Análisis Real Volumen I Elon Lages Lima

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Secci´ on 3

Criterios de convergencia

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p escogemos c tal que L < c < 1 y tendremos n |an | < c para todo n suficientemente grande (Teorema 5, Cap´ıtulo 3) y estamos as´ı en el caso anterior. Observaci´ on: Cuando p se aplica el criterio de Cauchy tambi´en se intenta calcular l´ım n |an | =p L. Si L > 1, la serie es divergente. En n efecto, en este caso se tiene |an | > 1 paraPtodo n suficientemente grande, de donde |an | > 1, luego la serie an es divergente pues su t´ermino general no tiende a cero.PCuando L = 1, la serie puede ser divergente (como en el caso (1/n)) o convergente (como P (1/n2 )). √ Ejemplo 10.PSea an = (log n/n)n . Como n an = log /n tiende a cero, la serie an es convergente.

El pr´oximo teorema relaciona los criterios de d’Alambert y Cauchy.

Teorema 7. Sea (an ) una sucesi´ on cuyos t´ep rminos son diferentes de cero. Si l´ım |an+1 |/|an | = L, entonces l´ım n |an | = L.

Demostraci´ on: Para simplificar la notaci´on supondremos que an > 0 para todo n ∈ N. En primer lugar consideremos el caso L 6= 0. Dado ε > 0, fijamos K, M tales que L − ε < K < L < M < L + ε. Entonces existe p tal que n ≥ p ⇒ K < an+1 /an < M. Multiplicando miembro a miembro las n − p desigualdades K < ap+i /ap+i−1 < M i = 1, . . . , n − p, obtenemos K n−p < an /ap < M n−p para todo n > p. Escribimos α = ap /K p y β = ap√/M p . Entonces K√n α < an < M n β. Extrayendo ra´ıces se obtiene K n α < √ n an < M n β para todo n > p. Si√tenemos en cuenta L − ε < K, √ n M < L + ε, l´ım α = 1 y l´ım n √ β = 1, conclu´ ımos que existe √ n n r0 > p tal que n > n0 ⇒ L − ε < K α y M β < L + ε. Entonces √ n > n0 ⇒ L − ε < n an < L + ε. Si L = 0 es suficiente considerar exclusivamente M en la prueba del caso L 6= 0. √ n Ejemplo 11. Del Teorema 7 resulta que l´ ım n/ n! = e. En efecto, √ √ escribiendo an = nn /n! se tiene n/ n n! = n an . Ahora bien,  n an+1 (n + 1)n+1 n! (n + 1)(n + 1)n n! n+1 = = = , an (n + 1)! nn (n + 1)n! n∗n n √ luego l´ım(an+1 /an ) = e, y de aqu´ı l´ım n an = e.

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Series de n´ umeros

Cap. 4

4. Reordenaciones P Una serie an se dice incondicionalmente convergente si, P para cualquier biyecci´on ϕ : N → N, haciendo bn = aϕ(n) , la serie P bn es convergente. (En particular, tomando ϕ(n) = n, vemos que an es convergente). Como consecuencia dePlos resultados que demostraremos m´as adelante,Pse tienePque si an es incondicionalmente convergente, entonces bn = an , independiente de la biyecci´ P on ϕ. Esta es la manera m´as precisa de afirmar que la suma an no depende del orden de sus t´erminos. No obstante, esto no ocurre siempre. Ejemplo 12. La serie s=1−

1 1 1 + − +··· 2 3 4

converge, pero no incondicionalmente. En efecto, tenemos s 1 1 1 1 = − + − +··· . 2 2 4 6 8 Entonces podemos escribir 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − +··· 2 3 4 5 6 7 8 s 1 1 1 1 = 0+ +0− +0+ +0− +··· . 2 2 4 6 8 s = 1−

Sumando t´ermino a t´ermino 3s 1 1 1 1 1 1 1 1 =1+ − + + − + + − +··· . 2 3 2 5 7 4 9 11 6 La u ´ ltima serie, cuya suma es 3s , tiene los mismos t´erminos que 2 la serie inicial, cuya suma es s, pero en orden diferente. P Teorema 8. Si an es absolutamente convergente entonces P para toda bn = P biyecci´on ϕ : N → N, haciendo bn = aϕ(n) , se tiene an . Demostraci´ on: Supongamos inicialmente que an ≥ 0. Escribimos sn = a1 + · · ·+ an y tn = b1 + · · ·+ bn . Para cada n ∈ N, los n´ umeros

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Secci´ on 4

Reordenaciones

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ϕ(1), . . . , ϕ(n) pertenecen al conjunto {1, 2, . . . , m}, donde m es el mayor de los ϕ(i). Entonces: tn =

n X j=1

bn ≤

m X

aj = sm .

j=1

As´ı, para cada n ∈ N existe m ∈ N tal que tn ≤ sm . Rec´ıprocamente, (considerando ϕ−1 es vez de ϕ) para cada m ∈ NP existe nP∈ N tal que sm ≤ tn . Se sigue que P l´ım tn = P l´ım sn , esto es, bn = an . P En el caso general, tenemos an = pn − qn , donde pn es la parte positiva y qn la parte negativa de an . Toda reordenaci´on (bn ) de los t´erminos an determinan reordenaciones (un ) de los pn y (vn ) de los qn , de forma que un es la parteP positivaP y vn la parte P negativa P de bn . Por lo que acabamos de ver u = p y v = qn . n n n P P P P Luego an = un − vn = bn . El pr´oximo teorema implica que solamente las series absolutamente convergentes son incondicionalmente convergentes. Teorema 9. (Riemann) Alterando convenientemente el orden de los t´erminos de una serie condicionalmente convergente es posible hacer que su suma sea igual a cualquier n´ umero real prefijado. P Demostraci´ on: Sea an la serie dada. Escogido umero c, P un n´ empezamos a sumar los t´erminos positivos de an , en su orden natural, uno a uno, parando cuando, al sumar an1 , la suma supere por primera vez P a c. (Esto es posible por que la suma de los t´erminos positivos de an es +∞). A esta suma a˜ nadimos los t´erminos negativos, tambi´en en su orden natural, uno a uno, parando en cuanto al sumar an2 (< 0) la suma resulte menor que c (lo que es posible porque la suma de los t´erminos negativos es −∞). Prosiguiendo an´alogamente, P obtenemos una nueva serie, cuyos t´erminos son los mismos de an en orden diferente. Las sumas parciales de esta nueva serie oscilan alrededor de c de forma que (a partir del ´ındice n1 ) la diferencia entre cada una de ellas es inferior, en valor absoluto, al t´ermino ank donde tuvo lugarPel u ´ ltimo cambio de signo. Ahora bien, l´ım ank = 0 pues la serie an converge. Luego k→∞

las sumas parciales de la nueva serie convergen a c.

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Series de n´ umeros

Cap. 4

5. Ejercicios Secci´on 1: Series Convergentes √ P P √ 1. Dadas las series an y bn , tales que an = n + 1 − n y bn = log(1 − n1 ), demuestre que l´ım an = l´ım bn = 0. Calcule expl´ıcitamente las n-´esimas sumas parciales sn y tn de dichas series y demuestre que l´ım sn = l´ım tn = +∞, luego las series dadas son divergentes. 2. Use el criterioPde comparaci´on para a partir de la conP probar, 2 vergencia de 2/n(n + 1), que 1/n es convergente.

3. Sea sn la n-´esima suma parcial de la serie arm´onica. Pruebe que para n = 2m se tiene sn > 1 + m2 y concluya de aqu´ı que la serie arm´onica es divergente. 4. Demuestre que la serie

∞ X n=2

1 diverge. n log n

5. Demuestre que si r > 1 la serie

∞ X n=2

6. Pruebe que la serie

X log n n2

1 converge. n(log n)r

converge.

7. Pruebe que si a1 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · y l´ım nan = 0. n→∞

P

an converge, entonces

Secci´on 2: Series absolutamente convergentes P 1. Si P an es convergente y an ≥ 0 para todo n ∈ N entonces la serie an xn es absolutamente convergente para todo x ∈ [−1, 1] y X X an sen(nx) , an cos(nx) son absolutamente convergentes para todo x ∈ R.

2. La serie 1 − 21 + 23 − 13 + 24 − 14 + 25 − 15 + 26 − 16 + · · · tiene t´erminos alternadamente positivos y negativos y su t´ermino general tiende a cero. No obstante es divergente. ¿Por qu´e esto no contradice el Teorema de Leibniz?

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Secci´ on 5

Ejercicios

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P 3. D´e un ejemplo de una serie convergente an y de una sucesi´on P acotada (xn ) tales que la serie an xn se divergente. Examine lo que sucede si unaP de los siguientes hip´otesis se cumple: (a) xn es convergente; (b) an es absolutamente convergente.

4. Pruebe que la serie obtenida a partir de la serie arm´onica alternando el signo de los t´erminos de modo que a p t´erminos positivos (p ∈ N fijo) sigan p t´erminos negativos es convergente. P 5. Si an es absolutamente convergente y l´ım bn = 0, escriba cn = a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0 . Pruebe que l´ım cn = 0. P P 6. Si an es absolutamente convergente, pruebe que entonces a2n converge. P 2 P 2 P 7. Si an y bn convergen, pruebe que an bn converge absolutamente. 8. Pruebe que una serie es absolutamente convergente si, y s´olo si, el conjunto de todas las sumas finitas formadas con los t´erminos an est´a acotado. Secci´on 3: Criterios de convergencia p n 1. Pruebe que si existen infinitos ´ ındices n tales que |an | ≥ 1 P entonces la serie an diverge. Si an 6= P 0 para todo n y |an + 1/an | ≥ 1 para todo n > n0 entonces an diverge. Por otra 2 2 3 parte, la serie 1/2+1/2+1/2 +1/2 +1/2 +1/23 +· · · converge y sin embargo se tiene an+1 /an = 1 para todo n impar. 2. Si 0 < a < b < 1, la serie a + b + a2 + b2 + a3 + b3 + · · · es convergente. Demuestre que el criterio de Cauchy nos lleva a este resultado y que, sin embargo, el criterio de d’Alambert nada nos permite concluir. P 3. Determine si la serie (log n/n)n es convergente usando los criterios de d’Alambert y Cauchy. 4. Dada una sucesi´on de n´ umeros positivos xn , tal que l´ım xn = a, √ demuestre que l´ım n x1 x2 · · · xn = a.

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Series de n´ umeros

Cap. 4

5. Determine para qu´e valores de x converge cada una de las siguientes series: X X X X X nk xn , nn xn , xn /nn , n!xn , xn /n2

Secci´on 4: Reordenaciones

1. Demuestre que si una serie es condicionalmente convergente entonces existen reordenaciones tales que las sumas de las nuevas series son iguales a +∞ y −∞. 2. Efect´ ue expl´ıcitamente una reordenaci´on de los t´erminos de la serie 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − · · · de modo que su suma ser igual a 1/2. 3. Se dice que una sucesi´on (an ) es sumable, con suma s, cuando para todo ε > 0 existe un subconjunto finito J0P⊂ N tal que, para todo J finito, J0 ⊂ J ⊂ N, se tiene |s − n∈J an | < ε. Pruebe que: (a) Si la sucesi´on (an ) es sumable entonces, para toda funci´on suprayectiva ϕ : N → N, la sucesi´on bn , definida como bn = aϕ(n) , es sumable, con la misma suma. (b) P Si la sucesi´on (an ) es sumable, con suma s, entonces la serie an = s es absolutamente convergente. P (c) Rec´ıprocamente, si an es una serie absolutamente convergente, entonces la sucesi´on (an ) es sumable.

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5 Algunas nociones de topolog´ıa La topolog´ıa es la rama de las matem´aticas donde se estudian, con gran generalidad, las nociones de l´ımite y de continuidad y las ideas anexas. En este cap´ıtulo abordaremos algunos conceptos topol´ogicos de car´acterer elemental referentes a subconjuntos de R, pretendiendo establecer las bases para desarrollar adecuadamente los pr´oximos cap´ıtulos. Adoptaremos un lenguaje geom´etrico, diciendo “punto” en vez de “n´ umero real”, y “recta” en vez del “conjunto R”. 1. Conjuntos abiertos Se dice que a es un punto interior del conjunto X ⊂ R cuando existe un n´ umero ε > 0 tal que el intervalo abierto (a − ε, a + ε) est´a contenido en X. El conjunto de los puntos interiores de X se llama interior del conjunto X, y se representa mediante int X. Cuando a ∈ int X se dice que el conjunto X es un entorno o una vencidad del punto a. Un conjunto A ⊂ R se llama abierto si A = int A, esto es, cuando todos los puntos de A son puntos interiores de A. Ejemplo 1. Todo punto c del intervalo abierto (a, b) es un punto interior de (a, b). Los puntos a y b, extremos del intervalo cerrado [a, b], no son interiores. El interior del conjunto Q de los n´ umeros racionales es vac´ıo. Por otra parte, int [a, b] = (a, b). El intervalo cerrado [a, b] no es un entorno ni de a ni de b. Un intervalo abierto 53

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Algunas nociones de topolog´ıa

Cap. 5

es un conjunto abierto. Todo intervalo abierto (acotado o no) es un conjunto abierto. La definici´on de l´ımite de una sucesi´on puede ser reformulado en t´erminos de conjuntos abiertos: se tiene a = l´ım xn si, y s´olo si, para todo abierto A que contiene a a existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈ A. Teorema 1. a) Si A1 y A2 son conjuntos abiertos entonces la intersecci´ on A1 ∩ A2 es un conjunto abierto. b) Si (Aλ )λ∈L S es una familia cualquiera de conjuntos abiertos, la uni´on A = λ∈L Aλ es un conjunto abierto.

Demostraci´ on: a) Si x ∈ A1 ∩ A2 entonces x ∈ A1 y x ∈ A2 . Como A1 y A2 son abiertos, existen ε1 > 0 y ε2 > 0 tales que (x − ε1 , x + ε1 ) ⊂ A y (x − ε2 , x + ε2 ) ⊂ A2 . Sea ε el menor de los n´ umeros ε1 , ε2 . Entonces (x − ε, x + ε) ⊂ A1 y (x − ε, x + ε) ⊂ A2 , luego (x − ε, x + ε) ⊂ A1 ∩ A2 . As´ı, todo punto x ∈ A1 ∩ A2 es un punto interior, o sea, el conjunto A1 ∩ A2 es abierto.

b) Si x ∈ A entonces existe λ ∈ L tal que x ∈ Aλ . Como Aλ es abierto, existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ Aλ ⊂ A, luego todo punto de A es interior, esto es, A es abierto. Ejemplo 2. Resulta inmediatamente de a) en el Teorema 1 que la intersecci´on A1 ∩ · · · ∩ An de un n´ umero finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. No obstante, aunque por b) la uni´on finita de conjuntos abiertos tambi´en es un conjunto abierto, la intersecci´on de un n´ umero infinito de conjuntos abiertos no es necesariamente abierta. Por ejemplo, si A = (−1, 1), A2 = (−1/2, 1/2), . . . , An = (−1/n, 1/n), . . . entonces A = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An · · · = {0}. En efecto, si x 6= 0 existe n ∈ N tal que |x| > 1/n, luego x ∈ / An , de donde x ∈ / A. 2. Conjuntos cerrados Se dice que un punto a es adherente el conjunto X ⊂ R cuando es l´ımite de alguna sucesi´on de puntos xn ∈ X. Evidentemente, todo punto a ∈ X es adherente a X: basta tomar todos los xn = a.

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Secci´ on 2

Conjuntos cerrados

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Se llama cierre, clausura o adherencia de un conjunto X al conjunto X formado por todos los puntos adherentes a X. Se tiene X ⊂ X. Si X ⊂ Y entonces X ⊂ Y . Un conjunto se dice cerrado cuando X = X, esto es, cuando todo punto adherente a X pertenece a X. Si X ⊂ Y , se dice que X es denso en Y cuando Y ⊂ X, esto es, cuando todo b ∈ Y es adherente a X. Por ejemplo, Q es denso en R. Teorema 2. Un punto a es adherente al conjunto X si, y s´ olo si, todo entorno de a contiene alg´ un punto de X. Demostraci´ on: Sea a adherente a X. Entonces a = l´ım xn , donde xn ∈ X para todo n ∈ N. Dada cualquier entorno V de a tenemos xn ∈ V para todo n suficientemente grande (por la definici´on de l´ımite), luego V ∩ X 6= ∅. Rec´ıprocamente, si todo entorno V de a contiene puntos de X podemos escoger en cada intervalo (a − 1/n, a + 1/n), n ∈ N, un punto xn ∈ X. Entonces |xn − a| < 1/n, luego l´ım xn = a, y as´ı a es adherente a X. Por el teorema anterior, para que un punto a no pertenezca a X es necesario y suficiente que exista un entorno V de a tal que V ∩ X = ∅. Corolario. El cierre de cualquier conjunto es un conjunto cerrado. (O sea, X = X para todo X ⊂ R). En efecto, si a es adherente a X entonces todo conjunto abierto A que contiene a a tambi´en contiene alg´ un punto b ∈ X. As´ı, A es un entorno de b. Como b es adherente a X, se sigue que A contiene alg´ un punto de X. Luego cualquier punto adherente a X tambi´en es adherente a X, esto es, a ∈ X. Teorema 3. Un conjunto F ⊂ R es cerrado si, y s´ olo si, su complementario A = R − F es abierto. Demostraci´ on: Sean F cerrado y a ∈ A, esto esm a ∈ / F . Por el Teorema 2, existe alg´ un entorno V de a que no contiene puntos de F , esto es, V ⊂ A. As´ı, todo punto de A es interior a A, o sea, A es abierto. Rec´ıprocamente, si el conjunto A es abierto y el punto a es adherente a F = R − A entonces todo entorno de a contiene puntos de F , luego a no es interior a A. Como A es abierto, tenemos a ∈ / A,

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Algunas nociones de topolog´ıa

Cap. 5

o sea, a ∈ F . As´ı, todo punto adherente a F pertenece a F , luego F es cerrado. Teorema 4. a) Si F1 y F2 son cerrados entonces F1 ∪ F2 es cerrado. b) Si (Fλ )λ∈L es una familia cualquiera de conjuntos cerrados enT tonces su intersecci´ on F = λ∈F Fλ es un conjunto cerrado.

Demostraci´ on: a) Los conjuntos A1 = R − F1 y A2 = R − F2 son abiertos, por el Teorema 3. Luego, por el Teorema 1, A1 ∩ A2 = R − (F1 ∪ F2 ) es abierto. De nuevo por el Teorema 3, F1 ∪ F2 es cerrado. b) S Para cada λ ∈ L, Aλ = R − Fλ es abierto. Se sigue que A = λ∈L Aλ es abierto. Como A = R − F , F es cerrado.

Ejemplo 3. Sea X acotado no vac´ıo. Entonces a = ´ınf X y b = sup X son adherentes a X. En efecto, para todo n ∈ N, podemos escoger xn ∈ X tal que a ≤ xn < a + 1/n, luego a = l´ım xn . An´alogamente se ve que b = l´ım yn , con yn ∈ X. En particular, a y b son adherentes a (a, b). Ejemplo 4. El cierre de los intervalos (a, b), (a, b] y [a, b) es el intervalor [a, b]. Q es denso en R y, para todo intervalo I, Q ∩ I es denso en I. Una uni´on infinita de conjuntos cerrados puede no ser un conjunto cerrado; en efecto, todo conjunto (cerrado o no) es la uni´on de sus puntos, que son conjuntos cerrados. Una escisi´on de un conjunto X ⊂ R es una descomposici´on X = A ∪ B tal que A ∩ B = ∅ y A ∩ B = ∅, esto es, ning´ un punto de A es adherente a B y ning´ un punto de B es adherente a A. (En particular, A y B son disjuntos). La descomposici´on X = X ∪ ∅ se llama escisi´on trivial. Ejemplo 5. Si X = R−{0}, entonces X = R+ ∪R− es una escisi´on. Dado un n´ umero irrracional α, sean A = {x ∈ Q : x < α} y B = {x ∈ Q : x > α}. La descomposici´on Q = A ∪ B es un escisi´on del conjunto Q de los racionales. Por otra parte, si a < c < b, entonces [a, b] = [a, c] ∪ (c, b] no es una escisi´on. Teorema 5. Un intervalo de la recta s´ olo admite la escisi´ on trivial.

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Secci´ on 3

Puntos de acumulaci´ on

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Demostraci´ on: Supongamos, por reducci´on al absurdo, que el intervalo I admite una escisi´on no trivial I = A∪B. Tomemos a ∈ A, b ∈ B y supongamos que a < b, con lo que [a, b] ⊂ I. Sea c el punto medio del intervalo [a, b]. Entonces c ∈ A ´o c ∈ B. Si c ∈ A, tomaremos a1 = c, b1 = b. Si c ∈ B, escribiremos a1 = a y b1 = c. En cualquier caso obtendremos un intervalo [a1 , b1 ] ⊂ [a, b], con b1 − a1 = (b − a)/2 y a1 ∈ A, b1 ∈ B, A su vez, el punto medio de [a1 , b1 ] descompone a ´este en dos intervalos cerrados yuxtapuestos de longitud (b − a)/4. Para uno de estos intervalos, que llamaremos [a2 , b2 ], se tiene a2 ∈ A y b2 ∈ B. Prosiguiendo an´alogamente obtendremos una sucesi´on de intervalos encajados [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ · · · ⊃ [an , bn ] ⊃ · · · tales que (bn − an ) = (b − a)/2n , an ∈ A y bn ∈ B para todo n ∈ N. Por el Teorema 4, Cap´ıtulo 2, existe c ∈ R tal que an ≤ c ≤ bn para todo n ∈ N. El punto c ∈ I = A ∪ B no puede estar ni en A, pues c = l´ım bn ∈ B, ni en B, pues c = l´ım an ∈ A, lo que nos lleva a una contradicci´on. Corolario. Los u ´nicos subconjuntos de R que son simult´ aneamente abiertos y cerrados son el conjunto vac´ıo y R. En efecto, si A ⊂ R es abierto y cerrado, entonces R = A ∪ (R − A) es una escisi´on, luego ´o A = ∅ y R − A = R, o bien A = R y R − A = ∅. 3. Puntos de acumulaci´ on Se dice que a ∈ R es un punto de acumulaci´ on del conjunto X ⊂ R cuando todo entorno V de a contiene alg´ un punto de X diferente del propio a. (Esto es, V ∩ (X − {a}) 6= ∅). Equivalentemente: para todo ε > 0 se tiene (a − ε, a + ε) ∩ (X − {a}) 6= ∅. Se representa mediante X ′ al conjunto de los puntos de acumulaci´on de X. Por lo tanto, a ∈ X ′ ⇔ a ∈ X − {a}. Si a ∈ X no es un punto de acumulaci´on de X se dice que a es un punto aislado de X. Esto significa que existe ε > 0 tal que a es el u ´ nico punto de X en el intervalo (a − ε, a + ε). Cuando todos los puntos del conjunto X son aislados se dice que X es un conjunto discreto. Teorema 6. Dados X ⊂ R y a ∈ R, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

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Algunas nociones de topolog´ıa

Cap. 5

(1) a es punto de acumulaci´ on de X; (2) a es l´ımite de una sucesi´ on de puntos xn ∈ X − {a}; (3) Todo intervalo abierto centrado en a contiene infinitos puntos de X. Demostraci´ on: Suponiendo (1), para todo n ∈ N podemos encontrar un punto xn ∈ X, xn 6= a, en el entorno (a − 1/n, a + 1/n). Luego l´ım xn = a, lo que prueba (2). Por otra parte, suponiendo (2), entonces, para cualquier n0 ∈ N, el conjunto {xn : n > n0 } es infinito, pues en caso contrario existir´ıa un t´ermino xn1 que se repite infinitas veces, lo que nos dar´ıa una sucesi´on constante con l´ımite xn1 6= a. Por lo tanto, de la definici´on de l´ımite se ve que (2)⇒(3). Finalmente, la implicaci´on (3)⇒(1) es obvia. Ejemplo 6. Si X es finito entonces X ′ = ∅ (un conjunto finito no tiene puntos de acumulaci´on). Z es infinito pero todos los puntos de Z son aislados. Q′ = R. Si X = [a, b) entonces X ′ = [a, b]. Si X = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . .} entonces X ′ = {0}, esto es, 0 es el u ´ nico punto de acumulaci´on de X. Observe que todos los puntos de este u ´ ltimo conjunto son aislados (X es discreto). A continuaci´on presentaremos una versi´on del Teorema de Bolzano-Weiertrass en t´erminos de puntos de acumulaci´on. Teorema 7. Todo conjunto infinito y acotado de n´ umeros reales tiene, al menos, un punto de acumulaci´ on. Demostraci´ on: Sea X infinito y acotado; X posee un subconjunto infinito numerable {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}. Fijando esta numeraci´on tenemos una sucesi´on (xn ) de t´erminos, distintos dos a dos, pertenecientes a X, por lo tanto una sucesi´on acotada que, por el Teorema de Bolzano-Weiertrass, posee una subsucesi´on convergente. Eliminado los t´erminos que no est´an en esta subsucesi´on y cambiando la notaci´on, podemos admitir que (xn ) converge. Sea a = l´ım xn . Como los t´erminos xn son todos distintos, como m´aximo uno de ellos puede ser igual a a. Descart´andolo, en caso de que ´este exista, tendremos que a es el l´ımite de una sucesi´on de puntos xn ∈ X − {a}, luego a ∈ X ′ .

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Secci´ on 4

Conjuntos compactos

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4. Conjuntos compactos Un conjunto X ⊂ R se llama compacto si es cerrado y acotado. Todo conjunto finito es compacto. Un intervalo de la forma [a, b] es compacto. Por otra parte, (a, b) est´a acotado pero no es cerrado, luego no es compacto. Tampoco Z es compacto pues no est´a acotado, aunque es cerrado (su complementario R − Z es la uni´on de los intervalos abiertos (n, n + 1), n ∈ Z, luego es un conjunto abierto). Teorema 8. Un conjunto X ⊂ R es compacto si, y s´ olo si, toda sucesi´on de puntos de X posee una subsucesi´ on que converge a un punto de X. Demostraci´ on: Si X ⊂ R es compacto, toda sucesi´on de puntos de X est´a acotada, luego (por Bolzano-Weierstrass) posee una subsucesi´on convergente, cuyo l´ımite es un punto de X (pues X es cerrado). Rec´ıprocamente, sea X un conjunto tal que toda sucesi´on de puntos xn ∈ X posee una subsucesi´on que converge a un punto de X. Entonces X est´a acotado pues, en caso contrario, para cada n ∈ N podr´ıamos encontrar xn ∈ X con |xn | > n. La sucesi´on (xn ) as´ı obtenida no contendr´ıa ninguna subsucesi´on acotada luego no tendr´ıa ninguna subsucesi´on convergente. Adem´as, X es cerrado pues en caso contrario existir´ıa un punto a ∈ / X con a = l´ım xn , donde cada xn ∈ X. La sucesi´on xn no poseer´ıa entonces ninguna subsucesi´on convergente a un punto de X pues todas sus subsucesiones tendr´ıan l´ımite a. Luego X es compacto. Observaci´ on: Si X ⊂ R es compacto entonces, por el Ejemplo 3, a = ´ınf X y b = sup X pertenecen a X. As´ı, todo conjunto compacto posee un elemento m´ınimo y un elemento m´aximo. O sea, X compacto ⇒ ∃x0 , x1 ∈ X tales que x0 ≤ x ≤ x1 para todo x ∈ X. El pr´oximo teorema generaliza el principio de los intervalos encajados. Teorema 9. Dada una sucesi´ on decreciente X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · de conjuntos compactos no vac´ıos, existe (como m´ınimo) un n´ umero real que pertenece a todos los Xn . Demostraci´ on: Definimos una sucesi´on (xn ) escogiendo, para cada n ∈ N, un punto xn ∈ Xn . Esta sucesi´on est´a contenida en el

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60

Algunas nociones de topolog´ıa

Cap. 5

compacto X1 , luego posee una subsucesi´on (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .) que converge a un punto a ∈ X1 . Dado cualquier n ∈ N tenemos xnk ∈ Xn siempre que nk > n. Como Xn es compacto, se sigue que a ∈ Xn . Esto prueba el teorema. Terminamos nuestro estudio de los conjuntos compactos de la recta con la demostraci´on del Teorema de Heine-Borel. Se llama recubrimiento de un conjunto X a una familia S ϕ de conjuntos Cλ cuya uni´on contiene a X. La condici´on X ⊂ λ∈L Cλ significa que, para cada x ∈ X, existe, necesariamente, (al menos) un λ ∈ L tal que x ∈ Cλ . Cuando todos los conjuntos Cλ son abiertos, se dice que ϕ es un recubrimiento abierto. Cuando L = {λ1 , . . . , λn } es un conjunto finito, se dice que X ⊂ Cλ1 ∪ · · · ∪ Cλn es unSrecubrimiento finito. Si existe L′ ⊂ L tal que a´ un se tiene X ⊂ λ∈L′ Cλ′ , se dice que ϕ′ = (Cλ′ )λ′ ∈L′ es un subrecubrimiento de ϕ. Teorema 10. (Borel-Lebesgue) Todo recubrimiento abierto de un conjunto compacto posee un subrecubrimiento finito. Demostraci´ S on: Inicialmente consideremos un recubrimiento abierto [a, b] ⊂ λ∈L Aλ del intervalo compacto [a, b]. Supongamos, por reducci´on al absurdo, que ϕ = (Aλ )λ∈L no admite ning´ un subrecubrimiento finito. El punto medio del intervalo [a, b] lo subdivide en dos intervalos de longitud (b − a)/2. Al menos uno de esto intervalos, que llamaremos [a1 , b1 ], no puede ser recubierto por un n´ umero finito de conjuntos Aλ . Mediante subdivisiones sucesivas obtenemos una sucesi´on decreciente [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ · · · ⊃ [an bn ] ⊃ · · · de intervalos tales que (bn − an ) = (b − a)/2n y ning´ un [an , bn ] puede estar contenido en una uni´on finita de abiertos Aλ . Por el Teorema 9 existe un n´ umero real c que pertenece a todos los intervalos [an , bn ]. En particular c ∈ [a, b]. Por la definici´on de recubrimiento, existe λ ∈ L tal que c ∈ Aλ . Como Aλ es abierto, tenemos (c−ε, c+ε) ⊂ Aλ para un cierto ε > 0. Entonces, tomando n ∈ N tal que (b − a)/2n < ε, tenemos c ∈ [an , bn ] ⊂ [c − ε, c + ε], de donde [an , bn ] ⊂ Aλ , luego [an , bn ] se puede recubrir con el conjunto Aλ , lo que es absurdo. En el caso general, tenemos un recubrimienS to abierto X ⊂ λ∈L Aλ del compacto X. Tomemos un intervalo compacto [a, b] que contenga a X y, a˜ nadiendo a los Aλ el nuevo

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Secci´ on 5

El conjunto de Cantor

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abierto Aλ0 = R − X, obtenemos un recubrimiento abierto de [a, b], del que podemos extraer, por la parte ya probada, un subrecubrimiento finito [a, b] ⊂ Aλ0 ∪ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn . Como ning´ un punto de X puede pertencer a Aλ0 , tenemos X ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn ; esto completa la demostraci´on. Ejemplo 7. Los intervalos An = (1/n, 2), n ∈ N, formanSun recubrimiento abierto del conjunto X = (0, 1], pues (0, 1] ⊂ n∈N An . No obstante, este recubrimiento no admite un subrecubrimiento finito pues, como A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · , toda uni´on finita de los conjuntos An coincide con el conjunto de mayor ´ındice, luego no contiene a (0, 1]. El Teorema de Borel-Lebesgue, cuya importancia es crucial, se usar´a en este libro solamente una vez, en el Cap´ıtulo 10, Secci´on 4, (cfr. Teorema 7 en dicho cap´ıtulo.) Se puede probar, rec´ıprocamente, que si todo recubrimiento abierto de un conjunto X ⊂ R posee un subrecubrimiento finito entonces X es cerrado y acotado (cfr. Curso de An´alisis Matem´atico, vol. 1, p.147.) 5. El conjunto de Cantor El conjunto de Cantor, que describiremos a continuaci´on, tiene las siguientes propiedades: 1) Es compacto. 2) Tiene interior vac´ıo (no contine intervalos). 3) No contiene puntos aislados (todos sus puntos son puntos de acumulaci´on). 4) No es numerable. El conjunto de Cantor K es un subconjunto cerrado del intervalo [0, 1] obtenido como el complemento de una uni´on de intervalos abiertos, de la siguiente forma. Se retira del intervalo [0, 1] el intervalo abierto centrado en el punto medio de [0, 1] de longitud 1/3, (1/3, 2/3) (su tercio central). Se retiran despu´es los tercios centrales de cada uno de los intervalos restantes, [0, 1/3] y [2/3, 1]. Entonces sobra [0, 1/9, ] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]. A continuaci´on se retira el tercio central de cada uno de estos cuatro intervalos. Se

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62

Algunas nociones de topolog´ıa

Cap. 5

repite este proceso inductivamente. El conjunto K de los puntos no retirados es el conjunto de Cantor. Si indicamos mediante S∞ I1 , I2 , . . . , In , . . . los intervalos retirados vemos que F = R − n=1 In es un conjunto cerrado, luego K = F ∩ [0, 1] es cerrado y acotado, o sea, el conjunto de Cantor es compacto.

0

0

1/9

2/9

1/3

2/3

1/3

2/3

1

7/9

8/9

1

Fig. 1 - Construyendo el conjunto de Cantor Para demostrar que K tiene interior vac´ıo, observamos que despu´es de la etapa n-´esima de la construcci´on s´olo restan intervalos de longitud 1/3n . Por tanto, dado cualquier intervalo J ⊂ [0, 1] de longitud c > 0, si tomamos n tal que 1/3n < c, el intervalo J habr´a sido subdividido despu´es de la n-´esima etapa de la construcci´on de K. As´ı, K no contiene intervalos. Los puntos extremos de los intervalos retirados en las diversas etapas de la construcci´on de K, tales como 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, etc, pertenecen a K, pues en cada etapa s´olo se retiran puntos ´ interiores de los intervalos que quedaban de la etapa anterior. Estos forman un conjunto numerable, sin puntos aislados. En efecto, sea c ∈ K extremo de alg´ un intervalo, digamos (c, b), retirado de [0, 1] para obtener K. Cuando (c, b) fue retirado qued´o un cierto intervalo [a, c]. En las siguientes etapas de la construcci´on de K, quedar´an siempre tercios finales de intervalos, del tipo [an , c], con an ∈ K. La longitud de [an , c] tiende a cero, luego an → c y as´ı c no es un punto aislado de K.

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Secci´ on 5

El conjunto de Cantor

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Ahora supongamos que c ∈ K no es extremo de ning´ un intervalo retirado de [0, 1] durante la construcci´on de K. (De hecho, hasta ahora, no sabemos si tales puntos existen, pero en seguida vamos a ver que ´estos constituyen la mayor´ıa de los puntos de K). Probemos que c no es un punto aislado de K. En efecto, para cada n ∈ N, c pertenece al interior de un intervalo [xn , yn ] de los que quedaron despu´es de la n-´esima etapa de la construcci´on de K. Tenemos xn < c < yn , con xn , yn ∈ K, y xn − yn = 1/3n . Luego c = l´ım xn = l´ım yn es un punto de acumulaci´on de K. Constatamos as´ı que K no posee puntos aislados. Probaremos ahora que el conjunto de Cantor no es numerable. Dado cualquier subconjunto numerable {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} ⊂ K, obtendremos un punto c ∈ K tal que c 6= xn para todo n ∈ N. Para esto, con centro en un punto de K, tomamos un intervalo compacto I1 tal que x1 ∈ / I1 . Como ning´ un punto de K en el interior de I1 , tomamos un intervalo compacto I2 ⊂ I1 tal que x2 ∈ / I2 . Prosiguiendo de forma an´aloga, obtenemos una sucesi´on decreciente de intervalos compactos I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · tales que xn ∈ In e In ∩ K 6= ∅. Sin p´erdida de generalidad, podemos suponer que In tiene longitud < 1/n. Entonces el punto c, perteneciente a todos los In (cuya ´ nico, T existencia est´a asegurada por el Teorema 9), es u esto es, ∞ I = {c}. Escogiendo, para cada n ∈ N, un punto n=1 n yn ∈ In ∩ K, tendremos |yn − c| ≤ 1/n, de donde l´ım yn = c. Como K es cerrado, se deduce que c ∈ K. Por otra parte, para todo n ∈ N, tenemos c ∈ In , luego c 6= xn , concluyendo la demostraci´on. Los puntos del conjunto de Cantor admiten una caracterizaci´on interesante y u ´ til en t´erminos de su representaci´on en base 3. Dado x ∈ [0, 1], representar x en base 3 significa escribir x = 0, x1 x2 x3 · · · , donde cada uno de los d´ıgitos xn es 0, 1 ´o 2, de modo que x=

x1 x2 xn + 2 +···+ n +··· . 3 3 3

Para tener x = 0, x1 x2 · · · xn 000 es necesario y suficiente que x sea un n´ umero de la forma m/3n , con m y n enteros y m ≤ 3n . Por ejemplo, 17/27 = 0, 122000 . . . en base 3. Cuando el denominador de la fracci´on irreducible p/q no es una potencia de 3 la representaci´on de p/q en base 3 es per´ıodica. Por ejemplo, en base 3,

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Algunas nociones de topolog´ıa

Cap. 5

1/4 = 0, 020202 . . . y 1/7 = 0, 010212010212 . . .. Los n´ umeros irracionales tienen representaci´on no peri´odica. En la primera etapa de la formaci´on del conjunto de Cantor, al retirar el intervalo abierto (1/3, 2/3) quedan excluidos los n´ umeros x ∈ [0, 1] cuya representaci´on en base 3 tienen x1 = 1, con la u ´ nica excepci´on de 1/3 = 0, 1, que permanece. En la segunda etapa, son exclu´ıdos los n´ umeros de los intervalos (1/9, 2/9) y (7/9, 8/9), o sea, aquellos de la forma 0, 01x3 x4 . . . o de la forma 0, 21x3 x4 . . . (excepto 1/9 = 0, 01 y 7/9 = 0, 21 que permanecen). En general, podemos afirmar que los elementos del conjunto de Cantor son los n´ umeros del intervalo [0, 1] cuya representaci´on x = 0, x1 x2 · · · xn . . . en base 3 s´olo contiene los d´ıgitos 0 y 2, excepto aquellos que s´olo contienen un u ´ nico d´ıgito 1 como d´ıgito final, como, por ejemplo, x = 0, 20221. Si observamos que 0, 02222 · · · = 0, 1 podemos substituir el d´ıgito 1 por la sucesi´on 0222 . . .. Por ejemplo: 0, 20201 = 0, 20200222 . . .. Con este acuerdo se puede afirmar, sin excepciones, que los elementos del conjunto de Cantor son los n´ umeros del intervalo [0, 1] cuya representaci´on en base 3 s´olo contiene los d´ıgitos 0 y 2. De aqu´ı resulta f´acilmente que el conjunto de Cantor no es numerable (ver Ejemplo 3, Cap´ıtulo 1) y que 1/4 = 0, 0202 pertenece al conjunto de Cantor. 6. Ejercicios Secci´on 1: Conjuntos Abiertos 1. Pruebe que, para todo X ⊂ R, se tiene int(int X) = int X; concluya que int X es un conjunto abierto. 2. Sea A ⊂ R un conjunto con la siguiente propiedad: “Si (xn ) es una sucesi´on que converge hacia un punto a ∈ A, entonces xn pertenece a A para todo n suficientemente grande”. Pruebe que A es abierto. 3. Pruebe que int (A∪B) ⊃ int A∪intB e int (A∩B) = intA∩intB para cualesquiera A, B ⊂ R. Si A = (0, 1] y B = [1, 2], demuestre que int (A ∪ B) 6= int A ∪ int B.

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Secci´ on 6

Ejercicios

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4. Para todo X ⊂ R, pruebe que se tiene la uni´on disjunta R = int X ∪ int (R − x) ∪ F , donde F est´a formado por los puntos x ∈ R tales que todo entorno de x contiene puntos de X y puntos de R − X. El conjunto F = fr X = ∂X se llama frontera o borde de X. Pruebe que A ⊂ R es abierto si, y s´olo si, A ∩ fr A = ∅. 5. Determine la frontera de cada uno de los siguientes conjuntos: X = [0, 1], Y = (0, 1) ∪ (1, 2), Z = Q y W = Z. 6. Sean I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · ·T · intervalos acotados distintos dos a dos cuya intersecci´on I = ∞ ıa. Pruebe que I n=1 In no es vac´ es un intervalo, que nunca es abierto. Secci´on 2: Conjuntos cerrados 1. Sean I un intervalo no degenerado y k > 1 un n´ umero natural. Pruebe que el conjunto de los n´ umeros racionales m/k n , cuyos denominadores son potencias de k con exponente n ∈ N, es denso en I. 2. Pruebe que, para todo X ⊂ R, se tiene X = X ∪ fr X. Concluya que X es cerrado si, y s´olo si, X ⊃ fr X. 3. Pruebe que, para todo X ⊂ R, R − int X = R − X e R − X = int (R − X). 4. Si X ⊂ R es abierto (respectivamente, cerrado) y X = A ∪ B es una escisi´on, pruebe que A y B son abiertos (respectivamente, cerrados). 5. Pruebe que si X ⊂ R tiene frontera vac´ıa entonces X = ∅ o X = R. 6. Sean X, Y ⊂ R. Pruebe que X ∪ Y = X ∪ Y y que X ∩ Y ⊂ X ∩ Y . D´e un ejemplo en el que X ∩ Y 6= X ∩ Y . 7. Dada una sucesi´on (xn ), pruebe que la clausura del conjunto X = {xn : n ∈ N} es X = X ∪ A, donde A es el conjunto de los puntos adherentes de (xn ).

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Algunas nociones de topolog´ıa

Cap. 5

Secci´on 3: Puntos de acumulaci´on 1. Pruebe que, para todo X ⊂ R, se tiene X = X ∪ X ′ . Concluya que X es cerrado si, y s´olo si, contiene a todos sus puntos de acumulaci´on. 2. Pruebe que toda colecci´on de intervalos no degenerados disjuntos dos a dos es numerable. 3. Pruebe que si todos los puntos del conjunto X ⊂ R son aislados entonces, para cada x ∈ X, se puede escoger un intervalo Ix centrado en x tal que x 6= y ⇒ Ix ∩ Iy = ∅. 4. Pruebe que todo conjunto no numerable X ⊂ R posee alg´ un punto de acumulaci´on a ∈ X. 5. Pruebe que, para todo X ⊂ R, X ′ es un conjunto cerrado. 6. Sea a un punto de acumulaci´on del conjunto X. Pruebe que existe una sucesi´on estrictamente creciente o estrictamente decreciente de puntos xn ∈ X tal que l´ım xn = a. Secci´on 4: Conjuntos Compactos 1. Pruebe que el conjunto A de los valores de adherencia de una sucesi´on (xn ) es cerrado. Si la sucesi´on est´a acotada, A es compacto, luego existen ℓ y L, respectivamente, el menor y el mayor valor de adherencia de la sucesi´on acotada (xn ). Se suele escribir ℓ = l´ım inf xn y L = l´ım sup xn . 2. Pruebe que la uni´on finita y la intersecci´on arbitraria de conjuntos compactos es un conjunto compacto. 3. D´e ejemplos de una sucesi´on decreciente de conjuntos cerrados no vac´ıos F1 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ · · · y de una sucesi´on decreciente de T conjuntosTacotados no vac´ıos L1 ⊃ · · · ⊃ Ln ⊃ · · · tales que Fn = ∅ y Ln = ∅. 4. Sean X, Y conjuntos disjuntos no vac´ıos, X compacto e Y cerrado. Pruebe que existen x0 ∈ X e y0 ∈ Y tales que |x0 − y0 | ≤ |x − y| para cualesquiera x ∈ X e y ∈ Y .

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Secci´ on 6

Ejercicios

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5. Un conjunto compacto cuyos puntos son todos aislados es finito. D´e ejemplos de un conjunto cerrado y acotado X y de un conjunto acotado que no sea cerrado Y , cuyos puntos sean todos aislados. 6. Pruebe que si X es compacto los siguientes conjuntos tambi´en son compactos: a) S = {x + y : x, y ∈ X}

b) D = {x − y : x, y ∈ X} c) P = {x · y : x, y ∈ X}

d) C = {x/y : x, y ∈ X}, si 0 ∈ / X. Secci´on 5: El conjunto de Cantor 1. Determine qu´e n´ umeros 1/n, 2 ≤ n ≤ 10, pertenecen al conjunto de Cantor. 2. Dado cualquier a ∈ [0, 1] pruebe que existen x < y pertenecientes al conjunto de Cantor tales que y − x = a. 3. Pruebe que la suma de la serie cuyos t´erminos son las longitudes de los intervalos retirados al formar el conjunto de Cantor es igual a 1. 4. Pruebe que los extremos de los intervalos retirados forman un subconjunto numerable denso en el conjunto de Cantor.

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68

Algunas nociones de topolog´ıa

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Cap. 5

6 L´ımites de funciones El concepto de l´ımite, que estudiamos en el Cap´ıtulo 3 en el caso particular de sucesiones, se extender´a ahora al caso m´as general en el que se tiene una funci´on f : X → R, definida en un subconjunto cualquiera de R. 1. Definici´ on y primeras propiedades Sean X ⊂ R un conjunto de n´ umeros reales, f : X → R una funci´on cuyo dominio es X y a ∈ X ′ un punto de acumulaci´on del conjunto X. Se dice que el n´ umero real L es el l´ımite de f (x) cuando x tiende a a, y se escribe l´ım f (x) = L, cuando, para cualquier x→a

ε > 0, se puede obtener δ > 0 tal que |f (x) − L| < ε siempre que x ∈ X y 0 < |x − a| < δ. Con s´ımbolos matem´aticos se escribe: l´ım f (x) = L. ≡ .∀ε > 0∃δ > 0; x ∈ X; 0 < |x−a| < δ ⇒ |f (x)−L| < ε.

x→a

Informalmente: l´ım f (x) = L quiere decir que se puede tomar f (x) x→a tan pr´oximo a L cuanto se quiera siempre que se tome x ∈ X suficientemente pr´oximo, pero diferente, a a. La restricci´on 0 < |x − a| significa x 6= a. As´ı, en el l´ımite L = l´ımx→a f (x) no est´a permitido que la variable x tome el valor a. Por lo tanto, el valor f (a) no tiene nunguna importancia cuando 69

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L´ımites de funciones

Cap. 6

se quiere determinar L: lo que importa es el comportamiento de f (x) cuando x se aproxima a a, siempre con x 6= a. En la definici´on de l´ımite es esencial que a se un punto de acumulaci´on del conjunto X, pero es irrelevante si a pertence o no a X, esto es, que f est´e definida o no en el punto a. Por ejemplo, en uno de los l´ımites m´as importantes, a saber, la derivada, se estudia l´ım q(x), donde la funci´on q(x) = (f (x) − f (a))/(x − a) no est´a dex→a finida en el punto x = a. En las condiciones f : X → R, a ∈ X ′ , negar que l´ım f (x) = L x→a es equivalente a decir que existe un n´ umero ε > 0 con la siguiente propiedad: sea cual fuere δ > 0, siempre se puede encontrar xδ ∈ X tal que 0 < |xδ − a| < δ y |f (xδ ) − L| ≥ ε. Teorema 1. Sean f, g : X → R, a ∈ X ′ , l´ım f (x) = L y l´ım g(x) = x→a

x→a

M. Si L < M entonces existe δ > 0 tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ X con 0 < |x − a| < δ. Demostraci´ on: Sea K = (L + M)/2. Si tomamos ε = K − L = M − K tenemos ε > 0 y K = L + ε = M − ε. Por la definici´on de l´ımite, existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ1 ⇒ L − ε < f (x) < K y x ∈ X, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ K < f (x) < M + ε. Por tanto, escribiendo δ = m´ın{δ1 , δ2 } se tiene: x ∈ X ′ , 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < K < g(x). Lo que prueba el Teorema.

Observaci´ on: En el Teorema 1 no se puede substituir la hip´otesis L < M por L ≤ M. Observaci´ on: Para el Teorema 1 y sus corolarios, as´ı como para el Teorema 2 abajo, valen versiones an´alogas con > en lugar de <. Usaremos tales versiones sin mayores comentarios. Corolario 1. Si l´ım f (x) = L < M entonces existe δ > 0 tal que x→a

f (x) < M para todo x ∈ X con 0 < |x − a| < δ. Corolario 2. Sean l´ım f (x) = L y l´ım g(x) = M. Si f (x) ≤ g(x) x→a

x→a

para todo x ∈ X − {a} entonces L ≤ M.

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Secci´ on 1

Definici´ on y primeras propiedades

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En efecto, si se tuviese M < L entonces tomar´ıamos un n´ umero real K tal que M < K < L. En tal caso, existir´ıa δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ g(x) < K < f (x), lo que es absurdo.  Teorema 2. (Teorema del Sandwich) Sean f, g, h : X → R, a ∈ X ′ , y l´ım f (x) = l´ım g(x) = L. Si f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para x→a

x→a

todo x ∈ X − {a} entonces l´ım h(x) = L. x→a

Demostraci´ on: Dado cualquier ε > 0, existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ1 ⇒ L − ε < f (x) < L + ε y x ∈ X, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ L − ε < g(x) < L + ε. Sea δ = m´ın{δ1 , δ2 }. Entonces x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ L − ε < f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L + ε ⇒ L − ε < h(x) < L + ε. Luego l´ım h(x) = L. x→a

Observaci´ on: La noci´on de l´ımite es local, esto es, dadas funciones f, g : X → R y a ∈ X ′ , si existe un entorno V del punto a tal que f (x) = g(x) para todo x 6= a en V ∩ X entonces existe l´ım f (x) x→a

si, y s´olo si, existe l´ım g(x). Adem´as, si existen, estos l´ımites son x→a iguales. As´ı, por ejemplo, en el Teorema 2, no es necesario suponer que f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X − {a}. Es suficiente que exista un entorno V del punto a tal que estas desigualdades valgan para todo x 6= a perteneciente a V ∩ X. Una observaci´on an´aloga vale para el Teorema 1 y su Corolario 2.

Teorema 3. Sean f : X → R y a ∈ X ′ . Para que l´ım f (x) = L x→a es necesario y suficiente que, para toda sucesi´ on de puntos xn ∈ X − {a} con l´ım xn = a, se tenga l´ım f (xn ) = L. Demostraci´ on: En primer lugar supongamos que l´ım f (x) = L y x→a

que se tiene una sucesi´on de puntos xn ∈ X − {a} con l´ım xn = a. Dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X y 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε. Existe tambi´en n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ 0 < |xn − a| < δ (ya que xn 6= a para todo n). Por consiguiente, n > n0 ⇒ |f (xn ) − L| < ε, luego l´ım f (xn ) = L. Rec´ıprocamente, supongamos que xn ∈ X−{a} y l´ım xn = a impliquen l´ım f (xn ) = L y probemos que en tal caso l´ım f (x) = L. En efecto, negar esta x→a igualdad es equivalente a afirmar que existe un n´ umero ε > 0 con la siguiente propiedad: para cualquier n ∈ N podemos encontrar

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72

L´ımites de funciones

Cap. 6

xn ∈ X tal que 0 < |xn − a| < 1/n y |f (xn ) − L| ≥ ε. Entonces tenemos xn ∈ X − {a}, l´ım xn = a sin que l´ım f (xn ) = L. Esta contradicci´on completa la demostraci´on. Corolario 1. (Unicidad del l´ımite) Sean f : X → R y a ∈ X ′ . Si l´ım f (x) = L y l´ım f (x) = M entonces L = M. x→a

x→a

En efecto, basta tomar una sucesi´on de puntos xn ∈ X − {a} con l´ım xn = a, la que es siempre posible por el Teorema 6 del Cap´ıtulo 5. Tendremos entonces L = l´ım f (xn ) y M = l´ım f (xn ). De la unicidad del l´ımite de la sucesi´on (f (xn )) se tiene L = M.  Corolario 2. (Operaciones con l´ımites) Sean f, g : X → R, a ∈ X ′ , con l´ım f (x) = L y l´ım g(x) = M. Entonces x→a

x→a

l´ım [f (x) ± g(x)] = L ± M

x→a

l´ım [f (x) · g(x)] = L · M

x→a

f (x) L = x→a g(x) M l´ım

si M 6= 0 .

Adem´as, si l´ım f (x) = 0 y g est´a acotada en un entorno de a, se x→a

tiene l´ım [f (x) · g(x)] = 0. x→a

En efecto, dada cualquier sucesi´on de puntos xn ∈ X − {a} tal que l´ım xn = a, por el Teorema 8 del Cap´ıtulo 3 se tiene l´ım[f (xn ) ± g(xn )] = l´ım f (xn ) ± l´ım g(xn ) = L ± M, l´ım f (xn ) · g(xn ) = l´ım f (xn ) · l´ım g(xn ) = L · M y tambi´en l´ım[f (xn )/g(xn )] = l´ım f (xn )/ l´ım g(xn ) = L/M. Finalmente, si existen un entorno V de a y una constante c tal que |g(x)| ≤ c para todo x ∈ V entonces, como xn ∈ V para todo n suficientemente grande, la sucesi´on g(xn ) est´a acotada; luego, por el Teorema 7 del Cap´ıtulo 3, se tiene l´ım f (xn ) · g(xn ) = 0, pues l´ım f (xn ) = 0. Por lo tanto, el Corolario 2 es consecuencia del Teorema.  Teorema 4. Sean f : X → R y a ∈ X ′ . Si existe l´ım f (x) entonces x→a f est´a acotada en un entorno de a, esto es, existen δ > 0 y c > 0 tales que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)| ≤ c.

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Secci´ on 1

Definici´ on y primeras propiedades

73

Demostraci´ on: Sea L = l´ım f (x). Tomando en la definici´on de x→a

l´ımite ε = 1, se obtiene δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)−L| < 1 ⇒ |f (x)| = |f (x)−L+L| ≤ |f (x)−L|+|L| < |L|+1. Basta entonces tomar c = |L| + 1. El Teorema 4 generaliza el hecho de que toda sucesi´on convergente est´a acotada. Ejemplo 1. Si f, g : R → R est´an dadas por f (x) = c y g(x) = x (funci´on constante y funci´on identidad), entonces es evidente que, para todo a ∈ R, se tiene l´ım f (x) = c y l´ım g(x) = a. Del Corolario x→a x→a 2 del Teorema 3 se sigue que, para todo polinomio p : R → R, p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , se tiene l´ım p(x) = p(a), sea cual fuere x→a

a ∈ R. An´alogamente, para toda funci´on racional f (x) = p(x)/q(x), cociente de dos polinomios, se tiene l´ım f (x) = p(a)/q(a) siempre x→a

que se tenga q(a) 6= 0. Cuando q(a) = 0, el polinomio es divisible por x − a y en tal caso escribimos q(x) = (x − a)m q1 (x) y p(x) = (x − a)k p1 (x), donde m ∈ N, k ∈ N ∪ {0}, q1 (a) 6= 0 y p1 (a) 6= 0. Si m = k entonces l´ım f (x) = p1 (a)/q1 (a). Si k > m, se tiene x→a

l´ım f (x) = 0 pues f (x) = (x − a)k−m [p1 (x)/q1 (x)] para todo x 6= a.

x→a

No obstante, si k < m, entonces f (x) = p1 (x)/[(x − a)m−k q1 (x)] para todo x 6= a. En este caso, el denominador de f (x) tiene l´ımite cero y el numerador no. Esto implica que no puede existir l´ım f (x). x→a

En efecto, si f (x) = ϕ(x)/ψ(x), donde l´ım ϕ(x) = 0 y existe L = x→a

l´ım f (x), entonces existe l´ım ϕ(x) = l´ım [ψ(x) · f (x)] = L · 0 = 0.

x→a

x→a

x→a

Por tanto se trata de una regla general: si l´ım ψ(x) = 0, entonces x→a

s´olo puede existir l´ım [ϕ(x)/ψ)] en el caso que tambi´en se tenga x→a

l´ım ϕ(x) = 0 (aunque est´a condici´on de por s´ı no es suficiente para

x→a

garantizar la existencia de l´ım[ϕ/ψ].) Ejemplo 2. Sea X = R − {0}. Entonces 0 ∈ X ′ . La funci´on f : X → R definida mediante f (x) = sen(1/x) no posee l´ımite cuando x → 0. En efecto, la suseci´on de puntos xn = 2/(2n − 1)π es tal que l´ım xn = 0, pero f (xn ) = ±1 seg´ un sea n impar o par, luego no existe l´ım f (xn ). Por otra parte, si g : X → R se define como g(x) = x sen(1/x) , se tiene l´ım g(x) = 0, pues | sen(1/x)| ≤ 1 para x→0

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74

L´ımites de funciones

Cap. 6

todo x ∈ X, y l´ım x = 0. Los gr´aficos de estas dos funciones est´an x→0 en la Fig.2 abajo.

Fig. 2 Ejemplo 3. Sea f : R → R, definida como f (x) = 0 si x es racional y f (x) = 1 si x es irracional. Dado cualquier a ∈ R, podemos obtener una sucesi´on de n´ umeros racionales xn 6= a y otra de n´ umeros irracionales yn 6= a con l´ım xn = l´ım yn = a. Entonces, l´ım f (xn ) = 0 y l´ım f (yn ) = 1, luego no existe l´ım x → af (x). Observaci´ on: Dos de los l´ımites m´as importantes que aparecen en el An´alisis Matem´atico son l´ım x → 0(sen x/x) = 1 y l´ım x → 0(ex − 1)/x = 1. Para calcularlos es necesario, sin embargo, realizar un estudio riguroso de las funciones trigonom´etricas y de la funci´on exponecial. Esto se har´a en los Cap˜ nitulos 9 y 10. Continuaremos, no obstante, usando estas funciones, as´ı como sus inversas (como el logaritmo), en ejemplos, inclusive antes de estos cap´ıtulos, debido a que estos ejemplos ayudan a fijar ideas sin interferir en el encadenamiento l´ogico de la materia presentada. Informamos al lector interesado que una presentaci´on rigurosa de car´acter elemental sobre logaritmos y la funci´on exponencial puede encontrarse en el librillo “Logaritmos”, citado en la bibliograf´ıa. 2. L´ımites laterales Sea X ⊂ R. Se dice que el n´ umero real a es un punto de acumulaci´on por la derecha de X, y se escribe a ∈ X+′ , cuando todo entorno de a contiene alg´ un punto de x ∈ X tal que x > a. Equivalentemente: para todo ε > 0 se tiene X ∩ (a, a + ε) 6= ∅. Para

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Secci´ on 1

L´ımites laterales

75

que a ∈ X+′ es necesario y suficiente que a se l´ımite de una sucesi´on de puntos xn > a. pertenecientes a X. Finalmente, a es un punto de acumulaci´on por la derecha del conjunto X si, y s´olo si, es un punto de acumulaci´on ordinario del conjunto Y = X ∩ (a, +∞). An´alogamente se define punto de acumulaci´ on por la izquierda. Por definici´on, a ∈ X−′ significa que, para todo ε > 0, se tiene X ∩ (a − ε, a) 6= ∅, o sea, a ∈ Z ′ , donde Z = (−∞, a) ∩ X. Para que esto suceda, es necesario y suficiente que a = l´ım xn , donde (xn ) es una sucesi´on cuyos t´erminos xn < a pertencen a X. Cuando a ∈ X+′ ∩ X−′ se dice que a es un punto de acumulaci´ on bilateral de X. Ejemplo 4. Sea X = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . .}; entonces 0 ∈ X+′ pero 0∈ / X−′ . Sea I un intervalo. Si c ∈ int I entonces c ∈ I+′ ∩ I−′ ; sin embargo, si c es uno de los extremos de I entonces solamente se tiene c ∈ I+′ si c es el extremo inferior y c ∈ I−′ si c es el extremo superior de I. Ejemplo 5. Sea K el conjunto de Cantor. Sabemos que todo punto a ∈ K es punto de acumulaci´on. Si a es extremo de un intervalo retirado en alguna de las etapas de la construcci´on de K entonces s´olo una de las posibilidades a ∈ K+′ ´o a ∈ K−′ es v´alida. Sin embargo, si a ∈ K no es extremo de ning´ un intervalo retirado, entonces a ∈ K+′ ∩ K−′ como se deduce de los argumentos usados en el Cap´ıtulo 5, secci´on 5. Sean f : X → R, a ∈ X+′ . Se dice que el n´ umero real L es el l´ımite por la derecha de f (x) cuando x tiene a a, y se escribe L = l´ım+ f (x) cuando para todo ε > 0, es posible obtener δ > 0 x→a

tal que |f (x) − L| < ε siempre que x ∈ X y 0 < x − a < δ. Con s´ımbolos matem´aticos: l´ım f (x) = L. ≡ .∀ε > 0∃δ > 0; x ∈ X∩(a, a+δ) ⇒ |f (x)−L| < ε.

x→a+

An´alogamente se define el l´ımite por la izquierda L = l´ımx→a− f (x), en el caso en que f : X → R y a ∈ X−′ : esto significa que, para cualquier ε > 0, se puede escoger δ > 0 tal que x ∈ X ∩ (a − δ, a) ⇒ |f (x) − L| < ε.

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76

L´ımites de funciones

Cap. 6

Las demostraciones de las propiedades generales de los l´ımites, secci´on 1, se adaptan f´acilmente a los l´ımites laterales. Basta observar que el l´ımite por la derecha l´ım+ f (x) se reduce al l`ımite ordix→a

nario l´ım g(x), donde g es la restricci´on de la funci´on f : X → R al x→a

conjunto X ∩(a, +∞). An´alogamente para el l´ımite por la izquierda.

Por ejemplo, el Teorema 3 en el caso del l´ımite por la derecha se expresa as´ı: “Para que l´ım+ f (x) = L es necesario y suficiente que para tox→a

da sucesi´on de puntos xn ∈ X con xn > a y l´ım xn = a, se tenga l´ım f (xn ) = L.” Como puede verse f´acilmente, dado a ∈ X+′ ∩X−′ , existe l´ım f (x) = x→a

L si, y s´olo si, existen y son iguales los l´ımites laterales l´ım+ f (x) = x→a

l´ım− f (x) = L.

x→a

Ejemplo 6. Las funciones f, g, h : R − {0} → R, definidas como f (x) = sen(1/x), g(x) = x/|x| y h(x) = 1/x no poseen l´ımites cuando x → 0. Respecto a los l´ımites laterales, tenemos l´ım+ g(x) = x→0

1 y l´ım− g(x) = −1 porque g(x) = 1 para x > 0 y g(x) = −1 si x→0

x < 0. Las funciones f y h no poseen l´ımites laterales cuando x → 0, ni por la izquierda ni por la derecha. Por otra parte, ϕ : R − {0} → R, definida como ϕ(x) = e−1/x , posee l´ımite por la derecha, l´ım+ ϕ(x) = 0, pero no existe l´ım− ϕ(x) pues ϕ(x) no x→0

x→0

est´a acotada para valores negativos de x pr´oximos a cero. Ejemplo 7. Sea I : R → R la funci´on ‘parte entera de x’. Para cada x ∈ R, existe un u ´ nico n´ umero entero n tal que n ≤ x < n + 1; se escribe entonces I(x) = n. Si n ∈ Z se tiene y l´ım− I(x) = n − 1. x→n

En efecto, n < x < n + 1 ⇒ I(x) = n, mientras que n − 1 < x < n ⇒ I(x) = n − 1. Por otra parte, si a no es entero entonces l´ım+ I(x) = l´ım− I(x) = I(a) pues en este caso I(x) es constante x→a

x→a

en un entorno de a. Se dice que una funci´on f : X → R es mon´ otona creciente cuando para todo x, y ∈ X, x < y ⇒ f (x) ≤ f (y). Si x < y ⇒ f (x) ≥ f (y) se dice que f es mon´ otona decreciente. Si se cumple la implicaci´on con la desigualdad estricta, x < y ⇒ f (x) < f (y), decimos que

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Secci´ on 3

L´ımites en el infinito

77

f es estrictamente creciente. Finalmente, si x < y ⇒ f (x) > f (y) decimos que f es una funci´on estrictamente decreciente. Teorema 5. Sea f : X → R una funci´ on mon´ otona y acota′ ′ da. Para todo a ∈ X+ y todo b ∈ X− existen L = l´ım+ f (x) y x→a

L = l´ım− f (x). O sea: siempre existen los l´ımites laterales de una x→b

funci´on mon´otona y acotada. Demostraci´ on: Para fijar ideas, supongamos que f es creciente. Sea L = ´ınf{f (x) : x ∈ X, x > a}. Afirmamos que l´ım+ f (x) = L. x→a

En efecto, dado cualquier ε > 0, L + ε no es una cota inferior del conjunto acotado {f (x) : x ∈ X, x > a}. Luego existe δ > 0 tal que a + δ ∈ X y L ≤ f (a + δ) < L + ε. Como f es creciente x ∈ X ∩ (a, a + δ) ⇒ L ≤ f (x) < L + ε, lo que prueba la afirmaci´on. De forma an´aloga se ve que M = sup{f (x) : x ∈ X, x < b} es el l´ımite por la izquierda, esto es, M = l´ım− f (x). x→b

Observaci´ on: Si en el Teorema 5 tenemos que a ∈ X entonces no es necesario suponer que f est´e acotada. En efecto, supongamos, para fijar ideas, que f es mon´otona creciente y que a ∈ X+′ . Entonces f (a) es una cota inferior de {f (x) : x ∈ X, x < a} y el ´ınfimo de este conjunto es l´ım+ f (x). An´alogamente, si a ∈ X−′ entonces x→a

f (a) es una cota superior del conjunto {f (x) : x ∈ X, x < a}, cuyo supremo es el l´ımite por la izquierda l´ım− f (x). x→a

3. L´ımites en el infinito, l´ımites infinitos, expresiones indeterminadas Sea X ⊂ R un conjunto no acotado superiormente. Dada f : X → R, se escribe l´ım f (x) = L x→+∞

cuando el n´ umero real L cumple la siguiente condici´on: ∀ ε > 0 ∃ A > 0; x ∈ X , x > A ⇒ |f (x) − L| < ε . O sea, dado cualquier ε > 0, existe A > 0 tal que |f (x) − L| < ε siempre que x > A.

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78

L´ımites de funciones

Cap. 6

De manera an´aloga se define l´ım f (x) = L, cuando el dominio x→−∞

de f no est´a acotado inferiormente: para todo ε > 0 dado, existe A > 0 tal que x < −A ⇒ |f (x) − L| < ε. En estos casos son v´alidos los resultados ya demostrados para el l´ımite cuando x → a, a ∈ R, con las adaptaciones obvias. Los l´ımites cuando x → +∞ y x → −∞ son, de cierta forma, l´ımites laterales (el primero es un l´ımite por la izquierda y el segundo por la derecha). Luego el resultado del Teorema 5 es v´alido: si f : X → R es mon´otona y acotada entonces existen l´ım f (x) x→+∞

(si el dominio X no est´a acotado superiormente) y l´ım f (x) (si el x→−∞

dominio X no est´a acotado inferiormente). El l´ımite de una sucesi´on es un caso particular de l´ımite en el infinito: se trata de l´ım f (x), donde f : N → R es una funci´on x→+∞

definida en el conjunto N de los n´ umeros naturales.

Ejemplo 8. l´ım 1/x = l´ım 1/x = 0. Por otra parte, no exisx→+∞

x→−∞

ten l´ım sen x ni l´ım sen x. Se tiene l´ım ex = 0 pero no existe x→+∞

x→−∞

x→−∞

l´ım ex , en el sentido de la definici´on anterior. Como hicimos en

x→+∞

el caso de las sucesiones, introduciremos “l´ımites infinitos” para abarcar situaciones como ´esta. En primer lugar, sean X ⊂ R, a ∈ X ′ y f : X → R. Diremos que l´ım f (x) = +∞ cuando, para todo A > 0 existe δ > 0 tal que x→a

0 < |x − a| < δ, x ∈ X ⇒ f (x) > A. Por ejemplo, l´ım 1/(x − a)2 = +∞, pues dado A > 0, tomamos x→a √ δ = 1/ A. Entonces 0 < |x − a| < δ ⇒ 0 < (x − a)2 < 1/A ⇒ 1/(x − a)2 > A. Definiremos l´ım f (x) = −∞ de modo semejante. Esto significa x→a

que, para todo A > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −A. Por ejemplo, l´ım −1/(x − a)2 = −∞. x→a

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Secci´ on 3

L´ımites en el infinito

79

Evidentemente, las definiciones de l´ım+ f (x) = +∞, l´ım− f (x) = x→a

x→a

+∞, etc no presentan mayores dificultades y se dejan a cargo del lector. Tambi´en omitiremos las definiciones obvias de l´ım f (x) = x→+∞

+∞, l´ım f (x) = +∞, etc. Por ejemplo, x→−∞

1 1 = +∞ , l´ım− = −∞ , x→a (x − a) x→a (x − a) l´ım ex = +∞ , l´ım xk = +∞ (k ∈ N) . l´ım+

x→+∞

x→+∞

Insistimos en que +∞ y −∞ no son n´ umeros reales; as´ı pues, las afirmaciones l´ım f (x) = +∞ y l´ım f (x) = −∞ no expresan l´ımites x→a x→a en el sentido estricto del t´ermino. Observaci´ on: Se tiene para l´ım(f + g), l´ım(f ·) y l´ım(f /g) resultados an´alogos a los del Cap´ıtulo 3 (cf. Teorema 9) sobre l´ımites de sucesiones. Observaci´ on: Admitiendo l´ımites infinitos, existen siempre los l´ımites laterales de una funci´on mon´otona f : X → R en todos los puntos a ∈ X ′ , inclusive cuando x → ±∞. Se tiene l´ım+ f (x) = L, x→a

L ∈ R, si, y s´olo si, para alg´ un δ > 0, f est´a acotada en el conjunto X ∩ (a, a + δ). Si, por el contrario, para todo δ > 0, f no est´a acotada (por ejemplo superiormente) en X ∩ (a, a + δ) entonces l´ım+ f (x) = +∞. x→a

En a˜ nadidura a los comentarios hechos en la secci´on 4 del Cap´ıtulo 3, diremos algunas palabras sobre las expresiones indeterminadas 0/0, ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 00 , ∞0 y 1∞ . Veamos, por ejemplo, 0/0. Como la divisi´on por cero no est´a definida, esta expresi´on no tiene sentido aritm´etico. Afirmar que 0/0 es un indeterminada tiene el siguiente significado preciso: Sean X ⊂ R, f, g : X → R, a ∈ X ′ . Supongamos que l´ım f (x) = x→a

l´ım g(x) = 0 y que, escribiendo Y = {x ∈ X : g(x) 6= 0}, a´ un se

x→a

tiene a ∈ Y ′ . Entonces cuando x ∈ Y , f (x)/g(x) est´a definido y tiene sentido preguntarse si existe o no el l´ım f (x)/g(x). No obstante, x→a

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80

L´ımites de funciones

Cap. 6

en general nada puede afirmarse sobre dicho l´ımite. Dependiendo de las funciones f y g, ´este puede ser cualquier valor real o no existir. Por ejemplo, dada cualquier c ∈ R, si tomamos f (x) = cx y g(x) = x, tenemos que l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0, mientras que x→0

x→0

l´ım f (x)/g(x) = c. Por otra parte, si tom´asemos f (x) = x sen(1/x),

x→0

(x 6= 0), y g(x) = x, tendr´ıamos l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0, sin que x→0

x→0

exista l´ım f (x)/g(x). x→0

Por el mismo motivo, ∞ − ∞ es una indeterminada. Esto quiere decir: podemos encontrar funciones f, g : X → R, tales que l´ım f (x) = l´ım g(x) = +∞, mientras que l´ım [f (x) − g(x)], depenx→a x→a x→a diendo de nuestra elecci´on de f y g, puede tomar cualquier valor c ∈ R o no existir. Por ejemplo, si f, g : R − {a} → R son dadas por: 1 1 y g(x) = , f (x) = c + (x − a)2 (x − a)2 entonces l´ım f (x) = l´ım g(x) = +∞ y l´ım [f (x) − g(x)] = c. An´alox→a x→a x→a gamente, si f (x) = sen

1 1 + x − a (x − a)2

y g(x) =

1 , (x − a)2

entonces no existe l´ım [f (x) − g(x)]. x→a

Para terminar, un nuevo ejemplo: Dado cualquier n´ umero real c ∈ R podemos encontrar funciones f, g : X → R, con a ∈ X ′ , l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0 y f (x) > 0 para todo x ∈ X, tales que x→a

x→a

l´ım f (x)g(x) = c. Basta, por ejemplo, definir f, g : (0, +∞) → R co-

x→a

mo f (x) = x, g(x) = log c/ log x. En este caso, se tiene l´ım f (x)g(x) = x→0

c. (Tome los logaritmos de ambos miembros.) Todav´ıa en este caso, es posible escoger f y g de forma que el l´ımite de f (x)g(x) no exista. Basta tomar, por ejemplo, f (x) = x y g(x) = log(1 + | sen 1/x|) · (log x)−1 . Entonces f (x)g(x) = 1 + | sen 1/x| y por tanto no existe l´ım f (x)g(x) . x→0

Estos ejemplos deben ser suficientes para entender el significado de “expresiones indeterminada”. El instrumento m´as eficaz para

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Secci´ on 4

Ejercicios

81

el c´alculo del l´ımite de una expresi´on indeterminada es la llamada “Regla de L’Hˆopital”, objeto de un sinf´ın de ejercicios en los cursos de C´alculo. 4. Ejercicios Secci´on 1: Definici´on y primeras propiedades 1. Sean f : X → R, a ∈ X ′ e Y = f (X − {a}). Pruebe que si l´ım f (x) = L, entonces L ∈ Y . x→a

2. Sean f : X → R y a ∈ X ′ . Pruebe que para que exista l´ım f (x) es suficiente que, para toda sucesi´on de puntos x→a

xn ∈ X − {a} tal que l´ım xn = a, la sucesi´on (f (xn )) sea convergente. 3. Sean f : X → R, g : Y → R con f (X) ⊂ Y , a ∈ X ′ y b ∈ Y ′ ∩ Y . Si l´ım f (x) = b y l´ım g(y) = c, pruebe que x→a

y→b

l´ım g(f (x)) = c, siempre que c = g(b) o que x 6= a implique

x→a

f (x) 6= b.

4. Sean f, g : R → R, definidas mediante f (x) = 0 si x es irracional y f (x) = x si x ∈ Q; g(0) = 1 y g(x) = 0 si x 6= 0. Demuestre que l´ım f (x) = 0 y l´ım g(x) = 0, y que sin x→0

x→0

embargo no existe l´ım g(f (x)). x→0

5. Sea f : R → R definida mediante f (0) = 0 y f (x) = sen(1/x) si x 6= 0. Demuestre que para todo c ∈ [−1, 1] existe una sucesi´on de puntos xn 6= 0 tales que l´ım xn = 0 y l´ım f (xn ) = c. Secci´on 2: L´ımites laterales 1. Pruebe que a ∈ X+′ (respectivamente, a ∈ X−′ ) si, y s´olo si, a = l´ım xn es el l´ımite de una sucesi´on estrictamente decreciente (respectivamente, estrictamente creciente) de puntos pertenecientes al conjunto X.

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82

L´ımites de funciones

Cap. 6

2. Pruebe que l´ım+ f (x) = L (respectivamente, l´ım− f (x) = L) x→a

x→a

si, y s´olo si, para toda sucesi´on estrictamente decreciente (respectivamente, estrictamente creciente) de puntos xn ∈ X tal que l´ım xn = a se tiene l´ım f (xn ) = L. 3. Sea f : R − {0} → R definida mediante f (x) = 1/(1 + a1/x ), donde a > 1. Pruebe que l´ım+ f (x) = 0 y l´ım− f (x) = 1. x→0

x→0

4. Sean f : X → R mon´otona y a ∈ X+′ . Si existe una sucesi´on de puntos xn ∈ X tal que xn > qa, l´ım xn = a y l´ım f (xn ) = L, pruebe que l´ım+ f (x) = L. x→a

5. Dada f : R − {0} → R, definida como f (x) = sen(1/x)/(1 + 21/x ), determine el conjunto de los n´ umeros L tales que L = l´ım f (xn ), con l´ım xn = 0, xn 6= 0. Secci´on 3: L´ımites en el infinito, l´ımites infinitos, etc. 1. Sea p : R → R un polinomio no constante, esto es, para todo x ∈ R, p(x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn , con an 6= 0 y n ≥ 1. Pruebe que, si n es par, entonces l´ım p(x) = l´ım p(x) = +∞ si x→+∞

x→−∞

an > 0 y l´ım p(x) = l´ım p(x) = −∞ si an < 0. Si n es x→+∞

x→−∞

impar entonces l´ım p(x) = +∞ y l´ım p(x) = −∞ cuando x→+∞

x→−∞

an > 0 y los signos de los l´ımites se invierten cuando an < 0.

2. Sea f : R → R definida por f (x) = x sen x. Pruebe que, para todo c ∈ R, existe una sucesi´on xn ∈ R con l´ım xn = +∞ y x→∞

l´ım f (xn ) = c.

x→∞

3. Sea f : [a, +∞) → R una funci´on acotada. Para cada t ≥ a denotaremos mediante Mt y mt el sup y el ´ınf de f en el intervalo I = [t, +∞), respectivamente. Mediante wt = Mt − mt denotamos las oscilaci´ on de f en I. Pruebe que existen l´ım Mt y l´ım mt . Pruebe que existe l´ım f (x) si, y s´olo si, t→+∞

t→+∞

t→+∞

l´ım wt .

t→+∞

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7 Funciones continuas La noci´on de funci´on continua es uno de los puntos centrales de la Topolog´ıa. Ser´a estudiada en este cap´ıtulo en sus aspectos m´as b´asicos, como introducci´on a un enfoque m´as amplio y como instrumento que ser´a usado en cap´ıtulos posteriores. 1. Definici´ on y propiedades b´ asicas Una funci´on f : X → R, definida en el conjunto X ⊂ R, se dice que es continua en el punto a ∈ X cuando, para todo ε > 0, se puede obtener δ > 0 tal que x ∈ X y |x − a| < δ impliquen |f (x) − f (a)| < ε. Con s´ımbolos matem´aticos, f continua en el punto a significa: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ; x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε . Se llama discontinua en el punto a ∈ X a una funci´on f : X → R que no es continua en dicho punto. Esto quiere decir que existe ε > 0 con la siguiente propiedad: para todo δ > 0 se puede encontrar xδ ∈ X tal que |xδ − a| < δ y |f (xδ ) − f (a)| ≥ ε. En particular, si tomamos δ igual a 1, 1/2, 1/3, . . . y as´ı sucesivamente y escribimos xn en vez de x1/n , vemos que f : X → R es discontinua en el punto a ∈ X si, y s´olo si, existe ε > 0 con la siguiente propiedad: para cada n ∈ N se puede encontrar xn ∈ X con |xn − a| < 1/n y |f (xn ) − f (a)| ≥ ε. Evidentemente, |xn − a| < 1/n para todo n ∈ N implica l´ım xn = a. 83

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84

Funciones continuas

Cap. 7

Se dice que f : X → R es una funci´ on continua cuando f es continua en todos los puntos a ∈ X. La continuidad es un fen´omeno local, esto es, la funci´on f : X → R es continua si, y s´olo si, existe un entorno V de a tal que la restricci´on de f a V ∩ X es continua en el punto a. Si a es un punto aislado del conjunto X, esto es, si existe δ > 0 tal que X ∩(a−δ, a+δ) = {a}, entonces toda funci´on f : X → R es continua en el punto a. En particular, si X es un conjunto discreto, como por ejemplo Z, entonces toda funci´on f : X → R es continua. Si a ∈ X ∩ X ′ esto es, si a ∈ X es un punto de acumulaci´on de X, entonces f : X → R es continua en el punto a si, y s´olo si, l´ım f (x) = f (a). x→a

Al contrario de lo que sucede con el l´ımite, en la definici´on de funci´on continua el punto a pertenece necesariamente al conjunto X y se puede tomar x = a, pues en tal caso, la condici´on |f (x) − f (a)| < ε se convierte en 0 < ε, lo que es obvio. Teorema 1. Sean f, g : X → R continuas en el punto a ∈ X, con f (a) < g(a). Entonces existe δ > 0 tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ). Demostraci´ on: Tomemos c = [g(a) + f (a)]/2 y ε = g(a) − c = c − f (a). Entonces ε > 0 y f (a) + ε = g(a) − ε = c. Por la definici´on de continuidad, existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que x ∈ X, |x − a| < δ1 ⇒ f (a) − ε < f (x) < c y x ∈ X, |x − a| < δ2 ⇒ c < g(x) < g(a) + ε. Sea δ el menor de los n´ umeros δ1 y δ2 . Entonces x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ f (x) < c < g(x), lo que prueba el teorema. Corolario 1. Sea f : X → R continua en el punto a ∈ X. Si f (a) 6= 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ), f (x) tiene el mismo signo que f (a). En efecto, para fijar ideas supongamos que f (a) < 0. Entonces basta tomar g id´enticamente nula en el Teorema 1.  Corolario 2. Dadas f, g : X → R continuas, sean Y = {x ∈ X : f (x) < g(x)} y Z = {x ∈ X : f (x) ≤ g(x)}. Existen A ⊂ R abierto

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Secci´ on 1

Definici´ on y propiedades b´ asicas

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y F ⊂ R cerrado tales que Y = X ∩ A y Z = X ∩ F . En particular, si X es abierto tambi´en Y es abierto, y si X es cerrado tambi´en Z es cerrado. En efecto, por el Teorema 1, para cada y ∈ Y existe un intervalo abierto Iy , centrado en y, tal que {y} ⊂ X ∩ Iy ∩SY . De donde S S (X ∩ Iy ) ⊂ Y , o sea: Y ⊂ X ∩ ( y∈Y Iy ) ⊂ Y . y∈Y {y} ⊂ y∈YS Escribiendo A = y∈Y Iy , el Teorema 1, Cap´ıtulo 5, nos asegura que A es un conjunto abierto. Adem´as, de Y ⊂ X ∩ A ⊂ Y conclu´ımos que Y = X ∩A. Respecto al conjunto Z, tenemos que Z = X −{x ∈ X : g(x) < f (x)}. Por lo que acabamos de ver, existe B ⊂ R abierto tal que Z = X − (X ∩ B) = X ∩ (R − B). Por el Teorema 3 del Cap´ıtulo 5, F = R − B es cerrado, y por tanto Z = X ∩ F como pretend´ıamos demostrar.  Teorema 2. Para que la funci´ on f : X → R sea continua en el punto a es necesario y suficiente que, para toda sucesi´ on de puntos xn ∈ X con l´ım xn = a, se tenga l´ım f (xn ) = f (a). La demostraci´on se deduce usando exactamente los mismos argumentos que en el Teorema 3, Cap´ıtulo 6, y por tanto se omite. Corolario 1. Si f, g : X → R son continuas en el punto a ∈ X entonces tambi´en son continuas en dicho punto las funciones f + g, f · g : X → R, as´ı como la funci´ on f /g, en el caso en que g(a) 6= 0. El dominio de la funci´on f /g, bien entendido, es el subconjunto de X formado por los puntos x tales que g(x) 6= 0. As´ı, existe δ > 0 tal que X ∩ (a − δ, a + δ) est´a contenido en dicho dominio. Ejemplo 1. Todo polinomio p : R → R es una funci´on continua. Toda funci´on racional p(x)/q(x) (cociente de dos polinomios) es continua en su dominio, que es el conjunto de los puntos x tales que q(x) 6= 0. La funci´on f : R → R, definida mediante f (x) = sen(1/x) si x 6= 0 y f (0) = 0, es discontinua en el punto 0 y continua en los dem´as puntos de la recta. La funci´on g : R → R, dada como g(x) = x sen(1/x) si x 6= 0 y g(0) = 0, es continua en toda la recta. La funci´on ϕ : R → R, definida por ϕ(x) = 0 para todo x racional y ϕ(x) = 1 para todo x irracional, es discontinua en todos los puntos de la recta; sin embargo, sus restricciones a Q y a

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Funciones continuas

Cap. 7

R−Q son continuas porque son constantes. Si definimos ψ : R → R escribiendo ψ(x) = x·ϕ(x) vemos que ψ es continua exclusivamente en el punto x = 0. Teorema 3. Sean f : X → R continua en el punto a ∈ X, g : Y → R continua en el punto b = f (a) ∈ Y y f (X) ⊂ Y , de forma que la funci´on compuesta g ◦ f : X → R est´ a bien definida. Entonces g ◦ f es continua en el punto a. (La composici´ on de dos funciones continuas es continua.) Demostraci´ on: Dado ε > 0 existe, por la continuidad de g en el punto b, un n´ umero η > 0 tal que y ∈ Y ; |y − b| < η implican |g(y) − g(b)| < ε. A su vez, la continuidad de f en el punto a nos asegura que existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ implican |f (x) − b| < η. Por consiguiente, x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ) ⇒ |g(f (x)) − g(b)| = |(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a)| < ε, lo que prueba el teorema. 2. Funciones continuas en un intervalo Teorema 4. (Teorema del valor intermedio) Sea f : [a, b] → R continua. Si f (a) < d < f (b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d. Demostraci´ on: Consideremos los conjuntos A = {x ∈ [a, b] : f (x) ≤ d} y B = {x ∈ [a, b] : f (x) ≥ d}. Por el corolario 2 del Teorema 1, A y B son cerrados, luego A ∩ B = A ∩ B = A ∩ B. Adem´as, es claro que [a, b] = A ∪ B. Si tuvi´eramos A ∩ B 6= ∅ entonces el teorema estar´ıa demostrada ya que f (c) = d para cualquier c ∈ A ∩ B. Si, por el contrario, tuvi´esemos A ∩ B = ∅ entonces [a, b] = A ∪ B ser´ıa una escisi´on no trivial (pues a ∈ A y b ∈ B), lo que est´a prohibido por el Teorema 5 del Cap´ıtulo 5. Luego necesariamente A ∩ B 6= ∅; as´ı pues el teorema est˜ na probado. Corolario 1. Si I ⊂ R es un intervalo y f : I → R es continua, entonces f (I) es un intervalo. El resultado es obvio si f es constante. En caso contrario, sea α = ´ınf(f (I)) = ´ınf{f (x) : x ∈ I} y β = sup(f (I)) = sup{f (x) : x ∈ I}. Si f (I) no est´a acotado tomaremos α = −∞ y β = +∞. Para probar que f (I) es un intervalo (abierto, cerrado o semiabierto) cuyos extremos son α y β tomemos d tal que α < d < β. Por

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Secci´ on 2

Funciones continuas en un intervalo

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las definiciones de ´ınf y sup, existen a, b ∈ I tales que α ≤ f (a) < d < f (b) ≤ β. Por el Teorema 4 existe C ∈ [a, b], por tanto c ∈ I, tal que f (c) = d. As´ı d ∈ f (I). Esto prueba que (α, β) ⊂ f (I). Como α es el ´ınf y β es el sup de f (I), ning´ un n´ umero real menor que α o mayor que β puede pertenecer a f (I). Por tanto f (I) es un intervalo cuyos extremos son α y β.  Observaci´ on: Si I = [a, b] es un intervalo compacto entonces f (I) tambi´en es un intervalo compacto; ver el Teorema 7 m´as adelante. Pero si I no es cerrado o no est´a acotado, f (I) puede no ser del mismo tipo que I. Por ejemplo, sea f : R → R dada por f (x) = sen x. Tomando sucesivamente los intervalos abiertos I1 = (0, 7), I2 = (0, π/2) e I3 = (0, π), tenemos f (I1 ) = [−1, 1], f (I2 ) = (0, 1) y f (I3 ) = (0, 1]. Ejemplo 2. Como aplicaci´on demostraremos que todo polinomio p : R → R de grado impar tiene alguna ra´ız real. Sea p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn con n impar y an 6= 0. Para fijar ideas supongamos que an > 0. Sacando an xn como factor com´ un, podemos escribir p(x) = an xn · r(x), donde r(x) = Es claro que

a0 1 a1 1 an−1 1 · n+ · n−1 + · · · + · +1. an x an x an x

l´ım r(x) =

x→+∞

l´ım r(x) = 1. Luego l´ım p(x) =

x→−∞

x→+∞

l´ım an xn = +∞ y l´ım p(x) = l´ım an xn = −∞ (pues n es

x→+∞

x→−∞

x→−∞

impar). Por tanto, el intervalo p(R) no est`a acotado, ni superior ni inferiormente, esto es, p(R) = R. Esto significa que p : R → R es suprayectiva. En particular existe c ∈ R tal que p(c) = 0. Evidentemente, un polinimio de grado par puede no tener ra´ıecs reales, como por ejemplo, p(x) = x2 + 1. √ Ejemplo 3. (Existencia de n a) Dado n ∈ N, la funci´on f : [0, +∞) → [0, +∞), definida como f (x) = xn , es creciente (por tanto inyectiva), con f (0) = 0 y l´ım f (x) = +∞. Por tanto, su x→+∞

imagen es un subintervalo no acotado de [0, +∞) que contiene a su extremo inferior, igual a cero. Luego f ([0, +∞)) = [0, +∞), esto es, f es una biyecci´on de [0, +∞) en s´ı mismo. Esto significa que, para todo n´ umero real a ≥ 0, existe un u ´ nico n´ umero real b ≥ 0 tal que

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Funciones continuas

Cap. 7

√ a = bn , o sea, b = n a. En el caso particular en que n es impar, la funci´on x → xn es una biyecci´on de R en R; as´ı, en este caso, todo n´ umero real a tiene una u ´ nica ra´ız n-´esima que es positiva cuando a > 0 y negativa cuando a < 0.

Ejemplo 4. El Teorema 4 es uno de los denominados “teoremas de existencia”. En ciertas condiciones nos asegura la existencia de una ra´ız para la ecuaci´on f (x) = d. Una de sus aplicaciones m´as sencillas es la que sigue. Sea f : [a, b] → R una funci´on continua tal que f (a) ≤ a y b ≤ f (b). En estas condiciones existe al menos un n´ umero c ∈ [a, b] tal que f (c) = c. En efecto, la funci´on ϕ : [a, b] → R, definida mediante ϕ(x) = x − f (x), es continua con ϕ(a) ≥ 0 y ϕ(b) ≤ 0. Por el Teorema 4, existe c ∈ [a, b] tal que ϕ(c) = 0, esto es, f (c) = c. Un punto x ∈ X tal que f (x) = x se denomina punto fijo de la funci´on f : X → R. El resultado que acabamos de probar es una versi´on unidemensional del conocido “Teorema del punto fijo de Brouwer”.

Otra aplicaci´on del Teorema 4 es la que se refiere a la continuidad de la funci´on inversa. Sean X, Y ⊂ R y f : X → Y una biyecci´on. Suponiendo que f es continua, ¿se puede concluir que su inversa f −1 tambi´en lo es? La respuesta es, en general, negativa, como lo demuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5. Sean X = [−1, 0] ∪ (1, 2] e Y = [0, 4]. La funci´on f : X → Y definida como f (x) = x2 , es una biyecci´on de X en Y , que es obviamente continua (ver Fig. 3). Su inversa g : Y → X √ √ est´a dada por g(y) = − y si 0 ≤ y ≤ 1 y g(y) = y si 1 < y ≤ 4. Luego g es discontinua en el punto y = 1 (pues l´ım− g(y) = −1 y y→1

l´ım+ g(y) = 1.)

y→1

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Secci´ on 2

Funciones continuas en un intervalo +

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4

+3 +2 1

2

Fig. 3

Demostraremos ahora que si una biyecci´on entre intervalos f : I → J es continua, entonces su inversa tambi´en lo es. En la secci´on 3, m´as adelante, veremos que, si el dominio es compacto, la inversa de una biyecci´on continua tambi´en es continua. (En el Ejemplo 5 el dominio de f no es ni un intervalo ni un conjunto compacto.) Teorema 5. Sea I ⊂ R un intervalo. Toda funci´ on continua e inyectiva f : I → R es mon´otona y su inversa g : J → I, definida en el intervalo J = f (I), es continua. Demostraci´ on: Supongamos, inicialmente, que I = [a, b] sea un intervalo cerrado y acotado. Para fijar ideas, sea f (a) < f (b). Demostraremos que f es estrictamente creciente. En caso contrario existir´ıan puntos x < y en [a, b] con f (x) > f (y). Hay dos posibilidades: f (a) < f (y) y f (a) > f (y). En el primer caso, tenemos f (a) < f (y) < f (x), luego, por el Teorema 4, existe c ∈ (a, x) coon f (c) = f (y), contradiciendo la inyectividad de f . En el segundo caso, se tiene f (y) < f (a) < f (b), por tanto existe c ∈ (y, b) con f (c) = f (a), obteni´endose otra contradicci´on, luego f es estrictamente creciente. Sea ahora f : I → R continua e inyectiva en un intervalo cualquiera I. Si f no fuese mon´otona existir´ıan puntos u < v y x < y en I tales que f (u) < f (v) y f (x) > f (y). Sean a el menor y b el mayor de los n´ umeros u, v, x, y. Entonces, la restricci´on de f al intervalo [a, b], ser´ıa continua e inyectiva, pero no mon´otona, contradiciendo lo que acabamos de probar. Finalmente, consideremos la invaersa g : J → I de la biyecci´on continua

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Funciones continuas

Cap. 7

estrictamente creciente f : I → J. Evidentemente, g es estrictamente creciente. Sea a ∈ I un punto cualquiera y b = f (a). Para probar que g es continua en el punto b comenzaremos suponiendo que a es interior a I. Entonces, dado ε > 0 podemos admitir que (a − ε, a + ε) ⊂ I. As´ı, f (a − ε) = b − α y f (a + ε) = b + β, donde α > 0 y β > 0. Sea δ = m´ın{α, β}. Como g es estrictamente creciente, y ∈ J, b − δ < y < b + δ ⇒ b − α < y < b + β ⇒ g(b − α) < g(y) < g(b + β) ⇒ a − ε < g(y) < a + ε. Luego g es continua en el punto b. Si, por el contrario, a es un extremo de I, supongamos inferior, entonces b = f (a) es el extremo inferior de J. Dado cualquier ε > 0 podemos suponer que a + ε ∈ I y tendremos que f (a + ε) = b + δ, δ > 0. Entonces: y ∈ J ,b− δ < y < b + δ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

b≤y
luego g, tambi´en en este caso, es continua en el punto b. Corolario 1. Para todo n√∈ N, la funci´ on g : [0, +∞) → [0, +∞), n definida mediante g(x) = x es continua. En efecto, g es la inversa de la biyecci´on continua f : [0, +∞) → [0, +∞) definida como f (x) = xn .  En el caso particular en que n es impar, f : R → R dada por f (x) = xn es una biyecci´on√continua y su inversa g : R → R, tambi´en denotada por g(x) = n x, es continua en toda la recta. Sean X ⊂ R e Y ⊂ R. Un homeomorfismo entre X e Y es una biyecci´on continua f : X → Y cuya inversa f −1 : Y → X tambi´en es continua. El Teorema 5 nos deice, por tanto, que si I es un intervalo entonces toda funci´on continua e inyectiva f : I → R es un homeomorfismo local entre I y el intervalo J = f (I). 3. Funciones continuas en conjuntos compactos Muchos problemas de las matem´aticas, as´ı como de sus aplicaciones, consisten en encontrar los puntos de un conjunto X en

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Secci´ on 3

Funciones continuas en conjuntos compactos

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los que una determinada funci´on real f : X → R alcanza su valor m´aximo o su valor m´ınimo. Antes de intentar resolver un problema de este ripo es ncesario saber si tales puntos existen. Para empezar, la funci´on f puede no estar acotada superiormente (y entonces no posee valor m´aximo) o inferiormente (y entonces no posee valor m´ınimo). Sin embargo, inclusive en el caso de estar acotada, f puede no alcanzar un valor m´aximo en X, o el m´ınimo, o ninguno de los dos. Ejemplo 6. Sean X = (0, 1) y f : X → R dada por f (x) = x. Entonces f (X) = (0, 1), luego para todo x ∈ X existen x′ , x′′ ∈ X tales que f (x′ ) < f (x) < f (x′′ ). Esto significa que, para cualquier x ∈ X, el valor f (x) no es ni el mayor ni el menor que f alcanza en X. Un ejemplo: podemos considerar g : R → R, g(x) = 1/(1 + x2 ). Tenemos 0 < g(x) ≤ 1 para todo x ∈ R. Como g(0) = 1, vemos que g(0) es el mayor m´aximo de g(x), donde x ∈ R. Sin embargo, no existe x ∈ R tal que g(x) sea el menor valor g. En efecto, si x > 0 basta tomar x′ > x para tener g(x′ ) < g(x). Y si x < 0, basta tomar x′ < x y nuevamente se tiene g(x′ ) < g(x).

Fig. 4 - Gr´afico de la funci´on g(x) =

1 1+x2

El pr´oximo teorema garantiza la existencia de valores m´aximos y m´ınimos de una funci´on continua cuando su dominio es compacto. Teorema 6. (Weierstrass) Sea f : X → R continua en el conjunto compacto X ⊂ R. Entonces existen x0 , x1 ∈ X tales que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ X. Obtendremos el Teorema de Weierstrass como consecuencia del

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Funciones continuas

Cap. 7

Teorema 7. La imagen f (X) de un conjunto compacto X ⊂ R por una funci´on continua f : X → R es un conjunto compacto. Demostraci´ on: Por el Teorema 8 del Cap´ıtulo 5 tenemos que probar que toda sucesi´on de puntos yn ∈ f (X) posee una subsucesi´on que converge a alg´ un punto b ∈ f (X). Ahora bien, para cada n ∈ N tenemos yn = f (xn ), con xn ∈ X. Como X es compacto, la sucesi´on (xn ) posee una subsucesi´on (xn )n∈N′ que converge a un punto a ∈ X. Como f es continua en el punto a, de l´ım′ xn = a conclu´ımos n∈N

que b = l´ım′ yn = l´ım′ f (xn ) = f (a), y as´ı b = f (a) y b ∈ f (X), n→N

n∈N

como quer´ıamos demostrar.

Demostraci´ on: (del Teorema 6) Como vimos en la secci´on 4 del Cap´ıtulo 5, el conjunto compacto f (X) posee un menor elemento f (x0 ) y un mayor elemento f (x1 ). Esto quiere decir que existen x0 , x1 ∈ X tales que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ X. Corolario 1. Si X ⊂ R es compacto entonces toda funci´ on continua f : X → R est´a acotada, esto es, existe c > 0 tal que |f (x)| ≤ c para todo x ∈ X. Ejemplo 7. La funci´on f : (0, 1] → R, definida mediante f (x) = 1/x, es continua pero no est´a acotada. Esto es posible ya que el dominio (0, 1] no es compacto. Teorema 8. Si X ⊂ R es compacto entonces toda biyecci´ on continua f : X → Y ⊂ R tiene inversa continua g : Y → X. Demostraci´ on: Tomaremos un punto cualquiera b = f (a) ∈ Y y demostraremos que g es continua en el punto b. Si no fuese as´ı, existir´ıan un n´ umero ε > 0 y una sucesi´on de puntos yn = f (xn ) ∈ Y tales que l´ım yn = b y |g(yn ) − g(b)| ≥ ε, esto es, |xn − a| ≥ ε para todo n ∈ N. Considerando, si as´ı fuese necesario, una subsucesi´on, podemos suponer que l´ım xn = a′ ∈ X, pues X es compacto. Se tiene |a′ − a| ≥ ε. En particular, a′ 6= a. Sin embargo, por la continuidad de f , l´ım yn = l´ım f (xn ) = f (a′ ). Como ya tenemos l´ım yn = b = f (a), se deduce que f (a) = f (a′ ), contradiciendo la inyectividad de f . Ejemplo 8. El conjunto Y = {0, 1, 1/2, . . . , 1/n, . . .} es compacto y la biyecci´on f : N → Y , definida mediante f (1) = 0, f (n) =

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Secci´ on 4

Continuidad uniforme

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1/(n − 1) si n > 1, es continua, pero su inversa f −1 : Y → N es discontinua en el punto 0. Luego en el Teorema 8 la compacidad de X no puede ser substituida por la de Y . 4. Continuidad uniforme Sea f : X → Y continua. Dado ε > 0, para cada x ∈ X se puede encontrar δ > 0 tal que y ∈ X, |x−y| < δ implican |f (x)−f (y)| < ε. El n´ umero positivo δ depende no s´olo del ε > 0 dado sino tambi´en del punto x donde se examina la continuidad. Dado ε > 0 no es simpre posible encotrar un δ > 0 que sirva para todos los puntos x ∈ X (inclusive cuando f es continua en todos estos puntos). x , Ejemplo 9. Sea f : R − {0} → R definida mediante f (x) = |x| luego f (x) = 1 si x > 0 y f (x) = −1 para x < 0. Esta funci´on es continua en R − {0} pues es constante en un entorno de cada punto x 6= 0. No obstante, si tomamos ε < 2, para todo δ > 0 escogido, siempre existir´an puntos x, y ∈ R − {0} tales que |y − x| < δ y |f (x) − f (y)| ≥ ε. Basta tomar x = δ/3 e y = −δ/3.

Ejemplo 10. La funci´on f : R+ → R, definida mediante f (x) = 1/x, es continua. Sin embargo, dado ε > 0, con 0 < ε < 1, sea cual fuere el δ > 0 escogido, tomamos un n´ umero natural n > 1/δ y escribimos x = 1/n e y = 1/2n. Entonces 0 < y < x < δ, de donde |y − x| < δ, pero |f (y) − f (x)| = 2n − n = n ≥ 1 > ε. Una funci´on f : X → R se dice uniformemente continua en el conjunto X cuando, para todo ε > 0 dado, se puede obtener δ > 0 tal que x, y ∈ X, |y − x| < δ implican |f (y) − f (x)| < ε. Una funci´on uniformemente continua f : X → R es continua en todos los puntos del conjunto X. El rec´ıproco es falso, como puede verse en los Ejemplos 9 y 19 de arriba. La continuidad de una funci´on f : X → R en el punto a ∈ X significa que f (x) est´a tan pr´oximo a f (a) cuanto se desee, siempre que se tome x suficientemente pr´oximo a a. Obs´ervese la asimetr´ıa: el punto a est´a fijo y x tiene que aproximarse a a para que f (x) se aproxime a f (a). En la continuidad uniforme se puede hacer que f (x) − f (y) est´en tan pr´oximos cuanto se quiera: basta con que x

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Funciones continuas

Cap. 7

e y tambi´en lo est´en. Aqu´ı, x e y son variables y juegan papeles sim´etricos en la definici´on. Otra diferencia entre la mera continuidad y la continuidad uniforme es la siguiente: si cada punto x ∈ X posee un entorno V tal que la restricci´on de f a V ∩ X es continua, entonces la funci´on f : X → R es continua. Sin embargo, como lo demuestram los Ejemplos 9 y 10, si cada punto x ∈ X posee un entorno V tal que f es uniformemente continua en X ∩ V , no se puede concluir que f : X → R sea uniformemente continua en el conjunto X. Esto se expresa diciendo que la continuidad es una noci´on local, mientras que la continuidad uniforme es un concepto global. Ejemplo 11. Una funci´on f : X → R se llama lipschitziana cuando existe una constante k > 0 (llamada constante de Lipschitz de la funci´on f ) tal que |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y| sean cuales fueren x, y ∈ X. Para que f sea Lipschitziana es necesario y suficiente que el cociente (f (x) − f (y))/(x − y) est´e acotado, esto es, exista una constante k > 0 tal que x, y ∈ X, x 6= y ⇒ |f (x)−f (y)|/|x−y| ≤ k. Toda funci´on lipschitziana f : X → R es uniformemente continua: dado ε > 0, se toma δ = ε/k. Entonces x, y ∈ X , |x − y| < δ ⇒ |f (x) −f (y)| ≤ k|x−y| < k · ε/k = ε. Si f es un polinomio de grado ≤ 1, esto es, f (x) = ax + b, con a, b ∈ R, entonces f es lipschitziana con constante k = |a|, pues |f (y)−f (x)| = |ay+b−(ax+b)| = |a||y− x|. La funci´on del Ejemplo 10, evidentemente, no es lipschitziana pues no es uniformemente continua. No obstante, para todo a > 0, la restricci´on de f al intervalo [a, +∞) es lipschitziana (y, por tanto, uniformemente continua) con constante de Lipschitz k = 1/a2 . En efecto, si x ≥ a e y ≥ a entonces |f (y) − f (x)| = |y − x|/|xy| ≤ |y − x|/a2 = k|y − x|. Teorema 9. Para que f : X → R sea uniformemente continua es necesario y suficiente, para todo par de sucesiones (xn ), (yn ) en X tales que l´ım(yn − xn ) =, se tenga l´ım(f (yn ) − f (xn )) = 0. Demostraci´ on: Si f es uniformemente continua y l´ım |yn −xn | = 0 entonces dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y ∈ X, |y−x| < δ implican |f (y)−f (x)| < ε. Existe tambi´en n0 ∈ N tal que n > n0 implica |yn −xn | < δ. Luego n > n0 implica |f (yn )−f (xn )| < ε, de donde l´ım(f (yn ) − f (xn )) = 0. Rec´ıprocamente, supongamos

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Secci´ on 4

Continuidad uniforme

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v´alida la condici´on estipulada en el enunciado del teorema. Si f no fuese uniformemente continua, existir´ıa ε > 0 con la siguiente propiedad: para todo n ∈ N podr´ıamos encontrar puntos xn , yn en X tales que |xn − yn | < 1/n y |f (xn ) − f (yn )| ≥ ε. Tendr´ıamos entonces l´ım(yn − xn ) = 0 sin que l´ım(f (yn ) − f (xn )) = 0. Esta contradicci´on concluye la prueba del teorema. Ejemplo 12. La funci´on f : R → R, dada por f (x) = x2 no es uniformemente continua. En efecto, tomando xn = n e yn = n + (1/n) tenemos l´ım(yn − xn ) = l´ım(1/n) = 0, pero f (yn ) − f (xn ) = n2 + 2 + (1/n2 ) − n2 = 2 + 1/n2 > 2, luego no se tiene l´ım[f (yn ) − f (xn )] = 0. Teorema 10. Sea X ⊂ R compacto. Toda funci´ on continua f : X → R es uniformemente continua. Demostraci´ on: Si f no fuese uniformemente continua existir´ıan ε > 0 y dos sucesiones (xn ), (yn ) en X tales que l´ım(yn − xn ) = 0 y |f (yn )−f (xn )| ≥ ε para todo n ∈ N. Considerando una subsucesi´on, si as´ı fuese necesario, podemos suponer, en virtud de la compacidad de X, que l´ım xn = a ∈ X. Entonces, como yn = (yn − xn ) + xn , tambi´en se tiene l´ım xn = a. Como f es continua en el punto a, tenemos l´ım[f (yn ) − f (xn )] = l´ım f (yn ) − l´ım f (xn ) = f (a) − f (a) = 0, lo que contradice que |f (yn ) − f (xn )| ≥ ε para todo n ∈ N. √ Ejemplo 13. La funci´on f : [0, +∞) → R, dado por f (x) = x, no es lipschitziana. En efecto, multiplicando el numerador y el √ √ √ √ denominador por ( y + x) vemos que ( y − x)/(y − x) = √ √ 1/( y + x). Tomando nos, podemos √ x 6= y suficientemente peque˜ √ conseguir que √ y + x sea tan peueno cuanto se desee, luego el √ cociente ( y − x)/(y − x) no est´a acotado. No obstante, f es lipschitziana (por tanto uniformemente continua) en el intervalo √ √ √ √ [1, +∞), ya que√x, y ∈ [1, +∞) ⇒ x + y ≥ 2 ⇒ | y − x| = √ |y − x|/( y + x) ≤ 12 |y − x|. En el intervalo [0, 1], f tambi´en es uniformemente continuam aunque no se lipschitziana, pues [0, 1] es compacto. De aqu´ı resulta que f : [0, +∞) → R es uniformemente continua. En efecto, dado ε > 0 existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que x, y ∈ [0, 1], |y − x| < δ1 ⇒ |f (y) − f (x)| < 2ε , y x, y ∈ [1, +∞), |y − x| < δ2 ⇒ |f (y) − f (x)| < ε/2. Sea δ = m´ın{δ1 , δ2 }. Dados x, y ∈ [0, +∞) con |y − x| < δ, obviamente si x, y ∈ [0, 1] ´o x, y ∈ [1, +∞) tenemos |f (y) − f (x)| < ε. Si, por ejemplo,

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Funciones continuas

Cap. 7

x ∈ [0, 1] e y ∈ [1, +∞) entonces |y − 1| < δ y |x − a| < δ, luego |f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − f (1)| + |f (1) − f (x)| < 2ε + 2ε = ε. Teorema 11. Toda funci´ on f : X → R uniformemente continua en un conjunto acotado X est´ a acotada. Demostraci´ on: Si f no estuviera acotada (supongamos superiormente) existir´ıa una sucesi´on de puntos xn ∈ X tales que f (xn+1 ) > f (xn ) + 1 para todo n ∈ N. Como X est´a acotado, podemos (considerando una subsucesi´on si as´ı fuera necesario) suponer que la sucesi´on (xn ) es convergente. Entonces, escribiendo yn = xn+1 , tendr´ıamos l´ım(yn − xn ) = 0, pero como f (yn ) − f (xn ) > 1, no es verdad que l´ım[f (yn ) − f (xn )] = 0, luego f no ser´ıa uniformemente continua. El Teorema 11 nos da otra forma de ver que f (x) = 1/x no es uniformemente continua en el intervalo (0, 1], pues f (0, 1] = [1, +∞). Teorema 12. Si f : X → R es uniformemente continua entonces, para todo a ∈ X ′ (inclusive si a no pertenece a X), existe l´ım f (x). x→a

Demostraci´ on: Escojamos una sucesi´on de puntos an ∈ X − {a} tal que l´ım an = a. Del Teorema 11 se sigue que la sucesi´on (f (an )) est´a acotada. Considerando una subsucesi´on, si as´ı fuese necesario, podemos suponer que l´ım f (an ) = b. Ahora afirmamos que se tiene l´ım f (xn ) = b se cual fuere la sucesi´on de puntos xn ∈ X − {a} con l´ım xn = a. En efecto, tenemos l´ım(xn − an ) = 0. Como f es uniformemente continua, se sigue que l´ım[f (xn ) − f (an )] = 0, luego l´ım f (xn ) = l´ım f (an ) + l´ım[f (xn ) − f (an )] = b. Ejemplo 14. El Teorema 12 implica que 1/x en R+ , as´ı como x/|x| y sen(1/x) en R − {0}, no son uniformemente continuas. 5. Ejercicios Secci´on 1: Definici´on y primeras propiedades 1. Sean f, g : X → R continuas en el punto a ∈ X. Pruebe que tambi´en son continuas en el punto a las funciones ϕ, ψ : X → R, definidas mediante ϕ(x) = m´ax{f (x), g(x)}, ψ(x) = m´ın{f (x), g(x)} para todo x ∈ X.

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Secci´ on 5

Ejercicios

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2. Sean f, g : X → R continuas. Pruebe que si X es abierto entonces el conjunto A = {x ∈ X : f (x) 6= g(x)} es abiero, y que si X es cerrado el conjunto F = {x ∈ X : f (x) = g(x)} es cerrado. 3. Una funci´on f : X → R se dice semicontinua superiormente (scs) en el punto a ∈ X cuando, para todo c > f (a), existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ, implican f (x) < c. Defina el concepto de funci´on semicontinua inferiormemente (sci) en el punto a. Pruebe que f es continua en el punto a si, y s´olo si, es scs y sci en dicho punto. Pruebe que si f es scs, g es sci y f (a) < g(a) entonces existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ f (x) < g(x). 4. Sea f : R → R es continua. Pruebe que si f (x) = 0 para todo x ∈ X entonces f (x) = 0 para todo x ∈ X. 5. Pruebe que si f : R → R es continua si, y s´olo si, para todo X ⊂ R se tiene f (X) ⊂ f (X). 6. Sean f, g : X → R continuas en el punto a. Suponga que, para cada entorno V de a, existen puntos x, y tales que f (x) < g(x) y f (y) > g(y). Pruebe que f (a) = g(a). 7. Sea f : X → R discontinua en el punto a ∈ X. Pruebe que existe ε > 0 con la siguiente propiedad: o se puede encontrar una sucesi´on de puntos xn ∈ X con l´ım xn = a y f (xn ) > f (a)+ε para todo n ∈ N, o bien se encuentra (yn ) con yn ∈ X, l´ım yn = a y f (y − n) < f (a) − ε para todo n ∈ N. Secci´on 2: Funciones continuas en un intervalo 1. Una funci´on f : X → R se dice localmente constante cuando todo punto de X posee un entorno V tal que f es constante en V ∩ X. Pruebe que toda funci´on f : I → R localmente constante en un intervalo I es constante. 2. Sea f : I → R una funci´on mon´otona definida en un intervalo I. Si la imagen f (I) es un intervalo pruebe que entonces f es continua.

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Funciones continuas

Cap. 7

3. Se dice que una funci´on f : I → R definida en un intervalo I tiene la propiedad del valor intermedio cuando la imagen f (J) de cualquier intervalo J ⊂ I es un intervalo. Demuestre que la funci´on f : R → R, dada por f (x) = sen(1/x) si x 6= 0 y f (0) = 0 tiene la propiedad del valor intermedio y sin embargo no es continua. 4. Sea f : I → R una funci´on con la propiedad del valor intermedio. Si para cada c ∈ R existen como m´aximo un n´ umero finito de puntos x ∈ I tales que f (x) = c, pruebe que f es continua. 5. Sea f : [0, 1] → R continua y tal que f (0) = f (1). Pruebe que existe x ∈ [0, 1] tal que f (x) = f (x + 1/2). Pruebe el mismo resultado con 1/3 en vez de 1/2. Generalice. Secci´on 3: Funciones continuas en conjuntos compactos 1. Sea f : R → R continua, tal que l´ım f (x) = l´ım f (x) = x→+∞

x→−∞

+∞. Pruebe que existe x0 ∈ R tal que f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ R.

2. Sea f : R → R continua con l´ım f (x) = +∞ y l´ım f (x) = x→+∞

x→−∞

−∞. Pruebe que, para todo c ∈ R, entre las ra´ıces de la ecuaci´on f (x) = c existe una cuyo m´odulo |x| es m´ınimo.

3. Pruebe que no existe ninguna funci´on continua f : [a, b] → R que alcance cada uno de sus valores f (x), x ∈ [a, b], exactamente 2 veces. 4. Una funci´on f : R → R se dice peri´odica cuando existe p ∈ R+ tal que f (x + p) = f (x) para todo x ∈ R. Pruebe que toda funci´on continua peri´odica f : R → R est´a acotada y alcanza sus valores m´aximo y m´ınimo, esto es, existen x0 , x1 ∈ R tales que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ R. 5. Sea f : X → R continua en un conjunto compacto X. Pruebe que, para todo ε > 0, existe kε > 0 tal que x, y ∈ X, |y − x| ≥ ε ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ kε |y − x|. (Esto significa que f cumple la condici´on de Lipschitz siempre que los puntos x, y no est´en muy pr´oximos.)

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Secci´ on 5

Ejercicios

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Secci´on 4: Continuidad uniforme 1. Si toda funci´on continua f : X → R es uniformemente continua pruebe que el conjunto X es cerrado pero no necesariamente compacto. 2. Demuestre que la funci´on continua f : R → R, dada por f (x) = sen(x2 ), no es uniformemente continua. 3. Dada f : X → R uniformemente continua, defina ϕ : X → R mediante ϕ(x) = f (x) si x ∈ X es un punto aislado y ϕ(x) = l´ım f (y) si x ∈ X ′ . Pruebe que ϕ es uniformemente continua y→x

y que ϕ(x) = f (x) para todo x ∈ X.

4. Sea f : R → R continua. Pruebe que si existen l´ım f (x) y x→+∞

l´ım f (x) entonces f es uniformemente continua. La misma

x→−∞

conclusi´on es v´alida si existen los l´ımites de f (x) − x cuando x → ±∞. 5. Sean f, g : X → R uniformemente continua. Pruebe que f + g es uniformemente continua. Lo mismo ocurre con el producto f · g siempre que f y g est´en acotadas. Pruebe que ϕ, ψ : X → R dadas por ϕ(x) = m´ax{f (x), g(x)} y ψ(x) = m´ın{f (x), g(x)}, x ∈ X, son uniformemente continuas.

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100

Funciones continuas

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Cap. 7

8 Derivadas Sean f : X → R y a ∈ X. El cociente q(x) = [f (x) − f (a)]/(x − a) tiene sentido si x 6= a, luego define una funci´on q : X − {a} → R; el valor q(x) es la pendiente de la secante (recta que une los puntos (a, f (a)) y (x, f (x)) del gr´afico de f ) en relaci´on al eje x. Si imaginamos x como el tiempo y f (x) como la abscisa, en el instante x, de un punto m´ovil que se desplaza a lo largo del eje x, entonces q(x) es la velocidad media de dicho punto en el intervalo de tiempo comprendido entre los instantes a y x. De modo general, el cociente q(x) es la relaci´on existente entre la variaci´on de f (x) y la variaci´on de x a partir del punto x = a. En el caso en que a ∈ X ′ ∩ X en natural considerar l´ımx→a q(x). Las interpretaciones de este l´ımite en los contextos anteriores sonm respectivamente, la pendiente de la tangente al gr´afico de f en el punto (a, f (a)), y la velocidad instant´anea del m´ovil en el instante x = a, o, en general, el “cociente incremental” de la funci´on f en el punto a. Dicho l´ımite es una de las nociones m´as importantes de las Ma´ tem´aticas y de sus aplicaciones. Este ser´a el objetivo de estudio de este cap´ıtulo. 101

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102

Derivadas

Cap. 8

1. La noci´ on de derivada Sea f : X → R y a ∈ X ∩ X ′ . La derivada de la funci´on f en el punto a es el l´ımite: f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = l´ım . x→a h→0 x−a h

f (a) = l´ım

Bien entendido, el l´ımite anterior puede existir o no. Si existe se dice que f es derivable en el punto a. Cuando existe la derivada f ′ (x) en todos los puntos x ∈ X ∩ X ′ se dice que la funci´on f : X → R es derivable en el conjunto x, obteni´endose una nueva funci´on f ′ : X ∩ X ′ → R, x → f ′ (x), llamada funci´ on derivada de ′ 1 f . Si f es continua se dice que f es de clase C . Otras notaciones para la derivada de f en el punto a son df df (a) , y Df (a) , dx dx x=a

Teorema 1. Para que f : X → R sea derivable en el punto a ∈ X ∩ X ′ es necesario y suficiente que exista c ∈ R tal que a + h ∈ X ⇒ f (a + h) = f (a) + c · h + r(h), donde l´ım r(h)/h = 0. En caso h→0

afirmativo se tiene c = f ′ (a).

Demostraci´ on: Sea Y = {h ∈ R : a + h ∈ X}. Entonces 0 ∈ ′ Y ∩ Y . Suponiendo que f ′ (a) exista, definimos r : Y → R como r(h) = f (a + h) − f (a) − f ′ (a) · h. Entonces, r(h) f (a + h) − f (a) = − f ′ (a) , h h luego l´ım r(h)/h = 0. La condici´on es, por tanto, necesaria. Rec´ıproh→0

camente, si la condici´on es v´alida, entonces r(h)/h = [f (a + h) − f (a)]/h − c, luego l´ım (f (a + h) − f (a))/h − c = l´ım r(h)/h = 0, por h→0

tanto f ′ (a) existe y es igual a c.

h→0

Corolario 1. Una funci´ on es continua en los puntos donde es derivable. En efecto, si f es derivable en el punto a, entonces f (a + h) = f (a) + f ′(a) · h + [r(h)/h]h con l´ım r(h)/h = 0, luego l´ım f (a + h) = h→0

f (a), o sea, f es continua en el punto a.

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h→0

Secci´ on 1

La noci´ on de derivada

103

Observaci´ on: Para toda funci´on f , definida en los puntos a y a + h, y todo n´ umero real c, siempre se puede escribir la igualdad f (a + h) = f (a) + c · h + r(h), que simplemente define el n´ umero r(h). Lo que afirma el Teorema 1 es que existe como m´aximo un u ´ nico c ∈ R tal que l´ım r(h)/h = 0. Dicho n´ umero c, cuando h→0

existe, es igual a f ′ (a). El Teorema 1 nos dice tambi´en que, cuando f ′ (a) existe, el incremento f (a + h) − f (a) es igual a la suma de una “parte lineal” c · h, proporcional al incremento h de la variable independiente, y de un resto r(h), que es infinitamente peque˜ no en relaci´on a h, en el sentido de que el cociente r(h)/h tiende a cero con h. Cuando a ∈ X es un punto de acumulaci´on por la derecha, esto es, a ∈ X ∩ X+′ , se puede considerar el l´ımite f+′ (a) = l´ım+ q(x). x→a

Cuando existe, dicho l´ımite se llama derivada por la derecha de f en el punto a. An´alogamente, si a ∈ X ∩ X−′ , tiene sentido considerar el l´ımite por la izquierda f− (a) = l´ım− q(x); si existe, ´este se llama x→a

derivada por la izquierda de f en el punto a. En el caso en que a ∈ X ∩ X+′ ∩ X−′ , esto es, si a es un punto de acumulaci´on bilateral, la funci´on f es derivable en el punto a si, y s´olo si, existen y son iguales las derivadas por la derecha y por la izquierda, en cuyo caso f ′ (a) = f+′ (a) = f−′ (a). El Teorema 1 (con l´ım+ r(h)/h = 0 y l´ımh→0− r(h)/h = 0), as´ı como su contrario valen h→0

para las derivadas laterales. Por ejemplo, si existe la derivada por la derecha f+′ (a) entonces f es continua por la derecha en el punto a, esto es, f (a) = l´ımh→0+ f (a + h). En particular, si a ∈ X ∩ X−′ ∩ X+′ y existen ambas derivadas laterales, f+ (a) y f−′ (a), entonces f es continua en el punto a. (Inclusive si estas derivadas laterales son diferentes). Ejemplo 1. Una funci´on constante es derivable y su derivada es id´enticamente nula. Si f : R → R est´a dada por f (x) = ax + b entonces, para cualesquiera c ∈ R y h 6= 0, [f (c + h) − f (c)]/h = a, luego f ′ (c) = a. Para cualquier n ∈ N, la funci´on f : R → R, con f (x) = xn , tiene derivada f ′ (x) = nxn−1 . En efecto, por el binomio de Newton, f (x + h) = (x + h)n = xn + hnxn−1 + h2 p(x, h), donde

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104

Derivadas

Cap. 8

p(x, h) es un polinomio en x y h. Por tanto [f (x + h) − f (x)]/h = nxn−1 + hp(x, h). Se sigue que f ′ (x) = l´ımh→0 [f (x + h) − f (x)]/h = nxn−1 . Ejemplo 2. La funci´on f : R → R, definida mediante f (x) = x sen(1/x) cuando x 6= 0 y f (0) = 0, es continua y posee derivada en todo punto x 6= 0. En el punto 0, tenemos [f (0 + h) − f (0)]/h = [h sen(1/h)]/h = sen(1/h). Como no existe l´ım sen(1/h), h→0

se concluye que f no es derivable en el punto x = 0, donde tampoco existe ninguna derivada lateral. Por otra parte, la funci´on g : R → R, definida mediante g(x) = x · f (x), esto es, g(x) = x2 sen(1/x), x 6= 0, g(0) = 0, es derivable en el punto x = 0, porque l´ım [g(0 + h) − g(0)]/h = l´ım h · sen(1/h) = 0. Luego g ′(0) = 0. h→0

h→0

Cuando x 6= 0 las reglas de derivaci´on conocidas nos dan g ′ (x) = 2x · sen(1/x) − cos(1/x). Observe que no existe l´ımx→0 g ′(x). En particular, la funci´on derivada, g ′ : R → R, no es continua en el punto 0, luego g no es de clase C 1 .

Ejemplo 3. La funci´on ϕ : R → R, dada por ϕ(x) = |x|, es derivable en todo x 6= 0. En efecto, ϕ(x) = x si x > 0 y ϕ(x) = −x si x < 0. Luego ϕ(x) = 1 para x > 0 y ϕ′ (x) = −1 si x < 0. En el punto 0 no existe la derivada ϕ′ (0). De hecho, existen ϕ′+ (0) = 1 y ϕ′− (0) = −1. La funci´on I : R → R, definida como I(x) = n cuando n ≤ x < n + 1, n ∈ Z, es derivable, con I ′ (x) = 0, en los puntos x∈ / Z. Si n es entero, existe I+′ (n) = pero no existe I−′ (n). En efecto, si 1 > h > 0, se tiene I(n + h) = I(n) = n, pero para −1 < h < 0, I(n + h) = n − 1, I(n) = n. Por tanto l´ım+ [I(n + h) − I(n)]/h = 0 h→0

y l´ım− [I(n + h) − I(n)]/h = l´ım (−1/h), que no existe. h→0

h→0

Ejemplo 4. Regla de L’Hˆ opital Esta regla constituye una de las aplicaciones m´as populares de la derivada. En su forma m´as sencilla sirve para clacular l`ımites de la forma l´ım f (x)/g(x) cuando f y g x→a

son derivables en el punto a y l´ım f (x) = f (a) = 0 = g(a) = x→a

l´ım g(x). As´ı, por la definici´on de derivada, f ′ (a) = l´ım f (x)/(x−a)

x→a ′

x→a

y g (a) = l´ım g(x)/(x − a). Si g ′(a) 6= 0, la Regla de L’Hˆopital nos x→a

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Secci´ on 1

La noci´ on de derivada

105

f (x) f ′ (a) = ′ . La prueba es inmediata: x→a g(x) g (a)

dice que l´ım

f (x) f (x) l´ım x→a (x − a) f (x) f ′ (a) (x − a) l´ım = = ′ = l´ım . x→a g(x) x→a g(x) g(x) g (a) l´ım x→a (x − a) (x − a) Como aplicaci´on consideremos los l´ımites l´ım (sen x/x) y l´ım (ex − x→0

x→0

1)/x. Aplicando la Regla de L’Hˆopital, el primer l`ımite se reduce a cos 0 = 1 y el segundo a e0 = 1. Sin embargo, conviene observar que estas aplicaciones (y otras an´alogas) de la Regla de L’Hˆopital no son totalmente correctas pues, para utilizarla, es necesario conocer las derivadas f ′ (a) y g ′ (a). En estos dos ejemplos los l´ımites a calcular son, por definici´on, las derivadas de sen x y de ex en el punto x = 0. 2. Reglas de derivaci´ on Teorema 2. Sean f, g : X → R derivables en el punto a ∈ X ∩ X ′ . Las funciones f ±g, f ·g y f /g (si g(a) 6= 0) tambi´en son derivables en el punto a, con (f ± g)′ (a) = f ′ (a) ± g ′(a) , (f · g)′ (a) = f ′ (a) · g(a) + f (a) · g ′ (a) y  ′ f f ′ (a)g(a) − f (a)g ′(a) . (a) = g g(a)2 Demostraci´ on: Vea cualquier libro de C´alculo. Teorema 3. (Regla de la Cadena) Sean f : X → R, g : Y → R, a ∈ X ∩ X ′ , b ∈ Y ∩ Y ′ , f (X) ⊂ Y y f (a) = b. Si f es derivable en el punto a y g derivable en el punto b entonces g ◦ f es derivable en el punto a, con (g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a)) · f ′ (a). Demostraci´ on: Consideremos una sucesi´on de puntos xn ∈ X − {a} tal que l´ım xn = a y escribamos yn = f (xn ), de modo que l´ım yn = b. Sean N1 = {n ∈ N : f (xn ) 6= f (a)} y N2 = {n ∈ N : f (xn ) = f (a)}. Si n ∈ N1 entonces yn ∈ Y − {b} y g(f (xn )) − g(f (a)) g(yn ) − g(b) f (xn ) − f (a) = · . xn − a yn − b xn − a

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106

Derivadas

Cap. 8

Por lo tanto, si N1 es infinito, se tiene l´ım g(f (xn ))−g(f (a))]/(xn − n∈N1

a) = g ′ (f (a)) · f ′ (a). Si N2 es infinito se tiene l´ımn∈N2 [f (xn ) − f (a)]/(xn − a) = 0, luego f ′ (a) = 0. As´ı, inclusive en este caso, se tiene n∈N2 [g(f (an )) − g(f (a))]/(xn − a) = 0 = g ′(f (a)) · f ′ (a). De N = N1 ∪ N2 , resulta que, en cualquier caso, g(f (xn )) − g(f (a)) = g ′ (f (a)) · f ′ (a) , n∈N xn − a l´ım

lo que prueba el teorema. Corolario 1. Sea f : X → Y una biyecci´ on entre los conjuntos X, Y ⊂ R, con inversa g = f −1 : Y → X. Si f es derivable en el punto a ∈ X ∩ X ′ y g es continua en el punto b = f (a) entonces g es derivable en el punto b si, y s´ olo si, f ′ (a) 6= 0. En caso afirmativo se tiene g ′(b) = 1/f ′ (a). En efecto, si xn ∈ X − {a} para todo n ∈ N y l´ım xn = a entonces, como f es inyectiva y continua en el punto a, se tiene yn = f (xn ) ∈ Y − {b} y l´ım yn = b. Por lo tanto b ∈ Y ∩ Y ′ . Si g es derivable en el punto b, la igualdad g(f (x)) = x, v´alida para todo x ∈ X, junto con la Regla de la Cadena implican que g ′ (b)·f ′ (a) = 1. En particular, f ′ (a) 6= 0. Rec´ıprocamente, si f ′ (a) 6= 0 entonces, para cualquier sucesi´on de puntos yn = f (xn ) ∈ Y − {b} tal que l´ım yn = b, la continuidad de g en el punto b, nos da l´ım xn = a, por tanto:  −1 g(yn ) − g(b) yn − b = l´ım l´ım yn − b g(yn ) − g(b)  −1 f (xn ) − f (a) = l´ım = 1/f ′(a) . xn − a Ejemplo 5. Dada f : R → R derivable, consideremos las funciones g : R → R y h : R → R, definidas por g(x) = f (x2 ) y h(x) = f (x)2 . Se tiene g ′(x) = 2x · f ′ (x2 ) y h′ (x) = 2f (x) · f ′ (x), para todo x ∈ R. Ejemplo 6. Para n√ ∈ N fijo, la funci´on g : [0, +∞) → [0, +∞), dada por g(x) = n x, es derivable en el intervalo (0, +∞) con √ n ′ n−1 g (x) = 1/n x . En efecto, g es la inversa de la biyecci´on f : [0, +∞) → [0, +∞), dada por f (x) = xn . Por el corolario anterior, escribiendo y = xn , tenemos g ′(y) = 1/f ′ (x) si f ′ (x) = nxn−1 6= 0,

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Secci´ on 1

La noci´ on de derivada

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p esto es, si x 6= 0. As´ı g ′(y) √ = 1/nxn−1 = 1/n n y n−1 y, cambiann do la notaci´ on, g ′ (x) = 1/n xn−1 . En el punto x = 0 la funci´on √ g(x) = n x no es derivable (excepto si n = 1). Por ejemplo, la funci´on ϕ : R → R dada por ϕ(x) = x3 , es un homeomorfismo, cuya √ inversa y → 3 y no tiene derivada en el punto 0. 3. Derivada y crecimiento local Las proposiciones que siguen, que hacen referencia a derivadas laterales y desigualdades, tienen versiones an´alogas con f−′ en vez de f+′ con > substituido por <, etc. Para evitar repeticiones tediosas trataremos s´olamente un caso, aunque utilizaremos con total libertad sus an´alogos. Teorema 4. Si f : X → R es derivable por la derecha en el punto a ∈ X ∩ X+′ , con f+′ (a) > 0 entonces existe δ > 0 tal que x ∈ X, a < x < a + δ, implican f (a) < f (x). Demostraci´ on: Tenemos l´ım+ [f (x) − f (a)]/(x − a) = f+′ (a) > x→a

0. De la definici´on de l´ımite por la derecha, tomando ε = f+′ (a), obtenemos δ > 0 tal que

x ∈ X , a < x < a + δ ⇒ [f (x) − f (a)]/(x − a) > 0 ⇒ f (a) < f (x) .

Corolario 1. Si f : X → R es mon´ otona creciente entonces sus derivadas laterales, donde existan, son ≥ 0. En efecto, si alguna derivada lateral, digamos f+′ (a), fuese negativa entonces el (an´alogo del) Teorema 4 nos dar´ıa x ∈ X con a < x y f (x) < f (a), lo que es absurdo.  Corolario 2. Sea a ∈ X un punto de acumulaci´ on bilateral. Si f : X → R es dierivable en el punto a, con f ′ (a) > 0, entonces existe δ > 0 tal que x, y ∈ X, a − δ < x < a < y < a + δ, implican f (x) < f (a) < f (y).

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108

Derivadas

Cap. 8

Se dice que una funci´on f : X → R tiene un m´ aximo local en el punto a ∈ X cuando existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ implican f (x) ≤ f (a). Cuando x ∈ X, 0 < |x − a| < δ implican f (x) < f (a) se dice que f tiene un m´ aximo local estricto en el punto a. Las definiciones de m´ınimo local y m´ınimo local estricto son an´alogas. Cuando x ∈ X es tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, se dice que a es un punto de m´ınimo absoluto de la funci´on f : X → R. Si se tiene f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ X, se dice que a es un punto de m´aximo obsolutoCorolario 3. Si f : X → R es derivable por la derecha en el punto a ∈ X ∩ X+′ y tiene en dicho punto un m´ aximo local entonces ′ f+ (a) ≤ 0. En efecto, si tuvi´eramos f+′ (a) > 0, entonces, por el Teorema 4, obtendr´ıamos f (a) < f (x) para todo x ∈ X a la derecha y suficientemente pr´oximo a a, luego f no tendr´ıa un m´aximo local en el punto a.  Corolario 4. Sea a ∈ X un punto de acumulaci´ on bilateral. Si f : X → R tiene en a un punto de m´ aximo o m´ınimo local y es derivable en dicho punto, entonces f ′ (a) = 0. En efecto, por el Corolario 3 tenemos f+′ (a) ≤ 0 y f−′ (a) ≥ 0. Como f ′ (a) = f+′ (a) = f−′ (a), se sigue que f ′ (a) = 0  Ejemplo 7. Del Teorema 4 y de su Corolario 2 no se puede concluir que una funci´on con derivada positiva en un punto a sea estrictamente creciente en un entorno de a (excepto si f ′ es continua en el punto a). Lo m´aximo que se puede afirmar es que f (x) < f (a) si x < a, x pr´oximo a a, y f (x) > f (a) si x est´a pr´oximo a a con x > a. Por ejemplo, sea f : R → R dada por f (x) = x2 sen(1/x) + x2 si x 6= 0 y f (0) = 0. La funci´on f es derivable, con f ′ (0) = 1/2 y f ′ (x) = 2x sen(1/x) − cos(1/x) + 1/2 si x 6= 0. Si tomamos x 6= 0 peque˜ no con sen(1/x) = 0 y cos(1/x) = 1 tendremos f ′ (x) < 0. Luego existen puntos x arbitrariamente pr´oximos a 0 con f ′ (x) < 0 y con f ′ (x) > 0. Del Corolario 1 se deduce que f no es mon´otona en ning´ un entorno de 0.

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Secci´ on 1

La noci´ on de derivada

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Ejemplo 8. En el Corolario 1, incluso si f es mon´otona estrictamente creciente y derivable, no se puede garantizar que su derivada sea positiva en todos los puntos. Por ejemplo, f : R → R dada por f (x) = x3 , es estrictamente creciente, pero su derivada f ′ (x) = 3x2 se anula en x = 0. Ejemplo 9. Si f : X → R tiene, por ejemplo, un m´ınimo local en el punto a ∈ X, no se puede concluir de aqu´ı que f ′ (a) = 0. En primer lugar, f ′ (a) tal vez no exista. Este es el caso de f : R → R, f (x) = |x|, que posee un m´ınimo local en x = 0, donde se tiene f+′ (0) = 1 y f−′ (0) = −1, lo que est´a de acuerdo con el Corolario 4. En segundo lugarm inclusive si f es derivable en el punto a, es posible que dicho punto no sea un punto de acumulaci´on bilateral, y entonces puede suceder que f ′ (a) 6= 0. Este es el caso de la funci´on f : [0, 1] → R, f (x) = x. Tenemos f ′ (0) = f ′ (1) = 1; sin embargo f tiene un m´ınimo en el punto x = 0 y un m´aximo en el punto x = 1. Un punto c ∈ X se llama punto cr´ıtico de la funci´on derivable f : X → R cuando f ′ (c) = 0. Si c ∈ X ∩ X+′ ∩ X−′ es un punto de m´ınimo o de m´aximo local entonces c es cr´ıtico, pero el rec´ıproco es falso: la biyecci´on estrictamente creciente f : R → R, dada por f (x) = x3 , no puede tener m´aximos ni m´ınimos locales pero tiene un punto cr´ıtico en x = 0. 4. Funciones derivables en un intervalo Como se ver´a a continuaci´on la derivada goza de la propiedad del valor intermedio, incluso cuando es discontinua. Teorema 5. (Darboux) Sea f : [a, b] → R derivable. Si f ′ (a) < d < f ′ (b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = d. Demostraci´ on: Supongamos inicialmente que d = 0. Por el Teorema de Weierstrass, la funci´on continua f alcanza su valor m´ınimo en alg´ un punto c del conjunto compacto [a, b]. Como f ′ (a) < 0, el Teorema 4 nos asegura que existen puntos x ∈ (a, b) tales que f (x) < f (a), luego tal m´ınimo no se alcanza en el punto a, esto es, a < c. Por los mismos motivos se tiene c < b. As´ı el Corolario 4 nos da f ′ (c) = 0. El caso general se reduce a ´este considerando la funci´on auxiliar g(x) = f (x)−dx. Entonces g ′ (x) = f ′ (x)−d, de donde g ′ (c) = 0 ⇔ f ′ (c) = d, y g ′(a) < 0 < g ′(b) ⇔ f ′ (a) < d < f ′ (b).

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110

Derivadas

Cap. 8

Ejemplo 10. Sea g : [−1, 1] → R definida como g(x) = −1 si −1 ≤ x < 0 y g(x) = 1 si 0 ≤ x ≤ 1. La funci´on g no goza de la propiedad del valor intermedio ya que, en el intervalo [−1, 1], s´olo toma los valores −1 y 1. Luego no existe f : [−1, 1] → R derivable tal que f ′ = g. Por otra parte, la funci´on h : [−1, 1] → R, dada por h(x) = 2x sen(1/x) − cos(1/x) si x 6= 0 y h(0) = 0, que presenta una discontinuidad bastante complicada en el punto x = 0, es la derivada de la funci´on f : [−1, 1] → R, f (x) = x2 sen(1/x) si x 6= 0 y f (0) = 0. En el Cap´ıtulo 10 veremos que toda funci´on continua g : [a, b] → R es la derivada de alguna funci´on f : [a, b] → R, y en el Ejercicio 4.1 de este cap´ıtulo se invita al lector a demostrar que si g : [a, b] → R es discontinua en un punto c ∈ (a, b), donde existen los l´ımites laterales l´ım− g(x) y l´ım+ g(x), entonces no es posible x→c

x→c

que g sea la derivada de una funci´on f : [a, b] → R. Teorema 6. (Rolle) Sea f : [a, b] → R continua con f (a) = f (b). Si f es derivable en (a, b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0. Demostraci´ on: Por el Teorema de Weierstrass, f alcanza su valor m´ınimo m y su valor m´aximo M en puntos de [a, b]. Si dichos puntos fuesen a y b entonces m = M y f ser´ıa constante, luego f ′ (x) = 0 para cualquier x ∈ (a, b). Si uno de estos puntos, llam´emosle c, estuviera en (a, b), entonces f ′ (c) = 0. Teorema 7. (Teorema del Valor Medio, de Lagrange) Sea f : [a, b] → R continua. Si f es derivable en (a, b), existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = [f (b) − f (a)]/(b − a). Demostraci´ on: Consideremos la funci´on auxiliar g : [a, b] → R, dada por g(x) = f (x) − dx, donde d es escogido de forma que g(a) = g(b), o sea, d = [f (b) − f (a)]/(b − a). Por el Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que g ′ (c) = 0, esto es, f ′ (c) = d = [f (b) − f (a)]/(b − a). Un enunciado equivalente: Sea f : [a, a + h] → R continua y derivable en (a, a + h). Entonces existe un n´ umero θ, 0 < θ < 1, tal que f (a + h) = f (a) + f ′ (a + θh) · h. Corolario 1. Una funci´on f : I → R, continua en el intervalo I, con derivada f ′ (x) = 0 para todo x ∈ int I, es constante.

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Secci´ on 1

La noci´ on de derivada

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En efecto, dados cualesquiera x, y ∈ I, existe c comprendido entre x e y tal que f (y) − f (x) = f ′ (c)(y − x) = 0 · (y − x), luego f (x) = f (y). Corolario 2. Si f, g : I → R son funciones continuas, derivables R en I con f ′ (x) = g ′(x) para todo x ∈ int I, entonces existe c ∈ R tal que g > (x) = f (x) + c para todo x ∈ I. En efecto, basta aplicar el Corolario 1 a la diferencia g − f . Corolario 3. Sea f : I → R derivable en el intervalo I. Si existe k ∈ R tal que |f ′(x)| ≤ k para todo x ∈ I entonces x, y ∈ I ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x|. En efecto, dados x, y ∈ I, f es continua en el intervalo cerrado de extremos x e y, y derivable en su interior. Luego existe z entre x e y tal que f (y)−f (x) = f ′ (z)(y−x), de donde 1f (y)−f (x)| ≤ k|y−x|. Corolario 4. Para que una funci´on derivable f : I → R sea mon´otona creciente en el intervalo I es necesario y suficiente que f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ I. Si f ′ (x) > 0 para todo x ∈ I entonces f es una biyecci´on estrictamente creciente de I en un intervalo J y su inversa g = f −1 : J → I es derivable, con g ′ (y) = 1/f ′(x) para todo y = f (x) ∈ J. En efecto, ya sabemos, por el Corolario 1 del Teorema 4, que si f es mon´otona creciente entonces f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ I. Rec´ıprocamente, si se cumple esta condici´on entonces, para cualesquiera x, y ∈ I, tenemos f (y) − f (x) = f ′ (z)(y − x), donde z ∈ I est´a entre x e y. Como f ′ (z) ≥ 0, vemos que f (y) − f (x) ≥ 0, esto es, x, y ∈ I, x < y ⇒ f (x) ≤ f (y). De igual forma se ve que, suponiendo f ′ (x) > 0 para todo x ∈ I, f es estrictamente creciente. Las dem´as afirmaciones son consecuencia del Teorema 5, Cap´ıtulo 7, y del corolario de la Regla de la Cadena (Teorema 3). Ejemplo 11. El Corolario 3 es el recurso m´as natural para ver si una funci´on es Lipschitziana. Por ejemplo, si p : R → R es un polinomio entonces, para cada subconjunto acotado X ⊂ R, la restricci´on p|X es lipschitziana porque la derivada p′ , al ser continua, est´a acotada en el compacto X. Como toda funci´on lipschitziana es uniformemente continua, se sigue del Teorema 12, Cap´ıtulo 7, que si la derivada de f : (a, b) → R est´a acotada entonces existen los

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Derivadas

Cap. 8

l´ımites laterales l´ım+ f (x) y l´ım− f (x). La derivada de la funci´on x→a

x→b

f : R+ → R, dada por f (x) = sen(1/x), no puede estar acotada en ning´ un intervalo de la forma (0, δ) pues no existe l´ım+ f (x). x→0

5. Ejercicios Secci´on 1: La noci´on de derivada 1. Demuestre que para que f : X → R sea derivable en el punto a ∈ X ∩ X ′ es necesario y suficiente que exista una funci´on η : X → R continua en el punto a tal que f (x) = f (a) + η(x)(x − a) para todo x ∈ X 2. Sean f, g, h : X → R tales que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para toodo x ∈ X. Si f y h son derivables en el punto a ∈ X ∩ X ′ , con f (a) = h(a) y f ′ (a) = h′ (a), demuestre que g es derivable en dicho punto y que g ′(a) = f ′ (a). 3. Sea f : X → R derivable en el punto a ∈ X ∩ X+′ ∩ X−′ . Si xn < a < yn para todo n y l´ım xn = l´ım yn = a, pruebe que l´ım [f (yn ) − f (xn )]/(yn − xn ) = f ′ (a). Interprete geom´etrican→∞ mente esta propiedad. 4. D´e un ejemplo de una funci´on derivable f : R → R y de sucesiones de puntos 0 < xn < yn , con l´ım xn = l´ım yn = 0, tales que no exista el l´ımite l´ım [f (yn ) − f (xn )]/(yn − xn ). n→∞

5. Sea f : X → R derivable en el punto a ∈ X ∩X+′ ∩X−′ . Pruebe que l´ım [f (a + h) − f (a − h)]/2h = f ′ (a). D´e un ejemplo en h→0

que dicho l´ımite exista y sin embargo f no sea derivable en el punto a.

Secci´on 2: Reglas de derivaci´on 1. Admitiendo que (ex )′ = ex y que l´ım ey /y = +∞, pruebe y→+∞

2

que la funci´on f : R → R, definida por f (x) = e−1/x cuando x 6= 0 y f (0) = 0, tiene derivada igual a cero en el punto x = 0, y que lo mismo ocurre con f ′ : R → R, f ′′ , . . . y as´ı sucesivamente.

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Secci´ on 5

Ejercicios

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2. Sea I un intervalo abierto. Una funci´on f : I → R se dice de clase C 2 cuando es derivable y su derivada f ′ : I → R es de clase C 1 . Pruebe que si f (I) ⊂ J y g : J → R es de clase C 2 entonces la funci´on compuesta g ◦ f : I → R es de clase C 2 . 3. Sea f : I → R de clase C 2 con f (I) = J y f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ I. Calcule la derivada segunda de fJ−1 → R y demuestre que f −1 es de clase C 2 . 4. Sea I un intervalo centrado en 0. Una funci´on f : I → R se llama par cuando f (x) = f (−x) e impar cuando f (−x) = −f (x) para todo x ∈ I. Si f es par, sus derivadas de orden par (si existen) son funciones pares y sus derivadas de orden impar son funciones impares. En particular estas u ´ ltimas se anulan en el punto 0. Enuncie un resultado an´alogo para f impar. 5. Sea f : R → R derivable, tal que f (tx) = tf (x) para cualesquiera t, x ∈ R. Pruebe que existe c ∈ R tal que f (x) = c · x para todo x ∈ R. En general, si f : R → R es k veces derivable y f (tx) = tk · f (x) para cualesquiera t, x ∈ R, pruebe que existe c ∈ R tal que f (x) = c · xk para todo x ∈ R. Secci´on 3: Derivada y crecimiento local. 1. Si f : R → R es de clase C 1 , demuestre que el conjunto de sus puntos cr´ıticos es cerrado. D´e un ejemplo de una funci´on derivable f : R → R tal que 0 sea el l´ımite de una sucesi´on de puntos cr´ıticos de f y sin embargo f ′ (0) > 0. 2. Sea f : I → R derivable en el intervalo abierto I. Un punto cr´ıtico c ∈ I se llama no degenerado cuando f ′′ (c) es diferente de cero. Pruebe que todo punto cr´ıtco no degenerado es un punto de m´aximo local o de m´ınimo local. 3. Si c ∈ I es un punto cr´ıtico no degenerado de una funci´on f : I → R, derivable en el intervalo abierto I, pruebe que existe δ > 0 tal que c es el u ´ nico punto cr´ıtico de f en el intervalo (c − δ, c + δ). Concluya que en un conjunto compacto K ⊂ I, donde todos los puntos cr´ıticos de f son no degenerados, exiten como m´aximo un n´ umero finito de `estos.

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114

Derivadas

Cap. 8

4. Pruebe directamente (sin usar el ejercicio anterior) que si un punto cr´ıtico c de una funci´on f : I → R es el l´ımite de una sucesi´on de puntos cr´ıticos cn 6= c entonces f ′′ (c) = 0. 5. Pruebe que el conjunto de los puntos de m´aximo o m´ınimo local estricto de cualquier funci´´on f : R → R es numerable. Secci´on 4: Funciones derivables en un intervalo 1. Sea g : I → R continua en el intervalo abierto I, excepto en el punto c ∈ I. Pruebe que si existen los l´ımites laterales l´ım− g(x) = A y l´ım+ g(x) = B, con A 6= B, entonces no x→c

x→c

existe ninguna funci´on derivable f : I → R tal que f ′ = g.

2. Sea f : R+ → R definida mediante f (x) = log x/x. Admitiendo que (log′ )(x) = 1/x, indique los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , sus puntos cr´ıticos y los l´ımites de f cuando x → 0 y cuando x → +∞. 3. Realice un estudio similar al del ejercicio anterior con la funci´on g : R+ → R, definida por g(x) = ex /x; para esto admita que (ex )′ = ex . 4. Suponiendo conocidas las reglas de derivaci´on de las funciones seno y coseno, pruebe que sen : (−π/2, π/2) → (−1, 1), cos : (0, π) → (−1, 1) y tan = sen / cos : (−π/2, π/2) → R son biyecciones con derivadas 6= 0 en todo punto; calcule las derivadas de las funciones inversas arc sen : (−1, 1) → (π/2, π/2), arc cos : (−1, 1) → (0, π) y arctan : R → (−π/2, π/2). 5. Dada f derivable en el intervalo I, sean X = {f ′ (x) : x ∈ I} e Y = {[f (y) − f (x)]/(y − x) : x 6= y y, x ∈ I}. El Teorema del Valor Medio nos asegura que Y ⊂ X. D´e un ejemplo en el que Y 6= X. Pruebe que Y = X, concluya que sup X = sup Y e ´ınf X = ´ınf Y . 6. Sea f : (a, b) → R acotada y derivable. Si no existe l´ım+ f (x) x→a

o l´ım− f (x), pruebe que, para todo c ∈ R, existe x ∈ (a, b) tal x→b

que f ′ (x) = c.

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Secci´ on 5

Ejercicios

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7. Sea f : [a, b] → R continua y derivable en el intervalo abierto (a, b), tal que f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Si f ′ (x) = 0 solamente en un conjunto finito, pruebe que f es estrictamente creciente. 8. Use el principio de los intervalos encajados para probar directamente (sin usar el Teorema del Valor Medio) que si f : I → R es derivable, con f ′ (x) = 0 en todo punto x del intervalo I, entonces f es constante. 9. Usando la t´ecnica del ejercicio anterior, pruebe que una funci´on derivable f : I → R, tal que |f ′ (x)| ≤ k para todo x en el intervalo I, cumple la condici´on de Lispschitz |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x| para todo x, y ∈ I. 10. Sea f : [a, b] → R una funci´on con derivada acotada en (a, b) que cumple la propiedad del valor intermedio (cfr. Ejercicio 2.3, Cap´ıtulo 7). Pruebe que f es continua. 11. Si f : I → R cumple |f (y) − f (x)| ≤ c|y − x|α para todo x, y ∈ I, con α > 1 y c ∈ R, pruebe que f es constante. 12. Pruebe que si f : X → R es derivable y f ′ : X ∩ X ′ → R es continua en el punto a, entonces, para cualquier par de sucesiones xn 6= yn ∈ X con l´ım xn = l´ım yn = a, se tiene l´ım[f (yn ) − f (xn )]/(yn − xn ) = f ′ (a).

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Derivadas

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Cap. 8

9 F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Las aplicaciones m´as elementales de la derivada, relacionadas con problemas de m´aximos y m´ınimos, y la regla de L’Hˆopital, se encuentran ampliamente divulgadas en los libros de c´alculo. Aqu´ı expondremos dos aplicaciones, a saber, el estudio de las funciones convexas y el m´etodo de Newton. 1. F´ ormula de Taylor La n-´esima derivada (o derivada de orden n) de una funci´on f en el punto a se indicar´a con la notaci´on f (n) (a). Para n = 1, 2 y 3 se escribe f ′ (a), f ′′ (a) y f ′′′ (a), respectivamente. Por definici´on f ′′ (a) = (f ′ )′ (a), y as´ı sucesivamente: f (n) (a) = (f (n−1) )′ (a). Para que f (n) (a) tenga sentido es necesario que f (n−1) (x) est´e definida en un conjunto del que a sea punto de acumulaci´on y que sea derivable en el punto x = a. En todos lo casos que consideraremos tal conjunto ser´a un intervalo. Cuando existe f (n) (x) para todo x ∈ I, se dice que la funci´on f : I → R es derivable n veces en el intervalo I. Cuando f es derivable (n − 1) veces en un entorno de a y existe f (n) (a) decimos que f : I → R es derivable n veces en el punto a ∈ I. Decimos que f : I → R es un funci´on de clase C n , y escribimos f ∈ C n , cuando f es derivable n veces y, adem´as, la funci´on f (n) : I → R es continua. Cuando f ∈ C n para todo n ∈ N, decimos que f es de clase C ∞ , y escribimos f ∈ C ∞ . Es conveniente considerar f como su propia “derivada de orden cero” y escribir f (0) = f . 117

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F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada

Cap. 9

As´ı f ∈ C 0 quiere decir que f es una funci´on continua. Ejemplo 1. Para n = 0, 1, 2, . . . sea fn : R → R definida mediante fn (x) = xn |x|. Entonces, fn (x) = xn+1 si x ≥ 0 y fn (x) = −xn+1 si x ≥ 0. Cada funci´on fn es de clase C n pues su n-´esima derivada es igual a (n + 1)!|x|. Sin embargo fn no es derivable (n + 1) veces en el punto 0, luego no es de clase C n+1 . Las funciones de uso m´as frecuente, tales como polinomios, funciones racionales, funciones trigonom´etricas, exponenciales y logaritmo son de clase C ∞ . Sea f : I → R definida en el intervalo I y derivable n veces en el punto a ∈ I. El polinomio de Taylor de orden n de la funci´on f en el punto a es el polinomio p(h) = a0 + a1 h+ · · · an hn (de grado ≤ n) cuyas derivadas de orden ≤ n en el punto h = 0 coinciden con las derivadas del mismo orden de f en el punto a, esto es, p(i) (0) = f (i) (a), i = 0, 1, . . . , n. Ahora bien, las derivadas p(0) (0), p(1) (0), . . . , p(n) (0) determinan un´ıvocamente el polinomio p(h), pues p(i) (0) = i!ai . Por tanto, el polinomio de Taylor de orden n de la funci´on f en el punto a es: p(h) = f (a) + f ′ (a) · h +

f ′′ (a) 2 f (n) (a) n h +···+ h . 2! n!

Si p(h) es el polinomio de Taylor de orden n de la funci´on f : I → R es el punto a ∈ I entonces la funci´on r(h) = f (a + h) − p(h), definida en el intervalo J = {h ∈ R : a + h ∈ I}, es derivable n veces en el punto 0 ∈ J; adem´as r(0) = r ′ (0) = · · · = r (n) (0) = 0. Lema 1. Sea r : J → R derivable n veces en el punto 0 ∈ J. Para que r (i) = 0, i = 0, 1, . . . , n, es necesario y suficiente que l´ım r(h)/hn = 0. h→0

Demostraci´ on: En primer lugar supongamos que las derivadas de r de orden menor o igual a n, se anulan en el punto 0. Para n = 1, esto quiere decir r(0) = r ′ (0) = 0. Entonces l´ım r(h)/h = h→0

l´ım [r(h) − r(0)]/h = r ′ (0) = 0. Para n = 2 tenemos r(0) = r ′ (0) =

h→0

r ′′ (0) = 0. Por lo que acabamos de ver esto implica l´ım r ′ (x)/x = 0. x→0 El Teorema del Valor Medio nos asegura que, para todo h 6= 0, existe x en el intervalo de extremos 0 y h tal que r(h)/h2 = [r(h) − r(0)]/h2 = r ′ (x)h/h2 = r ′ (x)/h. Por consiguente, l´ım r(h)/h2 = h→0

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Secci´ on 1

F´ ormula de Taylor

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l´ım r ′ (x)/h = l´ım [r ′ (x)/x][x/h] = 0, pues h → 0 implica x → 0

h→0

h→0

y, adem´as. |x/h| ≤ 1. El mismo argumento nos permite pasar de n = 2 a n = 3 y as´ı sucesivamente. Rec´ıprocamente, supongamos que l´ım r(h)/hn = 0. De aqu´ı resulta que, para i = 0, 1, . . . , n, h→0

l´ım r(h)/hi = l´ım (r(h)/hn )hn−i = 0. Por tanto r(0) = l´ım r(h) =

h→0

h→0

h→0

l´ım r(h)/h0 = 0. Adem´as, r ′ (0) = l´ım r(h)/h = 0. Respecto a r ′′ (0)

h→0

h→0

consideremos la funci´on auxiliar ϕ : J → R, definida como ϕ(h) = r(h) − r ′′ (0)h2 /2. Evidentemente, ϕ(0) = ϕ′ (0) = ϕ′′ (0) = 0. De la parte del lema ya demostrada se deduce que l´ım ϕ(h)/h2 = 0. h→0

Como ϕ(h)/h2 = r(h)/h2 −r ′′ (0)/2 y sabemos que l´ım r(h)/h2 = 0, h→0

resulta que r ′′ (0) = 0. El mismo argumento nos permite pasar de n = 2 a n = 3, y as´ı sucesivamente.

Teorema 1. (F´ ormula de Taylor infinitesimal) Sea f : I → R n veces derivable en el punto a ∈ I. La funci´on r : J → R, definida en el intervalo J = {h ∈ R : a + h ∈ I} mediante la igualdad f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h +

f ′′ (a) 2 f (n) (a) n ·h +···+ · h + r(h) , 2! n!

cumple l´ım r(h)/hn = 0. Rec´ıprocamente, si p(h) es un polinomio h→0

de grado ≤ n tal que r(h) = f (a+h)−p(h) cumple l´ım r(h)/hn = 0, h→0

entonces p(h) es el polinomio de Taylor de orden n de f en el punto a, esto es, n X f (i) (a) i p(h) = ·h . i! i=0

Demostraci´ on: La funci´on r, definida a partir de la f´ormula de Taylor, es n veces derivable en el punto 0 y sus derivadas, hasta la de orden n, son nulas en dicho punto. Luego, por el Lema, se tiene l´ım r(h)/hn = 0. Rec´ıprocamente, si r(h) = f (a + h) − p(h) h→0

es tal que l´ım r(h)/hn = 0 entonces, de nuevo por el Lema, las derivadas, hasta la de orden n, de r en el punto 0 son nulas, luego p(i) (0) = f (i) (a) para i = 0, 1, . . . , n, o sea, p(h) es el polinomio de Taylor de orden n de la funci´on f en el punto a.

Ejemplo 2. Sea f : I → R n veces derivable en el punto a ∈ int I y tal que f (i) (a) = 0 para 1 ≤ i < n y f (n) (a) 6= 0. Si n es par,

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120

F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada

Cap. 9

entonces f posee un m´ınimo local estricto en el punto a siempre que f (n) (a) > 0, un m´aximo local estricto siempre que f (n) (a) < 0. Si n es impar entonces a no es punto ni de m´ınimo ni de m´aximo local. En efecto, en este caso podemos escribir la f´ormula de Taylor como  (n)  (a) r(h) n f f (a + h) − f (a) = h + n . n! h

Por la definici´on de l´ımite existe δ > 0 tal que para a + h ∈ I, 0 < |h| < δ, la suma de los t´erminos dentro de los corchetes tiene el mismo signo que f (n) (a). Como a ∈ intI, podemos tomar δ de modo que |h| < δ → a+h ∈ I. Entonces, cuando n es par y f (n) 8a) > 0, la diferencia f (a + h) − f (a) es positiva siempre que 0 < |h| < δ, luego f posee un m´ınimo local estricto en el punto a. An´alogamente, si n es par y f (n) (a) < 0, la diferencia f (a + h) − f (a) es negativa cuando 0 < |h| < δ, luego f tiene un m´aximo local en el punto a. Finalmente, si n es impar, el factor hn tiene el mismo signo que h, luego la diferencia f (a + h) − f (a) cambia de signo cuando h as´ı lo hace, luego f no tiene ni un m´aximo ni un m´ınimo local en el punto a. Ejemplo 3. (De nuevo la Regla de L’Hˆ opital) Sean f, g : I → R n veces derivables en el punto a ∈ I, con derivadas nulas en dicho punto hasta la de orden n − 1. Si g (n) (a) 6= 0 entonces f (x) f (n) (a) = (n) . x→a g(x) g (a) l´ım

En efecto, por la f´ormula de Taylor, tenemos  (n)  (a) r(h) n f f (a + h) = h + n n! h y n

g(a + h) = h



g (n) (a) s(h) + n n! h

r(h) s(h) = l´ım n = 0. Por tanto n h→0 h h→0 h



,

donde l´ım

f (x) f (a + h) l´ım = l´ım = l´ım x→a g(x) h→0 g(a + h) h→0

f (n) (a) n! g (n) (a) n!

+ +

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r(h) hn s(h) hn

f (n) (a) = (n) . g (a)

Secci´ on 2

Funciones c´ oncavas y convexas

121

La f´ormula de Taylor infinitesimal se denomina as´ı porque s´olo afirma algo cuando h → 0. A continuaci´on daremos otra versi´on de esta f´ormula donde se calcula de forma aproximada el valor de ´ f (a + h) para h fijo. Esta es una generalizaci´on del Teorema del Valor Medio de Lagrange. Igual que en aquel teorema, se trata de un resultado de car´acter global, donde se supone que f es n veces derivable en todos los puntos del intervalo (a, a + h). Teorema 2. (F´ ormula de Taylor, con resto de Lagrange.) Sea f : [a, b] → R derivable n veces en el intervalo abierto (a, b) y f (n−1) continua en [a, b]. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que: f (b) = f (a)+f ′ (a)(b−a)+· · ·+

f (n−1) (a) f (n) (c) (b−a)n−1 + (b−a)n . (n − 1)! n!

Escribiendo b = a + h, esto quiere decir que existe θ, 0 < θ < 1, tal que f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h + · +

f (n−1) (a) n−1 f (n) (a + θh) n h + h . (n − 1)! n!

Demostraci´ on: Sea ϕ : [a, b] → R definida mediante ϕ(x) = f (b)−f (x)−f ′ (x)(b−x)−· · ·−

f (n−1) (x) K (b−x)n−1 − (b−x)n , (n − 1)! n!

donde la constante K se escoge de forma que ϕ(a) = 0. Entonces ϕ es continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Se ve facilmente que K − f (n) (x) ϕ (x) = (b − x)n−1 . (n − 1)! ′

Por el Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que ϕ′ (c) = 0. Esto significa que K = f (n) (c). Ahora el Teorema 2 se obtiene haciendo x = a en la definici´on de ϕ y recordando que ϕ(a) = 0. 2. Funciones c´ oncavas y convexas Si a 6= b, la recta que une los puntos (a, A) y (b, B) en el plano R2 es el conjunto de los puntos (x, y) tales que y =A+

B−a (x − a) , b−a

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122

F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada

Cap. 9

o equivalentemente y=B+

B−A (x − b) . b−a

f (b)

f (x) f (a)

a

x

b

Cuando se tiene una funci´on f : X → R, definida en un conjunto X ⊂ R, dados a, b ∈ X, la recta que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) del gr´afico de f se llama secante ab. Sea I ⊂ R un intervalo. Una funci´on f : I → R se llama convexa cuando su gr´afico est´a situado debajo de cualquier secante. De forma m´as precisa, la convexidad de f se expresa como sigue: a < x < b en I

⇒

f (x) ≤ f (a) +

f (b) − f (a) (x − a) , b−a

⇒

f (x) ≤ f (b) +

f (b) − f (a) (x − b) . b−a

o sea a < x < b en I

Por tanto, f : I → R es convexa en el intervalo I si, y s´olo si, se cumplen las desigualdaddes fundamentales: (∗) a < x < b en I ⇒

f (x) − f (a) f (b) − f (a) f (x) − f (b) ≤ ≤ . x−a b−a x−b

Una cualquiera de las dos desigualdades anteriores implica la otra. Significa que, si a < x < b, la secante ax tiene menor pendiente que la secante ab y ´esta, a su vez, tiene menor pendiente que la secante xb. Teorema 3. Si f : I → R es convexa en el intervalo I entonces existen las derivadas laterales f+′ (c) y f−′ (c) en todo punto c ∈ int I.

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Secci´ on 2

Funciones c´ oncavas y convexas

123

Demostraci´ on: En virtud de las observaciones que acabamos de (c) hacer la funci´on ϕc (x) = f (x)−f es mon´otona creciente en el interx−c valo J = I ∩ (c, +∞). Adem´as, como c ∈ int I, existe a ∈ I, tal que a < c. Por tanto, ϕc (x) ≥ [f (a) − f (c)]/(a − c) para todo x ∈ J. As´ı, la funci´on ϕc : J → R est´a acotada inferiormente. Luego existe el l´ımite por la derecha f+′ (c) = l´ım+ ϕc (x). Para la derivada por la x→c

izquierda usamos un razonamiento semejante. Corolario 5. Una funci´on convexa f : I → R es continua en todo punto del interior del intervalo I. Obs´ervese que f : [0, 1] → R, definida por f (0) = 1 y f (x) = 0 si 0 < x ≤ 1, es convexa y sin embargo discontinua en el punto 0. Teorema 4. Las siguiente afirmaciones sobre la funci´ on f : I → R, derivable en el intervalo I, son equivalentes: (1) f es convexa. (2) La derivada f ′ : I → R es mon´ otona creciente. (3) Para cualesquiera a, x ∈ I se tiene f (x) ≥ f (a) + f ′ (a)(x − a), o sea, el gr´afico de f est´ a situado encima de sus tangentes. Demostraci´ on: Probaremos las implicaciones (1)⇒(2)⇒(3)⇒(1). (1)⇒(2). Sean a < x < b en I. Haciendo primero x → a+ , y despu´es x → b− , en las desigualdades fundamentales (∗), se tiene f+′ (a) ≤ [f (b) −f (a)]/(b−a) ≤ f−′ (b). Luego a < b ⇒ f ′ (a) ≤ f ′ (b). (2)⇒(3). Consideremos a < x en I. Por el Teorema del Valor Medio existe z ∈ (a, x) tal que f (x) = f (a) + f ′ (z)(x − a). Como f ′ es mon´otona creciente, tenemos f ′ (z) ≥ f ′ (a). Luego f (x) ≥ f (a) + f ′ (a)(x − a). En el caso x < a se usa un razonamiento an´alogo. (3)⇒(1). Sean a < c < b en I. Escribimos α(x) = f (c) + f ′(c)(x − c y llamamos H = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ α(x)} al semiplano superior limitado por la recta tangente al gr´afico de f en el punto (c, f (c)), y = α(x). Evidentemente, H es un subconjunto convexo del plano, esto es, el segmento que une dos puntos cualesquiera de H est´a contenido en H. La hip´otesis (3) nos asegura que los puntos (a, f (a))

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124

F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada

Cap. 9

y (b, f (b)) pertenecen a H. En particular, el punto de dicho segmento que tiene abcisa c pertenece a H, esto es, tiene ordenada (a) ≥ α(c) = f (c). Esto significa que f (c) ≤ f (a) + f (b)−f (c − a). b−a Como a < c < b son puntos cualesquiera de I, la funci´on f es convexa. Corolario 1. Todo punto cr´ıtico de una funci´on convexa es un punto de m´ınimo absoluto.

c

a

x 2

Fig. 6 - La funci´on f : R+ → R, dada por f (x) = x16 + x1 , es convexa. Su punto cr´ıtico c = 2 es un m´ınimo absoluto. Su gr´afico est´a situado encima de sus tangentes. En efecto, decir que a ∈ I es un punto cr´ıtico de la funci´on f : I → R equivale a afirmar que f tiene derivada nula en dicho punto. Si f es convexa y a ∈ I es un punto cr´ıtico de f entonces la condici´on (3) de arriba nos asegura que f (x) ≥ f (a) para todo x ∈ I, luego a es un punto m´ınimo absoluto de f . Corolario 2. Una funci´on dos veces derivable en el intervalo I, f : I → R, es convexa si, y s´olo si, f ′′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ I. En efecto, f ′′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ I equivale a afirmar que f ′ : I → R es mon´otona creciente. Una funci´on f : I → R se dice c´oncava cuando −f es convexa, esto es, cuando el gr´afico de f est`a encima de sus secantes. Las desigualdades que caracterizan a una funci´on c´oncava son an´alogas a las de (∗) de arriba, con ≥ en vez de ≤. En cada punto interior a de su dominio existen las derivadas laterales de una funci´on c´oncava,

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Secci´ on 2

Funciones c´ oncavas y convexas

125

luego la funci´on es continua en dichos puntos. Una funci´on derivable es c´oncava si, y s´olo si, su derivada es mon´otona decreciente. Una funci´on dos veces derivable es c´oncava si, y s´olo si, su derivada segunda es ≤ 0. Una funci´on derivable es c´oncava si, y s´olo si, su derivada segunda es ≤ 0. Una funci´on derivable es c´oncava si, y s´olo si, su gr´afico est´a situado debajo de sus tangentes. Todo punto cr´ıtico de una funci´on c´oncava es un punto de m´aximo absoluto. Existen tambi´en las nociones de funci´on estrictamente convexa y estrictamente c´oncava, donde se exige que a
⇒

f (x) < f (a) +

f (b) − f (a) (x − a) b−a

en el caso convexo, y con > en vez de < en el caso c´oncavo. Esta condici´on impide que el gr´afico de f posea partes rectil´ıneas. La convexidad estricta implica que f ′ es estrictamente creciente, pero no implica f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ I. No obstante, f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ I ⇒ f ′ estrictamente creciente ⇒ f estrictamente convexa. Ejemplo 4. Para todo n ∈ N la funci´on f : R → R, f (x) = x2n es estrictamente convexa, pero f ′′ (x) = 2n(2n − 1)x2n−2 se anula en el punto x = 0. La funci´on exponencial f (x) = ex es (estrictamente) convexa, mientras que log x (si x > 0) es c´oncava. La funci´on g : R − {0} → R, g(x) = 1/x, es c´oncava si x < 0 y convexa si x > 0. Los puntos x del intervalo [a, b] se escriben de forma u ´ nica, como x = (1 − t)a + tb, con 0 ≤ t ≤ 1. En efecto, esta igualdad es equivalente a t = (x − a)/(b − a). El segmento de recta que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) en el plano, el punto de abscisa x = (1 − t)a + tb tiene como ordenada (1 − t)f (a) + tf (b). Por tanto, una funci´on es convexa si, y s´olo si, a, b ∈ I,

0≤t≤1

⇒

f ((1 − t)a + tb) ≤ (1 − t)f (a) + tf (b) .

Equivalentemente, f : I → R es convexa si, y s´olo si, para cualesquiera a1 , a2 ∈ I y t1 , t2 ∈ [0, 1] tales que t1 + t2 = 1, se tiene f (t1 a1 + t2 a2 ) ≤ t1 f (a1 ) + t2 f (a2 ) . Ahora consideremos f : I → R convexa, a1 , a2 , a3 ∈ I y t1 , t2 , t3 ∈ [0, 1], con t1 + t2 + t3 = 1. Afirmamos que f (t1 a1 + t2 a2 + t3 a3 ) ≤ t1 f (a1 ) + t2 f (a2 ) + t3 f (a3 ) .

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126

F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada

Cap. 9

En efecto, esta desigualdad es obvia si t1 = t2 = 0 y t3 = 1. No obstante, si t1 + t2 6= 0, podemos escribir   t2 t1 t1 a1 + t2 a2 + t3 a3 = (t1 + t2 ) a1 + a2 + t3 a3 . t1 + t2 t1 + t2 Como

t1 t2 + =1, t1 + t2 t1 + t2 aplicando dos veces el caso ya conocido, en el que se tiene dos sumandos, resulta la desigualdad que queremos obtener. An´alogamente, si f : I → R es convexa, entonces, dados a1 , . . . , an ∈ I y t1 , . . . , tn ∈ [0, 1] tales que t1 + · · · + tn = 1, se tiene (t1 + t2 ) + t3 = 1 y

f (t1 a1 + · · · + tn an ) ≤ t1 f (a1 ) + · · · + tn f (an ) . Este resultado aplicado a la funci´on convexa f (x) = exp(x), con t1 = t2 = · · · = tn = 1/n, a1 = log x1 , . . . , an = log xn , nos da, para cualesquiera n n´ umeros reales positivos x1 , . . . , xn , la desigualdad √ √ n x1 x2 · · · xn = n ea1 ea2 · · · ean   a1 + · · · + an = exp n = f (t1 a1 + · · · + tn an ) ≤ t1 f (a1 ) + · · · + tn f (an ) ea1 + · · · + ean x1 + · · · + xn = = , n n o sea:

√ n

x1 x2 · · · xn ≤

x1 + · · · + xn . n

´ Esta es la desigualdad cl´asica entre las medias aritm´eticas y geom´etrica. En general, el mismo m´etodo sirve para demostrar la desigualdad: xt11 · xt22 · · · xtnn ≤ t1 x1 + t2 x2 + · · · + tn xn v´alidas para n´ umeros mayores o iguales a x1 , . . . , xn y t1 , . . . , tn tales que t1 + t2 + · · · + tn = 1. La desigualdad anterior entre las medias aritm´eticas y geom´etrica corresponde al caso particular t1 = · · · = tn = 1/n.

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Secci´ on 3

Aproximaciones sucesivas y el m´ etodo de Newton

127

3. Aproximaciones sucesivas y el m´ etodo de Newton Se dice que una funci´on f : X → R es una contracci´ on cuando existe una constante k ∈ [0, 1) tal que |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x| para cualesquiera x, y ∈ X. Los ejemplos m´as comunes de contracciones son las funciones f : I → R, derivables en el intervalo I, tales que |f ′ (x)| ≤ k < 1 para todo x ∈ I. Evidentemente, toda contracci´on es una funci´on uniformemente continua. Teorema 5. (Punto fijo de las contracciones) Si X ⊂ R es cerrado entonces toda contracci´on f : X → X posee un u ´ nico punto fijo. De forma m´as precisa, dado cualquier x0 ∈ X, la sucesi´on de las aproximaciones sucesivas x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), . . . , xn+1 = f (xn ), . . . converge para el u ´ nico punto a ∈ X tal que f (a) = a. Demostraci´ on: Sea |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x| para cualesquiera x, y ∈ X, donde 0 ≤ k < 1. Entonces |xn+1 − xP n | ≤ k|xn − xn−1 |, ´ luego, por el Criterio de dAlembert, la serie s = ∞ n=1 (xn −xn−1 ) es absolutamente convergente. Ahora bien, la suma de los n primeros t´erminos de esta serie es sn = xn − x0 . De l´ım sn = s se sigue l´ım xn = s + x0 = a. Como el conjunto X es cerrado se tiene a ∈ X. Haciendo n → ∞ en la igualdad xn+1 = f (xn ), como f es continua, se obtiene a = f (a). Finalmente, si a = f (a) y b = f (b) entonces |b − a| = |f (b) − f (a)| ≤ k|b − a|, o sea, (1 − k)|b − a| ≤ 0. Como 1 − k > 0, concluimos que a = b, luego el punto fio a ∈ X es u ´ nico. √ Ejemplo 5. La funci´on f : R → R, dada por f (x) = 1 + x2 , no tiene ning´ un punto √ fijo, pues f (x) > x para todo x ∈ R. Su derivada f ′ (x) = x/ x2 + 1 cumple |f ′ (x)| < 1, luego se tiene |f (y) − f (x)| < |y − x| para cualesquiera x, y ∈ R. Este ejemplo demuestra que solamente la condici´on |f (y) − f (x)| < |y − x| no es suficiente para obtener un punto fijo. Ejemplo 6. La funci´on f : [1, +∞) → R, dada por f (x) = x/2, es una contracci´on; sin embargo, no tiene ning´ un punto fijo a ∈ [1, +∞). Esto demuestra que en el m´etodo de las aproximaciones sucesivas es esencial verificar que la condici´on f (X) ⊂ X se cumple. En este ejemplo, no se tiene f ([1, +∞)) ⊂ [1, +∞).

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128

F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada

Cap. 9

Ejemplo 7. f : (0, 1) → (0, 1), dada por f (x) = x/2, tiene derivada f ′ (x) = 1/2; sin embargo no posee ning´ un punto fijo, pues (0, 1) no es cerrado. Una aplicaci´on importante del m´etodo de las aproximaciones sucesivas es el llamado m´etodo de Newton para la obtenci´on de aproximaciones de una ra´ız de la ecuaci´on f (x) = 0. En este m´etodo se tiene una funci´on f : I → R de clase C 1 en el intervalo I, tal que f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ I, se toma un valor inicial x0 y se escribe f (x0 ) , f ′ (x0 ) f (x1 ) = x1 − ′ , f (x1 )

x1 = x0 − x2 .. .

xn+1 = xn −

f (xn ) , f ′ (xn )

etc.

Cuando la sucesi´on (xn ) converge, su l´ımite a es una ra´ız de la ecuaci´on f (x) = 0 pues, haciendo n → ∞ en la igualdad xn+1 = xn −

f (xn ) , f ′ (xn )

resulta a = a − f (a)/f ′ (a), de donde f (a) = 0. El m´etodo de Newton resulta al observar que las ra´ıces de la ecuaci´on f (x) = 0 son los puntos fijos de la funci´on N = Nf : I → R, definida mediante N(x) = x −

f (x) . f ′ (x)

El n´ umero N(x) = x − f (x)/f ′ (x) es la abscisa del punto en que la tangente al gr´afico de f en el punto (x, f (x)) intersecta al eje horizontal. La idea que motiva el m´etodo de Newton es que, si la tangente es una aproximaci´on de la curva, entonces su intersecci´on con el eje x es una aproximaci´on del punto de intersecci´on de la curva con dicho eje, esto es, el punto x tal que f (x) = 0. Es f´acil dar ejemplos en los que la sucesi´on (xn ) de las aproximaciones del m´etodo de Newton no converge: es suficiente tomar una funci´on, como por ejemplo f (x) = ex , que no alcance el valor 0.

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Secci´ on 3

Aproximaciones sucesivas y el m´ etodo de Newton

129

y y = f (x) f (x0 )

f (x1 )

0

x2

x1

x0

x

Fig. 7 - Como la pendiente de la tangente es f ′ (x) = f (x0 )/(x0 − x1 ), se sigue que x1 = x0 − f (x0 )/f ′(x0 )

Incluso en el caso en que la ecuaci´on f (x) = 0 tenga una ra´ız real la sucesi´on (xn ) puede ser divergente, por ejemplo si x0 se toma lejos de la ra´ız. Existen, evidentemente, infinitas funciones cuyos puntos fijos son las ra´ıces de la ecuaci´on f (x) = 0. La importancia de la funci´on N(x) reside en la rapidez con que las aproximaciones sucesivas convergen a la ra´ız a de la ecuaci´on f (x) = 0 (cuando convergen): cada xn+1 = N(xn ) es una aproximaci´on de a cerca del doble de los d´ıgitos decimales exactos de xn . (Vea el Ejemplo 9). A continuaci´on demostraremos que si la derivida segunda de f : I → R es continuam f ′′ : I → R y f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ I, entonces cada punto a ∈ I tal que f (a) = 0 tiene un entorno J = [a − δ, a + δ] tal que, comenzando con cualquier valor inicial x0 ∈ J, la sucesi´on de puntos (xn+1 ) = N(xn ) converge a a.

En efecto, la derivada N ′ (x) = f (x)f ′′ (x)/f ′ (x)2 se anula en el punto x = a. Como N ′ (x) es continua, si fijamos cualquier k ∈ (0, 1) obtendremos δ > 0 tal que J = [a − δ, a + δ] ⊂ I y |N ′ (x)| ≤ k < 1 para todo x ∈ J. Afirmamos que x ∈ J ⇒ N(x) ∈ J. De hecho, x ∈ J ⇒ |N(x) − N(a)| ≤ k|x − a| < |x − a| ≤ δ ⇒ N(x) ∈ J. Por tanto, N : J → I es una contracci´on. Luego la sucesi´on x1 = N(x0 ), . . . , xn+1 = N(xn ) converge al u ´ nico punto fijo a ∈ J de la contracci´on N.

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130

F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada

Cap. 9

-1/2 -x0 x0 1/2

Fig. 8 - La funci´on f : [−1/2, 1/2] → R, dada por f (x) = x − x3 , se anula si x = 0. Los valores aproximados de esta ra´ız por el m´etodo de Newton, cuando el valor inicial es √ x0 = 5/5, son sucesivamente x0 , −x0 , x0 , −x0 , etc. As´ı, el m´etodo no converge. √ Ejemplo 8. (C´ alculo aproximado de n n). Dado c > 0 y n ∈ √ N, consideremos el intervalo I = [ n c, +∞) y la funci´on f : I → R, dada por f (x) = xn −c. Como f ′ (x) = nxn−1 , la funci´on de Newton N : I → R es de la forma N(x) = n1 [(n − 1)x + c/xn−1 ]. As´ı, para todo x > 0, N(x) es la media aritm´etica de los n n´ umeros n−1 x, x, . . . , x, c/x . Como la media geom´etrica de estos n n´ umeros √ √ n n es c, conclu´ımos que N(x) ≥ c para todo x > 0. En particular, x ∈ I ⇒ N(x) ∈ I. Adem´as N ′ (x) = n−1 (1 − c/xn ), luego 0 ≤ n N ′ (x) ≤ (n − 1)/n para todo x ∈ I. Esto demuestra que N : I → I es una contracci´on. Por tanto, tomando cualquier x0 > 0, tenemos N(x0 ) = x1 ∈ I y las aproximaciones sucesivas xn+1 = N(xn ) √ n convergen (r´apidamente) a c. Ejemplo 9. (El m´ etodo de Newton converge cuadr´ atica2 mente.) Consideremos f : I → R de clase C en el intervalo I, tal que |f ′′ (x)| ≤ A y |f ′ (x)| ≥ B para todo x ∈ I, donde A y B son constantes positivas. Acabamos de ver que, si tomamos la aproximaci´on inicial x0 suficientemente cerca de un punto a tal que f (a) = 0, la sucesi´on de las aproximaciones de Newton xn+1 = xn − f (xn )/f ′ (xn ) converge a a. A continuaci´on usaremos el Teorema 2 para obtener una comparaci´on entre los errores |xn+1 −a| y |xn − a|. Existe un n´ umero c comprendido entre a y xn tal que: 0 = f (a) = f (xn ) + f ′ (xn )(a − xn ) +

f ′′ (c) (a − xn )2 . 2

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Secci´ on 5

Ejercicios

131

Entonces f ′ (xn )xn − f (xn ) − f ′ (xn )a =

f ′′ (c) (xn − a)2 . 2

Dividiendo por f ′ (xn ) obtenemos: xn −

f (xn ) f ′′ (c) − a = (xn − a)2 , f ′ (xn ) 2f ′ (xn )

esto es, xn+1 − a =

f ′′ (c) (xn − a)2 . 2f ′ (xn )

A |xn −a|2 . Cuando De donde, inmediatamente, se tiene |xn+1 −a| ≤ 2B |xn −a| < 1, el cuadrado |xn −a|2 es mucho menor, lo que muestra la rapidez de la convergencia en el m´etodo de Newton. Por ejemplo, si f (x) = xn − c tenemos f ′′ /2f ′ =√ (n − a)/2x. Por tanto, si queremos n calcular valores aproximados de c, donde√ c > 1, podemos empezar √ n con x0 > 1 y siempre √ tendremos |x√ − |xk − n c|2 . Si c| ≤ n−1 k+1 2 n ≤ 3 se tiene |xk+1 − n c| ≤ |xk − n c|2 . Luego si xk tiene p d´ıgitos decimales exactos entonces xk+1 tiene 2p.

5. Ejercicios Secci´on 1: F´ormula de Taylor 1. Use la igualdad 1 xn+1 = 1 + x + · · · + xn + (1 − x) (1 − x) y la f´ormula de Taylor infinitesimal para calcular las derivadas sucesivas en el punto x = 0, de la funci´on f : (−1, 1) → R, dada por f (x) = 1/(1 − x). 2. Sea f : R → R definida por f (x) = x5 /(1 + x6 ). Calcule las derivadas de orden 2001 y 2003 de f en el punto x = 0. 3. Sea f : I → R de clase C ∞ en el intervalo I. Supongamos que existe k > 0 tal que |f (n) (x)| ≤ k para todo x ∈ I y n ∈ N. Pruebe que para cualesquiera x0 , x ∈ I se tiene f (x) = P∞ f (n) (x) (x − x0 )n . n=0 n!

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132

F´ ormila de Taylor y aplicaciones de la derivada

Cap. 9

4. Usando la f´ormula de Taylor con resto de Lagrange demuestre que f ′′ ≥ 0 ⇒ f convexa. 5. Sea f : I → R de clase C 2 en el intervalo I. Dado a ∈ I defina la funci´on ϕ : I → R como ϕ(x) = [f (x) − f (a)]/(x − a) si x 6= a y ϕ(a) = f ′ (a). Pruebe que ϕ es de clase C 1 . Demuestre que f ∈ C 3 ⇒ ϕ ∈ C 2 . 6. Sea p : R → R un polinomio de grado n. Pruebe que para cualesquiera a, x ∈ R se tiene: p(x) = p(a) + p′ (a)(x − a) + · · · +

p(n) (a) (x − a)n . n!

7. Sean f, g : I → R dos veces derivables en el punto a ∈ int I. Si f (a) = g(a), f ′ (a) = g ′(a) y f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ I, demuestre que f ′′ (a) ≥ g ′′ (a). Secci´on 2: Funciones c´oncavas y convexas 1. Sean f : I → R y g : J → R funciones convexas tales que f (I) ⊂ J y g mon´otona creciente. Pruebe que g ◦ f es convexa. D´e otra demostraci´on suponiendo que f y g son dos veces derivables. Demuestre mediante un ejemplo que si g no es mon´otona creciente el resultado no es necesariamente verdadero. 2. Si f : I → R posee un punto cr´ıtico no degenerado c ∈ int I en el que f ′′ es continua, demuestre que existe δ > 0 tal que f es convexa o c´oncava en el intervalo (c − δ, c + δ). 3. Analice la convexidad de la suma y el producto de dos funciones convexas. 4. Una funci´on f : I → R, definida en el intervalo I, se llama quasi-convexa (respectivamente, quasi-c´ oncava) cuando, para todo c ∈ R, el conjunto {x ∈ I : f (x) ≤ c} (respectivamente, {x ∈ I : f (x) ≥ c}) es vac´ıo o es un intervalo. Pruebe que toda funci´on convexa (respectivamente, c´oncava es quasiconvexa (respectivamente, quasi-c´oncava) y que toda funci´on mon´otona es, simult´aneamente, quasi-convexa y quasi-c´oncava.

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Secci´ on 5

Ejercicios

133

5. Pruebe que f : I → R es quasi-convexa si, y s´olo si, para todo x, y ∈ I y t ∈ [0, 1], se tiene f ((1 − t)x + ty) ≤ m´ax{f (x), f (y)}. Enuncie el resultado an´alogo para f quasic´oncava. 6. Sea f : [a, b] → R una funci´on continua quasi-convexa, cuyo valor m´ınimo se alcanza en el punto c ∈ [a, b]. Pruebe que si c = a entonces f es mon´otona creciente, si c = b, f es mon´otona decreciente, y, finalmente, si a < c < b, f es mon´otona decreciente en [a, c] y mon´otona creciente en [c, b]. Enuncie un resultado an´alogo para f quasi-c´oncava. Concluya que una funci´on continua f : [a, b] → R es quasi-convexa si, y s´olo si, existe c ∈ [a, b] tal que f es mon´otona decreciente en el intervalo [a, c] y mon´otona creciente en el intervalo [c, b]. 7. Para cada n ∈ N, sea fn : I → R una funci´on convexa. Suponga que la sucesi´on de n´ umeros (fn (x))n∈N converge para todo x ∈ I. Pruebe que la funci´on f : I → R, definida mediante f (x) = l´ım fn (x) es convexa. Pruebe resultados an´alogos n→∞ para funciones quasi-convexas, concavas y quasi-c´oncavas. 8. Sea f : [a, b] → R una funci´on continua y convexa tal que f (a) < 0 < f (b). Pruebe que existe un u ´ nico punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. Secci´on 3: Aproximaciones sucesivas. M´etodo de Newton 1. Sean I = [a − δ, a + δ] y f : I → R tal que |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|, donde 0 ≤ k < 1. Pruebe que si |f (a) − a| ≤ (1 − k)δ entonces existe un u ´ nico x ∈ I tal que f (x) = x. 2. Defina f : [0, +∞) → [0, +∞) mediante f (x) = 2−x/2 . Demuestre que f es una contracci´on y que si a es su u ´ nico punto fijo entonces −a es la ra´ız negativa de la ecuaci´on x2 = 2x . Use el m´etodo de las aproximaciones sucesivas y una calculadora para obtener el valor de a con 8 d´ıgitos decimales exactos. 3. Sea I = [a − δ, a + δ]. Si la funci´on f : I → R es de clase C 2 , con f ′ (x) 6= 0 y f (x)f ′′ (x)/f ′ (x)2 | ≤ k < 1 para todo x ∈ I, y |f (a)/f ′(a9| < (1 − k)δ, pruebe que entonces, para cualquier valor inicial x0 ∈ I, el m´etodo de Newton converge hacia la u ´ nica ra´ız x ∈ I de la ecuaci´on f (x) = 0.

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134

F´ ormila de Taylor y aplicaciones de la derivada

Cap. 9

4. Dado a > 1, considere la funci´on f : [0, +∞) → R, dada por f (x) = 1/(a + x). Pruebe que, dado cualquier x0 > 0, la sucesi´on definida inductivamente como x1 = f (x0 ), . . . , xn+1 = f (xn ), converge a la ra´ız positiva c de la ecuaci´on x2 +ax−1 = 0. (Cfr. Ejercicio 3.6, Cap´ıtulo 3). 5. Pruebe que 1, 0754 es un valor aproximado, con 4 d´ıgitos decimales exactos, de la ra´ız positiva de la ecuaci´on x6 +6x−8 = 0. 6. Sea f : [a, b] → R convexa y dos veces derivable. Si f (a) < 0 < f (b), pruebe que comenzando con un punto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) > 0, el m´etodo de Newton siempre converge a la u ´ nica ra´ız x ∈ [a, b] de la ecuaci´on f (x) = 0.

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10 La integral de Riemann Las nociones de derivada e integral constituyen los dos conceptos m´as importantes del An´alisis Matem´atico. Mientras que la derivada corresponde a la noci´on geom´etrica de tangente y a la idea f´ısica de velocidad, la integral est´a asociada a la noci´on geom´etrica de ´area y a la idea f´ısica de trabajo. Es un hecho notable de suma importancia que estas dos nociones, aparentemente tan distintas, est´en ´ıntimamente relacionadas. 1. Revisi´ on de sup e ´ınf Demostraremos, para su uso inmedianto, algunos resultados elementales sobre supremos e ´ınfimos de conjuntos de n´ umeros reales. Dada una funci´on acotada f : X → R, recordemos que sup f = sup f (X) = sup{f (x) : x ∈ X} e ´ınf f = ´ınf f (X) = ´ınf{f (x) : x ∈ X}. Todos los conjuntos que consideraremos a continuaci´on ser´an no vac´ıos. Lema 1. Sean A, B ⊂ R tales que, para todo x ∈ A e y ∈ B, se tiene x ≤ y. Entonces sup A ≤ sup B. Para que sup A = ´ınf B es necesario y suficiente que, para todo ε > 0, existan x ∈ A e y ∈ B tales que y − x < ε. Demostraci´ on: Cada y ∈ B es una cota superior de A, luego sup A ≤ y. Lo que demuestra que sup A es una cota inferior de B y por tanto sup A ≤ ´ınf B. Si tuviesemos la desigualdad estricta 135

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136

La integral de Riemann

Cap. 10

sup A < ´ınf B; entonces ε = ´ınf B − sup A > 0 e y − x ≥ ε para cualesquiera x ∈ A e y ∈ B. Rec´ıprocamente, si sup A = ´ınf B entonces, dado ε > 0, sup A − ε/2 no es una cota superior de A e ´ınf B + ε/2 no es una cota inferior de B, luego existen x ∈ A e y ∈ B tales que sup A−ε/2 < x ≤ sup A = ´ınf B ≤ y < ´ınf B +ε/2. Por lo tanto y − x < ε.

Lema 2. Sean A y B conjuntos acotados y c ∈ R. Entonces los conjuntos A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B} y c · A = {c · x : x ∈ A} tambi´en son acotados. Adem´ as, se tiene sup(A + B) = sup A + sup B, ´ınf(A+B) = ´ınf A+´ınf B, sup(c·A) = c·sup A y ´ınf(c·A) = c´ınf A, cuando c ≥ 0. Si c < 0 entonces, sup(c · A) = c · ´ınf A e ´ınf(c · A) = c · sup A.

Demostraci´ on: Escribiendo a = sup A y b = sup B, para todo x ∈ A e y ∈ B se tiene x ≤ a e y ≤ b, luego x + y ≤ a + b. Por tanto, a + b es una cota superior de A + B. Adem´as, dado ε > 0, existen x ∈ A e y ∈ B tales que a − ε/2 < x y b − ε/2 < y, de donde a + b − ε < x + y. Lo que demuestra que a + b es la menor cota superior de A + B, o sea, sup(A + B) = sup A + sup B. La igualdad sup(c · A) = c · sup A es obvia si c = 0. Si c > 0, dado cualquier n´ umero d menor que c · a tenemos d/c < a, luego existe x ∈ A tal que d/c < x. De donde d < c · x. Lo que demuestra que c · a es la menor cota superior de c · A, o sea, sup(c · A) = c · sup A. Los dem´as casos enunciados en el lema se prueban de forma an´aloga. Corolario 3. Sean f, g : X → R funciones acotadas. Entonces las funciones f + g, cf : X → R tambi´en est´an acotadas para todo c ∈ R. Adem´as sup(f + g) ≤ sup f + sup g, ´ınf(f + g) ≥ ´ınf(f ) +´ınf(g), sup(cf ) = c · sup f e ´ınf(cf ) = c · ´ınf f cuando c ≥ 0. Si c < 0, se tiene sup(cf ) = c · ´ınf(f ) e ´ınf(cf ) = c · sup f .

En efecto, sean A = f (X), B = g(X), C = (f +g)(X) = {f (x)+ g(x) : x ∈ X}. Evidentemente, C ⊂ A + B, luego sup(f + g) = sup(C) ≤ sup(A + B) = sup A + sup B = sup f + sup g. Adem´as, sup(cf ) = sup{c · f (x) : x ∈ X} = sup(cA) = c · sup A = c · sup f , cuando c ≥ 0. Los dem´as casos enunciados en el Corolario se prueban de forma an´aloga. Observaci´ on: De hecho se puede tener sup(f + g) < sup f + sup g e ´ınf(f + g) > ´ınf f + ´ınf g. Basta considerar f, g : [0, 1] → R, f (x) = x y g(x) = −x.

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Secci´ on 2

Integral de Riemann

137

Lema 3. Dada f : X → R acotada, sean m = ´ınf f , M = sup f y ω = M − m. Entonces ω = sup{|f (x) − f (y)| : x, y ∈ X}. Demostraci´ on: Dados cualesquiera x, y ∈ X, que para fijar ideas supondremos tales que f (x) ≥ f (y), se tiene m ≤ f (y) ≤ f (x) ≤ M, de donde |f (x) − f (y)| ≤ M − m = ω. Por otra parte, dado cualquier ε > 0 podemos encontrar x, y ∈ X tales que f (x) > M − ε/2 y f (x) < m + ε/2. Entonces |f (x) − f (y)| ≥ f (x) − f (y) > M − m − ε = ω − ε. As´ı, ω es la menor de las cotas superiores del conjunto {|f (x) − f (y)| : x, y ∈ X}, lo que prueba el lema. Lema 4. Sean A′ ⊂ A y B ′ ⊂ B conjuntos acotados de n´ umeros reales. Si para cada a ∈ A y b ∈ B existen a′ ∈ A′ y b′ ∈ B ′ tales que a ≤ a′ y b′ ≤ b, entonces sup A′ = sup A e ´ınf B ′ = ´ınf B. Demostraci´ on: Evidentemente, sup A es una cota superior de A′ . Adem´as, si c < sup A existe a ∈ A tal que c < a, luego existe a′ ∈ A′ tal que c < a ≤ a′ , por tanto c no es una cota superior de A′ . As´ı, sup A es la menor cota superior de A′ , esto es, sup A = sup A′ . Un razonamiento an´alogo demuestra el resultado para ´ınf B = ´ınf B ′ .

2. Integral de Riemann Una partici´on del intervalo [a, b] es un subconjunto finito de puntos P = {t0 , t1 , . . . , tn } ⊂ [a, b] tal que a ∈ P y b ∈ P . Siempre usaremos esta notaci´on de forma que a = t0 < t1 < · · · < tn = b. El intervalo [ti−1 , ti ], de longitud ti − tP a i-´esimo intervalo i−1 , se llamar´ n de la partici´on P . Evidentemente, i=1 (ti − ti−1 ) = b − a.

Sean P y Q particiones del intervalo [a, b]. Se dice que Q refina P cuando P ⊂ Q. La manera m´as sencilla de refinar una partici´on consiste en a˜ nadirle un nuevo punto.

Dada una funci´on acotada f : [a, b] → R, usaremos la notaci´on m = ´ınf{f (x) : x ∈ [a, b]} y M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}. En particular, tenemos m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b]. Si P = {t0 , t1 , . . . , tn } es una partici´on de [a, b], la notaci´on mi = ´ınf{f (x) : ti−1 ≤ x ≤ ti }, Mi = sup{f (x) : ti−1 ≤ x ≤ ti } y ωi = Mi − mi , indica el ´ınfimo, el supremo y la oscilaci´ on de f (x)

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138

La integral de Riemann

Cap. 10

en el i-´esimo intervalo de P . Cuando f es continua los valores mi y Mi son alcanzados por f en [ti−1 , ti ]. En particular, en este caso existen xi , yi ∈ [ti−1 , ti ] tales que ωi = |f (yi ) − f (xi )|. La suma inferior de f relativa a la partici´on P es el n´ umero s(f ; P ) = m1 (t1 − t0 ) + · · · + mn (tn − tn−1 ) =

n X i=1

mi (ti − ti−1 ) .

La suma superior de f relativa a la partici´on P es, por definici´on, S(f ; P ) = M1 (t1 − t0 ) + · · · + Mn (tn − tn−1 ) =

n X i=1

Mi (ti − ti−1 ) .

Evidentemente, m(b − a) ≤ s(f ; P ) ≤ S(f ; P ) ≤ M(b P − a), sea cual fuere la partici´on P . Adem´as S(f ; P ) − s(f ; P ) = ni=1 ωi (ti − ti−1 ). Cuando en el contexto est´e claro qui´en es f , se puede escribir simplemente s(P ) y S(P ) en vez de s(f ; P ) y S(f ; P ), respectivamente.

a t1

t2 t3

t4

b

a t1

t2 t3

t4

b

Fig. 9 - La suma inferior y la suma superior En el caso en que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], los n´ umeros s(f ; P ) y S(f ; P ) son valores aproximados, por defecto y por exceso respectivamente, del ´area de la regi´on limitada por el gr´afico de f , el intervalo [a, b] en el eje de abcisas y las perpendiculares a dicho eje en los puntos a y b. Cuando f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b], esas sumas son aproximadamente de dicha ´area con el signo invertido.

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Secci´ on 2

Integral de Riemann

139

La integral superior y la integral inferior de una funci´on acotada f : [a, b] → R se definen, respectivamente, como Z

b

f (x)dx = sup s(f ; P ) ,

a

P

Z

b

f (x)dx = ´ınf S(f ; P ) ,

a

P

donde el sup y el ´ınf se toman en el conjunto de todas las particiones P del intervalo [a, b]. Teorema 1. Cuando se refina una partici` on, la suma inferior no disminuye y la suma superior no aumenta. O sea: P ⊂ Q ⇒ s(f ; P ) ≤ s(f ; Q) y S(f ; Q) ≤ S(f ; P ). Demostraci´ on: Supongamos inicialmente que la partici`on Q = P ∪ {r} resulte al a˜ nadir a P un u ´ nico punto r y que, por ejemplo, ′ ′′ tj−1 < r < tj . Sean m y m los ´ınfimos de f en los intervalos [tj−1 , r] y [r, tj ], respectivamente. Evidentemente, mj ≤ m′ , mj ≤ m′′ y tj − tj−1 = (tj − r) + (r − tj−1 ). Por tanto s(f ; P ) − S(f ; P ) = m′′ (tj − r) + m′ (r − tj−1 ) − mj (tj − tj−1 ) = (m′′ − mj )(tj − r) + (m′ − mj )(r − tj−1 ) ≥ 0 . Para obtener el resultado en el caso general, donde Q se obtiene al a˜ nadir a P k puntos, se usa k veces lo que acabamos de probar. An´alogamente, se tiene P ⊂ Q ⇒ S(f ; Q) ≤ S(f ; P ). Corolario 1. Para cualesquiera particiones P, Q del intervalo [a, b] y cualquier funci´on acotada f : [a, b] → R se tiene s(f ; P ) ≤ S(f ; Q). En efecto, la partici`on P ∪ Q refina simult`aneamente P y Q, lugeo s(f ; P ) ≤ s(f ; P ∪ Q) ≤ S(f ; P ∪ Q) ≤ S(f ; Q). Corolario 2. Dada f : [a, b] → R, si m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces: m(b − a) ≤

Z

b a

f (x)dx ≤

Z

b a

f (x)dx ≤ M(b − a) .

En efecto, las desigualdades de los extremos son obvias, la central resulta del Corolario y del Lema 1.

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140

La integral de Riemann

Cap. 10

Corolario 3. Sea P0 una partici`on de [a, b]. Si consideremos las sumas s(f ; P ) y S(f ; P ) relativas exclusivamente a las particiones Rb P que refinan P0 , obtendremos los mismos valores de a f (x)dx y Rb de a f (x)dx. En efecto, es suficiente combinar el Teorema 1 y el Lema 4.

Una funci´on acotada f : [, b] → R se dice integrable cuando su integral inferior y su integral superior son iguales. Este un R b valor com` se llama integral (de Riemann) de f , y se denota a f (x)dx. Rb En el s´ımbolo a f (x)dx, x es lo que se denomina “variable muRb Rb Rb da”, esto es, a f (x)dx = a f (y)dy = a f (t)dt, etc. Rb A veces se prefiere usar la notaci`on m`as simple a f . La raz´on para usar la notaci`on m`as complicada se ver´a en el Teorema 2, Cap´ıtulo 11.

Rb Cuando f es integrable, su integral a f (x)dx es el n` umero real cuyas aproximaciones por defecto son las sumas inferiores s(f ; P ) y cuyas aproximaciones por exceso son las sumas superiores S(f ; P ). El Teorema 1 afirma que estas aproximaciones mejoran cuando se refina la partici`on P . Geom`etricamente, cuando f (x) ≥ 0 para todo Rb x ∈ [a, b], la existencia de a f (x)dx significa que la regi´on limitada por el gr´afico de f , el segmento [a, b] en eje de abcisas y las perpendiculares a dicho eje en los puntos a y b es medible (esto es, posee ´area), y el valo de la integral es, por definici´on, el ´area de esta Rb regi´on. En el caso general, se tienen el ´area externa a f (x)dx y el Rb ´area interna a f (x)dx, que pueden ser diferentes, como veremos a continuaci´on. Ejemplo 1. Sea f : [a, b] → R, definida mediante f (x) = 0 si x es racional y f (x) = 1 si x es irracional. Dada una partici´on cualquiera P , como cada intervalo [ti−1 , ti ] contiene n´ umeros racionales e irracionales, tenemos mi = 0 y Mi = 1, luego s(f ; P ) = 0 Rb y S(f ; P ) = b − a. As´ı, f no es integrable, pues a f (x)dx = 0 y Rb f (x) = dx = 1. a Ejemplo 2. Sea f : [a, b] → R constante, f (x) = c para todo x ∈ [a, b]. Entonces, sea cual fuere la partici´on P , tenemos mi = Mi = c

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Secci´ on 3

Propiedades de la integral

141

en todos los intervalos de la partici´on, luego s(f ; P ) = S(f ; P ) = Rb Rb Rb c(b − a). As´ı, f es integrable y a f (x)dx = a f (x) = a f (x)dx = c(b − a). Teorema 2. (Condici´ on inmediata de integrabilidad) Sea f : [a, b] → R acotada. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) f es integrable. (2) Para todo ε > 0, existen particiones P, Q de [a, b] tales que S(f, Q) − s(f, P ) < ε. (3) Para todo ε > 0, existe una P partici´on P = {t0 , . . . , tn } de [a, b] tal que S(f ; P ) − s(f ; P ) = ni=1 ωi (ti − ti−1 ) < ε.

Demostraci´ on: Sean A el conjunto de las sumas inferiores y B el conjunto de las sumas superiores de f . Por el Corolario 1 del Teorema 1, se tiene s ≤ S para toda s ∈ A y toda S ∈ B. Suponiendo (1), entonces sup A = ´ınf B. Luego, por el Lema 1, (1) ⇒ (2). Para probar que (2) ⇒ (3) basta observar que si S(f ; Q) − s(f ; P ) < ε entonces, como la partici´on P0 = P ∪ Q refina ambas, del Teorema 1 se sigue que s(f ; P ) ≤ s(f ; P0 ) ≤ S(f ; P0 ) ≤ S(f, Q), de donde se sigue que S(f ; P0) − s(f ; P0 ) < ε. Finalmente, (3) ⇒ (1) por el Lema 1.

Ejemplo 3. Sea f : [a, b] → R, definida como f (x) = c cuando a < Rb x ≤ b y f (a) = A. Afirmamos que f es integrable y que a f (x)dx = c(b − a). Para fijar ideas, supongamos que c < A. Entonces, dada cualquier partici´on P = {t0 , t1 , . . . , tn } tenemos m1 = c, M1 = A y mi = Mi = c para 1 < i ≤ n. Por tanto, S(f ; P ) − s(f ; P ) = (A − c)(t1 − t0 ). Dado cualquier ε > 0, tomamos una partici´on P tal que t1 −t0 < ε/(A−c), y obtenemos S(f ; P ) −s(f ; P ) < ε. Luego f es integrable. Adem´as, como s(f ; P ) = c(b − a) para toda partici´on Rb P , tenemos a f (x)dx = c(b − a). Finalmente, como f es integrable, Rb Rb resulta a f (x)dx = a f (x)dx = c(b − a). Evidentemente, se tiene un resultado an´alogo cuando f (x) = c para x ∈ [a, b). 3. Propiedades de la integral Teorema 3. Sean a < c < b. Una funci´ on acotada f : [a, b] → R es integrable si, y s´olo si, sus restricciones f |[a,c] y f |[c,b] son

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142

La integral de Riemann

Cap. 10

integrables. En caso afirmativo, se tiene Rb f (x)dx. c

Rb a

f (x)dx =

Rc a

f (x)dx +

Demostraci´ on: Sean A y B, respectivamente, los conjuntos de las sumas inferiores de f |[a,c] y f |[c,b]. Es f´acil ver que A + B es el conjunto de las sumas inferiores de f relativas a las particiones de [a, b] que contienen al punto c. Por el Corolario 3 del Teorema 1, para calcular la integral inferior de f basta considerar las particiones de este tipo, pues estas son las que refinan P0 = {a, c, b}. Por el Lema Rc Rb Rb 2, a f (x)dx = sup(A+B) = sup A+sup B = a f (x)dx+ c f (x)dx. Rb An´alogamente se demuestra que a f (x)dx = sup(A+ B) = sup A+ Rc Rb sup B = a f (x)dx + c f (x)dx. Luego Z Z Z Z ! Z Z ! b

a

b

f−

c

f=

a

a

c

f−

b

f

a

+

c

b

f−

f

.

c

Como las dos restas dentro de los par´entesis son ≥ 0, su suma es cero si, y s´olo si, ambas son nulas. As´ı, f es integrable si, y s´olo si, sus restricciones f |[a,c] y f |[c,b] lo son. En el caso afirmativo, se tiene Rb Rc Rb la igualdad a f = a f + c f .

Ejemplo 4. Se dice que f : [a, b] → R es una funci´ on escalonada cuando existe una partici´on P = {t0 , t1 , . . . , tn } de [a, b] y n´ umeros reales c1 , . . . , cn tales que f (x) = ci cuando ti−1 < x < ti . (Observe que no se exige nada a los valores f (ti )). Del Teorema 3 y del Ejemplo 3 se P sigue que toda funci´on escalonada es integrable y que Rb f (x)dx = ni=1 ci (ti − ti−1 ). a Rb Rc Rb Convenio: La igualdad a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx tiene sentido exclusivamente cuando a < c < b. Para que sea v´alida, se cuales fueren a, b,R c ∈ R, de aqu´ı en adelante R b adoptaremos R ados cona venios: Primero a f (x)dx = 0. Segundo a f (x)dx = − b f (x)dx. Aceptado esto, es v´alida para toda funci´on integrable la igualdad anterior. Para verificar esto hasy seis casos a considerar: a ≤ b ≤ c, a ≤ c ≤ b, b ≤ a ≤ c, b ≤ c ≤ a, c ≤ a ≤ b y c ≤ b ≤ a. Basta en cada caso admitir la integrabilidad de f en el mayor de los intervalos. Teorema 4. Sean f, g : [a, b] → R integrables. Entonces:

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Secci´ on 3

Propiedades de la integral

143

(1) La suma f + g es integrable y Z

b

[f (x) + g(x)]dx =

a

b

Z

f (x)dx +

a

b

Z

g(x)dx .

a

(2) El producto f · g es integrable. Si c ∈ R, Rb f (x)dx. a

Rb a

c · f (x)dx = c ·

(3) Si 0 < k ≤ |g(x)| para todo x ∈ [a, b], entonces el cociente f /g es integrable. Rb (4) Si f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces a f (x)dx ≤ Rb g(x)dx. a R R b b (5) |f | es integrable y a f (x)dx ≤ a |f (x)|dx.

Demostraci´ on: Dada cualquier partici´on P de [a, b], denotamos ′ ′′ por mi , mi y mi los ´ınfimos de f, g y f + g en el i-´esimo intervalo de P , respectivamente. Del Corolario del Lema 2 se deduce R b que, ′ ′′ mi + mi ≤ mi , luego s(f ; P ) + s(g; P ) ≤ s(f + g; P ) ≤ a (f + g) para toda partici´on P . Si tomamos dos particiones P y Q tambi´en tendremos: Z b s(f ; P ) + s(g; Q) ≤ s(f ; P ∪ Q) + s(g; P ∪ Q) ≤ f +g, a

por consiguiente, Z

b

f+

a

Z

b

g = sup s(f ; P ) + sup s(g; Q) P

a

Q

= sup[s(f ; P ) + s(g; Q)] ≤ P,Q

b

Z

(f + g) .

a

Esto prueba la primera de las desigualdades que vienen a continuaci´on; la tercera se demuestra de forma an´aloga y la segunda es obvia: Z

b

f+ a

Z

b a

g≤

Z

b a

(f + g) ≤

Z

a

b

(f + g) ≤

Z

b

f+

a

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Z

a

b

g.

144

La integral de Riemann

Cap. 10

Cuando f y g son integrales las tres desigualdades se convierten en igualdades, lo que prueba (1). (2) Sea K tal que |f (x)| ≤ K y |g(x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b]. Dada una partici´on P sean, respectivamente, ωi′ , ωi′′ y ωi las oscilaciones de f, g y f · g en el i-´esimo intervalo [ti−1 , ti ]. Tenemos: |f (y) · g(y) − f (x) · g(x)| = |(f (y) − f (x))g(y) + f (x)(g(y) − g(x))| ≤ |f (y) − f (x)||g(y)| + |f (x)||g(y) − g(x)| ≤ K|ωi′ + ωi′′ | . P P P De donde ωi (ti − ti−1 ) ≤ K[ ωi′ (ti − ti−1 ) + ωi′′ (ti − ti−1 )]. Por el Teorema 2, la integrabilidad de f · g es consecuencia de la integrabilidad de f y g. Con respecto a c · f , su integrabilidad resulta de lo que acabamos de probar. Adem´as, si c ≥ 0, tenemos s(cf ; P ) = c · s(f ; P ) para cualquier partici´on P , de donde, por el Lema 2, Z b Z b Z b Z b cf = =c· f =c f. a

a

a

a

Rb Rb Cuando c < 0, tenemos s(cf ; P ) = cS(f ; P ), luego a cf = a cf = Rb Rb c a f = c a f. (3) Como f /g = f · (1/g), basta probar que si g es integrable y 0 < k ≤ |g(x)| para todo x ∈ [a, b] entonces 1/g tambi´en es integrable. Indicamos mediante ωi y ωi′ , respectivamente, las oscilaciones de g y 1/g en el i-´esimo intervalo ε > 0, podemos P de la partici´on P . Dado 2 tomar P de forma que ωi (ti − ti−1 ) < ε · K . Para cualesquiera x, y en el i-´esimo intervalo de P se tiene: 1 |g(x) − g(y)| 1 ωi = − ≤ , g(y) g(x) |g(y)g(x)| K2 P ′ por tanto ωi′ < ωi /K 2 . As´ı ωi (ti − ti−1 ) < ε, luego 1/g es integrable. (4) Si f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces s(f ; P ) ≤ s(g; P ) Rb y S(f ; P ) ≤ S(g; P ) para toda partici´on P , de donde a f (x)dx ≤ Rb g(x)dx. a (5) La desigualdad evidente ||f (y)|−|f (x)|| ≤ |f (y)−f (x)| demuestra que la oscilaci´on de |f | en cualquier conjunto no supera la de f . Luego, f integrable ⇒ |f | integrable. Adem´as, como −|f (x)| ≤

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Secci´ on 4

Condiciones suficientes para la integrabilidad

145

Rb f (x) ≤ |f (x)| para todo x ∈ [a, b], de (4) resulta que − |f (x)|dx ≤ a R R Rb Rb b b f (x)dx ≤ a |f (x)|dx, o sea, a f (x)dx ≤ a |f (x)|dx. a Corolario 1. Si f : [a, b] → R es integrable y |f (x)| ≤ K para R b todo x ∈ [a, b] entonces a f (x)dx ≤ K(b − a).

Observaci´ on: Si una funci´on integrable f : [a, b] → R es tal que Rb f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] entonces a f (x)dx ≥ 0. Esto es consecuencia del apartado (4) del teorema anterior. Sin embargo, Rb es posible que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] y a f (x)dx = 0 sin que f se id´enticamente nula. Basta tomar f (x) = 1 en un conjunto finito de puntos de [a, b] y f (x) = 0 en los dem´as puntos de [a, b]. Por el Ejemplo 4, f es integrable y su integral es nula. No obstante, si f es continua y f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] Rb entonces a f (x)dx = 0 implica que f es id´enticamente nula. En efecto, si hubiese alg´ un punto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = c > 0 entonces existir´ıa un intervalo [α, β], donde x0 ∈ [α, β] ⊂ [a, b], tal que f (x) > c/2 para todo x ∈ [α, β]. Entonces, como f (x) ≥ 0, Rb Rβ tendr´ıamos a f (x)dx ≥ α f (x)dx > 2c (β − α) > 0, lo que es absurdo. 4. Condiciones suficientes para la integrabilidad Teorema 5. Toda funci´on continua f : [a, b] → R es integrable. Demostraci´ on: Dado ε > 0, por la continuidad uniforme de f en el compacto [a, b]. existe δ > 0 tal que x, y ∈ [a, b], |y − x| < δ implican |f (y) − f (x)| < ε/(b − a). Sea P una partici´on de [a, b] tal que rodos sus intervalos tienen longitud < δ. En cada intervalo [ti−1 , ti ] de P existen xi , yi tales que mi = P f (xi ) y Mi = f (yi ), de donde ωi = f (yi ) − f (xi ) < ε/(b − a). As´ı, ωi (ti − ti−1 ) < ε. Por el Teorema 2, f es integrable. Teorema 6. Toda funci´on mon´ otona f : [a, b] → R es integrable. Demostraci´ on: Para fijar ideas, sea f creciente. Dado ε > 0, sea P = {t0 , t1 , . . . , tn } una partici´on de [a, b] tal que todos sus intervalos tienen longitud < ε/(f (b) − f (a)). Para cada i = 1, . . . , n

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146

La integral de Riemann

tenemos ωi = f (ti ) − f (ti−1 ), por tanto X

Cap. 10

P

ωi = f (b) − f (a) y

X ε · ωi f (b) − f (a) X ε = [f (ti ) − f (ti−1 )] = ε . f (b) − f (a)

ωi (ti − ti−1 ) =

Luego f es integrable. Las consideracoines que siguen son una preparaci´on para el Teorema 7, que engloba a los Teoremas 5 y 6 como casos particulares. Si a < b, denotaremos mediante |J| = b−a la longitud del intervalo (abierto, cerrado o semiabierto) I cuyos extremos son a y b. Se dice que el conjunto X tiene medida nula cuando, dado cualquier ε > 0,Sexiste un recubrimiento numerable (finito o infinito) de X, X ⊂ Ik , cuyos elementosPson intervalos abiertos Ik tales que la suma de sus longitudes es |Jk | < ε.

Ejemplo 5. Todo conjunto numerable X = {x1 , . . . , xk , . . .} tiene medida nula. En efecto, dado cualquier ε > 0, sea Jk el intervalo S abierto centrado en xk de longitud ε/2k+1. Entonces X ⊂ Ik y P |Ik | = ε/2 < ε. En particular, el conjunto Q de los n´ umeros racionales tiene medida nula. Teorema 7. Si el conjunto D de los puntos de discontinuidad de una funci´on acotada f : [a, b] → R tiene medida nula entonces f es integrable. Demostraci´ S on:PDado ε > 0, existen intervalos I1 , . . . , Ik , . . . tales que D ⊂ Ik y |Jk | < ε/2K, donde K = M − m es la oscilaci´on de f en [a, b]. Para cada x ∈ [a, b] − D, sea Jx un intervalo abierto centrado en x donde la oscilaci´on de f es menor que ε/2(b − a). Por S el Teorema S de Borel-Lebesgue, el recubrimiento abierto [a, b] ⊂ ( k Ik ) ∪ ( x Jx ) posee un subcubrimiento finito [a, b] ⊂ I1 ∪ · · · ∪ Im ∪ Jx1 ∪ · · · ∪ Jxn . Sea P la partici´on de [a, b] formada oir los puntos a, b y los extremos de estos m + n intervalos que pertenecen a [a, b]. Indicaremos mediante [tα−1 , tα ] los intervalos de P que est´an contenidos enP alg´ un Ik y mediante [tβ−1 , tβ ] los dem´as intervalos de P . Entonces (tα − tα−1 ) < ε/2K y la oscilaci´on de f en cada

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Secci´ on 4

Condiciones suficientes para la integrabilidad

147

intervalo [tβ−1 , tβ ] es ωβ < ε/2(b − a). Luego X X S(f ; P ) − s(f ; P ) = ωα (tα − tα−1 ) + ωβ (tβ − tβ−1 ) X X ε(tβ − tβ−1 ) < K(tα − tα−1 ) + 2(b − a) ε ε(b − a) < K + = ε. 2K 2(b − a) Luego f es integrable. Observaci´ on: Se puede demostrar que el rec´ıproco del Teorema 7 es verdadero, o sea, que el conjunto de puntos de discontinuidad de una funci´on integrable tiene medida nula (cfr. “Curso de An´alisis Matem´atico, vol 1”.) Ejemplo 6. El conjunto de Cantor K (secci´on 5 del Cap´ıtulo 5), tiene medida nula, aunque no es numerable. En efecto, si paramos en la n-´esima etapa de su construcci´on, vemos que el conjunto de Cantor est´a contenido en la uni´on de 2n intervalos, cada uno de longitud 1/3n . Dado ε > 0 podemos tomar n ∈ N tal que (2/3)n < ε, as´ı concluimos que la medida de K es cero. Podemos considerar la funci´on f : [0, 1] → R, definida mediante f (x) = 0 si x ∈ K y f (x) = 1 si x ∈ / K. Como [0, 1] − K es abierto, la funci´on f es localmente constante, por tanto continua en los puntos x ∈ / K. Como K no posee puntos interiores, f es discontinua en todos los puntos de K. Por el Teorema 7, f es integrable. Dada cualquier partici´on P de [0, 1], todos los intervalos de P contienen puntos que no pertenecen a K, pues int K = ∅. As´ı, Mi = 1 y S(f ; P ) = 1 R1 R1 para toda partici´on P . De donde 0 f (x)dxd = 0 f (x)dx = 1.

Ejemplo 7. Si a < b el intervalo [a, b] no tiene mediada nula. Para probar esto recordemos que la funci´ on caracter´ıstica de un conjunto X ⊂ [c, d] es la funci´on ξX (x) = 1 si x ∈ X y ξX (x) = 0 si xP∈ / X. Es f´acil ver que si X ⊂ X1 ∪ · · · ∪ Xk ⊂ [c, d], entonces ξX ≤ ki=1 ξXi . Supongamos que [a, b] ⊂ I1 ∪· · ·∪Ik ⊂ [c, d]. dondew c es el menor y d el mayor extremo de los intervalos Ij . Para simplificar escribamos Pk ξ = ξ[a,b] y ξj = ξIj . Entonces ξ ≤ ξj : [c, d] → R, luego Rd Pk Pk j=1 b − a = c ξ(x)dx ≤ j=1 ξj (x)dx = j=1 |Ij |. As´ı, la suma de las longitudes de cualquier colecci´on finita de intervalos abiertos cuya uni´on contiene [a, b] es, como m´ınimo, b − a. De donde resulta que

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148

F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada

Cap. 10

[a, b] no tiene medidaSnula. En efecto, por el Teorema de BorelLebesgue, si [a, b] ⊂ ∞ j=1 Ij entonces [a, b] ⊂ J1 ∪ · · · ∪ Jk para alg´ un k ∈ N. 5. Ejercicios Secci´on 1: Integral de Riemann 1. Defina f : [0, 1] → R como f (0) = 0 y f (x) = 1/2n si 1/2n+1 < x ≤ 1/2n , n ∈ N ∪ {0}. Pruebe que f es integrable R1 y calcule 0 f (x)dx. 2. Sea f : [−a,Ra] → R integrable. Si f es una funci´on impar, a pruebe que −a f (x)dx = 0. Si, por el contrario, f es par Ra Ra pruebe entonces que −a f (x)dx = 2 0 f (x)dx.

3. Sea f : [a, b] → R definida como f (x) = 0 si x es irracional y f (x) = 1/q si x = p/q es una fracci´on irreducible con q > 0. (Haga f (0) = 1 su 0 ∈ [a, b]). Pruebe que f es continua exclusivamente en los puntos irracionales de [a, b], que f es Rb integrable y que a f (x)dx = 0.

4. Sea f : [a, b] → R una funci´on integrable, tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Pruebe que si f es continua en el punto Rb c ∈ [a, b] y f (c) > 0, entonces a f (x)dx > 0. 5. Sea f : [a, b] → R definida como f (x) = x cuando x es racional y f (x) = x + 1 cuando x es irracional. Calcule las integrales superior e inferior de f . Use una funci´on integrable g : [a, b] → R en vez de x, y defina ϕ(x) = g(x) si x es racional y ϕ(x) = g(x) + 1 si x es irracional. Calcule las integrales (inferior y superior) de ϕ en funci´on de la integral de g. Secci´on 2: Propiedades de la integral 1. Sea f : [a, b] → R integrable. PruebeR que la funci´on F : x [a, b] → R, definida mediante F (x) = a f (t)dt, es lipschitziana. 2. Pruebe que si f, g : [a, b] → R son integrables entonces tambi´en lo son las funciones ϕ, ψ : [a, b] → R, definidas como

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Secci´ on 5

Ejercicios

149

ϕ(x) = m´ax{f (x).g(x)} y ψ(x) = m´ın{f (x), g(x)}. Deduzca que las funciones f+ , f− : [a, b] → R dadas por f+ (x) = 0 si f (x) ≤ 0, f+ (x) = f (x) si f (x) ≥ 0; f− (x) = 0 si f (x) ≥ 0, f− (x) = f (x) si f (x) ≤ 0, son integrables (suponiendo que f lo sea). 3. Pruebe que si f, g : [a, b] → R son continuas entonces: Z

a

b

2 Z b Z b 2 f (x)g(x)dx ≤ f (x) dx g(x)2 dx , a

a

(Desigualdad de Schwarz.) Secci´on 3: Condiciones suficientes de integrabilidad 1. Pruebe que la funci´on f del Ejercicio 1.3 es integrable. 2. Pruebe que el conjunto de los puntos de discontinuidad de una funci´on mon´otona es numerable. Concluya que el Teorema 6 es consecuencia del Teorema 7. 3. Sea D el conjunto de los puntos de discontinuidad de una funci´on acotada f : [a, b] → R. Si D ′ (el conjunto de los puntos de acumulaci´on de D) es numerable pruebe entonces que f es integrable. 4. Una funci´on acotada f : [a, b] → R, que se anula fuera de un conjunto de medida nula, puede no ser integrable. En estas condiciones, y suponiendo que f es integrable, pruebe que su integral es igual a cero. 5. Se dice que un conjunto X ⊂ R tiene contenido nulo cuando, para todo ε > 0, existe un recubrimiento finitoP X, X ⊂ I1 ∪ · · ·∪Ik , formado por intervalos abiertos tal que kj=1 |Ij | < ε. Pruebe que: (a) Si X tiene contenido nulo lo mismo sucede con su cierre X. (b) Existen conjuntos de medida nula que no tienen contenido nulo. (c) Un conjunto compacto tiene medida nula si, y s´olo si, tiene contenido nulo.

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150

F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada

Cap. 10

(d) Sea g : [a, b] → R una funci´on acotada que coincide con una funci´on integrable f : [a, b] → R excepto en un conjunto de contenido nulo. Pruebe que g es integrable y que su integral es igual a la de f . 6. Si un conjunto X ⊂ [a, b] no tiene medida nula pruebe entonces que existe ε > 0 tal que, para toda partici´on P de [a, b], la suma de los intervalos de P que contienen puntos de X en su interior es mayor que ε. 7. Sea ϕ : [a, b] → R una funci´on positiva (esto es, ϕ(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]). Entonces existe α > 0 tal que el conjunto X = {x ∈ [a, b] : ϕ(x) ≥ α} no tiene medida nula. 8. Si la funci´on ϕ : [a, b] → R es positiva e integrable, entonRb ces a ϕ(x)dx > 0. Concluya que si f, g : [a, b] → R son integrables y f (x) < g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces Rb Rb f (x)dx < a g(x)dx. a

9. Sea p : [a, b] → R integrable, tal que p(x) ≥ 0 para todo Rb x ∈ [a, b]. Pruebe que si a p(x)dx = 0, entonces el conjunto formado por los puntos x ∈ [a, b] tales que p(x) = 0 es denso en [a, b]. Si f : [a, b] → R es una funci´on integrable cualquiera que se anula en un conjunto denso en [a, b], pruebe que Rb f (x)dx = 0. a

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11 C´ alculo con integrales Este cap´ıtulo es continuaci´on del anterior. En aqu´el se defini´o la integral y se establecieron condiciones generales que aseguraban la integrabilidad de una funci´on. Es ´este se probar´an las reglas para el uso eficaz de las integrales, entre ´estas el llamdo Teorema Fundamental del C´alculo, un movido camino de ida y vuelta que relaciona derivadas e integrales. Tambi´en usaremos la integral para dar las definiciones precisas de logaritmo y exponencial. El cap´ıtulo termina con una breve discusi´on sobre integrales impropias. 1. Teoremas cl´ asicos del C´ alculo Integral Para comenzar estableceremos la conexi´on entre derivada e integral. Teorema 1. (Teorema Fundamental del C´ alculo). Sea f : I → R continua en el intervalo I. Las siguientes afirmaciones sobre la funci´on F : I → R son equivalentes: (1) F es una integral R x indefinida de f , esto es, existe a ∈ I tal que F (x) = F (a) + a f (t)dt para todo x ∈ I.

(2) F es una primitica de f , esto es, F ′ (x) = f (x) para todo x ∈ I. Demostraci´ on: (1) ⇒ (2) Si x0 , x0 + h ∈ I entonces F (x0 + h) − R x0 +h R x +h F (x0 ) = x0 f (t)dt y h · f (x0 ) = x00 f (x0 )dt, por tanto: Z F (x0 + h) − F (x0 ) 1 x0 +h − f (x0 ) = [f (t) − f (x0 )]dt . h h x0 151

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152

C´ alculo con integrales

Cap. 11

Dado ε > 0, por la continuidad de f en el punto x0 , existe δ > 0 tal que t ∈ I, |t − x0 | < δ implican |f (t) − f (x0 )| < ε. Entonces, 0 < |h| < δ, x0 + h ∈ I implican: Z F (x0 + h) − F (x0 ) 1 x0 +h − f (x0 ) ≤ |f (t) − f (x0 )|dt h h x0 1 |h| · ε = ε . < |h| Lo que demuestra que F ′ (x0 ) = f (x0 ). (2) ⇒ (1) Sea F ′ = fR. Como acabamos de ver, si fijamos a ∈ I x y definimos ϕ(x) = 0 f (t)dt, tendremos ϕ′ = f . Las dos funciones F, ϕ : I → R tiene la misma derivada, luego difieren en una constante. Como ϕ(a) = 0, esta constanteRes F (a). Por tanto x F (x) = F (a) + ϕ(x), esto es, F (x) = F (a) + a f (t)dt para todo x ∈ I. Comentarios. (1) Acabamos de probar que toda funci´on continua posee una primitiva. De forma m´as precisa: si f : [a, b] → R x R es integrable, entonces F : [a, b] → R, definida como F (x) = a f (t)dt, es derivable en todo punto x0 donde f es continua, y se tiene F ′ (x0 ) = f (x0 ). En dicho punto tambi´en es derivable la funci´on G : [a, b] → R Rb dada por G(x) = x f (t)dt, y se tiene G′ (x0 ) = −f (x0 ). En efecto, Rb F (x) + G(x) = a f (t)dt =constante, luego F ′ (x0 ) + G′ (x0 ) = 0.

1 (2) Tambi´en hemos probado que si F : [a, b] → R es de clase R x C′ (esto es, tiene derivada continua) entonces F (x) = F (a) + a F (t)dt. Rb En particular, F (b) = F (a) + a F ′ (t)dt. Esto reduce el c´alculo de Rb la integral a f (x)dx a encontrar una primitiva de f . Si F ′ = f , Rb entonces a f (x)dx = F (b) − F (a).

Teorema 2. (Cambio de variables) Sean f : [a, b] → R continua, g : [c, d] → R con derivada integrable y g([c, d]) ⊂ [a, b]. Entonces Z g(d) Z d f (x)dx = f (g(t))g ′(t)dt . g(c)

c

Demostraci´ on: Por el Teorema 1, f posee una primitiva F : R g(d) [a, b] → R y se tiene g(c) f (x)dx = F (g(d)) − F (g(c)). Por otra parte, la regla de la cadena nos da (F ◦ g)′(t) = F ′ (g(t))g ′(t) =

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Secci´ on 1

Teoremas cl´ asicos del C´ alculo Integral

153

f (g(t))g ′(t) para todo t ∈ [a, b]. Luego F ◦ g : [c, d] → R es una primitiva de la funci´on integrable t → f (g(t))g ′(t). Por tanto Rd f (g(t))g ′(t)dt = F (g(d))−F (g(c)), lo que prueba el teorema. c

Observaci´ on: El R b Teorema 2 nos daR buna buena justificaci´on para usar la notaci´on a f (x)dx en vez de a f . Para cambiar de variables R g(d) en g(c) f (x)dx, se toma x = g(t). La diferencial de x ser´a dx = g ′ (x)dx. Estas substituciones nos dan Z

g(d)

f (x)dx = g(c)

Z

d

f (g(x))g ′(x)dx . c

El cambio de los l´ımites de integraci´on es natural:; cuando t var´ıa entre c y d, x = g(t) lo hace entre g(c) y g(d). Es tradicional en el c´alculo la notaci´on F |ba = F (b) − F (a). Teorema 3. (Integraci´ on por partes) Si f, g : [a, b] → R tienen derivadas integrables entonces: Z b Z b ′ b f (x) · g (x)dx = f · g|a − f ′ (x)g(x)dx . a

a

Demostraci´ on: Es suficiente observar que f · g es una primitiva de f · g ′ + f ′ · g e integrar la suma usando el Teorema Fundamental del C´alculo. Teorema 4. (F´ ormula del Valor Medio para integrales). Sean f, p : [a, b] → R, f continua y p integrable con p(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Entonces existe un n´ umero c ∈ (a, b) tal que Rb Rb f (x)p(x)dx = f (c) · a p(x)dx. a

Demostraci´ on: Para todo x ∈ [a, b], tenemos m ≤ f (x) ≤ M, donde m es el ´ınfimo y M el supremo de f en [a, b]. Como p(x) ≥ 0 se tiene m · p(x) ≤ f (x) · p(x) ≤ M · p(x) para todo x ∈ [a, b]. Rb Sea A = a p(x)dx, De las desigualdades anteriores resulta m · Rb A ≤ a f (x)p(x)dx ≤ M · A. Luego existe d ∈ [m, M] tal qu Rb f (x)p(x)dxd · A. Como f es continua, tenemos d = f (c) para a alg´ un c ∈ (a, b), lo que prueba el teorema. Corolario 1. Sea f : [a, b] → R continua. Entonces existe c ∈ (a, b) Rb tal que a f (x)dx = f (c) · (b − a).

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154

C´ alculo con integrales

Cap. 11

Lema 5. Si ϕ : [0, 1] → R tiene derivada de orden n integrable, entonces: ϕ(1) =

n−1 (i) X ϕ (0)

i!

i=0

+

Z

1

0

(1 − t)n−1 (n) ϕ (t)dt . (n − 1)!

Demostraci´ on: Si n = 1, esta f´ormula se reduce a ϕ(1) = ϕ(0) + R1 ′ ϕ (t)dt, v´alida por el Teorema Fundamental del C´alculo. Para 0 n = 2, la integraci´on por partes nos da Z 1 Z 1 ′′ ′ 1 (1 − t)ϕ (t)dt = (1 − t)ϕ (t)|0 + ϕ′ (t)dt 0

0

= −ϕ′ (0) + ϕ(1) − ϕ(0) ,

luego ′

ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ (0) +

Z

1

0

(1 − t)ϕ′′ (t)dt .

Para n = 3, de nuevo la integraci´on por partes nos da Z 1 1 Z 1 (1 − t)2 ′′′ (1 − t)2 ′′ ϕ (t)dt = · ϕ (t) + (1 − t)ϕ′′ (t)dt 2! 2! 0 0 0 ϕ′′ (0) = − + ϕ(1) − ϕ(0) − ϕ′ (0) , 2 luego ϕ′′ (0) ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ (0) + + 2! ′

Z

1 0

(1 − t)2 ′′ ϕ (t)dt . 2

El proceso inductivo est´a claro, as´ı el lema es v´alido para todo n. Teorema 5. (F´ ormula de Taylor con resto integral). Si f : I → R tiene derivada n-´esima integrable en el intervalo de extremos a, a + h entonces f (n−1) (a) n−1 f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h + · · · + h (n − 1)! Z 1  (1 − t)n−1 (n) f (a + th)dt · hn . + (n − 1)! 0

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Secci´ on 2

La integral como l´ımite de sumas de Riemann

155

Demostraci´ on: Definiendo ϕ : [0, 1] → R como ϕ(t) = f (a + th), se tiene ϕ(i) (0) = f (i) (a)hi . Ahora el Teorema 5 resultado del lema anterior. Corolario 1. (F´ ormula de Taylor con resto de Lagrange). Si f : I → R es de clase C n en el intervalo de extremos a, a + h ∈ I entonces existe θ ∈ (0, 1) tal que f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h + · · · +

f (n−1) (a) n−1 f (n) (a + θh) n h + h . (n − 1)! n!

En efecto, si llamamos A a la integral que aparece en el enunciado del Teorema 5, por el Teorema 4 existe θ ∈ (0, 1) tal que A=f

(n)

(a + θh)

Z

0

1

(1 − t)n−1 f (n) (a + θh) dt = . (n − 1)! n!

Observaci´ on: Esta demostraci´on es m´as natural que la que se di´o en el Teorema 2, Cap´ıtulo 9; sin embargo, se exige m´as a la funci´on f . 2. La integral como l´ımite de sumas de Riemann La norma de una partici´on P = {t0 , t1 , . . . , tn } ⊂ [a, b] es el n´ umero |P | = mayor longitud ti − ti−1 de los intervalos de P . Teorema 6. Sea f : [a, b] → R acotada. Para todo ε > 0, existe Rb δ > 0 tal que |P | < δ ⇒ S(f ; P ) ≤ a f (x)dx + ε.

Demostraci´ on: Supongamos inicialmente que f (x) ≥ 0 en [a, b]. Dado ε > 0 existe una partici´on P0 = {t0 , t1 , . . . , tn } de [a, b] tal Rb que S(f ; P0) < a f (x)dx + ε/2. Sea M = sup f . Tomemos δ tal que 0 < δ < ε/2Mn. Si P es una partici´on cualquiera de [a, b] tal que |P | < δ, indicaremos mediante [rα−1 , rα ] los intervalos de P que est´en contenidos en alg´ un [ti−1 , ti ] de P0 , y mediante [rβ−1 , rβ ] los restantes intervalos de P . Cada uno de estos contiene, al menos, un punto ti en su interior, luego hay como m´aximo n intervalos del tipo [rβ−1 , rβ ]. Escribiremos αP ⊂ i si [rα−1 , rα ] ⊂ [ti−1 , ti ]. Cuando α ⊂ i se tiene Mα ≤ Mi y α⊂i (rα − rα−1 ) ≤ ti − ti−1 . Estos

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156

C´ alculo con integrales

Cap. 11

P n´ umero son todos ≥ 0, luego α⊂i Mα (rα − rα−1 ) ≤ Mi (ti − ti−1 ) y Mβ (rβ − rβ−1 ) ≤ Mδ. Por tanto: X X S(f ; P ) = Mα (rα − rα−1 ) + Mβ (rβ − rβ−1 ) ≤

α n X i=1

β

Mi (ti − ti−1 ) + M · n · δ

< S(f ; P ) + ε/2 Z b < f (x)dx + ε . a

En el caso general, como f est´a acotada, existe una constante c tal que f (x) + c ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Tomando g(x) = f (x) + c, tenemos S(g; P ) = S(f ; P ) + c(b − a) y Z

a

b

g(x)dx =

Z

b

a

f (x)dx + c(b − a) ,

luego estamos en el caso anterior. Rb Rb Afirmar que S(f ; P ) < a f (x)dx+ε es equivalente a | a f (x)dx− Rb S(f ; P )| < ε, Luego el Teorema 6 significa que l´ım S(f ; P ) = a f (x)dx. |P |→0

De forma totalmente an´aloga se prueba que

Rb

a

f (x)dx = l´ım s(f ; P ). |P |→0

Una partici´on puntuada del intervalo [a, b] es un par P ∗ = (P, ξ) donde P = {t0 , . . . , tn } es una partici´on de [a, b] y ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) es una colecci´on de n n´ umeros escogidos de forma que ti−1 ≤ ξi ≤ ti para cada i = 1, . . . , n. Dada una funci´on acotada f : [a, b] → R y una partici´on puntuada P ∗ de [a, b], se define la suma de Riemann: n X X ∗ (f ; P ) = f (ξi )(ti − ti−1 ) . i=1

Evidentemente, sea cual fuere la forma en que se punt´ ue la partici´on P , se tiene X s(f ; P ) ≤ (f ; P ∗ ) ≤ S(f ; P ) .

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Secci´ on 3

Logaritmos y exponenciales

157

P Se dice que el n´ umero realX I es el l´ımite de (f ; P ∗) cuando |P | → 0, y se escribe I = l´ım (f ; P ∗ ), cuando, para todo ε > 0, |P |→0 P se puede escoger δ tal que | (f ; P ∗) − I| < ε sea cual fuere la partici´on puntuada P ∗ tal que |P | < delta. Teorema 7. Si f : [a, b] → R es integrable entonces X l´ım (f ; P ∗). |P |→0

Rb a

f (x)dx =

Demostraci´ on: Del Teorema 6 se sigue que si f es integrable, entonces Z b l´ım s(f ; P ) = l´ım S(f ; P ) = f (x)dx . |P |→0

|P |→0

a

P Como se tiene s(f ; P ) ≤ (f ; P ∗) ≤ S(f ; P ), es inmediato que Z b X l´ım (f ; P ∗) = f (x)dx. |P |→0

a

Observaci´ on: El rec´ıproco del Teorema 7 es verdadero, pero es menos interesante. (Vea “Curso de An´alisis Matem´atico”, vol. 1). 3. Logaritmos y exponenciales Sea a un n´ umero real mayor que 1. Se suele definir el logaritmo de un n´ umero real x en base a como el exponente y, y = loga x, tal y que a = x. O sea, la funci´on loga : R+ → R se suele definir como la inversa de la funci´on exponencial y → ay . Para esto se requiere el trabajo previo de establecer el significado y las propiedades de las potencias ay , donde y es un n´ umero real cualquiera, lo que se puede hacer rigurosamente. Sin embargo, nos parece m´as sencillo definir en primer lugar el logaritmo y, a partir de ´este, la exponencial, tal como haremos a continuaci´on. Definiremos la funci´on log : R+ → R, como Z x dt log x = , t 1 para cada x ∈ R+ .

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158

C´ alculo con integrales

Cap. 11

umero log R b El n´ R ax se llama logaritmo de x. Si recordamos que f (x)dx = − f (x)dx, vemos que log x < 0 si 0 < x < 1, a b log 1 = 0 y log x > 0 cuando x > 1. La funci´on logaritmo es mon´otona, estrictamente creciente y derivable; adem´as (log x)′ = 1/x, (log x)′′ (x) = −1/x2 , etc. Por tanto, log es derivable infinitas veces, esto es, log ∈ C ∞ . Tambi´en se puede ver que log es una funci´on c´oncava. Teorema 8. Para cualesquiera x, y ∈ R+ se tiene log(xy) = log x+ log y. R xy Rx R xy Demostraci´ o n: log(xy) = dt/t = dt/t + dt/t = log x + 1 1 x R xy dt/t. Cuando s var´ ıa entre 1 e y, el producto xs var´ ıaR entre x y x xy xy, de variable t = xs nos da dt = xds y x dt/t = R x luego el cambio Ry xds/xs = 1 ds/s = log y, lo que prueba el teorema. 1 Corolario 1. Para todo n´ umero racional r se tiene log(xr ) = r log x.

En efecto, del Teorema 8 se deduce log(xn ) = n log x cuando n ∈ N. De xn · x−n = 1 resulta 0 = log(xn · x−n ) = log(xn ) + log(x−n ) = n log x+ log(x−n ), de donde log(x−n ) = −n log x. Esto demuestra el corolario cuando r ∈ Z. En el caso general, r = p/q donde p, q ∈ Z, por definici´on (xp/q )q = xp , de aqu´ı, por lo que acabamos de probar, q log(xp/q ) = p log x, de donde log(xp/q ) = (p/q) log x. Corolario 2. log : R+ → R es sobreyectiva. Como log es continua, su imagen es un intervalo, por tanto basta demostrar que log no est´a acotada, ni superior ni inferiormente, lo que es consecuencia de las igualdades log(2n ) = n log 2 y log(2−n ) = −n log 2. Como log es una funci´on estrictamente creciente, entonces es una biyecci´on de R+ en R. Su inversa, exp : R → R+ , se llama funci´on exponencial. Por definici´on, exp(x) = y ⇔ log y = x, o sea log(exp(x)) = x y exp(log y) = y. Existe un u ´ nico n´ umero real cuyo logaritmo es igual a 1. Este se denota con el s´ımbolo e. En breve demostraremos que e coincide con el n´ umero introducido en los Ejemplos 12 y 13 del Cap´ıtulo 3. De momento, su definici´on es e = exp(1).

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Secci´ on 3

Logaritmos y exponenciales

159

Teorema 9. La funci´on exponencial exp : R → R+ es una biyecci´on creciente de clase C ∞ , tal que (exp x)′ = exp(x) y exp(x+y) = exp(x)·exp(y) para cualesquiera x, y ∈ R. Adem´ as, para todo r ∈ Q se tiene exp(r) = er . Demostraci´ on: Por la regla de derivaci´on de la funci´on inversa, para cada x ∈ R, tal que exp(x) = y, se tiene (exp x)′ = 1/(log y)′ = y = exp(x). As´ı exp′ = exp, de donde exp ∈ C ∞ . Dados x, y ∈ R, sean x′ = exp x e y ′ = exp y, luego x = log x′ e y = log y ′. Entonces exp(x + y) = exp(log x′ + log y ′) = exp[log(x′ y ′ )] = exp(x) · exp(y). Si r es racional, el Corolario 1 del Teorema 8 nos da log(exp(r)) = r = r · 1 = r log(e) = log(er ); as´ı, por la inyectividad de log, exp(r) = er . La igualdad exp(r) = er , si r ∈ Q, junto con la relaci´on exp(x + y) = exp(x) · exp(y) nos indican que exp(x) se comparta como una potencia con base e y exponente x. Escribiremos entonces, por definici´on, ex = exp(x) para todo x ∈ R. Gracias a esto, pasa a tener significado la potencia ex para cualquier x real. Con esta notaci´on tenemos ex+y = ex · ey , e0 = 1 , x < y ⇔ ex < ey log(ex ) = x = elog x .

e−x = 1/ex ,

Tambi´en tenemos l´ım ex = +∞ y l´ım ex = 0, como se puede x→∞

x→−∞

ver f´acilmente. Por el Teorema del Valor Medio, para todo x > 1, existe c tal que 1 < c < x y log x = log x − log 1 = (log c)′ (x − 1) = (x − 1)/c. √ As´ı se tiene log x < x√para todo x ≥ 1. Como log x√ = 2 log x, tenemos 0 < log x < 2 √ x, de donde 0 < log x/x < 2/ x para todo x ≥ 1. Como l´ım (2/ x) = 0, se tiene que l´ım log x/x = 0, lo x→+∞

x→∞

que ya hab´ıa sido probado en el final del Cap´ıtulo 3 suponiendo que x = n ∈ N. Por otra parte, dado cualquier polinomio p(x), se tiene l´ım p(x)/ex = x→+∞

0. Para probar esto es suficiente considerar el caso p(x) = xk . Entonces escribimos ex/k = y, de donde x = k · log y. Evidentemente, x → +∞ si, y s´olo si, y → +∞.

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160

C´ alculo con integrales

Cap. 11

Por tanto

y as´ı

   x  log y l´ım = l´ım k =0, y→+∞ x→+∞ ex/k y

 x k xk l´ım = l´ım =0. x→+∞ ex x→+∞ ex/k Si c y k son constantes reales, la funci´on f (x) = c · ekx tiene derivada k · c · ekx = kf (x). Esta propiedad de ser la derivada de la funci´on f proporcional a s´ı misma es la causa de gran parte de las aplicaciones de la funci´on exponencial. Demostraremos que esta propiedad es exclusiva de las funciones de este tipo. Teorema 10. Sea f : I → R derivable en el intervalo I, con f ′ (x) = k · f (x). Si para alg´ un x0 ∈ I se tiene f (x0 ) = c, entonces f (x) = c · ek(x−x0 ) para todo x ∈ I. Demostraci´ on: Sea ϕ : I → R definida como ϕ(x) = f (x) · e−k(x−x0 ) . Entonces ϕ′ (x) = f ′ (x)e−k(x−x0 ) − kf (x)e−k(x−x0 ) = 0. Luego ϕ es constante. Como ϕ(x0 ) = c, se tiene ϕ(x) = c para todo x ∈ I, o sea, f (x) = c · ek(x−x0 ) . Como la derivada de la funci´on f (x) = ex tambi´en es f ′ (x) = ex , tenemos f ′ (0) = 1. Por tanto, de la definici´on de derivada se deduce que l´ım (ex − 1)/x = 1. x→0 Dados a > 0 y x ∈ R, definiremos la potencia ax de forma que sea v´alida la f´ormula log(ax ) = x log a. Para esto, tomaremos dicha igualdad como definici´on, o sea, diremos que ax es el (´ unico) n´ umero real cuyo logaritmo es igual a x · log a. En otras palabras, ax = ex log a . La funci´on f : R → R, definida como f (x) = ax , tiene las propiedades esperadas. √ La primera es que si x = p/q ∈ Q (donde√q > 0),√f (x) = q ap . En efecto, f (x) = exp((p/q) log a) = exp(log q ap ) = q ap . Se tiene ax+y = ax · ay , a0 = 1, a−x = 1/ax y (ax )y = axy . La funci´on f (x) = ax tiene derivada f ′ (x) = ax · log a, por tanto es de clase C ∞ . La derivada f ′ es positiva si a > 1 y negativa si 0 < a < 1. Luego en el primer caso f es creciente, y decreciente en el segundo. Cuando a > 1, se tiene l´ım ax = +∞ y l´ım ax = 0. Si x→+∞

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x→−∞

Secci´ on 4

Integrales impropias

161

0 < a < 1, los valores de estos l´ımites se intercambian. En cualquier caso, f (x) = ax es una biyecci´on de R en R+ cuya inversa se denota mediante loga : R+ → R; loga x se llama logaritmo de x en base a. As´ı, y = loga x ⇔ ax = y, volviendo a la definici´on cl´asica. Cuando a = e, se tiene loge x = log x. Por tanto, el logaritmo que definimos al principio de esta secci´on tiene base e. Es el llamada logaritmo natural o logaritmo neperiano. Para todo x > 0 tenemos elog x = x = a loga x = eloga z·log a , por tanto, log x = loga x · log a, o sea, loga x = log x/ log a. Como consecuencia de esta u ´ ltima f´ormula tenemos las propiedades de loga x an´alogas a las de log x, como loga (xy) = loga x + loga y o 1 . (loga x)′ = x log a Para finalizar esta secci´on demostraremos que e coincide con el n´ umero definido en los Ejemplos 12 y 13 del Cap´ıtulo 3. La derivada de la funci´on log x es igual a 1/x. En el punto x = 1 esta derivada vale 1. Esto significa que log(1 + x) =1, x→0 x l´ım

o sea, l´ım log(1 + x)x = 1 .

x→0

Como (1 + x)1/x = exp{log[(1 + x)1/x ]}, entonces l´ım (1 + x)1/x = x→0

exp(1) = e, Si hacemos y = 1/x concluimos que l´ım (1 + 1/y)y = e. En particular, l´ım(1 + 1/n)n = e.

y→∞

n∈N

4. Integrales impropias Las hay de dos clases: integrales de funciones que no est´an acotadas (definidas en un intervalo acotado pero no cerrado) e integrales de funciones definidas en un intervalo que no est´a acotado. El siguiente teorema descarta el caso trivial. Teorema 11. Sea f : (a, b] → R acotada, tal que la restricci´ on f |[c,d] es integrable para todo c ∈ (a, b]. Entonces, sea cual fuere el valor que se le asigne a f (a), se obtiene una funci´ on integrable tal Z b Rb que a f (x)dx = l´ım+ f (x)dx. c→a

c

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162

C´ alculo con integrales

Cap. 11

Demostraci´ on: Sea K tal que a ≤ x ≤ b ⇒ |f (x)| ≤ K. Dado ε > 0 tomemos c ∈ (a, b] con K ·(c−a) < ε/4. Como f |[c,b] es integrable, existe una partici´on P de [c, d] tal que S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε/2. Entonces Q = P ∪ {a} es una partici´on de [a, b] tal que S(f ; P ) − S(f ; Q) ≤ 2K(c − a) + S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε , luego f : [a, b] → R es integrable. La integral indefinida F : [a, b] → Rb R, F (x) = x f (x)dx, cumple la condici´on de Lipschitz |F (y) − F (x)| ≤ K|y − x|, luego es (uniformemente) continua, de donde Z b F (a) = l´ım+ F (c) = l´ım+ f (x)dx. c→a

c→a

c

Un resultado an´alogo es v´alido para f : [a, b) → R. Por tanto, es suficiente considerar f : (a, b] → R que no est´an acotadas. R b Supondremos tambien que f es continua. La integral impropia a f (x)dx se define como Z b Z b f (x)dx = l´ım+ f (x)dx . a

ε→0

a+ε

En cada intervalo cerrado [a + ε, b], f es continua, luego es integrable. El problema reside en saber si existe o no el l´ımite anterior. Si el l´ımite existe la integral es convergente, si ´este no existe la integral es divergente. Evidentemente, el caso de una funci´on continua f : [a, b) → R Rb que no est´a acotada se trata de forma semejante, haciendo a f (x)dx = Z b−ε l´ım+ f (x)dx. Finalmente, el caso f : (a, b) → R continua ε→0

a

se reduce a los dos anteriores tomando c ∈ (a, b) y escribimoa Rb Rc Rb f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx. a Ejemplo 1. Sea f : [0, 1] → R dada por f (x) = 1/xα . Suponiendo α 6= 1, tenemos 1 Z 1 Z 1 dx x1−α 1 − ε1−α dx = l´ ım = l´ ım = l´ ım α ε→0+ ε xα ε→0+ 1 − α ε ε→0+ 1 − α 0 x ( +∞ si α > 1 1 = . si α < 1 1−α

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Secci´ on 4

Integrales impropias

163

Cuando α = 1, tenemos Z 1 Z 1 1 dx dx = l´ım+ = l´ım+ log x = l´ım+ (− log ε) = +∞ . ε→0 ε→0 ε→0 x x ε 0 ε R1 Por tanto 0 dx/xα diverge cuando α ≥ 1 y converge a (1 − α)−1 si R1 √ α < 1. En particular, α = 1/2 nos da 0 dx/ x = 2. √ Ejemplo 2. Sea f : [0, 1) → R, f (x) = 1/ 1 − x2 . Entonces Z 1 Z 1−ε √ √ dx/ 1 − x2 = l´ım+ dx/ 1 − x2 ε→0 0 0 1−ε = l´ım+ arc sen x ε→0

=

0

l´ım arc sen(1 − ε)

ε→0+

= arc sen 1 =

π . 2

Cuando f : (a, b] → R cumple f (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b], Rb la integral a f (x)dx converge si, y s´olo si, existe k > 0 tal que Rb f (x)dx ≤ k para todo ε ∈ (b − a), pues la funci´on ϕ(ε) = Ra+ε b f (x)dx es creciente. Si existe una funci´on g : (a, b] → R tal a+ε Rb que a g(x)dx es convergente y 0 ≤ f (x) ≤ k · g(x) para todo Rb x ∈ (a, b], entonces a f (x)dx es convergente pues, en este caso, Rb ϕ(ε) ≤ k · a g(x)dx para todo ε ∈ (0, b − a). p R1 Ejemplo 3. La integral I = 0 dx/ (1 − x2 )(1 − k 2 x2 ) converge siempre que k ∈ R cumpla k 2 < 1. En efecto, como √ 0 ≤ 2 2 2 1 − k2 x ≤ 1, tenemos 1 − k ≤ 1 − k x . Haciendo K = 1/ p √ se tiene que 1/ (1 − x2 )(1 − k 2 x2 ) ≤ K/ 1 − x2 , por tanto I ≤ R1 √ k/ 1 − x2 = kπ/2. 0 Rb Se dice que la integral impropia a f (x)dx es absolutamente conRb vergente cuando a |f (x)|dx es convergente. Como en el caso de las Rb Rb series, la convergencia de a |f (x)|dx implica la de a f (x)dx. En efecto, dada f : (a, b] → R continua, definimos, para a < x < b, su parte positiva y su parte negativa, f+ , f− : (a, b] → R, como: f+ (x) = m´ax{f (x), 0} y f− (x) = m´ax{−f (x), 0} .

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164

C´ alculo con integrales

Cap. 11

Entonces f+ (x) = 12 [|f (x)|+f (x)] y f− (x) = 12 [|f (x)|−f (x)], as´ı f+ y f− son continuas. Adem´as, tenemos que f+ (x) ≥ 0, f− (x) ≥ 0, f = f+ − f− y |f | = f+ + f− , de donde f+ ≤ |f | y f− ≤ |f |. Rb De estas desigualdades se deduce que si a f (x)dx es absolutamenRb Rb te convergente entonces a f+ (x)dx y a f− (x)dx convergen. Luego Rb Rb Rb f (x)dx = a f+ (x)dx − a f− (x)dx es convergente. a Por tantto sirve el criterio de comparaci´ on: si f, g : [a, b) → R Rb son continuas y a g(x)dx converge entonces la condici´on |f (x)| ≤ Rb k · g(x) para todo x ∈ [a, b) implica que a f (x)dx es (absolutamente) convergente. Por ejemplo, si f : [a, b) → R es continua y existen constantes k > 0 y α < 1 tales que |f (x)| ≤ k/(b − x)α para Rb todo x ∈ [a, b), entonces la integral a f (x)dx es (absolutamente) convergente. A continuaci´on trataremos de integrales definidas en intervalos que no est´an acotados. Dada f : [a, +∞) → R continua, se define la integral impropia de f como: Z Z +∞

A

f (x)dx = l´ım

A→+∞

a

f (x)dx .

a

Si el l´ımite anterior existe, se dice que la integral es convergente. En caso contrario se dice que es divergente. RUna definici´on b an´aloga sirve para f : (−∞, b] → R. Entonces −∞ f (x)dx = Rb l´ımB→−∞ B f (x)dx. Finalmente, para f : (−∞, +∞) → R se toma un punto cualquiera a ∈ R (en general a = 0) y se escribe Z + Z a Z +∞ ∞f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx . −∞

−∞

a

Ejemplo 4. Sea f : [1, +∞) → R, f (x) = 1/xα . Si α 6= 1 se tiene Z A A1−α − 1 dx = , α 1−α 1 x luego Z

∞ 1

dx 1 = α x 1−α

R +∞ converge si α > 1. Por otra parte, si α ≤ 1, 1 dx/xα diverge. Esto contrasta con el comportamiento de la integral de la misma funci´on en el intervalo (0, 1].

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Secci´ on 4

Integrales impropias

165

R +∞ Ejemplo 5. 0 dx/(1 + x2 ) = π/2. En efecto, arctan x es una primitiva de 1/(1 + x2 ). Por consiguiente Z

0

+∞

π dx = l´ım (arctan A − arctan 0) = . 2 A→+∞ 1+x 2

R +∞ Se dice que una integral a es absolutamente convergente R +∞ cuando a |f (x)|dx converge. Como cuando ten´ıamos intervalos R +∞ acotados, se prueba que en tal caso, a f (x)dx converge. Por tanto sirve on: si f, g : [a, +∞) → R R +∞el criterio de comparci´ son continuas, a g(x)dx converge y existe k > 0 tal que |f (x)| ≤ R +∞ k · |g(x)| para todo x ∈ [a, +∞), entonces a f (x)dx es (absolutamente) Rconvergente. En particular, si |f (x)| ≤ k/xα , con α > 1, +∞ entonces a f (x)dx es (absolutamente) convergente. R +∞ Ejemplo 6. Sea a > 0. La integral a dx/x2 es convergente, como se puede ver f´acilmente, su valor es 1/a. Incluso su no supi´esemos que la derivadaR de arctan x es 1/(1 + x2 ), concluir´ıamos, por com+∞ paraci´on, que a dx/(1 + x2 ) converge, pues 1/(1 + x2 ) ≤ 1/x2 .

Ejemplo 7. (La funci´on Gamma) Se trata de la funci´ n Γ : (0, +∞) → R o+∞ R, definida para todo t > 0 como la integral Γ(t) = 0 e−x xt−1 dx. Para demostrar R 1 que R +∞dicha integral converge R 1 −x t−1la descompondremos en la suma 0 + 1 . La integral 0 e x dx converge porque R +∞ e−x xt−1 ≤ 1/x1−t . El segundo sumando, 1 e−x xt−1 dx, converge porque e−x xt−1 ≤ 1/x2 para todo x suficientemente grande. En efecto, esta desigualdad es equivalente a xt+1 /ex ≤ 1. Ahora bien, sabemos que l´ım xt+1 /ex = 0, luego existe a > 0 tal que x→+∞

x > a ⇒ xt+1 /ex ≤ 1. La funci´on gamma extiende la noci´on de factorial pues Γ(n) = (n − 1)! para todo n, como se puede ver integrando por partes. R∞ Ejemplo 8. La integral de Dirichlet I = 0 (sen x/x)dx converge, pero no absolutamente. En efecto, para todo n ∈ N, sea an = R (n+1)π | sen x/x|dx. Entonces I = a0 − a1 + a2 − a3 + · · · . Es claro nπ que a0 ≥ a1 ≥ a2 ≥P · · · y que l´ım an = 0. Luego, por el Teorema n de Leibniz, la serie ∞ a (y en consecuencia la integral) n=0 (−1) R +∞ n converge. Por otra parte, 0 | sen x|/xdx es la suma de la serie P∞ a , cuyo t´ermino an es el ´area de una regi´on que contiene un n=0 n

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166

C´ alculo con integrales

Cap. 11

tri´angulo de base π y altura 2/(2n + 1)π. El ´area de dicho tri´angulo es igual R ∞ es divergente, se tiene P 1/(2n + 1). Como la serie arm´onica que an = +∞. (Se puede probar que 0 sen x/xdx = π/2). Una aplicaci´on bastante conocida de las integrales impropias es el criterio de convergencia de series de n´ umeros, recogido en el siguiente teorema, cuya demostraci´on se puede encontrar en cualquier libro de c´alculo.

Teorema 12. Sea f : [a, +∞) → R, continua y mon´ otona creciente. Para cada n´ u mero natural n ≥ a, sea a = f (x). Entonces la nR P +∞ serie an converge si, y s´ olo si, la integral a f (x)dx converge. 5. Ejercicios

Secci´on 1: Teorema cl´asicos del C´alculo Integral 1. Sea f : [a, b] → R integrable y continua por la derecha en el punto x0 R∈ [a, b). Pruebe que F : [a, b] → R, medianx te F (x) = a f (t)dt, es derivable por la derecha en punto x0 y que F+′ (x0 ) = f (x0 ). Enuncie un resultado similar con “izquierda” en vez de derecha. D´e ejemplos de funciones f integrables y discontinuas en el punto x0 tales que: (a) Existe F ′ (x0 ). (b) No existe F ′ (x0 ). 2. Sea f : [a, b] → R derivable tal que f ′ es integrable. Pruebe para cualesquiera x, c ∈ [a, b] se tiene f (x) = f (c) + R x que ′ f (x)dx. Concluya que el Teorema 5 es v´alido con “intec grable” en vez de continua. 3. Sea f : [a, b] → R derivable, tal que f ′ es integrable y f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Si {x ∈ [a, b] : f ′ (x) = 0} tiene contenido nulo, pruebe que f es estrictamente creciente. 4. Dada f : [a, b] → R con derivada continua, pruebe el Teorema del Valor Medio (Teorema 7 del Cap´ıtulo 8) como consecuencia de la f´ormula del mismo nombre para integrales (Corolario al Teorema 11 en este cap´ıtulo).

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Secci´ on 5

Ejercicios

167

5. Sean f : [a, b] → R continua y α, β : I → [a, b] derivables. R β(x) Defina ϕ : I → R escribiendo ϕ(x) = α(x) f (t)dt para todo x ∈ I. Pruebe que ϕ es derivable y que ϕ′ (x) = f (β(x))β ′(x)− f (α(x))α′(x). 6. Sean f : [0, 1] → R la funci´on del Ejercicio 1.3 y g : [0, 1] → R definida como g(0) = 0 y g(x) = 1 si x > 0. Demuestre que f y g son integrables pero que g ◦ f : [0, 1] → R no lo es. 7. Dada f : [a, b] → R con derivada integrable, sea m = (a + Rb b)/2. Pruebe que f (a) + f (b) = [2/(b − a)] a [f (x) − f (x − m)f ′ (x)]dx. 8. Sean f : [a, b] → R, f continua y p integrable tal que p(x) ≥ 0 Rb Rb para todo x ∈ [a, b]. Pruebe que si a f (x)p(x)dx = f (a) a p(x)dx entonces existe x ∈ (a, b) tal que f (a) = f (c) (existe un resultado an´alogo con f (b) en vez de f (a)). Concluya que en el Teorema 4 se puede tomar c ∈ (a, b) y que en el corolario de Teorema 6 se puede exigir que θ ∈ (0, 1). Secci´on 2: La integral como l´ımite de sumas de Riemann 1. Con la ayuda de las sumas de Riemann pruebe la validez de las siguientes igualdades: n 1 X

1 , p + 1 i=1   n 1X iπ 2 (b) l´ım sen = . n→∞ n n π i=1 (a) l´ım

n→∞ np+1

ip =

2. Dada f : [a, b] → R, acotada o no, tiene sentido considerar ∗ para cualquier partici´on puntuada P X la suma de Riemann P (f ; P ∗). Pruebe que si existe l´ım (f ; P ∗), entonces f es una funci´on acotada.

|P |→0

3. Pruebe el rec´ıproco del Teorema 7: si existe l´ım

|P |→0

X

(f ; P ∗) =

L, entonces la funci´on acotada f : [a, b] → R es integrable y Rb f (x)dx = L. a

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168

C´ alculo con integrales

Cap. 11

4. Sean f, g : [a, b] → R integrables. Para cada partici´on P = {t0 , . . . , tn } de [a, b] sean P ∗ = (P, ξ) y P #X = (P, η) dos particiones puntuadas de P . Pruebe que l´ım (f (ξ)g(ηi))(ti − |P |→0 Z b ti−1 ) = f (x)g(x)dx. a

5. Dadas f, g : [a, b] → R, para cada partici´onPpuntuada P P ∗ de ∗ [a, b] se define la suma de Riemann-Stieltjes (f, g; P ) f (xi )[g(ti )− g(ti−1)]. Pruebe que si f es integrable y g posee derivada integrable, entonces Z b X l´ım (f, g; P ) = f (x)g ′ (x)dx . |P |→0

a

6. Dada f : [a, b] → R, para cada n ∈ N sea n

1X f (a + ih), M(f ; n) = n i=1

h=

(b − a) , n

la media aritm´etica de los valores f (a+h), f (a+2h), . . . , f (a+ kh) = f (b). Pruebe que si la funci´on f es integrable, entonces Z b 1 l´ım M(f ; n) = f (x)dx. n→∞ (b − a) a Por esto, el segundo miembro de esta igualdad se llama valor de la funci´ıon f en el intervalo [a, b].   a+b 7. Pruebe que si f : [a, b] → R es convexa entonces f ≤ 2 Rb 1 f (x)dx. (b−a) a

Rn n!en = +∞. (Calcule log xdx y consi1 n→∞ nn dere la suma superior de log x relativa a la partici´on {1, 2, . . . , n} de [1, n]).

8. Demuestre que l´ım

Secci´on 3: Logaritmos y exponenciales 1. Sean f : R → R y g : R+ → R funciones continuas, no id´enticamente nulas, tales que f (x+y) = f (x)·f (y) y g(uv) =

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Secci´ on 5

Ejercicios

169

g(u) + g(v) para cualesquiera x, y ∈ R y u, v ∈ R+ . Pruebe que existen a, b ∈ R tales que f (x) = eax para todo x ∈ R y g(x) = b log x para todo x ∈ R+ . 2. Pruebe que la sucesi´on cuyo n-´esimo t´ermino es xn = 1 + 1/2 + · · · + 1/n − log n es decreciente y acotada, luego convergente. (Su l´ımite es conocido como la constante γ de EulerMascheroni, que vale aproximadamente y ≃ 0, 5772.) 3. Pruebe que l´ım x log x = 0. x→0

4. Pruebe que, para todo x ∈ R, se tiene l´ım

n→∞

Secci´on 4: Integrales impropias



1+

x n = ex . n

1. Estudie la convergencia o divergencia de las integrales Z 3 Z 1 Z 1 dx dx dx √ , , . 3 3 x −3 x −1 0 1 − cos x 2. Estudie la convergencia o divergencia de las integrales Z +∞ Z +∞ Z +∞ dx dx xdx √ , , . 6 1 − ex (1 + x) x −∞ 1 + x 0 1 R +∞ 3. Demuestre que 0 sen(x2 )dx converge, pero no absolutamente. 4. Demuestre que, aunque on f (x) = x sen(x4 ) no est´a acoR +∞ la funci´ tada, la integral 0 x sen(x4 )dx es convergente. 5. Sea f : [a, +∞) → R Rcontinuas, positiva y mon´otonna cre+∞ ciente. Pruebe que si a f (x)dx es convergente, entonces l´ım x · f (x) = 0. x→+∞

6. Sea f : [a, +∞) → R integrable en cada intervalo acotado [a, x]. Pruebe que su integral impropia Z +∞ Z x f (x)dx = l´ım f (x)dx x→∞

a

a

existe si, Ry s´olo si, dado ε > 0, existe A > 0 tal que A < x < y y implica | x f (t)dt| < ε. (“Criterio de Cauchy”).

7. Pruebe el Teorema 12.

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170

C´ alculo con integrales

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Cap. 11

12 Sucesiones y series de funciones En muchos problemas de Matem´aticas y de sus aplicaciones se busca una funci´on que cumpla determinadas condiciones. Es frecuente en estos casos obtener una sucesi´on de funciones f1 , f2 , . . . , fn , . . . , cada una de las cuales cumple las condiciones exigidas, pero s´olo de forma aproximada; sin embargo estas aproximaciones son cada vez mejores. Entonces se espera que la funci´on l´ımite de esta sucesi´on tambi´en cumpla tales condiciones. Esto nos lleva a estudiar l´ımites de sucesiones de funciones. Muchas veces cada funci´on de la sucesi´on se obtiene a partir de lo anterior sumando P una funci´on gn . En este caso se tiene una serie de funciones gn . En este cap´ıtulo se estudiar´an sucesiones y series de funciones. Mientras que para las sucesiones y series de n´ umeros existe solamente una noci´on de l´ımite, para las funciones existen varias. Aqu´ı examinaremos las dos nociones m´as comunes, que definiremos a continuaci´on. 1. Convergencia puntual y convergencia uniforme Se dice que una sucesi´on de funciones fn : X → R (n = 1, 2, . . .) converge puntualmente a una funci´on f : X → R cuando para todo x ∈ X, la sucesi´on de n´ umeros f1 (x), . . . , fn (x), . . . converge a f (x). 171

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172

Sucesiones y Series de funciones

Cap. 12

As´ı, fn → f puntualmente en X cuando, dados ε > 0 y x ∈ X existe n0 (que depende de ε y de x) tal que n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε. Gr´aficamente, en cada recta vertical que pasa por un punto x ∈ X queda determinada una sucesi´on de puntos (x, f1 (x)), . . . , (x, fn (x)), . . . las intersecciones de dicha recta con los gr´aficos de f1 , . . . , fn . Estos puntos convergen a (x, f (x)), la intersecci´on de la recta vertical con el gr´afico de f .

Ejemplo 1. La sucesi´on de funciones fn : R → R, donde fn (x) = x/n converge puntualmente a la funci´on f : R → R id´enticamente nula. En efecto, para cada x, se tiene l´ım (x/n) = 0. n→∞

Un tipo de convergencia de funciones, m´as fuerte que la convergencia puntual, es la convergencia uniforme, que definimos a continuaci´on. Una sucesi´on de funciones fn : X → R converge uniformemente a una funci´on f : X → R cuando, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N (que depende exclusivamente de ε) tal que n > n0 ⇒ |fn (x)−f (x)|ε se cual fuere x ∈ X. En el plano R2 , dado ε > 0, la banda de radio ε alrededor del gr´afico de f es el conjunto

F (f ; ε) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ X, f (x) − ε < y < f (x) + ε} .

Decir que fn → f uniformemente en X significa que, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que el gr´afico de fn est´a contenido en la banda de radio ε alrededor de f para todo n > n0 .

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Secci´ on 1

Convergencia puntual y convergencia uniforme

173

}ε

fn f

}ε x

Fig. 10 - El gr´afico de fn est´a contenido en la banda F (f ; ε). Ejemplo 2. Nunguna banda de radio ε alrededor del eje de abscisas (gr´afico de la funci´on id´enticamente nula) contiene al gr´afico de cualquier funci´on fn : R → R, fn = x/n. Luego la sucesi´on (fn ) del Ejemplo 1 no converge uniformemente a la funci´on id´enticamente nula. Por otra parte, si X ⊂ R es un conjunto acotado, supongamos que |x| ≤ c para todo x ∈ X, entonces fn → 0 uniformemente en X. En efecto, dado ε > 0, basta tomar n0 > c/ε. Entonces n > n0 ⇒ |fn (x)| = |x|/n < c/n0 < ε. Ejemplo 3. La sucesi´on de funciones continuas fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn , converge puntualmente a la funci´on discontinua f : [0, 1] → R, f (x) = 0 si 0 ≤ x < 1, f (1) = 1. La convergencia es uniforme en cada intervalo de la forma [0, 1 − δ], 0 < δ < 1, pero no es uniforme en [0, 1]. Estas dos afirmaciones son consecuencia de propiedades generales (a saber, los Teoremas 1 y 2 de abajo), pero se pueden probar f´acilmente a partir de la definici´on. En efecto, si escribimos a = 1 − δ, tenemos 0 < a < 1, luego l´ım an = 0. n→∞ Dado ε > 0, sea n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ an < ε. Entonces n > n0 ⇒ 0 < fn (x) < an < ε para todo x ∈ [0, a]. Por tanto fn → 0 uniformemente en el intervalo [0, 1 − δ]. Por otra parte, si tomamos ε = 1/2 afirmamos que, sea cual fuere n0 ∈ N, existen puntos x ∈ [0, 1] tales que |fn0 (x) − f (x)| ≥ 1/2, o sea, xn0 ≥ 1/2. Basta observar que l´ım− xn = 1. Luego existe δ > 0 tal que x→1

1 − δ < x < 1 ⇒ xn0 > 1/2. Esto demuestra que fn no converge uniformemente a f en el intervalo [0, 1].

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Sucesiones y Series de funciones

Cap. 12

x3

=

y

=

y

x2

=

x

174

y

4

y

=

x

Fig. 11 - Las funciones fn (x) = xn convergen puntualmente en el intervalo [0, 1] a una funci´on discontinua. Ejemplo 4. La sucesi´on de funciones continuas fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn (1 − xn ), converge puntualmente a la funci´on id´enticamente nula. Esta convergencia no es uniforme. En efecto, para todo p n n ∈ N tenemos fn ( 1/2) = 1/4. Luefo, si ε = 1/4, ninguna funci`on fn tiene su gr´afico contenido en la banda de radio ε alrededor de la funci´on 0. Por otra parte, si 0 < δ < 1, tenemos fn → 0 uniformemente en el intervalo [0, 1 − δ], pues xn → 0 uniformemente en dicho intervalo y 0 ≤ xn (1 − xn ) ≤ xn .

1 4

f1 f2 f3

0

1

Fig. 12 Las P consideraciones hechas en esta secci´on incluyen a la suma f = fn de una serie de funciones fn : X → R. En este importante caso particular se tiene f = l´ım sn , sn (x) = f1 (x) + · · · + fn (x) para

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Secci´ on 2

Propiedades de la convergencia uniforme

175

P todo n ∈ N y x ∈ X. As´ı, decir que la serie fn converge uniformemente significa que la sucesi´on (sn ) converge uniformemente, y es equivalente a afirmar que la sucesi´on de funciones rn : X → R (“restos” de la serie), definidas mediante rn (x) = fn+1 (x) + fn+2 (x) + · · · converge uniformemente a 0. En efectom basta observar que rn = f − sn . 2. Propiedades de la convergencia uniforme Teorema 1. Si una sucesi´ on de funciones fn : X → R converge uniformemente a f : X → R y cada fn es continua en el punto a ∈ X entonces f es continua en el punto a. Demostraci´ on: Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |fn (x)− f (x)| < ε/3 para todo x ∈ X. Fijemos un n´ umero natural n > n0 . Como fn es continua en el punto a, existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |fn (x) − fn (a)| < ε/3, de donde |f (x) − f (a)| ≤ 1fn (x) − f (x)| + |fn (x) − fn (a)| + |fn (a) − f (a)| ε ε ε < + + = ε. 3 3 3 Lo que prueba el teorema. Ejemplo 5. La sucesi´on de funciones continuas fn (x) = xn no puede converger uniformemente en [0, 1], pues converge puntualmente a la funci´on discontinua f : [0, 1] → R, f (x) = 0 si 0 ≤ x < 1, f (1) = 1. Por otra parte, la sucesi´on de funciones continuas fn (x) = xn (1 − xn ) converge puntualmente a la funci´on 0 en el intervalo [0, 1], que es continua, sin que esto implique la convergencia uniforme. La misma observaci´on se puede hacer a prop´osito de la sucesi´on de funciones continuas fn : R → R, fn (x) = x/n. De esto trata el pr´oximo teorema. Antes de demostrarlo, daremos una definici´on. Se dice que una sucesi´on de funciones fn : X → R, converge mon´otonamente a f : X → R cuando, para todo x ∈ X, la sucesi´on de funciones (fn (x))n∈N es mon´otona y converge a f (x). Por ejemplo, las funciones de los Ejemplos 1 y 3 convergen mon´otonamente.

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176

Sucesiones y Series de funciones

Cap. 12

Es claro que si fn → f mon´otonamente en X, entonces |fn+1 (x)− f (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| para todo x ∈ X y todo n ∈ N. Teorema 2. (Dini). Si la sucesi´on de funciones continuas fn : X → R converge mon´otonamente a la funci´on continua f : X → R en un conjunto compacto X entonces la convergencia es uniforme. Demostraci´ on: Dado ε > 0, escribimos, para cada n ∈ N, Xn = {x ∈ X : |fn (x) − f (x)| ≥ ε}. Como fn y f son continuas, cada Xn es compacto. A su vez, la monoton´ıa de la convergencia implica X1 ⊃ X2 ⊃ X3 ⊃ · · · . Finalmente, como l´ım fn (x) = f (x) para n→∞ T todo x ∈ X, vemos que ∞ ıtulo 5, n=1 Xn = ∅. Del Teorema 9, Cap´ se deduce que alg´ un Xn0 (y por tanto todo Xn tal que n > n0 ) es vac´ıo. Esto significa que n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε, sea cual fuere x ∈ X.

Ejemplo 6. La sucesi´on de funciones continuas fn : [0, 1) → R, fn (x) = xn , converge mon´otonamente a la funci´on (continua) id´enticamente nula en el conjunto [0, 1), que no es compacto; sin embargo, la convergencia no es uniforme. En efecto, dado 0 < ε < 1, para todo n ∈ N existen puntos x ∈ [0, 1) tales que xn > ε, ya que l´ım xn = 1 > ε. x→−1

Teorema 3. (Paso al l´ımite bajo el signo integral). Si la susesi´on de funciones integrables fn : [a, b] → R converge uniformemente a f : [a, b] → R entonces f es integrable y Z b Z b fn (x)dx . f (x)dx = l´ım a

n→∞

a

En otra palabras: si la convergencia es uniforme,

Rb a

f (x)dx = l´ım

n→∞

Z

b

fn .

a

Demostraci´ on: Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |fn (x)− f (x)| < ε/4(b − a) para todo x ∈ [a, b]. Fijemos m > n0 , como fm es integrable exist una partici´on P tal que, si indicamos mediante ωi , ωi′ las oscilaciones de Pf ′y fm , respectivamente, en el intervalo [ti−1 , ti ] de P , se tiene ωi (ti − ti−1 ) < ε/2. Por otra parte, para cualesquiera x, y ∈ [ti−1 , ti ] se tiene: |f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − fm (y)| + |fm (y) − fm (x)| + |fm (x) − f (x)| ε < ωi′ + . 2(b − a)

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Secci´ on 2

Propiedades de la convergencia uniforme

177

Por tanto, ωi < ωi′ + ε/2(b − a). De donde X X X ωi (ti − ti−1 ) ≤ ωi′ (ti − ti−1 ) + [ε/2(b − a)] (ti − ti−1 ) < ε/2 + ε/2 = ε .

Esto demuestra que f es integrable. Adem´as, Z b Z b Z b f (x)dx − fn (x)dx = [f (x) − fn (x)]dx a a a Z b ≤ |f (x) − fn (x)|dx a

(b − a)ε <ε 4(b − a) Z b Z b si n > n0 . En consecuencia, l´ım fn (x)dx = f (x)dx. ≤

n→∞

a

a

Observaci´ on. Si cada fn es continua la demostraci´on se simplifica considerablemente pues entonces f tambi´en es continua, y por tanto integrable. Ejemplo 7. Si una sucesi´on de funciones integrables fn : [a, b] → R converge puntualmente a f : [a, b] → R, puede suceder que f no sea integrable. Por ejemplo, si {r1 , r2 , . . . , rn , . . .} es una enumeraci´on de los n´ umeros racionales en [a, b] y definimos fn como la funci´on que vale 1 en los puntos r1 , r2 , . . . , rn y cero en los dem´as puntos de [a, b], entonces fn converge puntualmente a la funci´on f : [a, b] → R tal que f (x) = 1 si x ∈ Q ∩ [a, b] y f (x) = 0 si x es racional. Evidentemente, cada fn es integrable, y sin embargo f no lo es. Ejemplo 8. Incluso cuando una sucesi´on de funciones integrables fn : [a, b] → R converge puntualmente a una funci´on integrable Z b Z b f : [a, b] → R, puede suceder que l´ım fn (x)dx 6= f (x)dx. n→∞

a

a

Por ejemplo, para cada n ∈ N, sea fn : [0, 1] → R definida como fn (x) = nxn (1 − xn ). Entonces fn (1) = 0 y 0 ≤ fn (x) < nxn si 0 ≤ x < 1. Ahora bien, l´ım nxn = 0 si 0 ≤ x < 1. Por tanto fn converge n→∞

puntualmente en [0, 1] a la funci´on id´enticamente nula. Adem´as Z b R1 2 f (x)dx = n /(n + 1)(2n + 1); por tanto l´ım fn (x)dx = 1/2 0 n n→∞ 0 R1 y sin embargo 0 f (x)dx = 0.

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178

Sucesiones y Series de funciones

Cap. 12

Para que se verifique que la derivada del l´ımite sea igual al l´ımite de las derivadas, en vez de suponer que fn converge uniformemente, se tiene que postular que la sucesi´on de las derivadas converja uniformemente. Teorema 4. (Derivaci´ on t´ ermino a t´ ermino). Sea (fn ) una 1 sucesi´on de funciones de clase C en el intervalo [a, b]. Si la sucesi´on formada por los n´ umeros (fn (c)) converge para alg´ un c ∈ [a, b] y las derivadas fn′ convergen uniformemente a una funci´on g en [a, b], entonces (fn ) converge uniformemente a una funci´on f , de clase C 1 , tal que f ′ = g en [a, b]. En resumen: (l´ım fn )′ = l´ım fn′ siempre que las derivadas fn′ converjan uniformemente. Demostraci´ on: Por el Teorema Fundamental del C´alculo, para Rx cada n ∈ N y todo x ∈ [a, b], tenemos fn (x) = fn (c) + c fn′ (t)dt. Si hacemos n → ∞, vemos porR el Teorema 3, que existe f (x) = x l´ım fn (x) y que f (x) = f (c) + c g(t)dt. Adem´as, por el Teorema n→∞

1, g es continua, luego (de nuevo por el Teorema Fundamental del C´alculo) f es derivable y f ′ (x) = g(x) para todo x ∈ [a, b]. En particular, f ′ es continua, esto es, f es de clase C 1 . S´olo nos falta probar que la convergencia fn → f es uniforme. Ahora bien, Z x |fn (x) − f (x)| ≤ |fn (c) − f (c)| + |fn′ (t) − g(t)|dt . c

Como fn′ → g uniformemente, resulta que fn → f uniformemente. Ejemplo 9. La sucesi´on de funciones fn (x) = sen(nx)/n converge uniformemente cero en toda la recta. Sin embargo la sucesi´on fn′ (x) = cos(nx) no converge, ni tal siquiera puntualmente, en ning´ un intervalo. (Todo intervalo contiene alg´ un n´ umero de la forma x = mπ/p, con m, p enteros, luego cos(nx) alcanza infinitas veces los valores 1 y −1. En el caso de una serie como sigue:

P

fn los teoremas anteriores se formulan

P 1. Si fn converge uniformemente a f y cada fn es continua en el punto a entonces f es continua en el punto a.

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Secci´ on 2

Propiedades de la convergencia uniforme

179

2. Si cada t´ermino fn : X → R es una funci´ Pon continua tal que fn (x) ≥ 0 para todo x ∈ X, y la serie fn converge a una funci´on continua f : X → R en el compacto X, entonces la convergencia es uniforme. P 3. Si cada fn : [a, b] → R es integrable y fn converge uniformeRbP mente a f : [a, b] → R, entonces f es integrable y a fn (x)dx = Rb f (x)dx. a

P ′ 4. Si cada fn : [a, b] P → R es de clase C 1 , fn converge uniformemente fn (c) converge para alg´ un c ∈ [a, b], entonP en [a, b] y ces f converge uniformemente a una funci´ on de clase C 1 y P ′n P ′ ( fn ) = fn .

P 2 2 n Ejemplo 10. La serie ∞ erminos son funn=0 x /(1 + x ) , cuyos t´ ciones continuas definidas en toda la recta, converge a la suma 1+x2 para todo x 6= 0. En el punto x = 0 todos los t´erminos de la serie son nulos, luego la suma es cero. De donde la serie dada converge puntualmente en toda la recta; sin embargo, la convergencia no es uniforme, pues la suma es una funci´on discontinua. El teorema b´asico sobre convergencia de series de funciones, enunciado a continuaci´on, no tiene an´alogo para sucesiones.

Teorema 5. (Criterio dePWeiertrass). Dada la sucesi´on de funciones, fn : X → R, sea an una serie convergente de n´ umeros reales an ≥ 0 tales que |fn (x)| ≤Pan paraPtodo n ∈ N y xd ∈ X. En estas condicionesm las series |fn | y fn son uniformemente convergentes. Demostraci´ on, para todo x ∈ X P on: Por el criterio de comparaci´ P la serie |fn | (y por tantoP la serie fn ) es convergente. Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n>n0 an < ε. Escribiendo Rn (x) =

X k>n

|fn (x)| y rn (x) =

X

fn (x) ,

k>n

P se tiene inmediatamente que |r (x)| ≤ R (x) ≤ n n k>n ak < ε para P P todo n > n0 luego |fn | y fn son uniformemente convergentes.

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180

Sucesiones y Series de funciones

Cap. 12

3. Series de potencias Las funciones m´as importantes del An´alisis se pueden escribir como sumas de series de la forma: f (x) =

∞ X n=0

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + · · · .

Estas series, que son la generalizaci´on natural de los polinomios, se llaman series de potencias. Para simplificar la notaci´on, preferimos tratar el caso en que x0 = 0, esto es, series de la forma ∞ X n=0

an xn = a0 + a1 x + · · · + an xn + · · · .

El caso general se reduce a ´este haciendo el cambio de variables x − x0 . As´ı, los resultados que obtengamos P y= P∞ para las series n an x se pueden adaptar f´acilmente al caso n=0 an (x − x0 )n .

destacable sobre la serie de potencias P∞La primera propiedad n n=0 an (x − x0 ) es que el conjunto de valores de x para los que ´esta converge es un intervalo centrado en x0 . Dicho intervalo puede ser acotado (abierto, cerrado o semiabierto), igual a R, o simplemente reducirse a un u ´ nico punto. Demostraremos esto en breve; antes veamos un ejemplo que ilustra todas estas posibilidades. P n Ejemplo 11. Por el criterio de d’Alembert,Pla serie x /n! converge para cualquier valor de x. La serieP [(−1)n /(2n + 1)]x2n converge si, y s´olo si, x ∈ [−1, 1]. La serie [(−1)n /n]xn converge si x ∈ (−1, 1] y diverge fuera de dicho intervalo. P El conjunto de puntos x ∈ R para los que la serie geom´etrica Pxn converge es el intervalo abierto (−1, 1). Finalmente, la serie nn xn converge exclusivamente en el punto x = 0. P Dada una serie de potencias an xn , la localizaci´on de los puntos x donde ´esta converge se hace mediante el criterio de Cauchy (Teorema 6, Cap´ ıtulo 4), que pone de manifiesto el compartamiento p n de la sucesi´on ( |an |).

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Secci´ on 3

Series de potencias

181

p P Si la sucesi´on ( n |an |) no est´a acotada entonces la serie an xn converge solamente cuando x = 0. p En efecto, para todo x 6= 0 la p n n sucesi´on de n´ umeros |an x | = |x| n |an | no est´a acotada, as´ı que ocurre los mismo con |an xn |, luego el t´ermino general de la serie P an xn no tiende a cero.

p Por otro parte, si la sucesi´on ( n |an |) est´a acotada entonces el conjunto: p R = {ρ > 0 : n |an | < 1/ρ para todo n ∈ N suficientemente grande}

no es vac´ıo. En realidad, es f´acil ver que si ρ ∈ R y 0 < x < ρ entonces x ∈ R. Luego R es un intervalo del tipo (0, r), (0, r] o (0, +∞), donde r P = sup R. El n´ umero r se llama radio de convergencia de n la serie an x . (Si R no est´a acotada convendremos en escribir r = +∞). P El radio de convergencia r de la serie de potencias an xn verifica las siguientes propiedades; P 1. Para todo x ∈ (−r, r) la serie an xn converge absolutamente. p n En efecto, tomando ρ tal que |x| < ρ < r tenemos |an | < 1/ρ, p p n n n por consiguiente |an x | = |x| |an | < |x|/ρ < 1 para todo n ∈ N suficientemente grande. Luego, por el criterio de Cauchy, P n an x converge absolutamente. P 2. Si |x| > r la serie pan xn diverge. En efecto, en este caso x ∈ / R, n luego no se tiene |an | p < 1/|x| para todo n suficientemente grande. Esto significa que n |an | ≥ 1/|x|, y por tanto |an xn | ≥ 1, para valores de n. Luego el t´ermino general de la serie P infinitos n an x no tiende a cero y por tanto la serie diverge. P 3. Si x = ±r, en general, no puede afirmarse nada: la serie an xn puede ser divergente o convergente, seg´ un los diferentes casos. p 4. Si existe L = l´ım n |an | entonces r = 1/L. (Se sobreentiende n→∞

que si L = 0 entonces r = +∞). En efecto, para todo ρ ∈ R p n existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |an | < 1/ρ. Haciendo n → ∞ obtenemos L ≤ 1/ρ, de donde ρ ≤ 1/L. Se deduce que r = sup R ≤ 1/L. Ahora supongamos, por reducci´on al absurdo, que r < 1/L, entonces tomar´ıamos c tal que r < c < 1/L, de donde

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182

Sucesiones y Series de funciones

Cap. 12

p L < 1/c. Por la definici´on de l´ımite tendr´ıamos n |an | < 1/c para todo n suficientemente grande, de donde c ∈ R y as´ı c ≤ r, que es una contradicci´on. Luego r = 1/L. El an´alisis que acabamos de hacer se puede resumir como sigue: P Teorema 6. Una serie de potencias an xn , ´ o converge exclusivamente cuando x = 0, ´ o existe r, 0 < r ≤ +∞, tal que la serie converge absolutamente en el intervalo abierto (−r, r) y diverge fuera del intervalo cerrado [−r, r]. En los extremos −r y r la serie puede p n converger o diverger. Si existe L = l´ım |an | entonces r = 1/L. El n´ umero r se llama radio as, se p de convergencia de la serie. Adem´ tiene 0 < ρ < r ⇔ n |an | < 1/ρ para todo n ∈ N suficientemente grande. Observaci´ on: Del Teorema 7, Cap´ıtulo 4, se deduce que si los coeficientes an son diferentes de cero y existePl´ım |an+1 |/|an | = L, entonces el radio de convergencia de la serie an xn es r = 1/L.

P Teorema 7. Una serie de potencias an xn converge uniformemente en todo intervalo compacto de la forma [−ρ, ρ], donde 0 < ρ < radio de convergencia. P Demostraci´ on: La serie an ρn es absolutamente convergente y, n para todo x ∈ [−ρ, ρ]. se tiene |an xn | ≤ |aP n |ρ . Del criterio de Weiertrass (Teorema 5) se sigue que la serie an xn converge uniformemente en el intervalo [−ρ, ρ].

Corolario 1. Si r > 0 es el radio de convergencia de la serie P n an x P , entonces la funci´on f : (−r, r) → R, definida mediante f (x) = an xn , es continua. P Ejemplo 12. La serie an xn no es necesariamente uniformemente convergente en todo el intervalo (−r, r), donde rP es el radio de convergencia. Esto est´a claro en el caso de la serie xnP /n!, que tiene radio de convergencia infinito, para la cual rn (x) = k>n xk /k! > xn+1 /(n + 1)! si x es positivo. Dado ε > 0, independiente del n escogido, es imposible que rn (x) < ε para todo x positivo.

Teorema 8. (Integraci´ onP t´ ermino a t´ ermino). Sea r el radio n de convergencia de la serie an x . Si [α, β] ⊂ (−r, r) entonces: Z β X  X an (β n+1 − αn+1 ) . an xn dx = n+1 α

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Secci´ on 3

Series de potencias

183

P Demostraci´ on: La convergencia de an xn es uniforme en el intervalo [α, β], pues si escribimos ρ = m´ax{|α|, |β|} < r tendremos [α, β] ⊂ [−ρ, ρ]. Luego, por el Teorema 3, podemos integrar t´ermino a t´ermino. Teorema 9. (Derivaci´ on a t´ ermino a t´ eP rmino). Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias an xn . La funci´on f : P n (−r, r) → R, definida como f (x) = an x , es derivable y f ′ (x) = P ∞ n−1 ; adem´as la serie de potencias f ′ (x) tambi´en tiene n=1 nan x radio de convergencia r. P n−1 Demostraci´ on: Sea r ′ el radio de convergencia de la serie , n≥1 nan x P P que converge si, y s´olo si, x nan xn−1 = nan xn converge. Luego r ′ tambi´en es el radio de convergencia de esta u ´ ltima serie. Abreviamos la expresi´on “para todo n suficientemente grande” escribiendo “n ≫p1”. Si 0 < ρ < r entonces, tomando c con 0 <√ρ < c < r, tenen |an | < 1/c, n ≫ 1. Por otra parte, como l´ım n n = 1 entonces mos √ n n

En particular, ak = f (k) (0)/k!. n Por tanto, a0 + a1 x + · · · + aP n x es el polinomio de Taylor de orden n de la funci´on f (x) = an xn en un entorno del punto x = 0.

Corolario 2. (Unicidad de on en serie de poP P la representaci´ n n tencias). Sean an x y bn x series de potencias convergentes en el intervalo (−r, r) y X ⊂ (−r, r) un conjunto que tiene al 0

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184

Sucesiones y Series de funciones

Cap. 12

P P como punto de acumulaci´on. Si an xn = bn xn para todo x ∈ X entonces an = bn para todo n ≥ 0. En efecto, las hip´otesis nos aseguran P quen las funciones P f, g n : (−r, r) → R, definidas como f (x) = an x y g(x) = bn x , (n) (n) tienen las mismas derivadas, f (0) = g (0), n = 0, 1, 2, . . .. Luego an = f (n) (0)/n! = g (n) (0)/n! = bn . 4. Series trigonom´ etricas Demostraremos ahora, sucintamente, c´omo se pueden definir de forma precisa las funciones trigonom´etricas sin apelar a la intuici´on geom´etrica. Las series de potencias: c(x) =

∞ X (−1)n n=0

(2n)!

x2n

y s(x) =

∞ X (−1)n 2n+1 x (2n + 1)! n=0

tienen radio de convergencia inifinita, luego definen funciones c : R → R y s : R → R, ambas de clase C ∞ . Es inmediato que c(0) = 1, s(0) = 0, c(−x) = c(x) y s(−x) = −s(x). Derivando t´ermino a t´ermino, se tiene s′ (x) = c(x) y c′ (x) = −s(x). La derivada de la funci´on f (x) = c(x)2 + s(x)2 es 2cc′ + 2ss′ = −2cs + 2cs = 0 , luego es constante. Como f (0) = 1, concluimos que c(x)2 +s(x)2 = 1 para todo x ∈ R. De forma an´aloga se prueban las f´ormulas de la suma: s(x + y) = s(x)c(y) + s(y)c(x) , y c(x + y) = c(x)c(y) − s(x)s(y) .

Para esto basta fijar y ∈ R y definir las funciones f (x) = s(x+y)−s(x)c(y)−c(x)s(y) y g(x) = c(x+y)−c(x)c(y)+s(x)s(y).

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Secci´ on 4

Series trigonom´ etricas

185

Se tiene f ′ = g y g ′ = −f , de donde f 2 + g 2 tiene derivada id´enticamente nula, luego es constante. Como f (0) = g(0) = 0, se deduce que f (x)2 − g(x)2 = 0 para todo x ∈ R. Por tanto f (x) = g(x) = 0 para todo x ∈ R y as´ı las f´ormulas est´an probadas. Afirmamos ahora que, necesariamente, existe alg´ un x ∈ R tal que c(x) = 0. En caso contrario, como c(0) = 1, tendr´ıamos c(x) > 0 para todo x > 0 y, como c es la derivada de s, la funci´on s ser´ıa crecien+ teen la semirecta R x R . Entonces, para cualquier R x x > 1, se tendr´ıa c(x) = c(1)− 1 s(t)dt > 0, de donde c(1) > 1 s(t)dt > s(1)(x−1); la u ´ ltima desigualdad se debe a que s es creciente. Pero la desigualdad c(1) > s(1)(x − 1) para todo x > 1 es absurdo. Luego existe alg´ un x tal que c(x) = 0. El conjunto de los n´ umeros x ≥ 0 tales que c(x) = 0 es cerrado porqie c es continua. Luego posee un menor elemento, que no es cero pues c(0) = 1. Llamaremos π/2 al menor n´ umero positivo para el que se tiene c(x) = 0. Veremos ahora que las funciones c(x) y s(x) son peri´odicas, con per´ıodo 2π. En efecto, la segunda f´ormula de la suma nos da: c(2x) = c(x)2 − s(x)2 = 2c(x)2 − 1, luego c(π) = −1 y c(2π) = 1, de donde s(π) = s(2π) = 0. De nuevo las f´ormulas de la suma demuestran que s(x + 2π) = s(x) y c(x + 2π) = c(x), lo que prueba la afirmaci´on. Las notaciones usuales para estas funciones son c(x) = cos x y s(x) = sen x. Este peque˜ no resumen justifica el uso de las funciones sen x y cos x en el An´alisis Matem´atico. A partir de aqu´ı se definen las dem´as funciones trigonom´etricas de la forma habitual: tan x = sen x/ cos x, sec x = 1/ cos x, etc. En particular, l´ım sen x/x = 1 porque, como sen(0) = 0, este x→0 l´ımite es la derivada de sen x en el punto x = 0, que es igual a cos 0, o sea, a 1.

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186

Sucesiones y Series de funciones

Cap. 12

5. Series de Taylor P Cuando la serie de potencias an (x − x0 )n tiene radio de convergencia r > 0, se dice que es la serie de Taylor, alrededor del punto xP on f : (x0 − r, x0 + r) → R, definida mediante 0 , de la funci´ f (x) = an (x − x0 )n . Esta denominaci´on se debe a que la suma de los n + 1 primeros t´erminos de esta serie es el polinomio de Taylor de orden n de f en el punto x0 . Veremos ahora las serie de Taylor de algunas funciones conocidas. A veces la serie de Taylor de una funci´on en el punto x0 = 0 se llama “serie de Maclaurin”; sin embargo, no adoptaremos esta terminolog´ıa. 1. Funciones seno y coseno Sus series de Taylor en un entorno del punto x = 0 son: sen x = x −

x3 x5 x2 x4 + − · · · y cos x = 1 − + −··· 3! 5! 2 4!

en virtud de la propia definici´on de dichas funciones. 2. Funci´on 1/(1 − x) La serie de potencias 1 + x + x2 + · · · es una serie geom´etrica, que converge a la suma 1/(1 − x) cuando |x| < 1, y diverge cuando |x| ≥ 1. Luego es la serie de Taylor de la funci´on f : (−1, 1) → R, definida como f (x) = 1/(1 − x). P Se deduce que 1−x+x2 −· · · = n≥0 (−1)n xn es la serie de Taylor de la funci´on 1/(1 + x), que converge si |x| < 1 y diverge |x| ≥ 1. P De aqu´ı tambi´en resulta que 1 − x2 + x4 − · · · = n≥0 (−1)n x2n es la serie de Taylor de la funci´on g(x) = 1/(1 + x2 ) alrededor del punto x = 0. En este caso la funci´on g est´a definida para todo x ∈ R; sin embargo su serie de Taylor converge solamente en el intervalo (−1, 1). (Este fen´omeno est´a relacionada con el hecho de que la funci´on de variable√compleja g(z) = 1/(1 + z 2 ) no est´a definida en los puntos z = ± −1, ambos con valor absoluto igual a 1).

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Secci´ on 5

Series de Taylor

187

Si queremos obtener desarrollos finitos podemos escribir, respectivamente, xn+1 1 = 1 + x + · · · + xn + , x 6= 1, 1−x 1−x (−1)n+1 xn+1 1 = 1 − x + · · · + (−1)n xn + , x 6= −1, 1+x 1+x 1 (−1)n+1 x2n+2 2 n 2n = 1 − x + · · · + (−1) x + , x∈R. 1 + x2 1 + x2 En cada una de estas expresiones el u ´ ltimo sumando es el resto de la f´ormula de Taylor. En efecto, si llamamos, respectivamente, r, s y t a estos restos vemos f´acilmente que s(x) t(x) r(x) = l´ ım = l´ ım =0. x→0 xn x→0 xn x→0 xn l´ım

3. Funci´on exponencial P n La serie ∞ todo x ∈ R, luego la funci´on n=0 x /n! converge paraP ∞ n ∞ f : R → R, definida como f (x) = n=0 x /n!, es de clase C . ′ Derivando t´ermino a t´ermino vemos que f (x) = f (x). Como f (0) = 1, del Teorema 17, Cap´ıtulo 9, se concluye que f (x) = ex para todo x ∈ R. Por tanto: ex = 1 + x +

x2 x3 + +··· 2 3!

es la serie de Taylor de la funci´on exponencial en el punto x = 0. 4. Funci´on logaritmo Como la funci´on logaritmo no tiene sentido cuando x = 0, consideraremos la funci´on log(1 R x + x), definida para todo x > −1. Por definici´on, log(1 + x) = 0 dt/(1 + t). Integrando t´ermino a t´ermino la serie de Taylor de 1/(1 + x), que acabamos de ver, obtenemos: ∞

X x2 x3 x4 xn + − +··· = (−1)n+1 , log(1 + x) = x − 2 3 4 n n=1 la serie de Taylor de log(1 + x), que es convergente en el intervalo abierto (−1, 1), pues su radio de convergencia es 1. Por el Teorema de Leibniz (Teorema 3, Cap´ıtulo 4) se tiene que esta serie

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188

Sucesiones y Series de funciones

Cap. 12

converge tambi´en para x = 1 (sin embargo diverge para x = −1). Ser´ıa interesante saber si la funci´on f : (−1, 1] → R, definida coP mo f (x) = n≥1 (−1)n+1 xn /n, que coincide con log(1 + x) cuando |x| < 1, tambi´en coincide con log(1 + x) en el punto x = 1. Esto es verdad, como veremos a continuaci´on. En efecto, si integramos t´ermino a t´ermino el desarrollo finito de 1/(1 + x) visto anteriormente, obtenemos (llegando hasta el orden n en vez de n + 1): log(1 + x) = x −

x2 x3 xn + − · · · + (−1)n + rn (x) , 2 3 n

donde rn (x) = (−1)

n

Z

0

R1

x

tn dt . 1+t

Para x = 1, tenemos |rn (x)| ≤ 0 tn dt = Por tanto, l´ım rn (1) = 0. De donde n→∞

log 2 = 1 −

1 . n+1

1 1 (−1)n + −···+ +··· . 2 3 n

Esta es una expresi´on interesante de log 2 como P suma de una serie n+1 n alternada que demuestra que la serie de Taylor ∞ x /n n=1 (−1) representa log(1 + x) en el intervalo (−1, 1]. 5. Funci´on arctan x De los cursos de C´alculo es conocido que la funci´on tan : (− π2 , π2 ) → R es una biyecci´on de clase C ∞ con derivada positiva, y que su inversa arctan : R → (−π/2, π/2) tiene derivada igual a 1/(1 + x2 ), para todo x ∈ R. El desarrollo de tan x en serie de Taylor es complicado, mientras que el de arctan x es bastante R x simple; por eso pasamos a exponerlo. Tenemos que arctan x = 0 dt/(1 + t2 ), para todo x ∈ R. Cuando |x| < 1, podemos integrar t´ermino a t´ermino el desarrollo de Taylor de 1/(1 + x2 ) visto anteriormente, obteniendo: ∞

2n+1 2n+1 X x3 x5 n x n x arctan x = x− + −· · ·+(−1) +· · · = (−1) . 3 5 2n + 1 2n + 1 n=0

Este argumento (integraci´on t´ermino a t´ermino) nos garantiza la validez de esta igualdad cuando −1 < x < 1. Sucede que la serie en

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Secci´ on 5

Ejercicios

189

cuesti´on tambi´en converge en los puntos x = 1 y x = −1. Por tanto, es natural esperar que el desarrollo de arctan x en serie de Taylor valga en todo el intervalo cerrado [−1, 1]. Para ver esto integramos el desarrollo finito de 1/(1 + x2 ), obteniendo: 2n−1 x3 x5 n−1 x arctan x = x − + − · · · + (−1) + rn (x) , 3 5 2n − 1 R x t2n donde rn (x) = (−1)n 0 1+t 2 dt. Para todo x ∈ [−1, 1] tenemos Z |x| |x|2n+1 1 |rn (x)| ≤ t2n dt = ≤ , 2n + 1 2n + 1 0

luego l´ım rn (x) = 0, por tanto vale la igualdad: n→∞

arctan x =

∞ X n=0

(−1)n

x2n+1 2n + 1

para todo x ∈ [−1, 1]. En particular, para x = 1, obtenemos la f´ormula de Leibniz: π 1 1 1 = 1− + − +·. 4 3 5 7 5. Ejercicios Secci´on 1: Convergencia puntual y Convergencia uniforme 1. Demuestre que la sucesi´on de funciones fn : [0, +∞) → R, dadas por fn (x) = xn /(1 + xn ) converge puntualmente. Determine la funci´on l´ımite y demuestre que la convergencia no es uniforme. 2. Pruebe que la sucesi´on del ejercicio anterior converge uniformemente en todos los intervalos de la forma [0, 1 − δ] y [1 + δ, ∞); 0 < δ < 1. P n n 3. Pruebe que la serie ∞ n=1 x (1 − x ) converge cuando x pertenece al intervalo (−1, 1]. Adem´as la convergencia es uniforme en todos los intervalos de la forma [−1 + δ, 1 − δ], donde 0 < δ < 1/2.

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190

Sucesiones y series de funciones

Cap. 12

4. Pruebe que para que una sucesi´on de funciones fn : X → R sea uniformemente convergente es necesario y suficiente que, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε para cualquier x ∈ X. (Criterio de Cauchy). 5. Si la sucesi´on de funciones fn : X → R converge uniformemente a f : X → R, pruebe que f est´a acotada si, y s´olo si, existen K > 0 y n0 ∈ N tales que n > n0 ⇒ |fn (x)| ≤ K para todo x ∈ X. 6. Si la sucesi´on de funciones fn : X → R es tal que f1 ≥ f2 ≥ · · · ≥P fn ≥ · · · y fn → 0 uniformemente en X, pruebe que la serie (−1)n fn converge uniformemente en X. P 7. Si P |fn (x)| es uniformemente convergente en X, pruebe que fn (x) tambi´en lo es. Secci´on 2: Propiedades de la convergencia uniforme

1. Si fn → f y gn → g uniformemente en el conjunto X, pruebe que fn +gn → f +g uniformemente en X. Pruebe tambi´en que si f y g est´an acotadas entonces fn · gn → f · g uniformemente en X. Finalmente, si existe c > 0 tal que |g(x)| ≥ c para todo x ∈ X, pruebe que 1/gn → 1/g uniformemente en X. 2. Sea p : R → R un polinomio de grado ≥ 1. Demuestre que la sucesi´on de funciones fn : R → R, dadas por fn (x) = p(x) + 1/n, converge uniformemente a p en R; sin embargo (fn2 ) no converge uniformemente a p2 . 3. Considere la sucesi´ √ on de funciones fn : [0, 1] → R, donde fn (x) = sen(nx)/ n. Pruebe que (fn ) converge uniformemente a 0, pero que la sucesi´on de las derivadas fn′ no converge en ning´ un punto del intervalo [0, 1]. 4. Demuestre que la sucesi´on de funciones gn (x) = x + xn /n converge uniformemente en el intervalo [0, 1] a una funci´on derivable g y que la sucesi´on de derivadas gn′ converge puntualmente en [0, 1]: sin embargo, g ′ no es igual a l´ım gn′ . 5. Sea g : Y → R uniformemente continua. Si la sucesi´on de funciones fN : X → R converge uniformemente a f , con

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Secci´ on 5

Ejercicios

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f (X) ⊂ Y y fn (X) ⊂ Y para todo n ∈ N, pruebe que g ◦fn → g◦f uniformemente en X. Analice tambi´en el caso m´as sencillo fn ◦ g → f ◦ g. 6. Sean X compacto, U abierto y f : X → R continua tal que f (X) ⊂ U. Pruebe que si una sucesi´on de funciones fn : X → R converge uniformemente a f , entonces existe n0 tal que n > n0 ⇒ fn (X) ⊂ Y . 7. Si una sucesi´on de funciones continuas fn : X → R es uniformemente convergente en un conjunto denso D ⊂ X, pruebe que (fn ) converge uniformemente en X. 8. La sucesi´on de funciones fn : [0, 1] → R, fn (x) = nx(1 − x)n , converge, pero no uniformemente. Demuestre que, no obstante, se tiene: Z 1 Z 1  fn . l´ım fn = l´ım 0

n→∞

n→∞

0

9. Dada una sucesi´on de p funciones fn : X → R, suponga que n existe c ∈ R tal que |fn (x)| ≤ c < 1 paraPtodo x P ∈ X y n ∈ N suficientemente grande. Pruebe que |fn | y fn convergen uniformemente en X.

10. En el ejercicio anterior suponga que fn (x) 6= 0 para todo p n n ∈ N y x ∈ X y, en vez de |fn (x)| ≤ c < 1, suponga que |fn+1 (x)/fn (x)| ≤ c < 1 para todo x ∈ X y n suficientemente grande. Obtenga la misma conclusi´on. Secci´on 3: Series de potencias P 1. Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias an (x− x0 )n . Pruebe que si r ∈ R+ entonces r = 1/L, donde p L es el n mayor valor de adherencia de la sucesi´on acotada ( |an |). √ Por tanto, r = 1/(l´ım sup n an ). p 2. Pruebe que si l´ım n |an | = L entonces la series de potencias ∞ X n=0

2n

an x

y

∞ X

an x2n+1

n=0

√ tiene radio de convergencia igual a 1/ L.

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192

Sucesiones y series de funciones

Cap. 12

3. Determine el radio de convergencia de las siguientes series: X log n X 2 X √ n n xn . an xn , a n xn y

4. Pruebe que la funci´on f : (−r, r) → R, dada por f (x) = P∞ n n=0 an x , donde r es el radio de convergencia de la serie, es una funci´on par (respectivamente, impar) si, y s´olo si, an = 0 para todo n impar (respectivamente, par). (Ver Ejercicio 2.4, Cap. 8). P n 5. Sea ∞ an n=0 an x una serie de potencias cuyos coeficientes est´ determinados por las igualdades a0 = a1 = 1 y an+1 = an + an−1 . Demuestre √ que el radio de convergencia de dicha serie es igual a (−1 + 5)/2. 6. Pruebe que la funci´on f (x) =

∞ X n=0

(−1)n

1  x 2n (n!)2 2

f′ +f = 0 est´a bien definida para todo x ∈ R y que f ′′ + x para todo x 6= 0.

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13 Soluciones de los ejercicios Cada una de las doce seciones de este cap´ıtulo tiene el t´ıtulo de uno de los doce cap´ıtulos anteriores y contiene las soluciones de los ejercicios propuestos en dicho cap´ıtulo. La notaci´on p.q quiere decir q-´esimo ejercicio de la secci´on p del cap´ıtulo correspondiente. 1. Conjuntos finitos e infinitos 1.2 El conjunto A de los m´ ultiplos de m mayores que n no es vac´ıo pues (n + 1)m ∈ A. Sea (q + 1)m el menor elemento de A. Si n no es m´ ultiplo de m, qm < n < (q + 1)m, luego n = qm + r, con r < m. Rec´ıprocamente, si n = qm + r con r < m entonces (q + 1)m es el menor elemento de A, luego q est´a univocamente determinado junto a r = n − mq. 1.3 Sea k el menor elemento de X. Si n ∈ X entonces n ≥ k. As´ı, ´o n es m´ ultiplo de k ´o n = qk + r, con r < k. Ahora bien, n y qk pertenecen a X, luego r ∈ X, lo que es absurdo pues k es el menor elemento de X. Por lo tanto, todo n ∈ X es m´ ultiplo de k. 1.4 n < x < n + 1 ⇒ x = n + p, p ∈ N ⇒ n + p < n + 1 ⇒ p < 1, lo que es absurdo. 1.5 Sea X ⊂ N tal que 1 ∈ X y n ∈ X ⇒ n+1 ∈ X. Si X = N tome k =menor elemento de N − X. Se tiene 1 ∈ X, luego k = p + 1 193

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194

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

con p < k, as´ı p ∈ X, luego p + 1 = k ∈ / X, obtenemos una contradicci´on. 2.2 Si Y = X ∪ {a}, donde a ∈ Y , entonces P(Y ) est´a formado por las partes de Y que no contienen a a unidos a las que contienen a a. La primeras constituyen P(X), el n´ umero de las segundas es igual al de las primeras, luego P(Y ) = 2P(X). Ahora es suficiente aplicar el m´etodo de inducci´on sobre el n´ umero de elementos de X. 2.3 Si X = X ′ ∪ {a}, a ∈ / X ′ , entonces cada funci´on f ′ : X ′ → Y se puede extender de n maneras diferentes a una funci´on f : X → Y , que corresponden a las n im´agenes posibles de a, f (a) ∈ Y . Luego card F (X; Y ) = card F (X ′; Y ) × n. Ahora es suficiente aplicar el m´etodo de inducci´on sobre el n´ umero de elementos m de X. 3.3 Use la idea de Euclides: suponga que P es finito, considere el producto de todos los n´ umeros primos y sume 1 a este producto, as´ı se obtiene un n´ umero n que no puede ser primo, por lo tanto tiene un divisor propio. Llegue a una contradicci´on. 3.4 Tome Xn = N − In = conjunto de los n´ umeros naturales mayoT res que n. Entonces a ∈ ∞ X significa que a es mayor que n n=1 cualquier otro n´ umero natural. 4.1 Para ver que f es inyectiva use la unicidad de la descomposici´on en factores primos. Para ver que es sobreyectividad, dado k ∈ N sea m el mayor n´ umero natural tal que k es divisible por 2m . m Entonces k = 2 · ℓ, donde ℓ es impar, luego ℓ = 2n − 1. 4.2 Tome g = π ◦ ϕ, donde ϕ : N × N → N es sobreyectiva y π(m, n) = n. 4.3 Use el ejercicio anterior. 4.4 La funci´on f : Pn → Nn = N × · · · × N definida como f (X) = (m1 , m2 , . . . , mn ) si {m1 < m2 < · · · < mn } es inyectiva, por lo ∞ [ tanto Pn es numerable, luego P = Pn tambi´en lo es. n=1

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Secci´ on 2

N´ umeros reales

195

4.5 Interprete cada subconjunto X ⊂ N como una sucesi´on de ceros y unos, donde el n-´esimo t´ermino es 1 si n ∈ X y 0 si n ∈ / X. S 4.6 X = y∈Y f −1 (y).

2. N´ umeros reales

2.2 x = x − y + y ⇒ |x| ≤ |x − y| + |y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x − y|. An´alogamente, |y| − |x| ≤ |x − y| luego ||x| − |y|| ≤ m´ax{|x| − |y|, |y| − |x|} ≤ |x − y|. 2.3 No use el m´etodo de inducci´on. Escriba (1 + x)2n = (1 + 2x + x2 )n y use la desigualdad de Bernoulli. 2.6 Se deduce de 2.2. 2.7 Observe que P f (λ) = aλ2 + bλ + c, donde a = P 2 xi yi , c = x2i .

P

yi2, b =

3.3 Sea A = sup f . Se tiene f (x) ≤ A, de donde f (x)2 ≤ A2 para todo x ∈ √ X, luego sup(f 2 ) ≤ A2 . Por otra√parte, si c < A2 entonces c < A, luego existe x ∈ X con c < f (x) < A, y as´ı c < f (x)2 < A2 . Por lo tanto, sup(f 2 ) = A2 . 3.4 De x < (2−a2 )/(2a+1) se tiene a2 +2ax+x < 2. Como x < 1, se tiene x2 < x, luego (a+x)2 = a2 +2ax+x2 < a2 +2ax+x < 2. Por otra parte, como y < (b2 − 2)/2b entonces b2 − 2by > 2, de donde (b − y) > (b − 2y) > 0. Estas desigualdades nos dicen que si X = {a > 0 : a2 < 2}, entonces c = sup X no pertenece ni a X ni al conjunto Y = {b > 0 : b2 > 2}. Luego c2 = 2. 3.5 La correspondencia que asocia al polinomio p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn la (n + 1)-upla (a0 , a1 , . . . , an ) es una biyecci´on entre el conjunto Pn de los polinomios con coeficientes enteros de grado ≤ n y el producto cartesiano Zn+1 = Z × · · · × Z, S∞ luego Pn es numerable. As´ı el conjunto P = n=0 Pn de los polinomios con coeficientes enteros es numerable. Para cada n´ umero algebraico α fije, de una vez por todas, un polinomio Pα con coeficientes enteros que tenga α como ra´ız. La correspondencia α → Pα define una funci´on del conjunto A de los

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196

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

n´ umeros algebraicos reales en el conjunto numerable P , tal que la imagen inversa de cada elemento de P es finito. Luego A es numerable. 3.6 Sean α = ´ınf I y β = sup I, escribiremos α = −∞ (resp. β = +∞) si I no est´a acotado inferiormente (resp. superiormente). Basta probar que (α, β) ⊂ I. Ahora bien, x ∈ (α, β) ⇒ α < x < β ⇒ (por la definici´on de ´ınfimo y supremo) existen a, b ∈ I tales que a < x < b, luego, por hip´otesis, x ∈ I. 3. Sucesiones de n´ umeros reales 1.2 Dado ε > 0, existen n1 , n2 ∈ N tales que n > n1 ⇒ |xn −a| < ε y n > n2 ⇒ |yn − a| < ε. Tome n0 = m´ax{2n1 , 2n2 − 1}. Si m = 2k, entonces n > n0 ⇒ 2k > 2n1 ⇒ k > n1 ⇒ |zn − a| = |xk − a| < ε. Si n = 2k − 1, entonces n > n0 ⇒ 2k − 1 > 2n2 − 1 ⇒ k > n2 ⇒ |zn − a| = |yk − a| < ε. Por tanto, l´ım zn = a. 1.3 Basta observar que ||xn | − |a|| ≤ |xn − a|. 1.5 Para el conjunto B, tome una descomposici´on N = N1 ∪ N2 ∪ · · · donde Nk son infinitos y disjuntos 2 a 2, escriba xn = k si n ∈ Nk . Para el conjunto C, tome una numeraci´on x1 , x2 , . . . , xn , . . . de los n´ umeros racionales en el intervalo [0, 1]. 1.6 Para ver que es condici´on suficiente tome sucesivamente ε = 1, 1/2, 1/3, y obtenga n1 < n2 < n3 < · · · tales que |xnk −a| < 1/k. 2.3 Existe ε > 0 tal que |xn − a| ≥ ε para un conjunto infinito N′ de valores de n. Por el Teorema de Bolzano Weierstrass, la sucesi´on (xn )n∈N′ tiene una subsucesi´on convergente: N′′ ⊂ N′ y l´ım′′ xn = b. Se tiene |b − a| ≥ ε, luego b 6= a. n∈N

2.4 Sea a el u ´ nico valor de adherencia de (xn ). Por el ejercicio anterior se tiene l´ım xn = a. 2.5 La sucesi´on dada tiene 0 como u ´ nico valor de adherencia, sin embargo, no converge pues no est´a acotada.

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Secci´ on 3

Sucesiones de n´ umeros reales

197

2.6 Sea a < b. Como la media aritm´etica es mayor que la media geom´etrica, se tiene a < x1 < x2 < · · · < y2 < y1 < b. Luego existen x = l´ım xn e y = l´ım yn . Haciendo n → ∞ en yn+1 = (xn + yn )/2 se tiene y = (x + y)/2, de donde x = y. 2.7 (a) Tomando ε = 1 se ve que existe n0 ∈ N tal que |xm −a| < 1 para todo m > n0 , donde a = xn0 +1 . Entonces los t´erminos de la sucesi´on pertenecen al conjunto {x1 , . . . , xn0 }∪[a−1, a+1], que est´a acotado. (b) Si l´ım′ xn = a y l´ım′′ xn = b con |a − b| < 3ε, entonces, n∈N

n∈N

existen ´ındices arbitrariamente grandes tales que |xm − a| < ε y |xn −b| < ε. Como 3ε = |a−b| ≤ |a−xm | + |xm −xn | + |xn − b| ≤ 2ε + |xm − xn |, de donde |xm − xn | > ε, concluy´endose que (xn ) no es de Cauchy. (c) Se deduce de los apartados anteriores y del ejercicio 2.4. √ √ 3.1 Observe que 1 < n+p n < n n.

3.3 La sucesi´on es estrictamente creciente, pues x1 < x2 , y suponiendo que xn−1 < xn , se tiene x2n = a+xn−1 < a+xn = x2n+1 , de donde xn < xn+1 . Adem´as, si c es la ra´ız positiva de la ecuaci´on x2 − x − a = 0, o sea c2 = a + c, se tiene xn < c para todo n. Esto es verdad si n = 1, como xn < c, resulta x2n+1 = a + xn < a + c = c2 , luego xn+1 < c. Por lo tanto, existe l´ım xn . Haciendo n → ∞ en la igualdad x2n+1 = a + xn se tiene que l´ım xn = c. 3.5 Observe que x2 = 1/(a+x1 ) y x3 = 1/(a+x2 ) = (a+x1 )/(a2 + ax1 +1). Se tiene x1 < c = 1/(a+c) < 1/(a+x1 ) = x2 . Luego, x1 < x2 = 1/(a + x1 ) ⇒ x1 (a + x1 ) < 1 ⇒ (multiplicando por a y sumando x1 ) x1 (a2 + ax1 + x1 ) < a + x1 ⇒ x1 < (a + x1 )/(a2 + ax1 + x1 ), as´ı x1 < x3 < c < x2 . An´alogamente, se ve que x1 < x3 < c < x4 < x2 , y as´ı sucesivamente. Por lo tanto, existen l´ım x2n−1 = ξ y l´ım x2n = η. En la relaci´on xn+2 = (a + xn )/(a2 + axn + 1), si tomamos el l`ımite, tenemos ξ = (a + ξ)/(a2 + aξ + 1) y η = (a + η)/(a2 + aη + 1), luego ξ 2 + aξ − 1 = 0 y η 2 + aη − 1 = 0. Como ξ y η son positivos se tiene ξ = η = c. 3.6 Obverve que yn+1 = a + xn .

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198

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

3.7 Basta observar que xn+1 = 1/(1 + xn ). 4.1 Por el Ejemplo 9, dado√cualquier A > 0, existe √ n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ n! > An ⇒ n n! > A, luego l´ım n n! = +∞. √ √ √ √ 4.2 Recuerde que A − B = (A − B)/( A + B). 4.3 Para todo n suficientemente grande, n!/(nk · an ) > n!/(an · an ) = n!/(a2 )n , luego l´ım n!/(nk an ) = +∞. Escribiendo n→∞

xn = (an · n!)/nn , obtenemos sen xn+1 /xn = a · (n/(n + 1))n , por lo tanto l´ım(xn+1 /xn ) = a/e. Del Ejemplo 8 se deduce que l´ım xn = +∞ si a > e l´ım xn = 0, evidentemente l´ım yn = +∞ si a ≥ e. Cuando a < e, el cociente yn+1 /yn = [(n + 1)/n]k · (xn+1 /xn ) tiene l´ımite a/e < 1, luego l´ım yn = 0. 4.4 Observe que [log(n+1)/ log n]−1 = log(1+1/n)/ log n tiende a cero cuando n lo hace para +∞. 4.5 Sean Xn = xn+1 − xn e Yn = yn+1 − yn . Dado ε > 0, existe p ∈ N tal que, para todo k ∈ N, los n´ umeros Xp /Yp , . . . , Xp+k /Yp+k pertenecen al intervalo (a−ε, a+ε). Del Ejercicio 2.8, Cap´ıtulo 2, se deduce que (Xp + · · · + Xp+k )/(Yp + · · · + Yp+k ) ∈ (a−ε, a+ε), o sea, xp+k+1 −xp /(yp+k+1−yp ) ∈ (a−ε, a+ε) para dicho p y todo k ∈ N. Divida el numerador y el denominador por yp+k+1, haga k → ∞ y concluya que l´ım(xn /yn ) = a. 1. Es una consecuencia inmediata del ejercicio anterior. 4. Series de n´ umeros 1.1 Observe que bn = log n+1 = log(n + 1) − log n. n 1.4 Agrupe los t´erminos de uno en uno, de dos en dos, de cuatro en cuatro, de ocho en ocho, etc, y compare con la serie arm`onica. 1.5 Use el m´etodo del Ejemplo 5. 1.6 Para n suficientemente grande, log n <

√

n.

1.7 Observe que na2n ≤ an+1 + · · · + a2n ≤ an+1 · · · = s − sn , luego na2n → 0, de donde (2n)a2n → 0. Tambi´en, na2n−1 ≤ an + · · · + a2n−1 ≤ an + · · · = s − sn−1 → 0, luego na2n−1 → 0,

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Secci´ on 4

Series de n´ umeros

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de donde (2n)a2n−1 → 0 y (2n − 1)a2n−1 → 0- As´ı, sea n par o impar, se tiene l´ım nan = 0. 2.4 Observe que s2p < s4p < s6p < · · · < s5p < s3p < sp , que 2np ≤ i ≤ (2n + 1)p ⇒ s2np ≤ si ≤ s(2n+1)p , y, finalmente, que 1 1 s(2n+1)p − s2np < p · 2np = 2n → 0. P 2.5 Sean |bn | ≤ B para todo n ≥ 0 y |an | = A. Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |bn | < ε/2A y |an | + |an+1 | + · · · < ε/2B. Entonces, n > 2n0 ⇒ |cn | = |a1 bn + · · · + an0 bn−n0 + an0 +1 bn−n0 +1 + · · · + an b1 | ε ≤ (|a1 | + · · · + |an0 |) + (|an0 +1 | + · · · + |an |)B 2A ε Aε < + B = ε , por lo tanto l´ım cn = 0 . 2A 2B 2.7 Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, ! n n n X X X 2 |ai ||bi | ≤ ai · b2i i=1

i=1

i=1

para todo n ∈ N. P 2.8 Si an es absolutamente convergente entonces cualquier suma finita S de t´erminos an es menor que pP y mayor que P−q, donde, con la notaci´on del Teorema 4, p = pn y q = qn . Rec´ıprocamente, si las sumas finitas de t´erminos an forman un conjunto acotado en particular, las sumas parciaP entonces, P les de las series pn y qn P est`an acotadas, luego estas dos series son convergentes, y as´ı an converge absolutamente.

3.3 No hay dificultad en usar el criterio ed  Cauchy. El criterio de
n log(n+1) n log(n+1) an+1 n d’Alambert da an = n+1 · n+1 · . El primer log n factor tiene l´ımite cero, el segundo 1/e, luego basta probar que el tercer factor est`a acotado. Para n ≥ 3, tenemos [(n + 1)/n]n < n, por lo tanto (n + 1)n < nn+1 , tomando logaritmos n log(n + 1) < (n + 1) log n, de donde log(n + 1)/ log(n) < (n + 1)/n. Entonces (log(n + 1)/ log(n))n < ((n + 1)/n)2 < e, luego l´ım(an+1 /an ) = 0.

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200

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

3.4 Escriba zn = x1 x2 · · · xn y use el Teorema 7. 3.5 −1 < x < 1, x = 0, −∞ < x < +∞, x = 0, −1 ≤ x ≤ 1. 4.1 Sume los primeros t´erminos positivos hasta que, por primera vez, la suma sea ≥ 1, sume despu´es un u ´ nico t´ermino negativo. A continuaci´on sume los t´erminos positivos, en su orden, hasta que, por primera vez, la suma sea ≥ 2, sume entonces un u ´ nico t´ermino negativo. Continue. Esta reordenaci´on tiene suma +∞. An`alogamente para −∞. 4.2 Siga la receta del Teorema 9. 4.3 (a) Dado ε > 0, sea P J1 ⊂ N finito tal que J1 ⊂ J ⊂ N, J finito, implique 1s − n∈J an | < ε. Tome J0 ⊂ N y tal que ϕ(J0 ) = J1 . Entonces J ⊃ J0 ⇒ ϕ(J) ⊃ ϕ(J0 ) = J1 . Por lo tanto J : 0 ⊂ J ⊂ N, J finito, implica X X X am < ε . aϕ(n) = s − bn = s − s − n∈J n∈J m∈ϕ(J)

(b) P Para simplificar, para cada J ⊂ N finito, sea sJ ) = n∈J an . En vista del Ejercicio 2.8, basta probar que el conjunto de las sumas sJ , J ⊂ N finito, est´a acotado. Ahora bien, dado ε = 1 existe P J0 ⊂ N finito tal que J ⊃ J0 ⇒ |s − sJ | < 1. Escribiendo α = n∈J0 |an |, se ve que, para todo J ⊂ N finito, vale |s − sJ | = |s − sJ∪J0 − sJ0 −J | < 1 + α, luego sJ pertenece al intervalo de centro s y radio P P 1 + α. P (c) Sean s = an = u − v, u = pn , v = qn , como en la demostraci´ on del Teorema 4. Para cada P P P J ⊂ N finito, sean sJ = n∈J an , uJ = n∈J pn y vJ = n∈J qn , de donde sJ = uJ − vJ . Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, escribiendo J0 = {1, . . . , n0 }, J ⊃ J0 ⇒ |u − uJ | < ε/2, |v − vJ | < ε/2, luego J ⊃ J0 ⇒ |s − sJ | ≤ |u − uJ | + |v − vJ | < ε.

5. Algunas nociones de topolog´ıa 1.1 Para todo a ∈ int (X) existe, por definici´on, ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ⊂ X. Basta probar que (a − ε, a + ε) ⊂ X. Si y ∈ (a − ε, a + ε), sea δ el menor de los n´ umeros positivos

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Secci´ on 5

Algunas nociones de topolog´ıa

201

y −(a−ε), (a+ε)−y. Entonces, (y −ε, y +ε) ⊂ (a−ε, a+ε) ⊂ X, luego y ∈ int (X). 1.2 Si A no fuese abierto existir´ıa un punto a ∈ A que no ser´ıa interior. Entonces para cada n ∈ N, se podr´ıa encontrar xn ∈ (a − 1/n, a + 1/n), xn ∈ / A. As´ı l´ım xn = a, lo que es una contradicci´on. 1.5 fr X = {0, 1}, fr Y = {0, 1, 2}, fr Z = R, fr W = W . 1.6 Sean an < bn los extremos de In . Entonces a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ bn ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1 . Si α = sup an y β = ´ınf bn , entonces α = β ⇒ ∩ Jn = {α} pues la intersecci´on es no vac´ıa. Si α < β entonces α < x < β ⇒ an < x < bn para todo n, luego (α, β) ⊂ I. Por otra parte, c < α ⇒ c < an para alg´ un n ⇒ c ∈ / In ⇒ c ∈ / I. An´alogamente c > α ⇒ c ∈ / I. Por lo tanto (α, β) ⊂ I ⊂ [α, β]. Esto nos garantiza que I es un intervalo cuyos extremos son α y β. Como los In son distintos dos a dos, al menos una de las sucesiones (an ) o (bn ), por ejemplo la primera, tiene infinitos t´erminos diferentes. Entonces, para todo n ∈ N existe p ∈ N tal que an < an+p ≤ α < β ≤ bn , luego α ∈ (an , bn ) ⊂ In . Por lo tanto, α ∈ I e I no es un intervalo abierto. 2.1 Del Teorema 2 se deduce que D ⊂ X es denso en X si, y s´olo si, existen puntos de D en todo intervalo (x−ε, x+ ε), x ∈ X. Si n es tal que k n > 1/ε, los intervalos [m/k n , (m + 1)/k n ] tienen longitud 1/k n < ε, luego si m es el menor entero tal que x + ε < (m + 1)/k n entonces m/k n ∈ (x − ε, x + ε) 2.2 Si a ∈ X, entonces ´o a ∈ X ´o todo entorno de a contiene puntos de X y de R − X (a saber, el propio a), luego a ∈ fr X. 2.3 Decir que a ∈ / int X es lo mismo que afirmar que todo entorno de a contiene puntos que no est´an en X, esto es, que a ∈ R − X. 2.4 Sean X abierto y a ∈ A cualquiera. Para todo ε > 0 suficientemente peque˜ no, (a − ε, a + ε) ⊂ X. Si ninguno de estos intervalos estuviese contenido en A, cada uno contendr´ıa puntos de B, as´ı a ∈ A ∩ B, lo que es absurdo. Luego existe ε > 0

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202

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

tal que (a − ε, a + ε) ⊂ A y A es abierto. An´alogamente para B. Si X es cerrado y a ∈ A entonces a ∈ X. No es posible que a ∈ B, pues en tal caso a ∈ A ∩ B 6= ∅. Luego a ∈ A y A es cerrado. An´alogamente para B. 2.5 Si fr X es vac´ıo entonces X ⊃ fr X y X ∩ frX = ∅, luego X es cerrado y abierto. 2.6 De X ⊂ X ∪ Y e Y ⊂ X ∪ Y se concluye que X ⊂ X ∪ Y e Y ⊂ X ∪ Y . Rec´ıprocamente, si a ∈ X ∪ Y entonces a = l´ım zn con zn ∈ X ∪ Y . O infinitos t´erminos de esta sucesi´on est´an en X (y entonces a ∈ Y ). Luego a ∈ X ∪ Y . Por lo tanto, X ∪ Y ⊂ X ∪ Y . Adem´as, de X ∩ Y ⊂ X y X ∩ Y ⊂ Y se deduce X ∩ Y ⊂ X y X ∩ Y ⊂ Y , de donde X ∩ Y ⊂ X ∩ Y . Si X = [0, 1) e Y = (1, 2] entonces X ∩ Y = ∅, luego ∅ = X ∩ Y ⊂ X ∩ Y = [0, 1] ∩ [1, 2] = {1}. 2.7 Evidentemente, X ∪A ⊂ X. Rec´ıprocamente, si a ∈ X, entonces ´o a ∈ X ´o, en caso contrario, todo entorno de a contiene alg´ un xn 6= a. Escriba n1 = menor n ∈ N tal que |xn − a| < 1, y una vez definidos n1 < · · · < nk tales que |xni − a| < 1/i, escriba nk+1 = menor n ∈ N tal que |xn − a| < 1/k + 1 y < |xnk − a|. Entonces, l´ım xnk = a ∈ A. 3.2 Escoja en cada intervalo I de la colecci´on un n´ umero racional rI . La correspondencia I → rI es inyectiva. Como Q es numerable la colecci´on tambi´en lo es. 3.3 Para cada x ∈ X existe εx tal que (x − εx , x + εx ) ∩ X = {x}. Sea Ix = (x − εx /2, x + εx /2). Dados x 6= y ∈ X, sea, por ejemplo, εx ≤ εy . Si z ∈ Ix ∩ Iy entonces |x − z| < εx /2 y |z−y| < εy /2, luego |x−y| ≤ |x−z|+|z−y| < εx /2+εy /2 ≤ εy , de donde x ∈ Iy , lo cual es un absurdo. 3.4 Por los dos ejercicios anteriores, todo conjunto tal que todos sus puntos son aislados es numerable. 4.1 Si a ∈ / A entonces, por el Ejercicio 1.7 del Cap´ıtulo 3, existe ε > 0 tal que ning´ un punto del intervalo (a−ε, a+ε) pertenece a A. Luego A es cerrado. 4.3 Fn = [n, +∞) y Ln = (0, 1/n).

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Secci´ on 6

L´ımites de funciones

203

4.4 Sea α = ´ınf{|x − y| : x ∈ X y y ∈ Y }. Existen sucesiones de puntos xn ∈ X e yn ∈ Y tales que l´ım(xn − yn ) = α. Considerando una subsucesi´on, si as´ı fuese necesario, se puede suponer que l´ım xn = x0 ∈ X. Como |yn | ≤ |yn − xn | + |xn |, se deduce que (yn ) est´a acotada. Considerando nuevamente una subsucesi´on, se tiene l´ım yn = y0 ∈ Y . Luego |x0 − y0 | = α. 4.5 Todo conjunto infinito acotado tiene un punto de acumulaci´on a. Si X es compacto, a ∈ X. Los ejemplos son X = N e Y = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . .}. 4.6 Es f´acil probar que los conjuntos dados est´an acotados. Para demostrar que S es cerrado, suponga que l´ım(xn + yn ) = z, xn , yn ∈ X. Existe N′ ⊂ N infinito tal que l´ımn∈N′ xn = x0 ∈ X. Entonces, como yn = (xn + yn ) − xn , existe l´ımn∈N′ yn = y0 ∈ X, as´ı z = l´ımn→N′ (xn + yn ) = x0 + y0 ∈ S. La demostraci´on para D, P y Q se hace de forma an´aloga. 5.1 Pertenecen al conjunto de Cantor los n´ umeros 1/3 = 0, 1 = 0, 0222 . . . , 1/4 = 0, 0202 . . . , 1/9 = 0, 01 = 0, 00222 . . . y 1/10 = 0, 00220022 . . . (desarrollos en base 3). 5.2 Demuestre en primer lugar que dado un n´ umero de la forma n a = m/3 (que en base 3 tiene un desarrollo finito), existen x, y ∈ K tales que x − y = a. Observe despu´es que, como K es compacto, el conjunto D de los n´ umeros |x − y|, x, y ∈ K, es compacto. Como las fracciones m/3n son densas en [0, 1], se deduce que D = [0, 1]. 5.4 Los extremos de los intervalos retirados son los puntos de K que tienen desarrollo finito en base 3. Los puntos restantes son l´ımites de estos. (Ejemplo: 0, 20202 = l´ım xn , donde x1 = 0, 2, x2 = 0, 20, x3 = 0, 202, etc.) 6. L´ımites de funciones 1.2 Basta probar que si xn , yn ∈ X − {a} y l´ım xn = l´ım yn = a entonces l´ım f (xn ) = l´ım f (yn ). Para esto, defina (zn ) escribiendo z2n−1 = xn y z2n = yn . Se tiene l´ım zn = a, luego (f (zn )) converge, as´ı l´ım f (xn ) = l´ım f (yn ), pues (f (xn )) y f ((yn )) son subsucesiones de (f (zn )).

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204

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

1.5 Tome a ∈ R con sen a = c y haga xn = 1/(a + 2πn). 2.1 Basta observar que si l´ım xn = a y xn > a para todo n ∈ N, entonces (xn ) posee una subsucesi´on decreciente (que, naturalmente, coverge a a). 2.2 Haga lo mismo que en el ejercicio anterior. 2.5 El intervalo [−1, 1]. En efecto, si −1 ≤ c ≤ 1, tome una sucesi´on de n´ umeros xn < 0 tal que l´ım xn = 0 y sen 1/xn = c para todo n ∈ N, (como en el Ejercicio 1.5). Entonces, f (xn ) = c/(1 + 21/xn ) tiene l´ımite c. 3.1 Escriba p(x) = xn [(a0 /xn ) + (a1 /xn−1 ) + · · · + (an−1 /x) + an ]. 3.2 Cuando 2πn − π2 ≤ x ≤ 2πn + π2 , la funci´on x sen(x) alcanza todos los valores comprendidos entre π2 − 2πn y π2 + 2πn. Dado c ∈ R, existe n0 ∈ N tal que π2 − 2πn ≤ c ≤ 2πn + π2 para todo n ≥ n0 . Luego, para todo n ≥ n0 , existe xn ∈ [2πn− π2 , 2πn+ π2 ] tal que xn sen xn = c. Entonces l´ım xn = ∞ y l´ım f (xn ) = c. 3.3 Mt y mt son funciones mon´otonas de t (decreciente y creciente, respectivamente), ambas acotadas. Luego existen l´ım Mt = t→+∞

L, l´ım mt = ℓ y l´ım ωt = L−ℓ. Como mt ≤ f (t) ≤ Mt para t→+∞

t→+∞

todo t ≥ a, si l´ım ωt = 0 entonces existe l´ım f (x) = L = ℓ. x→+∞

Rec´ıprocamente, si l´ım f (x) = A entonces, para todo ε > 0, x→+∞

existe t ≥ a tal que A − ε ≤ f (x) ≤ A + ε para todo x > t, luego Mt −mt < 2ε. Se sigue que l´ım Mt = l´ım mt y l´ım ωt = 0. 7. Funciones continuas 1.1 Observe que ϕ(x) = 21 [f (x) + g(x) + |f (x) − g(x)|] y ψ(x) = 1 [f (x) + g(x) − |f (x) − g(x)|]. 2 1.2 A = A1 ∩ A2 , donde A1 = {x ∈ X : f (x) < g(x)} y A2 = {x ∈ X : f (x) > g(x)}, y F = F1 ∩ F2 , donde F1 = {x ∈ X : f (x) ≤ g(x)} y F2 = {x ∈ X : f (x) ≥ g(x)}.

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Secci´ on 7

Funciones continuas

205

1.5 Si f es discontinua en el punto a ∈ R existen ε > 0 y una sucesi´on (xn ) tales que l´ım xn = a y |f (xn ) − f (a)| > ε para todo n ∈ N. Entonces, tomando X = {x1 , . . . , xn , . . .}, se tiene a ∈ X y f (a) ∈ / f (x), luego f (X) * f (x). El rec´ıproco es obvio. 1.7 Claramente, existen ε > 0 y una sucesi´on de puntos xn ∈ X tales que l´ım xn = a y |f (xn ) − f (a)| > ε para todo n ∈ N. Existe un conjunto infinito {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } de ´ındices para los que la diferencia f (xn ) − f (a) tiene el mismo signo (supongamos que positivo.) Entonces, escribimos xk = xnk y tenemos f (xnk ) > f (a) + ε para todo k ∈ N. 2.1 Fije a ∈ I. Haciendo A = {x ∈ I : f (x) = f (a)} y B = {x ∈ I : f (x) 6= f (a)} se tiene I = A ∪ B. Como f es localmente constante, cada x ∈ A tiene un entorno disjunto de B, luego x∈ / B. As´ı, A ∩ B = ∅. An´alogamente, A ∩ B = ∅, por lo tanto I = A ∪ B es una escisi´on. Como a ∈ A, se sigue que A 6= ∅, de donde A = I y f es constante. 2.2 Suponga que f es creciente. Dado a ∈ intI, sean ℓ = l´ım− f (x) x→a

y L = l´ım+ f (x). Si f es discontinua en el punto a entonces x→a

ℓ < L. Si tomamos x, y ∈ I tales que x < a < y y z tal que ℓ < z < L, se tiene f (x) < z < f (y), y, sin embargo, z ∈ / f (I), luego f (I) no es un intervalo. (Razonamos de forma an´aloga si a es un extremo de I). 2.4 Si f es discontinua en el punto a ∈ I, existen ε > 0 y una sucesi´on de puntos xn ∈ I tales que l´ım xn = a y (por ejemplo) f (xn ) > f (a) + ε. Si tomamos c ∈ (f (a), f (a) + ε), la propiedad del valor medio nos asegura que para cada n ∈ N existe zn comprendido entre a y xn tal que f (xn ) = c. Evidentemente, el conjunto de los zn as´ı obtenidos es infinito, lo que es absurdo. 2.5 Defina ϕ : [a, 1/2] → R como ϕ(x) = f (x + 1/2) − f (x). Entonces ϕ(0) + ϕ(1/2) = 0, luego existe x ∈ [0, 1/2] tal que f (x) = f (x + 1/2). En el otro caso tome ψ : [0, 2/3] → R, ψ(x) = f (x + 1/3) − f (x) y observe que ψ(0) + ψ(1/3) + ψ(2/3) = 0, luego ψ cambia de signo y por lo tanto se anula en alg´ un punto x ∈ [0, 2/3].

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206

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

3.1 Tome cualquier a ∈ R. Existe A > 0 tal que a ∈ [−A, A] y |x| > A ⇒ f (x) > f (a). La restricci´on de f al conjunto compacto [−A, A] alcanza su valor m´ınimo en un punto x0 ∈ [−A, A]. Como f (x0 ) ≤ f (a), se deduce que f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ R. 3.2 Basta observar que el conjunto de las ra´ıces x de la ecuaci´on f (x) = c es cerrado y (como l´ım f (x) = +∞ y l´ım f (x) = x→+∞

x→−∞

−∞) acotado. 3.3 Como el intervalo [a, b] s´olo tiene dos puntos extremos, ´o el valor m´ınimo ´o el m´aximo de f (supongamos que este) se alcanzar´a en un punto interior de [a, b], y en otro punto d ∈ [a, b]. Entonces existe δ > 0 tal que en los intervalos [c − δ, c), (c, c+δ] y (caso d no sea el extremo inferior del intervalo [a, b]) [d − δ, d) la funci´on toma valores menores que f (c) = f (d). Sea A el mayor de los n´ umeros f (c−δ), f (c+δ) y f (d−δ). Por el Teorema del Valor Medio existen x ∈ [c − δ, c), y (c, c + δ) y z ∈ [d − δ, d) tales que f (x) = f (y) = f (z) = A, lo que es absurdo. 3.4 Tome x0 , x1 ∈ [0, p], los puntos en que f |[0,p] alcanza valores m´ınimo y m´aximo. 3.5 En caso contrario existir´ıa ε > 0 con la siguiente propiedad: para todo n ∈ N hay puntos xn , yn ∈ X tales que |xn −yn | ≥ ε y |f (xn )−f (yn )| ≥ n|xn −yn |. Considerando una subsucesi´on, se tendr´ıa l´ım xn = a ∈ X y l´ım yn = b ∈ X donde |b − a| ≥ ε y +∞ = l´ım[|f (xn ) − f (yn )|]/|xn − yn | = |f (b) − f (a)|/|b − a| , lo que es absurdo. 4.1 Si Y no es cerrado, tome a ∈ X − X y considere la funci´on continua f : X → R, definida como f (x) = 1/(x − a). Como no existe l´ım f (x), f no es uniformemente continua. Por otra x→a parte, N no es compacto, y sin embargo toda funci´on f : N → R es uniformemente continua. p √ 4.2 Tome xn = (n + 1/2)π e yn = nπ. Entonces, l´ım(xn − yn ) = 0 pero f (xn ) − f (yn ) = 1 para todo n ∈ N.

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Secci´ on 8

Derivadas

207

4.3 Para todo x ∈ X se tiene f (x) = ϕ(x), por la continuidad de f . Adem´as, si x ∈ X y x = l´ım xn , xn ∈ X, ϕ(x) = l´ım f (xn ). Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y ∈ X, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε/2. Si x, y ∈ X y |x − y| < δ, se tiene x = l´ım xn , y = l´ım yn , donde xn , yn ∈ X. Para todo n ∈ N suficientemente grande se tiene |xn − yn | < δ, luego |f (xn )−f (yn )| < ε/2, as´ı |ϕ(x)−ϕ(y)| = l´ım |f (xn )−f (yn )| ≤ ε/2 < ε. Por lo tanto, ϕ : X → R es uniformemente continua. 4.4 Sea L = l´ım f (x). Dado ε > 0 existe B > 0 tal que x ≥ x→∞

B ⇒ |f (x) − L| < ε/4. Entonces x ≥ B, y ≥ B ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ |f (x)−L|+|L−f (y)| < ε/4+ε/4 = ε/2. An´alogamente, existe A > 0 tal que x ≤ −A, y ≤ −A ⇒ |f (x) − f (y)| < ε/2. Por otra partem como [−A, B] es compacto, existe δ > 0 tal que x, y ∈ [−A, B], |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε/2. Si x < −A e y ∈ [−A, B] con |x − y| < δ, se tiene |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (−A)| + |f (−A) − f (y)| < ε/2 + ε/2, pues | − A − y| < |x − y| < δ. An´alogamente, x > B, y ∈ [−A, B] y |x − y| < δ implican |f (x) − f (y)| < ε. Luego f es uniformemente continua.

8. Derivadas 1.1 Escriba f (x) = f (a)+f ′ (a)(x−a)+r(x), como en el Teorema 1, y defina η; X → R como η(x) = [f ′ (a) + r(x)/(x − a)] = f (x)−f (a) si x 6= a y η(a) = f ′ (a). La continuidad de η en el x−a punto x = a es consecuencia del Teorema 1. 1.3 Observe que f (yn ) − f (xn ) f (yn ) − f (a) f (xn ) − f (a) = tn · + (1 − tn ) · , yn − xn yn − a xn − a donde 0 < tn < 1 para todo n ∈ N, basta tomar tn = (yn − a)/(xn − yn ). En la definici´on de derivada, las segmentos tienden a la tangente en el punto (a, f (a)) y pasan todas por dicho punto. Aqu´ı, ambos extremos var´ıan. 1.4 Tome f (x) = x2 sen(1/x) si x 6= 0 y f (0) = 0. Escriba xn = 1/2πn e yn = 1/(2n − 1)π.

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208

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

1.5 Vuelva al Ejercicio 1.3. El Ejemplo pedido puede ser la funci´on f (x) = x sen(1/x) o cualquier funci´on con (f (−x) = −f (x)) que no tenga derivada en el punto x = 0. 2.1 Por la Regla de la Cadena las derivadas de orden superior de 2 f en x 6= 0 son el producto de e−1/x por un polinomio en 2 e−1/h 1/x. En el punto x = 0 se tiene f ′ (0) = l´ım = 0, como h→0 h puede verse escribiendo 1/h = y. Suponiendo f ′ (0) = · · · = 1 P (1/h) f (n) (0) = 0 se tiene f (n+1) (0) = l´ım f (n) (h) = l´ım · h→0 h h→0 h 2 2 e−1/h = l´ım Q(1/h) · e1/h = 0. h→0

2.5 Derive k veces en relaci´on a t la igualdad f (tx) = tk · f (x) y obtenga f (k) (tx) · xk = k!f (x). Haga t = 0 y concluya que (k) f (x) = f k!(0) xk . 3.1 Tome f (x) como en el Ejemplo 7. 3.2 Para fijar ideas suponga que f ′′ (c) > 0. Por el Corolario 2 del Teorema 4, existe δ > 0 tal que c − δ < x < c < y < c + δ ⇒ f ′ (x) < 0 < f ′ (y). Entonces c−δ < x < c ⇒ f (x) > f (c), pues si tuvi´esemos f (x) ≤ f (c), como la derivada f ′ (x) es negativa, el m´ınimo de f en el intervalo [x, c] no se alcanzar´ıa ni en x ni en c, sino en un punto z ∈ (x, c), por lo tanto f ′ (z) = 0, lo que contradice la hip´otesis z ∈ (c − δ, c). An´alogamente se demuestra que c < y < c + δ ⇒ f (y) > f (c). Luego c es punto de m´ınimo local. En el caso en que f ′′ (c) < 0, c es un punto de m´aximo local. 3.3 Por el Corolario 2 del Teorema 4, existe δ > 0 tal que c − δ < x < c < y < c + δ ⇒ f ′ (x) < 0 < f ′ (y), luego c es el u ´ nico punto cr´ıtico de f en el intervalo (c − δ, c + δ). f ′ (cn ) − f ′ (c) = 0, pues f ′ (cn ) = f ′ (c) = 0 para n→∞ cn − c

3.4 f ′′ (c) = l´ım todo n.

3.5 Sea M el conjunto de los puntos de m´aximo local estricto de f . Para cada c ∈ M tomamos n´ umeros racionales rc , sc tales que rc < c < sc y x ∈ (rc , sc ), x 6= c ⇒ f (x) < f (c).

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Secci´ on 8

Derivadas

209

Si d ∈ M es diferente de c entonces los intervalos (rc , sc ) y (rd , sd ) son distintos porque d ∈ / (rc , sc ) o c ∈ / (rd , sd ), en efecto, d ∈ (rc , sc ) ⇒ f (d) < f (c) y c ∈ (rd , sd ) ⇒ f (c) < f (d). Como Q es numerable, la correspondencia c → (rc , sc ) es una funci´on inyectiva de M en un conjunto numerable. Luego M es numerable. 4.1 Suponga que A < B. Tome ε > 0 tal que A + ε < B − ε. Existe δ > 0 tal que c − δ ≤ x < c < y ≤ c + δ ⇒ g(x) < A + C < B − ε < g(y), en particular, g(c − δ) < A + ε y g(c + δ) > B − ε. Si tomamos ahora d 6= g(c) en el intervalo (A + ε, B − ε) no existe x ∈ (c − δ, c + δ) tal que g(x) = d. Luego, por el Teorema de Darboux, g no es la derivada de ninguna funci´on f : I → R. 4.5 Un ejemplo es f (x) = x3 . Como cada punto de X es l´ımite de puntos de Y se tiene X ⊂ Y , de donde X ⊂ Y . Por otra parte, Y ⊂ X por el Teorema del Valor Medio, luego Y ⊂ X. 4.6 Las hip´otesis implican que f ′ (x) no est´a acotada ni superior ni inferiormente. En efecto, si tuvi´esemos f ′ (x) ≥ A para todo x ∈ (a, b), la funci´on g(x) = f (x) − Ax tendr´ıa derivada ≥ 0, luego ser´ıa mon´otona y acotada, por lo tanto existir´ıan los l´ımites de g (y en consecuencia los de f ) cuando x → a y x → b. An´alogamente, no es posible que f ′ (x) ≤ B para todo x ∈ (a, b). As´ı, dado cualquier c ∈ R existen x1 , x2 ∈ (a, b) tales que f ′ (x1 ) < c < f ′ (x2 ). Por el Teorema de Darboux, existe x ∈ (a, b) tal que f ′ (x) = c. 4.7 Sabemos que f es creciente. Si f no fuese estrictamente creciente, existir´ıan x < y en [a, b] con f (x) = f (y), entonces f ser´ıa constante y f ′ igual a cero en el intervalo [x, y]. 4.8 Supongamos, por reducci´on al absurdo, que existan a < b en I tales que |f (b) − f (a)| = α > 0, entonces, en al menos una de las mitades del intervalo [a, b], por ejemplo [a1 , b1 ], tenemos |f (b1 ) − f (a1 )| ≥ α/2 > 0. Razonando an´alogamente se obtiene una sucesi´on de intervalos [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ · · · ⊃ [an , bn ] ⊃ · · · tales bn − an = (b − a)/2n y |f (bn ) − f (an )| ≥ α/2n . Si an ≤ c ≤ bn para todo n, entonces |f ′ (c)| = l´ım |f (bn ) − f (an )|/|bn − an | ≥ α/(b − a) > 0.

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210

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

4.10 Para todo x 6= c en (a, b) existe z comprendido entre x y c tal que [f (x) − f (c)]/(x − c) = f ′ (z). Por lo tanto, f ′ (c) = l´ım[f (x) − f (c)]/(x − c) = l´ım f ′ (x) = L. x→c

x→c

4.11 Como f ′ est´a acotada, existen l´ım+ f (x) y l´ım− f (x). Para que x→a

x→b

la propiedad del valor medio sea v´alida para f tales l´ımites tienen que ser iguales a f (a) y f (b), respectivamente (Cfr. soluci´on de 4.1). 4.12 |f (x) − f (a)|/(x − a) ≤ c|x − a|α−1 . Como α − 1 > 0, se tiene que f ′ (a) = 0 para todo a ∈ I. Luego f es constante. 4.13 Observe que [f (xn ) − f (yn )]/(xn − yn ) = f ′ (zn ), donde zn est´a comprendido entre xn e yn , luego zn → a. Por la continuidad de f ′ en el punto a, el cociente tiende a f ′ (a). 9. F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada 1.1 Sea f (x) = 1/(1 − x), −1 < x < 1. Escribiendo p(h) = 1 + h + · · · + hn y r(h) = hn+1 /(1 − h) se tiene r(h) = f (h) − p(h). Como p(h) es un polinomio de grado n y l´ım r(h)/hn = 0 se h→0

deduce que p(h) es el polinomio de Taylor de f en el punto 0, luego f (i) (0) = i! para i = 0, 1, . . . , n. 1.2 Como f (x) = x5 − x11 + · · · + (−1)n x6n+5 + (−1)n x6n+11 /(1 + x6 ), se tiene que f (i) (0) = 0 si i no es de la forma 6n + 5, mientras que f (i) (0) = (−1)n i! si i = 6n+5. Luego f (2001) (0) = 0 y f (2003) (0) = (−1)333 (2003)!. 1.3 Se tiene f (x) = pn (x) + rn (x) donde pn (x) es el polinomio de Taylor de orden n en torno del punto x0 . Por la f´ormula del resto de Lagrange existe z entre x y x0 tal que rn (x) = f (n+1) (z)/(n + 1)!, luego |rn (x)| ≤ K/(n + 1)!. Se deduce que l´ım rn (x) = 0 para todo x ∈ I, as´ı el resultado n→∞ est´a demostrado. 1.4 Vea “Curso de An´alisis Matem´atico”, vol. 1, p´agina 232. ′′

1.5 Si f ∈ C 2 , escriba f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + f 2(a) (x − a)2 + r(x), donde l´ım r(x)/(x − a)2 = l´ım r ′ (x)/(x − a) = 0. x→a

x→a

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Secci´ on 9

F´ ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada

211

′′

Entonces ϕ(x) = f ′ (a) + f 2(a) (x − a) + r(x)/(x − a) y ϕ′ (x) = f ′′ (a)/2 + r ′ (x)/(x − a) − r(x)/(x − a)2 , luego l´ım ϕ′ (x) = x→a

f ′′ (a)/2. Del Ejercicio 4.10 del Cap´ıtulo 8 se sigue que ϕ ∈ C 1 . Para f ∈ C 3 se procede de forma an´aloga.

1.6 Por la f´ormula de Taylor infinitesimal, haciendo x = a + h, o Pn sea, x−a = h, se puede escribir p(a+h) = i=0 (p(i) (a)/i!)hi + r(h), donde las n primeras derivadas de r(h) en el punto 0 son nulas. Como r(h) es un polinomio de grado ≤ n (diferencia entre dos polinomios), se tiene que r(h) es id´enticamente nulo. 1.7 Sea ϕ(x) = f (x) − g(x). Entonces ϕ : I → R es dos veces diferenciable en el punto a, ϕ(x) ≥ 0 para todo x ∈ I y ′′ ϕ(a) = ϕ′ (a) = 0. Entonces, ϕ(x)) = ϕ′ (a)(x − a) + ϕ 2(a) (x − a)2 + r(x), donde l´ım r(x)/(x − a)2 = 0. As´ı, ϕ(x) = (x − ix→a h ′′ r(x) 2 ϕ (a) + (x−a)2 . Si, se tuviese ϕ′′ (a) < 0, entonces existir´ıa a) 2 δ > 0 tal que, para 0 < |x − a| < δ, la expresi´on de dentro de los corchetes, y en consecuencia ϕ(x), ser´ıa < 0, lo que es absurdo. Luego, necesariamente, ϕ′′ (a) > 0, esto es, f ′′ (a) > g ′′ (a). 2.2 Para fijar ideas, sea f ′′ (c) > 0. Existe δ > 0 tal que c − δ < x < c + δ ⇒ f ′′ (x) > 0. Entonces f es convexa en el intervalo (c − δ, c + δ). 2.3 La suma de dos funciones convexas es convexa, sin embargo para el producto esto no es siempre verdad. Ejemplo: (x2 − 1)x2 . 2.4 Si f es convexa, sea X = {x ∈ I : f (x) ≤ c}. Dados x, y ∈ X, y x < z < y, se tiene z = (1 − t)x + ty, donde 0 ≤ t ≤ 1. Entonces, f (z) = f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y) ≤ (1 − t)c + tc = c, luego z ∈ X. As´ı, X es un intervalo y f es quasi-convexa. 2.5 Sean c = m´ax{f (x), f (y)} y z = (1−t)x+ty, donde 0 ≤ t ≤ 1. Entonces f (x) ≤ c, f (y) < c y z pertenece al intervalo de extremos x e y. Luego, f (z) ≤ z. 2.6 Si el m´ınimo de f se alcanza en el punto a, entonces dados x < y en [a, b], se tiene x ∈ [a, y], luego f (x) ≤ m´ax{f (a), f (y)} =

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212

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

f (y), por lo tanto f es creciente. An´alogamente, si el m´ınimo se alzanza en el punto b, f es decreciente. De aqu´ı se deduce que si f alcanza su m´ınimo en el punto c ∈ (a, b) entonces f es decreciente en [a, c] y creciente en [c, b]. 2.8 La existencia de c es consecuencia del Teorema del Valor Medio. Falta probar su unicidad. Si existiesen c1 , c2 tales que a < c1 < c2 < b y f (c1 ) = f (c2 ) = 0, se tendr´ıa c1 = ta + (1 − t)c2 , donde 0 < t < 1. Entonces, por la convexidad de f , 0 = f (c1 ) ≤ tf (a) + (1 − t)f (c2 ), de donde tf (a) ≥ 0, lo que es absurdo. 3.1 Basta probar que x ∈ I ⇒ f (x) ∈ I. Ahora bien, x ∈ I ⇒ |x− a| ≤ δ ⇒ |f (x) − a| ≤ |f (x) − f (a)| + |f (a) − a| ≤ k|x − a| + (1 − k)δ ≤ kδ + (1 − k)δ = δ ⇒ f (x) ∈ I. 3.2 a = 0,76666469. 3.3 Use el Teorema 10 y el Ejercicio 3.1. 3.4 Observe que (f ′ (x)) ≤ 1/a < 1. 10. La integral de Riemann 1.1 Dado ε > 0 existe n ∈ N tal que 1/2n < ε/2. La restricci´on de f1 de f al intervalo [1/2n , 1], es una funci´on escalonada, por lo tanto integrable. Existe entonces una partici´on P1 de este intervalo tal que S(f ; P1) − s(f ; P2 ) < ε/2. La partici´on P = {0} ∪P1 del intervalo [0, 1] cumple S(f ; P ) −s(f ; P ) < ε. R0 Ra 1.2 Si f es impar, basta probar que −a f (x)dx = − 0 f (x)dx. Ahora bien, a cada partici´on P de [0, a] le corresponde una partici´on P de [−a, 0], obtenida cambiando el signo de los puntos de divisi´on. Como f (−x) = −f (x), si en el intervalo [ti−1 , ti ] de P el ´ınf y el sup de f son mi y Mi , entonces, en el intervalo [−ti , −ti−1 ] el ´ınf y el sup son −Mi y −mi , respectivamente. Por lo tanto S(f ; P ) = −s(f ; P ) y s(f ; P ) = −S(f ; P ). Ahora la afirmaci´on es inmediata. An´alogamente para el caso f par.

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Secci´ on 10

La integral de Riemann

213

1.3 Evidentemente, f es discontinua en los racionales. Sea c ∈ [a, b] irracional. Dado ε > 0 el conjunto de los n´ umeros naturales q ≤ 1/ε, y por lo tanto el conjunto de los puntos x = p/q ∈ [a, b] tales que f (x) = 1/q ≥ ε, es finito. Sea δ la menor distancia entre c y uno de estos puntos. Entonces x ∈ (c − δ, c + δ) ⇒ f (x) < ε, y as´ı f es continua en el punto c. Toda suma inferior s(f ; P ) es cero pues todo intervalo no degenerado contiene n´ umeros irracionales, luego Rb f (x)dx = 0. En cuanto a la integral superior, dado ε > 0, a sea F = {x1 , x2 , . . . , xn } el conjunto de los puntos de [a, b] para los que se tiene f (xi ) ≥ ε/2(b − a). Con centro en cada xi tome un intervalo de longitud < ε/2n, escogido de forma que estos n intervalos sean disjuntos dos a dos. Los puntos a, b, junto con los extremos de los n enteros que pertenezcan a [a, b], forman un partici´on P tal que S(f ; P ) < ε. Luego Rb f (x)dx = 0. a 1.4 Sea m = f (c)/2. Existe δ > 0 tal que f (x) > m para todo x ∈ [c − δ, c + δ]. Entonces, para toda partici´on que contenga a los puntos c − δ y c + δ, se tiene s(f ; P ) > 2mδ. De donde Rb f (x)dx ≥ s(f ; P ) > 0. a 1.5 Para todo partici´on P de [a, b] se tiene s(ϕ; P ) = S(g; P ) y Rb Rb S(ϕ; P ) = S(g; P ) + (b − a). Luego −a ϕ(x)dx = −a g(x)dx y Rb Rb ϕ(x)dx = g(x)dx+ (b−a). En particular, para g(x) = x, a R ab Rb 2 ϕ(x)dx = (b − a2 )/2 y a f (x)dx = (b2 − a2 )/2 + (b − a). a

2.1 Para x, y ∈ [a, b]

Z |F (x) − F (y)| =

y x

f (t)dt ≤ M|x − y| ,

donde M = sup{|f (t)| : t ∈ [a, b]}.

2.2 ϕ = 12 [f + g + |f − g|], ψ = 12 [f + g − |f − g|], f+ = m´ax{f, 0} y f− = − m´ın{f, 0}. 2.3 La desigualdad de Schwarz para integrales resulta del hecho de que en el espacio vectorial de las funciones continuas en [a, b], Rb hf, gi = a f (x)g(x)dx define un producto interno. Lectores

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214

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

´ que todav´ıa no est´en familiarizados con el Algebra L´ıneal, pueden probar esta desigualdad con los argumentos usados en el Cap´ıtulo 2, Ejercicio (2.7), considerando el trinomio de Rb grado 2 p(x) = a (f (x) + λg(x))2 dx.

3.1 El conjunto de los puntos de discontinuidad de f es Q ∩ [a, b], por lo tanto numerable, y en consecuencia de medida nula.

3.2 Dada una funci´on mon´otona f : [a, b] → R basta probar que el conjunto D de los puntos de discontinuidad de f en (a, b) es numerable. Para cada x ∈ D sean ax el menor y bx el mayor de los tres n´ umeros l´ım− f (y), l´ım+ f (y) y f (x). Como f es y→x

y→x

discontinua en el punto x se tiene ax < bx . Adem´as, como f es mon´otona, si x 6= y en D entonces los intervalos abiertos (ax , bx ) y (ay , by ) son disjuntos. Para cada x ∈ D escoja un n´ umero racional r(x) ∈ (ax , bx ). La funci´on x → r(x), de D en Q, es inyectiva, luego D es numerable. 3.3 Todos los puntos del conjunto D − D ′ son aislados, luego, en virtud de Ejercicio 3.4, Cap´ıtulo 5, dicho conjunto es numerable. Se deduce que D es numerable, pues D ⊂ (D − D ′ ) ∪ D ′ . 4.1 La funci´on f : [0, 1] → R. igual 1 en los racionales y 0 en los irracionales, se anula fuera de un conjunto de medida nula pero no es integrable. Por otra parte, si f : [a, b] → $ es integrable e igual a cero fuera de un conjunto de medida nula, en cualquier subintervalo de [a, b] el ´ınfimo de f es cero, luego Rb Rb f (x)dx = 0, de donde a f (x)dx = 0. a

4.2 (a) Si X ⊂ I1 ∪ · · · ∪ Ik entonces X ⊂ J1 ∪ · · · ∪ Jk , donde Ji es un intervalo P con el mismo P centro y el doble de longitud que Ji . Luego Ii < ε ⇒ Ji < 2ε, y se concluye que X tiene contenido nulo. (b) Todo conjunto de contenido nulo est´a acotada, luego el conjunto Q, que tiene medida nula, no tiene contenido nulo. Adem´as, Q ∩ [a, b], aunque est´a acotada, tiene medida nula pero no tiene contenido nulo, en virtud del apartado (a), pues su cierre es [a, b], cuyo contenido no es nulo. (c) Use Borel-Lebesgue. (d) La diferencia g − f : [a, b] → R es igual a cero excepto

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C´ alculo con integrales

215

en un conjunto X de contenido nulo. Sea M = supX (f − g). Todas las sumas inferiores de g − f son nulas. En cuanto a las sumas superiores, dado ε > 0 existen intervalo I1 , . . . , Ik tales que X ⊂ I1 ∪ · · · ∪ Ik y |J1 | + · · · + |Jk | < ε/M. Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que los intervalos Ij est´an contenidos en [a, b]. Los extremos de estos intervalos junto a a y b forman una partici´on de [a, b]. Los intervalos de dicha partici´on que contienen puntos de X son los Ij . Como P |Ij | < ε/M, se sigue que S(f ; P ) < ε. En consecuencia, Rb |g − f | = 0. As´ı, g − f es integrable y su integral es cero. a Rb Rb Finalmente, g = f + (g − f ) es integrable y a g = a f . 11. C´ alculo con integrales 1.2 Dada cualquier partici´on P = {t0 , t1 , . . . , tP n } del intervalo de extremos c y x, se tiene f (x) − f (c) = [f (ti ) − f (ti−1 )]. Aplique el Teorema del Valor Medio a cada f (ti ) − f (ti−1 ) y concluya qie s(f ; P ) ≤ f (x) − f (c) ≤ S(f ; P ) para cualquier partici´on P . 1.3 Es sabido que f es creciente. Si f no fuese estrictamente creciente existir´ıan x < y en [a, b] tales que f (x) = f (y). Entonces f ser´ıa constante y f ′ nula en el intervalo [x, y], que no tiene contenido nulo. 1.4 f (b) − f (a) = ´ınf ba f ′ (x)dx = f ′ (c) · (b − a), a < c < b. R β(x) R α(x) 1.5 Fijando c ∈ (a, b) se tiene ϕ(x) = c f (t)dt − c f (t)dt. R α(x) Entonces basta considerar ϕ(x) = c f (t)dt.R Ahora bien, x ϕ = F ◦ α, donde F : [a, b] → R es dada como c f (t)dt. Use la Regla de la Cadena. 1.7 Integre por partes. 2.2 Basta probar que si f no est´a acotada entonces, para toda partici´on P y todo n´ umero AP> 0, existe una partici´on puntuada P ∗ = (P, ξ) tal que | (f ; P )| > A. En efecto, dada P f no est´a acotada en, al menos, uno de sus intervalos, supongamos que [ti−1 , ti ]. Una vez tomados los puntos ξ, en los

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Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

dem´ P as intervalos, se puede escoger ξi ∈ [ti−1 , ti ] de forma que | (f ; P ∗)| > A.

P 2.3 Dado ε > 0, existe P = {t0 , t1 , . . . , tn } tal que | (f ; P ∗) − L| < ε/4 se cual fuere la forma de puntuar la partici´on P . Tome P y puntue de dos formas. Primero escoja en cada [ti−1 , ti ] un punto ξP i tal que f (ξi ) < mi + ε/2n(ti−1 − ti ), obte∗ niendo P tal que (f ; P ∗) < s(f ; P ) + P ε/4. An´alogamente, obtenga P # tal que S(fP ; P #) − ε/4 < (f ; P #). De donP de S(f ;P P ) − s(f ; P ) < (f ; P #P ) − (f ; P ∗) + ε/2. Pero, como | (fP ; P ∗) − L| < ε/4 y | (f ; P #) − L|ε/4, se tiene P # (f ; P − (f ; P ∗ ) < ε/2. Luego S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε y f Rb es integrable. Evidentemente, por el Teorema 7, a f (x)dx = L. 2.4

P

P P f (ξi )g(ηi )(ti − ti−1 ) = f (ξi )g(ξi )(ti − ti−1 ) + f (ξi ) · [g(ηi ) − g(ξi )](ti − ti−1 ). El segundo sumando del segundo miembro tiende a cero cuando |P | → 0, ya que |f (ξi )| ≤ M.

2.7 Por el Ejercicio 2.6,

Rb

f (x)dx/(b − a) = l´ım M(f ; n). Como n→∞   1 Pn f es convexa, M(f ; n)P≥ f n i=1 (a + ih) , donde h = (b − a+b a)/n. Ahora bien, n1 ni=1 (a + ih) = n−1 → (a + b)/2 n 2 cuando n → ∞. a

Rn 2.8 Escriba xn = n!en /nn . Integrando por partes se tiene a log xdx = n log x − n + 1 = An . Si Bn es la suma superior de la funci´on log x relativa a laP partici´on {1, 2, . . . , n} del intervalo [1, n] se tiene An < Bn = nk=2 log k = log(n!). Una aproximaci´on por exceso de An se puede obtener considerando, para cada k = 2, . . . , n, el ´area del trapecio de base el intervalo [k −1, k] en el eje de las x, con dos lados verticales y cuyo lado inclinado es la tangente al gr´afico y = log x en el punto Pn(k−1/2, log(k−1/2)), tal ´area vale log(k − 1/2). Sea cn = k=2 log(k − 1/2) la suma de las ´areas de estos trapecios. Se tiene An < Cn < Bn y por el Teorema del Valor Medio, k − 1/2 ≤ θP k ≤ k. Como la serie arm´onica es divergente, se deduce que 1/θk = +∞, luego l´ım(Bn − An ) ≥ l´ım(Bn − Cn ) = +∞. Finalmente, como Bn − An = log n! − n log n + n − 1 = log(n!en−1 · n−n ), se concluye que l´ım xn = +∞.

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C´ alculo con integrales

217

3.1 Para todo x ∈ R, f (x) = f (x/2 + x/2) = (f (x/2))2 ≥ 0. Si existiese c ∈ R tal que f (c) = 0 entonces f (x) = f (x − c)f (c) = 0 para todo x ∈ R. Luego f (x) > 0 para cualquier x. Adem´as, f (0) = f (0 + 0) = f (0) · f (0), luego f (0) = 1. Tambi´en f (−x) · f (x) = f (−x + x) = f (0) = 1, por lo tanto f (−x) = f (x)−1 . De aqu´ı, f (px) = f (x)p para todo p ∈ Z. Tambi´en, para todo q ∈ N, f (x) = f (x/q + · · · + x/q) = f (x/q)q , de donde f (x/q) = f (x)1/q . Entonces, para todo r = p/q ∈ Q, tal que q ∈ N, se tiene f (r) = f (p/q) = f (1)p/q = f (1)r . Sea f (1) = ea . Se deduce que f (r) = ear para todo r ∈ Q. Como f es continua, se tiene f (x) = eax para todo x ∈ R. La segunda parte se prueba de forma an´aloga (v. Corolario 1 del Teorema 15) o usando el hecho de que las funciones exp y log son una la inversa de la otra. 3.2 Como xn − xn−1 = log(1 + 1/n) − 1/(n + 1), basta observar que el m´ınimo de la funci´on 1/x en el intervalo [1, 1 + 1/n] es R 1+1/n n 1 = n+1 . n/(n + 1), luego log(1 + 1/n) = 1 dx/x > n1 n+1 3.3 Escribiendo x = 1/y, se tiene l´ım x · log x = l´ım − x→0

y→∞

log y = 0. y

3.4 Escribiendo x/n = ym se obtiene (1 + x/n)n = (1 + y)x/y = [(1 + y)1/y ]x , luego l´ım (1 + x/n)n = l´ım [(1 + y)1/y ]x = ex . n→∞

y→0

4.1 Divergente, divergente y convergente. 4.2 Las tres son convergentes. 4.3 La integral en cuesti´on vale valor absoluto de Z √(n+1)π √

P∞

n=0 (−1)

n

an , donde an es el

sen(x2 )dx .

nπ

p √ Como | sen(x2 )| ≤ 1, se tiene 0 < an ≤ (n + 1)π − nπ, luego l´ım an = 0. En la integral√cuyo valor absoluto√es an+1 , haga el cambio u2 + π, dx = udu/ u2 + π, p de variable x = p √ observe que (n + 1)π ≤ x ≤ (n + 2)π ⇔ nπ ≤ u ≤ p (n + 1)π y deduzca que an+1 < an . Por el Teorema de Leibniz la integral converge. La concavidad de la funci´on | sen(x2 )|

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218

Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

p √ en el intervalo [ nπ, (n + 1)π] implica que an es mayor que el ´area del tri´anguloP is´osceles de base dicho intervalo R +∞ y altura 1. Luego la serie an diverge y la integral 0 | sen(x2 )| tambi´en. 4.4 El m´etodo es el mismopque el del ejercicio anterior. EscribienRb √ 4 4 (n + 1)π se tiene a |x sen(x4 )|dx < do a = nπ y b = ´area del tri´angulo cuya base es el intervalo [a, b] y cuya altura es b. Como b4 − a4 = π = (b − a)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ), tal ´area vale b(b − a) = bπ/(a3 + a2 b + ab2 + b3 ), luego tiende a cero cuando n √ → ∞, Haciendo c = (nR+ 2)π, el cambio c 4 de variable x = u4 + π nos da an+1 = b |x sen(x4 )|dx = Rb Rb u2 |u sen(u4 )| √ du, luego an+1 < an = a |x sen(x4 )|dx. 4 a 4 2 (u +π) P n Por el Teorema de Leibniz, la serie ∞ n=0 (−1) an converge al valor de la integral en cuesti´on. Rx 4.5 Sea ϕ(x) = a f (t)dt, x ≥ a. Por hip´otesis existe L = l´ım ϕ(x). x→+∞

Luego dado ε > 0, existe A > 0 tal que x > A ⇒ L − ε < ϕ(x) < L. De donde x > 2A R x ⇒ L − ε < ϕ(x/2) < ϕ(x) < L, as´ı ε > ϕ(x) − ϕ(x/2) = x/2 f (t)dt ≥ (x/2)f (x), pues f es creciente. Luego l´ım (x/2)f (x) = 0, y se sigue el resultado. x→+∞

Rt 4.6 Defina ϕ : [a, +∞) → R mediante ϕ(t) = a f (x)dx. Si t ≥ a, sean Mt = sup{ϕ(x); x ≥ t}, mt = ´ınf{ϕ(x); x ≥ t} y ωt = Mt − mt . Entonces ωt = sup{|ϕ(x) − ϕ(y)|; x, y ≥ t}, (Cfr. Lema 2, Secci´on 1). La condici´on del enunciado equivale a afirmar que l´ım ωt = 0. El resultado se deduce entonces del t→+∞

Ejercicio 3.3. del Cap´ıtulo 6. 12. Sucesiones y series de funciones 1.1 Se tiene l´ım fn = f , donde f (x) = 0 si 0 ≤ x < 1, f (1) = 1/2 y f (x) = 1 si x > 1. 1.2 La convergencia fn → f es mon´otona, tanto en [0, 1 − δ] como en [1 + δ, ∞). Por el Teorema de Dini, la convergencia es uniforme en [0, 1 − δ], pues este intervalo es compacto. En el otro intervalo basta observar que cada fn es estrictamente

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Secci´ on 12

Sucesiones y series de funciones

219

creciente, luego fn (1 + δ) > 1 − ε ⇒ fn (x) > 1 − ε para todo x ≥ 1 + δ. 1.3 Sea a = 1 −δ. Entonces x ∈ [−1 |x| ≤ |a| < P + δ, 1i −δ] significa P i i 1. Adem´ a s, |x| ≤ a < 1 ⇒ |x (1 − x )| ≤ i≥n i≥n |x | ≤ P i n para todo ε > 0 existe n0 ∈ N i≥n |a | = a /(1 − Pa). Luego, i tal que n > n0 ⇒ i≥n |x (1 − xi )| < ε, lo que nos asegura la convergencia uniforme. La afirmaci´on inicial es obvia. 1.4 La necesidad de la condici´on es evidente. Respecto a la suficiencia, observe que, para todo x ∈ X, la sucesi´on de n´ umeros reales fn (x), n ∈ N, es de Cauchy, luego por el Ejercicio 2.7 del Cap´ıtulo 3, existe l´ım fn (x) = f (x). Esto define una funn→∞ ci´on f : X → R tal que fn → f puntualmente. Para probar que la convergencia es uniforme, tome ε > 0 y obtenga n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε/2 para todo x ∈ X. Fije n > n0 y haga m → ∞ en esta desigualdad. Concluya que n > n0 ⇒ |f (x) − fn (x)| ≤ ε/2 < ε. 1.5 Si fn → f uniformemente en X entonces, dado ε = 1, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ ||fn (x)|−|f (x)|| ≤ |fn (x)−f (x)| < 1 para todo x ∈ X, Luego n > n0 ⇒ |fn (x)| < |f (x)| + 1 y |f (x)| < |fn (x)| + 1. De aqu´ı se deduce el resultado. 1.6 Adapte la demostraci´on del Teorema de Leibniz (Teorema 3, Cap´ıtulo 4). P∞ 1.7 Para todo x ∈ X la serie n=1 fn (x) converge, luego tiene sentido considerar rn (x) = fn (x) + fn+1 (x) + · · · , como |rn (x)| ≤ Rn (x) = |fn (x)| + |fn+1 (x)| + · · · , P se deduce que l´ım rn (x) = 0 uniformemente en X, luego fn converge n→∞ uniformemente. 2.1 Observe que |fn (x) + gn (x) − (f (x) + g(x))| ≤ |fn (x) − f (x)| + |gn (x) − g(x)|, que |fn (x)gn (x) − f (x)g(x)| ≤ |fn (x)||gn (x) − g(x)| + |gn (x)||fn (x) − f (x)|, y que |1/gn(x) − 1/g(x)| ≤ (1/|g(x)gn(x)|)|gn (x) − g(x)|. √ 2.3 Como fn′ (x) = n cos(nx), s´olo existe l´ım fn′ (x) cuando l´ım cos(nx) = n→∞

n→∞

0. Teniendo en cuenta que cos(2nx) = cos2 (nx) − sen2 (nx),

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Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

haciendo n → ∞ se obtendr´ıa 0 = −1. Luego no existe l´ım fn′ (x), sea cual fuere x ∈ [0, 1].

n→∞

2.6 El conjunto f (X) es compacto, disjunto del conjunto cerrado R − U. Por el Ejercicio 4.4 del Cap´ıtulo 5, existe ε > 0 tal que x ∈ X e y ∈ R − U ⇒ |x − y| ≥ ε, luego x ∈ X, |f (x) − z| < ε ⇒ z ∈ U. Tome n0 ∈ N tal que |fn (x) − f (x)| para todo n ≥ n0 y todo x ∈ X. Entonces fn (X) ⊂ U si n ≥ n0 . 2.7 Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |fm (d) − fn (d)| < ε/2 para todo d ∈ D, luego |fm (x)−fn (x)| ≤ ε/2 < ε para todo x ∈ X, pues x es el l´ımite de una sucesi´on de puntos de D. Por el criterio de Cauchy, (Ejercicio 1.4), (fn ) converge uniformemente en X. 2.8 Integre fn por partes y haga n → ∞. 2.9 Adapte la demostraci´on del criterio de d′ Alembert, usando, si le parece, el Teorema 5. 2.10 Adapte la demostraci´on del criterio de Cauchy, usando, si le parece, el Teorema 5. 3.1 Sean a, b tales que a < 1/r < b. Entonces r < 1/a, luego 1/a ∈ /pR, por lo tanto existen infinitos ´ındices n tales que a ≤ n |an |. Adem´as, 1/b < r, luego existepρ ∈ R. As´ı, para todo N suficientemente grande, se tiene n |an | < 1/ρ < b. Con otras palabras, solamente hay un n´ umero finito de ´ındices p n n tales que b ≤ p|an |. De donde 1/r es un valor de adherencia de la sucesi´on n |an | y ning´ un mayor que 1/r tiene dicha propiedad. P P 3.2 Se tiene an x2n = bn xn , donde b2n = anp y b2n−1 = 0. As´ı, n los t´erminos de orden impar de la sucesi´on |b qn |pson iguales n a cero y los de orden par forman la sucesi´on |an |, cuyo p √ n l´ımite es L. Por lo tanto, √ la sucesi´on ( |bn | tiene dos valores de adherencia: 0P y L. Por el ejercicio anterior, el radio √ 2n de convergencia de A − nx es 1/ L. Un razonamiento an´alogo vale para la otra serie.

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Secci´ on 12

Sucesiones y series de funciones

3.3 El radio de convergencia de |a| > 1 e igual a 1 si |a| = 1.

P

221

2

an xn es +∞ si |a| < 1, 0 si

3.4 Use el Corolario 2 del Teorema 9 (Unicidad de la representaci´on en series de potencias). 3.5 Vea el Ejercicio 3.7, Cap´ıtulo 3.

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Soluciones de los ejercicios

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Cap. 13

Lecturas recomendadas Para profundizar, y complemento de algunos t´opicos abordados en este libro, la referencia natural es 1. E. L. Lima, Curso de An´alisis Matem´atico, vol. 1. (8a edici´on). Proyecto Euclides, IMPA, 1994. Para una presentaci´on del tema logar´ıtmos, siguiendo las mismas ideas del texto, aunque de car´acter bastante m´as elemental, con numerosos ejemplos y aplicaciones, vea: 2. E. L. Lima, Logaritmos, Sociedade Brasileira de Matem´atica, Rio de Janeiro, 1994. Otros libros que pueden ser de gran utilidad para comprender mejor los temas aqu´ı estudiados, trat´andolos con enfoques diferentes y abordando puntos que aqu´ı no fueron considerados, son ´ 3. R. G. Bartle, Elementos de Analise Real, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1983. 4. D. G. Figueiredo, An´alise I. L.T.C. Rio de Janeiro, 1995 (2a edici´on). 5. P.R. Halmos, Teoria Ingˆenua dos Conjuntos. Ed. USP, S˜ao Paulo, 1970. ´ 6. A. Hefez, Algebra, vol. 1, Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria, IMPA, Rio de Janeiro, 1997 (2a edici´on). ´ 7. L.H. Jacy Monteiro, Elementos de Algebra, Ao Livro T´ecnico S.A., Rio de Janeiro, 1969. 8. W. Rudin, Princ´ıpios de An´alisis Matem´atica, Ed. UnB e Ao Livro T´ecnico, Rio de Janeiro, 1971.

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Soluciones de los ejercicios

Cap. 13

9. M. Spivak, C´alculo Infinitesimal, 2 vols. Editorial Revert´e, Barcelona, 1970. Tambi´en recomendamos: 10. R. Courant, Differential and Integral Calculus, vol. 1, Interscience, New York, 1947. 11. O. Forster, Analysis 1, Vieweg, Braunschweig, 1987 (en aleman). 12. S. Lang, Analysis 1, Addison-Wesley, Reading Massachussets, 1969.

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