Econometría Series Temporales - Caridad y Ocerin

1 ECONOMETRÍA: MODELOS ECONOMÉTRICOS Y SERIES TEMPORALES CON LOS PAQUETES TSP Y TSP

J. M.a CARIDAD y OCERIN

Tomo 1: Modelos econométricos uniecuacionales

EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Barcelona - Bogotá - Buenos Aires - Caracas - México

Econometría: Modelos econométricos y series temporales con los paquetes PTSP y TSP Tomo 1: Modelos econométricos uniecuacionales

Copyright © José M.ª Caridad y Ocerin [email protected]

Edición en e-book: © Editorial Reverté. S.A., 2012 ISBN: 978-84-291-9017-5 Edición en papel: © Editorial Reverté. S.A., 1998 ISBN: 978-84-291-2611-2

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 [email protected] www.reverte.com Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.

A Rosy, Daniel y Lorena

Prólogo

La Ciencia Económica, en los últimos cincuenta años, ha evolucionado hacia un positivismo, siguiendo un proceso de cuantificación tanto a nivel macroeconómico como en el ámbito empresarial. El uso de modelos matemático-estadísticos, a partir de los años cuarenta del siglo XX, en la estimación de relaciones económicas, dio origen al desarrollo de la Econometría como rama de la Economía aplicada. Nuevos métodos estadísticos, como la inferencia en modelos multiecuacionales, surgen en el ámbito econométrico, y otras técnicas, como la teoría de series temporales, el filtrado de procesos, los modelos con variables latentes y algunos métodos estadísticos multivariantes, se integran en los programas docentes de Economía cuantitativa, y constituyen hoy en día una herramienta indispensable para el economista que ejerce su profesión en los más variados entornos. En este libro se presenta el contenido de un curso de Econometría para estudiantes de las licenciaturas en Ciencias Económicas y Empresariales, que hayan cursado previamente las asignaturas de Matemáticas, Estadística y Teoría Económica. En la primera parte se tratan los modelos uniecuacionales, con una amplitud superior a la habitual en los cursos de Estadística aplicada, y poniendo énfasis en los problemas que se presentan en la modelización económica, y en los modelos con variables cualitativas; en la segunda parte se estudian los modelos multiecuacionales, y la última está dedicada a la teoría de series temporales y modelos dinámicos, incluyendo la metodología de Box-Jenkins, el análisis espectral y los métodos clásicos de análisis de series. En el texto se presentan numerosos problemas resueltos, y propuestos, así como una introducción a los paquetes de programas econométricos μTSP y TSP, con los que se elaboran los ejemplos. Todos los conjuntos de datos manejados en los ejemplos están contenidos en el disquete adjunto, así como algunos programas auxiliares usados en el texto. También están disponibles un juego de transparencias que corresponden a los temas y ejemplos. Córdoba, 1997

VII

Índice analítico

PRÓLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Capítulo 1

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ECONOMÉTRICOS . . . .1

1.1 MODELOS ECONÓMICOS Y ECONOMÉTRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 ELEMENTOS DE UN MODELO ECONOMÉTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 FASES EN LA CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 DESARROLLO HISTÓRICO DE LA ECONOMETRÍA . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 FUENTES DE ESTADÍSTICAS ECONÓMICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 PAQUETES DE PROGRAMAS ECONOMÉTRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ANEXO I

CÁLCULO DE PROBABILIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

ANEXO II

MÉTODOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS EN ECONOMETRÍA 26

EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Capítulo 2

ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES. EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

2.1 MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Ejemplo 1. Ajuste de una recta de regresión . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Ejemplo 2. Modelo de regresión múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

IX

X ÍNDICE ANALÍTICO

2.3 MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE: NOTACIÓN MATRICIAL . . . . . 47

Ejemplo 3.

Modelo de regresión simple en notación matricial 49

2.4 MEDIDAS DE AJUSTE: COEFICIENTES DE DETERMINACIÓN . . . . . . . 50

Ejemplo 4. Coeficientes de determinación . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Ejemplo 5. Correlación simple y parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Ejemplo 6. Coeficientes de correlación ordinario y de Spearman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.6 REGRESIÓN NO LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Ejemplo 7. Estimación de una función de producción . . . . . . . 66 ANEXO I

ÁLGEBRA MATRICIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Capítulo 3

EL MODELO LINEAL UNIECUACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . .83

3.1 ESTIMACIÓN DEL MODELO LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.2 PROPIEDADES MUESTRALES DE LOS ESTIMADORES . . . . . . . . . . . . . 86 3.3 CONTRASTES DE HIPÓTESIS SOBRE LOS COEFICIENTES DEL MODELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Ejemplo 1. Contrastes sobre los coeficientes de regresión del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4 CONTRASTES DE ANÁLISIS DE LA VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Ejemplo 2. Contraste F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Ejemplo 3. Contraste de análisis de la varianza sobre la estacionalidad de una serie . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.5 ANÁLISIS DE RESIDUOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Ejemplo 4. Gráficos de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.6 INTERPOLACIÓN Y PREDICCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Ejemplo 5. Interpolación por punto y por intervalo . . . . . . . . 117 3.7 OBSERVACIONES INFLUYENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Capítulo 4

PROBLEMAS EN LA ESTIMACIÓN DE MODELOS . . . . . . . .125

4.1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.2 ESPECIFICACIÓN Y ERRORES EN LAS VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.3 MULTICOLINEALIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

XI

4.3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.3.2 Detección y medida de la multicolinealidad . . . . . . . . . . . . . . . 129

ÍNDICE ANALÍTICO

Ejemplo 1. Modelo con multicolinealidad . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.3.3 Estimación de modelos con multicolinealidad . . . . . . . . . . . . . 132

Ejemplo 2. Regresión en componentes principales . . . . . . . . 134 4.4 MODELOS CON VARIABLES RETARDADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.4.1 Modelos dinámicos y retardos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.4.2 Modelos con retardos geométricos o exponenciales . . . . . . . . . 137

Ejemplo 3. Modelo de expectativas adaptativas . . . . . . . . . . . 139 Ejemplo 4. Modelo de ajuste parcial o de Nerlove . . . . . . . . 140 4.4.3 Modelos con retardos distribuidos polinomiales . . . . . . . . . . . . 140

Ejemplo 5. Modelo con retardos distribuidos . . . . . . . . . . . . 142 4.4.4 Estimación de modelos con variables retardadas . . . . . . . . . . . . 144 4.5 OTROS PROBLEMAS ASOCIADOS A LA ESTIMACIÓN DE MODELOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.5.1 Falta de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Ejemplo 6. Recuperación de datos que faltan . . . . . . . . . . . . 145 4.5.2 La agregación de magnitudes económicas . . . . . . . . . . . . . . . . 147 ANEXO I

ANÁLISIS EN COMPONENTES PRINCIPALES . . . . . . . . . 150

Ejemplo 7. Redundancia en la Contabilidad Nacional de España . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Capítulo 5

EL MODELO LINEAL GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.1 INTRODUCCIÓN AL PROCESO DE MODELIZACIÓN . . . . . . . . . . . 163 5.2 EL MÉTODO DE AITKEN O DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.3 MODELOS CON HETEROCEDASTICIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.3.2 Modelos para representar la heterocedasticidad . . . . . . . . . . . . 171 5.3.3 Contrastes para detectar la heterocedasticidad . . . . . . . . . . . . . 173

Ejemplo 1. Modelo con heterocedasticidad . . . . . . . . . . . . . . 176 5.4 MODELOS CON AUTOCORRELACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.4.2 Modelos básicos para la autocorrelación: propiedades . . . . . . . 180

XII ÍNDICE ANALÍTICO

5.4.3 Contrastes para detectar la autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Ejemplo 2. Modelo con autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.4.4 Predicción en un modelo con autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . 191

Ejemplo 3. Predicción en un modelo con autocorrelación . . . 191 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Capítulo 6

MODELOS CON VARIABLES CUALITATIVAS . . . . . . . . . . .199

6.1 ESCALAS DE MEDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.2 VARIABLES CATEGÓRICAS EXÓGENAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Ejemplo 1. Comparación de dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.3 VARIABLES ARTIFICIALES EN MODELOS TEMPORALES . . . . . . . . . . 205

Ejemplo 2. Análisis de una serie trimestral . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.4 MODELOS CON VARIABLE ENDÓGENA NO NUMÉRICA . . . . . . . . . 211 6.4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.4.2 Modelos de elección binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Ejemplo 3. Modelo Logit para concesión de un crédito . . . . . 214 Ejemplo 4. Modelos Probit y Logit sobre la propiedad de la vivienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Capítulo 7

MICRO-TSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221

7.1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.2 UNA SESIÓN SIMPLE DE TSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.3 FICHEROS DE DATOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.4 OTROS FICHEROS Y CONFIGURACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.5 GESTIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.6 TRANSFORMACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.7 PROGRAMAS TSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 7.8 ESTIMACIÓN DE MODELOS UNIECUACIONALES . . . . . . . . . . . . . . . 247 ANEXO I

ALGUNOS PROGRAMAS AUXILIARES . . . . . . . . . . . . . . 251 Estimación mínimo cuadrática y descripción de datos . . . . 251 Redondeo de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Editor de series temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Análisis espectral de una serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Capítulo 8

TSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255

XIII ÍNDICE ANALÍTICO

8.1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.2 UNA SESIÓN INTERACTIVA DE TSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 8.3 UNA SESIÓN EN PROCESO POR LOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8.4 INSTRUCCIONES DE TSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 8.5 GRÁFICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 8.6 TRANSFORMACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 8.7 MATRICES E INSTRUCCIONES DE PROGRAMACIÓN . . . . . . . . . . . 275 8.8 ESTIMACIÓN DE MODELOS UNIECUACIONALES . . . . . . . . . . . . . . 280 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .289 REVISTAS DE ECONOMETRÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293 TABLAS ESTADÍSTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295 ÍNDICE ALFABÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299

1 Introducción a los modelos econométricos

1.1 MODELOS ECONÓMICOS Y ECONOMÉTRICOS 1.

La Teoría Económica postula una serie de relaciones causales entre diversas magnitudes económicas. Por ejemplo, el ahorro de una familia es función de sus ingresos A = f (I ) o el consumo de un país es función de la renta nacional C = g(R).

(1.1)

Es muy frecuente que además se impongan algunas restricciones sobre estas funciones. Así, por ejemplo, el consumo crece con la renta y además un incremento unitario de la renta nacional produce un aumento menor en el consumo; esto se representa indicando que la propensión marginal al consumo verifica que dC 0 < ------- < 1. dR Bajo un modelo keynesiano, un incremento relativo de la renta (por ejemplo, del 1%) induce un aumento relativo inferior en el consumo, o lo que es lo mismo, la elasticidad del consumo respecto de la renta es dC/C dln C ε C/R = ------------------ = --------------- < 1. dR/R dln CR

1

2

2.

Pero la Teoría Económica no precisa cuál es el valor de la elasticidad anterior o de la propensión marginal al consumo, ni siquiera cuál es la forma funcional de la relación C = g(R). Sin embargo, en los últimos sesenta años se publican en la mayoría de los países numerosas estadísticas económicas, y en muchas de ellas se ofrecen datos de consumo y de renta nacional. Esto sugiere la posibilidad de abordar la cuantificación de éstas y de otras relaciones entre magnitudes macro y microeconómicas. La Econometría aborda el problema de elaborar modelos que midan las relaciones causales entre variables económicas.

3.

Al plantear un modelo económico, en una primera fase, se formulan las relaciones causales entre las variables objeto de estudio, así como las restricciones existentes en esas relaciones. Para cuantificar una relación es necesario disponer de datos numéricos de las variables y plantear las relaciones que existen o que se supone que existen entre ellas. Así, por ejemplo, si la propensión marginal al consumo es constante

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ECONOMÉTRICOS

dC ------- = β , dR

C

el modelo (1.1) anterior se puede formular como un modelo lineal C = α + β R; y si la elasticidad del consumo respecto de la renta es inferior a la unidad, entonces será α > 0 pues

R

R dC βR βR ε C/R = ---- ------- = ------- = -----------------. α + βR C dR C C

Pero podría ocurrir que el consumo creciera exponencialmente con la renta, siendo C = αe

βR

,

o que estuviese relacionado con ella mediante la expresión 2

C = α + β1 R + β2 R ,

R

o con cualquier otra forma funcional. 4.

El proceso de estimación de un modelo previamente especificado consiste en la estimación de los parámetros (como α, β, β1, β2) que intervienen en él. En todos los casos, estos modelos económicos no sirven para representar de forma exacta las relaciones anteriores utilizando datos

reales. Existe siempre una discrepancia o error, que se denomina perturbación aleatoria, ε, entre los valores medidos reales de la variable explicada y los estimados mediante el modelo. En todos los modelos econométricos se incorporan estas perturbaciones aleatorias a las formas funcionales propuestas. Por ejemplo, el modelo de consumo anterior sería ˆ + ε, C = α + βR + ε = C o bien C = α e β R + ε = Cˆ + ε . La perturbación ε incorpora el efecto agregado de las restantes variables económicas (además de la renta) que influyen en el consumo, pero que no han sido incluidas en el modelo. Su naturaleza es aleatoria, por lo que un modelo econométrico será de tipo estocástico. La estimación de sus parámetros requiere pues el uso de técnicas de Estadística, algunas de las cuales se han desarrollado específicamente para satisfacer necesidades específicas de la Econometría. 1.2 ELEMENTOS DE UN MODELO ECONOMÉTRICO 5.

Un modelo econométrico está formado por una o varias ecuaciones en las que la variable explicada o endógena depende de una o varias variables explicativas. Por ejemplo, la ecuación de consumo del apartado anterior, junto con una ecuación de inversión y una identidad de definición de la renta, constituyen un modelo multiecuacional: C t = α + β 0 R t + β 1 R t – 1 + ε 1t , I t = α ′ + β ′R t + ε 2t , Rt = Ct + I t + Gt . En este modelo Gt representa el gasto público correspondiente al año. En el ejemplo siguiente, las ventas de una empresa se explican a partir de un índice de la actividad económica general (A) y de la inversión en publicidad (P) V t = α + β1 At + β2 Pt + εt . Por lo tanto, un modelo econométrico está formado por: – una o varias ecuaciones o relaciones estructurales, – las variables explicativas y explicadas, – los parámetros (α y β) a estimar, y, por último, – un conjunto de observaciones o datos necesarios para el proceso de estimación.

3 1.2 ELEMENTOS DE UN MODELO ECONOMÉTRICO

4

6.


En función del número de ecuaciones, un modelo econométrico puede ser – uniecuacional, o – multiecuacional. Algunas de las ecuaciones no contienen parámetros a estimar ni perturbación aleatoria, y se denominan identidades contables. En este texto se estudian inicialmente los modelos uniecuacionales tanto de tipo estático, o sea, con datos no temporales o de corte transversal, como los de tipo dinámico, en los que las variables se observan en distintos instantes del tiempo.

7.

En cada ecuación, la variable explicada se denomina endógena y se representará en general con la letra Y. Una variable es endógena si es influida por alguna otra variable del modelo (endógena o no). En un modelo uniecuacional existirá una sola variable endógena, que no puede influir en las variables explicativas o predeterminadas. Estas variables predeterminadas son causa de la variabilidad de la variable endógena; si el modelo es dinámico, las variables predeterminadas pueden ser de dos tipos: – exógenas, o variables explicativas que no son influidas por otras variables del modelo, y – endógena retardada, que es la variable endógena medida en uno o varios instantes anteriores. Si el modelo uniecuacional es estático, las únicas variables explicativas o predeterminadas son las exógenas. En un modelo multiecuacional, las variables explicativas de una ecuación pueden ser las predeterminadas y/o las otras variables endógenas. Por ejemplo, en el modelo multiecuacional formulado al principio de este apartado las variables endógenas o explicadas son el consumo Ct, la inversión It y la renta Rt. La única variable exógena es el gasto público Gt; además de ésta, existe otra variable predeterminada o explicativa que es la renta retardada Rt – 1. En el ejemplo de modelo uniecuacional de las ventas (Vt) de una empresa, ésta es la única variable endógena, siendo ambas variables predeterminadas, At y Pt, de tipo exógeno.

8.

En definitiva, el carácter exógeno o endógeno de una variable depende del modelo en el que interviene, y se establece en función de consideraciones económicas sobre las relaciones causa-efecto especificadas en ese modelo.

9.

Los parámetros o coeficientes a estimar en un modelo se denominan estructurales porque representan el efecto directo o estructural de cada variable explicativa (predeterminada o endógena, en modelos multiecuacionales) sobre cada variable endógena o explicada. Son cantidades fijas o constantes que se deben estimar a partir de los datos de las variables. Los modelos se clasifican en lineales o no lineales en

función de los parámetros; por ejemplo son modelos lineales los siguientes Y = α + βX + ε ln Y = α + β X + ε 1/Y = α + β 1 X + β 2 X 2 + ε , y, en general, si las funciones f(·) y g(·) son conocidas, también es lineal el modelo f (Y) = β 0 + β 1 g 1(X 1 , …, X k) + … + β r g r(X 1 , …, X k) + ε , ya que mediante el cambio de variables Y * = f (Y)

x 1* = g 1(X 1 , …, X k), …,

x r* = g r(X 1 , …, X k)

se convierte en el hiperplano Y * = β 0 + β 1 x 1* + … + β r x r* + ε . Un modelo no lineal (con relación a los coeficientes) es, por ejemplo, Y = αε βξ + ε . Aunque el modelo siguiente, que es aproximadamente igual al anterior Y = α * e β* x ε * se convierte en lineal tomando logaritmos: ln Y = ln α * + β * x + ln ε * = α ** + β * x + ε ** . Otros modelos no lineales no son siempre linealizables siguiendo un procedimiento como el anterior. 10.

Las perturbaciones aleatorias ε son términos que se introducen en cada ecuación estructural (salvo en las identidades contables) para tener en cuenta la no exactitud del modelo. Representan el efecto de otras variables explicativas no incluidas en el modelo. Los valores estimados u observados de estas perturbaciones se denominan residuos.

11.

Los datos o información estadística sobre las variables del modelo se usan para estimar los coeficientes o parámetros estructurales. El conjunto de datos disponible es generalmente una muestra aleatoria tomada de una población o colectivo, al que se trata de aplicar el modelo estimado; en este caso se está ante un problema de inferencia es-

5 1.2 ELEMENTOS DE UN MODELO ECONOMÉTRICO

6

tadística, y cada una de las observaciones debe ajustarse al modelo. Por ejemplo, en el caso de un modelo uniecuacional simple que es


Yi = α + β xi + εi

i = 1…n

y las perturbaciones ε1, ε2, …, εn tienen el carácter de variables aleatorias, sobre cuya distribución probabilística se realizan a priori algunas hipótesis o restricciones lógicas, como por ejemplo E(ε i) = 0,

V (ε i) = σ ε2 ,

Cov(ε i ,ε i′) = 0,

i = 1…n ∀ i ≠ i′

e incluso se supone que se ajustan a una ley Normal. En otras ocasiones, menos frecuentes, las n perturbaciones ε1, ε2, …, εn son simplemente los errores o residuos asociados a cada caso. Las variables que intervienen en un modelo econométrico pueden

12.

ser – numéricas o – categóricas. Es muy frecuente que se introduzcan variables no numéricas como variables explicativas, para lo cual es preciso usar unas variables auxiliares o artificiales para codificar las distintas categorías. Por ejemplo, la variable sexo se codificaría con una variable artificial binaria (0 para un sexo y 1 para el otro). Sin embargo, si hay más de dos categorías, como en la variable aceptación de un producto (que puede ser nula, regular, buena o muy buena), serán precisas varias variables artificiales binarias. Incluso la variable endógena puede ser categórica, dando origen a los modelos Logit, Probit, Tobit o similares. 13.

Dependiendo que los valores de las variables se tomen en distintos instantes del tiempo, o que se tomen en un mismo instante pero se refieran a distintas personas, empresas o unidades experimentales, las variables y los modelos correspondientes se denominan dinámicos en el primer caso, y estáticos o de corte transversal en el segundo. Al estudiar modelos dinámicos se empleará el subíndice t para hacer referencia a los distintos datos, mientras que en los modelos estáticos es más frecuente usar el subíndice i. 1.3 FASES EN LA CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO

14.

Al plantear la estimación de un modelo econométrico es necesario disponer de información estadística de las variables que se utilizarán en la construcción de éste, y tener claros los objetivos perseguidos. En la elaboración de un modelo se distinguen tres fases: – especificación, – estimación de los parámetros y – contrastes diagnósticos o de validación.

15.

16.

En la fase de especificación se formula el modelo estructural, y para ello hay que decidir, en primer lugar, si habrá una sola variable endógena o, por el contrario, más de una. A continuación deben seleccionarse las variables explicativas de cada una de las ecuaciones del modelo y, por último, se formularán esas ecuaciones eligiendo la forma de cada una de ellas (lineal o no lineal). Es muy frecuente que en esta fase se planteen varios modelos alternativos, ya que, aunque se tenga una idea previa de la forma del modelo, es recomendable probar distintos modelos similares alternativos, incorporando todas o parte de las variables explicativas, con distintas formas funcionales, etc., hasta lograr el modelo definitivo. La fase de estimación de los parámetros estructurales se aborda una vez especificado el modelo. Los métodos de estimación dependerán del tipo de modelo. Si éste es uniecuacional, los métodos más usuales son: – el método de mínimos cuadrados ordinarios, – el método de mínimos cuadrados generalizados o de Aitken, y – el método de máxima verosimilitud. En el caso de modelos multiecuacionales, cada ecuación se puede estimar (si cumple unas condiciones de estimabilidad o identificabilidad) mediante unas variantes de los métodos anteriores: – el método de mínimos cuadrados bietápicos, o – el método de máxima verosimilitud con información limitada, y si todo el modelo es estimable o identificable, mediante – el método de mínimos cuadrados trietápicos, o – el método de máxima verosimilitud con información completa. Los estimadores obtenidos se juzgan en función de las propiedades de su distribución muestral, lo que se estudiará en capítulos sucesivos.

17.

En la fase de contrastes diagnósticos o de validación del modelo, se trata de comprobar si la especificación ha sido adecuada. Para ello se formulan una serie de contrastes de hipótesis sobre los coeficientes (β) de la forma H0 : β = 0 H1 : β ≠ 0 con objeto de confirmar la influencia de una variable explicativa, o de eliminarla del modelo. También se analizan los residuos o errores cometidos y se calculan medidas de ajuste del modelo estimado a los datos.

18.

Si en la fase de contrastes de validación el modelo no se considera adecuado (total o parcialmente), es necesario volver a la especificación inicial y modificarla, iniciando de nuevo todo el proceso. Cuando el modelo supere los distintos contrastes de validación, podrá ser

7 1.3 FASES EN LA CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO

8 INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS ECONOMÉTRICOS

utilizado para la previsión de las variables endógenas, o para interpretar económicamente los parámetros estructurales. 19.

A veces, la estimación de un modelo se realizará para estudiar la variación conjunta de dos o más variables, sin extrapolación de los datos. En estos casos, poco frecuentes, el ajuste mínimo cuadrático, las medidas de ajuste y el análisis de los residuos son suficientes, ya que no es posible aplicar contrastes de hipótesis en una situación puramente descriptiva. 1.4 DESARROLLO HISTÓRICO DE LA ECONOMETRÍA

20.

La Econometría se puede considerar como una rama de la Teoría Económica, en la que se utilizan métodos y técnicas de Estadística Matemática en la estimación de relaciones económicas. Su desarrollo histórico se remonta al final del primer tercio del siglo XX, o sea a una época en la que la economía de los principales países desarrollados entró en una fase depresiva. Fue precisamente este hecho uno de los motivos del aumento del interés de los Estados por mejorar su conocimiento cuantitativo de las economías nacionales, y por analizar las relaciones existentes entre macromagnitudes que dependían, en parte, de la política económica seguida.

21.

El 29 de diciembre de 1930 se funda en Cleveland (Estados Unidos) la Econometric Society y en 1933 se inicia la publicación de la revista Econometrica, donde se han publicado la mayoría de los avances teóricos y aplicados de la Econometría moderna. Algunos economistas insignes, como J. M. Keynes, criticaron los esfuerzos de J. Tinbergen en el campo de la modelización, aunque los hechos posteriores confirmaron al enfoque cuantitativo como la única vía posible en la conducción de la política económica de un país y en la evaluación de los impactos de las medidas tomadas. Fue precisamente Jan Tinbergen el autor del primer tratado sobre Econometría, publicado en 1949. Otras revistas básicas que contienen trabajos econométricos son: Journal of the American Statistical Association, Journal of Econometrics, International Economic Review, Journal of Time Series, Annals of Economic and Social Measurement, Review of Economic and Statistics, Review of Economic Studies, Journal of Financial and Quantitative Analysis, Journal of Marketing Research, Revista Española de Economía y otras.

22.

En el campo sectorial, los economistas del Ministerio de Agricultura de los Estados Unidos de América iniciaron en los años veinte varios trabajos de modelización aplicados a la formulación de la política agraria.

23.

La Comisión Cowles, creada en 1933, dirigida primero por J. Marshak y posteriormente por T. C. Koopmans, sentó las bases de la Econometría actual, a través de una serie de monografías en las que se exponen los nuevos métodos estadísticos desarrollados para resolver los problemas asociados a la estimación de los modelos econométri-

cos. Entre estas monografías cabe citar la número 10, Statistical Inference in Dynamic Economic Models, y la 14, Studies in Econometric Method. 24.

Ya en 1944, T. Haavelmo, en su libro The Probability Approach in Econometrics, defendió la naturaleza esencialmente estocástica de la Teoría Económica, en contradicción con el enfoque neoclásico que consideraba, quizás por influencia del gran desarrollo en el siglo XIX de las Ciencias Físicas, que la Economía estaba gobernada por una serie de leyes exactas, y que, si éstas no se llegaban a cumplir, era porque nuestro nivel de conocimiento sobre ellas era incompleto. Por primera vez se propuso un enfoque estadístico coherente para la Economía.

25.

En la primera mitad del siglo los métodos de cálculo se basaban en calculadoras mecánicas, lo que impidió aplicar el método de máxima verosimilitud en la estimación de modelos multiecuacionales; M. A. Girshik desarrolló el método de máxima verosimilitud con información limitada, siendo éste uno de los primeros métodos estadísticos que se creó para resolver un problema econométrico. También en los años cuarenta se estudió el problema de la identificabilidad o estimabilidad de las ecuaciones de un sistema multiecuacional, cuestión ésta común a otros métodos estadísticos como el análisis factorial o los modelos con variables latentes o no observables.

26.

Los modelos de series temporales, hoy en día incorporados a cualquier curso de Econometría, se remontan al Renacimiento italiano, en el ámbito de la Estadística Actuarial. Los aseguradores estimaban tendencias en las series utilizando el método de medias móviles. El método de mínimos cuadrados fue desarrollado por Gauss y Laplace en los últimos años del siglo XVIII, y en el XIX se establecieron los fundamentos del análisis de Fourier para representar series estacionarias como un agregado de funciones sinusoidales. El estadístico inglés G. U. Yule utilizó, en 1937, modelos autorregresivos, que fueron tratados de forma extensa por H. C. A. Wold en 1938. E . Slutsky mostró que el proceso de agregación sobre una serie aleatoria puede originar oscilaciones cíclicas, lo que constituyó el antecedente de los modelos ARMA introducidos por M. H. Quenouille en 1957. Unos años antes, D. Cochrane y G. H. Orcutt trataron la estimación de modelos con perturbaciones autorregresivas.

27.

Los modelos ARMA fueron difundidos en el mundo académico y empresarial por G. E. P. Box, yerno de Sir R. Fisher, y G. M. Jenkins, a partir de la publicación en 1970 de su libro Time Series Analysis, Forecasting and Control. En él, los autores proponen la utilización de los operadores diferencias (∇yt = yt – 1) y diferencias estacionales (∇syt = yt – s) para eliminar las tendencias en media y en la amplitud de ciclos estacionales en una serie. La familia de transformaciones propuestas por G. E. P. Box y D. B. Cox, en 1964, completan el proceso de análisis de series conocido como la metodología Box-Jenkins, en la que la tenden-

9 1.4 DESARROLLO HISTÓRICO DE LA ECONOMETRÍA

10

cia en varianza se elimina frecuentemente con una transformación simple, y los modelos ARIMA resultantes suelen ser escuetos, esto es, contienen muy pocos parámetros.


28.

Las previsiones obtenidas con estos modelos temporales son en muchas ocasiones más precisas que las calculadas mediante modelos econométricos multiecuacionales. En los años setenta y ochenta aparecieron numerosos artículos generalizando los modelos ARMA al caso multivariante, y obteniendo unos modelos de regresión dinámica uni o multiecuacionales de los que los modelos econométricos dinámicos con la especificación clásica son casos particulares.

29.

La aplicación de métodos bayesianos en Econometría se inicia con los trabajos de E. E. Leamer en 1978, y de N. M. Hill y A. Z. Zellner, aunque estos métodos no han tenido muchos seguidores en el campo de la aplicación práctica.

30.

Los modelos no lineales son muy frecuentes en el análisis económico y la estimación da origen a unos sistemas de ecuaciones no lineales que son en general resolubles utilizando métodos numéricos.

31.

Desde los últimos años de la década de los ochenta existen numerosos paquetes de programas para estimar modelos econométricos, tanto en equipos multiusuario de propósito general, como en microordenadores. La labor de construcción de modelos puede ser realizada por un colectivo cada vez más amplio de economistas, encontrándose las aplicaciones más diversas tanto en el ámbito empresarial (predicción económica, estudios de mercado, análisis de factores causales de micromagnitudes, etc.) como en la modelización macroeconómica. 1.5 FUENTES DE ESTADÍSTICAS ECONÓMICAS

32.

Numerosos organismos publican periódicamente datos estadísticos referidos a países o zonas geográficas, o a sectores económicos. Estos datos serán la fuente principal a la hora de elaborar modelos econométricos de tipo macroeconómico. Además de los Institutos Estadísticos, hay empresas e instituciones privadas que elaboran estadísticas económicas. En el ámbito empresarial, la recogida de datos a través de estudios de mercado o de las asociaciones sectoriales, además de la información contable producida internamente, constituye otra fuente de datos útiles en la elaboración de modelos.

33.

Algunos organismos, además de proporcionar estadísticas económicas, realizan previsiones de series macroeconómicas. Entre éstos cabe citar: – La O.C.D.E., que publica un cuadro macroeconómico y de balanza de pagos de cada país miembro, con periodicidad semestral.

– Las Naciones Unidas en el Link World Outlook, que realizan predicciones de indicadores económicos y de balanza de pagos de más de 100 países. – El servicio de predicción de Business International, que trata las estadísticas de comercio y predicciones trimestrales de las principales economías mundiales. – El Economic Forecast de la revista North-Holland, que realiza predicciones mensuales de las principales macromagnitudes de los países desarrollados. – El semanario The Economist, que publica desde hace años unos indicadores económicos de los países industrializados occidentales, y el Global Forecasting Service de su oficina de información, que produce previsiones y estadísticas de la mayoría de los países. 34.

De nuevo la revista The Economist, a través de su grupo editorial, edita numerosas publicaciones con estadísticas económicas. Entre éstas cabe citar las siguientes: – One Hundred Years of Economic Statistics, con datos macroeconómicos de numerosos países para el período 1900–1987. – Vital World Statistics, en la que se recogen datos socioeconómicos de los países integrados en las Naciones Unidas.

35.

La Organización de las Naciones Unidas publica una serie de datos estadísticos de los países miembros; cabe citar los siguientes: – Statistical Yearbook con datos demográficos, de contabilidad nacional, industria, energía y comercio internacional y otros datos de los países miembros. – International Trade Statistics Yearbook: contiene datos anuales de comercio exterior y de mercancías intercambiadas de más de 150 países. – UNCTAD Commodity Yearbook: con estadísticas anuales a nivel continental y nacional de consumo y comercio de bienes del sector primario. – Monthly Bulletin of Statistics: con datos mensuales y agregados trimestrales de estadísticas demográficas, ecológicas, producción industrial y minera, fuentes de energía, comercio y transporte.

36.

Existen numerosos Institutos Estadísticos cuya misión es la producción de estadísticas económicas. Así, la Comunidad Económica Europea tiene un Instituto Estadístico con sede en Luxemburgo encargado de producir estadísticas homogéneas de los doce países miembros. Cada uno de éstos tiene un organismo estadístico; en España, el I. N. E. produce estadísticas económicas a nivel nacional, y en las Comunidades Autónomas hay otros Institutos estadísticos. La Oficina de Estadística de la C. E. E. edita en disco óptico su anuario Eurostat con datos macroeconómicos de la Comunidad, Estados Unidos y Japón, con datos regionales comunitarios y de movimiento comercial.

11 1.5 FUENTES DE ESTADÍSTICAS ECONÓMICAS


37.

En España, además del I. N. E., el servicio de estudios del Banco de España produce un boletín estadístico mensual de datos monetarios y financieros; el Ministerio de Economía, a través de la Dirección General de Previsión y Coyuntura edita las estadísticas básicas de comercio y las relacionadas con la política económica, y dispone de un amplio banco de datos de series temporales relativas a la economía española. Además, varias empresas, entre las que hay que citar el Banco de Bilbao-Vizcaya, elaboran unos informes económicos anuales, y editan una revista con datos de coyuntura, así como una memoria bianual sobre la Renta Nacional y su distribución provincial. El I. N. E. tiene varias líneas de estadísticas de España; se incluyen aquí las básicas: a. Publicaciones generales – Anuario estadístico de España: obra que se publica desde 1858 con datos demográficos y económicos. – Boletín mensual de estadística: incluye además de datos socioeconómicos descripciones metodológicas. b. Estadísticas de población – Censos de población: proporcionan datos de la estructura social, demográfica y económica. Se realizan cada diez años. El último es de 1991. – Censo de viviendas: número de viviendas familiares por municipios. – Censo de edificios. – Padrón municipal de habitantes: se realiza cada diez años; el último es el de 1986. – Movimientos de población con datos demográficos. – Movimientos migratorios. – Encuesta de población activa de carácter trimestral. – Tablas de mortalidad. – Proyección de la población española hasta el año 2010. c. Estadísticas sociales – – – – – – – – –

Censos de centros asistenciales, sanitarios, benéficos y escuelas. Censo de bibliotecas. Censo electoral. Estadísticas de enseñanza a distintos niveles y de la investigación. Estadísticas diversas sobre libros, gastos en enseñanza, deportes, y otros. Estadísticas hospitalarias. Estadísticas judiciales. Encuestas de presupuestos familiares. Encuestas de indicadores sociales, sobre fecundidad, nutrición, etc.

d. Estadísticas económicas – Censo de locales. – Contabilidad Nacional de España. – Tablas input-output. – Evolución de las principales macromagnitudes económicas. – Contabilidad regional. – Indicadores estadísticos regionales. – La renta nacional y su distribución. – Índice de precios de consumo de España, la C. E. E. y O. C. D. E. Existen varias publicaciones metodológicas. – Encuesta de salarios en la industria y servicios. – Encuesta de coste laboral. – Estadísticas mercantiles: efectos impagados y protestados, suspensiones de pagos y quiebras, emisiones de capital. – Boletín trimestral de coyuntura con indicadores mensuales económicos y de coyuntura. e. Estadísticas agrarias e industriales – – – – – –

Censo agrario. Estadísticas estructurales. Censo industrial. Encuesta industrial y sobre sectores. Índice de precios industriales. Precios al por mayor.

f. Estadísticas del Sector Servicios – – – – – – –

Ventas a plazos. Ventas en grandes superficies. Encuesta de comercio interior. Comercio exterior. Estadísticas del sector financiero. Estadísticas de transporte. Estadísticas de turismo.

1.6 PAQUETES DE PROGRAMAS ECONOMÉTRICOS 38.

A partir de los años setenta se difunden rápidamente en ambientes académicos y empresariales varios paquetes de programas de ordenador para la estimación de modelos. Inicialmente, los paquetes estadísticos de uso general incluyen programas de regresión simple y múltiple, aunque no disponen de herramientas de validación típicamente econométricas. Más adelante surgen paquetes especializados en técnicas econométricas para la estimación de modelos dinámicos uni o multiecuacionales, y de series temporales.

39.

La clasificación de los paquetes de programas de ordenador en Econometría se puede realizar en función de dos criterios:

13 1.6 PAQUETES DE PROGRAMAS ECONOMÉTRICOS

14

– las técnicas que incluyen, y – el tipo de ordenador y sistema operativo sobre el que funcionan.


En general los paquetes estadísticos disponen de programas de regresión, de series temporales y de modelos con variables discretas, mientras que los programas econométricos incluyen además modelos multiecuacionales. Las técnicas de estimación de modelos con variables latentes no observables suelen estar en paquetes especializados. 40.

Los tipos de ordenador clásicos (microordenadores, miniordenadores y grandes sistemas de propósito general) tienen cada vez menos elementos diferenciadores. Aunque todavía hoy los microordenadores suelen ser máquinas que funcionan como equipos monousuario, las estaciones de trabajo y las redes de tipo cliente-servidor son los equipos básicos cada vez más usados, en detrimento de los miniordenadores y de las grandes máquinas. Los dos sistemas operativos más utilizados son el DOS y el UNIX. El primero tiene los entornos gráficos tipo Windows, que permiten la multitarea en microordenadores, y relacionados con éste y con amplia difusión, cabe citar el Windows 95 y NT, el OS/2 y los sistemas operativos en red de micros, como Novel; en equipos multiusuario, cada fabricante dispone de un sistema operativo propio, como, por ejemplo, VMS para equipos Digital, AOS en Data General, VM y VSE en sistemas IBM, etc. Pero la tendencia clara es la del uso generalizado en redes con el sistema UNIX, a veces con entornos gráficos como el X-Windows. Muchos paquetes econométricos funcionan en distintos equipos bajo sistemas operativos diversos.

41.

En primer lugar se citan los paquetes estadísticos de uso general: BMDP, SPSS, SAS, Minitab y otros. Existen versiones de éstos, no sólo bajo DOS, Windows y UNIX, sino también para la mayoría de los sistemas operativos de los diversos fabricantes. Otros paquetes estadísticos, como Statgraphics o Systat, se han desarrollado en microordenadores. Paquetes econométricos usuales son: el TSP, el SCA y el SAS/ETS, para ordenadores multiusuario y para microordenadores. En estos equipos existen numerosos programas econométricos y de predicción económica; cabe citar algunos como μTSP, Forecast Master, Autobox, Esp, FOCA, FORMAN, TRAMO, etc.

42.

En el siguiente cuadro aparecen algunas características de estos paquetes.

Nombre

Contenido

Sistemas

BMDP

Paquete estadístico general Modelos uniecuacionales y de series

DOS/Windows, UNIX y multiusuario

SAS SAS/ETS

Paquete estadístico general Modelo econométrico y de series


SPSS

Paquete estadístico general Modelos uniecuacionales y de series


SCA

Paquete econométrico y de series multivariantes

DOS, UNIX, y multiusuario

TSP

Paquete econométrico y de series

DOS, UNIX, y multiusuario

FORECAST MASTER

Paquete de series temporales y filtrado

DOS

AUTOBOX

Paquete de series temporales con especificación automática

DOS

μTSP y EViews

Paquetes econométricos y de series

DOS/Windows

SORITEC

Paquete econométrico y de series

DOS

ESP

Paquete econométrico

DOS y multiusuario

RATS

Paquete econométrico y de series temporales

DOS y UNIX

15 1.6 PAQUETES DE PROGRAMAS ECONOMÉTRICOS

ANEXO I. CÁLCULO DE PROBABILIDADES


1.

La mayor parte de los métodos econométricos se basan en la aplicación de técnicas estadísticas en las que, a partir de una muestra de datos, es preciso extrapolar o inferir los resultados de la modelización a una población mayor que la que ha generado la muestra. Es necesario pues recordar los conceptos básicos que se estudian en cursos de Estadística para poder aplicar y comprender los procesos de estimación de modelos econométricos.

2.

Los cursos de Estadística para economistas se dividen en tres partes: – Cálculo de Probabilidades. – Inferencia Estadística (Teoría de la estimación y contrastes de hipótesis), y – Métodos estadísticos. El Cálculo de Probabilidades es una rama del Análisis Matemático (en realidad, de la Teoría de la Medida) que estudia las situaciones en las que interviene el azar, o sea, aquellas en que la repetición de un experimento en las mismas condiciones produce efectos o resultados diversos. Así, se define la probabilidad de un suceso genérico A, Pr(A), como una función que toma valores en el intervalo [0; 1] y que representa la verosimilitud de ocurrencia de A. La Inferencia Estadística trata sobre la extrapolación a una población o colectivo de resultados obtenidos a partir de muestras aleatorias. Cabe recordar las cuestiones relativas a la estimación de parámetros de estos colectivos y los contrastes de hipótesis relacionados con las decisiones sobre los determinados valores posibles de los parámetros. Los métodos estadísticos engloban una serie de técnicas entre las que se incluyen el Análisis de Datos o Estadística Descriptiva (en la que se analizan conjuntos de datos y sus interrelaciones sin extrapolar los resultados a otros colectivos mayores), los Métodos de Estadística Multivariante, la teoría de Modelos (lineales o no), y, entre éstos, cabe considerar a los métodos econométricos.

3.

En Cálculo de Probabilidades se define una función de probabilidad por cada uno de los sucesos estocásticos A que pertenecen a un espacio de sucesos (con estructura de σ-álgebra) a partir de tres axiomas enunciados por el matemático ruso A. Kolmogorov: Pr ( A ) ≥ 0, para todo suceso A,

Pr(A i) =

∑ Pr(A ), i

i

si los sucesos A1, A2, … son incompatibles (disjuntos), y Pr(W ) = 1, siendo W el suceso cierto o conjunto que engloba a cualquier suceso. A partir de estos axiomas se construye, de forma deductiva, el Cálculo de Probabilidades; por ejemplo, los teoremas de la unión, la intersección, Bayes, etc. El concepto de independencia entre dos sucesos representa la idea de que la ocurrencia de un suceso A no influye en la probabilidad de ocurrencia de otro suceso B y se verifica que la ocurrencia conjunta de ambos cumple que Pr(A ∩ B) = Pr(A)Pr(B) si y sólo si ambos sucesos son independientes. 4.

El concepto de variable aleatoria surge al considerar una función real definida sobre el espacio de sucesos, o sea una función que asocia a un suceso un número real. Por ejemplo, al elegir al azar un bote de conservas en una cadena de producción elegimos el bote A (éste es el suceso estocástico que ha ocurrido), y definimos la variable aleatoria X = X(A) como el peso de dicho bote. El conjunto de valores que puede tomar una variable aleatoria X es su espacio muestral S. Generalmente S es un intervalo de valores reales o toda la recta real ⺢. Así, se puede suponer que el peso de un bote oscila entre 450 gramos y 550 gramos, siendo S = [450; 550] el espacio muestral de la variable aleatoria Peso del bote elegido al azar. Si se miden varias características sobre un suceso, se obtiene una variable aleatoria multidimensional o multivariante X. Por ejemplo, si se toma el peso del bote, X1, y el contenido en azúcar, X2, del producto envasado en él, se obtiene la variable bivariante ⎛ X 1⎞ X = ⎜ ⎟. ⎝ X 2⎠

5.

Las probabilidades asociadas a una variable aleatoria X se calculan a partir de su función de distribución F(x) = Pr(X ≤ x),

x ∈ S,

17 ANEXO I. CÁLCULO DE PROBABILIDADES

18

que mide la probabilidad acumulada hasta un determinado valor x. En el caso multivariante es


F(x) = F(x 1 , x 2 , …, x r) = Pr(X 1 ≤ x 1 ; X 2 ≤ x 2 ; …; X r ≤ x r) y el espacio muestral S es un subconjunto de ⺢r. 6.

Los dos tipos de variables aleatorias que suelen surgir en las aplicaciones son las variables (absolutamente) continuas y las discretas. Una variable continua tiene como espacio muestral S un subconjunto denso de ⺢ (o de ⺢2); por ejemplo, un intervalo. La densidad de probabilidad en el punto x se define mediante la función de densidad dF(x) f (x) = -------------, dx o si la variable es multivariante ∂ r F(x) f (x) = f (x 1 , x 2 , …, x r) = ------------------------------------- . ∂x 1 ∂x 2 … ∂x r Una variable es discreta si su espacio muestral S está formado por un conjunto discreto de puntos; en éstos se verifica que Pr(X = x) > 0,

x ∈ S = { x 1 , x 2 , … },

siendo idénticamente nula la probabilidad de ocurrencia de un valor x ∉ S. Por ejemplo, al lanzar un dado, es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y si éste es simétrico, Pr(X = x) = 1/6 para x = 1, 2, …, 6. 7.

En una variable aleatoria se pueden definir algunos parámetros característicos (aunque no siempre existen): – la media o esperanza de X de una variable aleatoria continua

μ = E(X )=

∫

+∞ –∞

x f (x) dx,

o discreta

μ = E(X ) =

∑ x Pr(X = x);

x∈S

– la varianza

σ2 = V ( X ) = E[ ( X – μ )2 ] = E( X2 ) – μ2,

o su raíz cuadrada positiva, σ, denominada desviación típica, que es una medida de dispersión de la distribución alrededor de la media μ; – los momentos y los momentos centrados

α i = E ( X i ),

μ i = E [ ( X – μ ) i ],


i = 1, 2, …

En el caso multivariante el vector de medias es ⎛ μ 1⎞ ⎛ E(X 1)⎞ ⎜ ⎟ = E(X ) = ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ μ r⎠ ⎝ E(X r)⎠ y la matriz de varianzas y covarianzas entre las distintas componentes de X es ∑ = V ( X ) = E [ ( X – ) ( X – )′ ] = ( X 1 – μ1 ) 2 = E

( X 1 – μ1 ) ( X 2 – μ2 ) … ( X 1 – μ1 ) ( X r – μr )

… ……… ……… ( Xr – μr ) ( X 1 – μ1 ) ( X r – μr ) ( X 2 – μ2 ) …

……… ( X r – μr ) 2

=

σ x21 σ x1 x2 … σ x1 xr =

σ x2 x1 σ x22 … σ x2 xr … … … … σ xr x1 σ xr x2 … σ x2r

En una variable univariante continua X, el cuantil de orden 1 – p es el valor xp que verifica F ( xp ) = 1 – p = 8.

∫

xp –∞

f (x)

f (x) dx.

El concepto de covarianza σXY entre dos variables aleatorias,

σ XY = E [ ( X – μ X ) ( Y – μ Y ) ] = E ( XY ) – μ X μ Y , está relacionado con la idea de asociación o dependencia entre ellas. El coeficiente de correlación ordinario de Pearson, es

σ XY ∈ [ – 1, 1 ] ρ XY = ------------σX σY y constituye una medida de asociación lineal entre las variables X e Y.

1–p xp

x

20

9.


La varianza de la variable aleatoria Y = aX + b, siendo a y b dos constantes reales, es

σ Y2 = V ( Y ) = a 2 V ( X ) y la matriz de covarianzas del vector aleatorio Y = AX + b, siendo A una matriz y b un vector de valores reales, es Σ Y = V ( Y ) = AV ( X )A′ = AΣ x A′ 10.

Al estudiar variables multivariantes, generalmente se persigue analizar las relaciones entre las variables marginales. Dos variables aleatorias X e Y son independientes si y sólo si la función de densidad (en el caso continuo) o de probabilidad (si son discretas) conjunta f(x, y) es igual a f ( x, y ) = f x ( x ) f y ( y ) ∀ x, y o sea que se puede hallar a partir de las distribuciones marginales de X e Y. Caso que no se verifique la relación anterior, las variables son dependientes o relacionadas. Si dos variables son independientes, el conocer un valor que ha tomado una de ellas no influye sobre las probabilidades calculadas para la otra variable, o sea que la primera no tiene poder predictivo sobre la segunda. Análogamente, la condición necesaria y suficiente de independencia de r variables aleatorias X1, X2, …, Xr es r

f ( x 1 , x 2 , …, x r ) =

∏ f (x ) j

j

∀ x ∈ Sx

j=1

siendo fj(•) la función de densidad o de probabilidad de Xj. Si dos variables X e Y son independientes, se verifica que

σ xy = 0

y

ρ xy = 0,

y por lo tanto están incorreladas. Aunque si dos variables están incorreladas, pueden ser dependientes (relacionadas no linealmente) o independientes. 11.

En las aplicaciones surgen variables aleatorias cuya distribución de probabilidad se parece o es similar al de algunas distribuciones teóricas. En Cálculo de Probabilidades se estudian una serie de variables discretas y continuas que están relacionadas con la construcción de modelos econométricos. Se reproducen a continuación las más usuales entre las discretas:

Distribución binaria: X ∈ B ( p )


La variable X toma los valores 1 y 0 con probabilidades respectivas p yq=1–p Pr ( X = 1 ) = p.

Pr ( X = 0 ) = q = 1 – p.

Por tanto su función de probabilidad es f ( x ) = Pr ( X = x ) = p x q 1 – x ,

x ∈ S = { 0 ,1 }.

Esta variable se utiliza en modelos logísticos (o Probit, o Tobit) cuando la variable endógena representa una situación de decisión entre dos alternativas.

f (x)

p q

Distribución m-aria: X ∈ M(p 1 , p 2 , …, p m) La variable X tiene por función de probabilidad f ( x ) = Pr ( X = x ) = p 1x1 p 2x2 … p mxm , siendo x1 + x2 + … + xm = 1

p 1 + p 2 + … + p m = 1,

y

y las variables marginales X j ∈ B ( p j ),

j = 1…m.

Esta distribución se usa con modelos logísticos de elección múltiple. Distribución binomial: X ∈ b(n, p) Su función de probabilidad es n f ( x ) = Pr ( X = x ) = ⎛ ⎞ p x q n – x , ⎝ x⎠

x ∈ S = { 0, 1, …, n },

en la que es q = 1 – p. Si se tienen n variables binarias e independientes, Xj ∈ B(p), j = 1 … n, se verifica que X = X1 + X2 + … + Xn ∈ b(n, p). Distribución de Poisson: X ∈ P(λ) Se obtiene a partir de una variable binomial mediante el proceso de paso al límite cuando n → ∞,

np = λ ,

p → 0,

0

1

x

22

y es f (x) = Pr(X = x) = e –λ λ x /x!,


12.

x ∈ S = { 0, 1, 2, … }.

Las variables aleatorias continuas más usuales son: Distribución rectangular o uniforme: X ∈ R(a, b)

f (x)

La función de densidad es 1 f ( x ) = ----------- , b–a

1 b–a

x ∈ S = ( a, b ).

Distribución Normal tipificada: X ∈ N(0, 1) a

b

x

Su función de densidad es 1 f ( x ) = ---------- e –0 ,5x 2 , 2π

f (x)

x ∈ S = ( – ∞, + ∞ ).

Distribución Normal general: X ∈ N(μ ; σ 2) Se obtiene a partir de la distribución de Z ∈ N(0, 1) mediante la transformación lineal X = μ + σZ, y su función de densidad es x

1 f (x) = ----------e – 0,5 ( x – μ ) 2 / σ 2 , 2π

x ∈ S = ( – ∞, + ∞ ).

Su media es μ y su varianza σ2. Distribución chi-cuadrado: X ∈ χ 2( g)

f (x)

Se obtiene como suma del cuadrado de g variables Z j ∈ N(0, 1), j = 1 … g, independientes N(5, 22)

X = Z 12 + Z 22 + … + Z g2 . Su función de densidad es

μ=5

x

1 0,5x x 0,5 g – 1 , f (x) = ------------------------------e 2 0,5 g Γ ( g/2 )

f (x)

x ∈ S = ( 0, + ∞ ),

y su media y varianza son

N(5, 0,42)

μ = g

σ 2 = 2g.

El parámetro g se denomina grados de libertad y debe ser positivo. La función Γ ( ⋅ ) se define a partir de la integral μ=5

x

Γ(z) =

∞ –t e 0

∫

siendo Γ(0) = 1 y Γ(0 ,5) =

t z – 1 dt = ( z – 1 )Γ ( z – 1 ),

π.

23 f (x)

f (x)


x2(2)

x2(6)

x

x

Distribución t de Student: X ∈ t( g)

f (x)

Su función de densidad es parecida, en su forma, a la de la distribución N(0, 1) Γ(0,5g + 0,5) f (x) = -------------------------------- [ 1 + x 2 /g ] – 0,5 ( g + 1 ) , g π Γ(0,5g)

x ∈ S = ( – ∞, + ∞ ). x

Si el valor de g es grande, prácticamente coincide con la distribución N(0, 1). Su media es 0 y la varianza σ2 = g/(g – 2), si g > 2. La variable X se puede definir a partir de las dos variables independientes Z ∈ N(0, 1) y V ∈ χ 2( g) mediante el cociente Z X = ---------------- . V/g Distribución F de Snedecor: X ∈ F(n, d)

f (x)

Se define a partir de dos variables aleatorias independientes, Y ∈ χ 2(n)

y

F (4, 8)

Z ∈ χ 2(d),

mediante la expresión

x f (x)

Y/n X = -----------, Z/d siendo n y d dos parámetros denominados grados de libertad del numerador y del denominador. Su función de densidad es

F (8, 4)

x

( n/d ) 2 Γ(0,5n + 0,5d) f (x) = -------------------------------------------------------- x 0,5n – 1 ( 1 + nx/d ) – 0,5 ( n + d ) Γ(0,5n) Γ(0,5d) para x ∈ S = ( 0, + ∞ ). De la definición anterior se deduce que la variable

V = 1/X ∈ F(d, n)


y las funciones de distribución de X y V verifican que F x(x) = 1 – F V(1/x). Estas expresiones son útiles a la hora de manejar tablas estadísticas. La media de X y su varianza son, para d > 2 y d > 4, respectivamente, 2d 2 ( n + d – 2 ) d y μ = -----------σ 2 = --------------------------------------. d–2 n(d – 2) 2 ( d – 4 ) Distribución beta: x ∈ β(a, b) Su función de densidad es

f (x)

β(3, 4)

1 f (x) = -----------------x a – 1 ( 1 – x ) b – 1 , β ( a, b )

x ∈ S = ( 0, 1 ),

y su media es

μ = a/ ( a + b ), 0

siendo la función

1x

β(a, b) = 13.

∫

1 0

t a – 1(1 – t) b – 1 dt = Γ(a)Γ(b)/Γ(a + b).

La distribución multivariante más usual es la Normal tipificada Z ∈ N (0 n ; I n) cuyo vector de medias es

z = E(Z) = ( 0, 0, …, 0 )′ = 0 n y su matriz de covarianzas es la matriz unidad de orden n Σz = In Su función de densidad es 1 f (z) = -----------------n- e – 0,5z′z ( 2π)

z ∈ ⺢n

La distribución Normal general X ∈ N( , ) tiene por función la densidad

1 - e – 0,5 ( x – )′Σ –1 ( x – μ ) , f (x) = ---------------------------------n ( 2 π ) detΣ

25

x ∈ ⺢n,


siendo su vector de medias y ∑ su matriz de covarianzas. Por ejemplo, si X = ( X 1 , X 2 )′ ∈ N ( , Σ ) es

1 f (x 1 , x 2) = --------------------------------------------- e 2 2 π σ x1 σ x22 – σ x21 x2

⎛x – μ ⎞ ⎛x – μ ⎞ ⎛x – μ ⎞ 2 0,5 ⎛ x1 – μ1⎞ 2 1 2 2 1 2 2 – ------------------------- ⎜ ------------------⎟ – 2 ρ x x ⎜ ------------------⎟ ⎜ ------------------⎟ + ⎜ ------------------⎟ ⎜ ⎟ 1 2 ⎜⎝ σ x ⎟⎠ ⎜⎝ σ x ⎟⎠ ⎜⎝ σ x ⎟⎠ 1 – ρ x2 x ⎝ σ x ⎠ 1 1 2 2 1 2

.

Si X ∈ N ( , Σ ), la variable Z = Σ 0,5 ( X – ) ∈ N ( 0, I ). Otras propiedades de esta distribución son: – Las distribuciones marginales de X son variables Normales X j ∈ N(μ j , σ x2j ),

j = 1…n.

– Una combinación lineal de Y = AX + b de X es una variable Normal Y ∈ N(A + b; AΣ x A′). – Si Z ∈ N(0 n , I n) y A es una matriz idempotente de rango g, entonces es Y = Z′AZ ∈ χ 2( g). – Si A y B son dos matrices cuadradas tal que AB = 0, las formas cuadráticas xAx y xBx son independientes, y el recíproco es cierto (Teorema de Craig).

ANEXO II. MÉTODOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS EN ECONOMETRÍA


1.

Al tomar un conjunto de n datos y 1 , y 2 , …, y n en el colectivo Y, los dos objetivos más usuales son: – la descripción de este conjunto, resumiendo la información contenida en ellos, o – la extrapolación de resultados a todo el colectivo Y del que provienen los datos. En el primer caso se está ante un problema de Estadística Descriptiva o de Análisis de Datos, mientras que en el segundo se trata de una cuestión de inferencia Estadística o Estadística Matemática.

2.

3.

Generalmente en Econometría se tratan problemas paramétricos en los que se persigue la obtención de información sobre algunos parámetros (que se designan mediante θ) del colectivo Y; otros métodos no paramétricos tratan de responder a preguntas tales como la siguiente: ¿provienen los datos de una población Normal? Los problemas paramétricos son de dos tipos: – de estimación de parámetros, o – de contrastes de hipótesis. En ambos casos se considera una población Y cuya distribución es conocida en su forma salvo un parámetro θ; su función de densidad (o de probabilidad, si Y es discreta) se representa mediante f (y) = f (y; θ). Al tomar una muestra aleatoria simple (genérica) de tamaño n en Y, Y 1 , Y 2 , …, Y n

o

Y,

resulta que ésta es una variable aleatoria n-variante de función de densidad (o de probabilidad) conjunta n

f (y 1 , y 2 , …, y n) =

∏ f (y ; θ) = L(θ), i

i=1

denominada función de verosimilitud. Generalmente se maneja una función de la muestra, o estadístico, T = t(Y 1 , Y 2 , …, Y n),

que es una variable aleatoria en el muestreo, y cuya distribución depende de θ. 4.

En un problema de estimación se trata de construir un estadístico estimador del parámetro θ,

θˆ = θˆ (Y 1 , Y 2 , …, Y n), que tenga unas buenas propiedades muestrales. Cuando se toma una muestra concreta, y 1 , y 2 , …, y n , el estimador toma un valor numérico θˆ (y 1 , y 2 , …, y n) denominado estimación de θ. 5.

Son propiedades deseables de un estimador las siguientes: – Insesgadez: un estimador se denomina insesgado o centrado si verifica E [ θˆ (Y ) ] = θ, o sea, si no produce desviaciones sistemáticas al tomar muestras repetidas. – Consistencia: si al aumentar indefinidamente el tamaño muestral, se cumple que

θˆ (Y )

P

θ,

el estimador es consistente. – Eficiencia: es una propiedad que se refiere a la varianza de un estimador alternativo θˆ2 a otro estimador θˆ1 . Si ambos estimadores son insesgados y V [ θˆ1(Y ) ] ≤ V [ θˆ2(Y ) ],

∀θ,

el estimador θˆ1 es más eficiente que θˆ2 . Como ambos son insesgados será preferible el primero al segundo, pues aquél producirá, con mayor probabilidad, estimaciones más precisas. – Suficiencia: si un estimador contiene toda la información muestral respecto de θ, se dice que es suficiente. Las propiedades deseables anteriores se refieren al estimador, no a las estimaciones obtenidas a partir de muestras concretas. 6.

Los métodos habituales para construir estimadores, o sea las funciones θˆ (Y ), son el de máxima verosimilitud y el de mínimos cuadrados. Ambos se basan en la definición del estimador optimizando una función

27 ANEXO II. MÉTODOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS EN ECONOMETRÍA

que depende de θ (y de la muestra). También se pueden construir estimadores de forma intuitiva, coincidiendo a veces éstos con los obtenidos por métodos analíticos. El método de máxima verosimilitud consiste en maximizar la función de verosimilitud L(θ) = L(θ ; y 1 ; …; y n) con respecto a θ max. L(θ) = L(θˆ ),


θ

siendo θˆ = θˆ (Y ) el estimador máximo verosímil. El método de mínimos cuadrados se basa en la minimización de la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores muestrales, y en los valores estimados con el modelo supuesto para la población n

min S(θ) = min θ

θ

∑ ( y – yˆ ) i

i

2

= S(θˆ ).

i=1

Ambos métodos producen estimadores razonables, aunque no siempre gozan de todas las propiedades deseables, pero si el tamaño muestral n → ∞, se verifica que

θˆ (Y )

e.D.

N(θ ; FCR(θ)),

donde FCR(θ) es la función determinada por la cota de Frechet-Cramer-Rao d ln L(θ ; Y ) 2 FCR(θ) = 1/E ⎛ -------------------------------⎞ , ⎝ ⎠ dθ por lo que, asintóticamente, estos estimadores son óptimos, aunque para muestras pequeñas, la situación habitual en Economía, no se cumplen estas propiedades. 7.

En el caso de estimación por intervalo, se trata de determinar dos estadísticos θ1(Y) y θ2(Y) tales que Pr [ θ 1(Y ) < θ < θ 2(Y ) ] = 1 – α . El intervalo de confianza 1 – α es un intervalo numérico, I 1 – α = ( θ 1(y), θ 2(y) ), en el que se tiene una confianza 1 – α que éste contenga el verdadero valor desconocido θ.

8.

Un contraste o test de hipótesis se formula como una decisión entre dos alternativas referidas a posibles valores del parámetro θ :

H0 : θ ∈ 両0 ,

29

H1 : θ ∈ 両1 .


Por ejemplo, al diseñar un control de calidad referido al peso medio (θ = μ) de unas latas de conservas se plantea la cuestión de elegir las hipótesis que se contrastarán, el tamaño de la muestra y la forma en que ésta se obtendrá. En este caso las hipótesis podrían ser H0: El peso medio es μ ≥ 500 gramos H1: El peso medio no supera esta cantidad, μ < 500 y el tamaño de la muestra n de 20 latas elegidas al azar en la cadena de producción. Las hipótesis deben ser excluyentes; H0 es la hipótesis nula y H1 la hipótesis alternativa. La regla de decisión para decidir entre H0 y H1 se basa en un estadístico muestral, T = t(Y 1 , Y 2 , …, Y n), para el que se definen dos regiones: C0 o región de aceptación de H0, C1 o región crítica o de aceptación de H1. Así, al tomar una muestra concreta y1, y2, ..., yn, si t(y) ∈ C 0 se acepta H 0 , y si t(y) ∈ C 1 se acepta H 1 . 9.

Surgen en este punto varias cuestiones: – ¿Qué estadístico T es conveniente tomar? (Puede haber más de uno.) – ¿Cómo se construye la regla de decisión C0 y C1? – ¿Qué propiedades tiene, o cómo se comporta esta regla de decisión? El estadístico T se puede construir generalmente de forma intuitiva (por ejemplo, si el test es sobre μ, se tomará la media aritmética x muestral), o usando la función de verosimilitud mediante la razón de verosimilitudes T = max L(θ)/max L(θ). θ 両0

θ

La regla de decisión {C0, C1} se definirá a partir de la distribución muestral de T(Y) y de las propiedades que se quiere que éste tenga.


Estas propiedades se resumen en una función denominada curva operativa característica, que determina la probabilidad de tomar una decisión errónea en cualquier circunstancia: c(θ) = Pr(aceptar H 0) = Pr(T ∈ C 0) Si es cierta la hipótesis H0, para θ ∈ 両 0 es c(θ) = Pr(T ∈ C 0 ⁄ H 0) = 1 – Pr(T ∈ C 1 ⁄ H 0) = 1 – Pr(error I) y si es cierta H1, para θ ∈ 両 1 es c(θ) = Pr(T ∈ C 0 ⁄ H 1) = Pr(error II) O sea, se comete error de tipo I cuando se rechaza H0 siendo ésta cierta, y error de tipo II si se acepta erróneamente H0. El nivel de significación, α, es la máxima probabilidad de cometer error de tipo I, y si se fija a priori un valor de α y un tamaño muestral, la regla de decisión de nivel α. {C0, C1}α con respecto al estadístico T permite decidir, con un riesgo máximo α de cometer error de tipo I. Por lo tanto, al plantear un test de hipótesis hay que tener en cuenta varios elementos: – la población generadora de la muestra y su forma, – las hipótesis que se desean contrastar, – el diseño experimental a aplicar, o sea, el tamaño muestral y la forma en que se toman los datos, – el nivel de significación como medida del riesgo de cometer error de tipo I, – el estadístico T que se va a usar, y sobre el que hay que estudiar su distribución muestral; con este estadístico se construye la regla de decisión al nivel de significación elegido. Tras estos pasos, se procede a tomar la muestra concreta, se calcula el valor del estadístico y se decide. También se suele calcular la probabilidad límite, p, o nivel de significación límite a partir del cual se cambia el sentido de la decisión. Gráficamente, el esquema de un test de hipótesis es el siguiente:

31

10.

Población Y D(θ)

Hipótesis H0, H1

Nivel de significación α

Muestra genérica Y1, …, Yn

Estadístico T(Y) y su distribución

Regla de decisión C0, C1 de nivel α

Muestra concreta Y1, …, Yn

Valor de T t(y)

Decisión: Si t C 0 ⇒ H0 t C1 ⇒ H 1

Los problemas más frecuentes de estimación de parámetros se refieren a medias, varianzas, covarianzas, correlaciones y proporciones. Para estimar la media μ se usa como estimador la media muestral 1 x = --n

n

∑x , i

i=1

que es insesgada, y asintóticamente N(μ, σ2/n), aunque la población generadora de la muestra no sea Normal. El estimador insesgado de la varianza σ2, es la cuasi-varianza muestral 1 s 2 = -----------n–1

n

∑ (x – x ) , i

i

2

i=1

pues la varianza muestral

s2

1 = --n

n

∑ (x – x ) i

i

2

i=1

verifica que E(s2) = σ2 – σ2/n, o sea es un estimador sesgado. Para estimar la covarianza y el coeficiente de correlación entre dos muestras apareadas, ( xi , yi )

i = 1…n,

se usa la covarianza muestral y el coeficiente de correlación ordinario o de Pearson


32

1 s xy = --n


n

∑ ( x – x ) ( y – y ), i

i

i=1

s xy r xy = ---------, sx sy aunque las propiedades muestrales de estos estimadores son más complejas que las de x. 11.

En los contrastes no paramétricos el proceso que se sigue es idéntico al de un test paramétrico, aunque el concepto de distribución muestral es distinto.

12.

A continuación se expone un ejemplo de test de hipótesis en el que se introducirá el concepto de probabilidad o nivel de significación límite, p, útil para evitar el tener que consultar tablas estadísticas.

Se trata de contrastar si el peso medio del envasado de una lata es de 500 gramos o inferior, para lo cual se decide la toma de una muestra de 20 latas y se desea operar a un nivel de significación = 0,05.

Los elementos del test son: 1. Población: se supone que los pesos Y de las latas se distribuyen según una ley Normal de parámetros μ y σ2 desconocidos. 2. Hipótesis a contrastar: H 0 : μ = 500 g, H 1 : μ < 500 g. 3. Diseño muestral: muestra aleatoria simple de tamaño n = 20 latas Y1, Y2, …, Y20. 4. Nivel de significación: α = 0,05 (el error de tipo I consiste en rechazar un lote por falta de peso, cuando es correcto). 5. Estadístico del test: se basa en Y = ( Y 1 + Y 2 + … + Y 20 )/20 y se determina por el método de la razón de verosimilitudes. También se puede tomar el estadístico Y–μ Y–μ T = --------------- = -----------------. S/ 20 S/ n 6. Regla de decisión de nivel α: se determina a partir de la distribución muestral de T si se supone cierta H0 Y – 500 T H 0 = ------------------- ∈ t(20 – 1). S/ 20

La regla de decisión (de nivel α = 0,05) es de tipo unilateral (en este caso) C 0 = ( – t α ; + ∞ ) = ( – t 0,05 ; + ∞ ) = ( – 1 ,73; + ∞ ),

33 ANEXO II. MÉTODOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS EN ECONOMETRÍA

C 1 = ( – ∞; – t ∞ ) = ( – ∞; – t 0,05 ) = ( – ∞; – 1 ,73 ). Si las hipótesis a contrastar fuesen H 0 : μ = 500

H 1 : μ ≠ 500,

y

el test sería bilateral y C0 = (–tα/2, tα/2) = (–2,09; 2,09) y C1 el complementario de C0. 7. Obtención de la muestra concreta: por ejemplo, al elegir 20 latas se obtienen los pesos en gramos siguientes: 478 495

491 499

488 505

495 485

501 490

498 504

490 490

499 510

495 498

506 495

a partir de lo cual se calcula y = 495,6

y

s = 7,7283.

Obsérvese que todo el planteamiento del test se ha formulado sin los datos. 8. Aplicación de la regla de decisión C0 = (–1,73, +∞); C1 = (–∞, –1,73) a partir del estadístico que se calcula con la muestra y – 500 495,1 – 500 t = ------------------ = ------------------------------ = – 2,55 s/ 20 7,7283/ 20 y como t ∉ C 0 = ( – 1,73; + ∞ ) se concluye que el peso medio de las latas es inferior a 500 gramos a un nivel de significación α = 0,05. El cálculo de la probabilidad límite para el test unilateral, p, se realiza a partir de tablas de la distribución t de Student, T ∈ t(19) p = Pr(T < – 2,55) = 0,0098 y como es

f (t)

p = 0,0098

<

α = 0,05

resulta que se acepta la hipótesis alternativa, a este nivel de significación sin necesidad de tener que buscar el correspondiente cuantil en unas tablas de la distribución t(19). En general, para cualquier valor α > p, se rechaza H0 y se acepta H1, mientras que si es α > p se acepta H0 a nivel α.

p = 0,0098

– 2,55 – 1,73

t


Conociendo el valor de p, no es necesario determinar numéricamente C0 y C1; la mayoría de los paquetes estadísticos proporcionan la probabilidad límite de los contrastes que aparecen en los listados de salida. En el caso que el contraste anterior hubiese sido bilateral, la probabilidad límite se definiría mediante la expresión p = Pr(T > – 2,55 ) = 0,0098 + 0,098 = 0,0196

En los paquetes de programas de ordenador suele venir calculado este valor de p, por lo que si se desea realizar un test unilateral, hay que dividir por dos el valor que aparece en el listado de salida (si la distribución del estadístico del test es simétrica).

EJERCICIOS PROPUESTOS

35 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. La demanda de un producto agrícola depende de su precio y de la comercialización. La oferta es función, además del precio, de su cotización en la campaña anterior y de las condiciones climáticas. Formular el modelo económico correspondiente, indicando qué variables son endógenas o dependientes del modelo, y cuáles son exógenas a éste, y plantear el modelo econométrico asociado a este modelo económico. 2. La función de producción de una empresa se puede formular mediante el modelo no lineal P = β 0 T β2 C β2 + ε en el que T y C representan las cantidades de los factores trabajo y capital empleados. Se trata de estudiar la elasticidad εP/T = d ln P/d ln T de la producción respecto del factor trabajo, y qué condiciones deben cumplir β1 y β2 para que los rendimientos sean constantes a escala. 3. En el modelo econométrico C = α + βR R = C+I+G en el que el consumo (C) es función de la renta (R) y ésta se define agregando el consumo con la inversión (I) y el gasto público (G), las variables explicadas o endógenas son C y R. Plantear el modelo como econométrico y proponer algún modelo alternativo para representar estas variables. 4. En todo proceso inferencial se trata de obtener información sobre una población X a partir de una muestra aleatoria x1, x2, …, xn tomada en ésta. El diseño aleatorio simple o de muestreo independiente es el más usual si se persigue obtener información sobre un parámetro θ de la distribución de X. Describir las etapas del diseño experimental para un proceso de estimación de la media de X y para un test de hipótesis sobre este parámetro. 5. Comentar cómo se interpreta el coeficiente β en los modelos siguientes: y = α + βx y = α + β ln x y = αxβ

ln y = α + β x ln y = α + β ln x y = αβ x

2 Asociación entre variables. El método de mínimos cuadrados

2.1 MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE 1.

La evolución conjunta de dos variables económicas X e Y que están relacionadas causalmente, se representa mediante un modelo de la forma y = m(X) + ε , en la que se presupone que a. la variable X es exógena e influye sobre la variable endógena Y (la cual no es causa de la variación de X); b. la función m(x) es conocida, salvo algunos parámetros a estimar, y c. el término ε representa los errores cometidos con el modelo, y se considera que éstos no siguen una pauta predecible, o sea que oscilan aleatoriamente. Si se dispone de un conjunto de n observaciones ( yi , xi )

i = 1 … n,

de las variables X e Y, el método de mínimos cuadrados permite estimar los parámetros de la función m(x). Al no formular ninguna hipótesis adicional sobre el modelo, los resultados obtenidos sólo serán aplicables a los n datos disponibles, y el enfoque será descriptivo. 2.

En el capítulo siguiente se considerará una situación más general en la que las n observaciones constituyen una muestra aleatoria obtenida de una población o colectivo más amplio. Para poder extrapolar a éste los resultados obtenidos a partir de los datos, se utilizan técni-

37

38

cas de estimación y de contrastes de hipótesis habituales en el campo de la Estadística Matemática.

ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES. EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

3.

Los dos tipos de modelos más usuales de regresión simple son los lineales, en los que Y = α + βX + ε, y los no lineales, aunque el método de mínimos cuadrados se aplica por igual a ambos, por ejemplo el modelo exponencial Y = αeβX + ε, es no lineal o también el de Hoerls Y = α X β e γ X + ε. Inicialmente se estudiará el modelo lineal, y posteriormente se tratarán los modelos no lineales, algunos de los cuales son linealizables mediante transformaciones muy simples.

4.

El modelo de regresión simple Y = α + βX + ε se estima a partir de las n observaciones (yi, xi), i = 1 ... n, y si se designan mediante a = αˆ y b = βˆ los valores de los parámetros o coeficientes de regresión obtenidos a partir de los datos, resultan las expresiones

Y yi

yˆ i

yˆ = a + bx

y i = a + bx i + e i = yî + e i

ei

i = 1 … n,

que indican que todos los puntos del modelo cumplen su ecuación, y los residuos ei , i = 1 … n, xi

X

representan la parte de variabilidad de la variable endógena Y que no es explicada por la variable exógena X. Para obtener las estimaciones de los coeficientes de regresión, el criterio de mínimos cuadrados consiste en minimizar la función n

n

S(α , β) =

∑

i=1

ε i2

=

∑ ( y – α – βx ) i

i=1

i

2

con respecto a α , β. Así se obtiene

39 2.1 MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

n

∑e

min S(α , β) = S(a, b) = α, β

2 i

= Se ,

i=1

siendo n

∑

1 --( xi – x ) ( yi – y ) n s xy i=1 b = ------ = -------------------------------------------------, n s x2 1 --( xi – x ) 2 n

∑

i=1

a = y – bx donde sxy la covarianza entre las variables, s x2 la varianza de X, y x e y las medias de los datos. Para obtener las expresiones anteriores basta igualar a cero las derivadas parciales ⭸S ------- = ⭸α ⭸S ------ = ⭸β

n

n

⭸ εi

∑ 2 εi -----⭸α

= –2 ∑ εi

i=1 n

⭸ εi

∑ 2 εi -----⭸β

i=1

i=1 n

= –2 ∑ εi xi i=1

y sustituyendo los valores a estimar α y β por sus estimaciones a y b, y las perturbaciones εi por los residuos ei, resulta el sistema de ecuaciones normales n

∑ ei

n

∑ ei xi

= 0

i=1

= 0,

i=1

en las que al sustituir las expresiones de los residuos e i = y i – yˆ i = y i – a – bx i resulta n

na + n

∑ xi a +

i=1

∑ xi b =

n

∑ yi

i=1

i=1

n

n

∑ xi2 b =

i=1

∑ xi yi

i=1

(2.1)

40

y despejando b es


∑ yi

n

∑ xi ∑ xi yi n ∑ xi yi – ( ∑ xi ) ( ∑ yi )- = b = -------------------------------------- = ---------------------------------------------------------n ∑ x i2 – ( ∑ x i ) 2 n ∑ xi ∑ xi ∑ xi2

n

1 --- ∑ x i y i – xy n = --------------------------------- = 1 --- ∑ x i2 – x 2 n

1 --- ∑ ( x i – x ) ( y i – y ) n s xy i=1 ------------------------------------------------ = ------. n s x2 1 --- ∑ ( x i – x ) 2 n i=1

Análogamente, a partir de la primera ecuación normal, n

n

∑ ei

= 0 =

∑ ( yi – a – bxi )

i=1

i=1

dividiendo por n, se obtiene y = a + bx. 5.

Las expresiones (2.1) de las ecuaciones normales permiten enunciar los siguientes corolarios: a. El valor medio de los residuos se anula e = 0. b. La recta de regresión pasa por el punto de coordenadas ( y, x ), o sea por el centro de gravedad de los n puntos. c. El valor medio de los valores estimados yˆ i = a + bx i

i = 1…n

coincide con el de los datos yi, i = 1 … n yˆ = y ya que n

n

n

i=1

i=1

i=1

1 1 1 y = --- ∑ ( a + bx i + e i ) = --- ∑ yˆ i + --- ∑ e i = yˆ + 0 n n n

d. El coeficiente de correlación entre los residuos y la variable X es cero, o sea que la variable X no sirve para explicar (linealmente) las variaciones residuales

41

r ex = 0,

2.1 MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

pues s ex r ex = -------se sx y la covarianza sex se anula ya que 1 s ex = --n

n

1 ∑ ei ( xi – x ) = --n-

i=1

n

∑ ei xi – e x

(2.2)

i=1

y ambos sumandos se anulan, como se deduce de (2.1).

e. El coeficiente de correlación entre los residuos y la variable yˆ es cero r eyˆ = 0, pues n

n

n

n

i=1

i=1

i=1

i=1

1 1 1 1 s eyˆ = --- ∑ e i(yˆ i – y) = --- ∑ e i yˆ i = --- ∑ e i(a + bx i) = ae + b --- ∑ e i x i n n n n y ambos sumandos se anulan.

Ejemplo 1.

Ajuste de una recta de regresión

En una encuesta familiar se han tomado datos de la renta disponible (X) y de la cantidad dedicada a consumo de alimentos (Y), resultando las siguientes observaciones x y

212 40

152 32

155 35

121 33

96 26

185 37

68 25

126 27

y se trata de estudiar la relación entre ambas variables. En primer lugar es recomendable dibujar el diagrama de dispersión en el que se observa que al incrementarse los valores de la renta, suben, de forma aproximadamente lineal, los del consumo de alimentos, por lo que se considerará adecuado el modelo lineal y = a + bx + e

42 ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES. EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Y 45

yˆ

40 35

30

25 20

50

100

150

200

250

X

para representar la relación entre estos n = 8 datos. Si se desean realizar los cálculos manualmente, se calculan las medias 1 x = --- [ 212 + 152 + … + 126 ] = 139,375 8 1 y = --- [ 40 + 32 + … + 27 ] = 31,875 8 y las diferencias xi – x

yi – y

i = 1…8

resultando 1 s xy = --- [ ( 212 – 139,375 ) ( 40 – 31,875 ) + … + 8 + ( 126 – 139,375 ) ( 27 – 31,875 ) ] = 208,047 1 s x2 = --- [ ( 212 – 139,375 ) 2 + … + ( 126 – 139,375 ) 2 ] = 1906,484 8 y por lo tanto es b = 0,109 a = 16,666 siendo la recta de regresión y = yˆ + e = 16,666 + 0,109x + e Los residuos y valores estimados con el modelo se calculan sustituyendo en la ecuación estimada; por ejemplo yˆ 1 = 16,666 + 0,109 × 212 = 39,800 e 1 = y 1 – yˆ 1 = 40 – 39,8003 = 0,200 y análogamente se calculan el resto:

43

y e

2.2 MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE

39,800 33,253 33,580 29,870 27,142 36,854 24,086 30,415 0,200 –1,257 1,420 3,130 –1,142 0,416 0,914 –3,415 El lector deberá comprobar que se verifica: y = yˆ

e = 0

s eyˆ = 0

Con el modelo anterior, se puede realizar la predicción de consumo de una familia de renta x = 160 yˆ = 16,666 + 0,109 × 160 = 34,126 ya que el valor esperado de un residuo no observado es cero.

2.2 MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE 6.

La generalización del modelo de regresión simple, Y = α + βx + ε, se presenta cuando existen varias variables explicativas o exógenas x 1 , x 2 , …, x k que influyen sobre la variable endógena Y (sin ser influidas por ésta). El modelo lineal resultante es

x2 . . .

Y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + … + βk xk + ε , y sus coeficientes β0, β1, …, βk se estiman, utilizando el método de mínimos cuadrados, a partir de un conjunto de n observaciones ( y i , x 1i , x 2i , …, x k i )

i = 1 … n,

resultando la ecuación y i = b 0 + b 1 x 1i + b 2 x 2i + … + b k x ki + e i = yˆ i + e i

i = 1 … n,

en la que los coeficientes de regresión estimados y los residuos se evalúan numéricamente minimizando la función n

n

S(β 0 , β 1 , …, β k) =

∑

i=1

ε i2

=

∑ (y – β i

i=1

0

x1

– β 1 x 1i – … – β k x ki ) 2

xk

ε

yˆ

y

44

cuyo mínimo es


min. S(β 0 , β 1 , …, β k) = S(b 0 , b 1 , …, b k),

β0, …, βk

siendo los coeficientes de regresión b0, b1, ..., bk las soluciones del sistema de ecuaciones normales n

nb 0 +

∑

n

i=1 n

∑x

+

∑

+…+

∑x

i=1

i=1

…

…

…

n

n

∑

i=1

∑

1i x ki b k

=

i=1

i

∑x

1i y i

i=1

… n

x ki x 1i b 1 + … +

∑y

i=1 n

n

x 12i b 1

i=1

xki b0 +

n

xki bk =

i=1

n

1i b 0

∑

x 1i b 1 + … +

∑

n

x k2i b k =

i=1

∑x

ki yi

i=1

que es un sistema lineal de k+1 ecuaciones y k+1 incógnitas. Para comprobar que el mínimo de S(β0, β1, ..., βk) se alcanza resolviendo el sistema de ecuaciones anterior, basta calcular las derivadas parciales ∂S -------- = ∂ β0 ∂S -------- = ∂ β1

n

n

i=1

i=1

n

n

∂ εi = – 2 ∑ εi ∑ 2 εi -------∂ β0 ∂ εi = – 2 ∑ x 1i ε i ∑ 2 εi -------∂ β1

∂S -------- = ∂ βk

i=1

i=1

…

…

…

n

∂ εi

∑ 2 εi ------∂ βk

i=1

… n

= – 2 ∑ x ki ε i i=1

e igualando a cero estas derivadas (y sustituyendo εi por el residuo ei) resulta n

∑ ei = 0

i=1

n

∑ e i x 1i = 0

i=1

n

…

∑ ei xk

i

= 0,

(2.3)

i=1

y al sustituir e i = y i – b 0 – b 1 x 1i – … – b k x ki , se llega al sistema de ecuaciones normales. Es fácil comprobar que la matriz hessiana ∂2S H = -------------∂b i ∂b j

i, j = 0 … k

es definida negativa, o sea que las ecuaciones normales corresponden al mínimo de la función S(β0, β1, …, βk).

7.

Como corolarios del sistema de ecuaciones normales se enuncian los siguientes: a. El valor medio de los residuos se anula e = 0. b. El hiperplano de regresión pasa por el punto de coordenadas ( y, x 1 , …, x k ) y = b0 + b1 x1 + … + bk xk . c. El valor medio de los valores estimados es yˆ = y. Los tres resultados anteriores se deducen de la primera ecuación normal. d. El coeficiente de correlación entre cada variable xj, j = 1 ... k y los residuos e se anula r ex j = 0

j = 1 … k.

pues n

n

i=1

i=1

1 1 s ex j = --- ∑ e i ( x ji – x j ) = --- ∑ e i x ji – e x j , n n y ambos sumandos se anulan, como se deduce de (2.3).

e. El coeficiente de correlación (y la covarianza) entre la variable y los residuos es cero r eyˆ = 0 = s eyˆ , ya que yˆ es una combinación lineal de las variables x1, x2, ..., xk.

Ejemplo 2.

Modelo de regresión múltiple

Una entidad bancaria desea realizar previsiones sobre los recursos ajenos o pasivo de clientes que captan sus distintas oficinas y en un estudio previo se considera que el pasivo (y) de una sucursal depende del

45 2.2 MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE


número de personas (x1) que residen en el área de influencia de la oficina, y del número de oficinas próximas (x2) de otros bancos. Tras un proceso de recogida de datos en dieciséis oficinas, se obtienen los valores siguientes: Oficina

Pasivo

Población

Bancos

Oficina

Pasivo

Población

Bancos

1 2 3 4 5 6 7 8

9 492 55 541 51 915 67 574 16 664 47 528 22212 75376

12 600 43 500 38 200 38 000 13 700 32 800 22 300 49 600

10 22 25 33 22 25 18 26

9 10 11 12 13 14 15 16

73 477 37 315 35 361 18 926 36 633 73 045 18 589 30 338

44 300 28 900 32 400 21 600 29 800 43 200 17 500 29 400

30 21 17 14 23 29 13 19

y se trata de estimar el pasivo de cada oficina a partir de las otras dos variables. Para especificar el modelo se calcula en primer lugar la matriz de correlación entre las variables, obteniendo r yx1 = 0,952,

r yx2 = 0,8760,

r x1 x2 = 0,7579,

que permiten concluir que la variable x1 = Población va a tener una buena capacidad predictiva sobre el pasivo captado por una oficina. Sin embargo, el hecho de que la correlación entre el pasivo de una sucursal y el número de oficinas bancarias en su zona de influencia sea positiva y alta parece ser contradictorio con la situación de mayor competencia comercial que se da al crecer el número de oficinas. Esta situación conduce a pensar que el modelo y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ε no es el adecuado para predecir el pasivo de una oficina. No obstante si se considera que existen zonas urbanas donde hay una concentración de oficinas bancarias (el centro comercial de muchas ciudades) y otras (periféricas) donde éstas escasean, aunque la población de las primeras sea baja, y la de la segunda elevada, se concluye que existe un efecto interacción entre la población y el número de oficinas bancarias, o sea una influencia conjunta de estas dos variables. La interacción de x1 y x2 se representa mediante la variable auxiliar x 3i = x 1i x 2i

i = 1 … 16,

cuya relación con las otras variables se puede medir mediante los coeficientes de correlación r yx3 = 0,9944,

r x3 x1 = 0,9449,

r x3 x2 = 0,9077,

47

lo que induce a estimar el modelo y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x1 x2 + ε . Resolviendo el sistema de ecuaciones normales 16 b 0 + 347 b 1 + 477 800 b 2 + 11 617 800 b 3 = 669 956 347 b 0 + 174 141 400 b 1 + 11 617 800 b 2 + 42 703 250 000 b 3 = 24 458 850 000 477 800 b 0 + 11 617 800 b 1 + 8133 b 2 + 287 335 000 b 3 = 16 391 110 11 617 800 b 0 + 42 703 250 000 b 1 + 287 335 000 b 2 + 10 936 160 000 000 b 3 = 622 034 000 000

se obtiene el modelo y = 7771,42 + 0,032807x 1 – 496,35x 2 + 0,0603828x 3 + e, en el que la influencia de la población es positiva, y la competencia bancaria se manifiesta a través de los coeficientes de x2 (por cada oficina bancaria de la competencia cabe esperar que el pasivo disminuya en 496 millones) y de la interacción x3 = x1x2. Nótese que el número de cifras decimales de cada variable debe especificarse en función de los valores de ésta: la población (x1) se expresa con números de 5 cifras, por lo que el coeficiente de x1 incluye 6 decimales; el número de oficinas bancarias (x2) varía con dos cifras, por lo que no es necesario incluir más de dos o tres decimales en su coeficiente; la variable interacción x3 = x1x3 llega a tener 7 cifras, por lo que es necesario incluir más decimales en el coeficiente de regresión. El lector deberá calcular los residuos y comprobar que están incorrelados con las variables x1, x2 y x3. El modelo estimado se ajusta bien a los datos, aunque no es muy fiable, ya que las tres variables explicativas están relacionadas entre sí y esto origina inestabilidad en los coeficientes, lo que dificulta su interpretación económica. Si se cambia algún dato, como por ejemplo la variable Bancos en la oficina 14 se hace igual a 19, los resultados de la estimación cambian radicalmente, como deberá comprobar el lector. Este fenómeno se denomina multicolinealidad, y será tratado en capítulos posteriores.

2.3 MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE: NOTACIÓN MATRICIAL 8.

El modelo lineal de regresión múltiple y i = b 0 + b 1 x 1i + … + b k x k i + e i = yˆ i + e i , para i = 1 ... n, puede representarse utilizando la notación matricial siguiente

2.3 MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE: NOTACIÓN MATRICIAL

48

1 x 11 ⎛ y 1⎞ ⎜y ⎟ 1 x 12 2 y = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ y n⎠ 1 x 1n


… xk1

⎛ e 1⎞ b 0 … x k 2 ⎛ ⎞ ⎜ e 2⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = Xb + e = yˆ + e, … ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ bk ⎝ e n⎠ … xkn

en el que el vector de coeficientes b representa la estimación del vector de parámetros = (β0, β1, …, βk)′ del modelo teórico, que, en notación matricial es y = X + , siendo ε el vector cuyos elementos son las n perturbaciones aleatorias o errores del modelo. 9.

La estimación del modelo requiere minimizar la función n

S(β 0 , β 1 , …, β k) = S() =

∑ε

2 i

= ′ =

i=1

= ( y – X )′ ( y – X ) = = y′y – 2 ′X′y + ′X′X , para lo cual se igualan a cero las k + 1 componentes del vector dS() -------------- = – 2X′y + 2X′X , d resultando el sistema de ecuaciones normales X′Xb = X′y, y por lo tanto el vector de estimación b = ˆ es b = ( X′X ) –1 X′y. 10.

(2.4)

Es necesario que la matriz X sea de rango igual a k + 1, r(X) = k + 1,

(2.5)

ya que r(X) = r(X′X), y la matriz X′X es cuadrada de dimensión k + 1, por lo que para que pueda invertirse, o sea para que el sistema de ecuaciones normales sea resoluble, esta matriz debe ser regular o sea de rango igual a k + 1.

Además se supone que el número de observaciones es mayor que el de parámetros a estimar n > k + 1. 11.

El incumplimiento de la condición (2.5) de estimabilidad del modelo se denomina multicolinealidad. O sea que existe multicolinealidad si es r(X) < k + 1, en cuyo caso el modelo no es estimable. Por ejemplo, sea el modelo y = 100 + 2x 1 – 3x 2 + ε , y supóngase que x 1 = 5x 2 ; unos modelos equivalentes al anterior son por ejemplo los siguientes y = 100 + 3x 1 – 8x 2 + ε y = 100 + 4x 1 – 13x 2 + ε , por lo que, a partir de datos numéricos de las variables no sería posible estimar los coeficientes del modelo. La multicolinealidad se da pues cuando existen relaciones lineales entre las variables explicativas x1, x2, …, xk.

Ejemplo 3. Modelo de regresión simple en notación matricial

Con los datos del ejemplo 1 anterior, plantear el sistema de ecuaciones normales y estimar los coeficientes de regresión. El modelo con n = 8 datos se representa mediante la ecuación matricial: ⎛ 40⎞ ⎜ 32⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 35⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 33⎟ y = ⎜ ⎟ = ⎜ 26⎟ ⎜ 37⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 25⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 27⎠

1 1 1 1 1 1 1 1

e 212 ⎛ 1⎞ ⎜ e2⎟ 152 ⎜e ⎟ 121 ⎜ 3⎟ ⎛ b 0⎞ ⎜ e4⎟ 96 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = Xb + e e 185 ⎝ b 1⎠ ⎜ 5⎟ ⎜ e6⎟ 68 ⎜e ⎟ ⎜ 7⎟ 126 ⎝ e8⎠ 155

49 2.3 MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE: NOTACIÓN MATRICIAL

50

El sistema de ecuaciones normales se obtiene a partir de:


1 x1 X′X =

1 x2

1 1 … 1 x1 x2 … x8

1 x8 y1

X′y =

1 1 … 1 x1 x2 … x8

=

∑ xi ∑ xi ∑ xi2 8

=

8 1115 1115 170 655

⎛ ∑ yi ⎞ 255 ⎞ = ⎜ , ⎟ = ⎛⎝ 37 205⎠ ⎝ ∑ x i y i⎠

y2

y8

por lo que es b0 255 8 1115 = , 37 205 1115 170 655 b 1 de donde se deduce que b 0 = 16,667

12.

y

b 1 = 0,109 .

Las propiedades que se deducen del sistema de ecuaciones normales son las que ya se conocen, pues d d ′ dS() -------------- = ------- ( ′ ) = 2 -------- = – 2X′ , d d d por lo que al igualar a 0 y sustituir por e = y – Xb, resulta que Xe = 0 k + 1 , lo que permite deducir, a partir de la primera ecuación que n

∑x e

ji i

= 0

j = 1 … k.

i=1

En el ejemplo anterior, se recomienda al lector que compruebe que Xe = 0 2 . 2.4 MEDIDAS DE AJUSTE: COEFICIENTES DE DETERMINACIÓN 13.

El coeficiente de determinación r2 se define como el tanto por uno de la varianza s y2 de la variable endógena, explicado por el modelo, y

es una medida del grado de ajuste del modelo a los datos que han servido para estimarlo. Para formular este coeficiente se enuncia un resultado que se llamará teorema de descomposición de la varianza de la variable endógena y: la varianza de y, s y2 se descompone en dos sumandos positivos, la varianza s y2ˆ de los datos estimados yˆ , y la varianza de los residuos e o varianza residual s y2 = s y2ˆ + s e2 ,

(2.6)

siendo 1 s y2 = --n 1 s e2 = --n

n

∑

i=1 n

1 ( y i – y ) 2 = --- S y n

∑e

i=1

2 i

1 s y2ˆ = --n

n

∑ ( yˆ – y ) i

2

i=1

1 = --- S yˆ n

1 = --- S e . n

La demostración es puramente algebraica y parte de la identidad y i – y = ( yˆ i – y ) + ( y i – yˆ i ) = ( yˆ i – y ) + e i , en la que, si se elevan ambos miembros al cuadrado y si se suman las identidades resultantes para i = 1, 2, ..., n, resulta n

∑ ( yi – y ) 2

i=1

=

n

n

n

i=1

i=1

i=1

∑ ( yˆ i – yi ) 2 + ∑ ei2 + 2 ∑ ( yˆ i – y )ei ,

y al dividir por n estas sumas de cuadrados, es s i2 = s y2ˆ + s e2 + 2s eyˆ , pero en el último corolario del sistema de ecuaciones normales (apartado 2.2) se vio que s eyˆ = 0, por lo que se verifica (2.6). 14.

La variabilidad de y cuantificada mediante su varianza s y2 se descompone en dos sumandos: s y2ˆ asociado a la capacidad predictiva del modelo, y s e2 o residual (no explicada por las variables exógenas) y el coeficiente de determinación es s 2ˆ s e2 r 2 = ----y2- = 1 – ----2- = 1 – sy sy

n

n

∑ ∑ (y – y) . e i2 /

i=1

i

2

i=1

Los valores del coeficiente de determinación oscilan entre 0 y 1 r 2 ∈ [ 0; 1 ].

51 2.4 MEDIDAS DE AJUSTE: COEFICIENTES DE DETERMINACIÓN


Cuando es r2 = 1, resulta que s e2 = 0, y por lo tanto e1 = e2 = … = en = 0, o sea que el ajuste es perfecto: todos los puntos están en el hiperplano de regresión. En el otro extremo, si es r2 = 0, resulta que s y2 = s e2 , y los coeficientes de regresión se anulan, resultando el modelo yi = b0 + ei = y + ei , por lo que las variables exógenas (x1, x2, …, x ) no tienen capacidad k predictiva lineal sobre la variable endógena y.

Ejemplo 4.

Coeficientes de determinación

Con los datos del ejemplo 2 anterior vamos a estimar la capacidad predictiva de las variables x1 y x2 sobre la variable y. Al plantear el modelo con notación matricial, resulta ⎛ 5000 ⎜ ⎜ 5500 ⎜ ⎜ 7000 y = ⎜ 8000 ⎜ ⎜ 9500 ⎜ 10 000 ⎜ ⎝ 12 000

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1 1 1 1 1 1 1

76 82 90 102 103 105 99

8 9 10 12 13 14 16

⎛ b 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ b 2⎠

⎛ e 1⎞ ⎜e ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜e ⎟ ⎜ 3⎟ + ⎜ e 4⎟ = yˆ + e ⎜ ⎟ ⎜ e 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ e 6⎟ ⎜ ⎟ ⎝ e 7⎠

por lo que, al sustituir ⎛ – 1514,09⎞ ⎛ b 0⎞ ⎜ ⎟ b b = 1 = ⎜ – 11,071⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ b 2⎠ ⎝ 913,05⎠ se calculan los valores estimados y los residuos ⎛ 4949,2⎞ ⎜ 5795,8⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 6620,3⎟ ⎜ ⎟ yˆ = ⎜ 8313,6⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 9215,6⎟ ⎜ 10 106,5⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 11 999,0⎠

⎛ 50,8⎞ ⎜ – 295,8⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 379,7⎟ ⎜ ⎟ e = ⎜ – 313,6⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 284,4⎟ ⎜ 106,5⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1,0⎠

53

A partir de éstos se calcula, por ejemplo

s s2

1 s e2 = --- [ ( 50,8396 ) 2 + ( – 295,8 ) 2 + ( 379,686 ) 2 + ( – 313,604 ) 2 + 7 + ( 284,411 ) 2 + ( – 106,506 ) 2 + ( 1,0 ) 2 ] = 60 689,76, y como 7

1 1 s y2 = --- ∑ ( y i – y ) 2 = --- [ ( 5000 – 8142,86 ) 2 + ( 5500 – 8142,86 ) 2 + n 7 i=1

+ ( 7000 – 8142,86 ) 2 + … + ( 12 000 + 8142,86 ) 2 ] = 5 479 591,84 resulta que s y2ˆ = 5 479 591,84 – 60 689,76 = 5 418 902,08 aunque también se puede calcular directamente 7

1 1 s y2ˆ = --- ∑ ( yˆ i – y ) 2 = --- [ ( 4949,16 – 8142,86 ) 2 + ( 5795,81 – 8142,86 ) 2 + n 7 i=1

+ … + ( 11 999 – 8142,86 ) 2 ] = 5 418 902,08, y es 60 689,76 r 2 = 1 – ------------------------------- = 0,989, 5 479 591,84 lo que indica un buen grado de ajuste pues el 98, 9% de la variabilidad de y es explicada por el modelo. Como ejercicio adicional, se recomienda al lector que calcule el coeficiente de correlación simple entre las variables y e yˆ y que compruebe que 2 = r 2 = 0,994 2 = 0,989, r yy ˆ

o sea que el coeficiente de determinación es el cuadrado del coeficiente de correlación simple entre y e yˆ . Análogamente, se recomienda calcular la covarianza entre los residuos y los valores estimados yˆ .

15.

En el caso de un modelo de regresión simple se verifica que 2 = r2 . r 2 = r yx yyˆ

Su demostración se deja como ejercicio. 16.

El cambio de escala de medida en los datos no afecta al grado de ajuste de un modelo. Así, si en el ejemplo 4 anterior se dividen por 10 todos los datos de la variable x1, se tiene que x 1* i = x 1i /10

i = 1 … 7,

2.4 MEDIDAS DE AJUSTE: COEFICIENTES DE DETERMINACIÓN

54

entonces el modelo estimado es


yˆ i = – 1514,093 – 110,68x 1* i + 913,05x 2i , y r2 = 0,989. Análogamente, si se altera la escala de la variable endógena, como por ejemplo, definiendo y i* = 100y i

i = 1 … 7,

entonces el modelo resultante es y i* = – 151 409,3 – 1106,8x 1 + 91 305x 2 , y r2 = 0,988. Los residuos de este nuevo modelo serán e i* = 100e i

i = 1 … 7,

como deberá comprobarse con los datos proporcionados. 17.

Cuando se estiman varios modelos alternativos para explicar las variaciones de la misma variable endógena, como por ejemplo y = β0 + β1 x1 + ε y = β 0′ + β 1′ x 1 + β 2′ x 2 + ε ′ y = β ″0 + β ″1 x 1 + β ″2 x 2 + β ″3 x 3 + ε ″ y se calculan los coeficientes de determinación r2, r⬘2, r⬙2, se verifica que r 2 ≤ r′ 2 ≤ r″ 2 debido a que la proporción de la varianza de y explicada por las variables exógenas se incrementa al ir añadiendo nuevas variables, aunque éstas no sean realmente explicativas de y. Por lo tanto, si r2 se incrementa poco al añadir una nueva variable, surge la duda de si se puede prescindir de esta nueva variable, sin afectar al modelo. Otra situación se da cuando se estiman varios modelos con distinto número de variables, como por ejemplo y = β0 + β1 x1 + β6 x6 + ε y = β 0′ + β 1′ x 1 + β 3′ x 3 + β 4′ x 4 + ε ′ y se desea comparar los coeficientes de determinación.

18.

El coeficiente de determinación corregido n

∑

1 --------------------e i2 n – k – 1 2 s n–1 i=1 r 2 = 1 – ----e2- = 1 – ----------------------------------------- = 1 – --------------------- ( 1 – r 2 ) n n–k–1 sy 1 -----------( yi – y ) 2 n–1

∑

i=1

mide el grado de ajuste del modelo teniendo en cuenta el número de variables explicativas utilizadas, y se usa para comparar el grado de ajuste entre distintos modelos alternativos para una misma variable endógena. 2.5 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN 19.

El grado de asociación lineal entre dos variables numéricas X e Y se mide por su coeficiente de correlación (simple, ordinario o de Pearson), que se calcula a partir de un conjunto de n observaciones o puntos ( xi , yi )

i = 1…n

mediante la expresión n

∑

r xy

1 --( xi – x ) ( yi – y ) n s xy i=1 = --------- = ----------------------------------------------------------------------------n n sx sy 1 1 --( x i – x ) 2 --( y1 – y ) 2 n n

∑

∑

i=1

i=1

Un coeficiente de correlación toma valores en el intervalo [–1; +1]. Si es rxy = +1, los n puntos están alineados de forma creciente, y si es rxy = –1, de manera decreciente. y

y rxy = + 1

rxy = – 1

x

x

Si es rxy = 0, a las variables X e Y se las llama incorreladas y no existe relación lineal alguna entre ambas. y

y rxy = 0

rxy = 0

x

x

55 2.5 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN

56

En el caso de existir una relación lineal aproximada, el coeficiente de correlación tomará valores intermedios; por ejemplo


y

y rxy = 0,8

rxy = – 0,4

x

x

20.

Si la asociación entre ambas variables x e y no es lineal, no es válido usar como medida de asociación el coeficiente de correlación. Por ejemplo, de los siguientes datos

Y 40

x y

1 2

2 5

3 10

4 17

5 26

6 37

30

resulta que 20

r xy = 0,959 < 1

10

a pesar de que existe una relación (no lineal) exacta entre las variables x e y, ya que, como puede comprobarse fácilmente, y = x2 + 1. Análogamente, de los datos

0 0

1

2

3

4

5

6

7 X

x y

1 5

2 7,2361

4 8

6 2,7639

7 5

6 7,2361

4 2

2 2,7639

Y 9

que están situados sobre la circunferencia (x – 4)2 + (y – 5)2 = 9 se obtiene que

8 7 6

r xy = 0

5 4

a pesar de la relación exacta (no lineal) que existe entre las variables x e y.

3 2 1

21. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

X

Por último, con el siguiente conjunto de datos se verán las limitaciones del uso del coeficiente de correlación como medida de asociación, sin visualizar la información numérica disponible:

x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

y1

y2

y3

xx

4,26 5,68 7,24 4,82 6,95 8,81 8,04 8,33 10,84 7,58 9,96

3,10 4,47 6,13 7,26 8,14 8,77 9,14 9,26 9,13 8,74 8,10

5,39 5,73 6,08 6,42 6,77 7,11 7,46 7,81 8,15 12,74 8,84

19 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

57

yy

2.5 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN

12,50 6,89 5,25 7,91 5,76 5,56 7,04 6,58 7,71 8,84 8,47

Los gráficos de las once parejas de puntos siguientes ( x i , y 1i ) ( x i , y 2i ) ( x i , y 3i ) ( xx i , yy i ) para i = 1, 2, …, 11 se muestran a continuación: 15

15

Yˆ = 3 + 0,5X

Y1 10

10

5

5

0

0

5

10

15

X

20

0

0

5

10

15

X

20

15

15

Yˆ = 3 + 0,5X

Y3

10

5

5

0 0

5

10

Yˆ = 3 + 0,5X

YY

10

0

Yˆ = 3 + 0,5X

Y2

15

X

20

0

5

10

15 XX 20

58

Es fácil comprobar que


r xy1 = r xy2 = r xy3 = 0,667 = r xxyy , y que si se ajusta una recta de regresión a cada uno de los cuatro conjuntos de datos anteriores, se obtiene la misma recta yˆ = 3 + 0,5x. Es obvio que el conjunto de datos (x, y1) presenta una tendencia lineal, el conjunto (x, y2) una tendencia no lineal, pero en el conjunto (x, y3) existe un dato anormal, mientras que el resto están alineados. El último conjunto, (xx, yy), está formado por datos no relacionados entre sí y por un punto aislado, que es el que origina la relación aparente entre los datos. 22.

En algunas situaciones, dos variables x e y relacionadas entre sí están a su vez relacionadas con una tercera variable z. La influencia de z sobre x e y puede afectar a la relación que existe entre ellas. El coeficiente de correlación parcial rxy ⋅ z es una medida de la relación lineal existente entre x e y que elimina los efectos (lineales) de z sobre ambas. x z

ex rxy · z

rxy y

ey

Para definir el coeficiente de correlación entre x e y, parcial z, se estiman los dos modelos de regresión x i = a + bz i + e xi

i = 1 … n,

y i = a′ + b′z i + e yi

i = 1 … n,

y se define r xy ⋅ z = r ex e y , o sea como el coeficiente de correlación ordinario entre los residuos ex y ey, que representan respectivamente la variabilidad de x e y residual después de haber sido eliminada la influencia de z. Este coeficiente rxy ⋅ z se calcula también a partir de los coeficientes de correlación simple entre las tres variables r xy – r xz r yz r xy ⋅ z = ----------------------------------------- . 2 2 1 – r xz 1 – r yz

59

Análogamente, el coeficiente de correlación parcial


r xy ⋅ z1 z2 = r ex e y se define construyendo los modelos x = a + b1 z1 + b2 z2 + ex , y = a′ + b′1 z 1 + b′2 z 2 + e y . 23.

La influencia de la variable sobre x e y afecta a la relación medida por el coeficiente rxy; en algunos casos será rxy < rxy ⋅ z, ocultando z la relación existente entre x e y, y en otros, si rxy < rxy ⋅ z, el efecto de z es el de amplificar la relación existente aparente entre x e y. En todo caso, los coeficientes de correlación (ordinarios o parciales) son medidas de asociación lineal entre variables, y no implican relaciones de dependencia de una variable respecto de otra. Además, no hay que olvidar que una relación causal de dependencia o de interdependencia entre dos variables no se debe a que el coeficiente de correlación sea elevado, sino a la naturaleza de la relación económica subyacente.

Ejemplo 5.

Correlación simple y parcial

Se dispone de dos series temporales trimestrales del número de turistas (x) y de los vehículos vendidos (y) en un país durante 5 años resultando los datos siguientes: 1989

1990

1991

1992

1993

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

1060 1097 1102 1130

258 311 410 374

1109 1356 1366 1410

487 573 513 645

1670 1524 1712 1581

629 861 806 837

1585 1669 1678 1923

926 1008 1230 1139

1823 2101 1832 1917

1255 1377 1249 1378

y se trata de estudiar la relación entre estas dos series y la influencia del transcurso del tiempo sobre la asociación entre x e y. Al realizar el diagrama de dispersión (xt ,yt), t = 1, 2, …, 20, se observa una relación lineal clara entre ambas series,


Y 2500

1250

2000

1000

xt

1500 750

yt

1000 500

500

X

250 1000 1250 1500 1750 2000 2250

0 1989

1990

1991

1992

1993

y con el gráfico temporal, se comprueba que las dos crecen con el tiempo. El coeficiente de correlación entre ambas es s xy 103 679,3 r xy = -------- = --------------------------------------------------------- = 0,9334, sx sy 95 360,4 129 389,1 lo que indica una asociación lineal fuerte entre ambas variables. No obstante, no parece lógico pensar que el número de turistas influye en la venta de vehículos ni viceversa. La asociación entre estas series se puede deber al crecimiento global de la economía en el período considerado; esta tendencia, si es lineal, se puede representar con la variable zt = t

t = 1 … 20,

por lo que al calcular los coeficientes de correlación r xt = 0,9483

r yt = 0,9848,

y a partir de éstos el coeficiente de correlación parcial rxy ⋅ t resulta 0,9334 – 0,9483 ⋅ 0,9848 r xy ⋅ t ------------------------------------------------------------------- = – 0,0089, 1 – 0,9483 2 1 – 0,9848 2 lo que muestra una asociación prácticamente nula entre x e y cuando se elimina la influencia lineal de la variable tendencial t.

24.

Una medida de asociación monótona entre dos variables x e y es el coeficiente de correlación de Spearman rs. Para definirlo es preciso calcular los rangos de una muestra; por ejemplo, sea x 1 = 40,5

x 2 = 35,8

x 3 = 42,7

y los rangos de estas observaciones son

x 4 = 38,1

x 5 = 33,7

r x1 = 4

r x2 = 2

r x3 = 5

r x4 = 3

61

r x5 = 1,


o sea, los números de orden resultantes al ordenar de forma creciente estas observaciones. Al disponer de n parejas de datos ( xi , yi )

3 Y

i = 1…n 2

se pueden calcular los rangos de los valores de x y los de los valores de y, resultando ( r xi , r yi ) i = 1 … n. El coeficiente de Spearman, que se define como el coeficiente de correlación ordinario entre los rangos rx y ry, es igual a

1 rs = 1 0

0

5

rxy < 1 10

15

20 X 25

2,0 n

6

∑ (r

xi

– r yi ) 2

i=1 r sxy = r rx r y = 1 – ------------------------------------. n(n 2 – 1)

Si es rs = +1, la relación entre x e y es monótona creciente; si es rs = –1, es monótona decreciente; y si es rs = 0, no existe relación monótona ente x e y. Los dos primeros gráficos muestran una relación monótona exacta, por lo que es rs = 1 en el caso creciente y rs = –1 en el decreciente; en ambos casos la relación no es lineal, por lo que el coeficiente de correlación ordinario es, en valor absoluto, menor que la unidad. En el tercer gráfico se aprecia una relación creciente, por lo que rs > 0, y como aquélla no es lineal, se verifica que rs > rxy. El último gráfico corresponde a dos variables incorreladas, por lo que el coeficiente de correlación de Spearman y el ordinario se anulan. El coeficiente de correlación de Pearson se usa para detectar relaciones crecientes o decrecientes. No obstante, no hay que olvidar que la naturaleza de una relación causal entre dos variables es de tipo extra-estadística, y que en la interpretación de un coeficiente de correlación hay que recordar siempre que debe poder explicarse económicamente la presencia o ausencia de relación.

Y 1,5 1,0 0,5 rs = – 1 0,0

0

5

rxy < 0 10

15

20

25

2,0 Y 1,5 1,0 0,5 0 < rxy < rs < 1 0,0

0

10

20

30

40

50 X 60

15 Y 10

Ejemplo 6.

Coeficientes de correlación ordinario y de Spearman 5

Con los datos de las variables siguientes calcular los coeficientes de correlación simple y de Spearman.

rs = 0 0

0

10

20

rxy = 0 30

40

50 X 60


x

y1

y2

y3

y4

1060 1097 1102 1130 1109 1356 1366 1410 1670 1524 1712 1581 1585 1669 1678 1923 1823 2001 1832 1917

258 311 410 374 487 573 513 645 629 861 806 837 926 1008 1230 1139 1255 1377 1249 1378

50 51 51 52 49 50 52 53 54 53 55 54 53 56 56 59 59 66 60 61

18 20 18 20 16 20 20 16 14 16 16 17 17 13 12 7 14 8 13 9

144 137 136 132 135 106 105 103 104 100 107 101 101 104 105 131 117 145 116 130

Gráficamente se obtiene: Y1 1500

Y2 70

1250

65

1000

60

750

55

500

50

X 250 1000 1250 1500 1750 2000 2250

X 45 1000 1250 1500 1750 2000 2250

Y3 25 20

Y4 150 140 130

15

120 110

10

100

X 90 X 5 1000 1250 1500 1750 2000 2250 1000 1250 1500 1750 2000 2250

63

En el primer caso los rangos de la variable x son 1 15

2 10


3 11

5 12

4 14

6 19

7 16

8 20

13 17

9 18

4 13

3 14

5 16

7 15

6 18

9 19

8 17

12 20

y los de la variable y1 1 10

2 11

por lo que su coeficiente de correlación de Spearman es 6 - [ ( 1 – 1 ) 2 + ( 2 – 2 ) 2 + ( 3 – 4 ) 2 + … + ( 18 – 20 ) 2 ] = 0,9203. rs = 1 – -------------------------20(20 2 – 1) y el coeficiente de correlación ordinario o de Pearson 20

r xy1

1 ------ ∑ ( x 1i – x ) ( y 1i – y 1 ) 20 i=1 = ----------------------------------------------------------------------------------- = 0,9339. 20 20 1 1 ------ ∑ ( x i – x ) 2 ------ ∑ ( y 1i – y 1 ) 2 20 20 i=1

i=1

La tendencia es creciente y lineal, por lo que ambos coeficientes muestran el grado de asociación positivo entre las variables x e y1, y del mismo orden de magnitud, lo que es indicativo de la existencia de asociación lineal entre estas variables. Los rangos de y2 son 2,5 4,5 13 11,5

4,5 6,5 1 2,5 6,5 9 9 14,5 14,5 16,5 16,5 20

11,5 9 18 19

ya que al darse coincidencias en los valores y2, se toman los valores medios de los rangos que les corresponderían a los valores coincidentes, si éstos fueran ligeramente distintos. El coeficiente de correlación de Spearman entre y2 y x es 6 - [ ( 1 – 2,5 ) 2 + ( 2 – 4,5 ) 2 + … + ( 18 – 19 ) 2 ] = 0,9525, r s = 1 – -------------------------20(20 2 – 2) siendo el coeficiente de correlación simple o de Pearson r xy2 = 0,8921. La relación entre x e y2 no es lineal, aunque sí es aproximadamente monótona creciente, como indica el valor rs anterior. Análogamente, los rangos de y3 son 15,5 10,5

18,5 13,5

15,5 13,5

18,5 5,5

10,5 4

18,5 1

18,5 7,5

10,5 2

7,5 5,5

10,5 3

64

y el coeficiente de correlación de Spearman entre y3 y x es


6 - [ ( 1 – 15,5 ) 2 + ( 2 – 19,5 ) 2 + … + ( 18 – 3 ) 2 ] = – 0,8582, r s = 1 – -------------------------20(20 2 – 1) lo que denota una relación monótona decreciente entre x e y3. Análogamente, el coeficiente de correlación entre estas variables es r xy3 = – 0,83, lo que indica que la relación monótona anterior es aproximadamente lineal decreciente, ya que ambos coeficientes son muy similares. Por último los rangos de la variable y4 son 19 10

18 17 15 16 9 2,5 2,5 5,5 7,5 14

7,5 4 11 20

5,5 1 12 13

por lo que el coeficiente de correlación de Spearman entre y4 y x es 6 - [ ( 1 – 19 ) 2 + ( 2 – 18 ) 2 + … + ( 18 – 13 ) 2 ] = – 0,1317, r s = 1 – -------------------------20(20 2 – 1) o sea que no existe relación monótona creciente o decreciente entre estas variables. De igual forma se calcula r xy4 = – 0,2317, que indica que la relación lineal entre x e y4 es casi inexistente. En el gráfico que relaciona y4 con x se observa sin embargo que parece existir una relación funcional casi exacta entre estas variables, pero esta relación es no lineal. Al estimar el modelo cuadrático y4 = b0 + b1x + b2x2 + e resulta y 4 = 564,955 – 0,6084x + 0,000199x 2 + e, con el coeficiente de determinación r 2 = 0,997. Esta asociación no lineal y no monótona no ha sido detectada por el coeficiente de correlación simple de Pearson ni por el de Spearman, a pesar de ser casi exacta, lo que muestra las limitaciones de los coeficientes de correlación como medidas de asociación entre variables.

2.6 REGRESIÓN NO LINEAL 25.

Numerosas relaciones entre variables económicas son de tipo no lineal; así una función de producción de Cobb-Douglas

Y = α X 1β1 X 2β2 + ε , que representa la producción (Y) en función de los factores o inputs capital (X1) y trabajo (X2) es no lineal. Es necesario distinguir entre funciones no lineales respecto a: – las variables, y – los parámetros. En el ejemplo anterior, la función de Cobb-Douglas es no lineal respecto a las variables, pues depende no linealmente de éstas, y no lo es tampoco respecto a los parámetros α, β1 y β2. Si se considera ahora un polinomio de grado dos, o sea una parábola, Y = β0 + β1 X + β2 X 2 + ε se tiene que es una función no lineal respecto a la variable X, pero que es lineal en los parámetros. En general, el modelo no lineal respecto a las variables X1, X2, ...,

26.

Xk h(Y) = β 0 + β 1 h 1 ( X 1 , …, X k ) + … + β r h r ( X 1 , …, X k ) + ε , en el que las funciones h(y), h 1(x),…, h r(x) son conocidas, se linealiza mediante el cambio de variables Y * = h(Y)

X 1* = h 1(X 1 , …, X k),

…, X r* = h r(X 1 , …, X k),

resultando el modelo lineal Y * = β 0 + β 1 X 1* + … + β r X r* + ε . 27.

Otros modelos se pueden linealizar mediante una transformación. Así, por ejemplo, si se considera el modelo exponencial Y = αeβX + ε, se puede ignorar la existencia del término error (ε) y la ecuación resultante se linealiza tomando logaritmos ln Y = ln α + β X + ε * . En realidad este modelo no es igual al exponencial pues es Y = α e β X e ε* ,

65 2.6 REGRESIÓN NO LINEAL

en el que el término error e ε * actúa multiplicativamente, cuando en el modelo original el error ε es aditivo. Al aplicar el método de mínimos cuadrados al modelo linealizado, se obtienen unas estimaciones de ln α y β distintas (generalmente no muy distintas) de las calculadas si se utilizan mínimos cuadrados en el modelo no lineal original, en el que se minimiza la función


n

S(α , β) =

∑

n

ε i2

=

i=1

∑ ( y – αe i

β xi 2

) ,

i=1

para lo cual hay que resolver el sistema de ecuaciones normales igualando a cero las derivadas ⭸S ------- = ⭸α ⭸S ------ = ⭸β

n

∑

⭸ εi 2 ε i ------- = – 2 ⭸α

n

∑ ( y – αe

β xi

)e β xi

- = – 2 ∑ ( y – αe ∑ 2 ε -----⭸β

β xi

) α e β xi x i ,

i=1 n

⭸ εi

i

i=1 n

i

i

i=1

i=1

resultando las ecuaciones normales n

a

n

∑

e 2bxi =

∑e

xi =

a

i=1 n 2bx i

i=1

∑y e i

bx i

i=1 n

∑y x e i i

bx i

.

i=1

La resolución de éstas se realiza mediante procedimientos numéricos, pues no es posible despejar a = αˆ y b = βˆ directamente debido a su no linealidad. 28.

En general, si se puede transformar un modelo no lineal en otro que sea lineal, aunque éste sólo sea una aproximación al modelo original, es recomendable hacerlo, aunque hay que tener en cuenta que los dos modelos no son idénticos. Posteriormente, y si es posible, se recomienda estimar el modelo no lineal directamente, y compararlo con las estimaciones del modelo transformado.

Ejemplo 7.

Estimación de una función de producción

En la siguiente tabla aparecen los datos referidos a las importaciones en los Estados Unidos (y) en miles de millones de dólares, producto

67

nacional bruto (x1) e índice de precios al consumo (x2) durante el período 1972–1983. x1

x2

y

x1

x2

y

1186 1326 1434 1549 1718 1918

125,3 133,1 147,7 161,2 170,5 181,5

55,8 70,5 103,8 98,2 124,2 151,9

2164 2418 2632 2958 3069 3305

195,4 217,4 246,8 272,4 289,1 298,4

176,0 212,0 249,8 265,1 247,7 261,3

y se trata de construir un modelo para representar la evolución de las importaciones en función del producto nacional y del índice de precios al consumo. Después de ensayar varios modelos explicativos de las importaciones, tantolinealescomonolineales,sepruebaconunaformadetipoCobb-Douglas y t = β 0 x 1βt1 x 2βt2 + ε t , para el cual el sistema de ecuaciones normales se obtiene igualando a cero las primeras derivadas de la función 12

S(b 0 , b 1 , b 2) =

∑ et2 =

i=1

12

∑ ( yt – b0 x1b x2b ) 2 , 1 t

2 t

i=1

o sea 1 ⭸S – --- -------- = 2 ⭸b 0 1 ⭸S – --- -------- = 2 ⭸b 1 1 ⭸S – --- -------- = 2 ⭸b 2

12

∑ ( yt – b0 x1b x2b )x1b x2b 1 t

2 t

1 t

2 t

= 0

i=1 12

∑ ( yt – b0 x1b x2b )b0 x2b x1b 1 t

2 t

2 t

1 t

ln x 1t = 0

2 t

ln x 2t = 0,

i=1 12

∑ ( yt – b0 x1b x2b )b0 x1b x2b 1 t

2 t

1 t

i=1

resultando, al resolver el sistema anterior, y t = 8,12355x 10,429875 x 2–t 0,089698 t

+ et

t = 1 … 12

con un coeficiente de determinación r2 = 0,974. No obstante, los residuos sucesivos están relacionados, lo que indica que puede mejorarse el ajuste. El modelo de tipo Cobb-Douglas anterior es de tipo no lineal, pues la perturbación aleatoria εt es aditiva. Si se considera a ésta multiplicativa, entonces resulta un modelo parecido:

2.6 REGRESIÓN NO LINEAL


y t = β 0˙ x 1βt1 x 2βt2 ε t˙ , ˙

˙

que se linealiza tomando logaritmos neperianos y t* = ln y t = ln β 0˙ + β 1˙ ln x 1t + β 2˙ ln x 2t + ln ε t˙ = β 0* + β 1˙ x 1* + β 2˙ x 2* + ε t* . Al estimar por mínimos cuadrados este modelo lineal resulta ln y t = – 7,9369 + 2,55433 ln x 1i – 1,23367 ln x 2t + e t* , o sea y t = 0,000357x 12,55433 x 2– 1,23367 e t . t Como en este ejemplo el número de datos es n = 12, las estimaciones de los parámetros β0, β1 y β2 han resultado ser muy distintas de las de los parámetros β 0˙ , β 1˙ y β 2˙ del modelo linealizado mediante la transformación logarítmica. Posiblemente con un conjunto de datos mayor se habrían conseguido estimaciones parecidas.

29.

A continuación se representan algunos ejemplos de funciones no lineales: a. Funciones polinómicas Parábola: curva creciente o decreciente sin ningún tipo de inflexión: y = β0 + β1 x + β2 x 2 .

y

Cúbica: curva creciente o decreciente con un punto de inflexión; puede presentar un máximo y un mínimo relativo: x

y = β0 + β1 x + β2 x 2 + β3 x 3 . y

b. Funciones exponenciales: curvas con crecimiento acelerado con elasticidad constante; asintótico al eje x o a una recta horizontal: y = α e βx . y

y

x

β>0

β<0 x

x

c. Funciones potenciales: curvas con crecimiento o decrecimiento desacelerado: y = α + β ln x.

69 2.6 REGRESIÓN NO LINEAL

y

y

β>0

β<0 x

y

x

d. Funciones logísticas: curvas con crecimiento entre dos asíntotas horizontales: 1 y = α + ----------------------------------------- . β + y exp ( – δ x ) e. Funciones de Hoerls: curvas con un máximo y decrecientes asintóticamente:

x

y

y = α x β e yx . 30.

En definitiva, existen numerosos tipos de funciones no lineales, y en cada caso, al construir un modelo econométrico, será necesario detectar la variación no lineal. Si es posible, mediante una transformación de variables, el modelo se linealizará, y si no lo es, habrá que especificar la forma funcional no lineal, y emplear un método numérico para resolver el sistema de ecuaciones normales resultante. Los paquetes de programas T. S. P. y μT. S. P. disponen de instrucciones para estimar modelos lineales y no lineales. La mayoría de los programas estadísticos contienen modelos de regresión lineal y no lineal.

x

ANEXO I. ÁLGEBRA MATRICIAL


1.

Una matriz A está formada por un conjunto de elementos aij que se disponen en forma de tabla rectangular

a 11 a 12 … a 1n A =

a 21 a 22 … a 2n

= a ij .

… … … … a m1 a m2 … a mn La dimensión de la matriz es dim (A) = ( m, n ), siendo m es el número de filas y n el de columnas. Un vector v es una matriz de dimensión (m, 1), y sus elementos son v1 v =

v2 vm

.

La matriz A traspuesta de A se obtiene permutando las filas por las columnas de A. 2.

Las operaciones básicas que se realizan con matrices de igual dimensión son la adición y la substracción. Por ejemplo, C = A+B es una matriz cuyo elemento genérico (i, j) se obtiene mediante c ij = a ij b ij .

3.

Si A y B son de dimensiones dim (A) = ( m, k )

dim (B) = ( k, n ),

entonces el producto C = AB origina una matriz de dimensión (m, n), cuyo elemento genérico (i, j) se obtiene mediante el producto escalar del vector fila i-ésima de A por el vector columna j-ésima de B

71

k

c ij = fila i ( A ) columna j ( B ) =

∑

a ir b rj .

i=1

Por ejemplo, si v = ( v 1 , v 2 , …, v m )′, el producto escalar m

v′v =

∑v

2 i

i=1

y v 12 vv′ =

v1 v2 … v1 vm

v 1 v 2 v 22 … v 2 v m

.

… … … … v 1 v m v 2 v m … v m2 Es fácil comprobar que la matriz traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de las traspuestas en orden inverso ( AB ) = B′A′ 4.

( ABC )′ = C′B′A′.

Una matriz A de dimensión (n, n) se denomina cuadrada de orden n y su determinante es una función de los elementos aij de A. Por ejemplo, si A es de orden 2, su determinante es det (A) = a 11 a 22 – a 12 a 21 , y si es de orden superior se calcula de la siguiente forma: sea Mij la submatriz de A obtenida eliminando o truncando la fila i-ésima y la columna j-ésima de A y sea A ij = ( – 1 ) i + j det ( M ij ), el denominado adjunto del elemento (i, j). Así, sea la matriz A de orden 3, como por ejemplo 3 0 –7 A = –1 4 5 , 6 3 2 y tomando i = 1 (o cualquier otro valor de i) det (A) = 3A11 + 0A12 – 7A13


72

y


A 11 = + det 4 5 = 8 – 15 = – 7 32 A 12 = – det – 1 5 = – 32 6 2 A 13 = + det – 1 4 = – 27, 6 3 entonces se obtiene det (A) = – 21 + 189 = 168. Análogamente se calcula el determinante de una matriz de orden superior n

det (A) =

∑a

ij

A ij ,

i=1

siendo el resultado idéntico para cualquier valor j = 1, 2, 3, …, n. 5.

La matriz inversa A–1 de una matriz cuadrada A es otra matriz del mismo orden que verifica A – 1 A = I n = AA – 1 , en la que In es la matriz identidad de orden n

In =

1 0 … 0

0 1 … 0

0 0 … 0

… … … …

0 0 … 1

= diag ( 1, 1, …, 1 ).

Esta matriz es igual a 1 A – 1 = ------------------- A ji , det ( A ) o sea la matriz traspuesta de los adjuntos Aij de los elementos de A dividida por el determinante de A. Por ejemplo, sea

73

3 0 –7 A = –1 4 5 6 3 2


y det (A) = 168, siendo A 11 = det 4 5 = – 7 32

A 12 = – det – 1 5 = 32 6 2

A 13 = det – 1 4 = – 27 6 3

A 21 = – det 0 – 7 = – 21 3 2

A 22 = det 3 – 7 = 48 6 2

A 23 = – det 3 0 = – 9 63

A 31 = det

0 – 7 = 28 –4 5

A 33 = det

3 0 = 12 –1 4

A 32 = – det

3 –7 = –8 –1 5

por lo que

1 A – 1 = --------168

– 7 – 21 28 32 48 – 8 . – 27 – 9 12

Deberá comprobar el lector que AA–1 = I3 = A–1A. Si el determinante de A es distinto de cero, se llama a la matriz A regular y existe la matriz inversa; en caso contrario, A es singular y no existe la matriz A–1, aunque se puede definir otra matriz, B, denominada inversa generalizada, que verifica que ABA = A. 6.

Algunas propiedades del determinante se enuncian a continuación: a. El determinante de la matriz traspuesta de A es igual al de A det ( A′ ) = det ( A ). b. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es det ( AB ) = det ( A ) det ( B ). c. El determinante de la inversa de A es

74

det ( A – 1 ) = 1/det ( A ).


d. Si una línea (fila o columna) de A es una combinación lineal de varias líneas paralelas a ésta, entonces se verifica que A es singular, y es det ( A ) = 0. El lector deberá comprobar los resultados anteriores con varios ejemplos numéricos. 7.

Unas propiedades de la matriz inversa son: a. La inversa de la matriz traspuesta es ( A′ ) – 1 = ( A – 1 )′. b. La inversa de un producto de matrices es ( AB ) – 1 = B – 1 A – 1 .

8.

El rango de una matriz A de dimensión (n, m) es igual al orden de la submatriz cuadrada B de mayor orden que sea regular. Así, si A es una matriz cuadrada de orden n regular, su rango es r (A) = n. y si es singular r (A) < n. Por ejemplo, sea 301 A = 301 789 y det (A) = 0, luego r (A) < 3, pero si se toma la submatriz de orden 2 B = 30 , 78 cuyo determinante es 24, o sea que es regular, se tiene que r (A) = r (B) = 2. Como ejercicio, el lector deberá comprobar que para cualquier matriz A se verifica que

r (A′A) = r (A) = r (AA′).

75 ANEXO I. ÁLGEBRA MATRICIAL

9.

La traza de una matriz es la suma de los términos de su diagonal principal n

tr ( A ) =

∑a

ij

i=1

y cumple las propiedades tr (A + B) = tr (A) + tr (B) tr (AB) = tr (BA), como podrá comprobar numéricamente el lector. 10.

Al manejar funciones de varias variables, es posible considerarlas como una función de un vector (o de una matriz) y = f (x 1 , …, x k) = f (x), y se define la derivada vectorial de y con respecto a x mediante el vector columna de k componentes ⭸f -------⭸x 1 ⭸f -------dy df (x) ⭸x ------ = ------------ = 2 . dx dx ⭸f -------⭸x k A partir de esta definición se deducen varias propiedades: a. Si f(x) es una constante, o sea no depende de x, es df ------ = 0 k , dx siendo 0k = (0, 0, …, 0)⬘ un vector columna formado por k ceros. k

b. Sea la forma lineal f (x) = x =

∑x β

j j

j=1

f d ------ = , dx como se deduce sin más de la definición de derivada vectorial.

c. Considérese la forma cuadrática de matriz A


k

f (x) = x′Ax =

k

∑ ∑a x x , ij i j

i = 1i = 1

así se verifica que df ------ = ( A + A′ )x. dx d. Si la matriz A es simétrica, entonces df ------ = 2Ax. dx Estas reglas de derivación matricial se emplean en el apartado 2.3 anterior para obtener el sistema de ecuaciones normales en un modelo lineal de regresión múltiple. 11.

En numerosos métodos estadísticos y econométricos aparecen los autovectores y autovalores de una matriz cuadrada. La ecuación característica de una matriz cuadrada A de orden k se define mediante la expresión det ( A – λ I ) = 0, en el que el determinante anterior es un polinomio de orden k en la variable λ. Este polinomio característico tiene k raíces (reales o complejas) λ 1 , λ 2 , …, λ k , que se denominan autovalores o valores propios o característicos de A.

12.

Si A es una matriz regular se verifica que det ( A ) = λ 1 λ 2 … λ k y los autovalores de la matriz A–1 son 1/λ1, 1/λ2, …, 1/λk, y la traza de A es tr ( A ) = λ 1 + λ 2 + … + λ k = a 11 + a 12 + … + a kk .

13.

Los autovectores x de A verifican la ecuación Ax = λ x, siendo λ uno de los autovalores. Si x es un autovector, su producto por una constante también lo es, ya que Acx = λcx, por lo que es posi-

ble definir un conjunto de k autovectores de módulo (o longitud) 1. Si los autovalores son distintos, estos k autovectores son ortogonales. Con los k autovectores se construye la matriz diagonalizadora de

14.

A X = diag ( λ 1 , …, λ k ) = , en la que la matriz es diagonal, con sus elementos de la diagonal principal igual a los autovalores. El rango de A coincide con el de la matriz , o sea con el número de autovalores no nulos r (A) = r ( ). 15.

Si la matriz A es simétrica, sus autovalores son números reales, y si además es definida como positiva, o sea que la forma cuadrática y Ay > 0 para todo vector y, entonces se verifica que existe una matriz ortogonal P = X – 0,5 diagonalizadora de A que verifica A = PP′, y por lo tanto P – 1 AP – 1′ = I k .

16.

La demostración de las propiedades anteriores es a veces compleja; aunque éstas son muy simples de comprobar con ejemplos sencillos como el siguiente: sea la matriz

A =

5 1,5 , 1,5 1

que es simétrica y definida positiva. Su ecuación característica es det ( A – λ I 2 ) = 0 =

5 – λ 1,5 1,5 1 – λ

= λ 2 – 6 λ + 2,75,

de donde se deduce que los autovalores son

λ 1 = 5,5

λ 2 = 0,5,

ambos reales y positivos, ya que A es simétrica y definida positiva. Para obtener los autovectores hay que resolver los sistemas homogéneos

77 ANEXO I. ÁLGEBRA MATRICIAL


Ax 1 = 5,5x 1

Ax 2 = 0,5x 2 .

El primer sistema 5x 11 + 1,5x 12 = 5,5x 11 1,5x 11 + x 12 = 5,5x 12 tiene por solución la familia de vectores ⎛ x 11⎞ 3 x1 = ⎜ ⎟ = c ⎛ ⎞ , ⎝ 1⎠ ⎝ x 12⎠ para cualquier constante no nula c ∈ ⺢. Análogamente, el segundo autovector es de la forma ⎛ x 21⎞ –1 x 2 = ⎜ ⎟ = c′ ⎛ ⎞ , ⎝ 3⎠ ⎝ x 22⎠ siendo c⬘ cualquier valor real distinto de cero. Es fácil comprobar que ambos autovectores son ortogonales, pues x′1 x 2 = 0 = x′2 x 1 , y los autovectores de módulo unidad son 1 x 1 = ---------10

⎛ 3⎞ ⎝ 1⎠

1 1 x 2 = ---------- ⎛ ⎞ , ⎝ 10 – 3⎠

por lo que la matriz X es 1 ---------- 3 1 , 10 1 – 3 siendo 1 0 0,4045 0,4472 . P = X – 0,5 = ---------- 3 1 1/ 5,5 10 1 – 3 0,1348 – 1,3416 0 1/ 0,5 Se puede comprobar que P –1 AP –1′ = I 2

79

o, análogamente, que PP′ = A,


y también que tr ( A ) = 5 + 1 = λ 1 + λ 2 det ( A ) = 5 – 1,5 2 = 2,7 = λ 1 λ 2 r (A) = 2. 17.

Una matriz A es idempotente si se verifica que AA = A y sus autovalores cumplen la ecuación λ2 = λ, o sea que son unos o ceros, y es tr (A) = r (A). Por ejemplo 00 21

2 2 –1 –1

2 0,5 –4 1

son matrices idempotentes. 18.

El producto de Kronecker de dos matrices A de dimensión (m, n) y B de dimensión (p, q) es la matriz

a 11 B a 12 B … a 1n B C = A ⊗ B = a ij B =

a 21 B a 22 B … a 2n B , … … … … a m1 B a m2 B … a mn B

que es de dimensión (mp, mq). Por ejemplo 2 21 ⊗ 1 = 2 03 1 0 0

1 1 . 3 3

Algunas propiedades de este producto, en el caso que A y B sean matrices cuadradas de órdenes n y m, respectivamente, son C– 1 = A– 1 ⊗ B– 1 tr A ⊗ B = tr (A) tr (B) det ( A ⊗ B ) = det (A) n det (B) m lo cual el lector debería comprobar con algún ejemplo.



1. Dada la matriz 302 A = 301 , 789 hallar su inversa y el rango; comprobar que el determinante de A–1 es 1/det (A). Hallar la matriz A⬘A y su rango. 2. Sea la matriz 2 0,5 –4 1

B =

y

C = BB.

Hallar los autovalores de B y C, sus trazas y rangos. Obtener la matriz diagonalizadora de B. 3. A partir de las ocho parejas de datos siguientes x y

31 116

40 120

19 110

50 125

36 118

46 122

25 117

54 126

estimar el modelo y = α + βx + ε y realizar los contrastes de validación del modelo y el análisis de residuos. 4. Con los datos del ejemplo anterior, se definen las variables x * = 10x

y * = 0,1y

y ** = y + 5

Estimar los modelos y * = α1 + β1 x + ε ′ y * = α3 + β3 x * + ε *

y = α2 + β2 x * + ε ″ y ** = α 4 + β 4 x + ε **

y comparar los coeficientes α y β con los de los cuatro modelos anteriores, así como los residuos y las medidas de ajuste. 5. Si las variables x1 y x2 están relacionadas mediante la expresión x2 = 5x1, demostrar que el modelo y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ε no es estimable a partir de n datos de y, x1 y x2. 6. Realizar con μTSP la representación gráfica de las siguientes curvas:

81

y = α e β /x + ε

y = αeβx + ε y = α + β ln x + ε

y = α x β1 e β2 x + ε

y = 1/ ( α + β e x ) + ε

y = α x β1 e β2 x + ε

para x = 1, 2, …, 20 y para distintos valores de los parámetros, observando el comportamiento de estas curvas. El término aleatorio ε se puede simular usando la instrucción NRND de μTSP. 7. Se dispone de los siguientes datos de renta familiar, en millones de pesetas 3,5

3,2

2,9

3,6

20,5

3,0

3,3

Calcular la media y la mediana como medidas de posición e interpretar los resultados. Calcular la desviación típica con todos los datos, eliminando el mayor de todos. Hallar la estimación por punto y por intervalo (con niveles de confianza 0,90 y 0,95) de la renta media, suponiendo que la distribución de la renta se ajuste a una ley Normal, primero con todos los datos y luego eliminando el quinto. Hallar los datos tipificados en ambas situaciones. Realizar los contrastes de hipótesis sobre la media μ de la renta de la población de la que provienen los datos H 0 : μ = 3,5

H 0 : μ = 3,5

H 1 : μ ⫽ 3,5

H 1 : μ < 3,5

usando todos los datos, y eliminando el mayor. Calcular en ambos casos la probabilidad límite. 8. Los siguientes datos muestran un crecimiento acelerado en el tiempo: t

yt

t

yt

t

yt

1 2 3 4 5 6

12 20 33 55 90 149

7 8 9 10 11 12

245 401 668 1095 1810 2985

13 14 15 16 17 18

4910 8110 13400 22000 36300 59900

Estimar varios modelos alternativos para estos datos, como por ejemplo los siguientes: yt = α + β t + εt

yt = β0 + β1 t + β2 t 2 + εt

yt = β0 + β1 t + β2 t 2 + β3 t 3 + εt

yt = α e β t + εt

ln y t = α + β ln t + ε t

ln y t = α + β t + ε t



comparando los resultados de las estimaciones y hallar la elasticidad de y respecto de t. 9. La tasa de desempleo (x) de un país está asociada al incremento porcentual anual de los salarios (y). Se dispone de los siguientes datos: x y

1,4 1,1 1,5 1,5 1,2 1,0 1,1 1,3 1,8 1,9 1,5 1,4 1,8 2,1 1,5 1,3 1,4 1,8 8,5 8,4 4,5 4,3 6,9 8,0 5,0 3,6 2,6 2,6 4,2 3,6 3,7 4,8 4,3 4,6

Estimar la curva de Philips y = α + β/x + ε, e interpretar los resultados. 10. Para poder ofertar en un concurso público de limpieza, una empresa debe evaluar los costes, para lo cual dispone de información sobre contratas anteriores, en función de la superficie a limpiar, el número de personas empleadas y los costes reales. Superficie Personas Costes

x1 x2 y

20000 25000 32000 18000 10000 30000 35000 15000 15 16 21 15 12 20 25 13 960 1200 1800 890 520 1650 2240 710

Se han estimado los modelo alternativos y = α0 + α1 x1 + α2 x2 + ε y = β0 + β1 x1 + β2 x2 β3 x1 x2 + ε incorporando en el segundo un efecto interacción sobre el coste entre la superficie y el número de personas empleadas. Estimar el coste en que se incurriría si el concurso fuese para una superficie de 34000 metros cuadrados y si se exigiese un mínimo de 22 personas.

3 El modelo lineal uniecuacional

3.1 ESTIMACIÓN DEL MODELO LINEAL 1.

En la práctica económica la situación más frecuente a la hora de estimar un modelo es la de disponer de una muestra aleatoria de la variable endógena y 1 , y 2 , … ,y n tomada de una población más amplia a la que hay que extrapolar los resultados de la estimación. Es pues necesario utilizar técnicas de inferencia estadística en la estimación del modelo uniecuacional general y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + … + β k x ki + ε i i = 1…n o, en notación matricial, y = Xβ + ε.

2.

Las estimaciones de los coeficientes estructurales quedan afectadas por los errores del muestreo y es necesario estudiar las propiedades muestrales de los estimadores de los parámetros, para lo cual es necesario asumir que los distintos elementos del modelo cumplen a priori unas condiciones que se enumeran más adelante, y en función de las cuales se analizan las propiedades muestrales del modelo. Estas hipótesis o condiciones constituyen unas restricciones, en cierto modo arbitrarias, que se imponen para poder estudiar las propiedades estadísticas de los estimadores. En la realidad, puede ocurrir, y de hecho ocurre frecuentemente, que los datos no sean congruentes con

83

84

estas hipótesis, lo que afecta a las propiedades muestrales de los estimadores. En el próximo capítulo se relajarán estas hipótesis a priori, y se estudiarán métodos de estimación en algunos casos habituales en los que aquéllas no se cumplen.

EL MODELO LINEAL UNIECUACIONAL

3.

En el modelo lineal anterior se supone que se verifican las siguientes hipótesis o condiciones: a. En relación a la forma funcional: – las variables predeterminadas x1, x2, ..., xk influyen sobre la variable endógena y, pero no son influidas por ésta; – el número de datos n es claramente superior al de parámetros (k + 1) a estimar; – la forma funcional del modelo es correcta y los coeficientes estructurales β0 , β1, …, βk son constantes para todas las observaciones. b. Las variables predeterminadas x1, x2, …, xk deben cumplir que: – no existe multicolinealidad exacta, es decir, r(X) = k + 1 y no es deseable que exista multicolinealidad aproximada, lo que implica que el determinante de la matriz XX no debe estar próximo a cero; – son variables no aleatorias, o sea controladas por el experimentador y medidas sin error. c. Las perturbaciones aleatorias ε1, ε2, …, εn son variables aleatorias que representan la parte de variabilidad de la variable endógena y no explicada por las variables explicativas o predeterminadas x1, x2, …, xk, y su distribución probabilística debe cumplir las propiedades siguientes: – No existen desviaciones sistemáticas en el modelo no explicado por las variables predeterminadas: E(ε i) = 0

i = 1 … n.

(H.1)

– La variabilidad de las perturbaciones se mantiene constante para todos los datos, es decir, los datos deben ajustarse al modelo de forma aproximadamente igual en todo el rango de variabilidad de las variables predeterminadas V (ε i) = σ ε2

i = 1 … n;

(H.2)

esta hipótesis se denomina de homocedasticidad. – Las perturbaciones no están correlacionadas entre sí, es decir, no existe autocorrelación

Corr (ε i , ε i′) = 0 = E(ε i ε i′)

i ≠ i′ = 1 … n.

(H.3)

– Las perturbaciones se ajustan a una ley Normal

ε i ∈ N(0; σ ε2). 4.

(H.4)

Las cuatro hipótesis sobre las perturbaciones se pueden resumir en la expresión

∈ N(0 n ; σ ε2 I n). 5.

A partir de la hipótesis a priori se deduce que las n observaciones y1, y2, .…, yn de la variable endógena constituyen una muestra aleatoria simple cuya distribución es y i ∈ N(β 0 + β 1 x 1i + … + β k x k i ; σ ε2)

i = 1 … n,

o bien, en notación matricial y ∈ N(X β ; σ ε2 I n), ya que E(y) = X + E( ) = X V (y) = E [ ( y – X ) ( y – X )′ ] = E( ′) = σ ε2 I n y la distribución de y es Normal, pues es la adición de un vector constante X y de la variable aleatoria Normal . 6.

Para estimar los coeficientes de regresión β0, β1, …, βk por el método de máxima verosimilitud, se construye la función de verosimilitud 1 - exp [ – 0,5 ( y – X )′ ( y – X )/ σ ε2 ]. L( , σ ε2) = f (y) = ------------------------( 2 πσ ε2 ) n/2 o su logaritmo ln L( , σ ε2) = – 0,5n ln ( 2 πσ ε2 ) – 0,5 ( y – X )′ ( y – X )/ σ ε2 . Para maximizarla se igualan a cero las derivadas ⭸ ln L --------------- = – 0,5 ( – 2X′y + 2X′X )/ σ ε2 ⭸ ⭸ ln L -------------- = – 0,5n/ σ ε2 + 0,5 ( y – X )′ ( y – X )/ σ ε4 ⭸ σ ε2

85 3.1 ESTIMACIÓN DEL MODELO LINEAL

86

obteniéndose los estimadores máximo verosímiles de los coeficientes


βˆ = ( X′X ) –1 X′y = b y de la varianza residual 1 1 1 σˆ ε2 = --- ( y – X )′ ( y – X ) = --- e′e = --n n n

n

∑e

2 i

= s e2 ,

i=1

que coinciden con los estimadores mínimo cuadráticos obtenidos en el capítulo anterior. 3.2 PROPIEDADES MUESTRALES DE LOS ESTIMADORES 7.

El método de máxima verosimilitud tiene propiedades óptimas cuando el tamaño muestral tiende a infinito; sin embargo, asumiendo que se verifican las hipótesis a priori formuladas sobre el modelo, se tiene que la distribución muestral de los estimadores b = ( X′X ) – 1 X′y = My es una multivariante normal de la forma b ∈ N ( ; σ ε2 ( X′X ) – 1 ), ya que es el estimador b es insesgado, pues E(b) = ME(y) = MX β = ( X′X ) –1 X′X β = β y su matriz de covarianzas es V (b) = σ ε 2(X′X) –1 , pues b = My = M(X + ) = MX + M = + M , por lo que b – = M y V (b) = E [ ( b – ) ( b – )′ ] = = E [ M (M )′ ] = ME( ′)M′ = = M σ ε2 I n M′ = σ ε2 MM′ = = σ ε2 ( X′X ) –1 X′X ( X′X ) – 1 = σ ε2 ( X′X ) – 1 , ya que al ser la matriz XX simétrica, su inversa también lo es, por lo que coincide con su traspuesta.

En la demostración anterior se ha hecho uso de las hipótesis H.1, H.2 y H.3 sobre las perturbaciones aleatorias. 8.

Además, los estimadores mínimo cuadráticos son lineales, ya que b = My, y, dado que la distribución de y es normal, también lo es la de b.

9.

El teorema de Gauss-Markov establece que los estimadores mínimo cuadráticos b son los mejores (más eficientes) estimadores lineales insesgados de los coeficientes de regresión . La demostración se basa en probar que si existe otro estimador lineal e insesgado de b* = M*y se verifica que la varianza de la distribución muestral de b j* , para j = 0, 1 , …, k, es tal que V (b j*) ≥ V (b j), o sea que bj es más eficiente que b j* . Pero al ser b* insesgado resulta que = E(b *) = M * E(y) = M * X , por lo que debe ser M * X = In + 1 . La matriz C = M* – M debe cumplir que CX = 0, pues M * X = MX + CX = I k + 1 + CX = I k + 1 . De esta expresión se deduce que b * = M * y = My + Cy = b + Cy = b + CX + C = b + C , y la matriz de covarianzas de b* es V (b *) = V (b) + V (C ) + 2E [ ( b – ) ′C′ ] = V (b) + σ ε2 CC′, ya que, como b – = M , el doble producto es 2 σ ε2 MC′ = 2 σ ε2 ( X′X ) – 1 X′C′ = 0, pues CX = 0, de donde se deduce que n

V (b j*) = V (b j) + σ ε2 ∑ c ji2 ≥ V (b j), i=1

con lo que concluye la demostración.

87 3.2 PROPIEDADES MUESTRALES DE LOS ESTIMADORES

88

10.


Los estimadores mínimo cuadráticos b son consistentes; al aumentar el tamaño muestral, b converge en probabilidad hacia . La demostración se basa en comprobar que lim V (b) = lim σ ε2 ( X′X ) – 1

n→∞

n→∞

o, alternativamente, como éstos son insesgados y máximo verosímiles, que entre sus propiedades asintóticas está la consistencia. 11.

De los resultados anteriores se deduce que la distribución muestral de cada uno de los coeficientes de regresión es b j ∈ N ( b j ; σ ε2 a jj )

j = 0…k

en la que ajj pertenece a la diagonal principal de la matriz cuadrada A = a ij = ( X′X ) –1 12.

i, j = 0 … k

El estimador máximo verosímil de la varianza de las perturbaciones es la varianza residual 1 σˆ ε2 = s e2 = --n

n

∑e

2 i

i=1

1 = --- e′e n

que es sesgado, como se deduce en la siguiente demostración. Para comprobar este extremo hay que calcular E(s e2), para lo cual se estudia el vector de residuos e = y – Xb = y – X(X′X) – 1 X′y = = [ I n – X(X′X) – 1 X′ ]y = Dy o también e = y – Xb = X + – X ( X′X ) – 1 X′y = = X + – X(X′X) –1 X′X ( + ) = = – X(X′X) –1 X′ = D en el que la matriz D = I n – X(X′X) –1 X′ es idempotente, o sea que D2 = D, como deberá comprobar el lector, además de ser simétrica. A partir de esta expresión, y teniendo en cuenta la distribución de las perturbaciones que, en las hipótesis a priori, se suponía

∈ N(0 n , σ ε2 I n) resulta que la distribución muestral de los residuos e = D es e ∈ N(0 n , σ ε2 D), ya que E(e) = DE( ) = D0 n = 0 n V (e) = DV ( )D′ = DV ( )D = D σ ε2 I n D = = σ ε2 D 2 = σ ε2 D, dada la idempotencia y la simetría de D. Sin embargo, la matriz D es singular, ya que los residuos no son independientes entre sí (existe incluso una relación lineal exacta entre ellos: e1 + e2 + … + en = 0). El valor esperado de la suma de cuadrados residuales es E(e′e) = E( ′D′D ) = E( ′D ) , n

pues D’ = D = D2 y como e′e = cide con su traza

∑ ei2

es un escalar, resulta que coin-

i=1

E(e′e) = E [ tr ( e′e ) ] = E [ tr ( ′D ) ] = = E [ tr ( D ′ ) ] = tr [ DE ( ′ ) ] = = tr ( D σ ε2 I n ) = σ ε2 tr ( D ) = = σ ε2 tr [ I n – X(X′X) –1 X′ ] = = σ ε2 [ tr ( I n ) – tr { X(X′X) –1 X′ } ] = = σ ε2 [ n – tr { ( X′X ) –1 X′X } ] = σ ε2 [ n – tr ( I k + 1 ) ] = = σ ε2 ( n – k – 1 ), por lo que 1 n–k–1 E(s e2) = --- E(e′e) = --------------------- σ ε2 , n n lo que concluye la demostración sobre la sesgadez de s e2 . 13.

A partir del resultado anterior, se define la cuasi-varianza residual 1 s e2 = --------------------n–k–1

n

∑e

i=1

2 i

1 = --------------------- e′e n–k–1

que es un estimador insesgado de σ ε2 , ya que 1 1 E(s e2) = --------------------- E(e′e) = --------------------- σ ε2 ( n – k – 1 ) = σ ε2 . n–k–1 n–k–1 14.

Un estimador insesgado de la matriz de covarianzas de los coeficientes de regresión es

89 3.2 PROPIEDADES MUESTRALES DE LOS ESTIMADORES

90

S b = s e2 ( X′X ) –1


y así, la varianza estimada de cada coeficiente es s b2 = s e2 a jj

j = 0 … k,

i

en donde ajj es el elemento j + 1 de la diagonal principal de la matriz A = (X’X)–1. 15.

La distribución muestral de la cuasi-varianza residual s e2 está relacionada con la del estadístico 1 e′e V = ------2- = -----2σε σε

n

∑e

2 i

∈ χ 2 ( n – k – 1 ).

i=1

La demostración sigue fácilmente: e′e = ′D′D = ′D y ∈ N(0 n ; σ ε2 I n) o, análogamente,

ε / σ ε ∈ N(0 n ; I n), por lo que V = e′e/ σ ε2 = ′D / σ ε2 , que es una forma cuadrática en n variables aleatorias N(0, 1) independientes (ε1/σε, ε2/σε, …, εn/σε); la matriz de la forma cuadrática es idempotente y de traza igual a n – k – 1, luego su distribución muestral es una χ2(n – k – 1). 16.

Como además la distribución muestral de V es independiente de la del vector de coeficientes de regresión b, resulta que bj – βj T j = --------------- ∈ t ( n – k – 1 ) sb j

j = 0 … k,

o sea que el estadístico Tj se ajusta a una ley t de Student. La demostración de este resultado se basa en la independencia de las distribuciones de b j ∈ N(β j ; σ ε2 a jj)

y

V ∈ χ2( n – k – 1 )

y en la definición de una variable t de Student como cociente entre dos variables independientes, una normal N(0, 1) y otra, la raíz cuadrada de una variable chi-cuadrado dividida por sus grados de libertad: la variable N(0, 1) es

bj – βj ∈ N(0, 1) Z = --------------σ ε a jj y la chi-cuadrado 1 V = -----2σε

n

∑ ei2

i=1

n–k–1 2 - s e ∈ χ 2 ( n – k – 1 ). = -------------------σ ε2

Así, bj – βj Z n–k–1 = T j = -------------------------------------- = --------------I -----------------------σε se V/ ( n – k – 1 ) σ ε a jj bj – βj bj – βj - ∈ t(n – k – 1), = -------------- = -------------sb j s e a jj con lo que concluye la demostración. 3.3 CONTRASTES DE HIPÓTESIS SOBRE LOS COEFICIENTES DEL MODELO 17.

Los resultados teóricos sobre las distribuciones muestrales de los parámetros tienen unos resultados prácticos inmediatos cuando se trata de estimar un modelo econométrico. Por un lado se ha comprobado que los estimadores mínimo cuadráticos b = (X’X)–1X’y son también estimadores máximo verosímiles (si se verifican las hipótesis a priori sobre las perturbaciones ), lo que demuestra que tienen propiedades muestrales óptimas para grandes muestras. Además, el teorema de Gauss-Markov indica que las estimaciones no estarán afectadas por desviaciones sistemáticas o sesgos y que son lo más precisas posible al usar estimadores lineales. Por otra parte, es posible realizar una serie de contrastes sobre los distintos coeficientes de regresión como elementos de ayuda en la selección del modelo más adecuado. Estos contrastes se tratan a continuación.

18.

Al construir un modelo econométrico, se siguen varias fases o etapas: a. Planteamiento de los objetivos, selección de la variable endógena Y, y selección de las variables explicativas o predeterminadas. b. Especificación de la forma funcional (por ejemplo, el modelo lineal) y selección de las variables explicativas. c. Estimación de los parámetros. d. Validación del modelo estimado y de las hipótesis a priori sobre las perturbaciones. e. Aplicación del modelo e interpretación económica de los resultados. En la fase de validación del modelo se usan tres tipos de técnicas: – medidas sobre el grado de ajuste de los datos a la ecuación estimada (por ejemplo, el coeficiente de determinación r2);

91 3.3 CONTRASTES DE HIPÓTESIS SOBRE LOS COEFICIENTES DEL MODELO

92

– análisis de los residuos e y su adecuación a las hipótesis a priori formuladas sobre las perturbaciones , y – contrastes sobre los parámetros del modelo.


19.

Se van a tratar ahora los tests T sobre los parámetros estructurales. Para el coeficiente βj, las hipótesis a contrastar son: H 0 : β j = 0, H 1 : β j ≠ 0. Si se acepta la hipótesis H0, se debe eliminar la variable xj como explicativa de las variaciones de la variable endógena y; entonces se vuelve a la fase de especificación del modelo sin esta variable, estimándose de nuevo el modelo resultante, mientras que si se acepta H1, se concluye que xj influye (linealmente) sobre la variable endógena.

20.

Al estimar un modelo econométrico, es usual tomar datos de más variables explicativas que las que finalmente quedan, y, los tests T constituyen una herramienta cómoda para ir seleccionando las variables predeterminadas que muestran capacidad predictiva sobre las variaciones de la variable endógena y.

21.

La realización práctica de un test estadístico se hace en varias etapas: en la primera hay que elegir un estadístico o función de los datos, relacionado con las hipótesis a contrastar; posteriormente se construye una región de aceptación de la hipótesis H0 y la región crítica o de aceptación de la hipótesis H1, y por último se decide, calculando las probabilidades de decidir erróneamente.

22.

El estadístico para el test propuesto es b jj b T b j = -----j = --------------, sb j s e a jj y si H0 es cierta, su distribución muestral es T b j ∈ t(n – k – 1), que se usa para construir la regla de decisión asociada al test.

23.

La región de aceptación C0 de H0 se obtiene de forma intuitiva (aunque es la que se determina mediante el test de la razón o cociente de verosimilitudes): si fuese cierta H0 : βj = 0, cabe esperar que la estimación bj de βj tome valores próximos a 0, por lo que la región de aceptación C0 será un intervalo (–t, t) alrededor del origen, y la región crítica C1 estará formada por los valores no contenidos en este intervalo. Para fijar los límites de este intervalo es preciso decidir sobre el nivel de significación α, o sea sobre la máxima probabilidad de come-

ter el error de tipo I ( esto es rechazar H0 siendo cierta, lo que en este caso sería aceptar xj como variable que influye sobre Y aunque no sea relevante). Si se supone cierta H0, la probabilidad de obtener un valor de T b j fuera del intervalo C0 = (–t, t) es

93 3.3 CONTRASTES DE HIPÓTESIS SOBRE LOS COEFICIENTES DEL MODELO

P(T b j ∉ C 0 H 0) = P ( T b j > t H 0 ), f (t)

y si esta probabilidad debe ser igual a α, se elige t = t α /2 = t α /2(n – k – 1),

1–α

o sea el cuantil de la distribución t de Student con n – k – 1 grados de libertad 24.

Por último, se calcula el valor numérico del estadístico T b j T b j = b j /s b j = t b j y se decide: si t b j ∈ C 0 = ( – t α /2 , t α /2 )

se acepta H0 y se elimina la variable xj del modelo. se acepta H1 y se mantiene xj como variable explicativa.

si t b j ∈ C 1

Conviene no olvidar que la inclusión o exclusión de una variable en un modelo debe ser explicable en términos económicos, y no simplemente como el resultado de la realización de un test de hipótesis. 25.

26.

El test T se aplica sobre cada uno de los coeficientes de las variables explicativas, y como la distribución t de Student es parecida a la distribución normal N(0, 1), si se procede al nivel de significación α = 0,05, se puede tomar como valor aproximado tα/2 = t0,05/2 2 si hay más de n = 20 datos, lo que permite decidir rápidamente qué variables se introducen en el modelo y cuáles se excluyen. Por ejemplo, para α = 0,05, los cuantiles tα/2 correspondientes a g = n – k – 1 grados de libertad son

g

10

15

20

25

30

60

∞

t0,025

2,228

2,131

2,086

2,060

2,042

2,000

1,960

Otra alternativa para evitar el manejo de tablas estadísticas de la distribución t de Student es el cálculo de la probabilidad límite p asociada al valor t b j obtenido. Se define p = Pr ( T b j > t b j ),

– tα/2

tα/2

l

y si p ≥ α, entonces el estadístico ( t b j ∈ C 0 ); si p < α es porque ( t b j ∈ C 1 ), como se aprecia en la figura. Conocido pues el valor de p, se decide de forma inmediata sin consultar las tablas estadísticas. Por ejemplo, si p = 0,021 se acepta la hipótesis H1 a nivel α = 0,05, y si p = 0,078 se acepta H0 a este nivel de significación. Con el valor p = 0,021 y a nivel α = 0,01 se aceptaría H0.

94 EL MODELO LINEAL UNIECUACIONAL f (t)

– tα/2

C0

p/2 t b j tα/2

l

Ejemplo 1.

Contrastes sobre los coeficientes de regresión del modelo

Se han recogido datos del coste de mantenimiento (y) de una empresa, del número de máquinas (x1) y del tiempo medido (x2) de interrupción del trabajo por mantenimiento, y se trata de estimar el gasto en mantenimiento en función de estos factores. Los datos aparecen en la tabla siguiente: y

x1

x2

y

x1

x2

320 450 370 470 420 500 570 640 670 780

50 53 60 63 69 82 100 104 113 130

7,4 5,1 4,2 3,9 1,4 2,2 7,0 5,7 13,1 16,4

690 700 910 930 940 1070 1160 1210 1450 1220

150 181 202 217 229 240 243 247 249 254

5,1 2,9 4,5 6,2 3,2 2,4 4,9 8,8 10,1 6,7

Como el número de máquinas y el tiempo medio de averías pueden interaccionar causando un efecto sobre el coste de mantenimiento (al producirse una avería, se intenta recuperar el tiempo mediante un trabajo más intenso), se usa la variable x3 = x1x2, que representa el efecto de esa interacción. La matriz de correlación entre las cuatro variables muestra que r yx1 = 0,950,

r yx2 = 0,231,

r yx3 = 0,783,

por lo que se deben probar varios modelos alternativos como los siguientes:

95

y = β0 + β1 x1 + ε y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ε y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + ε . Después de estimar éstos, se ve que el tercero es el más adecuado, siendo

X′X =

20 3034 121,2 18 736,1 3034 574 143 18 736,1 3 533 206,8 121,2 28 736,1 998,85 152 332,3 18 736,1 3 533 206,8 152 332,3 27 624 309

y el modelo estimado es y = 303,5 + 2,3293x 1 – 25,071x 2 + 0,2861x 1 x 2 + e, con lo que se obtiene la suma de cuadrados residual 20

se =

∑ et2

= 73 284,44

i=1

y se =

1 ------------------------ S e = 67,678. 20 – 3 – 1

La matriz de covarianzas del vector b = (b0, b1, b2, b3)′ es

2

s e ( X′X ) –1

5118,96 – 31,11 – 722,90 4,49 0,2275 4,576 – 0,033 = – 31,11 – 722,90 4,576 131,9 – 0,822 4,49 – 0,033 – 0,822 0,0059

por lo que los estadísticos T sobre los coeficientes del modelo son b 303,5 T b0 = -----0 = ------------------------ = 4,242 s b0 5118,96 b 2,3293 T b1 = -----1 = --------------------- = 4,883 s b1 0,2275 b – 25,071 T b2 = -----2 = --------------------- = – 2,183 s b2 131,90 b – 0,28617 T b3 = -----3 = ----------------------- = 3,726. s b3 0,0059 Para realizar cualquiera de los contrastes H0 : β j = 0 H1 : β j ≠ 0

3.3 CONTRASTES DE HIPÓTESIS SOBRE LOS COEFICIENTES DEL MODELO

96

siendo j = 0, 1, 2, 3, se usa como región de aceptación a nivel α, el intervalo


C 0 = ( – t α /2 ; + t α /2 ) usando la distribución t de Student t (20 – 4). A nivel α = 0,01 es tα/2 = t0,005 = 2,921, y si es α = 0,05, tα/2 = t0,025= 2,12. Por ejemplo, si se toma este último nivel de significación, resulta que

f (t)

T b0 , T b1 , T b2 , T b3 ∉ C 0 = ( – 2,12; + 2,12 ), 0,95 – 2,12

2,12

l

por lo que se acepta H1: βj ≠ 0 en todos los casos, resultando que todos los coeficientes del modelo son significativamente distintos de cero a nivel α = 5%. Si se hubiese tomado α = 0,01, resulta que T b0 , T b1 , T b3 ∈ C 0 = ( – 2,921; + 2,921 ), mientras que T b2 = – 2,183 ∈ C 0 , por lo que se aceptaría H0: β2 = 0, o sea que a nivel α = 1%, el modelo que se debería estimar es y = β0 + β1 x1 + β3 x1 x2 + ε

f (t)

p/2 = 0,02215 – 2,183

l

No obstante, como es preferible incluir como explicativa una variable no relevante que errar por excluir una variable que realmente influya sobre la variable endógena y, se preferirá el modelo estimado. Para evitar el tener que manejar unas tablas de la distribución t de Student con 16 grados de libertad, algunos programas de ordenador, al calcular los valores de los estadísticos T, estiman las probabilidades límite. Por ejemplo, para T b2 = – 2,183, la probabilidad límite es p = Pr ( T > – 2,183 ) = 2Pr(T > 2,183) = 0,0443 y

α = 0,05 > p = 0,0443 es equivalente a T b2 > t α /2 = t 0,05/2 = 2,12 o sea a T b2 ∉ C 0 Análogamente, las probabilidades límite de los estadísticos correspondientes a los otros coeficientes son: p = Pr ( T > T b1 ) = Pr ( T > 4,883 ) = 2Pr(T > 4,4883) = 0,0002

97

o sea que β1 es significativamente distinto de cero para α = 5%, 1%, 0,1%, 0,005%, o sea para cualquier valor de α superior a 0,0002; p = Pr ( T > T b3 ) = Pr( T > 3,726) = 2Pr(T > 3,7263) = 0,0018 por lo que β3 difiere de cero para α = 5%, 1%, 0,5%, pero no difiere a nivel de α = 0,1%. Habitualmente no es necesario realizar el test T sobre el coeficiente β0, pues rara vez sería lógica la interpretación económica asociada a la ordenada en el origen nula. En resumen, el modelo estimado es el más adecuado, y su ajuste es bueno, siendo r2 = 0,9634.

27.

Al realizar los tests T sobre un modelo de regresión, como el objetivo es el incluir o excluir variables explicativas, no es recomendable tomar niveles de significación α inferiores al 5%, ya que los niveles de α bajos tienden a aceptar las hipótesis H0: βj = 0, o sea a excluir variables explicativas que pueden ser relevantes, es decir, influyentes sobre la variable endógena. En definitiva, debe tomarse

α ∈ [ 0,05; 0,15 ], ya que, al elegir un nivel de significación bajo, se corre el riesgo de excluir variables causales, o sea de cometer un error de especificación. 28.

El estadístico T b j = b j /s b j se puede usar para realizar contrastes unilaterales de la forma H0 : β j = 0 H1 : β j > 0 eligiendo como regiones de aceptación y crítica, a nivel α, C 0 = ( – ∞; t α )

29.

C 1 = ( t α ; + ∞ ).

Si se desea plantear un test de la forma H0 : β j = c H1 : β j ≠ c se utiliza el estadístico

o

βj > c

3.3 CONTRASTES DE HIPÓTESIS SOBRE LOS COEFICIENTES DEL MODELO

98

bj – c T b j = ------------, sb j


y las reglas de decisión idénticas a las anteriores. 30.

Los contrastes T sobre los coeficientes del modelo se basan en que las perturbaciones aleatorias cumplan las hipótesis a priori

∈ N ( 0 n ; σ ε2 I n ). Si existe heterocedasticidad, o sea si V (ε i) = σ ε2i ≠ cte.

∀i

o autocorrelación Cov (ε i , ε i′) ≠ 0, no es posible aplicar estos tests T. En el capítulo 5 se estudiarán los modelos lineales con heterocedasticidad y/o autocorrelación. Si las perturbaciones no se ajustan a una ley normal, pero el tamaño muestral no es pequeño (por ejemplo n ≥ 20), sigue siendo posible aplicar los contrastes T, aunque de forma aproximada. 3.4 CONTRASTES DE ANÁLISIS DE LA VARIANZA 31.

Al realizar la descomposición de la varianza de los datos y1, y2, …, yn en el apartado 2.4 del capítulo 2 anterior, se obtuvo la identidad s y2 = s y2ˆ + s e2 , o análogamente, multiplicando estas varianzas por el número de datos n S y = S yˆ + S e , siendo las sumas de cuadrados n

Sy =

∑ (y – i

i=1

n

y )2,

S yˆ =

∑

i=1

n

( yˆ i – y ) 2 ,

Se =

∑e . 2 i

i=1

Como las variables que intervienen en las sumas de cuadrados anteriores son Normales, se puede comprobar que las distribuciones muestrales de éstas son

S y / σ ε2 ∈ χ 2 ( n – 1 ) S yˆ / σ ε2 ∈ χ 2 ( k ) S e / σ ε2 ∈ χ 2 ( n – k – 1 ), y, de acuerdo con el teorema de Craig, S yˆ y Se son variables aleatorias independientes, por lo que el cociente entre éstas tiene como distribución muestral, S yˆ /k - ∈ F ( k, n – k – 1 ) F x = ----------------------------S e /n – k – 1 si H0 es cierta, lo que va a utilizarse a continuación como estadístico del contraste de hipótesis H0 : β1 = β2 = … = βk = 0 H 1 : algún(os) β j ≠ 0. Los cocientes Sˆ M yˆ = M x1 … xk = ----yk

Se M e = -------------------- = s e2 n–k–1

se denominan medias de cuadrados asociadas a las variables predeterminadas y a los residuos, respectivamente. 32.

La región de aceptación C0 de nivel de significación α del test anterior es C 0 = ( 0; F α ), y la región crítica C 1 = ( F α ; + ∞ ). La forma de las regiones C0 y C1 se deduce intuitivamente teniendo en cuenta que E(M e) = E(s e2) = σ ε2 n

E(M yˆ ) = E

∑ ( yˆ – y ) i

2

= β 12 s x21 + … + β k2 s x2k + σ ε2 ,

i=1

2 la varianza de los n datos de la variable x . Así, si los valosiendo s xj j res numéricos de las medias de cuadrados M yˆ y M e verifican

99 3.4 CONTRASTES DE ANÁLISIS DE LA VARIANZA

M yˆ M e ,

100 EL MODELO LINEAL UNIECUACIONAL

los datos son más compatibles con la hipótesis H0, mientras que si M yˆ >> M e , ello se atribuirá a que algún o algunos de los coeficientes β1, β2, …, βk son distintos de cero. 33.

f (F )

Si el valor numérico del estadístico Fx pertenece a C0, se acepta la hipótesis H0, o sea que ninguna de las variables x1, x2, …, xk influye (linealmente) sobre la variable endógena Y, esto es se rechaza el modelo globalmente, mientras que si F x ∈ C 1 se considera que alguna o algunas de las variables predeterminadas tienen poder explicativo, o sea que se debe continuar con la especificación del modelo. La probabilidad límite se define como

1–α

p = Pr ( F > F x ),

α C0

F

C1

y, si p ≥ α, se acepta la hipótesis H0 a este nivel α de significación, y se rechaza H0 si p < α.

F

f (F )

34.

Los resultados para llegar al test anterior se resumen en la tabla de análisis de la varianza siguiente: Fuente de la variación Grados de la variable endógena de libertad Las k variables x1, …,xk

p Fx

F

k

La perturbación ε o error

n – k –1

Variación total de Y

n–1

Sumas de cuadrados

Medias de cuadrados

S yˆ = S x1 …xk = r 2 S y

M yˆ = M x1 …xk

S e = ( 1 – r 2 )S y

M e = s e2

S y = ns y2

a partir de la cual se calcula el estadístico Fx = M yˆ /M e o el coeficiente de determinación r2 = S yˆ /S e . 35.

El test de análisis de la varianza es poco útil, ya que en la práctica será muy improbable que ninguna de las variables x1, x2, …, xk influya sobre Y, por lo que casi siempre se aceptará la hipótesis H1.

Ejemplo 2.

Contraste F

Con los datos del ejemplo 1 anterior, realizar el test de análisis de la varianza del modelo estimado.

101

El modelo estimado en dicho ejemplo es

3.4 CONTRASTES DE ANÁLISIS DE LA VARIANZA

y = 303,5 + 2,33x 1 – 25,07x 2 + 0,286x 1 x 2 + e = yˆ + e, por lo que resulta 20

20

SY =

∑ ( yt – 773,5 ) 2 = 2 003 055

Se =

∑ et2

= 73 284,44,

t=1

t=1

y por lo tanto es S yˆ = 192970,56, o sea que el 96,34% de la variabilidad endógena es explicada por el modelo. La tabla de análisis de la varianza es

Fuente de la variación explicada por:

Grados de libertad

El modelo yˆ El error residual e

3 20 – 4

Total

20 – 1

Sumas de cuadrados 192970,56 73234,44

Medias de cuadrados 64 323,52 4577,152

2 003055

en el que las medias de cuadrados son M Yˆ = S Yˆ /3 = 192 970,56/3 = 64 323,52 M e = S e /16 = s e2 = 4577,152 = 67,65 2 . El estadístico F para realizar el contraste H0 : β1 = β2 = β3 = 0 H 1 : algún(os) β j ≠ 0

j = 1, 2, 3,

toma el valor F = M Yˆ /M e = 64 323,52/4577,152 = 140,4, y la región de aceptación a nivel α es C 0 = ( 0; F α ). Con la tabla de la distribución F(3, 16), resulta F 0,05 = 8,63

F 0,01 = 26,6,

y como F = 140,44 > Fα, se acepta H1, o sea que algunas o todas las variables explicativas influyen sobre la variable endógena.


36.

También es posible realizar un test de análisis de la varianza sobre un subconjunto de coeficientes estructurales. Se consideran dos modelos alternativos y = β 0 + β 1 x 1 + … + β q x q + β q + 1 x q + 1 + … + β k x k + ε = yˆ + ε y = β 0′ + β 1′ x 1 + … + β q′ x q + ε ′ = yˆ ′ + ε ′ y se trata de contrastar las hipótesis H0 : βq + 1 = … = βk = 0 H 1 : algún(os) β q + j ≠ 0 o sea, se contrasta el poder predictivo de las variables xq + 1, …, xk en bloque. Para llegar al estadístico Fx de este test, se enuncia el teorema de descomposición de la varianza para el primer modelo s y2 = s y2ˆ + s e2 = s x21 …xq + s x2q + 1 …xk + s e2 en el cual la varianza asociada a las primeras q variables se determina con el segundo modelo s x21 …xq

1 1 = --- S x1 …xq = --n n 1 = --n

n

∑ ( yˆ – y ) i

2

=

i=1

n

∑ ( b′ + b′ x 0

1 1

+ … + b′q x qi – y ) 2 ,

i=1

y la segunda varianza se determina por diferencia entre la varianza asociada a las k variables explicativas del primer modelo y la obtenida con el segundo modelo s x21 …xq …xk

1 1 = --- S x1 …xq …xk = --n n 1 = --n

n

∑ ( yˆ – y ) i

2

=

i=1

n

∑ (b

0

+ b 1 x 1i + … + b q x qi + … + b k x ki – y ) 2 ,

i=1

siendo pues s x2q + 1 …xk = s x1 …xq …xk – s x21 …xq = 1 = --- ( S x1 …xq …xk – S x1 …xq ) = n 1 = --- S xq + 1 …xk . n

La distribución muestral de las sumas de cuadrados (divididas por σ ε2 ) que aparecen en la descomposición S y = S x1 …xq + S xq + 1 …xk + S e son chi-cuadrados con n – 1, q, k – q y n – k – 1 grados de libertad respectivamente, y, de acuerdo con el teorema de Craig, son independientes; por lo tanto, el cociente siguiente, si se verifica H0, se distribuye como una F de Snedecor: S xq + 1 …xk / ( k – q ) - ∈ F(k – q, n – k – 1), F x = ---------------------------------------Se / ( n – k – 1 ) y la región de aceptación de nivel α, es C 0 = ( 0; F α ). Si el estadístico F x ∈ C 0 , se acepta la hipótesis H0, o sea que las últimas k – q variables predeterminadas no influyen en el modelo y se pueden eliminar. 37.

La tabla de análisis de la varianza se descompone en tres líneas asociadas a la variabilidad de la variable endógena explicada por las primeras q variables explicativas, por las k – q restantes y por la perturbación aleatoria: Fuente de la variación de la variable endógena Las q primeras variables x 1 , …, x q Las restantes k – q variables x q + 1 …x k La perturbación ε o error Variación total de Y

Grados de libertad

Sumas de cuadrados

Medias de cuadrados

q

S x1 …xq

M x1 …xq

k–q

S xq + 1 …xk

M xq + 1 …xk

n–k–1

Se

M e = s e2

n–1

S y = ns y2

La descomposición anterior no es simétrica: si se eligen determinadas variables como x1 … xq para calcular la suma de cuadrados S x1 …xq , la suma de cuadrados asociada a las restantes variables está condicionada a la obtenida con las primeras. 38.

Al elegir como primer conjunto de variables una sola de ellas, o sea q = 1, se tiene la descomposición

103 3.4 CONTRASTES DE ANÁLISIS DE LA VARIANZA

104

S y = S x1 + S x2 …xk + S e ,


y el estadístico correspondiente S x1 - ∈ F(1, n – k – 1) F x1 = ---------------------------------Se / ( n – k – 1 ) está relacionado con el estadístico T de Student asociado a esta variable T b1 = b 1 /s b1 , siendo F x1 = T b21 .

Ejemplo 3. Contraste de análisis de la varianza sobre la estacionalidad de una serie

El consumo trimestral de materias primas yt de una empresa se muestra en la tabla siguiente. Trimestre Año

1

2

3

4

1987 1988 1989 1990 1991 1992

10,8 13,7 18,8 22.7 24,8 28,0

7,8 10.1 17,1 16,9 23,4 26,5

10,2 11,0 17,5 19,3 24,7 28,0

17,5 20,2 26,2 29,1 32,4 34,1

y se trata de contrastar si esta serie, además de una tendencia lineal Tt = 0 + 1t, tiene una componente cíclica estacional.

35 30

yt

25

El gráfico temporal de la serie muestra, además de una tendencia lineal, un ciclo estacional. Este ciclo se puede representar mediante la función periódica

20 15 10

C t = α 1 x 1t + α 2 x 2t + α 3 x 3t ,

5 0 1987

1988

1989

1990

1991

1992

en la que las variables x1, x2 y x3 son auxiliares para representar el ciclo, y toman los valores

x 1t =

1 0 –1

si t = trimestre 1 si t = trimestre 2, 3 si t = trimestre 4

105

x 2t =

1 0 –1


x 3t =

1 0 –1



por lo que

α1

⎧ ⎪ ⎪ Ct = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ – α1 – α2 – α3 =

α2 α3 α4

si si si si

t t t t

= = = =

trimestre trimestre trimestre trimestre

1 2 3 4

representa desviaciones en más o en menos, respecto a la tendencia de la serie. El gráfico de la componente cíclica se muestra al margen y el modelo empleado es

5 3 2 1

y t = β 0 + β 1 t + α 1 x 1t + α 2 x 2t + α 3 x 3t + ε t ,

0

–2 –3 –4

(–7,3)

(–5,8)

en el que las cantidades entre paréntesis debajo de cada coeficiente corresponden a los estadísticos T. Todos los coeficientes, salvo α1, difieren significativamente de cero (a nivel α = 0,05), por lo que la estacionalidad aparece claramente definida. La estacionalidad del cuarto trimestre es

α 4 = – 0,72 + 3,05 + 2,45 = 4,78. El ajuste al modelo es muy bueno, pues es r2 = 0,979, y la tabla de análisis de la varianza muestra una descomposición clara: Sumas de cuadrados

Fuente de variación

Grados de libertad

La tendencia y la estacionalidad

S Yˆ = 1254,64

4

El error

S e = 26,88

19

Variación total

S Y = 1281,52

23

y el estadístico F es 1254,64/4 F = -------------------------- = 221,74, 2688/19

α2

α3

90,1 90,2 90,3 90,4 91,1 91,2 91,3 91,4 92,1 92,2 92,3 92,4

y t = 9,06 + 0,91t + 0,72x 1t – 3,05x 2t – 2,45x 3t + e t , (1,71)

Ct

α1

–1

para t = 1, 2 , …, 24, que al ser ajustado resulta en

(25,6)

α4

4


lo que lleva a aceptar la hipótesis global que al menos alguno o algunos de los coeficientes del modelo son distintos de cero. Sin embargo, si se desea contrastar las hipótesis H0 : α1 = α2 = α3 = 0 H 1 : alguno(s) α j ≠ 0 es preciso calcular la descomposición de sumas de cuadrados siguiente: S Y = S t + S x1 x2 x3 + S e , estimando el modelo y t = β0′ + β1′ t + εt′ se llega a y t = 8,64 + 0,944t + e t ′ para el que es Se′ = 257,47, por lo que S t = S Y – S e′ = 1281,52 – 257,47 = 1076,05 y la suma de cuadrados (condicional) asociada a la tendencia es S x1 x2 x3 = S Yˆ – S t = 1254,64 – 1076,05 = 178,59, resultando la tabla de análisis de la varianza

Fuente de variación

Sumas de cuadrados

Grados de libertad

Medias de cuadrados

La tendencia

S t = 1076,05

1

M t = 1076,05

S x1 x2 x3 = 178,59

3

M x1 x2 x3 = 59,53

S e = 26,88

19

M e = 1,42

S Y = 1281,52

23

La estacionalidad El error Variación total

Para contrastar la existencia de estacionalidad se construye el estadístico M x1 x2 x3 59,53 F = ---------------- = ------------- = 42,1, Me 1,42 y como es F0,05(3, 19) = 8,69, se concluye a nivel α = 0,05 que algunos de los coeficientes estacionales difieren significativamente de cero. La existencia de la tendencia se contrasta con el estadístico M 1076,05 F = -------b = ------------------- = 760,7, Me 1,42

107

que se compara con el cuantil F0,05(1, 19) = 246, que resulta también significativamente distinto de cero, aunque en realidad habría que haber estimado St como la diferencia entre S yˆ y la suma de cuadrados S x1 x2 x3 calculada con el modelo y t = β0″ + β ″1 x 1t + β″2 x 2t + b″3 x 3t + e t ″. Para concluir este ejemplo, al ser éste un modelo dinámico, es necesario comprobar la independencia temporal de las perturbaciones aleatorias sucesivas, o sea comprobar que no existe autocorrelación, ya que si se da ésta, no son aplicables los contrastes T y F anteriores.

39.

Los contrastes anteriores son casos particulares del test H0 : C = 0m H1 : C ≠ 0m , en el que C es una matriz de dimensiones (m, (k + 1)) y de rango r(C) = q ≤ m, lo que indica que H0 implica que existen q relaciones lineales entre los coeficientes, o sea que el modelo se puede reparametrizar eliminando q variables explicativas, dando así origen a otro modelo Y = β 0′ + β q′ + 1 x q + 1 + … + β k′ x k + ε ′. Si se estima el modelo original Y = β0 + β1 x1 + … + βq xq + … + βk xk + ε , y el modelo reparametrizado, el estadístico ( S e′ – S e )/q F = --------------------------------S e /(n – q – 1) se ajusta, si H0 es cierta, a una distribución F(q, n – q – 1), y se puede usar para contrastar las hipótesis H0 y H1 anteriores.


108

40.


La estimación mínimo cuadrática de un modelo con restricciones, como por ejemplo Y = α x 1β1 x 2β2 + ε , siendo

β 1 + β 2 = 1, se puede realizar reparametrizando el modelo, Y = α x 1β1 x 21 – β1 + ε , o sea eliminando coeficientes haciendo uso de las restricciones, o bien resolviendo el problema de optimización condicionada n

min S(α , β 1 , β 2) = min

∑ ( y – αx i

β1 β2 2 1i x 2i )

i=1

β 1 + β 2 = 1, lo que se consigue fácilmente utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, o sea minimizando respecto de α, β1, β2 y λ la función lagrangiana L(λ ; α , β 1 , β 2) = S(α , β 1 , β 2) – λ(β 1 + β 2 – 1). En el test anterior la estimación del modelo con q variables explicativas se realiza de cualquiera de las dos formas. 41.

Los contrastes F se pueden usar para decidir si el conjunto de datos es homogéneo, o expresado de otra forma, si los coeficientes estructurales se mantienen constantes para toda la muestra. El test de Chow (1960) se usa para ver si el modelo y = β0 + β1 x1 + … + βk xk + ε es adecuado sobre el conjunto de los n datos disponibles, o si alternativamente se producen cambios en distintos subconjuntos de datos. Supóngase que los n datos se dividen en dos subconjuntos de m y n – m observaciones, y que se ajustan sobre ambos los modelos y i = β 0′ + β 1′ x 1i + … + β k′ x ki + ε i′

i = 1…m,

y = β ″0 + β ″1 x 1i + … + β ″k x k i + ε ″i

i = m + 1…n.

El test de Chow trata de contrastar las hipótesis

109

H 0 : β 0′ = β ″0 ; β 1′ = β ″1 ; …; β k′ = β ″k ; σ ε2′ = σ ε2″

3.5 ANÁLISIS DE RESIDUOS

H 1 : algunos coeficientes son distintos, y el estadístico del test, si H0 es cierta, es ( S e – S e′ – S e″ )/ ( k + 1 ) F = ---------------------------------------------------------- ∈ F(k + 1, n – 2k – 2), ( S e′ + S e″ )/ ( n – 2k – 2 ) siendo Se la suma de cuadrados residual usando los n datos y Se⬘Se⬙, las sumas de cuadrados residuales calculadas con los dos subconjuntos de datos. Si no existe cambio estructural, o sea si H0 es cierta, cabe esperar que el numerador sea próximo a cero, o sea que la región de aceptación de nivel α sea C 0 = ( 0; F α ). 3.5 ANÁLISIS DE RESIDUOS 42.

El método de estimación mínimo cuadrático proporciona unos estimadores con propiedades estadísticas buenas, según se deduce del teorema de Gauss-Markov. Pero estas propiedades dependen de la verificación de una serie de hipótesis a priori sobre las perturbaciones aleatorias H 1 : E(ε i) = 0

i = 1…n

H 2 : V (ε i) = σ ε2

i = 1…n,

H 3 : Cov (ε i , ε i′) = 0

i ≠ i′

H4 : εi ∈ N

i = 1…n.

y sobre los restantes elementos que definen la especificación del modelo. Como las variables aleatorias ε1, ε2, …, εn son no observables, es necesario estimar primero el modelo original yi = β0 + β1 x1 + … + βk xk + ε mediante mínimos cuadrados, y posteriormente estudiar los residuos e i = y i – ( b 0 + b 1 x 1i + … + b k x k i ) = y i – yˆ i para i = 1, 2, …, n con objeto de comprobar si las cuatro hipótesis H.1, H.2, H.3 y H.4, que se suponen ciertas cuando se estima el modelo, son realistas, o si por el contrario los residuos obtenidos no son concordantes con estas hipótesis, y por lo tanto las estimaciones obtenidas no corresponden a estimadores con las buenas propiedades enunciadas en el teorema de Gauss-Markov.

110

43.

El conjunto de técnicas disponibles para el estudio de los residuos


e 1 , e 2 , …, e n se conocen con el nombre genérico de análisis de residuos, y se clasifican en – métodos gráficos, y – tests sobre los residuos. 44.

En este apartado se tratan sólo los métodos gráficos para visualizar los residuos y su adecuación a las hipótesis de homocedasticidad (H.2), no existencia de autocorrelación (H.3) y normalidad (H.4), ya que al ser siempre n

∑e

i

= 0 = e

i=1

no es posible obtener información a partir de los residuos sobre la hipótesis H.1. 45.

Al estimar un modelo econométrico, es necesario calcular sus residuos, dado que éstos informan sobre la magnitud y sentido de los errores cometidos. Pero hay que tener en cuenta que la unidad de medida de los residuos es la misma que la de la variable endógena. Por ejemplo, si y representa las ventas en miles de pesetas de una empresa, al estimar el modelo y = yˆ + e los residuos se medirán en miles de pesetas, mientras que si las ventas se expresan en millones de pesetas, los residuos se expresarán en millones. Por lo tanto, sea en el primer caso el residuo e1 = 200,

miles de pesetas,

y si se cambia la variable endógena a millones, con los mismos datos el residuo será e1 = 0,2,

millones de pesetas,

por lo que el valor absoluto de un residuo no sirve para constatar si éste es grande o pequeño, o sea para evaluar la magnitud del error. Es preciso pues comparar el valor de cada residuo con la variable endógena calculando los errores relativos para cada dato e ----i yi

i = 1…n,

111

o los errores relativos al modelo


e ----i yˆ i

i = 1…n.

Los residuos tipificados son más fáciles de evaluar, ya que son e e i* = ----i se

i = 1…n,

y su magnitud no depende de la unidad de medida de la variable endógena. 46.

Además, si se supone que la distribución de las perturbaciones es Normal, los residuos tipificados estarán en su mayor parte comprendidos en los intervalos (–2, +2) en el 95% de los casos, y (–3, +3) en la casi totalidad de ellos. Aquellos residuos que sean en valor absoluto mayores que tres veces s e e i > 3s e e*i > 3 o

e*i 2

yˆ i –2

pueden ser considerados como anormales. Dicho de otra manera, para estos puntos, el modelo origina unos errores grandes (en valor absoluto). Lo más probable es que exista una causa (económica) para explicar estos fallos, y que haya que introducir esta causa mediante una nueva variable explicativa en el modelo. Alternativamente, si el dato que causa un residuo anormal no es representativo del colectivo o población que ha generado los datos, puede ser corregido o incluso eliminado de la muestra, aunque esto sólo debe realizarse si existen fundamentos económicos para modificar o prescindir de este dato. 47.

Los residuos se visualizan gráficamente al representar en un diagrama de dispersión, las n parejas de puntos ( yˆ i , e i )

i = 1…n. e

El gráfico residuos-valores estimados o ( yˆ -e) aporta información sobre la posible heterocedasticidad o autocorrelación de un modelo estimado. Por ejemplo, si este gráfico ( yˆ -e) presenta el aspecto que se muestra al margen se concluye que existe heterocedasticidad creciente, o sea que no se verifica la hipótesis H.2. Si existe autocorrelación, el gráfico ( yˆ -e) presentará una relación entre los residuos y los valores estimados con el modelo, como en los siguientes ejemplos:

yˆ

112 e


e

yˆ

yˆ

No hay que olvidar que la autocorrelación es un fenómeno típicamente temporal, y que a veces se origina por un error de especificación en el modelo; por ejemplo, si a una serie mensual de ventas se le ajusta una tendencia, los residuos pueden quedar afectados de autocorrelación al no haber sido incluidas como variables explicativas las correspondientes al ciclo estacional. 48.

La situación deseable en el gráfico ( yˆ -e) es que no muestre ninguna relación, tal como se muestra en la figura siguiente. Es habitual incluir en el gráfico dos líneas paralelas al eje de abscisas, a una distancia de 2s e , para evaluar la magnitud relativa de los residuos.

49.

Los gráficos anteriores se completan con el gráfico de los residuos ordenados de forma creciente, que se representan mediante

e

yˆ

e( 1 ) ≤ e( 2 ) ≤ … ≤ e( n ) en escala probabilística Normal. Así, si se define la función de distribución escalonada F*(e) de los residuos

F*( e ) =

= 0

si

e < e( 1 )

= 1/n

si

e( 1 ) ≤ e < e( 2 )

= 2/n

si

e( 2 ) ≤ e < e( 3 )

= n/n = 1 si

e( n ) ≤ e

y se la compara con la función de distribución de una distribución N(0, s e2 ) e 1 --------------exp ( – 0,5t 2 /s e2 ) dt s e 2 π –∞

∫

las discrepancias entre ambas muestran el grado de incumplimiento de la hipótesis H.4 de normalidad de las perturbaciones aleatorias. Si ambas líneas están próximas, se acepta la hipótesis de normalidad de las perturbaciones.

113

La escala probabilística Normal consiste en que la función


e ∈ ⺢ = ( – ∞, + ∞ )

F(e)

se represente como una línea recta creciente, que es la diagonal del rectángulo de la figura siguiente. Así es más fácil apreciar las diferencias entre F*(e) y F(e).

1

0,5

F(e) F*(e)

Ejemplo 4.

Gráficos de residuos

0 –∞

+∞

0

Se dispone de dos series temporales yt y zt correspondientes al período 1970–93 con tendencia lineal, y se trata de comprobar si existe heterocedasticidad y autocorrelación en los residuos. Los datos aparecen en la tabla siguiente. Año

yt

zt

Año

yt

zt

Año

yt

zt

1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977

21,0 23,6 21.3 21,9 23,8 26,4 32,5 32,1

20,5 21,9 20,3 22,1 23,6 25,3 30,9 25,1

1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985

35,3 34,6 35,1 32,1 26,7 22,3 28,4 31,0

31,1 26,5 29,0 23,0 16,4 15,7 39,0 34,3

1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993

31,1 31,7 33,7 34,8 34,1 31,8 36,1 37,9

29,0 30,8 36,4 34,6 29,9 23,3 46,7 40,6

Al realizar el gráfico temporal de ambas series, se observa una tendencia creciente, aproximadamente lineal, aunque las oscilaciones de zt son más amplias que las de yt. En ambos casos, a los 24 puntos de cada una de las series x e y, se ajusta un modelo lineal de tendencia

50 40

yt

30

yt = α0 + α1 t + εt

20

z t = β 0 + β 1 t + ε t* ,

10

zt

0 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94

resultando y t = 23,475 + 0,5197t + e t = yˆ + e t z t = 19.728 + 0,6741t + e t* = zˆt + e t* . Al ser éstos datos temporales, se pueden realizar los gráficos de residuos ( t, e t )

t = 1… 24

e t* )

t = 1… 24

( t,

114

en lugar de los gráficos de residuos


10

5

et

t = 1… 24,

( zˆt , e t* )

t = 1… 24.

En ambos casos se observa (no de forma clara) la autocorrelación y la heterocedasticidad creciente en los residuos e*, t t = 1, 2, …, 24, aunque es más fácil comprobar la autocorrelación y heterocedasticidad en los gráficos temporales de los residuos (aquí sí es posible, pues el modelo es dinámico).

+s e t

0

( yˆ t , e t )

–s e –5

– 10 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 15 10

50.

+s e 5 0

t

–5

–s e

– 10

– 15 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94

Para detectar la heterocedasticidad existen además del gráfico ( yˆ -e ) varios contrastes; el más usual es el test de White, que se tratará en los próximos capítulos. Análogamente, el test de Durbin-Watson se suele emplear para detectar la autocorrelación. Ambos fenómenos, no deseables, se dan frecuentemente en la práctica econométrica. Sus consecuencias son muy serias, pues la aplicación del método de mínimos cuadrados a un modelo en el que existe heterocedasticidad y/o autocorrelación origina unos estimadores no eficientes, e invalida la aplicación de los tests T y F sobre los coeficientes de regresión, o sea sobre el principal instrumento disponible para probar si el modelo estimado es el más adecuado. En realidad, si se detecta heterocedasticidad o autocorrelación, el modelo planteado no es el adecuado y es necesario cambiar su forma funcional transformándolo en otro modelo auxiliar que sirva para estimar los coeficientes estructurales del modelo inicial, pero que cumpla las condiciones a priori. Sobre estos puntos se volverá en los capítulos siguientes. 3.6 INTERPOLACIÓN Y PREDICCIÓN

51.

Una vez estimado y contrastado el modelo y i = b 0 + b 1 x 1i + … + b k x ki + e i

i = 1…n,

éste puede ser utilizado para estimar valores de la variable endógena correspondientes a valores de las variables explicativas distintos de los que han servido para obtener sus coeficientes. Este proceso se denomina interpolación o, si el modelo es dinámico, predicción. 52.

Es necesario disponer de los valores futuros x 1 f , x 2 f , …, x k f

f = n + 1, …, n + p

para estimar yˆ f . Estos valores son a veces conocidos o se pueden obtener sin errores, en cuyo caso el proceso de interpolación o predicción se denomina ex ante, pero otras veces hay que estimarlos mediante otros procedimientos o incluso mediante otros modelos auxiliares, y la predicción es entonces de tipo ex post, y además está afectada por la incertidumbre asociada a estas estimaciones. 53.

La predicción por punto se obtiene sustituyendo los valores futuros de las variables explicativas en el modelo estimado, obteniéndose yˆ f = b 0 + b 1 x 1 f + b 2 x 2 f + … + b k x k f = x′f b para f = n + 1, n + 2, …, n + p, siendo p el horizonte de predicción, y x′f = 1, ( x 1 f , x 2 f , …, x k f ) el vector de valores de las variables explicativas para el que se realiza la predicción. El valor esperado del residuo no observado es cero.

54.

La predicción por intervalo para yf se obtiene mediante la expresión I 1 – α = ( yˆ f – t α /2 s e f , yˆ f + t α /2 s e f ), siendo I1 – α un intervalo de nivel de confianza 1 – α, tα/2 el cuantil correspondiente a una distribución t de Student con n – k – 1 grados de libertad, y la varianza del error de predicción s e2f = s e2 [ 1 + x′f ( X′X ) –1 x f ].

El intervalo anterior se construye teniendo en cuenta que el error de predicción es e f = y f – yˆ f = x′ f + ε f – x′ f b = = x′f + ε f – x′f ( X′X ) –1 X′y = = x′f + ε f – x′f ( X′X ) –1 X′ ( X + ε ) = = x′f + ε f – x′f – x′f – x′f ( X′X ) –1 X′ = ε f – x′f M , siendo M = (X′X)–1X′, y se obtiene que E(e f ) = E(ε f ) – x′f ME( ) = 0, o sea que la predicción obtenida con el modelo es insesgada (si el modelo está correctamente especificado). Además la varianza de este error es

115 3.6 INTERPOLACIÓN Y PREDICCIÓN

σ e2f = E(e 2f ) = E [ ( ε f – x f ′M ) 2 ] =


= E(ε 2f ) + E [ ( x f ′M ) 2 ] – 2x f ME ( ε f ) = = σ ε2 + E [ ( x f ′M ) ( x f ′M )′ ] = = σ ε2 + x f ′ME ( ′ )M′x f = σ ε2 + x f ′M σ ε2 I n M′x f ′ = = σ ε2 + σ ε2 x f ′ ( X′X ) –1 x f , ya que MM′ = (X′X)–1. El estimador de esta varianza se obtiene sustituyendo σ e2 por su estimador insesgado s e2 , resultando la expresión de s e2f . Por último, para concluir la demostración, basta tener en cuenta que la distribución muestral de e f = ε f – x f ′M ∈ N(0; σ e2f ) es independiente de la distribución muestral de s e2f / σ ε2 , que es una chi-cuadrado χ2(n – k – 1), de donde se deduce que el estadístico y f – yˆ f e - ∈ t(n – k – 1), -----f = ---------------se f se f y a partir de éste se construye el intervalo de confianza de predicción.

55.

Al particularizar el caso de un modelo de regresión múltiple a uno de regresión simple, se tiene que

( X′X ) –1 =

n Σx i Σx i Σx i2

–1

1 Σx i2 – Σx i 1 --- Σx 2 1 = ---------------------------------= = ----2 n i – x , 2 2 sx nΣx i – ( Σx i ) – Σx i n –x 1

por lo que, como xf’ = (1, xf), resulta que ( x f – x )2 , s e2f = s e2 1 + --1- + --------------------n ns x2 y el intervalo de confianza I1 – α tiene su amplitud mínima para xf = x y va aumentando al alejarse xf del centro de la nube de puntos.

117

Ejemplo 5.

Interpolación por punto y por intervalo

3.6 INTERPOLACIÓN Y PREDICCIÓN

En el ejemplo 1 de este capítulo se construyó un modelo de corte transversal para estimar el gasto de mantenimiento (y) de la maquinaria de una empresa, en función del número de unidades (x1) o máquinas en taller, y del tiempo (x2) de interrupción del trabajo por mantenimiento. Se trata de estimar el coste de mantenimiento si el número de máquinas se incrementa hasta 260 y para varios tiempos medios de interrupción x2 = 2, 4, 6, y 8. El modelo finalmente estimado contiene como variables explicativas, además de x1 y x2, la interacción x3 = x1x2: y = 303,5 + 2,3293x 1 – 25,071x 2 + 0,28617x 1 x 2 + e por lo que la estimación por punto del gasto es, para x2 = 2, yˆf = 303,5 + 2,3293 ⋅ 260 – 25,071 ⋅ 2 + 0,28617 ⋅ 260 ⋅ 2 = 1007,8, y análogamente, para x2 = 4, 6 y 8 es yˆ , igual a 1106,5, 1205,1 y 1303,8. Para construir un intervalo de confianza para yf de nivel 1 – α, I 1 – α = ( yˆf – t α /2 s e f ; yˆ f + t α /s s e ), es preciso calcular el valor de s e f : así para x1 = 260 y x2 = 2, resulta s e = s e2 [ 1 + x f ′(X′X) –1 x f ] = f

⎧ ⎛ 1,1176 – 0,0068 – 0,1578 0,00098 ⎪ ⎜ ⎪ 0,00005 0,0010 –0,000007 = 4580,28 ⎨ 1 + ( 1,260, 2,520 ) ⎜ – 0,0068 ⎜ – 0,1578 0,0010 0,0288 – 0,00018 ⎪ ⎜ ⎪ ⎝ 0,00098 – 0,000007 – 0,00018 0,0000013 ⎩

⎞⎛ 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 260 ⎟ = ⎟⎜ 2 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 520 ⎠

= 82,891 2 ,

y para x2 = 4, 6 y 8 es s e f toma los valores 75,271, 72,706 y 75,712, por lo que los intervalos de confianza de niveles 1 – α = 0,95 y 1 – α = 0,99 son los que aparecen en la tabla siguiente


Intervalo ( yˆ f – t a/2 s f , yˆ f + t a/2 s f )

x1 = 260

Nivel

1 – = 0,95

1 – = 0,99

yˆf

x2 = 2 x2 = 4 x2 = 6 x2 = 8

(832,1, 1183,5) (946,9, 1266,1) (1051,0, 1359,2) (1143.3, 1464,3)

(765,7, 1249,9) (886,6, 1326,4) (992,7, 1417,5) (1082,6, 1525,0)

1007,8 1106,5 1205,1 1303,8

ya que los cuantiles de la distribución t(16) son t 0,05/2 = 2,12,

t 0,01/2 = 2,921.

Los intervalos de nivel de confianza 0,99 contienen los de nivel 0,95, pues es superior la confianza que contengan el verdadero valor yf. La amplitud de intervalo correspondiente a x2 = 6 es menor que la de los otros tres intervalos, ya que el valor medio de x2 es 6,06.

56.

En el caso de predicción ex-post, los valores x f = ( 1, x 1 f , x 2 f , …, x k f )′ no se conocen exactamente, sino que son estimados con un error que afecta a las predicciones de la variable endógena. Por ejemplo, en el caso de un modelo de regresión simple Y = a + bx + e, se verifica que 1 ( x f – x ) 2 + x 2f s u2 s e2f 1 + --- + --------------------------------------+ b 2 s u2 , n ns x2 siendo s u2 la varianza estimada del error de estimación de xf, el cual se considera independiente de las perturbaciones del modelo.

57.

En la práctica no suele ser frecuente el poder estimar s u2 , por lo que las predicciones por punto y por intervalo de yf, se consideran condicionales a los valores obtenidos x 1 f , x 2 f , …, x k f . Los intervalos de confianza que se calculan sin tener en cuenta el error cometido al estimar los valores de las variables explicativas son de amplitud menor que los intervalos de confianza reales de yf, o sea que se subestima la precisión de la estimación.

58.

Una vez realizadas las predicciones yˆ f , f = n + 1, n + 2, …, n + p, se definen varias medidas para evaluar la capacidad predictiva del modelo. Estas medidas se calculan una vez que se han tomado los da-

tos y f , f = n + 1, n + 2, …, n + p futuros que se estimaron previamente en el proceso de predicción. 59.

El error cuadrático medio 1 ECM = --p

p

∑ (y

n+t

– yˆ n + t ) 2 ,

t=1

o su raíz cuadrada toma valores pequeños si las predicciones son precisas. 60.

El índice de desigualdad de Theil, ECM ----------------------- = p 1 --y n2 + t p

U =

∑

ECM -------------- , V

t=1

toma valores positivos: – Si U = 0 es yˆ n + t = y n + t t = 1 … p, o si la predicción es perfecta. – Si U > 0 la capacidad predictiva del modelo disminuye a medida que aumenta el índice. 61.

Para interpretar las causas de los errores de predicción, el error cuadrático medio se puede descomponer en tres sumandos, ya que 1 ECM = --p

p

∑ (y

n+t

– yˆ n + t ) 2 =

t=1

2 – s 2 ) + 2(s s – s = ( y* – yˆ * ) 2 + ( s y* y* yˆ * yˆ * y*yˆ *) =

= ES + EV + E A , en el que 1 y* = --p 2 s y*

p

∑

1 yˆ * = --p

yn + t

t=1 p

1 = --p

∑ (y

n+t

–

t=1 p

1 s y*yˆ * = --p

∑ (y

n+t

y* ) 2

s y2ˆ *

1 = --p

p

∑ yˆ

n+t

t=1 p

∑ ( yˆ

n+t

– y* ) 2

t=1

– y* ) ( yˆ n + t – y* ).

t=1

El lector deberá demostrar la descomposición anterior del error cuadrático medio, en el que ES es la parte del error cuadrático medio

119 3.6 INTERPOLACIÓN Y PREDICCIÓN

120

debido al sesgo, o sea al error medio de la predicción, EV corresponde a la diferencia de las varianzas entre los valores reales y f y los estimados yˆ f , y EA refleja la variación aleatoria en los errores de predicción.


62.

La descomposición anterior del error cuadrático medio se puede expresar mediante la identidad ES EV EA 1 = ------------- + ------------- + ------------- = US + UV + UA. ECM ECM ECM La situación ideal en la predicción es cuando US = 0 UV = 0 UA = 1

o sea cuando no hay error sistemático en la predicción, que indica que la variabilidad de las predicciones y de los valores reales son iguales, y de manera que los errores de predicción son aleatorios.

3.7 OBSERVACIONES INFLUYENTES 63.

Al realizar el análisis de los residuos de un modelo, se aprecia la magnitud de los errores que se cometen al emplear los valores estimados de la variable endógena. Las observaciones anormales (o outliers) originan errores importantes en la estimación, desvirtuando la interpretación económica de los coeficientes estructurales; a veces, estos datos se originan por errores en el proceso de manipulación de la información desde que ésta se recoge, publica o incluso, al introducirla en un ordenador para su proceso. Se ha indicado que un dato anormal debe eliminarse de la muestra sólo si se considera no representativo de la población muestreada.

64.

Una vez estimado un modelo, se debe investigar qué observaciones son las más influyentes en la estimación. Para ello basta considerar que yˆ = Xb = X ( X′X ) –1 X′y = Hy por lo que la estimación de la observación i-ésima es yˆ i = h i1 y 1 + h i2 y 2 + … + h ii y i + … + h in y n . Si el coeficiente hii es próximo a la unidad, la observación i-ésima influye en el valor estimado de forma notable; la situación ideal se da cuando todos los coeficientes h11, h22, …, hnn son de magnitud similar, o sea cuando todos los puntos tienen una influencia parecida en el modelo. Se puede comprobar fácilmente que h i1 + h i2 + … + h in = 1 2 + h2 + … + h2 = h , h i1 i2 in ii

para i = 1, 2, …, n, y que el valor medio de los hii es (k + 1)/n, por lo que si se verifica que h ii > 2(k + 1)/n se considera que la observación i-ésima es influyente en el modelo, y por lo tanto debe ser analizada con más detalle. El valor hii sólo depende de las variables predeterminadas, y es una medida de la influencia potencial de la observación i-ésima. En realidad, la influencia real dependerá también del valor yi. 65.

Los residuos de un modelo lineal dependen también de esta matriz H e = y – Xb = y – yˆ = y – Hy = ( I n – H ) y = My = M , y su matriz de covarianzas muestral es V (e) = E(ee′) = ME ( ′ ) M = 2 M 2 = 2 M = 2 ( I n – H ), ya que My = MX β + M ε = M ε , y la matriz M es idempotente. Los residuos studentizados se definen dividiendo cada residuo ei por su desviación típica estimada que se obtiene a partir de su varianza muestral σ ε2 ( 1 – h ii ) ei r i = ---------------------s e 1 – h ii

i = 1…n.

Los valores absolutos de estos residuos son también indicativos de la importancia del error asociado a la observación i-ésima, y se usan para detectar observaciones influyentes. Los valores ri se pueden comparar con los cuantiles tα/2 de una distribución t de Student con n – k – 1 grados de libertad. 66.

Otra forma de investigar la importancia de la observación i-ésima consiste en estimar el modelo original prescindiendo de este dato, comparando y i con el valor yˆ i obtenido con el modelo estimado con n – 1 casos, y calculando los nuevos residuos studentizados y i – yˆ i r i* = -----------------------. s e 1 – h ii En el caso de un dato anormal o de una observación claramente influyente, r i* puede ser mucho mayor que r i , por lo que es preferible usar estos valores; si

121 3.7 OBSERVACIONES INFLUYENTES

122

r i* > t α /2


se considera, a nivel (aproximado) α, influyente la observación i-ésima. 67.

Cuando se encuentran una o varias observaciones influyentes en un modelo, es preciso buscar una interpretación económica de éstas; incluso si el dato es anormal, debe investigarse la causa que lo ha originado, lo que debe hacerse incluso si debe modificarse la especificación del modelo original cambiando su forma funcional para explicar esta variabilidad. En modelos dinámicos se utilizan a veces variables artificiales de intervención para representar esta situación. Por ejemplo, si se va a explicar una variable Y que representa la producción mensual en una empresa, y en el mes de agosto la producción es menor cada año, se introducirá una variable explicativa X que tome el valor 1 cada mes de agosto, y 0 en el resto de los meses; el valor estimado de su coeficiente estructural representará esta caída estacional de la producción.



1. Se dispone de n datos de x1, x2, e y, y se tipifican las variables mediante la transformación x 1i – x 1 -, x 1* i = ---------------s x1

x 2i – x 2 -, x 2* i = ---------------s x2

yi – y y i* = ------------- , sy

para i = 1, 2, …, n, en el que x 1 , x 2 e y son las medias aritméticas de los datos, y s x1 , s x2 , y s y , las desviaciones típicas correspondientes. Al estimar el modelo y * = β 0 + β 1 x 1* + β 2 x 2* + ε , demostrar que es βˆ0 = b 0 = 0 y que en el modelo resultante y * = β 1 x 1* + β 2 x 2 + ε , el sistema de ecuaciones normales es 1

r x1 x2 b 1

r x1 x2

1

b2

=

r yx1 r yx2

,

siendo los valores r x1 x2 , r yx1 y r yx2 los coeficientes de correlación ordinarios entre las variables. 2. El modelo lineal y = X + , en el que los coeficientes están sometidos a un conjunto de r restricciones lineales que se expresan mediante la identidad A = a, siendo A una matriz conocida de dimensiones (r, (k + 1)) y a un vector de r componentes conocidas, puede ser estimado minimizando la suma de cuadrados de los residuos teniendo en cuenta las restricciones usando el método de los multiplicadores de Lagrange. Demostrar que el estimador de es

= b + ( X′X ) –1 A′ [ A ( X′X ) –1 A ] –1 ( a – Ab ), siendo b = (X′X)–1X′y. Comprobar que verifica las r restricciones. 3. Sean los siguientes datos de las variables x e y x y

26 54 85 60 78 30 21 90 103 160 220 175 202 115 110 225

y se realizan los siguientes cambios de escala: x* = 10x, x** = x/10, y* = 100y, e y** = y/100. Se pide la estimación de los siguientes modelos y sus residuos, comparando los valores obtenidos. y = α + βx + ε y = α + β x* + ε y** = α + β x* + ε

y* = α + β x + ε y = α + β x** + ε y* = α + β x** + ε

y** = α + β x + ε y* = α + β x* + ε y** = α + β x** + ε

y calcular el coeficiente de determinación en cada caso.


4. Se han recogido datos temporales correspondientes a los años 1974–93 de acuerdo con la siguiente tabla: x

y1

y2

y3

x

y1

y2

y3

13 19 22 33 15 25 31 32 38 41

65 87 67 98 69 92 109 103 118 112

64 96 51 90 68 94 116 101 119 102

62 115 18 73 67 97 130 98 122 83

26 37 39 38 31 40 43 41 49 56

97 121 115 124 96 103 132 106 130 154

102 126 112 131 90 87 138 90 122 156

112 137 107 145 79 55 151 58 108 161

y se pretende estimar los modelos alternativos y1 = α1 + β1 x + ε1

y2 = α2 + β2 x + ε2

y3 = α3 + β3 x + ε3

comparando los coeficientes obtenidos, los residuos y las varianzas residuales. 5. Con los datos del ejercicio 10 del capítulo anterior, realizar los contrastes de validación de los dos modelos propuestos, y hallar la predicción por intervalo del coste estimado para el consumo de limpieza estudiado. 6. Estudiar los gráficos de residuos respecto a yˆ en los modelos obtenidos en el ejemplo 3 anterior. Comprobar que en todos los casos la media de los residuos es cero y que están incorrelados con yˆ . 7. Es frecuente que los programas informáticos de los paquetes estadísticos y econométricos calculen el coeficiente β en el modelo y = α + βx + ε mediante las expresiones n

r2 = 1 –

∑ e /ns 2 i

2 y

r 2 = b 2 s x2 /s y2 .

i=1

Analizar las expresiones anteriores si se pretende estimar el modelo sin ordenada en el origen, y = βx + ε. ¿Podría obtenerse un valor negativo (y por lo tanto erróneo) para r2 con alguna de las dos expresiones anteriores? Demostrar que el estimador βˆ = y/x es insesgado aunque menos eficiente que el estimador mínimo cuadrático. 8. Se considera la siguiente muestra de observaciones x y

4 8,5

5 11

6 7 8 9 10 11 12 13 14 14,5 9,6 14,0 17,6 16,0 16,7 21,6 18,3 19,8

y se pretende estudiar las observaciones influyentes en el modelo yt = α + βxt + εt.

4 Problemas en la estimación de modelos

4.1 INTRODUCCIÓN 1.

En el proceso de estimación del modelo y = X + se ha supuesto que se verifican una serie de hipótesis o restricciones a priori sobre sus distintos elementos. En la práctica, sin embargo, es muy frecuente que no se verifiquen una o varias de esas suposiciones, lo que afecta a los resultados obtenidos con el modelo y a su interpretación.

2.

Así, la matriz X cuyas columnas están formadas por las n observaciones de cada una de las variables explicativas, debe ser de rango k + 1, o sea no debe existir multicolinealidad. Si se maneja un modelo con muchas variables predeterminadas es probable que exista multicolinealidad y que el modelo no sea estimable, o si lo es, que no sean entonces fiables las estimaciones. Esta situación será muy frecuente en modelos dinámicos en los que se incluyan variables retardadas. Además, si la variable endógena actúa como explicativa con retardos, la matriz X tendrá carácter aleatorio; lo mismo ocurre si alguna variable exógena se mide con error, situación ésta muy habitual en Economía, ya que las magnitudes macroeconómicas se estiman mediante procesos muestrales o de agregación, que, inherentemente están afectados de errores aleatorios. Las propiedades estadísticas de los estimadores mínimo cuadráticos quedarán afectadas por esta aleatoriedad de algunas o de todas las variables predeterminadas.

3.

Las perturbaciones aleatorias ε1, ε2, …, εn deben ser variables centradas, de varianza constante, incorreladas y su distribución debe ser Normal; las tres primeras condiciones son la base del teorema de Gauss-Markov (unido a la no aleatoriedad de la matriz X). Si no se cumple que E(εi) = 0 para i = 1, 2, …, n, debido a que la forma funcional del modelo no es correcta o que existe heterocedasticidad o auto-

125

126

correlación, los estimadores mínimo cuadráticos pierden sus buenas propiedades muestrales y no son utilizables, debiendo recurrirse a otro método de estimación (el de mínimos cuadrados generalizados, por ejemplo), una vez especificado correctamente el modelo.

PROBLEMAS EN LA ESTIMACIÓN DE MODELOS

4.

La no verificación de algunas de las propiedades de las perturbaciones impide además la aplicación de los tests T y F como herramientas de comprobación de la especificación del modelo.

5.

Es pues necesario estudiar cuáles son las consecuencias de la no verificación de las hipótesis a priori sobre el modelo, cómo se pueden detectar estas desviaciones y qué se debe hacer en cada caso práctico cuando se presenten algunos de estos problemas. A estos aspectos se van a dedicar los dos capítulos que siguen. 4.2 ESPECIFICACIÓN Y ERRORES EN LAS VARIABLES

6.

Los errores de especificación se pueden cometer por varias causas: – elección de una forma funcional incorrecta, – incluir variables explicativas no relevantes u omitir variables que influyen sobre la variable endógena, y – a no verificación de las hipótesis a priori sobre los distintos ele mentos del modelo. Es necesario pues detectar que se ha cometido un error de especificación para poder modificar el modelo hasta obtener una formulación satisfactoria.

7.

Si se incluyen variables no relevantes como explicativas, lo más probable es que estas variables no resulten significativas al realizar los tests T, y que por lo tanto se eliminen en el proceso ordinario de contrastación del modelo; si no ocurre esto, el modelo resultante no será adecuado para aplicar o interpretar sus coeficientes estructurales. El método de mínimos cuadrados producirá estimadores insesgados pero no de mínima varianza.

8.

La omisión de variables relevantes tiene efectos más graves ya que si el verdadero modelo es, por ejemplo, Y = β0 + β1 X 1 + β2 X 2 + ε , y el modelo especificado es Y = β 0′ + β 1′ X 1 + ε ′, los estimadores b0′ y b1′ serán en general sesgados, salvo si X1 y X2 son incorreladas, situación ésta no frecuente, por lo que el modelo en el que se omite X2 no es válido y sus coeficientes estimados estarán afectados de desviaciones sistemáticas.

9.

Al estimar un modelo lineal, se consideraba que las variables explicativas debían ser no aleatorias y medidas sin error. Esta situación no se cumple a menudo, ya que, por ejemplo, las estadísticas macroeconómicas se obtienen mediante un proceso muestral, o sea que están afectadas de un error de medida. Sean por ejemplo las variables x t = x*t + e xt , y t = y*t + e yt , en las que ex y ey son los errores de medida de los verdaderos valores (no observables) x*t e y*t, y el modelo que se estima es yt = α + β xt + εt . Resulta pues, que si el modelo correcto relaciona a las variables no observables, y es y*t = α + β x*t + ε *t será

ε t = ε *t + e yt – β e xt y, aunque se suponga que ex, ey y ε *t son independientes entre sí, resulta que Cov (x t , ε t) = E [ ( x t – x*t ) ( ε *t + e yt – β e xt ) ] = = E [ e xt(ε *t + e yt – β e xt) ] = – β E ( e x2t ), que es distinta de cero, lo que implica que el estimador mínimo cuadrático de β será sesgado, ya que Σ ( xt – x ) εt E(b) = β + E -------------------------Σ ( xt – x )2 y el segundo sumando no tiende a cero aunque el tamaño muestral n aumente indefinidamente, por lo que además de sesgado b es un estimador inconsistente de β. Lógicamente si la variabilidad de la variable verdadera no observable, x*t, es grande en relación con la varianza del error ex, el sesgo asintótico de b será pequeño. 10.

En la práctica se suele proceder estimando el modelo, suponiendo que los valores xt sean los verdaderos, o sea que no están afectados de error, y por lo tanto, los resultados de la estimación son condicionales a los valores observados de las variables explicativas.

127 4.2 ESPECIFICACIÓN Y ERRORES EN LAS VARIABLES

128

11.


Si se trata de estimar el modelo teniendo en cuenta la naturaleza aleatoria y los errores en alguna o en todas las variables explicativas, el problema es más complejo y no se puede emplear el método de mínimos cuadrados. La teoría de Modelos Estructurales aborda esta cuestión, y una vez formulado el modelo, es necesario estudiar si los parámetros son estimables a partir de los datos, proceso que se conoce con el nombre de problema de la identificabilidad, cuestión ésta que se tratará en el capítulo de modelos multiecuacionales. 4.3 MULTICOLINEALIDAD 4.3.1 Introducción

12.

La multicolinealidad tiene lugar cuando las variables explicativas o predeterminadas de un modelo están relacionadas entre sí, de forma exacta o aproximada. La mayoría o todas las variables que intervienen en un modelo están parcialmente relacionadas, por lo que todos los modelos econométricos presentan un cierto grado de multicolinealidad. Por ejemplo, para estimar la función de consumo de una familia, se usan como variables explicativas su renta y su patrimonio, pero estas variables están correlacionadas de forma positiva, pues si la renta familiar es baja, cabe esperar que el patrimonio correspondiente no sea elevado, y las rentas altas están generalmente asociadas a patrimonios familiares acomodados.

13.

La presencia de multicolinealidad dificulta o impide obtener estimaciones precisas de los efectos individuales de cada variable explicativa o predeterminada sobre la variable endógena, pues la información que aquéllas aportan es redundante, por lo que los coeficientes estructurales estimados no reflejan el efecto real de cada variable X sobre la endógena; un incremento unitario de una variable explicativa provoca una variación de Y igual al coeficiente estimado, pero al estar relacionadas las variables predeterminadas, cabe esperar que el incremento de una de ellas esté asociado a variaciones en las otras variables explicativas, que a su vez afectan a la variable X.

14.

Si existe multicolinealidad, una pequeña variación en los datos originales, o la adición u omisión de alguna observación, pueden alterar totalmente el valor de los coeficientes estimados, lo que quiere decir que las estimaciones obtenidas no son fiables, y por lo tanto que su interpretación económica no es adecuada.

15.

En el caso de existir relaciones exactas entre las variables explicativas, se verifica que r(X) < k + 1 y la multicolinealidad se denomina exacta. En ese caso el rango de la matriz XX coincide con el de la matriz X, o sea que XX es singular, y no es posible resolver el sistema de ecuaciones normales XXb = Xy. Si el determinante de XX es próximo a cero, el sistema de ecuaciones

normales producirá resultados a veces muy distintos cuando varía ligeramente alguna variable explicativa; en esta situación se califica a la multicolinealidad de aproximada. 16.

En definitiva, la multicolinealidad exacta impide la estimación del modelo, y si aquélla es aproximada, entonces dificulta la interpretación económica de los coeficientes estructurales. 4.3.2 Detección y medida de la multicolinealidad

17.

Para detectar la multicolinealidad existen diversos procedimientos y tests estadísticos: – La matriz de coeficientes de correlación entre las variables X: si alguna correlación es r xi x j > 0,8, la multicolinealidad puede ser un problema serio. Es frecuente que aunque estas correlaciones sean inferiores, y aunque existan varias variables predeterminadas interrelacionadas entre sí, se produzca la multicolinealidad. – El test de Farrar-Glauber trata de contrastar las hipótesis H 0 : Las variables X están incorreladas H 1 : Existe multicolinealidad y se basa en el estadístico G = – [ ( n – 1 ) – ( 2k + 5 )/6 ] ln [ det ( X′X ) ], cuya distribución, si H0 es cierta y n → ∞, es χ2(g), siendo g = (k + 1)k/2, por lo que si G > χ α2 se acepta la existencia de multicolinealidad al nivel de significación α. No obstante, la procedencia de este test es discutible, pues la multicolinealidad es generalmente un problema de la muestra concreta disponible y no de la población que la ha generado. – Los coeficientes de determinación r j2 de los modelos auxiliares x j = a 0 + a 1 x 1 + … + a j – 1 x j – 1 + a j + 1 x j + 1 + … + a k x k + e, para j = 1, 2, …, k, son indicativos de multicolinealidad si son elevados. L. R. Klein sugiere comparar r j2 con el coeficiente de determinación r2 del modelo estimado y aceptar que existe multicolinealidad si r 2 < r j2 para algún j = 1, 2, …, k. En general, si el número k de variables predeterminadas es elevado, es más probable que éstas sean multicolineales. Una situación

129 4.3 MULTICOLINEALIDAD

130 PROBLEMAS EN LA ESTIMACIÓN DE MODELOS

muy frecuente de multicolinealidad se da en los modelos con variables retardadas. 18.

Para medir la intensidad de la multicolinealidad se define el índice o número de condición de la matriz X de regresores

κ =

λ max / λ min ,

siendo λmax y λmin los autovalores mayor y menor de la matriz XX. En el caso de multicolinealidad exacta implican que λmin = 0, y el número de condición tiende a infinito; en el otro extremo, si todas las variables están incorreladas, todos los autovalores son iguales y κ = 1. Valores de este índice superiores a 20 indican que el grado de multicolinealidad es elevado y que afecta a las estimaciones, y si κ > 30, el efecto es grave.

Ejemplo 1.

Modelo con multicolinealidad

Sea el conjunto de datos siguientes tomados en 24 meses correspondientes a los gastos de comercialización (C) de una empresa, el nivel de ventas (V), su coste de personal (P) y los costes de materias primas (M); se trata de estimar el nivel de ventas a partir de las restantes variables. V

607

590

543

558

571

615

606

593

582

646

619

651

C P M

197 173 110

208 152 107

181 150 99

194 150 102

192 163 109

196 179 114

203 169 113

200 166 113

198 159 115

221 206 119

218 181 120

213 192 123

V

648

694

697

707

693

680

664

747

708

702

711

778

C P M

207 191 122

228 217 131

249 190 133

225 221 135

237 189 133

236 192 128

231 193 134

260 233 135

254 196 139

239 199 138

248 202 146

273 240 153

En primer lugar se calcula la matriz de correlaciones entre las variables explicativas para analizar la posible multicolinealidad, ya que es de esperar que las variables Ct, Pt y Mt estén relacionadas: 1 0,82 0,93 R = 0,82 1 0,86 0,93 0,86 1

131

Los gastos de comercialización y de personal muestran una correlación elevada (0,82) y también la muestran los primeros con el coste de materias primas (0,93), mientras que los gastos de personal y de materias primas presentan una correlación igual a 0,86. En definitiva las tres variables explicativas (exógenas) Ct, Pt y Mt aportan una información redundante sobre las ventas, lo que puede dar origen a multicolinealidad. El índice de multicolinealidad es

κ =

λ max / λ min =

2,740561/0,0648715 = 6,5,

lo que representa una multicolinealidad mediana, o sea que en principio se va a poder aplicar el método de mínimos cuadrados. Los coeficientes de determinación de cada variable explicativa sobre las otras dos son r C2 = 0,86,

r P2 = 0,7395,

2 = 0,894, rM

que de nuevo indican que es posible que exista multicolinealidad asociada a las variables Mt y Ct. El modelo estimado de ventas con todas las variables es V t = 107,44 + 0,923C t + 0,950P t + 1,298M t + e t , (4,14)

(6,10)

(3,01)

cuyo coeficiente de determinación es r2 = 0,9798, mientras que el modelo sin la variable M es V t = 113,52 + 1,442C t + 1,162P t + e t , (8,69)

(7,1)

siendo r2 = 0,9707, lo que muestra que la variable Mt aporta información redundante respecto de Ct y Pt. No obstante la exclusión de Mt ha alterado mucho los coeficientes de las variables Ct y Pt, lo que dificulta su interpretación económica. La presencia de la multicolinealidad afecta a la interpretabilidad de un modelo econométrico ya que, como hemos visto, provoca una gran variabilidad en sus coeficientes. Además, una pequeña variación en los datos puede alterar significativamente los valores de los coeficientes estimados, originando de nuevo la inestabilidad, y por lo tanto la no interpretabilidad de éstos. Por ejemplo, si el dato de la variable Pt de marzo de 1992 se incrementa desde P3 = 150 a P3 = 183, resulta que el modelo estimado es ahora V t = 89,346 + 0,956C t + 0,749P t + 1,681M t + e t , siendo sus coeficientes totalmente distintos de los estimados con los datos originales. De nuevo no es posible dar una interpretación económica fiable a estos coeficientes.

4.3 MULTICOLINEALIDAD

4.3.3 Estimación de modelos con multicolinealidad


19.

Cuando se considera que la multicolinealidad afecta a la estimabilidad del modelo se debe adoptar alguna o varias de las medidas siguientes: – incrementar el tamaño muestral n, – eliminar las variables que causan la multicolinealidad, o sustituirlas por otras variables de tipo instrumental. – usar el método de estimación de regresión sobre componentes principales – utilizar otro método de estimación como el ridge de Hoerl y Kenard (1970) o el de James-Stein.

20.

Las soluciones propuestas para abordar el problema de la multicolinealidad no suelen ser prácticas. El incrementar el tamaño muestral rara vez es posible, por lo que la línea de actuación más simple es la eliminación de aquellas variables explicativas que contribuyen a una mayor presencia de multicolinealidad, aunque, como ya se ha mencionado en apartados anteriores, si se omiten indebidamente variables explicativas relevantes se origina sesgo en los estimadores mínimo cuadráticos.

21.

El método de regresión en componentes principales consiste en sustituir el conjunto de (k + 1) variables explicativas (incluida la constante asociada a la ordenada en el origen) por sus k + 1 componentes principales z0, z1, …, zk, o por un subconjunto de éstas. Así, si en el modelo lineal y = X + se designa mediante Z = XP = [ z 0 z 1 … z k ] a la matriz n × (k + 1) formada por los k + 1 componentes principales de las variables predeterminadas, siendo P = [ p0 p1 … pk ] de dimensión (k + 1) × (k +1) y p0, p1, …, pk los autovectores ortogonales de la matriz XX correspondientes a los autovalores ordenados

λ0 ≥ λ1 ≥ … ≥ λk , el modelo original se puede transformar en el siguiente, teniendo en cuenta que PP′ = I k + 1 ,

ya que los autovectores anteriores además de ortogonales se pueden elegir unitarios y = X + = XPP′ + = Z + . Los coeficientes de regresión = P están asociados a k + 1 variables explicativas incorreladas pues los componentes principales son ortogonales, o sea incorrelados. Este modelo auxiliar y i = α 0 z 0i + α 1 z 1i + … + α k z ki + ε i

i = 1…n

no estará afectado de multicolinealidad pues las variables z0, z1, …, zk están incorreladas, y si se eliminan las variables explicativas z r + 1 , …, z k , que son las k – r últimas componentes cuya variabilidad es menor, se pierde poca información, y el modelo resultante y i = α 0*z 0i + α *1 z 1i + … + α *r z ri + ε *i

i = 1…n

resultará ser una aproximación al original, sin multicolinealidad, y a partir de sus estimaciones se obtiene el estimador b de . Como

* , = P = [ P 1 P 2 ] ------- ** siendo P1 la matriz formada por las r + 1 primeras columnas de P y α∗ = ( α *0 , α *1 , …, α *r )′, si las últimas k – r componentes principales explican una pequeña parte de la variabilidad de las variables predeterminadas del modelo original, o sea que si se puede considerar ** 0, resulta que P 1 *, con lo que el estimador de será b = P 1 αˆ *, siendo αˆ * el estimador de los coeficientes * en el modelo de las r + 1 primeras componentes principales.

133 4.3 MULTICOLINEALIDAD


Ejemplo 2.

Regresión en componentes principales

Con los datos del ejemplo anterior, se trata de hallar las componentes principales de las variables exógenas C, D y M, y estimar las ventas a partir de estas componentes. Al realizar un análisis en componentes principales sobre la matriz de correlación de las tres variables exógenas Ct, Pt y Mt, resulta que la primera componente Z1 explica el 91,35% de la varianza de las variables exógenas, y las dos primeras el 97,84% de ella, siendo los factores z 1t = 0,3505 ( C t – C )/s C + 0,3432 ( P t – P )/s P + 0,3553 ( M t – M )/s M z 2t = 1,1657 ( C t – C )/s C – 1,8441 ( P t – P )/s P + 0,6165 ( M t – M )/s M z 3t = 2,4799 ( C t – C )/s C + 0,5678 ( P t – P )/s P – 2,9905 ( M t – M )/s M y C = 221,1667 s C = 24,5829

P = 187,625 s P = 24,9187

M = 123,7917 s M = 14,1452,

por lo que al estimar el modelo de ventas se pueden tomar como variables explicativas Z 1t , Z 1t y Z 3t , las tres componentes. Por ejemplo, con las dos primeras es V t = 650,41664 + 61,741788Z 1t – 1,1497Z 3t + e t , (31,7)

(–0,6)

siendo r2 = 0,9796. La segunda componente resulta no ser significativa para explicar las ventas, por lo que se toma la primera, resultando V t = 650,41664 + 61,741788Z 1t + e t , (32,2)

y al sustituir Z1 por su expresión en función de las variables, resulta V t = 650,41664 + 61,741788[0,3505 ( C t – 221,1667 )/24,5829 + + 0,3403 ( P t – 187,625 )/ ( 24,9187 ) + 0,3553 ( M t – 123,7917 )/14,1452] + e t = = 105,55 + 0,8803C t + 0,8432P t + 1,5507M t + e t , modelo similar al estimado directamente con los datos originales en el ejemplo anterior.

4.4 MODELOS CON VARIABLES RETARDADAS 4.4.1 Modelos dinámicos y retardos 22.

La mayor parte de las relaciones entre variables económicas son de naturaleza dinámica o temporal. Por ejemplo, si una empresa planifica su producción para el ejercicio siguiente, se toman medidas basadas en hechos correspondientes a distintos instantes del tiempo; el consumo anual de una familia dependerá de su renta en el año en curso, pero también del consumo y de la renta en los años anteriores; la amortización de un crédito hipotecario se distribuye sobre un período de varios años. Otro caso típico es el proceso de creación de dinero bancario: un depósito de importe D en el instante t permite al banco dar crédito de una parte de D en los instantes t + 1, t + 2, … créditos que generan depósitos y éstos a su vez nuevos créditos, en un período de tiempo posterior al primer ingreso. En el sistema legislativo, desde que se adopta una medida de política económica hasta que ésta surge efecto, transcurre un intervalo de tiempo.

23.

Todos los ejemplos anteriores muestran algunos casos en los que las interrelaciones entre las variables económicas implican retardos o desfases temporales.

24.

En principio, se tratarán dos tipos de modelos con retardos: – Modelos con variables exógenas retardadas, como por ejemplo yt = α + β0 xt – 1 + … + βr xt – r + εt . – Modelos con retardos en la variable endógena, y, en su caso, en las exógenas, como el siguiente yt = α + α1 + y1 – t + … + αs yt – s + β0 xt + β1 xt – 1 + … + βr xt – r + εt .

25.

La problemática de cada tipo de modelo es distinta, aunque con algunos rasgos comunes: – En cualquier modelo dinámico será muy frecuente la existencia de autocorrelación en las perturbaciones aleatorias εt, y a veces, habrá además heterocedasticidad. – La presencia de retardos en las variables exógenas o en la variable endógena puede ser causa de multicolinealidad, ya que prácticamente cualquier variable endógena o exógena está relacionada con sus propios valores pasados. Si el número de retardos es elevado, aumentan las posibilidades de que se dé multicolinealidad. – La presencia de retardos tiene además como consecuencia la disminución del tamaño muestral utilizable. Si en un modelo aparecen como explicativas las variables yt – 1, xt – 1 y xt – 2, de los n datos originales sólo serán utilizables n – 2, ya que para el instante t = 1, no se dispondrán de datos de yt – 1, xt –1 , ni de xt – 2, y en t = 2 no se

135 4.4 MODELOS CON VARIABLES RETARDADAS


conocerá el valor de xt – 2, por lo que los datos sólo serán utilizables en el proceso de estimación los últimos n – 2 datos. 26.

En los modelos con variable endógena retardada, además de los problemas anteriores, no se verificarán algunas de las siguientes hipótesis a priori: – La matriz X incluirá algunas columnas (las correspondientes a las variables predeterminadas yt – 1, yt – 2, …) aleatorias y relacionadas con las perturbaciones εt. – En esta situación no será posible utilizar el método de mínimos cuadrados ordinarios y habrá que recurrir a otros métodos de estimación de los parámetros, como el método de máxima verosimilitud o el de mínimos cuadrados condicionales, que son de tipo no lineal, y por lo tanto requieren programas de ordenador adecuados para su estimación.

27.

En los modelos con retardos en las variables exógenas, y si se verifican las hipótesis a priori, cabe usar en principio, el método de mínimos cuadrados ordinarios, pero la presencia de multicolinealidad y la pérdida de datos debida a los retardos dificultan el proceso de estimación.

28.

Para abordar el problema de la multicolinealidad originado por los retardos (en las variables exógenas o en la endógena) se procede de la siguiente forma: sean, por ejemplo, x t , x t – 1 , x t – 2 , …, x t – r un conjunto de variables que originan multicolinealidad en el modelo yt = α + β0 xt + β1 xt – 1 + β2 xt – 2 + … + βr xt – r + εt ; se va a transformar este modelo en otro y t = α + γ 0 w 0t + … + γ s w st + ε t con un número sensiblemente menor de coeficientes a estimar, o sea siendo s << r tales que los coeficientes del modelo original estén relacionados con los del modelo auxiliar

β 0 = β 0 ( γ 0 , γ 1 , …, γ s ) … … β r = β r ( γ 0 , γ 1 , …, γ s )

137

y que las variables auxiliares w se obtengan a partir de las originales w jt = w j ( x t , x t – 1 , …, x t – r )

4.4 MODELOS CON VARIABLES RETARDADAS

j = 0…s

de forma conocida. 29.

Bajo este planteamiento general, a partir de los datos de la serie xt se obtendrán los valores de las variables auxiliares w 1t , w 2t , …, w st , y como es s inferior a r, el problema de la multicolinealidad disminuirá en la mayor parte de las situaciones prácticas, con lo que se podrán estimar los coeficientes γ 0 , γ 1 , …, γ s , y a partir de éstos, los coeficientes estructurales β0, β1, …, βr.

30.

Si existe más de una variable con retardos, para cada una se obtendrá un conjunto distinto de variables auxiliares W.

31.

La parametrización del modelo original para obtener el modelo auxiliar requiere que se impongan unas restricciones adicionales (las relaciones entre los coeficientes originales y los yj) y que se definan las variables wj, lo que se tratará a continuación. 4.4.2 Modelos con retardos geométricos o exponenciales

32.

La situación más simple de reparametrización del modelo original yt = α + β0 xt + β1 xt – 1 + … + βk xt – k + εt consiste en considerar decreciente la influencia de x sobre la variable yt a medida que transcurre el tiempo. Si esta influencia de xt – j decrece exponencialmente al aumentar j, puede ser representada mediante la expresión β j = β0 y j j = 0, 1, …, r βj

siendo y una constante positiva menor que la unidad

β0

0 < y < 1. β1

Así, si es y = 0,3, resultaría

β 1 = 0,3 β 0 ,

β 2 = 0,09 β 0 ,

β2

β 3 = 0,0027 β 0 ,

…

β3 βr

o sea que la influencia de xt – j sobre yt es una fracción (0,3j) de la influencia xt. 33.

Si el número de retardos es elevado, los últimos coeficientes β serán muy pequeños y el modelo original se puede aproximar mediante un modelo con infinitos retardos

0 1 2 3

r

j

yt = α + β0 xt + β1 xt – 1 + … + βr xt – r + εt


α + β0 xt + β1 xt – 1 + … + βr xt – r + … + εt , y si en este modelo se admite una estructura de retardos geométricos, resulta que ∞

yt α +

∞

∑β x

j t–j

+ εt = α +

j=0

∑β ω x 0

j

t–j

+ εt .

j=0

Usando el operador retardo B, definido mediante la expresión B j xt = xt – j , * se tiene que ∞

yt α + β0

∑

∞

ω jx

t–j

= α + β0

j=0

∑ω B x + ε j

j

t

j=0

t

1 = α + β 0 ----------------- x t + ε t 1 – ωB

ya que ∞

∑ω B j

j=0

j

1 = ----------------- , 1 – ωB

con lo que el modelo resultante es ( 1 – ω B )y t = ( 1 – ω B ) α + β 0 x t + ( 1 – ω B ) ε t , y despejando yt, yt = ( 1 – ω ) α + β0 xt + ω yt – 1 + ( εt – ω εt – 1 ) ya que ωBα =ωα. 34. Resulta pues que el modelo con retardos geométricos se puede aproximar mediante el modelo anterior, en el que la variable endógena aparece con un solo retardo, lo que evita la pérdida de datos asociada a los retardos en el modelo original. La perturbación aleatoria ε*t = εt – ωεt – 1 presenta autocorrelación de tipo MA(1). Por todo ello, la estimación del modelo no debe hacerse mediante el método de mínimos cuadrados ordinarios.

*

En el segundo capítulo de series temporales se incluye un anexo dedicado al operador B.

139

Ejemplo 3.

Modelo de expectativas adaptativas

Un modelo simple para representar el modo en que se forman las expectativas de los agentes económicos da origen a un modelo con retardos distribuidos de tipo geométrico. Sean yt el consumo familiar para el año t y xt la renta obtenida en dicho período. Generalmente el consumo dependerá de la renta esperada x*t para el año t, que puede diferir de la realmente obtenida; sea pues el modelo y t = α + β x* t + εt , que depende de la variable no observable x*t. Por ejemplo, la compra aplazada de una vivienda se decide en función de los ingresos esperados en el futuro. Pero, ¿cómo se generan estas expectativas de ingresos? Un modelo simple consiste en estimar un incremento anual en los ingresos, x*t – x*t – 1, igual a una parte θ del incremento que realmente se ha obtenido respecto al valor esperado el año anterior x*t – x*t – 1 = θ(x t – x*t – 1),

θ ∈ ( 0, 1 ) ,

por lo que si en esta ecuación se despeja x*t, resulta x*t – x*t – 1 + θ x*t – 1 = θ x t , o bien

θ x*t = ------------------------------ x t = θ [ x t + ( 1 – θ )x t – 1 + ( 1 – θ ) 2 x t – 2 + … ], 1 – ( 1 – θ )B por lo que el modelo original resulta ser de tipo geométrico 1 y t = α + β x*t + ε t = α + βθ ------------------------------ x t + ε t = 1 – ( 1 – θ )B ∞

= α + βθ ∑ ( 1 – θ ) j x t – j + ε t , j=0

o bien [ 1 – ( 1 – θ )B ]y t = [ 1 – ( 1 – θ )B ] α + βθ x t + [ 1 – ( 1 – θ )B ] ε t , que da origen al modelo con la variable endógena retardada y t = αθ + βθ x t + ( 1 – θ )y t – 1 + [ ε t – ( 1 – θ ) ε t – 1 ] a partir del cual se estiman α, β y θ, lo que permite estimar el modo en que se forman las expectativas de renta.



Ejemplo 4.

Modelo de ajuste parcial o de Nerlove

Algunas magnitudes económicas, como el capital de una empresa yt, tienden a variar hacia un valor óptimo y*t no observable siguiendo un modelo de ajuste parcial, como en caso del ejemplo anterior, y este ajuste se estima a partir de la relación entre el capital óptimo con el nivel de output real xt, lo que de nuevo da origen a un modelo de retardos distribuidos de tipo geométrico. El ajuste parcial del capital de una empresa se produce mediante unos incrementos yt – yt – 1, que son una fracción θ del incremento que sería óptimo para el nivel de producción real en el período t y t – y t – 1 = θ(y*t – y t – 1)

θ ∈ ( 0, 1 )

y a una producción xt le correspondería el capital óptimo o deseable y*t = α + β x t + ε t . Si en la primera ecuación se despeja y*t, resulta y t – y t – 1 + θ y t – 1 = [ 1 – ( 1 – θ )B ]y t = θ y*t por lo que es [ 1 – ( 1 – θ )B ]y t = θ [ α + β x t + ε t ] o sea y t = αθ + βθ x t + ( 1 – θ )y t – 1 + ε t expresión ésta útil para estimar α, β y θ. El modelo anterior presenta una estructura de retardos distribuidos de tipo geométrico ∞

∞

j=0

j=0

y t = α + βθ ∑ ( 1 – θ ) j x t – j + θ ∑ ( 1 – q ) j ε t – j

4.4.3 Modelos con retardos distribuidos polinomiales 35.

En el modelo con retardos de la forma yt = α + β0 xt + β1 xt – 1 + β2 xt – 2 + … + βr xt – r + εt se puede reparametrizar el modelo eligiendo como estructura de los coeficientes funciones polinomiales de la forma

β j = γ 0 + γ 1 j + γ 2 j 2 + … + γ s j s = p( j)

j = 0…r

141

tomando como grado del polinomio un valor s sensiblemente inferior al máximo retardo posible. 36.

Unos casos particulares se obtienen eligiendo s = 1 ó s = 2. Así, si

βj = γ0 + γ1 j

β j = γ 0 + γ 1 j + γ 2 j2

ó

βj

se obtienen los retardos lineales o cuadráticos. 37.


β0

A veces se imponen algunas restricciones sobre estos polinomios. Por ejemplo, para que los últimos coeficientes vayan disminuyendo se puede exigir que el valor del polinomio para j = r + 1 se anule, o sea que p(r + 1) = 0,

β2

βr

o en el caso de un polinomio de grado s ≥ 2, si se quiere que los primeros coeficientes sean crecientes, se puede exigir que

0 1 2

βj

p(– 1) = 0.

β1

β0

β1

r

β2

En ocasiones, se imponen restricciones a ambos lados para forzar que los coeficientes β0, β1, …, βr sean primero crecientes y luego decrecientes. 38.

j

βr

En el caso de un modelo sin restricciones, el modelo original yt = α + β0 xt + β1 xt – 1 + … + βr xt – r + εt resulta ser, al sustituir los coeficientes mediante el polinomio

β j = γ 0 + γ 1 j + γ 2 j2 + … + γ s js el modelo auxiliar r

yt = α +

∑β x

j t–j

j=0 s

= α+

r

+ εt = α +

i

i

i=0

∑ ∑γ

i

j i xt – j + εt =

j = 0i = 0 s

r

∑γ ∑ j x

s

t–j

+ εt = α +

j=0

∑γ W i

i=0

siendo las variables Wj r

W it =

∑jx i

j=0

t–j

i = 0…s

it

+ εt ,

0 1 2

r

j

142

obtenidas a partir de los datos originales. En el modelo auxiliar


y t = α + γ 0 W 0t + γ 1 W 1t + … + γ s W st + ε t es lineal y el número de parámetros s + 2 es inferior a los r + 2 parámetros del modelo original. 39.

Una variante de los retardos con estructura polinómica son los polinomios de Almon, que se formulan de la forma j+1 ( j + 2 )2 ( j + 1 )s β j = γ 0 + γ 1 ----------- + γ 2 ------------------2 + … + γ s ------------------s , r+1 (r + 1) (r + 1) o también como min ( s, j )

βj =

∑

γ i ji,

i=0

para j = 0, 1, …, r. 40.

Al reducir el número de parámetros a estimar, se simplifica el modelo original y disminuye el riesgo de multicolinealidad en el modelo auxiliar, aunque al ser éste más restrictivo, cabe la posibilidad que el modelo resultante auxiliar no esté bien especificado, lo que originaría sesgos en las estimaciones de sus parámetros.

41.

Aunque todos los desarrollos se han realizado considerando una sola variable exógena xt con varios retardos, los polinomios anteriores se pueden aplicar a estructuras más complejas de retardos distribuidos en distintas variables exógenas y en la endógena.

Ejemplo 5.

Modelo con retardos distribuidos

El número de objetos (yt) en un almacén correspondiente a un mes t depende de los gastos en publicidad en dicho mes Gt y de las ventas de ese mes Vt y de los cinco meses anteriores. Se dispone de datos mensuales de estas tres variables durante tres años. Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

y 490 491 501 498 504 504 500 500 503 503 511 517

G 7 10 13 12 13 13 11 11 11 10 11 12

V 29,3 30,1 31,1 30,8 31,2 31,3 31,0 31,1 31,2 31,1 31,5 31,8

y 517 529 521 526 525 520 528 524 533 531 539 540

G 10 16 15 11 15 12 13 10 14 15 15 15

V 32,1 32,8 32,0 33,2 32,6 32,9 33,0 32,9 33,2 32,8 33,6 33,4

y 544 561 551 553 567 563 566 554 558 579 575 572

G 13 17 17 12 20 17 16 10 14 18 18 16

V 34,2 35,2 34,4 35,1 35,1 35,3 35,6 35,1 35,0 36,6 36,4 36,2

143

Se trata de construir un modelo para prever el nivel de objetos en almacén. Si se supone que el modelo es lineal y que las ventas durante los últimos 6 meses influyen en el nivel de stock, el modelo a estimar es yt = α + β Gt + β0 V t + β1 V t – 1 + β2 V t – 2 + β3 V t – 3 + β4 V t – 4 + β5 V t – 5 + εt , y como la variable V aparece con seis retardos, es muy probable que exista multicolinealidad, por lo que es aconsejable usar una estructura de retardos polinomiales; por ejemplo, si se toma s = 2, se obtiene el polinomio de retardos

β j = γ 0 + γ 1 j + γ 2 j2

j = 0, 1, …, 5

y si imponemos la restricción

β 6 = 0, ya que es lógico pensar que la influencia de las ventas sobre el inventario en los meses anteriores disminuirá al aumentar el retardo. Al estimar el modelo con el programa μTSP, ejecutando la orden LS y c G PDL(V,5,2,2) resulta y t = 97,19 + 1,297G t + 1,820W 1t – 2,1788W 2t + e t , con r2 = 0,981, y todos los coeficientes difieren significativamente de cero. Los coeficientes de W1 y de W2 se obtienen teniendo en cuenta que

β j = γ 0 + γ 1 j + γ 2 j2

j = 0, 1, 2, 3, 4, 5

β 6 = γ 0 + γ 1 6 + γ 2 36 = 0 en

β0 V t + β1 V t – 1 + β2 V t – 2 + β3 V t – 3 + β4 V t – 4 + β5 V t – 5 = = γ 0(Vt + Vt – 1 + Vt – 2 + Vt – 3 + Vt – 4 Vt – 5) + + γ 1 ( V t – 1 + 2V t – 2 + 3V t – 3 + 4V t – 4 5V t – 5 ) + + γ 2 ( 4V t – 2 + 9V t – 3 + 16V t – 4 + 25V t – 5 )= = γ W*0t + γ 1 W*1t + γ 2 W*2t = ( – 6 γ 1 – 36 γ 2 )W*0t + γ 1 W*1t + γ 2 W*2t = = γ 1 ( W*1t – 6W*0t ) + γ 2 ( W*2t – 36W*0t ) = γ 1 W 1t + γ 2 W 2t . Las estimaciones de γ1 y γ2 son

γˆ 1 = 1,8207

γˆ 2 = – 2,1788,

por lo que los coeficientes del modelo original son



ey t = 97,19 + 1,297G t + 7,90V t + 4,43V t – 1 + 1,82V t – 2 + + 0,073 V t – 3 – 0,81V t – 4 – 0,84V t – 5 + e t . Se recomienda al lector que se ensayen con estos datos algunas especificaciones alternativas a la propuesta.

42.

Otra estructura de retardos distribuidos usual es la estructura de tipo gamma

β j = β 0 ( j + 1 ) s – 1 e – jr

j = 0…r

γ ∈ ( 0, 1 )

o bien

β j = β0 j s – 1 e – j

j = 0…r.

4.4.4 Estimación de modelos con variables retardadas 43.

En el caso que el modelo sólo tenga retardos en las variables exógenas se puede aplicar el método de mínimos cuadrados si se cumplen las hipótesis a priori, pero si existen retardos en la variable endógena, es preciso recurrir al método de máxima verosimilitud o al de mínimos cuadrados condicionales.

44.

En el caso de aplicar indebidamente el método de mínimo cuadrados, los estimadores resultantes son sesgados e inconsistentes, y el sesgo no desaparece aunque el tamaño muestral sea grande. Como en estos modelos suele existir autocorrelación, los estimadores mínimocuadráticos son ineficientes.

45.

Al elegir un modelo con retardos distribuidos es necesaria una justificación teórica para reparametrizar el modelo, con el fin de seleccionar el número de retardos en el modelo original y el orden del polinomio de Almon, si se adopta esta formulación. 4.5 OTROS PROBLEMAS ASOCIADOS A LA ESTIMACIÓN DE MODELOS 4.5.1 Falta de datos

46.

Al realizar un proceso de toma de datos, es frecuente que falten datos de algunas variables con las que se estima un modelo econométrico. Por ejemplo, en una encuesta se dejan a veces preguntas sin contestar. Se distingue entre la falta de datos de tipo estático o de corte transversal, y la de datos temporales. Los dos casos son distintos y también las técnicas para recuperar un dato que falta.

47.

En el caso de modelos de corte transversal, existen varios procedimientos para estimar los datos que faltan. Con los datos completos se estima el modelo

y = b 0 + b 1 x 1 + … + b k x k + e, y los datos que faltan de la variable endógena se estiman con este modelo. En cuanto a los datos que faltan de las variables exógenas, se pueden estimar a partir de las demás variables ajustando un modelo de regresión en el que la variable explicada es la exógena cuyos datos se tratan de estimar. 48.

Algunos autores recomiendan estimar los datos que faltan de la variable endógena y descartar los casos para los que falta un dato de alguna variable exógena.

49.

Una vez calculados los datos que faltan, se vuelve a estimar el modelo original utilizando toda la información disponible.

50.

En el caso de falta de datos en modelos dinámicos, además de los métodos anteriores, cabe utilizar la información temporal para estimar los datos que faltan. Se pueden dar varias situaciones: – falta de un dato de la variable endógena yt – falta de un dato de alguna variable exógena xt – falta de datos de ambas.

51.

Si falta un dato yt, se debe estimar a partir del modelo general estimado con todos los casos completos yˆ t = b 0 + b 1 x 1t + … + b k x kt , mientras que si es una variable exógena la que origina el hueco, se puede estimar el dato que falta a partir de un modelo temporal asociado a los datos de esta variable. Por ejemplo, si la serie xt se puede representar mediante un modelo temporal x t = f (t) + ε *t , en el que f(t) es una función conocida (por ejemplo un polinomio, o una función de tendencia agregada, una componente cíclica), basta emplear esta función para estimar el valor xt que falta. Si faltan simultáneamente datos de variables exógenas y de la endógena, en primer lugar se estimarían mediante modelos temporales los valores que faltan de las variables exógenas, y con el modelo general estimado, se calcularían los datos que faltan de la variable endógena.

Ejemplo 6.

Recuperación de datos que faltan

Con los datos del ejemplo 5 anterior, supongamos que faltan los dos datos de ventas correspondientes al mes de junio de los dos últimos

145 4.5 OTROS PROBLEMAS ASOCIADOS A LA ESTIMACIÓN DE MODELOS


años, y el dato de inventario de agosto del último año. Se persigue estimar los datos que faltan a partir del resto de los datos, y posteriormente estimar el modelo de inventarios que se estudió en el citado ejemplo 5. Una primera forma de proceder consiste en eliminar los tres datos que faltan y estimar el modelo de inventarios con el resto. Aparentemente, si de los 36 datos originales se suprimen tres, la pérdida de información no es muy grande, pero hay que tener en cuenta que la variable ventas figura en el modelo yt = α + β Gt + β0 V t + β1 V t – 1 + β2 V t – 2 + β3 V t – 3 + β4 V t – 4 + β5 V t – 5 + εt en seis instantes distintos del tiempo, por lo que si se elimina el dato de ventas de julio del último año, se pierde ese dato y los cinco siguientes en la estimación del modelo, pues para el dato y31 correspondiente a julio no se dispone de las ventas V31 de este mes, mientras que y32 depende no sólo de V32, sino también de V31, que falta, y así sucesivamente. Por lo tanto, si faltan los datos V19 y V31, se pierden doce datos para la estimación del modelo original, lo que unido a los cinco primeros datos que no se utilizan debido a la estructura de retardos del modelo, y al dato y33 de ventas, resulta en un total de 18 datos no usados en la estimación del modelo. El tamaño muestral n realmente utilizable se ha reducido a la mitad. Es de señalar que si se estiman los datos V19 y V31, se podrían usar 30 datos para estimar el modelo de inventarios, y además, con el modelo resultante cabe estimar el dato y33 de ventas y así completar la matriz de datos inicial. La serie de ventas muestra una tendencia temporal aproximadamente lineal aunque con una cierta curvatura. Se van a estimar dos modelos de tendencia:

37 36 35

V t = α e β t + εt ,

34

V t = β0 + β1 t + εt .

33 32

El exponencial, estimado con 34 datos es

31 30 29

V t = 29,88e 0,054t + e t , 1991

1992

1993

r 2 = 0,949,

y el lineal V t = 29,78 + 0,1773t + e t ,

r 2 = 0,947,

y al estimar los datos que faltan resulta (con ambos modelos) ˆ 19 = 33,1, V

ˆ 31 = 25,3, V

con lo que se han recuperado los dos datos que faltan de la variable ventas sin perder precisión en el segundo y con dos décimas de error en el primero. Si con estos datos se estima el modelo del ejemplo anterior, faltando el dato de inventario y33 de agosto del último año, resulta

147

y t = 96,23 + 1,321G t + 1,8532W 1t – 2,1022W 2t + e t = = 96,23 + 1,321G t + 7,697V t – 1 + 1,853V t – 2 + + 0,161V t – 3 – 0,712V t – 4 – 0,76V t – 5 + e t , por lo que será yˆ 33 = 96,23 + 1,321 ⋅ 10 + 7,697 ⋅ 35,1 + 4,365 ⋅ 35,6 + 1,853 ⋅ 35,3 + + 0,161 ⋅ 35,1 – 0,712 ⋅ 35,1 – 0,766 ⋅ 34,4 = 554,7, con lo que se ha estimado este dato que falta con un error mínimo.

4.5.2 La agregación de magnitudes económicas 52.

Numerosas magnitudes económicas se obtienen agregando o promediando otros datos. Por ejemplo, las macromagnitudes de un país, como la renta, el consumo, el ahorro, etc., se calculan mediante un proceso de agregación de las micromagnitudes correspondientes a los distintos agentes económicos. Los números índice constituyen un ejemplo habitual de datos agregados.

53.

También se generan datos agregados sobre un intervalo de tiempo; en lugar de sumar datos de distintos elementos o agentes, se agregan sobre un intervalo de tiempo los datos medidos de una empresa, persona, ciudad, país, etc.

54.

Los procesos de agregación conllevan una pérdida de información respecto a los datos originales, pero éste es el precio que hay que pagar para obtener información útil y comprensible.

55.

En la elaboración de un modelo econométrico yt = α + β xt + εt

t = 1…n

se plantean también problemas de agregación, pues los datos de las variables que intervienen en el modelo pueden ser agregados obtenidos sobre N unidades experimentales N

yt =

∑

N

Y it ,

i=1

xt =

∑X

it ,

i=1

datos que a su vez están relacionados entre sí Y it = α i + β i X it + ε it , lo que implica que

i = 1…N,

t = 1…n,

4.5 OTROS PROBLEMAS ASOCIADOS A LA ESTIMACIÓN DE MODELOS

148

N

yt =


∑

N

αi +

i=1

∑

N

β i X it +

i=1

∑ε

it ,

i=1

o sea que α = Σ α i ; pero el coeficiente β depende no sólo de los coeficientes β1, …, βN de las microrrelaciones, sino también de los datos de las variables Xit, i = 1…N, salvo que sea βi = β para todo i = 1, 2, …, N, lo que rara vez será realista. 56.

Si se supone que los valores individuales Xit se pueden obtener a partir de los datos agregados xt mediante el modelo auxiliar X it = a i + b i x t + ε *it resulta que N

∑β X i

N

it

i=1

N

N

⎛ ⎞ = βi ai + ⎜ β i b i⎟ x t + β i ε *it , ⎝i = 1 ⎠ i=1 i=1

∑

∑

∑

por lo que el modelo agregado es N

yt =

∑

i=1

N

αi +

∑

i=1

N

⎛ ⎞ β i b i⎟ x t + βi ai + ⎜ ⎝i = 1 ⎠

∑

N

∑

i=1

N

ε it +

∑ β ε*

i it

=

i=1

= α * + β *x t + ε *t , o sea que se ajusta a una ecuación de la misma forma que las microrelaciones existentes entre cada uno de los agentes económicos. 57.

En resumen, se concluye que si existen unas relaciones entre variables medidas sobre un conjunto de N agentes económicos (microrrelaciones), al realizar un proceso de agregación con estas variables, las variables agregadas no tienen por qué verificar una ecuación (macrorrelación) del mismo tipo, aunque, imponiendo restricciones sobre la forma de las microrrelaciones, a veces es posible formular una macrorelación con la misma forma funcional. Estas restricciones, si no se ajustan a la realidad, producirán errores de especificación en el modelo agregado.

58.

La agregación sobre un intervalo de tiempo produce pérdidas de información sobre lo que ocurre dentro del intervalo, y también puede originar errores de especificación en los modelos con variables retardadas. Además origina problemas como los de autocorrelación en las perturbaciones aleatorias.

59.

Por ejemplo, sea la serie mensual Yam en la que los subíndices representan el año y el mes, y la serie anual agregada 12

ya =

∑Y

m=1

am .

Es claro que si existe un ciclo estacional de período un año, la información sobre este ciclo se pierde al obtener datos anuales mediante la agregación. 60.

En el caso de un modelo con retardos Y am = α + β 0 X am + β 1 X am – 1 + ε am , al agregar sobre doce meses, resulta y a = 12 α + β 0 x a + β 1 ( x a – X a12 + X a – 1,12 ) + ε a = = 12 α + ( β 0 + β 1 )x a – β 1 ( X a12 – X a – 1,12 ) + ε a , y por lo tanto, con los datos agregados anuales no se pueden estimar los coeficientes del modelo mensual.

149 4.5 OTROS PROBLEMAS ASOCIADOS A LA ESTIMACIÓN DE MODELOS

ANEXO I. ANÁLISIS EN COMPONENTES PRINCIPALES


1.

El método de componentes principales fue desarrollado en el primer tercio del siglo XX por K. Pearson y H. Hotelling como método matemático de reducción de la dimensión de un conjunto de datos interrelacionados entre sí.

2.

Sean x1, x2, …, xk variables relacionadas entre sí y S y R sus matrices de covarianzas y de correlación R = r ij ,

S = s ij

i, j = 1…k,

calculadas a partir de n observaciones ( x 1t , x 2t , x k t ),

t = 1…n,

mediante las expresiones conocidas 1 s ij = --n

n

∑ (x

it

– x i ) ( x jt – x j ),

i, j = 1…k,

i=1

y s ij s ij r ij = -------------- = -------- , si s j s ii s jj 3.

i, j = 1…k.

Las componentes principales z1, z2, …, zk se definen a partir de las variables centradas x˙1 = x 1 – x 1

x˙2 = x 2 – x 2

…

x˙k = x k – x k

mediante las combinaciones lineales z j = a 1 j x˙1 + a 2 j x˙2 + … + a kj x˙k ,

j = 1…k,

de manera que los coeficientes ⎛ a j1⎞ ⎜a ⎟ j2 aj = ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a jk⎠

j = 1…k,

cumplen las siguientes restricciones: k

a′j a j =

∑a

2 js

∑a

js a is

= 1,

j = 1…k,

s=1 k

a′j a i =

s=1

= 0,

i, j = 1…k,

i ≠ j,

y las varianzas de la variable z1 es máxima, la de z2 es máxima (una vez hallada z1), y así sucesivamente. 4.

A partir de esta definición se determinan los coeficientes aj, j = 1, 2, …, k que definen a las componentes principales. Así resulta que a 1 , a 2 , …, a k son autovectores de la matriz de covarianzas S, ortonormales y correspondientes a los autovalores de S ordenados de forma creciente

λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ … ≥ λk . Para demostrar este resultado se va a maximizar la varianza de la primera componente z1 sujeta a la restricción a1′ a 1 = 1 V (z 1) = a′1 Sa 1 , ya que z1′ = a1′ x, y la matriz de covarianzas de las variables x es S. El lagrangiano a maximizar es L(a 1) = a′1 Sa 1 – λ ( a′1 a 1 – 1 ), por lo que al igualar a cero la primera derivada dL(a 1) ---------------- = 2Sa 1 – 2 λ a 1 da 1 resulta Sa 1 = λ a 1 , por lo que a es un autovector de S y como V (z 1) = a′1 Sa 1 = λ a′1 a 1 = λ debe ser máxima, se toma como valor de λ el mayor autovalor de S: λ = λ1 y a1 es el autovector de módulo unitario asociado. La segunda componente se obtiene maximizando su varianza V (z 2) = a′2 Sa 2 con las restricciones a2′ a 2 = 1 y a2′ a 1 = 0, o sea que z2 está incorrelada con z1, ya que Cov ( z 2 , z 1 ) = a′2 Sa 1 = a′ 2 λ 1 a 1 = 0, por lo que el lagrangiano a maximizar es L(a 2) = a′2 Sa 2 – λ ( a′2 a 2 – 1 ) – λ *a′2 a 1 , resultando λ* = 0 y

151 ANEXO I. ANÁLISIS EN COMPONENTES PRINCIPALES

152

dL(a 2) ---------------- = 2Sa 2 – 2 λ a 2 , da 2


por lo que Sa 2 = λ a 2 , y será λ = λ2 el segundo autovalor mayor, siendo a2 el autovector de módulo unitario correspondiente. De igual forma se van determinando las restantes componentes principales. 5.

Las componentes principales son variables incorreladas cuyas varianzas coinciden con los autovalores de la matriz de covarianzas S ordenados de forma decreciente. Si no existe multicolinealidad exacta entre las variables x1, x2,…, xk, todos los autovalores son estrictamente positivos, mientras que si se pueden obtener r relaciones lineales entre estas variables los últimos r autovalores son nulos, y los n datos están contenidos en un subespacio de dimensión k-r.

6.

Los valores de las componentes principales se obtienen directamente z jt = a j1 x˙1t + a j2 x˙2t + … + a jk x˙kt ,

t = 1…n,

j = 1…k,

o bien z j = X˙ a j ,

j = 1…k.

Si se define la matriz Z cuyas k columnas son los vectores z1, z2, …, zk, resulta ˙ A′ Z = X en la que la matriz A está formada por k filas a′1, a′2, …, a′k y sus elementos se denominan puntuaciones o scores de las variables. 7. Los datos originales X que tipificados forman la matriz X˙ están biunívocamente relacionados con los n datos de las componentes principales, pues X˙ = ZA, ya que la matriz A es ortogonal, y A′A = I k = AA′. 8.

Como A está formada por k filas que son los k autovectores ortogonales y de módulo unidad de la matriz de covarianzas S, es diagonalizadora de ésta, siendo ASA′ = Λ = diag ( λ 1 , λ 2 , …, λ k ),

por lo que se verifica que la traza de Λ es

153

k

tr ( Λ ) =

∑λ

i

= tr ( ASA′ ) = tr ( SAA′ ) = tr ( S )

i=1

k

=

∑ V(x ), i

i=1

por lo que las primeras p componentes principales explican la variabilidad agregada de todas las variables originales en una proporción igual a r p2 9.

λ1 + λ2 + … + λp - = = ----------------------------------------tr ( Λ )

p

k

∑ λ /∑ λ . i

j

i=1

i=1

Para reducir la dimensión de las variables originales se pueden tomar las p primeras componentes principales z1, z2, …, zp, con lo que se explica un porcentaje igual a 100r p2 de la variabilidad total de los datos originales. A partir de estas p componentes se estiman los datos de las variables x1, x2, …, xk mediante la expresión p

xˆ jt = b 0 j +

∑

s=1

p

b sj z st = x j +

∑b

sj z s t ,

t = 1…n,

j = 1…k.

s=1

Los coeficientes bsj se denominan pesos o loadings de las componentes, y los valores xˆ j estimados forman la matriz Xˆ . 10.

En un conjunto de observaciones de k variables interrelacionadas, en el que el valor r p2 sea elevado, por ejemplo r p2 = 0,9, se pueden sustituir las k variables originales x1, x2, …, xk por las p primeras componentes principales z1, z2, ..., zp con una pérdida de información mínima, X-Xˆ , y estas p componentes están relacionadas con las variables originales. Además, las componentes están incorreladas entre sí. Así, en un modelo econométrico con multicolinealidad se pueden sustituir las variables explicativas por sus p primeras componentes principales, que al ser incorreladas no presentan problemas de multicolinealidad, y además se pueden ir introduciendo una a una en el modelo, sin alterar los coeficientes ya estimados. Una vez estimado el modelo y = b*0 + b*1 z 1 + … + b*p z p + e* basta sustituir las componentes en función de las variables originales k

z j = a 1 j x˙1 + a 2 j x˙2 + … + a kj x˙k =

∑a

i=1

ij

xi – xi -------------s xi

para hallar los coeficientes estructurales del modelo original.


154

11.


Las componentes principales que se han determinado a partir de la matriz de covarianzas S se pueden calcular usando la matriz de correlación R. Esto es recomendable en los casos en los que las varianzas de las distintas variables x1, x2, …, xk varíen mucho debido a las unidades de medida de cada una de estas variables. También se pueden hallar las componentes principales de la matriz C = X′X siendo X la matriz de observaciones de las variables predeterminadas de un modelo econométrico. Esta matriz está relacionada con la matriz de covarianzas de estas variables, pues es 1 S = --- X′X – xx′, n siendo x el vector de medias de las variables originales.

12.

Una vez calculadas las componentes principales de un conjunto de datos X, y seleccionadas las p primeras, z1, z2, …, zp, es necesario interpretar estas componentes, lo que no siempre es posible. Si se obtienen explicaciones exógenas de estas componentes se habrá conseguido realmente reducir la dimensión de los datos originales. Para ello hay que basarse en primer lugar en los coeficientes de cada componente z 1 = a 11 x˙1 + a 21 x˙2 + … + a k1 x˙k z 2 = a 12 x˙1 + a 22 x˙2 + … + a k2 x˙k ………………… z p = a 1p x˙1 + a 2p x˙2 + … + a kp x˙k . Si un grupo de valores aij es claramente distinto de cero en una componente, la interpretación de ésta estará ligada a las variables x correspondientes. También se suelen representar los coeficientes asociados a las dos primeras a a a ⎛ 11⎞ ⎛ 21⎞ ⎛ k1⎞ … ⎝ a 12⎠ ⎝ a 22⎠ ⎝ a k2⎠ componentes, sobre unos ejes coordenados, y los coeficientes de las componentes primera y tercera, y segunda y tercera, y así sucesivamente, pues a ij = Corr ( z i , x j ).

13.

Para interpretar las p primeras componentes principales se emplean unas técnicas auxiliares de rotación de estas p componentes

multiplicándose la matriz Zp por una matriz R que define la rotación, así se obtiene ˙ A′ R = X ˙ B′. Z = Z R = X p*

p

p

Existen varios métodos de rotación; el más usual es el varimax, que es de tipo ortogonal, o sea que preserva las distancias. La idea de la rotación varimax es conseguir asociar unos pesos en la matriz B a algunas de las variables y otros a otras de manera que las nuevas componentes (que son distintas de las componentes principales) sean más fácilmente interpretables. Otro tipo de rotaciones no son ortogonales, obteniéndose componentes que están correladas entre sí.

Ejemplo 7. Redundancia en la Contabilidad Nacional de España

Los datos de la Contabilidad Nacional de España de 1964–78 estudiados por J. M. Caridad y A. Baigorri (1982) de las series x1 = Consumo privado interior x2 = Consumo público x3 = Formación bruta de capital x4 = Exportaciones de bienes y servicios x5 = Importaciones de bienes y servicios x6 = PIB al coste de los factores: sector agrario y pesquero x7 = PIB al coste de los factores: sector industrial x8 = PIB al coste de los factores: sector servicios

1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

1300 1394 1494 1565 1660 1774 1859 1961 2115 2281 2404 2424 2529 2576 2650

182 189 192 196 200 208 219 229 246 258 280 294 310 310 339

402 471 528 529 564 657 649 637 736 827 912 880 868 825 789

98 102 122 124 157 192 227 257 301 332 358 357 409 448 498

–174 –233 –278 –269 –290 –337 –360 –361 –450 –524 –570 –564 –621 –587 –582

257 242 256 267 267 272 270 300 301 312 336 335 351 335 353

567 633 701 736 804 900 956 1000 1135 1252 1325 1320 1336 1372 1394

847 891 940 987 1043 1128 1186 1306 1327 1420 1500 1558 1621 1689 1756

155 ANEXO I. ANÁLISIS EN COMPONENTES PRINCIPALES


y se trata de estudiar las interralaciones de las series de la Contabilidad Nacional para reducir la dimensión de las mismas a unos índices de desarrollo y coyuntura. (En pesetas constantes de 1970.) Como todos los datos están medidos en la misma unidad (miles de millones de pesetas de 1970) el análisis en componentes principales se realizará sobre la matriz de covarianzas S cuyos elementos son s x21 = 19 723,8

s x1 x2 = 21 713,9

s x1 x5 = – 63 992,4 s x1 x6 = 15 870,8

s x1 x3 = 66 313,5

s x1 x4 = 56 056,4

s x1 x7 = 125 927,7 s x1 x8 = 129 491,3

s x22 = 2512,52

s x2 x3 = 6941,96

s x2 x4 = 6310,12

s x2 x6 = 1789,36

s x2 x7 = 13 630,7

s x2 x8 = 14 429,2

s x23 = 24 674,6

s x3 x4 = 18 004,0

s x3 x5 = – 22 264,3 s x3 x6 = 5265,86

s x3 x7 = 43 381,4

s x3 x8 = 42 369,1

s x24 = 16 313,2

s x4 x5 = – 17 903,6 s x4 x6 = 4523,70

s x2 x5 = – 7000,18

s x4 x7 = 35 448,2

s x4 x8 = 37 178,3 s x25 = 21 209,3

s x5 x6 = – 5144,16 s x5 x7 = – 41 022,6 s x5 x8 = – 41 484,5

s x26

= 1344,73

s x6 x7 = 10 052,0

s x27

= 81 034,2

s x7 x8 = 82 095,6

s x28

= 85 778,3

s x6 x8 = 10 467,7

en lugar de hacerlo sobre la matriz de correlación

R =

1 0,98 0,95 0,99 – 0,99 0,97 0,99 0,99 0,98 1 0,88 0,98 – 0,96 0,97 0,95 0,98 0,95 0,88 1 0,90 – 0,97 0,91 0,97 0,92 0,99 0,98 0,99 1 – 0,96 0,97 0,97 0,99 – 0,99 – 0,96 – 0,97 – 0,96 1 – 0,96 – 0,99 – 0,97 0,97 0,97 0,91 0,97 – 0,96 1 0,96 0,97 0,99 0,95 0,97 0,97 – 0,99 0,96 1 0,98 0,99 0,98 0,92 0,99 – 0,97 0,97 0,98 1

2 1 0 –1 –2 64656667686970 71 72737475

76 7778

en la que se aprecia un alto grado de multicolinealidad entre estas 8 variables macroeconómicas, lo que hace prever que se conseguirá una reducción de dimensión. El gráfico de los datos tipificados muestra la relación multicolineal anterior de forma clara. Las componentes principales estimadas son dos, y explican el 99,82% de la variabilidad de las ocho variables de la Contabilidad Nacional, pues los autovalores de la matriz de covarianzas S son

157

λ 1 = 455 787

λ 2 = 4298,75

λ 3 = 419,062

λ 4 = 231,024

λ 5 = 72,8127

λ 6 = 61,8502

λ 7 = 28,1741

λ 8 = 19,6866

por lo que 8

r 22 = ( λ 1 + λ 2 )/ ∑ λ i = 0,9982. i=1

Incluso el primer factor explica el 98,8% de la varianza agregada de las variables originales. Para cada una de las variables x1, x2, …, x8, la comunalidad es el coeficiente de determinación del modelo x j = b j0 + b j1 z 1 + b j2 z 2 + e j en el que b j0 = x j y Variable

x2

x1

x3

Comunalidad 0,999 0,973

0,98

x4

x5

x6

x7

x8

0,994 0,988 0,951 0,998 0,999

por lo que los dos factores estimados explican la práctica totalidad de la variabilidad de los datos originales. Los coeficientes de las componentes principales (bj1 y bj2 para j = 1, 2, …, 8) aparecen en la tabla siguiente: bj1 x1 x2 x3 x4

bj2

bj1

459,720 –6,387 50,479 –8,468 155,57 47,830 130,394 –19,427

x5 x6 x7 x8

bj2

–149,133 –15,055 36,952 –2,272 293,795 18,817 301,443 –30,582

siendo 8

∑ b j12 = λ1 = 455 787,

j=1

8

∑ b j22

= λ 2 = 4298,75.

j=1

El primer componente principal tiene unos valores bj1, j = 1, 2 ,…, 8 grandes para todas las variables, y se puede interpretar como un índice general de la actividad económica. El segundo componente, que aporta poco en su capacidad predictiva, parece asociado a la variable x3 (formación bruta de capital), aunque no de forma clara, y a la coyuntura económica, pues sus descensos corresponden a los períodos de recesión en España. Por ejemplo, los dos primeros componentes permiten calcular los valores de x1 de forma precisa: 8

x1 = x1 +

∑ b j1 z j

j=1

= 1999,07 + 459,72z 1 – 6,387z 2 + e 1 .


158

Los valores obtenidos para los factores se obtienen a partir de las expresiones


z j = a 1 j x˙1 + a 2 j x˙2 + a 3 j x˙3 + a 4 j x˙4 + a 5 j x˙5 + a 6 j x˙6 + a 7 j x˙7 + a 8 j x˙8 = x 1 – 1999,07 x 2 – 243,47 - + a 2 j --------------------------- + a3 j = a 1 j -----------------------------459,8025 51,8843 x 4 – 265,47 x 5 + 413,33 - + a 5 j --------------------------- + a6 j + a 4 j --------------------------132,206 150,7456 x 7 – 1028,73 x 8 – 1279,93 - + a 8 j ------------------------------, + a 7 j -----------------------------294,6563 303,159

x 3 – 684,93 ---------------------------+ 162,5948 x 6 – 296,93 ---------------------------+ 37,9576

siendo

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

a1j

a2j

a3j

a4j

0,464 0,006 0,055 0,038 –0,049 0,003 0,190 0,201

–0,683 –0,102 1,809 –0,597 –0,528 –0,020 1,290 –2,157

–2,021 –0,860 0,027 –0,219 5,564 –0,314 7,434 1,452

a5j

a6j

a7j

a8j

–2,996 –31,09 7,380 34,620 –2,212 –0,043 1,697 1,636 1,282 9,825 3,932 6,710 –0,333 11,865 –2,718 –4,631 9,442 –0,495 8,232 –9,828 1,657 –0,069 5,649 12,510 4,666 0,422 0,450 4,209 –1,751 –2,811 –7,151 3,747 3,236 –28,05 14,99 12,277 9,521 –9,956 –13,34 –2,664

Con estos coeficientes se calculan los valores de las componentes principales correspondientes a los años 1964–78, resultando –2 z2

74 73

1

69 66

0 –1

65

72 70

1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971

75 76

67 68

64

77

71

–2

z1

z

–1,522 –1,312 –1,093 –0,969 –0,763 –0,472 –0,296 –0,077

–0,990 –0,203 0,285 –0,044 0,020 0,689 0,208 –0,906

2

1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978

z1

z2

0,257 0,627 0,907 0,951 1,141 1,241 1,379

0,487 1,193 1,694 0,830 0,087 –1,074 –2,275

78

–3 –2

–1

–0

1

z1

2

2 1

z2

0 –1

z1

–2 –3

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

A partir de la primera componente z1 se pueden estimar los valores de las distintas variables originales, mediante los modelos x j = b0 j + b1 j z1 + e j = = x j + b1 j z1 + e j ,

j = 1…8,

lo que se deja como ejercicio para que el lector compruebe la capacidad predictiva de z1 sobre todas las variables.

159

En el caso de calcular los coeficientes principales sobre la matriz de correlación R (en lugar de sobre la matriz de covarianzas S), los dos primeros autovalores de R son

λ 1 = 7,7579,

λ 2 = 0,16893,

por lo que la capacidad predictiva de la primera componente principal es r 12 = 7,7579/8 = 0,96974 y de las dos primeras r 22 = ( 7,7579 + 0,1689 )/8 = 0,99085, siendo los valores de z1 y z2

1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971

z1

z2

–1,440 –1,293 –1,060 –0,964 –0,798 –0,509 –0,369 –0,126

1,337 0,304 –0,176 0,092 –0,111 –0,896 –0,483 0,509

1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978

z1

z2

0,222 0,586 0,948 0,976 1,220 1,201 0,407

–0,480 –1,240 –1,450 –0,711 0,106 0,805 2,394

y la interpretación de la componente principal z1 es de nuevo la de un indicador general de la tendencia de la economía española. Al realizar el cálculo de las componentes sobre la matriz R, en realidad se han ponderado por igual las ocho variables originales, independientemente del valor absoluto de sus varianzas.




1. Sea el modelo con retardos distribuidos siguiente yt = α + β0 xt + β1 xt – 1 + β2 xt – 2 + … + β6 xt – 6 + εt y si los coeficientes se pueden expresar mediante el polinomio de retardos β j = γ 0 + γ 1 j + γ 2 j2 + γ 3 j3 con las restricciones en ambos lados

β –1 = 0,

β 7 = 0.

Formular el modelo con las variables auxiliares asociadas a este polinomio de retardos, primero sin tener en cuenta las restricciones a ambos lados y posteriormente introduciendo éstas. Considerar un modelo alternativo en el que los coeficientes βj vayan decreciendo exponencialmente y plantearlo realizando la transformación de Koyck. 2. Para representar la función de ahorro (A) de una familia se usa el modelo A t = β 0 + β 1 R*t + β 2 i*t + ε t , en el que R* es la renta esperada e i* el tipo de interés esperado. Las expectativas de estas variables no observables se generan según el siguiente esquema R*t = α R t + ( 1 – α )R*t – 1 ,

α ∈ ( 0, 1 ) ,

i*t = γ i*t + ( 1 – γ )i*t – 1 ,

γ ∈ ( 0, 1 ).

Se dispone de datos de las variables observables Rt, it y At, y se trata de formular el modelo de ahorro que sea estimable a partir de la información disponible. Interpretar desde un punto de vista económico el mecanismo de generación de las expectativas y los distintos coeficientes que aparecen en el modelo. 3. La economista norteamericana S. Almon (1967) estudió los siguientes datos correspondientes a gastos trimestrales presupuestados (X) y realizados (Y) en el sector industrial de los Estados Unidos durante los años 1953 a 1960.

Gastos presupuestados

161

Gastos realizados


Año

1

2

3

4

1

2

3

4

1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961

1660 1695 2556 3912 3476 1511 2520 2725 2234

1926 1705 3152 3571 2993 1631 2804 2321 2282

2181 1731 3763 3199 2262 1990 2919 2131 2533

1897 2151 3903 3262 2011 1993 3024 2552 2517

2072 2062 1914 2614 3446 2697 2071 2639 2513

2077 2067 1991 2896 3466 2338 2192 2733 2448

2078 1964 2129 3058 3435 2140 2240 2721 2429

2043 1981 2309 3309 3183 2012 2412 2640 2516

Estimar los siguientes modelos alternativos para explicar los gastos realizados yt = α + β0 xt + β1 xt – 1 + … + β7 xt – 1 + εt yt = α0 + α1 yt – 1 + β xt + εt usando en el primero polinomios de Almon de grado 3 directamente, y comparando los resultados obtenidos suponiendo que el modelo con variable endógena retardada se ha obtenido considerando una estructura de retardos geométricos en el primer modelo. 4. Como ampliación de los datos trimestrales correspondientes al ejemplo 3 anterior, se tiene para el período 1962–67: Gastos presupuestados

Gastos realizados

Año

1

2

3

4

1

2

3

4

1962 1963 1964 1965 1966 1967

2772 2629 3983 4870 6109 5412

2380 3133 4831 5344 6542 5465

2568 3449 4786 5433 5785 5550

2944 3764 4094 5911 5707 5465

2564 2601 3136 4093 5160 5715

2494 2648 3299 4262 5319 5637

2596 2840 3514 4531 5574 5383

2572 2937 3815 4825 5749 5467

Con los modelos obtenidos en el ejercicio anterior y usando los datos de gastos presupuestados para el período 1962–67, realizar las previsiones de gastos realizados en este período con los tres modelos estimados y calcular el error cuadrático medio de predicción, así como el índice U de Theil y su descomposición. 5. Usando los datos de los ejercicios 3 y 4 anteriores, estimar los modelos planteados en el primero y contrastar si los modelos estima-


dos para el período 1953–61 difieren significativamente de los modelos correspondientes al intervalo 1962–67. 6. En el siguiente modelo con variables retardadas y t = α 0 + α 1 y t – 1 + α 2 y t – 2 + … + α 10 y t – n + β0 xt + β1 xt – 1 + … + β8 xt – 8 + εt se consideran varias alternativas: los coeficientes α1, α2, …, α10 se ajustan o bien a un esquema de Almon de grado 2, o bien los coeficientes β0, β1, …, β8 lo hacen a otro esquema geométrico. Formular los correspondientes modelos y obtener unas expresiones simples suponiendo que en el caso de retardos geométricos éstos se pueden aproximar mediante un esquema de infinitos retardos. 7. Utilizar el método de las componentes principales de las variables xt, xt – 1, …, xt – 7 con los datos de los ejemplos 3 y 4 anteriores para estimar el modelo yt = α + β0 xt + β1 xt – 1 + … + β7 xt – 7 + εt y comparar los resultados con la estimación directa y la obtenida aplicando el método de Almon.

5 El modelo lineal general

5.1 INTRODUCCIÓN AL PROCESO DE MODELIZACIÓN 1.

El modelo lineal general y t = β 0 + β 1 x 1t + β 2 x 2t + … + β k x kt + ε t

t = 1…n

se ha estudiado suponiendo que las perturbaciones aleatorias cumplen las siguientes hipótesis a priori H.1:

E(ε t) = 0

t = 1…n

H.2:

V (ε t) =

t = 1…n

H.3:

E(ε t ε t′) = 0

t ≠ t′ = 1…n

H.4:

ε t ∈ N(0; σ ε2)

t = 1…n

s ε2

El método de mínimos cuadrados proporciona, en estas condiciones, los mejores estimadores insesgados de los coeficientes estructurales. 2.

En el caso de que la varianza de las perturbaciones no sea constante, el modelo está afectado de heterocedasticidad, y, si las perturbaciones no son incorreladas, el modelo tiene autocorrelación. En ambos casos el método de mínimos cuadrados pierde sus buenas propiedades estadísticas y las estimaciones obtenidas con él no deben ser utilizadas, siendo necesario usar el método de mínimos cuadrados generalizados que se tratará en el apartado siguiente.

163

164

3.

La heterocedasticidad de las perturbaciones aleatorias es un fenómeno muy frecuente tanto en modelos de corte transversal o estáticos, como en modelos temporales o dinámicos. La autocorrelación es habitual en modelos dinámicos en los que tanto las variables del modelo como los perturbaciones son series temporales, y, en éstas, lo normal es que cada dato esté relacionado con su pasado inmediato. La presencia de autocorrelación espacial es muy rara. La causa de esta autocorrelación está asociada a procesos de recogida de datos mediante encuestas que no siguen una ruta aleatoria.

4.

El proceso de estimación de un modelo consta de varias etapas:

EL MODELO LINEAL GENERAL

– especificación o planteamiento del modelo, – estimación de los coeficientes estructurales y – validación o contrastes diagnósticos sobre los resultados de la estimación. En la última etapa, la validación del modelo, se emplean distintas técnicas: – medidas del grado de ajuste, – tests sobre los coeficientes y – análisis de residuos. 5.

El análisis de los residuos sirve para comprobar si las perturbaciones aleatorias cumplen o no las hipótesis a priori, es decir, si existe heterocedasticidad y/o autocorrelación, o si las perturbaciones se ajustan a una ley Normal. También se calculan los residuos para evaluar los errores cometidos al aplicar el modelo. Los residuos del modelo también se emplean para detectar observaciones anormales o outliers, o bien datos que son especialmente influyentes aunque no puedan ser clasificados de anormales, ya que la presencia de este tipo de datos puede afectar de forma fundamental a las estimaciones del modelo y, por lo tanto, a la interpretación económica de los coeficientes estructurales. La primera causa que hay que investigar al encontrar un dato anormal es el posible error cometido al transcribir dicho dato desde la fuente original, e incluso una posible errata en ésta.

6.

Si al realizar el análisis de residuos se detecta heterocedasticidad o autocorrelación, es preciso modificar el modelo original, es decir, volver a la fase de especificación y empezar de nuevo. La heterocedasticidad es el problema más frecuente cuando se elabora un modelo econométrico. La autocorrelación es muy frecuente cuando se estiman modelos dinámicos, y, a veces, va unida a la tendencia en varianza. La no Normalidad de las perturbaciones no suele ser un problema grave, salvo si el tamaño muestral n es pequeño. En el siguiente esquema se representa este proceso de especificación-estimación-contrastación.

165 ESPECIFICACIÓN: Selección de las variables predeterminadas y la forma funcional

5.1 INTRODUCCIÓN AL PROCESO DE MODELIZACIÓN

ESTIMACIÓN: De los coeficientes estructurales y del coeficiente r2

VALIDACIÓN 1: Añadir o eliminar variables predeterminadas (Tests T)

VALIDACIÓN 2: Análisis de residuos Detección de heterocedasticidad Detección de autocorrelación Test de normalidad

TRANSFORMACIÓN del Modelo Nueva especificación

7.

Resumiendo lo dicho en los párrafos anteriores, la heterocedasticidad y la autocorrelación se detectan a posteriori, o sea después de haber estimado el modelo mediante mínimos cuadrados y después de realizar los contrastes sobre los residuos del modelo estimado. Si existe heterocedasticidad y/o autocorrelación, es necesario transformar el modelo original en otro que cumpla todas las hipótesis a priori para poder estimarlo aplicando el método de mínimos cuadrados.

8.

En el caso de un modelo de regresión simple, es posible detectar la heterocedasticidad y la autocorrelación mediante un diagrama de dispersión como en los gráficos que se muestran al margen; en el primero se considera un conjunto de puntos

0

100

200

300

400

500

600

0

100

200

300

400

500

600

X

t = 1, 2, …, n,

que al ser representados muestran una tendencia en varianza o heterocedasticidad, y en el segundo los datos están autocorrelados, ya que los residuos positivos tienden a ser seguidos por residuos positivos, y los residuos negativos son seguidos preferentemente por residuos negativos. La tendencia en varianza más frecuente suele ser creciente, y habitualmente se elimina transformando la variable endógena Y. En la práctica se emplea la familia de transformaciones de Box-Cox (1964), que consiste en modelizar las variables y t( λ – 1 y t( λ = ---------------λ

YY

( xt , yt )

Y

INTERPRETACIÓN Y PREDICCIÓN

X

eligiendo adecuadamente el valor de λ. Por ejemplo, si es λ = 0 se tiene

166 EL MODELO LINEAL GENERAL

y t( λ = ln y t . 9.

La no verificación de las hipótesis de homocedasticidad V ( ε t2 ) = para todo t = 1, 2, …, n o la de no existencia de autocorrelación, E ( ε t ε t′ ) = 0, si t ≠ t′ , tienen unas consecuencias directas sobre el modelo estimado. Los estimadores mínimo-cuadráticos siguen siendo insesgados, E(b) = , si en el modelo no aparece como explicativa la variable endógena retardada, en cuyo caso E ( b ) ≠ . Además, la varianza de estos estimadores no es mínima, por lo que los estimadores b no son eficientes, y es necesario usar otro método de estimación (el de mínimos cuadrados generalizados) para disponer de estimadores eficientes. Por último, no son aplicables los tests T y F sobre los coeficientes del modelo y, por tanto, tampoco son eficientes las predicciones obtenidas.

σ ε2

10.

En resumen, deja de ser válido el teorema de Gauss-Markov, y no es posible usar ni las estimaciones obtenidas por mínimos cuadrados ordinarios ni los contrastes T de ayuda a la especificación del modelo. 5.2 EL MÉTODO DE AITKEN O DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS

11.

El modelo lineal tratado en notación matricial es y = X + , y las hipótesis a priori sobre las perturbaciones se expresan suponiendo que ∈ N(0 n ; σ ε2 I n). Si existe heterocedasticidad o autocorrelación, la matriz de covarianzas de , en lugar de ser σ ε2 In, será

σ ε21 σ ε1 ε2 … σ ε1 εn V ( ) =

σ ε1 ε2 σ ε22 … σ ε2 εn … … … … σ ε1 εn σ ε2 εn … σ ε2n

Ω 11 Ω 12 … Ω 1n = σ2

Ω 12 Ω 22 … Ω 2n … … … … Ω 1n Ω 2n … Ω nn

en la que σ2 es una constante positiva (desconocida) y

σ εi ε j = σ 2 Ω ij

i, j = 1…n.

= σ 2 ,

Por esta razón, a continuación se desarrollará un procedimiento de estimación en el que se supone ∈ N(0 n , σ 2 ). 12.

Por ejemplo, si sólo existe heterocedasticidad, la matriz de covarianzas del vector de perturbaciones será

σ ε21 0 … 0 V ( ) =

0 0

σ ε22

Ω 11 0 … 0

… 0

0 Ω 22 … 0

= σ2

0 … σ ε2n

= σ 2 ,

… … … … 0 0 … Ω nn

y si sólo existe autocorrelación, pero no tendencia en varianza, será

σ ε2 σ ε1 ε2 … σ ε1 εn V ( ) =

σ ε1 ε2

σ ε2

… σ ε2 εn

1 ρ 12 … ρ 1n = σ ε2

… … … … σ ε1 εn σ ε2 εn … σ ε2

ρ 12 1 … ρ 2n … … … … ρ 1n ρ 2n … 1

= σ ε2 ,

siendo la matriz de correlación de . 13.

En modelos con heterocedasticidad y/o autocorrelación, al no ser aplicable el método de mínimos cuadrados para estimar los coeficientes estructurales, es necesario transformar el modelo original y = X +

∈ N(0 n ; σ 2 )

en otro modelo con los mismos coeficientes estructurales y* = X* + *,

(5.1)

y en el que, para poder estimar por mínimos cuadrados, las perturbaciones aleatorias cumplan las hipótesis a priori, es decir, que * ∈ N (0 n ; σ 2 I n). El proceso de estimar transformando el modelo original en el modelo (5.1) se denomina método de Aitken o de mínimos cuadrados generalizados. 14.

La transformación para obtener el modelo (5.1) se realiza con la matriz diagonalizadora de la matriz . Al igual que cualquier matriz

167 5.2 EL MÉTODO DE AITKEN O DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS

de covarianzas, es simétrica y semidefinida positiva, y existe una matriz ortogonal H de dimensión (n, n) diagonalizadora de , tal que


H H′ = I n . La matriz H se construye a partir de los n autovectores, h 1 , h 2 , …, h n , de normalizados, que verifican h′i h j = 0

i≠j

h′i h j = 1

i = 1…n.

La traspuesta de H es H′ = [ h 1 h 2 … h n ] ( Λ ) – 0,5 y es la matriz diagonal de los autovalores de :

λ1 0 … 0

=

0 λ2 … 0 . ………… 0 0 … λn

Así, el modelo original se transforma multiplicándolo por H y* = Hy = HX + H = X* + *. 15.

Las perturbaciones aleatorias del nuevo modelo cumplen las hipótesis a priori, ya que: E( *) = HE ( ) = 0 n V ( *) = HV ( )H′ = σ 2 H H′ = σ 2 I n * = H ∈ N(0 n ; σ 2 I n), por lo que se puede aplicar el método de mínimos cuadrados ordinario al modelo transformado, resultando b = ( X′Ω – 1 X ) – 1 X′Ω –1 y, ya que b = ( X*′X* ) – 1 X* – 1 y* = ( X′H′HX ) – 1 X′H′Hy,

y como H H = In y H es ortogonal, resulta que HH = – 1, lo que completa la deducción de la expresión del estimador de Aitken b. 16.

Los residuos del modelo transformado e* = y* – X*b se utilizan para estimar la varianza σ2 de las perturbaciones del modelo transformado 2 s e*

=

σˆ 2

1 = --------------------n–k–1

n

∑ e* i

2

i=1

1 = --------------------- e*′e* = n–k–1

1 1 = --------------------- e′H′He = --------------------- e′ – 1 e n–k–1 n–k–1 Los residuos del modelo original, o residuos estructurales, son e = y – Xb y, no son iguales a los que se obtienen aplicando al modelo original el método de mínimos cuadrados. 17.

El teorema de Gauss-Markov establece que los estimadores obtenidos por el método de mínimos cuadrados generalizados o de Aitken son los mejores estimadores lineales insesgados de . En el caso que no exista heterocedasticidad ni autocorrelación, = In y los resultados obtenidos con el método de Aitken coinciden con los obtenidos por mínimos cuadrados ordinarios.

18.

Aunque los estimadores de mínimos cuadrados generalizados resuelven en teoría el problema de la heterocedasticidad o el de la autocorrelación, en la práctica no es así, pues para determinar la matriz H que define la transformación de Aitken es necesario conocer numéricamente la matriz , situación ésta que no se da nunca.

19.

La solución al problema derivado de la presencia de heterocedasticidad o autocorrelación está en la estimación de a partir de los residuos e1, e2, …, en obtenidos al aplicar el método de mínimos ˆ cuadrados ordinarios al modelo original. A partir de la estimación de esta matriz, se obtiene una estimación de H que verifique ˆ ˆ H ˆ ′ = I H n para transformar el modelo original.

20.

Como la matriz tiene, en general, (n2 + n)/2 elementos distintos, sólo será posible estimarla a partir de los n residuos si se imponen algunas restricciones adicionales, o sea si se construye un modelo auxiliar que permita explicar los elementos de . Estos problemas se tratan en los apartados siguientes.

169 5.2 EL MÉTODO DE AITKEN O DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS

5.3 MODELOS CON HETEROCEDASTICIDAD


5.3.1 Introducción 21.

El modelo lineal y = X + , en el que sólo existe heterocedasticidad, puede transformarse fácilmente en otro en el que la varianza de las perturbaciones sea constante, tomando como matriz H para realizar la transformación de Aitken 1/ σ ε1 H =

0

0

…

0

1/ σ ε2 …

0

… 0

… 0

= σ – 0,5

… … … 1/ σ εn

o, alternativamente – 0,5 Ω 11

H* = – 0,5 =

0 … 0

0

…

0

– 0,5 … Ω 22

0

… 0

,

… … – 0,5 … Ω nn

ya que el modelo y* = Hy = HX + H = X* + * tiene como matriz de covarianzas V ( *) = HV ( )H′ = I n , o bien, si se usa la matriz H* para la transformación, V ( ∗) = σ 2 I n . 22.

En notación analítica, el modelo y i = β 0 + β 1 x 1i + … + β k x ki + ε i

i = 1…n,

da, al transformarse, lugar a x1 xk y ε 1 y i* = -----i- = β 0 ------ + β 1 ------i + … + β k ------i + -----i- = σ εi σ εi σ εi σ εi σ εi = β 0 x 0* i + β 1 x 1* i + … + β k x k*i + e i* y la varianza de las perturbaciones es

1 V (ε i*) = ------2 V (ε i) = 1 σ εi

i = 1…n,

es decir, el modelo no tiene heterocedasticidad. Nótese que el modelo transformado no tiene ordenada en el origen. Si en lugar de dividir el modelo por σ εi se hace por Ωii0,5, la varianza común de las perturbaciones ε i* será σ2. 23.

Al aplicar el método de mínimos cuadrados en el modelo transformado, se obtienen los estimadores de Aitken de los coeficientes; la transformación aplicada ha consistido en multiplicar todos los elementos del modelo por la variable

ω i = 1/ σ εi

ω i = 1/ Ω ii

o bien

por lo que este método de mínimos cuadrados generalizados, al aplicarse al modelo, se denomina mínimos cuadrados ponderados, y tiene una variable de ponderación ωi, i = 1, 2, …, n. 24.

Como se señaló al aplicar el método de Aitken, la matriz de covarianzas de las perturbaciones, σ2 , es desconocida, por lo que no será posible aplicar esta transformación si previamente no se estima la matriz , para lo cual es preciso estimar numéricamente las n varianzas

σ ε2i = σ 2 Ω ii

i = 1…n,

es decir, es preciso modelizar la heterocedasticidad del modelo. Esta cuestión se tratará en el apartado siguiente. 5.3.2 Modelos para representar la heterocedasticidad 25.

En el caso más general de heterocedasticidad, en el que las n varianzas σ ε2i se agrupan en el vector ⎛ σ εi ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟, ⎜ 2⎟ ⎝ σ εn⎠ un estimador propuesto por Rao (1970) es ˆ = M *– 1 e * , siendo M * = m ij2 la matriz obtenida a partir de la matriz idempotente M = I n – X(X′X) – 1 X′ = m ij

171 5.3 MODELOS CON HETEROCEDASTICIDAD

172

tomando como elementos propios los de M elevados al cuadrado, y

EL MODELO LINEAL GENERAL 2

⎛ e1⎞ ⎜ e 2⎟ 2 e* = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ e 2⎠ n

el vector de los residuos al cuadrado del modelo original y = Xb + e estimado por mínimos cuadrados ordinarios. 26.

En la práctica, los estimadores anteriores de la heterocedasticidad no suelen emplearse, pues son inconsistentes: al aumentar el tamaño muestral no se incrementa la precisión, ya que también crece el número de varianzas a estimar. También producen, a veces, estimaciones negativas para alguna de las varianzas de las perturbaciones. No obstante, la matriz H = X(XX)–1X es importante en el proceso de detección de observaciones influyentes.

27.

En el proceso de estimación de la heterocedasticidad se procederá en tres etapas: – en la primera se aplicará el método de mínimos cuadrados ordinarios para estimar el modelo original (ya que antes de estimar este modelo se desconoce si existe o no heterocedasticidad); – en la segunda etapa, utilizando los residuos e1, e2, …, en hallados en el ajuste inicial, se tratará de modelizar la tendencia en varianza, o sea los n valores e2i, i = 1, 2, …, n; – en la última etapa, y usando las estimaciones σˆ εi , i = 1, 2, …, n, o ˆ ii , i = 1, 2, …, n, se realizará la transformación de Aitken y bien Ω se estimará por mínimos cuadrados ordinarios el modelo auxiliar y* = X* + *.

28.

La construcción de un modelo para la heterocedasticidad, correspondiente a la segunda etapa anterior, constituye un problema abierto, y al que no se puede dar una solución general. No obstante, en la práctica es muy frecuente que sea admisible un modelo de la forma 2 + … + α x2 + e i2 = α 0 + α 1 x 1i + α 2 x 2i + … + α k x ki + α 11 x 1i kk k i

+ α 12 x 1i + x 2i + … + α k – 1k x k – 1i x k i + ε i** = k

k

= α0 +

∑α x + ∑α j ji

j=1

j=1

2 jj x j i

+

∑α

j < j′

jj x j i x j′i

+ ε i** .

En este modelo se basa el test de White. Las variables explicativas propuestas para representar la tendencia en varianza son todas las predeterminadas, sus cuadrados y sus interacciones de primer orden, y no todas éstas deben influir significativamente en e2i . El estimador de la varianza de εi es el obtenido con el modelo de White

k

k

σˆ ε2i = αˆ 0 +

∑

αˆ j x ji +

j=1

j=1

29.

∑

j′ – 1

αˆ jj x j2i +

173

k

∑∑

αˆ jj′ x ji x j′i .


j = 1 j′ = 2

Otros modelos para la heterocedasticidad proponen estimar estas varianzas a partir de una o de varias de las variables z1, z2, …, zr de las que se dispone información numérica mediante el modelo 2 σˆεi = f (z 1i , z 2i , …, z ri) + ε i**

i = 1…n.

Estas variables z1, z2, …, zr pueden ser parte o la totalidad de las variables que intervienen en el modelo original, u otras que han sido excluidas en el proceso de especificación, o bien otras distintas. Se suele elegir una forma funcional f(z) lineal, aunque no necesariamente. 30.

Algunos modelos habituales simples, o sea aquellos en los que se presupone que la heterocedasticidad depende de una sola variable, son

σ ε2i = α z i2 + ε i** σ ε2i = α 0 + α 1 z i + ε i** σ εi = α 0 + α 1 z i + ε i** . 31.

Al calcular cualquiera de los modelos anteriores y para aplicar la transformación de Aitken, se toma la estimación de la varianza de εi

σˆ ε2i = ˆf (z 1i , z 2i , …, z ri)

i = 1…n,

e

y a partir de ésta se estima el modelo transformado. 5.3.3 Contrastes para detectar la heterocedasticidad 32.

La detección de la tendencia en varianza se realiza una vez concluida la primera etapa de estimación del modelo original (por mínimos cuadrados ordinarios) y calculados sus residuos e = y – Xb.

33.

Un primer método de detección, ya estudiado en el capítulo anterior, es de tipo gráfico, y representa las n parejas de datos ( yˆ i , e i )

y

e

i = 1…n.

Este gráfico de residuos puede ser suficiente para detectar si existe heterocedasticidad y la forma que adopta. Por ejemplo, los diagramas de dispersión que se muestran al margen son ilustrativos de diferentes tipos de tendencia en varianza.

y

174

34.


No obstante, a veces no es fácil detectar la heterocedasticidad de forma gráfica y es preciso recurrir a algunos contrastes de hipótesis que pueden clasificarse en dos categorías: – contrastes generales de heterocedasticidad, como el test de White, que tratan de detectar tendencias en varianza de cualquier tipo, y – contrastes específicos para algunos tipos de heterocedasticidad, en los que se persigue asociar la heterocedasticidad a algunas variables explicativas.

35.

El test de White se usa para contrastar las hipótesis H 0 : σ ε2i = cte.

i = 1…n,

H 1 : σ ε2i = f (x 1i , …, x ki) siendo el modelo de heterocedasticidad k

k

σ ε2i

= f (x 1i , …, x k i) = α 0 +

∑α x + ∑α j ji

2 jj x j i

j=1

j=1

+

∑α

j < j′

jj′ x j i x j′i

+ ε i** .

Cabe considerar que este test es general, ya que si existe heterocedasticidad, lo más probable es que pueda ser explicada por el modelo anterior. El estadístico del test de White, y su distribución muestral asintótica si H0 es cierta, es

χ 2 ( [ k + 2 ] [ k + 1 ]/2 – 1 ),

P = nr *2

siendo r*2 el coeficiente de determinación del modelo que representa la heterocedasticidad k

k

e i2 = αˆ 0 +

∑

αˆ j x ji +

j=1

∑ αˆ

j=1

2 jj x j i

+

∑ aˆ j
jj x j i x j′i

+ εˆ i** = σˆ ε2i + εˆ i** .

Si r*2 toma un valor grande, ello es indicativo de que la variabilidad del cuadrado de los residuos se puede explicar con las variables predeterminadas, o sea que existe heterocedasticidad. La región de aceptación de H0 corresponderá a valores pequeños de P; esto significa que a nivel α es C 0 = ( 0, χ α2 )

f (x)

y la región crítica es 1–α

C 1 = ( χ α2 , + ∞ ). x

C0

χ2α

C1

Por esta razón, si P ∈ C 0 , se acepta que no existe heterocedasticidad, y, si P > χ α2 ′ , entonces se acepta que sí existe, a nivel α.

175

En el caso de que exista heterocedasticidad, se puede usar el mismo modelo de White para realizar la transformación de Aitken. 36.

El test de Goldfeld-Quandt se basa en la capacidad de reordenar las observaciones de manera que su variabilidad sea creciente. Por ejemplo, si se representan gráficamente los residuos respecto de los valores estimados, la tendencia en varianza tiene la forma que se indica en el gráfico representado al margen. Los datos utilizados para estimar el modelo se ordenan de manera que los valores estimados aparezcan ordenados de forma creciente: yˆ (1) ≤ yˆ (2) ≤ … ≤ yˆ ( n ) Así, los datos ( y i , x 1i , x 2i , …, x k i )

i = 1…n

se dividen en tres subconjuntos; el primero incluye las (n – c)/2 observaciones correspondientes a los (n – c)2 primeros valores yˆ ( i ) , el segundo incluye los c casos asociados a los c valores centrales de yˆ ( i ) , y el último los (n – c)/2 datos correspondientes a los (n – c)/2 mayores datos yˆ ( i ) . Con los (n – c)/2 datos del primer conjunto se estima el modelo y = β0 + β1 x1 + … + βk xk + ε , y su suma de cuadrados residual es S1; con los (n – c)/2 datos del último conjunto se procede de igual forma y la suma de cuadrados residual de este modelo es S2. Las hipótesis a contrastar son H 0 : σ ε2i = cte. H 1 : σ ε2i = f (x 1 , …, x k)

i = 1…n

y el estadístico de Goldfeld-Quant, y su distribución asintótica, si H0 es cierta, es GQ = S 2 /S 1 ∈ F [ ( n – c )/2 – k – 1, ( n – c )/2 – k – 1 ] Si no existe heterocedasticidad cabe esperar que S1 y S2 sean del mismo orden, o sea que GQ tome valores pequeños, mientras que si se verifica H1, será S2 mayor que S1 y GQ tomará valores grandes. La región de aceptación de H0 a nivel α es C 0 = ( 0, F α ) y si GQ > Fα, se acepta que existe heterocedasticidad creciente con yˆ . 37.

Si la heterocedasticidad está causada por una determinada variable predeterminada x, o incluso por otra variable no incluida en el


e

yˆ

176

modelo, se ordenan los datos de manera que los valores de x estén de forma creciente (si la tendencia en la varianza de los residuos crece con x), y en esta ordenación se estiman los dos modelos auxiliares anteriores usando los dos subconjuntos de (n – c)/2 datos.


Ejemplo 1.

Modelo con heterocedasticidad

Una empresa que inicia sus actividades genera en pesetas constantes un cash-flow (y) anual; los gastos comerciales (x1) y el nivel de inventarios (x2) se indican en las tablas siguientes:

y

x1

x2

y

x1

x2

972 1065 1138 1224 1181 1230 1327 1357 1344 1380

29,9 30,0 31,2 32,5 33,0 34,4 35,6 37,5 38,3 40,2

50 89 116 135 160 177 188 191 197 211

1728 1797 1873 2056 2287 2188 2213 2356 2690 2919

46,4 48,9 55,5 60,7 62,9 68,5 74,7 80,2 86,5 90,3

238 251 263 266 264 262 263 258 238 227

Se trata de estimar el modelo yt = 0 + 1x1t + 2x2t + t y estudiar la posible heterocedasticidad. Si se realiza un gráfico temporal de las tres variables tipificadas y–y y – 1716,25 y * = ------------ = ---------------------------sy 563,72 x1 – x1 x 1 – 50,86 x 1* = --------------- = ----------------------s x1 19,652

3

x*1

2

x*2

1

se observa una clara variación conjunta de yt con x1t y x2t, lo que se confirma al estimar el modelo

y*

0 –1

y t = 187,24 + 25,68x 1 + 1,1x 2 + e t ,

–2 –3

x2 – x2 x 2 – 202,2 - = ----------------------x 2* = --------------s x2 62,572

(16,1) 74

76 78

80 82 84

86 88

90 92

(2,2)

en el que todos los coeficientes son significativos.

177

Los gráficos de residuos con respecto a los valores estimados y con respecto al tiempo muestran una clara heterocedasticidad. Los tests usuales también detectan la tendencia en varianza de la serie de residuos et: –38,24 –3,79 193,44

9,22 –43,95 –47,18

21,65 –72,17 –182,52

53,33 86,85 –175,26

–30,06 77,32 18,97

–35,75 –29,41 162,50

18,31 16,74

Así el test de White consiste en estimar el modelo e t2 = αˆ 0 + αˆ 1 x 1t + αˆ 2 x 2t + αˆ 11 x 12t + αˆ 12 x 1t x 2t + αˆ 22 x 22t + e t* = = 106 195 – 4148,5x 1t – 234x 2t + 16x 12t – 0,027x 22t + 10,18x 1t x 2t + e t* , cuyo coeficiente de determinación es r2 = 0,4346, por lo que el estadístico de White es P = nr 2 = 20 × 0,4346 = 8,692. La región de aceptación de nivel α es C0 = (0, χ2α), siendo los grados de libertad ( k + 1 ) ( k + 2 )/2 – 1 = 5, y es χ20,05 = 1,145, por lo que P ∉ C0 y se admite la hipótesis de existencia de heterocedasticidad. Para modelizar la heterocedasticidad consideramos unos modelos simples como e t2 = – 11924,5 + 379,6x 1t + 2,964x 2t + e t* , o bien e t = – 34,75 + 1,686x 1t + 0,073x 2t + e t* . En ambos casos el coeficiente de x1 es significativamente distinto de cero, mientras que el de x2 no lo es, por lo que parece que la heterocedasticidad depende de x1; este extremo puede comprobarse con el test de Goldfeld-Quandt, formulado para las hipótesis H 0 : σ ε2t = σ ε2 H 1 : σ ε2t = f (x 1t)

t = 1 … 20.

Es preciso ordenar los n = 20 datos de la variable x1 en orden creciente, aunque en este caso los datos ya vienen ordenados por orden creciente de x1; se toman varios datos centrales, por ejemplo c = 4, y los dos conjuntos de datos resultantes corresponden a los ocho primeros y a los ocho últimos datos. Los dos modelos estimados en estos conjuntos son y t = 319,5 + 20,33x 1 + 1,42x 2 + ε 1t y t = 4390,7 + 13,1x 1 – 11,85x 2 + e 2t,

5.3 MODELOS CON HETEROCEDASTICIDAD 200 100

et 0 – 100 – 200 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92


y sus sumas de cuadrados residuales son S e2 = 7122,66 = S 1 ,

S et = 60661,4 = S 2 ,

siendo el estadístico de Goldfeld-Quandt GQ = 60661,4/7122,66 = 8,52, y debe compararse éste con el cuantil F 0,05(5,5) = 5,05, por lo que se sigue admitiendo la existencia de heterocedasticidad asociada a la variable x1. Después de probar varios modelos para la heterocedasticidad, se selecciona el siguiente e t = – 28,507 + 1,855x 1t + e t** = eˆ t + e t** , que da origen a los siguientes valores de eˆ t 26,95 27,14 46,06 57,56 131,94 138,99

29,37 62,20

31,78 74,44

32,70 84,08

35,30 88,17

37,53 41,05 42,53 98,55 110,05 120,25

La transformación del modelo original para aplicar el método de Aitken consiste en dividir éste por eˆ t , o sea estimar el modelo x1 x2 y 1 y t* = ------t = β 0 ------ + β 1 ------t + β 2 ------t + e t* , eˆ t eˆ t eˆ t eˆ t y resulta el modelo estrella estimado y t* = 177,83x 0* t + 25,475x 1* t + 1,2016x 2* t + e t* , (4,02)

(14,8)

(4,16)

por lo que la estimación final para el modelo original es y t = 177,83 + 25,475x 1t + 1,2016x 2t + e't . Los residuos et de este modelo se obtienen por diferencia: –27,60 –5,63 189,60

15,99 –46,22 –49,66

25,98 –75,44 –183,80

56,03 82,17 –174,80

–29,75 71,86 22,64

y 1 s e2 = -----20

20

∑ et2

t=1

= 7600,54

–36,84 –34,69 168,05

16,38 12,24

179

por lo que el coeficiente de determinación del modelo final es r2 = 0,978. Nótese que los coeficientes obtenidos al aplicar el método de Aitken o de mínimos cuadrados generalizados son distintos de los obtenidos al comienzo de este ejemplo aplicando el método de mínimos cuadrados ordinarios sin tener en cuenta la heterocedasticidad. Es necesario usar estos últimos coeficientes.

5.4 MODELOS CON AUTOCORRELACIÓN 5.4.1 Introducción 38.

En un modelo con autocorrelación (y sin heterocedasticidad) la matriz de covarianzas de las perturbaciones es de la forma

1 ρ 12 … ρ 1n V ( ) = σ 2 = σ ε2 ρ 12 1 … ρ 2n … … … … ρ 1n ρ 2n … 1

= σ ε2 R,

en la que = R es la matriz de correlación de las n perturbaciones aleatorias. Para aplicar el método de Aitken es preciso estimar estas correlaciones, lo que no resulta complejo en la práctica, teniendo en cuenta que la serie eˆ t , t = 1, 2, …, n es estacionaria y que se puede representar mediante un modelo ARMA(p, q) de la forma

ε t = φ 1 ε t – 1 + … + φ p ε t – p + ( a t – θ 1 a t – 1 – … – θ q a t – q ), en el que

φ 1 , φ 2 , …, φ p , θ 1 , θ 2 , …, θ q son coeficientes a estimar, y at es una variable aleatoria que verifica las hipótesis a priori E(a t) = 0, t = 1…n V (a t) = σ a2 , t = 1…n Cov ( a t , a t′ ) = 0 t ≠ t′, o sea que no tiene estructura probabilística de autocorrelación, ni heterocedasticidad, ni tendencia en media. 39.

En los capítulos relativos a series temporales se justificará que el tipo de modelo adecuado para una serie estacionaria, o sea sin tendencia en media ni en variabilidad, se puede ajustar con un modelo ARMA. La serie de residuos

5.4 MODELOS CON AUTOCORRELACIÓN

180

e 1 , e 2 , …, e n


de un modelo econométrico dinámico constituye una serie temporal de tipo estacionaria (si no existe heterocedasticidad). 40.

Los modelos más simples de tipo ARMA son: – el modelo AR(1) = ARMA(1, 0) o de Markov

ε t = φε t – 1 + a t , en el que cada perturbación εt depende de la inmediatamente anterior más un choque aleatorio at. – el modelo AR(2) = ARMA(2, 0) o de Yule

εt = φ1 εt – 1 + φ2 εt – 2 + at . – el modelo MA(1) = ARMA(0, 1)

εt = at – θ at – 1 . Estos modelos ARMA constan de dos partes: la autorregresiva, en la que ε depende de su pasado próximo, y la de medias móviles, que refleja la influencia de los choques aleatorios at, at – 1, …, at – q. La serie at, t = 1, 2, …, n se denomina ruido blanco. Se puede demostrar que el coeficiente de correlación de una serie estacionaria εt con un valor pasado εt – k ρ k = Corr (ε t , ε t – k) es igual para cualquier valor de t, o sea que sólo depende de la amplitud del intervalo temporal (t – k, t), y por lo tanto las correlaciones de la matriz = R son ρ ij = Corr (ε i , ε j) = ρ i – j , lo que simplifica la estructura de la matriz a estimar. 5.4.2 Modelos básicos para la autocorrelación: propiedades 41.

En el modelo de Markov o AR(1), εt = φεt – 1 + at, las correlaciones anteriores son: ρ 1 = Corr (ε t , ε t – 1) = φ

ρ 2 = Corr (ε t , ε t – 2) = φ 2 ρ 3 = Corr (ε t , ε t – 3) = φ 3 … por lo que el coeficiente φ debe estar comprendido en el intervalo [– 1; + 1]. Para comprobar lo anterior basta hallar, por ejemplo,

Cov (ε t , ε t – 1) = E(ε t ε t – 1) = E [ ( φε t – 1 + a t ) ε t – 1 ] = φ E(ε t2– 1 ) = φ σ ε2 , pues at no está relacionado con εt – 1, y Corr (ε t , ε t – 1) = φσ ε2 / σ ε2 = φ , y análogamente se calculan las restantes correlaciones. La matriz de correlación de un modelo AR(1) es

1 φ φ2 φ 1 φ … … … φn – 1 φn – 2 φn – 3

=

42.

… φn – 1 … φn – 2 … … … 1

= R.

El modelo de Yule o AR(2), que también será estudiado en los capítulos dedicados a series temporales, las correlaciones

ρ k = Corr (ε t , ε t – k) del modelo

εt = φ1 εt – 1 + φ2 εt – 2 + at son

ρ 1 = Corr (ε t , ε t – 1) = φ 1 / ( 1 – φ 2 ) ρ 2 = Corr (ε t , ε t – 2) = φ 2 + φ 12 / ( 1 – φ 2 ) ρk = φ1 ρk – 1 + φ2 ρk – 2

k = 3, 4, …

por lo que la matriz de correlaciones

=

1

ρ1

ρ2

: ρn – 1

ρ1

1

ρ1 … ρn – 2

= R

… … … … … ρn – 1 ρn – 2 ρn – 3 … 1 es función de los coeficientes φ1 y φ2 del modelo. 43.

Un modelo de medias móviles de primer orden o MA(1)

εt = at – θ at – 1 verifica que

ρ1 = – θ / ( 1 – θ 2 ) ρk = 0

181 5.4 MODELOS CON AUTOCORRELACIÓN

para k ≥ 2,

182

por lo que


1 ρ1 0 … 0 0 =

ρ1 1 ρ1 … 0 0 ……………… 0 0 0 … 1 ρ1

= R

0 0 0 … ρ1 1 sólo depende del coeficiente θ. En cualquier modelo ARMA para εt, la estructura de depende de los coeficientes del mismo. 44.

Una vez estimado el modelo econométrico y = X + , y calculados los residuos e, si se detecta autocorrelación, es necesario construir un modelo temporal de tipo ARMA para la serie de residuos. Al estimar numéricamente los coeficientes φ y θ, se calcula la matriz ˆ = R ˆ necesaria para aplicar la transformación de Aitken. Una vez obtenida ˆ tal que la estimación de esta matriz H ˆΩ ˆ′ = I ˆH H n

45.

En el caso de un modelo AR(1) la matriz H es de la forma

H =

1 – φ2 –φ 0 … 0

0 1 –φ … 0

0 0 1 … 0

… … … … …

0 0 0 … –φ

0 0 0 . … 1

Por ejemplo si el modelo a estimar es yt = α + β xt + εt , y resulta que εt = φεt – 1 + at, o sea que la autocorrelación es de tipo AR(1), la transformación de Aitken consiste en multiplicar el modelo por la matriz H; así

183

1– –φ … 0

Hy =

φ2

0 1 … 0

0 0 … 0

… … … …

0 0 … –φ

0 0 … 1

1 – φ 2 y1

y1 y2

y2 – φ y1 . yn – φ yn – 1

=

yn

Análogamente, 1 – φ 2 x1 Hx =

1 H 1 = 1

x2 – φ x1 xn – φ xn – 1

1 – φ2 1–φ , 1–φ

por lo que es y t* = y t – φ y t – 1 = ( 1 – φ ) α + β(x t – φ x t – 1) + ε t – φε t – 1 = = α * + β x t* + a t , para t = 2, 3, …, n, e y 1* =

1 – φ 2 y1 =

1 – φ 2 α + β 1 – φ 2 x1 + 1 – φ 2 ε1 .

Obsérvese que la perturbación aleatoria del modelo transformado es

ε t – φε t – 1 = a t , o sea que no tiene autocorrelación y se puede estimar aplicando el método de mínimos cuadrados ordinarios. En los modelos AR(1) es frecuente usar la letra ρ en lugar de φ, y así aparece la primera en los listados de salida de algunos programas de ordenador, como TSP. 46.

Para el modelo AR(2), la matriz H es

σα / σε

0 … 0

0

1 – φ 22 0 … 0

0

– φ2

– φ1

0

… 0

… 0

– φ 1 1 – φ 22 H =

0

1 … 0

…… … … 0 … – φ1 1

y si el modelo es MA(1), la expresión analítica de la forma de la matriz H es más compleja.


184

47.


La estimación de la matriz H de la transformación de Aitken requiere estimar numéricamente los coeficientes del modelo ARMA empleado en la modelización de la autocorrelación. Por ejemplo, en el modelo AR(1), resulta que para obtener el valor φˆ de e t = φˆ t – 1 + a t como el modelo es de variable endógena retardada, no es posible usar el método de mínimos cuadrados ordinarios que da como estimador n

∑

1 -----------et – 1 et n–1 t=2 -. φˆ = ------------------------------------n 1 2 --et n

∑

t=1

48.

El método de Cochrane-Orcutt es de tipo iterativo y consta de varias fases, que se describen a continuación con el modelo simple yt = α + βxt + εt: a. Estimación inicial del modelo: yt = a + bxt + et y de los residuos b. Primera estimación de φˆ con el modelo e t = φˆ e t – 1 + a t . c. Transformación de Aitken de los datos originales y t* = y t – φˆ y t – 1 x t* = x t – φˆ x t – 1 . d. Estimación del modelo transformado y t* = a(1 – φˆ ) + bx t* + aˆ t . e. Cálculo de los residuos et = yt – a – bxt y vuelta a la fase b. El proceso termina cuando se estima φˆ en dos iteraciones sucesivas con un error inferior a un valor predeterminado. 5.4.3 Contrastes para detectar la autocorrelación

49.

El test básico para contrastar si un modelo tiene o no autocorrelación es el de Durbin-Watson, que sirve para detectar la autocorrelación de primer orden, o sea AR(1), aunque, si existe autocorrelación más compleja, lo más probable es que también exista de primer orden.

185

Las hipótesis a contrastar son


H0 : φ = 0 H1 : φ > 0 o sea que si existe autocorrelación (positiva) es del tipo

ε t = φε t – 1 + a t . El estadístico para contrastar la autocorrelación en el modelo estimado y t = b 0 + b 1 x 1t + … + b k x kt + e t t = 1…n, es el de Durbin-Watson n

∑ (e – e t

t – 1)

2

t=2 -, DW = ----------------------------------n

∑e

2 t

t=1

cuyo valor está relacionado con φ, siendo aproximadamente DW 2(1 – φˆ ) o, en el caso de tamaños muestrales pequeños n 2(1 – 0,5DW ) + ( k + 1 ) 2 -, φˆ = -------------------------------------------------------------n2 – ( k + 1 )2 por lo que si existe autocorrelación positiva, o sea cuando φ > 0, el estadístico de Durbin-Watson toma valores próximos a cero, y si no existe autocorrelación, cabe esperar que φ 0 y por lo tanto DW 2. Por lo tanto, a nivel de significación α, la región de aceptación de C0 y la región crítica son, respectivamente

f (DW)

1–α

C0 = ( d1 – α , 4 )

C 1 = ( 0, d 1 – α ),

en el que d1 – a es el cuantil α de la distribución muestral del estadístico de Durbin-Watson, suponiendo que H0 es cierta. 50.

Las tablas de la distribución muestral de DW proporcionan para cada valor de k (el número de variables explicativas) y de n (el núme-

0

dL

d 2

d1 – αU

4

DW

186

ro de datos), un intervalo (dL,dU) para cada cuantil d1 – α, ya que este valor d1 – α no se conoce exactamente. Así,


dL < d1 – α < dU , por lo que si el estadístico de Durbin-Watson es DW < d L ⇒ DW ∈ C 1 se acepta la existencia de autocorrelación positiva, mientras que si DW > d U ⇒ DW ∈ C 0 se acepta H0, o sea la no existencia de autocorrelación. En el caso de que DW ∈ ( D L , d U ) la decisión es incierta, aunque es recomendable, en este caso, aceptar la existencia de autocorrelación, y proceder a modelizarla. También cabe considerar la posición del estadístico dentro de este intervalo, el cual a veces es muy amplio, por lo que resulta de una utilidad relativa para detectar la autocorrelación de primer orden. Más adelante se introducirán otros contrastes, como el de Ljung-Box, para detectar la autocorrelación de diversos órdenes, contrastes que están basados en el correlograma de los residuos. 51.

Las tablas de la distribución de Durbin-Watson para el nivel de significación α = 0,05 y para algunos valores de k y n son de la forma siguiente:

n

15 20 25 30 35 40 50 75 100

k=1

k=2

k=3

k=4

dL

dU

dL

dU

dL

dU

dL

dU

1,077 1,201 1,288 1,352 1,402 1,442 1,503 1,598 1,654

1,361 1,411 1,454 1,489 1,529 1,544 1,585 1,625 1,694

0,946 1,100 1,206 1,248 1,343 1,391 1,462 1,571 1,634

1,543 1,537 1,550 1,567 1,548 1,600 1,628 1,680 1,715

0,814 0,998 1,123 1,214 1,283 1,338 1,421 1,543 1,613

1,750 1,676 1,654 1,650 1,653 1,659 1,674 1,709 1,736

0,685 0,894 1,038 1,143 1,222 1,285 1,378 1,515 1,592

1,977 1,828 1,767 1,739 1,726 1,721 1,721 1,739 1,758

187

Ejemplo 2.

Modelo con autocorrelación


Los gastos trimestrales de viaje (y) en una empresa varían en función del volumen de ventas (x) en otras localidades. Estos datos aparecen en la siguiente tabla:

xt

yt

xt

yt

xt

yt

42,3 48,8 48,9 44,2 39,5 43,2 47,7 43,3

455 460 476 447 410 402 431 445

49,6 46,4 56,2 55,1 59,1 51,6 63,0 48,7

481 485 528 531 557 515 582 521

49,8 64,5 58,8 58,5 56,8 68,6 70,3 59,9

490 578 545 541 523 592 629 578

Se trata de construir un modelo que permita predecir los gastos de viaje. Puesto que los datos son temporales, es muy probable que exista autocorrelación; no obstante, a priori se desconoce este extremo, por lo que es necesario emplear el método de mínimos cuadrados para estimar el modelo inicialmente especificado. Después de probar varios modelos alternativos, y teniendo en cuenta que las ventas realizadas en un trimestre originan gastos de viaje en este trimestre y en el siguiente, se estima el modelo y t = 102,52 + 5,77x t + 1,87x t – 1 + e t , en el que es r2 = 0,95. Los residuos de este modelo son 10,014 8,899

–3,342 –0,095 21,457 14,279 10,018 –17,628

–2,162 –3,329 –23,785 –27,681 5,269 10,249 4,032 19,301 –9,220 –16,849 –12,752 –7,665

y la autocorrelación de primer orden es 20

1 ------ ∑ e t e t – 1 18 t=3 r 1 = Corr (e t , e t – 1) = ------------------------------ = 0,622, 20 1 2 ------ ∑ e t 19 t=2

3,278 19,460 –1,839


lo que muestra dependencia en los residuos. El estadístico de Durbin-Watson toma el valor DW = 0,753 y al compararlo con los valores de las tablas, para el nivel de significación α = 0,05, dL = 1,188, dU = 1,546 resulta que DW ∈ C1 = (0, d0,95), ya que DW < dL < d0,95 < dU, y por lo tanto se admite la existencia de autocorrelación positiva (de primer orden) a nivel α = 0,05. No es recomendable pues realizar los tests T y F, y es necesario modelizar la autocorrelación para poder aplicar el método de Aitken. El estimador mínimo-cuadrático del coeficiente φ en el modelo AR(1) para los residuos e t = φˆ e t – 1 + α t es sesgado (ya que este modelo contiene la variable endógena retardada como explicativa) φˆ = r 1 = 0,622 = ρˆ , aunque también se puede obtener otra estimación para φ mediante la expresión 24 2(1 – 0,753/2) + 3 2 - = 0,6439 = ρˆ , φˆ = ---------------------------------------------------24 2 – 3 2 o simplemente mediante φˆ = 1 – DW/2 = 0,624 = ρˆ . La elección del modelo AR(1) para los residuos no se ha justificado, salvo por el hecho de existir autocorrelación de primer orden. Se ha tomado por ser la expresión más simple y frecuente para representar la autocorrelación en un modelo econométrico. Más adelante, en los capítulos dedicados a series temporales, se estudiarán los modelos ARMA(p, q) para series estacionarias, y estos modelos son aplicables para representar la serie de residuos et, t = 1, 2, …, n en el caso de existir autocorrelación. Para realizar la transformación al modelo estrella que se plantea en el método de Aitken, basta calcular (tomando, por ejemplo, la última estimación de φˆ ) y t* = y t – 0,624y t – 1

t = 2 … 24

x t*

= x t – 0,624x t – 1

t = 2 … 24

y 1*

0,624 2

= y1 1 –

= 355,55

x 1* = x 1 1 – 0,624 2 = 33,054

y al aplicar mínimos-cuadrados al modelo y t* =

1 – φ 2 α + β 0 x t* + β 1 x t* – 1 + ε t*

resulta y t* = 54,245 + 5,645x t* + 1,155x t* – 1 + e t* (11,1)

(2,42)

con r2 = 0,862, y el modelo finalmente estimado es y t = 86,93 + 5,645x t + 1,155x t – 1 + e t

189

No obstante, el valor utilizado para φ en la transformación de Aitken es solamente una aproximación fácil de calcular; por esta razón es preferible usar el método iterativo de Cochrane-Orcutt, usando la orden LS

y

c

x

x(–1)

AR(1)

del programa μTSP, o el método de máxima verosimilitud con la orden AR1

y

c

x

x(–1)

del programa TSP. Con μTSP se obtiene el modelo y t = 105,97 + 5,831x t + 1,756x t – 1 + e t , (4,45)

(14,9)

siendo el modelo autorregresivo de la autocorrelación e t = 0,626e t – 1 + a t . (3,4)

Al hallar el estadístico de Durbin-Watson, tenemos DW = 1,78, con lo que se constata que se ha eliminado la autocorrelación. Los programas μTSP y TSP no generan la observación ( x 1* , y 1* ), por lo que el modelo final se ha estimado con los n = 22 últimos datos (se pierde uno por el retardo de x y otro por el retardo del modelo para la autocorrelación). Los residuos del modelo original o residuos estructurales se obtienen a partir de e t = y t – ( 105,97 + 5,831x t + 1,756x t – 1 )

t = 2 … 24

y no coinciden con los residuos obtenidos en el modelo estrella. Si además de autocorrelación existe heterocedasticidad, es preciso eliminar previamente esta última.

52.

En el caso de existir autocorrelación negativa, el valor estimado del coeficiente φ será negativo y el estadístico de Durbin-Watson tomará valores en el extremo superior de su distribución muestral. Las hipótesis a contrastar son H0 : φ = 0 H1 : φ < 0 siendo las regiones de aceptación y crítica a nivel α C 0 = ( 0, d α )

C 1 = ( d α , 4 ).

Los valores (dL, dU) que proporcionan las tablas de Durbin-Watson sirven para hallar el intervalo en el que está contenido dα = 4 – d1 – α.


d α ∈ ( 4 – d U , 4 – d L ).


Obviamente también es posible plantear un test bilateral de autocorrelación de primer orden H0 : φ = 0 H1 : φ ≠ 0 aunque en este caso la región de aceptación será C0 = (d1 – α/2 ; dα/2). Hay que hacer notar que muchos textos de Econometría plantean el test de Durbin-Watson como bilateral, y, algunos, erróneamente, usan los cuantiles d1 – α y dα como límites de la región de aceptación (realmente se usan las acotaciones inferior y superior proporcionadas por la tabla del estadístico de Durbin-Watson), lo que implica que el nivel de significación realmente utilizado es 2α en lugar de α. 53.

Si en el modelo la variable endógena retardada está incluida como variable explicativa, el test de Durbin-Watson no sirve siempre para contrastar la existencia de autocorrelación, pues tiende a tomar valores centrales. No obstante, si el test de Durbin-Watson detecta autocorrelación, se admite la existencia de ésta, pero si no la detecta es necesario usar el test de Durbin. Así, para el modelo y t = a 1 y 1 – t + a 2 y t – 2 + … + b 0 + b 1 x 1t + … + b k x kt + e t el estadístico de Durbin es n h = φˆ ------------------, 1 – ns a21 siendo s a21 la varianza estimada del coeficiente a1 de yt – 1, y φˆ el coeficiente del modelo e t = φˆ e t – 1 + aˆ t de la autocorrelación. La distribución muestral asintótica de h, si es cierta H0, es aproximadamente N(0, 1), por lo que las regiones de aceptación y crítica para detectar autocorrelación positiva a nivel de α son C 0 = ( – ∞, z α )

54.

C 1 = ( z α , + ∞ ).

Además de los contrastes anteriores, para detectar la autocorrelación se usan varios métodos gráficos: los diagramas temporales ( e t , yˆ t )

t = 1…n

( t, e t )

t = 1…n

( et – 1 , et )

t = 1…n

así como el correlograma o gráfico de las autocorrelaciones

n

∑

1 -----------et et – k n–k t = k+1 -, r k = Corr (e t , e t – k) = ------------------------------------------n 1 --e t2 n

∑

t=1

para k = 0, 1, 2, … que describe la estructura de la autocorrelación; el test de Ljung-Box usa el correlograma para detectar la autocorrelación, y se estudiará en el capítulo 3 de la parte de series temporales. Otro test para detectar la autocorrelación (de orden k), es el de Wallis, que es una variante del contraste de Durbin-Watson, cuyo estadístico es n

n

W =

∑

( et – et – k )2 ⁄

t = k+1

∑e

2 t

t=1

5.4.4 Predicción en un modelo con autocorrelación 55.

Al estimar el modelo con autocorrelación AR(1) y t = a + bx t + e t

t = 1…n

e t = φˆ e t – 1 + aˆ t las predicciones de la variable endógena yt para instantes futuros t = n + 1, n + 2, …, requiere que se use la estructura de autocorrelación estimada. Así se tiene que yˆ n + 1 = a + bx n + 2 + eˆ n + 1 = a + bx n + 1 + φˆ e n yˆ n + 2 = a + bx n + 2 + eˆ n + 2 = a + bx n + 2 + φˆ e n + 1 = = a + bx n + 2 + φˆ 2 e n , y en general yˆ n + k = a + bx n + k + φˆ k e n , por lo que el último residuo influye en la predicción, aunque como φˆ < 1, esta influencia va decreciendo.

Ejemplo 3. Predicción en un modelo con autocorrelación

Usando los datos del modelo estimado en el ejemplo 2 anterior, obtener las predicciones de la variable yt para los cuatro trimestres del año siguiente.

191 5.4 MODELOS CON AUTOCORRELACIÓN


El modelo finalmente estimado es y t = 105,97 + 5,831x t + 1,756x t + e t con autocorrelación de tipo AR(1), e t = 0,626e t – 1 + a t . Los residuos del último año son e 21 = – 11,05

e 22 = – 3,145

e 23 = 1,239

e 24 = 3,914

y los últimos datos de la variable xt son x 21 = 56,8

x 22 = 68,6

x 23 = 70,3

x 24 = 59,9.

Para realizar las predicciones correspondientes a los cuatro trimestres siguientes (t = 25, 26, 27, 28) hay que tener en cuenta la autocorrelación: por ejemplo yˆ 25 = 105,97 + 5,831xˆ 25 + 1,756x 24 + eˆ 25 = = 105,97 + 5,83xˆ 25 + 1,756 ⋅ 59,9 + 0,626 ⋅ 3,914. También es preciso estimar los valores futuros de volumen de ventas xt de esos trimestres; esto se puede hacer mediante un modelo temporal o teniendo en cuenta los objetivos de ventas de la empresa. Si se supone que el ritmo relativo de crecimiento de las ventas se mantiene constante el modelo exponencial es el adecuado x t = 41,815e 0,0185t + e′t , aunque su ajuste no es excesivamente bueno (r2 = 0,66). Con este modelo se obtiene xˆ 25 = 41,817e 0,0185 ⋅ 25 = 66,4 xˆ 26 = 41,817e 0,0185 ⋅ 26 = 67,3 xˆ 27 = 41,817e 0,0185 ⋅ 27 = 68,9 xˆ 28 = 41,817e 0,0185 ⋅ 28 = 70,2 por lo que las predicciones de gastos de viaje se obtienen con el modelo original: yˆ 25 = 105,97 + 5,831 ⋅ 66,4 + 1,756 ⋅ 59,9 + 0,626 ⋅ 3,914 = 597,8 yˆ 26 = 105,97 + 5,831xˆ 26 + 1,756xˆ 25 + e 26 = 616,6, ya que eˆ 26 = 0,626eˆ 25 = 0,626 2 e 24 = 0,626 2 ⋅ 3,914 = 1,534. Análogamente,

193

yˆ 27 = 105,97 + 5,831xˆ 27 + 1,756xˆ 26 +

0,626 3

⋅ 3,914 = 626,3

yˆ 28 = 105,97 + 5,831xˆ 28 + 1,756xˆ 27 + 0,626 4 ⋅ 3,914 = 636,0. También se pueden realizar las predicciones de y t* con el modelo estrella sin usar la estructura de autocorrelación, y posteriormente se obtienen las predicciones sobre gastos de viaje deshaciendo la transformación autorregresiva.

56.

Para estructuras de autocorrelación de otro tipo, la predicción también debe tener en cuenta el modelo de la autocorrelación. Por ejemplo si es AR(2): e t = φˆ 1 e t – 1 + φˆ 2 e t – 2 + aˆ t y resulta yˆ n + 1 = a + bx n + 1 + eˆ n + 1 = a + bx n + 1 + φˆ 1 e n + φˆ 2 e n – 1 yˆ n + 2 = a + bx n + 2 + eˆ n + 2 = a + bx n + 2 + φˆ 1 e n – 1 + φˆ 2 e n = = a + bx n + 2 + φˆ 1(φˆ 1 e n + φˆ 2 e n – 1) + φˆ 2 e n , y así sucesivamente. Así pues, las predicciones están afectadas por los dos últimos residuos.

57.

Si la autocorrelación es de tipo MA(1) e t = a t – θˆ a t – 1 , las predicciones son yˆ n + 1 = a + bx n + 1 + eˆ n + 1 = a + bx n + 1 – θˆ aˆ n , y a partir de este instante no influye la estructura de la autocorrelación: yˆ n + 2 = a + bx n + 2 yˆ n + 3 = a + bx n + 3 , y así sucesivamente se obtendrían las predicciones de la variable endógena. Los programas de ordenador como μTSP, al estimar un modelo con autocorrelación, proporcionan como residuos las estimaciones del ruido blanco at. Para realizar las predicciones es necesario disponer no sólo de los últimos valores ât, sino también de los valores de la serie êt.



Por ejemplo, sea el modelo yt = a + bxt + et, estimado con los datos t = 1, 2, …, n. En el caso que la autocorrelación sea de tipo ARMA(1, 1), el modelo estimado para esta sería de la forma e t = φˆ e t – 1 + aˆ t + σˆ aˆ t – 1 Las primeras predicciones de la variable endógena (suponiendo que se dispone de valores futuros de la variable exógena) son yˆ n + 1 = a + bx n + 1 + eˆ n + 1 yˆ n + 2 = a + bx n + 2 + eˆ n + 2 …………… y así sucesivamente. Los residuos estimados no se anulan debido a la presencia de autocorrelación, por lo que es eˆ n + 1 = φˆ e n + σˆ aˆ n eˆ n + 2 = φˆ eˆ n + 1 eˆ n + 3 = φˆ eˆ n + 2 …………… Así pues, la componente de media móvil sólo afecta directamente a la primera predicción, ya que los valores futuros esperados de la serie de ruido blanco se anulan aˆ n + i = 0

i = 1, 2, …

También es necesario usar en la primera predicción el valor e n = y n – ( a + bx n ) En el caso que el modelo de autocorrelación fuese de tipo ARMA(p, q), sería preciso usar los últimos q residuos ât, y estimar los últimos p valores de et.


195

1. Utilizando el paquete μTSP, obtener unos datos simulados que se ajusten a la siguiente estructura: x t = 50 + 0,9t + a t*

t = 1 … 25,

siendo a t* una serie de errores residuales que se ajustan a una ley Normal N(0; 52), y a partir de esta variable xt obtener los valores y t = 120 + 3,5x t + x t – 1 + e t

t = 2 … 25,

siendo los residuos autorregresivos de primer orden e t = 0,7e t – 1 + a t

t = 2 … 25

y at una serie de números aleatorios independientes N(0; 82). Con los datos (xt, yt), t = 2, 3, …, 25 simulados estimar el modelo yt = α + β0 xt + β1 xt – 1 + εt y tratar el problema de la autocorrelación. Comparar los resultados con el verdadero mecanismo generador de los datos y con los resultados obtenidos por mínimos cuadrados ordinarios. Realizar predicciones para t = 26 y 27 de yt. 2. Modificar los datos simulados del ejemplo anterior, siendo at ∈ N(0, 22), y comparar los resultados obtenidos con los del ejemplo anterior. Repetir el proceso generando at ∈ N(0, 202). 3. Para simular unos datos que se ajusten a un modelo con heterocedasticidad es necesario que la variabilidad de los residuos dependa de alguna variable. Si en el ejemplo 1 anterior se genera la serie de residuos e t = 0,7 t – 1 + 2ta t , la variabilidad de et se incrementa con el tiempo, o bien se toma e t = 0,03x t a t la variabilidad de et depende de xt. Repetir el ejemplo 1 con las nuevas series de residuos, en el primer caso eliminando primero la heterocedasticidad y posteriormente la autocorrelación. 4. Comparar los resultados de las estimaciones anteriores usando los paquetes μTSP y TSP con distintas opciones de estimación.



5. En la siguiente tabla aparecen unas series de datos de Japón correspondientes al período 1960–1987 de la renta nacional y de recaudación por la imposición sobre la renta (en miles de millones de yens).

1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973

Renta N.

Impuestos

14180 17092 19135 22621 25409 28233 32779 38775 46652 53534 63550 69453 80026 98532

390,6 495,8 579,5 690,7 837,4 970,4 1084 1290 1613 2006 2428 2889 3726 5332

1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 0983 1984 1985 1986 1987

Renta N.

Impuestos

116192 128555 145809 161816 178870 193966 209143 221234 232543 241086 256459 272484 283751 295442

5350 5482 6213 6578 7753 9272 10800 11980 12846 13643 14064 15435 16827 -

Se trata de elaborar varios modelos alternativos para estimar la recaudación del impuesto sobre la renta personal (Y) en función de la renta nacional (X). Para ello se deben ensayar, entre otros, los siguientes modelos yt = α + β xt + εt yt = α0 + α1 yt – 1 + β xt + εt yt = α0 + β0 xt + β1 xt – 1 + εt yt = α + β1 xt + β2 t + εt con o sin autocorrelación. Además se debe estudiar la posible heterocedasticidad en cada modelo. Estimar por punto y por intervalo la recaudación esperada en 1987. Analizar la posible existencia de observaciones influyentes. 6. Con los datos del ejemplo anterior, estimar el modelo yt = α + β xt + εt considerando que existe autocorrelación de tipo AR(1). Hallar los residuos estructurales del modelo y comprobar que no se verifica e = 0. Calcular el coeficiente de determinación r2 = 1 – s2e/s 2y con estos residuos estructurales y compararlo con el valor r2 obtenido

al aplicar al modelo el método de mínimos cuadrados ordinarios. ¿Por qué este último coeficiente es mayor? 7. Construir un modelo temporal de la forma yt = β0 + β1 t + β2 t 2 + εt

t = 1 … 27

con los datos de impuestos recaudados en Japón en el período 1960–86 (ejercicio 5), y comparando las predicciones con las obtenidas usando los distintos modelos propuestos en el citado ejercicio 5. Comentar qué predicción debe considerarse más fiable razonando la respuesta.


6 Modelos con variables cualitativas

6.1 ESCALAS DE MEDIDA 1.

Hasta ahora, en los capítulos anteriores, sólo se han utilizado variables numéricas en los modelos econométricos; no obstante, existen variables no numéricas o categóricas que intervienen como variables exógenas o endógenas en muchas situaciones. Las escalas de medida básicas son: – Categóricas o no numéricas, y dentro de éstas: • Nominales: por ejemplo, el sexo o el lugar de residencia. • Ordinales: como el grado de aceptación de un producto. – Numéricas, que a su vez se dividen en escalas por: • Intervalos: como la temperatura expresada en grados centígrados. • Ratios: por ejemplo, la renta de una persona.

2.

Con los datos categóricos no es posible realizar operaciones aritméticas, como hallar una media, una varianza o un coeficiente de correlación ordinario. Sin embargo, con las variables ordinales cabe hallar coeficientes de correlación de Spearman; esto significa que se puede operar con los rangos de sus valores.

3.

Las variables categóricas toman distintos valores o categorías no numéricos, aunque para introducirlas en un modelo es preciso asignarles códigos numéricos. Se distinguen dos tipos de variables categóricas, en función del número de categorías: – Binarias o dicotómicas – Multinomiales o de alternativas múltiples. Por ejemplo, en una encuesta realizada sobre un colectivo de personas, la variable

199

200

x = ¿es propietario de su vivienda?

MODELOS CON VARIABLES CUALITATIVAS

toma dos posibles valores, x = Sí y x = No, que se pueden representar mediante los números 1 y 0. Esta variable es de tipo binaria. La variable multinomial x = ¿qué producto prefiere? entre una lista cerrada de cinco, toma cinco posibles valores, que en principio se pueden representar mediante los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, aunque éstos no tienen sentido numérico, por lo que no es posible introducir directamente esta variable x en un modelo econométrico. 4.

Una variable multinomial x que toma c valores o categorías x ∈ { x(1) = v 1 , x(2) = v 2 , …, x(c) = v c } se puede sustituir por c variables binarias x1 = 1

si x = v 1

x1 = 0

si x ≠ v 1

x2 = 1

si x = v 2

x2 = 0

si x ≠ v 2

… xc = 1

… si x = v c

… xc = 0

… si x ≠ v c

Así, para representar una variable x que toma los c valores v1, v2, …, vc, se usan las variables binarias anteriores, resultando la función lineal x = v1 x1 + v2 x2 + … + vc xc . 5.

En realidad, para representar la variable x que toma c valores, bastan c – 1 variables binarias, aunque es preferible usar todas las variables x1, x2, …, xc e imponer alguna restricción sobre los valores v1, v2, …, vc para eliminar una de las variables binarias. Las restricciones más usuales son de dos tipos: considerando – vc = 0, o sea eliminando la variable xc, y – v1 + v2 + … + vc = 0. Si se considera la primera restricción, vc = 0, los coeficientes v1, v2, …, vc – 1 de la función x = v1 x1 + v2 x2 + … + vc – 1 xc – 1 se interpretan como el efecto sobre la variable y de cada valor de x medido como desviación respecto al valor de y cuando la variable x toma el valor c-ésimo.

La segunda restricción supone que los valores v1, v2, …, vc se interpretan como desviaciones alrededor de un valor medio central de la variable endógena y. 6.

201 6.2 VARIABLES CATEGÓRICAS EXÓGENAS

Las variables auxiliares x1, x2, …, xc se denominan variables artificiales o ficticias. 6.2 VARIABLES CATEGÓRICAS EXÓGENAS

7.

Para introducir el uso de variables categóricas en un modelo econométrico se utilizará un ejemplo simple. Sea R la renta disponible de una familia y A su capacidad de ahorro. Se considera una variable artificial Z para representar el lugar de residencia de cada familia, siendo Z = 0 si la familia reside en una ciudad, y Z = 1 si vive en el campo. La variable Z influye en la capacidad de ahorro, pero no es influida por A, por lo que es exógena. En el modelo

A

Aˆ = ( b 0 + v ) + b 1 R

ˆ = b +b R A 0 1

A = b 0 + b 1 R + vZ + e el coeficiente v de la variable artificial representa un efecto aditivo asociado a la capacidad adicional de ahorro por el hecho de vivir en el campo. Al estimar el modelo, en realidad se estiman dos modelos formados por dos rectas paralelas correspondientes a dos funciones de ahorro. 8.

En el ejemplo anterior, se ha supuesto que la propensión marginal al ahorro se mantiene constante (es igual a b1) para todos los niveles de renta. Si la diferencia en la capacidad de ahorro entre los residentes en el campo y en la ciudad no se mantiene constante, quiere decir que existe un efecto interacción entre la renta y la variable artificial que representa el lugar de residencia. Así, el modelo

v b0 R

Aˆ = b 0 + ( b 1 + v )R A

Aˆ = b 0 + b 1 R

A = b 0 + b 1 R + vZR + e da origen a dos curvas de ahorro con distinta pendiente, o sea con distinta propensión marginal al ahorro, lo que se observa en el gráfico que se muestra la margen. El efecto asociado al lugar de residencia es de tipo multiplicativo. 9.

En el mismo modelo se pueden incluir un efecto aditivo y otro multiplicativo. Así, el modelo A = b 0 + b 1 R + v 0 Z + v 1 ZR + e

b0 R

202

incorpora el efecto aditivo v0 sobre el nivel de ahorro asociado al lugar de residencia y el efecto multiplicativo v1 sobre la propensión marginal al ahorro. Estos efectos se muestran gráficamente en la figura del margen.


ˆ – (b + v ) + (b + v )R A 0 0 1 1 A

ˆ = b +b R A 0 1

10.

En un mismo modelo se pueden incluir más de una variable artificial y sus interacciones con otras variables exógenas.

11.

Una utilidad adicional de las variables artificiales es la comparación de modelos de regresión. Así, si se dispone de los conjuntos de datos de las variables que intervienen en un modelo, y se estiman dos modelos, uno sobre cada conjunto de datos

v0 b0 R

y i = α 0 + α 1 x i + ε i*

i = 1…n 1

y 0 = β 0 + β 1 x i + ε i**

i = n 1 + 1…n + n 2

surge a menudo la pregunta de si estos dos modelos son iguales o no. En definitiva, se trata de realizar los contrastes H0 : α0 = β0

H 0* : α 1 = β 1

H1 : α0 ≠ β0

H 1* : α 1 ≠ β 1

sobre los coeficientes poblacionales. Para ello se define una variable artificial auxiliar Zi = 0

i = 1 … n1

Zi = 1

i = n1 + 1 … n1 + n2

y se estima un único modelo con dos conjuntos de datos simultáneamente; el modelo conjunto es y i = ( α 0 + α 1 x i )Z i + ( β 0 + β 1 x i ) ( 1 – Z i ) + ε i = = β 0 + β 1 x i + ( α 0 – β 0 )Z i + ( α 1 – β 1 )x i Z i + ε i = = β0 + β1 xi + y0 Zi + y1 xi Zi + εi para i = 1, 2, …, n1, n1 + 1, ..., n1 + n2. Al contrastar las hipótesis originales que se expresan ahora H0 : y0 = 0

H 0* : y 1 = 0

H1 : y0 ≠ 0

H 1* : y 1 ≠ 0

si se aceptan las hipótesis H0 y H0*, se admite la identidad de los dos modelos. La contrastación de estas hipótesis se realiza mediante los tests T de Student ordinarios, como se verá en el ejemplo siguiente.

203

Ejemplo 1.

Comparación de dos modelos

6.2 VARIABLES CATEGÓRICAS EXÓGENAS

Se han recogido datos en dos localidades mediante sendas encuestas sobre el consumo (y) de productos de hogar y de la renta (x) de los consumidores consultados, obteniéndose los siguientes resultados.

Ciudad 1

Ciudad 2

x

y

x

y

4,8 5,3 6,5 3,2 6,0 3,8 4,2 7,0 2,6 3,5 5,6 5,8

64,0 68,0 79,0 56,0 69,4 60,9 62,8 75,6 61,7 57,8 72,3 70,5

7,1 3,4 5,5 4,3 3,7 6,0 3,3 6,7 5,1 4,5 2,7 5,9

54,6 44,7 51,0 49,7 47,2 55,0 42,9 55,6 47,6 49,5 44,6 57,2

80

70

Se ha observado una relación lineal entre el consumo (en miles de pesetas) y la renta (en millones de pesetas) y se desea contrastar si esta relación es idéntica en las dos ciudades donde se ha realizado el trabajo de campo.

Ciudad 1 60

50

El diagrama de dispersión entre consumo (y) y renta (x) muestra con claridad que en la ciudad 2 el consumo es inferior al obtenido en la ciudad 1, y parece que la propensión marginal al consumo es mayor en esta última. Para contrastar si la relación y = α + βx + ε es distinta en ambas ciudades, se define la variable artificial z: zi = 0 zi = 1

i = 1 … 12 (en la ciudad 1) i = 13 … 24 (en la ciudad 2)

y se estima con los 24 datos el modelo yi = α + β xi + γ 0 zi + γ 1 zi xi + εi

Ciudad 2 40 2

3

4

5

6

7

8

204

resultando


y = 43,728 + 4,687x – 8,555z – 1,637zx + e, (8,43)

(–2,18)

(–2,10)

con r2 = 0,946. Para comparar los modelos se realizan los dos contrastes H0 : γ 0 = 0

H 0* : γ 1 = 0

H1 : γ 0 ≠ 0

H 1* : γ 1 ≠ 0

usando los estadísticos T γ 0 = – 2,18

T γ 1 = – 2,10,

Las probabilidades límites respectivas, que se obtienen con la distribución t(20), son 0,0414

y

0,0485,

por lo que a nivel α = 0,05 se aceptan H1 (existe una diferencia en el nivel de consumo correspondiente a cada renta) y H1* (la propensión marginal al consumo es menor en 1,637 en la ciudad 1 que en la ciudad 2). Los dos modelos resultantes son, respectivamente, para las ciudades 1 y 2 y = 43,728 + 4,687x + e y = ( 43,728 – 8,555 ) + ( 4,687 – 1,637 )x + e = 35,173 + 3,05x + e, y sus coeficientes de determinación son r2 = 0,843 y r2 = 0,822. En este caso se ha podido estimar el modelo conjunto ya que la variabilidad de los residuos no es muy distinta en las dos ciudades.

y

yˆ = a 2 + b 2 x

12.

El mismo planteamiento sirve para comparar el mismo modelo estimado en dos períodos de tiempo o sobre dos poblaciones o ámbitos geográficos distintos.

13.

También se usan las variables artificiales para estimar modelos en los que la forma funcional es de tipo spline. Una spline es una curva continua formada por varios segmentos polinómicos. En las figuras que se muestran al margen aparecen varias curvas de tipo spline. En la primera figura es necesario imponer unas restricciones sobre los coeficientes para que la línea quebrada (spline) sea continua:

yˆ = a 1 + b 1 x yˆ = a 0 + b 0 x

a

b

x

y

yˆ = a 1 + b 1 x

a 0 + b 0 a = a 1 + b 1 a, a 1 + b 1 b = a 2 + b 2 b,

yˆ = a 0 + b 0 x + c 0 x 2 a

x

y en la segunda, además de la condición de continuidad

205

a 0 + b 0 a + c 0 a 2 = a 1 + b 1 a, se suele imponer una condición de alisamiento, relativa a la primera derivada; esto es, para que en el punto x = a la curva tenga la misma pendiente a la izquierda y a la derecha de dicho punto debe ser b 0 + 2c 0 a = b 1 Análogamente se definirían las condiciones de continuidad y alisamiento en el punto x = b. 14.

Por ejemplo, en el primer modelo se definen tres variables artificiales z1 = 1 z1 = 0

si x ≥ a si x < a

z2 = 1 z2 = 0

si x ∈ ( a, b ) si x ∉ ( a, b )

z3 = 1

si x ≥ b

z3 = 0

si x < b

por lo que la forma funcional de la spline es yˆ = z 1 ( 1 – z 2 ) ( 1 – z 3 ) ( a 0 + b 0 x ) + ( 1 – z 1 )z 2 ( 1 – z 3 ) ( a 1 + b 1 x ) + + ( 1 – z 1 ) ( 1 – z 2 )z 3 a 2 + b 2 x Con las restricciones a0 + b0 a = a1 + b1 a a1 + b1 b = a2 + b2 b Se puede prescindir de una de las tres variables artificiales en el modelo yˆ = z 1 ( 1 – z 2 ) ( a 0 + b 0 x ) + z 2 ( 1 – z 1 ) ( a 1 + b 1 x ) + + ( 1 – z1 ) ( 1 – z2 ) ( a2 + b2 x ) con las dos restricciones anteriores. 6.3 VARIABLES ARTIFICIALES EN MODELOS TEMPORALES 15.

La representación de funciones periódicas es otra situación práctica en la que se introducen variables artificiales. Por ejemplo, una serie temporal de ventas mensuales de un producto generalmente oscila cíclicamente cada doce meses; por ejemplo, la venta de helados crece todos los años en los meses de verano por encima de la curva de tendencia, o el consumo de electricidad en una empresa presenta dos máximos, en invierno y en verano.

6.3 VARIABLES ARTIFICIALES EN MODELOS TEMPORALES

206

16.


Sea yt, t = 1, 2, …, n una serie mensual correspondiente a A años, y tal que la variabilidad de yt se descompone en tres componentes: la tendencia Tt, el ciclo estacional Ct y una parte aleatoria εt. yt = T t + Ct + εt . Por ejemplo, si la tendencia es lineal, se expresa T t = a 0 + a 1 t. y la componente cíclica aditiva en función de las doce variables artificiales z1, z2, …, z12 C t = c 1 z 1t + … + c 12 z 12t . que toman los valores

Ct

z it = 1 z it = 0

0

0

2

4

6 8 mes

10

12

si t corresponde a cualquier mes i-ésimo, i = 1…12, para los restantes meses,

por lo que la función Ct toma en cada uno de los doce meses los valores c 1 , c 2 , …, c 12 . Como los doce valores c1, c2, …, c12 representan desviaciones respecto a la tendencia, se ha impuesto implícitamente la restricción c 1 + c 2 + … + c 12 = 0, con lo que la componente cíclica se puede representar mediante C t = c 1 z 1t + … + c 12 z 12t = c 1 z 1t + … + c 11 z 11t + ( – c 1 – c 2 – … – c 11 )z 12t = * , = c 1 ( z 1t – z 12t ) + … + c 11 ( z 11t – z 12t ) = c 1 z 1* t + … + c 11 z 11 t

siendo las nuevas variables auxiliares z i*t = 1

si t corresponde a cualquier mes i-ésimo,

z i*t = – 1

si t corresponde a cualquier mes i-ésimo,

z i*t =

para los restantes meses.

0

En el siguiente ejemplo se usarán unas variables artificiales como las anteriores.

207

Ejemplo 2.

Análisis de una serie trimestral


El paro agrícola en Andalucía entre 1976 y 1992 ha evolucionado según la siguiente tabla (Fuente: Dirección General de Previsión y Coyuntura; Ministerio de Economía).

Trimestre Año

I

II

III

IV

1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

65,3 91,9 87,7 107,4 139,0 130,0 132,1 179,9 213,0 263,3 257,3 238,6 230,9 191,8 188,7 171,0

75,8 80,1 96,4 117,2 146,7 117,4 131,6 219,0 257,3 265,4 252,5 263,0 230,2 210,5 184,5 203,6

65,4 77,9 77,8 87,8 103.1 119,0 115,0 124,9 228,3 255,4 252,3 275,1 257,6 219,6 203,3 212,2 211,4

68,4 84,4 98,4 89,0 117,2 119,0 124,1 139,0 223,8 259,4 262,1 256,2 223,3 230,6 196,3 199,5 -

Se desea elaborar un modelo para estudiar la variación estacional. El gráfico temporal de la serie muestra un crecimiento que se acelera en los años ochenta, seguido de un proceso de decrecimiento debido a que no aumenta la población activa en el sector agrario. Es necesario usar un modelo polinómico de orden no inferior a 3 para representar la tendencia, debido a la forma de la serie. Las variables artificiales para representar el ciclo estacional son x 1* = 1 en cada trimestre 1,

x 1* = 0 en el resto

x 2* = 1 en cada trimestre 2,


x 3* = 1 en cada trimestre 3,


x 4*


= 1 en cada trimestre 4,

208 MODELOS CON VARIABLES CUALITATIVAS

300 250 200 150 100 50 0 1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

siendo el ciclo estacional C t = γ 1 x 1* t + γ 2 x 2* t + γ 3 x 3* t + γ 4 x 4* t , con la condición

γ1 + γ2 + γ3 + γ4 = 0 para que los coeficientes γ1, γ2, γ3 y γ4 representen desviaciones respecto de la tendencia del paro correspondiente a las variaciones estacionales. Usando la condición, y sustituyendo el parámetro γ4 = – γ1 – γ2 – γ3 en la expresión del ciclo, resulta C t = γ 1 ( x 1* t – x 4* t ) + γ 2 ( x 2* t – x 4* t ) + γ 3 ( x 3* t – x 4* t ) = γ 1 x 1t + γ 2 x 2t + γ 3 x 3t , y el modelo final para la serie de paro agrícola es y t = β 0 + β 1 t + β 2 t 2 + β 3 t 3 + γ 1 x 1t + γ 2 x 2t + γ 3 x 3t + ε t . Al estimar el modelo, éste resulta tener autocorrelación de tipo AR(1), por lo que es y t = 62,209 + 0,6525t + 0,1881t 2 – 0,00258t 3 – 3,63x 1 + 4,33x 2 + 0,44x 3 + e t (0,07)

e t = 0,87e t – 1 + a t . (8,87)

(0,72)

(– 1,11)

(– 1,46)

(1.57)

(0,18)

209

Este modelo no parece adecuado a pesar que es r2 = 0,949, pues ninguno de los coeficientes difiere significativamente de cero (salvo el coeficiente φˆ = 0,87 estimado en el modelo de et), lo que puede ser debido al alto nivel de autocorrelación. Como la tendencia polinómica puede estar afectada por la autocorrelación, se elimina el término t3, reestimándose el modelo. Así se llega a y t = – 46,517 + 11,197t – 0,112838t 2 – 3,496x 1 + 4,363x 2 + 0,206x 3 + e t (2,67)

(– 2,26)

(– 1,46)

(1,82)

(0,09)

e t = 0,8627e t – 1 + a t , (13,6)

en el que los coeficientes de la tendencia y de la autocorrelación difieren significativamente de cero. Con respecto a la estacionalidad, el coeficiente del segundo trimestre difiere significativamente de cero a nivel α = 0,10, pues su probabilidad límite es ρ = 0,737. Aunque ninguno de los otros coeficientes difiere de cero a nivel α = 0,05 ó α = 0,10, se admite la existencia de ciclo estacional, como deberá comprobar el lector realizando el test F H0 : γ 1 = γ 2 = γ 3 = 0 H 1 : algún(os) γ j ≠ 0 El test sobre la existencia de estacionalidad en el cuarto trimestre H0 : γ 4 = 0 H1 : γ 4 ≠ 0 se obtiene con el estadístico T = γˆ 4 /s γˆ 4 = ( +3,496 – 4,363 – 0,206 )/s γˆ 4 = – 1,073/s γˆ 4 obteniéndose la varianza s γ2ˆ 4 a partir de la matriz de covarianzas estimada de ( γˆ 1 , γˆ 2 , γˆ 3 ): 5,74080 – 1,14958 – 3,447368 S γ = – 1,14958 5,73276 – 1,15453 – 3,44368 – 1,15453 5,75615 ya que y4 = –y1 – y2 – y3; así se obtiene que ⎛ – 1⎞ s γ24 = ( – 1, – 1, – 1 )S y ⎜ – 1⎟ = 5,73413 ⎜ ⎟ ⎝ – 1⎠ por lo que



T = – 1,073/ 5,73413 = – 0,448, que lleva a aceptar H0, o sea la no existencia de estacionalidad en el cuarto trimestre. Para realizar previsiones para el último trimestre de 1992 se calcula yˆ 66 = – 46,517 + 11,197 ⋅ 66 – 0,112838 ⋅ 66 2 + 3,496 – 4,363 – – 0,206 + 0,8627 ⋅ 14,12 = 212,07, ya que el último residuo es e65 = 14,12. Para obtener la serie yt desestacionalizada, o sea sin el efecto del ciclo estacional, se calcula y t = Cˆ t = y t – ( – 3,496x 1t + 4,363x 2t + 0,206x 3t ). Análogamente se obtienen las previsiones desestacionalizadas.

17.

En algunas situaciones se dispone de datos tomados sobre el conjunto de m individuos, empresas o unidades experimentales medidos en T instantes distintos de tiempo; o sea que se trata de combinar información de corte transversal o estática con datos temporales. Se pueden considerar diversas situaciones en la construcción de modelos lineales: a. Modelo con coeficientes y niveles constantes y it = β 0 + β 1 x 1it + … + β k x kit + ε it

i = 1…m;

t = 1…n,

en el que el subíndice i se usa para representar la unidad experimental i-ésima, y t es el instante en el que se ha tomado el dato. b. Modelo con coeficientes constantes y niveles variables sobre los casos y it = β 0i + β 1 x 1it + … + β k x k it + ε it . Existe un efecto asociado a cada caso, pero este efecto se mantiene constante a lo largo del tiempo. c. Modelo con coeficientes constantes y niveles variables en el tiempo y it = β 0t + β 1 x 1it + … + β k x k it + ε it . d. Modelo con coeficientes constantes y niveles variables sobre los casos y en el tiempo y it = β 0it + β 1 x 1it + … + β k x k it + ε it .

e. Modelo con coeficientes variables sobre los casos y it = β 0i + β 1i x 1it + … + β k x kit + ε it , en el que para cada instante se tiene un modelo distinto. f. Modelo con coeficientes variables en el tiempo y it = β 0t + β 1t x 1it + … + β kt x k it + ε it . 18.

En el caso que el nivel u ordenada en el origen sea variable, se consideran dos situaciones: que la variabilidad de β0 sea fija o constante para cada caso o en cada instante, o bien que esta variabilidad sea de naturaleza estocástica o aleatoria (generalmente asociada al proceso de muestreo). Si el coeficiente β0 varía sobre los m casos o en el transcurso del tiempo con efectos fijos, la representación de esta variabilidad se hace mediante el uso de variables artificiales. Por ejemplo

β 0i = β 01 Z 1 + β 02 Z 2 + … + β 0m Z m , en el que la variable Zi está asociada al caso i-ésimo Zi = 1

para las T observaciones del caso i-ésimo,

Zi = 0

para el resto de los datos.

Si la variación es temporal, y ocurre en el instante t, se toma

β 0t = β 01 Z 1* + β 02 Z 2* + : + β 0T ( Z T , ) * en el que Z t* = 1

para los m datos tomados en el instante t,

Z t* = 0

en los restantes instantes.

Para representar una variabilidad en el tiempo y sobre los casos, es necesario usar dos conjuntos de variables artificiales anteriores. 6.4 MODELOS CON VARIABLE ENDÓGENA NO NUMÉRICA 6.4.1 Introducción 19.

Hasta ahora en todos los modelos estudiados se supone implícitamente que la variable endógena es numérica, y que las variables explicativas o predeterminadas son numéricas o binarias (como las variables artificiales de los apartados anteriores).

211 6.4 MODELOS CON VARIABLE ENDÓGENA NO NUMÉRICA

212

20.


Sin embargo existen numerosas situaciones en las que es necesario estimar el valor o nivel de una variable categórica, y, que toma un número c de alternativas y(1), y(2), …, y(c) que se codifican numéricamente y que están relacionadas con unas variables predeterminadas x1, x2, …, xk que tienen capacidad predictiva sobre y. En cualquier problema de decisión en el que hay que elegir una alternativa entre varias, en función de unas variables causales, es necesario predecir las probabilidades de ocurrencia de cada uno de los posibles valores de y. Este es el objetivo de los modelos con variable endógena cualitativa.

21.

Cuando el número de valores posibles de la variable endógena son dos, el modelo resultante se denomina de elección binaria, y los dos valores de y se denominan 0 y 1. Si hay más de dos alternativas, el modelo es de elección múltiple.

22.

Los modelos de elección binaria más usados son los modelos logit y probit, que se generalizan en el caso de elección múltiple. En el caso que falte algún dato de la variable endógena de la muestra, el modelo se denomina censurado; por ejemplo, en el caso de una falta de respuesta en una encuesta. Las muestras truncadas son aquellas en las que faltan datos debido a que éstos no existen; por ejemplo, si se pregunta por el grado de aceptación de un producto en un grupo de personas, y algunas no consumen el producto, la falta de respuesta de esas personas es realmente un truncamiento en la población muestreada. 6.4.2 Modelos de elección binaria

23.

La variable endógena y es de tipo binario, y toma los valores y = 0

e

y = 1

con probabilidades Pr (y = 0) = q,

Pr(y = 1) = p = 1 – q = E(y),

Así, al representar el modelo, resulta y = F(x 1 , x 2 , …, x k) + ε = yˆ + ε , en la que yˆ = E(y) = F(x 1 , x 2 , …, x k) = p o sea que el valor estimado con el modelo es la probabilidad que la variable endógena tome el valor 1. 24.

La función F(x1, x2, …, xk), al representar una probabilidad, sólo puede tomar valores en el intervalo [0; 1], por lo que la forma funcio-

213

nal del modelo debe cumplir esta condición. La dependencia de las variables predeterminadas en el caso de los modelos logit y probit se establece mediante una combinación lineal de éstas:

6.4 MODELOS CON VARIABLE ENDÓGENA NO NUMÉRICA

y = F(β 0 + β 1 x 1 + … + β k x k) + ε = yˆ + ε = p + ε . 25.

En un modelo de elección binaria las perturbaciones aleatorias son variables centradas pero binarias, ya que si y toma dos valores 0 y 1, la perturbación ε toma los dos valores – ˆy = – p 1 – yˆ = 1 – p

con probabilidad

q = 1 – p,

con probabilidad

p,

siendo su varianza V (ε) = ( – p ) 2 q + ( 1 – p ) 2 p = pq(p + q) = pq = yˆ (1 – yˆ ), o sea que la variabilidad de las perturbaciones dependerá de las variables explicativas, lo que da origen a heterocedasticidad. El modelo de elección binaria logit tiene la siguiente forma funcio-

26.

nal 1 y = ------------------------------------------------------- + ε, 1 + e – ( β0 + β1 x1 + … + βk xk ) en la que F(x1, x2, …, xk) es la función de distribución logística. 27.

1

El modelo logit simple es 1 e β0 + β1 x y = -------------------------------+ ε = yˆ + ε , - + ε = -------------------------– ( β0 + β1 x ) 1+e 1 + e β0 + β1 x y es fácil comprobar que el valor yˆ toma valores en el intervalo [0, 1]. Al hacer tender z a +∞ y a –∞ el valor de yˆ tiende a 1 y a 0 (si β1 > 0).

28.

y

El modelo logit se puede aproximar mediante el modelo lineal yˆ i - = β0 + β1 x1 + … + βk xk ln -----------1 – yˆ i

i = 1…n,

aunque, en la práctica no es necesario linealizar el modelo dado que los paquetes de programas estadísticos y econométricos incorporan programas de estimación de modelos logísticos.

z


Ejemplo 3.

Modelo Logit para concesión de un crédito

Para conceder un crédito personal de importe fijo un banco toma una serie de datos sobre la situación financiera de su cliente: nivel de renta (x1), propiedad de su vivienda (x2) y nivel de endeudamiento (x3). Se disponen de 48 expedientes de créditos anteriores concedidos (y = 1), o no (y = 0), y se trata de elaborar un modelo para estimar la probabilidad de concesión de un crédito. Los datos de estos expedientes figuran en la tabla siguiente.

y

x1

x2

x3

y

x1

x2

x3

y

x1

x2

x3

0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0

3,0 3,1 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,6 4,7 4,8 4,8 4,9

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1

0,3 1,2 0,4 0,4 0,1 0,6 2,9 3,9 0,1 0,6 2,3 0,5 3,8 0,1 3,0 3,5

0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0

5,0 5,1 5,2 5,2 5,3 5,4 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,2 6,3 6,4

1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1

4,1 0,3 1,4 5,5 2,1 3,2 0,1 0,6 3,4 0,3 2,8 1,5 7,4 0,5 3,2 4,3

1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

6,5 6,6 6,7 6,9 7,1 7,3 7,4 7,8 8,0 8,2 8,4 8,8 9,1 9,5 9,8 9,9

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3,4 1,5 0,4 1,5 2,1 9,5 5,4 1,7 6,2 9,8 0,1 1,4 9,5 1,4 1,3 4,5

Al estimar el modelo logístico 1 - + ε* y = ---------------------------------------------------------1 + e –– ( β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 ) resulta que ningún coeficiente difiere significativamente de cero, lo que se debe sin duda a las interrelaciones entre la renta y la propiedad de la vivienda representada por la variable artificial x2 (que toma el valor 1 si la persona es propietaria y 0 si no lo es). Al ser la información de x2 redundante con x1, se prescinde de x2 estimándose el modelo 1 - + e*, y = ---------------------------------------------------1 + e 20,9 – 5,126x1 – 3,783x3

215

siendo los estadísticos T de los coeficientes T x1 = 2,59


T x2 = – 2,58

es decir, que ambos difieren significativamente de cero a nivel α = 0,05. Al aplicar el modelo se calcula la probabilidad de aprobar un crédito personal en relación con el nivel de renta y de endeudamiento. Así, por ejemplo, una persona con una renta de 3 millones de pesetas y deudas de 0,3 millones tiene una probabilidad que el banco le apruebe el crédito de 1 = 0,013425. yˆ = -----------------------------------------------------------1 + e 20,9 – 5,9126 ⋅ 3 + 3,783 ⋅ 0,3

0,08 yˆ 0,07 0,06 0,05 0,04

En la figura se muestra la probabilidad de obtener un crédito para una persona con nivel de renta de 6 millones de pesetas y deudas variables de entre 3 y 6 millones de pesetas.

29.

En el modelo Probit se elige como función F(β0 + β1x1 +… + βkxk) la función de distribución de una variable aleatoria N(0, 1) 1 y = ---------2π

β0 + β1 x1 + … + βk xk

∫

–∞

0,03

x3 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7

F(z) 1

e – 0,5t 2 dt + ε

0,5

en el que t es una variable de integración. En la figura se muestra la función de distribución yˆ = F(z), siendo z = β0 + β1x1 + … + βkxk.

Ejemplo 4. Modelos Probit y Logit sobre la propiedad de la vivienda

En un conjunto de 48 familias se dispone de información sobre la propiedad de su vivienda (y = 1 si es propietario e y = 0 si no lo es) y de su renta (x) en millones de pesetas: y x

0 3,0

0 3,1

0 3,2

0 3,5

0 3,8

0 4,1

0 4,2

1 4,3

0 4,4

0 4,5

1 4,6

0 4,6

y x

1 4,7

0 4,8

1 4,8

1 4,9

1 5,0

0 5,1

1 5,2

1 5,2

1 5,3

1 5,4

0 5,4

0 5,5

y x

1 5,6

0 5,7

1 5,8

1 5,9

1 6,0

0 6,2

1 6,3

1 6,4

1 6,5

0 6,6

1 6,7

1 6,9

y x

1 7,1

1 7,3

1 7,4

1 7,8

1 8,0

1 8,2

1 8,4

1 8,8

1 9,1

1 9,5

1 9,8

1 9,9

z

216

y se trata de estimar la probabilidad de que una familia sea propietaria de su vivienda.


Es claro que al aumentar el nivel de renta la tendencia es hacia la vivienda en régimen de propiedad. El modelo Probit 1 y = ---------2π

α + βx

∫–∞

e – 0,5t 2 + ε = F(α + β x) + ε

estimado es yˆ = F ( – 3,83675 + 0,76831x ) (– 3,12)

(3,33)

cuyos coeficientes difieren significativamente de cero. De igual forma el modelo logit estimado es 1 yˆ = ---------------------------------------1 + e 6,43465 – 1,296x el cual también tiene sus dos coeficientes significativamente distintos de cero. Para obtener las probabilidades de posesión de vivienda en función de la renta con el modelo Probit basta calcular 1 yˆ = F(– 3,83675 + 0,76831x) = ---------2π

– 3,83675 + 0,76831x

∫– ∞

e –0,5t 2 dt

para los 48 casos, y si se usa el modelo logit, entonces 1,00

YPROBIT

0,75 0,50 0,25 0,00 2,5

* ***

*

YLOGIT

0,75 0,50 0,25

* ***

yˆ = 1/ [ 1 + e 6,43465 – 1,296x ], Ambas curvas se dibujan respecto de x, obteniéndose las probabilidades anteriores. Aunque los valores obtenidos son casi coincidentes, por ejemplo para una renta de 3 millones yˆ = 0,06278

yˆ = 0,07265,

o para una de 5 millones 5,0

1,00

0,00 2,5

******** **** * ** ** ** ** ** * * ** ** * * **

*

x

7,5

10,0

yˆ = 0,50191

******** *** ** * *** ** * ** ** * * ** ** * **

5,0

x

7,5

10,0

yˆ = 0,51134,

o para una de 8 millones yˆ = 0,98955

yˆ = 0,98080,

la distribución logística tiene varianza mayor que la normal N(0, 1), por lo que será yˆ < yˆ para valores bajos de x, yˆ > yˆ

para valores altos de x.

217

El cálculo de yˆ con el programa μTSP requiere usar la función de distribución N(0, 1) lo que se realiza generando los valores estimados GENR yest = CNORM ( – 3,83675 + 0,76831*x ) que se dibujan respecto de la renta con la orden SCAT yest x.

30.

El modelo Tobit se originó en el estudio de consumo de bienes no perecederos por parte de las economías domésticas; el importe dedicado al consumo de estos bienes se anula en el caso de familias que no pueden dedicar un mínimo de renta a la adquisición de este tipo de productos. Así, el modelo Tobit es de la forma ⎧ β0 + β1 xi + εi yi = ⎨ ⎩ mi

si yˆ i ≥ m i si yˆ i < m i ,

en el que el valor mi es el límite mínimo por debajo del cual la variable endógena no puede caer. Este modelo puede considerarse como uno de elección binaria, en el que la variable endógena toma valores dependientes de las exógenas o bien un mínimo que no depende de éstas.




1. La evolución de los contratos de trabajo mensuales en Andalucía en el período 1987–1992 aparece en la siguiente tabla:

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

1987

1988

1989

1990

1991

1992

253314 243001 256540 270606 293336 310250 320288 237657 330436 350083 335590 247916

284098 308961 287663 297146 305111 321042 318876 261934 346881 367923 346942 265606

333779 309559 326501 322800 335140 359356 348870 279683 441622 487130 159000 323059

457262 408267 438253 403353 441877 452734 470430 338314 428758 525029 463170 331265

462408 377044 363212 468448 447911 417267 502277 332120 422075 528190 432817 312181

425734 383715 395519 381051 370280 384462 454579 298922 426408 457255 395763 -

Construir un modelo para estudiar la estacionalidad mensual en los contratos de trabajo, agregar los datos por trimestres y comprobar si se mantiene esta estacionalidad. 2. En una explotación agraria se aplica un insecticida a distintas parcelas, haciéndose el recuento del número de insectos muertos y del total estimado de éstos en cada parcela:

Concentración 3,8 4,7 6,3 8,9 11,7 12,2

Total de insectos

Número de insectos muertos

500 490 510 520 500 480

72 170 265 437 453 475

Calcular la concentración para la cual el 50% de los insectos están afectados usando un modelo logit y un modelo probit. 3. En un modelo logit o probit yˆ = P(y = 1) = F(α + βx), por lo que la relación entre la variable exógena X y la endógena Y sólo puede ser monótona. ¿Es correcto el razonamiento anterior?

4. Para explicar la evolución de la proporción yˆ de personas que son propietarias de su vivienda se propone el modelo logit 1 yˆt = ---------------------1 + eα + βt y si se calcula dyˆ t /dt resulta la expresión dyˆ t ------------ = – β yˆ t dt 1 – yˆ t lo que indica que la proporción de los no propietarios depende del porcentaje de los que son propietarios. Modificar el modelo para imponer una cota superior predeterminada a la proporción de propietarios de viviendas. 5. Una compañía desea estimar el ritmo de personas que van a retirarse voluntariamente entre los 50 y los 60 años y para ello selecciona un conjunto de empleados que se han retirado voluntariamente en esta franja de edad y otro conjunto que, cumpliendo los requisitos para retirarse, no lo han hecho. A cada persona, además de su situación laboral, se le pregunta sobre su edad, salario y el tiempo que lleva trabajando en la empresa. Formular un modelo logístico y comentar la interpretación y signo de cada uno de sus coeficientes. 6. Para estimar el paro entre personas menores de 30 años, se realiza una encuesta en una población que incluye parados y personas que están trabajando. A cada uno se le pregunta sobre su sexo, salario, edad, formación profesional, nivel de educación y años de experiencia previa. Especificar dos modelos: el primero para estimar la proporción de parados y el segundo para predecir su nivel de salario, teniendo en cuenta que a los parados se les asigna en la encuesta un valor cero.


7 Micro-TSP


El paquete μTSP está formado por un conjunto de programas orientados hacia la estimación de modelos econométricos: – uniecuacionales, – multiecuacionales, y – series temporales. Su utilización es muy simple e intuitiva, y su eficiencia computacional alta. Dispone además de un módulo de gráficos, así como de varias utilidades de gestión de datos e interacción con Lotus 123 y con otros programas ofimáticos. Se utiliza en microordenadores provistos con el sistema operativo MS-DOS de Microsoft y compatibles. Existe una versión para el entorno Windows denominada Eviews que incorpora nuevas posibilidades gráficas y econométricas.

2.

Los modos de operación de μTSP son – interactivo y – por lotes. El proceso interactivo es el más usado y práctico; consiste en ejecutar una a una las instrucciones μTSP y observar el resultado que producen. En el proceso por lotes, varias instrucciones μTSP se almacenan en un fichero de tipo texto y todas ellas son ejecutadas ininterrumpidamente mediante una llamada desde el sistema operativo, o desde el entorno interactivo de μTSP.

3.

A continuación se describirá el uso interactivo de μTSP, al que se accede con la orden C:\TSP > TSP

221

222

Esta orden debe ejecutarse desde el directorio donde se han situado los programas de μTSP en el proceso previo de instalación de éstos. A partir de este momento el usuario deja de relacionarse con el sistema operativo y pasa a depender del entorno integrado de μTSP.

MICRO-TSP

4.

Al iniciar la sesión, el monitor del ordenador muestra la pantalla básica de μTSP

La parte central de la pantalla es la ventana de trabajo, donde aparece el indicador de órdenes del μTSP > y el cursor. La parte superior es la ventana de estado, que consta de tres líneas que informan del entorno de trabajo: – El rango de datos (range) es el intervalo de datos definido en el entorno de trabajo actual. Si los datos son temporales, el rango incluye los instantes inicial y final [ti, tf]; cualquier dato que se introduzca deberá asociarse a una fecha de dicho intervalo. Si los datos son no temporales, el rango es el intervalo [1, n]. El rango también está asociado a la frecuencia de los datos (anual, trimestral, mensual u otra). – Las series o nombre de las variables que están contenidas en el espacio de trabajo (en memoria) definido por μTSP. – El rango activo de datos (current SMPL) es un subconjunto del rango de datos [tj, tg] sobre el que actúan los procedimientos de cálculo u órdenes de μTSP. – La ruta (path) indica el directorio actual o activo. Los archivos de datos que se leen pertenecen a este directorio, y también se guardan en él los archivos que se graban. La parte inferior es la ventana de funciones y en ésta aparecen 9 opciones, a las que se accede con las teclas de función. Cada opción sirve o bien para ejecutar directamente una orden de μTSP, o bien para acceder a una ventana con opciones que generalmente son órdenes de μTSP.

223 7.1 INTRODUCCIÓN

5.

F3-Files

F4-Data

F5-Graph

F6-Stats

F7-Equations

F8-Estimate

Para ejecutar una orden (interactiva) de μTSP se puede proceder de dos formas alternativas: a. Teclear en la ventana de trabajo y pulsar la tecla de retorno de carro; si es necesario, la orden irá seguida de sus argumentos, y, en el caso que hubiera opciones, éstas se escriben entre paréntesis después de la orden. b. Pulsar una tecla de función, que conduce a una ventana con varias opciones, y elegir la que corresponda a la orden que se desea ejecutar. A veces, al elegir una opción aparece una nueva subventana de opciones con varias órdenes alternativas. La primera forma es cómoda si se ha memorizado la orden a ejecutar, mientras que la selección de opciones a través de teclas de función es útil en caso de duda del nombre de la orden.

224

Por ejemplo, la orden > EXIT

MICRO-TSP

devuelve el control al sistema operativo y cierra el entorno de trabajo de μTSP; todas las variables o series que están en este entorno de trabajo se pierden. Antes de proceder a abandonar el entorno, μTSP preguntará si se está seguro, y el usuario debe contestar sí o no (y o n) para que se ejecute la orden. Otra forma alternativa de ejecutar esta orden es pulsando la tecla F9 y eligiendo la primera opción de la ventana que aparece y que se muestra a continuación.

6.

Cuando se ejecuta una orden pueden suceder dos cosas: – que la sintaxis de la orden sea correcta, en cuyo caso ésta se ejecuta cuando se pulsa el retorno de carro, o – que sea incorrecta (en su sintaxis), en cuyo caso aparece en la ventana de trabajo el correspondiente mensaje de error.

7.

La estructura general de una orden es una de las siguientes > ORDEN > ORDEN argumento(s) > ORDEN (opción) > ORDEN (opción) argumento(s) Muchas órdenes necesitan de alguna opción (que modifica la forma de actuar la orden); si no se proporciona la opción, μTSP la pedirá

a través de una ventana con las opciones de la orden que se ha tecleado. Por ejemplo, la orden para realizar un gráfico > PLOT tiene varias opciones relativas a la escala de medida. Los argumentos definen el campo de actuación de una orden; así, la orden > PLOT x dibuja la serie xt. Además esta orden necesita una opción de escala, que se puede proporcionar al teclear la orden > PLOT (A) x o esperar que μTSP la pida. 8.

Para trabajar con μTSP es necesario conocer – las órdenes o instrucciones básicas del paquete, – el sistema de ficheros y gráficos, los editores internos de μTSP y – el entorno de trabajo interactivo También es necesario conocer los fundamentos del sistema operativo DOS y de su estructura de ficheros. 7.2 UNA SESIÓN SIMPLE DE TSP

9.

Al iniciar una sesión de trabajo, una vez arrancado μTSP, es necesario crear el entorno de trabajo con la orden > CREATE (frecuencia) inicio fin con la que se define – la periodicidad o frecuencia de los datos y – el rango de los datos. Las opciones de la periodicidad o frecuencia son A Q M U

anual trimestral mensual otra

y el rango de los datos se indica mediante las fechas inicial y final de la serie. Así, por ejemplo, si se va atrabajar con series anuales comprendidas en el período de 1960 a 1992, se utiliza > CREATE (A) 60

92

225

μ 7.2 UNA SESIÓN SIMPLE DE ΜTSP

226

En cambio, si se desea trabajar con datos trimestrales comprendidos entre el segundo trimestre de 1980 y el último de 1992, entonces se utiliza > CREATE (Q) 80.2 92.4

MICRO-TSP

En el caso de datos mensuales que comienzan en enero de 1986 y terminan en diciembre de 1992, se teclea > CREATE (M) 86.01

92.12

Si no se indica la opción, μTSP la pedirá a través de una ventana,

y si no se proporcionan los dos argumentos, μTSP también los pedirá. Después de ejecutarse esta orden se actualizará la ventana de estado. 10.

Después de crear el entorno de trabajo, es necesario introducir los datos, y para ello se utiliza el editor de datos, que se llama mediante la orden DATA. Por ejemplo, si se quieren introducir los siguientes datos de las series xt e yt, para t = 1986 a 1992 x

120

140

110

160

100

150

180

y

42

55

38

61

40

60

72

se teclea > DATA

x

y

Esta orden presenta la pantalla del editor de datos y define las series cuyos nombres son xt e yt. En esta pantalla se pueden editar los valores de ambas series, es decir, se pueden añadir, modificar, borrar o insertar datos. La pantalla de edición de datos se divide en dos partes: – la superior es una ventana de ayuda con las órdenes del editor de datos:

227


X N fecha D fecha I fecha

salir del editor editar la línea correspondiente a la fecha borrar la línea correspondiente a la fecha insertar una línea en la fecha señalada

– la inferior está formada por la matriz de datos que se está estudiando. El código correspondiente a un dato inexistente o que falta es NA. Al introducir los datos de las series xt e yt, la segunda línea de la ventana de estado se actualiza automáticamente, pero los datos que se acaban de introducir no están grabados en ningún fichero de disco; sólo están en memoria, en el espacio de trabajo, y se perderían si se creara otro espacio de trabajo o si se saliera de μTSP. Es aconsejable, pues, almacenar en disco el espacio de trabajo con los datos usando la orden > SAVE

fichero

que crea dos ficheros con los nombres fichero.H y fichero.WF donde se almacenan todo el entorno de trabajo, incluidos los datos de las series xt e yt. 11.

Una vez introducidos los datos (del editor DATA se sale con la orden X tecleada en el lugar de cualquier dato editado) se pueden realizar cálculos con éstos. Previamente es aconsejable visualizar los datos con la orden > SHOW

x

y

228

o imprimirlos con

MICRO-TSP

> PRINT

x

y

aunque también se puede dibujar un diagrama de dispersión con la orden > SCAT

y

x

con lo que se aprecia una relación aproximadamente lineal entre estas variables; esta orden pedirá una opción. Se recomienda al lector que realice pruebas con diversas opciones. La orden SCAT, además de crear el gráfico, llama a un programa de edición de gráficos del que se sale con la orden X

200

*

175

150 X

* 125

* 100 75 30

* *

* *

40

50

60

70

80

Y (T)-Type (P)-Print (S)-Save (O)-Options (F)-Plotter & HPGL (R)-pReview (X)-Exit

Análogamente, se pueden dibujar ambas series xt e yt con respecto al tiempo con la orden > PLOT

x

y

que también llama al editor de gráficos anterior. Otras órdenes para realizar gráficos son > BAR series > PIE series que generan histogramas y diagramas circulares o de tarta. 12.

Otra posibilidad de análisis previo de los datos es el cálculo de algunos parámetros descriptivos básicos (medias, desviaciones típicas, covarianzas y correlaciones) con la orden

> COVA

x

y

cuya salida es

o bien realizando alguna transformación de los datos originales generando una nueva variable. Así, si se quiere tener la serie zt = ln yt, se ejecuta la orden > GENR z = LOG (y) actualizándose de nuevo la línea de estado. 13.

Al estimar el modelo de regresión y t = a + bx t + e t se ejecuta la orden > LS y c x en la que la ordenada en el origen del modelo se representa mediante la letra c (la cual no puede ser usada como nombre de variable). Los resultados de la estimación aparecen en el listado siguiente en el que resulta que

229


230

y t = – 7,6763 + 0,4393x t + e t ,

MICRO-TSP

siendo r2 = 0,962 el coeficiente de determinación. Al pulsar la tecla de retorno de carro se pasa a la opción de visualizar los residuos, que, a su vez, ofrece tres posibilidades: con las opciones P o S, aquéllos se imprimen en la impresora o en la pantalla, y con la opción G se accede de nuevo al editor de gráficos. 14.

15.

Para volver a ejecutar las últimas instrucciones μTSP tecleadas, pulsando repetidas veces la tecla F2, aquéllas van apareciendo en la pantalla como si se hubiese tecleado. La tecla de función F1 sirve para interrumpir la ejecución de cualquier orden. Antes de acabar la sesión con la orden > EXIT hay que tener la precaución de almacenar los datos en disco con la orden > SAVE fichero Así, al iniciar una nueva sesión de μTSP, en lugar de crear el entorno de trabajo con la orden CREATE e introducir los datos con la orden DATA, basta cargar en memoria el entorno y los datos con la orden > LOAD

fichero

que lee el contenido de los ficheros fichero.WF

fichero.H

y se actualiza la ventana de estado. A partir de ese momento ya se puede trabajar con las series xt e yt. 16.

En resumen, toda sesión de μTSP comienza o bien con la orden CREATE, seguida habitualmente de la orden DATA, o bien con la orden LOAD. Ambas crean el entorno de trabajo, que se destruye al acabar la sesión con la orden EXIT. 7.3 FICHEROS DE DATOS

17.

El programa μTSP dispone de un módulo de gestión de datos en disco. Los tipos de ficheros básicos son: – Espacios de trabajo: almacenan todo el entorno de trabajo (rango y rango activo, variables y datos) en un fichero cuyo nombre acaba en .WF. – Ficheros con una serie: son aquellos en los que, además de los datos, se graban la fecha inicial y final, la periodicidad de la serie y un co-

mentario; su nombre acaba en .DB; no contienen el entorno de trabajo. – Ficheros texto, en los que se almacenan una o varias series de datos. – Ficheros de tipo Lotus 123, con las extensiones .PRN o .WSK. Además μTSP maneja ficheros de gráficos (con la extensión .GR), así como otros ficheros para almacenar ecuaciones de modelos (extensión .EQ). Los ficheros de espacio de trabajo (.WF) y de series (.DB) están asociados a otros ficheros que tienen el mismo nombre, pero su extensión es .H. Estos ficheros contienen información sobre los datos.

18.

Cada tipo de fichero que está en el espacio de trabajo (memoria) se graba en el disco con una orden, y es leído del disco, cargándose en el espacio de trabajo, con otra orden específica para cada tipo de fichero.

19.

Por ejemplo, si en la sesión del apartado anterior se desea grabar todo el entorno de trabajo (que incluye las series xt e yt y el rango de datos), se ejecuta la orden > SAVE

ejemplo

que graba en disco los ficheros ejemplo.WF

ejemplo.H

con todo el contenido del espacio de trabajo. Si en una sesión se ejecuta la orden > LOAD

ejemplo

231 7.3 FICHEROS DE DATOS

232

se lee en el disco este espacio de trabajo y se carga en memoria; si hubiese antes otro espacio de trabajo, éste se destruirá al ejecutarse la orden LOAD. Los ficheros .WF y .H son de tipo binario y por lo tanto no pueden editarse o imprimirse.

MICRO-TSP

20. .WF

Load

Store

Save

Fetch

Para almacenar las series xt e yt en sendos ficheros llamados

.DB

x.DB

y.DB

se ejecuta la orden > STORE

x

y

Cada fichero contiene una serie, y es de tipo texto, o sea que se pueden editar con algún editor externo a μTSP (como EDLIN o EDIT del DOS o un procesador de textos como Word). Para recuperar un fichero .DB es necesario que esté definido previamente un espacio de trabajo compatible con el rango y periodicidad de los datos que se cargan, y se ejecuta la orden > FETCH

x

y

que lee uno o más ficheros .DB (en este caso, dos). 21.

La estructura interna de un fichero .DB es la siguiente "c Last updated: mm-dd-aaaa" -p fecha de inicio fecha final dato 1 dato 2 dato n

como puede observarse, tiene una cabecera con un comentario con la fecha del último acceso o edición del fichero (se pueden añadir comentarios entre comillas y comenzando por los caracteres "c). El parámetro de periodicidad -p identifica el tipo de serie del fichero: –1 –4 – 12 –n

si la serie es anual si la serie es trimestral si la serie es mensual si la serie es no temporal o de otra periodicidad (n es el número de datos).

A continuación se indican las fechas inicial y final de la serie en uno de los siguientes formatos:

aaaa

aaaa.t

233

aaaa.mm

7.4 OTROS FICHEROS Y CONFIGURACIÓN

es decir, el año con cuatro cifras, el año y el trimestre o el año y el mes. Por último, se muestra una lista con los datos de la serie. 22.

El comentario asociado a un fichero .DB se visualiza con la orden > LABEL fichero que también sirve para añadir una línea de comentario a uno de estos ficheros: > LABEL (A) fichero comentario

23.

Los ficheros de tipo texto que sólo contienen los datos de una o varias series se usan para importar o exportar datos a otros programas; las instrucciones > READ > WRITE

fichero fichero

leen o graban una matriz que contiene los datos, los cuales pueden estar almacenados por filas: x1 x2 … xn y1 y2 … yn … … … … o, lo que es más habitual, por columnas: x1 y1 … x2 y2 … xn yn … El modo en que almacenan los datos se indica mediante el menú de opciones de estas instrucciones, las cuales además leen y graban ficheros en formato Lotus 123 o DIF. 7.4 OTROS FICHEROS Y CONFIGURACIÓN 24.

Los ficheros generados por las instrucciones gráficas (SCAT, PLOT) o por algunas órdenes de cálculo (F5) se pueden editar; de hecho, al generarse un gráfico, se edita automáticamente. Las órdenes del editor gráfico aparecen en la parte inferior de la pantalla y son:

.TXT .WKx .PRN .DIF

Read

Write

.TXT .WKx .PRN .DIF

234

T

MICRO-TSP

P O F

S X

para escribir letras o símbolos sobre el gráfico con varios tamaños de letra para imprimir el gráfico para elegir el tipo de gráfico (líneas, ejes, borde del gráfico, escala, subtítulo, tipo de letras, colores, etc.) para grabar seleccionando el tipo de fichero de gráfico (en formato Halo, Word Perfect o HPGL) y para dibujarlo en un “plotter” para grabar el gráfico en formato μTSP, o sea, en ficheros .GR para salir del editor gráfico

Se recomienda al lector que realice varios gráficos con distintas opciones para familiarizarse con el editor de gráficos. 25.

Un gráfico generado con μTSP y almacenado en un fichero .GR, o sea con formato μTSP, se recupera con la orden > LGRAPH fichero que llama al editor gráfico y muestra el gráfico indicado. Por otra parte, en este editor gráfico la orden S guarda los ficheros en formato μTSP y la orden F en formato Halo, Word Perfect o HPGL (estos últimos se emplean para capturar el gráfico con editores como Ventura Publisher o con procesadores de textos).

Lgraph .GR

26.

Un último tipo de fichero de datos que maneja μTSP sirve para almacenar ecuaciones estimadas. Así, al estimar un modelo > LS

y

c

x

la ecuación yt = a + bxt + et se guarda en el espacio de trabajo, y se graba en el disco con la orden > STOREQ

fichero

Los nombres de estos ficheros tienen la extensión .EQ. Para recuperar un fichero .EQ se utiliza la orden

Feteq .EQ Stored

> FETEQ

fichero

Un fichero con una ecuación estimada contiene – la orden μTSP de estimación – la forma funcional de la ecuación – la periodicidad y el rango de los datos empleados – los coeficientes del modelo estimado – las estadísticas que se obtienen al ejecutar el procedimiento y las variables internas generadas. 27.

Al hablar de los ficheros de datos que se graban en el disco, hay que precisar en qué directorio se almacenan o leen. Lógicamente, si al indicar el nombre del fichero que se graba o lee, se escribe la unidad (disco C:, o disquete A:) y el camino en el árbol de directorios, como

parte del nombre del fichero, éste se graba en el lugar indicado. Sin embargo μTSP utiliza, por defecto, un directorio de datos (por ejemplo \TSP\DATA) que se usa en aquellos casos en que sólo se especifica el nombre del fichero. Este directorio, por defecto, se cambia con la orden > CONFIG que además del nombre de este directorio, pide, mediante varias preguntas y ventanas de opciones, el tipo de impresora, de trazador de gráficos y de pantalla, así como los colores que usará μTSP. Esta orden actualiza el contenido del fichero CNFG70.TSP de configuración del programa, fichero que está en el directorio donde se instaló el programa. También se cambia (temporalmente) el directorio de datos con la orden > CD directorio aunque éste debe especificarse con el camino desde la raíz del árbol de ficheros. 7.5 GESTIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO 28.

El espacio de trabajo de μTSP está formado por una zona de la memoria del ordenador donde se almacenan las series o variables que se han ido creando (con el editor de datos DATA) o cargando desde ficheros grabados en disco; incluye también las características de estas series: – periodicidad o frecuencia de los datos; – rango de datos admisible o máximo, y – rango de datos activo. El espacio de trabajo está controlado desde el entorno integrado de μTSP a través de un conjunto de órdenes o instrucciones, muchas de ellas similares a las del sistema operativo DOS.

29.

La pantalla básica del entorno integrado, como ya se ha explicado, incluye en su parte superior la ventana de estado, que nos informa de la situación en cada momento del espacio de trabajo.

235 7.5 GESTIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO

236

30.

MICRO-TSP

A continuación se indican algunas órdenes de gestión del espacio de trabajo, que afectan al entorno, pero no a los ficheros en disco: >C > FREMEM > D series > R seriea serieb > SORT serie aux

31.

actualiza la ventana de estado y borra la pantalla informa sobre la memoria disponible borra una o varias series del espacio de trabajo cambia el nombre de la serie seriea reordena los datos de todas las series del espacio de trabajo en orden creciente de la serie auxiliar

Otras órdenes que sí afectan a los ficheros grabados en disco son similares o idénticas a las del sistema operativo DOS: > CD directorio

cambia el directorio por defecto donde se almacenan los datos (sin alterar la configuración de μTSP) > A: cambia el dispositivo por defecto a la unidad de disquete A: > DIR muestra el directorio por defecto actual > REN filea fileb cambia el nombre del fichero filea en el disco > DEL ficheros borra uno o varios ficheros 32.

El manejo de la impresora se controla con varias órdenes: > FEED > PON > POFF > OUTPUT fichero > PRINT series

provoca un salto de página activa la impresora desactiva la impresora redirecciona la salida de impresión hacia un fichero en disco imprime una o varias series

El formato de impresión se puede controlar añadiendo unos códigos de formato similares a los usados en el lenguaje Basic. Así, > PRINT (####.##, ##.##^^^^)

x

y

imprime los datos de la serie xt con dos cifras decimales y cuatro enteros, y la serie yt en notación científica (los cuatro últimos signos ^ representan los lugares que ocupan la letra E, el signo + o – y el exponente, por ejemplo 11.27E + 04). 33.

Para ejecutar cualquier mandato del sistema operativo DOS, sin salir del entorno integrado de μTSP, se utiliza la orden > RUN mandato-DOS si se desea salir temporalmente al sistema operativo DOS, sin abandonar el entorno μTSP se utiliza la instrucción

237

> SYSTEM Para volver al entorno μTSP debe teclarse el mandato EXIT. 34.

7.5 GESTIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO

Posiblemente la instrucción de control del entorno de trabajo más utilizada es la de definición del rango de datos activo: > SMPL fecha0 fecha1 El rango de datos creado inicialmente con la orden CREATE define un intervalo temporal que se puede modificar eligiendo un subintervalo. Este subintervalo se denomina rango activo, y los cálculos que se ejecutan después de la instrucción SMPL se realizan sobre el subconjunto de datos contenido en el rango activo. Por ejemplo, si se ha creado un espacio de trabajo de datos mensuales, con la orden > CREATE (M) 87.01 92.12 y con el editor DATA se han cargado las series xt e yt definidas en este intervalo, al ejecutarse las órdenes > LS y > SMPL > LS y > SMPL > LS y

c x 87.01 c x 90.01 c x

89.12 92.12

se estima el modelo yt = a + bxt + εt con todos los datos, a continuación sólo con los datos de los años 1987 a 1989 y por último con los datos de los años 1990 a 1992. Para poder actuar de nuevo sobre los datos de los seis años, es preciso ejecutar la orden > SMPL

87.01

92.12

Con la orden EXPAND se puede ampliar el rango de datos. Por ejemplo, la orden EXPAND 87.1 93.12 amplía al año 1993 el rango de datos. 35.

También se pueden seleccionar subconjuntos de datos que cumplan una condición simple o compuesta; así, la orden > SMPL

88.07

92.06

IF x > 100

selecciona el subconjunto de datos comprendidos entre julio de 1987 y junio de 1992 que cumplen la condición de ser xt > 100.

CREATE SMPL

EXPAND

7.6 TRANSFORMACIONES

238 MICRO-TSP

36.

La obtención de nuevas variables mediante transformaciones se realiza con la instrucción > GENR variable = expresión Esta asignación genera todos los valores de la variable que están dentro del rango de datos activo, y asigna el código NA (dato que falta o no está disponible) a los datos que están fuera del rango activo pero dentro del rango inicial del espacio de trabajo. Por ejemplo, las instrucciones > GENR z = 1 > GENR v = LOG (x + 1) generan dos variables; la serie zt toma el valor 1 para todo t, y la serie vt se genera calculando ln (xt + 1) a partir de todos los datos de la serie xt. Si se ejecuta > SMPL 89.01 92.12 > GENR y = v*z + 20 se generan los datos de la serie yt sólo en el período comprendido entre 1989 y 1992.

37.

La variable que se genera puede coincidir con otra variable existente, en cuyo caso ésta queda modificada mediante la transformación. La expresión que figura en el segundo miembro está formada por los elementos usuales de cualquier lenguaje de programación: una combinación de variables y constantes relacionadas mediante operadores. Por ejemplo, la instrucción > GENR y = EXP (x + 1), sobre un rango activo de n datos, va realizando secuencialmente los cálculos y 1 = e x1 + 1 y 2 = e x2 + 1 y n = e xn + 1

38.

Los operadores disponibles son de varios tipos: – Aritméticos

^ */ +–

elevación a potencia producto y cociente adición y sustración

239

– Relacionales


> > = mayor y mayor o igual < < = menor y menor o igual = < > igual y no igual – Lógicos

AND OR

intersección lógica unión lógica

Por ejemplo, las expresiones aritméticas de las siguientes transformaciones > GENR y = 3 * x ˆ 3 + 2 * x ˆ 2 – 5/x + 10 > GENR z = 3 * (x ˆ 3 + 2/x ˆ 2)/(2 * y + x) generan las series y t = 3x t3 + 2x t2 – 5/x t + 10 3 ( x t3 + 2/x t2 ) z t = -------------------------------2y t + x t Como puede observarse, el orden en el que se ejecutan las distintas operaciones es el habitual en la mayoría de los lenguajes de programación (Pascal, Fortran, Basic, dBase, Lotus …): en primer lugar se ejecutan las elevaciones a una potencia, seguidas de los productos y cocientes, y por último se ejecutan las sumas y restas. Este orden se altera con el uso de los paréntesis, del mismo modo que en la notación matemática ordinaria. 39.

Los operadores relacionales actúan sobre dos expresiones y las comparan; su resultado es un 1 si la comparación es correcta, y 0 si es falsa. Los operadores lógicos actúan sobre dos expresiones cuyo resultado es un 0 o un 1. El resultado de una operación lógica se muestra en las tablas siguientes: AND

1

0

OR

1

0

1 0

1 0

0 0

1 0

1 1

1 0

A continuación veremos algunos ejemplos de lo dicho más arriba. Así, si la serie xt toma los valores que figuran en la primera línea de la siguiente tabla: xt

10

5

3

8

12

NA

NA

10

aux x2

1 100

1 25

1 9

1 64

1 144

0 NA

0 NA

1 100

240

y se generan las variables

MICRO-TSP

> GENR aux = x < > NA > GENR x2 = x * x los resultados que se obtienen son los que aparecen en la segunda y tercera filas de la misma tabla. Sea la serie yt de ingresos declarados con algún dato que falta y se quiere generar otra serie zt que tome el valor yt si este dato no falta y el valor 1000 si no se dispone de información del ingreso. Este objetivo puede conseguirse mediante la orden > GENR z = (y = NA) * 1000 + (y < > NA) * x Los datos xt y los resultados yt que se con esos datos son

yt

1500

1200

NA

800

NA

1600

1800

zt

1500

1200

1000

800

1000

1600

1800

Por último, en el siguiente ejemplo se genera la variable Alto que toma el valor 1 si se verifican las condiciones de que el nivel de estudios sea superior o igual a 12 y la renta mayor que 5: > GENR alto = renta > 5

AND

Renta Estudios alto

40.

estudios > = 12

6 15

6 10

3 16

3 11

7 8

6 6

5 12

6 12

1

0

0

0

0

0

0

1

En las expresiones se pueden utilizar funciones predefinidas: LOG (x) EXP (x) SIN (α) COS (α) ABS (x) SQR (x)

logaritmo neperiano exponencial seno (el ángulo en radianes) coseno valor absoluto raíz cuadrada (equivale a x^0,5)

y también funciones estadísticas, como las funciones de densidad y de distribución de una variable aleatoria N(0, 1)

F(x) = e – 0,5x 2 / 2 π

DNORM (x) CNORM (x)

F(x) =

∫

x

–∞

f (t) dt

y la función de distribución logística F(x) = 1/ ( 1 + e –x )

LOGIT (x)

y de simulación, o generación de series de números aleatorios RND NRND

números uniformes en (0, 1) números normales N(0, 1)

Así, por ejemplo, > GENR y = NRND genera una serie yt mediante simulación, de tipo ruido blanco que proviene de una distribución N(0, 1). 41.

Para el manejo de variables retardadas existen varias posibilidades; la serie xt – b se representa como x(–b), y las diferencias ∇ y ∇ d , mediante las funciones D(x)

y

D(x, d),

respectivamente. La diferencia estacional ∇ s se obtiene con la función D(x, s) y si se combinan los operadores anteriores, se usa D(x, d, s) para representar la serie ∇ d ∇ s x t = ( 1 – B ) d ( 1 – B s )x t , siendo el operador B tal que B s xt = xt – s .

Bx t = x t – 1 Por ejemplo, si se usa la orden > LS

y

c

x

x(– 1)

x(– 2)

241 7.6 TRANSFORMACIONES

242

se estima el modelo con variables retardadas

MICRO-TSP

yt = a + b0 xt + b1 xt – 1 + b2 xt – 2 + εt , o si se ejecuta > LS D(y, 2)

c

x

se estima el modelo ∇ 2 y t = a + bx t + ε t . 42.

Con la siguiente secuencia de instrucciones se genera una variable t que toma los valores 1, 2, …, 10 correspondientes a los años 1981 a 1990: > SMPL 81 81 > GENR t = 1 > SMPL 82 90 > GENR t = t (–1) + 1 Existen varias funciones relacionadas con series temporales; así > SMPL 81 90 > GENR t = @TREND(81) + 1 genera la misma variable t = 1, 2, …, 10 durante los años 1981 a 1990. El argumento de la función es una fecha en la cual la variable generada toma el valor cero y va decreciendo hacia el pasado e incrementándose hacia el futuro. La función @SEAS (m) genera una variable de tipo 0/1 en un espacio de trabajo con series mensuales o trimestrales. La función toma el valor 1 en el mes "m" (o en el trimestre "m") de cada año, y cero en el resto. Por ejemplo, las instrucciones > SMPL 1983.1 1992.4 > GENR t =@TREND(83.1)+1 > GENR x1=@SEAS(1)-@SEAS(4) > GENR x2=@SEAS(2)-@SEAS(4) > GENR x3=@SEAS(3)-@SEAS(4) > LS Ventas c t x1 x2 x3 generan la serie t = 1…40 y las variables artificiales xi = 1 –1 0

en el trimestre i-ésimo de cada año en el último trimestre de cada año en los otros dos trimestres

para i = 1, 2, 3, y a continuación se estima el modelo Ventas t = b 0 + b 1 t + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ε t correspondiente a una serie temporal trimestral de ventas, con tendencia lineal y ciclo estacional aditivo representado mediante la función Ct = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 . Otras funciones relativas a series temporales son: @MOVAV (x, m) @MOVSUM (x, m) 43.

genera una media móvil de amplitud m genera una suma móvil de amplitud m

También hay otras funciones que calculan la función de distribución de varias distribuciones estadísticas en todos los puntos correspondientes a los valores de una serie: @CNORM (x) @TDIST (x, g) @CHISQ (x, g) @FDIST (x, n, d)

44.

Normal tipificada t de Student Chi-cuadrado F de Snedecor

Algunas funciones, en lugar de generar una serie, calculan un valor escalar que depende de todos los datos de una variable o serie: @MEAN (x) @VAR (x) @SUM (x) @SUMSQ (x) @OBS (x) @COV (x, y) @COR (x, y) @CROSS (x, y)

45.

N(0,1) t(g) χ2(g) F(n, d)

valor medio de la variable x cuasi varianza de x suma de los valores de x suma de los cuadrados de los valores de x número n observaciones covarianza entre las variables x e y correlación entre las variables x e y producto escalar de x por y

Otros valores escalares se pueden almacenar en el vector predefinido C = ( C 1 , C 2 , …, C 10 ). Por ejemplo, > GENR C(1) = 3.14159 > GENR C(2) = SQR(2) > GENR f = 1/(SQR(C(1))*C(2))*EXP(–0.5*x*x)


244

generan dos variables C(1) y C(2) que luego se usan para obtener la variable f.

MICRO-TSP

46.

Al ejecutar la orden de estimación de un modelo con la orden LS o con otras instrucciones de estimación, se generan varias variables escalares relacionadas con el proceso: @R2 @RBAR2 @SE @SSR @DW @F @LOGL @REGOBS @MEANDEP @SDEP @NCOEF

47.

coeficiente de determinación r2 coeficiente r 2 cuasi-desviación típica residual s e suma de cuadrados residual S e estadístico de Durbin-Watson estadístico F del análisis de la varianza logaritmo del máximo de la función de verosimilitud número de observaciones n media de la variable endógena y cuasi-varianza de y, s y2 número de coeficientes estimados.

Se puede usar μTSP como una calculadora con la instrucción > = expresión Por ejemplo, = LOG (3.14) + 3 evalúa la expresión ln (3,14) + 3, y presenta el resultado en pantalla. Esta posibilidad de μTSP puede servir para probar distintas transformaciones que se han visto.

48.

X · DB

El siguiente tipo de transformación se utiliza para convertir la frecuencia de una serie mensual en trimestral o anual o viceversa. Como no se pueden mantener en el mismo espacio de trabajo dos series con distinta periodicidad, es necesario usar dos ficheros .DB, tal y como se indica al margen. Esto se consigue con la orden

Y · DB

o bien

> CONV (Q, modo)

x

y

> CONV (A, modo)

x

y

dependiendo de si la serie yt es trimestral o anual (la serie xt deberá ser de periodicidad mayor). El modo de la transformación indica cómo se realiza el proceso de agregación, y toma los valores A S n

para promediar los valores de x t sobre los trimestres o años para sumar los valores de x t para indicar el valor n-ésimo de x t que se selecciona en cada período de agregación.

Para convertir una serie anual yt en mensual xt se usa la orden > CONV (M)

y

x

7.7 PROGRAMAS TSP 49.

Las instrucciones μTSP que se han ejecutado de forma interactiva se pueden introducir en un fichero de tipo texto para ser ejecutadas posteriormente sin que haya que teclearlas de nuevo; esto es útil cuando hay que usar un mismo bloque de instrucciones varias veces. Supóngase que en un fichero SERIES.WF se han almacenado las series yt y xt trimestrales (el período muestral comienza en el primer trimestre de 1986) y que se va a trabajar con este fichero y con una variable temporal t = 1, 2, …, n y una variable zt = ln (yt); variables que hay que generar. Así, al iniciar el proceso, se teclean las siguientes instrucciones > LOAD series > GENR z = LOG (y) > GENR t = @TREND (86.1) + 1 Si este mismo bloque de instrucciones se va a utilizar varias veces, es conveniente incluirlo en un fichero de tipo texto que se llamará, por ejemplo, INICIO; entonces, cuando sea necesario, en lugar de teclear todas las instrucciones se ejecuta la orden > RUN inicio que carga este fichero y ejecuta las instrucciones que contiene.

50.

También estas instrucciones pueden ejecutarse directamente al arrancar el programa μTSP desde el sistema operativo DOS, llamando al programa TSP.EXE y dando como argumento el nombre del fichero texto donde se han almacenado las instrucciones: C:\TSP > TSP inicio que entra en el entorno μTSP y ejecuta las instrucciones contenidas en el fichero INICIO.

51.

Además del editor de datos (DATA) y del editor de gráficos (al que se accede con varias órdenes como PLOT, SCAT, LS …), μTSP dispone de un editor de textos al que se accede con la orden > EDIT fichero que crea o edita el fichero. Es un editor de líneas (similar al EDLIN del DOS), que se usa sin salir del μTSP. Este editor tiene varios mandatos, siendo los más usados los siguientes:

245

μ 7.7 PROGRAMAS MTSP

246

.X .Q .E n .L .D n .I .H

MICRO-TSP

salir del editor a μTSP salir del editor sin guardar los cambios editar la línea n-ésima listar borrar la línea n-ésima insertar línea ayuda

Además, en la parte superior de la pantalla aparece una ventana de ayuda con las órdenes del editor.

52.

En los ficheros de texto del programa μTSP se pueden incluir instrucciones de bucles. Por ejemplo, si el fichero ARTIFIC contiene las instrucciones LOAD serie1 EXPAND 86.01 93.12 GENR t = @TREND (86.01) + 1 FOR !1 = TO 11 GENR X!1 = @SEAS (1!) – @SEAS (12) NEXT !1 SMPL 86.01 92.12 y se ejecuta su contenido con > RUN artific se carga el fichero SERIE1.WF definiendo el espacio de trabajo comprendido entre enero de 1986 y diciembre de 1992, se expande este espacio de trabajo incluyendo el año 1993, se genera la variable t = 1, 2, …, 96 y las once variables artificiales x1, x2, …, x11 con el bucle FOR; estas variables toman los valores

1 x it = – 1 0

en el mes i-ésimo de cada año en el mes de diciembre de cada año en los restantes meses

y se usarán en la representación de un ciclo estacional. Por último se restaura el rango activo al período 1986–92. 53.

Los programas escritos en μTSP y almacenados en ficheros de tipo texto pueden contener cualquier instrucción. A veces es necesario transmitir parámetros a un programa, para que éste se ejecute teniendo en cuenta los valores de aquéllos. Por ejemplo, si se quiere definir la media móvil 1 y t = M 5 x t = ------ ( – 3x t – 2 + 12x t – 1 + 17x t + 12x t + 1 + 3x t + 2 ) 35 mediante un programa, se deben introducir los parámetros %0 y %1 en lugar de los nombres de las series xt e yt para que este programa pueda aplicarse sobre cualquier serie. Para conseguir este objetivo en el fichero texto M5 se incluye la instrucción GENR %1=(–3*%0(–2) + 12*%0(–1) + 17*%0+12*%0(+1) – 3*%0(+2))/35.

Así, si se ejecuta este programa utilizando los parámetros Renta y Mrenta > RUN M5 Renta Mrenta se genera la media móvil Mrentat = M5 Rentat. No hay que olvidar reducir el rango activo quitando las dos primeras y las dos últimas observaciones. 7.8 ESTIMACIÓN DE MODELOS UNIECUACIONALES 54.

La estimación de un modelo lineal y t = b 0 + b 1 x 1t + … + b k x kt + ε t se realiza con la orden > LS

y

c

x1 … xk

que además de estimar el modelo y calcular los tests usuales sobre el mismo, obtiene opcionalmente los residuos e incluso los gráficos de los residuos respecto de los valores estimados.

247 7.8 ESTIMACIÓN DE MODELOS UNIECUACIONALES

248

Los resultados de la estimación quedan almacenados en una serie de variables internas que ya se han estudiado; por ejemplo,

MICRO-TSP

n

@SE

se

@SSR

Sε =

@COEF

b

@REGOBS

n

∑e

2 t

t=1

Los residuos se asignan a una variable con la orden > GENR e = RESID 55.

Si el modelo está afectado de heterocedasticidad, y ésta se ha modelizado, o sea que se conoce la función g(t) = c σ ε2t se define la variable v t = 1/ g(t) con la que se aplica el método de Aitken o de mínimos cuadrados generalizados. En μTSP esto se realiza con la orden > LS (W = v)

56.

y

c

x1 … xk

En el caso de existir autocorrelación en los residuos, éstos se pueden modelizar como un modelo ARMA(p, q) con la orden > LS

y

c

x1 … xk AR (1) … AR (p) MA (1) … MA (q)

estimándose además el modelo, por el método de Aitken, mediante la representación de los residuos et = φ1 et – 1 + … + φp et – p + at + θ1 at – 1 + … + θq at – q en donde at es una serie sin estructura de heterocedasticidad o autocorrelación. Nótese el signo "+" en la parte de media móvil del modelo ARMA anterior, a diferencia de la notación que se usará en los capítulos de series temporales. 57.

Las variables que intervienen en un modelo pueden ser retardadas; así para estimar yt = b0 + b1 yt – 1 + b2 xt + et

249

se usa la orden > LS

y

c

y(–1)

x

y en el caso que una variable explicativa aparezca con muchos retardos, se recomienda el uso de un polinomio de retardos distribuidos de Almon. Si el número máximo de retardos es r y el orden del polinomio de Almon es s, el conjunto de retardos distribuidos de xt se expresa con la función P(x, r, s, m) en la que el parámetro m toma los valores 1, 2 y 3 en función de que el polinomio de Almon esté restringido por la izquierda, por la derecha o en ambos extremos. Por ejemplo, para estimar el modelo y t = b 0 + a 0 x t + a 1 x t – 1 + a 2 x t – 2 + … + a 10 x t – 10 + e t , y si se supone que los coeficientes a0, a1, …, a10 van a ir tendiendo hacia cero al aumentar el retardo, se puede usar un polinomio de Almon de grado 3 con la restricción por la derecha. En μTSP esto se realiza con la orden > LS y c P(x, 10, 3, 2) Cabe que en un mismo modelo existan varias variables explicativas afectadas de muchos retardos y que se representen mediante polinomios de Almon distintos. 58.

Para realizar predicciones con un modelo uniecuacional es necesario disponer de los datos de las variables explicativas correspondientes a los instantes en los que se desea una predicción. Por ejemplo, si se ha estimado el modelo y t = a + bx t + e t

t = 1…n

y se desean obtener las predicciones yˆ n + 1 , yˆ n + 2 , …, yˆ n + k , es preciso conocer los valores futuros de la variable explicativa x n + 1 , x n + 2 , …, x n + r , que deben ser introducidos en el espacio de trabajo, por ejemplo con la instrucción DATA. Si el espacio de trabajo se ha definido para el intervalo temporal de las observaciones 1 a n, es necesario ampliar el rango del espacio de trabajo con la instrucción

7.8 ESTIMACIÓN DE MODELOS UNIECUACIONALES

250

> EXPAND t n + 1 t n + r

MICRO-TSP

en el que [tn + 1, tn + r] son las fechas del intervalo de predicción. Posteriormente hay que definir como rango activo el correspondiente al período de predicción > SMPL

tn + r

tn + 1

e introducir los valores xn + 1, xn + 2, …, xn + r, o bien estimarlos con un modelo auxiliar. La variable yˆ t para t = n + 1, …, n + r, > FORCST 59.

y

Si el modelo es no lineal (en los parámetros) se estima con la orden NLS. Por ejemplo, si se desea estimar la función de producción de Cobb-Douglas y t = a 0 x 1a1 x 2a2 + ε t , se usa la orden > NLS y = c(1) *x1ˆc(2) *x2ˆc(3) en la que los parámetros a estimar a0, a1, a2 se tienen que denominar respectivamente c(1), c(2) y c(3). Es posible asignar valores iniciales a estos parámetros con la orden > PARAM

1

5.0

2

10

3

1.0

en los que se ha partido de los valores a0 = c(1) = 5, a1 = c(2) = 10 y a3 = c(3) = 1, en el proceso de estimación no lineal. 60.

Otros modelos no lineales son los modelos cuya variable endógena yt es binaria (0/1). El modelo logístico 1 yˆ = Pr(y = 1) = -----------------------------------------------------1 + e – ( b0 + b1 x1 + … + bk xk ) se estima con la instrucción > LOGIT

y

c

x1 … xk

aunque el valor estimado yˆ que se estima es Pr(y = 0) = 1 – Pr(y = 1). El modelo Probit yˆ = Pr(y = 1) = F(b 0 + b 1 x 1 + … + b k x k) en el que F(z) es la función de distribución de una variable N(0, 1) se estima con la instrucción > PROBIT

y

c

x1 … xk

ANEXO I. ALGUNOS PROGRAMAS AUXILIARES 1 Estimación mínimo cuadrática y descripción de datos

El programa REGRE.EXE realiza los cálculos básicos de estimación mínimo-cuadráticos del modelo uniecuacional y = β0 + β1 x1 + … + βk xk + ε Los datos de cada una de las variables que intervienen en el modelo deben estar contenidos en ficheros .DB, o sea exportados desde un entorno de trabajo μTSP con la orden STORE. Además de proporcionar los estimadores de los coeficientes, la varianza residual y la tabla de residuos, este programa calcula las matrices de la regresión XX, Xy y (XX)– 1, y, si se le suministran unos valores de las variables predeterminadas, obtiene la predicción por punto y por intervalo de la variable y. El programa MOMEN.EXE también toma como datos de entrada un fichero .DB, y calcula los estadísticos descriptivos básicos de una serie de datos. 2 Redondeo de una variable

El programa REDONDEA.EXE lee un fichero .DB y permite redondear los datos de una variable al entero más próximo, o a la décima, centésima, milésima, etc. más próxima. Es útil en procesos de simulación en los que, después de generar una variable con las órdenes NRND o RND, se desean truncar algunos decimales antes de almacenar los datos en un fichero. El proceso a seguir es: a. Se graba un fichero .DB con la variable a redondear, con la orden STORE variable. b. Se realiza una salida temporal al sistema operativo tecleando SYSTEM Puede ser necesario ejecutar la orden CD del DOS para situarse en el directorio correspondiente al fichero .DB. c. Se ejecuta el programa REDONDEA.EXE que pedirá el nombre del fichero .DB y el número de decimales a conservar, y se vuelve al entorno μTSP tecleando EXIT d. Por último se carga el fichero .DB que contendrá la misma serie redondeada con la orden FETCH variable Una vez concluido este proceso, se puede almacenar el entorno con los datos redondeados con la orden SAVE.

251 ANEXO I. ALGUNOS PROGRAMAS AUXILIARES

252 MICRO-TSP

3 Editor de series temporales

El programa EDS.EXE es un editor de series temporales que dispone de una interfaz con μTSP y con Dbase. Además de la edición de series con un entorno integrado similar a los de Borland, permite realizar operaciones usuales con series temporales. La base de datos de series temporales gestionada por este programa permite mantener información sobre los datos de forma cómoda en una estructura de fichero de tipo texto con la extensión .SER, cuyo contenido es más extenso que los ficheros .DB de μTSP. Incorpora un editor más potente que el usado con la orden DATA y la periodicidad de las series no está limitada a los datos anuales, trimestrales y mensuales. En el fichero LEEME.TXT aparecen una descripción general y las normas de instalación. 4 Análisis espectral de una serie

El programa SPECTRO.EXE realiza el análisis espectral de una serie contenida en un fichero .DB. Permite seleccionar una de las siguientes ventanas espectrales: Tukey, Parzen o Bartlett, así como la amplitud m de la ventana λk, k = 1, 2, …, m elegida.



1. Definir un espacio de trabajo para trabajar con datos mensuales comprendidos en el intervalo enero de 1990 a diciembre de 1992. Introducir una serie temporal yt cualquiera y generar una nueva variable mediante la transformación logarítmica. Grabar el espacio de trabajo en un fichero .WF y la serie yt en un fichero .DB. Borrar la serie yt del espacio de trabajo y luego cargarla del fichero .DB. Dibujar las series anteriores usando diversas escalas y hallar los parámetros descriptivos básicos. Reducir el período del rango activo al año 1992 y dibujar la serie yt. Salir de μTSP. 2. Definir un espacio de trabajo para datos anuales comprendidos entre 1960 y 1992. Obtener mediante simulación la serie at, de forma que ésta sea un ruido blanco y su desviación típica sea 5. Generar la serie t = 1, 2, …, 33 y las series y t = 100 + 0,25t + a t z t = 0,7z t – 1 + a t ,

z 1960 = 0

dibujarlas y estimar los modelos y t = a + bt + ε t z t = bz t – 1 + ε t . Grabar las series anteriores en ficheros .DB. Salir del espacio de trabajo e intentar cargar los ficheros. 3. Con los datos del ejemplo anterior ensayar distintas transformaciones estudiadas y dibujar la serie ∇y t , z t y a t . 4. Definir un espacio de trabajo para datos trimestrales entre 1950 y 1994. Generar una serie t = 1, 2, …, 45 y unas variables artificiales x1, x2, x3 para representar un ciclo estacional (xi = 1 en cada trimestre i-ésimo, xi = –1 en cada cuarto trimestre y xi = 0 en los otros dos trimestres de cada año); mediante simulación obtener la serie aleatoria a t ∈ N(0; 10 2) y a partir de ésta

ε t = 0,5 ε t – 1 + 0,2 ε t – 2 + a t tomando ε1 = a1 y ε2 = a2. Obtener la serie y t = 200 – 0,05t + 0,01t 2 + 5x 1t – 3x 2t – 6x 3t + ε t y dibujarla, así como las series εt y at. Estimar el modelo anterior teniendo en cuenta su estructura de autocorrelación.

254

5. Generar las series mensuales yt, zt y xt siguientes

MICRO-TSP

y t = 0,8y t – 1 + a t z t = a t – 0,8a t – 1 x t = 200 – 6t + 0,05t 2 + 20 cos (2 π t/12) + 5 cos (4 π t/12) + + 8 sen (2 π t/12) + ε t siendo alternativamente εt = yt y εt = zt, y at un ruido blanco N(0; 152). El espacio de trabajo corresponde a los años 1990–94. Dibujar estas series y estimar los correspondientes modelos.

8 TSP


2.

El paquete TSP es realmente un lenguaje de programación para análisis de datos y estimación de modelos econométricos y de series temporales. Es fácil de usar y existe una versión para microordenadores y otra para equipos multiusuario. Aunque son dos paquetes diferentes, muchas órdenes de TSP son idénticas o muy similares a las de μTSP. Los modos de operación de TSP son – interactivo y – por lotes. Por lo general, cuando se utiliza un ordenador multiusuario es más cómodo el proceso por lotes, que consiste en ejecutar un bloque de instrucciones o programa TSP que previamente se ha escrito en un fichero, empleando un editor de texto, y se ha guardado en disco.

Pantalla

Editor

Pantalla

TSP

Impresora Fichero TSP

Fichero de salida

En un microordenador el modo interactivo es útil para hacer cálculos sencillos. Consiste en ir tecleando mandatos u órdenes TSP que

255

256

se ejecutan sucesivamente. No obstante, para realizar cálculos más complejos es interesante disponer de programas o bloques de instrucciones TSP que se ejecutan mediante una llamada al fichero que los contiene.

TSP

3.

En un microordenador, una sesión de TSP se inicia mediante la orden C:\TSP42 > TSP ejecutada desde el directorio donde está instalado TSP. En un ordenador multiusuario se teclea simplemente TSP La pantalla que aparece es la siguiente

En la parte inferior de la pantalla se encuentra el indicador de mandatos de TSP, 1? que consta de un número, un signo de interrogación y el cursor, esperando que se teclee una orden o mandato TSP (de forma interactiva). 4.

Para acabar la sesión de TSP se teclea EXIT en el indicador de mandatos. Después de ejecutar esta ordena se pierden todos los datos situados en la memoria del ordenador.

5.

Las instrucciones TSP se numeran automáticamente al ser ejecutadas. Esta numeración aparece en los listados de salida (o en la pantalla, en caso de uso interactivo). Cada instrucción o mandato tiene la siguiente estructura: orden (opciones) argumentos; El punto y coma final se puede omitir en el modo interactivo. Las opciones modifican la forma en que se ejecuta la orden, y los argumentos definen el ámbito de los cálculos. Por ejemplo con la orden: OLSQ y c x ; se estima el modelo yt = α + β xt + εt

t = 1…n,

y con la orden RANDOM (MEAN=10, STDV = 2) X; se genera una serie xt con datos simulados N(10; 22). En el primer ejemplo la orden va seguida de argumentos (que definen el modelo), y en el segundo se proporcionan además las opciones sobre los parámetros de la distribución normal. 6.

La información que trata TSP son series, que se almacenan en la memoria del ordenador usando un nombre de hasta 8 caracteres. Las series cargadas en memoria aparecen con la orden SHOW y con la instrucción HELP se obtiene una ayuda general. Ambas se usan en modo interactivo.

7.

Para trabajar con TSP es necesario conocer – las órdenes o instrucciones básicas de TSP, – el sistema de ficheros, – el entorno de trabajo interactivo de TSP y el sistema operativo y el editor de textos del ordenador donde está instalado TSP. Así, si TSP se ejecuta bajo UNIX, se usará generalmente el editor Vi, y si se ejecuta en un entorno DOS, se utiliza el editor EDIT. 8.2 UNA SESIÓN INTERACTIVA DE TSP

8.

Al iniciar una sesión interactiva en un microordenador o estación de trabajo UNIX, se crea un entorno de trabajo con la orden

257 8.2 UNA SESIÓN INTERACTIVA DE TSP

258

FREQ (frecuencia);

TSP

con la que se define la periodicidad o frecuencia de los datos, que puede ser A anual Q trimestral M mensual N otra o datos no temporales. Por ejemplo, si se van a manejar series anuales, se usa la orden FREQ (A) Aunque se puede añadir un punto y coma al final de cada instrucción, esto no es requerido en el uso interactivo. El rango de datos se define con la orden

9.

SMPL fecha inicial fecha final; Por ejemplo, si las series que se manejan son mensuales y corresponden a todos los años de la década que comienza en 1981, se usa SMPL 81:01 90:12 o si fuesen datos trimestrales SMPL 81:1 90:4 Las fechas pueden separarse mediante una coma SMPL 81:1 , 90:4 y no abreviar la cifra del año. La introducción de datos se realiza con la orden

10.

LOAD lista de variables; Así, para introducir las series anuales xt e yt correspondientes al período 1985–1994

x y

697 814 963 1122 1224 1369 1539 1780 2161 2605 2915 993 1078 1186 1326 1434 1549 1718 1918 2156 2414 1627

259

se ejecutan las órdenes FREQ SMPL LOAD 697 LOAD 993 o bien

11.

A 85,94 x 814 963 … y 1078 1186 …

8.2 UNA SESIÓN INTERACTIVA DE TSP

2915 2627

FREQ x y 697 993 814 1078 … … 2915 2627

Una orden interactiva para introducir datos similar a LOAD es ENTER x que va pidiendo uno a uno los datos. La instrucción UPDATE x se usa para modificar algún dato de la serie xt. Al ser ejecutada pide la fecha y a continuación el nuevo dato.

12.

Si un dato falta en una serie, se usa un punto en lugar del dato para indicar a TSP que no está disponible.

13.

En la práctica es más frecuente tener almacenados los datos en un fichero externo creado con el editor; si por ejemplo con el editor del sistema operativo se ha creado el fichero DATOS.DAT con la matriz de datos anterior (con 10 filas y 2 columnas), la orden READ (FILE = ´datos.dat´) x y lee el fichero de datos y asigna los nombres de las variables x e y a las dos columnas de este fichero. También puede leerse directamente un fichero creado con Lotus 123 incluyendo su extensión .WKx.

14.

Todo el entorno de trabajo y las variables con sus datos se almacenan en un fichero binario terminado con la extensión .SAV con la orden SAVE fichero el cual se puede recuperar con la instrucción RESTORE fichero

260

15.

TSP

Una vez introducidos, los datos pueden visualizarse en la pantalla con la orden PRINT x y Para obtener unos estadísticos descriptivos básicos, como medias, cuasi-desviaciones típicas, coeficientes de asimetría y otros, se utiliza la instrucción MSD x y La matriz de correlación se obtiene con la orden CORRE x y

16.

Para gestionar las variables introducidas se dispone de varias instrucciones. Así, SHOW muestra los nombres de las series existentes en memoria, DELETE variables borra una o varias variables, y RENAME x z cambia el nombre de la variable x en z.

17.

En el manejo interactivo de TSP, además de la orden SHOW para visualizar las variables, con la instrucción REVIEW se obtiene un listado de las instrucciones que se han ido tecleando en la sesión de trabajo. También con la orden interactiva FIND instrucción se localiza una determinada instrucción previamente ejecutada, y se la edita, pudiéndosela ejecutar posteriormente sin necesidad de teclearla de nuevo.

18.

Con la orden interactiva EDIT n

se edita la instrucción n-ésima; el modo edición de este editor de instrucciones tiene varios mandatos: DEL REP INS EXIT

texto texto1 texto2 texto1 texto2

Borra una palabra Sustituye la primera palabra por la segunda Inserta el texto 1 después del texto 2 Sale del editor

La orden modificada se puede ejecutar tecleando EXEC n Una instrucción que combina el editor EDIT con la orden EXEC al finalizar la edición es RETRY n 19.

Con la orden interactiva SYSTEM se sale temporalmente al sistema operativo, sin interrumpir la sesión de TSP, a la que se vuelve tecleando EXIT.

20.

Si en un fichero texto o macroinstrucciones cuya extensión es .TSP, se ha introducido una secuencia de órdenes, con la instrucción INPUT fichero se cargan y ejecutan las instrucciones contenidas en este fichero.

21.

Para ir almacenando en un fichero texto los resultados de las órdenes ejecutadas se usa la instrucción OUTPUT fichero y se le añade al nombre de este fichero la extensión .OUT. La instrucción TERMINAL cambia de nuevo la salida hacia la pantalla. 8.3 UNA SESIÓN EN PROCESO POR LOTES

22.

En un ordenador multiusuario (y también en un microordenador) TSP se ejecuta de forma no interactiva incluyendo un fichero, terminado con la extensión .TSP, una serie de instrucciones que se ejecutan

261 8.3 UNA SESIÓN EN PROCESO POR LOTES

262

sucesivamente. Los resultados se almacenan en un fichero con la extensión .OUT (o .LIS en algunos sistemas). El fichero de entrada se crea con un programa editor (EDIT, VI, SED, etc.) asociado al sistema operativo (DOS, UNIX, AOS, etc.) y el de salida se visualiza con una orden como

TSP

TYPE fichero.OUT o bien LS fichero.OUT Para imprimirlo se utilizan órdenes del sistema operativo como PRINT fichero.OUT 23.

Al final de las instrucciones TSP se escribe un punto y coma (;). Si una instrucción ocupa más de una línea, se acaba la primera con el carácter \ y se continúa en la línea siguiente. Los comentarios, o líneas no ejecutables, comienzan con el carácter ?. Es recomendable introducir comentarios en distintos lugares del programa para aumentar su legibilidad.

24.

El fichero ICAP8.TSP que se reproduce a continuación incluye instrucciones para realizar una serie de cálculos y operaciones: – Lee, en un fichero ICAP8.DAT, los datos de las variables xt e yt correspondinetes al ejemplo del apartado anterior Una sesión interactiva de TSP. – Realiza unos cálculos estadísticos básicos y estima el modelo yt = α + β xt + εt El fichero incluye las siguientes líneas ? Ejemplo con TSP OPTIONS CRT ; FREQ A ; SMPL 85 94 ; ? Lectura de datos desde un fichero READ (FILE='icap8.dat') x y ; ? Cálculos estadísticos MSD x y ; OLSQ y c x ; END ; La instrucción OPTIONS CRT ; ajusta la salida a los 80 caracteres que tiene la pantalla. Si los datos se incluyen en el fichero de entrada, se sustituye la instrucción READ por

LOAD 697 814 … 2915

x y ; 993 1078 … 2627 ;

Obsérvese que sólo se escribe punto y coma al final de la matriz de datos. 25.

El fichero de salida ICAP8.OUT incluye, además de las instrucciones de entrada, los resultados del proceso de cálculo. Si hubiera habido algún error en las órdenes TSP, también incluiría los correspondientes mensajes de error.

8.4 INSTRUCCIONES DE TSP 26.

Las órdenes o instrucciones TSP se combinan para formar un programa en el cual se hallan básicamente los siguientes grupos de instrucciones: – Generales de un programa – Declaración del entorno y de los datos – De acceso a ficheros – Transformaciones – Ordenes de tipo matricial y de programación – Estimación de modelos – Uniecuacionales – Multiecuacionales – Series temporales

263 8.4 INSTRUCCIONES DE TSP

264

– Gráficos – Interactivas

TSP

27.

Las instrucciones generales más usadas en proceso por lotes son: OPTIONS TITLE NAME PAGE PRINT NOPRINT MSD CORR COVA CDF END LOAD

28.

Las instrucciones que se utilizan con mayor frecuencia para declarar el entorno de trabajo y el rango de los datos son: FREQ SMPL SELECT SIMPLIF

29.

Define la periodicidad de los datos: anuales (A), mensuales (M), trimestrales (Q) u otra (N) Define el rango activo de las series para los cálculos posteriores Selecciona un subconjunto de datos que cumplan una condición Selecciona un subconjunto de datos que cumplan una condición dentro del rango activo

El acceso a ficheros se realiza mediante las siguientes instrucciones: READ WRITE CLOSE

30.

Opciones de control del formato de salida y de activación de gráficos de residuos Título o cabecera de cada página Título de un programa Salto de página en cualquier punto de un programa Impresión de datos, opcionalmente con formato Elimina el listado de los datos de entrada Estadísticos descriptivos básicos Matriz de correlación Matriz de covarianzas Tablas estadísticas Fin de programa Entrada de datos incluidos en el programa

Lee los datos desde un fichero y genera variables Escribe datos en un fichero o impresora Cierra los ficheros abiertos con READ/WRITE

Las transformaciones de datos en TSP son muy variadas; incluyen la generación de nuevas variables mediante operaciones aritméticas, lógicas y relacionales, y la normalización, simulación y selección de subconjunto de datos: GENR TREND DUMMY CONST

Genera una variable mediante una transformación aritmética, lógica o relacional Crea una variable t de tendencia Genera variables artificiales estacionales para series trimestrales o mensuales Define una serie de valores constantes

PRIN RANDOM SAMA SORT NORMAL CONVERT CAPITL

Obtiene las componentes principales de un grupo de series Genera series simuladas normales (uni o multivariantes), uniformes, de Poisson o empíricas (bootstrap) Alisa una serie eliminando la componente estacional Ordena los datos de forma creciente Normaliza una serie Cambia la periodicidad de una serie mensual a trimestral o anual, y de una trimestral a anual Acumula el capital a partir de una serie de inversiones

Las instrucciones SMPL, SELECT y SMPLIF permiten seleccionar subconjuntos de casos. 31.

Las órdenes usuales de programación son: DO/ENDDO DOT/ENDDOT

Bucles de instrucciones que se repiten variando un índice Bifurcación condicional IF/THEN/ELSE Bifurcación incondicional GOTO PROC/ENDPROC Definición de un subprograma de instrucciones TSP Produce una parada en la ejecución STOP 32.

Las órdenes matriciales permiten realizar operaciones con matrices: MMAKE UNMAKE MAT INV YFACT

Genera una matriz a partir de una o varias serie Crea series a partir de una matriz Realiza distintos tipos de operaciones con matrices Matriz inversa Factorización de la matriz X en otra S tal que X = SS

Existen operadores que actúan sobre matrices para calcular el producto, la inversa, la suma, la traspuesta, así como funciones matriciales para hallar el determinante, los autovalores y autovectores, etc. 33.

La estimación de modelos uniecuacionales se realiza con las siguientes instrucciones: OLSQ AR1 FORCST FRML LSQ PARAM

Estimación mínimo-cuadrática ordinaria o ponderada Estimación de un modelo con autocorrelación AR(1) Predicción de modelos con autocorrelación o sin ella Define una ecuación no lineal Estimación de una ecuación no lineal Se usa para dar valores iniciales a los parámetros en una estimación no lineal


266

SUR ML PROBIT LOGIT TOBIT FORM

TSP

TSTATS 34.

La estimación de modelos multiecuacionales se realiza mediante las siguientes instrucciones: 2SLS AR1 INST LIML LSQ FRML IDENT 3SLS FIML

PARAM MODEL

SOLVE SIML 35.

Estimación seeming unrelated Estimación máximo verosímil Estimación de un modelo Probit Estimación de un modelo Logit Estimación de un modelo Tobit Genera una ecuación (tipo FRML) a partir de una estimación lineal Imprime tabla con coeficientes y estadísticos T

Estimación de una ecuación por el método de mínimoscuadrados bietápicos Igual al anterior, con autocorrelación de tipo AR(1) Estimación de una ecuación por el método de variables instrumentales Estimación de una ecuación por el método de máxima verosimilitud con información limitada Estimación de una ecuación no lineal Definición o no de una ecuación lineal Definición de una identidad contable Estimación de todas las ecuaciones de un modelo mediante el método de mínimos cuadrados trietápicos Estimación de todas las ecuaciones de un modelo mediante el método de máxima verosimilitud con información completa Se usa para asignar valores iniciales a los coeficientes o parámetros a estimar Instrucción previa a la SOLVE para determinar el orden en que se resolverán las ecuaciones de un modelo Simulación de un modelo multiecuacional Simulación de un modelo multiecuacional no lineal

El análisis de series temporales incorpora una serie de instrucciones: BJIDENT BJEST BJFRCST KALMAN VAR ARCH ACTFIT

Cálculo de funciones de autocorrelación Estimación de un modelo ARIMA con o sin estacionalidad Predicción con un modelo ARIMA Estimación usando el filtro de Kalman Estimación de un modelo MARMA y funciones de transferencia Estimación de un modelo GARCH-M Compara los valores de una serie con sus predicciones

36.

Los gráficos se obtienen con una resolución mayor cuando se usa un microordenador que en una pantalla de un ordenador central. Así se tienen varias instrucciones: PLOT GRAPH HIST

37.

Dibuja una o varias series temporales Dibuja un diagrama de dispersión (x, y) Dibuja un histograma

Numerosas instrucciones sólo son aplicables en modo interactivo (en un microordenador o en una estación de trabajo): SYSTEM/EXIT DIR REVIEW SHOW HELP FIND DOC DELETE COMPRESS EDIT/RETRY EXEC INPUT ENTER UPDATE ADD OUTPUT TERMINAL SAVE RESTORE KEEP STORE FETCH DBLIST DBPRINT RECOVER STOP QUIT

Salida temporal al sistema operativo Visualización del directorio Lista de las instrucciones tecleadas Muestra las variables en el espacio de trabajo Ayuda de TSP Busca un mandato previamente ejecutado Añade descripción a las variables Borra variables Libera memoria de las variables borradas Editores de instrucciones anteriores Ejecuta una instrucción anterior Lee un fichero con órdenes TSP (una macroinstrucción) Entrada de datos Modificación de datos Añade argumentos a una orden anterior Redirecciona la salida hacia un fichero Redirecciona la salida hacia la pantalla Almacena un espacio de trabajo en un fichero .SAV Recupera un fichero .SAV Almacena variables en un fichero .OUT Almacena variables en la base de datos TSP Recupera variables de la base de datos TSP Directorio de variables en la base de datos TSP Imprime variables de la base de datos TSP Recupera un programa TSP perdido desde el fichero INDX.TMP Finaliza guardando una copia de seguridad del entorno Finaliza la sesión sin guardar el entorno

Las instrucciones GRAPH y PLOT tienen además unas opciones específicas usadas en modo interactivo. 38.

Aunque la lista de instrucciones anteriores no es exhaustiva, sí incluye la mayoría de las órdenes TSP, y puede usarse como índice para consulta interactiva con la instrucción HELP o con el manual de referencia TSP, en el cual se encuentran todas las opciones disponibles.


268

También es necesario tener en cuenta que las instrucciones que sólo funcionan en modo interactivo no pueden usarse en procesos por lotes.

TSP

39.

Además de las instrucciones anteriores, las órdenes DEBUG y SYMTAB son útiles en los procesos de depuración y corrección de errores de un programa TSP. 8.5 GRÁFICOS

40.

La instrucción PLOT realiza el gráfico temporal de una o varias series temporales. Su forma general es: PLOT (opciones)

X,

cx,

Y,

cy, …;

en la que X, Y, … son los nombres de las series temporales y cx, cy, … son los caracteres que aparecerán en el gráfico para representar cada serie. Si se utiliza un microordenador, no se incluye el carácter (cx, cy, …) después de cada serie. 41.

Las opciones más frecuentes son: BMEAN HEADER INTEGER ORIGIN

42. 43.

Dibuja una banda a la altura de la media de una serie Incluye escala en el eje t Redondea la escala del eje t Dibuja una línea vertical en el origen

Al incluir unas opciones en un gráfico, éstas quedan asignadas a los siguientes hasta que se use la opción RESTORE. En un microordenador, la instrucción OPTIONS DISPLAY = tipo de pantalla; selecciona distintos modelos y marcas de monitores.

44.

En el siguiente programa se pueden apreciar las diferencias de los gráficos obtenidos con TSP en un microordenador y en un ordenador central: el fichero ICAP8.TSP contiene las instrucciones con el programa cuya salida, incluyendo el listado, aparece en el fichero ICAP8B.OUT reproducido a continuación.

269 8.5 GRÁFICOS

Se puede apreciar que en el punto correspondiente a 1993 aparece el número 2, ya que se cruzan las dos series xt e yt. 45.

En modo interactivo, las dos series anteriores se dibujan ejecutando las instrucciones siguientes: 1? 2? 3? 4?

46.

FREQ A SMPL 85 94 READ (FILE='ICAP8.DAT') X Y PLOT X Y

También en modo interactivo se puede obtener el gráfico similar al primero. Por ejemplo 5 ? PLOT (HEADER, ID, INTEGER) X x Y y genera el gráfico

3000 2500 2000 1500 1000 500 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 X Y

270

47.

TSP

Los gráficos o diagramas de dispersión se obtienen con la instrucción GRAPH

y

x;

aunque en la versión interactiva en microordenador se pueden incluir varias series yt y el orden de las series es al revés, o sea GRAPH y x o GRAPH (LINE) x y que une los puntos sucesivos con una línea. También se pueden incluir opciones, como en la instrucción PLOT. 48.

La tabulación de unos datos para elaborar un histograma se realiza con la instrucción HIST (opciones) serie siendo las opciones más frecuentes: DISCRETE NBINS = n WIDTH = a

49.

Si la serie es una variable discreta n es el número de clases para el cálculo de frecuencias relativas a es la anchura de las barras

En el siguiente ejemplo contenido en el fichero ICAP8C.TSP se obtiene un diagrama de dispersión de dos series xt e yt usando la versión por lotes de TSP. Los datos de las series son proporcionados en el propio programa en lugar de ser leídos desde un fichero. ? Gráficos TSP OPTIONS CRT; FREQ Q; SMPL 90:1 93:4; LOAD x; 110 125 115 151 114 129 120 160 121 135 127 170 125 142 135 178; LOAD y; 289 311 352 275 300 308 293 390 298 269 288 373 375 428 340 414; GRAPH y x; END;

50.

Sin embargo, al ejecutar de forma interactiva las órdenes anteriores, el diagrama de dispersión se obtiene permutando los argumentos x e y, ejecutando la orden 6 ? GRAPH x y



51.

Las transformaciones de datos se pueden clasificar en varios grupos: – Selección de casos o submuestras – Generación de nuevas variables mediante transformaciones – Simulación – Obtención de variables artificiales y de tendencia

52.

La obtención de submuestras con las series que están en el espacio de trabajo se realiza con tres instrucciones: SMPL fecha inicial fecha final; que define como rango activo el especificado entre las dos fechas, y SELECT condición; SMPLIF condición; que seleccionan los casos para los que la condición es cierta. Cuando se usa de forma repetida, la instrucción SMPLIF va obteniendo un subconjunto a partir del subconjunto obtenido con la orden SMPLIF anterior, mientras que la orden SELECT selecciona casos de la muestra original, sin tener en cuenta órdenes anteriores.

53.

Por ejemplo, para definir como rango activo los datos mensuales comprendidos entre marzo de 1990 y noviembre de 1993, se usa SMPL 90:03 93:11; o si los datos son de corte transversal SMPL 10 20; selecciona los casos comprendidos entre el 10 y el 20. La orden SELECT x > 0; selecciona los casos para los que la serie xt es positiva y que estén contenidos dentro del rango activo definido en la instrucción SMPL. Con la instrucción SELECT x > 0 .AND. y < = 100; se seleccionan aquellos casos del rango activo para los que simultáneamente x t > 0 e y t ≤ 100. También se podía haber realizado esta selección con las órdenes

SMPLIF x > 0; SMPLIF y < = 100;

272 TSP

54.

Para eliminar los datos que faltan de las variables xt e yt, se usa la instrucción SELECT .NOT. MISS (x) .AND. .NOT. MISS (y); en la que se han introducido la función MISS, que detecta los datos que faltan, y el operador .NOT. o negación lógica. Esta eliminación de los datos que faltan es necesaria con las instrucciones relativas a series temporales, incluida la orden AR1, aunque no se necesita con los procedimientos de estimación OLSQ, LSQ y similares. Si se ejecuta SELECT 1; se eliminan las restricciones impuestas por la instrucción SELECT anterior.

55.

La obtención de nuevas variables mediante transformaciones se realiza con la instrucción GENR variable = expresión; que genera una nueva variable, calcula la expresión y le asigna su valor, para t = 1, 2, …, n.

56.

Los operadores que intervienen en una expresión son de varios tipos: – Aritméticos: ** * / + –

elevación a potencia producto y cociente adición y sustracción

– Relacionales: = > <

^= >= <=

igual y no igual mayor y mayor o igual menor y menor o igual

– Lógicos: .AND. o & .OR. o ⏐ .NOT. o ˆ

intersección lógica (y) unión lógica (o) negación lógica

57.

Además están disponibles varias funciones: LOG(x) ABS(x) SQRT(x) SIN(r) TAN(r) NORM(x) CNORM(x) EXP(x) LOG10(x) COS(r) ATAN(x)

logaritmo neperiano valor absoluto raíz cuadrada seno de un ángulo tangente función de densidad N(0, 1) función de distribución N(0, 1) exponencial logaritmo decimal coseno arco tangente

Los ángulos de las funciones trigonométricas se expresan en radianes. Por ejemplo, si el período muestral es SMPL 88:01 94:12, la instrucción GENR z = EXP (x + 1) + LOG (y) genera la variable z t = e xt + 1 + ln (y t)

t = 1…84

para los 84 datos comprendidos en el período muestral. 58.

Las variables artificiales usadas en la representación de ciclos estacionales se obtienen con la orden DUMMY var; En un espacio de trabajo cuya frecuencia es FREQ Q; la orden genera 4 variables artificiales var1, var2, var3, var4 que toman los valores 1 y 0; la variable vari es igual a 1 en cada trimestre i-ésimo, y 0 en el resto. Si la frecuencia de los datos es mensual, se generan 12 variables artificiales var1, var2, var3, …, var12 como las anteriores.


274

59.

TSP

La instrucción que genera una variable t que toma los valores 1, 2, …, n es TREND t;

60.

La obtención de series mediante simulación es útil para fijar conceptos: si se obtiene un conjunto de datos mediante un modelo conocido, se puede intentar descubrir éste y así comprobar la capacidad para especificar correctamente modelos econométricos. La instrucción general de obtención de datos simulados es RANDOM (opciones) variables; Por ejemplo, las instrucciones FREQ N; SMPL 1 1000; RANDOM z; HIST z; generan 1000 números aleatorios zt, n = 1, 2, …, 1000, de tipo N(0; 1) y dibujan un histograma. La instrucción RANDOM (UNIFORM) x; genera números aleatorios en el intervalo (0, 1), y RANDOM (MEAN = 5, STDV = 0,3) y; produce números aleatorios N(5; 0,32). De igual forma RANDOM (MEAN = 3, POISSON) v; genera una serie vt que se ajusta a una distribución P(λ = 3).

61.

Para obtener datos simulados que se ajusten a una distribución normal multivariante, por ejemplo x ⎛ t⎞ ∈ N ⎛ 0⎞ ; ⎛⎜ 5 2 ⎞⎟ ⎝ y t⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 2 1 ⎠ hay que usar dos instrucciones: la primera para almacenar la matriz de covarianzas, y la segunda para la simulación LOAD (TYPE = SYM, NROW = 2) matriz; 5 2 1 RANDOM (VCOV = matriz) x y;

62.

Para obtener un conjunto de 20 muestras generadas a partir de una serie xt original, y con la misma distribución empírica, se usa la secuencia de instrucciones DOT 1–20; RANDOM (EDF = x) ENDDOT;

y;

Las 20 muestras simuladas se denominan y1, y2, …, y20, y se pueden emplear en estimación de tipo bootstrap. 63.

El cambio de base de un índice se consigue con la instrucción NORMAL x, m, 100; que cambia la serie xt por la serie 100 xt/xm.

64.

La obtención de una serie xt (mensual o trimestral) desestacionalizando la serie original xt mediante medias móviles se realiza con la instrucción SAMA x y; La amplitud es s + 1 siendo s = 4 para una serie trimestral y s = 12, si la serie es mensual.

65.

Para obtener las k primeras componentes principales, o un número menor de ellas que explique por ejemplo el 95% de la varianza de unas variables x 1t , x 2t , …, x rt se usa la instrucción PRIN (NAME = y, NCOM = k, FRAC = 0,95) x1, x2, …, xr; Las componentes principales se generan con los nombres y 1t , y 2t , …, y k t . 8.7 MATRICES E INSTRUCCIONES DE PROGRAMACIÓN

66.

En un fichero con órdenes TSP se puede programar empleando instrucciones similares al lenguaje Fortran. Así, la definición de una variable se realiza mediante la instrucción

275 8.7 MATRICES E INSTRUCCIONES DE PROGRAMACIÓN

276

SET variable = expresión;

TSP

La variable es de tipo escalar, a diferencia de las series que se obtienen con la instrucción GENR x = expresión; en la que x representa n valores x1, x2 ,…, xn. Por ejemplo SET s = 0; asocia a la variable escalar s el valor 0. 67.

Para realizar un bucle de instrucciones varias veces se emplean las instrucciones DO índice = inicial TO final; instrucciones ENDDO; o bien DOT lista de nombres o números; instrucciones ENDDO; Así, para generar 11 variables artificiales de tipo 0, 1, –1 asociadas a cada mes del año, de manera que 1 xi = – 1 0

en el mes i-ésimo de cada año en el mes 12 de cada año en los restantes meses

se usa la secuencia de instrucciones DUMMY y; DOT 1–11; GENR x. = y. – y12; ENDDOT; El bucle se ejecuta 11 veces y el punto que sigue a x o y irá tomando los valores 1, 2, …, 11. Para transformar los valores de una serie mensual xt de 10 años en otra yt con los datos acumulados sobre cada año, se pueden usar las instrucciones

DO i = 1 TO 10; SET s = 0; DO j = 1 TO 12; SET s = s + x ((i – 1) * 12 + j) ENDDO; SET y (i) = s; ENDDO; aunque las órdenes FREQ A; CONVERT (SUM)

y = x;

realizan la misma función. 68.

La instrucción de bifurcación condicional IF tiene la siguiente estructura: IF condición; THEN; DO;

ENDDO; ELSE; DO;

bloque de instrucciones a ejecutar si la condición es cierta

bloque de instrucciones a ejecutar si la condición es falsa

ENDDO; 69.

Los procedimientos son subprogramas que incluyen instrucciones TSP que van a ser utilizadas en distintos puntos de un programa, mediante una llamada. Se distinguen dos fases: – Definición del procedimiento, y – Uso o llamada para ejecutar el procedimiento. La definición del procedimiento se realiza con las instrucciones PROC nombre lista de variables o argumentos; LOCAL lista de variables internas o locales; instrucciones del procedimiento ENDPROC; La ejecución del procedimiento se realiza con la instrucción


278

nombre lista de argumentos;

TSP

o sea usando el nombre del procedimiento como una instrucción seguida de unos argumentos que sustituirán a la lista de variables usadas en la definición. 70.

Por ejemplo, el procedimiento PROC media x, y, GENR z = (x + y) / 2; ENDPROC;

z;

se ejecuta con la instrucción media a , b, c; que calcula la variable ct = (at + bt)/2. 71.

Si en el procedimiento hay que emplear variables auxiliares que son internas de éste, se emplea la instrucción LOCAL. Estas variables tendrán unos nombres que no provocarán interferencias con el nombre de una variable del programa que llama al procedimiento, aunque ambos nombres coincidan. Las variables locales sólo existen mientras se ejecuta el procedimiento.

72.

Las instrucciones matriciales de TSP permiten manipular matrices con una notación muy próxima a la escritura matemática ordinaria. Para distinguir las matrices de las series o variables que se manejan en un programa es necesario definir una matriz mediante la instrucción MMAKE A c1, c2, …, ck; que genera la matriz A = [ c 1 , c 2 , …, c k ] cuyas columnas están formadas por los n valores de las series c 1t , c 2t , …, c kt

73.

t = 1…n

También se define una matriz A de dimensión (m, k) con la orden LOAD (NROW = m, NCOL = k) A; a11 a12 … a1k a21 a22 … a2k ………… am1 am2 … 1mk;

74.

Algunas instrucciones estadísticas generan matrices. Por ejemplo, la matriz de covarianzas estimada de los coeficientes de regresión en una estimación mínimo cuadrática S b = s e2 ( X´X ) –1 se almacena, después de estimar el modelo, con el nombre @VCOV. Para usarla, es necesario asignarla a una matriz; por ejemplo MFORM S = @VCOV;

75.

Para obtener a partir de una matriz A las series c 1t , c 2t , …, c k t

t = 1…n

que forman sus columnas se emplea la instrucción UNMAKE A c1, c2, …, ck; 76.

Las matrices simétricas y almacenadas en forma triangular se transforman en una matriz completa con la orden MAT b = ( X′X )⬙ X′ y; Se estima el vector de coeficientes de regresión dadas las matrices de la regresión X e y. La operación trasponer una matriz se representa mediante una comilla, y la inversión de matrices mediante comillas dobles.

77.

En la expresión matricial se pueden usar los operadores: + – * ′ ⬙ # %

78.

Adición y sustracción de matrices Producto (se puede omitir) Matriz traspuesta Matriz inversa (también se usa la instrucción INV) Producto de Kronecker ⊗ Producto de Hadamard (elemento a elemento)

Además existen varias instrucciones matriciales cuyo resultado es un escalar: DET(A) NROW(A) SUM(A) TR(A) NCOL(A) RANK(A)

Determinante Número de filas Suma de elementos Traza Número de columnas Rango


280

y otras cuyo resultado es matricial

TSP

IDENT(n) CHOL(A) EIGVAL(A) EIGVEC(A) 79.

Genera la matriz identidad In Obtiene la matriz S tal que A = SS, siendo A simétrica Halla un vector con los autovalores de la matriz simétrica A Halla la matriz de autovectores de A

Para acceder al elemento aij de la matriz A de n filas y k columnas es preciso localizar este elemento en A, ya que internamente TSP almacena las matrices como vectores: SET ij = ( j – 1 ) * n + i; y el elemento aij se referencia con el nombre A (ij) No obstante, para usar un elemento concreto (por ejemplo aij) se usa la notación usual A ( i , j) 8.8 ESTIMACIÓN DE MODELOS UNIECUACIONALES

80.

La estimación de modelos lineales con una variable endógena yt y k variables predeterminadas x 1t , x 2t , …, x kt ; se realiza con la instrucción

OLSQ (opciones) y c, x1, x2, …, xk;

La letra c representa la ordenada en el origen y no puede usarse como nombre de variable. 81.

En el caso de multicolinealidad exacta (o casi-exacta) la instrucción OLSQ elimina automáticamente una variable explicativa y escribe un mensaje de advertencia.

Entre las opciones disponibles están las siguientes:

82.

ROBUSTSE WEIGHT = w

Utiliza el método de White para modelizar la heterocedasticidad Siendo wt una variable conocida; si la varianza de las perturbaciones es V (ε t) = c/w t la heterocedasticidad se modeliza con esta opción (el modelo se multiplica por 1/ w t ) Genera la variable @HI con los elementos de la diagonal principal de la matriz X(XX)– 1X usados para localizar los datos anormales o outliers, añadiendo la instrucción

HI

SELECT @HI > 2 * @NCOEF / @NOB; 83.

Antes de ejecutar la orden OLSQ, si se ejecuta la instrucción REGOPT (PVPRINT) T; se calculan junto a los estadísticos T sus probabilidades límite.

84.

Al usar entre las variables explicativas, la variable endógena retardada Y(– 1),Y(– 2), … se calcula automáticamente el test de autocorrelación de Durbin, además del estadístico de Durbin-Watson.

85.

La instrucción inicial OPTIONS opciones; influye también en la salida de un modelo de regresión. Las opciones más usuales son: CRT NODATE DEBUG DOUBLE LIMCOL = 80 NWIDTH = d PLOTS RESID

Para ajustar la salida a 80 caracteres por línea Suprime la fecha en la cabecera Incluye cálculos parciales en la salida para depurar errores Almacena las series en doble precisión con 14 cifras significativas en lugar de con 7 Para leer ficheros de entrada con 80 caracteres por línea (el defecto es 72) Número de decimales en la salida Se obtienen gráficos de los residuos Calcula los residuos


282

Los gráficos de residuos se obtienen también incluyendo la orden

86.

TSP

PLOTS; antes de ejecutar una orden de estimación, y se desactivan con la orden NOPLOT; 87.

La ejecución de una instrucción OLSQ genera una serie de variables internas, algunas escalares y otras vectoriales o matriciales. Algunas de estas variables son: n

@SSR

∑e

2 t

= Sε

suma de cuadrados residual

t=1

@YMEAN

y

media de y

@S2

s e2

cuasi-varianza residual

@SDV

sy

cuasi desviación típica de y

@S

se

cuasi desviación típica residual

@NOB @DW @DHALT @RSQ @ARSQ @NCOEF @COEF @SES @VCOV @RES

número de datos usados n Estadísticos de Durbin-Watson y h de Durbin coeficientes de determinación r2 y r2 Número de coeficientes (k + 1) Vector de coeficientes de regresión b Vector con cuasi-desviaciones típicas de b Matriz de covarianzas de b Vector de residuos e

@FIT

Vector de valores estimados yˆ

@HI @SO @S2O

Vector con la diagonal de X(XX)–1X s e y s e2 con datos originales en regresión ponderada

88.

En el siguiente ejemplo se estima un modelo de regresión, se calculan los residuos tipificados y se localizan las observaciones anormales que corresponden al cuarto trimestre de 1992 y de 1993. Para poder detectar estas observaciones anormales ha sido preciso usar la opción HI en la orden OLSQ. Las predicciones para los dos primeros trimestres de 1994 se obtienen con las instrucciones siguientes: SMPL 94:1 94:2; LOAD x; 131 150; FORCST y;

Es necesario disponer de valores de xt para el período de predicción y usar la orden SMPL para definir este período. La instrucción

FORCST (PRINT) y;

además de realizar las predicciones, imprime un gráfico con éstas. El listado de salida correspondiente al fichero ICAP8D.TSP aparece a continuación:


284 TSP

89.

En este listado de salida aparecen las probabilidades límite de los contrastes T de Student debido a que se ha incluido la instrucción REGOPT (PVPRINT) T;

los gráficos de residuos se obtienen con la orden PLOTS; en el proceso de obtención de los residuos tipificados se ha empleado un bucle DO y la variable interna @NOB que contiene el número n de observaciones. El modelo estimado es y t = 114,132 + 1,59893x t + e t (3,824)

(7,298)

y es aceptable siendo s e = 17,2361 s e2 = 297,082 S e = 4159,15 4159,15 r 2 = 1 – -------------------------------------------2- = 0,792 ( 16 – 1 ) 36,5015 r 2 = 0,777 s b0 = 29,8457 s b1 = 0,219067 y las previsiones yˆ 94:1 = 323,59 yˆ 94:2 = 353,97. 90.

Si se hubiese estimado el modelo con la instrucción OLSQ (ROBUSTSE) y c x; que usa el método de White para eliminar la heterocedasticidad (que en este caso no existe), se hubiera obtenido una estimación similar, pero utilizando el método de estimación de mínimos cuadrados generalizados.

91.

La estimación del modelo con la variable retardada xt – 1 yt = β0 + β1 xt + β2 xt – 1 + εt se realiza con la orden OLSQ y c x x(–1); y genera un mensaje de advertencia, ya que para el valor de t = 1 (primer trimestre de 1990) no existe el dato xt – 1 = x0. Este mensaje de advertencia no aparece si previamente se redefine el período muestral activo con la orden


286

SMPL 90:2 93:4;

TSP

De igual modo, la estimación del modelo yt = β0 + β1 yt – 1 + β2 xt + εt mediante OLSQ y c y(–1) x; produce el mismo mensaje de advertencia y se calcula el estadístico h de Durbin para contrastar la autocorrelación debido a la presencia de la variable endógena retardada yt – 1 como predeterminada. En estos casos, para realizar las previsiones se ejecutan las instrucciones como en el caso anterior. SMPL 94:1 94:2; FORCST (PRINT) 92.

y;

En los modelos con autocorrelación, es frecuente que ésta sea de tipo AR(1), εt = ρεt – 1+at, y en este caso la instrucción de estimación por el método de Aitken o mínimos cuadrados generalizados es AR1 (opciones)

y

c, x1, x2, …, xk;

La opción más usual es WEIGHT = w en la que wt es un variable de ponderación para corregir la heterocedasticidad multiplicando el modelo por 1/ w t . En la salida de esta instrucción, además de los estadísticos ( S a , s a , s e2 , r 2 , DW, etc. ) del modelo transformado ( y t – ρ y t – 1 ) = ( 1 – ρ ) β 0 + β 1 ( x 1t – ρ x 1t – 1 ) + … + β k ( x kt – ρ x kt – 1 ) + a t se calculan los correspondientes valores que se obtienen con el modelo original después de estimar los coeficientes en el modelo transformado. 93.

La predicción se realiza igual que en los modelos sin autocorrelación, aunque hay que redefinir el período muestral para tener en cuenta los retardos. Así se tendrían las órdenes SMPL 90:1 93:4; AR1 y c y(–1) x; SMPL 94:1 94:2; LOAD x; 131 150; SMPL 93:4 94:2; FORCST (PRINT, DYNAM)

y;

La opción DYNAM hace que en la predicción se usen los valores predeterminados de yt – 1 yˆ 93:4 94.

e

yˆ 94:1

La estimación de una ecuación no lineal requiere primero su definición con las instrucciones FRML ecuación y = f(x1, …, xk); PARAM parámetros usados y posteriormente se estima con la orden LSQ ecuación Por ejemplo, para estimar el modelo y t = ae bxt x tc + ε t se usan las instrucciones FRML ecuac1 PARAM a, b, LSQ ecuac1;

95.

y = a*EXP (b*x) *x**c; c;

Todos los procedimientos de estimación anteriores generan una serie de variables internas como la instrucción OLSQ.


288


TSP

1. Definir un espacio de trabajo con datos mensuales comprendidos entre enero de 1980 y diciembre de 1993. Introducir una serie temporal yt y realizar varias transformaciones. Dibujar la serie, y reducir el rango muestral activo a los dos últimos años e imprimir los resultados. 2. En un espacio de trabajo con datos anuales entre 1984 y 1993 obtener mediante simulación una serie at de observaciones N(0; 52). Generar la serie t = 1, 2, …, 120 y las series x t = 100 + 0,25t + a t z t = 0,5z t – 1 + a t y t = 50 + 2x t + 0,2y b – 1 + z t tomando z1970 = 0 e y1970 = 60. Dibujarlas y estimar los modelos yt = β0 + β1 xt + β2 yt – 1 + εt xt = α0 + α1 xt + at comparando los coeficientes estimados con los reales y utilizando los procedimientos OLSQ y AR1. 3. En el ejemplo anterior usar valores de xt generados de igual forma para t = 121, 122, …, 132 (o sea para el año 1994) para obtener las previsiones de yt habiéndose estimado el modelo yt = β0 + β1 xt + β2 yt – 1 + εt con las instrucciones AR1 y OLSQ, y comparar las predicciones obtenidas. 4. En el capítulo anterior se plantean varios problemas de simulación de datos como ejercicios propuestos. Estimar los modelos propuestos en los ejercicios 2 y 4 y componer los resultados obtenidos con μTSP.

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293

Tablas estadísticas

Distribución N(0, 1): Función de distribución z

F(z)

z

F(z)

z

F(z)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,500 0,540 0,579 0,618 0,655 0,691 0,726 0,758 0,788 0,816

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,841 0,864 0,885 0,903 0,919 0,933 0,945 0,955 0,964 0,971

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,977 0,982 0,986 0,989 0,992 0,994 0,995 0,997 0,997 0,998

Distribución chi-cuadrado 2(g): Cuantiles 0,95 y 0,99 g

x0,05

x0,01

g

x0,05

x0,01

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3,84 5,99 7,81 9,49 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3

6,63 9,21 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2

12 14 16 18 20 25 30 40 50 75

21,0 23,7 26,3 28,9 31,4 37,6 43,8 55,8 67,5 96,2

26,2 29,1 32,0 34,8 37,6 44,3 50,9 63,7 76,2 106,4

295

296

Distribución t de Student t(g): Cuantiles 0,95 y 0,975

TABLAS ESTADÍSTICAS

g

x0,05

x0,025

12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23

6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g

x0,05

x0,025

12

1,78

2,18

15 20 25 30 40 50 75 100 200 500

1,75 1,72 1,71 1,70 1,68 1,68 1,67 1,66 1,65 1,65

2,13 2,09 2,06 2,04 2,02 2,01 1,99 1,98 1,97 1,96

Distribución F de Snedecor F(n, d): Cuantil 0,95 n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

25

18,5 10,1 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,54 4,35 4,17 4,03 3,95

19,0 9,55 6,94 5,79 5,14 4,73 4,46 4,26 4,10 3,68 3,49 3,32 3,18 3,10

19,2 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,29 3,10 2,92 2,79 2,71

19,2 9,12 6,39 5,19 4,43 4,12 3,84 3,63 3,48 3,06 2,87 2,69 2,56 2,47

19,3 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 2,90 2,71 2,53 2,40 2,32

19,3 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 2,79 2,60 2,42 2,29 2,20

19,4 8,89 6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,29 3,13 2,71 2,51 2,33 2,20 2,11

19,4 8,85 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,64 2,45 2,27 2,13 2,04

19,4 8,81 6,00 4,77 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,59 2,39 2,21 2,07 1,99

19,5 8,63 5,77 4,52 3,84 3,40 3,11 2,89 2,73 2,28 2,07 1,88 1,73 1,63

d 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 90

Distribución de Durbin-Watson: Cuantiles 0,95

297 TABLAS ESTADÍSTICAS

k=1

k=2

k=3

k=4

n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 50 60 70 80 90 100

dL

dU

dL

dU

dL

dU

dL

dU

0,879 0,927 0,971 1,010 1,045 1,077 1,106 1,133 1,158 1,180 1,201 1,288 1,352 1,402 1,442 1,503 1,549 1,583 1,611 1,635 1,654

1,320 1,324 1,331 1,340 1,350 1,361 1,371 1,381 1,390 1,401 1,411 1,454 1,489 1,519 1,544 1,585 1,616 1,641 1,662 1,679 1,694

0,697 0,758 0,812 0,861 0,905 0,946 0,982 1,015 1,046 1,074 1,100 1,206 1,284 1,343 1,391 1,462 1,514 1,554 1,586 1,612 1,634

1,641 1,604 1,579 1,562 1,551 1,543 1,539 1,536 1,535 1,536 1,537 1,550 1,567 1,584 1,600 1,628 1,652 1,672 1,688 1,703 1,715

0,525 0,595 0,658 0,715 0,767 0,814 0,857 0,897 0,933 0,967 0,998 1,123 1,214 1,283 1,338 1,421 1,480 1,525 1,560 1,589 1,613

2,016 1,928 1,864 1,816 1,779 1,750 1,728 1,710 1,696 1,685 1,676 1,654 1,650 1,653 1,659 1,674 1,689 1,703 1,715 1,726 1,736

0,376 0,444 0,512 0,574 0,632 0,685 0,734 0,779 0,820 0,859 0,894 1,038 1,143 1,222 1,285 1,378 1,444 1,494 1,533 1,565 1,592

2,414 2,283 2,177 2,094 2,030 1,977 1,935 1,900 1,872 1,848 1,828 1,767 1,739 1,726 1,721 1,721 1,727 1,731 1,743 1,750 1,757

k=5

k=6

k=8

k = 10

n 15 20 25 30 35 40 50 75 100

dL

dU

dL

dU

dL

dU

dL

dU

0,562 0,792 0,953 1,071 1,160 1,230 1,335 1,486 1,570

2,220 1,991 1,886 1,833 1,803 1,786 1,771 1,770 1,780

0,447 0,692 0,868 0,998 1,097 1,175 1,291 1,458 1,550

2,472 2,206 2,012 1,931 1,884 1,854 1,822 1,801 1,803

0,251 0,502 0,702 0,854 0,971 1,064 1,201 1,398 1,506

2,979 2,521 2,280 2,141 2,054 1,997 1,930 1,867 1,850

0,111 0,336 0,544 0,712 0,845 0,945 1,110 1,339 1,462

3,438 2,885 2,560 2,363 2,236 2,149 2,044 1,935 1,898

Índice alfabético

A Álgebra matricial 70, 100 Agregación 147 Análisis de residuos 109, 164 Análisis de la varianza 98, 103 Análisis en Componentes Principales 132, 150, 157, 275 Autocorrelación 84, 107, 110, 111, 125, 163, 165, 179, 180, 185, 187, 192, 208, 253 Autovalores, autovectores 76, 78, 130, 132, 151, 168, 280 C Cambio estructural 109 Cambios de escala 80, 123 Ciclo de una serie 104, 161, 208, 246, 253, 273 Coeficiente de correlación 19, 31, 40, 45, 53, 55, 59, 180 de correlación de Spearman 60, 63, 199 de correlación parcial 58 de determinación 50, 54, 67, 91, 244 de determinación corregido 54 Coeficientes de regresión 39, 43, 94 estructurales de un modelo 4, 84, 102 Comisión Cowles 8 Comparación de dos modelos 203 Contabilidad nacional 155 Contrastes diagnósticos 7, 92, 99 Covarianza 19, 41, 229, 243, 260

299

300 ÍNDICE ALFABÉTICO

Correlación 19, 40, 181, 243, 260 Correlograma 131, 186, 190 Curva de Philips 82 Cuasi-varianza residual 89, 244, 282 D Diagonalización de una matriz 78, 80 Distribución muestral de los estimadores 86 E Ecuaciones normales 39, 44, 48, 50, 66, 67, 76, 123 Editor micro TSP 2226 Efectos aditivos, multiplicativos 201 Elasticidad 1, 2, 35, 82 Entorno o espacio de trabajo micro TSP 225, 235, 253 Entorno de trabajo TSP 258 Error cuadrático medio 119 Error de predicción 115 Errores en las variables 127 Escalas de medida 123 Especificación de un modelo 6, 91, 126, 165 Estacionalidad 104, 106, 149, 192, 206, 207, 218, 253 Estadístico F 99, 103, 107 Estadísticos T 32, 90, 92, 97 Estimación máximo verosímil 27, 28, 85, 88, 136 mínimo cuadrática 27, 88, 91, 229, 237, 247, 257, 265, 280 con restricciones 108, 137, 141 con variables retardadas 241, 249, 281, 285 Estimador de los coeficientes 86 EViews 15 F Falta de datos 144, 146 Ficheros micro TSP 227, 230, 247 Ficheros TSP 259 Función de Cobb-Douglas 64, 67 Función spline 205 Fuentes estadísticas 10 G Gráficos de residuos 111, 112, 113, 173, 177, 190 Gráficos micro TSP 228 Gráficos TSP 267, 268 H Heterocedasticidad 111, 125, 163, 165, 171, 175, 176, 248, 281 Hipótesis a priori 84, 89, 91, 98, 109, 112, 125, 163, 166 Homocedasticidad 84, 110

I Identidad contable 4 Índice de Theil 119, 161 Índice de multicolinealidad 130 Interacciones entre variables 46, 94, 201, 202 Interpolación 114, 117 M Medias de cuadrados 99, 101 Medias móviles 247 Micro-TSP 15, 69, 143, 189, 195, 217, 221 Método iterativo de Cochrane-Orcutt 189 Método de máxima verosimilitud 17, 85, 88, 136 mínimos cuadrados 38, 43, 48, 66, 88, 91, 229, 237, 247, 265, 280 mínimos cuadrados generalizados de Aitken 163, 166, 171, 179, 248, 285 mínimos cuadrados condicionales 136 mínimos cuadrados ponderados 171, 248, 281 Modelo ARMA 179, 180, 181, 182, 248 con restricciones 108, 123 con retardos distribuidos 136, 140, 142, 160, 249 con retardos geométricos 137 de ajuste parcial de Nerlove 140 de corte transversal o estático 6, 144, 210 de elección binaria 212 de expectativas adaptativas 139, 160 de Markov o AR(1) 180, 188, 192, 208, 265, 286 de Yule o AR(2) 180, 193 dinámico 6, 107, 135 lineal general 163 lineal uniecuacional 5, 38, 83, 247 logit 213, 214, 215, 218, 219, 250, 266 no lineal 5, 38, 65, 68, 146, 192, 213, 215, 250, 265, 287 probit 213, 215, 218, 250, 266 sin ordenada en el origen 124, 171 tobit 217, 266 Multicolinealidad 49, 84, 125, 128, 130, 132, 136, 142, 152 N Normalidad 110 Número de condición o índice de multicolinealidad 130 O Observaciones influyentes o anormales 120, 121, 122, 281 Omisión de variables relevantes 126 Operador diferencias 241 Operador retardo B 138, 241 P Perturbaciones aleatorias 3, 5, 6, 38, 84, 125 Polinomios de Almon 142, 161, 162, 249



Predicción en modelos uniecuacionales 114, 249, 250, 282 en modelos con autocorrelación 191, 249, 279 ex-post, ex-ante 115, 118 por intervalo 115, 117 Probabilidad límite del test T 33, 93, 96, 284 del test F 100 Producto de Kroneker 79, 279 Programas auxiliares 251 Propensión marginal 31, 201 R Rango activo de datos 222, 235, 237, 258 Regresión en componentes principales 132, 134, 154 múltiple 43, 47 no lineal 64, 68, 146, 192, 213, 215, 250, 265, 287 Residuos de un modelo 38, 39, 43, 45, 52, 88, 109, 169, 178, 193, 248 influyentes o anormales 111, 120, 122, 196, 281 studentizados 121 tipificados 111, 282 Ruido blanco 179, 193, 254 S Serie temporal 104, 145, 179, 192, 207, 243, 266 Simulación 195, 241, 253, 257, 265, 374, 288 Sumas de cuadrados 38, 95, 98, 103, 106, 244 T Tablas de la distribución chi-cuadrado 295 de Durbin-Watson 185, 297 F de Snedecor 296 Normal 295 T de Student 296 Tendencia de una serie 113, 146, 206 Teorema de Craig 99, 103 Gauss-Markov 87, 91, 109, 125, 169 de descomposición de la varianza 51, 102 Test de Chow 108 de Durbin 190, 281 de Durbin-Watson 114, 184, 188, 281 de Farrar-Glauber 129 de Goldfeld-Quandt 175, 179 de normalidad de las perturbaciones 112 de Wallis 191 de White 114, 172, 174, 281 Tests F de análisis de la varianza 99, 100, 104, 105, 114, 209 T sobre los coeficientes 92, 95, 97, 105, 114, 209 TSP 7, 69, 189, 255 Transformación de Aitken 167, 170, 173, 182, 184 de Box-Cox 165 de cambios de escala 123 de Koyck 160

Transformaciones con micro TSP 238, 239, 240, 242 con TSP 271, 272


V Variables artificiales 104, 200, 201, 202, 203, 211, 246, 264, 273 binarias 6, 21, 104, 212 categóricas o cualitativas 6, 199, 201, 211 con errores 125 endógenas o dependientes 3, 4, 37, 43, 91, 184, 211 exógenas 4, 37, 201 predeterminadas 4, 84, 91, 121 no observables 109 retardadas 5, 135, 144, 149, 179, 190 Varianza residual 51, 88

Econometría Series Temporales - Caridad y Ocerin

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