DEFINICION DE ECUACION DIFERENCIAL ECUACION DIFERENCIAL Una ecuación diferencial es una ecuación en la que se establece una relación entre una o más variables independientes independientes y una función incógnita y sus derivadas. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN DE DERIVADAS QUE INVOLUCRAN INVOLUCRAN Ecuación Ecuación Diferencial Diferencial Ordinaria: Ordinaria: es una ecuación ecuación diferenc diferencial ial en la cual cual aparecen derivadas ordinarias ordinarias de una variable dependiente respecto a una sola variable independiente. independiente. Por ejemplo:
Una $ puede contener más de una variable dependiente! 2
dy d y dy dx dy + 5 y = e x , 2 − + 6 y =0, + = 2 x + y dx dx dt dt dx
notaci ción ón de Lei Leini ni! ! Lass deri La deriva vada dass ordi ordina nari rias as se es escr crib ibir irán án usan usando do la nota 2
' ' ' … o la notación "ri#a y , y , y' ' ' . Realmente la notación
2
dy / d x , d y / d x
prima se usa para denotar solo las primeras tres derivadas: la cuarta derivada (4 ) se denota y en lugar de y ' ' ' ' . n general! la n −ésima derivada de "y# n n n se escribe como d y / d x o y .
Ecuación Diferencial en Deri$ada% &arciale%: es &arciale%: es una ecuación diferencial en la cual cual apare aparecen cen deriv derivada adass parc parcial iales es de una una sola sola variab variable le depend dependien iente te respecto de dos o más variables independientes. Por ejemplo: 2
2
2
2
∂ u ∂ u ∂ u ∂ u ∂u ∂ u −∂ v + 2 =0, 2 = 2 −2 , y = 2 ∂ t ∂ y ∂x ∂x ∂ y ∂x ∂ t
ORDEN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL l orden orden de una ecuación ecuación difer diferenc encial ial es la deriva derivada da de mayor mayor orden orden que aparece en la ecuación diferencial. Por ejemplo: %egundo
Primer
2
( )
3
d y dy +5 − 4 y = e x 2 dx dx
&RO'LE(A ): &lasi'car cada una de las ecuaciones que se dan a continuación: Ecuación Variale Variale I *i"o '
Variale Variale D Orden
2
(.
y = x + 5 y
).
y − 4 y −5 y = e
*.
∂U ∂ U ∂ U = 4 2 + ∂ Z ∂y ∂x
+.
dr =√ r ∅ d∅
,.
d y −3 x = seny 2 dx
' '
'
3 x
2
2
-.
∂2 V ∂x
2
=
∂ V ∂y
.
x −3 y ) dy =0 ( 2 x + y ) dx +( x
/.
∂ V ∂ V ∂ V + 4 + 4 2 01 2 ∂x∂y ∂x ∂y
2.
∂ T ∂ T 9 =4 2 2 ∂x ∂y
2
2
2
2
2
(1. ydx + ( 2 x −3 ) dy =0 &RO'LE(A +: &lasi'ca cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación! seg3n tipo y orden.
Ecuación Variale Variale I *i"o ' ' '
Variale Variale D Orden
'
(.
senx y − cosx y =2
).
( 1− y ) dx + xdy = 0
*.
d y dy x 2 − + y = 0 3 dx dx
+.
( 1− x ) y' −4 x y ' + 5 y = cosx
,.
d y + 9 y = senx 2 dx
-.
∂ U ∂ U y + x = 2 U + 6 x −4 y ∂y ∂x
.
∂ U =0 2 2 ∂x ∂ y
/.
∂ Z ∂ Z x + y = Z ∂x ∂y
2
( )
3
4
2
4
GRADO DE UNA ECUACION DIFERENCIAL l grado de una ecuación diferencial es la potencia a la cual esta elevada la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial. &RO'LE(A ,: &lasi'ca cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación! seg3n tipo! orden y grado. Ecuación Variale Variale I *i"o
( )( ) 3
(.
2
2
3
∂ V ∂ V + = s− 3 t 3 2 ∂s ∂ t
Variale Variale D Orden
( )
2
3
).
d x dx + senx =0 2 dy dy
*.
∂ V ∂ V + 2 2 =V 2 ∂x ∂y
+.
d y dy x + + xy =0 2 d x dx
,.
d y dy x − x + y = cosx 2 dx dx
-.
∂ Z ∂ Z ∂ Z −2 + 4 =0 4 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y
2
2
2
( )
2
2
2
(
4
)
2
4
4
&RO'LE(A -: &lasi'car cada una de las ecuaciones diferenciales diferenciales que se dan a continuación! seg3n tipo! orden y grado. Ecuación Variale Variale I *i"o 3
3
Variale Variale D Orden 3
3
(.
∂ z ∂ z ∂ z ∂ z +3 2 +3 + 3 =0 3 2 ∂x ∂x ∂y ∂ x∂ y ∂ y
).
d y dy −2 x =0 2 dx dx
*.
∂ U 1 ∂ U 1 ∂ U + + =0 2 r ∂ r 2 ∂ ∅2 ∂r
+.
x ( y ' ' ) + 2 x ( y' y ' ) −12 y −2 x =0
( )
2
2
2
,.
2
2
2
2
2 x y ' ) = x e ( y ' ' ' )4 −( y' 3
-.
3
2
∂ z ∂ z ∂ z x xy y 6 7 + + + y =0 3 ∂ x∂ y ∂y ∂x 3
ECUACION DIFERENCIAL LINEAL Una ecuación diferencial de n −énesimo orden se dice que es lineal si 4 es ' n lineal en y , y , … , y . sto signi'ca que una $5 de
n −énesimo es lineal
cuando la ecuación es: an ( x ) y + a n−1 ( x ) y n
n−1
+ … a 1 ( x ) y' +a 0 ( x ) y − g ( x ) =0
5 tambi6n! n
n− 1
d y d y dy an ( x ) + a n−1 ( x ) n−1 + … a 1 ( x ) + a0 ( x ) y = g ( x ) n dx dx dx
$os casos especiales importantes de este tipo de ecuación son las $ lineales de primer orden (n =1) y de segundo orden (n =2) :
2
d y dy a1 ( x ) y + a0 ( x ) y= g ( x ) y a 2 ( x ) + a 1( x ) + a0 ( x ) y =g ( x ) 2 dx dx '
&or lo tanto "ara .ue %e cu#"la .ue e% una ecuación diferencial lineal dee %ati%facer %i#ult/nea#ente la% %i0uiente% condicione%: a7 La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado 8esto es! si están elevadas a la potencia uno7 b7 Los coe'cientes de la variable dependiente y sus derivadas depende solo de la variable independiente. Por ejemplo: 3
( y− x ) dx + 4 xdy = 0, y −2 y + y =0, y d y3 + x dy −5 y = e x dx dx ' '
'
Las ecuaciones son! respectivamente! $ de primero orden! segundo orden y tercer orden. 9cabamos solo de mostrar que la primera ecuación es lineal en la variable "y# cuando se escribe en la forma alternativa
4 x y
'
+ y = x .
Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente no lineal. 4unciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas! tales y como seny y e ! no se pueden representar en una ecuación lineal.
Por ejemplo: ermino no lineal: ermino no lineal: ermino no lineal: &oe'ciente depende de4unción no lineal de yl e;ponente es diferente y 2 4 d y ' y d y ( 1− y ) y +2 y = e , 2 + seny =0, 4 + y 2=0 dx dx
&RO'LE(A 1: &lasi'que cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación seg3n orden! grado y linealidad. Ecuación Linealidad
Grado (.
( 1− x ) y' ' − 4 x y ' + 5 y =cosx
).
d y dy x + x + y =2 x 2 2 dx dx
*.
y ´ ´ −2 x ( y ´ ) = 0
+.
d y dy x − + y =0 3 dx dx
,.
y −2 y − 5 y + 6 y = 0
-.
t y −t y + 6 y =0
.
d u du + + u =cos ( r + u ) 2 d r dr
/.
x y + 2 x y −12 y = x y
2.
y + xy − y senx =cosx
2
2
2
3
' ' '
' '
( 4)
5
( )
4
'
''
3
2
2
' '
' '
'
2
'
2 ' (1. y = x + 5 y 2
√ ( )
d y dy 1 = + ((. d x 2 dx 2
d R − k (). d t 2 = R2
2
2
Orden
(*. ( 2 x + y ) dx + ( x −3 y ) dy =0 2 ' ' ' (+. x ( y ' ) + 2 x y + xy y =0
'' ' ' (,. sen y −cos y = 2 ' 2 ' ' (-. x y + x y + y =sec ( !nx ) 2
d y 2 2 x (. d x 2 − y = x e ' ' ' 2 2 x (/. y − 4 y + 4 y =(12 x −6 x ) e ' 2 ' ' 2 (2. 6 x y + 5 x y + ( x −1 ) =0 2
d y dy 2 )1. d x 2 −3 dx + 2 y = senx 2
d y dy x + x + xy =e x + y 2 )(. dx dx 2
2 ' ' )). y − 2 x ( y ´ ) + xy =0 2
d y 2 4 y =sen x + 2 )*. d x 4
( ) 3
3
d y d y 2 − = xy e x 3 )+. d x 4 dx ' ' ' ),. y y − x y = xysenx
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE &RI(ER ORDEN DE VARIA'LES SE&ARA'LES Una ecuación diferencial de primer orden de la forma: dy =g ( x ) " ( y ) dx
%e dice que es %e"arale o que tiene $ariale% %e"arale%2
&onsidere la ecuación diferencial de primer orden
dy / dx = # ( ( x , y ) . &uando f
no depende de la variable y! es decir! # ( ( x , y ) =g ( x ) ! la ecuación diferencial dy =g ( x ) dx
%e puede resolver por integración. %i g8;7 es una función continua! al integrar a ambos lado de la ecuación se obtiene!
∫ dy =∫ g ( x ) dx y =$ ( x x )+ c x ) es una antiderivada 8integral inde'nida7 de $onde $ ( x
g ( x ) .
E3e#"lo ): dy = y 2 x e3 x+4 y dx
%eparando variables obtenemos!
n m n +m %abiendo que! a . a =a
dy 3 x 2 4 y xe ) ( y e ) =( xe dx
∫ y 2
2
y e 4
∫
4 y
3 x
e dy = x e dx
4 y
4 y
−
y e 8
+
e
4 y
32
3 x
x e
=
3
−
e
3 x
9
+c
Un "role#a con $alore% iniciale%2
E3e#"lo +:
( e y− y ) cosx dy = e y sen 2 x ! dx 2
Resuelva!
y ( 0 )=0
%eparando variables!
( e y− y ) 2
y
e
dy =
sen 2 x dx cosx
%impli'cando %impli'cando e
∫e
y
y
e +
∫
− y
cosx dx ∫ 2 senx cosx
dy − y e =
y y
e
+
1 y
e
=c −2 cosx
La condición inicial y =0 cuando x =0 implica que % =4 . Por lo tanto una solución del problema con valores iniciales es y
e +
y
+ y
e
1 y
e
=4 −2 cosx
E3e#"lo ,: cotgy
dy x − y )= sen ( x x + y ) , y ( 0 ) =0 + sen ( x dx
%eparando variables: cotgy
dy x + y )− sen ( x − y ) =sen ( x dx
cotgy
dy =( senxcosy + senycosx )−( senxcosy −senycosx ) dx
cotgy
dy =senxcosy + senycosx− senxcosy + senycosx dx
tgy
dy =2 senycosx dx
seny dy =2 cosxdx cosy seny
∫ secydy =∫ 2 cosxdx ln |secy + tgy|=2 senx + c
La condición inicial y =0 cuando x =0 implica que % =0 . Por lo tanto una solución del problema con valores iniciales es ln |secy + tgy|=2 senx
&RO'LE(AS: 5btenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de primero orden de variables separables: 3.
ds !nr ( s + 1 ) = dr s
4.
d( + ( = (t e t +2 dt
2
dy 1+ 2 y 1. = dx ysenx 2
2
dy x y 2. = dx 1 + x
( 4 y + y x ) dy −( 2 x + x y ) dx =0 2
,.
6. ( 1+ x
2
2
+ y 2 + x 2 y 2 ) dy = y 2 dx
( )
dy y + 1 7. y!nx = dx x
2
2 2
8. ) t dt =( t + 1) d)
(
dy 2 y + 3 9. = dx 4 x + 5
)
2
2
10. sec xdy + cscydx =0 11. e sen 2 xdx + cosx ( e y
2 y
− y ) dy =0
xcotgydx 12. secydy = xcotgydx
3
13. sen 3 xdx + 2 y cos 3 xdy =0 −1
y
14. ( e
3
+ 1)2 e− y dx +( e x +1 ) e− x dy =0
1
y dy 15. =( 1 + x 2 ) 2 ( 1 + y 2 ) 2 x dx
16.
dU U + 1 2 suger sug erenci encia a ,% .V v =U = ds √ s + √ sU sU 3
y dy 17. 2 =( 1− x 2 ) x dx
−1 2
1 2 2
( 1+ y )
18.
dy xy + 3 x − y −3 = dx xy −2 x + 4 y − 8
19.
dy xy + 2 y − x −2 = dx xy −3 y + x −3
20.
dy = sex (cos2 y −cos 2 y ) dx
21. secy
dy x − y )= sen ( x + y ) + sen ( x dx
22. cotgy
23. tgy
dy x − y )= sen ( x + y ) + sen ( x dx
dy x − y ) =cos ( x + y ) + cos ( x dx
24. x √ 1− y dx =dy 2
25. ( e
x
+ e− x )
x + √ x x ) 26. ( x
dy = y 2 dx
dy y ) =( y + √ y dx
dx y √ x x −6 x + 13 29. = 2 dy √ 9 −25 y 2
2
27.
dy arcotgx = dx sen ( !nx ) 3
t dt −t 28. =e cos ( √ r ) dr 2
30. ( 1+ x ) dy + x ( 1 + 4 y ) dx =0, y ( 1 )= 0 4
31. ( e
− y
32. x
33.
2
+ 1 ) senxdx=( 1 + cosx ) dy , y ( 0 )=0
dy = y − xy , y (−1 )=−1 dx
2
dy 5 + 2 y =1, y ( 0 ) = dx 2
34. √ 1− y dx − √ 1− x d y , y ( 0 ) = 2
2
√ 3 2
()
35.
dy * = 4 ( x 2+ 1 ) , y =1 dx 4
36.
dy ( y−1 ) ( x −2 ) ( y + 3 ) = dx ( x −1 ) ( y−2 )( x + 3 ) 2r
dr s en ∅ + e cos ∅ 37. = d ∅ 3 e r + er cos2 ∅ 3
38. x e
2 x
2
+ 2 y 2
3
− x 2−2 y 2
dx − y e
dy =0
x dx √ 9 x −1 39. = 2 dy √ x −1 5
2
2 x − x + 2 ( ) dy = 0 40. y + 1 dx + 4 − x
ECUCIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE &RI(ER ORDEN 4O(OGENEAS
La ecuación diferencial + ( x , y ) dx + ( ( x , y ) dy =0
s una ecuación diferencial ordinaria de primera orden =omog6nea si las ( x , y )
funciones
) ( x , y )
y
son =omog6neas con igual grado de
=omogeneidad. # tiene la propiedad
Por lo tanto si una función
- . &or e3e#"lo
alg3n n3mero real de
# ( t x ,ty )=t # ( x , y ) para -
# ( x , y ) = x + y 3
3
es una función
5o#o06nea de 0rado ,! ya que Para toda x =tx mientras que para y =ty # ( tx,ty ) =(tx ) +(ty ) 3
3
3 4actor com3n t
# ( tx,ty ) =t ( x + y ) 3
3
# ( x , y ) = x + y + 1 es no =omog6nea. n conclusión si ambas 3
>ientras que funciones
3
y
)
3
son ecuaciones =omog6neas del mismo grado! la
ecuación deberá estar + ( tx,ty ) =t + ( x , y ) y ( ( tx,ty )=t ( ( x , y ) -
9demás! si
-
y
)
son funciones =omog6neas de grado
escribir x - - + ( x , y )= x ( 1, u ) y ( ( x , y )= x ( ( 1, u ) dondeu = y x - - + ( x , y )= y ( v , 1 ) y ( ( x , y )= y ( ( v , 1 ) donde v = y
- ! podemos
Las siguientes propiedades plantean las sustituciones que se pueden usar para resolver una ecuación diferencial =omog6nea. n concreto! cualquiera de las sustituciones y =ux
o x =vy donde u
y
v son las nuevas variables
dependientes! reducirán una ecuación =omog6nea a una ecuación diferencial de primer orden separable. E3e#"lo ):
( x + y ) dx +( x − xy ) dy =0 2
2
2
;aminamos el grado de la ecuación diferencial! Para toda x =tx mientras que para y =ty
[ ( tx ) +( ty ) ] dx +[ ( tx ) −( txty ) ] dy =0 2
2
2
s una ecuación diferencial 5o#o06nea de 0rado +! t ( x + y ) dx +t ( x + y ) dx =0 2
2
2
2
2
2
Una ve? c=equeado el grado de la ecuación diferencial! se efect3a el siguiente cambio! y =ux entonces dy =udx + xdu despu6s de sustituir! la ecuación se convierte
[ x +( ux ) ] dx +[ x − x (ux )] (udx + xdu )=0 2
2
2
( x + u x ) dx + ( x −u x ) (udx + xdu )= 0 2
2
2
2
2
x ( 1 + u ) dx + x ( 1 −u ) du=0 . / de 0rimer orden se0ara!e 2
2
3
$ivisión de
∫ 11−+uu du=−∫ dx x
1 −u −dx du = x 1+ u
−∫ du +∫
dx du =− x 1 +u 2
∫
−u + 2 ln|1 + u|=−ln| x|+ c
%ustituyendo de nuevo
− y x
u=
y x
| | y x
+ 2 ln 1+ =−ln| x|+ c
E3e#"lo +: 2 xy
dy =4 x 2 + 3 y 2 dx
;aminamos el grado de la ecuación diferencial! Para toda x =tx mientras que para y =ty
[
2 txty dy= 4 ( tx )
2
+ 3 ( ty )2 ] dx
t ( 2 xy ) dy =t ( 4 x + 3 y ) dx 2
2
2
2
&oncluimos que es @omog6nea de 0rado +2
fectuamos el cambio! y =ux por lo que dy =udx + xdu ! quedando que 2 xy
dy =4 x 2 + 3 y 2 dx
[ ( ) + ( )]
dy = 2
x y
3 y 2 x
dx
[ ( ) ( )]
udx + xdu = 2
udx + xdu =
x 3 ux dx + ux 2 x
( + ) 2
u
3u dx 2
9grupando e integrando queda!
%i
∫ u2+u4 du =∫ dx x 2
ln|u
2
+ 4|=ln| x|+ c y
%ustituyendo de nuevo u= x
|( ) | 2
y ln + 4 =ln| x|+ c x
&RO'LE(AS: 5btenga la solución general para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. %iga cada uno de los pasos indicados en esta misma guAa para tal efecto. 1. ( x − y ) dx + xd y =0 2. xdx + ( y −2 x ) dy =0 3. ydx =2 ( x + y ) dy 4. ( y
2
+ xy ) dx + x2 =0
5.
dy y − x = dx y + x
6.
dy x + 3 y = dx 3 x + y
7. 1 ydx + ( x + √ xy ) dy = 0
dy = y + √ x 2− y 2 dx
8. x
9. x y
dy = y 3 − x3 , y ( 1 ) =2 dx
2
10. ( x + y e
) dx − x e y/ x dy =0, y (1 ) =0
11. ( x
dx = xy , y (−1 ) =1 dy
y / x
2
+ 2 y 2 )
2
dy −20 x + 20 xy −5 y 12. = dx −9 x 2 + 5 xy − y 2
2
2 y y + x cos ( ) dy x * y ( 1) = 13. = dx x 4
(
14. ycos
) (
)
x x x x x x + y sec2 dx + 2 ysen + 2 ytg − xcos − xsec2 dy = 0 y y y y y y 2
dy −24 x + 20 xy −6 y 15. = dx −15 x 2 + 6 xy − y 2 2
2
2
dy −5 x + 5 xy + y 16. = dx −2 x 2−2 xy − y 2 17. ydx + x ( !nx−!ny −1 ) dy =0, y ( 1 ) =e 2
dy 6 x −5 xy −2 y 18. = 2 2 dx 6 x −8 xy + y 2
2
dy y y 19. = + , y (1 ) =1 dx x x 2
'
20. y =
y y + sec 2 x x
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE &RI(ER ORDEN E7AC*AS Una e;presión diferencial + ( x , y ) dx + ( ( x , y ) dy
s una diferencial e8acta en una región
R
corresponde a la diferencial de alguna función
# ( x , y ) de'nida en R . Una
del plano
xy
si esta
ecuación diferencial de primer orden de la forma + ( x , y ) dx + ( ( x , y ) dy =0
%e dice que es e;acta si la e;presión del lado i?quierdo es una diferencial e;acta. 2
3
3
2
x y dx + x y dy =0
Por ejemplo
i?quierdo es una diferencial e;acta: d
(
1 3 3 x y 3
)=
2
3
3
2
x y dx + x y dy
%i =acemos las identi'caciones 2
3
3
2
x y dx + x y dy =0
es una ecuación e;acta ya que su lado
+ ( x , y )= x y y ( ( x , y )= x y 2
3
3
2
ntonces! ∂ + ( x , y ) ∂ ( ( x , y ) =3 x 2 y 2 y =3 x 2 y 2 ∂y ∂x
Por lo tanto! sean
+ ( x , y )
y
( ( x , y ) continuas y que tienen primeras
derivadas parciales continuas en una región rectangular a < x < !
R
de'nida por
c < y < d . ntonces una condición necesaria y su'ciente para que
+ ( x , y ) dx + ( ( x , y ) dy sea una diferencial e;acta es ∂ + ( x , y ) ∂ ( ( x , y ) = ∂y ∂x
&ASOS A SEGUIR &ARA LA O'*ENCION DE LA SOLUCION GENERAL DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE &RI(ER ORDEN E7AC*A DE LA FOR(A + ( x , y ) dx + ( ( x , y ) dy =0
)2 Deter#inar %i la i0ualdad %e cu#"le9 ∂ + ( x , y ) ∂ ( ( x , y ) = ∂y ∂x
Si e% a% entonce% e8i%te una función
# "ara la .ue
∂ # = + ( x , y ) ∂x
+2 &ara deter#inar
# inte0rando
#ientra% y %e con%er$a con%tante:
+ ( x , y )
re%"ecto a
x
∫
# ( x , y ) = + ( x , y ) dx # ( x , y ) = 2 ( x , y ) + g ( y )
,2 Donde
la
función
aritraria
g ( y )
e%
la
con%tante
de
y
;
inte0ración2 A5ora deri$ando re%"ecto a la $ariale a%u#iendo .ue9
∂ # / ∂ y = ( ( x , y ) :
∂ [ 2 ( x , y )+ g ( y ) ] = ( ( x , y ) ∂y
Se otiene9 '
g ( y ) = ( ( x , y )−
∂ 2 ( x , y ) ∂y
-2 &or
La %olución i#"lcita de la ecuación e% E3e#"lo ):
( e y− ycosxy ) dx + ( 2 x e y − xcosxy + 2 y ) dy =0 2
2
(. $eterminar si se cumple ∂ + ( x , y ) ∂ ( ( x , y ) = ∂y ∂x ∂ ( e − ycosxy ) ∂ ( 2 x e − xcosxy + 2 y ) = ∂y ∂x 2 y
2 y
2e
2 y
+ xysenxy −cosxy =2 e2 y + xysenxy −cosxy
# ( x , y ) =c
y 9
E% e8acta
).
+ ( x , y )
respecto a
x mientras
y
se conserva
constante!
∫ (e
# ( x , y ) =
2 y
− ycosxy ) dx
# ( x , y ) = xe − senxy + g ( y ) 2 y
*. 9=ora derivando respecto a la variable
y
y asumiendo que!
∂ # / ∂ y = ( ( x , y ) : ∂ [ xe − senxy + g ( y ) ] =2 x e 2 y− xcosxy + 2 y ∂y 2 y
2 x e
2 y
− xcosxy + g' ( y )=2 x e 2 y − xcosxy + 2 y
+. Por 3ltimo! se integra la ecuación obtenida con respecto a y !
∫
g ( y )= 2 ydy g ( y )= y + c 2
%ustituyendo el resultado en la ecuación! concluimos una familia de soluciones 2 y
2
xe − senxy + y + c =0
E3e#"lo +: 2
dy x y −cosxsenx , y ( 0 ) =2 = 2 dx y ( 1− x )
9l escribir la ecuación diferencial en la forma
( cosx senx − x y ) dx + y ( 1− x ) dy =0 2
2
Podemos reconocer que la ecuación es e;acta ∂ ( cosx senx− x y ) ∂ ( y ( 1 − x = ∂y ∂x 2
2
))
−2 xy =−2 xy 9=ora!
∫ coxsenx − x y
2
dx
∫ coxsenxdx − y ∫ xdx 2
−cos 2 x − y 2 x 2 + g ( y ) 2
2
$erivando parcialmente!
[
2 2 2 cos x y x − ∂ − + g ( y )
2
2
∂y
− y x 2+ g ' ( y )= y − y x 2
∫
g ( y )= ydy
g ( y )=
y
2
2
+c
%ustituyendo!
−cos 2 x y 2 x 2 y 2 c − + = 1 2
2
2
−cos2 x − y 2 ( x 2−1 ) =2 c1
]
= y ( 1− x 2 )
−cos2 x − y 2 ( x 2−1 ) =c La condición inicial y =2 cuando x =0 c =3
FAC*ORES IN*EGRAN*ES Para una ecuación diferencial no e;acta + ( x , y ) dx + ( ( x , y ) dy =0 ! a veces es posible encontrar un factor integrante B ( x , y ) de modo que! despu6s de multiplicar! el lado i?quierdo de 3 ( x , y ) + ( x , y ) dx + 3 ( x , y ) ( ( x , y ) dy = 0
s una diferencial e;acta. n un intento por encontrar 3 ! se vuelve al criterio de e;actitud. %i ( + y − ( x )/ ( es una función de x e;clusivamente! entonces un factor de integración será! + y − ( x dx (
∫ 3 ( x ) =e
%i
( ( x − + y )/ + es una función de
integración será! ∫ 3 ( y )=e
( x − + y dx +
E3e#"lo ,: xydx + ( 2 x + 3 y −20 ) dy =0 2
Ceri'cando!
2
y solamente! entonces un factor de
∂ ( xy ) ∂ ( 2 x + 3 y −20 ) = ∂y ∂x 2
2
x =4 x
No e8acta &on las identi'caciones de
+ = xy !
derivadas parciales obtenemos + y = x
2
2
( =2 x + 3 y −20 ! al efectuar sus
y ( x = 4 x . Para el primer cociente
obtenemos! + y − ( x (
=
x − 4 x −3 x = 2 2 2 2 x + 3 y −20 2 x + 3 y −20 2
$epende de x y y ! por lo tanto no lleva a ninguna parte. %in mbargo! ( x − + y +
=
4 x − x
xy
=
3 x
3
xy
y
=
%e produce un cociente que solo depende de y . Por lo tanto el factor de integración vendrá dado por! ∫ y3 dy 3 !ny ln y 3 ( y )=e =e = e 3 ( y )= y
3
3
>ultiplicando por 3 ( y ) a toda la ecuación resultante! y ( xy ) dx + y ( 2 x + 3 y −20 ) dy =0 3
3
2
2
x y dx + ( 2 x y + 3 y −20 y ) dy = 0 4
2
3
5
3
Duevamente comprobando!
∂ ( x y ) ∂ ( 2 x y + 3 y −20 y = ∂y ∂x 4
4 x y
3
2
3
5
3
)
= 4 x y 3 Se cu#"le9 la ED e% e8acta2
&on los pasos antes e;puestos se puede llegar a una familia de soluciones! 1 2 4 1 6 4 x y + y −5 y =c 2 2
2
&RO'LE(AS: n los problemas determine si la ecuación diferencial que se proporciona es e;acta. n caso a'rmativo! resu6lvala. 1. ( 2 x −1 ) dx + ( 3 y + 7 ) dy =0 2. ( 2 x + y ) dx −( x −6 y ) dy =0 3. ( 5 x + 4 y ) dx + ( 4 x −8 y ) dy = 0 3
4. ( seny − ysenx ) dx + ( cosx + xcosy − y ) dy =0 5. ( 2 x y
2
(
6. 2 y −
7. ( x
−3 ) dx + ( 2 x2 y + 4 ) dy =¿ 1 1
x
2
+ cos3 x
)
dy y + 2 −4 x 3 + 3 ysen 3 x =0 dx x
− y 2) dx + ( x 2−2 xy ) dy = 0
(
9. ( x − y 10. ( x
)
y dx =( 1−!nx ) dy x
8. 1 + !nx +
3
3
+ y 2 senx ) dx =( 3 x y 2+2 ycosx ) dy
+ y 3 ) dx + 3 x y 2 dy =0
11. ( y!ny −e
− xy
(
) dx + 1 + x!ny y
12. ( 3 x y + e ) dx + ( x y
2
13. x
3
)
dy =0
+ x e y − 2 y ) dy =0
dy = 2 x e x − y + 6 x 2 dx
(
14. 1−
(
2
3
y
15. x y
16. ( e
y
3
+ x
−
)
dy 3 + y = −1 dx x 1
1 + 9 x
2
)
dx + x 3 y 2=0 dy
+ 2 x ycos"x ) y ' + x y 2 sen"x + y 2 cos"x= 0
17. ( 5 y − 2 x ) y
'
−2 y =0
18. ( tanx − senxseny ) dx + cosxcosydy =0 19. ( 3 xcos 3 x + sen 3 x − 3 ) dx + ( 2 y + 5 ) dy = 0
20. ( 1−2 x
2
dy =4 x 3 + 4 xy dx
− 2 y )
(
2 x y
21. 2 ysenxcosx − y + 2 y e
2
) dx =( x − sen x −4 xy e x y ) dy 2
22. ( 4 t y −15 t − y ) dt + ( t + 3 y 3
23.
(
1
2
y
1
+ 2 −
t t
4
2
t + y
2
) (
2
25. ( e
x
2
− t ) dy = 0 t
y
dt + y e +
24. ( x + y ) dx + ( 2 xy + x
2
2
t + y
2
)
dy =0
−1 ) dy =0, y ( 1 )=1
+ y ) dx + ( 2+ x + y e y ) dy =0, y ( 0 )=1
2
26. ( 4 y + 2 t −5 ) dt + ( 6 y + 4 t −1 ) dy =0, y ( −1 ) = 2
27.
(
3 y
2
)
−t 2 dy + t =0, y 1 =1 ( ) 5 4
y
dt 2 y
28. ( y cosx −3 x y −2 x ) dx + ( 2 ysenx − x 2
29.
2
(+
1
1 y
2
+ cosx −2 xy
)
3
+ !ny ) dy =0
dy = y ( y + senx ) , y ( 0 )=1 dx
&ompruebe que la ecuación diferencial que se proporciona no es e;acta. >ultiplique la ecuación por el factor integrante indicado 3 ( x , y ) y compruebe que la nueva ecuación es e;acta. Resuelva. 30.6 xydx + ( 4 y + 9 x ) dy =0, 3 ( x , y )= y 2
31.− y dx + ( x + xy ) dy =0, 3 ( x , y )= 2
2
2
1 2
x y
32. ( − xysenx + 2 ycosx ) dx + 2 xcosxdy =0, 3 ( x , y ) = xy 33. ( x
2
+ 2 xy − y 2 ) dx + ( y 2 + 2 xy − x 2) dy =0, 3 ( x , y )=( x + y )
−2
Resuelva las ecuaciones diferenciales mediante la determinación de un factor integrante adecuado 34. ( 2 y
2
+ 3 x ) dx + 2 xydy = 0
35. y ( x + y + 1 ) dx + ( x + 2 y ) dy =0
( )
36. cosxdx + 1 +
37. ( 10−6 y + e
2
y
− 3 x
senxdy =0
) dx −2 dy = 0
38. ( y + x y ) dx + ( 5 y 2
3
2
− xy + y 3 seny ) dy = 0
39. xdx + ( x y + 4 y ) dy =0, y ( 4 )= 0 2
40. ( x
2
+ y 2−5 ) dx =( y + xy ) dy , y ( 0 )=1 ECUACIONES LINEALES
%e dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy a1 ( x ) + a0 ( x ) y = g ( x ) dx
s una ecuación lineal en la variable dependiente y . &uando
g ( x ) =0 ! se dice que la ecuación lineal es =omog6neaE de lo
contrario! es no =omog6nea. FOR(A ES*ANDAR DE UNA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE &RI(ER ORDEN 9l dividir ambos lados de la ecuación antes planteada entre el coe'ciente principal a1 ( x ) ! se obtiene una forma 3til! la forma estándar! de una ecuación lineal de orden uno: dy + ( x ) y=) ( x ) dx
%e busca una solución de la ecuación en un intervalo 4 para el cual ambas funciones coe'cientes y ) son continuas. &ASOS &ARA LA O'*ENCION DE LA SOLUCION GENERAL DE ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE &RI(ER ORDEN LINEAL DE LA FOR(A y ' + ( x ) y =) ( x )
&omo primer paso se busca el factor integrante! el cual depende solo de x ! es decir! resolvemos
( x ) dx 3 ( x ) =e∫
Luego sustituyendo en la ecuación planteada! el cual es una de las formas equivalentes más fáciles para la obtención de una solución general de una $ de primer orden! nos queda ( x ) dx ( x ) dx y e∫ dx = ) ( x ) e∫
∫
Resolviendo la integral a la derec=a y despejando a y − ( x ) dx y = e ∫
∫ ) ( x ) e∫
( x ) dx
− ( x ) dx dx + e ∫ %
s importante aclarar que! y = y c + y 0
$onde! − ( x ) dx − ( x ) dx y c =e ∫ % y y 0=e ∫
∫ ) ( x ) e∫
( x ) dx
dx
E3e#"lo ): dy 6 x x −4 y = x e dx
%i dividimos entre x ! se obtiene la forma estándar '
4
5 x
y − y = x e x
( x )
9plicando! ( x ) dx ( x ) dx y e∫ = ) ( x ) e∫ dx
∫
%ustituyendo nos queda!
) ( x
− 4 dx ∫ − x4 dx 5 x ∫ x y e dx = x e e
∫
Resolviendo ∫ − x4 dx −4 !nx ln x − 3 ( x )= e =e =e
4
¿ x−4 ntonces! −4
5 x
x e (¿ x ) dx −4 y x = ¿
∫
−4
∫
x
y x = x e dx −4
x
x
y x = x e −e + c
$espejando la solución vendrá dada por! 5 x
4 x
4
y = x e − x e + x c
E3e#"lo +: dy + y = x , y ( 0 )= 4 dx
$e la ecuación se identi'ca ( x )=1 y ) ( x )= x %ustituyendo! nos queda dx dx y e∫ = x e∫ dx
∫
Por lo tanto! x
∫
x
y e = x e dx x
x
x
y e = x e −e + c
$espejando! − x
y = x −1 + e c
Pero de la condición inicial se sabe que y = 4 cuando x =0 c =5
Por consecuencia! la solución es − x
y = x −1 + 5 e
E3e#"lo ,:
{
dy + y =) ( x ) , y ( 0 ) =0 donde) ( x )= 1, 0 5 x 5 1 dx 0, x > 1.
La solución para la siguiente función discontinua será. Primero se resuelve la $ para y ( x ) en el intervalo 0 5 x 5 1 y luego en el intervalo 1 < x < 6 . Para 0 5 x 5 1 ! se tiene dy + y =1 dx
Dos queda! dx dx y e∫ = e∫ dx
∫
x
x
y e =e + c 1
La primera solución vendrá dada! − x
y =1 + c 1 e
Luego de evaluar
y ( 0 )=0 ! se debe tener que
solución en el intervalo
0 5 x 51
c 1=−1
. Por lo tanto la
! será
− x
y =1 −e
9=ora para x > 1 ! de la ecuación dy + y =0 dx − x %e llega a y = c2 e . Por consiguiente! se puede escribir
{
− x
y = 1− e − x, 0 5 x 5 1 c2 e , x >1
%i se recurre a la de'nición de continuidad en un punto es posible determinar a para que la función anterior sea continua en x =1 . l requerimiento de
c2
+¿
x 7 1 y ( x )= y ( 1)
que
lim ¿
¿
− x − x implica que c 2 e =1−e o c 2=e −1 . La función
queda
{
− x
y = 1− e , −0 x5 x 5 1 ( e −1 ) e , x > 1
s continua en (0, 6 ) . &RO'LE(AS: 1.
2
dy + y =e−3 x dx
'
'
2
2. y + 3 x y =10 x '
3. y + 2 xy = x
3
'
4. x y + xy = x + 1
2
5. y = 2 y + x
6. x
2
+5
dy + 4 y = x 3− x dx
7. x y + x ( x + 2 ) y = e '
2
x
8. x
dy + ysenx = 1 dx
9. cosx
dy − y = x 2 senx dx
10.cos xsenxdy + ( y cos x −1 ) dx =0 2
11. ( 1+ x ) y
3
'
− xy = x + x 2
12. ( 1 −cosx ) dy + ( 2 ysenx −tanx ) dx =0 13. ydx + ( xy +2 x − y e ) dy =0 y
15. x
2
+ x ) dy =( x 6 + 3 xy + 3 y ) dx
dy + ( 3 x + 1 ) y= e3 x dx '
16. y + ytanx = xsen 2 x
17.
14. ( x
dy x 3 y = x + 2 dx 1 − x
18. dy =( x
5
−9 x 2 y ) dx − 2 x
dy 1−e 19. + y = x − x dx e +e 20. ydx + ( x + 2 x y
2
− 2 y ) dy
dr + rsec = cos d
26.
2
27 . ( x +2)
dy = 5−8 y − 4 xy dx
21. x y
22.
dy + ycotx =2cos 2 x dx
23. x y
24.
+ (1 + x ) y =e− x sen 2 x
'
'
+ 2 y = e x + !nx
dy + y =e−t + costsent dx
25. ydx =( y e
y
29. ( x
2
−1 )
−2 x ) dy
dy + 2 y =( x + 1 )2 dx
30. dx =( 3 e
y
−2 x ) dy
31. y = ( 10 − y ) cos"x '
28.
d + 2 t = + 4 t −2 dt
32. ydx −4 ( x + y ) dy =0 6
33.
(
)
dy 2 x −2 y=1 − 2 dx x −2 x + 1
'
34. y −
35. x y + y =e , y (−1 ) = 4 '
37. 8
38.
x
36. y
(
2 x −2 2
x −2 x + 1
)
y =
( x + 1) ( x 2−16 )
dx − x =2 y 2 , y ( 1 )=5 dy
di + Ri = ,i ( 0 )=i0 8 . R , e i0 constantes dt
dT = k ( T −T m ) ,T ( 0 )=T 0 k , T m y T 0 constantes dt
39. ( x + 1 )
40. y + tanxy = cos x , y ( 0 ) =−1 '
dy + y =!nx , y ( 1 )=10 dx
2
{
dy + 2 y =) ( x ) , y ( 0 )= 0, donde) ( x )= 1, 0 5 x5 3 dx 0, x >3
41.
42.
{
dy + y =) ( x ) , y ( 0 ) =1, donde) ( x )= 1, 0 5 x 5 1 dx −1, x > 1
{
dy + 2 xy =) ( x ) , y ( 0 )=2, donde) ( x )= x , 0 5 x < 1 dx 0, x 9 1
43.
44. ( 1 + x
2
dx
45. y + ( x ) y =4 x , y ( 0 )=3, donde ( x ) = '
{−
) dy + 2 xy =) ( x ) , y ( 0 )=0, donde) ( x ) = x , 0 5 x <1 x , x 9 1
{− /
2, 0 5 x < 1 2 x , x > 1
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE &RI(ER ORDEN REDUCI'LES A LINEAL
ECUACION DE 'ERNOULLI Una ecuación diferencial de la forma:
dy + ( x ) y =) ( x ) y n $onde dx
n es cualquier n3mero real! se llama Ecuación
de 'ernoulli. Para solucionar esta ecuación diferencial vamos a reducirla a una ecuación lineal de orden unoE simplemente reali?ando la siguiente sustitución: 1− n
u= y
$espejando a y nos queda! y =u
1 1− n
Por regla de la cadena! obtenemos
( )
( − )−
dy 1 u = dx 1−n
1
1
n
1
du dx
%ustituyendo y simpli'cando en la ecuación inicial! nos queda u + ( x ) u=) ( x ) '
s obvio que la ecuación no es más que una ecuación diferencial lineal de primer orden. Resuelva y devuelva el cambio. $e ser posible despeje y . E3e#"lo ): dy 2 2 x + y = x y dx
5rgani?ando en la forma estándar! dy 1 + y = x y 2 dx x
y
n
fectuando el cambio! 1− 2
u= y
−1
u= y
$espejando a y , obtenemos y =u
−1
$erivando por regla de la cadena! dy du =−u−2 dx dx
%ustituyendo!
−u−2
du 1 −1 + u = x (u−1)2 dx x
−2 $ividiendo entre −u ! se concluye
du 1 − u =− x dx x
9 continuación tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden. Resolvemos de la forma =abitual. ( x ) dx ( x ) dx u e∫ dx = ) ( x ) e∫
∫
∫ − x1 dx ∫ − x1 dx ue dx = − x e
∫
l factor integrante será! ∫ − x1 dx −!nx −1 ¿e = e = x
Resolviendo!
−1
∫
u x = − x . x
−1
dx
∫
−1
u x =− dx
$espu6s de la integración y a su ve? despejando u ,
− x c u= −1 + −1 x x 2
u=− x + xc
−1 &omo u= y ! la solución vendrá dada −1
2
y =− x + xc
$espejando a y ! la solución y =
1 2
− x + xc
&RO'LE(AS: &ada $ es una ecuación de Fernoulli. Resuelva! dy 1 + y = 2 dx y
4. x
2.
dy − y =e x y 2 dx
5. t
3.
dy = y ( x y 3−1 ) dx
6.3 ( 1 + t )
1. x
dy −( 1 + x ) y = x y 2 dx
2
dy + y 2=ty dt 2
'
dy = 2 ty ( y 3−1 ) dt
7. y = ( 4 x + y )
2
2
8. x
dy + 2 xy =5 y 3 dx
10. x
'
9. x y + 6 y =3 x y
4 3
dy 1 −2 xy =3 y 4 , y ( 1 )= dx 2
2
1 2
3
dy 11. y + y 2 =1, y ( 0 ) =4 dx
'
y x − , y ( 1 )=1 x y 2
12.2 y =
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SU&ERIOR eniendo la siguiente $ de orden n =omog6nea con coe'cientes constantes! n
a0 y + a1 y
n− 1
+ a2 y n−2+ … + an−1 y ' + an y =0
:x %uponga soluciones de la forma y = e ! G un n3mero cualquiera y busque las
n derivadas de y = e :x : y ' = : e :x ! y ' ' = :2 e :x ! y ' ' ' = : 3 e :x …
%ustituyendo las derivadas obtenidas en la ecuación diferencial!
n :x
a0 : e + a1 :
n−1 :x
e + a2 :
n−2 :x
:x
:x
e + … + a n−1 :e + a n e =0
:x 4actor com3n e
( a :
n
0
+ a1 :n−1 + a2 :n −2 + … + an−1 :+ an ) e :x=0
:x &omo e ; 0 entonces deberá buscar las raAces del polinomio
( a : 0
n
+ a1 :n−1 + a2 :n −2 + … + an−1 :+ an )=0
l cual se denomina "olino#io caracter%tico. Ca%o ): %i las race% del polinomio caracterAstico son reale% ; di%tinta% :1 , :2 , : 3 …! :n−1
! :n
ntonces las n soluciones linealmente independientes son! :1 x
y 1=e
: 2 x
, y 2= e
…
La solución general de la ecuación diferencial =omog6nea es: :1 x
:2 x
y =% 1 e + % 2 e
+ … + % n−1 e :
n−1
x
+ % n e : x n
$onde % 1 , % 2 … , % n−1 ,% n %on con%tante% aritraria% Ca%o +: Si la% race% del polinomio caracterAstico son reales y algunas %e re"iten! digamos :1 con multiplicidad de
k . ntonces para esa raA? repetida las
soluciones serán :1 x
:1 x
2 : 1 x
y =% 1 e + % 2 x e ++ % 3 x e
… + % n −1 x
n+ 1 :1 x
n : 1 x
e + % n x e
Ca%o ,: %i el polinomio caracterAstico tiene race% co#"le3a%. %i :1= - +
( - +
, y 2=e
( - −
H la solución general es al igual que en el caso (! una combinación lineal de las n
soluciones linealmente independientes.
9quA deberá aplicarse la For#ula de Euler e
( - &< i) x
=e -x e &
-x
y = e ( % 1 cos
Ca%o -: %i el polinomio caracterAstico tiene race% co#"le3a% re"etida%. Las soluciones correspondientes se escriben de manera similar a como se indico para las raAces reales repetidas y la solución general es al igual que el caso (! una combinación lineal de las -x
y = e
n soluciones linealmente independientes.
( % cos
2
3
4
E3e#"lo ): ' '
−5 y ' −3 y = 0
2 y
&onstruimos la siguiente ecuación au;iliar! 2
2m
−5 m−3=0
Por medio de la formula cuadrática se encuentran las raAces!
m 1=
−1
,m 2=3
2
Por lo tanto la solución para raAces reales distinta vendrá dada por! −1 x
y =% 1 e
2
+ % 2 e 3 x
E3e#"lo +: ''
'
y + 4 y + 7 y =0
Iuedando la ecuación! 2
m + 4 m + 7 =0
Por medio de la ecuación cuadrática tenemos! m1=−2+ √ 3 i , m2=−2 −√ 3 i
La solución respecto al caso *! −2 x
y = e
( % cos √ 3 x + % sen √ 3 x ) 1
2
E3e#"lo ,: 3
2
d y d y + 3 2 −4 y =0 3 dx dx
$ebe ser evidente de la inspección! 3
2
m + 3 m − 4 =0
Iue una raA? sea
m 1 =1
y! por consecuencia!
m2=m3=−2
solución general del caso ( y caso ) para la ecuación diferencial! x
−2 x
y =% 1 e + % 2 e
E3e#"lo -:
+ % 3 xe−2 x
. 9sA que la
y + 16 y = 0 , y ( 0 ) =2, y ( 0 )=−2 ''
'
enemos que la ecuación! 2
m + 16 =0
Posee raAces complejas! m1=4 i, m 2=−4 i
s obvia la solución y =% 1 cos 4 x + % 2 sen 4 x
valuando para la condición inicial de y =2 para x =0 ! obtenemos 2=% 1
Para el estudio de la segunda condición! la solución debe ser derivada y =% 1 cos 4 x + % 2 sen 4 x '
y =−4 % 1 sen 4 x + 4 % 2 cos 4 x
' 9sA pues! evaluamos la condición de y =−2 cuando x =0
−2 =4 % 2 % 2 =
−1 2
La solución será! 1 2
y =2cos4 x − sen 4 x
&RO'LE(AS:
1.3 y
' '
17.2 y
' '
2.2 y
' '
+ 5 y ' =0
18.3 y
' '
' '
−16 y = 0
19.2 y
' '
' '
20. y
' '
+ 9 y =0
21.4 y
' '
22. y
3. y 4. y 5. y
− y ' =0
+ 8 y =0
6.3 y
+ y =0
+ 2 y ' + y =0
−4 y ' ' −5 y ' =0 ' ''
+ 4 y ' ' + y ' =0
' ' '
23. y
' '
− y ' − 6 y =0
24. y
d y dy 9. + 8 + 16 y =0 2 dx dx
2
25. y
8. y
−3 y ' + 2 y =0
+ 2 y ' + y =0
' ' '
' '
7. y
−3 y ' + 4 y = 0
− y =0
' ' '
−6 y =0
' ' '
+ 5 y ' ' =0
' ' '
26. y
−5 y '' + 3 y ' + 9 y =0
' ' '
+ 3 y ' ' −4 y ' −12=0
2
d y dy 10. 10 − + 25 y =0 2 dx dx ' '
'
11. y 3 y −5=0 12. y
' '
+ 4 y ' − y =0
13.12 y 14.8 y 15. y
' '
−5 y' − 2=0
' '
+ 2 y ' − y =0
' ' '
+ y ' ' −2 y ' =0
27. y
' ' '
− y '' − 4 y ' =0
28. y
29. y
' ' '
+ 3 y ' ' + 3 y ' + 1 y =0
30. y
' ' '
−6 y '' + 12 y ' −8 y =0
4
3
2
d y d y d y 31. + 3 + 2 =0 4 dx dx dx
' '
− 4 y ' + 5 y =0 4
6
d y 16. − y =0 6 dx
2
d y d y 32. 2 − + y =0 4 2 dx dx
4
2
5
d y d y 33.16 + 24 2 + 9 y =0 4 dx dx 4
d y dy 35. −16 =0 5 dx dx
2
5
d y d y 34. −7 2 −18 y = 0 4 dx dx 5
4
3
2
d y d y d y d y dy 37. 5 2 10 + − − + + 5 y =0 5 4 3 2 dx dx dx d x dx 5
4
3
2
d y d y d y d y 38.2 −7 4 + 12 3 + 8 2 =0 5 dx dx dx dx 39. y
+16 y =0, y ( 0 )=2, y ' ( 0 )=−2
' '
40. y
''
− y =0, y ( 0 )= y ' ( 0 )=1
41. y
''
+6 y ' + 5 y =0, y ( 0 )=0, y ' ( 0 )=3
42. y
''
−8 y ' + 17 y =0, y ( 0 ) =4, y ' ( 0 )=−1
43.2 y
−2 y ' + y =0, y ( 0 )=−1, y ' ( 0 )= 0
''
44. y
''
−2 y ' + y = 0, y ( 0 )=5, y ' ( 0 )=10
45. y
''
+ y ' + 2 y =0, y ( 0 )= y ' ( 0 )=0
46.4 y
− 4 y ' −3 y =0, y ( 0 )=1, y ' ( 0 )=5
''
47. y
''
−3 y' + 2 y =0, y ( 1 )=0, y ' ( 1 )=1
48. y
''
+ y =0, y
49. y
'' '
() * 3
( )=
=0, y'
4
3
d y d y d y 36. −2 4 + 17 3 =0 5 dx dx dx
* 3
2
+12 y ' ' + 36 y ' =0, y ( 0 )=0, y ' ( 0 ) =1, y ' ' ( 0 )=−7
+ 2 y ' ' −5 y ' −6 y =0, y ( 0 )= y ' ( 0 )=0, y ' ' ( 0 ) =1
50. y
' ' '
51. y
' ' '
−8 y =0, y ( 0 )=0, y ' ( 0 )=−1, y ' ' ( 0 )=0
4
d y 52. =0, y ( 0 )=2, y ' ( 0 )=3, y ' ' ( 0 )= 4, y ' '' ( 0 )=5 4 dx 4
3
2
d y d y d y dy 53. −3 3 + 3 2 − = 0, y ( 0 ) = y ' ( 0 ) =0, y' ' ( 0 )= y ' '' ( 0 )=1 4 dx dx dx dx 4
d y 54. − y = 0, y ( 0 ) = y ' ( 0 ) = y ' ' ( 0 )=0, y ' '' ( 0 )=1 4 dx 4
d y 55. − 4 y =0, y ( 0 )= y ' ( 0 )= y ' ' ( 0 )=0, y ' ' ' ( 0 )=1 4 dx
COEFICIEN*ES INDE*ER(INADOS9 (E*ODO DE SU&ER&OSICION Para resolver una ecuación diferencial no =omog6nea n
a0 y + a1 y
n− 1
+ a2 y n−2+ … + an−1 y ' + an y = g ( x )
%e deben efectuar dos pasos: (. $eterminar la función complementaria y c . La función complementaria es la solución de la ecuación diferencial =omog6nea relacionada a la ecuación antes e;puesta! es decir n
a0 y + a1 y
n− 1
+ a2 y n−2+ … + an−1 y ' + an y =0
). @allar la solución particular
y 0
. n la presente sección se van a
presentar m6todos para la obtención de soluciones particulares. *. Luego la solución general vendrá dada por y = y c + y 0 (6todo de coe=ciente% indeter#inado%
La primera de las dos formas que se consideran para obtener una solución particular
y 0
de una $ lineal no 5o#o06nea se llama m6todo de los
coe'cientes indeterminados. La idea fundamental que sustenta este m6todo es una conjetura acerca de la forma de
y 0
! en realidad una suposición
informada! motivada por las clases de funciones que constituyen la función de entrada g ( x ) . l m6todo general se limita a $ lineales donde •
•
Los coe'cientes ai , i=0,1, … , n son constantes y g ( x )
es una
k
constante! una función polinomial! una función
ax e;ponencial e ! una función seno o coseno
sen xo cos x ! o sumas
'nitas y productos de estas funciones. Las siguientes funciones son algunos ejemplos de los tipos de entradas de g ( x ) : − x
g ( x ) =10, g ( x )= x −5 x , g ( x )=15 x −6 + 8 e 2
−4 x
g ( x ) = sen 3 x −5 xcos 2 x , g ( x )= x e senx +( 3 x −1 ) e x
l
conjunto
e;ponenciales
de e
funciones ax
2
que
consiste
en
constantes!
polinomios!
! senos y cosenos tienen notable propiedad de que las
derivadas de sus sumas y productos son de nuevo sumas y productos de constantes! polinomios! e;ponenciales! senos y cosenos. $ebido a que la combinación lineal de derivadas y 0 debe ser id6ntica a g ( x ) ! parece ra?onable suponer que y 0 tiene la misma forma que n los ejemplos siguientes se ilustra el m6todo. E3e#"lo ): ''
'
2
y + 4 y −2 y =2 x −3 x + 6
&a%o ):
g ( x ) .
' ' ' %e resuelve primero la ecuación =omog6nea relacionada y + 4 y −2 y =0 . $e
la formula cuadrática se encuentra que las raAces de la ecuación au;iliar 2
m + 4 m− 2=0 m1=−2−√ 6 , m2=−2 + √ 6
Por consiguiente la función complementaria es −(2+ √ 6 )
y c =% 1 e
+ % 2 e(−2+√ 6)
&a%o +: $ebido a que la función
g ( x ) es un polinomio cuadrático! supóngase una
solución particular que tambi6n es de la forma de un polinomio cuadrático: 2
y 0= = x + >x +%
%e busca determinar coe'cientes especA'cos = , > y % para los cuales y 0 es una solución de la ecuación problema. %ustituyendo y 0 y las derivadas y ' 0=2 =x + > y y '' 0 =2 =
%ustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene! ''
'
2
y + 4 y −2 y =2 x −3 x + 6 2 = + 4 ( 2 =x + > )−2 ( = x
2
+ >x +% ) =2 x 2− 3 x + 6
$istribuyendo! 2 = + 8 =x + 4 > −2 = x
2
−2 >x −2 % =2 x2 −3 x + 6
9grupando t6rminos se construye un sistema de ecuaciones!
{
x (−2 = )=2 x ( 8 = − 2 > )=−3 T . 4 ( 2 = + 4 >−2 % )=6 2
Resolviendo el sistema tenemos que!
= =−1, > =
−5 2
y % =−9
. Por lo tanto una
solución particular es! 2
5 2
y 0=− x − x −9
&a%o ,: La solución general de la ecuación que se proporciona es y = y c + y 0 5 2
y =% 1 e−(2 +√ 6) + % 2 e(−2+√ 6) − x − x −9 2
FOR(ACION DE y 0 &OR SU&ER&OSICION E3e#"lo +: ''
'
y − 2 y −3 y = 4 x −5 + 6 x e
2 x
Paso (: ' ' ' La solución =omog6nea relacionada y − 2 y −3 y = 0 resulta ser
− x
y c =% 1 e + % 2 e
3 x
.
Paso ): 9 continuación! la presencia de
4 x −5
en
g ( x ) indica que la solución
particular incluye un polinomio lineal. 9demás! debido a que la derivada de 2 x 2 x 2 x producto x e produce 2 x e y e ! se supone tambi6n que la solución
2 x 2 x particular incluye a x e y e . n otras palabras!
g es la suma de dos
clases básicas de funciones: g ( x ) =g 1 ( x ) + g2 ( x )= 0o!inomio + ex0onencia!es.
n consecuencia! el principio de superposición para ecuaciones no =omog6neas indica que se busca una solución particular y 0= y 0 1 + y 0 2 2 x 2 x $onde y 0 1= =x + > y y 0 2=%x e + e . %ustituyendo
2 x
y 0= =x + > + %x e + e
2 x
$erivando y agrupando t6rminos semejantes en la ecuación! se obtiene ''
'
y − 2 y −3 y = 4 x −5 + 6 x e
2 x
−3 =x −2 = −3 >−3 %x e 2 x + ( 2 % −3 ) e 2 x = 4 x −5 + 6 x e 2 x
$e esta identidad se obtienen las cuatro ecuaciones
{
2 x
x e (−3 % )=6 2 x e ( 2 % − 3 )=0 x (−3 = ) =4 T . 4 (−2 = −3 > )=−5
9l resolver! se encuentra que consecuencia y 0=
−4 x 3
&a%o ,:
+
23 4 −2 x e2 x − e2 x 9 3
= =
−4 3
, >=
23 −4 , % =−2 y = 9 3
. n
La solución general de la ecuación es − x
4 3
3 x
y =% 1 e + % 2 e − x +
23 4 −2 x e 2 x − e 2 x 9 3
E3e#"lo ,: n el siguiente ejemplo se ilustra que algunas veces la suposición "obvia# para la formación de y 0 no es una suposición correcta. ''
'
x
y − 5 y + 4 y =8 e
%i se procede como se =i?o en los ejemplos anteriores! se puede suponer de modo ra?onable una solución particular de la forma
x
y 0= = e
. Pero la
sustitución de esta e;presión en la ecuación diferencial produce la e;presión x
0 =8 e
contradictoria
de modo que claramente se =i?o una conjetura
equivocada para y 0 . La di'cultad aquA es evidente al e;aminar la función complementaria x
4 x
y 0=% 1 e + % 2 e
x 5bserve que la suposición = e ya está presente en y c . sto signi'ca que x
e
es una solución de la ecuación diferencial =omog6nea relacionada! y un
m3ltiplo constante
x
= e
cuando se sustituye en la ecuación diferencial
necesariamente produce cero! x
4 x
x
% 1 e + % 2 e ? = e
Fajo las circunstancias descritas! se puede constituir la siguiente regla general. Regla de la multiplicación. Si alguna los términos de
y c
, entonces esa
y 0 1
y 0 1
contiene términos que duplican
se debe multiplicar por x
n es el entero positivo más pequeño que elimina esa duplicación.
n
, donde
&on base en la regla! se puede encontrar una solución particular de la forma! x
y 0= =x e
x x x x 9l sustituir y ' 0= =x e + = e y y ' ' 0= =x e + 2 = e en la ecuación diferencial y
simpli'cando! se obtiene ''
'
x
x
y − 5 y + 4 y =−3 = e =8 e
$e la ultima igualdad se ve que el valor de = a=ora se determina como = =
−8 3
y 0=
. Por consiguiente! una solución particular de la que se proporciona es
−8 x e x 3
Solucione% &articulare% de &ruea g ( x )
For#a de y 0
1. ( cua!@uier constante)
=
2.5 x + 7
=x + >
3.3 x 4. x
3
2
2
−2
=x + >x + % 3
− x + 1
5. sen 4 x
5 x
7. e
=e 5 x
8. ( 9 x −2 ) e 2
=cos 4 x + >sen 4 x =cos 4 x + >sen 4 x
6.cos4 x
9. x e
5 x
3 x
10. e sen 4 x 2
2
=x + > x + %x + /
11.5 x sen 4 x
5 x
( =x + > ) e 5 x
( =x2 + >x + % ) e 5 x 3 x
3 x
= e cos 4 x + > e sen 4 x
( =x + >x + % ) cos4 x + ( x + 2x + $ ) sen 4 x 2
2
3 x
12. x e cos 4 x
( =x + > ) e3 x cos 4 x + ( %x + ) e 3 x sen 4 x
&RO'LE(AS: 1. y
' '
+ 3 y ' + 2 y =6
2. 4 y
4. y
' '
+ 9 y =15
5.
' '
+ y ' −6 y =2 x
1 ' ' ' 2 y + y + y = x −2 x 4
' '
−10 y ' + 25 y =30 x + 3
3. y
6. y 7. y
' '
−8 y ' + 20 y =100 x 2−26 x e x
' '
+ 3 y =−48 x 2 e 3 x
8. 4 y 9. y
10. y
+ 2 y ' =2 x + 5− e−2 x
' '
x
1 11. y − y + y =3 + e 2 4 ''
'
' '
−4 y ' −3 y =cos2 x 12. y
' '
−16 y =2 e 4 x
13. y
' '
' '
− y ' =−3
− 4 y =( x 2−3 ) sen 2 x
+ 4 y =3 sen 2 x
14. y
' '
16. y
' '
15. y
' '
17. y
' '
18. y
' '
22. y
' ' '
19. y
' '
23. y
' '
24. y
+ y =2 xsenx −2 y ' + 2 y = e2 x ( cosx−3 senx ) + 2 y ' + y = senx + 3cos2 x
20. y
+2 y ' − 24=16 −( x + 2) e 4 x
' ' '
21. y
−6 y ' ' = 3−cosx
−5 y ' =2 x3 −4 x 2− x + 6 −2 y ' +5 y =e x cos2 x −2 y' ' − 4 y ' + 8 y =6 x e2 x
' ' '
−3 y '' + 3 y ' − y = x − 4 e x
' ' '
25. y
− y '' − 4 y ' + 4 y =5 −e x + e 2 x
( 4)
+ 2 y ' ' + y =( x −1 )2
( 4)
− y '' =4 x + 2 x e− x
26. y
()
( )=2
1 ' 27. y +4 y =−2, y = ,y 8 2
*
' '
* 8
+ 3 y ' −2 y =14 x2− 4 x −11, y ( 0 ) =0, y ' ( 0 )= 0
28.2 y
' '
29.5 y
' '
+ y ' =−6 x , y ( 0 )=0, y ' ( 0 ) =−10
+4 y ' + 4 y =( 3 + x ) e−2 x , y ( 0 )=2, y ' ( 0 )=5
30. y
' '
31. y
' '
32. y
' '
+4 y ' + 5 y =35 e−4 x , y ( 0 )=−3, y ( 0 )=1
− y = cos"x , y ( 0 ) =2, y ' ( 0 )=12
2
d x 33. + A 2 x = 2 0 senAt , x ( 0 )=0, x' ( 0 )= 0 2 d t 2
d x 34. + A 2 x = 2 0 cosBt , x ( 0 )=0, x ' ( 0 ) =0 2 d t 1 2
5 2
−2 y ' ' + y ' =2−24 e x + 40 e 5 x , y ( 0 ) = , y ' (0 )= , y ' ' ( 0 )=
35. y
' ' '
36. y
' ' '
37. y
' '
38. y
' '
39. y
' '
+ 8 y =2 x − 5 + 8 e−2 x , y ( 0 )=−5, y ' ( 0 ) =3, y ' ' ( 0 )=−4
−9 y ' + 14 y =3 x 2−5 sen 2 x + 7 x e6 x −5 y ' + y=e x + y = 4 x + 10 senx,y ( * )=0, y ' ( * )= 2
40. y
''
41. y
'' '
42. y
−6 y ' + 9 y =6 x 2+ 2 −12 e3 x + y ' ' = e x cosx
(4 )
+ y ' ' ' =1− x2 e− x
−9 2
43. y
44. y
''
''
+ 4 y = g ( x ) , y ( 0 )=1, y ' ( 0 )=2, donde g ( x )=
{
senx , 0 5 x 5
2
*
0, x >
−2 y ' + 10 y = g ( x ) , y ( 0 )= 0, y ' ( 0 )=0, donde g ( x )=
*
2
{
20,0 5 x5 * 0, x > *
VARIACION DE &ARA(E*ROS 9sA para resolver! ''
'
a2 y + a 1 y + a0 y = g ( x )
Primero se encuentra la función complementaria y 0 ! de la misma forma que en las secciones anteriores! y c =% 1 y1 + % 2 y 2
%e procede a calcular el >ron%?iano! C ( y 1 ( x ) , y 2 ( x ) )
9l dividir entre a2 ! se escribe en la ecuación en la forma estándar ''
'
y + y + )y = # ( x )
Para determinar a # ( x ) . %e encuentra u1 y u2 al integrar u ' 1=
C 1 C
y u ' 2=
C 2 C
$onde C 1 y C 2 se obtiene!
|
C =
y 1 y ' 1
| |
0 y2 , C 1= y ' 2 # ( x )
y2
| |
2
y '
,C 2=
y 1 y ' 1
0
|
# ( x )
Una solución particular es y 0=u1 y 1+ u2 y 2 9sA la solución general de la ecuación es y = y c + y 0
E3e#"lo ): ' '
'
2 x
y − 4 y + 4 y =( x + 1 ) e
2 $e la ecuación au;iliar m −4 m+ 4 =0 se obtiene!
2 x
2 x
y c =% 1 e + % 2 x e
y 1=e
&on las identi'caciones
2 x
y
2 x
y 2= x e
! a continuación se calcula el
JronsKiano:
|
2 x
|
2 x
e x e 4 x C ( e , x e )= 2 x 2 x 2 x = e 2e 2 x e + e 2 x
2 x
&omo en la ecuación a resolver! el coe'ciente de # ( x )=( x + 1 ) e
2 x
|
C 1=
. 2 x
0
( x + 1) e 2 x
|
|
−( x + 1 ) xe 4 x e
4 x
2 x
|
xe e 0 =−( x + 1 ) x e 4 x , C 2= 2 x =( x +1 ) x e 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x e + e 2e ( x + 1) e
Por lo tanto! u ' 1=
y ' ' es (! se identi'ca
y u ' 2=
( x + 1 ) xe 4 x 4 x
e
∫
∫ ( x +1 ) x dx
u1= −( x + 1 ) x dx y u 2=
u1=
−1 3
1 2
3
1 2
2
2
x − x , u2= x + x
Por consiguiente! y 0=
(−
) (
)
1 3 1 2 2 x 1 2 2 x x − x e + x + x x e 3 2 2
9grupando! 1 6
3
2 x
1 2
2
2 x
y 0= x e + x e
La solución general vendrá dada! 2 x
2 x
1 6
3
2 x
1 2
2
y =% 1 e + % 2 x e + x e + x e
2 x
E3e#"lo +: 4 y
' '
+ 36 y =csc 3 x
Primero se organi?a la ecuación de la forma estándar! ''
1 4
y + 9 y = csc 3 x
$ebido a que las raAces de la ecuación au;iliar m2=−3 i
! la función complementaria es
y c =% 1 cos3 x + % 2 sen 3 x
ntonces!
2
m + 9=0 son
m 1 =3 i
y
y 1=cos3 x , y 2 =sen 3 x 1 4
# ( x )= csc 3 x
Para el JronsKiano!
|
C ( cos3 x , sen 3 x ) =
|
sen 3 x
0
C 1= 1 4
|
sen 3 x cos3 x =3 −3 sen 3 x 3cos3 x
|
csc 3 x 3cos3 x
=
−1 4
|
, C 2=
|
cos3 x
0
−3 sen 3 x
1 csc 3 x 4
=
1 cos3 x 4 sen 3 x
9l integrar! u ' 1=
−1 y u ' cos3 x 2=
12 sen 3 x
12
%e obtiene
u1=
−1 x 12
y
u2=
1 ln|sen 3 x| 36
. Por consiguiente! una solución
particular es y 0=
−1 xcos x 3 + 12
1 ( sen 3 x ) ln|sen 3 x| 36
La solución general de la ecuación es y =% 1 cos 3 x + % 2 sen 3 x −
1 1 xcos 3 x + ( sen 3 x ) ln|sen 3 x| 12 36
&RO'LE(AS: 1. y
' '
+ y = secx
2. y
' '
+ y = senx
' '
+ y =tanx
3. y 4. y 5. y
' '
11. y
''
12. y
' '
13. y
' '
14. y
' '
−9 y =
9 x
e
3 x
' '
+ y =sec tan
' '
2
' '
2
+ 3 y ' + 2 y =
+ y =cos x
6. y 7. y
10. y
+ y = sec x
−2 y ' + y=
1 1+e
x
x
e 2 1 + x
' '
8. y
− y = cos"x
+ 3 y ' + 2 y = sene x
' '
− y =sen"x 2 x
' '
9. y − 4 y =
15. y
−2 y ' + y=e t arctan t
e x
+ 2 y ' + y = e−t !nt
' '
+ 2 y ' + y= 4 √ x
16.2 y
' '
17.3 y
' '
−6 y ' + 6 y =e x secx
18.4 y
−4 y' + y = e x / 2 √ 1− x 2
' '
Resuelva cada ecuación mediante variación de parámetros! sujeta a las ' condiciones iniciales y ( 0 )=1, y ( 0 ) =0 .
19.4 y 20.2 y
− y = x e x / 2
' '
' '
+ y ' − y = x + 1
+ 2 y ' − 8 y =2 e−2 x −e− x
' '
21. y
' '
22. y
− 4 y ' + 4 y =(12 x2 −6 x ) e2 x
Resuelva la ecuación diferencial de tercer orden por medio de variación de parámetros. ' ' '
+ y ' = tanx
23. y
' ' '
+ 4 y ' = sec 2 x
24. y
9nalice como pueden combinarse los m6todos de coe'cientes indeterminados y variación de parámetros para resolver la ecuación diferencial. Ponga en práctica sus ideas. 25.3 y
' '
−6 y ' + 30 y =15 senx + e x tan3 x
−2 y ' + y=4 x2 −3 + x−1 e x
' '
26. y
DEFINICION DE LA *RANSFOR(ADA DE LA&LACE n cálculo elemental se aprendió que la diferenciación e integración son transformadas; esto signi'ca! en t6rminos apro;imados! que estas operaciones transforman una función en otra. Por ejemplo! la función
# ( x )= x
2
se
transforma! a su ve?! en una función lineal y una familia de funciones polinomiales cubicas mediante las operaciones de diferenciación e integración: d 2 x =2 x ambi6n dx
∫ x
2
x
3
dx = + % . 9demás estas dos transformadas 3
poseen la propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de transformadas. n esta sección se e;amina un tipo especial de transformada integral llamada tran%for#ada de La"lace. 9demás de poseer la propiedad de linealidad! la transformada de Laplace tiene muc=as otras propiedades interesantes que la =acen muy 3til para resolver problemas de valores lineales. DEFINICION DE LA *RANSFOR(ADA DE LA&LACE %ea # una función de'nida para t 9 0 . ntonces se dice que la integral 6
L
{ # ( t ) }=∫ e−st # ( t ) dt 0
s la transformada de Laplace de # ! siempre que converja la integral. &uando la integral converge! el resultado es una función de
s .n los
ejemplos siguientes se usa una letra min3scula para denotar la función que se transforma y la letra may3scula correspondiente para denotar su transformada. E3e#"lo ):
{e− t }
L
3
$e la de'nición se tiene! 6
6
¿∫ e e
−st −3 t
∫ e−( + ) dt
dt =
0
s 3 t
0
−( s +3) t e − 6 ¿ (s + 3 ) ¿ 0
|
¿
1
s +3
, s >−3
l resultado se deduce del =ec=o de que −( s+3 ) t
=0
lim e t76
Para s + 3 > 0 ! o bien! s >−3 E3e#"lo +:
L
{ sen 2 t }
$e la de'nición! 6
¿∫ e−st sen 2 t dt 0
−st −st e sen 2 t 2 e cos2 t 4 − ¿ − −
s
2
s
6
− e ∫ s 2
0
st
sen 2 t dt
− s e−st sen 2 t 2 e−st cos2 t 6 ¿ − (s 2 +4 ) ( s2 + 4 ) ¿ 0
|
−st
lim e
cos2 t = 0, s > 0
t76
valuando el resultado es!
¿
2 2
s +4
, s> 0
&ARA UN CO('INACION LINEAL DE FUNCIONES 6
6
∫ e [ -# ( t ) + < g ( t )] dt = - ∫ e − st
6
−st
0
# ( t ) dt + <
0
∫ e−
st
g ( t )dt
0
%iempre que ambas integrales converjan para
s >c .
&omo resultado de la propiedad dada!
{ 1 +5 t }
L ¿
L
{ 1 } L
{ 5 t }
$e la de'nición antes e;puesta se concluye! 1 5
¿ + s
s
2
*RANSFOR(ADA DE UNA FUNCION CON*INÚA &OR &AR*ES valuar
L
{ # (t )
{
# ( t )= 0, 0 5 t < 3 2, t 9 3
# ! mostrada en la 'gura es continua por partes y de orden
La función
e;ponencial para
t > 0.
Puesto que
#
se de'ne en dos partes! su
transformada se e;presa como la suma de dos integrales. 6
6
3
¿∫ e # ( t ) dt =∫ e ( 0 ) dt +∫ e−st ( 2 ) dt −st
−st
0
0
−st
¿ 0+
− |¿
2e
s
3
6 3
−3 s
¿
2e
s
, s >0
&RO'LE(AS: 6
Use la de'nición
L
{ # (t ) }=∫ e−st # ( t ) dt para encontrar la transformada de 0
Laplace! 1. # ( t ) =
{−
3. # ( t ) =
{
2. # ( t ) =
{
4. # ( t ) =
{
2, 0 5 t < 1 2, t 9 1 4, 0 5 t < 2 0, t 9 1
t , 0 5 t < 2 2, t 9 2 2 t + 1, 0 5t < 1 0, t 9 1
5. # ( t ) =
{
sent , 0 5 t < * 0, t 9 *
6. # ( t ) =
{
0, 0 5 t < * / 2 cost, t 9 * / 2
7.
10.
8.
( t + 7
14. # ( t ) =e sent
−2 t −5
15. # ( t ) =e cost
10. # ( t ) =e 11. # ( t )=e
12. # ( t ) =t e
4 t
−t
t
16. # ( t ) =tcost
13. # ( t ) =t e
17. # ( t ) =tsent
18. # ( t ) =2 t
19. # ( t ) =t
−2t
2
4
5
20. # ( t ) =t e
31. # ( t ) =4 t −5 sen 3 t
4 t
2
21. # ( t ) =4 t −10
32. # ( t ) =cos5 t + sen 2 t
22. # ( t ) =7 t + 3
33. # ( t ) =sen" kt
23. # ( t ) =t + 6 t −3
34. # ( t ) =cosh kt
24. # ( t ) =−4 t + 16 t + 9
35. # ( t ) =e sen"t
25. # ( t ) =(t + 1)
36. # ( t ) =e cos"t
2
t
2
−t
3
26. # ( t ) =( 2 t −1 ) 27. # ( t ) =1+ e
38. # ( t ) =cos t 2
4 t
−9t
39. # ( t ) =sen ( 4 t + 5 )
2t 2
40. # ( t ) =10cos t −
28. # ( t ) =t −e 2
29. # ( t ) =( 1 + e
+5
( )
)
* 6
−t 2
30. # ( t ) =( e − e t
37. # ( t ) =sen 2 t cos 2 t
3
)
*RANSFOR(ADA INVERSA %i 2 ( s ) representa la transforma de Laplace de una función
# ( t ) ! se dice
entonces que # ( t ) es la transformada de la Laplace inversa de 2 ( s ) escribe
# ( t )= 8
−1
{ # ( s )} .
E3e#"lo ):
L
{e− t }= s 1 3
−3t
3
+
su transformada inversa es
e
E3e#"lo +: Di$i%ión de t6r#ino a t6r#ino ; linealidad
= 8−1
{+} 1
s 3
y se
valu6 la transformada inversa!
{
−2 s + 6 2 s +4
}
Primero se reescribe la función provista de
s como dos e;presiones por
medio de la división t6rmino a t6rmino! y luego se usa la ecuación −1
8
{
}
{ }
{ }
s −2 s 6 6 2 + 2 =−2 8−1 2 + 8 −1 2 2 s +4 s +4 s +4 2 s +4
¿− 2cos2 t + 3 sen 2 t . E3e#"lo ,: Fraccione% "arciale% en la tran%for#a in$er%a2
( s −1 ) ( s −2 ) s+4 2 s + 6 s +9 ¿ −1 8 { ¿ } ;isten constantes reales! = ,> y % ! de tal forma que
( s −1 ) ( s −2 ) s + 4 s +6 s + 9 = > % ¿= + + ¿ s −1 s− 2 s + 4 2
( s −1 ) ( s −2 ) s + 4 ( s −1 ) ( s −2 ) s + 4 2 = ( s −2 ) ( s + 4 )+ > ( s −1 ) ( s + 4 ) + % ( s −1 ) ( s −2 ) s +6 s + 9 ¿= ¿ ¿ ¿ Puesto que los denominadores son id6nticos! los numeradores son id6nticos: s + 6 s + 9 = = ( s − 2 ) ( s + 4 ) + > ( s −1 ) ( s + 4 ) + % ( s −1 ) ( s− 2) 2
%i se establece s =1, s =2 y s =−4 ! se obtiene! respectivamente! = =
−16 , > 5
=
25 1 y % = 6 30
Por lo tanto! la descomposición en fracciones parciales es
( s −1 ) ( s −2 ) s+ 4 s +6 s + 9 −16 /5 25 / 6 1 / 30 ¿= + + ¿ ( s − 1 ) ( s − 2) ( s + 4 ) 2
H! por consiguiente!
−1 8 { ¿ } =
¿−
−16 5
−1
8
( s − 1 ) ( s −2 ) s + 4 2 s + 6 s+ 9 ¿ 1 25 −1 1 1 1 + 8 + 8−1 D −1 s −2 30 s+ 4 6
{ }
{ }
{ }
16 t 25 2t 1 −4 t e + e + e 5 6 30
&RO'LE(AS: 1.
2.
3.
{}
6.
{ }
{}
7.
{
8.
{
{ +}
1
s
3
1
s
{
4
1
s
− 3
48
s
5
}
( s + 2 )2 3
s
4.
{( ) }
9.
5.
{ }
10.
2
s
−
1
3
s
( s + 1 )3 s
4
2
1
s
2
1
1
s
s −2
− +
4 6
s
+ 5 − s
1
s +8
1
4s 1
{ −} 1
5s
2
}
}
11.
12.
13.
{+ }
23.
{+ }
s +1 24. s ( s −1 ) ( s + 1 )( s − 2 )
{
+ }
25.
{+ }
{(
5
2
s
49
2
16
4s 2
4s
s 2 s 6 s 3
{
10 s
s
{( − ) ( − )( − )} s
1
2
1
s
3
5s
14.
{
}
26.
15.
{+}
27.
{(
{+}
28.
{ −}
{+ }
29.
{
30.
{(
31.
{
32.
{
16.
17.
18.
19.
20.
1 2
+1
4s
2 s −6 2
s
9
s +1 s
2
2
1
s
{
{
2
3s
s+1 2
s −4 s
}
s 2
s + 2 s −3 1 2
s + s −20
}
}
21.
{( −
0.9 s
22.
{(
s −3
)}
s 0.1 ) ( s + 0.2
s −√ 3 ) ( s + √ 3 )
}
s s +2 ) (s +4 ) 2
}
2 s− 4
s +s ) ( s +1) 2
2
}
1
s
4
9
{−} s +5
s
{
6
1
1
s +1 ) ( s +4 ) 2
2
6 s +3 4
2
s +5 s +4
}
s +7 2
s ( s + s + 1) 2
s +9 s 33. 4 2 s − s −12
}
}
}
}
{
2
s +7 s +5 34. 5 4 3 2 s + 3 s +4 s + 4 s
35.
{(
}
2
s +5 s +1 s −8 ) ( s −22 s −75 ) 3
4
2
}
es im0ortante acotar ( s − 8 ) ( s −22 s −75 )= s −22 s −8 s −75 s + 176 s + 600 3
4
2
7
5
4
3
2
Creci#iento ; Decreci#iento "olacional (. La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al n3mero de personas presentes en el tiempo duplica una población inicial
0
t . %i en cinco aMos se
. N&uánto tarda en triplicarseO Nn
cuadruplicarseO ). %uponga que se sabe que la población de la comunidad del problema ( es (1 111 despu6s de tres aMos. N&uál fue la población inicial
0
O
N&ual será la población en (1 aMosON&on que rapide? crece la población en t =10 O *. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población presente en el tiempo
t . La población inicial de ,11 se incrementa
(, en die? aMos. N&uál será la población en *1 aMosO NIue tan rápido está creciendo la población en t =30 O +. La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional al n3mero de bacterias presentes en el tiempo
t . $espu6s de tres =oras
se observo que están presentes +11 bacterias. $espu6s de die? =oras =ay )111 bacterias N&uál fue el n3mero inicial de bacteriasO ,. l isotopo radiactivo del plomo! PbQ)12! decae a una rapide? proporcional a la cantidad presente en el tiempo
t y tiene una vida
media de *!* =oras. %i al inicio está presente un gramo de ese isotopo! N&uánto tiempo tarda en decaer 21 del plomoO -. Un cientA'co prepara una muestra de sustancia radiactiva. Un aMo despu6s la muestra contiene * g de la sustanciaE ) aMos despu6s =ay solo ( g. $etermine la cantidad de sustancia radiactiva que =abAa inicialmente. . 9l inicio =abAa (11 miligramos de una sustancia radiactiva. $espu6s de =oras la masa =abAa disminuido en *. %i la rapide? de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo
t !
determine la cantidad restante despu6s de )+ =oras. /. $etermine la vida media de la sustancia que se describe en el problema . 2. a7 &onsidere que el problema de valor inicial! d= = k = , = ( 0 )= = 0 dt
&omo el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. $emuestre que! en general! la vida media T de la sustancia es T =−( ln 2 )/ k . b7 $emuestre que la solución del problema de valor del inciso 8a7 se puede escribir como −t / T
= (t )= = 0 2
c7 %i la sustancia radiactiva tiene la vida media que se indica en el inciso 8a7.N&uánto tarda una cantidad inicial = 0 de la sustancia en decaer a
1 = 0 8
O
(1.&uando un =a? vertical de lu? pasa por un medio transparente! la rapide? a la que decrece su intensidad
4
es proporcional a
4 ( t )
!
donde t representa el espesor del medio 8en pies7. n agua de mar clara! la intensidad tres pies por debajo de la super'cie es de ), de la intensidad inicial 4 0 del =a? incidente. N&uál es la intensidad del =a? (, pies debajo de la super'cieO ((.l estroncio 218%rQ217 es un isotopo radiactivo producido en e;plosiones de bombas de =idrogeno. l tratado de proscripción de pruebas nucleares sobre la super'cie de la ierra de (2-* se baso en evidencias de contaminación! con %rQ21! de la lec=e y de los =uesos =umanos. La vida media del %rQ21 es de )2 aMos. %uponga que ninguna nueva fuente de %rQ21 =a contaminado la atmosfera desde (2-*. $etermine que fracción del nivel de %rQ21 en (2-* permaneció en la atmosfera en )11*. $etermine la fec=a apro;imada en que el nivel de %rQ21 será solo ( del nivel de (2-*. ().l bitartrato de =idrocodonio es una droga usada para eliminar la tos y aliviar el dolor. La droga se elimina del cuerpo mediante un proceso de decaimiento natural con una vida media de *!/ =. La dosis usual es de (1 mg cada - =oras. $escriba y resuelva el problema con valor inicial que modela la cantidad de bitartrato de =idrocodonio en un paciente despu6s de una dosis. %uponga que la cantidad del medicamento antes de
la
dosis
es
)0
y
que
el
medicamento
es
absorbido
inmediatamente. 9=ora suponga que un paciente toma bitartrato de =idrocodonio solo un dAa. %uponiendo que inicialmente no =ay ninguna cantidad del medicamento en el sistema del paciente! represente de manera gra'ca la cantidad a lo largo de ) dAas. Dote que el paciente toma + dosis el primer dAa y ninguna el segundo. Le; de enfria#iento (*.%e toma un termómetro de una =abitación donde la temperatura es de 14 y se lleva al e;terior! donde la temperatura del aire es de (14. $espu6s de medio minuto el termómetro marca ,14. N&uál es la lectura del termómetro en t =1 min O N&uánto tarda el termómetro en alcan?ar (,4O (+.%e lleva un termómetro de una =abitación al e;terior! donde la temperatura del aire es de ,4. $espu6s de un minuto el termómetro marca ,,4 y despu6s de , minutos la lectura es de *14. N&ual es la temperatura inicial de la =abitaciónO (,.Un termómetro en el que se lee 14 se coloca en un lugar donde la temperatura es de (14. &inco minutos más tarde el termómetro marca +14. NIu6 tiempo debe transcurrir para que el termómetro marque medio grado más que la temperatura del medioO
(-.Una pequeMa barra metálica! cuya temperatura inicial fue de )1&! se sumerge en un gran recipiente de agua =irviente. N&uánto tarda la barra en alcan?ar 21& si se sabe que su temperatura aumenta ) en un segundoO N&uánto le toma a la barra llegar a 2/&O (.$os recipientes grandes 9 y F del mismo tamaMo se llenan con diferentes lAquidos. Los lAquidos de los recipientes 9 y F se mantienen a 1& y (11&! respectivamente. Una barra metálica! cuya temperatura inicial es de (11&! se sumerge en el recipiente 9. $espu6s de un minuto la temperatura de la barra es de 21&. ranscurridos dos minutos se retira la barra y se trans'ere de inmediato al otro recipiente. $espu6s de permanecer un minuto en el recipiente F la temperatura de la barra aumenta (1. N&uánto tiempo! desde el inicio del proceso! tarda la barra en llegar a 22!2&O (/.Un termómetro que marca 14 se coloca en un =orno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del =orno! un observador registra que despu6s de medio minuto el termómetro marca ((14 y luego de un minuto la lectura es de (+,4. N&ual es la temperatura del =ornoO (2.n una =abitación la temperatura que marca un termómetro clAnico es de )1&. Para detectar si un paciente tiene 'ebre 8de'nida como temperatura corporal de */& o más7 se coloca un termómetro en la a;ila del paciente. %i al cabo de un minuto el termómetro marca )& en una persona sana 8con temperatura de *-&7! N&uánto tiempo se debe dejar en una persona con 'ebre para detectarla con un error no mayor que 1!)&O )1.Un ganadero salió una tarde a ca?ar un lobo solitario que estaba die?mando su rebaMo. l cuerpo del ganadero fue encontrado sin vida por un campesino! en un cerro cerca del ranc=o junto al animal ca?ado! a las -:11 = del dAa siguiente. Un medico forense llego a las :11 y tomo la temperatura del cadáver! a esa =ora anoto )*&E una =ora más tarde! al darse cuenta de que en la noc=e! y aun a esas =oras! la temperatura ambiente era apro;imadamente de ,&! el m6dico volvió a medir la temperatura corporal del cadáver y observó que era de (/!,&. N9 que =ora murió el ganadero apro;imadamenteO )(.Un material cerámico se saca en cierto momento de un =orno cuya temperatura es de ,1&! para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de cuando muc=o )11&. %uponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocara este material! es de ,& y que! despu6s de (, min! la temperatura del material es de -11&. Nn cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su procesoO )).9 las (*:11 =oras un termómetro que indica (14 se retira de un congelador y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de --4. 9 las (*:1,! el termómetro indica ),4. >ás tarde! el termómetro se coloca
nuevamente en el congelador. 9 las (*:*1 el termómetro da una lectura de *)4. N&uándo se regreso el termómetro al congeladorO N&ual era la lectura del termómetro en ese momentoO )*.Luis invito a Flanca a tomar caf6 en la maMana. l sirvió dos ta?as de caf6. Flanca le agrego crema su'ciente como para bajar la temperatura de su caf6 (4. $espu6s de , min! Luis agrego su'ciente crema a su caf6 como para disminuir su temperatura en (4. Por 'n! tanto Luis como Flanca empe?aron a tomar su caf6. NIui6n tenAa el caf6 más frioO )+.La ra?ón con la que un cuerpo se enfrAa tambi6n depende de su área super'cial e;puesta
D . %i
D
es una constante! entonces una
modi'cación de la ecuación es dT = kD (T −T m ) dt
$onde k < 0 y T m es una constante. %uponga que dos ta?as 9 y F están llenas de caf6 al mismo tiempo.
T m=70 E 2
! entonces N&uál es la temperatura
del caf6 de la ta?a F despu6s de *1 minO ),.%uponga que en su casa! en una tarde de invierno a la (:11 pm! se suspende la electricidad por una falla y la calefacción deja de funcionar. &uando se suspende la electricidad la temperatura en su casa es de -/4. 9 las (1:11 pm =a bajado a ,4. %uponga que la temperatura e;terior es de (14. a7 scriba un problema con valor inicial para la temperatura en su casa suponiendo que la ley de enfriamiento de DeJton es válida. b7 Resuelva el problema con valor inicial para estimar la temperatura de la casa cuando se levante a las :11 de la maMana del dAa siguiente. NLe preocuparAa la congelación del agua en las tuberAasO c7 NIu6 suposición tuvo que =acer acerca de la temperatura e;teriorO Ha que esta estimación probablemente no es correcta! NconsiderarAa incrementarla o decrementarlaO NPor qu6O )-.l caf6 está en una temperatura de (214 cuando se vierte en una ta?a de metal. l caf6 se agita continuamente con una cuc=arita de plástico y despu6s de * minutos alcan?a una temperatura de (,14. Nn qu6 tiempo el caf6 alcan?ara una temperatura de ((14O La ley de enfriamiento de DeJton seria menos adecuada para el problema si el caf6 no se agitara y si la ta?a fuera de un material que conservara el calor o bien de metal. a7 N&ómo se modi'carAa el comportamiento real si no se agitara el caf6O
b7 N&ómo se modi'carAa el comportamiento real si la ta?a fuera de espuma de poliestirenoO c7 N%i la cuc=ara fuera de metal como se modi'carAa el comportamiento realO ).9 las nueve de la maMana un pastel a 14 es sacado del =orno y llevado a una =abitación donde la temperatura es de (,4. &inco minutos despu6s la temperatura del pastel es de +,4. 9 las 2:(1 am se regresa a interior del =orno! donde la temperatura es 'ja e igual a 14. N&uál es la temperatura del pastel a las 2:)1 amO Drenado de tan.ue% )/.Un cilindro recto circular de (1 pies de radio y )1 pies de altura! está lleno con agua. iene un pequeMo ori'cio en el fondo de una pulgada de diámetro N&uándo se vaciará todo el tanqueO )2.Un tanque tiene la forma de un cubo de () pies de arista. $ebido a un pequeMo ori'cio situado en el fondo del tanque! de ) pulgadas cuadradas de área! presenta un escape. %i el tanque está inicialmente lleno =asta las tres cuartas partes de su capacidad! determine: a7 N&uándo estará a la mitad de su capacidadO b7 N&uándo estará vacAoO *1.Un tanque en forma de cono circular recto! de altura
" radio
r !
v6rtice por debajo de la base! está totalmente lleno con agua. $etermine el tiempo de vaciado total si " =12 0ies ,r =5 0ies , a =1 0u!g
2
y el factor de fricciónScontracción es
c =0,6 .
*(.Una ta?a =emisf6rica de radio R está llena de agua. %i =ay un pequeMo ori'cio de radio
r en el fondo de la super'cie conve;a! determine el
tiempo de vaciado. *).Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al =acer girar la curva y = x
4/3
alrededor del eje y. %iendo las ((:) de la maMana se retira un
tapón que está en el fondo y en ese momento la profundidad del agua en el tanque es () pies. Una =ora más tarde la profundidad del agua =a descendido a la mitad. $etermine a7 N9 qu6 =ora estará vacAo el tanqueO b7 N9 qu6 =ora quedara en el tanque ), del volumen de lAquido inicialO **.l tanque que se muestra en la 'gura está totalmente lleno de lAquido. %e inicia el proceso de vaciado! por una perforación circular de área
2
1 cm
ubicada en la base inferior del depósito. %i se =a establecido el
coe'ciente de descarga
c =0,447 y la gravedad es
g=10
m seg
2
.
$etermine: a7 iempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al (/!, de su capacidad b7 iempo de vaciado total del tanque *+.l tanque que se muestra en la 'gura se encuentra lleno en un (11. l lAquido escapa por un ori'cio de
5 cm
2
de área! situado en el fondo del
tanque. $etermine: a7 iempo de vaciado total b7 iempo para que el volumen de lAquido en el tanque descienda 5 mts
.
*,.%e tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical =acia abajo cuyas dimensiones son
2 mts
de diámetro y altura
3 mts
. l
tanque inicialmente está lleno en su totalidad y el lAquido escapa por un ori'cio de )1 cm) de área situado al fondo del tanque. $etermine: a7 &uánto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque sólo un tercio de su capacidad inicial b7 &alcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente.
*-.Un depósito en forma de cono circular recto invertido y truncado con 2 mts
de radio menor! 4 mts de radio mayor y 8 mts de altura! está
lleno en un 21 de su capacidad. %i su contenido se escapa por un 2 ori'cio de 10 cm de área! ubicado al fondo del tanque! y sabiendo que
el coe'ciente de descarga se =a establecido en 1!,. $etermine el tiempo que tardará en vaciarse totalmente. *.l dAa (, de julio de )11-! a las ):), pm! se pone a vaciar un tanque cilAndrico con eje =ori?ontal! el cual está inicialmente lleno en un (11. La longitud del tanque es de
10 mts
! el radio
4 mts
. %i el agua Tuye
por un ori'cio de área ) cm)! situado en el fondo del tanque y se =a establecido el coe'ciente de descarga en 1!-! determine qu6 dAa y a qu6 =ora el taque se vacAa totalmente. */.Un tanque en forma semiesf6rica de 8 mts de radio está totalmente lleno de agua. %e retira un tapón que está en el fondo! justo a las +:) pm. Una =ora despu6s la profundidad del agua en el tanque =a descendido un metro. $etermine: a7 N9 qu6 =ora el tanque estará vacAoO b7 N9 qu6 =ora quedará en el tanque *(!), del volumen inicial.
*2.l tanque que se muestra en la 4ig. ( está lleno de agua en un (11: &omien?a a vaciarse por un ori'cio situado en su base inferior de "9# cm) de área. %i transcurrida ( =ora - minutos +1 segundos el nivel libre de lAquido =a descendido
5 mts
y el coe'ciente de descarga se =a
establecido en 1!/. $etermine: a7 rea del ori'cio de salida b7 iempo de vaciado total
+1.&alcular el tiempo que tarda en vaciarse completamente un tanque de forma cilAndrica de altura 2,5 cm
2 mts
y radio 1 mt a trav6s de ) ori'cios de
de radio que se encuentran uno en la parte inferior y otro a un
cuarto de su altura. %uponga c =0,8 y
2
g= 9,8 m / seg
.
(e!cla% (. Un depósito contiene )11 litros de lAquido en el que se disuelven *1 gramos de sal. La salmuera que contiene un gramo de sal por litro se bombea =acia el depósito a una rapide? de
4 8 / min
E la solución bien
me?clada se bombea =acia afuera a la misma rapide?. &alcule la cantidad = (t ) de gramos de sal que se encuentran en el depósito en el tiempo t . ). Resuelva el problema anterior suponiendo que se bombea agua pura al depósito. *. Un depósito grande se llena al má;imo con ,11 galones de agua pura. %e bombea al depósito salmuera que contiene dos libras de sal por galón a ra?ón de 5 ga! / min E la solución bien me?clada se bombea a la misma rapide?. &alcule el n3mero
= (t )
de libras de sal en el depósito en
tiempo t . +. n el problema anterior! N&uál es la concentración
c( t )
de sal en el
depósito en el tiempo t O Nn t =5 min O N&uál es la concentración de la sal en el depósito despu6s de un tiempo largo! es decir! cuando t 7 6 O Nn qu6 momento la concentración de la sal en el depósito es
igual a la mitad de este valor limiteO ,. Un tanque con capacidad de ,11 galones contiene inicialmente )11 galones de agua con (11 lb de sal en solución. %e inyecta al tanque agua que cuya concentración de sal es de
1 ! / ga!
!
a ra?ón de
3 ga! / min
. La me?cla debidamente agitada y =omogenei?ada sale del
tanque a ra?ón de 2 ga! / min . a7 ncuentre la cantidad de sal y la concentración de sal en el tanque para cualquier tiempo. b7 $etermine la concentración de sal en el instante justo en que la solución alcan?a el volumen total del tanque. -. Un tanque contiene +,1 litros de lAquido en el que se disuelven *1 gr de sal. Una salmuera que contiene 3 gr / !ts se bombea al tanque con una intensidad de
6 !ts / min
! la solución adecuadamente me?clada se
bombea =acia fuera con una intensidad de
8 !ts / min
. ncuentre el
n3mero de gramos de sal y la concentración de sal! que =ay en el tanque en un instante cualquiera. . Un gran depósito está lleno de ,11 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 2 ! / ga! se bombea al tanque a ra?ón de 5 ga! / min . La salmuera! adecuadamente me?clada! se bombea =acia fuera con la misma rapide?. a7 @alle el n3mero de libras de sal y la concentración de sal en el tanque en un instante t cualquiera. b7 $etermine la cantidad de sal y la concentración al cabo de =ora y media de iniciado el proceso de me?clado c7 N&uánto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de sal en el tanque sea de -*)!() librasO /. fectuar el ejercicio anterior suponiendo que la solución se e;trae a ra?ón de 10 ga! / min . N&uánto tiempo demorara el tanque en vaciarseO 2. Un tanque cuyo volumen es de +111 lts está inicialmente lleno =asta la mitad de su capacidad! con una solución en la que =ay disueltos (11 Kg de sal. %e bombea agua pura al tanque a ra?ón de )!ts / min y la me?cla! que se mantiene =omog6nea mediante agitación! se e;trae a ra?ón de 3 !ts / min . %i se sabe que al cabo de * =oras y )1 min =ay /11 lt más de solución en el tanque! determine: a7 l caudal de entrada I b7 &antidad de sal en el tanque al cabo de + =oras c7 &antidad de sal y concentración de sal al momento justo de comen?ar a desbordarse (1.&onsid6rese un estanque con un volumen de / mil millones de pies c3bicos y una concentración inicial de contaminantes de 1!), . @ay un ingreso diario de ,11 millones de pies c3bicos de agua con una
concentración de contaminantes de 1!1, y un derrame diario de igual cantidad de agua bien me?clada en el estanque N&uánto tiempo pasará para que la concentración de contaminantes en el estanque sea de 1!(1O ((.Un tanque de +11 galones contiene la cuarta parte de su capacidad de salmuera! con una concentración de sal de 5 kg / ga! . %e inyecta salmuera al tanque con concentración 5 ga! / mi n
1 kg / ga!
de
y a ra?ón de
. La salmuera! debidamente agitada y =omogenei?ada en el
tanque! Tuye a ra?ón de
)ga! / min . %i se sabe que al cabo de dos
=oras y media el tanque alcan?a su má;ima capacidad! determine: a7 l caudal de salida I b7 La cantidad de sal cuando alcan?a su má;ima capacidad. ().%e bombea cerve?a con un contenido de - de alco=ol por galón! a un tanque que inicialmente contiene +11 gal de cerve?a con * por galón de alco=ol. La cerve?a se bombea =acia el interior con una rapide? de 3 ga! / min
en tanto que el lAquido me?clado se e;trae con una rapide?
de 4 ga! / min . a7 5btenga el n3mero de galones de alco=ol que =ay en el tanque en un instante cualquiera b7 N&uál es el porcentaje de alco=ol en el tanque luego de -1 minO c7 N&uánto demorará el tanque en vaciarseO Circuito% en Serie (*.%e aplica una fuer?a electromotri? de 8R en el que la inductancia es de 50 o"ms
30 vo!ts
a un circuito en serie
0,1 "enry
y la resistencia es de
. &alcule la corriente i (t ) si i ( 0 )=0. $etermine la corriente
cuando t 7 6 . (+.Resuelva bajo la suposición de que
(t )= 0 senFt
y que i ( 0 )=i0 .
5 (,.Resuelva bajo la suposición de que (t )= 0 sec Ft y que i ( 0 )=i0
(-.%e aplica una fuer?a electromotri? a un circuito en serie en el que la resistencia es de
200 o"ms
y la capacitancia es de
−4
10
#arads.
ncuentre la carga
@ ( t )
en el capacitor si
@ ( 0 )=0 . ncuentre la
corriente i ( t ) . (.Una fuer?a electromotri? de
200 vo!ts
serie en el que la resistencia es de −6
5 x 10
#arads . $etermine la carga
se aplica a un circuito R% en 1000 o"ms
y la capacitancia es de
@ ( t ) en el capacitor si
$etermine la carga y la corriente en
i ( 0 )=0,4.
t =0,005 s . $etermine la carga
cuando t 7 6 . (/.Una fuer?a electromotri?.
{
( t ) = 120,0 5t < 20 0, t > 20
%e aplica a un circuito 8R en serie en el que la inductancia es de 20 "enries
i ( t ) si
y la resistencia es de
2 o"ms
. $etermine la corriente
i ( 0 )=0.
An/lo0o de Circuito en Serie (2.ncuentre la carga en el capacitador de un circuito en serie 8R% en t =0,01 s
cuando
8=0,05 " , R=2 G , % =0,01 # , ( t )= 0 V , @ ( 0 )=5 % e i ( 0 )= 0 = .
$etermine la
primera ve? en que la carga del capacitador es igual a cero. )1.&alcule del capacitador en un circuito 8R% en serie cuando 1 4
8= " , R=20 G , % =
1 # , ( t )=0 V , @ ( 0 )= 4 % e i ( 0 ) =0 = . 300
N9lguna ve? la
carga en el capacitador es igual a ceroO n los siguientes problemas encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito 8R% . $etermine la carga má;ima en el capacitor. )(.
5 3
8= " , R= 10 G , % =
1 # , ( t )=300 V , @ ( 0 )=0 % ,i ( 0 )= 0 = . 30
)). 8=1 " , R =100 G ,% = 0,0004 # , ( t ) =30 V ,@ ( 0 )=0 % , i ( 0 )=2 = )*.ncuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito 8R% en serie cuando 8=1 " , R =2 G ,% = 0,25 # y ( t ) =50 cost V . )+.>uestre que la amplitud de la corriente de estado estable en el circuito 8R% en serie esta dada por 0 / Z ! donde
Z es la impedancia del
circuito. ),.Use el problema anterior para mostrar que la corriente de estado estable 8R%
en un circuito
en serie cuando
( t ) =100 sen 60 t V , esta dada por
1 2
8= " , R=20 G , % =0,001 #
y
i 0 ( t )= 4,160 sen ( 60 t − 0,588) .
)-.ncuentre la corriente de estado estable en un circuito 8R% cuando 1 2
8= " , R=10 G , % =0,001 #
y ( t ) =100 sen 60 t + 200cos40 t V .
).ncuentre la carga en el capacitador de un circuito cuando
8R% en serie
1 2
8= " , R=10 G , % =0,01 # , ( t )=150 V , @ ( 0 )=1 % ei ( 0 )=0 = .
N&uál
es la carga en el capacitador despu6s de un largo tiempoO )/.&alcule la carga en el capacitador y la corriente en un circuito 8% cuando 8=0,1 " , % =0,1 # , (t )=100 senBtV ,@ ( 0 )=0 % e i ( 0 ) =0 = . )2.&alcule la carga del capacitador y la corriente en un circuito cuando ( t ) = 0 cos Bt V ,@ ( 0 )= @0 % e i ( 0 )=i 0 = .
INS*I*U*O UNIVERSI*ARIO &OLI*@CNICO SAN*IAGO (ARIBO E7*ENSIN (ARACA DE&AR*A(EN*O DE (A*E(A*ICAS
8%
