02 - Introducción al Problema de Control de Sistemas MIMO

Ministerio de Cultura y Educación UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ Avda. Almafuerte 1033 - (3100) Paraná - Entre Ríos - Argentina. Tel.: +54-(343) 424-3694 / Fax: +54-(343) 424-3589

Prof. EDUARDO J. ADAM Email: [email protected] www.intec.unl.edu.ar/~eadam

CARRERA: INGENIERÍA QUÍMICA. CÁTEDRA: INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL DE PROCESOS.

Apunte de Teoría Introducción al Problema Problema de Control de de Sistemas con Múltiples Múltiples Entradas y Salidas (MIMO)

Primer Cuatrimestre - marzo, 2002 (Versión 1.1)

INTRODUCCIÓN AL PROBLEMA DE SISTEMAS CON MÚLTIPLES ENTRADAS Y SALIDAS (MIMO)

RESUMEN

Los procesos con múltiples entradas y salidas también conocidos procesos multivariables, son difíciles de controlar debido a la presencia de retardos, no linealidades y restricciones de operación. En los últimos años años el esfuerzo de de muchos investigadores se dirigió a resolver el diseño de controladores para sistemas de control multivariables. En esta presentación se detalla un método clásico que permite determinar el grado de interacción de un proceso y posteriormente, se presenta un método desacople de sistemas con n entradas y n salidas, particularizando a sistema dos entradas y dos salidas. Finalmente, se se incluyen recomendaciones recomendaciones generales para el diseño diseño de un sistema de control multilazo.

1. INTRODUCCIÓN

Hasta aquí hemos tratado los problemas conocidos como procesos de simple entrada – simple salida (SISO). En muchos problemas problemas prácticos existe un número variables a ser ser controladas y un número número de variables que pueden pueden ser manipuladas. manipuladas. Estos problemas se se los conoce como problemas de control de sistemas de múltiples entradas – múltiples salidas (MIMO). En éstos, puede puede aparecer aparecer una dificultad adicional que en procesos procesos SISO no está presente, esto es, la interacción entre distintas variables manipuladas con las de salida. O sea, una variable manipulada puede afectar a más de una variable de salida. Esto último da da lugar a estrategias de control multivariable conocidas como control por desacople o control desacoplante. Cuando las interacciones interacciones son fuertes, un sistema de control multilazo multilazo puede no tener buena buena performance en la respuesta. Más aún, puede llegar a ser inestable. Muchos investigadores han destinados sus esfuerzos a resolver el problema control multivariable. Existen varios métodos métodos tendientes tendientes a auxiliar al diseñador a resolver el el problema de control multivaríable. En esta presentación se discutirá el método de análisis de ganancia relativa (RGA) y el problema de control por desacople, para finalmente concluir con recomendaciones recomendaciones generales.

Cátedra de Sistemas de Control. UTN- Facultad Regional Paraná. Paraná. Autor: Eduardo J. Adam.

2


2. INTERACCIONES DE PROCESOS E INTERACCIONES DE LAZOS DE CONTROL

En la Fig. 1 se representa los problemas de control SISO y MIMO. Por conveniencia y sin pérdida de generalidad, se asume que el número de variables manipuladas es igual al numero de variables controladas. Perturbaciones .... U

Y

Proceso

(a) Proceso con una variable manipulada y una salida controlada. Aquí, se designa SISO a un sistema que tiene una variable de salida y una variable manipulada. Perturbaciones .... U1 U2 U

n

. . . .

Proceso

. . . .

Y 1 Y 2 Y

n

(b) Proceso con múltiples entrada y salidas.

Figura 1. Tipos de Problemas de Control. Los problemas de control MIMO son más complejos que los problemas de control SISO, a causa de las interacciones de procesos que ocurren entre las variables controladas y manipuladas. En general un cambio en la variable manipulada, u1, puede afectar a todas las variables controladas, y1, y2, ..., yn. A causa de las interacciones de procesos, la selección del mejor apareamiento entre manipuladas y controladas para un esquema de control multilazo puede resultar difícil. En particular, un esquema de control de n variables controladas y n manipuladas presenta n! configuraciones de control multilazo posibles. Así, si n = 5 entonces existen 120 configuraciones posibles.

2.1. Análisis mediante el uso de diagramas de bloques Si se considera el problema de control de 2x2 de la Fig. 2, se observa que se tiene dos variables controladas y dos manipuladas. Cátedra de Sistemas de Control. UTN- Facultad Regional Paraná. Autor: Eduardo J. Adam.

3


U1

Y 1

Gp11

Gp12

Gp21 U2

Y 2

Gp22

Figura 2. Diagrama de bloques de un problema de control de 2x2. Como se puede ver se necesitan 4 funciones de transferencia para caracterizar completamente la dinámica del proceso, estas son, Yˆ1 ( s )

Uˆ1 ( s ) Yˆ1 ( s )

Uˆ1 ( s )

Yˆ1 ( s )

= G p11 ( s ) ,

Uˆ 2 ( s ) Yˆ1 ( s )

= G p 21 ( s ) ,

Uˆ 2 ( s )

= G p12 ( s ) , = G p 22 ( s ) .

(1)

De acuerdo con el principio de superposición, los cambios simultáneos en U 1 y U 2 tienen un efecto aditivo en cada variable controlada, los que se visualizan en las siguientes ecuaciones, Yˆ1 ( s ) = Gˆ p11 ( s )Uˆ1 (s ) + Gˆ p12 (s )Uˆ 2 ( s)

,

(2)

Yˆ2 ( s ) = Gˆ p 21 ( s )Uˆ1 ( s ) + Gˆ p 22 (s )Uˆ 2 ( s )

.

(3)

Estas relaciones entre salidas y entradas pueden también ser expresadas en forma matricial vectorial,

Yˆ ( s ) = Gp( s )Uˆ ( s ) ,

(4)

ˆ ( s ) son los vectores de variables controladas y manipuladas donde Yˆ ( s ) y M respectivamente,

Cátedra de Sistemas de Control. UTN- Facultad Regional Paraná. Autor: Eduardo J. Adam.

4


(5)

 Yˆ ( s)  Uˆ (s )  Yˆ ( s ) =  1  , Uˆ ( s ) =  1  Yˆ2 ( s )  Uˆ 2 ( s ) 

y Gp( s) es matriz de funciones de transferencia del proceso,

(6)

 G 11 ( s) Gp12 (s )  Gp( s ) =  p  . G s G s ( ) ( ) 21 22 p p  

Consideremos el siguiente esquema de control: R1

E1

C1

U1

Gp11

Y 1

Gp12

Gp21

R2

E2

C2

U2

Gp22

Y 2

Figura 3. Un posible esquema de control multilazo convencional para un sistema 2x2. Si el controlador C 2 es puesto fuera de servicio (esto es puesto en manual), con la salida de dicho controlador en su valor nominal ( Uˆ 2 ( s ) = 0 ), la función de transferencia entre ˆ1 y U ˆ1 Y

resulta, Yˆ1 ( s )

Uˆ1 ( s )

= G p11 ( s ) (lazo abierto para Y 2 – U 2).

(7)

ˆ 2 ≠ 0 , del De otro modo, si el segundo controlador es puesto en automático, luego U diagrama de bloques de la Fig. 3 se puede derivar la siguiente relación: Yˆ1 ( s )

Uˆ1 ( s )

= G p11 ( s ) −

G p12 ( s )G p 21 ( s )C2 (s )

1 + C2 ( s )G p 22 ( s )

(lazo cerrado para Y 2 – U 2).


(8)

5


ˆ1 depende del controlador del segundo lazo Así, la función de transferencia entre Y ˆ1 y U C 2 ,

vía término de interacción, cuando el segundo lazo está cerrado. Similarmente, la

función de transferencia Yˆ2 ( s ) / Uˆ 2 (s) depende de C 1 cuando el primer lazo de control está cerrado. Estos resultados tienen una importante implicancia en el ajuste de los controladores, ya que estos indican que los dos controladores no deberían ser ajustados independientemente.

Ejemplo 1.

Considere el modelo empírico de una columna de destilación desarrollado por Wood y Berry

(1973):  12.8e− s 18.9e−3 s   xˆ D ( s)  16.7 s + 1 21s + 1   Rˆ ( s)     xˆ ( s)  =  −7 s 19.4e−3 s   Sˆ ( s)   B   6.6e 10.9 s 1 14.4s 1 + +  

(9)

.

Se propone diseñar un sistema de control multilazo consistente de dos controladores PI con el apareamiento xˆ D – R / xˆ B – S, y se pretende estudiar mediante simulaciones numéricas, la performance del sistema para los siguientes casos: a) Un cambio en la consigna de xˆ D de amplitud 0.1 con el lazo 1 cerrado manteniendo el otro lazo en manual. b) Un cambio en la consigna de xˆ B de amplitud 0.1 con el lazo 2 cerrado manteniendo el otro lazo en manual. c) Un cambio en la consigna de xˆ D de amplitud 0.1 con ambos controladores automático. SOLUCIÓN.

Se propone ajustar los parámetros de los controladores en base al método de oscilaciones sostenidas de Ziegler y Nichols (1942), aplicado cada lazo simple manteniendo el otro en manual, los resultados son presentados en la Tabla 1, Tabla 1: Valores de ajuste de los parámetros de los controladores. Apareamiento

Método de Ajuste

K c

T I

xˆ D - R

Lazo simple / Z-N

0.945

3.26

xˆ B - S

Lazo simple / Z-N

-0.196

9.00

En la Fig. 4 se muestra en forma esquemática el esquema de control multilazo para el problema aquí propuesto.


6


x Dsp

x D

PI1 (Controlador 1)

x Bsp

Planta x B

PI2 (Controlador 2)

Figura 4. Esquema multilazo del problema propuesto. La Fig. 5 muestra los resultados de la simulación numérica del sistema cuando el controlador 1 ajustado por el método de Ziegler y Nichols (1942) es puesto en automático, y el controlador 2 es puesto en manual. Puede verse en dicha figura que al hacer un cambio escalón en la consigna de la variable xˆ D ,si bien el controlador 1 logra el objetivo deseado, la variable xˆ B se ve perturbada debido a la interacción en el sistema.

D

x

Tiempo (seg.)

B

x

Tiempo (seg.)

Figura 5. Cambio en la consigna de xˆ D con el controlador 1 en automático y el controlador 2 en manual.


7


La Fig. 6 muestra efectos similares a los anteriormente detallados, para cuando el controlador 2 ajustado por el método de Ziegler y Nichols (1942) es puesto en automático y el controlador 1 es puesto en manual. En este caso particular, se introdujo un cambio escalón de amplitud o.1 en la consigna de la variable xˆ B . Similarmente a la simulación anterior en esta figura se visualiza el efecto de la interacción de procesos.

D

x

Tiempo (seg.)

B

x

Tiempo (seg.)

Figura 6. Cambio en la consigna de xˆ B con el controlador 1 en manual y el controlador 2 en automático.

La Fig. 7 muestra los resultados de la simulación numérica del sistema para un cambio escalón de amplitud 0.1 en la consigna de la variable xˆ D , cuando los controladores 1 y 2 de la Tabla 1 son puestos en automático. Puede concluirse de dicha figura, que en este caso particular los dos controladores operando conjuntamente no logran una buena performance en la respuesta del sistema.


8


D

x

Tiempo (seg.)

B

x

Tiempo (seg.)

Figura 7. Cambio en la consigna de xˆ D con los controladores 1 y 2 en automático.

§

3. ANÁLISIS DE GANANCIAS RELATIVAS

El análisis de ganancias relativas fue desarrollado por Bristol (1966). Muchos autores son de la opinión que el arreglo de ganancias relativas (RGA), es sólo una técnica heurística, sin ninguna base teórica rigurosa. McAvoy (1981), estableció una conexión entre RGA y el diseño y la estabilidad de lazos de control, para sistemas de control de dos entradas y dos salidas.

3.1. Método del Arreglo de Ganancias Relativas (RGA) de Bristol Bristol (1966) desarrolló la primera aproximación sistemática para análisis de problemas de control de procesos multivariables. Su aproximación sólo requiere información de estado estacionario y provee dos informaciones importantes:


9


1. Una medida de las interacciones de procesos. 2. Una recomendación concerniente al apareamiento más efectivo de variables manipuladas y controladas. Si se considera un proceso de n variables controladas y n manipuladas, la ganancia relativa

λ ij

entre una variable controlada Y i y un manipulada U j, es definida como la

relación de dos ganancias de estado estacionario:

λ ij

( ∂Y / ∂U ) = ( ∂Y / ∂U ) i

j U

i

j Y

ganancia del lazo abierto = ganancia del lazo cerrado

(10)

para i, j = 1, 2, ......., n donde,

( ∂Y / ∂U )

: representa la ganancia del lazo abierto Y i y U j.

( ∂Y / ∂U )

: puede ser interpretada como una ganancia de lazo cerrado que indica el

i

i

j U

j C

efecto de U j sobre Y i cuando todos los otros lazos feedback están cerrados. Las ganancias relativas son ordenadas en una matriz de ganancia conocida como arreglo de ganancias relativas (RGA) bajo la notación , U1 U 2 Y 1  λ11

 Y 2 λ21 Λ=  M  M  Y n  λn1

L U n

λ12

L

λ 1 n 

λ22

L

λ 2 n

M

M

λn 2

L

(11)

  M   λ nn  

El RGA tiene dos propiedades importantes: 1. Está normalizado ya que la suma de los elementos de cada fila y cada columna es uno. 2. Las ganancias relativas son adimencionales y así no afecta la elección de una unidad o escala de las variables.

3.2. Cálculo del Arreglo de Ganancias Relativas


10


Las ganancias relativas pueden ser fácilmente calculadas a partir de los datos de estado estacionario o bien de un modelo de proceso. La fórmula general puede ser escrita como,

λ ij

T = [G (0)]ij ( G (0)−1 )    ij

Note que la Ec. (12) no implica que ,

λ ij

(12)

T = [G ] ( G −1 )  .  

Para el caso particular de un sistema de 2x2 puede demostrarse que estas resultan ser,

λ 11

1

=

1−

(13)

K12 K 21 K11 K 22

donde K 11 = G P 11(0), K 12 = G P 12(0), K 21 = G P 21(0), y K 22 = G P 22(0) son las ganancias de estado estacionario del sistema de acuerdo con la Ec. (1). También puede demostrarse que, = λ 11

(14)

= λ21 = 1 − λ 11 .

(15)

λ22 λ12

Así, el arreglo de ganancias relativas (RGA) para un sistema de 2x2 expresado como,  λ 1 − λ  Λ=   λ  1 − λ

(16)

donde λ = λ 11. Las Ecs. (14) y (15) se corresponden con que la suma de las ganancias relativas de una fila o una columna de la matriz (16) son iguales a 1.

3.3. Medida de la Interacción de Procesos Las ganancias relativas pueden ser usadas para obtener una medida de la interacción de proceso. Existen 5 casos posibles:


11


1.

λ =

1. De acuerdo con la Ec. (10), la ganancia de lazo abierto y cerrado entre U i

e Y j, son idénticas. Por lo tanto, el resto de las variables manipuladas, tanto en lazo abierto como cerrado no tienen influencia sobre el par U i – Y j. 2.

λ =

0. De acuerdo con la Ec. (10), la ganancia de lazo abierto entre U i e Y j, es

nula. Por lo tanto, la variable manipulada U i no tiene ningún efecto sobre la variable de salida Y j. 3. 0 < λ < 1. De acuerdo con la Ec. (10), la ganancia de lazo cerrado entre U i e Y j resulta mayor que la de abierto. Por lo tanto, el resto de los lazos de control van a interactuar con la variable de salida Y j y dicha interacción es más severa cuando λ = 0.5. 4.

λ >

1. Para este caso, cerrando los otros lazos de control se reduce la ganancia

entre U i e Y j. Por lo tanto, existe una interacción, la cual se vuelve más severa, a medida que λ incrementa. 5.

λ <

0. Cuando λ es negativo significa que la ganancia de lazo abierto y cerrado

entre U i e Y j son de signos diferentes. Así, cerrando o abriendo el resto de los lazos de control, estos tienen serios e indeseables efectos sobre el lazo entre U i e Y j.

Por lo tanto no resulta conveniente aparear las variables U i e Y j. Para este

caso el grado de interacción aumenta para

λ → −∞ .

Recomendación. Los pares entre variables manipuladas y controladas deben ser tales

que las ganancias relativas sean positivas y tan cercanas a uno como sea posible. Ejemplo 2.

En base a las funciones de transferencias (Ec. (9)) obtenidas por Wood y Berry (1973) para

un modelo empírico de una columna de destilación, determine la interacción del proceso y obtenga conclusiones respecto al apareamiento, de acuerdo con la matriz de ganancias relativas. SOLUCIÓN.

La matriz Λ resulta ser,

 2.0094 −1.0094  Λ=    −1.0094 2.0094 

(17)

En base a la Ec. (18) se puede concluir que el apareamiento entre las variables es considerable. Además, la existencia de ganancias relativas negativas indica que las interacciones afectan adversamente a los lazos de control.

§


12


4. ELIMINACIÓN DE INTERACCIONES Y CONTROL DE SISTEMAS DESACOPLADOS

Cuando los efectos de la interacción producen un deterioro significativo en la performance del sistema de control, se debe considerar el control por desacople. Así, la performance de un sistema de control puede a menudo ser significativamente mejorada mediante algún tipo de compensación para interacciones. Con el control por desacople el objetivo es reducir las interacciones de los lazos de control adicionando elementos llamados desacopladores a la configuración convencional. En principio, los esquemas de control por desacople pueden proveer beneficios importantes: 1. Las interacciones de los lazos de control son eliminadas y consecuentemente la estabilidad del sistema en lazo cerrado es determinada mediante las características de la estabilidad de los lazos de control feedback individuales. 2. Un cambio en la consigna para una variable controlada no tiene ningún efecto sobre las otras variables controladas. En la práctica, estos beneficios pueden no ser totalmente alcanzados debido a diferentes causas de proceso. Los desacopladores pueden ser diseñados utilizando un tipo de modelo simple de proceso que puede ser un modelo dinámico o estático. En esta sección se discutirán dos técnicas tendientes a eliminar las interacciones de proceso. La primera conocida como control por desacople ideal resulta ser la más general de las dos y es aplicable a sistemas con n entradas y n salidas. Mientras que la segunda más popularmente conocida como control por desacople simplificado aplicable a sistemas de 2x2.

Control por Desacople Ideal o Control No Interactivo Una aproximación clásica para el problema multivariable es el diseño de controladores no interactivos con la inclusión de compensadores de interacción. La estructura del control feedback que hace uso de controladores de lazo simple y un desacoplador o compensador de interacciones GI, se ilustra en la Fig. 8,


13


D Gd

Yr

E

Y

U

W

Gp

C

D

Controladores

Compensador

Proceso

Figura 8. Sistema de n entradas y n salidas con control por desacople ideal. donde C, constructivamente es una matriz de controladores con la forma diagonal, c11 0 0 c 22 C= M M   0 0

L L O L

0 0 

  cnn  M

(18) .

Para un desacople completo de interacciones, se busca que el producto GpGI sea una matriz diagonal, esto es,

GpD = diag (Gp) .

(19)

De manera que el desacoplador D resultará ser,

D = Gp −1diag (Gp)

(20)

y así se logra eliminar la interacción de proceso. Dado que el compensador de interacciones puede resultar no realizable, entonces se suele diseñar dicho compensador basándose en las ganancias de estado estacionario. Esto es,

D(0) = Gp −1 (0)diag (Gp (0)) ,

(21)

donde el compensador de la Ec. (21) se lo conoce como compensador interacciones estático o estacionario. Note que, dicho compensador eliminará la interacción de procesos sólo en el estado estacionario. Cátedra de Sistemas de Control. UTN- Facultad Regional Paraná. Autor: Eduardo J. Adam.

14


Ejemplo 3.

Diseñar el compensador de interacciones estacionario para el problema presentado en el Ej. 1.

Luego simule a lazo abierto la respuesta del sistema frente a un cambio escalón en cada variable manipulada. Obtenga conclusiones. SOLUCIÓN.

De acuerdo con la Ec. (9),

12.8 −18.9  G (0) =   . − 6.6 19.4  

(22)

por lo tanto basándose en la Ec. (12),

 2.01 2.97  D(0) =   . 0.68 2.01

(23)

La Fig. (9) muestra la respuesta dinámica del sistema a lazo abierto en el Ej. 1, sin incluir el compensador de interacciones, para dos cambios de amplitud 0.01 en las dos variables manipuladas, en los instantes t = 2 s y t = 75 s.

D

x

Tiempo (seg.)

x

B

Tiempo (seg.)

Figura 9. Respuestas a lazo abierto sin compensador de interacciones. Cátedra de Sistemas de Control. UTN- Facultad Regional Paraná. Autor: Eduardo J. Adam.

15


Puede observarse en dicha figura como cada variable manipulada actuando individualmente afectan a las dos variables de salida simultáneamente. La Fig. (10) muestra la respuesta dinámica del sistema a lazo abierto presentado en el Ej. 1 incluyendo el compensador de interacciones, cambios escalón de amplitud 0.01 en las dos variables manipuladas, en los instantes t = 2 s y t = 75 s.

D

x

Tiempo (seg.)

x

B

Tiempo (seg.)

Figura 10. Respuestas a lazo abierto con compensador de interacciones. También en la Fig. (10) se observa para cambios en las variables manipuladas los estados estacionarios son compensados, pero no puede ser evitada la dinámica de las variables individuales. Por comparación de las Figs. (9) y (10) se observa una notoria mejora en las respuestas dinámicas, cuando es incluido el compensador de interacciones.

§

Control por Desacople Simplificado En la Fig. 11 se presenta un sistema de control por desacople simplificado para un proceso de dos entradas y dos salidas.

Note que se utilizan dos controladores

convencionales C 1 y C 2, más dos desacopladores Dl2 y D21.


16


R1

R2

E1

E2

C1

C2

U1

U11

Gp11

D21

Gp12

D12

Gp21

U22

U2

Gp22

Y 1

Y 2

Figura 11. Sistema de control por desacople simplificado convencional. Los desacopladores son diseñados para compensar las interacciones de proceso no deseables. Por ejemplo D21 puede ser diseñado para evitar que la variable con Y 21 se sume con Y 22 y así no afecte a la salida Y 2. Así, se cancelará esta interacción si se cumple que Gp21U11 + Gp22U 21 = 0

,

(24)

siendo U 21 = D21U 11

(25)

.

Sustituyendo (25) en (24) se tiene que,

( Gp21 + Gp22 D21 )U11 = 0 .

(26)

Dado que U 11 ≠ 0 , a fin de satisfacer la Ec. (26), el desacoplador D21 tendrá por ecuación,

D21 ( s ) = −

Gp21 ( s ) Gp22 ( s )

.

(27)

Con análogo razonamiento se puede arribar a que el desacoplador D12 tendrá por expresión,

D12 ( s ) = −

Gp12 ( s ) Gp11 ( s )

.


(28)

17


En muchos casos los desacopladores D12 y D21 no son realizables, por lo tanto se suele recurrir a desacopladores estáticos. Estos son calculados en base a los las ganancias de estado estacionario de las funciones de transferencia de proceso. Así, para este caso particular los desacopladores estacionarios resultan ser,

D21 (0) = − D12 (0) = −

Gp21 (0) Gp22 (0) Gp12 (0) Gp11 (0)

(29)

,

(30)

.

Una notación matricial vectorial puede ser usada para representar en forma más general al desacoplador simplificado resultando así, 1 −G p12 / G p11   . G G − / 1  p 21 p22  

D=

Ejemplo 4.

(31)

Diseñe los desacopladores dinámicos y estáticos para el sistema presentado en el Ej. 1.

Además, simule las respuestas dinámicas a lazo abierto del sistema MIMO incluyendo el desacoplador simplificado para cambios en las variables manipuladas de igual magnitud que en el Ej. 3. SOLUCIÓN.

En base a la matriz de funciones de transferencia expresadas en la Ec. (9) los desacopladores dinámicos resultan ser, 0.34(14.4 s + 1)e −4 s D21 ( s) = (10.9 s + 1)

,

1.48(16.7 s + 1)e−2 s (21 s + 1)

.

D12 ( s) =

(32) (33)

En el cociente de ecuaciones puede resultar que aparezcan términos exponenciales en “ s” positivos. Esto implicaría un término de predicción el cual no es realizable. Sin embargo, en este caso particular resultaron exponenciales negativas, de manera que los desacopladores (31) y (32) resultan ser realizables. Basándose en los resultados obtenidos en (31) y (32) tomando s = 0, los desacopladores estáticos resultan ser, D21 = 0.34

,

(34)

D12 = 1.48

.

(35)


18


D

x

Tiempo (seg.)

x

B

Tiempo (seg.)

Figura 12. Respuestas a lazo abierto con desacopladores estáticos. Como se observa en la Fig. 12 y como era de esperar, los resultados son muy similares (pero no iguales) a los obtenidos en el ejemplo anterior.

§ La Tabla 2 muestra un resumen de las funciones de transferencia de los desacopladores aquí estudiados para el caso particular de sistemas de 2x2 así como del producto G p( s) D( s) resultante.

Tabla 2: Funciones de transferencia para control por desacople. Aquí se define G := G p12G p 21 / G p11G p22 .

Desacople ideal Desacople simplificado

D( s)

G p( s) D( s)

1/(1 − G ) (−G p12 / G p11 ) /(1 − G )   (−G / G ) /(1 − G )  1/(1 − G ) p 21 p 22  

0  G p11  0 G  p 22  

1   −G / G  p 21 p 22

−G p12 / G p11   1 


0 G p11 (1 − G )    G p 22 (1 − G )  0 

19


5. RECOMENDACIONES PARA EL DISEÑO DE CONTROLADORES MULTILAZO

Basándose en los temas aquí presentados, a continuación se presenta una serie de recomendaciones útiles a fin de intentar un prediseño de un sistema de control de multilazo. Un procedimiento racional para encarar este problema bien podría ser el siguiente: Paso 1.

Realizar el análisis de RGA.

Paso 2.

En base a este determinar la mejor política de apareamiento posible.

Paso 3.

Si las interacciones son considerables recurrir a un sistema de control por

desacople (estático o dinámico) a fin de reducirlas. Luego, el ajuste de los controladores es realizado individualmente con el sistema de desacople incluido. Paso 4.

Si performance del sistema multivariable en lazo cerrado no es

satisfactoria, debido a que las interacciones no pueden ser reducidas considerablemente con el sistema de desacople propuesto, recurrir a los otros métodos existentes en bibliografía como ser: análisis de singulares (SVD), el diseño de controladores multilazo, los métodos de control predictivos, y teoría de moderna.

Ejemplo 5.

Basándose en los desacopladores estáticos obtenidos en los Ejs. 3 y 4 y el juego de

controladores del Ej. 1 luego, simule numéricamente el comportamiento del sistema en lazo cerrado en cada caso cuando ambos controladores son puestos en automático. SOLUCIÓN.

La Fig. 13 muestra la simulación numérica de la columna de Wood y Berry (1973) con el juego de controladores de la Tabla 1 y el desacoplador ideal estático dado por la Ec. (23). Puede verse que el sistema es inestable en lazo cerrado cuando ambos controladores son puestos en automático. Por otro lado, la Fig. 14 muestra la simulación numérica de la columna de destilación con el juego de controladores de la Tabla 1 cuando se implementa el esquema de desacople simplificado dado por las Ecs. (33) y (34). Puede verse que el sistema MIMO en lazo cerrado es estable cuando ambos controladores son puestos en automático.


20


D

x

Tiempo (seg.)

B

x

Tiempo (seg.)

Figura 13. Respuestas dinámicas del sistema MIMO a lazo cerrado con los desacopladores según (23).

D

x

Tiempo (seg.)

x

B

Tiempo (seg.)

Figura 14. Respuestas dinámicas del sistema MIMO a lazo cerrado con el esquema de desacople simplificado. Cátedra de Sistemas de Control. UTN- Facultad Regional Paraná. Autor: Eduardo J. Adam.

21


Basándose en los resultados de las simulaciones numéricas podemos concluir que para este caso particular, el esquema de desacople simplificado es más adecuado que el esquema de desacople ideal, cuando a ambos se los implementa como desacopladores estáticos.

§

6. CONCLUSIONES

Se presentó una introducción al problema de control de sistemas multivariables. Para esto, primeramente se discutió el efecto de las interacciones de proceso lazos de control. Posteriormente, se presentó el método de arreglo de ganancias relativas y su aplicación como medida de la interacción de procesos. Luego, se discutió la forma de eliminar interacción para sistemas de n entradas y n salidas mediante la incorporación de un desacoplador, para posteriormente particularizar el problema en diseño de desacopladores para sistemas de 2x2. Todos estos conceptos fueron aplicados a un problema real obtenido de la bibliografía especializada en el tema. Finalmente, se culmina con recomendaciones generales para el diseño de controladores multilazo, basándose en los conceptos aquí presentados.


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02 - Introducción al Problema de Control de Sistemas MIMO

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