Universidad Politécnica Salesiana Ingeniería Electrónica
Integrantes: Jhonatan Viscaino Hector Sandoval
Asignatura: Teoría De control 1 Tema: Sistemas con retardo puro y aproximación de Padé Fecha de envío: 2014-12-04 Fecha de entrega: 2014-12-08
Grupo: 1
SISTEMAS CON RETARDO PURO Idealmente la respuesta de un sistema a una entrada es instantánea, sin embargo en la práctica se puede puede encontrar retrasos retrasos puros en varios varios tipos de sistemas, especialmente en sistemas con transmisiones hidráulicas, neumáticas o mecánicas. mecánicas. Los sistemas de control computarizados computarizados también presentan presentan retardos, debido que la computadora toma cierto tiempo en ejecutar operaciones numéricas. En los sistemas con retardo, la salida no empieza a responder a la entrada instantáneamente, sino después de cierto intervalo de tiempo dado llamado tiempo de retardo.
() () ⇒ () () ( ) − () () () − () APROXIMACIÓN DE PADÉ La aproximación aproximació n de Padé fue desarrollada desarrolla da por el matemático Henri Padé y consiste en un método de aproximación de funciones mediante funciones racionales. Esta técnica propuesta por Padé proporciona una mejor aproximación aproximación de una función, que la obtenida al truncar su serie de Taylor, y además es válida incluso en los casos en los que la serie de Taylor no es convergente.
El procedimiento para reconstruir esas aproximaciones se basa en hacerlas coincidir con las derivadas de la función en una colección de puntos. Existen tres casos importantes:
()
1. Problema de aproximación de Padé: Para una función analítica consiste en , el problema de aproximación de Padé de orden encontrar polinomios p y q tales que :
∑
(,)
≤ , ≤ ++ ( )() ++ ⋯
2. Problema de interpolación racional: para una función de variable compleja f, el problema de interpolación racional de orden consiste en construir dos polinomios y , tales que
(,)
≤ , ≤ ( ) (/)( ) 0,1,… ……,
3. Problema de interpolación racional osculatoria: para una función de variable compleja f, una colección de puntos = de y una colección de puntos
( )=
de
( )
ℂ
ℕ , se buscan dos polinomios y tales
≤ , ≤ , 1 ( 1)
() (⁄)( )
0,1,… . 0,1,…… ..
A partir de los casos 1, 2 ,3 se obtienen sistemas de ecuaciones, en que las incógnitas son los coeficientes de los polinomios y . Se usa el algoritmo de Gauss que consiste, en eliminación Gaussiana y pivoteo, para la resolución de estos sistemas, la desventaja de este algoritmo es que se tiene que resolver tantos sistemas de ecuaciones como aproximantes se requiere construir.
En lo referente a sistemas, no siempre la respuesta de un sistema a una entrada es instantánea, ya que se presenta el efecto de atraso de tiempo T. El sistema mostrado en la figura, compuesto por una banda que transporta un determinado material suministrado por una tolva colocada a una distancia d del extremo de la banda, la cual se desplaza a una cierta velocidad v.
El atraso de tiempo se debe a la relación distancia-velocidad:
, [⁄ ] Matemáticamente la respuesta ( ) a un atraso de tiempo se representa por: ( ) () Por lo que la función de transferencia (), que relaciona el gasto de salida con el gasto de entrada , es: () −
La ecuación anterior es una función irracional, por lo que se procederá a obtener un equivalente a forma racional, considerando la representación en serie de Mc Laurin de una exponencial e :
1 2! 3! … ! = Al sustituir por – 1 – 1 () 1 () 2! 3! ⋯ ∞
Con este desarrollo obtenemos diferentes aproximaciones con respecto a la forma de truncar la serie infinita: Aproximación de primer grado:
1 – ≈ 1
Aproximación de segundo grado:
– ≈
1 () 1 2!
Bibliografía.-
[1] B. C. Kuo, “Sistemas con retardo de Transporte” en Sistemas de Control Automático, Pearson Education, Mexico DF, 2002, Ed.2, Cap. 4, Sección 8, pp. 189-191.
[2] H. Padé, Mémoire sur les développements en fractions continues de la
fonction exponentielle, pouvant servir d’introduction à la théorie des fractions continues algébriques , Annales scientifiques de l’É.N.S. 3 série, tome 16 (1899), 395-426. [3] R. Hernández Gaviño, “Atraso en el Tiempo (Aproximación de Padé)” en Introducción a los Sistemas de Control, Pearson Education, Mexico DF, 2010, Ed.1, Cap. 3, Sección 10, pp. 121-122.
