Serie por el criterio de la integral ∞ In In n
∑
n
n=1
f `( x) =
( In( x))` ))` x − ( x )` Inx x 2 a
∞ In In x
∫
x
u
In x = In
1
=
du
dx
∫ udu =
x
1 − Inx x 2
<0
In x
= lim lim a →∞ ∫ 1
1
= f `( x) =
x
u2 2
=
( In x ) 2 2
lim
2 In x ) ( In
a →∞
2
a
1
2 ( Ina ) ( In In (1) ) lim − a →∞ 2 2 2 2 In 1 ) In a ) ( In ( In − + lim lim a →∞ 2
2
2
0 +∞ a
In In x
∴laim →∞ ∫ 1
x
∞
In In n
n =1
n
∴∑
= diverge
= diverge
Serie por el Criterio de la Integral ∞
1
∑ n(2n −5) n =1
))´ (2 x 2 − 5 x)´ − 5)) − (1)( x(2 x − 5))´ = f `( x) = − f `( x) = ( x(2 x − 5)) 2 ( x( 2 x − 5)) 2 (4 x − 5) <0 f `( x) = − 2 ( x(2 x − 5)) (1)`( )`( x(2 x
∫
a
1
∞
x ( 2 x −5)
1
1
lim ∫ = alim →∞
dx
1
1
x ( 2 x − 5)
A
dx
B
∫ x( 2 x −5) = ∫ x dx + ∫ 2 x −5 dx 1
=
x ( 2 x −5)
A x
+
B 2 x −5
x ( 2 x −5)
= A( 2 x −5) + B ( x ) 1 = 2 Ax Ax − 5 A + Bx Bx 1 = ( 2 A + B ) x − 5 A 2 A + B = 0 −5 A = 1 1
-A= 1 5 A= - 1 B = 2/5
2A+B=0 2 (-1/ 5) + B = 0 -2 / 5 + B = 0
− 15
∫ x dx + ∫ 2 x −5 5dx − 1 ∫ dx + 2 ∫ dx 5 x 5 2 x − 5 − 1 In x + 2 ∫ du 5 10 u
u = 2x – 5 du= dx 2
lim lim
a →∞
1 5
ln
2
2 x − 5
a
x
1
− 1 In x + 1 In 2 x − 5 5
5
1 2 a − 5 lim lim ln a →∞ 5 a
1 − 5 ln − 3 1 2 a − 5 − 1 ln − 3 + alim lim ln ⇒ ( L´hôp .) →∞ 5 5 a 1 1 2a − 5 lim − ln − 3 + ln alim →∞ −
5 1 5
ln − 3
+
a
∞
∴∑ n =1
5
a
ln[ 2]
dx
lim ∫ ∴alim →∞ 1
5 1
x (2 x − 5) 1
n(2 n − 5)
= Converge
= Converge
.
.
Serie por el Criterio de la Integral ∞
∑n n =1
1 3
( In In
n)
(1)` x(3 In x ) − (1)( x (3 In x ))` ))`
=
f `( x)
( x(3 In x )) 2
= f `( x) = −
( x(3 In x ))` ))` ( x(3 In x )) 2
` 1 3 3 ( x)` In x + ( x) ( In x ) ( x)`( 3 In x ) + ( x )(3 In x )` )` ( = f `( x) = − f `( x) = − ( x(3 In x )) 2 ( x(3 In x )) 2 ` 1 −2 3 3 In x + ( x) 3 In x + ( x) ( In x ) 13 ( In x ) 3 * 1 x = f `( x) = − f `( x) = − 3 In x )) 2 x ( x(3 In x )) 2 ( (
− 3 In x − =
f ´( x) ∞
∫ x 1
33 ( In x )
2
<0
( x(3 In x )) 2 ä
1 ( In In x )
3
1
∫ x
= lim ∞ a→
1
1 3
( In In x )
2
du
u=In
∫ u
x
= ∫ u
1 3
−1
3
=
du
lim
a
1
∫
→∞
1
( In
x 3
)
x
=
a
( In x )
2
33
2 1
( In a )
33 lim →∞
2
2
a
33 ( In 1 ) 2
−
2 ä
1
n =1
n 3 ( In In n )
∴∑
2
− 3 2
2
lim
a
x 3 ( In In x )
∞
( In 1 )
33
1
m ∫ ∴ali→ ∞ 1
+
2 3
du= 1 x ä
u
3
3
→∞
( In a )
= diverge
= diverge
Serie de comparación
2
=
(
33 In x 2
)
2
(2n + 3)
∞
∑ (n n =1
3
+ 1)²
(2n + 3) 3 (n 3
3
+ 1) 2
⇒
n3 n6
= n −3 =
1
n3
∞
∑ n1
3
n =1
1 = Serie . P = Converge ; P > 1 n 3 3 3 2 n (8n + 36n + 54n + 27) lim n →∞ n 6 + 2n 3 + 1 6 5 4 3 8n + 36n + 54n + 27n lim n →∞ n 6 + 2n 3 + 1 36 + 54 + 27 n 6 8 + n n2 n 3 lim n →∞ 2 1 n 6 1 + 3 + 6 n n lim 8 > 0 Corverge . n →∞
∞
∴∑ n =1
(2n + 3) (n 3
3
+ 1)²
= Converge .
Por criterio de la raíz
∞
∑ n1
n
n =1
n
1
lim
n →∞ n
n
∴ nlim →∞ n ∞
∴∑ n =1
= nlim →∞ n
n
n
1
n
1
n
n
1
n
1
n
= nlim =0 →∞ n
= 0converge
= converge
n
Por el criterio de comparación por paso al limite ∞
∑ n1
n
n =1
bn
=
1
n
n
n −1
1 1
serie .. geometrica
lim lim
n →∞
1
nn
∞
∴∑ n =1
1
⇒ bn = → r = converge n n n
*
1
nn
nn 1
1 = 1.converge ⇒ nlim →∞
= converge
Serie de comparación
(2n + 3)
∞
∑ (n n =1
3
+ 1)²
(2n + 3) 3 (n 3
3
+ 1) 2
⇒
n3 n6
= n −3 =
1
n3
∞
∑ n1
3
n =1
1 = Serie . P = Converge ; P > 1 n 3 3 3 2 n (8n + 36n + 54n + 27) lim n →∞ n 6 + 2n 3 + 1 6 5 4 3 8n + 36n + 54n + 27n lim n →∞ n 6 + 2n 3 + 1 36 + 54 + 27 n 6 8 + n n2 n 3 lim n →∞ 2 1 n 6 1 + 3 + 6 n n lim 8 > 0 Corverge . n →∞
∞
∴∑ n =1
(2n + 3) (n 3
3
+ 1)²
= Converge .
Por criterio de la raíz
∞
∑ n1
n
n =1
n
1
lim
n →∞ n
n
∴ nlim →∞ n ∞
∴∑ n =1
= nlim →∞ n
n
n
1
n
1
n
n
1
n
1
n
= nlim =0 →∞ n
= 0converge
= converge
n
Por el criterio de comparación por paso al limite ∞
∑ n1
n
n =1
bn
=
1
n
n
n −1
1 1
1
⇒ bn = → r = converge n n n
serie .. geometrica
lim lim
n →∞
1
nn
∞
∴∑ n =1
*
1
nn
nn 1
1 = 1.converge ⇒ nlim →∞
= converge
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