BAB I PENDAHULUAN 1.
Latar Belakang
Dalam
memepelajari
bidang
matematika
memang
dibutuhkan
kemampuan memahami dan menganalisis sebuah masalah dalam soal. Keterkaitan antara materi satu dengan yang lain identik dengan karakteristik matematika. Tidak bisa berdiri sendiri dalam sebuah materi, tapi memerlukan pengetahuan materi sebelumnya yang sudah dipelajari. Kreativitas guru juga akan mempengaruhi dalam menyampaikan atau menjelaskan materi maupun dalam mengembangan sebuah teorema. Apabila guru mampu mengembangkan dan menjelaskan dengan benar maka siswa akan termotivasi dan mudah untuk mengajak siswa untuk berfikir kritis dalam menganalisis. Salah satunya teorema vieta (sifat simetri akar) untuk dipelajari dalam matematika di bab polinomial (suku banyak), teorema ini sering sekali dilewati atau tidak dibahas dibahas dalam mempelajari materi polinomial. Mungkin sebab tidak diajarkannya materi ini ke siswa karena teorema vieta biasanya hanya diajarkan ke siswa yang akan mengikuti olimpiade matematika. Untuk itu penulis akan membahas tentang teorema vieta baik itu pembuktian rumus dan aplikasi untuk mecari akar -akar persamaan polinomial, khususnya polinomial mulai pangkat tiga dan seterusnya dalam seminar matematika. Teorema vieta biasanya digunakan pada persamaan polinomial pangkat tiga dan seterusnya, sebab untuk pangkat dua dalam mencari akarnya bisa dengan cara faktor. Dengan menggunakan teorema vieta untuk mencari akar akar akar persamaan polinomial tentu akan lebih mudah. Dari uraian di atas tersebut maka penulis menyusun makalah yang berjudul “Aplikasi Teorema Vieta untuk mencari akar -akar persamaan polinomial”. 2.
Rumusan Masalah
Berdasarkan dari latar belakang di atas maka dirumuskan suatu masalah sebagai berikut: 1) Bagaimana bentuk umum umum teorema vieta ? 2) Bagaimana pembuktian teorema vieta ?
3) Bagaimanakah cara mengaplikasikan teorema vieta dalam menyelesaikan soal ? 3.
Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah seminar matematika ini ialah: 1) Menjelaskan bentuk umum dari teorema vieta. 2) Menunjukan pembuktian teorema vieta. 3) Menjelaskan langkahlangkah-langkah menyelesaikan soal dengan menggunakan teorema vieta. 4.
Manfaat
Manfaat dari pembuatan makalah seminar matematika mengenai aplikasi teorema vieta untuk mencari akar -akar persamaan polinomial ialah membantu pembaca
dalam
mendalami
teorema
vieta
tentang
bentuk
umum,
pembuktiannya, dan penggunaan teorema t eorema vieta untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan persamaan suku banyak dan dan akar -akarnya.
BAB II PEMBAHASAN 1.
Landasan teori a.
Hubungan Akar-Akar Suku Banyak dengan Koefisien -Koefisien Suku
Hubungan akar -akar
suku banyak dengan koefisienkoefisien -koefisien sukusuku-
sukunya adalah bentuk simetri akar -akar suku banyak seperti yang telah
+ + = 0 + + = 0 + = =
dipelajari pada persamaan kuadrat dan
maka
i)
Jumlah akar -akarnya:
ii)
Hasil kali akar -akarnya:
. Jika akar -akarnya
Dari hal tersebut bagaimanakah jika persamaan suku banyak berderajat tiga, empat dan seterusnya. Misalnya ada a da persamaan suku banyak
+ 9 + 26 + 24 = 0
, akar -akarnya
= 2 = 3 = 4 ,
, dan
.
Untuk mencari jumlah dan hasil kali akar -akarnya tentu kita bisa karena
sudah tau akar -akarnya. Namun apabila ada soal persamaan suku banyak dan belum diketahui akar -akarnya, dan kita ingin mencari jumlah dan hasil kali akar -akarnya maka langkah pertama kita harus mencari akar -akarnya terlebih dahulu. Dari permasalahan tersebut, muncullah teorema vieta dimana kita bisa menentukan jumlah dan hasil kali akar -akarnya tanpa harus mencari terlebih dahulu nilai dari akar -akarnya itu.
b.
Teorema Vieta
*,, ,…,−−, − − = + − + − + − + ...... + + + + + . . .+− + = − + + . ....++ + + . ....++− = + − + + . ....++ + + . . .+−− = − Jika
adalah akar -akar dari persamaan polinomial maka
berlaku :
… . ….− = 1. c.
Manfaat rumus ru mus Teorema Teorema Vieta
Teorema vieta digunakan pada pada persamaan suku banyak dan manfaat dari teorema ini adalah sebagai berikut: 1) Mencari jumlah dan hasil kali akar -akar persamaan atau akar akarnya. 2) Menentukan konstanta atau koefisien suatu persamaan. 3) Membentuk suatu persamaan suku banyak dari akar -akarnya.
2.
Analisis Pemecahan Masalah a.
Bentuk umum Teorema Teorema Vieta
*, , ,…,−, − − = + − + − + −−+ ...+ + + + + . . .+− + = − + + . ....++ + + . ....++− = + − + + . ....++ + + . . .+−− = − … . ….− = 1. adalah akar -akar dari persamaan suku
Jika
banyak (polinomial)
maka berlaku :
Apabila persamaan suku banyak derajat n di atas dengan akar -akarnya
, , ,…,−, −
= 1
dan
maka berlaku hubungan sebagai berikut:
1) Jumlah akar -akarnya =
2) Jumlah hasil kali setiap dua akar = 3) Jumlah hasil kali setiap tiga akar =
− − −
4) Jumlah hasil kali setiap empat akar =
, dst
5) Hasil kali semua akar -akarnya =
1.
Jadi bisa disimpulkan untuk mempermudah menentukan jumlah dan hasil kali akar -akarnya persamaan suku banyak sebagai berikut: a. Suku banyak berderajat dua: 1) 2)
+ + = 0
+ = = + + + = 0 + + = + + = = + + + + = 0 + + + = + + + + + = + + + = =
b. Suku banyak berderajat tiga: 1) 2) 3)
c. Suku banyak berderajat empat: 1) 2) 3) 4)
b.
Pembuktian Rumus Teorema Vieta
Bukti teorema vieta:
, , + + + = 0 + + + = = + + + = + + + + + = + + + + + + + = ↔ + + = + + = ↔ + + = = ↔ = adalah akar -akar dari persamaan kubik
Misalkan
maka
Maka: (i)
(ii)
(iii)
Untuk cara pembuktian persamaan suku banyak derajat empat dan seterusnya sama dengan cara seperti di atas.
c.
Aplikasi Teorema Vieta pada Soal
Teorema vieta biasanya digunakan d igunakan untuk mencari akar -akar atau jumlah dan hasil kali akar -akarnya dan konstanta dari persamaan suku banyak (polinomial) mulai berderajat dua dan seterusnya. Berikut adalah soal dan pembahasan :
Soal 1:
+ 5 7 = 0 + = 2, = = 1, − = = 5, = 7 + = = = 5 = = − = 7 + = + 3 3 = + 3 + = 5 5 337 755 = 125 105 = 230 memiliki akar -akar
Persamaan kuadrat
Tentukanlah nilai dari
dan
.
.
Penyelesaian:
i)
ii)
Sehingga diperoleh
Soal 2:
, 36 = 0 + + + + Diketahui
dan
adalah akar -akar persamaan
. Tentukan:
a.
b. c.
d. Nilai b, jika
adalah lawan dari
2 18 +
, 2 18 + 36 = 0 = 2 = = 18 = 36 + + = = ………1 + + = = − = 9 ………2 = = − = 18………3 + + = 2 + + = 2 = 2 + + = 9 + = 9 = 9 = 9 = 9 → = 3 = 3
e. Nilai masingmasing-masing
dan
untuk b tersebut.
Penyelesaian: a.
b. c.
d. Dari (1):
Dari (2):
atau
Dari (3):
Untuk
= 18 = 3, = 3 → → = 18 3. 3. = 18 9 = 18 = 2 + + = 2 3 ++ 3 3 + 2 = 2 maka maka
Untuk
2 = 2 =4 = 3, = 3 → = 18 3.3. = 18 9 = 18 = 2, + + = 2 3 3++ 3 + 2 = 2 2 = 2 =4 maka maka
Maka:
= 3 = 3 = 2 = 4 = 3 = 3 = 2 = 4
e. Jadi
,
,
, dan
, dan
Soal 3:
Diketahui persamaan suku banyak akarnya kembar k embar..
untuk
, atau
untuk
9 + = 0
. Tentukan Tentukan m jika dua akar -
Penyelesaian:
9 + = 0 ↔ + 0 9 + = 0 = 1, = 0, = 9, = = + + = ↔ 2 + = 0 + + = ↔ + 2 = 9 = ↔ = , mempunyai akar -akar
Misalkan
Karena
,
, dan
dan
, maka:
.............. (1)
..............(2)
...............(3)
Dari (1) dan (2):
2 + = 0 ↔ = 2 + 2 = 9 ↔ + 22 = 9 4 = 9 3 = 9 = 3 = ±√ 3 = ±√ 3 2 + = 0 ↔ = 2 = ±2√ ±2√ 3
disubstitusikan ke pers (2):
Untuk
, maka:
Dari (3):
Jadi nilai
= ↔ = (±√ (±√ 3)3).±2√ ±2√ 33 = ±6√ ±6√ 3 = ±6√ ±6√ 3 .
Soal 4:
Diketahui
+ + = 3 { + + =24 = 10
Tentukanlah persamaan suku banyak dari jumlah j umlah dan hasil kali akar -akar tersebut ! Penyelesaian: Jika akar -akar dari persamaan suku banyak
+ = 0
, + + dan
maka
1)
2)
3)
+ + = 3 = ↔ = 3 + + = 10 = = 24 = ↔ = 24 + + + = 0 3 10 + 24 = 0
Jadi persamaan suku banyak:
BAB III PENUTUP 1.
Simpulan
Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan teorema vieta dapat digunakan untuk mencari jumlah dan hasil kali akar -akar persamaan atau akar -akarnya, menentukan koefisien atau konstanta suatu persamaan, membentuk suatu persamaan suku banyak
dari akar -akarnya. Namun dari teorema ini ada
kekurangannya, yaitu kita tidak bisa mencari akar -akarnya apabila dalam soal tersebut tidak diketahui salah satu akarnya akarn ya atau pentunjuk tertentu.
2.
Saran
Bagi pembaca makalah ini penulis berharap untuk cermat dalam memahami materi maupun soalsoal-soalnya. Disamping itu diperlukan buku refensi lain atau internet untuk membantu membantu pembaca dalam memahami atau mendalami teorema vieta, maupun variasi soalsoal -soalnya.
DAFTAR PUSTAKA
Noormandiri, B.K. 2006. 2006. Matematika untuk SMA Kelas XI Program Program Ilmu Alam. Alam. Jakarta: Erlangga.
Nugroho Soedyarto dan dan Maryanto. 2008. Matematika 2008. Matematika untuk SMA dan dan MA Kelas XI Program IPA IPA. Jakarta: Pusat perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Wirodikromo, S. 2006. Matematika 2006. Matematika untuk SMA Kelas X . Jakarta: Erlangga.
Widodo, T., T., 2011. 2011. Polinomial. http://wing87.files.wordpress.com/201 http://wing87.files.wordpress.com/2011/01/ 1/01/ polinomial.pdf. Diakses pada tanggal 6 April 2013.
Sulaeman, 2012, teorema vieta. http://matematikasiswa.blogspot.com http://mate matikasiswa.blogspot.com /2012/10/ teoremateorema-vieta.html. Diakses pada tanggal 6 April 2013.
http://books.google.co.id/books (diakses pada tanggal ta nggal 28 April 2013)
