Aptitud
Matemática SERIES Se denomina serie numérica a la adición indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado de la adición se le llama valor de la serie
'l valor a"ro%imado de (S) lo o*tendremos a"licando t1
SLIMITE =
1− q
SERIE ARITMÉTICA t1 + t2 + t3 + t4+.... + tn-1 + tn +r +r +r +r
t1 = Primer término & = #a$ón #'P#'S'N!,/N 0' N, S,!#,
t + t 1 S= 2 n
tn
n=
n
∑
n
− t0 r
n = Número de términos S = Suma de términos tn = Último término t1 = Primer término t = !érmino anterior al "rimero r = #a$ón de la serie
k
n
PROPIEDADES 1.
N: de términos de una sumatoria n
∑x
i
i = k
= x k + x k +1 + ... + x n
N: términos = n ; + 1 2.
SERIE GEOMETRICA t1+ t2 + t3 + t4+....+ tn-1 + tn %& %& %& %&
S=
k
Se lee sumatoria de los (ai) desde i= 5asta i = n6 donde () y (n) son los l7mites l7mites in8erior y su"erior de la ∑9 e (i) se llama 7ndice de de la sumatoria
r = t2 – t1
tn.q − t1
= a + a +1 + ... + a
ai
=
i k
Para sumas o di8erencias de dos o m
∑
i = k
3.
q−1
ai+ *i - ci> = ∑ a + ∑ b - ∑ c i
i
i
?a su sumatoria ria de de un una co constante es es i@ i@ual al al N: N: de términos "or la constante n
∑ a = ( n − k + 1) a
qn − 1 S = t1 q − 1
i = k
4. tn = t1 qn-1
na Σ se "uede descom"oner en dos o m
S = Suma de términos t1 = Primer término tn= 'nésimo término n = Números de términos & = #a$ón de la serie
k
∑ x i =1
A.
Prof. Richar !arrio" #$%&"'$
=
∑ x
n i
+ ∑ xi
i =1
i = k +1
Sumatoria de de una una co constante y una o m
SERIE GEOMÉTRICA DECRECIENTE E INFINITA: (0
i
Σ
∑ (ax i =1
i
n
n
i =1
i =1
± by i ) = a ∑ x i ± b∑ y i
Aptitud
Matemática SERIES (S*a") NOTA!+ES 1.Suma de los (n) "rimeros N consecutivos
PRACTICA N 01
∑ i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n2+ 1) n
1. alcule el valor de la serie.
i=1
2.Suma de los (n) "rimeros N im"ares consecutivos n
∑ (2i − 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
=
n
2
i =1
3.
Suma de cuadrados de los (n) "rimeros N consecutivos n
∑i
2
2
2
2
i=1
(
n n
+ 1)(2n + 1)
∑ i
i
= 1 + 2 + 3 + ... + n 3
3
3
=1
n( n + 1) = 2
2
A. Suma de cuadrados de los (n) "rimeros números im"ares consecutivos n
∑ ( 2i − 1)
2
= 12 + 32 + 5 2 + ... + ( 2n − 1) 2
i=1
=
n
3
B.Suma de los (n) números "ares consecutivos n
∑ 2i = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) i =1
C.Suma de cuadrados de los (n) "rimeros números "ares consecutivos
∑ ( 2i )
2
2. alcule el valor de H&I en la si@uiente serie
2+4+B+D+EE..+&=1B4 F> A '> D
> B
= 2 2 + 4 2 + 6 2 + (2n ) 2 =
i =1
Si 2 + 4 + B + D + E..+ % = BA9 y adem=B2A ,> 214 0> 21AA
2 3
> 21A
4. alcule la suma de los 2 "rimeros números trian@ulares9 sa*iendo &ue un número trian@ular es el semi "roducto de los números naturales tomados de dos en dos. F> 1 A4 > 1 AA '> 1 AC
A. alcule el valor de la si@uiente serie
S=112+223+334+EE3 sumandos> ,> 14DD 0> 1A1
F> 14GB '> 1 3DA
> 1A
B. 0ada la serie @eométrica decreciente9 indicar el valor de la suma limite
n ( n + 1)( 2n + 1)
S =
,>
Prof. Richar !arrio" #$%&"'$
F> 214A '> 2 2CD
,> 1 A3 0> 1 AB
(2n + 1)(2n − 1)
n
> A
1+2+3+4+E..+%+y>9
n
3
F> A1 '> 4D
3. alcule
6
4.Suma de cu*os de los (n) "rimeros N consecutivos 3
,> A2 0> 4G
,> 4 0> C
2
= 1 + 2 + 3 + ... + n
=
B+1+14+1D+EE..+22
2 5
3 4
F>
+ 1 6
1 2
+
1 3
+
>
2 9
2 3
+ .........
Aptitud
Matemática 9 4
0>
2
4 9
'>
4
C. alcule el valor de la suma limite9 de la si@uiente serie @eométrica decreciente S =1−
,> 0>
1 3
1 2 3 4
+
F>
1 9
1
−
27
1
+
1 3
81
−
1 243
+ ......
,> 0>
10 7 1 2
1 2
−
1 4
F> '>
1
+
8
+
=
D
1 16
3 10
>
−
1 32
+
1 64
+ .....
4 5
> BDGA
> A13
1 1 1 1 + + + ...... + 4 28 70 1720
4
'>
14 43
>
53 35
11 1
12. 0ado el si@uiente arre@lo de números 1 Prof. Richar !arrio" #$%&"'$
1A. Si a
F> 33G '> 34G
F> 1ACA '> 1AG4
= n 3 − n2 + 2 9
> 33GA
5alle
> 1CA el
valor
de
S = a1 + a2 + a3 + ... + a10
,> 1 BB 0> 2 AA
F> A122 '> A14
F>
,> 14G2 0> 1D42 n
11. alcule el valor de HSI
0>
12
S=2+3+A+C+D+11+EE.+B2
,> A12 0> A132
4
1
14.Jalle la suma de la serie
S = 1x3 + 2x5 + 3x7 + ....... + 19x39
40
,> 33D 0> 33D
4 3
F> BB4A '> BG24
1
B
1B 1D 2 EEEEEEEE........... Jalle la suma de la 8ila 1A.
1. Jalle el valor de la serie
,>
> 41
14
100 sumandos
S=
F> 41 '> D2
4
51 +4 64+474+49 4+ 4 94+212 114+415....... 4 4+ 4 4 4 43
,> BBCA 0> BG1A
,> 4 0> 14
2
G. alcule el valor de la si@uiente serie S
B
C D G 1 EEEEEEE...................E.. Jalle la suma de la 8ila 2
4 5
D. Jalle el valor de la serie. S =1+
A
13. 0ado el si@uiente arre@lo numérico
2 > 3
'>
3
F> 2 BB '> 2 BC
> 1 AA
1B.'n un tra*aKo de re8orestación9 la*oran A "ersonas. ada d7a "lantan 3 4B 0> 4
F> 4G '> 2
> 43
1C. Si la suma de los HnI "rimeros números enteros "ositivos es los C2 de la suma de los HnI si@uientes9 5alle HnI ,> 1 0> 13
F> 11 '> 14
> 12
Aptitud
Matemática a la i$&uierda 2 veces6 determine la suma de todos los números so*re los &ue 5a @irado.
1D. n comerciante 5a estado a5orrando en este mes 1CD soles y tiene con esto9 S 141 en la caKa de a5orros9 5a*iendo economi$ado cada mes S 12 m D 0> 14
F> 1 '> 1B
> 12
1G.n tren salió de su "aradero inicial con C "asaKeros y en cada "arada su*en dos "asaKeros m A 0> D 2.
F> B '> G
,> DA 0> D4A
> DAA
23.
'n el si@uiente arre@lo numérico
1 2 3 4 3 4 A B C 4 A B C D G 1 EEEEEEEEEEE EEEEEEEEEEEEE
> C
Si S19 S29 S 39 EE.9S2 son la suma de los 2 "rimeros términos de una P,. cuyos "rimeros términos son i@uales a uno y sus ra$ones son 19 39 A9 C9 EE.......... 9 res"ectivamente9 calcule
F> C4A '> GAA
ndi&ue la suma de los términos de la 8ila 1C. ,> 1DG 0> 2DG 24.
F> 11DG '> 1C
> GDG
'8ectuar
S = 4 + 44 + 444 + ...... + 444.......44 1 44 2 4 43
= S1+S2+S3+S4+EE.+S 2 ,> CB 4 0> C 3
F> D 2 '> BC 4
> 4 2
21. So*re el "iso se 5a di*uKado un "ol7@ono re@ular de 24 metros de lado9 un atleta se "ara so*re uno de los vértices y recorre todo el "ol7@ono6 y lue@o re"ite el "roceso sucesivamente recorriendo en cada d7a un lado menos. Si 5a recorrido en total DB4 m Lu A 0> D 22.
F> B '> G
> C
0e la @r<8ica mostrada 13 14
12 3
11 2
1 G
1A
4
1
D
1B
A
B
C
na araOita comien$a en 1 y "asa a 29 lue@o a 3 y as7 sucesivamente. Si la araOita 5a @irado Prof. Richar !arrio" #$%&"'$
'n¡cufras
,> F> > 0> '>
4 (10n − 9n − 1) 81 4 (10n − 9n − 10) 81 4 (10n+1 − 9n − 10) 81 1 (10n+1 − 9n − 10) 81 40 (10n+1 − n − 10) 81
