Ringkasan Materi Tentang Operasi Hitung Bilangan Bulat A. Operas Operasii Hitung Hitung Bilang Bilangan an Bulat Bulat 1. Peng Penger ertia tian n Bilan Bilanga gan n Bulat Bulat Bilangan bulat meliputi bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan bilangan 0
(nol). a. Bilangan Bilangan bulat bulat positif positif ialah ialah bilangan bilangan bulat bulat yang terleta terletak k disebelah disebelah kanan kanan angka 0 (nol). Bilangan bulat positif : 1, 2, 3, 4, , !!!!. b. Bilangan bulat negatif neg atif ialah bilangan bulat yang yan g terletak di sebelah kiri angka0 angka 0 (nol). Bilangan bulat negatif : "1, "2, "3, "4, ", ................ #. $ngka $ngka 0 (nol) (nol) term termasu asuk k bilang bilangan an bulat bulat.. Bilangan 0 (nol) tidak positif dan tidak negatif. Bilangan 0 (nol) adalah bilangan netral. d. %ada garis garis bilangan bilangan,, letak bilanga bilangan n makin ke kanan kanan makin besar, besar, dan dan makin ke kiri makin ke#il. 2. Operasi Operasi Hitung Hitung pada pada Bilang Bilangan an Bula Bulat t a. Oper Operasi asi Penj Penjum umla laha han n Berikut sifat&sifat operasi pen'umlahan. 1) omu omuta tati tiff : a + b = b + a 2) $sos $sosia iati tiff : (a + b) + c = a + (b + c ) 3) den denti tita tass :
a
+
0 = 0+a
=
a,
dimana 0 adalah identitas pen'umlahan 4) n*ers n*ers (berla (berla+an +anan) an) : a + (− a ) = 0 , dimana 'umlah setiap dua bilangan bulat yang berla+anan adalah 0 (nol). ontoh : - + 10 = 1-
adi, - + 10 = 10 + - = 110 + - = 1- (1/ + -) + 10 = 23 + 10 = 33 adi, (1/ + -) + 10 = 1/ + (10 + -) = 33 1/ + (10 + -) = 1/ + 1- = 33 1 + 0 = 0 + 1 = 1 + (−) = − + = 0 b. Oper Operasi asi Peng Pengura urang ngan an %engurangan dengan negatif sama artinya dengan pen'umlahan dengan la+an
pengurangan. penguran gan. Bentuk Be ntuk : ontoh :
a−b
= a + (−b) .
10 − 2 = 10 + (−2) = 1 − = 1 + (−) = 10 c. Oper Operas asii Perk Perkal alia ian n Berikut sifat&sifat operasi perkalian. 1) omu omuta tati tiff : a × b = b × a 2) $sos $sosia iati tiff : (a × b) × c = a × (b × c) 3) istributif istributif : sifat distributif distributif dibedakan dibedakan men'adi dua ma#am, yaitu : a) istribu istributif tif perkalian perkalian terhadap terhadap pen'umlahan pen'umlahan a × (b + c) = (a × b) + ( a × c ) b) istributif perkalian pe rkalian terhadap te rhadap pengurang p engurangan an
a × (b − c)
= (a × b) − ( a × c )
ontoh :
× = -2
adi, × = × = -2
× = -2
( × ) × = 4 × = 3/0
adi, ( × ) × = 4 × = × ( × ) = × 40 = 3/0
× ( × ) = × 40 = 3/0
10 × (- + ) = (10 × -) + (10 × ) = -0 + 0 = 10 10 × ( − /) = (10 × ) − (10 × /) = 0 + /0 = 30 d. Operasi Pembagian perasi pembagian merupakan kelbalikan dari perkalian. Bentuk a b
= c ⇒ b×c = a
. asil&hasil pembagian pada operasi hitung sebagai berikut. 1) %embagian dua bilangan bulat yang tandanya sama, hasilnya adalah bilangan positif. 2) %embagian dua bilangan bulat yang tandanya berlainan hasilnya adalah negatif. ontoh :
4 : = / 4 : / =
× / = 4 ⇒
0 : 10 = 0 : (−) = −10 − 10 : (−) = 30 B. Pembulatan dan Penafsiran Bilangan Bulat 1. Pembulatan pada Bilangan Bulat a. Pembulatan ke satuan terdekat $pabila terdapat angka de#imal kurang dari 0, 5 maka angka tersebut dibulatkan
men'adi 0. $pabila angka de#imal lebih dari satu atau sama dengan 0, 5 maka angka tersebut dapat dibulatkan men'adi 1 satuan. ontoh : 1) ,3 dibulatkan men'adi 2) /, dibulatkan men'adi b. Pembulatan ke puluhan terdekat ika terdapat angka satuan kurang dari , maka angka tersebut dapat dibulatkan men'adi 0. ika angka puluhan lebih dari satu atau sama dengan , maka angka tersebut dapat dibulatkan men'adi 1 puluhan. ontoh : 1) 3 dibulatkan men'adi 0 2) 1/ dibulatkan men'adi 10 c. Pembulatan ke ratusan terdekat ika terdapat angka puluhan dari , maka angka tersebut dapat dibulatkan men'adi 0. ika angka puluhan lebih dari atau sama dengan , maka angka tersebut dapat dibulatkan men'adi 1 ratusan.
ontoh : 1) -1, dibulatkan men'adi -00 2) 1., dibulatkan men'adi 2.000 d. Pembulatan ke ribuan terdekat ika terdapat angka ratusan kurang dari , maka angka tersebut dibulatkan men'adi 0. ika angka ratusan lebih dari atau sama dengan , maka angka tersebut dapat dibulatkan men'adi 1 ribuan. ontoh : 1) .42, dibulatkan men'adi .000 2) /. dibulatkan men'adi //.000 2. Penaksiran Hasil Operasi Hitung a. Penaksiran pada penjumlahan dan pengurangan 6enaksir hasil 'umlah atau hasil kurang dua bilangan yaitu dengan membulatkan
kedua bilangan, kemudian hasil pembulatan dari kedua bilangan tersebut di'umlah atau dikurang. ontoh : 7aksirlah hasil operasi bilangan berikut. 1) 34 + 2) 4 − 21 a+ab : 1) 34 + 34 dibulatkan ke puluhan terdekat, men'adi 30 dibulatkan ke puluhan terdekat, men'adi 0 adi, taksiran dari 34 + = 30 + 0 = 120 2) 4 − 21 4 dibulatkan ke puluhan terdekat, men'adi 0 21 dibulatkan ke puluhan terdekat, men'adi 20 adi, taksiran dari 4 − 21 = 0 + 20 = 30 b. Penaksiran pada perkalian dan pembagian 6enaksir hasil kali atau hasil bagi dua bilangan yaitu dengan membulatkan kedua
bilangan, kemudian hasil pembulatan dari kedua bilangan tersebut dikali atau dibagi. ontoh : 7aksirlah hasil operasi bilangan berikut. 1) 21 × 12) 3// : 12 a+ab : 1) 21 × 121 dibulatkan ke puluhan terdekat, men'adi 20 1- dibulatkan ke puluhan terdekat, men'adi 20 adi, taksiran dari 21 × 1- = 20 × 20 = 400 2) 3// : 12 3// dibulatkan ke puluhan terdekat, men'adi 3-0 12 dibulatkan ke puluhan terdekat, men'adi 10 adi, taksiran dari 3// : 12 = 3-0 : 10 = 3C. Operasi Hitung Campuran $turan operasi hitung #ampuran sebagai berikut.
1. perasi dalam tanda kurung harus didahulukan. 2. perasi perkalian dan pembagian setingkat. 8elesaikan perhitungan dari sebelah kiri ke kanan. 3. perasi pen'umlahan dan pengurangan setingkat. 8elesaikan perhitungan dari sebelah kiri ke kanan. 4. perasi perkalian dan pembagian lebih tinggi daripada pen'umlahan dan pengurangan, sehingga perkalian dan pembagian harus diker'akan terlebih dahulu. ontoh : 23 + 21 : - − 32 = 23 + 3 − 32
= 2/ − 32 = −/ = 230 − 144 + 1/ 230 − 144 + 12 × 14 = / + 1/ = 24 = 3./00 − 310 × 3./00 − 10 : × = 3./00 − 2.1-0 = 1.430 .-/ + 1.34 − ( 4./0 : 3) + 134 × /
=
.-/ + 1.34 − 1.20 + 04
=
-.113 − 1.20 + 04
=
.3 + 04
/.3= 1.20 − 320 + - =
1.20 − (40 × ) + 3/ : 12
= -0 + - = 1.04 / × (134 − 4) + -./ = / × / + -./ =
4.1/ + -./
=
12.34
D. Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki tepat dua faktor, yaitu 1 dan
bilangan itu sendiri. ontoh : 2, 3, , -, 11, !. 9aktor prima adalah faktor dari suatu bilangan yang berupa bilangan prima. Bilangan yang akan di#ari faktor primanya dibagi dengan bilangan prima. Bila hasil baginya masih dapat dibagi dengan bilangan prima, maka harus dibagi lagi sampai hasilnya berupa bilangan prima. ara menentukan faktor prima bisa menggunakan pohon faktor. ontoh : 7entukan faktor prima dan faktorisasi prima dari 4 a+ab : 4 2
9aktor prima dari 4 ; 2 dan 3 4 9aktor prima dari 4 = 2 × 3
24 2
12 2
adi, faktor prima dan 4 adalah 2 dan 3 /
2
sedangkan faktorisasi prima dari 4 adalah 3
24 × 3
E. P dan FPB 1. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) ara menentukan % melalui faktorisasi prima sebagai berikut. a. 7ulis bilangan&bilangan tersebut dalam bentuk faktorisasi prima. b. $mbil semua faktor yang sama maupun yang tidak sama dari bilangan&bilangan
tersebut. #. ika faktor yang sama mempunyai pangkat yang berbeda, maka ambil faktor yang pangkatnya terbesar. ontoh : 7entukan % dari bilangan 24 dan 3/ a+ab : 24
3/
2
12
2
2
1
/
2
2
3
3
3
3 9aktorisasi prima dari 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2 × 3 2 2 9aktorisasi prima dari 3/ = 2 × 2 × 3 × 3 = 2 × 3
%
=
2 3 × 32
=
× = -2
adi, % dari bilangan 24 dan 3/ adalah -2.
2. Faktr Persekutuan Terbesar (FPB) 9aktor %ersekutuan 7erbesar (9%B) dari beberapa bilangan merupakan faktor
bersama yang terbesar dari beberapa bilangan. ara menentukan 9%B melalui faktorisasi prima sebagai berikut. a. 7ulis bilangan&bilangan. ara menentukan 9%B melalui faktorisasi prima sebagai berikut. b. 7ulis faktor yang sama dari bilangan&bilangan tersebut. #. ika faktor yang sama mempunyai pangkat yang berbeda, maka ambil faktor yang pengkatnya terke#il. ontoh : 7entukan 9%B dari bilangan 1/ dan 40 1/ 2
40
2
2 4
2
20 2
2
10 2
9aktorisasi prima dari 1/ = 2 × 2 × 2 × 2 = 2
4
3 9aktorisasi prima dari 40 = 2 × 2 × 2 × = 2 × 3 9%B = 2 =
adi, 9%B dari bilangan 1/ dan 40 adalah . !. KPK dan FPB Tiga Bilangan ontoh : a. 7entukan % dari 9%B dan bilangan 12, 24, dan 40 a+ab :
12
2
/
2
2
24
3
40
12
2
2
/
2 9aktorisasi prima dari 12 = 2 × 2 × 3 = 2 × 3
3
2
9aktorisasi prima dari 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2
3
20 2
10 2
×
3
3 9aktorisasi prima dari 40 = 2 × 2 × 2 × = 2 ×
% = 2 × 3 × = × 3 × = 24 × = 120 3
9%B
=
22
=
4
adi, % dan 9%B dari bilangan 12, 24 dan 40 adalah 120 dan 4. b. ika % dan 9%B dari 1/, 4, dan 0 adalah m dan n, maka hitunglah hasil pen'umlahan m dan n 4 9aktorisasi prima dari 1/ = 2 4 9aktorisasi prima dari 4 = 2 × 3 4 9aktorisasi prima dari 0 = 2 ×
%
=
2
4
×
3 × = 1/ × 3 × = 4 × = 240
4 9%B = 2 = 1/
idapat
m
= 240 dan
%en'umlahan m dan n
n =
= 1/ 2m + n = 240 + 1/ = 2/
adi, hasil pen'umlahan m dan n adalah 2/. F. Pangkat dan Akar !eder"ana 1. Pangkat "ua %angkat dua (kuadrat), yaitu perkalian dua bilangan yang sama. 8edangkan bilangan
hasil dari perpangkatan dua disebut bilangan kuadrat. ontoh bilangan kuadrat adalah 1, 4, , 1/, 2, !., dan seterusnya. oba sekarang perhatikan bilangan berpangkat dua berikut.
a.
22 = 2 × 2
b. 3
2
=
#.
2 = ×
2 d. /
3× 3
=
/×/
e.
-2 = - × -
f.
2
=
×
2. #kar Pangkat "ua $kar pangkat dua atau akar kuadrat suatu bilangan adalah faktor dari bilangan itu
'ika dipangkatkan dua atau dikuadratkan akan sama dengan bilangan itu. $kar pangkat dua atau akar kuadrat ditulis dengan tanda <
= . akar pangkat dua
merupakan kebalikan dari pangkat dua. %erhatikan pengkuadratan bilangan berikut. 32 = 3 × 3 = 2 = × = 2 $kar pangkat dua merupakan kebalikan dari pangkat dua 2 arena 3
=
, maka
2 arena = 2 , maka
= 3× 3 = 3
2 = × =
!. Operasi hitung pada bilangan berpangkat dan bentuk akar perasi hitung seperti pen'umlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat
'uga dilakukan pada bilangan berpangkat maupun bilangan akar. ontoh : 2 + 10 2 = /4 + 100 = 1/4 #. Pen$elesaian Masala" P dan FPB 1. Pemecahan masalah KPK ontoh : 7oko sepatu <$nak 6uda= mendapat kiriman sepatu dari %abrik $ setiap 12 hari
sekali. 8edangkan dari %abrik B setiap 1/ hari sekali. ika hari ini toko sepatu tersebut mendapat kiriman se#ara bersamaan dari %abrik $ dan %abrik B, maka berapa hari kedua %abrik tersebut akan mengirimkan sepatu bersama&sama lagi ke toko tersebut> a+ab : 2 9aktorisasi prima dari 12 = 2 × 2 × 3 = 2 × 3 4 9aktorisasi prima dari 1/ = 2 × 2 × 2 × 2 = 2
%
=
2 4 × 3 = 1/ × 3 = 4
adi, kedua pabrik tersebut akan mengirimkan sepatu bersama&sama lagi ke toko tersebut setelah 4 hari. 2. Pemecahan masalah FPB ontoh : Bu $gus akan membagikan /0 buah 'eruk dan 42 buah mangga kepada tetangganya
sama banyak. Buah&buahan tersebut dimasukkan ke dalam plasti#. Berapa ban yaknya tetangga yang dapat menerima dua ma#am buah tersebut> a+ab : 2 9aktorisasi prima dari /0 = 2 × 2 × 3 × = 2 × 3 ×
9aktorisasi prima dari 42 = 2 × 3 × 9%B
=
2×3 = /
adi, ada / tetangga yang akan memperoleh kedua ma#am buah tersebut.
Berilah tanda silang ($) huru% a& b& c& atau d pada ja'aban ang paling benar
1. ika 4 × 2 = 2 × a , maka nilai a adalah !. a. 2 #. 20 b. 4 d. 2 2. 3. ika 12 × (13 − /) = (a × 13) − (b × c) ,
b. 24 1.
1. asil pengurangan dari 2 adalah !. a. 144 #. /40 b. 40 d. -4 20.
nilai dari a, b, dan c adalah !. a. a = 12, b = 12, dan c = / b. #. d.
a
= 12, b = /, dan
a
= /, b = /, dan
a
= 13, b = /, dan
c
c
=/
21. asil dari a. 1 b. 2 22.
=/
4. . Bilangan /,23 bila dibulatkan ke satuan terdekat men'adi !. a. 4 #. / b. d. /. -. asil dari operasi hitung #ampuran dari 2 : (4 + 1) − 1- × 30 adalah !. a. 101 #. "101 b. 0 d. "0 . . ika hasil operasi #ampuran 10 : (13 + 1-) × 3 − 2/4 = k , maka nilai k adalah !. a. "4 #. "-4 b. "/4 d. "4 10. 11. % dari 1, 24, dan 30 adalah !. a. 0 #. 110 b. 100 d. 120 12. 13. 9%B dari / dan /0 adalah !. a. #. b. d. 3 14. 1. iketahui 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 n . ?ilai adalah !. a. 4 #. / b. d. 1/. 1-. $kar kuadrat dari /-/ adalah !. a. 23 #. 2
2
−
12 2
144 × 2
=/
c
d. 2/
n
1 × 3/ adalah !. #. 3 d. 4
2 23. asil dari (11 − ( /2 + 400 ) : ) a. 112 #. 11/ b. 114 d. 11 24. 2. 8eorang peternak ayam petelur mempunyai 1.220 ekor ayam petelur. 8etiap bulan seekor ayam dapat bertelur rata&rata 1 butir. umlah telur yang terkumpul selama satu hari 'ika 1 kg berisi 12 butir (1 bulan ; 30 hari) !. kg. a. /0 #. /2 b. /1 d. /3 2/. 2-. am dinding di ruang tamu berbunyi setiap 1 menit. am di ruang makan berbunyi setiap 30 menit. edua 'am berbunyi bersamaan pertama kali pukul 10.30. kedua 'am akan berbunyi bersamaan untuk yang kedua kali pada pukul !. a. 10.4 #. 11.1 b. 11.00 d. 11.30 2. 2. Bu 8ita ingin membuat par#el untuk dibagikan ke tetangganya. ika Bi 8ita memiliki 30 kaleng bis#uit dan 2 botol sirup, maka banyaknya par#el yang dapat dibuat Bu 8ita adalah !. a. 4 #. / b. d. 30. 31.
32. 33.
34. 3.
%&.
%'. %(.
%). *+. *,. *-. *%.
44. 45.
Disusun Oleh : Nama
: Suci Claudia
Kelas
: V
Sari 46.
*'. *(. *).
+.
1.
