Uğur Arifoğlu © SAYISAL ANALİZ YAZ OKULU FİNAL SINAV SORULARI-
(01/08/2005)
Soru 1)
Vc (0) 2V , iL1 (0) 1A L2 R1
R1=1 ohm, L1=0.5 H, C=1 F
C
L1
R2=1 ohm, L2=0.5 H, i L2 (0) 0.5A
ri. co
R2
m
i k (t ) 2 A
Şekil 1
Şekil 1'de verilen devreye ilişkin durum denklemleri aşağıda verilmiştir. Devreye ilişkin x(t) durum değişkenleri olan Vc (t ), i L1 (t ) ve i L2 ( t ) değişimlerini dsolve komutunu kullanarak (sembolik ortamda) bulunuz. 1 1 1 1 C C Vc Vc C * R1 Vc 1 1 1 Vc 1 C d 1 d i L1 0 0 i L1 0 * 2 i L1 2 0 0 i L1 0 * 2 dt L1 dt i L 2 1 i L 2 2 0 2 i L 2 0 R 2 i L 2 0 0 L2 L2 b) ezplot komutunu yardımı ile t:[0 10] saniye aralığında ve yan yana olacak şekilde Vc (t ), i L1 (t ) ve i L2 ( t ) değişimlerini çizdirecek program satırlarını yazınız. (subplot komutunu kullanın) c) Şekil 1'de verilen devrede i k ( t ) değişimi şekil 2'de gösterildiği gibi olursa lsim komutunu kullanarak Vc (t ), i L1 (t ) ve i L2 ( t ) değişimlerini bulunuz ve [0 10] saniye aralığında çizdiriniz .
sn o
tla
a)
m de r
i k (t)
4A
4*sint
2.61
2A t(sn)
Şekil 2
.e e
Çözüm
w
w
w
a)>>[y x z]=dsolve('Dy+y+x+z=-2','Dx-2*y=0','Dz-2*y+2*z=0','y(0)=2',... 'x(0)=1','z(0)=0.5) ('enter') y = -2-1/2*exp(-t)*(-6-14/3*sin(3^(1/2)*t)*3^(1/2)) % vc(t) x = exp(-t)*(-3/2-7/6*sin(3^(1/2)*t)*3^(1/2)+7/2*cos(3^(1/2)*t)) %iL1(t) z = 1/2*exp(-t)*(-6+7/3*sin(3^(1/2)*t)*3^(1/2)+7*cos(3^(1/2)*t)) %iL2(t)
b)>>subplot(3,1,1),ezplot(y,[0 10]),subplot(3,1,2),ezplot(x,[0 10]),... subplot(3,1,3),ezplot(z,[0 10]) ('enter')
tla
ri. co
m
Uğur Arifoğlu ©
w
w
w
.e e
m de r
sn o
c) a = [-1 -1 -1;2 0 0;2 0 -2];b = [1;0;0]; c=eye(3,3); %uc adet cikis istendigi icin d = 0; x0 = [2 1 0.5]; % ilk kosullar t = 0:0.001:10; % daha hassas cizim icin delta t =0.01 yapiliyor u=ones(1,length(t)); % t ile u(t) nin boyutu esit yapiliyor %parcali u(t) tanitiliyor for h=1:length(t); if t(h)<0; u(h) = 0; end if 0<=t(h) & t(h)<=2.61; u(h)=4*sin(t(h)); end if t(h)>2.61 u(h)=2; end end %parcali u(t) tanitimi sona erdi lsim(a,b,c,d,u,t,x0); grid;
Uğur Arifoğlu © Soru 2) Şekil 3'de f1 eğrisi 4. dereceden bir polinom olup katsayı vektörü [1 0.8 -6.15 -2.15 6.5] şeklindedir. f2
tla
ri. co
m
eğrisi ise y= x 2 fonksiyonu ile verilmektedir. Her iki eğriyi [-3 3] aralığında çizdiren ve şekil 13.26'da gösterilen taralı alanı hesaplayan programı yazınız.
sn o
Şekil 3
Çözüm
w
w
w
.e e
m de r
a=-3:0.01:3; y=[1 0.8 -6.15 -2.15 6.5]; f1=polyval(y,a); f2=a.^2; plot(a,f1,a,f2) % her iki egri de cizdiriliyor %solve('f1-f2') hesabi yapiliyor ve iki eğrinin kesim noktaları % bulunuyor(sembolik ortamda) t=solve('t^4+0.8*t^3-6.15*t^2 -2.15*t+6.5-t^2=0') % kokler sembolik karakterden sayısal değere dönüştürülüyor deger=double(t) alan=quad('t.^4+0.8*t.^3-6.15*t.^2-2.15*t+6.5-t.^2',deger(2),deger(3)) % d(3)üst sınır,d(2) alt sınır Yukarıda verilen program satırlarının çalıştırılması sonunda aşağıdaki değerler elde edilir: >> t = -2.78 -1.15 .9 2.24 deger = -2.78 -1.15 0.90 2.24 alan = 8.81 Açıklama:solve komutu ile elde edilen köklerin soldan sağa doğru sıralandığına (-2.87,..,2.24) dikkat edilmelidir. Şekil 3'e bakıldığında soldan 2. ve 3. kökler arasında kalan alanın arandığı görülmektedir.Ayrıca solve komutunda t'den sonra nokta konulmadığı (sembolik komut) fakat quad komutunda ise t'den sonra nokta konulduğuna dikkat edilmelidir. Soru 3) Soru 2'de verilen f2 eğrisinin (-3:3) aralığındaki tüm kritik noktaları (t değerlerini) bulan program yazınız.
Uğur Arifoğlu © Çözüm
ri. co
m
t=-3:0.01:3; f1=t.^2; y=[1 0.8 -6.15 -2.15 6.5]; f2=polyval(y,t) df=diff(f2)./diff(t); % boyutu (n-1) dir xd=t(2:length(t)); % boyutu (n-1) dir carpim=df(1:length(df)-1).*df(2:length(df)); kritik=xd(find(carpim<0))% iki eğrinin carpimının işaret değistirdigi % yerler bulunuyor Yukarıda verilen programın çalıştırılması sonunda elde edilen değerler aşağıda gösterilmiştir: >>kritik = -2.0000 -0.1700 1.5700
m de r
sn o
Çözüm syms t pay1=3*t^2-3*t; pay11=diff(pay1); pay2=4*t^3-3; payda1=6*t^2-3*t+2; pay3=int(3*t^2+5*t-3); payda2=8*t^2+5; kesir1=(pay11+pay2)/payda1; kesir2=pay3/payda2; kesir=kesir1+kesir2; [A B]=numden(kesir)
tla
d (3t 2 3t )) 4t 3 3 ( (3t 2 5t 3)dt A( t ) dt Soru 4) Yanda verilen ifadede A(t) ve B(t) polinomlarını B( t ) 6t 2 3t 2 8t 2 5 yalnızca sembolik araç kutusu komutları kullanarak bulan MATLAB programı yazınız (
.e e
Yukarıda verilen program satırlarının uygulanması sonunda elde edilen değerler aşağıda verilmiştir: >> A = 89*t^3+48*t-68*t^2-60+76*t^5+24*t^4 B = 2*(6*t^2-3*t+2)*(8*t^2+5)
w
w
w
Soru 5) Öyle bir program yazınız ki Soru 1'de verilen A matrisi için sistemin özdeğerleri bulunsun, özdeğerlerden birisi kompleks ise ekrana kökün değeri ve 'bu kok kompleks' ifadesi, reel ise kökün değeri ve ekrana 'bu kok reel' ifadesi yazılsın. Eğer kok katlı ise kökün değeri ve ekrana 'bu kok katlı' ifadesi yazılsın.
Çözüm A=[-1 -1 -1;2 0 0;2 0 -2]; kokler=eig(A); koksayisi=length(kokler); for say=1:koksayisi if imag(kokler(say))~=0 disp('bu kok kompleks') else disp('bu kok reel') end end %koklerin katliligi kontrol ediliyor for a=1:koksayisi for b=a+1:koksayisi if kokler(a)==kokler(b)
Uğur Arifoğlu © kokler(a) disp('bu kok katlı') else end
m
end end
1 wt 22 2 i ( wt )dwt 2 wt10 formülü ile hesaplanır. Aşağıda verilen; I etkin
ri. co
Soru 6) Bir elektrik devresinden akan akıma ilişkin etkin akım değeri (i(t) ani akım değeri olmak üzere);
i(t)= 10.29 * sin(wt 1.262) 9.81* e 100wt / w Amper akımın etkin değerini sayısal olarak bulan programı yazınız. f=50 Hz alınacaktır.
tla
Çözüm
w
w
w
.e e
m de r
sn o
>> syms a >> w=2*pi*50; >> akim=10.29*sin(a-1.262)+9.81*exp(-100*a/w); >> b=akim^2; % akimin karesi aliniyor >> d = sqrt((1/2*pi)*int(b,0,2*pi)) % etkin akim degeri bulunuyor d = 3/200*pi*((-106929*exp(-4)*pi^2+342227+342227*pi^2-448644*pi*exp(-2)* cos(631/500)-106929*exp(-4)+448644*exp(-2)*sin(631/500)448644*sin(631/500)+448644*pi*cos(631/500))/(1+pi^2))^(1/2) >> akim_etkin=double(d) akim_etkin = 8.7508
Uğur Arifoğlu ©
17/05/2006
SAÜ MÜH.FAK. ELK.-ELN. MÜH.BÖL. SAYISAL ANALİZ FİNAL SINAV SORULARI
ri. co
m
Soru 1)
sn o
tla
Şekil 1 Şekil 1'de verilen devreye ilişkin gerilim ve akım denklemleri aşağıda gösterilmiştir (devreye ilişkin tüm ilk koşul değerleri 0 alınacaktır). Devrede her iki anahtar açık durumdadır ve t=0 anında her iki anahtar da kapatılmaktadır. Bu durumda elde edilen devre eşitlikleri aşağıda verilmiştir: di ( t ) (1) E1 ii ( t )R1 i 2 ( t )R 2 L2 2 dt di ( t ) di ( t ) (2) E 2 i 2 ( t ) R 2 L 2 2 L3 3 dt dt (3) i1(t ) i3 (t ) i 2 (t ) a) Yukarıda verilen 3 adet denklemi ayrı ayrı s domenine çeviriniz. i1( t ) 'nin laplace transformunu I1, i2 (t ) 'nin
w
w
w
.e e
m de r
laplace transformunu I2, i3 ( t ) 'nin laplace transformunu I3 alınız. b) Aşağıda verilen MATLAB programı, a şıkkında bulunan s domeni akım eşitliklerini kullanarak i1( t ) , i 2 ( t ) ve i3 ( t ) akım denklemleri, [0 10] saniye aralığında çizdirilecektir. Aşağıda Command Window ortamında yukarıda istenen işlerin yapıldığı program gösterilmiştir. Bu programda görülen boşlukları doldurunuz. t domeninde elde edilen akım denklemlerinde, noktadan sonra maksimum 2 adet sayı olacaktır. >>syms I1 I2 I3 s; >>C=solve('………………………………','……………………………….','……………………………………’); >>I1=……………………………………………… I1 = 10*(-2+s)/s/(7*s+2*s^2+2) >>I2=……………………………………………… I2 = 20*(s+1)/s/(7*s+2*s^2+2) >>I3=……………………………………………… I3 = 10/s*(4+s)/(7*s+2*s^2+2) >>I1_t=……………………………………………… I1_t = -10.+10.*exp(-1.75*t)*(cosh(1.44*t)+1.57*sinh(1.44*t)) >>I2_t=…………………………………………………… I2_t = 10.+10.*exp(-1.75*t)*(-1.*cosh(1.44*t)-.522*sinh(1.44*t)) >>I3_t=…………………………………………………………… I3_t = 20.+20.*exp(-1.75*t)*(-1.*cosh(1.44*t)-1.04*sinh(1.44*t)) >>figure(1) >>ezplot(……………,[0 10]); >>figure(2) >>ezplot(…………,[0 10]); >>figure(3) >>ezplot(……………,[0 10]);
Uğur Arifoğlu ©
17/05/2006
Soru 2) y '' 5y ' 6y 2e 3t , y ' 1 ; y(0)=2 a) Diferansiyel denklemini x1 (t ) y; x 2 (t ) y ' dönüşümünü kullanarak lsim komutu ile çözebilmek için durum uzayı formuna getiriniz. A,B,C,D matrislerini elde ediniz.
m
b) Yazacağınız bir program ile ve lsim komutunu kullanarak, y(t) ve y ' (t) eğrilerini [0 6] saniye aralığında alt alta çizdiriniz. Çizim penceresinde üstte, y(t) altta ise türevi çizdirilecektir.
Şekil 2
sn o
tla
ri. co
Soru 3)
Şekil 3
m de r
Şekil 2’de gösterilen eğriyi çizdiren bir program yazınız. Bu programa öyle program satırları ilave edin ki, şekil 2 de görülen eğri, şekil 3’de gösterilen forma dönüşsün.
.e e
Soru 4) 3x1 4x 2 5x 3 8 x1 2x 2 x 3 3 2x1 7x 2 4x 3 16 lineer denklem sistemini x1 (0) 1; x 2 (0) 2; x 3 (0) 3 ilk koşulları altında, Gauss-Seidal iterasyon yöntemini kullanarak (hesaplamaları elle yaparak) aşağıda verilen tabloyu doldurunuz. İterasyon x1 x2 x3 sayısı 1 ………. …………. ………. 2 ……….. …………. ………..
w
w
w
Soru 5)
3a*f-2d*b+5f= 9 3b-8f+d*a= 4 c2+6d*c-7e=14 a) Yukarıda verilen lineer denklem sisteminde d,e,f değişkenlerini, a,b,c değişkenleri cinsinden bulacak matlab program satırı yazınız (sembolik ortam kullanılacağı hatırlanmalıdır). b) Yukarıda verilen denklem sistemine ilişkin Jacobian matrisi a,b,c değişkenlerine göre bulan (sembolik ortamda) program satırlarını yazınız.
Sınav süresi 80 dakikadır. Notlar dağınık olmamak üzere açıktır. Tüm sorular eşit ağırlıklıdır. Başarılar Dilerim U.Arifoğlu
Uğur Arifoğlu ©
17/05/2006 ÇÖZÜM
w
.e e
m de r
sn o
tla
ri. co
m
1) a) 10/s=I1+2*I2+s*I2 20/s=I2*2+s*I2+2*s*I3 I1+I3=I2 b) >>syms I1 I2 I3 s; >>C=solve('10/s=I1+2*I2+s*I2','20/s=I2*2+s*I2+2*s*I3','I1+I3=I2',I1,I2,I3); >>I1=C.I1 I1 = 10*(-2+s)/s/(2+7*s+2*s^2) >>I2=C.I2 I2 = 20*(1+s)/s/(2+7*s+2*s^2) >>I3=C.I3 I3 = 10/s*(4+s)/(2+7*s+2*s^2) >>I1_t=vpa(ilaplace(I1),2) I1_t= -10.+10.*exp(-1.8*t)*(cosh(1.4*t)+1.5*sinh(1.4*t)) >>I2_t=vpa(ilaplace(I2),3) I2_t = 10.+10.*exp(-1.75*t)*(-1.*cosh(1.44*t)-.522*sinh(1.44*t)) >>I3_t=vpa(ilaplace(I3),3) I3_t = 20.+20.*exp(-1.75*t)*(-1.*cosh(1.44*t)-1.04*sinh(1.44*t)) >>figure(1) >>ezplot(I1_t,[0 10]) >>figure(2) >>ezplot(I2_t,[0 10]) >>figure(3) >>ezplot(I3_t,[0 10])
w
w
2) a) x '2 5x 2 6x1 2e 3t x1' x 2 ; y x1 x ' 0 1 x 1 0 3t 1' e x 2 6 5 x 2 2
x y 1 0 1 0e 3t x 2 b) a=[0 1;6 -5]; b=[0;-2]; c=[1 0]; d = 0; x0 = [2 1]; t = 0:0.1:6; u = -2*exp(-3*t); [cikis x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0); subplot(2,1,1),plot(t,x(:,1)),xlabel('t'),ylabel('y(t)'),grid subplot(2,1,2),plot(t,x(:,2)),xlabel('t'),ylabel('y’(t)'),grid;
Uğur Arifoğlu ©
4)
t=0:0.001:0.04; for k=1:length(t); A(k)=sin(2*pi*50*t(k)); A1(k)=A(k); plot(k,A(k),'k') if A(k)<=0 A1(k)=0; elseif A(k)>=0.6 A1(k)=0.6; end end plot(t,A1,'k')
m de r
3)
sn o
tla
ri. co
m
17/05/2006
(0) (0) (1) 8 4x 2 5x 3 ; x1 3
(1) (1) (2) 8 4x 2 5x 3 x1 ; 3
(1) (1) (2) 3 x 1 x 3 ; x2 2
(1) (1) (2) 16 2x 1 7 x 2 x3 4
8 4 * 5.5 5 * 3.125 (2) 3 0.5417 3.125 0.5417 ; x 2 3.333 3 2 (2) 16 2 * 0.5417 7 * 3.333 x3 1.5619 4
w
(2)
x1
w
w
(0) (0) (1) 16 2x1 7 x 2 x3 4
8 4* 2 5*3 (1) 3 5 3 (1) 16 2 * 5 7 * 5.5 =5.5 ; x 3 =3.125 (birinci iter.sonu) 5 ; x2 3 2 4
.e e
(1)
x1
(0) (0) (1) 3 x 1 x 3 ; x2 2
İterasyon sayısı 1 2
x1
x2
x3
5 0.5417
5.5 3.333
3.125 1.5619
5) a) >>A=solve('3*a*f-2*d*b+5*f=9','3*b-8*f+d*a=4','c*2+6*d*c-7*e=14','d, e, f'); >> A.d ans = -(-92+15*b+9*a*b-12*a)/(-16*b+3*a^2+5*a) >> A.e
Uğur Arifoğlu ©
17/05/2006
w
w
w
.e e
m de r
ri. co
sn o
tla
b) >> syms a b c d e f A B C >> A=3*a*f-2*d+5*f-9; >> B=3*b-8*f+d*a-4; >> C=2*c+6*c*d-7*e-14; >> J=jacobian([A;B;C],[a b c]) J = [ 3*f, 0, 0] [ d, 3, 0] [ 0, 0, 2+6*d]
m
ans = 2/7*(-61*c*b+3*c*a^2+41*c*a+276*c-27*c*a*b+112*b-21*a^2-35*a)/ (-16*b+3*a^2+5*a) >> A.f ans = (-6*b^2+9*a+8*b)/(-16*b+3*a^2+5*a)
SAYISAL ANALİZ YAZ OKULU FİNAL SINAV SORULARI-
(01/08/2006)
Soru 1)
4A
4*sint
ri. co
2A
m
i k (t)
m de r
sn o
Çözüm t=0:0.001:5; uzun=length(t); for k=1:uzun if t(k)<2.618 akim(k)=4*sin(t(k)); else akim(k)=2; end end b=polyfit(t,akim,14); a=polyval(b,t); plot(t,a)
tla
t(sn) 2.618 Şekil 1 Şekil 1'de verilen i(t) eğrisini t=0:0.0001:5 saniye aralığında 14. dereceden bir polinom ile tekrar çizdirmek istiyoruz. Bu polinomun katsayılarını bulduran matlab programı yazınız. (20 p)
Soru 2) Şekil 1’de verilen i(t) eğrisinin t=0:0.0001:5 saniye aralığında; a) ortalamasını trapz komutu yardımı ile b) ortalamasını mean komutu yardımı ile c) i(t) akımının etkin değerini bulunuz. (20 p)
w
w
w
.e e
Çözüm t=0:0.001:5; uzun=length(t); for k=1:uzun if t(k)<2.618 akim(k)=4*sin(t(k)); else akim(k)=2; end end ortalama=(1/5)*trapz(t,akim) ortalama=mean(akim) etkin=sqrt(mean(akim.^2))
% a şıkkı % b şıkkı % c şıkkı
Soru 3) Şekil 1’de verilen i(t) akımının genliğinin 3A’den büyük olduğu zaman aralığını bulunuz. (10 p) Çözüm
bul=find(akim>3); baslangic=t(bul(1)) son=t(bul(end))
Soru 4) Şekil 2’de verilen devrede A anahtarı t=0 anında kapatılmaktadır. Devreye ilişkin KAY (1 adet) ve KGY (2 adet) denklemlerini kullanarak dsolve komutu ile i 3 ( t ) akımının t'ye bağlı ifadesini (sembolik ortamda) bulan ve ezplot komutu ile [0,0.01] aralığında çizdiren MATLAB programını yazınız. Akımlara ilişkin ilk koşullar sıfır alınacaktır. (20 p)
m ri. co
sn o
tla
Şekil 2 Çözüm % x=i1(t), y=i2(t), z=i3(t) >>A=dsolve('10+y*2+z+Dz*(10^(-3))=0','3*x+Dx*(10^(-3))-10-2*y=0', 'Dz=Dx+Dy','x(0)=0','y(0)','z(0)=0'); >>i3_t=A.z; >>ezplot(i3_t,[0 0.01])
m de r
Soru 5) y '' 3y ' 2y 3 sin t ; ( y(0) 0; y ' (0) 0 ) Diferansiyel denklemini, değişken dönüşümü yardımı ile durum denklemleri formuna getirerek y(t) çıkış değerini t=0:0.0001:5 saniye aralıkda çizdiriniz (lsim kullanınız). (20 p) Çözüm y(t)= x 1
y ' (t ) x1' x 2
y '' ( t ) x 2 '
x '2 3x 2 2x1 3 sin(t ) x '2 3x 2 2x1 3 sin(t ) x1' x 2
w
w
w
.e e
x ' 0 1 x1 0 1' sin(t ) ; x 2 2 3 x 2 3
x y( t ) 1 0 1 0 * sin(t ) x 2
>>A=[0 1;-2 3]; B=[0 ;3];C=[1 >>t=0:0.001:5; u= sin(t); >>lsim(A,B,C,D,u,t,x0);
0]; D=0; x0=[0 0];
Soru 6) 3x-4y-az=0; 2z-3b=2; -x+2y-z=c Lineer denklem sisteminde a, b ve c’yi x, y, z cinsinden bulan matlab programı yazınız. Not: İlgili komutun sol tarafında köşeli parantez (kitaptakinin aksine) olmayacaktır. (10 p) Çözüm >>A=solve(‘3x-4y-az=0’,’2z-3b=2’,’-x+2y-z=c’,’a’,’b’,’c’) >>A.a; >>A.b; >>A.c; Notlar açıktır (masa üzerinde dağınık olmayacaktır) Sınav süresi 80 dakikadır
U.Arifoğlu
15/05/2007
m
SAÜ.MÜH.FAK.ELK-ELN.MÜH.BÖL. SAYISAL ANALİZ FİNAL SINAV SORULARI
ri. co
C=1F, L=0.5H G=1/R=2 mho i k (t ) 3A
tla
Şekil 1 Soru 1) Şekil 1’de verilen devreye ilişkin durum denklemleri aşağıda verilmiştir: Vc (0) 5V , i L (0) 0A 1 G G 1 d v c ( t ) C C v c ( t ) i (t) C 1 i L ( t k dt i L ( t 1 0 L L
m de r
sn o
0 v c (t) 1 0 i ( t ) G G 1 1 c v L (t) 1 0 L 1 i L (t) 0 0 v R (t) 1 1 v c ( t ) 0 i k ( t ) G i L ( t ) 0 i R (t) G v ( t ) 0 0 1 gk i gk ( t ) G 1 G 0 0 v ak ( t ) 1 0 i k ( t ) 0 1 0
a) lsim komutu yardımı ile R direncine ilişkin akımı çizdiriniz. (t=0:0.01:2 saniye alınız) b) Sembolik toolbox komutlarını kullanarak i L ( t ) akımının denklemini bulunuz.
.e e
Soru 2) y ''' 2y '' 3y ' 5 r(t ) ;
y=y(t)= x1 ( t ) , y ' x 2 ( t ) , y '' x 3 ( t )
y=y(0)= x1 (0) 1 , y ' (0) x 2 (0) 1 , y '' (0) x 3 (0) 2
w
w
w
diferansiyel denkleminde ode komutu yardımı ile [0 6] saniye aralığında, x 2 ( t ) değişimini bulunuz ve çizdiriniz.
r(t) 3 1
t 0
2
4
Şekil 2 (kitaba atıldı) Soru 3) Şekil 3’de görülen doğru akım motorunun durum denklemi aşağıda verilmiştir: Kb R i i' L L i 1 y( t ) 0 1 0 v a ( t ) L va (t) ; w ' K w m K f w 0 J J 4 0.03 2 a i(0)=0; w(0)=0 (t=0 anında motor duruyor demektir) ; b 0 ; 0 . 75 10 w(t); motorun açısal hızı (radyan/saniye) i(t); motor akımı (Amper) ARKA sahifeye geçiniz t 0.01 alınız.
U.Arifoğlu
15/05/2007
tla
ri. co
m
Şekil 3’de verilen doğru akım motorunun besleme gerilimi v a (t ) 250 Volt olduğuna göre, motor hızının [0 2] saniye aralığındaki değişimini çizdirerek, hızın 3 (radyan/saniye)’den 8 (radyan/saniye) hızına ulaşması için geçen zamanı bulunuz.
A= x
sn o
Şekil 3
Soru 4) sin(x)’in Taylor serisi açılımı;
x3 x5 x7 x9 x 2n 1 ; ......... (1) n 3! 5! 7! 9! (2n 1)!
x=3*pi/2 alınız
olduğuna göre sin(x) A 0.001 koşulunu sağlayan terim sayısını ve x değerini ayrı ayrı bulunuz. x3 ; ikinci terim, 3!
m de r
Not: A ifadesinde;
x; birinci terim,
x5 ; üçüncü terim……….. 5!
Soru 5) Aşağıda verilen programın çalıştırılması sonunda elde edilen A matrisinin B ve C’ye bağlı ifadesini belirleyiniz:
w
.e e
B=[…………]; C=[…………]; % B ve C dikdörtgen matrislerdir for n=1: 10; for m=1:20; A(n,m)=0; for k=1:15; A(n,m)=A(n,m)+B(n,k)*C(k,m) end end end A
w
w
Sınav süresi 90 dakikadır: Ders kitabı ve ders notları masa üzerinde dağınık olmamak üzere serbesttir. Barem: 20/ 20/ 20/ 20/ 20
U.Arifoğlu
15/05/2007 ÇÖZÜMLER
b
m de r
sn o
tla
ri. co
m
Cevap 1) a) a=[-2 1;2 -2]; b=[1;0]; c=[2 -2]; d=0 t=0:0.01:2; aa=length(t); u=3*ones(1,aa); x0=[5 0]; [cikis x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0) plot(t,cikis),xlabel('t'),ylabel('IR'),grid on
>> A=dsolve('Dx=-2*x+y+3','Dy=2*x-2*y','x(0)=5','y(0)=0'); >> iL=vpa(A.y,4) iL = 3-0.8484e-1*exp(-0.586*t)-2.913*exp(-3.414*t)
Cevap 2) x 3' 2x 3 3x 2 5 r(t )
.e e
x '2 x 3
x 1' x 2
w
w
w
>> x0=[-1 1 2]; >> [t x]=ode23(‘cevap3’,0,6, x0) >> plot(t,x(:,2)),xlabel(‘t’),ylabel(‘x2’),grid on Alt program dosyası aşağıda verilmiştir; function dx=cevap2(t,x) t=0:0.01:6; aa=length(t); r=ones(aa); for k=1:aa if t(k)>=0 & t(k)<=2 r(k)=1; elseif t(k)>2 & t(k)<=4 r(k)=3; end dx=[x(2);x(3);2*x(3)-3*x(2)-5-r(k)]; end
U.Arifoğlu
a=[-4 -0.03;0.75 -10]; b=[2;0]; c=[0 1]; d=0; x0=[0 0]; % ilk kosullar t=0:0.01:2; % daha hassas cizim icin delta t =0.01 yapiliyor u=250*ones(1,length(t)); % t ile u(t) nin boyutu esit yapiliyor [cikis x] = lsim(a,b,c,d,u,t,x0); % x=[x1 x2] oldugu hatirlanmalidir plot(t,x(:,2)); title('w(t) degisimi');xlabel('t');ylabel('w(t)');grid; sinir=find( 3<= x(:,2)& x(:,2)<=8); t(sinir(1)) t(sinir(end))
m de r
sn o
Cevap 3)
tla
ri. co
m
15/05/2007
.e e
Cevap 4) x=3*pi/2; A=0; for k=0:1000; A=A+((-1)^k)*(x^(2*k+1))/prod(1:2*k+1); if abs(sin(x)-A)<= 0.001 x % terim değeri k % terim sayisi break else end end
w
w
w
Cevap 5) Verilen program B*C işlemini yapar, diğer bir ifade ile B ve C matrislerini çarpar.
.e e
w
w
w m de r ri. co
tla
sn o
m
U.Arifoğlu 15/05/2007
U.Arifoğlu
01/08/2007
SAÜ.MÜH.FAK.ELK-ELN.MÜH.BÖL. SAYISAL ANALİZ YAZ OKULU FİNAL SINAV SORULARI Öğrenciye ilan edildi
u (t) 8 4 1
2
3
t (sn)
m de r
sn o
tla
b) Aynı soruyu ode45 komutu ile yapınız.
ri. co
m
Soru 1) a) Aşağıda verilen diferaniyel denklemini lsim komutu kullanarak çözünüz. Yalnızca y(t) değişimini t=0:0.01:3 saniye aralığında çizdiriniz. y ' ' ' 5y '' 8y ' 4y u(t ) ; y '' (0) 1 , y' (0) 1 , y(0) 0
w
w
w
.e e
Şekil 2 Soru 2) Şekil 2’de verilen taralı yüzeyi matlab komutları kullanarak çizdiren bir program yazınız.(eksenlere dikkat ediniz). Kitaba attım Soru 3) Aşağıda verilen A matrisinin determinantının -5300 olduğu biliniyor. A matrisinde 3.satır, 2. sütun elemanın değeri (x) ise bilinememektedir. Yazdığınız bir program yardımı ile bilinmeyen bu elemanın değerini bulunuz. x’ in değer aralığı -100:100 olarak alınabilir. x bir tamsayıdır. A= 1 -2 0 11
5 6 x 65
9 7 1 89
terim 1
terim 2 2
Soru 4) y 1 x
11 4 8 21 terim 3 3
terim 4 5
terim 5 7
terim 6 9
x x x x x ...... 2! 3! 5! 7! 9!
serisine eklenen terimin değeri 0.0005 değerinden küçük oluncaya kadar terim ekleyen bir program yazınız. Bu şart sağlandığında kaçıncı terimin (terim adı altında) bu şartı sağladığı ve bu durumda y’nin aldığı değeri de (deger adı altında) belirleyiniz. x=4 alınız.
U.Arifoğlu
01/08/2007
Soru 5) Şekil 3’de verilen devrede R 3 direnci lineer olmayan bir direnç olup üzerindeki gerilim
sn o
tla
ri. co
m
düşümü v 3 (t ) 2 * e i3 ( t ) değerini almaktadır. i 3 ( t ) ifadesini sembolik işlem komutları yardımı ile bulunuz ve t=0:30 saniye aralığında çizdiriniz. v(t) 0.4 * sin t ; R1=R2=8 ohm alınacaktır. (kitaba atıldı)
Şekil 3
Barem: 1-40
2-10
3-15
4-15
5-20
m de r
Notlar açıktır (masa üzerinde dağınık olmayacaktır
w
w
w
.e e
Sınav süresi 90 dakikadır
Başarılar Dilerim Prof.Dr.Uğur Arifoğlu
U.Arifoğlu
01/08/2007
Cevap 1 ) a)
x 1 y;
m
x 2 x 1' y ' x 3 x '2 x 1'' y ''
ri. co
x 3' 5x 3 8x 2 4x1 u(t ) x 3' 5x 3 8x 2 4x1 u(t )
x '2 x 3
sn o
0 x 1 0 x 1 0 1 d x 2 0 0 1 x 2 0 u ( t ) dt x 3 4 8 5 x 3 1 x1 y( t ) 1 0 0 x 2 0 * u ( t ) x 3
tla
x 1' x 2
w
w
w
.e e
m de r
A=[0 1 0;0 0 1;4 -8 -5]; B=[0;0;1]; C=[1 0 0]; D=0; x0=[0 -1 1]; t=0:0.01:3; u=zeros(1,length(t)); for k=1:length(t) if 0<=t(k) & t(k)<1 u(k)=4; elseif 1<=t(k) & t(k)<1 u(k)=4; elseif t(k)>2 u(k)=8; end end cikis=lsim(A,B,C,D,u,t,x0); plot(t,cikis(:,1))
b) >> x0=[0 -1 1]; t=0:0.01:3;[t x]=ode45('yazokulu_final_2007',t,x0); >>plot(t,x(1)) function dy=yazokulu_final_2007(t,x) u=zeros(1,length(t)); for k=1:length(t) if 0<=t(k) & t(k)<1 u(k)=4; elseif 1<=t(k) & t(k)<1 u(k)=4; elseif t(k)>2 u(k)=8; end end dy=[x(2);x(3);-5*x(3)-8*x(2)+4*x(1)+u];
U.Arifoğlu
01/08/2007
7
4; 0
x
1
8; 11 65
89
21];
tla
6
sn o
Cevap 3) x=-100; for k=1:201 A=[1 5 9 11; -2 C=det(A); if C==-5300 x break end x=x+1; end
ri. co
m
Cevap 2) x=0:4;y=2*ones(1,20); % şekildeki enine cizgileri temsil eden 20 sayisi % farkli da olabilirdi % z matrisinin satir sayisi y'nin boyutu % sutun sayisi ise x'in boyutu ile ayni olmalidir % z degeri 0 ile 10 arasinda degismektedir a=linspace(0,10,length(y)); z=a'*ones(1,length(x)); mesh(x,y,z); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z') axis([0 4 0 4 0 12])
m de r
Cevap 4) deger=1+4-(4^2)/2; terim=2; top=1; % bu deger 0.0005 den buyuk bir sayi olmali x=4; n=3; while abs(top)>0.0005 terim=terim+1; top=-1*((-1)^terim)*(x^n)/prod(1:n) n=n+2; deger=deger+top; end deger terim
w
w
w
.e e
Cevap 5) digits(3); A=solve('8*i1+8*i2+0.4*sin(t)-12=0','2*exp(i3)-0.4*sin(t)-… i2*8=0','i1-i2-i3=0','i1,i2,i3'); A.i3 ezplot(A.i3,0,30)
U.Arifoğlu
5/06/2008 SAÜ.MÜH.FAK.ELK-ELN.MÜH.BÖL. SAYISAL ANALİZ FİNAL SINAV SORULARI
d vc ( t ) 3 1 vc ( t ) 1 h(t) dt i L ( t 2 0.2 i L ( t 2
m
Soru 1) ; v c (0) 5V ,
ri. co
di L ( t ) ise dt (h(t) değişimi şekil 1’de verilmiştir. (L=3 henry) bobin akımının t=0:0.01:2 saniye aralığında değişimini çizdiren bir matlab programını lsim komutu yardımı ile oluşturunuz. bobin geriliminin t=0:0.01:2 saniye aralığında değişimini çizdiren bir matlab programını lsim komutu yardımı ile oluşturunuz. (Kitaba atıldı b şıkkı)
i L (0) 0A , bobin gerilimi v L ( t ) L a)
tla
b)
'''
''
Soru 2) y 5y y 3 h(t ) ;
sn o
.
(h(t) şekil 1’de verilmiştir)
y=y(t)= x1 ( t ) ,
y ' x (t) , 2
Şekil 1 ''
y x 3 (t )
y=y(0)= x1 (0) 1 , y ' (0) x 2 (0) 1 , y '' (0) x 3 (0) 2 koşuları altında
diferansiyel denkleminde;
m de r
a) birinci mertebeden üç adet diferansiyel denkleme dönüştürerek lsim komutu yardımı ile x 3 ( t ) değişimini çizdiriniz. t=0:0.01:2 b) Yukarıda verilen üçüncü mertebeden diferansiyel denkleminde ode45 komutu yardımı ile x 3 ( t ) değişimini çizdirin. t=0:0.01:2
(kitaba atıldı)
pi x 3 1* 3 x 5 1* 3 * 5 x 7 x 0.5 * * * ......... ( 1 x 1 ) 2 3 2*4 5 2*4*6 7 olduğuna göre hesap makinasinda arcos işlemi bulunmayan bir öğrencinin yukarıdaki eşitliği kullanarak arcos(0.7) değerini bulmak için (hesap hatasını abs(1e-8) den küçük tutmak şartı ile) yukarıdaki eşitlikte x’in kaçıncı kuvvetine kadar hesaplaması gerektiğini bulan bir matlab programı oluşturunuz.
.e e
Soru 3) arcos(x) =
w
w
w
Soru 4) for x=1:m for y=1:n B(x,y)= x*(2^y) end end B Programını işaret akış diyagramı ile gösteriniz.
Soru 5) a) Şekil 1’de verilen h(t) eğrisinin t=0:0.01:2 saniye arasında integralini hesaplayınız. (5 puan) b Şekil 1’deki h(t) eğrisinin t=0:0.01:2 saniye için geri fark yaklaşımı ile türevini hesaplayınız ve çiziniz (5 puan) c) seri RLC devresini besleyen bir gerilim kaynağı V(t)= 3 * e 0.1*t olduğuna göre, R=1 ohm,C=1F,L=1H için bu devreye seri bağlı bir ampermetrenin kaç amper göstereceğini bulan bir matlab programı yazınız. Devredeki tüm ilk koşullar sıfır alınacaktır. T=2 saniye alınacaktır. (10 puan)
Sınav süresi 90 dakikadır: Ders kitabı ve ders notları masa üzerinde dağınık olmamak üzere serbesttir. Barem: 30/
20/
15/
15/
20
(cevaplar web sitemde ilan edilecektir)
U.Arifoğlu
5/06/2008
Cevap 2) a) x 3' 5x 3 x1 3 h(t ) x '2 x 3
x1' x 2
sn o
tla
ri. co
m
Cevap 1) L=5; a=[-3 -1;-2 0.2]; b=[1;2]; c=[0 1]; d=0; L=3; x0=[5 0]; t=0:0.01:2; h=zeros(1,length(t)); for k=1:length(t) if t(k)<=0.7532 h(k)=10*sin(pi*t(k)); else h(k)=7; end end [cikis x]=lsim(a,b,c,d,h,t,x0); figure(1) plot(t,x(:,2)),xlabel('t'),ylabel('bobin akimi'),grid on % a şıkkı bitti figure(2) VL=L*(-2*x(:,1)+0.2*x(:,2)+2*h'); % bobin gerilimi denklemi-b şıkkı plot(t,VL),xlabel('t'),ylabel('bobin gerilimi'),grid on % b şıkkı bitti veya c=[-6 0.6]; d=[6]; y=lsim(a,b,c,d,h,t,x0); figure(3) plot(t,y),xlabel('t'),ylabel('bobin gerilimi'),grid on % b şıkkı bitti
y=y(t)= x1 ( t ) , y ' x 2 ( t ) , y '' x 3 ( t )
m de r
x 1 ( t ) 0 1 0 x 1 ( t ) 0 d x 2 ( t ) 0 0 1 x 2 ( t ) 0 (h ( t ) 3) dt x 3 ( t ) 1 0 5 x 3 ( t ) 1
w
w
w
.e e
A=[ 0 1 0;0 0 1;1 0 -5]; B=[0;0;1]; C=[0 0 1]; D=0; x0=[-1 1 2]; t=0:0.01:2; h=zeros(1,length(t)); for k=1:length(t) if t(k)<=0.7532 h(k)=10*sin(pi*t(k))-3; else h(k)=7-3; end end [cikis x]=lsim(A,B,C,D,h,t,x0); plot(t,x(:,3)), xlabel('t'), ylabel(‘x3(t)'), grid on
b) >> x0=[-1 1 2]; >> [t x]=ode45(‘cevap2008’,0,2, x0) >> plot(t,x(:,3)),xlabel(‘t’),ylabel(‘x3’),grid on Alt program dosyası aşağıda verilmiştir; function dx=cevap2008(t,x) t=0:0.01:2; uzun=length(t); h=zeros(uzun,1); for k=1:uzun if t(k)<=0.7532 h(k)=10*sin(pi*t(k)); else h(k)=7; end dx=[x(2);x(3);-5*x(3)+x(1)-3+h(k)];
U.Arifoğlu
5/06/2008
end
tla
ri. co
m
Cevap 3) k=1; x=0.7; A=pi/2-x; fark=1; while fark>=1e-8 k=k+2; A1= -prod(1:2:k-2)*(x^k)/(k*prod(2:2:k-1)); A=A+A1 fark=abs(acos(x)-A) end k % x in kuvveti
Cevap 4)
sn o
BAŞLA
m de r
n ve m değerini giriniz
B(x,y)= x*(2^y)
.e e
y=y+1
x=1 ; y=1
E
y
w
H
w
w
y=1
x=x+1
E
x
DUR
U.Arifoğlu
ri. co
turevh=diff(h)./diff(t); zaman=t(2:length(t)); plot(zaman,turevh); % b şıkkı bitti
tla
Cevap 5) clc t=0:0.01:2; h=zeros(1,length(t)); for k=1:length(t) if t(k)<=0.7532 h(k)=10*sin(pi*t(k)); else h(k)=7; end end integral=trapz(t,h) % a şıkkı bitti
m
5/06/2008
w
w
w
.e e
m de r
sn o
akim=dsolve('0.3*exp(0.1*t)=Dx+D2x+x','x(0)=0, Dx(0)'); akim_ort=double(0.5*int(akim,0,2)) % c şıkkı bitti akim_ort = 0.1163
U.Arifoğlu
28/07/2008 SAÜ.MÜH.FAK.ELK-ELN.MÜH.BÖL. YAZ OKULU SAYISAL ANALİZ FİNAL SINAV SORULARI
d dt
v C 1 2 v C 2 0 sin(t ) i ; v C (0) 1 ; i L (0) 0 L 4 8 i L 0 8 cos( t )
m
Soru 1)
ri. co
Yukarıda verilen durum denkleminde subplot yardımı ile v C ( t ) ve i L ( t ) değişimlerini t=1:2 sn zaman aralığında, üstte v C ( t ) , altta ise i L ( t ) olacak şekilde çizdiriniz. (20 puan)
h(t) 4
y2 t 6
Soru 2) y ''' 6y '' 11y ' 6y h(t ) ; diferansiyel denkleminde;
2
Şekil 1
t(sn) 6
sn o
0
tla
y1 4 sin(0.7854* t )
(h(t) şekil 1’de verilmiştir)
y=y(t)= x1 ( t ) , y ' x 2 ( t ) , y '' x 3 ( t )
y=y(0)= x1 (0) 1 , y ' (0) x 2 (0) 1 , y '' (0) x 3 (0) 2 koşulları altında;
a) Verilen dif.denklemi birinci mertebeden üç adet diferansiyel denkleme dönüştürerek lsim komutu yardımı ile çıkış(t)= x1(t ) 2x 3 (t ) değişimini çizdiriniz. t=0:0.01:6 (15 puan)
m de r
b) Yukarıda verilen üçüncü mertebeden diferansiyel denkleminde ode45 komutu yardımı ile çıkış(t)= x1(t ) 2x 3 (t )
w
w
w
.e e
değişimini çizdirin. t=0:0.01:6 (15 puan) Soru 3) a) Şekil 1’de verilen h(t) eğrisi bir akıma ilişkin değişim ise bu akım doğru akım ampermetresinden geçtiğinde ampermetrenin gösterdiği değeri hesaplayan bir matlab programı yazınız.t=0:0.01:6 saniye . (5 puan) b) Şekil 1’deki h(t) eğrisi bir akım değişimini gösterdiği kabulü ile alternatif akım ölçen bir ampermetreden geçtiğinde ampermetrenin gösterdiği değeri hesaplayan bir matlab programı yazınız. t=0:0.01:6 saniye (5 puan) c) Şekil 1’de verilen h(t) eğrisini 3.mertebeden bir polinoma uyduran bir matlab programı yazınız. (5 puan) d) Şekil 1’de verilen h(t) fonksiyonu seri RC devresini besleyen bir akım kaynağı olduğuna göre, R=3 ohm, C=2F için, akım kaynağının uçları arasındaki gerilimin zamana göre değişimini çizdiren bir matlab programı yazınız. (15 puan) e) Şekil 1’de verilen eğrinin ileri fark yaklaşımına göre türevini alan ve türev eğrisinin zaman göre değişimini çizdiren bir matlab programı yazınız. (5 puan) 3.soruda tüm şıkları alt alta tek bir program içinde yazabilirsiniz (yanlarına açıklama yapınız)
Şekil 2 Soru 4) Şekil 2’de bir merdivenin yandan görünüşü verilmiştir. Bu merdivenin size bakan yan yüzeyi tahta ile kaplanacaktır. Bu merdivenin yandan görünüşünü çizdiren ve kaç birim kare tahta harcanacağını bulan bir matlab programı yazınız. (15 puan)-alan hesabı elle yapılmayacak matlab komutları ile yapılacaktır Sınav süresi 90 dakikadır: Ders kitabı ve ders notları masa üzerinde dağınık olmamak üzere serbesttir. (cevaplar web sitemde ilan edilecektir)
U.Arifoğlu
28/07/2008 Çözüm
Cevap 1) >> A=dsolve('Dx=-x-2*y+2*sin(t)','Dy=4*x-8*y-8*cos(t)','x(0)=1','y(0)=0') >> subplot(211),ezplot(A.x,[1 2]),title(‘Vc(t) değişimi’),grid >> subplot(212),ezplot(A.y,[1 2]),title(‘iL(t) değişimi’),grid x3' 6x3 11x 2 6x1 h(t )
y=y(t)= x1 ( t ) , y ' x 2 ( t ) , y '' x 3 ( t )
x '2 x 3
ri. co
x 1' x 2
m
Cevap 2) a) y ''' 6y '' 11y ' 6y h(t )
1 0 x1( t ) 0 x1( t ) 0 d x 2 ( t ) 0 0 1 x 2 ( t ) 0 h ( t ) dt x 3 ( t ) 6 11 6 x 3 ( t ) 1
m de r
sn o
tla
A=[ 0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]; B=[0;0;1]; C=[1 0 2]; D=0; x0=[-1 1 2]; t=0:0.01:6; h=zeros(1,length(t)); for k=1:length(t) if t(k)<=2 h(k)=4*sin(0.7854*t(k)); else h(k)=-t(k)+6; end end [cikis x]=lsim(A,B,C,D,h,t,x0); plot(t,cikis), xlabel('t'), ylabel(‘x1(t)+2*x3(t)'), grid on
b) >> x0=[-1 1 2]; >> [t x]=ode45(‘cevap2008_yaz’,0,6, x0) >> plot(t,x(:,1)+2*x(:,3)),xlabel(‘t’),ylabel(‘x1+2*x3’),grid on
Alt program dosyası aşağıda verilmiştir;
w
.e e
function dx=cevap2008_yaz(t,x) t=0:0.01:6; uzun=length(t); h=zeros(uzun,1); for k=1:uzun if t(k)<=2 h(k)=2*sin(0.7854*t(k)); else h(k)=-t(k)+6; end dx=[x(2);x(3);-6*x(1)-11*x(2)-6*x(3)+h(k)]; end
w
w
t=0:0.01:6; for k=1:length(t); if t(k)<=2 h(k)=4*sin(0.7854*t(k)); else h(k)=-t(k)+6; end end dc_ort=mean(h); % d.a. ampermetresinin gösterdiği değer b) ac_etkin=sqrt(mean(h.^2)); % a.a. ampermetresinin gösterdiği değer c) A=polyfit(t,h,3);
Cevap 3) a)
d) vk (t ) R * i( t )
16 i( t )dt C0
>> Vk=3*h+(1/2)*cumtrapz(t,h); plot(t,Vk) e) >> turev=diff(h)./diff(t); plot(t(1:end-1),turev)
U.Arifoğlu
28/07/2008 % B yatay ekseni, A ise düşey ekseni göstermektedir for k=1:length(B) if B(k)>=0 & B(k)<1 A(k)=1; elseif B(k)>=1 & B(k)<2 A(k)=2; elseif B(k)>=2 & B(k)<3 A(k)=3; elseif B(k)>=3 & B(k)<4 A(k)=4; elseif B(k)>=4 & B(k)<4.5 A(k)=5; elseif B(k)>=4.5 & B(k)<=5.5 A(k)=6; end end plot(B,A) % merdivenin yandan görünüşü çizdiriliyor trapz(B,A) % kullanılacak tahta yüzeyi
w
w
w
.e e
m de r
sn o
tla
ri. co
m
Cevap 4) B=0:0.01:5.5;
U.Arifoğlu
5/08/2009 SAÜ MÜH. FAK. ELK-ELN. MÜH. BÖL. SAYISAL ANALİZ YAZ OKULU FİNAL SINAV SORULARI
Soru 2) A= [-10
2
3
5; 3.4
1.8
7
8; -1.4
4.2
ri. co
m
Soru 1) F(x)= 3x 3 2x 10 denkleminin köklerini, F(x) eğrisinin türevinin köklerini ve F(x) eğrisinin entegralinin köklerini kök kabul eden M(x) eğrinin (sembolik) denklemini bulunuz (katlı kök de olabilir). M(x) denkleminde katsayılar üç rakamlı olacak. El ile işlem yapılamaz. Matlab komutları kullanılacaktır. (10 puan) -4
6; 3
-5
7
2];
tla
matrisi reel (pozitif+negatif) sayılardan oluşmaktadır. Öyle bir program yazınız ki; A matrisi sütün sütun taransın ve her yeni eleman okunduğunda o ana kadar taranan tüm sayıların ortalaması alınsın. Bulunan ortalama sayının 7 katı, o ana kadar taranan en büyük sayıdan büyük olduğunda program dursun ve en son okunan sayı değeri ve bu sayının adresi ekrana yazdırılsın. (15 puan)
sn o
Soru 3) x= 0:pi/50:10*pi; y= 2*sin(x); z= (cos(x)).^3+sin(3*x);
olduğuna göre üç boyutlu z=f(x,y) eğrisinin verilen aralıkta tepe noktasının (x,y,z) koordinatlarını bulan matlab programı yazınız. (10 puan) Soru 4) 3y'' 6y' 9y 3e 2t , y' (0) 1 ; y(0)=2
m de r
z(t)=3* y' (t ) 2y(t ) 2e 2t
olduğuna göre z(t) eğrisini [0 6] sn aralığında 0.01 hassasiyetle çizdiren matlab programını yazınız. (25 puan)
.e e
Soru 5 ) Seri bağlı RLC devresini v(t)= 2 *100 * sin(wt 30o ) volt değerinde bir kaynak beslemektedir. L= 3 /(2 * pi * 50) Henry, C= 1 /(pi * 500) Farad, R= 2 ohm değerindedir. Her bir elemana paralel olarak bir voltmetre bağlanmıştır. Voltmetrelerin ölçüm aralığı 0-101 V (etkin) olduğuna göre bu voltmetrenin geçici hal koşulları altında devredeki hangi elemanın gerilimlerini ölçüp, hangilerinin ölçemeyeceğini bulan matlab programı yazınız. f=50 Hz alınız. Sürekli hal koşulları altında yapılan çözümler kabul edilmeyecektir. (25 puan)
w
w
w
Soru 6) Bir cihaz içinden geçen periyodik ve alternatif bir akımın aldığı değerler, t=0:1 saniye aralığında ve 0.0001 sn hassasiyetle A adlı bir vektör içine kaydediliyor. Öyle bir program yazınız ki; bu program bu akımın periyodunu bulsun ve sonra akımın etkin değerini hesaplasın. (Not: Akım dalga şekli sinüzoidal olmak zorunda değildir). (15 puan)
.
Sınav süresi 90 dakikadır Ders notları açıktır. Çözümler web sitemde ilan edilecektir. U.Arifoğlu
U.Arifoğlu
5/08/2009
m
ÇÖZÜMLER
tla
ri. co
Cevap 1) 3x 3 2x 10 clc Fkok=roots([3 0 -2 10]); % F(x) in kökleri bulunuyor fturev=polyder([3 0 -2 10]); % F(x)'in türevi bulunuyor fturevkok=roots(fturev); % türev in kökleri bulunuyor fenteg=polyint([3 0 -2 10]); % F(x) in entegrali bulunuyor fentegkok=roots(fenteg); % entegral in kökü bulunuyor Mkok=[Fkok' fturevkok' fentegkok']; % M(x) in kökleri A=poly(Mkok); % M(x) denkleminin katsayıları bulunuyor syms x cozum=vpa(poly2sym(A,x),3) % M(x) denklemi sembolik olarak elde edildi
4.2
.e e
m de r
sn o
Cevap 2) clc A= [-10 2 3 5; 3.4 1.8 7 8; -1.4 toplam=0; n=0; enbuy=0; for k=1:4 for m=1:4 n=n+1; if A(m,k) > enbuy enbuy=A(m,k); else end toplam=toplam+A(m,k); ortalama=toplam/n; if 7*ortalama > enbuy disp('aranan sayı') disp(A(m,k)) disp('aranan adres') disp(m),disp('inci satır') disp(k),disp('üncü sütun') break else end end end
w
w
w
Cevap 3) clear all clc x= 0:pi/500:2*pi; y= 2*sin(x); z= (cos(x)).^3+sin(3*x); plot3(x,y,z) A=max(z); C=find(z==A) disp('x in değeri') X=x(C) disp('y nin değeri') Y=y(C) disp('z in değeri') Z=A grid xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
-4
6; 3 -5 7 2];
U.Arifoğlu
5/08/2009
Cevap 4) y(t ) x1 ; y' (t ) x 2 3x '2 6x 2 9x1 3e2t x '2 2x 2 3x1 e2t
m
x1' x 2 x '2 x 3
ri. co
d x1 0 1 x1 0 2t e dt x 2 3 - 2 x 2 1 x y(t)= - 2 3 1 2 e 2t x 2
tla
Program aşağıda verilmiştir:
sn o
a=[0 1 ;3 -2]; b=[0;1]; c=[-2 3]; d=[2]; t=0:0.01:6; x0=[2 1]; u=exp(-2*t); [y x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0) plot(t,y) ,xlabel('t'),ylabel('z(t)'),grid
m de r
Cevap 5) Li'' (1 / C)i Ri' 2 *100 * w * cos( wt pi / 6) i x1 i ' x 2 x1'
Lx '2 (1 / C) * x1 R * x 2 2 *100 * w * cos( wt pi / 6)
2 *100 * w * cos( wt pi / 6) L 0 1 x1 0 d x1 2 *100 * w * cos( wt pi / 6) dt x 2 1 /(L * C) R / L x 2 1 / L
.e e
x '2 (1 / LC) * x1 (R / L) * x 2
x y(t ) i x1 1 0 1 0* 2 *100 * w * cos( wt pi / 6) x 2
w
w
w
Program aşağıda verilmiştir:
t=0:0.001:0.02; T=0.02; L= 3/(2*pi*50); C=1/(pi*500); R=2; w=2*pi*50; A=sqrt(2)*100*w; u=A*cos(w*t-pi/6); x0=[0 0]; a=[0 1;-1/(L*C) –R/L]; b=[0;1/L]; c=[1 0]; d=0; [akim x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0); % akim ifadesi Vselfani=L*diff(akim’)./diff(t); % boyut t den 1 düştü Vdirencani=R*akim’; % boyut t ile aynı Vkapasiteani=(1/C)*cumtrapz(t,akim’); % boyut t ile aynı Vselfger=sqrt((1/T)*trapz(t(2:end),Vselfani.^2)) Vdirencger=sqrt((1/T)*trapz(t,Vdirencani.^2))
U.Arifoğlu
5/08/2009
ri. co
if Vselfger>101 disp(‘selfin gerilimi ölçülemez’) else end if Vdirencger>101 disp(‘direncin gerilimi ölçülemez’) else end if Vkapasiteger>101 disp(‘kapasitenin gerilimi ölçülemez’) else end
m
Vkapasiteger=sqrt((1/T)*trapz(t,Vkapasiteani.^2))
w
w
w
.e e
m de r
sn o
tla
Cevap 6) t=0:0.0001:1; uzun=length(t); A=10*rand(1,uzun); % akim işareti üretiliyor usttepe=max(A); % akimin max.tepe noktası hesaplanıyor alttepe= min(A); % akimin min.tepe noktası hesaplanıyor tusttepe=find(A==usttepe); % akımın max.tepe noktasını t nin kaçıncı % elemanında aldığı hesaplanıyor talttepe=find(A==alttepe); % akımın min. noktasını t nin kaçıncı % elemanında aldığı hesaplanıyor t1=t(tusttepe); % akımın tepe noktasına ulaşılan t anı bulunuyor t2=t(talttepe); % akımın min noktasına ulaşılan t anı bulunuyor T=2*(t2-t1); % akımın periyodu bulunuyor C=T/0.0001; % akım periyoduna kaç ölçüm sayısında ulaşıldığı % bulunuyor B=A(1:C); % akımın ölçüm aralığı kadar olan elamanları yeni vektöre % atanıyor.Aksi kalde entegralde boyut hatası olur. akimetkin=sqrt((1/T)*trapz(t(1:C),B.^2)) % akımın etkin değeri bulunuyor
U.Arifoğlu
17/05/2010 SAÜ MÜH. FAK. ELK-ELN. MÜH. BÖL. SAYISAL ANALİZ FİNAL SINAV SORULARI
tla
ri. co
m
Soru 1) S P2 Q2 D2 S2 P2 Q2 D2 aktif olmayan güç . (D: Distorsiyon gücü). Şekil 1’de bir kaynağa ilişkin gerilim ve akım değişimleri verilmiştir. Bu kaynaktan çekilen aktif olmayan güç değerini bulunuz. Not: Aktif güç, anigücün bir periyot boyunca ortalamasıdır. S=V*I değerindedir (etkin değerler). Yatay eksen (wt) artış değerini 0.001 alınız.
Şekil 2
sn o
Şekil 1
Soru 2) Elinizde Devlet Meteoroloji Enstitüsü’nden alınan iki sütunlu bir matris olsun (Ör : A(5000,2). İlk sütün rakam olarak rüzgar şiddetini, ikinci sütun ise derece olarak rüzgarın yönünü göstersin. Öyle bir program yazın ki, çalıştığında ekranda en büyük rüzgar şiddeti ve yönünü gösteren (Şekil 2’dekine benzeyen) vektör olsun. Soru 3) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) olmak üzere u x v y ve u y v x şartlarının aynı anda sağlanması durumunda f(z)
m de r
fonksiyonunun Cauchy- Riemann koşulunu sağladığı söylenir. f(z)= x 2 2xy i(y2 x 2 ) ifadesinin CauchyRiemann koşulunun sağlayıp sağlamadığını test eden bir program yazınız. Test sonucunu disp komutu ile veriniz. Elle işlem yapılmayacaktır.
Şekil 3
w
.e e
Soru 4) Şekil 3’deki devreye ilişkin durum denklemleri aşağıda verilmiştir. İlk koşular sıfır alınacaktır. t=0:0.01:2 için her iki direnç akımının değişimi alt alta çizdiren matlab dosyası oluşturunuz. Problem içinde lsim komutu da bulunan komut satırları ile çözülecektir.
w
w
Soru 5 )a) γ, orijin merkezli ve yarıçapı 1’den büyük olan herhangi bir çember olsun. Aşağıdaki entegral sonucunu bulunuz. (Kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisi sorusu) 5z 2 z(z 1) dz ?
cos5x dx 2 0 x 1
b) I
Not baremi: 1/10
2/ 30
3/10
4/ 30
5/ 20
Sınav süresi 90 dakikadır. Yalnızca ciltli ders notu açıktır. Diğer dökümanlar kaldırılacaktır. Çözümler web sitemde ilan edilecektir. .
U.Arifoğlu
17/05/2010
tla
ri. co
m
ÇÖZÜMLER Cevap 1) wt=0:0.001:2*pi; V_t=220*sqrt(2)*sin(wt); uzun=length(wt); akim=zeros(1,uzun); for k=1:uzun; if wt(k)<= pi/3; akim(k)=-50; elseif pi/3< wt(k) & wt(k)< pi+pi/3; akim(k)=100; elseif pi+pi/3<= wt(k) & wt(k)<=2*pi; akim(k)=-50; end end plot(wt,V_t),hold on,plot(wt,akim),grid aniguc=V_t.*akim; P=mean(aniguc) V=sqrt(mean(V_t.^2)) I=sqrt(mean(akim.^2)) S=V*I Aranan_guc=sqrt(S^2-P^2)
sn o
Cevap 2)
m de r
clear all clc A=[ 5.993 82.440 6.162 82.939 5.329 90.241 2.533 93.976 6.671 93.415 4.201 92.941 1.724 82.685 7.902 86.893]; [a b]=max(A(:,1)); disp('en büyük rüzgar gücü') disp(a),disp('kuvvetinde') disp(A(b,2)),disp('derece yönünde esmektedir') z=a*cos(A(b,2)*pi/180)+i*a*sin(A(b,2)*pi/180); compass(z,'k')
w
w
w
.e e
Cevap 3) syms x y u=x^2+2*x*y; v=y^2-x^2; ux=diff(u,x); uy=diff(u,y); vx=diff(v,x); vy=diff(v,y); if ux-vy==0 & uy+vx==0 disp('Cauchy- Riemann kosulu saglanmistir') else disp('Cauchy- Riemann kosulu saglanmamistir') end
Cevap 4)
d vC 4 4 vC 2 E ; E=20 V dt i L 1 0 i L 0 v y(t)= 1 0 C [0]u(t) iL
U.Arifoğlu
17/05/2010
Program aşağıda verilmiştir:
sn o
tla
ri. co
m
a=[-4 -4 ;1 0]; b=[2;0]; c=[1 0]; d=[0]; t=0:0.01:2; uzun=length(t); x0=[0 0]; u=20*ones(uzun,1); [y x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0); R2=2; % x(:,1) kapasite gerilimi=direnc gerilimidir (devreye bakınız) R2_direnc_akimi=x(:,1)/R2; % kapasite dirence paralel bağlı olduğundan dolayı gerilimleri eşittir % R1 direncinin gerilimi= ’E-bobin gerilimi’ dir L=1; bobin_gerilimi=L*(1*x(:,1)+0*x(:,2)+0*u); R1=2; R1_direnc_akimi=(u-bobin_gerilimi)/R1; subplot(211),plot(t,R2_direnc_akimi),xlabel('t'),ylabel('iR2'),grid subplot(212),plot(t,R1_direnc_akimi),xlabel('t'),ylabel('iR1'),grid
Cevap 5) a) g(z)=5z-2, h(z)=z(z-1) olmak üzere f’in aykırılıkları h(z) = z-1= 0 denkleminin kökleri olan z=0 ve z=1 dir. Bu noktalar f için birinci mertebeden kutuptur. Her iki kutup da γ eğrisinin içindedir. Ayrıca;
I(, z1 ) I(, z2 ) 1 olduğundan;
5z 2 g(0) 2 , 0) ' z(z 1) h (0) 5z 2 g(1) Res(f , z 2 ) Res( ,1) ' 3 z(z 1) h (1)
m de r
Res(f , z1 ) Res(
5z 2 dz 2i(2 3) 10i z(z 1)
elde edilir.
w
w
w
1 cos5x 1 1 1 e5 5x dx Re[ e dx] Re[2 i ] e5 = 0.0105 2 2 2 x 1 2 2 2i 2 x 1
.e e
b) I
U.Arifoğlu
17/05/2010 SAÜ MÜH. FAK. ELK-ELN. MÜH. BÖL. SAYISAL ANALİZ FİNAL SINAV SORULARI
tla
ri. co
m
Soru 1) S P2 Q2 D2 S2 P2 Q2 D2 aktif olmayan güç . (D: Distorsiyon gücü). Şekil 1’de bir kaynağa ilişkin gerilim ve akım değişimleri verilmiştir. Bu kaynaktan çekilen aktif olmayan güç değerini bulunuz. Not: Aktif güç, anigücün bir periyot boyunca ortalamasıdır. S=V*I değerindedir (etkin değerler). Yatay eksen (wt) artış değerini 0.001 alınız.
Şekil 2
sn o
Şekil 1
Soru 2) Elinizde Devlet Meteoroloji Enstitüsü’nden alınan iki sütunlu bir matris olsun (Ör : A(5000,2). İlk sütün rakam olarak rüzgar şiddetini, ikinci sütun ise derece olarak rüzgarın yönünü göstersin. Öyle bir program yazın ki, çalıştığında ekranda en büyük rüzgar şiddeti ve yönünü gösteren (Şekil 2’dekine benzeyen) vektör olsun. Soru 3) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) olmak üzere u x v y ve u y v x şartlarının aynı anda sağlanması durumunda f(z)
m de r
fonksiyonunun Cauchy- Riemann koşulunu sağladığı söylenir. f(z)= x 2 2xy i(y2 x 2 ) ifadesinin CauchyRiemann koşulunun sağlayıp sağlamadığını test eden bir program yazınız. Test sonucunu disp komutu ile veriniz. Elle işlem yapılmayacaktır.
Şekil 3
w
.e e
Soru 4) Şekil 3’deki devreye ilişkin durum denklemleri aşağıda verilmiştir. İlk koşular sıfır alınacaktır. t=0:0.01:2 için her iki direnç akımının değişimi alt alta çizdiren matlab dosyası oluşturunuz. Problem içinde lsim komutu da bulunan komut satırları ile çözülecektir.
w
w
Soru 5 )a) γ, orijin merkezli ve yarıçapı 1’den büyük olan herhangi bir çember olsun. Aşağıdaki entegral sonucunu bulunuz. (Kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisi sorusu) 5z 2 z(z 1) dz ?
cos5x dx 2 0 x 1
b) I
Not baremi: 1/10
2/ 30
3/10
4/ 30
5/ 20
Sınav süresi 90 dakikadır. Yalnızca ciltli ders notu açıktır. Diğer dökümanlar kaldırılacaktır. Çözümler web sitemde ilan edilecektir. .
U.Arifoğlu
17/05/2010
tla
ri. co
m
ÇÖZÜMLER Cevap 1) wt=0:0.001:2*pi; V_t=220*sqrt(2)*sin(wt); uzun=length(wt); akim=zeros(1,uzun); for k=1:uzun; if wt(k)<= pi/3; akim(k)=-50; elseif pi/3< wt(k) & wt(k)< pi+pi/3; akim(k)=100; elseif pi+pi/3<= wt(k) & wt(k)<=2*pi; akim(k)=-50; end end plot(wt,V_t),hold on,plot(wt,akim),grid aniguc=V_t.*akim; P=mean(aniguc) V=sqrt(mean(V_t.^2)) I=sqrt(mean(akim.^2)) S=V*I Aranan_guc=sqrt(S^2-P^2)
sn o
Cevap 2)
m de r
clear all clc A=[ 5.993 82.440 6.162 82.939 5.329 90.241 2.533 93.976 6.671 93.415 4.201 92.941 1.724 82.685 7.902 86.893]; [a b]=max(A(:,1)); disp('en büyük rüzgar gücü') disp(a),disp('kuvvetinde') disp(A(b,2)),disp('derece yönünde esmektedir') z=a*cos(A(b,2)*pi/180)+i*a*sin(A(b,2)*pi/180); compass(z,'k')
w
w
w
.e e
Cevap 3) syms x y u=x^2+2*x*y; v=y^2-x^2; ux=diff(u,x); uy=diff(u,y); vx=diff(v,x); vy=diff(v,y); if ux-vy==0 & uy+vx==0 disp('Cauchy- Riemann kosulu saglanmistir') else disp('Cauchy- Riemann kosulu saglanmamistir') end
Cevap 4)
d vC 4 4 vC 2 E ; E=20 V dt i L 1 0 i L 0 v y(t)= 1 0 C [0]u(t) iL
U.Arifoğlu
17/05/2010
Program aşağıda verilmiştir:
sn o
tla
ri. co
m
a=[-4 -4 ;1 0]; b=[2;0]; c=[1 0]; d=[0]; t=0:0.01:2; uzun=length(t); x0=[0 0]; u=20*ones(uzun,1); [y x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0); R2=2; % x(:,1) kapasite gerilimi=direnc gerilimidir (devreye bakınız) R2_direnc_akimi=x(:,1)/R2; % kapasite dirence paralel bağlı olduğundan dolayı gerilimleri eşittir % R1 direncinin gerilimi= ’E-bobin gerilimi’ dir L=1; bobin_gerilimi=L*(1*x(:,1)+0*x(:,2)+0*u); R1=2; R1_direnc_akimi=(u-bobin_gerilimi)/R1; subplot(211),plot(t,R2_direnc_akimi),xlabel('t'),ylabel('iR2'),grid subplot(212),plot(t,R1_direnc_akimi),xlabel('t'),ylabel('iR1'),grid
Cevap 5) a) g(z)=5z-2, h(z)=z(z-1) olmak üzere f’in aykırılıkları h(z) = z-1= 0 denkleminin kökleri olan z=0 ve z=1 dir. Bu noktalar f için birinci mertebeden kutuptur. Her iki kutup da γ eğrisinin içindedir. Ayrıca;
I(, z1 ) I(, z2 ) 1 olduğundan;
5z 2 g(0) 2 , 0) ' z(z 1) h (0) 5z 2 g(1) Res(f , z 2 ) Res( ,1) ' 3 z(z 1) h (1)
m de r
Res(f , z1 ) Res(
5z 2 dz 2i(2 3) 10i z(z 1)
elde edilir.
w
w
w
1 cos5x 1 1 1 e5 5x dx Re[ e dx] Re[2 i ] e5 = 0.0105 2 2 2 x 1 2 2 2i 2 x 1
.e e
b) I
11.05.2011
U. Arifoğlu - G. Çetinel SAÜ. MÜH. FAK. ELK-ELN. MÜH. BÖL. SAYISAL ANALİZ FİNAL SINAV SORULARI S1)
m
a)Yukarıda verilen diferansiyel denklem sistemine ilişkin ilk koşullar; x(0)=2, y(0)=0, , olduğuna göre x(t) ve y(t) değişimini t = [0 : 0.01: 10] aralığında çizdiren matlab programını lsim komutunu kullanarak yazınız. Türevler t'ye göredir. b) Aynı problemi ode45 komutu ile çözünüz.
x= 0.1 için, değeri ile n sayısını bulan matlab programını yazınız.
ri. co
(Laurent açılımı)
S2)
) açılımı arasındaki "farkın mutlak değerinin" 1e-15 den küçük kaldığı
sn o
tla
S3) Şekil 1'de verilen OPAMP entegral alıcıdır. Bu tür bir opampın tanım bağıntısı, şeklin hemen altında verilmiştir. Rs=3 ohm, C=0.5F, R= 4 ohm, L=2 H, dır. t=0 anında kapasite gerilimi sıfır volt, bobin akımı sıfır amper olduğuna göre, bobin akımının [0 : 5] sn aralığında değişimini çizen ve bobin akımının ortalama değerini bulan bir matlab programı yazınız. volt alınacaktır.
Şekil 1
em de r
S4) S4) a) 3x3 x 2 2 x 5 denkleminin x0=1.2 ilk koşulu altında kökünü Newton yöntemi ile elle adım adım bulmaya çalışırken, birinci ve (gerek olursa) ikinci iterasyon sonunda epsilon=0.001 koşulu altında yakınsama sağlanıp sağlanmadığını kontrol ediniz, denklemin kökünü bulup bulmadığınızı yazınız, bulmuşsanız kökü yazınız (hesap elle yapılacak, matlab komutu kullanılmayacaktır). (15 p) b) a şıkkında verilen denklemi uygun bir matlab komutları kullanarak çözen bir program yazınız. (5p) S5) Aşağıda bir prizden farklı dakikalarda ölçülen voltaj değerleri verilmektedir. a) Verilen sekiz adet noktadan geçmeye çalışan 5. ve 7. mertebeden iki farklı eğrinin katsayılarını bulunuz. (5p) b) a şıkkında elde ettiğiniz eğriler arasındaki ortalama karesel hatayı hesaplayan ve iki eğri arasındaki farkın mutlak değerini çizdiren bir matlab programı yazınız. (5p) c) 8. ve 22. dakikalara karşılık gelen voltaj değerlerini matlab komutları yardımıyla hesaplatınız.(5p) (t1,v1)=(1,220) (t2,v2)=(3,219.75) (t5,v5)=(9,219.55) (t6,v6)=(11,219.65)
w .e
‘ın bütün aykırı noktalarını bulunuz ve bu noktalardaki rezidülerini hesaplayınız. (10p)
S6)
Yalnızca kitap ve “kompleks değişkenli fonksiyonlar ders notları” açıktır. Sınav süresi 110 dakikadır. Soru kağıtları öğrencide kalacaktır. Cevaplar OBİS sisteminde bugün ilan edilecektir.
w
w
(t3,v3)=(5,219.97) (t4,v4)=(7,218.90) (t7,v7)=(13,218.45) (t8,v8)=(15, 219,90)
11.05.2011
U. Arifoğlu - G. Çetinel
ÇÖZÜMLER 1) a) x
Yukarıdaki eşitlikler matrisel formda yazılırsa;
]
[ ]
][
[
[
][ ]
[
]
[
][
][
]
sn o
[
ri. co
(3t)
tla
Yukarıdaki eşitlikler problemde verilen denklemlerde kullanılırsa;
m
y
] elde edilir.
b)
em de r
a=[0 1 0 0; -5 0 4 0; 0 0 0 1;1 0 -2 0]; b=[0 0;0 1;0 0;1 0]; c=[1 0 0 0;0 0 1 0]; d=[0 0;0 0]; x0=[2 0 0 1]; t=0:0.01:10; u=[3+cos(3*t); -2+sin(2*t)]; [y x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0); subplot(211),plot(t,x(:,1)); xlabel('t'), ylabel('x(t)'),grid subplot(212),plot(t,x(:,3)); xlabel('t'), ylabel('y(t)'),grid [t x]=ode45('gcozturev1',[0 10], [2 0 0 1]'); figure(2), subplot(211),plot(t,x(:,1)); xlabel('t'), ylabel('x(t)'),grid subplot(212),plot(t,x(:,3)); xlabel('t'), ylabel('y(t)'),grid function turev=gcozturev1(t,x)
;x(4);
(3*t)];
w .e
turev=[x(2);
w
w
2)
3)
A=exp(0.1); top=1; x=0.1; for k=1:10000 top=top+(x^k)/factorial(k); if abs(top-A)<1e-15 disp('aranılan n sayısı') disp(k) break else end end
OPAMP'ın çıkışına KGY uygulandığında;
t=0:0.001:5; x0=0; Vs=4*exp(t); L=2; R=4; Rs=3; C=0.5; Vo=-(1/(Rs*C))*cumtrapz(t,Vs); % OPAMP çıkışı gerilim değişimi a=[-R/L]; b=[1/L]; c=[1]; d=[0]; [y x]=lsim(a,b,c,d,Vo,t,x0); plot(t,x); xlabel('t'), ylabel('I1'),grid % akım çiziliyor mean(x) % akımın ortalama değeri bulunuyor
11.05.2011
U. Arifoğlu - G. Çetinel 4) a)
]
,
abs(x(0)-x(1))=0.231>0.001 olduğundan iterasyon devam eder.
i=2. iterasyon için
abs(x(1)-x(2))=0.048>0.001 olduğundan kök bulunamamıştır.
b) x=fzero(fsolve)(‘3*x^3+x^2+2*x-5’,1.2)
ri. co
5) a) t=1:2:15 V=[220 219.75 219.97 218.90 219.55 219.65 218.45 219.90]; E5=polyfit(t,V,5); E7=polyfit(t,V,7); disp(E5), disp(E7)
tla
b) e5=polyval(E5,t); e7=polyval(E7,t); e=e5-e7; okh=mean(e.^2) plot(t,abs(e))
sn o
c) 8. dakika için ara değer hesabı yapılır Vi=interp1(t,V,8); 22. dakika için dış değer hesabı yapılır Vi=interp1(t,V,22,’linear’,’extrap’) f(z)’in aykırı noktaları;
em de r
6)
denkleminin kökleridir. Bu kökler
’dir.
için;
3/8
Basit kutup olduğundan limit aynı zamanda rezidü değeridir. için;
w .e
elde edilir. O halde, Rez(f,
w
w
bulunur.
m
i=1. iterasyon için
11.05.2011
w
w
w .e
em de r
sn o
tla
ri. co
m
U. Arifoğlu - G. Çetinel
27.05.2011
U. Arifoğlu - G. Çetinel SAÜ. MÜH. FAK. ELK-ELN. MÜH. BÖL. SAYISAL ANALİZ FİNAL SINAV SORULARI
S1) Şekil 1’de verilen değişim, C=5 mF değerindeki bir kapasitenin uçları arasındaki gerilimin zamana bağlı değişimidir. Kapasitenin içinde biriktirdiği enerji (zamana bağlı); w c (t ) tt1 ic (t ) * vc (t ) * dt Joule ifadesi ile, kapasitenin ani gücü ise; p c( t ) i c( t ) * v c ( t ) Watt 0
ri. co
m
ifadesi ile elde edildiğine göre, [0 5] sn aralığında bu kapasitenin akımının, gücünün ve enerjisinin zaman bağlı değişimleri alta alta çizdiren (subplot ile) matlab programını yazınız. Not: t 0 =0 ve t1 = 5 sn alınız. Zaman artışını 0.01 sn alınız. (puan)
Şekil 2
tla
Şekil 1
S2) a)Şekil 2’de verilen devrede, lsim komutunu kullanarak, i(t) kaynak akımının [0 5] sn aralığında değişimini çiziniz. Şekil 2’de verilen kaynak gerilimi değişimi Şekil 1’de verilmiştir. Zaman artışını 0.01 sn ve tüm self akımlarına ilişkin ilk koşulları sıfır Amper alınız. b) Aynı problemi ode45 komutunu kullanarak çözünüz. ( puan). (Her iki çözüm de geçici hal analizini içerecektir.)
m de r
sn o
S3)
”Değerler etkin fazördür”, “Za, Zb, Zc: yük” Şekil 3 (not: Kaynak gerilimleri ve hat empedansları dengeli, yük dengesizdir)
Şekil 3’de verilen devrede Zhat 1 2 j , Za 2 3 j ; Z b 1 3 j ; Zc 2 2 j , Znötr 2 ohm olduğuna göre, a) A1, A2 ve A3 ampermetrelerinin göstereceği etkin akım değerlerini bulan, b) compass komutu ile Ib ile Inötr akımlarını etkin fazör olarak aynı eksene çizdiren matlab programlarını yazınız (bu iki akım vektörlerinin uçlarında, bu akımların etkin değerleri yazacaktır). S4) x=[0.0921
0.0719 0.0516 0.0312 0.0109]; y=[1 2 3 4 5]; 49.58 49.20 49.23 49.36; 34.13 33.82 33.85 33.94; 21.02 20.75 20.78 20.84; 10.57 10.33 10.35 10.39; 3.28 3.00 3.03 3.03]; % x,y ve z değerleri
.e e
z=[44.03 29.29 17.16 7.96 2.08
deney sonuçlarıdır
w
Yukarıda verilen değerler için bir öğrenci, matlab’ın (sftool) eğri uydurma arayüzünden yararlanarak; Z= 67.76 +56.77 *x1 -20.16*y1 -1175*x1^2 + 10.67*x1*y1 + 1.37*y1^2
w
w
eğrisini elde etmiştir. x1= 0.091, y1= 4.9 değerleri için (size öğretilen) MATLAB imkanlarını kullanarak, öğrencinin hata yapıp yapmadığını, eğer yapmış ise hata oranını bulan bir matlab yazılımı yapınız. Hata değeri %1 den büyük ise ekrana “öğrenci hata yapmıştır” yazılacaktır. Eğer böyle değil ise ekrana “programda hata yoktur” yazdırılacaktır. hata oranı = 100* (abs(öğrencinin bulduğu değer-matlab’a sizin hesaplattığınız değer) ) / (matlab’a sizin hesaplattığınız değer)
S5) Aşağıda verilen fonksiyonunun bütün aykırı noktalarını bulunuz ve bu noktalardaki tüm rezidülerini hesaplayınız. (Kompleks sorusudur, elle çözülecek, matlab komutları kullanılmayacaktır!)
( )
(
)
Yalnızca kitap ve “kompleks değişkenli fonksiyonlar ders notları” açıktır. Sınav süresi 110 dakikadır. Soru kağıtları öğrencide kalacaktır. Cevaplar OBİS sisteminde bugün ilan edilecektir.
27.05.2011
U. Arifoğlu - G. Çetinel
ÇÖZÜMLER
1) C=5e-3; % kapasite değeri
(devre, çevre akımları yöntemi ile matrisel forma getirilecektir) ( ç
(
ç
( (
ç
ç
)
][
( ) ç ]
) ⌋
[ ]
ç
[ ]
ç
⌋
a=[-3 x0=[0
w
w
( ) [ ç ]
)
.e e [
w
⌊
ç
ç
(
⌊
() ç
;
ç
(
⌋
ç
ç
)
ç ç
ç
)
()
⌊
( )
)
m de r
2) a)
sn o
tla
ri. co
m
t1=0:0.01:5; vc1=zeros(1,length(t1)); for k=1:length(t1) if t1(k)<2 vc1(1,k)=50*t1(k); elseif t1(k)>=2 && t1(k)<=3 vc1(1,k)=-50*(t1(k)-4); elseif t1(k)>3 vc1(1,k)=50; end end ic=C*diff(vc1)./diff(t1); % kapasite tanım bağıntısı ile akım bulunuyor vc=vc1(1:end-1); % ic ve vc boyutları eşit hale getiriliyor t=t1(1:end-1); % guc ve enerji hesaplamaları için yatay eksen hazırlanıyor guc=vc.*ic; enerji=cumtrapz(t,guc); subplot(311),plot(t,ic),xlabel('t'),ylabel('akım'),grid subplot(312),plot(t,guc),xlabel('t'),ylabel('guc'),grid subplot(313),plot(t,enerji),xlabel('t'),ylabel('enerji'),grid
1 0
2; 1/3 -8/3 4/3; 1 0]; t=0:0.01:5;
2
-3]; b=[1; 0; 0]; c=[1
% parçalı Vc(t) tanıtımı aşağıda başlıyor vc=zeros(1,length(t)); for k=1:length(t) if t(k)<2 vc(1,k)=50*t(k); elseif t(k)>=2 && t(k)<=3 vc(1,k)=-50*(t(k)-4); elseif t(k)>3 vc(1,k)=50; end end y=lsim(a,b,c,d,vc,t,x0) plot(t,y); xlabel('t'), ylabel('i(t)') title(‘lsim komutu ile diferansiyel denklem çözümü’);
0
0]; d=0;
27.05.2011
U. Arifoğlu - G. Çetinel b) [t x]=ode23('gcozturev',[0
5], [0 0 0]'); plot(t,x(:,1)), plot(t,x(:,1)), xlabel('t'), ylabel('i(t)') title(‘ode komutu ile diferansiyel denklem çözümü’);
ri. co
m
function turev=gcozturev(t,x) for k=1:length(t) if t(k)<2 vc(1,k)=50*t(k); elseif t(k)>=2 && t(k)<=3 vc(1,k)=-50*(t(k)-4); elseif t(k)>3 vc(1,k)=50; end
turev=[-3*x(1)+x(2)+2*x(3)+vc(1,k);(1/3)*x(1)-(8/3)*x(2)+(4/3)*x(3);x(1)+2*x(2)-3*x(3)]; end 3) clear all
4) clear all
m de r
sn o
tla
clc Vb=220; Va=220*exp(j*pi/3); Vc=220*exp(-j*pi/3); Zhat=1+2*j; Za=2-3*j; Zb=1+3*j; Zc=2+2*j; Znotr=2; syms x y z unreal % x=Ia, y=Ib, z=Ic alınmıştır A=Va-x*(Zhat+Za)-(x+y+z)*Znotr; B=Vb-y*(Zhat+Zb)-(x+y+z)*Znotr; C=Vc-z*(Zhat+Zc)-(x+y+z)*Znotr; S=solve(A,B,C) Ia=double(S.x) % a faz akımı (fazör) Ib=double(S.y) % a faz akımı (fazör) Ic=double(S.z) % a faz akımı (fazör) Inotr=Ia+Ib+Ic % nötr akımı A1=abs(Ia) % A1 ampermetresi A2=abs(Ic) % A2 ampermetresi A3=abs(Inotr) % A3 ampermetresi hold on compass(Ib),compass(Inotr) text(real(Ib)+0.1,imag(Ib),'A2') text(real(Inotr)+0.1,imag(Inotr),'A3'),grid
w
w
w
.e e
clc x=[0.0921 0.0719 0.0516 0.0312 0.0109]; y=[1 2 3 4 5]; z=[44.03 49.58 49.20 49.23 49.36; 29.29 34.13 33.82 33.85 33.94; 17.16 21.02 20.75 20.78 20.84; 7.96 10.57 10.33 10.35 10.39; 2.08 3.28 3.00 3.03 3.03]; x1=0.091; y1=4.9; z1 = 67.76 +56.77 *x1 -20.16*y1 -1175*x1^2 + 10.67*x1*y1 + 1.37*y1^2; A=interp2(x,y,z,0.091,4.9); disp(‘hata değeri’) hata=100*abs(z1-A)/A if hata>1 disp('öğrenci hata yapmıştır') else disp('programda hata yoktur') end
5) f(z)’in aykırı noktaları;
(
)
denkleminin kökleridir. Bu kökler için;
’dir.
27.05.2011
U. Arifoğlu - G. Çetinel
( )
lim
lim
(
lim
)
(
)
Basit kutup olduğundan limit aynı zamanda rezidü değeridir. için;
olur. Böylece
( )
lim (
)
(
)
lim
için ;
(
)
(
)
)
( )
,
elde edilir. O halde, Rez(f,
)
m
( )
)
ri. co
lim (
( (
)
( )
w
w
w
.e e
m de r
sn o
tla
bulunur.
U.Arifoğlu
(10/08/2011)
SAÜ. MÜH. FAK. ELK. ELN. MÜH. BÖL. SAYISAL ANALİZ YAZ OKULU FİNAL SINAV SORULARI d3y dt
3
6
d2y dt
2
11
dy 6 y z( t ) dt
m
Soru 1)
x y 1 0 1 3e 3t x 2
(20 puan)
tla
x ' 0 1 x 1 0 3 t Soru 2) 1' e ; x 2 6 5 x 2 2
ri. co
x 1 y; x 2 y ' ; x 3 y '' ve tüm ilk koşulları 1 alarak, t=0:0.01:5 için, z(t)=6*u(t-3) y(t) = x1 x 2 değerini lsim komutu kullanarak çizdiren matlab programını yazınız. ( Not: u(t): birim basamak fonksiyonudur) (25 puan)
sn o
y(t) eğrisini [0 6] saniye aralığında ode45 komutu ile çizdiriniz. x1 (0) 1 ; x 2 (0) 2 Soru 3) F9=55; F12=10; F10=F9+((2*(F9+225))/(43600/(F11^2*F12)-1)); F11=((21800/F12)*ln((235+F10)/(235+F9)))^0.5;
m de r
olduğuna göre, 1 ile 300 arasında değişen “F10” değerini “for döngüsü” kullanarak bulunuz. (not: ln; e tabanında logaritmadır). F10 değerinin aranmasını % 0.1 hassasiyetle yaptırınız. Döngü durdurma toleransını 0.001 alınız. (20 puan)
Soru 4) f (t ) 3 sin(t 0.5) 4e 20 t 18e 3t
.e e
yukarıda verilen f(t) fonksiyonun türevinin, f(t)’nin kümülatif entegraline oranının en yüksek olduğu t anını tespit eden bir algoritma yazınız. t=0:0.1:10 sn. “sayısal” komut ve “yöntemleri” kendiniz seçiniz. (10 puan)
w
w
w
Soru 5)
d dt
x 2 3 x 1 5t y 3 2 y 2 e
; x(0)=1, y(0)= -1
(25 puan)
x(t) değerinin tam çözümünü “s” domeni yardımı ile bulan matlab programını yazınız
Sınav süresi 90 dakikadır. Yalnızca kitap açıktır. Eski sınav soru ve çözümleri dahil her türlü not kapalıdır. Çözümler Abis’te ilan edilecektir.
U.Arifoğlu
(10/08/2011)
CEVAPLAR d2y dt 2
11
dy 6 y z( t ) dt
m
dt 3
6
x 3' 6x 3 11x 2 6x1 z(t ) x1 y x 2 x 1' x 3 x '2
1 0 x 1 0 x1 0 d x2 0 0 1 x 2 0 z( t ) dt x 3 6 11 6 x 3 1
sn o
1 0 0 0 A= 0 0 1 ; B= 0 ; C= 1 1 0 1 6 11 6
ri. co
d3y
tla
1)
.e e
m de r
a=[0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6]; b=[0; 0; 1]; c=[1 1 0]; d=0; x0=[1 1 1]; t=0:0.01:5; uzun=length(t); for s=1:uzun if t(s)>=0 & t(s)<=3 z(s)= 0; % bir girişli sistem else z(s)= 6; end end y=lsim(a,b,c,d,z,t,x0) plot(t,y) ylabel(‘y’),xlabel(‘t’) title(‘lsim komutu ile diferansiyel denklem çözümü’);
x 1' 0 1 x 1 0 3t e ; ' x 2 6 5 x 2 2
2)
x 1' x 2
w
w
w
x y 1 0 1 3e 3t x 2
x'2 6x1 5x 2 2e 3t
>> >> >> >>
x0=[1 2]; [t x]=ode45(‘cevap2011’,0,6, x0) plot(t,x(:,1)+3*exp(-3*t)) % y(t) değişimini çizdiriliyor xlabel(‘t’),ylabel(‘y’),grid on
Alt program dosyası aşağıda verilmiştir; function dx=cevap2011(t,x) r=exp(-3*t); dx=[x(1);6*x(1)-5*x(2)-2*r];
x1 (0) 1 ; x 2 (0) 2
U.Arifoğlu
4)
clear all, clc A=solve('s*x-1=2*x+3*y+(1/(s-5))','s*y+1=3*x+2*y+2*(1/(s-5))','x','y'); x_s=ilaplace(A.x)
w
w
w
.e e
m de r
5)
sn o
tla
clc t=1:0.01:6; m=-4*exp(-20*t)+18*exp(-3*t)+3*sin(t-0.5); tt=diff(m)./diff(t); ss1=ss(1:end-1); ss2=tt./ss1; [a b]=max(ss2) sonuc=t(b)
ri. co
F9=55; F12=10; for x=1:0.001:300 F11=((21800/F12)*log10((235+x)/(235+F9)))^0.5; F10=F9+((2*(F9+225))/(43600/(F11^2*F12)-1)); if abs(F10-x)< 0.001 F10=x break end end
3)
m
(10/08/2011)
U.Arifoğlu
(25/07/2012)
Soru 1) 4
d 3x 3
2
m
SAÜ. MÜH. FAK. ELK. ELN. MÜH. BÖL. SAYISAL ANALİZ YAZ OKULU FİNAL SINAV SORULARI dx r (t ) dt
ri. co
dt diferansiyel denkleminde; x1 x; x 2 x ' ; x 3 x ' ' alınacak ve tüm ilk koşullar 1 alınacaktır.
t=0:0.01:5 için, r(t)=3*u(t-2)+ 5 * e 4t olarak verilmektedir. Sistemin y(t) çıkış değeri; y(t) = 2 x1 x2 4r(t ) olarak verildiğine göre, lsim komutunu kullanarak, subplot komutu yardımı ile üste dx/dt değişimini, alta ise y(t) değişimini (verilen t aralığında) çizdiren matlab programını yazınız. ( Not: u(t): birim basamak fonksiyonudur) (25 puan)
e 3t x y 1 0 1 3 2 6u(t ) x2
tla
x ' 3 1 x1 1 2 e 3t Soru 2) 1' ; x2 2 7 x2 0 3 6u(t )
(20 puan)
sn o
y(t) eğrisini [0 3] saniye aralığında ode45 komutu ile çizdiriniz. x1 (0) 1 ; x2 (0) 0
Soru 3) t=0:0.1:1; P=[5 4,8 4,6 4,427 4,264 4,125 4,016 3,943 3,912 3,929 4] ;
em de r
Yukarıda t zaman aralıklarında ölçülen basınç (P) değerleri verilmiştir. Önce 2. dereceden bir eğri uydurun ve daha sonra bu eğrinin t=0.65 saniye için aldığı P değeri (deger1) bulun. Daha sonra doğrusal olmayan ara değer hesabı yardımı ile ile t = 0.65 sn için basınç değerini (deger2) bulun. Son olarak bu iki değer arasındaki farkın mutlak değeri 0.1 değerinden küçük kalıyor ise aranılan değer bu iki değerin ortalaması olarak ekrana yazdırılsın, aksi halde ekrana "aranılan değere ulaşılamamıştır" ifadesi yazılsın. ( 20 puan)
df (t ) 3sin(t 0.5) 4e 20t 18e 3t (t=0:0.01:2) dt yukarıda verilen f(t) türev fonksiyon ifadesini kullanarak f(t) değişimini ve f(t)'nin ikinci türevini bulan ve bunları subplot komutu ile alt alta çizdiren matlab programını yazınız. Not: Sayısal matlab ortamında çözüm yapılacak, sembolik komutlar kullanılmayacaktır. ( 20 puan)
w
w
w .e
Soru 4)
x * sin( x )
x2 1
Soru 5) I
dx entegralini bulunuz.
( 15 puan)
Sınav süresi 90 dakikadır. Yalnızca kitap ve Kompleks notları açıktır. Eski sınav soru ve çözümleri dahil her türlü not kapalıdır. Çözümler Abis’te ilan edilecektir.
U.Arifoğlu
(25/07/2012)
CEVAPLAR 1)
4
d3y 3
2
dy r (t ) dt
m
dt 4 x3' 2 x2 r(t )
ri. co
x3' 0.5x2 (1/ 4) * r(t ) x1 x
x 2 x1'
tla
x 3 x 2' x1 0 1 0 x1 0 x1 d x2 0 0 1 x2 0 r (t ) y 2 1 0 x2 4 r (t ) dt x3 0 0.5 0 x3 0.25 x3
sn o
0 1 0 0 A= 0 0 1 ; B= 0 ; C= 2 1 0 0 0.5 0 0.25
em de r
a=[0 1 0; 0 0 1; 0 0.5 0]; b=[0; 0; 0.25]; c=[2 -1 0]; d=4; x0=[1 1 1]; t=0:0.01:5; uzun=length(t); for k=1:uzun if t(k)>=0 & t(k)<=2 r(k)= 5*exp(-4*t(k)); % bir girişli sistem else r(k)= 3+5*exp(-4*t(k)); end end [y x] = lsim(a,b,c,d,r,t,x0) subplot(2,1,1), plot(x(:,2),t), xlabel('t'), ylabel('dx/dt'), grid subplot(2,1,2),plot(y,t), xlabel('t'), ylabel('y(t)'), grid
3 1 x1 1 2 e 3t ; 7 x2 0 3 6u(t )
w
w
w .e
x'
2) 1 2 x'
2
e 3t x y 1 0 1 3 2 6u(t ) x2
x1' 3x1 x2 e 3t 12
x2' 2 x1 7 x2 18
>> >> >> >>
x0=[-1 0]; [t x]=ode45(‘cevap2012’,[0 3], x0) plot(t,x(:,1)+3*exp(-3*t)-12) % y(t) değişimini çizdiriyor xlabel(‘t’),ylabel(‘y’),grid on
Alt program dosyası aşağıda verilmiştir; function dx=cevap2012(t,x) r=exp(-3*t); dx=[3*x(1)-x(2)+r-12; 2*x(1)+7*x(2)+18];
U.Arifoğlu
(25/07/2012)
4];
m
3.929
ri. co
3) clc t=0:0.1:1; P=[5 4.8 4.6 4.427 4.264 4.125 4.016 3.943 3.912 a=polyfit(t,P,2); deger1=polyval(a,0.65); deger2=spline(t,P,0.65); if abs(deger1-deger2)<0.10 disp('aranılan değer'),disp((deger1+deger2)*0.5) else disp('aranılan değere ulaşılamamıştır') end
clc t=1:0.01:2; m=-4*exp(-20*t)+18*exp(-3*t)+3*sin(t-0.5); tt=cumtrapz(m); % f(t) bulunuyor fturev_2=diff(m)./diff(t); % f(t)'nin ikinci türevi bulunuyor t1=t(1:end-1); subplot(2,1,1), plot(t,tt), xlabel('t'), ylabel('f(t)') subplot(2,1,2), plot(t1,fturev_2), xlabel('t'), ylabel('df2(t)/dt2')
5)
I
x2 1 x
dx
x2 1
em de r
f ( z)
x * sin( x )
sn o
tla
4)
n imz sin(mx) f ( x )dx İm2i Re s( e f ( z ), z j ) ; n: üst yarı düzlemdeki kutup sayısı j 1
Basit kutupların rezidü hesabında kullanılan;
Res(f, z o )= lim (z z o )f (z) zzo
özelliği burada kullanılacak olursa;
w
w
w .e
Res(f, i)= lim ( x i ) z i
1 1 ( x i )( x i ) 2i
1 i *1*i f ( z ), i ) e 1 sin( x ) f ( x )dx İm2i Re s(e j 1
