COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA UNIDAD I: ARITMÉTICA SEMANA 07: PORCENTAJES Y SUS APLICACIONES SOLUCIONARIO 01. ¿Qué porcentaje de 30 es 45? Solución:
X .30 45 100 X = 150 02. ¿De qué número, 416 es el 4% mas? Solución:
X.
104 416 100
X = 400 03. ¿De qué número, 16 es el 20% menos? Solución:
X.
80 16 100
X = 20 04. 26 es el 30% ¿de qué número? Solución:
26
30 .X 100
X= 260/30 05. ¿Qué tanto por ciento de 1/3 es 1/4? Solución:
X 1 1 100 3 4 X=75 06. ¿Cuál es el 0,02% de 230 nuevos soles? Solución: Calculemos el 0,02% de 230
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0,02% x 230
0,02 2 46 x 230 x 230 0,046 100 10000 1000
07. ¿El 30% de qué número resulta 26? Solución: Sea “n” el número, luego:
30% x N 26
30 3 x N 26 x N 26 100 10
N
260 86, 6 3
08. ¿Cuánto es el 20% menos de 120? Solución: El 20% menos de 120 equivale a calcular el 80% de 120, esto es
80% x 120
80 x 120 8 x 12 96 100
09. ¿Cuánto es el 20% más de 120? Solución: El 20% más de 120 equivale a calcular el 120% de 120, esto es
120% x120
120 x120 12 x12 144 100
10. Un hotel tiene 200 habitaciones de las cuales 50 están vacías. ¿Cuál es el porcentaje de ocupación? Solución:
x 75%
x
150.100 200
200 150
100 x
Habitación
%
11. La semana pasada el litro de gasolina valía 1.42 nuevos soles, ahora vale 1.48 nuevos soles. ¿Cuánto ha subido su precio en porcentaje? Solución:
x 104.23%
x
1.48.100 1.42 Precio
1.42 1.48
%
100 x
Subió: 104.23 – 100.00 = 4.23% 12. Gaste el 50% de mi dinero y regalé el 20% de lo que me quedó. Si al principio tenía 300 nuevos soles. ¿Cuánto tengo ahora? Solución: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – SEMESTRE 2017-1
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Gaste: 50% de 300
50.300 150nuevos _ soles 100
Resto: 300 -150 = 150 nuevos soles Regalé: 20% de el resto
20.150 30nuevos _ soles 100
Me quedó: 150 – 30 = 120 nuevos soles
13. Un comerciante compra mercadería por S/.400 y vende luego el 20% de esta con una pérdida del 10%, ¿Qué tanto por ciento debe ganar en el resto de la mercadería para recuperar lo perdido y ganar además el 30% de la mercadería? Solución: Vende el 20% del total de la mercadería con una pérdida del 10% Entonces Perdida
= 10%(20% (400)) =10%(80)
Ganancia = x%(80%(400)) = x%(320) Donde x, representa el porcentaje que gana en el resto de la mercadería. Se desea que: x%(320)
= 10%(80) + 30%(400)
Resolviendo esta ecuación se tiene:
x=40.
Respuesta: Debe ganar el 40%
14. Una fábrica redujo en un 20% el precio de venta de sus artículos, ¿en qué porcentajes aumentaron sus ventas, si se sabe que sus ingresos aumentaron en un 20%? Solución: Ingreso = (precio) (cantidad) Luego 120% (Ingreso) = (80%precio) ((100+x) %(cantidad) Despejando x=50. Esto quiere decir que sus ventas aumentan en un 50%. Respuesta: Aumentaron en 50% DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – SEMESTRE 2017-1
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15. Un artefacto ha sido vendido por un comerciante en 470 soles, operación en la que ha perdido una cantidad equivalente al 11% del precio de venta más el 6% del precio de costo. ¿Cuánto le costó dicho artefacto? Solución:
pv Precio de venta (
)=470 soles.
pc Hallar Precio de costo (
)
11%pv 6%pc ... [1]
Perdida =
pc pv....[2]
Fórmula: Perdida = Igualando [1] y [2]; se tiene:
11%pv 6%pc pc pv
111pv 94pc 111(470) 94pc pc 555 soles Respuesta: El artículo costó S/.555 16. Un comerciante vende la quinta parte de su mercadería con una ganancia del 8%, luego vende otro tanto con un 13% de utilidad y el resto con un porcentaje gracias al cual se puede decir que ni ha ganado ni ha perdido. ¿Cuál fue dicho porcentaje? Solución: Sea T=total de la mercadería.
1 8% T 5 Utilidad1=
1 13% T 5 Utilidad2=
3 x% T 5 Perdida = Si se desea que no haya gananacia ni perdida, debe cumplirse:
1 8% T 5
1 3 13% T x% T 0 5 5 +
De donde
x 7
-
Quiere decir que pierde un 7% en el resto de la mercadería. Respuesta: El porcentaje fue del 7%
17. En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos es a través de la máquina “A” y el resto es a través de la máquina “B”. Si se sabe que el 5% de lo fabricado DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – SEMESTRE 2017-1
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por “A” es defectuoso y el 4% por “B” también lo es, ¿cuántos de los 1000 productos son defectuosos? Solución: La máquina “A” produce el 60%(1000)= 600 productos La máquina “B” produce el 40%(1000)= 400 productos La máquina “A” produce el 5%(600)= 30 productos defectuosos La máquina “B” produce el 4%(400)= 16 productos defectuosos Por lo tanto el total de productos defectuosos es 46. Respuesta: Número de defectuosos es 46 18. Al señor Casimiro le aumentaron su sueldo en un 8% a inicio de año del 2014, por lo cual ahora cobrará a fin de mes la cantidad de 2 050 nuevos soles. ¿Cuál era el sueldo del señor Casimiro el año pasado? Solución:
x
Sea “ ” el sueldo del señor Casimiro en el 1013
x 8% x 108% x El sueldo en el 1014 es = Como el cobrará a fin de mes la cantidad de 2 050 nuevos soles, luego:
108% x 2050
108 x 2050 100
x 1898,148
Respuesta: Sueldo del año pasado es aproximadamente 1 898,15 nuevos soles
19. Cuál es el descuento único del 20% del 20%. Solución:
M .N DU M N % 100 Dónde: M es el primer descuento, y N el segundo descuento M = 20 N = 20
20.20 DU 20 20 % 100
DU 36% Respuesta: 20. Cuál es el aumento único del 10% del 10% DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – SEMESTRE 2017-1
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Solución:
M .N DU M N % 100 Dónde: M es el primer aumento, y N el segundo aumento M = 10 N = 10
10.10 DU 10 10 % 100
DU 21 % Respuesta: 21. El descuento único de los descuentos sucesivos de 10%, 40% y 20% es: Solución:
M .N DU M N % 100 Dónde: M es el primer descuento, y N el segundo descuento M = 10 N = 40
10.40 DU 10 40 % 100
DU 46% Para relacionar el último descuento; relacionamos el anterior resultado como el primer descuento con respecto al descuento 3 o descuento del 20% Dónde: M es el primer descuento, y N el segundo descuento M = 46 N = 20
46.20 DU 46 20 % 100
DU 56.8% Respuesta: 22. El 40% del 50% de “x” es el 30% de “y”. ¿Qué porcentaje de (2x+7y) es (x+y)? DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – SEMESTRE 2017-1
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Solución:
40% .50% . x 30% . y Datos:
40 50 30 . .x .y 100 100 100
2x 3y
x
3 y 2
=
p Sea “
%” el porcentaje, luego
p % . (2 x 7 y ) x y
p%
x
x y 2x 7 y
3 y 2
Remplazando
en la igualdad anterior, tenemos
3 y y p% 2 3y 7 y
5 y p% 2 10 y p 1 100 4
p%
5y 2(10 y )
p%
1 4
p 25
Respuesta: El 25%
24. La tienda Plaza VEA ofrece el descuento del 12% en la compra de un artefacto electrodoméstico. El microondas tiene un precio de lista de 355 nuevos soles. ¿Cuál es precio de venta al público? Solución:
Pv Sea “
” el precio de venta.
Pv Precio de lista =
+ Descuento
355 Pv 12% (355)
Pv 355 12% (355) Pv 88% (355) Pv
88 (355) 312,4 100
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Respuesta: El precio de venta es S/. 312,4 25. En la tienda SAGAFALABELA se está promocionado la venta por internet de un televisor LG con pantalla LED 42’’ FULL HD a un precio de 1699 nuevos soles. Su precio normal es de 2799 y si se compra en 12 cuotas cada cuota es de 170.18 nuevos soles. ¿Si compras por internet al contado que porcentaje del precio normal te han descontado? ¿Si lo compras a 12 cuotas que porcentaje del precio de internet ha aumentado? Solución: Datos: Precio por internet = S/. 1699 Precio normal = S/. 2799 En 12 cuotas = 12(170,18) = S/. 2042,16 1º Descuento = 2799 – 1699 = S/. 1100
Ahora hallaremos el porcentaje de descuento
1100 x 100% 39,3% 2799 Respuesta: El porcentaje es de 39,3% 2º El precio por internet aumentó = 2042,16 – 1699 = 343,16 Porcentaje de aumento
343,16 . 100% 20,2% 1699 Respuesta: 20,2% 26. ¿Cuál es el precio que se debe señalar a un artículo de tal modo que al momento de venderlo se haga una rebaja del 25% y todavía se gane el 40%, sabiendo además que el precio de costo es 150 soles? Solución: Precio de costo: 150 Ganará 40%(150) = 60 Precio de venta = Precio de costo + Ganancia = 150 + 60 = 210
p Sea “
” el precio de lista
p
p - 25%
p
75%
p
= precio de venta = 210 = 280
Respuesta: El precio es de 280 soles 28. La producción de agua potable a nivel nacional de agosto 2012-2013 se muestra en el siguiente cuadro, ¿Cuánto es el crecimiento porcentual del 2012 al 2013? (Producción 2012 es de 95 329,10 y la del 2013 es de 96 679,04) DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – SEMESTRE 2017-1
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Parte 100 % Todo , obtenemos el crecimiento: 96 679,04 - 95329,10 = 1349,94
1349,94 100 % 95329,10 1,92% Respuesta: El crecimiento porcentual es de 1,92% 29. Tres personas se reparten una herencia del modo siguiente: el primero hereda el 45%, el segundo, el equivalente al 60% del primero y el tercero el equivalente a 1/3 del segundo. Si quedó un saldo de S/. 38 000, halle la herencia. Solución: Sea x: la herencia
x−lo que se reparten=Saldo
1 x− 45 %x+60 45%x+ 60 45 %x =38000 3
(
)
1 x−45 %x 1+ 60 + 60 =38000 3
(
x−
)
81 x=38000 100
x=200000 Respuesta: La herencia es de S/. 200 000 30. Se vende 2 USB en 60 soles cada una. En una se ganó el 20% y en la otra se perdió el 20%. ¿Se ganó o se perdió en total y cuánto? Solución: Primer USB
Segundo USB
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PV =PC +G PV =PC−G PV =X +20 %X PV =X −20 %X
60=120 %X 60=80 %X 50= X 75=X
→ El costo de los dos USB=50+75=125 Venta=120
→ se perdió entotal 5.00 soles Respuesta: Se perdió 5 soles 31. Una casa comercial ofrece un descuento del 20% sobre el valor real de cada uno de sus artículos. Uno de estos artículos tiene un costo de S/. 3120. Determine: ¿Qué precio tendrá en dicha casa comercial este artículo si se desea ganar el 10%? Solución: Sea
pv : Precio de venta
pc : Precio de costo
pL D
: Precio de lista del artículo : Descuento
G
: Ganancia Fórmula: Fórmula:
pL pc G D pL 3120 10%(3120) 20%pL 80%pL 110%(3120) 110%(3120) 80% pL S/ . 4290 pL
Respuesta: El precio es de 4290 soles
32. Se compró un artículo en S/. 160. ¿Qué precio deberá fijarse para el público general; de modo que al hacerse un descuento del 20% todavía se esté ganando el 25%? Solución: Sea
pv : precio de venta DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – SEMESTRE 2017-1
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pc : precio de costo
pL D
: precio de lista : descuento
G
: ganancia Fórmula:
pL pc G D pL 160 25%(160) 20%pL 80%pL 125%(160) 125%(160) 80% pL S/ . 250 pL
Respuesta: El precio es de 250 soles
33. Una playera cuesta 400 pesos. Si su nuevo precio es de 360 pesos. ¿Qué descuento se aplicó? Solución: Sea
pv : precio de venta
pL D
: precio de lista : descuento
Fórmula:
PL PV D PL D PV
400 – D = 360 D = 40
x 400 40
40.100 400 Habitación 100 x
%
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x 10% Respuesta:
34.
Si un videojuego cuesta 250 nuevos soles después de aplicarle el 25% de descuento. ¿Cuál era su precio original? Solución: Sea
pv : precio de venta
pL D
: precio de lista : descuento
Fórmula:
PL PV D PL D PV
100%X – 25%X = 250 El 75% de X es 250 nuevos soles
x
250.100% 75%
250 x
x 333.33
Respuesta:
Precio 75 100
%
nuevos soles
35. Elektra es una empresa encargada de la venta de diferentes tipos de artefactos electrodomésticos en la ciudad de Trujillo. El sueldo mensual de los vendedores de la tienda ELEKTRA es un pago fijo más una comisión por venta de artefactos según la línea. Por ejemplo en línea blanca (Cocinas, refrigeradoras, etc) es: S/. 550 + 1% por cada artefacto vendido. En la línea de motos es: S/. 550 + 0,7% por moto vendido. a) ¿Cuál será el sueldo del vendedor de la línea blanca si vende al mes una cocina de S/800, un microondas de S/.1499 y un refrigeradora de 2519? b) ¿Cuál será el sueldo del vendedor de la línea de motos si vende al mes dos motos de 6450 nuevos soles? Solución: a) Comisión por la cocina: 1%(800) = S/. 8 Comisión por el microondas: 1%(1499) = S/. 14,99 Comisión por la refrigeradora: 1%(2519) = S/. 25,19 El sueldo del mes correspondiente es: 550 + 8 + 14,99 + 25,19 = 598,18 Respuesta: El sueldo del vendedor es 598,18 soles
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b) Comisión por la compra de una moto: 0,7%(6450) = 45,15 El sueldo del mes correspondiente es: 550 + 2(45,15) = 640,3 Respuesta: El sueldo del vendedor es 640,3 soles 36. Un comerciante compra mercancías con un descuento del 25% del precio de lista. Desea ponerles en un precio de tal manera que pueda dar un descuento del 20% del precio fijado y obtener una ganancia de 25% sobre el precio de venta. ¿Qué tanto por ciento del precio de lista inicial debe fijar para las mercancías? Solución:
p
Sea “
” el precio inicial, luego:
p 25% p 75% p
Precio de costo =
pv
Sea “
” el precio de venta, usando la siguiente igualdad Precio de venta = Precio de costo + ganancia Y como quiere ganar el 25% del precio de venta, luego:
p v 75% p 25% p v
75% p v 75% p
pv p
pf
Sea “ ” precio fijado para el mercado Con la misma idea: Precio fijado = precio de venta + Descuento
p f p 20% p f
80% p f p
pf
100 p 80
Luego
100 p 80 x 100% x 100% 125% p p
pf
Respuesta: El 125%
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