Russell, Bertrand. (1984). Los Principios de La Matemática,

.» L a p alab ra «propiedad» que aquí se presenta desaparece en la form ulación sim bólica correcta de la proposición; pero «si-entonces», o algo que sirva p a ra los mismos propósitos, perm anece. Después de los m ayores esfuerzos p a ra reducir el núm ero de elem entos indefinidos en el cálculo lógico, nos hallarem os an te dos (por lo menos) que parecen ser indispensables: uno es la incom patibilidad; el otro es la verdad de todos los valores de una,

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función proporcional. (Por «incompatibilidad» de dos proporciones se entiende que no pueden ser am bas verdaderas.) N inguno de ellos parece m uy im portante. Lo que se dijo anteriorm ente respecto a «o», se aplica igualm ente a la incom patibilidad; y parecería absurdo decir que la generalidad es uno de los com ponentes de una proposición general. Por lo tanto, las constantes lógicas, si nos sintiéram os capaces de decir algo definido respecto a ellas, deben ser tra ta d a s como partes del lenguaje, no como partes a las que se refiere el lenguaje. De este modo, la Lógica resulta ser m ucho más lingüística de lo que la creía en la época en que escribí los P r i n c i p i o s . Aun ser;'* cierto que en la expre­ sión verbal o sim bólica de las proposiciones lógicas no se presentan constantes, salvo las lógicas; pero no será cierto qne estas constantes lógicas son nom bres de objetos, como in ten ta serlo «Sócrates». Por lo tan to , definir la Lógica, o la M atem ática, no es fácil en abso­ luto, excepto en relación a algún conjunto dado de prem isas. Una prem isa lógica debe ten er ciertas características que puedan definirse: debe poseer una generalidad com pleta, en el sentido de que no m en­ cione una cosa o cualidad particular; y debe ser verdadera en virtud de su forma. Dado un conjunto definido de prem isas lógicas, podemos definir la Lógica, en relación con ellas, como todo lo que ellas nos perm iten dem ostrar. Pero 1) es difícil decir qué es lo que hace una proposición verdadera en virtu d de su forma; 2) es difícil ver cualquier camino que nos sirva para probar que el sistem a resultante de un conjunto dado de prem isas es completo, en el sentido de com prender todo lo que quisiéram os que incluya entre las proposiciones lógicas. Respecto a este segundo punto, se ha acostum brado a aceptar la Lógica y la M atem ática corriente como un dato, y a buscar el mínimo de prem isas con las que puede construirse ese dato. Pero cuando surge la duda —como ha surgido— respecto a la validez de ciertas partes de la M atem ática, este m étodo no nos perm ite dilucidarla. Parece evidente que debe de existir algún método, para definir la Lógica adem ás del que se refiere a la relación con un lenguaje lógico particular. La característica fundam ental de la Lógica es, m anifies­ tam ente, la que se halla indicada cuando decimos que las proposicio­ nes lógicas son verdaderas en virtud de su forma. El problem a de la dem ostrabilidad no halla cabida aquí, ya que cada proposición que en un sistem a se deduce de acuerdo a las prem isas puede, en otro siste­ ma, ser tom ada como prem isa. Si la proposición es com plicada, esto resulta inconveniente, pero no imposible. Todas las proposiciones de­ m ostrables en cualquier sistem a lógico adm isible deben com partir con las prem isas la propiedad de ser verdaderas en v irtu d de su form a, y todas las proposiciones que son verdaderas en virtu d de su form a deben incluirse en cualquier Lógica adecuada. A l g u n o s escritores, por ejem plo C am ap en su Sintaxis lógica del lenguaje, tra ta n todo el

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problem a como siendo más cuestión de lección lingüística de lo que creo que es. E n el tra b a jo m encionado arriba, C arnap usa dos lengua­ jes lógicos, uno de los cuales ad m ite el axiom a de m ultiplicación y el axiom a de infinitud, m ientras que el otro no lo hace. No puedo creer que tal cuestión pueda decidirse por elección arb itra ria . Me parece que estos axiom as o tienen, o carecen, de la característica de verdad formal que caracteriza la Lógica, y que en el prim er caso to d a Lógica debe incluirlos, m ientras que en el últim o to d a Lógica debe excluirlos. Confieso, sin em bargo, que soy incapaz de d ar cualquier explicación clara de lo (pie se entiende cuando se dice (pie «una proposición es verdadera en v irtu d de su forma'». Pero esta frase, inadecuada como es, señala, creo, el problem a que debe resolverse si se quiere encontrar una definición adecuada do la Lógica. Llego finalm ente a la cuestión de las contradicciones y a la doc­ trina de los tipos. H enri Poincaré, quien considera que la Lógica m atem ática no a y u d a b a en n ad a a la investigación, y que por lo ta n to era estéril, era feliz en las contradicciones: «La logistique n ’est plus stérile; elle engendre la contradiction!» Sin em bargo, todo lo que hizo la Lógica m atem ática es poner en evidencia que se deducen co n tra ­ dicciones de las prem isas previam ente aceptadas por todos los lógicos, pero la M atem ática no tiene la culpa. Ni todas las contradicciones son nuevas; algunas d a ta n de la época de los griegos. E n los P r in c ip io s sólo se m encionan tres contradicciones: la de Burali F orti respecto al ordinal m áxim o, las contradicciones que se refieren al m áxim o cardinal, y la m ía respecto a las clases que no son elem entos de sí mismas. Lo que se dice respecto a posibles soluciones puede no tenerse en cuenta, excepto el apéndice B, que se refiere a la teoría de los tipos; y aun éste es sólo un ensayo rudim entario. La lite ra tu ra acerca de las construcciones es m uy am plia, y el tem a so halla aún en discusión. E l tra ta d o más com pleto que conozco se halla en la S in ­ taxis lógica del lenguaje de C arnap (Kegan Paul, 1937 ). Lo que dice sobre este tem a me parece verdadero o ta n difícil de reb atir que una refutación no es posible en poco espacio. P o r ello me referiré solam ente a algunas anotaciones generales. A prim era vista, las contradicciones parecen ser de tres tipos las m atem áticas, las lógicas y las que se puede sospechar que pueden deberse a juegos m ás o menos triviales de palabras. De las co n tra ­ dicciones definidam ente m atem áticas pueden tom arse como típicas las que se refieren al m áxim o cardinal y al m áxim o ordinal. L a prim era de ellas, la de B urali F o rti, es la siguiente: D isponga­ mos todos los núm eros ordinales en orden de m agnitud; entonces el últim o de ellos, que llam arem os N, es el m ayor de los ordinales. Pero el núm ero de todos los ordinales desde cero h asta N es N + 1, que es m ayor que N. No podemos solucionarlo diciendo que la serie de núm eros ordinales no tiene últim o térm ino; porque §u# ep este oaso,

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la serie m ism a ten d ría un núm ero ordinal m ayor que cualquier té r­ m ino de la serie, es decir, m ayor que cualquier núm ero ordinal. L a segunda contradicción, la que se refiere al cardinal m áximo, tiene el m érito de m ostrar en form a particularm ente evidente la ne­ cesidad de una teoría de los tipos. Sabemos, de acuerdo con la A rit­ m ética elem ental, que el núm ero de combinaciones de n objetos, t o ­ m ados sim ultáneam ente en cualquier núm ero de element-os, es igual a 2", es decir, que una clase de n térm inos tiene 2n subclases. Podem os probar la validez de esta expresión cuando n se hace igual a infinito. Y C antor probó que 2 n es siem pre m ayor que n. P or lo ta n to no puedo haber cardinal m áxim o. Aun se podría supoaer que la clase que lo contieno todo tend ría el m áxim o núm ero posible de térm inos. Pero como el núm ero de clases de cosas excede el núm ero de cosas, clara­ m ente las clases de cosas no son cosas. (Explicaré brevem ente lo que quiere decir esto.) De las contradicciones evidentem ente lógicas se discute una en el capítulo X: en el grupo lingüístico la m ás famosa, la del m entiroso, fue in v en tad a por los griegos. E s la siguiente: Supongam os que un hom bre dice: «Estoy m intiendo.» Si m iente, su afirmación es cierta, y por lo ta n to no está m intiendo; si no m iente, entonces, cuando dice que m iente, está m intiendo. Así cualquier hipótesis im plica su con­ trad icto ria. E n realidad, las contradicciones m atem áticas y las lógicas no son distinguibles, como es fácil im aginar; pero en el grupo lingüístico, de acuerdo con R am sey (: ), puede resolverse por las que pueden llamarse, en sentido am plio, consideraciones lingüísticas. Se distinguen del grupo lógico por el hecho de que introducen nociones em píricas, tales como las de que alguien afirma o piensa; y como estas nociones no son lógicas, es posible argum entar que dependen de consideraciones distintas a las lógicas. E sto hace posible una gran simplificación de la teoría de los tipos, la que, tal cual surge de la discusión de Ram sey, deja por completo de parecer poco plausible o artificial o simple hi­ pótesis ad hoc destinada a ev itar las contradicciones. L a esencia técnica de la teoría de los tipos es sim plem ente la si­ guiente: D ada una función proposicional «9 r» de la que son verdade­ ros todos los valores, existen expresiones que no es legítim o sustituir en el lugar do
Foundations of Mathemalics, K e g a n P a u l, 1931, p ágs. 20 y sig. P R IN C IP IO S

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cipio general es sim plem ente úna form a más precisa de uno que siem ­ pre se ha reconocido. E n la Lógica convencional clásica se acostum ­ braba a señalar que un conjunto de palabras, tal como «la v irtu d es triangular», no es ni verdadero ni falso, pero no se hacía ninguna te n ­ ta tiv a para llegar a un conjunto definido de reglas que decidieran si una serie dada de palabras tenía o no significado. A esto tiende la teoría de los tipos. Así, por ejem plo, antes dije que «las clases de cosas no son cosas». E sto quiere decir: «Si ’x es un m iem bro de la clase a ’, es un a proposición, y '? x ’ es una proposición, entonces 'cp a ’ no es una proposición, sino una colección ininteligible de símbolos.» E xisten aún m uchas cuestiones discutibles en Lógica m atem ática, las que no tra té de resolver en las páginas anteriores. Sólo lie m encio­ nado aquellos tem as que, en mi opinión, han progresado en form a de­ finitiva desde que he escrito los P r i n c i p i o s . En general, creo aún quo este libro tiene razón cuando se halla en desacuerdo con lo que so ha sostenido anteriorm ente, pero en lo que coincide con las teorías anteriores puede estar equivocado. Los cambios en Filosofía que me parecen necesarios se deben en p a rte a los progresos técnicos do la Lógica m atem ática en el intervalo de tre in ta y cuatro años, que han simplificado el ap arato de las proposiciones e ideas prim itivas, y que han eliminado m uchas entidades aparentes, tales como clases, puntos e instantes. E n general, el resultado es una visión menos platónica, o menos realista en el sentido m edieval de la palabra. H a sta dónde es posible seguir en dirección del nom inalism o, es, por el m om ento, a mi parecer, una cuestión no resuelta, pero, tenga o no solución, sólo puede lograrse por medio de la Lógica m atem ática.

P R E F A CIO E l presente trabajo tiene dos propósitos esenciales. Uno de ellos, la prueba de que toda la Matemática pura trabaja exclusivamente con con­ ceptos definibles en función de un número m uy pequeño de conceptos lógicos fundamentales, y de que todas las proposiciones se pueden de­ ducir de un número m uy pequeño de principios lógicos fundamentales, se halla encarado en las partes I I - V I I de este volumen y se establecerá por razonamiento simbólico estricto en el volumen I I . S i no me equivoco, la demostración de esta tesis tiene toda la certeza y precisión de que son posibles las demostraciones matemáticas. Como la tesis es m uy reciente entre los matemáticos, y es casi universalmente negada por los filósofos, he encarado en este volumen la defensa de sus diferentes partes, a medida que se presente ocasión para ello, contra teorías tan adversas como pa­ recen ser las más ampliamente sostenidas o las más difíciles de refular. Tam bién he tratado de presentar, en el lenguaje menos técnico posible, las etapas más importantes en las deducciones que sirven para establecer la tesis. E l otro objeto de este libro, que ocupa la parte I, es la explicación de los conceptos fundamentales que la M atemática acepta como indefi­ nibles. Éste es un trabajo puramente filosófico, y no me puedo jactar de haber hecho más de lo indicado en un vasto campo de investigación, y de dar un ejemplo de los métodos por los que se puede llevar la inves­ tigación. La discusión de los indefinibles — que constituye la parte p rin ­ cipal de la Lógica matemática— es el esfuerzo para ver claramente y mostrar a los demás con claridad las entidades con las que se trabaja, para que la mente pueda tener una especie de conocimiento con ellas, tal como el que tiene con lo rojizo o con el sabor del ananá. Donde, como en el caso presente, los indefinibles se obtienen principalmente como el re­ siduo necesario de un progreso de análisis, a menudo es más fácil saber que deben existir tales entidadeé que percibirlas; existe un proceso análogo al que se presentó en el descubrimiento de N eptuno, con la diferencia de que la. etapa final — la búsqueda con m > telescopio mental de la entidad

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que se ha inferido— resulta ser a menudo la parte- más difícil de la em­ presa. E n el caso de las clases, debo confesarlo, he fracasado en la 'percep­ ción de cualquier concepto que llenara las condiciones requeridas por la noción de clase. Y la contradicción que se discute en el capítulo X muestra que hay algo falso, pero hasta ahora no he podido descubrirlo. E l segundo volumen, para el que he tenido la inm ensa suerte de ase­ gurarme la colaboración de M r. A . N . Whitehead, será dedicado exclusi­ vamente a los matemáticos; contendrá cadenas de deducciones, desde las premisas de la T/>gica simbólica a través de la Aritm ética, finita e in fi­ nita, hasta la Geometría, siguieTido un orden semejante al adoptado en el presente volumen; tendrá también varios desarrollos originales, en los que el método del profesor Peano, auxiliado ]x>r la Ilógica de. relaciones, ha demostrado ser un poderoso instrumento de investigación matemática. El presente volumen, que puede considerarse como comentario o introduc­ ción al segundo, se halla dedicado iguahnente al filósofo y al matemático; pero ciertas partes serán más interesantes para el uno, y otras para el otro. Debo advertir a los matemáticos que a menos de que tengan un in ­ terés especial en la Lógica simbólica, comiencen por la parte I V , y sólo se dediquen a las anteriores cuando ello sea necesario. Las partes siguien­ tes son las más filosóficas: parte I ( salvo el capítulo I I j i p a r t e I I , capí­ tulos X I , X V , X V I , X V I I I ; parte I I I ; parte TV, § 207 , capítulos X X V I , X X V 11 , X X X I ; parte V, capítulos X L 1 , X L I 1 , X L I I I ; parte V I, ca­ pítulos L , L I I ; parte V I I , capítulos L i l i , L I V , L V , L V I 1 , L V I I I ; y los dos apéndices, que pertenecen a la parte I , y que deben leerse en rela­ ción con ella. E l trabajo del profesor Frege, que se anticipara en mucho al mío, me era desconocido en su mayor parte cuando comenzó la impresión de la presente obra; he visto sus G rund Gesetze der A rithm etik, pero de­ bido a la gran dificultad de su simbolismo no he alcanzado a comprender su importancia,, y a entender sus conceptos. La única forma,, en una etapa avanzada, de hacer justicia a su trabajo era la de dedicarle un Apéndice; y en algunos pasajes los puntos de vista contenidos en el Apéndice difieren de los del capítulo V I, especialmente en los §§ 71 , 73 y 74 . E n algunas cuestiones discutidas en estas secciones he descubierto errores después de impresos los pliegos; estos errores, de los cuales los principales son la negación de la dase vacía, y la identificación de un término con la clase de que es único miembro, se hallan rectificados en los apéndices. Los temas tratados son tan difíciles que siento poca confianza en m is opiniones presentes y considero todas las conclusiones que se pueden defender coino meras hipótesis. Unas pocas palabras acerca del origen de la obra presente servirán para mostrar la importancia de los temas discutidos. Hace aproximadamente unos seis años comencé una investigación en la filosofía de la D inámica. M e haüé ante la dificultad de que, cuando una partícula se halla sometida a varias fuerzas, en realidad no tiene lugar ninguna de las aceleraciones com pov^tes^ sino solamente la aceleración r e a ta n te , de,

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la que no son 'partes; esto vuelve ilusoria tal casualidad de particulares por particulares como afirm a a primera vista la ley de gravitación. P a ­ rece también que la dificultad respecto al movimiento absoluto es insoluble en una teoría relativa del espacio. Estos dos problemas me llevaron a hacer un nuevo examen de los principios de la Geometría, de allí a la filosofía de la continuidad de la infinidad, y de aüíj con el pro-pósito de descubrir el significado de la palabra cualquier, a la Lógica simbólica. El resultado final, respecto a la filosofía de la D inám ica, es quizá de­ masiado insignificante; la razón de que suceda esto es la de que casi todos los problemas de la Dinámica me parecen empíricos, y por lo tanto fuera del plan de un trabajo como el presente. Se han omitido muchas cuestiones m uy interesantes, especialmente en las partes V I y V I I , debido a que carecían de imqxrrtancia para m i propósito el que, por medio de una mala interpretación, creo que será conveniente aclararlo. Cuando se cuentan los objetos reales, o cuando se aplican la Geome­ tría o la Dinámica al espacio o la materia reales, o cuando, de cualquier otro modo, se aplica el razonamiento matemático a lo que existe, el razo­ namiento que se emplea tiene una forma que no depende del que los ob- ' jetos a que se aplica sean9 justamente esos objetos particulare-S^.sino solamente a que tienen ciertas propiedades generales. E n Matemática pura nunca se tratará de objetos reales en el mundo en que existimos, sino sólo de objetos hipotéticos que tienen esas propiedades generales de las que depende cualquier deducción que se esté considerando; y esas propie­ dades generales siempre se podrán expresar en función de los objetos fundamentales a los que he llamado constantes lógicas. Así, cuando se habla de espacio o de movimiento en Matemática pura, no se menciona el espacio real o el movimiento real, tal como los conocemos en la experien­ cia, sino cualquier entidad que posea esas propiedades abstractas genera­ les del espacio o del movimiento, tales como se emplean en los razona­ mientos de Geometría o de Dinámica. E l problema de la comprobación acerca de si esas propiedades pertenecen o no al espacio real o al movi­ miento real es absurdo para la M atemática pura, y por lo tanto no corres­ ponde tratarlo en la obra presente, siendo, en m i opinión, una cuestión puramente empírica, apropiada para investigar en el laboratorio o en el observatorio. E s cierto que, indirectamente, las discusiones relaciona­ das con la Matemática pura guardan una dependencia m u y importante con tales cuestiones empíricas, ya que muchos, quizá la mayoría, de los filósofos sostienen que el espacio y el movimiento son contradictorios en sí, y por lo tanto necesariamente diferentes del espacio y movimientos rea­ les, mientras que, si los puntos de vista defendidos en las páginas siguien­ tes son verdaderos, no se presentan tales contradicciones en el espacio y movimiento matemáticos. Pero las consideraciones eztramatemáticas de este tipo han sido casi complejamente excluidas del trabajo presente. E n los problemas fundamentales de la Filosofía m i posición, en todos sus aspectos, deriva de la de M r. G. E . Moore. He aceptado de él la

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naturaleza no existencia! de las proposiciones (excepto de cuqueJlas que, expresan justamente existencia) y su independencia de cualquier mente consciente; y también el pluralismo que considera al mundo, tanto el de lo existente como el de las entidades, como compuesto de un número in ­ finito de entidades independientes entre sí, con relaciones últimas y no reducidles a adjetivos de sus términos o del todo que ellas componen. Antes de estudiar estos puntos de vista me consideraba totalmente inca­ paz de construir cualquier filosofía de la Aritm ética, mientras que su aceptación trajo aparejada una liberación inmediata de un gran número de dificultades que si no hubiera considerado insuperables. E n m i opi­ nión, las doctrinas que aquí menciono son completamente indispensables para cualquier filosofía de la M ateinática aun tolerablemente satisfactoria, como creo que las páginas siguientes podrán demostrar. Pero debo dejar a m is lectores el juicio de hasta qué punto el razonamiento admite esas doctrinas y hasta qué punto las sostiene. Formalmente, m is premisas se admiten simplemente, pero el hecho de que perm itan que la Matemática sea verdadera, lo que no hacen la mayoría de las filosofías corrientes, es seguramente un poderoso argumento en su favor. En Matemática m is obligaciones principales son, como resulta evi­ dente, para Jorge Cantor y el profesor Peano. S i hubiese conocido con anterioridad el trabajo del profesor Frege le hubiera debido mucho, pero tal como me han sucedido los hechos he llegado independientemente a muchos resultados que él ya había establecido. E n cada etapa de m i trabajo he sido ayudado en más de lo que se puede expresar por las sugestiones, crítica y generoso estímulo de M r. A . N . Whitehead, quien también ha te­ nido la bondad de leer mis pruebas, y ha mejorado enormemente la expre­ sión final de un gran número de pasajes. Debo también muchas sugeren­ cias m uy útiles a Air. JV. E . Johnson; y en las partes más filosóficas del libro mucho debo a M r. G. E . Moore, además de la posición general aceptada en toda la obra. Para poder cubrir un campo tan amplio ha sido imposible adquirir un conocimiento exhaustivo de toda la literatura. Seguramente hay m u ­ chos trabajos importantes que no conozco; pero donde el trabajo de pensar y escribir absorbe necesariamente tanto tiempo¿ tal ignorancia, aunque lamentable, no parece ser completamente imperdonable. E n el curso de la discusión se encontrarán muchas palabras definidas en sentidos aparentemente m u y distintos a los del uso común. Tales d i­ ferencias, y pido al lector que así lo crea, nunca son arbitrarias, sino que se han llevado a cabo con mucha precaución. E n los puntos filosóficos se han necesitado debido a dos causas. E n primer lugar, a menudo su­ cede que dos nociones relacionadas deben considerarse al mismo tiempo, y que el lenguaje tiene dos nombres para la una, y ninguno para la otra. Entonces resulta completamente conveniente distinguir entre los dos nom ­ bres comúnmente usados como sinónimos, tomando el uno para el sig n ifi­ cado usual del término y el otro para el hasta entonces carente de nombre.

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La otra causa surge de la discrepancia filosófica con los puntos de vista co­ munes. Cuando se supone comúnmente que dos cualidades se hallan inse­ parablemente unidas, pero aquí se las considera separables, el nombre a p li­ cado a su combinación deberá restringirse generalmente a una u'otra de ellas. Por ejemplo, se considera generalmente a las jrroposiciones como 1) verdaderas o falsas, 2 ) mentales. Sosteniendo, como lo hago, que loque es verdadero o falso en general no es mental, necesito un nombre para lo verdadero o falso como tal, y este nombre apenas puede ser otro que pro ­ posición. E n tal caso, la desviación del uso no es arbitraria en absoluto. Respecto a los términos matemáticos la necesidad de establecer el teorema de existencia en cada caso — es decir, la demostración de que existen en­ tidades del tipo en cuestión— me ha llevado a muchas definiciohes que, parecen m uy diferentes de las nociones generalmente unidas a los térmi­ nos considerados. Ejemplo de esto son las definiciones de números car­ dinales, ordinales y complejos. E n los dos primeros casos, y en muchos otros, la definición de una clase, derivada del principio de abstracción, se recomienda principalmente por el hecho de que no deja duda ¿¡esperto al teorema de existencia. Pero en muchos casos de una tal discrepancia con el uso, puede dudarse acerca de si se ha hecho más que dar precisión a una noción hasta entonces más o menos vaga. M i defensa por la publicación de un libro que contiene, tantas difi cultades sin resolver es la de que la investigación no me fui revelqdo un medio inmediato para resolver adecuadamente la contradicción discutida en el capítulo X , o para adquirir una visión mejor acerca de la natu­ raleza de las clases. El descubrimiento repetido de errores en soluciones que durante un tiempo me han satisfecho hizo que estos problemas apa­ recieran como si sólo se hubieran ocultado tras teorías aparentemente satisfactorias y que una reflexión un poco más detenida habría des'échado, or lo tanto parece mejor establecer simplemente las dificultades que esperar hasta haberme persuadido de la verdad de alguna doctrina casi ciertamente errónea. Agradezco a los síndicos de la University Press, y a su secretario, M r. R. T . Wright, su amabilidad y cortesía respecto a este volumen. Londres, diciem bre, 1902 ,

CAPÍTULO I

DEFIN ICIÓ N DE MATEMÁTICA PURA

1. M a t e m á t i c a pura es la clase de todas las proposiciones de la form a «p im plica q», donde p y q son proposiciones que contienen una o m ás variables, las m ism as en am bas proposiciones, y ni p ni q contie­ nen constante alguna, excepto las constantes lógicas. Y las constantes lógicas son todas nociones definibles en función de lo siguiente: Im pli­ cación, la relación do un térm ino a una clase de la que es miembro, la noción de tal que, la noción de relación, y otras nociones tales que puedan hallarse involucradas en la noción general de proposiciones de la form a anterior. Adem ás de ellas, la M atem ática usa una noción que no form a p a rte de las proposiciones que considera, la noción de verdad. 2. La definición anterior de M atem ática pura es, sin duda, algo rara. Sin embargo, sus diferentes partes parecen susceptibles de ju sti­ ficación exacta —justificación que será el objeto del presente tra b a jo — . Se m o strará que todo lo que se ha considerado en el pasado como M atem ática p u ra se halia incluido en n uestra definición, y que todo lo que adem ás se incluye posee esas características por las cuales la M atem ática se distingue, común, aunque vagam ente, de otras dis­ ciplinas. L a definición no tra ta de ser una decisión a rb itraria para usar una p alab ra común con un significado no común, sino más bien un análisis preciso de las ideas que, m ás o menos inconscientem ente, se hallan im plicadas en el empleo vulgar del térm ino. P or lo tanto, nuestro m étodo será analítico, y nuestro problem a puede llam arse filosófico — es decir, en el sentido de que intentarem os pasar de lo complejo a lo simple, de lo dem ostrable a sus prem isas indem os­ trables— . Pero en cierto y determ inado sentido no pocas de nuestras discusiones diferirán de las fc[ue reciben generalm ente el nom bre de filosóficas. Podrem os, gracias a la labor de los mismos m atem áticos, alcanzar la certeza en la consideración de la m ayoría de las cuestiones

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a las que nos referiremos; y entre las que son susceptibles de una solución exacta, encontrarem os m uchos de los problem as que, en el pasado, se vieron envueltos en to d a la incertidum bre tradicional de las discusiones filosóficas. L a natu raleza del num ero, del infinito, del espacio, tiem po y m ovim iento, y de la m ism a inferencia m atem ática, son todas cuestiones a las que en el trab ajo presente se dará una respuesta que tra ta r á de ser dem ostrable con certeza m atem ática — esta respuesta sólo consiste en reducir los problem as anteriores a problem as de Lógica pura— , los que no se hallarán satisfactoria­ m ente resueltos en lo que sigue. 3 . La filosofía de la M atem ática ha sido h a sta el presente tan discutida, oscura y estacionaria como las otras ram as de la Filosofía. Aunque se coincidía generalm ente en que la M atem ática es verdadera en cierto sentido, los filósofos disp u tab an acerca del significado real de las proposiciones m atem áticas: aunque algo era verdadero, nadie se ponía de acuerdo sobre qué es lo que era verdadero; aunque so sabía algo, nadie tenía noticia de qué es lo que se sabía. Pero m ien­ tras persistiera esta d u d a apenas se podría decir quo la M atem ática llegaría a lograr algún conocim iento cierto y exacto. D e acuerdo con esto encontram os que los idealistas tendían m ás y m ás a considerar que toda la M atem ática tra b a ja b a con m eras apariencias, m ientras que los empíricos sostenían que todo lo m atem ático era una aproxi­ mación a cierta verdad exacta sobre lo que n ad a tenían que decirnos. Debemos confesar que este estado de cosas era com pletam ente in­ grato. La Filosofía preg u n tab a a la M atem ática: ¿Qué quiere decir? En el pasado, la M atem ática no podía contestar, y la Filosofía res­ pondía introduciendo la noción com pletam ente desacertada de m ente. Pero en la actualidad, la M atem ática puede co n testar por lo menos hasta el punto de reducir todas sus proposiciones a ciertas nociones fundam entales de Lógica. E n este punto la discusión debe ser reto ­ m ada por la Filosofía. P rocuraré indicar cuáles son las nociones fundam entales involucradas, p robar detalladam ente que no figuran otras en M atem ática, y señalar brevem ente las dificultades filosóficas involucradas en el análisis de estas nociones,sU n desarrollo com pleto de estas dificultades requeriría un tra ta d o de Lógica, lo que no se hallará en las páginas siguientes. 4 . H a sta hace poco existía u n a dificultad especial en los princi­ pios de la M atem ática. Parecía evidente que la M atem ática está form ada por deducciones, y sin em bargo los cálculos ortodoxos de la deducción eran casi to ta l o to ta lm e n te inaplicables a la M atem átioa existente. No sólo la teoría silogística aristotélica, sino tam bién las doctrinas m odernas de la Lógica sim bólica, eran o teóricam ente ina­ decuadas p ara el razonam iento m atem ático, o por lo menos requerían form as ta n artificiales de form ulación que apenas podían aplicarse prácticam ente. E n esto se basa la fuerza del p u n to de vista kantiano,

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que asegura que el razonam iento m atem ático no es estrictam ente form al sino que siem pre usa intuiciones, es decir, el conocim iento a priori del tiem po, y del espacio. Gracias al progreso de la Lógica sim bólica, especialm ente tal cual la tr a ta el profesor Peano, puede darse ahora refutación final e irrevocable a esta p arte de la filosofía k an tian a. Con la ay u d a de diez principios de deducción y de otras diez prem isas de n atu ra le z a lógica general (por ejemplo, «la im plica­ ción es u n a relación») puede deducirse toda la m atem ática estricta y form alm ente, y todas las entidades que figuran en M atem ática pue­ den definirse en función de las que figuran en las veinte prem isas anteriores. Bajo esta form ulación la M atem ática no sólo incluye la A ritm ética y el Análisis, sino tam bién la Geom etría, euclidiana y no-euclidiana. La D inám ica racional y un núm ero indefinido de otros estudios aun no com enzados o en su infancia. El hecho de que toda la M atem ática sea Lógica sim bólica es uno de los descubrim ientos más im portantes de nuestro tiempo; y una vez establecido este hecho, lo que queda de los principios de la M atem ática consiste en el análisis de la propia Lógica simbólica. 5. L a doctrina general de que toda la M atem ática es deducción por principios lógicos a p a rtir de principios lógicos, fue ardientem ente defendida por Leibniz, quien argüía constantem ente que los axiomas deben probarse y cjue todo debe definirse excepto unas pocas nociones fundam entales. Pero en p a rte debido a una Lógica defectuosa, en parte a la creencia en la necesidad lógica de la G eom etría euclidiana, llegó a com eter errores desafortunados en la te n ta tiv a de desarrollar en d e ­ talle un punto de vista que, en general, se considera actualm ente correcto (x). P o r ejem plo, las proposiciones de Euclides no se deducen solam ente de los principios de la Lógica; y la percepción de este hecho llevó a K a n t a sus innovaciones en la teoría del conocim iento. Pero desde el desarrollo de la G eom etría no-euclidiana resultó m a­ nifiesto que la M atem ática pura no tiene ninguna relación con el problem a de si los axiom as y proposiciones de Euclides valen o 110 para el espacio real: éste es un problem a del dominio de la M atem ática aplicada, que debe decidirse, h asta el punto en que es posible cualquier decisión, por medio de experim entos y observaciones. Lo que la.M atem ática p u ra asevera es sim plem ente que las proposiciones euclidianas se deducen de los axiom as euclidianos —es decir, afirm a una implicación: cualquier espacio que tiene tales y tales propiedades, posee tam bién tales y tales o tra s— . Así, m ientras nos hallam os en el campo de la M atem ática pura, las Geom etrías euclidianas y noeuclidianas son igualm ente verdaderas: en cada una de ellas no se afirm a n a d a salvo implicaciones. Todas las proposiciones que se re­ fieren a lo que existe realm ente, como el espacio en el que vivimos, (l )

A cerca do este te m a, véase C o u tu ra t, L a Logique de Leibniz, P arís, 1901,

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pertenecen a la ciencia experim ental o em pírica, no a la M atem ática; cuando pertenecen a la M atem ática aplicada, surgen de dar a una o m ás variables de u n a proposición de M atem ática p u ra algún valor constante que satisface las hipótesis, y que por lo ta n to nos perm i­ te, para ese valor de la variable, afirm ar realm ente ta n to la hipótesis como la consecuencia, en vez de afirm ar sim plem ente la implicación. E n M atem ática siem pre afirm am os que si cierta aserción p es verd a­ dera p ara cualquier entidad x, o p a ra cualquier conjunto de e n ti­ dades x, y, z, ..., entonces cierta o tra aserción q es verdadera para esas entidades; pero no afirm am os separadam ente p o q, para nuestras entidades. Afirm am os u n a relación entre las aserciones p y q, lo que llam aré implicación formal. 6. Las proposiciones m atem áticas no sólo se hallan caracterizadas por el hecho de que afirm an im plicaciones, sino tam bién por el hecho de que contienen variables. L a noción de variable es una de las más difíciles con las que debe tra b a ja r la Lógica, y en el presente trabajo apenas se hallará una teoría satisfactoria a pesar de lo mucho que se discute el tem a. P o r el m om ento deseo dejar sentado que existen variables en todas las proposiciones m atem áticas, aun cuando a pri­ m era v ista parezca no haberlas. P o d ría pensarse que la A ritm ética elem ental constituye una excepción: 1 + 1 = 2 parece no contener variables ni afirm ar una im plicación. Pero, en realidad, como se de­ m ostrará en la p a rte II, el verdadero significado de esta proposición es: «Si x es uno e y es uno y x difiere de y, entonces x e y son dos.» Y esta proposición contiene variables y afirm a u n a implicación. Siem ­ pre encontrarem os que en todas las proposiciones m atem áticas figu­ ran las palabras cualquier o algún; y estas palabras son los distintivos de u n a variable y de una im plicación formal. Así, la proposición anterior puede expresarse bajo la forma: «Cualquier unidad y cual­ quier o tra unidad son dos unidades.» La proposición típica de la M atem ática es de la form a «y(x, y, z, ...) im plica <\i{x, y, z, ...), sean los que fueren los valores x, y, z, ...»; donde cp(x, y, z , ...) y y, z, ...), p ara todo conjunto de valores de x, y, z ....... son proposiciones. No se afirm a que tp es siem pre verdadero, ni que ij; es siem pre v erd a­ dero, sino sim plem ente que, en todos los casos, ta n to cuando 9 es falso como cuando es verdadero, se deduce ^ de él. L a diferencia entre una variable y u n a constante se oscurece algo en el uso m atem ático. Se acostum bra, por ejemplo, a hablar de p a rá ­ m etros con cierto sentido de constantes, pero tendrem os que recha­ zar este uso. U na constante debe ser algo absolutam ente definido, respecto a la cual no se pueda p resen tar am bigüedad posible. Así 1, 2, 3 , e, 7i, Sócrates, son constantes; y tam bién lo son hombre, y la raza hum ana, el pasado, presente y futuro, considerados colectiva­ m ente. Proposición, implicación, clase, etc., son constantes; pero una proposición, cualquier proposición, alguna proposición, no son cons­

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tantes, porque esas frases no denotan un objeto definido, y por ello los que reciben el nom bre de parám etros son sim plem ente variables. Tomemos, por ejemplo, la ecuación ax -f- by + c — 0 , considerada como ecuación de una línea recta en el plano. Aquí decimos que x e y son variables, m ientras a, b y c, son constantes. Pero a menos que nos refiramos a una línea absolutam ente particular, por ejem plo la línea de un p unto particu lar en Londres a un punto p articu lar en Cambridge, nuestros a, b, c, no serán núm eros definidos, sino que re­ presentarán núm eros cualesquiera, y por lo ta n to son variables. Y en Geom etría nadie tra b a ja con líneas realm ente particulares; siem pre discutim os cualquier línea. E l hecho es que agrupam os las diferentes cuplas — p arejas— x, y, en clases de clases, definiéndose cada clase como las cuplas que guardan cierta relación fija respecto a una tría : da (a, b, c). Pero de clase a clase a, b, c, tam bién varían, y por lo tanto son, en realidad, variables. 7 . E n M atem ática se acostum bra a considerar nuestras v a ria ­ bles como restringidas a ciertas clases: E n A ritm ética, por ejemplo, se supone que representan números. Pero esto sólo significa que si representan núm eros, satisfacen alguna fórm ula, es decir, la hipótesis de que son núm eros im plica la fórm ula. E s esto entonces lo que en realidad se afirm a, y en n uestra proposición ya no es más necesario que nuestras variables sean núm eros: la im plicación vale igualm ente cuando no lo son. Así, por ejemplo, la proposición
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Algunas hipótesis sobre x, por ejem plo, «x es griego», aseguran la verdad de «x es un hombre»; en consecuencia «x es griego» im plica «x es un hombre», lo que vale p a ra todos los valores de x. Pero esta afirmación no pertenece a la M atem ática pura, porque depende do la naturaleza particu lar do griego y hombre. Pero podemos cam biar tam bién esto, y tendrem os: Si o y b son clases, y a se halla contenida en b, entonces «x es un a» im plica «x es un 6». Aquí tenem os por fin una proposición de M atem ática p u ra, que contiene tres variables y l
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tipo de relaciones como u n a clase de relaciones definida por alguna propiedad definible solam ente en función de constantes lógicas. 9 . Así la M atem ática pura no debe contener indefinibles, excepto las constantes lógicas, y en consecuencia ni prem isas ni proposiciones indem ostrables salvo las que se refieren exclusivam ente a las constan­ tes lógicas y a las variables. Es precisam ente esto lo que distingue la M atem ática p u ra de la aplicada. E n M atem ática aplicada los resu lta­ dos, respecto a una variable que la M atem ática pura dem ostrara se deducen de alguna hipótesis, se afirm an realm ente de cierta constante que satisface la hipótesis en cuestión. Los térm inos que eran variables se transform an en constantes, y siem pre se necesita una nueva p re­ misa, a saber: esta entidad p articu lar satisface la hipótesis en cuestión. Así, por ejemplo, la G eom etría euclidiana, como ram a de la M atem á­ tica pura, está form ada enteram ente por proposiciones que contienen la hipótesis «S es un espacio euclidiano». Si agregamos: «El espacio que existe es euclidiano», esto nos perm ite asegurar acerca del espacio existente las consecuencias de- todas las hipótesis que constituyen la Geom etría euclidiana, en que ahora se reem plaza por la constante espacio real. Pero con este paso vamos de la M atem ática pura a la aplicada. 10. La conexión de la M atem ática con la Lógica, de acuerdo a lo dicho anteriorm ente, es excesivam ente estrecha. El hecho de que todas las constantes m atem áticas son constantes lógicas, y de que todas las prem isas de la M atem ática se hallan relacionadas con ellas, da, creo, la form ulación precisa de lo que los íilósofos querían decir al asegurar que la M atem ática es a priori. El hecho es que, una vez que ha sido aceptado el a p a ra to lógico, se deduce necesariam ente toda la M atem á­ tica. Las mismas constantes lógicas deben definirse solam ente por en u ­ m eración, porque son ta n fundam entales que todas las propiedades por las cuales debe definirse su clase presuponen algunos térm inos de la clase. Pero, prácticam ente, el m étodo p ara descubrir las constantes lógicas consiste en el análisis de la Lógica simbólica, que será el objeto de los próxim os capítulos. La distinción entre M atem ática y Lógica es m uy a rb itraria, pero si se desea una diferencia, debe form ularse del modo siguiente: L a Lógica está form ada por las prem isas de la M atem ática, ju n to con todas las proposiciones que se refieren exclusi­ vam ente a las constantes lógicas y a las variables, pero que no cum ­ plen la definición anterior de M atem ática (§ 1). L a M atem ática con­ siste en todas las consecuencias de las prem isas anteriores que afirm an implicaciones form ales que contienen variables, ju n to a aquellas de las prem isas m ism as que presentan estos rasgos. Así, algunas de las premisas de la M atem ática, por ejem plo, el principio del silogismo, «si p im plica q y q im plica r )( entonces p im plica r», pertenecerán a la M atem ática, m ientras que otras, tales como «la im plicación es una relación» pertenecerán a la Lógica, pero no a la M atem ática. Mas con L o8

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el fin de adherirnos al uso común debem os identificar la M atem ática con la Lógica, y definir am bas como la clase de las proposiciones que contienen solam ente variables y constantes lógicas; pero el respeto por la tradición me im pulsa más bien a adherirm e a la distinción anterior, aunque reconociendo que ciertas proposiciones pertenecen a am bas ciencias. De lo dicho h asta ahora, el lector podrá apreciar que el tra b a jo presente debe cum plir con dos fines: prim ero, dem ostrar que toda la M atem ática se deduce de la Lógica sim bólica, y segundo, descubrir, m ientras ello sea posible, cuáles son los principios de la Lógica misma. El prim ero de estos fines será tem a para las partes siguientes, m ien­ tra s que el segundo pertenece a la p a rte I. Y, en prim er lugar, como prelim inar a un análisis crítico, será necesario dar un bosquejo de L ógica sim bólica considerada sim plem ente como una ram a de la Ma­ tem ática. É ste será el tem a del capítulo sigu iente.

CAPÍTULO n

LÓGICA SIMBÓLICA 11. La Lógica sim bólica o f o rm a l— usaré estos térm inos como sinónimos— es el estudio do los diferentes tipos generales de deduc­ ción. La palabra simbólica designa el sujeto por una característica accidental, pues el empleo de símbolos m atem áticos, aquí como en cualquier o tra parte, es sim plem ente una com odidad teóricam ente sin im portancia. El silogismo, bajo todos sus aspectos, pertenece a la L ó­ gica sim bólica, y constituiría todo su objeto si to d a deducción fuera silogística, como lo supone la tradición escolástica. E s por el reconoci­ m iento de inferencias asilogísticas por lo que la Lógica sim bólica m o­ derna, desde Leibniz en adelante, ha derivado el camino p ara progre­ sar. Desde la publicación de las Leyes del pensamiento, de Boole ( 1854 ), se ha investigado el tem a con cierta intensidad, y se ha logrado un desarrollo técnico m uy grande ('). Sin em bargo el progreso logrado no tuvo casi utilidad alguna p ara la Lógica ni p ara ninguna o tra ram a de la M atem ática, h asta que fue transform ado por los nuevos m étodos del profesor Peano (2). La Lógica sim bólica no sólo ha llegado a ser absolutam ente esencial p ara todo lógico filosófico, sino tam bién neceT saria para la comprensión general de la M atem ática, y aun p ara lá práctica con éxito de ciertas ram as de la M atem ática. Lo útil que resulta en la práctica sólo puede ser juzgado por aquellos que han; sentido el aum ento de poder derivado de su adquisición; sus funciones teóricas serán expuestas brevem ente en el capítulo presente (3). (‘) D esde to d o p u n to de v is ta se h a lla rá la n o tic ia m ás c o m p le ta d e los m étodos d iferen tes al de P ean o en los tre s v o lú m en es de S ch ró d er, Vorle&unger über die Algebra der Logik, L eipzig, 1890, 1891, 1895. (a) V éase Formulaire de Mathemaíiques, T u rín , 1895, con ediciones s u b ­ siguientes en años p osteriores; ta m b ié n Revue de Mathémaliques, v o l. V II, núm ero 1 (1900). L as ediciones del Formulaire se rá n c ita d a s com o F . 1895, y así su c esiv a m e n te, la Reime de Malhématvques, que fu era o rig in a ria m e n te la Rivisla di Matematica, se rá c ita d a com o R. di M . (8) E n lo que sigue, los puncos p rin cip ales se d eb e n al p ro feso r P ean o , excepto en lo que re sp e c ta a relaciones; a u n en los casos en q u e no c o m p a rto b u s p u n to s de v ista , los p ro b lem as co n sid erad o s m e h a n sido su g erid o s p o r sus tra b a jo s.

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12. La Lógica sim bólica se halla esencialm ente relacionada con la inferencia en general ('), y se distingue de las diferentes ram as especia­ les de la M atem ática principalm ente debido a su generalidad. Ni la M atem ática ni la Lógica sim bólica estudiarán relaciones especiales tales -como, por ejemplo, la prioridad tem poral, pero la M atem ática tra b a ja rá explícitam ente con la clase de relaciones que poseen las propiedades form ales de prioridad tem poral — propiedades que se unen en la noción de continuidad (2)— . Y las propiedades formales de una relación pueden definirse como aquellas que pueden expresarse en función de constantes lógicas, o tam bién como las que, m ientras se conservan, perm iten que varíe n uestra relación sin invalidar cualcjuier inferencia en la que dicha relación se considera bajo el aspecto cíe una variable. Pero la Lógica simbólica, en el sentido más exacto que se convenga, no investigará qué inferencias son posibles respecto a relaciones continuas (es decir, relaciones que generen series conti­ nuas); esta investigación es del dominio de la M atem ática, pero es aún dem asiado especial para la Lógica simbólica. Lo que la Lógica simbólica investiga son las reglas generales por las que se form ulan las inferencias, y sólo requiere una clasificación de relaciones o propo­ siciones m ientras estas reglas generales introducen nociones p a rticu ­ lares. Las nociones particulares que aparecen en las proposiciones de la Lógica simbólica, y todas las otras definibles en función de estas nociones, son las constantes lógicas. El núm ero de constantes lógicas indefinibles no es grande; parecen ser de hecho, ocho o nueve. E stas nociones solas form an el sujeto fundam ental de to d a la M atem ática: en A ritm ética, Geom etría, o D inám ica racional nunca se presentan otras, excepto las que se pueden definir en función de las ocho o nueve originales. P a ra el estudio técnico de la Lógica sim bólica es conveniente tom ar como indefinible singular la noción de im plicación formal, es decir, de proposiciones tales como « e s u n hom bre im plica x es m ortal, para todos los valores de x» — proposiciones cuyo tipo general es: «y {x ) implica >\i{x) p ara todos los valorea de x», donde
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13 . El sujeto de la Lógica sim bólica está form ado por tres partes: el cálculo de proposiciones, el cálculo de clases, y el cálculo de relacio­ nes. E n tre los dos prim eros existe, dentro de ciertos lím ites, un cierto paralelism o, que se presenta del modo siguiente: E n cualquier ex­ presión sim bólica las letras pueden interpretarse como clases o como proposiciones, y la relación de inclusión en un caso puede reem pla­ zarse por la de implicación form al en el otro. As!, por ejem plo, en el principio del silogismo, si a, b, c son clases, y a se halla contenida en b, b en c, entonces a se halla contenida en c; pero si a, 6, c son pro ­ posiciones, y a implica, b, b im plica c, entonces a im plica c. Se ha usado m ucho esta dualidad, y en las últim as ediciones de su form ulario, Peano parece haber sacrificado la precisión lógica para conservarla ('). Pero, en realidad, el cálculo de proposiciones difiere bajo muchos a s­ pectos del de clases. Consideremos, por ejemplo, el siguiente: «Si p, q, r son proposiciones, y p implica q o r, entonces p im plica q o p im ­ plica r.» E sta proposición es verdadera, pero su correlativa es falsa, a saber: «Si a, b, c son clases, y a se halla contenida en b o c, entonces a se halla contenida en 6 o a se halla contenida en c.>i P or ejemplo, «en el pueblo inglés todos son hom bres o mujeres, pero no todos son hom bres ni todos mujeres». El hecho es que la dualidad vale para proposiciones que aseguren que un térm ino variable pertenece a una clase, es decir, proposiciones tales como «x es un hombre», siem pre que la implicación involuntaria sea form al, es decir, válida para todos los valores de x. Pero
A cerca do los p u n to s en que la d u a lid a d falla, v éase S ch ró d er, op.

cit., vol. I I , lección 21.

(2) C om p. «The C alculus of E q u iv a le n t S tatem en ta» , en Proceedings o) the London Mathematical Society, vol. I X y volú m en es su b sig u ien te s; «Simbolic R easoning», en M ind, en ero 1880, o c tu b re 1897 y enero 1900;» L a L o g iq u e Sym bolique e t sos A pplications*, en Bibliothéque du Congrís International de Philosophic, vol. I I I (P arís, 1901). De a q u í en ad e la n to c ita ré las co m u n icacio n es del Congreso a n te rio r bajo el títu lo Congris.

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y proposiciones son más fundam entales que la inclusión y clases; y en esta opinión coincido con él. Pero no me parece que logre adecuada­ m ente la distinción entre proposiciones genuinas y las que contienen una variable real: así, se ve obligado a hablar de proposiciones como verdaderas a veces y otras falsas, lo que por supuesto es im posible p ara una proposición genuina. Como la distinción involucrada reviste gran im portancia, me ocuparé de ella antes de seguir adelante. U na p ro ­ posición, podemos decir, es cualquier cosa que es verdadera o que es falsa. U na expresión tal como «x es un hombre» no es por lo tan to una proposición, pues no es verdadera ni falsa. Si dam os a x cualquier valor constante, sea el que fuere, la expresión se tran sfo rm a en una proposición: es algo así como una form a esquem ática que representara a cualquiera entre toda una clase de proposiciones. Y cuando decimos ex es un hom bre im plica x es m ortal p ara todos los valores de xt, no afirmamos una implicación singular, sino una clase de implicaciones; tenem os ahora una proposición genuina en la que, au nque aparece la letra x, no existe u n a variable real: la variable se halla absorbida del mismo modo que la x bajo el signo de integral en una integral definida, de modo que el resultado y a no es más función de x. Peano distingue a una variable que aparece de este modo como ajxirentc, ya que la proposición no depende de la variable; m ientras que en «x es un hombre» existen diferentes proposiciones p ara diferentes v a ­ lores de la variable, y la variable es lo que Peano llam a real ('). H ablaré exclusivam ente de proposiciones en las que no exista variable real: donde existan una o m ás variables reales, y p ara todos los valo­ res de las variables la expresión involucrada sea una proposición, lla­ m aré' a esa expresión ¡unción proposicional. E n mi opinión es más fundam ental el estudio de las proposiciones genuinas que el de clases; pero el estudio de las funciones proposicionales parece hallarse es­ trictam en te a la par con el de clases, y aun es apenas distinguible de aquél. Peano, como McCoil, considera prim ero las proposiciones como m ás fundam entales que las clases, pero en form a aún más definida considera a las funciones proposicionales más que a las proposiciones. Schroder se halla exento de esta crítica: su segundo volum en se refiere a las proposiciones genuinas y señala sus diferencias form ales con las clases. A.

E l Cálculo preposicional

14. El Cálculo proposicional se caracteriza por el hecho de que todas sus proposiciones tienen como hipótesis y como consecuente la afirmación de una im plicación m aterial. G eneralm ente la hipótesis es de la form a «y> im plica pt>, etc., la que (§ 16) es equivalente a la afirm a(')

F . 1901, p ág . 2.

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ción de que las letras que figuran en el consecuente son proposiciones. De este modo los consecuentes están form ados por funciones propo­ sicionales que son verdaderaa p a ra todas las proposiciones. E s im por­ tan te observar que, aunque las letras em pleadas son símbolos que representan variables, y los consecuentes son verdaderos cuando las variables reciben valores que son proposiciones, estos valores deben ser proposiciones genuinas, no funciones proposicionales. La hipótesis «p es una proposición» no se halla satisfecha si reem plazam os p por «x es un hombre», [¡ero sí si colocamos «Sócrates es un hombre» o si colocamos «x es un hom bre im plica x es m ortal para todos los valores de x». P a ra abreviar, podemos decir que las proposiciones representa­ das en este cálculo por letras singulares son variables, pero no con­ tienen variables -— es decir, en el caso en que se satisface la hipótesis de las proposiciones que afirm a el cálculo. 15 . N uestro cálculo estudia la relación de implicación en tre pro­ posiciones. E sta relación debe ser distinguida de la relación de im pli­ cación formal, la que vale entre funciones proposicionales cuando la una im plica la o tra para todos los valores de la variable. L a im plica­ ción formal se halla tam bién involucrada en este cálculo, pero no se estudia explícitam ente: no consideram os funciones proposicionales en general, sino sólo ciertas funciones proposicionales definidas que figu­ ran en las proposiciones de nuestro cálculo. Es un problem a difícil el punto h asta el cual la im plicación form al es definible sim plem ente en función de la implicación, o de la im plicación m aterial como puede llamarse, y se discutirá en el capítulo I II . U n ejem plo servirá para dem ostrar la indiferencia que existe entre las dos. L a qu in ta proposi­ ción de Euclides se deduce de la cuarta: si la c u arta es verdadera, lo mismo Bucederá con la quinta, m ientras que si la q u in ta es falsa, lo mismo sucederá con la cu arta. É ste es un caso de im plicación m aterial, pues am bas proposiciones son absolutam ente constantes, no depen­ diendo en su significado de que se le asigne un valor a una variable. Pero cada una de ellas establece una im plicación form al. L a*cuarta es­ tablece que si x e t/son triángulo que cum plen con ciertas condiciones, entonces x e y son triángulos que cum plen con ciertas otras condicio­ nes, y esta im plicación vale p ara todos los valores de a: y de y; y la quinta establece que si a; es un triángulo isósceles, x tiene iguales los ángulos en la base. L a im plicación form al involucrada en cada una de estas dos proposiciones es una cosa m uy diferente de la im plicación m aterial que existe entre dos proposiciones como todos; se necesitan ambas nociones en el Cálculo proposicional, pero es el estudio de la implicación m aterial el que distingue especialm ente este tem a, porque la implicación form al figura en el desarrollo de to d a la M atem ática. E n los tra tad o s de Lógica, se acostum braba a confundir los dos tipos de im plicación, y a m enudo a hallarse considerando realm ente la especie form al cuando sólo la espeoie m aterial era aparentem ente

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involucrada. P o r ejem plo, cuando se dice que «Sócrates es un hom bre, por lo ta n to Sócrates es mortal», Sócrates es sentido como variable; es un tipo de hum anidad, y uno siente que cualquier otro hom bre en su lugar sería lo mismo. Si en vez de 'por lo tanto, que im plica la verdad de hipótesis y consecuente, decimos «Sócrates es un hom bre implica Sócrates es mortal», parece a prim era vista que podemos su stitu ir no sólo otro hom bre, sino cualquier o tra entidad a rb itra ria en lugar de Sócrates. Así, aunque lo que se establece explícitam ente en tal caso es una implicación m aterial, lo que se quiere significar es una im plica­ ción formal; y se necesita algún esfuerzo para lim itar nuestra im agi­ nación a la implicación m aterial. 16. U na definición de im plicación es com pletam ente imposible. Si p implica q, entonces si p es verdadero, q es verdadero, es decir, la verdad de p im plica la verdad de q\ tam bién si q es falso p es falso, es decir, la falsedad de q implica la falsedad de p í1). De este modo verdad y falsedad nos dan sim plem ente nuevas im plicaciones, no una definición de implicación. Si p im plica q, entonces am bos son falsos o ambos verdaderos, o p es falso y q verdadero; es im posible que q sea falso y p verdadero, y es necesario que q sea verdadero o p falso (2). De hecho, la aserción de que q es verdadero o p falso resulta ser eetrictam en te equivalente a «p im plica <7»; pero como la equivalencia significa implicación m utua, esto deja to d av ía a la implicación como funda­ m ental, y no definible en función de la disyunción. P or o tra parte, la disyunción es definible en función de la implicación, y lo veremos brevem ente. Se deduce de la equivalencia anterior que de dos pro ­ posiciones cualesquiera debe haber una que im plique la otra, que las proposiciones falsas im plican todas las proposiciones, y que las pro­ posiciones verdaderas son im plicadas por todas las proposiciones. Pero estos resultados deben dem ostrarse; las prem isas de nuestro tem a se refieren exclusivam ente a las reglas de la inferencia. Debe observarse que, aunque la im plicación es indefinible, puede definirse la proposición. T oda proposición se im plica a sí m ism a, y todo lo que no sea proposición no im plica nada. E n consecuencia, decir «p es una proposición» es equivalente a decir «p im plica p»; y puede usarse esta equivalencia p a ra definir proposiciones. Como el sentido m atem ático de definición es m uy diferente del corriente entre filósofos, debe tenerse bien en cu enta que, en sentido m atem ático, se halla definida u n a nueva función proposicional cuando se ha establecif1) Se rec o m ien d a al le cto r q u e o b se rv e que las im p licacio n es p rin cip ales de estas proposiciones son form ales, es decir, «p im p lica q* im p lica ¡ormalmente «la v e rd a d de p im p lica la v e rd a d de qt, m ie n tra s qu e las im p licacio n es subord in a d a s son m a te ria le s. (5) P o d ría ta m b ié n estab lece r de u n a vez p o r to d a s q u e las a lte rn a tiv a s de u n a d isy u n c ió n n u n c a se c o n sid erarán com o m u tu a m e n te e x c lu y e n tes a m enos de que así ee d ig a de m odo exp reso ,

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do que es equivalente a (es decir, im plica y es im plicada por) una función proposicional que o ha sido aceptada como indefinible o ha sido definida en función de indefinibles. La definición de entidades que no son funciones proposicionales se deduce de otras que lo son de modos que serán explicados en conexión con las clases y relaciones. 17 . Por lo tan to , en el Cálculo proposicional exigimos la no exis­ tencia de indefinibles, salvo las dos especies de im plicación —recor­ dando, sin em bargo, que la im plicación form al es una noción com pleja cuyo análisis queda por considerar— . Respecto a nuestros dos inde­ finibles requerim os ciertas proposiciones indem ostrables, que hasta ahora no he podido reducir a menos de diez. Deben existir algunas indem ostrables; y deben form ar p a rte del núm ero algunas preposicio­ nes, tales como el silogismo, ya que no es posible dem ostración alguna sin ellas. Pero respecto a las demás, debe dudarse acerca de si son indem ostrables o sim plem ente indem ostradas; y debe observarse que el m étodo de suponer falso un axiom a, y deducir las consecuencias de esta suposición, que se ha hallado adm irable en casos tales como el de las paralelas, aquí no es universalm ente utilizable. Porque todos nuestros axiom as son principios de deducción; y si son verdaderos, las consecuencias que parecen deducirse por el uso de un principio opuesto no se deducirán realm ente, de modo que los argum entos basados en la suposición de la falsedad de un axiom a se hallan sujetos aquí a errores especiales. Así, el núm ero de proposiciones indem ostrables puede ser de posible reducción ulterior, y respecto a algunas de ellas carezco de fundam entos p a ra considerarlas indem ostrables excepto en que h a sta ahora han perm anecido indem ostradas. 18. Los diez axiom as son los siguientes: 1) Si p im plica q, entonces p im plica q (*); en otras palabras, cualesquiera sean p y q , «p im plica q>> es una proposición. 2) Si p im plica q, entonces p im plica p ; en otras palabras, lo que im plica cualquier cosa es una proposición. 3) Si p implica q, entonces q im plica q; en otras palabras, lo que es im plicado por cualquier cosa es una proposición. 4 ), E n una im plicación puede om itirse una hipótesis verdadera y afirmarse-el consecuente. É ste es un principio de im posible form ulación sim bólica formal, y que ejemplifica las lim itaciones esenciales del form alismo — punto sobre el que vol­ veré m ás adelante— . A ntes de continuar, es aconsejable definir la afirmación conjunta de dos proposiciones, o lo que se llam a su p ro ­ ducto lógico. E s ta definición es enteram ente artificial, y sirve para ilustrar la gran diferencia que existe en tre definiciones m atem áticas y definiciones filosóficas. E s la siguiente: Si p im plica p, entonces, si q im plica q, pq (el producto lógico de p y q) significa que si p im plica que q im plica r, entonces r es verdadero. E n otras palabras, si p y q _(') N ó tese que las im plicaciones in d ic a d a s p o r ai y entonces en estos axiom as son form ales, m ie n tra s que las in d ic ad a s p o r im plica son m a te ria le s.

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son proposiciones, su aserción co n ju n ta es equivalente a decir que es verdadera to d a proposición ta l que la prim era im plica que la segunda la implica. No podemos form ular, con corrección form al, n uestra de­ finición en esta form a m ás breve, porque la hipótesis «p y q son p ro ­ posiciones» va es el producto lógico de «p es una proposición» y «q es una proposición». Ahora podemos form ular los seis principios fu n d a ­ m entales de inferencia, a cada uno de los cuales debe darse un nom bre, debido a su im portancia; de ellos todos, salvo el últim o, se hallarán en las notas de Peano acerca de este tem a. 5 ) Si p im plica p y q im ­ plica q, entonces pq implica p. É s ta recibe el nom bre de simplifica­ ción, y afirm a sim plem ente que la aserción conjunta de dos proposi­ ciones implica la aserción de la prim era de ellas. 6) Si p implica q y q implica r, entonces p im plica r. É sta recibirá el nom bre de silogismo. 7 ) Si q implica q y r implica r, y si p im plica que q im plica r, entonces ]>q implica r. É ste es el principio de importación. E n la hipótesis ten e ­ mos el producto de tres proposiciones; pero esto, por supuesto, puede definirse por medio del producto de dos. El principio establece que si p implica que q im plica r, entonces r se deduce de la afirmación conjunta de p y q. P or ejemplo: «Si hablo a tal persona, entonces, si está en su casa, me recibirá», implica: «Si llamo a tal persona y si está en su casa, me recibirá.» 8) Si p im plica p y q im plica q, entonces, si ]x¡ im plica r, p im plica que q im plica r. É ste es recíproco del principio precedente y recibe el nom bre de exportación ('). El ejem plo anterior invertido servirá p ara ilu strar este principio. 9 ) Si p im plica q y p implica r, entonces p im plica qr: en otras palabras, una proposición que implica a cada una de dos proposiciones, las im plica a am bas. E ste se llam a principio de composición. 10) Si p im plica p y q im plica q, entonces «'p im plica q’ im plica p » im plica p. É ste se llam a principio de reducción; es menos conveniente que los principios anteriores, pero es equivalente a m uchas proposiciones que son evidentes por sí m is­ mas. Lo prefiero a ellas porque, como sus anteriores, se halla explíci­ tam ente relacionado con la im plicación, y tiene el mism o tipo de ca­ rácter lógico que tienen aquéllos. Si recordam os que «p im plica q» es equivalente a «q o no-p», podem os convencem os fácilm ente de que el principio an terio r es verdadero; porque «'p im plica q’ im plica p» es equivalente a «p o la negación de 'q o no-p’», es decir, a «p o 'p y no-q’», es decir a p. Pero este modo de persuadim os de que el p rin ­ cipio de reducción es verdadero com prende muchos principios lógicos que aun no han sido dem ostrados, y que no pueden dem ostrarse ex­ cepto por reducción o algo equivalente. E l principio es especialm ente útil en relación con la negación. Sin su ayuda, por m edio de los nueve (!) 7) y 8) (según creo) n o p u ed e n d ed u cirse de la d efin ició n de p ro d u c to lógico, p o rq u e se n e c e sita n p a ra p a s a r de «Si p es u n a p ro p o sició n , en to n ce s *g es u n a p ro p o sició n ’ im p lica etc.» a «Si p y q son pro p o sicio n es, en to n ces eto,*

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prim eros principios, podemos dem ostrar la ley de contradicción; pode­ mos dem ostrar, si p y 7 son proposiciones, que p im plica no-no-p; que «p implica no-
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podemos dem ostrar las leyes de contradicción y del tercero excluido y doble negación, y establecer t-odas las propiedades formales de la m ultiplicación y sum a lógicas —las leyes asociativa, conm utativa y d istrib u tiv a— . E n consecuencia, la lógica de proposiciones está ahora com pleta. Los filósofos objetarán las definiciones anteriores de disyunción y negación basándose en que lo que queremos decir con estas nociones es algo m uy distinto al significado que les asignan las definiciones, y en que las equivalencias establecidas en las definiciones son, en realidad, proposiciones significativas y no simples indicaciones del modo en que deben usarse los símbolos. Creo que tal objeción se halla bien fundada si se invoca la consideración anterior como dando un análisis filosófico verdadero del tem a. Pero cuando debe cumplirse con un propósito puram ente formal, cualquier equivalencia en la que aparezca una cierta noción de un lado, pero ninguna en el otro, servirá de definición. Y la ventaja de tener ante nosotros un desarrollo estrictam ente formal es la de que a p o rta los datos para el análisis filosófico en una forma más definida que la posible en otro modo. P or lo tan to , la crítica del procedim iento de la Lógica formal se pospondrá h asta que se dé fin a estas breves consideraciones. B.

E l Cálculo de clases

20. En este Cálculo existen m uchas menos proposiciones p rim iti­ vas nuevas — en realidad, dos parecen ser suficientes— , pero existen dificultades m ucho m ayores en el modo no simbólico de exponer las ideas expresadas en nuestro simbolismo. M ientras sea posible se pospondrán estas dificultades para los capítulos posteriores. M ientras tan to tra ta ré de hacer una exposición tan directa y simple como sea posible. El Cálculo de clases puede desarrollarse considerando como funda­ menta] la noción de clase, y tam bién la'relación de un m iembro de una clase a su clase. El profesor Peano ad o p ta este m étodo, y es quizá filosóficamente más correcto que un m étodo d istinto que, debido a fi­ nes formales, he hallado más conveniente. E n el mismo tom am os aún como fundam ental la relación (que siguiendo a Peano indicaré con e) de un individuo con la clase a la que pertenece, es decir, la relación de Sócrates a la raza hum ana, que se halla expresada diciendo que Sócrates es un hom bre. Adem ás de esto, tom am os como indefi­ nibles la noción de u n a función proposicional y la noción de tal que. inferencia ju s tific a d a p o r leus p rem isas de Lew is C arroll os la de que si p es v e rd a d e ra , g d eb e ser falsa, es decir, q u e p im p lica no-q; y éeta es la co nclusión que el se n tid o co m ú n h a b ría d ed u c id o en el caso que so d isc u te .

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Son estas tres nociones las que caracterizan el Cálculo de clases. Debemos decir algo p ara explicar cada una de ellas. 21 . La insistencia en la distinción entre e y la relación de todo y parte entre clases se debe a Peano y reviste una im portancia m uy grande p a ra todo el desarrollo técnico y para la to ta lid a d de las aplicaciones a la M atem ática. E n la doctrina escolástica del silogismo, y en to d a la Lógica sim bólica anterior, se confunden las dos relaciones, excepto en el tra b a jo de Frege (1). La distinción es la m ism a que la que existe entre la relación del individuo con la especie y la de la es­ pecie con el género, entro la relación de Sócrates con la clase de los griegos y la relación de los griegos con los hom bres. Am pliaré ia n a ­ turaleza filosófica de esta distinción cuando me refiera críticam ente a la naturaleza de las clases; por el m om ento será suficiente señalar que la relación del todo a la parte es tran sitiv a, m ientras que con e no sucede lo mismo; podemos decir: Sócrates es 1111 hom bre, y los hom bres son una clase, pero no Sócrates es una clase. Debe observarse que la clase debe distinguirse del concepto-clase o predicado por medio del cual debe definirse: así, los hom bres son una clase, m ientras que hombre es un concepto-clase. La relación e debe considerarse válida entre Sócrates y los hom bres considerados colectivam ente, no entre Sócrates y hom bre. E n el capítulo VI volveré a tra ta r este punto. Peano sostiene que todas las funciones proposicionales que contienen una sola variable son susceptibles de expresarse bajo la form a «.r es un a», donde a es una clase constante; pero hallarem os razones para dudar de este punto de vista. 22. L a noción fundam ental siguiente es la de función proposicio­ nal. A unque en el Cálculo de proposiciones figuran funciones proposi­ cionales, se define cada una de ellas a m edida que aparece, de modo que no es indispensable la noción general. Pero en el Cálculo de clases es necesario introducir explícitam ente la noción general. Peano no la necesita, debido a su hipótesis de que la form a nx es un a» es ge/ieral para una variable, y de que pueden usarse extensiones de la misma forma p ara cualquier núm ero de variables. Pero debemos e v ita r esta hipótesis, y por lo tan to , introducir la noción de función proposicional. Podemos explicar (pero no definir) esta noción del modo siguiente: cpx es una función proposicional si, p ara todo valor de x, y x es una proposición, determ inada cuando so da x. Así
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te (1). De este modo obtenem os proposiciones sucesivas coincidentes todas excepto en lo que se refiere al térm ino variable. Indicando con x el térm ino variable,
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nuestro axiom a debe conservar su valor, no debe ser de aquellos de los que hablam os al referirnos a clases. Debemos considerar la unión real de térm inos y no cualquier concepto que indique esa unión. E sto es esencial para los fines m atem áticos. Consideremos, por ejem plo, el problem a de cuántas combinaciones pueden form arse con un con­ junto dado de térm inos, tom ando cualquier núm ero cada vez, es decir, cuántas clases se hallan contenidas en una clase dada. Si clases dis­ tintas pueden tener la m ism a extensión, el problem a resulta com ple­ tam ente indeterm inado. Y evidentem ente el uso común consideraría una clone como determ inada cuando ae han dado todos sus térm inos. Por lo tan to , la visión extensiva de las clases es, en cierto modo, esencial para la Lógica sim bólica y p a ra la M atem ática, y su necesidad so halla expresada 011 el axiom a anterior. Pero el axiom a mismo no es utilizado si distinguim os la igualdad de clases, que se halla definida como inclusión m utua, basándonos en la identidad de los individuos. Form alm ente las dos son totalm en te distintas: la identidad se defino como anteriorm ente, la igualdad de a y b se define por la equivalencia de «x es un a* y «x es un 6» p ara todos los valores de x. 25 . La m ayoría de las proposiciones del Cálculo de clases se dedu­ ce fácilm ente de acuerdo al Cálculo proposicional. E l producto lógico o parte común de dos clases a y b es la clase de x tales que el producto lógico de «x es un o» y implica m está contenido en c» p a ra todos los valores de u, entonces, para^ todos los valores de c, x es un c. Y decimos que una clase a se halla contenida en una clase b cuando «z es un a» im plica «x es un 6» p a ra todos los valores de x. De modo sem ejante al anterior podemos definir el pro ­ ducto y sum a de una clase de proposiciones. O tra noción m uy im por­ tan te es lo que se llam a la existencia de una clase — p alab ra que no debe creerse que signifique lo que existencia en filosofía— . Se dice que una clase existe cuando tiene por lo menos un térm ino. U na definición formal es la siguiente: a es u n a clase existente cuando y sólo cuando cualquier proposición es verdadera si
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Es im p o rtan te entender claram ente el modo en que se obtienen las proposiciones en el Cálculo de clases a p a rtir de las del Cálculo propo­ sicional. Consideremos, por ejem plo, el silogismo. Tenem os <¡p im pli­ ca qo y < im plican «p impHca r». Coloquemos «x es un a», *_r es un 6», «x es un c», en vez de p, q, r, donde x debe tener algún valor definitivo, pero no es necesario decidir cuál pueda ser ese valor. Entonces encontrarem os que si, p a ra el valor de x en cuestión, x es un a implica x es un 6, y x es un 6 im plica x es un c, entonces x es un a implica x es un c. Como el valor de x carece de im portancia podemos variarlo, y por lo tan to encontram os que hí a so halla contenido en b, y b en c, entonces a se halla contenido en c. É ste es el silogismo-clase. Pero al aplicar este proceso es necesario em plear el m áxim o do cui­ dado, deben evitarse com pletam ente los errores. R especto a esto será instructivo considerar un punto sobre el que surgió una discusión entre S chrodery Mr. McColl (')• Schroder sostiene que si p, q, r son proposi­ ciones, «jxj im plica r» es equivalente a la disyunción «p implica r o q implica r». Mr. McColl adm ite que la disyunción im plica la otra, pero niega la implicación recíproca. L a razón de esta divergencia es la de que Schroder piensa en proposiciones e implicación m aterial; m ientras que }>Lr. McColl piensa en funciones proposicionales e implicación formal. Respecto a proposiciones, la verdad del principio puede h a ­ cerse fácilm ente evidente de acuerdo a las consideraciones siguientes. Si 7x7 im plica r, entonces, si p o q es falsa, aquella de las dos que es falsa im plica r, porque las proposiciones falsas im plican todas las proposiciones. Pero si las dos son verdaderas, pq es verdadera, y por lo ta n to lo es r, y en consecuencia p im plica r y q im plica r, porque las proposiciones verdaderas son im plicadas por toda proposición. De este modo, y en cualquier caso, por lo menos u n a en tre las propo­ siciones p y q debe im plicar r. (É sta no es una dem ostración, sino una aclaración.) Pero Mr. McColl objeta: supongam os que p y q sean contradictorias entre sí, y que r sea la proposición nula, entonces 7x7 implica r, pero ni p ni q im plican r. Aquí estam os trab ajan d o con funciones proposicionales e im plicación form al. Se dice que una fu n ­ ción proposicional es nula cuando es falsa p a ra todos los valores de x; y la clase de x que satisfacen la función se llam a clase vacía, siendo en realidad u n a clase sin térm inos. Designarem os ta n to a la función como a la clase, de acuerdo con Peano, con A. A hora bien, reem place­ mos r por A, p po r
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de las dos im plica siem pre a A. P or lo tan to , la fórm ula anterior sólo puede in terp retarse acertadam ente en el Cálculo proposicional: en el Cálculo de clases es falsa. E sto puede hacerse fácilm ente evidente de acuerdo a las consideraciones siguientes: Sean yx, tyx, y,x . tres funcio­ nes proporcionales. E ntonces «yx • <¡>x implica y'_x», implica, p a ra todos los valores de x, que y x im plica yx o
pr in c ipio s

de

la

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sobre ella m ás adelante. E n consecuencia, la clase de prim os pares no debe identificarse con el núm ero 2, y la clase de núm eros que son sum a de 1 y 2 no debe identificarse con 3 . E n qué consiste la diferen­ cia, hablando filosóficamente, es un punto que será considerado en el capítulo VI. C.

E l Cálculo de relaciones

27 . E l Cálculo de relaciones es un tem a m ás m oderno que el Cálculo de clases. A unque se pueden encontrar algunas sugestiones en De Morgan (1), en realidad el prim ero que lo desarrolló fue C. S. Peirce (2). Un análisis cuidadoso del razonam iento m atem ático m ostrará (como veremos en el curso del presente trabajo) que, en realidad, lo que se discute son los tipos de relaciones, aunque una m ala fraseolo­ gía pueda ocultarlo; en consecuencia, la Lógica de relaciones tiene una relación más inm ediata con la M atem ática que la de clases o propo­ siciones, y cualquier expresión teóricam ente correcta y adecuada de las verdades m atem áticas sólo es posible por sus medios. Peirce y Schróder han com prendido la gran im portancia de la m ateria, pero desgraciadam ente sus m étodos no se basan en los de Peano, sino en los de la an tig u a Lógica sim bólica derivada (con modificaciones) de Boole; son tan incómodos y difíciles que la m ayoría de las aplicaciones que deben llevarse a cabo son prácticam ente irrealizables. Adem ás de los defectos de la an tig u a Lógica sim bólica, su m étodo adolece técnicam ente (no tra to ahora de discutir si de modo filosófico o no) por el hecho de que considera esencialm ente una relación como una clase de cuplas — parejas— , necesitando por ello fórm ulas elaboradas de sum a para tra b a ja r con relaciones singulares. E ste punto de vista proviene, según creo, de un error filosófico probablem ente inconsciente: siem pre se ha acostum brado a suponer las proposiciones relaciónales menos últim as que las proposiciones-clase (o proposiciones de sujetopredicado, con las que se confunden generalm ente las proposicionesclase), y esto h a conducido al deseo de tra ta r las relaciones como una especie de clases. De cualquier modo que sea, ha sido cierta­ m ente una opinión filosófica opuesta que he tom ado de mi amigo Mr. G. E . Moore (3), la que m e h a conducido a un diferente tr a t a ­ m iento de las relaciones. E ste procedim iento, tenga o no más correc(x) Camb. P hil. Trans., vol. X , «On th e S yllogism , N° IV , a n d on th e L ogic o f R elations*. C om p. ibld., vol. I X , p&g. 104; ta m b ié n su Formal Logic (L ondon, 1847), p á g . 50. (s) V éanse esp ec ialm en te sus a rtíc u lo s a c erca del Á lg eb ra de la L ó g i­ ca,, en Am-erican Journal of Mathematics, vols. I I I y V II . E l te m a se h a lla tr a ta d o a m p lia m e n te p o r los m é to d o s de C. S. P eirce en SchrC der, op. cit., v o lu m e n I I I . (*) V éase su a rtíc u lo «On th e N a tu r e o f Ju d g e m e n t» , en M ind, N . S. N . 30.

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ción filosófica, es verdaderam ente m ucho más conveniente y pode­ roso como medio de descubrim ientos en la M atem ática real í1). 28 . Si i? es una relación, expresam os con x R y la función proposi­ cional «x guarda la relación R con y». Necesitam os u n a proposición prim itiva (es decir, indem ostrable) con el fin de que x R y sea una pro­ posición p ara todos los valores de x e y. E ntonces debemos considerar las clases siguientes: La clase de térm inos que guardan la relación R con algún térm ino, que llam aré la clase de referentes respecto a R\ y la clase de térm inos respecto a los cuales algún térm ino guarda la relación R, que llam aré la clase de relatos. Así, si R es la patern id ad , los referentes serán los padres y los relatos los hijos. Debemos considerar tam bién las clases correspondientes respecto a térm inos particulares o clases de térm inos; tales y tales hijos, o los hijos de londinenses, sirven de ejemplos. La visión intensional de relaciones aquí defendida conduce al resul­ tado de que dos relaciones pueden tener la misma extensión sin ser idénticas. Se dice que dos relaciones R , R' son iguales o equivalentes, o que tienen la misma extensión, cuando x R y implica y es im plicada por x R ' y p ara todos los valores de x e y. Pero aquí no es necesaria una proposición prim itiva, como lo era en el caso de clases, para obtener una relación que sea determ inada cuando lo sea la extensión. Podemos reem plazar una relación R por la sum a o producto lógicos de la clase de relaciones equivalentes a R, es decir, por la aserción de alguna o de todas las tales relaciones; y esto es idéntico a la sum a o producto lógicos de la clase de relaciones equivalentes a R', si R ' es equivalente a R. Aquí usamos la identidad de dos clases, que se deduce de la proposición prim itiva respecto a la identidad de clases, para establecer la identidad de dos relaciones —procedim iento que no puede aplicarse a las clases mismas sin e n tra r en círculo vicioso. U na proposición prim itiva respecto a relaciones es la de que cada relación tiene una recíproca; es decir, que si R es cualquier relación, existe una relación R ' tal que x R y es equivalente a y R ’x p a ra todos los valores de x e y. Siguiendo a Schroder indicaré la recíproca de R con É. M ayor y menor, antes y después, que im plica a e im plicado por, son relaciones m utu am en te recíprocas. Con algunas relaciones, tales como la identidad, diversidad, igualdad, desigualdad, la recíproca es la m ism a que la relación original: tales relaciones se llam an simétricas. Cuando la recíproca es incom patible con la relación original, como en casos tales como m ayor y m enor, llamo asimétrica a la relación; en casos interm edios, no-simétrica. E n este punto, la m ás im p o rtan te de las proposiciones prim itivas es la de que entre dos térm inos cualesquiera existe u n a relación no válida en tre otros dos térm inos cualesquiera. E sto es análogo al prin(J)

V éanse m is a rtíc u lo s en R. di M ., vol. V II, n ú m s. 2 y siga.

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cipio de que cualquier térm ino es el único m iem bro de alguna clase; pero m ientras esto no pueda dem ostrarse, debido a la visión extensional de clases, este principio, h a sta donde puedo apreciarlo, no es p o ­ sible de dem ostración. E n este sentido, la visión extensional de rela­ ciones presenta una ventaja; pero la v e n ta ja me parece equilibrada por otras consideraciones. Cuando se consideran las relaciones intensionalm ente, puede parecer posible d u d ar acerca de si el principio anterior es verdadero en absoluto. Sin em bargo, se adm itirá general­ m ente que, en tre dos térm inos cualesquiera, es verdadera alguna función proposicional que no lo es para un cierto p ar de térm inos dados diferentes. Si se adm ite esto, el principio anterior se deduce considerando el producto lógico de todas las relaciones que existen entre nuestro prim er p ar de térm inos. En consecuencia, el principio anterior puede ser reem plazado por el siguiente, que le es equivalente: Si x R y im plica x 'R y ', cualquiera sea R , m ientras R sea una relación, entonces x y x ', y e y ' son respectivam ente idénticos. Pero este p rin ­ cipio introduce una dificultad lógica de la que h a sta ahora habíam os estado exentos, a saber: la de u n a variable con un campo restringido; pues a menos de que R sea u n a relación, x R y no será en absoluto una proposición, verdadera o falsa, y por lo ta n to parecería que R no puede tom ar todos los valores, sino solo tales que sean relaciones. Más adelante volveré sobre la discusión de este punto. 29. O tras hipótesis necesarias son las de que la negación de una relación es u n a relación, y de que el producto lógico de una clase de relaciones (es decir, la afirmación sim ultánea de todas ellas) es una relación. El producto relativo de dos relaciones debe ser tam bién una relación. El producto relativo de dos relaciones R, S , es la relación que existe entre x y z, siem pre que exista un térm ino y con el que x guarde la relación R y que guarde con 2 la relación S . Así, la relación de un abuelo m aterno con su nieto es el producto relativo de padre y m adre; el de una abuela p a te rn a con su nieto es el producto relativo de m adre y padre; el de un abuelo y nieto es el producto relativo de padre y padre. E n general, el producto relativo no es conm utativo, tal como lo m uestran los ejem plos anteriores, y en general no obedece a la ley de tautología. E l producto relativo es u n a noción que reviste una im portancia m uy grande. Como no obedece la ley de tautología, conduce a potencias de relaciones: el cuadrado de la relación de padre e hijo es la relación de abuelo y nieto, y así sucesivam ente. Peirce y Schróder consideran tam bién lo que llam an la sum a relativa de dos relaciones R y S , que existe en tre x y z, cuando, siendo y cualquier otro térm ino arbitrario, o x g u ard a con y la relación R, o y guarda con z la relación S . É s ta es u n a noción com plicada que no he hallado ocasión de em plear y que solo se introduce con el fin de conservar la dualidad entre sum a y producto. E s ta dualidad ofrece un cierto encanto técnico cuando se considera la m ateria como una ram a in ­

LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMÁTICA

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dependiente de la M atem ática; pero cuando se considera únicam ente en relación con los principios de la M atem ática la dualidad en cuestión, me parece desprovista de to d a im portancia filosófica. 30. La M atem ática necesita, según creo, sólo otras dos proposi­ ciones prim itivas: la una, que la implicación m aterial es una relación: la otra, que e (la relación de un térm ino con la clase a la que pertenece) es una relación (l ). A hora podemos desarrollar to d a la M atem ática sin otras hipótesis o indefinibles. Merecen m encionarse ciertas proposi­ ciones en la Lógica de relaciones, pues son im portantes y puede d u ­ darse acerca de si son posibles de prueba formal. Si u, v son dos clases cualesquiera, existe una relación R cuya aserción entre dos térm inos cualesquiera x e y es equivalente a la aserción de que x pertenece a u e y a v. Si u es cualquier clase no vacía, existe una relación que guardan todos los térm inos respecto a ella y que no vale p ara ningún otro par de térm inos. Si R es cualquier relación, y u cualquier clase contenida en la clase de referentes respecto a R, existe una relación que tiene a u como clase de sus referentes, y es equivalente a R en toda esa clase: esta relación es igual a i? en la p arte en que es válida, pero tiene un dom inio más restringido. (Uso dom inio como sinónimo de clase de, referentes.) Desde aquí en adelante el desarrollo del tem a es técnico: se consideran tipos especiales de relaciones, y resultan ram as especiales de la M atem ática. D.

Lógica simbólica de Peano

31. El breve resum en anterior de Lógica sim bólica se ha inspira­ do ta n to en Peano que se hace necesario discutir explícitam ente su obra, justificando en form a crítica I03 puntos en que difiero de él. L a cuestión acerca de cuáles entre las nociones de la L ó gica sim ­ bólica deben tom arse como indefinibles, y cuáles proposiciones como indem ostrables es, como ha insistido el profesor P eano (2), hasta cierto punto arb itraria. Pero resulta im p ortan te establecer todas las relaciones m utuas de las nociones m ás sim ples de la L ógica, y exa m i­ nar la consecuenoia de tom ar varias nociones com o indefinibles. Es necesario com prender que la definición, en M atem ática, no significa, como en F ilosofía, un análisis de la idea a definirse en ideas con stitu ­ yentes. E sta noción, en todo caso, sólo es aplicable a los conceptos, m ientras que en M atem ática es posible definir térm inos que no son conceptos (3). Así, tam bién se definen por L ó gica sim bólica muchas (1) E x iste u n a d ific u ltad resp e cto a e s ta proposición p rim itiv a , d isc u ­ tid a en I o b §§ 53 y 94 m ás a d e la n te . (2) P o r ejem plo, F . 1901, pág. 6; F . 1897, p a rte I , p á e s. 62-3. (s) V éase cap. IV .

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nociones que no son de posible definición filosófica, puesto que son simples y no analizables. L a definición m atem ática consiste en señalar una relación fija respecto a un térm ino fijo, de la que sólo un térm ino es posible; entonces este térm ino se halla definido por medio de la relación fija y del térm ino fijo. El punto en que esto difiere de la de­ finición filosófica puede aclararse señalando que la definición m atem á­ tica no indica el térm ino en cuestión, y que sólo lo que puede llam arse discernim iento filosófico revela cuál es entre todos los térm inos que existen. E sto se debe al hecho de que el térm ino se halla definido por un concepto que lo denota en form a am bigua, y no por mención real del térm ino denotado. Lo que se quiere decir con denotar, así como so­ bre los diferentes modos de denotar, debe aceptarse como ideas p ri­ m itivas en toda Lógica simbólica (■*); en este sentido, el orden adoptado no parece en modo alguno arb itrario. 32. P ara ser exactos, exam inem os algunas de las exposiciones del tem a realizadas por el profesor Peano. En sus últim as exposiciones (2) abandonó la idea de distinguir claram ente ciertas ideas y proposicio­ nes como prim itivas, probablem ente debido a la comprensión de que cualquier distinción de este tipo es enteram ente arb itraria. Pero la distinción parece útil, por introducir m ayor ex actitud y por m ostrar que son suficientes un cierto conjunto de ideas y proposiciones p ri­ m itivas; lejos de abandonarla, debe hacerse más bien lo posible para llevarla adelante. Por lo tan to , en lo que sigue tra ta ré de desarrollar una de sus prim eras exposiciones, la de 1897 (3). Las nociones prim itivas con las que Peano com ienza son las si­ guientes: Clase, la relación de un individuo con una clase de la que es miembro, la noción de térm ino, la implicación donde am bas proposi­ ciones contienen las m ism as variables, es decir, la implicación formal, la afirmación sim u ltán ea de dos proposiciones, la noción de definición, y la negación de una proposición. A p a rtir de estas nociones, adem ás de la división de una proposición com pleja en partes, Peano tra ta de deduci? toda la Lógica sim bólica por medio de ciertas proposiciones prim itivas. Exam inem os la deducción en form a resum ida. Podem os observar, p ara com enzar, que la afirm ación sim ultánea de dos proposiciones puede parecer, a prim era vista, insuficiente para ser tom ada como idea prim itiva. Pues, aunque puede extenderse por pasos sucesivos a la afirmación sim ultánea de cualquier núm ero finito de proposiciones, sin em bargo no es todo lo que se requiere; necesita­ mos poder afirm ar sim ultáneam ente todas las proposiciones de cual­ quier clase finita o infinita. Pero la aserción sim ultánea de una clase de proposiciones, aunque parezca raro, es m ucho m ás fácil de definir (') (2) (3)

C a p ítu lo V. ' F . 1901 y R . di M ., vol. V II, n ú m . 1 (1900). F . 1897, p a rte I.

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que la de dos proposiciones [ver § 34, (3)]. Si k es una clase de proposi­ ciones, su afirm ación sim ultánea es la aserción de que «p es un ko im plica p. Si esto vale, tod as las proposiciones de la clase son verd a ­ deras; en caso contrario debe ser falsa por lo menos una de ellas. Hemos visto que el producto lógico de dos proposiciones puede defi­ nirse de un m odo altam en te artificial; pero casi indiferen tem ente puede tom arse com o indefinible, y a que ninguna otra propiedad puede d e­ m ostrarse por m edio de la definición. D ebem os ob servar tam b ién que la im plicación m aterial y la form al se hallan com binadas por Peano en una sola idea p rim itiva, aunque deban tom arse separadam ente.

33. Antes do form ular cualquiera de las proposiciones prim itivas, Peano procede a dar ciertas definiciones: 1) Si a es una clase, «x e y son a» significa «x es un a e y es un a». 2) Si a y b son clases, «todo a es un 6» significa «x es un a im plica x es un b». Si aceptam os la im plica­ ción form al como noción prim itiva, esta definición parece inobjetable; pero tam bién puedo sostenerse que la relación de inclusión en tre clases es más simple que la im plicación form al, y que no debe definirse por sus medios. É ste es un tem a difícil, que reservaré para una ulterior dis­ cusión. U na implicación form al parece ser la aserción de to d a una clase de implicaciones m ateriales. La complicación que aparece en este punto surge debido a la natu raleza de la variable, punto que Peano parece no haber considerado suficientem ente, a pesar de que ha hecho mucho para dem ostrar su im portancia. L a noción de una proposición que con­ tiene u n a variable, la que im plica a o tra tal proposición, que él tom a como prim itiva, es com pleja, y por lo ta n to debe separarse en sus cons­ tituyentes; de esta separación surge la necesidad de considerar la afir­ mación sim ultánea de to d a u n a clase de proposiciones an tes de in te r­ pretar u n a proposición ta l como « es un a im plica que z es un 6». 3) A hora debemos considerar u n a definición com pletam ente inútil, y que por ello ha sido abandonada í1). É s ta es la definición de tal que. Se nos dice que las x tales que x es un a, quieren decir la clase a. Pero esto sólo da el significado de tal que cuando se le coloca ad elante de una proposición del tipo «x es un a». A hora bien, a m enudo es necesario considerar una x ta l que alguna proposición acerca de ella sea v erd a­ dera, y en que esa proposición no sea de la form a de «x es un a». Peano sostiene (aunque no lo expone como axiom a) que to d a proposición que sólo contenga u n a variable es reducible a la form a « x e s u n a * (2). Pero verem os (cap. X) que por lo menos u n a de tales proposiciones no ea reducible a esa form a. Y en todo caso, la única u tilid ad de tal que es la de efectuar la reducción, que por lo ta n to no puede adm itirse ya llevada a cabo sin ella. E l hecho es el de que tal que contiene 0)

(*) n o ta.

Com o re su lta d o de laa c ritica s de P a d o a , R. di M ., vol. V H , p ág . 112. R . di M ., v ol. VTI, n ú m . 1, p á g . 25; F. 1901, p ág . 21, § 2, p ro p . 4.0,

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una idea prim itiva, pero dicha idea no puede separarse fácilm ente de otras. P ara poder asim ilar el significado de tal que es necesario observar, en prim er lugar, que lo que Peano y los m atem áticos llam an general­ m ente u na proposición que contiene una variable es en realidad, si la variable es aparente, la conjunción de u n a cierta clase de proposicio­ nes definidas por alguna constancia de forma; m ientras que si la v a ria ­ ble es real, de m odo que tengam os u n a función proposicional, no existe en absoluto proposición, sino sim plem ente u n a especie de representa­ ción esquem ática de cualquier proposición de un cierto tipo. P or ejem ­ plo, cuando se form ula por medio de una variable que «La sum a de los ángulos de un triángulo es de dos ángulos rectos», se transform a en: Sea x un triángulo; entonces la sum a de los ángulos de x es de dos ángulos rectos. E sto expresa la conjunción de todas las proposiciones en las que se dice acerca de entidades particu larm en te definidas que si son triángulos, la sum a de sus ángulos es de dos ángulos rectos. Pero una función proposicional, en que la variable es real, representa cualquier proposición de una cierta form a, no a todas las tales propo­ siciones (véase §§ 59-62). P a ra cada función proposicional existe una relación indefinible entre proposiciones y entidades, que puede expre­ sarse diciendo que todas las proposiciones tienen la m ism a form a, pero que en ellas intervienen entidades diferentes. Es esto lo que ori­ gina las funciones proposicionales. Dados, por ejem plo, una relación constante y un térm ino constante, existe u n a correspondencia biunívoca entre las proposiciones que afirm an que los diferentes térm inos guardan la relación dicha con el térm ino dado y los diferentes té r ­ minos que figuran en esas proposiciones. É s ta es la noción que se n e ­ cesita p ara la com prensión de tal que. Sea x un a variable cuyos valores form an la clase a, y sea f(x) una función uniform e de x que es propo­ sición verdadera p a ra todos los valores de x com prendidos en la clase a, y que sea falsa p ara todos los dem ás valores de x. E ntonces los térm inos de a son la clase de térm inos tales que f{x) es u n a proposición verdadera. E sto da una explicación de tal que. Pero debe recordarse siem pre que la ilusión de tener u n a proposición f(x) satisfecha por un núm ero de valores de x es engañosa: j(x) no es proposición en absoluto, sino función proposicional. Lo que es fundam ental es la relación de diferentes proposiciones de form a d ad a respecto a los diferentes té r ­ minos que en tra n varias veces en ellas como argum entos o valores de las variables; se necesita igualm ente esta relación p a ra in te rp re ta r la función proposicional f(x) y la noción de tal que ; pero ella en sí m ism a es ú ltim a e inexplicable. 4) A hora llegamos a la consideración de la definición de producto lógico, o p a rte común, de dos clases. Si a y b son dos clases, su p a rte com ún consiste en la clase de térm ino x tales que i es un a y a: es un b. Y a aquí, como lo señala P ad o a (loe. c it.), es Decesario ex ten d er el significado de tal que m ás allá del caso en que

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nuestra proposición afirm a el ser m iembro de u n a clase, y a que sólo es por medio de la definición como se dem uestra que la p a rte común es una clase. 34. Las definiciones restantes previas a las proposiciones prim i­ tivas' son menos im portantes, algunas parecen referirse solam ente al simbolismo, y no expresar ninguna de las propiedades reales de lo que se simboliza; otras, por el contrario, son de u n a im portancia lógica m uy elevada. 1) El prim ero de los axiom as de Peano es «toda clase se halla contenida en sí misma». E sto es equivalente a «toda proposición se implica a sí misma». Parece no existir medio de e v ita r este axiom a, que es equivalente a la ley de identidad, excepto el m étodo empleado anteriorm ente y que consiste en usar la auto-im plicación p a ra definir proposiciones. 2) Luego tenem os el axiom a de que el producto de dos clases es una clase. Este debe haberse establecido, al igual que la definición de producto lógico, para una clase de clases; pues cuando sólo se establece para dos clases no puede extenderse p ara el producto lógico de una clase infinita de clases. Si se tom a clase como indefinible, es un axiom a genuino, que resulta m uy necesario p a ra el razonam iento. Pero quizá podría ser algo generalizado por un axiom a que se refiera a los térm inos que satisfacen proposiciones de una form a dada: por ejemplo, «los térm inos que guardan una o más relaciones dadas res­ pecto a uno o más térm inos dados form an una clase». E n la sección B, más arriba, se ha evitado com pletam ente el axiom a usando una form a generalizada del mismo como definición de clase. 3) A hora tenem os dos axiomas que son en realidad uno solo, y que parecen d istintos sola­ m ente debido a que Peano define la p a rte común de dos clases en vez de la p a rte común de u n a clase de clases. E stos dos axiom as establecen que, si a, b, son clases, su producto lógico, ab, se halla contenido en a y se halla contenido en b. Estos parecen dos axiom as diferentes debido a que, tal como lo indica el solo simbolismo, ab puede ser distin to de ba. Uno de los defectos de la m ayoría de los simbolismos es el que dan un orden a térm inos que intrínsecam ente carecen de él o que por lo menos nada tienen que se refiera al mismo. Así, en este caso: si K es u n a clase de clases, el producto lógico de K consiste en todos los térm inos que perm anecen a toda*clase que form a p a rte de K . Con esta definición re­ sulta claro a prim era v ista que no interviene en absoluto el orden de los térm inos de K . Así, si K consta sólo de dos térm inos, a y 6, es in ­ diferente que se represente el producto lógico de K por ab o por ba, ya que el orden sólo existe en los símbolos, no en lo que se sim boliza. Debe tenerse en cuenta que el axiom a correspondiente respecto a proposiciones es el que la aserción sim ultánea de u n a clase de propo­ siciones im plica cualquier proposición de la clase; y é sta es quizá la mejor form a del axiom a. Sin em bargo, aunque no es im prescindible un axiom a, es necesario, aquí como en cualquier lado, disponer de

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un medio para unir el caso en que partim os de una clase do clases o de proposiciones o de relaciones con el caso en que la clase resulta de la enum eración de sus térm inos. Así, aunque no se halla involu­ crado un orden en el producto de u n a clase de proposiciones, existe un orden en el producto de dos proposiciones definidas p, q, y tiene sentido-decir que los productos pq y qp son equivalentes. Pero esto puede dem ostrarse por medio de los axiom as con los que hemos ini­ c ia d o 'e l Cálculo de proposiciones (§ 18). Debe observarse que esta prueba es an terio r a la prueba de que la clase cuyos térm inos son p y q es idéntica a la clase cuyos térm inos son q y p. 4) Después debem os considerar dos form as de silogismo, am bas proposiciones prim itivas. La prim era afirm a que, si a, b, c son clases, y a se halla contenida en b, y z es un a, entonces z es un 6; la segunda, que si a, b, c son clases, y a se halla contenida en 6, b en c, entonces a se halla contenida en c. Uno de los m éritos m ás grandes de Peano consiste en haber distinguido claram ente la relación de un individuo a su clase de la relación de inclusión entre clases. La diferencia es ex trao rd in ariam en te funda­ m ental: la prim era relación es la m ás sim ple y m ás im portante de todas las relaciones, la ú ltim a u n a relación com plicada que deriva de la implicación lógica. R esulta de esta distinción que el silogismo B á r­ bara tiene dos form as, que generalm ente se confunden: una, la aserción clásica de que Sócrates es un hom bre, y por lo ta n to m ortal; la otra, la aserción de que los griegos son hom bres, y por lo tan to m ortales. E stas dos form as se hallan establecidas por los axiom as de Peano. Debe tenerse en cuenta que, en v irtu d de la definición de lo que se entiende por el que una clase se halle contenida en otra, la prim era form a resulta del axiom a de que si p, q, r son proposiciones, y p im plica que q im plica r, entonces el producto do p y q im plica r. Peano sus­ tituye la prim era form a del silogismo por este axiom a (‘): es m ás ge­ neral y no puede deducirse de dicha form a. La segunda form a del silogismo, cuando se aplica a proposiciones en vez de clases, afirma que la im plicación es tra n sitiv a . P o r supuesto que este principio es el que en realidad da vida a todas las cadenas del razonam iento. 5) Ahora nos hallam os a n te un principio de razonam iento que Peano llam a composición: éste afirm a que si a se halla contenido en b y tam bién en c, entonces se halla contenido en la p a rte com ún de ambos. E s ta ­ bleciendo este principio respecto a proposiciones, afirm a que si una proposición im plica a cada u n a de otras dos, entonces im plica su aser­ ción co n ju n ta o producto lógico; y éste es el principio llam ado m ás a rrib a composición. 35. Desde aquí avanzam os fácilm ente h a sta que llegamos a la idea de negación. Ésta, aparece en la edición del FormvXaire que es­ tam os considerando, como una nu ev a idea p rim itiva, y se define por (*)

V éase, p o r ejem plo, F . 1901, p a r te I , § 1, p ro p . 3.3 (pág. 10).

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medio de ella la disyunción. E videntem ente resulta fácil definir la negación de una clase por medio de la negación de una proposición: porque «x es un no-a» es equivalente a «x no es un a». Pero necesita­ mos un axiom a con el fin de que no-a sea una clase, y otro con el fin de que no-no-a sea a. Peano da tam bién un tercer axiom a, a saber: Si a, b, c son clases, y ab se halla contenida en c, y x es un a pero no un c, entonces x no es un b. E sto resulta m ás simple bajo la forma: Si p , q, r son proposiciones, y p, q, unidos im plican r, y q es verdadero m ientras que r es falso, entonces q es falso. Esto m ejorará aún si se lo pone bajo la forma: Si q, r son proposiciones y q im plica r, entonces no-r im plica no-<7; form a que Peano obtiene como deducción. T ra b a ­ jando con proposiciones antes que con clases o funciones preposicio­ nales, es posible, como hemos visto, evitar el tra ta r la negación como idea prim itiva, y reem plazar todos los axiom as referentes a la nega­ ción por el principio de reducción. Ahora llegamos a la definición de disyunción o sum a lógica de dos clases. R especto a esto, Peano ha cam biado m uchas veces de procedi­ miento. E n la edición que estam os considerando, «a o 6» se define como la negación o producto lógico de no-a y no -b, es decir, como la clase de térm inos que no son ni no-a ni no-6. En ediciones posteriores (por ejemplo, F . 1901, pág. 19), encontram os una definición un poco menos artificial, a saber: «a o b» consiste en todos los térm inos que pertenecen a cualquier clase que contiene a y contiene 6. Cualquier definición parece lógicam ente inobjetable. Debe tenerse en cuenta que a y b son clases, y que queda planteado un problem a para la Lógica filosófica acerca de si allí no hay una noción m uy diferente de la de disyunción de individuos, como, por ejem plo, «Juan o Pedro», Consi­ deraré este punto en el capítulo V. Se recordará que, cuando com enza­ mos por el Cálculo de proposiciones, se definía la disyunción antes que la negación; con la definición anterior (la de 1897), e3 com pleta­ m ente necesario tom ar en prim er lugar la negación. 36. Luego se tra ta de las nociones relacionadas de clase vacía y de existencia de una clase. E n la edición de 1897 se define una clase como vacía cuando se halla contenida en toda clase. Cuando recor­ damos la definición de que una clase a se halle contenida en o tra b («x es un a» im plica «x es un bu p ara todos los valores de x), vemos que debemos considerar la implicación como aplicada a todos los valo­ res, y no sólo p a ra aquellos valores p ara los que x es realm ente un a. É ste es un punto sobre el cual Peano no se m uestra explícito, y dudo que h ay a pensado en él. Si la im plicación valiera solam ente cuando x es realm ente un a, no daría una definición de la clase vacía, p ara la que esta hipótesis es falsa p ara todos los valores de x. No sé si es por esto o por alguna o tra r$zón por lo que Peano abandonó desde entonces la definición de inclusión de clases por medio de la im plica­ ción form al entre funciones preposicionales: la inclusión de clases

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parece ahora hallarse considerada como indefinible. O tra definición presentada a veces por Peano (por ejem plo, F . 1895, e rra ta , pág. 116), es la de que la clase vacía es el producto de cualquier clase por su negación —definición sobre la que se pueden llevar a cabo considera­ ciones sem ejantes— . En R. di M ., V II, núm . 1 (§ 3, prop. 1.0), se define la clase de aquellos térm inos que pertenecen a to d a clase, es decir, la clase de térm inos x tales que ia es una clase» im plica «x es un a» para todos los valores de a. P o r supuesto que no existen tales térm i­ nos x. y hay una grave dificultad lógica en tr a ta r de in terp retar extensivam ente una clase que no tiene extensión. Sobre este punto volveré en el capítulo VI. Desde aquí en adelante la Lógica de Peano continúa con un desarro­ llo suave. Pero es aún defectuosa desde un punto de vista: no reconoce como últim as a las proposiciones relaciónales que no afirmen el ser miembros de una clase. Por esta razón son defectuosas las definiciones de una función (') y de otras nociones fundam entalm ente relaciónales. Pero este defecto se rem edia fácilm ente aplicando, del modo explica­ do anteriorm ente, los principios del F o n n u la ire a la Lógica de relaciones (2). (l ) P o r ejem plo, F. 1901, p a r te I, § 10, propa. 1.0.01 (pág. 33). (l ) V éase mi artícu lo «Sur la logiquo tica rolationn», on R. di M„ vol. V II, 2 (1901).

CAPÍTULO Til IM P L IC A C IÓ N E IM P L IC A C IÓ N F O R M A L

37. E n el capítulo anterior he tra ta d o de p resentar en form a breve y no crítica, todos los datos necesarios p ara la M atem ática pura bajo el aspecto de ideas y proposiciones form alm ente fundam entales. En las p artes siguientes m ostraré que éstos, son todos los datos, dando definiciones de los diferentes conceptos m atem áticos — núm ero, infi­ nito, continuidad, Ioh diferentes espacios de la Geom etría, y el m ovi­ m iento—. E n lo que queda de la parte 1 daré indicaciones, las mejores que pueda, de los problem as filosóficos que surgen en el análisis de los d ato s, y de las direcciones en que imagino que esos problem as pueden hallar solución. Se deducirán algunas nociones lógicas que, aunque parezcan fundam entales p ara la Lógica, no se discuten co­ m únm ente en trab ajo s sobre este tem a, y de ese modo se presentarán problem as despojados del simbolismo m atem ático p a ra la considera­ ción de los lógicos filosóficos. Se encontró que son esenciales p ara cualquier tipo de deducción dos especies de implicación: la m aterial y' la form al. E n este capítulo tra ta ré de exam inar y distinguir estos dos tipos y de discutir algunos m étodos p a ra in te n ta r el análisis del segundo de ellos. Al discutir la inferencia es común perm itir la intrusión de un ele­ m ento psicológico, y considerar n u estra adquisición de nuevos cono­ cim ientos por sus medios. Pero es claro que donde inferim os v álid a­ m ente una proposición de otra, lo hacem os en v irtu d de una relación válida entre las dos proposiciones, la percibam os o no: la m ente, en realidad, es ta n p u ram en te receptiva en la inferencia como en el sen­ tido común supone que lo es en la percepción de los objetos sensibles. La relación por medio de la cual no es posible inferir válidam ente es lo que llamo im plicación m aterial. Y a hemos visto que sería un círculo Vicioso el definir esta relación como significando que si una proposi­ ción es necesaria entonces o tra es verdadera, porque si y entonces iU’

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volucran ya una implicación. La relación se m antiene, en realidad, cuando lo hace, sin referencia alguna a la verdad o falsedad de las proposiciones involucradas. Pero ni desarrollar las consecuencias de nuestras hipótesis respecto a la im plicación, nos vemos llevados a conclusiones que no concuerdan en modo alguno con lo que com únm ente se sostiene respecto a la im ­ plicación, porque encontram os que cualquier proposición falsa implica toda proposición y que cualquier proposición verdadera es im plicada por toda proposición. De este modo las proposiciones son form alm ente sem ejantes a un conjunto de longitudes cada una de las cuales tiene uno o dos centím etros, y la implicación es como una relación «igual o menor que» en tre tales longitudes. C iertam ente no se sostendrá co­ m únm ente que «2 -f 2 = 4» puede deducirse de «Sócrates es un hom ­ bre» o que am bas se hallan im plicadas por «Sócrates es un triángulo». Pero la repugnancia a adm itir tales implicaciones se debe, según creo, principalm ente a la preocupación por la implicación formal, que es una noción m ucho m ás fam iliar, y que se halla realm ente en nuestra m ente, como una regla, aun cuando lo que se m enciona explícitam ente es la im plicación m aterial. En las inferencias de «Sócrates es un hom ­ bre» no se acostum bra a considerar al filósofo vejado por los atenienses, sino sim plem ente a un símbolo que puede ser reem plazado por cual­ quier otro hom bre; y sólo un prejuicio vulgar en favor de las proposi­ ciones verdaderas impide reem plazar Sócrates por un número, una mesa o un budín. Sin em bargo, siem pre que, como en Euclides, se deduce una proposición p a rticu la r de otra, se halla involucrada la implicación m aterial, aunque como regla puede considerarse la im pli­ cación m aterial como caso particu lar de alguna implicación formal, obtenida dando algún valor constante a la variable o variables invo­ lucradas en dicha im plicación form al. Y a pesar de todo, m ientras se considera aún las relaciones con la desconfianza provocada por la falta de costum bre, es natu ral dudar acerca de que si una proposición tal como la im plicación debe hallarse en v irtu d de los principios estable­ cidos en la sección C del capítulo anterior, debe haber una proposición válida solam ente entre proposiciones, y que valga entre dos proposi­ ciones cualesquiera de las que la prim era sea falsa o la segunda ver­ dadera. De las diferentes relaciones equivalentes que satisfacen estas condiciones, u n a se llam ará im plicación, y si tal noción puede parecer poco común, est-o no b asta p ara p robar que es ilusoria. 38. En este m om ento es necesario considerar un problem a lógico m uy difícil, a saber: la distinción entre una proposición realm ente afirm ada y u n a proposición considerada sim plem ente como un con­ cepto complejo. Uno de nuestros principios indem ostrables era, como se recordará, el de que si en una im plicación es verdadera la hipótesis, puede suprim irse ésta y afirm ar el consecuente. Como se señaló, este principio elude la exposición form al e indica una cierta falla del fo?-

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malismo en general. E l principio ee em plea siem pre que se dice que se ha demostrado una proposición, porque lo que pasa en tales casos ea que se dem uestra que la proposición se halla im plicada pór alguna proposición verdadera. O tra form a bajo la que se em plea co n sta n te­ mente el principio es la de sustitución de una constante que satisface la hipótesis en el consecuente de una im plicación form al. Si
M in d , N . S., vol. IV , pág. 278.

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m ente negada en cualquier contexto podría ser verdadera, porque cuando se la afirm ara, se tran sfo rm aría en u n a proposición diferente. Pero esto es com pletam ente falso; pues en *p im plica gt, p y q no son afirm adas, y, sin em bargo, pueden ser verdaderas. D ejando este enig­ ma para la Lógica debem os insistir, sin em bargo, en que existe una cierta especie de diferencia entre una proposición afirm ada y una no afirm ada (*). Cuando decimos jx>r lo tanto establecem os una relación válida solam ente entre proposiciones afirm adas, y que, por consi­ guiente, difiere de la im plicación. Siem pre que figura el por lo tanto puede elim inarse la hipótesis y afirm arse la conclusión por sí misma. É ste parece ser el prim er paso en la respuesta al enigm a de Lewia Carroll. 39. Se dice com únm ente que una inferencia debe tener prem isas y una conclusión, y se sostiene m anifiestam ente que -son necesarias dos o m ás prem isas, sino en todas las inferencias, por lo menos en la m ayoría. E s ta posición surge, a prim era vista, de hechos evidentes: por ejem plo, todo silogismo tiene dos prem isas. Pero tal teoría com ­ plica enorm em ente la relación de im plicación, ya que la transform a en una relación que puede tener cualquier núm ero de térm inos, y que es sim étrica respecto a todos, salvo uno de ellos, pero no sim étrica respecto a éste (la conclusión). Sin em bargo, e sta complicación es innecesaria, en prim er lugar porque toda aserción sim ultánea de un núm ero de proposiciones es por sí m ism a una proposición singular, y en segundo, porque, gracias a la regla que hemos llam ado exporta­ ción, siem pre es posible p resentar una im plicación como válida explí­ citam ente en tre proposiciones singulares. Tom em os prim ero lo dicho en prim er lugar: si k es u n a clase de proposiciones, todas las proposi­ ciones de la clase k se hallan afirm adas por la sola proposición «para todos los valores de x, si x im plica x, entonces ’x es un k ’ im plica x », o, en lenguaje menos pulido, «todo k es verdadero». Y respecto al segundo punto que supone finito el núm ero de prem isas , «pq im plica r» es equivalente, si q es una proposición, a np im plica que q im plica r» en cuya últim a form a las im plicaciones valen explícitam ente entre propo­ siciones singulares. E ntonces podem os decir con seguridad que la im ­ plicación es u n a relación entre dos proposiciones, no u n a relación de un núm ero arb itra rio de prem isas respecto a u n a sola conclusión. 40. A hora tratarem o s la im plicación form al, que es urna noción m ucho m ás difícil que la de im plicación m aterial. Con el fin de evitar la noción general de función proposicional, comencemos por la discu­ sión de un caso particu lar, por ejem plo, *x es un hom bre im plica x es m ortal p ara todos los valores de xi>. E s ta proposición es equivalente a «todos los hom bres son mortales», «todo hom bre es mortal» y «cual­ quier hom bre es mortal». Pefo parece m uy dudoso que sea la m ism a (‘)

F re g e (loe. cit.) tie n e u n signo especial p a r a d e n o ta r la aserció n .

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proposición. Tam bién se halla relacionada con una proposición p u ra ­ m ente intensional en la que se afirm a que hambre es una noción com ­ pleja de la que m ortal es un constituyente, pero esta proposición es muy d istin ta de la que estam os discutiendo. Por supuesto que tales proposiciones intensionales no siem pre se hallan presentes cuando una clase se halla incluida en otra: en general, cada clase puede defi­ nirse por varios predicados diferentes, y no es necesario en absoluto que todo predicado de la clase contenga como factor a todo predicado de la clase m ayor. P or supuesto que puede suceder que am bos p re­ dicados sean filosóficamente simples: así color y existente parecen ser ambos simples, pero la clase de colores es parte de la clase de exis­ tentes. L a visión intensional, que deriva de los predicados, es casi por com pleto indiferente para la Lógica sim bólica y p ara la M atem á­ tica, y por el m om ento dejaré de considerarla. 41. P a ra comenzar, puede dudarse acerca de si vx es un hom bre implica x es mortal» debe considerarse como afirmación estricta de todos los térm inos posibles o de térm inos tales que sean hombres. Aunque Peano no ee m uestra explícito parece sostener este últim o punto de vista. Pero en este caso la hipótesis deja de tener significado, y se transform a en una m era definición de x: x significa cualquier hombre. La hipótesis resulta entonces una simple aserción respecto al significado del símbolo x, y la totalidad de lo que se afirm a respecto al sujeto a que se refiere nuestro símbolo se halla en la conclusión. La prem isa dice: x significa cualquier hom bre. La conclusión dice: x es m ortal. Pero la implicación se refiere sim plem ente al simbolismo: ya que cualquier hom bre es m ortal si x denota cualquier hom bre, x es m ortal. De este modo y desde este p unto de vista ha desaparecido com pletam ente la implicación form al, dejándonos la proposición «cualquier hom bre es mortal» como expresión de todo lo que en la pro ­ posición se refiere a una variable. Ahora sólo quedaría por exam inar la proposición «cualquier hom bre es mortal» y, si fuera posible, explicar esta proposición sin volver a introducir la variable y la implicación formal. Debe confesarse que bajo este punto de vista se evitan algu­ nas dificultades graves. Consideremos, por ejemplo, la aserción si­ m ultánea de todas las proposiciones de alguna clase k : esto no se halla expresado por «'x es un k ’ implica x p ara todos los valores de x». Porque tal como se ha presentado esta proposición no expresa lo que significa, ya que si x no es u n a proposición « e s u n k» no puede im pli­ car x; por lo tan to , el cam po de variabilidad de x debe lim itarse a las proposiciones a m enos de que prefijemos (como antes, § 39) la hipó­ tesis . E s ta advertencia se aplica generalm ente, a través de todo el cálculo proposicional, en todos los casos en que la conclu­ sión se halla representada pqr una letra singular: a menos de que la letra no represente realm ente una proposición, la im plicación afirm a­ da será falsa, y a que sólo pueden im plicarse proposiciones. E l caso LOS

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es que, si x es nuestra variable, x m ism a es una proposición para todos los valores de x que sean proposiciones, pero no p ara otros v a lo ­ res. E sto aclara cuáles son las lim itaciones a las que se halla su jeta nuestra variable: sólo debe va riar dentro del cam po de valores p ara el que los dos lados de la im plicación principal son proposiciones, en otras palabras, los dos lados, cuando la variab le no se halla reem pla­ zada por una constante, deben ser proposiciones funcionales genuinas. Si no se tiene en cuen ta esta restricción, pronto aparecen eq u ivo ca ­ ciones. Debe tenerse en cuenta que puede existir un número c u a l­ quiera de im plicaciones subordinadas que no requieren que sus térm inos sean proposiciones: esto sólo lo exige la im plicación principal. Tom em os, por ejem plo, el prim er principio de inferencia: Si p im pli­ ca 7, entonces p im plica 7. E sto va le igualm ente sean p y q proposi­ ciones o no; porque si algun a no es proposición «/; im plica 7» resulta falso, pero 110 d eja de ser una proposición. E n realidad, en v irtu d de la definición de proposición, nuestro principio establece que «/; im ­ plica 7» es una función proposicional, es decir, que es una proposición para todos los valores de p y q. Pero si aplicam os a esta proposición el principio de im portación, de tal modo que obtenem os «'/; im pli­ ca 7 ’, conjun tam ente con p, im plica 7», tenem os una fórm ula sólo verdadera cuando p y 7 son proposiciones: para lograr que sea u ni­ versalm ente verdad era debem os precederla con la hipótesis «p im p li­ ca p y 7 im plica 7». De este modo en m uchos casos, si no en todos, puede elim inarse la restricción acerca de la variab ilid ad de la variable; así en la aserción del producto lógico de una clase de proposiciones la fórm ula *si x im plica x, entonces 'x es un k' im plica x» parece in ob je­ table, y perm ite que x varíe sin restricción. A qu í las im plicaciones su ­ bordinadas en la prem isa y en la conclusión son m ateriales: sólo la im plicación principal es form al. V olviendo ahora a
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implicación como formal h asta que la dicha restricción haya sido quitada prefijándola como hipótesis. (Si tyx es una proposición siem ­ pre que x satisface cpx, donde
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ser definida y explicada por n u estra implicación form al— . Pero este punto de vista es dem asiado sim ple para contem plar todos los casos, y por lo tan to no es indispensable en caso alguno. U n núm ero m ayor de casos, aunque no todos, puede tra ta rse con la noción de lo que llam aré aserciones. Explicarem os brevem ente esta noción, dejando su discusión crítica para el capítulo V II. 4:i. Siem pre se ha acostum brado a dividir las proposiciones en sujeto y predicado; pero esta división tiene el defecto de om itir el verbo. lis cierto que a veces se realiza una fácil concesión hablando vagam ente de la cópula, pero el verbo merece un respeto mucho m ayor <|iie el que se le concede. Podem os decir, en form a im perfecta, que toda proposición puede dividirse, algunas sólo do un modo, algu­ nas de modos diversos, en un térm ino (el sujeto) y en algo que se dice acerca del sujeto, cuyo algo llam aré aserción. Así «Sócrates es un hombre» puede dividirse en Sócrates y en es un hombre. El verbo, que es la señal d istin tiv a de las proposiciones, queda con la aserción, pero la aserción m ism a, hallándose separada de su sujeto, no es ni verdadera ni falsa. En las discusiones lógicas figura a m enudo la noción de aserción, pero como se usa la palabra proposición en lugar de ella, no llega a considerársela en form a separada. Consideramos, por ejem plo, la m ejor afirmación acerca de la identidad de indescirnibles: «Si x e y son dos entidades diversas cualesquiera, para x es válida alguna aserción que no lo es para y.» Pero si no fuese por la palabra aserción, que com únm ente se reem plaza por proposición., esta afirmación pasaría desapercibida. Igualm ente, podríam os decir: «Só­ crates era un filósofo, y lo mismo es verdadero respecto a Platón.» Tales afirmaciones requieren su análisis en aserción y sujeto, para que pueda haber algo idéntico que pueda decirse que es afirm ado acerca de dos sujetos. 44. Ahora podemos ver, cuando es legítimo el análisis en sujeto y aserción, cómo distinguir implicaciones en las que existe un térm ino que puede variarse de otras en las que no es ése el caso. Pueden su­ gerirse dos modos de llevar a cabo la distinción, y deberem os decidir entre ellos. Puede decirse que existe una relación e n tre las dos aser­ ciones «es un hombre» y «es mortal», en v irtu d de la cual cuando vale la una, vale tam bién la otra. O tam bién podemos analizar toda la proposición «Sócrates es un hom bro implica Sócrates es mortal» en Sócrates y una aserción respecto a él, y decir que la aserción en cues­ tión vale p ara todos los térm inos. N inguna de las dos teorías reem ­ plaza el análisis anterior de
■MHHMHlgPHMPSlPlHHOTRPI

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elija. La segunda teoría parece objetable basándose en que el análisis sugerido de «Sócrates es un hom bre im plica Sócrates es mortal* parece ser apenas posible. L a proposición que se está considerando consiste en dos térm inos y una relación, siendo los térm inos «Sócrates es un hombre» y «Sócrates es mortal»; y parecería que cuando se ana­ liza una proposición relacional en un sujeto y una aserción, el sujeto debe ser uno de los térm inos de la relación que se afirm a. E s ta obje­ ción parece ser más grave de la que se form ula contra el prim er p u n to de vista; por lo tan to , al menos por el presente, ad o p ta ré el prim er punto de vista y consideraré la im plicación formal como derivada de una relación entre aserciones. Señalábam os más arriba que la relación de inclusión entre clases es insuficiente. E sto resulta de la naturaleza irreductible de las proposicio­ nes relaciónales. Tom emos, por ejem plo, «Sócrates está casado implica Sócrates tuvo padre». Aquí se afirm a que porque Sócrates tiene una relación debe tener otra, ü m ejor aún, tom em os «^4 está antes que B implica B está después de A». É sta es una implicación form al en la que las aserciones (por lo menos superficialm ente) se refiere a sujetos diferentes: el único modo de salvar esta dificultad consiste en decir que ambas proposiciones tienen ta n to a A como a B por sujetos, lo que es muy d istinto a decir que tienen el único sujeto «A y B ». Tales ejem plos aclaran que la noción de función proposicional y la noción de aserción son más fundam entales que la noción de clase, y que la últim a no es adecuada p ara explicar todos los casos de im plicación form al. No me extenderé más sobre este punto, pues será ilustrado abun d an tem en te en otras p artes del presente trabajo. Es im p o rtan te darse cuenta de que, de acuerdo con el análisis anterior de im plicación form al, la noción de todo térm ino es indefi­ nible y últim a. Im plicación form al es la que vale para todo térm ino, y por lo ta n to lodo no puede explicarse por medio de la implicación formal. Si a y 6 son clases, podemos explicar «todo a es un 6 » por medio de «x es un a im plica x es un b»; pero el todo que figura aquí es una noción derivada y subsiguiente, que "presupone la noción de todo término. Parece ser la verdadera esencia de lo que puede llam arse verdad form al y en general del razonam iento form al, el que se afirme que para iodo térm ino vale alguna aserción; y a menos de que se adm ita la noción de todo término, las verdades form ales serán im ­ posibles. 45. L a im portancia fundam ental de la implicación form al salta a la vista considerando que se halla involucrada en todas las reglas de la inferencia. E sto m uestra que no podem os esperar definirla ex­ clusivam ente en función de la im plicación m aterial, sino que debe involucrarse algún otro elem ento o elem entos. Sin em bargo, podem os observar que en una inferencia particu lar no se requiere como prem isa la regla de acuerdo a la cual vale la inferencia. E sto ha sido señalado

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por Mr. B ra d le y (*); se halla estrecham ente relacionado con el prin­ cipio de suprim ir una prem isa verdad era, siendo de nu evo un aspecto en el que falla el form alism o. Con el fin de aplicar una regla de infe­ rencia, es form alm ente necesario tener una prem isa que afirm e que el caso presente pertenece a esa regla; por lo ta n to necesitarem os afirm ar la regla por la cual podem os p asar de la regla al p articu lar, y tam bién afirm ar que nos hallam os ante un caso p articu lar de esa regla, y así in ­ definidam ente. E l hecho es que, evidentem ente, cualqu ier proposición g aran tizada por una regla de inferencia vale de m odo real y no es sim plem ente im plicada por dich a regla. É sto es sim plem ente un ejem ­ plo del principio no form al de suprim ir una prem isa verdadera: si nuestra regla im plica una cierta im plicación, puede suprim irse la regla y afirm arse la im plicación. P ero queda el caso do que el bocho de que nuestra regla im plique la dicha im plicación, si so iutroduce por com pleto, puede percibirse sim plem ente y no se h alla garantizado por deducción form al alguna; y a m enudo es tan fácil, y por lo ta n to tan legítim o, percibir inm ediatam ente la im plicación en cuestión como percibir que se halla im plicada por una o m ás de las reglas de inferencia. R esum iente nuestra discusión acerca de la im plicación form al: U na im plicación form al, dijim os, es la afirm ación de toda im plicación m a­ terial de una cierta clase; y la clase de im plicaciones m ateriales in v o ­ lucradas es, en casos sim ples, la clase de todas las proposiciones en las que se afirm a que una aserción fija dada, hecha respecto a cierto sujeto o sujetos, im plica otra aserción fija dada concerniente al mismo sujeto o sujetos. D onde se halle establecid a una im plicación formal coincidirem os en considerarla, siem pre que sea posible, com o debida a alguna relación entre las aserciones concernidas. E sta teoría da origen a m uchos problem as lógicos form idables y requiere, p ara su defensa, un análisis com pleto de los constituyentes de las proposicio­ nes. A este fin deberem os dedicarnos. (*)

Logic, libro I I , p a r te I , cap. I I (pág. 227).

C A P ÍTU LO IV

N O M BRES P R O PIO S , A D JE T IV O S Y VERBOS 40. En este capítulo deben discutirse ciertos tem as que se refieren a lo que puede llam arse G ram ática filosófica. E l estudio de la G ram á­ tica, de acuerdo con mi opinión, es capaz de ap o rta r m ás luz a los problem as filosóficos de lo que com únm ente suponen los filósofos. A un­ que no puede adm itirse sin crítica que una distinción gram atical co­ rresponda a una diferencia filosófica genuina, sin em bargo la una es \prima facie evidencia de la otra, y a m enudo puede utilizarse prove­ chosam ente como fuente de investigación. Debe adm itirse adem ás, creo, que toda palabra que figura en una sentencia debe poseer algún significado: un sonido desprovisto en absoluto de sentido no puede usarse del modo m ás o menos fijo con el que el lenguaje em plea las pala­ bras. Por lo tan to , la corrección de nuestro análisis filosófico de una proposición puede confrontarse con éxito por medio del ejercicio de asignar su significado a cada palabra en la sentencia que expresa la proposición. En general, me parece que la G ram ática nos acerca mucho m ás a una Lógica correcta que las opiniones corrientes entre los filó­ sofos; y en lo que sigue tom arem os como guía la G ram ática, pero no hasta el p u n to de flejam os dom inar por ella f1). En la oración existen tres partes que son especialm ente im portantes: sustantivos, adjetivos y verbos. E ntro los sustantivos algunos derivan do adjetivos y verboB, como hum anidad de hum ano, o sucesión de se­ guir. (No hablo de una derivación etimológica, sino de una, lógica.) Otros, tales como los nom bres propios, o espacio, tiem po y m ateria, no son derivados, sino que aparecen originariam ente como sustantivos. Lo que deseamos obtener no es una clasificación de palabras, sino de ideas; (*) L a excelencia de la G rá m á tic a com o g ula es p ro p o rc io n al a la e sca­ sez de infiexionee, ee decir, al g rad o de análisis e fe ctu a d o p o r el le n g u a je co n sid erado.

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por lo tan to llam aré ad jetivo s o predicados a todas las nociones que son capaces do sor tales, aun bajo una form a en que la G ra m ática los llam a­ ría sustantivos. E l hecho es que, com o verem os, humano y humanidad denotan precisam ente el mismo concepto, em pleándose resp ectiva ­ mente estas p alabras de acuerdo al tipo de relación que guarda esto concepto con los otros constituyentes de una proposición en la que figura. La distinción que querem os realizar no es idéntica a la d istin ­ ción gram atical entre su stan tivo y a d jetivo , y a que un solo concepto puede, de acuerdo con las circunstancias, ser su sta n tivo o adjetivo: lo (jue querem os es la distinción entre nom bres propios y comunes, o más bien entre los objetos indicados por tales nom bres. En toda p ro­ posición, como vim os en el cap ítu lo III, podem os hacer un análisis en algo afirm ado y algo respecto a lo que se hace la aserción. Cuando un nom bre propio figura en una proposición es siem pre, por lo menos de acuerdo con uno de los posibles m étodos de análisis (cuando hay varios), el sujeto a! que se refiere la proposición o alguna proposición con stitu yen te subordinada, y no lo que se dice del sujeto. Por otra parte, los ad jetivo s y verbos pueden figurar en proposiciones en las que pueden no considerarse como sujeto sino solam ente como partea de la aserción. L os a d jetivo s se distinguen por su cap acid ad de denotar — térm ino que inten to usar en el sentido técnico que discutiré en el cap ítu lo V — , Los verbos se distinguen por un tipo especial de cone­ xión, sum am ente difícil de definir, con la verdad y falsedad, en virtud de la cual distinguen una proposición afirm ada de una no afirm ada, por ejem plo: «César murió» de «la m uerte de César». A h ora debem os am pliar estas diferencias y com enzaré por la distinción entre nombres propios y comunes.

47. La Filosofía se halla fam iliarizada con un cierto conjunto de distinciones, todas m ás o menos equivalentes: es decir, la distinción entre sujeto y predicado, sustancia y atrib u to , sustantivo y adjetivo, esto y lo quz í1). Deseo indicar brevem ente lo que creo que sucede en realidad con estas distinciones relacionadas. El tem a es im portan­ te, ya que las discusiones entre m onistas y m onadistas, entre idealistas y em piristas, y entre quienes sostienen y niegan que to d a la verdad se halla rplacionada con lo que existe, depende, en su to talid ad o en parte, de la teoría que adoptem os respecto a la cuestión presente. Pero lo tra tam o s aquí solam ente porque es fundam ental para cual­ quier doctrina del núm ero o de la natu raleza de la variable. Se dejarán com pletam ente de lado sus relaciones con la Filosofía, por im por­ tan te s que sean. Llam arem os término a todo lo que pueda ser ob jeto de pensam ien­ to o que pued a figurar en cualquier proposición falsa o verdadera, o que pueda contarse como uno\. P o r lo tan to , ésta resulta Ber la p alabra (‘)

E s te ú ltim o p a r de té rm in o s se d eb e a M r. B ra d le y .

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más am plia del vo cab ulario filosófico. U saré como sinónim os de la misma las p alabras unidad, individuo y entidad. L as dos prim eras recalcan el hecho de que todo térm ino es uno, m ientras que la tercera deriva del hecho de que todo térm ino tiene ser, es decir, es en algún sentido. TJn hombre, un m om ento, un núm ero, una clase, una relación, una quim era, o cualquier o tra cosa que pueda m encionarse, es segu ra­ mente un término; y siem pre debe ser falso el negar que eso pueda ser un térm ino. Q uizá pueda pensarse que una palabra de generalidad tan extrem a no pueda ser do m ucha u tilidad. Poro ese punto de vista, debido a ciertas doctrinas filosóficas difundidas, es falso. D e hecho, un térm ino se halla dotado de todas las propiedades asignadas com únm ente a las sustancias o sustan tivos. Com encem os porque todo térm ino es un sujeto lógico: es, por ejem plo, el sujeto de la proposición que dice que él mismo es uno. A dem ás todo térm ino es inm utable e in d estru c­ tible. Lo que es un térm ino, eso es, y no puede concebirse en el mismo ningún cam bio que no destru ya su identidad y lo transform e en otro término (1). O tra señal d istin tiva que se refiere a los térm inos es la de su identidad num érica con ellos mismos y la diversidad num érica con todos los dem ás (2). L a identidad y diversidad num éricas son la fuente de la unidad y de la pluralidad; y de este m odo la acep tación de m u­ chos térm inos d estru ye el monismo. Y parece innegable que todo constituyente de tod a proposición puede contarse com o uno, y que ninguna proposición contiene menos de dos constituyentes. Por lo tanto término es una p alab ra útil, y a que señala la diferen cia entre d is­ tintas filosofías, así com o tam bién porque en m uchas afirm aciones queremos hablar de cualquier térm ino o de algún térm ino.

48. E n tre los térm inos es posible distinguir dos clases, que lla­ maré respectivam ente cosas y conceptos. Las prim eras son los térm i­ nos indicados por los nom bres propios, los últim os los indicados por todas las demás palabras. Aquí deben entenderse los nom bres propios en un sentido algo m ás am plio del común, y debe entenderse igualm en­ te que las cosas com prenden todos los puntos e instantes particulares, y m uchas otras entidades que com únm ente no reciben el nom bre de cosas. E n tre los conceptos, adem ás, deben distinguirse por lo menos dos clases, a sabe?: los indicados por adjetivos y los indicados por verbos. Los de la prim era especie se llam arán a m enudo predicados o conceptos-clase; los de la últim a son siem pre o casi siem pre relaoionee. (En verbos intransitivos la noción expresada por el verbo es com pleja, (J) L a noción de té rm in o e x p u e s ta a q u í es u n a m odificació n d e la n o ción de concepto que ex pone Mr. G. E . M oore, en su a rtíc u lo «On th e N a tu r a of Ju d g em en t» , en M ind, N. S., n ú ip . 30, de c u y a noción, sin em b arg o , difiere en alg u n o s p u n to s im p o rta n te s . (*) A oerca de la id e n tid a d , véase el a rtío u lo de Mr. G. E . M oore en los

Procéedinga of the Aristotelian Society, 1900-1901.

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y generalm ente afirm a una relación definida respecto a un relato in ­

definido, como en «Pedro respira».) Coincidimos con que en una clase grande de proposiciones es po­ sible distinguir, en uno o m ás modos, un sujeto y u n a aserción respec­ to al sujeto. L a aserción debe contener siem pre un verbo, pero Balvo este punto, las aserciones parecen carecer de propiedades universales. En una proposición relacional, por ejemplo, en «A es m ayor que B>, podemos considerar A como el sujeto, y «es m ayor que B d como la aserción, o a B como sujeto y «A es m ayor que» como aserción. Por lo tan to , en el caso propuesto existen dos modos de analizar la propo­ sición on sujeto y aserción. Cuando una relación tiene más do dos térm inos, como en «A está ahora aquí» (x), existirán m ás de dos modos de llevar a cabo el análisis. Pero en algunas proposiciones existe sola­ m ente un modo: son las proposiciones de sujeto-predicado, talos como «Sócrates es humano». I>a proposición «la hum anidad pertenece a Só­ crates», que es equivalente a «Sócrates es humano», es una aserción respecto a la hum anidad; pero es una proposición d istinta. En *Sócrates es humano», la noción expresada por hum ano figura de modo distinto a aquel en que lo hace cuando se llam a hum anidad, siendo la diferencia que en el últim o caso, y no en el prim ero, la proposición ■se ri jiere a esta noción. E sto indica que la hum anidad es un concepto, 110 una cosa. Llam aré térm inos de una proposición, por numerosos que sean, a aquellos que figuran en la m ism a y que pueden considerar­ se como sujetos respecto a los cuales se establece la proposición. Es característico de los térm inos de una proposición el que cualquiera de ellos pueda reem plazarse por cualquiera o tra entidad sin que deje­ mos de hallarnos ante una proposición. Así direm os que «Sócrates es humano» es una proposición que tiene solam ente un térm ino; de los com ponentes restantes de la proposición, uno es el verbo, el otro es un predicado. Con el sentido que tiene es en esta proposición dejam os por com pleto de hallam os ante una proposición si reem plazamos hum ano por algo d istinto a un predicado,. E n consecuencia, los predi­ cados son conceptos diferentes a verbos y que figuran en proposiciones que sólo tienen un térm ino o sujeto. Sócrates es u n a cosa, porque Só­ crates nunca puede figurar en u n a proposición si no es como té r­ mino: Sócrates no es susceptible de ese curioso doble uso involucrado en hum ano y h um anidad. P untos, instantes, trozos de m ateria, estados m entales particulares, y seres particulares en general, son cosas en el sentido anterior, y lo mismo sucede con m uchos térm inos que no exis­ ten: por ejem plo, los puntos de un espacio no-euclidianos o los seudopersonajes de u n a novela. Parecería que todas las clases, como n ú ­ (J) E s ta prop o sició n significa iA e s tá en este lu g a r en e ste in stan te* . 8e m o s tra rá en la p a r te V II que la rela ció n e x p re sa d a no ee red u cib le a u n a relación de dos té rm in o s.

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meros, hom bres, espacios, etc., cuando se tom an como térm inos sin­ gulares, son cosas; pero esto será tra ta d o en el capítulo VI. Los predicados se distinguen de los dem ás térm inos por un con­ junto de propiedades m uy interesantes, entre las que descuella su conexión con lo que he llam ado denotar. Un predicado siem pre da origen a una hueste de nociones relacionadas: así, adem ás de humano y humanidad, que sólo difieren gram aticalm ente, tenem os hombre, un hombre, algún hombre, cualquier hombre, todo hombre, todos los hombres (’), y todos ellos parecen ser genuinam ente distintos uno del otro. El estudio de estas diversas nociones es absolutam ente vital para cualquier filosofía de la M atem ática; y sobre ellas basam os la im portancia de la teoría de predicados. 49. P odría pensarse que debería realizarse una distinción entre un concepto como tal y un concepto usado como térm ino, por ejem ­ plo, entre pares tales como es y ser, humano y humanidad, uno en una proposición tal como «ésto es uno» y 1 en «1 es un número». Pero si damos cabida a tal punto de vista nos verem os envueltos en in trin ­ cadas dificultades. E xiste, por supuesto, una diferencia gram atical, la que corresponde a una diferencia respecto a las relaciones. E n el prim er caso se usa el concepto en cuestión como concepto, es decir, es, en rea­ lidad, predicado de un térm ino o afirm ado para relacionar dos o más términos, m ientras que en el segundo caso el concepto mism o se halla sujeto a un predicado o a una relación. Por lo tan to , no existe ningu­ na dificultad en señalar la diferencia gram atical. Pero lo que quiero alegar es que la diferencia sólo se base en relaciones externas, y no en la naturaleza intrínseca de los térm inos. Porque supongam os que uno como adjetivo difiere de 1 como térm ino. E n esta afirm ación uno como adjetivo se ha transform ado en térm ino; en consecuencia: o se ha transform ado en 1 , en cuyo caso la suposición es au to -co n trad ic­ toria, o existe alguna o tra diferencia entre uno y 1 , adem ás del hecho de que el prim ero denota un concepto que no es un térm ino m ientras que el segundo denota un concepto que es térm ino. Pero en esta ú lti­ ma hipótesis deben existir proposiciones que se refieran a uno como térm ino, y aun tendrem os que m antener proposiciones que se refieran a uno como adjetivo en oposición a uno como té rm ino; pero todas las tales proposiciones deben ser falsas, ya que una proposición respecto a uno como adjetivo hace de uno el sujeto, y en realidad se refiere a uno como térm ino. Abreviando: si existiera cualquier adjetivo que no pudiera transform arse en sustantivo sin cam biar de significado, serían falsas todas las proposiciones respecto a tales adjetivos —ya i1) U so lodoa loa hombrea com o oolectivo, es decir, casi com o sin ó n im o de la raza, poro que difiere de e lla 'p o r ser p lu ra lid a d y no u n id a d . U sa ré sie m ­ pre todoa co le c tiv a m e n te , lim itá n d o m e a todo p a r a el se n tid o d is trib u tiv o . Por lo ta n to d iré ctodo h o m b re ea m ortal*, no tto d o s los hom brea so n m ortales».

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que los transform arían necesariam ente en sustantivos— y lo mismo sucedería con la proposición de que todas las tales proposiciones son falsas, ya que ella m ism a transform a los adjetivos en sustantivos. Pero este estado de cosas es contradictorio consigo mismo. El argum ento anterior prueba que teníam os razón al decir que los térm inos com prenden todo lo que puede figurar en una proposición, con la posible excepción de complejos de térm inos do la especie d en o ta­ da por cualquiera y palabras sem ejantes a ella (1). Pues si A figura en una proposición, entonces, en ella A es el sujeto; y acabam os de ver si A no fuese el sujeto, es exacta y num éricam ente el mismo A que no es sujeto en u n a proposición y que sí lo es en otra. De este modo parece ser com pletam ente errónea la teoría de que existen adjetivos o atrib u to s o cosas ideales, o como quieran llamarse, que son en cierto modo menos sustanciales, menos subsistentes por sí mismos, menos auto-idénticos, que los sustantivos verdaderos, y parece poderse re­ ducir fácilm ente a contradicción. Los térm inos que son conceptos di­ fieren de los que no lo son, no respecto a la subsistencia por sí mismos, sino en virtud del hecho de que, en ciertas proposiciones verdaderas o falsas, figuran de un modo indefiniblem ente diferente al en que lo hacen los sujetos o térm inos de relaciones. 50. Dos conceptos tienen, adem ás de la diversidad num érica que les pertenece como térm inos, otro tipo especial de diversidad que puede llam arse conceptual. E sto puede caracterizarse por el hecho de que dos proposiciones, en las que los conceptos figuran de otro modo que como térm inos, aunque sean idénticas en todo otro sentido, aun difieren en v irtu d del hecho de que los conceptos que figuran en ellas son conceptualm ente diferentes. L a diversidad conceptual implica la diversidad num érica, pero no es verdadera la im plicación recíproca, porque no todos los térm inos son conceptos. L a diversidad num érica, como implica su nom bre, es la fuente de la pluralidad, y la diversidad conceptual es menos im portante p a ra la M atem ática. Pero la posibi­ lidad total de form ular diferentes aserciones respecto a un térm ino dado o conjunto de térm inos depende de la diversidad conceptual, que por lo ta n to es fundam ental en Lógica general. 51. R esu lta interesante y no carente de im p o rtan cia el exam inar m uy brevem ente la conexión en tre la d o ctrin a an terio r de adjetivos^ con ciertos puntos de v ista tradicionales acerca de la n aturaleza de las proposiciones. Es costum bre considerar todas las proposioionea como dotadas de un sujeto y de un predicado, es decir, como dotadas de un esto inm ediato y de un concepto general unido a él a m odo de descripción. P o r supuesto que e sta explicación de la teoría anterior chocará a sus adherentes, que la considerarán dem asiado ruda; pero servirá p a ra d ar una indicación general del p unto de vista que debe (l )

V éase el c a p ítu lo sig u ien te.

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discutirse. E sta doctrina tiende en su desarrollo, por necesidad lógica interna, hacia la teoría de la Lógica de Mr. Bradley, de que todas las palabras representan ideas que tienen lo que él llam a significado, y de que en todo juicio existo algo, el verdadero sujeto del juicio, que no es una idea y que no tiene significado. Me parece que el tener significado es una noción confusam ente com puesta de elem entos lógicos y psico­ lógicos. Todas las qxilabras tienen significado, en el sentido simple de que son símbolos que representan algo d istinto a ellas. Pero a menos de que u n a proposición sea lingüística no contiene palabras: contiene las entidades indicadas por palabras. E n consecuencia, significado, en el sentido de que las palabras están dotadas de significado, es indife­ rente p a ra la Lógica. Pero conceptos tales como u n hombre tienen sig­ nificado en otro sentido: son, por decirlo así, simbólicos en su propia naturaleza lógica, porque tienen la propiedad que he llam ado denotar. Es decir, cuando en una proposición figura u n hombre (por ejemplo, «Encontré un hom bre en la calle»), la proposición no se refiere al con­ cepto u n fiombre, sino a algo m uy diferente, a un bípedo real denotado por el concepto. De este modo los conceptos de este tipo tienen sig­ nificado en un sentido no psicológico. Y en este sentido, cuando deci­ mos «éste es un hombre», form ulam os una proposición en la que un concepto se halla en cierto sentido unido a lo que no es un concepto. Pero cuando se entiende de este modo el significado, la en tid ad indi­ cada por J u a n no tiene significado, como sostiene Mr. B radley ('); y aun entre los conceptos, sólo los que denotan tienen significado. Creo que la confusión se debe principalm ente a la noción de que en las pro­ posiciones figuran palabra -s, lo que a su vez se debe a la noción de que las proposiciones son esencialm ente m entales y deben identificarse con conocimientos. Pero no debemos tra ta r más estos tópicos de F ilo­ sofía general en nuestro trab ajo . 52. Queda por discutir el verbo, y por encontrar las señales por las que so distingue del adjetivo. Tam bién respecto a los verbos existe una doble form a gram atical correspondiente a una diferencia en rela­ ciones sim plem ente externas. E stá el verbo én la form a que tiene como verbo (pueden no considerarse las diferentes inflexiones de esta form a), y está el verbo sustantivo, indicado por el infinitivo o (en inglés) por el participio presente. La distinción es la m ism a que en tre «Felton m ató a Buckingham» y «Matar sin asesinar*. A nalizando esta diferen­ cia aparece la n aturaleza y función del verbo. E s claro que el concepto que figura en el nom bre verbal es exac­ tam ente el mism o que figura como verbo. E sto resulta del argum ento anterior de que todo constituyente de to d a proposición debe, bajo pena de auto-contradicción, ser susceptible de transform arse en sujeto lógico. Si decimos m a t a no qüiere decir lo mismo que m a ta n , y a hemos (»)

Logic, libro I , cap. I,

17, 18 (pA$a. 68-QO),

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hecho de mata un sujeto, y no podem os decir que el concepto expresado por la palabra mala no puede transform arse en sujeto. D e este m odo, el mismo verb o que figura com o ta l puede hacerlo tam bién como su­ jeto. E l problem a es: ¿Qué diferencia lógica se halla exp resada en la diferencia de form a gram atical? Y resulta claro que la diferencia debe hallarse en las relaciones externas. Pero cuando se tra ta de verbos existe adem ás o tra cuestión. Transform ando el verbo, tal como figura en una proposición, en un nom bre verbal, puede transform arse to d a la proposición en un solo sujeto lógico, que y a no está afirm ado y que y a no contiene en sí mismo la verdad o falsedad. Poro tam bién aquí parece no e x istir la posibilidad de sostener que el sujeto lógico que aparece es una entidad diferente de la proposición. «César murió» y «la m uerte de César» servirán de ejem plo. Si preguntam os: ¿Qué es lo que se afirma en la proposición «César murió»?, la respuesta deberá ser «se afirma la m uerte de César». E n este caso parecería quo es la m uerte de César lo que es verdadero o falso; y sin em bargo no puede atribuirse ni verdad ni falsedad a un sim ple sujeto lógico. L a respuesta parece ser que la m uerte de César gu arda una relación ex tern a con la verdad o falsedad (como podría suceder), m ientras que «César murió» contiene de un m odo u otro su propia verd ad o falsedad como elem ento. Pero si éste es el anáfisis correcto, resulta d ifícil ver cóm o difiere «César murió» de «la verd ad de la m uerte de César» en el caso en que es v e r ­ dadera, o «la falsedad de la m uerte de César» en el otro caso. Sin em bargo resulta m uy claro que lo últim o no es eq u ivalen te en modo alguno a «César murió». P are ce que aquí existiera una noción ú ltim a de aserción, dada por el v e rb o , que se pierde tan pronto como lo sus­ tituim os por un nom bre verb al, y que se pierde cuando la proposición en cuestión se transform a en el sujeto de algu n a otra proposición. E sto no depende de la form a gram atical; porque si digo «César murió es una proposición» no afirmo que César m urió, y ha desaparecido un elem ento que se h allab a presente en «César murió». D e este m odo, la contradicción que debía haberse evitad o — una en tid ad que no puede transform arse en sujeto lógico— , aparece aquí como in evitab le. No sé cómo tra ta r satisfactoriam ente esta dificu ltad, que parece ser inhe­ rente a la propia n atu raleza de verd ad y falsedad. E l m odo m ás e v i­ dente consistiría en decir que la diferencia entre una-proposición afir­ m ada y una no afirm ada no es lógica, sino psicológica. E n el sentido en que pueden afirm arse las proposiciones falsas, esto resulta dudosa­ m ente verdadero. Pero existe otro sentido de aserción, m uy d ifícil de concebir claram ente, y sin em bargo innegable, b a jo el cual sólo se afirm an las proposiciones verdaderas. T a n to las proposiciones v e rd a ­ deras com o las falsas son, en cierto sentido, entidades, y son, en cierto sentido, susceptibles de tr a n fo r m a r s e en sujetos lógicos; pero cuando sucede que u n a proposición es verdad era, tiene o tra cualidad, adem ás de la que com parte cqh \as ^roposigipnea falsas, y oe 98ta, cu^ d^ d,

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adicional lo que quiero significar con aserción en un sentido lógico, en contraposición al sentido psicológico. Sin em bargo, la n a tu ra le ­ za de verdad no se refiere m ás a los principios de la M atem ática que a los de cualquier o tra cosa. P or lo ta n to dejo este problem a para los lógicos con la breve indicación anterior de que existe una dificultad. 53. Puede preguntarse si todo lo que es un verbo, en el sentido lógico al que nos estam os refiriendo, expresa o no una relación. P a re ­ cería que, si tuviéram os razón al sostener que «Sócrates es humano* es una proposición que sólo tiene un térm ino, el es de esta proposición no puede expresar una relación en el sentido ordinario. E n realidad, las proposiciones de sujeto-predicado se distinguen ju stam en te por este carácter no relacional. Sin em bargo, se halla ciertam ente implicada una relación entre Sócrates y hum anidad , y es m uy difícil concebir una proposición que no exprese en absoluto una relación. Quizá po­ dríamos decir que es una relación, aunque se distingue de otras rela­ ciones en que no puedo considerarse como una aserción que se refiera indiferentem ente a cualquiera de sus térm inos, sino solam ente como una aserción respecto al referente. U na consideración sem ejante pue­ de aplicarse a la proposición h.A es», que vale sin excepción p a ra todo término. El es de la m ism a es m uy diferente al es de «Sócrates es humano»; puedo considerarse como complejo, y como predicado en realidad el ser de A . De este modo siem pre puede considerarse el ver­ dadero verbo lógico en u n a proposición como afirm ando una relación. Pero es ta n difícil saber exactam ente lo que se entiende por relación, que todo el problem a se halla en peligro de llegar a ser puram ente verbal. 54. L a doble n aturaleza del verbo, como verbo propiam ente dicho y como nom bre verbal, puede expresarse, si se considera que todos los verbos son relaciones, como la diferencia entre m ía relación en sí misma y una relación que en realidad relaciona. Consideremos, por ejemplo, la proposición
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E l verbo, cuando se usa com o verbo, encierra la u nidad de la propo­ sición, y por lo ta n to es distinguible del verbo considerado com o té r­ mino, aunque no puedo dar una explicación clara de la natu raleza precisa de esa distinción. 55. P uede dudarse acerca de si el concepto general de diferencia figura en la proposición «A difiere de B », o si no ex iste más bien una diferencia específica de A y B y otra diferencia específica de C y D , que se afirm an respectivam ente en las proposiciones lA difiere de Bd V «C difiero do £>*. De este modo, diferencia so transform a en un con­ cepto-clase del que existen tan tos casos com o pares de térm inos d ife­ rentes; y podría decirse, en frase platónica, que los casos com parten la n atu raleza do la diferencia. Com o este punto es vita l en la teoría de las relaciones, bueno será referirse con m ás am p litu d al mismo. Y en prim er lugar debo señalar que en «A difiero de B » trataré de consi­ derar la diferencia num érica pura en virtu d do la cual son dos, y no diferencia en este o aquel respecto. Probem os en prim er lugar la hipótesis de que una diferencia es una noción com pleja com puesta por diferencia ju n to con alguna cu a ­ lidad especial que distingue una diferencia p articu lar de tod a otra diferencia particular. E n lo que respecta a la relación de diferencia en sí m ism a, debem os suponer que no se pueden realizar distinciones entre los diferentes casos; sino que deben existir diferentes cualidades asociadas en ellos. Pero desde que los casos se distinguen por sus térm inos, la cualidad debe hallarse intrínsecam ente asociada con los térm inos, no con la diferencia. Si la cualidad no fuera una relación, no podría tener conexión especial con la diferen cia de A y B que de­ bería hacer distinguible de la diferencia pura, y si falla en esto resulta carente de im portancia. Por o tra parte, si fuese una nueva relación entre A y B , adem ás de la diferencia, deberíam os sostener que cu a l­ quier par de térm inos tiene dos relaciones, diferen cia y diferencia es­ pecífica, esta ú ltim a válid a p a ra cualquier otro p ar de térm inos. E ste punto de v is ta es com binación de otros dos, de los que el prim ero sostiene que la relación general a b stra cta de diferencia vale por sí misma entre A y B , m ientras que la segunda sostiene que cuando dos térm inos difieren tienen, en correspondencia con este hecho, una relación específica de diferencia, única e inanalizable, y que no guardan entre sí ningún otro par de térm inos. P ued e sostenerse cualquiera de estos puntos de v ista negando o afirm ando el otro. Veam os lo que se puede decir en favo r y en co n tra de ellos. C ontra la noción de las diferencias específicas debe deoirse que si las diferencias difieren, tam bién deben diferir sus diferencias respecto a cualquier otra, y de este m odo nos vem os llevados a un proceso infinito. L o s que ob jetan los'procesos infinitos verán en esto una prue­ ba de que las diferencias no difieren. P ero en el trab ajo presente se sostiene que no h a y contradicciones peculiares con la noción de infi­

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nito, y que un proceso infinito no puede objetarse a menos de que surja en el análisis del significado actual de una proposición. E n el caso presente, el proceso es uno de implicaciones, no de análisis; por lo tanto debe considerársele inofensivo. Contra la noción de que la relación a b stra c ta de diferencia se halla establecida entre A y B , tenem os el arg u m en ta derivado del análisis de
P R IN C IP IO S

DE LA M A T E M A T IC A .— 6

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sentido definible algunos casos particulares de diferencia (*). Concluyo, pues, que la relación afirm ada entre A y B en la proposición *A d i­ fiere de B » es la relación general de diferencia, y es precisa y num érica­ m ente la misma que la relación afirm ada entre 0 y D en «C difiere de Dt>. Y por las mismas razones debe sostenerse que e sta doctrina es verdadera para toda otra relación; las relaciones no tienen casos p a r­ ticulares, sino que son estrictam ente las m ism as en todas las propo­ siciones en que figuran. Ahora podemos resum ir los puntos principales leucidados en nues­ tra discusión del verbo. El verbo, dijim os, es un concepto que, como el adjetivo, puede figurar en una proposición sin ser uno de los térm i­ nos de la m ism a, aunque puede transform arse tam bién en sujeto lógico. En toda proposición debe figurar un verbo y sólo uno; pero toda proposición, al transform ar su verbo en nom bre verbal, puede transform arse en un sujeto lógico singular de una especie que llamaré en el futuro concepto proposicional. Todo verbo, en el sentido lógico de la palabra, puede considerarse como relación; cuando figura como verbo, efectivam ente relaciona, pero cuando se halla como nom bre verbal es la relación p u ra considerada independientem ente de los térm inos que relaciona. Los verbos, a diferencia de los adjetivos, no presentan casos particulares, sino que son idénticos en todos los casos de su ocurrencia. Debido al modo en que el verbo relaciona realm ente los térm inos de una proposición, to d a proposición tiene una unidad que la hace d istin ta de la sum a de sus constituyentes. Todos estos puntos contribuyen a crear problem as lógicos que deberían tratarse com pleta y profundam ente en el tra ta d o de Lógica. H abiendo dado una idea general sobre la n aturaleza de los verbos y adjetivos, procederé, en los dos capítulos siguientes, a la discusión que surge de la consideración de los adjetivos, y en el capítulo V II a los tópicos relacionados con los verbos. H ablando im propiam ente, las clases se hallan relacionadas con los adjetivos, m ientras que las fun­ ciones proposicionales involucran verbos. É sta es la razón por la que ha sido necesario tra ta r con tal extensión un tem a que a prim era vista parecería hallarse algo d ista n te de los principios de la M atem ática. *

(l) E l a rg u m e n to a n te rio r p arece d e m o stra r q u e la te o ría d e los u n i­ versales de Mr. M oore con casos p a rtic u la re s diverso s en su m em o ria sobre la Id e n tid a d (Proceedings of the Aristot-elian Society, 1900-1901) no d eb e ap li­ carse a to d o s los co n cep to s. L a relación de u n caso p a r tic u la r con su u n iv e r­ sal d ebe ser real y n u m é ric a m e n te la m ism a en to d o s los casos en que figura.

CA PITU LO

V

D E N O T A R 56. La noción de denotar, como la m ayoría de las nociones de la Lógica, ha sido oscurecida h asta el presente por una mezcla psicoló­ gica indebida. E x iste un sentido según el cual nosotros denotam os, cuando señalam os, describim os o em pleam os palabras como símbolos de conceptos; pero no es éste el sentido que deseo discutir. Pues el hecho de que la descripción sea posible —de que em pleando conceptos seamos capaces de designar una cosa que no es un concepto— , se debe a la relación lógica entre algunos conceptos y algunos térm inos, en virtud de la cual tales conceptos denotan en form a inherente y lógica tales térm inos. É ste es el sentido de den o tar que querem os tra ta r. Esta noción — creo— se halla en la base de todas las teorías de la sustancia, de la lógica del sujeto-predicado, y de la oposición entre cosas e ideas, pensam iento discursivo y percepción inm ediata. E stos diferentes desarrollos me parecen equivocados en su m ayor parte, m ientras que el hecho fundam ental en el que han tenido origen apenas si se discute en su pureza lógica. Un concepto denota cuando, al figurar en una proposición, la p ro ­ posición no se refiere a ese concepto, sino a un térm ino conectado de un cierto modo peculiar con dicho concepto. Si digo «encontré a un hombre», la proposición no se refiere a u n hombre: éste es un concepto que no anda por las calles, sino que vive en el limbo um broso de los libros de Lógica. Lo que encontré es una cosa, no un concepto, un hombre real, con un sastre y una cuenta en el banco o una tab e rn a y una m ujer bebida. Igualm ente, la proposición «cualquier núm ero finito es par o impar» es com pletam ente verdadera; pero el concepto «cualquier núm ero finito» no es par ni im par. Sólo los núm eros p a rtic u ­ lares son pares o impares; adem ás de ellos no hay otra e n tid ad cual­ quier núm ero que sea par o im par, y si existiera, resulta evidente que no puede ser par y que no puede ser im par. Acerca del concepto «cualquier número», casi todas las proposiciones que contienen 1*

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frase «cualquier número» son falsas. Si deseamos referirnos al concepto debemos indicar esto en letra cursiva o entre comillas. La gente afir­ ma a m enudo que el hombro es m ortal; pero lo que es m ortal m orirá, V sin em bargo nos extrañaríam os de hallar en el T im es una noticia como ésta: «Murió en su residencia de Camelot, Gladstono Road, U pper Tooting, el 18 de junio de 1 0 ... ¡Hombre, hijo m ayor de M uerte y Vicio'.» E n realidad, Hombre no muere; por lo que si «el hom bre es mortal* fuera, como parece serlo, una proposición referente a hombre sería falsa. El hecho es que la proposición se refiere a los hombres, y no al concepto hombres, sino a lo que denota este concepto. Toda la teoría de la definición, de la identidad, de clases, del simbolismo y de la variable se halla contenida en la teoría de denotar. E sta noción es fundam ental en Lógica y, a pesar de las dificultades que presenta, es tan esencial como para aclararla en lo posible. 57. La noción de denotar puede obtenerse por una especie de génesis lógica a p a rtir de las proposiciones de sujeto-predicado, de las que parece depender en m ayor o m enor grado. Las proposiciones más simples son aquellas en las que figura un predicado en form a d istin ta que como térm ino, y que sólo tienen un térm ino del cual se afirma el predicado en cuestión. Tales proposiciones pueden llamarse proposiciones de sujeto-predicado. Son ejemplos: A es, A es uno, A es hum ano. Los conceptos que son predicados pueden llam arse tam bién conceptos-clase, porque dan origen a clases, pero nos resultará nece­ sario distinguir en tre las palabras predicado y concepto-clase. Las proposiciones del tipo sujeto-predicado siem pre im plican y son im pli­ cadas por otras proposiciones del tipo de las que afirm an que un indi­ viduo pertenece a una clase. Así, los ejem plos anteriores son equiva­ lentes a: A es una entidad, A es u n a unidad, A es un hom bre. E stas proposiciones nuevas no son idénticas a las anteriores, ya que pre­ sentan una form a com pletam ente diferente. Comencemos porque ahora es es el único concepto no usado como térm ino. Veremos que un hombre no es ni concepto ni térm ino, sino una cierta especie de com ­ binación de ciertos térm inos, a saber: los que son hum anos. Y la rela­ ción de Sócrates a un hombre es m uy diferente a su relación con hu­ m anidad. Por supuesto que debe considerarse que si el p untó de vista anterior es correcto, «Sócrates es humano» no es, en el sentido más común, un juicio de relación en tre Sócrates y hum anidad, y a que este punto de vista haría aparecer a humano como térm ino en «Só­ crates es humano». P o r supuesto que en «Sócrates es humano» se im plica una relación con hum anidad, la relación expresada por «Só­ crates tiene hum anidad»; y esta relación im plica recíprocam ente la proposición de sujete-predicado. Pero las dos proposiciones pueden distinguirse claram ente, y p ara la teoría de clases eá im portante que esto pueda realizarse. Así tenem os, en el caso de todo predicado, tres tipos de proposiciones que $e ipipücan la u n a a la o tra , a saber; «Só-

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orates es humano*, «Sócrates tiene humanidad» y «Sócrates es un hombre». L a prim era contiene un térm ino y un predicado, la segunda dos térm inos y una relación (siendo el segundo térm ino idéntico al predicado do la prim era proposición) (*), y la tercera contiene un térm ino, una relación, y lo que llam aré una disyunción (térm ino que será exp licad o brevem ente) (2). E l concepto-clase difiere en poco, si en algo, del correspondiente al predicado, m ientras que la clase, en oposición al concepto-clase, es la sum a o conjunción de todos los térm inos que tienen el predicado dado. L a relación que figura en el segundo tipo — Sócrates tiene hum anidad— se halla com pletam ente caracterizad a por el hecho de que im plica y se halla im p licad a por una proposición con sólo un térm ino y en la que el otro térm in o de la relación se ha transform ado en predicado. U na clase es cierta com b i­ nación de térm inos, un concepto-clase se h alla estrecham ente rela­ cionado con un predicado, y los térm inos cu ya com binación form a la clase se hallan determ inados por el concepto-clasel En cierto sentido, los predicados Bon el tipo m ás sim ple de conceptos, porque figuran en el tipo m ás sim ple de proposición.

58. U nido a todo predicado existe una gran variedad de con­ ceptos estrecham ente ligados, que es im portante distinguir en todo lo que tienen de distintos. Com enzando, por ejemplo, con hum ano , tenem os hombre, hombres, todos los hombres, todo hombre, cualquier hombre, la raza hum ana, de los cuales todos son dobles excepto el prim ero, un concepto que denota y un objeto denotado; tenem os tam bién, menos estrecham ente relacionados, las nociones de «un hom ­ bre» y «algún hombre», que denota tam bién objetos (3) distintos a sí mismos. E ste vasto ap arato relacionado con todo predicado debe tenerse en cuenta, y debe realizarse un esfuerzo para efectuar un a n á ­ lisis de todas las nociones anteriores. Pero por el m om ento debemos referirnos a la propiedad de denotar m ás bien que a los diferentes conceptos que denotan. L a com binación de conceptos para fQrmar nuevos conceptos, de m ayor com plejidad que sus constituyentes, es un tem a sobre el que m ucho han dicho los que escriben sobre L ógica. Pero la com binación (')

Com p. § 49. E x iste n dos proposiciones rela cio n a d as e x p re sa d a s p o r las m ism as p a la b ra s, a sa b er: «Sócrates es un-hom bre» y «Sócrates es-u n hom bre*. L a co n sid eració n a n te rio r se a p lica a la p rim e ra ; pero en ad e la n te , a m en o s de qu e se in d iq u e lo co n tra rio con un g uión o alg ú n o tro m edio, siem p re nos re fe ri­ rem os a la ú ltim a . L a p rim e ra in d ic a la id e n tid a d de S ó crates con u n in d iv i­ duo; la ú ltim a indica la relación de S ócrates con el co n cep to -clase hombre. (*) U saré la p a la b ra objeto en u n se n tid o m ás amplito q u e término, p a ra c u b rir ta n to el sin g u la r com o el p lu ral, y ta m b ié n los casos d e am b ig ü e d a d , tales com o «un hom bre*. E l hecho de q u e p u e d a id earse u n a p a la b ra con un sen tid o m á s am plio que término d a origen a g rav es p ro b lem as lógioos. Com p. § 47.

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de té rm inos para form ar lo que por analogía podría llam arse complejo de térm inos ea un tem a sobre el que los lógicos nos dan la información más escasa posible. Sin em bargo, el tem a es de im portancia vital para la filosofía de la M atem ática, ya que tan to la natu raleza del núm ero como la de la variable giran en torno a ese punto. Seis palabras que se presentan constantem ente en la vida diaria son tam bién caracte­ rísticas de la M atem ática: éstas son las palabras todos, todo, cualquier, un, algún y el. P a ra corrección del razonam iento es necesario que estas palabras se distingan en form a clara la una de la otra; pero esto se halla erizado de dificultades, y casi está com pletam ente dejado de lado por los lógicos í1). Comencemos por dejar establecida la notoria evidencia de que una frase que contenga una de las seis palabras anteriores siempre denota. Será conveniente, para la presente discusión, distinguir un concepto-clase de un predicado: llam aré a hum ano predicado y a hombre concepto-clase, aunque quizá la distinción sea solam ente ver­ bal. L a característica de un concepto-clase, distinguiéndolo do los térm inos en general, es la de que «x es un u » es una función proporcio­ nal cuando y sólo cuando u es un concepto-clase. Debe tenerse en cuenta que cuando u no es un concepto-clase, no nos hallamos an to una proposición falsa, sino que no estam os en absoluto fronte a una proposición, cualquiera sea el valor que demos a x. E sto nos perm ite distinguir un concepto-clase que pertenezca a la clase vacía, para la que to d a las proposiciones de la form a anterior son falsas, de un térm ino que no es en absoluto concepto-clase, p ara el que no existen proposiciones de la form a anterior. Tam bién aclara que un conceptoclase no es un térm ino en la proposición
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En los casos en que la clase definida por un concepto-clase tiene solam ente un núm ero finito de térm inos, es posible om itir com pleta­ m ente el concepto-clase, e indicar los varios objetos denotados enu­ m erando los térm inos y ligándolos por medio de y u o, según sea el caso. Si consideram os en prim er lugar este caso podrem os aislar una parte de nuestro problem a, aunque la falta de sutileza en el lenguaje haga difícil cap tar la diferencia entre objetos indicados por la m ism a forma de palabras. Comencemos considerando solam ente dos térm inos, por ejemplo: Ju an y Pedro. Los objetos denotados por todos, todo, cualquier, un y algún (') se hallan respectivam ente com prendidos en las cinco pro­ posiciones siguientes: 1 ) Ju a n y Pedro son dos de los pretendientes de Lidia; 2 ) Ju a n y Pedro cortejan a Lidia; 3) si encontraste a Ju a n o a Pedro, era un enam orado muy ardiente; 4) si era uno de los p re­ tendientes de Lidia, tenía que ser Ju a n o Pedro; 5) L idia se casará con J u a n o con Pedro. Aunque estas proposiciones com prenden sola­ m ente dos formas de palabras, J u a n y Pedro y J u a n o Pedro, sostengo que se hallan com prendidas cinco combinaciones diferentes. Las dis­ tinciones, algunas de las cuales son m uy sutiles, pueden aclararse con las siguientes consideraciones. En la prim era proposición es J u a n y Pedro, los que son dos, lo que no es verdadero p a ra cada uno por separado; sin em bargo, no es el todo com puesto por J u a n y Pedro el que es dos, porque éste es sólo uno. E l dos es u n a com binación genuina de J u a n y Pedro, tipo de com binación qué, como verem os en el capítulo siguiente, es característico de las clases. E n la segunda proposición por el contrario, lo que se afirm a es verdadero p a ra Ju a n y Pedro separadam ente; la proposición es equivalente, aunque, creo, no es idéntica, a «Juan hace la corte a L idia y Pedro hace la corte a Lidia». D e este modo, la com binación indicada aquí con el y no es la misma que en el prim er caso, el que se refería a todos ellos colectiva­ mente, m ientras que éste se refiere a todos distributivam ente, es decir, a cada uno de ellos. P a ra distinguirlas, llam arem os a la prim era conjun­ ción numérica, porque da origen al núm ero, y a la segunda conjunción proposicional, y a que la proposición en que figura es equivalente a una conjunción de proposiciones. (D ebe tenerse en cuenta que la conjun­ ción de proposiciones que estam os considerando es de un tipo diferente al de cualquiera de las com binaciones que estam os considerando, sien­ do en realidad del tipo llam ado producto lógico. Las proposiciones se com binan en su cualidad de proposiciones, no como térm inos.) La tercera proposición d a el tipo de conjunción por m edio del cual se define cualquiera. R especto a esta noción existe cierta dificultad, (') I n te n to d istin g u ir e n tre u n y algún de u n m odo no g a ra n tiz a d o por el len g u aje; la d istin ció n de todos y todo es ta m b ié n u n a su tilez a de le n g u aje . A m bas son necesarias p a r a e v ita r circunlocuciones.

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pues parece ser a inedias conjunción y disyunción. E sta noción se explicará del modo siguiente. Sean a y b dos proposiciones diferentes, cada una de las cuales im plica u n a tercera proposición c. E ntonces la disyunción *a o ó» im plica c. A hora bien, sean a y b proposiciones que asignan el mismo predicado a dos sujetos diferentes, entonces existe una com binación de los dos sujetos a la cual pueda aplicarse el p re­ dicado dado de modo que la proposición resu ltan te sea equivalente a la disyunción «a o 6». Supongam os entonces que tenem os «si encuen­ tras a Ju a n , encontrarás a un enam orado m uy ardiente», y «si encuen­ tras a Pedro, encontrarás un enam orado m uy ardiente». Do aquí inferimos: «si encuentras a J u a n o si encuentras a Pedro, encontrarás a un enam orado m uy ardiente», y esto lo consideram os como equiva­ lente a «si encuentras a Ju a n o a Pedro, etc.». La com binación do J u a n y Pedro indicada aquí es la m ism a que la señalada por uno u otro de ellos. Difiere de una disyunción por el hecho de que implica y se halla im plicada por una afirmación concerniente a ambos; pero en algunos casos más
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aportan algo absolutam ente peculiar, que no es ni unidad ni pluralidad. Las com binaciones son com binaciones de térm inos llevad as a cabo sin el uso de relaciones. C orrespondientem ente a cada com binación existe, por lo menos si los térm inos com binados form an una clase, un concepto perfectam en te definido, que denota los varios térm inos de la com binación com binados de modo específico. P a ra exp licar esto repi­ tamos nuestras distinciones en un caso en que no se enum eran los térm inos que deben com binarse, sino que se definen com o térm inos de una cierta clase. CO. Cuando se da un concepto-clase a, debe tenerse en cuenta que tam bién se flan los diferentes térm inos que pertenecen a la clase. E sto es, que puede decirse si cualquier térm ino que se propon ga p e r­ tenece o no a la clase. De este modo puede darse una colección de térm inos sin necesidad de enum erarlos. P o r el m om ento dejaré inde­ term inado el problem a de si puede darse una colección en form a dis­ tin ta que por enum eración o por concepto-clase. Pero la posibilidad de dar una colección por un concepto-clase es sum am ente im portante, y a que nos perm ite tra b a ja r con colecciones infinitas, com o verem os en la p arte V . P or el m om ento quiero exam inar el significado de frases tales como todos ¡os a, todo a, cualquier a, un a y algún a. Todos los a denota una conjunción num érica; se halla definido cuando se da a. El concepto todos los a es un concepto singular p erfectam en te definido, que denota los térm inos de a tom ados todos en conjunto. L os térm i­ nos así tom ados tienen un número, el que puede considerarse, si así se quiere, com o una propiedad del concepto-clase, y a que se halla d e­ term inado para cualquier concepto-clase dado. Todo a, por el contrario, aunque aun den ota todos los a, los denota de modo diferente, es decir, separadam ente en vez de co lectivam en te. Cualquier a sólo denota un a, pero es com pletam ente independiente del a que denota, y lo que se dice puede ser igualm ente verdadero cualquiera sea ese a. A dem ás cualquier a denota un a variable, es decir, cualquiera sea el a p a rtic u ­ lar a que nos refiram os, es cierto que cualquier a no den ota este a; y adem ás cualquier proposición verdad era para cualquier a lo es para este a particular. Un a denota una disyunción variable: es decir, una proposición válid a p ara un a puede ser falsa p ara cualquier a particular, de m odo que no es reductible a una disyunción de p ropo­ siciones. P o r ejem plo, un punto se halla situado entre cualqu ier punto y cualquier otro punto; pero no será verdadero p ara cualquier punto particular que se halle situado entre cualquier punto y cualqu ier otro punto, y a que existirán m uchos pares de puntos entre los cuales no se hallará. F inalm ente queda por considerar algún a, la disyunción constante. É sta den ota sólo un térm ino de una clase a, pero el térm ino que den ota puede ser cualquier*térm ino de la clase. A sí, «algún m om en­ to no sigue a cualquier momento», significará que existió un prim er m omento en el tiem po, m ientras que «un m om ento precede a cualquier

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momento» significa exactam ente lo opuesto, a saber, que todo m o­ m ento tiene precedentes. 61. E n el caso de una clase a que tiene un núm ero finito de té r­ minos, sean ellos au a,, a 3... a n, podemos ilustrar estas diferentes no­ ciones del modo siguiente: 1 ) Todos los a denotan a , y a 2 y . . . y a n. 2 ) Todo a denota a, y denota a2 y ... y denota a n. 3) C ualquier a denota 0 , 0 0 , 0 ... o a n, donde o tiene el significado de que es indiferente cuál tom em os. 4) U n a denota a, o n2 o... a n, donde o tiene el significado do que no debe tom arse ningún a particular, así como en todos los a no debíam os to m ar ninguno en particular. 5) A lg ú n a denota a, o denota a o... o denota a D, donde no es indiferente cuál tomemos, sino que, por el contrario, debe tom arse algún a particular. Como la n atu raleza y propiedades de los diferentes modos de com ­ binar térm inos son de im p ortancia v ita l p ara los principios de la M a­ tem ática, será conveniente ilu strar esas propiedades con los siguientes ejem plos im portantes. а) Sea a una clase, y b una clase de clases. E ntonces obtendrem os en to tal seis relaciones posibles de a a 6 con las diferentes com bina­ ciones de cualquier, u n y algún. E n este caso todos y todo no aportan nada nuevo. L o s seis casos son,los siguientes: 1) C ualquier a pertenece a cualqu ier clase que pertenezca a 6; en otras palabras, la clase a se halla totalm en te conten id a en la parte común o producto lógico de las diferentes clases que pertenecen a b.

2) Cualquier a pertenece a un b\ es decir, la clase a se halla con­ tenida en cualquier clase que contenga todos los 6 , o se halla contenida en la sum a lógica de todos los b. 3) Cualquier a pertenece a algún b; es decir, existe una clase perteneciente a 6 en que se halla contenida la clase o. La diferen­ cia entre este caso y el segundo surge del hecho de que existe un b al cual pertenece todo a, m ientras que antes lo único que se decía era que todo a pertenecía a un 6, y a diferentes podían pertenecer a b diferentes.

4) U n a pertenece a cualquier 6 ; es decir, cualquiera que sea el b que tom em os, tiene u n a p a rte com ún con a. 5) U n a pertenece a un 6 ; es decir, existe un b que tiene u n a p arte en com ún con a. E sto es equivalente a «algún (o un) a pertenece a algún 6». б ) Algún a pertenece a cualquier 6 ; es decir, existe un a que pertenece a la p a rte com ún de todos los b, o a y todos los b tienen una p a rte común. É stos son los,casos que tienen lugar aquí. ¡3) P a ra m ostrar la generalidad del tipo de relaciones aquí con­ sideradas resu lta instructivo com parar el caso anterior con el siguiente.

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Sean a, b dos series de núm eros reales; entonces surgen seis casos precisam ente análogos: 1 ) Cualquier o es m enor que cualquier b, o, la serie a está contenida entre núm eros menores que todo b. 2 ) Cualquier a es m enor que un b, o, cualquiera sea el a que to ­ memos, existe un b que es m ayor, o la serie a se halla contenida entre números menores que un térm ino (variable) de la serie b. No se deduce que algún térm ino de la serie b es m ayor que todos los a. 3) Cualquier a es m enor que algún b, o existe un térm ino de b que es m ayor que todos los a. No debe confundirse este caso con 2 ). 4) Un a es m enor que cualquier b; es decir, cualquiera sea el b que tom em os, existe un a que es m enor que él. 5) Un o es m enor que un 6 ; es decir, es posible en co n trar un a y un 6 tales que a es m enor que b. E sto niega sim plem ente que cual­ quier a sea m ayor que cualquier b. 6 ) Algún a es m enor que cualquier 6 ; es decir, existe un a que es m enor que todos los b. E sto no se hallaba im plicado en 4), en que el a era variable, m ientras que aquí es constante. En este caso, la M atem ática real ha forzado la distinción entre la disyunción variable y la constante. Pero en otros casos en que la M atem ática no ha ejercido su influjo, la distinción ha sido dejada de lado; y los m atem áticos, como era n a tu ra l, no han investigado la naturaleza lógica de las nociones disyuntivas que em pleaban. y) P resentaré otro caso que tiene relación con la diferencia entre cualquier y todo, que no se ha puesto de relieve en los casos anteriores. Sean a y b dos clases de clases; entonces surgen entre ellas veinte rela­ ciones diferentes de diferentes combinaciones de los térm inos de sus términos. Serán útiles los siguientes térm inos técnicos. Si a es u n a clase de clases, su sum a lógica consiste en todos los térm inos que p erten e­ cen a cualquier a, es decir, todos los térm inos tales que existe un a al que pertenecen, m ientras que su producto lógico consiste en todos los térm inos que pertenecen a todo a, es decir, a la p a rte com ún de todos los a. Tenem os entonces los casos siguientes: 1) C ualquier térm ino de cualquier a pertenece a todo 6 ; es decir, la sum a lógica de a se halla contenida en el producto lógico de b. 2 ) C ualquier térm ino de cualquier a pertenece a un 6 ; es decir, la sum a lógica de a se halla contenida en la sum a lógica de b. 3) Cualquier térm ino de cualquier a pertenece a algún 6 ; es decir, existe un b que contiene la sum a lógica de a. 4) C ualquier térm ino de algún (o un) a pertenece a todo 6 ; es decir, existe un a que está contenido en el producto de b. 5) Cualquier térm ino de algún (o un) a pertenece a un 6 ; es decir, existe un a que se halla contenido en la sum a de b. 6 ) Cualquier térm ino de algún (o un) a pertenece a algún b ; es decir, existe un b que contiene una clase que pertenece a a.

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7) U n térm ino de cualquier a pertenece a cualquier 6 ; es decir, cualquier clase de a y cualquier clase de b tienen una parte común. 8) U n térm ino de cualquier a pertenece a un 6; es decir, cualquier clase de a tiene una parte com ún con la sum a lógica de b. 9) U n térm ino de cualquier a pertenece a algún 6; es decir, existe un b con el que cualquier a tiene u n a p arte com ún.

10) Un térm ino de un a pertenece a todo 6 ; es decir, la suma lógica de a y el producto lógico de b tienen una p a rte común. 1 1 ) Un térm ino de un a pertenece a cualquier 6 ; es decir, dado cualquier b, puede encontrarse un a con el que tenga una parte común. 1 2 ) Un térm ino de un a pertenece a un es decir, las sumas lógicas de a y de b tienen una p a rte común. 13) C ualquier térm ino de todo a pertenece a todo b\ es decir, el producto lógico de a se halla contenido en el producto lógico do b. 11) Cualquier térm ino de todo a pertenece a un b\ es decir, e producto lógico de a está contenido en la sum a lógica de b. 15) Cualquier térm ino de todo a pertenece a algún 6; es decir, existe un térm ino de b en el que está contenido el producto lógico de a. 16) Un (o algún) térm ino de todo a pertenece a todo 6 ; es decir, los productos lógicos de a y 6 tienen una p a rte común. 17) Un (o algún) térm ino de todo a pertenece a un b; es decir, el producto lógico de a y la sunfa lógica de b tienen u n a parte común. 18) Algún térm ino de cualquier a pertenece a todo b\ es decir, cualquier a tiene una p a rte común con el producto lógico de b. 19) Un térm ino de algún a pertenece a cualquier b\ es decir, existe algún térm ino de a con el que cualquier b tiene una parte común. 20) U n térm ino de todo a pertenece a cualquier 6; es decir, cualquier b tiene una p arte com ún con el producto lógico de a. Los ejem plos anteriores m uestran que, aunque a m enudo pue­ den suceder que ex ista una im plicación m utu a (que no siempre ha sido establecida) de proposiciones correspondientes concernientes a algún y u n , o concernientes a cualquier y todo, sin em bargo en otros casos no se presen ta esa im plicación m utua. Así que las cinco no­ ciones d iscutidas en el capítulo presente son genuinam ente distin­ tas, y el confundirlas puede p rovocar errores perfectam ente de­ finidos.

62. P arecería, de acuerdo con la discusión anterior, que, exista o no diferentes m odos de denotar, los objetos denotados por lodos los hombres, todo hombre, etc., son evidentem ente distintos. Por lo ta n to parece legítim o decir que to d a la diferencia se halla en los obje­ tos, y que d en o tar es el mismo en todos los casos. Sin em bargo existen muchos problem as difíciles relacionados con el tem a, especialmente en lo que se refiere a la ndturaleza de los objetos denotados. Todos los hombrea, que identificaré con la clase de los hom bres, parece ser un objeto bien determ inado, aunque gram aticalm ente ee plural. Pero

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en otros casos la cuestión no es tan simple: podem os dudar acerca de si un ob jeto am biguo se halla denotado en form a no am bigu a, o si un objeto definido se halla denotado en form a am bigua. Considerem os nuevam ente la proposición: «Encontré un hombre.» E s m u y cierto, y se halla im plicado por la proposición, que lo que he encontrado es un hombre no am biguo perfectam en te definido: en el lenguaje técnico que adoptam os aquí la proposición se halla expresada por: «Encontré algún hombre.» Pero el hom bre real que he encontrado no form a p arte de la proposición en cuestión, y no se halla denotado especialm ente por algún hombre. De este modo, el acontecim iento concreto que ha tenido lugar no se halla afirm ado en la proposición. L o que se afirm a es sim plem ente que tu vo lugar alguno de una clase de acon tecim ientos concretos. T o d a la raza hum ana se halla com prendida en mi aserción: si cualquier hombro de los que han existid o o existirán no hubiera existido o no fuera a existir, sería diferente el sentido de mi p rop osi­ ción. 0 , para expresarlo en un lenguaje más intensivo: si su stitu yo hombre por cualquiera de los dem ás conceptos-clase aplicables al in ­ dividuo con el que tu ve el honor de encontrarm e, mi proposición cam bia, aunque el individuo en cuestión se halle tan denotado como antes. E sto prueba que no debe considerarse a algún hombre com o de­ notando realm ente a Juan y denotando realm ente a Pedro, etc.: toda proposición en la que se presenta algún hombre se halla siem pre rela­ cionada con toda la procesión de seres hum anos de todas las edades, y lo que se denota esencialm ente no es cada hom bre por separado, sino una especie de com binación de todos los hombres. E sto es más evidente en el caso de todo, cualquier y un. E x iste , por lo, tan to un algo definido, diferente en cada uno de los cinco casos, que, en cierto sen­ tido, debe ser un objeto, pero que se halla caracterizado como un conjunto de térm inos com binados de un cierto m odo, cuyo algo se halla denotado por todos los hombres, todo hombre, cualquier hombre, un hombre o algún hombre; y es con este o b jeto tan p aradójico con el que se hallan relacionadas las proposiciones en que el concepto co­ rrespondiente se usa p ara denotar.

(53. Q ueda por discutir la noción de el. E sta noción ha sido re­ saltada sim bólicam ente por Peano, con grandes ventajas p a ra su cálculo; pero aquí se la discutirá filosóficamente. El uso de la identidad y de la teoría de la definición dependen de esta noción, que tiene por ello la im portancia filosófica m ás alta. L a p alab ra el, en singular, se em plea correctam ente sólo en rela­ ción con un concepto-clase del que ex ista solam ente un caso. H a b la ­ mos de el rey, el prim er m inistro, y así sucesivam ente (sobreenten­ diendo en el instante jtresente); y en tales casos existe un m étodo para denotar un térm ino singular tdefinido por m edio de un concepto, no dado por ninguna de las cinco palabras restantes. Se debe a esta noción £¡1 que la M atem ática puede dar definiciones de térm inos que no son

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conceptos — posibilidad que ilustra la diferencia en tre definición m a­ tem ática y filosófica— . Todo térm ino es el único caso de algún con­ cepto-clase, y por lo ta n to todo térm ino, teóricam ente, es susceptible de definición, siem pre que no hayam os adoptado un sistem a en el que dicho térm ino sea uno de nuestros indefinibles. E s una parad o ja cu­ riosa, desconcertante para la m ente simbólica, que las definiciones, teóricam ente, no sean sino m eras afirmaciones de ab rev iatu ras sim ­ bólicas, independientes respecto del razonam iento e insertadas sola­ m ente con fines de conveniencia práctica, m ientras que, en el desarro­ llo de un tem a, requieran siem pre una gran cantidad de razonam iento, y a m enudo encierren algunas de las conquistas m ás im portantes del Análisis. E sto parece hallarse explicado por la teoría de denotar. Un objeto puede presentarse a la m ente sin que conozca objeto alguno del cual dicho objeto pueda ser el caso particular, y el descubrim iento de un tal concepto no es un sim ple progreso de notación. La razón por la cual éste parece ser el caso es la de que, ta n pronto como se encuentra la definición, llega a ser com pletam ente innecesario para el razonam iento recordar el objeto realm ente definido, y a que para nuestras deducciones sólo nos interesan los conceptos. E n el instante del descubrim iento se ve que la definición es verdadera porque el objeto a definirse ya se hallaba en nuestro pensam iento, pero como p arte de nuestro razonam iento no es verdadera, sino sim plem ente simbólica, porque lo que el razonam iento exige no es que se trab ajo con este objeto, sino sim plem ente que se tra b a je con el objeto denotado por la definición. fi4. # La conexión de d en o tar con la n atu raleza de identidad es im portante y ayuda, según creo, a resolver algunos problem as m uy serios. La cuestión de si la identidad es o no una relación, y aun de si es siquiera un concepto, es difícil de resolver. P orque, podría decirse, la identidad no puede ser u n a relación, ya que cuando se la afirm a ver­ daderam ente sólo tenem os un térm ino, m ientras que una relación re ­ quiere dos té rm inos. Y puede objetarse que la identidad en realidad no puede ser n a d a en absoluto: dos térm inos no pueden ser absoluta­ m ente idénticos, y uno no lo puede ser, porque ¿respecto a qué resulta idéntico? Sin em bargo la identidad debe ser algo. Podem os in te n ta r llevar la iden tid ad desde los térm inos a las relaciones, y decir que todos los térm inos son idénticos en algún sentido cuando guardan una relación dada con un térm ino dado. Pero en este caso debemos exigir, o que exista u n a identidad e stric ta entre los dos casos de la relación d ada o que los dos casos tengan identidad en el sentido de guardar una relación d ad a con un sentido dado; pero este últim o punto de vista conduce a un proceso infinito del tipo legítimo. De este modo debe adm itirse la identidad y 1^ dificultad respecto a los dos térm inos de una relación debe encararse con una negativa com pleta respecto a 1a. necesidad de dos térm inos diferentes. Siempre debe éx istir un referen­

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te y un relato, pero no tienen por qué ser distintos; y donde se afir­ ma la identidad, no sucede así (1). Pero surge el problem a: ¿Por qué es conveniente afirm ar la iden­ tidad 1 L a respuesta se halla en la teoría de denotar. Si decim os «Eduar­ do V I I es el rey», afirm am os una identidad; la razón por la que se puede hacer esta aserción es la de que en un caso figura el térm ino real, m ientras que en el otro tom a su lugar un concepto que lo denota. (Para los fines de la discusión ignoro el hecho de que los E duardos formen una clase, y do que los E duardos V I I formen una clase que tiene solam ente un térm ino. E duardo V I I es prácticam ente, aunque no form alm ente, un nom bre propio.) A m enudo figuran dos conceptos que denotan, y no se m enciona el térm ino mismo, com o en la p ropo­ sición «el P ap a actual es el últim o sob reviviente de su generación». Cuando se da un térm ino, la aserción de su identidad consigo mismo es perfectam ente fútil, y nunca se lleva a cabo fuera de los libros de lógica; pero cuando so introducen conceptos que denotan, se ve de inm ediato que la identidad tiene sentido. P or supuesto que en este caso se halla com prendida, aunque no afirm ada, una relación del concepto de denotar con el térm ino, o de los dos conceptos que deno­ tan entre sí. Pero el es que figura en tales proposiciones no establece por sí mismo esta relación adicional, sino que establece la identidad pura (2). 65 . Resum iendo. Cuando en una proposición figura un conceptoclase precedido por una de las seis palabras todos, todo, cualquier, un, algún, el, como regla, la proposición no se refiere al concepto, form ado por el conjunto de las dos palabras, sino a un objeto m uy diferente de éste, que en general no es concepto en absoluto, sino un térm ino o com plejo de térm inos. E sto puede apreciarse por el hecho de que las proposiciones en las que figuran tales conceptos son falsas en general respecto a los conceptos mismos. A l mismo tiem po es posible conside­ rar y form ular proposiciones respecto a los conceptos mismos; pero éstas no son las proposiciones naturales que se form ulan al em plear los conceptos. «Cualquier núm ero es par o impar» es una proposición p erfectam ente natural, m ientras que «Cualquier número es una con­ (*) A cerca de las relaciones de té rm in o s con sí m ism os, v. in f., ca p . IX , § 95. (*) La p a la b ra es re su lta te rrib le m e n te am b ig u a, y se re q u ie re g ran cuidado p a ra no c o n fu n d ir sus significados d iferen tes. T en em o s 1) el se n tid o en el que afirm a ol ser, com o en t A es»; 2) el se n tid o de id e n tid a d ; 3) el se n tid o de p red icación, en t A os hum ano»; 4) el se n tid o de t A es un-h o m b re» (C om p. p á ­ gina 54, n o ta ), que es m u y p are cid o a la id e n tid a d . A dem ás de ésto s ex iste n usos m enos com unes, com o «ser b ueno es ser feliz», d o n d e se q u iere significar u n a relación de aserciones, en re a lid a d u n a relación ta l qu e, cu a n d o ex iste, da origen a la im p licació n fo rm al. E s dudoso q u e e x ista n o tro s significados que no so m e h a y a n o cu rrid o . A cerca de los significados de es, co m p . Do M organ, Form al Logic, págs. 49 y 50.

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junción variable», es una proposición que sólo se puede form ular en una discusión lógica. E n tales casos decim os que el concepto en cues­ tión denota. D ecim os que den otar es una relación p erfectam en te defi­ nida, la m ism a en los seis casos, y que es la n a tu ra leza del objeto de­ notado y del concepto que den ota el que distingue los casos. D iscu ti­ mos con cierta am plitud la n atu raleza y las diferencias de los objetos denotados en los cinco casos en que estos objetos son com binaciones de térm inos. E n una discusión com pleta sería tam bién necesario dis­ cutir los conceptos que denotan: el significado real do tales conceptos, en oposición a la n atu raleza de los objetos que ellos denotan, no ha sido discutido. Pero no sé si se podría decir algo m ás sobre esto tem a. F in alm en te discutim os el, y dem ostram os que esta noción es esencial p ara lo que la M atem ática llam a definición, así com o tam bién para la posibilidad de determ inar u nívocam ente un térm ino por medio de conceptos; se halló tam bién que el uso real de identid ad , aunque no su significado, depende de este m odo de denotar un térm ino singu­ lar. Desde aquí podem os continu ar con la discusión de las clases, si­ guiendo allí el desarrollo de los tem as relacionados con los adjetivos.

CAPÍTULO VI

C L A S E S

60 . E x p lic a r claram ente lo que se entiende por clase, y distinguir esta noción de todas las dem ás con las que se halla relacionada, es uno de los problem as más difíciles e im portantes de la F ilosofía m a­ tem ática. A dem ás de que clase es un concepto m uy fundam ental, se requieren un cuidado y diligencia m áxim os para poder encarar la contradicción que se tra ta rá en el capítulo X . E n consecuencia, pediré al lector que no tom e com o pendantería el desarrollo de d iscrim in acio­ nes algo sutiles que so hallarán en lo siguiente. Se acostu m bra, en todos los trabajo s de L ógica, a distinguir dos pinitos básicos: el de extensión y el de intensión. G eneralm ente, los filósofos han considerado al últim o como dotado de m ayor im p ortan ­ cia, m ientras que se considera que la M atem ática tra b a ja especial­ m ente con el prim ero. M. C outu rat, en su adm irable trab ajo sobre L eibniz, dice rotun dam en te que la L ó gica sim bólica sólo puede cons­ truirse basándose en la extensión (1); y si sólo existieran estos dos puntos do vista , su afirm ación se hallaría justificad a. Pero, en realidad, hay posiciones interm edias entre la intensión y extensión puras, y es en ellas donde la L ó gica sim bólica tiene sus lares. E s esencial el que las clases a las que nos referim os estén form adas por térm inos, y no sean predicados o conceptos, pues una clase puede definirse cuando se dan sus térm inos, pero en general existirán m uchos predicados que se pueden unir a los térm inos dados y no a otros. P or supuesto que no podem os in ten tar una definición intensional de clase como la clase de los predicados que se unen a los térm inos en cuestión y a ningún otro, porque esto traería aparejado un círculo vicioso; por lo que el punto de v is ta de la extensión es, h asta cierto punto, in evitab le. P or otra p arte, si tom am os extensión pura, nuestra clase se h allará defi(') Los

L a Logique de L eibniz, Paría, 1901, pág. 387. P R IN C IP IO S

DE LA H A T E M X T IC A .---- ^

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nida por la enum eración de sus térm ino?, y este m étodo no nos perm i­ tirá tra b a ja r, como lo hace la Lógica sim bólica, con clases infinitas. De este modo nuestras clases deben considerarse, en general, como objetos denotados por conceptos, y en este sentido es esencial el punto de vista intensional. A esta consideración se debe el que la teoría de denotar tenga una im portancia ta n grande. En este capítulo debemos especificar el grado preciso en que la extensión e intensión entran res­ pectivam ente en la definición y empico de las clases; y pediré al lector que d u ran te to d a la discusión recuerde que tocio lo dicho es tanto aplicable a las clases finitas como a las infinitas. fi7. Cuando un objeto es denotado en form a ncr am bigua por un concepto, hablaré riel concepto como del concepto del objeto en cues­ tión (o a veces, m ás vagam ente, como de el concepto). Así será ne­ cesario distinguir el concepto de una clase del concepto-clase. Coinci­ dimos en considerar hombre como concepto-clase, pero hombre, en su uso común, no denota cosa alguna. Por o tra p a rte hombres y todos los hombres (que consideraré sinónim os) denotan, y sostengo que lo que denotan es la clase form ada por todos los hom bres. De modo que hombre es el concepto-clase, hombres (el concepto) es el concepto de la clase, y hom bres (el objeto denotado por el concepto hombres) son la clase. E n un principio resulta sin duda confuso el usar concepto-clase y concepto de una clase en sentidos diversos; pero son necesarias tan tas distinciones que parece ser inevitable la extensión del lenguaje. En la fraseología del capítulo anterior podemos decir que una clase es una conjunción Mumérica de térm inos. É s ta es la tesis que deberá establecerse. G8. E n el capítulo II consideram os las clases como derivadas de las aserciones, es decir, como todas las entidades que satisfacen alguna aserción, cuya form a no se precisó en absoluto. E n el próxim o discu­ tiré críticam ente este punto de vista; por el m om ento nos lim itarem os a las clases como derivadas de los predicados, dejando abierta la cuestión de si to d a aserción es equivalente a una predicación. P or lo tan to , podemos im aginar una especie de génesis de clases a través de las etapas sucesivas indicadas por las proposiciones típicas «Sócra­ tes es humano», «Sócrates tiene hum anidad», «Sócrates es un hombre», «Sócrates es uno entre los hombres». De estas proposiciones podría­ mos decir que solam ente la ú ltim a contiene explícitam ente la clase como constituyente; pero to d a proposición de sujeto-predicado da origen a otras tres proposiciones equivalentes, y de este modo todo predicado (siempre que a veces se le pueda predicar con verdad) da origen a una clase. É s ta es la génesis de las clases a p a rtir de la base intensional. Por o tra p arte, cuando los m atem áticos tra b a ja n con lo que llaman una variedad, agregado (rnanifold, aggregate), M enge, ensamble, o algún nom bre equivalente, es común, especialm ente cuando el número

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de térm inos com prendidos es finito, considerar el objeto en cuestión (que en realidad es una clase) como definido por enum eración de sus términos, y como consistente posiblem ente de un térm ino singular, que en ese caso es la clase. Aquí no interesan el denotar y los predica­ dos, sino térm inos conectados por la p alab ra y, en el sentido en que esta p alab ra vale por una conjunción numérica. Así J u a n y Pedro son una clase, y Ju a n solam ente es una clase. É ste es el génesis extensional de las clases. 69. El m ejor tra ta d o formal do clases existentes es el de Peano (x). Pero en él no se consideran cierto núm ero de distinciones de gran im portancia filosófica. Peano, creo que en form a no m uy cons­ ciente, identifica la clase con el concepto-clase; de modo que la rela­ ción de un individuo con su clase se halla expresada, según éL, por es un. P a ra él «2 es un número» es una proposición en la que se dice que un térm ino pertenece a la clase núinero. Identifica igualm ente la igualdad de clases, que consiste en que tengan los mismos térm inos, con la identidad — procedim iento com pletam ente ilegítimo cuando se considera la clase como concepto-clase — . P a ra ver que hombre y bípedo im plum e no son idénticos es com pletam ente innecesario to m ar una gallina y despojar al pobre anim al de sus plumas. O, p ara considerar un caso menos complejo, es claro que par ]>rimo no es idéntico a entero inm ediato posterior a 1. Así, cuando identificam os la clase con el concepto-clase, debemos adm itir que dos clases pueden ser iguales sin ser idénticas. Sin em bargo, es claro que cuando dos conceptos-clase son iguales se halla involucrada alguna identidad, porque decimos que tienen los m ism os térm inos. E n consecuencia existe algún objeto que es positivam ente idéntico cuando dos conceptos-clase son igua­ les, y parecería que este objeto se llama, con m ás propiedad, clase. Dejando de lado la gallina desplum ada, todo el m undo diría que la clase de los bípedos im plum es es la m ism a que la clase de los hom bres; que la clase de pares prim os es la m ism a que la clase de enteros in­ m ediatam ente posteriores a 1 . P or lo ta n to , debemos ev itar el iden­ tificar la clase con el concepto-clase, o considerar que «Sócrates es un hombre» expresa la relación de un individuo con u n a clase de la que es m iem bro. E sto a p o rta dos consecuencias (a establecer de modo inm ediato) que im piden la aceptación filosófica de ciertos p u n to s del formulismo de Peano. L a prim era es la de que no existen cosas tales como la clase vacía, aunque existen conceptos-clase vacíos o nulos. La segunda es la de que una clase com puesta por un solo térm ino debe identificarse, contrariam ente a como lo hace Peano, con ese único térm ino. Sin em bargo, no propondré alterar la p ráctica de su notación como consecuencia de cualquiera de los dos puntos a n te ­ riores, m ás bien los consideraré como pruebas de que la Lógica simbó(')

Si# te n e r en c u e n ta a F re g e, quien es d isc u tid o en el ap én d ice.

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lica debe referirse, m ientras lo p erm ita la notación, a los conceptosclase m ás bien que a las clases. 70. Hem os visto que una clase no es ni predicado ni conceptoclase, porque diferentes predicados y diferentes conceptos-clase pue­ den corresponder a la m ism a clase. Tam bién una clase, por lo menos en un sentido, es d istin ta del todo com puesto por sus térm inos, porque este últim o es sólo y esencialm ente uno, m ientras que la prim era, cuando tiene varios térm inos es, como verem os más adelante, el verdadero tipo de objeto del que debe afirm arse la 'pluralidad. A me­ nudo el lenguaje es el que efectúa la distinción de clase como plurali­ dad con clase como todo: espacio y puntos, tiem po e instantes, ejército y soldados, m arina y m arineros, Consejo y m inistros del Consejo, sirven de ejem plo a esa distinción. L a noción de un todo, en el sentido de agregado puro, que es el que aquí se está considerando, no siempre es aplicable, como verem os m ás adelante, allí donde se em plea la noción de clase como pluralidad (ver capítulo X ). E n tales casos, aunque puede decirse que los térm inos pertenecen a la clase, no se la deben tra ta r como si fuera un sujeto lógico singular (1). Pero este caso no se presenta nunca cuando puede generarse una clase por medio de un predicado. Así que por el m om ento podemos e v ita r esta com plica­ ción. E n una clase como pluralidad, los térm inos com ponentes, aunque tienen cierto tipo de unidad, tienen menos de la que se requiere para que formen un todo. En realidad, tienen ta n ta unidad como para que sean ju stam en te una pluralidad y no la suficiente como para impedirles qye sigan siendo una pluralidad. O tra razón para distin­ guir todos de clases como pluralidades es la de que una clase como uno puede ser uno de los térm inos de la m ism a como pluralidad, como en «las clases son u n a entre las clases» (el equivalente extensional de «clase es un concepto-clase»), m ientras que un todo complejo no pue­ de nunca ser uno de sus propios constituyentes. 71. Clase puede definirse extensional o intensionalm ente. Es decix, podemos definir el tipo de objeto que es u n a clase o el tipo de concepto que denota u n a clase: éste es el significado preciso de la oposición entre intensión y extensión en este sentido. Pero aunque pueda definirse la noción general de este doble modo, las clases par­ ticulares, excepto cuando nos hallam os ante el caso de que sean finitas, sólo pueden definirse intensionalm ente, es decir, como los objetos denotados por tales y tales conceptos. Creo que esa diferencia es pu­ ram ente psicológica: lógicam ente la definición extensional parece ser igualm ente aplicable a clases infinitas, pero, prácticam ente, si lo intentásem os, la m uerte interru m p iría en breve nuestro laudable (l ) U n a p lu ra lid a d de té rm in o s no es el su je to lógico c u a n d o se afirm a u n n ú m e ro a e ella: ta le s p roposiciones no tie n e n u n su je to , sin o m uchoa su je to s, V éase el final del § 74.

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propósito, sin que lográsemos llevarlo a feliz térm ino. Por lo tan to , lógicamente, extensión e intensión parecen hallarse en un mismo plano. Comenzaré considerando el punto de vista extensional. Cuando se considera una clase como definida por la enum eración de sus térm inos, se llam a con m ayor propiedad colección. A doptaré por el m om ento esto nom bre, sin ab rir juicio sobre el problem a de si los objetos denotados por él son verdaderam ente clases o no lo son. P or colección entiendo lo que se halla expresado por «A y B» o «A y B y C» o cualquier o tra enum eración de térm inos definidos. La colección so halla definida por la mención actual do sus térm inos, y los térm inos están relacionados por y. Parecería que y representa un modo fundam ental do com binar los térm inos, y que este modo de combinación es ju stam en te esencial si se quiere que resulte algo sobre lo que puedo afirm arse un núm ero d istinto a 1. Las colecciones no presuponen núm eros, y a que resultan do la unión de los térm inos con y, sólo pueden presuponerlos en el caso p articu lar en que lo hagan los térm inos mismos de la colección. E x iste una dificultad g ra ­ m atical que debe señalarse y tolerarse, ya que no hay modo de evi­ tarla. U n a colección, gram aticalm ente, es singular, m ientras que A y B, A y B y C , etc., son esencialm ente plurales. E s ta dificultad g ram a­ tical surge del hecho lógico (que se discutirá inm ediatam ente) de quo lo que en general es plural form a un todo que es uno; por lo tanto, no se puede ev itar con una elección m ejor del lenguaje técnico. La noción de y fue destacada por Bolzano (*). Con el fin de e n te n ­ der el infinito, decía, «debemos volver a una de las concepciones más simples de nuestro entendim iento, p a ra encontrar una coincidencia respecto a la p alab ra que debemos usar p a ra denotarlo. É s ta es la con­ cepción quo sirve de base a la conjunción y, que, sin em bargo, si debe expresarse con la m áxim a claridad posible, en muchos casos, ta n to para cum plir con el propósito de la M atem ática como con el de la Filosofía, creo quo lo h aría m ejor con las palabras: 'U n sistem a (Inbegri/f) de ciertas cosas’, o 'un todo consistente en ciertas p a rte s ’. Pero debemos agregar que todo objeto a rb itrario A puede com binarse en un sistem a con cualesquiera otros B, C, D, ..., o (hablando aún con m ayor precisión) y a form a un sistem a por sí mismo (2), del cual puedo enunciarse alguna verdad más o menos im p o rtan te, con la única condición de que cada una de los signos A , B, C, D , ..., repre­ sente de hecho un objeto diferente, o m ientras ninguna de las propo­ siciones 'A es el mismo que B ’, 'A es el mism o que C ’, 'A es el mismo que D ’, etc., sea verdadera. Pues si, por ejem plo, i es el mismo que B, entonces resu lta evidentem ente contrario a la razón el hab lar de un sistem a de las cosas A y B ». f1) (*)

Paradoxien des Unendlichen, L eipzig, 1854 (2.» ed., B erlín , 1889), § 3. E s decir, la o o m biuación de A con B, C, D ..., y a fo rm a u n sistem a .

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El párrafo anterior, a pesar do b u excelencia, deja de lado algunas distinciones que hemos encontrado necesarias. E n prim er lugar, y en grado de su im portancia, debo observar que no distingue las p lurali­ dades del todo que form an. E n segundo lugar, no parece considerar que el m étodo de num eración no es p rácticam en te aplicable a sistemas infinitos. E n tercero, y éste se halla relacionado con el segundo, no hace mención alguna de la definición intensional ni de la noción de clase, lo que debem os considerar es la diferencia, si existe, de una clase con una colección por una p arte, y con el todo form ado por la colección por la otra. Pero exam inem os, en prim er lugar y con m ayor cuidado, la noción de y. Todo aquello de lo que se pueda afirm ar un núm ero finito distinto a 0 ó 1 se dice com únm ente que es plural, y puede sostenerso que la pluralidad es siem pre de la form a «A y B y C y...*. Aquí A , B, C, son cada uno unidades, y son todos diferentes. Decir que A es uno parece ta n to como decir que A no es de la form a <¡A, y A 2 y A^...i>. Decir que A , B, C, son todos diferentes parece valer sólo como con­ dición respecto a los símbolos: debe tenerse en cu en ta que y Ai> carece de sentido, de modo que y im plica diversidad, lo que no debe expresarse en form a especial. U n térm ino A que es uno puede considerarse como caso p a rticu ­ lar de una colección, la que consta de un térm ino. De esto modo toda colección plural presupone varias colecciones que son una: A y B presupone A y presupone B. R ecíprocam ente, algunas colecciones de un térm ino presuponen la pluralidad, a saber, aquellas que son com­ plejas: así «^í difiere de B » es una, pero presupone A y diferencia y B. Pero no existe sim etría en este sentido, pues las presuposiciones ú lti­ m as son siem pre térm inos singulares. Todo par de térm inos, sin excepción, puede com binarse del modo indicado por A y B , y si ni A ni B son plurales, entonces A y B son dos. A y B pueden ser entidades concebibles cualesquiera, objetos cualesquiera susceptibles de pensam iento, ser puntos, o núm eros, o proposiciones verdaderas o falsas, o acontecim ientos, o gente; re­ sumiendo, todo lo que pueda contarse. U na cucharilla de té y el núm ero 3, o u n a quim era y el espacio tetradim ensional, son cierta­ m ente dos. De modo que A y B no se hallan sujetos a restricción alguna, excepto la de que ninguno de ellos ha de ser plural. Debe tenerse en cu enta que no es necesaria la existencia de A y B , pero deben tener ser, como cualquier cosa que se m encione. La distin ­ ción entre ser y existencia es im p o rtan te, y se halla bien ilustrada por el proceso de num eración. Lo que puede contarse debe ser algo, y por cierto que debe ser, aunque en modo alguno tien e que poseer el privilegio adicional de existencia. Así, lo que exigimos de los térm inos de n u e stra colección es sim plem ente que cada uno sea una entidad.

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Ahora podemos p lan tear el problem a: ¿Qué es lo que se entiende por A y B \ ¿Quiere decir algo más que la yuxtaposición de A con B] Es decir, ¿contiene algún otro elem ento adem ás del A y del B l ¿Es y un concepto separado, que figura adem ás de A y B 1 P a ra cualquier respuesta existen objeciones. En prim er lugar, podemos suponer que y no puede ser concepto nuevo, porque si así sucediese, ten d ría que ser una especio de relación entre A y B\ entonces A y B es proposición, o por lo menos concepto proposicional, y sería uno y no dos. Ademáa, si existen dos conceptos, hay dos, y no parece necesitarse ningún concepto interm edio p ara que sean dos. De este modo y parece h a lla r­ se desprovisto de sentido. Pero resulta difícil sostener esta teoría. Comencemos porque parece tem erario decir que cualquier p alab ra puede hallarse desprovista de sentido. Cuando empleam os y no cree­ mos estar usando un sonido desprovisto de significado, sino una p a la ­ bra con alguna idea correspondiente. Adem ás parece hallarse im pli­ cada una especie de com binación por el hecho de que A y B son dos, lo que no es verdadero p ara cada una de ellos por separado. Cuando decimos «A y B son amarillos», nos es licito reem plazar la proposición por , pero del cual es falsa to d a o tra proposición de la misma forma, entonces «todos los u * es el concepto de una clase cuyos únicos térm inos son A y B; este concepto denota los térm inos A y B com bi­ nados de un cierto modo, y
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concepto de una clase. E sto nos lleva al p u n to de v ista intensional de clases.

72. E n el capítulo anterior hemos coincidido en que no existen modos diferentes de denotar, sino solam ente tipos diferentes de con­ ceptos denotantes, y correspondientem ente, tipos diferentes de obje­ tos denotados. H em os discutido el tipo de objeto denotado que cons­ titu y e una clase; ahora debemos considerar el tipo de concepto denotante. La consideración de clases que resu lta de los conceptos denotantes es más general quo la consideración extensional y eso en dos sentidos. En prim er lugar perm ite la adm isión de clases infinitas, lo quo la otra excluye prácticam ente; en segundo lugar introduce el concepto nulo de una clase. Pero antes de discutir esto existe un punto, de carácter p u ram en te lógico, que debem os exam inar. Si u es concepto-clase, ¿el concepto «todos los un es analizable en dos constituyentes, todos y u, o es un concepto nuevo, definido por una cierta relación con u, y tan simple como el mismo u? Em pecem os por observar que «todos los u» es sinónim o con «los un, por lo menos de acuerdo a un empleo m uy común del plural. P or lo tan to , nuestro problem a se refiere al significado de dicho plural. L a p alab ra todos tiene ciertam ente algún significado definido, pero parece altam ente dudoso si quiere decir algo más que la indicación de una relación. «Todos los hombres» y «todos los números» tienen en común el hecho de que am bas guardan cierta relación con un concepto-clase, a saber, con hombre y número respectivam ente. Pero es m uy difícil aislar cualquier elem ento ulterior adem ás del carácter de todos que presen­ ta n am bos, a menos que tom em os como este elem ento el mero hecho de qué am bos son conceptos de clase. Parecería entonces que «todos los u» no es analizable válidam ente en todos y u, y que el lenguaje en este caso, como en algunos otros, es u n a guía que se p resta a errores. Lo mismo se aplica a todo, cualquier, algún, un y el. Podría creerse, quizá, que una clase debe ser considerada no sola­ m ente como conjunción num érica de térm inos, sino como conjunción num érica d enotada por el concepto de clase. Pero esta aplicación no sirve a fines útiles, excepto el de conservar la distinción de Peano entre un térm ino singular y la clase cuyo único térm ino es aquel — distinción fácil de lograr cuando se identifica la clase con el con­ cepto-clase, pero que es inadm isible en nuestro p u n to de vista do las clases— . E s evidente que una conjunción num érica considerada como d enotada es: o la m ism a en tid ad que cuando no se consideraba en ese sentido o un complejo de d en o tar ju n to con el objeto denotado; y el objeto denotado es, en su to talid ad , lo que entendem os por clase. Respecto a las clases infinitas, por ejem plo, la clase de los núm e­ ros, debe tenerse en cuenta que el concepto todos los números, aunque no sea por sí mismo infinitam ente complejo, denota, sin em bargo, un

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objeto que lo 68. É ste es el secreto íntim o de n uestra fuerza p a ra t r a ­ bajar con el infinito. Un concepto infinitam ente complejo, aunque exista, no puede ser m anipulado por ]a inteligencia hum ana; pero colecciones infinitas, debido a la noción de denotar, pueden m an ip u ­ larse sin introducir concepto alguno de com plejidad infinita. E n todas las discusiones sobre el infinito de las partes restantes del p re­ sente tra b a jo debe tenerse en cuenta lo expresado: si se olvida, existe una especio de encanto que hace que los resultados obtenidos parezcan dudosos. 73. Con la clase vacía so hallan asociadas grandes dificultades, y generalm ente con la idea de nada. Es evidente (pie existe un concepto tal como nada, y que en cierto sentido nada es algo. E n realidad, la proposición «nada no es nada» es indudablem ente capaz de una in te r­ pretación que la haga verdadera —punto que da origen a las con­ tradicciones discutidas en el Sofista de P la tó n — . En Lógica simbólica, la clase vacía es la clase que no tiene térm inos en absoluto; y sim bó­ licam ente es m uy necesario introducir alguna noción tal como ésa. Debemos considerar si pueden evitarse las contradicciones que surgen naturalm ente. E s necesario com prender, en prim er lugar, que un concepto puede denotar, aunque no denote cosa alguna. E sto sucede cuando hay proposiciones en las que se presenta dicho concepto, y que no se refiere al mismo, pero todas esas proposiciones son falsas. 0 m ás bien, lo anterior es un prim er paso hacia la explicación de un concepto denotante que no denota nada. Sin em bargo, no es una explicación adecuada. Consideremos, por ejem plo, la proposición «las quim eras son animales» o «los prim os pares distintos de 2 son números». Ellas a p a ­ rentan ser verdaderas, y parecería que no se hallan relacionadas con los conceptos denotantes, sino con lo que denotan dichos conceptos; pero eso es imposible, porque los conceptos en cuestión no denotan nada. La Lógica sim bólica dice que estos conceptos denotan la clase vacía y que las proposiciones antedichas afirm an que la clase vacía se halla contenida en ciertas o tras clases. Pero con el p u n to de vista estrictam ente extensional acerca de las clases propuesto a n te rio r­ m ente, una clase que no tiene térm inos deja de ser cosa alguna por completo: lo que es simple y solam ente una colección de térm inos no puede subsistir cuando se qu itan todos los térm inos. De modo que debemos encontrar una interpretación diferente de las clases o hallar un m étodo p ara e v ita r la clase vacía. L a imperfecta definición dada anteriorm ente de un concepto que denota, pero que no denota nada, puede corregirse del modo siguiente. Todos los conceptos denotantes, como hemos visto, derivan de los conceptos-clase; y a es un cor\ceptO“dase cuando íx es un a» es función proposicional. Los conceptos d enotantes asociados con a no denotan cosa alguna cuando y sólo cuando «c es un a» es falsa para todos los

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valores de x. É s ta es una definición com pleta de un concepto den o tan ­ te que no denota nada; y en el caso presente verem os que a es con­ cepto-clase nulo, y que «todos los a» es un concepto nulo de una clase. De modo que, en un sistem a tal como el de Peano, donde las llam adas clases son realm ente conceptos-clase, no necesitan originarse dificul­ tades técnicas; pero p a ra nosotros subsiste aún un problem a genuinam ente lógico. La proposición «las quim eras son animales» puedo interpretarse fácilm ente por medio de una im plicación form al en el sentido de que *x es una quim era implica x es un anim al para todos los valores de x ». Pero al tra b a ja r con clases hemos adm itido que las proporciones que contienen todos o alguno o lodo, aunque equivalentes a implicaciones formales, son, sin em bargo, d istin ta s de ellas, y encierran ideas que requieren un tra tam ie n to independiente. Aquí, en el caso de las qui­ meras, es fácil su stitu ir el punto de vista p u ram en te inténsional, de acuerdo con el cual lo que en realidad se establece es una relación de predicados: en el caso en cuestión el adjetivo anim al es p a rte de la definición del adjetivo quimérico (si se nos perm ite usar la palabra, en contra del uso com ún, p ara d en o tar el predicado que define las quim eras). Pero de nuevo en este caso resulta com pletam ente claro que estam os tra b a ja n d o con una proposición que im plica que las quim eras son anim ales, pero que no es la m ism a proposición — en efecto, en el presente caso la im plicación no es siquiera recíproca— . Por medio de una negación podemos d ar una especie de in te rp re ta ­ ción extensional: nada es denotado por una quimera que no se halle denotado por un animal. Pero ésta es una interpretación m uy rebus­ cada. En fin, parece m ás correcto rechazar por com pleto la proposi­ ción, aunque conservando- las otras que le serían equivalentes si exis­ tiesen quim eras. Los lógicos simbólicos que han experim entado la utilidad de la clase vacía sentirán que éste es un punto de vista reac­ cionario. Pero por el m om ento no estoy discutiendo lo que debe hacerse en el Cálculo lógico, en el que la práctica establecida me parece la m ejor, sino cuál es la verdad filosófica respecto a la cla.se vacía. Veremos entonces, que, del conjunto de interpretaciones norm al­ m ente equivalentes de las fórm ulas lógicas sim bólicas, la clase de interpretaciones considerada en el capítulo presento, que depende de las clases reales, falla cuando debem os referim os a conceptos-clase nulos, puesto que no existe en realidad clase vacía. Ahora podemos reconsiderar la proposición «nada no es nada» — proposición com pletam ente verdadera, pero que m an ejad a con poco cuidado puede ser fuente de antinom ias poco felices— . N ad a es un' concepto d en o tan te, que denota nada. Por supuesto que el concepto denotado es distin to a nada, es decir, no está denotado por él mismo. La proposición que parece ta n paradójica no significa sino lo siguiente: N ada, el concepto denotante, no es nada, es decir, no es lo que él

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mismo denota. Pero de aquí no se concluye en absoluto que exista en realidad una clase vacía: sólo deben adm itirse el concepto clase nulo y el concepto nulo de una clase. Ahora nos hallam os an te una nueva dificultad. La igualdad de conceptos-clase, como to d a relación reflexiva, sim étrica y tran sitiv a, indica una identidad subyacente, es decir, indica que todo conceptoclase guarda con algún térm ino una relación que todos los conceptosclase iguales tienen tam bién respecto á ese térm ino —siendo diferente el térm ino en cuestión p ara conjuntos diferentes de conceptos-clase iguales, pero el mismo p a ra los distintos miembros de un solo conjun­ to de conceptos-clase iguales— . Ahora bien, para todos los conceptosclase que no son nulos, ese térm ino se halla en la clase correspon­ diente; ¿pero dónde debe encontrarse para los conceptos-clase nulos? E sto adm ite varias respuestas, pudiéndose elegir cualquiera de ellas. Porque ahora sabem os qué es una clase, y por lo tan to podemos ad o p ­ tar como nuestro térm ino la clase de todos los conceptos-clase nulos o de todas las funciones proposicionales nulas. É stas no son clases vacías, sino genuinas, y respecto a cualquiera de ellas todos los conceptos-clase nulos guardan la misma relación. Si ahora querem os tener una entidad análoga a lo que en todas partes recibe el nom bre de clase, pero correspondiente a conceptos-clase nulos, nos verem os obligados, donde *sea necesario (como en las clases num erables) a introducir un térm ino que sea idéntico para conceptos-clase iguales, a su stitu ir siem pre la clase correspondiente al mismo por la clase de conceptos-clase iguales a uno dado. La clase correspondiente al con­ cepto-clase sigue siendo lógicam ente fundam ental, pero no necesitaba ser realm ente em pleada en nuestro simbolismo. En realidad, la clase vacía es en cierto modo análoga a un irracional en A ritm ética: no puede interpretarse de acuerdo a los mismos principios que las otras clases, y si de todos modos querem os una interpretación análoga, debemos su stitu ir las clases por otras entidades más com plicadas — en el caso presente, ciertas clases correlacionadas—■. El objeto de tal procedim iento será principalm ente técnico; pero el fracaso en la com­ prensión del mismo nos llevará a dificultades insalvables en la in te r­ pretación del simbolismo. Un procedim iento sobrem anera sem ejante ocurre constantem ente en M atem ática, por ejemplo, con toda genera­ lización del núm ero; y, h asta donde llegan mis conocim ientos, no hay un solo caso en el que tenga lugar y que haya sido correctam ente in ­ terpretado por m atem áticos o por filósofos. E n el curso del presente trabajo nos hallarem os a n te ta n to s ejem plos, que por el m om ento es innecesario extendem os m ás sobre este punto. Sólo debem os p rec a ­ vemos de una causa posible eje confusión. E n lo dicho anteriorm ente sobre la clase vacía no existe círculo vicioso, pues en prim er lugar se establece la noción general de clase, se ve que com prende lo que se llama existencia, se reem plaza luego en form a simbólica, no filosófica,

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por la noción de una clase de conceptos-clase iguales, y se halla, bajo esta nueva form a, que es apücable a lo que corresponde a conceptosclase nulos, ya que lo que ahora corresponde es una clase vacía. E n tre las clases sim p lic ite r y las clases de conceptos-clase iguales existe una correspondencia biunívoca, que sólo falla en el caso único de la clase de conceptos-clase nulos, al que no corresponde clase vacía alguna; y ésta es la razón de toda la complicación. 74. A hora debem os discutir de un modo m ás o menos prelim inar un problem a fundam ental en la filosofía de la A ritm ética. ¿Una clase que tiene varios térm inos debe considerarse por ai m ism a como unidad o pluralidad? Tom ando la clase como sim plem ente equivalente a la conjunción num érica «A y B y C y etc.» parecería claro que es una pluralidad; sin em bargo es m uy necesario que podarnos contar las clases de modo que cada una sea una, y generalm ente hablam os de u n a clase. Así las clases parecerían ser unidades en un sentido y plu­ ralidades en otro. E xiste una cierta tendencia hacia identificar la clase como p lura­ lidad con la clase como unidad, por ejem plo, lodos los hombres y la raza hu 7nana. Sin em bargo, siem pre que la clase esté form ada por más de un térm ino, puede dem ostrarse que tal identificación no es perm isi­ ble. Un concepto de una clase, si la denota como unidad, no es igual a cualquier concepto de la clase que él denota. Es decir, la clase de lodos los animales racionales, que d en o ta la raza hum ana como término, es diferente de hombres, que denota hom bres, es decir la raza hum ana como pluralidad. Pero si la raza hum ana fuera idéntica a hombres, se deduciría que todo lo que d en o ta la una debe denotarlo la otra, y la diferencia anterior sería imposible. Podem os sentirnos tentados a inferir que la distinción de Peano en tre un térm ino y una clase de la cual dicho térm ino es único m iem bro debe m antenerse por lo menos cuando el térm ino en cuestión es una clase (1). Pero creo que es más correcto inferir una distinción ú ltim a entre una clase como pluralidad V una clase como unidad, p ara sostener que lo plural es sólo plural y que no es tam bién uno. La clase como unidad puede identificarse con el todo com puesto por los térm inos de la m ism a, es decir, en el caso de los hom bres, la clase como unidad será la raza hum ana. Pero ¿podemos ev itar la contradicción siem pre tem ible cuando existe algo que no puede transform arse en sujeto lógico? No veo modo alguno de p resentar una contradicción precisa en este caso. Al tra ta r los conceptos trabajábam os- con lo que era exclusivam ente una en­ tidad; ahora lo hacem os con un complejo esencialm ente susceptible de analizarse en unidades. E n una proposición tal como «A y B son dos* no existe sujeto lógico: la aserción no se refiere a A , ni a B , ni (*) E s ta conclusión la obtienie re a lm e n te F reg e a p a r tir d e u n arg u m e n to análogo: Archiv. fü r syst. Ph.il., I, p ág . 444. V éase ap é n d ice.

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al todo com puesto por am bos, sino e stric ta y solam ente a A y B. De modo que parecería que las aserciones no se refieren exclusivam en­ te a sujetos singulares, sino que pueden referirse a varios sujetos; y esto suprim e la contradicción que surge en el caso de conceptos por la im posibilidad de form ular aserciones respecto a ellos, a menos de que se los transform e en sujetos. No existiendo aquí esta im posibilidad, no surge la contradicción que era de tem er. 75. Podríam os preguntar, como sugiere la discusión anterior, quó se debe decir de los objetos denotados por un hombre, todo hombre, algún hombre, y cualquier hombre. ¿Estos objetos son uno o m uchos o ninguno? L a G ram ática los tra ta como uno. Pero, desde este p u n to de vista, la objeción n a tu ra l es: ¿qué uno? C iertam ente ni Sócrates, ni P latón ni persona alguna particular. ¿Podemos llegar a la conclusión de que nadie se halla denotado? Igualm ente podríam os concluir que lo están todos, lo que en realidad es verdadero para el concepto todo hombre. Creo que uno se halla denotado en cada caso, pero de un modo im parcial distributiv o. Cualquier número no ec ni 1 ni 2 ni ningún núm ero particular; por lo tan to es fácil concluir que cualquier núm-ero no es un núm ero cualquiera, proposición a prim era vista co n trad icto ­ ria, pero que resulta en realidad de una am bigüedad en cualquiera, y que so halla expresada con m ayor precisión por «cualquier número no es algún número». Sin em bargo, en este tem a se presentan ciertos enigmas que aún no sé cómo resolver. Queda tod av ía una dificultad lógica respecto a la natu raleza del todo com puesto por todos los térm inos de una clase. Dos proposicio­ nes parecen ser evidentes por sí mismas: 1) Dos todos com puestos de térm inos diferentes deben ser diferentes; 2) Un todo com puesto sola­ m ente por un térm ino es solam ente ese térm ino. Se deduce que el todo compuesto por una clase considerada como un térm ino es esa clase considerada como térm ino, y es por lo tan to idéntica al todo com puesto por todos I03 térm inos de la clase; pero este resultado contradice el prim ero de nuestros principios supuestos evidentes por sí mismos. Sin embargo, la respuesta en este caso no es difícil. El prim ero de nuestros principios es universalm ente verdadero sólo' cuando todos los térm inos que componen nuestros dos todos son simples. Un todo dado es posible, si tiene m ás de dos partes, de ser analizado en una p luralidad de modos; y los constituyentes resultantes, m ientras el análisis no se lleve a un últim o extrem o, serán diferentes p ara distintos modos de analizar. E sto prueba que los diferentes conjuntos de constituyentes pueden cons­ titu ir el mismo todo, y de este modo concluye con n u estra dificultad. 76. Algo debe decirse respecto a la relación de un térm ino con la clase de la que es m iem bro, y de las varias rela-ciones encadenadas. Una de dichas relaciones se llam ará e y es fundam ental en la Lógica simbólica. Pero es h a sta cierto p u n to o ptativo cuál de ellas debe to ­ m arse como sim bólicam ente fundam ental.

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Lógicam ente, ia relación fundam ental es la de sujeto y predicado, expresada en «Sócrates es humano», relación que, como hemos visto en el capítulo IV, es peculiar en el sentido que el relato no puede con­ siderarse como térm ino en la proposición. La prim era relación que surge de ésta es la expresada por «Sócrates tiene hum anidad», quo se distingue por el hecho de que aquí la relación es un térm ino. Luego viene «Sócrates es un hombre». E s ta proposición, como relación entre Sócrates y el concepto hombre, es la que Peano considera fundam ental; y su e expresa la relación es un en tre Sócrates y hombre. M ientras usemos conceptos-clase en vez de clases en nuestros simbolismos, esta práctica será inobjetable; pero si dam os a e este significado no pode­ mos suponer que los dos símbolos que representan conceptos-clase iguales representan una y la m ism a entidad. Podem os continuar con la relación entre Sócrates y la raza hum ana, es decir, entre un término y su clase considerada como un todo; esto se halla expresado por «Só­ crates pertenece a la raza humana». E s ta relación puede ser igualmente representada por e. E s claro que como una clase es esencialm ente plural, excepto cuando tiene un térm ino, no puede ser. (al como la representada por una sola letra: en consecuencia en cualquier Lógica simbólica posible las letras que representan clases no pueden represen­ tarlas como pluralidades, sino que, o deben representar conceptosclase o los todos com puestos de clases, o algunas otras entidades sin­ gulares relacionadas. Y por lo ta n to e no puede rep resen tar la relación de un térm ino a su clase como pluralidad; porque é sta sería una rela­ ción de un térm ino a varios térm inos, no una relación de dos términos tal como querem os. E lla puede expresarse por «Sócrates es uno entre los hombres»; pero esto, en todo caso, no puede tom arse como signi­ ficado de e. 77. U na relación que antes de Peano se confundía casi univer­ salm ente con e es la relación de inclusión entre clases, como, por ejem­ plo, entre hom bres y m ortales. É s ta es una relación clásica, ya que se presenta en la form a tradicional del silogismo: ha sido cam po de ba­ talla entre intensión y extensión, y se hü discutido ta n to que parece asombroso cuánto queda por decir respecto.a ella. Los empíricos sos­ tienen que tales proposiciones significan u n a enum eración real de los térm inos de la clase contenida con la afirm ación, en cada caso, de ser m iem bro de la clase continente. Debe inferirse que tienen que considerar dudoso el que todos los prim os sean enteros, pues no pueden ten er la pretensión de sostener que han exam inado todos los primos, uno por uno. Sus opositores han sostenido, por el contrario, que lo que se quiere significar es u n a relación de todo y p a rte entre los pre­ dicados definentes, pero a d a p ta d a en sentido opuesta a p a rtir de la relación en tre clases: es decir, el predicado definente de la clase mayor es p a rte del correspondiente de la clase m enor. E ste punto de vista parece ser m ucho m ás defendible que el anterior; y, siem pre que exista

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una tal relación entro los predicados definentes, se deduce la relación de inclusión. Pero pueden form ularse dos objeciones, en prim er lugar, que en algunos casos de inclusión no existe tal relación entre los p redi­ cados definentes, y en segundo, que en cualquier caso lo que se quiere significar es una relación entre clases, no una entre sus predicados definentes. El prim er punto puede establecerse fácilm ente con ejem ­ plos. El concepto prim o p ar no contiene como constituyente el con­ cepto entero entre 1 y 10; el concepto «el rey inglés que fue d e c ap ita ­ do» no contiene ol concepto «la gente que m urió en 1049»; y así a través de innum erables casos obvios. E sto puede entenderse diciendo que, aunque la relación de los predicados definentes no es una de todo y parte, es más o menos análoga a la implicación, y siem pre es lo que se quiere decir con proposiciones de inclusión. Creo que tal p u n to de vista representa lo que dicen los mejores defensores de la intensión, y no me corresponde negar que una relación tal como la que estam os considerando subsiste siem pre entre predicados definentes de clases tales que una está contenida en la otra. Pero el segundo de los puntos anteriores se m antiene en contra de cualquier interpretación intensio­ nal. Cuando decimos que los hom bres son m ortales es evidente que decimos algo respecto a los hom bres, no respecto al concepto hombre o al predicado humano. P o r lo ta n to la pregunta es: ¿qué es lo que decimos exactam ente? Peano sostiene en las prim eras ediciones del Form ulaire que lo que se afirma es la implicación form al «x es un hom bre im plica x es mortal». Esto está ciertam ente im plicado, pero no puedo llegar a convencerm e de que sea la misma proposición. Porque en ella, como vimos en el capítulo I II , es esencial que x pueda tom ar todos los valores, y no sólo tales corno hombres. Pero cuando decimos «todos los hom bres son mortales» parece claro que estam os hablando solam ente de hom ­ bres, y no de todos los dem ás térm inos im aginables. Podem os, si queremos u n a relación genuina de clases, considerar la aserción como entre todo y parte entre las dos clases consideradas cada una como térm ino singular. 0 dar a n u estra proposición una form a aún más puram ente extensional, haciéndola significar: Todo (o cualquier) hom ­ bre es m ortal. E sta proposición da origen a problem as m uy in te resa n ­ tes en la teoría de denotar, pues parece afirm ar una identidad, aunque es claro que lo que se halla denotado por todo hombre es diferente a lo que se halla denotado por un mortal. E stos problem as, sin em bargo, interesantes como son, no deben Ber tra tad o s en este lugar. Solam ente es necesaria la com prensión clara de lo que son las diferentes proposiciones equivalentes com prendidas cuando una clase se halla incluida en otra. La form a más relacionada con la M atem ática es ciertam ente la que tiene implicación form al, que será ohjeto de discusión en el capítulo próxim o. F inalm ente debemos recordar que las clases pueden derivarse, por medio de la noción de tal que, de fuentes diferentes a las propo-

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siciones de su jeto-predi cado y sus equivalentes. Cualquier función proposicional en la cual se form ula u n a aserción fija sobre un térm ino variable debe considerarse, como se explicó en el capítulo I I , como dando origen a u n a clase de valores que la satisfacen. E ste tópico requiere una discusión de aserciones; pero debem os comenzar por m encionar una e x tra ñ a contradicción que requiere en la discrim ina­ ción el cuidado que se ha tenido presente en este capítulo. 78. E n tre los predicados, la m ayoría de los casos comunes no pueden ser predicables a sí mismos, aunque, introduciendo predicados negativos, se hallará que hay un núm ero igual de casos de predicados que son predicables a sí mismos. P o r lo menos uno de ellos, la prodicabilidad, o la propiedad de ser predicado, no es negativo: la predicabilidad, como es evidente, es predicable, es decir, es predicado de sí mismo. Pero los casos más com unes son negativos: así la no-hum ani­ dad es no-hum ana, etc. Por lo tan to , los predicados que no son predi­ cables a sí mismos son solam ente una selección entre todos ellos, y es natural suponer que form an una clase que tiene un predicado de­ finente. Pero si así fuese exam inem os si éste pertenece o no a la clase. Si pertenece, no es predicable a sí mismo, porque ésta es propiedad característica de la clase. Pero si no es predicable a sí mismo, entonces no pertenece a la clase de la que es predicado definente, lo que es con­ tradictorio a la hipótesis. P o r o tra p arte, si no pertenece a esta clase, entonces no es predicable a sí mismo, es decir, es uno de los predicados no predicables a sí mismos, y por lo ta n to pertenece a la clase de la que es predicado definente — de nuevo en contra de la hipótesis— . Por lo ta n to ,, cualquiera sea la hipótesis adoptada, surge de ella su contradictoria. Volveré sobre esto en el capítulo X; por el m om ento lo he tra ta d o sim plem ente p a ra dem ostrar que no hay sutileza en la distinción que pueda ser excesiva. 79. R esum am os la discusión anterior, quizá algo prolongada. Coincidimos en que una clase debe in terp retarse esencialm ente en ex­ tensión; o es un térm ino singular, o es ese tip o de com binación de té r­ minos indicado cuando los mismos se hallan conectados por la p a ­ labra y. Pero de modo práctico, no teórico, este m étodo puram ente extensional sólo puede aplicarse a clases finitas. T odas las clases, sean finitas o infinitas, pueden obtenerse como objetos denotados por los plurales de los conceptos-clase —hom bres, núm eros, puntos, etc.— . Partiendo de los predicados, distinguim os dos tipos de proposición, tipificados por «Sócrates es hum ano» y «Sócrates tiene humanidad», de los que el prim ero usa humano como predicado, y el segundo como térm ino de una relación. E stas dos clases de proposiciones, aunque m uy im portantes lógicam ente, no lo son ta n to p a ra la M atem ática como sus derivadas. P artiendo de humano, distinguim os: 1 ) el conceptoclase hombre, que difiere levem ente, si en algo, de humano; 2 ) los diferentes conceptos denotantes todos loa hombres, todo hombre, cual­

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quier hombre , un hombre y algún hombre; 3) los objetos denotados por estos conceptos, de los que el denotado por todos los hombres se llamó clase como pluralidad, de modo que todos los hombres (el concepto) se llamó concepto de la cla.se; 4) la clase como uno, es decir, la raza

hum ana. Hicimos tam bién una clasificación de las proposiciones acerca de Sócrates, dependiente de las distinciones anteriores y ap ro x im a­ dam ente paralela a ellas: 1 ) «Sócrates es un hombre» es'casi, si no exactam ente, idéntica a «Sócrates tiene humanidad»; 2 ) «Sócrates es un hombre» expresa identidad entre Sócrates y uno de los térm inos denotados por un hombre; 3) «Sócrates es uno entre los hombres», p ro ­ posición que da origen a dificultades debido a la pluralidad de hom ­ bres; 4) «Sócrates pertenece a la raza humana», que sólo expresa una relación de un individuo a su clase y que, como lo requiere la posibi­ lidad de relación, tom a la clase como unidad, no como pluralidad. Coincidimos en que la clase vacía, que no tiene térm inos, es una ficción, aunque existen conceptos-clase nulos. Parecería a trav és de todo esto que, aunque cualquier tra tam ie n to simbólico debe tra b a ja r mucho con conceptos-clase e intensión, las clases y extensión son ló­ gicam ente m ás fundam entales para los principios de la M atem ática; y ésta debe considerarse como n uestra conclusión general fundam ental del capítulo presente.

Lo»

PR IN C IPIO S

DE

LA

M aT E M Á T ICA .— 8

C A P ÍT U L O VII

FU N C IO N ES PR O PO SIC IO N ALES SO. En el capítulo anterior se hizo una te n ta tiv a p ara indicar el tipo de objeto que debe llam arse clase, y de acuerdo con los fines de la discusión, las clases se consideraron como derivadas de las propo­ siciones de sujeto-predicado. E sto no afecta nuestro p u n to de vista respecto a la noción m ism a de clase; pero si se a d ju n ta restringirá enorm em ente la extensión de esa noción. A m enudo es necesario re­ conocer como clase un objeto no definido por medio de una proposi­ ción de sujeto-predicado. La explicación de esta necesidad debe bus­ carse en la teoría de las aserciones y del tal que. La noción general de aserción y a ha sido explicada en conexión con la implicación form al. E n el presente capítulo se exam inarán su fin y legitim idad en form a crítica, y se investigará su relación con las clases y con tal que. El tem a se halla lleno de dificultades, y las d octri­ nas que tra to de defender se exponen con una confianza m uy lim itada en su verdad. A prim era v ista puede pensarse que la, noción de tal que es suscep­ tible de definición; en realidad, Peano acostum braba a definirla con la proposición «las x tales que x es un a son la clase a». Además de otras objeciones, que se expondrán seguidam ente, debe tenerse en cuenta que la clase obtenida de tal que es la clase genuina, tom ada en extensión y como pluralidad, m ientras que a en «x es un a» no es la clase, sino el concepto-clase. De aquí que sea form alm ente necesario, si es perm isible el procedim iento de Peano, su stitu ir en vez de «los x tales que esto y aquello* el concepto-clase genuino
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que debe ponerse a m enudo an te proposiciones tales como xR a, donde R es una relación dada y a un térm ino dado. No podemos reducir esta proposición a la form a «x es un a'» sin usar tal que; porque si nos preguntam os qué es lo que es a', la respuesta será: a 1 debe ser tal que cada uno de sus térm inos, y ninguno otro, guarde la relación R con a. Tomemos ejem plos de la vida diaria: los hijos de Israel son una

clase definida por una cierta relación con Israel, y la clase sólo puede definirse como los térm inos tales que guardan esa relación. T al que es aproxim adam ente equivalente a q u i ñ i o rl cual, y representa la noción general de satisfacer una función proposicional. Pero sigamos avanzando: dada una clase a no podemos definir, en función de a, la clase de proposiciones «.c es un a» para diferentes valores de x. Es claro que existe una relación que cada una de esas proposiciones guarda con la x que figura en ella, y que la misma se halla d eterm in a­ da cuando se da a. Llam em os R a dicha relación. Entonces cualquier entidad referente respecto a R es una proposición del tipo «x es un a». Pero aquí ya se ha empleado la noción de tal que. Y la m ism a rela­ ción R sólo puede definirse como la relación que existe entre «x es un a» y x para todos los valores de x, y que no es válida entre ningún otro par de térm inos. Aquí aparece de nuevo tal que. El punto de im portancia fundam ental en estas consideraciones es la indefinibilidad de las funciones preposicionales. Cuando se las adm ite, se define fácilm ente la noción general de funciones de una variable. Toda relación pluriunívoca, es decir, toda relación para la cual un referente dado tenga sólo un relato, define una función: el relato es la función del referente que se halla definida por la relación en cuestión. Pero cuando la función es una proposición, la noción involucrada se halla presupuesta en el simbolismo, y no puede definirse por medio de él sin incurrir en círculo vicioso, pues en la definición general a n ­ terior de una función ya se presentaban funciones preposicionales. En el caso de proposiciones del tipo
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rado un análisis menos com pleto de las proposiciones en sujeto y aserción; y éste hace m ucho menos p ara destru ir la proposición. Es cierto que un sujeto y una aserción, si se yuxtaponen sim plem ente, no constituyen proposición; pero en cuanto se afirm a realm ente la aserción sobre el sujeto, la proposición reaparece. La aserción es todo lo que queda de la proposición cuando se om ite el sujeto; el verbo sigue siendo afirm ado, y no se transform a en nom bre verbal; o por lo menos retiene esa curiosa e indefiniblem ente in trin cad a relación res­ pecto a los otros térm inos de la proposición que distingue una relación que relaciona, de la misma considerada a b stractam en te. Ahora de­ bemos exam inar el fin y legitim idad de esta noción de aserción. ¿Puede considerarse a to d a proposición como una aserción respecto a cualquier térm ino que figure en ella, o son necesarias lim itaciones respecto a la form a de la proposición y al modo en que el térm ino e n tra a form ar p arte de la misma? En algunos casos simples es evidente la legitim idad del análisis en sujeto y aserción. En «Sócrates es un hombre» podemos distinguir claram ente Sócrates y algo que se afirm a acerca de él; debemos ad­ m itir sin duda que lo mismo puede decirse acerca de P latón o A ristó­ teles. De este modo nos es licito considerar una clase de proposiciones que contengan e sta aserción, y ésta la clase de la que un ejemplo típico se hafla representado por nx es un hombre». Se observará que la aserción debe aparecer corno tal, no como térm ino; así, «ser hom bre es sufrir» contiene la m ism a aserción, pero usada como térm ino, y esta proposición no pertenece a la clase considerada. En el caso de propo­ siciones que afirm an una relación fija respecto a un térm ino fijo, el análisis parece igualm ente irrefutable. Tener más de un m etro de longitud, por ejem plo, es una aserción perfectam ente definida, y po­ demos considerar la clase de proposiciones en la que se form ula esta aserción, que será representada por la función proposicional «x tiene más de un m etro de longitud». E n frases tales como «culebras que tienen más de un m etro de longitud», la aserción aparece m uy clara­ m ente, porque aquí se refiere de modo explícito a un sujeto variable, no aplicándose a sujeto definido alguno. Así que si i? es una relación fija y a un térm ino fijo, ... Ra es una aserción perfectam ente definida. (Coloco puntos suspensivos delante de R p a ra indicar el lugar que debe ocupar el sujeto al form ar la proposición.) Puede dudarse acerca de si una proposición relacional puede considerarse como aserción con­ cerniente al relato. P or mi p a rte creo que puede hacerse esto excepto en el caso de proposiciones de sujeto-predicado; pero será m ejor pos­ poner este problem a h a sta que hayam os discutido las relaciones (J). 82 . A hora considerarem os tem as m ás difíciles. ¿La proposición «Sócrates es un hom bre im plica Sócrates es mortal», o «Sócrates es (J)

V éase § ÜU.

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casado implica Sócrates tiene padre» es una aserción concerniente a Sócrates o no lo es? E s m uy cierto que si reem plazam os Sócrates por una variable obtenem os una función proposicional; de hecho, lo que se afirm a en la implicación formal correspondiente es la verdad de esta función para todos los valores de la variable, lo que no afirma, como a prim era vista podría creerse, una relación entre dos funciones proposicionales. N uestra presente intención era la de explicar, si es posible, las funciones proposicionales por medio de aserciones; por lo tan to , si podemos poner en práctica nuestras intenciones, las pro­ posiciones anteriores deben ser aserciones concernientes a Sócrates. Sin embargo, existe una gran dificultad en considerarlas de ese modo. Se obtuvo una aserción de una proposición om itiendo sim plem ente uno de los térm inos que tenían lugar en la proposición. Pero cuando om i­ timos Sócrates obtenem os «... es un hom bre im plica ... es m ortal.» En esta fórm ula es esencial que, al restau rar la proposición, deba su sti­ tuirse el m ismo térm ino en los lugares en que los puntos indican su necesidad. No interesa cuál sea el térm ino elegido, sino que debe ser idéntico en am bos sitios. Sin em bargo, no aparece tra z a de este re­ quisito en la pretendida aserción, ni puede aparecer traza, ya que se om ite necesariam ente toda mención del térm ino que debe insertarse. Cuando se coloca una x para que ocupe el lugar de la variable, la identidad del térm ino a insertarse se halla indicada por la repetición de la letra x\ pero en la forma asercional no es aplicable tal m étodo. Y, sin em bargo, a prim era vista parece m uy difícil negar que la pro­ posición en cuestión nos dice algo acerca de Sócrates, y que el mismo liecho es verdadero respecto a P latón, una to rta , o el núm ero 2, es ciertam ente innegable. «Platón es un hom bre im plica que P latón es mortal» es, en un sentido u otro, la m isma función de P latón que nuestra proposición anterior era de Sócrates. La interpretación n a tu ­ ral de esta afirmación sería la de que una proposición tiene respecto a P latón la misma relación que la otra tiene respecto a Sócrates. Pero esto requiere que considerem os la función proposicional en cuestión como definible por medio de su relación con la variable. Pero tal punto de vista exige una función proposicional más com plicada que la considerada. Si representam os por
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y uno variable. Tal posición es curiosa y difícil: la constancia de forma, en todos los dem ás casos, es reducible a la constancia de relaciones, pero la constancia involucrada aquí se presupone en la noción de constancia de relación, v. por lo ta n to , no puede explicarse del modo común. Creo que se obtiene la m ism a conclusión p ara dos variables. El ejem plo más simple de este caso es x R y , donde R es una relación constante, m ientras x e y varían independientem ente. Parece evidente que ésta es una función proposicional de dos variables independientes: no existe dificultad en la noción de la clase de todas las proposiciones de la form a x R y. E sta clase se halla involucrada — o por lo menos se hallan involucrados todos aquellos m iem bros de la clase que son verdaderos— en la noción de las clases de referentes y relatos respecto a R, y estas clases se adm iten sin duda en palabras tales como p a ­ dres e hijos, amos y sirvientes, esposos y esposas, y otros casos innu­ m erables de la vida diaria, como tam bién en nociones lógicas tales como prem isas y conclusiones, causas y efectos, y así sucesivam ente. Todas esas nociones dependen de la clase de proposiciones tipificadas por x R y, donde R es una constante m ientras que x e y son variables. Sin em bargo, es m uy difícil considerar x R y como analizable en la aserción R concerniente a x e y, por la razón m uy concluyente do que este punto de vista destruye el sentido de la relación, es decir, su di­ rección de x a y, dejándonos cierta aserción que es sim étrica respecto a x e. y, tal como «la relación R se halla establecida en tre x e y». D ada una relación v sus térm inos son posibles, de hecho, dos proposiciones distintas. De modo que si querem os que la m ism a R sea una aserción, resulta una aserción am bigua: al reem plazar los térm inos, si deseamos evitar la am bigüedad, debemos decidir cuál es referente y cuál relato. Con m ucha legitim idad podemos considerar . . . R y como aserción, como se explicó anteriorm ente; pero aquí y se ha transform ado en constante. Luego debem os seguir variando y, considerando la clase de aserciones . . . R y p a ra diferentes valores de y, pero este proceso no parece ser idéntico al indicado por la variabilidad independiente de x e y en la función proposicional x R y . Adem ás el proceso sugerido requiere la variación de un elem ento en una aserción, a saber de y en ...R y , y ésta es, por sí m ism a, una noción difícil y nueva. Respecto a esto se origina un hecho curioso por la consideración, a m enudo esencial en la M atem ática real, de relación de un térm ino consigo mismo. Consideremos la función proposicional x R x , donde R es una relación constante. Son necesarias tales funciones al conside­ rarse, por ejem plo, el caso de las clases de suicidas o de autodidactas; o tam bién al considerar los valores de la variable p a ra los cuales ella es igual a una cierta funcióñ de sí m ism a, lo que a m enudo puede necesitarse en M atem ática com ún. Parece sobrem anera evidente en este caso que la proposición contiene un elem ento que se pierde cuan­

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do se la analiza en un térm ino x y en una aserción R. E n consecuencia, aquí tam bién puede adm itirse como fundam ental la función p ro ­ posicional. 83. Al considerar la variación del concepto en una proposición surge un punto curioso. Consideremos, por ejem plo, todas las propo­ siciones del tipo aR b, donde a y 6 son térm inos fijos y i? es u n a rela­ ción variable. Parece no haber razón para d u d ar acerca de si es legítim o el concepto-clase «relación entre a y b », y de que exista una clase correspondiente; pero esto requiere la adm isión de funciones p rep o ­ sicionales tales como a ¡ib, las que, adem ás, se necesitan frecuente­ m ente en la M atem ática real, como, por ejem plo, al co n tar el núm ero de relaciones pluriunívocas cuyos referentes y relatos se hallan dados por clase. Pero si, como exigimos norm alm ente, n uestra variable debe tener un campo no restringido, es necesario su stitu ir la función proposicional «R es una relación im plica a R b ». E n esta proposición la implicación involucrada es m aterial, no formal. Si la implicación fuese formal, la proposición no sería función de R, sino equivalente a la proposición (necesariam ente falsa): «Entre a y b son válidas todas las relaciones.» G eneralm ente nos hallam os ante una proposición tal como «nRb implica y [ R) siem pre que R sea una relación», y querem os tra n s ­ form ar esto en implicación formal. Si 9 (It) es una proposición para todos los valores de R, nuestro objeto se logra sustituyendo. «Si ' R es una relación’ implica 'a R b ’, entonces
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facen «R es una relación im plica aRb» —im plicación que, aunque contiene una variable, no es form al sino m aterial, siendo satisfecha solam ente por algunos de los valores posibles de R — . De acuerdo con el lenguaje de Peano, la variable R en sí es real y no aparente. El principio general involucrado es el siguiente: Si ox es solam ente proposición para algunos valores de x, entonces «'cpx im plica cpx’ im ­ plica 9 X» os una proposición p ara todos los valores de x, y es verdadera cuando y solam ente cuando 9 X es verdadera. (Ambas implicaciones involucradas son m ateriales.) En algunos casos «qxr im plica
(’) U n a función p ro p o sicio n al, a u n q u e sea v e rd a d e ra o falsa p a r a to d o v a ­ lor de la v aria b le, no es v e rd a d e ra o fa lsa p o r sí m ism a, sien d o lo qu e se h alla d en o tad o po r «cualquier p roposición del tip o en cu e stió n , q ue no os p ro p o ­ sición en sí*.

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acerca do si existe siem pre un predicado definente de tales clases. Adem ás de la contradicción en cuestión, este punto puede parecer m eram ente verbal: podría decirse que «ser un x ta l que tpr* puede tom arse siem pre de m odo que sea predicado. Pero teniendo en cuen ta nuestra contradicción, tod as las consideraciones sobre dicho tem a deben tratarse con cuidado. E sto s puntos serán resum idos en el c a ­ pítulo X . 85. D ebe tenerse en cuen ta que, de acuerdo a la teoría de fu n cio­ nes proposicionales que defendem os en este libro, el 9 en
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LA V A R IA B L E 86 . Las discusiones del capítulo anterior han puesto en evidencia la naturaleza fundam ental de la variable; no existe ap arato de aser­ ciones que nos perm ita evitar la consideración de la variación de uno o más elem entos en una proposición m ientras los dem ás perm anecen invariables. La variable es quizá la más específicam ente m atem ática de todas las nociones; adem ás es, por cierto, una de las más difíciles de com prender. E l intentarlo, si no lograrlo, constituye el objeto de este capítulo. La teoría sobre la n aturaleza de la variable que resulta de nues­ tras discusiones anteriores es, en resum en, la siguiente. Cuando un térm ino dado figura como tal en una proposición, ese térm ino puede reem plazarse por cualquier otro, m ientras los dem ás perm anecen sin cambio. La clase de proposiciones obtenidas de ese modo tiene lo que se puede llam ar constancia de form a, y esta constancia de forma debe tom arse como idea prim itiva. La noción de u n a clase de propo­ siciones de form a constante es más fundam ental que la noción gene­ ral de dase, pues la últim a puede definirse en función de la prim era, pero no ésta en función de aquélla. T om ando cualquier térm ino, un cierto m iembro de cualquier clase de proposiciones de form a constante contendrá ese térm ino. De modo que x, la variable, es lo denotado por cualquier término, y yx , la función proposicional, es lo denotado por la proposición de la form a

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ción formal expresará todo lo necesario. R ecurram os a un caso ya discutido cuando nos ocupam os de denotar, y en el que a era una clase y b una clase de clases. Tenemos: «Cualquier a pertenece a cualquier b» es equivalente a «'x es un a implica que 'u es mi // implica 'x es un ?/.’» (*). «Cualquier a pertenece a un b» es equivalente a «’z es un a ’ implica 'existe un b, llamémoslo u, tal que x es un w’»; «Cualquier a pertenece algún 6» es equivalente a «existe un b, llamémoslo u, tal que x es un a ’ implica 'x es un u'v, y así sucesivam ente para las relaciones restantes consideradas en el capítulo V. Se pregunta: ¿H asta qué punto estas equivalencias cons­ tituyen definiciones de cualquier, un, algún y hasta qué punto se hallan involucradas estas nociones en el mismo sim bolism oí La variable es, de acuerdo con la base form al, ¡a noción caracterís­ tica de la M atem ática. Además es el m étodo para form ular teorem as generales, que siem pre .lignifican algo diferente a las proposiciones intensionales a las que lógicos, tales como Mr. Bradley, tra ta n de re­ ducirlas. Así, debo confesar que me parece verdad evidente que el significado de una aserción respecto a todos los hom bres o cualquier hom bre es diferente del significado de una aserción equivalente res­ pecto al concepto hombre — tan evidente como el hecho de que una proposición respecto a J u a n no se refiere al iiombre J u a n — . Por lo tan to , no continuaré discutiendo este punto. G eneralm ente se adm ite que la variable caracteriza la M atem ática, aunque no se distingue generalm ente su presencia en la A ritm ética elem ental. É sta, tal como se enseña a los chicos, se halla caracterizada por el hecho de que los números que figuran en ella son constantes; la respuesta a cualquier sum a que debe hacer un colegial se obtiene sin proposiciones que se refieran a cualquier núm ero. Pero el hecho de que tal sea el caso sólo pueda dem ostrarse con la ayuda de proposiciones que se refieran a cualquier núm ero, v de este modo nos vemos trasladados de la A rit­ m ética de los colegiales a la A ritm ética que usa letras en vez de n ú ­ meros y que dem uestra teorem as generales. La diferencia existente entre ésta y la que aterroriza a los niños puede verse del modo inm e­ diato en trab ajo s tales como los de D edekind (2) y Stolz (3). Ahora bien, esa diferencia consiste sim plem ente en lo que sigue: en que nues­ tros núm eros se han transform ado en variables en vez de seguir siendo constantes. Ahora deberem os dem ostrar teorem as que se refieran a n, no a 3, o a 4, o a cualquier otro núm ero particu lar. De modo que es (') A quí «existe un c», d o n d e c es c u a lq u ie r clase, e s tá definido com o e q u i­ v a le n te a «Si p im plica p, y 'x es’u n c’ im plica p p a ra to d o s los v alo res de x, en to n ces p es verdadero». (*) Was sind und was sollen die Zahlen?, B ru n w ick , 1893. (s) Allgemeine A rühm etik, L eipzig, 1885.

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absolutam ente necesario para cualquier teoría de la M atem ática el com prender la naturaleza de la variable. O riginariam ente, no hay duda de que la variable se concibió como nádim ica, como algo que cam biaba con el transcurso del tiem po, o, como se decía, como algo que tom aba sucesivam ente todos los valores de una cierta clase. E ste punto de vista no puede rechazarse en forma tan rápida. Si se dem uestra un teorem a resj>ecto a n, no debe supo­ nerse que n es una especie de Proteo aritm ético que es 1 los domingos, 2 los lunes, y así sucesivam ente. Ni tam poco debe suponerse que n asum e sim ultáneam ente todos los valores. Si n expresa cualquier en­ tero, no podemos decir que n es 1 , ni tam poco 2, ni cualquier otro núm ero particular. En realidad, n denota sim plem ente cualquier nú­ mero. y esto es algo muy distinto a cada uno y a todos los números. No es verdad que 1 es cualquier núm ero, aunque es verdadero que todo lo válido para cualquier núm ero es válido p ara 1 . Resumiendo: la variable requiere la noción indefinible de cualquier que se explicó en el capítulo V. 88 . Podem os distinguir lo que puede llam arse la variable verda­ dera o formal de la variable restringida. Cualquier término es un con­ cepto que denota la variable verdadera; si u es una clase que no con­ tiene todos los térm inos, cualquier u denota una variable restringida. Los térm inos incluidos en el objeto denotado pjor el concepto definente de una variable se llaman valores de la variable: así, todo valor de una variable es una constante. E xiste cierta dificultad respecto a pro­ posiciones tales como «cualquier núm ero es un número». Interpretadas por la implicación formal no ofrecen dificultad, pues afirm an sim ple­ m ente que la función proposicional «z es un núm ero im plica que x es un número» vale para todos los valores de x. Pero si se tom a «cualquier número» como objeto definido, es claro que no es idéntico a 1 ó 2 ó 3 o cualquier otro núm ero que pueda m encionarse. Pero éstos Bon todos los núm eros que hay, de modo que «cualquier número» no puede en absoluto ser un núm ero. El hecho es que el concepto «cualquier nú­ mero» denota un núm ero, pero no un núm ero particu lar. É ste es jus­ tam ente el p unto distintivo respecto a cualqxiier, que denota un tér­ mino de una clase, pero de un modo d istributivo im parcial, sin prefe­ rencia de un térm ino sobre otro. De modo que aunque a: es un núm ero, y ningún núm ero es x, sin em bargo no hay aquí contradicción, m ien­ tras se reconozca que x no es térm ino definido. Puede evitarse la noción de variable restringida, excepto cuando se consideran funciones proposicionales, introduciendo una hipótesis adecuada, a saber: la hipótesis que exprese la m ism a restricción. Pero cuando se consideran funciones proposicionales esto no es posible. El x en 92, donde cpx es una función proposicional, es una variable no restringida; pero el 92 mismo se halla restringido a la clase que podemos llam ar 9. (Debe recordarse que aquí la clase es fu n d am e n ta l

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porque encontram os que es imposible, sin incurrir en círculo vicioso, descubrir cualquier característica común por la cual pueda definirse la clase, ya que la afirmación de cualquier característica común es, por sí m ism a, función proposicional.) H aciendo que x sea siem pre una variable no restringida, podemos hablar de la variable, que es conceptualm ente idéntica en Lógica, A ritm ética, G eom etría y todos los otros tem as formales. Los términos con los que estam os tra b a ja n d o son siem pre todos térm inos; sólo los conceptos complejos que figuran distinguen la.s diferentes ram as de la M atem ática. 89. A hora podemos volver a la definibilidad ap aren te de cual­ quier, algún y un, en función de la implicación form al. Sean a y b conceptos-clase y consideremos la proposición «cualquier a es un fe». Debe in terpretarse como significado «x es un a implica x es un 6». Es claro que las dos proposiciones no significan la m ism a cosa: porque cualquier a es un concepto que sólo denota las a, m ientras que en la implicación formal x no necesita ser un a. Pero en M atem ática po­ demos eludir por completo a «cualquier a es un ó» y contentam os con la implicación formal: en realidad, éste es, sim bólicam ente, el mejor camino. Por lo tan to , lo que debemos exam inar es: ¿H asta qué punto intervienen en la implicación formal cualquier, algún y un, si lo hacen en algo? (El hecho de que en «x es un a » y en «x es un 6» aparezca el artículo indefinido carece de im portancia, porque éstas se tom an sim plem ente como funciones proposicionales típicas.) Nos hallamos frente a una clase de proj)osiciones verdaderas, cada una de las cuales afirma acerca de un térm ino constante que si os un a es un b. Después consideram os la variable restringida «cualquier proposición de esta clase». Afirmamos la verdad de cualquier térm ino incluido entre los valores de la variable restringida. Pero para obtener la fórm ula suge­ rida es necesario transferir la variabilidad de la proposición como un todo a su térm ino variable. De este modo obtenem os «x es un a im ­ plica x es un bí>. Pero la génesis sigue siendo esencial, porque no nos hallamos expresando una relación de dos funciones proposicionales «x es un a» y «x es un bu. Si se expresara esto no se necesitaría el mismo x en las dos ocasiones. Sólo se halla involucrada u n a función proposicional, a saber: toda la fórm ula. Cada proposición de la clase expresa una relación de un térm ino de la función proposicional «x es un a» a uno de la «x es un ¿»>; y podemos decir, si querem os, que toda la fórm ula expresa una relación de cualquier térm ino de «x es un a* a algún térm ino de «x es un 6». No es ta n to una implicación que con­ tiene una variable como una implicación variable. O, de nuevo, po­ demos decir que el prim er x es cualquier térm ino, pero que el segundo es algún térm ino; a saber, el prim er x. Tenem os una clase de im plica­ ciones que no contiene variables, y consideram os cualquier m iem bro de esa clase. Si cualquier m iem bro es verdadero, el hecho se halla in­ dicado introduciendo una implicación típica que contenga una v a ria ­

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ble. E sta implicación típica es lo que se llam a implicación formal: es cualquier m iem bro de una clase de implicaciones m ateriales. Así parecería que cualquiera se presupone en el form ulism o m atem ático, pero que algún y un pueden reem plazarse legítim am ente por sus equi­ valentes en función de implicaciones formales. 90. A unque algún puede reem plazarse por su equivalente en fu n ­ ción de cualquier, es claro que esto 110 da el significado de algún. En realidad existe una especie de dualidad entre cualquier y algún: dada una cierta función proposicional, tenem os cualquier, m ientras que si se afirma por lo menos uno (lo que da lo que se llam a un teorem a de existencia), tenem os algún. La proposición cpx afirm ada sin com entario, como en «x es un hom bre implica x es mortal», debe tom arse en el sentido de que ox es verdadera para todos los valores de x (o p ara cual­ quier valor), pero podría haberse tom ado igualm ente en el sentido do que ox es verdadera para algún valor de x. De este modo podemos construir un cálculo con dos tipos de variables, la conjuntiva y la disyuntiva, en el que figurará la últim a siem pre que deba establecerse un teorem a de existencia. Pero este m étodo no parece ofrecer ventajas práct icas. 91. Debe tenerse en cuenta que lo que es fundam ental 110 son las funciones proposicionales particulares, sino el concepto-clase fwición pro]>osicional. Una función proposicional es la clase de todas las pro­ posiciones que tiene su origen en la variación de un térm ino singular, pero esto no debe considerarse como definición por las razones expli­ cadas en el capítulo anterior. 92. De las funciones proposicionales pueden derivarse todas las dem ás clases por definición, con ay u d a de la noción de tal que. D ada una función proposicional 9X, los térm inos tales que, cuando x se identifique con cualquiera de ellos, cpx es verdadera, son la clase defi­ nida por 9 X. É sta es la clase como pluralidad, la clase en extensión. No debe suponerse que toda clase definida de este modo tiene un predicado definente: esto se discutirá especialm ente en el capítulo X. Pero debe suponerse, creo, que u n a clase en extensión se halla definida por cualquier función proposicional, y en p articu lar que todos los té r­ minos form an una clase, ya que m uchas funciones proposicionales (por ejemplo, todas las implicaciones formales) son verdaderas para todos los térm inos. Aquí, como en el caso de las implicaciones formales, es necesario que to d a la función proposicional cuya verdad define la clase se m antenga in ta c ta , y si no, aun en lo que sea posible p a ra todo valor de x, dividida en funciones proposicionales separadas. P or ejem ­ plo, si a y 6 son dos clases, definidas por cpx y respectivam ente, su parte común está d ad a por el producto cpx, ^ 2;, donde debe efectuarse el mismo para todo valor de, x, y luego v ariar x: Si no se hace así, no tendrem os necesariam ente el m ism o x en cpx y tyx. De modo que no m ultiplicam os funciones proposicionales, sino proposiciones: la nueva

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función proposicional es la clase de productos de proposiciones corres­ pondientes que pertenecen a las funciones anteriores, y no tiene nada que ver con el producto de 92; y <\¡x. E s sólo en v irtu d de u n a defini­ ción como el producto lógico de las clases definidas por ox y es la clase definida por rpx • tyx. Y siem pre que se afirme una proposición que contenga una variable aparente, lo que se afirm a es la verdad, para todos los valores de la variable o variables, de la función p ropo­ sicional correspondiente a to d a la proposición, y no es nunca una rela­ ción de funciones proposicionales. 93 . Parecería, de acuerdo con la discusión anterior, que la v a ria ­ ble es una entidad lógica sum am ente com pleja y n ad a fácil de ser analizada correctam ente. Lo siguiente quizá sea un análisis ta n co­ rrecto como cualquiera que se pueda llevar a cabo. D ada cualquier proposición (110 una función proposicional), sea a uno de sus térm inos, y llamemos y(a) la proposición. E ntonces, en virtu d de la idea prim i­ tiva de función proposicional, si x es cualquier térm ino, podemos considerar la proposición 9(2:), que surge de la sustitución de x en lugar de a. Así llegamos a la clase de todas las proposiciones 9(2;). Si todas son verdaderas, 9(2) se afirm a sim plem ente: entonces 9(2) puede llam arse una verdad formal. E n una implicación formal 9(2;), 'para todo valor de x, establece una implicación, y la aserción de 9(2;) es la aserción de una clase de implicaciones, no de una sola implicación. Si 9(2) es a veces verdadera, los valores de x que la hacen verdadera forman una clase, que es la clase definida por 9(2): en este caso se dice que la clase existe. Si 9(2:) es falsa para todos los valores de x, se dice que la clase definida por 9(2) no existe, y en realidad sucede eso, como vimos en el capítulo V I, si las clases se tom an en extensión. De modo que x es, en cierto modo, el objeto denotado por cualquier término; pero esto apenas puede defenderse en form a estricta, pues en una proposición pueden figurar diferentes variables; sin em bargo, se supone que el objeto denotado por cualquier térm ino es único. Pero esto evoca un nuevo punto en la teoría de.denotar, a saber: el de que cualquier término no denota, hablando con propiedad, un conjunto de térm inos, sino un térm ino, aunque no uno p articu lar definido. De modo que cualquier término puede denotar diferentes térm inos en lugares distintos. Podem os decir: cualquier térm ino guarda cierta re­ lación con cualquier térm ino; y ésta es una proposición m uy diferente a: cualquier térm ino guarda alguna relación consigo. De modo que las variables tienen una especie de individualidad. E sto surge, como he tra tad o de dem ostrar, de las funciones proposicionales. Cuando una función proposicional tiene dos variables, debe considerarse como obtenida por pasos sucesivos. Si la función proposicional 9(1, y) debe afirm arse para todos los valores de x e y, debemos considerar la aser­ ción, para todos los valores de y, de la función proposicional 9(0, y), donde a es una constante. Pero no involucra y y puede presentarse

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con ^(a). Luego variam os a, afirm am os p ara todos los valores de x. El proceso es análogo al de doble integración; y es necesario dem ostrar form alm ente que el orden en el que se llevan a cabo las variaciones no influye en el resultado. De este modo parece explicarse la individualidad de la variable. U na variable no es sim plem ente cualquier término, sino cualquier térm ino que integre una función proposicional. Podem os decir, si ?x es función proposicional, quo x es el térm ino en cualquier proposición de la clase de proposiciones cuyo tipo es rpx, por lo ta n to parece que, considerando funciones proposi­ cionales, las nociones de clase, do d enotar, y de cualquier son funda­ m entales, siendo presupuestas en el sim bolismo em pleado. Con esta conclusión, el análisis de la implicación form al, quo ha sido uno do los principales problem as de la parte I, se lleva h asta el p u n to en quo soy capaz de llevarlo. Quizá algún lector pueda hacerlo m ás com pleto, y contestar los muchos interrogantes que he planteado y dejado sin respuesta.

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R E L A C IO N E S 94. Después de loa proposiciones de sujeto-predicado debemos considerar dos tipos de proposiciones que parecen igualm ente senci­ llas. É stas son aquellas en las que se afirm a u n a relación entre dos térm inos, y en las que se dice que dos térm inos son dos. L a últim a clase será tra ta d a más adelante; la prim era debe considerarse in m ed iata­ mente. A m enudo se ha dicho que toda proposición puede reducirse a una del tipo de sujeto-predicado, pero a través del tra b a jo presente encontrarem os abundantes razones para rechazar este p u n to de vista. Debe tenerse on cuenta, sin em bargo, que todas las proposiciones que no sean del tipo sujeto-predicado y que no afirmen núm eros pueden reducirse a proposiciones que contienen dos térm inos y una relación. E sta opinión es difícil de refutar, pero verem os que tam poco tiene fundam entos en su favor (x). Por lo ta n to debem os adm itir que hay relaciones que tienen m ás de dos térm inos; pero como éstas son más complejas, será m ejor considerar en prim er lugar las que sólo tienen dos térm inos. U na relación entre dos térm inos es un concepto que figura en una proposición en la que hay dos térm inos que no figuran como con­ ceptos (2), y en la que el intercam bio de esos dos térm inos da una. proposición diferente. Se necesita esto últim o p ara distinguir una proposición relacional de una del tipo de «a y 6 son dos», que es id én ­ tica a «6 y « son dos». U na proposición relacional puede sim bolizarse con a ltb , donde R es una relación y a y b son térm inos; y entonces aR b siem pre, cuando a y 6 no son idénticos, d en o ta una proposición diferente de bRa. E s decir: es característica de una relación de dos térm inos el que proceda, por decir así, del uno al otro. E sto es lo que puede llam arse sentido de la relación y es, como verem os, la iu en te del (’) V éase inf., p a rte IV , cap. X X V , § 200. (s) F s la descripción, com o vim os a n te rio rm e n te (§ 48), ex clu y e la seudorelación do su je to a p red ic ad o . I.OS

I’ R 1 N C I I M O S

DE

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M a T K M k j ICA .— 9

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orden y de las series. Debe tenerse como axiom a que aR b im plica y se halla im plicado por una proposición relacional bR'a, en la que la relación R' procede de 6 a a, y puede ser o no la m ism a que R. Pero aun cuando aR b im plique y se halle im plicado por bRa, debe recor­ darse que éstas son proposiciones diferentes. Debemos distinguir el térm ino de que en la relación señala el referente, y el térm ino a, que señala el relato. El sentido de una relación es una noción fundam ental, que no es de posible definición. L a relación establecida entre b y a, siempre que entre a y b exista R, recibirá el nom bre de recíproca de R, y será d enotada (de acuerdo a Schroder) con R . La relación de R o. R es la de reciprocidad, o diferencia de sentido; y esk> no debe definirse (como parecería legítimo a prim era vista) por la implicación m utua anterior en caso singular alguno, sino sólo por el hecho de que es válida para todos los casos en los que figura la relación dada. Las bases sobre las que se apoya este punto de vista derivan de ciertas proposiciones en las que los térm inos se relacionan consigo mismos en forma no sim étrica, es decir, por una relación cuya recíproca no es idéntica a sí m ism a. Ahora debemos exam inar estas proposiciones. 95. E xiste cierta tendencia a afirm ar que ningún térm ino puede relacionarse consigo mismo; y existe aún una relación m ayor para afirm ar que, si un térm ino puede hacerlo, la relación debe ser sim étrica, es decir, idéntica a su recíproca. Pero am bas tendencias deben recha­ zarse. En prim er lugar, si ningún térm ino pudiera relacionarse consigo mismo, no podríam os afirm ar nunca la propia identidad, a pesar de que ella es por com pleto una relación. Pero ya que existe una noción tal como la identidad, y como parece innegable que todo térm ino es idéntico a sí mismo, debemos ad m itir que un térm ino puede relacionar­ se consigo mismo. Pero la identidad es aún una relación sim étrica,y pue­ de aceptarse sin escrúpulo alguno. El asunto resulta m ucho más difícil cuando debemos suponer relaciones no sim étricas de térm inos respecto de sí mismos. Sin em bargo, las proposiciones siguientes parecen inne­ gables; el ser es, o tiene ser; 1 es uno, o tiene unidad; concepto es con­ ceptual; térm ino es un térm ino; concepto-clase es un concepto-clase. Todas son de uno de los tres tipos equivalentes distinguidos al princi­ pio del capítulo V , que pueden llam arse respectivam ente proposiciones de sujeto-predicado, proposiciones que afirm an la relación de predica­ ción y proposiciones que afirm an el ser m iem bros de una clase. E n ­ tonces lo que debem os considerar es el hecho de que un predicado puede ser predicable a sí mismo. E s necesario, p a ra nuestro fin pre­ sente, tom ar nuestras proposiciones bajo la segunda form a (Sócrates tiene hum anidad), ya que la form a sujeto-predicado no es relacional en el sentido anterior. Podem os tom ar, como tipo de tales proposicio­ nes, «la unidad tiene unidad». A hora bien, es ciertam ente innegable que la relación de predicado es asim étrica, ya que en general los sujetos no pueden ser predicados de sus predicados. Así «la unidad tiene uni­

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dad» afirma una relación de la unidad respecto a sí m ism a, e implica otra, a saber, la relación recíproca: la unidad guarda respecto a sí misma ta n to la relación de sujeto a predicado como la de predicado a sujeto. Ahora, si el referente y el relato son idénticos, es claro que el relato guarda respecto al referente la m ism a relación que el referente con el relato, l ’or lo tan to , si la recíproca de una relación en un caso particular se definiera por implicación m u tu a en dicho caso, parecería ahora que nuestra relación tiene dos recíprocas, ya que en «la unidad tiene unidad» se hallan im plicadas dos relaciones diferentes de relato a referente. Por lo ta n to debem os definir la recíproca de una relación por el hecho de que a R b im plique y se halle im plicada por b íia , cuales­ quiera que sean « y b, y exista o no la relación II entre ellas. E s decir, aquí a y b son esencialm ente variables, y si les damos cualquier valor constante podemos encontrar que aR b im plica y se halla im plicada por b it'a , donde R' es alguna relación d istin ta a R. De modo quo deben tenerse en cuenta tres puntos respecto a las re ­ laciones de dos térm inos: 1) todas tienen sentido, de modo que, siem pre que a y b no sean idénticas, podemos distinguir aR b de bRa\ 2) todas tienen recíproca, es decir, una relación R tal que a Rb im plique y se halla im plicada por bRa, cualesquiera sean a y 6; 3) existen algunas rela­ ciones entre un térm ino y él mismo, y tales relaciones no son necesaria­ m ente sim étricas, es decir, pueden existir dos relaciones diferentes, recíprocas entre sí, y válidas am bas entre un térm ino y él mismo. ÍKi. P ara la teoría general de relaciones, especialm ente en su desarrollo m atem ático, son de gran im portancia ciertos axiom as que so refieren a clases y relaciones. Debe observarse que tener una rela­ ción dada respecto a un térm ino dado es predicado, de modo que todos los térm inos que guardan esa relación con dicho térm ino form an una clase. Además debe observarse que tener una relación dada no es p re­ dicado en absoluto de modo que todos los referentes respecto a una relación dada form an una clase. Se deduce, considerando la relación recíproca, quo todos los relatos form an igualm ente una clase. Llam aré a estas dos clases, respectivam ente, el dom inio y dom inio recíproco de la relación; llam aré a la sum a lógica de am bos campo de la relación. El axiom a de que todos los referentes respecto a una relación dada forman una clase parece, sin em bargo, requerir cierta lim itación, y esto debido a la contradicción m encionada al final del capítulo VI. E sta contradicción puede form ularse del modo siguiente. Vimos que algunos predicados pueden predicarse a sí mismos. Consideremos ahora aquellos en los que no sea éste el caso. É stos son los referentes (y tam bién los relatos) en lo que respecta a una relación algo com pleja, a saber: la combinación de no predicabilidad con identidad. Pero no existe predicado que se refiera ,a todos ellos y a ningún otro térm ino, pues este predicado sería, o no sería, predicable a si mismo. Si lo as, ^8 uno de aquellos referentes en relación con los cuales fue definidol

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v por lo tan to , en virtud de su definición, no es predicable a sí mismo. Recíprocam ente, si no es predicable a sí mismo, entonces de nuevo es uno de los referentes dichos, de todos los que (por definición) es predi­ cable, v por lo ta n to de nuevo es predicable a sí mismo. É sta es una contradicción que m uestra que todos los referentes considerados no tienen predicado común exclusivo, y en consecuencia, si los predicados definentes son esenciales para los clases, no form an una clase. El tem a puede plantearse de otro modo. Al definir la pretendida clase de predicado, se han utilizado todos aquellos que no son predi­ cables a sí mismos. El predicado común de todos esos predicados no puede ser uno de ellos, pues p ara cada uno de ellos existe por lo menos un predicado (a saber: él mismo) del que no es predicable. Pero el predi­ cado común supuesto no puede ser cualquier otro predicado, pues si así fuese sería predicable a sí mismo, es decir, sería un m iem bro de la clase supuesta de predicados, ya que éstos fueron definidos como aquellos a los que es predicable. De modo que no se deja de lado ningún pre­ dicado que pueda tener relación con todos los predicados considerados. Se deduce de lo anterior que no toda colección definible de tér­ minos forma una clase definida por un predicado com ún. E sto debe tenerse en cuenta, y tenem os que dedicarnos a descubrir qué propie­ dades ha de tener una colección p a ra form ar una tal clase. El punto establecido por la contradicción anterior puede form ularse del modo siguiente: Una proposición que contenga ap aren tem en te sólo una va­ riable, puede no ser equivalente a cualquier proposición que afirme que la variable en cuestión tiene un cierto predicado. Q ueda planteado el problem a acerca de si toda clase debe tener un predicado definente. 101 que todos los térm inos que guarden una relación dada con un térm ino dado formen una clase definida por un predicado común ex­ clusivo resulta de la doctrina del capítulo V II, que dice que la pro­ posición a R b puede analizarse en el sujeto a y la aserción Rb. Ser un térm ino del cual pueda afirm arse Rb parece predicado. Pero no se deduce, creo, que ser un térm ino del que puede afirm arse Ry para algún valor y es predicado. Sin em bargo, la d o ctrin a de las funciones proposicionales requiere que todos los térm inos que tienen esta últim a propiedad form en una clase. L lam aré a esta clase el dominio de la re­ lación R, así como tam bién la clase de los referentes. El dom inio de la relación recíproca se llam ará tam bién dom inio recíproco, así como tam bién la clase de los relatos. El conjunto de los dos dominios se llam ará cam¡x> de la relación — noción sum am ente im p o rtan te res­ pecto a las series— . Así, si la relación es p atern id ad , 6u dom inio está form ado por los padres, los hijos form an su dom inio recíproco, y los padres e hijos juntos, su campo. Puede dudarse acerca c}e si la proposición a R b debe considerarse como afirm ando a R de b, o si sólo puede afirm arse Ra de b. E n otras palabras, ju n a proposición relacional sólo ee una aserción concerniente

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al referente, o tam bién una aserción concerniente al relato? Si ad o p ­ tam os este últim o punto de Vista tendrem os, relacionadas con (por ejemplo) m es m ayor que b >>, cuatro aserciones, a saber: «es m ayor que bn, <« es m ayor que», «es m enor que a» y «6 es m enor que». Me siento inclinado a ad o p tar este punto de vista, ¡tero no conozco ningún argum ento en favor del uno ni del otro. 97. Podemos form ar la sum a y producto lógicos de dos relaciones exactam ente como en el caso de las clases, excepto que aquí tenem os que tra b a ja r con doble variabilidad. Adem ás de estos modos de com ­ binación tam bién tenem os el producto relativo, que en general no es conm utativo, y que por lo ta n to requiere que el núm ero de factores sea finito. Si R, S son dos relaciones, decir que su producto relativo R S es válido entre dos térm inos x, z es decir que existe un térm ino y respecto al cual x guarda la relación R, y que por sí mismo tiene la relación S con z. Así cuñado es el producto relativo de esposa y herm ano o de her­ m ana y esposo; suegro es el producto relativo de esposa y padre, m ien­ tras que el producto relativo de padre y esposa es m adre o m adrastra. 98. E xiste la tentación de estim ar una relación, considerada de­ finible en extensión, como clase de cuplas — p arejas— . E sto presenta la v en taja formal de que evita la necesidad de la proposición prim itiva que afirme que to d a cupla tiene una relación no válida entre ningún otro par de térm inos. Pero es necesario dar sentido a la cupla, d istin ­ guir el referente del relato: así una cupla llega a ser esencialm ente d istin ta de una clase de dos térm inos, y debe introducirse por sí misma como idea prim itiva. Parecería, considerando el tem a filosóficamente, que el sentido sólo puede deducirse de alguna proposición relacional, y que la aserción de que a es referente y b relato ya involucra una pro­ posición puram ente relacional en la que a y b son térm inos, aunque la relación afirm ada sea solam ente la general de referente a relato. En realidad existen conceptos tales como m ayor , que figuran en form a d istin ta que como térm inos en proposiciones que tienen dos térm i­ nos (§§ 48, 54); y ninguna d o ctrin a cupla puede evadir tales proposi­ ciones. Por lo ta n to parecería más correcto tom ar un p unto de vista intensional de relaciones, e identificarlas m ás bien con conceptosclase que con clases. E ste procedim iento es form alm ente más conve­ niente, y parece estar tam bién más de acuerdo con los hechos lógicos. En toda la M atem ática existe la m ism a curiosa relación de puntos de vista intensionales y extensionalfes: los símbolos que no son térm inos variables (es decir, los conceptos-clase y relaciones variables) repre­ sentan intensiones, m ientras que los objetos reales con los que se tra b a ja son siem pre extensiones. Así, en el Cálculo de relaciones lo que interesa son las clases de cuplas, pero el sim bolismo tra b a ja con ellas por medio de relaciones.'E sto es precisam ente sem ejante al es­ tado de cosas explicado al tra ta r las clases, y parece innecesario repetir las explicaciones en to d a su extensión.

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99 . Mr. B radley en A p p e a ra n c e a n d R ea lity , capítulo I I I , h a t a ­ pado un argum ento en contra de la realidad de relaciones en la re­ gresión infinita que surge del hecho de que una relación que relaciona dos térm inos debe hallarse relacionada con cada uno de ellos. L a re­ gresión infinita es innegable si se tom an las proposiciones relacionadas como últim as, pero es m uy dudoso el que eso c o n stitu y a una dificultad lógica. Va hemos tenido ocasión (§ 55) de distinguir dos tipos de re­ gresión: la una procedente sim plem ente de las proposiciones siempre de nuevo im plicadas, la otra en el significado de la proposición misma; de estos dos tipos coincidimos en que el prim ero ha dejado de ser ob­ jetable a p a rtir de la solución del problem a del infinito, m ientras que el últim o sigue siendo inadm isible. Debemos inquirir qué tipo de re­ gresión tiene lugar en el caso presente. Puede argum entarse que es parte del verdadero significado de una proposición relacional ol que la relación involucrada guarde respecto a los térm inos la relación expre­ sada diciendo que los relaciona, y que esto es lo que constituye la distinción, (pie antes hemos dejado sin explicación (§ 54), entre una relación que relaciona y una relación en sí misma. E n co n tra de este punto de vista puede argum entarse que la aserción de una relación v los térm inos, aunque im plicada, no es p a rte de la proposición ori­ ginal. y que una relación que relaciona se distingue de u n a en sí misma por el elem ento indefinible de aserción cjue distingue una proposición de un concepto. En contra de esto puede decirse que el concepto «di­ ferencia de a y 6», diferencia relaciona a y b del mismo modo que eri la proposición m y b difieren»; pero contra esto puede responderse que hemos hallado que la diferencia entre a y b, excepto si algún punto específico de diferencia puede hallarse en discusión, es indistinguible de la simple diferencia. De este modo parece ser im posible probar que la regresión infinita involucrada es del tipo objetable. Creo que pode­ mos distinguir entre «a excede a ó» y «a es m ayor que 6», aunque pare­ cería absurdo negar que la gente realm ente piensa lo mismo en estas proposiciones. B asándonos — lo que no podemos m enos de hacer— en que cada p alab ra genuina debe tener algún significado, el es y que deben form ar p a rte de «a es m ayor que bu, que por lo ta n to contiene más de dos térm inos y una relación. El es parece establecer que a guarda respecto a m ayor la relación de referente, m ientras que el que establece igualm ente que b tiene respecto a m a yo r la relación de relato. Pero puede sostenerse que «a excede a bu expresa solam ente la relación de a a b, sin incluir cualquiera de las im plicaciones o relaciones ulte­ riores. Por lo ta n to deberem os concluir que u n a proposición relacional a R b no incluye en su sig n ificad o cualquier relación de a o 6 con R, y que la regresión infinita, aunque innegable, es com pletam ente ino­ fensiva. Con estas notas podemos d ejar lo re sta n te de la teoría de relaciones para las p artes siguientes del tra b a jo presente.

C AP Í TU L O X

LA CONTRADICCIÓN 100. Antes de concluir con las cuestiones fundam entales es nece­ sario exam inar con m ayor detalle la singular contradicción, y a m en­ cionada, respecto a los predicados no predicables a sí mismos. Antes de in te n ta r la solución de este problem a será conveniente llevar a cabo ciertas deducciones relacionadas con él y form ularlo bajo form as di­ ferentes. Debo m encionar que me vi conducido a él al tra ta r de con­ ciliar la prueba de C antor de que no puede existir núm ero cardinal m áximo con la suposición, m uy plausible, de que la clase de todos los térm inos (que hemos visto es esencial p ara todas las proposiciones formales) tiene necesariam ente el núm ero m áxim o posible de miembros (l ). Sea w un concepto-clase que puede afirm arse por sí mismo, es decir, tal que «w es un w». Ejem plos son concepto-clase y las negaciones de los conceptos-clase comunes, por ejemplo, no-hombre. E ntonces (a) si xv se halla contenido en otra clase v, como w es un w, w es un v; en consecuencia existe un térm ino de v que es un concepto-clase que puede afirm arse a sí mismo. Adem ás en contraposición, (¡3) si u es un concepto-clase, ninguno de cuyos m iem bros son conceptos-clase que pueden afirm arse de sí mismos, ningún concepto-clase contenido en u puedo aíirm arse de sí mismo. Además (y) si u es un concepto-clase cualquiera, y u' el concepto-clase de aquellos m iem bros de u que no son predicables a sí mismos, este concepto-clase se halla contenido en sí mismo, y ninguno de sus miembros es predicable a sí mismo; en consecuencia por ((3) u' no es predicable a sí mismo. De modo que u' no es un y por lo ta n to no es un u; pues los térm inos de u que no son térm inos de u' son todos predicables a sí mismos, lo que no sucede con u '. De modo que (S) si w es un concepto-clase cualquiera, existe (l )

V éase p a rto V, cap. X L I I I , § 344 f.

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un co ncepto-clase co n ten id o en u q u e no es m iem b ro de u, y es ta m ­ bién u n o d e esos conceptos-clase no p redicables a sí m ism os. H a sta ah o ra n u e s tra s deducciones no parecen p re se n ta r p ro b lem a alguno. P ero si to m am o s la ú ltim a e n tre ellas y ad m itim o s la clase de los co n ­ ceptos-clase que no pueden afirm arse a sí m ism os, en c o n tram o s que esa clase d ebe c o n te n e r un co n cepto-clase q u e no es m iem bro de sí m ism o, y q ue p o r lo ta n to no p erte n ece a la clase en cuestión. T am b ién deb em os te n e r en c u e n ta que, en v irtu d d e lo d em o strad o en (¡3), la clase d e conceptos-clase que no pu ed en afirm arse de sí m ism os, a la que Llam arem os u-, co n tien e com o m iem bros de ella to d as sus subclases, a u n q u e es fácil d e m o stra r que to d a clase tien e m ás subclases que térm in o s. A dem ás, si y es cu a lq u ie r té rm in o de w, y u)' es todo u • salvo y , en to n ces w ' , siendo u n a sub clase do w, no es un «•', sino un u \ y p o r lo ta n to es y. E n consecuencia: c a d a conceptoclase que es térm in o de w tien e a to d o s los o tro s de w com o extensión. Se d ed u ce q ue el concepto bicicleta es u n a c u c h arilla de té, y que cucharilla de té es u n a b icicleta. E s to es co m p lem en to a b su rd o , y puede d e m o stra rse cu a lq u ie r n ú m ero de ab su rd o s sem eja n te s. 101. D ejem os de lado to d as e sta s consecuencias p ara d ó jic a s e in ten tem o s la form ulación e x a c ta de la co n trad icció n m ism a. E n p ri­ m er lugar t-enemos la afirm ación en función de los p red icad o s, q u e y a ha sido d ad a . Si x es un p red icad o , x puede ser o no sor pred icab le a sí m ism o. A d m itam o s que «no-predicable a sí mismo» es un predicado. E n to n ces su p o n er que él es o no p re d ic ab le a sí m ism o es c o n tra d ic ­ torio. L a conclusión en este caso parece ev id en te: «no-prodicable a sí mismo* no es p red icad o . A hora fo rm u larem o s la m ism a c o n tra d icció n en función de concepto-clase. Un co n cepto-clase p u ed e ser o no té rm in o de su p ro p ia ex tensión. «C oncepto-clase que no es térm in o de su p ro p ia extensión» parece ser co n cepto-clase. P ero si es té rm in o de su p ro p ia extensión, es un co n cep to -clase que no es té rm in o de su p ro p ia ex ten sió n , y vice­ versa. E n consecuencia debem os c o n c lu ü \e n c o n tra de las apariencias, que «concepto-clase que no es té rm in o de s u p ro p ia extensión» no es concepto-clase. \

En función de clases la contradicción parece aún m ás extrao rd i­ naria. Una clase como unidad puede ser térm ino de sí m ism a como pluralidad. E n consecuencia, la clase de todas las clases es una clase; la clase de todos los térm inos que no son hom bres no es un hom bre, y así sucesivam ente. ¿Todas las clases que tienen e sta propiedad for­ m an una clase? Si así fuese, como unidad, es o no m iem bro de sí misma como pluralidad. Si lo es, entonces es una de las clases que, como unidades, no son m iem bros de sí m ism as como pluralidades, y viceversa. Así que de nuevo debem os Llegar a la conclusión que las clases como unidades no son m iem bros de sí mism as, como plurali­ dades no form an una clase — o m ás bien— , que no form an una clase

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como unidad, pues el argum ento no puede dem ostrar que no formen una clase como pluralidad. 102 . Un resultado sem ejante, pero que, sin em bargo, no conduce a contradicción, puede probarse respecto a cualquier relación. Sea R una relación y considerem os la clase w de térm inos que no guardan la relación R respecto a sí mismos. E ntonces es im posible que exista un térm ino a respecto al cual todos ellos y ningún otro guarden la relación R. Porque, si existiera un tal térm ino, la función proposicio­ nal «.t no guarda la relación R con x » sería equivalente a tx gu ard a la relación R con o». Sustituyendo x por a, lo que es legítimo, pues la equivalencia es formal, encontram os una contradicción. Si en lugar de colocar R ponemos e, la relación de un térm ino a un concepto-clase que puede afirmarse de él, llegamos a la contradicción anterior. La razón de que surja aquí una contradicción, es la de que hemos tom ado como axiom a el que cualquier función proposicional que sólo contiene una variable es equivalente a afirm arse m iem bro de una clase definida por la función proposicional. Aquí, o resu lta falso el axiom a, o el principio de que toda clase puede tom arse como térm ino; y no hay objeción fundam ental que im pida rechazar am bos. Pero al rechazar el prim ero surge el problem a: ¿Qué funciones proposicionales definen clases que son térm inos singulares al mismo tiem po que pluralidades, y cuáles no lo hacen? Y con este problem a comienza n uestra v erd a­ dera dificultad. Cualquier m étodo por el cual intentem os establecer una correlación biunívoca y pluriunívoca de todos los térm inos y todas las funciones proposicionales debe om itir por lo menos una función proposicional. Tal m étodo existiría si todas las funciones proposicionales pudieran ponerse bajo la form a... su, y a que esta form a correlaciona u con... zu. Pero la im posibilidad de cualquier correlación como la anterior se puede dem ostrar del modo siguiente. Sea
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significado su rg e la m ism a c o n tra d icció n . In te n te m o s esta b le c e rla en función de las funciones p roposicionales. T o d a función proposicional no nula — hem os Bupuesto— define u n a clase, y to d a clase puede, cie rta m e n te , definirse p o r m edio d e u n a función proposicional. De m odo que d ecir que u n a clase com o u n id a d no es m iem bro de sí m ism a com o p lu ra lid a d , es d ecir q u e la clase com o u n id a d no satisface la función p or la cual ella m ism a h a sido definida com o p lu ralid ad . Como to d a s las funciones proposicionales, ex c ep to las n u las, definen clases, al c o n sid erar to d a s las clases q u e te n g a n la p ro p ie d a d a n te rio r se co n sid erarán to d as, ex c ep to las que no te n g a n la p ro p ied a d a n te ­ rior. Si c u a lq u ie r función pro p o sicio n al fu e ra sa tisfe c h a por to d a clase q ue tu v ie ra la p ro p ied a d a n te rio r, sería, p o r lo ta n to , n ecesa­ riam e n te u n a d e las satisfech as ta m b ié n p o r la clase w de to d as las clases co n sid erad as com o un té rm in o sin g u lar. P o r lo ta n to , la clase w no p erten ece p o r sí m ism a a la clase w, y en co n secuencia debe ex istir a lg u n a función proposicional sa tisfe c h a por los té rm in o s de w, pero no p o r la m ism a w. D e este m odo v u elv e a su rg ir la co n trad icció n , y debem os su p o n er: o que no ex iste u n a e n tid a d com o w, o que no ex iste función proposicional satisfec h a p o r sus té rm in o s y p o r n in ­ gún o tro.

Puede pensarse en la posibilidad de encontrar u n a solución ne­ gando la legitim idad de las funciones proposicionales variables. Si denotam os con ko, por el m om ento, la clase de los valores que satis­ facen 9 , n uestra función proposicional es la negación de 9 (^ 0), donde 9 e.s una variable. L a doctrina del capítulo V II, de que 9 no es una en­ tidad separable, puede hacer que ta l variable parezca ilegítim a; pero puede salvarse esta objeción sustituyendo 9 por la clase de propo­ siciones cpx, o la relación de cpx a x. Adem ás es imposible excluir por completo las funciones proposicionales variables. Siem pre que figura una clase variable o una relación variable hemos adm itido una fun­ ción proposicional variable, que, por lo ta n to , es esencial p a ra las aserciones respecto a to d a clase o a to d a relación. La definición del dominio de una relación, por ejem plo, y todas las proposiciones gene­ rales que constituyen el Cálculo de relaciones, serían im posibilitados por la negativa en el perm iso de ta l tipo de variación. E n consecuen­ cia necesitam os o tra característica por la cual podam os distinguir dos especies de variaciones. É s ta debe hallarse, creo, en la variabilidad independiente de la función y del argum ento. E n general, cpx es por sí mismo una función de dos variables, 9 y x; de ellas, cualquiera puede adm itir un valor constante o cualquiera puede variarse sin tener en cuenta la otra. Pero en el tipo de funciones proposicionales que estam os considerando en este capítulo, el argum ento es por sí mismo una función de la función proposicional: en vez do
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cual se afirm a
aunque es proposición definida cuando se da x, no es función proposi­ cional, en el sentido común, cuando x es variable. Las funciones proposicionales de este tipo dudoso pueden llam arse formas cuadráticas, porque la variable e n tra en ellas en modo análogo al que, en Álgebra, aparece una variable en una expresión de segundo grado. 104. Quizá el m ejor medio para form ular la solución sugerida es decir que si una colección de térm inos sólo puede definirse por medio de una función proposicional variable, entonces, aunque debe adm i­ tirse la clase como pluralidad, debe negársela como unidad. Cuando se form ula do este modo parece que las funciones proposicionales pueden variarse siem pre que la colección resultante no se transform e nunca en el sujeto de una función proposicional original. E n tales casos sólo existe una clase como pluralidad, no una clase como u n i­ dad. Tom am os como axiom ático que la clase como unidad debe hallarse siem pre que se presente una clase como pluralidad; pero este axiom a no debe adm itirse universalm ente, y parece haber sido la fuente de la contradicción. E n consecuencia, al negarlo se solucionará toda la dificultad. U na clase como unidad, diremos, es un objeto del mismo tipo que sus térm inos; es decir, cualquier función proposicional
S obre este te m a , véase el apéndice.

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105. Otros m étodos p ara e v ita r la contradicción parecen ser indeseables, pues elim inan dem asiados tipos m uy necesarios de pro­ posiciones. P odría sugerirse que la identidad se introduce en <¡x no es un de modo no perm isible. Pero ya se ha dem ostrado que son inevitables las relaciones de los térm inos con ellos mismos, y debe observarse que los suicidios de los hom bres que todo lo deben a sí mismos o de los héroes de S efl-IIe lp de Smiles se hallan definidos por relaciones con ellos mismos. Y, en general, la identidad en tra de un modo m uy sem ejante en la im plicación form al, de modo que es com­ pletam ente imposible eludirla. U na sugestión n atu ral para ev ita r la contradicción sería la de d udar acerca de la noción de todos los térm inos o todas las clases. Puede sostenerse que no es concebible la existencia de una tal sum a total; y si todos indica un todo, n uestra huida de la contradicción exige que lo adm itam os. Pero y a hemos visto suficientem ente, que si se m antuviese este punto de vista respecto a cualquier térm ino, toda verdad form al sería imposible, y la M atem ática, cuya caracterís­ tica es la afirmación de verdades respecto a cualquier térm ino, sería suprim ida de un solo golpe. De modo que la afirm ación correcta de las verdades form ales exige la noción de cualquier térm ino o de todo térm ino, pero no la noción colectiva de todos los térm inos. Debe observarse, finalm ente, que en la contradicción anterior no se halla involucrada una filosofía especial, que surge directam ente del sentido común y que sólo puede resolverse abandonando alguna hipó­ tesis del sentido común. Sólo la filosofía hegeliana, que se n u tre de contradicciones, puede perm anecer indiferente, porque encuentra pro­ blemas sem ejantes en todas partes. E n cualquier o tra doctrina una acusación tan directa requeriría una respuesta, so pena de confesión de incom petencia. A fortunadam ente, y h a sta el p u n to que yo conozco, no se presenta ninguna dificultad sem ejante en L os p r i n c i p i o s d e la

M a t e m á t ic a .

106. Ahora pasarem os breve revista a las conclusiones a que he llegado en la p a rte I. Se definió la M atem ática p u ra como la clase de proposiciones que afirm an im plicaciones form ales y que no contienen constantes, excepto las constantes lógicas. Y las constantes lógicas son: Im plicación, relación de un térm ino a u n a clase de la que es m iembro, la noción de tal que, la noción de relación, y otras nociones tales como las que se hallan involucradas en la im plicación formal, que hemos encontrado (§ 93), eran las siguientes: función proposicio­ nal, clase (1), denotar, y cualquier o todo térm ino. E s ta definición pone a la M atem ática en relación m uy estrecha con la Lógica, y la hace (*) H em os decidido que la noción de clase en g en eral p u ed e reem p lazarse, com o indefinible, p o r el de la clase de p roposiciones d efin id as p o r u n a función pro posicional.

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prácticam ente idéntica a la Lógica sim bólica. Un exam en de la Lógica sim bólica justifica la enum eración an terio r de los indefinibles m atem áticos. E n el capítulo I I I hemos distinguido la im plicación y la implicación formal. La prim era vale entre dos proposiciones cuales­ quiera siem pre que la prim era sea falsa o la segunda verdadera. La últim a no es una relación, sino la aserción, para todo valor de la variable o variables, de una función proposicional que, p a ra todo valor de la variable o variables, afirm a una implicación. El capí­ tulo TV distinguió lo que podemos llam ar cosas de los predicados y relaciones (incluyendo con este fin el es de las predicaciones entre las relaciones). Se dem ostró que esta distinción se halla relacionada con la doctrina do la sustancia y atributos, pero que no lleva a los resul­ tados tradicionales. Los capítulos V y VI desarrollaron la teoría de los predicados. En el prim ero se dem ostró que ciertos conceptos, deriv a­ dos de los predicados, figuran en proposiciones qüe no se refieren a ellos, sino a combinaciones de térm inos, tales como las que se hallan indicadas por todos, todo, cualquier, un, a lg ú n y el. Hem os encontrado que los conceptos de este tipo son fundam entales en M atem ática, y que nos perm iten tra b a ja r con clases infinitas por m edio de proposi­ ciones de com plejidad finita. En el capítulo VI hemos distinguido los predicados, conceptos-clase, conceptos de las clases, clases como pluralidades y clases como unidades. Hem os coincidido en que los térm inos singulares, o combinaciones tales como las que resultan de y, son clases, siendo las últim as clases como pluralidades; y que éstas son los objetos denotados por los conceptos de las clases, que son los plurales de los conceptos-clase. Pero en este capítulo hemos decidido que es necesario distinguir un térm ino singular de la clase cuyo único m iembro es, y que en consecuencia puede adm itirse la clase vacía. En el capítulo V II hemos resum ido el estudio del verbo. Vimos que las proposiciones de sujeto-predicado y las que expresan u n a re­ lación fija respecto a un térm ino fijo pueden analizarse en sujeto y aserción; pero este análisis llega a hacerse imposible cuando un té rm i­ no dado e n tra en una proposición de un modo más com plicado que como referente de una relación. De ahí que llegue a ser necesario tom ar función ]>roposicional como noción prim itiva. Función propo­ sicional de una variable es cualquier proposición de un conjunto definido por la variación de un térm ino singular, rhientras que los otros perm anecen constantes. Pero, en general, es imposible definir o aislar el elem ento constante en u n a función proposicional, ya que lo que queda cuando se q u ita un térm ino de una proposición, cualquiera sea el lugar en el que figure, no es en general un tipo determ inado de entidad. E n consecuencia, el térm ino en cuestión no debe om itirse sim plem ente, sino reem plazarse por una variable. Vimos que la noción de variable es sum am ente com plicada. L a x no es sim plem ente cualquier térm ino, sino cualquier térm ino con una

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cierta individualidad, pues si así no fuera, dos variables cualesquiera serían indiscernibles. Hemos coincidido en que u n a variable es cual­ quier térm ino en su cualidad de térm ino en u n a cierta función propo­ sicional, y que las variables se distinguen por las funciones propo­ sicionales en las que figuran, o, en el caso de varias variables, por el lugar que ocupan en una función proposicional m últiplem ente v aria­ ble. Dijimos que una variable es el térm ino en cualquier proposición del conjunto denotado por una función proposicional dada. El capítulo IX establece que las proposiciones relaciónales son últim as, y que todas ellas tienen sentido: es decir, siendo la relación el concepto como tal en una proposición con dos térm inos, existe o tra proposición que contiene los mismos térm inos y el mismo con­ cepto como tal, como en «^4 es m ayor que B» y «B es m ayor que ^4». E stas dos proposiciones, aunque diferentes, contienen los mismos constituyentes. É sta es una característica de las relaciones, y un ejem ­ plo de la pérdida que tra e aparejado el análisis. Hem os coincidido en que las relaciones deben tom arse intensionalm ente, no como clases de cuplas (J). Finalm ente, en el capítulo presente exam inam os la contradicción que resulta del hecho aparente de que si w es la clase de todas las clases que como térm inos singulares no son m iem bros de sí mismas como pluralidades, entonces puede dem ostrarse que iv como unidad es y no es m iem bro de sí m ism a como pluralidad. La solución que se presentó fue la de que es necesario distinguir varios tipos de objetos, a saber: térm inos, clases de térm inos, clases de clases, clases de cuplas de térm inos, y así sucesivam ente; y que una función proposicional yx en general requiere, si se quiere que tenga sentido, que x deba p e rte ­ necer a algún tipo. Así se vio que xzx carece de sentido, porque e re­ quiere que el relato deba ser una clase com puesta de objetos que son del tipo de referente. La clase como unidad, cuando existe, es, dijimos, del mismo tipo que sus constituyentes; pero una función proposicio­ nal cuadrática en general parece definir solam ente una clase como pluralidad, y la contradicción p ru eb a que la clase como unidad, si en realidad existe, a veces se halla ausente. (’)

Sin em b arg o , véase so b re esto el ap é n d ice.

P A R T E II

L NÚMERO