Sistema axiomático 2
En lógica En lógica y y matemáticas matemáticas,, un sistema axiomático consiste en un conjunto de de axiomas axiomas que se utilizan, mediante deducciones, para demostrar teoremas demostrar teoremas.. Ejemplos de sistemas axiomáticos deductivos son la la geometría euclidiana compilad compiladaa por Euclides en los los Elementos[1] y el siste sistema ma axiomático de la lógica la lógica proposicional. proposicional.
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Siste Sistemas mas axiom axiomáti áticos cos form formale aless e informales
Un sistema axiomático puede tener expresados sus axiomas de manera formal o de manera informal: •
Una axiomatización formal usa un lenguaje formal y mal y en él cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatorias que hacen de la secuencia una fórmula bien formada. formada.
•
Una axiomatización informal usa una lengua una lengua natural form formalizada alizada y y definiciones no ambiguas, los libros de matemática matemática y otras disciplinas formales formales normalmente redactan los axiomas de esta manera.
His Histori toria a
El primer primer trabajo trabajo de axiomati axiomatizac zación ión se realiza realiza en los Elementos de Euclides (siglo IV-III a. C.), vinculado a la geometría geometría plana plana.. Euclide Euclidess enun enuncia cia cinco cinco postulados y cinc cinco o noc nocio ione ness comun comunes es (axio (axiomas mas), ), de los que deduce sus teoremas de la geometría geometría.. Al mismo tiempo, Aristóteles aporta el primer enfoque de la lógica formal en el Órganon, recogiendo diversos axiomas de Platón de Platón y y otros filósofos. filósofos.
Los sistemas de axiomas formales son más sencillos de estudiar y son preferibles para caracterizar las propiedades de los sistemas matemáticos. En particular admiten una caracterización semántica muy clara en la teoría de modelos y sus propie propiedade dadess deducti deductivas vas pueden pueden ser tratadas tratadas en la teoría la teoría de la demostración. demostración. Por el contrario, las axiomatizaciones informales sólo son útiles cuando se tiene un modelo concreto en mente y se pretenden buscar propiedades que se cumplen en el modelo.
En matemáticas, sin embargo, el primer intento de axiomatización llegó en 1888, cuando Richard cuando Richard Dedekind proDedekind propuso puso un con conjunto junto de axioma axiomass sobre sobre los núm númer eros. os.[2] Al año año siguiente, Giuseppe siguiente, Giuseppe Peano retoma Peano retoma los trabajos de Dedekind y expone sus axiomas aritméticos.
2.1
Compon Component entes es de de un siste sistema ma axio axiomát mátiico formal
Gottlob Frege, Frege, en 1884, con su obra Die Grundlagen der Arithmetik y y la posterior Grundsetze der Arithmetik , tra- Un sistema axiomático formal consta de los siguientes ta de reducir la aritmética aritmética a la lógica. Bertrand lógica. Bertrand Russell en Russell en elementos: su intento de 1901 descubrió la paradoja del mismo nom• Un alfabeto S para construir expresiones formales bre: «paradoja «paradoja de Russell», Russell », y para resolverla trabajó con que incluye: Alfred North Whitehead, Whitehead, en Principia Mathematica . En 1899, David Hilbert reformula los axiomas de la geomeconjunto de símbolos para conectivas para conectivas lógi• Un conjunto tría, y también explica los conceptos que Euclides dejó cas,, cuantificadores cas implícitos, por ejemplo, Euclides no dice que hay al me• Un conjunto de símbolos para designar varianos tres puntos en el plano, o que hay al menos un punto bles en el plano que no pertenece a la línea, etc. En el Congreso celebrado en 1900, David Hilbert planHilbert planteó varios problemas, entre los que incluía la demostración de la consistencia de los axiomas de las matemáticas y la axiomatización de la física la física.. En 1931, Kurt 1931, Kurt Gödel demostró que cualquier sistema axiomático equivalente a los axiomas los axiomas de Peano es incompleto y que si este sistema es consistente, no se puede utilizar para probar su consistencia (teorema (teorema de incompletitud de Gödel). Gödel).
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Un conjunto conjunto de símbolos para constantes (que tendrán en un modelo una interpretación fija).
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Un conjunto conjunto de símbolos que serán interpretados como funciones como funciones..
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Un conjunto conjunto de símbolos que serán interpretados como relaciones como relaciones..
Una gramática formal formal que incluirá:
4 VÉASE TAMBIÉN
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bien construido satisface el “teorema de validez”, que viene a afirmar que cualquier proposición deducible de los axiomas, o teorema del sistema axiomático, se satisface también, en todos los modelos que sean un modelo en el que se satisfacen los axiomas. La propiedad recíproca no siempre se cumple, una proposición que se satisface en todos los modelos de una teoría no tiene porqué ser deducible del sistema de axiomas. Este último punto es ilustrado por los teoremas de incompletitud de Gödel, que afirman que un sistema formal de ciertos sistemas matemáticos con un conjunto de axiomas que satisface determinada propiedad formal (ser un recursivamente enumerables) admitirá un modelo en el que algunas proposiciones serán ciertas pero no serán deducibles. Es decir, la teoría asociada al sistema axiomático formal será esencialmente incompleta.
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Ejemplos
La teoría de grupos es un sistema axiomático se puede basar en el siguiente conjunto de tres axiomas G1, G2 y G3: (G1) para todo x , y y z: (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z )
• Reglas
de buena formación, que reproducen la “morfología” del lenguaje formal.
(G2) para todo x : x ◦ e = x (G3) para todo x , existe un y tal que x ◦ y = e
• Reglas
de inferencia que permitirán deducir unas proposiciones de otras, estas reglas reproducen la “sintaxis” del lengua formal.
• Un conjunto de axiomas inicial, o expresiones bien
formadas son el punto de partida de cualquier deducción. Para el conjunto de expresiones bien formadas expresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse una Sestructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres serán conjuntos preasignados de la S-estructura). Las funciones y relaciones serán definidas como funciones y relaciones matemáticas dentro de la S-estructura. Una vez definidas las constantes, variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado concreto a las expresiones del lenguaje formal en la S-estructura.
2.2
Modelos para un sistema axiomático formal
Si un conjunto de proposiciones (fórmulas bien formadas) de un sistema axiomático formal admiten una Sestructura donde se satisfacen, entonces se dice que dicha estructura es un modelo para el conjunto de proposiciones. Un sistema de axiomas que admite un modelo es un sistema de axiomas consistente. Un sistema formal
Este conjunto de axiomas no es único, ya que pueden ser substituidos por otros equivalentes. En teoría de grupos el asunto importante es que el conjunto de teoremas sean los mismos en dos axiomatizaciones diferentes. Eso implica que las dos clases de modelos que satisfacen los dos sistemas de axiomas coindiden. Los tres axiomas anteriores pueden escribirse sin usar ninguna lengua natural usando sólo símbolos de un lenguaje de primer orden como:
∀x1 ∀x2 ∀x3 f (f (x1 , x2 ), x3 ) ≡ f (x1 , f (x2 , x3 )) ∀x1 f (x1 , c1 ) ≡ x 1 ∀x1 ∃x2 f (x1 , x2 ) ≡ c 1
Donde f debe interpretarse como la función definida sobre G xG que da un elemento de G dando operación de grupo, xi son signos de variables (puede definirse una colección infinita numerable de las mismas) y c 1 es una constante que requiere la teoría que se interpretará como el elemento neutro (es decir, los axiomas postulan que dicho elemento existe).
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Véase también • Proposición • Axioma
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• Postulado • Definición • Teorema • Sistema
formal
• Axiomas
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de Hilbert
Referencias
[1] Sistema axiomático deductivo en symploke [2] Richard Dedekind, 1890, Letter to Keferstein. pp. 98–103.
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Enlaces externos Amor, 2004, Un refinamiento del concepto de sistema axiomático , en signosfilosoficos.
• J.A.
7 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS
4
7
Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
7.1 •
7.2 •
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7.3 •
Texto Sistema axiomático Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1tico?oldid=94953808 Colaboradores: Pilaf, JMCC1, Davius, Technopat, Jkbw, PatruBOT, GrouchoBot, EmausBot, Chopinzone, CocuBot, Invadibot, Acratta, Eyetheunlord, Addbot, Jarould y Anónimos: 11
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