SISTEMA AXONOMÉTRICO Y PERSPECTIVA CABALLERA

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SISTEMA AXONOMÉTRICO

1. ELEMENTOS DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO Sea un triedro trirrectángulo OXYZ, siendo el, punto O el vértice del triedro y origen del sistema (fig. a). La mejor imagen que podemos tener de un triedro trirrectángulo es la de un rincón de una habitación. El triedro está formado por los planos xoY, YOZ y ZOX, que se consideran infinitos ya los que se denomina planos axonométrícos o coordenados. Los planos axonométricos se cortan dos a dos según los ejes X, Y y Z, que son las aristas del triedro ya los que se denomina ejes axonométrícos. Sea también un plano π cualquiera en el que se apoya el triedro anterior por el vértice O sin que ninguna cara ni eje coincida con dicho plano. A este plano se le denomina plano de proyección, plano del dibujo y más generalmente plano del cuadro, y sobre él se proyectan ortogonalmente los ejes. Denominaciones: O Vértice del sistema. H Plano horizontal (XoY). V Plano vertical primero (XOZ) simplemente plano vertical. W Plano vertical segundo (YOZ). π Plano de proyección.

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Los ejes X, Y y Z forman con el plano del cuadro, es decir, con sus proyecciones, los ángulos δ, ε, λ respectivamente, y sus proyecciones X', Y' y Z' forman entre sí los ángulos α = X'OY', β = X'OZ' y χ = Y'OZ', con lo que α+χ+β = 360º. La representación axonométrica se consigue al colocar el plano de proyección coincidiendo con la hoja de papel (fig. b). 2. CLASES DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO Si el triedro trirrectángulo se apoya sobre el plano del cuadro por su vértice O, de tal manera que los ángulos δ, ε, λ que forman los ejes con π son iguales entre sí, entonces ocurre que los ángulos α, β y γ también son iguales (fig. a), y al sistema se

DIBUJO TÉCNICO 2º Bachillerato

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le denomina axonométrico isométrico.

Si el triedro se inclina de forma que uno de los ángulos δ, ε o γ se hace mayor o menor, pero los otros dos permanecen iguales entre sí, entonces dos de los ángulos α, β y γ son también iguales pero distintos al tercero (fig. b), y al sistema se le llama axonométrico dimétrico o monodimétrico. Por último, si el triedro se coloca de manera que ninguno de los ángulos δ, ε o γ son iguales, entonces α, β y γ también son distintos (fig. c), y al sistema se le conoce como axonométrico trimétrico o anisométrico. Es decir: Sist. ax. isométrico: α = β = γ = 120º. Sist. ax. dimétrico: α = β ≠ γ, o α ≠ β = γ, o α = γ ≠ γ Sist. ax. trimétrico: α ≠ β ≠γ ≠ 3. ESCALA AXONOMÉTRICA Y COEFICIENTE DE REDUCCIÓN Si sobre uno de los ejes, por ejemplo el Z, se sitúa un punto M y se proyecta sobre el plano del cuadro (ver fig.), la longitud OM' que se produce sobre el plano n de dibujo es ligeramente menor que la longitud real OM. Coeficiente de reducción: es la relación que existe entre la medida reducida y la medida real: cr = OM' / OM. Escala axonométrica: se forma sobre el eje con la medida reducida: OM' = OM x cr. Si una misma magnitud e = OM se lleva sobre cada uno de los tres ejes y se proyecta sobre π, se obtienen tres nuevas magnitudes ex, ey y ez de forma que: En un sistema isométrico, las escalas axonométricas de cada uno de los ejes son iguales (ex = ey = ez} y por tanto sus coeficientes de reducción también son iguales (cx = Cy = Cz). Analíticamente se demuestra que en este caso el coeficiente de reducción vale


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aproximadamente 0,816. En un sistema dimétrico, las escalas de dos de los ejes son iguales entre sí pero distintas a la escala del tercero, pues el valor de la magnitud OM' depende de la inclinación del eje correspondiente, es decir, del ángulo que forme el eje con el plano del cuadro; los coeficientes de reducción de los ejes cuyos ángulos sean iguales, serán iguales, pero distintos al del tercer eje. En un sistema trimétrico, cada uno de los ejes tendrá una escala axonométrica distinta (ex ≠ ey ≠ ez) y un coeficiente de reducción distinto (cx ≠ cy ≠ cz). 4. DADAS LAS PROYECCIONES DE LOS EJES, HALLAR LAS ESCALAS AXONOMÉTRICAS Como consecuencia de lo dicho anteriormente, para trasladar una determinada magnitud sobre cada uno de los ejes, existe la posibilidad, si se conoce el valor de los coeficientes de reducción de cada eje, de multiplicar estos valores por cada medida y trasladar el resultado sobre el papel. No obstante, no es una buena práctica en dibujo tener que efectuar operaciones aritméticas para resolver ciertas situaciones; por tanto, veamos una solución gráfica. Triángulo fundamental (o triángulo de trazas): se denomina así al triángulo sección que se produce al cortar el triedro trirrectángulo con un plano α cualquiera paralelo al plano π de proyección y proyectarlo sobre éste (fig. a). En representación axonométrica, la característica más destacable de este triángulo es que cada lado del mismo es perpendicular al eje axonométrico que pasa por el vértice opuesto. Según que el plano α elegido se encuentre más o menos cerca del plano π, el triángulo de trazas que se produce es mayor o menor, pero sus lados son siempre perpendiculares a los ejes. Sean los ejes X', Y' y Z' y una cierta magnitud e que se desea transportar sobre cada uno de estos ejes: 1 Se dibuja un triángulo de trazas A'B'C' cualquiera. 2 Se abate sobre el plano α el triángulo rectángulo AOB del espacio, cuyo ángulo recto está en O: a) por el punto 0 (fig. b) se traza la perpendicular al lado A'B' (charnela); dicha perpendicular es la proyección de la circunferencia que describe el punto 0 alrededor de la charnela; b) se traza la semicircunferencia de diámetro A'B' y donde ésta se corta con la perpendicular anterior se obtiene el punto 00 (el ángulo que se forma al unir un punto cualquiera de una circunferencia con los extremos de un diámetro es siempre un ángulo recto). 3 Se une el punto 00 con A' ya', obteniendo así los ejes abatidos X0 e Y0, sobre los que


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se pueden tomar medidas reales, tal como la magnitud e. 4 Para desabatir el segmento 00M0 = e, se traza por M0 la perpendicular a la charnela A'B', que corta al eje X' en el punto M' tal que OM' = ex. Efectuando la misma operación con el eje y se obtiene ey. 5 Abatiendo sobre el plano α el triángulo AOC de la misma forma que se ha hecho con el triángulo AOB, se obtienen los ejes X0 y Z0. Sobre Z0 se traslada la magnitud e y se desabate trazando la perpendicular a la charnela, que ahora es el lado A'C', hasta cortar al eje Z', obteniendo así ez.

5. PERSPECTIVA DE UNA CIRCUNFERENCIA Sea el punto Q centro de una circunferencia de radio dado (ver fig.): 1 Se dibuja el lado MN de un triángulo fundamental, perpendicular al eje Z, y se abaten los ejes X e Y en X0 e Y0. 2 Se abate el punto Q: se traza una recta r que pase por O, se abate dicha recta en r0 y por Q se traza la perpendicular a la charnela hasta cortar a r 0 en Q0. 3 Con centro en Q0 se dibuja la circunferencia de radio dado y se divide en un número de partes iguales (se aconseja dividirla en un número par, partiendo de la paralela a uno de los ejes abatidos). 4 Se desabaten los puntos de la circunferencia de la misma manera que se ha hecho con el hexágono en el caso anterior.

En el caso de un sistema isométrico y si la elipse a trazar no es muy grande, existen en el mercado plantillas de elipses isométricas para un perfecto trazado de las mismas. No obstante, suele admitirse el trazado de un óvalo inscrito en un rombo como sustitución de una elipse isométrica (ver fig.):


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1 Se dibuja la perspectiva del cuadrado que circunscribe a la circunferencia (rombo ABCO), siguiendo el procedimiento explicado anteriormente para el trazado de una figura plana. 2 Por los extremos B yO de la diagonal más corta del rombo, se trazan las perpendiculares a los lados opuestos, obteniendo los puntos T1, T 2, T 3 y T4. 3 Las perpendiculares trazadas anteriormente se cortan en los puntos 01 y O2 que, junto con B y D, forman los centros de los cuatro arcos de circunferencia que definen el óvalo.

Siguiendo procedimientos similares (ver fig.) se obtienen las perspectivas de la circunferencia situada en el plano vertical primero y vertical segundo, de centros B y C respectivamente.

Como ya se vio en el tema anterior, existen diversas clases de perspectiva axonométrica en función del ángulo que formen los ejes del triedro con el plano del cuadro; en la práctica, es la perspectiva isométrica la más utilizada pues, al formar los ejes entre sí ángulos de 120°, pueden manejarse la escuadra y el cartabón.


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También se ha visto cómo toda figura del espacio (ver fig.), al ser proyectada sobre el triedro y posteriormente sobre el plano del cuadro, queda ligeramente reducida. No obstante, en la práctica, suelen dibujarse las perspectivas isométricas sin reducir porque de esta manera pueden ser medidas.


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SISTEMA DE PERSPECTIVA CABALLERA

1. ELEMENTOS DEL SISTEMA A continuación estudiaremos los principios de la perspectiva caballera que nos permitan resolver ciertos problemas en dicho sistema así como realizar perspectivas en el siguiente capítulo. Sea un triedro trirrectángulo OXYZ, siendo el punto O el vértice del triedro y origen del sistema (fig. a). El triedro está formado por los planos XOY, YOZ y ZOX, que se consideran infinitos ya los que se llama planos coordenados; estos planos dividen al espacio en ocho partes. Los planos coordenados se cortan dos a dos según los ejes X, Y y Z, que se les denomina ejes coordenados. Sea también un plano π, en el que se apoya el triedro anterior haciéndolo coincidir con uno de sus planos coordenados y al que se denomina plano de proyección del dibujo, o más comúnmente, plano del cuadro. Según esta posición, los ejes X y Z están contenidos en el plano del cuadro π y el eje Y queda perpendicular a dicho plano, proyectándose oblicuamente sobre él según una dirección d. Denominaciones: O Vértice del sistema. H Plano horizontal (XOY). V Plano vertical primero (XOZ). W Plano vertical segundo (YOZ). π Plano de proyección. El sistema de perspectiva caballera puede considerarse un caso particular del axonométrico en cuanto a que poseen los mismos elementos de partida; la diferencia está en que en el sistema axonométrico la proyección es ortogonal y en el sistema de perspectiva caballera es oblicua. La disposición de los ejes (fig. b) queda con los ejes X y Z formando ángulo recto, ya que el plano que determinan es paralelo al Plano del Cuadro π, y el eje Y formando un ángulo variable ϕ con respecto al eje X


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2. DIRECCION DE PROYECCION Y COEFICIENTE DE REDUCCION Si sobre el eje Y se sitúa un punto M (ver fig.) y se proyecta oblicuamente sobre el plano del cuadro en M', ocurre que para definir dicha proyección hay que tener en cuenta dos cosas:

Dirección de proyección: es el ángulo ϕ que forma la proyección Y' con el eje X. Dicho de otra manera, es el ángulo que forma el plano proyectante que contiene a la recta MM' con el plano H (plano XOY). Coeficiente de reducción: es la inclinación del rayo de proyección MM' dada por el cociente cr = OM'/OM. El coeficiente de reducción está en función del ángulo π que forma el rayo MM' con el plano π. Los ejes X y Z, al estar en el plano del cuadro, forman un ángulo de 90º y las medidas sobre ellos se toman en verdadera magnitud. La dirección de proyección ϕ y el coeficiente de reducción cr sólo afectan a la proyección Y' del eje perpendicular a π (ver fig.) y deben ser definidos en todo ejercicio.

Los ángulos habituales en la dirección de proyección pueden ser: ϕ = 210º, ϕ= 225° y ϕ = 240°, que coinciden con los de la escuadra y cart abón.

Los coeficientes de reducción habituales son: cr = 1/2 = 0,5 cr = 2/3 = 0,66 y cr = 3/4 = 0, 75, no siendo normales coeficientes iguales o mayores que la unidad.


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La norma UNE 1031 indica que los valores normalizados para estos dos conceptos son los siguientes: ϕ = 45° y c r = 1/2 = 0,5. 3. COMO HALLAR LA ESCALA DEL EJE Y El coeficiente de reducción suele expresarse mediante un cociente, como si de una escala se tratara. Para trasladar una determinada magnitud sobre el eje Y', sin necesidad de efectuar operaciones aritméticas, existen procedimientos gráficos como el que se explica a continuación. Sean los ejes X, Y' y Z y un punto A de coordenadas ax, ay y az, siendo el coeficiente de reducción cr = a/b (fig. a y b):

1 Se abate el plano horizontal H sobre el plano de proyección π, utilizando como charnela el eje X. Como el ángulo recto está en O, la prolongación del eje les el eje abatido Y0. 2 Sobre la proyección Y' se lleva, a partir de 0, el numerador del coeficiente de reducción a = OM', o medida reducida, y sobre el eje abatido yo se transporta el denominador b = OM0, o medida real. La recta M0M' indica la dirección d de reducción. 3 Sobre los ejes X y Z, se transportan respectivamente las coordenadas ax = OAx y az = OAz sin reducir, es decir, directamente. Para reducir la coordenada ay ésta se transporta sobre el eje Y0 (ay = OA0), trazando por el extremo A0 la paralela a la dirección d de reducción hasta cortar al eje Y' en Ay y obteniendo así la medida reducida. Las proyecciones del punto se obtienen a continuación trazando paralelas a las direcciones de los tres ejes, construyendo el paralelepípedo de referencia, como se hacía en el sistema axonométrico. Para estudiar la teoría del punto, la recta, el plano y las intersecciones en el sistema de perspectiva caballera, y dado que los conceptos son idénticos a los del sistema axonométrico, a partir de este momento remitimos al lector a lo ya estudiado en este tema.

4. PERSPECTIVA DE UNA CIRCUNFERENCIA Sea el punto O centro de una circunferencia, de radio conocido, situada en el plano horizontal (ver fig.) de un sistema de perspectiva caballera cuya dirección del eje


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Y y el coeficiente de reducción cr = a/b son datos: 1 Se abate el plano horizontal utilizando como charnela el eje X: Y0 es la prolongación del eje Z y se halla la dirección d de abatimiento. 2 Se abate el punto O, tal como se ha explicado anteriormente, obteniendo así O0. 3 Con centro en O0 se dibuja la circunferencia de radio dado y se divide a continuación en un número de partes iguales (se aconseja dividirla en un número par, partiendo de la paralela al eje X). 4 Se desabaten todos y cada uno de los puntos de la circunferencia, haciendo pasar rectas paralelas al eje abatido Y0, hasta cortar a la charnela. Por los puntos de corte con la charnela se trazan paralelas al eje Y y por los puntos abatidos paralelas a la dirección d de abatimiento hasta cortar a su correspondiente recta en los puntos A, B, C, ... de la circunferencia. Siguiendo un procedimiento similar al explicado se obtiene, con centro en G, la perspectiva de la circunferencia situada en el plano vertical segundo (ver fig.); la perspectiva de la circunferencia de centro B, situada en el plano vertical, es una circunferencia dibujada en verdadera magnitud, pues, como ya se ha visto, el plano vertical coincide con el plano π de proyección.

5. TRAZADO DE UNA PERSPECTIVA CABALLERA Para finalizar se presenta un ejercicio (ver fig.) en el que, partiendo de las vistas de una pieza, se ha realizado la perspectiva caballera teniendo en cuenta los siguientes datos:


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Obsérvese que las medidas paralelas a los ejes X y Z están en verdadera magnitud, mientras que las llevadas sobre rectas paralelas al eje Y están reducidas en la proporción que indica el coeficiente de reducción, tal como se indica en la figura.


SISTEMA AXONOMÉTRICO Y PERSPECTIVA CABALLERA

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