2li -w + • • • + v' A~

(1)

lloo

.J.'Y!.-

o~

ecuaţia

:

+ Y:·· rw _

n+l---

(Jcp

O,

posedă cele două particularităţi Observăm că, deoarece în (791) C

•care

sînţ IJr. integrale ale sistemului, atunci, după cum ani văzut,. o funcţie arbitrară F ( 1, ': 2 ,. •• , rpk) ne dă, de asemenea o inţegrală a sistemului şi, prin urmare, putem spune că o funcţie arb#rară a unf)_r soluţii ale ecuaţiei (76) este şi ea soluţie a aceleiaşi ecu(lţii (76).· Dacă .

arbitrară de cele n argu1.nente ale ei. Ecuaţia liniară în raport cu derivatele parţiale (76) pr.ezintă două particularităţi: coeficienţii ei nu conţin funcţia

O.

nu.,

~1 (xl, X2,. • .·, Xn+l) -

u-,tde F este o funcţie

J

Expresia diferenţialei de ordinul întîi .este aceeaşi, fie': ~ă ~a1iabilele ~înt ind~pende~te; [l, 15~] sau În cazUl nostru, rp va fi funcţie de o singură va1·iabil~ independentă, de exemplu x1, şi. difere~ţiala acestei. frincţii este. nulă, . adică d~rivat~ în r.;;tport c~· -~~ ( d~pă suhstit~ire) ,.~sf~ i,~:e:n~ic nulă,. cu ~il~e cuvint~, ;d~p~ă subst:ftuue rpnu ma1 dep1'nde n1c1 de x 1 sau apare ca o constanta~· Aceasta arată că

Cfl2, • • •' ~n),

:: .n+l,_

l;

(xu x2, ••• ,

= F { cpl,

+ j(.,+t···_.:Bcp ,,)·~,~ f)x_· ...•..

.

Însă, întrucît rp, prin ipoteză, verifică identic ecuaţia· (76). in rap~rt c~ ,,xu x 2 , •.r \"_,., Xn+h p~te:rq, sc!i~: . ·.: '·

iitJ

să

integrale independente (77) ale acestui sistem; a ecuaţiei (76) va fi :

nxn+t. ·

f)x 2·

ecuaţii t]eterminăm n soluţia generală

sistemul de

= ·Cn

(77)

sînt· n integrale independente ale sistemului (76), atunci functia arbitrară F ( cp1 , q> 2 , ••• , rpn) este o soluţie a ecuaţiei (76). ,Se poate demo·nstra, dar Iioi nu ne vom · O'p!i la această demonstraţie, că F ( h' rp 2, ••• , 't'n) este soluţia generală a acestei ecuaţii(76). De aici se deduce următoarea regulă · pentru integrarea ecuaţiei (76) : pentru a afla soluţia generală a ecziaţiei lîniare cu

de care s-a vorbit mai sus. este arbitrară, variabilele x 1 , x 2 , • •• , xn,

77 76

22. Interpretarea geometrică. V om da o interpretare geo~.. teoriei de mai sus pentru cazul a trei variabile. Pre-q supunem că în spaţiul tridimensional avem un cîmp de direcţii.,. adică în fiecare punct al spaţiului este dată o direcţie determinată. Introducem un sistem de coordonate rectilinii ortogonale. În acest caz, fiecare direcţie va fi determinată prin trei numere proporţionale cosinuşilor directori ai acestei direcţii, adică cosinuşilor '- unghiurilor acestei direcţii, cu axele de coordonate. În general, în. puncte diferite avem direcţii diferite; câmpul· direcţiilor va fi determinat prin funcţiile : metrică

u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z), aşa că, cosinuşii

(80)i

tangent la suprafaţă în punctul respectiv. Fie de suprafeţe căutate t:p

rdx

rdy

---- = ----- =

u(x, , Y~ z)

v(x, y, z)

dzl

w(x, y, z) ·

Integrarea acestui sistem se reducC? la a independente'

găsi două

(81)· integr.ale·

(82) astfel, încît să fie posibilă rezolvarea ecuaţiilor (82) în raport cu două variabile. Aceste două ecuatii determină două curbe în spaţiu [1, '160]; atribuind lui el şi diferite valori numerice obtinem familia de curbe integrale a sistemului (81). Condiţiile initiale se reduc la obligaţia impusă curbei de a trece printr-un. punct dat (x 0 , y 0 , z0). Prin aceste condiţii iniţiale se determină constantele arbitrare ~ şi c2. · Să · trecem acum la interpretarea geometrică a ecuaţiei· cu derivate parţiale. Considerăm din nou, ca mai sus, că funcţiile (80) definesc un cîmp de direcţii. Se cere să se găsească supra· feţele. pentru care, în fiecare punct a lor, direcţia determinată. in. acest punct ·prin cîmpul de direcţii, să fie situată în planuJ,

c2

78

C.

directori ai normalei la suprafaţă sînt proporţionali cu Bot , Bot , iJcp, conform [1, 160], iar direcţia normalei trebuie ax ây az . şă fie perpendiculară pe dhecţia determinată prin mărimile (80), deoarece aceasta din urmă trebuie să se găsească în planul tangent. Utilizînd condiţia obişnuită pen~.ru ortogonalitatea a două direcţii [1, 160], obţinem, pentru determinarea lui cp, ecuaţia liniară cu derivate parţiale : ·

u(x, y, z) âcp

sînt

considerat. Însă, după cum se ştie [1, 160], cosinuşii directori, ai tangentei sînt proporţionali cu difei·enţialele dx, dy, dz, şi, pentru coincidenţa a două direcţii, trebuie ca mărimi1e pro·· porţionale -cu cosinuşii lor di~ectori să fie proporţionale între ele, adică, pentru determinarea curhelor căutate în spaţiu, avem.. sistemul de ecuaţii diferenţiale:

=

unei familii

Cosinuşii

director! ai direcţiei date în punctul (x, y, z)1

proporţionali cu mărimile (80). Ca şi pentru ecuaţia de ordinul întîi, ne punem problema de a găsi, în spaţiu, curbele ale căror tangente în fiecare punct să aibă aceeaşi direcţie. ca şi direcţia afectată punctului în cîmpul

(x,y, z)

ecuaţia

ax

+ v(x,

y, z)

~+w iJy

(x, y, z) â-;p" =-= O.

(83}

f;z

Sistemul de ecuatii diferentiale ordinare, 'care corespunde· acestei ecuaţii, este sistemul (S1), aşa că integrala generală a ecuaţiei (83) are forma cp

iar

ecuaţia generală

a

=

F (Cf>t, <'f'2),

suprafeţelor căutate

F (cpt, C?2) = O,

va fi (84}

unde F este o funcţie arbitrară de cele două argumente ale ei. Constanta arbitrară C poate lipsi, avînd în vedere că F este o funcţie arbitrară, iar cp1 şi cp 2 dau două integrale independente (82) ale sistemului (81). Dacă alegem funcţia F într-un · mod, determinat, atunci suprafaţa (84) va fi, evident, locul geometric · al curbelor integrale ale sistemului (81), pentru care valorile constantelor în egalităţile (82) sînt legate prin relaţia

F ( C1, C2)

=

O.

(85)--

În general, soluţia ecuaţiei (83) va fi determinată dacă se impune suprafeţei căutate condiţia de a trece printr-o curbă·, dată (L) în spatiu. Această conditie este o conditie initială pentru ecuaţia ~u derivate parţiaÎe (83). Suprafa'ţa căutată va fi, evident, formată de curbele integrale ale sistemului (81)· care pleacă din punctele curbei (L), adică pentru care coordonatele punctelor curbei (L) definesc condiţiile iniţiale .. În virtutea teoremei existenţei şi a unicităţii pentru sistemul (81),,. obţinem· în felul acesta o suprafaţă determinată. O excepţie o constituie cazul cînd însăşi curba (L) este o curbă integ~ală a sistemului (81). În acest caz, construcţia precedentă. ne va da

nu o suprafaţ.ă, ci chiar curba (L). Presupunem -curbei (L) este dată sub forma a două ecuaţii: ~ 2 (x,

!h(x, y, z) = O;

y, z)

=

că ecua-ţia

(86)

O.

Dacă eliminăm între ecuaţiile (82) şi (86), cele trei variabile obţinem între şi o relaţie care, pe baza lui (85), determină forma pe care trebuie să o aibă F pentru ca ecuaţia (84) să dea suprafaţa căutată, care să treacă prin curba (86).

el

x, y, z,

2a.

a~ .xz-----

(Jx

Sistemul

corespunzător

a~ yz - - (x2

+ dx xz

Mai sus [19] am

parţiale

:

= -~~ =

=

cdx ....,. adz două

ordinare va fi:

_____d_z_ __

C;t:-

az

=

âcp

independente ale sistemului :

{)y

(.!!__'

x2 -+- y2

+ z2

} '

(90)

J

X

unde F este o funcţie arbitrară de ambele ei argumente. ţiei F, pentru ca suprafaţa F ( ~-ii treacă

~- ,

x

Să găsim

forma func-

)

(91)

= O

prin dreapta

pe :t:, y, z între (92) dau :

Eliminăm ecuaţiile

în a doua

Pentru

1; y =

ecuaţiile

:80

(89),

C2 = O,

această formă

1]2

1

ecuaţie

+ 2CÎ -·

1

F(cx -

(93)

az, cy ·- bz),

unde F este o funcţie arbitrară şi ecuaţia generală a generatoare au direcţia indicată mai sus, va fi

suprafeţelor

cilindrice, a1e

F (cx - az, cy - b.z) ,= O.

3. Să presupunem că cîmpul direcţiilor este astfel încît in fiecare punct M (x, y, z), direcţia în cîmpul dat coincide cu direcţia vectorului cu originea tn punctul fix A (a, b, c) şi extremitatea în punctul M (:r, y, z). Proiecţiile acestui vector pe axele de coordonate vor fi

şi, prin urmare, nceste trei mărimi recţiei date in punctul ~! (x, y, z).

(92)

Z.

(89)

şi

(D2). Prima dilf

obţinem relaţia

adică F (C1 , C2 )

a lui F,

+ 2x2· - - (x + y2 + z2) =0 2

O,

oz

mai

căror

ecuaţ.iile

sînt proporţionale cosinuşilor directori ai diSistemul corespunzător de ecuaţ.ii diferenţiale

da;

dintre

=

1

+

e1

şi

.x:.......a

ecuaţia. (91) dă ecuaţia suprafeţei eăutate

sau x 2

-+-

2y2

-

x2(x2

obţinem

două.

integrale

+ y2 + z2) =:O.

dz

.y

evide~ţc

7

z-~c

b

:

x-a ,z_,_.;c

·

y-b .z-c

,

-----= el; - - - - c= c:?..

e2 :

2CÎ- C2 •

dy.

--·- = -·-- == ----··--

(89) şi

snb.~;tituind

direcţia indicată

va fi: X :=

ş.i

2

2

e2.

.x - a, y - b, z --- c

+ y +z

2

=

ea definind supnlfaţa q;(x, y, z) = O, care este locul geometric al unora din drept~le indicate mai sus, adid't ecuaţia (93) eşte ecuaţia suprafeţelor cilindrice. S
cp'= întîi dă o familie de plane care trec prin axa OZ, iar a doua ·sferele cu centrul tn origine. Curbele integrale ale sistemului (88) vor fi familia de cercuri, aşezate pe planele indicate, cu centrele in origine. Integrala generală a eeuaţ.iei (87) va fi : F

cy- bz

el;

(J(p + b~ + c âcp -- =

a --

ax

Ecuaţia

=

O,

=

integrale :

(88)

(89)

cp

cdy - bdz

O;

Curbele integrale sint, evident, drepte paralele, avînd sus. Ecuaţia cu derivate parţ.iale corespunzătoare este

yz

găsit două soluţii

c

b

sau

(87)

az

diferenţiale

a

care dau imediat

~ a~ + y~)=O.

()y

ecuaţii

de

cu derivate

= dy = dz

dx

c2

Considerăm ecuaţia

Exemple. 1.

2. Presupunem că cîmpul de direcţii determinat prin sistemul de ecu~ţli diferentiale este astfel, încît în orice punct al spaţiului, direcţia este una şi aceeaşt Fie (a,' b, c) - numere proporţionale cu cosinuşii directori ai acestei direcţii fixe. Sistemul de ecuaţii diferenţiale va fi : ·

:1

1

';::

lJin punct de vedere geometric, este clar eă familia cnrbelor integi·ale· va fi familia dreptelor care trec Pfill punctul A (a, b, c). Ecuaţh~ cu derivate parpabe

corespnnztttoarc

,'

dtp . ..

.

O(T( .

(:r- a)--~+(u---'-' b)---

.. ax '. :

B. Curs de mat<.nna.tid superioare

+ (z-

au .

(jcp · c)---- =--::;O.

âz .

..

· va defini auprafeţele conice care au. vîrful în punctul A şi ecuaţia generală a .uno~, astfel de suprafeţe va fi :

y-b)

x-a F ( - - - · - · - - =0, z-c z-c

ro (x, y, z) = C,

unde F este o funcţie arbitrară de cele două argumente ale ei. Să remarcăm că prin curba (L) dată in spaţiu putem duce, în general, numai~• o singură suprafaţă conică. care va fi generată de dreptele care pleacă din A sprer punctele curbei (L). Dacă tnsă (L) .aparţine familiei curbelor integrale a sistemului,.. adkă este o dreaptă caretrece prin A, atunci putem duce o mulţime infinită de-' suprafeţe conice care conţin dreapta (L). 4~ Să considerăm sistemul de ecuaţii diferenţiale de forma

~=~=___!:_· cy- bz

az-cx

dx

=

=

(cy- bz)dt; dy

(94}1

bx-ay

diferenţiala

EgaUnd aceste trei rapoarte cu

=

(bx -- arJ)dt.

{95}1

a

căror

integrare ne

+ b dy + c dz = dă

cele

două

O; x dx

+ y dy + z dz = O,

integrale ale sistemului :

Prima integrală ne dă o familie de plane paralele, cosinuşii directori ai normaici la aceste plane fiind proporţiona1i cu cantităţile (a, b. c). A două ecuaţie rt"prezintă familia sferelor cu centrul tn origine. Prin intersecţia acestor planeşi sfere se obţine familia curbelor integrale a sistemului (94). Aceasta va fi, evident'" familbi cercurilor situate în planele de mai sus şi avind centrele pe dreapta X

y

Z

a

b

c

-=,.,.,-=-,

(97)

trece prin origine şi este perpendiculară pe toate aceste plane. Se Vlde uşor că .ecuaţia cu derivate parţiale corespunzătoare (cy- bz)

a, + (az- cx) i)cp + (bx- ay) 0~ =o ox au az

defineşte suprafeţele de rotaţie, pentru care dreapta (97) este axa de rotaţie, .şh oecuaţia generală

a unor asemenea F (ax+ by

r'

suprafeţe

+

cz, x2

va fi :

+ y2 + z2) =O,

unde F este o funcţie arbitrară de cele două argumente ale ei. Remarcăm că forma; numitorilor in sistemul (U7) ar fi putut fi determinată şi prin consideraţii geometri~ folosind cimpul direcţiilor, cum s'a făcut tn exemplele precedente.

82

(98)

C, şi că prin fiecare punct din spaţiu trere, tn general!>

p numai una din suprafeţele familiei. Se cere să se găsească suprafaţa cp (x, y, z)

= el,

(99)

.eare să taie toate sup:rafeţele (98) sub un unghi drept. Con?iţia de ~rtogonali~ate a normalelor la suprafeţele {98) şi (99) ne va duce la ecuaţ.1a cu derivate parţiale pentru funcţia căutată cp :

a~. ocp +o ro • 8cp 8x ây ,

oY

{)x

+ oro • or:p = o. {Jz

iz

-ordinare

dz dy dx ·-==-=-

ax

()ro

[)ro

f)y

az

(100)

.4fetennină curbele care au proprietatea că tn :fiecare punct al lor, tangenta este aormală la suprafaţa (98), care trece prin acel punct. Dacă

tpl(x, y, :z) = el;

(96)

can~

!ma

(JroJ

De aici stabilim cu uşurinţă două ecuaţii care St" integrează imediat. Pentlu a stabili una din ele, Inmulţim ecuaţii1e (95) respectiv cu a, b, c şi 1e adunăm, ia:r.Pentru a stabili ecuaţia a doua inmulţim ecuaţiile (95), respectiv cu x, y, z şi le adu-năm. In modul acesta se obţin ecuaţiile a dx

. are depinde de parametrul

Siistemul corespunzător dE\ ecuaţ.ii

dl, putem :scrie;

(az- cx)dt; dz

p; Problema traiectoriilor ortogonale tn spaţiu se reduce la o ecuaţie liniari , ~o df;l;ivate parţiale. Să presupunem· că este dată familia de suprafeţe

cp2(x, y, .z)

=

c2

,:Sfnt două integrale independente ale sistemului (100), atunci ecuaţia suprafeţelor căutate va avea forma · p («pl, ~,a)= o.

ecuaţia

(1), teorema existenţei şi unicităţii [13], în tot inter-

~alul de variaţie a lui" x, care .~uprin~e valoarea iniţială x 0 şi 1n care p (x) ŞI q. (x) Sint fultcţu continue. Tot ceeace urmează se referă la acest interval. De obicei, cînd vom vorbi de integrala ecuaţiei (1), vom subînţelege o soluţie diferită de soluţia banală·

y=O.

,

Două soluţii .Y1 şi y 2 ale ecuaţiei (1) se numesc liniar independente, dacă între ele nu există vreo relaţie, identică în raport. cu x, de fm~ma : .. CAPITOLUL II

(3)

:ECUAŢII DIFER:&NŢIALE LINIARE ŞI COMPLE.l'ĂUI LA TJ~ORIA .ECUA ŢIII~OR D~FERENŢIALE § 1. TEORIA GENERAL;\ ŞI EClJA TII CU COE:FICIENŢI CONSTANŢI

cu. coeficienţi constanţi, 0'1 şi o~ 2 diferiţi de zero. Cu alte cuvinte · independenţa liniară a lui y 1 şi y 2 se reduce la faptul că raportui !h " · "' sau, ceea ce este ace1aşi lucru ·--: n·u est c, o manme cons t anta,

2~·. Ecuaţii liniai·e

c:ă

'

~

omogene de ordinul al doilea. Teoria

de1·ivata acestui raport

ecuaţiilor diferenţiale liniare este partea cea mai simplă şi mai studiată din teoria ecuatiilor diferentiale, şi tocmai· ecuatiile

liniare se întîlnesc cel m'ai des în apÎicaţii. În [4] ani rezoÎvat ecuaţii liniare de ordinul întîi. În capitolul de faţă vom conside1·.~ ~cuaţii liniar~ de orice ordin şi vom începe ~u ecuaţia de ordinul al doilea. ., . . . . . . Ecuaţia liniară, omogenă, de ordinul al doilea, are fonna

P(y)

=

y'·'

+ p(x) y' + q(x) y

= O,

c, el, c2,

=

CP(y); P(C1y 1 -l- C2Y2) = C1P(y1)

!h

y~ --. ~2 y~-

dx Yr

(4)

YÎ

nu este identic nulă. Să considerăm expresia

(5)

(l)

unde, pentru simplificare, am însemnat prin P(y), primul membru al ecuaţiei. Din faptul că P(y) este liniară în raport cu y şi cu derivatele ei, rezultă că, oricare ar fi constantele avem :

P(Cy)

!__ ('~) =

care .~e num~şte determinantul !ui Wronski (wronskianul) al soluţiilor y 1 Şl y 2 • Acest deternnnant are proprietatea l'ema1·cabilă

:

Dacă y = y 1 este o soluţie a ecuaţiei, adică, P(y1 ) = O, atunci evident că P( Cy1) = O, cu alte cuvinte, şi y = Cy1 este d-e asemenea soluţie a ecuaţiei. La fel, dacă y 1 şi y 2 sînt soluţii, atunci şi (2)

el şi c2, adică, prin înmulunor soluţii ale ecuaţiei liniare omogene prin factori constanţi arbitrari şi prin adunarea lor, se obţine din nou o soluţie. Cu alte

-- s X

+ C2 P(y2)·

n (yl, Y2)

= Llo e

(6)

p(X)clX

11lp

unde t.J. 0 este o constantă egală cu valoarea lui Ll. (YH y 2) pentru X= x 0 • Pentru demonstrare, să calculăm derivata:

•este soluţie, oricare ar fi constantele ţirea

cuvinte, orice combinaţie liniară de soluţii este la rîndul ei o soluţie. Evident că aceeaşi proprietate are loc şi pentru ecuaţia :liniară omogenă de orice ordin. Ulterior vom denwnstl'a, pentru

84

'"ţ''inînd seamă de faptul că y 1 şi

putem scrie :

y 2 sînt solutii ale ecuatiei (1) '

'

~

85

Înmulţind prima ecuaţie cu (-y2), a doua cu Yl' şi adumtud membru cu membru, obţinem :

YtY;- Y2Y;

,i,

+ P (x)
+ p(x) ~(yt, Y2) = O.

Aceasta este o ecuatie liniară omogenă în raport cu !.l (y1, y.) .. Aplicînd formula (3() din [4], obţinem imediat· formula (6). • Din această formulă rezultă că ti (y1, y 2) este sau r.dentu; cu zero, sau diferit de zero, oricare nu l ' dacă constanta ,6.0 este euală o • 1 ul A"ICl• ar fi ,valoarea lui x, deoarece exponenţia a nu se an eaza. p(x) este o funcţie continuă. . · . In locul formulei (4) putem in virtutea lm. (6),. să scriem OJ

.!!_ dx

l

Y2 ) lh

-s"'

= ~(y~ Y2) = ~O :__Zo Y1

i)(l.ll)

2 lh

~

(7)

,

şi fte a1c1 urmează că două soluţii y 1 şi y 2 ale ecuaţiei (1) vor fi iiniar independente, atunci şi numai atunci cînd .6. (yl, Y2) va fi dijerit .de zero, adică în cazul .6.0 =1= ~· ·" •• • • • Să arătăm acum că, dacă y 1 ŞI y 2 s1nt soluţu hntar Independente ale ecuaţiei (1), atunci, printr-o aleger.e conve_n~bilă a constantelor el şi c2, formula (2) ne va da soluţia ecuaţtel (1)~ care satisface pe oricare din condiţiile iniţiale date,

Yl·

= Yo.;

a:-:t~o

y'l

(8)

=y6.

c,_ Yto + c2 Y2o =.ro; el Y~o + c2 Y~o = Yi

Y~·

-- Â

~

el

c2,

soluţiile

0

re

e

-

SJ)(x) roo

da: dx

2

sau

~

u" --

propozitie ·

acestei ecuaţii.

y2

-

~

A0 y1 e

w

-

Sp(x) d:t a:o

dx

(9)

2 , ~

·+ p(x) u' +· q(x) u = f(x).·

(10)

Teorema existenţei şi unicităţii [13] dă, ca şi pentru (1), soluţia în întreg intervalul în care p(x), q(x) şi . ..f (x) sînt continui. Expunerea care urmează se referă la acest interval. Fie u = u 1 o soluţie particulară a acestei ecuaţii, aşa că: ecuaţia

u; + p(x) ::_~ +q(x) u

1

=f(x).

(11)

Introducem în loc de u noua funcţie y :

u =y

+ u1..

(12)

.-:Substituind în ecuaţia (10), obţinem:

[r" .:şi

+ p(x) y' + q(x) y] + [u~ + p(x) u~ + q(x) uJ = f(x)

pe baza lui (11) :

y"

86

enunţa următoarea

.:.adică, dacă se cunoaşte o solutie particulară a ecuatiei (1) • _fi obţinută p~in formula • atunci. o a d oua so1uţie ~ei ... Po.ate (9),.' unde D..o este o constanta careia Îl putem da ŞI valoarea unu. Trebuie să adăugăm că aflarea primei soluţii sub forma unei ..expresii în care intră numai funcţii elementare sau chiar cu . .ajuto~.ul cvadraturilor, î_n. <:a~ul general, cînd p(x) şi q(x) sînt :-funcţu de x, nu este posibila In cazul general. În anumite cazuri !Particulare, între altele cînd p(x) şi q(x) sînt constante şi nu ~funcţi~ de x - după _.cum vom vedea - soluţiile sînt de aceeaşi natura. Ulterior, vom da o metodă de construire a solutiilor deseori · ·intrebuinţată în aplicaţii, şi anume, construirea • solu~iei sub formă de serie infinită. • 25. Ecuaţii liniare neomogene de ordinul al doilea. · Se numeşte ecuaţie liniară neomogenă de ordinul al doilea o ecuaţie -·de forma:

şi y 2 ·fiind ·liniar independente, avem:

'~o.~,:,.. J)~ Y2~- Y2oY1~ *O, şi~ p-rin urmare, din sistemul scris mai sus vom putea obţine valori perfect determinate. pentru şi ceea ce dovedeşte afumatia noastră. · în~ă~ pe baza. teoremei existenţei şi. uni~ităţ~ [5], ~~.ce eolu~ie a ecllaţiei (l) este complet detenmnata pr1n condiţule

~

Y2 _

:l'l=.e,

Prin y10, y 20, y 1 ~, y 2~ vom însemna valorile lui y 1 , y 2 şi a. derivatelor lor pentru. x =: x 0 • Pentru verificarea condiţiilor iniţiale (8), trebuie să detenninăm pe el şi c2 în formula (2)9. din sistemul de ecuaţii : · Soluţiile

prin urmare, putem

Astfel, problema integrării ecuaţiei (1) se reduce la găsirea .a două soluţii liniar independente. Fie y 1 una din solutiile acestei ..ecuaţii şi y 2 o altă soluţie. Integrînd relaţia (7), avem '

dx

. .

iniţiale şi,

(1), atunct formula (2) ne va da toate

prin. ,urmare : ~!:i(yl, y~~)

ei

dacă y 1 ş_i y 2 sînt două soluţii liniar-independente ale· ecudJiei

+ p(x) y' + q(x) y

= O.

(13)

87

Ecuatia din urmă se numeşte ecuaţia omogenă corespunză . mare ,ecuatiei (10). Dacă y 1 şi y 2 sînt do~ă soluţ~i liniar ~n.d~pe? dente ale ·ei, atunci, conform formulei (12) ŞI propoziţiei din punctul~precedent, formula

u = C1Y1

+ C2Y2 + ul,

unde c1 si c2 sînt constante arbitrare, va da toate solutiile ecuatiei (ÎO). Această proprietate poate fi formulată astfel: solutia generală a ecuaţiei liniare neomogene de ordinul al .doilea este ·euală cu suma soluţiei generale a ecuaţiei omogene corespunză 0 toare şi a unei soluţii particulare a ecuaţiei neomogene. Demonstrarea precedentă este evident valabilă şi pentru ecuaţiile liniare neomogene de orice ordin, aşa că şi penti·u ele · are loc proprietatea de mai sus. Dacă cunoaştem două soluţii liniar independente ale ecuaţiei omogene (13), se poate, după cum vom vedea imediat, găsi o solutie particulară a ecuaţiei (10} şi, prin urmare, soluţia ei gen~rală. Pentru aceasta, vom aplica· aşa numita metodă a lui Lagrange a variaţiei constantelor [4]. . Fie y 1 şi y 2 doua soluţii ale ecuaţiei (13), liniar independente. Soluţia ei generală se exprimă, după cum se ştie, prin' formula (2). Vom căuta soluţia ecuaţiei (10} care să aibă acelaşi aspect ca (2), cu singura deosebire că în ea el şi c2 nu vor mai fi con~ siderate ca fiind constante, ci ca funcţii necunoscute de x :

(14) Pentru a determina funcţiile necunoscute v1 (x) şi v 2 (x), avem nevoie de două condiţii (ecuaţii). Relaţia (10), constitue una din condiţii. O nouă condiţie se obţine punînd : v~ (x)

y1

+ v~(x) y = 2

O.

(15)

Avînd în vedere că y 1 şi y 2 sînt soluţii ale ecuaţiei omogene (13) şi amintindu~ne condiţia (15), vom obţine sistemul de ecuaţii : · v~ (x) y 1 v~(x) y 2 = O; v~(x) y~ v~(x) y~ = f(x) (16)

+

+

pentru determinarea lui v~ ( x) şi v~( x). Avînd în vedere că y 1 şi y 2 sînt liniar independente: ~ (yl,y2) = Y1Y~ - Y2.Y~ =f--: O. şi, prin urmare, sistemul (16) ne va da expresii bine determinate pentru v~ (x) şi v~ (x). Integrînd, vom găsi pe v1 (x) şi v2 (x) şi, substituind în (14), obţinem o soluţie a ecuaţiei (10). 26. Ecuatii liniare de ordin superior. Ecuatiile liniare de ordin superio; au multe din proprietătile ecu~tiei de ordinul al doilea. Le vom formula fără a ne op~i la de~onstraţii. Ecuaţia liniară omogenă de ordinul n are forma :

y
y 1,

+ PI (x}

)' 2 ••• ,

+ P2(x)y
Y(n-1)

Yk sînt

soluţii,

atunci

şi

O.

(17)

suma

+ ··· +

+

el Y1 c2 Y2 ck Y" este de asemenea o soluţie, dacă el, c2, ... ' ck sînt constante arbitrare. Această afirmatie se demonstrează literalmente în acelaşi mod, ca şi pentr..;_ ecuaţia de ordinul al doilea [24]. Soluţiile y 1 , y 2 , ••• , Y1c se numesc liniar-independente dacă între ele nu există vreo relaţie, identică îr;t raport cu. x, ~~

+ IX2Y2 ·-i-

•· •

+ rxkyk =

O,

cu coeficienti constanti, nu toti nuli. Dacă y 1: y 2, ••• , y'lt sînt n ~oluţii liniar-independente, atunci formula: · . _

Derivînd ecua-ţia (14) şi utilizînd condiţia (15), obţinem :

y = Ct.Y1

+ CV'2

•••

ne

+ CnYn'

(18)

ci sînt constante arbitrare, va da toate solutiile acestei ecuaţii. Dispunînd de constantele Ci, putem obţine ~ soluţie şi numai una, care să satisfacă condiţiei iniţiale date . unde

Y\ Substituind în p1·imul membru al ecuaţiei (10), obţinem l'1 (x).

[y;

-+· p(x) y~ +- q(x) y 1] + v2 (x) [y~ + p(x) y~ + -+ q (x) y + v~ (x) y~ + v;Jx) y~ = f(x). 2]

88

=

Yo; y' '

Ecuaţia diferenţială liniară neom_ogenă u(n)

de ordinul n are forma ;

PI(x) -+ P2(x) + ... + + Pn-l(x) u' -+ Pn(x) u =f(x). u(n--11

u(n-2)

(19) ,89

Dacă u 1 este o soluţie a acestei e'cuaţii, iar y 1 , y 2, ... -~ y,.. n soluţii liniar-independente ale ecuaţiei corespunzătoare omogene (17), atunci formula:

y

=

Ct.Yt

+ C2Y2 + · · · + CnYn + ltt•

unde C; sînt constante arbitrare, va da soluţia generală a ecua ... ţiei

(19).

·

In aceste condiţii, dacă y1, y 2, ••• , y 11 sint cunoscute, soluţia ecuaţiei (19) se poate obţine prin formula u

unde bitii:

=

vt' (x)

y1

+ v 2 (x) y 8 + ... + vn (x) y",, ,

vom demonstra o formulă din calculul diferentia!, care ne va fi necesară ulterior. Dacă r este un număr real, se' cunoaşte formula .eare dă derivata funcţiei er:t :

(e'"')' = rer:r:. Să arătăm că aceeaşi formulă este valabilă Şi pentru cazul .cînd r este un număr complex, iar x variabila reală, adică: (e
v: (x) sîri.t determinate prin sistemul de ecuaţii de ordinul + v~ (x) y,. =O + v~ (x) y~ =O ......... v1 (x) Yin- +. v~ (x) y~n- ' + ... _ + v~ (x) y~n- = O v1 (x) y~n-ll + v~ (x) y~n~ll + ••. + v~ (x) y~-ll = f(x). v1 (x) Yt v~ (x) y1

+ v~ (x) Y2 + + v~ (x) y~ + 2

2>

21

Pentru cititorul care cunoaşte teoria determinanţilor, se poate indica condiţia necesară şi suficientă pentru ca soluţiile să fie liniar-independente, comp et :analogă a.celeia pe care am dat-o precedent pentru ecuaţia de ordinul al doilea. Fie, ca mai sus, y1, y2 , ••• , Yn• ţ1 soluţii ale ecuaţ.iei (17). Se numeşte wronskian al l(lCestor solutii următorul determinant de ordinul n:

Yt, â(yl, y2, ••• , y".)

=

Y~,

Y2• • • ., 1 y2, •• • ,

Y1,

y2, •• • , y
y
'

2

'

~(e(a+bil:r)'

=

y~n-1)

-şi pentru el se poate demonstra, analog foFmulei (6~ formula :

.., 1

.

' A(yl, y2, ••• ' y"')

=

Aoe

~

Pt(aJ)

.. ,(eay

=

xo

~7. Ecuaţii omogene de ordinul al doilea eu coeficienti eonstanli· Înainte de a trece la ecuaţia cu coeficienţi constanţi.,

90

aea:c (cos bx

+ i sin bx) + bieaoo

=(a+ bi) erL:c (cos bx

+

i sin bx) (a+ bi) ez.,

(cos bx

+ i sin bx) =

=

·ceea ce trebuia demonstrat. Să ne ocupăm acum de rezolvarea ecuatiei liniare omogene ·de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi':

y" ·u~de

şi q s~nt numere funcţie de forma "complexă., adică:

p

lui y o

+ py' + qy = o,

(20)

date. Să s11bstituim in ecuaţie în locul erx, unde r este o constantă reală sau

y = erx.

(21)

Derivînd şi dînd factor comun pe e'x, putem scrie : er:~:(r2

dre

'unde A0 este valoarea lui ·A pentru x= x0 • Din această~ formulă rezultă ca şi mai ~us că â sau este indentic nul, sau nu se anulează pentru nici o valoare a lui z.
+ i sin bx) +beam ( -sin bx + i cos b:x)

.

i

a: -

aearo (cos bx

~a-=-~=

y

.... ,

+ i sin bx).

·.sau, scoţînd din paranteza a doua pe i şi ţinînd seamă de faptul

Y'fl, Yn

(cos bx

7Derivînd această funcţie după regulile obişnuite, obţinem :

Yn

,;

ea.~

e
+ pr + q) =O,

·şi ecuaţia (20) va fi in adevăr . Verificată~ dacă

.a

ecuaţiei

r 2 +pr

+ q =O,

T

este rădăcină

(22)

·care se numeşte ecuaţia caracteristică a ecuaţiei (20). Dacă această ·e~uaţie de grad~l al doilea adm,ite două rădăcini distincte r =r1 '~I r = r 2 , atunci formula (21) dă două soluţii liniar-independente .ale ecuaţiei (20) : ·· (23) 91

• rl}X' Î ntr-adevăr, se ve d e uşor ca" rapor t u l 1or e·r2x. . •• e'rt:v -- e(r2nu este constant. Să considerăm acum cazul mnd ecuaţia de gradul al doilea (22) are o rădăcin~ dublă. Din formu~a pentru rezolvarea ecuatiei de gradul al do1lea, se vede uşor ca aceasta , . . 1n " acest caz, ra"d'>Jase va întîmpla în cazul cîn~ p 2 :- 4·~ = o, Şl, cina unică a ecuaţiei va f1 data prm. formula: p

(24)

'J.

În acest· caz nu reuşim să construim, pe calea ind.ica~ă, decît o singură solutie y 1 = e·rlx şi rămîne să găsim o a doua soluţie~ Pentru găsirea ei,' facem următoarele co~.sid"'er~ţ~i: "' . "' Modificăm coeficientii p şi q astfel, ÎnClt 1·adam.n1le sa devm.a distincte, de exemplu, ;ădăc.ina r1 să aibă, ea şi mai înainte, valoarea -

!!...., iar

rădăcina

2 două soluţii

ajungem la rezultatele cu (r 2

-

72

să. difere puţin de ea. Prin aceasta,

(23). Scădem aeeste soluţii şi în;tpărţim

r1). Procedînd astfel avem tot o

-Y ·-

soluţie

[24] : (25)

Dacă ecuaţia (22) are rădăcini reale distincte, atunci formulele (23) dau dou.ă. soluţi~ reale liniare independente şi integrala gene1·ală a ecua-ţ1e1 va f1

(27) Să presupunem că ecuaţia (22) a:re rădăcini complexe. Ele trebuie să fie complex conjugate [I, 189], adică r 1 = ("/. ~i şi _r2 =.'X - ~d, şi formula (23) dă solu.ţiile :

+

=

y1

y2 =

rădăcină dublă. În acest caz,

ex,,; (cos

~x

+i

sin

~x);

= e':"') (cos ~x ~ i sin ~x).

Luînd două combinaţii liniare ale acestor soluţii, găsim soluţiile:

~ (y1 +Y2)

e~o.: cos ~x,

=--=

Y2) = er:x sin ~x.

;i-- (v1 -

Aceste soluţii sînt, de ase1nenea, liniar-independente şi, prin urmare, în cazul cînd ecuaţia (22) a:re rădăcini complexe r =--= &. :±: ~ ·, integrala generală a ecua-ţiei va fi :

72

va tinde către

71 ,

În sfîrşit, dacă ecuaţia {22) admite o :rădăcină unică, atunci, pe baza lui (26), integrala generală a ecuaţiei va fi :

în formula (25}

y

numărătorul şi numitorul vor tinde către zero, iar fracţia va

avea ca limită derivata functiei erx în raport
y

(26)

Prin substituire directă ne convingen1 că .Y 2 este în adevăr o soluţie a ecuaţiei. Introducînd pe y 2 în m.embrul întîi al ecuaţiei (20)~ obţinem : {7Î xer1:v + 2r1er1J1 p (r1 xe1 •x. e''tx) q xertx =

+

+ xer1:e (rî -t pr1 + q) +

er1:c

+

(2r1

-+- p).

Primul termen din membrul al doilea este nul, deoarece r 1 este o ecuatiei (22), iar al doilea te-nuen, din acelaşi nwmbru, este nul, deoare~e rădăcina este dublă, aşa că y 2 este în adevăt· o solutie a ecuaţiei (20). P~esupunem coeficienţii p şi q numere reale. Însă rădăcinile ecuaţiei de gradul al doilea (22) pot fi atît reale cît şi complexe.

rădăcină a

e<&.--!3i)x

(28)

Vom face acum ca valorile modificate ale coeficienţilor p şi q să tindă către valorile lor iniţiale, pentru care ecuaţia (22) avea o

=

e(o:+~·ihl! =

=-::

r• ( Ll

'(29)

Să mai considerăm. cazul particular cînd ecuaţia (22) admite

rădăcini pur ·imaginare, adică rx = O. ln acest caz trebuie să avem p __:__ iar q :> 'Făcînd q = k 2 VOin avea 'pentţ;U ec·uaţia (22). rădăcinile :1= ki, ·şi, prir~ ur:mare, CCll~"ţia : ·

o,

o.

'

y"

generală

.are integrala

··y

C:thos

::=;-.:

+ k y =o

·cien:!i eonstanti.

(30)

kx '

~!a. Ecuaţii

,\

•,

2

•

'

.

liniare neomogc.ne de ordinul

•

•

1

...

'

al doilea (~U

•:";·.·

~~m~n-

Să, consider~~~ ~eiu~, ecuaţia ~eomogenii

y"

+ py' + qy ~~= f(x),

(32) l d .f( un d e p ŞI q sint~ ca ŞI, mai liHUnte:,, numexe >.I'~(). ,e: . a ţQ,; .Iaţ1 ~: x,.) u funcţie dată de x. Pentru a găsi integrala geneJ;ală a ·acestei 0

0

A

·•

A

•

.

.

0

ecuaţii,. e~te sufi~ient. s,.il găsim Q s?l:uţie particulară şi s~o adunăm eu soluţia gench~~lă' ectu:iţiei ombp;eiie corespuriz'iitbare. Înb·uch soluţia geneJtală a ecuaţiei omo~ene este cunoseută~ sohqia parti-

a'

eulară poate

fi găsiţă prin cvadraturi, folosind met?da variaţielii constantelor [25]. Să considerăm, de exemplu, ecuaţia de forma::.

y"

+ ·k2y = f (x).

(33)·

Soluţia generală ~ ecuaţiei omogene corespunzătoare sedetermină prin formule (31) şi trebuie să căutăm o soluţie parti~·· culară a ecuaţiei (33) de forma:

=

u

v1 (x) cos kx

+ v (x) sin kx, 2

-

Rezolvîndu-1,

· v'(x) 1

obţinem

-; f(x).

k

= 2.k f

(x) cos kx.

u'

= _ ~V msin k~ d~; ".<.,>= ~ ~~ <~> cos k; d~ ~

z

z0

sin ko: ~

f (~)

sin

Zo

a;o

y"

+ py' + qy = /l(x) + /a(x),

al doilea este egal, respectiv, cu

u;

şi integrala generală a ecuaţiei (33) va fi:

(Îzl

(34a)

lll''fl

f1 (x)

şi

h(x);

f2 (x), ad.ic1

u~' + pu~ + qu2 =. / 2(x).

:

+ u2)" + p(ul + Uz)' + q(ul + uz1 = IJ(z) + /2(z),_ + u2 este soluţie a ecuaţiei (35).

Să considerăm

acum ecuaţia neomogenă

y"

+ py' + qy =

aek"'~

(36)

un.de, in membrul al doilea, a şi k stnt numere date. Ulterior, în vederea simplificării scrisului, vom introduce o notaţie specială pentru membrul tnUi al ecuaţiei ~:

.

CII

c. cos ko: + c. sin ko: + i ~/ msin k(o:- 1;) d~.

+ pu~ + qu1 =

obţinem

ceea ce arată că u1

CII

(~) sin k (x -~} d~,

cos kl; dl;,

ti că u1 (x) şi u 2 (x) sînt soluţii particul re ale ecuaţiei neomogene, cînd membrul

..1\dtUlînd,

~to

1 c k) f

k~ d~ + cos ko: ~ Im

de unde rezultă a doua formulă (343).

(3"'}

sau, introducînd sub semnul integrală factorii care nu depind d& variabila de integrare, avem : u =

O,u' j z=:vo = O.

a;

~

= - co~kx~f(;> sin k1; d~ + sln:%~f(~) cos k~ d~

,. =

=

~

unde x0 este un număr ales după voie. Introducînd în formula (34).". obţinem soluţia par~iculară : .

u

=

29. Cazuri particulare. Dacă membrul al doilea al ecuaţiei (32) are o formă specială, se pot căuta solutii particulare mult mai simplu, fără a recurge Ia metoda variaţiei constantelor. Să facem mai tnUi o observaţie. Presupunem că membrul al doilea al ecuaţiei (3~) este. suma a doi termen~ :

~

X

.

z=::eo

X

Scriem functiile primitive sub formă de integrală. cu limit:a!l! superioară variabilă şi însemnăm prin ţ variabila de Integrare ::.

",_ (o:)

1

· Prima din aceste egalităţi decurge nemijlocit din (34 2), deoarece pentru x = x 0 limita superioară coincide cu limita inferioară .. Pentru a verifica egalitatea a doua, determinăm· pe u' prin formula (341 ), amiutindu-ne că derivata unei integrale în raport cu· limita superioară este egală cu valoarea funcţiei de sub semnul integralei. După o simplificare evidentă, obţinem

:

_!_ f (x) sin kx; v~(x)

=-

u

(34}'

unde v1 (x) şi v2(x) sînt funcţii necun,?scute •. ~c.u~ţiile (16) n~ dau, în cazul de faţă, sistemul de doua ecuaţu limare cu doua. necunoscute : vHx) cos kx v~(x) sin kx =O

+ v~(x) sin kx +. v~(x) cos kx =

Să facem o observaţie cu privire la formula (34 2 ).ln membrul :al. d.oilea a:J acestei formule, x intră sub două aspecte. În primul rind, x este limita superioară de integrare, iar in a] doi1ea·tind, ;a:. intră sub semnul integrală, nu ca variabilă de integrare, ci ca an parametru auxiliar care la integrare se consideră constant. Esţe ·însă uşor de arătat că soluţia particulară (34 2) verifică condiţiile iniţiale nule, pentru x = x 0 , adică: · ·

+ pr + q.

~

(37}

Vom căuta soluţia e~U:~ei(36) de aceeaşi formă ca şi membrul al doilea al ecuaţiei, adică de · forma : '

Y = ale'ae

95

tn care a 1 este un coeficient-numeric necunoscut. Introducînd în (:36) şi. simplificind cu i~D, obţinem pentru determinarea lui a 1 o ecuaţ.ie care, pc baza lm (37), poate fi scrisă sub forma :

saa, revenind de la funcţiile exponenţ.iale' la cele trigo~ometrice, ' e ± lxi = coslx ± i sin lx,

Dacă k nu este 0 rădăcină a ecuaţiei (22), adică dacă p(k) :::ţ=. O, atunc} a1,Poate n determinat prin ecuaţia precedentă. Să presupunem ca cp(k) = O 1nsa t:p (k) Ţ O~ adică k este rădăcina simplă a ecuaţiei (22) [1, 186]. în acest caz, putem c..tuta

soluţie

o

soluţie

a

ecuaţiei

(36) de forma:

= a1 xi

y

00

cp (k) 'a1 x

sau, .deoarece
=

O,

ekx, obţinem

+ cp' (k) a1 =

a,

cp'(k) a1 = a,

m'(lc) =1=. O. .Dacă, în sfîrşit, k ,est_e de Unde SCOatem Va l Oarec\, lu'l a1> dat fiind că . T • , , , . rădăcină dublă a ecuaţiei (22), adi~că cp(/c) =:= cp'(k! = o,. atunci, ca Şl mru sus, se poate uşor arăta că trebuie căutata o soluţie de ·rorma · y

=

"

a x~

1

x.

(38)

unde p (x) este un polinom de acelaşi grad ca şi P(x), necunos~ut.ele fiind coef~.. t" l~i p 1 (x). Substituind pe (38) în ecuaţie, simplificînd cui~ ŞI egalînd ~~efi_ . pu t en· a le lu 1· x , obţinem ecuatiile ('~en '~~ ace1oraş1 pentru determmarea eoeficiencientu ,

ţilor' ~~cfli~:i k este o soluţie a ecuaţiei (22), atunci şi in membrul al d~il~~ al

ccuaţiei (38) tre~uie să in~r?ducem factorul x sau x 2 , după cum k este radacma simplă sau dubla a ecuabe1 (22). .. . t . Să trecem la cazurile cînd termenul liber conţine fnncţn tr1gonome riCe.

la început

y"

ecuaţia

+ py' + qy =-=

+ b sin lx).

e~:x (a cos lx

el:ei

+

e--l~i. _

l X = --~---2----

sin lx

t

. :c--=

lm

--l.i:-t

. e, -- e --2T ____ '

+

lJe
A si B sînt anumite constante. DaCă numerele conjugate (k ± li) nu sînt d un e , · · ,· · t ·. buie ,să căutăm o rădăcini ale ecuaţiei (22), a tund, eonform eu ce 1e e mm sus, 'e ,

d

soluţie

a ·ecuaţiei de fomu1 !1 =' :!lerk +.

96

, lri)X

+·

+- Q(x) sin lx],

ix [1\(x)

cos lx

+

Q1 (x) sin lx],

unde P 1 (x) şi Q1 (.-r) sînt polinoame de grad egal cu gradul cel mai înalt alpolir.oamelor P(x) şi Q(x). Dacă (k ± li) sînt rădăcini simple ale ccuaţiei (22), atunci p·ebuie adăugat factorul x.

· '30. Ecuaţii liniare

de ordin .: superior eu coefici~n ti colls'ta'n;tl.

V om expune, fără demonstrare, rezultatele analoge celor precedente, pentru eeuaţiile de ordin superior. Ulterior vom expune teo;ria generală a ecuaţiilor liniare cu coeficienţi constanţi cu ajutorul unei metode speciale - metoda factorului simbolic- şi, ieu 'această ocazie, vom demonstra şi rezultatele pe care}e expunţm aici. · , ·.· Ecuaţia omogenă de ordinul n ,are forma : ·

+ PtY(n--ll + ••• + Pn-1 y' + Pn Y =

O,

in care p 1 , p 2, ••• , Pn sînt numere reale date. Form.ăm_ecuaţia caracteristică, amilogă ecuaţiei (.22) ':

+ Pn-1 r + Pn =O._

p~tem scrie membr~l al do!lea al ecuaţiei (:~9) sub forma : . Ae(k .+ li);e

cos lx

unde P(x) şi Q(x) sînt polinoame în x, atunci trebuie căutată soluţia de lo:tma

y
Scrvindu-ne de formulele [1, 177]: COS

ekx [P(x)

ekx ·

Prin aceeasi metodă se poate găsi o soluţie şi pentru cazul mai general, ctn~·l 1 l'b aÎ ecuatiei are forma unui produs P(x) ix, unde P (x) este un poh: 1 ~~:::e~u n~~că k nu ~ste. 0 rădăcină a ecuaţiei (22), atunci soluţia tn~buie căutata sub forma:

Considerăm

(40}

In care a1 şi b1 stnt constante necunoscute. In acelaşi mod se poate arăta că şi membrul al doilea al ecuaţiei (40) trebuie înmulţit cu x, dacă (k ± li) sînt rădăcini ale ecuaţiei (22). Constantele a 1 şi b1 se determină prin substituirea expresiei (40) in ecuaţia (39). Să observăm că, dacă în membrul al deilea al ecuaţiei (39) figurează, de exemplu, numai cos lx, atunci în soluţia (40) trebuie să luăm ambii termeni, atit pe cel care conţine cos lx ctt şi pe cel care conţine sin lx. Cităm, fără a ne opri la demonstraţie, rezultatul mai general : dacă membrul al doilea are fqrma :

•

Introducînd 1n ecuaţie şi simplificînd cu

vedem că, dacă (le± li) nu stnt rădăcinele ecuaţ.iei (22), atunci trebuie să căutăm o a ecuaţiei (39) de forma :

(4~)

. Fiecărei rădăcini reale simple, r = r1 , a acestei ecuaţii ii corespunde o soluţie y = er1 x. Dacă ;rădăcina este multipli\ -de e>rdinut s, atunci îi vo:r corespunde u;rmăto,arele s soluţii :

Ble(k --- bi):x

7. Curs de matematici superioare

Unei perechi de rădăcini complex-conjugate simple, r -·= Ot ± ~i, ii corespund soluţiile eax cos ~x şi eiXx sin ~x. Dacă aceste rădăcini sint mult~ple de ordinul s, atunci lo:w le corespund următoarele 2 s soluţii:

eO((ll cos ~x, _xeax cos ~-x, •• ~' xs-- erxx cos ~x, erxa: sin ~x, xea.x sin ~x, ... , xs- 1 ea.x sin ~x. 1

găsi

soluţie particulară

o

Y(n)

a

ecuaţiei

00

[P(x) cos lx

+ Q(x) sin lx],

(43)

înalt.

conside~ăm ecuaţia

+ 6y =

y" - 5y'

4 sin 2x.

Ecuaţia. caracteri~tidt corespunzătoare

r2

=

2 şi r2

=

-

5r

+ 6 =O

3. Integrala generală a ecJJaţiei omogene va fi ::: Cle2x

+ C2esx.

(44)

Soluţia particulară a ecuaţiei complete trebuie căutată sub forma :

dă:

+ -1

.

sm 2x.

19

Y (IV) - 2Y"' -t- 2Y" - 2y ' este :

+. y =

x sin x.

r' - 2r3

+

2r2

-

= o,

2r

+

1)2

= o;

1

+ 1) (r -

ea are o rădăcină dublă r - r 2 _ 1 · rs,4 = ± i. Integrala gen~r;Iă a-ecu~ţi~~r~~~:e~:

( C1

w w.

~:af~I~i' complex

conjugate

+ C2x)ex + C3 cos x + C4 sin x.

(45)

t±er~e~u±lli.·be_; tn f_?r~~l? (~3), vedem că tn cazul de faţă k=O l = 1 Pco:~avş-1~~ zz smt radacm1 simple ale ecu soluţie particulară trebuie căutată sub forma : atiei caracteristice, aşa că o t' •

=

un~e V

_a,

+

+

+

+

+

'

---~ -~A-·

=

x[(ax b) cos x (cx d)sin x] bx) cos x (cx2 dx) sinx,

+

'

b, c,, d sînt coeficienţii. care trebuie determina ţi.

~1. ~cua. . ilie lh~iare şi fen~menele oscilat~rii.

5 a .Iamunm .Insemnătatea ecuatiilor liniare d

- --

1

-- - :;_,

ord~nul al doilea cu coeficienti c~nstanti .e . dennd fenomenele oscilatorii ~În cel ~ ' COilSl· Fig. 22. • e ce urmează . h YAm se h Im a notaţiile şi vom nota d . . . . print Stimp~l), iar funcţia prin x. eseorl vanahila Independentă s. a. considerăm oscilaţiile verticale ale unu· ... m_ ' atirnat de un resort . . . I corp de masa " .. ' în J·urui pozitiei de echil'h " greutatea corpului este exact ech Th ·. I ru, In care resortului. · Il rata pnn forţa elastică a 1

...

•

Fie, · 1- .d e Ia pozitia d.e echTh 22) xp distanta _ : ., ' socot'C .... 1,~ vertiCa' . Ig. . . • resupunem ca mişcarea are loc într-u~ mediu a Ic~r:~

.. (f'

re~istenţă este proporţională cu viteza.!!:!!___~

',•·•·'!.

Sttbstibiind 'in! ecuaţie, obţi~em : ceea ce

5 cos 2x 19

__.J

Ecuaţia caracteristică corespunzătoare

=(ax2

~~ polinoaJUelor P(x) şi Q(x). · · , - · · · · · · ·· ' ! • · · · " , Dacă însă (k ± li) sint rădăcinţ JUUltiple de ordinul s -ale e~uaţiej (42), atuncii şi tJ1 :membrul al doilea al ultimei relaţii trebuie introdus factorul x$.

e nu> l e. 1, _Să

=

soluţia particulară va fi :

Adunînd-ow cu (~4), ~obţinem integrala generală a ecu:;tţiei 2•. Sa consideram ecuaţia de ordinul al patrulea: .

Y

y = _e'cx [P1 (x) cos lx +- Q1 (x) sinlx], ~nde gradele polinoamelor P1( x) şi Q1(x) treb~ie luate egâle cu g~adul cel. mai

1 .

19' adică

b1

Y

aceeaşi formă

\,.,

19

(r 2

şi (k:;l: li) nu sînt rădăcini ale ecuaţiei (42), atunci şi soluţia trebuie căutată tot..

admite rădăcinii~ r 1

5

-.-_. şi

+ P1 Y(n-- 1) + · · · + Pn--1 y' + Pn Y= f(x),

f (x) = /

E x

=

eare se poate .scrie

neomogene :

aplicăm metoda variaţiei constantelor arbitrare [26]. Dacă membrul al doilea are forma P(x) ekg; şi dacă k nu este rădăcină a ecuaţieii (42), atunci se poate căuta o soluţie de forma y = 1\ (x) ekx, unde P 1 (x) este un po-linoll1 de a~elaşi grad ca şi P(x). Dacă k este o rădăcină multiplă de ordinul s a, ecuaţiei (42), atunci trebuie luat y = xs P 1 (x) ekx. Dacă membrul al doilea are forma.

de

a1

,

În modul acesta, utilizînd toate rădăcinile ec~aţiei (42), obţi nem nsoluţiiale ecuaţiei (41). Înmulţind aceste ·soluţii prin constante arbitrare şi adunîndu-le, vom obţine soluţia gene1·ală a ecuaţiei... Pentru a

·(2a1

-

10b1) cos 2x

+ (16 a 1 -

. 4b1) sin 2x

=

4 sin 2x>

dt

)

-Corpul este. solicitat de • 1) ~0 t d .. ~are: ~iilde să-I readuc-ă în --p~zitia ~~a ec:il~~stah~hre a resorttdui JJocoti proportională cu dep... t' I ru ŞI. pe care o vom . ~ ar area x a corpului de poziţia de '99

echilibru şi 2) forţa de rezistenţă, propo1·ţională cu viteza şi avind direcţia opusă vitezei. Ecuaţia diferenţială a mişcării va fi: d2x

m -

dx2

=

-

dx

d2x

dt

dl

b -- - cx, sau m ~2

li.he.r /(t)- din ecuaţ~a (50) pr~vine dii~ forţa de pe1·turhaţie exte..;· rwara, care lucreaza asupra Sistemului. Ecuatii de această formă se întîlnesc nu numai în studiul oscilatiilor sistemelor mecanice . dCW:. şi în diferite pro~leme ~e fizică, legate de fenomene oscila.' toru. De. exemplu, sa cons1derăm descărcarea condensatorului de capaCitate C prin circuitul cu rezistenta R si inductanta L Însemnînd prin v tensiunea între plăcile ~onde~satorului , vo~ obţine pentru circuit : '

+ b ~+ cx = O. di dx

Ca un al doilea exemplu vom considera mişcarea unui pendul simplu de lungime l intr-un mediu cu rezistenţa p1·opm·ţională cu viteza. Ecuaţia diferenţială a mişcării va fi, după cum se ştie din mecanică, d2 0

ml -

= -

dt2

.

mg sin

f) -

dO

(46)

b _,

d20

+ b -dOdt..· + mgO =O.

dt'~

(47)

, Dacă asupra pendulului mai lucrează şi o forţă exterioară care depinde de t, atunci, în locul ecuaţiie (47) vom avea o ecuaţie cu termen liber :

ml~

20

dt 2

+ b _.!!_~dt + mgS =

f(t). ·

dt 2

+

2h

dx dt

+ k 2 X' =

+ 2h dx__ + k 2x dt2 dt '

O

(49)

--.-· f(t).

(50)

.

In general, ajungem la o asemenea ·ecuaţie cînd considerăm micile oscila ţii· ale ·unui sistem, cu un singur grad de libertate, în

• .

·.'

~ =-

vecinătatea pozitiei sale de echilibru. Termenul 2h •

(51)

dP}

C-.

(52)

dt

· ...Presupunem că în circuit se gă~eŞt~. şi, o s~rsă de curent de forţa electro.m ot~are E," pe. ?ar_e o ·voni; c'onsideni pozitivă, dacă lucrează ~n duecţie op_usa, lm ~. În acest caz, în locul egalitătii {51) vom ob~ne , .

. di:

v-E=R"+L~. dt

Introducînd expresia (52). obţinem ecuaţia diferenţială : o Lc ·fi2_ d/2

+ RC

dlJ

dt

+V=

dx

ill

p. ro;.

:vine din rezistenţa mediului sau din: frecare, iar h ·se numeşte coeficientul de rezistenţă ; termenul k 2 x provine din forţa inte!"' -riol:lră, iar. k 2 se numeşte coeficientul de restabilire; termenul

E

sau 2

d v R dv 1 ' -+-+ ....;...-·v = L dt LC dt2

sau d'Jx

+ L -di-

unde i este intensitatea curentului în circuit. Afara" de aceasta,, este cunoscută relaţia -

(48)

În ambele ~.azurj considerate, :qJ.işcal;el:l este detei·minată printr-o ecuaţie uiferenţial~ liniară de ordin~l al doilea, cu coeficienţi co~stanţi:· ·· · Pentru a studia ~ceastă ecuaţie o vom scrie sub forma :.

~_!_

R ~.

dl '

în care O este unghiul de înclinare al pendulului faţă de poziţia de echilibru. Considerînd cazul oscilaţiilor mici ale pendulului în vecinătatea poziţiei de echilibru, putem înlocui pe sin O prin ·însuşi unghiul ~' şi ecuaţia (46) devine : ml--:-~·

V=

dt

E

---

(53)

LC •

Co~pa;~nd 'această ecuaţie c·u ecuaţia '(50), vedem că termenul

L dt

tenţă;

termenul-le v este analog termenului care

este analog termenului care provine

din rezis-

provine din

forţa de restahilire; termenul liber !!_ este analoa0 celui care LC

Provine din forţa de perturhare.·

Dacă şăsim pe v din ecuaţia (53) şi-1 înlocuim în formula (52 ), ~ aţ~unc1 putem determina pe i. 3~. OseiJaţii pro1,rii şi oscila tii .întreţinute. Să consideră~ ee uaţ1a on;ogenă · · :, . ~~~ + ;2-hx' ·k 2 x ~ O, (54·) 1

•

+

100 101

~i făcînd t

=

O, obţinem : Ca=

(62)

p

pfin urmare, soluţia care satisface condiţiile iniţiale (61), va fi : . X=

(

e-ht .

X 0 COS

pt

+

x~

+ hx0

.

sin pt).

p

(63)

Să observăm că, în formula (63), coeficientul de amortizare th şi frecvenţa oscilaţiei p = 1' k 2 : - h2 sînt complet determin~te prin .coefici~nţi~ e~uaţiei (54J •. în ceeace priveşte amplitu• ·~bnea A ŞI faza Iniţiala cp, e~e dep1nd de~ conditiile initiale si in virtutea lui (57); putem scrie: ' ' , , , ' ,

,

A cos cp .

Punînd C1 =A sin cp;

C2 =A co(cp,

a~ducem soluţia (56) la, for~a·

.· x 21t

sau, punînd p = -

=

sin (pt.

Ae·~ht

(57)

+ cp)

(58)

x~+ ltx0

-·--- ; p

-din. a~este rel~ţii şe· p~t sco~te valorile lui ltr_~]>u1e ~n!o c~1t p~etut1nden1 p pri,n k. .

A şi cp. J)~că la.~ Q, . ; · .· · , 2. M~şcarea aperiodică. Dacă diferenţa (h2 - k2): este pqzitivă h2- k2- q2,

,

't'

{59)

este perioada oscilaţidor libere, A - amplitudinea lor iniţială, iar q> -faza iniţială-. Dacă -nu se ţine, seamă de rezistenţa mediului, adică dacă h = O, atunci ecuaţia (55) va avea rădăcinile r = ± ki, şi, în locul lui (58), vom avea: Aici

+ cp}.

(60)

Aceasta va fi o. oscilaţie armonică pură de perioadă ' ,, ' '· ' ' d~ oscilaţia amo-rtiz~ţă~ factoţul e~ht

'

. x:l t=:o Făcînd în formula ,,\ii.l

,,

=

'

x0

;

'

x' .1 t=,o

'

'x'· = el (q

= ..:::!:. • k

=

el =

Xo~ Derivînd

.

x.': .=- he-ht(C1 cos pt+C2 sinpt)+pe--ht(-C1 sin pt+C2 ~cos pt)

C.:le(a-hlt

+ Cse-(a+hJt.

(65)

- h)

e(q_;_h)t

~

C2 (q

+ h) e-(a+Mt·

(66)

tti .făcînd în ( 6 5) şi ( 66) t = O, obţinem două ecuaţii pentru deter· m1narea constantelor Ci şi C2 prin datele iniţiale (61) : . Cl

+ C2 =

Xo ;

(q - h) C1

-

(

q + h) C2 = X~,

-de unde deduceni (q +Il) X 0 -t X~ C~=------

2q

(61)

x(,.

=

ln acest caz .avem evident q. < h. si ambele rădăcini (64) sînt negative.; "x tinde. către zero cînd t' creşte in definit. Der1v1nd egalitatea (65) în raport cu t :

'

(56) t = O, obţhiem

formula· (56) · in raport cu t :

x

')

't'

Formula. (59) caracterizîn(l amortizarea. În intervalul de timp egal' cu perioada, ampli~ ţudinea se micşorează în raportul e-h-c • . V alori~ţ constantelor C1 şi C2 în formula (56) sau, ceea ce este acelaşi.lucru, constantele 4 şi cp în formula tŞ8), depind de condiţiile in~ţiale. Să presu· punem că aceste condiţii sînt :

!i

(64)

't'

x =A sin (kt '

•tunci rădăcinile ecuaţiei (55), vor, fi :

.

C2-

(q - Il) x 0

-

:1:'

o

2q

3. Un caz special de mişcări aperiodice. Dacă, în sfîrşit k 2 = O, ecuaţia (55) va avea ;rădăcina dublă r1 = r8 = 1Î prin urmare [27] x = e-ht (C1 Cat). (67) 62

-h

-:-:-

+

l·l:!·li

il

l!ill li

11

~1,

111,11

:ţ02

103

A vind în vedere că funcţia te--ht tinde către zero cînd t tinde ~ătre infinit [1, 66], expresia (67) tinde de asemenea către zero~ Ecuaţia neomogenă

+ 2hx' + k

x"

Trebuie să determinăm amplitudinea N şi diferenţa de faz~'i Introducem expresia (74) în ecuaţia (73) :

cilaţ.ii.

2

x = f(t),

2

w N sin ((J)t

+

k x = f(t),

(69)

t

=

C1 cos

kt+

C2 sin kt

+

2 [(k - (J) 2) N cos 8 - 2hcuN sin o] sin(wt + cp ) + 0 [2/zculV cos + (k2 - w 2) N sin 3] cos ((i)t + cp0 ) = II0 sin ((J)t

a

+

+

q-;

0

Egalînd coeficientul lui sin (wt + cp0 ) cu constanta If0 şi al lui cos ((J)t cu zero, obţinem două ecuaţii pentru determinarea lui N şi o :

integrala generală a âcestei ecuaţii_ este [28] :

x

+ 2hwN cos (

Punen: sub forma trigonometrice, care figurează în membrul întîi al egaHHiţii. Utilizînd formulele care dau sinusul şi cosinusul sumei obţinem :

.

2

acestei os:....

o)

(68)

in care termenul liber f (t), provine. di~ forţa e~terioară/ d~ter: mină oscdatii întretinute. În cazul oscilat1e1 proprn pur armon1ce .: , ' , x"

+ Cflo +

a· a

(k

~ ~[(~)sin k(t-

u) du,

2

2

-

Rezolvîndn-le

Jn

2/l(J,)JV sino

2hwN cos o

= If0 ;

).

+ cp 0 }~

+ (k 2 -~ w2)N sin 3 = o.

raport cq c~s ~ şi sin o, 'obţine~1·:".

o

prtr

în care :ultimul termen din membrul al doilea dă-oscilaţia·Jntreţinută a~ică soluţia -ecuaţiei (69)~ care satisface condiţiile· iniţiale

;nule :

x \ t=o = x'

l '=o=

(70)

O.

Înt1·ebuintînd aceeaşi metodă a variaţiei constantelo;, ~e poate arăta că, în cazul cînd oscilatia proprie este o oscilaţie amortizată, soluţia particulară care verifică condiţiile iniţiale (70) va fi:

-

-Ţ

.-..

t-

~ e ""J(u) sin p (t ~· u)

du,

(71)

o --""""''!l""'·~~x

iar în cazul apeiiodicităţii, această soluţie particulară va fi : t

(t) ..

X

o

___!__ e
.o

(u) du _2:__ 2q

lăsăm

~

(u) du. (72)

o

pe seama cititorului.

sinusoidală exterioară şi rezonanţa. mărime sinusoidală :..

x"

f

e:-
-

Demonstrarea o 33. Fot·ţa este deseori o

f

+ 2hx'. + k 2 ;p =

H 0 sin ((}.)t

In

aplicaţii,

termenul libe:t·

· ·

+ C?o)·

tu: acest c~z,. -vOih căuta -soluţia ecuatiei sub' forma 'unei mărimi sinusoida:le de aceeaŞi frecvenţă ca şi termenul liber [29] : , .. _ . · ,, · · · · , . . ;y

== N

Ş.in.(wf

Ridicînd la p:ltrat şi adu.iitnd, oţinem :·-

+ q;0--+ 8).

Ii~

1=

de unde deduceih: Ilo.

N =

V (k2 -

w2)2

+ 4ft2(}.)2

l~ltroducind. această vaioare

a lui N In expresiile obţinem formulele pentru determinarea lui 8 : coso

=

k2- w2

V- (k2 _

w2)2

+ 4Jl2(}.)2

sin8

p're~edente

ale

l~i· c~s 8 si .·

sin . o.

'

2hw

=

(76)"

Avind valorile lui N şi 8, formula (74) ne va da soluţia particulară sinusoidală a ecuaţiei (73). Soluţia generală a acestei ecuaţii va fi :

x

=

Ae-l•tsin(pt + cp)

+ JVsin((l)t+

cp0

+. 8),.

(77) unde A şi cp sînt constante arbitrare care se determină prin condiţiile iniţ.iale. Aici 2 pre~upunem că h - k 2 = - p 2< O, adică oscilaţiile proprii sînt oscilaţii amorti71 zate. Dbi cauza factorului e- ' (h> O), primul termen în (77) descreşte repede cind t creşte, incit acest termen influenţează mărimea x numai pentru valori mici ale lui t (proces în curs de stabilizare ),iar, ulterior, milrimea x este determirrată aproape e;xclusiv de al doilea termen put sinusoidal, care nu depiride de condiţiile iniţiale (proces stabilizat). ·· · · · ,. ·· ·· · · · ··· Să studiem acl}m formulele. (7[)) şi (76), <~are servesc pentru deţen~1inar.ea amplitudinii N şi a diferenţei de fază 8 a soluţiei (74) şi termenului liber din ecuaţia (73). . .• . ' ,, ., .Dacă .tn. membrul al doilea aiecl}aţiei (73) ar figura numai copstanţa H , 0 atunci ecuaţia .

(74}

105-

care ea.

:ar avea evident ca. soluţie particulară constanta

determină diferenţa

Mărimea

rimii q.

de

fază

a

este

mărimea

exterioar e ŞI· a perturbaţiei .. · . produse de·

forţei ext ·

A depinde de perioada T a

Să găsim maximul mărimii

să găsim minimul funcţiei

Această constantă

forţei

A. în

funcţie

· · · ~IO~re prm mtermediul mă (1e q. en ru aceasta este suficient

acelei abateri statice pe care ar produce-o,

forţa constantă.

Să considerăm raportul :

A.=

care

forţei

ln raport cu q2 •

serveşte

ca măsură a susceptibilifă(ii dinamice a sistemului faţă de- acţiunea exterioare. Ţinînd seamă de formula (75) şi de expresia lui ~Il' obţinem:

), =

Jc2

V(Jc2 _

.

(1)2)2 + 4h2(1)2

Din ultima. ~xpresie, se vede·

.lt-V

1

(1).2 )2 +4h2 ~2 Jc2

şi are ca valoare ( y' q

că /.. nu depinde. decit de rapoartele : 2h

(78}

şi

. şi ar avea perioada

't'

= ~ . însemnăm 2n· ·

. ]c ... •. ·.

T=

-. (1)

Obţinem

..

':._:

forţei

perturbatoare prin

.

atunci pentru q : q=

vr

(79)

T

·,formulele :

1:06

yq)..,

(81)

r!l ~~\

...

o

~V /V

Pentru Y mic, mărimea q, căreia

~are

\'

\

'--"""'

l~

_;__:_

O

'

~

07! (()

mărimeay,

x" riu

?

ad~ite .soluţie de Lăsam Cititorului să

+ k2x =

forma {74) verifice că

mărimii 'X, con~

cos~ :::;:: (1·- q2)A;. s.in3 ~ -

t!l

În acest caz, caracterizat prin condiţia h - O' (1)

şi

obţinem

·~

~

'.

libere•. Diferenţa tntre aceste tl,J'.f ~{ 1,25 ţ5 ' ~ ?5_ -~_n,' perioade,, d:pinde de este condiţiOna ta de rezistenţa iniţială. Fig. 23. Dacă rezistenţa lipseşte, atunci _ . . 0 şi este infinit. Y- • ŞI max1mullm. A. este atins pentru q = 1

y,

mărimea

·

,,

-~~

5-

c?r~spunde maximul lui A., este veu~a cu . unitatea, adică perioada forţei exter~oar~ care realizează, pentru; o.. amphtudme dată, efectul cel

lui q am explicat~o, hir constanta ctip~ culll. se vede din definiţia ei, nu depinde de forţa exterioară aplicată. pin cauza micimiilui h, constanta y este de obicei mică şi, dacă q nu este veciii. eri ·u.nft.atea, atunci ).. este

vecin· cu _.,!__ . în fig.23 stnt reprezentate graficele . . (t-q2) . . . . ::Siderată ca funcţie de q, pentru ctteva valori ale lui y. împărţind· prin k 2 · mimărătorul . şi numitorul din expresiile (76),

:

5 1

·

t

. '

o·

(80)

seriu;lificaţia

.:. r

(J

h

osc~laţ1m

.

2

_Y 2

..

~

{82)

1-

.

.iO

ma~ m.a~e,, este apropiată de perioada

-cu alte cuvinte, q este egal cu raportul dintre perioada oscilaţiei libere a sistemu-lui fără rezistenţă şi perioada forţei perturbatoare. Obţine~ astfel- pentru A. valoarea:

in care

J/ 1.

"(

: ,

perioada

=

1 ~~=

Să lămurim semnificaţia._, mecanică a primului n1port. Dacă rezistenţa ar ;Iipsi, atunci oscilaţiile proprii s'ar eKp,·irnl p:til fJ:n tl.l (}:

+
~). nCaici

va fi egal cu

le

x= A sin (Jct

-:-

se deduce că maximul lui A. va fi atins pentru

(1)2 k2

"( = ---.·.

După cum se vede uşor, acest ininim. este atins 'p en t ru q2__1_ ·

X =i -

care

ca factor pe t [29]. Sa· ne intoarcem ·la studiul

co~ţine

Du!'ă cum se vede. din graf'

H 0 sin (kt ecuaţia

• ecuaţia

(73) devine :

+ CJlo)

(83)

. (83) admite

H ~ fcos(kt -j2k

. · t .

= k.,

~

soluţia

m ) TO'

.

.

·

.

· ·· ·.

:. •·

:

ă ~azu1Ul n care .există rezistenţă, :adică h =1= o

creşte repede după maxim• ~e. ~c:~~:aucruA. creşte r(!pede inainte de .maxim. şi des; ne putem .convi.nge.· şLdin formula (80) 107

şi

pentru y mic. Introducînd în formulele (81) A.max (82), obţinem :

cos8 =

r

1

2

'11 [ 1 -yii-

sin8

=

' . · . '( 2rr) ·· ~J sau k = ki = -:;; , tn suma (85)

~entru

expresia lui q. din formula!

'f

=

·

terrnenul tn care

.

est~

CJ)j

!'1

.apropiat ~e va fi ~are, în comparaţie cu ceilalţi. Observînd exnerimental · .~ · mea maxtma a amplitudinii oscilaţiei'întreţinute 0 putem s · ·t·1 ~ mar:rnativ cu N;, şi din formula .iO. ' oco ega1 a aprox1-

1- y2 2

V

-

4

·de unde se vede date lui y,

că

pentru efectul cel mai mare al

diferenţa

de

fază

forţei

a~st~ vecină cu ( -

exterioare

şi

~ Hisin(c..>it

+ Cfli)·

(84).

i= 1 Fiecărui întreţinută

a,n or,e1:

este aprOJ)iat de

34. For!a exterioar:\ de tip impuls. S
fără frecare,

ecuaţiei

ti corespunde o

oscilaţie

x"

unde Ni şi 8i se determină prin formulele (75) şi (76), dacă membrul al doilea al ecuaţiei este cunoscut. Sumei tutu1·or forţelor exterioare ii va corespunde suma oscilaţiilor forţate indicate mai sus, adică soluţia particulară a ecuaţiei (84) va f ~ fi [29]:

+ Cfli + ai)·

(86)

o la l

_ 1', ŞI·

-

o.

ul

' t mterval · ' aces

~'~~

... 1'

:e

t

T Fig. 25.

timtp, Ia _î~ceput creşte de la zero Ia un anumit n'1axim pozitiv iar pe urmă e p 1na la zero (fig.25). ' • Soluţia generală a.!ccuflţiei (86) este f32] :

escreş

t x = C1cos k t

(85)

Să arătăm acum tn ce mod, urmărind oscilaţia întreţinută, se pot determina amplitudinile şi perioadele termenilor din membrul al doilea al ecuaţiei (84), dacă ele sint necunoscute. · Să presupunem că putem varia mărimea Jc2, adică perioada ~ a oscilaţiilor libere. Atunci va ave~ loc următorul fenomen : cind·. -r. se apropie de o anp.mită valoare -r1, amplitudinea oscilaţiilor· întreţinute va creşte repede, va atinge un maxim pentru acea valoare a lui -r, iar apoi, clnd -r variază mai departe, va descreşte rapid şi va rămîne mică attt timp ctt -r nu este tn apropierea mărimii -r 2 , căreia îi va corespunde un nou maxim al .amplitudinii etc. Aceste maxime se explică prin rezonanţa cu una din forţele exterioare, care figurează în membrul al doilea al ecuaţiei (84); mărimile 't"1_,-r 2, •.• ;dau .'valoarea aproximativă a j perioadelor acestor forţe .exterioare~ Marcînd. pe axa absCiselor perioadele ·oscilaţiilor. ;proprii· :şi pe axa ordonatelor .amplitudinile oscilaţiilor ·intreţinute obţinem:. o curbă cu mai: multe maxime (fig.24)~ 1 , .•

oscilaţiile întreţhmte

Jlt

_r l + G sin kt + ._k1 ' 2

i=l

1'08

a inten -

/(l)

ţ. :oneaza numa1 un scurt interval de timp·, de lat --

m

~ Ni sin ((J)i t

+ k2;r:, =

Fig. 24. (i = 1, 2, ... ,m),

=

aproximativă

ş~ să pr~supun~m că forţa exterioară f(i) prezinUi un caracter special anume ac

Llj

termen din membrul al doilea al de forma :

X

. pu t em g,ă SI· valoarea .

(J),,

Hi ~ 2/zkiNi.

m

+ 2hx' + k 2x =

:SI

; ) .

Să revenim la formula (77). Pentru valori relativ mici ale lui t, primul termen care dă oscilaţiile proprU amortizate, va fi mai 1Ilic, in comparaţie cp. .termenul ~~ doilea. Vom v~a ac11m mărimea (J), adică perioada 1' a forţei de per9,~rb~ţie. Jn · virtutea celor de rn,ai '.sus, prin aceasta va avea loc următorul fenomen ·: ctnd' 1' se apropie de o anumită valoare, oscilaţiile întreţinute cresc. rapid, ating maximul, iar apoi, cind T variază mai departe, scad repede. Acest· fenq1nen . s~ numeşte· rezonanţă •. Ea se inttlneşte tn cele mai diferite fenomene in care au loc oscila ţii : ln: oscilaţiile sistemelor mat~riale, in oscilaţiile electrice, in fenomene sonore etc. Să presupunem .acum că membrul al doilea al ecuaţiei (73) conţine sumae unor mărimi sinusoidale :

x"

ţinînd seamă că k· ·t~t·· f t . ?

valorile mici

'

Să presupunem că la momenfiil

~i fără viteză iniţ.ială :

x

t = O

'

1

t-o

(u) sin k (t _ u) du.

•'

o

sistemul se găseşte in pozit,ie de echilibru

= x' 1 t=o

=

O.

(87)

Acestor condiţii iniţiale le corespunde, după cum se ştie, soluţia particulară '

'

~

.

'

.

t

x =1

k

~ f (u) sin k . (to.- u_) du,

. o

pe care o vom studia aici.

·109

'

Pentru > N. integrala se reduce Ia integr~la relativă la intervalul (0, T). deoarece, prin · ipoteză,

1(u) == o

u > T.

pentru

Prin urmare T

x

= 2.__ ( 1(u) sin k k

sau x

~

J o

u) du pentru

(t -

sin

~

.,; =

T

:

t> T

adică, dacă durata acţiunii forţei exterioare este mică tn comparaţie cu perioada ost:ilaţiilor proprii, atunci, după expirarea actiunii forţei, oscilafiile sistemului se vor produce ca şi oscilafiile libere ale sistemului ieşit din pozitia de echilibru cu viteza· iniţială 1. _ · · 35. Forta e~terioară actionind statie. Să facem acum altă presupunere cu privire la forţa f(l), şi anume : împărţim intervalul de timp (0, T) în care acţionează. forţa ţ(t) în două intervale (0, T 1 ) şi ( T1 , T), astfel încît în primul forţa creşte, iar in al doilea, descreşte; in plus, mai presupunem că perioada oscilaţiilor proprii

kt-~ f (u) cos ku du-

prin

cos kt) f (u) sin ku du.

o

este

mică

în

comparaţie

durată a creşterii (şi

cu întreaga

.

Să revenim la soluţia ecuaţiei părţi şi ţinînd seamă că /(0)

=

(86) cu condiţiile O, obţinem:

x =

_!_ 1 (u) cos k k2

(t- u) 1 u=tu=O

_2_ (

\ f (u) cos ku du

o

o

T

T-

2__ f(l)

Produsul k T. = 2 1t'

_!_

=

21t'

k

.

k2

J

(8~)'

expresie din ecuaţia (86) dacă înlăturăm termenul în x", adică dacă neglijăm caracterul dinamic al acţiunii forţei . .t\1 doilea termen dă corecţia care trebuie adusă acţiunii statice pentru a obţine acţiunea dinamică efectivă a forţei. Acest al doilea termen poate fi pus subforma: t

- .2_

~-

't

.

r /'(u) cos k (t -

u) du

=

k2 o •'' t

;, cos kl ~ f'(u) coS ku du (88)

x = _!_1 sin kl,

t

t

sin kl

o

~

f'(u) sin ku du,

(90)

o

Să considerăm intervalul de timp tn care forţa creşte, adică

k T

1 ";' ) f (!) dt

o

este mărhnea impul~ului fotţei exterioare~·· · _· . · Formula (88) coincide, după cum se poat,e verifica uşor, cu formula pentra soluţia ecuaţiei : · x" + /c2 x = O, ctnd condiţiile iniţiale sînt [32j :

110

_!.__ ( f'(u) cos k (t - u) du.

k2

va fi, tn acest caz, o cantitate mică şi, dacă tnlo-

l t=O =

=

Obţinem această

cuim pe cos k91 • T prin unitate, iar p~ s ink6 2 • T prin zero, obţmem:

X

u) du

o

o

't

(t -

. 1 Primul termen -f(t) se numeşte abaterea statică produsă de forţa f(t).

Presupunem că durata T a acţiunii forţei exterioare este mică tn comparaţie

GU perioada oscilaţFlor _proprii

-

k2

~f(u) sin ku du ~sin ~ 6, · T • ) f (u) du. • o

/'(u) cos k

o

~ f (u) du

1 • .T·

(87). Integrînd.

t

.T

~cos k 6

iniţiale

J

k2

putem aplic.a integralelor de_ mai sus teorema med1e1 [1, 95] · .

descreşterii)•

t

o

f(u) este pozitivă.!> T} , functia Ţinînd seamă de faptul că în interva1u l (o ' .. ..

T

a

forţei.

T :

k

O; x'

l t=O

=

1•

t<. T 1• tn vedel'ea simplificării raţionamentului, presupunem că derivata întîi f'(t) este pozitivă, tn intervalul (0, T 1) şi descreşte în acest interv::tl, adică presupunem că creşterea iorţei încetineşte odată' cu timpul.' Să arătăm că, in ipotezele·· făcute, cele două integrale care figurează in membrul al doilea al egalităţii (90) sînt mici tn valoare absolută. Considerăm numai integrala care conţine. pe sin ku; cealaltă se tratează la fel. Descompune_m intregul interval de integrare (O, t) i~ porţiuni egal!3 ~ţi semiperioada oscilaţiilor proprii :

2... ~ ..::_ ·şi presupunem că numărul a~esto~ 2

semi-

k

:perioade, cuprinse în întregime in t, este m, astfel tnctt

m ~ < r-<. <în + 1) ~ • 2

2

1:11

Produsul -rf'(u1) pentru valori mici ale lui -r, este aproximativ egal cu creş terea funcţiei f(u) în intervalul (u1 ,u1 + 't") [1, 50], adică produsul 't' f'(u1) este apro·ximativ egal cu variaţia forţei în intervalul de timp egal cu perioada oscilaţiilor proprii. Dacă acest interval de timp este atît de mic în comparaţie cu intervalul total al creşterii forţei, încît variaţia forţei în acest interval să poată fi neglijată ·integralele

. Atunci·. vom avea : 't

9

. \·t.

f.

Cf'( ) 8in k. u du + ( f'(u) sin /w du + .... +

ţ'(u)s'inkudu=)

u

)

o

o

o

t"

2

t

~ /'(~) sin ku du şi ~ f'(u) ~os ku du

1'

o

f'(u) sin ku du+ \ f'(u) sin Iaz du,

·' T

(m--1) ~

-!-- .

" 1 ) va fi' in o-enera]' mai mic ca m --;:-- • t:> 2 . 2 . . us intervalul total, sin ku nu-şt In fiecare din intervalele in ca~~ci~ mediei [1, 95] şi observind că schimbă semnul, şi, in acest caz, ap d:-r = 2rt, putem scrie

::şi ultimul interval (

:ee::::i

t"

t~= (·H-1) -;;

sin ku du=

j'(u) sin ku du =f'(us)

~ ţ'(u8 )[cos ku] k

,..

2

2

1

f'(us) [cos (s

+ 1) 1t -

2

cos

S7t] =

( -1)s

k

k

<

Us

'

""

t

f'(u).sinkf.!- ,d~.l

= (-

De asemenea, pen ru t

J[

1)

" (s = O, 1, 2,:. · ,m - 1). 2 ultimul interval obţinem :

(s

+ 1).

~

m " Ot'(

·,;.

,

'

't"

) m.lde O <6<1 şim.-2.,

f' (t).

Posibilitatea de a determina static abaterea produsă prin forţa exterioară, este importantă pentru dispozitivele destinate înregistrării acestei forţe exterioare. Ca exemplu, amintim indicatorul maşinii cu ·vapori. El este format dinti-un .cilindru prevăzut cu piston şlefuit. Acesta din urmă primeşte presiunea vaporilor şi comprimă resortul elastic. Fie s aria pistonului, / 1 (t) presiui1ea vaporilor, kÎ rigiditatea resor·tului, m masa pistonului şi x deplasarea lui. Ecuaţia mişcării pistonului va fi :

2

s --

t"

o

-sint mici tn valoare absolută, iar termenul al doilea din membrul al doilea al egalităţii (89) va fi, în virtutea lui (90), mic, în comparaţie cu primul termen; Studiul intervalului în care forţa descreşte, nu se deosebeşte întru nimic de. cel precedent. Aşadar, dacă perioada oscilaţiilor proprii este mică faţă de durata totală a acţiunii ;fortei, atunci abaterea produsă de această forţă se poate determina static. Din cele precedente rezultă că ordinul de mărime al lui> -r, în comparaţie cu T, trebuie să fie astfel încît să putem neglija variaţia forţei în intervalul de timp -.. Dacă în intervalul de creştere al forţei derivata f'(t) nu descreşte tot timpul, .ci admite un maxim, ceea ce se întîlneşte des. în practică, atunci raţionamentul de mai sus rămîne în vigoare, în linii generale, numai că pentru a evalua suma alter;nată va trebui s-o descompunem :in două părţi şi în ea se va prevala un anumit termen corespunzător acelei porţiuni de interval, în care se găseşte maximu1 ~ni

u=s :_

't

s~

t

.ande

U,rn'

'C ·m~2

Aşadar; ':avein: t

\f'(u) sin ku du~· : [f'(u,) - f'(u,\

.+(- l)m-1

o

f'(Hm-1)

+ f'(u,)

- · ··

+ ( -l)me f'Cum)].

+ .

~ . • , . 1" • f'(t) termenii sumei alternate desctesc tn Pe baza ipotez~l făcute asup,a lm ă' . de aceea intreaga sumă are semnul .

·Iută pe măsură ce se depărteaz ' Şl

valoare a b so ·

•

.

1 ," + ) , i nsar este mai .mică ca primu t 0

<~ o

:t12

f'(u)

t

.

. [1 t93] · ermen . ' .. . . ...

şin ku du < ~ ~f'(u,).

Mărimea X se determină prin formula (89). Termenul al doilea din membrul drept al acestei formule reprezintă eroarea dispozitivului. Pentru ca el să fie mic trebuie ca perioada oscilaţiilor libere ale pistonului cu resort să fie mică, în raport -cu durata de. acţiune a forţei. în acest caz, înregistrarea indicatorului va fi foarte .apropiată de graficului f(t), adică de graficul forţei exterioare (cu aproximaţia unui factor constant). Dacă însă presiunea creşte· atît de repede încît variaţia presiunii în intervalul de timp, egal cu perioada oscilaţiilor proprii, este considerabilă, atunci indicaţiile acului indicator vor diferi mult de graficul presiunii 1 ). 1 ) Indicaţii mai amănunţite cu privire la această problemă se pot găsi

113

•

. Prima valoare s = O duce la q = y = O şi dă, din nou, curba elastică rectilinie. mică valoare a lui q, diferită de zero, se obţine luînd s = 1 :

rtmată printr-o forţă longitudinală~.

i bare elastice Une, comp

38. Rezistenţa une

Cea mai

'tăţi se pot

.

(proble1ma0 ~:! !:!:r~B rectilinie, s~bţire şibelaacsţ\~!~:~ ~!~: f~~~e~: aplicate.tl~ •

1

26) se

.

gaseşte

su

.

1

tru o anum1 a

mişca pe d~·eap!a ~B (fig.rimi~d-o de-a lungul axe~, atunci, ~~~ează ruperea ei.

extremităţile e!, ŞI comtepproduce indoirea axei barei, ceeatfcel cde rupere (problema ~ · e a forţei se poa il~ ~ rovoace o as e ~ r;:~::ma aflărll forţei care e~tte. cay:~o.:o~:rf longitudinale" a barei) a fost pusa aşa numi e; " . ară de Euler. . . , 1 şi rezolvata pentru prn~a oB . E modulul de elasticitate a:t tp Fie Zlungimea baret A 1-"de inerţie al secţiunii transB -materialului barei; 1, momen u 'dera constantă de··a Iunguli versale, pe care o v?m const intregii lungimi a baret [18]. t emitatea A a barei de-~lungu~ Dirijăm axa OX de 1~ ex r a O y o ducem perpendtcular~ l axei ei, la extremitatea B, Iar a:m că y este ordonata. curbell pe OX tn punc~ul A. Pr~su~rferenţială a curbei elastice, în· elastice a barei. E~~aţta cazul de faţă, va fl )

Introducînd

•au

numita forţă critică (formula lui Euler). Curba, după care se încovoaie bara cînd P = P 1, va avea.ca

=

ecuaţie:

C2 sin .!:.. x, l

va reprezenta o semiundă a sinusoidei (fig. 26). Iri_ acest caz, echilibrul nu este stabil şi sint poSibile deformări considerabile. Puntnd tn formula (96) .s = 2, găsim :

El

q2y

(92)

= o.

E:cuaţia

axei îndoite a barei, in cazul

de~ faţă,

va fi

generală a acestei ecuaţii este :. y =

c1cosqx + C2sinqx.

'tăţile A şi B trebuie să rămînă pe

Deoarece ext renu e.ondiţiile :

=

y \ z-0 Sl observăm

y\

axa OX, vom avea.

'fi curba de tncovoiere va consta din

= o. z-l

Forţa

(94) ...

P51,

necesară

pentru ca

două semiunde. să aibă loc o asemenea

deformare, trebuie

să

f1e:

d 'ţi'le iniţiale ln condtţule

că aceste condiţii sindt d~fer{!~ yd,epc:~r~ ~ anumită. valoare allu!·

al '1 funcţiei y şi ale eriva

i

~

pentru două va on·

~iţi:~~~:d~ţ:1: (9";) :ste dat~ numai 1val~~:~:t~~~~~f~r::l~lui (0, Z). De aceea~

•

(97)

[2

aşa

dx2

Integrala

2 rc2 El Elq 1 = - - ,

adică

p

!!JL +

=.:

y '

dx2

=

= _!_ , obţinem cea mai mică EI

1\

EltPy = - Py

sau, punînd q"'

valoare in egalitatea q2

pqloare a forţei, capabilă de a produce tncovoierea:

t

Flg. 26.

această

• variabilei · ·m · d ependente' ŞI danume ae · d ·ţ · · 1 limită ale 't. . de frontieră sau con z ll a · aceste condiţii se numesc con z, ~~ (93) x = O şi x = l : Facem in integrala genera a . l - O (95} l C sinqZ sau Ct = O ; C2smq -- . O == Ct ; O = Ctcosq + 2 C - O care duce, ţinind seamă, · 'd nta C = 2 ' seAceste ecuaţii admit soluţia e.Vl:ţ~ală re~tilinie a barei. Pentru ca a~a~ sa. ca la y = O adică Ia forma Illl 1 C =/=. O dar at unei tre me , d e (93) ' ' d este necesar ca 2 ' • poată incovoia intr-a evar . q să· ia una din valon1e sinql = O. Pentru aceasta trebUie ca ' y

y

y

q = ~. l 1) Momentul de tncovoiere al uneia din a barei este egal, evident, cu (- Py).

(s =O, 1, 2, · · · } ·

forţele

(96}>

ntru o secţiune arbitrar~

p

pe

adică

de patru ori mai mare ca cea precedentă. lui s valori tntregi succesive, vom obţine diferite forme posibile de echilibru pentru axa încovoiată a barei. Ele vor consta dintr-un număr cores· punzător de semiunde sinusoidale, iar forţele necesare ivirii unor astfel de tncovo· ieri vor fi proporţionale pătratelor numărului semiundelor. Este necesar să observăm că ecuaţia diferenţială (91) este aproximativă în sensul că, tn ea, curbura axei tncovoiate este luată egală cu derivata a doua, şi, din această cauză, ea corespunde numai fenomenelor legate de deformaţiile mici ale axei barei. Concluziile deduse din integrala generală (93) a acestei ecuaţii, cu privire la caracterul încovoierii pentru cazul cînd forţele F provoacă tncovoieri importante ale barei, nu mai sînt corecte şi pot duce la rezultate vădit nepotrivite. Prin numeroase experienţe cu bare lungi şi subţiri s-a constatat că atunci ctnd forţa P creşte treptat, bara păstrează la început forma rectilinie, iar apoi, ctnd torţa P capătă o valoare apropiată de P 1 , determinată prin formula (97), apare o lncovoiere vizibilă a axei barei, care creşte repede odată cu P . Dacă dăm

115 .114

Să mai remarcăm rolul condiţiilor la limită (94). în cazul condiţiilor iniţiale, soluţia ecuaţiei liniare este determinată în mod unic. În condiţiile la limită, după

cum vom vedea, lucrurile stau altfel. Există valori excepţionale' (96) ale coeficientului q din ecuaţia (92), pentru care, în condiţiile la limită (94), ecuaţia admite. afară de soluţia evidentă y = O, şi alte soluţii determinate, abstracţie făcînd. de un factor constant. Un fapt analog vom întîlni în exemplul de mai jos [37]. 37. Arborele de rotaţie. în rotirea rapidă a axelor lungi şi subţiri are loc, după cum arată experienţa, următorul fenomen : cînd viteza unghiulară (!) creşte, ea atinge o valoare (1)1 , pentru care axa nu mai păstrează forma rectilinie şi începe să bată; prin continuarea creşterii lui (!) această batere la început încetează, iar apoi apare din nou pentru (!)=(!);~etc. Să lămurim acest fenomen şi să'indicăm procedeul de calcul al tJifezelor critice : (1) 1 , (0 2 , ••• în general, forma de echilibru a axei rotative va fi o dreaptă, însă, pentru vitezele critice indicate mai sus, afară de forma rectilinie de echilibru, axa poate avea formă curbată de echilibru dinamic şi, în acest caz, orice cauză întîmplătoare poate provoca încovoierea axei, ceea ce explică· baterea. Presupunem axa sprijinită la extremităţile x = O, x = l şi însemnăm, ca totdeauna, prin y mărimea incovoierii. în rotaţie, pe fiecare element dx al axei tncovoiate acţionează forţa centrifugă J!._ (J) 2gdx, unde p este greutatea unităţii de y l_ungime a axei, iar. y _. acceleraţia gravitaţiei. . Socotind această forţă ca o sarcină continuu distribuită, obţinem, în virtutea ecuaţiU~r (25) şi (32) [HH : d4.y p(J)2 El-=~--y, dx 11 g

sau, punînd 4

q

=

v-p(J)Z.

=

±

qi,

şi

0.

(99)

Ecuaţia caracteristică corespunzătoare r4 şi integrala generală a ecuaţiei (99) va fi

g =

q4

O, are

=

rădăcinile

-

re=O

y 1

- d2y 1

re=l

dx 2

-

o

re=l

1

care conduc la sistemul de

ecuaţii

:

e1 + C2 + C3 = O; C1 eal+ C2 e-Ql + C3cosql + -C1 eal + C2 e -- ql - C3cosql -

.. .

Pnme1e două ecuaţii dau :

Substituind în -

Daca C :::ţ::: 4

o'

ă

Cl

at

Sis .emul (1.00) are rădăcini diferite de (10~.

urm toarele două, llVem :

·

=

=

C2

Ca= O;

Clsinql =O.

.

unei trebme să avem sinql - O , - ' care da, pentru q, valorile. sn · '1 = -(s = 1' 2 • . ... ) l {102)

l Itilîzî:nd formula ( 98) CJJs

bt' ., o ,mem pentru vitezele critice expres· . s2n.2 ----c-1a . = __ Elg

V

-p(s = 1, 2, 3, ... ) :18. Metoda simbolică Tr metod d · · · ecem acum Ia ex ..e. ~ Integrare a unei ecuat"" 1" • _punerea unei noi ecuaţu hniare cu coeficienti const t~l Âniare Şl a .sistemelor de in mod. adecvat, se aplică~ si Ia P:~:· cest ,rrocedeu, generalizat metodei constă în aceea c'" î eme mai complicate. Fondul derivare în raport cu ~ hvilom . nsemna simbolic operatia d D 1 varia a Independ t"' ~ e ' pus a stînga functiei pe h . en a t, prin factorul fncît dacă x este o fu~cţie de ctare tre. Uie s-o derivăm., astfel , atunci •

12

Dx =

fi, în general, pentru once ·

Dacă a este

.La extremităţile de sprijin, încovoierea şi momentul 1ncovoietor stnt nul~ rezultă deci patru condiţii Ja limită:

1.

adică f

dx dt '

s întreg, pozitiv :

± q;

e1 eare + C2 e- are + e3cosqx + C4sinqx.

g1 . = d2y 're=O dx 2

=·o,

(98)

gEl

vom avea y - q4y

corespunde evident y

năm ac~m valorile lui q, pentru cao:em~ ;echllme de echilibru a axet Să deter ·-

(103) 0

constantă,

atunci, evident,

Ds(ax) = aDs x (104) adică ar 1 1 ' . . e oc egea comutativitătii f. -"' d Simbolic cu un factor constant arhitra:ţ~ e"' produsul factorului Do~ în D cu coeficienţi constanţi: . . aca F(D) este un poli-

F(D) = aoDn +.a nn-I + 1 · · • an--1 D +a atunci" operat" F(D) ~•' .ta x se defineşte astfel : F(D)x = aoDnx a nn-1 --1,~ 1 x i •• • +an -- 1D X T' anx

+

C4 sinql

=

O;

C4 sinql

=

O.

}

(100)

+

=

Soluţiei

(101)

11

1! 11.

1.

}16

117

Dacă cp1 (D); .şi rp 2(D) sînt două polinoarue şi cp(D) est~ produsul lor, atunci, avind în vedere formula (104) şi egalitatea . Dn1 + n2 x, vom avea : eVI"denta... Dnl(D'~~2 x ) =

lk. Ţinînd . seamă de f.aptul ca... (em~rP> P mt • putem scrie, scot înd pe emt .în f, - m e ~~ xcv> = D"x, " · · a ara parantezei;: 1)8 ( emt x) = emt ( 8 el .

şi

unde factorii cp1 (D) Tot

cp 2(D) se pot permuta.

aşa obţinem,

(cp1 (D)

2

, "

evident,

+ cp 2(D)]x =

cp1 (D)x

+ (p (D)x, 2

şi rezultatul obţinut nu depinde de ordinea termenilor rp 1 (D)

şi rp 2 (D). . Aşadar, se extind şi

regulile

obişnuite de adunare, scădere şi înmulţire simbolice~

la polinoamele

În virtutea lui (104), un factor constant poate fi scos în afara polinomului simbolic, adică, alături de formula (104), avem : F(D)(ax) desigur, însă, depinde de t.

că acest lucru nu Să demonstrăm

=

+

sm8--l])x + c;ms-2.D2x + + ·+ Cşms-kDk X + ••• + D sx) = emt(ms +el 8-·lD sm + + Csm ])'J + . · · · + Cstn D + ... + Ds) m X

k

8

-

••.

2

1c

k

8

-

k

X.

Insa ultima expresie coincide cu (106). Deci, această formul"' . f, memtrul al doilea al formulei Definim acum puterea :egŞaJ tJ·vo~mula. (105) sînt demonstrate, d . .. .. a a Ul D ca ope t. . er1varu, adică .D"}(t) est d f" . ... '. ra"1a Inversă e e Inita ca solutie , , a ecuat" ,1e1...

.

nsx =f(t) . ' f (t)

.

(107)

:ŞI, ~ent:u a da simbolului D·s venim sa luăm ca solutie en

fică condiţiile iniţiale ,

?n sens determinat, contru ecuaţia (107), soluţia care veri-

p

aF(D)x;

=

se poate face cu un factor care acum formula următoare :

F(D)(ernt x) = emtF'(D

=O.

x(•-IJI

11 =

(108)

t0

Cu alte .cuvinte, vom considera [Ui] :

+ m)x,

(105) t

unde m este o constantă. Formula arată că un factor de forma emt poate fi scos de sub semnul polinomuluz: simbolic, înlocuind în acesta din urmă btera D prin suma (D + m). Expresia F(D)(emtX) constă din termeni de forma an. 8 D 3 (e 111tx) şi este suficient să demonstrăm formula (105) pentru fiecare astfel de term.en, adică este suficient să demonstrăm 1 formula D s 1\e mt x ) = e.mt tD . -j-,. m )s x. .(106.) Aplicînd formula lui Leihnitz relativă produs, putem scrie [I, 5~1] : ds (emtx)

Dll (emt x) = . - -dt~- - -

= .. (emt)(S) .

X+ c! (emt)(S . .

--1)

x'

la

derivata unui

1)

((t- U}S-lf(· )d

rJ

u

+ c; .(e"''t)(s--2)xU . ' .

...L 1

1

u.

(109)

· a ecuaţlei (107) va fi atunci [15] : t

x = D-sf (t)

+

Ps-I (t)

= __ 1 - ( (t- uy ·- lf(· (s-

1)!

J

~~de P8-l (t) este un polinom arbitrar

(s-1) în t.

Op?r~ţia mai generală (D _ a) --s.f'(t)

unde indicii , superiori reprezintă ordinea de derivare in raport cu t, iar este numărul comhinărilor de s elemente luate cîte

l18

Soluţia generală

1

(s-

~ e~uaţ1e1 : .

-+ ... + c;c (emt)(s-kl x(k/ ·+ ...•+ e~ x\s>,

·c:

n-8/\t)=

J ·

U

)d · U

.

. .

+ Ps--l(t},

. (IlO) cu coeficienţi de gradul se defineşte ca soluţie

(D - a)sx = j (t), (1:11) -care satisface conditiile (108) p . facem schimbarea d~ variabilă entru a găsi această !'qluţie, X=

f;ljtroducînd în

eatz.

ecuaţia (III} şi utilizînd regula

' (112) exprimată

prin

.1'19

formula (105), obţinem pent ru

eat(D

z

·ecuaţia

39. Ecua,ţii liniare omogene de constanţi. Ecuaţia liniară omogenă constanţi are forma :

:

.vsz

+ oc- cx,-sz = f

=

e-a.if (t)

(t) sau .. re satisface conditiile acestei ecuaţn, ca ~ .. ~ , _ z(s -- 1 l _ = O,

Soluţia

Z

l

t~~to-

z'

1 lt=t0

= ... -

1

t.

~o

x
(113)

(114} condiţie

putem scrie

de-

O.

(119)

ecuaţia

+a

Dn-l

1

Formăm

+ ... + a,. __

1

D

+ a.,

, 1

sub forma

ecuaţia

X=

caracteristică

o.

(120) care corespunde

(121)

~ şi care are rădăcinile r 1 , r 2 , respectiv, k1 , k 2 , ••• , km. :

Însă din formula : ·at at(D+"Jj"' (J'=O,l,2, ... ~s--l) D1e z = e ..,. ;:. . .. ( ) atunci x, determinat. .. .. ·r . . con dd:t"l 1tu1e 114 ' ,. · . rezultă ca, daca z veri ICa (108) IntroduCind expresia:. 112) erifică con I n e · · . "' "' prin formu1a ( ,..' v 1 (112) obtinem soluţia cautata a găsită pentru z In formu a .' , ecuatiei (111) t (115) ' -s _ ~ ( (t _ u)s--1 e-attf(u) du. (D - oc) f(t) - (s-1)1)a · ,.

••• ,

r m.' cu ordinele de multiplicitate.,

· (122)

=

Dacă descompunem ecuaţia (120) sub fo1·ma

Ecuaţia

(D- r m)krn x = 0,

.. dacă înmulţim. 1"' a acestei ecuaţn, Obtinem soluţia gen~~a a 3) cu ecxt' adică această soluţie· solutia 'generală a ecuaţtel (11 gen~rală va fi: X = (D _ rJ.)·~sj(t) e«t Ps-t(t) =

+

t

=_L( (t _ u)s·-1 e-cxuj(u)du

+ ery;t

Ps-t (t),

(116}'

(s-1)!) to

de grad s -

1 cu coeficienţi

în t unde Ps-1 (t) este un polinom . · b.'t an· b · solltţia generală ar 1 r · · făcînd f (t) = O, o ţinem

a.

particular,

eenaţiei

x = e«t Ps -1 (t).

polinomul
(123)

to

.

ecuaţie:i

(11,.9) :

t,

în

1

t

·

+ a1 x(n- ~ + ... + an--I x' + anx =

q;(D) = Dn

to

z = ~( (t _ u)s -1 e-w~~j(u)du.

D1 x

coeficienţi

Însemnînd prin factorul simh9lic D operaţia de derivare în raport cu x şi introducînd polinomul

. . " rin formula (109), cu singura poate fi. d~terminatfa(p) rin e-rxtj (t) : a înlocui 1n ea pe t P

(s- 1) l

ordin superior cu coeficienti de ordinul n -cu

(118)

(124)

(':onform formulei (118) [3~], are ~rept so~uţie generală X=

ermt Pltm. __ 1 (t),

(125)

unde Pkm ·- 1 (t) este un polinom arbitrar cu coeficienţi de gradu (km- 1). Funcţia (125) va fi, evident, soluţie şi a ecuaţiei (123). Într-adevăr, introducînd în această ecuaţie expresia (125), ca rez~ltat al operaţiei (D - r m)km, vom obţine zero, iar operaţia

(D - r1 )k1 (D -

r 2) ~

•••

(D -

r m·--I)km-I,

efectuată asupra lui zero, va da evident zero. Schimbînd ordinea factorilor, am fi putut pune lîngă x nu factorul (D - r m.)km..,. ci oricare altul (D - r8 )ks. Astfel, ne putem convinge de existenţa unUi şir de soluţii particulare :

(126)

121

unde

Pks-t

-(t) este un polinom arbitrar cu coeficienţi de gradul

{ks -D~~ă dăm, în formula (126), lui s to~te valo~i~e de la 1 1~ m şi adunăm rezultatele, vom obţine soluţia ecuaţiei (123) [26] • X

=

erlt

pkl-t(t)

+

erllt pkz

-l(t)

+ ... + e·rrnt pkm.-1 (t).

(127)

· li p (t) de gradul (k - 1) cu coeficienţi Fiecare po nom ks-1 s b't . contine în total k constante arbitrare, şi, prin urmare, ar I rari, , . . 22) ls . (127) contine în total n constante în virtutea relaţiei (1 ' so uţia ' :-- f 1 (127) n· eastă cauză se poate concepe ca ormu a . . b ar Itrar~. In acl" t' ·. (119) adică orice solutie a acestei dă solutia genera a a ecua ,Iei ' • ecuatii 'este. inclusă în formula (127). . . f la (118) Pentru m = 1 s-a demonstrat mai sus pnn .., ormu .., d' (38] aşa încît rămîne să demonstrăm că, daca a~eastaf pro. In. . ' d "rată pentru cazul a (m - 1) factori de orma poz1t1e este a eva · y . , • ks • este adevărată şi pentru m facton. om (D - ls) ' atuntcllucru Ecuatia (123) poate fi scrisă sub forma demonstra aces · J

(D _ r 1)k1 (.D -- r 2) unde

,:

k

·

:~ • • •

{D: -

Tm--1

)k.m--1

y-- O'

erlt

Qk ---\(t) 1

+ e'm--lt

1

1) factori şi,

ermt de sub semnul polinomului simbolic şi împărţind pe . .., .. . "mt • • · .ambii membri ai egahtaţn pnn e , obţinem .

Qkl-1(t)

+

e\1'2--T,m)t

Qkcl(t)

+ ... +

+ e(rm-l ___ ,.mlt Qkin-c·1 (t). · genera1"'a a 1UI• z, d aca ·-. In ·~ tegrăm membrul al V om avea expresia . . d dUl d ·1 ' de k ori în raport. cu t şi adunăm un pohnom e gra . {~~ ~ 1) [lS]. · lnsă, d~pă; cum se ştie [1~ 201 ], integrala din rl22

+

+-

C2er2t

e('Y--Oi)t Tk.-1

+

pkm, --l (t).

+ ... +

cnernt.

o

uk-1

-coeficienţi ; uk--1

=

eYt [ eliti slc-1

(t)

+ e --llti Tk-·1 (t) J,

(t) şi T1c_ 1 (t) sînt polinoame de gradul (k - 1) cu arbitrari. Dar

cos~t

· e 11 ti =

unde

(t)

Sk-t

coeficienţi

-r i sin~t;

soluţie eYt [

" d

e(rl-rmlt

(t)

Qkm-r t(t),

scoţin

(t)

P1·intre rădăcinile ecuaţiei (121), ai cărei coeficienţi îi presupunem reali, se pot afla şi 1·ădăcini complexe. Termenii care le .corespund în soluţia (127) se pot uşor aduce la forma reală, transformînd functiile exponentiale în functii trigonometrice. Să presupunem că e~uaţia (121) ~admite do~ă rădăcini complex conjugate (y ± 8i) de multiplicitate k. Acestora le corespunde

.obţinem

(128)

=

X= Clerlt

'-;;

+ e"zt Q~-1 (t) + .. • +

e('fm,.-1-Tm)t_p km--1-·1

În virtutea lui (128) rezultă că x trebuie să aibă, neapărat, forma dată de formula (127), ceea ce trebuia demonstrat. În particular, dacă toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice sînt simple, toate polinoamele Pks- 1 (t) vor fi de gradul zero (k 8 = 1)l' adică nişte constante arbitrare C8 , şi integrala generală a ecuaţiei va avea forma :

în care

, d Q (t) sînt polinoame arbitrare de gradul (ks- 1). Punînd un e 18 --1

Dkmz

+

e(i'+lii)t sk-1

Considerăm propoziţia adevărat~ pentru (m deci, avem pentru y solp.ţia generala :

+·

2

soluţia

Y = (D- rm)lcmx.

;) '-(D - r'III)km X = -

produsul dintre funcţia exponenţială eat şi un polinom de gradul aceeaşi formă, adică, z trebuie să aibă forma : , _ (r1 · mltp' (t) _L (r -rmltp (t) +~ z- e kt-1 ' e k2-1 •••

.k în t, are

(t)

e-oti

=

cos~t

-

i

sin~t, şi

prin urmare

de forma

ulc--1 (t) cos ot +

Vk_:l

(t) sin

~t],

(t) şi vk-1 (t) sînt . polinoame de gradul (k - 1) cu arbitrari, legaţi de" Sk-t (t) şi Tk---t (t) prin relaţiile

==

sk~l

(t)

+

rk--1

(t);

vk-1

(t)

=

i [S1c-1 (t) -

T1c--1

(t)l.

De aici, rezultă regula următoare [27] : pentru a integra ecuaţia (119), trebuie formată ecuaţia caracteristică (121), corespunzătoare acestei ecuaţii, şi găsite rădăcinile ei. Fiecărei rădăCini reale r = r' .de multiplicitate k' îi va corespunde o soluţie de forma : er't Pe.-J (t),

.

.unde P~c'-1 (t) este un polinom de gradul (k' -- 1) cu coeficienţi arbitrari ; fiecărei perechi de rădacini complex conjugate r = y ± ":li oi· de multiplicitate k îi corespunde o saluţi.~. âe forma: ., '

.

ei't

[Uk-1

(t)~os3t + Vk~l(t)sin3t], 123

unde Uk--- 1 (t) şi. V1c-l (t) sînt polinoame de gradul (k- 1) cu coeficienţi arbitrari. Adunînd toate aceste soluţii, vom obţine integralagenerală a ecuaţiei (119). In cazul rădăcin·ilor simple, polinoamele amintite se reduc la constante arbitrare. 40. Ecua\ii liniare neomogene cu coeficienţi constanţi. Ecua-· ţia liniară neomogenă are forma : (129) cp(D)x = f (t),

)O(D) = cpsq(D}(D - tX8 )q, unde cpsq(D) este un polinom, urmare, formula precedentă devine:

Însă,

unde f (t) este o funcţie dată. Integrala generală a ecuaţiei omogene corespunzătoare ştim să o formăm, aşa că ne rămîne numai să găsim o soluţie particulară a ecuaţiei (129), pe care trebuie s-o adăugăm integralei generale a ecuaţiei omogene, pentru a obţine integrala generală a ecuaţiei (129) [25]. Soluţia particulară se poate găsi utilizînd metoda simbolică. Descompunem fracţia

şi,

.

descompunerea

S=

1

1

lui - - - , t:p(D)

rezultă

#

# •

•

#

'P (D)

'

k

ţ(t)

s

A\q)

=Îl ~ (n~ s=l

rs)q

(130)-

J(t),

41. Exemplu.

--~---~----- f (t)

=

A~qJ

(D --- r8 )'l

--

•

(q -

1) !

(t- u)q--l e-rsuj(u)du.

(131)

t,

uşor că formula (130) dă o soluţie a ecuaţiei {129).

Într-adevăr,

11

m

11

cp

1

(D)~(t)

=

As(q)

1.24

k8

~ ~ cp (D) s=l

lnsă, raţia

Să considerăm,

Ecuaţia caracteristică,

e: ecuaţiel

r4+

ecuaţia

de exemplu,

+ 2 x" -f-

X "'"""

l

COS

mai

omogene,

(D

~ rs)q f

+

l

=

O

sau

(r2

prin definiţia simbolului (D - r 8)-q, dacă aplicăm_ ope(D - r- ) q membrului al doilea al ecuaţiei (131), se obţine 8 f(t). Polinomul cp(D) se divide_ prin (D -, Ts)Y, adică-

+ 1)2

r

=

0;

complex conjugate, duble, = ± i corespunzătoare ecuaţiei (132),- va fi·;

(133)

Integrala

generală

~

Comparînd termenul.liber al ecuaţiei cu formula (43) d" n cazul de faţă, k = o, ! = 1 si p (x) _ 1 · ~~ [30], vedem că, a ecuaţiei (132), conform cu [30,], va trebui 'săQ a\~ă =;o~:U:ş:a ca soluţia căutată x = f2 [(at

(t).

(132)

t.

(134)

A
q =1

:

în acest caz, va fi' :

2r2

admi~e. două rădăcini

-t

~-·

'

Să ob~ervăm că utilizînd metoda simbolică indicată obţin uşor formulele (71) şi (72) din [32].

X(IV)

e" s t

-

sus, se

.

care are sens perfect determinat, deoarece, conform formulei (115)· din [38], fiecare termen din membrul al doilea are o semnificaţie A (q)

#

q=l

precisă:

-

În unele cazuri particulare este mai sim lu .... . , . . a ecuatiei (129) nu servin . dpu-nesadca_::-t_am o e .. ormula • • ' CI prin metoda coeficientilor nedeterminat. {mdiCat la [29]. · · • #I, aşa cum am

soluţie 130) particulară . .

Să definim funcţia ţ(t) prin formula: '111-

că

1 (1 (D)~(t) = f(t) adieă ~ ... a ecuatiei (129)' P . ormu afl 30) da rin urmare, a are a soluţiei ecuaţiei pentru orice functie dată f (t) d ladescompuner ·· rationale în elemente se. re1 uce. la . . ea unei· f.racţu cvadratun. stmp e ŞI

•

1

.

prin urmare, cp

#

Se vede

imediat

prin

q= 1

într-adevăr o solutie . . . . (129)

în fracţii raţionale simple [1, 196] :

1

raţională

din

şi,

+ b) cost + (ct + d) sint).

(135)

vor fi mai simple dacă dăm ~ · . (132) .. Făcînd aceasta i sco ..forma exponenţt~lă m~mbrului al b()hca, transcriem pe (132) astfel : ş rund membrul înt'h, sub formă sim-

. Calculele dm~e~al ccuaţiei

(D 2

+ 1)2 X

=

--~2

eit

+

t__ e· it

2

(136)

125

să căutăm

Trebuie

soluţie

o x

=

de forma (137)

+ f.2(ct + d)e-it.

t2(at_+ b)i''

Operaţia de derivare în raport cu t o vom însemna, ca mai tnainte, simbolic, prin factorul D, iar derivarea în raport cu 't", simbolic, prin factorul ~. Avem, evident,

Substituim această expresie tn primul membru· al ecuaţiei : (D

+ i)2(D

_ i)2t2(at

+ b)eit + (D + i) 2(D t

---- eU 2 Scoatem pe e'~(D

e" şi e-u

+ 2 i)2D2(ats

+ d) e--it =

')2 2( l ct

-

l

(D' + 4 i D 1- 24al +

2

ln afara polinomului simbolic, după regula (111):

+ 2b) + e-~-it (D

•

+

2 .

di)

= 2t e'' + 2t

2

t

-

4iD - 4) (6 ct

-it

e

i&

eu +

[- 24ct -

(24ci

l

+ 8 d)] e-it = --2

e

u

Aplicînd primului membru doilea operaţia echivalentă e--ra,

= __!__ ;

24ai - 8b = O;

- 24c

2

sau

=

1

1 .

1

48

16

48

a=------ ;b=--I;e=Substituind tn (137),

-'il~

+-"2'-u e •

_.!:_ ;

24c·i

2 ; d

z=

- --

· Din această formulă şi din formula (142) !deducem urmă· toarea formulă generală :

ns+l_x

(138)

8

de- unde,

generală

ns+ x

a ecuaţiei (132) va fi

e--s-ro(o - 1) ... (~ - s

=

e-T 0 [e-Sto(o- 1)

o q

. sint. 8

+ a1f"-l_x(n-1> + ... + an__

1

t x'

+ anx =

O,

+ 1)x.

(139)

(0-

pe e-s-r în afara simbolului

e·-T e-S•(o -

s)~(0

- 1)

o • •.

(Jl

42. Ecuaţia lui Euler. Această ecuaţi~ are forma:·

S

(143)·

(141)

+ 1)x],

o:

(o -

S

+ 1)(3 -

+ l)x = s)x,

eeea ce demonstrează valabilitatea formulei (143) pentru oriceTaloare a lui s. Înlocuind în această formulă pe et: prin t., putem să o scriem aub forma:

(140)

in care ~, a2 , ••• , an sînt constante. V om arăta că ea se reduce Ia 0 ecuatie. cu coeficienţi constanţi, ~a că i~troducem în locul lui t 0 no~ă variabilă independentă -r pr1n schimbarea

126

=

= e-(B-!-lho(o - 1) .•. (o - s t' cost 24

rax(n>

=

scoţînd 1

fi integrala

conform regulii

+

16

co& t - --- sin t.

24

o,

, Trebuie arătat că dacă această formulă este adevărată pentru s factori simboliei, atunci este adevărată şi pentru (s 1) factori. Aplicind membrului întîi al fotmulei (143), pe care oconsiderăm exactă, operaţia D,· iar membrului al doilea operaţia echivalentă ei, e-to, putem scrie :

1 . = --1.

,..

D, iar membrului al

T

Dsx

+ 8d == O

operaţia obţinem

= e- 2-r(o-l)ox = e- 2 o(o - 1)x.

D2x

obţinem soluţia f!J

di

Scoţînd factorul e--r de sub semnul exprimate prin formula (111), vom avea :

De aici, prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi, obţinem: _ 24a

dx = e-r ---..

D 2 x = e-To(e-'"o)x.

'

+ 2d) =-2 e +2- e

:

(24ai - Sb)]

d-r

(142)

•

Efectuăm derivările

dt

dt

t + --e-U.

+~ta)+ e--it (D,- 2l)2D 2 (cts

_ 4) (6at

dx

sau, simbolic,

sau, tnlocuind D 2 prin derivata a _doua : ,u

dx

d-r

----- = --- . ----

(144) Astfel, dacă facem schimbarea de variabilă (141), fiecaretermen an-s t 8 _x(s> din membrul întîi al ecuaţiei (140) se înlo-cuieşte prin termenUl ·

an-so(o - 1) •..

(~- s

+ 1)x, 127'

.,i tn locul formulei (144) vom obţine formula:

-care nu contine variabila independentă 't', şi obţinem ecuaţia liniară cu cdeficienţi constanţi [o (() - 1) . . . (a - n 1) al o(~ - 1) . . . (o - n 2) + ... + an-1~ an]x = O. {145)

+ +

+

+

+

.

Ecuatia caracteristică corespunzătoare va fi :

r(r - 1) . .'. (r - n

+ 1) + a r 1

(r - 1) .. · (r - n

+ an-1 T + an =

iar soluţia generală a ecuaţiei (145) : x = ertT Pkt--I("t') + e·r2-r Pk2-I("t') +

+ 2) + · · · +

O,

(146)

... + e'm.T

Pkm-I("t'),

unde r sînt rădăcinile ecuaţiei (146), ks. or,dinul de multi~lii ·.citate aÎ acestor rădăcini şi Pk8 -I("t') pohnoame de. _gra u (k8 _ 1) cu coeficienţi arbitrari. . . ... Utilizînd relaţia (141) şi reveniD:d la vanabda precedenta t, -obţinem soluţia ecuaţiei (140) : · .

x = :trt pkt-1(lnt)

+ t'2Pk2--1(ln t)+ ... + trnt PTcm.·-1 (In t). (147)

Dacă toate rădăcinile ecuaţiei (146) sînt simple, atunci 'se>lutia ecuatiei (140) va fi: • 1 X= el trt + c2 t"2

+ ... + Cn;trn.

(148)

Ecuaţia (146), după cum se vede uşor, se obţine dacă căutăm solutia ecuatiei (140) de forma x = t' · 'Dacă a~em o ecuaţie neomogenă de forma tnx

(n)

+ ~tn-1x(n-ll + ... + an __ tx' + anx =ta P (In t),

(149)

1

in care P(ln t) este un polinom în In t de gradul p, atunci, î~tre huintînd transformarea (141), se arată uşor că se poate cauta, pent~u ecuaţia (149), o soluţie de forma: x = (lnt) 8 taQ(lnt), (150) în care

Q(l~ t)

este un polinom în In t de gradul p, iar s

r~dăcinilor ecuaţiei (146) egale cu a.

număru,l

.

.

.

. · (140) , se poate considera ecuatia mm Î n 1o cu1 ecuat.,1e1 generală de forma : . (ct + d)nx\n) + al(ct + d)n,-Ix(n-1) + •.•. + . -:·- an--1 (ct -f- d)x' +an x =O. (151) 1

În acest caz, în locul formulei (141) trebuie utilizată urmă~ ioarea fo~mulă de schimbare a variabilelor :

ct

+

d = et:,

(ct + d) 8 D 8 x = c8 o (o - 1) ... (~ - S + 1)x, -cu ajutorul căreia ecuaţia (151) se reduce la o ecuaţie cu coefi-cienti constanţi. , . •43. Sisteme de eeua1ii liniare eu eoefieienti constanti. în ' ' multe cazuri, starea unui sistem mecanic este determinată nu :prin :una, ci prin mai multe variabile independente qH q2, • .• , qk, .care se numesc coordonate parametrice. Numărul lor reprezintă tnumărul gradelor de libertate. Aşa, de exemplu, în rotaţia unui -corp solid în j urui unei axe fixe, avem un grad de libertate unghiul e de rotire a corpului în jurul axei. Rotaţia unui corp ţfn jurul unui punct fix dispune de trei grade de libertate, şi se ~pot lua, drept coordonate parametrice, de exemplu, unghiurile ltui Euler cunoscute din cinematica corpului solid, cp, l[J şi O. :Mişcarea unui punct pe plan sau pe sferă, sau pe oricare altă $Uprafaţă, reprezintă o mişcare cu două grade de libertate. In -cazul planului, drept coordonate parametrice se pot lua coordo· nate m·togonale x şi y, iar în cazul sferei, longitudinea cp şi Iatirtudinea ~· În cazul mişcării unui sistem mecanic, coordonatele sale parametrice q1, q2, .•• , qk sînt funcţii de timpul t şi sînt determi.,:nate prin sisteme de ecuatii diferentiale şi conditii initiale. În ;particular, dacă consideră~ oscilaţiil~ mici ale sist~mului în vecinătatea poziţiei de echilibru, căreia îi co1·espunde valoarea. parametrilor ql = q2 = ... = qk = o, in ecuaţiile diferenţiale se reţin, de obicei, numai termenii de cmoadul întîi în raport cu ~-

şi

dqs dt

şi, astfel, ' se obtine un sistem ,

.de ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti. Fiecare· .d.intre e~uaţii va ~onţine, în general, toate' funcţiile 8 şi deri·· 'Vatele lor în raport cu t de ordinul întîi şi al doilea. În cazul a două grade de libertaţe, sistemul va avea forma

q

a1ql.' dtq~'

+ blq~ + c1q1. + a2q~' + b2qf + c2q2 = O; } + elq~ + fiqt + d2q~j + e2q~+ f2q2 = O,

(152)

unde q~, q~', q~, q~' sînt derivatele lui q1 şi q2 în raport cu t. · Însemnînd, ca şi mai sus, prin factorul simbolic D, operaţia derivării în raport cu t, putem scrie sistemul (152) astfel :

(a1 D2

+b1 D + c1) q1 + (a2D2 + b2 D + c2)q2 = O; } (d1D2 + el D + ft)ql + (d2D2 + e2D + f2)q2 '= O.

18. Curs de ma4ema.tlci superioare

1·28·

qs

(153)·

Dacă

sistemul este solicitat de forte exterioare atunci, in:· membrul al doilea al ecuaţiilor, nu va , figura zero, ci anumit&·. functii cunoscute de t. Condiţiile iniţiale au forma :

ql·

1 1 t=O

=qto; qijl!

t=O

=

q~o;

q2\

\

t=O

=q2o; q~ 1 t=o= q2o,

Dacă ecuaţia (156) are rădăcini complexe, ceea ce se tntimplă ·deseori în aplicaţii, este comod să scriem soluţia ecuatiilor (155) sub formă trigonometrică, aşa că perechea de :rădăcini complex conjugate r = a bi duce la soluţiile

±

qt= - (a2D2

+ b2D -+ c2) V;

q2

=

(atD2

+ b1D + ct) V.

(154)··

Introducînd aceste expresii ale lui ql şi q2 în ~cuaţ;ile (~5~,·d. . " rima ecuatie este verificată oricum am ~ _ege . . u~cţia ,. ;er:=î~: ~ă alegem funcţia V aşa, încît să fie venficata ŞI a doua, din ecuatiile (153). . (154) ht' (P · Intr~ducînd în această ecuaţie expresia '. 0 ,Inem .. . ecuatie de ordinul al patrulea, din care putem determina pe V 1 ) .. . , [(a.D 2 b1 D c1) (d2D 2 +t'e2D + /2) ,-, -~. .r)]lV (155)·-· - (a2 D2+b 2 D c2) (d1D 2 e1 D .-:+ J1 ~ =, O• .

+

+

+

+

v,: obţinem pe, ql ~şi. q2

După ce aflăm pe derivare. Fie r 1, ra, •a' • r 4'

rădăcinile

(alr2 + bir aşa că

-- (a2r2_, +~b 1 r

din ( 154h prin simplă.

ecuatiei caracteristice : '

+ el) (d2r2 + e2r +

c2) (d1r 2

+ !2) + e1r + fr) =

(156)

O,

şi

C1eat cosbt

1

d q' sînt numere date, iar integrala general"'' un. e q10' lqt.o'(lq52o3,) 20 h . s." contină patru constante arbitrare. e a slstemu UI tre uie a , . l . (153) d , Să arătăm în ce mod integrarea. Sistemu Ul. se re uce. . . . ure·. ecuatii linJare de ordinul al patrulea_, la Inte~area... unei s~ng . ·. • " [ f 20]. Pentru aceasta să· cu o s1ngura funcţie necunoscuta c ~ ,. introducem funcţia ajutătoare V de t, punind

C2eat sinbt,

pentru V. I.a fel,

dacă ecuaţia (156)

soluţiile vor fi :

admite

rădăcina dublă

~

r

r

1

C1er'Jf

şi

C te'~'1t

2

•

Să notăm acum cazul în care calculele precedente nu dau, pen.tru q1 şi ~ 2 , soluţia generală care să conţină patru constante arbrtrare. Sa presupunem că pentru o anumită rădăciuă r ecuaţia (156) este : l. (159) ln acest caz, formulele (158) dau, pentru q1 şi q2 , identic zero, şi integrala generală a sistemului nu va conţine constanta arhi· trară C1 • Putem încerca să restahilim această constantă arhi.. trară, pierdută, utilizînd, pentru introducerea funcţiei ajută .. toare V, tn locul ecuaţiilor (154), ecuaţiile: J

q1 = (d2D

2

+ e2D + / 2)

V;

qa = - (d1 D 2

+ e1D + fr) V.

(160)

Prin aceasta, a doua din ecua"ţii1e (153) va fi satisfăcută identic pentru ,orice V şi, suhstituind expresiile (160) tn prima ecuaţie (153), ob-ţinem _pentru V, aceeaşi ecuaţie (155), ca mai sus. Rădăcina r 1 a ecuaţiei caracteristice (156) va da, pentru q1 şi q2, in loc d.e (158), expresiile

(157)··

+ e2r1 + /2) e"lt ; el (d.tri + elrl + fJ e'l~.

'11 = el (d2rî

q2 = -·

Dacă

unu} din factorii . (d ri er IJJ şi 1 1 1 (d2ri este diferit de zero, atunci găsim, prin acest mijloc,... soluţia core~punz~toa:e rădăcinii r = r , a ecuaţiei (156). 1 Ramine.· să .ma1 cons1de;ram cazul în care, afară de relatiile (159), au loe şi relaţiile •

·+

(158) , ____ _..__,__. ____ ,

__ ..._.._........;..

..... -· ~) Presupunem că a~cfs- ~d~ 1lnui sistem matenat

130

e2 r1

cel

+/

puţin

+

+

2)

_.

(•.o.nsiderăm mişcarea

=_o,

loc

cind·

, 2

(161) . 'In e.oest caz nu putem stabili, prin procedeul Indicat, ~i>luţia oorespunzăto•re · rădăcinii r = r1 , a eeuaţiei· (156}.

r··1 1',

jl il Jl

·1

li

1,1

lnsă, .dacă relaţiile

(159) şi (161) sînt satisfăcute, atunci fiecare din trinomii m.en1:hrului întîi al ecuaţiei (156) va avea rădăcina r = r1 , adică va conţine factorul (r - r1). Prin urmare, în cazul cînd relaţiile (159) şi (161) sînt verificate, rădăcina r = r 1 trebuie să fie rădăcină multiplă a ecuaţiei. Ne mărginim la a considera cazul cînd r = r 1 este rădăcină dublă si indicăm două solutii ale sistemului, corespunzătoare acestei ·rădăcini duble. Aceste două soluţii sînt : (162) ql = Clerlt ; q2 = O, ql

=

q2

O;

=

(158)

şi soluţia

conţine

care

1'

2'

factorul

1'

2•

Soluţiile1' (p)ar~ic~lare ale sistemului (164) pot fi ohtinute P[::?] ruR. orlc e 11 dt ~~ J ?{t), la fel ca şi în cazul unei singure :cuatiî
exemplu, pentru q

1

1

q1 =

d2 D2

(163)

C2er,t •

Într-adevăr, introducînd, de exemplu, expresiile (162) in. primul membru al ecuaţiilor (153), obţinem o identitate în virtutea relaţiilor (159) şi (161). Cele două soluţii indicate sînt distincte, deoarece, în prima, q2 este identic nul, iar în a doua, q2 este diferit de zero. Să observăm că, dacă în cazul rădăcinii multiple r 1 = r 2 , una din relaţiile (159), de exemplu, nu este îndeplinită, atunci, substituind în formulele (154) :

ohţinem soluţia

(164) şi egalînd coeficienţii car~ figurează respecti•v pe l" ·" •·B · ' ' dete: ' eat co~.Bt . ŞI• eat Sin. t, o b ţ1nem ecuatiile ·pentru · 1ngti cant1tăţilor A A B R ~ Im1narea

+ e2D + f2 .fJ (t) ~ (D)

=

+

d 2z

dx2

1 '1

-+ b1D +· c1)q1 + (a D + b D + c 2) q2 --f1(t); (dlD2 + elD -+ fl)ql -{- (d2D2 + e2D + f2) 22 = f.it), 2

d2y

Z=--x d~

(164)

ca şi în cazul ecuaţiei omogene, reprezintă suma integral ei gene~ rale corespunzătoare sistemului omogen {153) şi a unei integrale particulare oarecare a sistemului neomogen. Dacă termenii liberi f 1(t) şi / 2 (t) au fonna ['A 0 eoc 1·cos~t

atunci

q1

.

şi

-i-

B 0 eatsin~t

=

solutiile particulare pot fi

AJeatcos~t-+ B1 ecxtsin~t;

afară deJ~cazul

±

q2

Decxtsin(~t căutate

=

+ )()),

sub forma ;

A 2 eatcos~t +1B 2 erxtsin~t,

cînd (1X !3i) este rădăciţtă a ecuaţiei (156). Substituind aceste expresii tn primii membrii ai ecuaţiiloJ:

132

= y + 2x,

unde y şi z sînt funcţii necunoscute de x. Determinînd p "' d' . . "' . ·. e ~ m prxma ecuaţie:

2

2

e

j2(t),

44. Eumple. 1. Să considerăm sistemul

t :

unde p 1 şi p 2 sînt constante determinate. Integrala generală a sistemului neomogen :

(a1 D 2

L\ (D)

q2, o ţinem.,

1~nde ~m î?semnat, pentru simplificare, prin L\(D), olinom~J stmbohc d1n membrul întîi al ecuatiei (155) D p " ..1 fracţiile r ţ" 1 • .1. " • • escompuninu a IOna e Şl ut1 Izind valoarea factorului (D- )...:.k • d" cată 1~ [38}, obţin~m o ...so~uţie a sistemului (164·). r In I· Sa ma.~. observam c~, Intrehuinţînd raţionamentele de Ja [20], P?~em .uşor reduce Integrarea sistemului de ecuat'' r . cll coeficienti constanti 1 · . . ,n Iniare . . ,. , .' Îa Integrarea une1 Singure ecuatii liniare f cu coe ICienti constanti. n volumul III d •d ... rai" t •· • vom a o meto a genea pen ru Integrarea sistemelor de ecuatii cu coefi.ci'enti" co stanţ1. • ~ , , n·

C2(a2rÎ + b2r1 + c2) terlt+ C2p1ert t; C2 (a1 rî + b1r1 c1) te''t t C211 2e t,

+

+ b2 D + ,.2

1

ql = -

q2

a2' D2

Ş

şi J~troductnd valoarea lui in ecuaţia a doua al. patrulea '

d'y

dxi -

lJ

=

0

U6~

bt'

,mem~

pentru y, o ecuaţie de

2x

a cărei întegrală generală se determină după_;regulele obişnuite :

y = Cle(A)

+ C2e -z +

CsCOSX

+ c,sinx -

2x.

Introducînd această expresie ln formula (165) , obt" ,mem

z = Cle(f,

+ Cze

-a) -

Cacosx - c,sin

X -

~

X.

2. Fie sistemul de trei ecuaţii de ordinul1nUi dx

&

,;=

y

+ z;.

dy - = z ..j.. X • dt ' '

dz -d-t .= X

+ y,-

(166)

unde x, y şi: sint funcţii necunoscute de t. Rezolvind prima y şi

lntroductnd

această

-

dt3

dz

- -

dt

=

Z

=-z dt

dt ecuaţie

cărei integrală generală

~

dt

=

X

-!-

dx

~

dt

conţine

avem :

va fi: X=

~de. L1 ~ R1, C1 stnt, respec~lv, inductanţa, rezistenţa şi capacitatea primului ..c~rcu1t9 ~ar ~2~ Ra, ~2 aceleaşi mărimi pentru al doilea circuit.

Sa arata.m prm acest.exempl?. tn ce mod, fără a face uz de funcţia ajutătoare V, s~ poate elu;nma. una dm funcţnle necunoscute şi se poate forma ecuaţia dife•!l'enţlală de ordmul al patrulea cu o singură funcţie necunoscută. d2 i

·-

Scoţînd din ecuaţia (171) pe -~2 şi introductnd

(168)

Z,

tn prima

decit pe x (caz

ecuaţie9 ·obţinem

~uaţia

(170),

obţinem ecuaţia

{Lt La ·- M2) .d2il dt2

:

+ L2 R

dt

+ La

R M dia - M . -

t -

C

1

2

ecuaţiile

+z=

dt

1

(169)

z8

c.

-

O.

(172)

d2'

Derivînd această ecuaţie .şi înlocuind pe M ~prin valoarea ei: dt2

(168),

găsim

o

ecuaţie

L cfd ii

M dzia -

de

--;;;; -

--

1

oţdinul

dz

dil 1

Cle2e + c~ e- c.

Introducînd această valoare tn a doua din intii pentru z :

obţinută tn

expresia

dt 2

excepţional):

dx - . - - 2x =O, dt

dt 2

a

d.z

ecuaţia a doua~

de ordinul al doilea, care nu d 2x

(167)

două ecuaţii rămase,

+ X;

Substituind valoarea lui dz din o

tn raport cu y:

dx

expresie in cele

d2x

ecuaţie

dt2 -

dil

R 1

1 . i1

iii - c

(173)

1

~oasă

3Cte2'

din

ecuaţia

(170),

obţinem

:

dt

a

cărei integrală generală

va fi :

z

=

C3 e _,

+ C1 e2t •

Inlocuind în formula (167) pe x şi z prin valorile lor : ·· (1691) şi (1691), obţinemp pentru y, expresia

Am avut, tn acest exemplu, cazul. excepţional asupra căruia am atras deja tn [20]. În locul unei singure .ecuaţii c:ie ordinul al treilea am obţinut o ecuaţie de ordinul al doilea şi o a doua de ordinul întîi, · 3. Sistemele de ecuaţii liniare cu coeficienţi constanţi se tntUnesc nu numai ctnd ~~a:IAil:tă:m oscilaţiile mici ale,sistemelor mecanice, in· vecinătatea unei·. poziţii .: .de echilibru, după cum am amintit mai sus, dar şi cînd cercetăm oscilaţiile electrice•·· Presupunem că avem două circuite care formează un cuplaj magnetic, :adică, .curentul unuia din circuite creează· un cîmp magnetic care induce o forţă electro~ .motoare în celălalt circuit. Dacă i 1 şi i 2 sînt intensităţile curenţilor tn circuite. atenţţa

atunci, pentru primul circuit,

forţa elt:ţctromoţoare j:t;tdusă va fi M di 2

iar pentmu.:al.:

dt,

doilea, M di 1

,.

unde M este ·coefidientril·

const~mt· .de i~du·cţie ·mutuală. Dacă

dt .. , ' .·" . : . . . . . .. presupunem că tn nici un:ul.dintre ·crrcuit({nU: există sursă de ţiile vor fi :

' .. ·•:;,.

curent, 'atunci' ecua-

In sfîrşit~ derivînd încă odată această ecuaţie şi inlocuind din nou

~ctn ~xpresia (173), . (Lt L, -:-,Mll)

'

ajungem la o

d~il·~·(Ll

+La

dts ·. . ' CI .

+. R

el' '

R ·)· ·. 1

'd2~l~ . . ·~ .

2

~ . D~câ am el~inina pe i1~ a;m~ obţine exact aceeaşi ecua.ţie de ordinul •entru Ecuaţia caracteristica corespunzătoare acestei ecuaţii va· ff:

z,.

i ·,;

.:·(170)

' .

(1 - k2)rt

dlti

eduaţie linla;ă de:· ordinul al pat~rilea peritrud~;

d"it. +(LlRa+LaRt) df4

pe M

+ 2. (g~ + Ua)r3. + (n~

t.t}a . ~ ' .

al patrulea · '' ''': ·'

+n~ ,+ 4 gl g2) ,a +

+ 2(gln~ + g2 ~~)t+ :n~ni,;,. O,

{176)

· '.lllnde am pus, pentru simplificare (1'71}·

135

Ecuaţia (176) se poate scrie sub forma :

+ 2 g1 r + n~) (r2 + 2 g2 r + n~) -

(r2

2

k r-4

= 0;

(177)

Dacă nu ar fi fost cuplajul magnetic tntre circuite, atunci ar fi trebuit să !acemtn (170) şi (171) M = o şi am fi 0~ţinut două ecuaţii separate pentru determinarea.

Acestor rădăcini pur imaginare le corespunde soluţia sub forma unor funcţii' -trigonomet:rice. Astfel, din cup1ajul magnetic al circuitelor construite cu aceeaşi: frecvenţă, 'apar două. oscilaţii, cu frecvenţe care depind de frecvenţa comună n a cb:cuitelor şi de constanta k, care caracterizează legătura magnetică în modut• următor:

n

fenomenului descărcării in circmte : . d~ dt

d2it + 2 dla Ut

+ n2 il =

d2i

O şi _2 dt&

1

au

+ 2 g1 r + ni =

. ă. 2 complexe, a d 1c g1

rădăcini

n21

-

şi

O

dt

__!< R 2

lfLc

_1

şi

r 2 + 2 g2 r şi

R2< 2

1

....2 Y""2

-

+ n~ = O

n22

<

(179}1t

O, sau

VL2

. -

C

1

e-

at

cos bt

n

=~·

V1 ·- k

45. Integrarea eeua1iei liniare cu ajutorul seriilor intregi. După cum am spus mai sus, în general, soluţiile ecuaţiei liniare cu coeficienţi constanţi, de ordin mai mare ca unu, nu se pot exprima. prin funcţii elementare, iar integrarea unei asemenea ecuaţii

nt:t se redu.ce, în general, la cvadraturi. Una din metodele cele mai întrebuinţate, despre care am mai amintit [13], ~ste repre .. zen.tarea soluţiei căutate sub forma unei serii întregi. Aplicarea a,cestei metode este deosebit de comodă tocmai la ecuaţii diferentiale liniare. Ne mărginim la o considera ecuatia de ordinul al dpilea: •

~.

+ p(x)y' + q(x)y =

yn

C2

· (177) dă pentru k = o două perechi de rădăcini complex conjugat®!' E cuaţ1a ' ' · · · 1 1 · M care se tnUlnesc d~ (rădăcinile ecuaţiilor (179)], şi pentru val~rl miel a :a u~ouă perechi de rădăcini obicei în practică, ecuaţia (177) va avea,. e. asem~ ' ± bi i r = - c ± di~. complex conjugate, cu părţile reale negative · r 1,2 - - a ş 3,4 şi ~xpresia generală pentru i1 va fi : ll-

n"

§ 2. INTEGRAREA CU AJUTORUL SERULOR DE PUTERI

şi

adică

n

= V1 + k;

di2 + 2 g2+ nz2 lg• = o.

De obicei ambele circuite stnt oscilan!e, cu alte cuvinte ecuaţiile ca racgteristice corespunzătoare ecuaţiilor diferenţiale (178)

r2

'

Să presupunem că coeficienţii p( x) şi q( x) se prezintă sub formă de.· serii ordonate după puterile întregi pozitive a variabilei x aşa că ecuaţia are forma :

y"

+ C2 e-al sin bt .+Ca e·- ct cos dt + c, e- ct sin dt.

Să observăm că, dacă cunoaştem pe il, putem obţ!ne pe i2 fără nici o cvadra·. · ă dz2 • introducînd expresia·

tură. Intr-adevăr, din ecuaţia (174) determm m pe dt '

· în r t ·2 Expresia lui i va, (172), obţ.infem 0~ ecuaţ.ie. d~:r:::r~cie~ti ~a~ ~ vor fi combi~aţii conţine termem de aceeaşi . orma. ca ŞI lt uniare de constant~~e C!, Ca'. Ca Şţl C,. di ~ dacă socotim g1 = g2 = o, şi dacă 1 a ca Dacă se negliJeaza rezisten ee, . d' ă - n = nr.o presupu.nem că frecvenţ,a. circuitelor este una Şl aceeaşi, a 1c .,nl - 2 atunci ecuaţia ·(ţ 77) va f1 : (1 - k't) r' + 2 n2 r2 + n4 = O,

găsită în ecuaţi~

(1)

O.

+ (a + a x + a x + .. .) y' + (b + b x + b x +· .. ) y =O. 0

0

1

2

2

1

2

2

{2}

Atragem atenţia asupra faptului că presupunem eoeficientuJ Jui y" egal cu 1. . · Vom căuta soluţia ecuaţiei (2), de asemenea, sub forma unei serii de puteri (3)

Introducînd

·:tn

această

ecqaţi~ .(~), ,găsiJA

f .s(s -

de unde: 11

= .2

expresie a lui y

şi

a derivatelor sale

..

1)ot8 X 8 ·- 2

+~

a8 x 8•

s =O

t

soc8 x 8-

1

+

s= 1

1 1

00

şi

r

1.2

....

n

± V1+i• -

r·.'

r

±~ i 3.4 = ,,--1_ k

'

(i

= Y-=1) ..

+~ .
<'-)

b,xs ~ oe,x'

=

O.

8=0

131

136

sînt convergente pentru 1 x l < R, atunci seria de puteri, construită în modul indicat mai sus, va fi şi ea convergentă pentru aceleaşi valori ale lui x şi va verifica ecuaţia (2). In particular, dacă p( x) şi q( x) sînt polinoame, atunci seria converge pentru orice x. In multe cazuri, ecuaţia liniară are forma :

l

l

. . .

. .

..

. .

. .

'

'

•

1

.,

~

.

..

.

.....

. • . , O'.s+l

) ---o •

(5) (4)

\

( )

N

u!

+

.· :2 l

Yl 1~-=o ;--.O,

=0;y~t"':<,2o--L ·:; • . fi o combina.ţie--liniară a acestor Orice integrala a ecua~Ie~ :Val. . : fbrmti . ' .: : , . : . : ..

ţ ..

·101u 11,

x

~-o ~

. daca" conditiile tnitla e au , •

Şl

.

· y' i a: ~~ o = Y 1 a:= o= •4 '.

+ By2.

-, J

.

.t 8

\1

i

138

=o

( )

P0 (x)

P2 (;t:)

.

P0 (x)

(6)

Dacă termenullih@r în polinomul P 0 (x) este diferit de zero, :adică dacă P 0 (0) =f:=. el, atunci, efectuînd împărţirea polinoaw ·melor ordonate după puterile crescînde ale lui x, este posibil -să reprezentăm funcţiile p(x) şi q(x) sub formă de serii de puteri, lar soluţia ecuaţiei (5) poate fi căutată, de asemenea, sub aceeaşi

formă. În această p1·ivinţă nu este nevoie să aducem ecuaţia (5) la forma (1), ci numai să substituim direct expresia (3) în primul membru al ecuaţiei (5) şi să folosim pe urmă metoda coeficien.tilor nedeterminati . • Pînă 'acum a{n considerat numai seriile de puteri, ordonate .după puterile întregi şi pozitive ale lui x. În locul lor. am fi putut .considera seriile ordonate după puterile diferenţei (x-a). Tot ceea ce s-a spus mai sus se aplică, evident, şi la ecua· ţiile liniare de ordin mai mare ca doi. I:n ~cest caz, însă, la eău· tarea soluţiei sub forma unei serii de puteri, ·:nu vor rămîne ·nedeterminaţi primii doi coeficienţi,, ci un_ numă:~: de c·oeficienţi ..egal cu ordinul ecuaţiei. Da că avem o ecuaţie liniară neomogenă

y" -f p( x)y'

8~

= Al' y Yl, . ·. •'·· . i·,_ ,,, • ;, ' t d ·' .· . .. ·~ .. · .· L· ; L, · · 1·.· · · c·~Iculelor forimd~ s,ţ>, · P0 . . ~~· ·• Arii'arătat·mal sus·ca ~e ca.e~ d t : .. :·:(3\ ~'-însă·; rămîne f' ienth senei e pu eri ,. · termina treptat coe IC • .• •• btinute p:rin.'determinarea 0 "' chestiunea con_vergenţet seriţi •· ·~~ : ···• ,!, (d"' . 0 solutie a. -d eschi s~ ; , . ,: ·. · .. · . , 'hestiunea daca, serta ~:a , ..• de mal sus"~ precum ŞI c . d o demoustratle a propoziţiei~ . . In volumul' III vom a , -ecuaţie!. .., .. următoare : dq,c.a__ ş~r~,de . oo ~(~)-" asx~; q (x) =«~ "bsx''

.at.Unci, evident,

Pl (x)

px=---;qx=~-.

)

. . . . . . . . .... ·. . .. . . . . . . ) am însemnat u.n polinom omo• . Qs((1.. 0' 0(.1' Qt2A~ • d• • ' 0',.~ + 1 entele at ' cx.l, cx:2, ••• ' "'"Il + 1• p rin gen de gradul întn .. e ar.gum t"ne coeficient necunoscut Fiecare din ecuaynlc scnse con ~e Coeficientii e
Yt l re= o = 1;

·unde P 0 (x), F 1(x), P 2(x) sînt polinoame în x. Pentru a aduce .ecuaţia la forma (1) trebuie să împărţim ambii membri ai ecuaţiei prin P 0 ( x), aşa că, în acest caz, trebuie socotit că :

+ q( x)y

f(x),;

in c;;are nu nurp.ai coefic~enţii, dar şi termenul: libe:r;,. sînt se1ii .de puteri, atunci şi o soluţie particulară a acestei ecuaţii poate fi căuta tii t9t sub forma unei serii de puteri. .. . .... · Să facem o observaţie cu privire la ecuaţiile (6). Fie P(x) ,ţ, 9(x) gouă polinoallle în x,. unde ·. P(O) .*O ... E(e,cttlînd, d~pă chnr 's.:.a ''spus n:hii sus, împărţirea· polinoainelcir,. 'pl:lt~m.: ~~P.~·e7·. zenta cîtul lor sub formă de serie de puteri : · (7)

!,

însă problema : este seria din membrul al doilea converD gentă, şi, dacă este convergentă, .este suma ei egală .cu primul membru al egalităţii? Rezolvarea acestor probleme se bazează pe teoria funcţiilor de variabilă complexă, expusă în volumul III. Aici dăm numai rezultatul definitiv: seria de pute1i din formula (7) este convergentă pentru l x 1 R, unde R este modulul rădăcinii cele mai mici in modul a ecuaţiei P (x) O; pentru aceste valori ale lui x, egalitatea (7) are loc. De aici rezultă imediat, între altele, că dacă ~e integrează diTect ecuaţia (5) cu ajutorul seriei de puteri, atunci seria obţinută va fi cu siguranţă con·

se pune

<

vergentă rădăcini

pentru 1 x în modul a

1

< R,

l.l ,",·;

1 l

Soluţia obţinutll

=

va fi :

Pentru a construi a doua soluf f . tate, ca şi mai sus, că soluţia a doua~~ f~~em
unde R este modulul celei mai mici P0 ( x) = O.

=x +~

Yz

ecuaţiei

k =

Să verificăm această afirmaţie

(I, 121]. Raportul a doi termeni

+ 3·2 oc3 x + 4·3oc4 x11 + ... ) -

+ oc1 x + oc2 x2 + ... ) =O,

x (~

+ 1) + 3) 1

1· 4. 7 ... (3 k (3 k

2-1 cx2 =, O,

xt'

3·2 oc3 -!%o

x2

4o3 oc4

"-·

«1 =o.

x8 i

5·4 oc5

-

ix~

xs

(s

i

'{

= 1 şi oc

1 =

=

w

•

adică şi

3

+ 2) (3 k + 3)

X

,

+ a2y =

(1 - x2) y" - xy'

O.

«"elaţie între coeficienţii tXn :

O,

'

'

-

oo;8 _

1

=

Luînd 1Xo

O.

• • • • • • • •

Yl

=

=

1 şi ott

1

=

1

2·3·5·6

; ~=ot8 =0;

1 ~=

'i

-----

-~ x2 +

1 -

1·4·7 (3k- 2) Otsk+t= ixsk+2 =O şi « a m = - - - - - - - o. o

, (3k) 1:

La fel, fădnd Yz

=

x -

a2

-

1Xo

=

1

(n

-

n (n - 1) OCn - nocn+

+ 1) ocn + 2 =

(n2 -

a2 (a2 -

4) xt -

(

~ xs + a

=

2 _

6!

ecuaţia considerată,

xfl+

1, obţinem : 1) (

2

- a - 9! xs- (a2 - 1) (a2- 9). (a2 - 25) 7

5!

1n

O

a2) .otn·

a2 (a2 - 4) (a2- 16)

4!

O şi ocl

a2oen=

O, avem soluţia :

21

2•3o5.6·8·9

vor fi diferiţi de zero numai coeficienţii oc8 , in care indicele s se dtvide cu 3~ putem deci scrie :

+ 2) =

obţinem următoarea

xn,

+ 2) (n + 1) otn + 2

(n

:Sau

0,;

O obţinem, succesiv, valorile celorlalţi coeficienţi:

ata =0; ota = - ; oc, = ot6 =O; or.6 2·3

+ 3 • 1· 4 • 7 ... (3 k - 2) . (3 k) t

şi pentru orice valoare a lui x acest ra ort t' ~ .de unde rezultă convergenta absolt-Itavp ~n.de catre zero cînd k creşte indefinit, 2 s a sel'let · · a considerăm ecuaţia

(n

••

3k

.. Introducînd seria (3) şi anulînd coeficientul lui

=

+ 2) (s + 1)ocs+ 2 Il

Luînd «o

convergente pentru orice valoare a lui x aJutorul criteriului D'Alembert

1

de unde, egaUnd cu· zero coeficienţii aceloraşi puter'i ale lui x, obţinem tabela t

xO

x8k+l,

+ t) r

succ~s~~;r~la ~1 cu

----.:._____:__::,: X

y"-·xy =O.

(2·1rxa

(3k

1

(3 k

:

2·5·8 ... (3k- 1)

Seriile de puteri construite sînt

intervalului (- R, + R), atunci va rezulta de aici, imediat, că suma !:l_cestei serii este o soluţie a ecuaţiei. Intr-adevăr. în primul rînd y' şi y" se pot calcula derivînd termen cu termen seria (3) [1, 150]. Mai departe, substituind valorile y, y', y" in. primul membr~ al ecuaţiei · (2), putem înmulţi termen cu termen seriile y' şi:!/ cu p (x) şi q (x), deoarece seriile de puteri sînt absolut convergente [I; 137 ,_ 148]. In sfîrşit, .în virtutea felului tn care am ales coeficienţii otn din egalităţile (4) aj.ungem la reducerea tuturor termenilor din primul membru al ecuaţiei (2). 46. Exemple. 1. Să considerăm ecuaţia

obţinem

= 1. Se arată fără greu-

00

Să observăm că dacă am demonstra convergenţa seriei (3) în interior~l

Substituind seria (3),

tX1

coeficientul lui

71

x+ ...

,,

pentru x ==: ± 1, iar valoareâ absolută Y. ' wPow (~). = 1 - X 2, se anulează .Urmează ca seriile Yt si Y trebuie să e' a ambelor radacmi este egală cu unitatea pentru 1x! < 1. . 2 .le convergente pentru - 1 < x < + 1, adie~

J40

141

cu ajutorul criteriuluilui D' Alembert se verifică uşor _acest lucr~, luînd[afă0:~~~

tntre un termen şi precedentul ; de exemplu, pentru seria Y1 aces rapor ' abstl·acţie de semn, este : aa (a2- 4) •.. [a2-(2n)2] 2n + 2 . a2 (a2 - 4) ... [a2 - (2n ~ 2)2) x2rl ~--~--~~~~x (2n) 1 (2n + 2) 1 a2 - (2n)2 x·2 ' ·

,·.are se poate scrie,

·

ntinde spre infinit, acest raport tinde către l ~ 1 şi, ~vid~~!iu~ ~:~~l'~ 2

,

d' ă onform criteriului D' Alembert, sena Y1 es e a cind J X 1 < ' a Îc ~ ~ Evident, că această serie este divergentă pentr~ 1 x 1 > 1.~ ~~:: x:nc~:ul ~ind a ~ste un număr par şi seria Yl se r~~uce ~a un. polmo~ ~i:ă cluzii analoge se obţin şi pentru se;ia y2• S~ poate verifiCa ca Yt ŞI Us se e P cu ajutorul funcţ.iilor elementare, ŞI anume . 1 y1 = cos (a arccos x) ; y2 = ; sin (a arccos x). 1

47, Dezvoltarea solu!lei in serie de puteri generalizată. Un tnsemnaţ număr-· de ecuaţii care se tntîlnesc în aplicaţii au forma :

x2y 11

+ p(x). xy' + q(x)y =

O,

~c~aţi~ (2)~1~~~~~~·ii~~d~~~~~ ~~~:e~~~e~~~t!~~I~i"

unde p(x) q(x), ca tn tntl'egi şi pozitive, sau pur Şl Slmp ţ~ P . . -~s aceasta din urmă nu se inca· x2 pe Ungă derivata a doua in e:ua Ia ~e ma~ ~ . ' t 1 x - O un punct singulaff' drează in tipul (2). Se spune ca ecuaţ1~ are 111. pune .u regulat. Scriind explicit seriile de puten p(:c) Şl q(x) •

x2y"

..

.

•

..

•

~

. .

'

•

~

. . . . . . . .

. .

..

'

. . .

..

..

•

u

.

..

(10}

.

a2 4--

4+1i+ll2

şi

. ..

+ a0 p + b0 } rtt'J = O,

'numara 'v vt orul "i numitorul prin n 2 · ~ .

n2 - - - - · [xla· 6 2

şi

[p (p ·- 1)

XI'

(2n

l

Cind

Reduclndl şi egaltnd cu zero eoefieienţH diferitelor puteri ale lui x, obţinem de ecuaţii : .

-----------+ 1) (2n + 2)

-

tmpărţind

.

:şirul

+ (ao +al x + aa x2 + , ..)xy'+ (bo + l;l x + b2 x2 + .. .)y

=O,

(8)•

unei serii de puteri, c~m este scria (3). Vom căuta 0 soluţie a ecuaţiei sub forma nu ·· prm · t.r- o putere ci sub forma produsului unei astfel d e sern , · p a lm x ~ O()

y

=

xP

~ 8""

(9)

!XsXi!,

o

tn care primul coeficient cx0 poate ~i considerat diferit de .zero, avind h'P. vedere că exponentul p nu este determmat. .. . . , . " .. , Introducem tn membrul tntii al ecuaţiei (8) expresule lm y, Y Şl Y ·

..

•

•

•

..

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

..

..

•

•

•

Am insemnat prin- .Q8 (oc0, cx1 ~ cc 2 , ••• , oc,_1 ) un polinom omogen de gradui :tntli tn raport cu argumente1e cx0 , oc1 , a 2 , ••• , t:X8 _ 1 • Deoarece, prin ipoteză, •'Xo =t= O, prima ecuaţie (10) va da o ecuaţie de gradul al doilea pentru determinarea exponentului p : F (p)

=

.P (p - 1)

+

a0 p

+· b0 =

O.

(11)

Această ecuaţie

se numeşte ecuaţie detetminantă. Fie p1 şi p2 rădăcinile ei. Făcînd tn ecuaţiile (10) p = p1 sau p = p2 , vom .obţine un şir de ecuaţii în care fiecare va conţine un coeficient rt8 mai mult decit ecuaţia precedentă, aşa că se vor putea determina treptat cantilăţile oc1 , oc2 , ••• Coeficientul oc0 rămîne arbitrar şi joacă rolul de factor arbitrar. Se poate face~ de exemplu, IXo 1. După substituirea lui p = p1 sau a lui p = p2, prima din ecuaţiile (10) se reduce la o identitate, a doua dă pe cx:1 , a treia pe r.t 2 etc. şi, in general, ecuaţia (s+ 1) va determina pe oc,, dacă oc0 , oc1 ... , rts--1 au fost deja determina ţi. Pentru aceasta ·este necesar numai ca coeficientul pe lîngă oc8 , in această ecuaţie, să fie diferit de zero. Se vede imediat că acest coeficient poate fi obţinut din primul membru al ecuaţiei (11) dacă inlocuim, in acest prim membru, pe p prin (p 1 + s) sau (p 2 + s), adică el este egal cu F (p1 + s), respectiv F (p 2 + s), Să presupunem că pentru construi.rea soluţ.iei (9) am plecat de la rădăcina ecuaţiei (11), p = p2 • Dacă F (p 2 + s) =t= O, oricare ar fi numărul intreg, pozitiv s. atunci procedeul indicat mai sus pentru calculul coeficienţilor t:Xs va fi aplicabil şi va da valori determinate pentru aceşti coeficienţi. însă condiţia F (p 2 + s) *O este echivalentă, evident, cu condiţia ca cealaltă rădăcină p1 a ecuaţiei (11) să nu fie o cantitate de forma (p 2 + s), unde s este un număr intreg şi pozitiv, adică, cu alte cuvinte, cu condiţia ca (p1 - p2} ~lă nu fie un număr întreg şi pozitiv. Din cele spuse rezultă cu uşurinţ.ă concluzia care urmează. ., 1. Dacă diferenţa rădăeinilor p1 şi p2 a ecuaţiei (11) nu este egală cu un număr întreg sau cu zero, atunci se pot utiliza ambele rădăcini ale ecuaţiei (11) şi se pot obţine, prin procedeul indicat mai sus, două soluţii de forma :

=

+

00

<$)

y1 ""~ xP 1

1; 1)

2. ~onstruj

fXs

X

8

;

'E

xP2

Y?. =

=o

8

~1 X

8

{
(12)

.=o'

Dacă diferenţa (p 1 ~-· p2 ) este un număr întreg şi pozitiv, atunci prin metoda preeedentă~ în general, numai o singură serie

se poate

CIC

y"

=

f

(p

+ s)(p+ s

....:.

1}

tX.4

a:P+s

·~ 2

YJr = '

~ «a ;! .

;rQ1 l

(13)

=o

s .....

143 142

3. Dacă ecuaţia (11) admite rădăcina dublă p1 nu se poate construi decît o singură serie (13).

=

p2, atunci, de

a~e~en~a~

Introducînd-o tn primul membru al ecuaţ' 1 (l 6) . ţii diferitelor puteri ale lui x, obţinem : le Şl egaUnd cu zero reoeficien"·

In ceea ce priveşte convergenţa seriilor construite, există o propoziţie analogă citate la [45] : dacă seriile

)propoziţiei

:r;P+t [(p+1)2- p2J cel= O,

;c%'+2 [(p+'2)2 - p2]1Xa

+ ot:o =

O,

.......... .sfnt convergente pentru 1 x

< R, atunci, pentru aceste valori ale lui x, seriile con-

1

struite mai sus vor fi convergertte La

ecuaţia examinată

x 2 P 0 (x)

şi

vor fi

se reduce

y"

soluţii

ale

ecuaţiei

(8).

şi ecuaţia

+ xP1(x) y' + P 2 (x) y = O,

Făc~d ~1:1 x:l r=7(:::ef:~:ţ:. :~:::·;)~~:::~~a solu~a:

(14)

·unde P 0 (x), P 1 (x) şi P 2(x) sint polinoame sau serii ordonate după puterile întregi şi pozitive ale lui x, iar P 0 (0) =f=. O. Aici, ca şiîn cazul [45], seria (9) se poate intro-duce direct în primul membru al ecuaţiei (14), fără a impărţi în prealabil cu P 0 (x). Afară de aceasta, ca şi in [45], se pot considera serii ordonate după puterile lui (x - a), întregi şi pozitive, în loc de serii după puterile lui x. în primul caz, cele două soluţii ale ecuaţiei (12) vor fi liniar independente~ cu alte cuvinte, raportul lor' nu va fi o mărime constantă, ceea ce rezultă direct din faptul că expresiile y1 şi y2 conţin, inaintea semnului sumă, diferite puteri ale lui x : xQ 1 şi xPs • în al doilea şi al treilea caz, am construit numai o singură soluţie (13). Formula (9) din [24] dă posibilitatea a găsi şi o a doua soluţie, cu ajutorul cvadraturii. Utilizînd această formulă, se poate indica forma celei de a doua soluţii. Fărăa da demonstraţia, formulăm numai rezultatul : dacă diferenţa (p 1 .;...; p2 ) este un număr intreg şi pozitiv sau este egală cu zero, atunci, la fel ca soluţia 13 va fi soluţia de forma :

·l

~p

- 2·4·6.(2p + 2) + 4)(2p + 6) +. (17) Utilizind rădăcina a doua =_ . ţi~i. (16): Ea poate fi obţinută, e~~dent ~·l~ten; c~nstrUI a .do~a soluţie a ecuadui p prm ( - p ), deoarece ecuaţia (16) ş ţs.o..;;:Ia (17) prm Simpla înlocuire a ~locuim pe p prin ( _ p): • necon m d decît P2 , nu se schimbă. ctnd · .

Ys

=

X

x2

- v [1 -

2 (- 2p

2·4·6· ( - 2p

+ 2)

·+

. "____w_-_ _ ...4

. 2. 4. ( - 2p

+ 2)( -

·'

2p

'

+ 4)

J

xs

+ 2)(- 2p + 4)(- 2p + 6) +,.. .

-.... (18)

(t)

y2

=

(3yl In x

+ xPa ~

Diferenţa rădăcinilor ecuaţiei determinant t ~ . ~:lmbele soluţii scrise mai sus vor fi valab 'l d ,r e es e egală cu 2p ŞI, prin urmare, .sau cu jumătatea unui număr între . le aca p ~u este e~al cu un număr întreg 1.factor constant, dă funcţia Bessel (T Impd~r. !Soluţia (17), facînd~ abstracţie de un J ( ) · e or mu p, care se noteaza de ob' · · v x' ŞI se numeşte, de asemenea, funcţia cilindri ~ d . '. ~ • I.cm, P}'m ;:nu este un număr întreg sau jumătat"'a . ~ca e pri.ma speţa. Deci, daca p •.generală a ecuaţiei lui Bessel va unm numar întreg Impar, atunci integrala

(15)

f3s xs,

s-0

Aşadar, în cazul considerat, expresia lui y 2 diferă de expresia obişnuită (12) printr-un termen de forma (3y1 1n x. Constanta (3 poate fi egală cu zero şi atunci, pentru y2 , se obţine o expresie de forma (12). Afirmaţiile de mai sus vor fi demon~ strate în volumul III. 48. Ecuaţia lui Bessel. Această ecuaţie are forma următoare:

x 2 y"

+ xy' + (x2 -

p2)y

=

(16)

O,

unde p este o constantă dată. Aplicaţii ale acestei ecuaţii se intilnesc în astronomie, fizică şi tehnică. Comparînd această ecuaţie cu (8), vedem că ao=l şi b0 = -p 2 , aşa că ecuaţ.ia determinantă va fi în cazul de faţă: p(p - 1) şi

rădăcinile

+ p- p 2 =o

sau

p2- p2

fi:

=o.

y = Cl .TP ( x) + C2 J -P ( x). Seria de puteri care intră tn soluţi (17) t ·•ceea ce rezultă uşor din criteriul lui D'~lembe~~ e convergentă oricare ar ti .t:, Să presupunem acum că p = n este ă ~şi păstrează valabilitatea, însă soluţia (l~) ~~m r .tntreg ~~.POZitiv. Soluţia (17) tnceptnd de la un anumit rang unul din fa t .. mai are. mei un sens, deoarece, 'tării (18), se anulează. Pentru = n.lntregc ~rn d~ 1.a num1to~, din termenii desvol. Şl pozitiv, funcţia Bessel Jn (x) se de;termină din formula (17) prin înmulţire cu factorul constant 1

. ..

/

p

l

ei :

J"" (x) = -xn - 1 2nn! Căutăm

o

soluţie

x

2 (2n

+ 2)

+

x4

2·4 (2n

+ 2)(2n + 4)

de forma .

2·4· 6 (2n

144

a

a;8

]

+ 2) (2n + 4)(2n + 6 ) + ·" •

(19)

Jte. Cun de matema.tici suverloaro

145

. Termenul general tn . această. desv'oltare. va. fi : .. .

1 (- )'

2n·n 1·2·4·6·. -'2s · (2n

:Formînd o combinaţie liniară a acestei soluţii cu cea deja găsită, putem reduce la zero termenul liber ~ 0 , aşa că soluţia finală poate fi căutată şi sub forma

.

~J0 (x) lnx

+ 2) (2n + 4) (2n + 6). · · · <2n + 28)

La numitor fiecare din cei 2s factori care urmează lui 2nn 1 conţine facto:rul 2 ~

vom putea, deci scrie termenul general sub forma

xn+2s ( -1)' 2n+2s • n 11·2·3·. •S (n

+ 1)(n + 2)(n + 3) .. ~ .(n + s) (25)

(- 1t ( x)n+2s = s 1(n + s) 1 2 aşa

•

Această funcţie se numeşte funcţia

nul zero şi de speţa a doua.

cii formula (19) va lua forma:

~

Sa presupunem,

l: IlO

Jn(X)=

8 ...

=

unde, ca totdeauna, socotim O t

=

(

şi

(20)

sl·(n+s)l

o 1. In particular, pentru n 1)' (. X

)2s

=

1 ( (1 1)2

1-

o

8-

+

_

1

(2 1)2

=

X)

2

2 +

(x)' 2 -

ClJU (x)

în-

2n

+1

(x) 2

8

1

(3 1) 2

+ ...

+ x-n

x2 [ 1 _ .:.:_ 2·3

(21)·

=n

~ ~,x'.

(22}·

2·4·3·5

2·4·~·3·5·7

... ]. """'

-/x+- ;~ + ~~- ;'1 + ···]= ·~~x

intreg~

ti:J

+ ____:&_ _ _ _x~--- -+-

înmulţind această soluţie

t:u factorul constant V~

·

obţinem funcţia lu~

Bessel J

1

"2

+ c2 Kn (x).

(23)·

(x) =

·v 2-

SÎll

x.

(2G)

rt7X

La fel, formula (18) dă :

Dacă

rl' + -

X

şi

.

+1

evident, devine infinit~ pentru x : O• a ecuaţiei (16) va fi, pentru p - n,

1

una din

forma

+1

2

dorim să avem o integrală finită pentru x = O, atunci trebuie să luăm C2 O, ceea ce ne duce la sol.uţia (20). . . (22._), tnd =.O. ln cazul. Să prezentăm mai amănunţit forma soluţ1e1 c P acesta ecuaţia va fi :

=

2n

2

generală

=

~

.

1rş1t ca p = - - - este Jumătatea unui număr

torul x-înaintea seriei de puteri, iar la alta x- --2- . şi, prin urmare, rn· portul acestor două soluţii nu poate fi o constantă. 1 , obţinem seria : Substituind, de exemplu, în soluţia (17) p = -~

8=0

y

f~

de ordi-

1

Kn (x) = ~ Jn (x) In x Această soluţie,

s

funcţia cilindrică

treg impar. Cu toate că, in acest caz, diferenţa rădăcinilor ecuaţici'detcrminante este egală cu numărul întreg (2n + 1), ambele soluţii (17) şi (18) îşi păstrează valabilitatea şi sînt liniar independente între ele, deoarece la una figurează fac-· 2n

O avem~

In virtutea celor spuse in [47], .ecuaţi~· (16) va admite, pentru p pozitiv, afară de soluţia (20), Şl soluţia

. Integrala

~

!ll

lui Bessel sau

2

1)'

(-

~ {s1Ţ 2 IlO

J o (x)

+ ~1 x + ~2 x2 + ...

Substituind această expresie in primul membru al ecuaţiei (24) şi aplicind metoda coeficienţilor nedeterminaţi, determinăm succesiv coeficienţii ~n· Fără a prezenta toate calc11lele, indicăm numai expresia definitivă a soluţiei a dou;I. Coeficientul (:3, care este diferit de zero, îl facem egal cu unitatea. Avem astfel :

soluţiile

ei ya fi

dată

. y' + Y

=

0

(24)·

de formula (21). Putem

~ J 0 (x)ln x

+ ~o+

(.). 1-'lx

(J,

+ i-'~x

2

+

căuta

.

· · ·; ·

a doua

soluţie

(2?)

şi integrala generală a ecuaţiei (16), pentru p

=

1

,

va

n

2

sut"" 1J

= el J 1 (x) ·+·

c~ .J ' 1 {x};.

146· 1'47

· B ·sel cu indicele egal cu jumăta·. . impar se expnma prm unc 1

egalităţii ~

2n + 1(x) =V2. [ p"" l;) sin :t: + On ( :) COS%}

sau, dncă p

ll~.dicăxn, fără demonstrar~, c~ă fu~lcţ:a 1uţ\ =~~~entare şi anume ~

te a unui

număr

J

-2 -

unde Pn

(~) şi

.1\:X .

·.

(29)

..

( }_ ·_\· ln particuhu Qn ( ..!_) sînt polinoame in \XJ X , J

J

'

J

' . '

, (x) """'

·- i1

(30)

)·

SÎU X --

-

3 x

unde ct, (j, y sînt constante, ~ şi yfiind diferite de zero. Deriv1nd, obţinem egR1ităţile evidente :

l1;

(~OS X

1

.•

X

1t;1: \

3

1 .- - sin x ·+· ~ 1tX l X .

(:t)

- 2

Să arătăm o clasă vastă de ecuaţii care se reduc Ia ecuaţia Bessel. Pentru aceasta, introducem în eeuaţia (16) o nouă v:u-iabilă independentă t şi o nouă funcţie u prin formulele : ·

)

l{'j_ (-sin x -- ~~~-); !

l·-:-2 -. 3

1

,

l

\ _ 1 J cos x

.

şi,

X

.J

In

..:;±-~(x)

această

=' ( -

formulă,

Jf

2x • (2x)n • ·f n

d/1. ~--] ....:.....=f.~----+r~..t u: dt

~ (~ '). d(x2t \ x . în raport

cu x • _ ., l• • n ssel Indidnn cîteva ecuaţii caro, 49. Ecuaţii eart~ se reduc la eeualtm m ţ· e Be~«"l (16) Să considerăm ecuaţnn prin schimbă.ri de variabile, se reduc a ecua Ia . , ~v • . de forma:

+ ;-cy' + (k2xa -

p2)y

=

v

•

J.

t;' ·

= dy -

aşa •că ecuaţia

dx

(28)

dy

d~ -~

== --- • - - --d~ dx capătă

dy \

dy_ !'i n" = - - k ,..-_ ' ) ~ '(· t' dE d; dx ,._ ·

=.:

forma: 2

k?.. x2 d- Y d;2

dy + " [k•2_ ,".2 + ~x .---""" y,

d~

p~ntru

şi :!'!12 în ecuaţia (16) şi

--,

obţinem,

dt 2

după

~'!!_

pe dy · si

dx

dt

prin u1timele lor

• di 2

transformfJri

elementare,

ecuaţia

11: 2

. d u t:!! - dt 2

+ (2rx + .1) tdu - + ((1(,2

·~ ~2.P2

dt

"' + 132y2{!..-) u

,~~ o.

(31 i

Cum ecuaţia (16) a avut integrala generală

variabilă

y

=

C1 J v(x)

+ C 2 J -·v(x),

•

d ('

1.• 11\.

şi

expresii în u, -

(28)

O,

1 t oducem tn loc de x, noua unde k este o constantă difenta de zero_ .. ~:r ("8) himbările: . d epend ent~a "'~:_ -- ''l,x · ·Ace·lsta aduee· în ~::euaţm .-.. se m · •

du

dx d 2u

dt

2

x2y"

dt

Înlocuind pe y, dy

pară ~ x trebuie derivată de n ori

. .funcţ1a

deosebit de acestea, d'}

Aiară de aceasta, pentru n întreg şi pozitiv • are loc formula

1)n

n este nql sau un număr întreg şi pozitiv :

;t; .· ;

X

· = .,-2 r îi

--- 1

.--

it'X

=

X

'iCX

-2['(23 V

o (x) "'= 2

J

-~r-2-l- ··in x · = .' ~ "--:-· -- cos

(;t)

3

-i

aceasta este ecuaţia lui Bessel cu variabila independentă 1;. AstfeL în virtu.te.a = kx. integrala generală a ecuaţiei (28) va fi :

--. p2\

H

/J );/

.2 d2g

k

-

d~21

ecuaţia (31) va avea,

-~

fl

=

pe baza formulelor (30) ihtegrala generală;

c·ay

=== el

c·(j "v (y tfj)

+

c2 t-«J_:P (ytf')'

(3:2)

dacă p = n este zero sau un numfîr întreg şi pozitiv. atunci .1-~·r; (y t~ ) tre .. .buie tnloenit prin K,. {y tf'). Ecuaţia (31) este o ecua-ţie de forma

= () {33} f~

anume /.·,

:A

148 t'

;

()t

+1=

a;

~2

·-

(j2pl!

= r;; ~ 2y2 == ..,

!~

•

c; 2fj

•

·'

=

m.

(34}

. . . f a (33) tn care constantele c şi m sin~ Invers, pentru .oriee~ ~cuaţie. ae orn;ormul~lor (34), valorile lJ., ~. y şi p, _Şl diferite de zero, ~e pot ga~l~ cu aJutorul t. exprima prin funeţii Bessel, conform integrala generala a eeuaţtel (33) se poa e formulei (32). t . uaţia (33) este 0 ecuaţie Euler [42] şi se . Dacă c sau m sînt nule, a unei ee . ' . la 0 ecuaţie cu coefieienţi eonstanţ1. reduce prm urmare, ţ' · . 1 Să considerăm cazul particular a ecua Iei . t

lnmulţind ecuaţia cu

d2u du ---+a-+ tu= O. dt2 dt 1

v

t, ve d_em ca, n ac

şi m = 2 . Ecuaţiile (34) vor f1: 2lJ. 1 =. a; lJ.z -

~2p2

+

=

est caz a este arbitrar, b '

O;

~2y2

=

de unde deducem

a- 1 oc=-; 2 .

Şl,

co

(35)

p

2~

1;

=

O, c

=

1

= 2,

a - 1

~~ condiţiile iniţiale

Y

u = C1 i

+ Cz t

2

-2-

= Yo + ~

[p 1(t)y(t)

+ q (t)z(t)] 1

dt,

Xo

Jl-a (t),

2

1

X

- z (x)

=

z0

+~ Xo

1\

[p 2 (t}y(t)

+ 9t(t)z(t)] dt.

(3)

!

1

j

In aceste formule, pentru claritate, am scris explicit argumentele y şi z, iar variabila de integrare am notat-o prin t, t>entru ca să nu se confunde cu limita superioară de integrare x. .Aşadar~ ecuaţiile ~1) cu condiţiile iniţiale (2) ne conduc la

,_funcţiilor

ţia (24). u natii liniare care se întîlnesc deseori Ecuatia (33) dă o clasa întmsa e ee ~ ă după eum vedem, cu ajutorul generala se expnm ' . ţ", . a cav ~o~ Î'1.1 e
.

X

y (x)

t· sau zero, atunci 1 e.xemplu, indicele --~ este întreg nega IV tn care, daca, ( e "' P t a 1 ecuaţ.ia (35) coincide cu ccuatrebuic inlocuit J1--a prin K a_:=2· en ru · = ' ~

Zo•

= ----,

a

1

=

membrii întîi ai ecuaţiilor (1) sînt funcţii continue. Integrînd ecuaţiile (1) în raport cu x, de la x 0 la x, şi ţinînd .eeamă de (2), obţinem :

2

2

a:= a:o

iăcute,

-2~

Ja-l (t)

1

,

~·~

1-a

--2-

Z

·vom presupune că coeficienţii ecuaţiilor (1) sînt funcţii continue "de x într-un interval oarecare I, care conţine valoarea injţială x 0 şi, în expunerea care urmează, vom limita variaţia variabilei x numai la acest interval. . Soluţiile y şi z ale sistemului (1) trebuie să fie, desigur, ~funcţii continue şi derivahile, iar din ecuaţii se vede că şi deri· dy s1• -dz vor f'1 ·f unctn .. continue, · deoarece, pnn · Ipoteze · 1e ·vate1e ~

nforrn lui (32), integrala generală (35) va fi : 1-a

= Yo;

J a:= zo

•

"

V

I ~ TEORIA F( lJA'ţ'III.OR DlFJ~RENTLI\l.E § !l. COJ\oiJ>I.,ETARI • < "'-

. ... · pentru ecuatiile linia1·e. succesive xistentn .. SI. a• uniCI . 't"'t'" . .•d a n a""(} . l\iletoda aproxlnlatulor Am amintit de c~~eva .ori e. tl:or~:n_ e da ac~m • demonstra{ia referitor la ecuaţule diferenţia . .. l' . Vom face . 1 " t pentru ecuaţn Iniare. .. acestei teoreme, a Incep'? "t · metode a ap.roxl" . d t' aJutoru1 asa numi el această emon~tra·,te cu . . " . h 'ntat-o deja pentru calculul matiilor succesive pe care am lnt~~ ut , apr'oximativ al rădă~ini~or ec~aţnlor_,d [1~ !9:l~temul format de Pentru fixarea Ideilor, sa const era două ecuatii .. , liniare · omogene (1)

~cuaţiile t3). Să arătăm acum că invers, dacă funcţiile continue :şi z(x) verifică ecuaţiile (3), atunci ele verifică ecuaţiile

y(x) (1) şi ·condiţiile iniţiale (2). În adevăr, făcînd în ecuaţiile (3) x = x 0 şi ţinînd seamă de faptul că o integrală cu limitele identice -este nnlă, obţinem condiţiile iniţiale (2), iar derivînd ecuaţiile (3) in raport cu x, obţinem ecuaţiile (1) [1, 9f)]. Prin urmare, ecuaţiile .. ·(3) fiind echivalente -.în sensul indicat - cu ecuaţiile (1), con 7 11iderate împreună cu condiţiile iniţiale (2), în cele ·ce urinează', vom considera numai ecuaţiile (3). Să observăm că. în aceste .ecuaţii, funcţiile necunoscute y(x) şi. z(x) figurează atît în '-·membrii din dreapta cît şi în membrii din stînga, în aceştia ~n urmă sub. semnul integralei. , .... Să lămurim ideia metodei aproximaţiilor suc~esive. · So~oţinc:J. -valorile iniţiale y 0 'şi z0 ca o primă aproximaţie pentru y şi z~ :.Inlocuim în membrii din 'dreapta ai ecu;;tţiilor (3) pe y şi z.

151 15()

:respectiv, prin y 0 şi z0 • Procedînd în acest mod ·obţinem. funcţiil~ y1 , (x) şi z1 (x) : ~

'Y1 (x) = Yo +

~ [Pl (t) Yo + ql(t)

1

zo] dt,

'''

Xo

. zl (x)

=

Zo

(4)

,_

Il:

+ ~ lP2 (t) Yo + q2 (t) Zo]

dt,

i

~·o

J

ea:re dal). a doua aproximaţie "pentru y şi z. Aceste funcţii y 1 (x) şi z (x) sînt evident continue în intervalul I, amintit mai sus1 [1., 9G]. Înlocuind acum în membrii din dreapta ai ecuaţiilor (3)' pe y şi z prin y1 (x) şi z1 (x), obţinem, o a treia aproximaţie' pentru y şi z,

y 2 , (x) = Yo

+~

[p1 (t) y 1 (t)

Mai departe vom lua in considerare nu.. . . . intervalul 1 situată la dreapta lui x d' ... mai ~orţ1unea din · .. . . o' a ICa vom socoti x _ x 0 -.. . ,._ 0 Ş tu· d'JU"'1 porţ1unn din stînga lui x o se face I"-n ace . ·1 · d ~ • 1 " d' aşi mo ·· · .1 · S a eva uam 1ferentele intre a Prima formulă (4) ne d~ proximaţn e succesive vecine.

+ q1 (t) z1 (t))

Înlocuind sub semnul integralei to ~ . . . . • " · " lor absolute iar a 0 • a te mari mile pnn -valorile obţinem [t '95]. P I maJonndu~le, m virtutea relaţiilor (6) şi (7}

i .Y1 (x) ---- .Yoî

~~o

prin urmar-e,

dt,

1

şi,

w

z2 (x)

= z0

+ ~ [p

2

(t) y 1 (t)

+q

1 Zt

y (x) şi z (x) sînt, de asemenea, funcţii continue î.n. intervalul'; I etc. Formula generală care dă aproximaţia de ordinul (n va fi: 2

2

:Yn (x) = Yo

+ ~ [pl (t) )'n---1

(t)

+ ql (t)

Zn-·1

(t)] dt,

1

~

•• (x) = ..

.Y 2

(5}:

(1)

+ q, (t)

Zn-··1

(t)] tlt.

l

ln intervalul I, coeficienţii ecuaţiilor (1) sînt, pdn ipoteză~~', funcţii continue, şi de aceea, în acest inte1~val, ei nu pot depăşi, în valoare absolută, un anumit număr pozitiv,· M [1, 35] :

lp1 (x)\-.
!'q1 (x)\-.
\ q2 (x) \ < 1\tJ

(x) ---- Zo

1-<

m·2.Z\1 (x --··· xQ)·

r·1,

pentru n ,= 2.

(

x)

:=

_y 0

şib s.căzîn.d din ea, termen cu termen, prima dintre ecuat.I'x'le (.,•. \...,

o t,In.em, ~

·

J:·p

\,

adică

~~

. ~nlocuiu.d din nou sub semnul inte. ral . • valorde lor absolute ŞI. utJ.lJ' " d .e . l Ig ei toate manmde prin ·. · · · -· .zJn tormu e e (6) ' (8) · . ' ŞI (81 ) , o h ţinem : V

\p 2 (x)< M;

(x în I).

Să însemnăm, prin litera m, cea n1ai

1nare dintre Juune:reler

,, . J7)

••

•

•

1\-f. m · 2M(t,..-;.. x 0 )} dt.

(6)'

·

IYo \ 4:m; . 1~o+-~ m. ]f:\2

(8)

\

+ t[p~ (1) Y•-l

pozitive \ Yo 1 şi 1z0

m · 2 NI (x --·· -~o)

+ 1),

1 1 1

-<..

Prima din · · ecuat, 1•1···l·". :.- (5) va

)

\U

Y1 (x) -~ Yo

tot astfel,

(t) z1 (t)] dt;

2

j (M1n ·+ Ntm) dt;

<

·Î:Ya(x)-.r~ (x) <2 2 m M 2J(t - -· Xo) a:~

.

dt

~- m·22M2·.l.(l--- ~r·}t:;;:;~ . 2l

.lt~Zo'

demonstra acest lucru pentru şirul de funcţii Yn(x). poate fi înlocuit prin seria

-de unde, in sfîrşit, 1Y2

ln

(x) - Yt (x)

=

Zt

<

(x) 1

(9)

2 1

[2M (x - Xo) r~ m 21

[zo (t)- zl (t)} fdt.

· ( ) · (9 ) mai sus vom avea : Folosind formulele (6), 9 §1 1 ' ca ' ro

\ z3 (x) --

Z2

(x) \

[2M (X- Xo)] 3 3 t

[2M (x- Xo)]n

l Zn (x)

< m -~n-1- - ' ./ nt

-

Z-n-1

(X ) 1 ~

l

\ 1

••

(10)

)

1 ări se poate uşor arăta că funcServindu-ne de aceste eva u '. ..; . 'te functii . (x) tind în mod untform catre anumt .~ ţiile y n ( x ) şt ~" ( ) ) " d . dicele n creşte in definit. V om limită y (x) Şl z x 1 ,_ .Cl.U .. tn .

. • ţial să. reamintim paragraf~le ·. despre *) Pentru~. cele .ce-. ~r~eaza este eţs-enuniformă, din volumul I. serii . cu termem vanabih ŞI convergen a

----- .

(n=l,2, ... ), iar seria formată cu 'aceşti termeni este convergentă după criteriul lui D' Alemhert, deoarece raportul dintre un termen şi termenul pre·

n-+r:s>

[2M (x - xow~ • \ n l

(Il)

tn care suma primilor (n 1) termeni este egală cu Ynfx); trebuie, prin urmare, să demonstrăm convergenţa uniformă a >Seriei (Il) [1, 144]. Dacă l este lungimea intervalului 1, în care variază x, atunci prima formulă (10) arată. că termenii seriei {Il) nu întrec, în valoare_~ahsolută, cantităţile pozitive

2

1

M • -ŞI

n

Iim Yn (x)

[2M (x - xoW < m ---3-~--·

· evaluările generale Continuînd în acelaşi ~od, r.ute~ sc~Ie ale diferenţei a două aproxtmaţn veCine.

\Yn (x)- Yn- 1 (x)J

+ Yn-1 (x)] + . · .,~ Yt (x)]

• d e catre -" d n tin zero c1n

creşte

· d ef.Init. · 1n

Acelaşi lucru rezultă şi din dezvoltarea lui ex [1, 129]. Prin urmare, ~onform criteriului lui Weierstrass [1, 147], se1·ia (11) este uni· form convergentă în intervalul I, adică în acest interval y~ (x) tinde uniform către o anumită funcţie y (x). Tot în acelaşi mod se poate demonstra că şi şirul zn (x) tinde uniform, în 1, către o anumită funcţie limită z (x), adică, în 1, are loc convergenţa uniformă în 1·aport cu x :

Xo

\ Ya (x) - Y2 (x) 1

+ [y2 (x) -

Y2 (x)]+ ... + [yn (x) -

-ce dent este ega1cu

. ) ( ) \ / m 23~( (t- xo)2 dt, ( -y2x ~ ·IYax 2 J de unde

Yo]

l

ro

= ~ {pl (t) [y• (t)- Yl (t)) + ql (t)

+ [yl (x) -

+

;,

Mai departe, întrebuinţăm~prima-:din ec~~f:~~ (~) pentru . . - 3 şi scăzînd termen cu termen, o , , 2 şt n -

y,(x)- Y• (x)

Yo

+ [Ya (x) -

mod asemănător,

l z2 (x) -

n

1

{ 2M (x - Xo) ]2.

Acest şir

=y

(x);

Iim zn (x) = z(x).

(12)

n-+oo

Funcţiile Yn (x) şi z~ (x) sînt continue în intervalul /, deci şi funcţiile limită y ( x) şi z ( x) [1, 145]. Să observăm că pentru porţiunea intervalului I care se găseşte la stînga lui. x 0 , unde x - x 0 O, trebuie să înlocuim pe {x ..:.... x 0 ) . prin {x 0 - x) în membrii din dreapta ai inegalităţilor

<

{.8) şi (81). În evaluările ulterioare înlocuim pe (t- x 0 ) prin (~0 - t) etc. Inegalităţile (1 O) rămîn valabile pentru întreg inter-

Yftlul 1, din cauza înlocuirii lui (x - x 0) prin valoarea absolută .a acestei diferente. Vom demon~tra acum că functiile limită verifică ecuatiile (3), ~dică ecuaţiile (1) şi condiţiile, iniţiale (2) .. Aceasta rez~ltă ~p~oape imediat din formulele (5), _prin trecere la limită. Intr-adevăr, ·dacă în ambii membri ai acestor ecuatii trecem la limită făcînd ca indicele n să crească in definit, at~nci y 11 ( x) şi y n-1 (t) vor tinde către y.(x), respectiv y (t),: iar. Z1r (x) şi· Zn~ 1 (t), către z (x) şi z (t) ; la limită, obţinem pentru y (x) şi z ( x) ecuaţiile

155

15,1,

Să prezentăm

(3).

riguros

această

trecere la

limită.

Din (12)

..

urmează că

+ ql (t) Zn-1 (t)J = Pl (t) Y (t) + ql (t) Z (t),} (t) Yn---1 (t) + q2 (t) Zn-1 (t)] -- P2 (t)· y (t) + q2(t) z (t).

Iim (pl (t) Yn J 1 (t)

~r·~ fP2 n-+

CP

Intr-adevăr, în ~az contrar o uÎu"l e charel este vorba coin~id.

(l 21 )

-

' va ori e a. so ute ale diferenţelo11' l z(x) _ Z(x) 1 r avea In Jl un maxi·m pozi•t•IV pe Presupunem că prim d·.t .., ' . care 1"1 Insemnam prin {) . .adicăJ . a 1 erenţa atinge acest maxim în x = ~'

"

-

Să demonstrăm că aceste treceri la limită au loc uniform în. raport cu t, în intervalul 1. Ne mărginim la prima relaţie. Să evaluăm· diferenţa dintre limită şi variabilă :

l (pl

(t) Y (t) + ql (t)

<:

J

Z

P1 (t) il y(t) - Y1~--1 (t)

1

+1

ql

(t}

1

! Z (t} -

Z-n-·1

A

Y (t)- Yn--1 (t)

1

< _:.. ; iz 2M

(t) --

Zn-1

>

2M

+ ql

(t)

(t)] -

Z

(pl (t) Yn--1 (t)

pentru n

>

+ ql

(t)

Zn"-

1 (t) l

Y (x) =

.'

~{ p "'"

1

"

z (x). - Z (x) \'.

~ .

I{p (t) 2

. :J:o

.

'

;h

.

1.

1

[y(t)- Y (t)]+q2 (t) [• (1)- Z(t)]

}dt~ 1• ·

_

.•

....... ,_, ... -.,·

._.

.

·l(ţ3)

.

.-

:·

..'

t ,-

z (x) 1< ~

(x în Il). (141)

e

< ::

N,

(t)[y (t)-- Y (t)J+qj(t)[z (t)-' Z(t)] }dt,

(14)

! Y (~) - Y (~) 1 < 2M ~ (ţ - x ), 0 ·de unde, utiliz1nd (14) şi faptul .., t: .... . ca <... se gaseşte în intervalul l . 1' 0 < 2 Mll (), adică ~ < 0:>,

N~

ceea ee demonstrează tendinta uniformă la limită în formulele(121) în tot intervalul I, ca şi in orice p~uţiun.e arbitrară (x0 , x) a acestui interval. Dacă revenim la formulele (5) şi ne servim de posibilitatea de a trece la limită sub semnul integralei pentru şirurile uniform convergente [1, 145], obţinem din aceste formule eeuaţiile (3) pentru y (x) şi z (x). În rezumat~ putem spune că metoda aprox:imaţiilor succesive ne-a dat soluţia sistemului (1) pentru condiţiile iniţiale (2), adică am demonstrat existenta solutiei. Vom arăta acum că această solutie este unică. Să presup~nem că ecuaţiile (3) admit două soluţii: y (x), z (x) şi Y (x), Z (x). Substiţuiud în ecuaţiile (3) mai intîi una şi apoi cealaltă soluţie şi scăzînd rezultatele, obţinem

:r (x) --

=o

...

Sa consldera.m prima ecuatie (13) integrala, cum am făcut m . • h . pe~tru x = ~:Evaluînd al sus, o ţiuem, In virtutea lui (141)~

De aicî rezultă,· în baza lui (6), că, pentru valori arbitrare ale lui t din intervalul I, are loc inegalitatea

\ [pl (t) Y (t)

y (~) l

IJr ~x) -- :·· (x! 1
(t) l •

(t) \ < ~ pentru n

)' (~) -

şi

În virtutea tendinţei uniforme a lui Yn- 1 (t) şi Z-n-- 1 (t) către y (t) şi z (t), pentru ::: > O dat, există un număr N, unul şi acelaşi: pentru toate valorile lui t în intervalul I, astfel încît J

ly(x)- Y(x) l ,

..a_

<

[Pl. (t) Yn-1 (t)+ql (t) Zn"-1 (t)]!

(t)] -

. Luăm la dreapta punctului x • aşa ca produsul 2Ml = e să f' o. Int.ervalul Jl de lungime ll, -în acest interval ceÎe două s ~~ ~~ldmlc ca unu. Să arătăm că~

-ceea ce este ~hsurd, căci pdn ipoteză o < < l Aşadar, Ipoteza noastră că solutiile . . , . .in Il, ne-a dus la o ah~urd't t , ~' z ŞI Y, Z nu COinCid -cu ajutorul unui llumăr de cîlt a e .. Acopelnud întreg intervalul l .., . . · eva Interva e de lung· 1 d stram COincidenta ambelor inte . I lme H emon .. · S.., :î . . • · gra e In tot Intervalul] a. ormu1am acum rezultatul d""fini . . . derat împreunli cu conditiile . . . l"' tiv: sz~stemul (1),. consi~ detenninată în intervalul I . . ~ntţ"ta e j~)_, a~mz~e o soluţie bine funcţi~ continue, şi aceastd ::z~~:e ~oe ~n:..nţz,bz, ~~ste~ulU;i (l) sînt aproxtmaţiilor succesive. • 1 oate J-" o ţtnuta pnn metoda Am fi putut considera şi un · fi putut face să fi ureze în me .~Ist~m neom.ogen, adică am şi /2 (x), continue fn intervalul 7hn~ din ~~eapta funcţiile h (x) valabilă şi în acest caz. . mons Iaţia precedentă este Ecuaţia liniară de ordinul al doilea A

+

•

+

.. . y" p (x) y' q (x) y = O (15) poate h scrisă sub forma unui sist d "' . y, funcţia z = y' : '· "' .em, aca Introducem, tn loc de dy

-

dx

= z,

dz

;; = - p(x} ~ - q(x)y.

15*>

151:

"'

..

•

.

v

R zultă că concluzia enunţata mal sus ra ec:aţia (15), cu condiţiile iniţiale

Y \x=Xo

Y'

= Yo;

Pentru simplicitate,

mîne valabilă şi pentru

y = Yo

-y o'

loo=::to -

:c

+ y~x - ~ dx ~ ~

(17}

+ q (x} y] dx,

[p (x) y'

~

aproximaţiilor

metoda

Să luăm drept cond1ţn 1mţ1ale • Y 1 re=O ....

o

•

cazul de faţă, va fi :

;c

y

=

succesive la exemp u

o

Substituind tn •

+~

l

-<

1

1

Fig. 27.

încît în el funcţia f (x, y) este continuă şi admite o derivată. parţială în raport cu y, care satisface inegalitatea

1

a doua

aproximaţie~

x dx

=

1

Y2(x)

=

1+ ~

dx

.

.a

~ x ( 1+ ;.3) dx= :t,s

ceea ce am obţinut şi tn [~6}.

+ .1' _4

x6

~

:x;6

2·3

2·3 5·6

r1 1,

~f

,Q __t_

x

(22)

[t, y (t)] dt . ·•

ro

Y1. (x) . Yo -!- ~~ (t, y 0) dt; ~ .. ; Yn (x)=Yo+ ~~ [t, Yn--1 ,

(t)] dt.

(23)

Să c~nside:răm condiţia (21). Dacă luăm în Q două puncte cu.1 aceeaşi absCisă, (x1 , y 1 ) şi (x1 , y 2), atunci, după formula creşterilor

91

A

(21}

+

x

.

•.

d metoda apl'OXlmatn1Ol' 51. Cazul eeuaţiei nelinm•·e. P. c n . · . · "t"'tii Şi la . entru demo.tţstrarea ex~stenţel ŞI a unlCI .a • succesive Pl. • " rezultainl va fi întrucîtva altul. ecuaţia ne 1mara, -

•

.Y' = Yo ·t

+

1+-+---.\'

1· 4. 7 +. -

61

k,

Wo

o o şi trednd la limită obţinem evident seria de puteri : 1 ..· _ 1 + __ y31

<

Aici presupunem că intervalul de va1·iaţie a lui x este ( x 0 - n~ x0 a), iar valorile funcţiei continue y ·(x) nu ies din intervalul (Y0 - b, Yo b), adică socotim că punctele cu ahscisele x şi: ordonatele y (x) aparţin dreptunghiului Q. Vom efectua calculul aproximaţiilor suecesive după formule analoge formulelor (4) şi (5) :

+ 2,3 ·

o

(il;

df(x,y) 1 (Jy

re

obţinem

1,

A treia aproximaţie va fi : re

----1-o

(.::ti;J'o)

+

x0 - a x -~ x0 a ; 1(2 0) Yo-b~
Ecuaţia (17), in

xa

~

dx

1)

11

=

ordinul,

unde k este o cantitate determinată, pozitivă. Ca şi pentru ecuaţia liniară, se poate arăta că ecuaţia (18), cu condiţia iniţială_ (19), este echivalentă cu ecuaţia

x

oo

1

=o,

1 şi Y'l oo=O

+ ~ dx ~ xy dx.

1

•.nembrul al doilea y

=

-

;c

o

lh(x)

__

de

Y lx-xo = Yo• - (19} Presupunem că funcţia dată f (x, y) este continuă în vecinătatea punctului {x0 , y 0), considerat ca iniţial, şi posedă în !această vecinătate o derivată mărgi· Y+ nită în raport cu Y• Mai precis, 1 6 există un astfel de .dreptunghi j Q, în planul XY (fig. 27) : a a

y"- xy =O. o

ecuaţie

o

condiţia iniţială

.

. "' . f'11"' l 0 uită rin două integrale simple,. unde integrala dubla -poa[~S] ~ ~.tate~ (l 7) ne dă posibilitatea după formula (23) dln . • t .. f:rl succesive ecuatiei (15), fără a să a licăm metoda aproXIma ,n . ~ p . "lntîi sub formă de sistem. 0 a d uce ma1 11 w 1' wm Exemplu. Sa ap ICa considerat in [46] :

considera

y' = f(x, y), -cu.

(16)

1

. . t'. P ·(x). f;li q (x) sînt continui· . 1 1 1 ln "' c are d' coe..f ICien • (15) sub in 1nterv~ u (l6)n putem'J scrie ecuaţ1a Serv1ndu-ne de con lţn1e ' forma: (1':

vom

întîi :

.finite, putem scrie [1, 63] :

\tnde y 3 este cuprins între y 1

şi

y 2•

Gondiţia

(2l) ne

dă,

in acest caz.,.

de unde, ca maj

But<,

(24) Această inegalitate, numită de obicei inegalitatea lui Lipschitz~ se întrebuinţează pentru demonstrarea convergenţei lui y ~ ( x) şi unicitătii solutiei. Fie M cea mai mare valoare absolută a func~

ţiei

f

(~, y) în 'dreptunghiul Q, adică

l f (x, y)

1

< M.

[(x, y) în Q].

(25)

Pentru efectuarea calculelor in formulele (23) este necesar, înainte de toate, să avem grijă ca punctele care au ahscisele X ~i ordonatele Yn (x) să nu iasă din dreptunghiul Q, definit prin condiţiile (20). Prima din aceste condiţii dă, pentru x, inegalitatea J x- x 1) ! -<. a. A doua condiţie se reduce la inegalitatea lY~ (x) - Yo

l

< b.

(26)

Pentru ca această inegalitate să fie satisfăcută pentru orice valoare a lui n, trebuie să i.mpunen1 lui x, afară de condiţia ! / • d".' l x - x. 1 -....-::::.~ / -b , aşa incit, în del x ~ x 0 1 ~ a, ŞI con 1ţ1a 0 finitiv~

avem

pe~tru x două condiţii

\ x - x 0 1 <;:a;

i

M

:

l Y2 (.'t:) ~- y 1 _. M • O

/

'

b

~'111

IX -

Xo

o i < :A-J ~i

=.

111

O '

?u alte cuvinte, inegalitatea (26) ... . . , . Jar.Y2 (x) este o functie cont' "e..,stc verificată si penti·u n--··2 satisfăcute etc. Puterri' dA . dinua 1 ~ condiţiile (27) fl:re'up ___ . ' ...,CI, eternnna a · .. ' use y: ( x) " • , . Intr-un Interval (x - c . proxunaţJile succesive o ' Xo c ' unde .in . 27) ( ' c este cea mai nlică d·" l . ' VIrtutea lui " " , 1n ce e două cantităţi : . b ~~semnam acest interval . a Şl A . Să tJnue în J, si in tot c cu 1. Toate funcţiile y (x) sînt1 . . • eea ce urmeaz"' n con~ a P ar ţ ~~e Intervalului J. , a vom presupune că x Sa evaluăm acum diferentele . "~fu~em pen_tru simplificare ~ - Yn (x) - Yn-: (x), unde preş naJnte. Pruna ecuatie (23) h Xo > o.' dupa cum am făcut • ,_pe aza ltu (25 ), dă :

+)

Lu"am

IY1 (x)~- Yo l

termen cu termen pr!m 1

(28) .pentru n = 2 şi scădem di·n ea, a ecuaţie : -

ecuaţia a doua (23) '

X-Xol~-·

~

.

•

(2'7}

Să arătăm că, în acest caz, toate aproximaţiile verifică inegalitatea (26). Prima ecuaţie (23) ne dă : ~

~

Y1 (x)

-~ Yo

=) f (t, Yo) dt,

i Y2 (x) - Yl (x) 1
şi evaluînd integrala, ca întotdeauna, obţinem pe baza lui (25)

!y1 (x)- Yo i <: M 1x - Xo

eau, pe }iaza lui (24),

x.

l,

<

de unde, în virtutea condiţiei a doua (27), IY1 (x) - y 0 1 b, adică inegalitatea (26) este îndeplinită pentru n = 1. Afară de aceasta, evident, funcţia y 1 ( x), determinată prin formula prece.. dentă, este continuă cînd condiţiile (27) sînt respectate. Acum. putem calcula pe y 2 (x) după formula (23), pentru n = 2 : Qll

Y2(x) - Yo =

~f

,[t, Yt(t)] dt, (29)

160

161

şi

La fel, scriind a doua formulă (23) pentru n efectuînd scăderea, ajungem la ecuaţia

=

2 şi "~,

=

3

Utilizînd

inegalităţile

(24)

şi

(29)

f

[t, y 1 (t)] }

obţinem

dt,.

aici, ca

şi

d

.f:

Q;

y 3 {x)-y2 (x) = ~ {/ [t, y 2 (t)] -

Rămîne de dem ,., .. d . on:strat un:w:rtate . S..., (2?) .. '"' a m:tte două so.lutii y (x) . y (a.) "a presupunenl că ecuati Xo d), care nu ie.se din înt 3 ŞI I ' x( Intr-un interval ( x 0 - • ' consulera că d ,. -< -;va U!! x 0 - a x -f- ) . :intervalul (y -- ebste at:rtbde mw, încît y (x) ~i (""a) 'n ŞI .Putde~ I o ' Yo -f- ) Intr d " d " • ... u Ies 1n o so u.ţiet pe urmă cea] altă si sc~zV::~n In tcuaţia (22) Ia început • ,... :rezu tatele, avem :

y

:mai sus :

::.1·

IYa (x)- Ya (x) şi,

1

< k2M

continuînd, ajungem la inegalitatea IY~~ (x)- Yn-1 (x) 1 .

M
(x- Xo)a

)' (x) -

3!

generală

[k(x ·.:_: ~0)Jn

n l

.

~!/

{30)

Dacă în membrul al doilea se înlocuieşte (x·- x 0) prin valoarea lui absolută, atunci inegalitatea devine valabilă pentru orice x din I. Din această inegalitate, ca şi mai sus, se deduce că pentru x în I y ,(x) tinde, în mod uniform, cătr~ o funcţie limită y (x), care este continuă şi verifică inegalitatea (26), adică ly (x) -y0 ·1 <.b. De aici urmează că punctele cu abscisele x şi ordonatele y ( x} aparţin dreptunghiului Q. Pe baza continuităţii funcţiei f (x, y), avem: (t din I). Îim f [t, Yn-1 (t)] _:_ f [t, Y {t)]

1y (x) -

de văzut că această trecere la limită are loc uniform, faţă de t~ cînd t este in intervalul I. Într-a4evăr, pentru orice ~ pozitiv dat, există, pe baza continuităţii uniforme în Q a funcţiei

1

[

--- f [x, Y (x)] } cJ.tţ;~

y (x), ,..... ( 1j~ [ ~~ ~. x, y (x)J ·-· f [x, Y (x)] 1 dx,

~~ pe baza iu:i (24) : n

1

Este

( )]

x, Y x

de u:nde

:

.

f J f l'

y (x) =

uşor

f(x,y), un număr ~ astfel încît tf(x",y") -f (x',y') ~ N şi pentru orice t din I. De aici urmează că oricare ar fi t din I. avem pentru n > N, IJ [t, Y (t)] -· f [t, Yr1.-1 (t)] 1 < Z ceea ce demonstrează convergenţa uniformă. Să considerăm a doua formulă (23) şi să trecem la limită în amhi. membri, făcînd pe n să crească indefinit. Deoarece f [t, Yn-1 (t)] tinda uniform către f [t., y (t)], putem trece la limită ub semnul in.t~ grală şi obţinem, pentru funcţia limită, ecuaţia (22),

!y (x)

..._ y (x) l

< k Sty (x) --

y (x) /dx.

~

L. ufnd un interval de 1

·

Mtrăm, ca Şi mai fnaint ung~me 11, ~stfeJ Încft kl = 6 < 1 d . e, ca y ( x) s1 Y( ) . .t_ ' emon. (18) . . ' cu condqiile iniţiale (19) '· . . ~ coincid. Aşadar, e,~:uati

przve~te funcţia f (x y) d . ş~ r.n Jpotezele fiăcute în •a • ... ... • ' t • b. ce exzsta tn nuervalul (,.. ' a mJte 0 s0 1U,Je zne determinat ceea .. • · ' ""O c, x c) d · a, care

dJntre numerele a si ..!!_ •

+

este cel mai mic .ri b . .. . . .1 • o ţznuta prin. ill r or succeszve S... b · ~ ?r neli~:iare, intervalul de v~ri~i: serlv.ăm că, in cazul ccuaaJ greu uecît tn caz 1 . . · , a UI x se determ · ... acest interval coincid: u:~~ s~st~m de ecuaţii liniare,. pen~~: t~te al .coeficienţilor. P!truŞias~~plu. cu intervalul de contin:~~ sa conszderăm un exempl • amun aceasta mai îndeapr fp,_fl ..... , ~ u . oa.})e, · " ·••... JhU, ~~ d:'î ecuaţ.ia • metoda anroximaţz"z"l

' un e c M , aceasta soluţie poate o..

:eva

. (31) li j:I'!=O

=

0. (32)

o;

y(x)

"='-=

~ ft + Y2(t)J u

di.

(33)

162' 163

. s.şi

să presupunem, pentru sîmplicitatc, că P (x, y) şi Q (x, y·) ::sînt polinoame în x şi y. Dacă P (x 0 , y 0 ) :::.f.: O, atunci ecuaţia ~35) va fi scrisă sub forma

. .· ~-· '<·tdânl : ~. d'i'aa apwxi't) prtn zero şt c
·-

.

mat.ie :

0

,

.

• ·• .

roJd-

roaţie:

~ (t + ~

«l

.

;r,r;

:r,i

)

dt =

2 + 2o ,.

. · · · • · etoda . . . ·:tn.. care· aplicam m valul de variaţie a !_u~ x,, continuu,: şi deriSă determinăm. acut~ \nt:~ul al doilea al ecuaţlel (31.) ~s~t in jurul originii,. aproxima ţiilor succesiv~ ~ginită tn orice dreptungh)i con:f~ luate arbitrar. Aici. vata sa tn raport cu. y es e m figurează tn condiţiile (20 ' aornese ilttervall.}l căutat.. a ŞI b, careba ~~~· inegalităţile (27), care e 1 :· . . . . a dică numerele_~.:..yaj=a+ M= maxtx -rr. .v de variaţie a lui x, vor l . O

t ·\li\
b

p:\~;·~·

. . , dgua inegalitat~ n~ dă un. mal mare ca zerQ, a · t r dacă măm pe . . D.acă _luă~ ~e b aprop: f~-;~·~e redus. Acelaş~ lucru se tnt i~ier~al de varia}ie' i~lterval. de vanaţ}e peRt~~rU a mic, prima inegahtat~ dă V~~ de variaţie ctt yolU~) foart~ mare. tns;~ r:butim să avem pentru Xt~U?- (~J):u prezintă nici O singu~, mic. Prt_ n urmare b ul al do.Hea al ecua,.~el . . . . . u toate că mem r . . ' ' . , . de mare, c . . f'nite ale lui x Ş! !1· . · d" 1 taritate pentru valon h . , t"". d"iere.utiale de or, ln_u. 1 .,

. t

U:

a

• 1 1/[1, unei eeua n / •· · · hrul inr,tate a_ lut, mem ., ........ Puncte şlngu1are ( a . . .). . ". t ..... "' -v~ec· ·'' . tntii. Dacă în pun~t~ Xo, Yo . . . . . . . ~~.

Şl 1n~

~..,.

al doilea al ecuaţtei

,

. (34}

_y' = f(x,y) ·. . rt cu y mărginită, · :" u (lerivata in rap o . ·~ · acest este o funcţie continua, mc ei existentei şi unicttăţn, ·nprlna"' însă . " virtutea te ore una. ac atunct In . bă integrala şt numaL . . t atunci unct va trece o cur d t'" într-un anumit pune.' . (34) p ( y) nu satisface aceste con ,n t singular al ecuaţteJ. • x, · numeşte pune ' · • t.. nu este, f unctul res_pectlV se . . , ma existentei şi unlclt.a ~lJ. . punct teore • ntr-nn asemene~ ., ... nă in eviin general val~bila. . (~~4) sub o formă care ia pu . Să transcnem ecuaţia " denţă diferenţialele >J

•.

•

•

;

>J

f

dx

-= P(l!, y)

164

P(x,y)

dx

. · (3~) determmăm '' 1..1 eM ap . bru1 al doilea al ccuaţiel .. ' Substmnd tn mem

=

Q(x,y)

··-=:--·-.,

~Jt(X) = ~t dt =-;--.

Ya(x)

1

dy

l&

Il)

____ , dy ...

Q(x, y)

(35)

'ŞÎ dacă condiţia amintită mai sus este respectată, membrul al .doilea al ecuaţiei va fi o funcţie continuă în (x 0 , y 0) şi în vecină·.. tatea acestui punct, avînd o derivată mărginită în raport cu y, -derivată care se obţine după regula obişnuită a derivării unui cît,, Aşadar, dacă P (x0 , y 0 ) +O, atunci, în punctul (x0 , y 0 ), con~' .diţiile teoremei existenţei şi unicităţii vor fi satisfăcute .şi prin . . acest punct va trece o curbă integrală a ecuaţiei (35), şi nuxnai una. Dacă P (x 0 , y 0) = O, însă Q (x 0 , y 0) :;t:·O, atutwi' scriem .ecuaţia (35) suh forma

dx P(x, y) ----= Q(;t:, ·---·· '. dy y)

luill.d. p~ x ca funcţie de y. Nţnnjtorul meJ1l.brtţlui .al. doi~e~ ny.. ~~, ~~~le~z,ă în punctul (xo, Yo) şi, la fel ca ~ai .SllS, r~~ultă ap}iQa< rbilitatim teoremei existenţei Şi unicităţii pentru ptinctul (x0, y0) ..' Prin turnare, punctele singulare ale ecuaţiei (35) sînt punctele ~h c-are funcţiile P (x~ y).. şf Q .( x, .Y) se. anulează în acelaşi timp, .adică coordonatele acestor· puncte sînt rădăcinile I'eale ale siste· mului de ecuaţii (.36). P(x, j) ;-·· O; Q (x, y) = O. A~,~ste consideratii rămîn· valabile s.i în c·azul cînd P (x~ j'f~şi 'Q: (;f, y) sînt ser{i. dezvoltate după'.' puterile întregi şi pozitive, aJ~ lqi _(x - x 0 ) şi (y ~-- y0 )~ pacă în cel puţin una din aceste serii termenul libe1· este diferit de zero, teorema existenţ,ei şi unic,i,tăţii ,este aplicabilă în punctul (x 0 , y 0). În caz eontra:r, acest ·punet ·va fi un punct singular 'al ecuaţiei. Să clarificăm noţiunea de punct singular, considerînd
.

'-7

{:!":(~, .j) proiecţiile Vectorului viteză

V (X, y) pe ax\9le

d~ -~oor·

Ecua-ţia (35), care exprimă condiţ.ia de paralelism a tau .. .gente~ şi a vectorului viteză, reprezintă ecuaţia diferenţ_iJtlă a

-donate. .

"1>

'

.

~iniilor

de curent. Dacă într-un punct vectorul v (.:t~, y) ·este diferit de zero, atunci, în acest punct, cel puţin tina din p:tpiec· ·ţjile ,sale este diferită de. zero, ~i prin acest punct, conform te o-: t"emei existenţei şi unicităţii, trece o linie de curent şi numai 1;1na. ~

lnsă punctele în. care·. vectorul v (x, y)_~este eg~l cu zero,, adică

punctele în ca1:e au loc egalităţile (36)~ vor fi puncte singulare ale ecuaţiei (35) şi se numesc punctele critice ale mişcării con~ sid.erate. Într-un astfel de IJunct liniile de curent se pot inter~ secta, pot să se ap1·opie asimptotic de punct sau pot fi curbeînchise, cm·e să-l conţină în interior. Prin urmare, punctele singulare pot avea caracter diferit şi, în vederea studiului mişcării ( curhelor integrale ale ecuaţiei), este important să putem deter··· mina caracterul punctelor singulare. În punctul următor, rezolvăm această problemă pe un caz particular.

53. Liniile de curent în Să considerăm şi Q (x, y) sînt

mişcarea plană eoliniară

a unui fluid-

cazul particular cînd proiecţiile vitezei P (x~ :Y): polinome de gradul întîi:

P ( x, y) = f1.1 x

+ a 12 y + b1 ;

Q ( x, y) = a 21 x

·+ a 22 y ·+ .b

2;

+ b2 =O

(37}

in acest caz, mişcarea se numeşte coliniară. Presupunem mai întîi că dreptele a 11 x

+ a12 y

şi

-t- b1 =O

a- 21 x

-+-

a 22 y

nu sînt paralele. Luînd ca origine punctul lor de intersecţieţ,, reducem la zero termenii liberi b1 şi b2 • Ecuaţia va lua forma :. dx ___. ______ = ..

dy

(38)

de unde,. egalînd coeficientii lui . . narea lUI ml şi nl, sistem~] de :c~ft~. obţinem, pentru determi.u, omogen (au --

p) ml

+

(39):

de unde d~

=

m 1 dx+ n 1 dy;

d'fl = m2 dx

dţ

d

--------,--------·-·-···---

+ a12Y) + n1(a21x + a22Y)

-

------

m2(aux

Tj

·---------.

+ a12Y) + n2(a21X + a22Y)

l

+(

+

+

-- =

a

---E__

>eeea ce d.., . . at2 a22 - P ' a ecuaţia de gradul al d 01'l ea . 2

+

+

( all a22) o (a11 a 22 - a12 a21) = O · . ' (42) rminarea lui p. . -~ acest. caz, atît sistemul (41 ) ,._ . 1ungura ecuatie si putem dete . 1 Cit Şl (412) se reduc Ia . Să studie~ acum difer~;n;na soluţfa difei·ită de : m = n --oo A. Ecuatia (42) are d . , e e cazun posibile. ~ · F ăcînd în· ecuatiile (41oua '"'d"' · · d' . ) r~ ac~n~. ,..~stincte Pt şi p • putem după cum a~ d' 1 p -. Pl ŞI In ecuaţiile (41:) -formulele (39) d . , In Icat mai sus, determ. f~ . p - f'2, 'Yari h .1 1 , upa care ecuatia (40) . dIn a coe ICienţii în •·. a J e e separate: , se Ie uce Ia ecuaţia cu

r

p -

pentru dete

.

+ n 2 dy.

Folosind proprietăţile proporţiilor, deducem din ecuaţia (38} mt (al~x

O,

(au - p) m2 -1- a21 n2 = O, l (41,) aa ma a22 p) n = O J unde coeficientul de . . 2 ' . Valorile m_ = n p~o~:r~onabtate p are altă valoare. ·sc.hJmharea de variabile (3 9) e" ~erv~sc, deoarece, în. acest cal: .este necesar ca sistemele (4l ~ŞI pierde sensul. Prin urmare' .de 1lt = n =O. Îns" d .., 1) ŞI J4·12) să admită solut·· d··J!' • ' a oua ecuatu omogene d d ,II IJ.erite , e gra ul întîi acl x {31 y = O ; aca x {3 :au solutii nenule at . . , 2 Y = . .0 ' unc1 SI DUma' t . .corespund coincid ad· .., ~ . I a unCJ cind dreptei 1 ·1 } . ' ICa atunci cînd a f" . e Care e . n cazu SIStemelor (41 ) si (41 ) U coe ICienţii proportion f l .' ' 2 aceasta duce la proporţia,: aI. au -p

iar originea x = y = O este evident un punct ~ingular. Vom arăta cum se poate caracteriza punctul singular după coeficienţii a,k. Ecuaţia (38) este o ecuaţie omogenă şi poate fi integrată prin metoda indicată în [3]. Vom întrebuinţa însă o altă metodă,. şi anume, introducînd noile variabile ~ şi 'fl, vom aduce, în primul rînd, ecuaţia (38) la o formă mai comodă pentru studiu. Punem

+ a2J nl =

a12mt (a22- p) ni= O. J La fel, egalînd al d '1 . determinarea lui· m . OI ?a numitor cu O'Yl oht' 2 ŞI n 2, sistemul · Jl' ...Inem pentru

(40),

d~- dYJ

Pt~ - ;;)" (43) om considera acum 2 • 1. Rădăcinile p si pttru ca~~ri particulare: :se.mn. Int " d l , Pa a e ecuattet (42) s" t l egrin ecuaţia (43), gă~im ~n rea e ţii de acela# V

Să determinijm acum coeficienţii din formulele (39), astfel încît numitorii din (40) să fie, respectiv, proporţionali cu ~ şi 'll·· Pentru primul numito1· vom avea

(41~

.
l

In ~Pa

= In

"'''pl

-1- 1

., . n Insemnăm o· constanta"

c·1' ar

b.1trară.

1.66 ] fjg

P.rin urDlare,

c"~), 1

=-

(C

!!:

(m x 1

ln

cazul de

+ n 1 y) =

faţă;~

+ n 2 y)f!~.

C (m. 2 x

cîtul _f.! este un

număr

(44) pozitiv,

şi

prin

Pz

urmare, coordonatele s = y = O verifică ecuaţia (44), oricare ar f> valoarea lui C, adică orice linie de· curent (curbă integrală) trece prin punctul singular (fig. 28). Un astfel de punct se numeşte nod. .\' 2. Rădăcinile p1 şi p1 sînt reale şi de·

Suhstituind în coeficient·· .
,., -): . -:1 + Yltl; unde):-,t

Flg. 28.

(m1 x

y

+ n1 y) (m 2 x+n!J) 11 = C (ll

Făcînd

X

= y

> o).

=

O,

.. Yit Sint polino ame reale în x ~~

Ecuaţia

d~l

-

(cd; _

= PlX + q1y·'

"'lt

şi

=

y . d e f'or:m.a:

+ qa.Y.

P2X

r.t

d~l )

+ id·ljl

dţ

.

+ (5i)(~l ··!- .IJti)- :.::::: --(rx - '~i)--(Eld~ .. -1 'lhl} + id1J!

~1 --

dr:

=

•

zd·th

(rd; - ~YJ ) _ (QE d't"'"ll + ((3~1 + CXYJt)i 1 1 1-' ,1 + CXYJt)i In urmă poate .fi înlocuit"' -· . ode termenn corespunzători rezult t• . a prin propor-ţia formată ..derea, numărătorilor şi a numito~Î:rd:In adunarea, respectiv scă ...

1

A

ceas~.a

(45)

obţinem c -- o"·

adică liniile de curent care trec prin

.de unde

origine au ca. ecuaţie

(m x 1

+ n 1 y) (m2 x + n 2 yY'

~i acestei ecuaţii drepte:

m1 x m2 x

Fig. 29.

sau

=O

îi corespund ·două

+ n 1 y =:o, \ + n 2 y = O. Î

(46)'

Astfel~ in acest caz, prin punctul singular trec două şi numai două linii de curent (curbe integrale). Un asemenea punct singular se numeşte punct neutru sau şea. Pentru valorile lui C diferite de zero, curbele (45) vor fi asemănătoare cu hiperbolele (saU; chiar hiperbole penţru [L = 1), iar dreptele (46) vor fi asimptotele lor (fig. 29). 3. Rădăcinile p

1

diferită

de zero :

Pt

=

CI.

şi

p sînt complex conjugate cu partea

·+- ~i ;

2

?i1 =

(Y. -

~i ;

(11.

şi ~ =F O).

reală,

(41)

( 43) devine : (at

semne diferite. În acest. caz, raportul .1! P!! este negativ. Însemnîndu-1 prin (- (l)" unde (l este un număr pozitiv, putem scrie integrala generală (44) sub forma:·.

Şl·

'tJ = ~~ - YJtÎ,

Punînd vom avea du=-=-~. ~ l 2u ·{3. t +va' 2 - n u ·şi,

prin urmare, integrala ln

a = -· arctg ~

generală

ln C

t'

va fi :

,---l, E2 -!- = _cxf3 arctg ..:!!. + lu c •1

,

Yl2

.,1

'll1

~1

.

-'

sau

~ arct.l(~·

__

V

t:z ~1

+

2 'Yll

Ce ~

_ -

~1

B. Ecuaţia (L12) admite rădăcina dublă P1 =~ p2 , diferită de :zero. Prin substituirea în coeficienţii sistemului (411 ) sau (41 2) a ·valorii p1 = p2 , se pot ivi două cazuri : sau toţi coeficienţii se .4:l.11Ulează, sau printre coeficienţi cel puţin unul este diferit d.e ;zero. Considerăm, mai întîi, primul caz:

(48) •

coordonatele polare ~l=r cos n~ Introducînd în planul (~1' llt) 'fh = r sin e, obţinem (.::_f(l) 1).

r =Ce

(51) ,şi

deci sistemul (38) va avea forma

"

dx·

dy

dx

dy

- = - · s a u -- = -·-' P1X P1Y

· ·d tele (~ i'J ) vor fi spirale logaadică liniile de curent în cool:r ?nans "tn t).'ur~l originei [1, 831. O . d "n ace aşi se 1 · · · 1 ·titjn.iCe, răSU~ln UwSe 1 r ''l de curent §Î În coordonate e lWţia e,, formă analoga vor avea trui e . ,.

iar integrala lui generală y = Cx va fi o familie de d1·epte care trec prin origine, adică originea coonlonatelor va fi un nod.

y

5. Printre ;(;e;l puţin

coeficienţii

unul este diferit de zero. Se vede imediat

că

,a21 nu pot fi simultan nuli. Într-adevăr, dacă a 12

Fig. ;n.

;

(x, y) legate de noile

rin transformările (47) ...

)

( coordo?~t: linl~ 1e ~urent (curbă i~tegral~)

Prin urmare, în acest c~z nici f' re se va apropia asimptotic· nu trece prin punct~ sinlg~l.a(rf- Je3c;) Un astfel de punct singulat' de el răsucindu-se în JUru Ul tg. • ' se numeşte foca!. . ., ·maginare (± ~i). Punîn d IJl• 4 Rădăcinde Pt şt 0 2 sJ.nt pur ." formuÎa {48) rx = O, obţinem (49)' 2 2 c2 A

~1

+ = '11

(ptx

\ :1 '1

:,,

170

=

0.,

+

'ŞÎ sistemul '(411 ) prin suhstituţia .după cum am. amintit mai sus, la

;r ... iuuam 1n:t = a 21

+ qly)2 + (p2x + q2Y) 2 --- c:~ •

.

• ŞI

p

o

=

p1 , uehuie

singură ecuaţie

să

se

reducă~

:

au - U22 n 1 = --· - - - , a d.1ca~

2

(50)

. . ) btinem elipse asemenea. Astfel, ~nÎn locul cercurtlor (49 o (' b"' . tegrală) nu va trece pnu . . li . de curent cur a tn t acest caz ntcl o nJe .d b' de cazul precedent, aces a: . " să spre eose tre . f' 31) · 1 punctu1 stngu ~r, tn ~ d linii de curent închtse ( tg. ş:ru din urmă va fi înconJu~at e " . 1 său. Un astfel de punct. nu de spirale care se rasucesc In )uru singular se numeşte centru.

li

~ 2 şi

~

sauM in coordonatele iniţiale, '

a 21

atunci, avînd în vedere multiplicitatea rădăcinii p1 pentru ecuaţia {42), obţinem a 11 = a 22 = p1 • În acest caz, ecuaţia (42) se trans .. · formă în ecuaţia p2 - (a11 a 22 ) p a 11 a 22 - O, şi condiţia de multiplicitate a rădăcinii acestei ecuaţii dă a 11 = a 22 , această valoare comună fiind, deci, chiar rădăcina dublă p1 • Aşadar" .dacă presupunem a12 = a 21 = O, atunci condiţia (51) este înde·· plinită, ceea ce contrazice ipoteza. Din această cauză, cel puţiu unul din coeficienţii a12 sau a 21 este diferit de zero. Presupunem, de exemplu, că a 21 *O. Rădăcina dublă a ecuaţiei (42) va fi

+

Fig. 30.

aici

=

(52) păstrînd

vari.ahila a doua y·. Ecuaţia diferenţială poate fi seris.ă

sub forma d;

dy

-=== - · - - - -

dr:

~ şi y. .afară de

.tn

dy

~=---· p1 ~ ~ ~ P1Y

Introducînd în locui lui y noua variabilă t~

y ajungem la ecuaţia

=

t~,

2-~= dt, ~

P1

şi, integrînd, obţinem integrala generală y = _1_ ln (Cţ). P1

Semnul lui ~ trebuie să coincidă cu semnul lui C şi, pentn.,.

ot iar y' = _..!._

;~4~0. ·evident y .--;..

P1

[1

+· In ( C~)] -+ o:; ,

; ·ir1 ă in coordonatele (~, y), curbele integrale sînt tan.gente in

.a . c·~e la OY şi prin ·urmare, originea este un nod (fig. 32) •. .Otlgt ' ' · ' Cînd am transformat ecuaţia (35) sub fori?a (38), a jucat un rol esenţ1a't ipoteza că dreptele (37) nu sînt paralele. Dacă ele sin.~ paralele, atunci membru: întîi nu se anulează simul·· tan adică vectorul viteză nu ' este nul în n1c1 urii\; punct, iar ecuaţia di.feren -ţială a liniilor de curent:

..

dx

dx

172

d!J

Aici :numito:rii con-ţin şi termeni de g1·ad mai ma1·e decît unu, Integrarea acestor ecuaţii nu se reduce la cvadraturi, cazuri excepţionale, însă, în unele cazuri, se poate determina caracterul punctului singu1ar numai cu ajutorul pri· milor coeficienţi ai numitorilor ecuaţiei (53), fără a integTa ecuaţia. În termeni mai puţin riguroşi se poate raţiona astfel: pentru valori mici ale lui x şi y, adică, în vecinătatea ori.ginei, termenii de grad superior de la numitorii ecuaţiei (53) vor fi mici în com.. paraţie cu termenii de gradul întîi, şi se poate concepe că aşezarea curhelor integrale în. vecinătatea ~uiginei va fi aproximativ aceeaşi ea şi în cazul cînd am fi reţinut la numitori numai termenii de ..gradul întîi. Dacă lucrurile stau astfel, în cazul ecuaţiei (53) vom avea puncte singulare de acelaşi tip ca şi la mişcarea coliniară ; In I'ealitate, făcînd abstracţie de cîteva excepţii, aşa se şi întîmplă~ Fără a da demonsti·aţii, formulăm numai rezultatul definitiv : 1. Dacă rădăcinile ecuaţiei de gradul al doilea (42) sînt :.reale, distincte şi de acelaşi semn, atunci punctul singular x =::: y = ~.O .al ecuaţiei (53) va fi un nod. Aceasta înseamnă că toate eurhele integrale care se apropie suficiente ae<,.. punctul singula:r trec prin el. 2. Dacă rădăcinile ecuaţiei '(42) sînt reale şi de semne dife» rite, atunci punctul singular este o şea, adică prin el trec două .eurhe integrale. : . . . 3o ,Dacă, rădăcinile ecuaţiei (42) sînt complexe, cu pa1·tea :11eală diferită de zero, atunci punctul singular este un focar. . 4 •. :Oacă rădăcinile ecuaţiei (42) sînt pur imaginare, atunci :punctul singular este un focar sau un centru. .

~au~ tnlocuind pe x prin valoarea lui scoasă din formula (52),.,

(53)

Ştim că problema calculării ariei mărgini te de curba y = f (x), axa .OX şi două· ordonate x :::::;::. a şi x = b, se rezolvă cu ajutorul noţiunii de· integrală definită, şi anume., aria de care este vorba se exprimă prin integrala definită menţionată mai sus [1, 87]. Să ne ocupăm acum de problema analogă pentru volumul tt al 1mui corp mărginit de o suprafaţă dată ( S) de ecuaţie

(1)

z =f(x, y),

de planul XO Y şi de un cilindru C ale-· cărui gene1·atoare sînt paralele cu axa OZ şi care proiectează suprafaţa (S) pe domeniul (cr) din planul XO Y (fig. 33). .

CAPITOLUL IIJ

J

.,.

INTEGRALE MULTIPLE ŞI CURBillNil.i .. " D' ALE lMPROPRII ŞI INTEGRALE CARE OI~PIN

lNTEGR.

YL--7~-

/31

DE UN PARAMETRU

! 1

Pînă

"d."rat inte~-rra!a definîtă acum am consl "" ~ b

V

~f(x) dx

)o

tJ

Î

NJ

/f

r:\

rl

oJ

.li

. ,. d f (x) este definită pe un segment (a, b) ca limita unei sume, m..n d meniul de integrare era întotdeauna al axei OX. Cu alte cuvint~; .o •t gment rectd1n1U. . lă un arUIDI se f } de fată vom generaliza noţiunea d? Integra n paragr. a. u enlul de integrare este un tlomemu oare. ca~e . pentru cazul Clnd dom în plan sau în spaţiu sau~ în sfuşlt'if v 1p cînd domeniul se află pe o supra"-' ; /~.....-:;:;.;~ fată oarecare. Pentru ~~p~nere 1 ,-ff' $1 :~ v~m folosi noţiunea intu1t1~a . de l \~11\ arie şi de volum şi. nu. ~o~.. 1ns1~ta 1 1\ 1, prea mult asupra Jl.lS~lfiCaru :raţl~~ 1 lt~.\11: '·rl l 1! :namentelor legate de procedeul v !l ·l1• •11 1\tf.;' . \1 1•• \1 trecerii la limită"· IVlomentele fuu~ 1\ '' • • R \--·--J._Lb1-})_f·- . i 1 damentale ale unei expune:n.. r~g?· /"J''\---1·-h·~l.;---~-,-"".1 roa"'"" cititorul le ·poate gas1 lD \ ~ \ \ lr• 1" "'""' . • • l \ , '\ \, !(•
1 ; -. ; \}(4;~"

{

IV;

;F~""c~M

§ 1. INTEHRAI.E MlJ[;UPLR

54. Volume.

.

x

Fig. 34.

ln [1, 104] am arătat că şi calculul volumeloi' se reduce la o integrală definită, dacă

se cunosc secţiunile paralele ale corpului · respectiv. Acest procedeu îl vom întrebuinţa şi acum. Admitem, pentru simplificare, că suprafaţa (S) este în între· gime situată deasupra planului XO Y, _iar conturul (1), care mărgineşte (cr), este tăiat numai în două puncte de dreptele para· lele axelor de coordonate. Vom secţiona corpul considerat prin plane paralele planului YOZ, ale căror urme pe planul XO Y sînt drepte paralele cu axa OY (fig. 33 şi 34). Însemnăm abscisele secţiunilor extreme prin a şi b. Ele sînt, în acelaşi timp, ahscisele punctelor conturului, care împart acest contur în două porţiuni (1) şi (2), una din ele !ervind pentru intrarea în (cr) a paralelelor cu axa OY, iar cealaltă pentru ieşire (fig. 34). Fiecare din aceste porţiuni îşi are ecuaţia ei

Yt = <'P1 (x); Ya = 'Pa (x). (2) Aria secţiunii corpului prin planul PQ, dus la distanţa ~de YOZ") depinde de x; o însemnăm prin_.,S (x). Avem_[I,_104]: b

tJ

=

~ 8 ( x) dx.

(3)

o.

1'75

174

Rămîne să gastm expresia funcţiei .S(x). Aceasta repre ... zintă aria figurii M1 N1 N 2 M 2 ; ea este situată în planul PQ şi este mărginită de curba N1 N 2 , intersecţia planului PQ cu suprafaţa (S), de dreapta M 1 M 2 , paralelă cu axa O Y şi două ordonate M1 N1 şi M 2 N 2 • Deoarece pentru toate punctele secţiunii considerate x este constant, ordonata curbei N1 N2 poate fi considerată ca func-ţie de y, determinată prin ecuaţia

.,(-) cele situate dedesubt. Dacă însă cond' . •. făcută, de exemplu (fig 35) .• 't.... '. 1 Iţia 2} nu este satis. · ex.ts a ma1 mu.~te pe h. d ·de 1ntersectie ale conturului (l) c d rec I e puncte domeniul (cr) trebuie descom us u . reap~a ~ =.const., ~tunci ,satisfăcînd conditia 2) Î .P în po~ţiUDI, fiecare din ele , · n acest caz, atit suprafat (S) vo l umu1 v se descompun la rîndul lor in . . .• a Cit Şll. .eului volumului acestora d' . .., porţiuni ŞI, pentru cal.. In urma, se poate folosi formula (4) .. A

Zf.

z =f(x,y),

1 : ,....... ' 1'\'~. '"-_lt \ "..../ l ~--·t-C::

l ,,,ly

l

l

S (x) = ~ J(x, y} dy;

a

'!It

V = ~ tJ.~ ~ f (X, y) dy •

l}

Obţinem astfel expresia volumului sub forma unei integrale repetate, în care integrarea din membrul al doilea se efectuează mai întîi în raport cu y, considerînd pe x ca o constantă, şi .. in urmă, rezultatul obţinut este integrat in raport cu x. Dacă secţionăl!). corpul dat prin plane paralele cu planul XOZ,. obţinem pentru acelaşi volum expresia (;

reli

"

:tlt

Sdy ~ f (x, y) dx,

Fig. 35.

(4)

176

1

- .",.'

'

-

Fig. 36.

_:_ + ...!!_ + .!....·· =· 1,

). EL V In cazul de faţă formula (4) ne '
·!'

J

=

o

k

iar x şi ~reprezintă valorile extreme ale lui y pe cont unu (l) (fig; 33 şi 34). ·... . Formulele (4) şi (5) au fost deduse pe baza a două ipoteze=. 1) suprafaţa (S) este situată in intregime deasupta planului XOY şi 2) conturul (l), care mărgineşte proiecţiaJa) a suprafeţei (S) pe planul XO Y, este tăiat .numai în dou~ puncte : d~ fiecare dreaptă paralelă cu una din ·axele de coord(~nate. Dacă ~ondiţi" 1) nu este îndeplinită,. atunci membrii din dreapta ai formulelor (4) şi (5) nu ne dau volumul, ci suma algebrică a volumelor; aici volumele cu ( +) sînt cele sitiulte deasupra planului XOY~ cu.

~~

V/

Exeru))t e. 1. Volumul trunchiul · d a3aza este formată de axele OX, OY i ~ . :. Pr1smă dreptunghlulară (fig. 36). , ş rep e1e x = k, Y = l. Planul secant aNt

unde x1 şi x 2 sînt funcţii cunoscute de .Y : [(6)

r :

-~cuaţia :

'le

(5)

(

., i

Lt--/~

tls

'->,\ /

·~--~-/

11;

substituind in (3), avem

v=

~/ il

'

1

Va

1 ~l'i

Î

1

~

"'-.!'· / ~~ ;!-··~ \ ' J

l 1

I

v,

b

y

/~

l

in care x este considerat constant; variabila independentă y variază in intervalul (y1 , y 2), unde y1 şi y 2 sînt ordonatele puncte.. lor de intrare şi de ieşire ale dreptei M 1 Ms în şi din domeniul (a)., În virtutea lui [1, 87], putem scrie

l

oJ

dx) zdy= dx .\ v ( 1 - .. : o o 0 . =V

2!-f.

'unde a este aria ••

-:secţ.mnu 2

f

l

(t ___::!_.). .... .!:._) dx

=V (

•

k

•

})'tz"· , "

superioare "\Y

v

·

-

L)

(kl-!!:!. --

x

-~t, Jar

oJ

dx

{ţi - .:3!. ·-- Jt..)i~~-~ =1.

2!J.

).

..!!!:) = kl·V ( 1 _

.!5_ _

... ~

2).

?

2'

h

f

dy = v

IL

l ) -

(2jL

!

tt~=(j)

·~ ah ·

-···

•

d

, or onata punctului de iute.ţs~cţie a diagonalelor - . -- le .· . .lOt .-e -- -- , y = _l ) .

{corespunzătoare valori'1 \

1 o umul elipsoidului

2

z:a

y2

x2

---+ -·+ -a2 bl ct

=

1

2

.

~rjn intersccţ.ia elipsoidtdui cu 'llanele . "' z = const., se obţm. elipse cu stHniaxea\1:1 a

1/f ~·~ _z2' c2

b

v~-=- z.lil c~

•

şi

cu aria: S(z)

deci volumul

căutat

=

nab ( :i -

Pute:n. 8ă definim .limita ace~:Hei sume, făcînd ahstra\~tie d·e !teprezentanle geometrwe. Independent de reprezentar""a, , t . " t" l' . " "' geom(eN)LC_!l, ;ceas ~ l l(mtta. se numeşte integrala dublă a fu;ncţiei .f ~n omenu.t cr) Şl se înseamnă prin: ·

~ )' c 2

c

va fi : +o

v-

~ "ab

(1 -

•:, ) dz =

:

-c

55. Integrala dublă. Pentru a avea o reprezentare aproximativă a ariei curbei y = f(x) [1, 87], am descompus-o în fîşii

verticale şi am înlocuit aria fiecăreia din ele prin dreptunghiul cu aceeaşi bază şi cu înălţimea egală cu o valoare oarecare a ordonatelor curbei în această fîşie~ Mărind numărul fîşiilor şi făcînd ca fiecare din ele să tindă către zero, eroare --;.. O, formula aproximativă, la limită, devine integrala X 0~------------------~~ definită care dă expresia exactă Fig. 37. a ariei. . O construcţie analogă se poate face şi pentru calculul volu~ melor. Domeniul (cr) (fig. 37) va fi descompus într-un mare număr de e1emente mici !lG de forma arbitrară şi vom însemna prin ~a atît aceste mici domenii, cît şi ariile lor. Fiecare din aceste elemente va fi luat ca bază a unui cilindru care, prelungit pînă la intersecţia lui cu suprafaţa (S), va detaşa din volumul V un volum elementar. Evident că putem lua, aproximativ, ca mărime a acestui volum, volumul cilindrului cu bază ~cr şi avînd ca înălţime ordonata, adică valoarea lui z într-un punct arbitrar al elementului de suprafaţă a cărui proiecţie este elementul !la. Cu alte cuvinte, luînd în elementul ~r:; un punct arbitrar N şi insemnind, pentru simplificare, prin f (N) ordonata pun~tului M de pe suprafaţa (S) corespunzător acestui punct N, sau, ceea ce e acelaşi lucru, valoarea funcţiei f (x, y) în acest punct, obţinem· pentru volumul elementar f (N) da şi t' '"'

~ f (N) Lla, (Ci)

I~ f (N) d3 =--= lim ~ .f (N) L\cr.

Mh<

unde insumarea se referă la toate ariile elementare Llcr ca1·e umplu aria (a). Cu cît fiecare element D..a va fi mai mic şi numărul lor n, mai mare, cu atît va fi mai exactă formula de aproximaţie oh~inută, iar la limită se poate scrie : Iim ~ J(N) ~a= 1'.

··~!'

.Existenţa

(cr)

clară,

limitei este intuitiv

deoarece

după

"'um am

·ex~h~at, ace~~s~ă limită tre~uie s-ă dea volumul de' ca:re a; vorbit mat ~~;· De.~t.gnr, acest raţwnament nu este riguros, dar entru -_condtţu suflclen_ t de generale impuse lui f(N) ş' ~- ·t tp l entr t t f ··1 · · I, In o cazu , ,p u ~a. e .uncţu e continue, existenţa limitei se poate demonM stra anahtw nguros. · D~că yresup11nem f(N) = 1, obţinem exp1·esia ariei cr ·-t1omentulm ( rr) sub forma unei integrale duhle

,

.

.

Să form~lăm

ra =

a

~~ da. (a·

în întregime definitia integralei duhle • fie 'a-) un dome.mu p~a~ mărgi~it şi fie f (N) o funcţie de pune~ din ac~st do.memu, adtea o funcţie care în fiecare punct N al domeniu· ~u1 (O') Ia: o .valoare ~eterminată. Descompunem domeniul ( cr) 1n n porţtum, domenu partiale, şi fie dcr dcr Ll ··1 .acestor portiuni . N N , 1! 2' ... ~ . cr.,. arn e ; • ŞI 1~ 2' • • ·, Nn anumtte puncte situate în .aceste por.ţJunt. Formam suma produselor

dLirnita_ .a cestei sume dnd numărul n creşte la inJ'init iar ritY'a""·
·(l,tn

)S f (IV) Jder= Hm 'tf(Nk) .(.\ak. ll:=l

J

·O h s e r. vA a i e .. :Fi.~ dk depărtarea maximă intre două p~tn)ct~ lap~rţinir;d porţn~nn parţiale llcrk (dia metrul acestui domc-

,

-~.lu Şl

c cea mai ·mare d1ntre cantitătile d d J ·A ~ ~ fiecare din ·1 A • , 1' 2' • • ·, un• -. spune ca " porţiuni e Ll.crlc tinde către zero este tot una c1 1 • spune " 1 atun i cad d -~-~ O Da d ca... "n~semnam va-oarea integralei cu litera~ I,a c e. Iniţia e __mai s~~~ este echivalentă cu următoarea: ~pentru orwe c; numar pozitiv dat există un num" aşa încît (cf.. I. 87]: · ar pozith· 1),

f' ...

(cr)

_178

1'79

1 1

<"Il·

pentru.~d completă a riguroasă a

J... a sfîrşitul acestui capitol vom da o expunere teoriei integralelor multiple, introducînd o definiţie ariei, precizînd noţiunea de domeniu (a) pe care s~· poate integra, lămurind cum poate fi el descompus în domenn' parţiale şi demonstrînd existenţ~ limitei ~urnelor ... menţionat~, pentru funcţiile continue f (N) Şl o anumită clasa de funcţu discontinue. 56. Caleulul integra]ei duble. Considerînd integrala dublă ca un volum, putem deduce un procedeu pentru a reduce integrala dublă la o succesiune de două integrale simple. Raportînd domeniul (a)· la axe rectangulare, presupu·· nem că elementele ~cr ser obţin descompunînd aria prin drepte paralele cu axele· de coordonate (fig. 38) \în dreptunghiuri cu laturile !::.x,. fj.y şi fie (x, y) coordonatele· punctului N. Atunci putem scrie:

f(N)--f(x, y); JJ.a = Âx t~.r; dcr = dx dy şi

=

Iim

l:J( x, y)

Âx l1y

=

{O}

Fig. 38.

==--=

~' f

(x,. y) dx d_y.

\cr)

Pe de altă parte, aplicind cele spuse în [54] relativ la expresiBli ·volumului pt·in integraJa repetată, putem scrie :

~ ~~ (x, y) la)

dx: dy =

b

~

j (J

?IJ

~ dx ~ f

0

(x, y) dJ =

~

~ (]y Jf a

(x, y) dx,

(7)

11.1

ceea ce dă regula pentru calculul integralei duhle, independent de semnificaţia geometrică a funcţiei /( x, y). Dacă prima integrare se efectuează în raport cu y, atund ~este socotit ca o constantă, iar limitele y 1 şi y 2 sînt funcţii de x,.. determinate prin formulele (2) [54]. Aceeaşi situaţie are loc· dacă prima integrare se efectuează în raport cu x. În prima

180

integrare, limitele vor fi constante, nedepinzînd de va1·iahila din integrarea a· doua, numai în cazul cînd domeniul de inte.. grare este un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coord,onate. Dacă (a) este un dreptunghi limitat de dreptele (fig. 39) : X

= a;

X

='7.: b ; )'

=

fY.. ;

y : . ."""" ~'

atunci b

}

!3

~~ (x, .Y) dx d.r = )' dx \' f

~·

~

"'

(x,

/)

/J

,.

....

~y) dy = ..\ dy \' f

(x, y)dx.

(8~

g

. Expresia ele:= dx d_y se numeşte elementul de arie în coordonate rectangulare. Să observăm că in formula (7);, prima integrare, care se efectuează în raport cu y, x fiind considerat ca o constantă, 1·evine la o însumare după dreptunghiurile conţinute în fîşia paralelă cu O l:r, toate aceste dreptunghiuri avînd aceeaşi bază dx, care este scoasă de sub semnul de integrare. .A doua integrare în raport cu x corespunde la însumarea tuturol' F]g, 39. sumelor obţinute prin însumarea dup_ă fîşiile paralele cu OY. În ultimul fparagraf al acestui cap1to~ vom d~ o j ustifica~e precisă formulelor (7) şi (8). s~ raportam acum ana (a) la coordonatele polare (r,'f'). Ecuaţia suprafeţei (S) va trebui să o reprezentăm, în acest caz,.. .sub forma z = .f(r, ~ se formează figura curhilinie :1cr, care~ fă~î~d"' abstracţie de in~iniţii mici de ordin superior, poate fi, pr1v1ta ca un dreptunghi cu Jaturile tlr şi r D.
+

+ )

putem deci scrie

H

f(N) da= Iim

fO}

'

2; f(r, (a)

cp)

r Ar A

181

Obtinem astfel o întegrală dublă a că1·ei funcţie· de integt·at: ·este f (;, ep)r. Pentru calculul ei se poate aplica aceeaşi regulă de 1·educere la două integrale simple, numai că rolul lui x şi al lui y îl joacă r şi Cf· . Prima integrare în raport cu r, pentru

~ ~f(.N)

dcr

=.-:

~ ~· f(r,

(
(O)

r dr,

Tt

f(N) dcr == ) O

(el"'

volumul cuprins între o

sferă

de

rază

a

şi

O) .. cilin-

drul circular drept de rază ~ , care trece prin centrul sferei (fig. 42). Ca origine a. -t~ordonatelor luăm

centrul

sferei~

cn p1an XOY planul perpendicular pe axa ci--

Fig. 41.

ducem axa OX din centrul sferei la punctul de întretăiere a axei cilh\simetriei, volumul căutat va fi egal cu de patr~, ori v~lumu] porţmnu de cllmdru mărginită de planele ZOX XOY si de emisfer;', superwară. ' · ~ Domeni~ll de integrare va fi, aici, jumătatea bazei cilindruJui. al dirui con-· tur constă dm semicercvl ,

ar~lm cu planul !i-o.~·· în :v~rtutea

r =a eoscp

şi segmentul din axa OX, ung.- hiul

ţ.oare

r~

d~ ~·J(r,

calculăm

şi r 1 =

lindr~Iui şi

2

~~

Să

Exemplu.

(9)

:în care r1 şi r 2 sînt funcţii cunoscute de cp. Fig. 40 co·respunde cazului în ca1·e originea coordonatelor este situată în exteriorul conturului (l). Dacă originea se află ~n interiorul conturului (l), atunci putem socoti că (.p variază de la O la 2r. şi că, pentru un 9 dat, r variază de la O la r 2, unde ,r se obţine din ecuaţia curbei (l) : r 2 = q;(([J), ceea ce dă (fig. 41) : 2x

fF'Jormula. din [1, 102] corespunde cazului cînd r 2 == r

r..

~ dq; ~~ (r,
ln particular, dacă f (N)= 1, obţinem expresia ariei în coordonate polare, dedusă în [1, 102] :

variază de 1"'"

ox

la axa or. suprafeţei sferei

de la axa Ecuaţia

cp) rdr.

m T

o ·1·<' '

~ ,_ wr · raza 2

corespunzi~·~·

.

n

Expresia: r

dr dep

(10)

;tn cazul nostru se scrie sub forma :

-se numeşte element de arie în coordonate polare.

182

188~

Pentru aceasta, considerăm elementul de arie M M JYl M (fig: 43), format din două perechi de linii coordo~at! infinit:'

·volumul eăutat va fi: ~

v= 4

L; '~~,Va2 - ,:; r )

..

o

()

""'"ec1n.e :

~

dr '= 4

f l- ·J

.}:_ (a2

--

r2 ) ~Il r=•-' -::vsq; J

3

~

T=t{t

(M2)

.Ya

şi am studiat problema calculului integralei

în cazul coordonatelor rectangulare x şi y., precum şi in cazul coordonatelor polare (r, q>). Să examinăm aceeaşi chestiune în cazul coordonatelor oarecare. Introducem în locul coordo· natelor rectangulare x şi y, variabile noi u §i vt prin formulele: (j)

(x,y) =U; ~(x,y)=v. (Il)

Dînd lui il· şi v toate valorile posibile, obţinem, ·in general, două familii de ctuhe în planul XOY (fig. 43)" Poziţia punctului M în plan va fi determinată prin pere., ·ehea de numere (x, y) sau, pe baza lui (11), prin perechea de numere (u, v). Această pereche de numere (u, v) poartă numele de coordonate cur bilinii ale punctului M. Rezolvînd -ecuaţiile (11) în raport cu x şi y, obţinem expresia coordonatelor ·rrectangulare (x, y) cu ajutorul coordonatelor curbilinii (u, v) : Fig. 48.

= 9l (U, V) ; J

=

~~ (u, V).

(:12)

ln cazul eoordonatelor polare u este r, iar veste q;. Liniile u -~

=const. şi v=const., despre care s-a vorbit mai sus, se numes·c 'linii de coordonate ale.· coordonatelor curbilinii (u, v). Ele for~ ·mează două familii de linii (cercuri şi drepte, în cazul coordo·· natelor polare). Să definim acum elementul de arie dcr în coordonate curbi·~ linii (u, v).

X2 ~

57. Coordonate curbilinli. in numărul precedent am definit

X

(X, Y)

=

V ;

~

{X, y)

~oordonatele vîrfurilor patrulaterului M M J.YL M sînt dacă . f' . .. . . 1 2 3 4 ' ntl tine , m seama d e In 1n1ţn m1c1 de ordin superior, [1, 68] :: {Mt) xt = f:P1 (u, v); y 1 =~1 (u, v).

(}

-elementul de arie

= u -1- du, = V + dtl.

q; (x,y) = u; cp (x,y) dq:; "':-

=

CF1 (u.

+· du, v) =

= ~~ (u +

j_pt
cp1 (u, v)+

du, v) ~ t.f;1 (u, v)

+

aq.,l (u, v) du. fju

(Ma) Xs=~1 (u+du, v+dv) = q- 1 (u, v)+

;lq;1 (u,!!2 i)u

du-t fJ_CfJ1 (u~) dr.

av

.r3 ·:-~ 1 (u+du, v+dv)=th (u, v)+ 8·1J1,.,{u,v) du.-+

Bo/1(u,v)

av

ou

(M4)

.X4

=

r.pl

(u, v

Y4 = ~1 (u,

V

+ dv)

= cp1 (u,

·+ dv) =

~l (u,

v) !7)

+

+

,.

d·v.

âq>t
fJ~1 (u, v) d'IJ.

ov

.reie.se imediat că x 2 - xt = x3 - x 4 şi y 2 Yt = Y Y4' ŞI] p r1n urmare segmentele M1 M 2 şi M 4 Mn, s nt ega1e ŞI para e1e. Ac~laşi lucru se poate .;pune şi des· pre. s~g?'l.~nt~l~ M 1 Al.4 ŞI M~ M 3 , dacă nu ţinem seamă de Inf1n1ţn. m1~1 de. ordm. superwr. M1 M 2 M3 M 4 este un paraIelogram ŞI ar~a. . lui es!e egală cu de două ori aria t1·iunghiului ~1.. M2 Ma, adica, dupa formula cunoscută din geometria anaH-

Din aceste

i

relaţii

a--:

tica~

.",J

. · dCJ x1(Y2- Ys) -· Y1(x2- Xs) -+- (:~:2 Ya -· x3y2)!· .Introducînd expresiile... coordonatelor, obţinem fo1·mula pentru, elementul de suprafaţa în coordonate curhilinii generale :

da

= 1OCfi1au(u; v)

ât!J1

f)cp1 (u, v) ()tj1 (u, v)11 d d av(u, -- --·---;;;--au- u.. :v = ll)

1

1

D

1

du dt',

":nde D se numeşte determinantul funcţional al funcţiilor cp1 Şl q;1 (.u, v) în raport cu u şi v : [) =

8cp1 (u~- 8tj11 (u, ~! Ru

()11

__

(u~

v}

·

ilcp1 (u, v2 f'th (u, o) (;v

r_7u

180.

184

in sfîrşit, formula schimbării de variabilă în integrala va fi:

i.ntcgrah.~ :,imple, exprim aUi prin ·lonnula (b) vet'eT imc ·iia' ..~ .. · · 1 ~ ···d' . l <." <' '' sr•· l. ' ,, l~ , " {;""' ]Jlanru llltcgn'· rea .n.__ c_,.oo,.r f.. onate •o o. are exuusa In cercul de m..,i liiJ,!te'e d·t: 111 · t egrare pentru. · · . . « • '"' .. A · 1 t rel Hl!C Sa JC T == () M l'=1, lar •îentru m m = 0 ci m ··- 2 1 . "' 1 . · • <1 l"J j . d · •' J: T' T '>' t' -IT. _,,a JeJ. St p0 t CXpliee ş1 regu 1 e ( e eternunare a limiteJor la integrare în coordonate nol··c~re a ': d~te în [56]. · r , , c re s 1n 1

·dublă

~ ~~ (x, -.y) (O)

d1 =

~~F

f

,O.>

în cazul de faţă_,

unde F (u, v) reprezintă funcţia de (u, v), în care se transformă .f (x, y) prin schimbarea (12). Limitele de integrare în ceea ce

TJ

(u, v)

1

sinS?c!

ar

o(!)

Je satisfaca coordonatele lor : X

··

C'C

r,

>

>

0; y

0;

X

+ ?f <

· ,

·'

a.

(14}

Introducem vnriabile noi (u,TJ), punind

+y

:t

adică

= u ; ay

=

zw,

/} ::.::-" . llf!-

n''""x+y;

.

1

o(r coscp) . D(r

•"1 ccum .am văzut mai sus ' dcr = r dr d(f).· -;· . ~ alt exemplu al punctului al doilea de vedere să eonsidedîm ti·iunglâu' ·(cr). mar~uut de. axele de c_oordonate şi de dreapta x + u = a. Punctele situat~ in mt~rwr~l lm. (cr) se defmese prin următoarele inegalităti. pe care trebuie 8 :-1

x+o

u(a- v)

X=

---·-;

uv il=-- •

a .

a

V~rn considera pev (u,v). tot drept coordonate rectilinii ortogonak. Din ul-

t\ ~r~mle urmeaza că megalit~ţile (14), exprimate cu noile coordonate". retv ~ a· < u
tim~1

l a Urie1 para1ele cu axele. 1

terminat

(p

. ,,

v)

(·~)

d"

.•m ,

,

La fiecare punct (x ") d"

( )

-."

., . .

• 'ff m cr corespunde un punet de-· mvers. Pentru D avem expresia

,· .

ŞI

]) "'""

du dv.

?:_=...~

.

u

u

ll

l)

a

CE>

De aici rezultă, între altele, că· din acest punct de vedere 1 D \ este coeficientul de variatie a ariei în locul considerat, în cazul deformării domeniului ( _) în domeniul (a), adică limita raportului ariei infinitezimale din (a) la aria corespunzătoare din (~) .

1

o(['

•

şi, după

~)

,_a = ~ ~ 1 D

1

i)Jr COS_T) i)_~l' siJ:.V --

D 1 du dv,

în care u şi v sînt coordonatele ortogonale ale punctelor dome· ni ului ( ~), iar limitele de integrare, în integrala extinsă la (L:), se determină aşa cum s-a arătat în [56]. Dacă presupunem f (x, y) = F (u, v) = 1, obţinem aria a a domeniului (a) sub forma de integrală extinsă la domeniul p..):

'1

::.-:=

Dr

priveşte u şi v se determină după forma domeniului (a) in mod analog aceluia întrebuinţat în [56], cînd era vorba de coordonate polare. În formulele de transformare (ll) am considerat pe u şi v drept coordonate curbilinii noi ale punctelor, socotind planul însuşi ca neschimbat. Putem, din contră, să considerăm că u şi v sînt coordonate rectangulare, atunci formulele (11) vor da trans· formarea planului în care punctul de coordonate (x, y) se trans~ formă în punctul de coordonate (u, v), iar domeniul (a) se transformă în domeniul ( 2.:). Din acest punct de vedere, trebuie să trans* ~riem formula (13) sub forma:

(~

V

r_

(13)

(u, v) 1 D l du dv,

(O)

~~f(x, y) da=~~ F

'

<

Exemp~e. 1. Să considerăm în planul XY cercul x 2 +y2 1, cu centrul în originea coordonatelor şi cu raza egală cu unitatea. Introducem variabile noi prin formulele de trecere la coordonatele polare : x = r cos cp, y = r sin cp, dar nu vom considera pe r şi cp ca fiind coordonate polare, ci drept eoordonate rectilinil ortogonale, adică vom socoti că punctul cu coordonatele redilinii ortogonale (x,y) s-a transformat in punctul cu coordonatele tot rectilinii ortogonale (r,cp). în acest caz, evident că cercul de mai sus se transformă 1n dreptunghiul mărginit de dreptele x = O, x = 1, y = O, y = 27t (sau r = O, r = 1, cp = O, cp = 27t); originei coordonatelor x = y = O ii corespunde întreaga latură r = O a acestui dreptunghi, iar laturile opuse ale dreptunghiului cp = O şi cp = 27t· corespund la una şi aceeaşi rază a cercului. Aplicînd dreptunghiului regula reducerii integralei duble la d.ou~

şi fm:mula (13) va avea :forma

~~

f(x, U) dx dy '"

~~

i~

F (u, 11)

~~

u

du du.

a

sau. introdneind Hmitele de integrm·e conform cu (7) şi (8), a

o;-re

~ dx ~~ f (x, !l) d!J ()

•.

o

'"'"'

-~-

0

a

J

~

()

1)

zz du

F (u, v) du.

58. lutegr~~a ,triplă. Integrala dublă despre care am vorbit

~~ [5~ ~)O...ate fi Interpretată nu ca volumul unui corp. ci ca masa

Istn _uita. P~ d?~eniul plan (a). În. adevăr, să n~ închipuim matena (hstribmta pe (a). Fie .:1m cantitatea de mat.ede de

186 187

pe elementul ~a, care conţine în interiorul lui un punct N. Dacă prin contracţia nelimitată a elementului /).a către punctul N raportul

Âm Âa

(~a

este aria

elementului amintit)

tinde

Ca mai sus, pute.m sc.rie aproximativ:

către

f (N), atunci această limită defineşte deu... -:Sitatea distribuirii superficiale a materiei în punctul N :

m

.~

·O limită determinată

__ j'(N) ll. i lÂm l-•

Il. a

Dacă (a) este descompus în elemente mici D.a, atunci mas~ unui element separat este aproximativ egală cu produsul/ (N) 4a.~ iar pentru masa totală de pe (a) putem scri.e, aproximativ~

m

~

:E f(N) Âa~' (<1)

unde insumm·ea este extinsă la toate elementele tla care sînt conţinute în (a}. Egalitatea aproximativă obţinută va fi cu atît mai exactă, cu cît fiecare element ~u va fi mai mic. l .. a· limită, cînd .fiecare element b.a se contractă în toate directiile tinzînd căt:re zero, numărul acestor elemente tinde către infinit : putem deci ·scrie:

~n =

lim

:E f(N) Â~ = (
)

~f(N)

Âm

:are o limită, atunci cînd elementul 6-v tind~ către punctul kl., situat în interiorul său. Această limită defineşte densitatea (spa#ală}

a

distribuţiei

în punctul M.

Însemnăm această limită prin f( M) :

lim

li,.' !·'

il

\III

:188 11

"Unde însumarea este e.x t•1nsa"' 1a t·oate e·1 emente1e L\v care ocu:nă -volumul ( v). :<: La limită, prin contractia nelimitată în toate direcţiile, a. fiecărui element Llv, vom ~vea:

m

Âm

Av

= f(M). .

=

Iim ~ f(M) ~v

(15)

(V)

~cest ex;cmplu din fizică ne conduce la. definitia generală a r.mtegr~le1 t~Ip!e,. an_alogă ~efiniţiei integralei duble. Fie (1;) un domeniu ma~g~n~t" din spaţiul tri~imensional şi fie f (J\l) 0 funcţie ·de punct definita 1n acest domeniu, adică o functie care în fiecare

punct M al domeniului (v) ia o valoare deter~inată. Descom.. :punem pe (v) în n porţiuni şi fie ,0.v1, L\v 2 , ••• , Llv volumele acestor · Iar._ · J1l~~" M 2' · · ·, Mn puncte Situate . n , .. port· ;I.unt, rnl, în aceste do:q~.enn parţiale • · Formăm suma produselor : n

~ f(.Mk) ~·vr.:.

do.

!l.v

.:.\t\

(1')

k-1

(O)

Exact, în mod asemănătOI·~ considexarea masei Jnateriale -distribuite în spaţiu ne conduce -la noţiunea de integrală tdplă# Să ne închipuim un volum (v) în. spaţiu, mărginit de o sup:rafa'ţă ·închisă (S). Presupunem că în acest volum este distribuită :materie :a cărei masă totală este m. Descompunem întregul volum (v) într·un număr mare n de elemente mici D.v şi însemnăm masa fiecărui din ele., respectiv, prin L\m. Presupunem că raportul

:E /(M)

:~imita a?estei sume, ând :z-~mă~ul,. porţiunilor n creşte llt infinit., J~ecare dtn domenii~e .parţw"e hnztnd către zero, se nnmeşte inte_grala triplă a funcţ~e-",

f (M),

) J~· f(.l\ri)

relativă la domeniul v : 'l't

d1i

= Iim }: k~l

('IJ)

f(1r1~:) D.v;:. .

__ o h ser va ţJ e:

(cf. 55]. Fie dk distanţa maximă între
l -

:E J(k!k)

L.\vk J

dacă d

< YJ.

·k""l

189.

Teoria riguroasă a iute~ra l el o~ t rl'pl·"' · ,_., ca ·~ ~'R]· ••.ţ eelo.r duble'). ~, ... f 1' expusă la sfîrşitul cap1tolulu.1. '"" Dacă f(M) = 1 în tot domemul (v)~ atu:nd ~("' o'hţine vo1u~ mnl

1J

al acestui domeniu:

Luăm unul din elementele

şi z2 ;

(S) .în punctele cu cotele z1

-conţinute în interiorul elementelor

M (x, y, z).

t' ::=.::

~ 1 · l c trebuie să ştim să le..J, Pen·t·ru a calcula integrale e tnp -1 hl reducem ...la integrale simple sau ou e, calculul acef.tora InHt' d · "tat. · p eJa ;::aportăm spatiu] la un sistem de coordonate o]rtl.~gonale. dr~• l'f' .., ·ce dreaptă para e a cu una 1n supunem, pentru sirop I ·J.care, ca on , .. axele de coordonate·

taie suprafaţa (S), care limitează volumul (v)., numai în două pune .. te. Construim cilin·· drul care proiectează: această suprafaţă ( S}· în domeniul (cr;r;71) diu planul XOY (fig. 44) ... · J...inia de contact dintre cilindru şi su· prafete (S) descompu~· ne pe' acesta din urmă in două porţiuni : zl = Cf1 (x, y); (I} z2 = cp 2 (x, y). (II)· Dreapta paralelă ~:m axa OZ care trece· printr-un punct ai·bi(/ trar al ariei ( IJ'~~:11) Fig. 44. int1·ă în volumul (v) prin pol'tiunea (I) şi iese prin.. po:rţ.iunea ~~I) ; co~el~ I(~n~; telor de h~trare şi de ieşire, zl şi z2, vor fi funlcţn ctn.(o)sc...uteel:m:~tf:_ Convenim acum să descompunem vo umu v In ,; ·· nv î~ felul următor: descompunem aria (ax·v> întl'-~ 11 __numat• · de elemente mici ~G; pe fiecare din ele~ ca aza~ co~: mar? . cl'li"ndru care detaşează din (v) o coloana; aceasta stru1m un . · · · d " "It' /)",... 1 ă 0 descompunem în cilindri elementan e 1na ,1me "' ~~i~a~ectiuni paralele cu planul XO Y, duse l~ distanţa ~z ~ 11 ~ ~ie alta. • Elementele de volum tw astfel ohţmute, se exprim<~ prin f01·mula : V

şi în interiorul său punctul

pe fiecare din segmentele ei~ Llv, luăm cîte un punct

Suma care figurează în formula (15) poate fi transcrisă astfel :

r··

190

ua

.N (x, y). Ducem prin el dreapta paralelă cu axa OZ, care taie

~

~

f(x, y, z) L\v =

(V)

~

L\a

(!>)

f(x, .Y' z)

Ăz.

(Z)

Să fixăm deocamdată pe ~cr şi să micşorăm pe Llz. Din noţiunea fundamentală de integrală definită urmează că

lim

~

~

~z = ~f(x, y,

f(x, y, z)

z) dz,

~

00

unde mărimile x şi y trebuie considerate ca parametri constanţi. Aşadar, avem aproximativ : 2'2

~

f(x, y, z)

~z ~ ~f(x, y, z)

dz

=

(Z)

De aici, pe baza definiţiei integralei duble, rezultă

~

f(x, y, z) L\v

~ ~

Lla (x, y)-+

(crx ) 11

(V)

1~

<1> (x, y)do,

(a(l: \ 11

adică

1

~ Bf( x, y, z) dv = Hda (V)

(O'X?/)

f( x, y, z) dz.

(16)

Zz

Rezultatul precedent ne conduce, dacă facem abstracţie de interpretarea geometrică, la următoarea regulă pentru calculul integratelor triple : Pentru a reduce integrala triplă

) ~ ~ f(x, y, z) dt' ('V)

la o integrală simplă şi una dublă : 1) proiectăm suprafaţa ( S), care mărgineşte volumul (v), pe planul XOY în domeniul (a.e 11 ) ; 2) determinăm cotele z1 şi z 2 ale punctelor de intrare şi de. 19]

a dreptei para.lele cu OZ dusă prin punctu.l (x, y) td' leşue ( \ 3) considerînd pe {~·. y) ron.stoni, calculăm domeniului a(l;f,,; in.tegrala Zt

) f(x, y;z) tlz gl

· apoz.,· integra.la dublă

,~,

59. Coordonate cilindrice şi sfe1·ice. Deseori este comod ·a raporta spaţiul nu la un sistem de coordonate ortogonale rectiliniî, ci Ia alt sistem de coordonate. Cele maiîntrebuintate sînt coordonatele cilindrice şi coordonatele sferice. În sistemul o;togonal rectiliniu, poziţia punctului ·se determină prin trei coordonate (a, b, c), şi ~cest punct se găseşte la intersec-ţia planelor x .= a, y = b, z = c, paralele cu planel~ de coordonate. Astfel, în acest caz, spaţiul este umplut de trei familii de plane perpendiculare între ele Z ..

z,

~-~.da ~ f (~:? y, (a

i

011

z) dz.

Z1

.

d

" d 1 · Ia două integrale· . şi obtinem , ~·

... 1

lă poate fi :re usa, a rin u ei, I ntegra1a d u b 1 ( ) . . 1 întrebuinţînd coordonatele ortogona e x, y 'Simp e, . ,

sfîrşit~

tn

BV(x,

b

~ dx ~ dyy(x,y, z)dz

Y• •) dv _

~)

.-~

tlz

ta

~

(17)'

!.

. . ( ) .· (a b) se determină ca în [54]. unde bm1ţe1e. :ft' Y2 ~I ., ' .., ... · It ... ordine de reducere a. Lăsăm cititorului sa gaseasca ŞI a a 1 1 YZ in 8 integralei triple proiecti~d ~~taţ~n (~~ {e pie::~ şi alte· domeniul (ati.) saul. pe, p îandudreptele p;;~lele cu axele de ' cazuri· m ai . comp ICate .., c n fata în mai mult de dolla... punctec. coordonate, Intersecteaza s,:upra. ,/ · " Formula ( 17) poate fi sens a ! ib ?ls "2

~~

v

(x, y, z) dx dy dz

=)

dx), dy)./ (x, y, z) dz.

~

.

}'actorul dx dy dz se numeşte ele.ment de volulm _în(. c)o?rdonat~ in descompunerea volumu uz. v tn para b . •rtogonale; el se o ţhz!"'elpr . .r 't de mici prin plane paralele t.~u lelipipede dreptung tu are tnJz.nz. ' .

pla.n~ea:: (~)o~::en:~· paralelipiped

dreptunghiular, mărginit prin plsnele paralele cu planele de coordonate • _ . b • "' = a. · z =·= b.. , b

x=a;x=' ;y=at,y- 1'"" 2.' "' . . ~. pentr~I primele integrale limitele sînt constante : atuno ~~ ..

B~~

b

(x, y, •} dx dy d•

bt

=} J

ti'~·

dx dy), J (x, y, z) dz.

(18)

.

·~

=

X

el ;

y =

c2 ;

z = Ca,

rtnde C1 , C2 , Ca sînt trei constante, şi fiecare punct al :spaţiului este un punct de intersecţie a trei plane din familii dife1·ite. Păstrînd coordonata z, introducem în loc de x şi de y coordonatele r şi q>, punînd : x

=

rcos:p ; · y

=

rsinq> ;

z

=

.. -

y

z.

Coordonata r este distanţa de la puncFig. 45. tul M la axa OZ, iar cp este unghiul format de planul care trece prin axa OZ şi punctul 1\1, cu planul XOZ (fig. 45) ; cp poate varia de la O la 21r, iar r de la O la ( oo )• Coordonatele (r, q>, z) se nu mese coordonate cilindrice ale punctului M. Punctelor de pe axa OZ le corespunde r = O, iar coordonata cp este nedeterminată. Obtinem, în acest caz, următoarele trei familii de suprafete de coordonate: ~ r = C1 ; q> = C2 ; z = Ca.

+

el

Prima familie T = este o familie de cilindri circulal'Î cu axa de rotaţie OZ. A doua familie (() = C2 este o familie de semiplane care trec prin axa OZ, şi, în sfîrşit, a treia familie z = Ca este o familie de plane paralele cu planul XOY. Dînd variabilelor r, cp şi z CI'eşteri infinit mici .1r, .1cp, .1z, Qbtinem elementul de volum în coordonat~ cilindrice. De-a Im{gul fiecărei muchii a elementului, nu va1·i~ză decît o singură coordonată şi aceste muchii sînt ortogonale două cîte două (fig. 46). Abstracţie făcînd de infiniţii mici de ordin superior, un astfel de element poate fi considerat ca un paralelipiped dreptunghiular cu muchiile : dr, rd p,. dz, ceea ce

dă

expresia elementului de volum, în coordonate cilindrice:

dv = r dr dep dz

{tl)


192

193

.

d

t""

ş1, o a a

• 1e, în coordonate cilindrice cu ea expresia integra1el. trlp ' 19

~ ~ ~f(M)dv = ~ ~ ~f(r, cp, z) rdrd:rdz, ~

<•, Z

( )

• unde limitele d'e Inte· grare se determină la fel ca şi în cazul coor· . do~atelor ortogonale. Exemplu.

Să

se

găsească masa unei calo~e sferice umplută cu_~ mater~e neomogenă, a căre1 d_ensltate variază proporţtonal cu distanţa la baza_calotei

y

h-=..t.-++-i-----"..--;;r--_..,._

(fig. 47). ' Alegem originea coor~ donatelor tn centrul . sferei, luăm ca plan XOY, planul ecuatorial,. paralel. cu ba~a calotei, dirijăm axa VOZ dn~ origine spre aceasta baz_a şi tnsemnăm cu a raza sf~:.:e1~ cu h înălţimea calote1 ŞI cu r0 raza bazei calotei. Ecuaţia sferei.tn coor~ donate cilindrice este ·

Fig. .46. ·

rs + z2 =as. sau z2 = a 2 - T 2 •

· ă prin formula : a densităţii ,se exprim f(r,cp,z) = b + cz, . c stnt constante cunoscute. b Ş~ . 1 ·(t 9_.)· şi obţinem : .unde Apltcăm formu a Legea de

m =

V .a. ri"aţt'e.

H)

(b+c.t)rdrdq> dz-

('!')

2n

ro .

vat=ra

= ~ dep~ r dr~ 0

·o

(b

·să· mai considerăm coordonatele sferice, sau, ·cum se spune cîteodată, coordonatele polare în spaţiu. Fie M un punct oarecare în spaţiu şi OM segmentul care uneşte origina cu punctul M. Poziţia punctului· M se poate deter_mina prin următoarele trei mărimi: lungimea p a segmentului OM; unghiul 'Ll pe care îl formează semiplanul determinat de axa OZ.şi de punctul M cu planul XZ; unghiul G pe care îl formează segmentul OM cu direcţia pozitivă a axei OZ (fig. 48). În consecinţă, p poate varia de la O Ia ( oo); unghiul q; se socoteşte contrar mersului acelor ceasornicului, de Ia axa OX şi poate varia de Ia O la 2n:; în sfîrşit, unghiul O se socoteşte de la semiaxa pozitivă OZ şi poate varia de la O Ia rr. Fiecărui punct M îi. corespund valori determinate ale coordonatelor p, ~' e, . şi invers. Coborîm din punctul M perpendicular a M N pe .planul XY şi din piciorul aFig. 48 • cestei perpendiculare N coborîm. perpendiculaia NI( pe axa OX. Segmentele OK, KN, NM constituesc, evident, coordonatele rectangulare x, y, z ale punctului M. Din ti·iunghiul dreptunghic ON M obţinem

+

ON = psin 6

şi, utilizînd triunghiul dreptunghic ONK, obţinem, in sfîrşit, · formulele de trecere de la coordonatele rectangulare la coordonatele sferice: X

.

a-h

n +z'] .~:~. bz

+

lnlocuin~ valoarea lui z şi integrînd, se )~ţine : ·n_.,--. ro m = bv + cn:- • 4 tn care v este volumul calotei.

194

e cos

cp, y = p sin G sin cp, z = p cos G.

Considerăm familiile de suprafeţe de coordonate

+ cz) dz =

p

z=V~

= 2n

= p sin

Fig. 47..

=

c1 ; cp

=

c2 ; G ~ c3 •

Prima familie este, evident, familia sferelor cu centru] in origine; a doua este familia semiplanelor care trec prin OZ, şi a treia, familia conurilor circulare cu axa de rotatie OZ. Să observăm că originii O îi corespunde o = O, iar valoare'a celorlalte două coordonate <:p şi fJ este nedeterminată. Pentru toate punctele situate -pe' axa OZ, coordonata cp va fi nedeterminată, iar O= 9 rr~ . .

sau

195

1Unde · p1 şi p2 sînt funcţii cunoscute de 8 şi cp. Limitele de i:titeg.r~n~ in raport cu G şi cp se dete-rm ă după forma ,domeniului (a). Exemplu~

Să se determine masa unei sfere care constă din straturi concu densitate diferită. în acest caz, putem considera că densitatea nu .depinde decît de p, deci se exprimă printr-o funcţie /(p), ceea ce dă:

e~ntrice,

«

2a-

.m

= ~~~f

(p) p2 sin 6 dp dO d
=~

d
o

1'0)

Dacă densitatea este ilumului sferei :

a

~sin O dO

y

o

o

constantă şi egală

a

(p)p 2_dp

47t ~ f (p) p2 dfi.

=

o

cu unitatea,

obţinem

expresia vo-

a

u

dp, p de, p sin6dr, aşa că

y

expresia acestui volum elementar va fi: dv

=

p2 sin 0 dp dd d·p,

de unde obţinem expresia integralei t1:iple în coordonate sfence :

mf

(M) dv

=~~

v(p,

p•

sin 6 d, dO d
(20)

le la integrări repetate se poate, Reducerea u~tegr~ ~~ n.p ·ocedeul următor : determinăm de exemplu, reahza aiCI, pnn. pr _, proiecţia centrală a volumului din origine pe sfera de raza egală cu unitatea (fig. 50) ; . presupune m că această ]Uoiecţie . . este . (a) (dacă oTiginea este 1~tenoară volumului (v), atunci (a1 . "de cu întreaga suprafata COlnCl ! a sferei]. DuceiD. raze vectoare pnn toate punctele din (a) ; in ~azul 1 mal. simplu fiecare raza va ce r'Ig. 50 . avea un punct ' de intrare "In (v ) si un punct de ieşire din (v) ; . [în 1. -:s 1 vectoare ale acestoT puncte le înseJ:?năm pnn P1 § P2 O] ~:~:; cînd 01·iginea este în interi01·ul hn (v), punem P1 -- · Obtinem: p.,
•

1 .· {v~

o,'!')

•

=

4-rt

~

) ) ) ('V)

196

P2 siri 6 d p d8 d

~ ~ sin 6 da d

2

{O)

Pt

d P'

3

o

O h s e r v a t i e. Facto!l"Ul sin 6 dfJ dep a1·e ~ impoTtantă :semnificaţie geometrică : este .aria elementului de suprafaţă .al sferei de rază unu, care se -obţine prin descompuneTea sfe1·ei prin meridiane şi para· lele (fig. 51). Dacă vom desM ·compune supTafaţa sferei de -:rază unitate în elemente de formă oarecare dcr, atunci

Fig. 51.

iOhţinem

~~~f(M)

(v]

( ( ~ f (p, 6, 'P)

4rca8

= --.

p2dp

(Vl

Pa

dv =

~) dcr~f(M) (C1)

p2 dp,

P!

'

unde (tJ) este domeniul în ca1·e se p1·oiectează pe suprafaţa sferei, volumul considerat, cu ajutorul proiecţiei centrale, din originea .coordonatelor. Construim conul elementar cu vîrful în centrul sferei, a reăn1i directoare este conturul elementului d'1. Deschiderea acestui -con, care se măsoară prin aria d cr, se numeşte unghiul solid sub ~are este văzut, din centru, elementul unei suprafeţe oarecare (S), .detaşat prin acest con elementar. 60. Coordonate curbilinii în spaţiu. În cazul genei"al al coo1·· .do~atelor curhilinii în spaţiu, poziţia punctului se determină prin trei numere q1 , q2 şi q3 , legate de co01·donatele rectangulaTe x, y, z prin formulele : cp (x, y, z)

=

q1

;

tj; (x, .Y' z) = q2 ;

c.>

(x, y, z)

= q3 •

(21)

197

Dînd lui · q1 , q2 , q3 diferite· valori, obţinem trei familii de de coordonate. Elementul de volum dv va fi format: prin trei perechi de suprafeţe coordonate. infinit vecine. Fără a ne opri asupra demonstraţiei, prezentăm rezultatul care este analog rezultatului din [57], pentru două variabile. Volumul. elementar dv poate fi considerat, abstracţie făcînd de infiniţii mici de ordin sup_erior, ca un paralelipiped, şi, dacă rezolvăm (21) în raport cu x, y, z,

Ex.emplu. S~ · dă un tetraedru (v) mărginit de -1 . · ·r · ·• ·
suprafeţe

x

=

Cflt (ql, q2, qa) ; Y

=

~~

(ql, q2, qa) ; z

=

+

~

+ y + z = ql ;

;

> 0;

Z

+ y + :t

X

< a.

a (y

+ z) = qlq2 ;

a2z = q!qzqa, o ona1e.

qt

=

x

+ Y + z;

q2

=

a (y

+ z)

; fJs

vem:

= ~.

~+Y+z

-.sau

A

Y+z

formula schimbării de variabile în integralele triple :~

(x, y, z) dx dy dz

= ~ ~) F

(V)

(q1 , q2 , q3 )

l D l dq1 dq 2 dq3 ,

(V)

unde F (q1 , q2, q3) se obţine din f (x, y, z) în urma transformării (211 ), iar D este determinantul funcţional al lui x, y, z in raport: cu qu q2, qa:

=

D

O
âqa

iJqa

+ ât (A~l • âwl -

iJqz

âqa âq11 âq1

+ A1 lA~~ . Act)l _ âqa âq1 iJqz

âl\lt • OCtll) iJql

âqa

. . iJqz âq1 a~~ aw~)

~z).

Pentru _cititorul familiarizat cu

noţiunea

de determinant, facem observarea.

următoare : expresia D, scrisă mai sus, poate fi pusă sub forma următorului de--

terminant de ordinul trei:

d
8~1

awl

Bt

fl~l

f'wl

.(lljJl

f:wl

, -, âqa

âqz

ât -, âqa

· ln

volumţll

cQs

'

TII ne voin ocupa amănunţit

a

(Vl)

.

'

·sau, dacă determinăm limitele de integrare, a

a-x

o

o

~ dx d

a-x-u

f (x, y, z) dz

) dy )

o

~~

. .

a

)

a

a

o

o·

9Î dq, ~·q, dq, ~ F

o .

·

(q{ q" q,) dq,.

61 · Propri~tăţil~ fundamentale ale mtegralelor multiple A

~=~:i~:trpa:e;:~ t;:Ifatedepf~o. :rt~ietă_ţile_ fl'?n?ament~le ~~~ inte~x:al: ' In! Ia ei ca Imita sumei [1 94] E ::1 !;1~:1 !efonstrează. 'i p~o'prietăţile fundament~le 'ale i~1;e~:~~

. ' .. p e. Pentru SimplifiCare, vom presupune toate fuJ.tct''.l -continue, aşa încît integralele acestor funcţii f:lU ~ens. . ~u ţ . 1. Un factor constant poate fi scos de sub semnul integralei :

(lV) da= a

(o)

âqz

Hf (N)

da.

(O)

II. Integrala unei sume algebrice de fun t .. $Uma algebric... . t 11 . c' n este egală cu a a In eg1·a e or acestor funcţii : .

c9a

de

1

(V)

Haf

- ' uq1 - ' (Jql i)ql D=

...2 d. • J( J( J( 1\_ x~,_y, z) dx dyr.i;z ._=(J J((J F_ .(q1 ; q2, q._a) -·; 'lf fJ2 .fJ1 dq2 dq8 ;

+

La fel ca în [57], formulele (21) pot fi considerate ca o deformare a spaţiului in care punctul cu coordonatele rectangulare· (x, y, z) trece in punctul cu coordonatele rectangulare {q1 , q2 , q3) •. În această interpretare, 1 D 1 ne dă coeficientul de variaţie al v()lumului in locul considerat, cînd trecem de la (q1 , q2, q3) la

(x, y,

>0

~Unde ql,qz,qa vor fi interpretate drept. coordonate rectilin 1•1• ort g

wl (qu q2, qa), (211)

dv = 1 D J dq1 dq 2 dq3 ,

~ ~-~ f

0 ; !/

Introducem variabilele :

atunci expresia lui dv va fi şi obţinem

>

X

asemenea deternihuinţi~

U[f -

H1 d~ - i ~ (a)

(N)d;.

(o)

198

199

III. Dacă domeniul (a) este descompus într-un numă~ .finit: de domenii [de exemplu,' în două părţi ( 1) şi (cr2)], ~tunel ;n:e-g1·ala pentru întreg domeniul este egală cu suma Integra e orpenti·u domeniile parţiale :

~~f

= ~~f

(N) dcr

(!1}

(N) da

(0'1)

(N) d'i.

(0'2)

IV. Dacă în domeniul (cr)

~~f

+ ~~f

f

(N) -<

(N)dcr-<

~ ~

şi însemnăm

:

fJt

~=p;

f}x

81

~

fjy

=

q.

(23)

Am văzu:.t [1, 160] că cosinuşii directori ai normalei (it) la :su:pr_?faţa (~) In punct~l ( ~' y, z) sînt proporţionali cu p, q şi (- 1), adica, dupa cum se ştie din geometria analitică, se exprimă prin formulele

(O)

(!1)

În particular,

l ~ ~ f (N)dcr

~

-<

~ ~ lf (N)

l·dcr.

1

cos (n, Z)= -77========

(O)

(cr)

V. Dacă cp (N) păstrează acelaşi semn. î~ do.meniu~ (cr}\1> atunci are loc teorema mediei, care se exprima pnn formula ~

~ ~ f(N)

cp (N) d'i =

J

f (N0 ) ~ cp (N) dj,

(o}

(a)

-

unde N este un punct situat în interi01·ul domeniului !(o). În °particular, făcînd cp (N) = 1, obţinem:

~ ~ f (N)

da =

f (N o)

C1,

1!1)

in care cr este_ aria domeniului ( 'i ). _ • • Proprietăti analoge au loc şi pentru Integralele ~np~e. _ Să obser~ăm că în definiţia integralei duble ŞI ~ Integra!e:t \t~i·ple, ca limite de su~e,, s-~ presup~1s întotdeauna ca. domenn~J 'de integrare este mărginit, 1ar funcţia de sub s~mnul I_ntegralm, f (N), este în fiecare caz mărginită î~ do~eniul d~ Integrare~_ adică există un astfel de număr A, ÎnCit oncare ar f1 punctul ~ în domeniul de integrare, avem inegalitat.ea 1f (N) 1 "<"A. Daca. aceste condiţii nu sînt satisfă~ute, at~nc1 se poate I~tt~pla"' ca integrala să existe ca integrală 1mpropne, aşa cum. se In~1mpla ~~ integralele simple [1, 97 şi 98_]. I:r:tegralele multiple 1mpropra vor fi studiate în § 3 al acestui capitoL 62. Aria suprafeţei. Scriem ecuaţia unei suprafeţe date ( S) sub forma: (22) z = f(x, y)

=F

(24)

Vt + p2 + q2 •

. . Să definim aria porţiunii din suprafaţa (S), detaşată prin 4l:nhndrul ( C), care p1·oiectează această porţiune pe domeniul ( ) 0 .din planul XY (fig. 52). .Descompunem aria ( cr) în ~lemente L\cr; cilindrii con-:Struiţi cu baza pe L\cr -descompun pe ( S) în elemente L\S. Luăm· în fiecare eleJment L\cr cîte un punct N (~, '1) căruia îi corespunde pe suprafaţa (S) punctul M(~, "1), ~),unde~= f(~, "'J). Ducem în punctul M planul tangent şi normala ( n) la ;suprafaţă şi însemnăm pl'in 118' porţiunea plană de-taşată din planul tangent prin cilindrul cu baza L\cr. Definim aria acestei porţiuni, din suprafaţa (S), Fig. 52. ca limita sumei ariilor porţiunilor plane L\S', cînd numărul elementelor L\cr creşte .nelimitat, fiecare din aceste elemente micşorîndu-se neconte~it în ~oate direcţiile. Vom arăta că această limită se exprimă pnntr-o :nt~grală dublă ~elativă la domeniul (cr). Elementul ~a .este proiecţia elementului plan ~S' pe planul XY, iar normalele

200 201

lor fac între ele unghiul (n, Z), şi al cărui cosinus este calculat îu. formula a treia (24) ; de aceea 1 )~' 6.a aşa tncit9 definiţiei,

=

1 .

6.8'

.

'

.

- - . s a u ilS'=

lf 1 + p2 + q2

pentru aria S a

suprafeţei

VI + p2 + q2 ~a,

amintite,

S = lim ~ ilS' == Iim ~ }! 1

-continue şi arată implicit că acea t"' 1" • ... . ~mai sus a ariei are defectul ca" .cace ss" ~ timita. există. Definiţia de • · · · .1. a In re chiar în î "' · d f" · · ·-operaţia proiectării, legată de ale erea . 1 . nsaşi e Illlţie, .arăta că mărimea ariei nu de . d P tnului XO Y. Se poate .Mai observăm că dacă paralel!JI~ eOZe" a A!gerea planului XOY. :mai multe uncte atu . e a Intl nesc suprafaţa (S) în ~trebuie să ~escoU:pune~I t:ntr; tcal~ulul ~riei prinformula (25) ·-calculăm separat aria fiecă!e~: adi: I~e~ai multe porţiuni şi să

â

obţinem, confor~n

+ p2 + q2 ~c.r.

. ~.xempJe. 1. Să se calculeze aria !porţmnu de suprafaţă sferică considerată tn

(O)

Limita care figurează în partea dreaptă a egalităţii nu estealtceva decît integrala dublă extinsă la domeniul.(a)şi av~m, deci,_ i[S

~ ~~V 1 + p 2 +,.q2

da=

~~V 1 + p 2

+ q2 dx dy,

-exemplul [56]. Avem:

(25)>

((J~

(OI

2

.

,.

= Va2 _

x2 _ y2; P

care este formul~ căutată pentru aria unei porţiuni de suprafaţă curbă, detaşată din ea printr-un cilindru ale cărui generatoare sînt. paralele cu axa OZ. Expresia de sub semnul integralei reprezintă elementul de· arie dS al suprafeţei. Utilizînd expresia dată pentru cos (n, Z)~ putem scrie dS =

Vl+p2 +q2 daftu =

dcra,11

lcos(n,Z)I

sau dc.rz11 = 1 cos (n, Z) ! dS.

plan (S1) şi tp unghiul diedru al celor două plane sau, ceea unghiul format de normalele la aceste două plane. După cum se vede imediat, are loc relaţia : S 2 = S 1 costp. ln adevăr:> să descompunem domeniile tn dreptunghiuri prin două familii de drepte, din care una este familia de drepte paralele cu linia de intersecţie a celor două plane (S 2)· şi (S1 ). Presupunem că dreptunghiurile domeniului (S 2) sînt proiecţiile dreptunghiurilor (S1 ). Prin proiectare, două laturi paralele cu linia de intersecţie a celor două plane (Sll) şi (S1) îşi conservă lungimile, iar celelalte două se înmulţesc cu tX>S
.S =

proiecţia domeniului ce este acelaşi lucru,

S2

=~~ (St>

COStp

dx dy

=

COS
~~ ($x>

dx dy

=

S1 coscp.

Va 2 -

-

x

y

X

:,t2 _

y2

-;

=

(26)

Aici 1daW~ este proiecţia lui dS pe planul XOY. Trebuie luată valoarea absolută a lui cos (n, Z), deoarece elementele de arie dc.r~ şi dS sînt considerate pozitive. Presupunem că p şi q, definite prin formulele (23), sînt funcţii continue de (x, y). Raţionamentul precedent exprimă limita sumei ariilor IlS' &ub forma integralei (25) a unei funcţii 1) Fie (S2)

=

2.

H : ~) Să

2"

a coscp

r dr dep = 2a ) il
.

o

(

J Va2 _ ,:2 "2 ·=

.

se

2a2

•2 r-acostp = 2a ~ ( - V~ / dep = ·

r dr

[

J

o

! ' ..

r~o

' (1 - sintp) dep·= 2a2 (

găsească ari~ porţiunii din cilind:ul x2 + y2 = a2,

'Tt' ?

'"' (27)

odeta~ată din el prin cilindrul (fig. 53)

. y2 + z2 = a2. (22) .. ln această problemă este comod să lu ~ . . . .z fund funcţie de ele definită . ; am ca variabile Independente pe y- şi z +este limitat de. cercul definit ~~::~:~~~~(2~)7). D?meniul inte?rare, tn planul yz; :a opta parte a intregii arii considerate şi· .d. Aria haşurata in figură este, evident. e aceea avem: .

ct:

S = 8

J) V + 1

p2

+ qt

dy dz,

(C1)

202 203

unde

în .care se conside · d. e zero · ŞI. că valoarea fun 1·ă cos (n ' Z) d'~ t. F (N) î I erit _.Iei n punctul N al domeniului ( ) · ·d cfunctiei F ( M) în punctul M . . cr ~on~ci e cu valoarea ecuatia supl·afetei (S) este da,t"prsmhecţ;a caruia l~ste N. Dacă f ,· · , a u .tOl' ma exp Icit" (22) · .·uncţi.a F ( M) e~te exprimată în coot·donate cai·teziene aF x ' Iar în ( a:ey) es t e suf'ICient . ( 'Y~ pe z), ,atunCI ." - f ( pentru ) î Integrarea . a "Inlocui "' -, x, Y n expresia functiei F (x y z) adi'c" F (N _ -. ,în membrul ' ' al' doileaa al lui ·(29) ) -- Ji d[x ' y ' f . (x, Y )] · N umitorul este eterm1nat de formula a treia (24). z Relevăm faptul ca 111• tegralele de suprafată se bucură, evident, de ' toate propriet~ţile in.tegralei duhle z1 1 1ndwate In [61]; în particular, 1

dx y dx p = - - - = - ~;q=-=0; dy

x

dz

a

a

"X' = Va2 --

y2 ,

aşa că:

a

S

=

...JaT.-42

Ba ( dz

J o

=

(

)

o

Sa { z arc sin

a

=

dy

lf a2 -

Ba ( are sin { a

J

yz

o

a

o

,__ lz=a

Va 2 -

z2

-:-

·f

zZ dz =

a

Vâ2=Z21 z= a + ( z a z =o ) ~ a2 _

= - 8a

2

z=O

z2

dz

1.

V om

63. Integrale de supt·afaţă şi fot·mula lui Ostrogradski. N oţiu

1

lP(Mk) • ilSTc.

Limita acestei sume, cînd numărul subdiviziuni.lor creşte la infinit, fiecare subdiviziune ÂS~r, tinzînd către zero, se numeşte: integrala funcţiei F ( M) pe suprafaţa {S) :

~~F(M)dS= ~~~ ~ F(Mk)

ÂSk.

-

Presupunem că dreptele paralele cu. axa OZ intersectează suprafaţa numai într-un singur punct (fig. 52) ~i fie ( cr) proiecţia. lui (S) pe planul XY. Servindu-ne de formula (26), care stabileşte o legătură între aria elementară a suprafeţei (S) şi aria. corespunzătoare~a proiecţiei (cra:11), putem să înfăţişăm integrala de suprafaţă (S) ca o integrală extinsă la domeniul plan ( O'a;u)· după formula

( ( F (M) dS = ( ( (8)

. 204

F(N)

) ) )cos(n,Z) 1

::f::.

!JZ,

n

J)

~~ ---~~~~~'·~

J.

7~=1

7c=l

/

llfnil

':n

n

(8)

acum

t

, ... ta1e . ale teoriei integralelor xy) k-l . multiple- formula lui Ostro . / - - d6-.:ty gradski, care stabileste 0 0~--------·------2 leg~tu:ă înti·e integrala 'triplă extinsa la volumul (v) si Fig. 54. integrala de suprafată (S) (· ) f" d ... . . considera, ca şi în [5S] c.., v un margin~t de ( S). V om tează suprafata (S) în U:ai ~:p;el~ pa...ralele axei ~z nu intersecnotaţie ca si in fig. 44 [5B] s~ 1 ..e îoua pu~dcte. Pastrăm aceeaşi .• ,I uam n consi erare si direct' ( ) , " d' ,I_a n a norma1ei exterioare la volumul (v) (fig 54) A formeaz~ pe porţiunea superioară (Ii) u~ ce:s~a uecţ~e (n) axa Iar pe porţiunea inferioară (I) un unghi ascuţit c~ porţiune (I) avem l cos (n Z) l _ , ( , pe aceasta ne dă : ' - - cos n, Z). Formula (26)

2

~

demonstra

un a din formulele fundamen-

nea de integrală dublă extinsă la un domeniu plan, se genera-· lizează cu uşurinţă penti·u cazul integră1·ii de-a lungul une.i suprafeţe oarecare. Fie S o suprafaţă (închisă sau deschisă) şi fie F (M) o funcţie continuă de punct pe această suprafaţă. Descompunem pe (S) în n porţiuni şi fie ilS1 , ilS 2, ••• , ilSn ariile acestor porţiuni,. iar M , M , M 3 , ••• , Mn puncte din interiorul lor. Formăm suma

de produse:

/Y

~=:~~:I:a e;:ed~!~îne valabilă

= 8a2 •

1'

dcr 0011 ,

(29)

.

da ll',y

=

cos ( n ' Z) dS pe (II) ; daxv

= -

cos (n, Z) dS pe (I). (30)

Considerăm integrala ti·iplă extinsă la volumul (v) a func-

tiei •

/JR(x,y,z) (Jz ,

care este derivata pa1·ţială în raport cu z a unei

funcţii date. R (x, y, z). Utilizînd formula (16) vom avea :

JJJ_aR(;~,z) dv JJ da., r an~:·y,z) dz. -c

(V)

(crxy)

Zt

(a)

205

Însă

integrala unei derivate este egală cu diferenţa dintre valo;ile funcţiei primitive pentru cele două limite~ superioară şi inferioară :

~ ~ ~ 8R(~,:,z) dv

= ~~

[R (x, y, z2)

--

Adunînd aceste trei formule, membru ·cu.menib:ru, :obţinem. formtJla. lui Ostrogradski :

( (( (aP-t· aa +aR) dv =

J(11)J J ax

R (x, Y~ z1)] dcr~11]

( 0 zu)

=

~J [P cos

az

(n, X)+ Q

c~s (n,Y) + R

cos (n,Z)]dS.

(32)

(8)

sau:

~ ~ ~ 8R~t,z) .dv = ~ ~

y, z2} dcr.w- ~ ~ R (x, y, zl) d a~v·

R (x,

( 0ztl)

(Gzy)

(ti)

Int~oducînd dS în loc de dcr11111 prin formulele {30), reducem integrarea pe (a,.") la o integrare. p~ ...(S) şi anum~: ~? prima integrală, care conţine cota varia~Ila z2 a _POrţiun~I (II) ~ suprafeţei (S), folosind prima for~ula (3?), obţinem o !ntegrala pe 'porţiunea (II), iar în a doua lnte...grala, ca~e conţi.ne cot~ variabilă z1, utilizînd a doua formula (30), obţinem o Integrala pe porţiunea I :

~ ~ ~ aR~;~·z> dv = ~ ~ R (x, y, z) cos(~, Z) dS ·

~

an

+ ~-~

+.

R (x, y, z>:cos (n, Z) dS.

;Il

Indicii cotei z au ·putut fi . suprimaţi, deoarece .este· ~ndicat~ porţiunea pe· care se integrează; Î~ membr~l al d01~e~ ~1gureaza suma integralelor extinse la porţiunile (II) ŞI (1), adica Integrala pe întreaga suprafaţă ( S) :

( '[ aR <:,y,z) dv =. ~ ~ R (x, _y, z) cos (n, Z) dS. a

j~J

(31)

(8)

(V)

Dacă am fi luat alte 4ouă funcţii P (x, y, z) şi Q _(x, y, z), am fi putut arăta: exact la: fel :

~ ~ ~ aP~~y,z)dv (~

~~~ (ti)

206

au

=.

f~ P

(x,

y; ~) cos (n, X)_ d~.,.

(8)

aQ<;:·z)

dv

= ~ ~ Q (x, y, z) ctis (n, {8)

Y) dS.

Pentru simplificare nu am mai scris argumentele x, y, z sînt

funcţiilor P, Q şi R, dar trebuie amintit că ·acestea funcţii definite în volumul (v) şi conti{nl t nue împreună cu derivatele lor.

ale

În capitolul următor vom da un mare număr de exemple de aplicare a formulei lui Ostrogradski. Cînd am stabilit formula (31) am presupus că dreptele paralele cu axa OZ nu taie suprafaţa (S), care mărgineşte volumul (t') în mai mult ca două p· 55 puncte. Formula se poate generaliza Ig. · uşor şi pentru domenii mai generale. Observăm mai inainte de toate că dacă suprafaţa {S), în afară de porţiunea superioară (II) şi porţiunea inferioară (I), mai conţine şi partea laterală a unui cilindru cu generatoarele paralele cu OZ, atunci pe această parte laterală cos (n, Z) = O, şi adăugarea acestei părţi la membrul al doilea al formulei (31) nu modifică valoarea integralei de suprafaţă, aşa că întreaga demonstrare a formulei rămîne valabilă. ln cazul mai general este suficient ca să descompunem pe (v) prin suprafeţe cilindrice cu gener~toare paralele cu OZ, într-un număr finit de părţi satisfăcînd condiţiile precedente, şi să aplicăm fiecărei părţi formula (31). Adunînd formulele astfel obţinute, vom obţine, în membrul întîi, integrala triplă extinsă la întreg volumul (v), iar în membrul al doilea, suma integralelor de suprafaţă a tuturor porţiunilor în care am descompus volumul (v). Integralele relative la suprafeţele cilindrice auxiliare sînt nule, după cum s-a văzut mai sus, şi rămîne, astfel, ca rezultat al adunării, în membrul al doilea, integrala de suprafaţă (S), unde S limitează volumul iniţial (v). Aşadar, formula (31) rămîne valabilă şi pentru o formă mai generală a volumului (v). Mai observăm că rationamentul rămîne valabil si pentru cazul cînd (v) este mărginit de mai multe suprafeţe : un'a înafară şL celelalte în interior. ln fig. 55 este reprezentat cazul cînd volumul (v) este mărginit de două suprafeţe. În consecinţă, în

207

de,;er~nJn;~tă peptru integrala (33), şi această integrală se poate scrie sub forma {3.)), mdtcind,. !n acelaşi timp, pe care faţă se integrează.

membrul al doilea" din (31) trebuie integrat de-a lungul tuturor suprafeţelor care mărginesc pe (v), iar direcţia normalei, pentru porţiunile interioare, va fi dirijată către interiorul acestor porţiuni [adică, către interiorul lui (v)].

In ac~laş1 mod se definesc integralele :

~ ~ P dy dz şi ~ ~ Q dx dz,

64. Integrale pe o anumită iaţ:1 a supmfeţei. Uneori se utilizeaz:l altă definiţie şi altă formă de exprimare a integralei de suprafaţă. Să considerăm mai întîi cazul în care suprafaţa (S), reprezentată în fig. 54, satisface condiţ.iile indicate la

(S)

începutul alineatului precedent. în fiecare punct al suprafeţei se pot aţribui normalei două direcţii opuse. Una din ele va forma un unghi ascuţit cu OZ, iar cealaltă un unghi obtuz. în legătură cu această situaţie, se pot deosebi pe suprafaJă două feie - de sus, superioară, şi de jos, inferioară. Fie R (x, y, z) o funcţie dată pe S. Să considerăm integrala:

~~

1J

P cos (n, X) dS

~)

R [x, y,

f (x, y)]

da;dy sau -

10')

corespunzător feţei

~~

B. [x, y,

f (x,

y)] dx dy,

(3,1)

(cr)

pe care se integrează. însă, adesea, în ambele caznri se între-

buinţează aceeaşi notaţie

Q cos (n, Y) dS.

(Ş)

.

J~ ~ (~: + ~~ + âa~) (V)

dv

=

~ ~ P dy dz + Q dz dx + R dx dy, (8)

unde ~~ m~mbr~l al ~oile~ i~te%rarea se face pe faţa superioară a suprafeţei (S). . a servam _ca exista ŞI suprafete cu o singură faţă, suprafeţe e care ~rm deplasa:e contmuă de-a lungul suprafeţei; normala, schimbîndu-şi ~· ţ" • ~n. t;nod conb_nuu,_ poate reveni în punctul Irec ta miţJal cu direcţia opusă directiei iniţiale. Cel mai simplu exemplu ~ste asanumita foaie a lui Mobius. Pentru ~ o ob}ine, ~luăm o foaie de hîrtie dreptungluulara ABCD, o răsucim şi o lipim aşa încît A să coincidă cu C iar B cu D {fig. 56). Inelul obţinut poat~ fi colorat tri întregime pe ambele feţe, fără a traversţt frontiera sa. BD ~?· M~mcnte. Una din aplicatiile noţmn~I de mtegrală multiplă se referă Fig. 56. · la teona momentelor de diferite ordine a sistemelor de puncte materiale. F 1"e dat SIS · t emu1 de n puncte materiale

?

.

~~

R dx dy,

(35)

(8)

faţa pe care se integrează. Dacă integrarea se face, de exemplu, pe fata inferioară a suprafeţei (S), atunci integrala (35) coincide cu integrala a doua (34).

l'vlv M2, ... ' 1'vfm

indicînd

Integrala (35) se poate defini direct ca limita sumei de produse ~R (~~1~r) ll.ci;; a valorilor funcţiei R (1\:1) tn punctele suprafeţei, prin ariile b.cr1, ale proieeţiilor pe planul XO Y a elementelor b.Slc, în care este descompusă suprafaţa (S), tmde !1a1c este considerat ca pozitiv, dacă integrarea se face pe faţa superioarft a supwfeţei şi negativ dacă integrarea se face pe suprafaţa inferioară. Să considerăm acum cazul general. Fie (S) o suprafaţă oarecare şi fie 1'vi0 un punct al acestei suprafeţe. Să fixăm in acest punct o direcţie determinată pentm normala (n) şi, plecînd din M 0 şi mişcîndu-ne în mod continuu pe (S), să observăm variaţia continuă a direcţiei normalei (n). Dacă, prin orice deplasare continuă, normala îşi păstrează direcţia în orice punct al suprafeţei, atunci se spune că suprafaţa arc două feţe. Dacă pe o astfel de suprafaţă fixăm în punctul iniţial M 0 cealalti.i direcţie a lui (n), atunci, prin mişcare continuă, obţ.inem şi pentru celelalte puncte aceeaşi direcţie a normalei. Aceasta ne dă posibilitatea de a vorbi de cele dou}t feţe ale suprafeţei (S), după direcţia normalei pe care am fixat-o în punctul M 0 şi prin aceasta, şi în restul punctelor. Fixînd faţa suprafeţei, obţinem o valoare

208

J5

Cu această definitie a acestor integrale, formula (32) se poate transcrie asttel:

(8)

Valoarea acestei integrale depinde de alegerea direcţiei normalei sau, ceea ce este acelaşi lucru, de indicarea feţei suprafeţei pe care se integrează. Dacă se integrează pe faţa superioară, atunci cos (n, Z) > O şi deci cos (n, Z) dS =, = dcrxv• iar pentru faţa inferioară cos (n, Z) < O şi cos (n, Z) dS = -- dcr,~ 11 , unde dcr;x,y este proiecţia elementului de arie a suprafeţei (S) pe planul XO Y adică elementul de arie al domeniului (cr) din formula (29). în coordonatele (x, y) putem scrie dcrxy= d.r: dy, aŞa d't integrala (33) se reduce la integrala extinsă la domeniul (cr) din planul ax y :

şi

(8)

(33)

R cos (t1, Z) dS.

(8)

unde P(x, y, z) s.i Q(x . ' y '""'·"') ·s~m t f unc ţ""n d a t e pe (S). Aceste integ·rale coinci"cl ct' integralele : ·'

ale căror mase sînt, resnectiv egale cu m 1• m ;,, ••• ' lnn. p . ~ ' rm momentul de ordinul k al sistemului material dai tn ra orl cu l cu ~reapta (?-) s?u czz punctul (D), se inţelege suma roduselor rrfas i . p~ an~zl ( 8), al .szstemuluz prm puterea de ordinul k a distanţei ,/(L]..), (d) sau c~/lecarm pzznct

:a

sist~!~~~e~t punct de vedere momentul de ordinul zero este tocmai masa totală ·.

H. Curs de matematici superioare

209

Momentul de ordinul tnUi relativ la un plan dat (Â) se numeşte momentul static al sistemului relativ la acest plan. Momentele statice în raport cu planele de coordonate le tnttlnim în expresiile coordonatelor centrului de greutate al sistemului

~ntegralele funcţiilor~ x, y, z, iar la nu . . . Iar constanta fo se reduce.' mitOI volumul sau aria întregului domeniu, ExcmJ)le. l. Centrul de greutate al . Dacă alegem coordonatele, aşa cum se indică u~u~_sect~r sferic omogen (fig. 57). ordonata : · Igura, este suficient să găsim

(36)

In cazul de faţă, distanţele la planete de .coordonate X]., y1, z1 stnt algebrice, adică attt pozitive cit· şi negative. Momentele de ordinul al doilea sint numite, de obicei, momentele de ttle sistemului. Astfel, expresiile

mărimi

;V)

inerţie

Obţinem:

X

'2n: V=

stnt momentele de inerţie ale sistemului in raport cu planele de cool'donate; expreQ siile: ·

•

a

o:

Fig. 57.

t«

J(dep ~sin fJ o o

dfJ~~ n2d,.,= ~ ~"" ~""

(1

)

-

cos IX

= -2 3

7ta2h · '

a

~
~

i-1

i=-1

(z.r + x:)m, ;

~ (x; + y; )114 i=l

sfn1 momentele de inerţie ale sistemului tn raport cu axele OX1 OY, OZ;

tn

sfîrşit'

expresia:

8 3 16

Zo =-.a este momentul de inerţie tn raport cu punctul O. . . Afară de expresiile indicate mai sus, tn aplicaţii intervin şi expresiile: ·

t

1ta3

3

o

1 - cos 21X

1 - cos IX

a 4 (1 - cos 21X) ; 3

= Ba

(1

3

+ cos IX) = B (2a -

h),

unde a este raza sferei. 2. Dacă presupunem că masa est d" t "b . ~ . • sferic (S), ordonata centrului de greut~tels n f?~ta numai pe suprafaţa sectorului . va 1.

ta

y-.z,n4;

i-1

care se numes.c momentele centrifuge ale sistemului în raport cu axele OX, OY, OZ. Dacă nu avem a face cu sisteme cu un număr finit de puncte, ci cu mase distribuite continuu, atunci sumele precedente se înlocuiesc prin integrale definite, simple, duble sau triple, după cum masele sint distribuite pe drepte, pe suprafeţe sau in spaţiu ; în locul factorului 111i va fi nevoie să introducem pro~ dusul densităţii f(M), în punctul considerat M, prin elementul de lungime, arie sau volum. Aşa, de exemplu, momentul de inerţie al domeniului tridimensional (v) tn raport cu axa OX se exprimă prin integrala triplă :

~~~

·

1

z

V 1 + p2 + q2

a

(y

+ z ) f(M) dv.j 2

densitatea· f(M) se consideră constantă, f0 , atunci acest factor constant va fi scos de sub semnul integralei, şi tn formulele (36) la numărător vor figura ~lQ

cos (n, z) = aşa că:

2

•'11)

Dacă

unde s este aria suprafet · (S) y ~ sau z = Jla2- 2 ,e~ : n caz~l.d~ faţa ecuaţia suprafeţei este ;t2+y2+zll= ( x + Y ) ŞI se verifica uşor că :

da:llu cos (n, z:)

= .a.( ( dcraw.. =

JJ

nas sin2 IX,

(G:w)

unde (a0J) este cercul cu centrul.în origine şi cu raza a siniX.

a2

il\1

l'!'

5. Momentele ·de inerţ.ie ale elipsoidului omogen :

Aria s va fi: s

~ ~ V-1 + p-2--Ţ-~ dcrxu = a ~ ~ Vaa ~~=~ + uz> carr,y) (O roy) .

=

=

r dr

Vaaşi,

în

sfîrşit

Însemnînd densitatea cu fo şi descompunînd elipsoi
2na2 (1 -- cos c:t),

··f-c

r2 .J:r:y "'"=

:

/0

.\S ~ z dx 2

dy d:o

~

3

Zg

27ta2

=

sin IX

1ta

=

(1 ·- cos c:t)

a cos 2 ~ 2

z

_ a (1 8

2rrabf0

(

~

-

~)

=

-o

l

•

= I n - c 2.

5

în exemplul prece d ent am Ob .ţl'nut pentru z0 valoarea mai 3

~) dz =

2

/ 0 ) z rwb ( 1 -

(v)

_L

3

= --

cos ce.)

4

1

a

mică :

Permutîud literele g{tsim :

IX cos2 - •

1 5

= m • - a2 ;

.Juz

2

3. Dacă centrul de greutate coindde cu originea! toate momentele statice sirit nule, ceea ce 1·ezulta imediat din relaţiile :

Jx

'

~ ~ ~ xt dv = mxu ;

o= J:J,;'jJ

+ Jx:;

1 J fi = m · - (c 2

5

J 2.x = m . :-.=

171..

o

-~

-

1 lJ2 . 5 '

(b2

5

+ a 2) ;

.] z ==

+ c2); m

1 o

-

(

a2

5

+ b2) ;

('il)

~ ~ ~ yf dv = myu ;

6. Energia cinetică fn rotaţia unui corp solid tn jurul unei axe ( 8). După cum se ştie, în. rotaţia unui corp în jurul axei (8) cu viteza unghiular[t w, viteza V a unui punct oarecare al corpului este egală cu produsul între viteza unghiulară şi distanţa punctului la axa de rotaţie. Pentru calculul energiei cinetice a corpului, îl descompunem în eleme:qte de masă L\m şi în semnăm prin L\ T energia

(V)

~ ~ ~ zf dv = mz0 •

Fig. 58o

cinetică

(V)

· ·T dru circular drept, omogen (fig. 58)~ 4. Momentel~~de ine~ţi~ aled-a:nm tel ;nsecţiunii sale medii. Considerind dentn raport cu axa cllmdrulm ŞI cu mme ru · sitatea constantă şi_,egală cu fo, avem :

Jz

= fo

~~ ~

2'lt

r2r dr

dep d(= 2/o

0

(V)

a

h

0

0

az

~dep~ rS dr ~ dz = r.a<~llfo = m 2 '

J JJ

( ( ( = fo J J)

·

(z2

h

= 2/o ~dep~ zZ dz o

o

a

~-

r dr

+ 2/o ~

o

= -~ 3

o

2rt

r.hsa2fo

+~ 2

2

sin cp dep

o Jw4fo

=

m

o

h

a

(\2

o

=

2

T

o 2n:

T

Avem : l:L\T.

1 1 ÂT '-""" ~ V 2 L\m = -
( dz ( (z 2 + r 2 sin 2 m) r dr = + r2 sin2 cp) r dr dep dz = 210 (J d ep J J

~

corespunzător.

Avînd în vedere micimea elementului L\m, se poate admite că întreaga masă este concentrată intr-un singur punct JU al elementului, aşa că energia cinetică 6. T a elementului /),.m va fi egală cu :

a

h

2n:

a elementului

2

unde /(M) este densitatea corpului în punctul M, iar r8 , distanţa punctului 1\·l la axa (8). În virtutea definiţiei integralei triple putem scrie :

~ dz ~ rSdr = -

3

2)

+~ • 4

unde

Ja

~ ~ ~ r~ f(M) dv (V)

unde 211 este înălţimea .cilindrului, a raza bazei şi m masa sa.

-este. momentul de ine1·ţie al corpului tn raport cu axa de rotaţie ( 8)o

213

O b s e r v a t i e. Cîteodată, în calculul volumului corpurilor sau al unui moment nu se pot efectua toate calculele cu ajutorul integralei triple, ci cu al integralei duble sau chiar cu al integralei simple. A~ci pr~blema ~o~stă t!1 faptu~ că prin reducerea integralei triple la o integrală dubla şt o mtegrala stmpla, uneori se poate evalua integrala interioară, fără calcul. prin mijloace elementare. Aceasta creează impresia că pentru calculare nu a fost nevoie de integrala triplă, ci de una dublă sau simplă. . Aşa, de exemplu, momentul de inerţie J reu referitor !a pl~nul .xo Y, al. corpulu~ (v), mărginit de planele z=O, z = h şi de suprafaţ~ nascut!l ~nn :otaţta. cur?m x = f(z) în jurul axei OZ, se poate calcula printr-o mtegrala sunpla; constderan~ -corpul format din discuri plane circulare, paralele cu planul XU Y. Volumul unm .astfel de disc este ~ [/(z)} 2 dz, şi avem:

(k =O, 1, ... , n-1)

1t

~

z2 [f(z)] 2 dz.

h

=

S~ ~ z

2

dx dy dz

=

~z

2

LO

(V)

dz

~ ~ dx. dy,

•-1

~ f(~l) ds =Iim ~f(Nre)Âsk.

. 66. Definitia integralei eurbilinii. Presupunem·: că· avem în spatiu o oarec~re curbă (l), pe care este fixată o direcţie deter-' minată (fig. 59). Fie A · Mn ~ punctul iniţial şi B .R p.un:c_tul fina. l al curbei_. Nn-t · Vom ~socoti lungimea arcului pe curbă din Mk ·punctul iniţial A. Iri Să presupunem că pe ·h-' /Vk . această curbă . este dată o functie con-: tinuă f( M), ~şa că în fiecare punct M al curbei (l), f(M) are o valoare numerică de· ·-

•

J

*

Fig. 59.

.

terminată. Împărţim

· · ·· ' curba (l) în n porţiuni prin punctele intermediare M0 , M~~ ~: .·. '.flr!n-h Mn, un?e M0 coincide ·~ cu A, _iar .M'I& coincide cu B._· : În fwcare porţiune MkMk+t. 1·

11, ''1

.1!1

214

(1):

lr.=O

unui punct M de pe curba (l) este pe :deplin

deter-~

minată prin lungimea arcului s = ÂM, aşa că funcţia f( M} poate fi socotită ca. funcţie de variabila"independentă s, adică j(M) = f(s) şi integrala (1) apare ca o integrală_:definită obiş

o

nuită:

~ f(M) ds

unde (az) este secţiunea tn (v) prin planul paralel ·CU planulXO Y la distanţa z de .acest plan. Integrala dublâ interioară dă aria (O'z), adică este egală cu ~ l/(z)] 2•

#

este lungimea arcului MkMk+l:

al curbei (l). Limita acestei sume, cînd numărul n al diviziunilor la infinit, fiecare din porţiunile MkMk+ 1 tinzînd către zero, se numeşte integrala curbilinie a funcţiei f(M) de-a lungul;_ curbei (l) şi se înseamnă astfel : ·

(crz)

§ 2. INTEGRALE CURBILINII)

formăm

creşte

Poziţia

Acelaşi moment de inerţie se exprimă prin integrala triplă :

~i

k-0

(lJ

o

J rcv

un punct arbitrar Nk

suma~ f(Nk)' Âs1c, unde Âsk

h

:.1 X'/1,=

luăm

n-1

=

'~ f(s)

ds,

o

(l)

unde l este lungimea arcului curbei (l). Evident, curba (l) poate tnchisă, adică punctul B poate coincide cu A. Pînă acum nu ne-am servit de faptul că pe curba (l) este fixată o direcţie. Pentru ceea ce urmează, acest fapt prezintă Q mare importanţă~ Raport~m spaţiul la un sistem de axe recti· linii ortogonale. Poziţia punctului variabil M este determinată de coordonatele (x, y, z). Fie P(x, y, z) o funcţie continuă de-a lungul curbei (l). Însemnăm prin ( ~k' "lk' ~k) coordonatele punctului N 1, şi prin Âxk proiecţia segmentului dirijat MkMk+t pe axa OX. Mărimea Âxk poate fi pozitivă, negativă şi chiar nulă. Să formăm suma produselor funcţiei P(NID) = = P( ~k' "lk' ~le) nu prin Âsk, ci prin Âxk, adică suma :

fi eventual

n-1

~ P( ~k' "lk' Ck) Âxk. k==O

Limita acestei sume se numeşte integrala curbilinie a P(x, y, z) de-a-lungul curbei (l) şi se notează astfel:

~ ~

n-1

P(x, y, z) dx ...:_ Iim

~

P( ~k' 1Jk,

~~c)

funcţiei

Âxk.

k=O

215

Să preS,upunem c~ curba (l) este dată sub formă parametrică :: A~alog,

se definesc

şi

integralele :

x = (j)(-r); y

~ Q(x, y, z) dy şi ~ R(x, y, z) dz, (l)

fl)

unde Q(x, y, z) şi R(x, y, z) sînt funcţii continue de-a ~~~g1;1l lui {l). Adunînd aceste trei integrale, obţinem integrala curbi!Inie de formă generală, care se notează :

~ P(x, y, z) dx

+ Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz.1

(2)

(l)

Prin

definiţie,

integrala (2) este limita unei sume de fQrma

Llxk

n--1

~

[P( ~k' 'tJk' Ci1c)

Llx,~ + Q( ~k'

"t)Tc,

~1c) Lly1c + R( ~"'

"tJrc, C1c) Llzk];

{3)

unde Lly1c si Llz1c sînt proiecţiile segmentului MTcMk-l-h pe OY şi pe OZ. Este uşor de stabilit legătura dintre integrala de form~ (2) şi integrala de forma (1). ~oord~natele (x, y, z).. ale punc~uhu variabil M pe curba (l) pot fi considerate ca funcţu de lungimea arcului s = ştie [1, 160],

Derivatele acestor funcţii dau, după cum se cosinuşii directori ai tangentei la curba (l), adică :

AM.

ds

n-1

unde t reprezintă direcţia taugentei la (l) în punctul vm·iabil M directie care coincide cu directia curbei. Prin simbolul (oc, [3) în;emnă~, ca întotdeauna, unghi~l format de direcţiile oc_ şi [3; valoarea cosinusului acestui unghi nu depinde de direcţia fixată pentru calcularea lui, direcţie pe care în cazul de faţă nici nu o fixăm. Făcînd abstracţie de infiniţii mici de ordin superior, putem scrie : Ll.xk =cos (tk, X) L\sk; Lly1c =cos (tk, Y)Llsk; Llzk= cos (tk, Z)Lls,c

unde t7c este direcţia tangentei în punctul Nk, ca limită a sumei (3), se reduce la forma (1) :

- ~ P dx+Q dy+R dz= ~ [P cos (t, X) {l)

+R

şi

cp'(-r~') (-rk+l - -rk),

(6)

n-1

~ P[cp(-r~), ~(-r~),

k=O

cu(-r;)]

(j)'(-r~)

(-rk+l -

~~),

care la limită, cînd cea mai mare dintre diferentele (-rk+ 1 - -rk) tinde către zero, tinde către integrala definită ~ b

~ P[p(-r), ~(-r), cu(-r)] (j)'(-r) d-r.

(7)

a

... Să arătăm a.c~m că diferenţa dintre suma (6) şi cr tinde catre zero. De aiCI va rezulta numaidecît că suma (6) are 0 limită care este egal~ cu integrala {7). Diferenţa menţionată are forma: n-1

= '}: { P[p(-r~), ~(-r~), cu(<)] k=O

(4)

unde P, Q, R pot fi considerate ca funcţii des, de-a lungul curbei (l).

216

=

Această sumă seamănă cu suma :

"1)

Y)+

(l)

cos (t, Z)] ds,

(-rk).

~ P(~k' 1J1c, Ck)Llx~c= !:P[(j)(-r~~' ~(-r~), cu(-r~)] cp'(-r;) (-rk+1- -rk)· t=O · k=O

integrala (2),

+ Q cos (t,

n-1

a=

ds

(j)('t'k-H)-

în ca1·e -r;; este o valoare a lui -r din intervalul (-rk, 't'k+I) .. Astfel, suma de care ne ocupăm poate fi scrisă sub forma :

dx · d11 --=cos (t, X); .-----' = cos ( t, y ) ; -dz = · cos ( t, Z) ,

ds

=

t/;(-r); z

=

cu(-r), (5) în care dacă ~ variază de la a la b, punctul ( x, y, z) descrie curba (l) de la A la B~ Vom socoti funcţiile (5) continue si avînd derivate de ordi~ul întî~ c.ontinue în intervalul închis '(a, b), în care, pentru fixarea Ideilor, presupunem a. < b. · Pre~upunem .că punctelor Mk le corespund valorile paraID:etrului : = -rk. ' Să examinăm p~ima din cele trei sume (3). Fie -r = -rk valoarea parametrului care corespunde punctului (~k' 'tJTc, Lk) de pe curba (l). Conform formulei creşterilor finite [1, 63], putem scrie : ·

următoare:

k=O

=

p [cp(-r;J, ~(-r~), cu(-r~')]} (j)'(-r~') (-rlc+l ~ -rk).

Valorile -r~ şi -r~ aparţin intervalului ('t'k, 't"k+,I) şi, în virtutea continuităţii m:riforme a funcţiei P[cp(-r), ~(-r), cu(-r)h.

.217"

:pentru orice -1!'. pozitiv oricit de mic, e xistă un astfel de .a· incit

.[1, 32] : · · ·'{'r'j IP[({)(-t2), ~(-r~), (1)(-t~)] - .P[({)(-rk)' 't' k '

. .. ('tk+l ;pe.nt~

). <

-

<»('<'~)] 1 < "•

8. Prin urmare, vo m. avea pentru 1 '1) 1

-tk

·evaluarea :

n-1

l "1) 1 <

e;

~ 1cp'(-t~) l (-tk+l - ~~Jk=O

intervalul (a, b) este Î,nsă funcţia. cp (-r)lc ontdi~~ linm'(-r)· <·. K, unde K i acest Interva' a. lC d d. . •

'

•

•

w

1

•

•

T

w

••

:ginita . [I' 351 . . De a1c1 .cantitaten ~eterminata w

<

l"tll

k~O

(l)

unde P şi Q sînt funcţii de (x, y), determinate de-a lungul lui (l) • 67. Lucrul mecanic al cimpului de forţe. Exemple. Pro .. blema calcululuilucruluimecanic duce, în modnatural, la noţiunea ·de integrală curhilînie (2). Presupunem că punctul M descrie

.

•

către

; . . mic . tinde efectiv zero 1. Deoarece e este .'"~ ~r~r de . Proce.diltd ex11ct ht fel -şi ·sum~ ~(6) ar~ .· c~. h(a)tta mţ~f:!~ ID. ip~tcizel
'(71.

SPdx+Q dy+R dz = (~.[P 'l''("')+ Q tl;'(-r) + R

(1)

1

(-r)]

ă't",

(8) ..

. . • a. utorul lui -:-, potrtVlt .1 unde P·• Q ş i R trebuie expnmate cu J .· . ·. . formuleloi, (.S.). . . · • • '1 . integralei simple, indica~e. . '!l . Unele' dintre• .proprietaţie in.tegralei curbllinu. • diat pent ru cazul [1, 94], se generallzeazaw tme . . . .. .

{ll) ' (l 2) '•

• •'

·. . f orm.ată . din (l). este ( l m) ' .a tunel : .

S p dx-f-Q dy+R ~z (l

· ( +l

~

= <~> p

dx+Q dy+R dz

- . p d X~ · ·Q d"'' ~ + R dz

II. Valoarea

porţiurule

separate

+

rl Pd.i-tQdy+Rdz. + ··· + ~

·

aproximativ, că vectorul forţei F are aceeaşi valoare constantă in această porţiune, fie ea valoarea pe care o are în punctul

M,, iar arcul M;Mk+l îl putem Inlocui cU coarda M•M•+t• În felul acesta, lucrul mecanic referitor la mică se poate reprezenta, aproximativ : ·

această porţiune

-7

-

-7

-

11Ek ""/ Fk 1 / MkMk+t 1 cos (Fk, MkM!c+t), ..,. ~ unde prin / F• / am însemnat lungimea vectorului Fîn punctul M., prin 1M.Mk+t 1 lungimea segmentului M.Mk+, şi prin !!.E•

lucrul mecanic pentru porţiunea M.Mk+t• Utilizind formula din geometria analltică pentru unghiul cuprins Intre două -direcţii putem scrie :

. . hT .. depinde nu numai·~ in~egralel m~rd~ ~:~egrare (l), dar şi de direcţia

expresia drucu schimbarea direcţiei pe curba de . . " de integrat curba Ş(Il)de. ' tar l md1eata pe • • h · bă numai sem nu • . . integrare, integrata •ş• se '".'f. ă In întregime condiţiile '':'cJ?.cadte Dacă ~urha (l) :Q.U 0veri lC . m intr-un număr finit e descompune · ... (5) ~ mai sus, .însa put~m . sl" d ~o reprezentar~ parametrica . . fi', ee are· ,din e e a vin . . porţiuni, w

..,.

traiectoria (!) sub acţiunea forţei F, funcţie de punct, de-a . -lungul curbei (1). Pentru a calcula lucrul mecanic descompunem pe (1) în porţiuni mici şi examinăm una din aceste porţiuni M.,M.+ 1• Din cauza micimii acestei porţiuni putem considera, -7

Aşa, exemplu : ( , I.deDacă curba

f Pdx + Qdy,

este o

eK ·~. (t'k+l ~-rk) = zl_((b ~a).

.

..--..... atunci for:în sfîrşit, că, dacă i este lungimea arcului s = AM, mula (8) se transformă în formula (4). Dacă curba (l) este o curbă plană, în planul XO Y atunci· integrala (2). are forma :

şi măr~

e . ucem · .

·n-'-1

atunci for:tnula (7) este aplicabilă fiecărei porţiulli şi integJ.ala ·de-a lungul întregii curbe poate fi definită ca suma integralelor luate pe porţiuni. Se arată uşor că această operaţie este echivalentă cu limita sumei (3) pentru întreaga curbă (!). Notăm,

.

-7 ---7 =----+cos (F., Y) cos (M,M.+" Y) +cos (F., Z) cos (M•M•+" Z)], sau, desfăcînd ..,. paranteza şi Insemnind prin P, Q şi R proiecţiile "Vectorului F pe axele de coordonate :

11Ek

~

Pkf1xk

± Qk11yk_+ Rkt1zk,

218 219·

unde indicele lui P, Q şi R arată că se iau valorile lui P, Q şi R în punctul Mk. Adunînd apoi şi trecînd la limită, obţinem expresia ,exactă pentru lucrul mecanic total :

E=

~ Pdx+,Qdy+Rdz. (l)

Exemple. 1. Lucrul mecanic efectuat de forţa constantă gravitaţională la deplasarea punctului M de masă m, din poziţia M 1 (a1 , b1 , c1) tn poziţia 1\12 (a 2 ,b2 ,c2 ) de··a lungul curbei (l), se exprimă prin integrala: ct

~ P dx + Q~dy + R dz = ~ mg dz = {l)

mg (c2 -

c1)

Ct

'(am dirijat axa OZ vertical, tn jos), unde se vede că acest lucru mecanic depinde numai de poziţia iniţ.ială şi cea finală a punctului, nu şi de drumul pe care s-a deplasat punctul. Aici avem un exemplu de integrală curbilinie, a cărei mărime nu depinde decit de punctul iniţial şi de punctul final al integrării şi nicidecum de curba care leagă aceste puncte. 2. Lucrul mecanic al forţ.elor de atracţie newtoniană către un centru fix de masă m, la deplasarea punctului de masă 1 din poziţia M 1 în poziţia M 2 • Aşeztnd în origine centrul de atracţJe şi notînd prin r raza vectoare a punctului, vedem că

f:n , unde r

forţa Feste dirijată contrar direcţiei OM, iar ca valoare este egală cu j este constanta

gravitaţ.iei.

Astfel, se vede dt :

fm

x p = -- . ; Q= r2 r E

= -

fm

~

x dx

fm

Y . R=--fm.

-~

r2

J'

+ ~ady ~-- z dz ~=

(l)

şi dacă notăm

J11 2 , atunci:

prin r 2

--

fm

r2

'

~ r ~~r =

fm

(l)

şi

r1

distanţele

de la centrul de

(

·t

nate. Să considerăm elementul ~' tuturor particulelor acestui -element stnt aproximativ egale, rezultă că după trecerea intervalului de timp infinitezimal dt, toate particulele acestui element tnaintează cu segmentul 1 v ldt tn direcţia vectorului

v şi ocupă poziţia NN'. Aria paralelogramului JliN!+f'M_' poate fi exprimata prm produsul bazei .ds ~~rin înălţime, care este manmea proiecţiei .vectol'Ului vdt pe directia normalei exterioare · (n) la -curba (l), adică :

+) ' şi

au

diferenţa

n) clt ds,

(n, X)

.

au

au

OY

i)z

Fig. 60.

intre valorile potenţialului U în punctele

=

(s, Y);

=

(s, X) -

7t',

(9)

se

= cos (s, Y) şi cos (n, Y) = -- cos (s, X) . ştie, unghiul dintre două direcţii se exprimă prin

:sau, după (9)~s (v, n)

=

cos (v, X) cos (n, X)

cos (v, n)

=

cos (v, X) cos (s, Y) - eos (IJ, Y) cos (s, X).

cos (n, X)

+ cos (v,

formula

Y) eos (n, Y)

Suhstituind în expresia ariei şi ţinînd seama de -7

tObţinem

-?

l v 1 cos (v, X) = u; \ v [ cos (v, Y) = v, ds cos (s, X) = ~:x.·; ds co,-s (s, Y) := ~y, în definitiv : aria MNN'M'

~220

(n, Y)

după cum

.Însă,

P=-,Q=-,R=-,

lucrul mecanicE se exprimă prin M 2 şi M 1 , adică :

(v,

unde ~nmbolul (oc, (j) reprezintă unahiul · . · . . . in sens contrar mersului acelor d o so~obtAde la chrecţw a pînă la direcţia ~' _e ceasormc. · stfel avem

fm 1'

ax,

X ~Onr-----------------.,;._

unde 1 v 1 este lungimea vectorul . ~ 1 . ·conturul {l), pentru 0 mişcare '1 UI v: nsemnînd prm (s) direc(.ia tangentei Ia , n sens mvers acelor de ceasornic, avem :

-

d1

==

~

aici luct•ul mecanic, adiCă integrala curbilinie corespunzătoare, depinde numai de punctul iniţial şi punctul final, nu şi de drumul parcurs din M 1 în M 2 • Dacă introducem potenţialul

.aşa

s

~

şi

U=

t 1: · ~ a con uru lh (l). ConslClerînd ca vitezele

d8 1

-:)

= 1v l cos

la punctele 1111

=

y

{l)

atracţie

·

examinăm mtegralele curbilinii pentru curbe

. · ·. · 3. Să considerăm mişcarea plan statio .densitate constantă, pe care 0 luăm egală ' nar tum.uî flmd mcompresibil, cu ~ cu um a ea .. ntr-o asemenea mişcflro viteza v a particulei de fluid care se găseste tn t 1 il {x, y). Să calculăm cantitatea q d; fluid ~are t;:~~c î~ ~I;.t(xt, ~)ddeitJ~nde nu.mai de ' l a e,t e tmp, prin conturul dat (1) (fig. 60). 1nsemnăm prin u şi v proiecţiile vitezei ~pe axele de coox·do-

aria MNN'M'

z T

~d

In exemplele care urmeaza~

plane.

= (-

vA:t +u~y) dt.

221

Aici, dacă unghiul (v, n) este obtuz, cos (v, n) va fi· ne·gativ şi aria va avea semnul minus ; acest semn va corespunde cazului în care fluidul intră in domeniul mărginit de curba (l). Cantitatea totală de fluid care trece în timpul dt prin conturul (l) va fi : dt

1: (,_.

vL.\x

+ u!iy) =

dt

şi obţinem,

în definitiv,

Q=

T

=)-

= ·q>.·(v,

vdx+udy,

(10)·

tn care curba (l) trebuie parcursă în sens contrar mersului acelor' de .cen~omic. Relevăm faptul că conturul (!) poate fi închis. Cantitatea de fluid q se cr~!culează, după formula (10), cu semnul ( +) dacă fluidul se scurge în direcţia normalci (h) şi cu semnul (- ), în caz contrar. Dacă in interiorul lui (1) nu există nici izvoare din care să ţîşneaseă fluidul (sursă pozitivă), 11ici puncte de absorbţ.ie în care să se absoarbă fluidul (sursa negativă), atunci q trebuie să fie egal eu zero, deoareee în caz contrar cantitatea de fluid care se găseşte în interiorul lui (l) s-ar mări sau s-ar micşora, ceea ce contrazice incompresibilitatea şi lipsa izvoarelor. , Astfel, mişcarea plan staţionară a unui fluid incompresibil este caracterizată prin egalitatea : v dx

+ u dy =

O,

(11).

de exemplu, in cazul gazelor ideale, prin formula lui .Clapeyron : pv- RT =O.

Astfel, starea corpului se determină prin două mărimi, din trei, de exemplu, P· şi v, adică prin punctul M(p, u) din planul pov. Dacă starea corpului se modifică, atunci punctul reprezentativ M descrie· o curbă in planul pou, care se numeşte diagrama procesului considerat; dacă corpul revine la starea iniţială, procesul respectiv se numeşte proces ciclic sau, pe scurt, ciclu, şi diagrama corespunzătoare va fi o curbă tnchisă (/). Pentru determinarea cantităţii de căldură Q absorbită de corp tn timpul procesului, descompunem procesul global tn procese elementare infinitezimale, corespunzătoare variaţiilor infinitezimale ale mărimilor p, "• T, Dal•ă ·ar varia numai una din aceste mărimi, atunci cantitatea căldurii absorbite ar fi, aproximativ, proporţională cu creşterea variabilei corespunzătoare. Dacă tns:'i cele trei variahile variază in acelaşi timp, atunci, după principiul suprapunerii micilor· acţiuni [1, G8). creşterea totală L.\Q va fi egală cu suma creşlerilor parţiale. Cu. alte cuvinle, avem o egalitate aproximativă de forma: ÂQ ~ AL.\p+ BL.\v +CÂT

11 1

p);

Q=

C d T.

(12)

dT

= B({)

dp

+ ~rp

av

dv ;

~ P.dp + V do, U)

unde P şr. V sint funcţii cunoscute dep şi v. . 5. Fie că procesul de studiat este dilatarea sau comprimarea gazului sau vaporilor in cilindrul util al motorului cu gaze sau ordinar ; variaţia tiv va fi proporţională cu deplasarea pistonului tn cilindru, sub acţiunea presiunii p, şi, de aceea, lucrul mecanic ÂE, produs de presiunea p, în cazul acestei variaţii de volum se va exprima, dacă alegem unitătile in rn.~d convenabil, prin produsul p Âv, iar lucrul mecanic. total efectuat tn cursul intregului ciclu V::ţ fi :

(l)

care trebuie să fie indeplinită pentru orice contur tnchis (1) care nu conţine izvoare tn interior. 4. în termodinamică, starea oricărui corp se rlefineşte prin trei mărimi fizice: presiunea p, volumul v şi temperatura (absolută) T. ·Aceste. mă.Hmi sint legale prin relaţia: f(v, p, T) = O ;

222

+ B do-+·

substituind aceste valori fn locul lui T şi dT tn membrul al doilea al relaţiei (12),. găsim, in definitiv,

{l)

~-

A dp

8p

in unitatea de timp, q

J

Exprimind pe T cu ajutorul lui v şi p, obţinem :

~- v dx+u dy, (l)

şi,

~ ÂQ =

..E=

fpdr1.

o

(l)

a Fig.,

~51.

... · ~8. Ar~a şi integt·ala curb~linie. S_ă calculăm aria a a domen1ulu1 (a~ Situat în planul XOY şi mărginit de o curbă închisă ~dm1tem, pentru simplificare (fig. 61), că curba (l) nu este tata ta de dr~ptele para~ele cu. axa O Y mai mult decît în două puncte. Notind cu Yt ordonata punctelor de intrare în domeniul (a), cu Y2 ordonata punctelo;r de ieşire din domeniul (a), a dreptei paralele ~u axa O Y, şi prin a şi b ahscisele punctelor extreme ale curbet (l), avem [1, 101] :

<9:

li

c=

~ (y2 '-- y1) dx~

". Fie (1) şi (2) axele din curba (l), care corespund punctelor de intrare şi de ieşire. Integrala

nu este altceva decît integrala curbilinie

~y dx 2

în direcţia de _la punctu1

=

X

b

pînă la

x

=

a,

luată cu semn

contrar. Tot a§ a integrala

Pe CD şi BA x este constant şi dx = O, aşa că Jydx pe aceste segmente este nulă. Adăugînd aceste integrale cu semnul minus la. membrul al doilea, obţinem şi pentru cazul de faţă formula (13). Pentru domeniul (cr) cu un contur (l) mai general ca formă (fig. 63), procedăm în modul următor. Prin segmente de drepte paralele cu OY, descompunem domeniul (cr) într-un număr finit de porţiuni, fiecăreia din ele fiindu-i ·aplicabilă formula (13). Adunînd aceste formule, obţinem în membrul întîi, aria dome~ niului total, iar în membrul al doilea integrala de-a l'ungul

b

~Yt dx

{2)

'f 8~6}·~

a

11

coincide cu integrala curbilinie

A

~ y dx, (1)

) a

a

b

fyldx=-[~ydx+~ydxj =

J a

(l)a

şi împărţind cr

2(b)

-Jydx,

(13)

(!)

= +~

găsim şi

b

xdy- ydx.

~y dx+ ~y dx]·

'

X

- - - - - - - - - , - - -..,.·X

(}

Fig. 6:3.

conturului (l), deoar.ece .integr·alele de-a . lungul contururilor

În cazul elipsei

x -- a cos t, .Y =) sin

formula (15)

dă

(O

t

,~

t <~ 2n:)

:

2~

(15)

" . oteza că dreptele paralele cu Am obţinut formula (13 ) I~ Ip lt două puncte. Este uşor · rha (l) în mai mu ca . axa Oy nu talC cu l bT" . pentru contururi mai gene· de arătat că formula es~~ v~. a I :urcînd domeniul (cr) este măr· rale. Să examinăm, mai In~IJ caw gmente de dreaptă paralele . init de curbele (1), (2) ş~ doua. se entul precedent, obtinem g cu axa O y (fig. 62). Repe tin raţiOnam '

(l)

1

ajutăt~are sînt, ca Şl mai sus, egale cu zero, adică formula (13) este vala.,bilă şi pentru domeniul considerat. Tot asemenea şi formulele (14) şi (15) sînt aplicabile_)a contururi ~de formă generală.

formula

a= -[

•C.

1

~

(14)

xdy.

cu doi,

.

(1)

....-

Fig . 62.

(!)

Adunînd

1

(

... " · t ersului acelor de ceaunde curba este parcursa In sens con rar m sornic. Exact la fel obţinem

a=~

____..

_L a)

Obţinem, în definitiV,

a= (y,dx-

1 H

luată de la x = a p~n~ .la x = b. b

y

t't

.

.ll (

= "2J (a o

2~

eos

t

"'b cost

+ b sint ·a sint) dt = -2- ab) dt = nab. 1

(

o

În fm'mulele indicate, este esenţial ca, integrînd de~a lungul

lui (l), acest contur să fie descris în sens contrar acelor de cea~ sornic sau, mai hine zis, conturul (l)

să

fie descris în

direcţia

în

care ar trebui .să rotim axa OX cu unghiul -~- -i-~ pentru ca ea să ~oincidă (în direcţie) cu axa OY. Dacă n-am dirija pe OY în . •, ci în jos, formulele pentru arie ar rămîne valabile, dar inte·

grarea ar trebui să se f.acă în sensul mersului acelor de ceasornic. · In ceea ce urmează ne vom tine întotdeauna de conventia indicată . mai .sus, relativă la direcţi~ conturului închis, în pl~n.

(2)

225 224: 11

"

. bT .. acum o

fonnnlă

funda ..

~s }"'oi'Ulula lui Gret~n. Sa__ sta] 1 ~-:l~~ "1'c, ··o· ~up ..:afată închisă,: .., •. t r~la I·e.~.atna .a o ' V mentală, care leaga o 111 e~ ~ l "'Onturul acestei suprafe'ţe. m:::'(l: u .

integrala cul·hilinie relativa a c , . .domeniu plsm. În. acest> cu ,. . prafata este un · . l· . G începe cu cazu1 ln care su . b'~ 'l' , . m.rmeste formula .at reen.; · ,.,_ . . .. l . 0 vom sta 1 1 se 1 caz, formu ~pe car.e 1 ('7) [56] la calculul 1nteg:ra ei Să aphcam fmmu a

,. ( _fl_!:'(x, "'\ ) (Jy

Yt dcr,

sau

l jîp LX,

(16)

m

curba (l) u:rrnxnd a fi parcursă. în sens contrar acelor de ceasorn:ie

(fig. 61) .. În

acelaşi mod C2llcu1ă:nll. şi integrala

(O')

. d P(x "'·) este o funcţie de ( x, y'). , . der<~nd crt eontu:rul un e , .1 • "· "' ·aport cu y Şl cons1 .. d Integrînd mai Intn In ~ .. . . . . "n două puncte e . l . ( ) te Inte:rsectat num.al l . (l) al domeniu Ul cr es. OY (fig. 61), obţinem: d:reptele paralele cu axa A

..

( ( '!_~ dcr = ~ ~ ~~ dx dy ) ) oY l

=c=

<

(O')

V~

b

Cf

~ dx ~ (~~

~»

~nde Q este o altă funcţie de (x, .Y)· .Daeă presupunem, pentru simplicitate, că conturul (l) e.~te tăiat numai în donă puncte prin dreptele paralele cu OX, obţinern

dy ==

th

1•

=

~ [P(x~ Y2) --· P(~~~ Jl)] d.x.

şi această exp1·esie poate fi de asemenea redusă la o integrală curbilinie deQa lungul unui contur inehiB :

Pe. de altă parte, întegralele b

b

~ P(.x, Y1) dx,

~ P(x~ .Y2) dx

a

fi

(17) Scăzînd

pe (16) din (17), obţinem fo:rn:rula lui G1·een :

([ (~Y. ·-- ao!! iJ:.~:

sint tocmai integralele curhilinH

JJ

~ P( .x, y) dx,

(O)

ectiv pe portiunile (1 ). Şl. (2) ale conturului (l) de la 1uat e, resp · ' · · ' 1 - b 1 x -a doua · de int. e2:ra:re, avem punctu X -_ a la ,.. punctu • 1 "' Schimbînd In Integra a . sensu1

J.. )J'

d; ::-.::ce\ p dx

"

(/)

·+· Q dy"

(18)

.

Formula (16) a fost dedusă în ipoteza că dreptele paralele cu OY nu. taie conturul (l) în 1na~i.,1 1p.ult ca două pun.cte. Raţionînd exact la fel ea în numă1·ui p· reeev A. dent, putem arăta că aceasti:i: formulă este valabilă şi pentru domenii oarecare. Aceeaşi ohser· vaţie se referă şi la fm·mulele

(J7) ŞÎ· (18)

, .Aceste 1·aţio:namente sînt apli-

de unde b

((a_: da= -

J) (O)

226

au

.

~ P(:t, y) dx- ~ P(x, y) dx, (2)11

(t}a.

c;~hile. şi Ia cazul în care dome~ njul. (cr) este mărginit de mai multe curbe (fig. 64). În acest

Fig. 64,

·caz, în membrul aJ doilea al lui (18) trebuie integrat de-a lungul · tft,uror. ~?:rhelor car~ măT?inesc. el~) meniul, "şi anume, pentr~ : axele drriJ ate ca ma1 sus~ t:rehme Integrat m sensul menmhn

acelor de ceasornic, cînd este vorba de un contur interior, şi in sens contrar, cînd este vorba de conturul exterior, cu alte cuvinte, trebuie integrat aşa încît să avem totdeauna domeniul (o) la stînga. Să observăm că putem scrie formula lui Green (18) sub altă formă. Fie t tangenta la curba (l), avînd aceeaşi direcţie ca şi (l), şi fie n normala la (l) dirijată la exteriorul lui (cr). Direcţia t

se

obţine

din

. . de n, pnntr-o rotire

direcţia

7t'

2

~ar formula ~(26) din [fi2J poate fi scrisă : ,.

dcrxv ::= cos (n, Z) dS. Fie P( x y z) o funct · d " . . " "' ' ,le ata In vectnătatea sup:ra~ t . ~ontlnua atit ea cît şi derivatele ei în ordin 1 111 " t"• S.., e, e~ 11 A

1ntegrala

· u

+

---

.

Curba (l) este situată pe (S) · . ·1· suprafete : z = ~'(x ) ,. ŞI,. uti.uand ecuaţia acestei . 'ji( J 'y ' putem Inlocui, sub semnul in te!! l . pe z prin. x, y). Pr.in aceasta, funcţia de integrat p [x .. f(ora e)I{ ' va contine numa1 pe x şi y C d 'Y~ x, Y 1 tului va'riahil de pe(,-.) sînt acel~& . oor ?~a te1e (x, y) ale pune~ de pe (l) şi, din acea .., .., ŞI. c.a ŞI In punctul corespunzător poate fi înlocuită cu i~~:g::;:,:a·d;~:el~:;~ l~ngul lui (1) A.

(Cf)

0

==

- cos (n, X). + Q eos (n~ .Y)] - ds. )[P

Sub această formă, formula lui G:reen reprezintă formula lui Ostrogradski pentru plan. 70. Formula lui Stokes. Trecem acum la cazul unei suprafeţe oarecare deschise (S), avînd conturul (l) (fig. 65). Presupunem că dreptele paralele cu axa OZ taie pe S numai într-un singur punct şi păstrăm în întregime notaţiile de la [62]. Proiecţia lui (l) pe planul XOY dă conturul (r..) al domeniului (tJ".c;). Ca sens pozitiv pe conturul (A.) luăm sensul contrar mersului acelor de ceasornic şi, in mod corespunzător, considerăm şi sensul pozitiv pe (l). Direcţia normalei n la {S) o luăm astfel, încît ea să facă . un unghi ascuţit cu axa· OZ, aşa încît cos (n, Z) > O. În acest~ . condiţii, în formulele (24) [62] trebuie să luă.m înaintea radicalu.lui semnul de jos, şi aceste formule· dau:

p cos (n, Z) == _.... cos (n, X) ;

q cos (n, Z) =

·~

cos (n7. Y)ţ

(19)·

~

228 ~

P(x, y, z) dx

= ~

•

1

P[x,y,f(x,y)J dx.

(1.. )

(l)

Aplicăm integralei din d ~ . :în cazul de fa"ţă, p · P[x y rfe(apta)] ?rQmu1a lu~ Green (18); ' ' x, Y ' = O, Iar (l) este 0-). Pentru a calcula derivata ~P' trebuie să derivăm functia p ". viJ » liJ. raport cu y atît dire t ;. · · · = f( x, y. ) .• ' c Cit ŞI pnn Intermediul functie· . ... J ..,.", -._ -·-

ap--

() P(x, y, z)

~

o!}

vY

+ . () P(x"z'·'lJ z)

f)f(x, y) _____ ,

o 'Fnde, ~n e(xl8p)resia lui P, prin litera z trebuie ormu a ne dă:

JP(x,y,z)

t'A)

J

.

(axv>

·

înţeleasă f(x, y). dx::::::;

'

= ,._ l~·.r·. i1P(x, y, . ·

f)y

dx=~P[x,y,f(x,y)]

l)

z)

+

f)y

âP(x, y, z) f)z

_f)_t(:c,

y) ·1'

()y

'

d cr

:r.v·

Exprimînd pe dcr 0011. rin el . . ,conform lui (20) d ,P . ementul dS al suprafetei (S) :ţ~ţă (S) [63] : ' a ucem Integrala dublă la o integrală de 'sllprn..

· ·1~w:

fP(x, y, z)dx =

- - ·~J [ ()P(~ CS) .

1

•

;!:-(A)

(18')

(l)

.

1

----g-~-

f((flp JJ ax + 8Q) ~ d:s

(S')

.., ' a examn•am

•

~· P( x, y, .z) d;r.

" 1n sens contrar

mersului acelor de ceasornic, şi~ prin urmare, pentru un~ ghiurile făcute de t şi n cu axele de coordonate avem : (t, X) = re (n, 'Y) şi (t, Y) =--= ( n, X). Dacă ds 1 este · elementul de arc al 1z =f'(x,y) y curbei, atunci dx= ds ·cos (t~X) şi .dy = ds • cos (t, Y), adică, dx = - ds · cos ( n, Y) şi A---l dy = ds · cos ( n,X). Sub sti· ,"(Vxy) tuind în formula (18) şi schimbînd în această formulă (itj P în ( -Q) · şi Q to .P~ obtinem Fig. 65 ..

•

(2 0)

OY

(l)

y, z)

+

fJP(x, y, z)

i)z

----a;-.1cos (n, Z) dS,· of(x, y)

şi.

in

~dlrf;1t~

( P'rJ:x

analoge:

((!

::-ce.

l'

_\j l t: \,'~ i

tJ(x, y~ z)

pcnnutarea

V

ntdizind a doua

.'

Dacă

fornnilă (19), ob-ţinei;l: COt' (n, Y) ---- ~-!J cos (n, Z) 1 dS.

eireulară

()y

,

şi R(x~ y, z)

sînt alte a coonl onatelor x, y şi

(21)''

1

două funcţii, făcînd z~ obţinem formnlel!t'i···

trebuie

legată

i10 () dy =·-= r,~ \ .:.._~. cos ( n, Z) -- fJQ ·-_· co:o: (·n, X) 1'

.!

J ...

(/;

18)

\ B dz lli

~-=

();r;

\f fq~~ cos (n, }\) -l cu

IS)

Adunînd eele trei formule

1d. ::_...;,

este În acest SIStem, observatorul d_iriJ'at d'upa . " OZ ve d e pe Ofig. 65. X tre.eind In OY printr-o rot a~Ie t' d e7t- , In sens contrai· acelor de cea-· A

•

.

.

.

A

Q dy + R dz

A.R cos (n, Y) } dS.

+ (~.Az1~ -·- ':~('):r! _!_ . eos (n~ 1.. \_

obţinute, ajungem la formula1. 0

+ (AQ f)x

- fJP_)' cos (n, Z) (Jy

1dS.

{l)

(8)

:regulaDeterminarea de mai sus.

cos (n, X)+

(/:;)

Y)

·

·

·

'.

~p dx + Q dy + R dz =~~-(AR- âQ) dy dz + (~p-âR)

ax

= ~~ [ (~- 8~)

(l)

•

2

Dacă utilizăm pentru integ 1 d 'f(Jrmula (22) se poate scrie : ra a e suprafaţa~ notaţia indicată în [61}, ~;tm.J.ci

lui Stokes:

~p dx +

(l)

siste~ului de c::!:o::~e, i~~~~~~ă·:;ul:'

·sornic _j ~ D a~a" aceasta rotne s·_ar face în sensul mişca" .•. .l· . -ae ceasornic a tune· " ·.., . · rn ace or 1 ar trebui înlocuită :ui~xrpegu. a plrecdedenta expresia "la stînga" resia " a reapta".

()z

~J

.

să 'aibă ~upr
de !'legerea

v

\

(22)'·

A(~eastă fonnulă leagă integrala curhilinie de-a lungul conturului suprafeţei cu integrala de suprafaţă şi, din acest punct de· vedere, ea este în totul aualogă formulei lui Ostrogradski [63], cai·e sta.hileşte o legătură între o integrală de sup:rafa:ţă şi o inte-. grală extinsă la domeniul tridimensional mfh'ginit de această suprafaţă. :Fo:rnmla lui Green este un caz particular al formulei lui Stokes, care arc loc cînd (S) este un domeniu plan, în planul· XOY. În acest caz, (l) este o curbă închisă în planul XOY şi dz = O, iax direeţia (n). coincide eu :j~xa OZ, aşa că cos (n, X) :_ :.-=cos (n, Y) = O şi cos (n, Z) = 1. Substituiind aceste valori în (22), ob-ţinem formula (18). Ant dedus foxmula (21} plecînd de la ipQteza că dreptele paralele cu OZ nu întîlnesc pe (S) decît într-un singur punct .. Dacă nu este aşa, descom:punem pe (S) în porţiuni, prin linii auxiliare. de ~şa natură, încît în fiecare porţiune condiţia ·de1 mai sus să. fie îndeplinită şi deci formula (21) să fie aplicabilă. Adunînd formulele astfel obţi~1ute pentru toate porţiunile, vom obţine în m.emh~ul întîi integ1~ala ,pe contv,rul (l), deoarf,iCe i.~te· gralele pe contu:hn:iie ::!uxiliare dispar ca· fiind luate de două ori. în sensuri c~ontr.are. ln ®embrul al doilea obţinem ~integrala, (I'e stiprafaţă (S). adică formula (21) se dovedeşte a fi valabilă, 230

fn cazul general. Aceeaşi observa tie este valabil" . . ~ . . f mula generală (22). Trebuie num~i să.. t' a ş~ p~nt~u orprivitoare Ia sensul de arcurs e {l) ~e ;In_a se~ma de condiţia' -observatorul care diri ·af d ., . P ŞI la duecţ1a normalei (n) :

(Jy

az'

()z

feţei su praf eţei. (S) ŞI. a

+

dz dx

+

ax

c·jQ-

()P) dxdy.

(2~{)

. (Jx (Jy direcţiei (n) a normalei se !'ace după

. 71. Independenţa integra1ei eurbilinii de drunlul de înt . grare în plan · · e1e curbilinii examinate in [67]urmat au arătat ... ·,. Exemplei l e d ~ Integra

... . · . ca, In une e cazuri, y. manmea Integralei nu depinde de drumul urmat, ci numai d punctul cel final, iar (g) alte cazuri, forma drumului d i t . ? ~~a~e I'nfl uenţează asupra mă-e I'Unn Integ:talei. Acum, servin· A (1/ d_u-ne de formulele lui Green -0 -· ·---·----x Stokes, vom conditiile in .care mărimea integralei ~nu Fig. 66. -depinde de drumul de integrare V o " rplane şi vom stabili cond't;'l ~Incepe ~u cazul unei curbe T . ~~u e In care Integrala curb lllllC

î:

iniţial şi

L;7

arăta

"1

~ Pdx •

+ Q dy

IA)

. -este Independentă de dru U .• d eurbele (1) şi (2) {f' 66) m.b . ni~ punctele .. Ig. ' tre u1e sa avem : .

CB)

(1) ~ Pdx U)

A

şi B

prin .,,:

fB)

+ Q dy=(2) .

~ Pdx U)

+ Qdy

(24)

Într-adevăr, să presupunem eă înt.r-u.n punct C (a~ b) dife:-

de .proprietatea P [66] : sau,. "'ervind.u~ne "' {B,

+ Q dy -

(2) ~ p dx

Ul

+ Q dy =

()x

O, .., .. d envate . 1or.

- .

·taţu

+ Qdy + (2)~Pdx + Qdy = ~Pdx + Q dy =O,

j

(l)

tB)

'i.A)

'

()P ()y

=

f(x, y)

·este diferită de zero, de exemplu, pozitivă. În virtutea continui~

Wl ("11

(l) (p dx

_q_g-

(B)

(1) ~ p dx I.Br

q-enţa

.•

• ()()

[)y

f)x

.

-diferenţa .

. . t din curba (1), cu duecţutv unde (l) este conturul îne IS ?rm~. t' de la B la A. Prin de la A la B, şi curba ( 2 ), ~r~ ·:~nt arbitrare, vedem că. urmare, din cauză că pu~cte1e . ~~ h' s (l) trebuie să fie nulă. in.tegrala de-a lungul unui contur lin~ cihis (l) este nulă, atunci "' . t rala pe conturu In . .r Invers, d aca ·'1n eg . ., . t ala pe (2) deoarece d1n ega I· integrala pe (1) e~t~ egala :uai~a~~: (24). D~că curbele (1) şi (2) tatea (25) rezulta linvAers. Bg se intersectează, atunci, unind pe· · · cu (2) ~. care unes~ P.uncte eb..., (3)ŞI care să nu se taie nici cu (1) ' niCI A cu B pnntr-o cur a , · din egalităţile CBl

h. f

. presupus continue, . ____::_, pe care nm• l e-a:m.

fJ p

-·-ŞI

de mai sus va fi pozitivă într-un cerc mic (crJ cu. centrul 'in punctul C. Formăm integrala

cA

(BI

~Pdx +

(1)

~ Pdx +

Q dy = (3)

U)

~

Pdx

~

+ Qdy =

(3)

~

Pdx

+ Qdy,

(B)

Pdx

+ Qdy = (2) ~Pdx + Qdy. (A.)

(A.)

'(

d

· d " de drum coincidff· Deci condiţia ca integrala să nu ~P...,"'n .a . închis (l )' cu condiţia ca 'integrala de-a lungul oncaruL contur

să fie nulă. Dacă

obţinem:

unde ( ~' 'IJ) este un punct din ( cr0), şi de aceea .de unde rezultă că

~ ~ ( ~~ - ~:) da >

(,./)

(B)

(1)

~ ~ (1~- -~;) dcr = f(~, ~) a~ (O'o)

(BJ

(A.)

d~ducem

ultima con

d' .

Iţie

t

t'sfăcută atunci din formula (18}·

es e sa I

.

'

~ ~-

'1

> o.

O,

-şi această inegalitate contrazice ipoteza că integrala (26) este nulă pentru o1·ice domeniu (cr). Aşadar, condiţia (27) este necesară :pentru independenţa integralei de drum. Se vede, fără greutate~ ·că această condiţie este şi suficientă, căci din ea, pe baza lui (18)~

. ;rezultă

că

integrala ~ P dx

-+ Qdy, luată

pe o

curbă închisă oare~

(l)

-care, este

nu

nulă,

ceea ce este echivalent eu faptul ca integrala

depindă de drum.

Aşadar, condiţia (2'7) este necesară şi.

s~ficientii

pentru

să

co.

.integrala (B)

( ( ( AQ ~ AP) da= O, )) \ax au

arbitrar.. orl··c""· ((J) P oate fi luat complet u.:n. deSJ. •• lt"' "n mnd ·identi.c pentru "' arătăm că de aiCI rezu a, ." . valori ale lui x şi Y' (27)1

f( e,, '~)

(ao)

~ Pdx + Qdy

{al

2 .') . )

teorema mediei [61]:

(A)

(B)

(2)

Q dy;

~i aplicăm

L4)

.să

nu depindă de curba de integrare şi sâ fie funcţie l'Jumai de coor·· .donatele punctelor A şi B. Dacă această condiţie este îndeplinită şi dacă fixăm punctut 4(~0 , y 0) considerînd ca variabil numai p1~nctul B(x, y), attunci

Relaţiile (30) şi (31) ne dau [I~ GH] :

integrala (28) va fi o funcţie de (x, y) sau, cum se spune de obicei,. o functie de punctul B : ' ~

-,

r~

r:

~ ' -- ) '· BY G-) -- 1 u .'IC

,.: (.

dv ~c::. a~ dx

:

(J dy"

(:ll,Y)

~ P dx

+

Q dy

=

(29).

U(x, y).

Să cercetăm proprietăţile acestei funcţii. Lăsînd pe y constant,. dăm numai lui x o creştere Llx ; atunci avem ·X+~X,Y)

U(x

+

Âx, y) --- U(x, y)

=

(JJ,'If)

~Pdx + Qdy- ~ (Xo,Yo)

P dx

·+ Q dy.

(Xo,Yo)

Avînd în vedere faptul că integrala nu depinde de drumul' de integrare, putem socoti că acest drum, pentru prima integrală,. se compune din aceeaşi. y curbă A B (fig. 67) carefigurează în integrala a doua, şi din segmentul de· dreaptă B B'. Integrala pe· 1 · • 8.1/~ ..... v 7·8'1.x·+tfxy·) f• ' A B se reduce şi rămîne

k-·

Se.· vede, . ... eonoit,·ia , _] rn:rin unna.re." ca~ (.1.aea r.'27) e..:ta

-expresia ue integ:rat

(cl:o,'llol

U(x

+ ~x, y)- U(x,y) =(:.e+~X,Y)

=

~Pdx

+

Q dy =

P dx -!--

-

·unde C e~te o eoa~taut~i arbitl·ar·"t Î n·.t.r-ai.·.l.·· ,. . . . .r. evar, trehuie si.) avem :

dU

Pdx Pdx

dU~_

.de unde

d( U 1

-

-+

U)

O! •- v.y, Q dy .

==:=

o.

Însă, dacă diferentia! a unei fun , · · .. .. . erivatele nartiale ale 'l(''t~l ·. f· ... ~Yn,, e:.-;te ldenue nulă, atunci · x' ~ "' ·- e1 UU('tn Sint nule · · :f uncţ. Ia însă:;;i e:-;V' ') t-. 0 .1,, ..t·all~·."' .. 1.-.... ._ • · · • Şl, prn1 ltrrnare, • · ··~ ' , '·'' ta. aotea

,~i

d.

,

·li :::::: ('_,,

a:

IJ7.

1Bl

deo'arece pe segmentul BB' y nu vadază şi dy =O. Aplicînd\ teorema mediei [1, 95], găsim:

U(x, y)

=

~x. P(x

+ 6Ll~, y) .~

(O

<

6<1).

1}(

~p

dx

+

Q dy

~=J dU, ~··

UI(B)

_au= Iim P (x -1- 6~x, y)

= P(x, y).

presupunem

eă există

o

funet,it~

l ;··:1;.'

t . ,· ; t

~

j

i ,: i

~

1.

'

'av ' . ·. -. ~.Q(x,y) .. ' 8Y

·

TJ uP

t f.te

(30)1 Să arătăm că. în n:wd neJ· "·~ef;:r-'r. . , ~• , tre h lH
Ax-70

I~ ·~celaşl fel găshn :

U1("J).

,A)

(A)

Împărţind c11~x şi făcînd ca Âx să tindă către zero, obţinem.

iJg

(:32)

J

·ceea ce trebuia denlonstrat. Rel~~ăm egalitatea evidentă. ··este venflcată : , eare are loc în c.:ur.ul dnd (21)

.-=-=~ ~ P( x, y) dx,

+ Llx, y) -

~

1

U1_

aJ+.6.x

U(x

d!v

(b

·este d1fe.rentiala totală , _ . iUIH·tn ,. .. U( .. , "t) .r l ' a une1 1 t'· .. :~,ormu a (29). Se arată uso··1 ,v . · • -.. ~:~ J , ue .lnitl:'i pr:in . ·, ca expre:;;1a eea mu 1 o·(·nc·"· 1:- ·f· . . . U1( ~' Y ) ~ care adrnite (Pdx ..L Q.d' ~· 1 ,..- • ~.::t.-~a.Jcl a·· ~:tneţ:Iel: -data de forrnnla · YJ ca IHWie>tţuda tota1a~ este

(ce,v)

Fig.

' ,.

"' ' sa trs.i:ăeuui,

·

r)Q

(31)

. --·-" - (JP ·--· o. ., (Jy ----·

ax'

sa

av.en:l

aşa

.natur'ă

ŞlÎ oeă funcţia

don:a.en.inlu~ Inultiplu,, conex. Demonstrarea faptului (27) este necesară şi sil.ficientă pentru ca integrala

, .7"2. Cazul

u1 se determină prin fornrula

eă condiţia

01)

(X, li)

u 1 (x,y) =

~

+ Qdy + C.,

\ Pdx (ri'Jo~ Yol

Intr-adevăr, relaţia (35} poate fi scrisă sub forma. Pdx

+oul ·+' Qdy = -au1 ax· dx -au-

d

~ă nu depindă două fapte:

y,

.. . ile dx si dy, ca diferenţiale ale variabilelor. in de~ • b. [I G8] urmează că egahta:tea te sînt cu totu1 ar 1trare , ' . . .. . pen en '.., , loc numai cu conditia ca coeficienţn 1ln pdrec~d~nlt~ dpo. aî~ :~~~i membri ai egalităţii; să fie identici, adică. .

si deoarece manm

'

d

,x

Şl

a1 u1

:y,

-"

P de unde este clar că fJP --[}1}

=

.

Q = _a u1 , 8y

Au1_ ; ax

o2 U1

(J 2 U 1

=

ax a; =

fJ YO X

__

80:...

-

[}X •

·r·

"' ·

·· pe baza>~ conditia (27) este ven ICata ŞI a t unei, raţion~men;ului pr~cedent, integrala

Asadar

(X,Y)

~ Pdx

U(x,y) =

+

Qdy

(roo, 'Vo)

depinde numai de (x, y) şi-are proprietatea

dU= P dx

+ Q dy =

de unde urmează. că

dUt~

+ C, urmare, c.ond~ţia n~cesară Ş~ + .Qdy ~~ f~e diferenţ~ala total(/11

V~= U trebuia demoRstrat. Prin ~:~;ci~:tă pentru ca expresia Pdx a ~·nei funcţi-i U1, constă în existenţa

~dentttaţu

fJP ao -=()y

ax'

imr funcţia U] se determină prin formula {(ll,'IJ)

rJ1(x,y)

Pdx

+ Qdy

L4)

~- ~ Pdx :- Qdy
+ C.

de drumul de integrare, se

bazează,.

în fond, pe

1. Functiile P si Q si derivatele lor partiale de ordinul intîi sînt co~tinue î~. d~m'eniul de variaţie a punctului (x, y). 2. Dacă in domeniul considerat trasăm un contur închis (l), atunci întreaga porţiune din plan, închisă în interiorul lui .(l), aparţine regiunii în care sînt îndeplinite atît .conditiile de continui~ t~te~ -~ît şi condiţia (27). •. Prima conditie , este i..mportantă pentru că functiile de care este v01·h~ intl·ă în demonD strare sub semnul inte-l gralei. A doua este 1 esenţială pentru a putea aplica formula lui Green,~ Fig. 68. adică pentru a trans~~ forma o integrală curhilinie într-o integrală dublă. Ea este echivalentă cu condiţia că orice contur ,închis~ trasat pe domeniu, poate fi redus la un punct prin deformare continuă~ fără a ieşi din domeniu, sau, mai simplu, că domeniul nu con· ţine găuri.

Să presupunem acurn că funcţiile P şi Q sînt continue~ împreună cu derivatele lor parţiale, iar condiţia (27) satisfăcută într-un domeniu (cr), avînd două găuri (fig. 68). Dacă într-un asemenea domeniu luăm un contur închis (l0 }, în interiorul căruia există gaură, atunci la un asemenea contur şi la domeniul mărginit de el, for-mula {18) a lui Green este aplicabilă şi, din condiţia {27), care este îndeplinită, rezultă că integrala de-a l'ţ.H~.gul conturului Uo) este nulă. Să luăm acum un contur închis (l1) în· juru,l găurii (1). Aici formula (18) nu este aplicabilă şi integrala (28) de-a lungul lui (11), în general, este diferită de zero . Să arătăm că mărimea acestei integrale nu depinde de forma conturului {l1) şi că important est.e numai faptul că acest contur înconjoară gaura (1). Luăm două contururi (11) şi (1 2), care încon.~ joară pe (1). Trebuie .să arătăm că valorile integralei {28) pe (11)

nu

w'":

23'1,

p

pe (l 2) sînt identice. Duce1~ curba auxiliară (ab), care leagil pe

(l1) cu {l2). Curbele (11), (12) _şi (ab) formează !a ~n loc conturul

unui domeniu, care nu mai con1ine gaură ŞI ·care trehuie parcurs în direcţia indicată prin s~geţi. Prin ~rmare: acestui · contur îi putem aplica formula (18) ŞI, pe baza lui (27), mtegrala de-a lungul acestui contur este zero :

) +)+~+~=o. O
(/'a)

O u,.

Aici întegralele pe (ba) şi pe (ab), luate in direcţii opuse~ ae l'educ, integrarea pe (~) trebuie efectuată în sensul mersu~m acelor de ceasornic~· iar pe (l2 ), în SCil.sul contrar. Schimbind direcţia integrarn pe (l1 ) în acelaşi timp eu .semnul dinaintea imeM gralei, ceea ce n.u aduce niei o :rnodif.Jlcare, ohţineut X ---+------~-------

......

~ ~M- ) oc~,; o il,,

Fig. 6H,

sau, în

:c=:

o<4,

0

\

Pdx

o

E x e m p J u. Să eonsiderăm funeţ.ia

definită în domeniul (D), ln
y --1- y2

~~~;

îi corespunde o altă constantă w 2 • Dacă în domeniul (D) facem două tăieturi (ab) şi (cd) J.e la gărtrî spre conturul exterior(fig. 69), obţinem un nou domeniu eare nu mai conţine în interiorul lui găuri şi, în baza lui (27), pute.m să construim, în acest domeniu, o funcţie uniformă

U(x, y) =

'lf)

~P.dx (e,dfg,)

Q

Qdy,

adică integ:ralele pe {l1) şi (l 2 )~ luate ambele, în sens eoutra.r mersului aeelor de ceasornic, ~int în adevăr ide.ntiee ea mă~ rime. Aşadar, găurii (I) îi corespunde o constantă.. detcrminantli (~)1' egală cu mărimea in.tegralei (28) luată de-a lungul unui contur închis arbitrar, descris în jurul lui (1). Tot astfel, găurii (II)

'li:,

pe cele

+

x2

+ Qdy

funcţii

un termen nedeterminat· de forma m 1
definitiv~

) Pdx

238

in· virtutea celor de mai sus, valorile acestei

+

la.b,

o

fnsă~

două laturi ale tăieturii (ab) diferă.' prin
+ Q dy_

(37)

_Aceste functii sint eontinue 1 n (JJ), împreună eu derivatele lor şi, după cum se poate ve.rifk~ uşor,. satisfac relaţ..la (27). Să examinăm integrala curbilinie

l P dx -:

J

0 dy

·' ( -·-··-···-··--·---·--··-··-

(l)

X~ -+-

J(l)

y2

şi să o c:::itlculăm pe cereul (!1 ) eu eentrnl în origine şi eu raza a. Suhstituind x ;_-;; acos

~

; y ,.". a sin rp,

obţinem

( ·:__'!! dx_±___:__~!!

J

(~)

x2

+ y2

oc-=c

(

J

dep "'" 2n.

o

În cazul considcrut t, domeniul (D) conţine o singură gaură, iar constanta ciclid!\ ,~ste (;J 1 = 2n'o Funcţia U 1(;;.:,. y) :l)Jare ca unghi polar:

J\ P

â:r -,'· O d;; '"' (

,, ,

j

~-.P dx -1- <'2P du = m i)x . {jy " •

~i, prin 1neonjul'area găurii, cap::l.tă termenui2n;. Ol)servăm că ra~a ('.ere ului interior o putem consid.er::~ egali'i cu ~:ero, adică putem considera eă gaura este punctuală.

Totul se reduce Ia excluderea originii. în acest punct

o o

îau forma nedeterminată -

funcţiile

P

şi Q

(42)

In spaţiu, noţiunea de domeniu multiplu conex prezintă -oarecare particularităţi. Să considerăm, de exemplu, drept domeni.u ( D) interiorul unei sfere din care am suprimat două tuburi {1) şi (II) ale căror capete se sprijină pe suprafaţa sferei, cum se arată în fig. 70. Dacă luăm un contur închis (l1) care să înconjoare tubul (I), atunci prin el nu poate trece o suprafaţă care să fie con-ţinută în domeniul (D) şi, prin urr.l'lare, chiar dacă "în domeniul (D) condiţiile (39) sînt satisfăcute, totuşi, în acest caz, nu se poate aplica conturului (!1) formula· lui Stokes; deci, mărimea integralei (38) de-a lungul lui (l1) va fi, în general, diferit_ă de zero. Însă această mărime nu depinde de forma lui (l1). Important este numai că (l1) este un contur închis, în (D)~ tras în jurul unui tub (I). Astfel se obţine constanta ciclică co1 pentru tuhul (I). Tot astfel vom obtine a doua constantă ciclică w 2 R:entru al <ţoilea tub {II). Funcţia U(x, y, z), determinată prin formula ( 40) este în acest ·caz multiformă si contine termenul Fig. 70. nedeterminat de forma 1 w1 m 2 w2 , unde m1 şi m 2 sînt două numere întregi. Să observăm că dacă domeniul (D) este o porţiune din spaţiu -cuprinsă între două sfere concent1·ice, şi, dacă în acest domeniu condiţiile (39) sînt satisfăcute, atunci nu vor exista constante ·ciclice, iar funcţia (40) va fi uniformă. Într-adevăr, geometric este clar că prin orice contur închis din (D) se poate trece o ·suprafaţă, conţinută de asemenea în întregime în (D) ; în aceste ,condiţii putem aplica formula Stokes (22) conturului închi3 din (D) şi, din condiţiile (39), rezultă nulitatea integralei de-a lungul •unui asem.enea contur.

(43)

E x e m p 1 u. Să considerăm unghiul ([), eare intră în sistemele de coordo·nate cilindrice şi sferice ·:

ri.in (37)

·

73. IndcJu:mdenta integralei curbilinii de drtunul de integrare urmat in spatiu. Ca 'şi în plan; condiţia ca integrala curhilinie să nu depindă de drum, în spaţiu, coincide cu condiţia ca integrala de-a h1ngul unui contur închis să fie ze:ro. Să conside1·ăm integrala

~

P dx

+· Qdy -j-. R dz.

(38)

{l)

Servindu-ne de formula lui S tokes (22), se poate arăta aşa cum s-a făcut mai înainte, că condiţiile necesare . şi suficiente

pentru ca integrala (38) prin trei identităţi : oR

AQ

f)y

f)z

să

----~-=0·

nu

depindă

f)P

l}R

(Jz

f)x

de drumul urmat, se

----=0;

'

·

(JQ

f)P

----=0 f)x d!l

exprimă

(39)

Dacă aceste condiţii sînt îndeplinite, atunci se poate construi o funcţie de punct U(x, y, z) : (x, y, Z)

U(x, y, z)

= ~ (xc.

Yo.

Pdx -j- Qdy

Rdz,~

(40)

ilo)

~i, la fel ca şi mai înainte, se poate arăta că :

(41)

+ Qdy -!- .Rdz =dU, Pdx + Qdy + Rdz = U(B) --- U(A). Pdx

1B~

~

+

;n

(A)

Afară de aceasta, condiţiile (39) sînt necesare şi suficiente pentru ca expresia Pdx Qdy Rdz să fie diferenţia!~ tota~ă a unei funcţii şi, dacă ele sînt îndeplinite, se determină prtn

+

+

ul,

ul

formula

l!;l;

{Xo•

Yo.

Pdx

+· Qdy ~-!-- Rdz + C~

Zu)

unde C este o consmntă arbitrară.

240

=

arctg -

y X

-şi să definim funcţiile P şi Q prin formulele (37). Aceste expresîî iau forma nedete.r-

minată -

(X,'/1, Z)

U1 = )

0

o

de-a lungul i~tregii axe OZ. în examinarea integralei curbilinii în

spaţiu,

~

Pdx

16. Curs de matematici rmperion!e

+·

Qdy

=

~

+ xdy + y2

- ydx x2

(l)

241

care este asU;;•I tneU proiecţiile u

trebuie izolat tubul care merge de-a lungul axei OZ; valoarea integralei de rnai sus, de-a lungul unui contur inchis arbitrar care înconjoară tubul în chestiune, ne dă constanta ciclică 21t'. 74. l\iişcarf'a stationară n unui fluid. Fie în mişcarea plană staţionară a unul\ fluid incompresibil, ; (x, y) vectorul vite7.ă, iar u(x, y~ şi v(:~;. _g), proi~cţiile sale pe axele de coordonate. tn exemplul 3 din [67] am vazut ca hpsa de Izvoare se reduce la eoncliţ.ia ca integrala

vale vectornlui

!}i

.parţiale

(44)

sale

u ()ţJ

7

~- vdx +a dy,

7

vitezei v .-;lnt derivatele

.~

.Fon~ţ~~ cp se numeşte .potenţialul oite.zei. J?~c~ condiţia ca integrala (48)

sa nu d~pmda ~e ~rumul de mtcgrare este îndcphmta în domeniul multiplu conex (dom_?n!u] cu gaun), atunci potenţialul vitezei cp va fi, în general, o functie multiforrn~. w.r constanta cieJică a integralei. (4.S) relativ;! h o gnm:l. va da intensi tn tea virteJnhn corespunzător acestei &<ăuri Din egalitatea (4ti) rezultă ~[71] ~

{l)

luată de-a lungul unui contur inchis oarecare, să fie nulă"' sau, ceea ce este ace1aşj lucru, ca ace~stă integrală să nu depindă de drumul (l). _Pe baza condiţiei (~7) •. pentru aceasta este necesar şi suficient .ca

8(- v)

ou

(Jy

i)x

fJu

-- +

sau

f)x

8v

-~"-"'o,

ây

aq;

OX

(45)

acp

atjJ

~-·

-

~

vdx

Daeă~·eondiţia

(45) este

+ udy

este diferenţiala totală a unei funcţii ~(.M), care este determinată. prin relaţia (B)

\jJ(B) - ljJ(A)

= ~ --

v dx

+ u dy.

(46)

ou

~ U dx-!- V dLJ, cărei

(48)

242 i

1

aq;..

__

(50)

i)x

(Jy

vrly

ll.d,T

wdz

tl)

şi daeă condiţiile de independenţă faţă de (l) s'int satisfăcute, adică daci'•

--- ··--· (71J

iJx

:atunci exisUt

potenţialul

(Ju ·------·~

Au

O,

vitezei

u dx

-t-· "'

dy

unde u "="

valoare se numeşte de obicei circulaţia vitezei prin conturul (l), Presupunem că circulaţ.ia vitezei print:f.:un contur închis oarecare este nulă, adică integrala (47) nu depinde de drum. în acest caz se spune că mişcarea este staţionară fără virtejuri. Presupunerea făcută este echivalentă cu existenţa unei funcţii\ qJ(M) : a

z_cp_ ~-=,

În cazul mişcării staţionare '1n spaţiu, vectorul vitezei ~(x, y, z) are trei componente: u(x, y, :), v(x, y, :) şi m(x, y, .::). iar în locul integralei (48) trebuie integrala )

(47}

;

~onsiderată

Funcţia

(l)

i)y

Aceste "ee1;nt~i, car? 51~ obieei sînt denumite ecua.tiile lui Ca.ucl!y-Riemann, a.u o. ~nsenn~ataL~ deo?c~Itt~ m. ~e?ria funcţiilor de variabilă eomplexă, iar semnificaţia lor h1drodmmmca, StClhllita mC~i sus, :~,erve;;te en haz:l numeroaselor aplicati\ p~ car? .~eori.?. funcţ.Hlnr de Y
(A}

\jJ(M) se numeşte funcţia de curent şi are o semnificaţie .fizică shn:pnt ; diferenta \jJ(B) - \jJ(A) dă cantitatea de fluid care se ~curge tn unztatea de tzmp~ printr-un contur arbitrar a/Jînd e.riremităţile în punctele A şi B. Aceasta rezultă imediaţ din formula (10) [67) pentru cantitatea de fluid care se scurge.. . . Dacă in diferite puncte ale domeniului există surse de fluid, atunci ehmmind aceste puncte obţinem un domeniu cu găuri în care condiţia (45) e::.te satbfăcută: Constanta ciclică relativă Ia o gaură, egală cu integrala (44) de-a lungul conturulm inchis, în jurul acestei găuri, dă, evident, cantitatea de fluid· q, produsă de sursa respectivă în unitatea de timp. Funcţia \jJ(M) va fi, ]n acest caz, multiformă" Dacă q < O, sursa este negativă (scurgere). Considerăm, afară de integrala (44), integral<'!

"'~ §.~P._ .

Comparind aeeste egaliUlţi cu (49), obţinem două eenaţH care Jeag~'\ poien _ ţialul vitezei tp cu functia de curent \jJ : iJx

eeea ce este earacteristic pentru fluidul inc.ompresibil. îndeplinită, expresia

u

-·-- V """ -·--

_Q_p,

IJ "'"'

ax

;!_~_

; 11' _,,

f)y

_?q.; . {Iz

Generalizarea In spaţiu a colHJiţlei de incompreslbilitat(' (4!1) o ;rom da în -capitolul următor.

'75. Fa"·to·r ...• tl httll•gra11t ·~ expres1a · "" u ~,~ . . • ]-·) .. aea .P.

4x

-,f.. (J dy

(51)

.

!

nu este o diferenţială totală, adică. dacă

teoremei existentei (51 ], o integrală generală~ pe (:are sub forma •

aQ ---::;t::O, 8P

8y

+ Q dy) =dU.

Funcţia F( x, y) trebuie să verifice reiaţia

oY

BCttQ) ()x

= 0~

f)y

ax

f)x

8F

numeşte ecuaţie

(.55)

diferenţialei

totale. Ea poate fi integrată imediat. În adevăr, fie V funcţia pentru care

se

de tipul

+ Q dy =O

dU= Pdx+Qdy.

O, .

dx

(55), trebuie inlocuit prin ( --

~").

âF

()F

()x

r7Y

():r;

valoarea

f.L

comună a acestor două

8F

= ~.P;

-=f.LQ. f)y

adică fL este un factor integrant pentru expresia (51). Acest. raţionament

un factor

~ntegrant.

arată că orice expresie Pdx

+ Qdy admite

Dacă ani' găsit factorul integrant al expresi~i (51) şi prin. el funcţia F, se poate scrie imediat integrala generală a. ecuatiei diferenţiale (55) : · · F . = C. fluid'

E x e m P 1 e.

au

ecuaţia

1. Liniile de curent ale diferenţială [52] dx ll

= .!!!!._

sau

mişcării

-·- vdx

V

+

plane

staţionare

ale unui

ady ·=O,

(57)

?

Această

functie în ipoteza făcută, care este echivalentă. cw (27), poate fi găsită totdeauna prin formula (29). Ecuaţia (55) este echivalentă cu dU = O, adică

condiţia

u = c,

-

(54}

diferenţială

!!JL =

ây.

-=p Q

Dacă însemnăm prin

8y

aF(x, y) .

.adică trebuie să aibă loc identitatea f7] :

rapoarte, avem

+ lL(âP _fJQ)= 0,

+

egalităţii

')'

poate fi considerată ca o ecuaţie pentru determina1·ea factor~l~i feL· De fapt, în general, această ecuaţie este greu de U~Ihzat, deoarece integrarea ecuaţiilor cu derivate ~arţiale ~ste mai complicată decît integrarea ecuaţiilor diferenţiale o1·dinare: . Dacă expresia (51) este o diferenţială totală, atunci ecuaţJa

Pdx

unde ; ; , pe baza

'(.)a}

care, fiind scrisă sub forn1a

pO'rJ. _ Q flf.L

aF(x, Y)_ ax

(52)

Orice astfel de funcţie se numeşte factor integrant al expre~ siei (51). . .. Pentru ca functia ·f.t să fie factor Integrant al expresiei (51),. este necesar şi sufi~ient, în virtutea lui [71], să fie satisfăcută egalitatea

a _

scriem:1

F(x, y) = C.

ax

atunci, după cum vom arăta, se poate întot~eauna găsi" o as·~fe! de funcţie ~' încît expresia (51), după înmulţirea cu ~' sa devma o diferenţială totală :

11(P dx

0

(56)

(?St·

care ne dă integrala generală a ecuaţiei diferenţiale ~ate Să presupunem acum că eKpresia (51) nu este d1ferenţtala totală. Ecuaţia diferenţială (55) are întotdeauna, în virtutea

unde uşi v sînt proiecţ.iile vectorului viteză v pe axele de coordonate. Dacă flnidul este inco:rn.presibil, atunci condiţia

au

8v ây

-+-=O,

ax

.este verificată, ceea ce arată că expresia -- v dx

+ u dy

este diferenţiala totală .a unei funcţii.; intr-adevăr, am văzut î:n 1741 că - vddf+ udy

(5
= d~,

244 245

4'

unde

este

funcţia

şi ecuaţia

de curent,

liniilor de curent va fi şi

care este integrala

generală

a

eeuaţiei

-

v dx

+

.dQ =

{

~

CpdT-'t--c2d. p

Pdp

+ Vdv

Cv =~· Cp

:::: s::ltt ::::::::::: ::::;:::::::: J'

(p, v sînt variabilele independente).

Cp sînt deosebit de Importante şi se· numesc căldu rile :specifice pentru v constant şi pentru p constant. J)acă în (59) vom exprima unele variabile independente cu ajutorul altora. vom obţine, o serie de relaţii între coeficienti. Astfel; în egâlitatea

+ c2 dp

vom considera pe 1'

şi

'Şi

(60)

această

= !}_!!_ dT +

. a1'

c2 = - (cp -- Cv)!~;

(cp- Cv)-!!_-;

egaltnd

coeficienţii

f)v

cale, din egalitatea : c'~' d T ·+ c1 dv = P dp Cv

c1

=

V

"""

P

f)p R ---=-·; ,()T V

~

·~~~

i)tJ

!!. rt

;

()v i]T

11.

-- -

V

;

f)v

1

dQ

-

==-.=dS,

T

unde S este entropia. Principiul tntîi, pe baza. primei formule (59), ne dă : dU""' dQ- p dv """' Cv dT

ap

+ (c1 -p) dv,

A( el "- p) /·

(67)

fJT

[Jv T; , ,.:

,,.,

V

Indicii T şi v reprezintă variabile considerate drept constante tn derivarea

indicată.

asemenea, principiul al doilea ne dă :, dS '= _dQ

=~ ~~ dT -+

T

T

tau

!}_~:~J

f)p ·

()v

(64)

av

-

(66)

T

=

1

oc

1

(J T

T

!1_ dv, T

1- ~.

(68}

T

V

Comparînd ecuaţiile (67) şi (68), găsim f)p (}T

urmează,

i)p_

V=cpl!~. R

tota1a, sau, cu alte cuvinte,--- este factor integrant pentru expresia dQ i

pv = RT,

unde

R

dQ- p dv =dU, este energia internă. II. Cîtul împărţirii lui dQ prin temperatura absolută T este o diferenţială

lui d T ·.

(63)

f)T

ln cazul gazului ideal, ecuapa stft.rii este de

(65)

V dv

-~-'!

+P

+ V.

V

U

de unde

+

P }!_

în general, expresia dQ nu este o diferentială totală. însă în virtutea celor două principii ale termodinamicii se poate a'nrma că : ' I. Diferenţa între dQ şi lucrul mecahic elementar al presiunii p dv este o diferenţială totală : · . '

(62)

Ct=C2~· ~

= -

P=cv!_;

R

a. Cv 1 = şi

expresie n lui dp tn (60)

c1

Cp :

R

De

V

f)v

dP

aceeaşi

Cv şi

C1=

de unde

f)p dv.

(.61)

Pe

R Cv=P-;

v ca variabile independente .. Punem :

dp

Substituind dv., obţinem

+ c1 dr1

== c.0 d T

R

c 2 -- ;

Aceste egalităţi ne permit să exprimăm mărimile c1, c2 , P, V prin mărimile

de bază

(unde

substanţei

Cp d T

+

(61.) - (64) dau:

V

Mărimile Cv şi

ale

relaţiile

u dy = O.

2. în exemplul 4 din [67] am vorbit de procesul termic eleinentar şi am dat -expresia cantităţ.ii. infinitezimale de căldură care se obţine prin acest proces. în funcţie de variaţiile infinilezimale ale presiunii p, volumului v şi temperaturii T. Dăm trei expresii pentru dQ în funcţie de vari.nbilele ecinsiderate independente:

evdT+c1 dTJ

atund

V .

p

iJ1'

1)

----=--; f)p R

=~·

(69}

T

Trecînd din nou la cazul gazelor ideale, conchidem !ie ,aid f)p

R

e1

~--=-~--==~;

•f)T

V

T

RT

e l . = - = p. l}

(70}

Pe de

altă

ecuaţia

parte.

arată

(66)

aşa că

că

procesul adiabatic se caracterizează prin condiţia Cv

(71) consideră

Pe baza datelor exnerimentale se

şau,

In T

+ RIn lJ.= const.

trecînd de la logaritmi Ja numere

că:

III. Mărimea cP - că.Îdura specifică a gazului ideal la presiunea constantă -- este o mărime constantă şi, de aceea, şi cv = cp - R esle o mărime de asemenea ·>Constantă.

1 de unde, ridicînd la puterea - :

Din (71) urmează că rv > c11 şi punînd, pentru simplificare. Tvk-l

şi, unde k

> 1,

găsim fără

greutate; pe baza formulelor (66) --~;

după

care, formula (!:i9)

dă următoarea

cv dT

pv

şi

dQ dS :

dacă

+ p dv

cp dT- vdp v dp

(72)

+ kp dv

dU= cvd1'

c'~'

dT

-

T

+ .J!_ 7'

(73)

dT

dz1 "'""' c" -

ln procesul izometricr temperatura dQ

=

T

+

dv R --

(74)

V

rămîne constantă, adică

dT=O şi

pdv,

adică

întreaga căldură absorbită se transformă in lucrul mecanic al presiunîi, şi varic. ţia totală a canti.tăţii de căldură absorbite pentru trecerea de la volumul V 1 la volumul v2 va fi : (Vz)

~

adică

O sau

=

O;

S

=

prin constanta entropiei. Entropia se poate S

248"·

dS

=

Cv Jn T

=

const.

(75}•

Cv

dT; dQ

=

dv

Cv(T2

O şi

=

Tl)>

-

(7G)

gazul trece de' la temperatura 7'1 la temperatura 1'2 •

76. Ecuaţia cu diferenţiale totale pentru cazul a trei variabile. Generalizînd ecuaţia (55) pentru trei variabile, avem

+· Qdy +

Rdz

=

O,

(77)

unde P, Q, R sînt funcţii date de (x, y, z). Dacă condiţiile (39) sînt satisfăcute, atunci p1·imul niembru al ecuaţiei (77) este diferenţiala totală a unei funcţii U(x, y, z), şi integrala gene1·ală. a ecuaţiei (77) va fi U(x, y, z) = C, (78) unde C este o constantă arbitrară. Geometric, ecuaţia (78) dă o familie de suprafeţe în spaţiu. Dacă primul membru al ecuaţiei (77) nu este o diferenţială totală, atunci vom căuta un factor inte· grant, adică o asifel de funcţie ~(x, y, z), încît primul membru al

ecuaţiei

11( P dx

o([J.R) _

Graficul proeesului la temperatură constttntă se nun~eşte izv_,te:mă • . Se numeşte proces· adiabatic un proces care se îndeplmeşte fara schtmb de căldură: El este caracterizat prin condiţia:

=

k

+ Q~ +

R dz) = O

(7 9)

să fie o diferenţială totală. Condiţiile (39) dau, în acest caz~

pdv.

('Vi)

dQ

=

Pdx

k-1

dS "'"'

const.

ln sfîrşit, pentru volum constoot, avem

k-1

expresie pentru dQ, dU

=

= .!!.!.!... , R

V= p -:-·--'

k-1

T

(71) :

k

V

p =

şi

deoarece

const., găsi

+ R In v + C,

din formula (74)

ay

f)z

=

0

;

o([J.P) _

o([J.R)

=

ax

()z

0

~

o([J.Q) · - o([J.P)_

(Jx

ay

=

o,

~.~..(aii

olJ

~

o(p;Q)

__ aa) = Q atJ. _ Rf!J!:; az ,

oz

ay

tL(aa _ aP) = ax

f)y

!.1..

(aP _aR). f)z

p~[J.

oY

ax

Qo!J.. f)x

(80);

24n·

Înmulţind aceste ecuaţii, respectiv, cu P,

Q, R, adunînd P, Q, R :

şi simplificînd cu [L, avem următoarea relaţie între

p (§_1_!_ _

\,au

BQ) + Q (BP _ ~R) +.R(aQ _ aP) a.z az ax ,ax au

=O.

(Sl).

Astfel, dacă presupunem că există un factor integrant [1., ajungem la condiţia necesară (81), pe care trebuie să. o satisfacă coeficienţii P, Q, R. Se poate arăta (nu ne oprim la demonstrare) că această condiţie este şi suficientă, adică ecuaţia (77) nu admite totdeauna un factor integrant şi că egalitatea (81) reprezintă condiţia necesară şi suficientă pentru existenţa unui asemenea factor. Dacă [L există, atunci primul membru al ecuaţiei (79) este diferenţiala totală a unei funcţii U şi egalitatea (78) ne dă integrala general'ă a ecuaţiilor (79) şi (77). Dacă însă condiţia (81) nu este satisfăcută,

atunci ecuaţia (77) nu are o integrală genm·ală de forma (78).

Condiţia (81) se numeşte cîteodată condiţia de integrabilitate a ecuaţiei (77). Să aplicăm sensul geometric al ecuaţiei (77) şi al integralei ei generale, în cazul cînd aceasta din .urmă există. Funcţiile

P(x, y, z), . Q(x, y, z),

R(x, y, z)

~

determină în fiecare punct un vector v(x, y, z), ale cărui proiecţii - pe axe sînt funcţiile de mai sus. Sistemul de ecuaţii diferenţiale

defineşte

Q

o familie de curbe (L) în

în fiecare punct al

-;.

.

şi

~

vectorul v,

adică eeuaţia

(77)

defineşte· în

·v),

(82)

~i ( u., v) fiind nişte sisteme de coordonate rectilinii şi ortogonale în plan. For:rnulele (82) ne dau transformarea punctuală a planului, prin care punctul (u, v) se transformă în punctul (x, y). Să presupunem. că avem în plan domeniul (''1 ) cu conturul (l1 ) şi domeniul (c) cu conturul (l). Presupunem că : l) funcţiile (82) sînt continue împreună cu del'ivatele partiale de ordinul întîi ·în domeniul (cr1) ; 2) formulele (82) dau o cor~spondenţă biunivocă între _dorneniul (rr~) cu conturul (l1 ) şi domeniul (o) cu conturul (l), adică. fiecărui ·punct (u, v) din (crl) îi corespunde' un punct determinat (x,y) din (o), şi invers, punctelor din (cr) le cm·espund univoc puncte din ,( cr1 ) ; 3) determinantul funcţional al funcţiilor (8l~) :în raport C:t:l variabilele u şi v :

=

_.!.~~·_?_)_

_iJ_cp_(u_,_v_) •

au

_c_::Yy_!(_u_,~- _____

j)v

!._rp( u, v) _

ov

}Y~:..~ j)u

(83)

semn în domeniul (cr1 ). Vom spune că. corespondenţa între (a) şi ( :i) este directâ, dacă atunei cînd un punct parcurge pe (l1), în sens contrar mersului acelo:r de ceasornic, punctul (x, y) corespunzător, descrie conturul - (l) în acelaşi sens. În caz contrar, vom spune că corespondenţa este in·vnsii. Aria v a doriwniului (cr) se exprimă prin integrala

J68]

fiecare

-;.

punct un element plan perpendicular pe v sau, ceea ce este acelaşi lucru, situat în planul normal la curba din familia (L) care trece. prin punctul considerat. Integrala generală · (78) reprezintă o familie de suprafeţe ale căror plane tangente în orice punct -;.

satisfac această condiţie, adică sînt normale pe v. Cu alte cuvinte, suprafeţele (78) vor fi ortogonale .cutbelor (L). Dacă este dată familia de curbe (L) care umplu spaţiul, putem să determinăm ~

ln fiecare punct vectorul v tangent lor, avînd lungimea sa egală !50

~(u,

păstrează acelaşi

spaţiu,

cărora vectorul v corespunzător este dirijat după tangenta la curbă. Un rol analog l~au avut linţile de curent ale mişcării staţionare în [52]. Ecuaţia (77) este echivalentă condiţiei de perpendicularitate între deplasarea infinitezimală de componente

dx, dy, dz

=

( x, y)

D(zz, v)

R

y

x =::: q;(u, v) ;.

dz

dx p

.:togonală unei anumite familii de suprafeţe. 77. Schimbarea de variabile în integ1·ala dublă. Ca încheiere a pa:ragrafului de faţă, vom deduce formula schimbării de varia~ bile în integ:rala dublă, ·indicată în [57]. Să consideră.m transfor·· ma:rea de variabile :

Ui

unde integrarea se efectuează· în sens inve:ts mersului aeelor de ceasornic. , . Efectuînd sehhnharea de variabila după formulele (82), :obţinem · · · . ' . 1 . :_, ~- . d~ () 1 (i c.:::::. m(u., v) du( u., ·v)_ · :o-.:::c ·± 'XI-. du ·-'- m --.Y dv. (84) • T . . T. . :-' --·_' au -Ţ T (Îl1

~

(l])

(lll

.·Am'' ~o:nvenit să integrăm

de-a huigul lui (11), în sens invers .mersului acelor de ceasornic. Dacă corespondenţa este directă, 2.11

atJunci, în urma transformării, se obţine tocmai aceeaşi direcţie pe (l) şi, de aceea, în formula (84) trebuie luat semnul ( + ). Dacă, 'insă, corespondenţa este inversă, atunci pe (l) se obţine, ca rezultat al transformării, direc"ţia contrară şi, luînd semnul (- ), puten;t integra din nou în sens contrar mersului acelor de cea~ sor,nic. Aplicăm integralei (84) formula lui Green (18), luînd x = u.

y

=

v, P= r,p 0 ~, Q = cp A~. În aceste condiţii ohţinen1 :

au

av

iJQ

f)P

D(cp, ~)

au

f)v

D(u, v)

---= şi~

(85)

Trecînd la·

limită,

iln integralele duhle

,~ ",· (

J

f(x, y) dx dy

(cr)

f[ q;(u, v),

:= \ \

JJ

± ~~

1

du dv.

D(u, v)

(crt)

Aplicînd integralei duhle teorema mediei [61], a =

± 0'1 ·[

~)

D( c:p, D(u, v)

obţinem

l '

(86)

unde valoarea determinantului funcţional (83) este evaluată intr-un punct (u0 , v0 ) din (a1). Din ultima formulă rezultă, între altele, că, deoarece a şi cr1 sînt pozitive dacă corespondenţa este directă, atunci determinantul ia semnul (+),iar în cazul corespondenţei indirecte sau inverse, va lua semnul (- ). Să trecem acum la deducerea formulei schimbării val"iahile· lor. Fie f(x, y) o funcţie continuă în domeniul (a). Divizăm dome~ .. 1 (a1) î n porţiuni • ·1 e : 't'h ' 't' 2' , •• • , 't'n•' Acestor porţ1un1 . . 1e va mu corespunde, pe baza lui (82), o descompunere a domeniului (a) in porţiunile 't'1 , 't'2 , ••• , 't"n. V om însemna tot cu aceleaşi litere "":~ şi 't'h, ariile acestor porţiuni. După formula (86) avem :

unde (u~c, vk) este un punct din 't'~, căruia îi corespunde punctul x~,. = r.p(uk, vk),yk = ~(uk, v~c); putem deci s·crie:

1

v)]

1

D(cp,,~)

D('u~ v)

1

du dv,

(87)

,care coincide cu formula (13) din [57]. Să notăm o consecinţă a formulei (86). Presupunem că -domeniul (cr1) se deformează nelimitat spre punctul (u, v). În acest caz şi (a) se va deforma nelimitat către prnctul corespun~ :zător (x, y), iar punctul (u 0 , v0 ), care aparţine domeniului (cr1 ), va tinde către (u.~ v). Trecînd la limită, obţinem din (86) 1

a=

~(u,

de variabile

(at)

prin urntare, D(cp, ~)

schimbării

ohtine.m formula ~

D(cp, ~) D(u, v)

1

=

Iim

_a_ a1 '

. adică raportul ariilor va avea ca limită valoarea absolută a dete1·· minantului funcţion.al în punctul corespunzător, după cum a fost deja menţionat în [57]. La fel, dacă se consideră o funcţie de o singură va1·iabilă x = f(u), ca o transformare punctuală pe o dxeaptă, prin care punctul de ahscisă u trece în punctul de abscisă .x, atunci valoarea absolută a derivatei lf'(u) 1 dă limita rapor· tului lungimilor respective pe dreapta considerată, adică, cu alte cuvinte, dă coeficientul de deformare în punctul dat de abscisa .u. în transformarea punctuală menţionată. Observăm că în deducerea formulei (85) a ·trebuit să utilizăm · ~l or{1·1nu1 a 1 d. 01·1e ac-cp- ŞI• proprietatea • ue e1• d e a d envata 2

. '

.

oucv

.

·

nu-ş1

schimba valoarea prin schimh~rea ordinii de derivare. Astfel, riguros vorbind, ipotezelor puse la începutul punctului de faţă. mai trebuie adăugată ipoteza existenţei şi continuităţii dedvatei ()2 ·!\

~

,

de unde, după cum. se ştie [1, 155], rezultă şi iudep. endenţa

uUuV

•,

-ei de ordinea de derivare. Dacă (v) este un domeniu în spaţiu mărginit de suprafaţa (S), atunci, aplicînd formula lui Ost~ogradski [63], făcînd P = Q= = O, R = z, putem să exprimăm volumul 1-' al acestui domeniu .·sub forma integralei de suprafaţă :

v=

~)

z

cos ( n,

Z) dS.

(S)

1 ····'•'

252

Folosind această expresie a volumului, se poate demonstra ·Jm·mula .schimbării de variabile în integrala triplă, [60], urmînd -aproape aceeaşi cale ca 1~ integrala dublă.

253

Fie (JY) primul cadran din eercul cu centrul în ongme şi de rază pătratul limitat ·de x = O, x = r, y = O, y = r şi, în sfîrşit, (Dm) sfertul de cerc cu centrul în origine şi de rază r (fig. 71). Evident că (D') este o parte din (D"), iar (D") o parte din (D 111 ). Să considerăm integralele duble extinse la domeniile de mai sus, ale funcţiei pozitive 2 e --x2- Y • Avem inegalităţile evidente : (D")

fi',

~ :.L 1:\:TEfiRAl,E lltiPHOr.lllH ~;,! lc'\ITE(>ir.,\LE OEl"I;'\:t.i.\H

DE F"
l~/U~/H~ETlH

78. Integrarea sub senmu1 inteyr~aL În ea.lcu1ul integralelor multiple am întîlnit integrale definite~ în eare funeţia de sub semnul integrală, şi chiar limitde d.e integrare, depindeau de Uil parametru variabiL Ne ·vom opri 'În acest paragraf mai mult asnpra unor astfel de integrale. V om cerceta integrala :

V2

<

d:r: d!)

<

ss

e..... :x:2·-·1J2 d r; du.

(D"')

J(y)

\J(x, :Y) dx~

rfJ

in care variabila de integrare este x, însă fun.eţia de sub sen.n:a.ul integrală depinde ·nu numai de x, ci şi de pa:rameltrul y, de care depind şi limitele integralei x 1 şi x 2 • În acest caz, evident, şi rezultatul integrării I(y) va fi în general funeţie de _y. Formula.

=

e-x2-y2

(.D')

/1

X2

\ J(y) dy = \ dy \ f(x, y) d.t: !(li

=

dx\f(x~ .Y)

=:--= \

"·'

•

6

b

~ dy ~

dq.

dJ

(1)

dy.

1/2,

1

avem

-~-

(1 .. e -2r2).

1

extinsă

la

pătn1tu.l

(D") ne

s..

dă

r

Ss

e--x2 .... y2 d.x d' y ---

e

(D''J

1iar

s.. r

re2 cr 1·

•

O

inegaHtăţile iniţiale

e

(J

r

y> d !J -· -

O

e--;~;~ d'x

)l!

O

devin : r

<

(2)

x e .m li l u. Metoda indical:'i mai sug se întrebuinţează uneoâ pentm evaluarea integralelor definite .a unor funcţii, pentru care integrala nedefiniUi este nccunoscn tă. S:'i o :tp1k:1n~ 1wntru ealcnJarea integral ei (în tegra la lui L.111Jlaee)' ~ ' t ') ' ... "

Fig. 71.

•Integrarea

În toate aeeste formule funeţ:ia . de sub semnul integral. f(x, y), este considerată. ca funcţie eontinuă de două variabil~7 în domeniul de. integrare, iar .acest donteniu este eonsiderat mă:r~ ginit. În caz contrar aver:n de a face cu o integrală imp:rop:rie multiplă. Astfel de integrale vom examina mai tîrziu.

d,L

p dp

Ss.

(s

e-

ill

2

d x_)

<

o

Cînd r tinde

l~

;

e·-Q2

e----x"----'11" dx dy =

~r

~ dx~f(x, y)

,~,

p eos q; ;

o

B

.f(x, y) d,·

o:o~

ss O

-~2

se numeşte formula, integrării, integralei definite in raport cu para· metrul de sub semnul integrală. Ea are o fon:11ă deosebit de simplă cînd limitele x 1 şi x 2 nu depind de -"· şi se reduc ]a cantităţile eonstante a, b, [56] :

I(y) dy =

dx dy

.

polare x:

'f

Sehimbî'nd pe r în r ~

~

ac 2

Js

(7) din [56] :

~

Introducînd coordonatele psinq., obţinem [56] :

;Şi, prin .rezultă

către

'It

·-- (1 ·-·4

infinit, termenii extremi ai

urmare, către aceeaşi limită trebuie să tindă valoarea următoare pentru integrala (3) :

J.-··

şi

inegalităţilor

termenul

tind

mijlo,~u~

către

11:

-·

4 de,_unde

y-it

dx=T'

o

Se vede cu

uşurinţă că

+f -·- 00

e-"'

[1, 96]

dx~ 2 S.--•' ~ l{1t. dx

o

{5)

,, 1

Dacă ne servim de integrala improprie extinsă la primul cadran al axelor de coordonate, pe care 11 notăm prin P, rezultatul precedent se obţinE) fără nici o dificultate. într-adevăr~

SS,_,. __,., dx dy =

J

e··"' dx.

o

~)

.

J,-"'

reacţia curbei, ~iind perpendiculară pe deplasarea punctului, nu produc.e · nici un Jucru mecamc. Prm urm~re, .. . 1 . . ds 2

= mg (h

··;- mv

dy

= 1',

-

V=-,

y) ;

dt :830

o

1 (ds)2 - ds' -= g (b - y) ; dt = . - = -1- - u( y ) d · 2 dt 2u (h - y) h _ u y, unde l~ăm semnul (- ), deoarece cînd t creşte înălţimea y a punctului descreşt Timpul .~e coborîre din punctul M în punctul o corespunde trecer'i 1 1 · e~ .Oe la h la O, Şl de aceea · UI !l

v

V2i

V

sau. introducînd coordonatele polare :

fv h

=

q;(h)

= __!__,·. ·{2f1

u(y) dy

u·

h _

o

1 = ·{1t ~,

e~;;ea ee coincide eu rezultatul precedent. 2 79. Formula lui JJirichlet. Luînd în formula (1) pentru x 1 şi x 2 două funcţii\ de y şi fixînd în acelaşi timp şi un interval (rx, ~) pentru variabila y, am definit în planul XO Y un domeniu (cr). În aplicaţii se întîlneşte deseori cazul cînd acest domeniu este redus la un triunghi isoscel format de dreptele (fig. 72) : y = X ; X = a ; !J = b.

d.e unde

.J'

y

Reducînd integrala dublă extinsă la acest triunghi isoscel la o succesiune de două integrale simple şi integrînd, într-un caz, întîi în raport cu ;f şi pe urmă. în raport cu y, iar în al doilea caz, întîi în raport cu y ~i pe urmă în .raport cu x, ob1)nem formula, numită formula lui Diriehlet : b

'11

SS

f(x, y) dx =

dy

Fig. 72.

a

a

b

dx

a

Prin urmare, avem de determinat functia necunoscută u(y) din ecua · 8 ~urneşte o ecuaţie integrală, deoarece' funcţia necunoscută u(y) intt;: ~Ji

care se

·semnu1 mtegral.

Inmulţim ambii membri ai ecuaţiei (8} cu

vz S o

h

g

h

il

dh - z -- h

o .

z

~~

Sv

s s-:v z

h

f v·

..!!:_(y)d!l__ -

z - h ()

u(y) dy

J

o

o V

,

o

u(y)

<~ -- h)

11

(h -

~>

ah

=

bilă

(

dh h) (h ::: y)

J y-(z -

(9)

•

11

interioară se calculează cu uşudnţă dacă se introduce noua t lnt~gra1a prm formula :

= y + t(z -

h

varja-

y).

o la 1 şi avem: (z ·- y) t; dh = (z _

Cînd h variază de la y la z, t variază de la

=

(z -

y) (1 -

t); h -

y =

y) dL,

eeea ce di'l 1

dh (z- h) (h-

Fig.

n.

y)

-·- c

1

dt

-}V t (1 -

t)

~~V!__---(·-;~~:~~):!

(7)> După legea forţelor vii, creşterea energiei cinetice cînd punctul· trece din. egală cu lucrul mecanic al forţei gravitaţ.iei,

deoareC.(\

-;= arcsin (2t - 1)

=

dt

(

.

Punem

256

•

z

z --- h

M .în N, va fi

~(y)dy

.. , h _ y

t6

dy

y -

h -

= (

axa O Y vertical în sus, axa OX ori:r.ontal, iar originea o luăm in punctul cel mai de jos al curbei căutate: luăm ecuaţia curbei sub forma

poziţia iniţială

şi integrăm, in raport

Integrarea succesivă din membrul al doilea poate fi transformată după :formula lui Dirichlet în felul următor:

x

Dirljăm

"'~ f(y).

v

dh z-h

v. . sv s

= ~~~·

- dh

tp(h)

(6)!

E x e m p U u. ProblenH1 lui Abel. Să se determine o curbă situată fn planuU vertical şi anÎnd proprietatea că un punct material greu, lăsat să se coboare de-a lungul ei, fără viteză iniţială dintr-un punct .M de fnălţime h faţă de cel mai de jos puncl O al curbei (fig. 73), să atingă acest punct O după an timp T, funcţie dată de inălţimea h:

:x:

z:

z

lf

f(x, y) dy.

şi

cu h, tntre limitele O

b

SS

arcsin 1 -·- arcsin ( --1)=

4

2

·i- __ (_-~)

1=0 17. Curs de ma.t,ema.tici truperioare

257

şi

obţine.ttl,

îu defiltiti-v :

:

1!:

'

'

1

l,i,

\Î~g ~ u(y) dy = ~ --ycp~)-~1:; .' o

li'

{!

san

J z

u(y) dy

~= F(z),

(tO)

g~JH"l':;'llă. (11:),

~ C
'

V2g ZC'

detel"!nittă ·

: ;.

.. '

facem citeva· oh~ervaţţi cu privire la soluţia obţinu ~ti. Hemarcăm: că ~:in ohţiiuit soluţia (11) a eclia\iei integrali:! (8); presupunînrl di ca există. Riguros vorbind, ar rămîne să verificăm soluţia (11), adică să substituim expresia; (11) în Jocul lui u(z) în ecuaţia (8) şi să demonstrăm identitatea între membrul al doilea .. Observăm încă faptul . că integrala dubl~ (9) este improprie, în sensul că funcţia de integrht devine in finită. Vom vedea, în cele ce urmează, dt aceast:'i integrală există şi este uşor de arătat că_ 1n acest caz se poa.tc aplica formula (l).

30. Deriva1·ea sub sen1n1d integra]. Considerăm integrala,

depinzînd de pa:rameti·ul .'Y :

prin fornuab

cp(h) dh__

J -y·===--i

1• (z) = --:;-

.

~, •. ·,.Să :mai

o . funcţw

•nude P(z) este o

V'o'1n ar~tto. n1ai tirziu ('Um se cfecl ucază derivarea în raport cu z, în fornmh:ş

. -- ·

!

z

1

J(y)

•

o relaţia

Derivînd

(lO) în raport cu .z, dF(z) ___

---(h- -·-•

găsim

Liniitele-' a· şi b le vom considera,

:

so.luţia

'V2g .dzd )( _.~ţ~) ·v z -~~-h ,

i)y

-TC-

intervalul a

probiemei, deoarece, cunoscînd pe u(y),

obţineu~ f<ără

f~rr;'~~a ~Z~·ăt

greutate

pc :r. "'= f(y)d din rezolvarea pentru cazul particular al curbei tauVoii_t .r n,ltt'tnpul de locllrone, pen tu_:~;u care . . coborîre l)În{t la punctul cel. mai de jos ,nu de înălţimea de plecare h, ad1ca . . ..

~e

V

.

.

.

con~t. =

cp(h) =

{12)

deocan1dată, constante~

F uncţia . f (x, y ) ŞI. d envata . i)f(x,y) " • _1 • " m. ---~ Sint consiuen.l.te continue nt

o care dii

dx.

,J,

z li(Z) '=

~f(x, y)

d~pinde

.

,

exista o

v

.

< x <{ b ; < y < ~.

dq - dl(y). -~ -

Să arătăm că in aceste ipoteze h , care se poate o ţine d envtnc.l zn raport cu y su b. a,

o

o

A

A

semnul integral, adică

.. :

b

b

r . ( d~ - J f(x, y) dx = J·--- u ---- dx. ()j(x, y)]

d

c.

1

A tnnei :1 ,-en~ :.

Creşterea

(13)

0

!ll(y) a functiei l(y) se determină p1·in fm·mula

&l(y)

I(y

+·

L\y) --- l(y)

=-=

/;

=

Pentru rieterminarea lui x (dx) 2

-+-(dur·

=

f(ţJ)

y

o=.

a (1

=

dy

V2

-a ---1 y

°~,

··-= A

y

+ cos t) ;

Găsim:

dx

2

2

2gc.,- (dy) = ---· -it-

Punem

avem, pe baza lui (7l:

V

~1=

cost ( --~----·

7:'2

1

'(.

_ a sin l dt :

dţJ

. a 'sm

Întrebuinţînd

• 2. gc'3 )' A.=---.

(.du)'2 ;' -

!!

.A

=

t) dt _ -·---

--

J(x, y

2a.

- ..')Jt SI'tl2

t. -':: ;:,

dt •·

a (t - sin t).

· de x. este constanta de integrare. Cititorul poate ar:Ha uşot· ca~ eur i Hl obţ.inuhi

~~~~e o. ~icloidă, altfel dispusă decît cicloida din 258

[1, 79l,.

,

[f(x, y

+ .6.y)

-- .f(x, y )] dx.

(14}

formula

creşterilor

finite,

·ob-ţinem

:

1'

1 +cos l

x ,= x 0

~ a

+- ~ y)

-f(x, y) =--= L\y }_!_(_~__lld;-~P,g_) (O <: 0 ·< ]). (15)

, Ţ'i11înd seamă de faptul că. funcţia !H~'I!· Y!_ este (Jy

con:tin,_uă ·în tl'iunghiul considerat, putem scrie: iJ f (:r,_~I__:-±:_6~1!)_ [)y

fJ/(x, y) ------;---+ YJ ( x,y, L\y), O!J

uniform

(16)

unde 1J(X, y, ~y) tinde uniform in raport cu x şi y către zero cînd ~y -7 O, adică pentru orîce e: pozitiv există o cantitate 3, ; încît 11J(x, y, Ây)l < e:,. pentru \ÂYI < 3. De aici rezultă,. între altele, că b

.Avem '

Lllt(Y)

:ell+Â;

= l~(y +

b

\ ~ 1J(x, y, .1y) dx j <: ~ e: dx

==

e (b - a),

(IAv!

Observînd că [1, 94] :

b

-7

O pentru L\y ~O.

{17)

a

•

+ Ay) d~ ·(19)

00 }

~+A~

~

~+4~

~~:t+A:!ii

I!'J:J

z~

~+~~

J=J+J-J

putem scrie egalitatea (19) astfel :

Să revenim la formula {14). Utilizînd (15) şi (16) şi ţinind seamă de faptul că t::..y nu depinde de x, putem scrie b

t::..I(y)

f(x, y

--- ~ f(x, y) dx.

< 8),

şi, deoarece e: este arbitrar de mic, avem :

~ "'J(x, y, L\y) dx

J

lllt+Ll~

~

a

a

=

L\y) -·- ll(y)

.

=

x2

Llll (y)

b

+ lly J( 1J(x, y, Ay) dx.

lly ( of(x, y) dx )

()y

·+

[f(x,y

+·

111

~+A~

a

G

=~

Lly)- f(x,y)] dx

+

~+4~

J f(x, y + L\y) dx - J f(x, y + L\y) dx.

(20)

llla

Împărţind cu Ay şi trecînd

la

limită,

obţinem, ·în

vir-

tutea lui (17) :

.m ~.((y) -- = lt

AY~o

b

~ ()f(x, y)

- - - d x,

ay

D.y

·.

ln aceste calcule presupunem ~ . "' verifică conditiile indicat . ' esJgur, ca funcţia f(x, y) toate valorile Îui x care a;a:: s~s pef~ru ~ ~ Y ~ (3 şi pentru ,gralelor scrise mai sus. " "n erva e or e Integrare ale inte. După tem·ema mediei [1 95] avem .

~+Â~

a

adică formula (13) este .demonstrată. Observăm .că dacă presupunem numai continuitatea funcţiei f(x, y) atunci din formula (14) şi din faptul că diferenţa [f(x, y lly) -'- f(x, y)] tinde uniform către zero în raport cu x şi cu y, cînd lly ~ O, rezultă că l(y) este o funcţie continuă de y. S 1 examinăm acum, în condiţiile precedente in ceea ce priveşte funcţia f(x, y), integrala

'

'

•

J

+

:~:,

I 1(y)

. ~ f(x, y) dx,

(18)

alt

în care şi limitele de aceste limite x1 ş x 2 vahile şi prin urmare Notăm cu Âx1 şi y creşte cu lly.

260

integrare depind · de y. Presupunem că aparţin intervalului (a, b), că sînt deri- . continue. Âx2 creşterUe pe care. le iau x 1 şi x 9 cînd

(o < 61 şi 62 < 1) Daca L\y ~O, atunci dx1 si L\ 'o · tătii lui f(x, y) putem afirm .: c- X2 ~ ' ŞI pe haza continui" S h . . ' a ca, .~n acest caz "'Il ~i "'Il -+ 0 .J. stituind aceste expresii în for l ' .,1 ,. •. ,2 • • .de formulele (15) si (16) ht. ,. ~u. a (20) ŞI serv1ndu-ne lllt ' ' o .. Inem, Imparţind cu Ây : V

:~11 (y) = \ ll.y

J

~

O

âf(x, y)

ây

'd

.

Âx

Lf(x2,y)+1J2]-~-[f(x1 ,y)-t-'1h] 4 ~+

a·X+·

~y

Ây

:ts

.+ ~

1J(x, y,Ây) dx .

ll:t

261·

Trecînd la limită, obţinem, în virtutea lui (17), următ'oarec;a pentru derivarea integralei (18) :

formulă

x2

a~-2

_!!__ ( f(x, )') dx dy )

=

at (:x:, 'u) J aY (

dx

+ f(x2, y)

~x~_ ~ dy

Verificarea se face cu uşurintă prin _:\ vem : · aplicarea _ directă a regulei de·. der·lVare (21). t

-

f(xl, y)

da;l •

(21)

dy

qg_[ dt --

1

J /(u) co~

u) du -:-

k (t -

. /(lz) sin k :(t--zz) [

k

o Dacă x 1 şi x 2 nu depind de y, atunci avem form·ula (13) .. Această din urmă formulă este: valabilă şi pentTu del"ivarea integralei multiple în raport cu un paramet1·u, numai dacă doine-· niul de integrare (B) nu depinde de parametru. Dacă, de exemplu,. în integrala dublă relativă la domeniul (B), funcţia de sub semnul sumă f(M, t) depinde nu numai de punctul variabil M, dar şi de parametrul t, atunci

;~~f (M, t)

~~

da =

W)

OI ~

11

!1

da.

(22}

i1!T · .Ln, t) S e presupune· ca" f(

âf(M, t) " --~ sint

•.

Şl

d2y - k

dt 2

.f /(zz) sin k (l- u) du+ f(u) cos k (t -11) 1 ~= d21J

-:il2 + k2y =

Egalităţile (23) ~c verifică ilnedh.t

#acem t

=

O.

.

,

dyl

=1 t=:O

Forma ei

e~te

dt

t=O

=o.

Introducem parametrul rx

V

=

!__ ( f(u) k

Jo

sin. k (t- u) du .

+x

2

•

şi eonsiderăm integrala : a

o

Este vizibil

+ +

că

1(0) =c {) ŞÎ J(1)

=

Jl.

Formula (21) ne d:-1, parametrul fiind a :

= (_, (1

o

x

+ ax) (1 + x2) dx

-+'

Jn : (1--La21

-1~·:-';2·'· ·

Descompunînd frndia ., t" . Jă ~. -, 1 a ,Jona m elemente simple, obţ.ţllem :

+ tXX;T(l + x2) .

=-~ l-::;~~-~ [- 1~, , a + ax + 1-~-+ + --~:=--1 1 x2 .1:2

x,

·

a

5.----~--+ + O

262

1

1( :x) = ~ -In-(1 - - -ax) - - dx. 1 x2

~i, integrînd în raport cn

t

cere cakularea integralei [I, 110] :

o

(1

:

cu ajutorul formulelor precedente în eare

1

condiţiile

y

t(O.

(1 + x) 11 ·_sIn - - - - dx

dl(a) da

care. verifica

+ /(l),

::adică, întradevăr,

continue c"Ind', _.M'..

31. Ex.emtlle. 1. în [28] am găsit o soluţie particulară a ecuapei

- J(Jy

u=t

O

.

variază în domeniul (B), inclusiv contun.1l, iar t variază într-un interval ·oarecare. Observăm că pentru demonst1·area formulelor (13) şi (22} este esenţial ca intervalul de integl'are să fie finit. În exemple· vom aplica formula (13) şi la intervale infinite·. În ceea ce urmează_ vom arăta condiţiile în care o asemene a aplicat·e este legitimă .. Din formulele precedente rezultă de asenenea că dacă f(x, y), xly) şi x 1(y) sînt funcţii continue, attnlCi şi integrala (18) este o funcţie continuă de y.

Jo

n=t

t

1. Presupunem că se

(B)

t

. = ( f(u) co:; k (t -- u) du

(1

ax) (1

x2)

dx,.= _ Jn (1 2 (1

+ a.2) + ."".,2)

...L '.

?- arctg a 1

+ a2 263

Ultima în

+ a2). _ + + a2) = In (1 + a 2) + 2 (1 + rx2)

ln (1

2 (1

«

J(oc) -,

=

+ cx2) + oc2

-1 ~ In (1 2 1 o

a arctg a 1 + oc2

+ ln (1 + rt.$~ 1.

(a arctg a da. 1 + a.2

Jo

calculează uşor

[It 201] :

a arctg a

+ oc2.

1

I(a.,

drJ.

+

~ oc_ arctg cx da, 1 + oc2

a

J o

- 2_ [ ln (1 2 ) o

1

1 ----;- arctg 2

=

O. Aplicăm terme--

Iim 1 (ot, ()) Ci-?O ot •

ln (1

l«=llt

+ a 2) ~o-.

«

=

1 (a, O)

=

.

=

+ .a.2

. tn (1

+ rt2 ) , . ~ arctg -a -+o a Jim

~

=

definitiv l t

1 (f:j) =

dx.

( sin ()x

J -x-

Derivînd tn raport cu [1 :

1)

O,

! ·

2

l

:::_pentru (3<0

1

O pentru ~=0.

~

2

dx

J

-~

(

ln loc.ul acestei integrale să consideram integrala mai eomplicată ca aspedltP:Xterior

..

=

--a~ sin ~x . -x-.- dx (a >

~pentru ţ3>0 2

~pentru (3<0 2

o

00

arctg O + C

~pentru 13>0

X

=~e

=

1

f

f'::

(26)

cx

cx

f

întegral<1

"'sin

! + C.

Integrala propusă se obţine din J(oc, (3) pentru a; = O, a: trebuind să tindă cltre zero prin valori pozitive, adică CX-+- +O. Dacă facem pe ot să tindă către zerollln egalitatea precedentă. obţinem limite diferite după cum (3>0, {3<0 sau (3= O:

1:

I(ct, (3)

arctg

+ a;2) da ,

= _!_ arctg a

arctg

1 (a. O)

O;

~) =

1 (ot,

~n ?•. Să calculăm

d~ + C =

.de unde rezultă clar că C =O. Aşadar, avem

2 de. unde, pentru a.

cx

Jcx2 + ()2

Rămîne numai să determinăm constanta de integrare C, care nu depinde
prin urmare, în virtutea lui (24): !(rx)

~) = (_

(24};

o

= __!_ ( arctg a·d ln (1 +· oc2)= 2

o·=

a

OG

şit.

se

+ ~Y-2

unde nu am mai scris constanta de integrare, deoarece l (O) nului al doilea integrarea prin părţi : a

integrală

dţfinith:,

0).

O pentru

13=0.

1) Raţionamentele precedenrte nu sînt riguroase, întrucît presupunem egallităţile : Iim l(ot, ()) = l(cx,O); Iim l(a, ()) = 1(0, (3), care se pot considera- evidente IS-+-0

IX-7+0

·dacă se ştie că l(oc, [3) este o funcţie continuă atU de (3 cit şi de oc. Observăm, afară ·de aceasta, că dacă nu am fi introdus sub semnul sumă factorul e-az, am fi oboo

ţinut, după derivare

tn raport cu (), integrala ~ cos (3x dx, care nu are sens. Deo

monstraţia riguroasă a continuităţii lui l(a. (3) va fi dată în [85].

265 264.

Observăm că această integrală funcţii

acestei

ne

dă

o. func·ţie discontinuă de · ~· Grafieu"1 semidrepte şi un punct, este rc·--

două

discontinue, eonsLînd din

5. In integrala

vrezentat în· fig.74. 4. Dacă derivăm de·· k ori în raport eu o:, egalitatea evident[t

00

1

(~) = ~

.'Jt, -r

e--a.x dx

o=

00

r e-ax2 sm. ~~X· x dx=

obţinem

r..

'

..1

o

CI)

~

e-ax·

x" dx =

k!.

'

o

d~

acum integrala

o

1

=-

e

--ax2 .

sm ~x

2o:

]re= oo- -~ 1_

~oo

e -'·«X 2 cos (3x dx,

·

2o:

tx=O

{)

:adică

di(f3) =

~- /(~).

-

d~

o Dacă

n este impar : 11

=

2oc

în această ecuaţie diferenţială variabilele ~e separă :

+ 1,

2k

atunci 1~

se

calculează

prin substitut i~,,

di(f3)

x 2 = t:

f3 - -d(3,

I(~) 00

CIJ

I:?.k+J.

~

e--ax2x2kx

dx

~ o~

=

()

e.,--attk

dt

1

k!

2

o:k+l

Pentru examinarea cazului cînd n este par, introducem în formula (4) o

2a.

.1((3) = Ce nou:~;

(27)

unde C nu mai depinde de [3. Punînd ~ = O, avem :

variabilă de integrare x = Y~. Înlocuind pe t din nou cu x în rezultatul obţinut, găsim

CIJ

. (.1. d -ax2 -1 ~ sml-'x· e . 2o:

Integrînd prin părţi, obţinem :

_.d/(~)

Fig. 74. Să eonsiderăm

(a.>O)

·~lepinzînd de parametrii ·o: şi ~. considerăm oc eonstant. Derivînd in raport cu ~' .-avem:

0:

o

·--------~~~--------~p

~xdx,

o

~

~

2

e-ax eos

formula :

1(0) = 00,·. •

e-rx:r,·2 dx

1 v~ = ----. 2

o

Ct.

Pe de altă parte, în virtutea lui (27),

Dcrivînd-o de k ori în raport cu a.,

:aşa că

găsim

2

CIJ

( -

e--ax2x2k

unde }21:. =

(. -

dk. ( 1)k -

dr/~

-1 2

=

Şl

mtroducînd

C,

această

valoare în (27)

Ct.

e- ax2cos ~x dx=_ -1 .. 2

--. e

v ·.--;

0:

--

obţinem,

în definitiv.

~

4a.

(}

V1t) v;; -

-

~-

dx,

o

de

l{n ..

=

00

~

1)k

1 G = --

1(0)

-

1·3 ... (2k- 1)

2

2k • oc

k

' · Înlocuind o:· cu oc 2, obţinem un rezultat care ne va folosi căldurii : . .·

'111

studiul.

ecuaţiei

+ 2-._ 2

u

266 26.7

Ţimnd seamă de cunoscuta hiegalitate

82. Integrale improprii. ln diferite rînduri am întîlnit integrale pentru care sau funcţia de integrat, sau.limitele de integrare· deveneau infinite. În [1, 97, 98] am convenit să atribuim unor asemenea integrale un sens determinat, dacă sînt îndepliniteanumite condiţii. Acum ne vom opri mai amănunţit la aceste· integrale. 1. Funcţia de sub semnul · integral devine infinită. Presupunem că în integrala

h~a'~

1

~

b-a"

-«lonchidem numaidecît că, din convergenţa integralei

~ 1f(x)

(b >a}

dx.

a

: :rezultă

convergenţa

f(x) dx

~f(x)

(29)

=

Iim ( f(x) dx, e-7+0

b

Ja

dacă Să lămurim

limita din membrul al doilea al egalităţii există~ conditiile de existentă ale acestei limite. După criteriul fundament~] al lui Cauchy [1, 31], condiţia necesară şi, suficientă pentru existenţa limitei unei mărimi variabile esteca diferenţa intre două valori oarecare ale mărimii variabile, începînd de la un moment oarecare al variaţiei ei, să fie in valoare· absolută mai mică decit orice cantitate pozitivă dată. În cazu]} de faţă această diferenţă va fi :

numai

b-e'

f(x) dx -·

dx.

a

b--·6

b

~

(28)

integralei

[1, 97]

b-e"

1 dx,

CI

este continuă pentru a< x < b, dar devine infi•. x = b, sau, vorbind mai 1·iguros, f(x) creşte nemăr- .ginit cînd x tinde către b prin valori mai mici. Luăm atunci prin, funcţia f(x) nită pentru

r

1 f(x) 1 dx,

b-a'

b

~ f(x)

J

j~ ~

dx

f(x)

b-a'

e

definiţie

[1, 95]

Afirmatia inversă nu este valabilă adică din convergenta integralei (29) nu urmează convergenţa integralei (28). Da~ă int~grala (28) este convergentă, atunci integrala (29) se numeşte absolut convergentă [cf. 1, 124]. ·.Din criteriul general rezultă criteriul lui Cauchy, foarte important pentru aplicaţii : dacă func#a de sub semnul inte~ _gral, f(x): continuă pentru a-<: x < b, verifică, pentru x vecin de b, condiţia 1 f(x) 1

!J-e"

~ f(x) dx -

~ f(x) dx, generală

A (b- x)'P'

(30)

und~ A ~i p sînt constante pozitive, iar p < 1, atunci integrala improprie (29) este convergentă şi anume absolut convergentă,

b-e'

~i obţinem astfel următoarea condiţie ,{sau convergenţa) integralei improprii

<

Dac~ însă

: pentru existenţw

1 f(x) l

b

~f(x)dx,

> (b-~şi p x)

> l,

(31)

4Jiunci integrala (29) nu există.

Întra-devăr, în cazul (30), avem

în care funcţia de sub semnul integral, f( x), tinde către infinit pentru x = b- O; este necesar şi suficient ca pentru orice 8 pozitiv~ oricît de mic, să existe un număr 'tJ, aşa încît : b-t.''

!~

f(x) dx j < 8 pentru O < e'

b- e'

268

şi

e"

<

11·

b-a/•

J b-c'

!.< J(

1'1- a"

.,. ( f(x) dx ,

b- a"

1 f(x) 1 dx

<

A ( ~= A

J (b b-a'

b-a'

x)

e'l·--P_. e" 1- p

1

-=-~.

. . u.~de membrul din dreapta este oricît de mic voim pentru s:' şi

.

~ '·

suficient de mici, deoarece 1 --- p

>

O, (p

<

1).

.

.

€;

0

.

269

În cazul (31) p1,1tem fi ftSiguraţi,: în .pritnul.rind,i ,~ă~.Jn vocinătatea punctului x = b, funcţia continuă f( x) păstrează acelaşi semn, deoarece, în virtutea lui (31), valoare'a absolută a lui f(x) rămîne mai mare:- ca o 1:valoare poz~tiv~ Şi d~ aceea f(x) care nu se anulează nu-şi po~t~ schimba semn:ul.. 1\'Iă:rginindu-ne la cazul funcţiei f( x) pozitive, avem : : .

~ f(x)

./

~~·i

:::1

A In--~ pentru p = l.

b--t"

·r·;: l .

~ 1,; nu adnii't' arii 'fi~ite, riicî cui·ha y = f(x) · nh va admite a'semeneâ 'a:rie (fig. 76). . ., ' l;n .· ri,:t'c;»~ ~~elll~n~t~J; se poate examina t~azul. cînd funcţia: j(x) tinde· către infinit pentru limita inferioară x =a, sau într-u;n p[Un'(t intermediar x= c al int.ervalului de integrare [1, 97]. 2. Limite infinite pentru intervalul de 1:ntegrare. Să examinăm: acum caHll., h ;;~. CX?~. a~ică inţeg~alti imp;roprie

P.,

:+

+ oc

dx:> A

J

e'l-·P-e"I--11

Jl. ------1

b-t'

1-p în care membrul din dreapta poate .fi ,făcut .~ricît .de }}~ar:~ ~.y~,in:ll pentru~' şi~" suficient de mici, deoa'rece~ prin ipoteză,' I ~j)

·<·o.

Geometric, criteriul lui Cauchy este cu totul intuitiv, deoa1·e~e, în cazul (30), curba y ==· f( x), pentru x în apropierea lui

b

( f(x) dx · li~

e"

( f(x) dx

b-7+ooJ a

> a. Apl~cî'nd criteriul

în.'ippte)za, ~.~ /( x): ~~te;;"'c.~nt!nuă. 'pentru· x

l;U,l .~~ucţty, ,qqn. am. :fa~ut _In cazul, precedent,. obţinem : pentru. e.,x,fs.1:~1!:1f!l 1 (c~(l·,'Pffg~!'!~) .in,tegralei improprii ,

Y1 (33)

1

este necesar şi suficient ca. pentru orice ~ poziti'v ~at, oricit de nnc .să existe un număr N de aşa natură, încît · b"

'\

,ll J( f(x)dx 1< S' ' .' i

1, .. , •

f !

~

pen1Tn.b'

şi

b"

>N.i

b; :

În particul';n·, ·în 'mod complet asemănător cazului 1, demon-

s~răm.1c:riteriullui Cauchy: dacă funcţia de sub semnul integral,

f(x); este continuă pentru x

>- a

şi

A

1

f(x) 1 <-;p- cu p

>

1,

(34)

atunci integrala improprie (33) este absolut convergenti1. Fig. 75.

Dacă însă

Fig. 7G.

r

1

b, se găseşte în întregime în interi6:rui' domJ~~i.lilui\ e:tl.pti!:ts',. îrit\re curbele si:metl'Îce ;., '' '·

i

j'( X.)

./ 1 p ~ ,

A . 1 > -;p·ŞI

(35)

1

)

,

Y1 ;

1

•

'··'

A

±---. (b- ±!:)1.' .

(fig. 75), ca:re pentru p < 1 au arie finită, şi 'd~ aceea şi f(x) âr~ arie;· finită. În cazul (31)., :curba Y: . ;f(~) · h._!, v,~cip,ăt,~ţea. ;lu,11. x = b iese din domeniul iudi~at şi,. cu,w ,,curb~l~ (3~),. 1 p:~n)t;Jf)l.t

270

atunci ,integrala (33) nu există. Pe caJe cu totul asemănătoare se pot examina integralele improprii [1, 98] : b

.\ f(x) dx -oo

-j-CO

şi ~

f(x) dx.

-00

271

Să indicăm o metodă comodă pentru aplicarea practică a c:riteri:ului lu f Cauchy. Să ne oprim mai tntii la integrala de fo~a (33). Condiţia de con_' vergenţă (34) revine la faptul că există un p>l, ~şa tnct~pro~usul /(x)· xP răll!-tne mărginit cind x-+ + oo. Această condiţie este cu siguranţa satisfăcută, dacă eXIstă limita finită · Iim f(x)x?. (p>.l}

la integralele improprii care nu sînt absolut convergente, adică la acele integrale care sînt de aşa natură, încît .

WJ-++oo

a

Exact aşa condiţia=de=divergenţă (35) are loc, dacă există li~ita

.este Iim f(x) •-++oo

convergentă,

iar integrala

b

de zero (finită sau infinită). Aşa, de exemplu, integrala din exemplul 5 [81) va fi absolut convergentă, deoarece pentru orice p pozitiv, produsul e-ooc2cos ~:r·· X' ll:.inde către zero ctnd X-++ oo. Intr-adevăr, factorul cos ~x nu intrece umtatea in valoare absolută, iar produsul e-a:~:~. x? -+O, ceea ce se verifică uşor prin regula lui l'Hopital, luind, de exemplu, p = 2 [1,85]. Integrala de forma .

a

.:c" 00

1f{x) 1 dx

)

diferită

co

+00

b

~· f(x) dx sau ~ f(x) dx

O

a

-este divergentă. Dăm un criteriu de convergenţă aplicabil; şi pentru· integral ele care nu sînt absolut convergente : dacă in te~ .grala

.

( 5xl + 1 dx x8 + 4

F(x) = ) f(t) dtl

J ()

va fi

divergentă,

deoarece

ll'ămîne mărginită, cînd x creşte nemărginit, atunci integrala (p

=

1)..

r-· ln general, integrala unei fracţii raţionale cu una sau dou~ limit~ de i.ntegrare infinite, va fi convergentă numai tn cazul cind gr_adul n_?mitorului va f1 cel puţin cu două unităţi mai mare ca gradul numărătoru~u1. Awfar.a de. ~cea~ta, pe~~ru
.este convergentă pentru p . prin părţi, N

~ ~)

~

sinx d xm .o ' .

--·X

pentru m < 2, deoarece produsul sin x • ...._..m--1 == ~tt· ude xm x . ~ătre unitatea cînd x 7 + O şi p = m - 1< 1. Din:_:contră, pentru m ~ 2, integrala precedentă· este divergentă. convergentă

83. Integrale care nu sint absolut convergente. Criteriul lui Cauchy dă numai condiţia suficientă (3.0) sau (34), pentru. co~ vergenţa integralei i.mproprii. De exemplu, el nu este aphcabil

>

O, arbitrar. Într-adevăr, integrînd

N

dx =

a l

272

(a> O)

a

5x1 + 1 .... __ 5 Iim - - - .... il.l-++ 00 x8 + 4

este

1 f(x) 1 dx

sau }

~~

---_-_;-

a

o~Sau, ţinînd seamă că

F (a)

=

F(x)

~

dx

X

O:

N

N

( f(x)

J a

+p f N

F(x) 1 ;e-N xal-a

dF ( x)

dx =

x'P

F(N)

N'P

-!-

P

[

F(x)

J x 1 +v

dx .

a

Cînd N creşte nemărginit, primul termen din membrul căci F(N) rămîne, prin ipoteză, măr.. ~Imt; Iar p > O. Al doilea termen se prezintă ca o integrală con'Vergentă după criteriul lui Cauchy, deoarece sub ;semnul inte· grală numărătorul. F(x) rămîne, prin ipoteză, . limi:tat cînd·

-a! ?oi~ea tinde către zero,

HS. Curs de matematici superioare

X -7

+ bo',: ·I~rla nu:mh~r, gradul lui deci

Există

limita~

·

!

·

'

'

X

·

este tn,ai mare Ca unitatea_ '·

'

~i criteriul lui Cauehy evident nu se anh~-t .mtervalele : · DeseomJHllltlţn, tnterva~pJ 1(0,

·

A

(O~ V~) ;
'

'

•

+

oo) în

1/1.~;; Ji,(fi_+_i )rr) .: , ;, ..

y2rr) ;
Y3rr) _; .. ; <

în fiecare din aceste intervale f ţ·, ·-"- · ,o ~ ','~ primul ( + ), în al doilea (-) , , lunc .la. y- sm (x-) pastreaza acelaşi semn: în ' m d treilea ( +) etc. Punem Exemple. 1.

Considerăm

integrala

V(n+I)n::

'!l sin

Un

~x

-·-~dx,

•\

= (. -

(36t-

1

1

1

1

'''

sin (x 2 j d.t·.

-~---

,'\i'IIT.,

X

o

Jr

l_)n

1

în

studiată :exeniplul 3f81}. Observăm că, pentru x = o,: funcţia de integrat ia valoare? f~nită f3, ,d,eci ~a,r~~te,rul, ip:tpropriu al acestei integrale provine numai:< din cauza limitei infinite. :Mai departe, este evident că N

f3x dx

( sin 1

=-.::

.J

[

1 cos -'- ·[3

f3x ]X=N , x=a

a

de unde, \';''

sin f3x dx

Fig. 77.

<[3>0),.

a

Introducînd, în Joc

ţie x

noua

variabilă independentă

i :

X

~dică i~tegrala

\sin, f3.xdx ... •

(

rămîne mărginită oricare ar fi

a

şi N. Prin urmare,

teo-

oObţinem

:

1.

:r

a

rema

demonstrată

2.

se

aplică

Să considerăm

integralei (36), care este deci integrala

lln

convergentă.

l=___12_~_{ ~~1!_.~~---}=_ll7t_}__

=

vt___rm

J

2

o

~ sin(:r2 )dx.

(37}

'{)~.unde se vede că mărimile u s1nt Jozit' ,l:Itlv n creste. Afar·l de aceasnt· '

o

ct,

<

_ _

1 _:r

·

([{ ~~ -~-) ---vY~~~L~-o

1

~

.. · · , . .

[fl,

..

l' 1 .·, .Ivc.. Şl desctesc cmd numarul îirtrcg ho~ c m megahtatea ·- · ' y

si

:r

'lln < -~-

Efectuînd schimbarea de variabilă x = "Vi~ o aducem la forma

2

r- _!!!_ J v;;~()

urmează că

şi întrebuinţincl un procedeu cu totul asemănător celui întrebuinţat la exemplul 1, derp,onstrăm că _;_tceastă. integrală este convergentă. Să explicăm mai amă nunţit cauzele care 'condiţionează convergehţa integralei (37). Funcţia de integrat f(:r) == sin(x2 ), al cărui grafic îl avem în fig. 77, nu tinde către zero cînd x -7 + oo,.

274

lln -7

O pentru n

-7

-+-,

oo.

n·

. m cele de mai sus rezult:t c;{ seri~ ~tltcrnată

(38) Ya

fi convcrgentă [1, 12~l1.

Presupunem acum ctt l.:

,· .. /

"i

i·. •,1

J

\

27:3

şi să considerăm

integrala

,y-;-

b

'f'sin (z2) dx

=

~

v' ii

'+' ~ ·sin (x2) dx + ... +

sin (x2) dx

~

sin (x2) dz

+

~ f(x, y)

v •

.y;-

o

a

!'ot fi ,alese independent de valorile lui y, atunci integrale le imjiroprii:

v' mă

) f(x, y) dx

(43}

a

b

+ ~

sin (z2) dz

=

Uo- U1

+ · •· -t( ·- l)m-l Um-1 + 6 (-1)-m Um,

(40).,.

v'm~e

unde O< 6 < 1, deoarece ultimul interval (1'm1t, b) constă numai dintr-o porţiune.· din intervalul (ynm, V(m + 1)7t), sau chiar lipseşte complet da<'ă b = Ym;,. Cind b7 oo, numărul intreg m, definit prin inegalităţile (39), tinde către ( + oc) şi, din· convergenţa seriei (38) şi egalitatea (40), rezultă existenţa integralei impropriit +00

b

( sin

(z2 )

dX

)

o

=

rsin (z

Iim

2)

J o

b-?+oo

dx

=

Uo -

Ul

+ U2 -- lls -j- · · ·

în cazul de faţă existenţa integralei improprii se datorează faptului că funde sub semnul integrală îşi schimbă necontenit semnul, precum şi faptului că,, ariile succesive care se găsesc deasupra şi sub axa OX se micşorează, pe măsură ce· ne îndepărtăm de origine, şi tind către zero ; acest fapt are loc nu pentru că înăl- ţimea lor tinde către zero, ci pentru că ele se îngustează,-·· nemărginit. în acelaşi fel se poate examina şi integrala (36). !n volumul III vom obţine, pentru integrala (37), valoarea +OO +oo . cţia

~

sin (x') dx-

o

~

cos (x') dx-

~ ~~

.·z

Dacă funcţia

b-ea .

) f(x, y) •
pentru

o< e' şi

z"

<

1),

(41}:

Il--s'

b"

f(x, y) dx

1

<

Tf(x, y)

dx

a

/.l-e 1

+ ~ + ~ + ... + b-l!t

b---~,

unde b·-en·H

un(Y)

8 pentru b'

şi b" > N

(42}~

b'

1) Inainte de a citi paragraful de faţă, este folositor ca cititorul asupra teoriei corivergenţei uniforme din vol. I.

să revină~

= ~.

f(x, y) dx.

{46)-·

b--en

dă

ln .~azul. cî~d consider~m a doua integrală (43), un Şir nehmitat de cantităţi crescătoare

b-e"

\)

dx =

b--en+l

de inte~··

grata unei integrale improprii depinde de un parametru y, atunci~ numerele. 'tJ şi N, despre care s-a vorbit în criteriile generale 1 şi 2 din [82], depind în general de y. Dacă pentru y variind în inter·.. valul cx y [3 numerele 'tJ şi N din condiţiile 1

{44)·

putem scrie :

b-e,.

84. Integrale uniform convergente 1).

·< < ! ~ f(x,y) dx
_<·;Se numesc u!"iform. convergente în raport cu Y· 1 nl ~arChculhar' ~ntegralele care se întîlnesc în aplicatiile crite~· nr, or u-" auc y vor .r.· ;r. • A J:i P nu d . d d J" unzJorm convergente, dacă constantele • . . ep"n , e J· Orice Integrală. impropr· .., . sub forma . . .. "'Ie .co~vergenta poate fi reprezentată, obisnuită. A~e~t~~i~:'t· al ~arei fiecare... termen este o integrală. .• mai sus aceasta metodă S"' 'd "' pnma integrală (43) F.. d d . . · a cons1 eram, cătoa:re şi tinzînd c.ăt:~n zer:t un Şir de numere pozitive, descres-

+ ~ +

o

lntegralele precedente se numesc integralele lui Fresnel sau integralele di-fracţiei. Denumirea din urmă este legată de rolul pe care ti joacă, în optică, aceste"' integrale.

276

+ac

dx,

vom avea:

b1, b2, b;'>' • .. ' bn, • •.

dacă

se·

(47}

·~onverg~p.tfl;'. c:,.tui;t.ci şi seria, c,ar~· coţespunde va

fi_

unifoţ·:u ?O:.;~

·vergerită, oricum am alege numet·e~e (4~) .sau _(~7). În adeva:r_; ·de exemplu, suma termenilor îndep~rta'ţi a1 senm (4.5) este egala •CU 'integrala pe un seg~ent apropiat· de b pentru care are loc inegalitatea {41). . " . . Proprietăţile integ~alelor uniform convergente Sin~ a~Ialoge proprietăţilor seriil()r uniform convei·g~nt.e [1; 146]. Penti'? fi:'area ideilor le formulăm pentru a doua din 1ntegralele (43), Insa cele .spuse ~e . aplică şi la prima integrală_. "' 1. Dacă .funcţia f(x. y) este conttnua pen.tru a x şi dacă .?1 variază într-un anumit interval a y ~' tar

adică

<

,< <

-!-

după cele demonstrate în [80], sînt funcţii continue şi, pe baza: convergenţei integralei, această serie este uniform co:rivergentă şi, prin urmare, suma seriei, adică integrala ( 49), este de asemenea o funcţie continuă [1, 146] .. Pentru demonstrarea punctului 3, observăm ţinînd seama de [80] că integrala (.53) poate fi derivată. sub semnul integ1·al~.

00

~ f(x, y)dx

(49)

u.:(y) =. ·\ ~.b:/.

iJf(x, Y) {Jy

d·

X.

Însă, pe baza convergenţei uniforine a integralei (.51), avem_ seria uniform convergcntă :

a

.este uniform con·vergentă, atunci ea este o. funcţie continuă de y in intervalul ~2. Pentru aceleaşi condiţii este vala.bilă şi formula integrării .sub semnul integral:

a< y-< ~

(3

~ dy ~ f(x,

+co

y). dx

= ~ dx ~ f(x, IX

3

•

Da că

( 49) este

pe

lîngă

convergentă,

(3

y) dy.

(50)

OI:

y) . continuitatea lut. f( x, y ) şt. i)f(x, -·- tntegra l (t ~y

iar integrala

C !_!!x ,y) _ dx

+oo

~~

valabilă formula

= ~

dy a

Demonstrăm,

a

ca e:x;emplu,

pentru a şi ac y

1

+oo

deriv(hii sub sem·

) q> (x)dx +oo

f(x, y) dx

(51)

{Jy

uniform convergentă, atunci este nul integral :

< ~· Dacă există o funcţie q>(x) continuă şi pozitivl'i < x, aşa fel încît l f(x, y) -<. q>(x) pentru a,< x· < < ~' iar z:ntegrala '

şi ac< y

+.oo

J a

Asadar, seria (48) este convergentă şi seria derivatelor este u:rriform convergentă. De aici rezultă [1, 146] că suma seriei (54) este derivata sumei (48), ceea ce duce la for1nula (.52). · : Să indicăm un criteriu simplu pentru convergenţa absolută şi uniformă a integralei improprii, asemănător criteriului conver-· genţei absolute şi uniforme a seriei [1, 147]. Indicăin aceasta, deexemplu, pentru a doua integrală (43); un critei·iu asemănător· are loc şi pentru prima integrală (43). Fie, ca de obicei, f(x, y) o funcţie continuă pentru a <:;:: x

{jf(x, y) {Jy

dx.

proprietăţile

(52) 1 Şl 3. T~rmenii

.seriei (48) :

este con~e~gentă, atunci integrala (49) este absolut şi uniform con-vergenta (tn raport cu y). Pe baza convergentei (.55), pentru a > O. arbitrar, dat mai înainte, există un număr N, astfel încît ,.. b"

f(x, y) dx,

(53)

~ q>(x)dx < b'

.278 1

,1

(5 .5}

a

?)

pentru b'

şi b" >

N,

.~i acest N nu depinde de y, deoarece r.p(x) nu conţine pe .Y· Însă, ·din l f(x, y) 1 ~ cp(x) rezultă: b"

j

b"

~ f(x,y)

dx j

b'

< ~ lf(x,y)

1

:adică acelaşi şi

~< ~ cp(x)

dx

b'

>

<~a

dx

b'

pentru b' şi b'' .:grala (49)

exemplului considerat. mai rămîne de arătat că lim l(cxt ţ3) = 1(0,[3), adică ăt~ ă · a~+O să. ~r _am c mtegr~la (56), pentru f3_fix, este o funcţie continuă de cx Ia dreapta or1~me1. ~om arăta ca ea este o funcţie continuă de a pentru a o. Am arătat max sus~ c~ es~e _convergentă şi pentru cx = O. Fara a hm1ta gen_era~itatea, p~tem pre~upune f3 >O, deoarece cazul ~ < o se re?uce ~a cazul f3?>0 prm Simpla schimbare a semnului intecrralei iar pentru P. ~ o afirmaţia este evidentă. ~ ' ~" . Vom P_roceda la fel cum ani . făcut în [83] cu integrala lui Fresnel. Des-compunem mtervalu1 (0, + oo) în intervalele ; ·

b''

>

N,

N, care nu depinde de y, este bun chiar pentru integrala

şi

pentru inte-

o .?I) [' ~ 2'1t"._)· . ( ' f3 ' [3 ' (3 , .... , -(3 ,

.,(im

+co

~ 1 f(x, .r) 1 dx,

astfel indt tn primul interval, funcţia :

a

•>Ceea ce

. _ ---ocx. ~in ~·x ; · /( x ) -e -----:-

demonstrează afirmaţia noastră. Să]

85. ExempiP. 1.

examinăm

x

mai amănunţit exemplul 3 rlin

!81]:

1 (cx, ~) '""'

sin ~x J( e-oca: --xdx.

~

Un(r:t.)

cx este un număr pozitiv fix şi să care depinde de parametrul ~- Observăm

considerăm

integr~lă

că

şi

pentru x

=

O,

şi

transformă

se

tn

~

x>

!x

1 avem 1 sin

l < 1, prin urmare 1

e- «~

-~-,-

= ( .,......1)'r~

'sin (3x )' . e"-7 aa;: ·---dx. X

-

ctnd x ':::.-.:O, lntrodnetnd în loc 4e x noua v1;1ri_~~ilă l ~

integrala (56) este ·improprie numai din cauza intervalului infinit de

>integrare. Pentru

(n+I)1t

i 1

raportul

X

aşa că

1( ) semnu etc-

1

(56)

deocamdată că

sin ~x ·rămtne 1continuu

al doilea cu

1

o Presupunem 'integrala (56) ca o

+. ). in

de sub semnul integral să fie cu semnr.Il ( Punem

lXI

sinxfjx 1 <

.

.

.

a; _ nrc , obtinem : '

~

.

,

2 -a:t •

•iar integrala

~

-

e

~

dx =

lr -- -l cx

e

-- aa: J:-c

.

""

OI)

_:1)-1

1

-·

= - e

.

'L

0:

,

de unde r~iese imediat că un(a:) este pozitiv şi descreşte· eh1d n ereste. Afara de aceasta, din inegalitatea ' .JC

·este convergentă; prin urmare după criteriul demonstrat, integrala (56) este uni'form convergentă in raport cu f3. Derivînd-o sub semnul integral în raport cu (?.. -obţinem integrala

-~

l

1 Urlcx)

< ( -

Cf)

, , ~ e- a~ cos [3x dx,

o care, pe baza inegalităţii 1 e-ax cos f3xl < e-a:r. este 'de aselŢlenea uniform convergentă. De aici rezultă că integrala (56) este o funcţie continuă de [3 şi că poate fi derivată sub semnul integral. Pentru a justifica toate calculele

1

J n'lt" ,o c -

- dt =

(57'.

n

[3

UrJ!lează,. că. fir• (a:)

-:-+

O

cind

n.

-:-+

+ 00 •

Aşadar. pentru a?-0 putem reprezenta integrala sub forma se:riei alternante : e

--a~

sin

~x

----- dx = u0 (cx.) ..- u ('at:) ' u ·(IV) Jt

1

·:

2 ""

-

_L

•• · T

(

--

1·~"~ )

ll'l;

·) (tX

+ . ,.

(58)·

:280

281.

Restul acestei serii, pe ;baza lui (57) şi a teoremei [1, 123], admite evaluarea : .

( rn (a) l

1

< 1 un+l

(a)

1

Dar dacă însenmăm prin f(:t) = e--c;r;xk şi aplicăm regtuJa lui · k 2 FHospital ti, 6»},. ne convmgcm d\ f(x)x2 = e--cx x·+ ----)>-o cînd . ..L .,. 1 [8°) ved ·m t . x ----)>- • 00 şi, după criteriulJ cn ; ·~ e ca m .e~ra1a este,. în adevăr convergentă. '-'· In [79J am obţmut sohrţ!'a' problemei lui Abel sub forma v

< -n+1

'care nu depinde de a, iar - -- tinde spre zero cind n -? + oo. De aici rezultă conn+l vergenţa uniformă a seriei pentru a O şi, prin urmare [1, 146], continuitatea ·sumei ei, întrucît termenii seriei Un (a), pe baza lui [80], sînt funcţii continue. Observăm că numai din convergenţa uniform:1 a seriei (58) pentru a :;::o~o, .fără un raţionament suplimentar, încă nu rezultă convergenţa uniformă a integralei. In cazul dat se poate demonstra că şi integrala converge uniform, ;pentru a O. Observăm că integrala:

•

1

u(z)

>

= V2,q . ~ '" dz]

f

o

r.p(/z) dlz

Vz-h ·

Să arătăm cnm se poate caleula derivn ta r precedente. Not~m: < m membrul al doilea al egalităţii•

>

1 (z)

=

00

~ --o

_sin (jx d

Derivîn~

x,

X

·care este egaHi cu ; pentru (3 > O, ( -

-iJ

sub semnul integral în raport cu z,

pentru (j < O :;;i zero pentru (3

=

O, ne

{}ă o funcţie care are o discontinuitate pentru (3 = O. De aici urmează că integrala nu poate converge uniform în raport cu ţj, într-un interval de variaţie a lui (3, -care să conţină (j = O. Dacă luăm acest interval la dreapta lui zero, atunci mări-

mea integralei ~ are derivata zero în raport cu (3, însă integrala nu este deriva2 bilă în raport cu fj, sub semnul integrală, deoarece după o asemenea derivare se ·obţine o integrală de cos (jx în intervalul (O, + ex> ), care nu are sens. 2. În exemplul 4 din [81 J am derivat de k ori în raport cu a, integrala

semn fun-·

cţia (z -h)- ' c_cen_ ce dă o integrală divergent·lc lo0 21_.t . ,,<']. , d'1n care eaPza . ". t r ebuie p rocec1a t a ltf. eI . Transformăm integrala Jlz) ht o·'· d · . supunînd existenţa derivatei f!J'(h) pentru h ,, ' ' ' ;. e~;m. p~m. ~a:ţ1, pre-cinătatea lui h > o :. ·· ' · ? 0 ' con nm,t ~l margnuta în vev

z. ~

(a>O)

J Vz - J: = -

o

J rp(h) d Vz -

h =

2r.p(h)

-

+ 2~

?'(h)

Amintim că r.p( · + O)

=

+ 2 ( r.p'(h)

J

=

Vz-_

z

+

h dlz.

t es e o constantă, în general,. 0 prin definiţie. Derivînd formula de mai sus~

Iim r.p(h). Aceasta h-?+O

z

d::

J Vz --

()

'

z

clh h

= _Pi:t~ -+ ( r:p'(h) Vz ' J -V=.:__:_h dll ·

(59):

o

Dacă r.p(/1) este constantă t · '(l) obtinut-o înainte Dac . i m( + o')a lllOlCI c:p · 1 • = 0 şi obţinem formula care am mai. , · ' • ' r = , atunci se vede că

00

l'r'opri~uJ(~~l)l~ 282

•

+o

~ ~rr a e zero, pe cînd c:p(O) = gasim, pe baza lui (21) din [80J :

~ e-ax x'- dx

<

1h

h=

v~-=-lz rlh ~= 3r.p ( +O) Vz

!!_ ( _r.p(h)

:sint uniform convergente în orice interval c~a~d, unde c>O. Deoarece tn intervalul de integrare x >O, evident că e-are e-cx şi e---o:re xle e-c:v xlc, iar, tn virtutea criteriului referitor la convergenţa uniformă, demonstrat în [84], este suficient sii arătăm convergenţa integralei :

FZ-Ii

0

00

o

'-

(

2

d'f •tv d

sub semnul integral. Pentru a demonstra legitimitatea acestei operaţii, este suJieient să arătăm că pentru k întreg şi pozitiv, integralele

•

z

(j)(h) dh

(J

<

obţine,m sub acest

2

demons!rat ?il for_~nula (21) din [80] se poate aplica întegralei imObservam ca daca în locul lui h introducem 0 nouă variabilă de·

"integrare u prin formula h=--=-zu, atunci, pentru /(z), ·constante : · .

.

integrala cu limitele

1

~ ( cp(zu) du

·

/(z)

obţinem

= Yz

J ~ 1- u

.

o ,.ŞI·

Presupunînd, ca mai sus, existenţa deri;-ratei cp'(lt) pentr~ h>O, .continue x · ·te, pu tem , cum se margm1 · verifică uşor, deriva sub semnul mtegral. 1

dl
=

_1_ (

2 Vz

dz

1

cp'(zzz) du

J V1 o

Integrind prîma integrală prin din nou formula (59).

+ Vz (

cp'(zu) u du.

J v1 o

u

părţi şi

u

revenind la variabila

iniţială

h,

ob~

··ţinem

86. Integrale multiple improprii .. ~ă" trecem acu~ la examinarea integralelor multiple .mpropn~_; 1ncep~m cu I~te~rale!~ ·duhle. Ca mai sus, integralele impropru pot "fi ~~ doua t~pur1 . sau functia de integrat devine infinită, sau 1nsaş1 do~emul de integrare' nu este mărginit. Ne oprim ~eoc~~dată la primul ca~. ·.·F: f(M) 0 functie continuă în domemul hm1tat (a), cu ~xcepţ1a . . e t l · C 1"n •vecinătatea căruia f(M) d evine · In · f Inita. .. " E xc1upunc u u1 , . . . ( ") Î d · 1 " · dem punctul C printr-un mic domeniu u • ~ . omeniu r.ama~ ·{a _ ~), funcţia f(M) este continuă fără n1c1 o excepţie~ ŞI .integrala

~~

f(M) da

(o-Lll

. · ( A) 1c cu reducerea nelimitată a domeniu1u1 u 1a punct~ această integrală tinde către o limită d~termin~t~ c.ar._e nu depu~d~ .d ~ lui în care ~ se reduce la C, atunci aceasta hmit~ este numita :Î:te:rala improprie a lui f(M), extinsă la domeniul (a) : are sens.

Dacă

~~ (cr)

f(M) da

=Iim~~ f(M)

da.

(60)

(cr-Ll)

Presupunem, ·mai întîi, că funcţia J(M) este pozit~vă, sa~, mai exact nu este negativă în vecinătatea punc~ulu1. C. FI~ ( A') • ( "- ,;) dou. ă domenii mici, si anu.me ( ~") în Intenorul lm ,. u SI u " d e In · t egr~1~ ·{~').'în aceste conditii, integrala 'pe (cr - uA'') d'~ I era ( _ ~') cu 0 mă;ime pozitivă egală cu integrala. pe domeniu ~ ~"), în care f( M) ~ O. De aici se vede imediat că p"entru .0 reducere nelimitată a lui (~) la C, integrala (60) se ma~eşt~ [dacă domeniul (~) care urmează este o parte a domenu1lm

.f!'

-care 1-a precedat] şi, prin urmare, tinde către o limită sau creşte :indefinit. Dacă pentru o lege determinată a reducerii domeniului { ~) la punctul C, se obţine o limită mărginită, atunci şi pentru -o altă lege de reducere se va· obţine aceeaşi limită. Caracteristic pentru existenţa unei limite este faptul că integrala extinsă la -orice domeniu care nu conţine punctul C, însă se găseşte în vecinătatea acestui punct, unde f(M) :>-O, rămîne mai mică decît un anumit număr pozitiv (în acest caz integrala va tinde către :zero dacă vecinătatea tinde către C). Dacă f(M)
~ .\ ! f(M)

!da

(61)

{cr)

.are sens, adică converge. Aici funcţia de sub semnul integral ·este ·nenegativă şi putem aplica observaţiile precedente. În particular, din aceste observaţii urmează că, dacă ft (M) şi f (M) ~înt două funcţii pozitive, j~(M) <.f2(M) şi integrala din f 2 (M) 2 ·este convergentă, atunci şi integrala din ft(M) este convergentă. Putem reprezenta funcţia f( M) ca diferenţa a două funcţii pozitive: f(M) = 1 f(M) 1 · - [ l f(M) 1- f(M)]. Prin ipoteză •integrala (61) este convergentă. Prin urmare, este convergentă ·şi integrala funcţiei 2 [ f(M)(. Funcţia [ lf{M) l - f(M)] este ·egală cu 2 1 f ( M) [ în punctele în care f( M) -<:: O şi egală cu O .acolo undef(M) :>O, adică funcţia pozitivă· [ 1f(M) 1- f(M)] <: 21.f(M) 1 şi, prin urmare, integrala ei este de asemenea conver· .gentă. Însă atunci este convergentă şi integrala diferenţei lf{M) 1- [ 1/(M) 1 - f(M)], adică a lui .f(M). Aşadar, dacă in~ tegrala {61) este convergentă, este convergentă şi integrala lui

<

.f(M).

Indicăm o condiţie suficientă pentru convergenţa intedacă în vecinătatea punctului C funcţia verifică con- 1

gralei {61) :

·diţia l f(M) 1 <. ~, r

unde r este

distanţa de la p < 2, atunci

C la punctul curent

M, A şi p fiind constante, iar integrala (61) este ·Convergentă. Conform celor de mai sus, este suficient să arătăm că integrala (61) rămîne mărginită pentru orice domeniu oarecare {cr') care nu conţine punctul C şi este conţinut în cercul cu centrul ~il C şi de rază oarecare r0 • Introducînd coordonatele polare cu

:281 285

in C: şi: :ţinîn,d. :~~eanJ.ă d{1)negalitatea dC( mai sus pentru f( M) [, avem ; ' . .

ong;m~a. 1

H

l.f(ll:f) 1 ela' <4 ~ ~

(tr')''

:

'

;·

'

~ r dr dtp =,A ~j

(Q'')

.

'

'

1 r' _

;dr dtp. .

:

adică

1

da

(O')

Observînd la (cr') :

2 - p

>

=

:~Ap(r~-P ~ "1

2

-").

J~ J( Lf( M)

,

/

( dr; -~

evaluarea integralei

)

2rtA 2-v _ P ro ,

2

extinsă

(62)

((j''

ceea ce demonstrează afinnaţia de mai sus. . . . . _ .. În acelasi mod se defineste integrala triplă Improprie extins.~ la un domen'iu mărginit (v),' dacă f(M) devine infinită în .veCI: nătatea unui punct C; toate raţio.namei~t~le r~~în ~alabde. Ş~ pentru .o astfel de integrală. Numai condiţia s"?-fiCienta.enunţa~a mai sus, relativă la convergenţa absolută a. Integrale~, tre?~I~ formulată astfel : dacă în vecinătatea punctulUI, C, funcţLa verijLCOJ.

1. f(M). con d't'a .L,z, A

şi

1

< ~rP,'

'"""'

<

3, atunci integrala

~ ~ ~ .f( Af)dv (V\

este absolut; convergentă. În cazul de faţă, condiţia p < 2 este înlocuită pl'in condiţia p < 3, deoarece, . în. coor~o:r;ta~e po~are în spaţiu, elementul de volum a~·e expresia dv=r s1nG dr dG dep. în care apare r 2 în loc de r, ca In da = y .dr dep) .. . Să examinăm acum. cazuLcînd domeniul de _1n~egrare {cr) . .se: întinde la infinit în toate direcţiile sau este pur ~I Simplu ~emai· ginit. Fie ( a1) un domeniu finit ?onţinut în (a) ŞI care se_lar~eşte nemă1·ginit în aşa fel, încît OI'ICe punct M al domentului (a)

286

':'\

{63)

~

f(M) dcr = lim

fJ

f(M) da .

(64)

(0"1).

-Dacă f( M) ::.:> O pentru toate punctele 1\t.I suficient de· depărtate, .atunc [ integrala ( 63) ~ extinsă la (eri) prin lărgirea acestui din urmă domeniu, sau are o anumită limită, sau tinde către infinit. ln primul caz, faptul :caracteristic este că integrala extinsă la orice domeniu, sau chiar la un număr finit de domenii oarecare · apai·ţinînd lui (a) şi situate în afară de· cercul cu centrul în origine :şi cu o rază oareca1·e r0 , rămîne mărginită {în acest caz ea tinde ,.către zero cînd r 0 -)- oo). lnsemnăm prin (cr') totalitatea domeniilor considerate. Mai observăm că din definiţia integralei improprii rezultă că, dacă integ~ala

~ ~-lf (M)J[-dcr

f(65)

(O')

unde r este distanta de la C la punctul M-:. •

p fiind constante, iar p

1

Dacă prin dilatare a nelimitată a lui (cr1 ) al)~astă integrală tinde .către o limită determinată, independentă de modul în care .s-a dilatat (cr1), atunci această limită se numeşte integrala funcţiei f(M) extinsă la domeniul infinit (cr) :

(O)

ohţinem

O,

da.

(Q'l)

11

()

că

rdr

~ fi(M)

·(O")

D.o 1neniul ( q<) ,este· co.J;lţinu.t n~apărat înţr~.o coroană circul~r"ă, mărginită ~e cercurile r = '1j ŞI r = r 0 , un~~ ~ l?o~te fi" oncit de mic voim~ ·lfuncti~ de integrat este pozitiva ş~ Integnnd pe ' · · c~roana ' ... c~rc. '··! u1 ~u~a, " putew numai· să mănm îp.treag~ . . ,rezultatul ,. "

.,' Hif(M;

intră la un moment dat în (eri). Dacă;
·este conve1·gentă, atunci şi integrala (64) este convergentă. Ea .se numeşte în acest caz absolut convergentă, şi ne ocupăm numai cu astfel de integrale. Se poate demonstra cu uşurinţă urmă toarea condiţie suficientă pentru convergeu-ţă : dacă pentru. toate punctele M, suficient de depărtate, funcţia, verifică c01idiţia

·1 f( M) 1·<

-~; , r

unde r este

distanţa

de .la_, un punct fix arbitrar

(originea) pînă la punctul variabil M, A şi p, fiind constante, iar p > 2, at·unCi integrala (64)' este convergentă. Servindu-ne de inegalitatea precedentă şi introducînd coordonatele polare, avem

~~ ~~

lf(M) 1 da>

A~~ rv~i-

drdcp.

~')

'Totalitatea domeniilor (a') ·se găsesc ·cu siguranţă în coroan
28'7

fi oricît' de

mare.'

Integrînd pe întreaga

coroană

circulară.,.

obţinem: 2a-

B

) ) 1f(M) l da<. A

~dep ~ ,v~- 1

(a')

O

Ţinînd

seamă că

ro

p -

2

>: O,

dr

=

::A2(r~~2

obţinem

--

evaluarea

.R:_2) · integralei

relative la (a') :

~ ~ 1/~M)]

~·~_r1_,

da

~

. .. . Mai compli~aţă ,(')~te p~ohlema inte~ral.elo_r .~ultiple i~pro prn, pent_ru care funcţia de. Jntegrat devtne Inftntta nu în puncte izolat~, CI, de __exemplu..? de-a lungul. unei curbe {l). În acest caz trebuie ... ex~h~sa aceasta cm~.bă cu aJ~torul unui domeniu {il) şi pe urma ~a facem ca {Ll) sa se restnngă către (l). . Con~tde,rî~d-- ~e f (M) pozitivă în. vecinătatea curbei (l), .se . poc;tte afuma ca Integrala pe domeniul rămas sau tinde către o limită determinată, sau tinde către infinit si că în plus, aceasta nu depinde de modul în care ( Ll) tinde 'către {i).

_v-2

(37. 'Exemftle. 1. Să considerăm integn1la

p- 2 ro

(CI)

ceea ce demonstrează afirmatia de mai sus. Integrala triplă impropri~ extinsă la un domeniu infinit se defineste la fel. In· ·ultima teoremă la integralele triple, trebuie să înl~cuim condiţia p > 2 .prin condiţia p > 3. Mai observăm că cele expuse mai sus, relativ la integralele duble, pentru cazul cînd f( M) devine infinită, se aplică şi la integrale de suprafaţă improprii. . Integrala improprie absolut convergentă se reduce, după cum am văzut mai sus, la integralele funcţiilor nenegative 1f(M) l şi [ lf(M) 1 - f(M)], însă, pentru astfel de integrale este indiferent în ce mod se reduce ( Â) la punctul C sau se lăr geşte (a 1). Se poate socoti întotdeauna că (Â) este un cerc sau o sferă ( Â p) cu centrul în C, a ·cărui rază tinde către zero, şi că (a1) este o parte din (a) cuprinsă într~un cerc (I(R) cu centrul în origine, a cărui rază creşte la infinit. Utilizînd această observaţie nu este greu de definit noţiunea de convergenţă uniformă pentru o integrală multiplă improprie depinzînd de un parametru. De exemplu, integrala (60), a cărei funcţie de integrat depinde de parametrul (X, o vom numi uniform convergentă în raport cu (X, dacă, pentru a arbitrar şi pozitiv, există un număr 11 care nu depinde de (X, astfel încît

(cx =J=; 1)

unde (cr) este tot planul. Introducînd coordonatele polm;e şi integrînd pe c:ercul (K R) cu centrul în origine şi rază R, obţinem

Dacă oc < 1, atunci pentru R~ oo, m<~mbrul al doilea creşte indefinit şi integrala este divergentă. Dacă oc >· 1, membrul al doilea admite limita finită .-2__, adică oc-1 integrala este convergentă şi valoarea ei este -~. în acest caz. eonvergenta • oc-1 · · se poate demonstra utilizînd condiţ.ia suficientă indicată mai sus. ~ 2. Să considerăm integrala

re v-; .

JJ

ydxdy ••

(O}

unde.~cr) este pătrat~llimi.tat de dreptele x = O, x= 1 ; y

=

O, y

=" 1.

De-a lungul

la~urn x .= ~· funcţ1~ de mtegrat. este infinită. Excludem această latură printr·-o

fîşie verticala îngusta, adică integrăm i'n dreptunghiul (9'"), mărginit de dreptele :

~~ f(M)da j <~~

X

1

= :::,

X =

1; y =

o,

y =.=o 1, (:::

>·

O) :

.

(a')

dacă

(o-') este o porţiune arbitrară din (a), cuprinsă în cercul (~YJ). La fel se defineşte convergenţa uniformă şi a celorlalte ~ntegrale improprii. În particular, din evaluarea ( 62) rezultă că Integrala va fi. absolut şi uniform convergentă, dacă cantităţile A şi p nu depind de ~. li> Pentru integralele uniform convergente sînt valabile proprietătile si criteriul convergentei absolute si uniforme, indicate

in [84j.

288

•

,

•

şi, penti·u e-;>O, vom ohţ.iuc o liinită egal;l cu unitatea,

adi6t iniegrah1 ('sle convervaloarea ei este unu. . ·3 • .Atracţia unei mase asupra unui punct, situat în exteriorul sou interior111 ez (fig. 78). Presupunem masa punct ului atras C (x, y, z) egală cu .unitatea. Descompunem corpul atrăgător (v) :in elementele de masă Am si în fiecare din· aceste 'elemente luăm un punct ..ti(~, -1), ţ). Însemnînd cu r ctist~nţa CM, obţ.inPm pentru gentă şi

i9. Curs de ma.t.ematîci Sllperioa.re.

289

· nittri'mc
--· 6.m

u=

r2

lu nde

considerăm

constanta

atracţiei egală cu unitatea. Deoarece forţa atracţiei are direcţia segmentului CM, proiecţiile ~cestei

!2'

coordonate vor fi :

Y~,

\

\

elementare pe axele de

;:ttracţii

·6.m

-

. r2

~~ X -----;

X

o

iim -·

r'l.

(68)

(1')

care ~xprim_ă potenţialul m:>sei considerate hi pmwtul

ocupam mm UI~;lnunţit mai jos). 4 · Avem formulele evidente

--

-q- y • ----) r

Am

r

Js~·v.I'do,

\,'

:r

i)r

r

;

_·fJ___-=iH

c)x

fjr

--

1'

~

;

iJ!l

C. (Cu aceasl<'i nojhme :ne

-

"'

-

i)r

;

{)z

1'

<: -- z r

r2

Fig. 78. Proiecţiile atracţiei

X,-.....

totale vor avea ca expresii aproximative :

~ ·-----iim; Y .-•'~ ·----iim; Z~ -

:c

. ~::-'1 1j -

-

!1

r3

r3

·~ c:; -·- z

x

~--- Âm.

·,

r"

.

e-

~,~ .r J . ~ f' ~ 1dl>; (nl

În semnăm cu !-'- ( ţ, '1), Z:). densitatea masei în M; avem aproximativ Z

Am-lJ-6.v, şi, în definitiv, mărind numărul să tiridă către zero, obţinem

X

=

~~~

~ ~ ~ do;

t.L

Y=

elementelor · ··

~~~

lJ.

!1;:.! d~;

fiecare din aceste elemente

Z

=

~)~

(V)

('/J)

tJ.

_c:;

~ z dv~ (66)

(V)

Atragem atenţia asupra faptului. că, în aceste integrale, variabilele de integrare sînt coordonatele ( ~. l),~) ale punct'ului M din domeniul (v), iar densitatea este o funcţie de aceste variabile. Coordonatele (x,y,z) ale punctului C intră sub semnul integrală atît direct la numărător cît şi prin intermediul expresiei,

(IJ)

' ~ -a~ : .,. l1== '

-1

r3 . .

1

i

1.

1 1;- x ~·, _ 1!-o •· '-~ \ ll - U [ 1!- - - - - <-.., ~ ;· tJ. - .-

r2

r

r2

.

.

rs

~-

t-to •

< -' r2

1

,, !u1mărul p· din regula precedentă este acum egal cu 2 şi A

.'290

z1

l1- --,---;-

=

1!-o;

1

•

adică aceste integrale se obl:in prin deriv· . , .. Derivarea are loc în raport'cu coordon t ~;e sub 8 '~ 1~11~ 0 1 mtegral a integrale]. (68). discontinuit ~ .e e. punctu ll1 y, z), in punctul în care 0 cazul pentru care au fost stabTt a. e, ŞI cazul considerat nu se potriveşte cu 1 şi posibilitatea de derivare sub ~e~~t~ :<;uts [~f! t~r~mele privind continuitate111 că, în condiţia de continuitate relativ ~am e~Ia a .. ai departe [200}, vom vedea cţiÎ continue de (x y z) în tot spatiul U (Lt (i;;f,~), 1!1 tegralele )i, Y, şi Z sînt fu:n~ de ordin~Il întîi eo;1tinue şi ace~le •1 .este 0 uncţie co~tinuă cu derivate pa 1 ·ţiale gralei (68) sub semnul i;1 t 1~gral, · ~.u~:nva e, pot h obţ.nmte PJ'in derivarea inte-

<:r,

",,~

. ·---. au au_. Z= o!!'

a~

Derivind potenţialul u . d . ~ şi z şi ţintnd seamă de faptul ~~ă ou<(l<:: ~ar~):sub :t~m.nul integral, în raport cu :re~!! ,_ · Il· ·'""' 1J,.., nu hepmdc de (x, y, z), obţinem

~2 ~ =, ( S( tt . a~, (..!-) iJr. J J ax~

dv ;

1'

(P)

2

iY U -·-!:.1,. -- """ 2

tJ.o

< j2"'

dv;

r

dv ,

:funcţia de integrat are

,

apar deci ca para:rpetri, aşa că mărimile X,Y,Z sînt funcţii de x, y, z. Dacă punctul G se găseşte în exteriorul masei atrăgătoare, mărimea r nu se anuleazi:i. niciodată şi vom avea de-a face cu integrale obişnuite. Dacă, însă, punctul c se găseşte în interiorul masei, atunci funcţiile de integrat, în formulele (66), devin infinite în momentul în care punctul variabil M coincide cu punctul C care se găseşte în (v); avem deci de-a face cu integrale improprii. Însă ele au sigur sem, dacă l1- este o funcţie co~tinuă, căci, insemnind prin tJ.o. marginea superioari.'t a valorilor funcţiei lllo l , avem :

•

('IJ)

Y :şi

JH~ â~ F-J

~-~ ss~ V· --~ (: )

'

şi făcînd

L.

~~J~ .11.-

VN

(67)

1)

0:1: ( __:_ r

·-'--;

az~

(V)

Aceste formule sint valabile numai ~

fu exteriorul masei de

dv.

(69)

.

• l

atracţ.ie adică este~x~az~l clîn~(p)un;tul C (x,y,z) se găseşte ' · . erwr m v, . .an aceste condiţii, toate

291

Aşadar,

integralele sînt proprii. Dacă însă C (x~y,z) ~ste, in interiorul lui (v), atunci d~~riva1 rea dublă a lui - ne dă, cum se ve:rifică uşor prin derivarea directă,

.

r

3 (~ -

r5

r

_!_ ; .§:_ (_!__) =

x)2 -

ff " ~y

'

(2..) =

2

r

r

.

y)2 -

5

_!__;

r5

'(2-•) + _g:_ (!) + .!}:_ .(_!_) = ~ w; r

iJy 2 r

f;z2

r

obţinem ecuaţia

-~· - r

r

o

x)2

lr5

-

() 2 U

() 2 U

()x2

()y2

()z2,J

_t

=

}::z'

(.z > t?)

'1

)

şa

r

3

Q-Z

·trebuie să deosebim două cazuri : . .. p va onle P se mtervalul în exteriorul sferei sau suprafata atunCi vor
Substituind in (72), P~nc~ul C .găseşte oa. e in

pe

(O,a)

fi

2p 2dp

..:~_,= o

---- =

z

.

: fj2U

Q

1

+ ("1)- !1)2 -+: ;(C: .,- z)2J

.

z+

[ ~zr~"' 1 J 1 Z-·P

l

r3

şi, prin urmare, acţunînd egalităţile (69), valabile, dacă C este :In exteriorul lui

(v),

sin OdO

(70)

2:.-,

3 (~ _. z)2 _

r

3("1) -

şî nu mai putem aplica criteriul corivergenţei [87] integralelor (69), adică, dacă C este în interiorul lui (v), atunci derivatele de ordinul al doilea ale potenţialului U nu se determină derivînd de două ori sub semnul integral. Adunînd egalităţile· (70), vom ob~ine

\()2 f)x2

f

1[

_82 i)z 2

1

'Că.:

.1

~ (_!_) = (Jx2

se vede

·

ei·

a-~

în

4 rca3!:L

-·-·- =

3z

m

----'

z

(74)

unde m este masa totală a sferei.

----+--+~-=0.

' Aşadar: potenţialul maselor· de volum U (x,y,z) verifică ecuaţia (71) in punctele C(x, y, z), care se găsesc fn exteriorul acestor mase. În cele ce urmea~ă vom liimuri c.um trebuie modificată această ecuaţie, dacă punctul C se găseşte în interiorul lhasei. 5. Să considerăm cazul unei sfere omogene de rază ~a (~ este constantă)• Dirijăm axa OZ după dreapta OC, unde O este centrul sferei· (fig.79), şi. intror dUcem coordonatele sferice (p,O,cp) :

'U

=

H~

IL :"

= IL

In

~n od

(72)

Fig. 79.

Fig. 80.

0 0 0

(V)

!nsă,

p'

evident, r2

=

+ z2 -

'.

'

p2

s~ integrăm mai întîi, în raport cu

·:)

(73)

'2 pz cos 6.

.2) Punctul C se găseşte în interiorul sferei · .. trebme descompus în două. (O z) şi (z a) .· • (tig.SO): aici intervalul {O,a) • . . . ,, , pawm.

e; (75)

rr

( sin 8d8 .

J o

r

. 1

Introducem in loc de 8 variabila r; p şi cp fiind considerate constante. Aici trebuie deosebite două cazuri : dacă z> p, atunci pentru p şi cp constante şi pentru ~ariaţia lui O de la O la n, mări111e·a ·r \:a!·iază de la (z - p) la (z + p). Dacă insă z< p, alunci r variază de la (p- ,z) pînă la (p +z) (fig.80). Afară de aceasta, pe baza lui (73), pentru p şi cp constante, avem :

Dacă z = a adică dacă Jllln t ·1 ~ ~ formule (74) şi {75,) dau. aceeaşi valo~ u /j~ ga~şte. pe suprafata sferei, ambele tatea funcţiei U. re pen ru • ceea ce demonstrează continui-

Trecem)a calculql atracţiei. în virtutea simetriei dupa axa OZ, aşa că t.t.ebuie să calculăm numai .. ~ ea w

tre~uie să fie dirijată

';j·

293

c

Cind punetul

se

găse::;te in interiorul sferei, utiliz:'hn

de

m ·Z=---·_z2; cînd

insă

(76)

punetul C se g. " ,, .

J'a~"t'·".·t.e în interiorul. sferei, apUcăm formula (75) .ţ

Z ""' - --· 3 Pentru z tea atracţiei

=

a am I:J ele

)

§ 4. COMPLETĂRI LA TEORIA llVTEGRALELOR 1\fULTIPI.E

1t[LZ •

fo rmule ('76) si (77) coincid, ceea ee arată eontinuita,

.

(,..,7)

t. ·

•..

t

. 1, z· ) nclul atras la centrul sferez. ' .. proporţwnala cu rlz~t~n(.a ( t.. -~l 1. ales axele de coordonate în mod special Pentru simphfiCarea ca cu e1Ol ·"am . .1lllele recedente z este distanţa de la

masa a. s er -

. , :.

dii'ijind axa OZ c;itre puncl?l ~' af~ ca î~. !~~~itie ~~recare a axelor de coordonah· punctul C la centrul sferei. en IU o_ 1 , :. . •· lf":-:?: ___ 2 ___ ,.2 uni'le (x. l •.n cu originea în centrul sferei'~ z trebl~le înloemt pun ..l- + U • ' .J . sînt ca intotdeauna <:oordonatele lm C · Formulele (74} 'ii (75) vor da : (C in exte1·loru1 sferei).

U "'"' 2rcr,J.

il

a~ '>

. ·-

-3 j

(

y:l -,L "'~~)

x~,.. '>

'

(C 'in interiorul sferei).

1

.. _ ··r· .,: , ,·d t ecuatia (71 1. Derh1ind Prima dintre expresnle pentru V veu Ic.d, c.\1 ex1 , ,. . .. . . . . }JresJ'e de două ori in raport, rt~Rpectlv, tu :l:, !! ŞI :z., obţmem . a
orP

8x2

_{!_:!!.. = _

(C în interiorul sferd)

4 1t" r

(78:)

f)z2

.· • . tatie este v·1 labilă pentru orke Cum· vom v~dea m~i _tleJ?arte, .a~eas ;~ e~~e~te în inte~iorul lui (v) ..· volum (v) cu densitate~a var~abtilă, t-~.a~alfs~.e di~rib~ităpe suprafata (S} cu.dl_ensi_-· . . . " ' ~- ~ .. n•a• 6 . l=>t·esupunem . . .· . . . ca . .. masa: . . . t a1rac. 1va...,. . bil M al suprafeţei (S} . .~.nsemn.nb, ca • ' tatea (1 (M), funcţie de putnlc ut. vsa~~ masa egală cu unitatea şi prin r di:;-.tanţ.a sus prin

c (x

y, z) pune u a ta . pentru potenţialul U expresia

·

c'M \ , obţin'em

U ==

~ ~ V. ~M)

dS

(8)

şi pentru proiecţiile atracţiei :

.·

a ('l) d~,..

!:\u \ f~..t(M) • . -- X=~--."'"<

ax . J \S)

ax

r

faţă

(77)

tă că potentialul si atractia und sfere ornogehe Form~lele (74 ):. (76 \ 1 1/~~rul ·~ferei, pol fi' obţinute concentrtnd fntr_eaga asupra zmuz punct sztual; 1111 e.~ .e unui lwnct din interiorul .~ferel e.sft>: ~ ·t ei fn centrul el. nsa, a .I ac·ţ..w asupra . . .

z.

(79) se numeşte obişnuit polentia' de simplu strai. In excwplul am considerat numai cazul cînd C se găseşte în exteriorul supr:ctfeţei (S), aşa că toate integralele sint proprii. în acest caz, potenţialul (79) verifică, ca mai sus;. ecuaţia (71). Potenţialul

fonnulll (U)

·

Y~=

!IU -r~ a;= J ~(Jh: u

\

-')

(Sl

o-:;

{1)

-fm ;

dS;

88. Noţiuni preliminare. în expunerea teoriei integralelor multiple am plecat de la noţiunile intuitive de arie şi volum. în paragraful de faţă vom fundamenta aceste noţiuni şi vom da o expunere riguroasă a bazelor. teoriei integralelor multiple. începem cu stabilirea unor noţiuni şi teoreme privitoare Ia mulţimile de puncte, care ne vor fi necesare în cele ce urmează. Vom .face expunerea pentru cazul planului. Tot ceea ce urmează· se poate extinde uşor în cazul spaţiului. Considerăm planul raportat la coordonate rectilinii ortogonale X Y. Numim vecinătatea ea punctului M, cercul cu centrul în M şi raza e. Vom considera diferite mulţimi de puncle din plan, care pot consta dintr-un număr finit sau infinit de puncte. Fie ( P) o mulţime de puncte. Punctul M se numeşte punct limită al mulţi·· mii (P), dacă oricărei vecinătăţi e a punctului M îi aparţine o mulţime infinită de puncte din ,(P). Punctul M poate sau nu să aparţină lui (P). Dacă toate punctele ,limită ale lui (P) aparţin lui (P), atunci mulţimea (P) se numeşte lncl!isă. Punctul M, care aparţine lui (P), se numeşte punct interior lui (P), dacă mulţ.imii (P) îi aparţin toate punctele unei vecinătăţi e a punctului M. . Să examinăm, de exemplu, mulţimea (P) a tuturor punctelor care se găsesc în interiorul pătratului : O < x < 1, O < y < 1. în acest caz, toate punctele mulţimii sint puncte interioare ei. Toate vor fi şi puncte limită ale mulţimii. Puncte limită vor fi şi toate punctele care aparţin frontierei pătratului, adică laturilor pătratului. întrucît noi nu le considerăm ca făcînd parte din (P), mulţimea ( P) nu este închisă. Numim mulţime deschisă o mulţime pentru care toate punctele sînt puncte interioare. Numim domeniu o astfel de mulţime deschisă (P), încît două punctt: din mulţimea (P) pot fi unite printr-o linie frînt:l care să aparţină în întregime mulţimii (P). Cu această definiţie punctele interioare ale pătratului formează, în adevăr, un domeniu, însă punctele interioare a două pătrate separate nu formează un domeniu. Proprietatea indicată mai sus, care sepad't domenii din diferite mulţimi deschise, se numeşte, obişnuit, conexiune. Uneori, ceea ce am numit mai sus domeniu se numeşte domeniu deschis. Numim frontiera domeniului (P) mulţimea (/) de puncte M' care au proprietatea următoare : punctul JU' nu aparţine lui (P), însă în orice vecinătate e. a lui există puncte aparţinînd lui (P). Intrucit (P) constă din puncte interioare, se poate afirma că în vecinătatea z a punctului M' se află o mulţime infinită de puncte din (P) şi se poate defini conturul (/) al domeniului ca mulţimea punctelor limită ale lui (P), care nu aparţin lui (P). Se. vede cu uşurinţă că (l) este o mulţimr. tnchisă. în-adevăr, fie Nun punct Hmită a lui (l). Să arătăm. că acest punct apar~ine lui (l). După definiţia punctului limită în orice vecinătate e a punctului N se găsesc puncte M' din (l) şi punctul N nu po::tte să aparţină lui (P), deoarece toate punctele din (P) sînt puncte interioare. îmă, în orice vecinătate ea punctelor 1\ll' se găsesc puncte ale domeniului (P) (din definiţia conturului) şi, prin urmare, în orice vecinătate a lui N se găsese puncte din (P), adică N aparţine efectiv lui (l). Dacă considerăm ca aparţinînd domeniului (P) şi frontiera lui(/), atunci se obţine, evident, o mulţime închisă (P), care este numită cîteodată domeni,u închis. Observăm că după ce considerăm punctele frontierei (/) ca făcînd parte din domeniul (P), punctele conturului pot deveni puncte interioare ale mulţimii noi (P). Dacă, de exemplu, (P) este un pătrat>cu o tăietură interioară, punctele tăieturii sînt puncte (l), însă dup:1 înglo·barea.lili {l) în (P), aceste puncte devin puncte inlţ~rioare lui (I-'}.

Să introducem acum cîteva noţiuni legate nu de domeniul ci de o· mulţime oarecare (P) de· puncte din plan. Numim mulţimea derivată (P') a mulţimii .(P). · mulţimea tuturor punctelor limită ale mulţimii (P). La fel cum am demonstrat că (l) este o mulţime închisă, se poate demonstra că orice mulfime derivată e.~le fnchisă. Fie (P1 ) mulţimea tuturor punctelor planului care nu aparţin lui (P). Ea este numită, de obicei, complementara lui (P). Mulţimea aparţinînd uneia din mulţimile (P) sau (P1 ) şi derivatei celeilalte, adică aparţinînd lui (P) şi (P'1 ) sau lui (P') şi (P1 ) se numeşte frontiera (l) a multimii (P). Pentru un domeniu, aceasta coincide .cu 'definiţia precedentă a frontierei. Se poate da şi o altă definiţie a frontierei, echivalentă celei de mai sus. Numim punctul M, din (P), punct izolat al mulţimii · (P), dacă există vecinătatea e a punctului M, care să nu conţină puncte (P) afară de punctul M însuşi. Se vede cu uşurinţă că frontiera mulţimii (P) constă din punctele izolate din (P) şi din punctele limită ale mulţimii (P), care nu sînt puncte juterioare. Se poate demonstra ct\ mai sus că (l) este o mulţime închisă. în cele ce urmează vom avea de-a face, mai ales, cu domenii. Să observăm că toate cele de mai sus sînt aplicabile şi la mulţimîle de punctt: de pe o dreaptă pe care o putem lua ca axă OX. în acest caz, se numeşte vecină tatea e: a unui p;unct x =--= c intervalul (c - z, c + e:), adică intervalul de lungime 2 e avînd mijlocul în punctul dat. 89. Teoremele funtlameutale ale teoriei mulţimilor. Mulţimea (P) se numeşte mărginită dacă toate punctele ei se găsesc într-o porţiune mărginită din plan. Această porţiune de plan poate fi întotdeauna considerată ca un pătrat cu laturile paralele cu axele. Deaceea, se poate spune că mulţimea (P) este mărginită, dacă :toate punctele ei ayarţ.in unui patrat cu laturile paralele cu axele. Teorema I. Fiecare mulţime de puncte (P) infinită şi mărginită are, cel puţin, un punct limitli. Demonstrăm această teoremă, mai întîi, pentru cazul în e~lre punctele (P) sînt situate pe o dreaptă, de exemplu pe axa OX. Mulţimea (P), prin ipoteză, este infinită, adică conţine un număr infinit de puncte, iar din eauză că (P) este mărginită, toate aceste puncte aparţin unui interval finit (a, b). 'Împărţim pe (a, b) în două părţi egale. în cel puţin una din aceste părţi (al' b1 ) St" va găsi un număr infinit de puncte ale lui (P). Împărţim din nou pe (al' b1 ) în două jumătăţi şi reţinem una din jumătăţile ei (a 2 , b2 ) in care se găsesc o infinitate 'de puncte (P) etc. Obţinem astfel şirul de intervale:

(a, b), (a1 , b1), (a 2 , b2 ),

fiecare interval

următor

fiind

jumătatea

••• ,

(am bn) •.. ,

intervalului precedent

şi

fiecare interval

(an, bn) conţinînd o infinitate de puncte din (P). Ştim că a"" şi bn au o limită comună p [1, ~2]. Pentru orice e > O, intervalul (p - e:, p e:) conţine toţi (an, bn) începînd de la un oarecare n, prin urmare, el conţine o mulţime infinită de puncte din (P) adică p este un punct limită pentru punctele din (P), ceea ce trebuia demonstrat.

+

Să

trecem la demonstrarea teoremei pentru cazul planului. Pe baza faptului eă mulţimea este mărginită, toate punctele mulţimii (P) aparţin unui pătrat: a< x b, c y d, pe care îl vom nota cu simbolul [a, b; c, d]. Împărţim acest pătrat în patru părţi egale. Cel puţin una din ele, fie [a1 , b1 ; c1 , d1 ], conţine o mulţime infinită de puncte din (P). Acest pătrat :il împărţim din nou în patru părţi egale. Cel puţin una din ele, fie [a 2 , b2 ; c2 , d2 ], conţine o mulţime infinit:": de puncte (P), etc. Obţinem două şiruri de intervale:

<

< <

(a, b), (a1 , b1), (a2 , b2)r •.• , (an, b'fl), ...

n

şi tn fiecare din' ele intervalul care urmează este jumătatea celui ce precede. Aşa dar anşi bn au o limită comună p, iar c11 şi o limită comună q. Prin construcţie, ori<:e vecinătate ea punctului (p, q) conţine toate pătratele [a111 • b11 : cn. dn], îneepînd

lin

296

.de la o anumită va Ioa e• · d' (P) . ~ r n, ŞI, prm urmare, eonţine 0 muJţ' · r· . ~ m . . '~adica q) este un punct limită al lui ( P) c . r une lll Imta de puncte . Lu~m un Şir ~arecare de vecinătăti E: ale unctul~· ~ea ce era d~ demonstrat. d((. valori descrescatoare: e: e: t' î dp ~ I (p,.q), unde e: Ia succesiunea (p. q) luăm un punct M1 ap~~ti~T~d iui m~ n Mc?~e zero. în· vecinătatea e:l a lui un punct .M2 aparţinînd lui (P.) şi deoseb\t ~e ~~ epart~, vecinătatea e:2, al~gem Ma aparţ nlnd lui (P) şi diferit de M . M t l'ln vecmatatea ea alegem punctul p~llcte Mn care t_ind către M (p q)t ŞI d' ~ e c. n acest mod, obţinem un Şir de distanta M n M va t'mde către 'zero' a sau Ica · • &V c~ea ce este acelaşi lucru, coordo~atel~ r (~n~ Yn) ale punctelor Mn vor tinde către limitele:. X:n ~p, Yn -.:;-q, Altfel spus dintr:~. f!':ulflme de puncte ( P) infinită ş/. măr --1-~ ) g.tml~ s: poate alege un şir de puncte care să --

!n

"-±~ci -~-~ ~cs) ~~

-

.;<-

tmda: catre o limită. . În ~el~ ce urmează vom considera nu-

~m mul!Jml mărginite şi nu vom menţiona acea~ta. m m~d special. Fie (P) şi (Q) două mulţimi. Luam toate distanţele posibile M_N_ de la un punct M din (P) la un punct dm ( Q) •. Obţinem astfel o mulţime cte numere n~neşatiV.e MN, care trebuie să aibă o margme mf~rwară exactă [1,42). Acest număr n~n:gatJv 8 se numeşte discanţa intre mul-

N

a

flmlle (P) şi (Q).

. T.e ore ma II. Dacă (P) si (Q) sînt ~ulftmz tn.chise fără puncte comu~e, atunci

dzslanţa

8 zntre ele esle pozitivă.

-

l

1·-

~Cip) ;:,;. 'r1l)

LI--,

~-. '"-{ 1

•

(

~ţ

i

y

J

1

1\

'\

(J_u_

"~

J

·--'·1--

-

--

r--

t-

'-t--

-----··+---"-

.L -..._.,X . Demonstră.m .prin reducere la absurd. Fie 8 = O. Mulţimile (P) şi (Q) sînt fără Fig. 81. puncte comu~e şi. de aceea nu putem avea MN = O. Însa, dm definitia mar . .. . . . ori.ce e >O există astfel de' punct:~~~I dlinfei('IOar~ e;ac!e urmează că pentru Pnn urmare, putem să alegem un ast n P) _şt 1\ dm (Q), încît MN < e. din ( P) si N .. din (Q) înc~t 11J 11.1 , OfelC de ştr de puncte 111n(n = 1 2 3 > • ' .,. ' t -HnHn-=' upri ·. 1 ' ' •··· umagma două cazuri : sau printre · vue a pu.?cteJe J.l1n, ne putem de puncte identice, sau nu există. L~nct~le ll!Jn, exi_sta-o mulţime in finită MnNn, unde intră JH I'ndentJ"ct· ( primul caz, pastram numai perechile - .. . n · oarecare d î · •' nnflmte de puncte identice), şi le numerotă ' .· aca ~ ~t mai multe grupt!ri ca7.Ul al doilea, mulţimea infinită si măr . ~pun perechi de numere întregi. În măcar un punct limită M şi du guuta de puncte .lvln admite cu sigurantă din Mn, care să tindă că M ' 'pav pt~v ceea ce p~·cccde, putem alege un astfel de ş';r . . . s ram numai pere h'I M N ' Şlr ŞI le numerotăm prin numere întrecr· C c lve 1 n n· unde intră acest După aceasta ne rămîn perechile de p~;~ct:e~ce ~m facut cu lVIn, facem şi cu Nn. 2) Mn tinde către punctul 11-i (sau . .d n ŞI Nn pentru care: 1) MnNn 7 o. u t N ' comcJ e cu M pentru o · ) · 11.. ' n. P~nc . (sau coincide cu N pentru 0 . ) T ~Ic~ J~ ŞI~ Hn tinde către adica M ŞI N coincid Pe de alt t nce n . recînd la hmJta, gasim M N = O aparţin lui ( P), va fÎ punct lirni~pa( e,nM ca pu~ct li~ită .al pun~tclor Mn car~ d~oarece mulţimea (P) este închis~ P~atr~e/P) ŞI va :•parţme deci chiar lui (P), lUI ~Q) •• însă M şi N coincid, adică (P) ·i (Q) ~ trcbme de asemenea, să aparţină tr~zice Ipoteza din teoremă şi arată că şi t "'un punct comun~ ceea ce conbula demonstrat. po eza o = O este absurda, ceea ce tre~ w

'

'

V

Am făcut demonstraţia ·pentru ca l t . Dacă de exemplu, M coincide cu M zu n care 1J1'~~ ŞI Nn nu coincid cu M si N cuN, atunci, avem 7 O M ap~e~~r~~oalt~ vaJorile lui n, iar Nn nu coir~cid; . n ' I )m Ul ( P). La limită, avem din no"u

MN

· d e mai· sus ram1nc --· ~ · ··V
.,

'

•

w

•

•

?

!"'

8°

te diametru[ mulţimii.<:>· Dacă. (P) este ~ mulţime ~-nchzs~~~t;~,czdi~a(ţ)~~.~~.fn~ se poate ariita eă e:nsta cel pllţm o pereche de pun_te l'vl . .

spaţiul

r~pofrtat

cit M:fMo.tn (=:;:ead.ce s a spus este valabil pentru tridimensional la ·- <;az, . • prin vecinătatea-pun~tulUI· M t re b me-~. · î teleasa cu axele XYZ.~" în acest t. buies era consi~ centru în M şi de rază ~ şi, în loeul p;\tratulut a<.x<.b ;c<.y, · Je ·

eterat eubul : a~x
în cazul axei OX, pătratul trebuie înlocuit cu in~~rvalul. oo ~r·•·a 1'nterioar'i "i m·ia e_ xterioară. în măsurarea arnlor pleeam de la ~~ee;_~ •J • .a ' 'i · · · ,·,, ' · · · ·. "lw · ·vt' • tul HnigiinJh 1 ·1. aria pătratului, cu laturile par~]eJe cu a~ele, .este eg:~ a.cu, P.~ r~. ((' '•")f. , · v_

,

•

•

,

,.

1~turii lui.

Trasind drepte paralele cu axele; acoperim. planul cu o :eţea e pa 1 ~ . te egale. Numim domeniu. de tip (oc),. domeniul închis format dmtr-un numar fi uit de pătrate din rete~ua de mal sus. . , . n'. Numim arie a unui ~semenea domeniu, suma ariilor p?.tratelor car~ :r· c~mun Ducînd drepte paral~l~ cu . axele, fieeare domeniu de tip. (oc) _po~t~ 1.• _. esC În moduri, cu laturile paralele eu axele. Se· ~ (nu ne oprim la aceasta) ca suma arn"lor acest or pa-I ,wt ·ate., pentru usor . ~ un . _.domemu. ·' de tip (oc) este totdeaunp una Şl· aceeaşt. · Afara,v d e aceasta unul dat _. • daca w · .. sau t . mm . multe domenii de tip (oc), fiiră puncte interioare comune: se ~aseşte in. 1~1 :e,rviO~~~1 domeniului (A) de tip (0!.), atunci suma ariilor ace~tor ~omenn este .~ai mica i~ clt aria lui (A). Să observ:1m eă, in cele ee urmeaza, prm cuvintul p.1trat vom ţelege pătratul împreună cu frontiera lui. . . . w. .. > o·· I' Fie (P) un domeniu mărginit. Să aeoperim planul eu o reţea de patrat~ e"'a. ~ :;;i fie (S) mulţimea pătratelor din ~eţea. pentru ca~e toate punctel~ (mclusJv punctele de frontieră) sînt punde. mterwar~. ale lm (P). F 'd t 'ă (.S) Tot prin litera S însemnăm ŞI suma arnlor aeestor pahctlc: .v1 e~ c · -~ formează unul sau mai multe domenii (în număr finit! ~.e tip Şl est~: suma ariilor acpstor domenii (fig.81). Frontiera (l') a mulţ1mn punct~lor (S) es\e •totalitatea . frontierelor · · d omenu ·· d ew t'p (:x) 1 tuturor acestor .'· :· ea .este . . . . evulent o muj t time închis~"i. Fie (S + S') totalitatea tuturor patratel~! reţe.ei ~are au yune ăe ~omune cu1 (P) sau cu frontiera (l). însemnăm cu S + S suma arnlor acesto:r1~ ~ tra ·te r,•v1· ' e11t că (S -L1 S') are aceeasi struetură ea (S), i_ ar (S) este o parte_ a _m ' . l.:.. . u . ' . w • t ot.aI rt a t ca . pătrate or (S +•S'), eare, afară de patratele ce ·.mtra~ om (S), conţme . 1 ~S') eare au punet.e comune cu (l). · _ _. H' , Considerînd toate reţelele posibile de pătrat~ eşa_Ie, ~bţm~m wo . mu .~n1t.. iufiniU't de numere S. Toate aceste numere \'or fi mat miel dec1t ar_ta P_?hatu}~-l i~ interiorul căruia se găseste domeniul m<'irginit ( P). 1k!arginea super~ oara a m~1 • zŢ1~ llnmerelor S se numes{e ~r_ ia in;erioară a domeniului (P). O însemnam cu _a. t-·:_ c , · pozitive · · S ' admite · ·o margme · · f eno · ară exac totalitatea numerelor S + n! -<-. a -~ pt-' ; ·_ ' · ~ a domemu · zuz· \'P) Ş i o însemnam cu A_ • m sfirsit, care o numim aria e.;x:terzoara însemnăm cu r lungimile laturilor pătratelor reţelei.. Vom demonstra unnatoarea teor.mă fundamentaHI ll, 115]: , ... _ · d'vi T core mă. Dacă r -7 o, atunci S -7 a şi S + S -7 A, "odzca). prm .. _ z -~ zarea. helimitalli a reţelei, S Unde către aria inlerioarti şi' s· -+ S' ctrlre arw exlet wara)

!~om.pus

nenumărate

'

în pătrate

ara~a

v

w

..

•

yx) ?

w

'_

•

După definiţia exactă a marginii superioare, orice

S-< a. Trebuie.să-dcmon

străm ·că pentru orice e > O există un 1), aşa. încît a - S < e:, dacă r < 11· După definiţia marginii superioare exacte, există, pentru e: dat, o astfel de reţea, înctt valoarea lui S corespunzătoare, pe care o însemnăm cu· S , să verifice inegalitatea 0 a - S0 < e:. Fie (10 ) :frontiera lui (S0 ) şi fie (l), ca mai sus, frontiera lui (P). Mulţimile (l0 ) şi (l) sînt mulţimi închise fără puncte comune, şi deci distanţa 3 între efe este

{adică

·l'l

pozitivă .. Luăm ·a = -2 ).

r

< ;

şi demonstrăm că, în aceste condiţii,

Fiecare punct (S0) va

a - S

<

e

aparţine unui pătrat al retelei consi-

derate cu lungimea laturei r, ale cărui puncte sînt puncte interioare lui (P), deoarece acestui pătrat r . ·.. diagonala .

r

V2 este mai mică decit 22 a- < a, adică

mai

mică ~ecît distanţa de la (l0 ) piuă la (l). Cu alte cuvinte, fiecare punet din (S ) 0 va fi şi punct din (S), adică (S0 ) este o parte a lui (S) [sau coincide <:U (S)], de unde rezultă că S0 -< S şi din a - S 0 < e: rezultă că a - S < e:, eeea ee era de demon-

strat. La fel se poate demonstra că S + S'-+ A. C o n s e c i n ţ ă. (S) este o parte a lui (S + S'), adică S < S + S' şi, prin urmare, la limită a ·~ .A, adkă aria interioară nu poaltt fi mai mare ca cea exlltrioară•

Pentru demonstrarea teoremei. am utilizat următorul fapt evident : dacă este o mulţime formată din punctele interioare lui (P)> 8 > O, distanţa dela frontiera lui (S0 ) la frontiera lui (P), iar (Q) o mulţime arbitrară (în teoremă p:').trat) cu diametru < 8, avînd puncte comune cu (S 0 ), atund toate punctele. d.in (Q) ~.înt puncţe interioare din ( P). Vom mai utilir.a acest fapt. · :Oefinî:ţiile ,-:c(ate , p-lai sus •p:entru aria , ~~terioară şi interioară !ii teorema de,~~_nstrată_ se aplieă textual şi în cazul cînd (P) este o xnulţime mărginită oare•eare. Dacă (P) nu c~nţine puncte interioare, atunci trebuie socotit că aria interioară eşte nulă. Dacă există punete interioare, atunci intr-o vecinătate t a punetutui interior va exista un pătrat culaturile paralele axelor, ale cărui puncte vor fţ ,p,urtpte. inţeJ;~o~re. în (P), şi, prin urmar~. ada iiiterioară (P) va fi mai mare. ca. zero. Dacă aria exterioară a lrii (T-)) este nulă, atunci cu atît mai mult va fi nu]ă aria interioară, şi, prin urmare, (P) nu conţine puncte interioare. în cele 4.':e ,urmează, vor prezenta o mare importanţă mulţimile eu arie exterioară nulă. Din cele de mai sus rezultă că aeestea sînt mulţimi (P), pentru care suma ariilor pătratdor reţelei, avînd ·puncte comune cu (P), tinde eătre zero pentru r -7 O. Se poate arăta di există curbe închise eare nu se autoiuterseetează, au t.~cu aţia parametrică :t: =
lt? neccso1 .-::i sLZ{icienl ca suma ariilor pălratelor reţelei, care au puncte comww cu frontiera (l) a domeniului (P), să tindă către zero cfn.cLr-+ O. Suma ariilor indicată în teoremă este, cu notaţ.iile de mai 'iuaiute, S',. şi teo~ema reiese imediat din faptul eă măsurabilihHen. este eehivalent.;t eu aceea că S şi S :,s~ au o limită coinun:l. · . ,Teorema se mai poate.Jormula şi altfel: pentru măsambiliiaiea lui (P) este ţl_ec~sar .~i .~uficient ca aria exftn;ioarâ a fro,ifierci (l) ~j!~ e!l{llli w zero.

S~

+

~~~.::_

Noţiunea de măsura~iJitate Şi teo~ema: demo~strat~ a_u, evident,J?:~ şi pen~ru

3 (b - a}

mulţimi (P) mărginite, arbitrare, şi numm pentru o ma•. n:are precizie vorb1m de domeniu. Observaţia se referă şi la expunerea de mai JOS. _ •. Presupunem că domeniul măsurabil ~ ~~ este de_scompu.s in_ doua domen~~ (P ) şi (P ) cu ajutorul unei mulţimi ('A) (l~nn), cu ana exten?ara _nulă. ~ceasta 2 1 înseamnă că punctele interioare din (P1 ) ŞI (P2) sînt puncte mterware dm (P). · neaparţinind lui ('A). Din cele precedente rezultă că (P1 ) şi (P2) sint măsurabile şi. Y că suma ariilor lor este egală cu aria (P). Acelaşi lucru este valabil şi în cazul descompunerii lui (P) într-un număr finit şi arbitrar de domenii. Invers, dacă unim într..:o singură mulţime un număr finit de domenii (sau mulţimi) (P1J închise, măsurabile şi fără puncte interioare co mune, atunci această nouă mulţime (PJ este măsurabilă şi aria ei este egaW cu suma ariilor mulţimi1or reunite. Prin o astfel de reunire unele puncte ale frontierelor ( Pk) pot deveni puncte interioare. Dacă domeniul (sau mulţitn:e-a) măsurabil (Q1) este o parte a domeniului (mulţimii) (Q,), atunci aria (Q 1 )_ O, dat înainte, există un număr aşa încît: l cp (x")-cp (x) l<

a

<_. __e __ ,dacă x' şi x" fac parte din (a, b) şi 1 x'''- x')l < 3 (b-a)

·~ [1, 43).

·

Alegem pe r aşa încît să fie mai ·mic decît

€

oşi decît 3 (b _

a) • Prin constru]-

rea reţelei de pătr~te, intervalul (a, b) se descompune in intervale:e =.a = ~!' < ..x1 <
a

V

tp(x)

•

•

••

tn acest interval} este mai mică decît __e__.. • Pătratul. conţinînd punctul .

·

3(b- a)

.

.

cel mai de jos al curbei y = cp (x) poate merge în jos celmult cur: (lu~gimea laturii pătrat,ului); de asemenea pătratul cu punctul cel mai de s~s al curbei poate merge tn sus cel mult cu r. Aşaqar, suma înălţimilor pătratelOJ; reţelei c~re ~u puncte comune cu ('A) şi se află în fîşia. x = xk_1, x = x 10 este mai miC.a decît V

300

sau, :deoaret~e r

+ 2i·

·

.

e:

inică deCît - - - ~~

.

€

< -----b-a

(b--a)

<: --e~.;.__ , această sumă 3 (b: .,...,. q.)

2e e + 3 (b-a) -- ~b·-_-·-a

(x7c- xk_1 ).

, iar

suma

a înălţimilor este mai

ariilor

acestor

pătr-ate

însumînd de la k = 1 la k = n, vedem că suma ariilpr.

pătratelor

care au puncte comune cu ('A) este. mai mică decît e, de unde urmează că aria exterioară a eurbei ('A) este egală cu zero. în mod cu totul asemănător se poate arăta că o curbă cu· ecuaţia explicită· x = tjJ (y), · unde tjJ (y) este o funcţie continuă, are de asemenea o arie exterioară egală cu zero. Numim curbă simplă orice curbă care poate fi descomptisă 'intr-un număr infinit de porţiuni de aşa natură, încît fiecare porţiune să aibă ca ecuaţie y =

că integrala definită ~ cp (x) dx dă ţn~~ginit de ·eril·ba cp (x) > O.

'

aria, în sensul indicat mai sus, a

a

y

= cp (x), axa OX şi dreptele

x

=

a

domeni~lui

şi x = b, unde presupunem

· 92. Independenţafaţăde alegerea axelor. Definiţiaariilor(exterioară şi interio-: ară) este strîns legată de alegerea axelor, întrucît toate măsurările le efectuăm' cu ajutoruli'eţelei de pătrate cu 1aturile paralele axelor. Translaţia axelor de coordonate r;m are, fireşte, nici o importanţă, însă, prin rotirea axelor în jurul originei, tabloul s·e schimbă. esenţial; deoarece trebuie să acoperim pe (.P) cu alte reţele de pătrate . .wJoc de a roti axele de coordonate de unghiul cp, contrar mersului acelor de cea&.9rnic, putem lăsa axele irnobile rotind (P) în jurul originei de unghi (- cp); De f!ki se vede <;ă a arăta independenţa ariei faţă de alegerea axelor, se reduce la a .ar~ta că aria nu se schimbă dacă Vom· deplasa ( P), ca mi tot, în plan. Pentnd.ran,slaţie, aceasta este evident; rămîne de arătat exactitatea afirmaţiei pentru ro;. ţ!ltia în jurul originei. · în prealabil să demonstrăm două teoreme. ' . ~Te o!-" emil 1. Fie planul fritreg: descompus . ln domenii măsurabile (~v)

... :·

ale. caror: dwmelre m.ţ fntrec un număr d .§i astfel fncîl orice porţiune mărr;inili! a pl~nuluz are puncte comune numai cu wi număr finit de astfel de domenir. Insemnum przn ~ suma ariilor domeniilor la care toale punctele, inclusiv punctele frontierei; ~~ suma ariilor domeniilor care au sint puncte interioare ale lui (P), şi prin ~ :măcar un siugur punct .comun cu (P) sau cu frontiera lui (l). ln aceste condiţii, dacă

+

d ~ O, atunci ~ tinde către aria interioară a lui (P) iar ~ + ~' către aria 4Xlerioară,a lui (P). . ' ' .. Sensul acestei teore':me constă în aceea că, pentru calculul ariilor interioate 'Şl' extţ;Ţioare putem, :în locul pătratelor· cu daturile paralele cu axele, să facem uz de o reţea oarecare de domenii măsurabile, eli condiţia d 7 O. Putem

301

1 • ;:,.

. tfel de retea de pătratet încît srt avem .. în notaţia . pre~edent~ unde E: c;te un număr pozitiv dat. Fiţ a distanţa de la frontiera lUI

~ ...:.lSE:,

(P) la frontiera lui (S) [cf. 90].

pune

t

D~că luăm d < ~· 8, atunci fiecare (~v), cal·e

arc

adică în acest caz (S) este e, Să arătăm acum că avem în. tot. · f' '~-' d' ta ţa dintre să luăm un ( :E) oarecare ŞI Ie o~ 1s n . . frontiera lui (P). Construim reţeaua de patrate cu latura

u (S) este situat in interiorul lui (P),

~ comunluel. c( ~') st~

.prin

odea porţmne a ~ adevăr, •, ' · una :E a. în

<

frontiera lui (:E)

şi

r < _!._ 8'. Orice .pătrat,

pun.ct~

urm~re :E > a:~ '

crm~:

are

p~n~tc

adică <
comune cu ( :E), este format din

a~

~ ~t

interioare lui (P), :E S Din inegalitatea e < :E şi din faptul că e: este arbitrar, urmează că :E -7 a. Tot astfel se poate demonstr,t că :E l':' -7 A pentru d -7 o. r . . Să observăm acum că frontiera unui. păt~at este o curba st·m·p ~ ~1, P~~tl e pătratul este un domeniu măsurabil. Dm teorema demonstxata 1me~~at ur~ar ' uită direct că pentru măsurarea ariei domeniului, am fi ~utut ub~Iza :aleS::;;~, 0 reţea de pătrate cu laturile neparalele ~u ~xele.! însă t~nzînd ca~rc zero însă în acest caz ar trebui să ştim cu ce este egala ana pat~ratu.lm c:? laturll.e ne ~ralele' cu .axele. Rămîne, riguros vorbind, nedesluşit. dacva ana patr~~ulu~, laturile neparalele axelor de coordonate, este egală cu patrat~1l latum lUI, căci la baza teoriei măsurii ariilor punem aria pătratului cu latul'lle par~lele cu axele. Dacă vom demonstra că aria unui p~trat oarecare e~te ~ga~ă cu. p~trat~l laturii lui, atunci, pe baza celor expuse mat sus, putem. afir.~a ca p~o~m~tat~~t ~ăsurabilităţii şi mărimea ariei nu depind, de alegerea d1rec~;~m axelo~. ŞI ca arJct nu se modifică prin deplasare. . A adar totul se reduce la demonstrarea teoremei II. . . 0 r e m a II. rotim cu laturile eli ax_ele: ·fn o1·iginei, aria lui rămtne aceeaşi. Amintim mai intii că f~onh~ra un~u p~trat es~e o. curbă simplă, şi, prin urmare, pătratul este un dom~mu masurabil. (?) ~c~~ tratul iniţial cu latura r şi (q1 ) pătratul obţinut după rotire. Vom~ nota ·PIJ11Jlcele,t~t

+

V

•

c!

T~

Dacă

pătratul

paral~le

JUr:u~

f.te

litere ariile lor şi vom pune q 1 = s. Cu ajutorul translaţiei, care nu modifică aria, q •· . ~ putem suprapune (q) pe orice p~Urat paralel cu latura egala cur, şi, prin urmare,

~entru

toate

pătratele

de

latură

l',

raportul !b va avea

a<:eeaşi

valoare pentru

. 0 rotaţie dată Să efectuăm o omotetie cu în origine, prin care toat c ..1~mgtmile razelor ~ectoare pornind din origine se înmulţesc cu un factor poz1t1v k. Prin această transformare, punctul (:t:, y) trece în punct~l de coo~rdonate Y'~· ~~1~ [3] iar toate dimensiunile liniare se înmulţesc cu k. Ftecar~ patrat ~u . a .m~ (, »ar~lele cu axele se transformă într-un pătrat c'! a~eea~~ pr~pne~ate:_ în.sa lun?r~m!e tu Hor lui se inmultesc cu k. De aici urmeaza ca arnle (mterwara ŞI extenoara) a inmultesc r · prin ·Jc2. însemnăm · (q) ',si st~ cu (q ' ) şi (q1 ) acele pătrate care se o bţ'm d'n 1 q centrul

I

1

(q )

prin. transformarea

indicată.

prin care (q1) se

-~-· """

-"· Alegind 'in mod convenabil

q'

(q) într-un

pătrat

a

. • ohţme

Evident că

1 rotaţie

~

(q~) 1

se

obţine

• {q.). lnsa " dm q = Jr2 , (/p

cărui latnră să aibă

numărul

.• ŞI

din (q') prin

q ' --, -- ]1'2 • q' prin

k, putem .

transforma

q

pătratul

· o l. ungune om·eea.re .. , Prin urmare, se vede

q · nre mw Şl· că raportul -·~ "'"' s, pelltnt o rohtţie dată planu1m,

.

aceeaşi

nrnwrej

~'lf:eeasi · .

valoare

, peutru.2 toate. pă.tratele iniţiale (q). Să anltăm, acu~n c~'i s =--= 1. Considerăm cercl.ll x2 + y < 1. cu centrul în origine şi c.u/ raza ;unu, acoperit cu reţeaua de pătrate cu laturile paralele cu .axele. Prin .rotaţia în jurul originii, aria pătratului ia fac- torni s, şi~ pe;·b~za. definiţiei ariei ş1 a teoEemei demonstrate mai sus, aria cercului trebuie de· asemenea să se înmulţeuscă <~U s. însă, prin rotirea menţionată, cercul se transformă în el însuşi şi aria nu poate să se schimbe, adică s = 1, ceea ce era ·de.demonstrat. 93. (:azul unui număr oarecare de dimensiuni. întreaga teorie a ariilor poate fi transpusă şi în spaţiul tridimensional ; obţinem astfel noţiunea de volum interior şi volum exterior, precum şi noţiunea de mulţime (sau domeniu) tridimensională, măsurahil:l. Rolul pătratelor îl joacă cuburile~ Se poate construi o teorie asemănătoare a "ariilor"sau o teorie a măsurii 'pentru un spaţiu n dimensional orirec.~are. 1ntr-un asemenea spaţiu vom numi punct, n numere reale (x1,. x2 , • •• , Xn) aşezate într-o anumită ordine.. Distanţa intre două puncte (x1, x 2 , •• ·~ Xn) şi _(y1, y2 ,~), o exprimăm prin fm·Jt!lula:

r

=

V,~, (y,- x,)'.

Vom numi sfer~1. cu centrul in (a1 , a2 , ••• , an) şi raza, (x1 a::!, ... , Xn) ale c<1ror <:oordonate veri:fică in~galitatea

mulţ.inwa ptmdelor

n

~

(xs -- as)2-< p2.

s'~1

îri sfîi·şit,

vom nn1ili cub cu muchie r mulţimea punctelor ale căror coordonate x8 b3 (s = l, 2, ... , n), unde b.~ -- a = r. Ca măsură a 8 cubului vom considera numărul /". Toate aceste definiţii ne dau posibilitatea de a repeta întreaga teorie precedentă pentru spaţiul n dimensional şi a stabili noţiunea de măsură interioară şi exterioară a domeniului, sau, în general, a mulţimii ; dacă ele coincid, vom spune,' la fel ca în plan, că domeniul (sau mulţimea) este măsurabil. Toate teoremele demonstrate vor fi valabile pentru sp aţiul 11 dimensional. Translaţia în spaţiul n dimensional se exprimă prin formulele ele transformare x,; = x.., +a.~ (s = 1, 2; ... , n), iar rotaţia în jurul originii se expriny1 printr-o transformare liniar~'l care păstrează distanţa punctului la ori~ gine. In volumul III vom vorbi mai amănunţ.it despre aceste transformării. în definiţ.ia domeniului am utilizat noţiunea de linie frîntă, adieă de linie formată dintr-un număr finit de segmente de drepte. În spaţiul n dimensional numim dreaptă linia (adică mulţimea de puncte) cu reprezentarea parametrică ' .~s = rp 8 (l), unde rp 8 (t) sînt polinoame de gradul întîi. Exemple de domenii în spaţiul n dimensional sînt mulţimile de puncte interioare sferei sau cubului. De obicei, un domeniu al spaţiului n dimensional se defineşte prin anumite inegalităţi, la care trebuie să satisfacă coordonatele punctelor sale. Observăm că pentru n =" l, adică în cazul dreptei, domeniul. este neapărat o mulţime a punctelor interioare .unui anumit intervaL Ceea ce am spus relativ la curbele simple se poate generaliza pentru spaţiul n dimensional. 1n particular~ dadi 1'n spaţiul tridimensional avem o s;uprafaţă dată explicit prin ecuaţia z ·=' rp (x, y), unde rp (x, y) este funcţia continuă într-un domeniu închis şi mărginit din planul XO Y, atunci măsura exte~ ~·ioar.:i a acestei suprafete este nulă. Mai departe, este uşor de construit (ca în [91]) noţiunea de suprafaţă simplă, şi orice domeniu mărginit de o suprafaţă simpl;l este măsurabil. ' ' · !J1.. Teorema lui Dal'boux. După. ce am stabi1it noţiunea de arie, trecem Ja teoria integralelor duble. To:tte raţionamentele noastre vor fi valabile şi p~J,ltru in1egr~lelc tripJe. Vom rationa dup:1 ac~eeaşi schemă pe care am mmat-·Oi ]n ~ 4;

verifkăincgalităţile a8

< <

.:J03

cap. 3 din volumul 1 şi voin omite n:1otivărÎle amănunţite,· atunci ctnd ele sint cu totul corespunzătoare celor· din volumul·. I. . . . Fie (cr) un domeniu măsurabil din plan şi fie/ (N) o funcţie mărginită, deter: minată pentru toate punctele domeniului înehis (cr).' Divizăm pe (a) într-un num'.ăr ·finit de domenii măsurabile (ak) (k = 1, 2, ... , n) şi, ca întotdeauna. însemnăm prin a şi ak ariile corespunzătoare domeniilo.r, a~a că <> =. a 1 + ~2 + .. : + a;~: Presupunem că diametrcle tuturor (ak) sînt mfenoare unm numar d. Fte, ma1 departe, Nk un punct oarecare aparţinînd domeniului închis (ak). Formăm sumele de produse :

frOllti~rei (a) şi ale fron:tierelor. tuturor domeniilor (a~). Dup~l definiţia rmlsura?ilit~ţii, aria. exter~oar~ ~ lui· (/..o) este nulă şi put~m include pe (),0 ).•. în mterwrul unm numar fnnt de pătrate, cu suma ariilor mai rr1idi decît e . . · Aceste pătrate formează unul sau mai multe domenii, şi fie (Q0 ) mulţimea 2 î~chisă .a tuturor I~u_ncutel~r aparţinînd acestor domenii, iar (10 ) frontiera lui (Q0 ). Fte ~ distanţa poztbva dmtre mulţimile închise (:A0 ) şi (10 ) fără puncte comune.

M.

demo~~tra că

Vom

să luăm

este suficient

';1)

::=

n

(1) k=l

M~i departe vom vedea pentru câre funcţ.ii anume f(N), această surrta are o limită determinată, dacă d -7 O. Fie M7~ şi mk marginile exacte superioară ş! inferioară a valorilor funcţiei f(N) în domeniul închis (ak)· La fel ca suma (1), formam sumele:

in descompunerea lui (a) în părţi, d

<

_!. 2

(t

în

adevăr '

presupunem .... :.

.

d

--;)a. Împărţim aceste părţi în două clase :

în prhna cl~să intră porţiunile care nu au"" puncte comune cu (J..o), iar în a doua, cealalte. Pnmele porţiuni le însemnăm prin (az), iar celelalte prin ( 't'm)· Suma s se. descorn:p.une în două sume : s sl .+, s2, unde

=

n (;.

S =

~ M~ak> k=l

n s

= ~mkak·

1:·:.

Ga

şi

(3)

k=l

în (1, 115], avem

inegalităţile

n

s

< ~·f (Nk) crk < S,

(4)

k=l

şi putem afirma că la fiecare diviziune alui. (a) în porţiuni, S şi s sînt cuprinse intre ma şi Ma, unde M şi m sînt marginile exacte; superioară şi inferioară. a vhlo:..

tilor lui f (N) în domeniul închis (a). l:lresupunînd valorile !ui f (N) pozitive, să examinăm mai amănunţit suma S. FÎe(o11 '), (a~2 l) şi (a13l), trei domenii măsurabile care se găsesc în interiorul lui (ak) şi care nu au puncte interioare comune, şi fie M<~l, M<~>,

unde 1!-t şi:v~n sînt marginile superiQare exacte a valorilor lui t (N) în domeniile închise (crl) şi ( 't'rn)· Fiecare domeniu (az) este situat în interiorul unui domeniu (a~) determina~ prin prima lege (l) de descompunere a lui (a), şi, pe baza lui (5), suma termenilor su:.. melor S 1 în care (ax) este situat în interiorul lui (a~), este< lVIk a~ şi, prin urmare,

1,

adică pe baza inegalităţji S'

+ _::_,

+ :.._ .'

avem S 1 < L Să revenim . 2 la suma S2. Domeniile ('t'm) au puncte comune cu (:A0 ) şi diametrele lor sînt mai mici 1 . . S'

<

L

2

ca · - 8. Prin urmare, toate aceste domenii se găsesc în i:Meriorul pătratelor car~ 2

formează

(Q0 ). Deci,

Factorii 117n

< M,

şi,

~ 't'.m < suma prin unpare.

adi1or acestor

pătrate, adică ~ 't'n~ ~

e 2M

M marginile supe-

rioare exacte a lui f (N) în domeniile închise (a<~>),. (a), (a). A vînd în vedere '

<

.că' M~1 l, M~l, M~3 l M k' a~l + a12 ) sînt pozitive, putem afirma că·

+ a13 > < ak

şi că toate valorile lui f ( N)

Din inegalităţile S1

(5)

Fie L marginea exactă inferioară a valorilor lui S. Să demonstrăm că S ~· L cînd d -7 O. Pentru aceasta este suficient să arătăm că, pentru e > O, arbitrar există un astfel de "1), încît S < L + e dacă d < 'rl· După definiţia lui L, există ~ lege bine determinată (1) de descompunere a lui (a) tn portiuni (a~) aşa încît valoarea lui S, corespunzătoare acestei legi, valoare pe cm-e o notăm cu S', este mai mică decit L

304

+ ~ ~.Fie (ÂQ) mulţimea închisă de puncte, formată din punctele 2'

'

1

L +~ şi S 2 < :.._. rezultăine:> -..;;:;" ' • pen~~u d < "Il· Afirma~ia noastră că S -7 L, este demonstrată pentru funcţiile pozitive. Repetînd raţiOnamentul din [1, 115], ne convingem că ea este valabilă ~entru ufuncţ.ii mărgini te oarecare. Exact în acelaşi mod se demonstrează că s tinde catre l, cînd d -7 O, unde l este marginea superioară exactă a valorilor lui s.

Astfel

<

obţinem:

D a r b ·o u x. Prin micsorarea nelimitată a valorii celui mai mare diametru al domeniilor parţiale (ak), su~ele s şi S tind către limile delermina~e l şi L, unde 1 L. . Toate raţion~menlele precedente sint aplicabile textual şi în cazul cind (o) ŞI (ak) sînt mulţimi oarecare măsurabile. T~orema lui Darboux r~mîne valabilă. T e o r e m a 1u i

<

'20. Curs de matematici superioare.

305

95. Funcţii integrabile. Funcţia f (N) se numeşte integrabilă in (a), dad't există o limită determinat:'l pentru şumele

~

(6)

f(Nk) ak,

k.;l'

cind diametru! maxim d al domeniilor (mulţimilor) (ax) tinde către zero. Această limită se numeşte integrala dublă din funcţia 1 (N) in domeniul (mulţimea) (a): n.

1 (N) da..--= Iim

(a)

l: 1

(Nk) ak•

k=l

.

Se demonstrează, ~a şi in [1, 116], .că condiţia necesară şi suli~ientă p~n~ru ?a /(N} să fie integrabilă, este coincidenta limitelor l şi L ale sumelor .s şz S, adzca d1jerenţa acestor sume

(7)

(MJc - mk) ak

lc=l

să tindă către zero, pentru d---+- O. în acest caz, limita comună a sumelor s şi S este mărimea integralei. . Dacă 1 (N) = 1, atunci suma:(6) .e·ste:: toide~una eg~Jă cu a'ria a a domenh:llui (mulţimii) (a), adică

~~da= a. (a)

Utilizind condiţia (7)t putem afla cîteva clase de funcţii integrabil~~· 1. Dacă 1 (N) este continuă tntr-un domeniu (mulţime) (a), atzmcl ea este: integrabilă. Acest lucru se demonstrea~ă e~act ca in [1, ~16_1 •. ~ • 2. Presupunem acum că f (N), ca ŞI pina ~cum, este margmita ~ntr:un don~em~ (multime) închis, 'insă are puncte de discontinUitate. Presupunem ca aria e~terwara a mu'lţimii (R0 ) a acestor puncte de disco!l!inui~a!e, este egală. cu ze~o. Sa arătă~ că, in aceste condiţii, f (N) este integrabila, adica suma (7) tmde catre zero. Fie c: > o un număr dat. Pe baza teoremei I din [92], putem descompune pe (cr) într-un numă~ finit de porţiuni atît de mici, încît stţma ariilor porţiunilor care au puncte comune cu (R ) să fie < _:_ unde A = M - m. în porţiunile rămase, f (N) este 0 2A' , uniform continuă, deoarece aceste porţiuni şi frontierele lor nu conţin puncte (Ro) de discontinuitate pentru f (N). Numim porţiunile care .. au puncte comun~. cu (R,J) domenii de prima clasă, iar porţiunile rămase, ~oT?~n~~ de. clasa a doua. FI~.~ 11Umărul domeniilor de clasa a doua. Pe baza contmmtaţn lm f (N) în domennle închise de clasa a doua, putem subdiviza fiecare din do~eniile d~ cl.asa !1 d~ou~, tn părţi atît de mici, încît termenii sumei (7) care se refera la porţiUnile fiecarUI domeniu de clasa a doua, să '· .

aibă suma<~ • în acest caz, termenii sumei (7) .'

2p

. care se referă la porţiunile domeniilor de clasa doua vor avea o sumă <

în vedere faptul că M7c -· mk

e:

< ----·, 2A .putem afirma

clasă<

2

şi,

că

termenii sumei l7) . care se

prin urmare: întreaga

sumă

referă

.· la domeniile .

(7) < e. Luînd in considerare

că L es!~ marginea inferioară a stimelor(2) şi l marginea superioară a sumelor (3), rezultă ·''că L - l < e: •Şi, deoarece e este arbitrar de mic, L = l, adică f(N) este efectiv integrabilă. Aşadar, dacă mulţimea punctelor de discontinuitate a unei juiw,tii mă1ginite f (N) are o arie exterioarifiiulă, atunci funcţia f (N). este integrabilă. , A:;ceasţă con~iţie va fi cu sigurapţă,fndenAinită, dacă,l (N) are un n,zţm,ăr fi[l.il de puati.e de discontinuitate, sau.d.acă punCtele de discontinuitate ale tui f ( N) găsese pe un număr finit de curbe :simple. 96. Proprieti'lţile funcţiilor integrabile. Să indicăm, pe scurt, proprietăţile

se·

fundamentale ale funcţiilor integrabile, aşa cum am făcut în [1,117] pentru .in<\. tegralele simple. I. Dacă f {N) este integrabilă fn domeniul măsurabi~ (a) şi dacă schimbăm valorile lui

f (N) lntr-o

mărginită,

mulţime

atunci noua

de puncte (R0 ), cu arie exterioară nulă păstrfnd funcţia f (N) va fi· de asemenea integrabilă, .iar valoarea (l);tegralei

funcţie

se schimbă. Dăm pe scurt demonstrarea, care este complet asemănăt6are cu demonstrarea de la sfîrşitul punctului p.recedent. închidem pe (R0 ) în interiorul d'omeniilor, suma ariilor cărora ·este suficient de mică (domenii de prima clasă). In punctele domeniilor rămase, valorile lui 1 (N) nu s-au schimbat şi de aceea, pt~ baza integrabilităţii lui f (N), termenii sumei (7), care se referă la domeniile de dasa a: doua, printr-o divizare suficientă a acestor domenii, vor avea O: sumft oricit de mică voim. Termenii care se referă la domeniile de prima clasă vor avea o sumă mică, deoarece suma ariilor acestor domenii este mică. Prin aceasta se demonst~e.!'lză int~grabilitat~a· fl.mcţiei noi. 0';Apoi, .ll1ulţhnile.(H0 ) cu aria exţerioară nulă nu au puncte interioâre, 'şi, prin urmare, thrpărţind (a) în porţ.j)an( (ak), in fiecare porţiune se găseşte un punct Nk în care valqarea lui f (N) nu s-a schimpat. Luînd aceste puncte pentru a forma suma (6), ne convingem că mări.mea inte.:. gtalei nu s-a schimbat. II. Dacă 1 (N) este integrabilă în domeniul măsurabil (cr) şi acest domeniu se des'C&'mpune intr-un numă1 finit de ~omen(i măşurabile .(a1 ),(cr2 )~.••• ,(qn)• atunci 1 (N) este integrabilă fn fiecare domeniu (cric) şi integrala extinsă la (a) este egală cu suma integralelor luate pe (ak)· ' Vom descompune pe. (a) în porţiuni, pe calea subîmpărţirii domeniilor (cr~:.). Prin această operaţie, pe baza integrabilităţii lui 1( N),. suma (7); formată· din t~r.. meni nenegativi, va tinde către zero. Cu atît mai mult vor tinde c:Tltre zero sumele de termeni care se referă la fiecare domeniu (ak), adică f (t-!) este integrabil in (cr~c). Partea a doua· a afirmat.iei noastre urmează imediat dacă în suma (6) efectuăm trecerea ]a limită pentru fiecare sumă separată de termeni care se referă la domeniile (crk)· Invers, este evident că din inlegrabilitatea in (ak) urmeau1 infcgrabiliţaleaJn (cr). Răm1n valabile şi celelalte proprietăt.i ale integralei indicate .in [I,~.FJ, care se referă la scoaterea unui factor constant de sub semnul integral la iiite. grabiJitatea sumei, produsului şi citului a două funcţii integrabile precum Şi' a valorii absolute a funcţiei integrabile. Teorema mediei se demonstrează tot aşa ca şi pentru integrala simplă [1,95]. : Frontiera unui domeniu măsurabil trebuie să aibă aria exterioară egală cu ~ero, şi, de aceea, pe baza primei dintre proprietăţile de mai sus, valorile funcţiei 1 (N) pe frontiera domeniului nu joacă nici un rol în construirea integralei. · Să.observăm că am fi putut repeta toate def~niţiile şi demonstraţiile pentru . int~gralele extinse la mulţimi . măsurabile P, arpitrare (nu 11eapărat domenii), cu arie pozitivă. în acest caz, pentru definiţia sumelor s, S şi (6),,.trehm-ie.de~r:c.fm pus (P):într-un număr finit de porţiţmi.,integrabile arbitrare fără puncte interioare comune, astfel în <"it cel mai mare 'diametru al Jdr s~ tindă eătre zero. nu

n

~

'dasă

de prima

~i

~~

Prima

< M.- m. = ~4.. şi .că .suma

e

2 . Avind

ariilor domeniilor .de

3,07

'97. Caleuhd intt'{lralei duble. Să stabilim acum formula care reduce calculul unei integrale duble la două cvadraturi. Să examinăm mai întîi cazul dreptunghiului (R) cu laturile· paralele cu axele : X

Presq.punem

c.ă

=f

f{N)

=

a;

=

X

(x, y) este

b ; Y =-=

Y

C;

integrabilă ~n

~ ~ f (N)da= ~ ~ ,(Rl

1(x,

=

(8)

d.

11·-

adică există

.(R),

iptegrala (9)

y) d;,;dy.

(Rl

~.ai. presupunem că, pentru orice . iJ

= ~ f (x, y)

F(x)

(a~

dy,

x

1 m- 1

~

:E

~=O

k=O

b

111ik LlYlcÂ.ri<

n- 1 m- 1

d

~ [ ~ f (x, y) dy] a

(10)

flll)

cu ajutorul punctelor de diviziune

a·= x0 < x1 < x2 < ... < c

=

Yo

< Yt < Ya < · ··· <

Xn-1
intermediare~

=b

Yrn~l
1:

s

i=O

lc=O

Mile Llyk

Â;l:~·.

= d

ă

b

~ ~ f (x, y) dxdy

=

·' [

~ f(x, y) dy J dx,

a

c

(12

adică, dacă există· integrala dublă (9) şi integrala repetată (11), atunci are loc formula (12), cu alte cuvinte, aceste douâ. integrale sfnt egale. · Observăm c~ exi~tenţa ~ntevgralei (11) pre~upune existenţa integralei · (10)~ Daca /(N) este o funcţ~e contmua în dreptunghml închis (R), atunci. integralele (9) şi (10) există evident ( [95] şi [1,116]). In acest caz, după cum am văzut [80] . formula (10) dă o funcţie continuă de x şi, prin urmare, integrala (11) există. să examinăm acum dom~niul (a) mărginit de două curbe y =.= cp 2 (x) .. şi y = (p (x> 1 şi de dreptele x = a ŞI x = b (fig.83). Presupunem că există integrala dublă •

porţiuni

<

'····;·

< b)

IR)

Descompunem pe (R) in .. •' .

dx

c

Luind tn considerare că produsul Lly7c!l.xi reprezintă aria(Ra"), urmeaza că termenii extremi ai inegalităţii, pentru o divizare nelimitată a dreptunghiurilor, tind către integrala (9), ceea ce duce la formula cerută :

din intervalul (a,b), există integra,la

X

integrala precedentă există pe baza existenţei integralei (11)~ tnsum~rn' ultima inegalitate după i :

V

fie (R,k) dreptunghiul parţial, mărginit de dreptele X=X·b x=xi+ 1 ; y = Yk• y = =yk+l· Fie mai departe, mik şi Mik marginile inferioară şi superioară exacte ale valorilor funcţiei 1 (x, y) în dreptunghiul inchis (Rik); Llxi = xH 1 - x;.~ âyk = Yk+l.- Yk· Integrînd inegalitatea şi

mik

tn _inţervalufyk

< f (x, y) < Mik

[(x, y) din (Ru.:)]

~ ~ t (N) da = ~S 1
integralele simple

< y
q>2(;c)

F (x)

Yk+l

· IDik ÂYk<

~

f (x, y) dy < Mik !J.yk

.(xi

a

m-1

~

lii.ik ilyk .:::;;: \

k ".o

~

~muc 308

m-1

1 (x, y) dy <

~

Mik ÂYk·

k=o

în intervalul (Xi,Xi +I) : ·

7:.=1

~~:,+1

ÂY7cÂ:l'4.

f( x,

y) dy

(14)

cp 1 ta:)

Şi integrala repetal<"t

unde (Yk• Y;.:+ 1) face parte din (c,d), iar integrala de mai ~us m~:.istă în virtutea existen~ei integralei (10) [1,117]. Ad-unind aceste inegalităţi, obţmem :

m

~

=

< x < xi+l),

11k

~ntegrăm

(13)

(O)

< ~

ă

( ) f (x, y) dy

m ] dx

<

. ~ Mik ll.yk Ax•; .1t.=l

b

~

•'[;

F (x) dx

=

~~ a

il:)

~ f (x,

rJ)

d!J] dx.

"(15)

cpl(X)

.Fie (R) dreptunghiul format de dreptele (8), alegem c şi d aşa încît, pentru orice z, între a şi b, să avem ccp 2(x), adică (a), să fie o parte a dreptunghiului (R). Să definim în (R) funcţia ft (N) = ft (x, y) egală cu 1 (N) în punctele domeniului (a) şi egală cu zero în punctele din (R) care nu aparţin lui (a). Curbele Y. = C?2(x) şi Y = cp1(x) impart pe (R) in trei părţi: (a) şi domeniile (I) şi (II),. f~tuate sub şi deasupra lui (a) (fig.83) Funcţia ft (N) este integrabilă în (a) deoarece W~ coincide acolo cu f (N) şi este integrabilă în ( I) şi (II), căci în punctele interioare acestor domenii ea este nulă.

309

Prin urmare,

ft

(N) este integrabilă în (R), [96] şi

~~

.It (N) da =

~~

eeea ce pl'iv~te meniul (Qn-,- 1 ) :

f (N) da.

(16)

~~

(cr)

Xn

~

şi o integrală multiplă de ordinul (n -

f (x1,

x 2,

••• ,

x 11,) dx, . . dx1

1) relativă la

=

La. fel pentru orice x .din intervalul (a: b) există integrala (t

P (x)

(19) r:p~ ("~l·

cpa(a:)

= ~ ft (x,

y) dy

= -~ f (x, y) dy

~~

(17)

integrala (15}. Prin urmare, putem aplica funcţiei ft (N) formula (12) şi, ţinînd seamă de (16) şi (17), această formulă V ne dă reducerea integralei duble în (cs) la integrala repetată :

~~ b

=) [ Il

f (a:,

y) dy.J dx.

~

G'1

f (x" ... ,x.) dx0

]

dx, ... dx,_1 •

(x,. · · · · Xn-1)

(20)

J~ ··· ~ f

ql~(:ll)

~

,re,~--1)

Generalizarea dreptunghiului plan cu laturile pa1;alele cu OX şi OY este prizma. toidul. (Rn) al spaţiului n - dimensional, definit prin inegalităţile :

1(x, y) dx dy =

(18)

qll (i~)

Pentru a ajunge la această concluzie am presupus existenţa integralelor (13), (14) şi (15). Dacă f (x, y) este continuă în domeniul inchis (cs), atunci, o d .x ca mai sus, integralele (13) şi (14) există. Afară de. aceast:;t, pe baz_a lui. [80], forFig. 8:3. mula (14) defineşte o funcţie continuă! de x, şi, prin urmare, integrala (15) există şi ea. La fel se poate demonstra. şi formula care reduce integrala triplă la o integrală repetată, conţinînd trei cvadraturi [58]. 98. Integrale multiple de ordinul n. Tot ce s-a spus în [94] şi [95] se generalizează fără dificultate la cazul spaţiului Il-dimensional şi duce la noţiunea de integrală a unei funcţii mărginite, într-un domeniu n-dimensional mărginit şi măsurabil, la condiţia indicată mai sus relativă la integrabilitatea şi la proprietă.i ţile obişnuite ale integralelor. Exact la fel, analog cu [97], are loc formula de reducere a integralei multiple de ordinul n la una repetată conţinînd n cvadraturi. Această formultt poate fi demonstrată prin metoda inducţiei schimbînd pe n cu unitatea. Limitele integralelor multiple se calculează din inegalităţile care definesc domeniul de integrare. Fie f (N) = f (x1 , x 2 , ••• ,xn) funcţia continuă in domeniul închis şi măsurabil (Pn), din spaţiul n-dimensional şi ale cărui puncte interioare sînt defi~ ni te prin condiţiile : punctele (x1, x 2, ... , xn-l) sînt puncte interioare ale unui dome·, niu măsu:rabU Qn--l din spaţiul (n - 1)-dimensional şi Xn satisface inegalităţil(:,,

< :t:n < IP:a (xl,x2,. .. ,xn--1),

unde ep1 (xvx2, • •. , ;t:n-:l) şi q~ 2 ,(x1 , x2 ~ ••• , ;;cn----t) sînt funcţii continui în Qn--l· 1ri aceste -condiţii, integbtia multiplă de ordinul n se exprimă printr-o cvadratură în

310

~[

. . .

Integrala extinsă la acest prizmatoid, se reduce la o integrală repetată, toate limitele fiind c.onstante:

(11)

q~l (xl,x2, ... ,xn--1)

•· (Qn--1)

cpl(X)

şi

do-

.

(x,, ... , x.) dx, ... dx"

bl

bn-1

al

an-1

~ ~ dx, ... ~

(Rn)

dx" .,

bn

Jf

(x" ... , r") dx.,

an

şi se poate schimba .după. voi:e ordinea· de integrare, ..lăsînd .liîniţţle Jlescti.i·'inpâte. ·

Pentru cititorul în curent cu noţiunea de determinant, indicăm şi formula schimbării de varţabile în integralele multiple de ordinul n. Presupunem că tn lOC de variabilele (x1 , x 2, ••• , Xn) se introauc variabilele (x~, x~, • .. , x~) şi fie (i

=

1,2, ... , n)

formulele care exprimă vechile variabile în funcţie de cele noi. Se consideră aşa-numitul determinant functional al funcţii

(21) :

.

·

(21) sisterrmlni

de

. dtt'!

att'1 ----' ---,

D =

ax~

ax~

a~'.l

_§~2.

--B~~-' ox~

ar.pn

------ ' ax~ ~ormula schimbării de variabile este.;

JJr_p~

aa<~.

(22)

unde inegalităţile care determină noul domeniu de integrare (P~) se obţin din ine.care determină pe (Pn) dacă înlocuim pe xi prin expresia lor (21). Cond~ tiile de aplicabilitate a formulei (23) sînt cele care au fost indicate pentru integrala dublă în [77]. Integralele multi}Jle de ordinul n, improprii, se definesc la fel ea şi integralele duble şi triple. improprii [86]~ Trecem acum la exemple. 99. Exemple. 1. Tetraedrul spaţiului n-dimensional, mărginit. de hiperplal~tele galităţile

:t:1

=O;

se defineşte

x 2 =O; .... ;

prin

inegalităţile

Xn

= O;

x1

+ x 2 + ... + Xn =a

prin planul J.~

(n -

1)-

const., atunci, după cum se constată din (26), se obţine o sferă

egală

raza

cu

Vr

xî.

2 -

În virtutea lui (27),

n-1

măsura acestei sfere va fi Cn-1 (r2 - x2) 2 1 sională. cuprinsă între planele x 1 şi (x1

de unde

(a >O)

=

dimensională, pătratul

rezultă următoarea

. Porţiunea din sfera n-dimen-

+ dx1) va avea măsura C,._ 1 (r2 _ v"~

expresie pentru

:

+'1'

:

n-1

~(r

2

cn'-1

Vn = Cnrn =

n-1

xî) 2 dx 1 ,

-

xi)2

dxl,

(24) -·'f'

Pentru n = 3 se obţine tetraedrul obişnuit mărginit de planele de coordonate -şi de planul x u z =.a. Introducem variabile noi punînd :

+ +

sau, efectuînd substitut-ia .r1 = r cos cp, obţinem următoarea relaţie şi cn-1:

între

c.

3C

Cn = Cn--l axn

n

de unde

xn-1

~

+ Xn

rezultă,

n

' sin cpdcp =

(n -- 1) (n -

~·

a!~(x3

+ ... + Xn) =

' ' ' n 1 x 1 x 2 ~3 ; ••• a - Xn

exprimă

I11vers, vechile variabile se

----,

X'.!

a xn--1 =

-

... x.~_ 1 (a

=

'

x 1x_ .. . x~.

~

x~x~ (a- x~) . • = · - - - - - - , .. •'

·

o

a2

--3.:;

pentru n par,

Înlocuind în (28) pe n prin (n - 1), avem :

că

O~< x 2 < a ; ... ;

Cn- 1

2Cn----•>

=

tetraedrul (24) poate fi înlocuit

\

-lmdrD. r T

()

O< x~
(25) (2fJ)

4

'lns~, dup:l

Dacă efectuăm o transformare prin omotetie, coeficientul de omotetie fiind k, oricărui cub se înmulţeşte prin Jcn, iar raza r se înmulţeşte prin k. De aici urmează imediat că măsura căutată v8 , funcţie numai de r, trebuie să aibă forma

volumul

= C11/"',

numerică, care depinde de

' C.,.

=

(2r.) 2 ---~-·------~---

pentru n par,

n(n- 2) ... :2 n+l

(27)

n. Dacă· tăiem sfera ,(26)

n-. •\pli~·i11d Iormuh1 (29; obţinem

3

(26)

Vn

sinn

:Din egalităţile serise, rezultii pentru n întreg oarecare

2.. Să dete1minăm măsura (volumul) sferei n-dimensionale cu centrul în erigine şi cu raza r, definită prin inegalitatea:

c,, est•e o constantă

r.: • 2

x~x~ ..• x~

) 1

Din aceste formule se poate deduce imediat prin eubul n-dimensional :

unde

(28)

. n (n - 1 )(n -- 3) ... 2 sm cpdcp= - - - - - - - - - · pentru n impar. n(n- 2) ... 3.

an-l

O < x~ < a ;

3) ... 1

n (n- 2) ... 2

o

'

cu ajutorul noilor varhtbile prin formulele:

X~ (a- X~). x{x~

2Cn-l

2

[

Xl=

=

sinn cpdcp

o ~unde, după cum se ştie [1,100},

X.=-------

n--1

-

-~

c'll

2 =

2

1t'

2

-

pentru n impar.

n(n- 2) ... 1

312

313

~paţiu ocupat de co1·pul încălzit. Aici avem un ·exemplu de aşa zisul cîmp scalar sau cîmp al mărimii scala1·e. Dacă, însă, în fiecare punct al unui domeniu este definit -p.,n vect~1·, atunci avem .un "cîm:p vectorial. Astfel este e:xemplul cimpului electi·omagnetiC, In fiecare punct al eăruia există 0 forţă electrică şi magnetică determinată. · · . În. unele cazuri ~ste f~portant să.. cunoaştem punctul de aplicaţi~. al vectorului,. adica punctul din spaţiu cu care coincide originea vectorului. În acest caz, avem a face cu vectori CAPITOLUL J\!

ANAI..IZA VECTORIAI.AA ŞI TEOUIA CÎlVIPULUI ~

vectorilor. Capitolul de faţă va fi eonsacrat, mai ales~ expunerii analizei vectoriale. În prezent există un mare număr de cu1·suri speciale relativt:: la analiza vectorială, astfel că, fă1·ă a inti·a în amănunte, explicăm numai noţiunile de bază şi faptele care sînt direct legate de materialul expus mai sus şi sînt necesare în expunerea bazei fizicii matematice; începem cu o scurtă expunere· a algebrei vectoriale. În ex~minarea feno~enelor fizice întîlnim două specii de Inărin1i : scalare si vectoriale. Mărime scal~ră sau, simplu, scalar, se numeşte mărimea care, după ce am ales unitatea de măsură, este complet caracterizată prin numărul care o măsoară. . · Astfel, dacă în spaţiu se găseşte un corp încălzit, atunci temperatu:ra în fiecare punct al acestui corp este caracterizată ·printr-un anumit număr şi, de aceea, putem spune că tempera· tura este o mărime scalară. Densitatea, energia, potenţialul sînt de asemenea mărimi scalare. Drept exemplu de mărime vectm·ială se poate considera viteza. Pent1·u a caracteriza complet viteza, nu este de ajuns să cunoastem. numărul care dă mărimea vitezei, ci trebuie indicată si directia ei. Putem caracteriza viteza construind un vector~egment, avînd, la scara dată, lungimea egală cu mărimea vitezei şi aceeaşi direcţie. Prin urmare vectorul este complet determinat prin lungimea şi direcţia· lui. Forţa, acceleraţia, impulsul sînt, de asemenea, mărimi vectoriale. Să ne întoarcem la corpul încălzit. Temperatura u, în fiecare punct al acestui corp, ·este caractm·izată printr-un număr sau, după cum se spune~ este o funcţie de punctul din spaţiul ocupat de corp. Haportînd şpaţiulla un sistem de coordonate ortogonal _XYZ, putem spune că scala1·ul u este o funcţie de variabilele indepeiHlente (x~ y, z). determinată în domeniul din

100. Adunarea

314

şi seădm·ea

Fig. 84.

1

Fig. 85.

legaţi. Însă, în cele ce urmează, ne vom. întîlni mai ales cu· vec-

~ori lib~ri; adică.. cu vectori pentru care punctul de aplicare poate fi Situat ori unde. De aceea, vom socoti egali doi vectori dacă sînt egali ca ~ărime (lungimi) şi au aceeaşi direcţie. În cele ce urmează ''om însemna vectorii prin caractere cursive cu

,ză~or;

. prin

săgeată A,

B... , mărhnea lor (lungimea), corespunsimbolurile . l A 1~ B1, ... , iar scalari.i, prin literele 1

::obişnuite ale alfabetulm latin. -?-?-?

-"

Fie A, B, C, vectori. Dintr-un punct O construim ·tYectorul . ;

A,

-?

.d~n extremitatea. lui construim vectorul B, din extremitatea tlcestuia, -7

'

vectorul. C. Vectorul S care an>. originea. în originea primului vector, ·~ar exţremitatetJ în extremitatea ultimulz.â vector. se nnmeste Sltma vectorilor consideraţi : . ' . ..::. ..:. ..,. ..,. S =-~ Â B Suma vectorilor are proprietătile fundamentale ale sumei f~~i'şnuite, ş~ anume, proprietăţile d~ comutativitate şi asociati(;YJ:tate exprimate prin formulele (fi.g. 84) :

·+ ·+ (;.

-?

..,.

A+ B

-?

=

_,.

-?

-?

B +A; A+ (B

-?

_,.

-?

.."

·+ C) =(A+ .8) + C. 315

~

7

. Dacă din e"xtremitate(t vectorului A construim vectorul C,-

'1 O1. Înmulţirea vectoi·ului cu un scalar. CoJllanaritatea vec:.

7

egal în torul

mărime însă

vecto~ul

cu

M, avînd oTiginea în originea vectorului 4

C,

in extremitatea vectotului

'B

direcţie

opus ca

B, atunci vec-·

torilor. ·nacă avem un vector A şi un număr a, se numeşte produs

A, iar. extremitatea

aA sau A·a vectorul care are ca lungime l a · l A 1, iar ca direcţie.

~

'

se numeşte diferenţa vectorilor A şi

(fig. ss):

7

7

7

.aceeaşi direcţie ca A, dacă a

Se vede fără. greutate minat prin relaţia:

că 4

B

.

acest veetor este complet deter~

+ M=

7

A.

7

~

d.ar de direcţie opusă, vectorului N. Atunci diferenţa vectorilor .

7

B se poate defini ca suma vectorilor A 7

~

7

şi

7

~iscă~i · atunci viteza lui totală se obţine după regula adunarn

vit~zel~r

în mişcările separate. După ~ceeaşi regulă. se ?bţine rezultanta mai multor forţe, acţionînd asupra unuia ŞI ace: luiasi punct. . ·· 'Să observăm că, dacă în adunare_, ext~emit~t~a ult!m?1~~ termen-vector coincide cu originea pr1muhn, adiCa daca h.n~a frîntă, construită după _regul~ indicat.ă ma~ sus, est~ închis~.: atunci se spune că suma vectonlor consideraţi este egala cu zero . ~

7

B=nA.,

În particular, este evident că

1

1

Fig. 86 ..

.care poate fi scrisă suh o formă mai simetrică : 7

a-A " d n = ·punin

7

-t-

bB

=

-;.

O,

a- . b 4-'

7

Invers, prezenţa relaţiei precedente arată că vectorii A şi B au aceeaşi direcţie, sau direcţii opuse. · 7

-7

Fie dati acum doi vectori A si B ale căror directii nu coincid şi hici nu sint opuse. Printr-un punct arbitrar O (fig. 86) ducem -două drepte paralele vectorilor daţi. Ele determină un pla~ care -7

-;.

.

este paralel nu numai cu ambii vectori A şi B, dar şi cu toţi 7

-7

-vectorii de forma mA şi nB (m şi n sînt numere arbitrare)., iar -~

'În virtutea regulii adunării şi cu suma lor C : -7t

-7·

-7

C =mA-!- nB.

7

A+B+.C . ~o.

;~.::.-~/-· rl /?7 Ă

L..:._

~

~e arată uşor că noţiunile de su~ă şi d~ difer~nţă a vect.ori~or, astfel definite, se supun la aceleaşi ;reguh. ~a ~I ~urnele Ş~ diferenţele algebrice obişnuite, aşa că nu mai In~Ist~~.. asupra l?r; Regula adună1·ii vectorilor are multe a:pl~c~ţu In ~ecanic~ si fizică. Dacă, de exemplu, un punct participa la mai m~lt.~

->

ff~7-·

7

(- B), adică

A+ (-B) =A- B.

zero.

7

Prin urmare, dacă A si B sînt doi y~~tori care au aceeaŞi direcţie sau direcţii opuse, atunci între ei ,există o relaţ.ie de forma :

7

7

7

/

Însemnăm, în general, pri~ ( -.N) -;vectorul, egal .~a marime

şi

< o.,

O; şi direcţie opusă lui A, dacă a

7

~

-7

7

>

ln cazul a · O, produsul aA este de asemenea egal cu

B.

A

·~

7

~

Invers, orice vector C, paralel planului construit, poate fi -7

+

-7

A+(- A)= O.

-reprezentat sub forma mA nB. Pent:ru ca să ne convingem de aceasta, este suficient să ducem din O acest vector ca dia-

În O'eneral se spune că un vector este egal ·cu zero, .d~u~ă mărime; lui es~e nulă. În acest caz nu mai poate fi vorba d~'"()

gonală.'a'Unui paralel~gram, ·ale cărui laturi sînt par,alele,<;;uA şi B. Relaţia ;scrisă mai ·sus' mai poate fi sc:risă ·sub o follmă .simetrică-:

-7

7

~

-;.

direcţie. -7

aA

7

-)

-)

-~

bB-J~cC-=±0,

217

..."

şi

. ea'

exprimă: condiţia

acelaşi

paraleli cu direcţii

plan.

Dacă

-7

A

şi .."

opuse, ..."

orice vector C,

atunci şi

în

să

ca ,trei vecto:vi

vectorii

A

-7

B au şi

relaţia precedentă

presupunem acum

eă

1

1

1

nB 1~----~~------~~~ 1 lJ/ u P 1 , --

vecto.rului A după axele de coprdonate. Helaţia p1·eced.e~t~ poate fi atunci scrisă sub forma :

coplana:.d, . adică

aceeaşi direcţie, say~

-7

B sînt coplanarii cu

(2)

trebuie considerat c=O.

Dacă n este o direcţie· în spaţiu, atunci proiecţîa vectorului

102. Descon1punerea unui. vector în Să

fiţ

tn~i

vectori necoplanari. -7

..."

..."

avem trei vectori necoplanari A, B, C. Fiecare vectm· poate fie reprţzentat c~ ~iagonala .. para!elipipedului ~Je carui m.uchn sint, respeetn· 1 ~

~

. -7

-7

-+

-7

D =mA+ nB

Dacă

d

=o.

...,.

..."

..."

+ bB -t- cC + dD =

'...,.

'

...,.

.

-7

pC.

.."

-7

O.

-7

.

;

.

'

'

A şi B scalarul a cărui mărime este egală cu produsul mărimilor acestor vectori, înmulţit prin cosinusul ; unghiului format de ei. .."

-7

Produsul scalar se înseamnă prin simbolul A . B, aşa că

..".

...,.

-7-7

..."

po~te

..,.

..."

..."

..,.

..."

-7

·adică, pentru produsul scalar este val~bilă legea comutativităţii. ..,.

7

Dac.ă vectorii A şi B formează evident, _,.

'

un

unghi drept, atunci,

.."

A·B=O .

.."

·+ n.f ·+ pk.

(1)

vectorul ca plecind din origine, atunci can.tităţile m, n, p sînt coordonatele extremităţii şi exprimă proiecţiile vecto-

'

În particular, pentru vectorii fundamentali vom avea ..,. -7

..."

·7

..,. ...,.

i·j=.i·k _ k·i=O.,

Dacă considerăm

1·ului A pe axele de coordonate. Aceste proiecţii le vom însemna, în cele ce urmellză~ prin Am, Au, A~ şi le vom numi componentele

(3)

A·B = B·A,

fi reprezentat sub fonna

,.

-7-7

[cos (A, B). Din această definiţie rezultă imediat că

..,.

A·= m.i

-7

= ]A 1• l B

A ·B

(asemenea vectmi îi vo:În. numi, î'n general, unitari) şi au direcţia axelor OX~ OY, OZ. În acest caz, ei sînt numiţi vectori fu.n.damenta.li ..,....,...." sau t'ersori şi se notează prin literele i, J, k.

318

+

Y) cos (A, Y)

La adunarea vect01'il01·, componentele lor, evident se adună închiderii este egal~ cu suma. proiectiilo~ compo- . nentelor). . , · . 103. Produsul Sf~alar. :Şe numeşte produs scalar a doi vectori

XYZ, iar vect<_>rii A, B, C sînt egali, ca lungime,· cu·· unitatea

1.

..,.

.

+ cos (n,

{proiecţia

Un caz particular,. deosebit de important, al regulii de descompunere a vectorului în trei vectori,, îl obţinem atunci cînd · spaţiul este raportat la un sistem de coordonate ortogonale

..."

..

'

+ cos (n, Z) cos (A, Z)] _:_ Ax cos (n, X) + +· A.Y cos (n, Y) + Az cos (n, Z).

primii trei sînt coplanari, atuuei trebuie considt>!rat

..,. Orice vector A

'7

cos (n, A)

...",

De aici urmează că, între patru vectori există 1·elavia : ..."

l

An= [A 1 [cos {n, X) cos (A, X)

Fig. 87.

aA

A

t

sau, ţinînd seamă de exp1·esia din geometria analitică pentru cosinusul unghiului a două direcţii :

-7

cu vectorii .A, B şi C. Orice veetor poate fi exprimat p.rin trei vectori . necoplanari Bu.h forma (fig. 87) :

ale/

fi : .

An =

pâr'ălele

1

această direcţie va

A pe

-7

Dacă

vecto1·ii

A Şi 'B

a\1

-7

..."

A~

J3

ace~aşi direcţie,' -7

..."

= 1A 11B l"

atunci

'Ia.:r · dacă dir'ecţiile lo:r sînt opuse, avem -7

-7

-7

wai

-7

A·B=-jAI!BI. _"~

-7.

2

1 A 12 =

~·J,

Produsul scalar se în

~

7

=J·J

2

2

(4)

A.n +Au+ Az -7 '-7

=

(5)

k·k = 1.

exprimă

prin componentele vectorilo_r

modul.următor:

_".-'Il

-7

_".

r_" .", -

_".

. __".

,..,.

..,.

.",

A. B = j A![ B~! cos (A, B) = 1A \1 B 1 [cos (A, X) cos (B, X) , -7 . r_". ~~ __". + cos (A, Y) cos (B, Y) cos (A, Z) cos (B, Z)] =

+

4

=

].4

1

....;,

--7

.",

__".

-7

+

! Al cos (A,. Y) ! B 1 cos (B, Y) _J_l 1

•

Al •

cos

(A~ Z)! B1cos/B, Z)

=A"' Bz

+A

11

B 11 +A,; Bz, •

(6)

.adică, produsul scalar a doi vectori este egal cu. sumq, produsel-or componentelor corespunz~toare ale acestor ve~to~~·... . . . _. Să observăm că prtmul membru al egahtaţu nu ~ep1nd:e de axele de coordonate şi de ace.ea şi membrul ~l dml~a. ~u depinde de axele de coordon~te, ceea c~ _nu este dnect vizthil: Pentru deducerea formule1 (6) am ut1hza~ cunoscut~ fo:mul:: din geometria analitică, referitoare la unghiul a doua duecţu

[102].

, · · Se demonstrează uşor că produsul distrihutivităţii, adică are loc relaţia ~

-?

..."

(A--!- B)·C

=

În adevăr, utilizînd expresia produsul scalar, putem scrie:

(A

B). c=

.."

~

A·C

+

scalar satisface legea

7

7

7

~

~

-7

7

2

-7

·B 2 ,- (8) 1

7

7

ducem vectorii A şi B şi construim pe ei un paralelogram. Pe per· pel}diculara pe planul paralelogramu, l~i, în punctul O, figurăm cele două 4 ai:r~cţii ·opuse . faţă de plan. Una din CU· aceste direcţii are proprietate a că ~. ~~ pentru observatorul situat de-a lunG.J i x · 7

gul ei, direcţia vectorului A poate fi '

~ ~

~

-7

pe direcţia vectorului B, d;upă o rotaţie de un unghi mai mic decît 1t, în sensul în care pentru observatorul situat de.;.alungul axei OZ, direcţia pozitivă a axei OX poate fi aşternută pe direcţia pozitivă a . axei O Y printr-o rotire de ~ • În .

.

- -

2

Fig. 88.

fig. 88 este reprezentată această direcţie .a perpendicularei in cazu: sistemului de coordonate drept (dextrogir) şi a celui stîng (levogir). -?>

4

Se numeşte produs vectorial al vectorului A cu vectorul B_, vectorul egal în mărime cu aria paralelogramului canstruit pe aceşti vectori şi avînd direcţia indicată mai sus a perpendicularei ridicate pe planul paralelogramului. 7

7

-;,~

-7

(7)

B-C.

obţinută

ma1 sus pentru

+ B~) c~ + (Au + By) c11 + (Az + Bz) c~ = =r (A~. C~ + A Cv + A;l Cz) + (B$ CII! + Bv C + 11

~

de obicei prin simbolu A X B. Mărimea lui, după definiţia precedentă, este egală cu "'7

7

7

il B

.~~

sin (A, B). (9_) Direcţia lut depinde de orientarea sistemului de coordonate, şi:, atunci cînd orientarea se schimbă, direcţia trece în cea opusă. 1A

7

~

Dacă vectorii A si B au directii identice sau ~usul vectorial este n'ul. În partic~lar, evident -7

A 320

-7

-7

+ B 2) = A 1 ·A 2 + At·B + B 1 ·A 2 + B

Produsul vectorial al vectorului A cu vectorul B, se înseamnă

(Ax

11

.

~are exprimă regula generală de desfacere a parantezelor la înmulţirea polinoamelor. ' . 104. Produsul ve~torial. Dintr-un punct oarecare O al spaţiului

aşternută

~

cos (A, X) 1 B] cos .(B, ~X)+

.",

7

(A 1 + .B1 ) ·(A 2

şi ~ ~

generală

·· .. _".

'În particular,

A·A ~

Din proprietatea distributivităţii rezultă imediat o formulă

7

X

opuse, pro-

-7

A= O.


321

Să examin-ăm acum produsul vectorial al vectorului B, cu

A.

Mărimea lui va fi, evident, aceeaşi ca şi în cazui produsului 1 cu B, însă direcţia va fi opusă, deoarece, prin vectorul

A şi B intre

schimbarea vectorilor ~

~

B, nu A,

şi

.

7

~

...,.

(10}

B X A = - A X B,

de unde se vede că, în cazul produsului v~ctorial, legea comu~a. . tivită tii nu are loc, şi, prin permutarea factonlor, produsul tJectonal fşj schimbă semnul. · .. . Pentru vectorii de bază avein relaţule evidente ! 7...,....,. ~ 7...,...,....,. 77 "? ; ; -:~7x i = j X j = k X k = 0; j X k = l; k X t =}; '- X} =k (11) Să aflăm acum expresia componentelor produsului vectorial ..,.

-?

P =A

x

~

•

seamă de faptul că vectorul ...,. ...,.

A

şi

7,.7

B cu ajutorul componentelor vectorilor A ...,.

...,.

Şl

B.

+ bÎ + cÎ) ~ (aa1 + bb1 ·+ cc1) 2 = = (bc1 -- cb1 ) 2 -j- (ca 1 -ac1 ) 2+ (ab1 ...".. ba1) 2,

+ b2 + c2)

P(t B 0

(aÎ

+

...,.

(12)

+

pătratul lungimii ve?torului P, adică

"A ((A 11 B~ 2

Az B 11 ) 2

+ (Az B~ -

A~ Bz) 2

+ (Ax B

11

-

Aplicînd membrului întîi identitatea lui Lagrange, putem scrie

...

2

('A ((A;

A . X B este perpendicular pe vectorul

+ PvAv + Pz Az =O,

+A!+ A;) (B! + B; + B;)- (A:cB:ll + A"B" + '~

-+- Az B~) ] = 2

1A

.7

-?

...,.

\2 1B !2 sin2 (A, B)

sau, ţinînd seamă de (4) şi_ de (6),

+ P'l, Bv + Pz .Bz = 0.-

Să· utilizăm acum următoarea lemă elementară din algebră ~ L e m. ă. Soluţiile sisten:tului omogen de două ecuaţii cu trei nec~noscute

2

r...,.

'A [1A

7

2 1

1

2

B\

-7

...,.

IA ]2 1 B

-

-7

2

t

...,.

...,.

cos 2 (A, B)] =[A

de unde rezultă că J... = ± 1. "' "' î n sf"IrŞit, . ca. . Â Sa"' aratam~ r

au fo.rma x = Â(bc1

2

a cărei exactitate se poate uşm· verifica desfăcînd parantezele din ambii membri.· Remarcăm, mai departe, că ( P~ P! P;) este

Ţinind

B, putem scrie

P; A 0

(a

ei, . trebuie rotit vectorul

anume in sens opus. Prin urmare. 7

Să ne servim, p~ntru aceasta, de identitatea auxiliară impor· identitatea lui Lagrange : · ·

tantă, numită de obicei

= + ! ;

1.

...,.

12

1B

.." 12

7

sin2 (A, B),

s upunem vectorii A

7

şi

B...,.

-7

unei deformări continue; care să ducă vectorul A peste vectorul .....,.

cb1) ;

y

=

Â(ca1

-

ac1 ); z = 'A(ab1

· ·

7

ba1),

7

7

i, iar vectorul B peste j. Deformarea poate fi realizată astfel,

unde Â este un factor arbitrar. Aici se consideră că cel puţin una din diferenţele scrise este diferită ~e zero. ... .., . . . . Demonstratia acestei leme simple .o lasam Cititorului. Aph• cînd această le~ă, obţinem 1 )

-7

-7

incit vectorii A şi B să nu se anuleze şi să nu devină paraleli

. .,.

tn

PIIJ= Â(A 11 Bz-AzB11 ) ; ·pv=Â(AzB::e-A~Bz); Pz= !..(AmBy-_,AvBro), unde Â este un coeficient de proporţionalitate, care trebu,ie dedeterminat.

. .,.

aceste condiţii, produsul vectorial A x B nu se anulează, variază continuu şi devi.ne

intre ei.

...,.

..,.

i X j

7

=

k,

1

--t

~-

1) Observăm dt dacă cele trei diferenţe sînt nule, atunci vectorii A. şi B 7 formează unghiul O sau n;, şi A

322

~

x B

=

~

O, adică P:n

=

Pv

=

Pz = O.

•7

'

..,.

...,.

...,.

deoarece A coincide cui, iar B coincide cu j. Tinînd seamă de continuitatea transformării, .precum si de faptul că Â nu poate lul! decît valorile (± 1), urmează că ~' în această deformare, nu poate varia şi c,ă, prin urmare, valoarea

323

lui după deformare va fi aceeaşi ca şi înainte. Însă; după defor .. mare, vom avea :

Az = 1;

Av

=

A 2- =O;

din

=

7

+

~

vectorial A X ·B ·.:

A 11 B, -- A 2 B 11 ;

A 2 Ba: - A(I)Bz;

AroB 11

A 11 B:D.

-

(13)

Folosind aceste expresii, cititorul poat~ să ver~fice c"? ~şurinţă valabilitatea dist:dhutivităţii produsului vectonal, adiCa relaţia ~

-7

-7

(A -1- B) X C

..,.

..,.

A X C

=

r-7

X C.

(14)

-7

-7

-7

-7

C X (A.+ B) = C X A şi

apoi, formula mai ~

-7

(A1

1,:

+A

2)

-7

-7

+B + A2

2)

-7

+).

~semănătoare

105.

'-?

X Bl

..,.

+C -7

produsul scalar ~

dintre

~-7

7

-7

7

-7

Mărimea

vectorial.

Să formăm

-7

-7

A·(B_x C) = A·N =

-7

-7

C) = -- B·(A

(16)

-7

-7

X

C).

(17)

-7

-7

-7

A·(B XC)= O. -7

1

), -7

7

-7

-7

1 A! 1 Nt

-7

(18)

-7

vectori A, B, C

7

-7

-7

7

Această egalitate este condiţia necesară şi suficientă pentru ca

..

-7

X

-7

vectorial

produsul

produsului vectorial B X C = N este egală cu

-7

-7

Dacă trei vectori A, B, C sînt coplanari, volumul paralelipipedului va fi nul, adică, în acest caz,

.

şi

-7

-7

A·(B -7

-7

aria paralelogramului construit pe vectorii B şi. C. Însă -7

~

-7

-7

-7-7-7

-7

. (15)

N=BXC;

-7

cos (A, N), '-7 -7

1

să

fie coplanari. -7

)

7

-7

7

Dependenţa semnului produsului A· (B x C) de orientarea axelor de -7

--coordonate provine din faptul că factorul B -7

,-7

1) Acest produs se mai numeşte produsul mixt al vectorilor A, B, C (N. Trad.).

324

-7-7-7

-7

A·(B XC)

-7

·paranteze din urmă se deduc din prima prin permutări circulare. Pentru altă ordine a vectorilor semnul se sch~mhă, de exemplu,

+1

X B2,

şi- cel

A

vectorul

'

(A, B, C); ( B, C, A) şi ( C, A, B) au aceeaşi orientare. Cele două

A 1 X B2

-7

-7

-7

-7

Trebuie numai atrasă atenţia asupra semnelor acestor trei produse scalare. Ele sînt identice, deoarece totalitatea vectorilor

B,

X

+

+ A2

între produsul scalar

-7

...

..,.

formulei (8) pentru produsul scalar.

Relaţii

~

-7

... ~torii C şi A sau A şi B. Obţinem astfel următoarele relaţii _,.

= A1 X B1

..".

-7

-7

-este acelaşi lucru, A, B, C au aceeaşi orientare ca şi axele de ..coordonate, atunci vom avea semnul ( De aceasta ne putem .eonvinge prin metoda deformării continue, întrebuinţată mai -sus 1 ). În calculul volumului paralelipipedului, am luat ca bază ..,. ..,. .a lui, paralelogramul construit pe vectorii B şi C. Dar, tot aşa -de bine am fi putut lua ca bază paralelogramul construit pe vec·

7-7-7

-7

~

A·(B X C) = B·(C X A)= C·(A X B).

generală:

X (B1

..,.

Se vede uşor că dacă totalitatea vectorilor B, C, A sau, ceea ce

Cu ajutorul formulei (10) obţinem de aici -7

.

~

-7

..,.

+B

-7

-7

putem deduce că J.. = 1. .. . Obtinem, 1n felul acesta, expresule componentelor produsulw , ~

.

A. (B XC) reprezintă volumul paralelipipedului, construit pe vectorii 7 7 -? A, B, C. s~mnullui depinde de orientarea axelor de coordonate.

(A"' B'V- A 11 B:~;)

J...

-7

proiecţia vectorului A pe direcţia

aui N, perpendiculară pe această arie, adică produsul scalar

relaţia

pz

-7

t N 1 a paralelogramului prin -~

B!Jl = Bz =O;

o.

Pa~= P"=

P"= 1; şi

Bv = 1;

.fi, prin urmare, acest produs poate fi considerat ca produsuf:ariei

-7

x

-?

C depinde de orientarea axelor.

-7

Prin urmare, mărimea examinată A· (B x C) nu este un scalar obişnuit, a cărui mărime nu trebuie să depindă de alegerea axelor. în general, mărimile a căror -dţ.Jpendenţă de axele !le coordonate se reduce numai la o schimbare de semn cînd tSe schimbă orientarea, se numesc pseudoscalare.

325

'

Să examinăm ~

~

-7

acum produsul vectorial al lui A cu produsul

7

adică

vectorial B X C,

~

~

"'?

7

-7

"'?

-

~

'

"'?

~

7

..,.

-;.

-

..,.

7

..,.

..,.

"'?

mB

'

..,. _" B : -. : : B'

7

+ nC;

(19),

unde

+

'7

"'?

'7

"'?

-care ne dă

'7

=

'7

D

=

~

{

7

descompunerea căutată, deoarece, evidentt· vec7

-7

-7

-7

"'?

~eamă.

7

7}

tn cercetarea mişcării corpului solid 1):

(A·C) B- (A·B) C

1:L

7

106. Distribuţia vitezeloi' In rotaţia corpului solid; momentul vectorului. Noţiunea de produs vectorial are o importantă aplicaţ.ie în mecanică, mai cu

care se vede că : ..

..,. B)

torul B' este paralel cu A, iar vectorul B" ·perpendicular pe A.

"'?

n = - v.A·B,

m = t:J.A·C; "'?

..,. (A X

A·A. ~

A x (B x C)

(21)

"'?

de unde

dufă

"""

A_>~

+ nA·C =O,

A·D = mA·B "'?

7

x 'B)

(A

B".

-7

~

"'?

..,.

x

-;.

7

insă Deste perpendicular şi pe A, şi deci [103] "'?

..,.

• IL)

şi rămîne

numai să determinăm coeficientul de proporţionali- tate I:L· Pentru aceasta este suficient să compar.ăm co~ponentele,. pe una din axele de coordonate, ale vectonlor d1n m~mbrul

w

o

bt~ii si al doilea ai formulei. Să dirijăm axa OX paralel cu A şi să

calcuiăm componenta după axa OZ. Observînd că la această. alegere a axelor -7

Az = obţinem

J A 1=

a; A~

=

Az

=

O,

Să examinăm mai întîi corpul solid care se învîrteşte în jurul unei axe fixe

'7

~

'

{L)• In_ acest caz, fiecare punct M al corpului are o viteză v. egală ca mărime cu produsul distanţei P M a punctului M la axă (fig. 89), prin viteza unghiulară ~. 'iar câ direcţie, direcţ.ia perpendiculară pe planul care trece prin axa de rotaţie

B~C,J.

Dz ==Ax (B X C) 11 =a (BzC;eiar pentru membrul al doilea [103]

-?

şi· prin punctul IVI. Această viteză v poate fi reprezentată geometric tn modul ur,mător. Alegem pe axa (L) acea direcţie în raport cu care are loc rotaţia în sens

I:L (aCxBz - aBxCz),

de unde, pr~n comparaţie, rezultă că Aceasta ne conduce la formula: '

-7

'7

"'?

. A X (B >< C) 32.6

'7

~

A Fig. 90.

Fig. 8H.

pentru membrul întîi [104] '7

!

'

=

D

..,.

(A·A) B = (A·B) A-- A

el este coplan~r cu B şi cu C; de ace~a [101] : "'?

7

CJector dat A. Facem în formula (20) C=A şi o scriem sub forma

Deoarece vectorul D este perpendicular pe vectorul ( B X C)ţ. -

'

vectorului B după două direcţii: paralelă şi perpendiculară unui

D =A X(B XC). -

Ca o consecinţă a acestei formule, introducem descompunerea

7

[1· =

-contrar acelor de ceasornic, sens pe care îl vom socoti pozitiv. Luînd, dintr-un punct .arbitrar A al axei, in sensul· indicat, un segment a cărui lungime· este (1), obţinem

1.

-

7

un vector o, care se numeşte vectorul vitezei unghiulare. însemnînd, mai depart~ -7

7

..,.

..,.

(C·A)B- (A·B) C.

(20)

1

)

în cele ce urmează vom utiliza sistemul de axe orientat direct (dextrogir).

_...

..,.

prin .. . 1· vectorul ·definit prin .A.M obţinem uşor următoarea

şi

definiţia

amintindu-ne

~

produsului

vectoriatl~~

Revel)ind la exemplul rotaţiei solidului tn jurul unei axe, putem spune că viteza punctului M a corpului solid este egală cu momentul vectorului vitezei 4lnghiulare in raport cu punctul M. Insemnind prin (x, y, z) coordonatele acestui •punct, prin (xo, Yo• Z0 ), eoordon<:~tele originii vectorului vitezei unghiulare, şi prin O;r,, 0 11 , Oz, componentele acestui vector, obţinem următoarele expresii ale componentelor vitezei punctului M :

expresie pentru viteza v: -7 -7 -7 V::::, O X r,

deoarece

~ărimea ~

7

7

produsului vectorial o x r este -7

ol

Iri

egală

cu

-+

-77

!(Z - Zo) 011 - (y - Yo) Oz; (x -

7

7

sa coincide cu direcţia vitezei v. · cum se ştie din cinematică, în mişcarea unui corp solid, în. jur~] unu~ punct fix, O, vitezele punctelor solidului, în fieca~e moment, sînt ~celeaş1 ca Şi cum corpul s-ar roti în jurul unei axe care ar trece pnn punctul O (axa msta!1~anee)~, cu o viteză unghiuhtră (!) (viteza unghiulară instantanee); in general, poz1ţ1~ axe1 de rotaţie şi mărimt-a lui (!) variază cu timpul t. Conform cu .cele spuse mai s~s, iar

direcţia După

la fiecare moment dat, viteza punctului solidului se determină przn produsul vectorzaft . .

al

vector~lui vile=ă

.

-+

un alt exemplu. în punctul M e.ste aplicată o forţă; reprezen--

-7

t11tă

prin vectorul Ji',

Se 7

7

şi

fie A un punct din

spaţiu (fi~.

. 7 numeşte moment al forţei F .jn raport cu punctul 7

~

1A P l = 1 r 11 sin

7

77

1r 1 1F \ 1sin

(r, F)

Se

7

această axă, a momentului vectorului F tn raport cu un punct al a~i a 1). · Pentru a demonstra legitimitatea acestei definiţii, trebuie să demonstrăm in-dependenţa proiecţ~ei, de_o~rece tn definiţie este vorba de poziţia punctului A pe axă. Luăm axa A ca axa Oz ŞI fie (0, O, c) coordonatele punctului A, iar (x, y, z) coordoproiectiei pe

natele originei Ma vectorului F. Cu această ategere a axelor de coordonate, pro.. .

(r, Ji') 1

de punctul A, va fi

7

-+

1 = 1F 1 1AP 1,

'

7

b -

y,

328

pol. cN. Trad. ).

-

•

..,. vare pentru cazul unui vector variabil A (-r), depinzînd de un parametru -r. Ducem vectorul dintr~un punct determinat, de -exemplu, din originea coordonateM lor O (fig. 91). Cînd parametrul variază, extremitatea vectorului 7

A(-r) descrie o curbă (L). Fie OM1 şi OM poziţiile vectorului pentru valorile (-r + ~~) şi -r ale parame .. ţ:rului.

Segmentului MM1 îi co-

respunde diferenţa A (-r

Folosind expresia componentt-lor produsului vectorial [1041, obţinem urmă toarete componente. ale momentului :

numeşte

O. Această diferenţă nu depinde de c. adică de pozitia punctului

7

c - z.

(z ~ c)Fx- (x- a)F~;

=

107. Derivata unui vector. Să generalizăm noţiunile de deri-

punctului A .şi ( x, y, z) coordonatele punctului M. Corn ponentele vectorului r vor fi :::

•) punctul A se

7

a

-deoarece a = b A pe axa Â.

pentru produsul vedorial. . . Din cele spuse rezultă, intre altele, că momentul forţe1 nu se sch1mbă dacă, punctul de aplicare M a'l forţei se mişeă pe direcţia ei. Definiţia momentului forţei;. tn raport cu un punct se generalizează la vectori oarecare. Să deducem expresiile componentelor momentului; Fie (a, b, c) coordonatele·

(y ~ b)F~- (z- c)Fu;

numeşte momentul vectorului F tn raport cu· axa A, mărimea algebriciJ a

aşternută

-adiră egală cu produsul dintre mărimea fortei şi dis 1 anta de la punctul A la dreaptm pe care este situată fnrfa. Direcţia momentului se determină după regula valabilă:

x,

· ·

A, produsul vectorial·'

~ -7

mărimea momentului forţei F, faţă

a-

· · ·

7

a momentului vectorului F în raport cu punctul A, coincide cu .componenta lui după axa OZ, şi, pe baza formulelor, va fi egală cu·

7

7

Să definim acum momentul unui vector în raport cu o axă. Considerăm o

. . " . 1 Al) ŞI extrem! lalea .n punctu •

..

'-+

prin urmare,

Xo-) 0'11.

(x -

-

,dreaptă Ll în spaţiu, pentru care este fixat un sens (o axă).

iecţia pe axa

90).

F x r unde r este un vector avtnd originea tn punrlu/ M Coborim din punctul A perpendiculara A P pe dreapta pe care este forţa F. Din triunghiul dreptunghi AM P, avem :

-şi,

o~

7

unghiu/ard instantanee, prin vectorul OM.

Să. considerăm

Xo) Oz - (z - Zo) Ore; (y - Yo)

sin (r,o)=(I)·IMAt·sincp=(l) !MPI=lvl,

(x- a)F11 -

+ ~-r) -

..,..

A ('t'

(y- b)F;re•·

Fig. 91. -7

A (-r)

+ Â-r)-

şi

raportul

-7

A (-r)

il't' 1 )

Prin urmare, momentul unui vector în raport cu

(axă nu este

un vector. 329

reprezintă un vector paralel cu segm~ntul ~My Po~iţia limită a acestui vector pentru 6.-r -. O, daca ea exista, va rep1·ezenta deriva ta

(22)

-7

-7

unde f ("t') este un scalar, A ("t') şi B ("t') vectori care depind de-.. Să verificăm, de exemplu, formula (241). Primul membru al ei ~se scrie

!:_ { Az ("t') Ba: (T)

·+ A

4't'

11

(-r) B 11 (T) +A, (-r) Bz (T)}

= ·"dX;(-.) BQÎ ("t'r+ dT

Această derivată este, evident, un vector, dirijat după tangenta la curba (L} în punctul M. El depinde de asemenea de -r., şi

d. · er.ivatalui în raport cu -r, dă derivata a doua .. .

..,.

7

2

d A ('t'2 etc. d't'2

.

7-7

-7

Să descompunem vectorul A (-r) după vecto1·ii de bază i, j, k ~

Definiţia

(22) dă atunci

~xact acelaşi rezultat îl obţinem dacă dezvoltăm membrul al ·doilea al formulei (241). S-3 consideră, fireşte, că derivate!~ de care este vorba există. În formulele (24), (241), (24 2), din existenţa derivatelor factorilor, rezultă existenţa derivatelor produsului {cf. 1, 47]. Se demonstrează, cu totul elementar, regula obişnuită relativă la derivarea unei sume de vectori. Dacă punctul M ~

'

'

se mişcă pe o curbă (L), atuncf raza vectoare r a acestui punct este o funcţie de timp;. Derivînd raza . vectoare în raport cu t • .obţinem vectorul viteză al nunctului mobil, şi,

• 7 1

in general, m-:l>

d A ('t')

- -li'l'= < d-r

m

d Aro('t')

m

m.

~

i+

d't'

d A 11 ('t') m d-r:

7

i+

.

d Az ('t')_

k,

d't'

~, ·

A<-r> f = d ~~>A <-r> + f ..,.

-d

~

330

dt ,· ;;,;\, dt

lds

A..,. ("t'· ) B7 ( ") t ' = dA-(-r) - · B..,. ("t') d't'

(

7

vîndu-l,

(24}

dB (-.) "t'··-d-)

't'

obţinem

Dacă luăm curbă

·

f-7

7

Lungimea acestui vector va fi egală cu derivata arcului de s în raport cut, iar direcţia va fi tangentă la curba (L). Vectorul viteză obţinut este, la rîndul lui, funcţie de t, şi deri· ..,. vectorul

ca

acceleraţie

dv

w = - .

variabilă independentă

dt

lungimea arcului de

-?

s, atunci derivata lui r în raport cu s va reprezenta vectorul al

7

.,.

· t = dr "' vectoru.l d e 1ung1me · · -([s , a d"Ica unitate dirijat după tangentă. Într-adevăr, am obţinut [1, 70] că YJl.xz · _ _+ _Jl.yZ _.:._. -. 1 , a d"1ca"' 1·aportu1 d'Intre 1ung1mea coar d ei· Şl· l un .. un~tar

<-r> d~~~)

+A

(25)

curbă

rn

Cunoscuta regulă de derivare a unui produs se generalizează pentru cazul produsului unui scalar cu un vector, şi de asemenea la produsul scalar şi cel yectorial, aşa că avem formulele :

f <-r>

dr

..,.

acestui vector.

{

7

ds

»=-.=-. - . 'In

adică, derivare.a vectorului se reduce la derivarea componentelor

d~

.,.

dr

tangente~

ll.s

-gimea arcului corespunzător tinde către unu, rezultat valabil şi pentru curbele în spaţiu [1, 160]. Din acest fapt, ·şi din_ defi· iliţia {22), pentru -r = s, rezultă imediat că lungimea vectorului :(!ste într-adevăr egală cu unu. ·. ·. '- ·

331

108. Cîmpul scalar şi gradientul lui. Dacă o manme fizică . are o valoare determinată în fiecare punct al spaţiului sau al unei' regiuni din spaţiu, atunci se spune că este definit cîmpul mărimii considerate. Dacă mărimea respectivă este un scalar (temperatură, presiune, potenţial electrostatic), atunci şi cîmpul ei se· numeşte cîmp scalar. Dacă mărimea considerată este un vectortfl"(l' (viteză, forţă), atunci cîmpul determi1 "' nat de ea se numeşte vectorial [·1 00]. Începem cu studiul cîmpului scalar, care este complet determinat dacă cunoaştem funcţia de punct U( M) =

care s-a fixat un sens (fig. 92).În loc de formula (26) ar fi trebuit să considerăm limita .

Iim

U (M1)

Iim

U (Ml)_- U (~)

Ml-7 Al

MMl

MM1

se numeşte derivatafuncţiei U (M) după direcţia (l) şi se înseamnă prin:

au (M) a1

=Iim M 1-7M

u (M

1) -

u (M).

(26):

~

Această derivată caracterizează viteza variatiei functiei U (M) .în punctul M, după direcţia (l). Prin urm'are, fun~ţia are în fiecare punct o infinitate de derivate, dar se arată uşor că derivata după o direcţie oarecare se exprimă prin derivateleluate de-a lungul a trei direcţii perpendiculare, X, Y, Z, prin. formula

au · au (M) cos (l, X) -1- au (M) cos (l, . at ax, ay +au cos (l, Z). az Să observăm că, pentru întrebuinţa nu o dreaptă, ci

332

Y)

+ (27}'

stabilirea formulei {26), am fi putut o curbă care s_ă treacă. prin M. şi _p&

=

oU (M) • dx

ax f)z

l nsa, d upa. . w

cum se

+ ()U (M) • dy + ay

ds

+ .!} U (M) •

Aşa, călzit dă

-

U (M1) - U (M)

U OU)

MM 1

Această limită este tocmai de:rivata funcţiei U (M), luată după lungimea arcului s a curbei considerate (L) şi, utilizînd regula derivării funcţiilor compuse, putem scrie:

= U (x, y, z).

de exemplu, un corp înun cîmp scalar al temperaturii. În fiecare punct M al corpului,. {i.) temperatura U (M) are o valoare determinată, care poate varia de la, Fig. 92. punct la punct. Să luăm un· punct şi să ducem prin el o dreaptă, pe carefixăm o direcţie (l) (fig. 92). Să considerăm valoarea funcţiei. U ( M) în punctul, M şi· în punctul apropiat de el ·M 1, situat tot pe dreapta (l). Limita raportului

-

,....--...

Mt-7M

dz •

(28)

ds

. [1 , 160] , dx dy dz s1nt " ~ , - , -

şt1e

ds

ds

ds

ds

•

••

cos1nuşn

d"I·

rectori ai tangentei la curba (L) în pu:nctul M, şi, în cazul cînd (L) este o dreaptă, obţinem tocmai formula (27). În afară de aceasta, formula (28) _arată că derivata de-a lungul curbei coincide cu der~vata de-a lungul di. recţiei ( m) a· tangentei în M la curba (L). Să considerăm acum suprafeţele de nivel ale cîmpului nostru scalar. Aceste suprafeţe sînt caracterizat~ prin condiţia că în toate punctele unei asemenea suprafeţe, funcţia

u (M)

păstrează

una şi aceeaşi valoare C. AtriFig. 93. buind acestei constante diferite valori numerice, obţinem o familie de suprafeţe de nivel U ( M) = = C, prin fiecare punct al spaţiului trecînd o suprafaţă de nivel determinată. În cazul corpului încălzit, suprafeţele de nivel sînt suprafeţele de temperatură egală. Fie (S) suprafaţa de nivel care trece prin punctul M (fig. 93). Ducem prin acest punct- trei direcţii perpendiculareîntre ele : direcţia normală (n) la suprafaţă Şi două direcţii {t1 ) şi (t 2) situate în planul tangent. Aceste direcţii sînt tangentele la două curbe {L1 ) şi (L 2 ), situate pe suprafaţa de nivel. De-a lungul acestor curbe, funcţia U ( M) păstrează o valoare constantă' şi de aceea :

au _·au _

0 ~--~~-.

(29) 333

Să luăm acum o direcţie ~rhitrară- (l). Aplicînd formula (27) direcţiilor perpendiculare între ele (n), (t 1), {t2) şi ţinînd seamă de (29), vom avea : _a_u_(M_)

ol

= __oU_
~

fJl U (M). Lucrul tenţiaJului

~

(30)

Dacă luăm pe direcţia (n) un vector, egal în valoare algebrică . . . au (M) • ~ cu-----, atunci, con1.orm 1u1 (30), proiecţia acestui vector on

Vectorul construit după această regulă se rtumeşte gradientul funcţiei U ( M), adică se numeşte. gradientul cîmpului. scalar, cîmpul vectorial, construit ·în modul următor : în fiecare punct vectorul. este dirijat. după normala la suprafaţa de nivel corespun .. ~ătoare şi egal în mărime algebrică cu derivata funcţiei U ( M) luată după direcţia acestei normale. Gradientul cîmpului scalar se notează prin simbolul grad U (M), şi formula (30) poate fi scrisă

sub forma:

Pxd.r--+-FudiJ +

grad1 U (M),

(31).

gradz U (M) este proiecţia, vectorului grad_: u:(M) pe (l). Se vede uşor c.ă alegerea direcţiei normalei · ( n) Ia suprafaţa de nivel (S) nu influenţează direcţia grad. U (M). Acest vector este totdeauna dirijat în direcţia normalei la (S), după care funcţia U (M) este crescătoare. unde

direcţia

El:emple. 1. Cîmpul gravitaţional, pe care l-am comidemt în (87}. conduce .la cimpul scalar al potenţialului gravitaţional

= ~ ~ ~ . !.t (~1) dl!_

!J·

adică oricărui cîmp pentru care F

V (M), ci funcţia -

=

grad U (M). Deseori nu se numeşte potenţial

U (M).

2. Dacă diferitele puncte ale corpului au temperatură diferită U (M), atunc~ va avea loc o mişcare în cîmp a căldurii, din porţiunile mai încălzite spre cele mm puţin încălzite. Luăm o suprafaţă oarecare şi pe ea un element infinitezimal dS în jurul punctului M. ln teoria conductibilităţii termice, se admite că, ·prin elementul dS trece, în timpul dt, o cantitate de căldură ÂQ proporţ.ională cu didS şi

c.u derivata normală ... oUM d" •. peraturn - - . a Jca

a tem-

~Q "'~. k dt dS j .flU (2\tJ) {Jn

l,

(32)

1

unde k este coefidentul de proporţionalitate care· se numeşte coeficientul conductibilităţii termice interioare, iar (n). directia Fig. 94. normalei la dS. Construim vectorul-kgrad U (M), care se numeşte vectorul fluxului caloric; semnul (-) provine din faptul că căldura se scurge de la temperaturi înalte spre temperaturi mai joase, iar vectorul grad U (M) este dirijat după normala la supra~ faţa de nivel de partea funcţiei U (M) crescînde. Pe baza lui (32) se poate spune : cantitatea de căldură ÂQ care trece, în timpul dl, prin elementul dS, este :

l gradn

U (M) 1.

(33)

109. Cîmp vectoria]. Ro tor şi divergenţă. Să trecem acum ~

ţ'

ax

iA)

ÂQ = k dl dS

unde lJ. (M1 ) este densitatea materiei care ocupă volumul (o), iar r este distanţa de la punctul M la punctul variabil de integrare M 1 • Ani obţinut următoarele expresii pentru componentele forţei gravitaţionale : f}U (M) ,

.

dU (M) """' U ( B) -· U (.ll).

-)

'

(!1)

=

\

deci lucrul mecanic se exprimă prin diferenţa de potenţial dint~e punctele A şi ' Proprietatea din urmă aparţine, evident, oricărui cîmp de forţe conservativ,

1.

Pw

CBl

P~ dz,=~

on

-a/- =

V (M)

este gradientul po.

. gravitaţwna . 1c se.exprnna . • -~ prm . f· ormu1a meeanic al forţei

IA\

funcţia

. oU(M) . . (l) d""a d envata pe dnecţia iJl · •

oU(M)

ii.U (M) adică cîmnul vectorial/ al forţei brravitaţiorrah~, !B)

n).j

on

--· 1..'l ----

âU(M) F'll=--f}y -?

F .• ~

=

8U(M) •

az

unde Fj;, F11~ Fz stnt componentele forţei F. De aici urmează imediat că, in general.

la studiul cîmpului vectorial A (M). În fiecare punct al spaţiului sau al regiunii din spaţiul în care este definit cîmpul, vectorul -7

A (M) are o mărime şi o direcţie determinată. De exemplu, în mişcarea unui fluid, la fiecare moment dat, avem un cîmp vec7

torial al vitezei v. Curba (L), în ale cărei puncte tangentele au direcţiile ~

vectorilor A ( M)' (fig. 94), se nullleşte linie ve~ţ,or~.~Ht, ~-. cţm-

334

335

pului. Tot ca ''n [22], se vede fără greutate că ecuaţiile. diferenale liniilor vectoriale ale cîmpului pot fi scrise sub forma

ţiale

dx

dy

dz

...4.11

Az

(34)

=-=-,

Aa:

în care componentele Az, A 11 şi Az sînt funcţii deter1ninate de (x, y, z). În virtutea teoremei existenţei şi unicităţii, prin fiecare punct M, dacă condiţiile teoremei sînt respectate, va trece o linie vectorială ~) determinată. Dacă trasăm toate liniile vectoriale care trec prin punctele unei porţiuni din suprafaţa (S), atunci ansamblul lor formează un tub (fig. 94). S.1 separăm în cîmpul vectorial un volum (v) şi fie (S) sup1·a· faţa care îl mărgineşte; fie (n) direcţia normalei la (S), exterioară în raport cu volumul (v). Aplicînd formula lui Ostrogradski [63] funcţiilor AJ;., A 11 şi Az, obţinem :

~J~ ( + - + ~z "A _:e . (Jx

,1A11

(lA )

011

()z

dv

=

(t')

\~ [A:c cos (n, X) •

+· A

11

+-

· cos (n, Y)

adică integrala de volum a divergenţei în (v) este egală cu fluxul cîmpului prin suprafaţa (S) Defini-ţia divergenţei (36) est~ legată de alegerea ·axelor de coordonate, X, Y si Z, însă, întrehuintînd formula (37), se poate da o altă defi~iţie divergenţei, car~ să nu mai fiţ legată de alegerea axelor de coordonate. Înconjurăm punctul M printraun mic volum (v1 ) şi fie (S1) suprafaţa acestui volum. Aplicînd formula (37) şi utilizînd teorema mediei [61], putem scrie:

.-

71 MJ

-7

(R:: + A~u + iJ~z) dv =~~An dS.

(35)

(8)

Integrala de-alungul suprafeţei, din membrul al doilea, se de obicei, fluxul cîmpului prin suprafaţă. Sansul ei fizic va fi lămurit mai- departe. Funcţia de integrat, în integrala de volum, se numeşte divergenţa cîmpului vectorial şi se notează prin simbolul 2) :

R!lţionamentele

urmare, formula lui Ostrogradski se poate scrie sub

(38)

precedente ...:;.

arată că

orice cîmp vectorial

A

şi

-?

la un cîmp vectorjal născut de cîmpul iniţial A. Făcînd

P

=

A"' ; Q = A'JI ;

R

=

Az,

scr:em formula lui Stokes [70] :

j Az dx + A~ dy + Az dz = ~ ~ [( ~;z - 0~ ) cos (n, X) + 8 11

~~~

div

A dv = ) ) An dS,

(IJ)

(37)

Condiţiile

teoremei vor fi cu

siguranţă satisfăcute, dacă

A:e, A'/1) Az sînt ~

continue avînd derivate continue şi dacă, în punctul ~!, vectorul A (M) este diferit de zero, adică cel puţin una din funcţiile menţionate este difeli tă de zero [51]. 2) "div" stnt primele litere ale cuvînt.ului francez .udivergence" = diver-

(S)

tD

(8)

L

336

AndS

dă un cîmp scalar div A, şi anume, cîmpul divergenţei sale. Vom arăta imediat că, utilizînd formula lui Stokes, ajungem

forma

gen1ă.

SS

adică divergenţa cîmpului în punctul M este limita raportului fluxului cîmpului printr-o mică suprafaţă închisă care înconjoară punctul J\!I, către volumul mărginit de această suprafaţă.

{36)

funcţii

,

7

numeşte,

1)

1

div A= Iim J!J.!.__ ,

sau [102]

Pr~n

AndS

unde valoarea div A se referă la un punct M'1 din volumul (v1), iar v1 este mărimea acestui volum. Prin comprimarea nelimitată a volumului din jurul punctului M, punctul M 1 va. tinde către M, şi formula precedentă da la limită :

(8)

(V)

SS

~l.f.x

!Sl)

+A.: cos (n, Z)] dS

~~ ~

7

~v1 =~) Ar. dS, adică divA 1 = ~-)-n--,

divA

aA _oA (JA.) _ .z ) cos(n,Y)+ (-aA 11 - x cos(n,Z) (_a: ()z ax ax ()y

l dS.

(39)

J

~

Fie ds elementul orientat al arcului de curbă {l), adică elementul arcului acestei curbe, considerat ca un mic vector. Com· ponentele lui pe axe vor fi dx, dy şi dz, şi expresia care se află .

~

~

sub .semnul integralei curhilinii reprezintă produsul scalar A . ds, 22, ·Curs de matema!lci superioare

...:;.

adică egal cu A 8 ds, unde A 8 este proiecţia lui.A pe tangenta la (l). Să considerăm acum vectorul ale cărui componente sînt diferenţele care figurează sub semnul integralei duble. Acest vector, care formează un nou cîmp vectorial, se numeşte rotorul 7

7

7

cîmpului A şi se notează prin simbolul rot A sau curl A 1 )~ aşa că rot

A= OY

fJAz -- {JAv •

llj

Cu

{Jz '

A=

rot 'li

această notaţie,

iJA.x -- i).Llz;

iJz

=

f)A 11

ax

-·-

~. {40) iJy

formula (39) se scrie :

7

~ A,ds = ~ ~ [rot~A cos (n, X)

a,

rotzA

f)J; ..,.

+ 1~ot1 A cos (n,

Y)

+

Ulterior, vom da numeroase exemple de aplicaţie a noţiunilor de rotor şi de divergenţă şi vom explica sensul fizic al acestor notiuni. • 11 O. CÎIDlJ potential şi solenoidal. În [1 08] am obţinut cîrn~ pul vectorial grad U (M), ca gradientul unei funcţii scalare U (M). Un astfel de cîmp se numeşte cîmp potenţial. Nu orice dmp vectorial va fi, desigur, un cîmp potenţial şi vom stabili acum condiţiile necesare şi suficiente, pentru ca un cîmp vectorial ..,. dat să fie cîmp potenţial. Relaţia A = grad U ( M) este echi .. valentă cu [108] :

A al = ~ u ; Av = iJ u ; Al'/ = § u '

ts; -;.

-+ rotzA cos

·

(n, Z)] dS

sau

adică echivalentă

~-A,ds = ~ ~ rot.n AdS, il)

..,.

reprezintă componenta rot A pe normala (n) la (S). Integrala curbilinie din stînga se numeşte, de

(A.)

= --·-a

V

~

(42)

aas

f}z

,4~ f)x '

'

..,.

OIJ.l

(MJ

= ~ Aw~dx + A 11 dy + A!ldz rM0 )

=

grad U( M),

(B)

=f.

{"ds.

(44)

•111111)

şi

[73]

(B)

~ A ds = ~ grads U(M) ds = U(B) - ,U(A). 8

(A)

(A)

, Se poate întîmpla ca expresia (43) să nu fie o diferenţială factorul integrant !1. ( M)~ aşa că expresia

totală, însă să admită

(.a)--M

1.) nrot" sînt primele trei litere din cuvîntui francez "rotation", este un cuvtnt englez echivalent .~cu~ţntwh:Q: r,.vtrtej'',

'

rot A = O, adică, pentru ca un cîmp vectorial să fie potenţial, este necesar şi suficient ca rotorul acestui cîmp să fie nul. Dacă această condiţie este satisfăcută, atunci, după [73], potenţialul cîmpului se determină sub forma unei integrale de contur

..,._

-:)

[)Ali_ .{iAz, =,O.

O.

eare, la rîndul lor, sînt echivalente cu anulare~ l'Otorului cîmpului:

Aici, A

unde ('A) este conturul lui (cr), şi .1\!1 un punct din- această arie. Reducînd nelimitat aria spre punctul M şi trecînd la limită, obţinem, ca şi în cazul divergenţei, componenta rotorului după o direcţie dată ( m) în punctul M : Iim

_

Bz -

U (M)

Ml

rotm A=

8A 11

oY

~ A 8 ds

. rot A'"? '[ •cr. a d1ca m

(h)

exp1·esia

este dife1·enţiala totală a unei funcţii. Am văzut în [73] că pentru aceasta este necesar şi suficient să fie verificate condiţiile : 8Az _

,

A

că

(43)

-7

Qhicei, circulaţia vectorului A de-a lungul conturului (l), şi formula lui Stokes se poate formula astfel: circulaţia cîmpului de-a lungul conturului unei suprafeţe este egală cu integrala componentei normale a rotorului, extinsă pe suprafaţa respectivă, adică egală cu fluxul rotorului prin suprafaţă. Formula (41) ne permite _să dăm rotorului o definiţie independentă de alegerea axelor de coordonate. Fie ( m) o direcţie trecînd prin punctul M, şi (a) o mică arie plană trecînd prin acelaşi punct, normală lui (m). Aplică.m acestei arii formula (41.) şi utilizăm teorema mediei: A. ds = rot,01

faptul

i)z

(41)

unde rotn A

~

cu

i)y

1

(8)

~

suprafaţa

i)x

(45) iar"curlt~

să fie o diferenţială totală. Numim un asemenea cîmp cvasipo· tenţial. După

cum am văzut,'În: [76], patticularitatea caracteri-

stică

a acestui cîmp va fi existenţa unei familii de suprafeţe U (M) = C, ortogonale liniilor vectoriale ale cîmpului, şi, în ~

~

plus, din (45) rezultă că ~A = grad U sau ~

Să luăm ca suprafaţă ( S) o porţiune de tub vectorial, cuprins între două secţiuni (S1 ) şi (S 2) (fig. 95). I.Jateral, pe suprafaţa

.1

A=-- grad U, {J. ~

adică,

in acest caz, cîmpul A va diferi de cîmpul potenţial, prin factorul numeric _!_ , care în diferite puncte din spaţiu are valori fA-

diferite. Condiţia necesară şi suficientă pentru cvasipotenţialitatea exprimă prin formula [76]:

tubului, An= O, deoarece A se găseşte în planul tangent la această porţiune laterală a suprafeţei. Dacă pentru secţiunile (S1) şi (S 2) luăm direcţia normalei (n), •de aceeaşi parte în raport cu mişcarea de-a lungul tubului, atunci la una dintre secţiuni (S1) aceasta va fi normală interioară, iar la a doua secţiune ( S 2), normală exterioară, în raport cu porţiunea izolată din tubul vectorial. Aplicîndu-i formula (47), vom avea : Fig. 95.

cîmpului se

A;c

(âAz _ âA") - OY

az

+ Ati ( âAx _ 8Az) -J- Az (AA11 __ iJA~) = . ijz

ax

-?>

-7

ax

(81 J

O,

O!/

A · rot A= O,

(46)

pentru existenţa familiei de ale cîmpului, este condiţia ~

~

(46), ceea ce revine la ortogonalitatea vectorilor A şi rot A, sau

...

Să observăm că, dacă spaţiul ocupat de"cîmp este multiplu conex, atunci potenţialul cîmpului, determinat prin formula (44), poate fi o funcţie multiformă. Am cercetat mai sus cîmpul vectorial în care rotorul este nul şi am pus "n evidenţă că un astfel de cîmp este un cîmp ~

Cîmpul vectorial A, în care

divergenţa

este

nulă, adică

~

-

verificată identic condiţia div A = O, se numeşte cîmp solenoidal. Pe baza formulei (37) pentru un astfel de cîmp, avem

este

-~ ~AndS =O,

(47}

(8)

unde (S) este o suprafaţă arbitrară închisă, în intervalul căreia cîmpul există peste tot.

3·40

~~A~S

~~

\8)

are aceeaşi valoare pentru toate secţiunile ( S) ale tubului vectorial. Ea reprezintă fluxul cîmpului prin secţiunea (S) şi se numeşte

la rot A·= O.

potenţial.

O,

{8 1)

unde semnul (-) în faţa integralei a doua provine din faptul că pe (S1) direcţia (n) este opusă direcţiei n·ormalei exterioare. Egalitatea precedentă arată că în cazul cîmpului solenoidal, integrala

care se poate scrie

adică : c'ondiţia necesară şi suficientă suprafeţe ortogonale liniilor vectoriale

~ ~ A.dS -- ~ ~ AndS =

obişnuit

tensiunea tubului vectorial în

secţiunea

(S)o

Prin urmare, pentru cîmpul solenoidal, tensiunea are una şi aceeaşi valoare în toate secţiunile tubului vectorial. Dacă, prin mişcarea de-a lungul tubului vectorial, aria secţiunii se măreşte, adică, dacă tubul vectorial se lărgeşte, atunci intensitatea fluxului, adică mărimea An, în general, se micşorează, aşa că mărimea integralei (48) rămîne neschimbată. 111. Elementul dirijat al suprafeţei. Asemănător elementului dirijat de curbă [109], se poate studia şi elementul dirijat al unei suprafeţe dS. S:i p1·esupunem că am ales pe o suprafaţă dată două feţe, aşa că în fiecare punct al suprafeţei sînt două direcţii opuse pentru normală, legate la una sau la cealaltă faţă a suprafeţei; în plus, în cazul mişcării continue pe suprafaţă, direcţia normalei, definită pe una sau pe cealaltă faţă a suprafeţei, va varia continu-Q [64]. În cazul suprafeţei ~nchise, există normala interioară şi normala exterioară în raport cu volumul mărginit

~

de suprafaţă. Numim element dirijat dS al suprafeţei,

341

vectorul ·a cărzd lu1!J5ime este egală cu aria dS al elementului, iar coincide cu direcţia pozitivă a normalei ( n) la acest element. În cazul suprafeţei închise, convenim să luăm ca asemenea direcţie normala, exterioară, şi pentru normala interioară. in loc de (n) vom scrie ·{n1). . direcţia

.

Fie (S) o sUprafaţă închisă şi (v) volumul mă1·ginit de ea,. -7

iarf(M) şi A (M) definite în întreg volumul. Întrebuinţînd for-

mula lui Ostrogradski, se verifică următoarele trei egalităţi :

~ ~fdS = ~~~grad fdtl

~

Proiecţiile vectorului dS pe axele de coordonate vor da proiecţiile elementului de arie al suprafeţei pe planele de coordonate corespunzătoare, cu semnul plus sau minus după cum unghiul format de (n) cu axa coordonată este ascaţit sau obtuz. -7

~ ~ _4 · dS = ~ ~ ~ divA dv

.

Fie f (M) o funcţie scalară şi A (M) un vector, definite pe suprafaţa (S). Formăm expresiile:

~ ~f(M)dS

(498)

(S}

•

Prima este un vector ale cărui componente sint .: cos (n,X) dS;

!~~

~ ~f(M) cos (n,~ Y) dS; (8)

(M) cos(n, Z) dS.

\S)

~ ~A (M). dS = ~ ~ A%dS (S)

şi, în sfîrşit, expresia ( 49 2) este un vector cu componentele

~ ~ [A 11cos (n, Z) -

~~

V

(Avcos (n, Z)

---~Azcos (n~

Azcos (n, Y)] dS

(8)

~ ~ ~-(~~z- ---/;~11 ) dv, .

Y)] dS; ··-

~

00

care sînt egale ca mărime, ceea ce se vede transformînd integrala triplă cu ajutorul formulei lui Ostrogradski [63]. La fel, utilizînd formula lui Stokes şi elementul dirijat al suprafeţei, putem scrie următoarele formule :

~f

d;. - ~ ~ grad f

(l}

\S)

.,",~

Expresîa ( 491) este un scalar

(8)

~ ~ Â xdS = - ~~~rotAdv.

~-~

.f~ A(M) xdS (8)

17

Egalitatea (501 ) coincide cu. formula (37). Să verificăm egalitatea {50 2 ). Componentele pe OX în membrul întîi şi al doilea se exprimă prin integralele :

(-7 -7 JA (M)· dS

(8)

~Jf (M)

(8)

(49)

(Sl

~

(50)

·j~

(8)

..,.

-"

X

dS

(51)

'

~A·ds = ~ ~ 1·ot A·dS. (l)

(8)

Aici (S) este o suprafaţă oarecare, iar (l) conturul ei. A doua din aceste formule coincide cu formula (41), deoarece în virtutea -7

-7

A • dS = rotrrAdS. Pentru for· mula (51), componentele pe OX ale celor doi membri vor fi ; definiţiei produsului scalar rot

~ ~ (Azcos(nfcX}-.Arecos (n,Z)] dS (Sl

~ ~ [A~cos (n, Y) - A 11cos (n, {8}

X)] dS.

,cu ajutorul formulei (22) din [70], se arată imediat că aceste două expresii sînt . egale.

112. Citeva formule din analiza

vectorială.

văzut

potenţial

S1

arătăm

cîteva

relaţii care leagă operaţiile vectoriale pe- care le-am definit.

Am

că

[110]

rotorul cimpului

este egal cu zero:

rot grad U =O.

(52)

Se verifică lesne că cî_mpul rotaţional are divergenţa nulă, adică.

Vom verifica numai prima din aceste relaţii, lăsînd verificarea celorlalte pe seama cititorului. Să luăm componenta pe OX a vectorului din primu membru al ecuaţiei (57) şi să arătăm că ea coincide cu compQnenta. vectorului care figurează în membrul :al doilea:

_,.

.

-)>-

div rot A= O.

Într-adevăr,

divrotA=~lBA~: _

ax

Mai

luăm

AA11) +-?_-(AAx __ (Jy

az

8y

az

în considerare

div grad U

(53)

BA~)+ __fl_(AA 11 _8Are). =O.

ax

divergenţa

az ax

cîmpului

(Jy

potenţial

=

=

d1v grad U Operatorul

(Jx2

()2U

[J2U

+ -----j- . 011 (Jz2

•

:

.

-

(

(Jy2 .

+ _(J2A!!. + ()2Az) = [Jy2 [Jz2

(·u 1 )~M

(56)

Vl

~

div A x B _,.

rotfA Il (q>~)

-7

=

=

ocazie,

că

113. 1\Iişcarea corpului solid şi mir·il~ defnrmiiri. Am văzut [1 OGl că h1 unui corp solid în jurul unui punct O, viteza unui punct oarecare se expriformula

_,.

Mişcarea

o mişcare de formula

Tnvers,

-

_,.

cea mai

generală

a corpului solid o

translaţie

de

viteză

= ~Â

v0 ; în acest caz, viteza

_,.

-7

_,.

_,.

V=

v0

+O

X r.

totală

îi mai atribuim

se

exprimă

prin.

-7

vectorul vitezei unghiulare, cind este dat ctmpu1 vitezelor v.

_,.

mai întîi, că veetorii "o sint ictentiei, Ia momentul dat, pentru toate punctele corpului şi, de aceea, nu depind de (x, y, z). Avem atlinci, după (40),

_,.

rot

_,.

= gradf X A+ frot A,

să găsim

-7

obţinem dacă

·Observăm,

_,.

B · rot A - A · rot B, _,.

-7

r, _,. _,. unde o este vectorul vitezei unghiulare instantanee, iar r raza vectoarc OM.

'"7

_,.

_,.

grad div A - rot rot A~

_,.

=fdiv A+ gradf ·A, _,.

această

mişcarea mă prin

grad div A -- LlA, _,.

_,.

cu

~

llA

-;.

LlA, unde A este un cîmp vectorial, înseamnă un vector ale cărui componente sînt !lAx, llA 11 , ÂAz. Indicăm. următoarele formule:

_,.

LlA!ll, ,

V= O X

Am definit pe ilU pentru cazul cînd U este scalar. Simbolul

div (fA)

divA -

(Jx

din formula (57) rezultă că 11A nu depinde de alegerea axelordeoarece

_,.

dS

Iim ~--·

...,.

_(}_

Observăm,

-ceea ce trebuia demonstrat. (55)

[Jz2

J~ ~~

=

az

(Jy

~

(Jx2

-7

(2Aw oAu- + -f!Az) -- + - -

a.r: . ax

o2A~

A

(54)

se numeşte operatorul lui Laplace. El nu depinde de alegerea axelor de coordonate, după cum se vede din primlJ.l membru al lui (54). Aplicînd formula (38) vectorului grad U, obţinem pentru 11 U, în punctul M,

rot rot A

=

âAx) A ( (JA.., {Jy . ~

Tx -

rot 3:I"Ot ..4_,. = - 8

diferenţia!

llU= f!!:!_+~+~

-'?

_,.

rotfl A

A

[Jx2

2

{Jz

A

sau (J2U -~

a

a; Tz - fiAz) ax '

fi (BAu {J:y

_,.

rotz A - -

• d paranteze1e, a d"'aug1n d ŞI• scaz1n .., d (J2Aa: (Jx , d e un d e, d esc h Izin 2

= ax §_ gradzU + _!}_ graduU + _fl_grad. U, (Jy f)z

•

a

= -()y

rot:erot A

~

(573) (57J

Vu

=O.

Fie p, q,

r componentele

_,. lui o în raport cu axele <:are au originea tri O. Corn_,.

_,.

· ponentele produsului ve<:torial o x r vur fi [1Mj: qz - ry, rx- pz, py - qx,

.

·aşa că; după

.

~

.

(40), componentele lui rot o

~

.

x r vor fi

2 p, 2 q, 2 r ?

şi,

.

de aceea, vec-

.adică

+ a 1 ) x + b1 y + c1z 'lj = a 2 ;r. + (1 + b2 ) y + c2 z ~ = a3 x + b3 y + (1 + c3 ) z. ~

·.

toruJ vitezei lmghinla.re se exprimă, tn funcţie rle v. sub forma 1

?

?

o= -rot v.

(59)

2 .;.

De aici pro.vine denumirea vectorului rot v - rotorul vectorului vitezei. .

7

Dacă înmulţim vectorul vitezei v cu mărime~ dt a unui mic interval de timp. ·:? . l>e obţine vectorul v dt, care va da, aproximativ~ deplasarea punctelor tn intervalul :de timp dt. Obţinem astfel cimpul vectorial al micilor deplasări ale punctelor ...,

A

o.

şi. o

deformare a acestui volum, adică o modificare a distanţelor dintre punctele sale. Să cercetăm mai de aproape această chestiune. 7

b8

Componentele rotorului vectorului deplasării A, conform cu (62), vor fi c2 ; c1 - a3 ; a2 ·- bl' Dacă transformarea s-ar reduce la o rotaţie a volumului

-

elementar, rigid, atunci am obţine vectorul deplasare A Ul cu componentele

-7 =V dt.

(1)

A 00

....;t.

:;

.A =, ut X

·+ r,

mai sus, este ·'

uşor

21 (a -·b 2

l

=-

2

1)

(b3

y;

·--

(1)

A 11

=

21 (a 2 ·- b

. 1 c2 ) y -- ·- (c1 2

1)

-

1

x - 2(b3

.

---

c2 ) z;

a 3 ) x.

~

7

.•:1. r2l·,

unde

şi

a 3) z-

Scăzînd acest vector din A, reprezentăm pe acesta din urmă sub forma

-unde o1 = o dl este un vector mic dirijat după axa de rotaţ.ie şi egal cu unghiul mic de rotire tn intervalul de timp dt. Fie p 1 , q1 , r 1 componentele acestui vector şi ~ x, y, z) coordonatele punctului fix al corpului solid. Componentele vectorului ~

-

(l)

(60)

A. vor fi :

1

= ?. (c 1

Az

-;;

De aici, ca '

}

O asemenea transformare se va reduce numai in cazuri particulare la o rotaţie rigidă a volumului (v), în jurul punctului În cazul general, ea va cuprinde

Hevenind la formula (58) şi considerind că mişcarea de translaţie lipseşte, ;niică presupunînd punctul O fix, obţinem următoarea formulă pentru vectorul deplasării :

.deplasării

(1

7

eorpului solid :

...,

=

(64)

~ectorul def~rmării pure 1r2J are componentele:

de exprimat vectorul rotirii mici prin vectorul (65)

...,

1 -i> o1 = - rot A.

(61)

2

Afară de aceasta, ultimele formule arată că componenlele vectorului A sînt funcţii liniare omogene de coordonatele (x, y, z). . Să examinăm acum cazul general al deformării liniare şi omogene în care eomponentele vectorului deplasării sînt funcţii lihiare şi omogene de coordonate :

+ b1 y + c1.z A 11. = a2x + b2 y + c2z A z= a3 x +· b3 y + c3 z.

.:ia-:."'" a 1 a~

l

(62)

7

noile Jui coordonate vor fi, ţ

:846

= x

+ A~;

·r, = y

după

+ A 11 ;

r:;;

transformare.

=z

2

grad [a1 x 2

+ b2y2 + c3z2 + (b1 + a 2 ) xy + (c1 + a 3) xz + (c2 + b3)yz].

Să determinăm acum schimbarea volumului elementar, în urma deformăriL După deformare, noul volum va fi reprezentat prin integrala

v1

In apropierea originii coordonatelor. Orice punct al acestui volum va avea o deplaşi

1

A< )_=

fi, evident, rotorul acestui vector va fi nul .

Coeficie1iţii a, b, c ii vom considera mici şi ne mărginim la un 1i1ic volum \Il)

sare de vector A,

Se vede imediat că acest vector va fi vector potenţial, şi anume: ~2

+ A.lll,

=

~ ~ ~ d ~ d1J d~. (V)

Efectuînd schimbarea de variabile după formula din (GO], trebuie să punem

d; d1Jd~ = {(1 + a 1) [(1 + b2) (1 + c3 ) - c2b3 ] + b1 [c2a 3 + c1 [a2b3 - (1+b2 ) a 3 ]} dx dy dz.

a 2 (1

+ c3 )] + 347

Dacă desfacem ~radul intii in a, b,

d~ dYj d~ şi

formula

preţedentă

v1

= ~~~

şi reţinem

parantezele obţinem :

numai termenul liber

şi

termenii de

c,

ne

=

[1

+ (a1 + b2 + c3 )}

eLe dg dz,

~~~

dă

[l + (a1

+ b2 + c3)]

dx dy dz

=

v

+ (a1 + b2 + c3) v, ,şi, in timpul

mărimea

volumului inainte de

deformaţie.

Coeficientul

variaţiei

de

pd V

('V)

(11)

unde veste va fi

Cantitatea de fluid care ocupă volumul (1;), mărg·.nit {S), se exprimă prin integrala

dt, această cantitate işi schimbă mărimea cu

r.ubice

dt ) ) )

~~

dv;

(V) ~

şi se constată uşor, 'in virtutea lui (62), că suma din dreapta este div A, adică

divergenta c.tmpului

deplasărilor dă

114. Ecuatia

coeficientul

eontinuitătii.

variaţiei

raportată

Ja unitatea de timp, creşterea cantităţii de fluid va fi

cubice.

~

Fie v viteza curentului de fluid. Să evaluăm ca;._titatea de fh~id care trece printr~o suprafaţă dată (S) (fig .. 96). Fie dS un element mic al suprafeţei. Particulele din poziţia dS, în momentul t, ~

se deplasează cu segmentul vdt, în timpul dt, aşa încît, după acest interval de timp, prin dS va trece o cantitate de fluid dQ, conţinutul unui cilindru de bază

iar

cantitatea de fluid care iese se

; pe normala (n) la suprafaţă, de aceea dQ = p1J-n dt dS,

Fig. 96.

şi

unde p este densitatea fluidului. Mărimea dQ este negativă dacă unghiul (n, v) este obtuz. În cazul suprafeţei închise, direcţia (n) coincide cu directia normalei exterioare a suprafetei, si mări mea dQ va fi negc{tivă, dacă fluidul curge în volumul' mărginit de această suprafaţă, prin aria dS. Cantitatea totală de fluid care iese prin suprafaţă, raportată la unitatea de timp, este

Q=

~- ~

pvn dS,

(66)

prin

aceeaşi

Q obţinem

două

-expresii:

Q

= ~ ~· pvndS ~ -- ~ ~ ~ ~~ (8)

.s·au,

după

d?i,

(V}

formula (37) :

~

dS si genm·atoare vdt. Înăltimea acestui cilindru este egaÎă cu v~dt, unde vn este proiecţia lui

exprimă

integrală, însă cu semn contrar, aşa că pentru

Q=

~~~

div (

p~) dv =

--

(!i)

~ ~ ~ ~~

dv,

(V)

unde lăsăm densitatea p sub semnul divergenţă, deoarece ea poate fi variabilă, adică poate depinde .de poziţia punctului. Ultima formulă ne dă o relaţie valabilă pentru orice volum interior fluidului:

"~ ~ ~ r-~: +

J

div ( p;) dv

'~== o.

(V)

De a1c1 urmează că functia de integrat trebuie să fie identic ~ulă 1), şi obţinem astfel :'

Q.t Dt

+ div (p;) =O.

(67)

{8)

şi

fluidul care intră se socoteşte, în această formulă, cu semnul minus.

348

1 . ) Am arătat [71] că, dacă o integrală dublă, relativă la un domeniu arbitrar, "este nulă, atunci funcţia de integrat trebuie să fie identic nulă. Aceeaşi demonratraţie, este- valabilă şi pentru integrala triplă.

,349

foarte importantă, care stabileşte dependenţa dintre densitate şi viteză pentru orice mişc1,1re ,de fluid, compreD sibil sau nu, se numeşte ecuaţia continuităţii. Relaţia (67) poate fi scrisă şi în alt mod, dacă vom tine seamă de variatia densitătii particulei de fluid, care la mome~tul t a ocupat poziţia (x, y, ~). Fie p (t, x, y, z) densitatea fluidului în momentul t, în punctul ( x, y, z). Să examinăm variaţia densităţii unei particul~ de fluid.. În mişcarea acestei particule, densitatea va depinde de t, atît direct, cît şi prin intermediul punctului (x, y, z), deoarece particula se mişcă şi coordonatele sale variază. Derivata totală a lui p în raport cu t, va fi :

în

că volum uu există surse de fluid-nici pozitive (izvoare) nici negative (scurgeri). : · Dacă mişcarea este fără roto1· (irotaţională), cu alte cuvinte

Această.· relaţie

dp

·.

!}_f.

dt

+ f)p

dx

Ax

dt

f}t

+ fJp ·dy + f}p

dz

df

dl

f}y

f}z

sau dt

=

0P f)t

+ grad . p • ;

•

.

7 'V

..J:. f)t

adică,

grad cp,

+ grad

p•v

(68)

oz2

::-.=

O,

{71)·

potenţialul

vitezei

115. Ecuatiile hidrodinamie~ ale iluidulni ideul. Prin fluid ideal vom înţelege un mediu deformabi1 şi continuu tn stare de echilibru sau de mişcare, în care forţele interioare se reduc la o presiune normaHi, aşa că, dacă izolăm 'in acest mediu un volum (v), mărginit prin suprafaţa (S), atunci acţiunea asupra lui, a părţii rămase din mediu, se reduce la o Jorţ.ă di rijah\ în fiecare punct al lui (S). după normala interioară. Not~m mărimea. acestei forţe, raportată la unitatea de arie (presiunea), prin litera p. In orice moment dat t, presiunea p (1\1) dă naştere unui ctmp scalar. Rezultanta forţelor presiunii pe suprafaţa volumului (v) se exprimă, în virtutea formulei (50), prin integrala :

--

~ ~ p d ~ = -·- ~ ~· ~ grad p dv,

+ p div v =

O,

('il)

unde am pus semnul ( -~ ), deoarece vresiunea

7

p d"lVV

pozitivă acţionează

.!n sensul nor·

7

malei interioare, iar vectorul dS, prin ipoteză, este dirijat după normala exterioară. Apiicînd principiul lui D' AlemLert, trebuie să echilibrăm forţa presiunii prin forţele exterioare, pe care le raporHim la unitatP~ de mnsă şi le 'insemnăm prin

= o,

(69}

~

P, ceeH ce

dă

tn volumul

(v)

reznltanta

~ ~ ~ pFdl'.

d.e unde .. 7 dlVV

"12 .

+~

-7

pe baza lui (68) : dt

()2

(32

O, adică_!.+ ___t 8x2 f}y 2

=

div grad q>

(8)

-7

~+

dp = - -1p · dt

('li)

'Şi în sfîrşit .forţa inerţiei care va

~

Prin urmare, divergenţa cîmpului. vitezelor v dă variaţia. cores~ punzătoare a densităţii elementului de fluid care se găseşte în locul dat, variaţie raportată la unitatea de timp. Dacă fluidul este incompresihil, atunCi această variaţie trebuie să fie nulă şi obţinem din {69) condiţia incompresibilităţii : 7

divv =O.

(70}

Am dedus conditia continuitătii, calculînd cantitatea de fluid care iese din volum, in două mod~ri. Este adeyărat că am admis

350

=

potenţial

~tunci q> se numeşte potenţialul vitezei. Suhstituind in ecuaţia (70), obţinem:

Servindu-ne de (571), putem scrie egalitatea {67) sub forma

a

7

vectorul v este un vector

cu alte cuvinte, pentru flztidele incompresibile, verifică ecuaţia lu·i Laplace (71)•

care se poate scrie :

_d P

potenţială, adică, dacă

.~

este densitatea, iar W vPctorul forţa inerţiei va fi

-7

fi, pentru elementul de Heeeleraţiei

-- )

masă, -- p dv W, unde ~

partkulei fluid<'. Peniru v11lumul (o,

~ ~ p ~do. (V)

Aşadar, după

principiul lui D'Alembert, trebuie

~ ~ ~ [ pF -- grad p {V)

-

p

să

avem

·~ Jdv = O,

de unde; avtnd în vedere că (v) este arbitrar, se poate deduce este nulă, şi obţinem astfel : ~

că funcţia·

de integrat

vitezelor prin derivatele lor in rap01·t eu coordonatele. În aceste conditii e'-maliile (73) se scriu : ' ' '

~

au 1 ap. av --=Fa:-------"' fjt p ax at

p'W = p F --' grad p .

In această formulă sînt cuprinse trei ecl!aţii, care stnt ecuaţiile de bază ale hidrodinamicii fluidului ideal. Fie u, v, w componentele vectorului vitezei, exprimate ca funcţii de coordo-

au dx ax dt

W ;r,

f!u

fiu

aL

ax

= ~ -1- -

+ au --:- V

U

ay

-';>

az

p == Po (1 +s). :De aici

Acestea sint continuităţii

scrie

ecuaţia

+az + aw az

p

. w=F11

w

=:i

-

Fz _

~i ds = - - - -ds p 1-1-s '

ax

.!_ âp p

au

!.

f!p •

p

âz

(73)

unde, la numitor, am neglijat cantitatea mi.c:'i s. Prin urmare, putem considera că [js 1 8p .:.- = ...._ si (77) ne dă 'dl p '8t ' '

as

at

ecuaţiile hidrodinamice ale lui Euler. Trebuie să le adăugăm ecuaţia pe care noi am dedus-o în llM]. Utilizînd notaţiile de faţă, putem (69) sub fornia

,

-';>

= - div "·

at

+

-fJp

ax

U

+

flp âp - V -1- -

ay

az

W

+

. (fiu flv fJw) ::::: 0.' p - -1-- -1- ax ay az

(74)

s, caracterizînd

compresiun(~a

352

sau dilatarea,

adică

= e grad s,

.unde e este coeficientul de elasticitate al mediului. Substit:uinfl rn ecuaţia (76) şi 'sbcotind in aeeastă ecuaţi(l p = p0 , obţinem :

..,.

O particularitate caracteristică a acestei ecuaţii constă in faptul că am ales ca varh.-bile independente coordonatele punctului din spaţiu (ţ, y, z) şi limpul t. În unde cazmi, se aleg ca variabile independente coordonatele poziţiei iniţiale

a parliculei fluide. Într'o asemenea alegere a variabilelor independente, ecuaţiile hidrod.numiee desigur că iau o altă înfăţişare. · 116. Ecmttiih~ profm!Jăt·ii !iiUDt>lului. Eeuaţii1e (72) sau (73) sînt valabile atit pentru lichide, c·ît şi pentru gaze. Esenţială este numai ipoteza ră forţa interioară se reduce exclusiv la presiune. Vom eonsidera mh.:earea atît de redusă, încît, în mLmbrii inlii ai ecuaţiilor (73) să se poată neglija termenii care conţin produsele

(78)

Se poate constata că gradientul pr-esiunii este propor!Jonal eu graclientul

mărimii

grad p

-ap

(77)

Fie Po densitatea constantă a mediului în stare de repaus. Introducem cantitatea mică s, care c.~aracterizează modificarea relativă a dcnsită1ii în cursul mişdtrii şi este determinată prin egalitatea

au au fiu -au + ~u +v + --w=F:r1- }_ oP az

-';>

at

Prin urmare, ecuaţia vectorială (72) ne conduce la trei ecuaţii

Av

(75)

(76)

@

-- + i' div v = o.

Bv Bv âv âv W11 = - + - u + - v+-w, ol ax ây az 8w 8w aw aw Wz = - + - u + - v + - w. at âx oY f)z

ax ay . av f)v +-- u+ - v ox ây + aw u + aw v ax ay

az

1 - g1·ad p.

(Jp

a

-1- __!!... W.

La fel

8t 8v 8L cw at

op

p

Tot astfel, negli;jînd 1n ecuaţia (74) termenii care con~in produsele proiecţiilor vitezei prin derivatele densităţii în raport cu coordonatele, obţ.inem :

. au dţ] f}u dz -+----• ay dt az dt

Ww=-+-~+_:_

sau

1

at

-';>

av at-- """ J.' -

natele punctelor (x, y, z) şi de timpul t. Componenţa vectorului. acceleraţiei W după axa ox va fi egală cu derivata totală tn raport cu timpul a componentei u (t, x, y, z) a vectorului vitezei, aşa că putem scrie · · ·

i)t

8w

sau, sub form:1 veetorinH't :

~

au

l (Jp. Fu---·-· p â!J

()v

~

e

-.·-=F--- grad s. fJt

Po

,;IJubl.d divergenţa ambilor membri ai relaţiei precedente

a d'IV V~ =

-

oi

23. Curs de matematici superioa.re

d'lV

r."! -

J.'

e ·div grad S. Po

-

35.3

'fintnd

seamă

de (78), putem scrie

os

această ecuaţie

2

- 2= 8t Această ecuaţie

a2~s-

astfel :

,(a= v~) · Po

~

divF

considel'iim elementul de volum d·v. Pe:nti·u ridicarea temperaturii (79)

trebuie să fie satisfăcută de mărirriea s, funcţie de timp şi de coor

donatele punctului. Cînd am calculat

divergenţa dcrivatei

~

:-a~estui element cu dU, în intervalul. de timp dt, este necesară 'o cantitate de căldură proporţională cu creşterea temperaturii şi (.~U

masa elementului,

adică

o cantitate de

căldură

:

-

:; , am permutat deri-

varea în raport cu 1 cu operatia de divergenţă, ceea ce este adrnisibil, deoarece rezultatul derivării nu depiude de ordinea derlvădi. Dacă forţele exterioare lipsesc, atunci ecuaţia (79) va fi (80)

unde p este densitatea substanţei, iar y coeficientul de propor~ tionalitate, care se :riumeste că!dm:a specifică a substantei. Prin . ;.trmare~ ~::ăldura cedată p;in tot volumul se exp:r~mă p:rin~ formula 1

ecuaţie se numeşte~ de obicei, eciwtia undelor. Amintindu-se că caracterizează miirimea concentraţiei sau a rarificării, putem spune căp nostru, această ecuaţie dă legea propagării sunetului. Porţiunile spaţiului

Ultima rnărimea

în caz,ul

s

.

~

unde div F este

diferită

.

de zero constituie sursele. sunetului.

117. Eeuaţia căldurii. După cum am văzut în [108], cantitatea de căldură care t.J:ece, în intervalul dt, p:rin elementul de suprafaţă dS este

dQ

..aici punem semnul (··--), pentru că se calculează mddura cedată~ nu cea primită. Egalî:nd cele două expresii obţinute pentru dQ şi aplicînd formula (37) din [109]~ vom avea

.~ ~ ~ yp ~?~ d~' = ) ~ ~ div (k grad

= kdtdS l~J~· \ ·= kdtdS t gradn U( M) ~'

iv)

unde 1, este coeficientul conductihiHtăţii termice inte;rioare, U este temperatura, iar (n) este direcţia normală ·la dS . .~ă considerăm o suprafaţă închisă (S) care mărgineşte un volum (v) Şi să calculăm cantitatea totală de căldură care t:reee prin (S). Se vede uşor că avem

Q=

- 4,t.~ ·~ ,k gradn UdS.

;adică,

peut:ru u:n volum arbitrar, t~tehuie să avem

~) ~ [ y p a/)(: ·-·~'

dacă

(U ), ·

atUnCI·

temperatura

descreşte

div (k grad u) J dt'

=~ o,

('
:de nude deducem eeu:aţia diferenţială a căldurii:

(81) yp fJU :::= div (k grad U'1

(8)

Aici,

(82)

U) dt1,

iv)

în

direcţia

(83)

at

n.ormalei exterioare

aanu < o, Şl··e1emen.tU ·, 1,corespunzatpr · "" · 1el· Va ..·r·~ a ·l Integra

negativ; cînd temperatura creşte, va fj invers. Tinind seamă de faptul că propagarea căldurii ar~ loc în direcţia temperaturii mai joase şi de semnul (-) în. membrul al doilea al ecuaţiei (81), putem afirma că Q este cantitatea de căldură cedată de. (v) in :intervalul dt. Cantitatea· primită' de (v) se va ~alcula prin formula (81) cu semnul (-). . . Aceeaşi cantitate · de căldură· ·cedată ·se poate calcula şi altfel, urmărind variaţia tempb."aturii în interiorul volumului. Să

sau

au

a (. au) + -a {k-;~u) + -a (k au) --;- • ox. O!l . OY (1:.::

yp ·---- == -.-·- k -~i)R

{)x

tj.?-

:.' 1\_ceastă' ecuaJie trebuie să fie satisfăcută în toate punctele in te .. ':rioare din eorpul considerat. Temperatura U depinde de coo:rdom 'natele punctului şi de t mp. · ·.:. Dacă corpul este omogen~ atunci y, p şi ,k sînt constante~ .si 1 ecuaţia (83) poate fi scr_să sub forma •

li.' 'i!

l!

1

,i 1

1

sau

Dacă fenomenul termic este staţionar, adică dacă temperatura nu depinde de t, ci numai de coordonatele (x, y, z), atunci ecuaţia_ (84) se scrie sub forma

Au =O, a d'ICa.., -+-+-=O. 82U (j2U . f32U

u·

11

()x2

118. l~cuajiile lui Maxwell. în studiul cimpului clcctromagnetle se introduc -7

-7

-7

tului total; D, vectorul deplasării electrice; B, vectorul in~hJcţiei magnetice. Cele două legi fundamentale ale electrodinamicii, care sînt o generalizare a legilor lui Biot-Sav:~rt şi Faraday, pot fi scrise sub forma

Pl'in urmare, în cazul procesului termic stationar, temperatur satisface ecuaţia lui Laplace, pe care am m~i întîlnit-o· mai su: [87 şi 114]. Cînd a~ ded~s ecuaţia căldurii (83), am presupus că în corpul cons,Hlerat hpsesc surse de căldură. În caz contrar, ar fi trebuit ca în locul egalităţii (82) să scriem o altă egalitate, şi anume

~ ~ ~ YP afyt dv = ~ ~ ~ div ~

(k g1·ad U) dv --j- ~ ~ ~ edv,.

~

~

unde ultimul termen din dreapta reprezintă cantitatea de căldură emisă în volumul (v), această mărime fiind raportată ]a unitatea de timp. Funcţia de integrat, e (t, M), ne dă intensitatea surselor termice, distribuite continuu în volumul ('v), şi această functie ;poate să depindă atît de tjmp cît ,~i de poziţia punctului 111. 'în locul ecuaţiei diferenţiale (83) am L obtinut o ecuatie de forma , '

au

ypfjt

di.v (k grnd U)

-;.

urm~rtorii vectori : E şi H, vectorii câmpului electric şl magnetic; r, vectorul curen-;.

(85)

az2

fjy2

care trebuie consideraţi ca funcţii date. Atragem atenţia asupra diferenţei esenţiale între ecuaţiile {80) .şi (84). Prima din ele conţine derivata a doua a funcţiei necunoscute în raport cu timpul t, pe cînd a doua conţine derivata întîi în raport cu t. Acest lucl'u este esenţial peutr;u integrarea acestor ecuaţii.

-t- e

(86)

1 d~~Esds = - ---c dt

~ m

~>

unde c este viteza luminii în vid. Prima ccuaţ.ie leagă circulaţia câmpnlui magnelic de-a lungul unui contur oarecare al suprafeţei, cu fluxul vectorului curenlu1ui total prin suprafaţă. A doua ecuaţie leagă drculaţia vectorului câmpului elec,tric cu dcrivata în raport cu timpul a fluxului inducţiei magnetice prin suprafaţă. In ecuaţiile de mai sus, (!) este un contur închis arbitrai·, ia·r (S), o suprafaFt mărginită de el. Afară de aceasta, ..;,

7

E

şi

-;.

Il prin

relaţ.iik

: -;.

-;.

D =eE;

Ecuaţiile (87) şi (84) sînt analoge ecuaţiilor (79) şi (80) din [116]. Prezenţa surselor de căldură în ecuaţiile căldurii este analogă cu prezenţa f01:ţelor exterioare sau, mai precis, cu sursele

~

= (J.H,

-)

-;.

(JE'

r==::J..B+e:-•

at

(87)

YP

-;.

B

unde s ~i p. sint constante llllmite constanta dielectric.ă şl }Jennc~-, bililalca rnagnetir•"• a mediului. Vectorul curentului total constft din doi termeni - curent de conductibili.tate şi curent de deplasare : _,.

at

-;.

intr-un mediu omogen, în stare de repaus, vectorii D şi h' sînt lcgaţ.i cu vectorii

sau, în cazul corpului on:-ogen, în locul ecuaţiei (8-4) am fi obţinut

~!!. = a 2 ~U + -~ e.

(8!))

unde ). este coeilclentul de conductibilitate al . IJi\~t,\!n~ui. în dcfiJJHi \", ecuaţiile (88) şi (89) iau forma :

-7

sunet - div F în· ecuaţiile propagării sunetului. În ambele cazur~; ac~asta. face c"a ecuaţia diferenţială să fie omogenă, adică ecuaţiile ( t9) ŞI (87), In afară de termenii care contin functia necu-

de

'

noscută

356

s sau U, mai

conţin încă şi

'-;.

termeni liberi div F sau e

~E (l)

8

ds

= -- ;

d~ ~ ~

(J.FindS.

(S)

357

. Integr:Jele d!n inembrii tntîi.ai aeestor ecuaţii p~t fi transformate fu integralt::c de suprafaţa, cu aJutorul formulei Jui Stokes : ·

)~. rot /IdS şi)~ rotwE~S,

rezultă

integrind

această ecuaţJe liniară.

-7

crot".•H-

iJE'n)] dS =O t J..E". +e-fi

unde p0 este valoarea lui p pentru t avut p6 = O, adi~ă.

(

Jf Jf [.c rot

76

~

E

an,~]

+ 11- iJt

=

div E 0 dS

=

atunci~,

O.

=

pentru orice t vom avea p

o: Aşadar,

=

dadi in momentul· iniţial am

09

O, cu alte cuvinte,. 7

\B)

divE =O.

Deoarece suprafaţa (S) şi direcţia normalei (n) sînt arbitrare, din ultimele două

Exact la fel, din

ecuaţii obţinem

ecuaţia

(91 2 )

rezultă ~.

i)H

div - i)t

-;,

""': crot l~

= -- l-t-.

at

Acestea sînt ecuaţiile lui Maxwell sub forma diferenţială. A•tem aici şase recuaţ,U componente Ere~

~

.

f}

= -

_,.

i)l

~'

'

div Il

=

o~

.·.

div.H0 =O, atunci. div Il = Oo pentru orice t. Ulti.ma ecuaţie este echiv:.~lentă cu nulitatea sarcinii magn.etice, cum se presupune de obicei. · Din ecuaţiile lui Maxwell se pot deduce alte ecuaţii, în .care fiecare din. vectorii

şi dacă

AH

diferenţiale, conţinînd şase

7

..,.

..

.

E Şi 11 intră separat. Efectutnd operatia· rot a~lipra ambilor membri ai ecuaţiei

(91;~), obţinem

E'll, Ez, H 00 , 1111 , Hz.

~.

~

O consecinţă imediată a ecuaţiilor (911 ) şi (91 2), în cazul eonsiderat. est~.:t caracterul solenoidal al vectorilor

- c rot rot M sau, în baza formulei (571)

şi

a

=

ecuaţiei

i) rotH

p. - - - - ·

. Bt

(91 1), ~

c (li;- grad div

deoarece~ în virtutea formulelor (91!) şi (91 2 ), djvergenţa lo:r este : -;,

prin urmare, se

însă,

anulează

div rot B

div tJ.H şi

sarcinii electrice

("'E~+ ~ i)i!;) = --i. 11.

--

{)t

~

d'IV

t

=

+ i..'t:),

7

O ecuaţie cu totul asemănătoare se obţ.ine şi pentru vectorul Il. -7

Pm•

magnetice. Din

~

dl· v

i)t

(93)

~

divEE =Pe= p; densitătile

c f)l

(e ()E

ii iJ

dem'6n.Ytrff1 ră tnşişi -)

<:are se numesc

!!: -.0

[112].

vectorii şi sînt solenoidali porţiune .a spaţiului, dacă au fost so~iwidali la momentul iniţiaL înamte de a trece la demonstraţie, să introducem două mărimi se poate

J1) =

de unde, tn definitiv,

-)

şi ~

c div rot li şi,

[4]

-~t

O.

7

(S)

obţinem

de ordinul inUl,

P = Poe

aşa că ecuaţiile se pot scrie sub forma :

((l

i)t

i.S}

jS)

JJ

ap ..

e ·

şi

7

).

- P+ -=0,

E"" - !- -0

i)t

(92) eeua:ţia

d'IV ( eE~') ""'" O

In cazul lipsei sarcinilor electrice, adică, dacă div 'E scrie sub fo1ma

=

O~ ec.uaţia (93) se

(94)

359

Ac~astăv ecuaţie se. numeşte, de obicei, ecuaţia telegrafistului, deoarece ea a fost o~ţr~mta p~ntrn ţmma oară în studiul propagării curentului printr-un cablu. 1n sfu·şlt, d~ca co~s1derăm un dielectric perfect, adică un mediu necond.uctor, atunci

1..

=

O, ŞI ecuaţ.1a (94) va fi

(95}

atunci ecuaţia (91 2 ) dă rot E -7

E

= grad ~·

şi

prima din

=

ecuaţiile

'""

(92)

dă

= E

m~de

P. = O,

adică

'

: sau ~~

::=.=

X. .

e

(9G}

e

unde sarcinile electrice lipsesc,

obţinem

pentru

potenţialul

9 ceuaţm hu Laplace, d

1 H). _.Exprt~sia O}Jeratorului lui I . apla(~e în coot·donate ol'togonale. În [60] am .luat în considerare coordonate curbilinii arbitrare, în spaţiu. Aeun1 vom examina un caz particular al unor astfel de coordonate, şi anume acela cînd volulnul elementar. care, .d?-~ă cum. ain menţionat în. [60], se p1·ezintă sub forma itnui paralehp1p?~i, .:a fi un ·paralelipiped dreptunghi. Cazul coordona-telor curbduu1 ortogonale este cel mai important si mai des. întîlnit în aplicaţii. . ' Să presupunem că, în loc de coordonatele eartezicne x~ _r~ .:~. se inti-oduc trei noi va1·iabile q1 , q2 , q3 : cp (x, y, z) = q1 ; ~ (x, _y, z) = q2 ; w (x, y, z)

sau sub forma, rezotvate în raport cu x

.

= ?1 (ql, q2, qa); .Y

====

';t:,

= q;3

(97)

_y, z :

~l(ql, q2, qa); z =' eul (ql, q2, qa)·

= d~y;2 + dy2

fNt

O, cu alte cuvinte, E. este vcetorul potential :

div grml rp Acolo

.

. ds2

+ ('§~. !

Ne-am intilnit deja cu ecuaţii de această formă [116]. . . . -7-7 D aca~ procesuleste staţwnar, adică dacă vectorii E şi H nu depind· de t -7

unde B . şi C0 sînt constante d~tenninate. De-a lungul a~estei 1inii variază numai q1 şi putem nu1pi ace~stă lini~ lilââ. de coordon..ată q1 • Analog se obţin liniile d~ coor~lonate q2 :~1q;3: . Să calculăm pătl"atul elCinentu.hn de lungime 1n nmle coor.donate:

(98)

Atribuind noilor variabile. q1 , q2 şi q3 valorile constante A B

Şl C, obţi~em tre~ fa1nilii de sliprafeţe de cooi·donate. Ecuaţiile

dql

+ dz2 = ·(Cl
+ O~J. dq2 +· ~~ dqa)~ +(§._C::J: dql + ~()!.! dq2 ·+ fJq'!, fJq3 iJq1 fJq'!.

()"(.)1

oq3

(100)

dq3')2. ,

Desfăcîncl parantezele obţ"nem un polinom omogen de g1·ail.ul al doilea în dq 1, dq 2 şi dq3 • Să stabilim concliţi~e în ca.re ace~t P?hnorn nu contine termeni cu produse de diferenţiale chfente dq. Ex~minăm, de exemplu, în expresia (100) terrnenul care ~onţine p.rodusul dq 1dq 2 • Coeficientul acestui produs va fi

2 ({)__~

+ iJrb 8~1 +ac l{L<:!J).

§_!t {}ql .f)q2 .

0

i)ql f)q2

f)ql ()q2

(101)

1

Elementul de volum, în J}oile coordonate (fig. 97), va fi mărginit p1in trei perechi de suprafeţe de coordonate. Din vîrful lui A, căt·uia îi corespund valorile q1 , q2 , q3 ale noilor .coordonate~ vor pleca trei muchii AB, AC şi AD. De-a lungul lui AB variază , numai q1, de-a lungul lui AC numai q., si de-a lun· gullui AD ~u'rnai q3 • Pe H3d9J prima muchie, funcţiile (98) sînt funcţii numai de q1, şi cosinuşii directori ai A 8 tangentei la această mu·chie sînt proporţionali Fig. H7 · [1, 160] cu

acestor nm suprafeţe de coordonate în coordonatele x, _y, z, vor fi: cp (x,y, z) ·.

A (1);

r~(x,y,

z) = B (Il); w (x,y, z) = C(III). (99)

Luăm două suprafeţe de coordonate oarecare din familii· diferite

de exemplu, din familiile (II) ş,i (III). Ele se intersectează de-~ 1ungul unei linii ale cărei ecuatii vor fi ' :

d1T (x ' .;'"' ' ,..,~) =

~

'-B0 ·'

<'IJ (·x·•' )' ' z·) -C'0? -

Exact la fel, cosinuşii- directori a1 tangentei la muchia a doua sînt proporţionali cu Q~2. ~lf2

. ~~61

.'11 Egalarea cu. zero.~ expr'esiei .· (10~). es;te, ·prin urmare, echivalentă cu· condiţia ca cele dou,ă. ~p,u~hii, considerate să fie perpendiculare: î:ntre ele. Dacă. s-ar. cere .'ca ,lq expresia. (100) şi coefidenţii lui! dq1dq3 şi dq 2 dq 3 să ffe nuli, atunci aceasta ar reveni a cere ca cele trei muchii să fie pe1·pendiculare două cîte două. Prin urmare~. condiţia necesară şi ~uficientă pentru ca sistemul de coordonate curbilinii să fie· ortogonal, este ca expresia ds 2 să nu conţină decît t;;:men_i. cu pătra~e de diferenţiale, adic(i termeni în dq~, dq~ şi dq~. Vom considera în cele ce urmează că coordonatele curhilinii sint ortogonale. . .• ·în aceste; com:hţ11; · obţinem pentru ds 2 o expresie de forma :

ds2 = Hi dqÎ

+ II~· dq~ + Hi dq;,

(102)

unde

(103)

·~ ~,· tîngă. în virful d.e bază A~ eoo:rdonate~e !a'ţet.a. ~~e:apta~ ~~ ~ea s . . • ·iar e fflţeta dreaptă 9.1 trehm.e curh1hnu. au valor;pJe ql, q2 ' q3:.. · .:~ · p t pe fate.ta. d:rea·p.tă~ dq ). Afara ue aceas a~. . ..~< . · ~nlocm.t prin qJ~ . 1. . • •• ·de cu directia Iim ei de coordo" .:J'• . tia normale:t extenoare colnCI "' .·· • .. p . : -uuec, . . "· ..; , , t ·directii sînt opuse. rin urmare, n·ate ql, I.ar pe c.e~ stinga, ace:.., eA d·~pă normale e:g:terioară (n)'!' pe fateta dreapta, com.po~en . . a r~' r (-- A.·). Din cauza ·.· 'A . r pe fateta stinga, aceasţa va l ~ ~ ql 1l f va ]. ~;~1' Ia " 'I . . t ala de suprafata ue~a lungu or~, :mici:mîi faţetelor, xn ocu1m m .. eg:r ' ' .. . . . . . • 1 . 1 f t" . de inte«rat cu a:na faţete:t cores{ A. dS, prul prouusu unc .. Im~ , e J fO"' . f 1 . 1 acesta pţ:mtru fluxul prin f:aţeta (treaptă şi

.

.

~

. ( +

A

punzatoare; 1n e u . ' .. ·, a .,.t"Inga~ obtinem expresule «..e '" . ., ' '

• si -.~·A.q1 ds2ds3l A. Ql ds·2·ds3. l. ql +d, '
~i fluxul PJ~iin ambele faţete va fi A ql ds 2 ds 3 1l
A 11~ H2Hs dq2 dqa .t«t == [H2Ha.A"tl'l,+aal- H2HaA~, \qJ d~h. dq3.

"' H 2 H 3 dn:x2 dq3 1«1 +d«1

..f.1.(h

::=

Tinind seamă de faptul că de-a lungul fiecărei muchii a "·olum Ului elementa.r nu variază decît. una· din •vari ahile, obţinem~ conform formulei (102)~ lungimile ac'eStor muchii: ..... .... --,...,..,. .. ·

ds1

=

H1dq1 .~

şi

ds 2 = H 2dq 2 ; .ds3 = H 3dq3,

elementul de :volum în noile formula

coordbn~te

Să presupun~~ ~

·~

.

un cîmp vectorial

.

A. Divergen-ţa acestui cîmp intraun cum se ştie [1 09], prin formula :

""?

PUII.~t Af se determină, 'după

·

~ ~ A~dS

divA= Iim ~--unde (S1) e,ste :() su,prafaţt\.:,e~:fe; ~1Jlărgineşte un :volum oarecare (v1), care conţine punctul M şi care s.e stdng.e nelimitat, în jurul acestui punct, iar v 1 este mărimea acestui volum (v1). Aplicăm for1nula la cazul volumului elementar in coordonatele curhilini:i ortogonale q1, q2, q3 şi deter~ină:qi fluxul cîmpului prin suprafaţa acestui :volum elementar. Începem prin a determina fluxul prin 362

.·

.

ohţin.em fluxul

Bh

va fi exprimat prin

acum că în ~paţiu există

'

iJ(H2lisAqa)_ dqldq2,,~q3.

(104}

(105)

--

Înlocuind creşterile' f~n~~H~i P,.rin d_ife:ren.ţiale~ ,,prin faţeta din dreapta ş:s. mn stmga.

,

,

'!r.

Tot i::n acelaşi va f:i.:

mod, fh1.xul prin faţf:rta dinapoi ŞI din faţă

..,.

sau

a{

Să prestipunem acuni' .că A este un cîllip potenţial, adică,

(Jr '

cîmpţtl gradientului ur.ţei funcţii

U(M), p1·in urmare A-+= grad U. În acest caz, componenta cîmpului Aq1 este derivata func-

ţiei U după direcţia q1

:

1 sin

i)r

~.~1 -?o Lls1

b

•

• '

i) (]) -iJ (r 2 - =----:::O ()r

Substituim aceste cxprcsn 111 formula (106) si vom obtine expresia operatorului lui Laplace în coordonate e;nhilinii o;togonale:

[-~ (H2Ha

·--.-.1.-._

H1H2Ha

iJq1

Ii1

aq2

oqt

aq2

liz.

(107)

coordonatele

q1 ~

aU) -!- aqz· _!__ (!1 H aU . -). + .}__· (H H?. al~) = 'H2 aq2 âqa Ha ()q3

_E_ •(H2Ha (jql

= O, în

3

Hl

1

1

q2 , q3 , are

=

r sin

O cos cp ; y .-:-

unde q1 = r, q2 =.: O, q3 = cp.

O sin cp;

Să calculăm

ds 2

z

=

r cos

~ 1'

(111) unde C şi C2 sînt constante arbitrare. Ami~tim că r este distanţa 1 punctului variabil M, pînă la un r.unct f1x oarecare M 0, punct pe care îl putem alege ca 01-igine. În particular, pentru Cl = 1, • 1 , de care am mat. vorb'1t tn " [8""'] C = O avem solutia' . 2

'

,

r

x = p cos.

= p, q2 = cp, ·q3 = ds2 = d p2

O,

z. Pentru ds 2 , avem :

+

p2 d
de unde H = l, H 2 = p, H 3 == 1, iar ecuaţia lui Laplace va fi, 1 în coordonate dlindrice, conform (108) :

:

(sin O cos cp dr r cos O COS:f> d6 - r silt O sin cp df.P) 2 (sin Osin cp dr -l-r cos 6 sin cp d6+r sin 6 cos cp dcp)2 + +(cos Odr~rsin0d6)2,

desfăcînd

sau

parantezele :

adică

111

~

1,

a ( p 7au) + ----;--: 1 au + p t1-;;-.2u = p p 2

2

+ r 2 d0 2 +- r2 sin2 f} dcp 2 , II2 = r, 118 == T sin e, iar, o < o < 17,

ds 2 = dr 2

(109) aşa

că

>o~ Substituind în 008); obţinem ecuaţ.ia lui Laplace în coordonate sfe1·ice

li,1

-fl(r2 sin 6 au)+ iL (sin aau)+_?_(-·_l_.Q_f!.) = o (Jr iJr ao ao sin o a~

364

au . ar

sau-=-2

integrînd, obţinein :

(108)

+

=

ds 2

sau,

r sin

âr

'

2. Coordonate cUindrice. În acest caz

O.

8q1

1. Coordonate sferice. În cazul coordonatelor sferice, fOI·m·tlele (98) au forma [59] : x

au = au = O..ŞI, 00 00

au) + E_ (~IaHt au) +

+ __§__ (II~~ au)] . · iJqa, Ha iJqa. Ecuatia lui La place. Â U forma: '

şi,

i)r

au -=-el

r2

u=

. •

prin urmare,

If1 8q1

de unde

div grad

(110)

Să etăsim solutia acestei ecuatii care să depindă nu1nai de

la fel :

~U =

1 sin 2 f:l (J tp2

raza vectoare. În acest caz, trebuie considerat

Aq1 = Iim ~-'!_ = .}_ q_f}., ~i,

au) + ---o --aoa (s1n. 6 --:-· au). + -- --:-a"'u -_ O. ao

- - . r2 -

a~

0p

U q;~

V

0.

(112)

V-

Se a1·ată? ca şi mai sus, că soluţia acestei ecuaţii, care nu depinde decît de distanţa p a punctului la axa OZ, este :

U

=

C1 ln p

+ C:t..

(113)

Presupunem că valorile lui U nu depind de z, adică. U are valori identice în toate punctele planelor paralele

365

{;u XOY. În aceste conditii, este suficient să exEJminăm. valorile functiei U numa: î:d planul XO Y (cazul plan). În coordonate ~rtogonale rectilinii? ecuaţia lui Laplace va fi, în acest caz~

azu

(J2U -+---=o. axa iJy2

obţinem,

~

=

dA

în

dt

oi

P

ax

~

2

~

+ BA

V:;

f)z

+ (v--7 grad) ~A~

= -

dt

-7

v'll

()y

8A (Jt

dA

cq:.2

-7

-?

+ f)A v~ +· ~

f)A

sau

+ _!_ A U=O.

cf.

_ap

1

7

Raportînd planul la coordonatele polare ( p, l'f!), 'i'irturtea ecuaţi.ei (112), ecuaţia :

.E_ ( p ("'U)

. ·. · 1 de derh.rată substanţială, cînd am examinat Am mm ~avut un etxcmpt· u l a densităţii particulei mediului continuu~ derivata totala, tn rapor ~~u lmpu ' " ,. mobil [114]. . . ·· t .. b'l (i M... în mediu mobil, va avea loc formula La fei, pentru vec oru1 varm 1 . • ;

(115)

Din expresia (113) se vede ca, Hl cazul plan, In. p va fi o a ecuaţiei lui Laplace; p este distanţa punctului variabil <.lin plan, pînă la un punct oarecare fix. În loc de soluţia In p" putem considerat desigur, soluţia In.!_= -In p. Prin u:rmar.e,

unde simbolul (:grad) are semnificaţia următoare:

in spaţiul tridimensional, inversul distanţei de la punctul variabil la un punct fix, apa1·e ca o soh.Jţie fundamentală a ecuaţiei hd Laplace, iar în cazul plan, soluţia fundamentală va fi loga .. ritmul acestei distanţe inverse, sau chiar al ·d~stanţei însăşi. ·

In formulele (114) (115) -cu timpul caracterizează variaţia man:nn n .r-un ' termen este rez.u.ltatul mişcării mt. d ~]m Îll·l~~J:· la derivarea integralelor, privind 1 Vom stab1h acum ~îteva f~rmu e re a t" . de. endenţa de timp a mărimili domenii legate de un mediU în miŞC~~e. atce~uic~:·fun~ţ;a de integrat depinde de integraleiva av~a loc ca.urmm:e at , a ~p l~nde de t adică se sc~himbă <'ll timpul. t. cît şi pentru ca d_ome~ml de mte~rare r~~ consid~ra această dublă dependenţă Pentru calculul derJVatm in raport 'u t, put ,.,~ ~ · '-'Ile ş • să aplicăm regula d ţ~ tn raport <"U uoua varwu , 1 in raport cu t, ca o d epen en a , d t >lUI se reduce la principiul supra~ derivării funcţiilor compuse ti, 69 1· în f~~ ' tort cu 1 V'! consta din doi termeni : punerii micilor acţiuni. Deriv~t · :nteg~alm ? ~~l:H\tii do~eniului rle integrare, se pri~ml t~rm~n, c!kul.at in lpo.eza 1 ~v~r~~b s~n:nul integral [80], iar termenu} -obţme pri~.simpla :tenvar~ din rap~r.ţt. <~or~eniului de integrare şi, pentru calculul al doilea ţme seama numm e :van~ ~a . . .~ lui, funcţia de integrat se cons1~era ~~van~bJl.1. cu t 1 mpul. Trecem la examinarea unel sern de cazur;. . ţ· alară Să stabilim formul3l 1. Fie (v) un volum variabil şi U(i, M) o aunc le se, < ·• • · pentru derivata

soluţie

'

'

p

:120.. Ofu.•rntfa der:viiE"i1 in .

~uzul

cimpu!uî n-uiabil.

Să ~

.

presupunem . .

că

avem,

tn. spaţiu, un ctmp scalar U (t, M) sau un ctmp vectorial A (l, M) şi că, in ambele cazuri, cîmpul variază cu timpul, adică, in fiecare punct, mărimea scalară sau vee~orială stnt funcţii de t. Mai presupunem că tntrcg· spaţiul se găseşte tntr-o mişcare -?

prin cimpul vectorului viteză v, pe care tl considerăm de· ~~semenea ca depinzind de timp. . Vom urmări variaţia mărimii U tn funcţie de timp. Putem face aceasta in: cnre se

caracterizează

donă

feluri : 1. Fixtndu-ne atenţia asupra unui punct determinat din spaţ.in, vom aprecia '>riteza variaţiei mărimii U tn acest punct al spaţiului. Ajungem astfel ia derivata

parţială au ' pe ,<.~ar~

at

o putem numi derivaia

locală, 1ntrudt o legi3.m

·

···de ~'!lll , arn~mit

{itmct al spaţ.iului. 2. Mai putem determina viteza de variaţie a mărimii 'U, fixtndu-ne atenţ.ia asupra unei particule determinate a mediului mobil (ai· substanţei), În acest caz ~ rebuie~ cind derivăm în raport cu timpul, să ţinem seamă şi de mişcarea punctelor mediului, adică trebuie să deriYăm mărimea Unu numai ·ln raport cu l, direct, dar şi prin intermediul coordonatelor (x, y, z) ale punct!JlUi M. Ajungem, asife! Ja, derivata totală sau, cum se mai spune, la dt:!rivala subslanţiafă : elU

()U

...·-"'- = dl (Jt

~'·.ee.a

f)U

+-

dx .

iJU dy

f)U dz

oU

ây dt

az dl

at

- + - - + -- - = -

ax dl

ce se poate scrie sub

formă

dU -dt

mai

+-

restrtnsă:

au

{JU

(;x

"~

{JU

()U

+ -. l!r + -.-Uz, fjy

/)z '

~ V

<

oTad)

0

=

a

V;r. - -

OX

·

şi

V'll -

a+

OlJ

a

Vz -;:"" U''

prim~l. te.~~c~. adi~!cd~~~:r~i~:~ţi~;~ t~ ~~f:!

t;

~ ~ ~ Udv.

:l

(V)

int:~~~~f :;•:,:;~td~~o~~';S•::~;~;,s~;,~:'(~,{':,:~~i~~::~\~o.:~:::~~.~~~t:~~~';: la suprafaţa (S) [11~]. . ul•Ii p:rin mărimea corespunzătoare aceasta a vo1um . . · ·f ţ' de ·ntecrrat u şi tnsumtnd de-a lungul suprafeţei (S), obţmem vana m. · ( unc ) 1 Iri

înmulţind

w

•

•

va:r1aţ1e

~

· 1 1e1 o ' ' . . mărimii integralei provenită din variaţia domemu m

dt ·~ ~

ţ•

v

2

1) •

•

Uvn dS.

,S) ~~

= -.f.Jl- + . v • grad . . ' lJ..

--~-) Dacă unghi.ul între direcţiile v şi (n)

negativă, şi variaţia ·volumului

S66

-t-

Vn

este obtuz, atunci v.... e~te o dl dS va fi de asemenea negativa.

mărimi!-)

361

însen:măm de asemenea prin (n) (~irecţia nonnalci la (S') exterioari:'t faţă de (3 V)

ÎIU.I?ărţincl cu d~ şi adăugînd termenul provenit d.in variaţia funcţiei de inteexpresia derivatei integralei sub fonfia

-?-?

obţmem

grat,

~~ ~ ~ ~

Udv =.

J

~a

Sf (~~ d[) + ) ~

(V)

şi atribuim lui(/) un aslft>l de sens, încît ds, v şi (n) pe (S') s~t aibă aceeaşi orientare

axele de coor
Uvn dS,

~

de unde, ap1ieîncl formula lui Ostrogradski, vom avea: div(

.aşa că

uo) J dv.

au . . . .. ~ prm expresia lm 'in

dU --, dl conform

pe (Jl

~~

(1Hi)

AndS'-

~~

7

=

U div v

+

-? V•

fOI'llll'l·: • .. 1· ( •.11 .". ), ~1• utili-

grad U,

examinăm

-?

(l)

-7-?

-?

acum derivata fluxului cimpului

(l?)

~ X· (l~

(117)

vectomlui

suprafaţa mobilă

dt

-7

X ;)

variabil

~.

=

(;

><

)

J

( (

AndS ·

JJ

~An

. An dS

dS.

/

(St) _ __.,..

=

di

Fig. 98.

termenul (118),

(118)

doHen (S). Fie (l)

d--. dt

al

.

conturul _acestei suprafete şi ds elementul dirijat al acestUI contur (fig. 98) : direcţia pe conturul (l) o vom defini mai jos. în intervalul de timp dt, SUJ~rafaţa (S) descrie volumul (3V), mărginit de trei suprafeţe : poziţia (St) a suprafeţei (S) în momentul t, poziţia (St+tlt) a suprafeţei (S) în momentul t + dt şi suprafata (S') descrisii de conturul(/) în intervalul de timp dt. Elementul de arie ~'l suprafeţei (S') va fi ; -?

dS'

=

obţinem

-?

[vn div .A -

7

....,.

rotn (v X .A)]

dS.

~- \,.

J

A n

în defîniliv :

i~ ["~A _f!_...!.~

dS =

(8)

(8)

1

(120)

i;l

DaC:. (S) este o suprafaţă închisă, at unei în expresia deriyatei Ya lipsi ter-7

-.:,.

menul care conţine rotn (A >: Z'), şi formula corespunz:"'tloare acestui c~lz reiese direct din (11()). într-adevăr, fie (v) volumul Yari.abil mC1rginit de suprafaţa inehisi't (S). Utilizînd l'ormula lui Ostrogradski :;;i (LUi), obţinen1 :

=~

H -1d H A,dS

(8)

div

oo

('V)

-?

! ds >< v t dt.

Fje (n) direeFa normalci la (St) şi (St+ât) luată în acelaşi sem ~i :wmnc· că pe (St+at) no:rmala este dirijată în exteriorul volumului (()V),

presupunem

368

rr

JJ

lmpărţind ambii membri prin dt ~i trecind Ja llmil:1, vom obţ.inc termenul din expresia derivaLei, care provine din mişcarea suprafeţei (S). Ad;hlgînd ~i

(Jf

-+

"'·

rs 1"

(8)

Determinăm acum termenul provenit din variaţia suprafeţei

dS.

este elementul de arie ril suprafeţei

. Aici (S) este suprafaţa 1egată de mcdiui Iar (n), o direcţie determinată a normalcl la (S). :unul 'din termenii derivatei c~mtate va fi

......

i/

~4.)s ds = ~ ~ rotn (~ X ~l)

Descompunînd volumul (or) 'in Yolumelc elementare dv Vn dS dt, nude dS c') 1), obţinem din formula (lln):

(S) :

mob~l,

/

-7

m

Ul

(8)

/

-7-?

0

A (l, M) prin

.!!_ ( (

-- _)_(8V·'l·-

-7

-7-:'

-7

(V)

-?

V

(119)

divA dv.

unde (v X 1l)8 este proiecţia lui o >. ""\ pe direcţia ds, şi, prin urmnre, dup:"'1 formula lui Stokes,

~ ~ ~ [ dd~ + u div ;,~ dv.

Udv =

(V)

-;;

-?

-7

A · (ds X

A. (ds >< v) == ds. (v >:A)= (u >< A) 8 ds,

putem scrie formula (11G) sub forma

~- ~ ~ ~·

.~

+ dl

....,.

div (Uv)

2. Srt

AndS

Am pus semnul ( --) în faţa integralei pc (S 1), din cauză di pe (St) normnla (n) -este dirijahl. :In interioruUui (aV). 1mi:i, după e11111 se şlie [105].

1

zînd formula (571 ) [11!!], -;;

-?

:< v) dt,

formula lui Ostrogradski ne drt

Inlocuind

-?

A 10dS' '= .A • (ds

{S)

(t•)

2'4: Curs de matem;Ltiei :mvc rioare

1av ~

HH~i lt!)

di\

11

dh· (;dh

1)1 "" ~

3. Să deducem acum derivata ·circulaţiei vectorului variabil, de-a lungul unei curbe mobile :

_!!__ (

J

dl

-+

~ .. -? -+. 7 7 -7 (ds X v) • 'rot A dt = (v x· rot A) • ds dt.r

rot" A. dS = 'Şi

formula (122) di3. :

A, ds. A 3 ds

U)

=

7

A <2> •

Să.· det.erminăm acum termenul adiţional care provine din mişcarea curbei. fu intervalul de timp dt, curba (l) descrie suprafaţa (8S), mărginită de patru linii (fig. 99) : curba A 1 A 2 , care apare ca poziţie (lt) a liniei (l) în momentul t ; curba B 1 B 2 , care dă poziţia (lt+dt) a liniei (l) In momentul t + dl; în sfîrşit, curbele A 1 B 1 şi A 2 Bll• descrise de extremităţile A 1 şi A 2 ale curbei (l) in .intervalul de timp dt. Formula lui Stokes ne dă

ds

n,>

+~

A, ds

~

A 8 ds -

A 3 ds

= ~ ~ rotn1 dS,

(B1Ax)

+

Împărţind

c(121),

obţinem

-

d

~

ill

=

Dacă

v<

curba (l) este

închisă,

A,ds

=

~

rP> ·+-

[(JA · . • ~ _". ] .:.____!; +· (rot .A. X v)ll ds;.

~

8t

.

(l)

atunci partea

integrată

~ [ 8~• + (rot 1 x ;)

dispare,

8]

şi

avem :

{124)

ds.

{l)

se poate deduce transformind integrala curbHinie Jormula lui Stokes şi aplîdnd. pe urmă, formula (l20). Să mai examinăm drculaţia vitezei de-a lungul unui f;ontur mobil (l). formula (123) avem

:t ~

(122}

v3 cls

=;

2

(1.23)

.

Această formulă

) •

~< 2 ) ·- :Cl) • ~~(l) + ~ [ ~~ + (rot;

U)

după

După

x ;)8 ] ds "'""'

(l)

(bS)

·=

l:(2)r--~~(1f+ ~

1.

~;~ + (rot ~X!),] ds. .

a~

--?7

Componenta vectorului rot

...;.

..,.

lJ )(

v

după

axa

0~'(

va fi

~

infinitezimală

""?

v dt : ~

7

şi

A <2) ·v<2> dt

- A •

Desfăcind

7

7

.

(rot

.

B 1 la A 1 , adică in sens opus Jui v, iar incilicii superiori ·arată că valorile mărimilor trebuie luate tn punctele Al şi AJ. Elementul de arie dS va fi

corespunzătoare

?

dS

= 1ds

parantezele,

adăugînd şi. :~d'i.zind ~~

,,U> dt,

a:mde semnul (-) figurează din cauză că, pe curba B 1 A1, integrarea are loc de la

··:.

X V 1dl, 7

7

normala (n) la suprafaţă va avea direcţia vectorului ds x v, aşa că, evident,

370

_,.

~

~ ~

o direcţie a normalei la (8S), aleasă astfel tnctt pe (11) vectorii ds, v şi (n) să aibă orientarea axelor. lntegralele pe urcele mici (A 2 B 2 ) şi ( 8 1 A1 ) pot fi înlocuite printr-un singur element, adică prin produsul mărimii funcţiei de integrat cu lungimea drumului de integrare. Obţinem pentru ele produsele scalare ale vecto-

şi

"""

A. X v),. ds.

Ug)

7 2· 7!2 '~ A( ) • ) - A(l) •

unde integrarea pe {:,) şi (lHdt) se efectuează de la A1 şi B 1 1a A 2 şi B 2 , iar (n) este

7

(

+ dl J (rot

ambii membri prin dt, trecind la limită şi adăugînd. termenul expresia căutată pentru derivată~ unde în loc de Ut) ain pus (l):

A 8 ds

Fig. 99.

rului A prin deplasarea

~(lJ dt

~

(AaBs)

+~

·-" •

i ·: \

(121)

8

~t - A (1)

v(Z)

Onul din termenii expresiei di.utate este, ca întotdeauna,

~A

--?

-7

~l,

..,. TJ

x

~

v)!!f,

= OlJx -

utnizînd (1.15),

l)x

l1m

i)v"' + -:(Jy

obţinem uşor

Ug

av')l + --{jz

Vtt --

v:IJ, putem scrie:

ax (oVx + au, -f)x . {)x -

V:1:

v 11

OF-'z +. ax, -·- Pz '} •

de aici : 1. --·-· eO'rad 2

-7 ia " nt ~,

..,. unde w este vectorul

acceleraţiei.

1

2

Substituind în (125), vom avea :

..,.

[ l v( 2 l

12 -

-7

(

Jv(l) 12 ]

+JW

8

ds,

(126)

(l)

deoarece, evident : [

-7

2

"' grad 8 1 v 1 ds = \

-7 ("

"~l

..,. (1 12 -

CAPITOLUL V

1 v l )2.

HAZELE .GE011ETHIEI

Îl)

DIFJ~lU~N'fiALE

121. Curba plană, eurlnua şi evoluta ei. În capitolul de faţă vom pune bazele teoriei curbelo:r şi a suprafeţelor, începînd cu cercetarea curhelor plane, trecînd apoi la curbele în spaţiu şi la suprafeţe. În expunere vom: utiliza vectorii, aşa că cititorul trebuie să-şi amintească precis primele noţiuni din capitolul precedent, chiar cele privitoare la derivarea vectorilor. Începem prin a demonstra :

..,.

L e m a.

Dacă

A este un vector de lungime

egală

cu unitatea -7

·A

(vector unitar), depinzînd de un .parametru scalar t, atunci dA dt ..,. • .., dA 7 Î .., este egal cu zero, ad~ca -··- J. A. ntr-adevar, conform ipotezei dt

-7

-7

lemei, A · A = 1,

şi

derivînd în raport cu t, -7

-7

dA _,. · i' dA . --·A+A·-~=0 dt

sau, în virtutea

dt

iridel)enderîţei

torilor:

produsului

scalăr

de ordinea fac-

· -7

d-'t

dl -7

~

-7

..... dA. l ·A= O, a d1ca - . -----.. dt

A-7

,

..,.

. . ------dA .lA a1·e ev1'd ent sens, numai. 1n " cazul c î n d vecun.d e con d Itla , dt -7

torul

drl dt

este diferit de zero.

373

Presupunem că {.L) este o. curbă plană şi t: un paramet:ru scalar care determină poziţia punctului l'd pe cu:rha (L). Putem ...;.

•ea:racterîza curba prin raza vectoare r (t) care porneşte d.e Ia un 'punct fix O spre punctul variabil NI de pe curbă (fig. 100). După cum a1n văzut [107]~ de:rivata

le. dă.

t(d

N

..r"'"'··""·. . -f~-Î~ f (t) ' '\..

o

. 1

Fig~

tru lungimea arcului d.e curbă s, m.ă~ surat pe curbă de la un punct dat ttii după o ·direcţie d~te:rminată. derivata

-?

n,

adică vectorul,~ do -1>

lungime, unitatea coincizînd ca direcţie cu N. După (3), avem -?

ta:n~

:~nta la curbă şi dacă se ia ca param"·

~~ ( L)

.

un veetor dirijat du1:.ii

Să examinăm vectorul unita:r · al curburii

N

1 ==~ ---

~

n..

(4)

1?

Luăm în direcţia n, adică în direcţia normalei la curbă dusă de partea concavităţii, segmentul MC egal cu raza de curbură p în punctul M. (fig. 102). Extremitatea lui C, se numeste centrul

'

·:>

il' .

l

M

~.::~ :ne dă 'Vectorul unitar oJ tangen-

ds

100.

tei t a cărui directie coincide e·ll direcţia creşterii parametrului s de"alungul c~.rhei : ·+ dt

-·= ds

..".

(1)

t.

Derivata vectorului unitar al tangentei în raport vectorul curburii :

«'?·U

s se

numf!şte

(2) .Fîg. 101.

Lungimea acestui vect(():r caracterizează viteza. sehimbă.:rii .qJe directie a vectorului t""' si se numeste cu.rbura. cu.rbei. În ~irtutea lemei de~onstr.ate~ • vectorul curbură este per· pendicular pe vectorul tangentci, adică este dirijat după normală . Afară de aceasta, din definiţia lui rezultă nemijlocit că el este dirijat. către concavitatea curbei~ deoarece aceasta este -;.

-direcţia diferenţei t

(s

+ ll s) -?

""'

-··· t (s) pentru ~ s ::>O (fig. 101).

Lungimea vectorului N, după cum am m.ai curbu:ra curbei, şi dacă introducem notaţia

spus~

se

n.ume~te

de curbură al curbei în punctul M. Dacă M se mişcă de-a lungul curbei (L), atunci C variază şi descrie o curbă (L1), care se numeşte evoluta curbei (L), adică se numeşte evoluta cu-,bei (L), locul geo· metric al centrului ei de curbură. ·Pentru cele ce urmează este necesar să determinăm derivat•~ ~

~

ân

-?>

~

•

•

.

dn

.~

..,. "'

awca

atunci mărimea p, inversă. eurlm.reir se ·n.umeşte raza. de curbură~

•

- • Vectorul n este un ·vector unitar ŞI, pnn · urmare, ~.l!

(3):

Fig. 102.

~-

...:)'

t ..

r&

dn este . --

ds

=

. 1)· er1v · î n d eg·ali"tatea para1el cu tangentao

1.

.:..

n~

evidentă

O, în._.raport eu .s, vo:m avea -?

~

lV • n

7

-?

dn

+ t • -ds

=

o. .375

~

~

~

It~să .V;ect01·ii n şi

=

1 ----

P

,

aşa

-'j

--;)

N coincid ca direcţie, şi, după (4), N · n -.--

. . rezu.l ta t~ · ca cl'111 u l t1ma ega.litate 'J

V

.

-7

1

dn --

__;--.Con-

~

fruntînd această egalitate cu paralelismul vect01·ilor

P ~

t şi

dll

ds '

că :!..r:. este de sens opus lui

şi are ca lungime

~

7'

dn

--= ds

1

-

p

p

adică :

'j ~~·j

(5)

şi

s raza ·vectoa1·e şi lungimea arcului

-7

pentru curba (L), iar r 1 ._ şi s1 aceleaşi mă1·imi pentru CYoluta

{L1). Del'ivîncl egalitatea (fig. 102) ~

obţinem

:

-7

~= d.s

~

r1

=

r

+

7+ dr-; '

ds

..,.

!!!:.! ~ 7+ --~ ; - ;, adică

..,. dn , p __

7

ds

=

1

,.!!:__e_ ds

adică l ds1 ! =

1,

!

1d

p

1•

Presupmiînd, 'pentru simplicitate, că pe porţiunea consicurbei şi a evolutei, s1 şi p sînt funcţii crescătoare, pute'tn scrie ds 1 = dp 1 ). Integrînd această egalitate pe porţiunea considerată, vedem că creşterea lungimii arcului evolutei este egală ?u cresterea razei ele curbură a curbei iniţiale. Obţinem astfel a t;eia proprietate a evolutei : pe porţiunea de variaţie monot.on~

Să

cls

ds

cel.

şi 01'~ şi fie~

alegem în plan axele de coordonate OX

un-

~

ghiul format de direcţia tangente~ t cu axa OX. 'Exprimînd vecto:htl 'umtar prin componentele sale, obţinem :

~

dr1 ds

-

·--= -.lYIC

=

!_~P_ ;. ds

--;)

(6)

Mţmhrul 'al doH~a al acestei formule este un vector dirijat după normala la (L), iar membrul întîi esţe un veţt()r dirijat după ta:ng-e:uta la evolută, şi, plin urmare, normala la curba (L)

mala la curba (L) ~ste tangentă .la evolu.tă în punctul corespunzător.

Amintindu-ne definitia înfăsurătoal'elor familiilor de Clll'he, putem enunţa şi a dol{a prop~ietate a evolutei : evoluta estfJ

-7

precedentă

-)

pătratul

1 = --p2

1)

= -··sin q>

d _!_ ds

să

d

4

i + cos

O Y.

De1·ivăm.

-<'f>

-'?

:..!. j, ds

lungimii vectorului va fi :

( ~sin • q> d? ds

)2 + (cos

dq; ) cp ---

crease:\ monoton

împreună

2

1 sau-~--

ds

curbură,

CoMtd~'find că p 'variază monoton,

incit s1

şi

în raport cu s :

Obţinem astfel o expresie pent1·u tîlnit-o în [1, 71]. ,

aşa

-7

+ sin ~j,

j sînt vectori unitari pe axele OX N

de unde

cos cpi

7

uD:·tle i şi egalitatea

familiei de normale la curbă.

Paramet:pll natural pentru evolută este arcul ei s1 , şi, după 1·egula derivării funcţiilor compuse,

..,.

t =

este paralelă cu tangenta la evolută. Însă, ambele aceste linii t1·ec. p:~,·inţr-unul şi acelaşi punct C, şi, prin urma1·e, ele trebuie să coincidă. Obţinem astfel prima proprietate a evolutei : nor··

376

dp

=-= -- n,

a razei de curbură, creşterea ei este egală cu creşt-erea lungtmu.arcului de evolută, între pun.ctele corespunzătoare. În cazul fig. 102, această p1·op1·ietate se exprintă prin egalitatea : M1 C1 -

-;

pn

sau, pe baza lui (5) :

înfăşurătoarea

~

Substituind

de unde, compai-înd lungimile vectorilor din ambii membri ai acestei egalităţi, obţinem : ds

t.

evolută.

derâtă a

Fie, ca. mai sus, r

ds

ds

-7

~

în raport cu, s,

ds 1 7

-

-7

-7

vedem

-7

unde t 1 este vectorul unitar al tangentei la în (6), obţinem :

p

l ds

pe ea1·e am mai

putem totdeauna

cu p.

= 1-dep 1 . în~:

alege dh·ecţia lui s1

377

sub

Să presupunem formă , explicită

că

acum

y Ecuaţia

curbei ( L)

este

dată

= f(x).

E:l'!emple 1. Să se găsească evoluta elipse!

-

(7)

familiei de normale la· ( L) va fi :

Y- y

'

ecuaţi.a

= -- _!_ y'

(.X-x) sau (X-~x)

xl'l ra2

y?.

--~

-·l-

02

(a> b).

"'::: 1

Scriind ecuaţiile elipse.i sub ~ormă parametrică :

+ :/ (Y -y) :.= O.

(8)

x ,= a cos i ; y şft subi;tituind

m ecuaţia

Aici (X, Y) sînt coordonatele curente ale normalei, iar (x, y) coordonatele punctului M âl curbei (L) şi y este funcţia (7) de x. Aşadar, rolul parametrului în familia de normale (8) îl joacă ahscisa x a punctului variabil al curbei. Aplicînd familiei (8) regula obişnuită pentru găsirea înfăşurătoarei [10], trebuie să scriem două ecuatii : ecuatia (8) si o nouă ecuatie care se obţine· din aceasta din urmă,, prin ·d~rivare în raport cu parametrul x:

x) + y' (Y- y) =O; - 1 + y" ( y - y) ~ y' 2 = o. (X~

}

=

b sin t~

(H)~ găsim, dup:ă calcule simple, a2 _ba X = - - - cos8 t; a

1

1

a'f!.- .!):ll • a - · - - - - Slll

,

}' '~" -

b

1

t.

1

J .

(9)

Eliminînd între aceste două ecuaţii parametrul x, obţinem ecuaţia care leagă variabilele ( Y). ,Aceasta este tocmai ecuaţia înfăşurătoarei familiei de normale, adică ecuaţia evolutei. Se poate proceda şi în. alt- ~od, şi anume, rezolvînd sistemul (9) în raport cu X şi Y, e~primăm acestea din .urmă cu ajutorul parametrului x, adică obţinem ecuaţiile parametrice ale evolutei :

!,(,

1/(1

+ y'2)

X=x-----·; .

y"

+ y'2 Y=y+---. 1

,

y"

Il' '1

i

(10)

Dacă ecuaţia curbei (L) este dată sub formă parametrică, atunci în formulele (10) trebuie să se exprime derivatele !ui y in raport cu x, prin diferenţialele variabilelor [1, 74] :

_dy • Y' = · dx'

ale evolutei ·pentru acest caz:

378

dy .

formă implicită

:

a

şi suhstituind aceste expresii în (10) obţinem ecuaţiile parametrice

X=x-

+

,;n· """"\St"" dr>uă tecuaţii. înmulţind întîia cu a, ~~ parametru1 *~ um "'""'" "' "' doua cu b, ridicînd la puterea şi ardunîndu-le, obţinem ecuaţia evo!utei elipsei

Eliminăm

sub

·

Fig. 104.

Fig. 103.

(dx2

+

dy 2 )

•

·

·

OJ)

2

2

:3

3

-.:.3

X

+ '!/

2

y

-s·

2

=' (ti2l -

,·a

b2)

Este uşor de construit această evo1ută, utilizîn?, aeeste. ecua_ţii .. ~e~~:c~;~ că în vîrfurile c.lipsei raza de curbură îşi atinge valonle maxtm(f~l ~~~~)e, uu punctele corespunzătoare evoluta are un punct de întoarcere 1g. · 'fără

2 , Să găsim evoluta parabolei y greutate :

=-'""

ax2. Servindu-ne de ecuaţiile (10), obţinem

d~y dx - d2 x dy '

379

1Eliminînd parametrul x, obţinem ecuaţia evolutci pnralwlci' snb formă explieibl (fig. 1Oi) :

= --~2a

+ -~) xi 2

7

şi ri ra~ele vecţoare al~ curhelor 7

V2a

r

:3. Si:'t considcn!m cicloida :r ==:_ a (i -

7

7 :=

7 t1

v,ector·nl unitar

7

rI

+ a) t

(si

-

1,

de unde, prin derivare în raport cu si, sin t),; !f =-= a (1 - cos .t).

+ sin t) ;

Y ·=' -

a (1 -

-7

-7

Utilizînd formulele (11), g~lsim pentru evoluta ei eeuaţ.iile paramcl:ricc X = a (l

(L) şi (L1 ),

al tangentei la c:urha (LI). După construcţie :

Q

Y

7

adică !.!:__

-

(si -f- a)

ds1

ds1

cos t).

dtl

-7

.

dr

De mc1 se vede că vectorul--, paTalel tangentei la (L), ds 1

-7

este în acelaşi timp paralel cu vectorul

Fig. 105.

V

fnţa

Se poate arăba uşor eă această curh(l este tot o cidoid<"i, ·insi:'t altfel situaHl de axele de coordonate (fig. 105). Intr-adev:"tr, f:tdnd t T - n, ultimele formule pot fi scrise sub forma -CO.

X

an

=

a (T -- sin T),

de mH'lc rezuHi:'t imediat afirm:J.tia de mai sus. ' J~:!.

I~volventa.

luta ei (Li) se numeşte evol'Ventă. Din p1·oprietălile ev:olutei se obtine usor regula const1·uirii e~olvent~i cînd este (it) dată evoluta. Dacă C este un Fig. 10(1. punct variabil pe ( L 1) şi s1 lungimea de a1·c pe această c.urhă, a:tunci, luînd pe tangenta la (LI) în punctul c·~ şi în sens negativ, segmentul C.NI = s1 -i- a., unde a este o constantă, obţi~em locul geometri~ (L) al extremităţilor M. Se arată cu uşunnţă că acest loc geometric este evolventa căutată (fig. 106). Pentru ~ evidenţia aceasta, este suficient să se arate că segmentul CJ.vi este situat pe normala curbei (L). Fie, ca 1nai sus,

380

adică este paralel

cu normala la (1..)1), şi de aici urmează că tangenta CM la (LI) este normală la ( L). Putem atribui constantei a valori arhiti·a1·e în forrnula CM = s1 a şi, de aceea, pentnt o evolută dată, putem avea o infinitate de evolvente. Din însăsi metoda de construiTe, rezultă că două evolvente au normalele' comune şi că segmentele de .normală cuprinse între două evolvente au o lungime constantă, ·;egală cu diferenţa dintre valorile constantei a, corespunzătoare evolventelor considerate. Două astfel de curbe se numesc curbe paralele. 123. Ecuatia naturală a curhei. Curhu1·a este, de-a lungul curbei, o funcţiune deierminată de arc

+

Aceeasi

curbă (L) în raport cu ev~·

dtl ' ds 1

_L = f

(s).

(12)

p Să arătăn1 că, invers, oricărei ecuaţii de fm·ma (12) îi cores-

punde o curbă hine determinată. Într-adevăr, să alegem o OX, şi fie (p unghiul făcut de tangenta la curbă cu această

direcţie

1 • OX {l uecţ1e . . D upa cu1n se stie, 0

0

v

'

p

dr.p

±f

ds

= ±

dr.p • S I• ecuaţia ds '

(1"') lv : .:, ca

(s),

de unele q.>

+- ~ f

(s) ds

+ C.

u

:381

Putem considera că directia axei OX coincide cu directia tangcntei pentru s = O, aşa ~ă în formula din urmă put~m lua C = O, adică obţinem pentru unghiul cp expresia : rp =

unde

±: p

E~emple

.'·

.

1.

Dacă. ecuaţia

2. Presupunem

(s),

că.

-

curbura

p

[1, 70] =

x

dx

precedente

y

~ cos (a s2) ds, (13)

'

y

8

= ~ sin

X=~ cos [F(s)] ds +·el'> Pe b:a

o

[83]

s

y

= ± ~

sin [F (s)] ds

-+

C2 •

Fixind originea coordonatelor în punctul curbei pentru care s = O, putem considera că C1 ::.= .C2 = O, şi obţinem astfel o curbă bine determinată · IJ

y

= } cos

= ±

[F (s)] ds,

~sin [F (s)] ds,

1 ]

o

unde s~mnul dublu reprezintă simetria în raport cu OX. Am arătat, prin urmare, că ecuaţiei (12) îi corespunde o curbă hine determinată ~i că pentru un sistem ales de coordonate, ecuaţiile (12 1 ) trebuie să dea o reprezentare parametrică a acestei curbe. Şi, efectiv, se arată uşor că, pentru curba determinată prin ecuaţiile (121), curbura are valoarea dată prin formula (12). Ecuaţia (12) se numeşte ecuaţia naturală a curbei, în sensul că această ecuaţie nu este legată de vreun sistem, ales întîmplător, de axe de coordonate, iar ei îi corespunde o curbă perfect deter~ minată (făcînd abstracţie de o simetrie). 382

~

~ cos

o

x

cu lungimea arcului

2as"

'

o

ds

egalităţii

'

unde 2 a este un coefiCient de proporţionalitate po1Jtiv. Calculele precedente ne gau, · in cazul de faţă,

-=cos 'P; de unde, pe baza

.

p

1

o Ştim insă. că

p

~ este proporţională - =

~~' ~ f (s) ils.

.!_ = C, adică dacă raza de ~~rbură

(12) este

este constantă, atunci, după cum ştim, ea este satisfăcută de cerc [1, 71]. Din ceea ce precede rezultă că cercul este lingura curbă cu rază de curbură constantă.

11

F (s)

·.

o

(as 2) ds.

convergenţe!

integralelor

~

(as2)

ds;

~ sin' (asi)

-~. . ..Q) .

;;;=

ds,

Fig. 107.

o .

6

~X

~p-~---

.

se' poate· afirma că, pentru' -s crescind nelimitat, curba va tinde către punctul din .plan cu coordonatele egale cu valorile integralelor scrise mai sus, iar ea se· va răsuci, sub formă de spirală, în jurul acestui punct (fig. 10'7). Dacă în formulele (13) atribuim ·lui s şi valori negative, atunci obţ:i nem porţiunea de curbă situată in cadranul al treilea. Curba obţinută aici se numeşte spirala lui Cornu. Ea se întilneşte in optică.

o

124. Elemente1e·fnndamentale ale curbei ·în spaţiu.··O curbă în.spaţiu (LY poate fi definită dîndu-se .raza ->

vectoare variabilă, r (t), din ongute, la ·punctul variabil M de pe curbă (fig. 108). Luînd drept parametru t Fig. 1.08. lungimea arcului de curbă s şi derivînd ~ : pe r în raport cu;. ~' .. ~bţinem: vectorul unitar al tang.entei la curbă [1 07] · ..,. dr

..,.

-=.t.

(14)

ds

383

7

Derivata lui t în raport cu s se numeşte vectorul curb4rii :

~

db

vectorilo-r

7

dt

-7

di = N,

(15)

şi lungimea acestui vector dă curbura curbei inversă

p

p se numeşte raza de curbură. Ca şi în cazul curbei plane, 7

-7

-7

vectorul N este perpendicular pe t, şi direcţia vectorului N se numeşte direcţia normalei principale a curbei. Introducînd principale~

_,.

1 ...,.

N=

~n.•

-7

-.Hcula:r pe veetm·ii

t şi

•

un vector -7

numeşte

(16)

unitar~

-7

7

perpendicular pe t

.

plană,

putem scdt>

numeric_!_ se numeşte

unde coeficientul

wrsiunetJ curbei, hu

7

atunci vect01·ii

t şi

.

-7

n se

raza de torsiune sau raza curburii a doua.

"t'•

Să observă.m că mărimea : poate fi atît pozitivă cît şi negativă,

(17)

eontra1· curburii 2.., care totdeauna se eonsidcră nene~ativă. Ex:i·

-7

p

-tt.enţa

vectorul unitar al binormalei.

curba este

şj

perpen.

n :

aceeaşi orientare ca şi axele de coordonate, constituie, cum se spune, triedrul variabil, legat de Dacă

b. va fi paralel vectorului n.

ds

~

mih:imea inversă,

-7

şi

-7 -7 -7

.

."

't'

Vect01·ii unitari t, n, b, avînd

curba (L).

b. Prin urmare~ vet.~torul

."

~

~ -d,<: = --1T-n., .

b::::::::: t X n.

Acest vector se

-+

~

perpendîculară pe vectorul

putem scrie :

.

încă

e!'lh·

db

?

lntrodu.cein

db ds

7

vectorul unitar n al uormalei

,..

•

ca intotdeauna., derivata veetorulu.i unitar --·

mărimea

iar

_1-__

4ltă parte~

şi

ds

găsesc -7

în :planul curbei şi,· prin ·U:rmare, vectorul unitar bino1·mal 'b este an vecto:r·~de direcţîe con'Stantă·şi delu•gime egală cu unitatea, per-

vectorului tangentei 1 al curburii şi al torsiunii sînt. legate; desigur, de existenţa derivatelo1· cu ajutorul cărora se exprimi! aceşti vectori. Să stabilim acum formulele pentru calculul curburii şi al wrsiunii. Introducînd axele de coordonate OX, O Y, OZ şi. -') ..."

vectorii unitari r

...,.

=

...,

xi

+

care -+

yj

-7

le corespund i~ j, k, putem scrie :

dx ..,. dy "" + zk..,; ;. _,.t = --~;, + - j + ds ds

dz _,.

1-~-· k :

. ··1ar pe ·Pl anu·1· curb e1. . P entru cur·b a lfep · l ana, "' uenvata ..1 • db pend1eu --

ds

caracteriz·ează

devierea curbei de la forma plană şi se numeşte vectorul torsiunii. · Să arătăm că .vectoru.l torsiunii este paralel cu normala principala. După formula (17),

-?

de undeq, pentru lungimea vectorului N 11 avtnn

1

(20) -7

-7

Însă vectorii N şi n coincid în ceea ce priveşte direcţia şi,

prin urmare, produsul lor vectorial est·e nul, -7

db

~.

Din formula (19) rezultă că torsiunea _:_ poate fj exprimat~ ca un produs scalar -:'1

"'7

dn

--=tXds

aaică

ds '

(13) T

25. Clll'lll de

matematic~

euptn1oare

db ds

~

=·-•11

385

.aceasta, va trebui să· exprimăm derivatele coordonatelor tn raport cu arcul, prin diferenţialele coordonatelor. Diferenţiind formula.

sau, in virtutea luj (18),

(

1

dn~)

-;;

~

ds d 2 s = dx d 2 x

.,.

.;.·

Afară

n = p N,

(t x

d

= p

<~m) . PN = ~ (t ds d

2

(22)

.,

~

[; x

..,.

->

..,.

-?

( ~;

2

2

iv + p 1)] . p N~) dN

+ p1 • (, t X~dS ..,.

t

X N) • N

+ dy d y +: dz d z~ 2

(23)·

tPz cf2zds-d2sdz ·-= ' dsll ds• .

(24)

2

de aceasta, avem [1, 74]

d xds-d sdx d2y. ___.= ;-= dss dsa .dss;

d!'x

obţinem

=

+ dy2 + dz

dx 2

avem :

·~

l.nlocuind pe n prin expresia lu.i scoasă din formula (16)·

~

=

ds 2

-;- = t X ds . n.

d2yds-d2sdy

ds•

Suhstituind tn formula (20), vom avea : 1 pll

-=

"'

• N. . ds2

[(tJ2~)~+(d2y)2+(d2z) 2 ]-2dstJ2s(dxd2 x+dytJ2y+ dzd2z)+(d2s)2(dxll+ dyl!+ dz~:

c:--~~~~~~~~----~--~~~~~~~~~~~~~

lnsă

produsul vectorial t X N este perpendicular pe vectorul

..,. N şi de aceea primul din cei doi termeni ai ultimei expresii a hd 1 este egal cu zero, ceea ·ce ne dă :

~=p•(tx~). N, ·

p2

-'\" = -

( ) dN ..,.

..,.

..,.)

utilizind

+ b2···+. c2) ·(ai + bi + ci) - (aa + bb + cc1) 2 == = (bc1 - cb1) 2 + ~ClZJ. - ac1) 2 + (ab1 --: ba1) 2 • 1

(21)

3

1

(26)

A2+Bli+C2 (dx2

+ dya + dz2)a

. '.

(27)

unde ;

dss

Să revenim la formula (20) relativă la _,curbură. ln ea , a~ presupune că coordonatele x, y, z sînt exprimate ca fu.ncţu de arc. Să transformăm · această formulă î:ntrao nouă formă~ utilă pentru orice reprezentare parametrică a curbei. Pentru 386

(25)

.

1

..,. . ..,. . ..,. 2 3 .. dr d r d r [lO~] -wectornŢ, -.-· , -. . a . ds2

.

-=

Observăm că coeficientul lui ( ~p 2 ) este volumul paraleJipi~

ds

ds 8

. _ Aplicînd acea_stă identitate numărătorului expresiei (25), putem scrie formula definitivă pentru pătratul curburii :

~

'

· ·(d.t2+dy2 +dz 2 ) [(d2x)ll+(d2y) 2 +(d2z) 2 ]-(dxd2x+dycJSy+dzd2z)a

(a2

X t , • N. ds

..,.

·

l,a

=

--

2

.

1

..;.

.!...=n2l~x~ .~. "C' ~ ds ds ds . pe pe.d u 1u1. · construit

-

Amintim identitatea algeb~ică element~ră necesară pentru -eeea ce va urma [104] :

Efectuînd permutarea circulară a vectorilor şi formulele (14) şi (15), obţinem, în definitiv, 1

sau, i:q, virtutea lui (22) şi (23) :

.

sau, permutînd factorii în produsul vectorial ~ 1

ds8

A= dyd 2 z- dzd 2y; B = dzd 2 x- dx d2z; C = dxd2y- dyd2x. Dacă curba·. (L) este traiectoria unui punct· in .atunci. vectorul viteză se determină din formula

..,. V

-+

· dr

miŞcare,

ds 7

=dt =dtt. 387

Deriv1"nd l~tlcă o data~ ac~celeraţie :

Această rela1ie dă ultinlele trei fQrmule ale lui F':renet :

1 t'.n rapo·.~t C"' · ·1 • .... t11'mp•• · . •...t, •)b1tt·n;.,..,.... ' y ..,.._... V "" u(J t OI"U''

.dct.1

. .--'=

.., d.l

.

d!

sau,

după

şi

{15)

fX IX2 ---~;

~

p

ds

~ -p

d~l

-= ds

{j2 • dyt ·~-

~

'-J=h

Y Y2 ---·-It p ~

Utilizînd formulele (28), se arată imediat că~ da.cd df'l .. a

ţfungul liniei (L) curbura ..:!:_este nulă, atunci aceasttJ e.st~ () Uni,!

(16) :

p

.:O.reaptă. Într·!;l.devăr, identitatea.!:.. . O dă . 't'

ds

dt

de unde se vede

• }'"

genţ1a

l""

a ega a cu

că vectorul acceleraţie are d2s • -;;'ŞI

d.

principală, egală

una pe normala

!.•

1'

i

1

X

j

l 1

1'

1

1

.

Z

1

!---:-----------~---. --! :

"-?

:

1

1

'

l

l

1

1 - . .

1

! ! ; C( : ~ 1 y ! i 1 1 j·---------·--c-------:-------

:( ~ •-:) !

'

n: : - al l ~1 l Y1 ( j• _______ if _ _\' ___

!

;!r;,, ~i)

~2

11 Y2 !1 -·--·..··-------........_____________ "__.! 1

·

O:z

1

A

'~'

·

· 125. Forrnulele lui Frenet. In·· troducem notaţia indicată in tabela alăturată, pentru cosinuşii directori ai axelor triedrului mobil, faţă d• axele de coordonate fixe. .. For.mule~e lui Frenet dau expre" sule denvate1 in .raport cu s, a celo1 nouă cosinuşi directori~'alăturaţi.

Componentele vectorului unitar sint "' ~' y, şi_ formula ...,. dl

di=

ds

v~

cu -· .

iar componenta după hinormală 'este egală cu zero. r.-.-·--.·-------·-----------------.. -----·-

da. d[j dy -:::::::;:-=...--,---=.=o.

o-- componentă ta.ltll- ·

"?'

N=

t

p

ds

;~

La fel, formula ~le lui Frenet :

~~ d.1

=

O9)

d~

-~--

. d.s

. ~.

=-- ; p

dy .

•

~espect1v,

dx cu-,. -dy §1• -dz ds

~~y ds

= --~ "

~

vectorul b. Să găsim expresiile cosinuşilor directori ai ace8tui -vector. Din cauză că acesta este un vector unitar, cosinuşii ~ăi directori sînt egali cu componentele lui: bUJ, h11 , b,. Din fm·· f
y

~2

=

p

y 2 :;::;:::

~'Y.J --- 1! ds

'f

Con~ide.rarea triedrului mobil dă im-ediat ~ __ dt~.rivînd

în raport cu '·s, obţinem : ......~-.~

,].:}.

':.'!.~

~

r X b, ~i~

~

."

12{). Planul osculator. Planul definit prin vectorii t şi n s~ ~JQ.umeşte planul osculator al curbei. Normala la acest plan esh

ot 2

ne conduce la ~urm~'itoarele trei formoh·

· ; d aca.., aceste der1vate s î nt cons t ante..

ds

vforsiunea este nulă, atunci curba este plană.

=

t 11 ne-t,; nv;

b11 = t1 nz -- t~,~ n, ;

b,

=

~~.:n 11 ~ .t'!f -

•

n_.,,

1 i

1 ,'

..

~1

'.

~

·;

_..

n 00 , . : • sînt componentele vectorilor t şi n. In~lil -după cum am văzut mai .su~, t"',. ,t", t, sî:p.t p:,:oporţionali cu . tlx, dy, dz, iar n 0 , n,., n 1 sînt proporţionaH cu eomp~n~nt~.,llt1 • oi? d 2 x d 2y d 2 z • . · vectorulul N, care sî;nt egale .cu ds 2 ; (iSi , dsa t 1~1' acestea. din:·tu~ . .mă$ la rîndul lor, in virtutea lui (24), 'sînt. proporţional~'

,unde

.!:!...

ds

;atunci funcţiile x, y şi z sînt polinoame de gradul întîi in raport .eu s, adică linia este efectiv o dreaptă. · . Tot astfel se arată cu uşurinţă că, dacă de·a lu.ngu.l curbe1i

-=_)-. d~~

ds

·d.e unde se vede că cx, ~ şi y sînt constante. lnsă, după cum .'!\~ -ştie [1, 160], cosinuşii directori ai tangentei cx, ~ şi y sînt egali.

dă p1·imele trei forniu.le ale iui Fr.;,net : d':l. IXl -----= --;

ds

till, • •. ,

,~liferenţele

n~,. n11 ,. n 1 .prin diferenţele (30), ne convingem că cosinuşu direc.tor1 ai hinormalei sint proporţionali cu expresiile :

x)

+

B (Y- y)

+ C (Z -

z

x = cp(a); y

=

~(a).

(32)

Luăm pe (l) un arc AN şi construim segmentul, d k . . . NM = ka paralel cu OZ l!ln e este un co~ficie~t. numeric determinat (pasul elicei). Locul geometric ai. ,~~e'n~tceelsotr .Ml. r~prezmf~ă h~Ida elicoidală (L), trasă pe cilindru. Ecuaţiile parametrica ,. e1 Imi vor 1, evi ent, :

Fig. 10!J.

x == cp (a); y = tfJ (a); z == kcr.

(33}·

Fie s lungimea arcul'!li de curbă (L), socotită din punctul A. Avem 2

+ dyll + dzll

= [ cp'll {a)

+ ~~~ (a) + kB] da2,

Insă cp '{a) şi tJI'(a) stnt, respectiv, cosinusul şi sinusul unghiului făcut de· angenta la curba (l) cu axa OX [1, 70], adică cp'2(cr) + ~'ll(a) _ 1 · f 01. . 1 prece~elltă se poate 'Scrie sub forma ŞI · mu a;.

t

ds

= V1 + ka

da,

•de unde

s=V1+k2a.

dz dcr da · d~~

k

= ~ 1 + kll

;

O=

.IL

principală

prin urmare, normala

p

sau y 1

=

un

O,

a liniei elicoidale este perpendieularâ pe axa

,oz, adică pe gcneratoarea cilindrului. Insă, pe de altă parte, ea este perpendicularli

Să considerăm un cilindru,. cu generatoarele paralelecu axa oz, şi fie (l) curba. directoare situată în planu~ XO Y (fig. 109). Luăm ca. variabilă_ independentă arcul a al curbei (l), sc;>cotit diţl punctul A de intersec~ ţie aJ acestei curbe cu axa . ox, ·.într-un sens determi~ nat, şi presupunem că ecuaţ.ia curbei directoare este

X

ds =

oz ~

41vem aici prima proprietate a liniei elicoidale : tangentele la linia elicoidaU1 fac .unghi constant cu o anumită directie fixă. Să considerăm a treia formulă (28). In cazul de faţă ea dă :

,şi,

z) = O. 127. Linii elicoidale .

ds = dxll

dz

2

care au fost deja introduse mai sus [124]. Însemnînd cu (x y z) coord?natele P'!-nctului variahi1 M de pe curh.a (L), putem' s~rie· ecuaţia planului osculator sub forma

A (X -

aeum cosinusul unghiului făcut de tangenta la (l.) cu axa y =

A = dyd z - dzd y; B = dzd2x- dxd2z; C = dxd 2y - dyd2x, 2

Să determinăm

şi pe tangenta la linia elicoidală. Generatoarea cilindrului şi tangenta la linia ·elicoidală determină, după cum se vede cu uşurinţă, planul tangent la cilindru ·In punctul luat pe linia elicoidală, şi, din ceea ce precede, rezultă că normala· ·principală la linia elicoidală este perpendiculară pe acest plan tangent. Obţinem (astfel a doua proprietate a liniei elicoidale : normala principală la linia elicoidaUi

-coincide, tn toate punctele aceslei linii, cu normala la cilindruld pe care este ·trastl .această linie. Să ne intoarcem acum la cosinuşii y, y1, y1 ai unghiurilor formaţi de axa OZ

y + ri

cu direcţiile triedrului mobil al liniei elicoidale, Ţinînd seamă că 2 + y~ = 1 -~i că y şi y 1 stnt, după cum am văzut, constante, putem deduce că şi .Ys este c)

mărime constantă. A treia din formulele (28 2) dă, tn cazul nostru, -· :L - y~ = O, p

·de unde se vede că raportul

f.

":'

este o mărime constantă; aşadar~ avem a treia

~

,proprietate a liniei elicoidale : de-a lungul liniei elicoidale raportul tntre raza da -curbură şi raza de lorsiune esle o mărime constantă. Insemnăm prin r raza de curbură a curbei plane (1). A vtnd in vedere că pătratul curburii este egal cu suma pătra~ telor derivatelor. de ordinul al doilea al coordonatelor tn raport cu arcul. putem >Scrie

~i

~;= (d;s~r +

(fs:r (::r =re::r + (:;r + e::rJ 0~;;; +

de unde 1

··- = pll

q/'2 (a) (1

~"2 (a)

1

+ kll)ll + (1 + k2)2 = -·~·-(1 + k2)2 rlll

sau p = (1_ + k 2 )r, adică raza de curbură a liniei elicoidale diferă_ numai printr~m1 1factor constant de raza de curbură a liniei directoare; in punctul corespunzător, Dacă cilindrul este circular, adică dacă curba directoare (l) este un cerc, atui1cl'r· ·este constant şi, prin urmar~, Şi p este constant, însă atunci, după a treia prop1·ite· tate, 't" este de asemenea constant, adică_ linia elicoidală p_e UII r:ilfndm drcufay are curbură constantă Şi torsiune eonstantă. ·

tu Incheiere mai relevăm o tmportauU. proprietate a liniei elicoida1e.. .Ea.. în aceea că, dacă luăm pe cilindru două puncte, atunci distanţa cea ma~,, pe cilindru tntre aceste două puncte va fi dată de linia eHcoidală care trec~· prin aceste două pun~te. In această privinţă, linia elkoidală. este, pentru cilindru,. analogă liniei drepte pentru p!an. Proprietatea indicată se exprimă, de obicei, spunind că liniile elicoidale stnt liniile geodezice ale cilindrului. In general, se numes~ linii geodezice pe o suprafaţă dală, liniile care dau distanta cea mai scurtă lntn.· două puncte ale suprafeţei. Dacă desfăşurăm cilindrul pe planul XOZ, rotindu-1 tn jurul generatoard can· trece prin A, atunci, din cauză că raportul între arcul ANşi segmentul NM păs. 1 trează aceeaşi valoare ~linia elicoidaJă se transformă, pe plan, Intr-o linie dreap c;a.wstă ll{~urtă

k

tă. In cursul desfăşurării cilindrului, lungimile se conservă, astfel că proprietatep.c·, liniei elicoidale de a da cea mai scurtă distanţă pe cilindru devine evidentă. Obser văm că această proprietate este în imediată legătură cu proprietatea a două linH. elicoidale, anume aceea că normala principală a liniei elicoidale este normală h,, cilindru. In geometrie se demonstrează că, tn general, norma/ele principale la (>, linie geodezică, situată pe o suprafafă, coincid cu normalele la suprafata respectivii·

N'Jl

=

-'1

..,

(rot f X t)rr;.

şi •'i.t:o.e..re~:e a<.:(;Ohtşl

ţ~j importantă

-?

pentru vectorul curburii N al liniilor vectoriale ale acestui ctmp

[ntroducînd eoordonate1e (x, y, z) ilc.r1e

şi

lungimea s a

arc~uJui

.

liniei vectoriale, put<>n,,

~

dx

ds

-

.

t(IJ;

dy = î'll; ds

dLJ:

N7c=-- = ds

8ifll

·--ax

-'1

.,.

rot t

~

X

-'1

-'1

rut t x

Indeplinirea 7

,_;~,t t

=

simultană

a

condiţiilor

dy\

{jtil!

d!!

t_'h

-+--

pe care, dacă o sub forma:

scădem

(36) este

numai în

cazu~

O, deoarece, dacă acest vector este diferit de zero~ atunci condiţia (35} ~

-?

.

·este echivalentă para1elismu1uî vectorilor rot i şi t şi condiţia (86) este echivalentâ ·(•rtogonalităţii lor. De aici urmează că liniile vectoriale ale cfmpului veclorilot -?

fi

129. Ecuaţiile parametrice ale suprafeţei. Pînă acum am cc;onsiderat ecuaţia suprafeţei, în spaţiul cu axel~ de c~ord~~~;tt :J(. Y, Z., sub forma explidtă z = f(x,y), sau sub forma 1mphe1ta t

=

(3'1)

O.

;

din expresia dE' mai sus s lui N~, putem să scriem P<' N~~·

=

r.p ( u, v) ;

y = tlJ ( u, v) ; z

=

oo ( u, v)G>

(38)

Dacă substituim aceste expresii în ecuaţia (3'7), . uebuii'.t ·~a obţinem. o identitate în u şi v. Derivînd această identitate ~n raport cu variabilele independente u şi v, vom avea t

~ {)x

• {)cp

au

+ ~F' • it.t + {JF oro {jy

au

8-z

n,

au

â

392

posibilă .

x

·,

obţlnf'ro

şi

(36}

Se poate scrie ecuaţia suprafeţei sub formă parametricaţ ·exp1·imînd coordonatele punctelor ei cu ajutorul a doi parametri .va:riahili, independenţi, u şi v :

Dertvînd identitatea

In t·aport cu x,

t = O.

(35)

F(x, y, z)

'·

~

t =O.

Afară de aceasta, am văzut că pentru existenţa fami!iei fie:; eupt:afeţe Ol'to~v·-,.,,a!(; a1e liniilor vectoriale, este necesar şi suficient [1101 ·

MHl

\

~

normale la o familie de suprafete numai tn cazul ctnd roi t - O '-\ceastă propoziţie joacă un rol important iu optica geometrică, .

Vetm··minân) cmnJ.nmenta Nrr a vectorului curburii: •

pentru t:cldaitt: doGJt!l

Pentru <:a nnme să f.it drepte, este necesa1· şi su:fi.de:nt ca aungi mea lui N, 1 ""~ttic~ curbura - J să fie nulă [125]. De aici se vede că,pentn.1. ca liniile PP-doll'{tt~l!' p ' "''te unui ctmp unliar să fie drepte,. este necesar şi suficient co

"aniiari t vor

r•.

ds

o:!Jţi.u·e şi

t ;'( L

;V ,"", rut

7

dz

.."

...;

-?

128. Cimpul vectorilor unitarl. Fie t un dmp de vectori unitari, adică, k -+ fiecare punct al spaţiului este dat un veetor unitar t. Vom stabili o formulă simplţ"

lue.ru w

.t,•OmpO:UCllte, Obi.iBf.ill pent~U vectorul CUTbU:tii UnH!or Vtctm·i~le \

O,

.Considerînd aceste dou.ă ecuaţii ca două ·ecuaţii omogenfl' {)F {}F ~n--, ·--, (JF - Şl•

!J

f)x

nem:

au az

. .. ap l"tcJn d 1ema a l geh riCa A

. . am1nt1tă

în [104] ,

obţj,..

unde k este un coeficient de proporţionalitate. pentru simplicitate, cele trei diferenţe prin : a~ • eCJ> _

av

Bro • iJ$ = {Ju

{Jv

d (y, z) ; ~ • ~p_ d v) {)v

(u,

crp

{)tjJ

i)u

• {Jv -

au

a~

au •

arp

_ arp • iJCil = {)u

av

d (z. x)

d (u, V)•

;

d (x, y)

a; =

d (u, v) •

putem caracteriza

+

+

V

(X - x)

•

•

+ d (z, x) ( Y- y) + d (x, y) (Z d (u, v)

w:

cp:,

(39)

d (u, v)

Coeficienţii în această ecuaţie sînt, după cum se ştie, pro., porţionali cu cosinuşii directori ai normalei la suprafaţă. . Poziţia_ punctului variabil M pe suprafaţă este caracteri..zată prin valorile parametrilor u şi v, şi aceşti parametri sînt 9 de obicei, numiţi coordonatele punctelor suprafeţei. Atribuind parametrilor u şi v valori constante, obţinem două familii de linii pe suprafaţă pe care le numim liniile coordo· nate ale suprafeţei : liniile coordonate. u de-a lungul cărora variază num.ai v, şi liniile coordonate v C2 , de-a lungul cărora variază numai u. Aceste două familii de linii coordonate dau reţeaua de coordonate pe suprafaţă. Ca exemplu considerăm sfera de rază R şi cu centrul în originea coordonatelor. Ecuaţiile parametrice ale acestei sfer&

= el, =

p-ot fi scrise sub forma Rsin u cos v ; y = Rsin u sin v ; z = Rcos u.

7

< r;, -7

-7

-vector perpendicular pe tangentele şi adică un vectol' ,dirijat după normala la suprafaţă. Pătratul lungimii acestui vector se exprimă, evident, prin produsul scalar al vectorului ".~ X

r:, prin el

7

.

însuşi, adică,

mai simplu, prin pătratul acestui ·vector 1). În cele ce urmează, un rol esenţial va juca vectorul >Unitar al normalei la suprafaţă, care, evident, poate fi scris .aub forma

..,.,

..,

•

z) = O.

7

,acestei raze vectoare în raport cu pa!ametrii ,.~ şi r:' dau~ -evident, vectorii dirijaţi după tangentele la liniile de coordonate. .Componentele acestor vectori după axele OX, O Y, OZ vor fi, .conform cu (38), y;~, şi cp~, ~~, w~, de unde reiese că .coeficienţii din ecuaţia planului tangent (39) sînt componentele

~

8F ( y - y) 8F (Z - z) = O, ax eY az ~ . d aF aF eF . 1 eau, ,n ocu1n pe - , - , - pnn mar1m1 proporţwna.1e, putem ax {)y {)z flcrie ecuaţia planului tangent sub forma: fJF (X - x)

=

reprezintă, In cazul

-suprafaţa prin raza vectoare variabilă r (u, v) pornind din punctul {ix O spre punctul mobil Mal suprafeţei. Derivatele parţiale ale

7

cum se ştie, ecuaţia planului tangent la suprafaţA' tntr·un punct al ei (x, y, z) poate fi"":scrisă sub forma_ [1, 160}

x

c2

;produsului vectorial [r: X r~c Acest produs vectorial este un

După

d (y, z) d (u, v)

=

V

faţă,, paralelele şi meridianele ,sferei. Făcînd abstracţie ile axele coordonate, ~

eF = k (a~ , a(J) _ ~. a~); 8F = k(!l~ ~ acp___ ~. aCJ)), 8x au f}v au av OY au i)v au i)v ' fJF = k (()rp • e~ _ 8\j.l • 8rp ) , 8:. au av au. av -

au

= el· şi

Liniile de coordonate u

de

~.

r"" X r"

m =

V

-?,

-?,

•

(40)

(ru X r.,) 1

Schimbînd ordinea factorilor în produsul vectorial de mai pentru vectorul (40) dhecţia opusă. Ulterior vom fixa în mod precis ordinea factorilor, adică vom fixa în mod precis direcţia normalei la suprafaţă. Să luăm pe suprafaţă un punct M şi să ducem prin el o -curbă (L), situată pe suprafaţă. Această curbă, în general, nu va fi o curbă coordonată, şi de-a lungul ei vor varia, atît u cît -şi v. Direcţia tangentei la această curbă se va determina prin i!!US, -obţinem

-7

"Vectorul r~

dv + r: Tu, 7

dacă considerăm că de-a lungul

lui (L),

~n vecinătatea punctului M, v este funcţie derivabilă de u. De aici rezultă că direcţia tangentei la o curbă tra-sată pe suprafaţă, .într-un punct M ~~ acestei curbe, este complet caracterizată prin

... · · ·
In general,

lilcestui vector,

do z.n ... du

dacă

adică

acest punct. CAtn d am de dus .

·

~

~

A este un vector, vom tnscmn:a cu A8 ~

·

ecuaţia

pătratul

p1a ...

Jungimii

~

produsul scalar A • A.

395

nului tangent (39)~ am presupus în punctul considerat şi ~.lh 'recinătatea lui că funcţiile (38) admit derivate parţiale continu6şi că cel puţin unul din coeficienţii ecuaţiei (39) este diferit de tero în punctul considerat. Dacă, de exe:rnplu, coeficientul; 1 ~·

(:.r;, y) este (u, v)

diferit de zero, atunci, în vecinătatea punctuluJ

considerat, primele două ecuaţii (38) pot fi rezolvate în raport. cu u şi v [1, 157], adică (u, v) pot fi exprimate prin (x, y). Sub"\ ~tituirea acestor expresii în a treia din ecuaţiile (38), dă, în, ~recinătatea punctului considerat, ecuaţia suprafe-ţei sub forma.

o ruie mică mărginită p.dn două perechi de linii coordonate tdveci:nate (fig. 110). Fie (u, v) coordonatele vîrfului de bază A. -7

dv. Considel'ind [ cf. 57], putem

~
expresia a:tiei acestui paralelogram ca mărimea vee· wrului obtinut prin înmulti:rea · vectorială' a vectorilor ~en~

z = f(x, y). 130. Prhna forn1ă diferentială a lui Gauss" Să considerănh tM::um pătratul diferenţialei ardului unei curbe trasate pe supra~ ~xplicită~

~~ţă

-'?

t~atu.rile AD şi AB vor fi~ respectiv, r:l du şi r~ :ada irtfinitezimală c.a un paralelogram

·~

·-1'

r:,

l r~ du X

·7

:

1

d1) ;

·..,.

r~ X

r:,

1

du dv.

Pent:ru piiLratul lungimii vectorului avem :

+ (§au..!L du + 2.! d1J'J + (~!...du + f}z âv au fjv 2

Dezvoltînd. parantezele, vom .tald a lui Gauss :

r·ds 2

=

1

1

prima fonrdi diferen_::

+2 F (u, v) du dv + G (u., v) dv2,

E(u, v) du2 ., , \. E \ J.i, V J

ob-ţine

2

d1J·~ •

(41~,

)2 (fjz ):a ' = (fja: .~u - )ft ·t·, ((!y au +- -. au. ax au

·;~

·~t~

unrle. p•-

h~U
ptrntru d{~mcntul de a:rie al supn1feţei, . avem, în cele din

11
8Y Oll az av + ·-au . -av +-. au ·

i}X

F (u, v) = - • -

".. (u.~ v) = (fJx ~y .-.

f;v

)s + (fJ'-·J )' -1- (-{)z )J , fjv

(26) din [121].

1 --- --·-----·-·

rtS ,;::::: V EG -- J?2 du. d1;. Snhstituind (t.H~) in formula n~etoruJui tHlltl'fF ~J normalei sub

(Jv

(40)~

7,

E

=

·~

r'2 ; ti

F

'7

= ,.·· · U

~

r« X

-:.

r'V ; G = r'~. '11

Kxact la fel ca în [119] ·se poate ax:ăta că anularea coefiF este condiţia necesară şi suficientă pentru ca liniile· coordonate U = Cl Şi V .:._:_ C2 Să fie perpendiculare Între ele; Îu ::-tcest caz particular, coordonatele curbilinii pe suprafaţ.ă· ·~ şi v se numesc coordonate ortogonale. .·.. Să deducem acum expresi.a elementului de arie a suprafeţei~. f"n ajutorul coef:icienţilor ex:presiei (41). Considerăm pe suprafaţ~; cien.tuhri

-7,

r 'l'

1/lia--.~-

.

Ohservâm

ea.

p~

puten1 serie expresia

forma

·

bsza lui (43), difex·enţa EG --~ ~ estE~

fJtOZltivă.

ia L

uat>Sată

.A doua

formă diferenţială

a lui Gauss. Fie (L) o cu:rh A

-7

pe suprafaţă şi fie t vectorul ei unitar al tangentei. El

t.
~

~

faţă, adică t • m = O. Derivind în raport cu arcul s al curbei ·(L) vom avea: • ..,.

dt

-

ds

..,.

..,.

..,.

dm

1

..,.

..,.

·m+t .,_=O sau-(n • m) p

d.
..,.

~

reb.ţii: ~ ,J

..,. ..,.

+ t dmds =

..,.

7

~

+ ru • m + r", ..,.,

r v2 ~ m

0

~ ..

'

..,.

fvu •

unde p ~ste raza d~ curbură, iar ;, vectorul normalei principale al curhe1 (L). Egalitatea precedentă poate fi scrisă sub fo:rma ..,.

tn raport cu varl.ahilele independente u şi t•, obţinem patru

-7

dr dm cos cp dr·dm -=----·-sau--= ___ , p ds ds p dss

n·m _

..,.,

e

~N

o? '

= O;

mu ..,.,

principal~. la curba (L). Exprimind diferenţialcle d; parametru coordonate u şi v, putem scrie :

şi d;" prin

l ~~~~r-:1 1 L = Tu2

.." •

7,

7"

~,

Tv •

-7

.",.

7,

~-.

7

(49)

Luînn in considerare expresia (45)I pentru

vectorul

m~

putem scrie .egalitatea (49) sub forma

..,."

N.=

7P

7,

(50)

r.,a • (ru X r'l:')

--:--====-V .bG- F 2

:

(51)

1

r- r.- in

acest-caz, rolul parametrilor U ŞÎ V î} joacă X ŞÎ y ŞÎ -vom vea următoarele expresii pentru componentele razei vectoare 4 ,il a derivatelor sale în raport cu parametrii : ..,. ..,., 7 (x,y, z); r;-c(l, O, p); r11 (0, 1, q) ~.

..,.,

1

..,.,

-;,

mu ; M = ~- (r., • mv) - ..,..,

1V = -

2

1

2

-?-,

~

~

(r~ • m' ; l .

..

r' (47)

.;;.#

foo:A

(0, O, r);

..:,,,

Trc 11

7"

(0, O,_s);

Tv2

(O, O, t),

Te•m.v,

ti formula (46) ia forma definitivă ~· _

P

-

L du + 2 M du dv + N doa E du 2 + 2F du du + G dvll •

1 1

~.

~. (52)

t =

{jy"

2

( 48)

.Aplicînd formulele (42 1) şi (50) ohţinem=expresiile coeficien• ~ilo:r ambelor forme a lui Gauss :

. S"ă darăt ă~. acumdalte expresii pentru coeficienţii L, .i\1/ şi N· D er1v1n re aţn e evi ente · ~

r" • m.

398

..,.,

-7'

z]= f(x, y).

unde

L = - rv

-?-,

m; N = r.,s • m; M = '"'" • m = - r,. • m., =

~cuaţia explicită

+ r", dv) (mu du+ mt dv) = L (u, v) du:ii+ + 2 M (u, v) du dv+ N (u, t>) d1,~s,;

o+,

..,.

Să examinăm acum cazul cînd suprafaţa _este dată prin

J' ..,.,

..,. '

expresii pentru coeficienţii formei diferenţiale a doua a lui Gauss:

Dezvoltînd parantezele de la numără tor, obţinem a doua ~'orm«l

diferenţială a lui Gauss : -7,

..,.,

- ti, de aici, în locul formulelor (47) putem scrie următoarele

{46)

7,

r~.

+ r u • m., = O ; m + m"' =O, m

= - r~ • mu •

unde cp este unghiul dintre normala la suprafaţă şi normal$

- (rM du

.)p"

= o;

mu

~

7 uv •

..,.

=

~

O , r~ • m = O

E = 1 + p 2 ; F = pq; G = 1

~~ =

r

• M

V1 + P" + q"'

=-

• N =

s

V1 +p

+ qs,

3

+ q2 '

t

y1 + p" + q"

•

(53)

899

Alegem acum axele d~ coo.rdm.t.atc iut.r~uu .mod determinat. anume: ducem originea coordonatelm: într;.ufi punct 1W.0 , situat pe suprafaţă, luăm axele O.X şi O Y în planul tangent al suprafeţei în punctul 1lf0 ~i dirijăm axa OZ după nm·mala !.a suprafaţă. Prin indicele zero vom indica faptul că mărimea corespunzătoare este considerată în punctul M 0 • Cu aceasta alegere a axelor de coordonate, cosinuşii unghhuîlor făcuţi de normala la suprafaţă cu axele OX şi O Y vor fi n.uli în M 0 şi {~hţinem [62] p 0 =: q0 == O, iar formulele (53) dau, ]n punctul 111.~.,

~a suprafaţă

~i

dind o duecţie determinata tangente1 In planul tangent la suprao

{aţă, ad.ică fixînd m.ărimea raportului ~. Observăm că normala,

du ,principală la secţiunea normală sau coincide, sau

toru!ui m, aşa ~ă u?ghiul cp este egal cu O sau 1t, ŞI, pr1n urm.are, cos q>=

= ·± 1. . Să eonside:răm, ·O

1:1:!. llespre liniile de curb,:u:ră trasate~ pe ~mpra:faţă. Să reve . ui:m la examinarea formulei (48). I\f.embrul al doilea al ei depind~ de valorile coeficienţilor ambelor forme ale lui Gauss şi de raportu~

- .

:-:---, el _caracterizează, după cum am văzut [129], :directia t.a:n· •

gentei la curbă. De aceea, putem. afirma că ambii membri ai formulei (4,8) au valori determinate, dacă se fixează punctu:l pe suprafaţă şi dil'ecţia tangentei la curba de pe suprafaţă. pe care o examinăm. Dacă însă luăm pe suprafaţă, într-un pu:net fixat, două curbe~ care să aibă nu numai aceeaşi direcţh' a tangentei, dar şi aceeaşi direcţie a normalei principale, atunci. pentru aceste curbe, şi unghiul r.p va fi acelaşi, prin urmare. in virtutea formulei menţionate, şi mărimea p este a<.~eeaşL ceea ce :ne duce la : T e o r e m a î n t î i. Două curbt~ pe o suprafaţă cu aceeaş~

8

tOO

secţiune

cos ± 1 , ··---· = --p Il lj)

tangentă şi aceeaşi normală principală într-un punct, au, în t:JCe$~

punct, şi aceeaşi Fază de curbun.l. Dacă pe o suprafaţ-ă avem o cu1·hă (L) şr J>e ea un pune:n M, atunci, ducînd un plan prin tangenta şi normala principaB~ la această curbă în punctul IVI, obţinem, prin intersecţia acestu~ plan cu sup1·afaţa, o curbă plană (L 0 ), care are aceeaşi tangent$ şi aceeaşi normală principală ca şi curba dată şi, prin urm.a:ret aceeaşi rază de curbură. Astfel, teorema demonstrată ne di posihi~itatea de a reduce studiul curburii curbelor trasate pr: "upra~aţă la studiul curburii secţiunilor plane a suprafeţet N -u.mim secţiune normală a suprafeţei într~ un punct dat M~ secţiunea suprafeţei prin.tr un plan care trece p:rin I[U:rrtJ!Hll.hi

1\f. Numim

dea

~.t:-:

(~)·-.;

nor! o' \ ! curbei (L) în normală în punctul M care are în acest punm : aceeaşi tangentă ca şi curba (L). Fie ~ 1' raza de curbură a curbei (L) şi R

du 2 • Coeficientii mentionati sîw

·

pe o suprafaţă,

şi pe ea un punct

corespunzătoare punctul M, secţiunea

au valori numerice determinate. ,În ceea ce priveşte rapo:rtu] du

(L)

mală,

funcţii de pa;ametrii u şi v şi, într-un punct' dat p~ sup;afaţ3

litT "'"""~

curbă

terminat

Această d.in urmă afirmaţie devine clară dacă îm.părţin,

numărătorul si numitorul prin

este opusă vee~,

7

(S4)

dv

în punctul M. E:x:i8tă, eyident, o infinitate de ae"l.':~

'ţiuni no~mal~ şi pute.nl f...ixa o. secli?ne normală determinată.,

1

\

a. d"1ca'" p

= ± .R · cos

~·

·1.1..u.de tp este unghiul dintre normala principală la curbă şi normala la suprafaţă. Ultima formulă exprimă teormna unui-1· toal'e: ~r ~-~ o r e m a a d o u a ( t e o r e m a ~~l e u s n i e r). Razn de curbură a unei curbe., trasată pe o suprafaţă înr~un punct aJ eu.rbei, este egală cu produsul razei de cur?ură a secţiu.nii :',on:nalf corespunzătoare, în acest punct, prin cos~nusul ung!nulu" dtntr;;. normalal la suprafaţă şi normala principală la curbă. Această teo:re:mă se mai poate formula şi astfel : raza de curh~ră ,a unei cu:rhe oarecare trasată pe suprafaţă este egală cu pr01ecţ1~
.= ± 1. C~nvenim a atribui semnul ( -) mar1mu p, cu alte cuvinte, conven1m să socotim raza de curbură. a secţiunii normale negativă, dacă normala principală a secţiunii t:r~h~i~. să. luăm cos
~

norm.ale este de sens opus direcţiei vectorului m, adică sensului, ales al normal ei .suprafeţei. Cu această conventie vom avea, pentru !!iecţiunile normale, formula ,

_!_ = R

+ 2M du dv + N dv2 E du2 + 2F du du + G dva

L du 2

-~-R

•

Mai amintim încă o dată că în membrul al doilea al acestei formule, coeficienţii formelor diferenţiale au valori hine deter· mînate, deoarece am fixat un anumit punct pe suprafaţă, iar· 1

"' • mar1mea -

R

d ep1n · d.e numa1 . • d. e va1oarea raportulu1• -dv

du

adică

de·

alegerea direcţiei tangentei. Numitorul din membrul al doilea. al formulei (56) are totdeauna valori pozitive, deoarece exprimă

mărimea ds 2 , de. aceea semnul curburii __!__ a secţiunii normale R se determină prin semnul numărătorului, şi se pot ·prezenta trei caz;uri : 1. Dacă in punctul considerat M2 - LN < O, atunci, pentru toate sectiunile normale ___!_ are acela~
R

'

'

are

diferite

malele principale la toate secţiunile normale au acelaşi sens .. Un astfel de punct al suprafeţei poartă numele de punct eliptic 1). 2. Dacă M 2

LN >O, atunci

-

2-. R

semne~

adică, în punctul "'Considerat al suprafeţei, se găsesc secţiuni ·normale opuse normalei principale. Un astfel de punct al supra· feţe1 se numeşte hiperbolic 2 ). 3. Dacă M 2 - LN = O, atunci numărătorul în memhruJ

al doilea al formulei (56) este un pătrat perfect şi~- nusşi schimbă. semnul, însă se anulează pentru o anumită poziţie a secţiunii uormale. Un astfel de punct de pe suprafaţă se numeşte parabolic .. Să observăm că în cazul punct hiperholic, trinomul care se afl~ la..; numărătorul membrului al doilea al formulei (56) îşi ech1mba semnul, anulîndu-se; vor exista deci două sectiuni .

-

Jl

1) 1n acest caz, suprafaţa se 11umeşte convexă tn p~nctul considerat (N. Red. E. T.). . 2 ) în acest eaz;. se spune că ·suprafaţa are: eurburi opuse tn punctul considera\ (N. Red. R. T,),

402

normale avînd curbură nulă. ln cazul punct eliptic, nu există .asemenea sectiuni .. Luăm ax~le de coordonate cu originea în punctul considerat pe suprafaţă, iar axele OX şi OY, în planul tangent, aşa cum -s-a făcut în [131]. ln virtutea forntulelor (54), egalitatea (56) ia forma

Tangenta la • l dx ~~ rapoarte e ds

=

r 0 dx

9

+ 2s0 dx dy + i 0 dy~ , ds 2

secţiunea normală este situată în • dy A • ŞI s1nt respectiv egal e cu cos (:} ds

-6 este unghiul pe care îl face tangenta cu axa OX. mula

precedentă

_!_ R

=

planul XOY. • · n d ŞI s1n v, un e Aşadar,

for··

ia forma r0 cos 2 6

+· 2s

0

cos 6 sin 6

+ t0 sin2 6,

-care este o dependenţă explicită intre curbura ~ şi

(57)

direcţia

tangentei, reprezentată prin unghiul 6. În acest caz, dacă s~ -· - r0 t0 <0 punctul este eliptic, in cazul s~ - 1·0 t0 > O, hiperholic~ iar dacă s~ _...;. r 0 t0 = O, parabolic. În cazul s~- r 0 t 0 < O, funcţia z = f (x, y) va avea, in punctul considerat, un maxim sau minim [1, 163], egal cu zero 9 adică suprafaţa va fi, în vecinătatea acestui punct, situată de aceeaşi parte a planului tangent. În cazul s~- r0 t 0 > O nu va fi nici maxim nici minim, cu alte cuvinte, în orice vecinătate .a punctulu: considerat suprafaţa va fi situată de ambele părţi ale planului tangent. În sfîrşit, în punctul parabolic, unde s~ ~ - r 0 t 0 = O, nu se poate spune nimic precis în ceea ce priveşte situaţia suprafeţei faţă de planul tangent. Din formulele (53) rezultă imediat că oricum am alege sistemul de axe OXYZ, semnul lui (M2 - LN) coincide cu semnul lui {s2 - rt} şi, prin urmare, pentru s 2 -:- rt < O punctul va fi eliptic, pentru s2 - rt > O, hiperbolic şi pentru s2 ~ rt = O, paraholic. Pe aceeaşi suprafaţă pot exista puncte de speţe diferite. De exe:ryplu, pe tor, care se obţine p1·in rotaţia unui cerc în jurul unei axe situate în acelaşi plan cu el şi în ext~riorul său [1, 1 07], punctele situate pe partea dinafară sînt eliptice, iar cele dină., untru, hiperholice. Aceste două regiuni sînt separate una de alta prin paralelele extreme ale torului, ale cărm' puncte sînt toate parabolice.

1.;{;1. lndicatoarea lui llupin şi for:muln l.ui Eu!cr. Fixînd axele" de coordonate ca la punctul precedent, construim în planuJ· tangent, adică în planul XO Y,. o curbă ajutătoare, în modul i.li'mător : pe fiecare rază vectoare pornind din originea O, h:d:i.m u'n segment ON = ± R, u.n.de R este raza de cu1·hură a secţiunii normale? la care este tangentă 1·aza vec~ toare considerată.. Alegem, semnul (±) astfel, încît suh semnul radical să figureze o cantitate pozitivă. Locul, geom.etrie al extremităţilor· N ale segmenteloi' cons· truite este curba numită.

Vr

indicatoarea lui Dupin.

Con~

fo:rm construcţiei, această· curbă are următoarele pro~ {H:i.etăţ.i : pătratul :razei ei· Fig. 112. vectoa:re dă valoa1·ea absolută a razei de eu.r·hură· ~ ~ecţîunii normale, la care este tangentă raza vectoare co:nsi-

·.;.~z~:tl punctului eliptic~ cu1·ha (5~) esl! o eJipsă şi în me~Lr~l a)''

doilea t:rehuie luat un semn determinat. In cazul punctului h1pe:r· ecuaţiei (58) îi corespunde dou~ hiperbole . c.on~ugate. [n cazul punctului paraholic, primul,.me~b__ru al ecuaţ1e1 (58) est~ Qlll pătrat perfect şi ecuaţia poate h scr1sa sub forma

bol:it~

k

(a~ + b"YJ)2 = :t 1 , adică (a~

+

b'YJ) 2 =

..

± ~t ~"" 1~

tbhţinem at'ltfel două drepte paralele. În toate t1·ei ~azuri.le punctul () este centrul curbei, care are două axe de s1metne. Putem alege axele OX si OY astfel încît să coincidă cu aceste axe d&· dmetrie · atunci· după cum se ştie, în primul membru al ecuaţiei· ' ' ~ ~ J..., (58) dispare termenul În ~'iJ, adică So . 0,. ŞI. fyrmula l'57). f..ta~ pentru o asemenea alegei'e a axelm· OX ŞI OY,

(59}

·i.e:rată

(fig. 112). Să stabilim ecuaţia indicatoarei lui Dupin. Fie ( !;~ ·!J) coo:r~ rucţie

Să h\.u1urim

~~u.p~oxnîutl în

normale, tangente axei pentru 6 ·

eoeficienţilo:r

sensul geometric al

formula (59)

n; = ,__ .obtinem 2 ~

o= 0}(,

t0

r0

şi t0 • Pre~

o~ ohţinem cu:rhu:ra ~~1 a secţiunii' şi p:riu urma1·e, r 0 = _!~--· La H1

fel~.

cu.rh .. ura

sec··

1 R2

~..;:.;. ~--· ~

l

unc~~.e

1 ---·

RJ

este

{iunii normale tangen.te axei OY • . Suhstituînd va!o:r.ile găsitt"· .pentru r 0 şi t 0 in fo:r:mula (59)~ ohţ:rnem formula lm. Eu.ler: YJ 2 :::::::::

±

(60}

R sin 2 6,

•.nude 1)ent:ru R pozitiv t:rchuie luat e;emnui ( -t ), iar pent:ru jt· l(.tegativ, semnul ( -· ). Inmulţind ambii me:tnlwi ai egalhi4ţi:i (57) prin ± R, obţinem :

(58) ,

.Aceasta este ecuaţia indicatoare! lui Dupin. Ea dă o repre~·

~enta:re geometrică intuitivă a variaţiei DJ.ărimii ra~~ei de cu.:ri:m.ră~ ·~U' rotaţia seeţhm'ii rwrma.le 'i'n ju:ru} normaid la e:uyn·afaţă. Î•:-

Observăm. că directiile axelor OX şi O~{ coincid cu direc .. ~:Hle axelor de simetrie~ ale curbei (58) şi, evident, că pentt·u..., a.~este direcţii

±

.~1- R,

t·aza vectoa:re a indicatoarei, care este egală cu,,

1 •• L l R ŞI . curb ura -R are un maxim Şi• un m1nxm. a fe,

.Formulăm

·

rezultatul obtinut sub fon:na următoarei teoremt'!: T e o :re ma a t :r ~ia. In orice punct nl suprafeţei exisMl'' dÎ.IlJrtJ.dz direcţii perpendicula-re într~ ele. :n:tu.a.te in planul tangent.

.

pentr.u care curbura are un maxim şi un minim, iar dacă

2.... li Rl

1

corespunzătoare

sînt valorile curburilor

R2

acestor

două direcţii~

atunci curbura oricărei secţiuni normale se exprimă prin formula {60), unde 6 este unghiul format de tangenta la secţiunea normali

·Considerată, cu directia care dă curb ura .2... • •

Rl

Razele de curbură R 1 şi R 2 se numesc razele de curbură prin., . cipale ale secţiunilor normale, în punctul considerat. Cele două .direcţii din planul tangent care dau aceste secţiuni se numesc ·direcţii principale. Afară de aceasta, în cazul hiperbolic, este util a marca încă două direcţii în planul tangent, şi anume~ -direcţiile asimptotelorindi~atoarei lui Dupin. Pentru aceste direcţii .asimptotice, raza vectoare a indicatoarei este infinită şi curbura -secţiunii normale corespunzătoare în punctul considerat este .nulă.

În cazul eliptic~ R1 şi R 2 au acelaşi sem.n. In cazul hiper .. bolic, aceste două mărimi vor fi de semne diferite. In cazul para· ·holic, curbura uneia din secţiunile normale principale va fi nulă

()t ..----=--o dt ()cp ar.

~

.pe

-t~i

dă, în acest caz, ..!._ = 2_ R

R1

D

. rotunjire sau punct ombilical. In vecinătatea unui asemenea ,punct, suprafaţa este foarte apropiată de o sferă. Se poate arăta că singura suprafaţă la care toate punctele sînt omhilicale~ este sfera. 134. Determinarea direcţiilor principale şi a razelor de curbură .principale. Să scriem formula fundamentală (56), pentru curburllll secţiunii normale, sub ~forma

+ 2 (MR

- .F) du dv

fii

_!_ ot? = (LR- E) 2

at

=

t

+

(lHR-F) =O.

.!.!!:!.. ŞI înmuiţlnd cu dv, obţinem :: dv

+ (1\.fR -

F) dv

=

(62}

O.

lmpărţind ecuaţia (61) prin du~ şi luînd ':ca va.~.~..thilă

adică toate secţiunile normale au, in· punctul:considerat, aceeaşi ·Curbură. Un astfel de punct al suprafeţei se numeşte punct de

{LR- E) du2

Bot treh uie-

fie anulată, adică

(LR .:_ E) du

particular al punctelor situate anume, cazul cînd în punctul

considerat, R 1 = R 2• Formula (60) ne

·

ti. prin W'mare, pentru ttirecţiile principa1e, aertvata

·--=-Să mai notăm incă un caz o suprafaţă de tip eliptic, şi

du dv ".

dql

Făc.ind schimbarea t

R1

=

dR

Ra

R

..

d.in care se determină raza de cur~u:r~ R a se~ţ~unii noJ·male i.n. functie de t. Pentru direcţiile pnnCipale, marimea ..,.R tr~bui& să aibă un maxim sau un minim, şi, din aceas!ă cauza_; der~vat~ lui R în raport cu t tre?uie să se anul~ze .. Însa aceasta_ deriva ta 86 exprimă, evident, pr1n formula [1, 69] ·

.parabolic, formula cosll 6

T

care caracterizează direcţia tangentei la secţiunea normală~. obţinem ecuaţia : rp (R, t) = (LR- E) t2 + 2 (MR- F) t + (NR- G) =0,

-şi, presupunînd de exe1nplu _..!_ = O, obţinem, pentru cazul

1

'l

tmpărţind prin dtJta şi introducînd var1ah1 a aux11ara t

+ (lVR -- G) ..dv 2 =O

(61),

Q:l

t1

=

~' obţj_nem exact la fel r'l m:i'.'' sus, pentru direcţiile prin ... du

eipale,

(M.R - F) du.

+ (.NR -

G) dv

=

O.

Trecînd la dreapta semnului egal termen~i "c~ dv în egali.. şi împărţind aceste egahtaţ1 membru cu· membru, vom obţine :

tăţile (62) şi (621)

eau .(LN _ M2) R2

LR-E

MR-F

MR-F

NR -G

+ {2FM-

EN- GL) R

+

(EG ·- F

2 )

=O. (63). 407

406

Acea.siă ecuaţie de gradul a! doilea ne dă pe R

şi pe !.t .

l:.

·~tmpărţindmo p:ri:u R 2, obţinem ecua-ţia de gradul al 1doilea c.;a;,...

.-curbură. lntegrîndu-le'> exp~imăm pe cu ajutorul. lui "!' ~l;. hitroducînd această exp1~esu~ în ecuaţule suprafeţe~, obţinem··

"-De clă cm:bura secţÎUliilor normale p:d.ncipale, adică ,2_ ŞÎ _!_,!

~cuatiile

~..!_ + (2F M

2 ( EG- .F )

·-" EN

R~

-~ Gl~) _!_ + (L.N ·nR

R1 Jif2) =O.

R'~~

i6•i>}· '

Expresia K

(65)

R1 R 1

·!;l)e numeşte cu,rbu.ra lu·l G(:tuss a suprafeţei it• punetu) dat, ia·i expresia (66}

.. f!!e numeşte curhll.ra medie. Din ecuatia de o~radul al doilea (64\1 ' • ·-~e poate obţine uşor cur bura lui Gauss şi curbura medie, co ..{tjutorul coeficienţilor celo:r două forme ale lui Gauss:

K=

LN -

2 FM + GL • 2 (EG -""' F 2)

2

M

H = _.f!N -

;

EG - F 2

Să scriem ecuaţiile ( 62) şi ( 621 ) sub forma

··{L;du

+ Md·v)

R =-= Edu

+ Fdv;

(.l\11 du-1- N dv) R = Fdu +Gd"'

Împărţind aceste ecuaţii membru cu membru, eliminăm p.FL) du

2

+

(EN - GL) du dv

După împărţire cu du t

2

,

+ (FN -

GM) dv2 =0. (68)

vom obţine o ecuaţie de gradul al

1

V

'"t.ioilea în __e::___ • Cele două rădă.cini ale ei ne dau mărimile cari' du

·'!':a:racte:rizează direcţiile principale în fiecare punct al suprafeţei { dv

-du =

q>1 (u, v);

dv

-- = q> 2 (u, v). du

(69)

135. ·Linii de curbură. O linie de curbură a unei suprafeţrt ~ste o linie trasată pe suprafaţă, în punctele căreia, tangentele sim ..,,rientate după cîte o direcţie principală. Deoarece în fiecare punc1 .al suprafeţei există două direcţii principale, vom obţine douil ,. ·familii de linii de curbură pe suprafaţă, şi aceste familii vor fi. -1;rtogonale între .ele. Aşadar, mulţimea tuturor liniilor de curhQ.râ ··formează o reţea ortogonală pe suprafaţă. Ecuaţia (68) sau echivalenta ei, ecuaţia (69). sint N'uaţiile diferenţiale ale Hruiior. rli[>> ..4,Q8

·= E:A!f = O. Am văzut însă că EG - F2 > O şi prin urmare, mărhnîle· E şi G nu pot fi :nule, -ceea ce înseamnă că M = O.

~ Oc

rf

l · 1,

.

11 lLtJ

A~ad.ar, pentru ca ret,eaua de "S l?ig, 113. -coordonate să fie ,o reţea de 1i· uii de curbură, trebuie să avem . .. . f? = M. = O. Invers, dacă aceste cond1ţn Sint satisfăcutcr atunci ecuatia diferenţială a liniilor de curbură (68) "ad~it~~ ·solutiile u , C1 şi 1J = C2 , adică liniile de coordonate Sint .~~~U·· de ~urhură · obtinem astfel, teorema următoare : condt.ţnle ' , ' d .,, ." . . .ţ• t necesare şi suficiente pentru ca o reţea . . ~;-:cooraonate sa J."e o r~;fHlde linii de curbură, constl'i în aceea că, ~n ·ambele. form.~ dif~.renţz,alt! q,le lui Gauss, coeficienţii mediani, F şi M, să j-"e nuh pe "ntreaga· ~uprafaţă. 'd .. '• · Liniile--de curbură pot fi d.ef1n1te ŞI altrel. Sa co:nbl e.ram P~· ~uprafată o linie (L). Normalele la suprafaţă, d.e~a lungul aee:stm linii fo;mează o familie de d1·epte cu un parametru, care deter· mi:nă poziţia punctului pe (L), şi această fam~li~, în g,eneral, nu va admite înfăşurătoare. Însă, dacă alegem hn1a (~) ,.;m.tr·?n· mod convenabil, atunci va exista o înfăşurătoaxe 1). Sa lamunm· conditiile în care aceasta va avea loc. . Presupunem că linia (L) tl'asată pe suprafaţă este aleal5a.• astfel, încît să existe o înfăşurătoare (L1 ) a normalelor la sup:ra· A

R. şi, după caleule elementare, obţinem ecuaţia: "{ E.M -

liniilor de curbură. Fie dată pe suprafaţă o reţea oarecare de coo:r'donate. S~ .găsim condiţiile în care o asemenea reţea este reţeaua Hniilo:t· de cu1·hură. În primul :rînd~ ea ---~ trebuie să fie o reţea ortogo~ ~ . (. nală, adică trebuie să avem , / ~l,1 F = O. Afară de aceasta, dacă. 1 / /"~y ' Hn.iile de coordonate ~ = C1 Şl / . l -·-~ V == C2 SÎnt linii de curbură, \ / atunci ecuaţia ( 68) trebuie '"să '-'( v~a fie verificată cînd înlocuÎif!- p. e· .u \ ,.11· -....- . \ &au pe v printr-o constantă. DeoaQ \. "1 rece F = O, rezultă că G1\l = 1 'Mt .

0

0

•

•

('

V

.

,

..

::faţă de-a lungul liniei (L) (fig. 113). lnsemnînd prin r raza vec~ 1) In general, o familie de drepte In spaţiu care depirld.e de un pa~ametru ;nu admite o tnfăşurătoare, adică aceste drepte nu sfnt tangrntele une1 curbe. .Aceasta poate avea loc doar ca o excepţie,

•.

'"';>·

toare in punctele curbei (L), prin r 1 raza vectoare corespunzi·· toare a curbei- (L1 ) şi prin a mărimea algebrică a segmentului cnormalei 111 suprafaţă, cuprins între (L) şi L 1), putem, evident,. 'scrie:

(70) ..,. ·unde, ca totdeauna, m este vectorul unitar normal al suprafeţei. Dacă curba (L1) este înfăşurătoarea normalelor, atunci vectorul ..,.

un cilindru, sau un con, iar. condiţia (72), cum se poate arăta'" continuă să fie verificată. · ' Să scriem condiţia (72) sub formă dezvoltată : ..,.

'1

..,.

il

..,.

bm = dr

7

..,.

+ adm +da· m,

..,.

adică dr

..,.

+ adm =

..,.

cm,

(71)

·unde c este un anumit scalar. Să arătăm căc= O. Pentru aceaata1, ..,. să înmulţim scalar cu m ambii membri ai lui (71) : ..,.

-7

dr • m

-7

..,.

+ adm · m =

c. ..,. Vectorul dr este dirijat după tangenta la (L), adică per~ ..,. ..,. ..,. pendicular pe m, şi, prin urmar6-; dr • m = O•. Afară de aceasta~ ..,.

-7

~

..,.

din egalitatea m • m = 1, rezultă dm · m = O şi prin urmare.,, ·egalitatea precedentă ne dă, efectiv, c = O, iar (71) poate fi ·scrisă sub forma 7

dr

..,.

+ adm =O.

(72)

Această formulă se numeşte, de obicei, formula lui Clinde Rodrigues. Am dedus această formulă din ipoteza că normalele la suprafa-ţă de-a lungul curbei (L) admit o înfăşurătoare. Să presu-. ·punem acum invers, că de-a lungul unei curbe (L) a suprafeţei este valabilă formula (72). În acest caz, f01·mula (70) determină o curbă (L 1). Derivînd această formulă şi folosind pe (72), obţinem ~ ~

7

~

dr1 =dam, adică direcţiile vectorului m şi a tangentei la (L1) sînt pa~ paralele. Cu alte cuvinte, normala la suprafaţă de-a lungul lui (L) ,este tangentă la (L1). Aşadar, formula · (72) dă condiţia necesară şi suficientă pentru existenţa înfăşu:.;ătoarei familiei de normale 'la suprafaţă, de-a lungul curbei (L). Observăm că înfăşurătoarea poate degenera într·un punct, şi atunci, normalele formea!ii&i 410

-7

..,.

+ r; dv + a (m~ du + m; dv) =

O

7

,şi să inmulţim

scalar cu ru •

Pe baza formulelor (421), (47) şi (49), oh,ţinem.:

.flrH dirijat după tangenta la ea, trebuie să fie paralel cu vectorul

..,. ..,. ..,. m, şi putem scrie dr1 = bm, unde ·b este un anumit scalar. Dife.. \'l'enţiind formula (70), obţinem :

-7

r~ du

E du

+ F dtJ + a (- L du -

M. dv)

·care este tocmai egalitatea (62) pen,tril a

=

== R.

O, În acelaşi mod,.

7

tnmulţind

scalar cu r~, obţinem egalitatea' (621)· Este uşor de· (621), care determină principale, se obţine formula (72), pentru a·= R. Nu ne oprim la această demonstraţie. Aş~dar, condiţia existenţei înfăşurătoarei n01·malelor (72) este ebhivalerită cu (62) şi (621)', iar a este mărimea uneia dintrera:z;ele de curbură principale. Cercetările precedente ne conduc . la următoarele rezultate : liniile de curbură ale unei suprafeţe se· caracterizează prin proprietatea că de-a lungul lor normalele la· suprafaţă admir o înfăşurătoare (sau formează un con sau un :cilindru), iar mărimea segmentului d-e normală între suprafaţă şi lnfăşurătoare este egalq cu una din razele de curbură principale. . Dacă o curbă plană se roteşte în jurul unei axe, situate ·În .planul său, atunci liniile de curbură ale suprafeţei de rotaţie· ~or fi paralelele şi mţridianele suprafeţei. Intr-adevăr, de·& lungul meridianelor normalele la suprafaţă fo1·mează un plan~ iar . de-a lungul 'unei paralele formează un con. - 136. Teorema lui Dupin. Fie date în_spaţiu trei familii ·de suprafeţe perpendiculare intre ele : arătat că şi invers, din egalităţile (62) şi razele de curbură principale şi direcţiile

cp (x,y, z)

Ele

=

formează

q1 ; '-*' (x,y, z)

o

reţea

=

q2 ; cu (x,y, z) =q3 •

de :coordonate curhilinii, ortogona!e· ~

in spaţiu [119]. Raza vectoare r, dusă din origine la un punct ·variabil M din spaţiu, este caracterizată prin coordonatele

..,. cu~bilinii q1 , q2 , q3 , ale acestui punct. Derivatele parţiale r~1 , r;,, ~

~

r~a dau vectori dirijaţi după tangentele la liniile coordonate, şi eondiţiile de ortogonalitate se pot scrie sub forma vectorială : 7

~

r~~ • r~.

·~,·

~

-+

~

= O ; r
=

O.

(73)· 411

De.rivind prima di~ ·aceste egalităţi in .r:'po:rt -1m 9tt a do101.tt 'lin .raport cu q şi a treia în raport cu q3, obţinem ~ 2 ..:.

? 11

fqlqt ·~

r'

llş

+

/

rq,

-t

. r~;'IJ = O,

~

·-)

+ .... " . r~a + r~~ ,~~

'l'al:la

T~l

~

r'Q~.

r~;q,

"':>

-?

obţinem

O,

o.

fi

'",'~• =

r'lall1

Oe aici

=

ii

!\(~r1să,

x

E

eomparăm egalităţile -t •

Tq,'

=

:

-7

r112,

•

-t

.."

r111, =

r'it'lt

-7 '

7

•

1 rq, =

..,.

o.

7

Din ele rezultă că vectorii r~1 , r~, şi r~:~,~* sînt perpendicn...
'

!flari unuia şi aceluiaşi vector r~, şi, prin urmare, coplanarî, de und~ '11rmează că

=

imediat :

o.

rq, 1

=a

[105]

cos ·ll sin o ; y

=

a sin u sin

a2 sin2 v; F = O ; G

ac sin 2 v

. M

=

a2 cos2 .p •N

=0,

Va2 cos2. v + c2 sin2 v '

·

Să considerăm acum suprafaţa de coordonată q3 = C. Pe ea parametrii q1 şi q2 sînt parametri de ~oordonate, iar liniile .de coordonate q1 = C şi q2 = C sînt curbele de intersecţie ale ":"Suprafeţei considerate cu celelalte două -suprafeţe de coordonate" Am avut [130, 131] următoarele formule:

•.a

x2

y2

z~

aii

b2

c~

vom serie sub formă explicită : t '=

şi (74·) arată că în. cazul dat F = M = O. coordonate ql şi q2 sînt liniile de cu;bură pe supra" ;faţa q3 = const. Aceasta· ne conduce la urrb.ătoarea teoremi ~a lui Dupin : dacă ave'lrt. în spaţi~ţ ··trei familii de .suprafeţe om:

(73)

..adică liniile de

c "\

137. Exemple. 1. Ecurtţia elipsoittului de rotaţie, z!l

~r1

,

a

·

,ffl

1

+ c2 si'n2 v;

ac . =2- 2 2 • a cos v + c2 sin v

~

,-:iA- +

V-a2

= ~.:_ ;

q = c2y ; r

b2z

= -~t_- ;

V

(} yl [;'

s =

--

a2b2z?r

-~~ a2b2z3

;

t-

c4x11 . " . a2b2?.3

Utilizind formulele (!)3), putem d.eterrhina toţi coeficienţii in tormule.le hai. ·Gauss. Să observăm numar că aiCi rl- s2 ~ O, adie~ toate punctele suprl:lfeţe~ " int parabolice şi una din razele principale· de curbură este infinită, Direcţi~:~ 11 ~:prind.pală corespm}~ăt~~re coincide, ,evid~nt,,'C'l,l,,gene~·ntoare::~ r;:dilinie ~ (~muhli 3. S:1 consîd0răm yarabo1oi~1~1~. ,hjpe~·b_oUc

x2

~cgonale, t;ttunci două s~prafeţe oarecare din· familii difer~~e se tai~ .J.npă curbe care sînt linii · de curbură pentru ambele suprafeţ~.

y•

c cos v.

f'l'in derivare, obţinem c-UtîŞudnţă:

a2z

- +-2 + ·--·.-

=

2. Ecuaţia conului de gradul al doi1ea

p

;~

z

· Egalitatea F= M =0 putea fi prevăzută, deoarece meridianele şLparalelel·r .sfnt linii de curbură pentru elipsoidul de revoluţie. Ceilalţi coeficienţi nu depind .dectt de v, care caracterizează poziţia punctului pe meridian. Direcţiile principale .coincid, evident, cu tangentele la meridian şi la paralelă. In cazul de faţă, expresi~ ..:(LN - l\.J2) este pozitivă pe întreaga suprafaţă, a~ic~ toate !mnctele suprafeţ! i -sint eliptice. Fără a calcula razele de curbură prmc1pale, dam numai expres111 . curburii .lui Gauss : 1 LN - M 2 c" K = --~ <= - - - R1R2 EG- F2 (a 2 cos 2 o+ c1 sin 2 o)ll

- +-'- -·---

·-.şi ~galităţile

D .;

~

.r. obţ.inem : L=

..:.

panuuetdc, sub forma urmii.tmue ;

Liniile de coordonate u = c1 s't~t evident curbele de intersecţie ale el1psot ,,4ului cu plancle y = x tg ·c1 , care trec prin axa d.e revolu~ie: adică s~t I?-eridiane, ,far liniile de coordonate v = c., sînt paralele obţmute prm mtersecţ1a ehpsoidulul ~1>rin planele :z = c cos c2 ,. p~ri)endiculare pe axa. de rotaţie~ Aplidnd formul"elo .(42) şi (50) din [130, 1311 şx ţm1nd seamă că x, y Şl z sint componentele vedoruluţ

-li

.."

Q)(,ate

'-2a' :- :"': ln t.hx~st c:;;z, •r .;";;, --, ·~ = 0, l

as

·IJ~

-2bs . 1 ~; OŞI11 ca trl .-.. ~:Il

lla

<

H, ~~$ prtn rat~na.r~.

-urice punct ai suprafeţei re~te un pmJd hiperbolie. Două generill.'!.oare r~ctmnu· ,al., ,suprafeţei dau- direcţiile asimptotelor indicatoarei lui .Dupin~ care constă d~n dou Il lihiperbo1e eon) ngate. ,<\ualog şi fn cnzul hiperboloidulni cu o pinză .

. 4. Coordonatele rectilinii obişnuite, precum şi coordonatele sferice şi cilin .. dnce, dau exemplele cele mai simple de coordonate ortogonale în spaţiu. Să dăm; lnc~ un exe~plu de asemenea coordonate. Să considerăm ecuaţia suprafeţei de ordinul al doilea, conţinînd un parametru p: x2 ys z2

+- +---1-0 as + p bs + p c2 + p '

(75)·

unde a~ > b2 > c2 • Fixt~d punctul M (x, y, z) şi scăplnd de numitorl, vom obţine o ecuaţJe de. gradul al treilea tn p. ~e poate. arăta că ac;eastă ecuaţie are trei rădăcini reale u, 11 ŞI w, care sint, respectiv, cuprmse între limitele

+

oo

>

u

> ..... c2,;

Intr-adevăr, pe~tru

-

>

c1

v

>

~ b2

~ b•

;

>

w

> -

as.

(76}

valori pozitive mari ale lui p, primul membru al ecuaţiei puţin mai mari ca-

(75) are semnul (-) ;• este aproape de (-- 1), iar pentru valori

tar egalitatea (80) exprimă condiţia pentru ca aceste două normale să fie perpendl· .culare între ele, adică ea dă demonstraţia propoziţiei că suprafeţele (77) şi (78) sînt ortogonale. In acelaşi mod se poate demonstra şi ortogonalitatea celorlalte .wprakţe de coordonate. întrebuinţînd t-eorema lui Oupin, putem afirma că cel~

.două familii de linii de curbw ă ale elipsoidului (77), pentru u fix, se obţin ca rezultat al inler:,ectiei acestui elipsoid cu toţi hiperboloizii din familiilP. (78) şi (79).

t:J8. Curbut·a lui Gauss. Să lămurim sensul geometric al noţiunii de curbură a lui Gauss. Luăm ca linii de coordonate pe t:~uprafaţă, liniile de cu1·hură ale acestei suprafeţe. De-a lungul fiecărei din aceste linii relaţia (72) va fi satisfăcută, iar coefi.. .cientul a este, după cum am vă~ut, una din razele de curbură principale. Aceasta ne dă următoarele relaţii :

. z (- eli), termenul ----

+ ps are o valoare pozitivă mare) .. şi m_ embrul tnUi al ecuaţiei ( + ). Aşadar, tn interiorul intervalului (- el, + co) trebuie să·

..,. r~

c2

(7~)

are semnul existe o valoare a lui p pe~tru care primul membru al ecuaţiei (75) se anulează. T~t .:s::e] ne put~m .convmge că există rădăcini tn in~er.valele (- bs, - c2) şi ( a , b2). Canţit.ăţJle (u, v, w) se numesc coordonate elzplzce ale punctului considerat .M .. Ptnă acum am presupus că toate trei coordonatele punctului (x, y, z} sînt ,?•ferite de zero. În caz contrar, ecuaţia in p va fi de grad mai mic dectt trei J?aca! de exemp~u, z =.O, iar x şi y diferiţi de zero, atunci ecuaţia (75) dă pe ~ ŞI v, Ia~ w tre~UJe considerat egal cu (- cs). ~a .cercetam ac~m·suptafeţele de coordonate in sist{lmul eliptic de coordonate. Subsbtumd. tn ecuaţia (75) p = u, unde u este un număr. din intervalul (- c•. + co ), obţmem suprafaţa · ~ ' :rfA y". . z• .:

- + ---. -~-+ ------ .... 1, 2 2 2 a +u

+u

b

(77)·

c +u

car.e este. sig.'!r un elip~oid, deoarece, pe baza primei din inegalităţile (76),' toţi trei num1torn tn ecuaţia (77) stnt pozitivi. Făcînd p = v, unde v este luat din intervalul (- b2 , - c2), obţinem hiperboloidul cu o ptnză : y2

xs

zlil

--+ ---. + --- = 1, a 2 + 11 b2 + v c2 + v ca~, a2 • + v > b" T v > O şi c2 + v < o. 2

deoarece, tn ·acest P = w, Unde w aparţme mtervalului (-:- a două

ptnze

tn sftrşit, pentru.

~

trei

+ u) (al + v) + (bs + ~)

(bl

~- v) +

~

(c' + u) (c2 + v) -

o.

(80}

C?sinuşii director-i ai normaleior la suprafeţele (77) şi (78) sint proporţionali . respectiv, cu [1, 155]: · ' ___ x_,. _L., ---ŞI---; .z • x 11 z ---; ---, a9 + ~ b2. + u cs + u (il. + 11 - blil + p .c'J. + 11

414

(81)

O.

Facem să corespundă fiecărui punct M al suprafeţei, punctul M 0 al sferei de rază unu, obţinut prin intersecţia acestei sfere ..,. ..,. .eu ·vectorul m, luai din centrul sferei, unde m este vectorul unitar al normalei la suprafaţă, în punctul M. O asemenea cores·

pondenţă punctuală între ·punctele suprafeţei şi punctele sferei :ee numeşte reprezentarea sferică a suprafeţei. Poziţia punctului M 0 va fi determinată tot prin parametrii u şi v, ca şi poziţia punctului M. Deoarece liniile de coordonate sînt linii de curhmă vom avea: ..,. _..,. (82) E= F = O ; G = r~'. ..,. Raza vectoare a reprezentării sferice M 0 este prin definiţie m~ -şi în virtutea formulelor (81) şi (82), coeficienţii primei forme a lui Gauss pentru imaginea sferică vor fi :

r:t ;

-J

de coordonate sint ortogonale tntre· ele;. (78), membru cu membru, avem : .

..,.

+ R 2 m~ =

(791\.

sitprafeţe

~

..,.

O; r~

bl), obţinem un._ hiperboloid cu

x'+ - -yl + :• =1. ~+w ~+w ~+w

Să arăt~?J că cel~ Scăzînd ecuaţule (77) ŞI

(as

, -

(78}

..,.

+ R1 m~ =

Ne oprim numai la demonst1·aţia egalităţii a doua, căci . ·celelalte două :rezultă din (81) şi (82). Formulele (49) dau _ M=

""

,

..,.

-7

,

-Tu • mv -:-- -

.donate liniile de

,

..,.

1

rv · mii.

curbură,

·v eoarece ,

am 1ua t -?

J.\1[ "'""'""' O,

adică r~ ~

..,.

·arept linu·· d e coo:r~ -?

· m; = r; ·

..,.

m~ =

O.

ln..

7

·mulţind prima din ecuaţiile (81) eu rn~. sau a doua cu m~, ob~

."

...,. \ţinem rn.~ · m~

='-

0.

t15

Elem.e:utul de arie al suprafeJtd

~j

den'lentul d~· arie cor~~§"

~» nuză tor imaginii sferice vor fj : ~an. după

dS = (83),

y EG du d1· ~

~

dSp "-:::; ,rJt;c~ du dv,

dS 0 =

=~~(u, v) +

d.t;j.

raportului dintre aria imaginii sferice şi ario. a suprafeţei, cînd aceasta din urmă se reduce la

caracterizează, evident gradul de disfi persare a fascicolului de normale la suprafaţă, în punctele elementului. În [134] am exprimat curb ura K cu. ajutorul coeficienţihu, eelor două forme ale lui Gauss. Gauss a dat expresia lui J( numai. in raport cu coeficienţii E, F şi G şi derivatele lor în raport cu. .rl, şi v. De aici rezultă o consecinţă importantă la care ne oprim. Presupunem că este stabilită o corespond~ntă. punctuală între· două suprafeţe (S) şi (S1 ), iar punctele corespunzătoare ~Î"'l.\ earacterizate prin valorile identice al~ parametrilor uşi v. Fiecaredin suprafeţe va avea propria ei primă formă a lui Gauss, ca1·e· exprimă pătratul elementului de .lungime. Identitatea acestm' ~ouă forme este echivalentă cu faptul că~ prin corespondenţa, punctuală, lungimile se păstrează, sau~ cu alte m1vinte, suprab feţele sînt aplicabile una pe alta. În consecinţă, coeficienţii E, .F' şi G şi derivatele lor în raport cu u şi v vor avea, pentru ambele· suprafeţe, aceleaşi valori, iar curhura J( va avea aceeaşi; valoa1·e în punctele corespunzătoare ale celor două suprafeţe. {tdică dacă reprezentarea unei suprafeţe pe o altă suprafaţă con·, servă lungimile, atunci, în punctele corespunzătoare ale ambelof"

punctul M. Acest raport

ntprafeţe,

curbura lui Gauss este

aceeaşi.

particular, în plan, curbura lui Gauss este nulă, şi pentru· suprafeţele care pot fi aplicate pe plan fără deformarea lungi~ mîlor, trebuie ca LN - ]}1 2 = O, adică toate punctele sînt para· bolice. ·Am· avut mai sus exemple de asemenea s·nprafeţe, şi, anume, cilindrul şi conul.

fn

1!

1

suprafeţe, şi

~

~

--·

-7

+

+

~

~

~

-7

+

~

·+

r1~u· = r~ n~ m n. m~; r~IJ' = r~ n~ m n m~ . Calculăm coeficientii E 1 , F 1 , G1 ai primei forme a lui Gauss pentru suprafata (S1), 'considerînd lungimea n şi derivatele ei în raport cu u 'şi v, infinit mici, şi neglijînd termenii de gradul al doilea, ca fiind infihiţi mici de ordin superior : ~

~

-7

~

-)

-7

+ n~ m+nm~) (r~ + n~ m +== r~2 + 2 n~ (r~ . m) + 2n (r~ · m~) .

E1 = (r~1 >')2

=:.:;

(r~

~

-)

~

~

~

7

nm~)

=

-7

-7

Vectorii r~ şi m sînt perpendiculari între ei, deci r:, · m =0 şi formula (47) dă E 1 = E :-- 2nL. De asemenea ~e. obţine fără greutate F 1 = F -- 2 nM ş1 G1 = G - 2nN. De a1c1 :

EG 1

1

-

Fi= E G- F 2

-

2 n (EN- 2 FM -1- GL)~

sau, după (67) :

E 1 G1 - Fl == ( EG- - F 2) (1 - 4 n H). 1 Extrăgînd rădăcina pătrată, desvoltînd (l - 4nH) /a după binomul lui Newton şi neglijînd termenii în n de grad mai mare ca unu, vom obţine :

(84) Inmultind cu du dv şi integ1·înd, obţinem, cu aproximaţia infinitilor de ordinul al doilea expresia diferenţei oS între ariile celor 'două suprafeţe apropiate (S) şi (S1 ) :

as =

~~VE,G, - Fi du dv - ~~V EG - ff2 du dv = tS 1 )

(Sl

-

r (u, v), raza ei vectoa1·e. Luînd în fiecare· ~

şi cut>~

n (u, ·v) ,;; (u, v). Derivînd în raport cu u.

....

.

=

obţinem:

139. Variatia elementului de suprafată. si. curbura ntedie. Fie· (S) o suprafaţă oarecare, (u, v), para~et;ii de coordonate ai: acestei

~

.

nitie, raza vectoare r(ll (u, v) a sup1·afeţei (S1) va fi r
IR1~21 .de unde se vede că curbura lui Gauss în punctul 1\tl este, in va.loartr absolută, limita .corespunzătoare

ca şi punctele M şi von1 spune că între punctele lui (S). şi (S~) este stabilită o corespondenţă după normalele la (S). Pnn defJ-

-

~ ~2nH y'EG =:- F" du dv

(85)

(8)

punct M (u, v) al suprafeţei, pe normala m, segmentul .ltll\..fl. de mărime algebrică n (u, v), unde n (u, v) este o funcţie de u şi v~ obţinem o :nouă suprafaţă (S1 ), formată din punctele Mi· Â<~este puncte vor fi caracterizate prin aceleaşi valori ( u., v)

sau

416

27. (..'Urs de ma.temll.t,iei

as = - ~ ~ 2nH dS. (8)

~
·417

• În legătură· directă .cu ace~sţă form.ulă se gii_seşte cunoscuta problemă a determinării suprafetei de arie minimă,·. ~are 'irece__ pri'~-~ tr-un contur dat (L). Se vede uşor că, pentru o asemenea sujJrafaţă, curbura medie H trebuie să fie nulă. În adevăr; dacă pe o porţiune a acestei suprafeţe H ar fi diferit de zero, de ex~mplu, pozitiv, dacă am alege valoarea lui n tot pozitivă pe cr' ·şi 'egală. cu zero în restul suprafeţei, şi, în particular, pe (L), atunci vom avea pentru as, ',pe _.Jhaza )ui (85), valoarea negativă

suprafaţa (S1) şi fie M punctul corespunzător lui M 1 situat pe. (S), aşa ca segmentul MM1 = n (u, v) să fie pe normala lui (S), adică să aibă direcţia :;;_ Factorul .f (M1) dă, prin derivare~

pentru

) Jj

=

A0

:

Iim __ {~Mt)'A-'? 1. 8

1

as = --- ( (~2n H

Â

Â-

j(M2_ A.0

dS,

=:

MM 1

om

{j).

A""'Â,

~

(S1), care trece prin (L), ar avea o arie mai miCa

decît (S), ceea ce .contrazice ipoteza. În, virtutea circumstanţei indicate, suprafeţele, care au cu:rhura medie nulă sînt numite suprafeţe

-- fi_M) -

Iim _li~~~: p,_"/.0

?1 (lV-Q ~ ~ 1

(<7)

şi suprafaţa

=

minime.

unde m. este direcţia normalei m. Tinînd seamă eă factorul n. se "). • d prm. an anu1eaza. ., pentru 1\"'1 = ,\ ;__ va.1oarea denvateJ 0 , Şl 1nsemru.n A

o

1\

o

•

ol..o

,

Din formula (84) rezultă, de asemenea, formula derivării integralei pe suprafaţa variabîlă închisă, în raport cu un parametru. Fie că poziţia unei suprafeţe închise depinde de un parametru /.. şi că, pentru /.. = :A0 , ea are poziţia (S), iar pentru o valoare "A vecină de :A 0 , ea are poziţia (S1 ), vecină poziţiei (S). Stabilim între punctele M ale suprafeţei (S) şi, punctele M 1 ale suprafeţei (S1) o corespondenţă după normale, aşa cum s-a arătat mai sus. Atunci n va fi funcţie de u, 1J şi "A, identic nulă pentru "A = 1.. 0 ~ adică

n (u~ v, Ao) =O. Fie acum f (N) o funcţie de punct în de parametrul "A. Mărhnea integralei

(86) spaţiu şi

lI' p,0L= l f (it (M2 • ân dS J ) am o"Ao

- ( [ f(.M) 2B. {}!:_ dS.

ţ (8)

Presupunem că ecuaţia sub forma implicită: q> (llf1 ;

)J

o"Ao

(88)

(8)

suprafeţei

variabile (S1) este

:A) =O sau

=

O.

dată

(89)

Derivînd în raport cu A, atît direct~ cît şi prin intermediul lui M 1 , aşa cum am făcut cu funcţia f (M1), a.ven1, pentru A. = /. 0 :

care nu depinde

Li2_({)(Ml,

Ao).

+ -- O~S~t· A~l . an = o. om

BAc

8'-n

,- r

l(J,.)

'"=:.

~ )f(Ml) dSJ

Determinînd, din această relaţie, pe

(87) \ ;

(Sl)

va depinde de parametrul A., deoarece forma suprafeţei depinde de acest. parametru. Să găsim expresia derivatei I' ( /.. 0). Înm.ulţind ambii membri, în (84), cu du dv, putem scrie dS1 = {l-2nH) dS, şi expresia (87) se poate__ pune sub forma :

I (J..)

:=

~~ (8)

f(J.lf1) .dS ---:

~ ~f(M1)

2n HdS,

(8)

unde domeniul de integrare - suprafaţa iniţială (S) - nu depinde de Â; acestei integrale îi putem deci aplica regula obişnuită de derivare sub semnul integrală [80]. Punctul M 1 este situat pe

-4:18

în

(88)~ obţinem următoarea

1

(Ao)

=:::::

--·

f [ at ;y):~-dS

J<8>J t9m

Dacă în integrala (87), atunci, exact ca în [120], relaţiei (90) termenul

~- şi

substituindu~l

expresie a derivatei: â~

â({)

/

01

o"Au

~_p_

+· 2 ( C.r I-I f!l..o dS. JJ

f)m

şi funcţia adăugăm

(B)

f

~-

(90}

()m

de integrat conţine pe A., în memb:rul al doilea al

4-19

140. Iniăşurătoarea familiei de suprafeţe şi de tmrbt~. Cînd am studiat soluţiile singulare ale ecuaţiilor diferenţiale ordinare de ordinul întîi in [10], am introdus noţi.unea de în.făşurătoare a unei familii de curbe plane. La fel, în studiul soluţiilor ecuaţiilor cu derivate parţiale, se impune noţiunea de înfăşurătoare a unei familii de suprafeţe. Să lămurim, pe scurt, această noţiune. Să presupunem că avem o familie de suprafeţe cu un para· metru (91) .F(x, y, z, a) =O. Fixînd o valoare numerică a~lui a, avem o suprafaţă .determinată din familie. Să considerăm o altă suprafaţă. ( S), care are aceeaşi ecuaţie (91), însă în care a are valoarea impusă de ecuaţia

Se poate spune că obţinem ecuaţia suprafeţei ( S) eliminînd pe a între ecuaţiile (91) şi {92). Dacă se fixează valoarea a = a0 , atunci pe de o parte, se obţine o suprafaţă determinată (S0) din familia (91), iar pe de altă parte, înlocuind pe a prin a 0 în. ecuaţiile (91) şi (92), obţinem o curbă (l0 ) pe suprafaţa (S), aşa că suprafeţele (S) şi (S0) vor avea curba comună (l0). Să arătăm că de-a lungul acestei curbe ele vor avea acelaşi plan tangent. Pentru suprafaţa (91), a fiind o constantă, proiecţiile dx., dy, dz ale unei deplasări infinitezimale pe suprafaţă trebuie să verifice relaţia

Pe

suprafaţa

• âF _ i)x

dx

+~ dy + oF dz = i)y · i)z

( S) a este

dx

variabilă şi,

0.

deci, trebuie

să

scriem

+ __. i)F d:y + âF d _- . O -- d z + âF; -a az

ây

-

ax' 'au

i)F t

a;'

de unde rezultă că (S0) şi (S) sînt tangente de-a lungul lui (10). Prin urmare, eliminînd pe a între ecuaţiile (91) şi (92), obţinem 420

o famiUe de · sfere cu centrul pe axa OZ

· x2

+ y2 + ~z -

Derivarea în raport cu a ne

şi

rază

avînd o

dă

a) 2 == r".

:

- 2 (z- a)= O, iar eliminarea lui a duce la cilindrul circular :x;2

+ y2 =

r~t

(:are este tangent la fiecare din sferele indicate mai sus, de-a Jungu1 unui cerc.

acum o familie de suprafeţe cu doi parametri :

F ( x, y, z, a, b) Eliminînd pe a

şi

=

O.

(93)

b între ecuaţia (93) şi ecuaţiile

BF (x, y, z, a, b) = O ;

âF (x,

8a

ţJ,

z, a, b) _ O

-

âb

(94)

'

-obţinem, cum se arată uşor, o suprafaţă (S), care este tangentă la suprafeţele familiei (93). Însă, în acest caz, tangenţa nu va .avea loc de-a lungul unei linii, ci numai într-un punct. Intr-a· devăr, prin fixarea l.ui a şi b, a = a 0 , b = b0 , avem, pe de o parte, o suprafaţă (S0 ) perfect determinată, făcînd parte din familia (93), iar pe de altă parte; înlocuind pe a şi b, respectiv prin a 0 şi b0 , In cele trei ecuaţii (93) şi (94), obţinem, în general vorbind, un punct M 0 pe suprafaţa (S). Acest punct este comun lui (S) şi

lui (S0).

o

rază

= ± r,

tan-

Eumplu. Avem o familie de sfere cu centrul în planul XO Y r:

şi

·constantă

(:r -

i)a

ţelor ( S) şi {S 0), o deplasare infinitezimală este perpendiculară pe aceeaşi direcţie, şi anume, pe direcţia ai cărei cosinuşi directori sînt proporţionali ·cu : i)F

dă

1.

Însă, în virtutea ecuaţiei (92), această relaţie coincide cu cea precedentă, .ceea ce înseamnă că în punctele comune suprafe-

âF

Exemplu. Se r:

.'fieterminată

(92)

aa

a fnmiliei (91 ), iar tangenţa are

loc de-a lungul unei linii.

Să considerăm

_ ~F (x, y, z, a) = O.

i)F i)x

~~uaţia suprafeţei înfăşurătoare

G,rin derivare în raport cu a •aar prin eliminarea lui a

şi

a)2

+ (y

+ z2 =

r2,

b, avem:

2 (x - a) = O, şi

-- b)2

~-

2 (Y ·- b) = O ;

b,

·eu alte cuvinte, infăşurătoarea va consta din două plane paralele z gente la fiecare din sferele din familie, într-un anumit punct.

În legătură cu găsirea înfăşurătoar~i unei familii de suprafeţe, se poate face aceeaşi observaţie ca ~i la găsirea înfăşură-

421

toarei unei familii de curbe [1 0], şi anume, de exemplu, eliminarea lui a între ecuatiile (91) şi (92) poate duce nu numai la suprafaţa înfăşurătoar~, dar şi la locul punctelor singulare ale· familiei de suprafeţe (91), adică locul punctelor în care suprafaţa nu admite plan. ta~gent. D~că me~hrul ~ntîi ~~ ~?uaţiei. (91) este 0 functie continua cu denvate de ordm.ul Intn continue,. atunci orice' suprafaţă care în fiecare punct al ei este tangentă la o suprafaţă din familia (91), poate fi obţinută prin metoda de mai sus a eliminării parametrului a între ecuaţiile (91} şi· (92). În general, în acest paragraf şi în paragraful care urmează nu dăm demonstraţii şi nici nu precizăm condiţiile, mă1·ginindu~ne· să examinăm în linii generale faptele fundamentale. Să considerăm acum o familie de curbe în spaţiu, care· depinde de un parametru :

(95) Vom căuta înfăsurătoarea acestei familii de curbe, adică curba care în toate' punctele ei este tangentă Ia diferite curbe din familia (95). Putem considera că şi I' este detm·minată tot prin ecuaţiile (95) [l 0], însă, în aceste ecuaţii, a nu mai este o constantă, ci o variabilă. O deplasare infinitezimală de-a lungul curbelor (95) trebuie să satisfacă ecuaţiile :

r,

oF

___ _:t_

ax

dx

oF! + ___

dy

q_!~. d X-t---. (J.Fz d y

La fel,

facă ecuaţiile

dz

+ ·i)F -

d Z_- \').

_!

=

au .

2

8z

{j:c

ox +

AI'i ()y

3z ale deplasării pe f' trebuie să satis-

0 4Y·

AF1 fJz

oz + i- F1 oa _ O . 1

f)a _

-

'

Condiţiile de tangen.ţă se reduc la proporţionalitatea

ţiilo:r

precedente : Sx dx

8y

8z

dy

dz

..cu două conditii. •

;nînd

aa =/=o,

•

()Fl f)a

adică

8F1 (x, y,

aa = o

a variabil,

z, a)_

=

şi

i}F'J, Ba

aa =

O, sau, presupu-

obţinem ecuaţiile

:

. aF 2(_~J!.:_!_:_!!L = 0 .

O

8a

(Ja

(96)

Cele patru ecuaţii (95) şi (96) nu definesc, .în genera],_ o c~rb~1 .adică, în general, o familie de curbe în spaţ~u nu. admzte. o z,n.(a: .şurătoare. Însă, dacă aceste patru ecuaţii se reduc ~a trm, ~di~a .(Iacă una din ele este o consecintă a eelorlalte trei, atunci d1n .aceste trei ecuatii, co01·donatele (~, y, z) se determină ca funcţii. de parametrul d, cu alte cuvinte obţinem o curbă în spa_ţiu care .este o înfăşurătoare sau locul geometric al punctelor s1ngulare ,ale curbelor [95]. La punctul următor avem un exemplu de o familie de drepte în spaţiu, care admit o înfăşurătoare. 141. Suprafete drsfăşm·abile. Ca un caz pa1·ticular să cer-cetăm o familie de plane cu un parametru a :

A( a) x

+ B(a) .Y -f- C(a) z -+-'.D(a)

='O.

[(97)

Suprafaţa înfăşurătoare (S) se obţine eliminînd pe a între -ecuaţiile

·

(98)

Dacă fixăm pe a~ atunci aceste două ecuaţii . det~rmină o dreaptă. (lJ, iar. suprafaţa (S) este locul geometrac al ac~sto~

:

(JF1

aceste condiţii, pe baza relaţiilor precedente, sînt echivalente

A(a) x +- B(a)y -+- C(a) z -+- D(a)= O, 11 A'( a) x -j- B'(a) .Y -!- C'(a) z + D'(a) = O.. 1

O;

~

8y

ax proiecţiile ox, ~y,

+ oF __

~j

proiec-·

·drepte, adică este neapă1·at o ~upr~.fa~ă rigl~t~ . .Vo:~ vedea 1na~
-=-=-

4:22

423

Dacă eliminăm pe a între aceste două ecuaţii, între p şi q care poate fi scrisă sub forma

obţinem

o

relaţie

q =

relatie trebuie să fie satisfăcută pe întreaga suprafaţă (S) ~i, derivtnd-~ în raport cu variabilele independente x şi y, avem

· s

=

cp'{p) r;

t

= cp'(p)

rt-

=O.

(99)1

Prin urmare, pe suprafaţa care este înfăşurătoarea unei familii/ de plane cu un singur parametru, toate punctele trebuie să fieparabolice. _ . Suprafaţa (S) este formată din familia de drepte (98). Sepoate uşor arăta că această familie de drepte admite o înfăşură toare. Într-adevăr, derivînd ecuaţiile (98) în raport cu a, obţinem. două ecuaţii

A'(a) x + B'(a) y + C'(a) z -.t- D' (a) = O, \ A"(a) x +._B''(a) y + C"(a) z + D "(a) = O, j

(100)

cele patru ecuaţii (98) şi (100) se reduc la trei, şi putem deci afirma că suprafaţa ( S) este formată de tangentele la o curbă r ~ în spaţiu. Dacă această curbă degene1·ează într-un punct, atunci ( S) este o suprafaţă conică, iar dacă acest punct se îndepărtează la infinit, atunci (S) este o suprafaţă cilindrică. Să arătăm că şi invers, dacă este dată, în spaţiu, o curbă r, X -:--·

cp(t) ; y

=

!~(t);

Z

=

UJ

(t),

{101)

atunci, suprafaţa (S), generată de tangentele la curba r, înfăşoară. o familie de plane cu un parametru, şi anume, familia planelor QSCulatoare ale curbei r. Într-adevăr, această familie are Ca· ecuaţie:

A(X- x) -t- B(Y- y)

+ C(Z- z) =O,

(102)·

unde (x, y, z) se determină prin formulele (101), iar A, B, C,. prin formulele (31) din [126]. Derivînd (102) în raport cu t şi ţinînd seamă de faptul că, în virtutea formulelor (31), avem

Adx

+ Bdy + Cdz =O,

(103}

obţinem

dA (X - x) 424

-+ dB( Y

+

s,

de unde s2

unde: în loc de derivate în raport cu t, am scris diferenţiale. Suprafaţa înfăşurătoare a familiei (102) constă din dreptele determinate de ecuaţiile (1 02) şi (104) şi ne rămîne să arătăm .că aceste două ecuaţii definesc tangenta la r, în punctul (x, y, z). Diferenţiind relaţia (103) şi _ţinînd seamă de faptul că, pe baza lui (31), Ad 2 x Bd2y Cd 2z= O, obţinem

--' y) -t- dC (Z --- z) = O,

(104).

+ dA dx ·+ dB dy + dCdz =

O.

(105)

Relaţiile (103) şi (105) arată că normalele la plan ele (1 02) (104) care trec prin punctul (x,y, z), sînt· perpendiculare pe tangenta la curba r, adică planele (102) şi (104) trec ambele prin această tangentă, ceea ce trebuia demonstrat. Am văzut mai sus că condiţia (99) este necesară pentru ca (S) să fie înfăşurătoarea unei familii de plane cu un parametru. Se poate arăta că această condiţie este şi suficientă. Mai sus [138], am arătat că condiţia (99), sau condiţia echivalentă LN- M 2 = O, este necesară pentru ca (S) să poată fi repre· .zentată pe plan fără deformarea lungimilor. Se poate arăta invers, că dacă această condiţie este satisfăcută, atunci o portiune de suprafaţă suficient de mică poate fi reprezentată pe plan, ~u păstrarea lungimilor. Din această cauză, înfăşurătoarele fami~ liei de plane cu un singur parametru se numesc suprafeţe desfă .surabile. ' Nu orice suprafaţă riglată este o suprafaţă desfăşurahilă. De exemplu, paraholoidul hiperbolic sau hiperbolojdul cu o pînză nu satisfac condiţia (99) [137] deşi sînt su1Hafeţe riglate. De aici urmează că, dacă punctul variabil al unei asemenea :Suprafeţe se mişcă de-a lungul unei generatoare rectilinii, atunci planul tangent corespunzător punet~llui se roteşte în jurul acestei ;generatoare.

:şi

.ca şi p~oblemele analoge privind expresia aproximativă a une funcţii sub forma unui polinom de gradul n, sau dezvoltarea ei intr-o serie de puteri. Termenul general al seriei

·+ Cf>k)

A1c sin (kx :Se

numeşte

armonica. de ordinul k

:Sub forma

Al: sin (kx CAPITOLUL Vl

a~ funcţiei

.

+ q>k) =

ak

cos kx

f

(x). El poate fi scris

+:bk

sin kx,

unde

SERII FOURIER

(k

=o, 1, 2., ... ) .

.Armonica de ordinul zero, A 0 sin cp 0, este o simplă constantă

§ 1. ANALIZA .\RM.ONICA

a

142. Ortogonalitatea lator.ie

funcţiilor·

trigonom('trice.

Mişcarea osci-

· blema constă in a alege, dacă este posibil, constantele necunoscute

armonică

y

=

A sin ( u.. t

+ cp)

constituie cel mai simplu exemplu de funcţie periodică, cu pe-· rioada T

=

2

7t••

.asfel incit :;;eria <$)

Ne limităm, deocamdată, să considerăm func-·

y = A sin ( x

+
Funcţii mai complicate, cu aceeaşi perioadă, vor

precum

~i

(k~t

+ cp J 7

(k

=

fi funcţiile·

O, 1, 2, 3, ... )~

sum.a :

să fie convergentă şi .ca perioada 27t.

k=O

+·
ei să fie egnlll cu funcţia periodică dată,

+

+ 2.11"

~-

k=O

f(x) = ~ Ak sin (kx

su, ma.

Pentru rezolvarea acestei probleme să ··Clarificăm o proprie .. ·tate simplă a cosinuşilor şi a sinuşilor arcelor multiple. F'ie c un număr real şi (c, c 27t) un interval cu lungimea 2n:. Se vede imediat că

1: A~c sin (kx +
w

(1)

k=1

~

care se numeşte polinom trigonometric de ordinul n; în acea~t.~ ordine de idei, este natural să se pună problema re.prezentan~ aproximative a unei funcţii periodice, perioad.a 27t, sub forma u~~~ polinom trigonometl"ic de ordinul n, precum ŞI problema dezvoltarn funcţiei f (x) în serie trigonometrică: .

1: (ak cos kx + bk sin kx)

; +

(t)

tiile periodice cu perioada 2TC şi notăm variabila independentă ~u x, astfel încît funcţia y se scrie

Ak sin

.

iPe care, pentru simplificare, o vom nota cu -: . Aşadar, p:ro·

(;

cos kx dx = O ;

·+

~

2:.n:

sin kx dx

=

O; (k = l, 2, 3, ... ) .

(2)

Să considerăm, de exemplu, prima dintre aceste integ:ralf). ~

~ uncţ1a •

. . cos k x este-sin kx • d' . d. primitiva a f uncţiCI ŞI, 1n ea uza peno J.·· •

•

•

w

k

.

+

~ităţii, valorile ei pentru x = c şi x. = c 2 7t vor fi identice, ·iar diferenţa dint.re aceste valori va fi nulă, ceea ce face, evident, c

+ 2$

~

~nkx

cos kx d.x = - - k

=o.

1

iar ~poi şi pentru restul valorilor Jui x, după legea periodicităţii ~u perioada 2rt, este suma seriei (1) :

La fel, utîlizînd formulele cunoscute din trigonometrie :

• kX

Sin

COS

lX

= sin -·---(k + l) x +sin (k- l)

x

00

2

f(x)

sin kx sin lx = ~~_(k -_:-l) x-cos (k+ .

2

= !!2. + ~

~

2

+ bk sin kx).

(ak cos kx

(6)

k•=]

l) x

Integrînd ambii membrii ai acestei egalităţi în intervalul -t- 1r) şi înlocuind integrala sumei infinite cu suma inte· :gralelor termenilor, obţinem :

( - 7t,

se poate

arăta că

~

cos kx sin lx dx = O;

~

-+ ~

+"'

e + 23[

c + 2.x

~

cos kx cos lx dx = O;

f(x) dx

+

2.x

~ sin kx sin lx dx= O..

(k

=F l).

= ~ ~ dx + ~

~

(a•

---·It

-·-·Il

c

+~

00

cos kxdx-t

·-It

+n

(3)

+ bk ~

sin kx dx ) ,

--.X

/)

Fie

:şi, pe baza 1·elaţiilor (2), această egalitate se reduce la

(4)

1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . .. , cos nx, sin nx, . .. ,

-j-1{

o familie de funcţii, prima dintre ele fiind unitatea. Formulele (2) şi (3) exprimă urm·ătorul fapt : integrala

produsului a două funcţii diferite din familia (4), luată pe un interval oarecare de. lungime 2n, este egală cu. zero. O ase- · menea proprietate se numeşte, de obicei, proprietatea de ortogonalitate a familiei (4), în intervalul indicat. Să cal· culăm acum integrala pătratului funcţiilor familiei (4).

~ f(x) dx din care se

determină

vom

obţine

X

1 -. cos 2kx = -------- , 2

c

cos 2 kxdx=rc;

=-;- ~

t~

+

+

428

a0 n,

:

(7)

f(x) dx.

-It

~ f(x)

(5)

sin2 kxdx=1t (k=l,2, ... ).

În cele ce urmează vom lua, pentru fixarea ideilor, c = -n~ adică intervalul (c, c 2;t) va fi intervalul ( -7t, 1t). Să revenim acum la problema formulată mai sus. Presupunem că o funcţie f(x), definită în intervalul _(- 7t, 7t)"

+

constanta a 0

a0

+ 2;Jt

~

• 2rc =

Să trecem la determinarea celorlalte constante. Fie n un :număr întreg pozitiv. Înmulţim ambii membri ai relaţiei (6) -cu cos nx şi integrăm, ca mai sus :

valorile

o+ 2x

~

k

·~~

-1-lf

Pentru prima dintre funcţii, această integrală este egală cu 27t~ iar pentru celelalte, pe baza formulelor • Slll2

_==-

IC

cos nx dx

+lf

-+ ~ k=1

(a•

~

c.os kx cos

=

a;

+a

~

-·

cos-nx dx

+

+te

nx dx + b• ~

sin kx cos nx

lx)) .

(8)

·--· 1/C

429

; Conform .cu (2) şi (3), toate integralele din membrul al doilea al acestei . egalităţi l . sînt nule, afară de una s.ing. ură, ·Ş,l·. anume a f ară d e Integra a +st

~

cos

kx cos nx dx

pentru

k =

Tl,

·-· IIC

-şi această din urmă -''integrală, pe baza relaţiilor (5), este egală CU TC.

Prin urmare, fo1·mula {8) se reduce la. forma : +'It

~ f (x) cos nx dx = a~ re, _;IIC

de unde +«

an

= ; ~ f(x)

~alorile ace~i:or constante în seria "(1). Se pune întrebarea~ seria astfel obţinută, este ea o serie convergentă în intervalul (,.;.._... TC, ·t n) şi, în caz afirmativ, este suma ei egală cuf(x)? . Coeficienţii a.k .Şi bk, calculabili cu ajutorul fm·mulelor (9), ,se numesc coeficienţii Fourier ai funcţiei f(x), iar seria care se obţine din seria (1), după înlocuirea coeficienţilor ak şi bk prin valorile lor din. (9), se numeşte seria Fourier a. funcţiei f(x). La punctul următor, vom formula rezolvarea problemei de mai sus,_..relativ la convergenţa seriei Fourier a unei funcţii dateo O b s e r v aţi e. Formulele (3) şi (5) ele mai sus, au loc pentru integrarea în orice interval de lungime 2rc. În general~ dacă funcţia f( x), definită pentru orice valoare reală a lui x, are perioada a, adică f(x -+ a) = f(x) pentru orice x, atunci integrala ei de-a lungul oricărui interval de lungime a., are o valoare determinată care nu depinde de originea intervalului, adică, mărimea integralei

(n=l,2, ... ).

cos nx dx

t~~+

~ f (x) dx

-IIC

şi,

a

.analog, +«

bn =

~ ~ f(x) ~n nx dx.

nu depinde de c. Într~adevăr, putem pune ·numărul c sub forma c = m a h unele m este un întreg şi h. aparţine intervalului (0, a) :

+

·-- IIC

Obsel·văm că formula

n

(7) coincide cu formula (71) pentru

arc= ; ~ f(x) cos kx~ dx (k

=-'

1

~

+n

--IIC

(k

=.:::

l~ 2, ... )

f(x) dx

~

=1

c

O, 1, 2, ... ) 1

--IIC

bk ::::.:: ~ ~ f(x) sin kx dx

~

l

+«

(m.+l)a+l~

(+a

= O. Prin urmare, putem scrie :

[
~

1

f(x) dx

=1

ma.+:h

\

f(x) dx

~·ma+ A

·+

(9)

l

ln

Calculele efectuate mai sus nu sînt riguroase şi au impor,tarrţă numai ca orientare pentru un studiu riguros. Într-adevăr" am făcut o serie de presupuneri nejustificate : în primul rînd am presupus că funcţia dată se poate dezvolta în serie (6), apoi, ~m înlocuit integrala unei sume infinite de te:rm~ni prin suma 1ntegralelor termenilor, sau, .cum se spune, am integrat seria termen cu termen, ceea ce nu se poate face totdeauna [cf. 1, 146]. . Formularea riguroasă a problemei constă în următoarele. Presupunem că este dată o funcţie f(x) în intervalul (.....- 7t; rr,). Calculăm constantele alt şi b" prin formulele (9) şi subs-tituim

·+

prima integ1·ală introducem noua variabilă de integrare = x ·-· (m 1) a :

+

It = x - ma, iar în a doua, t 2 c +a

a

li:

~. f(x) dx = ~ f(t 1 +·ma.) dt 1 + f"J[t 2 c

+ (m -t 1) a] dt 2 •

o

h

}inînd seamă de pe1·iodicitatea luif (x) şi notînd din nou variabila .de integrare cu x, obţinem : c-1-a

~ f(x) dx

a

==

h

~ f(x) dx -1- ~ f(x) n

o

a

(lx

=~

f(x) dx~

o

481

de unde urmează independenţa integralei de valoarea lui c. Dacă f(x) are perioada 27t, putem calcula coeficienţii ei Fourier ak şi bk prin formulele (9), integrînd pe price interval de lungime 2

3) este egală eu

1 (-

TC

-t-

0)

-t- f

(re -

0)

2

7t.

143. Teorema lui Dirichlet. Seria Fouriet a funcţiei f(x) va fi convergentă şi suma ei va fi egală cu f(x), dacă admitem anumite ipoteze restrictive pentru funcţia f(x). Presupunem, tn primul rînd, că funcţia f(x) dată în intervalul (- 7t, -+- n), este continuă, sau are în interiorul acestui inte1·val numai un număr finit de puncte de discontinuitate .. Presupunem, ' mai departe că toate aceste puncte de discontinuitate au proprietatea urmă: toare: dacă x = c este un punct de discontinuitate al functiei f(x), atunci există limite finite ale lui f(x), cînd x tinde cătr~ c, atît de la dreapta (prin valori mai mari), cît şi de la stînga (prin v.alori mai mici). Aceste limite se notează, de obicei, cu f(c O) Şij (c- O) [1, 32]. Astfel de puncte de discontinuitate se numesc p'!!ncte de di~co.ntinuitate de prima speţă. Presupunem, în sfîrşit" caf(x) are, In Intervalul (- 1t, n), un număr finit de maxime şi minime, adică presupunem că întreg intervalul ( -- 7t, n) poa~e fi împărţit într-un număr finit de porţiuni astfel, încît, în f1ecare porţiune, f( x) să varieze monoton. Condiţiile indicate mai sus se numesc condiţiile lui Dirichlet, adică, se spune că funcţia satisface condiţiile lui Dirichlet în intervalul (- rt, 1t), dacii ea este, sau continuă în acest interval, sau are un număr finit de puncte de discontinuitate de prima speţă, şi dacă, în plus, are un număr finit de maxime şi minime în acest interval. Mai observăm că la extremitatea x = ·- 1t ne interesează numai limita către care tinde f (x), cînd x tinde către - 1t de la dreapta şi de aceea, în loc de f(- n), vom scrie f( -- 7t O) ; de asemenea, în loc de f( n) vom scrie f(rr: - 0). Aceste limite pot fi diferite; însă, suma seriei (1) trebuie să fie, desigur, aceeaşi pentru x = - n şi x = 1t în virtutea periodicităţii funcţiilor (4). Una dintre teoremele de bază ale teoriei seriilor Fourier este următoarea : " . Teorema lui . D iri c h le Dacă o funcţie f(x) dată -"n. tnt~r~alul (- 7t, ~ ·rt). satisfa_ce, în acest interval, condiţiile lut Dtnchlet, atunct sena Founer a acestei funcţii este con1Jergentă în întreg intervalul (- n, n), şi suma acestei serii : 1) este egală cu f(x), în ol'ice pum:t de continuitate a lui. f( x), interior intervalului ; 2) este egală cu 1(x + O) + f (x - O)

+

+

+

+

+

+

t.

+

2

în, punctele de discontinuitate ;

+

fla extrernitdţile intervalului, adică, pentru x = - TI şi x = r:. Demonstrarea acestei teoreme va fi dată la sfîrşitul capitolului. Să facem cîteva observaţii cu privire la formularea teoremei. 'Termenii seriei (1) sînt funcţii periodice cu perioada 27t. De aceea, :dacă seria este convergentă în intervalul (- n, n), .atunci ea este convergentă pentru orice valoarea reală a llrii x, şi suma seriei repetă ;periodic, cu perioada 2n, valorile pe care le~a luat în :intervalul (- 1t, n). Aşadar, Fig. 114. .dacă utilizăm seria Fourier în .exteriorul intervalului (- n, 7t), trebuie să presupunem că funcţia f (x) este prelungită periodic înafara acestui interval, perioada fiind 2rt. Din acest punct de vedere, extremităţile intervalului x = ± 1t sînt; pentru funcţia astfel prelungită, ;puncte de discontinuitate, dacă f( -- 1t + O)* f(rr:- 0). În fig. 114 este reprezentată o funcţie continuă în intervalul '(- n, + n) care, prin prelungire .periodică, duce la discontinui·tăţile provenite din faptul că valorile lui f(x) nu coincid la extremitătile intervalului. Pentru calculul coefieienţilo1· Fourier este deseori utilă lema

+

+

·+

următoare:

Le mă. Dacăf(x) este o funcţie pară în intervalul (- a, +a),. f( -- x) = f( x), atunci

·+

.adică dacă

+a

~ f(x) dx =

2

~ f(x)

dx

o

-a

şt, dacă f(x} este irnpară, f(-- x)

= -

f(x), atunci

-t-a

\ f (x)

dx = O.

.J

--·-·a

Demonstrarea acestei leme s-a dat mai înainte [1~ 99). :28. Curs de matemntici superioare

432

a

433

144. Exemple. 1. Să dezvoltăm pe x :in serie Fonrier în intervalul (- 1t', + 1r). Produsele x cos kx sînt funcţii impare de x ~i, de aceea, pe baza formulelor (9), toţi coeficienţii ak sint egali cu zero. Pe de altă parte, produsele x sin kx sînt funcţii pare şi coeficienţii b1.~ trebuie să fie calculaţi prin formulele ~

2 bk = ·;

JOacă punem

l

1

1

1+·-+·--·+-··· 4 9 16

=cr

Z=~

Jf x· sin kx da;

~"' { _ ::_ coks-~-=

=

.o

1 :l!

cos kx dx

}

=

1

2(-1)k--l

k

..

=o

In fig. 115, graficul seriei Fourier este desenat printr-o linie continuă şi din această figură se vede că în punctele x = ± 'Tt", avem puncte de discontinuitate, iar media aritmetică a limitelor la stîngn şi la drenpta este evident egală cu zero. Astfel, teorema lui Dirichlet dă, in cazul considerat : sin x sin 2x 2 ( - - - - + ... + 1 2

a şi

J x pentru -- < x
(10)

2. Aceeaşi problemă pentru funcţia x 2 • în acest caz, produsele x 2 sin kx ~:tnt funcţii impare şi, deci, toţ.i coeficienţii bk.sînt nuli. Calculăm coeflc.ienţii ak ~

=

egalitatea (12)

a1

1

+ -4 +

1

1 + -cs,

1

+ 36 -- + 1()

a;=

-~-- {. ~-.:_?s 'Tt"k

k

3t

kx_ 1 l ;!)'"i'0

~x

sin kx dx}

= O't

4

1

;3 cr1 =-a. 4

1 -

2

a

=

1tll: -~

12

'

adică

1

1

4

9

1

1

1

0'=1+--+-..,.-

3

k

~1

dă

a=1+-+-·+ l 9 25

-2

(l3)

·=

1 1 1 . . . = al ·- ··- a = 1--+·---+ 4 4 9 16

k =

1

atunci, avem .evident

+ _(--J)k-l~in k:x:_ + ... ) = Fig. 115.

1

+-+-+-··· 9 25 49

1

+ n2 -+

(14) 6

1

+·---+ (2n + 1.) 2

8

=

o

:tr:

t-)

cos kx d:r:}

= t --

1)k

~

.

o

Din fig. 116 reiese că, în acest caz, graficul seriei Fourier nu conţine discon··· tinuităţi, şi suma seriei este egală cu x 2 pe întreg intervalul (- 1r, 1t'), inclusiv-

+

extremităţile =

Fig. 116.' (11} 3. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia :

Dacă

facem x = O,

obţinem

:

.-""· J. c1

/(:x) .

1

1 :...: -

4

1

1

9

16

pentru

le"' pentru

+ ~-· ·- ·- + 12

-'lt

<

x

<

O

O< x
(12)>

435

dacă f(x) este impară. Dezvoltarea funcţiei va avea forma :

In acest caz, avem :

+ a0

o

4(

~

= :

f(x) dx

= -; [ ~

-·1/C

e1 dx

.

J

+

~

:

f(x) sin kx dx =

:

= .

O pentru k par,

dacă

J

1=

-

[

sin ~ 1

bk

2

= -

(e1

-

rtk

+ ~ + ... J= 3

c2 ) pentru le impar

şi

de

rt

<

x
c2 pentru O < x < rt (15) e1 + c2 - - - pentru x = O şi ± 11:~

-

o

o

!i11

Fig. 117.

145. Dezvoltarea în intervalul (0, n). În exemplele prece-dente am simplificat calculele coeficienţilor Fourier folosind pariGtatea şi imparitatea funcţiei dezvoltate f(x). În general, ~plicînd Ierna din [143], la integralele {9), caredetermină coeficienţii Fourier, obţinem: 1/C

= !. ( f(x) cos 'TI:J

kx dx; bk

1

o

dacă

f( x) este

.

= O,

=

1

f( x) este impară. Fie o funcţie f (x), definită în intervalul (0, rr). Această, funcţie poate fi dezvoltată în intervalul (0, ., ), atît în serie de· forma (18), conţinî~d numai cosinuşi, cît şi în serie de forma (19), continînd numai sinuşi. În ~cest scop, în primul caz, coeficienţii se calFig. 118. culează prin formulele (16), iar în al doilea caz, prin formulele (17). Ambele serii vor avea, în interiorul intervalului (0, n), casumă,func ţi& f(x) şi media ei aritmetică în punctele Fig. 119. de discontinuitate. Însă, în exteriorul intervalului ele vor reprezenta funcţii complet diferit~: seria du~pă cosinuşi dă o functie care se obtine din f( x) pnn prelungire pară în intervalul 'vecin (- 7T, O)' şi apo!, prin prelun~ire pe:io~ică! c~ perioada 2rr, înafara intervalului ( - ':' 7t); Sen~ dupa SI~~ŞI da, o functie care se obtine prin prelungire Impara a funcţiei f( x) în inte;valul vecin ( ~ 7t,O), şi, apoi, prin prelungire periodică,. cu perioada 2rr, înafara interv~lului. ( -. 7t, n). Astfel, în dezvoltarea dupa cosinUŞI :

pară, şi 1/C

al: = O ; bt =

~ Jf( x) o

436

(19),;

dacă

rtk

2

ak

pară, şi

k

lc1 pentru-

c2)

rt

f(x) este

~ bk sin kx,

(-1)k -1 c2) - - - - '

şi

cos kx,

a>

c2 sin kx dx

teorema lui Dirichlet (fig. 117):

2 (c1

_

2

J = (~

o

.

~ + c2

+

c1 sin kx dx

-1/C

cu alte cuvinte b-g

c2 cos kx dx

:/C

~

[

ak

0

o

1/C

= (el -

după

+ ~

c1 cos kx dx

-IIC

-1/C

aceea,

~

= -; [

+~ le= 1

+n

O

f(x) cos kx dx

00

a~

0

-#C

b'k =

+ ~ c2 dx ] = e1 + c2

-IIC

+n ak = - ;

7t

sin

kx~'dx,

.

(17)

f( - O) f( -r.

= f( +O) ;

+ O) =/(TI ---

O)~

43'r

iiar în dezvoltarea

după sinuşi

:

ln intervalul ( --1t', O) suma seriei din memb.r~l al doi;le~ va coincid~ cu ( -- x),._. adică, in întregul interval (--11:, + 1t), suma ser1e1 va comc1de eu valoarea absolută 1 x 1 :

.f(- O) = - f( + O) ; f(-ro

1

1t

+O} = - f(rr- 0). Serie

Serie

după cosinuşi

după sinuşi

/(+O)

o

-\ X l =-~-. 2

-~

~(~ +~+~+ ... . ) ' 12 32 52 .

(21)

'lt

r

şi, apoi, în exteriorul interv?lu~u~ ( -'lt~ 11:), s~m~ ser~ei rep~zintă fun~ţi~ 1~~:. O1

obţine prin repetarea per10d1ca a lm

~ezvoltind

lXI clm mtena~ul ( 1t', în intervalul (0, 11:), obţmem :

xl~ după sinuşi

pe

~G(rr-~;·-;:..----0

+ 1t)

(f g

·

)

#C

b~c

=

Corespunzător cu aceasta, la extremităţile intervalelor obţinem

valorile seriilor (18) şi (19) indicate în tabelă. În fig. 118 şi 119 sînt indicate graficele funcţiilor corespun· 2ătoare seriilor (18) şi. (19) stabilite pentru una şi aceeaşi funcţie _f(x), în intervalul (0, rr).

.;)

x 2 sin kx dx

o şi

rsin X x2 = 21t' ~-1-

tn intervalul 0

< x < n (fig.

2

sin 2~

_

·+·

3

-~-n 3x _ ...

J_

121).

Fig. 120.

Exemple.

1.

în exemplele 1 şi 2 [14~] am obţinut serii pentru funcţia

..a: după sinuşi, şi pentru funcţia x 2 pentru cosinuşi, în intervalul (0, 1t). Dezvoltînd funcţia x în serie după cosinuşi în intervalul (0, 1t), obţ.inem dezvoltarea #C

~ + ~

.r =

ale cos kx;

a.0

k-1 ;c

ak

.· = ~ 2 [(- 1)k __ 1] = =2 - ~ xcoskxdx n: 1tk2 o

2 (

= -;- J x dx

j

=

'lt ;

o Fig. 121.

O pentru k par,

4 -

-

'lt~

pentru k impar;

,

1'C

X=---

2

4 ( CO. S X ·- - + CO.S - -3X· + ... + COS (2k + 1) X + 1t' . 1 3 (2k + 1) 2

2

(O.,..:::: x <:: rr).

·-4::38

~. Funcţia cos zx este

cosinuşi în intervalul ( --

:ne aici 2

'lt,

0

funcţie pară de x şi, deci, poate fi dezvoltată după'

+ 11:) :

· 1t

(20)

cos zx

= ~ 2

+

~ 00

.l..J

~;~,

1

ak

cos kx ;

ak

= -; ~ ')

cos zx cos kx dx.

1)

439<

însă

Avem: 2

2z2

2z2

sin 7t.t 'ltZ

~

1t'

ak = ;

,=

~[

sin (z

,._

) cos zx cos kx dx = :

~

o

o

+ k) x +

z-

.~:=0

k

k

__ k) x} dx =

= ~-l- sin (7tz + k7t) + ~~~- (7tZ 1t' Z -t- k z-

sin (z- k) x lcc=.lf

z+k

+ k) ;:r: + cos (z

[cos (z

2z sin

_ lm).J

=-

Substituind această expresie tn formula precedentă şi ordonînd după puterilelui z2 , obţinem

k

7t'Z

= (-1) ~ (z2-k2) Aşadar, în

cos zx =

2z sin

7t'Z

1t

[-1- + ~ 2z2

1t'

Făcînd x =

x < 1t') avem :

~

intervalul ( -7t'

12 - z2

z

+

cos 2x 22 - z2

cos 3x -32 - z2

Inlocuind pe z · prin ·- , 2

.. ·1·

z 2

şi tmpărţind ambii membri cu sin 7t'Z, avem :

.!.[.!.z - kJ '\:""' k~]·

=

2-

7t'

z 2

Notînd coeficientul lui

k-=1

. Aceas~ă formulă se numeşte for mula descompunerii funcţiei ctg 1tZ tn fracfli :slmple. Dertvînd in ~a.port cu z, tmp ărţind cu 7t' şi schimbînd semnele, obţinem

1

z

z

-·ctg2. 2

4lescompunerea functzez - - - în fracfii simple : sin2 7t'Z

=

~00[ 2

1 -

z2n

~00

--

-

1]

z2n

... k2n

(21t')2n .

n-=1

(22)

z2

:

-ctg-=1-

00

ctg 1t'Z

obţinem

·

k-l

B prin -."- ; (2n) l

B1 2 - z

2!

B 4!

...4

~z211.

_

- - 2 .- -

(2n)!

00

B,. = 2 • (2n,) 1 ~

1

sin2 ·sau, observînd

(21t)2n 1t'Z

bJ

1 Jr.2n

(24)-·

7c=l

că

z

z

2

2

Primele numere Bn se obţin uşor, dezvoltînd - ctg - , considerîndu-1 ca

z

sin2 fiind cîtul seriei lui cos ·- prin seria l u i - - [1, 1301, după puterile lui z : 2 _:_ 2

z

;putem l'nlocui formula

precedentă

simetrică

prin una mai 00

1

.

sin2 7t'Z

1

= ;2

~

·~

1

1

(23)

(z _ k)2 ·

B2= -

k=-CO

30'

Formula (22) conduce la cunoscuta dezvoltare a funcţiei ctg z tn serie de ,puteri. Înmulţind ambii membri cu nz şi înlocuind

rt'Z

cu z. adică z cu'!. *

1 B,=30'

5

135= - ,

66

şi este dar că numerele Bn sint raţionale. Ele se numesc numerele lui Bernou HLPe de altă parte, cunoscînd valorile lor, putem determina sumele seriilor

·obţinem 00

zctgz

=

1-

~

k=l

440

00

2z2

---k2 7t'2 _ z2

~

1

.l..J

k2n

(21t)2n Bn

= -2

. (2n)!

(n

=

1, 2, ... ).

1c""'1

441

Cîteodată, în locul numerelor lui Bernoulli, se determinate prin formulele :

consideră

numerele lui Euler, ·

relaţiei.

unde, pe ba.za +~

1

Ao= 1; A1 = - - ; 2 Dacă Î!J_

(-t)k-1 Bk

A 2k =

;

(2k)l

A 2 k+l =O

t

egalitatea (24) inlocuim pe z prin 7,

. . (k = 1, 2, 3, .. . j. {25) '

:

~ cp(~)

obţinem

(26)

+~

cos

:

k~ d~ = ; ~ f

r:)

cos

kţ d~ =

-1t

H şi ţinînd seamă că

1

= --

l

l

~ f(x)

(27)'

knx

cos-- dx; l

-l

l

+1

l

~ f(x)

1

-ctg2i 2i

bk = l

• kr.:x d . sin-x.

l

--Z

Astfel teorema lui Dirichlet ramz,ne valabilă şi pentru. intervalul (- l,' l), nu~mai că dezvoltarea ( 6) va fi înlocuită pnn dezvoltarea

·obţi~em

--~~'

-

1

=

1 __ .!_ 2

=A 0

+

1171 _ 1 Bnt2n (2n)!

+ ...

+

=

00

a

-;f -f-

+ A 1l + A 2 l +A 3t + ... 2

Numerele lui Bernoum ale analizei .. :Funcţii

şi

3

Euler se întîlnesc des tn cele mai diferite ramuri

necesară -dezvoltarea în serie trigonometrică după cosinuşi şi sin uşi a unei funcţii f(x) definită, nu în intervalul (- 7t, n), ci în intervalul ( -l, l), sau dezvoltarea în serie numai după cosinuşi sau numai după sinuşi a unei funcţii definite în intervalul (0, l). Această problemă se reduce la cea precedentă, cu ajutorul unei schimbări de variabile, adică introducînd în loc de x, varia:bila auxiliară ~' prin formula

146.

\

+ ... + (-

B 1 tz __ B 2 t' 2t 4!

periodice eu perioada 21. Deseori este

- l~. X--·-,

~

(

ak

kr.:x

cos -~

iar coeficienţii ak şi bk se vor deter~n~na cu for"!'u.le!e (2?)· Referitor la dezvoltările funcţiei J(x), definita în Intervalul (0, l) nu·mai după cosinuşi sau numai. după si~ uşi, avem rezul· tate analoge; pentru funcţia f(x) obţinem sernle : Oo

-~ + ~ .l...l

2

alb

k1tX cos-

1

(29)

;

k=l

şi

'

bk

Exemplu.

= f •(ff;) ~ ~

Să

dezvoltăm

f (X)=

după sin uşi funcţia f (.x:),

1

pentru

O pentru

(30)

dei'iJJită prin egali-

O< x <

< x<

··2

l.

2

in acest eaz, avem : 2

z

b~c = ~ ~ k=l

krr:x

tate
Dacă f( x) este definită în intervalul ( -l, l), atunci funcţia va fi definită în intervalul (- 1t, n) al variabilei ~. Dezvoltînd funcţia cp( ~) în serie Fourier, obţinem:

.

) _f (x) sin - 1- dx. o

sin -

442

1

2 [

-~

=

k=l

f(x)

(28)

k=l

(26)

Punem

·~(~)

• l\.rr:x) + bk sin ---,-- '

o

f (x) sin

k~x dx = ~ ~

o

sin n;:. sin

-~(__~~- dx,

!il

~

·.deoarece, tn intervalul ( care-I

ipe

lăsăm

,

l), funcţia de integrat N•te .zero.: Un calcol simplu,

pe seama cititorului,

dă

:

O pentr~ k impar > 1 bk-

-

- (-1} 2 2k

{

1t

(k 2

-

pentru k par

1)

+

tncît

·~astfel

r sin -:--pentru O < x <-i 1tX

1

00

1

-- sin

1tX

4

7t

2

:E

n~l

După

.

2n 7t'X

1

sm--=)

menţionat,

1

l

4n2- 1

2

l

J 0 pentru -

2

<

<

X

l

(31)

l

1

-pentru x = 2 2 ( O pentru x = O sau l.

pentru intervalul de lungime 27t,

şi

aici, intervalul de Jungime 2 l. In'acest caz, suma seriei (28) reprezintă pe f(x) în intervalul (c, c + 21), şi pentru ~alculul coeficienţilor cu formulele (27), intervalul de integrare (- l, + 1) trebuie .inlocuit prin intervalul (c, c + 21). -

'( --l,

cum am

( --1 )'nn

+ l) poate fi înlocuit printr.-un interval arbitrar (c, c + 21),

147. Eroarea pătratică medie. Să indicăm . acum o altă tratare a seriilor Fourier. Fie, ca mai sus, f(x) .o funcţie dată in intervalul ( -n, 7t). Formăm combinaţia liniară a primelor {2n 1) funcţii ale familiei (4) :

t"ezultatul a N măsurar1 a mărimii z ; eroarea ·fiecărei măsurări va fi, respf'ctiv, (k =. 1, 2, ... ' N); .eroarea pătratică medie o?? se defineşte prin formula :

+

+

~

+~

(if.k cos kx +~Te sin kx),

(32)

k =1

~' ~ 1 , ••• ,
unde

i:rigonometric de ordinul n (32). Totuşi, nu este comod să luăm· mărimea Ân ca măsură a aproximării, şi aceasta nu numai din -cauză că studiul acestei mărimi este anevoios, dar şi din cauză .că în rezolvarea problemelor de apro?'imare a funcţiei, adeseori .es;e mult mai important să obţinem· micşorarea "erorii medii" :Sau a "erorii probabile" decît micşorarea "abaterii maxime". 'în fig. 122 sînt reprezentate diferite curbe aproximative (punctat) ale funcţiei f(x) (continue). Abaterea Yl maximă a curbei (1) este mai mică decît ·····-... .aceea a curbei (2) ; dar, în general, curba ·--····-----:,JfJ ......, {1) diferă mai mult de curba adevărată . · \'·· .. ./ ·. X .decît curba (2); în intervalul ( -7t, n:) -..p . abaterile importante ale curbei (2) sînt \: ·.:·:{!!' mult mai rare decît abaterile curbei (1). _1 La aplicarea metodei celor mai mici pătrate pentru interpretarea observaţiilor Fig. 122 . se ia ca măsură a preciziei observaţiilor :,,eroarea pătratică medie", care se defineşte în modul următor: Fie:

if.0 ,

nul ,n. Să examinăm eroarea care se obţine, dacă se înlocuieşte f (x) _prin ,suma (32), adică, să examinăm""'diferenţa:

funcţia

n

Ân(x) = f(x) - {

Î + 1:

(cxk cos kx

+ ~k sin kx)} ::

k=l

adică on este rădăcina pătrată a mediei aritmetice a pătratelor .erorilor. Tocmai. această eroare pătratică medie o luăm ca măsută a gradului de aproximaţie a funcţiei f(x) prin suma (32). Aici trebuie însă. amintit că nu avem de-a face cu· un număr finit ·de valori, ci 'cu o mulţime infinită, distribuită continuu pe întreg intervalul ( -n:, n:). Aşadar, fiecare eroare separată nu va fi .altceva decît Ll(x), şi .media aritmetică a pătratelor lor va fi

+

k=l

. Prin abaterea maximă Ân .a sumei (32) de la funcţia f (x), in tntervalul ( -n:, re), înţelegem cea mai mare valoare a expre• siei [ Ân (x) 1 în acest interval; cu cît mai mică va fi Â,., cu atît mai exactă va fi reprezentarea funcţiei f(x) prin polinQmul

+

444

+1t

-1 ~ Ân2 (x) dx,

21t

-TC

445

iar eroarea pătratică medie formula

s..

a expresiei (32) se găseşte din

Ţinînd seamă de expresiile (9) pentru coeficienţii [Fourier funcţiei f( x), putem scrie expresia n2 snh forma :

o

ai

-:JC

+•

=

n

;'It ~ {f(x)

;

~ (~Xk cos kx + ~t sin kx)r[dx.

0 --

(33).

+ -OG~4 + -21

k=l

-IIC

Ne mai rămîne acum să alegem constantele a 0 ,
o!

{ /{'x)

~

n

.

~ (rt..i + [3~' Tc=1

sau scăzînd şi adunînd suma

n

r; -· l: (
putent scrie :

k=l ot2

=[f(x)]

2 ---

a 0 j(x)-

2l: (a:k cos kx ·+ ~k sin kx)f(x) + ° + 4

+;n:

~ (a; cos 2 kx

2

o!=__!_ ( [f(x)]2-tdx-:-~ -~ --:2n) 4

n

1

2

--3!:

k=l

+

.

+ ~~ sin

2

kx) -j- an,

~ (a2k ~

+ b2k) +

J.:=l.

(34} (35)

k=l

unde an este o combinaţie liniară a unei expresii de. forma : (l =1= m)o

cos lx cos mx , sin lx sin mx cos lx sin mx , cos lx sin-mx.

. În virtutea ortogm.!"~l!tă"ţ!i funcţiilor trigonometrice [142]. Integrala acestor expresn In Intervalul (- n, TI) este nulă,. şi prin urmare, şi integ1·ala lui O"n va fi nulă în acest interval. Integralele funcţiilor cos 2 kx şi sin2 kx sînt egale, cum se ştie.,.. cu 1t' şi, introducînd expresia (34) în formula (33), obţinem : +Jt

s~

=-!- J( [f(x)] 2n

-+ 2

1{

dx -- ~ ( f(x) dx -2n

J

--il[

--1/t

n

+Jt

k=l

-·-;11'

---; l: [rxk~

+«

f(x), cos kx dx

+ ~k ~ -

f(x) sin kxdx]

+

Deci, ~~ are valoarea minimă cînd ultimii termeni pozitivi din membrul al doilea se anulează, cu alte cuvinte, cînd et0 = a0 şi, în general, rt..k = ak; [3k = b~c (k = l, 2 ... ). Aşadar, eroarea pătratică medie a expresiei aproximative a .funcţiei f(x) cu ajutorul unui polinom trigonometric de ordinul n va fi minimă, dacă coeficienţii polinomului sînt coeficienţi Fourier ai funcţiei f(x). Să relevăm un fapt important. Din r._ezultatul obţinut rezultă că valorile ij7c şi ::$7c' care dau minimul lui. nu depind de indicele n. Dacă mărim pe n, adăugăm noi coeficienţi r~-k şi [3k, insă, coefidenti.i deja calculati rămîn cei dinainte. Valoarea ~rorii z" o obţinem prin formula (35), înlocuind în ea pe r.t.k şi ~k respectiv, prin ak şi bk, ceea ce dă :

o;,

+~

3!:

z2 = '11

_!_ ( [f(x)]2 dx 21C' ) -IC

2

ao 4

1~

2

~ (a~+

bD,

(36)

k=1

447 446

sau

2e!

=~

r

~ - I; (a; + bi)·

V4~.fi o serie' convergetttă 120]. Fă cind 'pe n să crească indefinit şi trecînd la limită în inegalitatea (38), obţinem:

rt;

fl

[f(x)] 2 dx -

(37)

~+

creşte. Cî n d n creş te , adică ordinul ·polinomului t_rigonometric d ... . al doilea al formulei (37) se a auga nm termen:a Î 1 b n mem ru .. ") ., b'' negativi (sau, în orice caz, ne~ozi~IVI : :- a.;+ 1 , ~ ~+l' • •• , astfel încît eroarea :e" nu poc:te ~e~-"t sa se mlţşoreze pnn c~eşterea lui n, adică preciz-"a aprox-"maţ-"ez, creşte (nu descreşte) pnn creşterea lui n. d ... i 1 · Mărimea e:! se exprimă prin formula ~33), . aca . n ~CUI~ în ea pe IX1c şi ~k prin ak şi b7c; cu alte. cuvinte se. expri~a pri~ integrala pătratului unei funcţii şi, deCI este cu siguranţa pozitivă, sau, mai exact, nenegativă. Ţinînd seamă de aceasta avem"' pe baza relaţiei (37) :

+.w:

~ + 1; (a~+ b~) ~ ~ \ (f(x)J' dx. k-1

t

+•·

(aZ

+ b!) < ~ ~ ff (x)]" dx.

k=1

(39)

-·

Ţi,nînd seamă că termenul general al unei serii convergen,te, trebuie să tindă către zero în cazul îndepărtării infinite de începutul seriei, putem enunţa următoarea teoremă : , ., .Teoremă. ln ipotezele făcute relativ la funcţia f(x), coe· fidenţii ei Fourier, ak şi bk, tind către zero, cînd k --+ oo • Problema fundamentală din punctul nou de vedere este ur:rnătoarea : tinde către zero eroarea ~:11 , cînd n creşte in definit? Dacă în membrul al doilea al formulei (37) trecem la limită, făcînd pe n să crească indefinit, atunci, în loc de o sumă finită

+

\.-,

i..J

obţinem o serie infinită

1:=1

l: , adică: k=1

(38)

-#C,

P"nă

acum nu am exprimat explicit nici o ipoteză, în ce Pentru raţionam~ntele preceden~e, este necesar să existe . toate i~teg~alele pe care le-am folosit, d . "' sa"' poată fi calculati coeficientu Founer conform formulelor a Ica · " existe integrala ' ' . f uncţiei. · · p entru f"Ixarea pătratului (9) , ŞI sa . ... "' ideilor vom considera că f( x) este continua sa11 are un n~mar finit d~ discontinuităţi de prima speţă. În acest caz, toate .Integralele de mai SUS au, CU siguranţă, sens (1, 116]. ~e~atiV .la f(x) se pot face şi alte presupuneri mult m~i gen~rale ŞI, 1.n ~nce caz în toate rationamentele precedente ŞI urmatoa:e, Ipotez~ un~i număr fi~it de maxime şi minim~,. care a fig...ui·at ~a1 înainte în conditiile lui Dirichlet, nu are n1c1 un rol. _Sa reve.n~~ la inegalitatea (38). Prin creşterea lui n, suma termenilor pozitiVll din membrul întîi al inegalităţii (38), .v~ .creşt~ ~nu va desc~eşte} însă, va rămîne inferioară unei cant1taţ1 P.ozitiv~..., d.~termina:e: ... este "In membrul al doilea al 1negahtaţu. De a1m <~are se ga ~ n>:zultă direct că seria infinită

priveş~e proprietăţile lui f(x).

00

~(a;+ [b~) k~"l

448

.

k=l

--#C

de unde rezultă că tendinţa lui €"n către zero este echivalentă cu faptul că în formula (39) vom avea numai semnul = , adică +n

~

-~ ~- [J (x)]2 dx = ~~ + 1: (a~+ b~). TC

-n

(40)

~;=1

Această ecuaţie se numeşte, obişnuit, ecuaţia de închidere. În paragraful următor al acestui capitol vom demonstra că e,.--.,. O, adică ;vom arăta că ecuaţia (40) are efectiv loc pentru toate funcţiile f (x) care ·au proprietăţile indicate mai sus.· 148. Sisteme generaJe de func!ii ortogonale. Majoritatea raţio namentelor folosite în capitolul de faţă nu s-au bazat pe proprietăţile concrete ale funcţiilor trigonometrice, ci numai pe proprietatea de ortogonalitate a funcţiilor familiei (4). De aceea, aceste rationamente sînt aplicabile oricare ar fi familia de functii ortogo~ale. Astfel de familii, cum vom vedea, se întîlnesc' des în. problemele fizicii matematice. Fie o familie de funcţii reale _In intervalul a x b, pe care, pentru fixarea ideilor, le vom considera continue :

< -<

t(x),
(41)

It, CUrs de matematici: superioare

449

Se .spune că funcţiile. famiJiei (41) sînt ortogonale, dacă

pozitiv oarecare, şi integrăm in intervalul (a, b), considerind c~ seria din membrul al doilea poate fi integrată termen cu termen

b .

~ cp".( x) Ct>n( x) dx = O pentru m =1= n.

b

(42)

Integrala pătratului fiecărei funcţii a familiei (41) va fi egală cu o anumită constantă pozitivă. Introducem următoarea notaţie pentru aceste constante :

~ f(x) ~,. (x) dx = ~ ck ~ ~k (x) ~lli (x) dx. a

k=l

Ţinînd seamă coeficienţii
de (44) obţinem

a

expresiile următoare pentru

b

b

kn

b

00

= ~ [q>

2

cn

(43)

(x)] dx.

11

== ~ f(x)

(47)

(n=l,2, ... ).

o/n (x) dx

a

Dacă înmulţim fiecare funcţie
numeric .

V

1

,

(x) din familia (41) prin factorul

atunci, pe baza lui (42) şi (43), noile functii

kn

'

1 = -=
V

kn

vor verifica condiţiile de ortogonalitate, iar integrala pătratului oricărei funcţii va fi egală cu unitatea, adică b

( ~m(x) ~.. (x) dx

J

= {0

pentru m =t= n 1 pentru m = n.

(44)

Coeficienţii

cn, determinaţi prin aceste formule, se numesc, de obicei, coeficienţii generalizaţi ai lui Fourier ai funcţiilor f( x) tţ3lativ la sistemul de funcţii (45). Raţionamentele precedente, ca şi [142], au numai un caracter indicator, şi formularea riguroasă a problemei constă în următoarele : dacă coeficienţii cn, calculaţi prin formulele (47), sînt substituiţi în seria din membrul al doilea al formulei (46), va fi oare această serie convergentă i~ intervalul (a, b) şi, în caz afirmativ, va reprezenta ea pe f(x)? Pentru 1·ezolvarea acestei probleme este nevoie, desigur, să facem anumite ipoteze în ce priveşte proprietăţile funcţiei f(x). Seria care se obţine prin înlocuirea lui cn prin valorile lor din (47) se numeşte, de obicei, seria generalizată a lui Fourier a funcţiei

f( x).

Să trecem acum la al doilea punct de vedere. Scriem formula erorii pătratice medii, luînd pentru reprezentarea funcţiei f(x)

suma finită de forma :

a

Se spune că funcţiile familiei ~~(x); ~2(x); ... ; ~n(x);

(45)

sînt ortogonale şi normate (ortonormate), dacă condiţiile (44) sînt Indeplinita. Fie f(x) o funcţie definită în intervalul ·(a, b) şi să presupunem că se poate reprezenta în acest interval, sub forma unei serii ordonate după funcţiile (45) : 00

f(x)

=

~ ck ~k (x), k=l

unde c~ sînt anumiţi coeficienti numerici. Inmultim ambii membri ai ecuaţiilor (46) cu ~n (x), unde n este un nu~ăr întreg 450

Pă.tratn.l acestei erori se va expri4:H.ll prîn formula : n

b

3;

=

·

b-~:;·-~ [ f(x) Q,

-

1: Y 7~ ~le (x) k=l

r

dx.

Tinind seamă de (44) şi (47) şi repetind calculele, analoge calM ~;.ulelor din [147]~ obţinem : IJ

(b ~- a) 3~

::=

n

~ [J(x)]2 dx ~ ~ c~ o

k=l

n

+~

(Yk-

c~:r~.

k=:i.

451

.

. De aici, ca mai sus, rezultă imediat că

a; are

valoare minimă,

dacă Yk sînt egali cu coeficienţii Fourier ai funcţiei pentru această valoare minimă en' avem formula :

f(x),

şi

__ , r

b

(b - a) e!

.Cu unitatea:. Din calculele expuse mai sus [142], urmează ci4 tn cazul de faţă, sistemul : 1

·1

= ~· [f(x)]2 dx

'Y2i va fi

a

De aici, rezultă convergenţa seriei

'It

cos x,

1

V

.

'It

Slll

x, ... '

1 l -

1n

1

• .

cos nx, - - Sln nx, ...

y--:;-

ortogonal şi normat.

Construcţiile precedente au o analogie geometrică simpli. ~

Să considerăm spaţiul tridimensional obişnuit ; fie A un vector al .acestui spaţiu şi A.~, Av, A,, cele trei componente faţă de un sistem de axe rectilinii ortogonale. Pătratul lungimii acest·ui wector se exprimă prin formula [103]:

."' ~i inegalitatea 00

t>

~ c~ < ~ k=l

~

a

~

care se numeşte, in general, inegalitatea lui Bessel. Deci, prow hlema de bază este dacă va tinde E"n către zero, cînd n creşte indefinit, iar această tendinţă către zero este echivalentă cu semnul = în formula (48), adică b

00

~ [f(x)] 2 dx ~ ~ •

cz

(49)

k=l

Această ecuaţie se numeşte ecuaţia de închidere a funcţiei f( x) faţă de sistemul de funcţii (45). Acest sistem se numeşte închis, dacă ecuaţia (49) este valabilă pentru orice funcţie avînd pro" prietăţile indicate în numărul precedent. Observăm că, în acest caz, se poate arăta că ecuaţia (49) este valabilă şi pentru o clasă mult mai largă de funcţii. Demonstrarea ecuaţiei dq închidere pentru diferite sisteme de funcţii ortogonale a fost d'ată în lucrările lui V. A. Steklov.

În aceleaşi lucrări a fost explicată marea însemnătate a ecuaţiei de închidere, în teoria sistemelor ortogonale. Demonstrarea ecua· ţiei de închidere pentru seriile trigonometrice a fost dată pentru prima oară de A. M. Liapunov. Să revenim la sistemul de funcţii 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . .. , cos nx, sin nx, . ..

+

Aceste. ft~.ncţii sînt ortogonale în. intervalul (- 7t', 1t), da:r nu sînt normate, adică integralele pătratelor lor nu sînt egale

452

IAI2 =A;+ A!+ A;.

(48)

(f(x)]2 dx,

Dacă

A

şi

.."

B sînt doi vectori, atunci diculari este [1 03]

condiţia

(50) ca ei

să

fie perpen.. (51)

Să considerăm acum un spaţiu vectorial mult mai complicat, anume vom considera ca vector al acestui spaţiu orice funcţie reală f(x), d~tă în intervalul (a, b), şi avînd anumite proprie· tăţi generale de felul celor a despre care am vorbit mai sus şi .care permit să se efectueze integrările de care avem nevoie. Prin analogie cu (50) luăm mărimea integralei b

~·[f(x)] 2 dx a

drept pătratul lungimii vectorului f(x) · din spaţiul funcţion~l. Şi,, prin analogie cu (51), numim doi vectori ft(x) şi f 2 (x) ai spaţiului" funcţional, perpendiculari sau ortogonali, dacă· ·· · b

.

~

)!1 (x)f2 (x) dx =O. OI

Aici, sumele finite din formul~le (50) şi (5i). le-am. ~11lo~uiţ.,prin

int~.grala ex:tinsă la interyalul (a, b). Adoptînd ·ac~a~tă. ·~terp1i· ·nologie; putem spune di'con'diţia (44feste ediivalentă··cn filptuf

că vectorii ~n( x), care intră în structura familiei '( 45), sînt ortogonali doi cîte doi, iar ca lungime, egali cu unitatea, adică vectorii ~n(x) din spaţiul funcţional sînt analogi cu sistemui · de vectori unitari fundamentali din spaţiul obişnuit [102]. Fie f(x) un vector din spaţiul funcţional. Se poate spune că coefi• cienţii cn, calculaţi prin formulele (4 7), sînt componentele vectorului f(x) în raport cu vectorii fundamentali unitari ~n (x). Inega· lit~tea lui Bessel (48) es:te .echivalentă cu faptul că suma pătratelo:r componentelor este mai mică sau egală cu pătratul lungimii vectorului. În spaţiul tridimensional, dacă luăm trei vectoriunitari fundamentali, pe baza lui (50), avem totdeauna semnul egal. Însă, dacă, de exemplu, am omite al treilea vector unitar funda~ tnental dirijat după OZ~ atunci în locul Remnului = ar t1·ebui să scriem -~

A; + A~-< JAJ ~ 2

iar semnul = ar avea loc numai pentna. vecto1·ii situaţi în planul XO Y iar pentru restul vectorilor am avea semnul < . În spaţiul functional există o 1nultime infinită de vectori unitari funda· mentali (ortogonali doi 'cîte doi), astfel încît nu putem să ne convingem p1·intr-un calcul simplu dacă nu am omis vreunuL Dacă pentru toate funcţiile .f(x), adică pentru toţi vectorii spaţiului funcţional, are loc formula de închidere (49), care este analogă formulei (50), aceasta este o dovadă că nici unul dintre vectorii fundamentali nu lipseşte, adică. nu mai putem adăuga familiei (45) nici u:n. singur vector fundamental tj;0 (x), care să fie ortogonal celor deja existenţi. Într~adevăr, să presupunem că există un asemenea vectm~ tj; 0 ( x) b

~ r.j;0(x) ~n(x) dx

(n = l,

= O

2~

... ) .

De a1c1 rezultă, pe baza lui (47), că toţi coeficienţii .Fourie.r ai funcţiei ~ 0 (x) în raport cu funcţiile (45) sînt nuli. Prin ipoteză, formula {49) trebuie să aibă loc pentru orice funcţie f( x) şi, în particular, pentru ~ 0 (x). Insă, pentru această din 1umă funcţie, toţi coeficienţii c"' sînt nuli şi formula (49) dă b

-~ [~ 0 (x)] 2 dx = Dacă continuă,

4:54

O.

(52)

presupunem, de exemplu, că ~ 0 (x) este o funcţie atunci din (52) rezultă că ~0 (x) este identic nulă în. in:ter~

valul a<. x <. b. Sistemul de funcţiCortogonale (45) se numeşte complet in raport cu funcţiile continue, dacă nu există nici 0 funcţie continuă, afară de funcţia identic nulă, ortogonală tuturor funcţiilor (45). Din cele de mai sus, rezultă că orice sistem închis ţste complet. Posibilitatea de a deduce caracterul închis din pr~prietatea de a fi complet este legată de o definiţie mai largă a s1stemelor complete (nu numai în ce priveşte funcţiile continue). H9. Analiza armonică prnctică. Operaţia dezvoltării unei functii date tn terie Fourier se numeşte analiză armonică. Dacă f(x) este dată analitic: formulele (27), care determină coeficienţii Fourier, rezolvă probJema. însă, în multe cazuri care se tnttlnesc în practică, funcţia este dată empiric şi atunci prohJema analizei armonice constă în aflarea celei mai comode metode, fie pentru calcuJarea cneficienţilor Fouricr, fie pentru figurarea directă a armonicelor de diferite ordine a funcţiei date. Metodele de calcul ale analizei armonice stnt bazate pe aplicarea formulelor cakulului aproximativ al integraleJor la integra1ele care dau pe ak şi bk• Cea mai simplă dintre a<'este formule este formula rlrcptunghiurilor [1, 108). Vom considera lungimea intervalului egală cu 21t. Aceasta se poate realiza totdeauna prin alegerea convenabilă a scării pe axa OX. Extremităţile intervalului le vom considera x = O şi x = 21t'. Împărţim acum intervalul (0, 2 1t') in n părţi egale şi notăm abscisele punctelor de diviziune cu

iar valorile

funcţiei

f(x), tn aceste puncte,

Y0 , Y1 , Y2 ,. Atunci,

după

•• ,

cu

Yn-1, Yn.

formula dreptunphiurilor, avem : n-1

ak :=::::::

~

1:

i=O

n-1

Yi cos kxi;

b~,; :=:::::: -;-

1:

Y, sin k:~·i,

(53)

i=O

şi

diferitele metode inrlicate pentru calculul coeficienţilor ak şi bk au ca scop să simpJifice formulele (53) şi, în măsura în care este posibil, să micşoreze numărul tnmulţiri1or nece!'are pentru efectuarea calculelor numerice. Metoda de mai jos, împrumutată din cartea lui W. Lohmann 1) se bazează pe o anumită transformare a formulelor (53) şi este foarte comodă, atU pentru simplitatea ei, cit şi pentru o precizie relativ bună a rezultatelor. 1. A vind graficul curbei de analir.at, ţras~im axa absciselor sub ea, şi ctt mai aproape de ea (fig. 123), pentru a evita ordonate negative şi pentru a nu avea de-a face cu ordonate prea mari. Perioada a_cestei curbe o vom împărţi în douăzeci părţi egale. 2. Pe foaia de hirtie special liniată intocmim o tabelă, cum se arată tn fig. 124. Numerele 1, 2, ... , 20, din prima coloană, arată abscisa; tn coloana a doua sînt ordonatele corespunzătoare ale curbei, care se iau direct din graficuJ funcţiei; este util să alegem scara suficient de mică pentru ca ordonatele să fie numere tntregi. în coloana următoare scriem produsele acestor ordonate prin cos 18° = 0,95; 1n coloana a treia, produsele lor prin cos 36°=0,81; apoi, produsele prin cos 54° = = 0,59, şi, în sfîrşit, produsele prin cos 72° = 0,30. Cea din urmă coloană o lăsăm 1) "Harmonische Analyse- z'um Selbstunterricht", Berlin) 1921.

455

goalA, haşurind extremitatea de aritmometrul).

ţeze

-

.

s~s

-

(la înmulţire .este preferabil să se fntrebui:c<-, .

·

--

a 8. termenului constant ' al dezvoltării - 20 . Pentru .determinarea . . suma ordonatelor şi o tmpărţim cu douăzeci.

-

-'

- = r0 efectuăm,. . ..

4. Pentru determinarea coeficien~ilor ak, bk (k= 1, 2, ... 10) se pregătesc) modele din hîrtie cerată, transparentă, pentru fiecrre coeficient separat, după , nio,delele indicate in figurile 125. Dimensiunile modelelor şi ale pătratelor lor, -' trebuie să corespundă exact celor din tabela fig. 12-l. · PMrateJe indicate trebuie să fie înconjurate fie cu contururi groase şi subţiri, fie cu cont uniri de diferite culori.

f

...

b,

O}

L

•

n -,1. .3 l 4 n 2

L r--1

3

6

s-

6:1

~

?n

8 8 10

; 16' 17 10

1

/_] ·2

i 1 1

1

'3

1 1 1

6 7 8

1 1

o~"'-:'--I.......&.~L...I.-..L.-I..-'--1.""'""--'L-.l..-.l.-1......1-J....J 12 3 4 5

!)

o 7 8 .'J !O 1112/J 141316 171819 20 2J Fig. l:l3.

fO

:u Fig. 124.

; 12 '13

Fiecare model se aşează pe tablă (fig. 12-4) şi se calculează suma :E(+) a numerelor eare ocupă pătrăţele cu contur gros şi suma ~(-) a numerelor care ocuph pătră ţele cu contur subţ.re. : Făcînd această operaţie pentru toate modelele, întocmim diferenţa sumelor -torespunzătoare (~t+>- ~(-J) şi împărţim fiecare din ele cu 10; cîturile obţ.i ''RUte dau coeficiPnlii al' b1 , n2 , b2 . . . . , a 10 , b10 • 5. Determinăm amplitudinile r 1 , 1 2 , ••• , r10 ale diferitelor armonice al(': tezvoltării căutate, cu formula:

14 lj

L

L

1 r- 1

..:.... ;

r

/8

18

1.9

19 20

- -

11 12 13

1

E

6 7 8 1 9

B

10

14 15 17

..... 1

1

1 1 r-

1""'"

1

... J... 1 r--

L.

:-1

-1

J

.,1zr-...1

ba _i . .

2 ....1 1 3. J r r4 _1

-

1

-

1 1

1

-

1

3 4

s

12

1.9 20 Fig. 125 a.

1

1

.

r-

r-

18

1 t 19

1

20

o.,

~ ~~

lr - 1

... ...

-

lf 12 13 14 !5--

18

__.

--

9 10

t

13

a

... 1 1 ._

3

1 1

4

1

1""'""

7 8

19 20

-

-

10 !Tf

...

1

6J

16 17 18

1 1

J

......

1

8

17

--

! L

1

il

r-

1· .9

17

., -.

l

10,_

1111

1

1

1 17

l.f

1·

fi 7

16

1... 1

-

6 7 8 9 !_l_ 13 14

20

~

'

-r

1

s

/6

17

·-liP

""]

1

5

.... 1

-

3

4

16

161

: IIJ

L

1

2

14 f5

16

' 19

1

-

1

15

4

1

1 1 i

...J

3

BlJ ; 11

80

LJ

.J 19 20 1 r

1

3 4

Bl

1

...

4

1

13 14 15

14

1

r-

12

~

f40 120 100

2

~

11

13

f60

.j

..J

-r r: ..J

4

7 8 9. !O ' 11 12

lBO

~~

1 2 3

--

1

i??

s

...

6 1 7 8

1

r--

9 10

1

--

ff' 12

13 14

1

-1

1 1

15

1

1

1

B 17

-1

J

-

1

f6

18

19 20

!l!lR!!

...... 1

j

-

l_

f

1 2

3 4

-

~.f

L1

•

--

7

.....

8 9 t 10 11

---

15 18 /7 1 18 19

co 1 2 3

4

s 6 7

8

9 10

11 12 13 14 15 16 17

18

19 20

-

~"l

2 8 4

....

-

--

-

1

~

-

1

·= -.n - -·L -r-

1

L.

1

_,

1 1

1 1

1 L.

8 1 9

10 11 12 19

1 1

1

14

15 18 17

18

19 130

lf

.....

/J

.

14 15 Iti 17

1 1

18 19

1

2

lllilll

7

J

l 1 -~

....

1-.

1 1

1 1

12 13 14 15

~

16

1r-- 1

17 18

~

3 4 .5

....

1

1

8

1 1

9 10

r-'

I.J

11 1 1

12

15 IG 17 18

-1

1.9 20 Fig. 125 b.

.... J 1

~

1

~

11 12 13 14 15

161

~'()

-

~

""""1

_ILJI

-

15 16 17

-

1

~

18 19

51

1

1

71

-

1

1 E ~

J

-~

r

=

1 ii iillllll

G

-

7 8

91 10

1

s

11 12

1

10 ff

131

1

IS·

14

12 14 1.5

1

15

1! ' - 1

20

4 5

1

8

._

/6 17 18

1

19 20

1

1

2

3

6

l

12 13

14

1

1""!""'

9 10 11

!

3 4

16

17 !8 1!1

1

tiJ

l"ig. 125 (',

... •

1

~

1.

.....

11

1 ·-~

1

•

-

1

-....

-

1

·1

1 ~

.•. ,

'Pt"'
ale

-~.

bk

Pentru determinarea unghiurilor CJlk se poate utiliza cu folos tabela de mai , jos, care ne permite să gă~dm pe CJlk cu o precizie de 1°. 30 40 50 60 76 80 20 90 10 oo

1

t

t

t

- - ~~~ 0;04 0,01

t

0,06

t

0,08

t

0,10

t 0,11 t

t

t

0,131 0,15

0,17

-100 0,17 0,19 0,26 0,24 0,28 0,30 0,32 0,33 0,3fl 0,20 . 0,22 - - - - - - - - - - - - - - - -- -- - - - 0,39 0,48 0,50 20° 0,35 0,52 0,54 0,57 0,37 0,41 0,46 0,43 - - - - - - - - - - - - - - ---- - - - - -- - 0,71 0,74 30° 0,57 0,64 0,77 0,80 0,82 0,59 0 .. 61 0,66 0,69 - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - 1,02 1,05 0,88 1,09 1,13 1,17 40° 0,82 0,92 0,85 0,98 0,95 - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -1,46 1,51 1,26 1,57 1,63 1,70 1,30 50° 1,17 1,21 1,35 1,40 - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - 2,7 2,20 2,30 2,40 2,5 1,84 60° 1,70 1,90 2,06 2,10 1,75 -- - - -- - - - - -- - - - - - - -5,4 3,9 4,2 4,9 4,5 70° 2,7 3,0 3,2 3,6 2,8 3,4 - - - - - - - - - - - - - - - -- - - -- - o 5,4 16 23 6,7 10 13 38 115 6,0 7,6 - - - - -9 - - - - - - - -- - - -90° 115 - -

1

{9

tg 'Pk =

oo o

-

1

1

Determinăm fazele diferitelor armdnice '?1> q:> 2 ,

--

~

18 ~o

;

1

·~J J<)'

6a

17 1

/IJ. 15

1

-

6 1 7"""'" 8 1

a·=r r-

l8 --

r--

5

hto

:--

IG

1 1

9 10

11

7i 7.3

..... i""""'l

·--'a

. 1..... 1

2 J 4

., -

a,o

/;$

1 1

3

7 8

1

1""'""

r;

2

4 5 6

:·~

r-

I!J

_1

6 7

14

-

:r·m

1 1

20.

-1

9

1 1 1 1

r-• -

~

.a

1

- ·-

10

- .... ... ·=., -- -·

6'

1

-·-

8 9

Il

ea

1 1

5

1 1

1 1

20

_.._/;7

2 3 4

••

.,

':7'9

,5 6 7

1.7

~

3 4

•

1

~

., - .,

-,:.

.1

'7

1

06'

4

6

8

:J 10 11 12

15 ~· Iti 17 18. 1 1 1.9

1

7

/3 14 1 1

20

-

3

1

IH r-

1

• 1

6

1 1

12

.1 2

" ....- 11= " -

1

.... 10

r

ac

• -·- 1

1

78 9

12 13 1 1 14

-

s o1

.? L 1 ()

f

2 8 4

hs

:a

-1

~-

~o

00

--

--

459

Căutăm m tabelă două numere care se a.flă în raportulJ:k\ şi notăm cu '-!Jk unghiuJ:I

ln încheiere, observăm că această metod~ dă un rezultat relativ exact, numai pentru primele armonice.

k a le carm ze~I d ~ gr~.d e stn~ indicate i_? part<'a stingă a liniei tn care se află acestenumere, umtaţile fund aratate de sageata verticală . .cunosc!nd pe ~k• determinăm pe 9k după tabela următoare, tn funcţie d ·~ vnlorlle a7c ŞI b11: : e w

•

•

w

§ 2. COMPI.ETARI I~A TEORIA SEBIILOU FOlJRIED

··------~

k

150. Dezvoltarea in serie Fourier. În paragraful de faţă vom da o expunere mai profundă şi riguroasă a teoriei seriilor Fourier ; începem cu expunerea demonstraţiei teoremei dez .. voltării luif{x) în serie Fourier. Vom impune luif(x) condiţii diferite de condiţiile lui Dirichlet [143], ceea ce duce la simplificarea demonstrării. Ulterior vom da şi ·demonstrarea teoremei lui Dirichlet. Revenim la seria Fourier a funcţiei f (x):

- - - - ---·----·-----+

+

9k

=

~k

- - ---:---------

+

------------------------+

00

a; -+- I; (ak cos kx + bk

---'------'-------------Toate aceste calcule se aşează ca tn tabela de mai jos, pentru curba din fig 123·,..

k=1

o.nde

.Î Î

~

vl

1 o '1""4

C"i

"'"" 11

J••

:t:

:

± v:tI

oQ

li

+

~

I

+

Il

v:t

...

1

1

1 '1""4

+

1

O)

o

v1'

C:t

~

Il

~

oQ

..

"C:t

1 1201

424

+ 77,7

2

832

819

+

1,3

804 785

+

1,9

1,7

3

653

968 -31,5

754 865

-11,1

992,3

1121 496

-!-62,5

1

oQ

6037,3 3906,3

~

nJ--n:

!~:::~

en .....

~11,24

o

?-

cos kt dt; bk

= !_ ( f(t) ~J

o

e-

+

~~~

3,6 _2_, 0,68 34 34 123,2 33,4

---

2,84 71 251

k=l

4

+n

- ; ~f

(t) [ ~

n

+ I; (cos kt cos kx + sin kt sin kx) J dt =

1

-·

+"

.;

o.~~

-

809 + 0,7 8i5 - - - - ----

10 1277 1294

460

-

1,7

-

802

-

+

1,3

0,51··

1,7

2

-

-

-

2

_",_,_

0,54 29 29

----co

~1270

~

-IC

\

1'

sin kt dt,

-m:

Iar variabila de integrare este notată cu t pentru a nu se con.. funda în calculele următoare cu variabila x din formula (1). Introducînd expresiile lui ak şi bk în formula (1)-, găsim suma celor (2n 1) termeni ai seriei Fourier relative la f(x), sumă pe care o notăm cu s,~(f) :

11

..;')-

--- -- - - - --· --- --- -- - 821 838 - 1,7 785 798 - 1,3 2,9 1,7 2 1,38 54 234 - -- -- --- -- -- --- - - - - - - - - --· 5 6.41 634 + 0,5 654 640 + 1,4 0,3 2,0 2 0,36 20 20 - -- -- --- -- -- - - - - - - - - -- - 6 832 827 + 0,5 0,3 1,2 1 797 786 + 1,1 0,45 24 24 - -- -- - - - -- -- - - - - - - - -- -- - -7 808 813 - 0,5 802 817 - 1,5 0,3 2,3 2 0,33 18 198 -- ----·- -- -- - - - - - - - - - - - -8 823 828 - 0,5 792 797 - 0,5 0,3 1 1,00 45 225 - 9 -- -- - - - --- -- - 816 -

= 2:. ( f(t)

ak

1

oQ

+«

+~

1

1

(1)

sin kx),

:

k=l

f(t) [ ~

1"1

+ ~··cos k (t k=l

x) ] di.

Inlocuind în această formulă pe n prin ( n

+ 1) şi scăzînd ...!...2

din

ambii termeni obţinem

n

sin _(2n l

2

+

cos cp

+ cos 2 cp + . . . + cos n 'P

+ 1)

--------·-· 2 sin~

-

.

"

o

~~+ ~ cos k (t -·~ x)

2

kJ k=1

=

(2n

+ 1) (t -

x)

~-~-- - -

2

(2)

2sin t~ 2

sin ~2n +___!2__ (t -

sr& (J) = ~ ~

f(t)

!_-=-.!'_

2 sin

dt.

(2), de asemenea, p.erioada 2n în raport cu variabila t. Tinînd ~eamă de observaţia de la [142], putem înlocui intervaÎul de Integ.rare ( -rr., +7t) prin orice alt interval de lungime 2rt. Consid.eră~ valo.area x a ;ariabilei independente a funcţiei f (x) ŞI luam ca Interval de Integrare (x - 7t, x n) :

+

Sn(f)

=~ ~

J(t)

+ 1)

(t -

x)

~-2 sin'~.!~--

ro-~

=

l

~

2

(

sin (2n

+ ~Lz dz

Suhli?iem încă. o... dată că în cele ce urmează prin f(x) înţelegem funcţia prelungita pentru toate valorile reale ale lui x. Descompunem integrala totală în două integrale : una, de la ro+ar

~-~

+

n) :

~ • In prima, in. . ~

troducem, în loc de t, noua variabilă de integrare z după formula t = x - 2z, iar în a doua, după formula t = ; 2z.

+

. 462

= 1, 2, 3 ... ) .

(4}

Înainte de a trece la demonstrarea teoremei fundamentale, să demonstrăm Ierna : Le mă. Dacă (a, b) este intervalul (- rr, n) sau o porţiune a lui, iar ~(z) o funcţie continuă în (a, b) sau avînd în acest interval un număr finit de disr.ontinuităţi de prima speţă~ atunci integralele b

b

~ ( ~ (z) cos nz dz şi

.:!-__ (

1t

1t )

J

~ (z) sin nz dz

a

a

tind către zero cînd numărul întreg n creşte indefinit. Dacă (a, b) este chiar intervalul (- n, 7t), atunci această lemă coincide literalmente cu teorema din [147). Să presupunem că (a, b) este o porţiune din ( -7t, n). Prelungim pe y; (z) din (a, b), · pe întreg intervalul (- n, 7t), făcînd-o egală cu zero pe porţiunile intervalului ( -n, 7t), situate înafara intervalului (a, b); cu alte cuvinte, definim o nouă funcţie 'h(z), astfel încît ~1 (z) = ~ (z) pentru a z b şi ~ 1 (z) = O dacă z aparţine intervalului (- 1t, rr), dar se găseşte înafara lui (a, b). În aceste condiţii, de exem.plu, putem scrie

+

+ + +

< -<

+~

b

(x- 7t) lax: ~, iar a doua de lax la (x

(n

sin z

)

+

dt

2

:ll

al

+

+

sin (2n

2

o

Fu~cţia (_~), dată în intervalul (-it, n), o prelungim periodic, pe~wada fund 2rr., ~stfel încît o putem considera definită pentru once x real. Fracţia de sub semnul integrală, are, pe baza lui

x+:r

atunci, evident, că termenul liber _(l~

sene1 Fourier este egal cu unitatea, iar termenii care rămîn sînt nuli, adică s'll (f), pentru orice n, este egal cu unitatea, şi avem astfel egalitatea :

1t

2

f

+ ),

x?

2

(3)

81:

expresia precedentă pentl~U Sn (f) poate fi SCl'ÎSă sub forma +31:

1)z dz.

smz

o

valul (- n, sin

+ 2z) sin (2~ +

Dacă presupunem că f(x) este egală cu unitatea în tot inter-

de unde f&

§Î cal•

~

2 Sn(f)= ~[ f(x-2z)sjn (2~ + 1)! dz +..!_( f(x n) smz 1tJ 2

2

ŞÎ

Efectuînd înlocuirea variabilelor sub semnul integral culînd noile limite de integrare, obţinem :

;

~ ~(z) cos

a

nz dz

= ~ ~ ~h(z)

cos nz dz,

-:t

şi această integrală tinde către zero în virtutea teoremei menţio nate mai sus [147]. Observăm, de asemenea, că y;1 (z), sau este

463

+

~ ~~nţinuă rr) · . . . ... . din (.-7t, . . . ' . sau . . admite·. un num.'"'ar f"IDI't d·. e. ·d·Iscon. t~nUitaJI e prima speţ~. Se arată uşor că Iema răiDîne valabilă ŞI daca (a, b) este un Interval finit oarecare

~ă trecem acum la demonstrarea teor;mei fundamental relat_I_ve .la de~v~ltarea funcţiei f(x) în seria Fourier. Înmulţin: amhn membr~ a1 egalităţii (4) cu f (x), introducînd acest fact sub. semnul Integral şi scăzînd egalitatea ohtinută din {;):r . obţinem : • ' It

2

r

s.(f)- f(x) = ;

J o

[f(x- 2z) - f(x)J sin (2~1+ l) z dz

+

smz

.11:

2

+; ~

(f(x

(2 n + 1) z f(x)] sin --.--

+ 2 z) -

sm z

o

dz,

.. rezultă

~ (z) tinde către o. limită determinată, · egală cu cînd z 7··0. De aici rezult;ă că lemade mai sus este ~pli· eabilă funcţiei ~ (z) şi primul termen din membrul al doilea al ecuaţiei (5) tinde către zero, cînd n creşte indefinit. La fel se arată că şi al doilea termen tinde către zero şi, prin urmare, diferenţa [Sn (f) - f (x)] tinde către zero în punctul considerat x. Obtinem astfel următoarea teoremă: , T e o r e m ă. Dacă f ( x) este continuă sau admite un număr finit de discontinuităţi de prima speţă în intervalul (- 7t, rc), atunci seria ei Fourier este convergentă şi are ca sumă f (x) în (}rice punct x, în care f (x) are o derivată. Se -poate obţine cu uşurinţă şi un rezultat mai general. Presupunem că în punctul x · funcţia este continuă sau chiar admite o discontinuitate de prima speţă, dar există limitele finite : . ·m i (x-Il)·- 1 (x-O) ŞI• JID f (x + h)- f(x +O) . .

· .:_2

că

f' (x),

+

ceea ce se mai poate scrie :

f

(x)

=

.

· 1t

1

1(x) •

f(x - 2z) - 2z

o

- 2z sm z

•

-.-·Sin

(2n

2 1 ~ -

n

f (x

+ 2z) -

·

o

f (x)

2z

2z

· - .-

(

smz

sin 2n

+ 1) z dz.

(5)

Pe~tr?- a arăta că seria Fourier {1) a funcţiei f(x) este con• vergenta ŞI are c~ sum~ f (x) treb~ie să demons.trăm c.ă diferenţa [S.. (/) - f(x)) tinde catre zero, Cind n creşte 1ndefinit. Consideram funcţia ~

(z)

=

1 (x

- 2z) -

1 (x).

-2z

_ tn intervalul

(O, ; )· Ea

poate avea puncte de discontinuitate

o.

- 2z

Iim - - . = -2, ~o

sin z

.1 (x-

0

)+f (x +O) (ceea ce este egal cu f (x), dacă f(x) estecontinuă). 2

Înmulţind pe (4) cu tjx-

O)+ 2

f(x

+ ~l şi cscăzînd din (3)

· putem scrie :

Sn (j) _ f (x

-

O) ; f x

+

O)---

- 2z

sin z

de p~i~a speţă, pr~venind din punctele de discontinuitate ale funcţiei f(x - 2z) ŞI, în plus, trebuie studiată, separat, valoarea t: = s~ pres~punem că în punctul dat x, funcţia f (z) este nu numai continuă, dar şi derivabilă. Din . definitia derivatei şi din egalitatea evidentă •

46,4

h

'

cu ~xistenţa tangentei la dreapta şi la stînga. În aceste condiţii are loc următoarea completare a. teoremei demonstrate: dacă ~xistă limitele finite (6), atunci, în acest punct, seria Fourier -a funcţiei f ( x) este convergentă şi suma ei este egală cu

+. 1) zdz +

It

+.

k--7+0

existenţa derivatelor la dreapta şi la stînga, este echivalentă

2

!_

h

-

Din punct de vedere geometric existenţa acestor limite, .adică

It

B:A (f) -

(6)

1

ll

h-3>+0

X

2

= _!__ r L~x :-~ 2z)-f (x--O) . ~

1e

--

~- 2z sin(2 n+l) zdz +

-sm,;

2z

6 ~

2

+~]___ (t (x + 2 z)- 1 (x + ]ţ

J

2z

O) •

~ sîn (2n

+1) z dz.

(7)

sint

o

Trebuie arătat că membru] al doilea tinde către zero!) cind n ·creşte jn,definit. so. Curs de matematici superioare

'465-

Ţinind seamă dacă

z -7 O, ambele

de existenţa limitelor (6), putem afirma că, fracţii :

f (x- 2z) -._f_(x_-_0) şi f (x _±~z)-f (x -

Prin ipoteză, fonnula (8) este aplicabilă funcţiei ~ \X), şi, deo,trece ~ (a: obţinem:

b

b

~ q; (x) f (x) dx ",., (~ (b ~ 0) ~ f (x) ~x,.

+ O)

~

2z~

2z

+ 0) = o.

sau

au limite finite, şi, raţionînd la fel ca mai sus, ne convingem că ambele integrale din membrul al doilea al relaţiei (7) tind către zero, cînd n creşte indefinit. S-a demonstrat, astfel, completarea adusă teoremei. Pentru valorile x = 1t şi x = -7t, pe baza periodicităţii prelungirii funcţiei f (x), limitele (6) se reduc la limitele

Iim f (-

n

+ h) h

h-?+0

şi

+ O)

f (- n

şi

-

f

(x) d ..c '"

(q.J (b -· U) - · (?{a

O)]~ f (x) d:c, ~

b

fJ

r.p (a

t•

O)!) f (x) dx-- ~- i(:r) dxl+ ·t>. (b ·O)~ (~

f(x) d:J.:,

1;

t;

h

suma seriei va fi

1 (-n + 0)

O)]

~ ~ (x} f (x) d.r ~"" ,..

Iim f!!!.__-:_!!!_= f (n-:_f!) h-7+0

b

+ ~!~--=-~2-

2

Să observăm că în toate exemplele considerate în paragraful precedent, f (x) verifică în orice punct condiţiile teoremei demon.: strate, sau a completării de mai sus.

11 151. A doua teoremă a mt>diel. Pentru demonstrarea teoremei lui Dirichlet pentru un studiu mai amănunţit al seriei Fourier, va fi necesară o propoziţie din calculul integral, analogă cu teorema mediei, expusă în voi. 1 [1, 9::i], şi care. de obicei, este numită a doua teoremă a mediei. Această propoziţie se formulează In felul următor : ducă q> (x) este o funcţie monotonă şi mărginită in intervalul finit

şi, din această egalitate, rezultă imediat Iormula (8), pen'll~u q; (x). i\.şad~t~,. e.ste suficient să demonstrăm formula (8) pentru funcţii crescuto~re sau, ma! bm~ zis, ned.escrescătoare, pentru care q> (a+ O) = O. Valorile unei astfel de ... uncţn vor fi, evident, nenegative în intervalul (a, b). . . . . . . ..• Pentru demonstrare, împărţim intervalul (a, b) tn porţmm miel, notî,Hl pe el punctele :

Uup~ <'Um

se

ştie

[!,951 :

şi

a~

x atunci

~

b, cu un

număr

finit de puncte de discontinuitate, iar !;

ll

~

q> (a

a

+

O)

;ti

~ f (x) dx

f (x) este con.tinuii.

f

,unde /;; este (x) dx,;

(8)

Formăm

1-

formula (8), pentru cazul cind q> (a + O) = O. Intr-adevăr, să presupunem că formula (8) este demonstrată pentru acest caz şi să considerăm o funcţie q> (x), pentru care condiţia indicată nu este satisfăcută. Introducem noua fun<'ţje monotonă· ~·(X) = cp (x) - cp (a O). Pentru această functie, valorile limite la extremităţile intervalului sint ljJ (a + O) = O şi ~ (b - O) = tp (b - O) - cp (a + 0).

+

466

0

auu 1 nită valoare situată in interiorul intervaiului (x, ... t, X(). ·n

unde ~ este un număr din intervalul (a, b). Simbolul cp (a + O) reprezintă limita lui q> (x) cind x tinde către a din interiorul intervalului (a, b). Un înţeles asemă~ nător îl are şi simbolul q> (b - 0).

Se vede uşor că este suficient să demonstrăm formula (8) pentru cazul funcţiei qi (x) crescătoare, deoarece, dacă cp (x) este descrescătoare, atunci [ - tp (x)] este crescătoare şi aplicînd formula (8) funcţiei cp (x)] şi schimbînd semnele, obţinem relaţia (8) pentru funcţia <( (x). Să mai arătăm că este suficient să demon~

(xi --- ;t:·i _ 1 ).

suma

~

·a

străm

(~,)

~i--1

fl•i

~ f (x) dx + qJ (b - O)~

= /

}:

tp (!;i)

f

(~i)

(xi·- x,_l)

·= ~

cp

(~i) ~

t=l

i=l

f(x) dx .

:;ei--1

Cind n creşte indefinit şi cea mai mare di~h:e~lungimile <:i·-1, Xi) tinde catre zero, această sumă tinde către integrala defmtta (cum am vazut în voi. I), adică:

a

~

rt.t

n

-iim~

cp (i;i)

~ f (x) dx.

:l:i-1

467

S~

ne

ocupăm

acum de suma

b

cp (b -· O) m

< ~

O) .M,

" /.1

b

-
t.

~ cp (x) 1 (x) dx =

b

J

['P<;u-·
f(x)dx.

{9)

llli--1

lntegralele : b

~

b

1 (x) dx,

~ 1 (x)

~ f (x) dx, ..•, ~

dx,

~~

"'

~

b

~~~

~

a

b

f

(x) dx

~ f (x) dx =

(10) şi,

prin

urmare

~

:e

b

dx

= - ~ f (x) dx,

cp (x) f (x) dx

o:.:

(11}

funcţie continuă

de limita variabilă de integrare x [1 98} t_?ate valorile (10) sint cuprinse între valoarea ma~imă valoa~ea muuma m, a funcţiei (11). Ţinînd seama că tn expresia (9) nu toţi factorii

această cau~~'

şi

d'1

M, ;~

~ f (x) dx, ~

a

b

(,lj

care este o

~

b

Bfnt valori particulare ale funcţiei

) 1 (x)

P,

ţ

llln-1

ll:i-1

O} P,

·unde P este un număr cuprins tntre m şi M. însă, funcţia continuă (11) ia ro. intervalul (a, b), toate valorile euprinse între m şi M [1, 43}, inclusiv valoarea P: există deci~ cu siguranţă, în intervalul (a, b), o valoare ~ pentru care:

&

f (x) dx, ... ~

~~iar aceasta coincide cu formula (8) pe baza ipotezei~~

V

.t

n

flli

~

'!' (;!)

f (X) d•>:;;.. {

Wi

A

~

această

'!'

(;u.L

f(x) dx< { 'l' (1;,)

+

expresie valor1' le (10),

t. ((~!) t.

+

-

[

••

< ~
(~n) M, t=l

şi

cum !a

limită,

~~'i-1

.

pentru n _" oo : avem ;~

-7

b,-

o

şi q> (~)-+

'

l

prin

m=

m, şi

(~,,)] } M = '!' (;.) M;

prin urmare ft

~nt"'l 1

•

~

a

e~

~ ~ (x) f (x) dx = A ~

fP (~1) ŞÎ

stnt 11egativi şi înlocuind în apoi prin lU, obţinem:

b

(b - 0),

1 (x) dx -1-

B

~ 1(x) dx,

~

>

+

unde A este număr fix oarecare<

l

!In

1<

M

..--; n

• l 1b'fl,

M

< -

n

'

11nde M este un număr pozitiv, determinat. Prin ipoteză, intervalul. (- 7t', + 1t) poate fi descompus intr-un număr finit de porţiuni şi, in fiecare dintre ele f (x) t!Ste monotonă şi mărginită. Fie (cx, ~), una dintre aceste porţiuni, Coeficientu~ ~- va fi. suma unui număr finit de termeni de forma ~

: ~ 1(x) cos nx d3;;, tOl

lp

•

Gtunci limita menfionată este zero. Se poate vedea uşor di este suficient să demonstrăm numai prima afirmaţie. Considerind-o demonstrată, putem uşor obţine din ea pe celelalte. De exemplu, considerînd prima afirmaţie demonstrată, să demonstrăm afirmaţiile 3 şi 4. Avem:

eare poate fi transformaHi. prin 1eorema mediei ;

! (3

-~

f (x)

cos nx dx

~

='

=-;

~

13

-+-O)~

f {rx

-!;- f ((3 ---O) ~cos

+

cos nx d;r

m

+ O) (sin n

(t:t.

~ _- sin

nx dx

b

1 ~ sin mz --- q> (z) ~--- dz

~

n t:t.)

+ f (~ -

O) (sin n ~ - sin n ~)

'It Il Obţinem

astfel, pentru fiecare termen din expresia lui a o ma'1orare de ·f· . 2 2 n . otrna = ----1 f (t:t. +O) 1 + ~ 1f (~- O) 1. Deci, o astfel de majorare

!Yl - , unde M

n

'It

va avea loc la fel

. ~

şi

'It

pentru o

şi pen1 ru bn.

sumă

de un

număr

adică

finit de termeni,

pentru a • n'

Dac.ăJ (x) ~st~ ~ontinuă,

derivata f '(:r) există şi veri~ f~~a ~ond1ţnle lm ~Iwn~hlet, atunci, integrînd prin părţi :;;i ţinînd seamă de faptul ca, dm cauza egahtaţn f (- 7t) = f (1t) partea integrată este zero, obţinem:

f

(-n) =

Jrf (x) siu nx

n bn = ~~

dacă

+n

+n Il

f (7t) şi

d-.x =

r (X) J (

7t

it

COS

ILX dx.

f' (x) care verifică în ipntezeie făcute, obţi

lnsă •. ~~tegr~la. ~in urmă fiind coeficient Fourier a funeţiei condiţiile

Diric~let,

admite majorarea de mai sns, nem pentru bn maJorarea : Im

r

bn\

şi,

tp

:Să considerăm

o

integrală

mai

b

-1-

~

n

z

Deoarece b şi (--a) > 1 şi obţinem

n

IJ

+ O); 2)

dacă

a

=

O

şi

b

<

2

470

z

o

1 ~

z

n

O

integralelor din membrul al doilea afir·

z

>

O

- 1 ~ cp (z) sin - mz -

n

z

o

dz-7 -1· cp (+O).

(13)

2

Pentru demonstraţie vom presupune, deocamdată, că cp (z), nu numai că verifică condiţiile lui Dirichlet, dar este şi monotonă în intervalul (0, b). Am obţinut mai înainte rezultatul următor :

dz,

integrala

dacă

a şi b

>

dx

= n

(14)

2

dacă a <

O sau a

şi

b

O

şi

<

O,

.e

~

(12)

2

sinJ:x

lO

O, limita este - - cp ( -0); 3)

> O., atunci limita este -'------'~-_;_, cp (- O) + cp ( + O) ; 4)

-a

dz

a

Considerăm

care se. numeşte integrala lui Dirichlet. Vom demonstra, cu privire la aceastil Ierna următoare : Le ma. D_acă q> (z) verifică condiţiile lui Dirichlet tn intervalul (a, b) atunci; 1) dacă a = O şz b > O, cind m creşte nelimitat, integrala 02) tinde către limita 1 1 q> (

cp ( + O); aceasta demonstrează

sin mz

o. putem aplica

~

integrală,

2

2

00

a

-

dz.

b

anume, integra1u :

q>{Z)

z

b 1 1 . cp(-O)+cp(+O) 1 ~ -· c()psin zmz - dz-7 1 -cp(+O)+-·cp(-0)= 2 2 2

b

~ ~

n

a

sin mz

sin mz

1

b

= -1 ~

sinmz dz cp (z) -

(z) - - - - d.z. sin z simplă,

--.~·

obţinem:

n

b

(

z

sin mz

Să trecem acum la demonstraţia afirmaţ.iei 1, adică să arătăm că pentru b

M

mtegrale de tipul _

cp (z)

afirmaţia 4. Dacă, tnsă, a < O şi b > O, înlocuind pe z cu (-z) in a doua integrală.

<-;,.

O m~j01·are analogă se obţ.ine şi pentru an. Mai departe vom studia mai amă nunţit evaluările cocficienţilor Fourier, în funcţie de proprietăţile lui· f (x). .. 1?2. _lntegr?l~ lui Diricblet. Din formula (3) se vede că problema convergentei .seriei Founer,_ ad1ca problema existenţei limitei sumei 8 11 (/), duce la studiul u~ei

).

n

zero, deoarece ambii săi termeni au limita -

maţ.ia

--;Jf

-IIC

~

a o Dacă a şi b > O, atunci, tn virtutea afirmatiei 1, membrul al doilea are ca limită

+n

1 ~ ţ (x) . d eos ru; '~"' ~ 1 ----~

z

~

b

= -1

Ea este o funcţie

sin x d - - · x. X

o continuă de c,

egală cu zero

9

pentru c =O,

şi tinztnd către~,

etnd c ~ + oo • De aici putem deduce că, pentru toate valorile pozitive ale lui t', integrala rămîne, in valoare absolută, mai mică decît un anumit număr pozitiv M. Să considerăm acum integrala cu ambele limite pozitive 1J

~

si: x dx.

(15)

Q

471

fi(X ± O)= cp.(x). Deoarece, prin ipoteză,

.Avem; evident

J

b

a

b

~

Z

X

.

[

X

o

o

'

-~i

b

I

si: x

dx 1

~ 1~

•

_tJ

si: x dx

1 -!-1

o

x :dx

1 < !11

+M

l~

o

1

~bsolută,.

J b

-1

-1t

Făctnd schimbarea de variabilă

~reşte nemărginit

:

t=

m'X şi

utilizind (14), obţinem, ctnc;t m

1

1

2

-,

!

[

sin mx

dx

1

:< -;-j cp (o) -

cp ( + O)

al·· iriegalităţii precedente

să fie mai mic decît _:_. Cu aceasta, prima' dintre·

de

Fixind astfel pe a, să considerăm acum a doua asemenea·, teorema mediei, o putem serie sub forma

2

integrală

dx -7

~

dx

+ -

[cp (b-0) - cp (+O)]

J

sin mx - - .-rJx.

(17)

X

~

~

-

~ si~ t

dt.

(18)

-7

Cînd m creşte nemărginit, atît ma, dt şi m~ cresc nemărginit, deoarece 8 •ste ,un număr fixat odată pentru totdeauna. Deoarece integrala

O,

X

o

cu alte cuvin~e. pentru valori mari ale lui m, expresia precedentă este, in valoare absolută~ mm mică decît orice număr pozitiv e. Descompunem intervalul de integrare (O, .b) .în două interva_Ie: (0, a) şi (a, b), unde a este un număr pozitiv mic, care va f1 f1xat ulterior. Să arătăm c.ă pentru m suficient de mare, fiecare dia 'Următoarele două integrale : 8

b

~--x-.- dx şi

X

mo

mx [

sîn mx

--

1

m~

b'

;; J. [

~ o

b

sin mx

l=' ·mx. Obţinem integrala :

+ O).

pentru demozistrarea lui (13) este suficient a arăta că

1t

[cp (a) - ,cp( + O)]

(16). Aplictnd,

figurează în faţa întegralelor sint nişte constante şi este sufi~ient să demonstrăm că ambele integrale tind către zero, cînd m creşte. Să considerăm de exemplu, prima din integrale şi să facem schimbarea de 'Variabilă

o

J

1· 2 M.

Factorii care

~

o

8

2

11, prin urmare

1 ·-

!

'

Din definiţia simbolulufcp ( + O)rezultăeă diferenţa cp (a)-cp ( + 0)7 O, ctnd: 3--+- 0- şi putem lua deci pe a atît de apropiat de zero, încît membrul al doilea

1

1 ·· ~ sin t - - - d X = - - - dt -7 Te· X n: 1 D . O

sin~nx

X ..

()

'

_..

mx·.

-.. ·_, dx.

o

.

mb

:!

~

sin

integralele (16) va fi, în valoare absolută, mai mică decît.:__, pentru orice m.

X

. 1 ~ sin m x

1 (

[

1t"

;

b

Aşadart

X

2

sin mx. ---dx.

o

: Jo

1

prin urm are

= 2M.

(15), pent~u aşi b pozitivi arbitrari, rămtne, în valo~re ma1 miCa decît un numar determinat, pozitiv, 2M. lnamte de a trece la demonstraţia lui (13), să examinăm integrala· mai simpli

_eu alte

cuvin~e iJ?-t~grala

şi,

Jsi:

t;

s

a

sin x , ~ sin x - - - dx - - - dx

sin-x- d x = -

1 ~ . . sin mx dx ,____" [

(tu)

%

~

8

·este mai mică· tn valoare absolută dectt ..!:.... , Tintnd seamă de numărul finit aJ 2 "PU~ctelor de discontinuitate ale funcţiei

8 atit de mic tndt, ~n mterva!ul (O; 8), cp (x), să nu aibă puncte de discontinuitate, astfei tncit

eo

~

sh; t

dt

o este. convergentă, integrala (18) Unde către zero, cind ambele ei limite cresc nemăr ginit [82]. În mod analog, se examinează şi a doua integrală, rare. figurea~ă ln expresia ( 17 ), şi rezultatul este <'ă aceas1 ă expresie tinde către zero, adică a doua dintre integralele (ltiJ tinde către _zero şi, prin urmare, ventru m suficient de mare, este Jn valoare absolută mai mică decît ~. 2

Egalitatea (13) şi, prin urmare, toate afirmaţiile lemei strit demonstrate în ipoteza că

473

fmp~rţit tntr-un număr fin it de porţiuni, în fiecare din ele

şi

2

2

2

b

bt

sin mz

(

[

b,

sin mz

(

sin mz

J cp .(z) -.-z- dz = J

o

~ ( f (x + 2z) (-.1- - ·11:

(19)

sin mz

~

,,

-1

termen din membru.l al doilea îi putem aplica ]ema, deoarece in intervalele (b 1 , b 2 ), (b 2 , b) funcţia

~~către ..!:._~~

+ 0), iar cei1alţi

doi,

către

zero, astfel încît integrala (19) tinde

2

1

către

~ f (x

1

2z} (.-.-

-

sm z

1t

Fiecărui

(0, b1 ),

2

că

'

1). z

-. sm (2n

+ 1) z dz

«

It

2

_!._ [ 1 (x1t

J

2z) sin (2~

o tinde către f (x- O)+ f

+ 1) z dz + 2._ [ f (x + 2z) sin (2.n + 1) z dz

1

,

sm z (x

J

1t

+ O)' • ctnd

n

sm z

o

creşte

indefinit.

(20)

Să considerăm

in loc

+ 1) z dz.

(21)

2

de (20) expresia : «

«

2

!-1 ~ l (x- 2z) sin (2n + 1) z - - - - dz \1t' z o

sin z

1 ~

+1t'

f(x

+ 2z)

sin (2n

o

z

Limitele su~erioare ale. a.~nbelo~ in~e.grale sint pozitive, iar funcţiile f (x ---:- 2z) Şl f (x + 2z) sat1sfac cond1ţnle lm Dmchlet in mtervalul de integrare. Afară de aceasta, m = 2n + 1 - oo şi, după Jema demonstrată tn punctu-l precedent, .

expresia (21) tinde către limita 1 (x

-

O)

+ l (x+

O).

Rămine să arătăm că

2

.

diferenţa

cient

dintre expresiile (20) integralele

şi

~ 2

~ ( 1 (x 'it' J o

474

(21) tinde

către

q;ero. Pentru aceasta este sufi-

să arătăm că

1

r.jJ (z)

sin (2n

+ 1) z d:t

(22)

o

-

z

z- sin z z sin z

zz

( z

zs

1!-31+

(~,

zs

--+ 3!

zo 51

... )

:5!-. '.)

tinde către zero, cînd z ......",. O şi nu are puncte de discontinuitate în 1ntervalu1 ( O, ~ )·Prin urmare, Ierna din [150] este aplicabilă integralei (22)~ care tinde deci către zero. Cu aceasta teorema lui Dirichlet este demonstrată. Teorema lui Dirichlet are două completări pe care le dăm fără demonstrare. Propoziţia pe care am demonstrat-o arată numai că în fiecare punct x al intervaA lului, seria Fourier S [! (x)] este convergentă şi are ca sumă 1 (x), dar nu spune nimic relativ la caracterul acestei convergenţe în intervalul ( -7t', Tt). Propoziţiile pe care le formulăm acum remediază această lipsă. 1. In orice in.terval, cuprins tn interiorul intervalului ( -Tt, + Tt), in cart funcţia f (x) uerifică condiţiile lui Dirichlel, şi este continuă, seria S [/ (x)] e~le uniform

+

convergenlă.

2

1~

f (x- 2z) t-~

afară

2

-

1t

'

:.=

=

smz în intervalul de integrare, primul ·factor f (x - 2z) este continuu sau are uu număr finit de discontinuităţi de prima spe~ă. Al doilea factor

w

de aceasta, ia valori tpari pentru z apropiat de O. 153. Teorema lut Diri.chl~t: Utiliztnd Ierna de la punctul precedent, vom demonstr? uşor teorema lm Dmclllet [143]. Trebuie să arătăm, pe baza lui (3) că ,expresia · '

-

·~ (z)

integrala lui Dirichlet (12), numărul m poate Jua valori nu neapărat, întregi. Rezultatul obţinut se bazează pe . . sm mz . funcţia - - fş1 scb1mba des semnul pentru valori mari ale lui m şi

z

z dz

2

o unde

Observăm că, tn crescătoare nelimi~ate,

faptul

+ 1)

~

2

ba

tinde

o

sin (2n

z

~

b

z

.!..)

smz

tind către zero. Să demonstrăm acest lucru pentru prima integrală, Avem :

bt

+

J

2. Dacă

valul (-

1t,

f (x) lJerifică conditiile lui

+ 7t)

Dirichid şi este continuă tn intreg inter-

şi, tn plus,

f (-

n:

+ O) = f (rr:-

O),

atunci seria S [f (x)] este uniform comJer!Jentă pentru toate ualo1 ile lui x. Teorema lui Dirichlet impune funcţiei f (x) relativ puţine condiţii reştrk tive. Totuşi, teorema dezvoltării în serie Four;er nu are loc pentru orice funcţie 1 (x), şi există chiar funcţii continue care nu pot fi dezvoltate in asemenea serie. Cititorul poate uşor arăta că propoziţii analoge celor de mai sus au loc pentru serii ordonate numai după cosi.nuşi sau numai după sinuşi, in cazul cînd funcţia este definită în intervalul (0, n), cu următoarele modificări : în condiţiile lui Di.ricblet. îndeplinite în intervalul (O~ 1t'). sum!ll serie] «

2z)

(-~-·- - ~) sin (2n + 1) z dz smz

...

•) f

: J 1 (t) cos Jd dt o

475

luăm u

In (26) f (x +O)+ f(x -O) pentru 0 <

X

n

<

şi

1

(24)

2

x şi ·v

l: n

.m

c,.

=

şi

1 _; :t

m

~ (1 ....:. ;~)

vom avea .: ,

n-tr•

.

(28)

rn.=O

cu

1 ( + O) pentru x = O; 1 (n - O) pentru x =

Suma seriei de

[pmulţind pe (26) cu. n2 x2, J?rima ~elaţie d~n (27). cu (.-2nx), a doua din (27) cu un1tatea ŞI adunind, obţ1nem, pentru u = ~ şi. V= 1 - x.:

tt:

sinuşi: 00

llf

l:

bk sinkx; bt

= : ~ f (t) sin kt dt o

k-1

154. Aproximarea mează

funcţiilor

continue prin polinoame. Ur..

formula de închidere (40) din [1~7]. Această demonstraţie va fi bazată pe anumite rezultate din teoria aproximării funcţiilor prin polinoame. Trecem acum la expunerea acestor rezultate care au şi o importanţă intrinsecă. La bază stă teorema următoare : · Te ore m a 1 (Te o re m a 1 u i W ei e r s t r a s s).Dacd _f (x) este o funcţie continuă în intervalul finit închis a x b, atunci se poate construi un şir de polinoame pl (x), p? (x), .•. ' care tind uniform (1, 14~) către f ( x) în întregul interval închis (a, b). acum

l: (m n

(25)

. x == n.

'Va fi (24) pentru O < x < rr, zero pentru x = O şi Toate aceste rezultate se obţin foarte simplu, dacă se prelungeşte funcţia f (x) In intervalul vecin (- rr, O) tn mod par, cind ne referim la cazul (23)~ şi in mod impar, la cazul (25), cum s-a procedat tn [145].

=

x -

a , inter~

b-a

valul (a, b) se poate reduce la intervalul (0, 1), iar polinoamele ·în x vor deveni polinoame în x', şi invers. Putem considera deci, -că intervalul (a, b) este (0, 1). Să demonstrăm la început ·două ,identităţi algebrice elementare. Scriem formula hinomului lui Newton: n

~

.kJ

cmnum vn--m :.

.-=:

(

)n u+v.

(26)

m=O

:Derivînd această identitate în raport cu u, înmulţind apoi cu u~ şi procedînd la fel cu identitatea rezultată vom obţine două noi .identităţi : m

~ mCn u

m

''

n-m

= nu (u

+ v)

n-1

m

Cn

(1 - x)

X

-m

= nx (1 -- ~t).

Se vede imediat (1, 60) că membrul al doilea al acestei egalităţi este pozitiv în intervalul (0,1) şi ia valoarea maximă pentru

x

1

=

2

să demonstrăm

Observăm întîi că, prin transformarea x'

m

~ nx)2

m=O

de ~nde urmează că : n ~

_,lJ (m -- nx) 2

,,.

C'~>

fl-·1!1

11i

X

x)

(}

<-14

(29)

n.

rn=O

Să arătăm acum că polinoamele

< <

~

=

=

pn (x)

=

" }21(:)

c·:

x'fn

(1 ~ x)-m

(30)

ni=O

tirik uniform către f (x) în intervalul (0, 1). Înmulţind ambii ·membri ai lui (28) cu f (x) şi scăzînd din egalitatea obţinută .egalitatea (30), putem scrie :

f(x)-

P.(x)=

'E

[f(xl-!( 1:)1

c: .,.

(1-

x(_., ·

m='O

Trebuie să a1·ătăm că, pentru o:rice e: dat, există un N~ -eare nu depinde de x, astfel încît n

\}2 [ f(x) -

f (: )] c:~

m=O

Deoarece .rezultă că

pentru

o<

X

.

xm (1 -

x)n--m~<

produsul

t [f(x) -f(: l] C:
1

x'" (1

.

z pentru n

c:l xm

(1 -

x)n---rr•

>

N.

x)n-:m~

o,

~ ~

m=O

m=O

1

jf

1

m-o

4.71

Afară de aceasta, să înmulţim termenii sumei S 2 cu .factorii • ••. d eCit unitatea. S cot1n d ;__--care, sigur, nu s î nt mai• m1c1

§i este suficient, deci, să arătăm că :

'E III

m-o

!f(x)

{nx- m)2

-fl:) 1C: x .. (1- x),._,. < epentru n >N.

Funcţia

(31)

f(x) este uniform continuă in intervalul (0, 1) (1, 35);

cu alte cuvinte, există un 8, astfel încît

1

f (x1)

-

f (xJ 1 <

~

;'-! <

8. Pe baza alegerii lui 8, avem, pentru prima

sumă formată

'E c: ~

xm(1 -

1

<

Il.

Dacă

insumarea este

făcută

pentru toate valorile lui m, de la O pînă la n, atu.nci sum.a nu poate decît să crească şi, prin urmare,

I:t ; c: n

Sl

<

Xm

(1 -

x) n-m =

bila de însumare m obţinem :

82 <

-;

<

- x)n·-·-m,

l

f(x) -- f

ar fi n. Trecem la

lcr:,xra

(1 -

x)n-~m,

Numerele M şi 8 sînt cantităţi pozitive determinate şi, pentru ca

s2 să

verifice inegalitatea

M < -2na2

=

e: ~, a d.1ca"" n

~

M > --. 2

>il

sau 1 nx -- m

1

> n8 şi să evaluăm

această sumă. Funcţia f(x), care este continuă în intervalul (0,1), trebuie să verifice, în acest interval, o inegalitate de forma lf ( x) l M, unde M este un număr pozitiv determinat (1, 35)~

şi, ii78

-<

prin urmare,

1

2

să

luăm

Ob ţinem . .e 1 număru1 căutat ast.te

e8

2 e~

~' este suficient

s2 <

. Într-adevăr,

pentru-n -

:> N,

ambele sume S1 şi 8 2

decît_:_ şi inegalitatea (31) este verificată; teo-

rema lui Weierstrass este demonstrată. Nu este greu de observat c_ă teorema demonstrată poate fi formulată şi în felul următor : dacă f (x) este o funcţie continuă în intervalul închis (a, b) şi e un număr pozitiv arbitrar, dat, atunci există un polinom P (x) astfel încît în întreg intervalul (a, b) este satisfăcută inegalitatea :

lf(x)- P(x) 1

x)~~1~.

valorile lui m, de la m = O pînă la m = n, valoarea m a membrului al doilea nu poate decît să ci·ească. Ţinînd seamă de (29), obţinem :

(Il)

unde însumarea se raportează la valorile lui m, care verifică

inegalitatea 1 x- :

c: xm (1 -

2

_!.. orica1·e 2

(:)

nx)2

~

(II)

sînt mai mici

sumă

s2 = ~

~ (m -

2 M n2a2

Toţi termenii sînt pozitivi şi dacă însumăm în raport cu toate

N

X11~ (1

m=O

adică, ţinînd seamă de (28)~ 81 a· doua

I:t c:e n

m=O ·

care nu depind de varia·

x)r!-m'

unde (1) arată că insumarea are loc după valorile lui m care veri-

inegalitatea 1 x - :

1 -,

n2a2

n

; (!)

fică

A

~

în afara semnului sumă pe 2M şi -

din termenii pozitivi, inegalitatea :

sl <

•

.

2

pentru lx1 - x 21 < 8. Fie x o valoare stabilită în intervalul (O, 1). Descompunem suma (31) în două părţi S1 şi S 2, astfel ca in prima sumă să figureze termenii care verifică condiţia

1 x-

A

~~

f(x)- f ( : ) 1 <.lf(x): +f (:) 1 <. 2M.

1

<

e.

(32)

Bazîndu-ne pe teorema lui Weierstrass, vom demonstra teorema analogă pentru funcţiile periodice.

Te ore m a II. Dacă f (x) este o funcţie continuă periodică, cu perioada 21t, şi E un număr pozitiv arbitrar, dat, putem găsi un polinom trigonometric

T (x)

=

c0

+

1n

~ (ck cos kx

+ dk sin kx),

(33)

k=l

479

astfel ' tttcît pentru orice

1 f(x)

- T(x)

J

< ·e:.

(34)

Să observăm, în primul rînd, că din cauza.· periodicităţii este suficient să demonstrăm inegalitatea (34), in intervalul de bază ( -7t, 1t). Să presupunem, pentru început, că f (x) este _ o funcţie pară şi facem schimbarea de variabilă t = cos x, adică x = arc cos t, un~e considerăm valoarea principală a acestei funcţii, adică atunci cînd t variază de Ia 1 Ia ( -1), funcţia x = arc cos t variază continuu de Ia O la 7t. Funcţia f (x) = = f (arccos t) va fi o funcţie continuă de t, în intervalul (- 1, 1),. şi, după teorema lui Weierstrass, există un polinom P (t), astfel încît 1f(arccos t) P (t) 1 < c: (- 1 t 1),

+

+

< <+

ISau revenind Ia vechea

variabilă

lf(x)- P(cos x)

1

<

: e:

f

< x-<

f

1

~-(x)=~ [f(x)+f(-x)]; ~(x)= _!__[f(x)-f(-x], (35) 2

2

-< -< +

+

i

~ (arce os

j

j

şi cu atît

1t

< x <: + 1t),

atunci polinomul trigonometric

T (x) = P (c.os x) +sin x Q (cos x)

(36)

~·pentru O ·1

-< x

::(.

(37)

Jr.

1

<

e

4

pentrn O

mai mult

1

-<: 1.

<

E

'~

Din (37) ~î (37 1 ) rezultă:

- sin x Q (eos x) i

-<

tj; (x) -- sin2 x R1 (cos x)

sin2 xR1 (cos x)- sin x Q (cos x)

1

< -1z

·~

e

1

+

e

-4· = _2__ ,

adică, iueg.alitatea (36) este demonstrată pentru i_ntervalu~ (0, 7t~· Deoarece funcţiile ~ {x) . şi sin x Q (cos x) .sînt Impare,_Ine.g•abtatea este implicit valabilă în întregul Interval (- n, n).

+

81. CurA de ma.tematki

4.80

<

) sin 2 xR1 (x) -- ~in x Q (x) i

1

(-

1

sin x R 1 (cos x) - Q (cos x)

Incit : 2

J..

adică

! IJ; (x)

.!___

-< t

Vi

- P (cos x) 1 <-=-.Dacă dovedim că există un polinom Q (t) astfel,

<

1

Pentru functia sin x R 1 (cos x) = :..::..._-ţ2 R 1 (t), continuă in intervalul ( -~ l, + 1), se poate construi un polinom Q (t), astfel încît

deoarece i sin x

1

-

~

~ (x) - sin2 x R 1 (eor-; x)

+

1~(x)- sin x Q(cos x)

< ':. __ pentru

R

atunci f (x) va fi egală cu suma cp (x) w(x), unde cp (x) este pară, iar tjJ (x), impară, ambele periodice. Pentru e: dat, există; cum s-a arătat, un astfel- de polinom P (tj, încît 1 cp (x) 2

i) -- R (t)

Mai putem pune (t) --: (1 ~- t 2 ) R 1 (t)~ unde.., R 1 (t) este, d;- asemenea, un polinom, şi inegalitatea precedenta se poate sene sub forma:

f

Dacă inlocuim pe x prin (- x), valorile Juj (x) nu se schimbă din cauza. parităţii funcţid (x), şi valorile lui P (cos x) nu se schimbă, deoarece cos x este o funcţie pară ; inegalitatea precedentă rămîne, prin urmare, valabilă şi pentru - 1t O; cu alte cuvinte este valabilă în întreg intervalul de bază. Însă, cum se ştie [l, 176], pute1·ile întregi şi pozitive ale sinuşilor şi ale cosinuşiJor se exprimă liniar prin sinuşi şi prin cosinuşi de arce multiple, astfe] încît polinomul în cos x, adică P (cos x) poate fi scris sub forma (33) ; teorema este demonstrată. Fie acum (x) o functie arbitrară, continuă şi periodică. Dacă punem:

*(

·a .verifica conditia (:34·). Să introduceru, ca mai înainte, noua cos ~' şi să considerăm funcţia ~ ( x) = a1~ccos t), în intervalul - 1 t 1. Funcţia ~ (x), ca once. funcţie centinuă, impară şi periodică, se anulează pentru ~ .., .o Ş~ x = n, şi, prin urmare, ~ (arce os t) se anulează la extremitaţi~e I~terva: Iului, adică pentru t = ± 1. Din formula (3?) 1·ezulta ~a,; dac~ f(x) se anulează la extremităţile intervalulu~ (0, 1)~ adica ~~c~ f(O) = f (l) = O, atunci şi Pn (x) a1·e ~ceeaş1 1;ropr1etate. Utihzînd transformarea t = 2x- 1, putem. aduce 1nt?rvalul (0,1) la intervalul (- 1, l) şi a[irma că .există u.n pohnom R (t) egal cu zero pentru t = ± l ŞI cu p1·opnetatea

~ariabilă t =

X :

,..~tperioarJ

481

Demonstraţiile date mai sU:~f~j~H~ tetrremelor I şi li;' aparţin acad. S. N. Bernstein. · ~· ·i< ,, , 15rt. Formula de inchidere. Din teorema demonstrată rezultă, destul de uşor, valabilitatea formulei de închidere [147], pentru un sistem de funcţii trigonometrice. Să presupunem, în primul rînd, că funcţia dată f(x) este continuă în intervalul (- n, + 1e) şi că f(- n) = .f(rc). Prelungind periodic pe f (x) în afara intervalului ( -n, 1t), obtinem o functie continuă periodică si, .pentru e: dat, va exista un' polinom trigonometric T(x) care' verifică inegalitatea (34). Din această inegalitate rezultă

+

±

+,!(

.~. ( [ft (x) -- T (x)] 2 dx < !: . ~K

<

+

< <+

* +

iJ

[f(x) --- h (x)] 2 dx

~-=

(x) în intervalul ( -.. . rr, n

J;.

~

[f(x) ----

<

+n 1

27!:

(

J

< j f (x) l +

il[

2M c 2IVPo <---'dx = --- • 2

J;(x)] 2 dx

[f(x)

IT

TC

..,

:r--0

sau, in virtutea lui (39) : +-n

-~ ( [f(x} -

f 1 (x)J 2 dx <

2:rt )

Formăm

-~ ( [f(x)

J

(41)

4

integrala :

+:r 2 TC

.!L

hn

T (x)] 2 d~: = ;~-- C{ [j(x) ·--f1(x)] ~IT

J

A vînd în vedere inegalitat{>a putem scrie :

(39) --·il'!'

482

ft (x)] 2 dx,

de unde, ţinînd seamă de faptul că! f (x) --· j~ ( xf! !}; (x) l 2.l\-f putem scrie -

a).

~f"-fl

--#r

+

--

n

<

Să formăm o nouă funcţief1 (x) după regula următoare : In inter· valul ( -· 7t, 7t - 8), funcţia f 1 ( x) coincide cu f (x) ; în intervalul ( 7t 8, 7t) graficul lui f 1 ( x) este un segment de dreaptă care uneşte punctul x = 7t - 8, y = f (7t - 8) cu . ·punctul x :-.:.. 7t~ y ==f(-7t) (fig. 126). Funcţia J; (x) este o funcţie continuă 'îri

(40)

4

+-

-{~ ~

(38)

F\e n ordinul polinomului trigonometric, adică valoarea numărului m din formula (33). Însă, pentru o alegere arbitrară a ordinului polinomului trigonometric, nu mai mare ca n, mărimea integralei 2 ( 38) are valoare minimă En' cînd luăm ca polinom tri·· gonom,etric suma primilor 1 (2 n + ·1) termeni ai seriei 1 Fourier a funcţiei f (x). De 1 aici rezultă că e: e: s,'i ---'----~---....1-....L--~X -rr O .qr cum e > O poate .. fi luat oricît de mic, urmează că c:~~' Fig. 126. care nu creşte cînd n creşte, trebuie să tindă către zero pentru n ~ eo , şi aceasta, cum. se ştie [147], echivalează · cu formula de închide1·e pentru f (x). Să considerăm acum cazul mai general cînd .f(x) este continuă în intervalul (- n, n) însă f (- re) f ( re). Ca totdeauna, există un număr M > O, aşa încît \ f (x) l M, pentru - 1t x re. Fie "Il un num~:r pozitiv, arbitrar dat. şi fie 8 un număr pozitiv care verifică in.egalităţile :

J

Tinind seama ea f(x) = avem:

+~

-::}; ~[f(x) -"- T(x)] 2 dx < : ; 2 •

+

intervalul. ( ·- 1t, ~), av~nd acel~aşi valori f (- re) pentru x =" =: re, ŞI avem, evtdent, ca şi pentruf (x), l/1(x)] ~ M. :Pe baza celor demonstrate mai sus, pentt·u 1) pozitiv, luat arhitz:ar, se poate găsi un polinom trigonometric, astfel, încît :

şi de aici" conform

(4,0)

şi

_.!_ (. ff( x) 2rc J

(41)

rezultă :

-- 1' ( x)] 2 d:x <. · Yl·

f.h(x) ·-- T(x)]P~ dx.

Notînd cu n ordinul polinomului trigonometric· T (x) şi, raţio. nînd ca mai sus~ obţinem z~ 'Y); "11 fiind atbitrar de m1c, deducem tn-;. O, cînd n -7 co, adică formula de închidere are loc· şj pentru funcţia f (x) cu proprietăţile de mai sus. Se poate demonstra, în acela~i mod, că formula de închidere are loc în cazul cînd funeţia f (x) este mărginită în intervalul (--n, +n) şi admite un nurnăr finit de puncte de discontinuitate. Dacă toate punctele de discontinuitate sînt puncte de discontinuitate de prima speţă, nu mai este nevoie să punem condiţia de măr ginire a funcţiei. Pentru demonstrare este suficient să izolăm punctele de discontinuitate prin intervale suficient de mici şi să ·construim o nouă funcţie f 1{x) continuă în intervalul {-n, +n), eare coincide cu f (x) în exteriorul intervalelo:r menţionate şi formată din segmente rectilinii în înter:iorul lor. Din cele de mai sus rezultă că, pentru .h (x), se poate construi un polinom trigonometric T ( x) ca1·e să verifice inegalitatea (40), iar intervalele menţionate pot fi alese atît de mici, încît inegalitatea (41) să' fie verificată. Pentru rest, demonstrarea decurge ca mai sus. Aşadar, fo1·mula de închidere este demonstrată pentru toate funcţiile care au un număr finit de puncte de discontinuităţi de prima speţă (sau sînt continue). De fapt ea are loc şi pentru o clasă de funcţii mult mai largă.

atunci

156. I•ropl'it~t.il~He sjstemcRor incb.be de lnoe~ii. D:lm acum cîteva consccînţ.e ale formulei de înehidere făcînd toate nrţionamentele JIU pentru sislernul funcţiilor trigonometrke, ci pentru oricare sistem de funcţii ortonormate în intervalul (a, b) •h (x), tP2 (x), tP3 (x), · · ·, '+'n (x), · · Presupunem •, a, m ce priveşte acest sistem formula de Inchidere are toc pentrn orice funcţie cu un num5r finit de discontinuităţi. de pr1ma speţă. De altfel, în cele ce urmează ne vom ocupa numai cu astfel de funcţii. In!rodncem coefieienţii Fourier gencralizaţi ::Ji funcl.iei f (x) :

t

b

<

~ 1(x) cp (x) dx =

ck drc,

(45)

k=l

,iar seria din membrul al doilea este absolut convergenlă. Intr-adevăr, înlocuind tn egalitatea (43) funcţia /(x) prin f(x)

unde ~ este un parametru constant arbitrar, vom avea: b

~

+ ~cp (:r.)]

[f ( x)

2

~

dx =

a

:.sau,

ţinînd

ko~l

seamă

de

b

1) fi

(x)

+

h

(x) dx

r

(44) :

b

b

~

~

a

+ ; cp (x),

2

[f(x)l dx

h

+ 2~ ~ f(x)

a

cp (;t) dx

+ ; ~ [cp (x)J 2 ti:J.~ 2

a 00

--

}'' cz ··=·)

k

+ 2~

k-1

00

00

:E

ckdk

+- 1;2

~

d2

le

lc=l

lc=l

Comparind coeficienţii puterilor identice ale lui ~. deducem relaţia (45), Convergenţa absolută a seriei din relaţia (45) este evidentă din fHplnl eli

':;()

d~.l

"iar seri11 \.,

"""-J

este,

după cum se ştie, coHvergent:1.

k=l

2.

f)acă

q;

~

r) ilr'Jiinde de

anumiţi

parametri, şi dacă pentru toale valorile

(lccslor pa. omfiri

b

~'k Fonnula de

inchiri~'re

=

~ f (x) d;k (x)

(x)} 2 dx

=

:E

2

Demonstraţia se bazează pc o inegalitate oricare ar fi constantele reale

la unele consecin\e importante ale acestei formule. (x) sint două funcţii oarecare, iar ck şi dk, coefici'!nţii

.:•i cp

=

parametri, utunci seria

.f.sle uniform collvergentă in rapotl cu aceşti parametri.

ck ·

k=l

~

simplă,

dar foarte

i.mportanlă:

lor ~wem

toldeurtnu

b

b

c,~

d~

CJO

(f

(1

tru·en1 dctlill

depinde

(4())

"

sr1

IW

i:1 forma :

~ 1. 1Jact'i f (.r) Fourier:

amde il.J

d:r:.

1 (x) Yk

(:r) d:c;

dk =

~

cp (.r)

i;k U:) dx,

~,

2.

b.J ~k'

(·t7)

k=l (!

485

iat egalitatea are loc numai atunci cind mărimile ~ şi ~ stnt proporţionaltJ;

Prin

ipoteză

termenii seriei

t

c~ nu

depind de parametrl

şi

deaceea, pentru

k=l

,orice a: pozitiv dat oriclt de mic se poate găsi un număr N, care nu depinde de parametri, astfel incit. pentru orice n > N şi orice p > O, să avem inegalitatea : n+J>

Intr adevăr, fit> ~ un număr real arbitrar. Formăm suma:

c~ <

m Sm

= ~ (~IXk -

f3k:)

11

(48)>

k-l

'Tinind

seamă

de acest rezultat, avem :

care este, desigur> O. Semnul egalităţii are loc atunci, şi numai atunci, cin~. ~ac~ = [3k (pentru k = 1, 2, ...• m), adică lili::ll

n+P

~

\

ckdk \

< e pentru

•••

00

:l::t

ck

k=l

alt

In cazul general> desfăctnd parantezele tn relaţia {48) obtineru un trinomsrrc de gradul al doilea :

~ tJlk (x) dx,

(49)

:l:!

'llnde seria din membrul al doilea este uniform convergentă pentru toate valorile x1 .'ţi xa situate fn. intervalul (a, b). Dacă am şti că funcţia f (x) se poate dezvolta în serie Fourier

unde.

00 111

m

B """' } : 1Xk!3k

c

=

f

~ ~~'

care este totdeauna pozitiv. Atunci, cum se ştie din algebra 8 2 - AC< O, adică B 2 < AC, ceea ce dă inegalitatea (4:7). Să revenim la afirmat.ia 2. Formăm suma

= ~ Ck ch (x)

element:u·t,

[1. 146]. Faptul remarcabil este că această formulă este totdeauna adevărată, chiar dacă seria (50) nu este convergentă, adică, această serie poate fi integrată termen eu termen ca şi. cum ar fi uniform convergentă şi cu suma egală cu f (x). Pentru a demonstra formula (49), punem în formula (45) :

(47), avem : 'R'Ul

J

(x) _ l dacă x 1 ~ x ~ x 2 - \ O dacă a ~ x x 1 sau

<

~ Pe de altă parte, dacă în (43) înlocuim pe f (x) prin ep (x) şi ck prin dk, obţinem;ţ evident, c.a o consecinţ.ă : . oo

~d~~~dz k-n+J

7., ... 1

~[cp (x)] 2 d:r < M.

< x ~ b.

b

[cp (x)l2 dx

a

Deoarece cp (x)

=

~ ~ dx = b -

a.

a

O tn exteriorul intervalului (xv x 2), avem a:1

b

b 1"

X:

Mărimile x şi x sînt aici parametrii de care depinde funcţia

n+f!

(50)

eşi că această serie este. uniform convergentă, atunci formula (49) ar fi evidentă

(x)

lc=l

k=l

k=1

11

N,

2

1

~ f (x) dx = ~

pe baza

>

·de unde rezultă uniform convergenţa seriei (46). 3. Dacă x şi x sfnt două valori arbitrare în intervalul (a, b), rt.tunci avem

fn acest caz, eviden1 :

"':!

~i

n

k=n+l

IXt

şi,

M

k-n+l

dk

=

~ a

~k(x) dx = ~ ~k (x) dx !It

487.

4•86

şi,

·;;punctele de discontinuitate aie derivatei 1 (k) (x). Drept puncte .de dis<,:()ntinuitate lrebuiesc considerate şi extremită'ţile intervalului ( --- 7t,+1t'), ducă valorile limită:

pe baza lui (4.)) : b

(%)

(.1:2

~ l (x)

q1 (x:) d.T =

~ l (a:) d:c =

~

c~cdk

--

~

Ck

k~~l

k=l

a

1 (=F

:r'l\

(%)

~h ;,·l

ceea ee trebuia dcmousll·at. O b ser va ţi a 1. în aplicaţii la seriile Fourier obişnuite, se poate arata, că ele pot fi i?tegra~e termen cu termen, ca şi cum ar fi uniform convergente şi aravea ca suma funcţia de d~zv~ltat 1 (x), nu numai. pentru intervalul ( -n,+ re),. dar, fn general, pentru or1ee mterval. În acest caz, funeţia 1 (x) trebuie să fie prelungită periodic! în .arar~ i~terv~l~lui (_-1t, + 7t'), cum s-a ~rătat în [143], Observ a ţ 1 a 2. Notam ca megahtatea (47) este adevarată nu numai pentru sume, dar şi pentru integrale şi, atunci, ea are forma (inegaJit::~tea lui BunhkovskD : -

l~ b

b

/1 (x) /2 (x)

dx

±

0), ... , fO'-l (=F n:

±

O)

Notăm, pentru simetrie, x~0 ) o--= --rr: şi x:~ ! = iC şi analog, pentru derivate. Condiţia precedent:}, pentru derivate, se reduce Ia faptul eă în interiorul -fiecărui interval (x~kl, xf~ ) (s =O, 1, ... , 't'k_ 1 ) există derivatacontinuăf
1

1 1' Un= --- \ f(x) cos nx d:r.

7t' -' ---3(

+ rr:)

Descompunem intervalul de integrare ( -iC,

în părti separate:

(0) ( .(Ol (0)) ( (0) ) ( -1t, xl ), x1 'x~ ·' ... , x-ro-1'7t''

:

b

b

.

a

:astfel incit în fiecare dintre aceste porţiuni funcţia :prin părţi, obţinem :

b

~ [It (x) + ~ /2 (::r)P âx = ~ /~ (l~) dx + 2~ ~ / 1 (x) / 2 (x) da:+ a

rr:

0

a

b

± 0), f' n-=

b

r~ ~ IÎ (x) dx. ~ t~ (:r) d.r.

a lntr·adevăr, să formăm expn·si:-~

1t

nu coineirl.

(a:) dx,

;

~ 1~ (:r)

2

a

dx,.

i (x)

a

sinn.t:

co~; nx d;x· =' -------

"'\

unde .; este un număr real arbitrar. Din forma primului membru rezultă imediat că· această expresie nu poate fi negativă pentru nici o valoare reală a lui ~- însă, dacă trinomul A 2Bţ + Cţ 2 este nenegativ, oricare ar fi ~ real, atunci B2- AC<(\. adieă .82 ~AC. Prin aplicare Ia trinomul preceqent, aceasta dă integrala (51). · 157. Cai·actet·ul convergenţei seriilor l<'ouri~r. Serii1e pe care le-am obtinut în l144J au neajunsul că sînt slab convergente. Unele dintre ele nu sînt absoÎut şi uniform convergente, de exemplu, seria (10) fl·HJ pentru x = n devine scria :.

altă

s~i fie continuă. Integrind

1 ~, ---- f (x) sin n:x: dx. n

f (:r:) -

n

Deoarece. pc de

f (x)

parte :

+

i

2

(-+ -

~ + --~- - . . . ) '

care nu estt: absolut convergentă; afară de aceasta, seria (10) nu poate fi uniform. convergenUt, deoarece reprezintă o funcţie discontinuă [1, u.GJ. Acelaşi neajuns.. il are şi seria reprezentînd funcţia discontinuă care ia valorile c1 şi c2• Există o legătură între caracterul funcţiei, continuitatea sau discontinuitatea ei. şi seria ei Fourier. Aeeastă legătură o cercetăm aici mai amănunţit. În ee priveşt-e funcţia f (x), presupunem odată. pentru totdeauna, eă atît ea, cît şi derivatele ei succesive·· de care vom avea nevoie, sint funcţii care verific~t condiţiile lui Dirichlet şi se pre-· lungesc periodic în afara intervalului (- rc,+n). NoU\m cu 10)

XI '

punctele de diseontinuitate ale

,.,.,(0)' 3"2 ,. · ·' ,vTo-1 .(0)

funcţiei

f

discontinuiţRte

(x) în intervalul ( -- rr,

ale derivatei

/'(;l:) In

E'

\;ţinlnd sealllă

sin n.1.:

n

,€'' -:\>0

1 (:r)

de continuitatea funcţiei sin

~i

~

sin nx (Ol·

f

(x) cos nx dx

'·=

i ----;;--1 (;ri

(0)

+ n);

488

O) --

- 0)--

n

cu -1-

( - ;;, +it)

şi,

în general, c:u,

~

f'(;r;.) Slll .

Il (O)

:>Ji--1

x_ 1 t

nx, avem :

(G)

\0) :lli--1

xl, x2 ' ... , ;r,l .. _I pund.de de

lim

=

/IX

dX.

in-adevăr,

tnsumînd după i dela 1 la -.0 vom obţine, trl definitiv:

~

=

b~

_!_ {sin nx
+0) -- f (x1<0l --O))

-

1

TCn

1

+

sin nx
Te

O) ·-

f

(x<0l To

O)] \ (

= -

TC,

X(OJ -ro

= +

n:,

.

Şl,

pe

b aza

_!_ ( 1' (x) sin nx d"'";,. nTC ) ""•

. d'ICI'tăţu .. per10

l

cu

n

1m.

0

termen din motive de simetrie. Notă~, pentru prescurtare, salturile funcţiei f (x) tn punctele de disconti--nuitate xi l, x~0 ) •••• , x~~> respectiv, prin :

vatei .')(;~)

In acest scop notăm, 1n generat, cu a~), /(k)

=

(X) de Ordinul k,

=

t
(x~kl + O)

Aplicăm precedentă

se poate scrie atunci sub forma :

•suficient :T1 ;

Şi CU 8ik), . · ·, a~k)'k

coeficienţii Fourier ai deri-

b(kl

n

salturile eÎ în punctele

să

--· /(k)

formulele

(:c~kl

(52)

inlocuim pe f

(X)

şi

-·- O); ... ;

8~k>

/(k) (r:

:::::o

k

coefieienţilor a~, b~

(53)

cu f' (x) ;

8~0 l

an

}:

CU

xll}

Şi

't"o

cu

1/~

r::n

a~l) sin nx\1l - - - " ' n

f=1

f' (x). La fel, plecind de la tor--

.,

"t

mula:

l;n

l (x) sm . nx dx = - --ncos n:c f (x)

-·- /(k) (n: -0) .

; pentru aceasta este

8~l) ; X~O)

:·cu

~1

)(

+ O)

avem:

n w1de a~ şi b~ sint coeficienţii Fourier ai funcţiei

X(~} , X~k)

1t:

k

8ikl

Formula

n

'lnsă, cantităţile a;~ şi bn sint coeficienţii Fourier ai derivatci /' (x) şi, deci, tind .către zero, ctnd n..:, oo, adică stnt infinit mici, pentru n..:, oo. Insă, formulele (52) "Şi (53) stnt importante şi din cauză că, folosindu-le, putem pune fn et 1 idenţă, tn a,. şi b"', care tind către zero ctnd n..:, oo. componentele de diferite ordine bt raport

f (x), rczulti> 1(x~~l + O) = 1 (x~Ol + 0). 1n cazul de faţă, sin nx~0 > = O ; tnsă, menţinem ace & (O) X0

-,

n

-R

Unde

afi

-,

+ ... +

+«

+

acest rest va fi de forma

-ren

+ )( f' (x) cos nx dx,

~

~~1) ~

cos nx!l> 1

(55)

an • n

+

i=l

•:mnde a~: şi

IJ~~ sînt coeficienţii Fourier ai func.ţiei

!" (x).

obţinem

La fel (53)+ n

obţinem

;

,,

a'li

i=l

= i= 1

Formulele (52) şi (53) sint importante prin ele tnseşi, deoarece arată că dacă funcţia periodică 1 (x) are salturi, atunci coeficientii ei Fourier, pentru n ~ oo.,

oor fi de ordinul _!_ iar ·părţile principale ale coejicienJilor atlo şi bn vor fi, r~spec·- n . tiv, egale cu : 1

"•

1

'ltn

1=1

i=l

restul va fi de ordin superior lui

496

l:"• 31°>

n

cos nx~0 l,

{56)

1.'~

1>~ = -1~ , , itn

kJ

8 ~2 1 cos nx~2) +

11

n

n

i-1

,::Sa punem , pentru prescurtare : Tk

B1c =

11:

l: ay:)

cos nx:k> (k = O, 1. 2, ... ) •

i-1

491

d.e unde urmează convergenta absolută şi uniformă a st•riei, deoarece seria

din formulele precedente vom avea : On

J

--·

I n--

+

}·o _ B1_

=

n Bn

_

B2

A. 1

... T

A3

-+--+ n8 n4

n2

n

1

A2 +~Ba _ ns n"

n2

p;

-+

1 1

Pk nk

este o serie convergentă LI, 122].

n2 .,.=1

Formulele (57) rămîn valabile ~i tn ca?.ul ctnd intervalul este (- l, /). ·rrebnie atnnci si:'1 punem :

unde p~ şi au diferite expresii, în funcţie de forma număl'Ului k; aceste expresii; stnt. date în tabela :

·

nr.x!kl

~~kl sin --~- , ! l

,----·---·-··-·--,-------~-------~--·-·-····----i

i _ -~-

~~ ~~~~~~~-4m +~ 4n~J 1

p.

!

0

Uc)

1

n

k

•

_

b(k)

1

n

1

1

----

b Uc)

Pk

10

__

a(k)

b(k)

[

n

n

1

n

iar

1

'

nu vor fi de ordin mai mic decît'-, pentru n mare, deoarece 1n [Joll Il

am

văzut că coeficienţii

Fourler ai 1

stnt de ordin mai mic decit periodică

f (x) este

~

n

funcţiei

care

verifică

conditiile lui Diriehlet nu .

. Ob-ţinem astfel teorema

următoare. Dacă funcţia

§!' are derivate continue plnă la ordinul (k - 1) inclusiv,.. . iar derivata de ordinul k este o funcţie care verifică conditiile lui Dirichlel, atunci

adică

f ( x) ml

vor fi de ordin mai mic decit.

80c)

1 nk+ 1

s~riei,

+ O)

·-·· .f

(le)

( l - O) '"''

coeficientii vor deveni de ordinul

f {le)

_.!.._k

,

( --

n

O) -

l

f (k) ( - l - 0).

ceea ce reiese clm· din

~

+

~~

(.59)

l:

'E

egalităţile :

00

(a'l'l cos n:x

+ b1tsin nx), /' (x)=

f" (x)

l:

n (bn cos nx- an sin n.t:),

'lt=l 00

număr oarecare Să observăm că, pentru k

pozitiv. 1., seria Fourier a funcţiei 1 (;r) va fi uniform convergentă. Tn adevăr, din teorema demonstrată rezultă că în acest· caz, coeficienţii an şi b11 vor verifica inegalitatea . l\11 M ( an l < ; l bn ! <

>

n2 n2 iar termenul general al seriei va avea ev;aluarea :

492'

f
n

-llk+l

+ b-n sin nx 1 <

)(le)

de prezenţa salturilor funcţiei f (x). Funcţia poate srt aibă oricîte d~rivate .tn interioru1 intervalului (- r., + it), in să este suficient un salt la extremitatea mterva~ lului, adică, mai precis, o neeoincidenţă a valorilor Jimit:':i f (=F it, ± 0), pe~tru ea seria Fourier a acestei funeţii să. fie, practic, inutilă pentru calcul. Afara de aceasta, foarte des în aplicaţii nu interesează funcţia f (x), dezvoltată în serie Fourier, ci derivatele ei de ordinul întîi, al doilea şi chiar al treilea. însă, dacă 1 coefkicnţii Fourier ai functiei f (x) sint de ordinul ~1 -, atunci, prin derivarea

2

nx

figurează in tabel:'\ trebuie inmultite cu (;

de ordinul ~ , care fac ca seria Fourier să fie slab con vergentă, este condiţion-ată

M

1 an cos

' l

care

158. Ameliorarea convergenţei seriilor }'ouJ'ier. Cum am văzut mai sus, prezenţa, tn expresia c.oeficicnţilor Fourier ·a. şi bn ai funcţiei f (x), a termenilor

,

Por Ol'e,a valoarea :

unde 1'\1 este un

=

Tic

1 (x) -

·p~, p~

i1"'T

continuă

coeficienţii Ji'ourier an .~i bn ai funcţiei

pentru

aici

--·---1

Aici o~~~ şi b~kl sînt coeficienţii Fonrier ai funcţiei f(k) (x). . D!n expresiile lui Ak şi Bk se vede că aceste cantităţi depind de JZ, care însă n~ ~ntrayd~cî~ sub s~mnul funcţiei trigonometrice şi de aceea, cind n creşte nemăr gi?-It, marm~tle A., ŞI B 8, pentru s fixat, rămin mărginite. Coeficienţii funcţiilor trigon.ometriC~ t~ expres~ile lui .A 8 şi B 8 , sint salturile derivatei f (x). Dacă ncestesalturJ nu exista, atunci A 8 = B,q = O. Pe de altă parte, dacă derivata fUn (x) este o funcţi~ care verifică condiţiile lui Dirichlet, atunci factorii p~ şi r/~, care~ făcfnd ahstra~ţie de semn, coincid cu cîte unuJ dintre coeficienţii Fourier ai func;

expresiil1~

n

---------·--------

ţiei fCkl(x),

(5~î

1, 2, ... ) '

cos

~·--o-:;"l-~-=- bUc) -·~-~l··~~~~- ~, n

o,

(k ==

2M ~

n2

=

(-

an cos na:-bn sin nx).

n=l

Invers, prin integrare ordinul coeficienţilor va creşte cu o unitate,.. deoareee' ( ~ ) .k.J · ~an cos nx + bn sin

m:) dx

%=1

'

n2

ullde C t~ste constanitt arbitrară.

=

·

C

~ -bn_~~ nx + a1t~ + I-J 11 ·M~'l

Aşadar,

.

prin derivare con vergenţa seriei Fourier

slăbeşte;

1

astfel, de exemplu

• dacă coeficienţii Fourier ai funcţiei f (x) sint de ordinul , ceea ce se va tnttmpl:\ n2 , dacă această funcţie este continuă şi periodică~ t' (x) putînd să aibă puncte de discontinuitate, atunci seria care se obţine prin derivare, termen cu termen, pentru 1 r.~alculul derivatei f' (x), va avea coeficienţii de ordinul -,iar seria pentru calculul n

lui /" (x) nu va mai avea nici un sens, deoarece coeficienţii ei nici măcar nu tind către zero. Aşadar, se poate întîmpla ca seria Fourier a funcţiei 1 (x) să nu foloseaseă de loc la calculul derivatelor funcţiei f (x), pentru nicio valoare a lui x, şi aceasta are loc pentru o funcţie care, intr-un singur punct al intervalului, nu este oerivabi1ă, pe cînd în toate celelalte, are derivate de orice ordin. De aiei, apare problema ameliorării conoerqentei seriei Fourier, adică a transformării ei într-o serie a cărei coeficienti să fie de ordin de micime atit de mare, lncît slăbirea convergenţei prin derivare să nu împiedice calcularea derivatelor. De exemplu, dacă dorim să ealcu1ăm uşor prin derivare, tc.rmen cu termen, derivatele pînă la ordinul al treilea incluslv, atunci este necesar ca seria să nu aibă 1 eocficienţii de ordin mai mie ca ~ deoarece atunci, pentru derivata de ordinul n5 1 al treilea obţinem o serie a cărei coeficienţi vor f1 de ordinul - , iar calculul eu

n2

~ceastă

serie uniform convergentă va fi uşor. Convergenta seriei Fourier a funcţiei f (x) se. poate ameliora în felul următor. 1 Presupunem că îu formulele (57) se găsesc termeni de ordinul - , adică funcn ţia f (x) are saltmile Wi. Se poate construi totdeauna o funcţie auxiliară simplă ~o (x), care să aibă aceleaşi salturi ca funcţia f (x). Atunc:i, diferenţa

ai

11 (x) = 1 (x) nu va mai avea salturi ordinul cel

puţin 2-. n.2

şi

-

seria Fourier S (h) a

funcţiei f 1

(x) va avea

coeficienţi

de

= o,

iar tn al doilea, dacă presupunem s'lnt egali cu m 0 , atunci

adică

rl (x) = r (x),

că coeficienţii

~~ (x) --

r (x) =

.

cum am proce d at mai sus ('U , 1 (x), putem serie f~ (x) = /2 (x) + ({)1 (x), unde 'Pl (x) este 0 funcţie formată din segmente de drepte paralele, şi/2 (x) S;;~ ·• · · · ţ" ~ t d 0 rdin nu m·ti mic decît-. Intectezvoltă in serie Fourier, a <~arei coefJcien .1 sm e ' n2 ~ · t 1·u 11 (x) şi prin aceasta pentru 1 (x) grînd egalitatea din urma, ohţi~em.yen . r .· nţi de ordin nu mai mi<: expresie sub forma sumei unm sern Founer cn coe .ww 0 Procedînd cu

t1 (x)

~ , cu porţiuni de parabolă de gradul al doilea. Dacă.. ne--am ocupa ma~

3

decît

departe cu modificarea lui!" (x). am obţine pentru f (x) o expresie sub forma sum~l 1

· · · d. · mic decit -- în unei serii Fourier cu coefiewnţ1. de or m nu mal n4 ·

m().

.d

e para

~~;~~i~:ttu~~n;::~:ric~eer\c~~~~~~: ~~r s~o~~~~~~;~~e~P~~e;~f~~e (~i~~~ntin~~~~~e~it salturile funcţiei f (x) şi ale derivatelor ei, ŞI apo!, ramme

:s,l

aplicam P

·

indica~e m~~t!usro~:~~~i î~~~ii~:~~;~~i ~~~~:g:en~~t tnsuma porţi~n~ ale:.seriei _Fou · , . . p

· p d'

ii termeni ai expresiilor (57) pentru coef 1 cwnţn_ an Şl ?n·

··

1

~~~~~~e a~~~~ ~er~~·~·eează converge~ta. slabă a seriei Fourier. Sena Foune:r rămasă după 1nsumare va coitl_vergr·eaw mmaall. b;~:· trebuiese utilizate formulele nrm:)Pentru însumarea

men .tona,

,

-

tol'IJ'(' ·

~

sinnx

_l

n

--- \

.:...-:-_r_:_-

'::._=.!.: (0 < 2 o (x =

•fi=]

if.;

X

r

2nz - 6n x

<

:r.;

2rc}

O şi x

~___i:~:_j- 6it X 12

}: -~~;:2n: "= 't

= ±

27t)

3 _ ( ___ 2 1t

-j-

3x

·+

3x2- (O

< x ~ O)

< ;~; < 2n:'l

l2

t ~~."~ ~ t n=l

a:_ (- 2rc <

2

11=1

unghiuiari a.i tuturor seg:mentelo

.

porţnm1

bolă <~ef~~~u~:~u~~i!:aa~Î;~ă, în special, ~t.unc~. cî~1~ fw~cţia n~ estlnc~t~~:~u;:~

luăm funcţia a cărei

grafic este o ,_,linie de trepte", adică consiă din segmente paralele cu OX, sau, tn gcr'teral, din segmente de drepte, unde, în primul caz :

= f~ (x) + mo·

j' (x) ,

..,.;,J

Pentru cp 0 (x), cel mai simplu putem să

cp~ (x)

Ave•n:

l

~~n2x

+ 37t x2 + xa

( --2r. ~ ;r ~ 0)

12 22 •:> 2txa ~--=:...~.re x__ - - - (O ' 12

x

< 2n). 1t -- X

Prima dintre aceste formule se ob-ţine imediat dezvoltînd funct.îa - -2in intervalul (0, n) după cosinuşi. A doua se obţine din prima, integrînd de la O la ;r 'in raport cu x şi folosind egalitatea 1144]

7i astfel, funcţia / 1 (:r) are aceleaşi salturi ca şi!' (;1.:;).

Determinînd

î~ntr-un

fel sau altul

1 (x)

funcţia ~o

~-""' ~o (x)

(x), vom aveu :

+ /1 (x),

unde 'Po (x} este o funcţie cunoscută, simplă, formată din segmente de drepte paralele, iar f1 (x) are o serie Fourier cu coeficimrţi de ordin nu mai mic dectt Modificăm 1

1

1

!

1

1'

acum functia / 1 (x).

1 n= 1

Fiecărei dintre aceste sume îi aplicăm formula (601). Să considerăm, intii, La fel formula a treia se ob-fine din 'l. doua · · t • · ~uccesive, s~ pot obtine alte formule ~ie acest ;ip. Pest~~I~ m egrare •. Prm inte!5I'ări mtervalulm egală eu -rr. Aceasta se poat<-' realiza t 0 t~ 'vom c~~tstdera lungimea de variabilă. - · < eauna prmtr-o sehimbare ... Idee~ a modific~ ... ei, pneum si exemr>lnl de m~l· . : ;<, ţ' .ar_u fune1)el f (x)1>.ŞI a· denvatelor Krî!ov . . ' · · JOS,
la

31t' 2,

l<:x~mp!u.

Considen'tm seri-a Fouricr: 00

2

.

~

-;

___ {--

(O< x -
sin ru:

(61)

~-

Hrgnr;lcntul

/1."·~1

2n cos!.!..!:__ (n 2

1)

--

Pentru a reprezenta pe bn sub forma (53),

l

după

--

1

1

11

H

+

1

4-r:

(:r. - : ) v~:ri
Formula (601 )

să dezvoltăm fracţia

dă,

de Lt u la :

e
'IT

ir.

1<1 t cnnenul de ordinul --;;avem:

'

').

(

-----·--~--~------··-~-·

~l

11

•n=l

n

:2 cos

2

2

va trebui

să

însuml"un

două

co

co

c.os- sin nx

~~ -~ _________2_____ -~ ~i n:

Notînd prima

r~= 1

sumă

oo S1 (x)

Il

1t'

sin nx

cos 2

_2'_)

sin n ( x

2 11

~=-~--~- (...!!.-- -< < ·;; ) ;t•

(63)

(G-t)

2

1t

1

( a: =

--~:_)

.

A doua dintre sumele (6:$) am putea-o calcu.la utilizînd formula (60:.1), dar se poate proceda şi altfel. Notăm această sumă cu S 2(x). Se vede imediat că, integrînd pe S (x) de două ori 'in raport eu x, obţinem pe S 2 (x), făcînd abstracţie de un polinom 1 de gradul întîi. Integrînd exprc!':ia (64) de două ori, obţinem :

n=l

--~~-~rco sin

n (x_·. -·-

li-rt

n } 2

şi

prin urmare:

;(.3

~~--. ------~--

it',~

n

11=1

----------~

Il

~ill /!X

cu S 1 (x), putem s:1 o scriem sub forma ;

= -- 2_ ~ __ it k.J 'tl·"'l

2~

(o<~:-:])

O

serii :

lt1t

'//'~'

(62)

rm 3 (n2 -1) Aşadar,

o

-:;.t __:. _)-~-,--~ C('S

2 cos

l

4Tt'

X

nn:

n-rc

2cos--y

2x- 3rt

1 ---

deci, Il 'It'

1

Adunînd, obl;înem IHmh·u S 1(x). e:-:presia ·finală :

1

llir.

şi,

+n:

l

-----1

x ---

sin n

'Xl

-!-

in :1et'sl

la. O, iar prin variaţia lui ;-c de la

-n 2

2x

·1:

ns

observăm, că prin variaţia lui x de la O la 2 •

n-)

1 p1'1•••·~"

variaz:l. fle la 2:'2.

'~" ~:~-~-=->:: ((J < ,t: -< ir.).

;r

x -- - - variază de Ia 2

(

l ------

puterile 1ui -n , dueînd dezvolt,tr".',l · '

2

'IT

TI

n2

2:.)

n

b T':, :trgumentul

')

-= - ----~ 'It'

!!

Considcrîud r-uma a doua,

Aici avem bn

sill

n=l

cos --;)

f (:r) =- -- --~-l--- 112

+

argumentul ( x

i

ll1t

•

Il

'It',

şi formula (60 1) dă :

oo

159.

variază de la O la

prima sumil. Cînd :r

"Despre tillele ecuaţii dif
Grt

S 2(x)

=

\

+

(.r:-

:32. Curs de. l!Qatema.tici iUpel'ioore

6'Tt'

cl.r.

1t't

c~ -+·· c~'x

(o~ x <

+ c"2 (~·<

r. ) 2.

x<'1t).

(65)

Pentru determinarea constantelor

c, ob~ervăm că seria

r·

Fourier pentru

§ ~~. INTEGRALA J<'OURIEU ŞI SEIUI FOURIER MUI.Tlt»J... E -

s (x

coeficienţideordinul2_

1

are coer1c1en ,· n d.e ordinul --;;;;• 1 iar seria pentru S (x) are 2

2

.

şi,

şi

)

funcţ.ii

prin urmare, ambele serH sunt unifonn .;-,onvergente dau cont· nil n · m~ pentru x = si 2 . De aici urmează că ambe]e expresii (65) . . de r i va t e1e 1or trebuie

să coincidă

pentru x 1ta

2

48n

2

l

~ oo.

Presupunem că funclia f (x) verifică condiliile lui Dirichlet, este continuă în orice interval finit, şi, afară de aceasta, este absolut integrabilă intervalul (- oo, oo); cu alte cuvinte există integrala :

în

7t

+(fo2:._+ 1

·+

adică

·~ :

=

160. }. .orinnla Fourier. Terminăm expunerea teoriei seriilor Fourier 'cu examinarea cazului limită, cînd intervalul (- l, l), tn care este studiată seria Fourier, tinde către (- oo, oo),

2

(66)

+

~ 1f (x) 1 dx = Q. Afară de aceasta, din forma sumei a dol'a (G31 1 ceeH ce dă, pe baza lui (65) : . ~ , , rezu tă S2(0) ,= S2(rt) = 0,_

După teorema lui Dirichlet avein în interiorul lui (-·l,

c 2 =~o ; c; n: + c~ = o. Dîn

ecuaţiile

(66) J

şi

(67) putem determina toate patru

c~

1t'

"

el= el''-~-;

24

substituind în (65)t

w

obţinem

=o;

c~ ~= ·--

'( X )

j

constantele :

2 -+- ~ 1-J {\ an

== ao

+b

eos mcx --~-

91

seamă că

24

·H

~f

1 1

cos";' dt,

(t)

+t

+- ~ f(t) sin ~

b. =

(o<.:e<~·J

24

.

7t - (.-r ·~.

24

tin

ln ddinîtiv .

obţ 1'r1em

rr)

2

H7t

--;-

cos-

~ n3-(n2~t) sinm:. n=l

ceea rezolvă problema Funcţi· f (. ) . prin functiile cunoscute S 1 (x} şi S ce (x) formate d· ·n ~· · d ad x . se cxpnmă 2 ' sînt de 1ordinul pOI\.JUm e repte şi parab 0 1e. ŞJ" o sene " · Four1er, · - a cărei coeficienţi V

'·

J(x)

{Tt - - < x < 1t' ) • 2 ~.

pen·f.·-1·u sena · ('"l) Il .. , expresia ; ()O

deducem:

, t

00

+Z

(t) dt + __!_ ~ (

__:__ f f J

2l

11

1

dt,

~

-1 7t --X

•

n=l

Tinîn d

expresia lui S
-f-

• nnx- ) s1n1

+ l) :

l

k-1 )

(t) cos nit' (t- ~) dt.

f

'

l

n=l - l

--l

Ce se în.tîm.plă cu această formulă cînd l -~ ·N '? Primul ter.men tinde evident către zero, deoarece +~ ·t-l + CIJ 1 ~ ( f (t) clt \ _2_ ( 1f (t) 1 dt __!_ ( 1 f(t) l dt = .R. -~o. 1 21

J

!

<

< 21 )

2l )

--!:

--·l

•

2l

-')0

Introducînd o nouă variabilă a:, care ia valorile echidistante în intervalul (0, co) : (1.1

=

n -, 1

•

lX2

=

···~a"'.=

nn

11

...

•1'

'1t

adkă

1

Putem calcula nesUnjenit d · t J •• · • 1 (x), care sub f o:rma (61) nu num::tie~;a e .e . d~ P.nm~J~ trei o.r~m.e ale funcţiei convergentf.l. · · nu ma envabJla, daJ' mc1 nu era uniform

primind de fiecare dată ereşterea LltX = - , putem scxie ~Suma l

rămasă

sub forma :

-~·

~ ~lltX ~ (
498

l

f

(t) cos

ot

(t -- x) dt.

-l

499

Pentru

z·

mare, integrala de sub semnul L diferă puţin

de

·n .r.aptttl că, pe b. aza integrabilităţii absolute a funel.iei: Aceaita rezultă d] 1o ( (x), integrala : +oo

·' f

(t) cos

r:x

~ f (l) <.~OS oc (!

(t - x) dt,

-

(4)

X) dl

-- 00

şi cînd l-.;.. oo, putem considera limita: l

că

întreaga

(00

(~

;-~da) f(t) cos

sumă

va tinde către·

-este unijotm t·onvergen r.a ]JCntrU toate valorile N'

• CI.

N

astfel :

f (x)

+ .

1 [

= -; )det. ~ f (t) cos o ---00

r:x

+

(t - x) dt =

/ (x

O) --i· Î (X -

0)

2

+

-· 00

Notînd in t egraJa din membrul intti cu .J (1-.., l:), putem serie : +oo A

1

.

:c" - - - ;

~

-'00

f

~-

~N

x) dt

<

N') .. ·

(fl)

N

absolute afuneţiei 1 (i). . . tă î . port cu parametrul a snb însă, atunci integrala (4) poate fi mtegra n ra semnul integral [84], ceea ce dă

J ()., x)

=.o

~-

(

1t

)

( (t) dt Jeos :>: (t ··- .r) dtX.

o

da

f

(

(t) eos a (t -

x) dt = --;;

)

+(J) (

J

f

A ( (i) di ) cos cz (t .. x) doc. o

-(1;>

~·- (J)

t

rap_?r cu

rL,

din membrul lll doilea :11 formulei (;3) •. -

+(ţ;)

ne

rămîne să găsim

şi

:A.

(7},

+oo

1 ~-

sin ). (t --· x) 1 (t) ---

t -~~ ;~

- r:

dt.

-oo

. d . t· rare ( _ oo,· + oo) in două intervale:: Descompunem n~te.rvalu1 edt~l elg Il : ( t - x) variabila (-z), in primul (_ x) i (x -1- 00 ) ş 1 , mtroducin 1n ocu . m , . inte~~l, şÎ z, t~ ~1 doilea interval, putem scrie pe (7) sub forma .

1 cr:

=~__..:.

(

rt )

t

sin A (t - x) dt : f(l) - - - · . i- X

~ ~

J ()., :r) ===

. J ()., :x:) priveşte

1

.

interioară, vîn

(3)

o

Cu alte cuvinte, putem schimba ordinea de integrare în ce

Integrala

+(/)

A

poate fi imediat calculata ; obţmem

Această teoremă se numeşte, de obicei, teorema lui Fonrier, iar integrala, care figurează în membrul întîi a acestei formule, integrala Fourier a functiei f (x). Raţionamentul precedent nu este 1·iguros, dar poate deveni, cu ajutorul unor consideraţii suplimentare. Noi nu vom face aceasta, ci vom da altă demonstraţie a formulei Fourie1·, bazată pe rezultatele dela [152]. Formula (2) va fi demonstrată, dadi arătăm că : 1+et> 1 ~· doc ~ 1 (i) cos a(!. ~- :v) dt = 1(x O) + 1(x . lim --· · - O) . A--+ 'X ;: 2

.J (),, X)

(t

. ate găsi un număr No, 'nedepinzînd de a, şi, prin urmare, pentru u? c:.;t,tl, ~e 1;> 0 t le.le (e::) să fie < s: tn valoare absolută, ·' N Sl egra '.-' ( ) în virtutea integrn b'l'tvt•· aşa c ă , pen t .ru orice ., N > N ~· m .. t 1 1 ·a ,n deoarece această proprietate aparţme Şl m egra1e1 .6 ' ·

(2)

~·--------·---

li

o

11.

~ i 1 (t) ! dt,

+ 00 'X

(t) cos

--N

(1)

Această formulă ca1·e se obţine din seria }.,ourier, cînd l --.. ·:".:., se numeşte formula Fourier. Ajungem astfel, la propoziţia: Dacă funcţia f (x) verifică condiţiile lui Dirichlet în orice interval finit, şi este absolut integrabilă în intervalul (- oo, oo ), atunci a1.,em, pentru orice x :

(t) cos

f

N'

(t - x) dt.

2

f

intcgraiele

nu intrec, tn valoare aosolutfl.

.

-; ~ dll. ~

adevăr,

(Jj

In punctele de discontinuitate, dacă există astfel de puncte,. ( x) trebuie înlocuit prin f (x + O) + f (x - O) -----------·--

00

fn

IX.

-N'

~ 1 (l) cos ct (l-- x) dt, ~

(t- x) dt!

~oc

obţinem

.

lui

o

1 (x-

sin 'A z)

---:=--~

00

z

1 ,.

dz

+ ---;- \ 1 (:c + z) J

----=-z sin 'A

l <.z.

u

&.{)1_

5·00

de unde, pe baza ultimelol' inegalităţi, pentru

~

"'A

suficient de mare, aw:m :

00

-1

1 ···-·-

"

Joo

1 (x

, sill AZ ·-- Z) ~-- dz

f

--->

(x

l1

0),

2

o

1

r.)

sin

).z

-~-'

1

dz ___ ,..

r.:

/(X-+

2

o

(8)

l

0),

+ O) ;

1 (x

~l_

·-.

ce ~m.nonstrează teorema Fourier. Mal ··r - dm . ele. Fie e. ~ ramine . . să demonstri:lm formulele ('1) . . .~.c l'l_nn .am la pruna un numar poz1hv, arbitrar. Pentru .(,~ > 1 ' f'actorul---. ... sm ÂZ este tn valoare absolută

=

f

!;

!()

Z

.,. 2z) i dz

< e

2

rr

N

N

Considerind integrala lui Dirichlet tn intervalul finit (O, N) N

-~ ~ f <.x -

z

o putem afirma

că

l (X ·

•·•

ll), cind A . --~

c.-::,

iHiie<1 pen.tru toate

2 valorile suficient de mari rt1e lui ),

1 (x

--- O) 1

2

o

~

<

....!:_ 2

+ (9)

sin at sin C(X dt,

2

~

+a.>

~ f(t) sin

f(t)cosotdt;

Ct-t

dt

= O~

--~CI>

+

O)

-+-

j (x) -

O)

:

~cos ocx dot 1f(t) cos oct dt. o

o

Dacă, insă, functia f{x) este impară, atunci, prin acelaşi procedeu obţinem :

Avem. evident: l 1 . ·;-J 1 (x --·

2z.i

~~~-~-z

o

dz

1(x

-

~ [ : ~ f(x- 2z)Sl" A<

-- O) "'""

2

N

•h ..

2

f(x- O)

1+ -;~ f(x- 2<) ':.~:).zdz, N

.502

e:.

·-·Cf>

2

sin A.z

2

aşa că

,1 (x

-- 2z) ~z-- dz

e = +-

f(t) cos oct cos ocx dt

o

N

1 ( ·-; Jf (x

2

unde ambele integrale, în raport cu t, au sens din cauza inte~ grabilităţii absolute a funcţiei f(t) in intervalul (- oo, +
--·Ofi

ea tinde d"ttre

-e;

o

~ f(t) cos oct dt =

2z). . sin ".: dz,

~

+ --; ~da ~ f(t)

+a:·

1.'!:

- 0) 1 <

+(1.>

OIJ

< ~ pentru orice ). real, iar Irmetia 1 (x _ z .· z. ~ tn mtervalul (O (XJ ). Putem de~i ,.~ ~· . ) este.; pun Ipoteza, absolut integrabilA ' ' ' ga.,J un numar N > 1. aşa încît 1 ~oo < -It (x

1(x

+oo

doc

·~t:ea

sin ).z 2z)-- dz

2

Formula (2) poate fi transformată, dacă funcţia f(x) este pară sau impară. Intr-adevăr~ dezvoltînd ~cos a (t - x) avem :

1 (z

'~- ~ 1(x .,.

-1

z

o Deoarece ;; este arbitrar, inegalitatea din urmă duce Ia prima din formulele (8). A doua se demonstrează la fel.

1

l ~oo ··-1 (a: +

f(x -- 2z) sin - -)..z - d-r. -

1t'

j_·L_
+ _o)_+ t (_x__--=_o) 2.

=

-=- ~

2g;; Sin •
o

d~

oc-~ j'( t) SlD · fJ.t d t. o

l)acă funcţia f(x) este definită· numai în intervalul (0, oo),

pute~ să o prelungim in intervalul vecin {- CXJ, O), în mod par ~au impar. In acest caz obţinem pentru una şi aceeaşi funcţie

.f(x), presupusă -

pentru

simplificare --- continuă,

două

for-"

muie:

~

2

f( x) = --- l rr

f(x) "" -;

J

f

V

00~ cos lXX dx · f(t) cos ot dt

•

o

sin o.x do.

f

f(t) sin

două formule, J(x) şif1 (\t.) se exprimă una cu ajutorul' alteia, în mod complet identic. Dacă în (12 2) considerăm că f( x) este . da~a ŞI !J_( ~) .este funcţia căutată, atunci ecuaţia (12 2 ) repr~zin.ta ~ ecuaţte tntegrală pentru J1 ( tt.}; întruc~t ace~stă funcţie Intra sub"' semn'?-1 integral (ecuaţia Integrala Four1er). Formula (121). da soluţi~ acestei ecuaţii integrale. La fel, formula (11) poate fi prezentata sub următoarele două forme :

In aceste

~t dt

(x >O)

(10)

>

(11)

(x

0).

Ci)

Trebuie să amintim că, pentru prima dintre ele, functia .f(x) fiind. prelungită par, dă naştere. la o funcţie continuă, astfel încît prima formulă este exactă şi peutl'u x =~ O ; pentru a doua, dacă f(O) O avem o discontinuitate, iar membrul al doilea, pentru x = O, nu este egal cu f(O), ei cu zero. În formula (9) prima integra1·e se face în raport cu t, şi, introducînd funcţiile

v~!-~-

ft(rt) =

*

A(o:) =

:, ~

B (o:)

f(t) cos c:tdt;

r::

~ f(t)

\fi (a:) sin ax drJ.. ·'

o

E x e m p le. 1. Fie în formula (10) :

f Obţinem, :

3 tunei,

{ 1 pentru O ~ :r < t O " x>L

(x)

pentru integrala care figurează în membrul al doilea aL

egalită.ţii

\ [A (Ct.) cos

C(X

+ B (:x) sin ~x] drt,

co ( cos

()

presupunînd, pentru simplificare, că funcţia f( x) este continuă. Această formulă dă dezvoltarea funcţiei f(x) în intervalul ·(- oo, -t- co) pentnt os.cilaţii armonice, unde frecvenţele ('J. ale acestor oscilatii variază eontinuu de la zero la infinit, iar funcţiile A( CY.) şi • B( CY.) dau legea distdhuţiei amplitudinilor şi a fazelor iniţiale, în funcţie de frecvenţa o:.. Pentru intervalul finit

+ l}, am

v~-

f(x)

sin 'Yt dt,

:0

··( -- l,

\f(t) sin et.t dt (YJ

putern scrie formula (9) sub forma

.f(x)

•

avut frecvenţele

!Xn

=

n/;;

(n =

o progresie aritmetică. Dacă în formula (10) punem

O, 1, ... ) care for-

~

diX.

J ~i,

1

00

oo

lXX

00

(t) cos

a.t dt

=

o

o

prin urmare :

cos !XX sin a.

~ eo~ rxx da Jcos rJ.i dt = ~ ----;---(

f

••

()

o

1 pentru O< .r < 1

00

_3:_ ( cos_cx_x sin ~-

1

2

rr 'o

o

IX

2. Punînd în formula

.r>L

! 1 l '·

/(:X:) ~.o e-f:i~ (~ >O).

mează

obţinem,

în membrul al doilea, integrala :

f 1 (o:) =

1/ ~- \ f(t) cos at dt,

rJ. sin otX - - - - drx ('/.2

+ (32

•'

ti

;atunci ea va putea fi

scrisă

sub· fol'ma :

:şi obţinem

astfel

00

.f (x)

v-:x-- ,).

;__ 1-:;

o

-504

ft (a) cos r:t. xârx.

e-[:ro

pentru x > O X=

0.

dCY.'

3.

~a

Să facem o observaţie privitor la integrala Fouricr sub forma complexă. Nu putem afirma· că integrala

fel. punînd in formula (10)

f (x)

((3 > O)

= e-(3:1'

găsim

Deseori formula lui Fourier este scrisă sub forma complexă :

2

~ drx ~· f(t) ecc (t-ill) î dt.

=-

1

<

(14)

obţinem două

+ "'

+i

sin

î/..

i-(1:1

(t) cos

V'o

(t - x) dt

şi ~- ~ dx ~ J(t) sin rx

-oo

-- 00

(_t - x) dt.

·-- 00

În a doua integrală, variabila rx intră sub semnul sinus · astfel că funcţia de sub semnul integral este o funcţie impară în raport cu cx şi, prin urmare, integrînd în raport cu cx in intervalul (- N , N ), obţinem O. Dimpotrivă, în prima integrală avem o funcţie pară de cx şi integrarea in raport cu cx în intervalul (- co, oo) poate fi înlocuită prin de două ori in te· grarea în intervalul (0, N ). De aici rezultă că formula (14) este echivalentă cu formula (2) .. Considerînd funcţia f (x) continuă, sc1·iem formula (14) sub forma:

+ +

+oo

+a>

f(x) .:. ::.:

: 2

~ e-a.m dcx ~ f(t) eil14 di, -oo

1 +:le ( f(t)

V21r

CI.,

(t --

x) dt = O,

-t:TJ

+

-r-M

1 (x)

Iim

=

M~+~X~

2n

00

{

J --M

In cazul'"' de faţă, limita inferioară tinde către - oo, iar cea superioară către oo, avind valori egale în mărimea absolută, Pentru existenţa integrale] improprii, în sensul obişnuit, este necesar ca limito să existe oricare ar fi legea după care limitele de integrare tind către - oo, respectiv + oo.

+

.. 161. Seriile Fourier sub formă complexă.. Sel'ia .Fourier se poate pune sub formă complexă. tot aşa cum s-a făcut cu integrala Fourier. Amintim formulele din [146] ~

~+

f(x)

t

[a• cos k~x+ b• sin k~x);

(16)

k~~t

·t-I

(

~()"')" .

J J ' (" __

('.08

k~-r:t. de:

!

c, ;

,

b

k

=

1 l

+1 \ •

f(Y.) . l lk1tf,. c. S l - d; ·-· •

l

.

-~

-oo

pe care, ca şi pentru formulele (10) şi (11) o .putem descompune în două formule :

/1 (r~.) =

(t) sin

plexă:

(t -- x).

+o;;

f

şi, prin urmare, riguros vorbind, trebuie să !'criem formula Fourier sub forma com--

integrale:

-r- oo

2~ ~ dtY. ~ f --oo

=cos cx(t- x)

~

d(l.,

-M

-oo

Această form.ulă se obţine uşor din formula {2). Suhstitui~d sub semnul integral ecx(t-x)i

~

;n:

27t -CIJ

+w

+M

+ t:TJ

+~ai

1 (x + O) + f (x--- O) -----· -.

cu limitele infinite in raport cu variabila ':1., are sens, în semnificaţia obişnuită a cuvîntului [821. Putem numai afirma că, pentru orice valoare pozitivă. finită M, svem

J

Să arătăm că aceste formule sînt echivalente cu următoarele : + ,JC

eocti

dt

f(x)

n:.zt~

~ cne i-~-

(17)

-00

+oo

f(x) -

V1 27t

(

J

Ji:(cx)

e-:Cf.m'i

d'X.

Aici indicele n ia nu ~~m~i. valori întregi pozitive, dar şi valori negative. Determinăm separat c0 , ck şi c __ k, unde k este

-00

507 5{)6

un

număr

+l

co = ;

~ f(;) d;

1

= -~ ( f(~) 21

-unde

(16), avem':

+n'l

Ca'"-=__!__ (

:o

=

2m

J

Ccr(·IJ)e

_ 't'Jtrl

.

-l·--:;;; dY) =

-'In

--l +l

ck

şi

întreg pozitiv. Conform cu (17)

J

(cos Icre~ -

i sin~rr:~) d~ =

1

(crt

+m.

e--i!f

't'll)

y+~ d~ d·fJ·

(19)

Substituind expresia obţinută pentru c, (y) în formula (18),

'!_k- ibk

obţinem:

2

l

+l

L ( ( /(~, YJ) 4lm J J ---l-'fll.

-l

+l 1 c_k=--

21

(

J

-

+ i sin

f(~) (cos ~rr:~ l

Jmţ) d~ =?:_le_±__~~'!. 2

l

-l

Substituind în seria (17) şi însumînd separat după indicii pozitivi şi negativi, obţinem : oo

f( x)

=

:u + -~

ak

k:r:x

~ ibk

e ·i T

+

'l: 00

•

ak

~ ibk

de unde, desfăcînd parantezele, obţinem formula :

i krtx

f

e- -:;--

(20)

(x, y) (J."":"

k=l

k=1

Termenii celor două sume pentru valori identice ale lui k sînt mărimi complex conjugate. Asociindu-le în mod conve. nabil, obţinem măTimile reale :

care generalizează seria Fourier pentru cazul a două variabile. In acelaşi mod, în cazul unei funcţii periodice f (x 1 , x 2 , x 3) de trei variabile independente, cu perioadele 2(•)1' 2c.l 2 , 2c·l 3 în raport cu, respectiv x1 , x 2 , x3 avem :

/;:;cX

ib;, ---------------e

(!/;: --

i;r

i-l

("_t_:''~ : ~·~2 ; ~__a_:a) (ti

Ceri crz "a

2

expresia precedentă pentru f (x) coincide cu seria Fourier (16), de und~. rezultă echivalenţa lui (17) cu (16). _1{~2. Sern ]?ourier multiple. Seâile şi integralele Fourier pot sen? Ş~ pe~tru reprezentarea funcţiilor de două, sau de mai multe vanahile u:'_dep:ndente .. Să considerăm, de exemplu, funcţia f (x, !) , periodica, cu pen.oad~ 2 l în raport cu x, şi cu perioada 2 m In raport cu .Y· Constdennd-o ca funcţie de z, avem [161] : şi

-f-

f(x,y)

• CJTCX ~--

00

=}:

C0

(y) e

l

(18)

e

1

(,)2

(o)~~

(21)

unde

(22)

Sepa1·înd partea reală din formulele (20) şi (21), ohţinern dezvoltarea în serie Fourier sub forma reală. Reprezentări analoage se obţin Cli ajutorul integralelor :

cr-~-oo

unde +l

.

ccr(Y) = _2_ ( f(;, y) e 2/

J

-?,

arr;ţ;

T

f(x, y)

d~.

(23)

-l

Funcţia crr

(y), la rîndul ei, poate fi

dezvoltată

în serie de forma

+oo

+oo

Ca

(y} =

l:

't'=-l)l

50'8

Crrr:

e (24)

009

GAP110LUL Vll

~~ClJAŢII

CU DERIVATE PARJIAI.JE MATEMATICE § 1.

ECUAŢIA

Al~E

FIZICIJ

UNDELOJl

coardei vibrante. Problema integrării ecuatii) cu derivate parţiale este unul din cele mai diÎ'ici~: ŞI mai vaste domenii ale analizei. Ne vom mărgini să considerăm problemele de bază din acest domeniu. În paragraful de fată ne vom ocupa cu prohlem.Ie în legătură cu aşa-numita ecuat,ie a undelor:· .

163_.

Ecuaţia

~Ifere~ţiale

siuni T Şl 1n sta:re de echilibru, fără forţa exterioar·ă, dirijată 0 după OX (fig. 127). Dacă o scoatem din poziţia de echilibru şi o supunem acţiunii unei forţe, atunci coarda va începe să vibreze, şi anume punctul coardei care ocupă, în starea de echilibru, poziţia N de ahscisă x, în momentul t, va ocupa poziţia M. Ne mărginim să luăm în conside1·are Uj numai vibraţiile transversale, presu~ punînd că întreaga mişcare are loc într-un singur plan şi că punctele coardei se mişcă perpendicular pe axa QX. Deplasarea Nl\.f a pune·· telo:r coardei o însemnăm prin u. Această deplasare va fi o funcţie necunoscută de două variabile independente x şi t. Fig. !'2.7. Să considerăm elementul de coardă !vi M', care ocupa poziţia NN' cînd coarda e1·a în poziţia de echilibru. Socotind că defor"1e s1nt " · f'Init · miCI, · · vom neg1'IJa · patratu1 denvatei · ' -Au · maţn 1n (tX

Dacă rx este unghiul ascuţit fo:rrnat de direcţia tangentei la ·coardă cu axa OX, putem scrie

tg l!lau şi

unde A ._.r.t

a•u B u + --· a u == --+8x 8y 8z 1

2

2

2

2

sin

. d1v grad u

ca u nu depi~d~ de y ŞI z, adiCa u are aceeaşi valoare în toate punctele .oncarui plan, perpendicular pe OX. In acest caz. ecuaţia undelo:r Ia forma · [)2u =--= a2 (J2u

()x2 ~

şiJ se spui~e, de ~hi~ei, că. avem o undă plană.

V om arăta imediat ca aceasta ecuaţie Intervine în studiul micilor oscilatii transver· sale ale coardei întinse. ~ . Prin ~o ardă înţelegem uri fii' subţire care se poate îndoi hber. Admitem că ea se găseşte şuh acţiunea unei puternice ten-

510

tg (X.

au

--

ax

au ax

au

\ft + l~-(X 1t;'
=

•

, _La aceas~ă ~~uaţie am .ajuns in [116] şi [118], cînd am ~~ns1derat o~cdaţule so~ore ŞI .e~ectromaguetic~. Să presupunem

8i 2

tJ.

CI.=

r lnsemnăm cu F forţa care acţionează asupra coardei pe:r·· pendicular pe axa OX, raportată la unitatea de lungime. Ele~ mentul M M' este solicitat de următoarele forte : tensiunea In puncţul M', dirijată după tangenta în M' şi for~înd un unghi ascuţit cu axa OX, tensiunea .în punctul M, dirijată după tan~ genta în J}f şi formînd un unghi obtuz cu axa OX, şi forţa Fdx, . dirijată după axa u. În baza ipotezei că deformaţiile sînt infinit mici, vom considera că ambele tensiuni sînt egale în mărime cu tensiunea T 0 • Presupunem, la început, că coarda, sub acţiunea forţei F, se află în echilibru. Proiectînd pe axa u~ vom obţine următoarea condiţie de echilibru : (1) T sin oc' - T 0 sin rx Fdx = O,

0

+

511

4Jbţinem

umle v.' este valo::n-ea unghiului cr.~ în punctul M', adică •

SUl :J.

şi,

1

=

.

((Jll\ -·-1 ;, cx/M',

Sin

(()Il)

u. =

~.

f)x M

{(;;::ti'- (~~)M

Pdx ::-::O.

1

l'ibraţiilor

iJ2u:

,

(2)

f):r

această creştere

prin diferenţiala, avem [I~ 50] :

au) --- {~~~~ = ?_2!!_ dx. (, f)x {!.r 1vl ch lld'

2

,

Substituind în (2) şi simplificînd cu dx, vom obţine ecuaţia de echilibru a coardei :

(3) Pentru a avea· ecuaţia miş-cării eHte suficient, după princicipiul lui d' Alemhert, să adăugăm la forţa exterioară şi forţa de inerţie, pe care o obţinem în modul următor : viteza punctuluiM •

f)u

• () 211

.

•

evident, -----, Iar accele1·aţia ŞI, prin urmare, fort, a de 2t . (Jl 2 inertie a elementului Jţ,{11J' va fi egală şi de semn contrar cu produsul acceleraţiei prin masli, adică este,

a2

ale coardei

atunci

(5)

f

=

O,

şi

obţinem

2 (J2u

---a

f)t2

întreţinute

+ .f.

q_~l!:. (Jx2

[12u -

eare. figurează in paranteza mare exprimă creş· ' · ----, iJu cauzata" d e ereşterea l u1· x cu dx. Înlocuind f unct1e1 ,

=

Dacă forţa exte1·ioai·ă lipseşte~ ecuaţia oscilaţiilor libere ale coardei :

Diferenţa

tere a

transversale

()t2

prin urmare :

To

ecu.aţi.o.

~. ()x2

(6)!

Am presupus mai sus că forţa exterioară este distribuită continuu pe întreaga coardă; uneori, însă, trebuie să considerăm o forţă P, concentrată într-un singur punct C. Acest caz poate fi considerat fie ca un caz limită al cazului precedent, considerînd că forţa acţionează asupra unui element infinitezimal de lungime :::, în jurul punctului C, în aşa mod, încît produsul ei prin 8 tinde către o limită finită, diferită de zero, cînd e: ~ O, fie direct, aplicînd ecuaţia (2) elementului MM' în jurul punctului 9 şi înlocuind pe Fdx cu P. Să observăm că, în acest caz, nu mai

adăugăm la Fdx forta (--·o. q~ , de inertie , 8t 2 dx), deoarece con-

siderăm că

ea tinde către zero pentru dx ~ O. Considerînd că extremităţile elementului se apropie de " d va1ori"1 e 1'Imita ' " catre " · de --, Au c1n " d punctu1 C_, ŞI· "Insemnin care tin ()x stînga~

ne apropiem de punctul C venind din dreapta sau din respectiv prin

[)2/1

-- ----- odx, c)t2 '

unde p este densitatea liniară a ~oardei, adică masa unităţii de lungime, iar forţa de inerţie, raportată la unitatea de lungime, va fi · ~· ~~: 1"

[Jt2

Aşadar, obţinem ecuaţia mişcării,

F prin F ___.: p pe

02 u ceea ce dă. ()'f2' ::)2

:;

11

p at~

rmpărţind

~,,

=

T q_-:!:! o[Jx2

+ F.

hi

Jimită,

din ecuaţia (2)

To

[(fiu) -·- (au.) ] =:-P. ax + ()x-

(7)

Vedem astfel că în punctul C de aplicare al acţiunii concentrate a forţei, coarda are un punct unghiul ar, adică un punct cu direcţii. diferite pentru tangentă, la dreapta şi la stînga. Ca totdeauna, în dinamică, numai ecuaţia (5) nu este sufidentă pentru completa determinare a mişcării coardei; mai este nevoie să fie dată situatia ei în momentul initial, t = O, adică

· · puncte1or e1· u

pozrţia

cu p şi făcînd

: viteze ' l e l o,r "fj[, ()u pentru, t = O, ca f uncţn ..

ŞI

cunoscute de x : :P

p

512

înlocuind în ecuaţia (3)

obţinem,

=f,

(4)

(8) 518

Aceste condiţii, pe C:flre trebuie să le satisfacă funcţia necunoscută u, pentru t = O, se numesc condiţii iniţiale. Teoretic se poate considera coarda infinită şi, în acest caz~ pentru aflarea soluţiei este suficientă ecuaţia (5) şi condiţiile (8), :iar funcţiile cp ( x) şi cp1 ( x) să fie date pentru întreg intervalul ( -- oo , + cx. ). Acest caz poate corespunde propagării undelor plane în spaţ.iul nemărginit. După cum vom vedea mai departe, rezultatele obţinute pentru coarda infinită ne vor da modul de :propagare a perturbărilor şi în. coarda mărginită, în intervalul de timp în care aceste perturbări nu ating ext1·e~ităţile coardei. Însă, dacă coa.rda este mărginită de o parte sau de ambele părţi, în punctele x =---= O şi x = l, atunci trebuie arătat ce se 'intîmplă la extremităţile ei. Să presupunem, de exemplu, că extremitatea·· coardei :.r =--= O este fixată. În acest caz, trebuie să avem (9) U l W=O ::::::c 0,

Dacă şi extrerr.âtatea x

==

ş~ d~n cauza nemărginirii coardei, functiile

rp (x) si cp (x) t h- · sa fie date în intervalul ( _ oo, oc ). ~ -:; 1 re me " Se poate afla soluţia cea mai generală a ecuatiei (6) 1ntrd-? .. astf(el) de formă, încît să poată fi usor satisfă~ută d; .con 1tn1e 8 . ~ · ' În acest scop., transforma"m ee · 1 noilo:rr , ua t" ,Ia (9) .eu aJUtoru variabile independente :

·+

ţ

'YJ. ~= X

::::..--:.:X

sau 1

+· ~) ;

~~-- (YJ

X

1

t .:::;::; --- ( YJ 2a

~).

. Co.nsid~rîn~ . pe u ca depinzînd de x şi t prin intermediu] lu~ ţ ŞI 'YJ. ŞI utih"zînd 1·egula derivării funcţiilor compuse, ex ri~ mam In raport cu vechile variabile cu ajutorul

de~·1vatele

vate1or

JD

d~ri

raport cu noile variabile :

l este fixată~ atunei va t.J·ebui ca

si aceste conditii trebuie să fie satisfăcute pentru o:riee t. ' Dar se po'ate întîmpla ca extremităţile coardei să nu fie fixate, ci să se mişte într-un anumit mod. Atunci ordonatele acestor puncte ale coardei t1:ebuiesc considerate ca nişte funcţii date de timp~ adică (10)

În orice caz, dacă coarda este limitată la o singură extremitate sau la ambele extremităti, pentru fiecare din extremităti trebuie să fie dată condiţia c~re se numeşte condiţia la limitd. Aşadar, vedem că pentru rez.olvarea unei probleme concrete

de fizică, o importanţă tot atît de mare ca însăşi ecuaţia mişcării o au condiţiile iniţiale şi la limită şi că ne interesează nu atît

aflarea unei soluţii oarecare, sau chiar a unei soluţii generale, cît aflarea acelor soluţii, care satisfac condiţiile iniţiale şi la. limită, impuse, 164. Solutia lui D~ Alembe:rt. ln cazul oscilatiilor libere ale u11ei coarde infinite, funcţia mărginită u ( x, t) trebuie să verifice ecuaţia (6) :

Aplieînd

ac:~este

formule

()'lu t)t'J.

astfel

că eeuaţia

a2 (j2u

~u ()1.

j - :. ~. t=O

~1 (x)~

== ---- 4a2 _{}_2u -·

o1;()1) '

(Jx2

echivalentă

(6) este

eu

ecuaţia:

. JJ2a- =O.

(ll)

:(91;81)

Dadi Hcriem

eeua-ţia

.. (11) sub fo:rma

!L (::_1_!:__) o1) a:;

-~-~

rn1

depincle de YJ, ()u

(x) '·

încă odată, obţinem

de unde

deducem d'l. in condiţiile iniţiale (8) ___.. _ m ,. ' U 1!k-0 ----

+ flt

jyf:

==

-=:

o

'

adică este funcţie numai de ~ :

o(ţ),

~i deci, fără a schimba egalităţile

de

Aşadar,

-

unde, integrînd :

>(11

(x)

(13), am ·verifica şi pe (14)·

avem :

+ (J2 (x)

1

=

X

.

(x); fJ1 (x) - 02 (x) === -- ·--; ~ ~ 1 (z) dz.

(15)

o

unde 0 ('IJ) este o funcţie oa1·ecare de 11 (în integrarea îh raport . 2 cu ~' "constanta" poate să depindă de 11)· Primul termen poate fi considerat ca o funcţie arbitrară de ~' deoarece şi O(~) este o funcţie arbitrară de ~' şi, dacă-1 însemnăm prin nl (~), avem :

De aici determinăm uşor funcţiile 01 (x) şi 02 (x) : re

~

~1 (x) = ~- q; (x) - ~ [q>1 (z) dz; 02 (x) = 2a )

2

o

--:!:_ 2

~(x) + _!__ Ccp1 (z) dz. (16) 2a

Jo

sau, revenind la vechile ·variabile ( x, t),

u (x, t)

== el

at)

(x -

+ (:)2 (x + ai)~

unde 0 şi f:\ 2 sînt funcţii arbitrare de argumentele lor. Aceasta, 1 cea mai generală integrală a ecuaţiei (6) se numeşte soluţia lui D' Alembert ; ea conţine două funcţii arbitrare 01 şi {~ 2 • Pentfu determinarea lor ne servim de condiţiile iniţiale (8)~ eare, din cauza egalităţii (Jll -a~·

=

a [- G~ ( x --' at )'

. -t

:' ( 02 x

+ e2(x) =

(-j~(x) + e~(x)

!_ (
= O,

)

2a

2

-

[

Jo

~

~+~

'Pl (z) dz

+ }2_ _ cp(x+at)+· -2a1_- JC (p (z)dz o 1

:sau, în definitiv :

=

10.:2 a

(13)

165. Cazuri particulare. :Formula (17) dă rezolvarea completă .a problemei. Pentru. a clarifica mai hine solutia ohtinută, să examinăm diferite cazuri particulare. ' ' 1. 1 mpuls iniţial nul, adică viteza iniţială a punctelor ,coardei egală cu zero. În acest caz, cp1 (x)=O şi formula (17) dă:

+ C.

(18)

2

pe cînd, în momentul iniţial,

o

U

e2 (O).

Fără a micşora generalitatea, putem considera pe C

(a:- al) + cp (x + al) = cp-------------·----------

u. ( x~ t )

determinăm constanta C :

c = el (O) adică

(x, t) = _!_ cp (x- at) ___L

x-al

sau, integrînd şi schimbînd semnul :

a

X

,u

+· .at)]_

şi a egalităţii (12), ne dau :

el(x)

Substituind expresiile ob-ţinute în formula (12), găsim

. (12).

=

O

(14)

deoarece, dacă C ai' fi diferit de zero, am lua în loc de 01 ( x) şi e2 (x) funcţiile

l

t

=o

=--== U (X,

0)

=

cp (X) .

Care este sensul fizic al soluţiei (18)? Numărătm·ul expresie~ "{18) constă din doi termeni. Considerăm primul: cp (x - at). · Presupunem că observato:rul, ieşind în momentul iniţial t - O din punctul x =---: c al coa1·dei~ se deplasează în direcţia pozitivă a axei OX, eu viteza a, adică abscisa lui variază după formula x = c at sau x - a.t = c. Pentru un asemenea observator,- deplasarea .coardei, determinată prin formula u=-=- (p (x-at), va rămîne tot timpul eonstantă. şi anume egală cu r-9 (c). I~enomenul

+

517 516

determinat prin funcţia u = cp ( x ·- f.tt) se :uu.mcşte , pl·oprtgarem undei directe. Revenind la formula lui D' Alembert (12), putem:·, spune că termenul t\(x -- at) dă unda direc~ă care se propagă în dh:ecţia pozitivă a axei OX cu viteza a. J_,a fel, termenul a) doilea, (12 (x at), determină o astfel de vibra-ţie, în ear.e perturbarea se propagă cu viteza a în direcţia negativă a axei OX,. in sensul că, în momentul t~ punctul cu ahscisa c--at va avea aceeaşi abatere u ·pe care a avut-o punctul ~t = «; pentru y tev t = O. Fenomenul eorespun·zător se n11.meşte propagareo; undei inverse. -a. o cX· 1\llărimea a este viteza de·

+

--~------ ~ Fig. 128.

propagare a perturbărilor sau a vibraţiilor tra.ns?;m·sal(J. Formula (4) arată că a. ---

(19)'

p adică

·viteza de pro[Hl~·are a vibratiilor trans·versale este

'i'

"'l'

-~#~:.~r~""-- x

reu,

~~xNnplu,

'!' (x)

j

~

le imag]năm suprapuse· u.nul altuia, dn.:pil eare le îu~lepărtăm. de ambele pă1·ţi~ cu . viteza a. Graficul eoardei, in momentul t, se obtine ca Fig. 12H. media aritmetică a.' grafi.:. celm: îndepih:tate unul de altul î:n modul de mai sus, adică acest grafic al coardei 'În :momentul t va îm.pă1·ţi in j-·u.mătate segmentele oxdonatelor cuprinse între ee]e două grafice,
iniţiaL

:in. momentul

t:ow:da care :a.re forma dat::'t

O, în afara intervalului ( -rx, x + o:, pentru -o: x O, -- x ·+ o:, pentru O x o:.

it•

ri),

·< < < <

lin fhL 129 sînt desenate graficele functiei în momentele 1

a

2CG

.•_)C/..

')

IX

-1a '

4a

4a

a

--- ·----

5rx

--,

2o: --·

a

4a

Ducem în plan două· axe pexpeudiculare : una pentru v~uia :JJH~ x şi alta pentru t. În fig. 130 este ma:rcată numai axa OX. :Fiecare punet al planului se determină prin două coordonate ( x, t)., .a.oicăî un astfel de punet al planului caracterizează un punct dete:r-

·-,.,<:~·:<,•:·.;:x

"·,·,.

,, . "~~

'

~>~'"

. . . . _~-""'"'

fof

." ·-..... ,
·..z.... ~-

~~ ~/

>. . , ......

~H- ,:\d/ at.,_oy y· .-o'/ ;:;,. . o o..

•

n / .O. ",

1

.,.;><

,. . .,. /....

,

./

./~·

y/

.,

.....

;ţ/...

:x**

,, ,.,..,

.......

/

,...dl ,.,/. , '

It",.,>< // ~-, ",.. ........ "' 1 .,.. ·/ --·-·----~r~-·-----'e..~--~-· d1 de

.,

V

-----..-.:::.~-

n1dă~

âna pătrată a densităţii coardei şi direct proporţio nală cu .riţdăciruz pătriltă. a: U":nsiunii. Soluţia (18) t~:a.re este· media aritmetică a undei directe (? ( x -·- at) şi a undei inverse IP ( x -+- at) ~ poate fi ohtinută 'i:n felul ttrmător : co~stnlim douii exennplare· identice ale graficului u=,~~ \F( x) al coa:nlei, pentru t = O .: să

de

l2S:

.

y-r()__ "

inve~~ proporţională

Fie~ ·1'iClJr;~,

}P == 0

...... ,

.' . . _ . . . X

l''ig. 13(}.

<.minat al coarde.i x, într~un anumit rnontent t. Este uşo1· de deter.:. minat grafic punctele coardei ale căror perturbări iniţiale au ajuns, in momentul t 0 , pînă la punctul x 0 • Acestea vor fi, conform. celo·r de mai sus, punctele cu abscisele x 0 ± at0 , deoarece 4$ este viteza de propagare a vibraţiilor. Pentru gă.sirea lor pe .axa O.X este suficient să ducem. ·prin punctul (x 0 , t 0 ) două drepte :X - ·~X

-~

at at

Xo

--- X o

-- at0 ,

+·

at0

l ;

(20)

J

la îutnrtăierea lor eu axa OX vor fi punctele căutate. Dreptele (20) se numesc caracteristicile punctului ( x 0 , t 0 ). De-a lungul primei drepte~ 'P (x -- at) păstrează o valoare constantă, adică această dreaptă dă valorile ( x, t) pentru care unda directă dă aceeaşi abatere ca şi pentru valorile (x 0 , t 0 ). A doua dintre dreptele (20) joacă acelaşi rol faţă de unda inversă. Se poate spune, pe -~curt~ că perturbările se propagă după caracteristici. Aplicînd construcţia indicată, putem pune în evidenţă următoarele fapte: Presupunem că perturbarea iniţială a avut loc numai pe porţiunea (oc1 , a 2 ) a coardei (fig. 130)? adică cp (x) = O în exterioru] acestui interval. Mărginindu-ne numai la semiplanul superior

(x t) adică t > O, sinO'ura ipoteză care are sens din punct. de' v'edere fizic, duce1n° caracteristicile punctelor oc1 şi oc2 aleaxei OX, figurate prin linii continui. A~~ste cara~teristici descompun întl·eg'ul semiplan în şase domenn. Do~en1ul (I} Col·es-punde punctelor. la care, în mom~ntul dat, aJunge atit unda directă cît şi unda inversă. _Domeniul (~I) cor~spund...e ~unctelor· Ia care în momentul dat, aJunge numai unda Inversa; In domeniul (Iii), din contra, ajunge numai unda direc;ă: Î~ pwuncteledomeniilor (IV) şi (V), în momentul dat, perturbanle Inca nu au ajuns. În sfîrşit, domeniul (VI) a -.fost _străbătut de pertur~are: şi, în momentul dat, el se află în stare de repaus. Aceasta r~Ies~ clar din faptul că, dacă printr-un punct M oarecare al domen1ulu1 ducem caracteristicile, el taie axa OX într-un punct x = c,. în exteriorul interyalului perturbării iniţiale, şi, pri~ urmare,. valorile cp (x ± at) = cp (c) vor egale cu. zero ....Afară de aceasta,_ dacă ducem prin M o dreapta perpendwulara pe OX, ~artea. de jos a acestei drepte, căreia îi cores~unde :pe_n!ru x n~sch1mhat momente de linii mai apropiate de timpul Iniţial,. va 1ntersecta cel puţin unul din domeniile I, II, III, iar p~rtea d~ s?s .~ aceste~ drepte, cărei îi corespund mom.ente de t1my ma1 tlrzu, va f1. în întregime cuprinsă în domeniul (VI). Du~: cum se v~ vedea mai departe, această proprietate rem~rcab1la a coarde1, de a ajunge în stare iniţială după trecere pnn unde, nu o are pentru orice perturbare iniţială. · . . -~ . 2. Deplasarea iniţială este egală cu zero ŞI exista numa1 impuls iniţial. Avem, în acest caz, soluţia

fi

:~+at

u (x, t) = ~~- ( 2.a

J

cp1 (z) dz.

(21)

2o

cp1 (x), atunci avem :

u (x, t)

=

\l>1 (x

- <1\ (x --· a.t),

+

(22}

adică vom avea de-a face tot cu propagarea undei directe şi inverse. Dacă perturbarea iniţială s:a mărg.ii~it numai la intervalul aceea_ şi con_s_·tructle ca Şl In cazul l, cu deose( o:1' oc 2) ' obtinem • • 1 f' d'f . birea, importantă, că în domeni?l ~VI) dep asarea va 1 l. e--' rită de zero şi se va exprima pr1n Integrala

;el se lărgeşte de ambele părţi, cu viteza a. Pentru .

-~ ( cp1 (z) dz. 2a

520

J

t

<

,

-~-=~~~ a .

·el nu va avea puncte comune cu (a 1 , a 2 ), funcţia q: 1 (z) va fi aci -egală cu zero şi formula (21) va da: u, (x, t) = O, adică repaus :tn punctul x. Începînd cu momentul t = ::.__-~- _t:t..:. , intervalul a

(x- at, x

-f: at~ se ·va suprapune peste intervalul (a1 , e 2), în care

·cp1 (z) este d1fent de zero, şi punctul x începe să oscileze (mo.mentul trecerii frontului anterior al undei prin punctul x). În

t~fîrşit, pentru t .. .

>

::.-=--~·:L, intervalul (x -- at, x u

f!-t)

'

va contine; '

in întregime, intervalul ( ~X1 , a 2 ), integrarea pe intervalul ( x -- at, x at) se va reduce la integrarea pe intervalul (oc1 , \X 2 ), deoarece 'în exteriorul său cp 1 (z), prin ipoteză se anulează,· adică pentru

+

1 > ---a

avem valoarea constantă u ( x, t),

,expresia (23). Momentul t

=

determint:ttă

.

prin

:r-=.~ţ este momentul trecerii frona

tului posterior a undei prin punctul x. Să facem cîteva ohse1·vaţii cu privire la cazul general. Să ,ob13e:rvăm că, încazul general, se poate întîmpla ca tmda directă .sau inversă să lipsească cu totul. Într-adevăr, presupunem, de
1 -2- w ( x) 1

«2

>

'( x -

x-~

o integrală uedefinită a funcţiei

+ at)

Într-adevăr, pentl·u punctele domeniului .(VI), prin însăşi

< o:1 , interval care conţine în interior pe ( oc 2 • Pentru t = O, intervalul de integrare at, x -+- at) degene1·ează în punctul x, şi apoi, dnd' t creşte,

.t

x-at

Dacă însemnăm prin

.:

-construcţia acestui domeniu, avem x at oc 2 şi x - at ,adică, în formula (21) integrarea trebuie efectuată într-un

+ -2~1

~

m T1

(z) dz

=

O•

(24)

o

ln acest caz, pe baza formulei a doua (16), funcţia 02 (x) va fi identic nulă şi," în integrala generală (12), unda inversă va lipsi. 521

Dacă în membrul al doilea al lui (24) punem o constantă în locul lui zero, atunci P2 ( x) va deveni o constantă, şi 1n formula (12) acest termen constant poate fi înglohat în (\ (x - at), adică unda invet·să va lipsi din nou. Să revenim la exemplul examinat în cazul 1. Fig. 128 dă graficul_ a~aterii iniţiale. (vi~eza iniţial"ă este:pretutindeni egală cu zero). Ultimul grafic" d1n ~Ig. 12?, da ~ra ficul coa:rdei într-un moment t := t 0 ~ eonstlnd din doua porţiuni distincte. Portiunea din dreapta, coresp·nnzătoare intervalului (o:, 3o:), se va deplasa la dreapta, iar porţiunea din. stînga se va deplasa spre stînga cu viteza a. Dar putem desene fenomenele următoare, pentru t > t 0 , luînd momentul t . t 0 ca. m?ment iniţial, calculînd pentru acest moment a.batenle u. :Şl v:atezele-

_?11

at

şi aplicînd formula generală (17)~ în eare tl'ehuie numai îu.

. _

membrul al doilea să înlocuim t 1nin (t --- t 0 ), t.leoarece t 0 esteluat ca moment initial. În acest caz, condiţiile iniţiale vor fi diferite de zero nu~ai pe intervalele ( --- 3o:, - o:.) şi (o:, 3o:) .. În cazul general, pe1·turhările pe fiecare din aceste intervalear da o undă directă şi o undă inversă. Însă~ în cazul dat, după cum am văzut mai sus, perturbările, de exemplu, in intervalul (oc, 31X), dau numai un~a direct~. ~c.e~sta se întîmplă :~)entr~ că~. în acest interval, afară de abatenle Iniţiale reprezentate m. ult1mul grafic din fig. 129, vor apare, ca urmare a o.s'~ilaţiilor, :astfel ~e viteze pentru t = t 0 , încît unda inversă va d1spa:re. Ex~ct. la f~1 perturbarea în porţiunea ( - _3oc, :- IX) nu ~~ da ~nd.a .du~cta: Acest fenomen corespunde une1a d1n formulanle prm.c1pmhn lm ·auyghens. . 166. Coarda mărginită. Să presupunem că avem o coa1·dă finită, fixată la extremităţi~ abscisele extremităţilo-r fiind. x =-= 1) Şi X =;

!•;{;rveşte desigur în acest caz, însă determinarea funetiilor 01 şi (j 2 prin formulele (16) : ' .

01 ( x) =" _..:!:___ q; ( x) --2

1·

= q; (x) ;

H2 (x) =-==

1--

q> (x)

·+ -;a

2-'! \ == i)t t=O

q-;1 (x),

<

l, mai trebuie satis-

~

(25)

D' Alembert (12)

522

==el (x ---

at)

~

(f'1

(z) dz,

'Rntîmpină aici ~ificultatea că funcţiile q; ( x) şi
;(0, l)~ ~onform cu sensul fizic al problemei, ia1· argumentele t(x ± at) in formula (12) pot fi situate şi înafara acestui intervaL

Aşadar, pentru a putea aplica metoda caracteristicilor trebuie tn·e~ungite funcli~~e 61 ( x) şi- 02 ( x) sau, ceea ce este complet .ec.hivalent~ funcţnle cp. (~) şi ;o1 (~), în af~ra intervalului (0, l). D~n punct d~ vedere .fxzic, aceasta prelungire se reduce la determ~narea unei. p~~t~rhaţii i.?iţ!ale a

c?ardei infinitP., aşa încît porlntnn e1 (0, l) sa f1e aceeaşi ca şi cum ea ar fi fixată Ca capete~ iar porţiunea rămasă ar fi înlăturată. Su~stitui~d î:n membrul al doilea al ecuaţiei (12) x = O şi ~ ~::-~ ~ §li ·r, egahnd rezultatele eu zero~ exprimăm condiţiile la ~Jm:t:hc su.n fm·ma m:n.şcarea

01 ( ---- at) H1 (l ----- at)

-+

(l2 ( at) ::= o~

(\ (l

.1-;a.u notind argu.me:r..rtul variabil

+ at)

(J.t

p.r:i:n

+ e2 (x

+:at)~

(27)

::-.::: O, ::t :

01 ( ---- x) =:: --- (12 (x), e2 (l x) =--= --- {\ (l -- x).

unde tp (x) şi cp1 (x) sînt date pentru O <:. x făcute si conditiile la limită : ·'

u (x, t)

(26)

o

i J

(28)

~-:înd ::t: ~'~rim~ă in _interval~l (0, l), argumentul (l ---- x) variază acel aş~ 1nter~al" ŞI membru d1n dreapta egalităţilor (28) ne sunt c~ln.os~~lţ:x. Însa. 111 a.cest caz~ argumentele (- x) şi (l x)

111

Soluţia lui

cp1 (z) dz,

!)!;

Afară de condiţiile iniţiale (8)

; t=O

~ o

l.

u

2a

vana~~' :respectiv, ~~n Inter:valele (-

+

l, O) şi (l, 2 l) şi a doua din ec~mţnle (:8~ ne ?a. valonle lui tl 2 (x) în_ intervalul (l, 2l), iar pr~m~ n~ da t, 1 (x) lllintervalul (-l, 0). M.a1 departe, prin variatia lu1 x 1n u:-tervalu.l..(l, .2l), argumentul (l- x) variază în intervalul ·(-- l, O) ŞI me1.nbn~ dn1 dreapta eP;alîtăţilor (28) ne sunt cunoscuti P.e baza calculului precedent. 1nsă atunci, argumentele ( _ ;) :Şl (l -+- _x) variază în intervalele ( -21, -- l) şi (21, 3l), aşa că ~ !or~ulele (28) ne dau pe 82 ( x) î~ intervalul (2l., 3l) şi pe (11 (x) m 1ntm~valu.l ( --- 21, ---l). P1:elunpnd în acest mod mai departe~

ne co~vingem că form~lele (28) ne _dau valori determinate pentru. funcţnle (11 (x), • daca X,<~' ŞI f'2 (x), ?acă X>[, tocmai ~eea ce ne t,:ebuie P.en~r~ a~lwarea formulei (12), pentru t > 0 .. L_a fe~, daca x vanaza In Intervalul (- 1, 0), atunci membrii d1n stinga formulelor (28) sînt cunoscuţi şi obţinem pe .e2 ( )· în ~nt~rv:_alu~ ( -l, O) şi 81 (x) în inter':alul (l, 2l). Apo-i, da că xx· vanaza In. 1ntervalu~ (- 2l, - 1), obţinem E' 2 (x) în intervalul ( -21,-1) ŞI el~ X) În II~tervalul (21, 31) etc., .adică formulele (28)' ne dau valon determinate pentru 01 (x) Şl e2 (x) pentru orice x real. Dacă în a doua ecuaţie (28) schimbăm pe x în (l x) şi nefolosim de prima ecuaţie, obţinem:

+

e2 (x

+· 21)

:::=-

1\ (- x) = (\ (x),

ad~că, s.e vede că funcţia 02 (x) are perioada 21. După 'aceasta: prima dn~tre ecuaţiile (28) ne arată că şi funcţia l\ (x) are perioada. de 21. D1n aceasta rezultă că, pentru a cunoaşte pe (\ ( x) şi 02 ( x) pentru toate valorile reale ale lui x, este suficient să efectuăm numai prima din operaţiile de prelungire a acestor functii adică este suficient să lăsăm pe x să varieze numai în intervaîui• (?, l). For~ul~le (28) ne vor da pe (\ (x) în intervalul (-[,O), ŞI pe f\ 2 (x) In Intervalul (l, 2l). Celelalte valori ale acestor functii se deduc din periodicitatea lor. . , După ce am determinat funcţiile 01 ( x) şi r 2 ( x), este uşor· să găsim şi funcţiile cp (x), cp1 (x), deoarece, pe baza ecuaţiilor (26), avem :

~dică obţinem pentru cp (-x) şi cp1 (x) o lege de prelungire extrem -~e simplă.: cp (.1i) şi cp1 ( x) se. prelunge.sc din intervalul (0, l) în intervalul, ( -- 1, Q) după legea imparităţii, şi, apoi, periodic, cu perioada 21. • Să considerăm din nou planul xt. Din cauză că coarda este m-ărginită, trebuie să cpnsiderăm numai fîşia semiplanului superior t > O, cuprinsă între dreptel.e x = O şi x = l (fig.l3l). Să lămurim st}nsul fizic , al soluţiei (12), · în care t funcţiile t\ (x) şi-. f\ 2 (x) sînt determinate ~ pentru toate valorile lui x, după cum am arătat mai s-qs. Ducem caracteristicile _prin punctele O şi L pînă la întîlnirea lor cu frontierele opuse ale fîşiei; prin punctele de intersecţie ob-ţinute ducem iarăşi caracteristicile pînă la întretăierea cu frontierele opuse ale fîşiei etc. ·Descompunem astfel fîşia în domeniile (I), (II), (III) ... Punctele domeniului (I) corespund la punctele coardei ph~ă la care au reuşit să ajungă numai perturbaţiile punctelor interioare. şi, de aceea, adăugarea fictivă a părţii infinite Fig. 131. n'u are aici nicio influenţă asupra miş cării. În punctele exterioare domeniuh:-.i fi) ajung şi perturbaţiile dela porţiunea fictivă a coardei; să luăm, de exemplu, punctul M 0 (x0 , t 0) din domeniul (II). Deoarece u,

1

a

adică

Cfll(x)

= a

(

J

cpl (z) dz

=

e2 (x)- fJl (x),

= el (xo -

ato)

·+ 02 (xo + ato),

în acest punct vor fi două unde: una- directă-- ajunsă de la punctul iniţial perturhat M 1 , cu abscisa x = x 0 - at 0 , cealaltă - inversă -- de la punctul M 2 , cu abscisa x = x 0 at0 ; aici, M este un punct real din intervalul (0, l), M 2 este un punct 1 fictiv. El .poate fi înlocuit printr-un punct real, observînd că, pe baza lui (28) :

+

o [O~ (x) ~ (]~ (x)].

Înlocuind în prima ecuaţie (28) x prin (- x) şi, în acelasi timp derivînd, obtinem : ,' ": ,

01 (x) = - 02 (-x); E~.(- x)

(xo, to)

=

E~ (x); (~ (x)

=

(~

(-

x).

Se~vindu-ne de aceste relaţii şi de~ prima din ec-ua-ţiile (28), putem' scr1e: cp ( - x) = 01 ( - x) + H2 (-- x) = - 02 (x)- 01 (x) = - cp:(x),

cp1 ( - x) =a [0~ (- x) -- 6~ (- x)]

=a

[f.~ (x)- f~ (x)]

·+ at0) = 62 (l + x 0 + at0 şi, astfel, unda inversă 0 x + at 6 (x 0 2

- el (2l -

l)

= ·-

01 (2l --:- x 0

--

at0),

directă, 0 ) este tocmai unda 2 ( 0 Xo - ato), din p1lnctul iniţial perturbat M~ (2l - Xo --

-ato) (simetricul punctului M 2 în raport_..;cu L), care, atingînd extremitatea L a coardei în momentul . (l

a

= - Cflt (x), 525 524

1

într-un mome11 t oareeare, se ubline dacă vom deplasa se c:mta, paraJelă cu direcţb~ şi-a

schimbat direcţia şi semnul şi, la momentul t 0 , a atins punctul Mo ; cu alte cuvinte, acţiunea extremităţU fixate X = l s-a redus la reflectarea undei deplasării legată de şchim.barea semnului deplasării şi clt păstrarea valorii ei absolute. Acelaşi fenomen îl observăm şi la undele care ating extremitatea x = O. În punctele domeniului (III) vom ave~ două unde: unda inversă şi unda directă reflectată de extremitatea x = O. În punctele domeniilor (IV), (V), (VI) ... obţinem unde care au suferit mai multe asemenea reflectări din ambele extremităti ale coardei. Dacă în locul ecua'ţ.iilor (25) am avea~ de exemplu, la extremitatea x =--c: l, condiţia

au! . =

ax

~~~l

o1 ),

atunei, în locul ecuaţiei a doua (27) am avea :

.

cu viteza a, din punctul A spre punctul A'; în particular, 1n momentul -r =··--, . a coarda ocupP. poziţia liniei frinte punctate OA'L 1n 1'ig. 13:3 sînt reprezentate formele suc(~esive lu:=~te de .coardă în momentele: l

l!, ·---··

2 4

~

U

~

2

1)

Ea se

întîlneşte

aceloraşi ecuaţii

stanta a.

în teoria osr:ţ[aţiilor longitudinale ale barelor cr~re se supun (5) sau (6), cu altă semnificaţie fizică p~ntru conformu.laUi spune eă e:xtremit~tea harei este liberei.

diferenţiale

Condiţia

U [ m=l

fjt

=

c===

0.,

(31)

Cfl1 (x).

(32)

În loc de a căuta integrala gene1· ală a ecuatiei (30), vom căuta o soluţie particulară' sub forma produsului a două funcţii, dintre care una să depindă numai de t, iar cealaltli numai de x: (33) u := T (t) x· (x). Suhstituind în (30), avem:

refleetărilor.

'

O,

u 1t=o = cp (x), 2.!!:_1 t=o

+

Coborîm pe OL perpendiculara A.P, pinft la întîlnirea. ei cu dreapta A'L în punctul B' ; găsim mijlocul C al segmentului A 8' şi determinăm, asţ.fel, direcţia LC. Figura coardei,

1::e=O ::=

(30)

axz

(Jt2

+·

:13~.

()Zu ::.= a2--,

(J2rz

·+

Un exemplu deosebit de simplu de aplicaţie a metodei earacteristicilor şi expuse mai '5US, este dat de "coarda ciupiU1''• eare în momentul iniţial a fost întinsă din unul din punctele sale, fără viteză initială. Cititorul va demonstra fără dificultate procedeul excelent de mai jos, de deter minare a figurii coardei, într-un moment oare::are, ~~~~~~~~L după figura ei iniţială.. . . . în fig. 132, prin linia OAL este reprezentată forma iniţiaW. a c;.oardei, iar prin linia punctată, . . . în raport eu nHJ ·-1 oeu1 coard e1. ~r """" ·--l . simetrica e1.

i:, T.

4

1 ()7. l\lletoda Fourim·. Oscilaţiile transvexsale ale coardei fixate la extremităţi pot fi tratate şi cu ajutorul seriilor Fourier, şi cu toate că, în acest caz particular, această metodă este mai puţin simplă ca cea prece~ dentă, o vom expune totuşi, deoarece se aplică la multe alte probleme, la care metoda car acte-~ ristic'ilor nu se poate aplica. Mai scriem odată, în altă ordine, ecuaţiile problemei :

+

Fig.

::1

'1:, - - - ':', - -

4

(l -·. at) -+- f~ (l at) ,=-=· O, :-~au, înlocuind din nou at p1·in x. e~ (l x) = -- e~ {l·-- .x). şi integrînd e2 (l x) co_-:;:: 01 (l - x) -+- c, unde C este o constantă pe care, fără a restrînge generalitatea, o putem presupune nulă (lăsăm demonstrarea pe seama cititorului). Astfel~ avem e~ (l x) = el (l -.-- x). (29) Semnificaţia fizică a acestei condiţii se reduce~ de asemenea, ia o reflectare din extremitatea x = l~ dar cu păstrarea şi a semnului şi a mărimii deplasării. C~

l

LC,

Fig. 133.

==~

X (x) T"(t)

a 2 rr(t) .X" (x)

sau 't" (t) n.2T(t)

=--=

X"(x) ----~

.

X (x)

în membrul întîi al ecuatiei obţinute figu1·ează. o funcţie >Care nu depinde decît de t, î?, membrul al doil~a~ ~lisă, . funcţi~ . depinde numai de x, şi egahta~ea nu est~ pos1h1la demt daca ambii membri reprezintă aceeaş1 constanta. Însemnăm această constantă prin ( -· k 2) : T"(t) =

o 2 1'(t)

ţ"(x)

(34)

X (x)

527

de unde deducem două ecuaţii :

X"(x)

'+ k

2

X(x) ' · O; 'T" (t)

+ ·a k

2 2

= O.

T(t)

(35')

Trebuie să mai dăm lui k una dintre valorile (37). Punînd în locul lui k diferite valori, putem să considerăm diferite şi con:stantele A şi B. Obţinem astfel mulţimea in,finită de soluţii :

lntegralele gener~le ale acestor ecuaţii vor fi .[27] :

X(x)

=

+ D sin kx;

C cos kx

T (t)

=

A cos. akt

·+

un=

unde A, B, C, D sînt constante arbitrare. După (33), obţinem pentru u : u _:_ (A. cos akt

+ B sin akt) (C cos kx ·+ D sin kx).

(36)

V om alege acum constantele astfel încît să fie verificate (31), adică, în expresia (36) factorul care anuleze pentru x = O şi x = l.

condiţiile la limită conţine pe x să se Aceasta dă:

C•1

+

+ D sin. kl =

nrwl

n

n

• mtx . . Sin~.

nr.al)

(38)

Sin~-

l

l

. ~ceste soluţii verifică atît ecuaţia (30), cît şi condiţiile la hmită (31). Să observăm că, graţie formei liniare şi omogeneităţii ecuaţiilor (30) şi {31), dacă avem soluţiile u 1 , u 2 ,. • • care le verifică, atunci şi suma lor le va verifica (ca şi în cazul analog al ecuaţiilor diferenţiale ordinare omogene şi liniare). Obţinem ~astfel următoarea soluţie a ecuaţiilor (30) şi (31) : 00

u

D · O = O ; C cos kl

(A ,cos-- + B . l

B sin akt,

~ (\ An cos

=

O.

• + Bn Sin

rmat

-

l

nrcal)

•

nrcx

(39)

- - Sin- .

l

l

n=l

Din prima ecuaţie rezultă C=O, iar din a doua, D sin kl,=O. D = O, atunci, deoarece C = D = O, soluţia (36) este identic nulă şi nu prezintă nici un interes~ De aceea, trebue să considerăm D :_ţ::. O, însă sin kl = O. Obtinem astfel o ecuatie pentru determinarea parametrului k, care 'pînă acum rămăse~e complet arbitrar 1) : Dacă

· Rămîne să determinăm constantele An şi Bn, astfel ca să fie ·verificate şi condiţiile iniţiale (32). Să derivăm soluţia (39) în ;raport cu t :

-l:oo (-

-au f)t

l

A

. nrr:at Sin l

n

+ n1ta -- B l

n1tat)

COS -

n

l

• nrcx • ( 0) Sin4

l

·

n=l

Făcînd în

sin kl =O,

nrr:a -

(39) şi (40) t

=

O, avem, pe baza lui (32):

adică re

k =o,±~~-,

:şi,

2rc

±··-[, ... , ::t

1m

-,~' ...

(41)

(37)

Substituind în (36) C=O şik=O, ob-ţinem un factor identic·n~l, prin u1·mare,_ valoarea k= Onu este interesantă. Afară de aceasta,

dacă în (36) facem k =

nrc .l

sau ,k .

= ··-·· ~-, atunci diferenta va l '

consta numai în semnul sinusului, însă avînd în vedere prezenţa factorilor arbitrari constanti, ·aceste · do·uă solutii vor fi, în fond, identice. Aşadar, din solutiile (37) .: pentru este suficient să luă:a;n pe cele pozitive. făcînd în,formula (36) C = O şi însemnînd constantele arbitrare AD şi BD prin A şi ]J, obţinem : .,

k;

u -·- (A cos akt

+ B sin akt) sin lr-x.

1 ) Dacă în (~14) ain fi însemnat; constanta pdn ( -!-k 2 ) în loe de ( -- kt.), atunci am ~i obţinut X (x) = Ct"kre + De-kro şi hu am fi putut satisface de loc condiţiile la liinită (31). Un tapt analog are loc şi Ja problemele ulterioare pentru eare vom aplica metoda lui Fourier. '

52'8

Seriile precedente reprezintă dezvolta1·ea după sinuşi a funccp1 (x) în intervalul (0, l). Coeficienţi.i unor astfel se determină după formulele cunoscute . [146], şi .acestea· ne dau următoarele valori pentru An şi Bn:

ţiilor cp(x) şi ·de dezvoltări

l

A

n

2 \ = ·-·-l

• ·

o

Jcp ()s1n. l

co ( z) s•i nnrr:z - - dz · B n l

'

2 = ---

nrr:a

1

z

nrcz -~·:--· l

dz •.

1

(42)

o

Introducînd aceste valori în formula (39), obţinem soluţia -ecuaţiei (30), care verifică şi condiţiile la limită (31) şi condiţiile iniţiale (32). · 16U . .1\rmonice şi unde stationare. Să 'introducem ampli·xudinea Nn. şi faza in.itială m a oscilatiei armonice : , "f'n. "

. nrcat B n sin nn:at A n cos--+ -l- = N n sin ( _1_1_.-_r :; a_l l

+ cp.) .

1

529

Fiecare termen al seriei (39), care dă soluţia problemei (

A 11 cos mrat. --l·

+ .B

0

. nrr:at) • nrrx s1n --l- s1n ..- -

1

==--=

N n Sin . (nrwt - -·· 1

+ cpn) Sin . -nnx·, 1

(4

3) ,

reprezintă aşa numita '!'ndă .staţionar~, !n care pun~tele vco~r~ei execută o mişcare osCilatone armoniCa eu aceeaşi faza ŞI eu amplitudinea . nrr:r N n Sin--, l

depinzînd de pozitia acestui punct. Printr-o astfel de vibraţie coarda scoate un 'sunet a cărui înălţime depinde de .frecvenţele vibraţiilor

(44) iar intensitatea depinde de maxim.ul amplitudinii Nn a vibraţiilor. Atribuind lui n valorile 1, 2, 3, ... , obţinem tonul fundamental al coardei şi seria armonicelor superioare succesive, a c~ror frecventă sau număr de vibraţii pe secundă sînt p1·oporţwnale cu tern;_enii şirului natural al numerelor 1,. 2, 3... . ~oluţia (39), adică sunetul prod~s de co~rdă,. se f01·meaz~

din aceste diferite tonuri sau armonue; amphtudn1ea lor, dem şi influenţa lor asupra sunetului produs de. coardă, de~cresc, de obicei, rapid cu mărirea. numărului de ord~ne al a.rmoniCelo~, si toată actiunea lor se reduce la crearea ttmbruluz, sunetulUI, diferit pent~.u instrumente m~zicale di~erite şi exp licabile tocmai1 prin prezenţa acestor arrnoniCe supenoare. În punctele l 2l (n-1)l · (45\, X = 0 , __ ,, - , • · · , - - ' l f n

diferite nelegate între ele, însă fixate în nodurile limitative .. Dacă vom apăsa pe coardă tocmai la mijlocul ei, adică în ventrul tonului ei fundamental, atunci se anulează nu numai amplitudinile acestui ton, dar şi al tuturor celorlalte care au ventre în acest punct, adică armonicele 3, 5, ... , din contra, la armonicele pare, care au nod în punctul apăsat, aceasta nu va influenţa~ ·şi coarda nu va da sunetul de bază ci octava lui, adică sunetul -cu un număr de vibraţii pe secundă de două o:ti mai mare. Metoda expusă, spre deosebire de metoda caracteristicilor, ·poate fi numită metoda undelor staţionare; de obicei este numită .metoda lui Fourier. · Se arată, fără nici o dificultate, completa identitate a soluţiei 1·eprezentată prin seria (39) cu cea dată mai sus în [166]. lntr-a··devăr, să observăm că în [166] am arătat că aplicarea formulei lui D'Alemhert (16) la coarda limitată, cere ca funcţiile q:> (x) şi cp1 (x), care sînt date în intervalul (0, 1), să fie prelungite în intervalul ( --- l, O)~ după legea imparităţii, iar, pe urmă, cu ·perioada 2l. Însă, această metodă de prelungire este în totul ...echivalentă dezvoltării acestor funcţii în serie F'ourier, după cSinuşi [145], adică în totul echivalentă formulelor (41), pentru x .Qarecare. Introducînd aceste expresii ale lui cp (x) şi ;c 1 (x), în ·formula lui D' Alemhe1·t (16), ajungem, cum se vede uşor~ la :soluţia (39) : 00

u ==

2 ~

[sin -~~1<- -:__t_:_9_ l

n··''1

m-{-at

a:.

~~T~ "/1. "'~

n

n

.J:._ \--q An

"!

:~au

amplitudinea vibraţiilor armonicei n se anulează, deoarece în aceste puncte sin ~~~

O ; aceste puncte se nume se nodurile

:::.-o:-

{

armonicei n. In punctele : l

3l

x=~-·~-~,

2n

2n

(2n --· 1) l ... ,----., 2n

amplitudinea oscilaţiilor armonicei n atinge cea mai mare valoare,. d.eoarece în aceste puncte funcţia sin~ este maximă în valoare 1

:n

absolută; aceste puncte se numeEc untrele :WCI1ic.ei ~ ·Coarda oscilează astfel. ca şi cum ea ar· consta d1n n. ponlunt

-de unde decurge imediat (39). În cazul de faţă, metoda Fourier are neajunsuri în comparaţie .-eu metoda caracteristicilor, şi anume, ·seria (39) adesea este foarte lent convergentă şi nu poate servi, nu numai pentru ,calcul, dar nici pentru a demonstra riguros că această serie teprezintă efectiv o soluţie, deoarece. pentru aceasta, ar trebui

să fie derivată termen cu termen, de două ori, ceea ce introduce· în fiecare termen factorul n 2 • Dependenta functiei căutate de datele iniţiale

[f(x, t) = _2_-F(x, t)].

fără actiunea fortei, numai ca urmare a perturhării iniţiale~

Analitic: aceasta :r~vine la a introduce în locul lui u. două funcţii noi v şi w, după formula

U =V+ W, unde funcţia

t'

verifică condiţiile ;:, 2/J

=

u f)f2 V

l

x=O

V 1 t=O

u l rc~~o= O; u

l

x=Z

=

f)u 1 ()l . t=O

O

= Cf't(x).

(47)·

(48);

Aceste oscilaţii întreţinute de tip general pot fi considerateca un ·rezultat al compunerii a două mişcări oscilatorii, dintre· care una:este··o.oscilaţie,,..pur întreţinută, adică are loc sub acţiunea fortei F, coarda nefiind scoasă din starea de repaus, în momentul iniţial, iar cealaltă este oscilaţia liberă, pe care o execută coarda.

532

·+ f (x, t)

=

V

=

1 rc=l

-~-~ 1 = ()t t=O

0;

Q

(50)

0

(51)

ş 1 dă oseilaţia pur întreţinută, iar funcţia w verifică condiţiile fJ2w

-- = ,Jt2

(J2w

a2~' f)x2

W] x~~~o= O; W \

W

t=O = cp(x) ;

l x=l =

O,

(Jw 1 = t=o

at

Cf/I(x)

+

şi dă oscilaţia liberă. Formînd suma u = v w, ne convingem imediat că ea ne dă soluţia problemei, adică a ecuaţiilor (46), (47) şi (48). .., . . .. . . . . . . Metodele pentru gasuea osctlaţnlor hbere ale funcţtel w au fost indicate mai sus, aşa că nici nu ne ocupăm decît de aflarea funcţiei v. Ca şi în cazul oscilaţiilor libere, vom căuta funcţia v sub forma unei serii : 00

v(x, t)

(46}· limită.

!_

(Jx2

0;

=

• l11tX = '}"""'~ Tn ( t) SlD. -- , k"J l

(52)

n=l

()

La această ecuatie trebuie să adăugăm conditiile la (în cazul coardei fix~te) şi condiţiile iniţiale : '

c::'\2v

a2

aşa că conditiile la limită (50) se verifică de la sine, iar funcţiile

Tn(t) se de~sebesc, desigur, de acelea pe care le-am avut în. [167], deoarece ecuaţia (49) nu este omogenă .. Substituind seria (52) în ecuaţia (49), obţinem.

~ Tn" (t) '\.--, .k-1

•

nrrx

s1n - -

l

= --· a2

~

(nrr)2 Sln . ~ nrrx -t- .f(x, t),

~ Tn (t) ~

l

l

n=l

de unde, înlocuind pe~:.:_ prin mărimea w. (44) [168], ~

f

(x, t)

= ~ [T; (t)

+ w; T~1 (t)] sin n~x •

(53)

n=l

533-

Funcţia

J( x, t),

ca funcţie de x, poate fi dezvolîn se:rie Four.ier. sub forma :

,;tată

considerată

.f.(. x, t ) ==

~

1' , )

. J n ~t

. 111t:r ~In -·-

l

,

n=l

t) sin ~~~~- dz

Jn ·

l

r

ŞI depind de t. Comparînd dezvoh~h'ile şi aceeaşi funcţie x, t), obţinem. şirul

( ;)5)

'

(53) şi (54) pentru nna de ecuaţii

f(

.;+o

~

-care determină func-ţiile ''T1 (t), T 2 (t), ... Cu această determinare a functiilor T (t), functia (52) verifică ecuaţia diferenţială ( 49) şi , condiţii:Îe la limită (50). Pentru verificarea condiţiilor iniţiale (51), este suficient s~i. supu~ nem funcţ ii.le T1~ ( t) acestor condiţii, adică eondiţiilor : · ·căci

atunci este clar

. 1 .IJI

· -·-

~=0

1:· 1, (()) . n

:= O~

O, T 1; (O)

i"

!::, i!

d;: ... ,. ?PUi

pt~lll ru

8

+ 11.

'·-l.i

tH·S

~ f (z, l) dz ... )- P

(57)

~ --

(J.) pentru

:.. P.

o-l:i

o ;; <

că

. nit ;c Slll ,._._.

.

=

U

170. I
(56)

Tn (O)

(t) ;

Acest caz de neo:rnogeneitate a condiţiilor la limită îl vom studia în volumul IV.

1

f (z,

:=c (J)

(54)

;.ai eărei eoefieieRţi };1, (t) sînt determina-ţi JH1n formu.lele

fn (t) -~'= _3_ (

ueon1oge.ne şt inse:rnnînd func-ţia eăuta Ht tot e~~ u~ ohţinem' problema

:=

,

0 : ,dll rit

• T •.•, (O). SlU

t'

t~.,()

nrrx

·---· :.:..--::

l

0.

Deoarh:e. :prin ipoteză, f(z, t) este nulă înafară de interval ul c · · · ~ .:;;;;:c r· (}, utilizînd prima teoremă a mediei [I, 95], în cme pre" upunem di f (z, '" ~d eonservii semnnl în intervalu1

n=J ollţ.inem:

Soluţia ecuaţiilor (56) şi ,deducem, fără dificultate :

(57) a fost

indi~ată

in [28]. (le unde

.!._ ( J: -r) J . ( 1

<:un

\)

sin

(l)n

unde

;.;au, suhstituind expresia (55) pentru .f~. (~.·) :

~" dr: \

lNnJ

o

lntroch.:wînd Jui v(x,t).

f

•

o

această

mr~

nrr:.,

(z,. l). sin .......l - dz '- -;in ----.. 1

c·~ li

Jf

(z, r) dz,

·~-- .. IJ

;; ... l)

~

este o valoare din intervalu1 (c

1,a Undtă, c1nfl

x\ -.~",

1

2 : = __ __:__

~f 1

(t

(J

Tn (t)

nrcz

J ! (z, O siu ... -1--· rh

t

1'n (t)

••+o (

(z, --r) si:n wn (t · ·- -r) sin. ~~~:!_- dz.

(5H)

l

•

o. c

;·

m.

O:

f (:o,

1!11:~~

t) sin ··--- dz l

-·~>

nne P (t) sin --· , l

ti

valoare a lui Tn (t) in (52), avem. expresia

·

Pînă acum am conside:rat ca neomogene sau conditiile ini-

Jiale (la functia w), sau ecuatia difer~nt:ială (la fur:ctia v). Este :natural să consideră1n cazuf cînd şi co~diţiile la limită sînt neomogene. Considerînd că ecuaţia ~i condiţiile iniţiale sînt

Ş< atunci, funcţia Tn (t), definită ea limitn expresiei din membrul al d oiJea (58)., pentru ~ -+ O, se serie snh forma

i
oscilaţia întreţinută

determină

se

la osciiaţiiie lihere
prin formula:

lXI

u (x, t)

1:

=

lwn

.

l

n=l

~ O

·

(59)

l

. rmc l

=- P 0 sin

sau, socotind pentru simplidtate f'aza

=

P (t)

l

(wl

=

+ rp

l (wn-

• 111!X / ·----·sm - -

l

P 0 sin <•> t.

atunci : t • rmc ~ sm{eos [wnl-(cu11 ---c..>)'t']-

l(,)n

l

o . nnc sin - sin

Wn

t

poate fi calculată prin metoda indicată în [1!'::91, dar, fără a ne opri la aceasta vom indica o alH't soluţie a aceleiaşi prob1c me, comide1înd forţa concentrată. nu ca un caz limită al distribuţiei continui, ci direct. Punctul C de aplicare al forţei descompune coarda 'in două porţiuni (0, c) şi (c, n. Consider'înrl separat ambele porţiuni, îmcnmăm ordonata primei porţiuni prin u1 (.t:. t) . iar ordonata porţiumi a doua prin u 2 tx, t). Pentru aceste funcţti u 1 ~i u 2 ohpnem ecuaţiile următoare : ()2ul

+

a2H2

a2 ()2u1 (Jx2

=

a2

at2

l de

=

(JL2

. nnc . l smsm(,).

Uacă frecvenţa forţei

întreţinere

(60}

l

Suma

O:

2

2 (1) )

. nnx

nnc sin-

lw 11 ((1)n- w2 )

2

a21!2

n=l

o

2P0

-- •

0)

-- 2 (,) P 0

+

pun1nrl cx 2 ~=

n2- a 2

P 0 • nnc~2smt.J't'SlilWn(l-. . P0 = -sm-c-)d't'=-l(>)n

[

---~sm--

t

,

1 n (t)

. nnx

Sln--

(1)2[2

s~u,

'

acelea care au nod în punclul C de aplicare al forţei. ne oprim la cazul unei forţP de întreţinere oscilînd armonie, cînd avem :

dă

~

. nnc sm1

Să

Formula pentru Tn (t)

c·>l

o

sm --=o

P (!)

~~sir:

V(.r, lJ

sm-z·

n=l

Această formulă arată că în oscila(.ii!e întretinule pot lipsi 1mele anHoniee .'Superioare, anume acelea pentru care

:
. nr.c

CI)

. trr:c \ nr.:t smP (-c-) sin w 11 ( t - -c') d-e-· sin-- .

2

nu coincide cu nici una din

frecvenţele

ale oscilaţiilor proprii, toţi numitor li ( c.u! -- cu sînt diferiţi de zero; dacă însă se apropie de· una din frecvenţele (,)n numitorul corespunzător descreşte şi termenul Tn (t) devine foarte mare în comparaţie cu ceilalţi, adică are loc feno-· menul de rezonanţă. în sfîrşit, dacă cu = (J)n atunci expresia precedentă pentru Tn (l} îşl pierde sensul şi trebuie înlocuită prin alta. D.1că introducem in formnla (52) expresiile obţinute pentru Tn(t),obţinem:

~2u2_

pentru O < x pentru c

(Gl)

< c,

< x ·..:..

l,

rJ;r2

. deoarece în interiorul intervalelor (O, c) şi (c; 1) nu există forţe exterioare. Mai departe, avem condiţ.iile de fixar~ a extremltilţilor:

2)

<•)n

(62)

«1

<~ondiţia de

continuitate n coardei în punctul x = c : (()3)

lJ

(x, i)

= - 2~

Po

1:

şi, în sfîrşit, condiţia de echilibru a forţelor care actionează in punctul

n=l

- (Jull <()

2P

-+- --0

sin (,) t

~

• I11tC Sin··-"--·

.kJ - - ln=l

(J)~

-·(1.)2

==

f)x jm=~

. mcx sm ----- . l

Primul termen din al doilea mem Lru are forma oscilaţiilor .libere, iar al doilea are aceeaşi frecvenţă ca şi forţa p erturbatoare. Haportîncl primul termen

_e_ To

p (i) = -- _1_ p (t) 1)

x ""' c

[16:31 : (6-1)

a2

1) în formula (7) [163], pentru a concorda cu notaţiile actuale, trebuie pus

P't) în lo ·ul lui P(t) si (Ju 2 p ~ C . , ~ QX '

au~ în lo~ul lui (8:!!_) ). ax ax + , (~u uX 537

c, ·,i, din oscilatii!e !ntreţinute provocate de ea, alegem \"r:ste osciJa"ţii le eă.utăm snb forma :

Psdia~)a

sin

~~'

-..

c2

sin

~2~--:_~)

a

de Jreevent:"i (o.

eal"t" e.mduee,

dup~t

O

'lns~l, (une~ia şi,

în

să aib i:i cu aceasta, punem :

expre~;ii

X(x) trebuie

.l~wiHuâi

wc

o

C1 c:os ----

a

(l --- c) + c~., cos (
n

. w ( l - c)

(•}!"

Slll -------..........-

d!fefite în

inlerv:~ie(~:· ((1, ~:) ~i

1':1 "''·

p () _________r:..______ _ Olt) Nl sin--

.,

Po

c2 =· ----

şi şi.

fonnulele (65) 'Jor da

soluţia

sin--a wl

arn

sin

a

Substituind i'n (61)

P

~-!!- . aco

ealeule simple, la

u (:r, l) = X (:r) si.n 01!,

nude,

="c

c1

p.rob'ienwi :·mb fornw :

(61:t), avem :

.

w (l --· c)

Slll -------··-·-

_P_o .......-----~-...... t1(r)

(x)

O.

u )i.

(:.~:,

(t):t:

sin ·----- sin (uf rwntru O

(!)/

•

X

··~.

(:,

(1

s1n ·---a

{)

analog"

sin-~~(t)2

_!:~

X~ (x) t· ---X.-, (x) o2· . ~·

,\.ceasta

dă,,

a

sin

(/(,) sh1 c::!_l_ · a

pe baza Ini [271 :

Cititorul va putea verifk.a,

(!)

pciT!'rJI

o fără

greutate,

c(l

::;ol upik (ti6)

şi

(GO) pcn tru

\. (:r, t) fmnt identice, dezvoltind pe (66) in serie Fonrier dup:l sim1~;L

•:in -· · .r. f)

171. I•~Ol'Inula lui Poissou. Prin analogie cu cazul coardei infinite, să ne ocupăn:1 ac·n:m de rezolvarea ~cnaţie:i generale a

r:onditiile (fi2) ne dau : ,.

el

ruf

ţ/

o , c,

=-=

eos

und~]~n .1.

O.

·di·

und~

deduc:em

că

(/

(67)

putem. pune : "

el

wf

c2 sin--- '

::ce

unde C2 este o constanW trar8 c~ obtinem : XI (:<:) c==

a:

:1rbitrară. Noti~nd.

el s.in

pcnLrn simetrie, eu G1 cunst
(\) (/ -· .c)

(J};;r

sin

·--. , X:.c (x) "·

-

a

i',orHEti
•

O)C

el .;m -

a

sin

(r)t

7.:.C

c.~

sin

a

H.iîm'i'ne numai de verifient eea din urmti w

,

. u> (l -

c)

--- ---· C2 eo:·: ·---------.. sin a

588

(l)

C•)t

el

condiţie

wc

eos -

(fH), din (:an.o se

.

sin(t)h·c

obţiw~

in spaţiul infinit, penti·u ·v::e.l.ori iniţiale date. Stabilim 1nai întîi o propoziţiune ajutătoare. Pentru .uşurilrţ:a scrisului fm·muldor ulterioa:re, însemnăn: coord.on~;:ele ",(x., y, z) p;dn (_x1 ~ x 2 , x3 ). ~i~ tt'l ( x 1 , x 2 , x 3 ) o funcţie continua~ atit ea mt Şl denvatele e:t pma la ordinul al doilea, într-un domeniu D sau în tot spaţiul. Toate rationamentele ulterioare se vor refm:i la acest do:rneniu. Să C0;1siderăm valorile funcţiei tj) pe sfm~a Cr ( X1 ~ X2~ x 3 ) CU. cen ..:nd într~un punct (x1 ~ :z2 , x 3 ) şi Cll raza r. Coordonatele pnnctdo:r acPstei ~5fere pot :fi exprimate prin fo:rvnulele :

unde (oc1, o: 2 , o' 3) sînt cosirn.l~]â directori
unde unghiul O variază de la O la ~c, ia1· unghiul cp, de la O la 2rc. Însemnăm prin d111 elementul de arie al sferei de rază unu şi prin d" 'J elementrd de arie al sferii. de rază r : dl () = sin 8 do dep ; d" (J = r 2 dl (J

== r

2

sin

-Ultima integrală poate fi transformată într-o integrală pe ·s:uprafaţa sferei c,.( xl, x2, xa) :

e dJ dep • ..

Să considerăm media aritmetică

a valorilor fu:ncliilor w pe x2, x3), adică integrala funcliei w ( xl, x2, xa) pe suprafala acestei sfere, împărlită prin aria suprafeţei. Mărimea acestei integrale depinde, evident, de alegerea centrului ( x1 , x 2, x 3 ) şi de raza sferei, adică media aritmetică va fi o funcţie de. pat~u.., ~ariabi~e {x1 ,. x 2 , x 3 , r). Putem scrie această medie aritmetiCa 1n doua felun :

suprafaţa sferei

c" (xl,

·v (x1 , x 2 , x3 , r) =-:re~ ~ w (x 1 +~1 r; x 2 +cx2 r; x3 -t-o::3 r) d1 cr (68) o o

sau ..

v (x:1, x 2 ,

:t: , 3

r) =

_J_. ( 4rcr2

(

J J

u:J (x1

+ IX:t r;

x2

+ cx

2 ,. ;

x3

+

or-ar) dyr;.

(J2v (Jr2

~ V

au + -2 --r

:::.=:

0,

(69)

(Jr

unde, ca întotdeauna,

În formula (68) integrarea se efectuează pe suprafaţa sferei de rază unu şi putem deriva în raport cu x~ sub semnul integral. obţinem

:

aplicînd formula lui Ostxogradski, obţinern :

av = -~ ( ( ( L\w dv, fjr

4rcr

(70)

JJJ D".

unde D" este sfera cu centrul în (x1 , x 2, x3) şi cu raza r. Ultima.

două funcţii

"expresie este· produsul. a

de r :

fracţia 4?tr2 -~- şi

inte-

grala. Derivata în raport cu r a integralei triple este egală cu integrala aceleiaşi funcţii efectuată pe suprafaţa sferei C, .. Pentru a ne convinge de aceasta, este suficient, de exemplu, să exprimăm integrala relativă la D,., în coordonate sferice. Astfel, derivînd ncă odată în raport cu r, obţinem :

a,

Vom arăta că w fiind oarecare, funcţia v verifică .una şi ae.eeaşi ecua1ie cu derivate parţiale :

Astfel,

:şi,

Substituind expresiile derivatelor de mai sus în ecuaţia (69)~ ne convingem imediat că această ecuaţie este verificată. Dacă r ~O, atunci din formula (68) rezultă că 'V (x1 , x 2 ~ xa) tinde

·Către w (x1 , x 2 , x3} şi din (70), că _r!_~ tinde către zero, deoarece i)r

integrala triplă din formula (70), conform teoremei mediei, este de acelaşi ordin cu r3, iar la numitor este r 2. Ajungem astfel la teorema următoare : T e o r e m ă. Oricare ar fi funcţia (u, admiţînd derivate

continui pînă la ordinul al doilea, funcţia. v, determinată prin .ecuaţia ( 68), verifică ecuaţia ( 69) şi datele iniţiale t' \

~-o

=

w (x1 , x2, x3}; .§.!!__

or

l

r=O

=

O.

(71)

Să demonstrăm, utilizînd această teoremă, că funcţia şi

u (x1 , x 2 , x 3 ,,t)

= tv(x1 , x 2 , x3 , at)

(72)

:satisface ecuaţia undelor (J2u .

-=

8L2

a2

l(J21l (J2u 82.zz ) -+--+-

oxi

8x~

oxi

(73).

541

ţa (?Oruliţiile iniţiale

u

l

• f;o··

n

::o::::

o

(74),

Î.ntr-adevăr, avem

2 a _d!!__(~ 1:._:l;_::.:~:~a:al)_ 8r ~u ==~ unde~

·de

Revenind. ia uo tati a initială a coordonatelor şi luînd în primul caz al condiţ.iil~r iniţiale (74) ca fun.ct~e U). (x: y, z), o functie m (x y z) iar în al doilea eaz al cond1ţnlor Iniţiale (74 1) ' y, ' ' " d so l uţn •'le luînd, caTl(u (x, z) o altă funcţie cp ( x, y, z) ŞI• a d un1n astfel construite, vom avea o soluţie a ecuaţiei (67)~ ea1·e va verifica condiţiile iniţiale :

u) ,

-ţ-

(1 ţ

- -----· -------····-· ' 8~

este

valoarea

derivatei,

I.ntro d.uc1n " d expresn "l e prece d ente T = at. [!r în ecuaţia (73)~ obţinem pentru v ecuaţia (69) pentru T at, care, după cum s-a arătat mai sus, are într-adevăr loc. Condi-

=

ţiile iniţiale (74) se obţin imediat din (71). Întrucît ecuaţia (73) este o ecuaţie liniară, on1ogenă cu coeficienţi constanţi, urmează. . f'ace d e asernenea aceasta ecuatie. S"'a-1. d etermi. ca"' ŞI. u == dll --- satls V

•

1

8t . • nă;m datele iniţiale, pentru t := O. Ţ'inînd seamă de condiţiile . . . l e (74)• ~ o h ţinem . . u ~-== au unţ:Ia pentru t'. uneţ1a ---··-1.

.

i)t

u (M, t) =

()t

l l u1. (ti:> ,.., ')) : avem, pe .laza

(J2u

===== - - - .

()i 2

.

sau, deii-vi:nd prima dintre eoordo:n atele~ obţinem

condiţiile iniţ.iale

a-ul

l

-ailt=O

i)l

=

11

(x,

(P1

t~~o

Y~ z).

(75)

(74) in. raport cu-

o.

=O.

u a este·

Tndq; 1 (Nl)}

+- -~t

[tTat { cp(M)}].

(76)

O·

2

2x

.7t

u( x, y, z, t) = --.~- CCcp1 ( cx, ~' y) d1 :: -+- -~!~\-_!__ cp (ac,~ y) dlcr], (761) 1rr) J 8t 4rr) J () ii . o o

((

v.1nde d 1 cr = sin O dO dep, iar ( C{, ~~ y) sînt coordonatele punctului variabil al sferei : COS

cp, ~=-=-.y+at sin 0 s:in q:i,

j"===.Z

-t--at eoS tJ.

(7'7)

Rationamentele precedente arată că funcţia u, deterrninată prin fo;mula (76)~ verif~că efectiv. ec~aţ!a ...(67) şi ~ondiţiile (75), dacă r-Pl (x, y, z) are denvate co:ntinui pma la ord:mul al dmlea, iar cp ( x, y, z), pînă la ordinul al treilea. .. " . Împrejurarea din unnă este legată de faptul ca 1n fonnula ( 76) intră, în al doilea termen, ~ derivare .î~ raport cu t. În cele ce urmează vom vedea că soluţm este unica. Să presupunem că perturbarea iniţială e~t~ co~1ce:ntl"ată într-un volum (v) mărginit de suprafaţa (cr), adwa presupunem că cp(N) şi cp 1 (N) sînt nule în exteriorul lui (v); mai presupunem

că

Astfel~ derivata în raport cu t' ;:t soh:q:iei preeede:nte eeuaţiei undelor (73), eare vm·ifică. condiţiile iniţiale (74), o soluţie a ae~;:leiaş:i. eeua-ţ:ii şi verifjcă condiţiile iniţiale :

t

Această formulă se numeşte, de obicei, formul(l. lui Poisson. Evident, ea poate fi scrisă sub forma :

CX=.x+at sin f3 Jl • oul l ) ent.J'n oerrvata --

y, z); ()u~

Însemnînd, pentru simplificare, prin T" {w (NI)} -- media (c) pe sfera cu centrul în punct~l M (x,l, ~) şi raza r, putem scrie, conform cu cele spuse mai su~, sotuţia ecuaţiei (67), care verifică condiţiile iniţiale (75)~ sub forma

ol' (xl, x~, .1:a, r) .pentru -----------------------

.

aritmetică a funcţiei

t!lv (x1, x 2 , x 3 , at),

exemplu~

=

lt="O

::l (';2v {x1 , x 2 , x:3 , al)

punctul M este situat tot în extm:iorul lui ( v). Pentru t

< ~- ,

unde d este distanta minimă de la M la (a), sfera (Sat) se găseşte în exteriorul lui (v), ambele funcţii menţionate mai sus sînt egale cu zm:o pe (Sat), şi fonnula(76) dă u(M, t)=O, adică avein repaus în punctul M-. În momentul t =-=

~ suprafaţa (Sat) atinge a

(a), şi frontul anterior al undei ·trece prin M. În sfîrşit, pentru 54~l

f)4:~~

t

Jj

>- ,

unde D este

a suprafeţei

distanţa maximă

de la 1\IJ

pînă

unde n este direc'ţia normalei la (Sat), adică a razei acestei sfere ·Car~ f~ce un u~g?i ~scuţît. cu. axa. OZ. Dacă N este un punct van~bll al ..sferei, 1ar N 1 prmecţ1a lu1 pe planul .XOY, atunci, din con8H:lm·aţn geometrice simple, rezultă clar că

la punctele

(cr), sfera (Sat) se va găsi din nou în exteriorul lui (v} [întregul volum (v) va fi interior lui (Sat)], şi formula (76) va da,

din nou, u (M, t) .

=

2

o z~· = At2


{,OS

a

frontului exterior al undei prin punctul M, după care, în acest punct, u(M, t) se anulează şi nu este o constantă, cum s-a întîmplat pentru coardă (adică pentru unda plană). Frontul anterior al undei, în momentul dat t, reprezintă suprafaţa care separă punctele care încă nu au început să vibreze, de punctele care· deja vibrează. Din ceea ce precede rezultă că toate punctele acestei suprafeţe au distanţa minimă la (o), egală cu at. Se arată uşor că această suprafaţă va fi înfăşurătoare pentru familia sferelor cu centrele pe suprafaţa (r) şi raza at. Constanta a este,. după cum vedem, viteza de propagare a frontului undei. 172. Unde cilindrice. Să raportăm spaţiul la un sistem de axe rectilinii ortogonale şi să presupunem că funcţiile ~ (x, y, z). şi ~ 1 (x, y, z) nu depind decît de x şi de y, adică păstrează o valoare constantă dţ-alungul oricărei drepte paralele cu axa OZ. Dacă punctul M (x, y, z) se deplasează paralel cu axa OZ, atunci, evident, membrul al doilea din formula (76 1) nu-şi va schimba valoarea, adică funcţia u (x, y, z, t), de asemenea, nu va depinde de z, şi formula (761), ne va da soluţia ecuaţiei

în

•

O. Momentului t = -e__ îi corespunde trecerea

a2

(i~~

+ ~~)

();1:2

6y2

n,

Z) __ "NN; __ Ya2t 3 • .::. (tY.·-::_-_.-x)-a----
unde (o:, r:.) SÎnt COOidtHl
~hr

J( [.) CF>t ( v::, ~l> y) d1 cr = 4-._!___.a2t-. J(

"__-; ·-.2_ ( ( ____....!!_loc, (3) :.lna J J Ya 2 t2 - (rt- x)2- ({3 _ wat)

- , cos(n, Z)

dC

·y)2

at·

.

u (x,y, t) =---= J_ ( ( ~--:::.~1 (IX, {3) 2·tra

J J Va2 t2 -- (a -

dot d~ __ x)2 -- (~ _ y)2,

+

( 0 at)

+ _&__ r~-

a

~)clSai ~-=

xo

:

dS t = ___!!_Cat

({)1 ( cx,

A.plieînd aceeaşi transformare la a doua integrală şi însemnîn~i ele~entul. ~e. arie d~at în planul __ Y sub forma drx d~, oh'ţ:mem, m. definitiv, urmatoa1·ea formula pentru funcţia că.utată. care verifică ecuaţia (78) şi condiţiile (79) :

(78)

Putem să examinăm această soluţie, rămînînd exclusiv în planul XO Y. Pent1·u aceasta trebuie să transformăm integralele formulei (761), care se referă la sferă, în integrale pe cercuri, în planul XOY. I.Juăm punctul M (x, y) în planul XOY. Punctele de coordonate (oc, ~' y) determinate prin formulele (77) pentru z = 0,. sînt puncte variabile ale sferei (Sat) cu centrul în punctul M (x, y, O) şi raza at. Elementul de arie al suprafeţei acestei sfere va fi dSat = a 2 t 2 d1 cr. Părţile acestei sfere care se găsesc deasupra şi dedesubtul planului XO Y, se proiectează pe planul XO Y în interiorul cercului (Cat) cu centrul în M şi cu raza at. Elementul de arie al proiecţiei dCat este legat cu~ elementul de arie al suprafeţei sferei dSat' prin formula [62] ...:. ~

[

j

7t:

ISat>

i)t

(79)

544·

(

21t'a

.(J (J -·---:t_
(3) drt. d" Va:~ ta ~ (rt - .x)2 --
-=-

_ u)2

J.

(80)

(Oil!t)

P~esupunem că perturbaţia iniţială se mărgineşte la un dome~p-1- oarecare finit (B) în planul XOY, avînd conturul (l)? adică~ (x, y) şi cp1 (x, y) sînt nuli în exteriorul lui (B). Presupunem că punctul M este situ~t în .exteriorul lui (B). Pentl·u momentele t

< o~-.,

unde d este

di~tanta minimă 1

dela M la conturul. (l). •

cercul (Cat) nu are puncte comune cu (B), funcţiile ({)(x,y) şi cp,_ (x, y) sînt egale cu zero pe întreg cercul ( C41), şi formula (80) ne dă u. (x, y, t) =--= O. În momentul t

=

-~ în punctul M ajunge a

frontul anterio:r al undei. Pentru valorile t

>

~ , unde D este a

distanţa<,·maximă. de la M la punctele (1), cercul (Cat) va conţine în interiorul lui întregul domeniu (B), şi integra1·ea în for-

545

mula (80) trebuie efectuată simplu în dcn.:neniu.l ( B)~ deoarece trp(x, y) şi (h(x~ y) sînt nuli în exteriorul lui (B); deci,

l" (x, y, t)

:=

2:. -( ( -v===Cf>l. <~:J~-~oc d~_-:.:::=--=:.-=2 2 1

2na ) )

a fi

·-

(a -· .x)

· --

([3 ·-·

y)îl

·Cosinuşii dirt>.&·tm·; ·formnlek

+

ak

~.'t:t .,",, C(IS

ox2 =' sin

(}3)

(]f,l) """'

(Jt.n .. .-2

'ln cazul de fa-ţă? după treee:rea fron.tuh1.i posterior al undei~ în momentul t

D

ai

~ fu:n.cţia u(xl' y, t) :niei nu Fe anulează ca în

cazul tridhueus:ional, nici nu d.evine o constantă, ca în cazul coa:rdeî. Însă, din cauza prezenţei lui a 2 t 2 la numitor, putem să afirmăm .că u.( x, y, t) va tinde către zero cînd t ---?>- oo • Se spune că în cazul considerat are loc fenomenul de clifu·· ziune al undelor după trecerea frontului posterim:. .Am făcut

'"'"

ol

(;m; tl2

el

sin 6';11 -

sin 6n·-8 cos On ....z

"'"'

sin

all

;sirl 62 .

sin 6n-2 cos

sin

ol

sin 6:z .

sin 6n-·2 sin tp,

-,;

(2m:) ~

< <

Elementul

dt}

o ajl: 11':, o ' 'P < 2n-• ar)e al supr:lf.elei ·sferei de rază unu va fi :

d1 (s "'"' r•-l d.J..a.

"Presupuner.n că :in spaţiu] R este d . , . . . . ali dmlea, continui. Media ei arit~etid) ată ~ funcţie cu cu denvate pînă la ordinu} raza r se defineşte prin formula: , . pe s era cu centrul (.xl, X:a, •• ·• Xn) şi Cll 1

(;x:l• :c2, .. , ' .·:::·n· r) ,.~., :.~-:-(-1·)···•,. .

cea1'• · · · • .X1~ -r· L ·~rJ'' d 1 o

J · · ' · ' x
J

2'-

·se poate

.

= .... _·( - ,. · · · .(C!l ( x 1 ·-i .. ct.1r <.r~a r)

Tt-·l

... v,.' (r) <= 1....-• -3 -· ·52 ... - - - - - - - - - ţ'1t (n. - 2) • n

Oerivînd aceste

·+ ~J',;l:".. -+

!u {xl

1

.. , X,n. r}

·-2-'

J• • • J

sau

· - - - - - - - - - -..--·-•·-·"··-· .r-n

2 . 4 • 6 ... (n -- 2) • · ti ro+l

~p

unde

JJI !a

f.l~

si:n 01 !lin62 cos sin

. .{mn

81

rationamentul r .J.mînînd în. planul XO Y .. În spatiul tridimensi~nal~ ecuaţiei (78) îi corespund aşa numitele u~.d.e dHndrice. 173. Cazul spaţiului n-dimNts~ona~. Rezultatele obţinute in [171] se generalizează imediat 'in cazul unui număr arbitrar de dimensiuni. Vom considera spaţiul n-dimensional, coordonatele fiind (x1,x2 , ..• _, Xn). Aici volumul sferei de t•ază r se defineşte prin formula [99} :

Slel·ei se exprimă prln (n ··-· 1) . ungh"mn.

•=-'

(.(q; •••. J

(ll'l'>t

nm-:~!m·

dem(Jm•t.J·~,

---· -.. 1.\v .~r~1 v

sfere! ;

1 11.

exact ca mai sus, ~~ă..funcţia v verifică ecuaţia diferen·ţială: i:)2l1

expre~J.i în raport cu r. obţinem aria suprafetei

(Jt.,.••

+

n - l f)l'

------ - - """

r

i)r

O ·

fi

. ·:l'cr. (r)

= -··- . (2n) 2 --·-··-···-·

f'•- i

.

2 . 4 • 6. . • (n - 2)

o 11 ""~' .r·"~o

t.J'J

(:x

".,,

.

t• ..• , Xn);

~'' ~· uV

·-;:;'""""O. ~ ~o

Utll!zînd ·.."ţ·m f. . _ lU . ,. acest .:rezultat .• . ' .s" c 0 .u , ormlHcl6' definiti

t

. l I!umar a!.'bitrar de v:ou·iabile indcpendei~te D-'' ... ve pen ru ecuaţia unde1or CIDi· renHtate1e nnah~. Soluţia ceuaţiei undel.or . am, pentru cazu] general~ num::Ji (n impar)

~;;~ =~ ..,.~<

546

a2

(o l~ + â 3

2

!'lx·l·

~x2

a

t7

u

2

+ ... +

()2u \

~-1

ax!r

(81)>

eu

·condiţiile iniţiale

u\ are

forma~

·•unde, ca moment iniţial nu luăm t = O, ci t = -r, unde -r este jun parametru. Funcţia w se va exprima prin formula lui Poisson,
:

t-G

=0;

pentru n Impar, :lt··-3

fl.--8

-2

_§__ (r--2

Tat

u; (:t:, .'Y z, t; -r) :::::: !__::=.__:: .( ( f[x

{w (:rilH

.l

4n

n-U

a(t §i, pentru i

2

• ••• ,

Xn, t)

1

a (t -- -r), (87)

~

= n--2

at

n-2

~2.:n-2J; ~~ o

~·2"'

a

·-·---.

[ .,.. 1'

-.Ji: .1';.: (·CJ)

n-2

8{r')

2

u (x,

174. Ecuatia nemnogenă a undelor .. Să ~~onsiderăm ecuaţia. neomogenă a ~ndelor : • + a__2_u + 82Lt\1 f (X, Y, Z, t)• , (83)· V -~f)t22u '= a2 (a2u {) x2 fjy2 8z2,

·+

in întregul şpaţiu n.emărginj.t, şi să-i căutăm soluţia eare verifică condiţiile iniţiale : ()u 1

O.

,

w ()t2

c1

= all ( â"w

ax"

7Ji t-o =

+ 8 w + § w) ' 2

2

()ţ,(A

.

. (85)

fjz2.

Y~ z~

1 t•'C

-

(88)

o; ~ \. ·. = f (x, y ~· z, -:-). ât ';.."

t) :.::::::

J·w

(.x, y, z, t; T) dT

(89)

(84). Avem : t

aw (x, y, z, t; 't'} - = ------------

f)u

i)t

~~

d '1:'

{)t

o

+

w

(x, y, z, t ; .. .,.) 1 'r=t

(90)

'Termenul care este în afara integraJ.ei este nul, pe baza primei ··din condiţiile (86). Derivînd încă odată în raport cut, obţinem : t

J

~;: ~, ~2w ~~'ai~~-~L.:) dT

+· ~~-~~, ~~~!_ !}_'"],. !.. ..,~ ' ...

o

·unde

termenul

din

afara

semnului integral

este

_f(x, y, z, t), în virtutea condiţiei a doua (86), deci

egal cu

1

fl·w (x, y, z, t; 't') d ' );' + J (x, y, ", t ). . - = \ -------8L 2 (Jt'l. -

()2u

~,

o1

o

Pentru derivarea expresiei (89) în raport cu coordonatele.,. ~este suficientă derivarea funcţiei de sub integrală : t

care verifică condiţiile iniţiale w

cos O.

'şi să arătăm că ea verifică ecuaţia )neomogenă (83) şi con.diţiile

.;iniţiale

(84}

Adăugînd la această soluţie, soluţia ecuaţi~i omoge~l~ eare verifică condiţiile iniţiale (75), obţinem soluţia ecu.aţ1e1 (83) care satisface conditiile initiale (75). . , 1varea• ace stel· probleme ' să considerăm soluţ.ia, rezo P entru ecuaţiei omogene 2

=

()

;,1•

l.t.t=O

sin Ocos

t

!i~:

O;

=

Să remarcăm că funcţia w, înafară de obişnuitele variabile .independente (x, y, z, t), mai depinde şi de un parametru 1:'. ''Construim acum funcţia u (x, y·, z, t) cu ajutorul formulei:

( Xi ) \( ] dr . '

unde T { 00 (x·)} este media aritmetică a funcţiei w (x1, x 2 , •••• ±~~~ pe sfera cu '~e·~·:::_ t 1 (x r x 2 ..t., x ) şi raza r. Pentru .a verifica form~lele (821). ~1 (82 2) ~ste_ s~fl-· ~u t' ' x ) să •tihă ' pentru n. 1mpar, derrvate c-.ontmm pmă> · '\ . c1ent sa cerem ca w xl, X:a, • • • • n · c " IL .+.· n+t ..... ·d· 1~2 ·la ordinul-··--, iar pentru 11 pa:r, ptna Ja Of lllU ~). : • ; ' 2 •. ' . . .. . ...

548

+ et..

~unde

n par;

u (x1 t

1

3) ..

J

o o

,;_...,..

(86)·

b..u

=

\L\w (x? y, z, t; -r) d-r.. •'

5!9

Din uhimele două formule şi din ecuaţia (85) rezultă nemij ~ locit că u verifică ecuaţia (83). Condiţiile iniţiale se deduc imediat din formulele (89) şi (90), dacă ţinem seamă de faptul că. în formula (90) termenul din afara integralei este nul, _după cum sma arătat mai sus. Aşadar, formula (89) va da soluţia ecuaţiei. (83), cu condiţiile iniţiale (84). Punînd în (89), în. locul funcţiei. u;(x., y., z, t; -r:)~. expresia ei (87), obţinem :

u (x,y, z, t)=o _y

t

:!rt' at

!,;- ~ (1 -

,-) [ ~ ~ f[x

(i

(l (l

+ ot a(l 2

~), z + "•a (t -·-

+ "ta (t --- T), <),

~1 d{'] d".

u(x,y, z, t)

.

t'le ealeulează u. Diferenţa ·· dă timpul necesar trecerii din punctul a

·(~, 'YJ~ ~) în punc.tul ( x, y., z) cu. viteza a. Expresia (91) se numeşte de obicei, potenţial întîrziat. Mai notăm că formula fundamentală ·(89) a1·e un înţeles fizic simplu~ anume se arată că soluţia ecuau ţiei

neomogene (83), care satisface condiţiile iniţiale (84), este sum.a impulsurilor w(x, y, z~ t; -r)d:-, ca:re provine din prezenţa termenului liber şi se determină prin ecu.aţiile (85) şi (86). Să c?~1sid~răm acu:m eeua-ţia neo:n.u)genă a UIJtd.elo:r.~ pentl!~u .undele cihndnce ~ fJ'l·u

--. ()IZ

·~ l. f)'tu =~ a"' · -~ . .,

l3 rr') ·+ --. ·+ ,1.( x, :Y~ t)~ ();;r.:·" d!l2, 2

(92)

conditiile irtiţia.ic fiind presupuse :nule. Ca .~i mai .:;u.s, putem

=--.=

m

-4 ~0;- ~ ~ ~ f ("' + "t r, y + «o r, z

=

eare precede :momentul t pentru care 1 :.

Această ex:presie a lui u~ x., y, t) o ~unem. s~h.. o . al~ă formă~,. introducînd în Jocul hu 't' o noua variabila de Integrare :: r = a(t -- -r). Efectuînd schimbarea de variabilă, obţinem: jKti:l«

r -~ ~

,z

3

r., t ___ ,:

-~-)

-obţin~ soluţia problemei suh fo:r.ma : r sin Odrd8dr.p •.

(.l

o o o sau, înmulţind. şi împărţind. cu r : u. (x, y, z, .t) at2~011:'

-~-_1__ ( \ l 4rta2

.)

!t::: . , .,

.J .)

_Y +

r·) ~ ~--z :" ~~-~~i_

r> sin edrdedq>.

r

o () Tinînd seamă de fm·mule!e (88) pentru. ct.1c şi .amintindu-ne· (il

de e~p:resia elementului de ~olum !~, coor~onate sferi~e, ve~.em eă cele trei integrale care figureaza 1n ult:~.ma formula echJ.va-· lea:ziă cu integrarea triplă extinsă la ~fe~a Dat cu ee.ntrul (x, y, z}:: şi raza at. Introd,ucîn.d. punctul vanah1l .şi.

+

+·

x . e< 1 r; 7) = y :x 2 r; ~ : : :;:.: : :; + r1. 3 r .d f 1 " 2 L ,...2 -- 1' obt~ ... .,.m h1.i11d. În COD.Sl era:re :aptu ea -·- "-' ,

:; =

şi condiţiile iniţiale

w

j : f,,.,

"f.in~nd seamă

""'=O~ ~1!!_~ ~

f)i 1f=-r

:=

J tx~ Y~ t').

de formula (80), obţ:i.nent

+

(93)

ia:r expresia pentru u. ia fo:rma definitivă : "Să observăm că în ultima formulă avmn o integTa:re in raport dependenţa

. cu timpul, ceea ce nu avem în forrr.tula (91), unde f50

551

de timp se reducea numai la dependenţa de tî1np a razei sferei.,. pe care se făcea integrarea, şi la dependenţa de timp a funcţiei" ·f (x, y, z, t). În cazul liniar . .• + J (x, t) ()x2

(J2u

(J2u

-()t2 = soluţia

a2 -~

va fi, evident : t

~~ r[

u ( x, t) =

a:+a

~

2a )

o

175. Izvor punctual.

:t --

{94)/1 ·şi

(t-t'l

•

În cazul ecuaţiei (92), exact ca şi mai sus, trebuie să pret!;;upunem:

f(~.-r) d~

l

~ ~ f(x,y, t) rh.

Dacă presupunem că termenul liber

Ye este un cerc cu centrul în origine şi cu raza e. Revenind la formula (93) şi trecînd la limită, obţinem soluţia pent:ru izvorul ,punctual, în cazul undelor cilindrice :

1

u (x, y, t) :::::::: --·

(at

(x, y, z, 1) dx dy dz

=

(97}··

47tcu.(t),

Os

unde Ce este o sfe1·ă cu centrul în or1g1nea coordonatelor şi, cu raza z. Să revenim la formula (91) şi să considerăm, at x2 y 2 -+- z 2• Pe baza lui (96) este suficient să integrăm. pe sfera Ce • La limită, pentru e:. -+ O, mărimea r va fi egală cu. distanţa dela punctul (x, y, z) la origine, adică r = x 2 + y2+z2~· · şi ţinţnd seamă de (97), obţinem:

>V +

y

u(x,y,z,l)

=

-;6l(t- ~)·

(98}il

> p)

(1

(99) u. (x, y, t)

(96ţ.,

V

2:r.:"' (t),

·~unde

a
cent1·ul în originea coordonatelor, atunci, dacă facem ca raza,· acestei sfere să tindă către zero, iar intensitatea forţei exterioare· să crească indefinit, putem, la limită, să obţinem soluţia ecuaţiei, undelor :în cazul prezenţei unui izvor punctual, care începe să,. actioneze în momentul t = O. legea actiunii sale în timp fiind:· arbitrară. Presupunem. că . •

~~

=

'Ya

·în ec11aţia (83) este diferit de zero numai într-o sferă mică cu,.,

şi

dx d_r

(p

=

O pent:ru at

<

p.

=V x2 +-y2).

Formulele (98) şi (99) diferă într-un sens analog celui arătat \ân parag.raful precedent. Influenţa izvorului punctual în punctul {x, y, z), in momentul t, după formula (98) depinde numai de ~intensitatea izvorului această influenţă

\(99),

în

momentul

t --

_r:_.. În cazul formulei a

este determinată prin acţiunea izvorului

·;punctual în tot timpul, de la

t =-=

O pînă în mom.entu.I

t -

.f (l

În cazul liniar (94,), punînd, ca întotdeauna. r

~ f(x, t) dx

=

<•) (t)

şi

f(x~ t) =..:O

pentru

ix i >

~.

-E

(r =

Vx~ + jr~ + z2).

Afară de ,aceasta, trebuie considerat că

at, deoarece pentru r > at domeniul de integrare în integrala (91) nu conţine în interiorul său sfera CE, dacă e este suficient de mic. Notăm că oricum am alege funcţia (1.) (t), funcţia (98)\ verifică ecuaţia neom.ogenă ia undelor şi are o singularitate în;, origine. r

>

552

'4Jibţinem, tre<~înd

.la

limită

în formula (95) :

u (x, y, z, t) = O pentru-'

t --·

L'a:_j (100)

u (x, t) =-: O pentru 1 x \ > at.

.rie·. unde, puntnd 176 . Oscn~:o-ţiile t:ransversale ale memUn-anf"io~r. Pînă at:um am considerat' ecuaţia undelor în plan sHu în spaţiu, în lipsa oricărei frontiere, aşa că, afară de· ·ecuaţia diferenţială, nu am avut decît condiţii Iniţiale. Problemele la limită pentruecuaţia undei în p1an şi în spaţiu sînt mult mai dificile decit in cazul liniar. Să ~~onsiderăm problema la limită în plan, în două cazuri particulare -- ctnd domeniul de bază pentru care trebuie rezolvată problema este un dreptunghi sau este un eerc. Yom interpreta din punct de vedere fizic ecuaţia undei plane, ca ecuaţia: oscilaţiilor transversale ale memb:raneL Prin membrană înţelegem o lamelă foarte fină.· care, asemenea coardei, se· opune numai la extensiune, nu şi la încovoiere. Dacă membrana se găseşte SUb-· a(·ţiunea tensiunii uniforme T 0 şi, in starea de echilibru, se află in planul (x, y), şk dacă ne mărginim numai la cazul în care mişc:area se produce paralel cu axa Oz • .atunci depla~area u a punctului (x, u) al memhranei va fi funcţie de x. ţJ şi t, c~:n·e verifică

o

ecuaţie dilerenţială analogă ecuaţ.iei coardei~ şi

(107} eeuaţia

,g!u;im

pentru U:

ecuaţie căutăm

Pentru. l'tceastfi

soluţie

o

anume :

+-

X" (x) ==

~:_(y) .±...-~:-~~!

X (x} y·" (y)

X"(;t~)

superficială

Nu ne vom opri Ia stabilirea

SJt

--~!!:. i . =~

(x, y),

+ A.2 X '(x)

nedeterminată.

'~"" O: Y" (!/)

00~)

·i" p}~ Y (!./) ""' O.

f.J.:a

=

k'~- -.---

J..\

f.<.2

+ J.2 ""'' k'!J..

EcuaţiHt~ ('109) ne dau fm•ma generală a funcţiilor X (x) 'şi Y (!J):. X (x)

ln :>fl'rşit. este nevoie s2. fie date c.ondiţiile iniţiale, adie:! deplas~!.rile ş.i vitezele tuturor pund.dor membranei în momentul iniţial :

"~~

Q},

CJl!ldt'

(102)

1

(x:) Y (y) "~"

y (y)

•.mde ).21 este o constantă, deocamdată Aşadar, avem două ecuaţii :

u

+ k'~ X

X" (x) Y (y)

X(x}

a membranei, p/ est<~ fo:rţ.a exterioară sau sarein
(1.08)

U (x. y) == X (x) Y (y),

unde

p este densitatea

de form:; :

=

el

sin A X ··~-

c2

cos).

X;

y

(y) """ C:;; sin f.l.Y

+ c, fC:OS 11-Y·

eondiţiH

Din

u '''" O pe (G)

Cfl2 (x) U)·

f)t i t=O

t'"'{i

1'17. Mt\mln:ana dl1'e{lUmghiular:1. Cons'lderăm osdlaţiile libere ale memhrcmei drepiun.ghiulare,. al cărei contut este dreptunghiul cu laturile

V (xt

~J)

""= O pe (C)1

-şi această din urmii condiţie, la rîndul ei. se descompune :l:n următoarek ('J.mditîi ~ ~J). Vom presupune eă forţa exterioar3 lipseşte, adic~1 Aşadar. trebuie s~i găsim soluţia ecuaţiei

1n pi:anu! (x,

-~-~~ t9t2

"""' d2

(~2u + §"'' 1) i)x2

f

X (O)

il.

cos (!li

+·

f3

O; X (1)

diferiţi

c, =

=

O;

Y (O)

=

O;] Y (m) "·"'' O,

O, şi, dacă înlăturăm factorU constanţi C1 şi C11 ,

de ze:ro, atunci:

'

sin rot)U{x, y),

{110)

X (x) '"'-"' sin:A.x, Y (y) ,," sin[Ly.

ţ]y2

·ean1hlatisf;,,ce co:ndiţme {10'2) şi (103), Înf reilllinţînd din nou metoda undelor staf;ionare (Fourim:), căutăm o soluţi110 JlarUculară .a ecuaţiei (10t;), de forma : (IX.

=

de unde este clar că C2 =

(106);,

~~nsă

cu

sin J..l Oin

ecuaţiile

), c"':::

J..1 ,

(111)

J\s, .. , A
=

O~ sin ~m "-:-

rezultă că). şi

• , , ; tJ.=(L1 , fJ.:e 1

u.

(Ui)

lL au o infinitate de valori cor~

....

,(J.'t', ..• ,; Âcr "'"-" ~-; ~-::

m

(112):

555.

554

.Luînd ctte o valoare in mod arbitra.r·pent.ru A şi~' punzătoare

obţinem

valoarea cores--

pentru k2:

freevenţa

:ia care corespunde din (107), pentru

valoarea:

(1),

Cazul mcmbrand se dt:osebeşte de ca2.ul coardei prin aceea că, pentru aceasta
= m = r.

i (113t~

frecvenţa

tn :acest caz.

(1) ,,. 0

se

determină

prin formula

Puntnd în expresia (106) 'Aa tn loc de Â, tJ-1' în loc de (1., şi însemnînd prin Otcn: . .'j3a,T valorile corespunzătoare lui cx şi (3, obţinem o mulţime infinită de soluţii ~];, ecuaţiei (105), verificînd condiţia la limită (102) şi avind forma: -cos (1)0

( oc0 T '

T

'

t

+ IltJcr

.

• sm ro_ • •

~ t)

-unde ~

cmx. rny l m

.

sm - - s1n - ,

v, •

(115)

·= !:~ r

Făcînd

.adică o mulţime infinită de oscilaţii armonice proprii (libere) ale -corespunzătoar~ oscilaţiilor analoge ale coardei. Constantele a. şi (3 se determină din condiţiile iniţiale. Fădnd

rnembranet ... t

=

"iUll

=

IX

este un factor care nu de,pinde de a şi o "'

0'

•

=,

1,

obţinem

't'.

.

tonul fundamental al mmnhrane:i cu

frecvenţa

1/2:

O in fm· ...

nu

mulele:

= N1

. 1t'X • rcy + ~v., sm - sm - . r r

.

sm (t':o11 t

ln acest caz, nu există linii nodalf! interioare membrane\. Făcînd apoi

avem alte

două

tonuri de

aceeaşi frecvenţă,

cr,-r=1 ş!

obţinem.

1n virtutea lui (lO:i) : 1

u ,.

ţj) = ~., cxcr. r sin ~sin~,

kJ

(i.

1

--

fjl 1 t=~o

=

.

m

l

't'::l

= ~(1)

Liniile nodale ale acestor simple

• arcx . rny (30', -rroo. -c :sm - - sm -_--- .

·

y = ----- sau x

Aceste formule sînt dezvoltarea . funcţiiJor 1 (."-•

•

lm

ceea ce

556

f.l

~-'a,~

• ____. a1tţ sm . _-rrt"l) = -4 ~ ~

reprezintă soluţia

lm

o o

problemei formulate.

l

m

=

cp 21

=

O,

obţinem

. Ct) t [N ; -:-:rcx sm . ~-27ty s1;n. . 1 ~3An (114?

sînt, respectiv :

=

r 2

însă, afară de oscllaţiile u12 şi u 21 , exîstă încă o mulţime infinită de alte oscilaţii cu aceeaşi frecvenţă ro 12 , combinaţii liniare ale lui uu1 şi u 21 • Punind.

pentru simplificare,
cnt!; . 't'Tt"lJ ~ 1l s1n - - sm - - d r;,d1J, l m )

oscilaţii

r 2

m

l

a,-r=l

şi t'.oericienţii

ro a, T

oc y5~

'.10

=

,t.=O

au

=

anume

r

r

o

oscilaţie

+ N 1 sm ,

2'1t'X

~-

unde w = wl:! =--'"· W:n> Nl •= .Nu şi Na === Nar · Pentru N 1 =: N 2 , liniile nodale se determină din

de f.;)fma

• ~1ty ·1 , sm

1

r

ecuaţia

n • rcx • 2rcy L • 2_1C'X • ny • '1t'X. • rcy ( TI: X ·1t'Y) u=sinsm - - -. s1n ~- s1n ..-- = 2 sm - sm - · cos-+ . cos, r r r r ' r

557

·ceea ce

dă

linia

n.odală X+ {J

o.;:;:

considt:răm :memhrana fixată de-a lungul contln·uiui. Introducind 1n locui coordi1>n.ate1or red.anp.;ulare (:r., y), coordonatele polare (r. 0), Hvem

1•.

Pentru N 2 = - N 1 , pe aceeaşi cale găsim linia nodală x -- y ~"'z O, Aceste cazuri simple stnt reprezentate tn fig. 134:. Cazuri mai complicate de H'nii nodale pentru aceeaşi frecvenţă, se obţ1n cînd N'i! J: N 1 şi N.-.. N 2 *o. Toate au ecuaţii de forma

*

TtX

N 1 cos-

r

,1f, .:: ()

L

j__

~·"'O.

Ca ş.a în cazui me:mb:m:nei drepturJghiuhtf,~ ~·qm dinta soln !.i~ particulRre (105) de forma:

ec~lwtiei

... ............,

"""_

[

~

-· . . . -- --·~ ...._.1

- .. - -........

........ ..

_ _ __...,1_........ >...--~

c.u

CJ.):c:a.V:fFig.. 134.

Făc:.tn
!v-z

"'""'O.

1------L____

1 1

l

eJtt

r-:.:;_~:_oj

--r-·-]

.r 1

reu + .N1 cos.-..:::.~ ,.

1 1

n:

:.:·:(:t;

'F.ig. J[}().

In c~ue nu vom 'i:Onsidetn

}H.'

V o::;;.pri;nu~t p:rin variabHele ~~:, y), d prin (r, 6) .

Acea~~t:1 fmw·ţie [T verifică aceeaşi ecuaţie dirf::renţială

aeu rn

·"<:>u + 9.-~~>u + '{{!l u "-.:; o,

~-:. _'.. •>bţinem

un ton unk de

ţ.):c"'

f!C'ecvenţă

c.an: trebuie scrisă <;U rH>fk~ VHri:rubrle m2m o1wraton3l Jui Lavlace i~.r

(1 J 6

au~

(r~ · 0)..

Pentru

~u~easta~

este sufident si) exp:r·}-

linHJe nodale sînt (fig. 135)

(117)• Ştim ~8.

Gazul

;:~nrtător

operatorul lui Laplaee, în ;;:;azul a trei

a;).u ··--·--··

:

--~·-

fi!P ·

dă, din nou~ o :mulţime infini.tă de oscilaţii cu aceeaşi frecvenţă (1..ll:l~c::(.f)3l~-.:tx: viii Liniile lor nodale, în cazuri1e cele mai simple, analoge cazului cu frecvenţa (.<>12 = ~'~"' ro 21 === IX ·{5: stnt reprezentate in fig. 136. Toate aceste figuri reprezintă tocmai figurile sonore cunoscute din acustică.. Oscilaţiile fntreţinute ale membranei se studiază exact. la fel . ca şi osdlaţiile .întreţinute ale coardei, cu singura deosebire că forţa exterioară f (x, !J, t) nu se dezvoltă tn scrie Four.ier sim. pHt, ci .în serie fourier dublă. 178. .Membrana circulară. Cazul memhranei circulare ne dă un exemplu de dezvoltare a unei funcţii date după funcţiile Bessel, exemplu insemnat nu atît ca aplicaţie la teori.a osFig. 135. cilaţiei membranelor, Cît pentru că astfel de dezvoltări se intilnesc in diferite probleme, foarte importante, ale fizicii mate·matice • .Aşadar, să cercetăm oscilatJile libere proprii ale membranei circulare, al că.rei contur este cercul de rază l cu eentrul tn originea coordonatelor, C::1 şi ~nainte.,

EE

1 [

lHJ '"'" P

.....

Bz:~.

·

2

o ~ u~.-.·~·. -+· , iJz2

2

a r au·\

·-ă-;

_

variabil~~

82 V

u !P "i];J + -~1 a·aer;;

Considerînd pe V dependent de z, exp:rimihn pe (117) prin coordonate]f;

polare. în eele ee urmează vom însemna lungimea razei vectoare pl'in P~ inr unghiul polar prin 8 'in loc rle ~ :

au

fJ 2 tJ

au

()a:2

f)y~!

t)r2

2

2

.

1 au :r ar .

+-

- - - -~· ___ .. ""-"' - - - - ·-j·- - - - - ..

Eeuaţhl

1

fJ 2 V

1'2

a62

1'

în Joe de

(lH5) se va scrie :

82 U

---'+ ;r,.'J 559

şi

căut~

vom

o

soluţie partieulară

U(r, 6)

ceea ce

=

l

.r

T"(6)' =

..

rs Rn(r)

după

R" (r)

+ :

+ rR'(r) + k r _R (r'}._

·--A~

•Cărora

(118) are ca

,-orespunzătoare

soluţie generală

=

mulţime infinită

... , (J.~>, ·• . . ,

(126)

-

~:)

R (r) :-= O.

(119)

şi.

Â6,

pentru T (6)

şi

această

cale

obţinem

mulţime infinită

de

soluţii

ale

ecuaţiei

1 2

3 4 5

+~

sin CJ>t) (G cos n6

+D

sin n6) Rn(r) (w = ak).

Funcţia Rn (1·) verifică. ecuaţia (11.9), dadi in ea înlocuim pe R" (r) ·ro

cum am

+ -·-1• 1

văzut

+ '·. k.~

R f (r)

(

n

în [49], integrala

-

n.2)- R r2

generală

11

Â

6

7 8

21,~.H2

(120'l

9

27,494

Ho.;steJ et:U
la

1

(128)

O, 1, 2, ... ; m "'·"" l, 2, ... ).

şase funcţii

Bessel sunt date·in tabela

5,135

6,379 9,7oo 13,01i 16,224 19,410 22,5R3 25,749 28,909 32,050

8,417

11,620 14,796 17,960 21,117 24,270 27,421 30,571

7,586 11,064 14,373 17,616 20,827 24,018 27,200 30,371 33,512

alăturată:

8,780 1~,339

15,700 18,982 22,220 25,431 28,628 31,813 34,983

_ _ __

se pot calcula prin formula

(n) 1 , kn; = ----- n (2.rz - t

va ti

4

(123)

aproximativă

:

+ 4m) --

4n2

1

-

r. (2n.- 1

+ 4m)

,

(129J

pentru un n dat, va fi cu atit mai exactă, cu cit m va fi ma.i mare. Ntt ne :;,putem opri aici asupra justificării formulei (129). Din formula (1.20) rezultă că soluţiile partieulare găsite pot fi puse suh

'~~are,

'·iforma:

-+- (!3.~~ n cos (!)'/11,, r.t (n.

limită

u

24,~s53

=

oo :

(121)

unde Jn (x) este funcţia lui Bessel, iar Kn (x), a doua soluţie a ecuaţiei lui Bessel, eare d
3,8:-32 7,016 10,17:-3 13,323 16,470 19,616 22,760 25,903 29,047

Rădăcinile următoare

(122)

R,. (r) ==- J,. (kr),

(n

~---·------~------·--·---·-·

cu r1:

(r) =--= fl.

a

2,404 5,520 8,654 11,792 14,931 18,076

(105).

'

(cx cos oot

= ak~l

!'rimele nouă rădăcini ale primelor ____l ____________

R (r) le vom însemna cu:

o

frecvenţei

în virtutea lui (107), valorile

CJ.)m~ n

+ D sin

(127)

l

:

C cos ).6

de forma:

ne

hli Bessel, admite o

!Lm

T 0 (6), 1'1 (6), T 2 (6), ... , T" (6), ... ; R 0 (r), R 1 (r), R 2 (r), ... , R 0 (r),

atunci

funcţiilor

le corespund valorile parametrului k :

=

şi

in teoria

(118)

şi, deoarece funcţia U, prin tnsăşi semnificaţia problemei, trebuie să fie funcţie uniformă, periodkă tn raport cu 6, perioada fiind 2r., urmează că aceeaşi proprietate trebuie să aibă şi T ( 6), ceea ce nu este posibil decit dacă ;.. este un număr intreg. Mărgihindu-ne numai la valori pozitive Îl. O, 1, 2, ... , n, ... expresiile

După

a:rM.ă

(125}

=O,

pozitive :

v-r), ~~n>, 1'-~n>, =

+ ).2 T(6) =O

+ ( k'

R' (r)

T(6)

Pe

cum se

rădăc-ini

pentru determinarea lui !L•

(nl

T" (6)

Ecuaţia

(i'}=,di.

R (r)

sfîrşit.,

tn

.care,

B

r

2 2

T(6) şi,

Jn(~)

+ _!_. R'(r) + /~2 .R (r) + ··.~-2 T" (6)

!iaU

obţinem ecuaţia tnmscendentă

kl =-= V.•

T(6) ~ R(r).

dă:

T(6) [ R" (r)

Făcînd

de forma produsului :

=

+

~~: n. sin wm. nt) sin n

1., 2, ... ), (m

=

1, 2,

a . J n (k,<;:)r)

(130)

... ).

Sa mai ohservăm efi, pentru ). = O, ecuaţia (118} are ca rădăcini o constantă ::;;k pc 6. A doua soluţie nu serveşte, nefiind periodică. în acest caz, formula (120) ."lUi soluţ;ia ~

,.... -o

dă

.!.." (kl) .,._,.

360

o.

(124)

;)61.

.unde Această. soluţie

are forma (130) (pentru, n. = O) cu·- sin_gura deoseb1re că nl doilea termen din formula (130,1 se anuleaza. dm c:anz~ factorulu)

pentru n == o~ ·sinne. Ne mai rămîne

să

satisfacem la.

=

u. ., t~~-o

ln 3ce:;t scop, ţin~nd sub formn seriei duble

condiţiile iniţiale:

seamă

de

r7u

1

~""-

...-- \

t=O

(Jt

solU"~iile

'IT

il~"=~~

llf

1 (r,6, sin nfi d6 (n=O,

•

(r, 6}.

(j) 2

particulare

(131}

găsite~

vom dî.uta pe u

Comparînd această dezvoltare ~u prima dintre formulele (132}, găsim cu .:uşurinţă:

co

(1)

q>n

00

.lJ

~(et,rn. (l) ·••·· · ·t n CoS (•)·In, !1

n (r, av. ') '- .. '""

-!···

2

n , ti cos nfJ · JM, m.,l n sin w .•""" '.. " 1

ot(

(k~,'lr) ··'" , + ,1,(li _ i'n . -

(,

?~:!~;.sin t•}u•. ~1.0 sin nS ·

.In

(k~~lr).

,~=0

1

derivata 00

0

_·-.l·:. i:'Jf

(11

1

(7bl ) •

•

~ r.l.m 1 .lsJ t-'m, n ' tt

(Jc<·n)r) ~m

·

:tn~l

+ ~(~~! n eo~: (~1m.. .,/ + şi

kJ or.rf!., '"'J:n ('~m r

00

lrb'=O

Ca1eui'ind

'=

~

m=l

ţ,}~=o:::~~l

ft~=·

1, 2, ••. ). (133)

2 ,-"~.~-.W (1X( ) C
--- 0!,~, ].:.).,.•.

1 SÎU.(r;,_~,,,..,.~.t)

Ci)!:'

06 · J".*

Coefkîenţii lui o/ (1) şi ~ (1) depind. evident de r, după cum arată expresiile ·:lor (133). Ajungem deci la problema dezvoltării unei funcţii date, de r, în serie -după funcţiile Jn (k!;':lr), pentru n fixat. Avînd aceste dezvoltări, determină.m ·
(ki~'ir) +.

00

1 (r)

91·•=(<

m•=·J

=~Am J.,,

(k;;:·)r).

(135)

m=l ,;;~u

Admiţînd că această dezvoltare este posibilă şi poate fi integ-rată termen termen, vom arăta numai cum se determină coeficienţii Am. în acest scop~ vom

·dovedi şi., făcînd în aceste formule t """ O, a;junge1n, in virtutea Aui (13l), la de a dezvolta 'func~.me q:;1 (r, El) şi cp 2 (r, O) în serii duble de forma. :

că funcţiile

:

necesitate.il~

.au proprietatea de ortogonalitate ueneralizaUJ., anume :

(;,()

'.P1 (r,

O)'~"' ~(oc~! ,., cos nO -1 ~.;~: n sin n.6) · Jr~, (kf::in n•=O

00

T....

(r,· 6)

""'"~ .k.J

J . ,. (k(n.) r.) J "" (k(n) ,. -. r ) r dr = 1

'!n=']

.-n."

l

[ J

()J

m,.

IJI.

(aYm31'Jt. cos 1

nB+f-3~).1 sin nf:l) 11H•" •

fF

O pentru cr ::;ţ.:

'T.

It 11

· .Jn.(k?: il'). -m.1

intr--adevăr~ dacă în t!cuaţia (121) înlocuim. pe k?.l prin k~n· şi k~~l~ şi~ (:respediv., il>e

Rn (r) prin· .ln (Jc~~lr) şi J". (k; )r), obţinem 1

n=O m•"l

Dezvoltind ~.mită,

avem:

funcţ,ia ~ 1 (r~

6) ca

funcţie periodică

rle O in serie Fourie1· obitr·

563·

şi

Inmulţind prima ecuaţie cu r J". (k~b 1 r), iar a doua cu r ~n· (k~')r), scăzindll integrînd in raport cu r de la O la l~ obţinem :

(k~n)~ -- k~") 2 ) '~ Jn (k~nlr) JD (k~">r) rdr =

rezultă că membrul al doilea al egalităţii de mai sus este nul pentru r = l. Din cauza factorului r şi a faptului că Jn (x) şi J: (x) sînt finite pentru x = O,. putem afirma că membrul a] doilea este egal cu zero şi la limita inferioară = o ; lnsă, cum pentru a =f::: 't' şi k: =f::: k~, urmează că :·

de uud.e

r

1

~ J", (k~n)r) J n. (k~n>r) rdr =

o d2Jn (kCn) .] (n) a r) (n) J'A (ka r) -- - - - - J,.(k-,; r) rdr 1dr2 l

+ ~ [ dJ• ~~''r)_ J (k~"'r) 0

- dJn :':' r) J 0

(k~"'r)

1

o ceea ce trebuia demonstrat. După ce formula (136) a fost demonstrată, determinarea coefirhmţilor Am. din dezvoltarea (185) se face uşor: inmulţind ambii membri ai egalităţii (135) prin J n (k~n>r); integrind tn raport cu r de la O la l şi utilizînd formula (136), găsim ::

dr.

~

părţi, obţinem

~ 1(r) .ln (k~n>r) rdr =

:

a

'

Ap

o

d 2J (k("lr) d.J (k(n)r) ~-T_ _ _ Jn (k{·n)r) rdr ~= -"-~-- rJ", (k\n)r) -

dr2

z

l

o b1tegdnd prin

dr

cr

O,

~ J! (k~n>r) rdr. o

putem spune că, dacă dezvoltarea (135) este posibilă şi da~ă ea, poate fi integrată termen cu termen, atunci coeficienţii Am se determină prin .formulele.: Aşadar,

1.

~ 1(r) J n (k~1r) rdr Am=

_o______________

~

J; (k~~>r) rdr

o şi,

exact Ja fel,

Formulele (133)

cx(') şi ~(1):

1

_ ( dJ,. (k~" r) '

)

dr

De aici deducem cu

dJn (k(n)r) 't' ------- rdr -dr uşurin-ţă

r\ dJn

(k(nlr) a·

.J

dr

.(ni. . J n (kt' r) dr.

;

.

şi

(134) dau acum următoarele expresii pentru coeficienţ U

~ cp~1 > J 0 (k~'r) rdr 1C l 'oc!!! o ~~ ~ 0-,----·---- = ____1_ J d6 o ~ J! (k~'r) rdr 2n ~ J~ (k~lr) rdr

(s

.

cp1 (r, 6) J 0 (km't)) r) rdr ..

-3(

o

o

z

(k~"'' - k~•''> ~

J0

(k~"' r) J (k~"'r) rdr = 0

o IC

Din însăşi definiţia numerelor k~n>, k~n>, avem:

13~\ =,

1

n\

564

·

1

~ d6 ~ cp1 (r, 6) sin niJ Jrt (k;; 1r) rdr-.,

J! (k;;;' r) ~ar -:c 1

1

0

565

. Prin consideraţii idtntice .determi~ăm ş:i. coeficienţii IX(2), ~(2), numai că rp1 trebme înloctut prin ~ 2 , iar expresiile corespunzătoare trebUie înlocUite prm (;)~,., n· . Ca şi în cazul mem?ranei drept~mghiulare, mişcarea generală a membr~nei >Circulare este foraHi dmtr-o mulţ1me infinită de oscilaţii armoniee proprii iar uneia şi acel~iaşi frecvenţe îi pot co~ respunde o infinitate de poziţii diferite ale liniilor nodale. În fig. 137 sînt ară. tate diferite cazuri de aşezare a liniilor nodale, cu indicatiile frecvenţ.e] corespunzătoare, luîndu-se ca unitate frecvenţa tonului fundamental ; aici sînt indicate şi razele liniilor nodale care au formă de cerc şi aceste raze sînt exprlmate î'n funcţiuni de raza membranei. Pentru aplicarea metodei Fourier în cazul unui contur oarecare, se poat; elimina factorul care con ţine pe t, conform formulei (106), ceea ce ne duce la ecuaţ.ia

in fo~mulele P.reced~nte

(VJ7)

Soluţia acestei probleme am mai obţinut-o (172]. Unicitatea soluţiei s-ar putea deduce .din însăşi metoda de 1·ezolvare. Vom da o altă demonstrare a unicităţii aplicabilă şi la problema cu condiţii la limită. Dacă ecuaţia (138), cu condiţiile iniţiale (139), admite două soluţii u 1 şi u 2 , atunci diferenţa u~ - u 1 trebuie· să verifiee ecuaţia (138) şi condiţiile iniţiale omogene :

ul

179. Teorema unie.itătii. Să demonstrăm acum unicitatea soluţiei ecuaţiei undelor, atit în cazul spaţiului nemărginit pentru cou-

,Jiţii iniţiale date, cît şi în cazul cînd există şi condiţii la limită. Pentru simplificare, vom socoti viteza egală cu unu, a 1,

=

<~eea

ce putem avea întotdeauna, înlocuind în ecuatia undelor pe t. prin t: a. Pentru fixarea ideilor, să considerăm ~azul a trei ·variabile independente, adică ecua.ţia undelor

ou 2

ot2

ou 2

=

()x2

ou 2

+ OY'Ii.

(138)

Începem cu examina1·ea problemei cu condiţiile iniţiale date pe ·intreg planul:

U ~ ;,,0 =: \

qJ

(.X, y) ;

d~·-1 = 8 t~nO

<'f'l

(X, .'Y)·

(139)

~!!.._~ ==0. ât t,~o

==-=0;

(140}

Trehuîe arătat că în acest caz u trebuie să fie identic nul pentru orice valori ale lui ( x, y) şi pentru t > O. Să considerăm spaţiul tridimensional (x, y, t) şi să luăm în el punctu] N (x0 , y 0 , t 0 ) cu t 0 > O. Din acest punct~ ca virf, construim. sup:rafala conică:

(141) la intersecţia cu planul t = O. I\iai considerăm şi planul t1 unde O < t 1 < t 0 , şi fie D domeniuL tridimensional măr~ ginit lateral prin suprafaţa r a conului şi prin porţiunile de plan t = O, t = t 1 , care se găsesc în interiorul conului (D este un t:runchi de con). Se verifică imediat identitatea elementară :-

pînă t

ţ>.i trebuiesc determinate valorile param{~ trului k, pentru care această ecuaţie are soluţii nenule care satisfac condiţia la limită (102), precum şi aceste soluţii. în Fig. 137. exemplele precedente am izbutit să facem aceasta cu ajutorul separării variabilelor. ln cazul general nu maî putem aplica această metodă şi trebuie să. considerăm nemijlocit ecuaţia (137). Evident, problema nu se rezolvă explicit. Soluţia teoretică a. problemei şi unele rezultate calitative vor fi date în volumul IV. Problema ia limită pentru ecuaţia undelor în spaţiul tridimensional, in cazul paralelipipedului dreptunghi, se rezolvă în acelaşi mod ca şi in [177], numai că seriile Fourier se dezvoltă
~=·o

=

2-~-- {§2a -·- (Y2u ·- (]_2_::') = rit

~at~

oY

f)x 2

,. - 2 _!]_ {Jx

2

,

A ,.

(Au )2 + r~.!:.)z + (~~ rli --

ci - ax)

\ f)y /

~ 8t

i ·'

(f)u ~ZI:) -·-· 2 -~~ (a,..u ?u_,_ f)t dX

c)y \ al f)y /

Să integrăm ambii mem.hri în. domeniul .D. Integrala din primul mem.hru este nulă, întrucît u este o soluţie a ecuaţiei (138). Integrala din membrul al doilea putem s-o transformăm într~t~r integrală extinsă la suprafaţa domeniului .D, întrebuinţînd fo:rmula lui OstrogradskL Obţinem :

( ( J[ q_l!_.)~ +· {§.:_:_'), + (_au)~.·.·~· cos (n, t) --·· J) l 0 .-r. \ oY , 8t , . ljl.l cos ( n, x ) ·-- .:.~ .:-. -·-au ()u -· 2 (ju -· .---·-- cos ( n., y ) l. ds. 8t ax 8t By . 1 2

(143}

Pe baza inferioară a trunchiului de con D, funcţia u şi toate· derivatele ei parţiale de ordinul întîi sînt nule, în virtutea lui (140), şi, prin urmare, integrala (143) relativă la aeeastă bază este nulă. Pe baza superioară crt1 avem : cos (n, x) =: cos (n! y)

:::c:-::

O

şi

eos (n, t)=l.

Pe suprafaţa laterală verifică relaţia :

r

a conului, cosinuşii directori ai normalei

cos 2 (n, t) şi

cos 2 (n, x) - cos 2 (n, y) = O,

integrala (143), extinsă la

r

1 = \

1

r,

devine:

J 1.~-xu_ cos (n, t) --

.' ) eos (n, t) )

u

{!_c~l- cos (n,

x)-_·1:::+

1

· pe aceasta" supra f ata"' -f)u = O. E~ ga1"1tatea d'1n urma"' rezu1ta"' une-

f+ (~: rJ

diat din faptul că punctele suprafeţei laterale a cilindruiui reprezintă puncte ale conturului l în diferite momente de timp t, şi pe conturul l avem, pentru orice t, condiţia la limită omogenă (144). Aşadar, funcţia de sub semnul integral (143) se anulează pe întreaga suprafaţă laterală a ci.lindrului, astfel că demo:Q.strarea teoremei unicităţii se păst1·ează în întregime. Pentru demon~ strarea teoremei unicităţii a trebuit să integrăm membrul al doilea al expresiei (142) pe domeniul (D) şi să aplicăm formula lui Ostrogradski. Aceste operaţii sînt· complet îndreptăţite, dacă presupunem că funcţia u are derivate continui pînă la ordinul .al doilea care rămîn mărginite în interiorul domeniului D.

, at

!

l

âu -cos f)y

avem astfel, in definitiv :

J ..

Pe suprafaţa

r

r

+ ~~ H~: + l~: a~··

Totul rămîne ca n1ai sus, numai că membrul al doilea intră î:n integrala extinsă la suprafaţa laterală a cilindrului. Dacă această integrală este nulă, atunci demonstrarea precedentă a teoremei unicităţii se păstrează în intregime. În integrala extinsă pe suprafaţa laterală a cilindrului, funcţia de sub semnul integral coincide cu funcţia de sub semnul integralei (143). Însă pe suprafaţa laterală a cilind.rului avem cos (n, t) = O, şi, afară de aceasta,

d·

=o.

cos (n, t) > O şi, prin urmare, J >O; prin urmare:

m(~ r+ (::r+ (aa~nds

=O;

130. Aplicarea integralei Fourier.

at.

de aci rezultă că în toate punctele interioare conului cu vîrful în N(x 0 , y 0 , t 0 ) derivatele parţiale de ordinul întîi ale funcţiei u sînt .nule şi, prin urmare, funcţia însăşi este o constantă. Pe baza ·conului ea este egală cu zero, în virtutea lui (140), şi, prin urmare, şi în punctul N, u este egală cu zero. Această. demonstrare a teoremei unicităţii se poate uşor extinde şi în cazul problemei la limită, pentru ecuaţia (138). Să presupunem că se cere soluţia ecuaţiei (138) într-un domeniu B din planul (x, y), cu condiţii iniţiale şi la limită date, condiţiile la limită referindu-se la conturul l al domeniului B. Construim cilindrul cu baza B şi generatoarele paralele cu axa t. Fiecărui punct al acestui cilindru 'Îi corespunde un punct determinat în domeniul B şi un moment determinat t. Să presupunem că în domeniul B avem condiţiile iniţiale (140), iar pe conturul l al domeniului B avem condiţia Ja limită, omogenă : Vom arăta că funcţia u este egală cu zero în toate punctele -eilindruluî. Să luăm un astfel de punct N şi să construim pentru .e] conul (1.41). Fie D do meniul mărginit de suprafaţa laterală a acestui con de cilindru şi de planele t = O şi t = t1. Integrăm tiin nou ambii membri ai identităţii (142), în acest domeniu~

568

(i2u

i)la

fJx2

undelor in cazullinil:U'

-=aa-

pentru semiplanul x

şi condiţia

la

~

O, cu


u

=

1

t-o

at

1

t-o

(145)

=

(146)

limită

ul

(147)

=O.

tlll=O

Această problemă se rezolvă uşor prin metoda indicată in [166]. Intr-adevăr, este suficient să prelungim funcţiile

u

·

1

(144)

Considerăm ecuaţia

fJ2u

z-o

=

cp (- al)

+ cp (at) +

2

+at ~

(

cp1 z) dz,

-at ambii termeni se anulează din cauza irnparităţii prelungirii lui cp (x) şi
=

(A cos 'akt

+B

sin akt) sin kx.

569·

A doua condiţie la limita nu există şi, de aceea, toate valorile parametrului k ·sint admise, adică ajungem la spectrul continuu de frecven·te posibile k al coardei -semiirifinite. în locul însumării după valorile discrete ale lui k, pe care am întreJminţat-o în [167], în acest caz trebuie să integrăm în raport cu parametrul k, con·•;iderînd desigur că A şi B sunt :funcţii de k. Obţinem astfel :

+o;,

~

u (;t, i) ,=

Se poate examina

cu problema la [A(k) cos akt -1- B (k) sin akt] sin kx dk.

limită

eeuaţia

pentru semiplanul y

~

O:

(14H)

·-- OC·

:Funcţiile

A (k) şi. B (k) treţ\nie să fie determinate din condiţiile inîliale (l4f\).

şi condiţiile

arbitrare :

,Eie dau:

·+oo

~

-:p (x) •==

u

()u .

cp (x, y) ;

(-·C'() (149)

too

~

ak B (k) sin kx dk.

-·-1 oi

1

A (k) sin kx dk,

..-~

'h (:x) '""'"'

1. t=O

=

<

~

<

= t=O

(151}

+ 00; y >- 0) .

Se verifică uşor că soluţia problemei este dată de formula (80) pentru cazul· prelungirii impare a funcţiilor cp(x, y) şi cp1 (x, !/) în raport cu argumentul y, în interva]ul (- oo , 0). Intr-adevăr, pentru !1 ~~, O, primul termen al formulei (80> poate fi scris sub forma :

_,_C()

Comparind aceste formule cu formula Fourier pentru +~

1(x)""

A(k)

hnparii . 2rra

~ 1 ~ f (l) sin «1 dl J sin ~x d~.

-;

o

-··00

funcţia

00

şi

şi integntla interioară: este'. nulă pentru oricţ x şi t, deoarece fmwţi.a de sub semnul! integral este o funcţie impară de [3. Analog, şi ter1henul al doilea al formulei (80) este nul; deci, condiţia (150) este într·-adevăr îndeplinită. Pentru această problemă se poate aplica şi metoda Fourier. Verificarea identităţii soluţiei obţinute 1n acest mod, cu soluţia dată de formula (80), prezintă dificultăţi mai mari decît în cazul linbr. Analog se poate examina ecuaţia undelor în scmispaţiul z .:):. O, in cazul condiţiei la limită u = O pentru z '= O. Metoda Fourier se aplic:1 şi la rezolvarea ecuaţiei undelor :in cazul nemă.rginit, cind există numai condiţii iniţiale. Însă, aplle~nea ei duce la calcule mai complicate rledt ~l(:ele pe care le-n m folosit mai su!'..

B (k) : r.t:.

A.. (k)

""~ __!_ ( ~ ( ~) sin k/; d ţ,

';t'J

o ·X;

B (k) ·=' __!.___ ( cp1 ( l:,) sin 7t

~;;i~

ak

introduc:i.ndu--le in formula (148), +oooo.

~ [ ~ !. ~ (/;)

u (x, t) = :

ţinînd. seamă 00

a (x, t) = '

k~ dE,,

o

§ 2 ..ECUA'fli\ .

c.os akt

de j)aritatea

l

+ <:k cp1 (~)sin akt 1 sin k ~sin kxdf:....,

(il:,

funcţiei.

de sub semnul integral., avt>n.1 :

00

~ \ f [cp(ţ)cos akt+ _!_ cp1 (ţ) sin akt] K J J ak · . o o ..

sin

k~ d~J

sin kx dk.

Ne convingem uşor, utilizînd formula Fourier, că membrul al doilea .al ace· ·stei formule coincide cu membrul al doilea al formulei (17), cînd cp (x) Şl (91 (x) ·sint impare.

J570

TEJ.lHi.HAFJŞ'Hl.OJt

obţinem ~;oiuţhi

o

-.00

·'i'au,

J

1Bl. Ecuaţiile fundanu.mtale. Ambele m.etode expuse mai sus : metoda caracteristicilor (D' Alemhert) şi metoda undelor staţionare (Fourier), se aplică cu succes· şi la cercetarea aşa-numite~ ecuaţii a telegrafiştilor, care are o importanţă deosebită în teoria propagării în cabluri, a vibraţiilor electrice cvasistaţiouare. Fie un circuit format dintr-un conductor direct şi un conductcn invers de .lungime l. Presupunem că rezistenţa. ohmică. R, in~ ductanţa L~ capacitatea C şi scurgerea prin izolaţie .A~ :raportate la unitatea de lungime, sînt uniform distribuite de~a lungul întregului circuit; acest caz se deosebeşte de eel examinat î:n [1, HH 1, CÎnd rezistenţa, inductanţa Şi capacitatea e1·au COlleentrate numai în anumite puncte ale ci:reuhului. Înse:m:năm

571

prin v Şl ~ tensiunea şi intensitatea curentului în secţiunea cir·{mitului la distanta x de extremitatea x = O. Aceste functii -de x şi t sînt legat~ prin două ecuaţii diferenţiale, pe care le vo~ deduce acum. Aplicînd legea inducţiei la elementul de circuit dx, trebuie ~ă scriem că scăderea tensiunii în acest element: v --· (v şe

+· dv)

=' -- dv

= -·- ~v ax

compune din termenul ohmic Rdx · i,

.r,ax oi

fJv

Diferenţa

între

+L

1. În primul caz, ecuaţiile (1) şi (2) ne dau

+ Ri =

dv dx

dx

fJi ()t

curenţii

+ Ri =O.

care

intră şi

încărcare

(l)

Funcţia găsim

tJ

se determină imediat p:rin procedeul indicat în

l27];

(8)

care ies din elementul ---- .,V1RA b --. - ·~

ax Cax ~ şi curentul de pier(Jt

·deri Adx · v, ceea ce dă :

-t-Ca"

+Av:=O.

(2)

f)t

O (pentru x =--= O sau x = l).

fie cir-

+ ri +· ),

b (C eb'v = - -1 · .R

". ( x ) = --- -1 -dv · R

dx

C e---bal) . 2

(9)

Exemplul 1. ln cazul circuitului sub tensiunea constantă E ia o extremitate şi scurtcircuitat la cealaltă, avem condiţiile (5), din care se determină con-· stantele arbitrare care intră în formula (8). Avem

+ C2 = E Ci)E + C2e- bl =

--~(pentru x

:::-:o

dt

O sau x

·de unde

===

l).

:şi,

introducind in formula (8},

(4)

lx=O

V

im=l

E, \ =O. J

=

(5)

obţinem

eb a-:e} ___

v (x)

V

O,

iz- e·-lil·

(3)

În particular, dacă, de exemplu, extremitatea v = O, este -sub tensiunea E, iar cealaltă, x = l, este scurtcircuitată avem

1)72

fiind determinat, aflărn pe i din prima ecuaţie ( 6) :

Ee-·bl

In general, dacă la o extremitate a circuitului este inclusă forta electromotoare E, rezistenta r şi inductanta A, atunci la ace'astă extremitate trebuie să ~vem : , v == E

ov

C1

Importanţă mare au condiţiile la limită care trebuie să -~'!atisfăcute la extremităţile circuitului. Dacă extremitatea -cuitului este deschisă, atunci trebuie să avem

=

(6)

(7)

'

i

+ Av : : :.: : O.

Derivînd prima ecuaţie şi ţinînd seamă de a doua~ obţinem

a· oi d ,··__ (."· +a·) J,=-z.=----x,

(Ji (Jx

dx

termenul induetiv

-t:lx~ adică

se compune din curentul de

O ; _!!:!_

ax:

sau simplifîcînd cu

f)t

ax

şi

132. Procese stabilizate. Vom spune cîteva cuvinte despre ~;:procesele stabilizate, cînd factorii exteriori, care acţionează asu;rpra. circuitului, sînt 1) constanţi,. sau 2) mărimi sinusoidale. "tn primul caz, vom considera pe v şi i nedepinzînd de t.

'iar formula (9)

= E

bl

:

e -b {l-a:)

e - e

,

sh b (l- x)

=E · - - - - -

-bl

sh bl

dă

i (x)

=

E '"\

/~ _ch b (l

VR

- x) sl,llb

2. Presupunem acum circuitul solicitaf'de o forţă electromotoare sinusoidală de pulsaţie. determinată (t); tn acest caz, putem trece de la mărimile

-exterioară,

573

·?

Hzke reale la vectori, a~.a cmn am procedat in [X, l80j, şi prin. oscHaţii întreţinute· vom inţelege oscilaţiile sinu:soidale ale tensiunii şi intensităţii circuitului de aceeaş~. pulsaţie w . . Amintindu-·ne de regulile din [I, 130} şi introducind vectorul inten.:. sităţii

de

·?

-7

1 şi vectorul tensiunii V, car<~ în cazul cnnsiderat depind de (l) şi (2) sub forma :

;1:,

a punctului curbei V, corespunzătoare unei valori x, este egală cu suma geometrică a razelor vectoare ale punetelor de pe cele două spirale care eorespund pentru aeelaşi

şi

x .. La fel

-?

pentru vectorul J. Introducînd factorul

scriem sistemul'

ecuaţii diferenţiale

v ,.,"

·~

-+ (R + i
Deriv!nd prima

ecua-ţie

în raport eu ::c

şi

..J.

;

icilC) V"'"" O.

utilizînd

eeuaţia

(11).

-eare se nrnne1i/te forma

a doua, cli.minib.n,

impedanţl'i caractcrislicil,

·-;>

..,.

V =

A. 1 ex~;

-j

pe 1

şi obţ.inem

V A + iwC '

·+-

-)

-+·

iu>L) (ii

·cfmtate v

..."

+ icoC)

V "'" 1),

iar pentru 1 se poate ~

obţine

o

e(:uaţie

în totul m.emănatoare.

-?

.l\.şadar, J şi V sînt soluţii ale uneia a] doilea. Aplicînd metoda (27] şi :(ăcî:nd

şi aeeeaşi ecuaţii

şi

sub

-) (A e·-~..:~

2

\1

diferentiale de ordinul< · (12)>

vectorială

de la forma i, expresiile :

v

-~~

i.l6)

.-=

V (x) sin [wt

~~~,

arbitrari. Introdueînd pe V în

1

ot=·O

prim~~ ecuaţie·

7

-7

+ A:~

Hezoivind <:l.eeste .conditti

Penlru rezolvarea definitivă a problemei trebuie determinati vectorii con~ . ..,. . '

.,.

stnnţi

..A1 şi A 2 , eeea ce S(~ poate faee utilizind două eondiţii Ja limită (aici, desigur,.. nu poate 1'l vorba de condiţii iniţiale), şi, în loc de a da cîte o singură condiţie~~~ .t'in:m';:; es:lremit.ate separat, se pot pune două condiţii în una şi aeeeaşi extremitate •. de exemplu se pot da acolo şi vectorul tensiunii şi vectorul intensitătii. ln orice caz, formulele (13) şi (1·4) determil~ă veetorii oscilaţiil~r întreţinute· care depind de ;~;, adieă variază de-a lungul circuitului, atît în amplitudine dt şi ln fază . .Reprezentînd fiecnre vector (m ni) pr!ntr-·un punct. din planul variabilei.

+

'

complexe, şi variind pe x de 1a O Ia l, obţinem pentru V şi 1 două cm;.be: rliagra~ mele vectoriale ale tensiunii şi intensităţii. Pentru determinarea formei acestor eurbe, trelmie amintit că rnf'trimea :.:. este, în general, un nnmăr eomplex; fădncl X

·:.

V ""'" .A 1 eart (cos ln:

=o

a·+

i/1, ·~

+ i sin b;~..:) + .A e 2

-ax (eus il;;.: --- i si.n l;x).

Ficeare din termen:ii din membrul al doilea obţine prin ~,aduninea geometrică'' a :westor

I

1 :U'~~

şi

..::t.-

""' Vo

Vw Afaril. de

"'"

o,

dă o spirală ( [I. 183], şi V sedouă spirale ; raza vectoare·

:;. :-:- cb. x (l -- x) V ·= V 0 ..-·----------cl1 x.l

Pentru x '"""' O avem

·7

.t!.2e--xi

- ~"l 1 e-.r-K '·"" U .

substituind în (16),

(14)

aven1 :

priu

..,.

V

. ~-il.

·-)

tn~;emnat.

-eare, pe baza formulelor (16), dau :

~

eonstanţi

funcţiile

~

(13}

~

unde A 1 şi A 2 sînt vectori (11), obţinem

pentru

'1'7)

torul tensiunii dat la extremitatea :r: '"'~ O va fi .ecuaţia (1l), avem şi condiţiile la limită. :

~

V '-= A.1 .e><.a\.+· A2 e--
obişnuită, găsim,

·+ ~(x)]

..,. ..,.

~7

la forma

·care dau vibraţii armonice de aceeaşi frecvenţă w, ca şi la forţa exterioară şi la care amplitudinile V(x) şi /(x), precum şi fazele ~ (x) şi X (x), depind de pozi·ţia -sectiunii considerate a circuituluL ' 3. Circuit :mb tenshme sinusoidală la. o extremitate şi deschis la cealaltă. Ve<.~

avem:

574

·7 şi l

:

(R

-7

se pot sede expresii.le pentru V 1

-:.-

A 2e-·-X:.ll; 1

Dacă trecerţ1

~

d5) 7

dl

dV

"'rR.+Tw"L

rezistenţă

gă:-;hn

:

..,. -~!" --~~ x !L:.::!L. ';)

t.h Y.l

compiex:â iu p1.wetul

:~

·'"' O, "ittb

f0r1tL:i .:

l33. P1·ocese in eurs de stabilizare. Să comparăm :i:ntl'e ele d.ouă vibraţ.iî întreţinute, în unul şi acelaşi circuit, produse de factori exteriori diferiţi. Aceste oscilaţii le vom însemna cu (1) şi (II). Tensiunea şi intensitatea oscilaţiilor de tipul (1) le în . . semnăm prin v1 ŞI i 1 , iar aceleaşi mărimi, dar de tipul (II), prin v ~ şi i 2 • Da că înlocuim hruse eondiţiile exterioare în care au loc oscilaţiile (I) prin condiţiile care dau oscilaţiHe de tipul (II), sistemul nu trece deodată de la (I) la (II), ci numai după un 5'75.

~interval

de timp mai muh bau mai puţin îndelungat, care din ,punct de veder~ te~retic ar pu·~ca. f.i ~nfinit, dar c~r~, practic,. este finit; în cncmt apar oscdaţn hbere (de stabzhzare ), caracterizate printr-o. tensiune v şi ~ intensitat.e. i şi anun:e. considera că in timpul procesului de tranziţie starea hn1e1 se· obtine prin adunarea stării (II) cu oscilaţiiJe libere amortizate, adică tensiunea şi intensitatea procesului de tranziţie ~e· deteJ~mină prin sumele:

şi ecuaţia (2) este satisfăcută. Introducînd pe (20) în ecuaţia (1), obţinem ecuaţia pe care trebuie să o satisfacă funcţia w(x,t) :

__§__( ()w)

:rom

ax\ i):J;

V 1 te= o = (V 1 i J t-o = (i 1

--

--

i 2)

= g (X) ;

V2)

1 t =O

i t=o

=Vi

l.~ ~ ( C .!1!!! + Aw) -at ' el '

···:.s

a:c

.

-.f!..!:_ (Jx

+C

02

w âxot

~Ji

A

1

(19)

)

= 0.,

2

{)t 2

i)t

RAw = O.

·--

(21)

e-~'t

u (x, t)

(22)

transformată

în u,

{1.

astfel, încît în (lu

să

nu mai figureze termenul_.:._. f)t

Derivîncl

şi

simplificînd cu

iJ211

(jx2

--~ LC (

e-~J.t obţinem

tJ.2zt --

:

3!:. + fJ2.u) -

2(1.

at

f)t2

-- (LA+RC/- tJ.u +!}!!_)-RAu= O,

.

at.

~

ş~, pentru: scopul propus este suficient să alegem pe (J., astfel ca

(i

aw = -~:.. + c 88tw_ + Aw .) f)x

f)x

fJ

#

h (x).

1 )

f)t

ne &tdiduim să alegem factorul constant

ecuaţia

atunci :

-t-

[J2

w (x,t) =

ax

dă,

+ A.w

Aceasta este ecuaţia telegrafiştilor. Pentru simplifiearea ei, introducem o nouă funcţie necub lr.lloscn tă, u( x~t), pl'În relaţia

{Jw V=--·-- •

(2)

.

_C!_!!>_- LC -~- (LA-t-RC) ___!!!_.

Nu vom căuta functiile v si i, direct, ci le vom exprima printr-o nouă funcţie ne~unoscu'tă w, şi vom pune :

Ecuaţia

R. ( C .flw

eau

(18)· Pentru t= O, adică la începutul p1·ocesului de tranziţie, a-ceste sume trebuie să ee reducă la v1 şi i 1 • Funcţiile ·v şi i trebuie să verifice ecuaţiile diferenţiale (1) şi (2) [UH] şi con·· ditiile Ja 1imită (3) sau (4), în funcţie de condiţiile la extrcmităti. Afară de aceasta, ele trehuie să verifice şi condiţiile iniţiale ::

--

2(1. LC --- (LA

=--''''O,

+ RC)

=

0,

sau

de unde

i

+C

~w + Aw

at

LA +RG

=" c,

fL=

unde c nu depinde de x. Fără a restrînge generalitatea,

. tem socoti c

=

. ., "" . h ... . O, deoarece, fara a sch1m a mar1mea v

putem adăuga la w un A v.em, aşadar : i)w v=-.-, {Jx

1) Factorul

VI}

L

termen arbitrar,

Subsţituind această valoare a lui (1., ajungem după trans• formări elementare la ecuaţia:

nedepinzînd de ;\:.

(24) {Jw

i =- C -

este îr1trodus pentr·u

.

pu--·

aw .,. = --;·vX

i)t

-- Aw,

simplific:m:!ll

cakulelor

(20)

unde ,

()

următoare . 37" Cura de Matematici superioare.

576

(23)

2LC

-~LA--

RC

·2LC

. 577

~ .. ..l cazu.~. em.u. S a-:- ~examinăm mai indi di ~ 8 au este chiar nulă!' a ·ca

.

•t·*"' ,.,.·t•"'~ ~>' p~Jat~ .ff.n,~glij ati ...,.~

după :ta!'e~ expresiile definitive, pentru v, şi i~ vor fi : f)

R

A

L

C

~=

. ·\1-

~a:I:JJ .•.l

(x, t)

=

(25) i (x, t) =

R

(26)

+ ep 2 (x + at)] e·--!Le [g~1 (~: -·· at) ~. - ţp 2 (x + at) ], r.t.

e-!J.t [q;1 (x - at)

' (30)

f

unde~, pentJtu prescurtare, am notat « : --.:.: : V~. În cele ce urmează vom. intrehuinţa tocmai aceste expresii. Funcţiile cp1 (x) şi

şi făcînd

__l_ = a2~

·:p~_ (:r.)

(27)

2

detexom.ină prin condiţiile iniţ.iale (19), care ne dau :

+ '!?:-~ (x)

= g (x);

lp1 (x) -

ip 2

(x) =--= h_(x).

l,C obţinem,

pent:tu u.

e(~ua:ţia ~

:

deja studiată. ei generală este S l tia "ou_ •.

~~ (x) ~=

~-]

+ 62 (x + at).

(29)

___ 1{1. m:t da viteza de propa.gar·~? constanta a. - V LC ·· de-a lungul cablului. Din (22) dedu.cetn :

(!

şi

w (x~t) =.:e--~e [Ol(x-·tzt) şi

din (20)

i (x t}= . ' .

~··

Il.

obţinem

f)t

cel (x -

-r .Acrl2 ( x

·+·

âtrJ ..

:

·* = -- -"" itU' C iJw

t&

~-v:t [ --.

at) -~-~ tLC02 (x

__-r L a t)]

aCt'1'1 x -- at\,

aC&~ (x

+

P:roblerua ar putea fi considerată :rezo]vată, dacă functiile ,~(x) şi h(x) sau, ceea ce este acelaşi lucru, q;1 (x) şi q;Jx) fi date în. întreg intervalul (- o.:>, N); de fapt însă, ele sînt cunoscute numai în intervalul (0,1), şi, pentru a utiliza soluţia găsită, trebuie prelungite înafara acestui interval. Această pre~ lungire poate :fi făcută cu ajutorul condiţiilor la limită~ ca şi tn eaz;ul cmudei vibrante şi, aici, sensul fizic al acestei prelungiri n.u este decit reflectarea undei sub o formă sau. alta de la extre~ mităţile circuitelor. Fenomenele care corespund soluţiei găsite (30) sînt ana~ loge celor examinate mai sus 9 în cazul coardei. Avem aici două unde, directă şi inversă~ care, ajungînd la extremităţi, sînt re~ flectate. Diferenta esentială fată de cazul coardei, constă în prezenţa factoruÎui e-llt: care d~screşte cu timpul şi provoacă amortizarea oscilaţiilor cu atît mai rapid, cu cît este mai mare exponentul tJ·~ ~are este decrementul logaritmic al amortizării . 18~ . Exemple . Dacii t:;rtremitaiea x

at)

;r

= l este deschisă, atunci eondiţia

+ at) + Aet (x -- at) ··+

--~-- aC · 6,--·!Lt [6'•1 (x

~-- at)• -~· H~ (x

1i· at)l,

· (26) 101i (25) ' evident ~C = A, hu ceilalţj deoarece pe b aza 1Ul ':i • n • o t mai 1 ·· termen1. se re d u c · În locul functiilor , ..arb1trart'l ~.~11 Şl "?~ es . e comod să introducem direct funcţnle ŢJ 1 {x) =B~ (x) şi (P 2 (x)

578

(31)

2

+

[lGct

u(x,t) =: 61 (x~ at)

·- . ·-·--·--------~-

= li~('x),

~au.

:Y.niocuind pe at prin

~2 (l

+ at) =

());o (l

+ x)

f{?:~. (i ..... (a.)

Ji.: :

=

~ 1 (l -

x), ,,

.

i!lldicâ~ la acew~iă extremitate unda se reflectă rămfnznd neschimbată am ca ~11iil'imfe cU şi ca semn, deoarece fuQcţia cp 2 (x) este prelungirea pară a funcţiei ~1. (x). Se .tnţelege
Formulele· (31) dau : Dacă extremitatea x .... l este scw·tcircuitati1, adi.că

v lx=z~

(ţi:a

o~

atunci, tinind seamă de (30) şî înlocuind pe at prin x~ avem :

+ x) = -

q>2 (l

q>1 (l -

Din

"'""""

V (x) sin [ (l)l

Dacă piuă la

+ ~ (,r.)l ;

i2

=

la

1 (x} sin

[(Il

t

'P1 (- x)

= -

<'Ps (x);

+ "1.. (x)l.

E 2

E

'l"J(x)

De aceea, pe baza formulei (19), condiţiile iniţiale vor fi :

i lt=O

·--

= --

V (x) sin r.jJ (x) 1 (x) sin

=

1.

il~=l

La extremitatea x

=

o loo=O

'"'~· O,

cpl (l - x) ""''"' Cfl2 (l

t trebuie să fie

=o.

(32)

la

fel~ obţinem

+ x)

0·< :c ·
rin (l _ , ) ~-

e x

= --

· .

::?l compadn((J1

··

~gabt<1itll

~:11 (x),

: q>1 (21 -

O putem considera

(32):

pentru .._ 1 < x < n

-~pentru 2 .

-

Inlocuind în a doua ecuaţie

=

+ x),

pentru O < x < '2f

"obţinută cu prima din egalităţile (32), pvom pavea ; -! x

Condiţiile la limită vor fi : la extremitatea deschisă x

L

2

= J

g (x),

x (x) "'"' 2..Of. h (x).

<

~e ~ndeţ~e vede că cp2 (x) prelungeşte in intervalul (l, 21) funcţia ~ (x) ~n modl pî>!Jr ar n ne 1a Cf>t (x) prelungeşte funcţia cp2 (x) în intervalul ( -· l O) b~ moc< nmp·;w' . cu a11e cuvu1te, · • • · " · · " •·

=o, il= o.

=

11:

6

01.

e~~o

o<

pentru

2

i ig: ... J """"" O;.

demarare circuitul era gol, atunci avem :

v1

= ·--· -E

limită,

x).

adică unda se reflectă, păstrfnd mărimea absolută, dar schimbtndu-şi semnul, deoarece funcţia q>z (x) este prelungirea impară a funcţiei. cp1 (x). Mal. departe~ prelungirea se face la fel ca şi tn cazul coardei. 1. într-un circuit desc}J.is la extrem~tate este introdus un curent alternativ. armonie, de frecvenţă (i). Stării (II) stabilizată definitiv U vor corespunde oscilaţiile armonice de frecvenţă w, care au fost deduse mai sus [182) : v2

condiţiile

(x) =, cp 2 (x)

x) =' .... .:Pl. ( -- x),.

adică funcţiile cp1(x) şi cp3 (x) prin adunarea ar:rrume:ntu'"' .-,~ ·semnul, iar perioada lor va fi• 4l. . o Au.. cu .;;.IL~ ~şi schlllnbă . Confr~nt~nd !. ot ~ceea ce s-a spus, se recunoaşte fări?t greutate eă. ;r·), ;~'1
deoarece, :1n procesul de stabilizare considerat, ne interesează nm:illaii oscilaţiile care provind (lin diferenţa condiţiilor iniţiale ale circuitului ~u os.cilaţiile întreţinute, de (i). Determinăm funcţiile cp1 (x) şi cp2 (x) după formuleţ~ (31) . şi apoi le prelungim, impar, prin extremitatea x = l şi par. prin extremitatea x =O. · 2. în cazul demarare, in circuitul deschis, de tep.siune constantă E~ la extremitatea x = o. extremitatea x = l rămînînd deschisă.• vom pune tn expre·siile (18):

"Fig. 1. 38.

·-. . Pentru ob?nerea val~rilor lui v şi i, mişeăm acest grafic, cta viitc:2~a a »a _:&ttn.g$. 1J-1 la dreapta,. Şl Juă.m. sem1suma ordonatelor .!nm.ultită ' , . . . cu -t>- 1.1~• pen t,.ru §~?!Observăm că aceste mar1m1 verifică ecuaţiile (1) şi (2), dacă considerănt A;= O,iadică dacă neglijăm curentul de scurgere. Condiţia (25) spune că, in acest caz,' trelmie să avem R "'""'"' O, adică neglijăm şi rezisten·ta ohmică. ln acest caz: ·

·mi diferenţa înmulţită

= ·--

E;

i lt=O ·= h (x) ot

580

= o.

pentru. t.

In fig. 1.39 este graficul tensîuniî la extremitatea x -este

v le=o = g (x)

cu~ e·- tlt,

Jaţiei

adăugată libere.

stabilizatoare

v~ =

E. Litera_

't '='

=

~~ iar la osc!l_aţia Uberă iJ

j!_ reprezintă ped~~dla

if.ll5\cf-

·O

581

[htcâ b extt·emh.atea x =, i sînt incluse rezistenţa ohmidl. rb inducta nţa~o, J\.~ şi •capacitatea yr,,atund condiţia (4) dă următoarea relaţie, pentru prelung ire2.''' 'fiJ'lH';ţ]0i q»lî{x)~ in in.terv~l1Hl (l, 21.) ~

Dad!i inlocuim ~rgumentul at prin x, atunci relaţia de\
ţ11l!l~ r:
tl> (x) ":. 'illl (l i- x)

pentru O< x

<

l.

reznttat stsem:~n3tor illiliz1nd condiţia la limită, la extrem1tate:!% p:mti·u prdungitre::J ? 1 (x) 'in intervalul. ( -!, 0). ~:;., L~ if;X'i:.X'mnitatea x """ i il)dusă numai rezistenţa chimică i'N· Egal~ ~~sh~ ;;~tu.nd. ~:nh)cuit:i'< pri.n urm.ătoarea ;

():tJ.\ti.m.eu1
\),

2 ; ~· := "·~

e·-IJ.f

(P -·

:U{b

+ ~2 (l +ai)]= rz-- [<:p1 (f-.. ai)-cp2 (l +al)],

:2a 2 ~ f~>bţ.inem eena'ţb

a~;<)

82n

(,(.

l.El

---- =::

(JfZ

ţ;t2 ·---· iJx2

unde coeficientul c~ I o t r cuvinte trebuie să ' .a e :a aht pozitiv cH: ~i negativ9 ~~::u altt V consi?eram pe c sau pozitiv sau puF :im·l ]na.r ţiile i~;aleezolva ecmaţla (37) pentru axa infi:nită X,. Î!Di «!~Ct;n.di; A

V

.Astfe]1 în e:azu] consid~~rat, prin reflectarea din extremntatea x = l, undtJ• im:rmlţeşte ~,~u factm·ul q. Desigur că 1q i .:::,;: 1, adică unda se micşorează în valoare absolută şi se produce absorbţie. Pentru rl = cx, acesl' factm· ;;e anuler:z{i şi se produce absorbţia completâ tr" umiei ;· pentru =.o. oo, l'adorul q = 1, şi obţinem r.espmge•c·ea Hi.d. schimbare, ceea ce era o. iar funcţia cp 1 (x), pentru. 2 x < l; :aceasta ne este necesar, deoarece argumentele (x ··- at) şi (x-j-al), rit> ~:are depind cp 1 (::<:) şi cp 2 satisf:w. t.ocn.1ai nee.ste incg~11ităţi.

l'!lll:;

Ul5. E~uaţia generalizată a coardci vibrante. Am considerat ecuaţia telegrafiştilor în cazul particular i) = O. Înainte de a' trece la cazul general, să stabilim teoretic ecuaţia generalizată, :f§; 'u:uh'J.or~ oleocamd.a.tă sub fon:nă liniară :

a

u

(37)

IR~i(~~u).l 't

ecu.aţia :

şi

7

•~oudiţiile

p:rohlemeil

formulate~

vom rezo va o

altă

dete:rminate prin foll'IJr.Ruieie ... d r ema, ete:r:mu.D.at.W. p:rin n:rohl

o

iniţiale

w

-- o

f}w

{)l

~oluţia acestei ecuaţii poate r . ,. . . mule1 (80) d.in [172] ~ · ..~ scrtaa ~mediat giraţite~ for·-

w (x~y, t)

ca,

unde este Cel·cul cu centrul în (X, y) şi cu raza at. Intro~· ducînd in locul lui tX şi ~' noile variabile rx' =~X- x şi ~' = ~ - y transformăm integ1·ala dublă într-o integrală extinsă la cer~ eul· c:«' cu centl·ul în origine şi de rază. at :

')>-

1 ·~·· ~ w (a'

.

·w ( x. y, 1;) == -···-·.. 2na

·-

, 0

~- ((j' + x) ea

+__

V a2t2

-,~au, introducînd o nouă funcţie transcedentă «

+2

1/)

da'dW __:___ --~··-· -- rx'2 - [3'2

= -; ~

1 (z)

sau,

scoţlud

pe

e"â

at

(43)

>putem scrie formula (42) sub forma :

Il

y, t) =

-· 11

er~

u (x, t),

·r

(40)~

u (x,y, t).

!

::= 21a

trnde al doilea factor

at

J (~V "(î2z2·::-;'2-J

-t- x)dcte~

et)(!Xi

-al:

~

. ) _

1

u( x , t -21ta -

·~ ~~

~ ~ w (rx'

+ x) ea dr:x'd(3' . V a 2L2 - a.'?. - [3'2

, 0

evident rezol-vă (37) şi {3'9) şi,

q~ dep,

-2

înafara semnului integralei~

w (x,

ezsin llt

r,

11

l(z), definită prin

•rJntegrala depinzînd de parametrul z:

·§au, introducînd variabila de integrare oo+at

at

u

că nu depinde de y. Să demonstrăm că expresia (41}

problema noastră fundamentală, adică verifică ecuaţia,. condiţiile iniţiale (38). 'În adevăr, ·W · verifică ecuaţia.' suhstituind expresia (40) în ecuaţia (39 1,, obţinem, după, c

simplificarea cu e 7 '11, e~uaţia (37) pentru. u. Condi-ţiile iniţiale· pentru u se obţin imediat din condiţiile iniţiale (39 ), pentru. w, şi din formula (40). Aşadar, soluţia ecuaţiei (37), pentru" condiţiile iniţiale (38), este dată prin formula (41). Să trans· ·;formăm expresia din memb,rul al ·.doilea al acestei formule. Reducem. integrala dublă extinsă la cercul C~ la două. evadraturi :

l·::_ Va2t2·_

1

(x,y, t) = _!_ \ w-~

=

+ ~. ~

(ă _ x)2 -,(A) (oo;) drJ.. -

Dacă derivăm. soluţia :obţinută

·Şl• in [171 ], noua· solutie u1 • 'fică

=. rx.'

a

2a "

.

IX

în raport cu t, avem, ca care nu. veri• ·

.§!: ()t a ecuatie1· (37) #

'

'

·

condiţiile iniţiale (38), ci condiţiile :

u.

=

1

w (x);

t=O

~~ -o f)l r-o- .

(44)

. .. PeiJ-tru a obţine soJuţia ecuaţiei (37), verificînd· condiţiile de :forma generală :

•Iniţiale

u

=

1

aui ·---

cp (x);

iJl t =O

t=(l

= q;,_ ( x)~

(45)

gu (x) = (x) 1ar Imtlale (44) ' să luăm (u (x) -- cp (x). , ş1· sa}Pta d u ..• . . In con.d1tnle ·n~ • ''·fnam expresJ. e corespunzătoare pentru u, ceea ce ne duce Ja ;· ormula

·~ste,. suficie~t:'. în.. c?~diţiile iniţiale (38), să luăm

In integrala interioară facem schimbarea de variahi1ă ..tiupă formula: ~,=V a, t 2 - a'" sin 9 şi integrala devine :

u

1r.

. ,.

~2'

i!

ea

:rt·

1

••

{~84

---

_:_ Va2t2 -7.'~ sin q

(

J

(x,y, t) =

:a

~t+at

~ 1 (; Va2i2 _ (oc~=---x)2) lf1 (0t) dtl+ ·-~

dq>

:d :a•L/ (: Va•~

'

DC+at

+

-

(a:=x}• ) 'P (a.) da.

j

{46)

ij)m·x

vt~~:h~1::;,e:::~~~~rt f:H"

' "'"'

<>

<'''''"'

!TJ:1!

'ha:r,;;l\

~

(_ .

r:

:in iin1itele de in· ~l~·· fapt1d ll'l~· devine;

ro;eam.ă

l'(z)

=

1 il . X w

~.

HW. Cirm1ind rJ~mrdirgin~t eenu:ţiei mărginit, Să ohstn·văm~. ta am ohţinut~o în pentJru ·fie satisfăcută şi tensiuneffi v şi In atdevă:r. să :revenim la ecu.aţHle

1a examinarea.

~:!:ndte'

P(z} n.r..rS:ă.:nP de:n::hrata Huli I(z) in :rapo.rt cu z" !St:alhHim. acum o I(egătu:rr~ llnt:re funcţia I(z) şi fuueţi.Hl hilll Bes€/d m11 ~ndictf~l(~ %ero (43] ~

(2) i;li

să. eliminăm

pe i. Pent.r:lll

e.ă dl"''l."l'.f~.ID']

Sl.Cf.:aE;ta.,

raport en :t: şi să. EH..ll.h~;tituim. pe " {j;&

E/11

LC

'ivtdl.hlll ( ih:~:

obţinem

Dacă ~~~}~

lft.rl~·~

[Jf. 2

o.

am fi început

te:nsiu:nea ·v~ atunci a:n1

Determ:inin d (l) şi (2).

e~naţiile

("'

P~.r.Jlt.:ru n ~"r't~m [1, H)Oj

:

'1

\ ~

A-~,·~

J '

}

unde .8~ integrează in :raport cu x~ ~ fH.1n,d ('> (:(tn:~rt:fn.rUL este o funcţie, deocamdată. a.rhit:ra:ră 9 de ţ:. ~~h.llhiiltit·«..llind ·expresie a lui i în ecuaţia (1) şi derivh.ult H~·'
~~.

\ ( LC

~~~;

LA Dt dx LBf (t)

~·-·· j' (BL

RB(t.)

({)l,

RA~ij

·Ji:%·

·-rr

Derivind. suma primilor trei termeni în raport cu x şi ţi nînd Sif~amă de (51), obtinem zero; deci această sumă este funcţie· numai de t. Obtinem p~ntru B (t) o ecuaţie liniară de ordinul întîL Constanta arbitrară, care se introduce prin integrare, se dete:r~ mină de obicei prin condiţia iniţială. "L~ ' (.•~]) [183] I:JcuaţHt ~ . " ca Şl• ma1• su,s · , se ad11.ce la fo·rma

v (,x,

\

t,~

= e. ·--~f u, ( x,

t ,

(55)

\LA- RC]

(56)·

)

unde '

=

Dacă pentru t

Lii ·+RC

c ,:::;: --------

-----~'

2LC

2LC

=

O ne sînt date, de-a lungul circuitului, ·~· . r . f)v • ()i . t t o . ti. i, atunci cunoaştem 1mp ICit pe - Şl pen ru · = , 1a:r f)x

ecuaţiile

(1) ş1· (2) d au -i)v

at

at

= (x);

1i 1·

t=O

f)x

av

=:;

momentul t

Spre deosebire de cazul .coardei vi~

= _!_ (x-q). (1

f)t

$ (x);

lt=lll

(57)"

t=O

}_!! 1 =

at

{1-~ (x)

param~t1·i.

=

Dacă, de exemplu~ pentru t tenţialul v este determinat de funcţia

t' (

_fJv 1

at

t,~o

= -

'2 ii+r.W

+ .;. ~

at)

1

+ 'F' (x).

(58}·

e=o

+·

tt1 ( x

+ at)

588

.ş:i

0., nu

există

+ (59~;·.

V

pent.ru O < x

da:ţi

mai

sus, iar

l

..··---,vrxr

(61)

afară de aceasta, că în momentul iniţial, nici tensiune, nici curent în circuit, adică

Presupunem, ' =

[r.t
c sînt

(60)

(x).

şi

Ecuaţiile

(J-

(1)

c

187. Metoda Fourie1· pentru un ch·cuit mărginit. Nu este greu de aplicat metoda Fourier pentru integrarea ecuaţiei (51) 'in condiţii iniţiale şi la limită date, în cazul circuitului mărginit. Presupunem că o extremitate a circuitului, x = O, este meu· t;inută la o tensiune constantă dată E, iar la cealaltă extremi~ rate t.l = O.. adică există condiţiile la limită :

-+

-~-"~

unde

A

Dacă se ia A = O, adică se neglijează scurgerile, atunci membrul

în definitiv :

xţ t) = -~-· e··-t-tf J 4:1'~ ( x

O curentul lipseşte, iar po··
(2) avem

Aplic~nd, pentru u~ formula (47) şi ţinîne1 seamă de (55),. obţinem

a

se

a.tunci termenii dj.n formula (59) care află înafara integralei vor fi nuli, însă integralele vor rămîne, numai că intervalul de integrare va deveni intervalul constant (p, q) ; iar varia~ bilele x şi t vor intra sub semnele integralelor în calitate de

al doilea va fi nul.

= 'Y (x).

l

Utilizînd (55), obţine'm ui'm.ătoarele condiţii iniţiale pentru '" ·~ 1

la

· urmare, pentru t = O. P rin

f)i ., ŞI• ___,...

putem considera că, hnpreună cu ecuaţia (51), avem şi obişnuitele eondiţii iniţiale :

u

< <·

>

brante, după trecerea frontului posterior al pe1·turbării iniţiale, funcţia v ( x, t) nici nu se anulează, nici nu se reduce Ia o con" m. ramine .. " o f uncţ1e . d e x Şl. t. I ntr-a d evar, .; d aca" t:> -1 ( x- p ') • stanta,

datorită substituţiei

u,

Aici~ ca şi în cazul oscilaţiei co~udei, avem o viteză deter·· minată a pentru propagăt·ea pe:rturbării, aşa că, dacă funcţiile 1P( x) şi "P( x), care dau pe:rturharea iniţială, sînt diferite de zero numai într-un interval finit p x q, şi dacă aplicăm for~ mula (57) în punctul x, unde x q, atunci v (x, t) va fi nulă pînă

< (1)

1•-o =

ŞÎ Î 1•-o =

0

(62)

0,

l. şi

(2) ne

~L

arată <~ă

:::.-:.: Q

Şi

în acest caz

Bi 1t=O al

··--

0.

(63)

589

Aşadar, trebuie să integrăm ecu~ţia limită şi condiţiile i.niţiale

V,·

1-o

i)v =-~O;--

l

Bt e-e

(51) in con()iţiilt'$ ta

(O<.~:.

::;::.-:;0

<

l).

-u:.l.....1'''·----·+·· :::.111'; + b 1'

(64)

.....

,~ ...

2 ... ---·---~"" ::::;.·. ..-..-

T

Căutăm mai intîi soluţia ecuaţiei (51), v=:=-:1? (:~~:).~ dr:bpin~:.i:nd numai de x şi în coudiţ.iile la limită ( 61). P ent:ru .F ( ~:} ·vn m a-vea ecuaţia . ' r ~z;j~'

u.nde. m'!t!. este, două

ecuaţii

--. m.t.nlll

d.eoeamdată, o constantă arhitra.:ră, Avem astfel liniare cu coeficienţi con.stanţi:

F" (x) ··- b2F(x) = O !n exemplul din [182] am găsit tocmai soluţia ~ecestei ecuaţii care verifică conditiile (61) şi anume: ,

F (x)

=

....-.!Il 'l"'u +

.E ~-~ (l~x).

."h z . T'

+ ('.b + ·-2

il!:!in::J .)

]It.

T =: O.

(65)

sh bl

Introducem acum in locul lui v (x, t) noua funcţie ~.t: ( x.t) prin formula:

w (x, t)

=

v (x, t) - .F (x).

'fin:înd sea:a:nă de eondiţiile la limită (67)~ luăm soluţia p1imei ecuaţii :

(66)

(m

=

1,2, ... )

Pentru w ( x~ t) avem aceeaşi ecuaţie (51), in eon.diţiile ia <.mnsidedn.d pe rn n.umă:r intreg pozitiv. Ecuaţia pentru 7.~ a.rtJ ea soluţie gene1·ală

limită

(67) şi condiţiile iniţi.ale W

!,. .

0

=--= --F (x)

;

~~

an de A_ -· "" "~~!fiii Ap "'

l

ecuaţiei

«=O·--:

O"

constante arhl.t:ra:re... t·a"·... ""·m ""

(68)

Din motive de comoditate, transcriem eeuaţia (51) pent:r.u sub forma

w~

!!!>Înt

(69}

(71) ~i p:resu.f»Unem că constantele R, L, C si A. sînt astfel încît: această ecuaţie, pentru orice m întreg, admite rădăcini distincte.

Obţinem astfel o infiu.itate

de soluţii~ ca:re satisfac condiţiile

la limită!

an de

az= LC ; 2h : :-.: : .LA

+·· RC

(72)

;

b2

:::::..:

RA .

(70)

Mai departe metoda Fourier se aplică în mod obisnuit. Să căutăm soluţia ecuaţiei (69) sub forma unui. produs dio.tre O funcţie de X Şi O . ·funcţie de t :

.w = .XT. n90 (

"'1 •.•. J m :..""a"' d. a·"' .n1' ~ .• ..,. .... .D.l·1 e

Să

luăm

suma acestor soluţii :

(73)

591

şi să

alegem constantele Am şi A' m astfel, înc.l't să satisfacă la conditiile initiale (68). Obtinem : , , ~

mrcx --~=

·-- J:i"'(x)

nată

prin

=

v

.

m=l

. (0<

%

funcţia

(65). Formula (66) ne

dă

expresia

definitivă

a tensiunii : ao

+ E '{""' -·-~.

Eshb(l- x) sh bl

k.l

b2 l 2

(76)

+ m2n 2

m=O

< l)

Rezolvînd ecuaţia de gradul al doilea (71), obţinem pentru ei expresiile

~

O, k..J ( ~m A m + Clfl~, A'm )S. i nrnrcx --,-=

rădăcinile

m=l

(77)

Determinînd în modul obişnuit coeficienţii Fourier. obţinem două ecuaţii pentru Am şi A~ :

~tnd.e

h

l

-+- A:n=- ~-- ( F {x) sin

Am

d

-·X mrcx

l

o

(78)

V=-; a2

1

Substi.tuind}n (76), putem scrie această formulă sub forma: v

=

Esh b(l - x) __ sh bl

1 ~ntroducînd sub ei (65) şi integrînd~

_,._ Ee--·vt

semnul integral in locul lui F (x) valoarea

l

. Să determinăm acum pe ~ după metoda indicată în para~ graful precedent. Ecuaţia (2) ne dă :

~F(. x ) sxn . ·-mrcxd x· = __2_m1t- -E·~... 2 o

b 2 l'~

l

·+ m

(79)

m=l

obţinem:

7.

2 ··--

~

rrl1

Rezolvînd sistemul (7 4) vom avea '

A .= m

şi

11

2mrc • m -·- · ·-----· E --,bft. J2 + m2 1!2 a:!'li ·- cr...,

introducînd aceste valori în formula (73),

+

AEe-vt ~

j;,.,J

2 IJ2[2

m=l

obţinen1 z

(75) m=l

Rădăcinile ecuaţiei (71) vor fi sau reale negative, sau com~ plex conjugate, cu parte reală negativă. În orice caz, soluţia (75) se va amortiza pentru t crescător. Ea determină procesul de tranziţie de la circuitul gol la starea stabilizată detefmi ..

592

r.s>

m1t

+ m2rca

(ch km

t

+·

+ CEe-vt ~

-~"sh kmt) sin . ~+ ku~

l

ffl1tX

m=1

sau, observînd că, pe baza· lui (78),

.)93

obţinem~ integrind iu a·apo.rt «.m ~ ~7i ţiuh:ui ~f~
= I,C ~ ~

=

~

-~-" (l

'

-~hlll

b

~) . -··

Introducînd în ecuaţia (1), obţinem ecuaţia pentru deter-.. 'm.iharea lui B(t) : l~B'(t)

-!- RB(t)

de unde

=

tului prin cabluri" (,.,.Jurnal prikladnoi. fiziki" \ .. vol. VI, Fasc .• 2, p. 66, 1929). Hl~. Em:mţia geneJt•aHzată a 1mdelor, În [Hi5] am eonsiderat ecuaţia undelor generalizată în cazul liniar, adică în cazul a două variabile independente. Întrebuinţînd aceeaşi metodă, se poate considera ecuaţia generalizată a undelor şi in cazul a trei sau patru variabile independente. Pentru simplificarea forw mulelor următoare, vom considera că în ecuatia undelor viteza a= l. Pentru a trece dela formulele obtinut~ mai jos la forp mulele cu a arbitrar este suficient să se' înlocuiască t 'prin at. Să considerăm, pentru cazul planului ;nemă,rginit~ ecuaţia

(83)

O~ şi «~ondiţiile iniţiale

B

·-·-l

B(t) = B 0 e

" . Introducînd această valoare a lui B(t) în formula (80)~ ·o.bţm.em expresia definitivă a intensităţii curentului. Un studiu amănunţit al metodei de mai sus se poate găsi ~n articolul academician ului A. N. Crîlov ,~ Propagarea curenw

;r;,

(81)·

.unde B 0 este o constantă arbitrară, care t1·ehu.ie determinată din conditia că ··pentru t = O, i = O de-a lungul întregului eircuit. Introducînd expresia (81) în form.ula (80) şi făcînd apoi i = O" obţinem : AE chb O- x) o = ·--· -·---. .·-· lJ sh bl

(82)'

ule-o =O;

< l,

A.E . cb b (l-z). t; sh bl

=

AE lb 2

+ 2AEl ~ ---~--.-··cos }!!_tea ~ b 2l 2

+ m 2rc2

(0<

x:<

l),

[jw! --

ct

w (x,y).

e- o

=

(!)

{x~y) ea~.

2:c Il

1

=

_t_

47t'

Jf J( c.v(x+t sin

6 costp, y·-r-t sîn Osin iJ) /

o ()

care poate fi aşa că

scrisă.

sub forma :

w (x, ~' z, t) ·= etz u (x,y,t)~ 8 (t)

= "-·

{84)

Noua problemă se rezolvă imediat cu. ajuto:rul formule lui Poisson :

w

.şi condiţia (82) dă ·

: :-. ;

~u condiţiile iniţiale

primul termen din membrul al doilea, putem scrie: 00

ât e-o

Vom considera· în locul acestei ·probleme o alt&\\' şi anume .problema integrării ecuaţiei undelor

Insă, dezvoldnd în serie Fourier după cosînuşi, in intervalul

O< x

(Jul

1) Rev-Ista1 fizicii aplkatc (N. Hed. E.

(H·

lct.J8filj

sinfld6d

' .

ŢI •.

unde 27t

u(x,y,t) =

«

~~

4tTC

6l(x+t sin !j cos cp, y

ctcos6

+t sin 6 sin ffl) e

:::.-=.

sinedCd~~·

·

Observăm că, dacă c este pur imaginar~ c=c1 i, atunci chcp= cos C:~.P· Derivînd soluţia construită în raport cu t, obţinem·

solut.:ia u 1 == âu a ecuatiei (83), care verifică condiţiile iniţiale ~ f)t

o o

(85):

ull t=O =

r:i, exact ca in [185], se

demonstrează că această funcţie verifică. ecuaţia (83) şi condiţiile iniţiale (84). Transformăm acum for· mula (85) în alta de o formă mai simplă. Introducem, în loc· de 6, o nouă variabilă de integrare p., prin relaţia t ·cos 6 P~·

t

sin ede

=-

dp

şi

sine

=

fi - ~.

+~

c:u(x:

+ Vt2 -- p2cos cp, y + lfî2-=-p2 sîn ep)

~!.!_ (Jt2

(x,y) ;

+· iJ2u ·+ 8azilu + c u f)x2 fJp2 2

2

=..::

8u

2

(87)·

cu condiţiile iniţiale

u.!

Integrarea in raport cu O din formulele (85) devine :

7~

Şi exact la fel, pentru integrarea ecuaţiei

=

d.e unde

,

ecp

=O; t="O

.2:!-j·

()l t= o

=

c:u (x,y,z)

(88)

trebuie utilizată formula (82 ) din § 1 pentru n = 4, ,inlocuind' pe w, prin (u (x 2,x 3,x 4)ecx1. După calcule elem.entare~ obţinem so .. luţia ecuaţiei (87), cu condiţiile iniţiale (,88) :

dp,

-c sau, descompunînd interva1ul de integrare în două : ( -t, O) şi şi înlocuind în primul interval pe p ·prin (- p), putem scrie:

(O, t)

(89)

~

~- ( t-]

·
x

+ Vt

2 -

p-2 cos cp, y -t-

Vt2 -- p sin
unde Tp {cu(x,y,z} este, ca întotdeauna, n1edia funcţiei !l>(x,y,z) pe sfera cu centrul în (x,y,z) şi cu raza p.

2

o

astfel formula (85) devine ; § !J. OSCILATHI. . B HARI<:LOlt t

u(x,y,t)

2«

= ) ( 2~ ~ c:u(x-+Vi2-p 2cos qJ, .r +· Vt2 -p2si~ cp) dep] o

ch cpdp.

o

Integrarea în .raport cu cp în această formulă ne dă media· a valorilor funcţiilor cu(x,y) de-a lungul ~ercului cu 2 centrul în (x,y) şi raza p2 , ... în planul XOY. Insemnind această medie aritmetică prin T Vt:J-0~"' {w(x,y)} putem scrie? în definitiv, formula (85) sub forma aritmetică

Vt

'

p.(x,:y~t) ~~ ~ rv~-p2: {6.) (xvr,)}rch cpdp. ()

596

(86)

1H9. Ecuatiile fundamentale. Metoda Fourier se aplică in multe prohlem~ de fizică matematică, care se red~c la e?uaţii, diferentiale liniare cu derivate partiale. Cu aceasta ocazie î:n~ tîlnim 'diferite dezvoltări ale funcţiei date după acele funcţii care. sînt întrebuinţate în aplicarea metodei Fourier. Am avut exemple de astfel de dezvoltări, într-o serie. de probleme examinate mai sus·. Ca exemplu, să mai examinăm oscilaţiile transversale ale· barelor oscilatii a căror ecuatie o stabilim în cele ce urmează. ' ~ . Deosebim o bară fixă de> o coardă, prin f aptu1 că pnma, e$te supusă la eforturi de încovoiere. Funcţia .necunoscută va fi aici, ordonata y(x,t) a axei deformabile a barei, în punctul: q>e abscis~ x .şi ţa tÎIJl.pul t. 59'Z

Dacă porta.tă la

M este momentul încovoietor, iar F'(x,t) sarcina ra... unitatea de lungime, atunci, după cum se ştie [16}' tehnică

din teoria

a încovoierii,

ElfJ y= M ; ~~ = F.

toc monHmtul î:ncovoietor trebuie

J'

2

f)x2

f)::r.:2.

(1)

de unde\' derivîn.d prima din ecuaţiile (1) de două ori b.1 raport cu x., avem:

E'I -flliy

i):x}

=

F( x,t). .

(2)

Ecuaţia (2) ar exprima ecuaţia de echilibru a harei, dacă fo:rţa F n-a,r depinde de timp şi bara ar rămîne în repaus ; pentru

a .obţine ecuaţia mişcării trebuie să· inglohăm, după p~incipiul lui D' Alembert, în structura forţei exterioare, şi forţa de inerţie in s'ecţiunea x, raportată şi ea la unitatea de lungime. Acceleraţia acestei secţiuni poate. fi luată constantă şi

egală cu

02

fie nul.,

să

(iiţ.iile ~

c=

iJ2y

--=o

O,

pentru

8x2

X:::::-:::

o

sau

adic~ă

aven_, eon-

t

.t: :;:...-:;

l:u sfîrşit, dacă extremitatea estf~ liberă. atund momentul încovoietor, dar şi forţa tăietoare

.

0 ~-

ax

(6} nu

numai·

trebuie să se (

anuleze, în schimb însă y ·poate fi diferit de zero. Aşadar. inacest eaz, /3'2u a;; =

of)xsY = 3

O,

O pentru x

=

O sau

::f.: -:.::.;:

.t

('1)

ln. t~ate ca~urile ~o.l!siderate obţin.em la fiecare extu·emitate a bare-" cae doua, cond-"ţn, spre deosehue de coardă, unde am avut .cîte o condiţie la fiecare extremitate. În sfîrşit, tl'ebuie să ţinem seamă de conditiile iniţiale de acelaşi tip ca şi în cazul coardei :

"- în toate p' unctele ·ei, iar fol'ta de in~rti.e .raportată. , •

(8)

ia unitatea de lungime o obţinem, evident~ dacă inmultim acce.. leraţ!a _Prin - P.S' un~e P••este densitatea de volum a s~bstanţei barei, 1ar S aria secţ1un11 transversale. Aşadar, în ecuaţia (2)

Avînd în vedere oscila"ţiile libere, facem. in ecuaţia (3), f(.x,t) .. 0., ceea ce dă:

f)t2

2

trebuieînlocuit F prin F--pS ? Y, ceea ce 8f2 ' ai patrulea :

+b ar~ .::\''

~!!

dă ecua-ţia de ordinul

Su.bstituind în (9) El,

f(x,t) =

2.. F(x,t) . pS

pS

(4)

f1"oarte importante sînt condiţiile la limită care trebuie .

sau.

ca

depinde de modul de fixare a extremităţii corespuilză· t.oare. Dacă extremitatea este încastrată astfel ca hara să aibă poziţia orizo:o.tală., atunci obţinem două condiţii : ,

fJrJ

O, _...:__

ax

=

O pentru x

=~

O sau x = l.

o.

(9)

(5)

Dacă extremitatea .!~ste numai reze'tnată, adică poate să se ~otească liber in jurul punctului\ respectiv, atunci in acesi

şi

(10}-

+ b T (t) X 2

14

.l

(x) =

o.

in cazul coardei : T"(t)

x< 4l(x)

b T(t)

X (x)

·2 - - = - - - -- -· k4.

formă

::-.=

:::c:::

găsim:

T"(t) X (x)

si fie indeplinite la extremităţile x=O şi x=l ale barei şi a. căror

y

i)x4

y . :;__ T(t) X(x).

~nde

=

~:.~.}

190. Soluţii particulare. Ca şi în cazul coardei, vom căuta o soluţie particulară a acestei ecuaţii, d.e forma ~ (3)

b2

!i4

2

unde k 4

este o constantă. Aceasta ne dă ~

T" (t) 4

+

b2 k' T (t) 4

X< l(x) - k! >X(x)

=

O.

(11}-

==

O.

(12)·

Soluţia gnerală a ecuaţiei (11) e~;te

T(t.) ~ .Nsin (bk2t

+ (!)).

(13}·

Ecuaţia

(10) este iarăşi o undă staţionară în care punctele barei execută oscilaţii armonice de aceeaşi frecvenţă şi fază, diferind numai prin amplitudinea NX(x), care depinde de x. Se găseşte uşor soluţia generală a ecuaţiei (12). Ecuaţia ·ei caracteristică [30]

(17) dă pentru k

.adică soluţia

a.4 ~ k4

= o (k *

n:

2n:

['

-~-,

aceleaşi

soluţ:ii

nn: ••• ' -.-l ' ••• '

ca. şi în cazul coardei, iar raţionamentele şi formulele ulterioare vor fi aceleaşi ca în [167], cu singura deosebire că pulsaţia (l}n a armonicii n nu se, exprimă prin formula (44) [168], ci prin formula:

0),

are rădăcinile k, ·- k, ik, --- ik, aşa că soluţia generală a ecuaţiei,

(18}

{12) este:

=

X(x)

~e7~:

+ C2e-ka: + CJ cos kx + e 4 sin kx,

(14)

·sau, exprimînd pe ek~ Şi e·-Tcx prin"ch kx Şi sh kx şi schimbînd Valoarea constantelor C1 ·-şi Ci., putem scrie soluţia generală sub forma·. X(~)

=

C1 ch kx+ e 2sh kx~-Cs. chs kx

-t-

C4 sin kx.

Să examinăm acum diferitele c~zuri de condiţjii

(15)

la 'limită.

1

1. Dacă hara este rezemată la ambele extremităţi, trebuie .ca condiţiile (6) să fie verificate pentru x=O şi x=l, adică

X(O) X(l)

=

=

C1

C1 ch kl

+ C;1 = ·o, +

X"(l) = k 2 (C1 ch kl

e 2 sh kl

Xu(O) ·~ k2(C1

+· C

3, cos

kl

C~)

:. ·o

i\

~

r • .

'(161)

'

c4

condiţie este satisfăcută, atunci ecuaţiile se reduc la una singură, e 2 sh kl O, care dă C2 _..:. O~ deci!!>

e4

= e?

=

avemiP;tn vî.rtnte·a lui •(14) :

X(x)

=

1

2

4

3

4

(19)

Acest sistem omogen admit~, ~esigur, soluţia e 2 = C4 = o. ·dar atunci toate constantele sînt nule şi ontinem solutia nein· teresantă, X( x) = O. Eliminînd ace~t. caz, t~ebuie să ~dmite,m că cel puţin una din constantele e2, este diferită de zero. Dacă e 4 = O, aţunci, deoarece sh' kl ::t= O pentru k *O (1, 177], din ecuaţiile (161) rezultă e 2=0. Prin urmare, trebuie -să presupunem C4 :;t:·O. Scăzînd ecuaţiile ,(161 ), membru c~ :m~~bru, obţinem C4 sin kl -:- O, şi obţinem, în definitiv, pentru ,k ecuaţia ·· (17) sin kl =o.

fădnd

2

de unde, evident,

(16)

c2 sh kl + c4 sin kl = o; c2 sh kl - c4 sin kl = o.

(161)

4)

2

şi obţinem

C1 ~-= C3 = O,

această

3

C4 sin kl) =O,

.ceea ce dă, evident, pentru k =t= O :

Dacă

+ e =O; X'(O) = k(C + C =O; X(l) = C ch kl + C sh kl + Ca cos kl + e sin kl = O, X'(l) = k(e sh kl -1- C ch kl -- C sin kl + C cos kl) =O, X(O) = et 1

=.'.·6

-t- C~ ~in.kl

+ C shkl-eJcos kl2

--

Pentru k = O, ecuaţia (12) admite integrala generală X( x) = : e 1 +C 2 x+C x2 +C 4 x 3 , ş,i încercînd să satisfacem condiţiile (6), găsim, ·că toate constantele sînt · nule. , . , 2. Dacă. bara este încastrată la ambele extremităţi,' atunci trebuie să satisfacem condiţiile (5) . pentru x = O şi x = 1. ceea ce dă

un sistem de două ecuaţii omogene pentru deter· minarea constantelor 4 şi e2 : .

+ c2 (sh kl - sin kl) = o } (2il) el {sh kl + sin kl) + c2 (ch kl- cos kl) = o. Pentru ca acest sistem să admită soluţii diferite de e = C .=0, el (ch kl -

eos kl)

1

2

este necesar şi suficient ca coeficienţii lui el şi e2 să fie propor.. ţionali:

ch kl- cos kl

sh kl- sinkl

+ sin kl

ch kl - cos kl

sh kl

În acest caz, ecuaţiile (20) se reduc la una singură. Utilizînd : cos 2 x sin2 x = 1, ch2 x - sh2 x = 1,

relaţiile

+

condiţia :de mai sus ia forma : ch kl · cos kl = 1.

(21)

C sin kx. 60.1

Am. obţinut o ecuaţie pentru k analogă ecmaţiei (11) din cazul .fH'elf;edent. Punînd pentru simplicitate

kl :__ A, obţinem.•

ch ?• cos eeuaţia

Scriind

"A ::;..":: 1.

--

.

X(x) =, (sh kl- sin kl) (ch kx- cos kx) - (ch kl- coskl) (sh kx --sin kx).

(22)

(22) sub forma cos

=

ecuaţia t:ranseendentă ~

pent:rn determinarea lui ),,

·c

Determinînd, după formulele (19), constantele C3 şi 4 .şi suhstituindu-le în (15) şi făcînd C 1, ceea ce evident nu limitează generalitatea, obţinem soluţia căutată X(x) :

Mai precis,

(25)

obţi,nem un şir infinit de soluţii

l

J,, ::-:::::: ·---· ..

(26,}

-~h),

-~i figurînd graficele curhelm· cos A şi-~ (fig. că ecuaţia

140), constată.Jtn chA (22) admite infin.itatea de ră.dăcini reale

care se obţin din formula

generală (25) pri~ înlocuirea lui k prir1 k'il,; Putem să n,u, ţinem seamă de rădăcinile negative -· - Âz, ... , deoarece lor le corespund valorile-~, - k 2 , • •• ale pal'&l· metx·ului l~, care, pe baza imparităţii funcţ.iei (25) în ·raport ml

k, dau hu

acelaşi şir

de

funcţii

(26).

Punînd în loc de k valorile (24) în formula (13), găsim şirul

diferenţele

de

funcţii corespunzător:

T1 (t), T2(t), ... , Tn (t), ••• ; Tn(t)=Nn sin (wnt ~n); (l)n

+

= hk!

~

l (

2 ?}

~i, în sfîrşit, şirul de soluţii ale ecuaţiei (9) :

y 1 (x, t), y 2 (x, t), ••• , y,. (x, t), •• • ; Fig. ltlO.

Să considerăm deocamdată

numai

.rădăcinile

pozitive : (23)

Lor le= corespunde infinitatea de valori ale lui k : · (24) condiţia (21) este satisfăcută, consecinţa celeilalte, şi se poate pune

Pentru aceste valori, . din

ecuaţiile

(20) _este

el = c (sh kl

·-- sirl kl)

una :

Y~ (x,

t)

= Tn (t) -~n (.x).

(28)

Rezultate analoge obţinem şi pentru celelalte condiţii relative la extremităţile harei; exp:rimând funcţia X(x) sub forma (15) şi ţinînd seama de condiţiile la limită, obţinem un sis.tţm de patru ecuaţii omogene cu patru necunoscute C 1 , C , C3 , C4 , care vor admite soluţii diferite de zero, atunci şi numai atunci cînd parametrul k va verifica o anumită ecuaţie trans· cendentă, avînd o infinitate de rădăcini reale. Introducînd ră· dădna k, a acestei ecuatii, în coeficientii sistemului, obtinem un sistem în care una din ecuatii este c~nsecinta 'celorlalt~, iar constantele C1 , C2 , C3 şi C, sînt det~rminate, abstr~cţie făcînd de un factor arbitrar, aşa că obţinem funcţia X 11 (x) ca o combinaţie liniară de cosinuşi şi s.inuşi circulari şi hiperholici. 191. Dczvollar(la functiei arbitrare. Fără a ne opri la o analiză ·deta~ia·tă a tuturor cazurilor particulare, trecem la t.~on· .Jiţiile ~niţiale :

(29)

603

Ca şi ·în cazul coardei, pentru satisfacerea lor căutăm pe .:'~~ ( x. t) sub forma sumei soluţiilor 'particulare (28) :

•iln intervalul (0, l), căci vom demonstra imediat că

•

y(x, t)

iJ y,, (x, t) .::::; ~ T'n (t) Xn (x).

='

n.=l

~ Xn(x) Xm(x) dx = O~ dacă n ::.:ţ:; m.

(30)

{33)

o

n=l

ln acest scop') să observăm că prin insăşi construcţia lor k prin

Punînd

funcţi~le Xn( x) verifică ecuaţia (12) dacă înlocuim acolo .k", adwăj

·scriem pe .(30) sub forma:

y( x~ t) :c=

:E

(an cos

(.1,)71

•t

+ bn sin

(.t}'l!

Prin urmare, avem:

t) x'P (x).

'11-""1

.după

(34)

eare condiţiile (29) iau forma :

r~l a,. x;(x) 00

=

~ 1 b.w.X.(x) =

1. (31)

'Pl(x).

l

f

E A~~Yii(x).

l'

{k~ -· k!) .~ X;(x)Xm(x}dx= ~[X~!>(x) Xfl (x) · .. X~4 '(x)Xm(x)]dx; (35)

V edem astfel că întreaga problemă a determinării constan~ telor an şi bn se reduce la dezvoltarea funcţiilor date ~(x) şj ~1 (x) în serii după funcţii!~ Xn(x). Aceste serii sînt analoge ·seriilor .Fourier, studiate mai sus. Fără a ne opri la problema convergenţei sau a posibilităţii ·unor asemenea dezvoltări, vom arăta numai cum se pot determina ·coeficienţii dezvoltării, admiţînd că această dezvoltare există, la fel cum am procedat în [142]., relativ la seria Fourier. Aici nu vom presupune că condiţiile la limită sînt neapărat cele examinate la punctele 1 Şi 2, ci oricare din cele enumer·ate mai sus (5), (6), (7). Aşadar, să presupunem că trebuie să dezvoltăm· fun~ţia f(x) dată în intervalul (0, l), într~'o serie' de forma

'f(x) =

" ..lnmulţind pri~a ecuaţie (~4) cu !C-m(x), a doua cu Xn(x), -scazind membru d1n membru Şl 1ntegr1nd în raport cu x, de la ·O la l.,. avem : ]

(32)

n=1

Admitem că această serie există şi poate fi integrat~ ter-men ·cu termen. Coeficienţii An se po~,determina folosind proprietatea ,de ortogonalitate a funcţiilor · ·

o

pentru

6

demonstraţia

formulei

(33) ne mai

rămîne

numai

să

.arătăm că

t

. dx J( [X(4J(· . m X ) •Xn ( x). -·-- Xn;(4'( x) Xm(x)]

:::~·

O,

(36)

o

,Jeoarece (k~ - k!) este diferit de zero, pentru m. :;:ţ:. n. Integrînd prin părţi, avem. :

~ x;!)(x) Xn(x) dx = x:(x) X ,(x) "~' ~x;~(x) X~(x) dx = 11

= x:(x)

X,~(x) ----- x:(x) x:(x)

+ -~ x:(x) X~(x)dx~

. :şi. la fe 1 :

~X~4 l (x)X". (x) dx

= JXJ 1{x)

Xm (x) ...-.

x: (x) X~1 (x) +

·+-.~· x:(x) x:,(x) dx, 605

Aie unde

de unde, fără dificultate, deducem:

4

Jf (x) Xm (x) d;t~

~

4

)[(X;!j(x) X.(x) - X~ >(x) Xm(x)] dx =

A = ~!.....--·----·~· lm

tJll

o

.

=[X;.'(x)Xn(x)-x:'(x) X,;.(x)]

l(IJ-r

·"'-o

·§e:ri.e

Membrul al doilea al egalităţii conţine valorile fun.cţiilo:w Xm (x), X,. (x) şi a derivatelor lor pînă la ordinul al treilea inclusiv, pentru x = O şi x =l, şi, oricare din condiţiile (5)~ (6) ti (7) am lua, in fiecare termen din membrul al doilea s-ar găsi un factor egal cu zero. Aşadar, egalitatea (36) şi, în acelaşi timp~ cu ea, proprietatea de ortogonalitate (33) sînt demonstrate. Pentru m =" n. integrala (33) devine

f (x)

t A~

Sin

n·~tx

-

l

d

l

X ~=-· 2

Prin urmare, dacă ~nlocuim sistemul de ••• XVI ( x). • • prin sistemul

funcţii

' ....

X 1 (x), X 2 (x),

~n

ft (x) X.r. (.x) d.x

.X.. ( x)~ unde A~ = ~~--w-·· ·

J x2 <· .) d . ·••

X

(38)

.X

Detm·minarea
a,n

1

q;; (x) Xn (x) dx

o = -·-

l

J cp o

1

·-----·.,··,

Jx! (x) dx

o

2

arbitrare

·prezintă

(37)

şi este o constantă perfect determinată, care poate fi caleulată, tn fiecare caz particular, fără greutate. Astfel, de exem.Plu, în cazul 1, avem :

funcţii

il)

9

~o

:.-=

f

r. = ~ X! (x) dx

1..,. =

JX!(x) dx

'1·=1

t

•

•x~dx J•

i'n·\

----··.,·--·.

Ajungem astfel la dezvoltarea unei analogă cu seria Fourier ~

QC...,(Ii

'

•

=~·-z-·

@

--

x:(x)-X:(x)X~.(x)] ~QJ-r.

-· [X:(x)

1

ft {a:)X o '

(x) Xn (x) d:x

··----r:----..- - - · .

Jx;" (a:) d:r

(39)

1)1

Suhstituind in seria (30), obţinem soluţia definitivă 1:1 ~problemei. · Oscilaţiile întreţinute a.le barelor se tratează exact in acelaşi ·mod ca şi la coardă, cu diferenţa că funcţia x, t) trebuie dezvoltată nu după sinuşii 11 ci după funcţiile Xn(x) • Din cele ce p1·ecede este clar că metoda undelor staţionare se aplică cu acelaşi succes atît la oscilaţiile coardelor, cît şi ale

f(

barelor. Metoda caracteristicilor, care este foarte folositoare in studiul ecuaţiilo:r coardei vibrante şi a ecuaţiei telegrafiştilor~ n-a putut fi pînă acum apHcată, în mod convenabil'!> ecuaţiei (9)..

~

§ 4..E(~U:\'fJ.J\ LHI l ..APLAU•~

,avem atunci un sistem ortonormat [148], adică integrala pătra· tului o1·icărei funcţii va fi egală cu unitatea. Să revenim la determinarea coeficienţilor An ai dezvoltării (32). Înmulţind ambele părţi prin Xm ( x), integrînd de la 0 la l, În raport CU X ŞÎ ţinînd seamă de relaţiile (33) şi (37), găsim

192. Functii ar:moniee. În paragraful de faţă vom examina ·ecuaţia

cu flerivate

parţiale

de fo:rm.a

(1)

i

~f(x) Xm (x) ax= Am lm, o

nnde U este o funcţie de (x(,1lf, z). Ecuaţia (1), după cum am m:enţionat, se 11umeşte ecuaţia lui J.",aplac'e. MemhJ."ul int.îi a) 60'7

ecuaţiei (1) se înseamnă, după cum am văzut mai sus, prin sim~ holul ~U şi se numeşte laplacianul (operatorul lui Laplace) funcţiei U. În [87] am văzut că ecuaţia (1) este satisfăcută de potenţialul forţelor gravitaţiei sau al forţelor de ati·acţie a sarcinilor electrice, în toate punctele spaţiului situate în exteriorul maselor atrăgătoare sau în exteriorul sarcinilor care creează dmpul. Ecuaţia de forma (1) a mai fost întîlnită în [114]. Această, ecuatie este satisfăcută de potentialul vitezei mişcării irotationale 'a unui fluid incompresibil. în' [117] am arătat că ecuaţia· (1) este satisfăcută de teinperatura unui co:rp omogen, dacă schimbul de căldură este staţionar, adică, dacă temperatu1·a U depinde numai de Joc nu şi de timp. În [1 Hl] am obţinut ecuaţia lui Laplace cînd am examinat cîmpul electromagnetic staţionar. Dacă funcţia Unu depinde de una din variabile, de exe·mplu de z, atunci ecuaţia (1) se reduce la forma

az~·+· CE~=· 8x2

{)y2

o..

(2)

In acest caz, U păstrează aceeaşi valoare de-a lungul fie~ cărei drepte paralele cu axa OZ, sau, cu alte cuvinte, valorile funcţiei U în planele paralele cu planul XO Y, sînt aceleaşi, astfel încît este suficient să considerăm numai planul XO Y. O funcţie, continuă împreună cu derivatele ei parţiale pînă la ordinul al doilea într-un volum (domeniu tridimensional) (D) şi verificînd acolo ecuaţia (1), se numeşte funcţie armonică în (D). Această denumire se aplică şi în plan pentru ecuţia (2). În cele ce u!mează vom arăta cîteva proprietăţi ale funcţiilor armonice. De obicei, în problemele de fizică matematică, funcţia U, afară de ecuaţia (1), trebuie să satisfacă o anumită condiţie la limită. Aici nu poate fi desigur vorba de condiţii iniţiale~ Problema fundamentală la limită pentru ecuaţia (1) este u.rmă .. toarea: să se determine funcţia armonică în (D), cînd sînt date valorile ei pe suprafaţa (S) a acestui domeniu. Această problemă se numeşte de obicei problema lui Dirichlet. În formularea pro .. blemei, prin valorile lui U pe suprafaţa (S) subînţel~gem valorile limită pe care le ia U cînd se apropie de punctele situate pe (S), venind din interiorul lui (D). Mai precis, problema se poate formula după cum urmează: se caută funcţia U armonică în interiorul lui (D) şi continuă în (D), inclusiv pe frontiera sa (S), valorile funcţiei U pe frontieră fiind date. Funcţia dată pe (S) trebuie să fie, bineînţeles, .continuă. Vom presupune, pentru simplific~re, că frontiera lui (D) este o suprafaţă închisă (S).

608

Observ~m că domeniul

(D) poate fi atît finit cît şi infinit. în c~zul. d1;n .urmă, el este. situat în exteriorul lui ( S). În cazul dome· nmhn fmJ~ ~ve.m. problema interioară a lui Dirichlet, iar în cazul domeniului Infinit, problema exterioară a lui Dirichlet. In acest t~az, se :mai pune condiţia ca funcţia să tindă către zero cînd punct.ul ~e îndepărtează nedefinit, sau, cum se spune,. functia tr~bu~e. sa se anule.ze Ia infinit. Condiţia la limită în proble~a lui Du1chlet se sene sub forma : U l(s> =f(M),

(3)

unde f (M) est~ func1ie continuă dată pe suprafaţa (S), şi M este un punct variabil al acestei suprafeţe. Analog se formulează problema interioară a lui .Dirichlet şi aplicabilă ecuat:iei (2) pe.ntru un domeniu plan, iar condiţia la limită priveşte 'valori]~ lm P? .conturul domeniului plan. În cazul problemei exterioare a lui D~richlet, în plan~ se cere ca funcţia să aibă o limită finită cînd punctul se îndepărtează la infinit. :: \ Mai indicăm încă un tip de condiţie la limită şi anume acela cînd pe suprafaţa (S) se dă valoarea derivatei normale :

lf

au =f ·an

(M).

. (4)

Problema găsirii funcţiei armonice care satisface o as:.emenea f~ondiţie la limită se numeşte problema lui Neumann. Ea se întîlneşte în hid1·odinamică, în studiul mişcării unui co'rp solid cufu?d~t ~n!r·un flui~ ideal incompresibil. Condiţia la limită (4)

expnma a1c1 faptul ca componenta normală a vitezei este aceeasi ;atît pent1·u :punctul de pe suprafaţa (S) a ~olidului, cît pentru par~wula flmda care VIne în contact cu punctul M·. Prohlem.a. hu Neumann poate fi f~rmulată şi pentru ecuaţia (2). În.ainte de a trece" la exphcarea proprietăţilor funcţiilor armonwe,. vom deduce citeva formule necesare ulterior. 19;3. Fonnula lui Green. Fie (D) un domeniu oarecare măr· ginit.' (S) s~p;:afaţa l~i, U şi V două funcţii continui cU: derivate continui p1na ~a ord1nul al doilea în domeniul (D) şi, inclusiv pe suprafaţa (S). Considerăm integrala: · ~

;i

!"f. .

1 == )

~· ~ (;~·~a~ + ~~·~: + ~~·Ba:) dv = ~) WJ

i

grad U. grad V d11.

W)

Aplicînd identitatea evidentă:

609

a celelalte analoge pentru -;--

~i

"<

•

·

·

.a

de-a lungul normalei, în membrul al doilea al formulei ; pentrp. cazul .. ...._,..,_. normalei interioare, formula lui Green va fi:

pn·tem scrie integrala sub ...

Şl ~-~-,

vY

L

vz

forma = · 1

([-iL (ua.iJxv) + l.... (uAv) +A.âz (u av)]d'' -~ ~~U6Vdv. j)) ()x iJz

. )B
{(

()y

i)y

~

W)

(D)

Transformăm primul din termenii di.n membrul al doilea, conform formulei lui Ostrogradski :

1

= (([ufi.!:cos(n~ ))

OX

X)+UAV cos(n, Y) {Jy

+ U~V cos(n,z)]ds~ uZ

(8)

-- ~ ~ ~ U6 Vdv. W)

sau [1.02}:

1

= ~~u~: dS -~~~ U6Vdv~ {D)

(8)

unde (n) este direc"ţia normalei exterioare în pu~ctele ~u~raf~ţei (S): Am ajuns astfel la aşa-numita formula prehm.1nara a lw Green:

((((au oVl +au av +au av)dv --. ( ( (grad

) )J

ax

ax

d!J {Jy

i)z

az

) )

J

u . grad Vdv ·=J'J

: <.D)

(D)

=

Hu~: ds-'H~ Ub.Vdv. (8)

.

1

(5)

t
·p 'mul membru al acestei egalităti nu se schimbă dacă ermu~ăm pe U cu V, deci acelaşi lucru trebuie să aibă loc şi cu pultimul memb ru., a d'' ... 1ca:

FuAy ds _ .~)) a

H~ut.vd" · ~~v:~ ds- ~Hvw~~~
(D)

w)

de unde obtinem formula G:reen sub formă definitivă: .

m

(Ub.V- VL\U) dv

tl))

=

H(u~:- V~~) (8)

U

~

::J

dS,

(6.)

n,.

unde este direcţia n.orrnalei interioare a lui (D). Don;teniul (D) poate fi mărginit şi de mai multe suprafeţe ·(S). Formula lui Green este aplicabilă şi în acest caz, însă integrala pe suprafaţa (S) din membrul al doilea trebuie calculată pe toate suprafeţele care mărginesc domeniul (D). Observăm că, , in acest caz, normala (n) exterioară faţă de volumul (D) va fi, pentru suprafeţele care mărginesc acest volum. pe dinăuntru, În• dreptată în interiorul suprafeţii [63]. . " ,Dup_ă, cum am amintit. pentru a deduce formula lui Green (6) \este suficient ca funcţiile U şi V, împreună cu derivatele lor pînă la ordinul al doilea, să fie continui, inclusiv pe (S) .. Este necesar; desigur, să impunem şi suprafeţei (S) anumite condiţii. Aici, putem să ne referim Ja condiţiile care ne-au permis' să deducem formula lui Ostrogradski [H:Jl. Aceste condiţii s-au re~u~ la următo.arele: suprafaţa (S) poate fi descompusă într-un număr finit de porţiuni, astfel încît ecuaţia fiecăreia dintre acestea . poate fi repxezentată sub formă explicită : Z , r.p(x, y,), unde · cp( x, ,y) este o funcţie continuă, împreună cu derivatele ei de ordinul întîi, în domeniul corespunzător al planului XO Y, inclusiv 'pe ~~nturul acestui domeniu. O condiţie analogă trebuie să fie îndeplinită, §i în raport cu axele OX şi O Y. Suprafaţa poate avea 'şi muchii. Relevăm că alegerea axelor de coordonate este arbi~ trară şi' că în formula (6) nu este nici o urmă a axelor alese. Suprafaţa (S), care are proprietălile de mai sus, se numeşte netedă

pe ,porţiuni.

· ' Ca ·urmare·

.

. .

a formulei· lui Green avem formula importantă în aplicaţii, care d.ă exp1·esia valoarei funcţiei într-un punct M 0 , din interiorul lui (D) su.b forma sumei unei integraJe "de suprafaţă şi a uneia de volum~ Fie U(M) o funcţie determinată-in domeniul (D) şi continuă împreună cu derivatele ei pînă la ordinul al doilea, inclusiv pe suprafaţa (S). ~

(6)

dS. ....

unde r este

distanţa

~

de la punctul fix M 0 , situat în interioru]

lui (D), Ia punctul variabil !VI. Funcţia V =-1

,,,,,,","~

Citeodată' nu se întrebuinţează normala exterioară, c~ cea interioaJră; î:n acegt eaz, trebuie schimbate numai semnele denvatelor luate

610

B(v:~-

. Să'aplicăm formula lui. Green acestei functii si functiei V=_!_, , r

~

.J

=

r

devine infinită

dacă punctul Jlf coincide cu M 0 , şi nu putem aplica formula lui 'Green la întreg domeniul (D). Izolăm din acest domeniu o sferă 1

611

o

""\ t 1 î M şi avînd rază mică o, restul din corpul (D) il cu ~en ru.n n(D )o iar suprafata sferei izolate~ prin (~p) (fig. 141). notam prt 1 ' • • 1 U ·.şi V = _r au proprte.· tate a de con. 1 (D1) , functiile t n d omentu • . . · ap1'tcm A d 1An- acest domeniu formula lui Green~ ttnuttate ceruta... Şl, avem

( 1)

BH u~ (:)-~ ~ ~u]dv =H[ uaa:---; ~~~dS + wu ( ( ( u _a(7J:.!. au] + JJ dS,

an

(7)

(~p)

pe ambele suprafeţ~-- (S)t .şi unde integrarea se e i!ectuează .L' f (~p) t a care mărginesc corpul (Dl), lnsă, după cum am vazu ' unc ,I V = ~ satisface ecuaţia lui I.Japlace, (n}

r

adică tl. _!._

J( J( 2..,.2 U (M) tlS

·~~tw ((fU~;] __ ~~u, dS-t- ((~ UdS- ((.!_ audS==O."(B) -dv + JJ l a ,. an JJ JJ r an

\Dt)

r

(8

<~ p l

n

)

r2

!l:pl

.

.

Vom ·tace ca raza p a sferei izolate să tindă . către zer?· Atunci primul termen din formulă va tinde către I~tegrala de volum extinsă la întregul domeniu (D) [86]. Al dml?adter:r;en · d de p Să arătăm că al doilea termen tin e ca re nu d eptn e · b '1 alo are a 4n U(Mo)· Ţinînd• seamă că pe (~p) varia 1 a r are v · ·· constantă p, putem scrie:

~~ ~2 U (M) dS = : ~~ U(M) dS~ 2

(~p}

612

'

(l:pl

(Mp) ·47tp 2 ~= 47t U(M_.r;),

unde MP este un punct pe suprafaţa sferei (~p)· Acest punct tinde către M 0 , pentru p ---. O, de unde se vede că expresia de mai sus tinde către 47t U(M0 ). La fel, aplicînd teorema mediei ultimului termen, obţinem :

{~pl

an

C~pl

an.

dS

!_ ;~u \. 4?tp2 =_fiU 1

=:::: __ _

cn

p

an

Mp

Mp

4ttp .·

Cînd _ilfp tinde către Jl.f0 ~ derivatele de ordinul întîi ale funcţiei U, după orice direcţie rămîn mărginite, deoarece, după ipoteza făcută, funcţia U are pretutindeni, în interiorul lui (D), derivate· continui pînă la ordinul al doilea. • Factorul' 4np tirid~ eătre zero cînd p -- O. De aici rezultă că ultimul termen dht formula (8) tinde către zero~ În definitiv, formula (8) ne dă., Ja limită, consecinţa căutată a formulei lui Green :

HJ

n:

~

p2

(~p)

= ·0 [119]. Afară de aceasta,

pe sfera (~p) norm~la este dirijat.ă spre interiorul sferei, due~t opus dt~ recţiei razei r, aşa că denvata d~p~ normală sub semnul integral relativa la (~p), ;ste egală derivata în r~pAort cu r luată cu semn contrar. Ţintnd sea~ă de cele de mai sus, putem transcrie formula (7) sub forma :

4 Fig. 1. 1.

= !_ U

__ ((_!_AU dS:::= -·- __!:.. ( (AU JJ r p JJ

i)n

r

A.plicînd teorema mediei, vom avea :

_aru_dv

+

tDI

H[ ~t}- ~~ ~;~ U

dS

+ 4rrU(M

0)

=O,

18)

-~au

U(M~) ~=-: -4-irJf J( ll.!. il_!! __!__.

r

(Jn

u _a (~ i]n

Jl

dS

.

(SJ

- - - ~ - J( Jf (J au_ 4'lt

dt'.

r

(9)

WJ

Observăm, din nou, că această formulă este valabilă pentru ·orice funcţie U, continuă în domeniul (D) inclusiv pe (S), împreună "eu. derivatele ei, pînă la ordinul al doilea. Formule în totul analoge au loc şi în plan. Le dăm fără a ne opri la demonstraţia lor. Fie (B) un domeniu în plan, (l) 1~ontu1·ul acestui dorneniu şi n direcţia normalei la ~cest contur, exterioa1·ă în raport cu (B). Operatorul lui Laphl.ce, în eazul planului. are, în coordonate earteziene, forma:

il

u == ()2ll_. + (J2~ ():r;2

•

i]y2

~4.ualog eu forn1u.la (6), vom obţine în plan fonnula

~~(U~V -·-· V~U) dS iB)

=

~ (u~:- V~~)

ds.

(10)

(l)

61.3

ln ceea ce priveşte formula (9), analogia este completă~ deoarece, în stabilirea formulei {9) era esenţial faptul că funcţia .!_ verifica ecuaţia lui Laplace. Pentru cazul planului aceasta 11'

nu

are loc,

ecu,aţiei

a

şi

funcţiei

în locul

_!_trebuie l'

luată

ca

lui Laplace In. r sau In;-=- In r, unde r este

soluţie

distanţa

de la un punct fix la punctul variabil M. Astfel, în locul formulei (9), ,vom avea în plan formula :

U(M)

= _!_

.. o

21t

(fU â (In r? C!n

Jl

--· ln r AUj ds

on

w

+ __!_.( ( llU -In r dS~ 2n JJ

(ll);

(~

.unde M 0 este un punct fix în ( B), iar r distanţa de la punctul, ,variabil M la punctul fix M 0 • · . Observăm că integrala triplă din (9) este o integrală improb pl'ie, deoarece funcţia de sub semnul integral devine infini:tă pentru punciul M 0 • Însă această integral, evident, este con~ vcrgentă, deoarece funcţia de sub se:J?.nill integral este în valoare

~hsolută mai mică ·d~cît -~, pentru p ~ întîmplă şi

=

1. Acelaşi lncru se .

Aceasta •ne. dă a • doua p•··otJl'l·, f'.,, ne· t. · · a..r.rno1uce · ... [ ,.,. ·t'····~· ... ~ . ., "·· .... ,.:~.e.J ; valoarea. funcţ~e"t arrnonwe într-un punct flirt inter;orul do .· ... . " · . m.enut l U4..· se expnma pnn valorile 'acestei funcţii şi a tlerÎ1HJt.ei t.~i normale pe suprafaţa domeniului, prin formula (13). · ' ..Să. o~s~rvăm că .integrale~e din f?rn1ulele (12) şi (13) nu conţin d~nvate .de ordinul al doilea ale funcţiei U, şi, prin urmare, pent~u I~trehu~nţarea ~c~stor for~ule-~ . este .deajuns să presu~un~~.ca funcţia arm?tuca.. es·~~ continua n1Clus1v pe (S), împreună cu denvatele d.e. ordin~l 1ntn. :Pentru a ne convinge de acest l~cru~. este. su~ICI~~nt sa compr1m~m suprafa-ţa (S), să scriem ecuaţnle " care ş,t.· d · . 1 {12) d Şl (13) . . pentru . domeniul (D) comprimat., In . ~nva~e ~ e ordtnul ~1 ~~!le~ sî?t continui inclusiv pe suprafaţă, apm sa trec.em la h:~mta dilatind pe ~D') pînă la (D). Compri~ marea pAoat~ f1 produsa, de e~emplu, hund pe nonnala interioară ia ( ~), ~~ fiecare :p~n~t al m, unul şi acelaşi segment mic, de lu~ţime (L ~xtr~mxt~ţ.xle acestor seg,mente ~ormează :noua supra~ faţa compnmata. AICI suprafaţa (S) trebuie să fie astfel încît transfo.rmare~ descrisă să ducă, pentru. orice valori suhcient de miCI .ale _lui i), la ? suprafaţă care nu se între taie şi este netedă pe porţ1u~1 [~93] .. Să aplică.1n formula (13) la cazul particular a~ d?men1ulu1 une~ sfere cu centrul în M 0 şi raza .R, considerînd, inne1nţel~s, funcpa U a:~onică în această sferă şi continuă i~p(~eu)na cu denvatele ei de ordinul întîi, inclusi.v pe suprafaţa

:1

-81

cu formula (11).

i 94. PI'oprietătile fundamentale ale functiilor arm.onice. Să considerăm funcţi~ U armpp.ic:~ în domeniu( (D), mărginită de ,suprafaţa ('S). Considerînd că U eşte continuă împreună eu deri~ vatele ei de. ordinul al doilea inclusiv pe (S) şi aplicînd acestei, funcţii U şi funcţi.ei armonice V 1 formula lui Green, pe baza 'P 1 ~ . ~ AU A .(1) o . ihl) ;~.aptu u1 . ca u === u = §1 - - = o,

"'-'R •

În ·w • • ' . cazul dat.. (li:re~t;a ,, ;.. norntaAel exterwa:re n coincide cu {l uecţ1a ·razei sferei, aşa că vom avea

.·

=

.

·.

. {Jn

(( f)U

JJ (J.n

dS

==

O,

şi

fo.n:nula (13)

dă

:

U(Mo)

(12)

4.rc

(S)

\adică avem pt'Î.ma' proprietate a funcţiei armonice : integrala derivatei normale a unei funcţii armonice, extinsă pe suprafaţa domeniului, este egală cu zero. Dacă aplicăm formula '(9), funcţiei armonice U, atunci,. deoarece Â U = O, avem :

0 [1au ~ u (: J Jds. JJ â on

· U(M0) = 2- ( ( ! .

614

.

4n

(8)

6'

n

JJ

(J.:.R~

r

ffl1

·+ -~ UÎ1 dS. r2

.

Însă, pe ~iup.rafaţa sferei 1~B mărimea r at·e valoarea

R,

aşa că:

1

U(1tl) 0 = '. - ( (au dS '~TC R J ) ()n. !l:.,~-
constantă

1 +· -'h~R2 -f f UdS, JJ :l;n!

sau, in definitiv pe baza lui fl"J\ · X"

(13}

(~ 0..,u

= _t ( (

.

'

U(.LV[0 )

;;-~:

""'!'

SS u-d-.')

(l;R)

~h~R2

(14)

615

Această formulă exprimă a treia proprietate a fui~cţie}: :armonice : valoarea unei funcţii armo.nice. în c~'!'trul sferet este ,egală cu val()a:rea mediei a~itmetice a ace~tet funcţ~t~ pe suprafaţa~ sferei, adică este egală cu z,ntegr~la valonlor funcţtet ,pe suprafaţa: :sferei, divizată prin ar,ia acestet sup~afeţe. . Din această proprietate rezulta, aproape evident, a patra. "proprietate ~ funcţiei. a;~oni~e : . . . . .· . . . ~ O funcţ-u3 _armontca ."n .tnte~z,orul domentulu~ ~" . contznua ,inclusiv pe fronttera domerrtulut, at~nge_ valoar~a maxt,ma "ş-" _valoare~· minimă numai pe frontiera domentulut, afara de cazul c~z,nd aceast~ funcţie este o cqnstanţă. Dăm demonst.rarea completa a . ac~s!eJJ propoziţii. Să presupunem că U(M)_ atl;nge v~loarea maxima I~ .tr-un pllnct interior. M 1 .al domeniului D, In care U(M) est~ ,functie armonică. Descriem sfei·a (~p) de centru M 1 ŞI de raza : p ap~rtinînd lui D, aplicăm formula (14) şi înlocuim funcţia de u
• .

U( Ml)

•

w

< u~UtOO),

~nde semnul egalităţii are loc numai în cazul. . în c~re ·. U es~e· ~pe. sferă o consta~tă ega!ă wcu U_(M1). Î~truCit, pnn ~po~eza\> U(M ) este y~loare~.maxtma a lm U(M) 1n D,w urmeaza ca ar~· 1 1 loc semnul =, şi, pnn urmare, U(M) este egala cu o c.onstanta . tn interiorul ci. şi pe, suprafaţa fiecărei sfere cu centrul... în M 1, · aparţinind lui D .. ~ă de:m.onstr~m că de aici rezultă ca U(M),

este o constantă ŞI In tot domeniul D. . .., ,., .., ~ Fie N un punct d.i.n interiorul lui. D. Tre~~ne sa arata1n; ca~ U(N) = U(M1). Unim pe M 1 cu N pnntr-o hn1e l, de 1'!-n~tme finită~ de exe mplu printr-o linie frîntă situată .în ŞI fie d' distanta minimă a lui l la frontiera S a domeniului .D ( d este cantitate pozitivă). Pe baza celor arătate .mai sus~· U(M) este· 0 egală cu U(M.) pe sfera cu centrul în M 1 ŞI cu raza ~· F1e ~2 ultimul punct ae intersecţie a liniei l cu suprafaţa sferei, s~cotlt din Mp Avem U(M 2) = U(1\f1) şi, după cum s-a ară~at _mat .sus, , Q.(M) este, egală c.u U_ (M1} şi _Pe sfera. cu ,e.e~t;ulin M 2 ŞI cu d. Fie Ma ultimul punct de Intersecţie a hniei! ~u suprafaţa acestei sfere. Ca şi mai sus, funcţia .U(M) este egala cu consta~t~ U (Ma şi pe. sfera .cu centrul în M=3 şi razadetc. Pe calea.constr~nrn unui număr finit1 de· asemenea sfere, ne putem deci convinge că U(N) = U(M1), ceea ce trebuia demonstrat.. se poa~e a:ră~a;. de asemenea, că U(M) nu poate avea în intenorul lu! .D niCl maxime, nici minime. Utilizînd proprietatea demonst~ata ~ fu~c tiilor armonice, este uşor de arătat că problema tnterwara a lui Dirichlet, despre care am amintit în [1U5l, nu poate a'IJea

!J,

"raza

616

·decît o soluţie. Într-adevăr, dacă presupunem că există două funcţii U 1(M) şi U 2 (M) armonice în interiorul lui D şi luînd pe suprafaţa S a acestui domeniu aceleaşi valori limită f(M), .atunci diferenţa V(M) = U 1(M) - U 2 (M) va verifica, de .asemenea, î·n interiorul lui D ecuaţia lui I~aplace, adică va fi o funcţie armonică ale cărei valori limită pe suprafaţa S sînt nule peste tot. De aici, pe baza celor demonstrate mai sus, rezultă ·că V ( M) este identic nulă în tot dome:niul D, deoarece în -cazul contrar, ea ar trebui să atingă în interior valoarea maximă pozitivă sau valoarea minimă negativă, ceea ce nu se poate~ Astfel, cele două soluţii ale problemei lui Dirichlet tr(fhuie să ,coincidă în tot domeniul D. Exact în acelaşi mod se demonstrează unicitatea pentru problema lui Dirichlet, exterioară, dacă luăm în considerare că prin sinteză funcţia armonică trebuie să se anuleze cînd punctul se îndepărtează la infinit. Se obţin proP.rietăţi complet analoge şi pentru funcţiile :armonice în plan. În acest caz, în locul formulei (13) vom avea formula·

U(M0 ) ~= _!_ ( 2K

J

(u fl~nr ·-In rAU) ds, an 0n

(1.5)

l

·şi ·teorema mediei se va exprima sub forma :

U(M0) =--= ___!__ ( Uds ·

2rrR

J

(16)

'

AR

unde· 'AR este un cerc cu centrul în ~illo şi cu :raza .R. Pentru 'problema exterioară a·lui Dirichlet în· plan nu se cere anularea în Imnctul de la infinit, ca în cazul tridimensional, ci numai exi,. stenţa unei' limite finite şi uniCitatea problemei lui .Dirichlet trebuie demonstrată altfel decît mai sus. Vom da această demonstraţie în volumul IV, unde vom studia amănunţit ·problemele lui_ Dirichlet şi Neumann. · Să observăm acum că orice constantă este o funcţie armo.·nică care verifică condiţia la limită ·

AU) =·O, 8n \P de unde se vede că dacă; la soluţia problemei Neumann se adaugă .,o constantă arbitrară, atunci suma va ·fi de asemenea o solutie .a

p.roblt~mei

Neumann cu·

aceleaşi condiţii .

la.

limită ~!!._, ad:c~' f)n

soluţia problemei Neumann este determinată, abstractie făcînd ·de un termen constant. Din formula (12) rezultă, de ~semenea, -că. funcţia f(M), care intră ~n condiţia la limită a problemei in te ..

.:rioare a lui Neumann~ nu poate fi a.rbit:rm·ă, ei trebuie să veri·· ·fice condiţia

~~.f(M)dS

==

o a +r--1--=0. au 8 U , .... __ 2

2

()ri

o

u;;;

În încheiere, să mai observăm că formula (13) este valabilă în cazul cînd U(M) este funcţie armonică într-un domeniu nemărginit,· format de porţiunea din spaţiu care se află înafara suprafeţei S. În acest caz, trebuie făcută numai o ipoteză relativ la ordinul de mărime al lui U(M) la infinit, adică atunci cînd punctul 111 se depărtează indefinit. Este suficient (şi necesar) să. presupunem că, pentru depărtare infinită, au loc iuegalit.ăţile

§Î

R l U(M) 1-<: A; R 2 1â~~I) J
sau

Aplicăm în acest caz metoda Fourier şi căutăm solutia ecuaţiei {17) sub forma produsului unei funcţii numai de ~ fJ printr-o funcţie numai de r. '

această

Suhstituind

r 2 (l}"(r)

X (0) • (l}(r).

expresie în

(18)

ecuaţia

(17) :

+ rw'(r) X (O) + x"(6)o)(r)

X (H)

== O

sau x"(6)

1'2 (1)"(r)

- - - ::=:

_...,....,~

+ rc!l'(r)

(l)(r)

X.(0)

. • P~i:n-';11 mem~ru ~~ ac~stei ecuaţii conţi~e numai o singură vanabda Independenta, fl, Iar membrul al dmlea variabila indew "' r, Şl, . prin urmare, ambii membrii trebuie ' pen d enta. să fie egali -cu aceeaşi constantă pe care o însemnăm prin ( -k2). Obtinem astfel două ecuaţii ~ x"(6)

+ k x(e) = 2

dă

Prima din ele ne

o

şi T2 (1}"(r')

~

doua este

ecuaţia

=

wah for1.na c,>(r)

rm :

r2. m (m -

-!- rcu'(r) -- k2(l}(r) : -. : : o.

:

x.(e) = A cos k~

1)

+ B sin kO.

lui Euler [92]. ·

,m-2

Să căutăm soluţia

+ r mrm--·1 -· Jc2rm

de unde, după simplificarea prin rrn, avem m = k, şi integrala generală va fi :

±

<~)

(r)

=

Crk

:="..:;;.

m 2 --

ci

O, k2

=

O,

adică

+ .Dr-k,

daeă constanta k este diferită de zero. Introducînd în formula .(18), obţinem pentru U expresia :

= (A cos kO .~ B sin kS) .( Crk + Dr-·k). k = O, vom avea ecuaţiile

U

Pentru

x."(G) J.~i, după

cum se

=---=

O şi. rw"(r)

arată uşor

U :o~ (A <618

=

U

(")

·unde R este distanţa de la M la origine sau la un .alt.. punct fix al spaţiului, A o constantă numerică, iar l o direcţie arbitrară în. spaţiu. Pentru demonstrarea formulei (13) în c~zul domeniului nemărginit în aceste condiţii, este suficient să aplicăm formula (13), relativă la un domeniu finit, mărginit de suprafaţa S şi de o sferă cu centrul, de exemplu, îri punctul M 0 şi cu o rază sufi· ~ient de mare. Cînd această rază creşte indefinit, integrala pe suprafaţa· sferei va tinde către zero, în virtutea condiţiilor de mai sus, şi obţinem astfel formuld (13) pentru un punct arbitrar M 0 , situat înafara lui S. După cum vom vedea în volumul IV, con~ diţia (*) este cu siguranţă verificată, dacă U(M) tinde către O ·cînd punctul M .-. oo. ·195. Soluţia problemei lui Dh·iehlet in cazul em·eu]ui. Am ·văzut în paragraful precedent că problema lui Dirichlet nu ·poate avea decît o soluţie, însă pînă acum nu ştim dacă ea admite, în general, o soluţie. Fă.ră a examina această problemă în cazul general, ne vom mărgini la cazuri particulare şi vom folosi dife· rite metode. Începem cu cazul plan. Să presupunem că se cere să se găsească funcţia armonică în interiorul cercului, luînd valori date .pe frontiera lui. Fie R raza acestui cerc şi să luăm centrul lui drept origine. În acest caz, valorile limită, date pe frontiera cercului, vor reprezenta o functie. continuă cunoscută de unghiul polar, j ( ). Luăm în interiorul cercului punctul variabil M·, cu coordonatele polare (r, 6). Funcţia căutată trebuie să satisfacă ecuaţia lui Laplace [119] :

(17}

aez

()r

(19)

+ !.t)'(r) ~= O,

:

·+ BO) (C + DIn r). ()19;

· · De aiei se vede că An R ~ şi,B R 11 sint coeficientii~ Fourie"" ai .funcţiei f (e) într-un interval n de lungime 2r, cl~ ~xemp1u: in Intervalul (- 7t'., n). Calculîndu-i după formulele cunoscute 7

In

formulele (19) şi (191), A, B, C, D şi k sînt constante, la a, căror determinare trecem acum. Obse1·văm că aduna1·ea un~ ghiului 8 cu mărimea 2rc revine la' o rotaţie completă în jurul originii. Cu aceasta, funcţia uniformă U(r, \) revine la valoarea ei iniţială, şi, prin urmare, îri formula (19), primul factor care depinde de O trebuie să fie o funcţie periodică de (1, cu perioada 2rc. De aici urmează că parametrul k poate lua ·numai valorile· întregi: k = +· 1, 2, 3, ... , ± n, ... Dacă însă substituim· în {19) k==n sau le= --·n, atunci, din cauză că B este arbitrar, rezultatul este în fond unul şi .acelaşi şi,. de aceea, putem să ne mărginim numai .la valori întregi pozitive pentru. k (numerele caracteristice ale problemei), adică, k = n (n = 1, 2, 3, ... ). Pentru periodicitatea soluţiei (19 1) este necesar ca B sit . fie nul. Ajungem astfel la următoarele soluţii:

±

±

Un (r, C) =(An cos n'J + Bn sin n'i) (Cnrn +·Dnr-n) {n,=l, 2, •.. ) ~· U 0 (r, C) == A 0 (C0 + D 0 In r), u;nde constantele pot fi difţ1·ite pentru difel'ite .valori ale lui n· şl din această cauză au fost prevăzute cu. indici. Revenind acum.. ) a factorul al doilea, care depinde de r, observăm că soluţia că.utată trebue să fie finită şi continuă în centrul cercului, adică pentru, r = O. De aici urmează că toate constantele Dn şi D 0 sînt îu. mod necesar nule. Însemnînd constantele arbitrare : An Cn prin

A·n ;

. B n . Şl. A 0 C0 prm. . ·110B n Cn pr1n 2

,

putem

• SCl~Ie

+

+x

A n~ ::-.c::::

___

_!_ ~

nRn

f

(t) ·COS n t dt ·, .B •

1 = III,--·----·' ·îil r:Rn

+K

~ f( t )-~.Sin · . . nt .d .. t ""

(23)

-

···.ni

-- 3(

şi

introducînd valorile obţinute în formula (20) obtinem solutia problemei lui Dirichlet. ~~ ' , . ... Dac~ comparăm. seria Fourier (22) cu fo;·~ula (20), care ~a soluţ~a problemei, p~tem formula Tezultatul obţinut, în felul urma~or: P?n!ru a.obţ~ne ş~luţia problemei lui Dirichlet pentru cerc, trebu~e sens a sena Founer pentru valorile limită . f ( ) şi

n+ 1)-;;~,;;este;:;;;;; p;;;;ja;t-;;;:ul (_:_

lnmulţit termenul de ordinul (

loc_u~

infini~e.

soluţia şf

r

. : În seriei (20) se poate p1·ezenta sub forma unei Integrale definite. Substituim în formula (20) expresiile coeficienţilor (23) :

u (r, e)

Lr/(t) dt + t

sau +.Il'

· SUl l» SO l Uţla

U (r, 0) = -;};

forma:

~-Tf(t) cos n (t--6)· ( ~ rdt

n~-·1

·--n·

~ f (t) [1 + 2

-!R

·

t (~ r

1dt.

cos n (t -- 0)

n=l

-.Il'

:Formula (14) din [1, 174]

dă

imediat:

Ecuatia lui Laplace fiind liniară şi omogenă, suma acestor soluţii va, fi, de asemenea, o soluţie, adică vom avea o soluţie. de forma: CI>

u (r, 6)

=

A~0-. +~(An cos ne

-+·

Bn sin nC)~"·.

(20

1+2'\:'. 1-r2 · ~ r n cos nt:p == ·-·------··-(O-< r 11 n=l

limită

U (r, C) lr=R = f(().

Ea ne

dă: CI>

.f (C)

=

~o+~ (An cos ?>

6~0

..;,1

ne + Bn sin n6) R'*.

(21)·

-

2r cos cp

+1

<

1).

(24)

Înlocuind pe r prin ~ · şi cp prin (t --·- C), obţinem, in defi~ nitiv,

următoarea

•-1

Să determinăm acum constantele An şi Bn prin condiţia la

r

expresie pentru U (r, E) : +n

U (r, e)

:=::=

1

--

2-r:

~

R2 -· r2 f(t) .-----·-··--.. ·--· ------····-dt 2

-·

R

·--

2rR eos { l - 6)

+ r2

(25)

'

~ă. observă~ că, dacă am fi însemnat ambii membri ai ecuape1 (18 1) prin ( k 2 ) şi ~u prin (- k 2), atunci în expresia (19)-J:n.loc de (A cos kfJ B s1n ka) am fi avut. (Aekl1 Be~ko),

+

-+

+

621

iar această din urmă funcţie nu este periodică pentru nici o valoare reală a lui k. · Pentru deducerea formulei (25) am presupus existenţa solutiei problemei lui Dirichlet, adică a funcţiei căutat6 U(r, e). Afară de aceasta, am utilizat dezvoltarea func.ţiei f(b) în serie Fourier (22), ceea ce nu are neapărat loc, ia~ în acea~tă d.e~v..oltare am făcut, direct, r = R. Toate acestea Impun sa venf1cam formula (25), cu alte cuvinte, trebuie să arătăm că integrala din membrul al doilea al formulei (25) este o funcţie armonică în interiorul cercului r < R şi· că f (6) reprezintă valorile limită pe care le ia această funcţie pe front~er~ a_cestui cerc .. Inte.grala din formula (25) se numeşte, de obicei, Jntegrala luJ, Potsson. . 196. Integrala lui Poisson. Pentru a simplifica scrierea, vom considera raza cercului R egală cu unitatea, aşa că formula. (25) ia forma

Să· :de-monstrăm

!

u (r,e)

+olt 2 1-r = -1- ~ f(t) ~----2n

+ r2

l ·--· 2r cos (l - 6)

Integrala dă o funcţie de

T

şi

e,

1 -- 2r cos (l -

0)

1 -- 2r cos (t -

+ ,a

6)

+ r2

}i'uncţia

>-

e,

o<

+31:

1==_.!_{ 2n să

fie

622

adevărată.

J1-

1--r2

·dt

2r cos(t- 6) +,.a

(28)

CI)

~ r• cos n (t -·-8)

(O

1),

pe cercul r = 1, are perioada 2n adic~f( -1t) = f(+ ~ Rrelungim înafara intervalului ( -11:, ·t dupa legea penodiCitaţu. Introducem în locul lui t noua variabilă de integrare t - 6 = «p, sau t = «p +6, dt=d 9. Tinînd ~eamă de periodicitatea lui f(t) şi . cos(t- 0), putem păstra Intervalul p1·ecedent de integrare ( -rt,+ rt) [142] şi scriem :

>:?

+a-

f(
-:r:

(27}

(24)~

definită

u (r, e) ~- 2.. .J 21t'

'

.

'

f(t),

7t)

+ 6) --~-:~d:p. 1 - 2r cos cp + .r2

(29)

Presupunem că punctul (r, f)) tinde către (1,0 0), situat pe frontiera cercului. Trebuie să arătăm că, în acest caz~

e.

+

·+ 2

După

obţinem (28). ·

(26)

afară de variabila de integrare t, conţine parametrii r şi Cu aceasta, funcţia (27), prin urmare şi (26), admit perioada 21t, in raport cu {J. Din inegalitatea evidentă: 1-2r cos (t-8) +r2 1 - 2r r~ = (1 - r) 2 urmează că expresia (27) şi derivatele ei de orice ordin sînt funcţii continui de r şi de pentru r < 1. De aici rezultă că integrala (25) poate fi derivată în ra.port cu r şi cu e sub semnul integral [80] şi această derivare se referă numai la factorul (27). Întrebuinţînd expresia operatorului lui La place în coordonate polare [1 19], se verifică uşor că funcţia (27) satisface ecuaţia lui Laplace. De aici urmează direct că formula (26) defineşte o funcţie U(r, 8) care este armonică pentru r < 1. Rămîne să se arate că valorile ei lin1ită pe frontiera cer· eului r = 1 sînt tocmai f(O) ; ~ceasta formează partea principală a demonstratiei. · · Să obse;văm în primul rînd, că dacă în formula (26) facem f(t) = 1, atunci şi funcţia armonică U(r, 6) va fi ide~ţic egală cu 1 ; adică este de aşteptat ca formula :

>

= 1

formulă.

seria din membrul al doilea este uniform con ve1·gentă în. raport cu t, deoarece termenii acestei se:rii nu întrec 2rn, în valoare ·absolută. · Integrînd. seria termen. cu termen în raport cu t

deoarece factorul

1 - r9

----·-·--

. dt.

1-.r2 --·------

această.

Iim U (r, O) = /(8 0) .

· În integrala (28) facem aceeaşi schimbare de variabilă,

inmulţim ambii membri prin f(' 0 ) şi scădem egalitatea obţinută

membru. cu mem.hru, din (29):

+J([f. +:r

U (r,6) --- f (6 0) ==

.....n

(·p-j-6) ·---/(8 0)]

1 -fi. --·- d
----·--

.1 -

. _- .Treh~ie să arătăm că integrala, care figurează în membrul al ~.?Ilea, tinde Către zero, CÎnd 7 -- 1 ŞÎ (:) -- lj 0, adică Va fi oricît d? mică v~im în. valoare absolută, dacă r este suficient de. apro~ pia~ de unitate, Iar e. de eo .. Pentru c: > o dat, arbitrar, se poate găs1 un 1), astfel înCit, în Intervalul --- 11

< -<

1/(cp. + O) -- f (8 0) 1 < .!__ , 2

(31)

e

pentru ·~rice suficient .de apropiat de eo. În integrala (30) îm1ntervalul de integrare în trei părţi :

părţim

( - rt, ,.....

"YJ), ( - 1J,

+ YJ), (YJ, 1t) •

(32)

·623

Să evaluăm

a integralei bi intervalul

valoarea absolută

al doilea:

Ţi~înd s~amă

+'1

·+ 6) ··- f(9

12 ·= 2:_. ( [j(({) 2rc )

2

1

~ d({).

- r l 1 - 2r cos

0)] ·-

-11

rfinînd seamă că fracţia de sub semnul integral, din membrul al doilea, este pozitivă, înlocuind diferenţa care figurea~ă acolo prin valoarea ei absolută, şi aplicînd (31), obţinem: . 1 12

1

·

+Il

1·~ 27t'

e 2

< -· . ---

<

· 1 - r2 1 - 2r cos

---

2

27t'

1 - 2r cos
+ r2

;Ao

< <

[(33)

.-!. .. 2

Să examinăm acum integrala extinsă la primul din intervalele (32). În· acest interval, cos q> ~ cos 'lJ şi, prin ur~aţe,

2r cos 1)

sau

+

Bn sin

+r

2

:-::.-:

(l~r) 2 + 2r (1-cos 11)

·+ r:2 >- 4;-;in2 .]_2 .. diferenţei ff( q> + 6) - f('\ )] nu întrece

V alo are a absolută a un anumit· număr pozitiv M, deoarece f(t) este o funcţie con~ tinuă. Aşadar, pentru integrala pe primul interval (32), avem evaluarea: ·

1

< ·· 8 7t'r

(35)

este conveq~entă.. pe__ntru r .< 1 şi, după cum se vede din [195] suma acestei sern da. f?ncţia (~6). Mai departe se vede că, pent~u r ~ 1, sum~ sene1 (35) tinde către f( ), cu alte cuvinte, eatre ac.ea .funcţie. de 1~ care a provenit seria Fourier (34), care poate f1 Şl o sene drvergentă. Să aplicăm aceeaşi idee la o serie oarecare (36) Dacă această serie este convergentă şi are suma s, atunci teoremele lui Abel din teoria seriilor de puteri [1, 148] arată ·că, pentru O<;. r < 1, seria

(1- r2) (1t .... '1)),

M

sin2

(34)

oo

1 ··-- 2 r cos q>

11 1

nO)~

n=l

1121

.> 1 -

(A 4 cos nG

-2 + ~ (An cos n9 + Bn sin n~) r"'

în definitiv, după (28),

1 ·- 2r cos cp -!- r 2

t

unde coefic~enţii se determină d?pă formulele (23), pentru R = 1. Daca, de exemplu, f( ) satisface conditiile lui Dirichlet [14:1], a~unci s~ria__ (34) este con vergentă pentr.{ orice O. Pentru -o funcţie continua oarecare nu putem afirma acest lucru. În tot cazul, An şi Bn ~O cînd n ~ N, aşa că seria

+x 2 ~ --:----·--1-r dţp -a

·~o +

dep

sau, lărgind intervalul de integrare: e 1 112 1 < ___;. • --

de (33) şi de faptul că c: este arbitrar, pu.!m afuma ca membrul al doilea al egalitătii (30) tinde efectiv către zero cînd r ~ 1 şi f) ~ 00 • , ~ă.. relevăm rel~ţia .înt~e integrala (26) ~i seria :Fourier a funcţiei f(u). Aceasta sene F ourier are fonna (22), în care facem R = 1:

fl"'l

.,-1)

şi,

de apropiat de unitate, in valoare absolută mai mică dec.ît -~- .

(37)

-~ 2

şi ace41aşi evaluare o obţinem. şi pentru integrala !pe interval~l al treilea (32). Cînd r -+ 1, membrul .al doilea, al inegalităţ,ţi precedente tinde către O şi, prin urmare, suma integratelor pe ·primul şi al treilea interval (32) va :fi, .. oricare ar fi r, suficient

n=O

este convergentă şi datorită convergenţei uniforme în interval~! O -<: r -<: 1 [1, 149], avem :

Iim r-?l--0

40. Curs de matematleî

sUţJerioure

c.u (r)

;.::: s.

(38)

· .. Dar se poate intîmpla ca seria (36) să fie divergentă, însă seria· (37) pentru (6 -<: r < 1) să fie convergentă şi w (r) să aibă limită pentru r ~ 1 -- O, adică să aibă loc (38). În acest caz, s se numeşte suma generalizată a seriei divergente (36), în sensul lui Abel, şi se spune că seria (36) este suniabilă în sensul lui Abel. Din cele de mai sus rezultă imediat că pentru o serie con~ vergentă această sumă generalizată există şi coincide cu suma obişnuită a seriei. Rezultatele obţinute mai sus cu privire la integrala lui Poisson pot fi. f9rmulate astfel : pentru orice seria Fourier

e,

a unei functii f(EJ) continue şi periodice, este sumabilă în sensul lui Abel şi posedă suma generalizată, egală cu f(~.-'). Mai observăm încă faptul că ,În studiul integralei lui Poisson, am făcut puneM tu) (r,6) să tiridă către punctul limită (1,6 0 ) nu, obligatoriu după rază, ci oricum. Să presupunem că în integrala (26) r > 1. Ca şi mai sus., ne convingem că int~grala (26) dă o funcţie armonică în afara cercului r = 1. Pentru studiul valorilor ei limită o transcriem astfel: ·

------~-~=J_; L __ dt.

+«

U (r,B) = -

:

~ f(t)

1- 2

+

cos (t -

6)

+ (-;-)

2

Această integrală coincide cu integrala (26), dacă în aceasta . . pe r pnn. 1 , d eoarece d.ac a. . r> 1, atunCI-·. 1 < 1. d1n urma"' î n 1ocu1m

r

Aşadar,

putein. aplica aci

r

raţionamentele

de mai sus,

dacă

înlo-

După cum am menţionat mai sus, soluţia-· problemei lui Dirichelt u(M') pentru porţiunea nernărginită a planului care "Se găseşte înafara conturului închis 1 este unică, dacă presupunem ,că functia căutată tinde către o limită finită, atunci cînd M se depărtează. in definit. , I.,M,; 197. Problema lui Diriehlet pentru .sferă. Fie R raza sferei {~) şi f (M') valorile limită ale funcţiei armonice, pe suprafaţa sferei; iar M' punctul variabil n "' cons1.deram "' l'11 pe aceasta. . supraf aţa. un punct M 0 în interiorul sferei {L) şi fie r distanţa de la punctul variabil M la M 0 • Considerăm de asemenea punctul l\J1 situat pe prelunghea razei sferei OJY[0 .şi astfel ca (fig. 142) :

(39)

Punctul M1 , situat înafara ·sferei (2:), se numeşte cîteodată Fig. 142. -simetricul lui M 0 în :raport cu {L). Însemnăm prin r 1 distanţa de li punctul variabil M la Mp Dacă M se găseşte pe suprafaţa (2:) într-un punct M atunci ~ă1·imile r şi r 1 sînt legate printr-o relaţie simplă, pe care o vom deduce acum. Observăm că triunghiurile OM 0 M şi OM1 M sînt asemenea deoarece au un unghi comun cu vîrful în O, iar laturile care formează acest unghi sînt proporţionale, în virtutea lui (39). Din asemănarea triu.nghiurilor rezultă :

cuim pe r prin _!_. Cînd punctul (r, O) tinde către punctul (1, 00) 1'

din exteriorul cercului, funcţia (261) tinde deCi afirma că funcţia

+il(

V (r, 6) =

2-. ( J (t) 21t'

J

-~·-

2

r

-

către

-- f (8 0). Putem

} OM' 1.

rT'-

1

1 - 2r cos (t -

. 6)

\.

IOMtll

----·- == - - ,

-----dt

R

r1

+ r2

de unde

dă

soluţia problemei lui Dirichlet pentru ,porţiunea planului care se găseşte în exteriorul cercului r= 1, cu valorile limită f(O). Dacă punctul (r, 6) se depărtează indefinit, după cum se . vede din formula de mai sus, funcţia V(r,O) are o limită finită:

+•

Iim V (r,O) = __!__

626

1 OM0

l M 1M' 1

sau

--«

r_,.oo

! M 0 M' \ =

21t'

ff J

(t) dJ.

--~= ~

1

R

,.

-r1.

(40)

unde p = 1 Ol\t1 0 1 este lungimea razei vectoare din centrul sferei la punctul .M0 • li'uncţia _!__nu devine infinită în interiorul sferei r1

•

deoarece .l\1!1 este situat înafara sferei şi, prin ur:.mare, este o func-ţie armonică în interior1.1l , sferei [119]. Form.ula (40) dă 627

vFtlorile la limită ale acestei funcţii, pe suprafaţa sferei. :Fie U(M) soluţia căutată a problemei lui Dirichlet. Formula (13}

]~~

asemenea, . ( 1 ''}

a -;;

dă:

-

1

U(M0 )

=: - ·

41t'

~~( _c_~u U---_ a(7)l dS. <.El

on

an

(41)

1

:Pe de altă parte, aplieînd formula (6) funcţiilor armonice· U şi V =:=

unde r ~î r 1., sub s~mnu] cosinus, rep1·ezintă direcţiile Jl:f~M Şi Aceasta dă

-M1 M.

2_ , obţinem : . f!_ ?

1'1

o

o=::

f ( (·L JJ 1'1

a_u --

U

dn

()~)

· t_nmulţin d. pe (42)

Clt

a ( ~J) 'an

dS.

(0--·) _a.Ji=) - --a---------=-= ----1

on

()n

Introducînd mărimea F1

__!L s1' sca~ ~~:îud din f:actoru1 constant 47tp •

triunghiurile OM' ]t/0

p2

(41), eliminăm, dacă ţinem seamă de (40), pe -(an :

· _ a (-1) · a (1' -···) . ~- ~ ~ U. [-; -- on!L -- -a~!_-1 dS.

o::.:::

R2

+-

lui U pe (2:) sînt valorile f( M) d·ate şi putem·

U(M0 ) =

l --~ 4·n;

~·~ f(M') ~(an~L .:Jan~ 11. 1 R - p

mai

transformăm diferenţa

care

figurează

în paranteza mare ..

direcţia

Nl0 M,

şj,

prin urmare

-~!_ == gradn r c9n

a(-;-) a(:·) - = - --1 cos ( r,. rt ) • ---- = ----·- -. ar 2 · i)n

628

(Jr

an

1

'"

=

R2

R2

pntem scrie, din

+- ri-2 Rr1 cos (r1, n)

p2

......

Rr3

(Jn

pusă

41t'R

sub forma:

JJ

R2 ___ ·- dS, ra

(45)

(l;)

sau, dacă int1·oducem unghiul y, format de 1·aza vectoare OM'0 cu raza vectoare mobilă OM', coordonatele sferice unghiulare (V, cp') ale punctului NI' şi coordonatele sferice (P,, (-~ 0 , cp 0} ale punctului M 0 sistemul de .referinţă fiind cu originea în pu:rietul O :-

cos (r, n)

şi

PÎ

U(.Mo) ~::" -.-~-·- (( f(M')

U(p,

=

(44}

:

----·-·--·-- ... ··-·-

8n

(,E)

Să

~

p

1 \ a ( --~-,

1'1'

formula (43) poate fi

dS.

Observăm mai întîi că suprafeţele r = const. sî~t sfere cu c~n trul în M 0 , aşa că grad r este un vector de lung1me unu, avind

Rz

= l OM1 l = ---

01\ll' IV/1

a ( ~-)

p şi

Această formulă rezolvă problema lui Dirichlet pentru sferă, deoarece sub semnul integral se găsesc mărimi cunoscute ..

şi

n).

Scoţînd de aici pe cos (r, n) şi cos (r1 , n) şi introducînd valorile respective (44), vom obţine, pe baza lui (40) şi a defi-. niţiei lui ţ 1 : H

deci scrie

1,

1

r2 ··- 2 Rr cos (r, n);

(,i;)

lnsă, valm:ile

-02 cos (r P'

cos (r, n) __ ..

r2

(42)

')V

U(.Mo) :::::.:.

')

•,

1

1'

1

··-·---:---- .=. ---- -- cos (r1_, n) ' ân r]_

e0, ~ 0 ) =

2.lt'

olt'

!}_ ( ( f(J', cp') _____,___!i-a_=P

JJ

41t'

--------

y+

(R 2-2p R cos

oo

2

,3 12

sin 6'dH'dcp'. (46)

p2)

Reprezentarea integ:ralei obţinute pentru U(M0) este ana~ cu integrala lui Poisson, pentru plan. Pentru a arăta că. integrala care intră în formula (45) dă o funcţie armonică, este logă •

o

o

...,

1

..

o

)t_2 -

p2

..suficient sa aratam ca pentru 111 hx, f1·aet1a ---~------ este o funcţie V

""

V

'

ra

armonică de Nl0 • Să introducem sistemul de coordonate sferice cu originea in punctul M' şi cu axa OZ dirijată de la M' la O,

şi să însemnăm. ca întotdeauna în sistemul sferic, O :-_-:: .:

În acest caz,

,

sau

~

OM' M 0 •

---

şi

rtt. - p2 2R cos o 1 ----·- = - - - - - _ .... r

Suhstituind această diferentă în ecuatia lui Laplace

ex-

primată în coordonate sferice, n~ convinge~ că această f;actie

este o funcţie armonică de punctul M 0 • Să arătăm acum ~ă pentru orice M 0 din interiorul sferei, are loc formula : '

23?:

Jt

, ~ ~ U(p,60 ,rp0 ) = .L. 4n

unde p'

=

p-1

~.

şi r 2 = R 2 - 2Rp cos f.l în formula (*) va fi

6 = )}100M' gu~ează

+

~2.

Integrala care fi..

R'2 - P'2 (R'"' - 2p' R' cos y

şi

+

p'2)

3/ 2

sine'd3' dql, (46 2 )

R' = R-1 • În acest caz, p' < R' şi cînd punctul

c:p0 ) tinde căt1·e M( R, O,q>) situat pe sfera :E, atunci (p', 00 , cp 0 ) tinde către (R'., rp). În baza rezultatului obţinut pen.trlll inte-

( p, 00 , Introducem sistemul de coordonate sferice cu ong1nea în punctul O şi cu axa OZ dirijată din O către M 0 ; în cazul de faţă,

f (8', t~') .......-.:-·

o

ll

(*)

...............

·------···-

unde p ==1 01\.10[, r = jlYI0 1VI' 1 şi y = M 00M', însă, în cazul dat p > R. Ca mai sus, ne putem convinge că integrala din formula (451) dă o funcţie armonică în exteriorul sferei. Pentru. a ne convinge că valorile limită ale lui U(.M0 ) sînt egale cn .f(.M), sm·iem pe (461) sub for:rna :

e,

riorul sferei, avem : 2~ gt

R' ~ ~ -~

4n

f

(6' ." ~') ·

(R' 2

--

R'2 - P'2 2p' R' cos y

oo

+

·--8

p' 2) la

sin6'd8'drp' -··~ f (lH),

şi, luînd în considerare că

c:::·~

R2 _

p21

----

2p

(R2

:sau, ţinînd seamă că p

_1_ J(Jf

-

2pR cos O

< R,

obţinen1 formula

R2 - pz dS =-= R2-=-~ r3

br:R

2p

(-1- .·-R -.. p

I;

Dernonst:raţia

p' -+ R', putern afirma că şi membrul al doilea al formulei (46 2) tinde către f(l\11), ceea ce urmăream să demonstrăm. Observăm că pe hazBf lui (461) U(p, fl 0 , cp 0) tinde către zero cînd M 0 se depărtează la infinit, adică atunci cînd p -+ co. Aceasta rezultă din faptul că, sub semnul integral în formula (461) numărătorul conţine pe p2, pe c.înd numitorul are~ evident, ordinul lui p3 •

(*)

_1__ ) = R p

+

L

că integrala (45) ia pe sferă valorile limite

f(M), se face ca în cazul integralei lui Poisson. Rezolvarea problemei exterioare a lui Dirichlet, cu valorile limită f(M"), este dată prin formula :

U(M) o = -1

4nR

JJf ·

t'

630·

R2 dS ( M'') p:!:------r3

198. Funcţia hd Grt,tm. Din rezolvarea de mai sus a problenie.i lui Dir.lchlct pentru sferă se pot deduce indicaţii şi pentru cazul general al problemei interioare: a lui Dirichlet, pentru orice suprafaţă arbitrară (S). Formula (13) ·nu dă direct ·soluţia problemei. deoarece sub semnul integrală dublă intră nu numai U. pentr11 eare valorile pe

au .sint date. dar şi valorile lui -an .

suprafaţă

Pentru a

obţine

so ..

problemei trebuie să elin1in[un rnărimea din urmă. Fie_ .M0 un punct nx in interiorul lui (S). Presupunem că cunoaştem funcţia G1 (M; M 0 ), care are urmă- toarele două proprietăţi: 1) ea funcţie de punctul variabil M, ea este armonică in 1 interiorul lui (S); 2) pe suprafaţa (S), valorlle ei. limită :sint. egale cu-· , unde :r-

luţia

r

este

distanţa

de la punctul variabil pe. (S),

pînă

la 1\:1.1• Fie U (M)

soluţia căutată

631

a problemei lui Dirichlel. G1 (M; M 0 ), avem :

O=

( ( [ U(M) BGdM; ~o)

JJ (8)

S-;:~U,

Aplicind formula (6)

avînd în vedere O

=

--

on

-

condiţii1e

~\[

• .

la

funcţiilor

armonice

l

G~ (M; M 0 ) -~-~(M) f)n

limită

unde funcţia lui -Green G (M; M 0 ) pt>ntru .un domeniu cu conturul:[ şi avînd un pol în 111 0 trebuie să.aibă următoarele rlouă.proprietăţi: 1. G (M ; M 0 ) este o funcţie armonică în interioru] lui (l),. afară de punctul

U (1\11) şi

1Vl0 , unde ea devine dS,

. 1 {)U(M) ] f)G 1 (M; M 0 ) .-. U (M) · - - - - - - - - - - - - - - - dS. f)n r {Jn

l

4n-

_ 0 ) = - ---1 U- (Jt.1 4n

~~ U

şi.

adunînd cu (13),

obţinerh:

alt

(M) --;-- -- -- G1 (.M; M 0 ) r

an

_

-~ dS. _

Uj

Această ~for~ulă dă soluţi~ Dtferenţa

problewmei lui Dîrichlet, dacă funcţia G1 (M; M 0 ) care ftgureaza in paranteza mare: ,

G (M; M 0 )

=· __!_ -· r

G1 (M; .M0 ),

şi

infinită, iar diferenţa G (M; M 0)

--

M se

găseşte tn

in cazul de

z

r

funcţie

armo-

inte-

:

(50}

y).

rl

> O, deoarece M~ este situat 'inafara acestui semispaţiu. Dacă. planul z =--= O, atunei, evident,

:faţă,

-~

1

r1

r

. Astfel,

funcţia

lui Green,.

are forma : G(.M; M 0)

= -~--' !.... ="' r

1'1

1

,

nînd ., Iui Green G (M; M 0 ) va da potenţialul electrostatic al cîmpului obtinut tn: riorul lui (S). , J În cazul sferei, după formula (26). funcţia G1 (M: M 0 ) va fi egală cu

1 (x,

1 =" O. Fracţia - este o funcţie armonică de punctul M

r

Dacă plasăm în punctul J.l.-10 unitatea de sarcină electrică pozitivă, presupucă (S) este suprafaţa conduc.toare, şi dacă o legăm cu pămîntul, atunci functia

_!_şi iuncţia lui'Green va fi

ln __!__ e~te o

Fie r distanţa de la punctul mobil 1\11 la punctul 1H0 (x0 , y 0 , z0 ), unde z0 > 0,. distanţa de la punctul mobil 1\11 la punctul M~ (x0 , y 0 , - z0 ), simetricul lui

in semispaţiul z

-~-rămîne finită.

2. Valorile limită ale funcţiei G (M; 1\!J0 ) pe suprafaţa (S) s·int nule.

R

J' 1

M 0 'in raport cu planul

(48)

·se numeşte fum:(ia lui Green pentru domeniul mărginit de suprafaţa (S) cu pol~l M 0 • Din definiţia lui G1 (M; M 0 ) rezultă două proprietăţi fundamentale ale funcţiei lui Green ~ , 1. G (M; M 0 ) este o'funcţi.e armonică tn interiorul lui (S), afa~ă de punctul M 0 , unde ea. devine

=-=

z=O

(8)

-este cunoscuta.

-

2. Valorile limită ~le lui G (M; M 0 ) pe conturul (l) sînt nule: ' Se vede cu uşurinţă că nu poate exista decît o singură funcţie avind cele 2 două proprietăţi indicate. În adevăr, dacă ar exista două funcţii d >(M; M 0) şi G (l) (M; M 0 ), atunci diferenţa lor d 2 l (M; M 0 ) - G(l) (M; M 0 ) ar trebui să fie armonică pe3te tot J'n interiorul lui S s:m l. şi să ai.h~i valori limită nule pe· S sau 1, adică ar fi idenllc nulă in interiorul lui S sau 1. 199. f'azul sttmispaţiului. Ca exemplu pentru aplicarea formulei (47) să studiem problema lui Dirichlet în cazul semispaţiului. Se cere să se găsească o funcţie l..l (x, y, z), armonică în semispaţiul z > O, dacă sînt cunoscute valorile ei, limită f (x, y) pe planul z = O:

pentru G1 (M; NI0 ).

egalitate cu·---

iar diferenta G (M; M 0 )

'nlcă şi tn punctul M 0 •

(8)

înmulţind această

infinită,

~

=

V(~--=---~~-)·;·=~--(~---- -i,~);-~-=~~~--;o); Direcţia normalei la planul

opusa·· axe1·

')z ~-- ,

A ==' a(:1·1caV --

on

8 -

.f)z

z

--=

, ::::•·

---

i(;-=~~~)2_+_(~·-=-~~-r+-=(~+

O exterioară în raport cu planul z

rorn1u.1a

>

Z )2 • 0

O este

(48) "'V : . ..a

rl

= !.. ---

!!:__ • __!_ • (49) p r1 Am obţinut formula ( 47) utilizînd formula (13) şi apUcînd •formula lui Green {6) la U (M)şi la G1 (M; M 0 ). Justificarea aplicării acestor formule integrale -cere demonstraţii speciale~ care sint bazate pe studiul comportării rle.rivatelor în veci~ătatea · suprai~ţ_ei- (S). Demonstrarea riguroasă a formulei (4 'i) în colildiţiuni largi, în ceea ce priveşte suprafaţa (S) şi funcţ.ia U (1\11) pe (.S), a fost dată pentru prima oară de A. M. Leapunov. ' Analog, in cazul planului. avem următoarea formulă pentru rewlvarea .. problemei intel'ioare a lui Dirichlet : (; (M; .M0 )

r

' -- y(.~--= x:) _:l~=--r;·~='~'o) 2 +-(; ~~-;:)~ t~~xo dy • 2

După derivarea parantezci mari, trebuie făcut z obţinem

=

O. După ealcule simple,

în definitiv :

\,.

U (M0 )

= - - 1~ U (M) 2~

f)G (M; M

)

0 --------·d.<;,

an

.

.

(48)) 'l

(51.) -co-----oo

Nu vom verifica faptul că m.embrul al doiiea ·este o funcţie armonică şi că are valorile limita f(x, y), cînd punctul (x 0 , y0 , z0 ) tinde către (x, y, 0). In cazul dat, punctul de la infinit este situat pe suprafaţa domeniului, şi se verifică uşor că soluţia obţinută are următoarea proprietate : dacă f(:r, y) este continuă şi la infinit, adică dacă f (x, y) are o limită determinată finită, a, cînd punctul (x, y) se depărtează la infinit. în planul z = O, atunci şi U(x0 , y 0 , z0 ) are aceeaşi limită a, oricum ar tinde către infinit punctul (x0 , y0 , z0 ) însemispaţiul z > O. Cu alte cuvinte, soluţia obJinută are valoarea limită cerută. şi în pundul de la infinit, dacă f(x, y) este o funcţie continuă în f!Cest punct. Analog, pentru rezolvarea problemei lui Dirkhlet. relativă la semiplanul .y > O~ funcţia lui Green are forma :

Am obţinut acest rezultat presupunînd că ecuaţia (54) admite o soluţie căreia i se poate aplica formula (9). Pentru o rezolvare completă a problemei, trebuie să studiem mai amă nunţit potenţialul de volum (55), în anumite ipoteze, privind: funcţia cp (N). Punem fL (N) = - rp (N) : 4n;, şi vom studia po .. tenţialul maselor de volum

V ( M)

= ~!) (t (;) dv

(56)

1J

sau

V ( x, y, z) = şi

:formula (48) penl ru vH1ol'He

limită

:

f~ ~

[J.(~. "Il• ~) dv.

(56J

r

D

intr .. un domeniu D mărginit de o suprafală S. Soluţia generală a acestei ecuaţii este suma unei soluţii particulare a ei şi a funcţiei armonice în D. Presupunem că avem o soluţie a ecuaţiei

Presupunem că ~( N) este continuă în D inclusiv pe S. După cum am menţionat deja, integrala (56) este o integrală proprie, dacă M este situat în exteriorul lui D. În acest caz, funcţia V(M) are derivate parţiale de orice ordin. Aceste derivate pot fi obţinute prin derivare sub semnul integral, iar V(M) verifică ecuaţia lui Laplace ~V= O. Dacă M aparţine lui D, atunci există integrala improprie (56) şi există de asemenea şi integrala obţinută pe calea de:rivării funcţiei de sub semnul integral, de exemplu, în raport cu x. Dar nu am demonstrat că această integrală dă derivata parţială a lui V în raport cu x. Demonstrăm acum două teoreme în privinţa integralei (56) : Teorema I. Dacă fl(N) este continuă în domeniul D in.clusiv S, atunci V (1\11) şi derivatele ei parţiale de ordinul întîi sînt continui în întreg spaţiul şi aceste derivate parţiale pot fi obţinute prin derivare sub sem.nul integral. Vom face demonstraţia pentru orice poziţie a lui M' faţă

(54) şi că-i aplicăm formula (9). Intrucit d.erivata lui __!.

de domeniul D. În loc de 2. introducem o nouă. func-ţie care diferă

U

~--" 1~_x)

1

p·

~n

-- 00

Studiul

am:lnurrţit

ar problemei lui Neumann :ll vom f~we în

200. Potentialul maselor de volum. lui Laplace neomogenă: â2 U 82 U ax"'

-l--

()y2

vohmmlJV.

Să eonsider.ăm ecuaţia

8 +a;;= cp ( x, y, .z) 2U

{54)

r

, după

orice direcţie determinată, verifică ecuaţia lui Laplace, funcţia de sub semnul integral, în integrala de suprafaţă din formula (9), şi însăşi apeastă integrală~ sîn:t funcţii armonice în D. Aşadar integrala triplă trebuie să verifice ecuaţia (54). Însă, pe baza lui (54), în această integrală 6U poate fi înlocuită prin tp (x,y, z); obţinem astfel soluţia particulară a ecuaţiei (54~) :

U (x~ y, :z)::::= -r

·

f ( _cp (~. 7l~_2.. dv. J DJ J r

2_. ( 4n

·1.1. ---.-,,------·--.-----·--.·-··------···-····-.··--·- ... ···-··--·-··-l

Lr = t (ţ - x) 2

-+ {Il --- y)2 + (~ ·-- z) 2 J"

(55)

r

1

de- numa1. pentru r r

<

" poz1t1v . . d at, e:, un de c: este un numar .

.

dar care este continuă şi are derivate continui în raport cu coordonatele, inclusiv pentru r=O. Pentru aceasta, pentru r <· e:9 inlocuim pe 2:. prin polinomul

+('tJ -

s.ă

o;

r

y) 2

.avem

+· (~- z) :J~ 2

' ot

·t

+ ~r2 =

alegînd pe o:. şi

~~2

1

= --e

şi

t3

2~c:

C(

+ ~ [ (ţ -

x)2

+

astfel, încît pentru r= s 1 = -;;'

635

eeea ce dă. continuitatea derivatelor la intersectia functiei-~: '

cu funcţia

'

o:.+

~r2 , adică

dau: o:.=-~,~ 2e

prin

egalităţile

,

-

11

2e:

ajungem la funcţia g;, (r)

definită

:

(61)

= -~r

pentl'u r >--

şi, înafara sferei cre: , funcţia de sub semnul integral, după cum .am arătat mai sus, se anuleaz.ă. Dacă integrăm funcţia pozitivă din membrul al doilea al lui (61) pe întreaga sferă cre , obţinem,

·evident, inegalitatea :

E:,

e: 2n n

(57) 3

1

2e

2e

1

g (r) = - -- --3 r2 pentru r < e. t

Substituincl

de sub semnul integral din membrul al doilea, evaluarea

pentru r = r::. Formulele de mai sus

:- - _!__şi 3 s·e. (r)

funcţia

r

< M~

~~

l'

(58)

D

·continuă în tot spaţiul şi cu derivate parţiale continui, care pot fi obţinute prin derivare sub semnul integral, atit timp .cîţ funcţia de sub acest semn din formula (58) este continuă ·şi admite derivate continui pentru r O. Putem, de exemplu,

>

scrie :

-~v~:M) = ~ ~ ~ !J.(lY)

şi

:x

(59)

ge (r) dv.

W {M) =

~ f~ !L {N) ~ ( ;) dv.

= ~~~ !1. (N)

g

e:

(62)

])

l

[-;- --- ge (r) dv:

(60)

w (M)

(r) coincid pentru r ?J-_.. z, diferenţa din membrul

al doilea este egală cu zero pentru toate pun~tele N situate în .exteriorul sferei cre: , cu centrul îu M şi cu raza E• Dacă, de exemplu, M este situat în exteriorul domeniului D, iar e este mai mic decît distanta de la M la D, atunci integrala din m~embrul al doilea al lui (60) este egală cu zero. , În alte cazuri, sfera cre: se poate găsi, parţial sau total, în D. Însemnînd prin m valoarea absolută maximă a lui !1. (N) în D şi ţinînd seamă că g" (r) este o funcţie pozitivă, obţinem, pentru

diferenţa

ca mai sus,

av~~M) = ~ ~ ~ !1. (N) [ :.r (:)

_

-- ~ge: (r) J dv.

D

})

r

sin8dâdcpdr.

De aiCI rezultă evident că pentru : : ~ O, funcţia continuă Ve (M) tinde către V(M), uniform în raport cu poziţia punctului M, şi, prin urmare, V( M) este de asemenea o funcţie continuă [1, 144]. Pentru a studia derivatele parţiale ale funcţieiV(M), să formăm integrala care se obţine prin derivarea în raport ·CU x sub semnul integral din formula (56) şi să însemnăm funcţia obţinută prin JJ7(M) :

J:i"'ormăm,

Formăm diferenţa:

.!.. şi

2

Substituind în locul lui ge (r) a doua din form.ulele (57) integrînd, avem

D

Întrucît

+· ge (r) Jr

V( M) noua funcţie :

Ve (M) = ~~~ !1. (N)gE (r) dv,

V(M)- Ve (.M)

[-;

o oo

această funcţie în locul lui ..!. în :integrala (56),

·obţinem în locul funcţiei

V(M)- Ve {M)l

seamă

l,inînd

de faptul

că

pentru orice

2 h (r) = dlz

(r) • dr

ax ·şi că l:--=-~ 1-< 1,

putem scrie, pentru

l

h (r) avem

3-..:::- ţ_

1

r

func"ţie

r

funcţia

care

figurează

·sub semnul ultimei integrale triple., inegalitatea :

·1 1

[1.

(N) [-fJ- ·(~ 1) .

dX

,

r ..

a iJ

--· gr. X

1

(r)

] -<: m 11~ + l~:drJs__ (r) 1·1., dr .. \

_

.. r2

şi,

porţiunea din D situată potenţialul (56) în doi

exact ca mai sus, 2a-

Il

j W (M) -..- _av~~lf)

l

~

J

~ [r~

+ 1dg~:r) !Jsin 6d9dcr;dr.

V (M)

în exteriorul sferei cre • Descompunem termeni:

J

~-= ~ ~ fl.(N)-; d·v

o o o

+) ~ ~ 11.(N) ,; dv

D1

='·=

V1 (M)

+ V0

(M),

ar,:

(64) Luînd în considerare

că,

după

. (57) : :'i}i't

l şi

intregînd,

_dge (r2 ., dr

obţinem

= .!..

pentru r

ea

<

în virtutea teoremei av(M)

E,

---=

D:

I'Îg

: 8V1(M)

W(M) - av;;Ml' <: 5"m•,

ax Pe de

d e un d e urmeaza" ca, pent1·u

~:: -~

o,

denvata .

aVe (M)- t1n . d e f)x

în raport cu M. Am demonstrat mai înainte uniform către V (M). Ţinînd seamă de teorema. din [I, 144], .vedem că W(M) este ,derivata parţială a funcţiei V(M) în raport cu x, adică în virtutea lui (62), ~-'··---

f'~jx ~ ~ ~ {L (N) ~ dv = ~ ~· ~ {L (N) D

:x (;)

dv.

lJ

Continuitatea· funcţiei W(M) rezultă din continuitatea de~ rivatelor parţiale (59) şi din convergenta lor uniformă către limita W (M), şi teorema este complet d.~monstrată. Derivatele în raport cu y şi cu z se studiază exact la fel. Să notăm că" pentru dm:ponstrarea teorem~i, am utilizat numai faptul că (L (N) este· integrabilă şi mărginită. 201. Ecuaţia lui Poisson. Pentru formarea derivatelor de ordinul .al d9ilea ale func-ţiei V(M), trebuie să introducem ipo· teze restrictive relativ la !1. (N). Teorema 2. Dacă funcţia continuă !1. (N) are derivate de ordinul întîi continui în interiorul lui D, atunci V(M) are derivate de ordinul al doilea continui în interiorul lzti D şi care veri· ficii în interiorul lui D ecuaţia : ~ ·

- [Â V(M) = ·-

4n(L

(1\11).']

(63),

în interiorul lui D un punct M 0 (x0 ,y0 ,z0 ).li'ie 0'6 sfera cu centrul in· M 0 şi cu raza e: situată in interiorul lui D, şi D 1 _

638

altă

8V0 (~!._

(65)

ax

parte, avem :

,_, catre

~( M), uniform că Ve (M) tinde

Fixăm

avem .:

~ ~) [1. (N) :x (~;) dv + ~·~ ~ {L (N) ;: (~) d'v ~'·'=

1

V

I~

-şi,

prin urmare, putem scrie :

1) = ---a [p. (N) -1..-~. + a11 1 -(iv) - . ---.

a (!1· (N)-

ax

r

a~

a~

l'

r

Suhstituind această expresie în locul funcţiei de :sub semnul integralei pe a6 din formula (65) şi aplicînd formula lui Ostrogradski, obţinem :

a~~) = ~ ~ ~ ;(-N) a: (~) dv +: ~

J!

8

~~N)

• ;.

dv --

ag

Dt

(;_~- ~J~ (Nrcos (n, ~> >ds~

(66)

Ss

unde Se este suprafaţa sferei Ge , iar n, direcţia .normalei exte· rioare la Se în punctul N. Primul termen din membrul al doilea este o integrală proprie pentru punctele M situate în interiorul lui cre şi admite, în aceste puncte, derivate de orice ordin. Ace .. laşi lucru se poate afirma în ceea ce priveşte termenul al treilea, care este o integrală pe suprafaţa sferei O'e • Al doilea termen este o integrală de volum, luată în O'e cu densitate con.tin.uă

.ov.~~l~, şi, după

teorema I~ cu derivată de ord.im_Il întîi con-

tinuă

· · A şa d ar, se poate a·r·uma · ca~ AV
•

ax

vate continui de ordinul întîi în interiorul lui crE • ,..finînd seamă de faptul că punctul M 0 a fost luat arbitrar în interiorul lui

D, putem afirma că

aVax
la 3-~-Q~L şi QV

ay

(M)_ •

az

.

urmează că V(M") are, în interiorul lui D"

derivate continui de ordinul al doilea. Rămîne ·să demonstrăm formula .(63) pentru orice punct 1\110 din interiorul lui D. Să ne întoarcem la formulele (64) şi (66). Potenţialul V 1 (M) al maselor de volum ·în domeniul D1 este, după cum ştim, o functie armonică în interiorul lui crE , deoarece a~> se află în exteriorr{llui Dl, adică ~ vl (M) = o în interiorul lui crE şi, prin .aceasta, ~ V(M) = ~ V 0 (M) în interiorul lui cre • Astfel, pentru :formarea lui L:: V(M), este suficient să derivăm, în raport cu x, sub semnul integral (utilizăm teorema I) termenii din (66), î~. care integrarea se efectuează după cre şi SE , să f~nmăm expresnle. analog~ pentru derivatele de ordinul. al d?ilea în rapo~t c~ y ŞI cu z ŞI să adunăm toate aceste trei denvate.~ În legatura cu aceasta, vom aminti

c.ă

sub semnul integral, numai factorul.:!:.. depinde r

de;' (x, y, z). Formînd astfel expresia lui ~V( A~). în interiorul ·srerei a~ , luăm valoarea ei în centrul M 0 al ·sferei cre • Însemînd prin ~ V(l\11 ) această valoare şi prin r 0 distanţa de la Mo '~a punctul variabil de h:itegrare, avem

3 +

Ll V (M)= ( ( ( [ 8t-t (N) 5~ x 0 J)) a~ ro

--··

~ ~ !L(N) j.qe

-l. rg ~

;'1:0

P11:N) 0"1)

·

--.- cos (n, x)

.

+ t; -/o cos

'lJ

~ ?Jq + ~ tL (N)__ t: - 3zo ]dv--

a<:

ro

+ -T- cos 1l - Yo 1o

(

n,y

ro

1 ~- :rol

·' 1·~ avem :

---;~ ~

Introducînd sistemul de coordonate sferice cu originea în M 0 şi înlocuind dv=r~ sin ld.dctdrr, ne convingem că expresia din membrul al doilea este egală cu m · 4;cz, de unde rezultă că integrala triplă tinde către zero cînd z - O. Să ne ocupăm acum. de integrala de suprafaţă din formula (67). Normala exterioară n fiind dirijată după raza sferei, avem: ţ - Xo

--3 -··

~

"'"~

-+ ~

(

)

"1) -

y

.

cos n, x +-~cos (n, y) ~

[cos 2 (n, x)

+ cos

2

{n,y)

~ - z + -3

~

-

0

cos (n, z)=-=

+ cos2 (n, z)] = 1

~, ~

şi, prin urmare, .integrala de suprafaţă poate fi scrisă :

; J~ ~ (N) dS, s~

tiaUt~

utilizînd teorema mediei :

;~~~IL (N)dS = 47t~ (N€ ),

.

s., )

+

(67)

(~, z) .J 'dS.

ro

Această f01·wulă este valabilă pentru o rază s. arbitrară (numai sfera rr. să fie situată în interiorul lui D) şi cantitatea 6 V(Mo) nu de~inde, evident, de alegerea lui E· Vo~ face pe z. să. . t~ndă către zero şi vom· arăta că, în acest caz, Integrala tnp~a ~In de către zero. Este suficient să examinăm integrala unui s1:ngu:r

640

<

Aplicînd. aceleaşi .raţionamente

D.

întîi în tot inte1·iorul lui

derivate continui de ordinul

termen. F'ie .m valoarea absolută maximă a functiei continui . ott (N) î f! ..., . , -~ .nt:r-o SJ.era suficient de mică ITt 0 ~!;Dacă e e: 0 , deoarece

unde N~ este un. punct pe Se • Cînd z -- O, atunci Ne -• M-, !1. (NE) --+ ~ '(M0) şi, la limită, integrala de suprafată din formul~ (67) dă 4rt[L (M ), ceea ce duce la formula (63). A~eastă formulă se nu~eşte, de obicei, formula lui Poisson sau ecuaţia lui Poisson~ D1n teorema demonstrată urmează imediat că dacă ~. (x,y, z)·e~te continuă în domeniul D, inclusiv pe suprafaţa S, Ş! are derivate partiale de ordinul întîi continui în interiorul lui D, atunci formrila (55) dă soluţia ecuaţiei (54). Observăm că .d~că ~ (N) es~e determinată în tot spaţiul şi dacă descreşte sufici~nt de rap1d cînd punctul N se îndepărtează la infinit~ atunci putem lua, ca D, ·întregul spaţiu.

Teo.e:·eme in totul analoge pot fi stabilite şi pentru integrali. .în dome:r..aiul plan :

V(M)

= ~ ~ p.

(N) ln

;da

eă studiu] funeţ.iei (5~1 ), aşa cutit l-am făcut, nu este complet riguros. Este necesară o cercetare complementară a depenclenţd fUJwţiei G(M; N) de pUtwtul N, demonstrarea posibililă\ii derivării sub semnul integru! şi a trecerii la limită sub semnul integral ctnd purwtul M tinclt> către un pullcl ::al suprafeţei S. 2;02, l·'ormula lui l
B ~au

.

V(x,y)

1

= ~~ ~(ţ,1J)ln;dcr. B

[r

2 o V "-.- = a2 ~V.

=V(;- x) 2 + ("tl-YPJ•

Dacă !1- (N) este continuă in B, inclusiv pe conturul ·~cestui do:c;ne. · " .... · V(M) este continuă şi are· denvate parţtale n1u, atunci msaşt d · t f' bt'nute de ordinul întîi în tot planul, iar aceste envate P,? 1 0 ; 1 .. , rin derivare sub semnul integral. Dacă, afara o de. ~ce~sta, P N) are derivate parţiale de ordinul in~îi contin.ut ~n Inte( 1 1 o B tunci V (M) are derivate partialc cont1nm de or· rtoru m ' a . t t or din dinul al doilea în interiorul hn B, ŞI 1n once pune · ln en.

~

o

B, satisface

ecuaţia

Formă.m, asemănător

"

o

,

.

o

o

.

·D

· lut Green a d omemu. · 1~.~• D • cu nolul unde G (M; l\1) este funrţm •. d N ·, In integrala l (49) (55), integrarea se !ace in raport cu punctul N. } mtnd seamă e ..or~m a ~ putem scrie · '

unde G1(M; N) este valorile limită

!_ pe S,

. p

~

1 1t

4

l7 (x,

~ ~ ~ p (;1\l) do + 4~ ~ .~ ~ cp (N) G1 (M; Nf.dv. D

D

0 funcţie armonică

unde peste .

A doua intcgraU'i. din dreapta, este o funcţie rle pu.nctul M• care intră, su_b · t n t ruc·it Gt (M ,· N) _este .o funcţu~ de parametru '· sub scmnu~' ·mtegra 1, ŞI, •. ;rmonică în tot int;.riorul lui D, şi integrala a ~!oua ?in dreap~a es.le o functie ·umonică de 1i1 tn h'tteriorullui D. Laplaciunu·l pnmulm tc~rmen dm d1eapta, du~ă

U1

(M)l

s

=O.

y,

z,

t-

~) ,

(69)

t.).;;;,

v(

M; t ,....

~) •

('iO)

r

(t) este o funcţie de

l>e obicei, [w) se nume~;>te "aluarea tnltrtiattl a fun .. tfpf b: (1). Semnificaţi!ll acer.;tei dt>numiri devine clară dacă vom considera pe a ca viteza t:le propagare

a unui prOt·es.

., Cu această notaţie put:em scrie formula (69) sau (70) sub forma : U = [V]. Cînd derivăm funl·ţia (69) în raJ,ort cu coordonatele, trehuie să ţinem seama că

(.

.

[V), depinde de coordonate atît direct cît şi prin intermediul lui patrulea argument. Vom avea aslîel:

iJU

ân =

f

1.

care intră in aJ

l[8V]Rr' ât: an .

oV]·

l an - -;

(71)

La fel, utHizfnd expresia operatorului lui Laplace în sistemul de coordonate polare cu cen·t rul in M 0 rt 191 : . . .

u

···ele demon"trate este egal cu cp (M), şi astfel, funcţia U1 , (M), determmată prm ~ormula (55). ve;ifică ecuaţia (54). Luind tn considerare faptul c~ G (M; N) este egală cu zero daeă ~J.se g:\s.eş~e ~p~ suprafata S, ved~::m, pe baza lut (551)t că Ut(M) verifkă~ pe s. condxţul la lmuta.

(x,

t) = V

t, tnsemnăm prin simbolul (oo] funcţia care se obtine din (J) (t) prin tnlocuirea lui 1 prin t :_ ~ , 'adică [cu] == (J) ( t ._ ~ (J)

de M, tn tot interiorul lui D, \şi avlnd

~" · ''ormă

z,

U (M,

-

distanţa de la. punct.ul variabil pe S, la pul?-c~~l

Y~

sau, pe scurt.

Dacă

_ •.~ ~s~ cp (N) G (M; N) dv,.

(68)

2

Presupunem că funcţia V(M: t) este continuă i.mpreună cu derivatele ei pînă la ordinu]·ai doi1ea, fn uomeniul D mărginit de suprafaţa S, pentru l > O. Fie M un punct fix oarecare tn interiorul lui D. însemnăm cu r distanta r = M M de !a0 0 Mn la punctul variabil .M. Aplicăm formula generală (9)1a funcţia:

2n[J. (N). ·;

cu int~grul~ (55), integrala

u1 (M)-=

= -

ot

lui Poisson:

~ V(M) = -

0;1 (M)

Aşadar, formula (551 ) detumini1 soluţia ecua(iel (54), care VtorificiJ. cnndifia la limiltJ. Valorile limită ale soluţiei (5."l1 ), care se obţin ca valori ale intcgralei din dreapta, rfnd punctul (x, y,z) st• găseşte pe S, depind tie cp (.r, y. z). Să observăm

o

2

u 2 au 1 8 ( sin AU=-+--+---~ 2 r

8r2

:li'

...

eŞi, ţinînd seamă

... .

aaur =

rte faptul

ar

1'

sin· .

a ae

J

'':

au) + -----i 8u 6ae 1'2 sin2 6 ocp2 2

1• • • • • •

că

ţ~ [~'~J; ai*=[~;}; ~:, =[~';]; d=

[:vr] V

1. [.a~vt ].•;. B U·..· ..;" [Pf)rV. .] ~ ·~a. [âOliJrV] +..!at [o'V ]' i)i 2

2

-a

V

o/A .

.

.

..

2

2

.

2

"

643

!l u

Tnsă.

~-)yt A~ a; V -~ 21 .âm-V 1 . + ~;1 ~-A-a'il Vti -~ --·· ~-;

2

-"=

Introducind-o pe aceasta şi expresia (71) în membrul al doilea al ecuaţiei ,\J) şi ţinînd seamă că U (M0 , l)= V (M0 , l). deoarece în punctul M 0 avem r =O~ •obtinem formula lui Kirchhoff :

iL\ vJ -- ;

tn virtutea lui (68), avem

[ 6. VI = -

__1

a2

. V (lY.lo, 1)

[a-_-v]· . . 2

şt,

(Jt2

pnn urmare :

= -1

~~

47t (S)

a + - [a--- - --1-. an

{. 1 · v -, r ()n

Această formulă exp.rimă

1 v] ar - i)t .

ar

a( ~ )l dS. an 1

[V) ---··-

av ŞI. pe V (M 0 , l) prin valorile întîrziate V, ··ât

(74)

av •

-

i)n

pe suprafaţa (S). Jn cazul de faţă, ca şi în formula (9) pentru funcţiile ar-,

Se

m·ată, fărit

dil'icultate,

monice,

prezenţa lui aV

nu permite aplicarea formulei (74) direct, pentru re-

i)n

că ('7"!,1

zolvm·ea problemelor relative la ecuaţia undelor. Formula (74), dată de Kirch-hoff, este strins legată de principiul lui Huyghens. Să presupunem că (S) este o sferă cu eentrul în M 0 şi cu rază r. în acest caz.

:?._ = ,.E_ , şi

-Bn

formula (74) se scrie :

fjr

e:;.tc divergenta unui veetor :

v·l ...du~-,_, ,. 1n r). l..

• Jf --2 f --_ fJ drv

,.

) a

Ll)t

V (M 0 , l) """

('7~i)

g1

_1_:_

4r.r2

1

f ( {. r l!)__.-~ 1 + .!.'_ r·§._l(J -+-

·sau; punînd dS ="' r·2 sin 6 d6 dep tntN·ldevăr. avem

:formula 11121: ..,.

In

(~azul

rwstru, 1 "."" -;

V(M0 ; t)

..,;-

~

div (fA)=

f divA-+· grad /·A.

-~-~], şll ~

după

-~ l 4~

=

gt·ad (ltl r) esto vectorul de lungime ~

raza vect·oare d'm .M.o· Produsul scalar

o_ ~

rad

_f •

A este produsul

f'

{V]

a. ()l

l dS, J

r 2 d(J) :

~ J[---o(r V) 1dc.v . + -.r- ~ ~ r· -,1 V J dc.u.

at

4~a

âr

\8)

-

1

..c.-, dirijat

=

or

]] (8)

(75)

(8)

Dacă luăm 1·aza sferei r = al, atunci t ---- !_ = O, adici'i valoarea îna Urziată se reduce la valoarea funcţiei pentru t == O, şi formula (75) dă formula lui Poisson (81) din [181], care rezolvă problema relativă la propagarea oscilaţiilor in spaţiul nemărginit, pentru condiţii iniţiale date :

tA l prin proîecţia lui grad f pe dire<:ţia 1, adică prin derivatn lui f după d.ir~cţia ~

vedorulni A.

.

Aşadar,

vom avea:

.2 [a v ~~ t

div a

- _ grAd ln

âl _

t'

vl L\

\1 = 2\. -aJ

a _ ât_

Comparînd cu (72) şi derivlnd pe ·t~l

ât

după

2 a [a

1

v ·_· In r\+ ~---~- '.. -.,. : ar fjr .. {#. ·. regula

derlvării [uncţiilor com:

nuse demonstrăm exactitatea formulei (73). Aplicînd apoi teorema &ui Ostro · v

~

1dr

av

· 1·Icelt:... zero arata~ ca~ treb u1e · sa-1 ~ · 1u ăm pe 'nnd.e mc

•

r

p1.~nt.ru

t

=-·z

o, uu:· · m · t e-

grarea este extinsă la sfera cu centrul tn M 0 şi·. raza al. Formula lui Kirchhoff (74) este strins legată de noţiunea de potential tnttrziat. Am văzut mai sus. că oricum am alege funcţia ro (t), .r.vtnd derivate continui pînă la ordinul al doilea, funcţ:ia

.

.c'radski şi tintnd seamă de faptul că gradn Un r) = - d- 'obţmem :

"'

· ,,·,

şt

fjt

1

n

----- (!.)

r

(77)

este o soluţie a ecuaţiei (68). Aici ,. este distanţa de l~it un punct fb.:, arbH.1·~rri din la punctul VRriabil [175].

spaţiu,

64:4

645

orice

Analog cu cele precedente, se poate obţine formuh! lui Kirchhoff şi pentru a ecuaţie] neomogene a undelor :

soluţ.ie

()2V

-

=

a2 A V

+ f (x~

!h z~ t)

(78}

·' i)t2

· tn domeniul D, faţă, şi

:0

şi această formulă

va

conţine

afară

tn

de o

integrală

de supr;,)-

poate depinde de timpul t. Dacă temperatu.ra ~mp.rafetei nu este fixă, însă există :radiatie în mediul înconjurător~ ~tunci.. conform legii lui Newton - 'care de fapt este (ieparte · de a (i: t~xactă -- ~luxul de căldură prin suprafaţa (S) este proporţio~ n_a.l cu diferenţa de temperatură dintre spaţiul înconjurător ŞI suprafaţa corpului (S). Aceasta dă condiţia la limită:

integrală triplă:

.

!\

a -1)

(pe S),

[a v] +ar1-[a-i)tv]- -an ar- [ V ]i)n-(r- } dS+ .,

. 1 ~~{ 1 V(M 6 ·;i)="41t' r i)n (8}

1

+ - -2 (.f ( lLL dv. 4na

.,

JJ

1'

})

.. Aplicînd această formulă sferei cu centrul in M 0 şi cu raza at, pentru soluţia care satisface condiţiile. iniţiale nule, pentru i :::" O, obţinem formula (91) din [174).

unde eoeficientul de p1·oporţio:nalitate h se nu:meşte coeficientul I!Onductibilitătii termice exterioare. În cazui propagării căldurii într-un corp de dimensiuni Hniare, de exemplu, o bară omogenă fixă, pe care o socotim aşte:r~ută de-alungul axei OX, vorn avea, î.n lonul eeuaţiei (lh. ecuaţu1:

au a:.: v ·--·=a2 ·--· 2

căldurii

,:

intr-un mediu

(5)

fj:r

[}t

§ 5. E{:UA'fiA cALDURII

203. Ecuatii fundamentale. Ecuatia omogen este, 'după cum am· văzut;

(4)

ln această ·ecuaţie nu se ţine, fireşte, seama de schimbul: d.e căldură dintre suprafaţa harei şi spaţiul înconjurător.. :" , .. ~e poate obţine ecuaţia (5) din ecuaţia (1), presupunînd că V nu depinde de y şi .z~ Condiţia iniţială., în cazul barci, este:

(1)

uJ. : :.- : f(x).

(6)

t-o

unde

a=f~·

(2)

conductibilităţii termice inte:rioare, y-căl· dura ~pecifică a . subs~anţei şi f-:-densit~t.ea .. !~ ~fară de! ecuaţia (1), trebuie să ţmem seama de condz,ţ~a ~n~ţ1-ala care dă di~trihulia iniţială_. ,a temperaturii pentru t = O:

k este coeficientul

ul. e-o =

f(x, y,

z).

(3}

Dacă corpul este mărginit de suprafaţa S, atunci vom avea. pe aceal'tă suprafaţă, şi o condiţie la limită, ca!e poate a~ea . forme eli ferite, după împrejurări. Aşa, de exemplu, suprafaţa S poate fi m~nţinută la o temperatură. ~numit~, ~~re se poat~

.schimba cu tu:npul. În. acest caz, cond1ţ1a la. hm1ta s~ redu~e l·la cun(Jaşterea ·unei funcţii U pe suprafa_ţa (S), 1ar ac.easta fun.cţn~

hara· este· mărginită, atunci la ambele e:xtrtnriităti condiţii la limită. Ca şi mai sus~ extremitatea 'poate ff menţinută la o anumită temperatură determinată. În; ca:zu.r rad.iaţiei, condiţia la limită (4) va avea forma: ' 1 ·1 Dacă

av·em

au

:âx

·

i- h.(U-

U0)

=

..

O (la extremitate);

(7)

se:mnul ( --) are loc pentru extremitatea din stînga, avind. abscisa, minimă x, iar semnul ( +) pentru extremitatea din dreapta."; h est.e o eonstantă pozitivă. 204. Bali·a ncnBărginiiă. Începem cu bara nemărginită, pentru ("!are, afară de ecuaţia (5), mai trebuie satisfăcută numai con~ di.ţia iniţială (6). După. metoda lui Fourier, vom căuta iu primul rind. o E
T (t) .X (x), 647

<~eea ee dă

T' (t) X (x) = a2 T (t) X" (x)

·vedem

că

se poate satisface

sau X" ( x)

a 2 T (t)

X (x)

'>-

A ('A)

+ f..2a2 T (t) =

T'(t)

O;

X" (x)

+ J.:" X (x) =

O,

(8)

de unde, lăsînd la o parte factorul constant din exp1·esia lui T (t), avem : ·

T (t)

2

=e-t.2a t ,

= ~};; ~

~ e- i-

+oo

+lXI

+oo ·U ( x,

t) =--:::

~

·:};

f (;) d~ ~

--·- oo

azt

[A (A.) cos Ax-+· B ('A) sin AX] d)...

(9)-

- · ctj

u!

t~ o

~ f(x)

+oo

J

[A(J..) cos Ax

+ B (A) sin AX] d),.

~ :ŞI~

pdn

f(x)

=

+- (J 2n-

+oo

L~

-oo

+oo

[cos Ax

~

-oo

00

a:,

l

--n-

+

e- ;t~ a~ t cos A( ;, -- x) dJ..,

(11)

()

după

e

___ ct2 ).,2

cos

(ji~

'

v-

~~

2

dA. =-= __,5. e -- •!az· 2et

u1·mare~

-
+

Jf j("') · ; d"'.; J(

unde am utilizat proprietatea de paritate în raport cu A a func·· de sub semnul integral. ' . ~ormula (11) dă soluţia problemei, dar poate fi simplifiCata. Pentru aceasta, este suficient să observăm că [81] :

(10),

Comparînd integrala din membrul al doilea cu formula. lui Fourier. relativă la funcţia f(x) :

m

CA)

ţiei

":

= (

---

00

--Cl'J

-rT>

Aplicînd formula derivării sub semnul integrală definită. ne convingem imediat că funcţia de mai sus este într-adevăr· o soluţie a ecuaţiei (5). Trecem acum la condiţia iniţială (6), care ne dă

+ro

2

+ B (A) sin Ax],

+ctj

e -- J.,z a~Jt [cos A~ cos A.x+ sin J.!; sin AX] d'A

+oo

...--~

toate valorile lui A sînt echivalente. Din această cauză, este, natural să înlocuim suma printr-o integrală în raport cu para-metrul A, de la (- ~ ), la ( -l·- oo) adică: 2

= -2~ ~ f {~) sin A.ţ dE,.

·-ce

1 = ~;

~ e-'-

B {'A)

=~ ~. ~ /(~) dţ ~ 8-l.taqcos A (;--x)dJ.=--=

(/.)

u (x, t) =

f(;) cos ).ţ d~,

Introducînd în. (9) expresiile obţinute pentru A (/..) şi B (A.)

X (x) =A cos AX+ B sin AX;

[A (A) cos AX

ast

facem

·'obţinem:

aici constantele A şi B pot depinde de A. Deoarece nu avem condiţii la limită, paramet1·ul A 1·ămîne· arbitrar şi, la formarea funcţiei u ( x, t) sub formă de sumă"' 2

dacă

··- 00

unde A,2 este o constantă. Avem deci, pe această cale :

648

(10),

+oo

T' (l)

----=--=-A"',

=

condiţia

~

e

--

~..~ 1},2 t

f1

,...

cos A (.;; ___;_ x) d"A ::;;:: --·------- e 2a

0

.. ~..:..~:~.: 4

a~t ,

V":rt:i

care formula (Il) ia forma: + (ţ -:ll;)l! 1 u. (x, t) =--= ~ f(~) - _ e-- "4-a:rT d~. 00

Cf)

d/.. ( j(;) cos)~(; - .x) d~

J

f(;j cos A~ d; +sin Ax

+•

=

~ f(~) sin A~ d;j dA,

-~

_ co

(12)

2a ~ n-t

Sub această înfăţişare, soluţia are o interpreta:te fizică im·· Observăm, mai bitii, că funcţia

portantă.

'(13)

c o:nsidei:ată ca funcţie de (x, t), este, de a~emenea., o soluţie ~i e cuaţiei (5), ceea ce reiese limpede din însuşi procedeul prin care a fost ob-ţinută, şi se poate verifica prin derivare directă. Dar care este serisul fizic al acestei soluţii? Izolăm, în jurul punctului x , elementul de bază (x-.-a~ x0 +~) §Î presupunem că fu.ncţia f( x) este egală cu zero înafara acestui i'nte rval (x0 -8, x,)+;)) şi are va.loa:rea constantă U 0 în interi01·u] lui. Din punct de vedere fizic, ne putem închipui că, în momentu:~ iniţial, am dat acestui element cantitatea de căldură Q-.:2 )c p U0" care a provocat ridicarea tempera turii cu U) în acest intervaL În momentele următoare, distribuţia temperaturii în had; este dată de fo:rm.u.la (12), care în acest caz ia form.a :

distribuim pe elementul infinitezi:rnaJ punct, cantitatea de căldură :

=

dQ

cpfC)

din junll acest 1d:

d~~

:au, ceea ce este acelaşi lucru, să aşezăm in punctul ţ sursa lins~~ntanee de că.Idură de tensiune dQ; distribuţia tempera-' huu, cauzată de această sursă, va fi, după fo.rmula (13) ~

f (-.

~)

d!:c"

"1

v·;;i

----

. 2a

e -·

(~- X)f -=--~ 2 ..-

4a t

.

Acţiunea totală a temperatul'Îi iniţiale f(~) în toate punctele barei se obţine prin însumarea acţiunilor elementelor separate, <~eea ce dă soluţia (12) obţinută mai sus : (~-O~)~

uo

tl

Dacă facem acum ca 8 să tindă către zero, adică dacă fH'e~upunem că aceeaşi cantitate de căldură Q este distribuită p~~ un interval din ce în ce mai 1nic, şi la limită, se comunică harei în punctul x , atunc:i vom avea o sursă instantanee. de J:ăl~ Jură în punctul · x :0:::: x,,, de tensiune Q. Prin prezenţa '·unei asemenea surse de căldură în bară~ se obţine· diRtl·i.buţia tem·'Pe!a tu.rilor, după. formula: ·

d~,

(x, t)

= (

J

f(~)

___ !-::::. e- -4;i2f___. il~. 2a

Vrcl

..

Deoa:r.ece+

t)

= \f

1!; ·-- ~)~

(ţ) ·-;;-·!y:::. e ··- ··-

"'

... a t 11:f

4(J

2

t ·•

il~.

Dacă luăm pe t oricît de apropiat voim de O, şi pe

(14)

x m·icît

d.e mare voim, adică, dacă luăm în considerare pe bară, la un

o

după

Ol:s

u, ( x,

.

lim. 8'7

Să presupunem că, ~n nwmentul iniţial, temperatura f(x) este uula peste tot, afară de un anumit interval ( oc1 , o:~)· în care este pozitivă. lu acest caz, solu-ţia (12) devine : ~

teorema mediei.

E;0 --'~' x,1) ci:nd SI '~---"'· O, şi expresia precedentă devine : Q

1

('P 2a

Y1r-l

--·- . . .-----·-···~ e·-

moment oricît de apropiat de momentul iniţial, un punct oricît de îndepărtat, atunci formula (14) dă pentru lllc (x, t) o valoare pozitivă, deoarece funclia de sub semnul integral este pozitivă. Astfel, din formula (12) :rezultă că propagarea căldurii are loc nu cu o anumită viteză finită, ci instantaneu. Prin aceasta, ecuaţia căldu1·ii se deosebeşte esenţial de ecuaţia coardeî vihra.nte. În cazul propagăriL căldurii în mediul tridimensional nemărginit, obţinem ecuaţia diferenţială (1) şi condiţia u:u.ţială (3) ia:r, în locul formulei (12), soluţia va fi :

(:;,o-··· oo)2 -··-~.a 3~ _, •

u, (x, y, z, t) : : :.-: :

. Aşad·ar, funcţia (13) dă distribuţia temperaturii, condi .. ţionată de sursă instantanee i)e căldurd de tensiune Q ~p, aşezată în momentul iniţial, în punctul x =: ~ al barei (înlocuind pe x(~ prin ţ). Soluţia (12) devine acum evidentă. Pentru a da sec~ ţiunii ~'a hareitemperatura J(;) în momentul iniţial" trebuie s~

=

+

+

+

oo

-

00 -- tliC ,_ QO

~--· ~

'?Z'

tlll

·

,

) ~ f (ţ~ ~' ~) (2;t~~i)3

(~ -m)2+(rl-'11)3+ (ţ --z)~

e-- ··--·-----4"~-ar---~~---- d; d"t) d~. (15):

Să vm·ificăm faptul că func-ţia definită p1·i~ fo:rm~~a (1~) (5) şi condiţia iniţială (6). , Pnma afumaţ1e

·verifică. ecuaţia

rezultă imediat din faptul că funcţia (12) satisface ecuaţia (5)·' şi din posibilitatea de a deriva integrala (12) în raport cu x şi cu t, sub semnul integral, dacă, de exemplu, funcţia f (x) este· continuă şi absolut integrabilă în intervalul (- oo, oo). Pentru a verifica condiţia iniţială (6), introducem în locul lui ţ noua variabilă a, după ·formula:

+

2a

>O.

unde considerăm, desigur, t mula (12) ia forma :

+oo lf,

(x, t) == - 1_

(

J

Vrr.

Mai I'eamintÎJn formula

···.f(x)J< :--s-1-~~

Pe baza

schimbare, for-

(

continuităţii

eă

:

lf(x-!-tJ.2aVi)-f(x))e-rx d(Ă. 2

lui J(x) putem afi1·ma că, pentru orice N, avem :

'~· suficient de apropiat de zero, şi pentru ] Cl l

lJ (x ·+·

După această

·1-N

Vn ·-N J

"

Vi

f(x -1- or.2a v-i) e. Cf.~ det..

şi

, ulthna inegalitate

ct2

dă

:

fi) --

şi~ (m at:i.t

.f(x) l <;: -~ z,

mai Inuh~ +

,;r.,

= -V~ ~

2

e- - o:

<

(16)'·

[78] +

1

lu(x,·t)

= ~ --..:~·--

Ct

t'eieşi

Atuneir din (18) va

(17)',

d(l..

1

u, (x, t) ·· · J (x)

1

OC>

< ~~~3 z +- -~~3 · -i{--~:. ( vn J

e .. v.~ d(J.,

-- 00

O

în.rnulţim Cll

şi

f(x)

-+' co

u (x, t) -- J(x)

=-=:

adică, pe baza lui . (17), avem. 1(u (x, t) -- f(x) 1 -:<:.;: € rpentru orice t suficient de apropiat de zero, de unde z fiind. arbitrar,

o scădem din (16) :

v; 1

,--

.

[f(x . +- or.2n) t)- f(x):e

__ " o:t

Iim u (x, t) =

d.e unde '

1u (x,)) - f(x) 1-< ·v~~ ~ lf(x -+ a2a Vi) - f(x) 1e·-- ~~ drx.

(18), .... 00

-00

În afară de faptul că funcţiaf(x) este continuă şi absolut integrabilă, vom mai presupune că f\x) este mărginită, adică !f(x) ! c, astfel că pentru x, t şi tX, arbitrari, avem:

<

Fi~

8

·+ rl2a Vt) -- f(x) l <. 2c.

un număr,. p~zitiv dat. Putern alege

atlt d.e mare, 1nc1t

un număr pozitiv 1Y

··-- 00

eau, după (17), avem m-< u (x, t) M·, (m alte cuvinte, temperatura u(x, t), pentru orice 1 pozitiv, este cuprinsă între aceleaşi margini ca şi temperatura iniţială. La fel ca mai sus poate fi verificată şi formula (15). 205. Bara mărginită la o extremitate. Să presupunem că extremitatea est(~ x :" O; admitem <:,ă la această extremitate există radiaţie în mediul înconjurător elll temperatura O. 1.n acest caz, afară de condiţia iniţială (6), condiţia la limită este ....-

i)u

aX

652

(x),

ceea ce reprezintă condiţia inţială (6). Observăm că t tinde către zero prin valori pozitive. Dacă m şi M sînt marginile valorilor lui! J(x)~ adică m <.f(x)-<: .M, atunci din (16) urmează:

.J

ljf(x

f

1.7+0

drx,

1 IU

=

•~

{r

hu 1 al.= 0

(19)

.

şi, pe de altă parte. soluţia (12) nu y;oate ser~i direct~ deoarece. tn virtutea condiţiei f (x) este definită numai in intervalul (0, oo ). Prin urmare. pentru aplicarea formulei (12) trebuie prelungită funcţia f (x) tn intervalul (- oo, 0). · în acest scop, transc.riem formula (12) sub forma:

iniţiale, funcţia de sub semnul integral

_

00

ti (x

10

= .--=-- ( [ f (~) e 1

t)

2aV -:el

J

(al-~ .2

4

+ 1 (-'- ~) e -·

4

aat · ]

Sâ presupunem dl. f (x) este pr~l,u~1gită (~a O):·' Atnnr.L evident, . . . . ..

funcţie (~ontin~a.

h.i intervalul

!)C;

•1 ( + O)·".-~.· 1 { -- 0)'·"_.".. 1 (O) şi

(re+ţ)li

aat

( .:._

d~,

(20)

o eeea ee se poate

arăta uşor descompunînd pe

!

+oo

o

~- şi

în

+ oo

! şi

tnlocuind fn prima

- oo -oo o pe ~ cu (- ~). Pentru substihdre tu formula (19), calculăm : 00

au

=

~(

[

1 (~) ţ

2aV 'lt'l )

f)x

- X; 2a 2l

..

~

(19) devine --~

00

;/y;;d

e

""' { U' (;}

P.

em·t~ e~tc

cu

f'(.. ,s,~m.

'·• _r_ 2

4a

t [/ (~)

+ f( _

~

:1:=0

o

lntegrtnd pdn

părţi,

lt<'l + 1<-

~ll }d!;= o,.

<)) ( ~)

.

~)+ /'(~)

=

h [f(- ~)

+ /(~))

făcînd_ deoc:a:rndată

~)] d~; ,se

(]ul ax

!;)] - h punem

siguranţă satisfăcută dacă

- O, deducem :

00

+ 1' <-·

o

o Pentru

condi~ia

= 1(-

~)

-»' (~) =

;

deter~nină funcţia necunoscută <1> (~),

el>'(;)

lnt.egrtnd

prin

-· 1' (-

~),

ecuaţia diferimţială

+ h q) (~) = 1' (~) -- hf (~).

această ec\ia:ţie~ •avem

. ;

avem 1) :

cJ>

(~) = e·--h~

{c + ~ e'•'S rr (;) ·-- hf (~)l dţ}. o

f

('ţ)

d (e

-

:Fac;Jiii :ţ.

4':

~"' O" df}te:rmin.ăm ·(:onstanta C

+

~/'(~)·

-- .!:. 4a2t

00

d~ = f(+ O)

o şi

+

)r

··-L (~)

e

(alt

d~.

şi,

=

C

~

el>' (O) ~ ! (0),

rleoarece

o

tot la fel. :. 00

~~ (- ~)·

urme-H.ză că

o ~)

654

se. presupune că re

1 (-

-- J:... (aSI

ţ)-.

J ~

cp

(~) =" 1 (~) -· 2h~ ···:-h~ e'~~ 1 (~) d~. o

f (~)

...-+

o

pentru ~

--)>

1IJ .

Substituî~d această expresie pentru f(...,... ţ) în formula (20), obţin~m soluţl$11

definitivă

'a probleme:L Observăm că din ultfma formulă decurge" pentru ~ -7

+ O&

655

O) ,,_.= f ( + 0), adică prelungirea continuă a funcţiei 1 (x), supus-o mai sus. Dacă, de exemplu, temperatura iniţială este constantă:

1 (-

t (x) =

x ~

pentru

ui)

aşa ·~um

am pre.

'8i. dacă

.li.,

o.

= f (x) =""

u11 ,,

t=O

-ea devine

.atunci avem 00

f (----

;t:} """'

u0

".,h --ltx ... e

-

J( u

11

e.'''~ ci :t~

"""....

u0 ('>..,e -h:r.

Al

,, . 4;.

' +

o şi

(~--ro)S

oo

u

.

~ e-

Uo ( :t, t) "'""'' ---='

2a Vnt

·

4a.2 t

d!:c." _

oo (~-t-x)! oo . (~-!-ro)! ~· e·-·- "4li2T dt:c,. .:., 2 ~ e--- . ~an

o

.

2

df_,

~"" Uo e(2a~t )·

(25)

il;

. .

-·h$

,.

1

-- 2a

·

dt:. , «2p c." \ ,

{

o

Vt·.

J e--~

= ·;:;;

u (X, t)

dă

formula (20)

2a

o

.

Vt

Să con.~iderăm acum bara mărginită la una din extremităţi x 'la o ternperalura dală U = (j) (t).

=

O, şi menţinută

.Admitem mai tntti, că temperatura iniţială. este zero, adică

Cititorul va arăta fără greutate că această soluţie poate fi exprimată prin funeţ.ia

ul

m

=O,

(26)

:t=O

e (x> =V~~ e~-w~ dx,

·şi

începem cu cazul particular cp (t)

=

1, adică

o sub form
c~

Ilo

0 (

~'V-r)+ "o

,-+••t -

0 ( .2aXVI

+ ah

ul

rt)J

Se obţine un rezultatmai simplu, dacă la extremitatea x =.O lips~~te ra{~ia~.i:~ extremitate se menţine la temperatura O. Avem atunci cond1ţ1a la hmtta

·t

"'"'

(:.>.:~)

O,

re=O

care se poate obţine şi din (19), diviztn(J. cu h. şi apoi trecînd la limi!ă pentru. h ~+ ..oo. Soluţia poate fi obţinută din formula (22), pentru It -? oo, însa este ma1 s1mplu să procedăm direct prelungind funcţ.ia J (x) în interYalul ( ···-· oo, 0), astfel tndt si4 fie satisfăcută ('Ondiţia ·

U=v+1; funcţia v va fi de asemenea o soluţie a ecuaţiei (5), dar va tt·ebni să vedfiee condiţiile

vi'

f)

(x

''

ce se

întîmplă dacă

facem

f ( ~- !;) = -- f (~), prelungim pe f (:r) în mod impar. Formula (20) ia atunci forma ·

.

(~;,

t)

::~~

1

00

(

-·2a V1tl J f (~)

t --- ('C-·~)2

--

e

(--=-) l'T

~X-1-~)~j

.--4a2t -

f

t) =

2a

şi

u (x, t)

=

1 -- 0

= --

l ;

(~) · 2a Vt

t28)

Să determinăm acum distribuţia temperaturii, dacă la extremit~tea X = O temperatura s-a menţinut egală cu zero pînă in momentul T, şi apoi s-a menţinut -egală cu 1. Această distribuţie o tn·semnăm prin u,. (x, t). Evident că pînă in momentul t = T, vom avea u't = O; după care u .. coincide cu soluţia pe care am obţinut-o mai sus dacă n_u se începe şocotirea timpului de la Ot ci de la -r., adică ·dacă inlocuim în expresia (28) l prin t - 't', ceea ce ne dă ·

adică dacă

ll

=O z=O

:;aşa că ea se obţine, deodată, prin formula (~:l), în care facem u0

.. ;,. r:

t~eea

(2'7)

Se obţine uşor soluţia ecuaţiei (5), care verifică condiţiile (26) şi (27). Pentru .aceasta, facem

şt această

!u

= 1. ~=O

--·

e

'-ta~t.

o :df.,.

u.,. (x, l) = . ; .1.

{

9

1~.

pentru

e (-·---..:..x .) · 2a

Vt __::,"

pentru

Curg de Mutematiei superimtre.

.657

Jnsă,'în acest caz, este evident că, dacă la extremitatea X=O, tempe1:atura ;,

6-a menţinut numai .tn intervalul de timp ("t'~ "t' + d"t'), iar tn tot restul tjm·pului a fost zero. atunci distribuţia corespunzătoare a temperaturilor va fi : u~ (x~ l) --- u-t+ă"t' (x9 t) dacă însă ea s-a menţinut în intervalul ("C'. atunci avem soluţia:

...

~u6 Ba1·a m~ · · ~ 1a· a:mbele extt·emităti. Să. cercetăm , '-' d. • . aT.g:t~Itu '~nu1 ln cazurile tipiCe cînd la extremitatea • temperatura 0_ ' X = 0 se menţine

au':

= - --;);" d":; 't'

+

(30)

d'l:) la temperatu:no~ tp('t'~, şi rm .l.

la extremita.tea x=l căldura se iradiaza" ~'il'.n mediul··î:nconjurător:

:: '·-• - -huL ,

au"

--

f)"t'

tem.peratura

inţială

(31)

este

~e unde, evident că, dacă extremitatea x = O este menţinută la temperatur O, atunci obţinem efectul total pentru variaţia lui 't' de la (; la t. adunind toaţ.e efede~e elementare. ceea ,·e· ne dă soluţia problemei. sub forma :

(32) Ace~stă problemă se rezolvă foal'te simplu prin metoda tui Four1er. ~eoar~ce aici avem conditiile la limită, .supunem soluţia gas1ta mai sus, ~ '#

sau~

deoarece pentru t

> "t' a·vem :

•

e ·-Â%2t

·

X ( ) .

=

x

-1.2a3t

e

[A cos Âx

condiţiilor (30) şi (31),. ceea ce dă : X (O) = O, adică A

= o;

+ B sin A.xj.

(3 3 )

.

X' (l) = --· h.X'(l),

de 11nde deducem~, xn " 1a t unn.u-'li .t>Aactorul ,,ons "" "'... .a:nt B , A

X (x) ::.-: sin AX

(34)

şi obţinem.

1n definitiv, li (x, t)

= ···- h sin "A l.

A cos A. l , .

=

-v2a nX

"

~•

f9 ('t') 3/2 (t- -;) .

oti

e

- "'2if'·-) !la

'--r d.'-r;.

(29)

o

Făcînd "Al= ''~, o ht• _.Ine~

tg V =

lXV

(35)

ecuaţia transcendentă

unde

tX=

1 hi

Pentru a obţine soluţia care, :in afară de condiţia la limvtft

(36)

Această ecuatie d· •t · r . . 14,3) d, t . 'I ... a ~u e o .In Initate de rădăcini reale (f" ., .In re care uam In considerare numai rădăcinile pozitiv:g;

nu satisface condiţia (26). ci condilia ·iniţială de formă geiH~rală u

j

v2, va,. .• ,

v,"...

(37)

At~estor rădăcini le corespund o infinitate de valori A. :

= 1(x),

t=G

evident este suficient si( adăugăm soluţiei (29), :Sohtţia obţinuti~ rrwi sus (24).

'658

vi, .

.,

.,

A~,,.:,

und.e

(38)

iar lo:r, imfinitatea de soluţii particulare ale ecuaţiei (5)

B" e-A.~a~~e sin A.,.x

Integrînd prima integrală JlrÎn pă1·ţi, obţinem :

x:n (l) Xn (l) -- x:~ (l) Xm (l) +- X~ (O) Xm (O) ·

(n = 1., 2, 3, · · .),

care verifică condiţiile la limită.

v..m

J!

l i )l !

1

1

J

·-

Jl

+ (P.;I --- A!)~ Xm (x) }(n (x) dx ===-~ 0.

Xn (0)

(41)

o

Însă, Xm (x) şi X,n (x) satisfac condiţiile la limită. (30) şi (31),

1 )!

adică

!

l

X-~ (0)

li

Pe baza acestm· egalităţi, termenul din afara integralei din 1·elaţia (41) este nul şi, ţinînd seamă că ),~, --- /,;, 7:f:: O, pentru m şi n diferiţi, obţinem :

'

l

Fig. 143,

· f'ace con d'1ţn "le IDI · "t" Pentru a satls ,Ia· l e, căutăm , .. pe .

JJ,

~ xm (x) x!l (x) dx

sub fol"ma : (39)

=

o

pentru

m

*

Il.

\)

Stabilind ortogonalitatea, ne convingem~ prin metoda obişnuită, că în dezvoltarea (40) coeficienţii Bn se determină prin formula :

ŞI

pentru t ::."· O avem. : u;

j

==:::=

tt-.~o

J (x}

=·==

t

oc

Bn sin 1\nx

=

n•=1

ll B"' X,. (x), n=1

. ~1·,~ X'• Sa" unde am. pus X n ( x ) = Sin - arătăm că funcţiile xn (x) sînt ortogonale. .., . .. d".e t" ]e coresScriem pentru doua d1n ele ecuaţu1e .11eren ,Ia· punzătoare (8) :

x:~ (x)

X~ (x)

+ ),! X,. (x) = o. d Î:p.mulţim pri~a cu X.n ( x ) , a oua cu. X m (x) ' scădem rezultatele şi integram în Intervalul (0, l) · +

Â;n Xm (x)

=

o,

l

~ [x:~ (x) X,. (x) --X~ (x) Xm (x)] dx

+

,Q

6HO

~= ~ f(x) ()

Xn (x) dx

~X~ (:~)dx. o

Aceasta 1·ezolvă problema dezvoltăl'ii funcţiei f (x) după x11 (x), şi cu aceasta, dă soluţia problemei, sub forma seriei (39). În volumul IV vom arăta că sistemul de funcţii Xn ( x), care se obţin, ca mai sus, în urma aplicării metodei lui Fourier la problemele tipice ale fizicii matematice, este uu sistem închis şi că în anumite ipoteze relative la funcţia f(x), această funcţie se dezvoltă, în intervalul de. bază, în serie uniform convergentă după funcţiile Xn (x). Observăm că, dacă în locul condiţiilor la limită (30) şi (31), am lua condiţiile la limită funcţiile

U

=

0 pentru

X=

0 ŞÎ

X

= l, atunci am obţine Xn ( x) = sin

1}7

X

şi am. cădea peste seria Fourier de sinuşi obişnuită.

l

~·· (A.!, -·~- A!)~· x·m (x) Xn (x) dx

Bn

(40)

= O.

În studiul propagării căldurii într-un inel, în loc de condiţii la limită trebuie pusă,, condiţia periodicităţii temperaturii [195]. Considerind raza' inelului egală ~u unitatea, astfel că lungimea

661

sa totală este 2it şi însemnînd prin x lungimea inelului, de la un punct fix, obţinem o soluţie de forma :

socotit~i

In cazul unei plăci dreptunghiulare, avem so1uţil;l (4f)}

in car~ am pus Ja exponent

pentru a putea folosi fommJele fl.in ll77J Presupu ~em ca_ ~ondiţia la limită este u = O, pe (C) -conturul plăcU dreptun;hiuiare .. ŞI ~o!ld1ţ.1a lniţ.ială este u == <:p1· (x. y) pentru t = O. Solut.ia se ·pr".z'··1 n 1 ·ă ~ul f · ~ se·r1e1 .: ~ · " · ~. ., ) -orm'-1 CAl 11

an de 2

00

+ ~ (a~ cos nx + bn sin nx)

·~

a

U.=

a,-r

e

---- (1)

...

t

·

'trcq

a. · sin --·· sin --·· , l m

n-1

este seria :Fourier a

distl'ihuţiei iniţiale

a temperaturii, f(x).

Să considerăm. ec1urţia căldurii generalizată

207. Obse:rvntii suplimentare.

unde w!,'f se determină prin formula mulă (114).

cr,-.

· pnn

px·hn-~

"'

f>nr .

ctm,n e

·+·

n-o

m-1 co '

"\"''

~ k,J. f3n~,ne

e-ct u.

--- (1):2;

m. ,71

t .

sm

ne J'f!l,

(k:::)J'),

n= 1 ·m~"l

(Ju

i)t

-

·-- a

2

i)

2

ll

i)x2

+' F ( Xr t),

{4:3)

in cazul barei nemărginite şi tempe.raturil iniţiale nule, adică pentru condiţia u = O, cind t = o. are soluţia t +<»

= ( (

JJ o

t ,n,n. cos n6 Jfll. (k~~>r)

--'002

= 2:."

neomogenă

u(x, t)

a

QQ

~

~are se ohtine dară ţinem seama de :radiatia de pe întreaga suprafrrţă a barei în spaţ]ul hu.~~1n.iurător, a cărui temperatură se ia egală cu zero. Se verifică uşor că ecuaţia (42) se transformă to ecuaţia (5), dacă fa.c.em

Ecuatia

··a··A 1

În cazul pMdi drcularc [eL 178]., aceeaşi substituţie f45) dnce la urmiitoaren

u

=

~'t"~"'Yl • • .1

soluţie;

(42)

n

(119)._ din

unde ,or.m,t~ :şi l3m,n se determină prin aceleaşi formule c::~'· -:i il! Şi· 1-'m',n M m,n' după forn:mla (1.28). 208. Cazu) sferei. S x "An para1e 1, r~cuaţ.ia undelor ~'i ecuaţia căl·· , "'1 cons1"derum durii tn cazul sferei : ., (46)

(1;-(li)J

F'

(~,

-c) ___V __!__.:=-=:- e ,w.g (t---"i:l d/;, d1:. 2a re (t - -r)

(44) (47}

--00

Ea ponte fi obţinută sau prin aceeaşi metodă pe care am întrebuinţat-o [174] la ecuaţia neomogenă a undelor, sau prin suprapunerea soluţiei singulare de bază (13), tn care înlocuim pe t prin (t - 't') şi, apoi., înmulţind cu F (1;, 't), inte" grăm tn raport cu ~ de la - oo la oo, şi în raport cu -r de la ··t: ~= O la 't' = t •.

an

+

Sensul fizic al acestor operaţii este evident. Soluţia ecuaţie] (43) se obţine pe tealea suprapunerii surselor rare sint repartizate de•a lungul bm:ei cu intensitatea F (~, 't) şi încep să funcţioneze in momentul -r. Suprapunerea acestor surse se faci' şi în raport cu timpul. Aplicarea metodei lui Fourier la cazul bi sau tridimensional se face exact tn acelaşi mod ca şi pentru ecuaţia undelor, numai că, in aeest ca:~:. factorul car& depinde de. timp este o funcţie exponenţială. Aşa. de exemplu. pentru ecuaţia

au (i)2u azu) ---=a2 --+8t ·ax 8y 2

'

'·

2

.-

co~tsi.del'Îlld (:ă datele îniţhde depind numai de.· •t 1•st·~n·ţ~· ,• sfere "' ·• 1 1

:

,

, a

·

1t-,~o

. = !p1 (r) ;

IJI

au

=

8t

t=O

Condi(iH{~ !a limită le tuăm sub

~ i)r

f)u l --~

"'"'

Cfl:<1

(r) ;

q; (r).

,._. •

l • 1 punctu.ru a

centru~

("!8) (4!)

forma :

O pentru r

. (Jv

ar + h v

'=

t=O

'

::;-=_ .Q

=

R;

pentru r ,..; R.

(50)

(511

663

~~cind kR ,.._."

;"

unde, evident, R este raza sferei şi h > O. In virtutea simetriei faţă de centrul sferei, nici soluţiile nu vor depinde de unghiurile polare şi vor fi funcţii numai de r şi de t. Puntnd u

(Acos wt

:=

ZI

=

-+-

'

2

= ~ • a2 sNnnă. de

,,.2

·

(52)

B sin (l>t) U(r) ;

v(r,l)

aceeaşi ecuaţie

f.i W

+ k'

4

W

=o=z

Ot unde

Condiţia iniţială

(49)

dă

r ~V

depinde numai de r, 1 d l'r2dW) --· r 2 dr

obţ.inem ecuaţia

t

Une

:E 00

~ (r). =

Un

R

2 dW -- + - + k 2 w -"'" o. nouă funcţie

R(r)

Un

=rW

.

prin formula

cos kr r

.

--r-

.,

sin2 knr dr.

o

;r~ectnd ~a. ecuaţia, pentru u, insemnăm, ca şi pînă acum rin k ( - 1 • 3 trebuie să mai ţine~ sead:ă ~i ;idăcl~;1· ca~)etco~e~pu~de .PulsaţteJ
de

+B .'

.

~"' e l - - - -

= ~ r~ (1·) sin knr dr ; ~

~ă~ă~mle pozitive ale ecuaţiei (5~). Aici

(r).

Substituind W (r) = - - 1n ecuaţia pentru W, obţinem pentru R(r) r ·ecuaţia R"(r) + k 2B(r) = o. de unde R (r) = e1 cos kr + C2 "Sin kr şi. prin urmare,

w (r)

sin knr.

R

o

dr

R (r)

(58)

r

. Exact ca in. f20~~' funcţiil~e sin knr sint ortogonale in intervalul (O R) ~i prm urmare, coefiCienţn dezvoltarii (59) se determină prin formulele : ' · '

., • ==~' O +k~w

d2 W

ln locul lui W introducem o

seam· de (55),

n=l

:adică

r

· •·

.:

:

dr

dr2

'~-

-a2k 2 t sin knr n --.

n=l

Exprimînd operatorul lui Laplace 'in eoordonate sferice şi ţinînd faptul

=

(5:1)

Ae--c•) 2tV(r),

ubtinem pentru U (r) şi V(r) una şi

v, vedem că ecuaţiile (56) şi (57) sint în totul analoo. . .. rădăcinile pozitive ale ecuaţiei (56) '~'in :ind oăe ecua ţie.t

(3o ~· Fie k1, k2,. · ·,

obţmem:

u(r, t)

sin kr

=

a6

sinkr· . (UnCOS k ni-!- bnSlll k.",t) - -11- . •

+ b0 t +

r

(,2 - - - - - .

r

Avind in ve.~ere că soluţia trebuie să fie finită î:n cenţrul ~te~·ci~ adie~; pentru 1 .r '-"= O, trebuie să considerăm el = O, şi substitnind 1n (52), obţl.nem· o soluţie de forma:

:;.o

u

~""'

(A cos (•)t

0

=

Constanta k, şi prin urmare w {50)

şi

+

sin kr B sin wl) -·--·------- ;

r

A e-c.>zt ..::~in kr -· r

=

(54)

·-t-

a6 r

'E

afl. sin k 11r

00

(55)

uk, se determină din condiţ.iile la Jimită

:

r
=

b0 r

+~

knbcn sin

k,~ r.

n=l

Tintnd' seamă ~e ecuaţia (57) se verifică uşor că funcţiile sink r slnl ord~oşonale nu numai între ele, dar şi cu funcţia r, tn ,intervalul "'(() a~

.m

(56)

R

1

r sin

Pentru h =,, O. ajungem la ecuaţ.ia pe care o obţinem din condiţia la Umilă (50):

tgkR "'·'" kl~·.

=

'lt=l

(51).

sin kr A doua din ele aplicată la - - , dă ecuaţia următoare pentru k : r kR tgkR = - - - · 1. -hR

r
(57)

o

k'~'~~ rdr ~,_.~

o

şi ~

. ~

sin k~r sin k"'r dr

=

interiorul lui H sa î • • in acest caz a. un e: fa Jnterwrul . laturii PQ, şi să arătăm că punctul în ca~e !ste ati:s~ontfaziCere. Fi~,. prin ipoteză, (x', t) ·cu 1\tl. Prin aceasta valo a va oar~a . . maxJma,. c.are este egală .este mai mică de~ît Marea maxima a funclJei u(x, t) pe (l)t Construim noua functi~ v(x, t) în felul următor:,

O, pentru m =:t= n.

o eoe:fiden.ţU din aceste din urmă dezvoltări se calculează după :regula obişmdtă :

!B

.R

a0

= ~ rllcp1(r) dr

:

o

~r

.R

2

dr

o B

a,. """'

=

1~3 ~o '

2

1 (r) dr;

'v(x, t)

R

~ r q>1(r) sin k.11,r dr : ~ o

1}

derată nulă.

209. Teorema unicităţii. Să trecem acum la problema .11nici~ ·. tătii soluti.ei ecuatiei căldurii, cînd sînt date conditia i.nitială şi' condiţiile ·l'a; u·~~tă [cf. 179]. Considerăm prohle~a u~idi~ ecuaţia

8u1

2

8u -=a"at a.r

(60)

9

< <

pentru bara mărginită O x l. Să construim, tn planul xt, domeniul G, mărginit de dreptcle x = O, x = l şi care se găseşte deasupra segmentului O -<: x l al axei x (fig. 144). Mai trasăm şi un segment rectiliniu t = t 0 , t 0 > O, paralel cu axa x. El taie din domeniul G dreptunghiul OAQ P, pe care îl însemnăm prin litera H. Să demonstrăm teorema următoare : Teoremă. Presupunem că funcţia u (x, t) verifică ecuaţia (60) în interiorul lui G şi este continuă inclusiv pe conturul lui G. Atunci, valoarea maximă şi minimă a lui u( x,t) in H este atinsă pe porţiunea (1) a conturului lui H, .formată de laturile OP, OA şi AQ. În demonstraţie ne mărginim să studiem valoarea maximă; demonstraţ.ia va fi făcută prin -reducere la absurd. Presupunem ~~ă cea mai nta:r.e valoare a lui u(x, t) este ~\tinsă, nu pe (l) ci în

-<

(61)

pozitivă,

.Formule atwloge se obţin ş1 prntru coefid:nţii b~1 , Să observăm d pentru = O, avem soluţia v = const. <:are însă nu satisface con~ d.iţia la limită (M), căci prin ipoteză h > O. Ecuatria (46) po8te fi interpretată drept ecuaţia potenţialului vitezei u la vibraţia gazelor. în arest caz, condiţia la limită (50) exprimă faptul că viteza particulelor de gaze, care se găsesc pe suprafaţa sferei, are componenta dirijată d.upă. normala la sferă, egală cu zero. Condiţia la limită (51) pentru ecuaţia că1durii (47) exprimă faptul că supra-~aţa sferei emite radiaţii ln spaţiul înconjurător, a c.ărui temperatură este consi-

adică

- k(t - to),

•

unde k este o cantitate pe care o vom alege imediat. Avem în

sin2 kt;r dr.

dreptun~hiul H:

e(:uaţia ('!7) tn cazul oo

meusio:nală,

= u(x, t)

1

'

u(x, t)
. Pre,.;upunem c.ă v (x t) i 1 • .· C(x t ) d" . . . l l' a va oarea maximă ~ntr-un punct 1' 1. In Intenoru ui H. In punctul C . . . maxim aL func-ţiei v ( ) . . ... . vom avea deci un :[l, 58] : . . x, t ' §1 trehwe sa avem, Îţt: acest punct .

de unde rezultă

sau, în virtutea (61) :

667

Însă, în interio1·ul lui G functia verifică ecuatia (60) şi inegalitatea scrisă duce la inegalit~tea : - k ~P O, c;,ea ce este absurd. Presupunem că v( x,t) îşi atinge valoarea maximă în H, în punctul N (x 1, t 0), situat în interiorul laturii PQ. Consi· d.erînd variaţia funcţiei v(x,t) de-a lungul segmentului N 1 N,

paralel cu axa t, ajunge:m în punctul N la

inegalitatea~

> O,

intl'ucît valorile funcţiei v( x,t) în punctul N uu sînt mai mici decît valorile ei pe· înti·egul segment N 1.N. Considerînd acum variaţia lui v(x,t) de-a lungul lui PQ, ajungem la inegalitatea A2 -~
ax

2

.

'

au

'(3 21!

un maxim. Prin urmare, în punctul N avem ---a2 .(Jx2 >O; f}t

am ajuns, ca şi mai sus, la o cont.razicere~ astfel că teorem.a este" demonstrată. Din această teoremă rezultă imediat că dacă u(x,t) se anu· lează pe tot conturul (1), atunci u(x,t) este nulă ş:l în întregul dr'eptunghi H, şi aceasta duce foarte simplu la teorema unicitătii.

+

A

A

l

.,...?

(- C0 <"X<::: -j- ~).

t"~o = f(x) (O<

X

lx-~o = (J)(t);

U

U \:t=l

=

(t)1

(t).

{62)

Aceste condiţii se reduc la a da funcţiei u(x,t) valori pe contu1·ul G. Considerăm că aceste valori limită reprezintă of/funcţie continuă pe întreg conturul G, inclusiv în punctele ·O şi A, adică w(O) = f(O) şi w1 (0) = f(l). Presupunem că, pentru condiţiile (62), există în interiorul lui G două soluţii u1(x,t) ·şi u (x,t) ale ecuaţiei (60), continui inclusiv pe conturul G. Atunci diferenţa lor u(x,t) = u 1 (x,t)- u (x,t) este o soluţie a ecuaţiei (60) egală cu zero pe întreg conturul G. Din teorema demonstrată mai sus urmează că u este nulă peste tot în interiorul lui G, cu alte cuvinte u1 (x,t) coincide cu u. (x,t). Observăm că. teorema unicităţii se· păstrează dacă nu pretindem continuitatea · lui u( x,t) în punctele O şi A, dar ·pretinde'm· ca funcţia să fie măr ginită în vecinătatea acestor puncte. Atunci nici valorile limită nu trebuie să fie continui în aceste puncte. Pentru hara nemărginită, soluţia este dată de formula {12). Presupunem că funcţia dată f(x) este continuă şi nulă în ~xteriorul segmentului (- b, b), astfel încît

'

Fig. 145.

l'inînd seamă că f( x) = 0 îu exteriorul intervalului (:_b L b) . .. Ducem d d ·: ' -r-. ':' putem ahrma că M > O oua repte x =-= d ŞI x=--d ale înd e d " . mare, încît• pe aceste drepte' să a"b""' 1 • ' 1' g p atit de • . I a oc 1nega Itatea 1 u(x t)i < M' ŞI construim dreptunghiul H. f . . d . ' ' şi dreapta, paralelă cu aceasta~ .aor~at e aceste drepte, axa x f' xa, care trece prin . 1 C (. tg. 145 ) . V alo are a functiei u( x t) în pun t 1 C . pun~tu

·+

V

'Presupunem că afară de ecuaţia (1) mai există condiţiile iniţiale (temperaturile date la extremităţi) : U

Utilizînd aceasta~ .toJ:mu .r. . 1~ t' • a, se arată uşo:r că u(x t) . 0· to~nl In raport cu t, pentru x __".. eo ' . -:;- unJonce e > O dat există un nu . . N saOu x 71-.: co, adiCa pentru d ] ] ......,. N . mar > ' astJ.e Incît 1 u(x t) 1 . / Cin · x ..-;::? ŞI t oarecare · Sa" ara""ta"m c'"'a exista . .., numai ' · ~ ~e: so_1uţ1e c~ această proprie. o Singura .~a.t~, ~aca este dată condiţia t 4 c mlţiala .< ~) · Ca şi mai sus, este suficient să arătăm că u(_x,!) ~a valoarea maximă şi minima pe axa Ox. Demons~ trăm prin reducere la ab?urd. Să presupunem că lt( x,t) Ia valoarea maximă Mîntr-un punct C ( xH tl) unde t -..._ O 1 a d"ICa" j'( x ) < M în intervalul o

A

::,:it:C,1~:~:ie~E_~, P~!u~e~ {llş ta__ co:t:rului 7tfunc-ţia f~:.a':a~:

atinge în dreptunghiul H 1 . - O.. Astfel, u(x,t) . " • • va oarea maximă 8 ' a~ In Intenorul 1Ul H, sau în interiorul laturii . . dar aceasta, ca şi mai sus, dt~ce l:ar;: trece :p~~~ punctul c1 am demonstrat unicitatea solut" .· b~ontr~diCţie. Cu aceasta tatea de . . ,Iei pro . emei, care are proprie·~ . maJ sus, In Ipotezele făcute ·relativ la J(x). . , A

•

+

. +b

u(x~t)

:o-:--:

~--L-.::: 2a hrt

( j

<;-x)l':

J(~) e- ·4""ă2T· d~.

J•""'

()68

669

lNDICE ALFABETIC A.bel, problema lui 256, 283

convergenţa

- sumarea seriilor tn sensul lui 626

Bernoulli, ecuaţia lui 14 - numerele Jui 441 ·Bessel, ecuaţia lui 144 -- funcţia lui 145, 146, 147 -· inegalitatea lui 448, ·452 ib>inormale 384, 388 Buniacovski, inegalitatea lui 488

'

( .~·.

510

·-

ecuaţia generalizată 51.0 mărginită 522-538 nemărginită 514-522

condiţia unicităţii la rezolvarea ecua-ţiilor neJiniare de ordinul tnW (v. Upschitz, condiţia lui)

.conexiunea domemului 2:39 ;::.rmtinuiţăţii,

ecuai;ia 348

a integrale!oJI'

-- uniformă a integralelor 276-280 coordonate cilindrice f93 curbilinli 184, 197 eliptice 41.4 linii de 184, 361, 391 suprafeţe de _361 f!Oplanaritatea vectorilor :317 eurba din spaţiu 383·--388 integrală 6 --·- rlană 373.-378 - stmplă 301 eurhu.ra, a doua (vezi torsiunea) . centru de 375 curbei 374, 384 lui Gauss 408, 41f) -·-· medie 408 · raza de 374~ 384 vectori de 384

455 -·· a funeţiei 607, 614 aproximarea funcţiilor periodice prin polinoame trigonometrice 4 79 aproximarea funcţiilor prin polinoame 476-481 uria interioară şi exterioară 298 --· suprafeţei 200 · · armonice 529

<::alcularea ariei prin integrale curbi linii 223 caracteristici 519 Cauchy, indidi de convergenţă absolută a integralelor 268, 271 Cauchy-Riemann, ecuaţia lui 24~! 'c:ircu.laţia 239, 338 · ,cîmp cvasi potenţial 339 dmp gravitaţiona1 292~ 3:~4 dmp potenţial 339
absolută

269, 2S5, 288

absorbţia undei 582 'maliza armonică practică

D' Alembert, soluţia ecuaţiei coardei -vibrante 51-i-517 Darboux, teorema lui 303--305 decrement logaritmic al amortiz
de integrare 259 derivă.rii,. operap~ ·în cazul unui cîm.p

variabil 366--:372 366

derivată locală

-

Substantială' 366

desfăşurabiÎă, suprafaţă 423-425 determinantul lui Wronski 85t 90 determinarea ·suprafeţei 298 direcţia de parcurs a curbei 224, · 22~ Dirichkt, c.Ondiţfa lui 432 - problema exterioară 608 -- - interioară 608, 61.6 Dirichlet, sohrţia problemei pentru eerc (;1 8--6?,2

671

Dirichlet, s9luţia problemei pentru sferă 627-631 Dirichlet, teorema lui in teoria seriilor Fourier 432, 443, 474 divergenţă 435 domeniu 295 -- măsurabil 299 Dupin, teorema lui 411 ecuaţia căldurii

354, 646 - într-o bară mărginită la ambele capete 659 ecuaţia căldurii intr-o bară mărginită la un capăt 653 ecuaţia căldurii într-o bară nemărginiHl 647 ecuaţia caracteristică 91 - continuităţii 348 - determinantă 143 ecuaţia diferenţială a lui Bernoulli 14 a lui Be~sel 144 a lui ·Clairaut 32 a lui Euler 126 a lui Lagrange 34 a lui Ricatti .20 cu difermţiale totale 244, 249 ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale 74 ecuaţii diferenţiale cu de1·ivate parţiale de ordinul intii 74 ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale liniare 74 ecuaţii difErenţiale cu variabilele· se patate 6 ecuaţii diferenţiale de ordin superior cu coeficienţi constanţi 97, 121, 124 ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întîi 14 -- -- 1iniare de ordin supel'ior 89 et·.uaţii diferenţiale neomogene de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi 93-95 ecuaţii diferenţiale omogene 9 ecuaţii diferenţiale cu derlvat3 de ol·dinul al doilea 84, 137 -144 ~cuaţii diferenţiale cu derivate de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi 90-93 ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul intii ·64_:67, 73 ecuaţ.ii diferenţiale reductibile la ecuaţia lui Bcssel 148 ecuaţia integrală a lui F'ourier 499 - naturală a curbei 381 - telegrafiştilor 571-579 -

- -- pentru un circuit mărginit 58\1 - - pentru un circuit nemărginit 587 element de arie al suprafeţei 201 dirijat 341 - în coordonate curbilinii 184 ·- în coordonate polare 182 - în coordonate rectangulare 181 element de volum în coordonate cilindrice 193 clement de volum in coordonate curbilinii 198 element de volum în coordonate sferice 194 eroarea patratică medie 444 'Euler, ecuaţia diferenţială a lui 126 - forma ecuaţiei hidrodinamică a lui 351 . Euler, formula lui 404 - numerele lui 442 - problema despre 1ncovoierea: longi-tudinală 114 Euler-Cauchy, .metodă aproximativă de construife a curhelor integrale 25 evoluta 375-378 evolventa 380 ..factor integrant 243, 249 fenomenul de propagare al undelor 518 fluxul cîmpului 336. formulele lui Frenet 388 Fourier, integrala lui 500 - seriile 426, 436, 442 de coeficienţi 431, 444 de coeficienţi generalizată 451 de formă complexă 507 generalizate 451 metoda rezolvării problemelor fizicii matematice tn problema lui Dirichlet in cazul cercului 618 Fourier, metoda pentru vibraţiile coardei vibrante 527 Fourier, metoda pentru vibraţiile barei 597 Fourier, rnetoda pentn1 .~ibraţiilf membranei 5M Fourier, metoda· pentru propagarea căldurii in bara mărginită 659 Fourier, metoda. pentru propagarea căldurii în bara nemărginită 647 Fourier, metoda rezolvării problemei propagării căldurii în· sferă · 663 Fourier, metoda rezolvării problemei tu cazul circuitului nemărginit al curentului 587

ironti.em domeniului. 2.9:'' ~- mulţimii· 296. funcţii ciclice constante 23!.1 ·- ·de curent 242 ·- integrabile· 306 funcţii pare 433 · u •."l , Iss, .a (1o~a formă diferenţială: 397 ·-- coefiCienţli lui 396

!"'

--· prii_TI~ f~ri_Uă diferenţială 397. 39fl geodez1ca, hme. 392 ·. · geometr~că~ interpretarea ecuăţiei di. fe~enţiale de ordinul întîi 78 ~ra~Ievnt';Il cîmpului scalar 332 ",ra~Ica, mterpretarea ecuaţ.iei diferen .. ţ1ale 49 • . Gre~n, f?nnula lui 226, 609. 610 611 --- Juncţta 631, 632, 633 · ' lli~~~dinamică,·.· ecuaţia fluidului ideal -~~~uygens,

principiul lui 522

~ncompresibilitate, condiţ.ia· de ~ncovoierea

242

gtinzii 55 . mdependenţa integralci curbilinii dt' drum 231., 240 ' · ind~~en?enţa liniarf't a soluţiiloi· ecua- ţ~CI diferenţiale 85, 89 · • ~ndiCatoarea lui. Dupin 4 o4 mtegrala care depinde de un parametru 254-262 ' integr~la generală a ecuaţiei de ordinul intii 6, 27 int~grala gene~ală a ecuaţiei difel'en. ţiale de ordm superior 44 mtegrala lui Dirichlet 470-474 lui Fourier 499-507 lui Fresnel 276 lui Poisson 622 Jnte_grale cu limite de integrare infimte 271 · integrale curbilinii 214-2 20 --· · de suprafaţă ·204 din funcţii discontinui 268 duble 178-183 improprii 277 multiple 310 multiple improprii 284 ·- pe o parte determinată· a supra_ feţei . 208 . · integrale repetate. 176 , - triple 187 .• ~· uniform· convergente 2 76 -~ntegra~a c~ ajutorul seriilor de puteri ,l ecuaţulor'diferenţiale liniare·t37 -144

inte.gi·area in· raport cu un p:aranit:tru qc integrare 254 izocline ·. 31 · izogonale; t:raiecto:di ·40 · ~zolat, punct al. mulţimii 2·9 6 Izvor punctual 552 :nch~derii, ecu~ţia. 449t: 4SZ mcluse, mulţimi. 295 -- sisteme de ·fun~ţii '·452 ..· 8 2 înfăşurătoarea fawiliEl( d~ ~urbe- 36 de curbe în: spaţiu 420. de normale, 376 --· de suprafeţe 420

4

Klrchoff~

formula lui 64:'3

La~range, ecuaţia

lui 34 - Identitatea lui 323 -_-. metoda schimbării constantelor arIntrare la ecuaţia de ordinul al doilea. 88 Lagrange, 1!1etoda . schimbării. const:,ln·telo_r arbrtrare la. o ecuaţie liniară de ordm superior 89 · . Laplace~ ecuaţia lui 292 351 356 .. 360 607-646 . . . ', . ,' ... '. ' Laplace, operatorul lui 3H .... -· în coordonate cilindrice 36~' -~ - în coordonate recta:ri,StH~re~ 360 ·:- .. - i? coordonate sferice '364 · · lmu de •curbură 408 · \,: -··· - ·- pe suprafaţă 400 - de curent 166 246 Lipschitz, condiţ.i; lui 160 Max~ell, ecuaţia lui 357 rnedm erorilor patratice 444 membrane, oscilaţia loi· 554:.....566 . metoda aproximaţiilor succesive la demonstrarea teoremei. existen ţel. 150. 163 ' ... tnet~da faetorilor simbolici 97 · ···- simbolică la ecuaţia lui Euler 127 ··· ·- la ecuaţiile liniare cu coeficienţi constanţi 117 M~usnier, teorema lui 401 mişcar~~ staţionară a unui fluid incom• pres1bll 221, 242, 245 .. momentul .sistemului de .. funcţii- . în raport cu o suprafaţă, . cu ii :·axă , Şi cu un punct 209-213 ., mom_entul vectorului 327-329 . mult~plu conex, domeniu 237 m ulţ1me arbitrară 295 . _ complementară 296 mulţime deschisă 295 ·- închisă 295

H72 ·673

-~ m:lt·gbtita :l!:)f, mulţimii, diametru! 2i-1~

frontiera 296 uedetermhw.ţi~

metoda

.;~oeHdonţilor 2.~-).

138 142

Neum~nn, probleţna lui 609, fn~; normală. la :suprafaţă ~- princ.ipaHi 384

395

umbillcal, ·pimet 40{1 •Jrdinul ecuaţiei difercxrţiali: m:togonale, ·c9ordomrte 860 ~- traiectori' 41 ortogonaliţate::l

t'uucţW.or

trigonome ·

t:rice>426 6sdlaţii int.reţ.inute 53~!

ale bare! 607 libere 597--607 ale eoardei 517 -- 5~~f'i supuse la forţe concentrkt 535 osdlaţiile coardeî 532.-539 ·- curentului tn circuite libei·e r.n. Ostrogradskif' formula lui 204 paralele_. l~u.rpe 38'1 .. plan tangent ,la supi·afaţâ. 311,:1 Poisson, ecuaţia lui 638-642 ··-· formula lui 539-544 ..... integrala lui 622 potenţial qe simplu strat :m5 - :întîrziat 551 potentialul maselor de volum 292, tiSoi ·~ vitezei de scurgere 2·42t 351 prelungire pară "137 problema l~i Euler, despre 'l'ncovole.r~a longitudinală 1 '74 procese in curs de stabiliz.art• ;')75 ~ stabilizate 573 pseudo scalar 325 punct eliptic al suprafeţei ·1-02 interior mulţimii 295· hiperbolic 402 ~-- limită al mulţimii 295 Izolat. al mulţimii 29fl raza de curbură 374t 384 ·-: de torsiune 385 reducerea or~inului ecnaţiej diien:mlifdt:

59

reflectarea. 1mdei perturbâdi 'i:n {~ifcuii

579 rezonanţă 10•1~ 536 Ricatti1 ecuaţia lu1. 20 l'otaţia CQrpulul solid 327

,··~4

scalar 314, -·. cimp 332 ·- produs 319 schimbarea de variabHr iu f!illegt<~l>i dublă '186, 251 schimbarea de va:riâbile ·1n integrali) multiplă de ordinul n 311 ;;chi:mbarea de variabile în integra 111. triplă 198 ~erie de puteri, generalizata 14~ ,. Fourier 426 -·· generalizată ,151 sistem complet de funcţii 45fl . -· de ecuaţii diferenţiale ordinare 64. n. de ecuaţii liniare eu 'coeficie;nţi con stanţi 129 sistem de funcţ.ii ortononnatt:> 44,tJ ·- de unde proprii 102 ... de unde supuse la forte exterimue de tJp impuls 109 wlenoidal, cîmp 339 liloluţia generală a ecuaţiei cu de:rivatlt!l parţiale de ordinul întîi 75 :>oluţia generală a sistemului de· ecuaţii diferenţiale 65 staţionare, unde 529 Stokes~ formula lui 22& suprafaţă desfăşurabilă 425 '"- minimală 418 suprafeţei, ecuaţia parl'ţmetriel.\ ~'

gg;:;

,... linii de coordonate a 397

tangenta la o curbă pe suprafaţă 39f., tensiunea tubului de vectori 341 teorema a doua a mediei 466 ··- existentei şi unicităţii pentru ecua ţiile neliniare de ordinul intii 158 teorema existenţei. şi unicităţii pentrtJ un sistem de două ecuaţii liniare 150 teorema unicităţii la ecuaţia căldurii 666 -- -- la ecuaţia. undelor 566 măsurării unei suprafeţe 299 torsiunea curbei 385 Torsiune, raza de 385 ·-· vector de 384 triedru fundamental pentru eudlă 384 tub de vectori 336

c- ---

unde cilindrice 544 ecuaţia

lor 352, 5f0

ecuaţia

lor

generalizată

595

ec1,1aţ!a .Jor neomogenă 548-551 soluţia ecuaţiei Îll cazul liniar 514

- . -

~

tn. ca~ul planului 544

--- .- - în cazul spaţiului 53!1i •mghi solid 197 u:nitari, cîmpul vectorilor 392 valoarea medf~. teorema a ..to~·~ .t!..ie! 466 - · u .. a a l1!eval_oalrea medie~ teoremB mediei l? h1t~gra e multiple 200 · -::ariaţia e~ementului de suprafaţ~~ 4H) vector. umtar tangent a74.- 383

vectori de

curbă

384

vectorial, cîmp 335 ·= produs 321; 324 ver.torialt.:!, HnH 335

·.rector!Ior, adn:narea şi sddere· 316 &

?. 1_4 ~ .~

''.ector~lo:r, coplmw.ritate:a 317

~Jectorllor~

derivarea, 329

i~~;~orul fluxului de căldura 335

>~so:r

sau vect~~· fundamental 31.& , r!:eza p.ropagăru frontului undei ~" 4. pertur.baţieî în cablu 578 - ,J ~~ undelor transversal® ale COl:ll"dlfli 518 vitezs u:nghîular~ instantatHl-"' Jl2g \Ve!erstrass~ teorem(J, h~i 47 r; Wron ..kian 857 ~lO

TABLA DE MATERn :APl'I'OLliL

1.

.E
de ordinul Intii. 1. Noţiuni. generaJe l5). ~~- Eeuaţii cu vatiabileL separate (6). 3. Ecuaţii omogene (9). ~- Ecuatii 1inian! şi ecuaţia Jui Ber noulli (14). 5. Determinarea soluţiei eeuaţiei diferenţiale dup{t condiţii. iniţială (21). 6. Metoda lui l'~u]er-Cmwhy (25). 7. Integrala generală (27) 8. Ecuaţia lui Clairaut (32). 9. Ecuaţia lui Lagrangc (34). 10. Infăşurătoarek familiei de curbe şi soluţiile singulare (3G). 11. Ecuaţii de gradul al doile: 1n raport.~eu y'(40). 12. Traiectorii izogonale {40).

:2.

Ecuaţii diferenţinle de ol'diu supm:im· şi sisteme de ~cuatii. 13. Noţiuni ge.nc rale (4A). 14. Metode grafiee pentru integrarea ecuaţici diferenţiale de ordinu1 :1l doilea (49). 15. Ecuflţi.a y(1
c:APITOLUL L

E[UA'J'H UIF.EU.E.NllALE LINIARJi: ŞI COMPLETARI LA T.EOHI.~ ECUATULOB DIFERJ~NŢI/\LJ~ L Teoria generală şi ecua~ii cu coeÎÎ(\ieuţi constanţi. 2·i. Ecuaţii 1iniare omogene de ordinul al doilea (8,1). 25. Ecuatii liniare neomogene de ordinul al doileD (87). 26 .. Ecuaţii liniare de ordin superior (89). 27. Ecuaţii omogene de ordinul al doilea cu coeficienti constanţi (90). 28. Ecuaţii Iiniare neomogene dt: ordinul al doilea cu eoeficienţi eonstanp (93). 29. Cazuri particulare (9ti) :JO. EcuaţiUiniare de ordin superior cu coeficienţ.i eonstanţi (97). 31. Ecua~ ţiile lh:t_ifire şi fenomenele oscilatorii (09). 32. Oscilaţii proprii şi osdlaţi1 întreţinute (101). 33. Forţa sinusoidală exterioară şi rezonanţa (104). 34. Forţ.F. exterioară de tip impuls (109). 35. Forţa exterioară acţionînd static (111) 36. Rezistenţ.a unei bare elastice fine, comprimată printr-o forţă J.ongit.u dinală (problemaluiEuler).(114). 37. Arbore:le de rotaţie (1H5). ao. Metoda sim bolică (117). 39. Ecuaţii liniare omogene de ordin superior cu coeficienţi cons tanţi(121). 40. Ecuaţii liniare neomogene cu coeficienţi constanl,:i (124) U. Exemplu (125). 42. Ecuaţia lui Euler (126). 43. Sistemf' :le ccu:~Ul !iniare eu eoeficien1;i constanti (:129)_ -'14. Exemple fl33)

67,.,

~t

lntl'g:ra.rea ~u ajutorul serlU.o:r de puteri 45, Integrarea ecuaţiei ll.niare cu :ajutorul seriilor intregi (137). 46. Exemple (140). 4'1. Dezvoltarea soluţiei în serie de puteri generalizată (142). 48. Ecuaţia lui Bessel (144). 49. Ecuaţii care se reduc la ecuaţia lui Bessel (148). 3, Co:mpietiîd la teoriu ecuaţmo:r diferenţiale 50. l\!Ietoda aprmdmaţiilor succe,sive pentru ecuaţiHe liniare (150), 510 Cazul ecuaţiei neHniare (158). 52. Puncte ale unei ecuaţii diferenţiale de ordinul intii 064-)c n3. LiniHf· p.l:mă

.;;:oUninrii a •mui fluid

(321). Ht5. iteiatii. între ··r d . i . "i . , but~a vitezelor î.iJ rotaţiap c~r~~~ui s~~If~ . ŞI

11 120

CAPITOLUL H l JNT:EGI\ALE 1\fUL~i'lPLE ŞI CUIUULINH. Kl\:'.U:f
..,, i.ategHde cm·bHiuii 6G. Deîiuiţia i.ntegralei curbilinii (21<1). ti7. Lucrul mecau.k :11 e1mpuluii. de forţe. Exemple (219). 68. Aria şJ, integrala curbilinie (223) l;fl, l•'ormula lui. Green (22l1). 70. Formula lui Stokes (228). 71. Independenţa Htegralei embilinii de drumul de integrare urmat în plan (2:31). 72. Cazul '!~"Hneniului multiplu conex (237), 73. Independen-ţa integralei curbilini.i dt rurnul de integrare urmat în spaţiu (210). 74. Mişcarea staţionarâ a unm duid (242). 75,. Factorul Integrant (243). 16. Ecuaţ.ia cu diferenţiale totalt, pentru cazul a tre) va:ri~bile (249)" 77. Sehimbarea de vnrinbile in integmln dublă (251). :!

Int12grule iiD[JfOJrrii integrale dei•iuzbtd de un pa:rameu·u: 78. Jntegra:rea snh '>emnnl întegrală 79. l<'ormula lui Dirichlet (256). 30. Derivarea snh ,;emnul integral 81o Exemple (262). 82. Integrale lmproprii (268), 113. Integrale care nu sînt absolut convergente (272). 84, Integrale uniform ;:omrergente (276). 85. Exemple (280). 3ft lntegrall" Oll11tip1~ împrop.rh (281). 87, Exemple (289),

§ 4,

Completări la tem·ia integralehn· ruultip'e 88. Noţiuni preliminare (295) . 39 Teoremele fundamentale ale teoriei mulţimilor (296). 90. Aria interioar& şl :u~la exterioară (298). 91. Domenii eu arH măsurabHe (299). 92. Indeperr~ de: ta de alegerea axelor (301). 93. Cazul unui număr oarecare de dimensmnl (3u3). 94. Teorema lui Darboux (303). 95. Funcţii integrabile (306). 96. Pro prîctăţile funcţiilor integrabile (307). 97, Calculul integr.alei duble (303) ~it lntf\1(4:r.f!'le multiple d€l ord.inul n (310). 99. E~em-ple (312).

; . ve~torial

(324). i06. bistri J?envata unui vector (329). 108. Cîrn ' ~o~e~tul v~ctorului (327). 107. (;împ vectoriaL Rotor şi divergenţă (f3~~ s~;I;:r ~· grachentu~ !ui. (332). 109. f,339). 111. Elementu1 diriJ'at al st f •. • împ potenţial ŞI solenoida·l ->n. . ,_ lp.ra.eţei (341) 110 c~t f "_'· a 1'Iza vec_tor1ală r~tl-4) 113 M', ·· r· l · ' '"'· . ,
O f.~i)

.l. lnttltJA'ale multiple 5•~. Volume (174). u5, Integ:mla. dublă (178). 56. Calenlui integ:ralei duble (180). 57. Coordonate curbilinii (:184). 58. Integrala triplă (187). 59. Coordonate cilindrice şi. sferice (193). 60. Coordonate curbilinii. ;n spaţiu (197). 61. Proprietăţile fundamenta!e ale integralelor multiple (199) . li2. Aria suprafeţei (200). 63. Integrale de suprRfaţă şi formula lni Ostro, gradski (204), 64. Integrale pe o j}_nnmit3 fat,ă a suprafeţei (208). G&i. Momente (209).

,

cel

CAP.l.TOLUL \'

j

BAZELE G.E01t.U:TRIEI UU'EllENJIAL.E Cur-ba plani:i, clLd.mra şi evoluta ei (873. . . -.. naturală a curbei (381) 12t. EI , ). 122L Evolventa 123, Ecu·-til"i .. '"83) "2!!" . ~:. _, ementele fundamental • ~ "' • · e ~, 0 ' • Jl '"'· Formulele lui Fren"'t ( 388 )· curbei în spaţil! dicoidaJe (390) 1.,@ c~1 '·_· · '. · 1 26. Planul osculator (389) 16)'7 1 . ,, ., • < • -u. mpu 1 -veetonlor unit · ,r<:> , --, • - .. • ."mv .netnce ale suprufeţ"i , 393 ) l')g• p . ~an ,,}92). 129. Ecuatiile pa 1·a" ·•Q-~~ · · ~ \ • du, nma formă d"f · 1 ' · t.oJ>.I, A doua _formă diferentiaV . ' " G. • l erenţia ă a lui Gauss (396}0 !'Urbură t ~ '
8ERU FOU.iURJi

CAPITOLUL l"Y ~~A.LlZA VEC'l'ORIALĂ ŞI TEORIA CÎMPULlH HIO, Adunarea şi scăderea vectorilor (314). 101.

Inmultirea vectorului cu 'lUi ''calar. Coplanaritatea vectoriJor (317). 102. Descompunerea vectorului în trei vectol'i ne~~oplanad (3l8). 1.03. Produsul scalar (819). 104,. Produsul vectoriaX

678 679

ri

t67 . .Lvietod.a Fourier (52'7). 168. Annomce şi unde staţionare (529). 169. Oscilaţii întreţ.inute (532). 170. Forţa concentrată (53'5). 171. Formula lui Poisson (539). 172. Unde cilindrice (544). 173. Cazul spaţiului n- dimensional (546). 174. Ecuaţ.ia neomogenă a undelor (548). 175. Izvor punctual (552). 176. Oscilaţiile transversale ale imembranelor (554). 177. Membrana dreptnnghiulară (554). 178. Membrana circulară (558). 179. Teorema unicităţii (Mi6). 180. Aplicarea integralei Fourier (569).

'

2. J<.:(muţîa teU~f)l'tlfiştilm· 181. Ecuaţiile fundamentale '(571). 182. Procese stabi-· lizate (573) ..,1.83. Procese în curs de stabilizare (575). 184. Exemple (579). 185. Ecuaţia generalizată a coardei vibrante (582). 186. Circuitul mărginit în eazul general (587). 187. Metoda Fourier pentru rin circuit mărginit (589). um. Ecuaţia generalizată a undelor (595).

ERAT

3. Oseilaţiile barehn 189. Ecuaţiile fundmnentale (597). 190. Soluţii partku· ]are (599). 191. Dezvoltarea.funcţie:i arbitrare (603). ,L Eeuatia lui l~aphtce 192. Funcţii armonice (607). 193. Formula lui GreeD (609). 194. Proprietăţile fundamentale ale funcţiilor armonice (614). 195. Soluţia problemei lui Dirichlet în cazul cercului (618). 196. Integrala lui Poisson (622). 197. Problema lui Dirichlet pentru sferă (627). 198. Funcţia lui Green (631). 199. Cazul semispaţiului (633). 200. Potenţialul maselor de volum (G:34). 201. Ecuaţia lui Poisson (638). 202. Formula lui Kirchhoff (643) 5. Ecuaţia t'ăldurii 203. Ecuaţii .fundamentale (646). 204. Bara. nemărginită (64 7). 205. Bara mărginită la o extremitate (653). 206. Bara mărginită la .. ambele extremităţi (659); 207. Observaţii suplimentare (662). 208. Cazul sferei (663). 209. Teorema unicităţii (666).

i

s~

.o~··---~·-••·~-------·-------·------~~~-·-a

____

Indicele de clasificare pentru bibliotecile mari şi mici lil'l

Tiparul executat la Intreprinderea Pollgrafic~ nr. 8 B·dul 6 Martie 29 Bucureşti R.P.R.

[32}

Tipografiei

Hs

.,

In loc de

106

13 s

[

109

5 s

6 s

C1sinqZ = O

c,sinql =o

Editurii

117

3 s

z=l'1 m>t P kl-1(l)

z==e(rl-rm>t PTct-l(t)

Tipografiei

123

6 s

+ b2rJ.o =o

Editurii

138

13 j

(:E)

Tipografiei

186 210

6 s

212

5

·S

l

H1 Y;)

+

2

+···

b0 rx 0 == O

7tassina

rca3 si-r2a

"

p [66]

Il [661

Tipografiei

1 s

5 s

312

15 s

369

6 s

389

5 s

640

8 j

Editurii

Xt.YiZi

!.CI

ti:>

273

Y(k;-w$) 2 +..-

X1Y1Z1

~ 1f(x) \ dx

~ 1f(x) \-dx

o

a.

) X=

~X~:

~ ~ AndS' 1

Da.t la tnZes 15.1X.191i4. Bun ăe tipar 25.Xl.19fi4. H~rtie ttelind 116 grfm'J, 61 x 86/ zo. Coli editoriale 99. Coli de tipa.r 42,50, Pretul unui ~Jroemplar legat 1/1 :l!.tnzd lei 20,40, Comanda U.U. 2276 A. Ol961JU.

Din vlna.

.R1ndu1

Tipografiei

~ ~ AndS

Editurii

1

:O

't'

-~v(M)

=

Editurii

) = x~x;;

(St+dt>

'St+dt)

.Responsabil de carte : Pop ~~. Tehnoredactor : Vasilescu M. Corector responsabil : Kivu N .

va. citi

pa.g,

232

.,

A

;O

p âv(M0 )-=

V. 1. SMIRNOV

CURS DE MATEMATICI UPEHIOARE II TRADUCERE DIN LIMBA RUSA

EDITURA TEHNICA 1954

a

~-· il ' '

'1 1

Smirnov CursMatSupII Ro OCR

Recommend Documents