Fakulteti i inxhinierisë elektrike dhe kompjuterike
Prof. Dr. Ilir Limani
Përmbledhje e detyrave të zgjidhura (të paredaktuara) nga provimet e lëndës: lëndës:
SINJALE DHE SISTEME
Prishtinë, Korrik 2014
Sinjalet dhe sisteme sist emett – Konceptet Konceptet themelore. 1. Disa nga shprehjet që shpesh lajmërohen në trajtimin e sinjaleve janë edhe këto N 1 1 a N 1 n , a 1 (a) a (b) a n 1 a 1 a n0 n0
(c)
a n k
n
a k
1 a
, a 1
(d)
na
n
n0
a
1 a
2
, a 1
Të provohet korrektësia e tyre. Zgjidhje: (a) Shuma mund të shënohet në trajtë të zbërthyer N 1
a
n
1 a a 2 a N 2 a N 1
n 0
Nëse kjo shumë shumëzohet me me termin a, kemi N 1
a
a
n
a a 2 a N 1 a N
n0
dhe kur këto dy shprehje zbriten, fitohet N 1
a
N 1
N 1
a a 1 a a n
n
n
n 0
n 0
n0
1 a a 2 a N 2 a N 1 a a 2 a N 1 a N 1 a N Prej këtu drejtpërsëdrejti shihet se vlen N 1 1 a N n a 1 a n0 I vetmi problem me këtë shprehje është rasti kur a=1, kur emëruesi dhe numëruesi në anën e djathtë të barazimit kanë vlerë zero. Kjo situatë zgjidhet p.sh. me zbatimin e rregullit të L’Hopitalit për shprehje të papërcaktuara të tipit 0/0. Por, edhe pa të është e qartë se vlen N 1
1
n
1 11 12 1N 2 1N 1 1 N N
n0
(b) Vërehet se shprehja
1 , a 1 1 a n 0 . Prandaj, paraqet rastin e veçantë veçantë të asaj nën nën pikën (a), kur N N 1 1 a N 1 n n a lim a lim , vetëm kur a 1 N N 1 a a 1 n 0 n 0 Kuptohet, nëse nuk plotësohet kushti i sipërm shuma divergjon. (c) Edhe kjo shprehje ndërlidhet me atë parapraken, i vetmi dallim është në kufirin e poshtëm të shumës, prandaj me zëvendësim m=n-k fitohet fi tohet
a
a
a
m k
n
a
a
k
m
a k
, a 1 a 1 n k m 0 m 0 (d) Vërtetimi i këtij relacioni bëhet duke diferencuar shumën nën pikën (b) n
Sinjalet dhe sisteme sist emett – Konceptet Konceptet themelore. 1. Disa nga shprehjet që shpesh lajmërohen në trajtimin e sinjaleve janë edhe këto N 1 1 a N 1 n , a 1 (a) a (b) a n 1 a 1 a n0 n0
(c)
a n k
n
a k
1 a
, a 1
(d)
na
n
n0
a
1 a
2
, a 1
Të provohet korrektësia e tyre. Zgjidhje: (a) Shuma mund të shënohet në trajtë të zbërthyer N 1
a
n
1 a a 2 a N 2 a N 1
n 0
Nëse kjo shumë shumëzohet me me termin a, kemi N 1
a
a
n
a a 2 a N 1 a N
n0
dhe kur këto dy shprehje zbriten, fitohet N 1
a
N 1
N 1
a a 1 a a n
n
n
n 0
n 0
n0
1 a a 2 a N 2 a N 1 a a 2 a N 1 a N 1 a N Prej këtu drejtpërsëdrejti shihet se vlen N 1 1 a N n a 1 a n0 I vetmi problem me këtë shprehje është rasti kur a=1, kur emëruesi dhe numëruesi në anën e djathtë të barazimit kanë vlerë zero. Kjo situatë zgjidhet p.sh. me zbatimin e rregullit të L’Hopitalit për shprehje të papërcaktuara të tipit 0/0. Por, edhe pa të është e qartë se vlen N 1
1
n
1 11 12 1N 2 1N 1 1 N N
n0
(b) Vërehet se shprehja
1 , a 1 1 a n 0 . Prandaj, paraqet rastin e veçantë veçantë të asaj nën nën pikën (a), kur N N 1 1 a N 1 n n a lim a lim , vetëm kur a 1 N N 1 a a 1 n 0 n 0 Kuptohet, nëse nuk plotësohet kushti i sipërm shuma divergjon. (c) Edhe kjo shprehje ndërlidhet me atë parapraken, i vetmi dallim është në kufirin e poshtëm të shumës, prandaj me zëvendësim m=n-k fitohet fi tohet
a
a
a
m k
n
a
a
k
m
a k
, a 1 a 1 n k m 0 m 0 (d) Vërtetimi i këtij relacioni bëhet duke diferencuar shumën nën pikën (b) n
d
a da
n
n 0
n0
d da
a n
na
n 1
a
n 0
1
na
n
n 0
Nga ana tjetër, kjo duhet të jetë e barabartë barabartë me d 1 1 da 1 a 1 a 2 duke i barazuar derivatet e shprehjeve vërtetohet se vërtetë vlen
na
n
a
1 a
n 0
2
, a 1
2. Përcaktoni se a janë periodike apo aperiodike sinjalet e poshtëshënuara. Nëse sinjali është periodik përcaktoni periodën dhe frekuencën fondamentale. 2 (a) x t cos 2 t , (b) x t cos t 2 , (c) x t e 2t 4 3 3 2 (d) x n cos 2 n , (e) x n cos n 2 , (f) x n e 2 n 4 3 3 Zgjidhje: (a) Së pari rregullohet shprehja për x(t ) në trajtë më të përshtatshme funksionale, funksionale, 1 1 x t cos 2 t cos 2 t 4 2 2 4 3 3 1 1 2 cos t 2 2 2 3 Pastaj, nga kushti për periodicitet të sinjalit, x t T x t , rrjedh barazimi, 2 2 t T t 2 k , 3 2 3 2 i cili kënaqet, në qoftë se 2 T 2 k , k 1, 2, 3 ose T 3k , k 1, 2, Perioda fondamentale është vlera më e vogël e T -së, -së, prandaj T =3. =3. Nga kjo zgjedhje rrjedh edhe vlera e frekuencës themelore, 2 2 0 3 T (b) Për të qenë sinjali periodik duhet të vlej barazimi
3
t 2 2 k
3
2
t T
3
t2
3
T 2t T
ose 2 k
T 2t T 3 Meqë t është është variabël nuk mund të gjendet asnjë vlerë konstante e T -së -së për të cilën plotësohet barazimi i sipërm, sipërm, prandaj përfundohet përfundohet se ky sinjal sinjal nuk është periodik. periodik. (c) Nga 2 2 2 t T e 2 t e
2
rrjedh ekuacioni e
2t 2
2
e2t e 2T 2 t T
ose
2T 2t T 0 . Ngjashëm si nën pikën (b) edhe këtu nuk mund të gjendet asnjë T me vlerë konstante për të cilën vlen barazimi. Pra, edhe ky sinjal nuk është periodik. (d) Katrori i kosinusit zbërthehet 1 1 2 x n cos 2 n cos n 4 2 2 2 3 3 dhe në të zbatohet prova e periodicitetit 2 2 2 cos n N cos n , N 2 k 2 2 3 3 3 Prej këtu rrjedh N 3k që do të thotë se perioda themelore e sinjalit është N =3. (e) Për të qenë ky sinjal diskret periodik duhet të vlej ekuacioni 2 cos n N cos n 2 2 k 3 3 që ka për rrjedhojë 2 2 n nN N 2 n 2 2 k 3 3 3 3 ose 2 nN N 2 2 k 3 3 Nga ky ekuacion mund të përcaktohen vlerat e N si zgjidhje e ekuacionit kuadratik. Këto zgjidhje janë në funksion të variabëlit të pavarur n. Pra nuk ekziston asnjë vlerë konstante e periodës N për të cilën kënaqet barazimi, që ka për rrjedhojë konstatimin se sinjali nuk është periodik. 3. Për një sinjal të vazhduar x(t ) dihet se është periodik me periodë themelore T . Nga ky sinjal prodhohen dy sinjale të tjera, duke shkallëzuar boshtin kohor. Këto dy sinjale janë të përkufizuara si: q(t )= x(2t ) dhe r (t )= x(t /2) (a) Trego se a ka fakti që x(t ) është periodik për rrjedhojë edhe faktin se q(t) dhe r (t ) janë gjithashtu periodike. Nëse po, atëherë përcakto periodat e q(t ) dhe r (t ). (b) Vërteto se a vlen edhe e anasjella. Zgjidhje: (a) Nëse x(t ) është periodik, atëherë vlen x t x t T
kjo ka për rrjedhojë që x 2t x 2t T x 2 t T / 2
që mund të shkruhet edhe ndryshe q t q t T / 2
Barazimi i sipërm tregon se periodiciteti i x(t ) implikon edhe periodicitetin e q(t ) me periodë T 1=T /2. Ngjashëm vërtetohet edhe për r (t ), x t / 2 x t / 2 T x t 2T / 2
3
ose r t r t 2T
Që do të thotë se r(t) është periodik me periodë themelore T 2=2T . (b) Këtu s’ka çka të vërtetohet, meqenëse për këtë mjafton që sinjalet x(t ), q(t ) dhe r (t ) i ndërrojnë rolet. 4. Le të jenë dhënë dy sinjale periodike x1(t ) dhe x2(t ). Perioda themelore e x1(t ) është T 1, ndërsa perioda e x2(t ) është T 2. (a) Të përcaktohet se a do të jetë sinjal periodik shuma e këtyre dy sinjaleve. Nëse kjo shumë e sinjaleve del periodike, le të caktohet perioda T e këtij sinjali. (b) Përmes përfundimit të arritur nën pikën (a) le të caktohet se, a janë periodike sinjalet e dhëna në vijim dhe nëse janë, sa e kanë ato periodën themelore? x t cos 5 t sin 12 t dhe x t cos 5 t sin 2t Zgjidhje: (a) Meqenëse sinjalet x1(t ) dhe x2(t ) janë periodike me periodat përkatëse, duhet të vlej x1 t x1 t T1 x1 t kT1 dhe x2 t x2 t T2 x2 t lT 2 ku k dhe l janë numra natyror. Shuma e këtyre dy sinjaleve mund të jetë periodike nëse plotësohet kushti x t x1 t x2 t x t T x1 t T x2 t T Sinjali x1(t ) është periodik me periodë T 1, përkatësisht me kT 1, ndërsa ai x2(t ) është periodik me periodë T 2, përkatësisht me lT 2. Nga barazimi i fundit rrjedh përfundimi se për të qenë sinjali x(t ) periodik, njëkohësisht duhet të plotësohen këto dy barazime T kT1 dhe T lT2 Kjo do të thotë se shuma e dy sinjaleve periodike, me perioda të ndryshme, është periodike vetëm në qoftë se raporti i periodave të tyre është numër racional. T 1 T2
l k
Perioda themelore e sinjalit x(t ) në këtë rast përcaktohet me T kT1 lT2 (b) Në qoftë se shprehja për funksion të sinjalit shtrohet si në vijim 2 2 x t cos 5 t sin 12 t cos t cos t T T 1 2 del se sinusoidat që e përbëjnë atë kanë perioda themelore të përsëritjes 2 2 2 1 5 T1 dhe 12 T 2 5 6 T1 T 2 Raporti i periodave të sinjaleve përbërëse është numër racional T 1 12 5 T 2 që ka për rrjedhojë se ky sinjal është periodik me periodë T 5T1 12T 2 2 Në rastin e sinjalit
4
2 2 t sin t T T 1 2
x t cos 5 t sin 2t cos
periodat e termeve përbërëse janë 2 2 2 5 T1 dhe 2 T 2 5 T1 T 2 Raporti i periodave do të jetë T 1 2 T 2 5 që është një numër irracional. Kjo ka për rrjedhojë përfundimin se nuk ekziston asnjë vlerë e periodës T për të cilën të dy komponentët e sinjalit bashkërisht janë periodikë, prandaj sinjali x(t ) nuk mund të jetë periodik edhe pse përbëhet nga shuma e dy sinjaleve periodike. 5. Verifikoni periodicitetin për sinjalin vijues: j
x n e
13 n 7
cos n
Zgjidhje:
Ngjashëm si në rastin e sinjaleve të vazhduara edhe për sinjale diskrete periodike, të formuara nga shuma e dy sinjaleve periodike, mund të caktohet kushti i periodicitetit për rastin e përgjithshëm. Pra le të supozojmë se është i dhënë sinjali x[n]= x1[n]+ x2[n], ku sinjali i parë është periodik me periodë N 1 dhe i dyti me N 2. Për të qenë periodik sinjali x[n] me periodë N nevojitet plotësimi i kushtit x n x n N x1 n N x2 n N Meqenëse periodat e sinjaleve x1[n] dhe x2[n] janë N 1 dhe N 2, për t’u plotësuar barazimi i sipërm nevojitet të vlej N kN1 dhe N lN 2 , k , l 1, 2, që rezulton me kushtin e njëjtë si për rastin e sinjaleve të vazhduara periodike. Pra, për të qenë periodik shuma e dy sinjaleve diskrete periodike raporti i periodave të jetë numër racional N 1 N 2
l k
Me këtë përfundim mund t’i qasemi zgjidhjes së detyrës për sinjalin konkret. j
x n e
13 n 7
cos n Termi i parë do të jetë periodik kur të plotësohet kushti, 13 13 14 14 n 2 m, N 1 m 13 14 n N1 7 7 13 13 kurse i dyti n N2 n 2 m, N2 2m 2 1 2 Meqenëse raporti i periodave të këtyre dy komponentëve është numër i plotë N 1 14 7 2 N 2 përfundojmë se sinjali x[n] është periodik me periodë N 7 N 2 N 1 14
5
6. Të tregohet se energjia e një sinjali arbitrar të vazhduar x(t ) është e barabartë me shumën e energjive të komponentëve përbërëse çifte dhe teke të këtij sinjali. Zgjidhje: Dihet se gjithmonë një sinjal mund të shprehet si x t xs t xas t Prandaj energjia e sinjalit x(t ) mund të shtrohet si
E
x
2
t dt xs2 t xas2 t 2 xs t xas t dt
Nëse kemi parasysh se xs t
x t x t
x t x t
dhe xas t
2
2
atëherë vlen
1 2 1 2 1 2 2 xs t xas t dt 4 x t x t dt 4 x t dt 4 x d 0 me këtë vërtetohet se vërtetë energjia e një sinjali është e barabartë me shumën e energjive të pjesëve çifte dhe teke të tij.
E
x
2
x
t dt
2
s
t dt
2 xas t dt
7. Më poshtë janë përshkruar disa sinjale të vazhduara dhe diskrete. Përcaktoni se cilët nga këto janë sinjale të energjisë, të fuqisë apo nuk i takojnë as llojit ë parë e as të dytit. (a) x t e at u t , a 0 (b) x t tu t n
(c) x t A cos 0 t
(d) x n 1 / 3 u n (f) x n 5e j 2 n
(e) x n u n Zgjidhje: (a) x t e at u t , a 0
E
2
x t dt e
2 at
dt
0
1 1 lim 1 e 2 at 2a t 2a
Në këtë rast sinjali x(t ) është sinjal i energjisë. (b) x t tu t
1 t 3 0 Sinjali x(t ) nuk është i energjisë, mbetet të verifikohet se a është ai sinjal i fuqisë 3 T T 2 1 /2 1 /2 2 1 T P lim x t dt lim t dt lim T T T T T 3T 2 T / 2 0 Përfundohet se sinjali x(t ) nuk është as i energjisë e as i fuqisë. (c) Sinjalet periodike nuk mund të jenë të energjisë, prandaj sinjali provohet vetëm në kushtin që të jetë i fuqisë. Shprehja përkufizuese e fuqisë për sinjale periodike reduktohet në integrim brenda një periode të sinjalit. Perioda e këtij sinjali është E
2
x t dt t 2 dt lim t 3
6
T
2 0
ndërsa fuqi llogaritet me shprehjen / 2 0 0 1 T / 2 2 2 P x t dt A cos 0t dt T T / 2 2 0 / 0 /
2
A 1 cos 2 2 A t dt 0 2 0 / 2 2 Ky sinjal është i fuqisë. n x n 1/ 3 u n (d) 2n n 2 1 9 1 1 E x n 1 1/ 9 8 n n0 3 n 0 9 Ky është sinjal i energjisë. (e) Ky sinjal nuk mund të jetë i energjisë sepse po ta paramendojmë këtë sinjal si atë nga pika e mëparshme, ku në vend të faktorit (1/3) lajmërohet faktori 1, atëherë është e qartë se shprehja për energji nuk konvergjon. Prandaj ky sinjal mund të provohet në shprehjen për fuqi N N 2 1 1 1 N 1 12 lim P lim x n lim N 2 N 1 N 2 N 1 N 2 N 1 2 n N n 0 Pra, ky sinjal është i fuqisë. (e) x n 5e j 2 n . Ky sinjal ka kohëzgjatje të pafundme, por nuk është periodik (të vërtetohet). Nëse kihet parasysh se moduli i këtij sinjali është x n 5 e j 2 n 5
0
2
atëherë shihet se ky nuk mund të jetë sinjal i energjisë sepse shuma e pafundme e katrorëve të moduleve nuk konvergjon dhe rrjedhimisht sinjali nuk mund të jetë i energjisë. Ky sinjal është i fuqisë sepse N N 25 2 N 1 2 1 1 2 P lim x n lim 5 lim 25 N 2 N 1 N 2 N 1 N N 2 1 n N n N 8. Shprehni sinjalet x1(t ), x2(t ), x3(t ), dhe x4(t ) përmes sinjalit q(t ).
Zgjidhje:
7
(a) q(t +1)
1
q(t )
1
1
0
1
2
q(-t +1)
0
t
1
1
2
t
1
2
t
1
2
t
2
t
1
2
t
1
2
t
1
2
t
2
t
2
t
q(t -1)
1 0
2
t
0 x1 t q 1 t q t 1 1
x1(t )
0
-1
(b) q(t +1)
1
q(t )
1
1
0
1
2
q(-t +1)
0
t
1 q(t +1)
1 0
1
2
t
0 x2 t q 1 t q t 1
1
x2(t )
0
-1
(c) q(t +0.5)
1
q(t )
q(-t +0.5)
1 0
1
2
1 0
t
q(t +0.5)
1 0
1
2
t
0
1
1 x3(t ) x3 t q 0.5 t q t 0.5
-1
(d)
8
0
1
9. Më poshtë është paraqitur një sinjal i vazhduar dhe një diskret. 2
x(t )
2
2 1
1 -3 -2
x [n ]
0
1
2
-4 -3 -2 -1 0
t
1
2 3
n
Skiconi trajtat dhe shënoni me kujdes vlerat karakteristike për këto sinjale: i. Pjesën shkakësore e x(t ) dhe x[n]. ii. Pjesën kundërshkakësore e x(t )dhe x[n]. iii. Komponentët çift (simetrikë) dhe tek (antisimetrikë) të sinjaleve x(t ) dhe x[n]. (a) x t 1 dhe x n 2 . (b) x 2t 3 dhe x 3 n . (c) x 3 t / 2 dhe x 2n 1 . (d) u 1 t x t x t 2 dhe x n u 1 n . (e) x 2t 3 t 1 dhe x 2n 1 n 1 . (f) 3 x t 1 x t / 2 1 u t 1 dhe x n 2 . Zgjidhje: (a) xk t x t u t
xk n x n u n
(b) xak t x t u t
9
xak n x n u n 1
(c) xs t
x t x t 2
xas t
xs n
x t x t
x n x n
xas n
(d) x t 1 dhe x n 2 .
(e) x 2t 3 dhe x 3 n .
(f) x 3 t / 2 dhe x 2n 1 .
10
2
2
x n x n 2
(g) u 1 t x t x t 2 dhe x n u 1 n .
11
10.Sinjali i skicuar në figurë të shprehet matematikisht përmes sinjaleve shkallënjësi.
Zgjidhje:
x t sin t u t 2 u t 2t u t u t 1 2 u t 1 u t 2
u t 2 u t 3 4 t u t 3 u t 4 1.5 u t 5 u t 6
11.Të vërtetohen këto veti të impulsit njësi 1 (a) at t a
(b) Se delta impulsi është funksion çift, t t Zgjidhje: (a) Le të jetë dhënë një sinjal arbitrar x(t ) dhe një konstantë reale a. Llogarisim integralin këtij sinjali me (at ), si në vijim 1 x d , a 0 a a 1 x t at dt 1 a , 0 x d a a a
1 x 0 d a a
x
Nëse kemi parasysh përkufizimin e (t )
x t t dt x 0
dhe e rishkruajmë këtë zbërthim duke e kombinuar me shprehjen e sipërme 1 a
x 0
x t at dt
xt
1 a
arrijmë në përfundim se vërtetë vlen at
12
1 a
t
t dt
1 a
x0
(b) Çiftësia e (t ) vërtetohet në mënyrë triviale nga përfundimi nën pikën (b). Nëse marrim se a=-1, atëherë do të vlej 1 t t t 1 12.Të tregohet se çfarë ndërlidhje ka në mes të delta impulsit (t ) dhe sinjalit shkallë njësi u(t ). Zgjidhje: Delta impulsi ka zbatim të rëndësishëm në përshkrimin e derivateve të sinjaleve që janë pjesë-pjesë të vazhduara, me hope në numër të fundmë të pikave. Problemi me këto sinjale qëndron në faktin se derivati i tyre në pikën e hopit nuk është i përcaktuar në kuptimin e zakonshëm, që do të thotë se ky derivat ka vlerë të pafundme, negative apo pozitive. Për ta qartësuar idenë e zbatimit le të kemi parasysh se për integralin e (t ) vlen barazimi
t
0, t 0 1, t 0
d
Në anën e djathë të shprehjes së sipërme lehtë njihet përkufizimi i sinjalit shkallë-njësi u(t ), prandaj mund të shtrojmë implikimin t du t d u t t dt
Me këtë jo vetëm se u përfitua një përkufizimi i ri për (t ), por gjithashtu edhe mundësia për të shprehur derivatet e sinjaleve në pikat e hopeve. Padyshim, sinjali më karakteristik që ka hop është sinjali shkallë-njësi. Sipas rezultatit të fituar shohim se derivati i këtij sinjali është gjithkund zero, përveç në t =0 ku ka vlerë pafundësisht të madhe, që shprehet mirë përmes delta impulsit me peshë njësh. t u t
du t
t
dt
d
13.Të përcaktohet derivati i sinjalit të paraqitur grafikisht në vijim.
Zgjidhje:
13
Së pari sinjali shprehet përmes sinjaleve shkallë njësi, meqë ai është pjesë-pjesë i vazhdueshëm x t u t 3 u t 2 et u t 2 u t 3 t u t u t 2 u t 2 u t 3
2 7 / 2 t u t 3 u t 4 u t 4 u t 5 2 t 5 u t 5 u t 6
Pastaj diferencohet, ku në çdo hop të sinjalit lajmërohet impulsi njësi (t ) me peshë të përcaktuar me amplitudën e hopit dhe parashenjë pozitive nëse hopi është pozitiv dhe parashenjë negative nëse hopi është negativ. Përcaktimi i derivatit mund të bëhet me inspektim të grafikut. Hopet siç shihet janë në pikat t =-3, t =-2, t =0, t =5. Rezultati i fituar është treguar grafikisht ndërsa studentit i lihet ta vërtetoj korrektësinë e kësaj duke diferencuar shprehjen e sipërme për x(t ).
14.A mund të përkufizohet derivati i (t )? Nëse po, përcaktoni se a mund të gjendet ndonjë relacion që e ndërlidhë atë me delta impulsin. Zgjidhje: Është më se e qartë se ky derivat nuk mund të definohet në kuptimin e zakonshëm si për sinjale të vazhduara. E vetmja qasje që e kemi në dispozicion për ta përcaktuar derivatin e delta impulsit është që të zbërthejmë shprehjen
x t
d t dt
dt x t t
t
t
dx t
dt
t dt
0
dx t dt
x ' 0
t 0
Nga kjo përfundojmë se derivati i delta impulsit ’(t ) ka efekt në sinjalin x(t ) ashtu që këtij ia veçon vlerën e derivatit sipas relacionit
x t ' t dt x ' 0
Le të marrim se kemi sinjalin x(t )=(-t ) dhe kemi parasysh rezultatin e fundit. Do të mund të shkruanim se
t ' t dt 1 t dt Duke i krahasuar shprehjet në integral në të dy anët e barazimit, përfundojmë se vlen t t ' t 15.Të zbërthehen shprehjet (a) 3t 4 t 1 (b)
t t 2 dt
14
Zgjidhje:
(a) x t 3t t 1 3 t 4
4 t 1
t 1 3 t 1
(b) A
t t 2 dt t t 2 2
16. Një sistem mund të jetë: Me kujtesë apo pa të. Shkakësor, kundërshkakësor apo joshkakësor. I pandryshueshëm (invariant në zhvendosje) apo i ndryshueshëm në kohë. Linear apo jolinear. Stabil apo jostabil Përcaktoni se cilat nga vetitë e sipërshënuara vlejnë për sistemet e mëposhtme. Përgjigjja duhet të jetë e argumentuar në mënyrë të qartë. (a) y t S x t
dx t
n , (b) y n S x n 1 1 x n dt
2t
(c) y t S x t x t 1 x 3 t , (d) y t S x t x d
(e) y n S x n x n Zgjidhje:
(a) Janë disa përkufizime të derivatit të një funksioni dx t x t t x t lim I y t t 0 t dt dx t x t x t t lim II y t t 0 t dt dx t x t t / 2 x t t / 2 lim III y t t 0 t dt Shkakësia dhe kujtesa
Në bazë të përkufizimeve të sipërme përfundohet se në të gjitha rastet, sistemi është me kujtesë sepse vlerat aktuale të sinjalit në dalje varen qoftë nga vlerat e kaluara të sinjalit në hyrje, qoftë nga vlerat e ardhshme dhe qoftë nga të dyja. Sistemi i përkufizuar sipas (I) është kundërshkakësor sepse dalja varet nga koha e ardhshme ( t +t ). Sistemi (II) është shkakësor , sepse dalja varet nga koha e kaluar (t -t ). Sistemi (III) është joshkakësor sepse dalja varet si nga koha e kaluar ashtu edhe nga ajo e ardhshmja. Pandryshueshmëria në kohë (invarianca në zhvendosje) Në sinjalin x(t ) sistemi përgjigjet me dx t y t dt Në x(t ) të zhvendosur për t 0, përkatësisht në sinjalin x1(t )= x(t-t 0), sistemi përgjigjet
me y1 t
dx1 t
dx t t0
dt dt Përgjigja e zhvendosur e sistemit në x(t ) për t 0, sipas shprehjes së parë, do të jetë
15
y t t 0
dx t t0
dt Meqenëse përgjigja e zhvendosur e sistemit për t 0 është e njëjtë me përgjigjen e sistemit në hyrjen e zhvendosur për të njëjtën t 0, përfundohet se sistemi është, i
pandryshueshëm në kohë, përkatësisht invariant në zhvendosje. Lineariteti Prova e homogjenitetit:
Sistemi përgjigjet në hyrjen e shkallëzuar me një konstantë c, me y1 t S cx t
dx t
d
cy t cx t c dt dt shihet se kjo përgjigje është e njëjtë me përgjigjen y(t ) të shkallëzuar me të njëjtën konstantë, prandaj sistemi është homogjen. Prova e aditivitetit
Nëse sistemi përgjigjet në një x1(t ) me y1(t ) dhe në një x2(t ) me y2(t ), sipas shprehjeve y1 t
dx1 t
dhe y2 t
dx2 t
dt dt atëherë përgjigja e sistemit në x(t )= x1(t )+ x2(t ) do të jetë dx t dx t d x1 t x2 t = 1 + 1 y1 t y2 t y t dt dt dt
Pra sistemi në shumën e hyrjeve përgjigjet me shumën e daljeve përkatëse. Nga kjo përfundohet se ai është aditiv. Meqenëse se sistemi ishte edhe homogjen, rrjedh konkluzioni se ai është linear . Stabiliteti
Për të provuar jostabilitetin e një sistemi mjafton të gjendet një rast i sinjalit hyrës me vlera të fundme, për të cilin sistemi përgjigjet me dalje të pakufizuar për nga vlera. Në rastin konkret sinjali shkallë njësi x(t )= u(t ) është sinjal i cili nuk e tejkalon vlerën 1, por sistemi në këtë ngacmim përgjigjet me y t
dx t
du t
t dt dt (t ) siç dihet ka vlerë të pafundme në t =0, prandaj përfundojmë se ky sistem është jostabil.
(b) n y n S x n 1 1 x n
Kujtesa dhe shkakësia Sistemi nuk ka kujtesë sepse dalje në çastin n varet nga hyrja vetëm në atë çast. Sistemi është shkakësor sepse dalja në një kohë të caktuar nuk varet nga hyrja në
kohërat e ardhshme. Pandryshueshmëria në kohë Në qoftë se në hyrjen x[n] sistemi përgjigjet me n y n S x n 1 1 x n
atëherë në hyrjen e zhvendosur për k do të përgjigjet me n y1 n S x n k 1 1 x n k Nga ana tjetër, dalja e vonuar për k pozita do të jetë
16
y n k 1 1
n k
x n k
prej këtu shihet se y n k y1 n
Prandaj përfundojmë se sistemi është i ndryshueshëm në kohë (jo invariant në zhvendosje). Lineariteti
Përgjigja e sistemit në hyrjen e shkallëzuar është n S cx n 1 1 cx n cy n Përfundimi: Sistemi është homogjen. Përgjigja e sistemit në shumë të dy hyrjeve është: n S x1 n x2 n 1 1 x1 n x2 n y1 n y2 n Përfundimi: Sistemi është edhe aditiv . Rrjedhimi: Homogjen dhe aditiv është ekuivalent me linear . Stabiliteti
Supozojmë se vlerat e hyrjes janë të kufizuara me një prag B x, max x n Bx n
atëherë për daljen do të vlej n n max y n max 1 1 x n max 1 1 max x n 2B x n n n n Përfundimi: Sa herë që dalja është e kufizuar në vlera, e tillë do të jetë edhe përgjigja (dalja). Kjo do të thotë se sistemi është stabil . (c) y t S x t x t 1 x 3 t Kujtesa dhe shkakësia
Nëse caktojmë vlerën e daljes në t =0, fitojmë y(0)= y(-1)+ y(3). Pra, kjo dalje varet si nga vlerat e kaluara ashtu edhe nga ato të ardhshme, prandaj përfundojmë se ky sistem është me kujtesë dhe joshkakësor . Pandryshueshmëria në kohë
Përgjigja e sistemit në sinjalin e zhvendosur x1(t )= x(t -t 0) do të jetë y1 t S x t t0 S x1 t x1 t 1 x1 3 t x t t0 1 x 3 t t 0
Përgjigja e zhvendosur e sistemit për t 0 është y t t0 x t t 0 1 x 3 t t 0 x t t0 1 x 3 t t 0
Prej këtu konstatohet se y t t0 y1 t
me përfundim se ky sistem është i ndryshueshëm në kohë. Lineariteti
Përgjigja e sistemit në një kombinim linear të hyrjeve x(t )=c1 x1(t )+ c2 x2(t ) do të jetë
17
S c1 x1 t c2 x2 t c1 x1 t 1 c2 x2 t 1 c1 x1 3 t c2 x 2 3 t
c1 x1 t 1 x1 3 t c2 x2 t 1 x2 3 t c1 y1 t c2 y2 t që do të thotë se sistemi në kombinimin linear të hyrjeve përgjigjet me kombinim linear të daljeve (parimi i superponimit) me pesha të njëjta. Përfundimi sistemi është linear. Stabiliteti
Supozojmë se vlerat e hyrjes janë të kufizuara me një prag B x, max x t Bx n
atëherë për daljen do të vlej max y t max x t 1 x 3 t 2 max x t 2 Bx n
n
n
prandaj sistemi është stabil. (d) 2 t
y t S x t
x d
Kujtesa dhe shkakësia
Sistemi ka kujtesë sepse, jo vetëm se dalja aktuale varet nga vlerat e kaluara të hyrjes por ajo varet edhe nga vlerat e ardhshme (kufiri i sipërm i integralit 2t). Gjithashtu, pa vështirësi vërehet se ky sistem është joshkakësor. Për shembull në përcaktimin e daljes për momentin t=1, hyn edhe vlera e hyrjes në momentin t=2. Pandryshueshmëria në kohë
Dalja e zhvendosur për t 0 do të jetë 2 t t 0
y t t0
x d
ndërsa përgjigja e sistemit në hyrjen e zhvendosur është 2 t
y1 t S x t t0
x t0 d
2 t t 0
x d
prej këtu y t t0 y1 t
me përfundim se ky sistem është i ndryshueshëm në kohë. Lineariteti
Përgjigja e sistemit në një kombinim linear të hyrjeve x(t)=c 1x1(t)+ c2x2(t) do të jetë 2 t
S c1 x1 t c2 x2 t
c x c x 1 1
2 2
d
2t
2 t
c1 x1 d c2 x2 d c1 y1 t c2 y 2 t
që do të thotë se sistemi në kombinimin linear të hyrjeve përgjigjet me kombinim linear të daljeve (parimi i superponimit) me pesha të njëjta. Përfundimi: sistemi është linear . Stabiliteti
Le të jetë sinjali hyrës x(t )=u(t ), përgjigja e sistemit në këtë hyrje do të jetë
18
y t
2t
2 t
0
x d d 2tu t
Sinjali hyrës është i kufizuar me vlerën 1, ndërsa përgjigja e sistemit në këtë sinjal nuk kufizohet në vlera me rritjen variabëlit të pavarur t . Prandaj sistemi nuk mund të jetë stabil. (e) y n S x n x n Sistemi ka kujtesë sepse p.sh. y[1]= x[-1]. Gjithashtu ai nuk mund të jetë shkakësor sepse y[-1]= x[1]. Sistemi është linear. Gjithashtu ky është stabil, për arsye se vlera maksimale e modulit të daljes nuk e tejkalon atë të hyrjes. Sistemi është i ndryshueshëm në kohë sepse në hyrjen e zhvendosur për k pozita përgjigjet me y1 n S x1 n S x n k x1 n x n k ndërsa dalja e zhvendosur për k pozita do të jetë y n k x n k x n k dhe këto ty dyja nuk janë të njëjta. 17.Përcaktoni se a janë apo s’janë sistemet e poshtëshënuara invertibile? Nëse konstatoni se sistemi është invertibil, përcaktoni sistemin përkatës invers. Në të kundërtën, jepni shembullin e dy sinjaleve në hyrje që japin përgjigje të njëjtë të sistemit. 2t
(a) y t S x t
x d
(b) y t S x t x 3t 2 (c) y t S x t x k t (d) y n S x n nx n (e) y n S x n x n x n 1 Zgjidhje:
(a) dy t dt
d dt
2 t
x d
d dt
X 2t
d dt
X 2
dX t dt
2 x t
0
Sistemi i kundërt është në mënyrë të njëvlershme i përcaktuar me 1 dy t 1 x t S y t 2 dt prandaj sistemi është invertibil. (b) y t S x t x 3t 2 u 2 Zëvendësojmë u 3t 2 t dhe fitojmë 3 3 u 2 t 2 x u y ose x t S 1 y t y 2 3 2 3 19
Përsëri, sistemi është i kthyeshëm sepse nga dalja mund të përcaktohet, në mënyrë unike, hyrja. (c) k y t S x t x t Nga përkufizimi i sistemit mund të shtrohet edhe sistemi i kundërt 1 x t S y t k y t Ky sistem është invertibil për k me vlera teke, ndërsa për vlerat e k çifte nuk është, sepse një dalje e caktuar y(t ) mund të jetë prodhuar nga x(t ) apo - x(t ). (d) y n S x n nx n matematikisht mund të përcaktohet inversi i këtij funksionaliteti 1 x n S 1 y n y n n
Edhe pse mund të duket se ky sistem është invertibil, ai nuk është. Mund të vërehet se për n=0, cilido sinjal x[n] prodhon y[0]=0, ky fakt mjafton për ta klasifikuar këtë sistem si jo të kthyeshëm. (e) y n S x n x n x n 1 Në këtë rast nuk shihet qartë se si të përcaktohet relacioni i kundërt në mes të hyrjes dhe daljes. Por, mund të vërehet se përgjigje të njëjtë y[n] shkakton si ngacmimi x[n] ashtu edhe ai - x[n], që e klasifikon këtë sistem në ato jo invertibile. 18. Një sistem mund të jetë: Me kujtesë apo pa të. Shkakësor, kundërshkakësor apo joshkakësor. I pandryshueshëm (invariant në zhvendosje) apo i ndryshueshëm në kohë. Linear apo jolinear. Stabil apo jostabil Përcaktoni se cilat nga vetitë e sipërshënuara vlejnë për sistemet e mëposhtme. Përgjigjja duhet të jetë e argumentuar në mënyrë të qartë. (a) y n 3 y n 1 2 x n 2 dy
sin t y t 4 xt dt (c) y n nx 2 n
(b)
Zgjidhje:
(a) y n 3 y n 1 2 x n 2 (*) Invarinaca në kohë:
Le të zbatohet në hyrje sinjali i vonuar për k pozita v n x n k , për këtë sinjal do të vlej: yv n 3 yv n 1 2v n 2 2 x n k 2 (**) Nëse në ekuacionin përcaktues të sistemit zëvendësohet n n'k , fitohet: y n ' k 3 y n ' k 1 2 x n ' k 2
20
Krahasohet ky ekuacion me atë (**) dhe vërehet se yv n y n k . Përfundim: Në hyrjen e vonuar sistemi përgjigjet me daljen e vonuar, prandaj sistemi është invariant në kohë (zhvendosje). Lineariteti: Homogjeniteti: v n ax n ya n 3 ya n 1 2v n 2 2 ax n 2
Ekuacioni (*) shumëzohet me konstantën a, ay n 3ay n 1 2 ax n 2 Krahasohet ky ekuacion me atë paraprak dhe vërehet se ya n ay n , d.m.th. Sistemi në hyrjen e shumëzuar me një konstantë përgjigjet me daljen e shumëzuar me po të njëjtën konstantë. Rrjedhim: Sistemi është homogjen. Le të zbatohen dy sinjale x1 n dhe x2 n në hyrje, sistemi në to do të përgjigjet sipas ekuacioneve: y1 n 3 y1 n 1 2 x1 n 2 y2 n 3 y2 n 1 2 x2 n 2
Mblidhen këto dy ekuacione, y1 n y2 n 3 y1 n 1 y2 n 1 2 x1 n 2 x2 n 2 Përfundim: në shumën e ngacmimeve sistemi përgjigjet me shumën e përgjigjeve të veçanta, prandaj sistemi ka vetinë e aditivitetit. Homogjen dhe aditiv, do të thotë se sistemi është linear. Shkakësia:
Dalja në momentin n varet nga hyrja në momentin n+2: Përfundim: sistemi nuk mund të jetë shkakësor. Kujtesa:
Dalja në momentin n varet nga dalja në momentin paraprak. Përfundim: Sistemi ka kujtesë. dy
sin t y t 4 x t dt Invarianca në kohë:
(b)
Ngjashëm si te ekuacionet e diferencës, nëse vt xt t 0 dy v t dt
sin t y v t 4vt 4 xt t 0
Nëse ekuacioni përcaktues i sistemit shkruhet për kohën t ' t t 0 dy t 't 0 sin t 't 0 yt 't 0 4 xt 't 0 dt
Krahasohet ky ekuacion me atë paraprak, dhe meqenëse në rastin e përgjithshëm sin t t 0 sin t , rrjedh se y v t yt t 0 . Përfundim në hyrjen e vonuar sistemi nuk përgjigjet me daljen e vonuar. Pra, sistemi është i ndryshueshëm (jo invariant) në kohë. Lineariteti:
Le të jetë në hyrje një shumë e peshuar e hyrjeve të veçanta xt ax1 t bx 2 t . Në këtë ngacmim sistemi do të përgjigjet sipas ekuacionit: dy dt
sin t y t 4 xt 4ax1 t bx 2 t
21
Ndërsa në hyrjet e veçanta do të vlejë: dy1 dt dy2 dt
sin t y1 t 4 x1 t sin t y2 t 4 x2 t
Ekuacioni i parë shumëzohet me a, i dyti me b, dhe pastaj mblidhen. Fitohet a
dy1 dt
b
dy 2 dt
sin t ay1 t 4 x1 t
(c) y n nx 2n Kujtesa:
Të merret p.sh. n 1 , y 1 1 x 2 , dalja në momentin n 1 varet nga hyrja në momentin e kaluar n 2 . Rrjedhim: Sistemi ka kujtesë! Lineariteti: x1 n dhe x2 n janë dy hyrje të ndryshme. y1 n nx1 2 n dhe y2 n nx2 2n
janë përgjigjet e sistemit në këto dy hyrje. Përgjigjja e sistemit në shumën e peshuar të këtyre dy hyrjeve v n ax1 n bx2 n do të jetë y n nv 2n n ax1 2n bx 2 2n ay1 n by2 n
Pra, sistemi është linear! Invarianca në zhvendosje: Për një x n të dhënë sistemi përgjigjet me y n nx 2n , ndërsa në ngacmimin
e vonuar v n x n k , sistemi përgjigjet me y1 n nv 2n nx 2 n k , pra y n k n k x 2 n k y1 n nx 2n k
Sistemi është i ndryshueshëm (variant) në zhvendosje. 19.Janë dhënë tri sisteme përmes relacioneve: x n / 2,, n çift Sistemi S1: y n n tek 0, 1 1 Sistemi S2: y n x n x n 1 x n 2 2 4 Sistemi S3: y n x 2n
(a) Për secilin sistem konstatoni se a i kanë vetitë e invariancës në zhvendosje dhe të shkakësisë. (b) Përsëritni pikën e sipërme për lidhjen serike si në figurë të këtyre sistemeve. Zgjidhje:
x n / 2, S1 : r n
n çift
1 1 , S2 : q n r n r n 1 r n 2 , S3 : y n q 2 n 2 4 n tek 0, (a) Prova e invariancës në zhvendosje .
22
n k , n k çift x S1: r n k 2 , 0, n k tek
z n x n k ,
n n z , , n çift x k , n çift r n k r z n , 2 r z n 2 0, n tek n tek 0, Prandaj sistemi nuk e ka vetinë e invariancës në zhvendosje (sistemi është i ndryshueshëm në kohë). Prova e shkakësisë . Vlen p.sh. r 2 x 1 vlera aktuale e daljes varet nga vlera e ardhshme e hyrjes, prandaj sistemi nuk mund të jetë shkakësor. 1 1 z n r n k S2: q n k r n k r n k 1 r n k 2 , 2 4 1 1 1 1 q z n z n z n 1 z n 2 r n k r n k 1 r n k 2 2 4 2 4 q n k q z n prandaj sistemi është invariant në zhvendosje. Sistemi është shkakësor se vlerat aktuale të daljes varen vetëm nga vlerat paraprake të hyrjes.
S3: y n q 2n ,
y n k q 2 n k q 2n 2k , z n r n k
y z n z 2n r 2 n k y n k y z n prandaj sistemi është i ndryshueshëm në kohë.
Vlen p.sh. y 1 q 2 vlera aktuale e daljes varet nga vlera e ardhshme e hyrjes, prandaj sistemi nuk mund të jetë shkakësor. (b) Lidhja serike e këtyre tri sistemeve x n / 2, , r n 0, 1 1 q n r n r n 1 r n 2 2 4 n 1 n , n 1 x , n çift 1 x 2 2 2 0, 0, n tek n 1
n ç ift n te k
,
n 2 çift 1 x , n 2 çift 2 4 tek 0, n 2 tek
n çift 0, n n 2 x n , çift , n çift 1 1 x 2 n 1 2 2 x 0, , n tek 4 n tek n tek 0, 2
y n q 2 n - termet teke të q n nuk paraqiten në dalje, prandaj
23
1 2n 1 2n 2 y n x x x n x n 1 4 2 4 2
Ngjashëm si në rastin e sistemit S 2 vërtetohet se sistemi i përbërë, edhe pse i përbërë nga nënsistemet variante në kohë dhe joshkakësore, shikuar në tërësi del shkakësor dhe invariant në zhvendosje. 20. Për të dy sistemet e dhëna më poshtë 20.Për (i) y t S x t 15sin x t (ii) y[n] S x n nx[ 2n] ,
ku n 0
përcaktoni se a janë: (a) Dinamik (me kujtesë), (b) Të pandryshueshëm në kohë (inavriant në zhvendosje), (c) Linearë, (d) Shkakësor, (e) Stabil. Zgjidhje:
Sistemi y (t ) 15 sin x( t ) (a) Kujtesa: Dalja nënë çast të caktuar kohor nuk varet nga kohërat e mëparshme apo të ardhshme, prandaj sistemi është statik (nuk ka kujtesë). (b) Invarianca në kohë: Përgjigja në ngacmimin e vonuar për t 0, v(t ) x (t t0 ) do të jetë,
i.
yv (t ) 15 sin v(t ) 15 sin x( t t 0 )
e gjithashtu edhe përgjigja y(t -t 0) ka trajtën e njëjtë, prandaj thuhet se sistemi nuk i ndryshon vetitë përgjatë kohës, apo se ai është invariant në zhvendosje. (c) Lineariteti: Lineariteti: Në hyrjen e shkallëzuar sistemi përgjigjet me ya t 15sin ax t që nuk është e njëjtë me daljen e shkallëzuar me të njëjtën konstantë, ya t 15a sin x t . kjo do të thotë se sistemi nuk është homogjen dhe rrjedhimisht ai nuk mund të jetë as linear. (d) Shkakësia: Nga ekuacioni si dhe nga vetit e funksioneve trigonometrike shihet se dalja e sistemit nuk varet nga hyrja në kohët e ardhshme, prandaj sistemi është shkakësor . (e) Stabiliteti Pavarësisht nga vlerat e hyrjes x(t ) dalja nuk mund ta tejkaloj kur vlerën absolute të 15, prandaj sistemi është stabil. Sistemi y n nx 2n , ku n≥0. a) Kujtesa: Dalja në një moment të caktuar kohor varet si nga vlerat e ardhshme të hyrjes ashtu edhe nga ato të mëhershme, y 1 x 2 , y 1 x 2 , prandaj sistemi ka kujtesë, që do të thotë se është dinamik. b) Invarianca në kohë:
ii.
24
Hyrja e vonuar për është
y n k n k x 2 n k ,
ndërsa përgjigja në hyrjen
e vonuar për k është yk n nx 2 n k , që do të thotë se y n k kjo rrjedh përfundimi se sistemi është i ndryshueshëm në kohë.
yk n .
Nga
c) Lineariteti: Lineariteti:
Sistemi është homogjen sepse në hyrjen e shkallëzuar përgjigjet me ya n anx 2n që është e njëjtë me daljen e shkallëzuar me të njëjtën konstantë. Sistemi është edhe aditiv sepse, në shumën e hyrjeve ai përgjigjet me, S x1 n x2 n nx1 2n nx2 2n
që është e barabartë me shumën e përgjigjeve të veçanta. Përfundimi është se sistemi është, si homogjen ashtu edhe aditiv dhe për pasojë të këto të dyjave ai është edhe, linear. d) Shakësia:
Sistemi nuk është shkakësor. Për të vërtetuar këtë mjafton të veçohet vetëm vlera e daljes në çastin n=1. Për këtë rast fitohet se y 1 x 2 . Meqenëse vlera e daljes varet nga vlerat e ardhshme e hyrjes sistemi nuk mund të jetë shkakësor. e) Stabiliteti:
Sistemi nuk është stabil, meqë për vlera shumë të mëdha të n ( n→∞) dalja nuk do të jetë e kufizuar, edhe pse hyrja është e kufizuar në vlera. 21.Duke 21. Duke arsyetuar qartë përcaktoni vetitë e sistemeve të përkufizuara më poshtë. (kujtesa, pandryshueshmëria në kohë, lineariteti, shkakësia dhe stabiliteti). (a) y n S x n x 1 n (b) y t S x t tx t (c) y n S x n
n
x n k k
Zgjidhje:
(a) Kujtesa: y[0]= x[1]. Sistemi ka kujtesë. Pandryshueshmëria Pandryshueshmëria në kohë: Përgjigja në hyrjen e zhvendosur për k është është S x n k x 1 n k
Përgjigja e vonuar për k është është y n k x 1 n k x 1 n k
Konstatohet se S x n k y n k , që ka për rrjedhojë pohimin: Sistemi është i ndryshueshëm në kohë. Lineariteti: S ax n ax 1 n ay n . Sistemi është homogjen. S x1 n x 2 n x1 1 n x 2 1 n y1 n y2 n .
Sistemi është aditiv, pra edhe
linear. Shkakësia: y[-1]= x[2]. Sistemi nuk është shkakësor. Stabiliteti: Nëse hyrja është e kufizuar në vlera, x n B1 , e tillë do të jetë edhe dalja, y n x 1 n B1 . Sistemi është stabil. (b) Kujtesa: Vlerat e daljes në një çast të caktuar nuk varen nga vlerat e kaluara të hyrjes e as nga vlerat e ardhshme. Sistemi është pa kujtesë (statik). Pandryshueshmëria Pandryshueshmëria në kohë: Përgjigja në hyrjen e zhvendosur për t 0 është S x t t 0 tx t t 0
25
Përgjigja e vonuar për t 0 është y t t0 t t0 x t t 0 Konstatohet se S x t t0 y t t0 , që ka për rrjedhojë pohimin: Sistemi është i ndryshueshëm në kohë. Lineariteti: S ax t tax t ay t . Sistemi është homogjen. S x1 t x2 t t x1 t x2 t y1 t y2 t .
Sistemi është aditiv, pra edhe
linear. Shkakësia: Dalja e sistemit në cilindo çast nuk varet nga kohërat e ardhshme, prandaj sistemi është është shkakësor. Stabiliteti: Nëse hyrja është e kufizuar, x t B1 , për daljen y t tx t nuk mund të garantohet një gjë e tillë për t . Sistemi nuk është stabil. (c) Kujtesa: y n S x n
n
x n k k
Sistemi ka kujtesë sepse vlerat e daljes në një moment të caktuar kohor varet nga vlerat e ardhshme të hyrjes. Pandryshueshmëria Pandryshueshmëria në kohë: Përgjigja në hyrjen e zhvendosur për l është S x n l
n
x n l k k
Përgjigja e vonuar për l është y n l
n l
x n l k k
Konstatohet se S x n l y n l , që ka për rrjedhojë pohimin: Sistemi është i ndryshueshëm në kohë. Lineariteti:
S ax n
S x1 n x2 n
n
ax n k ay n . Sistemi është homogjen. k
n
x n k x 1
k
2
n k y1 n y 2 n . Sistemi është aditiv,
pra edhe linear. Shkakësia: Dalja e sistemit në cilindo çast varet nga kohërat e ardhshme, prandaj sistemi është kundërshkakësor. kundërshkakësor. y n x n 2 x n 1 x n
Stabiliteti: Nëse hyrja është e kufizuar në vlera, x n B1 , atëherë nuk mund të garantohet që e tillë të jetë edhe dalja, sepse vlen y n
n
n
k
k
xn k
x n k
n
B
1
k
dhe vlera absolutet e daljes mund të mos ketë fare kufi të sipërm ( k ==-). Pra sitemi nuk është stabil. Në figurë është treguar skema e përgjithësuar e një modulatori të amplitudës. 22. Në Nëse modulatori trajtohet si një sistem, ku sinjali hyrës është x(t ) ndërsa ai dalës y(t ), ), tregoni, duke arsyetuar qartë, se a është ky sistem: (a) me kujtesë? (b) shkakësor? (c) linear? 26
(d) i pandryshueshëm në kohë (invariant në zhvendosje)? (e) stabil? Sistemi x t y t x t sin t 0
sin
t 0
Zgjidhje:
(a) Meqenëse nga y t S x t x t sin 0 t
shihet se dalja në një kohë të caktuar varet vetëm nga hyrja në atë kohë, përfundojmë se sistemi nuk ka kujtesë. (b) Meqenëse dalja në një kohë të caktuar nuk varet e ardhshme të sinjalit hyrës përfundojmë se sistemi është shkakësor. (c) Le të jetë: y1 t S x1 t x1 t sin 0t dhe y 2 t S x2 t x 2 t sin 0t dhe le të formohet sinjali hyrës si x t a1 x1 t a2 x2 t atëherë përgjigja e sistemit në këtë sinjal do të jetë: y t S a1x1 t a2 x2 t a1x1 t a2 x2 t sin 0t a1 x1 t sin 0 t a2 x2 t sin 0 t a1 y1 t a2 y2 t që na shtyn të përfundojmë se sistemi është linear. (d) Nëse kemi parasysh se y t S x t =x t sin 0 t
dhe y t t0 x t t0 sin 0 t t 0
E provojmë sistemin në hyrjen e vonuar për t 0, y1 t S x t t 0 =x t t0 sin 0 t duke konstatuar se y1 t S x t t0 y t t 0
dhe përfunduar se sistemi është i ndryshueshëm në kohë. (d) Nga y t S x t =x t sin 0 t vërehet se y t x t
Nga kjo kuptojmë se sa herë që hyrja të jetë e kufizuar në vlera edhe dalja do të jetë e tillë, prandaj përfundojmë se sistemi është stabil.
27
23. Në qoftë se në hyrje të një sistemi diskret, linear dhe invariant në zhvendosje, vepron sinjali x[n], sinjali në dalje të tij y[n] ndërlidhet me sinjalin hyrës përmes relacionit: y n
n
3
n k
k
3 x k 2
Verifiko se a është ky sistem shkakësor. Zgjidhje: h n
n
3
n k
n
3 k 2 3
k
n
n 2
3 k 2 3 3 n
k
k
l 2
n 2
l 3
l
n 2
3 l l
l
0, n 2 l 3 l u n 2 1, 2 n l n 2 h n 3 u n 2 n 2
Sistemi është joshkakësor sepse h 1 0 dhe h 2 0 . 24.Është fakt i njohur se kur dy sisteme diskrete, S 1 dhe S 2, janë lineare dhe invariante në zhvendosje dhe lidhen në seri si në figurë, renditja e tyre nuk është e rëndësishme. Kjo do të thotë se vlen y[n]= y1[n].
Le të supozohet se sistemi S1 është linear dhe invariant në zhvendosje i përcaktuar n me përgjigjen impulsive S1 : h1 n 1/ 3 u n . Duke përcaktuar përgjigjen impulsive të lidhjes serike të sistemeve për të dy renditjet, (i) dhe (ii), të verifikohet se a vlen ky pohim, kur sistemi i dytë S 2 është i përkufizuar si në vijim: (a) S 2 : y n S 2 x n nx n , (b) S 2 : y n S 2 x n x n 1 n . (c) Në qoftë se në rastet e analizuara nën pikat (a) dhe (b) nuk fitoni përgjigje të njëjta impulsive për renditje të ndryshme të sistemeve, tregoni se cilën nga vetitë: atë të linearitetit, invariancës në zhvendosje, apo të dyja; nuk i ka sistemi S 2. Zgjidhje:
(a) Kërkohet përgjigja impulsive e lidhjes, prandaj sinjali në hyrje është x[n]= [n]. Për renditjen (i) vlen, n q n S1 n h1 n 1 / 3 u n n
y n S2 q n nq n n1 / 3 u n
derisa për renditjen (ii) përgjigja impulsive e lidhjes do të jetë r n S 2 n n n 0 n
y1 n S1 r n r n 1 / 3 u n 0
Përfundim: y[n] y1[n], për rrjedhojë pohimi nuk vlen. (b) Renditja (i)
28
n
q n S1 n h1 n 1 / 3 u n y n S2 q n q n 1 n 1 / 3
n 1
u n 1 n
renditja (ii) r n S 2 n n 1 n n
y1 n S1 r n r n 1 / 3 u n 1 / 3
n 1
n
u n 1 1 / 3 u n
n 1 4 1 / 3 u n 1 n 3 Përfundim: y[n] y1[n], për rrjedhojë, pohimi nuk vlen. (c) Nën pikën (a) sistemi S 2 është linear por i ndryshueshëm në kohë (joinvariant në zhvendosje). Vërtetimi: S 2 ax1 n bx 2 n n ax1 n bx 2 n ay1 n by 2 n
S 2 x n k nx n k y n k n k x n k
Nën pikën (b) S 2 nuk është as linear e as invariant në zhvendosje. Vërtetimi S2 ax1 n bx2 n ax1 n 1 bx2 n 1 n a x1 n 1 n b x2 n 1 n S 2 x n k x n k 1 n x n k 1 n k
25. Një sistem diskret dhe linear S përshkruhet me relacionin hyrje-dalje si më poshtë, y n S x n
x k r n 2 k
k
ku r n u n 1 u n 3 . (a) Të përcaktohet sinjali në dalje të sistemit y[n] kur x n n 1 . (b) Të përcaktohet sinjali në dalje të sistemit y[n] kur x n n 2 . (c) A është sistemi S invariant në zhvendosje? (d) Të përcaktohet dhe të skicohet sinjali në dalje y[n] kur në hyrje vepron x n u n . Zgjidhje: (a) x1 n n 1 ,
y1 n
k 1 r n 2k r n 2 u n 3 u n 5 k
(b) x2 n n 2 ,
y2 n
k 2 r n 2k r n 4 u n 5 u n 7
k
(c) Nga pikat paraprake shihet se x2 n x1 n 1 . Për të qenë sistemi S invariant më zhvendosje duhet të vlej edhe y2 n y1 n 1 , por y2 n y1 n 1 , sepse: u n 5 u n 7 u n 4 u n 6
që do të thotë se sistemi nuk është invariant në zhvendosje. (d) x n u n 29
y n
k
k 0
u k r n 2k r n 2k r n r n 2 r n 4
u n 1
Skica e y[n]
26.Është dhënë një sistem i vazhduar dhe një diskret, të dyja këto lineare dhe të pandryshueshme në kohë. (a) Të vërtetohet se për sistemin e vazhduar vlen, S e rt Ce rt (b) ndërsa për sistemin diskret S r n Cr n
ku C është një konstantë e çfarëdoshme, ndërsa r në rastin e përgjithshëm mund të jetë edhe numër kompleks. Zgjidhje:
(a) Le të marrim sinjalin x(t ) si shumë të dy sinjaleve të trajtës së cekur funksionale, por me vlera të ndryshme të parametrit r , rt rt x t x1 t x2 t e 1 e 2 Përgjigja e sistemit në këtë sinjal le të jetë rt rt y t S x t S x1 t x2 t S e 1 e 2 Supozojmë se sistemi është linear, pra edhe aditiv, prandaj rt rt y t S x t S e 1 S e 2 y1 t y 2 t Dihet se sistemi është i pandryshueshëm në kohë, për këtë arsye do të vlej y t t0 S x t t 0 ose r t t r t t y t t0 S e 1 0 S e 1 0
Për anën e djathtë të barazimit të sipërm vlen r t t rt r t r t r t r t S e 1 0 S e 1 0 e 1 e 1 0 S e 1 e 1 0 y1 t
r t t 0
S e2
S e
r2t0 r2t
e
e
r2t0
e rt
S e2
r2t0
y2 t
sepse sistemi është edhe homogjen. Në këtë mënyrë fitohet ekuacioni funksional r t r t y t t0 e 1 0 y1 t e 2 0 y2 t Për t =0, kemi r t r t y t0 e 1 0 y1 0 e 2 0 y2 0 Shënojmë y1(0)= C 1, y2(0)= C 2 dhe në shprehjen e sipërme zëvendësojmë t =-t 0, atëherë rt rt y t y1 t y2 t C1 e 1 C2 e 2 30
që e vërteton pohimin
S e rt Ce rt
(b) Me ecuri të njëjtë si nën pikën (a) vërtetohet edhe pohimi nën këtë pikë. Pra, le të jetë x n x1 n x2 n r1n r 2n me tej, n n y n S x n S x1 n x2 n S r1 r 2 sistemi është aditiv, prandaj y n S x n S r1n S r2n y1 n y2 n Sistemi është invariant në zhvendosje dhe homogjen, pra y n k S r1n k S r2n k r1 k S r1n r2 k S r2n r1 k y1 n r2 k y 2 n Në vijim, për n=0 shënojmë k k k k y k r1 y1 0 r2 y2 0 C1 r1 C2 r 2 zëvendësojmë n=-k , n n y n C1 r1 C2 r2 y1 n y2 n që vërteton se vlen S r n Cr n Të rikujtojmë se sinjalet që nuk e ndryshojnë trajtën e vet funksionale me kalim nëpër një sistem quhen sinjale karakteristike apo vetjake të sistemit.
31
Sinjalet dhe sistemet – Ekuacionet diferenciale/të diferencës. 1. Është dhënë një sistem diskret përmes ekuacionit të diferencës: y n 2 y n 1 y n 2 x n Sinjali në hyrje të sistemit është x n u n 2 . (a) Përcaktoni sinjalin në dalje të sistemit y[n], për n≥0, në qoftë se kushtet fillestare janë y[-1]=1 dhe y[-2]=-1. (b) Çfarë do të jetë përgjigja e sistemit y1[n] në qoftë se sistemi është i relaksuar? Zgjidhje:
(a) Ekuacioni karakteristik i sistemit është: 2
r 2r 1 0, me zgjidhjet r 1,2
j 2 1 j e 4 2
Zgjidhja homogjene është: j
yn n C1e
4
n
C2
j n e 4
Meqenëse sinjali është real, atëherë patjetër duhet të vlej C2 C 1* (Vërtetimi: Konjugohet shprehja e sipërme dhe barazohet me vetveten). Pra, mund të shënohet se C1,2 C e dhe si rrjedhojë e kësaj, edhe n 4 Vërehet se deri në kohën n=2, në sistem nuk vepron kurrfarë sinjali (hyrja ekuivalentohet me zero sinjal), prandaj për kohërat n=0 dhe n=1 sistemi është në proces të relaksimit të përcaktuar nga shprehja e sipërme dhe kushtet fillestare. yn 1 1 2 C cos 2 C cos sin 4 yn 2 1 2 C cos 2 C sin 2 Me zgjidhjen e këtij sistemi të ekuacioneve trigonometrike, fitohen këto vlera të parametrave: 1 1 tan 1 8 , C 2sin / 8 1.3066 1 2 Për 0 n 1 dalja do zë jetë e përcaktuar me y n 2.6133cos n , n 0,1 8 4 Në momentin n=2 në hyrje paraqitet sinjali x n u n 2 , në qoftë se merret m n 2 dhe zëvendësohet në ekuacionin e sistemit, kemi y m 2 2 y m 1 y m u m , m 0,1, Ekuacioni karakteristik është i njëjtë si ai i mëparshmi por tani me kushte të reja fillestare: y m 1 y n 1 2.6133cos 2.4144 4 8 yn n 2 C cos
2.4144 8 Zgjidhja e veçantë e ekuacionit të diferencës supozohet në trajtën: y p m Ku m y m 2 y n 0 2.6133cos
Me zëvendësim në ekuacionin e sistemit dhe barazim për m fitohet: 1 1 K 1.2071 2 1 2 Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit për m 0 përkatësisht n 2 është y m 2 B cos m 1.2071 4 2. Një sistem diskret shkakësor është përshkruar përmes ekuacionit të diferencës, ku x[n] paraqet hyrjen, ndërsa y[n] daljen e sistemit, y n
1 y n 2 2 x n 1 2
Përcakto përgjigjen impulsive h[n] të këtij sistemi duke e zgjidhur ekuacionin në domenin kohor. Zgjidhje:
Ekuacioni i diferencës që duhet ta plotësoj përgjigja impulsive h n
1 h n 2 2 n 1 2
Ekuacioni karakteristik, 2 r
1 0 2
Vlerat karakteristike, 2 21/2 2
r 1,2
Zgjidhja homogjene
1/2 n
h n C1 2
n
C2 21/2 , n 0
Përcaktimi i konstanteve 1 h 1 2 2 C1 C2 0 dhe C1 21/2 C2 2 1/2 2 1/2 1/2 1/2 C2 C1 , 2 2 C1 2, C1 2 , C2 2 h 0 0, h 1 2
1/2 21/2
h n 2
n
n
21/2 21/2 21/2 n1 1 2 1/2 n 1 , n 0 n
3. Sistemi S është përkufizuar me relacionin: y n S e n e n 1 Ky sistem vendoset në lidhje rivepruese si në figurë. x[n]
+
+
e[n] -
S
y[n]
Duke supozuar se sistemi ka qenë paraprakisht i relaksuar ( y[n]=0, n<0), përcakto sinjalin në dalje y[n] për n≥0, për këto dy raste të ngacmimit: 33
(a) x[n]= [n]. (b) x[n]= u[n]. Zgjidhje:
e n x n y n , y n e n 1; y n x n 1 y n 1 (a) Pasi paraqitjes së sistemit me riveprim në trajtë të ekuacionit të diferencës, sinjali në dalje mund të përcaktohet në disa mënyra. Nga këto mënyra, këtu do të përdoren dy. Sipas qasjes së parë, detyra mund të zgjidhet me metodën standarde të zgjidhjes së ekuacioneve të diferencës në domenin kohor. Ekuacioni karakteristik do të jetë r 1 0 . Kjo ka për rrjedhojë që vlera karakteristike të jetë r 1 . Pra, zgjidhja kërkohet në trajtën: n y n C 1 , n 0
Vërehet se y 0 1 y 1 0 , ashtu që konstanta C duhet të caktohet nga vlera e daljes në çastin e ardhshëm n=1. 1 y 1 0 y 0 1 C 1 , C 1 Prej këtu, n 1 n 1 y n 1 u n 1 ose y n 1 n 1 Në qoftë se detyra zgjidhet në domen të variabëlit z, atëherë nga ekuacioni diferencës kemi këtë rrjedhim, 1
1
Y z z X z z Y z , Y z
z 1
1 z 1 Kur kjo shprehje kthehet në domenin kohor, kemi Y z
z 1
1 z 1
n 1
u n 1 y n 1 z (b) Në ketë rast, zgjidhjes homogjene i shtohet edhe ajo partikulare y p n Bu n . Konstantja B caktohet nga ekuacioni 1 Bu n u n 1 Bu n 1 , n 1; B 2 Sinjali në dalje kërkohet në trajtën 1 n y n C1 1 , n 0 2 C1 përcaktohet nga ekuacioni 1 1 0 y 0 0 C1 1 , C 1 2 2 Rezultati përfundimtar do të jetë, 1 n y n 1 1 u n 2 1
1
X z
z 1
4. Sistemi i vazhduar është përshkruar përmes ekuacionit diferencial: 2
d y dt 2
5
dy
4 y
dx
dt dt Në qoftë se sinjali në hyrje është x sin t u t dhe kushtet fillestare janë:
y(0)=0,
dy dt t 0
1 të përcaktohet:
(a) Përgjigja e natyrshme e sistemit, 34
(b) përgjigja e detyruar e sistemit dhe (c) përgjigja e plotë e sistemit. Zgjidhje:
(a) Përgjigja e natyrshme përfitohet nga zgjidhja e ekuacionit d 2 yn dt
2
5
dyn
4 yn 0
dt
me kushtet e cekura fillestare. Ekuacioni karakteristik për këtë rast është r 2 5r 4 0 vlerat karakteristike janë r 1=-1 dhe r 2=-4, që do të thotë se trajta e përgjigjes së natyrshme është t 4t yn c1e c2 e , t 0 Nga kushtet fillestare shtrohen ekuacionet që i përcaktojnë vlerat e konstantave c1 dhe c2. yn 0 0 c1 c2 dyn t dt
1 c1 4c2 t 0
Zgjidhja e ekuacioneve të sipërme është c1 13 dhe c2 13 , që do të thotë se përgjigja e natyrshme është e përcaktuar me shprehjen 1 t 1 t yn e e4 , t 0 3 3 (b) Së pari përcaktohet zgjidhja e veçantë (partikulare) e ekuacionit diferencial y p(t ) nga ekuacioni d 2 y p dt 2
5
dy p dt
4 y p
d
sin t u t cos t u t
dt
Zgjidhja e veçantë i përshtatet trajtës funksionale të anës së djathtë të ekuacionit. y p b1 cos t b2 sin t Në këtë rast vlen dy p dt
b1 sin t b2 cos t dhe
d 2 yp dt 2
b1 cos t b2 sin t
Konstantet e panjohura b1 dhe b2 përcaktohen duke i zëvendësuar shprehjet e sipërme në ekuacionin diferencial b1 cos t b2 sin t 5 b1 sin t b2 cos t 4 b1 cos t b2 sin t cos t ose pas rregullimit
3b1 5b2 cos t 5b1 3b2 sin t cos t
ekuacioni i sipërm vlen kur plotësohen kushtet vijuese, 3b1 5b2 1 5b1 3b2 0 Kushtet plotësohen kur b1 3 34 dhe b2 5 34 , kështu që zgjidhja e veçantë është 5 3 y p cos t sin t u t 34 34
35
Përgjigja e detyruar përbëhet nga zgjidhja e veçantë dhe nga termat vetjake të përgjigjes së natyrshme, kur kushtet fillestare janë zero, pra trajta funksionale e yd është 1 yd c1et c2e 4t 3cos t 5sin t , t 0 34 Konstantet c1 dhe c2 përcaktohen nga kushtet fillestare zero. Pra duhet të vlej 3 0 yd 0 c1 c2 34 5 dyd c1 4c2 0 34 dt t 0 Me zgjidhjen e ekuacioneve të sipërme fitohen këto vlera të koeficienteve: c1 1 dhe c2 4 . Kështu që përgjigja e detyruar është 6 51
1 t 4 4t 1 e 3cos t 5sin t , t 0 6 51 34 (c) Përgjigja e plotë e sistemit përfitohet si shumë e përgjigjes së natyrshme dhe asaj të detyruar, 1 13 1 y yn t yd t et e4t 3cos t 5sin t , t 0 6 51 34 yd e
5. Një qark elektrik mund të paraqes sisteme të ndryshme, varësisht nga ajo se çfarë madhësie merret si hyrje e çfarë si dalje e sistemit. Kjo është ilustruar me qarkun e elektrik të paraqitur në figurë. Këtu si sinjal hyrës, në të gjitha rastet, është zgjedhur rryma e gjeneratorit, ndërsa si sinjale dalëse janë zgjedhur katër madhësi (sinjale) të ndryshme në qark. Në këtë mënyrë janë fituar 4 sisteme të ndryshme. Përcaktoni përmes ekuacioneve përkatëse diferenciale këto sisteme.
Zgjidhje:
Shtrohen ekuacionet themelore për këtë qark elektrik di 1 i x iC iL dhe R1i L L L R2iC dt
t
i
C
C
d
(a) Dalje sistemit është tensioni në skajet e R1. y R1i L , iL
y R1
, iC x iL x
y R1
t y y 1 y L R2 x x d dt R1 R C R 1 1 diferencohet shprehja nga të dy anët
d y
36
dy
L d2y
dt
R1 dt
2
R2
dx R2 dy dt
R1 dt
1
x
C
1
y R1C
Pas rregullimit të shprehjes përcaktohet përkufizimi i sistemit të parë përmes ekuacionit diferencial. R1 R2 dx R1 d 2 y R1 R2 dy 1 y x 2 dt
LC (b) Dalje sistemit është tensioni në skajet e induktivitetit L.
y L
L
di L dt
, i L
dt
1
LC
L
dt
t
y d,
L
iC x
t
1
y d
L
Ekuacioni për baraspeshën e tensioneve diferencohet dy herë d 2iC 1 diC d 2 i L d 3 iL R1 2 L 3 R2 2 dt
dt
dt
C dt
dhe bëhet zëvendësimi d 2 x 1 dy 1 dx 1 2 R2 2 y L dt dt dt L dt C dt L duke fituar shprehjen përfundimtare d 2 y R1 R2 dy d 2 x 1 dx 1 y R2 2 2 d2y
R1 dy
dt
L
dt
LC
dt (c) Dalje sistemit është rryma nëpër kapacitetin C . y iC , iL x y
C dt
Diferencohet ekuacioni për baraspeshën e tensioneve di L d 2 iL di 1 R1 L 2 R2 C iC dt
dt
dt
C
dhe zëvendësohen vlerat R1
d dt
x y L
d2 dt
2
x y R2
dy dt
1 C
y
Pas rregullimit të shprehjes fitohet përshkrimi d 2 y R1 R2 dy d 2 x R1 dx 1 y 2 2 dt
L dt (d) Dalje sistemit është tensioni në skajet e kapacitetit C .
1
y
C
L
dt
LC
t
iC d , iC C
R1 x C
dt
dy dt
, iL x C
dy dt
dy
d dy dy L x C R C y 2 dt dt dt dt
Kjo rezulton me d 2 y R1 R2 dy dt 2
L
dt
1 LC
y
1 dx L dt
R1
x C
Duhet të vërehet se në të gjitha rastet koeficientet pranë termeve të daljes y(t ) mbesin të njëjta, ndërsa ndryshojnë vetëm koeficientet pranë termave të hyrjes x(t ). Kjo do të thotë se koeficientet pranë y(t ) përshkruajnë strukturën e brendshme të sistemit, ndërsa ato pranë x(t ) përcaktojnë se cila madhësi në qark merret si dalje. Ky përfundim vlen edhe në rastin e përgjithshëm për çfarëdo sistemi, pra koeficientet ak e përcaktojnë parametrat dhe strukturën e brendshme të sistemit.
37
6. Janë dhënë dy sisteme të vazhduara, të përkufizuara përmes ekuacioneve diferenciale: dy t 1 S1 : y t x t dt 2 dy t 1 S2 : y t x t dt 3 Në përkufizimin e sipërm të sistemeve, x(t ) paraqet sinjalin hyrës për sistemin përkatës dhe y(t ) paraqet sinjalin dalës. Në figurën vijuese janë treguar 3 mënyra themelore të ndërlidhjes të këto dy sistemeve. Përcaktoni sistemet ekuivalente, përkatësisht ekuacionet diferenciale të cilat e ndërlidhin hyrjen x(t ) dhe daljen y(t ) në të tri rastet.
Zgjidhje:
(a) Për këtë rast vlen ekuivalenca vijuese:
Shënojmë variabël të ri q(t ) në dalje të sistemit S 1 dhe shtrojmë ekuacionin për dalje y S1 S2 x t S1S 2 x t S e x t Së pari përcaktojmë relacionin në mes të y(t ) dhe q(t ) dy t 1 y t q t 3 dt pastaj atë në mes të q(t ) dhe x(t ) 1 dy t 1 dq t 1 d dy t 1 q t y t y t 2 3 dt dt dt 2 dt 3 d 2 y t
5 dy t 1 y t x t dt 2 6 dt 2 kjo do të thotë se sistemi ekuivalent është përcaktuar me d 2 y t 5 dy t 1 Se S1 S 2 : y t x t 6 dt 2 dt 2 (b)
38
Shtrojmë këto ekuacione që përshkruajnë lidhjen me riveprim dy 1 dq 1 y e , q y dhe e t x t q t dt 2 dt 3 nga ekuacioni i parë dhe i tretë, kemi dy 1 dy 1 y x q, q x y dt 2 dt 2 dhe këtë e zëvendësojmë në ekuacionin e dytë d dy 1 1 dy 1 x y x y y dt dt 2 3 dt 2 Pas rregullimit të shprehjes fitohet përshkrimi i sistemit ekuivalent përmes ekuacionit diferencial. 2 d y 5 dy 7 dx 1 Se : y x 2 6 dt 6 dt dt 3
39
Sinjalet dhe sistemet – Përshkrimi i sistemeve përmes thurjes. 1. Janë dhënë dy sinjale x1[n] dhe x2[n] përmes shprehjeve: a n , n 0 1, 0 n N 1 dhe x2 n x1 n n të tjera 0, 0, n 0 Përcakto përmes thurjes në domen kohor x3 n x1 n 3 x2 n 1 Zgjidhje:
sinjalin
x3 n x1 n 3 x2 n 1
x
k
1
n k 3 x2 k 1
ku a n k 3 , k n 3 1, N 2 k 1 dhe x2 k 1 x1 n k 3 n të tjera k n3 0, 0, Sinjalet që thuren duken si në figurë
Për n 3 N 2 , përkatësisht për n N 1 të gjithë termat e janë zero prandaj x3[n]=0 për këtë brez të vlerave të kohës diskrete n. Në intervalin N 2 n 3 1 , përkatësisht N 1 n 2 x3[n] përcaktohet nga shprehja N 2 N 2 n 3 n 3 a n4 a n 4 n k 3 n 3 n 3 a n4 a 1 k x3 n a a a a a 1 a 1 a 1 k N 2 k N 2 1 a n N 2 , N 1 n 2 1 a Në intervalin n 3 1 ose n 2 , x3[n] përcaktohet si N 2 N 1 1 a 2 1 n k 3 n 3 n 3 a n 2 a 1 k x3 n a a a a 1 a 1 a a 1 k N 2 k N 2 N 1 a n 2 a , 2 n 1 a 2. Dy sinjale të vazhduara x1(t ) dhe x2(t ), të paraqitura në figurë, thuren për të formuar sinjalin y(t ), y t x1 t x2 t .
(a) Të përcaktohet dhe të vizatohet trajta funksionale e sinjalit y(t ). (b) Të shprehet sinjali x2(t ) si funksion i sinjalit x1(t ), x2 t f x1 t . Zgjidhje:
(a) Detyra më së shpejti zgjidhet duke marrë thurjen e trajtave bazike që i formojnë termat e thurjes dhe duke i shfrytëzuar vetitë e thurjes. Le të definohen dy trajta bazike si në figurë dhe thurja e tyre, sipas grafikut vijues.
Le të shënohet me y1 t xa t xb t , ku y1 t
xa xb t d
Nga grafiku shihet se y1(t )=0 për t <0 dhe t >3. Më tej vlen t
0 t 1; y1 t 2d 2t 0 t
1 t 2; y1 t t 2d 2 t t 1 2 1
2
2 t 3; y1 t t 2d 2 2 t 1 2 3 t 1 Skica e sinjalit y1(t ) është treguar në figurë
Tani nëse merret parasysh se vlen x1 t xa t 1 xa t 3 dhe x2 t xb t xb t 1 atëherë x1 t x2 t xa t 1 xb t x a t 1 xb t 1 xa t 3 xb t xa t 3 xb t 1 Duke marrë parasysh vetinë e invariancës së zhvendosjes për termat e thurjes, do vlej edhe y t x1 t x2 t y1 t 1 y1 t 2 y1 t 3 y1 t 4
2
(b) Me vëzhgim të trajtave përfundohet lehtësisht se vlen 1 x2 t x 2t 1 2 3. Në hyrje të një sistemi, linear dhe invariant në zhvendosje, me përgjigje impulsive h(t ) vepron sinjali hyrës x(t ). Përmes thurjes të përcaktohet sinjali në dalje të sistemit y(t ) dhe të skicohet trajta valore e tij për këto raste: (a) h t u t 1 u t 1 , x t u t u t 2 2u t 4 (b) h t 2u t u t 1 u t 1 , x t u t 2u t 1 u t 3 Zgjidhje: (a) Dalja e sistemit do të jetë y t h t x t u t 1 u t 1 u t u t 2 2u t 4 u t 1 u t u t 1 u t 2 2u t 1 u t 4 u t 1 u t u t 1 u t 2 2u t 1 u t 4
Nëse me yu(t ) shënohet thurja e u(t ) me vetveten, u(t )u(t ), që definohet si yu t u t u t
u u t d
t
d t u t 0
Atëherë duke shfrytëzuar vetinë e zhvendosjes që vlen për thurje, e që shprehet me u t 1 u t 2 yu t 1 2 përfundohet se për y(t ) vlen y t yu t 1 yu t 1 2 y u t 3 y u t 1 y u t 3 2 y u t 5 t 1 u t 1 3 t 3 u t 3 2 t 5 u t 5 Kur kjo shprehje zbërthehet për intervale të pjesshme, fitohet y t 0; t 1 y t t 1; 1 t 3 y t t 1 3 t 3 2 t 5 ; 3 t 5 y t t 1 3 t 3 2 t 5 0; 5 t
(b) Ngjashëm zgjidhet edhe ky rast y t h t x t 2u t u t 1 u t 1 u t 2u t 1 u t 3 2u t u t u t 1 u t u t 1 u t 4u t u t 1 2u t 1 u t 1 2u t 1 u t 1 2u t u t 3 u t 1 u t 3 u t 1 u t 3
3
y t 2 yu t yu t 1 y u t 1 4 y u t 1 2 y u t 2 y u t 2
2 yu t 3 yu t 2 yu t 4 y t yu t 1 4 yu t 5 y u t 1 y u t 2 2 y u t 3 y u t 4
t 1 u t 1 4tu t 5 t 1 u t 1 t 2 u t 2 2 t 3 u t 3 t 4 u t 4 y t 0; t 1 y t t 1 ; 1 t 0 y t t 1 4t 3t 1; 0 t 1 y t 3t 1 5 t 1 2t 4; 1 t 2 y t 2t 4 t 2 t 2; 2 t 3 y t t 2 2 t 3 t 4; 3 t 4 y t t 4 t 4 0; 4 t
Skicat e trajtave valore të sinjaleve janë treguar në figurë.
4. Një sistem i vazhduar S, linear dhe invariant në zhvendosje, është përcaktuar përmes relacionit hyrje-dalje, y(t )=S { x(t )}, siç është treguar në figurë.
(a) Të përcaktohet dhe të skicohet përgjigja impulsive e sistemit h(t ). (b) Të përcaktohet dhe të skicohet përgjigja e sistemit yu(t ) në sinjalin shkallë njësi u(t ). Zgjidhje: (a) Në qoftë se sistemi S është linear dhe invariant në zhvendosje atëherë sinjali në dalje të tij mund të përcaktohet përmes thurjes si në vijim, y t h t x t
h x t d
Diferencimi i sinjalit hyrës e jep lidhjen në mes të tij dhe delta impulseve, sepse x t u t u t 1 x ' t
4
dx t dt
t t 1
Nga ana tjetër vërehet se për derivatin e sinjalit dalës vlen dy t dt
d dt
h x t d
h
d dt
x t d
h x ' t d h t x ' t
Nëse derivati i sinjalit hyrës zëvendësohet në shprehjen e sipërme, atëherë y ' t h t t t 1 h t h t 1 Trajtat e derivateve të sinjaleve janë skicuar në figurë. h t
t
t 1
h t 1
Nga ekuacionet dhe figura shihet qartë se përgjigja impulsive e sistemit është h t u t u t 1 (b)
yu t h t u t
u u 1 u t d
t 0 0, u u t d t d t , t 0 0
0, t 1 u 1 u t d t d t 1, t 1 1
t 0 0, yu t t , 0 t 1 1 t 1
5. Një sistem diskret, linear dhe invariant në zhvendosje, formohet si lidhje serike e tri nën-sistemeve si në figurë. Brenda bllokut të secilit nën-sistem janë shënuar përgjigjet përkatëse impulsive, ku me a është shënuar një konstantë me vlerë reale, por të panjohur. n 1
a n 1u n x n
y n a u n n
(a) Të përcaktohet përgjigja impulsive h[n] e kësaj lidhjeje të nën-sistemeve. (b) Cili është brezi i vlerave të konstantës a që e siguron stabilitetin e sistemit?
5
(c) Për rastin kur sistemi është stabil të përcaktohet përgjigja e sistemit në sinjalin x[n]=u[n]. (Detyra të zgjidhet në domen kohor!) Zgjidhje: (a) Përgjigja impulsive tërë sistemit përcaktohet drejtpërsëdrejti nga skema h n a n 1u n n 1 a n u n h n a
n 1 1
u n 1 a u n a u n 1 a u n n
n
n
n 0, a n n h n a , n n n 0, a (b) Sistemi është stabil kur përgjigja impulsive është e mbledhshme për nga vlera absolute
h n
n
a u n 1 a u n n
n
n
1
a n
n
a
n 0
-1
a 1 a 1
n
n
n 1
n
n 0
Të dy shumat në shprehje konvergjojnë kur | a |<1 ose |a|>1. (c) Sinjali në dalje y[n] është
h k u n k a u k 1 u n k a u k u n k
y n
k
k
k
k
k
Paraqitja grafike e termave të thurjes
h k
u n k
k
a u k
a u k 1 k
Për n<0 vlen n
y n
a
k
k
l n k
0
a
nl
a
n
l
l 0
a
l
a 1 n n a a 1 a 1 1 a
Për n≥0 vlen y n
1
a a
k
1 1 1 a n1 1 1 1 a 1 a k 0 l 0 k 0 1 a a 1 1 a 1 1 n n y n a a 1 1 a 1 a 1 1 a 1 a n
k
k
n
1 a a k 1 l
6. Në hyrje të një sistemi linear dhe invariant në zhvendosje me përgjigje impulsive n j h n u n 4 vepron sinjali x n cos n u n . (a) Të përcaktohet shprehja e përgjithshme për përgjigjen y[n]. (b) Ç’ trajtë analitike merr y[n] në gjendjen stacionare, kur n→? Zgjidhje: (a) Përgjigja e sistemit në x[n] është
6
y n
k
k
x n k h k cos n k u n k j / 4 n
1
nk
k 0
k
u k n 1
1 j / 4 j / 4 1 1 j / 4 1 1 j / 4 k 0 k
n
n
k
k
n
n 1
1 j / 4 , n0 y n 1 1 j / 4 (b) Në gjendjen stacionare, n→, vlen n 1 n 1 lim / 4 j 1 n n lim y n 1 n 1 j / 4 1 j / 4 Pra sinjali në gjendje stacionare përshkruhet me shprehjen n cos n 1 y n 1 j / 4 1 j / 4 n
7. Janë dhënë dy sisteme lineare dhe invarinate në zhvendosje, njëri i vazhduar dhe tjetri diskret. Në qoftë janë të njohura përgjigjet impulsive të sistemeve dhe sinjalet në hyrje përcaktoni përmes thurjes sinjalet në daljet përkatëse. (a) Përgjigja impulsive: h t e t u t 2 , sinjali në hyrje: x t et u 1 t . (b) Përgjigja impulsive: h n u 1 n , sinjali në hyrje: x n 22 n u n 2 . Zgjidhje:
(a) y t
x h t d
e u 1 e
t
u t 2 d
et e 2 u 1 u t 2 d
Janë dy situata për përcaktimin e y(t ). u t 2
u 1
t 2
1 t 2 t 2 1 t 4 e e e 2 2 1 1 1 kur t 2 1, t 1 , vlen y t e t e 2 d e t e 2 e t 2 2 2 ose në trajtë më të përmbyllur 1 t 4 1 t 2 y t e u t 1 e u t 1 2 2 Kur t 2 1, t 1 , vlen y t e t
t 2
e d 2
(b) y n
k
k
h k x n k u 1 k 2
2
2 n
2 n k
4 u 1 k u n k 2 k
k
Janë dy breza të domenit kohor për përcaktimin e y[n]. 7
u n k 2
u n k 2
u 1 k
-1
n2
k
Kur n 2 1, n 1 , vlen n 1 k k y n 2 4 2 1 / 4 2 1 / 4 1 / 4 k k n 2 k 0 k 0 1 n2 22 n 4 / 3 4 / 3 1 1 / 4 4 / 3 4 n 4 n 2 12 kur n 2 1, n 1 , vlen 2 n
n2
k
2 n
k
y n 2
2 n
1
2 n
k 0 4 4 1 / 4 4 1 / 4 1 / 4 4 n 4 / 3 1 k k 1 k 0 k
n
k
n
11 3 4
ose n
1 11 y n u n u n 1 12 3 4
8. Një sistem linear dhe invariant në zhvendosje ka përgjigje impulsive h(t ), si në figurë. t 2
(a) Të përcaktohet përmes thurjes dhe të skicohet sinjali në dalje të sistemit kur në hyrje vepron sinjali x(t ). (b) Të përcaktohet përmes thurjes dhe të skicohet sinjali në dalje të sistemit kur në hyrje vepron sinjali x1(t )= x(2-t /2). Zgjidhje: ( a) 2
h t
2 1 , 1 0 2 xa 2 2 1 , 0 1 y t x t h t xa t h t t 2 h t ya t h t 2 x
t 1 1, t 0,
ya t 0 t 1
1 t 1 0, 0 t 1, ya t 2 1 d t 2 1 0
t 1
1
0
2
0 t 1 1, 1 t 2, ya t 2 1 d 2 1 d 2 t 2
8
n
0
1
2
1 t 1 2, 2 t 3, ya t 2 1 d 2 1 d 2 t 2 t 3
0
1
2
2 t 1 3, 3 t 4, ya t 2 1 d 4 t t 3
3 t 1 4, 4 t 5, ya t 0
(b) 1 2 / 2 2 / 2 / 2
1 2 1 / 2
4 1 / 2 , 1 / 2 1 2 xb 2 4 3 / 2 , 1 3 / 2 y1 t x1 t h t xb t h t 2 t h t yb t h t
x1
h t
2
x1( )
t -3
1/2 t 3 / 2,
2 1
3/2
t -1
yb t 0
t 1
3 / 2 t 2, yb t 4 1 / 2 d 2 t 3 / 2 1/2
2
t 1
1
2 t 5 / 2, yb t 4 1 / 2 d 4 3 / 2 d 1 2 5 / 2 t 1/2
2
1
1
5 / 2 t 7 / 2, yb t 4 1 / 2 d 1/2
3/2
1
1
7 / 2 t 4, yb t 4 1 / 2 d t 3
3/2
1
4 t 9 / 2, yb t
3/ 2
t 3
43 / 2 d 1
4 3 / 2 d 1 2 7 / 2 t
4 3 / 2 d 2 9 / 2 t
t 9 / 2,
9
yb t 0
2
2
9. Një sistem diskret, linear dhe invariant në zhvendosje, ka përgjigje impulsive h n sin n / 2 u n . Nëse në hyrje të sistemit vepron sinjali x n u n u n 4 , të përcaktohet përmes shumës thurëse sinjali në dalje
të sistemit y[n]. Zgjidhje:
k
k
h k x n k sin 2 k u k x n k
y n
n 0, y n 0 n
0 n 3, y n sin n
sin
k 0
2
k
k 4 n , y n
2 ,
k 0
y n
n
sin
k n 3
2
k
1 n k 1 n k j j , e j /2 j , e j /2 j 2 j k 0 2 j k 0 n 1
1 j 1 j n1 n k k , j j 1 j k 0 1 j k 0 n
n 1 1 1 j n1 1 j 1 n 1 n 1 2 j j n1 j j j n1 j y n 2 j 1 j 1 j 4 j 1 1 2 j 2 j sin n 1 2 j cos n 1 1 cos n sin n ; 0 n 3 4 j 2 2 2 2 2
y n
n
sin 2 k ; l k n 3;
k ln3
k n 3
y n
3
3
l 0
y n cos
cos
2 2
sin 2 l n 3 cos 2 n l l 0
n cos
n sin
2 2
2
2
n 1 cos n 2 cos n 3 n cos
10
2
n sin
2
n0; n3
10.Është dhënë shprehja për thurje të dyfishtë si në vijim, y n q n r n x n n
ku: q n 1 / 4 u n , r n u n 2 , x n n n 1 . Duke e zgjidhur detyrën në domenin kohor (përmes veprimit të thurjes) le të përcaktohet shprehja për y[n] në këto dy mënyra: (a) Së pari le të përcaktohet thurja q n r n , e pastaj rezultati të thuret me x[n]. (b) Së pari le të përcaktohet thurja r n x n , e pastaj rezultati të thuret me q[n]. Zgjidhje:
(a) q n r n
qk r n k
k
1 / 4 u k u n k 2 k
k
q n r n 0, n 2 n 3 n3 1 1 / 4 4 1 q n r n 1 / 4 1 , n 2 1 1 / 4 3 4 k 0 Kjo mund të shkruhet edhe si n 3 4 1 q n r n 1 u n 2 3 4 n2
k
4 1 y n q n r n x n 1 3 4
n 3
u n 2 n n 1 n 3 n 2 n2 4 1 4 1 1 1 u n 2 1 u n 1 u n 2 3 4 3 4 4
(b) r n x n u n 2 n n 1 u n 2 u n 1 n 2
1 y n q n n 2 q n 2 4
n 2
u n 2
11.Përgjigja impulsive e një sistemi linear dhe invariant në zhvendosje është treguar në figurë. h t
2
1
0
t
2
Në hyrje të një sistemi vepron sinjali x t e t u t u t 1 t 1 . Përcakto përmes thurjes përgjigjen e sistemit në ngacmimin x(t ). Zgjidhje: 1
t x t e u t u t 1
t 1 0
t
1
11
y t
x h t d x t e
t
u t u t 1 x t t 1
y1 t x t 1 2 x e
1
t
t 1 0 t 1
2
y1 t 0 për t 1 dhe t 1 2 , ose t 3 . t
Për 1 t 2 ,
y1 t 2e
t
1 2
Për 2 t 3 ,
y1 t
2e
d 2e
t
t
e
t
e 2 1 e t 1
d 2e t e 2 e t 1 2 e
t 1
t 2
e 1
t 1 0, t 1 2 1 e , 1 t 2 y t t 2 2 2 e e1 , 2 t 3 0, t 3 y t
0
1
2
t
3
12. Një sistem linear dhe invariant në zhvendosje formohet si lidhje serike e tri nën-sistemeve si në figurë. Brenda bllokut të secilit nën-sistem janë shënuar përgjigjet përkatëse impulsive të tyre, ku me a është shënuar një konstantë me vlerë reale por të panjohur. x t
e u t
t 1
t
e u t at
y t
(a) Të përcaktohet përgjigja impulsive h(t ) e kësaj lidhjeje të nën-sistemeve. (b) Cili është brezi i vlerave të konstantës a që e bën sistemin të jetë stabil? Zgjidhje: (a) h t e t u t t 1 eat u t t
h1 t e u t t 1 e h t h1 t e at u t e
t 1
t 1
u t 1
u t 1 e at u t
h t
e
1
u 1 e
12
a t
u t d
1, 1 dhe t të tjera 0,
u 1 u t
Rrjedhim i inekuacionit të sipërm y t 0, t 1 t
h t e
1 a t
e
t
d e e
1 at
1
e
a 1
d e1e
1
at
1 a 1 e a 1 t e 1 a
1 a t 1 e t 1 , t 1 e 1 a 1 a t 1 1 t 1 h t e u t 1 e u t 1 1 a 1 a
(b) Kushti i stabilitetit është
h t
Ky kusht plotësohet për a 0 . 13.Është dhënë një sistem linear dhe invariant në zhvendosje përmes përgjigjes së tij impulsive h(t ), si në figurë. 1
h t
-1
1
t
Përcakto sinjalin në dalje të sistemit y(t ), për këto raste të sinjalit në hyrje x(t ): (a) x t 2 t 2 t 2
(b) x t 1 t 2k k
k 0
Zgjidhje:
(a) Përcaktimi i sinjalit dalës bëhet me thurje
y t
h 2 t 2 t 2 d 2h t 2 h t 2
y t
t
(b) Në mënyrë të ngjashme mund të shkruhet se vlen
13
y t
h 1
k
t 2k d
k 0
1 h t 2k d k 0
k
1 h t 2k k
k 0
y t
14.Përmes thurjes përcakto dhe skico sinjalin në dalje të sistemit linear dhe invariant në zhvendosje në qoftë se sinjali hyrës x[n] dhe përgjigja impulsive e sistemit h[n] janë paraqitur në figurë.
Zgjidhje:
y n
x k h n k
k
Për n 3 5 dhe n 4 1 , x[k ] dhe h[n-k ] nuk përputhen prandaj përfundohet se vlen y n 0; n 8 dhe n 5 Për n 3 5 dhe n 5 vlen: y n
n 3
1 n 3 5 1 n 9
k 5 n 3
n 1
Për n 5 dhe n 3 1 vlen: y n 1 1 4 n 5 1 n k n
1
Për n 1 dhe n 1 vlen: y n 1 k n
14
k 5
n 1
1 2 n 4 2 n
k n4
Për n 2 dhe n 4 1 vlen y n
1
1 6 n n 6
k n4
15.Janë dhënë dy sisteme lineare dhe invarinate në zhvendosje, njëri i vazhduar dhe tjetri diskret. Në qoftë janë të njohura përgjigjet impulsive të sistemeve dhe sinjalet në hyrje përcaktoni përmes thurjes sinjalet në daljet përkatëse. a) Përgjigja impulsive: h t e t u t 1 , sinjali në hyrje: x t et u 1 t . b) Përgjigja impulsive: h n u 2 n , sinjali në hyrje: x n 2 2 n u n 1 . Zgjidhje:
(a)
y t
h t x d e
y n
(b)
2
n 1
2 k
u t 1 e u 1 d
t t 1 2 , 0 e e d t t 2 e e u t 1 u 1 d 1 e t e2 d , t 0 e2 t 2 e , t 0 y t 2 e e t , t 0 2
a)
2 n
t
2k
k
k
h k x n k u 2 k 2
2 n k
u n k 1
2 n n 1 2 k 2 2 , n 1 k 22 n 22 k u 2 k u n k 1 2 k 22 n 22 k , n 1 k 2 n 1 n 1 2 k k k 4 2 2 n 2 2 2 2 n 2 2 2 2 2 2 n 3 1 22 k n 1 k 0 k 0 4 1 1 22 n 1 1 2 2 n 3 4 3
15
2
1 0 2k 4 5 1 2 2 2 2 1 2 2 n 2 2 n 4 3 4 12 k k 1 n 1 3 , y n 1 22 n , n 1 12 Në figurën vijuese janë paraqitur zonat e integrimit (mbledhjes) në rrafshet ( t , ), përkatësisht (k ,n). 2 n
2 n
2k
t 1 1 k 2 1
n
1
t 1
d
1, u t 1 u 1 0,
d
k
k 2 & k n 1
1, 0,
1 & t 1
u 2 k u n k 1
për çifte të tjera t ,
për çifte të tjera n, k
16.Përgjigjja impulsive dhe sinjali në hyrje të një sistemi diskret janë paraqitur grafikisht më poshtë.
Përcaktoni dhe skiconi sinjalin në dalje të këtij sistemi. Zgjidhje: n 7, h k x n k 0, y n 0 7 n 5, h k x n k 1, 7 k n, y n
n
1 n 8
k 7
4 n 2, h k x n k 1, n 2 k n, y n
n
1 3
k n 2
1 n 0, h k x n k 1, n 2 k 2, y n
2
1 1 n
k n2
16
n 1, h k x n k 0, k , y 1 0 n
2 n 4, h k x n k 1, 2 k n, y n 1 n 1 k 2
n
1 3
5 n 7, h k x n k 1, n 2 k n, y n
k n 2
7
8 n 9, h k x n k 1, n 2 k 7, y n
1 10 n
k n2
n 10, h k x n k 0, k y n 0
17. Në hyrje të një sistemi, linear dhe invariant në zhvendosje, me përgjigje impulsive h(t ), të treguar në figurë, vepron sinjali hyrës x(t ) i përbërë nga vargu periodik i delta impulseve, i dhënë me shprehjen:
x t
t nT
n
Përmes thurjes përcaktoni dhe skiconi sinjalin në dalje të sistemit, për këto raste: (a) T=2, (b) T =4, (c) T =3/2, (d) T =1. Zgjidhje: y t x t h t
h t
nT d
n
n
h t nT
n
(a) T =2
17
h t nT d
(b) T =4
(c) T =3/2
(d) T =1
18. Një sistem i vazhduar, linear dhe i pandryshueshëm në kohë, ka përgjigje impulsive h(t ), si në figurën vijuese.
(a) Përmes thurjes përcakto dhe skico sinjalin në dalje të sistemit y(t ) në qoftë se në hyrje vepron sinjali x(t ). (b) Gjithashtu skiconi përgjigjen e sistemit në sinjalin x1(t ). (Vërejte: Mund ta shfrytëzoni rezultatin nën pikën (a) për t’iu shmangur përdorimit të thurjes në përcaktimin e y1(t )) Zgjidhje: (a) Për t <-0.5 y(t)=0 Për -0.5t <0, figura nën (a), vlen t
y t
t
h x t d
0.5
Për 0t <0.5, figura nën (b), vlen 18
d
1 t 2
0
t
y t
h x t d
t
d d
0.5
0
t
0
0.5
t 1
0
1 t 2
Për 0.5t <1, figura nën (c), vlen y t
1
h x t d d d 2 t
Për 1t <1.5, figura nën (d), vlen 0.5
t
y t
h x t d
3 2
d t
t 1
Për t >0.5 y(t )=0
Përgjigja y(t ) është paraqitur grafikisht në figurë.
(b) Meqenëse vlen x1 t x t 0.5 x t 1
dhe sistemi është linear dhe i pandryshueshëm në kohë, ky pohim ka për rrjedhojë edhe pohimin në vijim y1 t y t 0.5 y t 1 Rezultati mund të fitohet duke e mbledhur grafikisht shprehjen e sipërme.
19
y(t +0.5) -1 1
t
y(t -1) 0.5 2.5
t
y(t ) 1/2 -1
1
-0.5 0.5
2
2.5
t
-1/2
19.Sistemi i vazhduar linear dhe i pandryshueshëm në kohë ka përgjigje impulsive h(t ), si në figurë. x1(t )
h(t )
1
1
1
(t -1)
x2(t )
2 0
0
t
1
2
t
0
1
2
t
Përmes thurjes përcakto dhe skico përgjigjet e këtij sistemi y1(t ) dhe y2(t ), kur në hyrje të sistemit veprojnë sinjalet: ( a) x1(t ) dhe (b) x2(t ). Zgjidhje: (a)
y1 t
h x t d , 1
t 1 dhe 4 t y1 t 0 (a)
x1
x1 t
h
t 1
1 t 2, y1 t
0 1 2 2 t 1 sin cos sin d 0 t 1 2
t 1
2 t 3, y1 t
sin d
t 2
20
t 2 2 3 cos t 1 sin t 2
1
t 2 1 2 2 t 2 sin cos sin d t 2 2 2
2
3 t 4, y1 t
(b) Meqenëse x2(t ) mund të shtrohet si, x2 t x1 t t 1 atëherë, y2 t h t x2 t h t x1 t h t t 1 y1 t h t 1
1 t 2, y2 t
2
sin 2
t 1
2
sin t 1
3 sin t sin t 1 2 t 2 2 3 t 4, y2 t sin 2 2
2 t 3, y2 t
2
21
Zbërthimi i sinjaleve periodike në seri Furie. 1. Është dhënë sinjali periodik x(t ) si në figurë
(a) Përcakto zbërthimin e x(t ) në seri Furie (b) Përcakto zbërthimin e tij në seri trigonometrike Furie Zgjidhje: n 1 1 A n j /2 1 1 A , c0 cn e 2 n jn2 e j /2 , A A j /2 c2 k 0, c2 k 1 e j /2 2k 1 2k 1 e , Seria Furie
x t
1
A
2k 1
j 2 k 10t /2
e
A
2
k
A
k 0
2k 1
e
A
2 k 0 k 0 j 2 k 10 t /2
Seria trigonometrike 2A 2A A A cos 2k 1 0 / 2 sin 2k 1 0 x t 2 k 0 2k 1 2 k 0 2 k 1 A 2 A 2A 2A sin 0t sin 30t sin 5 0t 2 3 5
c0 c
A 1
3
5 0
4 0
A/2 c1
A
A
c
c3
3
3 0
2 0
0
0
0
2 0
A
c2 k
0
3
3 0
4 0
3 0
4 0
5 0
n
Spektri fazor
/ 2
0
5 0
4 0
3 0 2 0
0
0
/ 2
2 0
5 0
2. Është dhënë sinjali periodik x1(t ) si në figurë x1(t ) A
-T
-T /2 -T /4
0 T /4 T /2
t
T
(a) Përcakto zbërthimin e x1(t ) në seri Furie (b) Përcakto zbërthimin e x1(t ) në seri trigonometrike Furie Zgjidhje: x1 t x t T / 4 2 jn t x1 t d n e 0 , 0
T
n
x t
ce
jn 0t
,
n
n
x t T
/ 4
ce
jn 0 t T /4
n
n
ce
jn /2
n
x1 t
jn 0t
e
n
d e
x1 t
/2
, d n cne jn
jn 0t
n
n
n
n
1 1 j /2 jn dn A e e 2 n
1 1 j(1n) /2 /2 , c0 e A 2 n e jk , A A j12 k 1 /2 d 2 k 0, d 2 k 1 e 2k 1 2k 1 e j k 1 , Seria Furie
x1 t
1
A
2k 1 e
j 2 k 10t k 1
k
A
2
k 0
A
2 k 1
e
A
2
k 0 k 0
j 2 k 10 t k
k
2A A 2 A 1 x1 t cos 2k 1 0 k cos 2k 1 0 2 k 0 2k 1 2 k 0 2k 1 2A 2A A 2 A cos 0t cos 30t cos 5 0t 2 3 5 A
n 2
5 0
4 0
3 0
2 0
0 0
/ 2
2
2
0
2 0
3 0
4 0
5 0
Spektri amplitudor i sinjalit x1(t ) mbetet i njëjtë me atë të sinjalit x(t ) nga detyra paraprake, ndërsa ai fazor ndryshon (shiko figurën). Kjo ndodhë për shkak se trajta kohore e sinjalit nuk ka ndryshuar, dhe se x1(t ) është version i shfazuar i sinjalit x(t ) për /2. 3. Është dhënë sinjali periodik x2(t ) si në figurë
(a) Përcakto zbërthimin e x2(t ) në seri Furie (b) Përcakto zbërthimin e x2(t ) në seri trigonometrike Furie Zgjidhje: Trajta dhe pozita e kohore e sinjalit x2(t ) është e njëjtë me atë të x(t ). Sinjali x2(t ) mund të shkruhet si, x2 t 2 x t A Nëse sinjalin e paraqesim x2(t ) në seri Furie si 2 jn t x2 t f n e 0 , 0
T
n
Atëherë do të vlej,
x2 t
fne
jn0 t
2c e
n
jn 0t
n
A
n
Prej këtu, f 0 2c0 A
2
A
2
A0
Dhe n
1 1 j / 2 , n0 f n 2cn 2 A e 2 n
Që do të thotë se vlen, 1
2 A j 2 k 1 0t /2 2 A j 2 k1 0t /2 x2 t e e k k 2 1 2 1 k k 0 Ose në trajtë të serisë trigonometrike, 4 A cos 2k 1 0 / 2 x2 t k 0 2k 1 4 A 4A 4A sin 0t sin 30t sin 5 0t 3 5 Trajta e spektrit amplitudor shkallëzohet për faktorin 2 në vlera dhe mbetet e njëjtë, përveç që mungon komponenti njëkahor f 0. Spektri fazor është identik me atë për sinjalin x(t ).
3
4. Është dhënë vargu periodik, me periodë T , i delta impulseve përmes grafikut dhe shprehjes përkatëse T
1
1
-2T
t
1
1
-T
0
1
1
2T
T
3T
t
T
t kT
t
k
(a) Përcakto zbërthimin e T (t ) në seri Furie (b) Përcakto zbërthimin e T (t ) në seri trigonometrike Furie Zgjidhje: Frekuenca themelore është, 0 2 / T , dhe seria Furie ka trajtën,
T
ce
t
jn 0t
n
n
Ku, 1
cn
T
T /2
/2 t e
jn0t
dt
T
1 T
jn 0 0
e
1 T
Konstatohet se spektri amplitudor përbëhet nga të gjithë komponentët sinusoidal me amplituda të njëjta. Ndërsa spektri fazor është zero, ose shumëfish i 2 . 1 cn , n 0 T
cn
2 0
0
0
2 0
3 0
Pra vlen relacioni
T
t
1
t kT T e
k
jn 0t
n
Barazimi i sipërm mund të shkruhet edhe në trajtë të serisë trigonometrike si 1 2 T t cos n 0t T
T n1
5. Është dhënë sinjali periodik x(t ) si në figurë
4
(a) Përcakto zbërthimin e x(t ) në seri Furie (b) Përcakto zbërthimin e tij në seri trigonometrike Furie Zgjidhje: Detyra mund të zgjidhet duke u ndihmuar me rezultatet paraprake. Nëse sinjali x(t ) diferencohet fitohet një sinjal i ri xd (t ) periodik me periodë të njëjtë T, xd t
dx t dt
, xd t T x t
Si i tillë edhe ky sinjal mund të zbërthehet në seri Furie,
xd t
d e
jn 0t
n
n
Trajta e sinjalit xd (t ) është paraqitur në figurë,
Trajta kohore e sinjalit xd (t ) është e njëjtë me sinjalin x2(t ) nga detyra 3, përveç dallimit që është në vlera të amplitudave. Prandaj mund të shënohet se vlen, 2 xd t
T
x2 t
Nëse merret se
x2 t
fe
, fn A
jn 0t
n
1 1
n
n
n
e
j /2
, n 0, f 0 0
Atëherë nga barazimi,
xd t
d e
jn0t
n
n
2 T
x2 t
2
T
f ne
jn 0t
n
Përfundohet se vlen dn
2 T
fn
2 A 1 1 n
T
n
e j /2 , n 0, d0 0
Na ka mbetur të përcaktojmë edhe relacionin në mes të koeficienteve cn dhe d n. Kjo bëhet duhet e diferencuar shprehjen e serisë Furie për x(t ),
xd t
de
jn0t
n
n
d
ce dt
jn0t
n
n
jn 0 c e
jn 0t
n
n
Prej këtu, kemi përfundimin se vlen d n jn 0 cn
ose cn
d n jn 0
, n0
Komponenti c0 përcaktohet veçmas, për arsye se derivati i komponentit njëkahor nuk e ruan vlerën e tij (të gjitha funksionet me vlerë konstante kanë derivat zero). Prandaj këtë term të serisë Furie e llogarisim veçmas, A 1 T c0 x t dt T 0 2
5
Për vlerat të tjera termave cn mund të shënohet, cn
d n
A 1 1
1
n
e
j /2
n A 1 1
e j , n 0
2 2
2 n Nga shprehja shihet se komponentët çift bëhen zero, ashtu që vlen c2 k 0 Dhe se për komponentët tek kemi jn0
jn0 T
n
c2 k 1
A
2
2k 1
2
Me këtë përfundimisht përcaktohet zbërthimi i këtij sinjali në s eri Furie. x t
A
2
A
2 2k 12 e 2
j
k 1 0t
k
6. Sinjali periodik x(t ) është treguar në figurë.
(a) Të zbërthehet ky sinjal në seri Furie duke i përcaktuar koeficientet e zbërthimit ck . (b) Të përcaktohet parametri A dhe raporti T 1/T nëse dihet se koeficienti i rendit zero është c0=1/2 dhe se koeficienti i rendit të tretë është tri herë më i vogël se i pari c1=3c3. Zgjidhje: (a) Së pari përcaktojmë koeficientin c0, A T T A T 1 T1 c0 dt dt 1 T T1 A 1 , 1 0 T
T
T
T 1
T
T
pastaj edhe koeficientet e tjerë A T jk t 1 T1 jk t 1 j ck e 0 dt e 0 dt
T
0
e Tk
T
T 1
jk0T1
1
0
A
j
e T k
jk0 T
e jk
0 T 1
0
Shprehja mund të thjeshtohet duke pasur parasysh 0 2 / T , për rrjedhojë vlejnë këto relacione: 2 2 T 2 , 0T1 T1 0T ck
T j 1 A
T
1 e
,
jk 2
2 k (a) Nga kushti i parë, c0=1/2, kemi ekuacionin
A 1
Nga kushti i dytë, c1=3c3, shtrohet j 1 A 1 e j 2 2 që rezulton me ekuacionin
3
6
1 2
j 1 A
6
e j 2 e j 6
k 0
1 e 6 j
Meqenëse 0 1 ekuacioni i sipërm ka zgjidhje të vetme =1/2, kur e j e j 3 . Kjo vlerë e zëvendësohet në ekuacionin e parë 1 1 1 A 1 2 2 2 për të përfituar A=0.
7. Janë dhënë dy sinjale periodike x1(t ) dhe x2(t ) me periodë të njëjtë T . Të dy këto sinjale mund të zbërthehen në seri Furie si më poshtë 2 jk 0t x1 t ck e , x2 t d k e jk 0t , 0
k
T
k
Prodhimi i këtyre sinjaleve x t x1 t x2 t është sërish sinjal periodik me periodë të T dhe ka zbërthim në seri Furie
x t
e e
jk 0t
k
k
Në qoftë se dihen koeficientet e zbërthimit në seri Furie ck dhe d k përcakto formulën që në bazë të vlerave të tyre i llogarit vlerat e koeficienteve ek . Zgjidhje: 1 T /a 1 T /a 1 T/a jl t jk t jk t jk t ek x t e 0 dt x1 t x2 t e 0 dt cl e 0 x2 t e 0 dt /2 /2 /2 T T T T T T l 1 T /2 j k l 0t
ek
c T l
l
T /2
x2 t e
dt
cd l
k l
l
8. Përcaktoni koeficientet e zbërthimit në seri Furie për sinjalet periodike: (a) x1 t cos 2t sin 3t
(b) x2 t cos 3t cos 5t Zgjidhje: (a) Përcaktimi i periodës themelore 1 1 sin 5t sin t 2 2 Perioda e termit të parë është T 1 2 / 5 , ndërsa të dytit T 2 2 . Për të qenë sinjali periodik të dy komponentët duhet të jenë periodike me periodë të njëjtë. Kjo është e mundur kur plotësohet kushti: kT1 lT2 T . Kushti plotësohet për k 5 dhe l 1 që do të thotë se perioda themelore e këtij sinjali periodik është T 2 , ndërsa frekuenca themelore 0 1 . Nëse sinjali paraqitet në trajtën komplekse, kemi 1 j 5t 1 j5t 1 jt 1 jt x1 t e e e e 4 j 4j 4j 4j Kjo shprehje krahasohet me trajtën e përgjithshme x1 t
x1 t
Prej këtu: c5
jn 0t
cn e
n
ce
jnt
n
n
1 1 1 1 , c1 , c1 , c5 , të gjitha koeficientet tjera 4 j 4j 4j 4j
janë zero. 7
Detyra zgjidhet në mënyrë identike duke shënuar se 1 j t 1 j t 1 j t 1 j t x2 t e 3 e 3 e 5 e 5 4 4 4 4 2 2 2 2 . Pastaj k , T 2 T1 l T . Sërish T 2 me 3 5 3 5 dhe l 5 . Krahasohet kjo me serinë
0
1 , për k 3
x2 t
d e
jnt
n
n
1 Dhe përfundohet se të gjithë koeficientet janë zero, përveç d 3 d3 d 5 d5 . 4 9. Në hyrje të filtrit ulët-lëshues vepron sinjali periodik i dhënë me x t sin 120 t . Filtri ulët-lëshues është ideal, ndërsa përgjigja e tij frekuencore është e përcaktuar si në vijim. 1, 500 H 0, 500
(a) Të përcaktohet sinjali në dalje të filtrit y(t ). (b) Të përcaktohet fuqia e sinjalit P në dalje të filtrit. Zgjidhje: (a) Sinjali x(t ) zbërthehet në seri Furie
x t
c e
jn 0 t
n
n
ku cn
1
T
x t e T 0
jn 0 t
dt
Dihet se vlen sin sin sin , kur kjo zbatohet në rastin konkret kemi x t sin120 t sin120 t T sin 120 t 120 T x t T sin 120 t
perioda themelore e x(t ) përfitohet nga barazimi 120 T , duke rezultuar me vlerën T =1/120. Frekuenca themelore e x(t ) do të jetë 2 0 240 T
pra sinjali në hyrje brenda dy periodave të para shprehet si sin 0t 2 , 0 t T x t sin 0t 2 , T t 2T Përcaktimi i koeficienteve të zbërthimit në seri Furie përcaktohen nga formula 1 T 1 T j 0t / 2 jn 0t 1 T j 0t / 2 jn 0t jn t cn sin 0t 2 e 0 dt e e dt e e dt T 0 2 jT 0 2 jT 0 1 T j 0 n 1/ 2 t 1 T j 0 n 1/ 2 t e dt e dt 2 jT 0 2 jT 0 më tutje
8
cn
1
1
2 jT j 0
e n 1 / 2
j0 n 1/ 2 T
1
1
1
e 2 jT j n 1 / 2
j 0 n 1/ 2 T
0
j0 n 1/ 2 T
Duke marrë parasysh se 0T 2 , j(- j)=1 dhe e e j 2 fitohet 1 1 n 1/ 2 n 1/ 2 cn 2 n 1/ 2 2 n 1/ 2 2 n2 1/ 4
1
2 n 2 1/ 4 ku komponenti njëkahor ka vlerë
n 1/ 2
1
1 ,
2
4n 2 1 2
c0
Spektri i sinjalit x(t ) do të jetë
X
2 c n0 n
n
Spektri i sinjalit në dalje caktohet nga relacioni Y H X , meqenëse filtri ideal ulët-lëshues e ka brezin lëshues të kufizuar në frekuencën 500 , në dalje, pos komponentit njëkahor, do të paraqiten edhe harmoniku i parë dhe i dytë që kanë frekuenca 0=240 dhe 2 0=480 . Harmonikun e tretë me frekuencë 3 0=720 e tutje, filtri nuk i lëshon. Pra, spektri i sinjalit në dalje do të jetë Y
2
2 c n0 n
n 2
2 c0 2 c1 0 2 c1 0 2 c2 2 0 2 c2 2 0
kur kjo shprehje nga domeni frekuencor pasqyrohet në domenin kohor fitohet y t c0 c1 e
j0t
c1 e j
0 t
c2 e j 2
0t
c2 e j 2
0 t
Kur vendosen vlerat për koeficientet e serisë Furie 2 2 2 , c2 c2 c0 , c1 c1 3 15 që rezulton me 2 4 4 cos 240 t cos 480 t y t c0 2c1 cos 0t 2c2 cos 20t 3 15 (b) Fuqia e sinjalit në dalje përcaktohet më së lehti në bazë të teoremës së Parseval-it 4 8 8 2 2 2 P y c0 2 c1 2 c2 2 0.4990 9 2 225 2 10. Në figurë është paraqitur bllok-skema e drejtuesit të valës së plotë si lidhje serike e dy sistemeve, në të cilën sistemi i parë paraqet qarkun e Grec-it derisa sistemi i dytë qarkun RC që shërben për rrafshim të trajtës valore të sinjalit. x t
r t
y t
Sistemi që paraqet lidhjen e Grec-it përkufizohet me relacionin r t x t , derisa qarku RC qarku definohet përmes funksionit transmetues H( ),
9
H
Y
1
1
, RC 1 j RC 1 j Le të merret se sinjali në hyrje është x t cos 100 t . (a) Të përcaktohet transformimi Furie i sinjalit x(t ). (b) Të përcaktohet transformimi Furie i sinjalit y(t ). (c) Të përcaktohet brezi i vlerave që mund të merr konstanta kohore = RC ashtu që amplituda e harmonikut të parë në sinjalin dalës y(t ) mos të jetë më e madhe se 2% e vlerës mesatare të y(t ). R
Zgjidhje:
(a) Transformimi i përgjithësuar Furie përkufizohet përmes barazimit 1 j t e dt 2 Le të shënohet me 1 frekuenca e sinjalit hyrës, 1=100 (rad/s). Transformim Furie i sinjalit x(t ) do të jetë 1 j 1 t 1 j 1 t j t X cos 1t e dt e dt e dt 2 2 1 1 100 100 (b) Sinjali r (t )=| x(t )|=|cos( 1t )| është gjithashtu periodik, që mund të shihet edhe nga paraqitja grafike e këtij sinjali.
Për dallim nga sinjali x(t ) që ka periodë T 1=2 /100 =0.02 (s)=20 (ms), sinjali r (t ) ka periodë përgjysmë më të vogël T =T 1/2=10 (ms). Për pasojë frekuenca rrethore e r (t ) do të jetë dyfish më e madhe se ajo e x(t ), përkatësisht 0=2 /T =2 /0.01=2 1=200 (rad/s). r (t ) si sinjal periodik mund të zbërthehet në seri Furie, pra vlen r t
jn 0t
cn e
n
ce
jn 200 t
n
n
ku: c0
1 T
T /2
T / 2
cos 100 t dt
1 T
T /2
T / 2
cos 0t 2 dt
2 T 0
0 T / 4
0 T / 4
cos u du
dhe pasi merret parasysh se 0T /4= , fitohet u /2 1 /2 1 2 cos u du sin u u / 2 c0 /2
Përndryshe, për çfarëdo rendi n koeficientet e zbërthimit në seri Furie përcaktohen nga shprehja
10
cn
1 T
1 T
T /2
jn 200 t T /2 cos 100 t e dt
T /2
jn t T /2 cos 0 t 2 e 0 dt
T
T /2
cos 0 t 2 e jn 0t dt T /2
2
T 0
0T /4
0T /4
cos u e j 2 nu du
1 /2 j 2 n1u e du /2 2 /2 n 1 sin 2n 1 / 2 sin 2n 1 / 2 cos n cos n 2 1 cn 2n 1 2n 1 2n 1 2 n 1 4n 2 1 Meqenëse n 1 2 1 jn 0 t jn t r t cn e e 0 2 n n 4n 1 Duke pasur parasysh barazimin e parë, nga kjo shprehje drejtpërsëdrejti nxjerrët edhe shprehja për R( ) n 1 4 1 n 200 R 2 cn n0 2 4 1 n n n Përgjigja frekuencore (funksioni transmetues) i RC qarkut mund të shkruhet si Y 1 1 H e j 2 R 1 j 1
1 2
1
/2
j 2 n 1u
e
du
kështu që spektri i sinjalit në dalje është 1 Y H R e j 2 1
n
2 1 n0
2
cne
jn0
2 c n0 n
n
n 0
(c) Nga shprehja për Y ( ) shihet se sinjali y(t ) mund të shprehet në trajtë të serisë Furie 1 jn 0 jn t jn t y t d ne 0 cne e 0 2 n n 1 n 0 Vlera mesatare e sinjalit në dalje do të jetë 1 2 d0 c0 2 1 0 0 Amplituda e harmonikut të parë është 11 2 1 1 1 2 d1 c1 2 2 2 2 1 1 0 1 1 0 4 1 1 3 1 0
Kushti i shtruar plotësohet kur d 1
2
3 1 0 2 Pas rregullimit të inekuacionit fitohet d 0
2
11
1 3 1 0
2
0.02
1 1 16.6366 0.0265 1 2 0 9 0.02 200 Pra konstanta kohore e RC qarkut nuk guxon të jetë më e vogël se 26.5 (ms).
1
11. Në hyrje të një lidhjeje serike të dy sistemeve, lineare dhe invariante në zhvendosje, vepron sinjali x(t ) me trajtë kohore të paraqitur në figurë.
t 4k k
Përgjigja impulsive e sistemit të parë është shënuar në figurë, derisa përgjigja frekuencore e sistemit të dytë është: sin 2 H 3 Të përcaktohet dhe të skicohet sinjali në dalje të lidhjes serike të sistemeve y(t ). Zgjidhje: Në dalje të sistemit të parë sinjali do të jetë 4 y1 t x t k d x t 4k d k k
x t 4k
k
Sinjali y1(t ) është zgjerim periodik i sinjalit x(t ) me periodë T =4 dhe frekuencë themelore 0 2 T 2 , prandaj mund të zbërthehet në seri Furie,
y1 t
ce
jn 0 t
n
n
ce
jn / 2 t
n
n
ku koeficientet e serisë përcaktohen nga shprehja 1 4 1 2 jn / 2 t 1 4 jn / 2 t jn / 2 t cn x t e dt e dt e dt 4 0 4 0 4 2 1 2 1 2 1 1 n e jn 1 e jn 2 e jn 1 e jn 1 1 4 jn 4 jn jn jn Shihet se koeficientet me indekse çifte janë zero, meqenëse vlen edhe 1 4 c0 x t dt 0 4 0 mund të shënohet 0, n 0, 2, 4, cn 2 j n , n 1, 3, Kur sinjali periodik kalon nëpër sistem linear dhe invariant në zhvendosje ai sërish është periodik (pra i zbërthyeshëm në seri Furie) por me koeficientet
12
d n cn H n 0 cn H n 2
Funksioni transmetues në frekuencat =n 0 ka vlera sin 2 sin 2 n / 2 2 sin n 2 3 , n 0 H n 2 / 2 n n 3 3 3 0, n 0 n /2 Përfundohet se të gjithë koeficientet Furie të sinjalit në dalje kanë vlerë zero, d n 0, n Për rrjedhojë,
y t
de
jn / 2 t
n
0, t
n
12. Një sistem linear dhe invariant në zhvendosje është përkufizuar përmes ekuacionit diferencial: dy t dt
2 y t 4 x t
Të përcaktohet zbërthimi në seri Furie i sinjalit y(t ), kur (a) x t cos2 t (b) x t sin 4 t cos 6 t / 4 Zgjidhje: Përgjigja frekuencore e sistemit përfitohet duke zbatuar transformimin Furie në ekuacionin diferencial. jY 2Y 4 X H
Y
4
2 j Nëse në hyrje të sistemit vepron sinjali periodik atëherë edhe në dalje do të fitohet sinjali periodik. Pra, nëse vlen X
x t
ce
jn 0t
n
c n0
X 2
n
n
n
atëherë do të vlej edhe
y t
d e
jn 0t
n
Y 2
n
d n0 n
n
ku 0 frekuenca themelore e sinjaleve. Nga relacioni Y H X rrjedh se vlen d n H n 0 cn
(a) Në këtë rast vlen
0
2 dhe zbërthimi
1 j 2 t 1 j 2 t e e c1e j 2 t c1e j 2 t . 2 2 Sinjali në dalje shprehet si y t d1e j 2 t d 1 e j 2 t ku 4 1 1 1 d1 H 0 c1 , d1 H 0 c1 2 j 2 2 1 j 1 j (b) Sërish vlen 0 2 me zbërthimin 1 j 4 t 1 j 4 t 1 j /4 j 6 t 1 j /4 j6 t e e e e x t e e 2 j 2j 2j 2j x t
13
Siç shihet koeficientet e zbërthimit në seri Furie kanë vlera 1 1 c2 c2 , c3 c3 e j /4 2 j 2 Prej këtu del
d 2 H 20 c2 H 4
1 1 1 , d 3 H 30 c3 H 6 e j 2 j j 1 j 2 2
/4
14
1 1 j 3
e
j /4
Transformimi Furie
1. Për sinjalin real, jo-negativ, x(t ) dhe spektrin e tij X ( ) janë të njohura këto fakte: Energjia ( E ) e sinjalit x(t ) ka vlerë 1. Për spektrin e sinjalit X ( ) vlen ekuacioni:
2 j X e j
t
d 2 C e t u t
(a) Të përcaktohet vlera e konstantës C dhe (b) shprehja analitike për sinjalin x(t ). Zgjidhje: (a) Le të jetë X 1 2 j X Nga shprehja për transformim të kundërt Furie 1 j t x1 t X 1 e d 2 dhe barazimi i dhënë në detyrë përfundohet se t x1 t C e u t Nga ana tjetër, transformimi Furie i x1(t ) është tabelor, pra vlen
X 1
C
1 j
2 j X
duke përfunduar se vlen X
C
1 j 2
j
C
1 j
C
2 j
Prej këtu përfundohet se trajta e x(t ) është x t Ce t u t Ce 2t u t Energjia e sinjalit x(t ) barazohet me njësh E
0
2
x t dt
0
C e t e 2t
2
dt C 2
e
2 t
0
2e 3t e 4 t dt
1 1 C 2 1 C 2 1 3 4 12 2 prej këtu përcaktohet C 12 . (b) Shprehja analitike për x(t ) është x t 12et u t 12e2 t u t 2
2. Sinjali x(t ) kalon nëpër dy sisteme lineare që kryejnë veprimin e diferencimit e të lidhur në seri si në figurë. x t
d dt
a
d dt
y t
Nëse sinjali në hyrje është x t 2sinc 2t , sa duhet të jetë vlera e parametrit a (a≥0) ashtu që energjia e sinjalit në dalje të jetë 2 herë më e madhe se energjia e sinjalit në hyrje.
Zgjidhje:
Nga skema e lidhjes shihet se në në mes të sinjalit hyrës dhe atij dalës vlen vlen relacioni y t a
d 2 y t dt 2
Sipas teoremës së Parseval-it energjitë e sinjaleve përcaktohen me shprehjet 2 2 2 2 1 1 E x x t dt X d E y t dt Y d , y 2 2 Nga teorema për për dualitetin e domenit kohor kohor vlen çiftimi A
X
AB Bt x t sinc
B
B
Duke përshtatur trajtën e sinjalit hyrës x t 2sinc 2t me relacionet e sipërme Bt
fitohet
2t dhe
AB
2
B 2 dhe A 1
Energjia e sinjalit hyrës do të jetë 1 2 E x 1 d 2 2 2 Vetia e transformimit Furie për diferencim në domen kohor shtrohet si në vijim viji m dx t 1 1 j t x t X e d j X e j t d dt 2 2 Prej këtu, pasi të kaloj sinjali nëpër lidhjen serike të dy diferencuesve, spektri i tij do të jetë a 2 , 2 2 Y a j X 2 0, Energjia e sinjalit në dalje është 2 a2 a2 1 2 2a 2 5 4 2 2 4 E y a d d 2 2 2 2 5 5 0 sipas kushtit të detyrës 4 E y 1 2a 2 2 2 10 4 a 2 a 2 E x 2 5 5 4 2
3. Një sistem i vazhduar, linear dhe invariant në zhvendosje, ka përgjigje frekuencore që në trajtën e përgjithshme shprehet si H H R jH I . Dihet se sistemi është shkakësor dhe se përgjigja impulsive e tij, h(t )=0 )=0 për t <0, <0, është funksion real i t . Në qoftë se komponenti real i përgjigjes frekuencore H R( ) është 6 H R 2 4 të përcaktohet përgjigja impulsive e sistemit h(t ). ). 2
Zgjidhje:
Nga vetitë e simetrisë për sinjale reale dihet se H R( ) është funksion çift i , H R H R dhe se paraqet transformimin Furie të komponentit simetrik (çift) të h(t ). ). Komponenti çift hs(t )= )= hs(-t ) përcaktohet nga ekuacioni h t h t hs t 2 Që shprehet edhe si 1 hs t h t , t 0 2 1 hs t h t , t 0 2 Kemi parasysh se s= j dhe dhe kjo zëvendësohet zëvendësohet në shprehjen e dhënë për H R( ), ), 6 6 3 1 3 1 H R s H R 2 s / j s2 4 2 s 2 2 s 2 s / j 4
Termi i parë paraqet transformimin e pjesës shkakësore të hs(t ) dhe termi i dytë transformimin e pjesës kundër-shkakësore kundër-shkakësore të hs(t ). ). Pra vlen 3 3 1 hs t e 2t u t , s 2 2 2 s2 Për të fituar 2t h t 2hs t 3e u t 4. Në figurë është paraqitur sinjali real x(t ) i cili ka transformim Furie )=| X )|e j ( ). X ( )=| X ( )| x t
2 1 -3
-2
-1
(a) Të përcaktohet vlera e integralit (b) Të përcaktohet vlera e integralit
0
X
1
2
2sin
t
j
e d .
2
X d .
(Koment : Detyra mund të zgjidhet duke u shërbyer me vetitë e transformimit Furie, pa pasur nevojë që shprehja për X ( ) të përcaktohet në mënyrë eksplicite.) Zgjidhje: (a) Trajta e shprehjes brenda integralit shprehet si prodhim i dy transformimeve Furie. 2sin j X e X H
ku H 2
sin
e
j 2
. Lehtë detektohet se trajta 2 sin / çiftohet në domen
kohor me trajtën r (t ) si në figurë.
3
r t
R
2
sin
t
Kur r (t ) zhvendoset për 1 në të majtë fitohet h(t ) 2sin j F h t r t 1 e H R e j
Nga vetia e thurjes së së transformimit Furie dihet se se 1 x t h t X H e j t d 2 Për t =0 =0 kemi ekuacionin 1 2 sin j x t h t X e d t 0 2 Ana e majtë e ekuacionit do të jetë
x t h t
t 0
x ht d
t 0
1
0
x h d d 1
Rezultati i thurjes për t =0 =0 është ilustruar në figurë.
x
2 h
1 -3
-2
-1
0
1
2
Pra rezultati i kërkuar është
X
2sin
e j d 2
(b) Detyra zgjidhet me teoremën e Parseval-it 2 2 2 2 1 x t dt X d X d x t dt 2 2 0 1 2 1 2 40 2 2 2 x t dt 2 dt 3 t dt 1 t dt dt 3 2 1 0 3 2 40 X d 3
5. Një sistem shkakësor, linear dhe invariant në zhvendosje, ka përgjigje frekuencore, 2 j H 3 4 j 2 (a) Të përcaktohet ekuacioni diferencial që ndërlidh hyrjen x(t ) dhe daljen e këtij sistemi y(t ). ). (b) Të përcaktohet përgjigja impulsive e sistemit. (c) Të përcaktohet sinjali në dalje y(t ) në qoftë se në hyrje vepron sinjali
4
x t 1 t e 2t u t Zgjidhje:
(a) Nga vetia dx t dt Y X
F j X
2 j 2 , 3Y 4 jY j Y 2 X j X 2 3 4 j d2y
4
dt 2
(b) H
dy
3 y
dx
dt 2 j
2x
dt
2 j 1 1 1 1 3 4 j 2 j 1 j 3 2 j 1 2 j 3
Nga e u t at
F
1 j a
fitohet 1 t 3t e e u t 2 (c) Sipas vetisë së transformimit Furie vlen relacioni h t
tx t j F
dX d
në rastin konkret do të vlej te
2 t
u t j F
d
1 1 d j 2 j 2 2
që do të thotë se vlen j 1 1 1 X j 2 j 2 2 j 2 2 Transformim Furie i sinjalit në dalje do të jetë j 1 2 j 1 Y H X j 1 j 3 j 2 2 j 3 j 2 F 1 t e2t u t
1 1 F e 2t e 3t u t y t j 2 j 3
6. Me grafikun X ( ) në figurë është paraqitur spektri i sinjalit x(t ). Pa e përcaktuar sinjalin x(t ) në mënyrë eksplicite, përgjigjuni në pyetjet vijuese:
X
5
(a) A mund të ketë sinjali x(t ) vetëm vlera reale? Pse po, apo pse jo? (b) Përcakto vlerën e sinjalit x(0). (c) Përcakto energjinë e sinjalit E
x t
2
dt .
Zgjidhje:
(a) Në qoftë se sinjali x(t ) është real, atëherë për X ( ) do të vlej, * j t * j t X x t e dt x t e dt X Meqenëse X ( ) është funksion real i , vlen X * X . Po të ishte x(t )
sinjal real do të duhej detyrimisht të vlej X X . Meqenëse nga grafiku shihet se ky nuk është rasti, përfundohet se sinjali x(t ) nuk mund të jetë funksion real i t -së. (b) Nga transformimi i kundërt Furie kemi barazimin 1 j t x t X e d 2 Prej këtu, 1 1 1 2 2 1 2 7 j 0 e d 2 2 x 0 X d X 2 2 2 2 2 2 (c) Teorema e Parsevalit jep ekuivalencën e energjive në domenet t dhe . 2 2 1 E x t dt X d 2 Për rastin e detyrës vlen, 1 0 2 2 2 2 1 2 2 E 2 3 d 2 1 d 2 1 d 2 d 2 3 2 1 0
0 1 2 1 2 1 2 6 2 d d 2 d 2 3 2 0 1 0 3
7. (a) Është dhënë sinjali
x t 1 e
t
u t 1 u t 1 .
Përcakto
transformimin Furie të tij dhe trego se ky transformim është funksion real dhe çift i (b) Përcakto transformim Furie për sinjalin e paraqitur në figurë.
Zgjidhje:
(a) x t 1 e t u t 1 u t 1
6
X
X X
1
1
1 1
e
j
e j e j j
1
1
1 e e dt e dt e
x t e
jt
dt 0
e j t
j t 1
t
1
dt
1 1 j t
1 j t
1
1
j t
dt
0
1 1 j e 1 j
t
0
1
e 1e j 1 1 e1e j 1 j 1 j
1 j 2sin 1 j 1 e e
1 1 j e 1 j
t
1 0
1 j 1 e 1e j
1 2 j e1 e j e j
1 j j 2sin 2 e e e 1 2 1 2 2e cos sin 2sinc 1 2 Se X ( ) është real shihet nga shprehja. Çiftësia vërtetohet duke provuar vlefshmërinë e barazimit X X . Nga shprehja për X ( ) vërehet se "sinc" është funksion çift i , e gjithashtu edhe cos dhe sin , shuma e këto dy të fundit pjesëtohen me funksionin çift ( 1 2 ), që rezulton me përfundimin se X ( ) është funksion çift i -së. (b) Nëse marrim një sinjal të ri r (t ), si në figurë
atëherë, x t r t 1 . Nëse marrim në konsideratë se
x t
ce
jn0 t
n
dhe r t
n
be
jn 0 t
n
n
atëherë koeficientet e serisë Furie janë cn bn , n 0 dhe c0 b0 1 T 2 T 1 c0 dt 1 4 1 1 T
cn bn
1 T
T 1
T 1
2e jn 0 t dt
2
1
T jn 0
T 1
T
T 1
e
jn 0 t
2T sinc 1 n , n 0 T T
2T1
2 T 1
x t c0
c e
jn 0 t
n
n n0
Për të përfunduar se vlen
7
X 2 c0
2 c n 0
n
n n 0
4T T1 2T 2 4 1 2 1 sinc 1 n n0 T T n T 0
n
8. Një sistem është përshkruar përmes ekuacionit diferencial: dy t dt
3 y t x t
Përcakto transformimet Furie të përgjigjeve të sistemit në sinjalet hyrëse: (a) x(t )=e-t u(t) (b) x(t )=u(t) Zgjidhje: dy t 1 1 j t j t j y t y t e dt y t e dt j Y dt 2 2
dy t dt
3 y t x t j Y 3Y X Y
(a) X
1 X 3 j
e
t
jt
u t e
1 1 j 0 1 Y 1 j 3 j
dt e t e j t dt
(b) 1, t 0 d 1 1 , sgn t , sgn t sgn t 2 t t 1, 0 2 2 dt d 2 F F F t 1, 2, sgn t sgn t
u t
j
dt
F 1 2 1 1 2 1 X U 2 2 2 j j
Y
1 1 1 j 3 j j 3 j 3 j
8
Zbërthimi i sinjaleve periodike në seri Furie. 1. Në figurë është paraqitur skema e një modulatori të amplitudës.
Përgjigjet frekuencore të filtrave në skemë janë përkufizuar me
e j , 3, 2 5 H 1 dhe H 2 0, t jera 0,
2 2
Njehsoni dhe skiconi sinjalet hyrëse dhe dalëse, x(t ) dhe y(t ), për këto raste: (a) Kur në hyrje vepron x t sinc t / . (b) Kur në hyrje vepron x t sinc t / cos 2t . (c) Kur në hyrje vepron sinjali periodik i paraqitur në figurë.
Zgjidhje:
(a) Spektri i “sinc” funksionit, sipas dualitetit të domeneve, ka trajtën e pulsit në domenin frekuencor. Kjo trajta me parametra të përgjithshëm është treguar në skicë.
x t
1 2
B
B
Ae
j t
d
A 1
A 2 j
e jtB e jtB 2 jt 2
jt
sin Bt
A
B
sin Bt Bt
Krahasohet me xt sinc t / dhe konkludohet se B=1, A=. Kalimi i x(t ) nëpër H 1(), R
X H 1 .
AB
Bt
sinc
R 0
(b)
r t 0 vt 0
yt 0
, 1 t F 0, 1 P2
sinc
x t sinc t / cos 2t
F
R
X
2
P2 2
2
P2 2
X H 1
1 1 F vt r t cos2t R 2 R 2 2 2
H 2 1 e j
Vërejtje : përgjigja fazore e H 2() nuk është vizatuar veçmas. Y V H 2 Y
3 4
Y
e j
2
3 4
e j
1 3
Y
2 2
3
P1 4.5e j
2
P1 4.5e j
j t 1 F e , 1 / 2 j sinc P1 e 1 / 2 2 0, 3 t 1 cos4.5t 1 y t sinc 2 2
(c) Sinjali periodik zbërthehet në seri Furie
c e
xt
jn0t
n
n
ku koeficientet njehsohen nga shprehja
cn
T / 2
1
xt e
jn0t
T T / 2
0 2 / T / 2 .
Perioda është T =4, frekuenca themelore është cn
1 4
2
2e
jn
2
t
dt
0
1
2
2
jn
jn
e
2
t 2
dt
jn jn 1 jn 1 jn 2 2 e 1 e e e 2 jn jn
t
t 0
2 1 n jn 2 n jn 2 2 j sin e sin e 2 2 jn n n 0 n cift sin 2 1 n tek
c0 2
x t
2
e
j
2
e
5
e
j
2
t
j
5 2
e
j
2
2e
j 0
2
t
2 T / 2
3 Spektri i sinjalit është i dhënë me
T / 2
1
5 2
t
2
e
3 1 e
j
3 2
e
j
3 2
t
dt 1
j
3 2
e
2 5
j
e
3 2
j
t
5 2
e
2
j
5 2
j
2
e e
t
j
2
t
3 5 2 j 2 3 2 j 2 X e e e 5 2 3 2 2 2 j 2 2 j 32 3 2 j 52 5 e e e 2 5 2 2 3 Nëpër sistemin e parë kalon vetëm komponenti me frekuencë 30 3 / 2 ,
2
j
5 2
prandaj, sinjali në dalje të këtij sistemi spektri i sinjalit është i përkufizuar me
2 j 32 3 2 j 32 3 X 3 e e 3 2 2 3 ose në domen kohor x t
2
e
j
3 2
e
j
3 2
t
2
e
j
3 2
3
e
j
3 2
t
4
3 t 1 2
cos
2. Në figurë është treguar një lidhje e sistemeve lineare dhe invariante në zhvendosje, të cilët janë përshkruar me sin3 c t d sin c t j 2 / c , , , h4 t u t h1 t h t H e 2 3 t dt 2 t x(t )
+
h1(t )
+
h3(t )
y(t )
h4(t )
H 2( )
(a) Përcakto dhe skico trajtën e përgjigjes frekuencore H 1( ). (b) Cila është përgjigja impulsive e tërë sistemit h(t )? (c) Çfarë do të jetë përgjigja e sistemit y(t ) në hyrjen x t sin 2c t cos c t / 2 Zgjidhje: (a) Thirremi në vetinë e dualitetit dhe atë të diferencimit në kohë të transformimit Furie. x t X X t 2 x P2 c( )
p2 (t )
1
1
-
p2 t 2
0
sin
-
t
2 sinc sin ct
2 t x t X
sin c t h1 t dt 2 t d
H1
j
2
P2c
1
P2 c 2 dx t
dt
H1
2
P2 c
P2 c
,
0
c
c
c
sin c t
c t
c
c t
sinc
j X
2
P2 c
e
/ 2, 1 / 2,
(b) Më shpejt zgjidhet detyra në domenin e frekuencës sistemit të plotë është
j
2
sgn
j 1
H1 e
0 0
.
Përgjigja frekuencore e
H H1 1 H 2 H 3 H 4
4
H 1( ) e marrim nga pika nën (a). H 3( ) ka trajtë të diskutuar në pikën (a), nga kjo shënojmë drejtpërsëdrejti H 3 P6 c H 4( ) paraqet transformimin Furie të sinjalit shkallë-njësi, prandaj shënojmë 1 H 4 j H
j
2
P2c
1
P2c
1 e j 2 j
2
/ c
P6 1 j c
1 e j 2
P2c
1 e j 2
/ c
/ c
P6 1 P2 1 e j 2 2
/ c
c
c
P6
c
P6 c
2 Më sipër është marrë
0
0
Më tutje vlen P2c
P2 P6 c
c
prandaj H
1
P2c 1 e
j 2 / c
P6 1 P2 1 P2 e j 2 2 2 c
2 Kemi parasysh se
c
c
/ c
h t H sin c t 2 t x t t0 e
jt0
X
1 2
P2 c
sin c t 2 / c 2 t 2 / c
1 2
P2 c
e j 2
/ c
Dhe fitojmë rezultatin: h t
sin c t 2 t
sin c t 2 / c 2 t 2 / c
(c) Përsëri detyra zgjidhet në domen të frekuencës 1 j 2 / c 1 P2 c e j / c e j / c H P2c 1 e 2 2
P2 cos e j c
/ c
c
j e c
P2 c cos
e j
/ c
/ c
'
Ku
0, c / 2 ' , c / 2 c , / 2 c c Transformimi i sinjalit hyrës është X 2c 2c c / 2 c / 2 Transformimi i sinjalit në dalje do të jetë Y H X
5
Për hir të qartësisë, përfitimi i rezultatit të epërm është përshkruar me ilustrim përkatës grafik. grafik.
Shihet se aty ku X ( ) ka spektër, karakteristika amplitudore e sistemit ka zero, prandaj fitohet: fitohet: Y 0, y t 0
3. Në figurë është treguar një lidhje e sistem sistemeve eve lineare dhe invariante në zhvendosje, H 2
të cilët janë përshkruar me relacionet, sin3 c t d sin c t j 2 / c h1 t e h t , H , , h4 t u t 2 3 dt 2 t t (a) Përcakto dhe skico trajtën e përgjigjes frekuencore H 1( ). ). (b) Cila është përgjigja impulsive e tërë sistemit h(t )? )? (c) Çfarë do të jetë përgjigja e sistemit y(t ) në hyrjen x t sin 2c t cos c t / 2 Zgjidhje: (a) Thirremi në vetinë e diferencimit dhe atë të dualitetit të transformimit Furie. x t X
X t 2 x P2 c
p2 t
c
sin
2 sinc Nga sipër përfundohet përfundohet se vlen çiftimi, çiftimi, p2 t 2
P2 c
6
c
c
sin c t
c t
c
c t
sinc
sin c t 2 t
1 2
P2 c
Për të caktuar H 1( ) shërbehemi me vetinë e diferencimit që e ka transformimi Furie, x t X h1 t
d sin c t
dt 2 t
j
2
P2c
H 1
j X
dt
H 1
P2 c
2
dx t
P2 c
2
e
/ 2, / 2,
, 1
2
sgn
H 1 e
j 1
0 0
1
H 1
/2
c
j
/2
c
c
c
/ 2 (b) Më shpejt zgjidhet detyra në domenin e frekuencës sistemit të plotë është H H1 H 2 H 3
. Përgjigja frekuencore e
ω
H 4
H 1( ) e marrim nga pika nën (a). H 3( ) ka trajtë të diskutuar në pikën (a), nga kjo shënojmë drejtpërsëdrejti, H 3 P6 c
H 4( ) paraqet transformimin Furie të sinjalit shkallë-njësi, prandaj shënojmë 1 H 4 j H
j
2
1 j P e P2c
e j 2
/c
2 c
j
e j 2
P6c
j 2 / c
/ c
2
1 2
P2c
e j 2
/c
1 2
j
2
P2 c
P2 c
e j 2
/c
e j 2
/ c
1 j
0 sepse 0
h t
(c)
sin c t 2 / c
2 t 2 / c
X
c
2
c
2
c 2 t c
sinc
c 2 2 2 c c
7
H
1/ 2
2
c
c
0
c
X
2c
c
2c
0
2
2 c
c
0 c
2
2
2 c
c j 2 / c j 2 e e 2 2 2 2 t 1 1 y t cos c t cos c 2 2 2 2
Y H X
c
/ c
4. Në figurë është paraqitur paraqitur bllokbllok- skema e një sistemi sistemi të vazhduar. vazhduar. x t r1 t r t r1 t r2 t q t H 1 H 3
t
h2 t
y t
r2 t
Pjesët e sistemit dhe sinjali hyrës përkufizohen si në vijim,
0.5 H 1 0
2 , 2
h2 t sinc t ,
x t 2sinc t
H 3
Përcakto sinjalet dhe skico spektrat e sinjaleve në secilën pikë të sistemit të paraqitur. paraqitur. Zgjidhje:
X
x t
A sin Bt
t
AB sin Bt
Bt
AB
Bt
sinc
duke krahasuar x t 2sinc t me shprehjen e përgjithshme më sipër, përfundohet se spektri i sinjalit është i kufizuar në B dhe ka amplitudë A=2. Gjithashtu nga
8
shprehja e sipërme përfundohet se përgjigja frekuencore e sistemit të dytë është e trajtës së drejtkëndëshit me spektër të kufizuar në B2= dhe amplitudë A2=1, pra
1 H 2 0
Spektri i sinjalit r 1(t ) përfitohet si R1 X H1 0.5 X dhe duket si në
figurë,
R1
dhe i njëjti sinjal shprehet në domenin kohor me r1 t sinc t . Delta impulsi ka spektër me vlerë njësh në tërë brezin frekuencor . Ky spektër kufizohet me përgjigjen frekuencore të sistemit H 2( ), kështu që spektri i sinjalit r 2(t ) është i njëjtë me atë të r 1(t ). Pra vlen, h2 t r1 t
H2
R1 ,
1 H 2 R1 ,
R2
r2 t sinc t
sinjali r (t ) është r t r1 t r2 t sinc
2
t
Spektri i sinjalit r (t ) përcaktohet si thurje e R1( ) dhe R2( ), R
1
R R 1
2
R2
R
1
R
2 1 2
d
R1
2
d
1 2
d
2 , 2 0
1 2
2 , 0 2
R
2
2
Q H 3 R H 3
R
2
2
Nga spektri përfitohet,
9
Q
q t sinc t
Në fund, y t q t r2 t sinc t sinc t 0,
Y 0
5. Në figurë është treguar bllok-skema e një sistemi.
Përcakto zbërthimin në seri Furie të sinjalit y(t ) në qoftë se janë dhënë: (a) x t (b) x t
sin 3 c t / 2 t jk c t
k
c e
jk c t
k
k
a e
, p t cos 2c t 4cos 8 c t dhe h t
, p t cos c t dhe h t
sin c t / 2
k
t
Zgjidhje: (a) Nga skema e sistemit shtrohen këto barazime q t x t p t dhe Y Q H
Sinjali x(t ) ka spektër në trajtë të drejtkëndëshit. Në rastin e përgjithshëm spektrit X ( ) si në figurë
i përgjigjet sinjali: x t
1 2
B
Ae
d
j t
B
A t
sin Bt
(*)
Duke krahasuar shprehjen e përgjithshme (*) me atë të dhënë, x t
sin 3 c t / 2
konstatohet se A=1 dhe B=3 c/2. Sinjali në dalje të modulatorit (shumëzuesit) do të jetë: q t x t p t x t cos 2c t 4 cos 8 c t
ndërsa spektri del në trajtën: Q
1 2
X 2c
1 2
X 2c 2 X 8c 2 X 8 c
Ky spektër është skicuar në figurë.
10
t
,
Përgjigja frekuencore e sistemit h(t ) është diskrete. Komponentët e tij janë të përqendruar në shumëfishin e frekuencës c. h t
ck e
jk c t
2 c k
H
k
k
c
k
Nëse kemi parasysh se Y H X , atëherë spektri i sinjalit në dalje do të duket si në figurë.
Sinjali në dalje mund të shënohet si në vijim: y t
7
1
2ck e
jk c t
k 9
k 3
1 2
3
ck e
jkct
k 1
1 2
9
ck e
jk c t
2ck e jk
ct
k 7
(b) Në këtë rast kemi q t x t p t x t cos c t
Q
1 2
X c
1 2
X c
Sinjali në hyrje ka spektër diskret x t
ak e
jk c t
X
k
2 a k k
c
k
Spektër diskret ka edhe sinjali në dalje të modulatorit. Trajta e tij është Q
a k 1 a k 1 k
c
k
k
a
l 1
l
c
k
l
l
lc al 1 lc al 1 al 1 lc
Përgjigja frekuencore e sistemit h(t ) ka trajtën filtrit ideal ulët-lëshues me frekuencë të prerjes c/2, si në figurë.
Nga të gjithë komponentët spektral filtri lëshon vetëm atë me frekuencë ose komponenti njëkahor). Sinjali në dalje do të jetë: y t
=0
(l=0
a1 a1
2
6. Në figurë është paraqitur një sistem i përbërë nga shumëzuesi dhe filtri ideal me përgjigje frekuencore H ( ). Sinjali x(t ) paraqet sinjalin e informacionit ndërsa sinjali p(t ) është bartësi.
11
x t
r t
y t
H
p t
Dihet se sinjali x(t ) e ka spektrin me brez të kufizuar në intervalin
200 rad/s . 2200 rad/s
Ndërsa filtri ideal ka përgjigje frekuencore H 2, 1800 dhe zero për frekuenca të tjera. Bartësi p(t ) është një varg periodik i pulseve drejtkëndëshe me amplitudë njësh (1), periodë themelore të përsëritjes T 1 ms dhe kohëzgjatje të pulseve 0.25 ms . (a) Të përcaktohet sinjali në dalje të sistemit y(t ), duke e shprehur atë përmes x(t ). (b) Nëse në hyrje të sistemit në vend të x(t ) vepron sinjali x1 t x t cos 2000 t , çfarë përgjigje frekuencore duhet të ketë filtri ideal ashtu që në dalje të sistemit të fitohet sinjali që është në përpjesëtim me sinjalin e informacionit x(t )? Zgjidhje: (a) p t
0.25 ms
T 1 ms t ms
Le të supozohet një trajtë arbitrare e spektrit të sinjalit x(t ) që shërben për ilustrim grafik të rezultateve. X A
200
200
rad/s
Nga shprehja e vargut periodik të pulseve p(t ) në domenin kohor, p t
1, q t nT , ku q t k 0,
t / 2 t të tjera
kalohet në paraqitje të tij në seri Furie
ce
p t
jn0t
n
, cn
n
1
/2
e
jn 0t
T e /2
dt
ku frekuenca themelore rrethore është 0
2
1
1
T
2000 rad/s
Koeficientet e zbërthimit janë: cn
1 T
/2
e
jn 0t
e /2
dt
T jn0
2 j sin n0 / 2
sin n / 4 n
Vargu i pulseve mund të shkruhet edhe si p t
n
sin n / 4 n
e
jn 0t
n
sinjali pas shumëzuesit do të jetë,
12
sin n / 4 n
e jn
2000 t
r t x t p t
sin n / 4
n
n
x t e jn
2000 t
Spektri i këtij sinjali është
R
sin n / 4 n
n
x t e
jn 2000 t
e
j t
sin n / 4
n
n
dt
X
n 2000
ose kjo e shkruar pak më ndryshe, R
1 2
X
4000
2
X 2000
2
1 4
X
2 2
X
2000
1 2
X 4000
Skica e këtij spektri është paraqitur në figurën e mëposhtme. R A / 4 A 2 / 2
A 2 / 2
2200 2000 1800
200
A / 2
1800 2000 2200
200
3800 4000 4200
rad/s
Nga ky spektër filtri e lëshon të shumëzuar me faktorin dy (2) vetëm atë pjesë të spektrit që gjendet në brezin 1800 2200 rad/s . Nga kjo përfundohet se spektri i sinjalit në dalje është i dhënë me, Y
2 2
X
2
2000
2
X
2000
Nëse merret parasysh vetia e modulit të transformimit Furie, x t cos 0t
1 2
X
0
1
X 0
2
përfundohet se sinjali në dalje do të jetë y t
2
x t cos 2000 t
(b) Pas modulatorit, sinjali r (t ) është r t x t cos 2000 t cos 2000 t x t cos
2
2000 t
1 2
x t
1 2
x t cos 4000 t
Spektri i sinjalit r (t ) është R
1 2
X
1 4
X 4000
1 4
X 4000
Nga shprehja shihet qartë se vetëm nga termi i parë mund të nxjerrët sinjali që është në përpjesëtim me atë informacionit x(t ) me faktorin (1/2). Për ta veçuar këtë sinjali nevojitet një filtër ideal ulët-lëshues me përgjigje frekuencore:
2, H 0,
200 rad/s 200 rad/s
7. Janë dhënë tri sinjale të informacionit x1(t ), x2(t ) dhe x3(t ), me spektra të paraqitur në figurë.
X 2
X 1
X 3
2000
2000 rad/s
3000
3000 rad/s
13
4000
4000 rad/s
Nevojitet që të tri sinjalet të transmetohen njëkohësisht nëpër një medium transmetues si AM sinjale (sinjale me amplitudë të moduluar). Në qoftë se dihet se mediumi transmetues ka brez të lëshimit në intervalin 20000 38000 : (a) Skico bllok-diagramin e sistemit që mundëson këtë lloj të transmetimit të sinjaleve, duke shënuar qartë vlerat e parametrave të rëndësishëm të sistemit. (b) Skico spektrin e sinjalit të përbërë i cili transmetohet nëpër mediumin transmetues. Zgjidhje: (a) Të tri sinjalet mund të transmetohen njëkohësisht nëpër mediumin e njëjtë, në qoftë se ato palosen (multipleksohen) në frekuencë. Skema e këtij sistemi është paraqitur në figurën vijuese. Bllok-skema e sistemit
x1 t
x2 t
x3 t
Mediumi transmetues
cos 22000 t
H
cos 27000 t
1 20000
H
0
cos 34000 t
38000
për vlera të tjera
(b) Duke shfrytëzuar vetinë e modulimit, x t cos 0 t
1 2
X 0
1 2
X 0
spektri i sinjalit që transmetohet nëpër mediumin transmetues do të duket si në figurën vijuese (është skicuar vetëm spektri për pjesën pozitive të boshtit frekuencor). 1 2
X 1 22000
1 2
X 2 27000
1 2
20000 22000
27000
X 3 34000
34000
38000
rad/s
8. Sinjali x(t ), me spektër që ka brezin e kufizuar me frekuencën kufitare c, modulohet me sinjalin sinusoidal të bartësit b t cos 0t , ku 0 c . Ky sinjal, x t b t x t cos 0t , zbatohet në sistemin e paraqitur në figurën vijuese. x t cos 0t
cos 0t
ku me H ( ) është shënuar përgjigja frekuencore e filtrit ulët-lëshues, të përcaktuar me shprehjen,
14
2, H 0,
c c
Përcakto sinjalin në dalje të sistemit y(t ), në qoftë se: a =0, b = /2, (c) = , Zgjidhje: x t cos 0t
cos 0t r t x t cos 0 t cos 0 t R
1 4
X 20 e j
1
1
x t cos 20 t
2
X 20 e
4
j
1 2
x t cos
1
cos X
2
Filtri ulët-lëshues lëshon spektrin në frekuenca të ulëta në brezin frekuencor c . Në këtë brez frekuencor gjendet termi i tretë nga shprehja e sipërme, prandaj mund të shkruhet se vlen: Y H R 2
1 2
cos X cos X
Nga kjo rrjedh, y t cos x t
Duke u mbështetur në këtë rezultat, llogaritet sinjali në dalje për të tri rastet: , / 2 dhe , (a) 0 y t x t (b) (c)
0
/ 2 y t 0 y t x t
9. Në figurë është paraqitur një sistem i kombinuar me mostrues dhe modulatorë, ku frekuenca e mostrimit është shprehjen: x t
m=2 /T .
Sinjali në hyrje është i dhënë me
1 sin c t
t
T
t
t nT
c t cos mt
n
Ndërsa përgjigjet frekuencore të filtrit ideal ulët-lëshues H ul( ) dhe të atij brezlëshues H bl( ) janë treguar në figurë.
15
H ul( )
H ll( )
1
-
m
1
0
-
m
m-
c
-
m
1
-
m+
0
c
m-
c
m
m+
c
(a) Përcakto dhe skico spektrin e sinjalit hyrës X ( ), si dhe kushtin që duhet të plotësoj frekuenca e mostrimit m. (b) Për një vlerë të lejuar të frekuencës së mostrimit skico spektrat e sinjaleve q(t ), r (t ), v(t ) dhe w(t ). (c) Sa do të jetë energjia e sinjalit të gabimi e(t )? Zgjidhje: (a) Shprehja e x(t ) mund të rregullohet si në vijim 1 sin c t c sin c t c t x t sinc c t c t prej nga, në bazë të teoremës për dualitet të transformimit Furie, përfundohet se spektri i sinjalit ka trajtën e drejtkëndëshit si në figurë
Se kjo është e vërtetë mund të provohet si në vijim: x t
1 2
c
1 e d j t
c
1 1 2 jt
e
jc t
e j
c t
1 sin c t
t
Për t’iu shmangur mbimbulimit të spektrave fqinje të shkaktuara nga mostrimi i sinjalit të vazhduar, nevojitet që frekuenca e mostrimit të jetë së paku sa dyfishi i frekuencës kufitare, prandaj duhet të plotësohet kushti: 2 m 2 c T (b) Sinjali q(t ) q t x t T t x t
t nT
n
Meqenëse
T (t )
është sinjal periodik, ai mund të zbërthehet në seri Furie 2 jn t T t t nT cn e m , m T n n
Kështu që q t
1
x t e T
jn m t
n
Duke shfrytëzuar vetinë e modulimit të transformimit Furie 1 Q X m T n Kjo duket si në figurë
16
Spektri i sinjalit në dalje të filtrit brez-lëshues mund të përcaktohet grafikisht në bazë të relacionit R TH bl Q Q( ) 1/T
-
m-
c
-
m
-
1/T
m+
c
-
c
1/T
m-
c
c
m
m+
c
m
m+
c
m
m+
c
TH bl( ) T
-
m-
c
-
m
-
T
m+
m-
c
c
R( ) 1
-
m-
c
-
m
1
-
m+
m-
c
c
Më tej v t r t cos m t
V
1 2
1
R m
2
dhe përfundimi se W V H ul X
(c)
17
R m
E
e t dt 2
e t x t t w t x t x t 0
dhe përfundimisht
E
e t dt 0 2
10. Në figurë është paraqitur bllok skema e një sistemi telekomunikues. cos 300t cos 100t
cos 120t
Në figurën vijuese janë paraqitur spektrat e sinjaleve hyrëse dhe përgjigjet frekuencore të filtrave .
(a) Duke skicuar me kujdes spektrat e të gjitha sinjaleve të shënuara në skemën e sistemit, përcaktoni spektrin e sinjalit dalës y(t ). (b) Në bazë të spektrit, përcaktoni varësinë kohore të sinjali dalës y(t ). Zgjidhje: (a) R1
1 2
X 1 300
1 2
X 1 300 R2
1 2
X 2 120
1 2
X 2 120
R R
R 1 2
X 2 120
2
1
1 2
X 1 300
Y2 H1 R H 1 R2
R1
Y 2
18
Y1 1 2
1
1 Y2 100 Y 2 100 2 2
Y 2 100
1
Y 2
2
100
Y 1
Y H 2 Y 1 H 2
1
Y 1
1/2
-60
-20
20
0
60
Y
1/2
-20
20
0
(b) Detyra mund të zgjidhet edhe me vetinë e dualitetit, por mundet edhe me zbatimin e drejtpërdrejtë të transformimit të kundërt, y t
1 2
20
1
2
e
jt
d
20
1 1 4 jt
e
20
j t
20
1
e j 4 t
j 20 t
e j 20t
1 2 t
sin 20t
10
20t
sinc
11. Në hyrje të sistemit të paraqitur në figurë vepron sinjali x(t ), i përcaktuar me shprehjen: H 1
p
t
n
t
H 2 c
x t
c t cos 0t
n
c
ct
sinc
Filtrat në përbërje të sistemit janë përkufizuar me shprehjet: 1, 3c 5 c A, 1.5 c H 1 H 2 0, për vlera të tjera 0, për vlera të tjera (a) Duke skicuar spektrat e sinjalit në pikat e shënuara të sistemit, të përcaktohet sinjali në dalje y(t ), për rastin 0 6 c . (b) Të përsëritet pika paraprake, për rastin
0
4 c .
(c) Sa duhet të jetë vlera e konstantës ( A) të filtrit të dytë ashtu që amplituda e sinjalit në dalje y(t ) të mos dalloj nga ajo e sinjalit hyrës x(t ). Zgjidhje: Nga teorema e dualitetit për transformimin Furie dihet se sinjali x(t ) ka spektër në trajtë të drejtkëndëshit, si në figurë.
19
X
1
- c
c
Vargu periodik i delta impulseve mund të zbërthehet në seri Furie.
1 jn p t t n e c T n n
m t
Ku m paraqet frekuencën themelore të p(t ), 2 2 m , T ; m c / c T Sinjali q(t ) do të jetë prodhim i x(t ) dhe reflektohet si, q t x t p t
c
x t e
jn 2 c t
p(t ).
,
c
e
jn mt
n
2 c
Kjo në domenin frekuencor do të
Q
n
c
X n 2
c
n
Q c /
-5 c
-3 c -2 c - c
c
2 c 3 c 4 c 5 c
H 1
-5 c -4 c -3 c
3 c 4 c 5 c
R
c /
-5 c -4 c -3 c
(a)
0
c /
3 c 4 c 5 c
6 c
v t r t cos 0t
r t cos 6c t
V
1 2
R 6c
1 2
R 6 c
V
c / 2
-11 c -10 c -9 c
c / 2
-3 c -2 c - c
c / 2
c
2 c 3 c
20
c / 2
9 c 10 c 11 c
H 2
-1.5 c
1.5 c
Y
c
/ 2
c
c
1.5 c
c
1.5 c
/ 2
(b)
R
c /
c
- c
Detyra të përfundohet!
12. Në vijim është treguar një skemë e sistemit që kryen modulimin amplitudor. Sinjalit të informacionit x(t ) i shtohet bartësi [cos( 0)t ], duke formuar sinjalin q(t ) q t x t cos 0 t Ky sinjal vepron në hyrje të një sistemi jolinear dalja e të cilit është r (t ) r t e
q t
1
Për të analizuar efektet e këtij jolineariteti mund të shërbehemi me zbërthimin e njohur në seri të Tejlor-it 1 1 q e 1 q q 2 q3 2 6 (a) Nëse spektri i sinjalit x(t ) është i dhënë si në figurë dhe nëse 0=100 c, skico dhe shëno vlerat e frekuencave të spektrit të sinjalit R( ), duke përdorur vetëm katër termat e parë të zbërthimit të sipërm. (b) Nëse filtri brez-lëshues ka përgjigje frekuencore H ( ) me parametra të treguar në figurë. Përcakto brezin e vlerave të frekuencave 1 dhe 2 ashtu që sinjali në dalje të filtrit të jetë pikërisht version me amplitudë të moduluar i sinjalit x(t ).
21
Zgjidhje: (a) r t e
q t
1 qt
1 2
q2 t
1 6
q3 t
q t x t cos 0t ,
1 2 1
q2 t
1 4 1
1 2
x 2 t x t cos 0t
1 4
cos 2 0t ,
1 1 x3 t cos 0t x 2 t cos 0t 6 4 6 8 2 1 1 x t cos 20t cos 3 0t 4 24 2 Trajtat e spektrave të sinjaleve x (t ) dhe x3(t ) nuk na interesojnë. Meqenëse prodhimit në domenin kohor i përgjigjet thurja në domenin frekuencor, 2 3 përfundojmë se spektri i x (t ) shtrihet deri në 2 c, ndërsa ai i x (t ) deri në 3 c. Le të shënohen këto spektra me: q3 t
X 2
xt
1
x 2 t e
jt
dt dhe X 3
x 3 t e
j t
dt
Me këtë simbolikë shënojmë se vlen: R
1
5
1
X 2
1
X 3 6 9 1 1 1 1 0 0 X 0 X 0 X 2 0 X 2 0 8 8 2 2 4 4 1 1 1 1 20 20 X 2 0 X 2 0 4 4 8 8
2 9
24
4
X
2
3 0
Kjo situatë është paraqitur, vetëm për frekuenca pozitive, në figurën vijuese (spektrat nuk janë mbledhë). 1 2
1 2
5 4
9
X
1
X 2 1 6
2
X 3
X 0
8
0
1
4
20
24 1 8
1 4
3 0
X 2 0
X 2 0
(b) I vetmi sinjal me modulim të pastër amplitudor sipas sinjalit x(t ) është në frekuencën 2 0. Kushtet që duhet të plotësojnë frekuencat kufitare të filtrit me përgjigje frekuencore H ( ), 1 dhe 2, janë: 0 2c 1 20 c dhe 20 c 2 30
22
23
Sinjalet dhe sistemet – Transformimi i Laplas-it 1. Është dhënë funksioni transmetues i një sistemi me shprehjen s2 H s 2 s 4s 3 (a) Skico pozitën e poleve dhe të zerove të këtij funksioni në rrafshin kompleks s. (b) Shëno në diagram të gjitha zonat e mundshme të konvergjencës dhe trego sa janë në numër. (c) Për secilin nga këto zona përcakto përgjigjen përkatëse impulsive të sistemit. (d) Për secilën nga këto zona të konvergjencës përcakto se a është sistemi stabil dhe shkakësor. Zgjidhje: (a) s z1 s2 H s 2 s 4s 3 s p1 s p2 4 2
p1,2
1 16 12 2 1 1; 3 2
Zeroja e H (s) është në z1=-2 (atë në nuk e llogarisim), ndërsa polet janë në p1=1 dhe p2=-3. Pozitat e poleve dhe zeros janë paraqitur në diagramin vijues. (b) j
j
j Zona 2
Zona 3
Zona 1
×
-3
-2
×
-1
0
×
-3
-2
×
-1
0
×
-3
-2
×
-1
0
Janë 3 zona të mundshme të konvergjencës. (c) C C s2 H s 1 2 s 1 s 3 s 1 s 3 1 2 1 3 2 1 , C1 H s s 1 C1 H s s 3 s 1 s 3 1 3 2 3 1 2 H s
1 1 1 1 2 s 1 2 s 3
Zona 1 – Të dy polet gjenden në të djathtë të zonës, prandaj të dy polet gjenerojnë përgjigje kundërshkakësore. h t
1 t 1 e u t e3t u t 2 2
Zona 2 – Poli në p1=-1 prodhon përgjigje kundërshkakësore, deri sa ai në p2=-3 jep përgjigje shkakësore. h t
1 t 1 e u t e3t u t 2 2
Zona 3 – Të dy polet gjenden në të majtë të zonës, prandaj të dy polet gjenerojnë përgjigje shkakësore.
h t
1 t 1 e u t e3t u t 2 2
(d) Stabiliteti varet nga ajo se a e përfshin zona e konvergjencës boshtin imagjinar apo jo. Nëse e përfshin atëherë sistemi është stabil, përndryshe nuk është. Zona 1 –Sistemi është kundërshkakësor dhe jostabil. Zona 2 –Sistemi është joshkakësor dhe jostabil. Zona 3 –Sistemi është shkakësor dhe stabil. 2. Në figure është treguar bllok-skema e një sistemi, 1
s s 1
1
s 1
s2
s2
(a) Përmes metodës së reduktimit të bllok-diagrameve përcaktoni funksionin transmetues të këtij sistemi. (b) Në qoftë se në hyrje të sistemit vepron sinjali x t tet u t përcakto sinjalin në dalje të sistemit në qoftë se të gjitha kushtet fillestare janë zero. Zgjidhje: (a) 1
s s 1 s s 1
s 1 s2
1
s2
1
s s 1
s 1
2
s2
1 H s
s s 1
1 s s 1
s 1 s 1 1 1 1 s s 2 s 2 s s 1 s2 s 1 s 2.618 s 0.3820 2
2
s2
s 1 s 2 3s 1
(b) Y s H s X s
s2 1 2 3 s 1 s 2.618 s 0.3820 s 1 s 1 s 2.618 s 0.3820
Y s C1
s2
C1 s 0.3820
X s s 0.3820
p 0.3820
D1 s 1
3.0652
D2
,
D3
C2
s 1 s 2.618 X s s 2.618 p 2.618 0.0652
s 1 C2
2
3
1 d 2 1 d 3 3 D1 X s s 1 X s s 1 3 D2 2 2! ds 1! ds , p 1
2 p 1
D3
X s s 1
3.0652 3 2 1 0.0652 2 3 s 0.3820 s 1 s 1 s 1 s 2.618 1 n! pt t n e pt u t e u t n 1 s p, s p 1 t t t t t y t 3.0652e0.3820 3e 2te t 2 e 0.0652e2.618 , t 0 2 Y s
3. Një sistem i vazhduar është paraqitur përmes bllok-diagramit si në figurë. 1
s 1 1
s2
(a) Përcakto funksionin transmetues H (s) të këtij sistemi përmes metodës së reduktimit të bllok-diagrameve. (b) Çfarë vlere duhet të ketë parametri a ashtu që përgjigja impulsive h(t ) këtij sistemit të ketë vlerë fundore zero, h()=0? (c) Në qoftë se në hyrje të këtij sistemi vepron sinjali x(t )=e-3t u(t ), përcakto sinjalin në dalje të tij y(t ). Zgjidhje: (a) X (s)
+
1
+
+
s 1
-
+ 1
s2 a s2
3
Y (s)
+
3 p 1
1
1
a
1
s2
s 1 1
s2 a 1 1 s 2 s 1 1
s2 2s 3 a
s 1 s 2 (b) Rezultati fitohet nga teorema për vlerën fundore 2s 3 a h lim sH s lim s 0 s 0 s 0 s 1 s 2 h(t ) shuhet në pafundësi pavarësisht nga vera e parametrit a. (c) 1 2s 3 a X s , Y s H s X s s3 s 1 s 2 s 3 Y s y t
A1
A2
s 1 s 2 s 3 2 t 3t A1 e A2e A3 e , t 0 t
1 a 2 1 a
A1
s 1 Y s s 1
A1
s 2 Y s s 2
A1
A3
s 3 Y s s 3
3a 2
4. Në figurë përmes bllok-diagramit është paraqitur një sistem i vazhduar. 1 / s
x t
1
s 1
1 / s
4
y t
(a) Duke zbatuar rregullat e reduktimit të bllok-diagrameve përcakto funksionin transmetues të sistemit H (s). (b) Përcakto përgjigjen impulsive të sistemit h(t ). Zgjidhje:
(a) Bllok diagrami i sistemit, në rastin e përgjithshëm, mund të reduktohet në shumë mënyra. Për këtë rast do të paraqiten grafikisht hap pas hapi dy mënyra. Varianti A: 1/ s
x t
y t
1
s 1
1/ s
1/
x t
1/
1/
s/4
1/
s
s 1
y t
s 1
s
x t
2s 1
s
2
4 1/
s
1/ 3
5
s s 1
s4
s 1
y t
x t
y t
2s 1
s s 1 2 s s4
3 3s 1
x t
4
s 1 2s 1
4 3s 1
s 1
15s
2
s s 1
19s 16
x t
1 2s 1
4 3s
s
15s
y t
2
y t
19s 16
Varianti B: 1/ s
x t
y t
1
s 1
1/ s
s 1 / s x t
+
+
-
+
1 1/ s 1 s 1
+ s 1 / 4 s
1/
s
+
+ +
+
+
1/3
6
-
+
y t
x t
1/
y t
2s 1
s 1
s
s s4 2
4 1/
s
1/ 3
x t
1/
y t
2s 1
s 1
s
2 s s4
3 3s 1
x t
4
2s 1
s 16
s
4 3s 1 15s
2
19
x t
y t
y t
2s 1
4 3s 1
s
15s
2
19
s 16
(b) 4 6 s 2 5s 1 H s 15 s s 2 19 /15 s 16 /15 s
2
19 16 s p s p* s 15 15 2
19 19 16 0.6333 j 0.8158 j 0 p 30 30 15 6 s 2 5s 1
s s p s p C0
*
C 0 s
C s p
C
*
s p
*
15 , C 2.5313 j 0.3716 C e j , C 2.5584, 0.1457rad 16 C s p
C s p
*
C
s p
*
j
Ce e
t
j0 t
e
,
C * s p
*
Ce
j t j 0 t
e
e
2 C e t cos 0t 5.1168cos 0.8158t 0.1457
h t
4 15 5.1168cos 0.8158t 0.1457 u t 15 16
5. Nëse transformimi i Laplasit për sinjalin x(t ) është dhënë me X s
3 s s 1
përcakto transformimin e sinjalit x 1 2t . 7
2
Zgjidhje:
Për zgjidhjen e detyrës shfrytëzohen vetitë e transformimit, duke përcjellë renditjen e hapave të transformimit të sinjalit x(t ) nga domeni kohor në atë të variabëlit s. 3
x t x t
t0 e
st 0
X s
s s 1
2
x t 1
3e s s s 1
2
3e s
3e s x t X s x t 1 2 2 s s 1 s s 1 x at
1 a
e s /2 1 3e s /2 12 x 2t 1 2 2 s / 2 s / 2 12 s s 2
s X a
6. Një sistem linear dhe invariant në zhvendosje që mund të jetë shkakësor, joshkakësor apo kundërshkakësor, është përkufizuar përmes ekuacionit diferencial, 2
d y t dt
2
dy t dt
2 y t 3 x t
(a) Përcakto të gjitha përgjigjet e mundshme impulsive që mund t’i ketë ky sistem, duke cekur natyrën e tyre (shkakësore, joshkakësore apo kundërshkakësore). (b) Cili është funksioni transmetues i sistemit H (s). (c) A mund t’i përcaktohet përgjigja frekuencore H ( ) e këtij sistemi? Nëse po, shënoni shprehjen e saj dhe tregoni se çfarë duhet të jetë sistemi që të ketë përgjigje frekuencore. Zgjidhje:
(a) dhe (b) Kur në hyrje të sistemit vepron delta impulsi, në dalje të sistemit lajmërohet përgjigja impulsive. Ekuacioni diferencial i cili duhet të zgjidhet është: d 2 h t dt 2
dh t dt
2h t 3 t
Zgjidhja e ekuacionit, pavarësisht nga natyra e sistemit mund të bëhet në domenin kohor, por më thjesht dhe më shpejtë zgjidhja përfitohet përmes transformimit të Laplasit. Nëse ekuacioni diferencial pasqyrohet në domenin s, ai do të ketë trajtën vijuese, 2 s H s sH s 2 H s 3 ku:
H s
ht e
st
dt dhe
t e
st
dt 1
Më tej, H s
3
3
1
1
s 1 s 2 s 2 s 1 s 2 H (s) mund të këtë tri zona të konvergjencës. secilës nga këto i përket përgjigja impulsive me veti të shënuar në figurë. s2
8
j
s
j
j
j
Përgjigja kundëshkakësore. t
h t e u t e 2 u t t
Përgjigja joshkakësore. t
h t e u t e 2 u t t
Përgjigja shkakësore. t
h t e u t e u t 2 t
Funksioni transmetues i sistemit tashmë u përcaktua, H s
3
s 1 s 2
(c) Përgjigja frekuencore e sistemit përcaktohet nga relacioni, H j H s
3
s j
3 2 2 j
j 1 j 2 Në dy rastet e tjera sistemi nuk ka përgjigje frekuencore, për arsye se boshti j nuk përfshihet në zonën e konvergjencës. 7. Në figurë është paraqitur bllok diagrami i një sistemi shkakësor.
(a) Përmes metodës së reduktimit të bllok diagrameve të përcaktohet funksioni transmetues H (s), i këtij sistemi. (b) Për cilin brez të vlerave të parametrit (a) sistemi do të jetë stabil? (c) Në qoftë se, pos stabilitetit, kërkohet që në përgjigjen impulsive të sistemit të mos lajmërohen oscilimet. Cili do të jetë brezi i vlerave të parametrit ( a) që e siguron këtë? (d) Cila do të jetë vlera fundore (në t ) e përgjigjes së këtij sistemi në sinjalin shkallë njësi? Zgjidhje:
(a)
9
s 1
4s 1 s
s s 2a
s 2a
(b) H s p1
4s 4s 2 s 2as 1 s p1 s p2
a
a2
1, p2 a
a2
1
Sistemi është stabil kur të dy polet e funksionit transmetues gjenden në anën e majtë të rrafshit kompleks s. Kjo ndodhë kur parametri a ka vlera negative, pra kur (-
2
+
-
+
s
+
+
-
+
4 s
10
a
2
Y (s)
Zgjidhje: (a) X (s) +
2
+ -
+
+
s
+
-
+
4
Y (s)
2
a
1/2
s X (s) +
+
-
+
2
+
-
Y (s)
2a
s
1 2a
2 s 2 as 1 2a
4as
4 as
4as
2
4as 1 2a
(b) 4as s s 4as 2 4as 1 2a s 2 s 1 2a / 4a s p1 s p2 Për të qenë sistemi shkakësor stabil polet e tij duhet të gjenden gjysmërrafshin e majtë të rrafshit s. Polet përcaktohen nga shprehja, H s
2
1 1 1 2a 1 1 1 1 j 1 1 1 p1 , p2 a 2 4a 2 4 4a 2 2 2 Analiza e pozitës së poleve të sistemit në varësi nga vlerat e parametrit a.: Nëse parametri a>0, polet janë komplekse dhe gjenden në anën e majtë të rrafshit s. Nëse a<-1, sërish polet janë komplekse dhe gjenden në anën e majtë të rrafshit s, sepse 1 1/ a 1 1/ a 0 . Në qoftë se -1
11
1
1 1 d.m.th. 1 a 2 2 a të dy polet gjenden në pjesën e majtë të boshtit real. Në rastin tjetër, kur 1 1 1 1 1, a d.m.th. a 0 2 2 a poli më në të djathtë kalon në pjesën pozitive të boshtit real. Përfundim: Sistemi është stabil pothuajse për tërë intervalin e vlerave të parametrit a, përveç për vlerat në intervalin 1 a0 2 kur sistemi nuk është stabil. (c) Në qoftë se polet janë komplekse atëherë në përgjigjen impulsive lajmërohen oscilimet. Te sistemi shkakësor stabil këto oscilime shuhen me rritjen e kohës. Osclimet nuk paraqiten vetëm kur polet gjenden në boshtin real. Për r astin e dhënë në detyrë, përgjigja impulsive e sistemit stabil nuk ka natyrë osciluese vetëm ku vlerat e parametrit a gjenden në intervalin 1 1 a 2 (d) Zgjedhim p.sh. a=-3/4, ashtu që funksioni transmetues të del në trajtën,
1 1,
a
s
H s Y s H s X s
s
2
s 1/ 6 1
s s2
1
s p1 s p2
s 1/ 6 s
A1
s p1
1 s2
s 1/ 6
A2 s p2
Nga kjo rrjedh se y t A1 e
p1t
A2 e p t , t 0 2
ku: p1 , p2 A1
1 1 2 2
1 p1
p2
1 a
1 3 1 1 2 3
3 1 3 , A2 p2 p1 3 3
9. Në figurë është paraqitur bllok-skema e një sistemi të vazhduar, ku a≥0.
12
(a) Me metodën e reduktimit të bllok diagrameve përcaktoni funksionin transmetues H (s) të këtij sistemi. (b) A është apo s’është ky sistem stabil (Arsyeto)? A ekziston ndonjë vlerë e parametrit a që ia ndërron natyrën këtij sistemi nga aspekti i stabilitetit. Nëse po, atëherë përcaktoni vlerën e parametrit a? (c) Përcaktoni sinjalin në dalje të sistemit y(t ) kur ky sistem është i relaksuar, në qoftë se në hyrje vepron sinjali: t x t e cos t , t 0 Zgjidhje: (a) X (s)
-2
s
+
+
X (s)
s-2
+
+
2
1/s
Y (s)
+
+
a
+
+
1/s
Y (s)
1/s
+ a
1/ s 2 s2 H s s 2 1 a / s 2 s2 a (b) H s
s2
s a s a
Funksioni ka pol në p a 0 , pra në anën e djathtë të rrafshit s, që e bën këtë sistem jostabil. Në qoftë se a 4 , atëherë anulohet termi s 2 në numërues me atë s a në emërues. Funksioni transmetues i sistemit për këtë rast është 1 H s s2 Tani sistemi ka vetëm një pol në pikën p 2 (ana e majtë e s). Me këtë anulim të zeros me pol në H (s), sistemi jostabil e ndryshon natyrën e vet dhe bëhet stabil. (c) t x t e cos t , t 0 s 1 X s 2 s 1 1 1 H s s2
13
Y s
A1
A2
s 1
1
s 2 s 1 2 A1 s2
s 1
1 s 2 s 1 i s 1 i
A2 s 1 i
A2* s 1 i
s 1
s 2 s 1 i s 1 i
s 1
s 2 s 1 i s 1 i
s 1 i s 1 i
s 2
s 2
1 2
1 2 j 4 * 2 j 4 e , A2 e 1 i 4 4 4
Transformimi i kundërt i Laplasit jep këtë rezultat për y(t ): ): 1 2t 2 j 4 1 j t 2 j 4 1 j t y t e e e e e 2 4 4 1 2 t e cos t , t 0 e 2 t 2 2 4 10. Një Një sensor matës i shtypjes mund të modelohet si sistem linear li near dhe invariant në zhvendosje. Përgjigja impulsive e këtij sensori dihet dhe ajo është: h t 1 e t te t u t Me rastin e matjeve në praktikë është incizuar sinjali në dalje të sensorit dhe është fituar ky sinjal: y t 2 3e t e 3t u t Përcakto sinjalin e mirëfilltë të shtypjes që është zbatuar në hyrje të sensorit. Zgjidhje: 1 1 1 1 h t 1 e t te t u t H s 2 2 s s 1 s 1 s s 1
y t 2 3e
t
e
3t
Y s
u t
Y s
Y s
2
3
s
s 1
1 s3
2
s3 s s 1 s 3 s2
3 2 s 2s 2 s 3 s 3 2 H s s s 1 2 , X s 2 X s H s s s 1 s 3 s3 s3 s2 s 1 X s 2 2 2 3 s 3 s 3 s 3 s 3
s
2
Kemi parasysh:
e 3t u t L
1 s3
Dhe vetinë e diferencimit: d x t n
n
x t 2
d
3
dt 2 d
L s n X s d
e3t u t 4 2 e 3t u t 4 e 3t u t 6e 3t u t 3 dt dt dt
12e3t u t
14
Në figurë është paraqitur bllok-skema e një sistemi të vazhduar. Brenda 11. Në blloqeve janë shënuar përgjigjet impulsive përkatëse, ku me b është shënuar parametri i panjohur i sistemit. sistemit. t
e u t
u t b t
(a) Përcaktoni funksionin transmetues të sistemit të gjithëmbarshëm. (b) Çfarë kushti duhet të plotësoj parametri b ashtu që ky sistem të jetë stabil? (c) Cila është vlera e parametrit b ashtu që përgjigja impulsive e sistemit të jetë 2 t h t e u t . Zgjidhje:
(a) Sistemi paraqitet përmes funksioneve transmetuese në domenin s. 1
1
s 1
s b
Pastaj funksioni transmetues i tij mund të përcaktohet me metodën e reduktimit të blloqeve si në vijim. vijim. X (s) +
+ -
1
1
s 1
s
Y (s)
X (s)
+
1
+ -
Y (s)
s s 1
s b
+
+
1 bs
+ 1
s 1 b s 1 2
Funksioni transmetues i sistemit është H s
1
1 b s 1 (b) Sistemi është shkakësor që mund të vërehet nga bllok skema e tij. Polet e H (s) gjenden në pozitat, 2 1 b 1 b 4 p1,2 s
2
2
Nëse 1 b 2 ose 3 b 1 polet janë komplekse dhe lajmërohen në qifte të konjuguara. Në këtë rast sistemi është stabil nëse pjesa reale e poleve ka parashenjë negative. negative. Kjo ndodhë ndodhë nëse vlen: 1 b 1 . Në rastin tjetër, në qoftë se vlen 1 b 2 ose b 3 dhe b 1 polet gjenden në boshtin real. Për kushtin b>1 pozita e tyre do të jetë anën e majtë të boshti real.
15
Përfundojmë kusht që sistemi të jetë stabil është që vlerat e parametrit b ta plotësojnë kushtin, kushtin, 1 b (c) Asnjë vlerë e b nuk mund të jap përgjigjen e kërkuar impulsive, h t e 2t u t . Po të ishte kështu, funksioni transmetues i sistemit do të duhej të ishte, 1
H s
s2
Nëse krahasohet krahasohet kjo me funksioni transmetues transmetues të sistemit, sistemit, H s
1
1 b s 1 shihet qartë se asnjë vlerë e parametrit b nuk mund ta shndërroj shprehjen e dytë në atë të parën dhe për rrjedhojë kemi përfundimin e cekur në fillim. fill im. s
2
Është dhënë sinjali: 12.Është 12. x t 10e
t 2
0.5 t 2
u t 2 10e
u 2 t
(a) Përcakto transformimin e Laplasit për këtë sinjal si dhe zonën përkatëse të konvergjencës. (b) Duke u mbështetur në rezultatin e pikës paraprake tregoni se a ka ky sinjal transformim Furie. Zgjidhje: (a) Dihet se vlejnë çiftëzimet e u t at
1
L
sa
, Re a
1
L eat u t
sa
, Re a
dhe vetia e zhvendosjes, zhvendosjes, 10e
t 2
u t 2 10 L
e
2s
s 1
, 1
L 10 10e0.5 t 2u 2 t 10e0.5 t 2u t 2
X s 10
e 2
s
s 1
10
e2
s
s 0.5
e 2
s
s 0.5
, 0.5
, 1 0.5
(b) Transformimi Furie përkufizohet si X X s
s j
Meqenëse boshti j përfshihet në zonën e konvergjencës, transformimi Furie i këtij sinjali ekziston dhe ka trajtën, X 10
e
j 2
1 j
10
e
j 2
0.5 j
Sistemi i vazhduar është dhënë përmes ekuacionit diferencial 13.Sistemi 13. 2
d y t dt
2
dy t dt
2 y t x t
ku x(t ) paraqet sinjalin në hyrje të sinjalit, ndërsa y(t ) sinjalin në dalje të tij. (a) Përcakto funksionin transmetues H (s) të këtij sistemi si dhe skico pozitën e poleve të tij.
16
(b) Përcakto përgjigjen impulsive të sistemit h(t ) nëse kushti është që sistemi të jetë stabil. (c) Përcakto përgjigjen impulsive të sistemit h(t ) nëse kushti është që sistemi të jetë shkakësor. Zgjidhje: (a) Zbatojmë transformimin e Laplasit në ekuacionin diferencial, s 2Y s sY s 2Y s X s Funksioni transmetues H (s) fitohet si raport i transformimeve përkatëse Y s 1 2 H s X s s s 2 Polet e H (s) gjenden në pikat 1 1 8 2, 1 p1,2 2 Pozita e poleve të H (s) është paraqitur në figurë. j
s j
(b) Për të qenë sistemi stabil zona e konvergjencës duhet ta përfshij boshtin j . Kjo ndodhë kur 1 2 . H (s) mund të paraqitet edhe në trajtën 1 1 1 1 1 H s s 2 s 1 3 s 2 3 s 1 Poli në s=2 shkakton pjesën kundër-shkakësore të h(t ), ndërsa ai në s=-1 pjesën shkakësore. Pra për këtë rast vlen, 1 1 h t e 2t u t e t u t 3 3 (c) Për sistem shkakësor zona e konvergjencës përcaktohet me 2 . Për rrjedhojë përgjigja impulsive merr trajtën 1 2t 1 t h t e u t e u t 3 3 14.Përmes metodës së reduktimit të bllok-diagrameve përcakto funksionin transmetues të sistemit të paraqitur në figurë.
17
X s
1 / s
1 / s
Y s
Zgjidhje: X s
X s
1
1 / s
s2
1/
s
1 2 /
s
Y s
4
s2
1/
1
s 2
1 4 /
Y s
1 / s
s
s s 2
s2 s
2
2s
4
s2
H s 2
s
2
2s 4
15.Sistemi linear përbëhet nga lidhja e tri nën-sistemeve shkakësore dhe invariante në zhvendosje, S 1, S 2 dhe S 3, si në figurë. t
h t
Nën-sistemet e lidhjes janë përshkruar përmes relacioneve hyrje/dalje si në vijim: S1 :
dy dt
y x;
S2 :
dy dt
2y x ;
S3 : y 2 x
Të përcaktohet përgjigja impulsive e sistemit h(t ). Zgjidhje: 1 1 S1 : H1 s ; S2 : H 2 s ; H3 s 2 s 1 s2 t
h t
t
1 H 3
s H s 2
H 2 s
18
H1 s
h t
1 2 1 1 s 1 s 2 s 2 1 1 2s 1 2s 1 s 2 s 1 s 2 s 2 s 1 s 2 s 3s 2
H s H1 s 1 H 3 s H 2 s H 2 s
H s
C1 s 1
C 2 s2 2s 1
2s 1 1, C 2 3 s 2 s1 s 1 s 2 1 3 H s h t 3e2t e t u t s 1 s 2 C1
16. Në figurë është paraqitur bllok-skema e një sistemi shkakësor linear dhe invariant në zhvendosje. X s
Y s 1 / s
1 / s
(a) Përcakto ekuacionin diferencial që e ndërlidh y(t ) me x(t ). (b) Diskuto stabilitetin e këtij sistemi. Zgjidhje: Dega e mesme dyfishohet, duke e qartësuar strukturën e sistemit. R s
X s 1 / s
Y s 1 / s
2
1 1 / s
1 / s 6
1
1 2s
s
X s
1 6s
R s
1 2s
Y s
s2
1 6s
s2
s2
s2 s 6
s2 2s 1
s2
19
s
H s
Y s X s
s2
s 6 s 2 2s 1
(a) Nga funksioni transmetues nxjerrët ekuacioni diferencial që e përshkruan sistemin s 2 2s 1Y s s 2 s 6 X s d2y dt
2
2
dy dt
y
d2x dt
2
dx
6x
dt
(b) Të dy polet e funksionit transmetues gjenden në pikën s=-1. Meqenëse sistemi është shkakësor dhe zona e konvergjencës e përfshin boshtin imagjinar j përfundohet se sistemi është stabil. 17. Një sistem linear dhe invariant në zhvendosje ka përgjigje impulsive h(t ) që e plotëson ekuacionin diferencial dh t dt
2h t e4t u t au t
Kur në hyrje të sistemit vepron sinjali x(t )=e2t për -
xt h d
e2t h d e2t h e2 d x t H s s 2
Nga kushti i dhënë kemi 1 2t 1 e e 2t H 2 H 2 6 6 Kur kjo zëvendësohet në shprehjen e përgjithshme për H (s) fitohet 2 a 2 4 1 H 2 a 1 6 2 2 2 2 4 Me zëvendësim të vlerës së konstantës a=1 në shprehjen për H (s), s s 4 2 s 2 2 H s s s 2 s 4 s s 2 s 4 s s 4 18.Funksioni transmetues i një sistemi linear dhe invariant në zhvendosje dhe shkakësor, H (s), është s4 H s 2 s 5s 6 Përcakto përgjigjen e këtij sistemi në hyrjet: (a) x t e 4 t , t (b) x t sin 2t , t Zgjidhje: 20
(a) X (s) është X ( s ) =
¥
ò-¥
=-
x ( t ) e-st dt
1
s-4
Y ( s ) = H ( s ) X (s ) = -
+
1
s
+4
0
ò-¥
=
=-
e4t e-st dt
¥
+ ò e-4t e-st dt 0
8
( s - 4 )( s + 4 )
s-4
8
,
- 4 < < 4 8
=-
( s + 2 )( s + 3 )( s + 4 ) + 5s + 6 ( s - 4 )( s + 4 ) Duhet të vërehet se në zhvillimin e Y (s) është bërë anulimi i polit në s=4 me zero në të po njëjtën pikë. s2
Y (s) = -
4
s+4
8
+
s+3
-
4
s+2
, >
-2
y ( t ) = -4e-4t u ( t ) + 8 e-3t u ( t ) - 4 e-2t u ( t )
(b) Kjo pikë e detyrës zgjidhet më së lehti në domenin frekuencor, duke shfrytëzuar vetitë e transformimit Furie. F
x ( t ) = sin ( 2t ) ¾¾¾ X ( ) =
- j ( - 2 ) + j ( + 2 )
Y ( ) = H ( ) X ( ) = - j H ( 2 ) ( - 2 ) + j H ( - 2 ) ( + 2 )
ku H ( ) = H ( s )
s = j
=
j - 4
- 2 + 5 j + 6
- 2 j = 0.1154 + 0.4231 ⋅ j = 0.4385 ⋅ e j1.3045 2 + 10 j H ( -2 ) = H * ( 2 ) = 0.4385 ⋅ e- j1.3045 Spektri i sinjalit në dalje është Y ( ) = - j ⋅ 0.4385 ⋅ e j1.3045 ( - 2 ) + j ⋅ 0.4385 ⋅ e- j1.3045 ( + 2 ) H (2) = -
y ( t ) =
1
4
¥
ò Y ( ) e 2 -¥
j t
d = 0.4385 ⋅ sin ( 2t + 1.3045 )
19.Janë dhënë dy sisteme të vazhduara, lineare dhe invariante në zhvendosje, të përshkruara përmes funksioneve transmetuese H 1(s) dhe H 2(s), ku s 2 3s 2 s2 2 s 3 H1 s , H2 s 2 s s s 1 2 10 s 3 s 2 2 s 5 Për këto dy sisteme duhet përcaktuar: (a) Ekuacionet diferenciale që i përshkruajnë sistemet. (b) Se a mund të jenë këto dy sisteme njëkohësisht shkakësore dhe stabile? (c) Përgjigjen impulsive të sistemit shkakësor H 2(s)? Zgjidhje: (a) Kur numëruesi i H 1(s) faktorizohet 2 Y1 s s 1 s 2 s 3s 2 s2 H1 s 2 X s s 1 s 2 2s 10 s 1 s 2 2s 10 s 2s 10 vjen deri te anulimi i në poli me zeron në pikën përkatëse, prandaj nga kjo fitohet s 2 2s 10 Y 1 s s 2 X s që përkthehet në domen kohor si ekuacion diferencial,
21
1 t 2 y 1 t 10 y1 t y
x t 2x t
Në mënyrë të ngjashme për sistemin e dytë nxjerrën këto shprehje Y2 s s 3 s 1 s 2 2s 3 H 2 s
X s
s 3 s 2 2 s 5 s 3 s 2 2s 5
s 1 s
2
2s 5
për të përfituar,
s 2 2s 5 Y 2 s s 1 X s që përkthehet në domen kohor si ekuacion diferencial, 2 t 2 y 2 t 5 y2 t x t x t y (b) Polet e H 1(s) përcaktohen nga s 2 2 s 10 0 , 2 4 40 2 j6 1 j3 10 e j1.8925 s1,2 2 2 Shihet se polet e H 1(s) gjenden në gjysmërrafshin e majtë të s. Nëse sistemi është shkakësor atëherë zona e konvergjencës përcaktohet me drejtëzën Re s=-1 dhe shtrihet në të djathtë të kësaj drejtëze, që do të thotë se e përfshin boshtin j . Për rrjedhojë, sistemi H 1(s) kur është shkakësor është edhe stabil dhe e anasjella. Për sistemi H 2(s) polet përcaktohen nga s 2 2 s 5 0 , 2 4 20 2 j 4 1 j 2 s1,2 2 2 Nga pozita e poleve shihet se i njëjti konstatim vlen edhe për sistemin H 2(s). (c) Zbërthimi i funksionit transmetues H 2(s) është C1 C1 C1 C1 s 1 H 2 s s j s j s j s j s s 1 2 1 2 1 2 1 2 s s1 1 C1
s2 s 1 j 2 s 1 j 2
1 2
j
1 2 j /4 e 2 2
në domen kohor fitohet
2 j /4 s t e e u t 2
h2 t C1e 1 u t C1e 1 u t 2 Re C1e 1 u t 2 Re st
st
h2 t
st
1
2 e t cos 2t /4 u t
20.Janë dhënë dy sisteme të vazhduara, lineare dhe invariante në zhvendosje, të përshkruara përmes funksioneve transmetuese H 1(s) dhe H 2(s), ku 2 2 s 3s 2 s 2s H1 s , H2 s 2 2 s 2 s 2s 8 s 3s 2 s2 s 2 Për këto dy sisteme duhet përcaktuar: (a) Ekuacionet diferenciale që i përshkruajnë sistemet. (b) Se a mund të jenë këto dy sisteme njëkohësisht shkakësore dhe stabile? (c) Përgjigjen impulsive të sistemit stabil H 1(s). Zgjidhje: (a) Nga trajta e H 1(s) Y1 s s 2 3s 2 s 2 3s 2 H1 s 3 X s s 2 s 2 2 s 8 s 4 s 16
22
drejtpërsëdrejti shtrohet ekuacioni diferencial 1 t 4 y1 t 16 y1 t y x t 3x t 2x t Në mënyrë të ngjashme për sistemin e dytë nxjerrën këto shprehje Y2 s s 2 2s s2 2 s H 2 s X s s 2 3s 2 s 2 s 2 s 4 4 s3 3s2 4 s 4 për të përfituar, y2 t 4 y2 t 3 y 2 t 4 y 2 t 4 y2 t x t 2x t (b) Njëri pol i H 1(s) është në s1=-2 ndërsa dy të tjerët përcaktohen nga 2 s 2s 8 0 , 2 4 32 2 j 2 7 s2,3 1 j 7 2 2 Polet s2,3 gjenden në gjysmërrafshin e djathtë të s, prandaj sistemi H 1(s) nuk mund të jetë njëkohësisht shkakësor dhe stabil. Sistemi H 1(s) është stabil kur polet në gjysmërrafshin e djathtë prodhojnë pjesën kundërshkakësore të përgjigjes impulsive dhe poli në gjysmërrafshin e majtë e gjeneron pjesën shkakësore të h1(t ). 2 2 Për sistemi H 2(s) polet përcaktohen nga s 3s 2 0 dhe s s 2 0 , 3 9 8 s1,2 0.5616 dhe -3.5616 2 1 7 1 1 8 j s3,4 2 2 2 Gjykuar nga pozita e poleve shihet se edhe për H 2(s) vlen i njëjti konstatim si për sistemin e parë, sepse njëri nga polet gjendet në gjysmërrafshin e djathtë të s dhe për këtë sistemi nuk mund të jetë shkakësor dhe stabil. (c) Funksioni transmetues H 1(s) zbërthehet si në vijim C1 C2 C 2 s 2 3s 2 H1 s 2 s s s s s2 2 2 2 8 s s s 2 ku s2 1 j 7 . Konstantat e zbërthimit përcaktohen përmes formulave C 1
C 2
3s 2 3 s 2 2s 8 s 2 4 s2
3s 2 s 2 s 1 j 7 s
2
7 j 7 14 j 6 7
s 1 j 7
1 2 j1.2094 e 1 j 7 0.1250 j 0.3307 8 4 Si u cek nën pikën ( b) poli në s1=-2 e gjeneron pjesën shkakësore të h1(t ) derisa çifti kompleks dhe i konjuguar i poleve e japin pjesën kundërshkakësore, 3 2 j1.2094 1 j 7 t 2 j1.2094 1 j 7 t h1 t e 2t u t e e u t e e u t 4 4 4 0.75 e 2t u t 0.7071 et cos 7t 1.2094 u t
23
21.Kur në hyrje të një sistemi të vazhduar me funksion të panjohur transmetues H (s) vepron sinjali kundërshkakësor x(t ), x(t )=0 për t >0, me transformim të Laplasit s2 X s s2 2 1 në dalje të sistemit fitohet sinjali y t e2t u t e t u t 3 3 (a) Të përcaktohet funksioni transmetues i sistemit H (s), si dhe zona përkatëse e konvergjencës. (b) Të përcaktohet përgjigja impulsive e sistemit h(t ). (c) Nëse në hyrje të këtij sistemi vepron sinjali me zgjatje të pafundme nga të dy anët e boshtit kohor, i dhënë me shprehjen x1 t e3t , t , përcakto sinjalin në dalje. Zgjidhje: (a) Poli i X (s) është në s=2, duke marrë parasysh se vlen x(t )=0 për t >0, zona e konvergjencës së X (s) është e përcaktuar me Re( s)= <2. Transformimi i y(t ) është 2 1 1 1 s , 1 2 Y s 3 s 2 3 s 1 s 1 s 2 Funksioni transmetues i sistemit përcaktohet nga relacioni Y s s s2 s H s , 1 X s s 1 s 2 s 2 s 1 s 2 (b) Përcaktimi i përgjigjes impulsive h(t ). 1 2 H s h t et u t 2e 2t u t s 1 s 2 (c) Sinjali në dalje të sistemit do të jetë
y t h t x t
h x t d h e
3 t
d
e3t h e3 d e3t H s s 3
3 3t e , t 20
22. Një sistem linear dhe invariant në zhvendosje ka përgjigje impulsive h(t ) dhe funksion transmetues H (s). Kur në hyrje të sistemit vepron sinjali x t e t u t
në dalje të tij fitohet sinjali 2t
y t e u t e u t at
ku a është një konstantë e panjohur. (a) Cili është kushti i përgjithshëm që duhet të plotësoj konstanta a për të qenë sistemi stabil? (b) Të caktohet vlera e parametrit a si dhe përgjigja impulsive e sistemit ashtu që të vlej 3 h t dt 2 Zgjidhje:
24
(a) Termi i parë në shprehjen për y(t ) është kundër-shkakësor, prandaj për të qenë term me vlerë të kufizuar siç është x(t ), duhet të vlej lim eat 0 . Kjo është e t
mundur në qoftë se Re( a)>0. Me termin e dytë të y(t ) nuk ka asnjë problem sepse lim et 0 . Pra kushti për të qenë sistemi stabil është Re( a)>0. t
(b) Transformimet e Laplasit për sinjalin hyrës dhe dalës janë 1 , 1 X s s 1 1 1 a2 s 2 s a , 2 Re a Y s s a s 2 s a s 2 s a s 2 Funksioni transmetues mund të përcaktohet si raport Y s a 2 s 1 H s , 2 Re a X s s a s 2 Kushti i dhënë në detyrë është, a2 1 1 3 h t dt h t e st dt H s H 0 s 0 2a 2 a 2 s 0 prej këtu fitohet a=2, ashtu që funksioni transmetues do të jetë Y s 4 s 1 H s , 2 2 X s s 2 s 2 H (s) zbërthehet si 3 1 , 2 2 H s s2 s2 prej këtu h t 3e 2tu t e 2 t u t
23. Një sistem është paraqitur përmes bllok-diagramit të tij, si në figurë.
1 / s
(a) Përcakto ekuacionin diferencial që e përshkruan këtë sistem. (b) Përcakto përgjigjen impulsive të sistemit h(t ) nëse kushti është që sistemi të jetë stabil. (c) Përcakto përgjigjen impulsive të sistemit h(t ) nëse kushti është që sistemi të jetë shkakësor. Zgjidhje: (a) Nga skema mund të shtrohet drejtpërsëdrejti ekuacioni: 1 Y s 3 X s X s Y s s
Pas rregullimit të shprehjes fitohet sY s Y s 3sX s X s
që pasqyrohet në domen kohor në trajtë të ekuacionit diferencial
25
dy t dt
y t 3
dx t dt
x t
(b) Përgjigja impulsive h(t ) e sistemit përcaktohet kur në ekuacionin diferencial zëvendësohet x(t )= (t ) dhe sistemi është i relaksuar (kushtet fillestare janë zero). Ekuacioni diferencial mund të zgjidhet në domen kohor, por përcaktimi më i drejtpërdrejtë i h(t ) mund të bëhet përmes funksionit transmetues H (s), Y s 3s 1 2 3 H s X s s 1 s 1 Përgjigja impulsive h(t ) përcaktohet si transformim i kundërt i H (s). Poli i H (s) gjendet në gjysmërrafshin e majtë të s, përkatësisht në s=-1. Për të qenë sistemi stabil ai duhet të përfshijë boshtin imagjinar s= j , e kjo është e mundur vetën në qoftë se sistemi është shkakësor. Përgjigja impulsive h(t ) do të jetë t h t 3 t 2e u t (c) Përgjigja impulsive për këtë rasti është e njëjtë me atë në pikën (b), pra h t 3 t 2e t u t 24. Në figurë është treguar bllok-skema e një sistemi shkakësor.
1 / s
(a) Të përcaktohet ekuacioni diferencial që ndërlidh sinjalet hyrje-dalje në këtë sistem. (b) Të caktohen vlera e konstantave a dhe b kur dihet se me ngacmimin e sistemi me sinjalin x t 2e2t u t ai në dalje përgjigjet me sinjalin y t e t u t . Zgjidhje: (a) Për sinjalet në këtë sistem vlejnë këto ekuacione: E s X s aY s Y s
1 s
E s bX s
Pas zëvendësimit fitohet sY s X s aY s bsX s ,
s a Y s 1 bs X s
Ekuacioni i fundit pasqyrohet në domenin kohor si ekuacioni diferencial që përshkruan sistemin dy t dt
ay t x t b
dx t
(b) Funksioni transmetues i sistemit është H s
Y s X s
Transformimi i daljes do të jetë
26
1 bs sa
dt
Y s H s X s
1 bs 2 sa s2
2b
s b 1
s a s 2
Kur shprehja e sipërme barazohet me transformimin e daljes s b 1 1 2b s a s 2 s 1 shihet se ky barazim mund të plotësohet kur a=1 dhe b=1/2.
27
Transformimi Furie dhe z-transformimi
1. Le të jetë h[n] përgjigja impulsive me kohëzgjatje të fundme N e një sistemi diskret, pra e atillë që e plotëson kushtin h n 0, për n 0 dhe n N Pos kësaj, le të konsiderohet se N është tek, se h[n] ka vlera reale dhe se trajta e përgjithshme e përgjigjes frekuencore e sistemit shprehet si j j j H e H e e Të përcaktohet përgjigja fazore ( ) e sistemit kur përgjigja impulsive e sistemit e plotëson kushtin: (a) h[n]=h[ N -1-n], (b) h[n]=-h[ N -1-n]. * Zgjidhje: (a) Nëse h[n] është real, atëherë vlen h[n]=h [n], për pasojë vlen vetia j j H e H * e . Kur ky barazim zbërthehet në termat e vet ai do të duket si në vijim
H e
j
e
j
*
H e j e j
Përgjigja amplitudore është funksion real i , prandaj vlejnë barazimet
H e
H e
j
j
*
H e j dhe
Vlen edhe çiftimi h n h N 1 n H e j e H e j
j
e
j N 1
H e
H e j e j e j N 1
j
Kur barazohen termat e përgjigjes fazore, fitohet
N 1 N 1
2 (b) Barazimi h n h N 1 n përkthehet në domen frekuencor si
e j
H e
j
H e j e j e j N 1 H e j e j e j N 1 e j
që në domen të përgjigjes fazore shndërrohet në ekuacionin N 1
N 1
2
2
2. Në hyrjet e modulatorit veprojnë sinjalet diskrete x[n] dhe r [n] për të prodhuar sinjalin në dalje y[n], siç është treguar në figurë. x n
y n r n
(a) Nëse në njërën hyrje vepron sinjali r [n]=(-1)n, -
1 j R e j X e d Y e j 2 n Meqenëse vlen y n r n x n 1 x n vlen edhe çiftimi
R e j X e j r n x n z
n
z Y e j 1 2 cos 1 e j e j 1 x n
Trajta e spektrit dalës është e tillë që inversi i transformimit të sinjalit dalës do të jetë 1 y n 1 e j e j e j n d 2 1 j n 1 j n1 1 j n1 e d e d e d 2 2 2 n n 1 n 1 Kjo do të thotë se në domen kohor vlen n 1 x n n n 1 n 1 për të përfunduar se x[n] i ka vetëm tri mostra me vlera jo zero dhe atë për n=-1,0,1 1 1 x 1 x 1 1 0 2 1 0
1 x 0 x 0 0 1 1 1 1
1 x 1 x 1 1 1 0 1 Pra, sinjali x[n] do të jetë i përcaktuar me shprehjen x n n 1 n n 1 (b) Spektri i x[n] përcaktohet drejtpërsëdrejti nga shprehja e sipërme si X e j n 1 n n 1 e j 1 e j 1 2 cos 3. Në figurë është paraqitur bllok-skema e një sistemi shkakësor diskret, ku a dhe b janë parametra me vlera të panjohura reale. b x n
+
e n
+
+ [n-1]
-
+
+
y n
a
(a) Të përcaktohet përgjigja impulsive h[n] e këtij sistemi. (b) Ky sistem mund të përfaqësoj edhe filtrin lëshues të tërë brezit frekuencor. Për cilat vlera të parametrave a dhe b ky sistem shndërrohet në lëshues të tërë brezit frekuencor me kusht që përgjigja amplitudore e tij të jetë | H (e j )|=2, – ≤ ≤ Zgjidhje: (a) Në domen kohor sistemi përcaktohet me ekuacionet e diferencës e n x n ay n y n e n 1 bx n x n 1 ay n 1 bx n
Përgjigja impulsive e sistemit h[n] fitohet kur në ekuacion zëvendësohet x[n]= [n] dhe y[n]=h[n]. Pra, duhet zgjidhur ekuacioni i diferencës h n ah n 1 b n n 1 me kushte fillestare zero, h[-1]=0. Më së lehti zgjidhja e ekuacionit fitohet në domenin z, pra duke zbatuar transformimin në të dy anët e barazimit, fitohet 2
1
H z az H z b z
1
H z
bz
1
1 az 1 Meqenëse sistemi është shkakësor transformimi i kundërt i H ( z) e jep përgjigjen impulsive në trajtën n n1 h n b a u n a u n 1 b n b a a
n 1
u n 1 a
n 1
u n 1
n 1
b n 1 ba a u n 1 (b) Përgjigja frekuencore e sistemit del në trajtën H e
j
h n e
j n
e
b 1 ba
j
1 ae j Nga shprehja shihet qartë se përgjigja frekuencore nuk do të varet nga frekuenca, pra do të ketë vlerë konstante b, vetëm kur plotësohet kushti 1 ba 0 ose a b1 Me këtë kusht të plotësuar për vlera të parametrave a dhe b, sistemi do ta lëshoj tërë brezin frekuencor dhe përgjigja frekuencore do të përcaktohet me shprehjen j H e b, n 0
Pra përfundohet se b=2 dhe a=1/2. 4. Le të jenë të përkufizuara dy sisteme diskrete dhe stabile me funksione transmetuese H 1( z) dhe H 2( z) si në vijim: H1 z Q z z a dhe H 2 z Q z 1 az ku Q( z) është një funksion arbitrar dhe i panjohur, derisa konstanta a është reale dhe ka vlera të kufizuara, 0< a<1. (a) Të tregohet se këto dy sisteme kanë përgjigje të njëjta amplitudore, j j H1 e H 2 e . (b) Të tregohet se ndërlidhja në mes të përgjigjeve impulsive të këto dy sistemeve është dhënë me h2 n h1 n r n , ku transformimi i r [n] është R z
z a 1
1 az 1
Zgjidhje: (a)
H1 z H 2 e H 2 z j
H1 e
z e
j
j
j
z e
Q z z a ze Q e j e j a j
Q z 1 az ze Q e j 1 ae j j
prej këtu e j a cos j sin a
2 cos a sin 2
sin 2 cos 2 2 a cos a 2 1 a2 2 a cos 2
1 ae j 1 a cos ja sin 1 a cos a 2 sin 2
1 a 2 sin 2 cos 2 2a cos 1 a 2 2 a cos
Meqenëse e j a 1 ae j atëherë vlen edhe H1 e j H 2 e j . (b) 3
1 1 az z z a z 1 a R z 1 H1 z Q z z a z a z 1 az 1 1 az
H 2 z
Q z 1 az
Nga barazimi H 2 z R z H1 z n kemi pasojën h2 n h1 n r n . 5. Një sistem diskret, linear dhe invariant në zhvendosje, ka përgjigje impulsive n h1 n 1 / 3 u n . Kur ky sistem lidhet paralel me një sistem tjetër me përgjigje impulsive të panjohur h2[n] fitohet sistemi i përbërë që ka përgjigje frekuencore H (e j ), e që përcaktohet me shprehjen, 12 5e j j H e 12 7e j e j 2 Të përcaktohet përgjigja e panjohur impulsive h2[n] e nën-sistemit të dytë. Zgjidhje: Meqenëse h1[n] dhe h2[n] janë në lidhje paralele atëherë vlen pohimi implikues, j j j j j j H e H1 e H 2 e H 2 e H e H 1 e Zëvendësohet shprehja tabelore për H 1(e j ) 1 5 / 12 e j 12 5e j 1 1 H 2 e j j 2 j j j 2 12 7e e 1 1 / 3 e 1 7 / 12 e 1 / 12 e 1 1 / 3 e j j
Emëruesi në termin e parë mund të faktorizohet si në vijim 1 7 / 12 e j 1/ 12 e j 2 1 1 / 3 e j 1 1/ 4 e j
ashtu që pason H 2 e
j
1 5 /12 e j
1 1 1/ 3 e j
1 1/ 3 e 1 1/ 4 e 1 5 /12 e 1 1/ 4 e 2 1 1/ 3 e 1 1 / 3 e 1 1 / 4 e 1 1 / 3 e 1 1 / 4 e j
j
j
j
j
j
j
j
j
2 1 1/ 4 e j Nga ky rezultat del se nën-sistemi i dytë ka vetëm një pol të fundmë në z=1/4 dhe detyrimisht ai duhet të jetë shkakësor, në të kundërtën nuk do të mund të kishte përgjigje frekuencore. Prandaj përfundohet se përgjigja impulsive e nën-sistemit të dytë është n 1 h2 n 2 u n 4
6. Një sistem diskret është dhënë përmes funksionit transmetues, 1 1 , z 1 1 0.5 z 2 (a) Përcakto përgjigjen e sistemit në sinjalin x1 n u n H z
n
(b) Përcakto përgjigjen e sistemit në sinjalin x2 n 1 / 2 u n Zgjidhje: (a) z-transformimi i sinjalit shkallë është,
X z
z
n
n0
4
1 , z 1 1 z 1
z-transformimi i daljes do të jetë, Y z X z H z Y z
A1
1 0.5 z A1
1
A2
1 z
1 1 , z 1 1 0.5 z 1 1 z 1 n
y n A1 0.5 u n A2u n
1
1 1 1, A2 1 1 z z 0.5 1 0.5z 1
2 z 1
n
y n 0.5 u n 2u n
(b) Në rastin e dytë,
1 1 , z 1 2 1 0.5 z n 0 1 1 Y z X z H z z , 2 2 1 0.5 z 1 X z
0.5
n
n z
veti e z-transformimit nx n z
dX z dz
prej këtu, n 0.5 Y z
n
1 0.5 z d u n z dz 1 0.5 z 1 1 0.5 z 1 1
1
Y1 z
1
1 2
1 0.5 z
y n 0.5
2
1
1
0.5 zY1 z y n 0.5 y1 n 1
n 1 0.5
n 1
n
u n 1 n 1 0.5 u n 1
7. Është dhënë një sistem diskret përmes ekuacionit të diferencës y n x n x n 1 y n 2 (a) Përcakto funksionin transmetues të sistemit. (b) Përcakto përgjigjen impulsive të sistemit. (c) A është sistemi stabil? (Arsyeto.) (d) Skico përgjigjen frekuencore të sistemit dhe trego se në cilin tip të filtrit ai bën pjesë. Zgjidhje: (a) Y z X z z 1 X z z2Y z 1 z 1 H z X z 1 z 2 Y z
(b) 1 z 1 1 z 1 1 H z 2 1 1 1 z 1 z 1 z 1 z 1 1 n n H z z , z 1 1 1 z 1 n 0 prej këtu kemi rrjedhimin,
5
n
h n 1 u n
(c) Sistemi nuk është stabil sepse rrethi njësi nuk gjendet në zonën e konvergjencës së H ( z). (d) Përgjigja frekuencore e sistemit përkufizohet si j H e H z z e meqenëse H(z) nuk konvergjon në rrethi njësi, përfundohet se përgjigja frekuencore e këtij sistemi nuk mund të përkufizohet. Pra, ky sistem nuk është fare filtër, por oscilator që mund të shihet nga shprehja për përgjigje impulsive, pika nën (b). j
8. Bllok skema e sistemit diskret është paraqitur në figurë:
z
1
Duke supozuar se sistemi ka qenë paraprakisht i relaksuar ( y[n]=0, n<0), përcakto sinjalin në dalje y[n] për n≥0, për këto dy raste të ngacmimit: (a) x n n . (b) x n u n . Zgjidhje:
z
1
(a) Nga bllok diagrami shkruhet ekuacioni i diferencës që e përshkruan sistemin e n x n y n dhe y n e n 1 nga këto kemi rrjedhimin që i tërë sistemi përkufizohet me ekuacionin e diferencës, y n y n 1 x n 1
Ngjashëm si në detyrën e parë, edhe këtu mund të kërkohet z-transformimi i ekuacionit, 1
1
Y z z Y z z X z
Meqenëse X z 1 në këtë rast, kemi Y z
z 1
1 z 1
, z 1
dhe nga kjo, y n 1
n 1
u n 1
(b) Në këtë rast z-transformimi i x[n] është X z
1 1 z 1
duke e futur këtë shprehje në y-transformimin e ekuacionit të diferencës, fitohet, Y z
z 1
1 1 1 1 1 , z 1 1 1 2 1 z 2 1 z 1 1 z 1 z 1
Nga kjo shprehje, fitohet rezultati i kërkuar, 6
y n
1 n 1 1 u n 2
Kuptohet, të dy rezultatet mund të përfitohen duke i zgjedhur ekuacionet në domen të kohës. 9. Një sistem diskret shkakësor ka funksion transmetues të dhënë me shprehjen: H z
0.4 z 1 0.5 z 2 1 0.5 z 1 1 0.8 z 1
Përcakto përgjigjen impulsive h[n] të këtij sistemi. Zgjidhje: H z z
1
C1 C 2 0.4 0.5 z 1 1 z 1 1 0.8 z 1 1 0.5 z 1 0.5 z 1 1 0.8 z 1
0.4 0.5 z 1 0.4 0.5 2 C 1 2.333 1 1 0.8 2 1 0.8 z z 0.5 0.4 0.5 z 1 0.4 0.5 / 0.8 2.733 C 1 1 1 0.5 / 0.8 1 0.5 z z 0.8 h n 2.33 0.5
n 1
u n 1 2.733 0.8
n 1
u n 1
10. Një sistem diskret, linear dhe invariant në zhvendosje, formohet si lidhje serike e tri nën-sistemeve si në figurë. Brenda bllokut të secilit nën-sistem janë shënuar përgjigjet përkatëse impulsive, ku me a është shënuar një konstantë me vlerë reale, por të panjohur. x n
a
u n
n 1
n 1
2
y n
n 1
(a) Të përcaktohet përgjigja impulsive h[n] e kësaj lidhjeje të nën-sistemeve. (b) Cili është brezi i vlerave të konstantës a që e siguron stabilitetin e sistemit? (c) Për rastin kur sistemi është stabil të përcaktohet përgjigja e sistemit në sinjalin x[n]=u[n]. Zgjidhje: (a) Përgjigja impulsive e degës paravajtëse të sistemit përcaktohet si thurje e përgjigjeve impulsive të sistemeve të lidhura në seri n 1 1 h p n a n 1u n * n 1 a u n 1 a nu n 1 Funksioni transmetues i kësaj dege do të jetë 1 H p z , za 1 az 1 Funksioni transmetues i degës rivepruese është H r ( z)=2 z-1. Funksioni transmetues i tërë sistemit përcaktohet nga shprehja 1 1 az 1 H p z 1 H z , z 2 a 1 1 1 H z H z a z 1 1 2 1 2 z / 1 az r p Sistemi është kundër-shkakësor prandaj përgjigja impulsive tij do të jetë
7
n
h n 2 a u n 1
(b) Kushti për stabilitet kërkon që rrethi | z|=1 të përfshihet në zonë të konvergjencës, që do të thotë se duhet të vlej 2 a 1 Pra sistemi është stabil për a>-1 dhe a<-3. (c) Kur në hyrje vepron sinjali x[n]=u[n], përkatësissht kur 1 X z , z 1 1 z 1 transformimi i sinjalit dalës do të jetë 1 Y z H z X z , 1 z 2 a 1 2 a z 1 1 z 1 Y z
A1
1 2 a z
1
A2
1 z 1
ku A1
1 2a 1 1 dhe A 2 1 z 1 z 2 a 1 a 1 2 a z 1 z 1 1 a
Përgjigja e sistemit në sinjalin shkallë-njësi është 2a 1 n y n u n 2 a u n 1 1 a 1 a 11.Sistemi linear dhe invariant në zhvendosje me funksion transmetues H ( z) përgjigjet në sinjalin shkallë njësi, u[n], me n2 1 s n u n 2 2 (a) Përcakto funksionin transmetues H ( z) dhe skico pozitat e poleve dhe zerove të tij. (b) Përcakto përgjigjen impulsive të sistemit. (c) Të verifikohet se a është ky sistem shkakësor dhe stabil. Zgjidhje: (a) Funksioni transmetues caktohet si H z
s n X z u n Y z
ku
1 4 1 n 2 z 2 4 u n 2 2 s n , 1 2 2 z 1 1 / 2
1
s n 1 z 1
Pra vlen H z 16
2 z 1 z
1
, z 1
1 2
1 1 / 2 z (b) Përgjigja impulsive përcaktohet drejtpërsëdrejti nga H ( z) n2 n 1 n 1 1 1 h n 16 u n 2 16 u n 1 16 n 2 8 n 1 4 u n 2 2 2 (c) Sistemi nuk është shkakësor sepse në përgjigje impulsive ekzistojnë termat [n+2] dhe [n+1]. 8
Sistemi është stabil sepse
1 / 2
n
n 0
12.Sistemi diskret është përshkruar përmes ekuacionit të diferencës y n 1 4 y n 2 x n (a) Përcakto përgjigjen e natyrshme të këtij sistemi nëse y[-1]=2. n (b) Përcakto përgjigjen e sistemit për n≥0 kur x n 1/ 2 u n dhe y[-1]=2. Zgjidhja: (a) Për përcaktimin e përgjigjes së natyrshme zbatohet z-transformimi njëanësor në ekuacionin homogjen, ( x[n]=0), 1 yn n yn n 1 0 4 1 y 1 1 1 Yn z 1 4 z 1 Yn z y 1 z 0 Yn z 4 1 14 z 1 2 1 14 z 1 Prej këtu n yn n 1 2 1 4 , n 0 (b) Kur zbatohet z-transformimi në ekuacionin e diferencës, 1 n y n y n 1 2 1 2 u n 4 2 Y z 1 4 z 1 Y z y 1 z 1 1 2 z 1 2 1 1 4 z 1 Y z 1 4 2 1 1 z 1 2 1 1 2 Y z 2 1 14 z 1 1 1 4 z 1 1 1 2 z 1
1 1 2 1 4 1 1 1 2 1 14 z 3 1 14 z 3 1 12 z 1
Y z
1 1 4 1 6 1 14 z 1 3 1 12 z 1
z-transformimi i kundërt i shprehjes së sipërme e jep përgjigjen e sistemit, n n y n 1 6 1 4 u n 4 3 1 2 u n 13.Është dhënë z-transformimi i sinjalit shkakësor x[n], X z
z
1
, z 0.8 1 0.8 z 1 Përcakto z-transformimet dhe zonat e konvergjencës të sinjaleve vijuese: (a) y n x n x 2 n (b) y n n 1 x n 1 Zgjidhje: (a) Sipas vetisë së thurjes vlen Y z x n x 2 n
9
z
x 2 n X 1 z z 2 X z 1 0.8 z 1 ,
z
1
x 2 n X 1 z 1 0.8 z , 1
z 0.8 1
1.25 z 3 Y z , 0.8 z 1.25 1 0.8 z 1 1 0.8 z 1 0.8 z 1 1 1.25 z 1 (b) Sinjali y[n] mund të shkruhet si y n nx n 1 x n 1 Për termin e parë shfrytëzohet vetia z
1
z 0.8
z
1
x n 1 X 1 z z
1
X z
z
2
1 0.8 z 1
, z 0.8
pastaj
nx n 1 z
Y z z
2
2 0.8 z 1 1 2
1 0.8 z
dX 1 z dz z 2
1 0.8 z 1
z z
2 z 3 0.8 z 4
2
z
1 2
1 0.8 z
2 0.8 z 1
2
1 0.8 z
2 0.8 z 1 1 0.8 z 1 1 2
1 0.8 z
1 2
z
, z 0.8
3 1.6 z 1
2
1 2
1 0.8 z
, z 0.8
z X z , duke përdorë vetitë e 14.Është dhënë çifti transformues n2 2n u n transformimit duhet të përcaktohet sinjali y[n] që i ka këto z-transformime: (a) Y z X 3z
(b)
Y z X z 1
Zgjidhje: (a) Nga vetia e z-transformimit për shkallëzim të domenit z, z n z y n a x n X Y z a Për a=1/3 vlen n
1 n z y n n 2 2 u n X 3z Y z 3 n 22 y n n u n 3 (b) Në këtë rast zbatohet vetia për sinjalin e pasqyruar z y n x n X z 1 Y z
Drejtpërsëdrejti fitohet 2
n
2
n
y n n 2 u n n 2 u n z X z , duke përdorë vetitë e 15.Është dhënë çifti transformues n2 2n u n transformimit duhet të përcaktohet sinjali y[n] që i ka këto z-transformime: 1 (a) Y z z 2 z 2 X z 2 Y z X 2 z (b) Zgjidhje: (a) Nga vetia për zhvendosje në domen kohor
10
k
x n k z X z z
1 2 2 1 1 2 2 z z z X z n 2 2 n 2 u n 2 n 2 2 n 2 u n 2 y n 2 2 2 (b) Nga vetia për z-transformim të thurjes z y n x n x n X z X z Y z
Y z
n 2 k n 2 2 n k 2 n y n x n x n k 2 n k 2 u n k n k 2 u n k 0 k 0
16.Janë dhënë dy sisteme diskrete përmes funksioneve transmetuese: 2 3 / 2 z 1 5z 2 dhe H 2 z 2 H1 z 1 1 z z 6 1 2 z 1 1 / 2 z Të përcaktohen përgjigjet e tyre impulsive në qoftë se: (a) sistemi është stabil, (b) sistemi është shkakësor. Zgjidhje: a) Nëse sistemi është stabil | z|=1 duhet të përshihet në zonën e konvergjencës. Vlen C1 C 2 1 H1 z , z 2 1 2 z 1 1 1/ 2 z 1 2 2 3 / 2 z 1 2 3 / 2 z 1 ku C 1 1 dhe C 2 1 1 1 / 2 z 1 z 2 1 2 z 1 z 1/2 Që rezulton me 1 1 H1 z 1 2 z 1 1 1 / 2 z 1 Për të qenë sistemi stabil termi i parë duhet të jetë z-transformim i pjesës kundërshkakësore dhe termi i dytë asaj shkakësore, prandaj n n h1 n 2 u n 1 1 / 2 u n Për sistemin e dytë vlen H 2 z C C 5 z 1 2 z z 3 z 2 z 3 z 2
5 z 5 z 3 dhe C 2 2 z 2 z 3 z 3 z 2 3 z 2z , z 2 H 2 z z 3 z 2 Të dy termat duhet të jenë kundër-shkakësore, prandaj n n h2 n 3 3 u n 1 2 2 u n 1 (b) Për të qenë sistemi shkakësor zona e konvergjencës duhet të shtrihet jashtë rrethit me rreze që përcaktohet nga poli më i largët nga origjina. Për sistemin e parë kjo zonë përcaktohet me | z|>2 dhe për sistemin e dy | z|>3. Fitohen këto rezultate: n n h1 n 2 u n 1 / 2 u n ku C 1
h2 n 3 3n u n 2 2n u n
11
17.Kur hyrja në një sistem linear dhe invariant në zhvendosje është: n
n
x n 3 / 5 u n 5 / 3 u n 1
dalja do të jetë, n
n
y n 2 3 / 5 u n 2 1 / 5 u n
(a) Të përcaktohet përgjigja impulsive e sistemit h[n]. (b) Të përcaktohet ekuacioni i diferencës që e përshkruan këtë sistem. (c) A duhet të jetë ky sistem shkakësor dhe stabil? Arsyeto. Zgjidhje: (a) Vlen X ( z ) = Y (z) =
1 1 - ( 3 / 5 ) z -1 2
1 - ( 3 / 5 ) z -1
-
-
1 1 - ( 5 / 3 ) z -1 2
1 - (1 / 5 ) z-1
=
z -1 16 =15 éê1 - (3 / 5 ) z-1 ùú éê1 - (5 / 3 ) z-1 ùú ë ûë û
z -1 4 3 , z > 5 éê1 - ( 3 / 5 ) z-1 ùú éê1 - (1 / 5 ) z-1 ùú 5 ë ûë û
Funksioni transmetues i sistemit është -1
Y (z)
3 1 - (5 / 3 ) z 1 =H (z) = , z > 1 X ( z ) 4 1 - (1 / 5 ) z 5
prej këtu drejtpërsëdrejti fitohet æ 1 ö÷n æ 1 ö÷n -1 æ 1 ö÷n -1 3 5 3 11 çç ÷ u é n - 1ù h éë n ùû = - çç ÷ u éë n ùû + çç ÷ u éë n - 1ùû = - éë n ùû + ë û 4 çè 5 ø÷ 4 èç 5 ø÷ 4 10 èç 5 ø÷
(b) Nga definicioni i funksionit transmetues fitohet Y (z ) -
1 -1 3 5 z Y ( z ) = - X ( z ) + z -1X (z ) 5 4 4
kur shprehja pasqyrohet në domen kohor, fitohet
1 é 3 5 y ë n - 1 ùû = - x éë n ùû + x éë n - 1 ùû 5 4 4 (c) Meqenëse sinjali në dalje y[n] është shkakësor është e qartë nga veprimi i thurjes se edhe h[n] duhet të jetë shkakësor. Në këtë rast pozita e polit më të largët nga origjina të H ( z) e përcakton stabilitetin. Meqenëse H ( z) ka vetëm një pol, z=1/5, dhe ai është brenda rrethit | z|=1, përfundohet se sistemi është stabil. y éë n ùû -
Stabilitetin e sistemit kishte mundur ta pezulloj vetëm ndonjë zero e fundme e X ( z) jashtë rrethit njësi, që nuk është rasti në detyrë. 18.Është dhënë funksioni transmetues i sistemit shkakësor përmes shprehjes vijuese z 1 1 / 6 z 2 H z 1 1 / 6 z 1 1 / 6 z 2 (a) Përcakto përgjigjen impulsive të sistemit. (b) Në qoftë se kushtet fillestare të sinjalit në dalje janë y[-1]=1 dhe y[-2]=2 të përcaktohet përgjigja e sistemit në sinjalin x[n]= [n]. Zgjidhje: (a) Rrënjët e polinomit në emërues të H ( z) janë polet e funksionit transmetues, pozita e të cilëve përcaktohet pas zgjidhjes së ekuacionit kuadratik duke fituar këto vlera: p1=1/2 dhe p1=-1/3. Pastaj H ( z) zbërthehet si në vijim,
12
H z
z 1 1 / 6 z 2
1 1 / 6 z 1 1 / 6 z 2
1 7 / 6 z 1 1 1 1 / 2 z 1 1 1 / 3 z 1
4 1 9 1 1 z , 5 1 1 / 2 z 1 5 1 1 / 3 z 1 2 Nga trajta e sipërme drejtpërsëdrejti përfitohet n n 41 9 1 h n n u n u n 5 2 5 3 (b) Ekuacioni i diferencës që e përshkruan sistemin është 1 1 1 y n y n 1 y n 2 x n 1 x n 2 6 6 6 Në të dy anët e ekuacionit zbatohet z-transformimi njëanësor duke marrë se x[n]= [n], 1
Y
z
1 1 1 2 1 2 2 1 z Y z y 1 z z Y z y 1 z y 2 z z X z z X z 6 6 6
Pas zëvendësimit të kushteve fillestare dhe rregullimit të shprehjes fitohet, 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 6 z 6 z Y z 6 6 z 6 z X z 6 z X z 1 2 1 1 / 3 z 1 z 1 / 6 z 1 Y z X z 1 2 1 2 2 1 1 / 6 z 1 / 6 z 1 1 / 6 z 1 / 6 z Yn z Y f z Termi i dytë Y f ( z) paraqet përgjigjen e detyruar. Duke pasur parasysh se x[n]= [n] dhe X +( z)=1 është e qartë se Y f ( z)= H ( z), për rrjedhojë edhe y f [n]=h[n]. Mbetet të përcaktohet vetëm përgjigja e natyrshme yn[n] nga shprehja 1 1 / 3 z 1 1 1 / 3 z 1 1 1 1 1 Yn z 1 2 1 1 2 1 1 / 6 z 1 / 6 z 2 1 1 / 2 z 1 1 / 3 z 2 1 1 / 2 z 1
Kur rezultati i fundit përkthehet në domenin kohor, fitohet n 11 yn n u n 22 Përgjigja e përgjithshme e sistemit do të jetë n n n 11 41 9 1 y n yn n y f n u n n u n u n 2 2 5 2 5 3 n
n
13 1 9 1 n u n u n 10 2 5 3 19.Për një sinjal arbitrar x[n] me z-transformim X ( z) dihet se ka simetri teke, x[n]=- x[n]. Të përcaktohet vlera e z-transformimit X ( z) në pikën z=1. Zgjidhje: Nëse x[n] është tek atëherë z-transformimi i tij do të jetë
X z
n
x n z
n
x n z
n
n
x m z x m z 1 m
m
13
m
m
X z 1
Në pikën z=1 duhet të plotësohet kushti
X z
z 1
X z 1
z 1
ose
X 1 X 1 . E vetmja vlerë për të cilën plotësohet ekuacioni i fundit është
X (1)=0.
20. Një sistem diskret S, linear dhe invariant në zhvendosje, kur në hyrje të tij vepron sinjali x[n] në dalje përgjigjet me sinjalin y[n], ku: n n 3 3 x n u n , y n n u n 4 4 (a) Të përcaktohet përgjigja frekuencore e këtij sistemi H (e j ). (b) Të përcaktohet ekuacioni i diferencës që ndërlidh daljen y[n] me hyrjen x[n] e këtij sistemi. Zgjidhje: (a) Për spektër të sinjalit hyrës vlen shprehja 1 n j j n X e 3 / 4 e 1 3 / 4 e j n 0 Nga vetia e TFKD për spektrin e y[n] fitohet 3 / 4 e j d 1 n F y n n 3 / 4 u n j Y e j 2 j d 1 3 / 4 e 1 3 / 4 e j Përgjigja frekuencore e sistemit fitohet si raport i spektrave të sinjalit dalës dhe të atij hyrës, j Y e 3 / 4 e j j H e j X e j 1 3 / 4 e (b) Nga shprehja e sipërme kemi 3 3 Y e j e j Y e j e j X e j 4 4 Nga vetia për zhvendosje në kohë F j j k x n k e X e
Fitohet edhe ekuacioni i diferencës që e përshkruan sistemin 3 3 y n y n 1 x n 1 4 4 21. Një sistem shkakësor diskret, linear dhe invariant në zhvendosje është përshkruar me ekuacionin e diferencës 5 y n y n 1 y n 2 x n 1 2 (a) Të përcaktohet funksioni transmetues H ( z) i këtij sistemi, pozita e poleve dhe zerove të H ( z) si dhe zona përkatëse e konvergjencës. (b) Nëse nuk insistohet në shkakësinë e sistemit këtij ekuacioni të diferencës mund t’i i përgjigjet edhe sistemi stabil. Përcakto përgjigjen impulsive h[n] të sistemit stabil. Zgjidhje: (a) Zbatohet z-transformimi në ekuacionin e diferencës për të përfituar 5 1 2 1 Y z z Y z z Y z z X z 2 Pastaj H ( z) përcaktohet si raport i transformimit dalës ndaj atij hyrës,
14
H z
Y z
1
z
1 5 / 2 z 1 z 2
1
, z 2 1 1 1 0.5 1 2 z z Polet e H ( z) janë në pikat p1=0.5 dhe p2=2, deri sa zeroja është në pikën z=0. Meqenëse sistemi është shkakësor zona e konvergjencës përcaktohet me pozitën e polit më lë largët nga origjina e rrafshit z. Pra kjo zonë është e përcaktuar me z 2 . Ky sistem është qartazi jostabil. X z
z
(b) Për të qenë sistemi stabil zona e konvergjencës duhet të jetë 0.5 z 2 . H ( z) mund të zbërthehet si 2 1 2 1 H z 3 1 2 z 1 3 1 0.5 z 1 Prej këtu përcaktohet përgjigja impulsive e sistemit stabil n n 2 n 21 21 h n 2 u n 1 u n 3 32 32 22.Për një sistem diskret linear dhe invariant në zhvendosje i cili në hyrjen x[n] përgjigjet me sinjalin y[n] dihen këto fakte: n (i) Në qoftë se sinjali hyrës është x n 2 , n atëherë sinjali në dalje do të jetë y n 0, n . n
(ii) Në qoftë se sinjali hyrës është x n 1 / 2 u n atëherë sinjali në dalje do të jetë, n 1 y n n a u n 4 (a) Përcakto vlerën e konstantës a. (b) Përcakto përgjigjen e sistemit y[n] në qoftë se në hyrje vepron sinjali x n 1, n . Zgjidhje: Pohimi i parë ka këtë rrjedhojë:
y n
h k x n k h k 2
n
n
nk
2
n
h k 2
k
n
x n H z z 2 0, n
Nga barazimi i sipërm nxjerrët kushti H (-2)=0. Nga pohimi i dytë nxjerrët shprehja e përgjithshme për funksionin transmetues të sistemit. 1 1 X z z , 1 1/ 2 z 1 2 1
1 a 1/ 4 z 1 1 Y z 1 a ,z 1 1 1 1/ 4 z 1 1/ 4 z 4 1 a 1/ 4 z 1 1 1/ 2 z 1 1 , H z z 1 1/ 4 z 1 4 X z (a) Nga kushti H (-2)=0 kemi 11 9 0, a 1 a 42 8 Y z
15
(b) Duke marrë se x n 1n , n dhe duke përcjellë qasjen e njëjtë si në fillim të zgjidhjes, fitohet
y n
h k x n k h k 1
n
n
nk
1
n
h k 1
k
n
1 9 / 8 1/ 4 1 1/ 2 1 x n H z z 1 , n 1 1/ 4 4
23.Dihet se një sistem linear dhe invariant në zhvendosje e ka funksion transmetues H (z), të përcaktuar me shprehjen: 1 2 z 1 H z 1 10 z 1 / 9 z 2 Zona e konvergjencës së H ( z) nuk dihet, por është e njohur se ky sistem është stabil. (a) Përcaktoni përgjigjen impulsive h[n] të këtij sistemi. (b) A mund të jetë ky sistem shkakësor? Zgjidhje: (a) 1 2 z 1 1 2 z 1 H z 1 10 z 1 / 9 z 2 1 p1 z 1 1 p2 z 1 10 / 9 100 / 81 4 5 2 j 14 0.5556 j0,8315 1 e j 0.3125 2 9 9 j 0.3337 1.0022e 1.0022e j 0.3337 H z 1 e j 0.3125 z 1 1 e j 0.3125 z 1 Polet e H ( z) gjenden në rrethin njësi në pozita të konjuguara. Sistemi është në kufi të stabilietit. j 0.3337 j 0.3125 n h n 1.0022e e 1.0022e j 0.3337 e j 0.3125 n p1,2
2.0045 cos 0.3337 n 0.3125 , n 0 (b) Sistemi mund të jetë si shkakësor ashtu edhe joshkakësor, meqenëse është në kufi të stabilietit. Në këtë rast edhe përgjigja kundër-shkakësore do të ketë trajtë të njëjtë funksionale. h n 2.0045cos 0.3337 n 0.3125 , n 0
24. Në figurë është paraqitur lidhja serike e dy sistemeve me përgjigjet përkatëse n n impulsive, ku h1 n 1 / 3 u n dhe h2 n 1 / 4 u n . x n
h1 n 3
h2 2 n
y n
(a) Duke shfrytëzuar vetitë e z-transformimit të përcaktohet funksioni transmetues H ( z) i lidhjes serike të këtyre dy sistemeve. (b) Të përcaktohet përgjigja impulsive e kësaj lidhjeje h[n]. Zgjidhje: (a) Shfrytëzohen vetitë e z-transformimit Z k x n k z X z x n X 1/ z Z
16
H1 z
1 1 1 1 z H z z , ; , 2 1 1/ 3 z 1 3 1 1/ 4 z 1 4 h1 n 3
z
Z
3
1 1/ 3 z
,z 1
z 2
h1 2 n Z
1 1/ 4 z Funksioni transmetues i lidhjes serike do të jetë H z
1 3
, z 4
z
1 1/ 3 z 1 1 1/ 4 z
,
1 z 4 4
(b) Për përcaktimin e përgjigjes impulsive shprehja për H ( z) rregullohet z 4 1 z 4 H z , 1 1/ 3 z 1 1/ 4 z 1 4 z 1 1 1/ 3 z 1 1 4z 1 4 H z
A
B
1 1/ 3 z 1 1 4 z
, 1
1 z 4 4
ku: A
4 4 4 48 B , 1 4 z 1 z 1 11 1 1/ 3 z 1 z 4 11 3
prej këtu n
4 1 48 n 4 u n 1 h n u n 11 3 11
25.Është dhënë funksioni transmetues i një sistemi diskret si më poshtë 4 z H z 1 z z 2 4 16 (a) Përcakto përgjigjen impulsive të sistemit stabil. (b) Përcakto përgjigjen impulsive të sistemit shkakësor. Zgjidhje: 1 / 4 1 / 16 1 / 4 1 5 p1,2 2 8 H z C1 C 2 4 z z p1 z p2 z p1 z p2 4 16 4 16 C1 ; C 2 p1 p2 p2 p1 5 5 (a) Sistemi është stabil kur z 1 përfshihet në zonën e konvergjencës. Në këtë rast p1,2 1 , prandaj përgjigja impulsive përcaktohet me n
n
16 1 5 16 1 5 h n u n u n 8 8 5 5 (b) Përgjigja impulsive e sistemit shkakësor është e njëjtë me atë të sistemit stabil nën pikën (a). 17
26.z-transformimi i sinjalit x[n] është z 3
X z
3
; z 0.5
z 0.5 Përcakto z-transformimin e sinjalit x1 n x n .
Zgjidhje: Shprehja përkufizuese e z-transformimit të x1[n] është
X 1 z
n
x1 n z
n
x n z
n
n
x m z m
m
n
1 n
x n z
X z 1
Në rastin konkret mund të shkruhet se vlen, 3 1 / z z 3 1 8 ; z 2 X 1 z 3 3 3 3 3 z 2 1 / z 0.5 1 0.5 z 0.5 z 2 z Në qoftë se X ( z) konvergjon për z 0.5 , atëherë X 1( z) do të konvergjoj në z 1 0.5 ose për z 2 .
27. Një sistem stabil diskret është përshkruar përmes funksionit të tij transmetues z 2 z 2 H z 2 z z 0.5 Përcakto dhe skico pozitën e poleve tij si dhe zonën përkatëse të konvergjencës. A është ky sistem shkakësor? 2 Zgjidhje: Pozita e poleve fitohet nga ekuacioni z z 0.5 0 . 2 j 34 1 1 4 0.5 1 j z1,2 e 2 2 2 Im
z z
1
z1
Re z 2
z
Sistemi është shkakësor sepse duhet ta përfshij rrethin njësi z 1 për të qenë stabil. 28. Një sistem shkakësor i rendit të parë është përshkruar me ekuacion të diferencës, 2 y n 4 y n 1 2 x n 3 x n 1 Përcakto përgjigjen e sistemit nëse në hyrje të sistemit vepron sinjali x[n]=u[n]. Zgjidhje: 18
2Y z 4 z 1Y z 2 X z 3 z 1 X z
1 1.5 z 1 1 1.5z 1 1 Y z X z 1 2 z 1 1 2 z 1 1 z 1 C1
Y z
C 2
1 2 z 1 1 z 1 1 1.5 z 1 1 0.75 1 C 1 1 1 z z 2 1 0.5 6 1 1.5 z 1 1 1.5 5 C 2 1 1 2 z z 1 1 2 6 1 1 5 1 Y z 1 6 1 2 z 6 1 z 1 1 5 n y n 2 u n u n 6 6 29. Një sistem shkakësor i rendit të dytë është përshkruar me ekuacion të diferencës, y n 3 y n 1 y n 2 x n 1 x n 2 (a) Përcakto përgjigjen impulsive h[n] të sistemit. (b) Si mund të caktohet përgjigja e sistemit në sinjalin shkallë njësi x n u n duke u mbështetur ekskluzivisht në rezultatin e pikës paraprake? Zgjidhje: (a) Zgjidhja më lehtë gjendet në domenin kompleks z.
1
3 z 1 z 2 Y z z 1 z 2 X z
Funksioni transmetues është H z
z 1 z 2
1 3 z 1 z 2
z 1 z 2
3z 1
z 1
z p1 z p2 5
3 1 j 6 3 3 4 p1,2 j e 2 2 2 H z C1z 1
z z p1
C2 z 1
z z p2
Përcaktimi i konstanteve C 1 dhe C 2, 5 2cos 5 5 p1 1 1 e 12 j 12 5 j 12 2 5 j12 C1 e 5 2 cos e 2 cos e 5 j j 5 p1 p2 12 12 2 j sin e 6 e 6 6 * Meqenëse vlen p2 p1 dhe koeficientet e H ( z) janë reale, do të vlej edhe C2 C 1* . j
5 6
Përgjigja impulsive ka trajtë, 5
5
5 j 12 j 6 n1 5 j12 j 6 n1 h n 2 cos u n 1 2 cos u n 1 e e e e 12 12
5
5
5 j 6 n112 5 j 6 n1 12 h n 2 cos e u n 1 2 cos u n 1 12 e 12 5 5 4 cos cos n 1 u n 1 12 12 6
19
(b) Përgjigja në sinjalin shkallë njësi do të jetë,
5 n 5 cos k 1 , n 1 s n h k u n k h k 4 cos 12 12 k 1 6 k 1 k 1 Koment : Edhe pse në detyrë nuk kërkohet, kuptohet se edhe shprehja për s[n] n
mund të përcaktohet në mënyrë të përmbyllur matematikore si në vijim. Për të shkurtuar mënyrën e shënimit, le të llogaritet së pari shuma me vlera të përgjithshme të parametrave, n 1
1 j n1 j k 1 j n1 j k S cos k 1 cos k e e e e 2 2 k0 k 1 k 0 k 0 n
2 j sin n 2 j sin n 1 j 1 e 1 j 1 e 1 j 2 e j 2 n1 1 e j 2 e j 2 n1 S e e e 2 1 e j 2 1 e j 2 2 2 j sin 2 j sin 2 2 1 1 1 S sin n cos n 1 sin n sin 2 2 2 2sin 2 sin 2 2 5 Nëse në shprehjen e sipërme zëvendësohen parametrat dhe , si dhe 6 12 j n
j n
kësaj i shtohet termi tjetër, fitohet shprehja për përgjigjen e sistemit në sinjalin shkallë njësi, 5 5 1 sin 6 12
s n 2 cot
1 n u n 1 2 12
30. Në figurë është paraqitur një lidhje sistemeve diskrete që janë linearë dhe invariant në zhvendosje. n
Sistemet janë përshkruar përmes përgjigjeve përkatëse impulsive, ku është e panjohur vetëm përgjigja impulsive e sistemit të dytë h2[n]. Përgjigja impulsive e sistemit të parë është dhënë me shprehjen, n 1 h1 n u n u n 1 2 ndërsa përgjigja impulsive e sistemit të tretë është shënuar në figurë (- [n]). (a) Të përcaktohet h2[n] në qoftë se dihet se y n 0, n . (b) A do të jetë sistemi i dytë ( h2[n]) stabil? Arsyeto shkurt përgjigjen. Zgjidhje: (a) Detyra zgjidhet lehtë në domenin z. Le të paraqitet sistemi përmes funksioneve transmetuese si në figurën vijuese. 1
ku
20
