1. Fundamentos: El sistema diédrico tiene como base fundamental dos planos de proyección que forman cuatro ángulos rectos y cuatro cuadrantes (diedros). A estos planos los llamamos Plano Horizontal (PH) y Plano vertical (PV), (PV) , estos planos se cortan en una (LT) . recta llamada Línea de Tierra (LT).
Todos los elementos (puntos, aristas, cuerpos) se representan mediante sus dos proyecciones. Las proyecciones son cilíndricas (los rayos proyectantes son paralelos entre sí) y ortogonales (los rayos proyectantes forman siempre 90º respecto a los planos de proyección). Para poder representar el diedro en dos dimensiones, es decir sobre un plano, el plano vertical se abate sobre el horizontal usando como charnela (eje de giro) la línea de tierra, obteniéndose:
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Planos Bisectores:
Son dos planos que dividen los cuadrantes en dos mitades iguales. Ambos se cortan en la línea de tierra y forman 90º entre ellos, y 45º con el PV y el PH. Así encontraremos 8 octantes.
2. El punto: Todo punto en el sistema diédrico ortogonal se representa por sus dos proyecciones: una proyección vertical (P2), en el plano de proyección vertical, y otra proyección horizontal (P1), en el plano de proyección horizontal. La distancia que hay desde el punto al plano horizontal se la denomina cota. La distancia que hay desde el punto al plano vertical se la denomina alejamiento. La representación de un punto cualquiera se hace a partir de una línea perpendicular a la línea de tierra, midiendo en la proyección vertical la cota del punto y en la proyección horizontal el alejamiento del punto.
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Representación por coordenadas :
Para situar los puntos se emplean las coordenadas (X,Y,Z): -
Desviación (X): indica la situación (derecha o izquierda) del punto respecto a la línea de tierra.
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Alejamiento (Y): es la distancia existente entre el punto y el plano vertical. O lo que es lo mismo, la distancia de la proyección horizontal del punto (P 1) a la línea de tierra.
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Cota (Z): es la distancia existente entre el punto y el plano horizontal. O lo que es lo mismo, la distancia de la proyección vertical del punto (P 2) a la línea de tierra.
De esta forma, podemos definir cualquier punto de la siguiente manera P(X,Y,Z), o lo que es lo mismo P(desviación, alejamiento, cota). El sistema de coordenadas X, Y, Z situado sobre los planos de proyección y sobre el papel es el siguiente:
Posiciones generales del punto :
Un punto en el espacio puede tener cualquier situación, pero según su posición relativa a los planos de proyección, presenta características de representación especiales. -
Punto situado en el primer cuadrante: tiene la proyección vertical (P2) encima de la LT y la proyección horizontal (P1) debajo de la LT.
-
Punto situado en el segundo cuadrante: tiene la proyección vertical (P2) y la proyección horizontal (P1) encima de la LT.
-
Punto situado en el tercer cuadrante: tiene la proyección vertical (P2) debajo de la LT y la proyección horizontal (P1) encima de la LT.
-
Punto situado en el cuarto cuadrante: tiene la proyección vertical (P2) y la proyección horizontal (P1) debajo de la LT.
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-
Punto situado en el plano horizontal de proyección: tiene cota cero.
-
Punto situado en el plano vertical de proyección: tiene alejamiento cero.
-
Punto situado en los planos bisectores: tiene igual cota que alejamiento.
-
Punto situado en la línea de tierra: tiene cota y alejamiento cero.
3. La recta: Dos puntos del espacio determinan una recta. Toda recta en el espacio del sistema diédrico genera dos proyecciones en forma de dos rectas. Una proyección vertical (r2), en el plano de proyección vertical, y otra proyección horizontal (r1), en el plano de proyección horizontal.
Un punto pertenece a una recta si su proyección vertical (P2) está en la proyección vertical de la recta (r2) y si su proyección horizontal (P1) está en la proyección horizontal de la recta (r1). 4
En la siguiente figura, el punto A pertenece a la recta R y el punto B no.
Trazas de una recta:
Los puntos por los que la recta atraviesa a los planos de proyección, se denominan trazas de la recta, existiendo dos: la traza vertical (Vr) (donde corta al PV) y la traza horizontal (Hr) (donde corta al PH). La traza vertical de una recta siempre es un punto del PV y la traza horizontal un punto del PH. Las trazas se localizan en la perpendicular sobre la LT a partir del punto donde la proyección de la recta toca a la Línea de Tierra.
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Posiciones particulares de la recta:
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Recta inclinada u oblicua
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Recta horizontal
Es paralela al plano horizontal. Su proyección vertical es paralela a la LT. Su proyección horizontal se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros.
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Recta frontal
Es paralela al Plano Vertical. Su proyección horizontal es paralela a la LT. Su proyección vertical se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros.
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-
Recta de punta
Es perpendicular al Plano Vertical. Su proyección vertical es un punto y su proyección horizontal es perpendicular a la LT. Su proyección horizontal se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros.
-
Recta vertical
Es perpendicular al Plano Horizontal. Su proyección horizontal es un punto y su proyección vertical es perpendicular a la LT. Su proyección vertical se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros.
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Recta paralela a la línea de tierra
Es paralela a la Línea de Tierra. Sus dos proyecciones son paralelas a LT. Sus dos proyecciones se muestran en verdadera magnitud. No tiene trazas. Pasa por un diedro.
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Recta que corta a la línea de tierra
Corta a la Línea de Tierra en un punto. Sus dos proyecciones son inclinadas con la LT y se cortan en un punto de ella. Tiene dos trazas coincidentes en un punto de LT. Pasa por dos diedros.
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-
Recta de perfil
Está contenida en un Plano de Perfil. Sus dos proyecciones son perpendiculares a LT. Las proyecciones vertical y horizontal se complementan con una proyección de perfil. Existen varios subtipos de rectas de Perfil con características propias.
Estudio de visibilidad de una recta :
El estudio de visibilidad de una recta en diédrico consiste en determinar las partes de las proyecciones ocultas tras los planos de proyección (representándolas en discontinuo) y las visibles (continuas), además de determinar sus trazas y de este modo averiguar por qué cuadrantes transcurre la recta. Por lo que los pasos a seguir son los siguientes: 1) Determinar las trazas de la recta, estos puntos marcan los cambios de diedro. 2) Determinar que cuadrantes atraviesa la recta, para esto elegiremos un punto de cada zona que pertenezca a la recta y veremos a que diedro pertenece dicho punto.
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3) Intersección con los bisectores: Como sabemos que los puntos de los Planos Bisectores siempre tienen igual cota y alejamiento, para localizar los puntos donde una recta corta a los Bisectores basta con localizar los puntos de la recta que tienen igual cota que alejamiento. -
º
Corte con el 2 Bisector: es el punto donde se cortan la proyección vertical y la horizontal de la recta. Puede estar en el 2º cuadrante o en el 4º.
-
er
Corte con el 1 Bisector: este punto se localiza trazando una línea auxiliar que sea simétrica de una de las proyecciones de la recta (mismo ángulo con la LT), a partir er
de una de sus trazas. Este punto puede estar en 1 o en el 3º.
En la figura, vemos que el punto N (corte con el 2º Bisector) pertenece al 4ºC y el er
er
punto M (corte con el 1 Bisector) al 1 cuadrante. Para definir una recta totalmente hay que indicar:
Sus proyecciones (r1 y r2)
Sus trazas (Vr y Hr)
Cuadrantes por los que pasa
Partes vistas y ocultas
Intersecciones con los planos Bisectores.
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4. El plano: En geometría descriptiva un plano puede estar definido por: -
Tres puntos no alineados.
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Una recta y un punto no perteneciente a ella.
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Dos rectas que se cortan.
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Dos rectas paralelas.
Un plano se representa mediante sus trazas. Las trazas de un plano son las rectas intersección del plano con los planos de proyección. Existen dos trazas, una vertical (α2), en el plano de proyección vertical y otra horizontal (α1), en el plano de proyección
horizontal.
Posiciones particulares del plano:
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Plano oblicuo o inclinado
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Plano Horizontal
Es paralelo al Plano Horizontal de proyección. Solo tiene traza vertical, que es paralela a LT. Pasa por dos diedros.
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Plano Frontal
Es paralelo al Plano Vertical de proyección. Solo tiene traza horizontal, que es paralela a LT. Pasa por dos diedros.
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Plano Proyectante Horizontal o Vertical
Es perpendicular al Plano Horizontal de proyección. Su traza vertical es perpendicular a LT. Pasa por cuatro diedros.
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Plano Proyectante Vertical o de Canto
Es perpendicular al Plano Vertical de proyección. Su traza horizontal es perpendicular a LT. Pasa por cuatro diedros.
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Plano paralelo a LT
Es paralelo a la Línea de Tierra y oblicuo a los planos proyectantes. Sus dos trazas son paralelas a LT. Pasa por tres diedros.
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Plano de Perfil
Es perpendicular a la Línea de Tierra y a los planos proyectantes. Sus dos trazas son perpendiculares a LT. Pasa por cuatros diedros.
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Plano que pasa por LT
Es el plano que contiene a la Línea de Tierra. Sus dos trazas coinciden con LT, por lo que se hace una representación especial con un punto del plano. Pasa por dos diedros.
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Plano perpendicular a B1
Este tipo de plano, al ser perpendicular al Primer Bisector, siempre tiene sus trazas simétricas respecto a la Línea de Tierra. Pasa por tres diedros.
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Plano perpendicular a B2
Este tipo de plano, al ser perpendicular al Segundo Bisector, siempre tiene sus trazas coincidentes. Pasa por tres diedros.
Rectas notables del plano:
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Recta y punto contenido en el plano
Una recta pertenece a un plano o está contenida en un plano, si las trazas de la recta coinciden con las trazas homónimas del plano.
Un punto pertenece a un plano o está contenido en un plano, si pertenece a cualquier recta del plano. -
Rectas horizontal y frontal del plano
Toda recta horizontal de en un plano tiene su proyección vertical paralela a LT y su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano. Toda recta frontal de un plano tiene su proyección horizontal paralela a LT y su proyección vertical paralela a la traza vertical del plano.
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Recta horizontal del plano
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Recta frontal del plano
Recta de máxima pendiente y de máxima inclinación
Las rectas de máxima pendiente de un plano son perpendiculares a su traza horizontal.
Las rectas de máxima inclinación de un plano son perpendiculares a su traza vertical.
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