SISTEMAS DE COMUNICACIONES DIGITALES
POP en Tecnologías Electrónicas y de las Comunicaciones
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Modulación por amplitud de pulso (PAM)
- Señal Señal PAM PAM (con (con muestreo natural):
w s (t ) s(t ) w(t ) donde
t kT s t k
s(t )
- Espect Espectro ro PAM: PAM:
W s ( f ) d
sen nd W f nf s nd
d t / T s , f s 1 / T s
2
COMUNICACIÓN BANDABASE
Modulación por amplitud de pulso (PAM)
- Señal Señal PAM PAM (con (con muestreo instantáneo):
w s (t )
wkT ht kT s
s
k
wkT h(t ) t kT s
s
k
donde
t h(t ) t sen t f H ( f ) t t f - Espect Espectro ro PAM: PAM:
W s ( f )
1 T
H ( f )
W f nf s
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Modulación por codificación de pulso (PCM)
-
A cada valor de amplitud de la señal muestreada se le asigna una palabra digital de n bits. Por tanto, existen M = 2 n palabras de código posibles. Este proceso se denomina cuantificación. Si los intervalos de decisión del cuantificador son iguales se habla de cuantificación uniforme. Si son distintos, tenemos cuantificación no uniforme .
-
La relación señal a ruido del cuantificador uniforme viene dada por:
M S 2 N salid a 1 4( M 1) P e 2
-
Cuando P e es despreciable, se tiene que:
S 6,02n N dB -
P e : probabilidad de error de bits debido al ruido del canal
Ancho de banda de la señal PCM:
B PCM 12 R 12 nf s nB
Cada bit adicional en la palabra de código incrementa en 6 dB la SNR Tasa de bits
R nf s
f s 2 B
Ancho de banda de la señal original 4
COMUNICACIÓN BANDABASE
Señalización digital
-
Las señales digitales se pueden expresar como una serie ortogonal:
w(t )
N
wk k (t ), 0 t T 0
k 1
w k : datos digitales k (t ): funciones ortogonales
-
Se define baudio (tasa de símbolos):
D N / T 0 símbolos/s
-
Tasa de bits: R n / T 0 bits/s
Señal binaria
-
Si w (t ) es la forma de onda de entrada al receptor, la detección óptima de la señal transmitida (procesamiento por correlación) viene dada por:
wk -
1 K k
T 0
0
n = N
w(t ) k (t )dt , k 1, 2, ... , N
Ancho de banda de la forma de onda digital: B
N 2T 0
1
D Hz 2
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Señalización digital (ejemplo con señal binaria)
B = 1 kHz
B = 500 Hz
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Señalización digital (ejemplo con señal de niveles múltiples, L=4)
B = 500 Hz
B = 250 Hz
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Códigos de línea
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Códigos de línea
-
Conforme al análisis para señales digitales, un código de línea puede expresarse como:
s(t )
a f t nT n
s
n
-
Densidad espectral de potencia de la forma de onda del pulso del símbolo: P s ( f )
-
F ( f ) T s
2
R(k )e
j 2 kfT s
k
Autocorrelación de los datos:
R(k )
I
(a a n
) P i
n k i
i 1
an, an+k : dato n-ésimo y (n+k )-ésimo P i : probabilidad de tener el producto i -ésimo anan+k
Ejemplo: Código unipolar NRZ - Con k = 0, existen I = 2 posibles productos anan: R (0) = ½ A·A + ½ 0·0 = A 2/2
- Con k ≠ 0, existen I = 4 posibilidades de que ocurran A·A, A·0, 0· A, 0·0: R (k ) = A2/4
12 A2 , k 0 Runipolar (k ) 2 14 A , k 0
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Códigos de línea
Ejemplo código unipolar NRZ:
12 A2 , k 0 Runipolar (k ) 2 14 A , k 0 P s ( f )
F ( f )
F ( f ) T b
2
R(k )e
T s
n 0, f
fT b T b
j 2 kfT s
k
fT b sen n
2
F ( f ) A2 j 2 kfT s 1 e T s 4 k
,
e k
fT b sen
fT b
j 2 kfT s
1 T b
( f n / T ) b
k
A2T b sen fT b 1 0 : P unipolar ( f ) 1 ( f ) 4 fT b T b 10
COMUNICACIÓN BANDABASE
Códigos de línea
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Códigos de línea
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Espectros de potencia de señales de niveles múltiples
-
Supongamos una señal digital de L = 2l niveles múltiples, la velocidad en baudios es: D = R/l
-
Su espectro de potencia viene dado por:
sen fT b P nivelesmúltiples NRZ ( f ) K fT b -
2
Ancho de banda hasta el primer nulo es: Bnulo
R
R /
-
Eficiencia espectral de una señal:
-
Eficiencia espectral máxima (fórmula de Shannon): max
B
(bits/s)/Hz
S log 2 1 B N C
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Interferencia intersímbolos (ISI)
-
Supongamos una señal de entrada de niveles múltiples de cresta plana:
wentrada(t )
a ht nT n
n
wentrada(t )
n
s
an h(t ) t nT s
n
a n t nT s h(t )
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Interferencia intersímbolos (ISI)
-
La forma de onda de salida es:
w sa lida (t )
n
a n t nT s he (t )
a h t nT n
e
s
n
donde: he (t ) h(t ) hT (t ) hC (t ) h R (t )
H e ( f ) H ( f ) H T ( f ) H C ( f ) H R ( f ) siendo: H ( f )
-
t sen T s f T s T s f T s
El filtro en el receptor viene dado por: H R ( f )
H e ( f ) H ( f ) H T ( f ) H C ( f )
Cuando H R (f ) se selecciona para reducir al mínimo la interferencia intersímbolos , entonces el filtro de recepción se llama filtro de ecualización. 15
COMUNICACIÓN BANDABASE
Interferencia intersímbolos (ISI)
-
El primer criterio de Nyquist consiste en utilizar una función de transferencia equivalente H e(f ), tal que su respuesta al impulso satisfaga:
C , k 0 he (kT s t ) 0, k 0
Así, la respuesta al impulso no provoca ISI para instantes de tiempo t = kT s con k ≠ 0. Este es el caso de pulsos con forma de onda sinc:
he (t )
sen f s t
f s t
lo que daría lugar a una función de transferencia equivalente: H e ( f )
f f s f s 1
Esta función de transferencia es óptima, ya que presenta Bmínimo = f s/2, lo que permite una velocidad en baudios de 2 B pulsos/s. Sin embargo, plantea una serie de problemas prácticos: 1. Es físicamente irrealizable (cresta plana y transiciones verticales) 2. Requiere una sincronización casi perfecta durante el muestreo (la envolvente 16 de sin(x)/x decae sólo 1/x, por lo que cualquier error de sincronismo
COMUNICACIÓN BANDABASE
Interferencia intersímbolos (ISI)
-
El filtro de coseno alzado tiene la siguiente función de transferencia:
1 f f 1 f f 1 1 H e ( f ) 2 1 cos f 1 f B 2 f D 0 f B -
donde r = f D/f 0 es el denominado factor de roll-off y B es el ancho de banda del filtro. Su respuesta al impulso viene dada por:
sen 2 f 0 t cos 2 f D t he (t ) H e ( f ) 2 f 0 2 2 f t 1 4 f t 0 D 1
-
La velocidad de transmisión en baudios es:
D
1 T
2 f 0
2 B 1 r
B 12 D(1 r )
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Interferencia intersímbolos (ISI)
-
Para r = 0, la respuesta al impulso coincide con la de sen(x)/x. Sin embargo, aunque el filtro sigue siendo no causal, a medida que se aumenta r : (1) Los requisitos de filtración se aligeran (2) Los requisitos de sincronismo también se aligeran puesto que la respuesta al impulso decae más rápido: 1/|t 3| frente a 1/|t | para el caso de la sinc(x)
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Modulación por tiempo de pulso (PTM): PWM y PPM Las modulaciones por tiempo de pulso utiliza el eje de tiempos para codificar la información. PWM codifica su ancho en función del valor a codificar, mientras que PPM envía un pulso en la posición temporal correspondiente al dato a codificar.
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Modulación por tiempo de pulso (PTM): PWM y PPM La decodificación de señales de PWM o PPM puede llevarse a cabo mediante el circuito de la figura, donde las señales de control A y B se generan utili zando los circuitos indicados para cada caso (PWM o PPM).
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Rendimiento de los sistemas de comunicación
-
En un sistema binario, la señal transmitida en un intervalo de tiempo de símbolo (0, T ) viene dada por:
s1 (t ) si (t ) s2 (t ) -
0 t T
para un 1 binario
0 t T para un 0 binario
En el caso general, se tendrán M señales distintas, siendo M = 2 para el caso binario. La señal recibida vendrá dada por:
r (t ) si (t ) hc (t ) n(t ) -
donde hc (t ) es la respuesta al impulso del canal y n(t ) es el ruido en el mismo. Para el caso de canal ideal y sistema binario:
r (t ) si (t ) n(t )
-
i 1,2
0 t T
A partir de esta señal de entrada, el filtro de recepción se encargará de obtener una muestra en el instante de tiempo T que le permita estimar cuál fue el símbolo transmitido:
z (T ) ai (T ) n0 (T ) -
i 1,, M
i 1,2
donde ai (T ) es la componente debida a la señal deseada y n0(T ) la componente debida al ruido 21
COMUNICACIÓN BANDABASE
Rendimiento de los sistemas de comunicación
-
Sea z = ai + n0 la señal a la salida del filtro de recepción, si suponemos ruido gaussiano con varianza s 02, las pdfs condicionales p(z|si ) asociadas a cada uno de los símbolos transmitidos vendrán dadas por:
1 z a 2 i p( z | si ) exp s 0 2 2 s 0 1
-
s1
El detector tomará una decisión en base al criterio: z (T ) s 2
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Rendimiento de los sistemas de comunicación
-
Si { j (t )} representa un conjunto de N funciones ortogonales, tal que: T
(t ) (t )dt K 0
j
k
j
jk
0 t T j, k 1,, N
donde jk es la delta de Kronecker :
1 para j k jk 1 0 en otro caso que para funciones que representan voltajes o corrientes: E j -
0
Cualquier conjunto finito de señales { si (t )} de duración T segundos puede representarse mediante un conjunto de señales ortogonales:
si (t )
N
a (t ) ij
j 1
-
T
j2 (t )dt K j
donde:
aij
1 K j
j
i 1,, M
N M si (t ) j (t )dt i 1, , M 0 t T
T
0
23
COMUNICACIÓN BANDABASE
Rendimiento de los sistemas de comunicación
-
Desde un punto de vista vectorial, tendríamos que: si
-
(ai1 , ai 2 ,, aiN )
i 1,, M
La energía normalizada asociada a la señal si (t ) podría obtenerse mediante: 2
E i N
T
s 0
2 i
(t )dt
N
T
0
N N T N aij j (t ) dt 0 aij j (t ) aik k (t )dt j 1 k 1 j 1 N
N
N
aij aik j (t ) k (t )dt aij aik K j jk aij2 K j i 1,, M T
0
j 1 k 1
-
j 1 k 1
j 1
Para funciones ortonormales (K j = 1):
E i
N
a
2 ij
i 1,, M
j 1
-
Y cuando todas las señales si (t ) tienen la misma energía: E
N
a
2 ij
j 1
para todo i 24
COMUNICACIÓN BANDABASE
-
Rendimiento de los sistemas de comunicación ~
Para el ruido se tendría que este viene dado por: n(t ) n(t ) n (t ), donde la componente del mismo dentro del espacio vectorial de señales es: ˆ
n(t ) ˆ
N
n (t ) j
j
j 1
-
El ruido está constituido por una componente dentro del espacio vectorial de señales y otra fuera de dicho espacio vectorial de señales, la cual no afectará al proceso de detección:
n(t )
N
n (t ) n~(t ) j
j
j 1
Siendo:
n j T
0
1 K j
T
0
n(t ) j (t )dt
~(t ) (t )dt 0 n j
para todo j
para todo j 25
COMUNICACIÓN BANDABASE
Rendimiento de los sistemas de comunicación
-
La componente interferente de ruido puede representarse en el espacio vectorial de las señales como: n
-
(n1 , n2 ,, nN )
Cuando se considera ruido blanco AWGN con densidad espectral de potencia constante N 0/2, su potencia promedio es infinita:
s 2 var n(t ) -
N 0 2 df
Sin embargo, para ruido AWGN filtrado, su potencia promedio es finita: 2 N s var n j E n(t ) j (t )dt 0 2 2
Por tanto, la potencia promedio del ruido a la salida del correlador es finita y viene dada por N 0/2. 26
COMUNICACIÓN BANDABASE
Rendimiento de los sistemas de comunicación
-
Durante el proceso detección, el receptor debe tomar una decisión en base a: s1
z (T )
s 2
-
Un criterio para determinar el valor del umbral óptimo = 0 consistiría en minimizar la probabilidad de error (Maximum Likelihood detector ), de tal forma s1 que:
p( s1 | z )
p( s
2
| z )
s2
Y aplicando el teorema de Bayes, se llega a que:
P ( s ) p( z | s ) P ( s ) p( z | s1 ) 2
-
s1
2
s2
1
Cuando las pdfs condicionales son simétricas y P (s1) = P (s2), se tiene que: s1
z (T )
a a 2 1
s2
2
0 27
COMUNICACIÓN BANDABASE
Rendimiento de los sistemas de comunicación
-
Se producirá un error en la detección siempre que seleccione como dato recibido aquel que no ha sido transmitido:
P (e | s1 ) P (decision s2 | s1 )
P (e | s2 ) P (decision s1 | s2 ) -
p( z | s1 )dz
0
p( z | s2 )dz
La probabilidad de error de bit será:
P B
2
2
P (e, s ) P (e | s ) P (s ) i
i 1
-
0
i
i
i 1
Cuando P (s1) = P (s2) = ½, se tiene que:
P B 12 P (e | s1 ) 12 P (e | s2 ) P (e | s1 ) P (e | s2 )
1 z a 2 2 dz P B p( z | s2 )dz exp ( a a ) / 2 ( a a ) / 2 s 0 2 2 s 0 0
1
1
2
0
1
2
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Rendimiento de los sistemas de comunicación
-
Si definimos u = (z – a2)/s 0, la probabilidad de error de bit queda de la forma:
P B
1 2
u ( a1 a2 ) / 2s 0
a a u 2 du Q 1 2 exp 2 2s 0
donde Q( x ) es denominada función de error complementaria o co-función de error , y representa la integral bajo la cola de la probabilidad gaussiana Esta viene definida por:
Q( x)
1 2
x
u 2 du exp 2
La expresión anterior no puede evaluarse de manera cerrada, pero para x > 3 se puede aproximar a
x 2 Q( x) exp x 2 2 1
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COMUNICACIÓN BANDABASE
El filtro adaptado
-
El filtro adaptado es un filtro lineal que ofrece a su salida un valor de relaci ón señal a ruido máxima. Si a la entrada del filtro de recepción se tiene una señal r(t) = s(t) + n(t), la salida del filtro z(T) en el instante t = T vendrá dada por un valor ai más una componente debida al ruido n 0. La potencia promedio del ruido será 2 s0 , por lo que la relación potencia instantánea de la señal frente a la potencia promedio de ruido será: 2
a S i2 N T s 0
-
La señal a(t ) podemos expresarla en términos de la función de transferencia del filtro de recepción H (f ) y su espectro en frecuencia S(f ):
ai (t ) -
H ( f )S ( f )e j 2 ft df
En cuanto a la potencia promedio del ruido esta vendrá dada por:
s 02
N 0 2
2
H ( f ) df 30
COMUNICACIÓN BANDABASE
El filtro adaptado
-
Por tanto, la relación señal a ruido en el instante t = T puede expresarse como:
S N T -
2
H ( f ) S ( f )e
N 0 / 2
2
f 1 ( x) f 2 ( x)dx
2
H ( f ) df
2
f 1 ( x) dx
2
f 2 ( x) dx
La igualdad se produce cuando f 1( x ) = kf 2*( x ), donde k es una constante arbitraria y * indica complejo conjugado. Si identificamos H (f ) con f 1( x ) y S(f )e j 2 fT con f 2( x ), podemos rescribir para este caso particular:
2
H ( f )S ( f )e
-
df
Nosotros deseamos encontrar el valor de H (f ) = H 0(f ) para el que se obtiene el máximo (S/N )T . Según la ecuación de desigualdad de Schwarz :
-
j 2 fT
df
j 2 fT
2
H ( f ) df
2
S ( f ) df
2 S Aplicando lo anterior sobre (S/N )T , se llega a que: N T N 0
2
S ( f ) df
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COMUNICACIÓN BANDABASE
El filtro adaptado
-
La igualdad se dará cuando:
H ( f ) H 0 ( f ) kS * ( f )e j 2 fT
ks(T t ) o desde el punto de vista temporal: h(t ) 1 kS * ( f )e j 2 fT 0
-
0 t T
en otro caso
En ese caso, se tendrá que la relación señal a ruido vendrá dada por :
2 E S N T N 0
max -
donde E es la energía de la señal de entrada s(t ): E
2
S ( f ) df
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COMUNICACIÓN BANDABASE
El filtro de correlación
-
La salida del filtro adaptado para una entrada r (t ) puede expresarse como:
z (t ) r (t ) * h(t )
t
0
t
r (t ) s(T t t )d t
r (t )h(t t )d t r (t ) sT (t t )d t 0
t
0
-
Para t = T , esta se reduce a: z (T )
T
0
r (t ) s(t )d t
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Optimización de la probabilidad de error
-
Según vimos anteriormente, para el caso de transmisión sobre canal AWGN, el umbral óptimo de detección para sistemas binarios venía dado por 0 = (a1 + a2)/2. En dicho caso, la probabilidad de error de bit venía dada por: P B = Q[(a1 – a2)/2s 0]
-
Por tanto, si se desea minimizar la probabilidad de error habrá que maximizar el argumento de Q( x ), o equivalentemente, habrá que maximizar:
(a1 a2 ) 2
s 02 donde a1 – a2 es la señal diferencia entre las componentes de señal en el instante de muestreo t = T , y (a1 – a2)2 es la potencia instantánea de la señal diferencia. Por tanto, si hacemos uso de un filtro adaptado a esa señal diferencia, se tendrá que la relación señal a ruido en t = T vendrá dada por:
(a1 a2 ) 2 2 E d S 2 s 0 N 0 N T donde E d es la energía de la señal diferencia: E d
T
s1 (t ) s2 (t ) dt 2
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Optimización de la probabilidad de error
-
Por tanto, la probabilidad de error puede expresarse finalmente como:
E d P B Q 2 N 0 -
La expresión anterior puede definirse en función de la energía de bit. Para ello, definiremos en primer lugar un coeficiente de correlación cruzada r como:
r
1 E b
T
s (t ) s (t )dt 0
1
2
siendo r cos q , donde q es el ángulo existente entre los vectores de señal s1 y s2, de tal forma que - 1 ≤ r ≤ 1. Si expandimos la expresión para E d , se tiene que:
E d
T
T
T
s (t )dt s (t )dt 2 s (t ) s (t )dt 0
2 1
0
2 2
0
1
2
- Los dos primeros términos representan la energía de un bit:
E
T
s (t )dt 2
T
s 2 (t )dt
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COMUNICACIÓN BANDABASE
Optimización de la probabilidad de error
-
Finalmente, E d puede expresarse como:
E d E b E b 2 r E b 2E b (1 r ) -
Así, la tasa de error de bit puede definirse como: P B Existen dos casos de interés:
E b (1 r ) Q N 0
E b N 0
r = 0 Señales ortogonales: P B Q
r = -1 Señales antipodales u opuestas:
2 E b P B Q N 0
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