Análise Moisés Toledo∗ 11 de abril de 2012
Solução de exercícios: 8.1 – 8.7 - Seção 8
Exercício 1. O cone C = (x,y,z ) R2 .
{
2
2
∈ R ; z ≥ 0, x
+ y2
−z
2
= 0 é homeomorfo a
}
Demonstração. (i) Seja a função função bijetiva bijetiva
ϕ:
C (t cos θ, t sin θ, t)
·
·
−→ −→
R2
(t, tan( x2
−
π )) 2
(ii) A inversa inversa fica fica definida
ϕ−1 :
R2
(t, µ)
−→ −→
C (t cos(π + 2 arctan µ), t sin(π + 2 arctan µ), t)
·
·
Exercício Exercício 2. Estabeleça um homeomorfismo entre Rn+1
n
− {0} e S × R.
Demonstração. (i) Seja a função função bijetiva bijetiva
ϕ:
R
n+1
− {0} −→ −→ x
S
n
×R |x|)
( |xx| , ln
(ii) A inversa inversa fica fica definida
ϕ−1 : ∗
Universidade Universidade Federal da Paraíba
Sn
× R −→ (z, t) −→
Rn+1
− {0} e ·z t
2
Exercício Exercício 3. Para cada c > 0 , o hiperboloide de revolução H = (x,y,z ) y 2 z 2 = c é homeomorfo a S1 R
−
}
{
×
2
2
∈ R ;x
+
Demonstração. (i) Seja a função função bijetiva bijetiva S1
ϕ:
×R
−→ √ H √ −→ ( c cosh(t) cos θ, c cosh(t) sin θ, √c sinh(t))
(cos θ, sin θ, t) (ii) A inversa inversa fica fica definida
ϕ−1 :
−→ H √ √ √ ( c cosh(t) cos θ, c cosh(t) sin θ, c sinh(t)) −→
Exercício 4. O quadrante P = (x, y ) 0 . plano superior S = (x, y ) R2 ; y
{
∈
{
S1
×R
(cos θ, sin θ, t)
2
∈ R ; x ≥ 0, y ≥ 0} é homeomorfo ao semi≥ }
Demonstração. (i) Seja a função função bijetiva bijetiva
ϕ:
P (x, y )
−→ −→
S (ln x, y )
(ii) A inversa inversa fica fica definida
ϕ−1 :
S (x, y )
−→ −→
P (e , y ) x
R2 ; y = 0, 0 < x < 1 e Y = (x, y ) Exercício 5. Os conjuntos X = (x, y ) R2 ; y = 0 são homeomorfos mas não existe existe um homeomorfismo homeomorfismo h : R2 R2 tal que h(X ) = Y .
{
}
∈
}
Demonstração. (i) Seja a função função bijetiva bijetiva
ϕ:
X (x, 0)
−→ −→
Y (tan(πx
−
π ), 0) 2
→
{
∈
3
(ii) A inversa inversa fica fica definida
ϕ−1 :
−→ −→
Y (x, 0)
X
( 12
+
1 π
· arctan(x))
(iii) Não existe um homeomorfismo homeomorfismo h : R2 R2 tal que h(X ) = Y pois se assim fora, então como h([0, 1], 0) é compacto, em particular é limitado, dai como h((0, 1), 0) h([0, 1], 0) então h((0, 1), 0) é limitado o qual é uma contradição ao fato que h((0, 1), 0) não é limitado.
→
⊂
Exercício 6. Estabeleça um homeomorfismo entre os conjuntos X = x Rn ; 0 < x 1 (bola unitária fechada menos a origem) e Y = y Rn; y 1 (complementar da bola unitária aberta).
| |≤ }
{ ∈
{ ∈ | |≥ }
Demonstração. (i) Seja a função função bijetiva bijetiva
ϕ : X x
−→ −→
Y e|
1
−1 |
x
·
x |x|
(ii) A inversa inversa fica fica definida
ϕ−1 : Y y
−→ −→
X
y |y |·(ln( |·(ln(||y |)+1)
figura ra 8 é a reunião de dois círculos tangentes externamente em Exercício 7. A figu 2 figura ra 8 e mostre que sua inversa é R . Defina uma bijeção contínua de R sobre a figu descontínua.
Demonstração. Sejam c, a > 0 números reais fixos, e T o gráfico da figura oito (lemniscata). (i) Seja a função função bijetiva bijetiva
ϕ:
R
x
−→ −→
(ii) A inversa inversa não fica fica definida em (0, 0).
T
(x,cx(a2
2 1/2
−x )
)
