UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS CICLO CICLO 2013 – III
ÁLGEBRA Semana Nº 05
“PRODUCTOS NOTABLES”
CONTENIDO TEÓRICO:
e!uivalencias algebraicas "a !ue se cumplen para cual!uier valor !ue se d* a las variables&
ULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
1! BINO INOIO IO AL CUADRA ADRADO DO
( x + 2)( 2 x + 1) = 2 x2 + 54 x4+ 2 424 2 44 4 3 1 4444424 2444443 14444 factores
El desarrollo del binomio al cua cuadrad rado tom toma el nomb ombre de trinomio cuadrado perecto ,-CP.
Pr oducto
En la multiplicación algebraica enco encon ntra tramos los los act actor ores es !ue la const constitu itu"e "en n con una una carac caracter ter#st #stica ica especial !ue $ar% posible el conocimiento inmediato del producto& Dic$a multiplicación notable generar% como resultado un producto notable' gener%ndose de esa manera las identidades algebraicas a mencionarse en la presente sesión( Es imp importa ortan nte !ue el alum lumno los los estudie " los recono)ca de inmediato para su posterior aplicación no sólo en el nivel secundario' sino tambi*n cuando est* cursando estudios superiores&
•(a + b)2 = a142444 +44 224 ab b423 4 2 44+ 444 4 Trinomio cuadrado Perfecto
•(a − b)2 = a142444 −42424 ab +444 b423 4 2 44 4 Trinomio cuadrado Perfecto
/bservación 2
E0emplos(
• •
PRODUCTOS NOTABLES Se denomina Producto al resultado de una multiplicación " llamamos Notab Notable le a todo todo a!ue a!uello llo !ue !ue mere merece ce una nota o atención' es decir a a!uello importante !ue se da a notar& Sin lugar a dudas los Productos Nota Notab bles les son son impo import rtan ante tes' s' cu"o cu"os s resu esulta ltados se deben con conoce ocer sin necesidad de eectuar operaciones&
( x + 4) 4 )2
= x 2 + 2( x)(4) + 42 = x 2 + 8 x + 16
(3a − 4) 2
= 9 a 2 − 24 a + 16
2! UL ULTIPL TIPLIC ICAC ACIÓ IÓN N DE BINO BINOI IO O SUA POR DI"ERENCIA (a
+
b)(a
−
b)
=
a2
−
b2
El prod produc ucto to !ue !ue se obti obtien ene e de mult multip ipli lica carr dos dos bino binomi mios os suma suma por por die dierrenci encia a ,con ,con0u 0uga gado dos. s. es una dierencia de cuadrados E0emplo&
+as multiplicaciones notables gener enera an produ oductos tos nota otables les " la relación de ambos recibe el nombre de identidades algebraicas o Centro Preuniversitario Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo
2
(a - b) = (b - a)
• 1
( x + 4)( x − 4) = x 2
S-5
− 42 = x2 − 16
•
( a + x 2 )( a − x 2 ) = a 2 − ( x 2 ) 2
= a 2 − x4 3! PRODUCTO DE BINOIOS #UE TIENEN UN T$RINO CO%N ( x + a)( )( x + b ) =
x
2
( a − b)( a 2 +
•
(a
= x 3 + (a + b + c) x 2 + ( ab + ac + bc ) x + abc
− b3
+
b)2
+
(a
−
b)2
=
2( a 2 =
+
b2 )
4ab
Aem.': ( a + b) 4
− ( a − b ) 4 = 8ab (a 2 + b 2 )
2 ( x + 8)( x − 7) = x + x − 56 2
(m + 3)(m − 5) = m
− 2m − 15 15
/! E#UI E#UI ALEN ALENCI CIA A DE LAG LAGRA RANG NGE E
&! BINOIO IO AL CUBO = x 3 + 3 x 2 y + 3xy 2 + y 3 ( x − y )3 = x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
10! E#UI E#UIALENCIA ALENCIA DE ARGAND ARGAND
En orma reducida( ( a ± b ) 3 = a 3 ± b 3 ± 3 a b( a ± b )
( x
( x + 4) 4 )3
= x3 + 64 + 12 x2 + 48 x ( 2 x − 5)3 = 8 x3 − 125 − 60 x + 150 A'(m('m): ( a + b)3 − ( a − b) 3 = 2b 3 + 6 a 2b
5! TRINO INOIO IO AL CU CUADRAD DRADO O = a2 + b2 + c 2 + 2( ab + bc +
ac)
2.
a
3.
( ab + bc + ac) 2 = ( ab) 2 + ( ac) 2 + ( bc) 2
4.
a
.
(a2
*! TRINOIO AL CUBO (a + b + c)
+ xy + y 2 )(x 2 − xy + y 2 ) = x 4 + x 2 y 2 + y 4
Si se tiene !ue a 4 0 Ento Entonc nces es se cump cumple le las las sigu siguie ient ntes es propiedades 1. a 2 + b 2 + c 2 = −2(ab + bc + ac)
( a + b )3 + ( a − b) 3 = 2 a 3 + 6 ab 2
3
2
E#UIALENCIAS CONDICIONALES
E0emplos
(a + b + c) 2
+ b 2 )( x2 + y 2 ) = ( ax + by) 2 + ( ay − bx) 2
(a2
( x + y ) 3
• •
3
a
• ( a + b)2 − (a b)2
E0emplo&
• •
)=
,! IDEN IDENTI TIDA DADE DES S DE LEGE LEGEND NDRE RE
+ (a + b ) x + ab
( x + a )( x + b)( x + c )
2
ab + b
3
3
3
4
+ b 3 + c 3 = 3abc
+ b4 + c4 = 2( a2 b2 + b2 c2 + a2 c2 )
+ b2 + c2 ) 2 = 2( a 4 + b4 + c4 )
IPLICACIONES
NOTABLES
3
= a + b + c + 3( a + b)(b + c)(a + c)
Si se tiene tiene !ue !ue x + x −1 = a ' entonces se cumple para( 2 −2 x + x = a2 − 2 1. 2. x3 + x−3 = a3 - 3a
-ambi*n -ambi*n se se cumple( 3 3 3 3 ac ) − 3abc ( a + b + c) = a + b + c + 3(a + b + c )( ) (ab + bc + ac
( a + b + c)3 = 3( a + b + c)( a2
+ b2 + c2 ) − 2( a3 + b3 + c3 ) + 6 abc
+! BINO NOI IO O POR POR TRINO INOIO IO ( a + b)( a 2 − ab + b2 ) =
3
a
+ b3
Centro Preuniversitario Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo
2
3.
x
4.
x
−4
4
+
5
+ x −5 = a 5 - 5a 3 + 5a
S-5
x
= ( a 2 - 2) 2 − 2
N)a:
x + x
−1
= x+
0*! Sabiendo
1 x
determinar
PRÁCTICA DE CLASE
E
PRIER BLO#UE 01! Si( x 3 + y 3
a. 4< d. 1>
= 20 ;
xy = 5
= ( x + y )3 − 15 15( x + y ) + 15
a. 4 d. 3
b. 3 e. 1
05! Si( x +
a
C. 12
C. 12
4
12 − a12 + 5a8
. > E. N&&
C. 5
39 abc 8 4& 4& =allar el valor de( ? 8 ,6 7 a.,6 7 b.,6 7 c.' Para 6 81 a. 5 b. ; c. > d. < e. 1
" a&b 8 3&
c. :<
11! Determinar el valor de( ,a 7 b 7 c. 3 @ a3 @ b3 @ c3 7 3abc Para( a 8 2 719 b 8 2 @19
=4
b. 24 e. 3
4
29 ab 7 bc 7 ca 8 10& Si( a 7 b 7 c 8 29
c. :3
x =allar( ( x 2 + x −2 )( x 3 + x −3 ) a. 243 d. 12
c. 2
. 2 E. 52
. 14 D. 12
b. :; e. 1
1
de(
0/! Si a 2 + 2 = 2 a ' calcular el valor de(
Entonces ( a − b) 2 es( a. 5 d. 12
3
. D. 1
C. 12
b. :4 e. 2
0&! Si( a + b = 5
x2
9
0, Eectuar( M = 6 124(53 + 1)(56 + 1) +1
03! Si( 6 7 " 8 49 calcular( x 3 + y 3 − 64 E = 2 x + y 2 − 16 a. 5 d. :5
x
Calcule( x3 + y 3 + z 3 . 15 . 1 D. E. 24
c. 2
. 2 E. 52
1
b. 35 e. 23
2
02 Eectuar( M = 6 124(53 + 1)(56 + 1) +1 . D. 1
valor
1
+ 3
x
=3
0+ Si se cumple !ue( x + y + z xy + yz + zx xyz = = =2
Calcular(
M
el
= x3 + x2 +
1
x +
!ue(
c = −
4
a. 5 2 b. 2 c. 2 2 @ 1 d. e. 1 12! Cumpli*ndose !ue( ,a 7 b 7 c 7 d. 2 8 4,a 7 b.,c 7 d.
c. ;2>
Centro Preuniversitario Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo
2
3
S-5
Calcule el valor de( b −c
a − c d − a÷ d − b÷
+
a. 1 d.
a + b
1+! Si( 6 7 " 7 ) 8 39 6" 7 ") 7 6) 8
b −c c +d÷
÷ d − a
Calcular(
b. 2 e. '2
13! Si ( x + y ) 2
a. 3 d. :1 el valo valorr
x 2 y
+
3x + 2 y 5x
2x + y
a 2 + b 2 + c 2 = 93 a 3 + b3 + c3 = 645
c.
a. No se puede determinar& b. > c. ; d. 5 e. ;
Es( a. 3 d. 5
b. 4 e. 2
1&! Calcular( x 2 + y 2 V = xy 1 1 Si(
x
+ = y
a. 2 d. 4
+
x + 2y 2x
+
2y
1/! Sabiendo !ue F( x )
x + 3y
dem%s( F( n )
x+ y
a. 4−1 d. 6−1
c. 1
2
+ ( a + c) 2 + (b + c) 2 − ( a + b + c) 2
Para a =
5 + 3 9 b =
5 +7 9
b. 1 e. 4
E =
b. :1 e. 2
c. 3−1
1 − abc b. 3 e. 1
c. 2
SEGUNDO BLO#UE 01! =allar( C = 3 2 + 14 2 + 3 2 − 14 2 a. 2 b. 3 c. 4 d. e. 5
c. :3
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b. 2−1 e. 5−1
(a + b + c)(2 − ab − ac − bc)
a. 1B3 d. 1B2
c. 4;
1*! Sabiendo !ue( 6 7 " 7 ) 8 1 x 3 + y 3 + z 3 − 1 Calcular( M = xy + yz + zx − xyz a. 1 d. 3
= n ; n∈{1, 2 , 3
Calcular(
c = 40 − 2 5 a. d.
= a x + b x + c x
20! Sabiendo !ue( a3 + b3 + c3 = 3 a 2 + b2 + c2 = 2
15! =allar el A&N& de( E = (a + b)
abc'
Calcular( abc
4
b. 3 e. 5
c. :2
el producto sabiendo !ue( a 7 b 7 c 8 19
6y
+
b. 2 e. 1
1,! Calcular
de(
E =
x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz
c. 4
= 2 ( x2 + y 2 ) '
3 x 3 − y 3
3
&
S-5
Siendo(
02! /btener = 3 ; + 2 − 3 ; − 2 a. 2 d. 2 2
b. 2 e. 3
x = 4 9 + 2 ; y = 3 − 4 4
c. B2
03!
a. 1 b. :1 c. 2 d. :2 e. 2 2 0/! Si( a 7 b 7 c 8 ' reducir (
Calcular( W
=
1+
3
2
7
3
3
a. 2 d. 1
+
3
1−
2
7
3
3
b. 3 e.
M =
a. 1 d. 3
+ bn + c n (a + b + c) n
an
b. 2 e. 1B3
c. 1B2
1
1
x
x
3 05& Si x − = 3 & Calcule( x −
a. @1 d. 2
b. e. 5
3
c. 1
E =
a
4
a. 4 d. >
4
+ b4
+
4
(b + c) 5
b
+ c2 − a2 b
+
c
b. e. 2
2
+ a2 − b2 c
c. 3
c. n 2
a.
b. n
d. n : 1
e. (n − 1) 2
11! Sean Sean a a " b b nFme nFmero ros s reale eales s positivos' tales !ue( −1 a 2 + b 2 = 13 " b&a 8 13 (π ) SimpliGcar la e6presión(
,a 7 b 7 c. 8 3,ab 7 bc 7 ca. Evaluar( (a + b)
+
2
3
2
3
a
b
Calcular( ( x − a1 ) 2 + ( x − a2 ) 2 + ( x − a3 ) 2 + !!! + ( x − an ) 2
0*& Sabi Sabiend endo o !ue( !ue( a' b' c ∈ '
+ b2 − c 2
10! Sabiendo !ue( 2 x = (a1 + a2 + a3 + !!! + an ) n 2 2 2 2 n = a + a + a + !!! + a 1 2 3 n
7bc7 ca Calcular( A =
2
a. 1 d. :1
c. 4
0&! Si a' b' c ∈ ∧ a 2 7 b 2 7 c2 8 ab n −1
a
5
+ c5
+
b. e. <
6
( c + a) c
7
7
a + + ba x 13 3 + x 3 x + b a a x 1
+ a7
c. 5
0+& Si a 7 b 7 c 8 19 a 7 b 7 c 8 2
2
π
a.
2
+ 5
π
29 a3 7 b3 7 c3 8 3 =allar a4 7 b4 7 c4
b.
π
c.
π
− 1
d.
π
π
+ 2
π
π
a. 2B5 d. 1;B5
b. 2B4 e. 1;B4
e.
c. 4
12! Si( (a + b + c)2
0,! Determinar el valor num*rico de( y x − 1 y + 1 x
x÷ y − 1÷ + x + 1÷ y÷
Centro Preuniversitario Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo
2 (π − 1)
= 3 (ab + bc bc + ac ac) ; a, b , c ε R
Calcular(
5
S-5
A =
bc ab + ac
a. 2 d. 1
−
ac ab + bc
+
b. 1B2 e.
1,! Si( 62) 7 "26 7 )2" 8 9 6") ≠ &
ab
=alle
ac + bc c. 3
E=
3
c. 3
3 ; b = 2 3 3 − 2 +1 b. e. >
M
63
b. 5 e. 1
c. <
≠ 2& Calcular( a3 + ,b − 1.3 + ,c − 2.3 v= a,b − 1.,c − 2. a. 3 b. 4 c. d. 5 e. ;
= 2 (a + b) "(a + b) − 2ab + (a − b ) # + 2
2
(a − b )"(a + b )2 + 4(a 2 + b2 ) − (a − b)2 # =allar el valor de ?& a. 2a b. 2b c. :2ab d. 8a 3 e. 8b3
1*! Dado el polinomio( P( x ) = ( x 2 − 1)( x 2 − x + 1)( x 2 /btener( P ( 4 + 15 a. b. 21; d. 21 e. 21>
−
TERCER BLO#UE 01! Dadas las siguientes relaciones( a 8 a2 7 b2 @ ab 7 b &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&& ,1. b 8 b2 7 c2 @ bc 7 c &&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&& ,2. c 8 c2 7 a2 @ ac 7 a &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&& ,3. Indi!ue el e!uivalente de(
+ x + 1)
4 − 15 ) c. 215
1+! Eectuar( 2
+
)3
20! Si( a7b7c83' con a ≠ 9 b ≠ 1 ∧ c
c. 5
15! Dado( 3
)3
de(
62 7 "2 7 )2 714 8 2,6 7 2" 7 3) . ,6 + " + ).6") =alle el valor de( 3 6 + "3 + )3 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e.
1&! =allar el valor num*rico de( (a + b) "( a + b) 2 − 2ba + ( a − b) 2 # − 2b3 Para( a = a. 4 d. ;
+
valor
1/! Si( J6' "' )K ⊂ tal !ue(
( x − 1)( y − 2)( z − 3) b. 2 e. 5
"3
"3
a. 3 d. 12
13! Si ( 6 7 " 7 ) 8 5' calcular( ( x − 1)3 + ( y − 2)3 + ( z − 3)3 a. 1 d. 4
63
el
2
4
(b6
− a6 )2 c6 − 4a3b3
2
,a 7 a 7 1.,a @ a 7 1. ,a @ a 7 1.,a> @ a4 71.&&& &&&&& Hn Hn actores a. a2n+ 1 + a2n + 1 b. a2n + a2n−1 + 1
a. a5 d. 1
02! Si( 6 7 2 8 23
c. a 2n − a 2n −1 + 1 d. a2n + a2n−1 + 1 e. N&a&
Calcular N = a.
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b. b5 e. b3 c3
*
S-5
3
b.
26
x
+
8
2 x
c. c5
& 2
c.
2
d. 2
e. N&a&
0/! Si
03! Si( 62 ,a2 7 b2 7 c2. 8 3,26 @ 1. =alle( T = a. 4 d. 1
a
+ ab + b + c 2
0&! Si n
3 =
1997
=allar( a. 2; d. 2
05! Si
1 6
+
m
−
3
3
9m n
b. ;2 e. 2 1 "
3
2000 +
13
−
9
=1
9
n
ab,a 2 + 3b 2 .,b 2 + 3a 2 . 3 Para( a 8 3 2 + 1 ∧ b8 3 2 − 1 a. 15 b. > c. 32 d. 54 e. 12>
≠ "
6 4 " 4 − ,62 − " 2 .2
Calcular( 6 7
6 3" 3 c. 5 e. >
12! Si( a3 7 b3 7 c3 8 3abc9 a7b7c 8
1 6
b. 4 e. @;
2
12
a2 + b =alle( Si a' b' c' ∈ c a2 b. 5 c. 4 d. e. 3
7> c.
0+! Si 62 @ 6 7 1 8 &
13! Si a @ b 8 b @ c 8
=alle( - 8 652 7 6:5<> a. 1 b. @2 c. 3 d. @1 e. 2 4,a 7 c 7 d. ]:1 7 [4,b 7 c 7 d. ]:1 8 ,a 7 b 7 2c 7 2d.]:1
a. 4 d. 2
&
1&! Si( a :1 7 b:1 7 c:1 8 :1& abc,a+ b + c + 1. Calcular( ,a+ b.,b+ c.,a+ c.
+ $5 )2
a 5$5
b. e. 15
2 3
a3 + b3 + c − 3abc Calcular( a+ b+ c a. 1 b. < c. 5 d. 4 e. 2
0,! Si(
=alle(
32
11! =all =allar ar el valo valorr num* num*ri rico co de la
9 6
2
5
c. 4; e. 4<
Calcula( 8 4ab ,a 2 7 3b2. ,b27 3 a2. a. 4 b. c. 5 d. ; e. >
0*! Si( 63 8 1 ∧ 6 ≠ 1&
(a
b. 45 d. 4>
10! Si( a 7 b 8 3 3 9 a @ b 8
c. 3
b. 4 d. 2
a. ; d. @ 4
e6presión(
Calcular : ? 8 a. 1
a. 4
13
+
9
=
+b
/btener el valor
>
c. >
m
a
2
> a b E 8 + b a
2
bc b. 5 e. N&a&
2
=
de(
a 7 b 7 c 8 3& Donde( 6 ≠ 9 1B2 2
ab
a. 1 d. @2
c. 1
b. 3 e. :1
c. 2
15! Si a 7 b 7 c 8 3& Calcular( Centro Preuniversitario Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo
+
S-5
3
3
,a+ b − 2c. 2c. + ,b+ c − 2a. 2a. + ,a+ c − 2 ,1− a.,1− b.,1− c.
a. 3 d. @<
b. < e. 2;
a. 3 d.
c. >1
2
,b− c.,c− a.
+
,b: c.2 ,c: a.,a: b.
,c: a
+
,a: b.,
a. @
b. d. @1
6 "
+
1
25! Si 6 − >
20! Si( a 7 b 7 c 8 19 a 7 b 7 c 8< a 7 b 7 c Calcular( a. 4> d. 2;
3
2
2
2
2
=
;+ 4
3".
71
8
⊂
c.
b. 1 e. 4 1 6
= 1 9 6 L & educir(
4 1 1 6 2 + 1 6 + − 21 6 + 2 4 6 6 6 b. 1
c. 2 e. <
2*! Siendo
una e6 e6presión matem%tica de variables 6 9 " 9 ) ∈ ' con regla de correspondencia&
36
Centro Preuniversitario Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo
b. 3B2 e. B2
a. 6 d.
8 1& a 4 7 b4 7 c4 b. >1 c. 33 e. 2
21! Sabiendo !ue se cumple( ,6 + 1.
@
+ ) sabiendo !ue ,69 "9 ).
a. c. 2 d.
36 + ") 3" + )6 3) + x " b. 2; c. 3 e. 1 3
6,6
c. ;
2&! Si a 7 b 8 ab 71 ∧ a 2 7 b2 8 29 1 1 + donde a9 b ∈ 7& =allar( a b
c. 3
+
b. 12 e. 3
a. 3 d. ;B2
1/! Si( 6 7 " 7 ) 8 39 6 3 7 "3 7 )3 8 < 1
126,a + b.
Calcular(
1,! Si 4a2 7 4b2 8 4c,a 7 b. @ 2c 2
1
=
),4 − ). − <"2 4
c. 1 e. 1
dem%s( a' b' c ∈ & a − b + 4c Calcular( 2a+ c a. 1 b. 2 d. 4 e.
2
,6 + 3a.
56 + 2a + b 9 a ≠ :b a+ b
23! Si(
ab ac bc + + c b a
Calcular(
+
=allar 2 a. d. 21
a. 3 b. 1 c. d. 5 e. :1 1+! Si( ab 7 bc 7 ac 8 9 a 7 b 7 c 8 &
3
b. 2 e. @1
,6 + 3b.
,a− b.2
a. 2 d. 5
64 + 1 c. 1
22! Sean( a9 b9 6 ∈ 7 tales !ue(
1*! educir(
=alle(
Encuentre el valor de(
,6 2 + 1.2
f ( x; y; z ) = ( x + y + z ) 4 − 4(x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx )(x + y + yz + zx )
,
S-5
Calcular( a. d.
, 39
292.
b. 1 e. 5
c. 3
2+! Sean a' b' c ∈ @ JK !ue cumplen( ,a 7 b 7 c.2 8 3,a2 7 b2 7 c2 . =alle( ( a + b + c)3
(ab + bc bc + ac ac )(b + c )
a 3 + b3 + c
3abc
a. d. <
+ 3
b. 1 e. 12
c. 11
2,! Si( a 7 b 7 c 8 3 a2 7 b2 7c2 8 2& =allar( ,ab 7 bc 7 ac. :1 a. ;B2 b. 2B; c. 1B; d. ; e. 4
2/! Si( 6 + 6 −1 = 4 & =allar( 63 @ 6:3 a. 3 3 c. 2 2 d. 3 >
b. 3 e. 2
2
14
Centro Preuniversitario Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo
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S-5
