Análise Moisés Toledo∗ 13 de abril de 2012
1
Solução Solução de exercício exercícios: s: 2.9 – 2.12 - Seção Seção 2
Exercício Exercício 1. Se c [a, b] então b a = b c + c a , , se a norma provém de um produto interno, vale a recíproca. recíproca. Para uma norma arbitrária pode-se ter a igualdade acima com c / [a, b].
∈
|− | |−| |− |
∈
Demonstração. então a igualdad igualdadee segue segue imediatam imediatamente ente.. Logo Logo se ∈ [a, b], se c = a, b então a, b então existe t ∈ (0, (0, 1) tal que (1 − t )a + t b = c (pois [a, b] é conexo) c= assim t = |t | = de onde |b − c| = | c − (1 − t )a − c| = | c(1 − t ) − (1 − t )a | = (1 − t ) |c − a|
(i) Seja Seja c
|c−a| |b−a|
t
t
t
por tanto
(1
|c − a| + |b − c| = |c − a| + −t t ) |c − a| 1−t = |c − a|(1 + ) t |c − a| = t = |b − a|
(ii) Não consegui fazer: se a norma provém de um produto interno, vale a recíproca! (iii) (iii) Para Para a norma norma da soma (la qual qual não provem provem de produto produto interno interno algum em Rn ), 1), b = (2, (2, 3) e c = (2, (2, 1) em R2 temos tomando vetores a = ( 1, 1),
− |b − a|
S
onde c / [a, b].
∈
∗
Universidade Universidade Federal da Paraíba
=5=2+3= b
| − c| + |c − a| S
S
2
Exercício 2. Se a norma provém de um produto interno e a = b em Rn são tais que (0, 1) (em particular a esfera a re b r então (1 t)a + tb < r para todo t (0, não contém segmentos de reta).
| |≤ | |≤
| −
|
∈
Demonstração. (i) Como a norma vem dum dum produto interno interno então: 2
|(1 − t)a + tb| = | < (1 − t)a + tb, (1 − t)a + tb > | ≤ |(1 − t)a + tb| · |(1 − t)a + tb| ≤ ((1 − t)|a| + t|b|) · ((1 − t)|a| + t|b|)
n−1
n
n−1
n−1
Rn um conjunto convexo. Rn , seja ϕ : C R Exercício 3. Seja C convexo. Fixado Fixado p a função definida por ϕ(x) = x p = < x p, x p >. Existe Existe no máximo máximo um ponto a C tal que ϕ(a) = inf ϕ(x); x C .
⊂
| − | √ − { ∈ }
∈
∈
−
→
Demonstração. (i) Se não existe a demonstrar.
∈
C tal que ϕ(a) = inf ϕ(x); x
{
∈ C }, então nada há que
(ii) Suponhamos Suponhamos que existe existe a C tal que ϕ(a) = inf ϕ(x); x C . Vejamos que se existe b C tal que ϕ(b) = inf ϕ(x); x C então a = b. De fato: como C é convexo então
∈
mas como ϕ(a) = a
∈
{
∈ }
1 1 1 z = ( a + b) = a + b 2 2 2 p = b p = ϕ(b) então
{
∈ }
∈ C
| − | |− | 1 | 12 (a + b) − p| = 12 |(a − p) ( b − p) (b − p)) p) + (b p)| ≤ (|a − p| + (b p)) = |a − p| 2 logo como |a − p| = inf {ϕ(x); x ∈ C } e pela condição da igualdade na desigualdade gualdade triangular triangular temos (a − p) p) = λ(b − p) p) do qual resulta λ = ±1, por tanto a = b.
3
Exercício Exercício 4. Fixe números reais α, β com α < β e, para cada x = (x1 , . . . , xn ) Rn ponha sup x1 + x2 t + + xn tn−1 . Prove que isto define uma norma em Rn , a qual não α≤t≤β
|
···
∈
|
provém de um produto interno. inter no. Demonstração. (i) Vejamos que é uma norma (N-1) Se x = 0 então x é claramente major que zero.
(N-2) Seja λ
||
∈ R então |α · x| =
sup λ x1 + λ x2 t +
| · = sup |λ||x = |λ| · |x| α≤t≤β
1
α≤t≤β
n−1
···+ λ · x t | + x t + ···+ x t | ·
n
n
2
n−1
n
(N-3) Dados x, y
∈ R , temos |x + y| = sup |(x + y ) + (x ( x + y )t + · · · + (x (x + y )t | = sup |(x + x t + · · · + x t ) + (y ( y + y t + · · · + y t )| ≤ sup |x + x t + · · · + x t | + sup |y + y t + · · · + y t | ≤ |x| + |y| 1
1
1
2
2
n
2
n−1
n
α≤t≤β
n
n−1
1
n
2
n−1
α≤t≤β
1
n
2
n−1
α≤t≤β
1
n
2
n−1
α≤t≤β
(ii) A norma assim definida definida não provém dum produto interno interno pois ele não cumpre a lei do paralelogramo, de fato 2
2
|x + y| + |x − y|
= sup (x1 + y1 ) + (x ( x2 + y2 )t +
n−1
2
n−1
2
(x + y )t | | · · · + (x + sup |(x − y ) + (x ( x − y )t + · · · + (x ( x − y )t | ≤ (|x| + |y| + 2(|x| + |y|)) + (|x| + |y| − 2(|x| + |y|)) = 2(|x| + |y| ) ⇒ |x + y| + |x − y| ≤ 2(|x| + |y| ) n
n
n
n
α≤t≤β
1
1
2
2
α≤t≤β 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Obtendo a igualdade só se x, y são linearmente dependentes, mas no caso geral não se tem a igualdade. Por tanto a norma não provem dum produto interno.
