Sesi Perkuliahan ke 3 Topik Bahasan Analisa Tensor Dalam Geometri Ruang Lengkung A. Deskripsi Singkat Modul
Dalam modul ini mahasiswa akan mempelajari tensor rank dua, operasi perkalian, tensor metrik dalam ruang lengkung, turunan kovarian dari vektor empat, turunan kovarian suatu tensor kovarian dan kontravarian rank dua. B. Sasaran Pembelajaran Pembelajaran
Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat:
Menerapkan dengan benar operasi turunan kovarian terhadap tensor kovarian dan kontravarian.
C. Bahan Bacaan
Bahan bacaan utama yang yang digunakan dalam perkuliahan dapat diakses diakses melalui internet pada LMS Unhas atau difotocopy adalah: Bansawang, Modul III pada
Diktat Kuliah Teori
Relativitas Umum, hal 34-50 dan juga Carmeli, M, “Classical Fields Fields : General Relativity and Gauge Theory”, hal Theory”, hal 23-28 23-28 , Renreng, A,” An Introduction To Field Theory Of Fundamental Interactions and The Ultimate Structure
Of Matter”, hal 223-231. 223-231. Bose,S.K, “An
Introduction to General Relativity”, hal:1-5.
Uraian Materi 3.1 Tensor Rank Dua
Jika dua buah vektor-empat yang berbeda indeksnya tetapi sama jenisnya dikomposisikan, maka besaran yang terbentuk akan berkomponen enam belas, mengingat penyusunnya berkomponen empat. Misalkan terdapat dua vektor kontravarian A dan maka komposisi komposisi antara keduanya akan menghasilkan besaran:
B
,
A A B
(3.1)
yang merupakan tensor kontravarian rank dua, karena komponennya berindeks dua. Vektor sebagai besaran berkomponen satu adalah merupakan tensor rank satu. Dengan menggunakan sifat transformasi bagi A dan
B
, maka kaidah transformasi A akan dapat dituliskan
sebagai ~ x ~ x
~ A
x x
A
(3.2)
yang melukiskan transformasi suatu tensor kontravarian rank dua. Selanjutnya untuk tensor kovarian
A A A
(3.3)
akan segera pula dapat ditunjukkan bahwa akan bertransformasi sebagai ~ A
x x A ~ x ~ x
(3.4)
yang melukiskan transformasi suatu tensor kovarian rank dua. Selanjutnya, selain tensor kontravarian dan kovarian, maka dapat pula melakukan komposisi antara tensor kontravarian
B
dan tensor kovarian A sebagai:
A A B yang melukiskan bahwa
A kovarian
(3.5)
terhadap indeks μ dan kontravarian terhadap . Tensor
semacam ini disebut tensor campuran. Aturan tranformasinya akan diberikan oleh: ~ A
~ x x A ~ x x
(3.6)
3.2 Perkalian Tensor
Suatu tensor dapat diperoleh dari perkalian antara dua buah tensor lain, misalnya sebagai berikut:
T T T
A B A B
(3.7)
A B
yang melukiskan suatu contoh perkalian tensor tanpa ada indeks yang kembar dan merupakan pasangan kovarian dan kontravarian atau dengan kata lain tak mengalami kontraksi. Ini bersangkutan dengan apa yang disebut perkalian luar (outer product). Selain proses peningkatan ranking suatu tensor melalui cara pengalian, maka dapat pula diadakan penyusutan ranking suatu tensor khususnya untuk suatu yang lebih rendah rankingnya sebesar selisih dua rank dengan jalan menyamakan sebuah indeks kovarian dan sebuah indeks kontravarian, lalu menjumlahkan indeks yang telah disamakan itu. Proses ini dinamakan kontraksi suatu tensor .
Sebagai contoh, suatu tensor campuran rank empat A . Untuk memperoleh suatu
tensor campuran rank dua dengan menyusutkannya sampai didapatkan suatu tensor rank nol (skalar) yakni: A
A
A A
(3.8)
A
Berikutnya dengan menggunakan sifat penyusutan (contraction) di atas, di dapat memperkenalkan pula apa yang dinamakan perkalian dalam (inner product). Ini adalah kombinasi dari suatu perkalian luar yang diikuti dengan suatu kontraksi. Sebagai contoh tinjaulah suatu perkalian luar antara tensor kovarian rank dua A
dengan vektor kontravarian B maka akan diperoleh suatu tensor campuran dan sampai diperoleh vektor empat kovarian jika dikontraksikan terhadap indeks dan σ sebagai berikut: C
A B
C
C
A B
(3.9)
Dari persamaan (3.9) tampak suatu perkalian dalam antara dua buah tensor yang diikuti dengan suatu penyusutan terhadap dua buah indeksnya. Sebagai contoh lain, produk luar antara A dengan B yang diikuti oleh dua penyusutan, maka diperoleh tensor campuran rank dua, yakni:
D A B
(3.10)
Dari hasil uraian-uraian di atas, di dapatkan suatu sifat yang penting, A B akan merupakan
skalar bila A dan B merupakan tensor. Pernyataan sebaliknya, bila A B merupakan skalar untuk sembarang pilihan tensor B , maka A juga akan berkelakuan sebagai suatu tensor. Jadi karena A B berkelakuan sebagai skalar, maka ia merupakan suatu invarian. Hal ini berarti dipenuhi sifat ~ ~ A B
A B
(3.11)
Selanjutnya sebuah tensor kontravarian rank dua yang dilambangkan B mempunyai 16 komponen. Tensor transformasi tampak seperti perkalian luar (product) dari dua vektor empat kontravarian, katakanlah V W . Dengan menggunakan hukum transformasi seperti persamaan (3.16) untuk vektor kontravarian akan diperoleh hasil transformasi sesuai dengan aturan berikut:
~ ~ V W
~ x ~ x x x
V W
~ B
~ x ~ x x
x
B
,
B
x x x
x
(3.12)
B
Selanjutnya, dengan mengambil kebalikan dari pada persamaan (3.12) dan menggunakan (3.11) maka diperoleh:
~ ~ A B
A
x x ~ B ~ x ~ x (3.13)
atau x x ~ ~ A A B ~ x x
0
~ Untuk B sembarang, maka persamaan ini hanya akan dipenuhi bila: ~ A
x x A ~ ~ x x
(3.14)
3.3 Tensor Metrik Dalam Ruang Lengkung
Berikut ini akan dibahas apa yang dinamakan tensor metrik ruang . Dalam hubungan ini, kalau jarak terdekat yang menghubungkan antara dua buah titik dalam ruang-empat dimensi ditandai dengan elemen garis “dS ”, maka dalam ruang datar dengan sistem koordinat Cartesian, kuadrat dS akan diberikan oleh:
dS 2 dx dx
(3.15)
Selanjutnya persamaan (3.14) disubstitusi ke dalam (3.15), maka diperoleh:
dS 2
x x x
x
dx dx
g dx dx
(3.16)
dengan
g
x x x x
Secara sepintas dari (3.16) tampak bahwa g seperti sebagai tensor kovarian dan bertransformasi sebagai tensor rank dua. Hal ini dapat dipahami dengan mengingat bahwa dS 2 merupakan besaran invarian, maka haruslah dipenuhi:
~ d ~ ~ g x d x
g dx dx
Dengan metoda pembalikan seperti yang dilakukan sebelumnya, maka ruas kiri dapat dituliskan sebagai
g
x ~ x ~ d x d x ~ ~ x x
g
x x ~ ~ d x d x ~ ~ x x
Dari sangkutan ini dapat ditandai bahwa g bertransformasi sebagai: x x g ~ ~ x x
~ g
(3.17)
yang ternyata melukiskan bahwa ia merupakan suatu tensor kovarian rank dua. Dengan demikian tensor g adalah suatu tensor fundamental yang memberi ciri suatu ruang. Jelas untuk ruang lengkung dengan sistem koordinat yang bersangkutan bersifat kurvalinear dengan elemen-elemen g akan merupakan fungsi. Sebaliknya untuk ruang datar dengan sistem koordinat yang bersangkutan bersifat Cartesian, elemen-elemen g secara numerik hanya akan merupakan bilangan.
Sekarang di akan defenisikan tensor kontravarian g dari pada g . Dalam teori matriks diketahui, jika seandainya determinan g tidak lenyap yang ditandai dengan “ g ”, dan andaikan pula kofaktor (cofactor) yang bersangkutan ditandai dengan K , K
maka dapat ditunjukkan bahwa terdapat g
g
yang memenuhi sifat:
g g
(3.18a)
dimana
1,
untuk
0,
untuk
(3.18b)
Selajutnya akan ditunjukkan bahwa g bertransformasi sebagai tensor kontravarian rank dua. Dalam hal ini dengan mencari kebalikan transformasi (3.18), di peroleh:
g
x~ x~ ~ g , x x
maka
g g
x~ x~ ~ g g x x
~ x x Di kalikan kedua belah sangkutan terakhir ini dengan , maka untuk ruas kanan ~ x x
diperoleh
x x~ x~ x
x x~ x~ x
(3.19a)
Sementara itu ruas kiri diberikan oleh
x~ x~ x x~ ~ x~ x x~ x~ ~ g g g g x x x~ x x x~ x x
(3.19b)
x~ x~ ~ g g x x Dengan membandingkan hasil (3.19a) dan (3.19b) dengan (3.18a), maka di tandai bahwa
x~ x~ x~ x~ ~ g g g x x x x
(3.20)
dimana g g , yakni bersifat simetri terhadap pertukaran indeksnya. Ini berarti g bertransformasi sebagai tensor kontravarian rank dua. Dengan diperkenalkannya tensor metrik kontravarian g , maka elemen kuadrat panjang (3.16) segera dapat digenelisir menjadi:
dS 2 g dx dx g dx dx
(3.21)
dimana
x tak
perlu lagi terbatas sebagai komponen koordinat Cartesian, melainkan
sekedar sebagai koordinat kovarian.
3.4 Turunan Kovarian suatu Tensor
Jika Φ merupakan suatu skalar yang invarian dalam ruang-empat, maka
d dS
juga
suatu invarian karena dS dan d Φ juga invarian dan dinyatakan sebagai:
K
maka A
d
dx
dS
x dS
adalah merupakan suatu vektor empat kovarian. Kalau selanjutnya x
diambil turunan K terhadap S , yaitu:
dK dS
maka juga akan merupakan suatu invarian. Dengan demikian kalau pernyataan K dimasukkan, maka peroleh:
d dx
dS x
2 dx dx d 2 x dS x x dS dS x dS 2
2 dx dx dS dS x x x
dimana
g g g 1 g g 2 x x x yang dikenal sebagai lambang Christoffel. Dari sini di segera menandai bahwa:
2 A x x x
(3.22)
berkelakuan sebagai tensor kovarian rank dua, mengingat
dx kontravarian sehingga dS
dx
dS
adalah merupakan vektor
adalah suatu tensor kontravarian rank dua sedang χ dS
dx
adalah skalar invarian. Karena A
, maka (3.22) akan dapat juga dinyatakan x
sebagai:
A ;
A x
A
(3.23)
Dimana A ; pada persamaan (3.23) adalah merupakan turunan kovarian A . Ini berlaku umum untuk sembarang vektor kovarian dalam ruang-empat dimensi. Berdasarkan atas alasan tersebut, maka turunan kovariannya masing-masing adalah:
A ;
B ;
A x B x
A
B
Kedua tensor pada persamaan (3.24), yang pertama dikalikan dengan
(3.24)
B dan
yang kedua
dengan A , lalu hasilnya dijumlahkan, maka diperoleh:
A ; A
B A A B A x x
(3.25)
Kalau di notasikan A B A , maka:
A ;
A A A x
(3.26)
Dalam hal ini persamaan (3.31) melukiskan turunan kovarian dari A dan merupakan tensor tingkat tiga. Selanjutnya kalau dikenakan diferensial total terhadap tensor metrik pada persamaan (3.18a), maka:
g dg g dg 0 Dari batasan mengenai tensor metrik, juga dapat dipahami bahwa kofaktornya tak bergantung atas perubahan ini, sehingga diperoleh:
dg
c g 2
gg
dg
g 2
dg ,
g dg gdg Dengan mengalikan sangkutan terakhir dengan g , diperoleh:
dg g gd g g gdg Dari sini segera dapat ditunjukkan bahwa
1 1 g 2 g x
g
1
1 ln( g )
2 x g x g 1 g 1 g g 2 2 x x
ln g x
.(3.27)
Sekali lagi diferensialkan g g , maka diperoleh: g dg g dg
g dg Lalu sangkutan ini dikalikan dengan g , maka diperoleh: dg g g dg ,
dg g g dg Dari sini di segera peroleh sangkutan:
g g g g x x
(3.28)
yang di dalamnya telah diadakan pemberian indeks baru. Dengan cara serupa dapat pula ditunjukkan bahwa:
g x
g g g x
(3.29)
Selanjutnya dari defenisi lambang Christoffel jenis pertama akan diperoleh:
g 1 g g g 1 g g 2 x x x 2 x x x Dengan menggunakan sifat simetri g , maka dari sangkutan ini diperoleh:
g x
(3.30)
Kalau (3.29) disubstitusikan ke dalam (3.30), akan diperoleh:
g g g g g g x x g
g
g g
g
(3.31)
Dengan mengganti α dan β dengan τ , akan diperoleh:
g g g x
(3.32)
Hasil ini dimasukkan pada (3.27), maka:
g 1 (ln g ) g 1 g 2 x 2 x g x 1
1
g g g
2 1 2
(3.33)
Setelah mengikuti bagaimana perumusan turunan kovarian suatu tensor, berikut ini di tinjau divergensi suatu tensor kontravarian. Dalam hubungan ini, dari turunan kovarian:
A ;
A x
A
(3.23)
Selanjutnya dengan mengenakan operasi perkalian dalam dengan memakai g , maka diperoleh:
g A g
A x
g A
A
g Dengan menyatakan g g A A , maka diperoleh: x x x
g 1 g g g g A g A A g g A 2 x x x x x g g g 1 g A g A A g 2 x x x x 1 g g A g x 1 g g A g A A x x g x g g 1 A g g g g 2 x x
(3.34)
Jika pada suku terakhir ini dimasukkan dalam sangkutan:
g g g g x x dari (3.28), maka tampak jelas bahwa dua suku terakhir akan saling menghapus. Selain itu telah dimasukkan g A A ; yang merupakan vektor kontravarian dari A . Dengan menandai g A , sebagai suatu skalar, maka diperoleh:
g A A x g x 1
g x 1
g A
(3.35)
yang di tafsirkan sebagai divergensi suatu vektor kontravarian Selanjutnya akan ditinjau
A
.
rotor (curl) suatu vektor kovarian. Dari sajian turunan
kovarian (3.23), maka tampak bahwa:
A A A x x
A A
(3,36)
Hal ini menunjukkan bahwa bagian pertama bersifat anti-simetri terhadap pertukaran indeks μ dan ν, tetapi bagian kedua pertukaran itu bersifat simetri. Dengan demikian, supaya dapat dibangun tensor anti-simetri dengan menggunakan turunan kovarian (3.23), kita harus membuat τ tetap dan tidak pernah sama dengan ν atau μ, sehingga diperoleh:
F
A x
A x
(3.37)
yang merupakan rotor A . Untuk memperoleh pula turunan F sebagai suatu tensor kovarian anti-simetri tingkat tiga, kita gunakan (3.26), sehingga diperoleh:
F ;
F x
F F
(3.38)
Karena F bersifat anti-simetri sedang simetri terhadap pertukaran μ dan ν, maka dapat
ditunjukkan bahwa:
C ; F F F
F x
F F x x
.
juga merupakan tensor anti-simetri. Selanjutnya ditinjau divergensi suatu tensor kontravarian tingkat dua. Untuk keperluan ini tinjaulah kembali persamaan (3.26), yakni:
A ;
A x
A A
Kedua belah ruas di kalikan dengan g g , maka diperoleh:
g g A ; A g g
A x
g g A g g A
Suku pertama ruas kanan dapat dinyatakan sebagai:
A
g g g g A g A g A g g x x x x A A g g g A g g g x A A A g g A g g A x A A A g g A g g A x
Kalau hasil ini dimasukkan kembali ke dalam sangkutan A , maka tampak bahwa suku kedua dan ketiga dihapus oleh suku keempat dan kelima sangkutan terakhir ini. Dengan demikian diperoleh:
A A A; A x
Selain itu dapat pula ditunjukkan bahwa turunan kovarian tensor campuran
(3.39)
A
akan
diberikan oleh
;
A
A x
A A
(3.40)
Selanjutnya, dengan menyusutkan (3.39) terhadap indeks σ dan β akan didapatkan:
J A
;
A A A x
(3.41)
Kalau A di sini merupakan tensor anti-simetri dan mengingat simetri terhadap
pertukaran indeks β dan γ, maka suku ketiga jumlahnya terhadap β dan γ akan lenyap, mengingat kedua indeks kovarian dan kontravarian bersilangan, sementara suku kedua tidak. Dalam hal ini suku ketiga itu dapat dituliskan sebagai: A
1 2
A
1
A A 0 A
2
Buat suku kedua, dengan menggunakan sangkutan (3.33) dan menggabungkannya dengan suku pertama didapatkan: 1 g A J A x g x
g x 1
g A
(3.42)
Persaman (3.42) di atas tiada lain dari persamaan Maxwell dalam ruang lengkung dimensiempat A dinyatakan oleh (3.37) dan J menyatakan rapat arus listrik. Selanjutnya untuk
turunan suatu tensor campuran tingkat dua dapat dilakukan
dengan menyusutkan persamaan (3.40) terhadap indeks σ dan α, maka diperoleh:
A A
g A
g g x 1
x
Sekarang dikenalkan tensor kontravarian
g A A
, atau
(3.43)
A g A g
A g A yang
selalu
simetri
karena
g dan A simetri, maka: g A g A g
(3.44)
A g Dengan memasukkan sangkutan ini ke dalam pernyataan
g A
x
g A , didapatkan:
g A g A
(3.45)
Pada suku terakhir ruas kanan pada persamaan (3.45), karena indeks kovarian dan kontravarian ρσ berulang dan mengingat A ρσ simetri, maka dalam proses penjumlahan tersebut, suku terakhir akan diberikan oleh
g g A , sehingga didapatkan: 2 x
1
g A
x
g A
1 g 2 x
g A
(3.46)
Pernyataan ini dapat pula dinyatakan dalam bentuk lain dengan mengingat bahwa:
A g g A
g g dan karena , maka didapatkan: g g x x A
g g g g g A g g A x x x g g A A x x
Akhirnya diperoleh:
g A x
g A
1 g 2 x
g A
(3.47)
D. Soal Evaluasi
1. Jika A pada persamaan (3.39) diganti dengan metrik g , maka tunjukkan bahwa
g ; 0 . 2. Buktikan persamaan (3.23) dan persamaan (3.38).
