Análise Moisés Toledo∗ 1 de abril de 2012
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Solução Solução de exercício exercícios: s: 4.1 – 4.7 - Seção 4
Exercício 1. Qualquer que seja a norma adotada em Rn (n > 1) , a esfera unitária Sn−1 = {x ∈ Rn ; |x| = 1} é um conjunto infinito. Demonstração. Seja | · | uma norma arbitraria em Rn . Suponhamos que Sn−1 é finito, digamos Sn−1 = {x1 , x2 , . . . , xn } então o conjunto xi , ∀i ∈ conjunto Rn \Sn−1 é um conjunto infinito infinito tal que x = x n n−1 {1, . . . , n} e dado 0 = x ∈ R se tem |x| ∈ S , isto é, existe pelo menos (na realidade uma infinidade) um elemento de Rn \Sn−1 tal que pertence a contradiz ao fato de ser Sn−1 finito.
Sn−1, o qual
/ Br [a] tais Exercício Exercício 2. Dados x ∈ S [a, r ] e > 0 , prove que existem y ∈ Br (a) e z ∈ que |y − x| < e |z − x| < . Demonstração. Seja S [a, r − ] então existe u ∈ L(a,x) ∩ S [a, r − ] (aqui L(a,x) é a reta passando por a e u considerar S [ x+ x). Logo podemos considerar , 2 ] a qual não é convexa, isto é, [x, u] S [ x+2 u , 2 ] 2 assim ∃y ∈ [x, u] tal que
(0, 1) y = x + t(u − x), t ∈ (0, |y − x| = t|u − x| = t < Do mesmo modo escolhemos S [a, r + ] então existe v ∈ L(a,x) ∩ S [a, r + ]. Logo v considerando S [ x+ , 2 ], o qual não é convexa, temos que ∃z ∈ [x, v ] tal que 2
(0, 1) z = x + t(v − x), t ∈ (0, |z − x| = t|v − x| = t < Apresentamos Apresentamos um gráfico para ilustrar o procedimento: procedimento: ∗
Universidade Universidade Federal da Paraíba
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