SECCIÓN 4.10 Ley Uniforme 2. Realice el ejercicio anterior considerando que
~[ ~[,] ,].
PrX=0 1 PrPrX = 0 = 2 13 = 3 5 Pues 0[3,2] b) PrX < 0 3 1 1 PrPrX < 0 = ∫− 5 = 5 − = 5 c) Pr Pr|X| < 1 2 1 1 PrPr||XX| < 1 = PrPr1 < < 11 = ∫− 5 = 5 − = 5 d) Pr| Pr|X|X| > 0.55 , , 1 1 PrPr||XX| > 0.5 =1Pr =1Pr0,5 < < 0,5 = 1 ∫−, 5 = 5 −, = 1 15 = 45 PrX > = e) Halle un valor de tal tal que Pr 2 1 1 1 PrPrX < t = ∫ 5 = 5 = 5 5 = 3 ⇒ = 13 a)
t
4. Los autobuses de cierta línea salen con horario estricto cada cinco minutos. Halle la probabilidad de que un pasajero que llega a la parada tenga que esperar al autobús menos de tres minutos.
~[0,5] ~[ 3 1 1 PrPrX < 3 = ∫ 5 = 5 = 5
Sea X “tiempo de espera hasta llegada de bus”
6. Supóngase que Ia velocidad de los autos en un sector de una carretera sigue una ley uniforme entre 60 Km/h y 120 km/h. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto: a) tenga una velocidad de 80 km/h?;
1 PrPrX=80 X=80 = 1201 80 = 80 60 Pues 80 [60,120]
~[60,120]
b) tenga una velocidad menor que 95 km/h?;
PrX <
7 1 1 95 =∫ 60 = 60 = 12
c) tenga una velocidad menor que 70 km/h o mayor que 100 km/h?
PrX <
1 1 1 70 =∫ 60 = 60 = 6
8. Una llamada telefónica llegó a un conmutador en un tiempo, al azar, dentro de un periodo de un minuto. El conmutador estuvo ocupado durante 15 segundos en ese minuto. Calcule la probabilidad de que la llamada haya llegado mientras el conmutador no estuvo ocupado.
~[0,60] 3 1 1 PrX>15 =∫ 60 = 60 = 4 10. En una práctica de precisión aérea se deja caer una bomba a lo largo de una línea de un kilómetro de longitud. El blanco se encuentra en el punto medio de la línea. El blanco se destruirá si la bomba cae a una distancia menor que setenta y cinco metros del centro. Calcule la probabilidad de que el blanco se destruya si la bomba cae al azar a lo largo de la línea.
~[0,1000] 3 1 1 Pr425 < < 575 = ∫ 1000 = 1000 = 20 Ley exponencial 12. Se prueban dos elementos que trabajan independientemente. El tiempo de trabajo del primer elemento tiene distribución y el segundo elemento . Halle la probabilidad de que en el tiempo de duración t =6 horas:
.
= { −0,, = {1 −0,, a) ambos elementos fallen;
b) ambos elementos no fallen;
.
<0 ≥0 <0 ≥0
Se puede calcular por: 1-“probabilidad ambos fallen”=1-0,37=0,63 c) solo falle un elemento;
d) falle por lo menos un elemento
14. La caducidad, en años, de cierto tipo de reactivo químico utilizado en histopatología tiene una distribución exponencial con parámetro 4.
a) Halle el tiempo esperado de caducidad
b) calcule la probabilidad de que en un frasco de ese reactivo sea considerado caduco en el primer año luego de producido
c) Si en un laboratorio se compraron 4 frasco de ese reactivo, cuál es la probabilidad de que luego de un año solo uno sea utilizable.
16. Suponga que la duración, en minutos, de una conversación telefónica sigue una ley exponencial telefónica:
. Encuentre la probabilidad de que Ia duración de una conversación
a) exceda los 5 min;
b) dure entre 3 y 6 min;
c) dure menos de 3 min;
d) dure menos de 6 min, dado que ha durado más de 3 min.
18. Se prueban tres elementos que trabajan independientemente entre sí. La duración del tiempo de trabajo sin fallo está distribuida según una ley ex ponencial: para el primer elemento −, , para el segundo elemento −, , para el tercer elemento −, . Halle la probabilidad de que en el intervalo de tiempo (0,10) horas, fallen:
=, =,
=,
a) por lo menos un elemento;
b) no menos de dos elementos.
20. El tiempo de reparación de unas computadoras tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media 22 minutos. a) Halle la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que 10 minutos.
b) El costo de reparación es de 20 dólares por cada media hora o fracción. ¿Cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 40 dólares?
c) Para efectuar una programación, ¿cuánto tiempo se debe asignar a cada reparación para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparación mayor que el tiempo de programación asignado sea solo de 0,1?
22. El tiempo de duración, en meses. de un tipo de resistencia eléctrica se expresa mediante una variable aleatoria que sigue una ley exponencial .
.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una de tales resistencias eléctricas dure más de 4 meses?
b) Si se prueban 10 resistencias eléctricas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna dure más de 4 meses?
c) ¿Cuántas resistencias se probarían para que con probabilidad igual a 0?9 se tenga al menos una resistencia que dure más de 4 meses?
d) Si el costo de producción de una resistencia es de una resistencia?
= 2 +30, ¿cuál es el costo esperado
Ley Normal 24. Usando la tabla del lay normal estándar, determine:
<0,83 Φ0,83 =0,7967 b) <1,27 Φ1,27 =0,102 c) >0,83 a)
1 Φ0,83 =0,2033 d) >1,27 1 Φ1,27 =0,898 e) 0,47<<1,08 Φ0,47Φ1,08 =0,85990,6808=0,1791 f) || <1,39 Φ1,39 Φ1,39 =0,91770,0823=0,8354 g) > =0,06 1 Φ =0,06 ⟹Φ =0,94 ⟹ =1,55 h) 0,93<< =0,7235 Φ Φ0,93 =0,7235⇒Φ =0,7235+0,1762⇒Φ =0,8497 zi =1,28 26. Se tiene una variable aleatoria Y con media 5 y varianza 16.
− 1 − = √ 2 a) Determine su función de densidad.
− 1 − = √ 24
PrY < 6,PrY > 4 y Pr|Y| < 3 PrY < 6 = Φ(64 5) = Φ0,25 =0,5987 PrY > 4 =1PrY ≤ 4 = 1 Φ (44 5) = 1 Φ0,25 =0,9798
b) Halle las probabilidades:
Pr|Y| < 3 = Pr3
PrY > 1 =1PrY ≤ 1 = 1 Φ (11,2 25 ) = 1 Φ0,8 =0,788
b) haya rebajado de peso
2) = Φ1,6 =0,0548 PrY < 0 = Φ(0 1,25 c) haya aumentado menos de 3 kg.
Pr0 < y < 3 = Φ(01,252)Φ(31,2 25 ) = Φ0,8 Φ1,6 =0,733 30. La Cruz Roja ha determinado que tiempo necesario para que una de sus ambulancias llegue al sitio donde hay una emergencia se distribuye según una variable normal de media 17 minutos y desviación estándar 3 minutos. a) Calcule la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido 12 min y 21 min.
1217) = Φ1,33 Φ0,1515 Pr12
PrY > t =1PrY ≤ = 1 Φ (17 3 )=0,05 ⇒ Φ(17 3 )=0,95 ⇒ 17 3 =1,64 = 31,64+17 =21,92 32. Se aplicó una prueba de fluidez a 500 alumnos de Educación Básica. Se supone que las puntuaciones obtenidas se distribuyen según una normal de media 80 y desviación estándar 12.
=12 =80 a) ¿Qué puntuación separará el 25% de los alumnos con mayor fluidez verbal?
PrY > p =1PrY ≤ = 1 Φ (80 12 )=0,25 ⇒ Φ(80 12 )=0,75 ⇒ 80 12 =0,67 =120,67 +80 =88,04 b) ¿A partir de qué puntuación se encuentra el 45% de los alumnos con mayor fluidez verbal?
PrY > p =1PrY ≤ = 1 Φ (80 12 )=0,45 ⇒ Φ(80 12 )=0,55 ⇒ 80 12 =0,12 =120,12 +80 =81,44 c) ¿Cuántos alumnos tienen una fluidez menor que 76 puntos?
PrY < 76 = Φ(7680 12 ) = Φ0,333 =0,3707 100% 500 37,07% = 185,35 135 alumnos tienen una fluidez menor que 76 puntos
34. Se llama cociente intelectual (C.I.) al cociente entre la edad mental y la edad real. Se sabe que Ia ley de distribución del C.I. es normal con media 0.95 y desviación estándar 0.22. En una población con 2600 personas se desea saber:
=0,22 =0,95 a) ¿Cuántas tendrán un C.I. superior a 1,3?
PrX > 1,3 =1PrX≤1,3 = 1 Φ (1,30,95 0,22 ) = 1 Φ1,5909 =0,0559 100% 2600 5,59% = 145,34 145 tendrán un C.I. superior a 1,3 b) ¿Cuántas tendrán un C.I. inferior a 0,7?;
PrX < 0,7 = Φ(0,70,95 0,22 ) = Φ0,81814 =0,20755 100% 2600 20,75% 540 tendrán un C.I. inferior a 0,7 c) ¿Cuántas tendrán un C.I. entre 0,8 y 1,15?
0,80,95) = Φ0,9091 Φ6818 Pr0,8
36. La estatura de la población masculina está normalmente distribuida con .
=
= y
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre tenga una estatura: (i) mayor que 167 cm?;
PrX > 167 =1PrX≤167 = 1 Φ (167167 3 ) = 1 Φ0 =10,5=0,5 (ii) mayor que 170 cm?;
PrX > 170 =1PrX≤170 = 1 Φ (170167 3 ) = 1 Φ1 =10,8493=0,1507 (iii) entre 161 y 173 cm?
161167) = Φ2 Φ2 Pr161
PrX > 170 =1PrX≤170 = 1 Φ (170167 3 ) = 1 Φ1 =10,8493=0,1507 Pr = 4 = 0,1507 =5,1576×10− (ii) dos tengan estatura menor que la media (y dos mayor que Ia media)?
= 2 = 0,5 =0,375 38. La estatura de la población masculina y femenina siguen leyes de distribución normal. La masculina tiene my cm y la femenina my cm. Se tiene una pareja en la cual el varón mide 1,70cm y la mujer 1,60m. Comparativamente ¿Cuál de los dos es más alto respecto a los miembros de su sexo?
=, =
=, =
MASCULINA
=1,67m =0,12m
PrX<170 = Φ(1,701,67 0,12 ) = Φ0,25 =0,5987 FEMENINA
=1,58m =0,10m
PrX<170 = Φ(1,601,58 0,1 ) = Φ0,5 =0,6915 Dado que en la población masculina la probabilidad de que midan menos de 1,70 cm es de 0,5987 y en la población femenina la probabilidad de que midan menos de 1,60 cm es de 0,6915 podemos decir que la mujer es más alta respecto a los miembros de su sexo.
40. Los tiempos de Ia primera avería de una máquina de cierta marca tienen distribución gaussiana con un promedio de 1500 horas de uso y desviación estándar de 200 horas. a) ¿Qué fracción de esas máquinas fallarán antes de 1000 horas?;
31 PrX<1000 = Φ(10001500 ) = Φ2,5 =0,0062= 200 5000 b) ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que deba dar el fabricante si desea que solo se presente el 5% de las averías dentro del tiempo de garantía?
PrX < t =0,05 ⇒ Φ(1500 200 )=0,05 ⇒ 1500 200 =1,695 ⇒ =1171 El tiempo de garantía que deba dar el fabricante si desea que solo se presente el 5% de las averías dentro del tiempo de garantía debe ser de 1171 horas aproximadamente.
42. En el grupo étnico A, la estatura de las personas (en cm) sigue una distribución, ; en el grupo étnico B sigue una y en el grupo C una . Los tres grupos étnicos son muy numerosos.
;
;
;
a) Si elegimos una persona del grupo A, ¿cuál es la probabilidad de que mida más de 160 cm
PrX > 160 =1PrX≤160 = 1 Φ (160165 5 ) = 1 Φ1 =10,1587=0,8413 b) Si elegimos 10 personas al azar del grupo étnico A, independientemente unas de otras, ¿cuál es la probabilidad de que 5 de ellas midan más de 160 cm?;
PrX > 160 =0,8413 160 = {0,1, = 5 = 0,841310,8413 =0,01069 c) En una ciudad, el 50% de Ia población pertenece a la etnia A, el 20 % pertenece a la B y el30% restante a la C. Si elegimos una persona a l azar en esta ciudad y mide más de 172 cm, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo étnico C?; GRUPO A
PrX > 172 =1PrX≤172 = 1 Φ (172165 5 ) = 1 Φ1,4 =10,9192=0,0808 GRUPO B
PrX > 172 =1PrX≤172 = 1 Φ (172170 5 ) = 1 Φ0,4 =10,6554=0,3446 GRUPO C
PrX > 172 =1PrX≤172 = 1 Φ (172175 5 ) = 1 Φ0,6 =10,2743=0,7257 Sea el evento D “mide más de 172”
Pr = ∩ + ∩ + ∩ =0,5×0,0808+0,2×0,3446+0,3×0,7257=0,32703 | = ∩ =0,665718 d) Si elegimos 10 personas al azar del grupo B, independientemente unas de otras, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 5 midan más de 172 cm?
PrX > 172 =1PrX≤172 = 1 Φ (172170 5 ) = 1 Φ0,4 =10,6554=0,3446 = 5 = 0,344610,3446 =0,2367
;
. Se 44. La anchura, en mm, de una población de coleópteros sigue una distribución estima que el 77% de la población mide menos de 12 mm y que el 84% mide más de 7 mm. Halle los parámetros de Ia ley.
PrX<12 = Φ(12 )=0,77=Φ0,74 PrX > 7 = 1 Φ (7 )=0,84 Basta resolver el sistema de ecuaciones
0,74+=12 {0,99+=7 De donde =2,89≈3 y =9,86≈10
