Sebenta ALGA 10_11

´ Sebenta de Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica

Francisco Miranda Joana Pires

Isabel Ara´ ujo S´ onia Dias

´ Sebenta de Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica

Apontamentos dirigidos aos cursos: Engenharia Alimentar Engenharia Civil e Ambiente Engenharia Electr´ onica e Redes de Computadores Engenharia Inform´ atica Engenharia de Sistemas de Energias Renov´ aveis Tecnologias da Computa¸c˜ ao Gr´ afica e Multimédia Gest˜ ao Engenharia e Tecnologias dos Materiais

Escola Superior de Tecnologia e Gestão Instituto Politécnico de Viana do Castelo 2010/2011

Conte´ udo 1 Sistemas de equa¸c˜ oes lineares. Matrizes 1.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Sistemas de equa¸cões lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Método de Elimina¸cão de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Defini¸cão de matriz e submatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Alguns tipos particulares de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Opera¸cões elementares com matrizes. Resolu¸cão de sistemas - Método de elimina¸cão de Gauss . . . . 1.2.4 Resolu¸cão de sistemas - Método de Elimina¸cão de Gauss-Jordan 1.2.5 Discussão de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Sistemas Homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Opera¸cões com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 Aplica¸cão da inversa de matrizes na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Solu¸cões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Fichas Práticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Representa¸cão de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Opera¸cões elementares sobre linhas. Resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Opera¸cões com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Matrizes invert´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Determinantes e suas aplica¸ c˜ oes 2.1 Métodos de cálculo de determinantes . . . . . . . 2.2 Aplica¸cões dos determinantes . . . . . . . . . . . 2.2.1 Cálculo da inversa de uma matriz . . . . 2.2.2 Resolu¸cão de Sistemas de equa¸cões lineares 3

. . . -

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regra de Cramer

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7 7 7 9 12 12 14 15 17 18 20 21 32 34 54 62 62 69 72 78 81 81 88 88 90

2.3 2.4 2.5

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . Solu¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . Fichas Práticas . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Determinante de uma matriz .

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3 Espa¸ cos e Subespa¸cos Vectoriais 3.1 Espa¸cos Vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Defini¸cão e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Combina¸cão Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Dependência e independência linear . . . . . . . . 3.1.4 Conjunto de geradores . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Base e dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Subespa¸cos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Solu¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Fichas Práticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Combina¸cões lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Independência/Dependência linear . . . . . . . . 3.5.3 Base e dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Coordenadas de um vector em rela¸cão a uma base 3.5.5 Matrizes Mudan¸ca de Base . . . . . . . . . . . . . 4 Aplica¸ c˜ oes Lineares 4.1 Modos de definir uma aplica¸cão linear . . . . . . . . . 4.2 Opera¸cões com aplica¸cões lineares . . . . . . . . . . . 4.3 Classifica¸cão das aplica¸cões lineares . . . . . . . . . . 4.3.1 N´ ucleo de uma aplica¸cão linear . . . . . . . . 4.3.2 Espa¸co Imagem de uma aplica¸cão linear . . . 4.3.3 Dimensão do n´ ucleo e do espa¸co imagem . . . 4.4 Diagonaliza¸cão de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Vectores e valores próprios . . . . . . . . . . . 4.4.2 Matrizes diagonalizáveis . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Processo de diagonaliza¸cão de uma matriz . . 4.5 As aplica¸cões lineares nas matrizes mudan¸ca de base 4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Solu¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Fichas Práticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Transforma¸cões lineares. Imagem e n´ ucleo . . 4

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95 107 109 109

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115 . 115 . 115 . 120 . 124 . 128 . 132 . 138 . 147 . 158 . 162 . 162 . 166 . 169 . 170 . 172

. . . . . . . . . . . . . . .

175 . 175 . 180 . 181 . 181 . 184 . 186 . 187 . 188 . 189 . 191 . 192 . 194 . 203 . 207 . 207

4.8.2

Valores e vectores próprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

5 Geometria Anal´ıtica 5.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Espa¸co Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Problemas não métricos entre subespa¸cos afins . . . . . . . . . 5.3 Problemas métricos entre subespa¸cos afins . . . . . . . . . . . 5.3.1 Distância entre subespa¸cos afins de R3 . . . . . . . . . 5.3.2 Amplitude do ângulo formado por dois subespa¸cos afins 5.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografia

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219 . 219 . 219 . 226 . 229 . 229 . 232 . 235 269

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6

Cap´ıtulo 1 Sistemas de equa¸ c˜ oes lineares. Matrizes 1.1 1.1.1

Introdu¸c˜ ao Sistemas de equa¸ c˜ oes lineares

Dada a importância e a aplicabilidade dos sistemas de equa¸cões lineares, recordemos os conceitos de equa¸cão linear e sistema de equa¸cões lineares. Defini¸c˜ ao 1.1.1 Uma equa¸cão linear nas vari´ aveis x1 , . . . , xn é uma equa¸c˜ ao da forma a1 x 1 + . . . + an x n = b (1.1) onde a1 , . . . , an , b são n´ umeros reais ou complexos. Os ai , i = 1, . . . , n s˜ ao os coeficientes e b é o termo independente da equa¸c˜ ao. Exemplo 1.1.1 As equa¸cões √

2x − y + 3z = 5,

(1.2)

x − 2y = 1

(1.3)

x=1

(1.4)

e s˜ ao equa¸cões lineares, enquanto que as equa¸c˜ oes 2xy − z = 1 e x2 + y = 3 n˜ ao s˜ ao lineares devido aos termos 2xy e x2 , respectivamente. 7

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˜ CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES. MATRIZES

Defini¸ c˜ ao 1.1.2 O conjunto de solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao a1 x1 + . . . + an xn = b é: {(r1 , . . . , rn ) ∈ Cn : a1 r1 + . . . + an rn = b} . No conjunto R os conjuntos solu¸cão das equa¸cões (1.2), (1.3) e (1.4) do Exemplo 1.1.1, são respectivamente: n o √ (x, y, z) ∈ R3 : 2x − y + 3z = 5 , (x, y) ∈ R2 : x − 2y = 1} , {x ∈ R : x = 1} . ´ de salientar que o conjunto solu¸cão de uma equa¸cão varia de acordo com o conjunto E definido. Consideremos a equa¸cão linear x − 2y = 1. Em R2 esta equa¸cão tem infinitas solu¸cões reais, como por exemplo (2, 1/2) , enquanto que em C2 tem essas mesmas solu¸cões, mais as infinitas solu¸cões complexas, como por exemplo (2 + i, (1 + i) /2) , ou seja, o conjunto (x, y) ∈ C2 : x − 2y = 1} ⊃ (x, y) ∈ R2 : x − 2y = 1 . Defini¸ c˜ ao 1.1.3 Um sistema de m equa¸c˜ oes lineares com   a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn    a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn .. .. .. .. . . . ..  . .. . . . . .    a x + a x + ... + a x m1 1

m2 2

mn n

n inc´ ognitas é da forma = b1 = b2 .. .. . . = bm

(1.5)

onde os aij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n e bi s˜ ao escalares (reais ou complexos) e designam-se, respectivamente, por coeficientes e termos independentes. Caso nada se diga em contrário, consideramos que os escalares são reais e o conjunto solu¸cão está contido em Rn . Defini¸ c˜ ao 1.1.4 O conjunto de solu¸c˜ oes (ou apenas conjunto solu¸c˜ ao) do sistema (1.5) é {(r1 , . . . , rn ) ∈ Rn : (r1 , . . . , rn ) é solu¸c˜ ao de cada uma das m equa¸c˜ oes do sistema} ou seja, o conjunto solu¸cão é a interseçc˜ ao dos conjuntos solu¸c˜ ao de cada uma das m equa¸c˜ oes do sistema. Os sistemas de equa¸cões podem ser classificados tendo em conta o seu conjunto solu¸cão. Um sistema diz-se poss´ıvel quando há uma ou mais solu¸cões comuns às equa¸cões que o constituem, sendo determinado se admite uma u ńica solu¸cão e indeterminado quando tem várias solu¸cões. O sistema é imposs´ıvel se as equa¸cões não têm solu¸cão comum. Defini¸ c˜ ao 1.1.5 Dois sistemas são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solu¸c˜ ao. Os problemas essenciais relativamente aos sistemas de equa¸cões lineares que vamos abordar dizem respeito à sua resolu¸cão e classifica¸cão.

˜ 1.1. INTRODUC ¸ AO

1.1.2

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M´ etodo de Elimina¸ c˜ ao de Gauss

A utiliza¸cão do método de substitui¸cão para a resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares torna-se por vezes demasiado exaustiva. Esta exaustão é tanto maior quanto maior for o n´ umero de equa¸cões e incógnitas do sistema. A introdu¸cão de um método que permite a transforma¸cão de um dado sistema de equa¸cões lineares noutro equivalente, mais simples de resolver, é então o objectivo desta subseçcão. O método que vamos estudar designa-se por M´ etodo de Elimina¸ c˜ ao de Gauss, ou simplesmente M´ etodo de Gauss. A descri¸cão deste método será feita com base no exemplo que se segue. Exemplo 1.1.2 Dado o sistema   2x + y + 4z = 2 6x + y = −10  −x + 2y − 10z = −4

(1.6)

simplifiquemos este sistema, utilizando o Método da Elimina¸c˜ ao de Gauss. 1o Passo: Identificar o 1◦ elemento pivot, que é um escalar n˜ ao nulo. Consideremos como pivot, deste primeiro passo de elimina¸c˜ ao, o coeficiente 2 da inc´ ognita x na 1a equa¸cão. Assim, vamos somar m´ ultiplos da 1a equa¸c˜ ao ` as restantes, de forma a eliminar o termo em x dessas equa¸cões. Assim, obtemos  + 4z = 2  2x + y −2y − 12z = −16  5 y − 8z = −3 2 2o Passo: No segundo passo de elimina¸cão, identifica-se o 2◦ elemento pivot, coeficiente −2 da inc´ ognita y na 2a equa¸cão e soma-se ` a 3a equa¸c˜ ao um m´ ultiplo da 2a , de forma a eliminar o termo em y da 3a equa¸c˜ ao, obtendo-se  + 4z = 2  2x + y −2y − 12z = −16 . (1.7)  −23z = −23 Termina, assim, o método de elimina¸c˜ ao de Gauss. Nos vários passos utilizados, foram efectuadas as seguintes opera¸cões, designadas por opera¸cões elementares (sobre equa¸cões): i) Multiplicar uma equa¸cão por um escalar não nulo;

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ii) Adicionar a uma equa¸cão um m´ ultiplo de uma outra equa¸cão. Nota: A multiplica¸cão de equa¸cões de um sistema por zero pode alterar a solu¸cão do sistema. ´ conveniente salientar que nem sempre é directa a aplica¸cão do método de elimiE na¸cão de Gauss. Surgem dificuldades quando um elemento que se pretende usar como pivot é zero. Mas esta dificuldade de aplica¸cão do método, pode ser ultrapassada, trocando a equa¸cão em que o elemento é nulo por uma das equa¸cões seguintes, ou seja, considerando uma outra opera¸cão elementar: iii) Trocar a posi¸cão de duas quaisquer equa¸cões. Pode acontecer que a troca de equa¸cões não resolva a dificuldade. Assim, temos que identificar o pivot, ignorando a coluna em que todos os candidatos a pivot são nulos e considerar a coluna relativa à incógnita seguinte. Nestes casos o sistema não tem solu¸cão ou tem um conjunto infinito de solu¸cões. Exemplo 1.1.3 Suponhamos que temos o  x + 3y − 5z    az y + 7z    y + (7 + a) z

seguinte sistema + w = 0 + 6w = b , a, b ∈ R. + 8w = 1 + 2w = 1

Como o coeficiente da 1a incógnita de todas as equa¸c˜ oes, excepto da 1a equa¸c˜ ao, é ◦ zero, temos que identificar o 2 elemento pivot que é o coeficiente da inc´ ognita y na 2a equa¸c˜ ao. Surge-nos um problema: o elemento que queremos usar como pivot é zero, logo a alternativa é trocar a 2a equa¸c˜ ao pela 3a equa¸c˜ ao, obtendo-se:  x + 3y − 5z + w = 0    y + 7z + 8w = 1 . az + 6w = b    y + (7 + a) z + 2w = 1 Podemos, então, continuar com o processo, eliminando a inc´ ognita y da u ´ltima equa¸c˜ ao, ◦ sendo o 2 elemento pivot igual a 1. Desta forma surge:  x + 3y − 5z + w = 0    y + 7z + 8w = 1 . az + 6w = b    az − 6w = 0 Agora, identifiquemos o 3◦ elemento pivot. Se a = 0, temos,  x + 3y − 5z + w = 0    y + 7z + 8w = 1 , 6w = b    −6w = 0


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e, neste caso, o 3◦ elemento pivot é zero e a troca de equa¸c˜ oes n˜ ao resolve a dificuldade. Portanto o sistema não tem solu¸c˜ ao ou tem um conjunto infinito de solu¸c˜ oes, como ◦ iremos concluir. Tomando, agora, 6 como 4 elemento pivot, elimina-se a u ´ltima inc´ ognita da u ´ltima equa¸cão. Tem-se, ent˜ ao:  x + 3y − 5z + w = 0    y + 7z + 8w = 1 . 6w = b    0 = b Ent˜ ao: • Se b = 0, z tem um valor arbitr´ ario e o sistema tem infinitas solu¸c˜ oes (sistema poss´ıvel indeterminado); • Se b 6= 0, então a u ´ltima equa¸c˜ ao “ 0 = b” é uma condi¸c˜ ao falsa e o sistema não tem solu¸cão (sistema imposs´ıvel). Se a 6= 0 podemos considerar “ a” como 3o pivot e prosseguir com a resolu¸c˜ ao do sistema. ´ fácil generalizar e perceber como é poss´ıvel aplicar este método a outros sistemas E de m equa¸cões lineares a n incógnitas. Podemos esquematizar do seguinte modo: • Ordena-se o sistema, colocando todos os termos com incógnita no 1◦ membro, alinhando por colunas os termos referentes a cada incógnita; • Considera-se o 1◦ pivot, o coeficiente da 1a incógnita da 1a equa¸cão, se este for não nulo. Caso contrário, troca-se a 1a equa¸cão por outra em que o coeficiente da 1a incógnita seja não nulo, passando esse elemento a ser o 1◦ pivot; • Elimina-se a 1a incógnita de todas as equa¸cões, excepto da 1a equa¸cão (1◦ pivot); • Identifica-se o 2◦ pivot, de modo análogo ao 1◦ pivot, considerando o subsistema obtido a partir do anterior, retirando a equa¸cão que contêm o 1◦ pivot e as que se encontrarem antes dessa, caso haja; • Anulam-se os coeficientes por baixo do 2◦ pivot, de forma a eliminar a 2a incógnita de todas as equa¸cões, excepto das anteriores; • Procede-se analogamente nas equa¸cões seguintes, tomando-se para pivot da equa¸cão r o coeficiente não nulo que multiplica a k-ésima incógnita, com k ≥ r, até se chegar à u ´ltima equa¸cão, altura em que o método de elimina¸cão termina. Uma sequência finita de opera¸cões elementares (método de elimina¸cão de Gauss) sobre as equa¸cões lineares de um sistema permite então transformar esse sistema noutro equivalente e portanto com o mesmo conjunto solu¸cão.

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Voltemos novamente ao sistema 1.7 obtido no in´ıcio desta subseçcão. Se observarmos o sistema, verificamos que aplicando a este o método de substitui¸cão, da u ´ltima para a primeira equa¸cão, facilmente obtemos o seu conjunto solu¸cão, C.S. = {(−2, 2, 1)} . Uma vez que o sistema 1.7 é obtido a partir do sistema 1.6 por aplica¸cão do método de elimina¸cão de Gauss, estes dois sistemas são equivalentes e portanto {(−2, 2, 1)} é também o conjunto solu¸cão do sistema inicial 1.6.

1.2 1.2.1

Matrizes Defini¸ c˜ ao de matriz e submatriz

Apesar de num sistema estarem sempre presentes as incógnitas, os coeficientes das incógnitas e os termos independentes, na simplifica¸cão de sistemas de equa¸cões lineares pelo método de elimina¸cão de Gauss só se trabalha efectivamente sobre os coeficientes das incógnitas e os termos independentes. Ou seja, somente estes escalares, nas respectivas posi¸cões, são importantes. Assim, mantendo as equa¸cões cuidadosamente alinhadas, termo a termo, respeitando a parte literal, os coeficientes podem ser eficientemente organizados numa disposi¸cão rectangular, designada por matriz. A utiliza¸cão de matrizes permite simplificar consideravelmente a nota¸cão dos sistemas. No Exemplo 1.1.2 os coeficientes que afectam as incógnitas são 9 e distribuem-se por 3 linhas e 3 colunas, o que significa que formam uma matriz 3 × 3, designada por matriz dos coeficientes,   2 1 4 (1.8) A =  6 1 0 . −1 2 −10 Os 3 termos independentes que aparecem no lado direito das equa¸cões do sistema podem ser indicados na forma de uma matriz 3 × 1, a qual se designa por matriz coluna dos termos independentes,   2 B =  −10  . (1.9) −4 Utilizando a nota¸cão matricial podemos representar o sistema na forma [A|B], i.e.,   2 1 4 2  6 1 0 −10  , (1.10) −1 2 −10 −4 a qual se designa por matriz ampliada ou matriz completa do sistema.

1.2. MATRIZES

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Defini¸c˜ ao 1.2.1 Uma matriz A do tipo m×n sobre R (ou C) é um arranjo rectangular com mn elementos reais (ou complexos) que est˜ ao organizados em m linhas e n colunas. Podemos então representar:   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n    A =  .. .. ..  . . .  . . . .  am1 am2 . . . amn Normalmente, utilizam-se letras mai´ usculas para denotar matrizes e as respectivas letras min´ usculas indexadas com dois ´ındices para designar os elementos ou entradas dessas matrizes. Por exemplo, o elemento da linha i coluna j da matriz A denota-se por aij . Portanto, podemos representar abreviadamente a matriz A por A = [aij ] , onde i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Representa-se a linha i da matriz A e a coluna j da matriz A, respectivamente, por ai· e a·j . Exemplo 1.2.1 Na matriz (1.8), a21 = 6, porque o elemento 6 da matriz localiza-se na 2a linha e 1a coluna. Defini¸c˜ ao 1.2.2 Seja A uma matriz do tipo m × n. Caso se eliminem m − l linhas e n − k colunas de A, obtém-se uma matriz A0 do tipo l × k, que é uma submatriz de A. Exemplo 1.2.2 Consideremos a seguinte  1 A =  −2 9

matriz do tipo 3 × 4 :  2 3 4 −4 3 2  0 0 2

(1.11)

Se eliminarmos a u ´ltima linha e as duas primeiras colunas, obtemos 0 3 4 A = 3 2 que é uma submatriz de A do tipo 2 × 2. Das matrizes referidas atrás, podemos concluir que quer a matriz (1.8), quer a matriz (1.9), são submatrizes da matriz ampliada (1.10). Defini¸c˜ ao 1.2.3 Uma matriz diz-se real se todos os seus elementos s˜ ao n´ umeros reais. Exemplo 1.2.3

1. A matriz (1.11) é real. ln 2 π 0,√53 é real. 2. A matriz B = 1 7 2 5 √ 2i 3 3. A matriz C = n˜ ao é real. C é uma matriz complexa. 4 + 5i 0

Caso não seja dito nada em contrário, as matrizes que vamos considerar serão matrizes reais.


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1.2.2

Alguns tipos particulares de matrizes

Defini¸ c˜ ao 1.2.4 Uma matriz do tipo m × n diz-se rectangular se m 6= n. Em particular, temos as seguintes defini¸cões: Defini¸ c˜ ao 1.2.5 Uma matriz do tipo 1 × n chama-se matriz linha: a11 a12 . . . a1n . Defini¸ c˜ ao 1.2.6 Uma matriz do tipo m × 1 chama-se matriz coluna:   a11  a21     ..  .  .  am1 Exemplo 1.2.4 1. A matriz (1.11) do tipo 3 × 4 e a matriz (1.9) do tipo 3 × 1 s˜ ao matrizes rectangulares. Em particular, a matriz (1.9) é uma matriz coluna. 2. A matriz 2 1 4 7 é uma matriz linha. Nota: As matrizes linha e coluna também se designam por vectores linha e coluna, respectivamente. Defini¸ c˜ ao 1.2.7 Uma matriz do tipo m × n diz-se  a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   .. .. . . .  . . .. . an1 an2 . . . ann

quadrada se m = n :    . 

As matrizes quadradas do tipo n × n são, geralmente, designadas por matrizes de ordem n. Por exemplo, a matriz (1.8) é uma matriz quadrada de ordem 3. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A diagonal principal de A é formada pelos elementos a11 , a22 , . . . , ann e a diagonal secundária de A é formada pelos elementos a1n , a2 n−1 , . . . , an1 . Existem alguns casos particulares de matrizes quadradas: • Matriz triangular: matriz quadrada, cujos elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, designando-se por matriz triangular inferior, se for da forma:   a11 0 . . . 0  a21 a22 . . . 0     .. .. . . ..  ,  . . . .  an1 an2 . . . ann

1.2. MATRIZES

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e matriz triangular superior, se for da forma:  a11 a12 . . . a1n  0 a22 . . . a2n   .. .. . . .  . . .. . 0 0 . . . ann

   . 

• Matriz diagonal: matriz quadrada, cujos elementos acima e abaixo da diagonal principal são todos nulos,   a11 0 . . . 0  0 a22 . . . 0     .. .. . . ..  .  . . .  . 0 0 . . . ann • Matriz escalar: matriz diagonal, cujos elementos da diagonal principal tomam todos o mesmo valor,   a 0 ... 0  0 a ... 0     .. .. . . ..  .  . . . .  0 0 ... a • Matriz identidade: matriz escalar, cujos o valor 1,  1 0 ...  0 1 ...   .. .. . .  . . . 0 0 ...

elementos da diagonal principal têm 0 0 .. .

   . 

1

A matriz identidade de ordem n, representa-se por In .

1.2.3

Opera¸ c˜ oes elementares com matrizes. Resolu¸ c˜ ao de sistemas - M´ etodo de elimina¸ c˜ ao de Gauss

Vamos então simplificar sistemas de equa¸cões lineares na forma matricial aplicando o método de elimina¸cão de Gauss. Vejamos a sucessão de matrizes que se obtêm efectuando transforma¸cões sobre as linhas, equivalentes às que efectuamos sobre as equa¸cões do Exemplo 1.1.2.     −−−−−−−−−−−−−−→ 2 1 4 2 2 1 4 2 −3L + L2 −→ L2  0 −2 −12 −16  [A|B] =  6 1 0 −10  1 1 L1 + L3 −→ L3 2 −8 −3 0 52 −1 2 −10 −4   −−−−−−−−−−−−→ 2 1 4 2 5 L2 + L3 −→ L3  0 −2 −12 −16  4 0 0 −23 −23

16


Compare cada uma das matrizes com os sistemas de equa¸cões lineares do exemplo 1.1.2. Facilmente verificamos que as matrizes ampliadas de qualquer sistema se obtêm umas das outras aplicando opera¸cões elementares sobre linhas, equivalentes às opera¸cões elementares já referidas para equa¸cões: i) Multiplicar uma linha por um escalar não nulo; ii) Adicionar a uma linha da matriz um m´ ultiplo de outra linha; iii) Trocar a posi¸cão de duas linhas da matriz. Estas opera¸cões designam-se por opera¸ c˜ oes elementares de matrizes sobre linhas. O mesmo pode acontecer com as colunas. Defini¸ c˜ ao 1.2.8 Duas matrizes dizem-se equivalentes se uma delas pode ser obtida da outra, realizando-se um n´ umero finito de opera¸c˜ oes elementares de matrizes. Exemplo 1.2.5 Podemos dizer que a matriz (1.8) é equivalente ` a matriz: 

 2 1 4  0 −2 −12  0 0 −23 e a matriz ampliada (1.10) é equivalente ` a matriz 

2 1 4  0 −2 −12 0 0 −23

 2 16  . −23

Vimos, então, que a simplifica¸cão de um sistema de equa¸cões lineares, aplicando o método de Gauss, se torna mais fácil se utilizarmos a nota¸cão matricial. No entanto, se o nosso objectivo for determinar o conjunto solu¸cão do sistema, temos que reescrever a u ´ltima matriz na forma de sistema de equa¸cões e resolvê-lo pelo método de substitui¸cão. Contudo, o método de elimina¸cão de Gauss não se aplica só para simplificar matrizes que representam sistemas de equa¸cões lineares. Em geral, este método, quando aplicado às matrizes, tem por objectivo a obten¸cão de uma matriz que se designa por matriz escalonada. Defini¸ c˜ ao 1.2.9 Designa-se por matriz escalonada uma matriz onde o n´ umero de zeros precedentes ao primeiro elemento n˜ ao nulo da linha aumenta de linha para linha até que, se poss´ıvel, só sobrem linhas nulas.

1.2. MATRIZES

17

Por exemplo, a matriz      

∗ 0 0 0 0

× ∗ 0 0 0

× × 0 0 0

× × ∗ 0 0

× × × ∗ 0

× × × × 0

   ,  

é uma matriz escalonada, onde ∗ é elemento pivot (primeiro elemento não nulo em cada linha) e × são elementos que podem, ou não, ser nulos. Por vezes, as matrizes escalonadas são designadas por matrizes condensadas, da´ı que alguns autores designem o processo de transformar uma matriz numa matriz escalonada, através das opera¸cões elementares de matrizes (método de elimina¸cão de Gauss), por m´ etodo da condensa¸ c˜ ao de matrizes. Defini¸c˜ ao 1.2.10 Designa-se por matriz escalonada reduzida uma matriz escalonada em que os seus elementos pivot s˜ ao iguais a 1 e os u ńicos n˜ ao nulos das suas colunas. Por exemplo, a matriz      

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

× × 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

× × × × 0

   ,  

é uma matriz escalonada reduzida. Podemos sempre através de opera¸cões elementares escalonar uma matriz, isto é, identificar sucessivamente o elemento pivot e anular todos os elementos da mesma coluna que se encontrem abaixo deste - M´ etodo de elimina¸ c˜ ao de Gauss. E ainda reescrever esta matriz escalonada como uma matriz escalonada reduzida ou seja, transformar os elementos pivot no n´ umero real 1 e anular todos os elementos da mesma coluna que se encontrem acima deste - M´ etodo de Jordan.

1.2.4

Resolu¸ c˜ ao de sistemas - M´ etodo de Elimina¸ c˜ ao de GaussJordan

Tal como já vimos, depois de aplicar o método de elimina¸cão de Gauss na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares na forma matricial, transformamos a matriz ampliada escalonada num sistema de equa¸cões lineares e, pelo método de substitui¸cão determinamos o conjunto solu¸cão do sistema. Alternativamente à segunda fase deste processo de resolu¸cão (método de substitui¸cão) podemos, mantendo o sistema na forma matricial, determinar o seu conjunto solu¸cão. Para tal, basta transformar a matriz ampliada escalonada numa matriz escalonada reduzida e retirar directamente, a partir desta, a solu¸cão do sistema. Este processo de resolu¸cão designa-se por m´ etodo de


18

Elimina¸ c˜ ao de Gauss-Jordan. Aplicando o método de elimina¸cão de Gauss-Jordan ao sistema do exemplo 1.1.2 temos     −−−−−−−−−−−−−−→ 2 1 2 1 4 2 4 2 −3L + L2 −→ L2  0 −2 −12 −16  [A|B] =  6 1 0 −10  1 1 L + L −→ L 1 3 3 2 −1 2 −10 −4 0 52 −8 −3   2 −−−1−−−−−−−−→ 2 L3 −→ L3  −16  − 23 0 1 − L −→ L2 2 2 −23 0   −2 2 −−−−−−−−−−−−−→   2 −1L2 + L1 −→ L1 0 1 0   −−−−−−−−→ 1 0 0 −2 1 L1 −→ L1  0 1 0 2  . 2 0 0 1 1

 −−−−−−−−−−−−→ 2 1 5 L2 + L3 −→ L3  0 −2 4 0 0  −−−−−−−−−−−−−−→ 2 1 −6L3 + L2 −→ L2  0 1 −4L3 + L1 −→ L1 0 0

4 −12 −23 0 0 1

 1 4 2 1 6 8  0 1 1  0 0 −4 1 0 2  0 1 1

Logo C.S. = {(−2, 2, 1)} Estudamos então dois processos para a resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares ambos com um princ´ıpio de resolu¸cão comum, o método de elimina¸cão de Gauss. Este método consiste em transformar a matriz ampliada que define o sistema numa matriz escalonada. Depois de obtida esta matriz, dois processos podem ser utilizados: • Escrever a matriz escalonada na forma de um sistema de equa¸cões lineares e terminar a resolu¸cão do sistema utilizando o método de substitui¸cão; • Continuar a aplicar as opera¸cões elementares de matrizes, até obter uma matriz escalonada reduzida (método de Jordan).

1.2.5

Discuss˜ ao de sistemas

Dado um sistema de equa¸cões lineares podemos, sem conhecer o seu conjunto solu¸cão, classificá-lo. Quando o sistema é indeterminado, há um certo n´ umero de variáveis, chamadas vari´ aveis livres, que podem tomar valores arbitrários. O n´ umero de variáveis deste tipo definem o seu grau de indetermina¸cão. Estas variáveis são as correspondentes a colunas que não contêm pivots. As incógnitas que se exprimem em fun¸cão das variáveis livres, chamadas inc´ ognitas principais, são obviamente, as correspondentes a colunas que contêm pivots. O n´ umero de pivots é igual ao n´ umero das incógnitas principais e é igual ao n´ umero de linhas não nulas, no final do processo de elimina¸cão. A este n´ umero chama-se caracter´ıstica da matriz do sistema. Formalmente, podemos então definir:

1.2. MATRIZES

19

Defini¸c˜ ao 1.2.11 A caracter´ıstica de uma matriz A é o n´ umero de linhas n˜ ao nulas da matriz na sua forma escalonada e representa-se por r(A) ou c(A). Nota: Se todos os elementos de uma linha de uma matriz são nulos, diz-se que essa linha é nula. Exemplo 1.2.6 Consideremos   2x + y + 4z 6x + y 1.  −2x + 2y − 10z 2 1  como já vimos, 0 −2 0 0

2.

 

x − 2y − 3z x − 4y − 13z  −3x + 5y + 4z   1 −2 −3 2  1 −4 −13 14  . −3 5 4 0

os seguintes sistemas: = 2 = −10 , cuja matriz ampliada escalonada pode ser, = −4  4 2 −12 −16  e o conjunto solu¸c˜ ao é {(−2, 2, 1)} . −23 −23 = 2 = 14 , cuja matriz ampliada correspondente é = 0 Aplicando as opera¸c˜ oes elementares de matrizes sobre

 1 −2 −3 2 5 −6  , a linhas, podemos obter a matriz ampliada escalonada  0 1 0 0 0 0 partir da qual obtemos o conjunto solu¸c˜ ao: 

{(−10 − 7z, −6 − 5z, z) : z ∈ R} .  

x − 2y − 3z = 2 x − 4y − 13z = 14 , cuja matriz ampliada correspondente 3.  −3x + 5y + 4z = 2    1 −2 −3 1 −2 −3 2  1 −4 −13 14  e a matriz ampliada escalonada  0 1 5 −3 5 4 2 0 0 0

é  2 −6  . 2

Deduz-se, então, que o conjunto solu¸c˜ ao do sistema é o conjunto vazio, Ø, que também se pode representar por {} . Analisando as matrizes ampliadas escalonadas dos três sistemas acima descritos, os respectivos conjuntos solu¸cão, e considerando que [A|B] representa a matriz ampliada, A a matriz dos coeficientes, ambas escalonadas, e nincg o n´ umero de inc´ ognitas do sistema, temos:


20

Sistema nincg

r(A) r([A|B])

Conjunto solu¸cão

1.

3

3

3

{(−2, 2, 1)}

2.

3

2

2

{(−10 − 7z, −6 − 5z, 7) : z ∈ R}

3.

3

2

3

Ø

Classifica¸cão do sistema Sistema poss´ıvel determinado Sistema poss´ıvel indeterminado Sistema imposs´ıvel

Tabela 1.1: Classifica¸cões dos sistemas anteriores, através da caracter´ıstica e do n´ umero de incógnitas. Analisando criteriosamente, podemos concluir que: • r([A|B]) =r(A) = nincg : sistema poss´ıvel e determinado, • r([A|B]) =r(A) < nincg : sistema poss´ıvel e indeterminado, • r([A|B]) 6=r(A): sistema imposs´ıvel. O grau de indetermina¸cão, ou seja, o n´ umero de variáveis livres de um sistema de equa¸cões linares é igual a nincg −r(A) .

1.2.6

Sistemas Homog´ eneos

Defini¸ c˜ ao 1.2.12 Um sistema de todas as equa¸cões são nulos,    a11 x1 +   a21 x1 + .. ..  . .    a x + m1 1

homogéneo é um sistema cujos termos independentes isto é, a12 x2 a22 x2 .. . am2 x2

+ . . . + a1n xn = 0 + . . . + a2n xn = 0 .. . . . .. .. .. . . .. . . . . + . . . + amn xn = 0

Os sistemas homogéneos são sempre poss´ıveis, pois admitem sempre a solu¸cão nula (solu¸cão trivial), podendo ser determinados ou indeterminados. Teorema 1.2.1 Um sistema homogéneo com mais inc´ ognitas que equa¸c˜ oes é poss´ıvel indeterminado. Nota: Dado um sistema de equa¸cões lineares, designa-se por sistema homogéneo associado a ele o sistema que resulta do anterior por substitui¸cão de todos os termos independentes por zero.

1.2. MATRIZES

1.2.7

21

Opera¸ c˜ oes com matrizes

´ de todo, importante não ficarmos com a no¸cão de que as matrizes se utilizam E, apenas para representar e resolver sistemas de equa¸cões lineares. Visto que o campo de aplica¸cão das matrizes é muito vasto, abrangendo não só as diversas áreas da própria Matemática, desde a Análise até à Estat´ıstica e à Investiga¸cão Operacional, como as dos cursos de F´ısica, Engenharia, Economia, Agronomia, etc. Então, torna-se necessário fazer um estudo exaustivo sobre este novo conceito. No âmbito da disciplina, vamos apenas considerar matrizes e escalares reais, embora todos os resultados que vamos apresentar, no que diz respeito às matrizes, sejam também válidos no conjunto dos n´ umeros complexos.

Igualdade de matrizes Defini¸c˜ ao 1.2.13 Sejam A = [aij ] e B = [bij ] matrizes do tipo m × n. Diz-se que A e B s˜ ao matrizes iguais se aij = bij , ∀i, j, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Exemplo 1.2.7

1. As matrizes A =

1 3 5 0 1 −1

eB=

1 3 5 0 1 −1

s˜ ao ma-

trizes iguais do tipo 2 × 3. √ 1 2 4 (−1)2 2. As matrizes C = eD= s˜ ao matrizes quadradas iguais 16 3 4 3 4 de ordem 2.

Adi¸ c˜ ao de matrizes Defini¸c˜ ao 1.2.14 Sejam A = [aij ] e B = [bij ] matrizes do tipo m × n. A matriz soma S = A + B, é uma matriz do tipo m × n, onde S = [sij ] e sij = aij + bij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. 

  1 −1 3    Exemplo 1.2.8 Sejam A = 3 0 eB= 0 4 1 1       1 −1 3 2 4 1      A+B = 3 0 + 0 0 = 3 0  , em 4 1 1 0 5 1 3 × 2.

 2 0  matrizes do tipo 3×2. Então 0 que A + B é uma matriz do tipo

22


Propriedades da adi¸cão de matrizes: Teorema 1.2.2 Seja Mm×n o conjunto de todas as matrizes reais do tipo m × n. Ent˜ ao (i) (A + B) + C = A + (B + C) , ∀A, B, C ∈ Mm×n (ii) A + B = B + A, ∀A, B ∈ Mm×n (iii) ∃O ∈ Mm×n : A + O = O + A = A, ∀A ∈ Mm×n (iv) ∀A ∈ Mm×n , ∃A0 ∈ Mm×n : A + A0 = A0 + A = O Nota: A matriz O é uma matriz do tipo m × n em que todos os seus elementos são nulos e representa-se abreviadamente por O = [0]m×n .

Multiplica¸c˜ ao de matrizes por um escalar Defini¸ c˜ ao 1.2.15 O produto de uma matriz A = [aij ] do tipo m × n por um escalar λ é uma matriz C = [cij ] do mesmo tipo m × n, onde cij = λaij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. 

 1 3 1 Exemplo 1.2.9 Seja A =  −1 2 0  do tipo 3 × 3. 3 4 5 

  1 3 1 2 6    1. Para λ = 2, temos λA = 2 −1 2 0 = −2 4 3 4 5 6 8 matriz do tipo 3 × 3.    1 3 1 −1 2. Para λ = −1, temos λA = −1  −1 2 0  =  1 3 4 5 −3

 2 0  , em que 2A é uma 10  −3 −1 −2 0  = −A. −4 −5

Nota: Subtrair duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] do tipo m × n, não é mais do que somar A = [aij ] com −B = [−bij ] , visto que A + (−B) = A − B. Propriedades da multiplica¸cão de matrizes por um escalar: Teorema 1.2.3 Seja Mm×n o conjunto de todas as matrizes reais do tipo m × n. Ent˜ ao (i) λ (A + B) = λA + λB, ∀A, B ∈ Mm×n , ∀λ ∈ R (ii) (λ + µ) A = λA + µA, ∀A ∈ Mm×n , ∀λ, µ ∈ R

1.2. MATRIZES

23

(iii) (λµ) A = λ (µA) , ∀A ∈ Mm×n , ∀λ, µ ∈ R (iv) 1A = A, ∀A ∈ Mm×n (v) 0A = O, ∀A ∈ Mm×n

Multiplica¸c˜ ao de matrizes A multiplica¸cão da matriz A pela matriz B só é poss´ıvel se o n´ umero de colunas da matriz A é igual ao n´ umero de linhas da matriz B, sendo a matriz produto uma matriz, cujo n´ umero de linhas é igual ao n´ umero de linhas da matriz A e o n´ umero de colunas é igual ao n´ umero de colunas da matriz B. Defini¸c˜ ao 1.2.16 Sejam A e B duas matrizes do tipo m × n e n × q, respectivamente. A matriz produto, P = AB, é uma matriz do tipo m × q onde, P = [pij ] e pij =

n X

aik bkj , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ q.

k=1

3 1 2 0 −1 4

Exemplo 1.2.10 1. Sejam as matrizes A = do tipo 2 × 3 e B=   −2 0  1 7  do tipo 3 × 2. Como o n´ umero de colunas de A é 3 e o n´ umero de 1 −5 linhas de B é 3 o produto é poss´ıvel. Temos ent˜ ao 3 × (−2) + 1 × 1 + 2 × 1 3 × 0 + 1 × 7 + 2 × (−5) AB = 0 × (−2) + (−1) × 1 + 4 × 1 0 × 0 + (−1) × 7 + 4 × (−5) −3 −3 = , 3 −27 onde AB é uma matriz do tipo 2 × 2. ´ importante tomarmos consciência que se considerarmos a matriz coluna for2. E mada por todas as incógnitas do exemplo 1.1.2 , matriz X, designada por matriz das incógnitas, a matriz dos coeficientes A e a matriz dos termos independentes B, de acordo com a defini¸c˜ ao de multiplica¸c˜ ao de matrizes, temos 

     2 1 4 x 2 AX = B ⇔  6 1 0  .  y  =  −10  ⇔ −1 2 −10 z −4     2x + y + 4z 2  2x + y + 4z = 2  =  −10  ⇔ 6x + y 6x + y = −10 ⇔  −x + 2y − 10z −4 −x + 2y − 10z = −4 


24

Podemos então generalizar dizendo que, sendo A e B matrizes, do tipo n × n e n × 1, respectivamente e X uma matriz coluna n × 1, cujos elementos são as variáveis do sistema, facilmente se verifica que a equa¸cão AX = B representa um sistema de n equa¸cões com n incógnitas, em que A é a matriz dos coeficientes, B a coluna dos termos independentes e X a matriz coluna das variáveis. Analisemos algumas situa¸cões em que a multiplica¸cão de matrizes se comporta de modo diferente da multiplica¸cão efectuada com n´ umeros reais. 1. Dadas duas matrizes A e B, o facto de estar definido o produto AB não significa que esteja definido  o produto BA. Por exemplo, para as matrizes A = 0 3 2 1  e B = 1  , temos 0 −1 1   2 0 3 2 1   4 1 = AB = , 0 −1 1 1 2 mas BA não está definido, porque a matriz B tem 1 coluna e A tem 2 linhas. 2. Dadas duas matrizes A e B, o facto dos produtos AB e BA estarem definidos 1 0 não significa que AB = BA. Por exemplo, para as matrizes A = e −1 0 0 1 B= , temos que −1 0 AB = e

BA =

1 0 −1 0

0 1 −1 0

0 1 −1 0

1 0 −1 0

0 1 0 −1

−1 0 −1 0

=

=

.

Portanto AB 6= BA. Ou seja, o produto de matrizes não é comutativo. 3. Quando duas matrizes quadradas A e B são tais dizem-se que AB = BA, 1 1 2 1 são e B = permut´ aveis. Por exemplo, as matrizes A = 1 3 1 2 3 4 permutáveis, porque AB = = BA. 4 7 4. O produto de duas matrizes pode ser nulo sem que nenhuma das matrizes intervenientes o seja, isto é, a lei do anulamento do produto não é v´ alida para 1 1 o produto de matrizes. Por exemplo, o produto das matrizes A = e 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 B= é AB = = = O, sem que A e −1 −1 1 1 −1 −1 0 0 B sejam matrizes nulas.

1.2. MATRIZES

25

5. O produto das matrizes A por B pode ser igual ao produto das matrizes A por C, com A 6= O, sem que as matrizes B e C sejam iguais, isto é, a lei do cancelamento 1 2 não é válida para o produto de matrizes. Por exemplo, sendo A = 6= O2 , 2 4 2 1 −2 7 8 5 B= eC= temos que AB = AC = e B 6= C 3 2 5 −1 16 10

Propriedades da multiplica¸cão de matrizes: Teorema 1.2.4 Seja M o conjunto de todas as matrizes reais. Ent˜ ao, sempre que fa¸cam sentido as opera¸cões indicadas, temos que (i) (AB) C = A (BC) , ∀A, B, C ∈ M (ii) A (B + C) = AB + AC, ∀A, B, C ∈ M (iii) (B + C) A = BA + CA, ∀A, B, C ∈ M (iv) λ (AB) = (λA) B = A (λB) , ∀A, B ∈ M, ∀λ ∈ R (v) OA = O ∧ BO = O, ∀A, B ∈ M (vi) IA = A ∧ BI = B, ∀A, B ∈ M Defini¸c˜ ao 1.2.17 Seja A uma matriz quadrada, n˜ ao nula, de ordem n e k ∈ N0 . As potências de A definem-se do seguinte modo: A0 = In , A1 = A, A2 = AA, ... Ak+1 = Ak A. Exemplo 1.2.11 Consideremos a matriz 2 × 2, A =

0 1 −1 A = AA = = −1 0 0 −1 0 0 1 0 3 2 A =A A= = 0 −1 −1 0 1 0 −1 0 1 1 0 A4 = A3 A = = 1 0 −1 0 0 1 2

0 1 −1 0

0 1 −1 0

0 −1

. Temos que: ,

−1 , 0 = I2 .

26


Defini¸ c˜ ao 1.2.18 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir p ∈ N \ {1} tal que Ap = A e para qualquer k ∈ N \ {1} , k < p, tem-se Ak 6= A, ent˜ ao A diz-se matriz periódica de per´ıodo p. No caso particular de p = 2, a matriz A diz-se idempotente. Exemplo 1.2.12 No Exemplo 1.2.11, vimos que A2 6= A, A3 6= A e A4 6= A. Mas 1 0 0 1 0 1 5 4 A =A A= = = A. 0 1 −1 0 −1 0 Logo, A é periódica de per´ıodo 5. Exemplo 1.2.13 A matriz identidade é uma matriz idempotente, porque I 2 = I · I, e pela propriedade (vi) do teorema 1.2.4, temos I · I = I. Portanto I 2 = I.

Defini¸ c˜ ao 1.2.19 Se, para uma matriz quadrada A de ordem n, existe p ∈ N tal que p A = O e, para qualquer k ∈ N, k < p temos Ak 6= O, diz-se que A é nilpotente de grau p. Exemplo 1.2.14 Seja a matriz quadrada de ordem 2, A =

2

A = AA =

0 1 0 0

0 1 0 0

=

0 0 0 0

0 1 0 0

. Temos que

= O.

Logo, A é uma matriz nilpotente de grau 2.

Transposta de uma matriz Defini¸ c˜ ao 1.2.20 Seja A = [aij ] uma matriz do tipo m × n. A transposta da matriz designa-se por AT e é uma matriz do tipo n × m, que se obtém de A trocando ordenadamente as linhas com as colunas, ou seja, AT = [aji ] . 

2 2  −3 1 Exemplo 1.2.15 Seja A =   0 0 6 −7 2 T A = 2

   . A matriz transposta de A é  −3 0 6 1 0 −7

.

1.2. MATRIZES

27

Propriedades da transposta de uma matriz: Teorema 1.2.5 Seja M o conjunto de todas as matrizes reais. Ent˜ ao, sempre que as opera¸cões estejam definidas, temos que: (i) (A + B)T = AT + B T , ∀A, B ∈ M T (ii) AT = A, ∀A ∈ M (iii) (λA)T = λAT , ∀A ∈ M, ∀λ ∈ R (iv) (AB)T = B T AT , ∀A, B ∈ M O conceito de transposta de uma matriz permite-nos definir mais dois tipos particulares de matrizes: Defini¸c˜ ao 1.2.21 Seja A uma matriz quadrada. A matriz A é simétrica se e s´ o se T A=A .   1 −2 5 Exemplo 1.2.16 1. Seja A =  −2 2 0  logo 5 0 3   1 −2 5 AT =  −2 2 0  = A. 5 0 3 2. Como I T = I, a matriz I é uma matriz simétrica. Nota: Uma matriz quadrada é simétrica quando os elementos situados simetricamente em rela¸cão à diagonal principal são iguais,   a11 a12 . . . a1n  a12 a22 . . . a2n     .. .. . . ..  .  . . .  . a1n a2n . . . ann Defini¸c˜ ao 1.2.22 Seja A uma matriz quadrada. A matriz se A = −AT .  0 1  Exemplo 1.2.17 Consideremos a matriz A = −1 0 −2 −6   0 1 2 −AT =  −1 0 6  = A. −2 −6 0

A é anti-simétrica se e só  2 6  logo 0

28


Nota: Uma matriz quadrada é anti-simétrica se os elementos da diagonal principal são nulos e os elementos localizados simetricamente em rela¸cão a essa diagonal são simétricos,   0 a12 . . . a1n  −a12 0 . . . a2n     .. .. ..  . . .  . . .  . −a1n −a2n . . . 0 Teorema 1.2.6 Para toda a matriz quadrada A, A + AT é uma matriz simétrica e A − AT é uma matriz anti-simétrica. Teorema 1.2.7 Seja A uma matriz do tipo m × n. Ent˜ ao r(A) =r AT . Exemplo 1.2.18 Consideremos a matriz escalonada   2 1 4 A =  0 −2 −12  . 0 0 −23 A transposta de A é a matriz 

 2 0 0 0 . AT =  1 −2 4 −12 −23 Escalonando a matriz AT ,      −−− −−−−−−−−−−−→ 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 − L + L2 −→ L2  −−−−−−−−−−−→  1 −2 0 −2 0  6L2 + L3 −→ L3  0 −2 0  0  3 1 −2L1 + L3 −→ L3 0 −12 −23 0 0 −23 4 −12 −23 

Logo r(AT ) = r(A) = 3.

Tra¸ co de uma matriz Defini¸ c˜ ao 1.2.23 Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n. O tra¸co de uma matriz A representa-se por tr(A) e é a soma dos elementos da sua diagonal principal Pn isto é, tr(A) = i=1 aii . 

 −1 0 0 Exemplo 1.2.19 Seja A =  5 −2 4  . O tra¸co da matriz A é: 3 3 3 tr (A) = (−1) + (−2) + 3 = 0.

1.2. MATRIZES

29

Propriedades do tra¸co de uma matriz: Teorema 1.2.8 Seja Mn o conjunto de todas as matrizes reais de ordem n. Ent˜ ao (i) tr(A + B) =tr(B + A) =tr(B) +tr(A) , ∀A, B ∈ Mn (ii) tr(λA) = λtr(A) , ∀A, B ∈ Mn , ∀λ ∈ R (iii) tr(AB) =tr(BA) , ∀A, B ∈ Mn (iv) tr(ABC) =tr(BCA) =tr(CAB) , ∀A, B, C ∈ Mn (v) tr AT =tr(A) , ∀A ∈ Mn

Matrizes invert´ıveis Defini¸c˜ ao 1.2.24 Seja A uma matriz quadrada. Chama-se inversa de A a uma matriz que se representa por A−1 , tal que AA−1 = A−1 A = I. Uma matriz que admite inversa é normalmente designada por matriz invert´ıvel, mas também se pode designar por matriz regular ou não singular. Toda a matriz invert´ıvel é quadrada, mas nem todas as matrizes quadradas são invert´ıveis. De facto, recordando a defini¸cão 1.2.16, é fácil ver que só podem ser invert´ıveis as matrizes quadradas. Exemplo 1.2.20A inversa a partir da defini¸cão de uma matriz podeser determinada 1 2 a b 1.2.24. Seja A = . Procuremos A−1 = , tal que: 0 0 c d AA−1 = I2 , A−1 A = I2 . 1 2 a b 1 0 a + 2c b + 2d 1 0 = ⇔ = . 0 0 c d 0 1 0 0 0 1 Como podemos observar, estas duas matrizes nunca ser˜ ao iguais para quaisquer que sejam a, b, c e d. Portanto a matriz A n˜ ao tem inversa.

1 2 Exemplo 1.2.21 Para calcular a inversa de uma matriz A = , consideran−1 0 do a defini¸cão 1.2.24 temos que determinar B tal que AB = I e BA = I. Assim, 1 0 1 2 a b 1 0 a + 2c b + 2d = ⇔ = . −1 0 c d 0 1 −a −b 0 1 Pela igualdade de matrizes temos que: a = 0,

b = −1,

1 c= , 2

e

1 d= . 2


30

Logo a matriz

0 −1 1 2

1 2

matriz se verifica 0 −1 1 2

Logo

0 −1 1 2

1 2

é a “candidata”a inversa de A. Verifiquemos se para esta .A = I ⇔

0 −1 1 2

1 2

1 2 −1 0

1 2

é a inversa da matriz A, isto é A

−1

1 0 0 1

=

=

0 −1 1 2

1 2

.

.

Imaginemos que se pretendia o cálculo da inversa de uma matriz de ordem 4. O método descrito anteriormente levaria à resolu¸cão de um sistema de 16 equa¸cões a 16 incógnitas. Facilmente se depreende que este é um método muito trabalhoso para matrizes de ordem superior a 3. O problema ultrapassa-se aplicando as opera¸cões elementares de matrizes sobre linhas, de acordo com a seguinte regra prática: 1. Dispor lado a lado a matriz An e a matriz identidade In , isto é, considerar a matriz ampliada [An |In ] . 2. Efectuar opera¸cões elementares de matrizes sobre linhas na matriz [An |In ] de modo a transformá-la na matriz ampliada equivalente [Cn |Dn ], sendo C uma matriz escalonada. • Se Cn tem pelo menos uma linha nula, a matriz An n˜ ao admite inversa. • Se Cn é uma matriz triangular superior continuamos a aplicar opera¸cões elementares sobre a matriz ampliada [Cn |Dn ] de modo a transformar Cn numa matriz escalonada reduzida, isto é, na matriz In . As opera¸cões que simultaneamente se efectuam na matriz Dn , transformam-na na matriz A−1 n . −1 Ou seja, obtemos a matriz ampliada [In |An ] e portanto a matriz An admite inversa. Esquematizando, se A é uma matriz invert´ıvel temos [An |In ]

−→ ... −→ [In |A−1 n ] (opera¸cões elementares de matrizes sobre linhas)

Tabela 1.2: Aplica¸cão das opera¸cões elementares de matrizes sobre linhas no cálculo da inversa.



 2 1 7 Exemplo 1.2.22 Consideremos a matriz A =  1 3 2  . Determinemos, se exis5 3 4 −1 tir, a matriz inversa A , aplicando opera¸c˜ oes elementares de matrizes sobre linhas.     2 1 7 1 0 0 1 3 2 0 1 0 −−−−−→ [A|I] =  1 3 2 0 1 0  L1 ↔ L2  2 1 7 1 0 0  5 3 4 0 0 1 5 3 4 0 0 1

1.2. MATRIZES

31

  −−−−−−−−−−−−−−→ 1 3 2 0 1 0 −2L1 + L2 −→ L2  0 −5 3 1 −2 0  −5L1 + L3 −→ L3 0 −12 −6 0 −5 1   −−−−−−−−−−−−−−→ 1 3 1 0 2 0 12 − L2 + L2 −→ L3  0 −5 3 1 −2 0  5 − 12 − 1 1 0 0 − 66 5 5 5   −−−−−−−−−−→ 1 3 2 0 1 0 5 − L3 −→ L3  0 −5 3 1 −2 0  66 2 1 5 0 0 1 11 − 66 66   32 5 −−−−−−−−−−−−−−→ 1 3 0 − 4 511 3345 33 −3L3 + L2 −→ L3   − 22 15 0 −5 0 11 66 −2L3 + L1 −→ L1 2 1 5 − 66 0 0 1 11 66   4 32 5 −−−−−−−−−→ 1 3 0 − 11 33 33 1 1 9 1  − 22 − L2 −→ L2  0 1 0 − 11 22 5 2 1 5 0 0 1 11 66 − 66   1 19 1 0 0 − 11 − 17 66 66 −−−−−−−−−−−−−→  1 9 1  − 22 . −3L2 + L1 −→ L1 0 1 0 − 11 22 2 1 5 − 0 0 1 11 66 66 Temos então que  1 19 − 11 − 17 66 66 1 9 1  − 22 . =  − 11 22 2 1 5 − 66 11 66 

A−1

Propriedades da inversa de matrizes: Teorema 1.2.9 Seja MIn o conjunto de todas as matrizes reais invert´ıveis de ordem n. Então −1

(i) (A−1 )

= A, ∀A ∈ MIn

(ii) (AB)−1 = B −1 A−1 , ∀A, B ∈ MIn −1 k (iii) Ak = (A−1 ) , ∀A ∈ MIn , ∀k ∈ N (iv) (λA)−1 = λ1 A−1 , ∀A ∈ MIn , ∀λ ∈ R\ {0} −1 T (v) AT = (A−1 ) , ∀A ∈ MIn (vi) I −1 = I No Teorema 1.2.9(ii) provamos que o produto de duas matrizes invert´ıveis ainda é uma matriz invert´ıvel, mas o mesmo não se passa com a soma.


32

Exemplo 1.2.23 Consideremos as matrizes I =

1 0 0 1

eA=

−1 0 0 −1

. Estas

duas matrizes são invert´ıveis. Mas 1 0 −1 0 0 0 I +A= + = 0 1 0 −1 0 0 n˜ ao é uma matriz invert´ıvel. Aplicando o resultado que se segue, podemos saber ` a priori se uma dada matriz admite ou não inversa. Teorema 1.2.10 Uma matriz quadrada A de ordem n é invert´ıvel se e s´ o se r(A) = n. Defini¸ c˜ ao 1.2.25 Seja A uma matriz quadrada invert´ıvel. A matriz A diz-se ortogonal se A−1 = AT . " Exemplo 1.2.24 Consideremos a matriz A = " √ # Como A−1 =

1.2.8

1 √2 3 2

3 2 − 12

1 √2 3 2

√

3 2 − 12

# .

= AT , a matriz A é uma matriz ortogonal.

Aplica¸ c˜ ao da inversa de matrizes na resolu¸ c˜ ao de sistemas de equa¸ c˜ oes lineares

Vimos na subseçcão 1.2.7 que um sistema pode ser representado matricialmente pela equa¸cão AX = B. Caso A tenha inversa, a determina¸cão do conjunto solu¸cão do sistema resume-se à resolu¸cão da referida equa¸cão matricial, ou seja, AX = B ⇔ A−1 AX = A−1 B ⇔ IX = A−1 B ⇔ X = A−1 B. Logo o conjunto solu¸cão é {A−1 B} . Exemplo 1.2.25 Consideremos o seguinte sistema de equa¸c˜ oes lineares:   2x + y + 7z = 1 x + 3y + 2z = 2 .  5x + 3y + 4z = 3 Na forma matricial este sistema toma a forma 

    2 1 7 x 1      y = 2 . AX = B ⇐⇒ 1 3 2 5 3 4 x 3

1.2. MATRIZES

33

 1 19 − 11 − 17 66 66 1 9 1  − 22 Do exemplo 1.2.22 sabemos que a matriz A é invert´ıvel e A−1 =  − 11 . 22 2 1 5 − 66 11 66 Logo      2 1 7 x 1      y = 2  AX = B ⇐⇒ 1 3 2 5 3 4 x 3  1         19 19 1 − 11 − 17 2 1 7 x − 11 − 17 1 66 66 66 66 1 9 1 9 1  1       1 3 2 y = − 11 22 − 22 2  ⇐⇒ − 11 22 − 22 2 1 5 2 1 5 − 66 5 3 4 x − 66 3 11 66 11 66      17     17  1 0 0 x x 66 66  ⇐⇒  y  =  13  ⇐⇒ X = A−1 B. ⇐⇒  0 1 0   y  =  13 22 22 1 1 0 0 1 x − 66 x − 66 

Portanto

−1

C.S. = A B =

17 13 1 , ,− 66 22 66

.

Observe-se que este processo de resolu¸cão de sistemas exige que a matriz A, de ordem n, admita inversa. De acordo com o teorema 1.2.10 isso só acontece se r(A) = n e esta condi¸cão só se verifica nos sistemas poss´ıveis e determinados.

34

1.3


Exerc´ıcios

Matrizes. Resolu¸c˜ ao de Sistemas. Exerc´ıcio 1.3.1 Dê exemplo de uma matriz real: (a) Quadrada de ordem 3; (b) Rectangular do tipo 4 × 2; (c) Linha do tipo 1 × 6; (d) Coluna do tipo 4 × 1; (e) Triangular superior de ordem 5; (f ) Diagonal de ordem 4; (g) Escalar de ordem 3. Exerc´ıcio 1.3.2 (a) Escreva por extenso a matriz de ordem m × n definida por: i. A = [aij ] e aij = i + j (m = 5, n = 4);  sei = j  2 −1 se |i − j| = 1 ii. B = [bij ] e bij =  0 caso contrário iii. D = [dij ] e dij = (−1)i+j

(m = 5, n = 4);

(m = n = 3) .

(b) Para cada uma das matrizes quadradas determinadas na al´ınea anterior, indique os elementos que constituem a diagonal principal. Exerc´ıcio 1.3.3 * Seja o sistema   2x 3x  5x

de equa¸c˜ oes lineares + y = 5 + 6y + z = 1 . + 7y + z = 8

(a) Verifique se x = 2, y = 1 e z = −11 é uma solu¸c˜ ao do sistema. (b) Sem passar o sistema à forma matricial, resolva-o usando o método de elimina¸c˜ ao de Gauss. (c) Escreva relativamente ao sistema apresentado, a matriz dos coeficientes, a matriz dos termos independentes e a matriz ampliada. (d) Resolva matricialmente o sistema, usando o método de elimina¸c˜ ao de Gauss.

1.3. EXERCÍCIOS Exerc´ıcio 1.3.4 *   3x + 2x − A:  x − e

35 Sejam os seguintes sistemas de equa¸c˜ oes  2y − 5z = 8  2x + 4y 4y − 2z = −4 , B : 3x − 2y  2y − 3z = −4 x + 2y

lineares: + 6z = −6 − 4z = −38 + 3z = −3

 

x + 2y = 4 −3x + 4y = 3 . C:  2x − y = −6 (a) Resolva os sistemas através do método de elimina¸c˜ ao de Gauss ou Gauss-Jordan. Classifique os sistemas. (b) Determine a caracter´ıstica da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada de cada sistema. (c) Compare os valores da caracter´ıstica que obteve na al´ınea anterior, com a classifica¸cão dos respectivos sistemas. Que pode concluir? Exerc´ıcio 1.3.5 Calcule a caracter´ıstica de cada uma das matrizes:   1 0 −1 2  2 3 1 −1   (a) A =   0 2 2 1  −3 1 4 1   1 0 −1 2  1 1 1 −1     (b) B =  0 −1 −2 3    5 2 −1 4  −1 2 5 −8 Exerc´ıcio 1.3.6 * Sejam as seguintes matrizes:       0 β 0 x α      A= 1 0 0 , X= y e H = 1 . 0 0 1 z γ Discuta o sistema AX = H, em fun¸c˜ ao de α, β e γ. Exerc´ıcio 1.3.7 * (Exame escrito - 2o momento /  0 0 a  2 2 0 Discuta a caracter´ıstica da matriz A =   0 0 a 3 0 6 parˆ ametros a e b.

17-Fev-2000)  1 a  , em fun¸c˜ ao dos valores dos b  a

36


Exerc´ıcio 1.3.8 * Resolva e classifique os seguintes sistemas de equa¸c˜ oes lineares:  + z = 2  x y − z = 2 ; (a)  3x + y + z = 4 x + 4y + 6z = 0 ; (b) 3 − 2 x − 6y − 9z = 0   x + 2y − z = 1 2x − 3y + 6z = 2 ; (c)  3x − y + 5z = 3  + z + w = 2  x y − z − w = 2 ; (d)  3x + y + z − 2w = 4  x + y + 2z = 1    −x + 3y + 5z = 2 (e) ; 2y + z = −1    6y + 8z = 2  x + 2y + z = 1      2x − 3y − z = 2 − y + 2z = −3 . (f )   3x − 2y + 2z = 0    3x − 2z = 6 Exerc´ıcio 1.3.9 Suponhamos que A é uma matriz quadrada escalonada reduzida por linhas. Mostre que se A 6= I, sendo I a matriz identidade, ent˜ ao A tem uma linha nula. Exerc´ıcio 1.3.10 Considere o sistema de equa¸c˜ oes e x4 cuja matriz ampliada é  0 1 1 1 [A|b] =  −2 2 0 2 −2 3 1 3

lineares nas inc´ ognitas x1 , x2 , x3  0 −1  −1

(a) Resolva o sistema homogéneo associado. ao do sistema dado. (b) Verifique que 23 , 0, −1, 1 é solu¸c˜ Exerc´ıcio 1.3.11 Considere o sistema cuja matriz  1 2 1 [A|B] =  2 5 3 −1 1 β

ampliada tem a forma  0 0  0

1.3. EXERCÍCIOS

37

(a) Diga, justificando, se o sistema pode ser imposs´ıvel. (b) Indique os valores de β para os quais o sistema tem uma infinidade de solu¸c˜ oes. Exerc´ıcio 1.3.12 * Seja o seguinte sistema de equa¸c˜ oes lineares:  = γ  αx + βy βy − 1z = 1 .  x + γz = 2 Que rela¸cão devem verificar α, β e γ para o sistema s´ o admitir uma vari´ avel livre? Exerc´ıcio 1.3.13 * Seja o sistema ampliada que se segue:  a  0   −4 0

de equa¸c˜ oes lineares representado pela matriz 1 −2 0 −1

0 1 b 2

 0 −1   −7  . c

(a) Para que valores de a, b e c, o vector (1, 2, 3) é solu¸c˜ ao do sistema? (b) Para que valores dos parâmetros a e b, o respectivo sistema homogéneo associado é indeterminado? (c) Qual é a solu¸cão do sistema homogéneo que ` a partida conhece, sem ter de resolver o sistema? Este sistema homogéneo tem mais solu¸c˜ oes?

Opera¸c˜ oes com Matrizes. Exerc´ıcio 1.3.14 * Calcule os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais. 8 15n 8 75 (a) A = eB= ; 12 + m 3 6 3 2 m − 40 n2 + 4 41 13 (b) A = eB= . 6 3 6 3 Exerc´ıcio 1.3.15 * Calcule, se poss´ıvel: 1 2 −3 4 3 −5 6 −1 (a) + ; 0 −5 1 −1 2 0 −2 −3 1 2 −3 3 5 (b) + ; 0 −4 1 1 −2


38 (c) −3

1 2 −3 4 −5 5

.

Exerc´ıcio 1.3.16 * Dadas as matrizes: 0 1 1 1 A= eB= . 2 3 0 0 (a) Calcule A + B e B + A. (b) Olhando para os resultados que obteve, que pode concluir? Exerc´ıcio 1.3.17 * Dadas as matrizes: −1 2 3 2 3 −1 1 1 0 A= , B= eC= . 4 0 1 −2 0 −1 0 0 1 (a) Indique o tipo da matriz A e os elementos a11 e a23 . (b) Determine A + B, A − B e λA + µ (B + C) . (c) Verifique que (A + B) + C = A + (B + C) e (λ + µ) A = λA + µA. Exerc´ıcio 1.3.18 Prove que: (a) A + B = B + A; ∀A, B ∈ Mm×n (b) A + O = O + A = A; ∀A ∈ Mm×n (c) (λ + µ) A = λA + µA; ∀A ∈ Mm×n ∀λ, µ ∈ R (d) (λµ) A = λ (µA) ; ∀A ∈ Mm×n ∀λ, µ ∈ R (e) 0A = O; ∀A ∈ Mm×n Exerc´ıcio 1.3.19 * Considerem-se as matrizes: 1 0 −1 0 −1 1 A= eB= . 1 2 1 1 2 1 Determine: (a) A + 21 B − 2 (A + B) ; (b) A + B − 12 (A − B) . Exerc´ıcio 1.3.20 * (Exame escrito - 2o momento / 17-Fev-2000) Verifique se existem escalares α, β e θ tais que: 3 3 1 1 0 1 −1 0 =α +β +θ . 0 −2 0 −1 1 1 1 1

1.3. EXERCÍCIOS

39

Exerc´ıcio 1.3.21 * Encontre x, y, z e w tais que: x y x 6 4 x+y 3 = + . z w −1 2w z+w 3 Exerc´ıcio 1.3.22 * Sejam as seguintes matrizes: 1 1 1 5 1 0 0 0 0 A= , B= eC= . 2 1 3 0 2 4 1 3 4 (a) Determine a matriz X tal que:

1 2

(X + A) = 3 [X + (A − X)] + C.

(b) Determine as matrizes X e Y tais que: 2X − Y = A − B . X + Y = B − A Exerc´ıcio 1.3.23 * Sejam as matrizes:     1 2 −3 −2 A =  3 4  e B =  1 −5  . 5 6 4 3 Determine a matriz D de modo a que se verifique A + B − D = O. Exerc´ıcio 1.3.24 Considere as matrizes A, B, C e D do tipo 4 × 3, 4 × 3, 3 × 4, e 4 × 2, respectivamente. Diga quais das seguintes express˜ oes identificam matrizes, e nesses casos indique o tipo da matriz resultado. (a) AB; (b) (A + B) C; (c) ACD; (d) 2ACA + B. Exerc´ıcio 1.3.25 * Denote por (m × n) uma matriz com forma m × n. Encontre a forma dos seguintes produtos, se o produto é definido: (a) (4 × 1) (1 × 2) ; (b) (1 × 2) (3 × 1) ; (c) (3 × 4) (3 × 4) ; (d) (2 × 2) (2 × 4) .

40


Exerc´ıcio 1.3.26 Considere a matriz 

 3 −1 −1 A =  1 1 −1  1 −1 1

Verifique que: (a) A2 − 3A + 2I3 = O3 (b) AI3 = A = I3 A (c) AO3 = O3 (d) 2A − 3A = −A Exerc´ıcio 1.3.27 * Sejam A =

2 −1 0 1 0 −3



 1 −4 0 1 e B =  2 −1 3 −1  . 4 0 −2 0

(a) Determine a forma de AB. (b) Seja cij o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto matricial AB, isto é, AB = [cij ] . Determine c23 , c14 e c21 , sem calcular a matriz produto AB. Exerc´ıcio 1.3.28 * Seja A =

1 3 4 −3

. Encontre U =

x y

, n˜ ao nulo, tal que

AU = 3U. Exerc´ıcio 1.3.29 * Dadas as matrizes:    1 −2 2  3 1   −3 1 3 −5 −7 2 4  A= e D=  7 −4  , B = 6 2 −8 3 , C = −3 5  1 5 9 0 Determine: (a) AB; (b) (BA) C; (c) (A + D) B; (d) BA; (e) (λA) B; (f ) A (λB) ;

 1 4  . 2  1

1.3. EXERCÍCIOS

41

(g) AB + DB; (h) B (AC) ; (i) λ (AB) . Exerc´ıcio 1.3.30 Demonstre, sempre que fa¸cam sentido as opera¸c˜ oes indicadas: (a) A (B + C) = AB + AC; ∀A, B, C ∈ M (b) (B + C) A = BA + CA; ∀A, B, C ∈ M (c) k (AB) = (kA) B = A (kB) ; ∀A, B ∈ M, ∀k ∈ R (d) OA = O ∧ BO = O; ∀A, B ∈ M (e) IA = A = AI; ∀A ∈ M Exerc´ıcio 1.3.31 Simplifique a express˜ ao seguinte onde A, B e C representam matrizes quadradas com a mesma ordem, A (B + C) + B (C − A) − (A + B) C Exerc´ıcio 1.3.32 *Diz-se que as matrizes A e B comutam se AB = BA. Encontre x y 1 1 as matrizes que comutam com . z w 0 1 Exerc´ıcio 1.3.33 Considere um sistema AX = B, com duas solu¸c˜ oes distintas, x1 e x2 . Prove que, sendo α1 e α2 dois n´ umeros reais, tais que α1 + α2 = α, então α1 x1 + α2 x2 é solu¸cão do sistema AX = αB. Exerc´ıcio 1.3.34 Se o sistema de equa¸c˜ oes AX = B possui duas solu¸c˜ oes distintas x1 e x2 , prove que αx1 + (1 − α) x2 também é solu¸c˜ ao, qualquer que seja o n´ umero α. Aproveite este resultado para mostrar que, se o sistema AX = B admite duas solu¸c˜ oes distintas, então existe uma infinidade de solu¸c˜ oes. Exerc´ıcio 1.3.35 Considere o sistema AX = B, onde A é uma matriz tal que A2 = A. Sendo x1 e x2 duas solu¸c˜ oes deste sistema, prove que x3 = Ax1 − x2 é uma solu¸cão do sistema homogéneo associado. Exerc´ıcio 1.3.36 * Em cada uma das al´ıneas, dê exemplos de matrizes 2 × 2, com componentes reais e com a propriedade indicada: (a) A2 = −I; (b) B 2 = O, com B 6= O; (c) CD = −DC, com CD 6= O;

42


(d) EF = O, sendo as componentes de E e de F todas diferentes de zero. Exerc´ıcio 1.3.37 Desenvolva a express˜ ao (A + B)3 no caso de: (a) A e B serem matrizes de ordem n quaisquer. (b) A e B serem permutáveis. Exerc´ıcio 1.3.38 * (a) Verifique que as igualdades indicadas n˜ ao s˜ ao v´ alidas para todas as matrizes 2×2 : (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 e (A + B) (A − B) = A2 − B 2 . (b) Corrija os lados direitos destas igualdades de forma a obter f´ ormulas correctas para todas as matrizes. (c) Para que matrizes A, B são válidas as formulas indicadas na al´ınea (a)? Exerc´ıcio 1.3.39 Dada a matriz A=

2 −1 2 −1

(a) Determine uma matriz B quadrada de ordem 2, n˜ ao nula, tal que AB = O2 . (b) Dê exemplo de matrizes não nulas X e Y tais que AX = AY mas X 6= Y Exerc´ıcio 1.3.40 Dadas as matrizes: 1 0 0 1 I= eY = , 0 1 −1 0 mostre que: (a) Y 2 = −I; (b) Y 4 = I; (c) (aI + bY ) (aI − bY ) = (a2 + b2 ) I, a, b ∈ R. Exerc´ıcio 1.3.41 Determine a matriz X tal que A + 3X = B onde A = [2i − 3j] e B = [i + j] , com i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2.

1.3. EXERCÍCIOS

43

Exerc´ıcio 1.3.42 * Determine todas as matrizes A quadradas de ordem 2, tais que A2 = O. Exerc´ıcio 1.3.43 * Considere a matriz:   0 0 1 A =  2 1 0 . 1 0 0 (a) Calcule as matrizes A2 e A3 ; (b) Determine a matriz A2 + A − I (sendo I a matriz identidade de ordem 3); (c) Deduza A4 , A5 e A6 em fun¸c˜ ao de A2 , A e I. Exerc´ıcio 1.3.44 Mostre que a matriz 

 0 1 −1 B =  4 −3 4  3 −3 4

é peri´ odica de per´ıodo 3. Exerc´ıcio 1.3.45 Sendo A, B matrizes quaisquer, demonstre: (a) Se A tem uma linha nula, ent˜ ao AB tem uma linha nula; (b) Se B tem uma coluna nula, ent˜ ao AB tem uma coluna nula. Exerc´ıcio 1.3.46 * Determine a matriz transposta, AT , da matriz 2 3 −5 8 A= . 3 −7 1 9 Exerc´ıcio 1.3.47 * Seja A uma matriz arbitr´ aria. Sob que condi¸c˜ oes o produto AAT é definido? Exerc´ıcio 1.3.48 * Sejam A=

1 −1 2 0 3 4

, B=

Determine, se poss´ıvel: (a) (A + B)T ; (b) (AC)T ;

4 0 −3 −1 −2 3



   2 −3 0 1 2 , C =  5 −1 −4 2  e D =  −1  . −1 0 0 3 3

44


(c) (λD)T ; T (d) B T ; (e) AT C T ; (f ) AT + B T ; (g) λDT ; (h) C T AT . 

 1 0 1 2 Exerc´ıcio 1.3.49 Considere a matriz A =  −1 2 −2 3  2 −2 3 1 (a) Determine a caracter´ıstica de A. (b) Qual a caracter´ıstica de AT ? (c) Qual a caracter´ıstica de P = 2A? Exerc´ıcio 1.3.50 Prove que: (a) (A + B)T = AT + B T ; ∀A, B ∈ Mm×n (b) (kA)T = kAT ; ∀A ∈ Mm×n , ∀k ∈ R Exerc´ıcio 1.3.51 * (1a frequˆ encia / 11-Dez-99)  2 1 1 −2 1 Dadas as matrizes reais A =  3 1  e B = , determine a matriz X 0 1 1 0 1 2 0 T tal que AT B T X = . −1 23 Exerc´ıcio 1.3.52 (Exame escrito - 2o momento / 17-Fev-2000) Considere a seguinte matriz: 1 A = I − M T M, com M = 1 1 1 . 3 2 Mostre que A = A. Exerc´ıcio 1.3.53 * Sejam as matrizes:     4 3 2 −7 1 0 −9 3 ,  −1 2  e  3 4 2  . 4 8 1 8 1 5 −9 6

1.3. EXERCÍCIOS

45

(a) Determine S = A + AT , tomando para matriz A uma das matrizes anteriores de modo que S esteja definida; (b) Determine S T . Compare o resultado obtido com o da al´ınea anterior. O que pode concluir sobre a matriz S? Exerc´ıcio 1.3.54 Sejam A e B duas matrizes quadradas, de ordem 3, simétricas. Prove que AB é simétrica se e só se A e B s˜ ao permut´ aveis. (Observa¸c˜ ao: O resultado é v´ alido para matrizes de ordem n). Exerc´ıcio 1.3.55 * Sendo: 1 0 1 0 0 0 A= , B= eC= 1 1 0 −1 β −1 e supondo que X é uma matriz simétrica, estude em que condi¸c˜ oes a equa¸c˜ ao: T XAB + B T CX = I tem apenas uma solu¸cão. Resolva a equa¸c˜ ao. Exerc´ıcio 1.3.56 * Sejam as matrizes quadradas     2 1 1 1 1 1 A =  0 1 3  e B =  −1 0 −1  . 1 −1 4 5 4 −3 Determine: (a) tr(A) ; (b) tr(A + B) ; (c) tr(AB) ; (d) tr(A) + tr (B) ; (e) tr AT ; (f ) tr(BA) . Exerc´ıcio 1.3.57 Sendo A e B matrizes tais que AB e BA existem, prove que tr(AB) =tr(BA) . Exerc´ıcio 1.3.58 Sendo A=

1 0 0 0

verifique que tr (A) tr (B) 6= tr (AB) .

e

B=

−1 1 0 −1


46

Exerc´ıcio 1.3.59 * Determine, caso exista, a inversa das matrizes:   1 1 1 (a) A =  0 1 1  ; 0 1 1   1 2 2 (b) B =  2 −1 1  ; 1 3 2   1 0 2 (c) C =  1 2 3  ; 1 3 73 cos θ − sin θ (d) D = . sin θ cos θ Exerc´ıcio 1.3.60 Determine a inversa  1  0   1 1

da matriz simétrica  0 1 1 0 1 0   1 1 0  0 0 2

Exerc´ıcio 1.3.61 * Sejam   −2 3 −1 A =  1 −3 1  −1 2 −1



e

 1 0 0 B= 0 1 0  0 0 1

Determine as seguintes matrizes: −1

(a) (A−1 )

;

(b) B −1 ; −1 ; (c) AT T

(d) (A−1 ) ; (e) (AB)−1 ; (f ) B −1 A−1 . Exerc´ıcio 1.3.62 Considere a seguinte matriz: " √ # H= Mostre que H é uma matriz ortogonal.

1 5 √

2 6 5

−2 6 5 1 5

1.3. EXERCÍCIOS

47

Exerc´ıcio 1.3.63 Prove que: (a) O produto de duas matrizes ortogonais é ainda uma matriz ortogonal. (b) A transposta de uma matriz ortogonal é ainda uma matriz ortogonal. Exerc´ıcio 1.3.64 * Sendo A uma matriz quadrada invert´ıvel que verifica a rela¸cão: A2 + A + I = O, determine a sua inversa, A−1 . 

2 0  0 k+2 Exerc´ıcio 1.3.65 * Considere a matriz A =   1 0 0 1

 1 k 0 k+1  . 2 k  0 2

(a) Determine k de modo a que A seja invert´ıvel. (b) Para k = 0 resolva a equa¸c˜ ao matricial AXA − B = AX, sendo B a matriz tal que bij = 1 se i + j é par e bij = 0 se i + j é ´ımpar. Exerc´ıcio 1.3.66 Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n, permut´ aveis, e C uma matriz tal que C T = C −1 , prove que C T AC permuta com C T BC. Exerc´ıcio 1.3.67 Mostre que se A é simétrica e invert´ıvel, ent˜ ao A−1 é simétrica. Exerc´ıcio 1.3.68 Sendo A e B duas matrizes invert´ıveis e C = AB, prove que A−1 CB −1 = I. Exerc´ıcio 1.3.69 * Sejam A, B e C matrizes reais simétricas de ordem n. As matrizes A e B são tais que: 1, i = j aij − bij = . 0, i 6= j Sabendo que a matriz A é invert´ıvel, determine a matriz X que verifica a seguinte equa¸c˜ ao matricial: T A C −1 X T C + B = A2 .

48


Aplica¸ c˜ ao da Inversa de uma Matriz na Resolu¸ c˜ ao de Sistemas. Exerc´ıcio 1.3.70 * Utilizando a inversa da matriz dos coeficientes, resolva o seguinte sistema de equa¸cões lineares:   x + 2y + z = 0 x + y + z = 0 .  3x − y + z = 6 Exerc´ıcio 1.3.71 * Considere o seguinte sistema de   2x + y − z = −x + y + z =  y + 2z =

equa¸c˜ oes lineares: 4 2 . 3

Resolva-o, invertendo a matriz dos coeficientes.

Exerc´ıcios de Exame - 2003/2004. Exerc´ıcio 1.3.72 * (Frequência - Gest˜ ao / 13-Jan-2004) Considere o seguinte sistema:  = 1  x + 2y −x + αy + z = 2 S1 :  x + y + z = β Classifique o sistema S1 em fun¸cão dos parˆ ametros reais α e β. Exerc´ıcio 1.3.73 * (Frequência - Gest˜ ao / 13-Jan-2004) Considere as matrizes:   1 −1 −1 1 1 −1 A= ,B= eC= 1 2  −2 1 0 1 0 1 (a) Resolva a equa¸cão matricial XA + 2B = (DC)T , em ordem a X; (b) Determine a matriz X, sendo D a matriz tal que: 1 se i é par di1 = 2, di3 = 0 e di2 = . −1 se i é impar Exerc´ıcio 1.3.74 * (Frequência - Gest˜ ao / 13-Jan-2004) Seja AX = B um sistema de n equa¸c˜ oes em n incógnitas. Indique o valor lógico das seguintes afirma¸c˜ oes: (a) Se AX = B é um sistema poss´ıvel e determinado, ent˜ ao a u ńica solu¸c˜ ao do sistema homogéneo associado é a solu¸c˜ ao nula. (b) Se A admite inversa, a solu¸cão do sistema AX = B é X = BA−1 .

1.3. EXERCÍCIOS

49 

 −1 0 0 Exerc´ıcio 1.3.75 * (Frequência - Gest˜ ao / 13-Jan-2004) Sejam A =  1 2 0  1 1 1 2a 2b eH= . Indique o valor l´ ogico das seguintes afirma¸c˜ oes: 6a 6b (a) A matriz AAT é simétrica e tr(AAT ) = 15. (b) A matriz H é invert´ıvel. Exerc´ıcio 1.3.76 (Exame Normal / 03-Fev-2004) Sejam A = (aij ), B = (bij ) matrizes regulares e C = (cij ) tal que: cij = 1 − bij se i = j cij = − bji se i 6= j Supondo que X é uma matriz simétrica de ordem n e B = A−1 , resolva a equa¸cão X(AB −1 )−1 + (B T CX)T = I, onde I é a matriz identidade de ordem n. Exerc´ıcio 1.3.77 * (Exame Recurso - Gest˜ ao / 17-Fev-2004) Sejam A, B e C matrizes quadradas invert´ıveis, de ordem n tais que A2 = A, B é uma matriz simétrica e C uma matriz ortogonal. Considere-se ainda que A + B = I. Resolva, em ordem a X, a equa¸cão matricial A(C −1 X T C + B)T = A2 . Exerc´ıcio 1.3.78 * (Exame Trabalhador-Estudante - Gest˜ ao / 06-Mar-2004) Considere o sistema em fun¸cão dos parˆ ametros reais a e b:  x + y + w = 0    x + 2y + z = 2 az + w = b    4z + aw = 1 (a) Determine os valores dos parˆ ametros a e b para os quais o sistema é imposs´ıvel. (b) Tomando a = 1, b = −1 e considerando A a matriz dos coeficientes do sistema dado: i. Determine a inversa da matriz A. ii. Calcule a solu¸caõ do sistema, usando a matriz calculada em i. iii. Verifique se a matriz A é ortogonal. Exerc´ıcio 1.3.79 * (Exame Especial - Gest˜ ao / 06-Set-2004) Considere o sistema em fun¸cão dos parâmetros reais a e b:   x+y+z =1 x + ay + z = 2  3x − 3y + az = b Discuta o sistema em fun¸cão dos parˆ ametros reais a e b.

50


Exerc´ıcio 1.3.80 * (Exame Especial - Gest˜ ao / 06-Set-2004) Supondo que A e B s˜ ao matrizes invert´ıveis, resolva em ordem a X a seguinte equa¸c˜ ao matricial. [(AT )−1 X]T + 6(AB)−1 = A

Exerc´ıcios Aplicados 1. Um grande edif´ıcio de apartamentos deverá ser constru´ıdo usando técnicas modulares de constru¸cão. A distribui¸cão de apartamentos por andar deve ser feita segundo três plantas básicos. A planta A tem dois apartamentos T3, dois apartamentos T2 e um apartamento T1. A planta B tem dois apartamentos T3, um apartamento T2 e nenhum apartamento T1. A planta C tem dois apartamentos T3, três apartamentos T2 e quatro apartamentos T1. ´ poss´ıvel planear um edif´ıcio com exactamente 60 apartamentos T3, 44 a. E apartamentos T2 e 22 apartamentos T1? Se for poss´ıvel, quantos andares seguem cada uma das plantas? Foram alteradas as dimensões dos apartamentos T1 no plano C, sendo apenas viável construir dois apartamentos T1 no plano C. ´ poss´ıvel planear um edif´ıcio com o n´ b. E umero de apartamentos T1, T2, e T3, exigido na al´ınea a) ? c. Se forem constru´ıdos apenas 14 apartamentos T1, é poss´ıvel planear um edif´ıcio nas condi¸cões exigidas? Se for poss´ıvel, existe mais do que uma forma de o fazer?

1.3. EXERCÍCIOS

51

2. Na caixa de um cereal para o pequeno almo¸co está indicado o n´ umero de calorias e as quantidades de prote´ınas, carboidratos e gordura contidos numa por¸cão (100g) de cereal. As quantidades para dois cereais são dadas na tabela.

Suponha que queremos preparar uma mistura dos dois cereais que contenha exactamente 295 calorias, 9g de prote´ınas, 48g de carboidratos e 8g de gordura. a. Quantas variáveis tem o problema? Indique o que elas representam. b. Determine se a mistura desejada dos dois cereais pode ser preparada.

3. Uma considera¸cão importante no estudo da transferência de calor é a de se determinar a distribui¸cão de temperatura assimptótica de uma placa fina quando a temperatura no seu bordo é conhecida. Suponha que a placa da figura representa uma seçcão transversal de uma barra de metal, com fluxo de calor despres´ıvel na direçcão perpendicular à placa. Sejam T1 , T2 , T3 , T4 , T5 , T6 as temperaturas em seis vértices interiores.

A temperatura num vértice é aproximadamente igual à média dos quatro vértices vizinhos mais próximos (à esquerda, acima, à direita e abaixo). Por exemplo, T1 = 41 (10 + 20 + T2 + T4 ) ou 4T1 − T2 − T4 = 30. a. Escreva um sistema de seis equa¸cões cuja solu¸cão fornece a estimativa para as temperaturas T1 , T2 , T3 , T4 , T5 , T6 . b. Determine as temperaturas nos seis vértices interiores da placa.

52

˜ CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES. MATRIZES 4. No centro de uma cidade, dois conjuntos de ruas, com apenas um sentido cruzam-se, como ilustra a figura:

A média do n´ umero de ve´ıculos que por hora entram e saem do centro da cidade, em hora de ponta, é dada no diagrama. Determine, se poss´ıvel, a quantidade de ve´ıculos entre cada um dos quatro cruzamentos.

5. Uma empresa fabrica três produtos. As suas despesas de produ¸cão são divididas em três categorias. Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produ¸cão de um u ńico exemplar de cada produto. Faz-se também uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por trimestre, em cada ano. Essas estimativas são dadas nas tabelas seguintes. Gastos Matéria-prima Pessoal Despesas gerais

A B C 0,10 0,30 0,15 0,30 0,40 0,25 0,10 0,20 0,15

Tabela 1.3: Custo de produ¸cão Produto Verão Outono Inverno Primavera A 4000 4500 4500 4000 B 2000 2600 2400 2200 C 5800 6200 6000 6000 Tabela 1.4: Quantidade produzida por trimestre em 2004 a. Represente em matrizes as quantidades produzidas trimestralmente pela empresa, em cada ano.

1.3. EXERCÍCIOS

53

Produto Verão Outono Inverno Primavera A 3000 4000 3500 5000 B 2500 2400 2400 2000 C 6000 5000 5500 6800 Tabela 1.5: Quantidade produzida por trimestre em 2005 b. Escreva a matriz que nos indique as quantidades totais de cada produto produzidas nos dois anos, em cada trimestre. c. Escreva a matriz que nos permita analisar as varia¸cões (trimestrais) da produ¸cão em 2005, relativamente a 2004. d. Escreva a matriz que permita à empresa mostrar aos seus accionistas, o custo total por trimestre de cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais, em 2004.

6. O João pesa 81 Kg. Ele quer perder peso através de um programa de dieta e exerc´ıcios. Após consultar a tabela 4, ele cria o seu programa de exerc´ıcios na tabela 5. Quantas calorias vai queimar por dia, se seguir esse programa? Peso Andar (3 Km/h) 69 213 73 225 77 237 81 249

Correr (9 Km/h) 651 688 726 764

Andar bicicleta (9 Km/h) Jogar ténis 304 420 321 441 338 468 356 492

Tabela 1.6: Calorias queimadas por hora Andar Correr Andar bicicleta Jogar ténis Segunda-feira 1 0 1 0 Ter¸ca-feira 0 0 0 2 Quarta-feira 0,4 0,5 0 0 Quinta-feira 0 0 0,5 2 Sexta-feira 0,4 0,5 0 0 Tabela 1.7: Horas por dia para cada actividade

7. Numa determinada cidade, por ano, 30ℵ das mulheres casadas divorciam-se e 20ℵ das mulheres solteiras casam-se. Existem 8000 mulheres casadas e 2000 mulheres solteiras. Supondo que a popula¸cão total de mulheres permanece constante, quantas mulheres estarão casadas e e quantas estarão solteiras ao fim de um ano? E de dois? E de três?


54

1.4

Solu¸co ˜es.

Só os exerc´ıcios com * têm solu¸cão. Matrizes. Resolu¸c˜ ao de Sistemas. 1.3.3 (a) (x, y, z) = (2, 1, −11) não é solu¸cão do sistema de equa¸cões lineares.       2 1 0 5 2 1 0 5 (c) A =  3 6 1  ; b =  1  ; Matriz ampliada (completa):  3 6 1 1  . 5 7 1 8 5 7 1 8 1.3.4 (a) SA = {(3, 2, 1)} - sistema poss´ıvel e determinado; 29−13z , y = e z ∈ R - sistema poss´ıvel e indeterSB = (x, y, z) : x = −41+z 4 8 minado; (Nota: Este sistema de equa¸cões lineares tem uma variável livre: z) SC = Ø - sistema imposs´ıvel. (b) r(A) =r[A|B] = 3;

r(A) =r[A|B] = 2;

r(A) = 2 e r[A|B] = 3.

(c) Quando o sistema é poss´ıvel e determinado, r(A) =r[A|B] = n, sendo n o n´ umero de incógnitas; Quando o sistema é poss´ıvel e indeterminado, r(A) =r[A|B] < n; Quando o sistema é poss´ıvel e indeterminado, r(A)
1.3.6

O sistema é:

• poss´ıvel e determinado se β 6= 0, ∀α, γ ∈ R; • poss´ıvel e indeterminado com grau de indetermina¸cão d = 1, para α = 0, β = 0, ∀γ ∈ R; • imposs´ıvel se β = 0 e α 6= 0, ∀γ ∈ R. 1.3.7

r(A) = 4, se b 6= 1, a 6= 0; r(A) = 3, se b = 1, a ∈ R\ {0} ou se b ∈ R e a = 0.

1.3.8 (a) Sistema poss´ıvel e determinado,S = {(−2, 6, 4)} ;

˜ 1.4. SOLUC ¸ OES.

55

(b) Sistema poss´ıvel e indeterminado com grau de indetermina¸cão 2, S = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −4y − 6z} ; (c) Sistema poss´ıvel e indeterminado com grau de indetermina¸cão 1; S = 1 − 97 z, 87 z, z : z ∈ R ; (d) Sistema poss´ıvel e indeterminado com grau de indetermina¸cão 1, S = {(−2 + 3w, 6 − 3w, 4 − 4w, w) : w ∈ R} ; (e) Sistema poss´ıvel e determinado; S = {(0, −1, 1)} ; 20 9 (f ) Sistema poss´ıvel e determinado, S = 17 , 17 , − 21 . 17

1.3.12 A rela¸cão que α, β e γ devem verificar para o sistema só admitir uma variável livre é: α = −1, γ = −1, ∀β ∈ R\ {0} ou α = 12 , γ = 2, ∀β ∈ R\ {0} ou β = 0, γ α = 2+γ , γ 6= −2. 1.3.13 (a) O vector é solu¸cão do sistema para: a = −2, b = −1 e c = 4. (b) O respectivo sistema homogéneo associado não é indeterminado para nenhum valor dos parâmetros a e b. (c) A solu¸cão que à partida se conhece é a solu¸cão nula. Não há mais nenhuma solu¸cão, uma vez que o sistema é poss´ıvel e determinado.

Opera¸ c˜ oes com Matrizes. 1.3.14 (a) (m, n) = (−6, 5) ; (b) (m, n) = (−9, −3) ∨ (m, n) = (−9, 3) ∨ (m, n) = (9, 3) ∨ (m, n) = (9, −3) .


56

1.3.15 4 −3 3 3 (a) ; 2 −5 −1 −4 (b) Não é poss´ıvel efectuar a adi¸cão entre as duas matrizes, porque elas têm tipos diferentes. Os seus tipos são 2 × 3 e 2 × 2, respectivamente. −3 −6 9 (c) . −12 15 −15 1.3.16 (a) A + B =

1 2 2 3

; B+A=

1 2 2 3

;

(b) Estas matrizes verificam a propriedade comutativa da adi¸cão.(Obs: Caso geral A propriedade comutativa da adi¸cão verifica-se para quaisquer matrizes.)

1.3.17 (a) A matriz A é uma matriz rectangular do tipo 2 × 3, a11 = −1 e a23 = 1; 1 5 2 −3 −1 4 (b) A + B = , A−B = 2 0 0 6 0 2 λA + µ (B + C) =

−λ + 3µ 2λ + 4µ 3λ − µ 4λ − 2µ 0 λ

1.3.19 −1 32 − 12 − 2 (A + B) = (a) A + − 52 −5 − 52 1 3 − 1 1 2 (b) A + B − 2 (A − B) = 2 . 2 4 2

1 B 2

1.3.20

α = 2, β = 1 e θ = −1.

1.3.21

x = 2, y = 4 e w = 3.

1.3.22 (a) X =

5 5 5 12 11 23

;

;

.

˜ 1.4. SOLUC ¸ OES. (b) X =

57

0 0 0 0 0 0

;

e

Y =

4 0 −1 −2 1 1

.



1.3.23

 −2 0 D =  4 −1 . 9 9

1.3.25 (a) O produto é uma matriz do tipo 4 × 2; (b) O produto não está definido, pois o n´ umero de colunas da primeira matriz não é igual ao n´ umero de linhas da segunda; (c) O produto não está definido, pelo mesmo motivo referido na al´ınea anterior; (d) O produto é uma matriz do tipo 2 × 4.

1.3.27 (a) O produto AB é uma matriz do tipo 2 × 4; (b) c23 = 6, c14 = 3 e c21 = −11.

1.3.28 Como existe uma infinidade de solu¸cões, um exemplo para U, não nulo, é 3 U= . 2 1.3.29 

 −1 11 −13 11 −23 −18  ; 13 −3 −61  33 −97 −8

−11  9 (a) AB =   −17 59

(b) (BA) C =

6 −450 −205 129



 −3 7 −7 −24  30 10 −40 15   (c) (A + D) B =   −4 20 −24 −62  ; 65 35 −105 −5 

−11λ  9λ (e) (λA) B =   −17λ 59λ

 −λ 11λ −13λ 11λ −23λ −18λ  ; 13λ −3λ −61λ  33λ −97λ −8λ

(d) BA =

−60 −42 −29 49

;

;


58



−11λ −λ  9λ 11λ (f) A (λB) =   −17λ 13λ 59λ 33λ  −3 7  30 10 (g) AB + DB =   −4 20 65 35 

−11λ  9λ (i) λ (AB) =   −17λ 59λ

 11λ −13λ −23λ −18λ  ; −3λ −61λ  −97λ −8λ  −7 −24 −40 15   −24 −62  −105 −5

(h) B (AC) =

6 −450 −205 129

;

 −λ 11λ −13λ 11λ −23λ −18λ  ; 13λ −3λ −61λ  33λ −97λ −8λ

1.3.32

Somente matrizes da forma

x y 0 x

, ∀x, y ∈ R, comutam com

1 1 0 1

.

1.3.36

0 1 (a) A = ; −1 0 0 1 −1 0 (c) C = ,D= ; 0 0 0 1

(b) B = (d) E =

0 1 0 0

;

1 −1 −1 1

,F =

1 1 1 1

.

1.3.38 (a) Para verificar que as igualdades não são válidas, basta considerar: 0 1 0 0 A= eB= ; 0 0 1 0 (b) (A + B)2 = A2 + B 2 + AB + BA; e (A + B) (A − B) = A2 − B 2 − AB + BA; (c) As formulas indicadas na al´ınea (a) são válidas para as matrizes A, B, tais que, AB = BA, ou seja, A e B matrizes permutáveis. 1.3.42

A=

0 b 0 0

, ∀b ∈ R, e A =

1.3.43    1 0 0 0 0 1 (a) A2 =  2 1 2  , A3 =  4 1 2  ; 0 0 1 1 0 0 

2

−d − dc c d

, ∀c 6= 0, ∀d ∈ R.

˜ 1.4. SOLUC ¸ OES.

59 

 0 0 1 (b) A2 + A − I =  4 1 2  = A3 ; 1 0 0 (c) A4 = 2A2 − I, A5 = 2A2 + A − 2I, A6 = 3A2 − 2I.



1.3.46

 2 3  3 −7   AT =   −5 1  . 8 9

1.3.47

O produto AAT é sempre definido, qualquer que seja a matriz A.

1.3.48 





5 −1  (a) (A + B) = −1 1  ; −1 7 T

(c) (λD)T =

2λ −λ 3λ

;

 −5 11  −2 −3   (b) (AC)T =   4 −12  ; 18 5 4 0 −3 T T (d) B = ; −1 −2 3

(e) O produto AT C T não está definido, porque o n´ umero de colunas de AT (2 colunas) não é igual ao n´ de C T (4 linhas); umero de linhas  5 −1 T T  (f) A + B = −1 1  ; (g) λDT = 2λ −λ 3λ ; −1 7   −5 11  −2 −3   (h) C T AT =   4 −12  . 5 18 1.3.51

X=

− 12 0

1 2 1 3

. 

1.3.53

 4 −4 6 (a) S = A + AT =  −4 8 −7  ; 6 −7 12



 4 −4 6 (b) S T =  −4 8 −7  ; 6 −7 12

Comparando o resultado com o da al´ınea anterior, conclui-se que S = S T , isto é, S é uma matriz sim´ etrica.

0 1 1.3.55 A equa¸cão só tem uma solu¸cão X = se β 6= 0. Para que X seja − β1 β1 uma matriz simétrica, temos que fazer β = −1, obtendo desta forma como solu¸cão da


60

equa¸cão: X =

0 1 1 −1

.

1.3.56 (a) tr(A) = 7; (d) tr(A) + tr (B) = 5;

(b) tr(A + B) = 5; T (e)tr A = 7;

(c) tr(AB) = 8; (f) tr(BA) = 8.

1.3.59 

(a) A−1 não existe;  (c) C −1 = − 73 

− 13 3 2 3

1

 −4 1 −1  ; 3 −3 2 6

 −5 2 4 3 ; (b) B −1 = 31  −3 0 7 −1 −5 cos θ sin θ −1 (d) D = . − sin θ cos θ

1.3.61 

−1

(a) (A−1 )

 −2 3 −1 =  1 −3 1  ; −1 2 −1 

(c) AT

−1

 −1 0 1 =  −1 −1 −1  ; 0 −1 −3

(b) B −1

 1 0 0 =  0 1 0 ; 0 0 1 

 −1 0 1 T (d) (A−1 ) =  −1 −1 −1  ; 0 −1 −3



(e) (AB)−1

1.3.64

 −1 −1 0 =  0 −1 −1  ; 1 −1 −3





(f) B −1 A−1

 −1 −1 0 =  0 −1 −1  . 1 −1 −3

A−1 = −A − I.

1.3.65 (a) Para que a matriz A seja  1 − a −b a 3 1  −c −d c 3 (b) X =   1 − e −f e 3 −g 31 − h g 1.3.69

invert´ıvel, temos que ter k 6= −3, ou seja,k ∈ R\ {−3} ;  b d   , a, b, c, d, e, f, g, h ∈ R. f  h

X = I, I matriz identidade.

Aplica¸ c˜ ao da Inversa de uma Matriz na Resolu¸ c˜ ao de Sistemas. 1.3.70

S = {(3, 0, −3)} .

˜ 1.4. SOLUC ¸ OES. 1.3.71

S=

4 13 1 , , 5 5 5

61

.

Exerc´ıcios de Exame - 2003/2004. 1.3.72

O sistema é:

• poss´ıvel e determinado se α 6= −3 ∧ β ∈ R; • poss´ıvel e indeterminado se α = −3 ∧ β = 4; • imposs´ıvel se α = −3 ∧ β 6= 4.

1.3.73

(a) X = (C T DT − 2B)A−1 .

1.3.74

(a) Verdadeira;

1.3.75

(a) Falsa;

1.3.77

X = I.

(b) X =

9 −4 . −8 6

(b) Falsa. (b) Falsa.

1.3.78 (a) O sistema é imposs´ıvel para a = ±2 ∧ b ∈ R\{− 12 , 12 };   2 −1 −3 1 5  −1 1 − 23  3 ; (b) (i) A−1 =  1  0 0 − 3 13  4 − 13 0 0 3 (ii) (2, − 13 , 23 , − 53 ); (iii) A matriz A não é ortogonal.

1.3.79

O sistema é:

• poss´ıvel e determinado se a ∈ R\{1, 3}; • poss´ıvel e indeterminado se a = 3 ∧ b = 0; • imposs´ıvel se a = 3 ∧ b ∈ R\{0} ou a = 1 ∧ b ∈ R. 1.3.80

(a) X = (A2 )T − (6B −1 )T .


62

1.5

Fichas Pr´ aticas

Estas fichas deverão ser resolvidas com o apoio do software OCTAVE. O texto de cada sessão de trabalho pode ser guardado através do comando diary nomedoficheiro. Todo o texto relativo à sessão que se inicia imediatamente a seguir à instru¸cão diary nomedoficheiro e termina com o comando diary off é guardado num ficheiro de texto chamado nomedoficheiro. Este ficheiro fica guardado numa das pastas do OCTAVE (normalmente a pasta bin). O conte´ udo gravado não volta a ser aberto no OCTAVE mas sim num programa como por exemplo o Notepad.

1.5.1

Representa¸ c˜ ao de Matrizes

Para introduzir a matriz 

 5 −4 0  −7 1 12  3 2 6 no OCTAVE, digite o seguinte: [5 − 4 0; −7 1 12; 3 2 6] Nota: • Os elementos estão separados por um espa¸co. • As linhas estão separadas por um ponto-e-v´ırgula. • A matriz está dentro de parêntesis rectos. O écran exibirá ans

= 5 −4 0 −7 1 12 3 2 6

Repare não são mostrados os parêntesis, e que o OCTAVE atribui à matriz o nome ans.

Todas as matrizes em OCTAVE devem ter um nome. Se não lhe for atribu´ıdo um nome, o OCTAVE atribuir-lhe-á ans, o qual denominamos nome padr˜ ao da vari´ avel

´ 1.5. FICHAS PRATICAS

63

Para atribuir um nome à matriz, usamos o operador de atribui¸cão =. Por exemplo, A = [1 2 3; 4 5 6] será exibido como A = 1 2 3 4 5 6 Aten¸ c˜ ao: • Todas as linhas devem ter o mesmo n´ umero de entradas. • O OCTAVE distingue entre min´ usculas e mai´ usculas. Logo, a matriz b não será o mesmo que a matriz B. • O nome de uma matriz pode ser repetido. Neste caso, o conte´ udo da anterior será perdido. Para atribuir um nome a uma matriz sem exibir as suas entradas, coloque um pontoe v´ırgula a seguir ao parêntesis de fecho (da direita). O comando OCTAVE A = [1 2 3; 4 5 6] ; atribui à mesma matriz o nome A, como anteriormente, mas neste caso nada é exibido. ´ poss´ıvel introduzir este comando sem voltar a escrever, usando as op¸cões de edi¸cão E do OCTAVE. Pressione a tecla seta-para-cima para mostrar o comando anterior e digite apenas o ponto-e-v´ırgula. Se quiser alterar o nome da matriz A, e não o seu conte´ udo, basta fazer Z=A e atribui o conte´ udo da matriz A à matriz designada por Z. A matriz A continua definida. Ou seja, as matrizes designadas por A e por Z são a mesma. Para alterar uma entrada, digite o nome da matriz, a localiza¸cão da entrada, = e o novo valor. Por exemplo: A (2, 1) = −12 altera a entrada (2,1) da matriz A para -12. Ou seja, na matriz A o elemento da linha 2, coluna 1 passa a ser −12. Para ver todo o conte´ udo de uma matriz, digite o nome da matriz. Se matriz for extensa, a exibi¸cão será dividida em subconjuntos de colunas, que serão mostradas sucessivamente. Por exemplo, insira o comando, hilb (20)


64

Como as colunas não cabem todas no espa¸co de trabalho do OCTAVE, elas são divididas em diferentes linhas. (Para mais informa¸cão acerca do comando hilb, digite help hilb.) Existem as seguintes conven¸cões para ver parte de uma matriz no OCTAVE - a t´ıtulo de exemplo, digite A = hilb (5) . • Para ver a entrada (2,3) de A, digite A (2, 3) . • Para ver a 4a linha de A, digite A (4, :) . • Para ver a 1a coluna de A, digite A (:, 1) . Nas situa¸cões acima descritas, assim como nas que se seguem, o operador : é interpretado como ”tudo”, mas esta não é a sua u ńica fun¸cão. Podemos utilizar o operador dois pontos para mostrar um subconjunto de linhas ou colunas de uma matriz. A t´ıtulo de exemplo, para mostrar as linhas de 3 a 5 da matriz A, digite A (3 : 5, :) De igual modo, as colunas de 1 a 3 serão exibidas ao digitar A (:, 1 : 3) Os dois pontos, também podem ser usados para representar uma linha de valores. Por exemplo digitar 2:8 exibe ans = 2 3 4 5 6 7 8 Quando escrevemos apenas 2 : 8 o intervalo, ou incremento, entre os valores é apenas de 1. Para escrever uma linha de valores de 3 em 3, usa-se 2:3:8. Experimente! Regra geral, o incremento não tem de ser um n´ umero inteiro. Experimente também 1:.25:4 e 2:-.3:-2.4. Para mais informa¸cões acerca da utiliza¸cão do operador dois pontos, digite help :. O operador dois pontos é muito versátil em OCTAVE, mas não será necessário utilizar todas as suas fun¸cões.

Exerc´ıcios Introduza as matrizes A, B e C no OCTAVE.     4 −3 1 2 4 A= 2 1  B= 2 4 1  0 6 0 1 5



 5 C =  8 . 7

Os Exerc´ıcios 1.5.1 e 1.5.2 referem-se às matrizes A, B e C.


65

Exerc´ıcio 1.5.1 Na linha fornecida, escreva o comando que executa a açc˜ ao indicada. Execute-o no OCTAVE. (a) Exibir tudo de A. (b) Exibir apenas a 2a coluna de A. (c) Exibir apenas a entrada (3, 2) de A. (d) Exibir apenas a 3a linha de B. (e) Exibir as duas primeiras colunas de B. (f ) Exibir as duas u ´ltimas linhas de A. Exerc´ıcio 1.5.2 Defina uma nova matriz D que tenha os mesmos elementos de A, utilizando o comando OCTAVE D = A. Quando necess´ ario, escreva, no espa¸co fornecido, o comando que executa a açc˜ ao indicada. (a) Fazer com que a entrada (1, 1) de D seja igual a 12. (b) Fazer com que a entrada (3, 2) de D seja igual a −8. (c) Digite o comando E = [D C] . Descreva os elementos de E em termos de D e C.

(d) Digite o comando F = [D B] . Descreva os elementos de F em termos de D e B.

(e) Digite o comando G = [E; B] . Descreva os elementos de G em termos de E e B.

Exerc´ıcio 1.5.3 Para introduzir uma matriz coluna no OCTAVE, digite as suas entradas separadas por ponto-e-v´ırgula. Por exemplo, para escrever a matriz coluna   1  2  3 digite [1; 2; 3]. Execute e escreva os comandos do OCTAVE que lhe permitam obter o seguinte: (a) A matriz coluna c1 com as entradas 0, −1, 3, 5. (b) A matriz coluna c2 com as entradas 4, −2, 0, 7.

66


(c) A matriz H, cujas colunas são c1 e c2 sem voltar a escrever qualquer das entradas. (d) A matriz K, cujas duas primeiras colunas s˜ ao ambas c1 e a terceira coluna é c2 sem voltar a escrever qualquer uma das entradas.

Exerc´ıcio 1.5.4 Para introduzir uma matriz linha no OCTAVE, digite as entradas separadas por espa¸cos. Por exemplo, para escrever a matriz linha [1 2 3] digite [1 2 3] Execute e escreva os comandos do OCTAVE que lhe permitam obter o seguinte: (a) A matriz linha r1 com as entradas 2, −1, 5. (b) A matriz linha r2 com as entradas 7, 9, −3. (c) A matriz M, cujas linhas são r1 e r2, sem voltar a escrever qualquer das entradas. (d) Descreva o resultado do comando 3∗ r1. (e) Descreva o resultado do comando r1 + r2. (f ) Descreva o resultado do comando [r1; r1 + r2; r2] .

Alguns comandos para gerar matrizes A matriz identidade de ordem n denota-se, como sabemos, por In . O OCTAVE tem um comando para gerar In quando necessário. O comando eye utiliza-se como se segue: eye(2) eye(5) t=10;eye(t) eye(size(A))

exibe exibe exibe exibe

uma uma uma uma

matriz matriz matriz matriz

identidade identidade identidade identidade

de ordem 2 de ordem 5 de ordem 10 com a mesma dimensão de A

Dois outros comandos do OCTAVE, zeros e ones, utilizam-se da mesma forma. O comando zeros produz uma matriz só com zeros, por nós conhecida por matriz nula, enquanto que o comando ones cria uma matriz só de 1’s. Se pretendemos gerar matrizes quadradas de ordem n utilizamos os comandos eye(n), zeros(n), ones(n)


67

Matrizes rectangulares do tipo m × n podem ser geradas utilizando os comandos zeros(m,n), ones(m,n) onde m e n são valores inteiros positivos. Por exemplo, para gerar uma matriz coluna com quatro zeros, podemos utilizar o comando zeros(4,1) Os comandos do OCTAVE triu; tril e diag, permitem escrever matrizes quadradas de ordem n triangulares superiores, triangulares inferiores e matrizes diagonais, respectivamente, a partir de uma matriz já definida. Vejamos alguns exemplos.

triu(A) exibe uma matriz triangular superior constru´ıda a partir da matriz A; tril(A) exibe uma matriz triangular inferior constru´ıda a partir da matriz A; diag([2 3]) exibe uma matriz diagonal de ordem 2, cujos elementos da diagonal principal são o 2 (na 1a linha 1a coluna) e o 3 (na 2a linha 2a coluna); diag(A) exibe os elementos da diagonal principal de uma matriz A.

O OCTAVE pode gerar n´ umeros aleatórios, utilizando o comando rand. Digite rand e depois utilize a tecla seta-para-cima para repetir o comando várias vezes. Quando o OCTAVE inicia o comando rand, produz valores no intervalo (0, 1) . O comando randn altera o gerador de n´ umeros aleatórios para produzir valores em ambos os lados de zero, de um modo conhecido por distribui¸cão normal de variância um. (Veja help randn para mais detalhes.) Digite randn e repita-o até obter um valor maior que 2 ou menor que −2. O comando rand sofre varia¸cões iguais às de eye, ones e zeros. Para experimentar, digite os seguintes comandos e depois construa outros. rand(5) rand(4,1) rand(3,6) rand(size(eye(3))) No nosso trabalho é muitas vezes conveniente sermos capazes de gerar matrizes para utilizar em exerc´ıcios ou para verificar conjecturas acerca das matrizes. O comando rand dá-nos matrizes reais cujas entradas não são, geralmente, n´ umeros inteiros. O comando fix(rand(5))

68


gera uma matriz de ordem 5 com entradas inteiras que são obtidas através do truncamento das entradas da matriz produzida por rand(5) para o inteiro (em módulo) mais pequeno (Para mais informa¸cão acerca do fix use help.) Muitas vezes, a matriz produzida pelo comando fix(rand(n)), onde n é um inteiro que designa a dimensão da matriz desejada, contém muitos zeros. Um modo de obter menos zeros é multiplicar cada elemento por 10 antes de os ”fixar”. O comando fix(10∗rand(5)) executa esta tarefa.


1.5.2

69

Opera¸ c˜ oes elementares sobre linhas. Resolu¸ c˜ ao de sistemas de equa¸ c˜ oes lineares

Dado um sistema de equa¸cões lineares AX = B, introduzimos a matriz dos coeficientes A e a matriz dos termos independentes B no OCTAVE. Constru´ımos a matriz ampliada C no OCTAVE, digitando C = [A B] Nota: A e B são separadas por um espa¸co. A forma escalonada reduzida de uma matriz obtém-se a partir da aplica¸cão sucessiva de opera¸cões elementares sobre linhas, para transformar a matriz numa matriz semelhante, o mais poss´ıvel, à matriz identidade. Assim, aplicam-se as opera¸cões elementares sobre linhas que permitem introduzir o maior n´ umero de zeros poss´ıvel. ` medida que se avan¸ca no processo de redu¸cão (ou elimina¸cão), os zeros são obtidos A acima e abaixo de determinadas entradas da matriz. Estas entradas designam-se pivots ou elementos pivot e a linha onde se encontram é chamada linha pivot. O OCTAVE escolhe automaticamente as opera¸cões elementares sobre linhas para eliminar entradas e obter uma matriz equivalente na forma escalonada reduzida. (A expressão ”forma escalonada reduzida”será muitas vezes abreviada para rref.) Isto é, aplicando o rref a uma dada matriz A, rref (A), obtemos a matriz escalonada reduzida equivalente. Esta nova matriz satisfaz as seguintes propriedades: • Todas as linhas nulas, se existirem, aparecem em u ´ltimo. • A primeira entrada diferente de zero, de uma linha não nula, é 1. • A entrada 1 de cada linha não nula, aparece à direita da entrada 1 da linha anterior. • Qualquer coluna que contenha essa entrada 1 tem zeros em todas as outras entradas dessa coluna. (Isto é, estas colunas são colunas de uma matriz identidade.) Aplicando o comando rref à matriz A   3 0 2 1 A= 1 2 3 4  1 2 −5 6 obtém-se a matriz escalonada reduzida 

 1 0 0 1/2  0 1 0 17/8  . 0 0 1 −1/4

70


Existem diferentes maneiras de escolher opera¸cões elementares sobre linhas para aplicar a uma matriz A de modo a obter a forma escalonada reduzida, mas o resultado é o mesmo. A forma escalonada reduzida de uma matriz A é u ńica. A forma escalonada reduzida de uma matriz será necessária para vários tópicos futuros. A matriz nesta forma será usada para obter informa¸cão acerca da própria matriz, o que, por sua vez, implicará que a situa¸cão ou problema modelado pela matriz tenha determinadas propriedades. Então, necessitamos de um modo rápido de obter a forma escalonada reduzida de uma matriz A, sem fornecer os passos detalhados do processo de redu¸cão. Para tal utilizamos então o comando rref.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 1.5.5 Introduza a matriz A no OCTAVE e usando o comando rref(A) escreva a sua forma escalonada reduzida. Registe o resultado ao lado da matriz A.     4 2 −1 0  2 −1 3   4    . A= rref (A) =  2 3 −4 −4    5 −1 0 0 Exerc´ıcio 1.5.6 Utilize rref para encontrar o conjunto solu¸c˜ ao do seguinte sistema homogéneo de equa¸cões lineares.

 + x5 = 0  x1 − x2 + 2x3 2x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0  x1 + x2 + 2x4 + 2x5 = 0 Exerc´ıcio 1.5.7 Construa uma matriz 4 × 4 com duas linhas iguais, mas n˜ ao nulas. Calcule o rref. Explique porque é que existe uma linha nula no rref. Exerc´ıcio 1.5.8 Considere os seguintes sistemas:   3x + 2y − 5z = 8 2x − 4y − 2z = −4 A:  x − 2y − 3z = −4

  2x + 4y + 6z = −6 3x − 2y − 4z = −38 B:  x + 2y + 3z = −3


71

C:

 

x + 2y = 4 −3x + 4y = 3 .  2x − y = −6

(a) Aplicando o método de Gauss-Jordan indique o conjunto solu¸c˜ ao de cada um dos sistemas. (b) Utilizando o comando rank(A) calcule a característica de cada uma das matrizes dos coeficientes e das matrizes ampliadas relativas a cada um dos sistemas. Por fim classifique os sistemas.

Para cada um dos seguintes problemas, construa um sistema de equa¸cões lineares que modele as rela¸cões descritas e resolva o sistema com o apoio do software OCTAVE. Confirme a solu¸cão de modo a garantir que faz sentido no contexto do problema. Exerc´ıcio 1.5.9 Dois montantes de dinheiro x1 e x2 , somam 600 euros. O montante x1 é o dobro do montante x2 . Encontre os valores dos montantes x1 e x2 . Exerc´ıcio 1.5.10 Sejam x1 o n´ umero de queques e x2 o n´ umero de bolachas que um pasteleiro consegue fazer numa hora. Em média, um pasteleiro leva 4 segundos a preparar um queque e 10 segundos para uma bolacha. O pre¸co de venda de um queque é 0, 35 euros e o da bolacha é 0, 25 euros. Se a receita total de um pasteleiro ao fim de 1 hora tiver de ser de 127, 50 euros, quantos queques e bolachas devem ser feitos? Exerc´ıcio 1.5.11 Numa fábrica produzem-se dois produtos: varinhas m´ agicas e batedeiras. Montar uma varinha m´ agica demora 2/3 de uma hora, e a montagem da batedeira leva 4/5 de uma hora. As componentes para cada varinha m´ agica custam 4, 90 euros e os da batedeira custam 6, 50 euros. Quantos instrumentos podem ser produzidos em 8 horas se a fábrica gastar 61, 90 euros nas componentes necess´ arias. (Sugestão: Seja x o n´ umero de varinhas m´ agicas produzidas e y o n´ umero de batedeiras. Construa uma equa¸cão para o tempo e outra para o custo.) Exerc´ıcio 1.5.12 Um pequeno clube de investimento tem 24000 euros para investir em 3 planos de açcões, designadas por A, B e C. O clube decide investir em B o dobro do que em C. As taxas de juro de cada plano s˜ ao, respectivamente, 10%, 8% e 6%, e o total de juros obtidos no final do ano deve ser de 2000 euros. Quanto deve ser investido em cada plano? Exerc´ıcio 1.5.13 Uma parábola p (x) = ax2 + bx + c ir´ a ser constru´ıda através dos pontos (1, 2) , (2, 4) e (4, 14) . Calcule os coeficientes a, b e c, tais que p (1) = 2, p (2) = 4 e p (4) = 14.


72

1.5.3

Opera¸ c˜ oes com matrizes

No caso da adi¸cão e da subtraçcão de matrizes o formato da opera¸cão no OCTAVE é igual ao formato que introduzimos em qualquer texto. Porém, existem diferen¸cas na multiplica¸cão de matrizes, na multiplica¸cão de uma matriz por um escalar, nas potências e na transposta. A seguinte tabela mostra-nos os formatos utilizados em texto e no OCTAVE. Formato no texto Formato no OCTAVE Soma de matrizes A+B A+B Subtraçcão de matrizes A−B A−B Multiplica¸cão de matrizes AB A∗ B Multiplica¸cão por um escalar λA λ∗ A Potências Ak A∧ k T Transposta A A’ Tabela 1.8: Formatos no texto e no OCTAVE para as opera¸cões com matrizes.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 1.5.14 Calcule cada uma das seguintes opera¸c˜ oes. Caso alguma das opera¸c˜ ao n˜ ao esteja definida, explique porquê. 

 5 −2 1 0 4  A= 1 −3 7 2



 2 2 3 B =  −1 4 1  5 −3 0 D=

A+B =

−1 2 3 0 4 5



 1 −1 2 1 4  C= 0 −5 3 6 

 −2 X= 3  1

B−D =

A∗ B =

B∗D =

D∗ C =

C0 =


73

C ∗X =

X ∗X =

0

((A − B)∗ X) =

X 0∗ X =

6∗ D =

5∗ A − 3∗ B =

Exerc´ıcio 1.5.15 Digite A = [1 2 3; 4 5 6] no OCTAVE. Que matriz é exibida, quando digita o comando A0 ? Registe o resultado.       

    

Exerc´ıcio 1.5.16 Seja A a matriz do Exerc´ıcio 1.5.15. (a) Digite size(A) e size(A’). Como é a dimens˜ ao de A em rela¸c˜ ao a dimens˜ ao de A’? (b) Como são as linhas de A em rela¸c˜ ao ` as colunas de A’? Exerc´ıcio 1.5.17 Como é a matriz (A’)’ em rela¸c˜ ao ` a matriz A? Exerc´ıcio 1.5.18 Introduza cada uma das seguintes matrizes no OCTAVE. 

 1 3 A= 2 4  3 1



 −1 2 B =  4 −2  7 −1

C=

1 5 −5 3



 4 3 −2 5  D= 1 0 2 −1 6

Efectue cada uma das seguintes opera¸c˜ oes com matrizes no OCTAVE. Registe os resultados. (a) A + B

74


(b) B + C

(c) D∗ A

(d) 2∗ A − 3∗ B

(e) A0

(c) C ∧ 2

Exerc´ıcio 1.5.19 Sejam A e X as matrizes abaixo definidas.     6 −1 1 10.5 A =  0 13 −16  X =  21.0  . 0 8 −11 10.5 (a) Determine o escalar λ tal que AX = λX.

λ=

´ verdade que A0 X = λX para o valor de λ determinado na al´ınea (a)? (b) E Coloque um circulo:

Sim

N˜ ao

Exerc´ıcio 1.5.20 Introduza no OCTAVE cada uma das seguintes matrizes.   4 3 −2 1 5 5 . C= D= 1 0 −5 3 2 −1 6 Introduza cada um dos seguintes comandos OCTAVE e analise cuidadosamente o comportamento de cada um.Escreva uma breve descri¸c˜ ao da açc˜ ao dos comandos no espa¸co fornecido.


75

(a) 5∗eye(2) (b) eye(2)+ones(2) (c) ones(size(C)), zeros(size(C)), C+ones(size(C)) (d) D, diag(diag(D)) (e) diag([−3 4]), diag([5 −7 1]) (f ) D, triu(D) (g) D, tril(D) (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) Exerc´ıcio 1.5.21 Nas al´ıneas que se seguem, construa um comando OCTAVE para gerar a matriz descrita. Por exemplo, uma linha com cinco 10 s é gerada por ones(1,5). Registe o seu comando no espa¸co fornecido. (N˜ ao escreva explicitamente as entradas da matriz descrita.) (a) Uma coluna com oito 10 s. (b) Uma linha com dez 3’s. (c) Uma matriz de ordem 5 com todos os elementos da diagonal iguais a 7.



2 1 1 (d) A matriz A =  1 2 1 1 1 2  5 −1 (e) A matriz A =  −1 5 −1 −1

 .  −1 −1  . 5

76


Exerc´ıcio 1.5.22 Construa um comando em OCTAVE para gerar a matriz A de ordem n que tenha aij = 1 para i 6= j e aii = 1 − n. Demonstre o seu comando para os casos n = 3, 5, 8. Registe o seu comando abaixo.

Exerc´ıcio 1.5.23 Repita o Exerc´ıcio 1.5.22, mas para a matriz B onde bij = 1 para i 6= j e bii = 1/n.

Exerc´ıcio 1.5.24 Crie uma matriz A a partir do comando A=ceil(10∗rand(5)). Utilize o OCTAVE para verificar cada uma das seguintes afirma¸c˜ oes. (a) S = A + A0 é uma matriz simétrica. (b) T = A − A0 é uma matriz anti-simétrica. (c) A = (1/2) S + (1/2) T. (d) Para L = tril (A, −1) , D = diag (diag (A)) , e U = triu (A, 1) , L + D + U = A.

Exerc´ıcio 1.5.25 Investigue a forma do produto de duas matrizes diagonais. (a) No OCTAVE fa¸ca o seguinte: A=diag([1 2 7]), B=diag([−3 4 2]) Calcule A ∗ B. Estude a ”forma”do resultado. Completa a seguinte afirma¸cão: A ∗ B é uma matriz

.

(b) No OCTAVE fa¸ca o seguinte: A=diag([4 3 2 −1]), B=diag([0 1 5 −3]) Calcule A ∗ B. Estude a ”forma”do resultado. Completa a seguinte afirma¸cão: A ∗ B é uma matriz (c) Conjectura: O produto de duas matrizes diagonais é uma matriz (Tente provar a sua conjectura para matrizes diagonais de ordem n.)

. .


77

Exerc´ıcio 1.5.26 Investigue a forma do produto de duas matrizes triangulares inferiores. (a) No OCTAVE fa¸ca o seguinte: A=tril(fix(10∗rand(3))), B=tril(fix(10 ∗rand(3))) Calcule A ∗ B. Estude a ”forma”do resultado. Completa a seguinte afirma¸c˜ ao: A ∗ B é uma matriz

.

(b) No OCTAVE fa¸ca o seguinte: A=tril(fix(10∗rand(5))), B=tril(fix(10∗rand(5))) Calcule A ∗ B. Estude a ”forma”do resultado. Completa a seguinte afirma¸c˜ ao: A ∗ B é uma matriz

.

(c) Conjectura: O produto de duas matrizes triangulares inferiores é uma matriz . Tente provar esta conjectura para matrizes triangulares inferiores de ordem n.

Exerc´ıcio 1.5.27 No Exerc´ıcio 1.5.26, substitua tringular inferior por triangular superior e tril por triu e repita os passos. Conjectura: O produto de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz .

Exerc´ıcio 1.5.28 Introduza cada uma das seguintes matrizes no OCTAVE. 

 1 3 A= 2 4  3 1



 −1 2 B =  4 −2  7 −1

C=

1 5 −5 3



 4 3 −2 5  D= 1 0 2 −1 6

Introduza cada uma das seguintes express˜ oes algébricas de matrizes no OCTAVE. Descreva, resumidamente, a açc˜ ao tomada por cada express˜ ao. Aten¸ c˜ ao: estas n˜ ao s˜ ao as opera¸ c˜ oes usuais de matrizes. (a) A.∗ B (b) A./B (c) A.∧ 3

78

1.5.4


Matrizes invert´ıveis

Para determinar se uma matriz quadrada A de ordem n tem inversa, aplicamos o comando rref à matriz [A|In ] . Introduza a matriz A no OCTAVE e utilize o comando rref ([A eye (size(A))]) Se A se transforma em In , então, In será transformada em A−1 ; caso contrário, A não é invert´ıvel. Para além do rref, o OCTAVE tem um outro comando que permite calcular a inversa de uma matriz, denominado por inv. Este utiliza uma estratégia diferente para o cálculo das inversas que não estudaremos em promenor. Tenha em aten¸cão que o OCTAVE não usa uma aritmética exacta e, para algumas matrizes, o comando inv pode exibir uma mensagem indicando que potenciais incoerências podem ser apresentadas ou mesmo que a matriz é singular. Uma matriz singular é uma matriz quadrada que não admite inversa. Por isso, antes de usar este comando deve verificar se a matriz tem inversa. Esta verifica¸cão pode ser efectuada facilmente usando o comando rank, uma vez que uma matriz só admite inversa se for quadrada e a sua característica for igual à sua ordem.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 1.5.29 Utilize o comando rref para determinar a inversa de cada uma das seguintes matrizes. Escreva as matrizes obtidas.     1 1 0 1 1 0 A =  2 0 1 , B =  0 1 1 . 1 0 1 2 0 2 

 1 2 0 C =  0 1 −1  , 1 0 1



 1 1 0 D =  0 1 1 . 1 0 1


79

Exerc´ıcio 1.5.30 Utilize o comando inv para encontrar a inversa de cada uma da seguintes matrizes, caso exista.   1 2 3 (a) A =  4 5 6  7 8 9   1 2 3 (b) B =  4 5 6  7 8 0   1 2 3 0  4 5 0 6   (c) C =   7 0 8 9  0 10 11 12   1 2 3 0  4 5 0 6   (c) D =   7 0 8 9  1 2 3 0 Exerc´ıcio 1.5.31 Se B é a inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, então AB=BA=In assumindo que a aritmética exacta é utilizada para os c´ alculos. Se aritmética computacional é utilizada para calcular o produto AB, ent˜ ao o resultado pode não ser igual a In e, de facto, AB pode n˜ ao ser igual a BA. Porém, tanto AB como BA devem estar próximos de In . Utilize o comando inv na forma B=inv(A), e calcule os produtos AB e BA no OCTAVE, para as seguintes matrizes. 1 13 (a) 0 13 1 1 2 4 (b) 1 1 4

2



1

(c) 

1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 4 1 4 1 5

 

Resolu¸c˜ ao de sistemas de equa¸ c˜ oes lineares aplicando a inversa da matriz dos coeficientes Seja A uma matriz invert´ıvel. O sistema de equa¸cões lineares AX = B pode ser resolvido no OCTAVE de várias formas. Consideremos que já foram introduzidas no OCTAVE a matriz A, que representa a matriz dos coeficientes do sistema e a matriz B, a matriz dos termos independentes. Neste caso, sendo a matriz A uma matriz invert´ıvel, o sistema é possível e determinado, logo o seu conjunto solu¸cão, pode ser obtido por um dos seguintes processos:


80

• Calcule A−1 , e depois X = A−1 B. No OCTAVE utilize os comandos Y=rref([A eye(size(A))]); e X=Y(:,(size(Y,2)+2)/2:size(Y,2))∗ B • Calcule A−1 , e depois X = A−1 B. No OCTAVE utilize os comandos Y=rref([A eye(size(A))]); e X=inv(A)∗ B. • O OCTAVE está concebido para resolver sistemas de equa¸cões lineares. Logo, tem um comando especial para esse fim espec´ıfico. O comando é \, o qual invoca um algoritmo que não o rref ou o inv. Para usar este comando, digite X=A\B . Verifica-se que a utiliza¸cão de \ reduz as opera¸cões aritméticas, logo é mais rápido, e em cursos de análise numérica mostra-se que, geralmente, \ fornece resultados mais correctos. Assim, para resolver sistemas lineares poss´ıveis e determinados utilize \.

Exerc´ıcio 1.5.32 Utilizando cada uma das possibilidades apresentadas anteriormente, resolva cada um dos seguintes sistemas de equa¸c˜ oes lineares. (i)   x + 2y + z = 0 x + y + z = 0 .  3x − y + z = 6 (ii)   2x + y − z = 4 −x + y + z = 2 .  y + 2z = 3

Cap´ıtulo 2 Determinantes e suas aplica¸ c˜ oes 2.1

M´ etodos de c´ alculo de determinantes

Nesta seçcão vamos associar a cada matriz quadrada A um n´ umero a que chamaremos determinante de A. Os determinantes fornecem informa¸cões importantes sobre ´ as matrizes e são u ´teis em algumas aplica¸cões da Algebra Linear. Passaremos a introduzir esta no¸cão a partir da inversa de uma matriz. Consideremos a matriz A = [aij ] de ordem 2, A=

a11 a12 a21 a22

Aplicando o método prático descrito no cap´ıtulo anterior para calcular a inversa de uma matriz, temos então que: A

−1

=

a22 a11 a22 −a21 a12 −a12 a11 a22 −a21 a12

−a21 a11 a22 −a21 a12 a11 a11 a22 −a21 a12

.

Observe-se que os denominadores de todos os elementos desta matriz são iguais. Este valor comum designa-se por determinante da matriz A, e representa-se por det(A) ou |A|. Nesta seçcão, vamos apenas referir algumas técnicas práticas para o cálculo de determinantes, não entrando em detalhes relativamente à sua defini¸cão. Assim, no caso de uma matriz de ordem 2, o determinante é simplesmente dado por: a11 a12 a21 a22

= a11 a22 − a21 a12

e as duas parcelas desta expressão são obtidas efectuando os dois produtos que se sugerem no seguinte esquema:

81

˜ CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E SUAS APLICAC ¸ OES

82

Ou seja, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferen¸ca entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Já no caso de uma matriz de ordem 3, o determinante é dado pela expressão: a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a31 a22 a13 −a32 a23 a11 −a33 a21 a12 a33

Esta expressão pode ser obtida, na prática, por uma regra mnemónica, conhecida por regra de Sarrus, que pode ser enunciada de duas maneiras: I - Escreve-se uma cópia das primeiras duas linhas da matriz por baixo da matriz inicial de ordem 3 e calcula-se o determinante somando o produto dos elementos da diagonal principal e dos elementos das diagonais paralelas à diagonal principal e subtra´ındo o produto dos elementos da diagonal secundária e dos elementos das diagonais paralelas à diagonal secundária.

Assim, |A| = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a31 a22 a13 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 .

´ ´ 2.1. METODOS DE CALCULO DE DETERMINANTES

83

II - (Tamb´ em designada por Regra dos Triˆ angulos) Atribui-se o sinal positivo aos produtos dos elementos da diagonal principal e aos os produtos dos elementos que se dispõem nos vértices dos triângulos de bases paralelas a essa diagonal, como mostra a seguinte figura:

Atribui-se o sinal negativo aos produtos dos elementos da diagonal secundária e aos produtos dos elementos que se dispõem nos vértices dos dois triângulos de bases paralelas à diagonal secundária.

Assim, |A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a32 a21 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a12 a21 .

Exemplo 2.1.1 Consideremos as seguintes matrizes A e B de ordem 2 e 3: A=

1 3 1 2



 1 0 2 B =  0 1 1 . −1 1 2

Calculemos os determinantes das matrizes A e B usando as regras pr´ aticas que acabamos de descrever. Para a matriz A, de ordem 2, |A| = 1 × 2 − 3 × 1 = −1. Para a matriz B, de ordem 3, podemos aplicar a regra de Sarrus, de uma das seguintes formas:

84


|B| = (1 × 1 × 2) + (0 × 1 × 2) + (−1 × 0 × 1) − (−1 × 1 × 2) − (1 × 1 × 1) − (0 × 0 × 2) = 3, ou alternativamente,

|B| = (1 × 1 × 2 + 0 × 1 × (−1) + 2 × 0 × 1) − ((−1) × 1 × 2) − (1 × 1 × 1) − (2 × 0 × 0) = 3. Uma vez que as regras enunciadas só são válidas para matrizes de ordem 2 e 3, vamos de seguida enunciar algumas propriedades do determinante de uma matriz A, que nos vão permitir obter o determinante de matrizes de qualquer ordem e que em alguns casos, tornam mesmo este cálculo imediato. Propriedades dos determinantes Nota: Quando nos referirmos, indiferentemente, a uma linha ou coluna de uma matriz, chamaremos fila. Teorema 2.1.1 Seja A uma matriz quadrada real (ou complexa) de ordem n. (i) Se a matriz A tem uma fila nula, ent˜ ao |A| = 0. (ii) Se multiplicarmos os elementos de uma fila da matriz A por um escalar λ, obtém-se um determinante de valor λ |A| . (iii) Se multiplicarmos os elementos de m(m ≤ n) filas paralelas da matriz A, respectivamente, por λ1 , λ2 , . . . , λm ∈ R obtém-se um determinante de valor λ1 λ2 . . . λm |A| . (iv) O determinante T da transposta da matriz A é igual ao determinante da matriz A, ou seja, A = |A| .


85

(v) Se na matriz A trocarmos, entre si, duas filas paralelas, obtém-se uma matriz B cujo determinante é simétrico ao determinante de A, isto é, |B| = − |A| . (vi) Se a matriz A tem filas paralelas iguais, então tem determinante nulo. (vii) Se a matriz A tem duas filas paralelas proporcionais, ent˜ ao tem determinante nulo. (viii) Se substituirmos os elementos de uma fila da matriz A por somas de m parcelas, o determinante dessa matriz A é igual ` a soma dos determinantes de m matrizes, obtidas de A, substituindo sucessivamente essa mesma fila de A pelas m filas formadas pelas primeiras parcelas, pelas segundas parcelas, ...., pelas u ´ltimas parcelas da decomposi¸cão dada ` aquela fila de A, mantendo as restantes filas inalteráveis. (ix) Se somarmos uma fila da matriz A com outra fila paralela multiplicada por um escalar, o valor do seu determinante n˜ ao se altera. (x) Se A é uma matriz triangular, o determinante de A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Em particular, |I| = 1, onde I é a matriz identidade. Aplicando estas propriedades podemos simplificar o cálculo do determinante de uma matriz. Vejamos um exemplo: Exemplo 2.1.2 Consideremos a seguinte matriz:  1 2 0 −2  0 0 3 2 A=  1 0 −2 0 −1 1 0 1 |A| =

  . 

1 2 1 2 2 0 −2 0 −2 0 −2 0 3 2 = 0 0 3 2 = 0 0 3 2 2× 0 −2 0 [ix] 0 −2 −2 2 [ii] 0 −1 −1 1 0 3 0 3 1 0 1 0 −1 0 −1 1 2 1 2 0 −2 0 −2 0 −1 −1 1 = 0 −1 −1 1 = (−2) (−2) [ix] 0 0 [v] 0 0 3 2 3 2 0 3 0 −1 0 0 −3 2 1 2 0 −2 0 −1 −1 1 = = (−2) (−2) [1 × (−1) × 3 × 4] = 24. [ix] 3 2 [x] 0 0 0 0 0 4

1 0 1 −1

86


Vejamos agora como se comporta o determinante da soma e do produto de duas matrizes. Exemplo 2.1.3 Consideremos a matriz A do exemplo anterior e a matriz:   1 2 3 5  0 1 1 2   B=  0 0 1 1  0 0 0 2 Pela propriedade [x], vem que |B| = 2. Calculemos |A + B| e |AB|. |A + B| = e

|AB| =

2 0 1 −1

4 3 3 1 4 4 0 −1 1 1 0 3

1 4 5 5 0 0 3 7 1 2 1 3 −1 −1 −2 −1

= 75 = 48.

Logo, |A + B| = 75 6= 24 + 2 = |A| + |B| e |AB| = 48 = 24 × 2 = |A|.|B|. Em geral, dadas duas matrizes A e B da mesma ordem |A + B| = 6 |A| + |B|. Mas em rela¸cão à multiplica¸cão o resultado obtido no exemplo anterior será generalizado no teorema que se segue. Teorema 2.1.2 Se A e B são matrizes quadradas, ent˜ ao |AB| = |A|.|B|. Com base neste teorema prova-se então que: Teorema 2.1.3 Se A é uma matriz invert´ıvel, ent˜ ao |A−1 | = |A|−1 . Alternativamente às propriedades, o método mais utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior a 3, é o desenvolvimento Laplaceano, que consiste na aplica¸cão do Teorema de Laplace. Para que possamos introduzir este teorema, vamos definir dois novos conceitos: menor complementar e complemento alg´ ebrico de um elemento de uma matriz.


87

Defini¸c˜ ao 2.1.1 O menor complementar de um elemento aij de uma matriz A de ordem n é o determinante da matriz obtida de A, suprimindo-lhe a linha e a coluna que se cruzam nesse elemento, ou seja, a linha i e a coluna j, e representa-se por |Mij | . Defini¸c˜ ao 2.1.2 O complemento algébrico de um elemento aij é o produto do menor complementar desse elemento, por (−1)i+j e representa-se por Cij . Isto é, Cij = (−1)i+j |Mij | 

1  0 Exemplo 2.1.4 Consideremos a matriz A =   1 −1

 2 0 −2 0 3 2  . 0 −2 0  1 0 1

Pela defini¸cão 2.1.2, C23 = (−1)2+3 |M23 |. Assim, comecemos por determinar o menor complementar do elemento a23 , pela defini¸c˜ ao 2.1.1, 1 2 −2 |M23 | = 1 0 0 = 0 + 0 + (−2) − 0 − 0 − 2 = −4. −1 1 1 Logo C23 = (−1)5 × (−4) = 4. Teorema 2.1.4 (Teorema de Laplace) Um determinante é igual ` a soma dos produtos que se obtêm multiplicando cada um dos elementos de uma dada fila pelos respectivos complementos algébricos, ou seja, o c´ alculo do determinante de uma matriz A de ordem n, pode ser efectuado através do desenvolvimento Laplaceano segundo uma linha k, n X |A| = akj Ckj , j=1

ou segundo uma coluna h, |A| =

n X

aih Cih .

i=1

A aplica¸cão do Teorema de Laplace torna-se mais simples quando aplicado sobre uma fila com muitos zeros. No exemplo que se segue aplicaremos o Teorema de Laplace a uma matriz quadrada A de ordem 4.   1 2 0 −2  0 0 3 2   Exemplo 2.1.5 Consideremos a matriz do exemplo 2.1.2, A =   1 0 −2 0  . −1 1 0 1 Calculemos |A| usando o Teorema de Laplace:


88

- aplicado segundo uma linha (2a linha): 1 2 0 −2 2 0 0 0 3 2 2+1 = 0×(−1) 0 −2 |A| = 1 0 −2 0 1 0 −1 1 0 1 1 2 −2 1 2+3 2+4 +3 × (−1) 1 0 0 + 2 × (−1) 1 −1 1 1 −1 = 0 + 0 + (−3) × (−4) + 2 × 6 = 12 + 12 = 24;

1 0 −2 2+2 +0×(−1) 1 −2 0 + −1 0 1 2 0 0 −2 = 1 0 −2 0 1

- aplicado segundo uma coluna (3a coluna): 1 2 0 −2 0 0 2 1 2 −2 0 0 3 2 1+3 + 3 × (−1)2+3 1 0 0 + 1 0 0 |A| = = 0 × (−1) 1 0 −2 0 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 0 1 1 2 −2 1 2 −2 + (−2) × (−1)3+3 0 0 2 + 0 × (−1)4+3 0 0 2 = −1 1 1 1 0 0 = 0 + (−3) × (−4) + (−2) × (−6) + 0 = 12 + 12 = 24.

2.2

Aplica¸c˜ oes dos determinantes

2.2.1

C´ alculo da inversa de uma matriz

O conceito de determinante permite, de uma forma simples, saber se uma dada matriz admite ou não inversa. Se analisarmos a matriz A de ordem 2 apresentada no in´ıcio da seçcão 2.1 conclu´ımos que esta só admite inversa se o seu determinante for diferente de zero. Generalizando podemos então concluir que: Teorema 2.2.1 Uma matriz quadrada A é invert´ıvel se e s´ o se |A| = 6 0. Para além desta aplica¸cão, e utilizando o conceito de complemento algébrico, podemos determinar a inversa de uma matriz. Para tal, torna-se necessário introduzir a defini¸cão de matriz adjunta: Defini¸ c˜ ao 2.2.1 Matriz adjunta de uma matriz quadrada A, adjA, é uma matriz quadrada que se obtém do seguinte modo: 1◦ Calcula-se AT ; 2◦ Calculam-se os complementos algébricos dos elementos de AT ; 3◦ Substitui-se cada elemento de AT pelo seu complemento algébrico.

˜ 2.2. APLICAC ¸ OES DOS DETERMINANTES

89



   2 1 5 2 1 7 Exemplo 2.2.1 Seja A =  1 3 3  . Ent˜ ao, AT =  1 3 2  . Os menores 7 2 4 5 3 4 complementares dos elementos da matriz AT s˜ ao: 3 2 1 2 1 3 = −12, |M11 | = = 6, |M12 | = = −6, |M13 | = 3 4 5 4 5 3 1 7 2 7 2 1 = −17, = −27, = 1, |M21 | = |M22 | = |M23 | = 3 4 5 4 5 3 1 7 2 7 2 1 = 5. |M31 | = = −19, |M32 | = = −3, |M33 | = 3 2 1 2 1 3 Ent˜ ao os complementos algébricos dos elementos de AT s˜ ao: C11 = (−1)1+1 |M11 | = 6,

C12 = (−1)1+2 |M12 | = 6,

C13 = (−1)1+3 |M13 | = −12,

C21 = (−1)2+1 |M21 | = 17, C22 = (−1)2+2 |M22 | = −27, C23 = (−1)2+3 |M23 | = −1, C31 = (−1)3+1 |M31 | = −19, C32 = (−1)3+2 |M32 | = 3,

C33 = (−1)3+3 |M33 | = 5.

Logo, a matriz dos complementos algébricos de AT é:     6 6 −12 C11 C12 C13 CAT =  C21 C22 C23  =  17 −27 −1  . −19 3 5 C31 C32 C33 Portanto adjA = CAT . Assim, podemos introduzir um novo método para o cálculo da inversa de uma matriz. Teorema 2.2.2 Para qualquer matriz quadrada A de ordem n, A (adjA) = (adjA) A = |A| I, onde I é a matriz identidade. Assim, se |A| = 6 0, temos: A−1 =

1 adjA. |A| 

 2 1 5 Exemplo 2.2.2 Consideremos a matriz do exemplo 2.2.1 A =  1 3 3  . Pelo 7 2 4 desenvolvimento de Laplace ao longo da 2a linha, temos: 2 1 5 |A| = 1 3 3 = (−1) × (−6) + 3 × (−27) + (−3) × (−3) = −66. 7 2 4 Ent˜ ao, utilizando a adjA já calculada obtemos:     1 1 2 6 6 −12 − 11 − 11 11 1 1  9 1 . 17 −27 −1  =  − 17 A−1 = adjA = 66 22 66 |A| −66 19 1 5 − 22 − 66 −19 3 5 66

90

2.2.2


Resolu¸ c˜ ao de Sistemas de equa¸ c˜ oes lineares - Regra de Cramer

Como já referimos, na subseçcão 1.2.7 um sistema pode representar-se matricialmente pela equa¸cão AX = B onde A é a matriz dos coeficientes, X a matriz coluna das incógnitas e B a matriz coluna dos termos independentes. Utilizando agora a no¸cão de determinante, podemos facilmente concluir quando é que um dado sistema é poss´ıvel e determinado, sem o resolver. Teorema 2.2.3 Consideremos o sistema de equa¸c˜ oes lineares de n equa¸c˜ oes a n inc´ ognitas, AX = B. O sistema é poss´ıvel e determinado se e s´ o se |A| = 6 0. No caso dos sistemas homogéneos AX = O, o cálculo do |A| permite classificar imediatamente o sistema. Teorema 2.2.4 O sistema homogéneo AX = O tem solu¸c˜ ao n˜ ao nula se e s´ o se |A| = 0. Defini¸ c˜ ao 2.2.2 Um sistema diz-se de Cramer, se e s´ o se a matriz dos coeficientes for invert´ıvel, isto é, se |A| = 6 0. Consequentemente, da defini¸cão e teorema anteriores, podemos concluir que todo o sistema de Cramer é poss´ıvel e determinado. Para resolver estes sistemas, para além dos métodos atrás apresentados, podemos aplicar a Regra de Cramer, que é um outro processo para determinar a solu¸cão de um sistema de equa¸cões lineares utilizando agora a no¸cão de determinante. Teorema 2.2.5 (Regra de Cramer) Se A é uma matriz invert´ıvel, ent˜ ao a solu¸c˜ ao do sistema de equa¸cões lineares AX = B é u ńica e é dada por X = (x1 , x1 , . . . , xn ) , onde ∆i xi = |A| e ∆i é o determinante da matriz A substituindo a coluna i pela coluna dos termos independentes. Esta fórmula para determinar o valor das incógnitas, designa-se por f´ ormula de Cramer, e pode ser aplicada a todos os sistemas de Cramer. Exemplo 2.2.3 Dado o sistema   2x + y + 4z = 2 6x + y = −10 ,  −x + 2y − 10z = −4

˜ 2.2. APLICAC ¸ OES DOS DETERMINANTES como

o sistema é Assim, 2 −10 −4 x = 2 6 −1

2 1 4 6 1 0 −1 2 −10

91

= 92 6= 0

de Cramer, o que nos permite resolvê-lo aplicando a regra de Cramer.

1 4 1 0 2 −10 = 1 4 1 0 2 −10

−184 92

= −2;

z=

2 6 −1 2 6 −1

y=

2 2 4 6 −10 0 −1 −4 −10 2 1 4 6 1 0 −1 2 −10

=

184 92

= 2;

1 2 1 −10 2 −4 92 = = 1. 92 1 4 1 0 2 −10

Logo C.S. = {(−2, 2, 1)} . Em determinadas condi¸cões, é poss´ıvel aplicar a Regra de Cramer a sistemas que não são de Cramer. Uma dessas condi¸cões está relacionada com o determinante principal. Defini¸c˜ ao 2.2.3 Seja A uma matriz e A0 uma submatriz de A com determinante não nulo. |A0 | é um determinante principal da matriz A se n˜ ao existir nenhuma outra submatriz de A, com ordem superior a A0 com determinante n˜ ao nulo. Nota: Cada matriz pode admitir mais do que um determinante principal. Exemplo 2.2.4 Consideremos o   2x 4x  4x

sistema − 4y + z = 3 + 2y + 2z = 1 , − 2y + 2z = 3 

cuja matriz 2 Como 4 4

 2 −4 1 dos coeficientes associada é  4 2 2  . 4 −2 2 −4 1 2 2 = 0 verificamos que este sistema n˜ ao é de Cramer. −2 2

92


Procuremos determinantes principais da matriz A. Por exemplo, retirando a 3a linha e 3a coluna de A, obtemos: 2 −4 4 2 = 20 6= 0, que é um determinante principal de A uma vez que a u ńica submatriz de A com ordem maior do que 2 é a própria matriz A e |A| = 0. Note-se no entanto que este não é o u ńico determinante principal de A. Se retirarmos a a a 2 linha e 1 coluna temos: −4 1 −2 2 = −6 6= 0. Outros determinantes de submatrizes de A com ordem 2 poderiam ser escolhidos para determinante principal. Mas cuidado, n˜ ao podemos pensar que qualquer submatriz de ordem 2 tem determinante não nulo. No caso de retirarmos por exemplo, a 1a linha e 2a coluna temos: 4 2 4 2 = 0. Proposi¸ c˜ ao 2.2.1 A caracter´ıstica de uma matriz A é igual ` a ordem da submatriz de A a partir da qual se obtém um dos determinantes principais dessa matriz A. No caso do exemplo anterior, podemos dizer que r(A) = 2. Nota: Se A é uma matriz de ordem n e |A| = 6 0, o determinante principal de A é |A| e portanto r(A) = n Para podermos aplicar a Regra de Cramer a sistemas que não são de Cramer, temos que proceder da seguinte forma: 1. Escolher um determinante principal. As equa¸cões representadas no determinante principal, assim como as variáveis, designam-se, respectivamente, por equa¸cões principais e variáveis principais. 2. Considera-se um subsistema formado apenas pelas equa¸cões principais, considerando no primeiro membro somente os termos das variáveis principais, ao qual se aplicam as regras de Cramer. 3. Se o conjunto solu¸cão encontrado em 2. satisfizer cada uma das equa¸cões não principais, então ele é o conjunto solu¸cão do sistema inicial. Caso contrário, o sistema é imposs´ıvel. Exemplo 2.2.5 Consideremos novamente o   2x − 4y + 4x + 2y +  4x − 2y +

sistema do exemplo 2.2.4 z = 3 2z = 1 , 2z = 3

˜ 2.2. APLICAC ¸ OES DOS DETERMINANTES

93

que tal como já vimos não é um sistema de Cramer. Contudo, vamos resolvê-lo aplicando a regra de Cramer, procedendo como acima exposto: 2 −4 = 20 6= 0. A 1a e 2a equa¸cões 1. Consideremos o determinante principal 4 2 são as designadas equa¸cões principais e as vari´ aveis x e y as vari´ aveis principais. 2x −4y = 3 − z 2. Consideremos agora o subsistema , cuja ma4x + 2y = 1 − 2z triz dos coeficientes tem determinante n˜ ao nulo (determinante principal), o que 3−z −4 1 − 2z 2 permite a aplica¸cão da regra de Cramer. Assim, x = = 1−z e 2 2 −4 4 2 2 3 − z 4 1 − 2z y = = − 12 . 2 −4 4 2 1 Logo o conjunto solu¸cão deste subsistema é C.S. = 1−z , − , z : z ∈ R . 2 2 3. Este conjunto solu¸cão só é conjunto solu¸c˜ ao do sistema inicial, se for solu¸cão da equa¸cão não principal. Como 1 1−z 4× −2× − + 2z = 3 ⇔ 2 − 2z + 1 + 2z = 3 ⇔ 3 = 3, 2 2 o conjunto solu¸cão do subsistema é também o conjunto solu¸c˜ ao do sistema inicial. Alternativamente, pode garantir-se que a solu¸cão do sistema formado pelas equa¸cões principais é também a solu¸cão das equa¸cões não principais, aplicando o Teorema de Rouché. Comecemos por caracterizar determinante caracter´ıstico. O determinante caracter´ıstico forma-se juntando ao determinante principal uma linha constitu´ıda pelos coeficientes das variáveis principais, de uma equa¸cão não principal e uma coluna, cujos elementos são os respectivos termos independentes. O n´ umero de determinantes caracter´ısticos depende do n´ umero de equa¸cões não principais. Teorema 2.2.6 (Teorema de Rouch´ e) Um sistema de equa¸c˜ oes lineares é poss´ıvel, se e s´ o se, não existirem determinantes caracter´ısticos ou todos se anularem. Exemplo 2.2.6 Aplicando o Teorema de Rouché ao exemplo 2.2.5, verificamos que só 2 −4 3 existe um determinante caracter´ıstico e é nulo, pois 4 2 1 = 0. Pelo teorema de 4 −2 3

94


Rouché conclui-se então que o sistema é poss´ıvel, logo o conjunto solu¸c˜ ao do subsistema é conjunto solu¸cão do sistema inicial. Para além desta aplica¸cão, o Teorema de Rouché pode também ser usado quando se pretende fazer a discussão de um sistema ou verificar a compatibilidade de uma nova equa¸cão num sistema de equa¸cões lineares.

2.3. EXERCÍCIOS

2.3

95

Exerc´ıcios

M´ etodos de c´ alculo de determinantes. Exerc´ıcio 2.3.1 * Dadas as matrizes,       0 4 1 4 1 1 4 −1 4 A =  3 −2 −2  , B =  3 3 −9  , C =  3 0 3  4 8 1 4 2 6 4 −1 4 calcule: (a) detA (b) detC (c) det(AT ) (d) det(B − C) (e) detA + detB (f ) det(AB) Exerc´ıcio 2.3.2 Determine para que valores de x se verifica x 1 1 1 x 1 =0 1 1 x Exerc´ıcio 2.3.3 Calcule, aplicando as propriedades dos determinantes: 1 2 3 (a) −1 0 1 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 (b) 3 3 3 3 4 4 4 4 6 0 3 (c) −1 0 2 4 0 3 (d)

1 2 3 −4 0 −5 6 −7 0 0 −8 9 0 0 0 10

96


4 0 0 (e) 0 1 0 0 0 −3 2 0 0 0 0 1 0 0 (f ) 0 0 1 0 2 0 0 1 Exerc´ıcio 2.3.4 Mostre, recorrendo ` as propriedades dos determinantes, que: a 2 b 3 = 0, ∀a, b ∈ R (a) + b 3 a 2 a 2 3 b 2a 4 + = , ∀a, b ∈ R (b) b 3 2 a b 3 Exerc´ıcio 2.3.5 * Usando somente as propriedades dos determinantes e sabendo que: a 1 1 b 0 1 =1 c 3 1 calcule, justificando, o determinante da seguinte matriz: d− 1 d d−1 1 3 0 1 3 3a 3b 3c Exerc´ıcio 2.3.6 Seja 

 2 1 0 A= 1 1 0  0 0 1 Determine os valores de λ para os quais se tem det (A − λI3 ) = 0. 4 5 13 Exerc´ıcio 2.3.7 Sabendo que 9 7 10 1 1 1

= 1 resolva a equa¸c˜ ao

x+1 x+1 x+1 4 5 13 9 7 10

= 0.

2.3. EXERCÍCIOS

97

Exerc´ıcio 2.3.8 Considere A uma matriz quadrada, de ordem 3, cujo det (A) = 2 e P uma matriz invert´ıvel. Indique justificando: (a) det (−A) (b) det AT A−1

(c) det (3A−1 ) (d) det (P −1 AP ) T Exerc´ıcio 2.3.9 * Sejam as matrizes M = XAB + B T CX T e N = 2I onde A, B, C e X são matrizes de ordem n tais que A + C T = I, onde I é a matriz identidade de ordem n e B uma matriz triangular bii = 2. Sabendo que |M | = |N |, calcule |X|. Exerc´ıcio 2.3.10 * Considere a matriz A de ordem n. Sejam também as seguintes matrizes: B1 que se obtém de A somando ` a linha i desta matriz uma constante k e B2 que se obtém de A subtraindo à linha i desta matriz a mesma constante k. Determine |A| em fun¸cão de |B1 | e |B2 |. Exerc´ıcio 2.3.11 Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem tais que −1 T |A| = 12 e |B| = 6. Calcule (AB) . Exerc´ıcio 2.3.12 Indique, justificando, o valor l´ ogico das seguintes afirma¸c˜ oes: (a) det (A) = 0 se e só se A = O. (b) det (A) = 1 se e só se A = In . (c) Se A é uma matriz invert´ıvel, de ordem n, tal que AT = −A2 , ent˜ ao det (A) = −1. Exerc´ıcio 2.3.13 Prove que se A é uma matriz ortogonal ent˜ ao |A| = ±1. Exerc´ıcio 2.3.14 * Calcule |A| usando o coluna da matriz:  1  m A=  0 n

Teorema de Laplace ao longo da primeira 2 1 1 1

0 1 2 0

 1 0   2  1

sabendo que os elementos a21 e a41 s˜ ao iguais aos respectivos complementos algébricos.

98


Exerc´ıcio 2.3.15 Calcule o determinante das seguintes matrizes: a+1 a (a) A = a a−1   −2 −3 −1 −2  −1 0 1 −2   (b) B =   −3 −1 −4 1  −2 2 −3 −1   1 2 −1 3  0 1 0 1   (c) C =   0 1 4 −1  1 0 2 4 Exerc´ıcio 2.3.16 Verifique 0 f 0 0 0 0

que: a 0 g 0 0 0

0 b 0 h 0 0

0 0 0 0 c 0 0 d k 0 0 m

0 0 0 0 e 0

= −acef hm.

Exerc´ıcio 2.3.17 Mostre que: 1 + x a12 a13 a1n x 1 0 . . . 0 x 1 1 . . . 0 = 1 + x(1 − a12 ) .. .. .. .. . . . . x 1 1 ... 1 Exerc´ıcio 2.3.18 Prove que

x a a a

a x a a

a a x a

a a a x

= 0 se e s´ o se x = a ou x=-3a.

Exerc´ıcio 2.3.19 Usando o teorema de Laplace, prove que: (a) Se a matriz A tem uma fila nula ent˜ ao |A| = 0. (b) Se multiplicarmos os elementos de n filas da matriz A, respectivamente, por um escalar λ1 , λ2 , . . . , λn , obtém-se um determinante de valor λ1 ×λ2 ×. . .×λn ×|A| . (c) Se B resulta de A por troca de duas filas paralelas ent˜ ao |B| = − |A| . (d) Se a matriz A tem filas paralelas iguais ent˜ ao |A| = 0.

2.3. EXERCÍCIOS

99

(e) Se a matriz B resulta de A adicionando a uma linha (coluna) um m´ ultiplo de outra linha (coluna), então |B| = |A|. (f ) O determinante da transposta da matriz A é igual ao determinante da matriz, ou seja, AT = |A| . Aplica¸c˜ oes dos determinantes. Exerc´ıcio 2.3.20 Prove que

a b c d

−1

1 = ∆

d −b −c a

onde ∆ = ad − bc 6= 0. Exerc´ıcio 2.3.21 Calcule a matriz adjunta das seguintes matrizes:     3 1 2 1 0 0 A= 1 2 1  B= 1 2 0  1 1 1 1 2 3 Exerc´ıcio 2.3.22 Considere a seguinte matriz   −4 −3 −3 0 1  A= 1 4 4 3 e mostre que A = adj (A) . Exerc´ıcio 2.3.23 Calculando o determinante da matriz   1 1 a  1 1 b  a b 1 verifique que ela é invert´ıvel se e s´ o se a 6= b. Exerc´ıcio 2.3.24 Considere a matriz 

 2 −2 2 F =  0 3 −2  0 −1 2

(a) Calcule adj (F ) . (b) Mostre que F é invert´ıvel e calcule a sua inversa.

100


Exerc´ıcio 2.3.25 Sabendo que as matrizes apresentadas s˜ ao invert´ıveis, utilize o método da adjunta para calcular a inversa de: 3 4 (a) 2 −1   2 −1 0 (b)  −1 2 −1  (Obs. Recorde que a inversa de uma matriz simétrica invert´ıvel 0 −1 1 é também invert´ıvel).   1 1 1 (c)  0 1 1  (Obs. Recorde que a inversa de uma matriz triangular superior 0 0 1 invert´ıvel é também triangular superior). Exerc´ıcio 2.3.26 * Seja a matriz 

 2 1 1 A= 0 1 1  0 −1 1 Calcule A(AdjA)T e obtenha, se poss´ıvel, a partir deste resultado a inversa de A. h

T

Exerc´ıcio 2.3.27 * Seja I = (AX) + DF F = 2 3 .

i−1

, com A =

1 2 1 ,D= e 0 1 1

(a) Determine a matriz X que torna verdadeira a igualdade. (b) Diga, sem efectuar quaisquer cálculos, qual o determinante de (AX)T +DF .Porquê? Exerc´ıcio 2.3.28 * Sendo A e B matrizes quadradas e invert´ıveis de ordem n, tais que: A−1 = AT , estude a permutabilidade das matrizes: C = ABAT e D = AB −1 A−1 . Que rela¸c˜ ao pode estabelecer entre |C| e |D|? Exerc´ıcio 2.3.29 Use a Regra de Cramer para resolver os sistemas: 2x − y = 6 (a) 4x + 5y = 2   3x + y − z = 1 −x − y + 4z = 7 (b)  2x + y − 5z = −8

2.3. EXERCÍCIOS

101

  x+y =1 x−y+z =0 (c)  x + 2y + z = 1   x + 2y + z = 1 −x + 2y = 0 (d)  −x + y + z = 2   x+y−z =1 x+z =2 (e)  x + 2y − 2z = 0 Exerc´ıcio 2.3.30 * Aplique a regra de Cramer, na resolu¸c˜ ao do sistema do exerc´ıcio 1.3.71. Exerc´ıcio 2.3.31 * Considere os sistemas de equa¸c˜ oes lineares do exerc´ıcio 1.3.4. Indique os que são sistemas de Cramer e resolva-os aplicando a regra de Cramer. Exerc´ıcio 2.3.32 Considere o seguinte sistema de equa¸c˜ oes:   x+y+z =1 x + ay + z = 2  3x − 3y + bz = 3 (a) Diga para que valores de a e b este sistema é de Cramer. (b) Para os valores de a = 0 e b = 1, resolva o sistema usando a regra de Cramer. (c) Para os valores de a = 1 e b = 3, resolva o sistema usando a regra de Cramer. Exerc´ıcio 2.3.33 Considere o seguinte sistema de equa¸c˜ oes:   kx + (k − 1)y + w = 1 x + ky + kz = 0  x + y + kz + (k − 1)w = t (a) Discuta o sistema em fun¸cão dos parˆ ametros reais k e t. (b) Para k = 2, t = 0 e tomando w = 0, use a regra de Cramer para calcular x, y, e z. Exerc´ıcio 2.3.34 Calcule o determinante principal dos sistemas que se seguem e use a regra de Cramer para os resolver.   2x1 + x2 + x3 + 2x5 = 1 x1 + x3 + x4 = 1 (a)  x2 − x3 + x4 − x5 = 1

102


 2x1 + x2 = 5      x1 + x3 = 4 x1 + x2 − x3 = 1 (b)   x  2 + x3 = 3   2x1 − x3 = 2 Exerc´ıcio 2.3.35 Considere o sistema de equa¸c˜ oes lineares do exerc´ıcio 1.3.71. (a) Verifique que se trata de um sistema de Cramer. (b) Utilizando o teorema de Rouché, verifique se a equa¸c˜ ao 4x + 2y + 3z = 1 é compat´ıvel com o sistema anterior. Exerc´ıcio 2.3.36 * (2a Frequência / 31-Jan-2000) Considere o sistema de equa¸cões lineares:  = kx  3x − y −x + 2y − z = ky  −y + 3z = kz (a) Classifique o sistema para os diferentes valores do parˆ ametro k. (b) Considerando k = 3, e sem resolver o sistema, verifique se a equa¸c˜ ao x−y −z = 0 é compat´ıvel com o sistema dado. Exerc´ıcio 2.3.37 * Discuta e resolva o seguinte sistema de equa¸c˜ oes lineares, usando o teorema de Rouché:  x1 + x2 + x3 = 0    x1 − x2 + 2x3 = 2 2x  1 + x2 + x3 = 1   2x1 + x2 + 2x3 = k Exerc´ıcio 2.3.38 Usando o Teorema de Rouché, determine a e b de forma que o sistema seja poss´ıvel.    x + 2y = 2a + 2b + 1  x+y =a+b−1 ax + by = ba + b2 − 4a + b + 4    2 b x + a(y − a) = ab − 3b2 + 2b + 4 Exerc´ıcio 2.3.39 Usando o Teorema de Rouché, fa¸ca a discuss˜ ao do sistema em fun¸c˜ ao dos parâmetros a e b.   x + y + az = 1 2x + ay = b  ax + y + z = b2

2.3. EXERCÍCIOS

103

Exerc´ıcios de Exame - 2003/2004. Exerc´ıcio 2.3.40 (Frequência / 13-Jan-2004) Considere o seguinte sistema de equa¸c˜ oes lineares:  6y − 4z = 12  2x − −2kx + 2z = 12  −4x + (6 + k)y + z = k (a) Discuta o sistema homogéneo associado ao sistema acima referido, utilizando determinantes. (b) Considere k = −1. i. Determine o conjunto solu¸c˜ ao do sistema dado, através do método de elimina¸cão de Gauss-Jordan. ii. Utilizando o teorema de Rouché, verifique se a equa¸c˜ ao linear x = 0 é compat´ıvel com o sistema. Exerc´ıcio 2.3.41 (Frequência / 13-Jan-2004) Considere a seguinte matriz:  1 1 1 1 ···  1 3 1 1 ···   1 3 4 1 ···   An =  1 3 4 5 · · ·  .. .. .. .. . .  . . . . .   1 3 4 5 ··· 1 3 4 5 ···

1 1 1 1 .. .

1 1 1 1 .. .

n 1 n n+1

          

. (a) Mostre que |An | = n!. (b) Considere: X + 2Y − (B T A4 )−1 = (2I − 2B)T

e

1 Y + X + ( A4 )−1 B = O, 2

onde I é a matriz identidade de ordem 4 e B = (bij ) é a matriz tal que: bij = 1 se i=j , i, j = 1, . . . , 4 bij = 0 se i 6= j Calcule |X|.

104


Exerc´ıcio 2.3.42 * (Frequência - Gest˜ ao / 13-Jan-2004) Sejam A e B duas matrizes. A é uma matriz invert´ıvel de  1 0  |A| = α, α ∈ R\{0} e B = 0 2 0 −1

ordem 4, com:  1 1 . 0

Indique o valor lógico das seguintes afirma¸c˜ oes: (a) |2A| + |A2 A−1 | = 3α (b) O elemento da matriz adj(B) na posi¸c˜ ao i = 2 e j = 3 é -1. Exerc´ıcio 2.3.43 (Exame Normal / 03-Fev-2004) Considere o seguinte sistema de equa¸c˜ oes lineares:  x + y + az + w    x + 3y + z + w 2x + 3y + 2z + 2w    x + 3y + z − cw

= = = =

b 1 2 1

(a) Discuta o sistema em fun¸cão dos parˆ ametros a, b e c. (b) Para a = b = 1 e c = −1, resolva o sistema, utilizando a regra de Cramer. Exerc´ıcio 2.3.44 * (Exame Normal - Gest˜ ao / 03-Fev-2004) Considere o sistema na forma matricial em fun¸c˜ ao dos parˆ ametros reais a e b:      1 1 1 x 1  1 a 1  y  =  2  3 −3 a z b (a) Determine os valores dos parâmetros reais a e b, de tal modo que: i. o sistema seja poss´ıvel e indeterminado; ii. o sistema seja de Cramer. (b) Para a = 3 e b = 0, determine: i. a solu¸cão do sistema homogéneo associado, utilizando o método de GaussJordan; ii. a solu¸cão do sistema dado. (c) Para a = b = 1, classifique o sistema, utilizando o teorema de Rouché.

2.3. EXERCÍCIOS

105

Exerc´ıcio 2.3.45 * (Exame Normal - Gest˜ ao / 03-Fev-2004) −1 −1 T T T Sejam S = X(B A) + (B CX ) e P = 2B −1 , onde A, B, C, D e X s˜ ao matrizes invert´ıveis de ordem 3, tais que: • B é uma matriz triangular superior tal que bii = −2, i ∈ {1, 2, 3}; • D é uma matriz periódica de per´ıodo 5; • A−1 + C T é igual à matriz que se obtem de B por troca da 2a com a 3a linha. Calcule |X|, sabendo que |S| − |P | = | − D4 | Exerc´ıcio 2.3.46 (Exame Recurso / 17-Fev-2004) Sejam k, p ∈ <. Considere a matriz quadrada, real, de ordem n, A = [aij ], onde: k + p se i = j aij = k se i 6= j Prove que |A| = pn−1 (nk + p). (Sugest˜ ao: Considere c1 → c1 + . . . + cn ) Exerc´ıcio 2.3.47 * (Exame Recurso - Gest˜ ao / 17-Fev-2004) Considere o sistema em fun¸cão dos parˆ ametros reais t e k:  x+y+z =1    x−y+z =0 2x − 2y + kz = 0    x+y+z =t (a) Discuta o sistema em fun¸cão dos parˆ ametros reais t e k. (b) Para k = 2 e t = 1: i. Sendo C a matriz ampliada do sistema apresentado, diga, justificando, sem efectuar quaisquer cálculos, se a matriz C T é invert´ıvel. ii. Resolva o sistema, utilizando a regra de Cramer. Exerc´ıcio 2.3.48 (Exame Especial / 06-Set-2004)   a c 1 2c + 2 4 2d + 6 . 1 b Sabendo que: 1 0 2 = 1, calcule o determinante da matriz  a b d 3 1 2 3 Exerc´ıcio 2.3.49 * (Exame Especial - Gest˜ ao / 06-Set-2004)   1 1 1 1  1 0 2 1   Considere a matriz: A =   3 0 1 1 . 1 1 2 1 (a) Calcule o determinante de A.

106


(b) Seja C uma matriz de ordem 4, tal que |C| = 2 e D uma matriz que se obteve de C por troca da 1a com a 2a colunas. Calcule |2CA−1 DT |.

Exerc´ıcios Aplicados 1. Um modo simples de codificar uma mensagem é associar um valor inteiro a cada letra do alfabeto. Um A representa-se por 1, um B por 2, um C por 3 e assim sucessivamente. Um espa¸co entre as palavras, representa-se por 0. Uma codifica¸cão feita desta forma é, em geral, muito fácil de quebrar. Para cifrar uma mensagem de uma forma mais segura, pode usar-se a multiplica¸cão de matrizes. Se A é uma matriz cujos elementos são todos inteiros e cujo determinante é ±1, então como A−1 = ±AdjA, os elementos de A−1 vão ser todos inteiros. Podemos por isso usar uma matriz A nestas condi¸cões, para codificar a mensagem. Sabendo que a mensagem que lhe foi enviada foi cifrada pela matriz 

 −1 −1 2 0  1 1 −1 0   A=  0 0 −1 1  1 0 0 −1 a. Mostre que os elementos da matriz A−1 são todos interiros, sem a calcular. b. Usando a matriz adjunta, calcule A−1 . c. Descodifique a mensagem: 15, 4, −4, 3, −32, 33, −1, 12, −34, 34, 5, 10, 7, 11, −15, 21, 6, 3, 6, −6, 13, 3, −15, 18, −19, 19, 3, 15, −18, 19, −1, 1. Sugestão: Agrupe a mensagem em grupos de quatro elementos e disponha-os em coluna.

˜ 2.4. SOLUC ¸ OES

2.4

107

Solu¸c˜ oes

Só os exerc´ıcios com * têm solu¸cão.

M´ etodos de c´ alculo do determinante. 2.3.1 (a) detA = −12 (d) det(B − C) = 0

(c) detAT = −12 (f) det(AB) = −1008

(b) detC = 0 (e) detA + detB = 72

2.3.5

|A| = −d.

2.3.9

|X| = 1.

2.3.10

|A| = 21 (|B1 | + |B2 |).

2.3.14

|A| = 32

com

m = a21 = C21 = −2 e n = a41 = C41 = −5.

Aplica¸c˜ oes dos determinantes.  2.3.26

1 2

A(AdjA)T = 4I e A−1 = 41 (AdjA)T =  0 0

− 12 1 2 1 2

 0 − 12  . 1 2

2.3.27

5 2 (a) X = −3 −2 (b) (AX)T + DF = 1 porque na al´ınea anterior obtivemos a igualdade: (AX)T + DF = I, e |I| = 1. 2.3.28

Como CD = I = DC, as matrizes C e D são permutáveis e |C| =

2.3.30

S = (3, 0, −3)

2.3.31

O sistema A é o u ńico sistema de Cramer. C.S. = {(3, 2, 1)};

2.3.36 (a) Se k ∈ R\ {1, 3, 4} , o sistema é poss´ıvel determinado; Se k ∈ {1, 3, 4} , o sistema é poss´ıvel indeterminado.

1 . |D|


108

(b) A equa¸cão x − y − z = 0 é compat´ıvel com o sistema dado. 2.3.37

Se k 6= 1, o sistema é imposs´ıvel; Se k = 1, o sistema é poss´ıvel (todas as incógnitas são principais). Neste caso, S = {(1, −1, 0)}.

Exerc´ıcios de Exame - 2003/2004 2.3.42

(a) Falsa;

(b) Verdadeira.

2.3.44 (a) i. a = 3 e b = 0;

ii. a ∈ R\{1, 3} e b ∈ R.

(b) i. S = {(−z, 0, z), z ∈ R};

ii. S = {(−z + 1, 12 , z − 21 ), z ∈ R}.

(c) Sistema Imposs´ıvel. 2.3.45

|X| =

1 . 32

2.3.47 (a) O sistema é: • poss´ıvel e determinado se t = 1 e k = 6 2; • poss´ıvel e indeterminado se t = 1 e k = 2; • imposs´ıvel se t 6= 1 e k ∈ R. (b) (i) Não, uma vez que |C| = 0 e |C T | = |C|; (ii) S = {( 12 − z, 12 , z), z ∈ R}. 2.3.49 (a) |A| = −2. (b) |2CA−1 DT | = 32.


2.5

109

Fichas Pr´ aticas

Estas fichas deverão ser resolvidas com o apoio do software OCTAVE.

2.5.1

Determinante de uma matriz

O determinante é uma fun¸cão que transforma matrizes quadradas em n´ umeros reais (complexos). Esta fun¸cão denota-se por det. Este valor quando calculado sobre uma matriz quadrada A, denota-se por det(A) tanto em texto como no OCTAVE. Em texto, poderemos ainda denotar por |A|. Usaremos o OCTAVE para explorar as propriedades do determinante, através de uma série de tentativas.

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 2.5.1 Construa uma matriz de ordem 2 com uma linha nula e calcule o seu determinante. Repita o mesmo para matrizes de ordem 3 e 4, com uma linha nula. Construa matrizes de ordem 2, 3 e 4 com uma coluna nula e calcule os seus determinantes.

Conjectura: O determinante de uma matriz com uma linha ou uma coluna nula é

.

Exerc´ıcio 2.5.2 Construa uma matriz de ordem 2 com duas linhas iguais e calcule o seu determinante. Repita o mesmo para matrizes de ordem 3 e 4. Construa matrizes de ordem 2, 3 e 4 com duas colunas iguais e calcule os seus determinantes.

Conjectura: O determinante de uma matriz com duas linhas ou duas colunas iguais é

.

Exerc´ıcio 2.5.3 O comando OCTAVE A=fix(10∗ rand(3)) gera uma matriz real A de ordem 3. Calcule det(A) e det(A0 ). Altere o 3 no comando OCTAVE, para outros n´ umeros naturais, como 2, 4, 5, 6 e repita os c´ alculos.


110

Conjectura: O determinante de uma matriz real e o determinante da sua transposta é

.

Exerc´ıcio 2.5.4 Construa uma matriz diagonal de ordem 2 com entradas diagonais 5 e 3, e registe o valor do seu determinante. . Construa uma matriz diagonal de ordem 2 com entradas diagonais −2 e 9, e registe o valor do seu determinante. . Construa uma matriz diagonal de ordem 3 com entradas diagonais 2, 7 e −1, e registe o valor do seu determinante. . Construa uma matriz diagonal de ordem 3 com entradas diagonais 4, 0 e 3, e registe o valor do seu determinante. .

Conjectura: O determinante de uma matriz diagonal é

.

No OCTAVE podemos construir uma matriz triangular superior de ordem 3, utilizando o comando A=triu(fix(10∗ rand(3))). Crie v´ arias matrizes triangulares superiores de ordem 3 e calcule os seus determinantes. Repita o mesmo para matrizes de outras ordens. Conjectura: O determinante de uma matriz triangular superior é

.



 1 2 3 Exerc´ıcio 2.5.5 Seja A =  4 5 6  . Calcule e registe det(A) = 7 8 0 . Execute as opera¸cões elementares sobre as linhas da matriz A, indicadas de seguida e calcule os determinantes de cada uma das novas matrizes. Execute sempre a opera¸cão sobre a matriz original A. No quadro que se segue é apresentada uma explica¸cão da nota¸cão que será usada.


111

Nota¸cão: • ALi ↔Lj significa trocar a linha i pela linha j da matriz A. • AkLi +Lj significa substituir a linha j de A por k vezes a linha i mais a linha j. • AkLi significa multiplicar a linha i de A por um escalar k. Seja B=AL1 ↔L2 ; det(B) =

.

Como é que det(B) se relaciona com det(A)? Seja C=AL2 ↔L3 ; det(C) =

.

Como é que det(C) se relaciona com det(A)? Seja D=A2L1 +L2 ; det(D) =

Seja E=A−4L2 +L3 ; det(E) =

.

.

Como é que det(F ) se relaciona com det(A)?

.

.

Como é que det(G) se relaciona com det(A)? Seja H=A(1/2)L3 ; det(H) =

.

.

Como é que det(E) se relaciona com det(A)?

Seja G=A−2L2 ; det(G) =

.

.

Como é que det(D) se relaciona com det(A)?

Seja F=A3L1 ; det(F ) =

.

.

.

Como é que det(H) se relaciona com det(A)?

.

Se tiver dificuldades em preencher as seguintes afirma¸c˜ oes, repita as situa¸c˜ oes anteriores com   2 −5 3 A =  0 2 −1  . 3 2 1 Conjectura: Se trocarmos linhas, o determinante . Se substituirmos uma linha por uma combina¸c˜ ao linear de si pr´ opria com outra linha, o determinante . Se multiplicarmos uma linha por um escalar, o determinante .

112

˜ CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E SUAS APLICAC ¸ OES Exerc´ıcio 2.5.6 Preencha os espa¸cos em branco.   1 2 3 (a) Seja A =  4 5 6  ; rref(A) = 7 8 9

det(A) =

det(rref(A)) = . 1 2 (b) Seja B = ; rref(B) = 2 4

det(B) =

det(rref(B)) = .   1 1 1 (c) Seja C =  2 1 −1  ; rref(C) = 3 2 0

det(C) =

det(rref(C)) = .   2 1 0 (d) Seja D =  1 2 1  ; rref(D) = 0 1 2 det(rref(D)) =

det(D) =

.

(e) Verdadeira ou falsa: Para qualquer matriz quadrada Q, det(Q) = det(rref(Q)). (f ) Com base nas al´ıneas (a)-(d), podemos dizer que existe alguma rela¸cão entre o que se segue: rref é I rref não é I

det é zero det não é zero

Desenhe uma seta entre aqueles que lhe parecem relacionados. Conjectura: Seja Q uma matriz quadrada. Se rref(Q)=I, então det(Q) é Se rref(Q)6=I, então det(Q) é O determinante de uma matriz invert´ıvel é O determinante de uma matriz n˜ ao invert´ıvel é

. . . .

Exerc´ıcio 2.5.7 A forma geral de calcular um determinante é utilizar opera¸c˜ oes elementares sobre linhas para reduzir a matriz ` a forma triangular superior, tendo em aten¸cão que as opera¸cões podem alterar o seu valor, e depois usar o facto de o determinante de uma matriz triangular superior ser o produto dos elementos da


113 

 2 3 1 diagonal principal. (ver Exerc´ıcio 2.5.4.) Para ilustrar, seja A =  1 −2 2  . 3 0 4 O objectivo é calcular det(A), utilizando propriedades dos determinantes.   1 −2 2 Seja B=AL1 ↔L2 =  2 3 1  ; 3 0 4 det(B) =

det(A) =⇒ det(A) =

det(B).



Seja C=B−2L1 +L2 det(C) =

 1 −2 2 =  0 7 −3  ; 3 0 4

det(B) =⇒ det(A) =

det(C).



Seja D=C−3L1 +L3 det(D) =

 1 −2 2 =  0 7 −3  ; 0 6 −2

det(C) =⇒ det(A) =

det(D).

 1 −2 2 =  0 1 − 73  ; 0 6 −2 

Seja E=D(1/7)L2 det(E) =

det(D) =⇒ det(A) =

det(E).

 1 −2 2 =  0 1 − 37  ; 4 0 0 7 

Seja F=E−6L2 +L3 det(F ) =

det(E) =⇒ det(A) =

det(F ).

Agora calcule det(A) a partir do det(F ). Verifique o resultado, calculando det(A) directamente.

Exerc´ıcio2.5.8 5  0 onde A = −1

Utilize  o procedimento do Exerc´ıcio 2.5.7 para calcular det(A), 1 0 2 1 . 3 1

114


Cap´ıtulo 3 Espa¸cos e Subespa¸ cos Vectoriais 3.1 3.1.1

Espa¸cos Vectoriais Defini¸ c˜ ao e Propriedades

Neste cap´ıtulo vamos estudar espa¸cos vectoriais que são o fundamento da ´ Algebra Linear. Vamos generalizar a no¸cão de espa¸co tridimensional em que estão presentes opera¸cões do tipo das que se conhecem naquele espa¸co, ou seja a adi¸cão de vectores e a multiplica¸cão de n´ umeros reais por vectores. Deve-se aliás a este espa¸co e à no¸cão f´ısica de vector a nomenclatura utilizada: espa¸co vectorial e vector. Note-se, no entanto, que o conceito a introduzir tem por base um conjunto qualquer, cujos elementos, embora designados por vectores, podem não ter nada a ver com a no¸cão usual de vector no espa¸co tridimensional usual. Consideremos o conjunto de todos os vectores do plano R2 . Um vector bidimensional u pode ser definido por um par ordenado u = (x1 , y1 ), onde x1 e y1 (componentes do vector) são n´ umeros reais. Ao segmento de recta orientado (vector) u, está sempre associada uma direçcão, um sentido e um comprimento. Consideremos as duas opera¸cões usuais válidas com vectores:

Adi¸c˜ ao de vectores No conjunto dos vectores de R2 está definida uma opera¸cão “adi¸cão”, representada pelo s´ımbolo “ + ”. Geometricamente a adi¸cão de vectores pode ser efectuada pela regra do paralelogramo, tal como mostra a figura da página seguinte:

115

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

116

Figura 3.1: Adi¸cão dos vectores u e v.

Analiticamente, podemos definir a soma de dois quaisquer vectores u = (x1 , y1 ) e v = (x2 , y2 ) por: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ). A adi¸cão de vectores de R2 , entre outras, goza das seguintes propriedades: 1. ∀u, v, w ∈ R2 , (u + v) + w = u + (v + w) (propriedade associativa) 2. ∀u, v ∈ R2 , u + v = v + u (propriedade comutativa) 3. Representando por “0” o vector reduzido a um ponto (vector nulo): ∀u ∈ R2 , u + 0 = 0 + u = u 4. Representando por −u o vector com a mesma direçcão e o mesmo comprimento de u, mas com sentido contrário: ∀u ∈ R2 , u + (−u) = (−u) + u = 0.

Multiplica¸c˜ ao de um escalar por um vector Tomando um n´ umero real qualquer α, podemos “multiplicar”cada vector u por um escalar α, obtendo-se um novo vector αu, com a direçcão de u. Ou seja, no conjunto dos vectores de R2 está definida uma opera¸cão “multiplica¸cão por um escalar”. Geometricamente:

Figura 3.2: Multiplica¸cão do vector u por um escalar α > 1.

3.1. ESPAC ¸ OS VECTORIAIS

117

Figura 3.3: Multiplica¸cão do vector u por um escalar 0 < α < 1.

Figura 3.4: Multiplica¸cão do vector u por um escalar α < 0.

Analiticamente, podemos definir a multiplica¸cão de um vector u = (x1 , y1 ) por um escalar α do seguinte modo: αu = α(x1 , y1 ) = (αx1 , αx2 ). Esta opera¸cão goza das seguintes propriedades: 5. ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ R2 , (αβ)u = α(βu) 6. ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ R2 , (α + β)u = αu + βu 7. ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ R2 , α(u + v) = αu + αv 8. ∀u ∈ R2 , 1 u = u (1 é o elemento identidade de R) Em vez de considerarmos o plano fixo R2 , podemos considerar os espa¸cos R3 , R4 , . . . , Rn com as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão por um escalar. Sendo Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 , x2 , . . . , xn ∈ R} , define-se em Rn a opera¸cão adi¸cão: ∀(x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn : (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) e opera¸cão multiplica¸cão por um escalar: ∀(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ∀α ∈ R : α(x1 , x2 , . . . , xn ) = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ). Podemos definir em muitas outras situa¸cões as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por um escalar, e verificar propriedades análogas às referidas anteriormente. Consideremos por exemplo, o conjunto Pn [x] = {a0 + a1 x + . . . + an xn : a0 , a1 , . . . , an ∈ R} , constitu´ıdo por todos os polin´ omios de coeficientes reais de

118

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS grau menor ou igual a n na vari´ avel x, associado às opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão por um escalar. Para melhor compreendermos este exemplo, tomemos n = 2. Dados dois polinómios, p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 e q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 , define-se usualmente a sua “soma”como sendo o polinómio p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 . Esta opera¸cão de “adi¸cão”goza também das seguintes propriedades: 1. ∀p(x), q(x), r(x) ∈ P2 [x], (p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x)) 2. ∀p(x), q(x) ∈ P2 [x], p(x) + q(x) = q(x) + p(x) 3. Representando por 0 o polinómio de coeficientes todos nulos: ∀p(x) ∈ P2 [x], p(x) + 0 = 0 + p(x) = p(x). 4. Representando por −p(x) o polinómio cujos coeficientes são os simétricos dos de p(x) : ∀p(x) ∈ P2 [x], p(x) + (−p(x)) = (−p(x)) + p(x) = 0. Sabe-se também que, dado um n´ umero real qualquer α, se define a “multiplica¸cão de um polinómio pelo escalar α”por: α (p(x)) = (αa0 ) + (αa1 )x + (αa2 )x2 . Esta nova opera¸cão goza das seguintes propriedades: 5. ∀α, β ∈ R, ∀p(x) ∈ P2 [x], (αβ)p(x) = α(βp(x)) 6. ∀α, β ∈ R, ∀p(x) ∈ P2 [x], (α + β)p(x) = αp(x) + βp(x) 7. ∀α ∈ R, ∀p(x), q(x) ∈ P2 [x], α(p(x) + q(x)) = αp(x) + αq(x) 8. ∀p(x) ∈ P2 [x], 1 p(x) = p(x) (1 é o elemento identidade de R) Generalizando podemos então concluir que Pn [x] com as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão por um escalar gozam destas mesmas propriedades. Consideremos agora o conjunto das matrizes de ordem n, Mn , e as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por um escalar definidas no cap´ıtulo 1. Recordando as propriedades dos teoremas 1.2.2 e 1.2.3 que se verificavam para estas opera¸cões matriciais, facilmente se conclui que são as mesmas que se verificaram para os conjuntos anteriores. A generaliza¸cão destes exemplos, levam-nos ao conceito de espa¸co vectorial.


119

Defini¸c˜ ao 3.1.1 Sejam R o conjunto dos n´ umeros reais e V um conjunto não vazio sobre o qual estão definidas duas opera¸c˜ oes: a adi¸c˜ ao, que se representa por +, e que associa a cada par de elementos de V, x e y, o elemento x + y ∈ V ; e a multiplica¸cão por um escalar, que associa a cada elemento α de R e cada elemento x de V o elemento αx ∈ V. Diz-se que V é um Espa¸co Vectorial Real ou Espa¸co Linear sobre R se verificar os seguintes axiomas: 1. ∀x, y, z ∈ V, (x + y) + z = x + (y + z) 2. ∃0 ∈ V, ∀x ∈ V : x + 0 = 0 + x = x 3. ∀x, y ∈ V, x + y = y + x 4. ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V : x + (−x) = (−x) + x = 0 5. ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ V, (αβ)x = α(βx) 6. ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ V, (α + β)x = αx + βx 7. ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ V, α(x + y) = αx + αy 8. ∀x ∈ V, 1 x = x (1 é a identidade de R) Os elementos de V designam-se por vectores, independentemente da sua natureza, e os elementos de R por escalares, utilizando-se de modo geral o alfabeto árabe (a,b,c,...) para representar os elementos de V e o alfabeto grego (α, β, γ, ...) para representar os elementos de R. Nota: O elemento neutro e o elemento simétrico de um espa¸co vectorial V são u ńicos. Nota¸c˜ ao: Para evitar ambiguidades, o elemento zero do conjunto V, vector nulo, representa-se por 0V . Se os escalares pertencerem ao conjunto dos n´ umeros complexos C, ao espa¸co V chama-se espa¸co vectorial complexo. Salvo referência em contrário, serão considerados somente espa¸cos vectoriais reais. Anteriormente, foram já apresentados exemplos de espa¸cos vectoriais. Vejamos agora o exemplo de um conjunto onde estão definidas opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por um escalar, que não é um espa¸co vectorial. Exemplo 3.1.1 Consideremos o conjunto R2 com as opera¸c˜ oes: adi¸c˜ ao usual e multiplica¸cão por um escalar definida por: α(x1 , y1 ) = (αx1 , 0). Vejamos se se verificam os axiomas da defini¸c˜ ao 3.1.1: Uma vez que a adi¸cão é a usual em R2 , sabemos que est˜ ao garantidos os primeiros quatro axiomas. Verifiquemos ent˜ ao os restantes axiomas, relativamente ` a multiplica¸cão por um escalar aqui definida.


120

Sejam (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ R2 e α, β ∈ R. 5. (αβ)(x1 , y1 ) = ((αβ)x1 , 0) = (α(βx1 ), 0) = α(βx1 , 0) = α(β(x1 , y1 )) 6. (α + β)(x1 , y1 ) = ((α + β)x1 , 0) = (αx1 + βx1 , 0) = (αx1 , 0) + (βx1 , 0) = = α(x1 , y1 ) + β(x1 , y1 ) 7. α[(x1 , y1 ) + (x2 , y2 )] = α(x1 + x2 , y1 + y2 ) = (α(x1 + x2 ), 0) = (αx1 + αx2 , 0) = = (αx1 , 0) + (αx2 , 0) = α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) 8. 1.(x1 , y1 ) = (1 · x1 , 0) = (x1 , 0) 6= (x1 , y1 ), ∀y1 ∈ R \ {0} Como não se verifica o axioma 8, conclu´ımos que o conjunto R2 , ao qual est˜ ao associadas estas opera¸cões, não é um espa¸co vectorial. Vejamos algumas propriedades dos espa¸cos vectoriais: Teorema 3.1.1 Seja V um espa¸co vectorial real. Ent˜ ao para quaisquer α, β ∈ R e x, y, z ∈ V, tem-se: (i) x + z = y + z ⇒ x = y (ii) x − y = x + (−y) (iii) αx = βx ∧ x 6= 0V ⇒ α = β (iv) 0 x = 0V (v) α 0V = 0V (vi) α x = 0V ⇒ α = 0 ∨ x = 0V (vii) −(x + y) = (−x) + (−y) = −x − y (viii) −(α)x = α(−x) = −(αx) (ix) (α − β)x = αx − βx (x) α(x − y) = αx − αy Estas propriedades demonstram-se a partir dos axiomas que constituem a defini¸cão de espa¸co vectorial.

3.1.2

Combina¸ c˜ ao Linear

Na defini¸cão de espa¸co vectorial estão contemplados dois tipos de elementos: vectores e escalares; e duas opera¸cões: adi¸cão e multiplica¸cão por um escalar. Estes elementos e estas opera¸cões permitem-nos escrever um qualquer vector desse espa¸co a partir de outros. Assim, podemos multiplicar vectores por escalares e somar vectores para obtermos novos vectores.


121

Consideremos no espa¸co vectorial R2 com as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão por um escalar e os vectores: (1, 2); (−1, 0). A partir destes vectores, podemos obter muitos outros vectores de R2 . Vejamos alguns exemplos: (1, 2) + (−1, 0) = (0, 2) 2(1, 2) = (2, 4) −1(1, 2) = (−1, −2) −3(−1, 0) = (3, 0) 2(1, 2) − 3(−1, 0) = (5, 4) −(1, 2) + 2(−1, 0) = (−3, −2) 0(1, 2) + 0(−1, 0) = (0, 0) .. . O facto de, por exemplo, o vector (5, 4) poder ser obtido à custa dos vectores (1, 2) e (−1, 0), significa que (5, 4) se pode escrever como combina¸ c˜ ao linear dos vectores (1, 2) e (−1, 0). Podemos então definir: Defini¸c˜ ao 3.1.2 Sejam v1 , v2 , . . . , vn vectores do espa¸co vectorial real V. Diz-se que o vector x ∈ V é combina¸c˜ ao linear dos vectores v1 , v2 , . . . , vn se x = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αn vn , com α1 , α2 , . . . , αn ∈ R. Seja V um espa¸co vectorial real e v1 , v2 , . . . , vn , n vectores arbitrários de V, então, 0V = 0v1 + 0v2 + . . . + 0vn A esta combina¸cão linear damos o nome de combina¸ c˜ ao linear trivialmente nula. Exemplo 3.1.2 1. Em R3 , verifiquemos se (2, 4, 0) é combina¸c˜ ao linear de (1, −1, 2) , (1, 1, 1) e (−1, 0, −1) . Ou seja, ser´ a que existem α, β e γ ∈ R tais que α (1, −1, 2) + β (1, 1, 1) + γ (−1, 0, −1) = (2, 4, 0)? Como,


122

α (1, −1, 2) + β (1, 1, 1) + γ (−1, 0, −1) = (2, 4, 0)   α + β − γ = 2 −α + β = 4 ⇐⇒  2α + β − γ = 0 1 1 −1 é um sistema de Cramer, pois −1 1 0 = −1+0+1−(−2 + 0 + 1) = 2 1 −1 1, podemos resolvê-lo utilizando a regra de Cramer, donde vem que 2 1 −1 4 1 0 0 1 −1 −2 + 0 − 4 − (0 + 0 − 4) = α= = −2, 1 1 −1 −1 + 0 + 1 − (−2 + 0 + 1) −1 1 0 2 1 −1 1 2 −1 −1 4 0 2 0 −1 −4 + 0 + 0 − (−8 + 0 + 2) = =2 β= 1 1 −1 −1 + 0 + 1 − (−2 + 0 + 1) −1 1 0 2 1 −1 1 1 2 −1 1 4 2 1 0 0 + 8 − 2 − (4 + 4 + 0) = γ= = −2. 1 1 −1 −1 + 0 + 1 − (−2 + 0 + 1) −1 1 0 2 1 −1 Logo (2, 4, 0) = −2 (1, −1, 2) + 2 (1, 1, 1) + (−2) (−1, 0, −1) e portanto, o vector (2, 4, 0) pode ser escrito de maneira u ńica como combina¸cão linear de (1, −1, 2) , (1, 1, 1) e (−1, 0, −1) . 2. Em P2 [x] , verifiquemos se q (x) = 1 + x − 2x2 pode ser escrito como combina¸cão linear de p1 (x) = 2 + x + x2 e p2 (x) = −3x + x2 . Ou seja, ser´ a que existem α e β ∈ R tais que α 2 + x + x2 + β −3x + x2 = 1 + x − 2x2 ?


123

Sendo, α 2 + x + x2 + β −3x + x2 = 1 + x − 2x2 ⇔ ⇔ 2α + (α − 3β) x + (α + β) x2 = 1 + x − 2x2 ⇔  = 1  2α α − 3β = 1 ⇔  α + β = −2 Passando à forma matricial, temos:     2 0 1 1 −3 1 −−−−→  1 −3 1  − L1 ↔ L2  2 0 1  1 1 −2 1 1 −2     −−−−−−−−−−−−−→ 1 −3 1 −−−−−−−−−−−−→ 1 −3 1 2 −2L1 + L2 → L2  0 6 −1  − L2 + L3 → L3  0 6 −1  . −L1 + L3 → L3 3 0 0 − 73 0 4 −3 Como o sistema é imposs´ıvel, q (x) n˜ ao se pode escrever como combina¸cão linear de p1 (x) e p2 (x) . 3. Em R2 , verifiquemos se (0, 0) se pode escrever como combina¸c˜ ao linear de (1, 2) , (−1, 0) e (5, 4) . Ou seja, existem α, β e γ tais que: α (1, 2) + β (−1, 0) + γ (5, 4) = (0, 0)? Sendo α (1, 2) + β (−1, 0) + γ (5, 4) = (0, 0) ⇔

α − β + 5γ = 0 , 2α + 4γ = 0

uma vez que o sistema é homogéneo e tem mais inc´ ognitas do que equa¸c˜ oes, tem infinitas solu¸cões. Vejamos,

1 −1 5 0 −−−−−−−−−−−−→ 1 −1 5 −2L1 + L2 → L2 2 0 4 0 0 2 −6

−−−−−−−→ 1 1 −1 5 L2 → L 2 0 1 −3 2 Assim,

0 0

0 −−−−−−−−−→ 1 0 2 0 L2 + L1 → L1 0 1 −3

0 0 .


124

α

  α = −2γ + 2γ = 0 β = 3γ . ⇔ β − 3γ = 0  γ ∈ R

Logo para qualquer γ ∈ R, (0, 0) = −2γ(1, 2) + 3γ(−1, 0) + γ(5, 4) ou seja, (0, 0) pode escrever-se como combina¸c˜ ao linear de (1, 2); (−1, 0) e (5, 4). Temos então: • se γ = 0, (0, 0) = 0 (1, 2) + 0 (−1, 0) + 0 (5, 4) ; • se γ = −2, (0, 0) = 4 (1, 2) − 6 (−1, 0) − 2 (5, 4) . Portanto (0, 0) pode escrever-se de diferentes formas como combina¸c˜ ao linear de (1, 3), (−1, 0) e (5, 4).

3.1.3

Dependˆ encia e independˆ encia linear

Por um lado, se é verdade que dado um conjunto de vectores podemos escrever outros vectores como combina¸cão linear desses, também é verdade, tal como pudemos verificar no u ´ltimo exemplo, que podem existir diferentes maneiras de escrever um dado vector, a partir dos mesmos vectores. Vimos que o vector (0, 0) de R2 se pode escrever de diferentes formas como combina¸cão dos vectores de A = {(1, 2) , (−1, 0) , (5, 4)} . Contudo, se considerarmos o subconjunto de R2 , B = {(1, 2) , (−1, 0)} , o vector (0, 0) já se escreve de maneira u ńica como combina¸cão linear dos vectores de B. Verifiquemos esta afirma¸cão: α (1, 2) + β (−1, 0) = (0, 0) ⇐⇒

α − β = 0 , 2α = 0

uma vez que estamos perante um sistema homogéneo, o determinante da matriz dos coeficientes já nos indica se a solu¸cão para α e β é ou não u ńica. Como 1 −1 2 0 = 2 6= 0 =⇒ α = β = 0 temos que 0 (1, 2) + 0 (−1, 0) = (0, 0) , ou seja, (0, 0) escreve-se de maneira u ńica como combina¸cão linear de (1, 2) e (−1, 0) .


125

Estamos então em condi¸cões de definir vectores linearmente dependentes e vectores linearmente independentes. Defini¸c˜ ao 3.1.3 Sejam V um espa¸co vectorial real e v1 , v2 , . . . , vn , n vectores de V. Diz-se que os vectores v1 , v2 , . . . , vn são linearmente independentes (l.i.) se a u ńica combina¸cão linear nula de v1 , v2 , . . . , vn é trivialmente nula, isto é, se para quaisquer escalares α1 , α2 , . . . , αn , α1 v1 + α2 v2 + . . . + αn vn = 0V =⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0. Os vectores v1 , v2 , . . . , vn dizem-se linearmente dependentes (l.d.) se n˜ ao são linearmente independentes, isto é, se o vector nulo se pode exprimir como combina¸cão linear de v1 , v2 , . . . , vn com coeficientes n˜ ao todos nulos. A partir desta defini¸cão podemos então concluir que os vectores de A são linearmente dependentes, enquanto que os vectores de B são linearmente independentes. Analisemos mais alguns exemplos. Exemplo 3.1.3 1. Os vectores (1, −1, 2) , (1, 1, 1) e (−1, 0, 1) s˜ ao linearmente independentes? Como α (1, −1, 2) + β (1, 1, 1) + γ (−1, 0, 1) = (0, 0, 0) é equivalente ao sistema homogéneo   α + β − γ = 0 −α + β = 0  2α + β + γ = 0 e sendo 1 1 −1 −1 1 0 = 1 + 0 + 1 − (−2 + 0 − 1) = 5 6= 0, 2 1 1 estamos perante um sistema poss´ıvel e determinado, ou seja a sua u ńica solu¸cão é a solu¸cão nula. Portanto, os vectores (1, −1, 2) , (1, 1, 1) e (−1, 0, 1) são linearmente independentes. 2. Os polinómios 1 + x, 1 + x + x2 e x + x2 s˜ ao linearmente independentes? Como α (1 + x) + β 1 + x + x2 + γ x + x2 = 0 + 0x + 0x2


126

é equivalente ao sistema homogéneo  = 0  α + β α + β + γ = 0  β + γ = 0 e sendo

1 1 0 1 1 1 0 1 1

= 1 + 0 + 0 − (0 + 1 + 1) = −1 6= 0,

o sistema é poss´ıvel e determinado e, portanto, os polin´ omios 1+x, 1+x+x2 e x + x2 são linearmente independentes. Isto é, 0 + 0x + 0x2 = 0(1 + x) + 0(1 + x + x2 ) + 0(x + x2 ) é a u ńica maneira de escrever o vector nulo como combina¸c˜ ao linear dos polinómios 1 + x, 1 + x + x2 e x + x2 . 1 −1 1 2 0 3 3. As matrizes , e s˜ ao linearmente indepen1 0 −1 0 −2 0 dentes? Como 1 −1 1 2 0 3 0 0 α +β +γ = 0 0 1 0 −1 0 −2 0 é equivalente ao sistema homogéneo  = 0  α + β −α + 2β + 3γ = 0  α − β − 2γ = 0 e

1 1 0 −1 2 3 1 −1 −2

(3.1)

= −4 + 3 + 0 − (0 − 3 + 2) = 0,

1 −1 1 0

, o sistema é poss´ıvel e indeterminado e, portanto, as matrizes 1 2 0 3 e são linearmente dependentes, ou seja, existem v´ arias −1 0 −2 0 maneiras de escrever a matriz nula como combina¸c˜ ao linear das matrizes dadas. Vejamos que rela¸cão tem que existir entre os escalares α, β e γ, n˜ ao todos nulos, para que a combina¸c˜ ao linear seja poss´ıvel. Resolvendo o sistema 3.1, temos que o seu conjunto solu¸c˜ ao é: {(γ, −γ, γ) : γ ∈ R} e portanto temos


127

• se γ = 1 1.

1 −1 1 0

− 1.

1 2 −1 0

+ 1.

0 3 −2 0

=

0 0 0 0

• se γ = −3 −3.

1 −1 1 0

+ 3.

1 2 −1 0

− 3.

0 3 −2 0

=

0 0 0 0

Obviamente que quando os vectores s˜ ao linearmente dependentes, a combina¸cão linear trivialmente nula também é verificada. Aplicando o teorema que se segue, pode-se analisar com mais facilidade a dependência ou independência linear, em alguns conjuntos particulares de vectores. Teorema 3.1.2 Num espa¸co vectorial V, tem-se: (i) Um vector v é linearmente independente se e somente se v 6= 0V . (ii) Se algum dos vectores v1 , v2 , . . . , vn é o vector nulo, ent˜ ao v1 , v2 , . . . , vn são linearmente dependentes. (iii) Se pelo menos dois dos vectores v1 , v2 , . . . , vn forem iguais, ent˜ ao v1 , v2 , . . . , vn são linearmente dependentes. (iv) Os vectores v1 , v2 , . . . , vn (n > 1) s˜ ao linearmente dependentes se e somente se algum deles é combina¸c˜ ao linear dos restantes. (v) Se v1 , v2 , . . . , vn são linearmente independentes, ent˜ ao v1 , v2 , . . . , vk , k < n são linearmente independentes. (vi) Se v1 , v2 , . . . , vn são linearmente dependentes, ent˜ ao v1 , v2 , . . . vn , vn+1 , . . . , vn+k também são linearmente dependentes. Analisemos, (iv) do teorema anterior, a partir de exemplos anteriores. Exemplo 3.1.4

1 −1 1 0

1. Voltando à situa¸cão 3 do exemplo 3.1.4, vimos que as matrizes , 1 2 0 3 e s˜ ao linearmente dependentes, podemos por isso −1 0 −2 0 concluir que uma delas se escreve como combina¸c˜ ao linear das restantes. Por exemplo: 0 3 1 −1 1 2 = −1. + 1. −2 0 1 0 −1 0


128

2. Vimos na situa¸cão 1 do exemplo 3.1.2 que (2, 4, 0) = −2 (1, −1, 2) + 2 (1, 1, 1) + (−2) (−1, 0, −1) podemos então concluir que os vectores (1, −1, 2); (1, 1, 1); (−1, 0, −1) e (2, 4, 0) são linearmente dependentes. Procure exemplos que ilustrem todas as condi¸cões enunciadas no teorema 3.1.2. O resultado que passaremos a enunciar será bastante u ´til para sabermos, dentro de um dado conjunto de vectores, quantos são linearmente independentes. Teorema 3.1.3 O n´ umero máximo de vectores linearmente independentes escolhidos entre vectores de um dado sistema de vectores v1 , v2 , ..., vn é a caracter´ıstica da matriz cujas colunas são esses vectores. Nota: Também se pode considerar a matriz com os vectores dispostos em linha. Exemplo 3.1.5 Verifiquemos se os vectores de R3 , (−1, 0, −8), (1, 4, −2) e (2, 4, 6) s˜ ao linearmente independentes.



     −−−−−−−−−−−−→ −1 1 2 −1 1 2 −1 1 2 5 −−−−−−−−−−−−−→ 4 4  −8L1 + L3 −→ L3  0 4 4  L2 + L3 −→ L3  0 4 4  V = 0 2 0 0 0 −8 −2 6 0 −10 −10 Logo r(V ) = 2, portanto apenas dois destes vectores s˜ ao linearmente independentes. Estes vectores linearmente independentes s˜ ao as colunas da matriz original correspondentes às colunas da matriz escalonada onde se encontram os pivots.

3.1.4

Conjunto de geradores

Consideremos novamente o subconjunto de R2 , B = {(1, 2) , (−1, 0)} . Verifiquemos se qualquer vector (a, b) de R2 , se pode escrever como combina¸cão linear dos vectores de B. Isto é, será que existem α, β ∈ R tal que α (1, 2) + β (−1, 0) = (a, b)? Como

α (1, 2) + β (−1, 0) = (a, b) ⇐⇒

e

α − β = a , 2α = b

1 −1 2 0 = 2 6= 0,


129

a matriz dos coeficientes tem inversa. Assim, α 0 12 a α = ⇐⇒ = β −1 12 b β

b 2

b 2

−a

.

Temos então, b (1, 2) + 2

b − a (−1, 0) = (a, b) , 2

e, por conseguinte, qualquer vector (a, b) de R2 pode ser escrito de maneira u ńica como combina¸cão linear dos vectores de B. Vejamos o que acontece se acrescentarmos ao subconjunto B o vector (5, 4) ou seja, considerando os vectores do conjunto A = {(1, 2) , (−1, 0) , (5, 4)}, será que continuamos a conseguir escrever qualquer vector de R2 como combina¸cão linear de A? Será que existem α, β, γ ∈ R tal que α (1, 2) + β (−1, 0) + γ (5, 4) = (a, b)? Uma vez que: α (1, 2) + β (−1, 0) + γ (5, 4) = (a, b) ⇐⇒

α − β + 5γ = a 2α + 4γ = b

e como não existem determinantes caracter´ısticos neste sistema de equa¸cões lineares, pelo teorema de Rouché, o sistema é poss´ıvel. Logo, continuamos a conseguir escrever qualquer vector de R2 como combina¸cão linear de (1, 2) , (−1, 0) e (5, 4) , desta vez de infinitas maneiras, dado que o sistema linear é poss´ıvel e indeterminado, porque tem, neste caso, mais incógnitas do que equa¸cões. Assim,

b b − 2γ (1, 2) + − a + 3γ (−1, 0) + γ (5, 4) = (a, b) , γ ∈ R. 2 2

Note-se que neste caso, os escalares que multiplicam os vectores não dependem só de a e b mas também do real γ. Contudo, se retirarmos ao subconjunto B = {(1, 2), (−1, 0)} um dos vectores, já não é poss´ıvel escrever qualquer vector (a, b) de R2 , como combina¸cão linear de um deles. Por exemplo, não existe α ∈ R tal que α (−1, 0) = (7, 5) . Considerando agora o subconjunto de R2 , C = {(1, 2) , (−1, −2)} , será poss´ıvel escrever qualquer vector de R2 como combina¸cão linear de (1, 2) e (−1, −2)? Temos, α (1, 2) + β (−1, −2) = (a, b) ⇐⇒

α − β = a 2α − 2β = b


130 ou seja,

1 −1 a −−−−−−−−−−−−→ 1 −1 a −2L1 + L2 → L2 . 2 −2 b 0 0 b − 2a

Este sistema nem sempre é poss´ıvel (só é poss´ıvel se b − 2a = 0 isto é, b = 2a). Logo, nem todos os vectores de R2 podem ser escritos como combina¸cão linear dos vectores (1, 2) e (−1, −2) . Contudo, todos os vectores do subconjunto de R2 , V1 = {(x, 2x) : x ∈ R} , podem escrever-se como combina¸cão linear dos vectores de C. Com base no estudo efectuado, podemos constatar que os conjuntos A e B permitem definir o espa¸co vectorial R2 . Ou seja, qualquer vector de R2 pode ser escrito como combina¸cão linear de (1, 2) , (−1, 0) e (5, 4) ou de (1, 2) e (−1, 0) , sendo que no segundo caso esta combina¸cão se pode fazer de maneira u ńica. Esta constata¸cão permite-nos compreender melhor a seguinte defini¸cão. Defini¸c˜ ao 3.1.4 Sejam v1 , v2 , . . . , vn vectores de um certo espa¸co vectorial V. Dizemos que esses vectores são geradores do espa¸co (ou que geram o espa¸co), facto que se representa por V = hv1 , v2 , . . . , vn i , quando qualquer vector do espa¸co V se pode escrever como combina¸c˜ ao linear de v1 , v2 , . . . , vn . Quando V possui um n´ umero finito de geradores, dizemos que V é finitamente gerado. De acordo com o que vimos anteriormente, temos então que R2 = h(1, 2) , (−1, 0)i ; R2 = h(1, 2) , (−1, 0) , (5, 4)i e V1 = h(1, 2) , (−1, −2)i . Note-se que o conjunto de geradores de cada espa¸co vectorial não é u ńico. Determinemos os conjuntos geradores de mais alguns espa¸cos vectoriais. Exemplo 3.1.6 1. Verifiquemos se os polinómios 1 + x, 1 + x + x2 e x + x2 geram P2 [x] ou seja, analisemos se ∃α, β, γ ∈ R : α (1 + x) + β (1 + x + x2 ) + γ (x + x2 ) = a0 + a1 x + a2 x2 . Temos, α (1 + x) + β 1 + x + x2 + γ x + x2 = a0 + a1 x + a2 x2 ⇐⇒


131

 = a0  α + β α + β + γ = a1 ⇐⇒  β + γ = a2 Passando à  1 1  1 1 0 1

resolu¸cão matricial do sistema:    0 a0 1 1 0 a0 −−−−−−−−−−−→ −−−−−→ 1 a1  −L1 + L2 → L2  0 0 1 a1 − a0  L2 ↔ L3 1 a2 0 1 1 a2  1 1 0 a0  0 1 1 . a2 0 0 1 a1 − a0 

Como a caracter´ıstica da matriz dos coeficientes, a caracter´ıstica da matriz ampliada e o n´ umero de inc´ ognitas s˜ ao iguais a 3, o sistema linear é poss´ıvel e determinado, logo os vectores (polin´ omios) 1+x, 1+x+x2 e x+x2 geram P2 [x] , ou seja,

P2 [x] = 1 + x, 1 + x + x2 , x + x2 . Uma vez que o espa¸co P2 [x] é gerado por 3 vectores, este é um espa¸co finitamente gerado. 1 −1 1 2 0 3 2. Consideremos agora os vectores (matrizes) , e . 1 0 −1 0 −2 0 Verifiquemos se esses vectores geram M2 , ou seja, 1 −1 1 2 0 3 a b ∃α, β, γ ∈ R : α +β +γ = . 1 0 −1 0 −2 0 c d Como 1 −1 1 2 0 3 a b α +β +γ = ⇐⇒ 1 0 −1 0 −2 0 c d  α + β =    −α + 2β + 3γ = ⇐⇒ α − β − 2γ =    0 =

a b , c d

podemos logo verificarquepelos menos, nos casos em que d 6= 0, as matrizes 1 −1 1 2 0 3 , e n˜ ao geram M2 . 1 0 −1 0 −2 0 Analisemos então quais as condi¸c˜ oes a que têm que obedecer as matrizes de M2 que são geradas por estes vectores. Apliquemos o teorema de Rouché. Para tal, calculemos os determinantes caracter´ısticos


132

1

1

.. . .. .

a

−1 2 b ··· ··· ··· ··· . 1 −1 .. c

= −a + 2b + 3c;

1

1

.. . .. .

a

−1 2 b ··· ··· ··· ··· .. 0 0 . d

= 3d.

Para que o sistema seja poss´ıvel, estes determinantes têm que ser iguais a zero, isto é, −a + 2b + 3c = 0 a = 2b + 3c ⇐⇒ . 3d = 0 d = 0

1 −1 1 2 0 3 Portanto, , , geram matrizes de ordem 2 se 1 0 −1 0 −2 0 a = 2b + 3c e d = 0. Ou seja, 1 −1 1 2 0 3 a b 2 , , = ∈ R : a = 2b + 3c ∧ d = 0 = 1 0 −1 0 −2 0 c d =

3.1.5

2b + 3c b c 0

, b, c ∈ R .

Base e dimens˜ ao

Na subseçcão anterior verificamos que o conjunto de geradores de um dado espa¸co não é u ńico. Vimos por exemplo que R2 = h(1, 2) , (−1, 0)i e R2 = h(1, 2) , (−1, 0) , (5, 4)i . Por outro lado, também conclu´ımos na subseçcão 3.1.3, que os vectores (1, 2) e (−1, 0) são linearmente independentes, mas que (1, 2) , (−1, 0) e (5, 4) já são linearmente dependentes. A partir das análises anteriores temos então que o espa¸co vectorial R2 pode ser gerado pelos vectores linearmente independentes de B = {(1, 2) , (−1, 0)} e pelos vectores linearmente dependentes que constituem A = {(1, 2) , (−1, 0) , (5, 4)} , com a particularidade que, no primeiro conjunto gerador, todos os vectores do espa¸co vectorial R2 são gerados de maneira u ńica, isto é, são escritos de forma u ńica como combina¸cão linear dos vectores de B. Se retirarmos, como também já vimos, um vector do conjunto B, ele deixa de gerar R2 . Assim, podemos afirmar que existe um n´ umero m´ınimo de vectores geradores que permitem definir o espa¸co. O menor subconjunto de vectores do espa¸co vectorial V que representa o espa¸co vectorial V chama-se base do espa¸co vectorial V. Mais formalmente temos,


133

Defini¸c˜ ao 3.1.5 Uma base de um espa¸co vectorial V, finitamente gerado, é um conjunto de vectores geradores de V linearmente independentes. Exemplo 3.1.7 1. O conjunto B = {(1, 2) , (−1, 0)} é uma base do espa¸co vectorial R2 , porque vimos que os vectores de B s˜ ao linearmente independentes e geram R2 . 2. O conjunto A = {(1, 2) , (−1, 0) , (5, 4)} n˜ ao é uma base do espa¸co vectorial 2 R , porque vimos que os vectores de A s˜ ao linearmente dependentes. 3. O conjunto BC = {(1, 0) , (0, 1)} também é uma base de R2 , porque os vectores de BC são linearmente independentes e geram R2 . 4. O conjunto dos polin´ omios {1 + x, 1 + x + x2 , x + x2 } é uma base do espa¸co vectorial P2 [x] , porque vimos nos exemplos 3.1.3 e 3.1.6 estes polin´ omios são linearmente independentes e geram P2 [x] . 1 −1 1 2 0 3 5. O conjunto das matrizes , , n˜ ao é uma 1 0 −1 0 −2 0 base do espa¸co vectorial M2 , porque tal como vimos no exemplo 3.1.6 estas matrizes não geram M2 . 6. O espa¸co nulo, V = {0V }, tem como base o conjunto vazio. Para que não haja ambiguidade, é conveniente considerar os vectores da base escritos por uma determinada ordem. Os vectores v1 , v2 , . . . , vn , escritos por uma outra ordem qualquer, continuam a constituir uma base de V, uma vez que tanto o conceito de independência linear como o facto de gerarem o espa¸co não depende da ordem por que os vectores se apresentam. No entanto, duas bases constitu´ıdas pelos mesmos vectores, escritos por ordem diferente, considerarse-ão, daqui para a frente, bases diferentes. Assim, temos que, por exemplo, {(1, 2), (−1, 0)} e {(−1, 0), (1, 2)} são duas bases distintas de R2 . Apresentemos algumas propriedades importantes das bases de um espa¸co vectorial. Teorema 3.1.4 Seja V um espa¸co vectorial. (i) Se V é um espa¸co vectorial finitamente gerado, ent˜ ao V admite uma base. (ii) Se B1 e B2 são duas bases de V, ent˜ ao B1 e B2 têm o mesmo n´ umero de vectores. (iii) Se B = {v1 , v2 , . . . , vn } é uma base de V, ent˜ ao todo o conjunto com mais de n vectores será linearmente dependente. (iv) Se B = {v1 , v2 , . . . , vn } é uma base de V, ent˜ ao todo o conjunto com menos de n vectores não gera o espa¸co V.

134

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS (v) Se A = {u1 , u2 , . . . , un } é um conjunto de vectores de V e um destes vectores é o vector nulo então A n˜ ao é uma base de V. Por (ii) do teorema 3.1.4, podemos concluir que todas a bases de um mesmo espa¸co vectorial V, têm o mesmo n´ umero de vectores. A esse n´ umero é atribu´ıda uma designa¸cão especial. Defini¸c˜ ao 3.1.6 A dimensão de um espa¸co vectorial V é igual ao n´ umero de vectores que formam uma base desse espa¸co. Representa-se por dim(V ). Exemplo 3.1.8 A partir do exemplo 3.1.7, podemos concluir que: 1. Sendo B = {(1, 2) , (−1, 0)} uma base (com dois vectores) do espa¸co vectorial R2 , dim R2 = 2; 2. dim (P2 [x]) = 3; 3. dim ({0V }) = 0. O conhecimento da dimensão de um dado espa¸co vectorial (finitamente gerado) reveste-se de alguma importância, em virtude das seguintes propriedades. Teorema 3.1.5 Seja V um espa¸co vectorial de dimens˜ ao n (dim (V ) = n). (i) Não há, no espa¸co vectorial V, sistemas de vectores independentes com mais de n vectores. (ii) V não pode ser gerado por um conjunto com menos de n vectores. (iii) Qualquer sistema com n vectores independentes é uma base de V. (iv) Qualquer sistema com n vectores geradores de V é uma base de V. Todos os espa¸cos vectoriais possuem uma base especial, chamada base can´ onica, que é constitu´ıda pelos chamados vectores unit´ arios. • Bc = {(1, 0) , (0, 1)} é a base canónica de R2 , e portanto, como já vimos, dim (R2 ) = 2. • Bc = {(1, 0, . . . , 0) , (0, 1, . . . , 0) , . . . , (0, 0, . . . , 1)} (com n vectores) é a base canónica de Rn , e portanto, dim (Rn ) = n. • Bc = {1} é a base canónica de R, logo dim (R) = 1. 1 0 0 1 0 0 0 0 • Bc = , , , é a base canónica de M2 0 0 0 0 1 0 0 1 assim, dim (M2 ) = 4.

3.1. ESPAC ¸ OS VECTORIAIS   1    0  • Bc =  ..  .    0  0 0  0 0  . . . ,  .. ..  . . 0 0

135

0 ··· 0 ··· .. . . . . 0 0 ···

0 0 .. .

0 ··· 0 ··· .. . . . . 0 ···

0 0 .. . 1

0 0 .. . 0 





   

  , 

m×n

    

    m×n

0 ··· 0 ··· .. . . . . 0 0 0 ···

0 0 .. .

1 0 .. .

0 0 .. . 0

    

,...,

m×n

é a base canónica de Mm×n .

   

Logo, dim (Mm×n ) = m × n. • Bc = {1, x, x2 } é a base canónica de P2 [x] logo, como já vimos, dim (P2 [x]) = 3. • Bc = {1, x, x2 , . . . , xn } é a base canónica de Pn [x] . Portanto dim (Pn [x]) = n + 1. Defini¸c˜ ao 3.1.7 Seja B = {v1 , v2 , . . . , vn } uma base do espa¸co vectorial V. Cada vector v ∈ V escreve-se de maneira u ńica na forma v = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αn vn . Logo (α1 , α2 , . . . , αn ) são as componentes de v em rela¸c˜ ao ` a base B considerada, e representa-se por [v]B = (α1 , α2 , . . . , αn )B . Nota: Quando a base está omissa é porque estamos a trabalhar na base canónica. Exemplo 3.1.9 Consideremos, no espa¸co vectorial R2 , as bases B = {(1, 2) , (−1, 0)} e Bc = {(1, 0) , (0, 1)}(base can´ onica). Quando escrevemos v = (5, 4), na verdade temos 5 × (1, 0) + 4 × (0, 1) isto é, 5 e 4 são as componentes do vector v em rela¸c˜ ao ` a base can´ onica (Bc ) de R2 . Determinemos as componentes do vector [v]Bc = (5, 4)Bc ∈ R2 em rela¸c˜ ao ` a base B. Como (5, 4)Bc = 2 (1, 2) − 3 (−1, 0) , então, [v]B = (2, −3) . Logo (5, 4)Bc = (2, −3)B e portanto, como Bc é a base can´ onica de R2 podemos escrever (5, 4) = (2, −3)B Consideremos duas bases do espa¸co vectorial V, B = {v1 , v2 , . . . , vn } e B 0 = {v10 , v20 , . . . , vn0 }. Podemos então escrever o mesmo vector x ∈ V, em qualquer uma das bases de forma u ńica: [x]B = a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn e [x]B 0 = a01 v10 + a02 v20 + . . . + a0n vn0


136

ou em nota¸cão matricial,    [x]B =  

a1 a2 .. .





     e [x]B 0 =   

an

a01 a02 .. . a0n

   . 

Procuremos uma rela¸cão entre [x]B e [x]B 0 . Comecemos por escrever os vectores da base B como combina¸cão linear dos vectores da base B 0 , ou seja: v1 = c11 v10 + c21 v20 + . . . + cn1 vn0 v2 = c12 v10 + c22 v20 + . . . + cn2 vn0 . .. . vn = c1n v10 + c2n v20 + . . . + cnn vn0 Assim, temos que: [x]B = a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn = = a1 (c11 v10 + c21 v20 + . . . + cn1 vn0 ) + a2 (c12 v10 + c22 v20 + . . . + cn2 vn0 )+ + . . . + an (c1n v10 + c2n v20 + . . . + cnn vn0 ) = = (a1 c11 + a2 c12 + . . . + an c1n )v10 + (a1 c21 + a2 c22 + . . . + an c2n )v20 + + . . . + (a1 cn1 + a2 cn2 + . . . + an cnn )vn0 = [x]B 0 e portanto para cada i ∈ {1, 2, . . . , n} a0i = a1 ci1 + a2 ci2 + . . . + an cin . Na forma matricial temos,    a01  a0    2    ..  =   .   a0n |

 c11 c12 . . . c1n c21 c22 . . . c2n   .. .. .. ..  . . . .  cn1 cn2 . . . cnn {z }

    

a1 a2 .. .

   . 

an

MBB 0 Observando atentamente a equa¸cão matricial anterior, verificamos que a matriz designada por matriz mudan¸ca de base que permite a mudan¸ca da base B para a base B 0 , MBB 0 , de um dado vector, é constru´ıda a partir das componentes dos vectores da base B, escritos como combina¸cão linear dos vectores de B 0 . Estas componentes, [vi ]B 0 , i ∈ {1, 2, . . . , in }, são os elementos que ocupam a coluna i da matriz MBB 0 . Ou seja,


   [v1 ]B 0 =  

c11 c21 .. .

137





    0 ; [v ] =  2B   

cn1





c12 c22 .. .

    0 ; . . . ; [v ] =   n B  

cn2

c1n c2n .. .

   . 

cnn

Podemos então concluir que dado o vector x na base B, [x]B , podemos obter as componentes deste vector na base B 0 , [x]B 0 , multiplicando a matriz mudan¸ca de base da base B para a base B 0 , MBB 0 pelas componentes do vector [x]B . Isto é, [x]B 0 = MBB 0 [x]B . MBB 0 é a matriz mudan¸ca de base, da base B para a base B 0 . Por outro lado, a matriz mudan¸ca de base, da base B 0 para a base B é MB 0 B tal que −1 MB 0 B = MBB 0,

pois −1 [x]B 0 = MBB 0 [x]B ⇔ MBB 0 [x]B 0 = [x]B

ou seja, −1 [x]B = MBB 0 [x]B 0 .

Exemplo 3.1.10 Sejam Bc = {(1, 0), (0, 1)} e B = {(1, 2), (−1, 0)} bases de R2 . Determinemos a matriz mudan¸ca da base Bc para a base B. Escrevendo os vectores de Bc como combina¸c˜ ao linear dos vectores de B, temos: (1, 0) = 0(1, 2) + (−1)(−1, 0), isto é, (1, 0)Bc = (0, −1)B ; 1 1 (0, 1) = (1, 2) + (−1, 0), isto é, (0, 1)Bc = 2 2

1 1 , 2 2

. B

Temos então: MBc B =

0 −1

1 2 1 2

.

Assim, o vector [u]Bc = (5, 4) escrito na base B é [u]B = MBc B .[u]Bc =

0 −1

1 2 1 2

5 2 . = . 4 −3

As coordenadas do vector u na base B s˜ ao 2 e −3, isto é, [u]B = (2, −3)B , ou seja, (5, 4)Bc = 2(1, 2) + (−3)(−1, 0).


138

3.2

Subespa¸cos vectoriais

Quando trabalhamos com vectores de um certo espa¸co vectorial, podemos estar interessados em trabalhar apenas com um determinado subconjunto S de vectores de V. No entanto, ao efectuarmos opera¸cões com vectores do subconjunto S escolhido, poderemos obter resultados que não estão nesse subconjunto. Nessas circunstâncias, não poder´ıamos trabalhar exclusivamente no subconjunto S. Consideremos o subconjunto S1 = {(x, 0) : x ∈ R} de R2 , com as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão por um escalar em R2 . Estas opera¸cões são internas em S1 , isto é, (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) ∈ S1 ,

α (x, 0) = (αx, 0) ∈ S1 , α ∈ R e verificam-se os 8 axiomas da defini¸cão de espa¸co vectorial. Contudo, se considerarmos o subconjunto S2 = {(x, 0) : x ≥ 0} de R2 , com as opera¸cões usuais, a multiplica¸cão por um escalar não é interna em S2 . Por exemplo, para α = −2, temos −2 (x, 0) = (−2, 0) 6∈ S2 . Aplicando a defini¸cão 3.1.1 aos subconjuntos de R2 , S1 e S2 , verificamos que o subconjunto S1 é um espa¸co vectorial, o que já não se verifica com S2 . Estes exemplos levam-nos a introduzir a seguinte defini¸cão: Defini¸c˜ ao 3.2.1 Sejam V um espa¸co vectorial real e S um subconjunto n˜ ao vazio de V. O subconjunto S é um subespa¸co vectorial de V, se S é um espa¸co vectorial em rela¸cão à adi¸cão e ` a multiplica¸c˜ ao por um escalar, definidas em V. Assim, dos exemplos anteriores, verifica-se que S1 é um subespa¸co vectorial de R2 e S2 não o é. Para verificar se um dado subconjunto de um espa¸co vectorial é ou não um subespa¸co vectorial, não é necessário comprovar todas as condi¸cões da defini¸cão de espa¸co vectorial. Basta aplicar o seguinte teorema: Teorema 3.2.1 Um subconjunto S, de um espa¸co vectorial V, é um subespa¸co vectorial de V se estiverem satisfeitas as seguintes condi¸c˜ oes: (i) S 6= Ø, (ii) ∀x, y ∈ S, x + y ∈ S,

3.2. SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

139

(iii) ∀α ∈ R, ∀x ∈ S, αx ∈ S. Equivalente a este teorema, temos o seguinte corolário: Corol´ ario 3.2.1 S é um subespa¸co vectorial de V se e s´ o se verificar as seguintes condi¸cões: (i) S 6= Ø (ou 0V ∈ S), (ii) ∀α, β ∈ R, ∀x, y ∈ S, αx + βy ∈ S. Exemplo 3.2.1 1. Verifiquemos se o conjunto S3 = {−b + (a − b) x + ax2 : a, b ∈ R} , com as opera- ¸cões usuais em P2 [x] , é subespa¸co vectorial de P2 [x]. (i) O polinómio 0 + 0x + 0x2 ∈ S3 , logo S3 6= Ø. (ii) Sejam −b + (a − b) x + ax2 , −d + (c − d) x + cx2 ∈ S3 . −b + (a − b) x + ax2 + −d + (c − d) x + cx2 = = − (b + d) + (a − b + c − d) x + (a + c) x2 = = − (b + d) + (a + c − (b + d)) x + (a + c) x2 ∈ S3 . (iii) Sejam α ∈ R e −b + (a − b) x + ax2 ∈ S3 . α −b + (a − b) x + ax2 = −αb + (αa − αb) x + (αa) x2 ∈ S3 . Portanto o conjunto S3 = {−b + (a − b) x + ax2 : a, b ∈ R} , com as opera¸cões usuais em P2 [x] , é subespa¸co vectorial de P2 [x]. a b 2. Verifiquemos se o conjunto S4 = : a, b, c ∈ R ∧ d ∈ Q , com c d as opera- ¸cões usuais em M2 , é subespa¸co vectorial de M2 . Apliquemos o corol´ ario 3.2.1. 0 0 0 0 (i) ∈ S4 , logo S4 6= Ø ou 0M2 = ∈ S4 . 0 0 0 0 0 0 a b a b , ∈ S4 . Verifiquemos que existem valores (ii) Sejam c d c0 d0 para α, β ∈ R, tais que 0 0 a b a b α +β 6∈ S4 . c d c0 d0 √ Por exemplo, para α = 2 e β = 0 temos √ 0 0 √ √ a b a b 2a √ 2b 6∈ S4 , 2 +0 = √ c d c0 d0 2c 2d √ porque 2d 6∈ Q. Portanto, S4 não é subespa¸co vectorial de M2 .

140

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS Seja V um espa¸co vectorial real. Então, é imediato verificar que os subconjuntos V e {0V } de V são ambos subespa¸cos vectoriais de V. Aos subespa¸cos vectoriais V e {0V } de V chamamos, respectivamente, subespa¸ co impr´ oprio e subespa¸co nulo. Qualquer outro subespa¸co vectorial de V (se os houver) diz-se um subespa¸ co pr´ oprio. Da defini¸cão 3.1.1 resulta que um subespa¸co vectorial é ele próprio um espa¸co vectorial. Estes factos permitem-nos aplicar todos os conceitos estudados em espa¸cos vectoriais. Assim, todos os subespa¸cos vectoriais têm conjuntos de geradores, bases e dimensão (menor ou igual à dimensão do espa¸co), como nos espa¸cos vectoriais. Em particular, tomando o subespa¸co vectorial S1 = {(x, 0) : x ∈ R}, facilmente se deduz que (x, 0) = x(1, 0), x ∈ R. Donde S1 = h(1, 0)i e portanto {(1, 0)} é uma base de S1 . Logo S1 é um subespa¸co de R2 com dimensão 1. Tal como acabamos de verificar, a partir de um subespa¸co vectorial, podemos determinar um conjunto de vectores que o geram. Por outro lado, considerando todos os vectores que podem ser escritos como combina¸cão linear de um dado subconjunto de vectores de um espa¸co vectorial, também é poss´ıvel determinar o subespa¸co por eles gerado. Consideremos no espa¸co vectorial R3 , o conjunto de vectores X = {(1, 2, 0) , (−1, 0, 0)} e o conjunto de todas as poss´ıveis combina¸cões lineares destes vectores, isto é, o conjunto L = {α (1, 2, 0) + β (−1, 0, 0) : α, β ∈ R} = {(α − β, 2α, 0) : α, β ∈ R} . Verifiquemos que este conjunto é um subespa¸co vectorial de R3 , (i) (0, 0, 0) ∈ L, visto que 0 · (1, 2, 0) + 0 · (−1, 0, 0) = (0, 0, 0) . Portanto, L 6= Ø. (ii) Sejam u = α (1, 2, 0)+β (−1, 0, 0) , v = γ (1, 2, 0)+δ (−1, 0, 0) ∈ L e λ1 , λ2 ∈ R. λ1 u + λ2 v = λ1 [α (1, 2, 0) + β (−1, 0, 0)] + λ2 [γ (1, 2, 0) + δ (−1, 0, 0)] = = [λ1 α (1, 2, 0) + λ1 β (−1, 0, 0)] + [λ2 γ (1, 2, 0) + λ2 δ (−1, 0, 0)] = = (λ1 α + λ2 γ) (1, 2, 0) + (λ1 β + λ2 δ) (−1, 0, 0) ∈ L. Logo, pelo corolário 3.2.1, temos que L é um subespa¸co vectorial de R3 . Note-se que por constru¸cão, temos: L = h(1, 2, 0) , (−1, 0, 0)i . Este subespa¸co vectorial L, constru´ıdo a partir do conjunto X, L = hXi, designase por subespa¸co gerado por X, de acordo com a seguinte defini¸cão:


141

Defini¸c˜ ao 3.2.2 Seja X um conjunto n˜ ao vazio tal que X ⊆ V. O subespa¸co vectorial L constitu´ıdo por todas as combina¸c˜ oes lineares feitas com os vectores de X, chama-se subespa¸co gerado por X, e representa-se por L = hXi . Um subespa¸co vectorial de V gerado por X é o mais pequeno subespa¸co vectorial de V que contém o subconjunto X. Notas: • Se A = Ø, hØi = {0} ; • Todo o conjunto X ⊂ V gera um subespa¸co vectorial de V, podendo ocorrer hXi = V. Neste caso, X é um conjunto gerador de V. Vamos ver que, a partir de subespa¸cos vectoriais dados, num certo espa¸co vectorial, é poss´ıvel construir novos subespa¸cos. Defini¸c˜ ao 3.2.3 Sejam U e W dois subespa¸cos vectoriais de V. A interseçcão de U com W é o conjunto U ∩ W = {x ∈ V : x ∈ U ∧ x ∈ W } . Teorema 3.2.2 Se U e W s˜ ao subespa¸cos vectoriais do espa¸co vectorial V, então U ∩ W é um subespa¸co vectorial de V. Analisemos um exemplo. Exemplo 3.2.2 Consideremos U1 = {(x, x) : x ∈ R} e W1 = {(y, −y) : y ∈ R} subespa¸cos vectoriais de R2 . Mostremos que U1 ∩ W1 é um subespa¸co vectorial de R2 . U1 ∩ W1 = {(x, x) : x ∈ R} ∩ {(y, −y) : y ∈ R} = = (a, b) ∈ R2 : b = a ∩ (a, b) ∈ R2 : b = −a = = (a, b) ∈ R2 : b = a ∧ b = −a = {(0, 0)} . Logo, U1 ∩ W1 = {(0, 0)} ⊂ R2 é um subespa¸co vectorial de R2 , porque é o subespa¸co nulo de R2 . Generalizando, temos: Teorema 3.2.3 A interseçc˜ ao de um n´ umero qualquer de subespa¸cos vectoriais de um espa¸co vectorial V é um subespa¸co vectorial de V. Analisemos agora o que acontece quando reunimos dois subespa¸cos vectoriais de um mesmo espa¸co vectorial.


142

Defini¸c˜ ao 3.2.4 Sejam U e W dois subespa¸cos vectoriais de V. A reuni˜ ao de U com W é o conjunto U ∪ W = {x ∈ V : x ∈ U ∨ x ∈ W } . Teorema 3.2.4 Se U e W são subespa¸cos vectoriais do espa¸co vectorial V, ent˜ ao U ∪ W é um subespa¸co vectorial de V se e s´ o se U ⊆ W ou W ⊆ U. Vejamos um exemplo em que a reunião de dois subespa¸cos vectoriais de R2 não é um subespa¸co vectorial de R2 . Exemplo 3.2.3 Consideremos os subespa¸cos vectoriais de R2 do exemplos anterior, U1 = {(x, x) : x ∈ R} e W1 = {(y, −y) : y ∈ R} subespa¸cos vectoriais de R2 . Mostremos que U1 ∪ W1 não é um subespa¸co vectorial de R2 . U1 ∪ W1 = (a, b) ∈ R2 : b = a ∪ (a, b) ∈ R2 : b = −a = = (a, b) ∈ R2 : b = a ∨ b = −a . Neste caso, falha a condi¸cão (ii) do teorema 3.2.1. Se, por exemplo considerarmos (1, 1) , (1, −1) ∈ U1 ∪ W1 . (1, 1) + (1, −1) = (2, 0) 6∈ U1 ∪ W1 . Logo, U1 ∪ W1 não é subespa¸co vectorial de R2 . Neste exemplo, verificamos que U1 ∪ W1 não é um subespa¸co vectorial de R2 . Alternativamente, aplicando o teorema 3.2.4, poder´ıamos ter mostrado que U1 6⊆ W1 e W1 6⊆ U1 . (Verifique!) Passemos a analisar um caso em que a reunião de dois subespa¸cos vectoriais é um espa¸co vectorial. Exemplo 3.2.4 Consideremos os subespa¸cos vectoriais de R3 , U2 = {(x, y, 0) : x, y ∈ R} = (a, b, c) ∈ R2 : c = 0 e W2 = {(x, 0, 0) : x ∈ R} = (a, b, c) ∈ R2 : b = c = 0 Mostremos que U2 ∪ W2 é um subespa¸co vectorial de R3 . ´ f´ E acil de verificar que W2 ⊂ U2 , logo temos U2 ∪ W2 = {(x, y, 0) : x, y ∈ R} = U2 . Portanto U2 ∪ W2 , é subespa¸co vectorial de R3 .


143

Defini¸c˜ ao 3.2.5 Sejam U e W dois subespa¸cos vectoriais de V. A soma de U com W, U + W, é o subconjunto de V formado por todas as somas u + v, onde u ∈ U e w ∈ W, isto é U + W = {v = u + w : u ∈ U, w ∈ W } . Teorema 3.2.5 A soma dos subespa¸cos vectoriais U e W de V, U +W, é também um subespa¸co vectorial de V. Exemplo 3.2.5 Sejam, novamente, U1 = {(x, x) : x ∈ R} e W1 = {(−y, y) : y ∈ R} subespa¸cos vectoriais de R2 . Mostremos que U1 + W1 é um subespa¸co vectorial de R2 , ou seja, verifiquemos as três condi¸cões do teorema 3.2.1 para U1 + W1 = {(x, x) + (y, −y) : x, y ∈ R} = {(x + y, x − y) : x, y ∈ R} . (i) Se fizermos x = y = 0, temos (x + y, x − y) = (0, 0) . Portanto, (0, 0) ∈ U1 + W1 , o que implica que U1 + W1 6= Ø ou (0R2 = (0, 0) ∈ U1 + W1 ) . (ii) Sejam (x + y, x − y) , (x0 + y 0 , x0 − y 0 ) ∈ U1 + W1 (x + y, x − y) + (x0 + y 0 , x0 − y 0 ) = (x + y + x0 + y 0 , x − y + x0 − y 0 ) = ((x + x0 ) + (y + y 0 ) , (x + x0 ) − (y + y 0 )) ∈ U1 + W1 . (iii) Sejam (x + y, x − y) ∈ U1 + W1 e α ∈ R α (x + y, x − y) = (α (x + y) , α (x − y)) = (αx + αy, αx − αy) ∈ U1 + W1 . Portanto, U1 +W1 é subespa¸co vectorial de R2 . Podemos mesmo dizer que U1 +W1 é o subespa¸co impróprio de R2 , pois U1 + W1 = R2 . Podemos ainda enunciar um outro resultado acerca da soma de subespa¸cos vectoriais. Teorema 3.2.6 Sejam X e Y subconjuntos quaisquer de um certo espa¸co vectorial V. Então, hX ∪ Y i = hXi + hY i , ou seja, se X gera um subespa¸co vectorial U e Y gera um subespa¸co vectorial W, ent˜ ao X ∪ Y gera U + W. Com base neste teorema podemos alternativamente ao processo usado no exemplo 3.2.5, definir o subespa¸co que é dado a partir da soma de dois subespa¸cos. Voltemos então ao exemplo 3.2.5.


144

Exemplo 3.2.6 Comecemos por determinar os conjuntos de geradores de U1 e W1 . U1 = {(x, x) : x ∈ R} = {x (1, 1) : x ∈ R} = h(1, 1)i e W1 = {(y, −y) : y ∈ R} = {y (1, −1) : y ∈ R} = h(1, −1)i. Logo, pelo teorema 3.2.6 U1 + W1 = h(1, 1), (1, −1)i . Sendo então U1 + W1 definido como um conjunto de geradores, este é um subespa¸co vectorial de R2 . Passemos agora a estudar um caso particular de um subespa¸co vectorial que resulta da soma de dois subespa¸cos. Defini¸c˜ ao 3.2.6 Diz-se que o espa¸co vectorial V é a soma directa dos seus subespa¸cos U e W, isto é U ⊕ W, se todo o vector v ∈ V pode ser escrito, de uma e uma só maneira, como v = u + w, onde u ∈ U e w ∈ W. Teorema 3.2.7 O espa¸co vectorial V é a soma directa dos seus subespa¸cos U e W, se e só se V = U + W e U ∩ W = {0V } . Exemplo 3.2.7 Provemos que o espa¸co vectorial R2 é soma directa dos seus subespa¸cos vectoriais U1 = {(x, x) : x ∈ R} e W1 = {(y, −y) : y ∈ R} . Para tal, utilizemos o teorema 3.2.7. - Como já vimos U + W = {(x + y, x − y) : x, y ∈ R} . Para que U + W = R2 , têm que existir x, y ∈ R tal que (a, b) = (x + y, x − y) , ∀ (a, b) ∈ R2 . Sendo x + y = a (a, b) = (x + y, x − y) =⇒ x − y = b Temos então que 1 1 1 −1

a −−−−−−−−−−−→ 1 1 b −L1 + L2 → L2 0 −2

a b−a ,

ou seja

x = y =

a+b 2 a−b 2

.

Existem então x = a+b e y = a−b , quaisquer que sejam as coordenadas a e 2 2 2 b do vector (a, b) ∈ R . Portanto, U + W = R2 .


145

- Pelo exemplo 3.2.2, temos que U ∩ W = {(0, 0)} . Assim, podemos concluir que U1 ⊕ W1 = R2 . No caso de um espa¸co vectorial V ser finitamente gerado, todos os seus subespa¸cos vectoriais, gozam de uma mesma propriedade, conforme veremos de seguida Teorema 3.2.8 Seja U um subespa¸co vectorial de um espa¸co vectorial finitamente gerado V. Então U é finitamente gerado e dim (U ) ≤ dim (V ) , dando-se a igualdade se e só se V = U. Nota: Seja U um subespa¸co vectorial de V e dim (V ) = 0 então U = {0V } (porque é gerado pelo conjunto vazio). Exemplo 3.2.8 1. Consideremos novamente o subespa¸co vectorial de R2 , U1 = {(x, x) : x ∈ R} . Como já vimos U1 = h(1, 1)i e pela al´ınea (i) do teorema 3.1.2, o vector (1, 1) é linearmente independente, ent˜ ao o conjunto {(1, 1)} é uma base de U1 . Logo dim (U1 ) = 1 < 2 = dim (R2 ) . 2. Vimos, também no exemplo 3.2.7 que U1 + W1 = {(x + y, x − y) : x, y ∈ R} é um subespa¸co impr´ oprio de R2 , isto é U1 + W1 = R2 . Assim, dim (U1 + W1 ) = 2 = dim R2 . Se U e W são subespa¸cos vectoriais finitamente gerados de um espa¸co vectorial V, existe uma rela¸caõ entre as dimensões de U, W, U ∩ W. Teorema 3.2.9 Sejam V um espa¸co vectorial real e U e W dois subespa¸cos vectoriais de V de dimens˜ ao finita. Ent˜ ao, dim (U + W ) = dim (U ) + dim (W ) − dim (U ∩ W ) . Determinemos a dimensão de um espa¸co vectorial U + W, por aplica¸cão deste resultado. Exemplo 3.2.9 Consideremos novamente os subespa¸cos vectoriais de R3 , U2 = {(x, y, 0) : x, y ∈ R} = (a, b, c) ∈ R2 : c = 0 e W2 = {(x, 0, 0) : x ∈ R} = (a, b, c) ∈ R2 : b = c = 0 .


146

Determinemos a dim(U2 + W2 ). Temos que U2 = {(x, y, 0) : x, y ∈ R} = h(1, 0, 0), (0, 1, 0)i e sendo estes vectores geradores de U2 l.i., podemos concluir que dim(U2 ) = 2. No caso de W2 , W2 = {(x, 0, 0) : x ∈ R} = h(1, 0, 0)i . Logo dim(W2 ) = 1. Determinemos agora a dim(U2 ∩ W2 ). U2 ∩ W2 = (a, b, c) ∈ R2 : b = c = 0 = {(a, 0, 0) : a ∈ R} = h(1, 0, 0)i . Donde se pode concluir imediatamente que dim(U2 ∩ W2 ) = 1 Aplicando o teorema anterior temos ent˜ ao que dim (U2 + W2 ) = dim (U2 ) + dim (W2 ) − dim (U2 ∩ W2 ) = 2 + 1 − 1 = 2. No caso de pretendermos determinar a dim(U2 ∩ W2 ), podemos determinar as dimensões dos subespa¸cos vectoriais U2 , W2 , U2 + W2 e usando o teorema 3.2.9 determinar essa dimensão. Do teorema 3.2.9 resulta o seguinte corolário. Corol´ ario 3.2.2 Sejam V um espa¸co vectorial real e U e W dois subespa¸cos vectoriais de V de dimensão finita. Ent˜ ao, dim (U + W ) = dim (U ) + dim (W ) se e s´ o se U ∩ W = {0V } . A importância deste corolário está associada à defini¸cão de soma directa de dois subespa¸cos vectoriais. Uma vez que U ∩ W = {0V } equivale a dizer que dim(U ∩ W ) = 0, aplicando este corolário concluimos que V é a soma directa dos subespa¸cos U e W, isto é V = U ⊕ W, se e só se dim (V ) = dim (U ) + dim (W ) . Exemplo 3.2.10 No exemplo anterior verificamos que dim(R2 ) 6= dim(U2 ) + dim(W2 ), uma vez que dim(U2 ∩W2 ) 6= 0. Logo podemos concluir que R2 n˜ ao é soma directa de U2 com W2 .

3.3. EXERCÍCIOS

3.3

147

Exerc´ıcios

Espa¸cos Vectoriais: defini¸ c˜ ao e propriedades Exerc´ıcio 3.3.1 Prove que: (a) R3 = {(x1 , x2 , x3 ) : xi ∈ R, ∀i = 1, 2, 3}, munido das opera¸c˜ oes usuais é um espa¸co vectorial real. (b) P2 [x] = {p(x) = a0 +a1 x+a2 x2 : ai ∈ R, ∀i = 0, 1, 2}, munido das opera¸c˜ oes usuais é um espa¸co vectorial real. a b (c) M2 (R) = : a, b, c, d ∈ R , munido da adi¸c˜ ao de matrizes e mulc d tiplica¸cão de um escalar por uma matriz, é um espa¸co vectorial real. Exerc´ıcio 3.3.2 Seja V o conjunto de todas as fun¸c˜ oes de um conjunto real não vazio X. Para quaisquer fun¸c˜ oes f, g ∈ V e qualquer escalar k ∈ R, sejam f + g e kf as fun¸cões em V definidas como se segue: (f + g)(x) = f (x) + g(x) e (kf )(x) = kf (x), ∀x ∈ X Demonstre que V é um espa¸co vectorial real. Exerc´ıcio 3.3.3 * Seja V é o conjunto de pares ordenados de n´ umeros reais: V = {(a, b) : a, b ∈ R}. Mostre que V n˜ ao é espa¸co vectorial real em rela¸c˜ ao a cada uma das seguintes opera¸c˜ oes de adi¸c˜ ao e multiplica¸c˜ ao por um escalar em V : (a) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (ka, b); (b) (a, b) + (c, d) = (a, b) e k(a, b) = (ka, kb); Exerc´ıcio 3.3.4 Seja V um espa¸co vectorial real. Prove que: (a) Para qualquer α ∈ R, α.0V = 0V . (b) Para qualquer vector x ∈ V, 0.x = 0V (c) Se α.x = 0V , onde α ∈ R e x ∈ V, ent˜ ao α = 0 ou x = 0V . (d) Para α ∈ R e x ∈ V, (−α)x = α(−x) = −αx. Combina¸c˜ ao linear de vectores Exerc´ıcio 3.3.5 * Verifique se o vector v = (3, 9, −4, −2) em R4 é ou não uma combina¸cão linear dos vectores u1 = (1, −2, 0, 3), u2 = (2, 3, 0, −1), u3 = (2, −1, 2, 1).

148


3 1 Exerc´ıcio 3.3.6 * Escreva a matriz E = como combina¸c˜ ao linear 1 −1 1 1 0 0 0 2 das matrizes A = ,B = eC= . 1 0 1 1 0 −1 Exerc´ıcio 3.3.7 * Escreva o polin´ omio t2 + 4t − 3 sobre R como combina¸c˜ ao 2 2 linear dos polinómios t − 2t + 5, 2t − 3t, t + 3. Exerc´ıcio 3.3.8 * Para qual valor de k será o vector u = (1, −2, k) em R3 uma combina¸cão linear dos vectores v = (3, 0, −2) e w = (2, −1, −5)? Exerc´ıcio 3.3.9 Mostre que o vector v = (3, 4) ∈ R2 pode ser escrito de infinitas maneiras como combina¸c˜ ao linear dos vectores v1 = (1, 0), v2 = (0, 1) e v3 = (2, −1).

Dependˆ encia e Independˆ encia Linear Exerc´ıcio 3.3.10 * Determine se os seguintes vectores em R3 s˜ ao linearmente dependentes ou linearmente independentes: (a) (1, −2, 1), (2, 1, −1), (7, −4, 1); (b) (1, 2, −3), (1, −3, 2), (2, −1, 5). Exerc´ıcio 3.3.11 * Seja V o espa¸co vectorial das matrizes de ordem 2 sobre R. Verifique se as matrizes A, B, C ∈ V s˜ ao linearmente dependentes, onde: 1 1 1 1 1 0 (a) A = ,B = ,C = ; 1 1 0 1 0 0 1 2 3 −1 1 −5 (b) A = ,B = ,C = . 3 1 2 2 −4 0 Exerc´ıcio 3.3.12 Aver´ıgue quais dos seguintes conjuntos de polin´ omios s˜ ao linearmente independentes: (a) {2x2 + 1, x2 + 3, x} (b) {3x + 1, 2x2 + 1, 2x2 + 6x + 3} Exerc´ıcio 3.3.13 * Determine o valor de k para que o conjunto {(1, 0, −1), (1, 1, 0), (k, 1, −1)} seja linearmente independente.

3.3. EXERCÍCIOS

149

Exerc´ıcio 3.3.14 * (a) Mostre que um conjunto A = {v1 , . . . , vi , . . . , vn } é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um desses vectores é combina¸c˜ ao linear dos outros. (b) De que maneira pode enunciar a al´ınea anterior usando a no¸c˜ ao de independência linear, de modo a obter algo equivalente? Exerc´ıcio 3.3.15 Sejam u, v e w vectores linearmente independentes. Mostre que u + v, u − v e u − 2v − w s˜ ao também linearmente independentes. Exerc´ıcio 3.3.16 Mostre que quaisquer que sejam a, b, c ∈ R os vectores de R3 , x1 = (1, a, b), x2 = (0, 1, c) e x3 = (0, 0, 1) são linearmente independentes. Conjunto de Geradores Exerc´ıcio 3.3.17 Mostre que os vectores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) e w = (0, 0, 1) geram R3 . Exerc´ıcio 3.3.18 Mostre que o espa¸co U gerado pelos vectores u1 = (1, 2, −1, 3), u2 = (2, 4, 1, −2), u3 = (3, 6, 3, −7) e o espa¸co V gerado pelos vectores v1 = (1, 2, −4, 11) e v2 = (2, 4, −5, 14) são iguais. Exerc´ıcio 3.3.19 Seja P2 [x] = {a0 + a1 x + a2 x2 : ai ∈ R, ∀i = 0, 1, 2}, o espa¸co vectorial real dos polinómios de grau n˜ ao superior a 2. Averig´ ue se os seguintes vectores constituem um conjunto de geradores de P2 [x], sendo (a) p(x) = 1 + 2x + x2 e q(x) = 2 + x2 ; (b) p(x) = 1 + x2 , q(x) = 1 − x + x2 e r(x) = x − x2 . Base e dimens˜ ao Exerc´ıcio 3.3.20 * Determine se os seguintes vectores formam uma base do espa¸co vectorial R3 : (a) (1, 1, 1); (1, 2, 3); (2, −1, 1) (b) (1, 2, 3), (1, 0, −1), (3, −1, 0); (2, 1, −2).

150

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS Exerc´ıcio 3.3.21 Seja M2 o espa¸co vectorial das matrizes de ordem 2 sobre R. Verifique se as matrizes A, B, C, D ∈ M2 formam uma base de M2 . 1 1 1 0 1 1 0 −1 (a) A = ,B = ,C = ,D = . 1 1 0 1 0 0 0 0 Exerc´ıcio 3.3.22 Seja V um espa¸co vectorial real. Para cada uma das al´ıneas seguintes indique se é verdadeira ou falsa a respectiva afirma¸cão. (a) Se V = hv1 , v2 , . . . , vn i, ent˜ ao dimV = n. (b) Se {v1 , v2 , . . . , vn } é uma base de V, ent˜ ao o vector nulo n˜ ao pode escrever-se como combina¸cão linear dos vectores v1 , v2 , . . . , vn . (c) Se dimV = n e v1 , v2 , . . . , vn s˜ ao vectores de V linearmente independentes, então {v1 , v2 , . . . , vn } é uma base é uma base de V. ao {v1 , v2 , . . . , vn } é uma base é uma base de V. (d) Se V = hv1 , v2 , . . . , vn i, ent˜ (e) Se {v1 , . . . , vn−1 , vn } é uma base de V , ent˜ ao {v1 , . . . , vn−1 , v1 + vn } também é uma base de V. (f ) Se dimV = n, então quaisquer n − 1 vectores de V s˜ ao linearmente independentes. (g) O conjunto T = {αv1 + βv2 : α, β ∈ R, v1 , v2 ∈ V } é um subespa¸co vectorial de V. Matrizes mudan¸ca de base Exerc´ıcio 3.3.23 * Sejam as bases de R3 : BC = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} B = {(1, 2, 1), (−1, −1, 0), (3, 1, −1)} (a) Determine a matriz de mudan¸ca da base BC para a base B, (MBC B ) e a matriz mudan¸ca da base B para a base BC , (MBBC ). (b) Prove que MBC B = (MBBC )−1 . (c) Determine as coordenadas do vector (5, −2, 3)BC na base B e do vector (1, 0, −2)B na base BC . Exerc´ıcio 3.3.24 Seja {e1 , e2 , e3 } a base can´ onica de R3 . Considere os vectores v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, 0) e v3 = (1, 1, 1). (a) Mostre que v1 , v2 e v3 formam uma base de R3 . (b) Exprima os vectores e1 , e2 e e3 na base {v1 , v2 , v3 }. (c) Determine as componentes do vector u = 3e1 + 4e2 − e3 na base {v1 , v2 , v3 }.

3.3. EXERCÍCIOS

151

Exerc´ıcio 3.3.25 No espa¸co vectorial P2 [x] consideremos BC = {1, x, x2 }, B = {1 + x, 1 + x2 , 1 + x + x2 }. (a) Verifique que BC e B s˜ ao bases de P2 [x]. (b) Escreva as matrizes mudan¸ca de base da base BC para a B e da base B para a BC . (c) Determine as coordenadas do vector [P ]BC = 3 + 3x2 na base B. Exerc´ıcio 3.3.26 Sejam B1 e B2 duas bases do espa¸co vectorial R2 , e sejam u1 , u2 dois vectores desse espa¸co. Na base B1 têm de coordenadas: u1 = (2, 1), u2 = (0, −3). Na base B2 têm de coordenadas: u1 = (0, −1), u2 = (−1, 1). Determine as coordenadas dos vectores que formam a base B2 em fun¸c˜ ao dos vectores da base B1 . Exerc´ıcio 3.3.27 Consideremos o espa¸co vectorial real R3 . Seja   2 1 1 MBB 0 =  −2 2 −1  −2 −1 4 a matriz de mudan¸ca da base B para a base B 0 de R3 . Determine as coordenadas do vector [(7, 10, 6)]B 0 na base B. Subespa¸cos Vectoriais Exerc´ıcio 3.3.28 Prove que S é um subespa¸co de V se, e somente se, (i) 0V ∈ S( ou S 6= Ø) (ii) ∀α, β ∈ R ∀x, y ∈ S α.x + β.y ∈ S Exerc´ıcio 3.3.29 Considere o subconjunto de R2 E = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 . (a) Identifique geometricamente E. (b) Verifique se E é um subespa¸co vectorial de R2 .

152

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS Exerc´ıcio 3.3.30 * Seja V = R3 , espa¸co vectorial real. Mostre que: (a) S1 é subespa¸co de V , onde S1 = {(a, b, 0) : a, b ∈ R}, isto é, W é o plano XOY , constitu´ıdo pelos vectores cuja terceira componente é 0; (b) S2 não é subespa¸co de V, onde S2 = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Q} , isto é, W é o conjunto dos vectores cujas componentes s˜ ao n´ umeros racionais. Exerc´ıcio 3.3.31 Considere o espa¸co vectorial M3 (R), das matrizes reais quadradas de ordem 3. Determine quais dos seguintes subconjuntos s˜ ao seus subespa¸cos vectoriais: (a) o conjunto de todas as matrizes simétricas; (b) o conjunto de todas as matrizes diagonais. Exerc´ıcio 3.3.32 Seja P2 [x] = {a0 + a1 x + a2 x2 : ai ∈ R, ∀i = 0, 1, 2} , o espa¸co vectorial real dos polinómios de grau n˜ ao superior a 2. Determine quais dos seguintes subconjuntos s˜ ao subespa¸cos vectoriais de P2 [x] : (a) o conjunto dos polinómios de grau exactamente igual a 2; (b) o conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a 1. Exerc´ıcio 3.3.33 Seja V o espa¸co vectorial de todas as matrizes reais quadradas de ordem n. Mostre que W é subespa¸co de V, sendo W o conjunto das matrizes que comutam com uma dada matriz T , isto é, W = {A ∈ V : AT = T A} . Exerc´ıcio 3.3.34 Seja V o espa¸co vectorial de todas as matrizes reais de ordem 2. Mostre que W n˜ ao é subespa¸co de V , sendo W o conjunto de todas as matrizes com determinante nulo. Exerc´ıcio 3.3.35 * (Exame escrito - 1o momento / 10-Fev-2000) Defina por meio de condi¸cões o subespa¸co vectorial F = h(1, 2, 1, 1); (1, 0, 1, 1); (1, −1, 0, 1)i. Exerc´ıcio 3.3.36 Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespa¸cos vectoriais de R3 . (a) U1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y}; (b) U2 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + 3y = 0 ∧ z = 0}. Exerc´ıcio 3.3.37 Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespa¸cos vectoriais de M2 (R). a b (a) M1 = ∈ M2 (R) : a = 0 ; c d

3.3. EXERCÍCIOS (b) M2 =

153 a b c d

∈ M2 (R) : b = c .

Exerc´ıcio 3.3.38 Considere o vector x = (1, 0, −1) e U o subespa¸co definido por: U = h(1, 1, 1), (1, 2, 3), (0, −1, −2), (1, −2, 5)i. (a) Escreva o vector x como combina¸c˜ ao linear dos vectores geradores de U. (b) Determine uma base de U. (c) Escreva o vector x como combina¸c˜ ao linear dos vectores da base determinada na al´ınea anterior. (d) Determine α de modo a que o vector y = (0, 2, α) seja combina¸c˜ ao linear dos vectores da base de U determinada na al´ınea b). Exerc´ıcio 3.3.39 Considere o espa¸co vectorial real P3 [x]. (a) Indique uma base do subespa¸co S de P3 [x] tal que S = hx3 + x, x3 − x, x2 + x, x2 − xi. (b) Escreva o vector 2x3 + x2 − x como combina¸c˜ ao linear dos vectores da base determinada na al´ınea anterior. Exerc´ıcio 3.3.40 Seja S = {(−2y − z, y, z) ∈ R3 : y, z ∈ R} um subconjunto de R3 . (a) Verifique que S é um subespa¸co vectorial de R3 . (b) Determine uma base de S. (c) Determine α ∈ R de modo que S = h(1, 0, −1), (−1, 1, α)i. Exerc´ıcio 3.3.41 Seja W o espa¸co gerado pelos polin´ omios: v1 = −2t2 + 4t + 1

v3 = 6t − 5

v2 = −3t2 + 9t − 1

v4 = −5t2 + 7t + 5

Encontre uma base e a dimens˜ ao de W. Exerc´ıcio 3.3.42 Encontre a dimens˜ ao e uma base do espa¸co das solu¸c˜ oes W do sistema:   x1 + 2x2 + 2x3 − x4 + 3x5 = 0 x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 0  3x1 + 6x2 + 8x3 + x4 + 5x5 = 0


154

Exerc´ıcio 3.3.43 Seja V o espa¸co vectorial das matrizes reais simétricas 2 × 2. Mostre que dimV = 3. Exerc´ıcio 3.3.44 Mostre que: (a) A interseçcão de dois subespa¸cos de um espa¸co vectorial V é um subespa¸co de V. (b) A soma de dois subespa¸cos vectoriais U e W de um espa¸co vectorial V é um subespa¸co vectorial de V. Exerc´ıcio 3.3.45 Seja V o espa¸co vectorial das matrizes reais quadradas de ordem 2, a b V = : a, b, c, d ∈ R . c d Sejam S1 e S2 subspa¸cos vectoriais de V : a b S1 = : a, b ∈ R 0 0 S2 =

a 0 c 0

: a, c ∈ R .

(a) Determine e prove que são subespa¸cos vectoriais de V : (i) S1 ∩ S2 ; (ii) S1 + S2 . (b) Verifique se a soma de S1 com S2 é directa. Exerc´ıcio 3.3.46 Considere no espa¸co vectorial real R3 os subespa¸cos F = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x + y = x − z = 0}, G = {(x, y, z) ∈ R3 : kx + 2y − z = 0}. Determine os valores reais do parˆ ametro k que fazem com que F ∪ G seja um subespa¸co vectorial do espa¸co considerado. Exerc´ıcio 3.3.47 Considere no espa¸co vectorial real R3 os subespa¸cos F = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}, G = {(x, x, x) : x ∈ R} e os conjuntos A = F ∪ G, B = F ∩ G, C = F + G. (a) Determine A, B e C. (b) Diga quais dos conjuntos A, B e C s˜ ao subespa¸cos vectoriais de R3 .

3.3. EXERCÍCIOS

155

Exerc´ıcio 3.3.48 * Sejam U e W os seguintes subespa¸cos de R4 : U = {(a, b, c, d) ∈ R4 : b + c + d = 0} W = {(a, b, c, d) ∈ R4 : a + b = 0 ∧ c = 2d}. Encontre a dimensão e uma base de: (a) U ; (b) W ; (c) U ∩ W. Exerc´ıcio 3.3.49 * Seja V o espa¸co vectorial dos polin´ omios sobre R. Sejam U e W os subespa¸cos gerados por {t3 + 4t2 − t + 3, t3 + 5t2 + 5, 3t3 + 10t2 − 5t + 5} e {t3 + 4t2 + 6, t3 + 2t2 − t + 5, 2t3 + 2t2 − 3t + 9} respectivamente. Encontre: (a) dim(U + W ) (b) dim(U ∩ W ) Exerc´ıcio 3.3.50 (Exame escrito - 2o momento / 17-Fev-2000) Sendo F1 e F2 subespa¸cos de R3 tais que F1 = {(x, x, x) : x ∈ R}; F2 = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}, verifique se R3 = F1 ⊕ F2 . Exerc´ıcio 3.3.51 Considere no espa¸co vectorial real R4 os subespa¸cos vectoriais S = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+y+z+w = 0}; T = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x = y = z = 0}. (a) Verifique que R4 = S ⊕ T . (b) Indique dois outros subespa¸cos U e V dos espa¸cos vectoriais em causa, distintos de S e T e tais que R4 = U ⊕ V . Exerc´ıcio 3.3.52 * Suponhamos que U e W s˜ ao subespa¸cos de V e que dimU = 4, dimW = 5 e dimV = 7. (a) Encontre as poss´ıveis dimens˜ oes de U ∩ W . (b) Verifique se V = U ⊕ W.


156

Exerc´ıcio 3.3.53 Considere o espa¸co vectorial real R3 e os subespa¸cos vectoriais F = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x+3y +z = 0}, G = {(x, y, z) ∈ R3 : x−y = x+y +z = 0} (a) Determine uma base para F. (b) Verifique se F = h(0, −1, 3), (1, −1, 1), (1, 1, −5)i. (c) Averig´ ue se a soma de F com G é ou n˜ ao directa. (d) Determine um subespa¸co vectorial H de R3 , de dimens˜ ao 1, tal que F ∪ H 3 não seja um subespa¸co vectorial de R .

Exerc´ıcios de Exame - 2003/2004. Exerc´ıcio 3.3.54 (Frequência / 13-Jan-2004) Considere o conjunto: A = (x, y, z) ∈ R3 : x = y ∧ z = −y (a) Mostre que A é um subespa¸co vectorial de R3 . (b) Complete o conjunto {(1, 1, 2)} de modo que seja uma base de um espa¸co vectorial B tal que A ⊕ B = R3 . (c) Encontre a matriz mudan¸ca de base, M , tal que: [(x, y, z)]B1 = M. [(x, y, z)]Bc onde Bc é a base canónica de R3 e B1 = {(1, −2, 5), (0, 0, 1), (−1, 0, 1)}. Exerc´ıcio subespa¸cos a U= c

3.3.55 (Exame Normal / 03-Fev-2004) Sejam U e W os seguintes vectoriais de M2 : b a b ∈ M2 : b − 2c + d = 0 e W = ∈ M2 : a = d, b = 2c . d c d

(a) Ache uma base e a dimens˜ ao de U e U ∩ W . (b) Verifique se U ∪ W é subespa¸co vectorial. (c) Indique, justificando, se M2 é soma directa de U e W . 2 2 0 1 2 0 0 1 (d) Considere a base B = , , , de M2 . 0 0 1 0 0 2 0 1 Determine a matriz mudan¸ca de base de Bc para B (Bc representa a base canónica de M2 ).

3.3. EXERCÍCIOS

157

Exerc´ıcio 3.3.56 * (Exame Normal - Gest˜ ao / 03-Fev-2004) Considere o espa¸ co vectorial real M2 e os seussubespa¸cos vectoriais: a b a b W = ∈ M2 : a = d ∧ a + b + c = 0 e F = : a, b ∈ R . c d 0 a (a) Verifique que F é um subespa¸co vectorial de M2 . −2 1 2 −2 0 1 (b) Verifique que os vectores , e geram W . 0 2 −1 0 1 −2 (c) Determine uma base e a dimens˜ ao de W . (d) Determine uma base do subespa¸co W ∩ F e calcule a sua dimens˜ ao. Exerc´ıcio 3.3.57 (Exame Recurso / 17-Fev-2004) Considere os subconjuntos S e R de R3 : S = (x, my, x + b) ∈ R3 : x, y, m, b ∈ R e R = {(x, y, z) ∈ R : x − y = 0} (a) Diga, justificando, para que valores de m e b o subconjunto S é um subespa¸co vectorial de R3 . (b) Fa¸ca m = 2, b = 0. i. Determine uma base e a dimens˜ ao de S. ii. Complete a base encontrada na al´ınea anterior, de modo a obter uma base de R3 e determine as coordenadas do vector v = (2, 5, 2) nesta nova base, utilizando uma matriz mudan¸ca de base adequada. (c) Determine uma base e a dimens˜ ao do subespa¸co vectorial S ∩ R. Exerc´ıcio 3.3.58 * (Exame Recurso - Gest˜ ao / 17-Fev-2004) Considere os subespa¸cos vectoriais de R3 : F = (x, y, z) ∈ R3 : 2x + 3y + z = 0 G = (x, y, z) ∈ R3 : x − y = x + y + z = 0 H = h(0, 0, 1)i (a) Determine uma base do subespa¸co F + G. (b) A partir do resultado da al´ınea anterior, determine a dimens˜ ao de F ∩ G. (c) Averig´ ue se F ∪ H é subespa¸co vectorial de R3 . Exerc´ıcio 3.3.59 * (Exame Trabalhador-Estudante - Gest˜ ao / 06-Mar-2004) Considere os subespa¸cos vectoriais de R3 : U = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0 ∧ y = −x V = h(1, 0, 1); (1, 1, 2); (0, 1, 1)i


158

(a) Prove que U é subespa¸co vectorial de R3 . (b) Verifique se o vector (3, 1, 4) ∈ V . (c) Calcule a dimensão de V . (d) Uma base de V pode ser base de U ? Justifique. (e) Determine uma base do subespa¸co U . (f ) Determine o conjunto de geradores do subespa¸co U + V . (g) Verifique se U ⊕ V = R3 Exerc´ıcio 3.3.60 (Exame Especial - Gest˜ ao / 06-Set-2004) Considere os subespa¸cos vectoriais de R4 : F = (x, y, z, w) ∈ R4 : x = w ∧ x + y + z = 0 G = h(1, 0, 0, 1); (0, 1, 0, 0)i (a) Verifique se o vector (1, 2, −3, 1) pertence aos subespa¸cos vectoriais F e/ou G. (b) Determine uma base de F . (c) Determine a dimensão do subespa¸co F ∩ G. (d) Sabendo que os vectores geradores de G, (1, 0, 0, 1) e (0, 1, 0, 0) s˜ ao linearmente independentes, e sem calcular uma base para o subespa¸co F + G, determine a dimensão de F + G. (e) Determine um conjunto de geradores do subespa¸co F + G. Ser˜ ao estes vectores linearmente independentes? Justifique, sem efectuar quaisquer cálculos.

3.4

Solu¸co ˜es


Espa¸cos Vectoriais: defini¸c˜ ao e propriedades 3.3.3 Para mostrar que V não é espa¸co vectorial sobre R em rela¸cão a cada uma das seguintes opera¸cões de adi¸cão em V e multiplica¸cão por um escalar em V, basta mostrar que um dos axiomas de espa¸co vectorial não se verifica: (a) Com k1 = 1, k2 = 2 e v = (3, 4), verifica-se que (k1 + k2 )v 6= k1 v + k2 v;


159

(b) Com v = (1, 2) e w = (3, 4), verifica-se que v + w 6= w + v;

Combina¸c˜ ao linear de vectores 3.3.5 O vector v = (3, 9, −4, −2) é uma combina¸cão linear dos vectores u1 , u2 e u3 . 3.3.6 E = 3A − 2B − C. 3.3.7 t2 + 4t − 3 = −3(t2 − 2t + 5) + 2(2t2 − 3t) + 4(t + 3). 3.3.8 Para que o vector u em R3 seja uma combina¸cão linear de v e w basta que k = −8. Dependˆ encia e Independˆ encia Linear 3.3.10 (a) Os vectores dados são linearmente dependentes. (b) Os vectores dados não são linearmente dependentes, isto é, são linearmente independentes. 3.3.11 (a) As matrizes A, B e C são linearmente independentes. (b) As matrizes A, B e C são linearmente dependentes. 3.3.13 Para que o conjunto {(1, 0, −1), (1, 1, 0), (k, 1, −1)} seja linearmente independente, temos que ter k 6= 2. 3.3.14 (b) Um conjunto A = {v1 , . . . , vi , . . . , vn } é linearmente independente se, e somente se, nenhum desses vectores for combina¸cão linear dos outros. Base e dimens˜ ao 3.3.20 (a) Os três vectores são linearmente independentes, logo formam uma base de R3 . (b) Os quatro vectores não formam uma base de R3 , porque uma base de R3 deve conter exactamente 3 vectores, pois R3 é de dimensão 3; ou porque os quatro vectores são linearmente dependentes.


160

Matrizes mudan¸ ca de base 3.3.23 

(a) MBC B

   1 −1 2 1 −1 3 =  3 −4 5  ; MBBC =  2 −1 1  . 1 −1 1 1 0 −1

(c) (5, −2, 3) = 13(1, 2, 1) + 38(−1, −1, 0) + 10(3, 1, −1) (1, 0, −2)B = −5(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1).

Subespa¸cos Vectoriais 3.3.30 (b) Com v = (1, 2, 3) ∈ W e k =

√

√ √ √ 2 ∈ R, verifica-se kv = ( 2, 2 2, 3 2).

3.3.35 F = {(x, y, z, w) ∈ R4 : w = x}. 3.3.48 (a) O conjunto {(1, 0, 0, 0), (0, −1, 1, 0), (0, −1, 0, 1)} é uma base de U e dimU = 3. (b) O conjunto {(−1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 1)} é uma base de W e dim W = 2. (c) O conjunto {(3, −3, 2, 1)} é uma base de U ∩ W e dim(U ∩ W ) = 1. 3.3.49 (a) dim(U + W ) = 3. (b) dim(U ∩ W ) = 1. 3.3.52 (a) A dim(U ∩ W ) é igual a 2, 3 ou 4. (b) A soma de U com V não é directa, porque dimV 6= dim(U + W ).

Exerc´ıcios de Exame - 2003/2004 3.3.56 1 −1 0 −1 (c) , é uma base de W , portanto dim W = 2. 0 1 1 0

˜ 3.4. SOLUC ¸ OES (d)

1 −1 0 1

161 é uma base de W ∩ F , portanto dim W ∩ F = 1.

3.3.58 (a) {(1, 0, −2), (0, 1, −3), (1, 1, −2)} é uma base de F + G. (b) dim F ∩ G = 0 (c) F ∪ G não é um subespa¸co vectorial de R3 . 3.3.59 (b) Sim. (c) dim V = 2. (d) dim U = 1 e dim V = 2, logo uma base de V nunca poderá ser uma base de U , uma vez que os espa¸cos não possuem a mesma dimensão. (e) {(1, −1, 0)}. (f ) U + V = h(1, −1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)i. (g) U ∩ V 6= {(0, 0, 0)}, logo U ⊕ V 6= R3 .


162

3.5

Fichas Pr´ aticas

Estas fichas deverão ser resolvidas com o apoio do software OCTAVE. Vamos utilizar este software para nos apoiar na resolu¸cão de problemas que envolvam os conceitos de combina¸c˜ oes lineares,independˆ encia linear, dependˆ encia linear, base e dimens˜ ao.

3.5.1

Combina¸ c˜ oes lineares

Dado um espa¸co vectorial V sobre R, e um conjunto de vectores S={ X1 ,X2 . . .,Xn } em V, vamos determinar se X, pertencente a V, pode ser escrito como uma combina¸cão linear dos elementos de S. Isto é, se é poss´ıvel encontrar um conjunto de escalares c1 , c2 , . . . , cn tal que c1 X1 + c2 X2 + . . . + cn Xn = X.

Exemplo 3.5.1 Sejam X1 = (1, 2, 1, −1), X2 = (1, 0, 2, −3) e X3 = (1, 1, 0, −2) vectores de R4 . Verifiquemos se o vector X = (2, 1, 5, −5) é uma combina¸c˜ ao linear de X1 , X2 e X3 . Constru´ımos a equa¸cão 3 X

ci Xi = c1 X1 + c2 X2 + c3 X3 = X

i=1

de onde obtemos o correspondente sistema de equa¸c˜ oes lineares que permitem encontrar, caso existam, as constantes ci . Para tal, procedemos da seguinte forma: c1 (1, 2, 1, −1) + c2 (1, 0, 2, −3) + c3 (1, 1, 0, −2) = (2, 1, 5, −5). Executando as m´ ultiplica¸cões escalares e adicionando as coordenadas correspondentes temos, (c1 + c2 + c3 , 2c1 + c3 , c1 + 2c2 , −c1 − 3c2 − 2c3 ) = (2, 1, 5, −5). Para que estes dois vectores sejam  c1 +    2c1 c1 +    −c1 −

iguais, temos que resolver o seguinte sistema: c2

+ +

c3 c3

2c2 3c2 − 2c3

= 2 = 1 . = 5 = −5

A forma matricial para este sistema linear é AC=B, onde


163



 1 1 1  2 0 1  , A=  1 2 0  −1 −3 −2



 2  1   B=  5 . −5 



c1  C = c2  c3

e

Nota: As colunas de A s˜ ao os vectores X1 , X2 e X3 .

Introduza A e B no OCTAVE e resolva o sistema executando, tal como j´ a vimos, o comando rref([A B]) obtemos ans = 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 2 −1 0

Lembre-se que o que é exibido é a forma escalonada reduzida de uma matriz ampliada. Segue-se que o sistema é poss´ıvel com solu¸c˜ ao c1 = 1, c2 = 2, c3 = −1. Logo, X é uma combina¸cão linear de X1 , X2 e X3 , com X1 + 2X2 − X3 = X.

Se o sistema for poss´ıvel, isto é, sem linhas da forma 0 0 · · · 0 | q , q 6= 0, então o vector X pode ser escrito como uma combina¸cão linear dos vectores de S. Nesse caso, a solu¸cão do sistema dá-nos os valores dos coeficientes ci , i = 1, . . . , n. Aten¸c˜ ao: Se apenas quisermos saber se X é uma combina¸cão linear dos vectores de S, só temos que verificar se o sistema é poss´ıvel. Note-se que no caso do sistema ser poss´ıvel e indeterminado existem vários valores possiveis a atribuir às constantes ci , i = 1, . . . , n. Recorde que pode verificar se o sistema é poss´ıvel e determinado através do determinante da matriz dos coeficientes do sistema. O comando do OCTAVE para calcular o determinante é det.


164

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 3.5.1 Sejam u1 = (4, 2, 1), u2 = (−2, 3, 1) e u3 = (2, −11, −4). Verifique se cada um dos seguintes vectores u é uma combina¸c˜ ao linear de u1 , u2 e u3 . Em caso afirmativo, represente a combina¸c˜ ao linear escrevendo os respectivos coeficientes. (a) u = (6, 5, 5)

Escolha:

(b) u = (10, −15, −5)

Sim

Escolha:

N˜ ao Sim

u= N˜ ao

u1 u=

u2 u1

u3 u2

u3

NOTA: Como vimos no exemplo anterior, para verificar se o vector u é combina¸cão linear de u 1 , u 2 e u 3 , temos que resolver o sistema AX = B sendo as colunas da matriz A os vectores u 1 , u 2 , u 3 , e a matriz B é o vector coluna u. Exerc´ıcio 3.5.2 Sejam u1 = (1, −1, 2, 4), u2 = (0, 2, 1, 1) e u3 = (3, 1, 0, 2). Verifique se cada um dos seguintes vectores u é uma combina¸c˜ ao linear de u1 , ao linear escrevendo os u2 e u3 . Em caso afirmativo, represente a combina¸c˜ respectivos coeficientes. (a) u = (11, −1, 3, 13) (b) u = (1, 0, 1, 1)

Escolha: Escolha:

Sim

Sim

N˜ ao

N˜ ao

u= u=

u1 u1

u2 u2

u3 u3

Exerc´ıcio 3.5.3 Sejam p1 (x) = −1 + x + 2x3 , p2 (x) = 2x + x2 e p3 (x) = 2 + 3x−x2 +x3 . Verifique se cada um dos seguintes vectores p (x) é uma combina¸c˜ ao linear de p1 (x) , p2 (x) e p3 (x) . Em caso afirmativo, represente a combina¸c˜ ao linear e escreva os valores obtidos para os coeficientes. (a) p (x) = −1 + x + 4x2 p (x) = (b) p (x) = x2

Escolha: p (x) =

Escolha: p1 (x) Sim p1 (x)

Sim

N˜ ao

p2 (x)

p3 (x)

p2 (x)

p3 (x)

N˜ ao

NOTA: Tal como no caso dos vectores de Rn , para verificar se o polinómio p (x) é combina¸cão linear de p 1 (x) , p 2 (x) e p 3 (x) , temos que resolver o sistema AX = B fazendo corresponder a cada coluna das matrizes A e B um polinómio escrito por coluna. Um polinómio é escrito por coluna, à custa dos coeficientes dos termos dos polinómios. No caso dos polinómios não serem completos (isto é não apresentarem os coeficientes de todos os graus não nulos), os termos que faltarem em cada polinómio serão associados a um coeficiente zero. Um modo de proceder, é utilizar o coeficiente de maior grau como a u ´ltima entrada da matriz


165

coluna, o coeficiente de grau abaixo na pen´ ultima entrada da matriz coluna, e assim sucessivamente. Por exemplo,       1 2 −2 1 + 2x + x2 −→  2  , 2 + x2 −→  0  , −2 + 3x −→  3  . 1 1 0

2 1 1 0 0 1 Exerc´ıcio 3.5.4 Sejam U1 = , U2 = e U3 = . 1 2 1 1 2 2 Verifique se cada um dos seguintes vectores U é uma combina¸c˜ ao linear de U1 , U2 e U3 .Em caso afirmativo, represente a combina¸c˜ ao linear e escreva os valores obtidos para os coeficientes. 1 0 (a) U = Escolha: Sim N˜ ao U= U1 U2 U3 0 1 3 −1 (b) U = Escolha: Sim N˜ ao U= U1 U2 U3 −2 −1 NOTA: No caso das matrizes o procedimento para a constru¸cão do sistema a resolver é semelhante. Cada vector matriz passa a ser uma coluna da matriz dos coeficientes ou termos independentes, de acordo com o procedimento seguinte.   −1  0     1  −1 0 1   −→   4 1 0 4    1  0 . 

3  2 Exerc´ıcio 3.5.5 Seja A = −4 na¸cões lineares como um produto de ada.

−1 1 2 um

 0 2 2 0  . Expresse as seguintes combi3 1 vector pela matriz A na ordem apropri-

(a) −2∗ col1 A+3∗ col2 A−col3 A+4∗ col4 A (b) 3∗ col1 A−col2 A+5∗ col3 A


166

3.5.2

Independˆ encia/Dependˆ encia linear

A independência ou dependência de um conjunto de vectores S = {X 1 , X 2 , . . . , X n } é um conceito que está relacionado com o de combina¸cão linear. Um conjunto S é linearmente independente se, e só se, a combina¸cão linear c1 X 1 + c2 X 2 + . . . + cn X n dá o vector nulo, somente quando c1 = c2 = . . . = cn = 0. Se conseguirmos obter o vector nulo com algum dos coeficientes ci 6= 0, então S é linearmente dependente. Da expressão c1 X 1 + c2 X 2 + . . . + cn X n = O constru´ımos um sistema linear homogéneo AC=O da mesma forma como fizemos para os problemas de combina¸cões lineares. Então, temos o seguinte resultado:

S é linearmente independente se, e só se, AC=O tem somente a solu¸cão trivial. Caso contrário, os vectores de S são linearmente dependentes. Uma vez que temos o sistema homogéneo AC=O, podemos utilizar o comando rref do OCTAVE, para analisar se é ou não um sistema que tem solu¸cão não-trivial. Alternativamente, quando a matriz dos coeficientes é quadrada, podemos também calcular o seu determinante, aplicando o comando det do OCTAVE.

Exemplo 3.5.2 Sejam X1 = (1, 2, 1, −1), X2 = (1, 0, 2, −3) e X3 = (1, 1, 0, −2). Verifiquemos se os vectores de S = {X1 , X2 , X3 } s˜ ao linearmente independentes ou linearmente dependentes. Constru´ımos a equa¸cão 3 X

ci Xi = c1 X1 + c2 X2 + c3 X3 = O

i=1

e encontramos o correspondente sistema linear com vari´ aveis ci . Procedemos da seguinte forma: c1 (1, 2, 1, −1) + c2 (1, 0, 2, −3) + c3 (1, 1, 0, −2) = (0, 0, 0, 0). Aplicando a multiplica¸cão por um escalar e somando entradas correspondentes, temos (c1 + c2 + c3 , 2c1 + c3 , c1 + 2c2 , −c1 − 3c2 − 2c3 ) = (0, 0, 0, 0).


167

Para os dois vectores sejam iguais, igualamos obtemos o sistema de equa¸c˜ oes lineares  c1 + c2 + c3    2c1 + c3 c1 + 2c2    −c1 − 3c2 − 2c3

as entradas correspondentes e = = = =

0 0 . 0 0

A forma matricial deste sistema linear é AC=O, onde       1 1 1 c 0 1  2 0 1   C =  c2  e O =  0  . A=  1 2 0  c3 0 −1 −3 −2 Introduzimos A no OCTAVE e utilizamos o comando rref(A) e obtemos ans = 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

Relembremos que este resultado representa a forma escalonada reduzida por linhas da matriz dos coeficientes do sistema homogéneo. Segue-se que c1 = c2 = c3 = 0. Portanto, o conjunto S é linearmente independente.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 3.5.6 Verifique se os seguintes conjuntos s˜ ao linearmente independentes ou linearmente dependentes. Registe os seus resultados no espa¸co fornecido. (a) S = {u1 = (4, 2, 1), u2 = (−2, 3, 1), u3 = (2, −11, −4)}

(b) S = {u1 = (3, 1, 2), u2 = (−1, 1, 3), u3 = (7, 1, 1)}


168

(c) S = {u1 = (1, 2, 1, −2), u2 = (2, 1, −3, −1), u3 = (1, 2, 6, −5)}

(d) S = {u1 = (1, −1, 2, 4), u2 = (0, 2, 1, 1), u3 = (3, 1, 0, 2)}

(e) S = {p1 (x) = 1 + 2x + x2 , p2 (x) = 2 + x, p3 (x) = −1 + 4x + 3x2 }

(f ) S =

u1 =

2 1 1 2

, u2 =

1 0 1 1

, u3 =

0 −1 −1 0


3.5.3

169

Base e dimens˜ ao

Um conjunto S = {X 1 , X 2 , . . . , X n } é uma base de uma espa¸co vectorial V se, e somente se, hS i = V e S é linearmente independente. Contudo, existem situa¸cões particulares em que basta provar um dos casos. A dimensão de um espa¸co vectorial V é o n´ umero de vectores que constituem uma base de V, que é o mais pequeno n´ umero de vectores que gera o espa¸co V. • Sejam dim(V ) = n e S = {X 1 , X 2 , . . . , X n } um subconjunto de V. (i) Se S é linearmente independente e S é um conjunto de n vectores, então S é uma base de V. (ii) Se hS i = V e S é um conjunto de n vectores, então S é uma base para V. • Se dim(V ) = n, então qualquer conjunto com menos de n vectores não pode ser uma base para V. • Se dim(V ) = n, então qualquer conjunto com mais de n vectores não pode ser uma base de V. Em conclus˜ ao: Dado um espa¸co vectorial V de dimensão n, um conjunto com mais ou menos do que n vectores não constitui uma base do espa¸co vectorial V. Se tivermos um conjunto com exactamente n vectores estes formam uma base de V se os n vectores forem linearmente independentes. Note-se que a análise da independência já foi analisada anteriormente.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 3.5.7 Considere o espa¸co vectorial R3 . Verifique se os seguintes conjuntos são uma base para R3 . Se for poss´ıvel decidir sem recorrer a qualquer tipo de cálculos, explique porquê. (a) S = {(1, 2, 1); (2, 1, 1); (0, 3, 1)} (b) S = {(1, 1, 0); (1, 0, 1); (0, 1, 1)} (c) S = {(3, 1, 3); (3, 1, 2)} (d) S = {(3, 1, 3); (3, 1, 2); (3, 1, 1); (3, 1, 0)}

Exerc´ıcio 3.5.8 Seja P = {p1 (x), p2 (x), p3 (x), p4 (x)} , onde p1 (x) = 2 + x, p2 (x) = −x + x2 , p3 (x) = x3 e p4 (x) = 1 − x2 + x3 . O conjunto P é uma base do espa¸co vectorial dos polinómios de grau inferior ou igual a 3?. Justifique a sua resposta.


170

3.5.4

Coordenadas de um vector em rela¸ c˜ ao a uma base

O sistema de coordenadas usual para R2 , envolve os vectores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). Qualquer vector v = (a, b) ∈ R2 é dado por v = (a, b) = ae1 + be2 . Dizemos que as coordenadas do vector v são as suas componentes. Neste caso estamos a usar a base canónica de R2 . Queremos algo mais geral, que nos permita utilizar outras bases em vez da base canónica. Para utilizar outras bases definimos as coordenadas de um vector relativo a uma base S como sendo os escalares utilizados para escrever o vector como uma combina¸ c˜ ao linear dos vectores da base. Na verdade, consideremos uma base ordenada, isto é, se alterarmos a ordem dos vectores da base, obtemos uma nova base. Então, obtemos um conjunto u ´ nico de coordenadas relativas a uma base ordenada. Esta correspondência entre vectores e coordenadas permite-nos modelar um espa¸co vectorial abstracto utilizando Rn . Encontrar coordenadas relativas a uma base S é um problema de combina¸cão linear. Exemplo 3.5.3 Seja S = {v1 , v2 } = {(1, 1); (−1, 2)} uma base de R2 . Prove! Encontremos as coordenadas do vector v = (−1, 8) relativas ` a base S. Ou seja, procuremos escalares k1 e k2 tal que seja poss`ıvel escrever v como combina¸c˜ ao linear v1 e v2 . Assim, k1 v1 + k2 v2 = k1 (1, 1) + k2 (−1, 2) = (−1, 8). Isto leva-nos a resolver o sistema linear cuja matriz ampliada é 1 −1 −1 . 1 2 8

1 −1 1 2

No OCTAVE se introduzirmos a matriz dos coeficientes A = e a −1 matriz dos termos independentes B = . A solu¸c˜ ao do sistema pode ter 8 determinada usando o comando do OCTAVE X=A\B que nos dá X = 2 3 Ent˜ ao, k1 = 2 e k2 = 3. Escrevemos [v]S = (2, 3) e designamo-lo por vector coordenada de v relativo ` a base S.


171

A no¸cão de coordenadas de um vector relativamente a uma base S pode ser generalizada para qualquer espa¸co vectorial V. (A partir de agora, dizemos base para designar base ordenada.) O c´ alculo das coordenadas ´ e sempre um problema de combina¸c˜ ao linear. O sistema linear resultante pode ter de ser obtido de modo diferente consoante os vectores de V, mas uma vez obtido, procedemos como no exemplo anterior.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 3.5.9 Em R3 , prove que S = {v1 , v2 , v3 } = {(1, 1, 2); (2, 1, 1); (1, 2, 1)} é uma base. Encontre os vectores coordenada relativamente ` a base S, para cada um dos seguintes vectores: v = (1, 1, 1) e w = (1, 0, 1).

Exerc´ıcio 3.5.10 Em R4 , prove que S = {(1, 1, 0, 1); (1, 2, 1, 0); (0, 1, 2, 1); (−1, 0, 0, 1)} é uma base. Encontre os vectores coordenada relativamente ` a base S, para cada um dos seguintes vectores: v = (1, 0, 0, 1), w = (2, 1, 1, 2) e z = (1, 2, 3, 4).

Exerc´ıcio 3.5.11 Em P2 [x] , o espa¸co vectorial dos polin´ omios de grau igual 2 ou inferior a 2, prove que S = {1 − x, 1 + x, 1 + x + x } é uma base. Encontre [2 + x − 3x2 ]S e [x]S .

Exerc´ıcio 3.5.12 No espa¸co vectorial das matrizes de ordem 2,prove que S=

1 2 1 −2

0 1 0 2 1 0 , , , 1 0 3 1 −1 2

é uma base. 8 −11 Para v = , encontre [v]S . −26 13


172

3.5.5

Matrizes Mudan¸ ca de Base

O problema que agora queremos tratar é a rela¸cão entre [v]S e [v]T , onde S e T são duas bases do mesmo espa¸co vectorial V. Se tivermos coordenadas relativas à base T queremos ser capazes de facilmente as converter em coordenadas relativas à base S. Isto pode ser facilmente conseguido se usarmos a matriz mudan¸ ca de base, da base T para a base S

A matriz mudan¸ca de base MT S , da base T para a base S tem colunas que são as coordenadas dos vectores da base T relativas à base S. Sejam T = {w1 , w2 , . . . , wn } e S = {v1 , v2 , . . . , vn } bases do mesmo espa¸co vectorial V. A matriz mudan¸ca de base MT S , da base T para a base S é dada por M=

[w1 ]S [w2 ]S · · · [wn ]S

.

Exemplo 3.5.4 Sejam T = {w1 , w2 , w3 } = {(1, 2, 1); (1, 2, 0); (1, 0, 2)} e S = {v1 , v2 , v3 } = {(1, 1, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 1)} bases de R3 . Determinemos a matriz mudan¸ca da base MT S . Come¸camos por encontrar as coordenadas de wi relativamente ` a base S. Ou seja, tal como vimos anteriormente temos que determinar os escalares que permitem escrever cada vector wi como combina¸c˜ ao linear dos vectores de S. Deste modo obtemos, [w1 ]S = (0, −1, 2)S [w2 ]S = (1, −1, 1)S [w3 ]S = (−1, 1, 1)S A matriz cujas colunas são as coordenadas determinadas a cima, é a matriz mudan¸ca de base, da base T para a base S. Ou seja, 

MT S

 0 1 −1 =  −1 −1 1  . 2 1 1

Usando a matriz mudan¸ca de base MT S , podemos converter as coordenadas de qualquer vector na base T para a base S.


173

Consideremos o vector [w]T = (6, 10, 4)T . As coordenadas de w relativamente à base S são   2 [w]S = MT S [w]T =  −4  . 8 Quando trabalhamos com a matriz mudan¸ca de base é u ´til ter uma técnica para obter MT S directamente. Em vez de encontrarmos as coordenadas dos vectores individuais w 1 , w 2 e w 3 relativas à base S, escrevemos as matrizes 

A=

v1 v2

 1 1 1 v3 =  1 0 1  0 1 1



B=

w1 w2

 1 1 1 w3 =  2 2 0  1 0 2

Note-se que sendo BC a base canónica do espa¸co vectorial V a matriz A é a matriz mudan¸ca de base, da base S para a base BC e a matriz B é a matriz mudan¸ca de base, da base T para a base BC . A partir destas matrizes, a matriz mudan¸ca de base da base T para a base S, MT S , pode ser obtida usando o comando do OCTAVE \. Assim, MT S = A\B.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 3.5.13 Em R3 sejam S = {v1 , v2 , v3 } = {(1, 1, −1); (1, 2, 1); (−1, 1, 0)} e T = {w1 , w2 , w3 } = {(1, 2, 3); (3, 1, 2); (2, 1, 3)} suas bases. Prove que S e T são bases de R3 . Encontre a matriz mudan¸ca de base da base T para a base S. Chame à matriz mudan¸ca de base a matriz P1 .

Exerc´ıcio 3.5.14 Utilizando as bases do Exerc´ıcio 3.5.13, encontre a matriz mudan¸ca de base da base S para a base T. Chame-a P2 . Qual a rela¸c˜ ao entre P1 e P2 ? (Sugestão: calcule P∗1 P2 .)

Exerc´ıcio 3.5.15 No espa¸co vectorial das matrizes de ordem 2, 1 0 0 −8 0 −1 0 4 T= , , , −1 2 −12 −4 −1 0 1 −4 é uma base. Considere a base S dada no Exerc´ıcio 3.5.12. Prove que T é uma base do espa¸co vectorial das matrizes de ordem 2. Encontre a matriz de mudan¸ca de base da base T para a base S.

174


Cap´ıtulo 4 Aplica¸c˜ oes Lineares 4.1

Modos de definir uma aplica¸ c˜ ao linear

Em determinados problemas é muitas vezes necessário trabalhar com elementos provenientes de diferentes espa¸cos vectoriais. Para relacionarmos dois espa¸cos vectoriais diferentes é necessário usar um “instrumento”adequado, a aplica¸cão. Mas os vectores de um espa¸co vectorial não devem ser vistos isoladamente, uma vez que um espa¸co vectorial é um conjunto de vectores com uma certa estrutura. Por exemplo, qualquer vector de um dado espa¸co vectorial V, pode ser obtido como combina¸cão linear de vectores de uma base de V. Por esta razão, não nos interessa estudar qualquer aplica¸cão entre espa¸cos vectoriais, mas apenas as aplica¸c˜ oes lineares. Passemos a definir estas aplica¸cões: Defini¸c˜ ao 4.1.1 Sejam E e F dois espa¸cos vectoriais reais e f : E → F uma aplica¸cão. Diz-se que f é uma aplica¸c˜ ao linear (transforma¸c˜ ao linear), se satisfaz as seguintes propriedades: 1. ∀x, y ∈ E f (x + y) = f (x) + f (y); 2. ∀α ∈ R ∀x ∈ E f (αx) = αf (x). Para melhor compreendermos a defini¸cão de aplica¸cão linear, vejamos alguns exemplos: Exemplo 4.1.1 1. Consideremos a aplica¸c˜ ao f1 : R3 → R2 definida por f1 (x, y, z) = (x, x + y + z). Sendo (a, b, c); (a0 , b0 , c0 ) ∈ R3 , temos ent˜ ao que: 175

˜ CAPÍTULO 4. APLICAC ¸ OES LINEARES

176

f1 [(a, b, c)+(a0 , b0 , c0 )] = f1 (a+a0 , b+b0 , c+c0 ) = (a+a0 , a+a0 +b+b0 +c+c0 ) e f1 (a, b, c)+f1 (a0 , b0 , c0 ) = (a, a+b+c)+(a0 , a0 +b0 +c0 ) = (a+a0 , a+a0 +b+b0 +c+c0 ). Logo f1 (a, b, c) + (a0 , b0 , c0 )] = f1 (a, b, c) + f1 (a0 , b0 , c0 ). Sendo (a, b, c) ∈ R3 e α ∈ R temos ent˜ ao que f1 [α(a, b, c)] = f (αa, αb, αc) = (αa, αa + αb + αc) e αf1 (a, b, c) = α(a, a + b + c) = (αa, αa + αb + αc). Logo f1 [α(a, b, c)] = α f1 (a, b, c). Portanto f1 é uma aplica¸c˜ ao linear. 2. A aplica¸cão f2 : R3 → R3 definida por f2 (x, y, z) = (x, y, 0) é uma aplica¸caõ linear. (Verifique!) 3. A aplica¸cão f3 : M2 → P1 [x] definida por a b f3 = (a + b)x + (c + d) c d é uma aplica¸cão linear.(Verifique!) 4. A aplica¸cão id : E → E definida por id(x) = x é uma aplica¸caõ linear. (Verifique!) 5. Consideremos a aplica¸cão f4 : R → R definida por f4 (x) = x2 . Sendo x, y ∈ R, temos ent˜ ao que: f4 (x + y) = (x + y)2 e f4 (x) + f4 (y) = x2 + y 2 . Logo f4 (x + y) 6= f4 (x) + f4 (y). Portanto f4 n˜ ao ´ e uma aplica¸ c˜ ao linear.

˜ LINEAR 4.1. MODOS DE DEFINIR UMA APLICAC ¸ AO

177

A partir da defini¸cão de aplica¸cão linear, resultam de imediato as seguintes propriedades: Teorema 4.1.1 Seja f : E → F é uma aplica¸c˜ ao linear. Ent˜ ao: (i) f (0E ) = 0F ; (ii) ∀x ∈ E f (−x) = −f (x); (iii) ∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ E ∀α1 , α2 , . . . , αn ∈ R f (α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn ) = α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) + . . . + αn f (xn ). No caso do dom´ınio E ser um espa¸co vectorial de dimensão finita, podemos definir uma aplica¸c˜ ao linear sabendo apenas as imagens dos vectores de uma base de E. Teorema 4.1.2 Seja {e1 , e2 , . . . , en } uma base de um espa¸co vectorial E e seja {e01 , e02 , . . . , e0n } um conjunto de n vectores arbitrariamente escolhidos em F. Então, existe uma e uma s´ o aplica¸c˜ ao linear f : E → F tal que f (e1 ) = e01 ,

f (e2 ) = e02 , . . . , f (en ) = e0n .

Vejamos através de um exemplo, como a partir das imagens dos vectores que constituem uma base do espa¸co de partida, aplicando o teorema 4.1.1(iii), podemos definir a expressão anal´ıtica da aplica¸cão linear. Exemplo 4.1.2 Considerando a base can´ onica de P2 [x], isto é, BC = {1, x, x2 } e a aplica¸cão linear g : P2 [x] → R3 , sabendo que g(1) = (1, 0, 0);

g(x) = (0, 1, 1);

g(x2 ) = (0, 0, −1)

(4.1)

temos, de acordo com o teorema 4.1.2, definida a aplica¸c˜ ao linear g. Determinemos a expressão anal´ıtica de g. Seja a0 + a1 x + a2 x2 um vector de P2 [x] escrito como combina¸c˜ ao linear dos vectores da base canónica. Aplicando o teorema 4.1.1(iii), temos g(a0 + a1 x + a2 x2 ) = a0 g(1) + a1 g(x) + a2 g(x2 ) Por 4.1, a0 g(1)+a1 g(x)+a2 g(x2 ) = a0 (1, 0, 0)+a1 (0, 1, 1)+a2 (0, 0, −1) = (a0 , a1 , a1 −a2 ). A expressão anal´ıtica da aplica¸c˜ ao linear g é ent˜ ao g(a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 , a1 , a1 − a2 ).


178

As aplica¸cões lineares entre espa¸cos vectoriais podem também ser definidas matricialmente. Consideremos a aplica¸cão linear f : E → F entre dois espa¸cos vectoriais. Supo- nhamos que o espa¸co E tem dimensão finita n, que o espa¸co F tem dimensão finita m e fixemos em E a base B1 = {e1 , e2 , . . . , en } e em F a base B2 = {e01 , e02 , . . . , e0m }. Para cada vector da base de E é dada ou podemos calcular a respectiva imagem: e1 − 7 → f (e1 ) e2 − 7 → f (e2 ) .. . en 7−→ f (en ) Uma vez que os vectores f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en ) pertencem ao espa¸co vectorial F, podemos escrevê-los como combina¸cão linear dos vectores da base fixada em F, ou seja B2 : f (e1 ) = a11 e01 + a21 e02 + . . . + am1 e0m f (e2 ) = a12 e01 + a22 e02 + . . . + am2 e0m .. . f (en ) = a1n e01 + a2n e02 + . . . + amn e0m Com as componentes obtidas, podemos construir uma matriz do tipo m × n :     

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1 am2

. . . a1n . . . a2n .. .. . . . . . amn

    

Esta constru¸cão, leva-nos à seguinte defini¸cão: Defini¸c˜ ao 4.1.2 Sejam E e F espa¸cos vectoriais cujas bases s˜ ao respectivamente B1 e B2 , e seja f : E → F uma aplica¸c˜ ao linear. A matriz constru´ıda pelo processo acima descrito é chamada matriz da aplica¸c˜ ao linear f em rela¸c˜ ao as bases consideradas. Esta matriz é representada por [f ]B1 B2 e as suas colunas ` s˜ ao as componentes das imagens dos vectores da base B1 , escritos na base B2 . Notas: • Se E = F e a aplica¸cão f é a aplica¸cão identidade então [id]B1 B2 é a matriz mudan¸ca de base de B1 para B2 , isto é MB1 B2 = [id]B1 B2 • A matriz de uma aplica¸cão linear [f ]B1 B2 , depende das bases B1 e B2 . Ou seja, a cada conjunto de duas bases corresponde uma matriz diferente. Assim, uma aplica¸cão linear tem uma infinidade de matrizes a representá-la.

˜ LINEAR 4.1. MODOS DE DEFINIR UMA APLICAC ¸ AO

179

• Fixadas as bases B1 e B2 , a matriz da aplica¸cão linear [f ]B1 B2 é u ńica. Pelo facto da u ńica base de um espa¸co nulo ser o Ø, os casos em que E ou F são espa¸cos nulos, a matriz da aplica¸cão linear f é u ńica. Concretizemos com um exemplo: Exemplo 4.1.3 Considere a aplica¸c˜ ao linear f1 : R3 → R2 definida por f1 (x, y, z) = (x, x + y + z) e as bases canónicas dos respectivos espa¸cos. Determinemos as imagens dos vectores da base BC = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} : f1 (1, 0, 0) = (1, 1);

f1 (0, 1, 0) = (0, 1);

f1 (0, 0, 1) = (0, 1).

Sendo (1, 1) e (0, 1) vectores do espa¸co R2 podemos escrevê-los como combina¸cão linear dos vectores da base can´ onica deste espa¸co. Assim, (1, 1) = 1(1, 0) + 1(0, 1) e (0, 1) = 0(1, 0) + 1(0, 1). De acordo com a defini¸cão 4.1.2, temos ent˜ ao a aplica¸c˜ ao linear representada pela matriz 1 0 0 [f1 ]Bc BC = . 1 1 1 Se considerarmos as bases B1 = {(2, 0, 0); (1, 2, 4); (1, −1, 4)} de R3 e B2 = {(3, 1); (1, 1)} de R2 , a matriz que representa f1 em rela¸c˜ ao a estas bases é (verifique!): 0 −3 − 23 . [f1 ]B1 B2 = 2 10 11 2 A utilidade da matriz de uma aplica¸cão linear, entre espa¸cos vectoriais de dimensão finita, resulta do facto de a partir dela, ser poss´ıvel calcular facilmente a imagem de um qualquer vector do dom´ınio. Teorema 4.1.3 Sejam E e F espa¸cos vectoriais cujas bases s˜ ao respectivamente B1 e B2 , e seja f : E → F uma aplica¸c˜ ao linear. Ent˜ ao para qualquer v ∈ E tem-se [f (v)]B2 = [f ]B1 B2 [v]B1 . Voltando ao exemplo anterior,


180

Exemplo 4.1.4 Podemos determinar facilmente a imagem do vector [u]B1 = (1, 3, 0) (u é um vector escrito na base B1 de R3 ,) usando a matriz da aplica¸c˜ ao linear [f ]B1 B2 [f ]B1 B2 [u]B1 =

0 −3 2 10

− 23 11 2



 1  3  = −9 , 32 0

ou seja, [f (1, 3, 0)B1 ]B2 = (−9, 32), isto é, [f (1, 3, 0)B1 ]Bc = −9(3, 1) + 32(1, 1). Vimos que dada uma aplica¸cão linear f entre dois espa¸cos vectoriais E e F, ambos de dimensão finita n e m, respectivamente, nos quais estão fixadas bases, podemos associar à aplica¸cão linear f uma matriz do tipo m×n. Reciprocamente, desde que as bases estejam fixadas, qualquer matriz do tipo m × n define uma aplica¸cão linear de E para F.

4.2

Opera¸c˜ oes com aplica¸ c˜ oes lineares

Uma vez que qualquer matriz do tipo m × n define uma aplica¸cão linear entre dois espa¸cos vectoriais finitos com bases fixadas, todas as opera¸cões que definimos no cap´ıtulo 1 entre matrizes, correspondem a opera¸cões, já nossas conhecidas, entre aplica¸cões. Sejam f : E −→ F , g : E −→ F e k : F −→ F 0 aplica¸cões lineares e B1 , B2 e B3 bases de E, F e F 0 , respectivamente. Sendo [f ]B1 B2 ; [g]B1 B2 ; [k]B2 B3 as matrizes que representam as aplica¸cões lineares f, g e k temos então que: • a adi¸cão de matrizes definida por: [f + g]B1 B2 = [f ]B1 B2 + [g]B1 B2 corresponde à soma de aplica¸cões lineares f + g : E −→ F tal que (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ E; • a multiplica¸cão de uma matriz por um escalar definida por: [αf ]B1 B2 = α[f ]B1 B2 corresponde à multiplica¸cão da aplica¸cão linear por um escalar αf : E −→ F tal que (αf )(x) = αf (x), ∀x ∈ E

˜ DAS APLICAC ˜ 4.3. CLASSIFICAC ¸ AO ¸ OES LINEARES

181

• o produto das matrizes [f ]B1 B2 [k]B2 B3 é a matriz da aplica¸cão k◦f : E → F 0 tal que (k ◦ f )(x) = k(f (x)), ∀x ∈ E, ou seja [k ◦ f ]B1 B3 = [k]B2 B3 [f ]B1 B2 • dada uma matriz [f ]B1 B2 a sua inversa, se existir, é a matriz da aplica¸cão f −1 : F −→ E, ou seja [f −1 ]B2 B1 = ([f ]B1 B2 )−1 .

4.3 4.3.1

Classifica¸c˜ ao das aplica¸ c˜ oes lineares N´ ucleo de uma aplica¸ c˜ ao linear

Todas as aplica¸cões podem ser classificadas em injectivas e sobrejectivas. Nesta subseçcão vamos estudar como no caso particular das aplica¸cões lineares, podemos facilmente identificar se as aplica¸cões são ou não injectivas. Recorde-se que uma aplica¸cão se pode classificar como injectiva se não existirem elementos do contradom´ınio da aplica¸cão que sejam imagem de mais do que um elemento do dom´ınio. Ou seja, ∀x1 , x2 ∈ Df

f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 .

Por exemplo, h1 : R −→ R x 7−→ x é uma aplica¸cão injectiva, mas h2 : R −→ R x 7−→ x2 já não é uma aplica¸cão injectiva. No caso das aplica¸cões lineares, para estudarmos a injectividade basta conhecermos o conjuntos dos elementos cuja imagem é o vector nulo, ou seja, conhecer o n´ ucleo da aplica¸cão linear. Defini¸c˜ ao 4.3.1 Seja f : E → F é uma aplica¸c˜ ao linear. Chama-se n´ ucleo de f, e representa-se por N uc f, ao conjunto N uc f = {x ∈ E : f (x) = 0F }. Exemplo 4.3.1 Considerando as aplica¸c˜ oes lineares anteriormente definidas, temos:


182

1. A partir da expressão anal´ıtica de f1 (x, y, z) = (x, x + y + z) determina-se o seu n´ ucleo do seguinte modo: N uc f1 = (x, y, z) ∈ R3 : f1 (x, y, z) = (0, 0) = = (x, y, z) ∈ R3 : (x, x + y + z) = (0, 0) = {(0, y, −y) : y ∈ R} . Alternativamente, podemos determinar o N ucf1 considerando a matriz da aplica¸cão linear f1 definida nas bases can´ onicas de R3 e R2 , 1 0 0 [f1 ]Bc Bc = . 1 1 1 Temos: 

 x 0 [f1 ]Bc Bc  y  = ⇔ 0 z x ⇔ = x+y+z

1 0 0 1 1 1 0 0

⇒



 x  y = 0 0 z x=0 z = −y

e portanto, tal como já t´ınhamos conclu´ıdo anteriormente, N uc f1 = {(0, y, −y) : y ∈ R} . 2. A partir da expressão anal´ıtica de f3 , temos: a b a b N uc f3 = ∈ M2 : f3 = 0 + 0x = c d c d

a b = ∈ M2 : (a + b)x + (c + d) = 0x + 0 = c d a b a −a = :a+b=0∧c+d=0 = : a, c ∈ R . c d c −c 3. N uc id = {0E } 4. Vimos no exemplo 4.1.2 que a express˜ ao anal´ıtica da aplica¸c˜ ao g : P2 [x] → R3 é g(a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 , a1 , a1 − a2 ) logo, N uc g = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ P2 [x] : g(a0 + a1 x + a2 x2 ) = (0, 0, 0) = = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ P2 [x] : (a0 , a1 , a1 − a2 ) = (0, 0, 0) = {0x2 +0x+0}. Definido n´ ucleo de uma aplica¸cão linear f : E −→ F, a sua classifica¸cão quanto a` injectividade pode ser facilmente efectuada analisando os elementos de E que tem por imagem 0F , tal como enuncia o teorema que se segue:


183

Teorema 4.3.1 Seja f uma aplica¸c˜ ao linear de E em F. f é uma aplica¸cão injectiva se e só se N ucf = {0E }.

Exemplo 4.3.2 Considerando as aplica¸c˜ oes lineares j´ a apresentadas: 1. N uc f1 = {(0, y, −y) : y ∈ R} 6= {(0, 0, 0)}. Logo f1 n˜ ao é uma aplica¸cão injectiva. a −a 0 0 2. N uc f3 = : a, c ∈ R 6= . Logo f3 n˜ ao é uma c −c 0 0 aplica¸cão injectiva. 3. N uc id = {0E }. Logo id é uma aplica¸c˜ ao injectiva. 4. N uc g = {0 + 0x + 0x2 }. Logo g é uma aplica¸c˜ ao injectiva.

Na medida em que o n´ ucleo de uma aplica¸cão linear f é um subconjunto do espa¸co vectorial E, pode provar-se que:

Teorema 4.3.2 Seja f : E → F é uma aplica¸c˜ ao linear. Ent˜ ao N uc f é um subespa¸co vectorial de E.

O teorema que se segue, exprime o comportamento das aplica¸cões lineares injectivas em rela¸cão à no¸cão de independência linear.

Teorema 4.3.3 Seja f : E → F uma aplica¸c˜ ao linear. f é uma aplica¸cão injectiva se e só se transforma vectores linearmente independentes em vectores linearmente independentes.

Vejamos então numa situa¸cão já estudada, uma forma alternativa para o estudo da injectividade numa aplica¸cão linear.

Exemplo 4.3.3 Consideremos a aplica¸c˜ ao linear g, j´ a definida e na qual g(1) = (1, 0, 0); g(x) = (0, 1, 1); g(x2 ) = (0, 0, −1). Uma vez que {1, x, x2 } é a base can´ onica de P2 [x] e que os vectores (1, 0, 0); (0, 1, 1) e (0, 0, −1) são linearmente independentes, aplicando o teorema 4.3.3, podemos concluir que a aplica¸cão g é injectiva.


184

4.3.2

Espa¸ co Imagem de uma aplica¸ c˜ ao linear

As aplica¸cões são classificadas como sobrejectivas, quando o seu contradom´ınio coincide com o conjunto de chegada. Ou seja, a aplica¸cão f : E −→ F é sobrejectiva se ∀y ∈ F ∃x ∈ E : f (x) = y. Por exemplo, h1 : R −→ R x 7−→ x é uma aplica¸cão sobrejectiva, mas h3 : R −→ R x 7−→ 0 já não é uma aplica¸cão sobrejectiva. Tal como em todas as aplica¸cões, para o estudo da sobrejectividade de uma fun¸cão é necessário identificar o seu contradom´ınio ou, como designemos mais vulgarmente quando se trata de aplica¸cões lineares, o espa¸co imagem da aplica¸cão. Defini¸c˜ ao 4.3.2 Seja f : E → F é uma aplica¸c˜ ao linear. Chama-se espa¸co imagem de f (espa¸co caracter´ıstico de f ou contradom´ınio de f ), e representase por Im f, ao conjunto imagem de E por f, Im f = {f (v) : v ∈ E} . Exemplo 4.3.4 Considerando as aplica¸c˜ oes lineares anteriormente definidas, temos: 1. Im f1 = {f1 (x, y, z) : (x, y, z) ∈ R3 } = {(x, x + y + z) : x, y, z ∈ R} ; 2. Im f2 = {(x, y, 0) : x, y ∈ R} ; 3. Im id = E. Recordando um resultado já conhecido para classificar quaisquer fun¸cões quanto à sobrejectividade e que pode ser obviamente aplicado nas aplica¸cões lineares, temos que: Teorema 4.3.4 Seja f uma aplica¸c˜ ao linear de E em F. f é sobrejectiva se e s´ o se Im f = F. Exemplo 4.3.5 Analisando o exemplo 4.3.4 temos: 1. Im f1 = {(x, x + y + z) : x, y, z ∈ R} = h(1, 1); (0, 1)i = R2 . Logo a aplica¸cão f1 é sobrejectiva.


185

2. Im f2 = {(x, y, 0) : x, y ∈ R} 6= R3 . Logo f2 n˜ ao é uma aplica¸c˜ ao sobrejectiva. 3. Im id = E. Logo a aplica¸c˜ ao id é sobrejectiva. Na medida em que o espa¸ co imagem de uma aplica¸cão linear f é um subconjunto do espa¸co vectorial F, pode provar-se que: Teorema 4.3.5 Seja f : E → F é uma aplica¸c˜ ao linear. Im f é um subespa¸co vectorial de F. Dado que Im f é um subespa¸co vectorial de F, a proposi¸cão que se segue permite identificar facilmente esse subespa¸co aplicando a no¸cão de conjunto de geradores de um subespa¸co vectorial, sendo os seus elementos as imagens dos vectores de uma base do dom´ınio da aplica¸cão. Proposi¸c˜ ao 4.3.1 Se {u1 , u2 , . . . , un } é uma base de um espa¸co vectorial E e f é uma aplica¸cão linear de dom´ınio E, ent˜ ao Im f = hf (u1 ), f (u2 ), . . . , f (un )i. Analisemos, agora com base neste resultado, as aplica¸cões já estudadas no exemplo 4.3.5, quanto a` sobrejectividade. Exemplo 4.3.6 1. Considerando a aplica¸c˜ ao linear f1 e a base B1 = {(2, 0, 0), (1, 2, 4), 3 (1, −1, 4)} do espa¸co vectorial R , temos que, f1 (2, 0, 0) = (2, 2); f1 (1, 2, 4) = (1, 7); f1 (1, −1, 4) = (1, 4) ou seja, Im f1 = h(2, 2); (1, 7); (1, 4)i = R2 ; e portanto f1 é sobrejectiva. 2. Considerando a aplica¸c˜ ao linear f2 e a base can´ onica de R3 , temos que Im f2 = h(1, 0, 0); (0, 1, 0)i = 6 R3 o que nos permite concluir que f2 n˜ ao é uma aplica¸c˜ ao sobrejectiva. 3. Considerando a aplica¸c˜ ao linear g e as base can´ onica de P2 [x] temos que g é sobrejectiva, uma vez que: Im g = h(1, 0, 0); (0, 1, 1); (0, 0, −1)i = R3 . Tal como acontece com qualquer aplica¸cão, uma aplica¸cão linear que seja simultaneamente injectiva e sobrejectiva diz-se bijectiva.


186

4.3.3

Dimens˜ ao do n´ ucleo e do espa¸ co imagem

Sendo N uc f e Im f subespa¸cos vectoriais de E e F, respectivamente, podemos determinar para estes subespa¸cos uma base e calcular a respectiva dimensão. Obviamente: dim N uc f ≤ dim E e dim Im f ≤ dim F. Notas: • Se dim Im f = dim F a aplica¸cão linear f é sobrejectiva. • Se dim N uc f = 0 a aplica¸cão linear f é injectiva. Exemplo 4.3.7 Atendendo aos exemplos anteriores: 1. N uc f1 = {(0, y, −y) : y ∈ R} = h(0, −1, 1)i sendo este conjunto um subespa¸co vectorial de R3 , {(0, −1, 1)} é uma base do N uc f1 e portanto dim N uc f1 = 1. Por outro lado, sendo Im f1 = R2 temos que dim Im f1 = 2. A aplica¸cão f1 é sobrejectiva e n˜ ao injectiva. 2. Im f2 = h(1, 0, 0); (0, 1, 0)i e uma vez que estes vectores geradores s˜ ao linearmente independentes, temos que {(1, 0, 0); (0, 1, 0)} é uma base de Im f2 sendo por isso, dim Im f2 = 2. Como dim Im f2 6= dim(R3 ) podemos concluir que a aplica¸c˜ ao f2 n˜ ao é sobrejectiva. 3. N uc g = {0x2 + 0x + 0} que é o subespa¸co vectorial de P2 [x] de dimens˜ ao nula. Logo g é uma aplica¸c˜ ao injectiva. Dado um espa¸co vectorial de dimensão finita E e uma aplica¸cão linear f : E → F, existe uma rela¸cão entre as dimensões do espa¸co vectorial E, do n´ ucleo de f e do espa¸co imagem de f , que permitem caracterizar a aplica¸cão linear f. Teorema 4.3.6 (Teorema da dimens˜ ao) Seja f : E → F uma aplica¸c˜ ao linear de E em F. Então dim E = dim N uc f + dim Im f. Conhecida a dimensão do n´ ucleo (espa¸co imagem) da aplica¸cão linear podemos, aplicando o teorema da dimensão, determinar facilmente a dimensão do espa¸co imagem (n´ ucleo). Exemplo 4.3.8 Consideremos as aplica¸c˜ oes lineares f2 e g que estamos a estudar neste cap´ıtulo.

˜ DE MATRIZES 4.4. DIAGONALIZAC ¸ AO

187

1. Sendo dim Im f2 = 2 como dim(R3 ) = 3 temos que dim(R3 ) = dim N uc f2 +dim Im f2 ⇔ 3 = dim N uc f2 +2 ⇔ dim N uc f2 = 1. Logo N uc f2 6= 0 e portanto f2 n˜ ao é injectiva. 2. Uma vez que N uc g = {(0, 0, 0)} temos que dim N uc g = 0. Logo dim(P2 [x]) = dim N uc g+dim Im g ⇔ 3 = 0+dim Im g ⇔ dim Im g = 3. Assim Im g = R3 e portanto g é bijectiva. Tal como já vimos, uma aplica¸cão linear f : E → F pode ser representada através de uma matriz. Deste modo, a determina¸cão das dimensões do n´ ucleo e do espa¸co imagem podem ser determinadas se aplicarmos o seguinte teorema: Teorema 4.3.7 Seja f : E → F uma aplica¸c˜ ao linear e B1 e B2 , bases de E e F, respectivamente. Então: (i) dim Im f = r([f ]B1 B2 ); (ii) dim N uc f = n´ umero de colunas − r([f ]B1 B2 ). Note-se que (i) deste teorema se demonstra directamente a partir da proposi¸cão 4.3.1 e do teorema 3.1.3 da subseçcão 3.1.3 e (ii) resulta de (i) e do teorema 4.3.6. Exemplo 4.3.9 Considerando a aplica¸c˜ ao linear f1 : R3 −→ R2 definida pela matriz 1 0 0 [f1 ]BC BC = 1 1 1 podemos facilmente verificar que: dim Im f1 = 2, uma vez que r([f1 ]BC BC ) = 2 e dim N uc f1 = 1, visto que, n´ umero de colunas − r([f1 ]BC BC ) = 3 − 2 = 1.

4.4

Diagonaliza¸ c˜ ao de matrizes

Dada uma aplica¸cão linear ϕ : E −→ E e fixada uma determinada base em E, podemos representá-la por uma matriz. Ao procurarmos uma matriz que represente ϕ, vamos obviamente tentar que esta seja o mais “simples”poss´ıvel. Uma vez que determinar uma matriz que represente a aplica¸cão linear ϕ corresponde a fixar uma certa base de E, temos que encontrar a base que permita representar ϕ numa matriz “simples”. As matrizes do tipo diagonal são as que de uma forma simples, podem representar uma aplica¸cão linear . Mas nem todos as aplica¸cões lineares de E podem ser representadas por uma matriz diagonal. Vamos então ver como determinar a base que permite representar as aplica¸cões lineares por uma matriz diagonal, e em que condi¸cões é que esta representa¸cão é poss´ıvel. Para tal, vamos introduzir alguns novos conceitos.


188

4.4.1

Vectores e valores pr´ oprios

Defini¸c˜ ao 4.4.1 Seja ϕ uma aplica¸c˜ ao linear de E em E. Um vector u 6= 0E diz-se um vector próprio de ϕ se existe um escalar λ ∈ R tal que ϕ(u) = λu. O escalar λ é designado por valor pr´ oprio de ϕ associado ao vector pr´ oprio u. Se representarmos a aplica¸cão linear ϕ dada pela matriz A, em rela¸cão a uma base B, podemos escrever a equa¸cão ϕ(u) = λu na seguinte forma matricial: A [u]B = λ [u]B . Mas A [u]B = λ [u]B ⇔ A [u]B − λ [u]B = O ⇔ (A − λI) [u]B = O ou seja, obtemos um sistema de equa¸cões lineares homogéneas, o qual é sempre poss´ıvel. Para que este sistema admita solu¸cões diferentes da solu¸cão trivial (u 6= 0E ), tal como é exigido pela defini¸cão 4.4.1, tem que ser um sistema poss´ıvel e indeterminado, ou seja, |A − λI| = 0. Defini¸c˜ ao 4.4.2 Seja E um espa¸co vectorial de dimens˜ ao finita, ϕ uma aplica¸c˜ ao linear de E em E, B uma base de E e A = [ϕ]BB . O polin´ omio |A − λI|, na incógnita λ de grau n, designa-se por polin´ omio caracter´ıstico da matriz A. A equa¸cão |A − λI| = 0 designa-se por equa¸c˜ ao caracter´ıstica de A. Nota: O grau do polinómio caracter´ıstico da matriz A é igual à ordem da matriz. A situa¸cão que acabamos de examinar serve de demonstra¸cão ao teorema que se segue. Teorema 4.4.1 Seja E um espa¸co vectorial de dimens˜ ao finita, ϕ uma aplica¸c˜ ao linear de E em E, B uma base de E e A = [ϕ]BB . (i) Um escalar λ é um valor pr´ oprio de ϕ se e s´ o se é solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao caracter´ıstica. (ii) Um vector u ∈ E é vector pr´ oprio de ϕ, associado ao valor pr´ oprio λ se e só se as componentes de u em rela¸c˜ ao à base B s˜ ao uma solu¸c˜ ao n˜ ao nula do sistema de equa¸cões lineares (A − λI)X = O. Com base neste teorema podemos então determinar os valores e vectores próprios de uma aplica¸cão linear.


189

Exemplo 4.4.1 Consideremos a aplica¸c˜ ao linear ϕ1 : R2 −→ R2 tal que ϕ1 (x, y) = (−3x − 5y, 2y). Considerando a base canónica de R2 , esta aplica¸c˜ ao pode ser representada matricialmente por: −3 −5 A= . 0 2 Resolvendo a equa¸cão caracter´ıstica |A − λI| = 0 −3 − λ −5 0 2−λ

= 0 ⇔ (−3 − λ)(2 − λ) = 0 ⇔ λ = −3 ∨ λ = 2.

Os valores próprios de ϕ1 s˜ ao ent˜ ao λ = −3 e λ = 2. O conjunto de vectores pr´ oprios associados ao valor pr´ oprio λ = −3, e que representamos por U−3 é determinado a partir da resolu¸c˜ ao do sistema (A + 3I)U = O.

−3 + 3 −5 0 2+3

x y

=

0 0

⇔

−5y 5y

=

0 0

⇔

x∈R . y=0

Logo, o conjunto dos vectores pr´ oprios associados a λ = −3 é U−3 = {(x, 0) : x ∈ R\{0}}. De modo análogo conclu´ı-se que o conjunto dos vectores pr´ oprios associados a λ = 2 é U2 = {(x, −x) : x ∈ R\{0}}. Notas: • A cada valor próprio está associado, em geral, mais do que um vector próprio. Quando o espa¸co vectorial é real, a cada valor próprio está associado uma infinidade de vectores próprios. • A cada vector próprio está associado um e um só valor próprio.

4.4.2

Matrizes diagonaliz´ aveis

Vejamos em que condi¸cões é que existe uma matriz diagonal que represente a aplica¸cão linear ϕ : E −→ E. Defini¸c˜ ao 4.4.3 Uma aplica¸c˜ ao linear ϕ de um espa¸co vectorial diz-se diagonalizável se existir uma base de E em rela¸c˜ ao ` a qual a matriz que representa ϕ é diagonal.

190

˜ CAPÍTULO 4. APLICAC ¸ OES LINEARES O próximo teorema diz-nos então como construir a base de E que nos permite obter uma matriz diagonal que representa a aplica¸cão linear ϕ de E em E. Teorema 4.4.2 Uma aplica¸cão linear ϕ de E em E é diagonaliz´ avel se e s´ o se E admitir uma base formada por vectores pr´ oprios de ϕ. Neste caso, os elementos da diagonal principal de uma matriz diagonal que representa ϕ s˜ ao os valores pr´ oprios da aplica¸cão ϕ. Para podermos trabalhar numa linguagem matricial, é necessário introduzir o conceito de matrizes semelhantes. Defini¸c˜ ao 4.4.4 Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n. Se existir uma matriz P de ordem n invert´ıvel e tal que B = P −1 AP ent˜ ao as matrizes A e B dizem-se semelhantes. Considerando A = [ϕ]BB e a defini¸cão anterior, podemos dizer A é diagonaliz´ avel se for semelhante a uma matriz diagonal D, isto é, se existir uma matriz ` matriz invert´ıvel P chamamos matriz invert´ıvel P tal que D = P −1 AP . A diagonalizante de A. Deste modo, o teorema 4.4.2 pode ser enunciado da seguinte forma: Teorema 4.4.3 Uma matriz A ∈ Mn é semelhante a uma matriz diagonal D se e só se A possui n vectores pr´ oprios linearmente independentes. Neste caso, os elementos da diagonal principal da matriz D s˜ ao os valores pr´ oprios de A. Ao tentarmos diagonalizar uma dada matriz A ∈ Mn , três situa¸cões podem acontecer: 1. Existem n valores próprios distintos e n vectores próprios linearmente independentes associados aos n valores próprios e portanto A é diagonalizável; 2. Existem m valores próprios distintos, com m < n, mas existem n vectores próprios linearmente independentes associados a esses valores próprios. Neste caso, A também é diagonalizável; 3. Existem m valores próprios distintos, com m < n, e não existe um conjunto com n vectores próprios linearmente independentes, pelo que a matriz A não é diagonalizável. Para verificar se os vectores próprios associados ao mesmo valor próprio são linearmente independentes, temos que aplicar a defini¸cão 3.1.3. Contudo, no caso dos vectores próprios associados a valores próprios distintos a aplica¸cão do teorema que se segue é bastante u ´til. Teorema 4.4.4 Vectores próprios associados a valores pr´ oprios distintos s˜ ao linearmente independentes.


4.4.3

191

Processo de diagonaliza¸ c˜ ao de uma matriz

Consideremos um espa¸co vectorial E de dimensão n e fixemos uma base B em E. Então a matriz A Seja A uma matriz diagonalizável, que representa uma certa aplica¸cão linear ϕ de E em E, em rela¸cão à base B. A matriz diagonalizante P não é mais do que uma matriz mudan¸ca de base, da base BV (formada pelos vectores próprios de ϕ) para a base B. Portanto, as colunas da matriz P são exactamente as coordenadas dos vectores da base BV , escritas como combina¸cão linear dos vectores da base B. Na prática, vamos considerar A como sendo a matriz da aplica¸cão linear ϕ, agora em rela¸cão à base canónica. Para encontrar uma matriz P diagonalizante de A, basta-nos determinar n vectores próprios linearmente independentes v1 , . . . , vn de A e tomar P = [v1 . . . vn ]. Se λi é o valor próprio de A associado a  λ1  0  P −1 AP =  ..  . 0

vi , para qualquer i ∈ {1, . . . , n}, então  0 ... 0 λ2 . . . 0   .. ..  . .  0 . . . λn

Sabendo que a base BV é a base formada pelos vectores próprios de A podemos determinar a matriz diagonal D, com base no seguinte esquema:

E MB V Bc

A −→

E

(Bc )

(Bc )

↑ E

↓ E

(BV )

−→ D

MB−1V Bc

(BV )

e portanto, D = MB−1V Bc AMBV Bc ⇔ D = P −1 AP. Vejamos um exemplo: Exemplo 4.4.2 Consideremos a matriz A que representa a aplica¸c˜ ao linear ϕ1 definida no exemplo 4.4.1, −3 −5 A= 0 2 e a base BV = {(1, −1); (−1, 0)} formada por vectores pr´ oprios de A. Estes vectores foram determinados no exemplo 4.4.1 e podemos garantir que formam uma base de R2 por aplica¸c˜ ao do teorema 4.4.4.


192 A matriz diagonalizante de A é

P =

1 −1 −1 0

Logo, a matriz diagonal semelhante a A é dada por 0 −1 −3 −5 1 −1 2 0 −1 D = P AP = = . −1 −1 0 2 −1 0 0 −3 Se observarmos a matriz D obtida, esta é, tal como t´ınhamos referido anteriormente, uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal s˜ ao os valores próprios da aplica¸cão ϕ1 .

4.5 As aplica¸c˜ oes lineares nas matrizes mudan¸ ca de base Vimos na seçcão 4.1 que dados dois espa¸cos vectoriais reais E e F de dimensões n e m, respectivamente, e fixada uma base em cada espa¸co, toda a matriz A ∈ Mm×n representa uma e uma só aplica¸cão linear f de E em F. Uma escolha diferente das bases em E e F determinará uma matriz A0 poss´ıvelmente diferente de A, que representa a aplica¸cão linear f em rela¸cão às novas bases consideradas. Sabemos que A e A0 têm a mesma caracter´ıstica, uma vez que esta é igual à dim Im f. O que não sabemos, é como se relacionam A e A0 matricialmente. Estudamos na seçcão anterior a rela¸cão entre a matriz A, que representa a aplica¸cão linear ϕ, com a matriz diagonal D, que representa a mesma aplica¸cão ϕ mas considerando a base dos vectores próprios de E. A rela¸cão que encontramos pode ser generalizada para quaisquer bases do espa¸co vectorial considerado. Consideremos então uma matriz A que representa a aplica¸cão linear f : E −→ F fixadas as bases B1 em E e B2 em F. Uma matriz A0 que também representa a aplica¸cão linear f, mas em rela¸cão a novas bases B10 e B20 , em E e F, respectivamente. Generalizando um esquema já nosso conhecido:

E MB10 B1

A −→

F

(B1 )

(B2 )

↑ E

↓ F

0 ) (B1

−→ A0

MB2 B20

0 ) (B2

e portanto, A0 = MB2 B20 A MB10 B1 .

˜ 4.5. AS APLICAC ¸ OES LINEARES NAS MATRIZES MUDANC ¸ A DE BASE

193

No contexto anterior, se em E se mantém a base inicial, isto é, se consideramos B1 = B10 , então MB10 B1 = In e portanto, A0 = MB2 B20 A. Por outro lado, se for em F que se mantém a base inicial, isto é, se consideramos B2 = B20 , então MB2 B20 = Im , e portanto A0 = AMB10 B1 . Exemplo 4.5.1 Voltando ao exemplo, 4.1.3, vamos através do processo anteriormente descrito determinar a matriz A0 = [f1 ]B1 B2 , a partir da matriz A = [f1 ]Bc Bc . Consideremos então o esquema:

R

3

[f1 ]Bc Bc −→

(Bc )

MB1 B C

↑ R3 (B1 )

R2 (Bc )

↓ MBc B 2 −→ R2 [f1 ]B1 B2 (B2 )

logo, [f1 ]B1 B2 = MBc B2 [f1 ]Bc Bc MB1 BC . Sendo B1 = {(2, 0, 0); (1, 2, 4); (1, −1, 4)} uma base de R3 e B2 = {(3, 1); (1, 1)} uma base de R2 , temos ent˜ ao que: 

MB1 B c

 1 2 1 1 1 − −1 2 2 =  0 2 −1  e MBc B2 = MB2 Bc = − 21 32 0 4 4

portanto [f ]B1 B2 =

0 −3 − 23 2 10 11 2

.


194

4.6

Exerc´ıcios

Modos de definir uma aplica¸ c˜ ao linear Exerc´ıcio 4.6.1 * Verifique se as seguintes aplica¸c˜ oes s˜ ao ou n˜ ao lineares: (a) T : R3 −→ R2 , T (x, y, z) = (z, x + y); (b) T : R2 −→ R2 , T (x, y) = (senx, y); (c) T : R2 −→ R, T (x, y) = |x − y|;   x 2 1 3  y ; (d) T : R3 −→ R2 , T (x, y, z) = −1 0 −2 z a b a b . (e) T : M2 −→ R, T = c d c d Exerc´ıcio 4.6.2 Seja V o espa¸co vectorial das matrizes quadradas de ordem n. Seja M uma matriz arbitr´ aria em V. Seja T : V −→ V definida por T (A) = AM + M A, onde A ∈ V. Mostre que T é linear. Exerc´ıcio 4.6.3 * Seja a aplica¸c˜ ao T :

R2 −→ R3 (x, y) 7−→ (x + ky, x + k, y)

Para que valores reais de k, T é linear? Exerc´ıcio 4.6.4 * Considere os vectores da base can´ onica de R3 : i, j e k. Seja T : R3 −→ R3 a aplica¸cão linear tal que: T (k) = 3i + j − 2k,

T (j + k) = i,

T (i + j + k) = k + j.

(a) Calcule T (2i − j + 3k). (b) Determine a matriz que representa T em rela¸c˜ ao ` a base can´ onica de R3 . Exerc´ıcio 4.6.5 Supondo fixadas em R2 e R3 as respectivas bases can´ onicas, determine a matriz que representa as seguintes aplica¸c˜ oes lineares, em rela¸c˜ ao a estas bases: (a) g : R2 −→ R3 definida por g(x, y) = (x + y, 0, 0); (b) f : R3 −→ R2 definida por f (x, y, z) = (−y, x).

4.6. EXERCÍCIOS

195

Exerc´ıcio 4.6.6 Se f : R3 −→ R3 for representada, em rela¸c˜ ao ` as bases can´ onicas de R3 , pela matriz   1 0 1  0 1 2 , 2 0 2 qual a imagem por f de um vector genérico x de R3 ? Exerc´ıcio 4.6.7 * Sejam V e W dois espa¸cos vectoriais reais e B1 = {v1 , v2 , v3 } e B10 = {w1 , w2 } bases de V e W, respectivamente. Seja f : V −→ W a aplica¸cão linear tal que 1 0 1 [f ]B1 B10 = . 1 1 0 Determine as componentes das imagens dos vectores da base B1 na base B10 . Exerc´ıcio 4.6.8 Dadas as bases B1 = {(1, 1), (1, 0)} de R2 e B2 = {(1, 2, 0), (1, 0, −1), (1, −1, 3)} de R3 , determine a transforma¸c˜ ao linear, T : R2 −→ R3 , representada pela seguinte matriz:   2 0 [T ]B1 B2 =  1 −2  −1 3

N´ ucleo e Espa¸co Imagem de uma aplica¸ c˜ ao linear Exerc´ıcio 4.6.9 * Seja T : R3 −→ R3 a transforma¸c˜ ao linear definida por T (x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z). (a) Determine a base e a dimens˜ ao de: (i) Im T ; (ii) N uc T. (b) Determine os vectores que têm por imagem o vector (4, −1, 5). (c) Verifique o teorema da dimens˜ ao. Exerc´ıcio 4.6.10 * Seja T : R3 −→ R2 a transforma¸c˜ ao linear tal que T (1, 0, 0) = (1, 2)

T (0, 1, 0) = (0, 1)

T (0, 0, 1) = (−1, 3).

(a) Determine N uc T e uma das suas bases. T é aplica¸c˜ ao linear injectiva? (b) Determine Im T e uma das suas bases. T é aplica¸c˜ ao linear sobrejectiva?


196

Exerc´ıcio 4.6.11 Seja f : P2 [x] −→ P2 [x] uma aplica¸c˜ ao linear tal que f (x) = 3 − x2

f (1) = 1 + x

f (x2 ) = 4 + 2x − 3x2 .

(a) Determine a imagem por f do polin´ omio 2 − 2x + 3x2 . (b) Verifique se f é injectiva. (c) Determine todos polinómios cuja imagem é −7x2 + 8x + 8. (d) Verifique se f é sobrejectiva sem calcular uma base de Im f.. (e) Determine uma base de Im f. (f ) Determine f (a0 + a1 x + a2 x2 ). Exerc´ıcio 4.6.12 * Considere a aplica¸c˜ ao linear T : R2 −→ R2 : T (x, y) = (x, 0) e Bc a base canónica de R2 . (a) Defina a matriz da aplica¸c˜ ao linear T, considerando a base can´ onica de R2 , isto é, [T ]Bc Bc . (b) A partir da matriz determinada na al´ınea anterior, verifique se T é uma aplica¸cão sobrejectiva e/ou injectiva. Exerc´ıcio 4.6.13 Sejam E um espa¸co vectorial real e {e1 , e2 , e3 } uma base de E. Considere a aplica¸cão f : E −→ E definida por f (xe1 + ye2 + ze3 ) = (x + y + z)e1 + (x + y + 3z)e2 + (x + y)e3 . (a) Classifique a aplica¸cão quanto ` a injectividade e ` a sobrejectividade. (b) Determine os vectores que têm por imagem o vector e1 + e2 + e3 . Exerc´ıcio 4.6.14 Seja f : R3 −→ R3 . Sabendo que f (0, 0, 1) = (0, 0, 1) e N uc f = h(1, 1, 1); (0, 1, 1)i, determine f (x, y, z), para qualquer (x, y, z) ∈ R3 . Exerc´ıcio 4.6.15 Considere os espa¸cos vectoriais R3 e P3 [x] e a base B1 = {(1, 0, 0); (0, 1, 1); (0, 0, 1)} de R3 . Seja g : R3 −→ P3 [x] a aplica¸c˜ ao tal que: g(1, 0, 0) = x3 + 2x Determine:

g(0, 1, 1) = x2 − 2x

g(0, 0, 1) = x3 + x2 .

4.6. EXERCÍCIOS

197

(a) g(a, b, c), para todo (a, b, c) ∈ R3 . (b) N uc g e uma sua base. (c) Uma base de R3 que inclua a base encontrada em b). (d) Im g e uma sua base. g é bijectiva? Justifique. (e) Determine [g]BB2 sendo B a base can´ onica de R3 e B2 = {x3 , x2 +x, x+1, 1}. (f ) Determine [g]B 0 B2 sendo B 0 = {(0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 0, 0)}. Exerc´ıcio 4.6.16 As aplica¸c˜ oes S : R2 −→ R3 e T : R3 −→ R2 s˜ ao tais que: S(x, y) = (y, x − y, 2x + 2y) e T (x, y, z) = (x, y). (a) Sendo B = {(1, 0, −1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} uma base de R3 , determine a matriz [S ◦ T ]BB . (b) A partir da matriz determinada na al´ınea anterior, determine o n´ ucleo e o espa¸co imagem da aplica¸c˜ ao S ◦ T. Esta aplica¸c˜ ao é bijectiva? (c) Determine [T ◦ S]B 0 B 0 e [T ◦ S]B 00 B 00 , sendo B 0 = {(1, 1); (0, −1)} e B 00 a base canónica de R2 . (d) A aplica¸cão T ◦ S é injectiva? E sobrejectiva?

Diagonaliza¸c˜ ao de matrizes Exerc´ıcio 4.6.17 * Verifique, utilizando a defini¸c˜ ao, se os vectores dados são vectores próprios das correspondentes matrizes: 2 2 (a) v = (−2, 1) e A = . 1 3   1 −1 0 (b) v = (−2, 1, 3) e A =  2 3 2  . 1 2 1 Exerc´ıcio 4.6.18 * Considere as seguintes aplica¸c˜ oes lineares: f : R2 −→ R2 , tal que f (x, y) = (x + 2y, −x + 4y); g : R3 −→ R3 , tal que g(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z). (a) Determine os valores pr´ oprios e os vectores pr´ oprios das aplica¸c˜ oes lineares f e g. (b) Encontre as matrizes diagonalizantes de A e B, sendo A a matriz que define a aplica¸cão linear f e B a matriz que define a aplica¸c˜ ao linear g.


198 Exerc´ıcio 4.6.19 * Seja A =

1 4 2 3

.

(a) Encontre todos os valores pr´ oprios de A e respectivos vectores pr´ oprios. (b) Encontre uma matriz invert´ıvel P tal que P −1 AP é diagonal. Exerc´ıcio 4.6.20 * Determine os valores pr´ oprios e os vectores pr´ oprios da 2 2 aplica¸cão linear T : R −→ R representada em rela¸c˜ ao ` a base can´ onica de de R2 pela matriz

1 −2 −2 4

A=

.

Verifique que a soma dos valores pr´ oprios é igual ` a soma dos elementos na diagonal principal de A e que o produto dos valores pr´ oprios é igual ao determinante de A. Exerc´ıcio 4.6.21 * Dada a matriz A=

1 2 5 4

,

determine uma matriz de mudan¸ca de base P que transforma a matriz A na matriz 6 0 . 0 −1 Exerc´ıcio 4.6.22 Dadas as matrizes 

 −4 −6 0 5 0 ; A= 3 0 0 2



 1 1 1 B =  0 1 1 . 0 0 1

Verifique se as matrizes são ou n˜ ao diagonaliz´ aveis. Em caso afirmativo, diagonalizeas. Exerc´ıcio 4.6.23 * Determine a aplica¸c˜ ao linear T : R2 −→ R2 cujos valores pr´ oprios são λ1 = 1 e λ2 = 3 associados aos vectores pr´ oprios v1 = (y, −y) e v2 = (0, y), respectivamente. Exerc´ıcio 4.6.24 * Seja T : R2 −→ R2 uma aplica¸c˜ ao linear que dobra o comprimento do vector u = (2, 1) e triplica o comprimento do vector v = (1, 2), sem alterar as direçcões nem inverter os sentidos. (a) Calcule T (0, 3).

4.6. EXERCÍCIOS

199

(b) Determine T (x, y). (c) Qual a matriz da aplica¸c˜ ao linear T na base {(2, 1), (1, 2)}? Exerc´ıcio 4.6.25 * Para cada uma das seguintes matrizes simétricas, encontre uma matriz ortogonal P, para a qual P T AP seja diagonal: 2 2 (a) 2 2   7 −2 −2 4  (b)  −2 1 −2 4 1

As aplica¸c˜ oes lineares nas matrizes mudan¸ ca de base Exerc´ıcio 4.6.26 * Seja T : R3 → R2 uma aplica¸c˜ ao linear, tal que T (x, y, z) = (2x − y + z, 3x + y − 2z). Consideremos as bases B1 = {v1 , v2 , v3 }, com v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1), e B2 = {b1 , b2 }, sendo b1 = (2, 1) e b2 = (5, 3). (a) Determine [T ]B1 B2 . (b) Determine MBc B1 . (c) Se [v]Bc = (3, −4, 2), calcule [T (v)]B2 , utilizando as al´ıneas anteriores. Exerc´ıcio 4.6.27 * Seja a transforma¸c˜ ao linear T : R2 → R3 , tal que T (x, y) = (2x−y, x+3y, −2y), e as bases B1 = {(−1, 1), (2, 1)} e B2 = {(0, 0, 1), (0, 1, −1), (1, 1, 0)} . Determine [T ]B1 B2 . Qual é a matriz [T ]B1 Bc , onde Bc é a base can´ onica de R3 ?

Exerc´ıcios de Exame - 2003/2004 Exerc´ıcio 4.6.28 * (Frequência - Gest˜ ao / 13-Jan-2004) 2 Considere a aplica¸cão linear ψ : R → M2 tal que: ψ (1, 0) = ψ (0, 1) =

1 0 0 1

.

(a) Determine ψ (x, y) , para qualquer (x, y) ∈ R2 . (b) Determine uma base do N uc ψ. ψ é injectiva? ψ é sobrejectiva? Justifique. 1 0 2 (c) Calcule (x, y) ∈ R , tal que ψ (x, y) = . 0 1


200

Exerc´ıcio 4.6.29 (Frequência / 13-Jan-2004) Considere a seguinte aplica¸cão linear: T :

R3 −→ R3 . (x, y, z) 7−→ (3x + y, y, −x + 2y + 2z)

(a) Determine o Nuc T e uma sua base. (b) Diga se T tem inversa, justificando. Em caso afirmativo, indique-a. (c) Mostre que os vectores (1, −2, 5) , (0, 0, 1) , e (−1, 0, 1) s˜ ao vectores pr´ oprios de T e determine uma matriz diagonal que represente T. (d) Calcule as componentes da imagem do vector genérico de R3 , relativamente a base constitu´ıda pelos vectores pr´ ` oprios de T. Exerc´ıcio 4.6.30 * (Exame Normal - Gest˜ ao / 03-Fev-2004) Considere a aplica¸cão linear ϕ : R3 → R2 tal que: ϕ (x, y, z) = (x − y + z, x + y + 2z) . (a) Determine Im ϕ e indique uma sua base. Diga, justificando, se ϕ é sobrejectiva. (b) ϕ é bijectiva? Justifique. (Sugest˜ ao: Use o teorema da dimens˜ ao) (c) Sejam B1 e B2 as bases can´ onicas dos espa¸cos vectoriais R3 e R2 , respectivamente. Consideremos ainda as bases B10 = {(1, 0, 0) , (1, −1, 0) , (0, 2, −2)} de R3 e B20 = {(−1, −1) , (2, 3)} de R2 . i. Determine [ϕ]B1 B2 . ii. A partir da matriz determinada na al´ınea anterior, defina [ϕ]B 0 B 0 . 1

2

Exerc´ıcio 4.6.31 (Exame Normal / 03-Fev-2004) Considere a seguinte aplica¸cão linear: T :

R3

−→ M2 x + y + 2z y . (x, y, z) 7−→ x 2x − z

(a) Classifique T quanto à injectividade e sobrejectividade. Justifique. (b) Determine uma base e a dimens˜ ao de T (A) , onde A = h(1, −1, 0) , (0, 1, 2) , (2, 1, 6)i . (c) Sejam F (1, 1, 1) e (0, 1, 1) , (2, 1, 0) vectores pr´ oprios de F associados aos valores próprios λ = 1 e λ = 3, respectivamente. Determine F (x, y, z) .

4.6. EXERCÍCIOS

201 

 1 5 1 (d) Encontre [T ◦ F ]B1 B2 , sabendo que [F ]B1 BC =  0 4 −1  onde BC é 2 −1 1 a base canónica de R3 e B2 a base canónica de M2 . Exerc´ıcio 4.6.32 (Exame Recurso / 17-Fev-2004) Considere a seguinte aplica¸c˜ ao linear: T :

P2 [x] −→ P2 [x] . 2 a + bx + cx 7−→ (3a + b) + bx + (−a + 2b + 2c) x2

(a) Determine N uc T e uma sua base. (b) Diga se T tem inversa, justificando. Em caso afirmativo, indique-a. (c) Mostre que os vectores 1 − 2x + 5x2 , x2 , e −1 + x2 s˜ ao vectores pr´ oprios de T e determine uma matriz diagonal que represente T. (d) Determine o vector a + bx + cx2 de P2 [x] tal que [T (a + bx + cx2 )]B = (0, 2, −3) , onde B é a base constitu´ıda pelos vectores pr´ oprios de T. Exerc´ıcio 4.6.33 * (Exame Trabalhador-Estudante - Gest˜ ao / 06-Mar-2004) Considere a aplica¸cão linear f : R3 → P2 [x] tal que f (a, b, c) = ax2 + (b − c) x + (c − b) . (a) Determine Im f e verifique se f é sobrejectiva. (b) Determine uma base do Nuc f. f é injectiva? Justifique. (c) Sejam B1 e B2 as bases can´ onicas dos espa¸cos vectoriais R3 e P2 [x] , respectivamente. Consideremos ainda a base B10 = {(1, 0, 1) , (0, 2, 1) , (1, 1, 1)} de R3 . Determine: i. [f ]B1 B2 . ii. A matriz mudan¸ca de base de B1 para B10 . Exerc´ıcio 4.6.34 (Exame Trabalhador-Estudante / 06-Mar-2004) Seja A a matriz real de ordem 3 que representa uma aplica¸c˜ ao linear T : R3 → R3 em rela¸cão às bases canónicas, tal que: 

           1 2 0 0 0 0            A 1 = 2 ,A 1 = 2 ,A 0 = 0 . 1 2 2 4 1 3 (a) Determine os valores pr´ oprios da aplica¸c˜ ao linear T, e indique, se existir, uma matriz diagonal D semelhante a A, justificando.


202 (b) Determine T (x, y, z) .

(c) Indique uma base para Im T e a dimens˜ ao do Nuc T sem o determinar. (d) Seja B = {(1, 1, 1) , (0, 1, 2) , (0, 0, 1)} . Calcule T (v) , onde v ∈ R3 e [v]B = (3, 2, 1) . Exerc´ıcio 4.6.35 * (Exame Especial - Gest˜ ao / 06-Set-2004) 2 3 Considere a aplica¸cão linear T : R → R tal que: T (1, 0) = (1, 0, 0) T (0, 1) = (2, 1, −1) (a) Determine T (x, y) , para qualquer (x, y) ∈ R2 . (b) Determine Nuc T e indique a sua dimens˜ ao. T é injectiva? (c) Usando o teorema da dimens˜ ao, verifique se T é sobrejectiva. (d) Determine a matriz [T ]BB 0 , onde B é a base can´ onica de R2 e B 0 = {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3)}. Exerc´ıcio 4.6.36 (Exame Especial / 06-Set-2004) Considere a seguinte aplica¸cão: T :

R3 −→ R3 (x, y, z) 7−→ (x, 2y − z, −2x + 3z)

(a) Mostre que a aplica¸cão T é linear. (b) Determine o n´ ucleo de T e sem determinar a sua imagem, indique a dimensão da imagem, justificando. (c) Diga se T tem inversa. Justifique. Em caso afirmativo, determine-a. (d) Determine uma matriz diagonal que represente T. (e) Calcule as coordenadas da imagem do vector (1, 0, −2) relativamente ` a base constitu´ıda pelos vectores pr´ oprios de T.


4.7

203

Solu¸c˜ oes


Modos de definir uma aplica¸ c˜ ao linear 4.6.1 Só as aplica¸cões das al´ıneas a) e d) são lineares; 4.6.3 T é linear só para k = 0. 4.6.4 (a) T (2i − j + 3k) = 9i + 6j − 6k.   −1 −2 3 (b) T =  1 −1 1  1 2 −2 4.6.8 T (x, y) = (x + y, −3x + 8y, 11x − 15y). N´ ucleo e espa¸co imagem de uma aplica¸ c˜ ao linear 4.6.9 (a) (i) Base de Im T : por exemplo, {(1, 0, 1), (0, 1, −1)}; dim(Im T ) = 2; (ii) Base de N uc T : por exemplo, {(3, −1, 1)} ; dim(N uc T ) = 1. 4.6.10 (a) T não é injectiva. N uc T = {(z, −5z, z) : z ∈ R}; {(1, −5, 1)} é uma base do N uc T. (b) T é sobrejectiva. Im T = h(1, 2), (0, 1), (−1, 3)i = R2 ; qualquer base de 4.6.12 (a) M (T ; B1 ; B1 ) =

1 0 0 0

.

Diagonaliza¸c˜ ao de matrizes 4.6.17 (a) v = (−2, 1) é vector próprio da correspondente matriz; (b) v = (−2, 1, 3) não é vector próprio da correspondente matriz.


204 4.6.18

(a) Para a aplica¸cão f os valores próprios são λ1 = 3 e λ2 = 2. Conjunto dos vectores próprios associados a λ1 : {(y, y) : y ∈ R\0}. Conjunto dos vectores próprios associados a λ2 : {(2y, y) : y ∈ R\0}. Para a aplica¸cão g os valores próprios são λ1 = λ2 = 1 e λ3 = 4. Conjunto dos vectores próprios associados a λ1 : {(x, y, −y) : x, y ∈ R} (x e y não ambos nulos). Conjunto dos vectores próprios associados a λ3 : {(x, x, 2x) : x ∈ R\0}. 4.6.19 (a) Valores próprios: λ1 = 5 e λ2 = −1. Vectores próprios associados a λ1 , por exemplo: (1, 1) e vectores próprios associados a λ2 , por exemplo: (2, −1). 1 2 (b) P = 1 −1 4.6.20 Valor próprio: λ1 = 0, vector próprio associado: (2, 1). Valor próprio: λ2 = 5, vector próprio associado: (1, −2). 2 −1 4.6.21 P = . 5 1 4.6.23 T (x, y) = (x, 2x + 3y). 4.6.24 (a) T (0, 3) = (2, 10). (b) T (x, y) =

5 x 3

+ 23 y, − 23 x +

10 y 3

.

(c) A matriz da aplica¸cão linear T na base {(2, 1), (1, 2)} é 4.6.25 " (a) P =

− √12 √1 2

  (b) P = 

√1 3 √1 3 √1 3

√1 2 √1 2

− √26 √1 6 √1 6

# .  0 − √12  . √1 2

2 0 0 3

.


205

As aplica¸c˜ oes lineares nas matrizes mudan¸ ca de base 4.6.26 (a) [T ]B1 B2 =

−4 5 13 2 −2 −5

(c) [T (v)]B = (31, −10) 

4.6.27 [T ]B1 B2

 3 0 =  5 2 , −3 3



[T ]B1 Bc

 −3 3 5  = 2 −2 −2

Exerc´ıcios de Exame - 2003/2004 4.6.28 (a) ψ (x, y) = (b)

x+y 0 0 x+y

.

N uc ψ = {(x, −x) : x ∈ R} = h(1, −1)i . Como (1, −1) é linearmente independente, {(1, −1)} é uma base do N uc ψ, logo dim(N uc ψ) = 1. Sendo dim(N uc ψ) 6= 0, ψ não é injectiva. Utilizando o teorema da dimensão: dim R2 = dim (N uc ψ) + dim (Im ψ) ⇐⇒ 2 = 1 + dim (Im ψ) ⇐⇒ dim (Im ψ) = 1. Uma vez que dim (M 2 ) = 4 6= dim (Im ψ) , podemos concluir que ψ não é sobrejectiva.

(c) {(1 − y, y) , y ∈ R} . 4.6.30 (a) Im ϕ = h(1, 1) , (−1, 1) , (1, 2)i . Base de ϕ = {(1, 1) , (−1, 1)} . Como dim (Im ϕ) = dim (R2 ) = 2, então ϕ é sobrejectiva. (b) Utilizando o teorema da dimensão: dim R3 = dim (N uc ϕ) + dim (Im ϕ) ⇐⇒ 3 = dim (N uc ϕ) + 2 ⇐⇒ dim (N uc ϕ) = 1. Logo ϕ não é injectiva. 1 −1 1 (c) (i) [ϕ]B1 B2 = . 1 1 2


206 (ii) [ϕ]B 0 B 0 = 1

2

−1 −6 8 0 −2 2

.

4.6.33 (a) Im f = hx2 , x − 1, −x + 1i . Como dim (Im f ) = 2 6= dim (P 2 [x]) = 3, logo f não é sobrejectiva. (b) Base de N uc f = {(0, 1, 1)} . Como dim (N uc f ) = 1 6= 0, logo f não é injectiva.   0 −1 1 (c) (i) [f ]B1 B2 =  0 1 −1  . 1 0 0   −1 −1 2 1 . (ii) MB1 B10 =  −1 0 2 −1 −2 4.6.35 (a) T (x, y) = (x + 2y, y, −y) . (b) N uc T = {(0, 0)} . Portanto dim (N uc T ) = 0, e desta forma T é injectiva. (c) Como dim (Im T ) 6= dim (R3 ) , T não é sobrejectiva.   1 2 (d) [T ]BB 0 =  0 21  . 0 − 13


4.8

207

Fichas Pr´ aticas

Estas fichas deverão ser resolvidas com o apoio do software OCTAVE.

4.8.1

Transforma¸c˜ oes lineares. Imagem e n´ ucleo

Seja T uma transforma¸cão linear de Rn em Rm . Utilizando bases podemos mostrar que qualquer transforma¸cão linear deste tipo tem uma matriz A do tipo m × n que a representa relativamente a bases de Rn e Rm . (Aqui todas as representa¸cões matriciais, serão relativas às bases canónicas apropriadas.) Desta forma, para x ∈ Rn , T (x) = Ax. Por exemplo, a aplica¸cão linear T : R4 → R3 definida por T (x, y, z, w) = (x − y − 2z − 2w, 2x − 3y − 5z − 6w, x − 2y − 3z − 4w) pode ser representada em rela¸cão às bases canónicas pela matriz: 

 1 −1 −2 −2 A =  2 −3 −5 −6  . 1 −2 −3 −4 Iremos demonstrar como utilizar os comandos do OCTAVE para determinar a imagem e o n´ ucleo de T em termos de dois subespa¸cos fundamentais associados com a representa¸cão matricial A.

Determina¸ c˜ ao da imagem no OCTAVE Sejam T : Rn → Rm uma transforma¸cão linear e A a sua representa¸cão matricial relativamente às bases canónicas de Rn e Rm . Para x ∈ Rn , T (x) = Ax é chamada a imagem de x e denota-se por Im (T ) . A imagem T (x) está contida em Rm . Voltando ao exemplo anterior, suponhamos que T : R4 → R3 é uma transforma¸cão linear cuja representa¸cão matricial é   1 −1 −2 −2 A =  2 −3 −5 −6  . 1 −2 −3 −4 A imagem de x = (1, 2, −1, 0) segundo T  1 −1 −2 T (x) = Ax =  2 −3 −5 1 −2 −3

é dada por   1 −2  2 −6    −1 −4 0





 1   =  1 .  0


208

A imagem de uma transforma¸cão linear T : Rn → Rm é o subespa¸co vectorial de Rm que consiste em todas as imagens dos vectores de Rn Existe um método simples para encontrar uma base para o subespa¸co imagem de T. Se as colunas de rref(A) que contêm pivot 1 são cj1 < cj2 < . . . < cjk , então as colunas cj1 , cj2 , . . . , cjk , de A formam uma base para o subespa¸co imagem de T. Da matriz A anterior temos: 

 1 0 −1 0 rref(A)=  0 1 1 2  . 0 0 0 0 Os pivots 1’s fazem das colunas 1 e 2 da matriz A uma base para a imagem de T. Logo, uma base para a imagem de T é {(1, 2, 1); (−1, −3, −2)}.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 4.8.1 Encontre bases para a imagem de cada transforma¸c˜ ao linear cujas representa¸cões matriciais s˜ ao dadas abaixo. Representa¸cão matricial (a) A =

1 2 5 5 −2 −3 −8 −7

Base para a imagem



 −3 2 −7 (b) B =  2 −1 4  2 −2 6



 3 3 −3 1 11 (c) C =  −4 −4 7 −2 −19  2 2 −3 1 9


209

Determina¸ c˜ ao do n´ ucleo no OCTAVE Sejam T : Rn → Rm uma transforma¸cão linear e A a sua representa¸cão matricial relativamente às bases canónicas de Rn e Rm . Para y ∈ Rm , cada vector x ∈ Rn tal que T (x) = y é chamada de uma pr´ e-imagem de y. Por exemplo, suponhamos que T : R4 → R3 é uma transforma¸cão linear cuja representa¸cão matricial é   1 −1 −2 −2 A =  2 −3 −5 −6  . 1 −2 −3 −4 O vector x = (1, −3, 1, 1) é uma pré-imagem de y = (0, 0, 0). Isto pode ser confirmado, verificando se Ax=0 ou seja       1 1 −1 −2 −2  0  −3       = 0 . Ax = 2 −3 −5 −6  1  0 1 −2 −3 −4 1 O conjunto de todas as pré-imagens do vector nulo de Rm forma um subespa¸co vectorial de Rn , chamado o n´ ucleo de T, que se denota por Nuc(T ). O n´ ucleo de uma transforma¸cão linear T : Rn → Rm é o subespa¸co vectorial de Rn que consiste em todos os vectores x tal que T (x) = 0. Como um vector x em Rn pertence ao n´ ucleo de T somente se T (x) = 0, segue-se que Nuc(T ) é o conjunto de todas as solu¸cões do sistema homogéneo Ax=0. Para encontrar uma base para Nuc(T ) utilizamos o comando rref(A). Por exemplo, se T : R4 → R3 é uma transforma¸cão linear cuja representa¸cão matricial é   1 −1 −2 −2 A =  2 −3 −5 −6  , 1 −2 −3 −4 temos 

 1 0 −1 0 rref(A)=  0 1 1 2  . 0 0 0 0


210

Escolhemos as incógnitas correspondentes às colunas sem pivots 1’s para escalares arbitrários, como se segue x3 = r e x4 = t. Então, x1 = x3 = r e x2 = −x3 − 2x4 = −r − 2t. A solu¸cão geral é dada por x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (r, −r − 2t, r, t) = r(1, −1, 1, 0) + t(0, −2, 0, 1). Assim, prova-se que {(1, −1, 1, 0); (0, −2, 0, 1)} é uma base para Nuc(T ). Em resumo, rref(A) dá-nos suficiente informa¸cão para encontrar a imagem e o n´ ucleo da transforma¸cão linear T.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 4.8.2 Encontre bases para o n´ ucleo de cada transforma¸c˜ ao linear cujas representa¸cões matriciais s˜ ao dadas abaixo. Representa¸cão matricial (a) A =

1 2 5 5 −2 −3 −8 −7

Base para o n´ ucleo



 −3 2 −7 (b) B =  2 −1 4  2 −2 6



 3 3 −3 1 11 (c) C =  −4 −4 7 −2 −19  2 2 −3 1 9



 1 2 4 −2 Exerc´ıcio 4.8.3 Sejam A =  2 1 2 0  e T (x) = Ax. Encontre uma 0 3 6 −4 base para o n´ ucleo de T.


4.8.2

211

Valores e vectores pr´ oprios

Seja A uma matriz de ordem n. No contexto das transforma¸cões lineares, consideremos T : Rn → Rn definida por T (x ) = Ax. Valores e vectores pr´ oprios para uma matriz A de ordem n Determinamos o vector não nulo x em Rn e o escalar λ tal que Ax = λx. Dizemos que λ é um valor pr´ oprio da matriz A e x um vector pr´ oprio associado. Uma estratégia básica para calcular valores próprios e os vectores próprios de uma matriz A, é come¸carmos pela equa¸cão matricial Ax = λx e utilizarmos conceitos estudados. Temos o seguinte conjunto de equa¸cões equivalentes: Ax = λx ⇐⇒ Ax = λIn x ⇐⇒ Ax − λIn x = 0 ⇐⇒ (A − λIn ) x = 0. Assim, o nosso problema formula-se num sistema de equa¸cões homogéneas (A − λIn ) x = 0. Procuremos um x 6= 0 que resolva este sistema homogéneo. Porém, um sistema homogéneo com o mesmo n´ umero de equa¸cões e incógnitas, tem uma solu¸cão não trivial se, e somente se, a sua matriz dos coeficientes for não invert´ıvel. A matriz A − λI é não invert´ıvel se, e somente se, det (A − λI) = 0. Então, o valor próprio λ é visto como um parâmetro que faz com que matriz A − λI seja não invert´ıvel. Com estes valores λ estamos preparados para determinar vectores x não nulos tais que Ax = λx. A expressão det (A − λI) dá-nos um polinómio de grau n em λ à qual chamamos polin´ omio caracter´ıstico da matriz A. A equa¸cão det (A − λI) = 0 é chamada de equa¸c˜ ao caracter´ıstica da matriz A. Os valores próprios de A são solu¸cões (ra´ızes) da equa¸cão caracter´ıstica. Os vectores próprios associados são solu¸cões do sistema homogéneo (A − λIn ) x = 0. Desta forma, encontramos os zeros do polin´ omio caracter´ıstico para determinar os valores pr´ oprios e depois encontramos a solu¸ c˜ ao geral do correspondente sistema homog´ eneo para determinar os vectores pr´ oprios. No OCTAVE, uma vez introduzida a matriz A, primeiro encontramos o polinómio caracter´ıstico de A. O comando poly(A)


212

dá-nos o vector linha que contém os coeficientes do polinómio caracter´ıstico, com o coeficiente do termo de maior grau na primeira entrada e o coeficiente constante na u ´ltima entrada. (Usam-se zeros para indicar os coeficientes de quaisquer potências de λ que explicitamente faltam.) O comando roots(poly(A)) dá-nos um vector coluna que contém os zeros do polinómio caracter´ıstico, isto é, os valores próprios de A. Ilustramos estes comandos no seguinte exemplo.



 5 −8 −1 Exemplo 4.8.1 Seja A =  4 −7 −4  . Introduza A no OCTAVE. Ent˜ ao, 0 0 4 o comando c=poly(A) exibe c = 1

−2

−11

12

que implica que o polinómio caracter´ıstico de A é 1λ3 − 2λ2 − 11λ + 12. Utilizando o comando r=roots(poly(A)) exibe (em ’format short’) r = −3.0000 4.0000 1.0000 Nota: Se foi utilizada aritmética exacta, ent˜ ao os zeros do polin´ omio caracter´ıstico desta matriz serão os inteiros 4, −3 e 1. Exibindo r em ’format long e’, observamos que um pequeno erro de arredondamento ocorreu no c´ alculo e desta forma o OCTAVE não exibe os valores inteiros exactos. Estas situa¸c˜ oes ocorrerão frequentemente no c´ alculo dos zeros do polin´ omio caracter´ıstico no OCTAVE. (e noutro software). Os valores próprios de A são λ = 4, −3, 1.


213

Uma vez obtidos os valores próprios λ de uma matriz A, os vectores próprios são determinados como solu¸cões não triviais x do sistema homogéneo (A − λIn ) x = 0. Para encontrar x 6= 0, digite rref(A -λI ) e construa a solu¸cão geral do sistema homogéneo. Vectores próprios linearmente independentes associados a λ obtêm-se, geralmente, extraindo uma base para a solu¸cão geral. Isto é equivalente a encontrar uma base para o n´ ucleo da transforma¸cão linear definida por T (x) = (A − λI) x. Verifica-se também que vectores próprios associados a valores próprios distintos são linearmente independentes. 

 5 −8 −1 Exemplo 4.8.2 Seja A =  4 −7 −4  . Tal como definida no exemplo 0 0 4 4.8.1, os valores próprios s˜ ao λ = 4, −3, 1. Para encontrar no OCTAVE os vectores próprios associados, procedemos como se segue. Para λ = 4: Utilizando o comando do OCTAVE M=rref(A − 4∗ eye(size(A))) obtemos M = 1 0 0

0 1 0

−1 0 0

A solu¸cão geral de (A − 4I) x = 0 é dada por x3 = r,

x2 = 0,

x1 = r.

Então, x = r(1, 0, 1) e tomemos (1, 0, 1) como um vector pr´ oprio associado ao valor próprio λ = 4. Note-se que poder´ıamos ter estabelecido para a constante r qualquer valor não nulo, para encontrar um vector pr´ oprio. Portanto, os vectores próprios associados a um valor pr´ oprio s˜ ao em n´ umero infinito. Para λ = −3: Utilizando o comando do OCTAVE M=rref(A − (−3)∗ eye(size(A))) obtemos M = 1 0 0

−1 0 0

0 1 0

A solu¸cão geral de (A + 3I) x = 0 é dada por x3 = 0,

x2 = r,

x1 = r.


214

Ent˜ ao, x = r(1, 1, 0) e tomemos (1, 1, 0) como um vector pr´ oprio associado ao valor próprio λ = −3. Para λ = 1: Utilizando o comando do OCTAVE M=rref(A − 1∗ eye(size(A))) obtemos M = 1 0 0

−2 0 0

0 1 0

A solu¸cão geral de (A − 1I) x = 0 é dada por x3 = 0,

x2 = r,

x1 = 2r.

Ent˜ ao, x = r(2, 1, 0) e tomemos (2, 1, 0) como um vector próprio associado ao valor próprio λ = 1. Uma vez que a matriz A tem 3 valores pr´ oprios distintos, segue-se que os vectores pr´ oprios (1, 0, 1), (1, 1, 0) e (2, 1, 0) s˜ ao linearmente independentes.



 7 −4 0 Exemplo 4.8.3 Seja A =  8 −5 0  . O comando r=roots(poly(A)) −4 4 3 revela que os valores próprios de A s˜ ao λ = 3, 3, −1. Encontremos os vectores pr´ oprios associados a λ = 3 como se segue. (Omitiremos o caso λ = −1.) Para λ = 3: M=rref(A − 3∗ eye(size(A))) mostra M = 1 0 0

−1 0 0

0 0 0

Ent˜ ao, x3 = r, x2 = s e x1 = s e temos x = (s, s, r) = s(1, 1, 0) + r(0, 0, 1). Segue-se que ambos os vectores (1, 1, 0) e (0, 0, 1) s˜ ao vectores pr´ oprios associados ao valor próprio λ = 3. Temos que (1, 1, 0) e (0, 0, 1) s˜ ao um par de vectores pr´ oprios linearmente independentes associados a λ = 3.


215

Aten¸c˜ ao: Se uma matriz tiver um valor próprio repetido k vezes, então é poss´ıvel que existam menos de k vectores próprios associados linearmente independentes. No ambiente computacional, essas matrizes podem ser dif´ıceis de detectar por causa dos erros de arredondamento que ocorrem nos cálculos. No OCTAVE, digite help eig O écran exibe uma descri¸cão do comando eig. Apenas nos interessam as seguintes caracter´ısticas: • eig(A) dá-nos um vector que contém os valores próprios da matriz quadrada A. • [v,d]=eig(A) dá-nos os vectores próprios de A como colunas da matriz v e a matriz diagonal d que contém os valores próprios correspondentes. Ilustramos o comando eig no seguinte exemplo. 

 3 0 0 Exemplo 4.8.4 Introduza a matriz A =  4 2 1.5  no OCTAVE. O co−5 0 .5 mando r=eig(A) dá-nos r = 2.0000 0.5000 3.0000 O comando [v,d]=eig(A) dá-nos v =

d = 0 1.0000 0

0 −.7071 .7071

0.4082 0.4082 −0.8165

2.0000 0 0

0 0.5000 0

0 0 3.0000

As colunas de v são os vectores pr´ oprios de A associados aos valores pr´ oprios nos elementos da diagonal da mesma coluna de d. Por conven¸c˜ ao, o OCTAVE


216

exibe os vectores próprios escalados (multiplicados por um escalar n˜ ao nulo) de tal modo que a sua norma seja 1. Se tivessemos feito os c´ alculos ` a m˜ ao, a matriz v seria 0 0 1 1 −1 1 0 1 −2 Aten¸ c˜ ao: O OCTAVE calcula os valores e vectores próprios através de métodos diferentes dos estudados. Os resultados são bastante exactos, mas é poss´ıvel surgirem diferen¸cas relativamente aos cálculos feitos à mão.

Exerc´ıcios Exerc´ıcio 4.8.4 Utilize os comandos poly e roots para encontrar o polin´ omio caracter´ıstico e os valores próprios de cada uma das seguintes matrizes. Registe os seus resultados ao lado de cada matriz. 

 4 −2 −5 (a) A =  1 1 −1  0 0 −1 

 −6 8 1 (b) B =  −4 6 1  0 0 1  − 12 1 − 12 (c) C =  − 12 1 − 12  0 0 1 



1  2 (d) D =   0 0

2 1 0 0

0 0 1 1

 0 0   1  1

Exerc´ıcio 4.8.5 Utilize eig nas matrizes do Exerc´ıcio 4.8.4. Compare os valores próprios com os calculados utilizando os comandos poly e roots.


217

Exerc´ıcio 4.8.6 Investiguemos os valores pr´ oprios de matrizes triangulares superiores. Execute as seguintes experiências. Registe a matriz A e os seus valores próprios. Procure uma rela¸c˜ ao entre as entradas de A e os seus valores pr´ oprios. n=3; A=triu(fix(10∗ rand(n))), r=roots(poly(A)) Repita a experiência várias vezes. Altere o n para 4 e fa¸ca a experiência. Complete a seguinte conjectura:

Os valores próprios de uma matriz triangular superior s˜ ao

.

Confirme a sua conjectura alterando n para 5 e repita a experiência v´ arias vezes. Exerc´ıcio 4.8.7 Nos comandos do OCTAVE do Exerc´ıcio 4.8.6, troque triu por tril e investigue os valores pr´ oprios de uma matriz triangular inferior. Procure uma rela¸cão entre as entradas de A e os seus valores pr´ oprios. Complete a seguinte conjectura:

Os valores próprios de uma matriz triangular inferior s˜ ao

.

Exerc´ıcio 4.8.8 Utilizando os resultados dos Exerc´ıcios 4.8.6 e 4.8.7 complete a seguinte conjectura.

Os valores próprios de uma matriz diagonal s˜ ao

Forne¸ca uma justifica¸cão para esta conjectura, com base nos conceitos relacionados com matrizes triangulares e diagonais.

.

218

˜ CAPÍTULO 4. APLICAC ¸ OES LINEARES Exerc´ıcio 4.8.9 Encontre os valores pr´ oprios e os vectores pr´ oprios para cada uma das seguintes matrizes. Registe os seus resultados ao lado de cada matriz.   3 0 −1 (a) A =  −1 −6 9  −1 0 3   0 1 0 (b) B =  0 −1 0  −2 −2 −1

Cap´ıtulo 5 Geometria Anal´ıtica 5.1

Introdu¸c˜ ao

Neste cap´ıtulo pretende-se aplicar alguns conte´ udos que aprendemos nos cap´ıtulos anteriores, para resolvermos problemas de Geometria Anal´ıtica - problemas não métricos e métricos. Para tal vamos come¸car por contextualizar os elementos com que vamos trabalhar.

5.1.1

Espa¸ co Afim

Em Geometria Anal´ıtica para além dos vectores surge a necessidade de um novo elemento, o ponto. Assim, estudemos um espa¸co mais abrangente que os espa¸cos vectoriais, os espa¸cos afins. Defini¸c˜ ao 5.1.1 Um espa¸co afim é um terno ordenado hE, V, φi , onde E é um conjunto cujos elementos s˜ ao chamados pontos, V é um espa¸co vectorial sobre R e φ é uma aplica¸cão de E × E em V, que satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: (i) ∀A, B, C ∈ E, φ (A, B) + φ (B, C) = φ (A, C) ; (ii) ∀A ∈ E, ∀u ∈ V, ∃1 M ∈ E : φ (A, M ) = u. Podemos assim afirmar que todos os pontos e todos os vectores formam um espa¸co afim. Pois um espa¸co afim E é um conjunto de elementos do género de pontos e de vectores e a rela¸cão que existe entre eles dá-se mediante a opera¸cão de constru¸cão de vectores. A aplica¸cão φ associa a cada biponto de E um vector de V, assim um vector u pode-se construir a partir de qualquer ponto A, obtendo-se −−→ um ponto M tal que AM = u. −→ Em vez de φ (A, B) , escreve-se muitas vezes AB ou ainda B − A, o que permite −→ −−→ escrever a primeira condi¸cão da defini¸cão 5.1.1 do seguinte modo: AB + BC = 219

CAPÍTULO 5. GEOMETRIA ANALÍTICA

220

−→ −→ AC ou (B − A)+(C − B) = (C − A) . Assim, AB = u é equivalente a B = A+u ou u = B − A. A direçcão (dimensão) do espa¸co afim é a direçcão (dimensão) do espa¸co vectorial que lhe está associado. Por abuso de linguagem, em vez de se dizer espa¸co afim hE, V, φi diz-se espa¸co afim E. Vejamos algumas propriedades fundamentais: Teorema 5.1.1 Seja E um espa¸co afim associado a um espa¸co vectorial V sobre R. Então, dados os pontos A e B de E e os vectores u e v de V, temos: −→ − → 1. AA = 0 ; −→ − → 2. AB = 0 ⇒ A = B; −→ −→ 3. AB = −BA; 4. (A + u) + v = A + (u + v) . Em situa¸cões concretas, geralmente não trabalhamos com todo o espa¸co afim, mas sim, com subespa¸cos afins, o que passaremos a definir. Defini¸c˜ ao 5.1.2 Dado um espa¸co afim E, associado ao espa¸co vectorial V, designa-se por subespa¸co afim de E associado ao subespa¸co vectorial W, de V, um conjunto F satisfazendo: −−→ (i) ∀X, Y ∈ F, XY ∈ W ; (ii) ∀X ∈ F, ∀v ∈ W : X + v ∈ F. Dir-se-á que F é um subespa¸co afim de dimensão k, quando W for um subespa¸co vectorial de dimensão k. A um subespa¸co afim de dimensão 0 chama-se um ponto, de dimensão 1 uma recta e de dimensão 2 um plano. Num espa¸co afim de dimensão n (com n > 1), chama-se hiperplano ao subespa¸co afim de dimensão n − 1. Os subespa¸cos afins, ponto, recta e plano, que nos são familiares, podem-se representar através de equa¸cões vectoriais, sistemas de equa¸cões paramétricas, equa¸cões cartesianas e equa¸cões normais. Recordemos cada representa¸cão anal´ıtica destes subespa¸cos afins. Para tal, necessitamos de definir referencial afim. Defini¸c˜ ao 5.1.3 Seja E um espa¸co afim associado ao espa¸co vectorial V, de dimens˜ ao n, sobre R. Chama-se referencial de E, a um par R = (O; (e1 , e2 , . . . , en )) , em que O ∈ E e (e1 , e2 , . . . , en ) é uma base de V.


221

Estudo do ponto Consideremos num certo espa¸co afim E um referencial (O; (e1 , e2 , . . . , en )) . Para −−→ cada ponto X ∈ E, o vector OX chama-se vector posi¸ c˜ ao do ponto X, em rela¸cão à origem O, e chamamos coordenadas do ponto X relativamente a este −−→ −−→ referencial às coordenadas do vector OX na base (e1 , e2 , . . . , en ) , ou seja, se OX tem as componentes (x1 , x2 , . . . , xn ) em rela¸cão à base considerada, diz-se que X tem coordenadas (x1 , x2 , . . . , xn ) em rela¸cão ao referancial (O; (e1 , e2 , . . . , en )) e escreve-se X ≡ (x1 , x2 , . . . , xn ) . Estudo da recta Uma representa¸cão cartesiana de uma recta ou de um plano, relativamente a um referencial (O; (e1 , e2 , . . . , en )) , é uma equa¸cão ou um sistema de equa¸cões, cujas solu¸cões são as coordenadas dos seus pontos no referencial considerado. Podemos representar estes subespa¸cos afins, como já foi dito, através de equa¸cões vectoriais, sistemas de equa¸cões paramétricas, equa¸cões cartesianas e equa¸cões normais. Antes de prosseguir, consideremos o conjunto dos ternos reais, R3 , a base canónica, (e1 , e2 , e3 ) , do espa¸co vectorial real R3 , e a aplica¸cão φ : R3 × R3 → R3 , definida por φ ((x1 , x2 , x3 ) , (y1 , y2 , y3 )) = (y1 − x1 , y2 − x2 , y3 − x3 ) . Pode-se verificar que esta aplica¸cão confere ao conjunto R3 a estrutura de espa¸co afim associado ao espa¸co vectorial real R3 . Por conveniência de nota¸cão, identifiquemos este espa¸co afim apenas por R3 . Para definirmos uma recta necessitamos de um ponto e uma direçcão ou de dois pontos. Consideremos cada uma destas situa¸cões. Recta definida por um ponto e uma direçcão Seja r uma recta que passa por um certo ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ) do espa¸co afim R3 e que tem a direçcão de um vector não nulo v = (a, b, c) = ae1 + be2 + ce3 . Um −−→ ponto P = (x, y, z) pertence à recta r se, e somente se, os vectores P0 P = P − P0 e v são paralelos, isto é, P ∈ r ⇐⇒ P − P0 = λv, λ ∈ R ⇐⇒ P = P0 + λv, λ ∈ R

(5.1)


222

A equa¸cão (5.1) chama-se equa¸ c˜ ao vectorial da recta r. Esta equa¸cão é equivalente às três equa¸cões que se seguem:   x = x0 + λa y = y0 + λb, λ ∈ R  z = z0 + λc

(5.2)

que constituem as chamadas equa¸ c˜ oes param´ etricas de r. As coordenadas a, b e c de v (ou as de qualquer outro vector com a mesma direçcão) dizemse parˆ ametros directores da recta r. Supondo que nenhum dos parâmetros directores de r é nulo, vem, eliminando o parâmetro λ nas equa¸cões (5.2), x − x0 y − y0 z − z0 = = , (5.3) a b c ao que chamamos de equa¸c˜ oes normais da recta r. Se algum dos parâmetros a, b e c for nulo, as equa¸cões normais tomam outra forma. Por exemplo, se a = 0 e b, c ambos não nulos (caso de uma recta paralela ao plano Y OZ), as equa¸cões normais da recta são

x y−y0 b

= =

x0 z−z0 c

(5.4)

Recta definida por dois pontos Dados os pontos P e Q, do espa¸co afim R3 , o problema da determina¸cão da equa¸cão da recta definida por esses dois pontos reduz-se ao caso anterior, fazendo v = Q − P. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto Antes de continuarmos o nosso estudo, é conveniente termos presente alguns conceitos importantes. Defini¸c˜ ao 5.1.4 Sejam u, v vectores n˜ ao nulos do espa¸co V. O produto interno (escalar) é definido por u|v = kuk kvk cos θ, onde kuk (kvk) é a norma (comprimento) do vector u (v) e θ ∈ [0, π] (amplitude p do a ˆ ngulo formado pelos vectores u e v). Facilmente se verifica que kuk = u|u p kvk = v|v .


223

Nota: Se um dos vectores é nulo, u|v = 0. Defini¸c˜ ao 5.1.5 Diz-se que o vector u é ortogonal ao vector v, e escreve-se u⊥v, se se tem u|v = 0. Defini¸c˜ ao 5.1.6 Diz-se que os vectores u e v s˜ ao ortonormados se s˜ ao ortogonais e normados (kuk = kvk = 1) . Concentremo-nos no estudo de um espa¸co afim real, de dimensão finita, cujo espa¸co vectorial associado está munido de um produto interno. Defini¸c˜ ao 5.1.7 Um espa¸co afim euclidiano é um espa¸co afim E tal que o seu espa¸co vectorial associado V, est´ a munido de um produto interno, |. Seja {e1 , e2 , . . . , en } um conjunto de vectores não nulos, de um espa¸co euclidiano, e suponhamos que tais vectores são ortogonais dois a dois, isto é, ei |ej = 0, ∀i, j ∈ {1, . . . , n} , i 6= j. Se V ⊂ Rn é um espa¸co vectorial e e1 , e2 , . . . , en são vectores não nulos ortogonais dois a dois, então {e1 , e2 , . . . , en } é uma base ortogonal. Se além disso, os vectores são normados, isto é, unitários, kei k = 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} , então {e1 , e2 , . . . , en } é uma base ortonormada. Nota: 1. u|v = 0 ⇔ (u = 0 ∨ v = 0) ∨ (u⊥v) 2. u|v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 , quando u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) estão definidas numa base ortonormada. Defini¸c˜ ao 5.1.8 Consideremos o espa¸co vectorial euclidiano V de dimens˜ ao 3 com base fixa e dois vectores u, v ∈ V. O produto externo ou vectorial de u por v é o vector u ∧ v, assim caracterizado: 1. se u e v forem linearmente independentes: (i) ku ∧ vk é igual à ´ area do paralelogramo definido por u e v, ou seja, ku ∧ vk = kuk · kvk · sin θ, onde θ é o ˆ angulo formado por u e v. (ii) u ∧ v é ortogonal a u e a v. (iii) o triedro u, v e u ∧ v é directo, isto é, det (u, v, u ∧ v) é um n´ umero positivo. 2. se u e v forem linearmente dependentes u ∧ v = 0 (0 é o vector nulo), isto é, u ∧ v = 0 se e só se u//v ∨ u = 0 ∨ v = 0. Se x = x1 i+x2 j +x3 k e y = y1 i+y2 j +y3 k, onde {i, j, k} é uma base ortonormada i j k do espa¸co vectorial real V = R3 , então x ∧ y = x1 x2 x3 . y1 y2 y3


224

Defini¸c˜ ao 5.1.9 Sejam x, y e z três vectores de R3 , definimos o produto misto dos vectores x, y e z (por esta ordem) como sendo o n´ umero real (x ∧ y) |z e representa-se por [x, y, z] ou por x ∧ y|z. Se x = x1 i + x2 j + x3 k e y = y1 i + y2 j + y3 k e z = z1 i + z2 j + z3 k, onde {i, j, k} é uma base ortonormada do espa¸co vectorial real V = R3 , então (x ∧ y) |z = x1 x2 x3 y1 y2 y3 . Geometricamente o produto misto representa o volume de um z1 z2 z3 paralelep´ıpedo formado pelos vectores x, y e z. Estudo do plano Para definirmos um plano necessitamos de um ponto e uma direçcão perpendicular ao plano, um ponto e duas direçcões ou de três pontos não colineares. Consideremos cada uma destas situa¸cões. Plano que passa por um ponto e é perpendicular a uma direçcão Consideremos um ponto P = (x0 , y0 , z0 ) , do espa¸co afim euclideano R3 , e um vector não nulo v = (a, b, c) . Suponhamos que queremos encontrar a equa¸cão do plano π que passa por P e é perpendicular ao vector v. Um ponto Q = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, −→ P Q⊥v, isto é, Q ∈ π ⇐⇒ (Q − P ) |v = 0 ⇐⇒ a (x − x0 ) + b (y − y0 ) + c (z − z0 ) = 0 ⇐⇒ ax + by + cz − (ax0 + by0 + cz0 ) = 0

(5.5)

A equa¸cão (5.5) pode-se escrever como ax + by + cz + d = 0, onde a, b e c são os parâmetros directores de uma recta perpendicular ao plano (que se chama eixo do plano) e d = − (ax0 + by0 + cz0 ) . Esta equa¸cão denominase de equa¸c˜ ao cartesiana ou equa¸ c˜ ao geral do plano π. Reciprocamente, verifica-se que toda a equa¸cão da forma ax + by + cz + d = 0 representa um plano perpendicular ao vector v = (a, b, c) (denominado vector normal ao plano), isto é, é a equa¸cão de um plano cujo eixo tem (a, b, c) como parâmetros directores. Da equa¸cão geral do plano π, podemos obter outras formas de equa¸cões do plano.


225

Se quisermos determinar as equa¸cões paramétricas do plano ax + by + cz + d = 0, fazemos z = α, y = λ, e temos   x = − ab λ − ac α − y = λ,  z = α

d a

α, λ ∈ R

para equa¸cões paramétricas. Convém notar, que estamos a assumir que o coeficiente a 6= 0, e portanto a dedu¸cão terá que ser modificada se a = 0. Casos particulares da equa¸cão ax + by + cz + d = 0 1. O coeficiente d é nulo. Então ax + by + cz + d = 0 representa um plano que passa na origem. 2. Um dos coeficientes das variáveis é nulo. (i) Se a = 0, a equa¸cão ax + by + cz + d = 0 representa um plano paralelo ao eixo coordenado OX, isto é, um plano perpendicular ao plano Y OZ. (ii) Se b = 0, a equa¸cão ax + by + cz + d = 0 representa um plano paralelo ao eixo coordenado OY, isto é, um plano perpendicular ao plano XOZ. (iii) Se c = 0, a equa¸cão ax + by + cz + d = 0 representa um plano paralelo ao eixo coordenado OZ, isto é, um plano perpendicular ao plano XOY. 3. Dois dos coeficientes das variáveis são nulos. (i) Se a = 0 e b = 0, a equa¸cão cz + d = 0 representa um plano paralelo ao plano XOY, isto é, um plano perpendicular ao eixo OZ. (ii) Se b = 0 e c = 0, a equa¸cão ax + d = 0 representa um plano paralelo ao plano Y OZ, isto é, um plano perpendicular ao plano OX. (iii) Se a = 0 e c = 0, a equa¸cão by + d = 0 representa um plano paralelo ao plano XOZ, isto é, um plano perpendicular ao plano OY. Plano definido por um ponto e duas direçcões Consideremos o ponto P = (x0 , y0 , z0 ) , do espa¸co afim euclideano R3 , e dois vectores u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) . Se quisermos determinar a equa¸cão do plano π que passa por P e que tem a direçcão de u e v, consideramos o vector normal ao plano u ∧ v, e procedemos como atrás. A equa¸ c˜ ao vectorial do plano π é Q = P + λu + αv, onde Q = (x, y, z) .


226

Plano definido por três pontos não colineares Se o plano π estiver definido por três pontos P1 , P2 e P3 , não colineares, determinar a equa¸cão do plano reduz-se ao caso anterior, fazendo u = P1 − P0 e v = P2 − P1 .

5.2 Problemas n˜ ao m´ etricos entre subespa¸ cos afins Dada a importância da posi¸cão relativa de dois subespa¸cos afins (ponto, recta ou plano), vamos estudar detalhadamente as poss´ıveis posi¸cões relativas entre dois pontos, duas rectas, dois planos, um ponto e uma recta, um ponto e um plano, uma recta e um plano, assim como métodos para as determinar. Consideremos que (O; (e1 , e2 , . . . , en )) é um referencial de um certo espa¸co afim E. Dois pontos, ponto/recta e ponto/plano Sejam A e B dois pontos do espa¸co afim E de coordenadas (a1 , a2 , . . . , an ) e (b1 , b2 , . . . , bn ) , respectivamente. Defini¸c˜ ao 5.2.1 Os pontos A e B tais que (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ) , s˜ ao chamados de coincidentes. Caso contr´ ario dizem-se distintos. Defini¸c˜ ao 5.2.2 Dada a recta r, cuja representa¸c˜ ao vectorial é X = P + λu, λ ∈ R, P ∈ E, diz-se que um ponto A pertence a r, se e s´ o se A satisfaz a equa¸cão da recta. Caso contrário, o ponto n˜ ao pertence ` a recta. Defini¸c˜ ao 5.2.3 Dado um plano π definido pela equa¸c˜ ao vectorial X = P + λu + αv, λ, α ∈ R, P ∈ E, diz-se que um ponto A pertence ao plano π, se e s´ o se A satisfaz a equa¸cão do plano. Caso contr´ ario, o ponto n˜ ao pertence ao plano. Duas rectas e recta/plano Tomemos consciência da no¸cão de paralelismo entre dois subespa¸cos afins. Defini¸c˜ ao 5.2.4 Sejam E1 e E2 dois subespa¸cos afins de um espa¸co afim E, associados aos subespa¸cos vectoriais W1 e W2 , respectivamente, do espa¸co vectorial V associado a E. Diz-se que E1 é paralelo a E2 , e escreve-se E1 //E2 , se se tem W1 ⊆ W2 ou W2 ⊆ W1 .

˜ METRICOS ´ 5.2. PROBLEMAS NAO ENTRE SUBESPAC ¸ OS AFINS

227

´ claro que, se E1 e E2 têm a mesma dimensão (finita), então E1 //E2 se e só se E E1 e E2 têm o mesmo subespa¸co vectorial associado, isto é, se e só se W1 = W2 . Defini¸c˜ ao 5.2.5 Os subespa¸cos afins E1 e E2 de um espa¸co afim E, dizem-se estritamente paralelos, se e s´ o se E1 //E2 e E1 ∩ E2 = ∅. Consideremos no espa¸co afim E os pontos P, Q e R e sejam r e s duas rectas definidas por X = P + λu, λ ∈ R e X = Q + βv, β ∈ R, respectivamente, e X = R + ρu + αv, ρ, α ∈ R, a equa¸cão de um plano π. Para analisarmos a posi¸cão relativa entre as duas rectas, basta estudarmos a linearidade dos vectores directores das respectivas rectas. Se u e v são linearmente dependentes, as rectas ou são coincidentes - se um ponto de uma recta pertence à outra; ou paralelas distintas - se não existir nenhum ponto comum. Se u e v são linearmente independentes, as rectas ou são reversas (enviezadas) ou concorrentes. Para analisarmos esta situa¸cão, devemos considerar um terceiro vector formado por um ponto de cada uma das rectas. Neste caso podemos, −→ −→ por exemplo, tomar o vector P Q, e verificar se os vectores u, v e P Q são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Caso sejam linearmente dependentes, as rectas r e s são concorrentes, podendo ser perpendiculares se u|v = 0, caso contrário, se são linearmente independentes as rectas são reversas, podendo ser ortogonais se u|v = 0. ´ conveniente distinguirmos as no¸cões entre espa¸cos afins perpendiculares e E espa¸cos afins ortogonais, visto que nem todo o espa¸co ortogonal é perpendicular, apesar de todo o espa¸co perpendicular ser ortogonal. Defini¸c˜ ao 5.2.6 Dois espa¸cos afins dizem-se perpendicularidades se forem ortogonais e se, além disso, a sua interseçc˜ ao for n˜ ao vazia. Um método comum para analisar a posi¸cão relativa entre uma recta e um plano resulta da conjun¸caõ das equa¸cões da recta e do plano, o que se traduz num problema de resolu¸cão de sistemas. Assim, se o sistema for: e • Imposs´ıvel: significa que não existe nenhum ponto comum - a recta ´ paralela ao plano, e representa-se por r//π. • Poss´ıvel e indeterminado: significa que existe um n´ umero infinito de pontos comuns, isto é, todos os pontos da recta pertencem ao plano - a recta está contida no plano, e representa-se por r ⊂ π. • Poss´ıvel e determinado: significa que existe um u ńico ponto comum - a recta é transversal ao plano.


228

Considerando o espa¸co afim R3 , podemos simplificar o nosso estudo relativamente a` análise da posi¸cão relativa entre uma recta e um plano. Para tal, basta considerarmos um sistema constitu´ıdo pelas equa¸cões paramétricas da recta e pela equa¸cão geral ou cartesiana do plano. Seja, por exemplo, (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (m, n, p) a equa¸cão vectorial de uma recta r e ax + by + cz + d = 0 a equa¸cão cartesiana de um plano π. Assim, o nosso problema resume-se a estudar o sistema

(x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (m, n, p) , ax + by + cz + d = 0

que é equivalente a,  x   

− mλ = x0 y − nλ = y0 . z − pλ = z0    ax + by + cz = −d Reescrevendo o sistema linear na forma de matriz ampliada e utilizando o método de elimina¸cão de Gauss, temos: 

1  0   0 a

0 1 0 b

0 −m x0 0 −n y0 1 −p z0 c 0 −d





1  −−−−−−−−−−−−→  0  −aL1 + L4 → L4    0 0 

1  −−−−−−−−−−−−→  0 −bL2 + L4 → L4  0 0  1 0 0  −−−−−−−−−−−−→  0 1 0 −cL3 + L4 → L4  0 0 1 0 0 0

0 1 0 b

0 −m x0 0 −n y0 1 −p z0 −d − ax0 c am

 x0  y0   z0 −d − ax0 − by0 −m x0 −n y0 −p z0 am + bn + cp −d − ax0 − by0 − cz0

0 1 0 0

   

0 −m 0 −n 1 −p c am + bn

   

Logo o sistema é poss´ıvel e determinado se e só se am + bn + cp 6= 0. Assim, podemos concluir que se: • am + bn + cp 6= 0 - o sistema admite solu¸cão u ńica, isto significa que a interseçcão da recta com o plano é um ponto, logo r é transversal (concorrente) a π. Podemos, também, concluir que r é ortogonal a π se nπ ∧(m, n, p) = 0, onde nπ é o vector normal ao plano π, isto é, nπ = (a, b, c) .

´ 5.3. PROBLEMAS METRICOS ENTRE SUBESPAC ¸ OS AFINS

229

• am + bn + cp = 0 - o sistema ou é poss´ıvel e indeterminado ou é imposs´ıvel, o que significa que, ou todos os pontos da recta pertencem ao plano, ou nenhum ponto da recta pertence ao plano, isto é, a interseçcão do plano com a recta é vazia. Assim, basta verificar se um ponto qualquer da recta pertence ou não ao plano. Caso um ponto da recta perten¸ca ao plano significa que a interseçcão da recta com o plano é uma infinidade de pontos, ou seja, a recta está contida no plano (r ⊂ π) , caso tal não se verifique, significa que a interseçcão é vazia, logo a recta é paralela ao plano (r//π) . Dois planos No estudo da posi¸cão relativa entre dois planos, podemos come¸car por analisar se os planos têm a mesma direçcão, considerando os vectores normais aos planos. Pois, se os vectores normais aos planos forem linearmente dependentes, os planos têm a mesma direçcão, o que nos permite concluir que ou são coincidentes (para tal basta que um ponto de um plano perten¸ca ao outro) ou são paralelos distintos (isto é, não existe nenhum ponto comum). Se os vectores normais aos planos forem linearmente independentes, então os planos são transversais. Podemos analisar as poss´ıveis posi¸cões relativas entre um plano e uma recta, dois planos e duas rectas, recorrendo à representa¸cão matricial do sistema de equa¸cões lineares, obtido a partir das representa¸cões cartesianas dos respectivos espa¸cos afins, ou seja, procedendo ao estudo da caracter´ıstica da matriz ampliada versus caracter´ıstica da matriz dos coeficientes.

5.3

Problemas m´ etricos entre subespa¸ cos afins

Nesta seçcão vamos estudar alguns métodos que nos permitem o cálculo da distância e amplitude do ângulo formado entre subespa¸cos afins de R3 .

5.3.1

Distˆ ancia entre subespa¸ cos afins de R3

Comecemos por definir alguns conceitos importantes. Defini¸c˜ ao 5.3.1 Se A e B s˜ ao pontos de um espa¸co afim euclidiano E (ver defini¸cão 5.1.7), chama-se distˆ ancia de A a B, e representa-se por d (A, B) , à q −→ −→ norma do vector B − A, isto é, d (A, B) = kB − Ak = AB|AB. Defini¸c˜ ao 5.3.2 Designa-se por espa¸co métrico um par hE, di , onde E é um conjunto não vazio, cujos elementos se chamam pontos, e d : E × E → R é uma fun¸cão que satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes:


230

(i) ∀A, B ∈ E, d (A, B) = d (B, A) ; (ii) ∀A, B ∈ E, d (A, B) ≥ 0, sendo d (A, B) = 0 ⇔ A = B; (iii) ∀A, B, C ∈ E, d (A, C) ≤ d (A, B) + d (B, C) . O n´ umero real não negativo d(A, B) designa-se por distˆ ancia de A a B. Nota: hE, di onde E é um espa¸co afim euclidiano e d (A, b) = kB − Ak é um espa¸co métrico, uma vez que d assim definida é uma distância. Defini¸c˜ ao 5.3.3 Sejam E1 e E2 dois subespa¸cos afins de R3 . A distˆ ancia entre E1 e E2 define-se como sendo o m´ınimo das distˆ ancias entre pontos de E1 e E2 , ou seja, d (E1 , E2 ) = min {d (A, B) : A ∈ E1 , B ∈ E2 } . Considerando, daqui em diante, bases ortonormadas, vamos estudar métodos expeditos para calcular a distância entre: • dois pontos • um ponto e uma recta • um ponto e um plano • duas rectas • uma recta e um plano • dois planos Ponto/ponto Sejam P = (a, b, c) e Q = (x, y, z) dois pontos de R3 . Então,

−→ p d (P, Q) = P Q = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 .

Ponto/recta Sejam A e B dois pontos distintos quaisquer de uma recta r. Para achar a distância de um ponto P à recta r, geometricamente, temos Determinar a distância de P a r, d (P, r) , resulta de considerarmos a área do triângulo, ABP, A[ABP ] , por um lado A[ABP ] = e por outro

1

−→ −→

AP ∧ AB , 2


A[ABP ] =

−→

AB · d (P, r) 2

231

.

Logo

−→ −→ −→

AP ∧ AB = AB · d (P, r) donde vem que

−→ −→ AP ∧ AB

. d (P, r) =

−→

AB

Ponto/plano Para determinar a distância de um ponto P a um plano π, consideremos a −→ projeçcão ortogonal de AP , A ∈ π, P 6∈ π, ou seja, geometricamente,

−→

AP |nπ

−→ Assim, temos d (P, π) = AP × cos θ. Donde vem, d (P, π) = knπ k . Se P = (x0 , y0 , z0 ) e π : ax + by + cz + d = 0 temos,

d (P, π) =

|ax0 + by0 + cz0 + d| √ . a2 + b 2 + c 2


232 Recta/recta

Dadas duas recta r e s reversas, sabendo que os vectores u e v tais que u//r e v//s, temos u e v linearmente independentes. Sejam P um ponto de r e Q um ponto de s, então podemos traduzir a distância de r a s pela seguinte fórmula

d (r, s) =

−→ QP |u ∧ v ku ∧ vk

.

Se u e v linearmente dependentes, para determinar a distância de r a s basta tomar um ponto qualquer de uma das rectas e achar a distância desse ponto à outra recta. Recta/plano Sejam r uma recta e π um plano, supondo que um vector u é tal que u//r e que nπ é um vector normal do plano π, para determinar d (r, π) tem-se: • se r é transversal a π, isto é, u|nπ 6= 0 então d (r, π) = 0. • se r é paralela a π, isto é, u|nπ = 0, então d (r, π) é igual à distância de um ponto de r a π. Plano/plano Dados dois planos π1 e π2 , e sejam nπ1 e nπ2 vectores normais aos planos π1 e π2 , respectivamente. Para determinar a distância π1 a π2 vem que : • se π1 é transversal a π2 , isto é, nπ1 e nπ2 são linearmente independentes, então d (nπ1 , nπ2 ) = 0. • se π1 e π2 são paralelos, isto é, nπ1 e nπ2 são linearmente dependentes, então d (nπ1 , nπ2 ) é igual à distância entre um ponto de um plano e o outro plano.

5.3.2 afins

Amplitude do ˆ angulo formado por dois subespa¸ cos

Aplicando alguns conceitos já adquiridos, podemos calcular a amplitude do ângulo formado entre dois subespa¸cos afins que corresponde à menor amplitude dos ângulos formados por esses subespa¸cos afins.


233

Recta/Recta Sejam r e s duas rectas, cujos vectores directores são respectivamente u e v. O ângulo formado pelas rectas r e s, é por defini¸cão, o menor ângulo formado pelas rectas complanares. Recorrendo ao ângulo formado pelos respectivos vectores directores u e v, α, das rectas r e s podemos determinar o ângulo entre as referidas rectas, θ. Analisemos duas situa¸cões, por um lado quando α = θ, isto é,

ou seja, 0 ≤ α ≤ α + θ = π, isto é,

π , 2

logo u|v ≥ 0, pelo que cos θ =

u|v . kukkvk

Por outro lado se

u|v ou seja, π2 ≤ α ≤ π, temos cos θ = cos (π − α) = − cos α = − kukkvk . Assim, pode-se concluir que para determinar a amplitude do ângulo, θ, formado por |u|v| |u|v| , logo, θ = arc cos kukkvk . duas rectas r e s basta determinar cos θ = kukkvk

Recta/Plano Consideremos o plano π e uma recta r e seja θ o ângulo formado pelo plano π e pela recta r. Para determinar a amplitude do ângulo entre uma recta r e um plano π, pode-se calcular primeiro a amplitude do ângulo α entre a recta r |u|nπ | , onde e um vector normal ao plano nπ . Como θ + α = π2 , vem sin θ = kukkn πk


234

nπ é um vector normal do plano π e u é o vector director da recta r. Assim, |u|nπ | . θ = arc sin kukkn πk Plano/Plano Sejam π e ρ dois planos. Pode-se definir o ângulo dos planos π e ρ como sendo o ângulo formado por duas rectas perpendiculares a cada um dos planos. Reduzindo-se este problema ao cálculo da amplitude do ângulo formado por duas rectas.

5.4. EXERCÍCIOS

5.4

235

Exerc´ıcios

Espa¸cos vectoriais euclidianos. Norma de um vector. Produto escalar, vectorial e misto. Exerc´ıcio 5.4.1 Considere o vector v = (6, 7, −3). Encontre um vector não nulo u, cujo ponto inicial seja P (−1, 3, −5) e que satisfa¸ca: (a) u tem a mesma direçc˜ ao que v; (b) u tem sentido oposto a v. Exerc´ıcio 5.4.2 Considere no referencial can´ onico de R3 os vectores u = (0, 1, 1); v = (1, 1, 1) e w = (1, 2, 1). Determine: (a) u|v (b) u ∧ v (c) (u ∧ v)|w. Exerc´ıcio 5.4.3 Sejam u = (3, 4), v = (5, −1)e w = (7, 1). Determine: (a) u|(7v + w) (b) k(u|w)wk (c) kuk(v|w) (d) (kukv) |w. Exerc´ıcio 5.4.4 Considere o referencial can´ onico de R3 . Mostre que os vectores a = (2, 1, 2) e b = (−2, 2, 1) s˜ ao ortogonais mas n˜ ao ortonormados. Exerc´ıcio 5.4.5 Sejam u = e1 + 2e2 − e3 e v = 2e1 + e2 + e3 dois vectores de R3 e {e1 , e2 , e3 } a base can´ onica deste espa¸co vectorial. Determine, se poss´ıvel, a área do paralelogramo que estes dois vectores definem. Exerc´ıcio 5.4.6 Encontre um vector unit´ ario que seja ortogonal aos vectores u = e1 + e3 e v = e2 + e3 Exerc´ıcio 5.4.7 Sejam p = (2, k) e q = (3, 5). Determine k de forma que: (a) p e q sejam paralelos; (b) p e q sejam ortogonais;


236

Espa¸cos Afins. Representa¸ c˜ oes da Recta e do Plano. m´ etricos e n˜ ao m´ etricos.

Problemas

Exerc´ıcio 5.4.8 Determine as equa¸c˜ oes paramétricas e as equa¸c˜ oes normais da recta que passa pelos pontos A = (1, −3, 2) e B = (−1, 5, 0). Exerc´ıcio 5.4.9 Determine a equa¸c˜ ao geral do plano que passa pelo ponto P = (1, 1, 4) e tem n = (1, 9, 8) como vector normal. Exerc´ıcio 5.4.10 Dados os pontos A = (−4, −1, −1), B = (−2, 0, 1) e C = (−1, −2, −3), escreva a equa¸cão do plano que: −−→ (a) contém A e é perpendicular a BC; (b) contém os três pontos. Exerc´ıcio 5.4.11 Verifique se os planos α : 3x − y + z − 4 = 0 e β : x + 2z = 1 s˜ ao paralelos. Exerc´ıcio 5.4.12 Verifique se os planos α : (−2, 1, 4)|(x − 1, y, z + 3) = 0 e β : (1, −2, 1)|(x + 3, y − 5, z) = 0 s˜ ao perpendiculares. Exerc´ıcio 5.4.13 Considere a recta e o plano de equa¸c˜ oes:   x = −5 − 4t y =1−t r: ,t ∈ R e π : x + 2y + 3z − 9 = 0  z = 3 + 2t (a) Verifique que a recta r é paralela ao plano π. (b) Defina uma recta contida no plano π e paralela ` a recta r. Exerc´ıcio 5.4.14 Encontre as equa¸c˜ oes paramétricas da recta de interseçc˜ ao dos planos: α : 2x + 3y − 5z = 0 e β : y = 0. Exerc´ıcio 5.4.15 Determine a equa¸c˜ ao do plano que passa pelo ponto (−2, 1, 7) e é perpendicular à recta: y+2 z x−4 = = 2 3 −5

5.4. EXERCÍCIOS

237

Exerc´ıcio 5.4.16 Considere as rectas r e s de equa¸c˜ oes:    x − 3 = 4t  x + 1 = 12t y − 7 = 6t , t ∈ R y − 4 = t ,t ∈ R r: e s:   z−1=0 z − 5 = 3t (a) Mostre que as rectas se intersectam e determine o ponto de interseçc˜ ao. (b) Escreva uma equa¸cão do plano que contém o ponto de interseçc˜ ao das duas rectas e é perpendicular ` a recta r. Exerc´ıcio 5.4.17 Determine a distˆ ancia da origem ` a recta de equa¸c˜ oes: x−1 y+1 = = 2z 2 3 Exerc´ıcio 5.4.18 Determine a distˆ ancia do ponto P = (−1, 2, 1) ao plano: α : 2x + 3y − 4z = 1. Exerc´ıcio 5.4.19 Determine a distˆ ancia entre os dois planos que se seguem: α : 2x − y + z = 1 β : 2x − y + z = −1. Exerc´ıcio 5.4.20 Determine o ˆ angulo agudo entre o plano α : x − y − 3z = 5 e a recta r :2−x=

y z+1 = . 2 3

Exerc´ıcios de Exame - 2003/2004 Exerc´ıcio 5.4.21 (Frequência / 13-Jan-2004) Considere os planos α : x + 2y − z = 3 e β cujo vector normal é n = (1, 3, 1) e contém o ponto P (1, 0, 0). (a) Qual a posi¸cão relativa entre os dois planos? (b) Determine a amplitude do ˆ angulo formado pelos dois planos. (c) Encontre as equa¸cões normais da recta r que passa pelo ponto Q(1, 1, 1) e é paralela à recta onde os planos α e β se intersectam. (d) Determine a distância entre as duas rectas da al´ınea anterior.

238

CAPÍTULO 5. GEOMETRIA ANALÍTICA Exerc´ıcio 5.4.22 (Exame Normal / 03-Fev-2004) x=1 e s a recta que contém o ponto P (1, 0, 5) e tem a Considere r : y = 2z direçcão de v = (3, 1, 0). (a) Qual a posi¸cão relativa entre r e s? (b) Determine a distância entre r e s? (c) Encontre a equa¸cão geral do plano que é perpendicular a r e intersecta s no ponto Q(4, 1, 5). (d) Determine a amplitude do ˆ angulo formado pelo plano encontrado na al´ınea anterior e a recta s. Exerc´ıcio 5.4.23 (Exame Recurso / 17-Fev-2004) Considere os planos α : x + 3y + 2 = 0 e β cuja equa¸c˜ ao vectorial é (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, 1, 0) + µ(3, 2, 0), λ, µ ∈ R (a) Qual a posi¸cão relativa entre α e β? (b) Encontre as equa¸cões normais da recta r que é paralela a ambos os planos, α e β, e contém o ponto (3, 2, 1). (c) Determine a distância entre a recta r e o plano β. (d) Sem efectuar quaisquer c´ alculos, indique a amplitude do ˆ angulo formado pelo plano β e por uma recta perpendicular a r, cuja amplitude do ˆ angulo ◦ formado com o plano α é 45 .

Sebenta ALGA 10_11

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