ESTRUCTURAS
APORTICADAS
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ESTRUCTURAS APORTICADAS Y VIGAS CONITINUAS
Por cl
INc. Hentr. RICHARD GULDAN Prolesor de Ia Esauh t*perior Téctica ¿e Haffiót'er Ptélogo
Ixc.
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JORGE J. BASALDÚIA
Prclcmr tituh¡ de la Í¿culrad ile lngenietia ilc Ia A*iunsidu! Naciotal ie B*eaos Airas
Tndrcido for
A.
BAGG
VE¡.S¡óX .DE LA QU¡NTA ¡o¡o¡óx aLEMaNA
Tiulo & le obre origioel: Rabmentragutnhe
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Dutcblaul ttóger
PRÓLOGO A
LA EDICIÓN CASTELLANA
La resoltrción de los esqt@rnos hiperestá.ticos implico sientpre lo elección de lu.t incógwitos, el ptonteo del sistema de ectaciones lineales que eÍpresa.n las coilicion¿s qrc ellas deben satisfater, el cólculo de los coeficientes de dichas incógnita,r en el citad,o sistenu de ecua.ciones y firulmente la resolución del sistenw de ecuaciones.
Todo el proceso fornml aqrío con las incógütas elegidas y ctnndo óstas son ucrsas (rnognitudes estdticas) se puede tener el proceso d.enominado "métodtt dc las fuerzos", resttltando en cambio el "método de las deformociotr.es" cuando rlíchos incógnitas sott colmponentes de deformación (magniludes elá.sticas). E.r sabido que tarubión fu.eden totnarse incógnitas tni.rttts. es decír, alguna^r esttíticas f
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Cualqúero de los f ormos de froceder indicados resuelzte el problema con idéntíco aalor conceptual, pero desde el punto de vista forntol l,uede habn notable.r diferenc'ias tento en lo labor que dennndc la resolución conto ert lo. opro-rinmcititt que se obtengo m los resütados. Tiene entonccs gron imfortancia decidir cotreclarnmte el tipo de incógnita qu.e se empleará en Ia resoltrción de deterntitndo hiperestático, y para que esto decisión sea completam.entc lil¡rc debcn monc.ior.sc ambos "métod.os" de resolrción con. igud agilídad, cctno es wüente. Entre nosotros ocurre que, a ltesar d.e que desde hacc z,arios arios en nu.cslro.¡ I;acultodes de Ingeninía se ensetia el empleo de los incógmitas elósticas, o olgutn ,.!e stls uoriantes, la litraturv en lengua castellatw al respecto es escasísitna y de cllí que d;clus incógnitas se eml,Iem en mily contodos casos, ounque resulten nidantes las vmtajas de sa uso. La obro del Dr. Ri^ch"ard Guldan, en st traducción castellana, z,iene a llenar este impmtonte zmcío, y lo hare sin duda en f ornn brillante t, práctica, pues inclut,t. cdemás gran cant,i.dad de ejernplos numéri,cos completos de colculo y toblas d.e cowtantes para piezas de ncom'ento de inercia variable, cubriendo las- variacion¿s que con mós frecu,encia se presenton m lo próctica constrwctiaa. Se encora adenós la forma d.e resolzter el sístemo de ecua^cio¡vs nt todas sus posibilidodes, sistemalizando y ordenando este calculo. En f orma mogistral y sobre Ia base de la intuicíón previa de Ia defontwrión se erplica cómo siwplificar y rPd.ucir el sistetno de eatací'oncs en los casos de esquerns con rnu¿hos incógnitas al,licondo el método qur e I autor deno¡nina "rnétodo del sistema red.trcüo". En síntesis, esta traducción tendrá. sin duda un itnltortante papel mtre nuestros ingenieros, fara los Erc será bien aenída, por ltcnnitirles el fócil acceso a un im,¡ortante medio de cdJcu,lo que les sígnificoni la economía de tnuchas horas dc trabajo. Los estu.diantes d.e Inganiería ha.llarón en esta obra el mcjor aurilior didtíctico !,ara astudiar los tópicos carresfondientes a lo resolucíótt de hiperestóticos mediante el wo de las incógnitas elásticas. Bueros Aires, abril de 1950.
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PRÓLOGO
A LA PRIMERA EDICIÓN ALEMAI{A
Suele sostenerse a menudo que la estática de la construcción es una rama de la Mecánica, cuyo estudio puede considerarse agotado, por Io cual no cabría esperar más mejoramientos de importancia ni adelanto en su realización práctica. Este criterio debe rechazarse de plano. pues los nuevos trabajos en la materia lo desmienten día a día. La moderna tendencia a ulr aumento de la productividad en todas las ramas de la técnica, mediante una organización racional, urge la determinación de nuevos métodos de cálculo, cada vez más adecr¡ados, para reducir al mínimo tos trabajos de gabinete correspondientes al cálculo de las estructuras complicada. Esta obra se presenta para realízar ese propósito. En la preparación 1' ordenamiento dr libros, el autor se ha empeñado en satisfacer ante todo las necesidades de los ingenieros de estructuras, cuyo fin es haltar el planteamiento más rápido y exacto posible de los problenras prác ticos que se presentan para su solución. Asimismo, se han considera.do ampliamente las lrecc sidades de los estudiosos, quienes recibirán con beneplácito una exposición clara 1' aproximada a la realidad de los fundamentos teóricos necesarios, unidos racionalmente con Ia aplicación práctica y sus recursos auxiliares. El contenido de este libro está distribuído erl tres partes, con el propósito de lacilita¡ su uso como manual y, sobre todo, para obtener una buena visión de conjunto. La parte primera. dedicada a la teoría, está subdividida en seis secciones. en las cuales se estudia a fondo todo lo concerniente al plantm y desarrollo del conocido "nlétodo de rotación de los ángulos" para Ias estructuras más variadas, con cartelas o sin ellas, dando, en forma simple y apropiada. ecuaciones cómodas para su aplicación. En todos los casos se presta especial atención a la estricta Ciferenciación entre las formas dc las estructuras cc¡n nudos "tlesplazables" o "indesplazables".
La influencia de la variación de la-s secciones, sobre todo en harras con cartelas. sc halla de una manera clara, con las hipótesis conocidas: también se dan ejemp'os numéricos completos. Simultáneamente, atendiendo a un deseo frecuentemente expresado en los círculos especializados, se crearon métodos auxiliares detallados 1' cómodos en tal grado, que ellos proporcionan al ingeniero tlc estructura.s los medios necesarios para Ia traducciól: numérica de la influencia de las cartclas, sin que esto signifique un esfuerzo mavor en el trabajo, contribuyendo a revelar las ventajas constructivas ¡' económicas considerables c¡ur se obtienen en muchas estructuras aporticadas mediante una disposición ventajosa de las cartelas. De este modo, en general, puede obtenerse también un ahoiro considerable de acero. Adentás, etl una sección aparte, se expone detalladamente la determinación de líneas rie infiuenci¿ en sistemas de estructuras hiperestáticas. AIli vuelve a insistirse, en forma especial, acerca de la consideración del efecto de las cartelas. Los procedimientos de cálculo propuestos permiten una considerable simplificación de la determinación numérica de las líneas
VIII
Prólqgo
Prólogo
cálcuto para la resolución ab¡eviada, que el desarrotlo puede seguirse con facilidad por los menos experimentados. Se cre¡'ó más conveniente flara este fin representar en forma de cuadrps el desarrollo del cálculo. '. [.a parte segunda del libro contiene 20 ejemplos numéricos de entramados de edificios y de puentes, que muestran ta aplicación práctica de tos procedimientos descriptos en ta parte primera con la aplicación de las tablas auxitiares de la parte tercera de esta obra y que deben considerarse a través de todo et desarrollo numérico como ejemplos característicos; habicndo s;do cato¡lada la mayor parte de estos ejemplos tarito con cartelas como sin ellas. La influcncia de éstas sobre la distribución de los momentos en las diversas formas de estructuras puede comparars€ numéricamer¡te y, con etlo, también apreciarse muc-ho mejor su influencia económica. En ta parte tercera del libro fueron reunidas todas tas tabtas auxiliares. Se dispone en totai de 54 tablas numéricas y nomogramas distribuídos en 88 páginas. Ellas posibititan evitar simptemente cálculos dificr¡ltosos y largos. pudiendo contribuir a aliviar sensiblemente €l trabajo de los ingenieros catculist¿s. La mayoría de las tabtas figuran simultáneamente como tahlas numéricas y nomogramas, con el fi¡ de alcanzar las ventajas de ambas formas de presentacíón v para deiar al técnico ta elección libre en et uso. Sea, pues. este libro. no sólo un awdante y consejero bien venido para los ingenieros de estructuras activos en et dcsempeño de sus funciones, sino tambien como enseñanza sólida y objetiva v contribución a la educación de nuestras jóvenes generaciones de ingenieros. A todos tos que havan participado en ta terminación {e la obra, sobre todo mis ex icfes de trabaios prácticos Dip!. Ins. B. Pueschel, Dipt. lne. K. Hora v mi actual jefe de trabajos práciicos Dr. Ing. G. Simácek, por su valiosa colaborac;ón en la corrección de pruebas dc galera. les expreso en este tugar mi cordial agradecimiento. Además asladezco a ta "Sociedad Alemana de Ciencias y Artes" de Praga, que medianle su apovo alentó ta terminación Cel trabaio inmenso. 1' finatmente a la editorial gnr ta lntnr desarrollada durante la ejecución 1' por ta esmerada presentación del libro. Praga, iunio 1940.
R. GUI-,DAN
PRÓLOGO DE L,A SEGUNDA EDICIÓN ALEMANA La rápida r¡enta de la primera edición, agotada desde hace más rle un año, y los constantcs v repetidos pedidos hicieron necesaria üna nlreva impresión de la obra a pesar de tas dificrrltactes originadas por la g¡rerra. La aceptación unánime oue el libro encontró en tos ampllns círcutos e:pecializados hace reconocer fácilmente que el camino elegido en la preparación
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plazables del método de los focos. Se indice cn clla cómo mediante la tabla auxiliar se puedetr d:terminar en forma sumamente fácil los focos de cualquier barra de pórtico, ein por ello, tener que conocer la posición de lc¡s focos de l¿s barras de pórticos vecinas. Mediante el uso de estas nuevas tabtas auxiliares se obtiene un procedimiento sumamente ventajoso que, con la aproximación suficiente, puede considerarse uno de los métodos más rápidos aplicabtes a estructuras indesplazables. Seguidamente en esta sección se trata el método tle dj¡tribución de los pares para estructuras indesptazables y desplazabtes con cartelas y sin ellas. Se aclara la relación sencilla que existe entre est€ proceáimiento de cálculo, tlamado corrienterr.ente de Cnoss, con el método de tas rotaciones angulares, explicando simultánca. mente cómo efectuar la aplicación directa de las numerosas tablas auiitiares de Ia parte tercera del manual. Este método puede utilizarse ventajosamente para el cálcuto de las es.
tructuras con cartelas.
En la parte segunda de este libro se incorporaron siete nuevos ejemplos nunrérico. a sahr: cuatro ejemplos de estructuras co¡ barras articuladas, elegidos de tat modo qu: estén representados pórticos indesplazables y desplazables con cartelas y sin ellas; v finalmente tres eiemplos que dan ta aplicación práctica dcl "método de reducción" el completos,
estructuras hiperestáticas de grado sup€rior. La parte tercera del manual se complemcntó con "tablas auxíliares para el método rlc
los focos".
Iis de esperar q¡re este ma¡ual en su nueva presentación tenga e¡ los círcutos especia. la misma amahle acogjda que Ia primera edición l' que, en forma amplia, a..r¡rj. los trabajos de los ingenieros de estructuras v de obra. Simultáneamente. esta obra facilitará la necesaria comorensión de los estudiosos corr l¡s lizadc¡s
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hipótesis de los métodos de cálcuto recientemente desarrotlados. tornando. en consecuencia, más ventalosa su aplicació,n, Prago, junio de 1940.
R. GI-ILNAN
PRóLOGO DE LA QUINTA EDrCIóN Ar_E\{.{N.A I)espués de la rápida y halaeadora venta de la cuarta edición de esta obra. la editorial v el autor se eneontraron ante la disvuntiva de si ¿.¡i" .i..tr"i;.;;.'l; i-pl;"";¿n del temari. proyectada con anterioridad' Originariamente se pensó, ante fodo. en una sustancial amnlin ción de la sección octav2: en- ra cuar ya en ra sesrnda edición. der ario 1943 de esre manrrar. fué introducido el método de la disiribución de los oares tle Cnoss. Eqte método, si hicrr tratado mrtv sucintamente, pero con la suficiente amplitud. .nnti"* 1". iiáicaciones necesari¡. nara la aplicación inmediata de las tablas auxiliares de la parte tercera de este nranr¡al. rrr., facilitan también el cálculo de estructrrras al,"it;.r¿as con cartelas por el métod. de cnos. Teniendo en cuenta las suEerencias de tos rliferentes círcrlos v rlesnnés rl,, ttn nradurado intercarnbio de ideas. la editoriat el auto¡ r'"" espec;alizados satisfate la,q exigencias y deseos de aquétlos. Para ' no alterar latá-"á"-i,;;',;i;.i;;-.,;;. uniformidad de la estrrrr. turación. el ordenamiento de- los asuntos la presentación rlel temario rle este manual. l¡,r ¡, ¡rrnderado por muchos usuarios.. se deió -compleiamente de lado la idea de amfiliar la qrrinr,r edición, resolviéndose en cambio hacer üna edición indeoendiente ¿J -étn¿n de cnoss. F' este procedimiento especial. tan aDreciado en amplios círcrrtos ¿e pinl".r;onales. se trrta ¡c agotar las ventaias que él ofrece, mediante una Dresentación ctara de la" bases estáticas Y runa amnlia confección
de táblas nrrméricas 1¡ nomosramas
de cómoda aolicación. En la quinta edición. como en las anteriores tle este libro. se esDera oue tantn -. los esl' diantes- como, los ingenieros calo¡lisras se comDenetren ln n¡¡{5- piofundamente posibte rle la" particularidades de ta estática de tas estructuras arrrrticadas. coniuranclo de esta mAncr:¡ Doco a poco et temor. todavía mrrl difundido, de encarar el cálculo de dichas estrlrctrrrac Estol'especialmente agradecido a ta editorial por la excelentc presenración del lihr,, lfontóz,er, mdlo de 1952. R. GITI.DA\
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INDICE Parte Primera S¿cc¡ón Pn¡u¡¡r Estructuras aportieadas sin cartelas Pó3ina
II
Procedimiento de cálculo por el "método de las rotaciones ansula¡'es" 1. Relacioncs entre los coeficientes de deformación dt' una barra de pórtico . . . ' 2. Convención de signos de los pares extremos de barra .t coeficientes de deformación 3. Fórmulas de los pares extremos de barra Relaciones generales entre las cargas, esfuerzos de corte )' momentos flectores . 1. Generalidades .... 9. Determinación del sentido del esfuerzo de corte pa.rtiendo del diapgama de los .
1
1
2
5
i
momentos flectores aporticadas con nudos indesplazablet
III Estructuras
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1. Generalidades ....
2. Ecuaciones nudales para estructuras aporticadas 3. Desarrollo del cálculo ,1. Tabulación de las ecuaciones
5.
o matriz de los
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indesplazables
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coeficientes
Aclaraciones sobre el uso de las constantes de barra
k
....
1.1
15
.
6. Cálculo de los ténninos de carga Z. Influencia de las uniones articuladas
t5 16
A. Generalidades ...
16
B. Ecuaciones de condición C. Ejemplo de aplicación I\I Estructuras aporticadas con nudos desplazables
l7 1Q
'n
l. Generalidades ....
20
2. Planteo de las ecuaciones de condición ... 3. El entramado de edificio con cargas a¡bitrarias
21
v
columnas verticales de altura-s
iguales por piso .. a) Ecuaciones de condición b) Matriz de los coeficientes de un pórtico asimétrico, de tres
2i 2a
columnas .v de dos pisos c) Planteo de la matriz de los coeficientes de pórticos simétricos '1. El ent¡amado de edificio arbitra¡iamente cargado, con desplazamientos horizontales solamente y columnas verticales de alturas sariables Ecuaciones de condición
j. Método RC 6. Pórticos
-reagrupación
desplazables
de ca¡gas- para pórticos simétricos .
.
con barras articuladas
A. Generalidades ... B. Pórticos de va¡ios tramos
..1.... .
(1. Estructuras aporticadas con ba¡ ras ariiculadas
a) Ecuaciones de condición .. h\ Ejemplo de aplicación . .
28
29 30 31 22
36 36 37 40
40 40
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Indice
ndice Página
l'Ágirrr
42
de desplazamirt"'?t ,":'-'-t:t::.":t]::::: Estructuras aporticadas con nudos v simótricame1.ll
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57
desplazamientos \-erticales
C. Para b""u' toi cartelas distintas
B. Tabias auxiliares P""
VI
ca¡telas rlistintas con nudos indesplazables aporticadas Estructuras t. Ecuaciones de condición de la marcha del cálculo
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66
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67 67 67
68
7l 72 72 73 74 75
aJ Ecuaciones de conilición
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71
2- Descripción pórtico indesplazable :. frlu,ri" de los coeficientes Para un articuladas barras con *. Er,^.rr.u, aporticadas
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6Íl
distribuídas
upii'u'ió''
76
desplazables 76 Estructuras aporticadas co¡ nudos 'l . Generalidades "" verticales cargado' con columnas 77 9. El entra¡nado de edificio arbitrariamente isuales. distribuídas en Pisos " 78 asimétrico de tres ptsos " ' ' ' ' t¡) Matriz de los coeficie'it"t Ot'" un pórtico de alturas a¡bitrariamente con columnas
:TH";il;;1"-'o"a;'i¿" ;i ;;;'1"-;i,i",. diferentes
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dc condición
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horizontales
Sr¡cróN T¡.ncBne
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1:rtrrales
Líneas de influencia de estructuras estáticamente indeterminadas
66
o ptt"M.)1t-1^:--- ii.r,itri¿; ...:......... ""rr'1:i'i::^1'::0":,',11.,"ii".-"" y carsas parciales uniformementt' ;:;tt"t'"d"s
c. ;;;;;;
tr('s
verticalmentr . . . fi. Estructuras aporticadas con nudos de desplazanrientos ¡'¿¡li¿o,'¿.¡ : hori;onlol, a) Ecuaciones de condición b) I{atriz dc los coeficientes para una €structura aportirada asi¡nétri,.r,,,r'
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-'!'' f 'a"T;':Xt":T::"' ;;"" ;;'
(on
cu'i'os nudos sólo se desplazan
¡los 1. I Los i:l::-i:'::..t:.'lli ¡íq va¡iables vur¿urLr barra de pórtico con s€cclones de barra 2. Fórmulas para los Pares extremos 62 c b' a' barra de 62 constantes Las I\/. 62 l. InterPretación estática de barra a' b' c ' 62 Z. Cálculo numérico de las constantes' cualesouierv " " rectas o paraA. Pa:m buttu' to".'"lciones variables cartelas con o bien extremo 63 B. Pa¡a barras con tutttlu' en un 64 bólicas en ambos extremos ' ' ' '
Para barras sin cartelas parabar¡as con ca¡telas rectas 3.
aport¡cada
a) Ecuaciones de condición b) Matriz de los coeficientes para una viga \¡ie rendcel alrortlcada asirnétrir';r.
la barra de las secciones variables de Generalidades sobre la influencia Fundamentos de cálculo la elástica t: '-"-ttlo"tt extremas,de ángulos de las t^"**" ar¡Bu¡u
)
H., l{t
B. Viga Vierendeel aporticada asimétrica ccln apovos
b' c en el cálculo de pórticos 3. Aplicación de los valores a' de carga flt ' ' ' \¡. Dcterminación numérica de los térninos y estados de carga cualquiera ' variables 1. Para barras con J;;t "'bit'arias
9" ¿i'
cordoncs v con sirnetría estructural
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l{ll ¡r4.
a) Ecuaciones de condición b) Matriz de los coeficientes para una viga \/ierender:l
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.
5. Estructuras aporticadas con nudos de desplazamientos uerticalcr . . . . . .A,. Viga Vierendeel aporticada con simetría estructu¡al v dc carga
52
I. Introducción
2.
A. Generalidades ...
51
.,--ti.ntot u horizontale, i z o n t at e s a c r t i c at c s v h o'l
. .
Pórticos desplazablcs con barras articuladas
B. Pórticos de varios tramos C. Entramado de edificio
41)
de secciones variables Estructuras aporticadas con barras
II III
4.
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lntroducción Detcrminación de las iíneas de influencia (n - 1) r'eces hiperestática .
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conro elásticas dc una cstru( tur,r |
1. Fundamentos del método 2. Determinación de la elástica Partiendo de los ángulos de rotación dc los nudos y los desplazamientos de los nudos 6 3. Convcnción de signos de las líneas de influencia v de los rnomentos .1. Líneas de influencia de M en secciones de un tramo .. III. Determinación de las líneas de influencia de .tl conlo elástjcas d. una ('stnr( tur.,
).'
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\'eces hiperestática
1. Fundamentos del
2. Casos
r).
nrétodc,
especiales (¡r
3. Desarrollo del cálcr¡lo .f.Notasfinalcs 5. Ejemplo: Lineas de influencia dc un pórlico dr dos trarnos I\'. Determinación dc Ias líneas d. influr.ncia dc los e sfucrzos dc t ort'
lil(l lIl
S¿cc¡óx Cunnr'.r
Influenci¡ de las variaciones de temperatura en estructuras aporticadas est.áticam¡:ntr indeterminadas
I. II.
Estructuras aporticadas en las cuales, debido a var!aciones uniforrnes dr-ttnrpcralrr';r. no se producen variaciones de tensiones Estructuras aporticadas en las cuales los dcsplazanrientos dt los nudos, producidos por la variaci<'ln de tcmpcratura, son drtcrminal¡1, . r'o;r ri i:rciones geonrétricas .,,,
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lamente
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1. Observaciones pr.\ias . ..
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2. Ecuaciones nudales
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l. Cálculo numérico de los "términos de carq¿ cltbidos :r III. Estructuras apoltit'adas cn Ias cualcs los dtspiazarnicntris srr dcterminados lon rrl¡cion¡'s r-:eonrétrir'¡s :r,lat::r^nlr
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1. Gcneralidadcs ....
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g. El pórtico a6imét¡ico de va¡ios tramor con vigas horizontaler y rccciones variablcs e. Fórmula¡ auriliarc¡ para la deterrainación dc lor desplazamientol A . . ' .. . B. Términos compleme;tarios de las ccuaciones de los parcr extremos de ba¡ra
"'""
C.Ecuacioncs¡udatcs D. Ecuacioner de desptazamie¡to ' 3. Descripción dcl desar¡ollo del cálculo
" "
107
107 108 109 109 110
""''"
4. Matriz de los cocficicntes de uD pórtico de tres ramos, asimétrico, cou teccione¡ de barras variables, bajo la influincia de las va¡iaciones de tcmperatura '..^.. llt 112
""' " " " ' ""' " "
5. Observacién final
lV. Influencia de la variación lineal pero no uniforme de temperatura 112 l. Hipótesis 119 2. Términos de carga A. Término comllementario debido a la variación de longitud del eje de la barra 113 B. Término complemcntario debido a la curvatura del eje de la barra ..... ' '. 113 ' " ' - ' ll4 \/. Difcrentes influencias secundarias en estructuras aporticadas armado " " " ' 1f4 l. Influencia de la contracción en estructuras de hormigón ..... 115 normales por esfuerzos los 2. Consideración de las deformaciones producidas apoyos los " ' " 115 ' 3. lnfluencia del descenso y dcsplazamiento de 119
l,n viga continua de secciones variables con la consideracirí¡r de todos los casos especialcl 1t6 """' I. Gcncralidades .... I I La viga continua con momeltos de inercia arbitrari¿mente variables e¡ todos los ' " "" 117 tramos . l¿ elástica 117 de extremas tangentes de las ángulos L Ecuaciones complementari¿s de los 1t0 tres momentos """" los ""' 2. Transpaso a las ecuaciones de 190 ' " del cálculo " " " 3" Dcscripción de la ma¡cha
de las ecuaciones de los tres momentos para una viga continua de cinco tramos """"' '''" 5. La viga continua de extremos empotrados
,l.. Tabulación
A. Ecuaciones complementarias "' B. Tabulaci6n de ias ecuaciones de los tres momentos pa¡a una viga
121 121
" "
121
continua
dc cinco tramos de extremos empotrados 6. La viga continua con extremos en voladizo Casos
''' ' ' ' 12i 122
""""'
especiales
19'3
1. La viga continr¡a de momentos de inercia constante en cada tramo, pero que
difieren de un t¡amo a otro
Z. La
'
,
en todos los tramos
194
4. La viga csntinua de tramos de luces iguales y momentos de inercia constantes l\', Influencia de la variación de temperatura en vigas continuas
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1. Hipótesis 2. Términos complementarios de la ecuación de los tres momentos ' ' ' '
.
.
125 12r>
12\
Generalidades
't2r,
2. Hipótesis 3. Cálculo de los términos de carga V l)csccnsos de los apoyos de la viga continua
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124
viga continua con momcntos de inercia constantes en todos los tramos . . . . . l9/l
1- La viga continua con relaciones const¿rntes 7
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..... lzi] 1. Nota previa . ......... tZ8 9- Las líneas de infiuencia de M com<¡ eliísticas de una estructura (n 1) veces e¡táticamente indeterrninada ......... 1gg A, Generalidades ..... t}tl B. Determinación dc las clásticas particndo del diagrama de los momentos flectores 199 c. cálculo del ángulo de giro 7 de las secciones de la articulación . .. .. .. .. r30
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PÁclnr
\/1. Determinación de l¿s líneas de influencia de la viga continua
rÉ
eñ
\V
lndicr
Já Já
fÉ
S¡cc¡ó¡¡ QurNre
lll.
rÉ
Secc¡óx SE(r¡ Método adecuado de resolución de sistemas de ecuaciones lineales Método abreviado de eliminación
l.
t.12
Generalidades
I ¿tt
2. Descripción de cada uno de los métodos dc cálculo A. Ejemplo I para sistemas simétricos de ecuaciones B. Ejemplo II para sistemas simétricos de ecuaciones C. Ejemplo III para sistemas antimétricos de ecuaciones . . . .
1tJ 13J 13"1
1l\
.
Secc¡ó^* SÉ,prr¡n¡
l. II.
cálculo simplificado de estruct.uras hiperestóticas de grado superior Aclaración previa . ...... El método de iteraciórr simplr .
1. Generalidades 2. Aplicación de la ite¡ación cr¡ la estática de la construcción 3. Ventajas y desventajas del método de iteración simple . ....., III' Método de "sistemas reducidos" con una apreciación relativa de las incógnitas vccinas (método de reducción) 1. Introducción .... ..... 2. Aclaración general para el método de reducción 3. Interpretación estática 4. Aplicación del método a las estructuras indesplazables .. .. .. . . .
A. Elección del "sistema rcducido"
B. Realización de la "apreciación relatir.a" C. Descripción de la ma¡cha del cálculo
5. Aplicación a estructuras con desplazamientos horizontales ..
A.
'l Jr{
ll() l4{}
l,l{) l.l{)
l4r l4J
I ,1.(, 1
B. Realización Ce la "apreciación relativa" de los valorcs I ,, * C. Procedimiento de cálculo .....
Ejemplo numérico
t.t¡
tti
... l,l.j .. .. 141 . . . . . . 1,1/¡
Generalidades
D. Ejemplo numérico 6. Aplicacién a estructuras con
l5r,
,1'(,
t4¡ I 6()
15()
desplazamientos verticales
l5'¿ 1
ar?
Sr¡clóN Ocr¡v¡t
Distintos métdos y procedimientos aproximedos para el cálculo de estructuras aporticadas I' El método de los focos en su aplicación simplificada a estructuras aporticadas indesplazables
l5'1
1. Determinación de los focos 1l¡4 2. Determinación de los coeficientes dc influcncia I . . . . . I r>lt 3. Determinación de los coeficientes de d.istribución en los nudos p . . . . . lr7 4. Determinación de los momentos extremos de una bar¡a de pórtico cargada . . . . l5t1 5. Descripción del procedimiento de cálculo para la aplicación del método de los focos a estructuras aportjcadas indesplazables y vigas continuas ........ l5r¡ .
6. Ejemplo de aplicación
........
Íi0
/t
Indice
Método de la distribución de parcs l- Descripción grnera¡ del procedimiento A. Pórticos iodesplazables
B.
Pórtic-os
Indice PÁglnr t6O
Púglrrr
...,... ...... 161 ..... 161 ....... 161 ....... 162 ....... 163 . . .. . lff
..
desplazables
Ejemplo numérico 11. Estructura aporticada simétrica Vierendeel
zamientos
¡¿
194
ffi
verticales
Ejemplo numórico 13. pórtico con desplazamiento verti_ cal, cuyo piso alto está retirado . ..
... lff
(i. Dcterminación dc los coeficientes de distribución o de los momentos de
........
f-T-Tt LJ I-l
Ejemplo numérico 1p. Estructura asimétrica con despla-
2. Detcrminación de los cocficicntcs de distribución de los pares ,¡ .1. Determinación de lo¡ coeficicntes de influencia y ..... ,f. Determinación de los momcntos extremos P¿ . . . tr. Determinación de los momentos de desplazamiento, para A 1 y para nudos =
sin rotación
XVII
r--r--
fr-l +r
I
" )'de
los tér.rjn's
ti' r.,r!.r
Ejemplo ilustrativo l. Barra simétrica con r.artt.las rcct:rs Ejemplo ilustrativo 2. Barra disímétrira cán ¡:arirbrilit., ..... '_'" r'dr(¡¡Jt'¡¡(.r Ejemplo ilustrativo 3. Columna .on .ol,Jo'. ca¡tel:r .. Ejemplo ilustrativo 4. Barra.or, ..r,.,lur-Jii,..,1r,,,., ,1,, .r,i,o, ,l*,,,,,,,,, . Ejemplo ilustrativo 5. Bar¡as a" p;rU.o in.lir",l",. ¡r,n ...rrr.l;is . II Estructuras ind es plazables
EJEMPL()S NUMERICOS t 6¡t
.
Sr¡c¡óx Pnlunnl Estructuras aporticadas sin cartelas
Ejcrnplo numé¡ico
Ejemplo numérico
2.
3.
I
Parte de pórtico con ménsula . . .
unidaalascolumnas
Pórtico de techo, simétrico
.
.
y en Parte
L Estructuras desplazables 7.
Pórtico shed de tres naves
Fijcmplo numérico
8.
Pórtico para tribuna
Ejcrnplo numérico
9.
Pórtico asimétrico de tres tramos (con variación de temperatura) .
10.
L
ffi
#
Pórtico siméuico de hangar
.
de
cuatro naves, con pies de colunr-
nasarticulados.....
tr
rT_T--1 r-T-T-fT
14.
'l l-'
.li) .
170
15.
16.
E,jemplo numérico j
7.
4,
178 180 180
t 8.1
18;
t9r
Viga de dos
.'lt .
Pórtico sjmétrico de dos pisc,; r on
ff, fá
II Estructuras d es plazable-r Ejemplo numérico
aá aeá añ aá F oF
.... 2lf)
ll
l-T.
T: T-r t)
Pórtico de tribuna ..
Ejemplo numérico 19. pórtico simétrico de hangar
ll-{i cic r.ur¡_
tro naves con apoyos articul:ldos
Ejemplo numérico 90. Estructura con desplazamientos r.rrticales con planta alta retirada . .. Ejemplo numérico 21. pó¡tico de puente de trcs tralnos asimétrico (con !íncas de inllu,_¡r_
.á
aá Já aá
18.
ri
Srcc¡ó¡¡ Tencur.r
La viga continua constantes de bar¡a (l,l a¡o¡ aro mediante tablas numéri.u, , ,ror,ll*,rrroi
Determinación ca.rga
de las
Ejemplo ilustrativo 1. Barra simétrica con cartelas Ejemplo ilustrativo g. Barra disinlétrjea con (.a¡.trla
i
IT
---YF-.!
de
l,
'.
.llr'
,',)
r-rl-=Il
cias \
I.
,I
lti
Pórtico simérrico de dos pisos .
dulares I
.lrr
L-L]
t¡anl<.rs rígidar¡¡t.rtt
apol'os articulados y colurnnas l)(,n-
172
17
Parte de pórtico con rnénsul;¡
unida a las columnas .. Ejemplo numérico
173
I --T--
I
.,0, -'l ,'
a
fljemplo numérico
I
..... """' r444I ¡-1
Ejcmplo numérico
I)jcrnplo numérico
T I
I-T-r
..
Viga de tres tramos con columnas en Parte a¡ticuladas
T I
t I f---l
rígidamente empotradas I
I
Ejernplo nr¡mérico
(il)
r69
,
,4'\
.....
Ejemplo numérico 5. Silo celular de cuatro secclones . 6.
T
Viga de dos tramos rígidamente
Ejemplo numérico 4. Pórtico simétrico de dos pisos
Ejcmplo numérico
-ltl-'
-'o(r
I'lstr¡rcturas indcsplazables 1.
)|i
.
rrl,r ¡rrcvia
(tr)
Est¡ucturas aporticadas con cartela.s I. Determinación de las co ,nediante las tablas;r-;T:::t;'je-3ilil'.0'
Parte Segunda
Ejcnrplo numérico
190
Srcc¡ós S¿cusor
despla-
....... 165 zamicnto en nudos sin rotación 7. lijcrnplo de aplicación para una estructura aporticada indesplazablc :. .. . ... .. . l6';
I
19t
t.,l
l.,r
llJi
l
t
lndicc
lndicr
/lll
XIX
Púglnr 243
'
L Ejcmplos -ii"¡ "
i,pr.
numéricos
numérico
'"
completos "i,:j "
;
:
.
"
l;
;.;.,m :'r.t :' j:"T.'.'"' no unrconstante (con variación tcmPeratura de forme
:
?A¡
tramos' asiBjemplo numérico 23' Viga.continua-d-e^dos (con rectas mé"trica con cartelas influencia) dc ünca¡ Ejempro numérico
*
i;liit*, *t:,#"l3'"1',.i;' de influencia) " ' " (con líneas
;iF¿
?.+4
r;_-v
Tablas f cartela recta en un extremo T¿b. 13 ,, ,, 1+ numéricas J ,, pa¡ab. ,, ,, cartelas rectas simétricas 15 (lD partes) ,, ! -
24.1,
'
\ ( l\Lr__--,_omosTa- I i mas(, l ( 10 oartes) I (
SeccIóN Cu¡'ntn
grado superior Pórücos hipereaüiticos de dc
de edificio simétrico' Eiemplo numérico 95' Entramado de tres columnas ca¡diez Pisos Y gado simétricamente ' '
de edificio Riemplo numérico 26 Enuaslado at ¿it" Pisos Y de cuatro )n cargas horizontales Ejcmpro numérico
r
siméuico' columna!'
Tlffil:.T":3jl'::i-n,::':! veiticales' de seis e
i;;;;;;i";os
carga verPisós' seis columnas -Y
tical
"
ffi
ffi ffi F+1 r
25t
ffi l#
95t¡
ffi l.ffi
iTT1 Itrr]-n
Hffi
rectangulares Montentos de inercia de secciones
carga
I de empotramiento) { rn.r *',1 $!?- I = mümentos ;:: ánqrrlos tangentes extremas) | '=
il,i,i?], l: ;:ffi;i". ii"",r
|.
u,ri¿*
+ J-l*f, JF
ícar8la,uniforme-, mente drstrrD''o"'
''l
ca¡gas triantsulares' momentos' tempe'
"-:,t:" ".,,."i*¿.,
,;
Tab
i
279
273-\¿75 276-271
)
278.-271'
6
280*981
7
282
tJ
283
:¡a
6a 7a 8a
98'l-28r¡ 987 ^Ltltt 290*?91 299,-9113
JF
4 Já Jf, Já ñ
J ¡
I
rabras J"::"";',.'"T:: :: 1."::.'*J;:j;:
nurnérica,
fcarreia
-
305- ,to7
308
I
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1i ll] ,, ,,sinrétrii'as ,, ..:b rr, ,r, ;; ;i ifi if','
.";;.," ,:"i:0". ,,n""*r,.ono .,i,
,
,, , parab '",".]"oT.';Ts
[ I ':1ffi1,1: de cálculo para la resolución de sistt-m¿rs lineales de
Sistemas
simétri- [ E;"-plo I
..:*,ii", 1[ ,,.*". "'""t'" ,, ^' sistemas Srsrcmas
asimétriai¡merrrf
1
..p..r.ntación
tabulatia
Tab.
29
29a
;: 30a ¡i', t.illx;.x",1"0",.0, nuniérico ,, 30a \ ejemplo nuniérico I
representación tabulada cos.dr Ejemnlo ' ' ftt .f ejcmplo nuntéric
Tab 31 ,, 3la
]1"]
.35
1
l?l 355 35h
1\7
\'. Tablas auxiliares pa.a .1 mótodo de los focos.
"i:H::" I l:ll:-:#"'ili,;.*;;,;;,i., ¿.;"ii,.".i,i ':: extre- i
Momentos
u".I:'Jl'
já?,i.o
,t-..j:'u.;J::',.
numérica No..'os.am"
I tuo,"
f
-J(X)
:, i3: ;li *':'*. t:,t
recra cn un
i::::i;;:ru:ntos
FC
Tab. 1Z
ii^
l'"::""'J:j;l
30g.if)t
16 3lO. ]t 13a 31,J \l 14a 3t5.. \ll lía .lt8-.,.Jl(t ltia l2o J:ll
',;:, } .;;," L?,T.,' u,,".*t,",,-,o ... ,. '(rr mas ,: simétricas
,ti_?', j ";?,'.'* I ,lñ;;Ñ
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cartela recta en un extremo
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[ '1:L:ff,1tTr."ll-
f
#
-r-1-l
nigut "tnltt|f,fr"" de las estructuras aporticadas Y Tabl¡s auxiliares para el eálculo 'l'ab. \ "{'qh 270-271
cartelas:
B. Clonstantcs..de
íJ4
,,
,, cartela recta eú un extremo ,, parab. ,, cartelas rectas simétricas ,, parab. ,, barra ,v términos de carga para el cálculo de
fF
Parte Tercera
Visas sin
,n;*'"' f cartela recta en un ext¡cmo T¡b. 9 Tablas ) . parab. ,, ,, ,, ,, l0 gg}s numéricas ) cartelar rectas ¡imétrica¡ ,, l l 996 t ,, parab. ,, ,, 12 wT Zgg f cartela recta en un Gxt¡€mo ,, ga ggg Nomogra- J . parab. ,, ,t t, ,, l}a rectas sis¡étricas ,, lla 300 -* ) cartelas parab. ,, L ,, ,, Iea 30t
f Término¡ _de carga I ülr Sb J (carga unifcme- ) mrnte dhtribuída) | [
#
l;l
.]i
'.,;n
'ab. ,, 3.la
3r()
PARTE PRII,f ERA S¿cclóN Pn¡¡.rnn¡
ESTRUCTURAS APORTICADAS -SIN C..\RTELAS I. PROCEDIMIENTO DE CALCULO POR EL "METODO DE LAS ROTACIONES ANGULARES''
L
Relaciones entre los coeficientes de deformación de una barra de pórtico
La designación del "Método dc las Rotaciones AnguLarcs" es mul corriente cntrc los calculistas de estructuras )' se mantendrá en adelante, a pesar de c¡r-rc r1o es c-omecta, pues las incógnitas. son en mr¡chos casos. rotaciones angulares
La figura 1
y
desplazamientos.
representa Ios nudos 1 y 2 de r¡na barra pertencciente a una estructura antes y después dL la deformación. Por hipótesis, ésta ? sc produce debido a cargas cxteriores que actúan sol>rc el reticulado originando rotacioncs y dcsplazamientos en los cxtremos de la barra. Las deforr¡raciones indicadas en la figura 1, han sido rcpresentadas exageradamente, teniendo cn cuenta
a-
Er ó ¿i:r .....
.á
A:
tF
Fig' l' Angulos de roteción y desplazamientos 1
ángulos de rotación de los nudos I :, 2. a rotación dc los nudos, ángulo dc rotación de la barra o rotación. dc la barra, írngulos formados por cada una dc las tangt:ntcs extrclnas a la elástica con ci ejc baricóntrico dt' ia barra, ángulos dc Las lanqtn-
eá oá
Jé Já
*|ff
la con'r.'ención de signos que se explicará en el capítulo sigLricnte. En lii fiura
JF
eá Já oá
o
sisnifican:
Já
Já
L--l
(J)i
tes extremas,
los valorcs realcs dc los dcspiazamicntos vcrticalcs de los cxtremos dc la barra 1 v 2 con respccto a la posir:ión inicial dcl eje dc la barra. des plazamie ntos re aLes, 3r - E!.. cl dcsplazamiento relativo dc los dos extrcmos dc la barra pcrpcndicular al eje de la barra. desplazantiento rtlatit'o. Scgún la figura 1 el ángulo p cstír dado por la relación
tgú:-l-
I
(1)
.r bit'n. corro cl .rngulo es nru) ¡:. r1ueirt,
?sit'nclo 1 la longitud de
la barra.
A I
(2)
Pocedimiento de cálculo por
el "método de las rotaciones
Reemplazaado el valor del "desplazonienta relatiuo" mientos reoles" 6r y 6¿ se obtiene
angularcs''
A por los "despla;.a-
. 6r-62 g:__ l_
(3)
Fórmulas de pares extremos de barra
I)e
r^"^i:3: para una barca l_2 con un "r caso especlll,l(ver ecuación 1i!)) mom€nto dJ irrer.ra .t*Olrncado constante: estas ecuaciones
Mtz:4PI - t ,,'!,+2¿!
,:rrnry!**wtt.z
De la figura 1 se deducen además las siguientes relaciones: (4) rr:gr* {/j ¡z:92,*,!. En todos los casos pan * = 0, es decir, cuando el eje neutro sc desplaza paralelamente a sí mismo, los ángulos y 12 de las tangentes extremas son igualcs a los ángulos de rotación de los nudos"!9r y 9¿. Para el caso especial r/ : 0 la (,1) ff exPresa Por ('lo) ¡r : ?ti n: 92, 2. Convención de signos de los pares extremos de barra y coeficientes de deformación
Para establecer las relaciones entre los coeficientes de deformación
y
los parcs extremos, es indispensable determinar con exactitud no sólo las magnitud¿:s
Mtt: alr *-+.7gJ .u,* ..,".,o'.,.,
Para simplificar la expresión intraducimos en tas
*= 2Et
(v)
(
Jd) +
c)
d)
1 . Las rotaciones de los ¡rudo¡ son positivas cuando se cfcctrii¡rr
' Ia barra (,/)
(('
It '-,'_t.t-KlZpt +e:
Mz.t
:
k
(2ez*
r1
(7)
,
son posiiit'os cu;urdo r'l
Férmulas de los pares extremos de bana
I-os pares extremos de barra dependen de los coeficientes de dcfourralirirr y
)
El significado estático de ios términos rL¡¡¡I¡¡¡us Ul, - n u llld:.r, quc sólo dcpcnclt.lr dcpenck,n tr¡ l:r s que q".-u.iiu., !."2 se sohre r. barra. L^*-^^'Tr,i, que-lr".ll"¿, sobre , ji*u" e r -''I, nr 0. ez:O ," :-d" y r.rr l;rs \'i ) ur) _la ú:0. "¡,ii.r.,. De esta *".r..á .rtJ_' rlos en cl caso de una lrril¡ttlirttt¿¡i¿+¿l¿üftfll barra rígidamente empo_ A -a) trada y la (7) .. .onui"r_ x j ,N All('a|gas s exteriores
Lutqo deducimos que los ter¡ninos de carga tienen
:Y
¡ls'savb sisnos
v
Fic.rayb. té¡rninos ¿u .¿¡ea
.?Jt.
Ia mrsnla convención de signos que los pares e.\tremos de barra" ü'*'T'i*".o,,,,
.,.*"H,:::i'lffii:,r:::;;;
,;';;,;,;;:.:", er r,i.,,,i,¡r,
.',,'?,,r"Ji'¡rig '"áü"::rl:'"Ti:"',1j:'ilT:: 9. .-p"','"''i""i'o"crt esta r,,,,,,, ,r,. -es" que. !fi¿"" posit'iuo ("r *.;;;";":'#x.&,i::,:r:*:j.j;-,Hl¿;;i,',''r','
T'Ylill,;",tói:",TX.,li,T',nfr'.':"",j:t":l;i"r" J.'a,,')a;rl'"fr,f . o¡ L.argando una barra vt,rtical
Í,H:*#:il"11",
j,"
rr,
r, s,¡r,;,
r.
p., l" irqrírrrto
.,tjs. 4a). flt,n,. cs n,..:,atr,,, ba,.a d,,,1-.tt;,;i;;J actúa cn r r s.
;Af,,.1I,.,:;;' f i:# p"i {'a,i),;;"&TJi]"11,;,#, ;:.;l,l;; ,,, :lJ.::n'i;;;" ?,,r;,};::,, E¡r Ias rabras 2' 3. +"r,un-í;¿o'.Jri'*"ro:, ' i ¿"-ior"'i'}",1'r''¿" r", r¿"ri,rrJ in,is ,,*,,,,r,,, 1,,,,., nr¡mó'íru u? considcra;;; i.. trisrí,¡rr,* ::r'';:"Tüación r.sr,r carsacra
r
,
;
rr
3{l *Dt,,".
* 3{,) + rn;';.
giro se produce en scntido con.ltttit,
3. r,os pares erctremos de barradesarric.llii; iffj?r$,lr;:t:'"#i1; ,,, "11;,,, ,'l scntido de las agujas del reloj (fig. 2c). 4. Los pares eJctremo¡ de un nudo desarticulado son positiuos, cuando gir:rrr , tt t:l .tentido contrario a las agujas del reloj (fig. 2 d). 5. Los desplazamientos relatiaos A son positiuo¡ cuando produccn un :ir¡¡rrLr tlt rr¡tación de la barra positivo, es decir, cuando la barra gira en eL srn.tido tt,tttrario a las agujas del reloj (fig. 1). 6. Los desplazamientos reales son positiuos cuando se producen dcsdc :rlriIr,¡ lr:rcia ;rbajo o de izquierda hacia ia derecha (fig. 1). 7. los diagramas de mornentos se dibujan en el borde traccionado (fig 2¡¡)
:,
(5) ra expresión
*f ;;r' ,i--;';;;o de la rotación dt' l;rs (-+-) agujas del reloj (figs. 1 y 2h\. " " 2. I : ,.lr< 2. Lo, ángulos Los áisulol de rotación rotaciótt lt d,' f -]v
l-ig. 2 a, b, c y d, Convención do ¡ignos.
3.
y /,
.,'#:':X:?("ó'H:T'i:';::::":X,7u*,':;u:,0,. o co,,stante de ta ba,,,,.. ,,:¡s
La
vencrones:
.[r.'i,,*,";,;,],n:_:,T: r r', ;,li ;;"nio cre ;,,",..,u-i"*.ra;...",, sección
i;,,;:,:)Tf,X^uj.i","lu,t;ciáual
estos valores, sino también su sentido.
convención de signos debt'n scr establecidas de tal modo quc cl crilcrrIo sea sirnplificado en lo posiblc, f;rcilitando la visión dt' <'onjunto y t'vi tando el frecuente cambio dc sigrr,,s en las diversas ecuaciont:s. Dcfi¡riti vamente se fijarán las siguicntt's t'ort=
(5)
Tabla
I.
Fórmulas de pares extremos de barr¿ Mt,z, Mzsi para barrar con seceiones constantes y diferrntes condiciones de vhób r
¡l Condiclonc¡ dc vfncuLo
Nq
B¡rr¡
Ambor €rtrGr¡oo de l¿ b¡rr¡ elá¡tic¡ment¿ eE¡rótr¡dot.
I
ffi
b
I
Ertrmo (t)
l¡ b¡rr¡ cllrtlct(r) d.
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Brrta dctctr¡¡da t - cqcaff¡q8 B¡t-r !¡n dcrplrzarnlcnto rin dcrpluemicn dcrpluemrento r¿l¡tlvo relttlvo rel¡tlvo (t-0, (!I'!-q
I
Er€nt €m¡mtrÁdo; attrerro
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Gcncr¡l c¡rgadr I desplr3¡¡¡¡¡¡¡¿
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b¡rr¡ rl¡tld¡mente .mpotttdor (9¡='|-O¡. Arnbos Grtr€moa dc te
Mr.¡: 1,6&9f X[r.¡ - Qót[¡,r ilf¡,
¡:
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0
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M¡,¡: 3&p*Illr.¡
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Comparar table
l.l -
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...
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!![r.r
para barras con ¡cccione¡ variabtc¡.
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6
sr.¡-0,611r.¡
so
E
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fórrDülat de parcr cxtrceos de
b¿rra
5
Más adelantc se empleani la fórmula que da la suma de anbos parcs extr€mos de barra, deducida de la (7\,
Mp * Mzt:3
(vr * sz * 2*,) + !!Ilr¿ -l- !l*¿.r. {9) Si en lugar del ángulo de rotación {t de la barra, reemplazríra¡nos .en las ocuaciones (7) y (9) el ,desplezamicnto .relatir¡.o A" rtenddamos *{r,z
Ic
:*(err
+
Mzl: *(zv,+ Mtz
* M¿l :e r(r,
+
ez
+#¡ * *,,
el + e2
+
(10)
*)
**,,.
?)
*,[Itr z + !Ib.l.
(11)
En mr¡chos casos 'es ,más conveniente reempl azar lt por los valores reales de y S2. Siendo 8r el despiazarnienú del extremo izquierdo o inferior y 82 el del extremo derecho o superior, las ecuaciones (10) y (11) toman la forma: los desplazamientor 81
Mt¿: *fzr, + ez +19T9l+
Mz^: xfzn,* Mtz Y
* M4t:s.*[er *
pa
E,
*
n,, **",.
ry]
*
]+
mr.,
*
mr,r.
(10 ¿)
(11 a)
La tabla I, pá9. 4, da las fórmulas de los pares extremos de barla Mtz Mztpara diferentes condiciones de ünculo y bajo consideración de casos especiales.
II.
RELACIONBS GENENALES S¡¡"IBE LAS CARGAS, ESFT'ERZOS DE CORTE Y MOMEI\¡"TOS FLECTORES
l.
Gmeralidades
Antes de entrar detalladamente en el Método de las "Rotaciones Angulares" apücado al cálculo de pórticos, se considerarán aquí los teorernas más conocidos de la estátic,a de las construcciones, para la mejor comprensión de los temas a tratar. En primer lugar se considerarán las relaciones mas important€s entre cl estado de carga, efuerzos de corte y moeento flector, en ejemplos de aplicación práctica, con el fin de tenerlos pr€sentes en la memoria. En primr lugar aclararemos los conceptos de esfuerzo de corte y rnomento flector en una viga simple-
neate apoyada. El esfuerzo de corte en una sección determinada de una üga es la resultante de todas las fuetzas normales al eje de ésta, situadas a la izquierda o derecha de dicha sección. EI esfuerzo de corte a podtiao cuando a la hquierda de la sección está dirigido hacia arriba, o bien a la der¿cha, hacia abajo (figs. 5 y 6). El momento flector en una sección determinada de una üga es la suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan a la izquierda de dicha sección con rrspecto al baricentro de ésta (figs. 5 y 6).
(i
I)cttrntinación del sentido del esfuerzo de corte partiendo del diagrama de los ¡non¡r:nto¡
Relaciones generales ent¡e las cargas, esfuerzos de corte y momentos flectores
Además es sabido que la primera derivada del esfue¡zo de corte corr a x es el valor de la carga - q, es decir:
La misrna relación como la del esfuerzo de corte v carga, existc t'ntrr. y esfuerzo de corte:
rr.s-
r.l
rrronlento flector
l)ccto
dQ
7
(12)
(l.J)
Debido a que la primera derivada de una función en un punto es la prndicnte de la tangente en é1, se deduce de la ecuación (12), que la ¡rendicrrrt' del diagrama de esfuerzos de cortt' t'l t es igual a la carga (
Lo que significa que la pendiente con respecto al eje de la viga cn un l)rrnt() tk'l diagrama de momentos, da el esfuerzo de corte en la secciórl L,r.gn ,:,., ,,,, ¡lrnto donde la pendiente del diagrama de momentos es igual a cero, eI csf',,,.,.r,, cL: t'orte en aquél también Io es y viceversa. figuras 1l y t2 aciaran estos conceptos. La figura 11 reirrescnta un;r . L.ut viga simplcmente apoyada y la figura 1? una viga continua dc'dos tr:rrrr,r,
-l;-:
1 p, pe
p.
-q'
"
:lo:r;rttu"
Anrbas cstán uniformementc cargadas 1. en las fi-
gur¿rs sc c¡bservan los diagramas de corte
v dc mo-
o
nr('nt()s. El esfuerzo de corte m¿iximo ticne iugar rn cl ¡runto, clonde la pcndientc dcl dia:rrma dc
Fis.
Fic.
6.
5.
Fig.11
Figs- 6 y 6- Esfuerzos de corte y momentoa {lectors de una viga simp¡emente apoyad¡.
'l'cniendo el diagrama de esfuerzos de corte puede deducirse con facili¡l;rtl r.l cst;rdo de carga correspondiente. Por ejemplo, el diagrarna de esfuerzos tlr' r'ortr' (fig. 7) tiene una pendiente constante a lo largo de toda la viga, lo rltr''
nos dice que la carga (q) tt' distribuye unifonnemente. li¡r l:r figura 8, la pendiente dcl rli;r grama de esfuerzos dc t:ortt' t's igual a cero en los aPoyos Y r,';t creciendo hacia el ccntro (l(' lir O crr viga. Se -l-' rl -.---.--, que -- deduce B.'-b*' ]los apoyos y cs máxima t'n t'l t t'r¡ tro de la viga. En la figur;r 11, la pendiente del diagrarn:¡ tlt' r's' fuerzos de corte es ccr() ('lrll(' los puntos A y C,luego, rto ¡rttt' de existir carga alguna ('rr ('sl('
oIffi
¡_
AI t
tr'ie. tr'is.
9.
It
9.
j=,,,,,,,,,,,,
\lfi-llll_{!
Fis.
10.
l,iss. ? a 10, Relaeiones entre los diagramas de carga y esfuerrcs de corte-
,:rr¡¡;r
de
::ffi:'
J; wt
;:x;.'li'i,,ll
una.variación que indica
1,,
''1"
tencia de una carga con<:t'lltr:ttl;¡. En la figura 10 Ia ¡rtntlit'rrlr' entre :4-C y D-B es igual rt ( r'rt), lo que indica la incxistt'rrci:r rlr'
(g) en estos tramos. En el tramo C-D el diagrama de esfucrz<¡s rL' r¡rtlt'
rir.nc trna pendiente constante) lo que indica la existencia de una carga tlistrilrrritl.r.
¡rrornt'ntos flectores con respecto al cjt dc la viga cs m¿ixima. El esfuerzo de corte es igual a cero cn el punto donde las tangrntes al diagra.ma dr los mornentos son paralelas al eje de ja viea. En
F
is.
l2
la figura 12 se observa inmediatamente que la ¡rcndicntc de la tangentc cs r:onsiderablcmente ma-
\'()r ('n cl a¡royo interrnedio que en los apovos ('xtr(:rnos. En la ligura 13, este hccho resaita rrrás pronunciadamente; cl diagrama de rnomcntos ti¿'nc a la izquierda dcl apovo nrcdio una ¡ r'ndir:nte muy pronunciada. En la set.ción cc.,rrcspondicnte cl esfuerzo de corte es máxinro. Las consideraciones anteriores son tarnbién '"'rilidas para toda barra recta de un Ntórtico.
Aunquc tuviéramos diagramas de rnomt'ntos flectorcs complicados, podríamos encontrar con fa-
Fiss. 11 a 13. Relaciones cr¡lrr. l,n
de carga. dc efur.rrr¡r ¡1, ilidad las secciones del entramado. donde los es- diagramas corte y de mome¡rt¡6 flrÍlorr.¡. Iut"rzos de corte ticnen valores grandes o rnáxirnos. Para el cáiculo práctico. lo anterior"cs de mucho interés, pucs los ('sl-llrzr,., (()rtantcs sc deterrriinan sólo en ias secciones import;rnte para cl dimcnsionnrrrir.nto <
2.
Determinación del sentido del esfuerzo de corte partiendo del diagranna de los momentos flectores
Ya hemos establecidr-r la convención (pág.2) r'le que ]os diaqrarnas rlt, l,,s nr,, dibujan tn e\ bordr traccionado dtt la viea. I)c csta rnanr.r:r s,. l¡;r
IIr('Irtr:)s sc
I
(l
Estructuras aporticadas con nudos indesplazables
Generalidades
fijado un modo de representación que también servirá para la determinación del esfuerzo de co¡te. De la escuación W) deduce rápidamente la # magnilud y el sentido del esfuerzo de corte, y de esta manera disponiendo del
Previamenie se debe deterrninar si la estructura tiene nudos desplazablcs 1 cuantas barras sufren rotaciones, Un método rápido para anaiizar, si en unrr
diagrama de momentos flectores para cualquier sistema, se puede determinar también rápida y seguramente los sigzos de aquéllos. Sentada la hipótesis que el diagrama de momentos se dibuja en el borde traccionado de la barra podemos
fijar las siguientes convenciones: Si el diagrama de los mómentos
flectores desciende de izquierda hacia la el diagrama de Ios esfuerzos de corte es positiuo, es decir, dirigido hacia arriba a la izquierda de la sección. Si el diagrama de los momentos flectores asciende de izquierda hacia la derecha (,/), el diagrama de los esfuerzos de corte es negatiuo, es decir, dirigido hacia abajo. Estas convenciones son generales tanto para las barras horizontales, como para las verticales. También es indiferente si se observa las barras horizontales desde abajo o desde arriba y las verticales desde la izquierda o desde la derecha. Se recomienda comprobar estas .convenciones en las figuras Il a 13 y grabarlas en la memoria. Estas convenciones son muy prácticas para el cálculo de pórticos y dan al principiante en la estática del hormigón armado, un medio muy sencillo ya sea para deter:rninar el sentido del doblado de hierros (hierros principales de tracción) en las distintas barras del pórtico, o bien para 7a verificación. :'' Sólo es necesario observar que el doblado de hieros se haga en el mismo sentido de las tangentes del diagrama de momentos flectores. En la figura 14 vemos por
derecha
(\),
Fig' 14' orientación del utT;"*L"u""rrjr'.1$"ffif;"*"1J.Tj:tu"
de los
hienm inclinads
ESTRUCTURAS APORTICADAS CON NUDOS INDESPLAZABLES
1.
di.
e;-
de los
{-
dI.
nudos.
F--"
t¡;'rr
L&L !'
il{
Generalidades El diagrama de los momentos flectores de un entramado, para un estado de carga dado, está determinado cuando se conocen los pares extremos de barra. Los pares extremos de barra pueden ser calculados mediante la fórmula (7), previa deterrninación de los ángulos de rotación de los nudos y de las barras. Las incógnitas del cálculo son los valores que determinan perfectamente Ia deformación del pórtico. En general estas incógnitas son: los ángulos de rotación de Ios nudos v y lor ángulos de rotación de la barra ,y', o bien los ángulos de rotación de los nudos e y los desplazamientos 8 o A. En las estructuras cuyos nudos sufren una rotación y no se desplazan debido a fuerzas exteriores, no pueden tener iugar las rotaciones de las barras, con lo cuai resulta más fácil resolver estos sistemas.
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(DO(J/0@
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Iris. 15. Jncós.ritu: p3, Ea. Fig. 16. Ircógnita: 92" F-ig. 1?. Incógnita: P:. Fu*.
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18.
IneóBnitax:
r¡'3, r¡n
IF d@@@( @@
E aÉ
Fig. 19. lncósnits: q4,95,96.
Fig:, 20. lncógnil¿s: gs, 9¡, g*,
dt-
.F. eFt trc F rFo .' T
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Incógnitac
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F l¡-
ejemplo, el diagrama de mornentos flectores y el doblado de los hierros para r¡¡r pórtico de dos tramos, uno largo y otro corto. Observando el diagrama de los momentos flectores, vemos que en el tramo más corto, el doblado debe tener ia misma dirección, mientras que, en el tramo largo, hay una variación de sentidos en los extremos.
UI
(rstructura hay nudo; indespiazables, es suponerlos reemplazados por articulaciones' Si con este artificio se conserva la estabiiidad del sistema, ért" no tien(! rJesplazamientos. Las figuras 15 a 25 nos dan ejernpios sobre lo anterior. lirr Ios pórticos representados se hace resaltar especiairnenie ios ánguios de rotar.irin
CD
/ñ v
G)
@
6)
@@@ Fig. 23. Incógnitas: 9s, p6. ??, gs.
Fig. 23. Incógnitas: 95, Pfi. g1o, g,tt, I rr
Fifa. 24.
J¡ill. lll,. f'ara carg¡s ¡sinr,lr¡¡¡" g'1' Y'2,9 ); flam car¡ts sirtr¡ l r ¡c¡n tlt p&ra cargas ¡thl itni't I r¡ ¡,' g¡' r/t1.
@ Para ca¡gas gimét¡icas: fl, 9:, 93, 9a, 95, P6; para cargas simétricas: 91, E{;
;
@ para cargas antimét¡icss
9r, 9r, 9+, 9:, Figs. 16 a 25. Estructuras portant€ sin articulaciones, "iruLaStlazoblu".
oio -
ErulTllnw tl ta -ñp-EFLi tl Li tl
H'EI
H*Jt*H
CIl@ I
Fig. 2?- Marco. Incógnita: g¡
l'ig. 26.
]vtarco.
lncógnita:
9I
10
Estructuras aporticadas con nudos indesplazables
Ecuae,iones ¡ud¿les
para eatructuras aportieailas indesplazzrbles
I
. un grupo especial representan los pórticos. figuras 36 a 3g, en l.s .rr¡¡ lcs a- Pesar de- la estructuración simétricá y cargas -simétricas hay desplaz;r,,'i,.rr tos de los nudos.
Además hay una serie de pórticos simétricos qr¡e como sistema debieran ser incorporados a los- de nudos desplazables, pero que para un estado de carga simétrico &tos no sufren desplazamientos. Las figuras'Zg a 35 nos muestrin algunos de los gistemas de este tipo, en las cuales e,stán consignadas las incógnitas para estados de carga asimétricos, simátricos v antimétricos. _
o ris. 36. I'ara cargas asimétrim: Vb pz, gi,gs,,
g2., gt,, 9a,95, vs, 98" 95,, V4r, rf1, 61, ó3, é3, ó1; p&ru cerg:as simét¡ieEs: 91, ?2, ?S, g¿, ?¡, gO, ór, 6z ; ¿ntimétricc: 91,92,99, g¡,g¡,9a,úr,ór,ér. ,,,,
(DC Fie. 28. I'ara cergaa sim.: 9:, gz', *l Eim. ; 92 ; antim.: 92, t1,1.
Fig. ?9 Fig. 30. Par¿ e¡d:¿s uim. ; gg, pl, g¡', al ; para cargas aeim. : 92, q2', gB, EJ', + r, \i, !
i
antim. | ?g, g{,
sim. : 92, ys
Psa
y2,Vs,Vj,q j',\.,'.'l ca¡gae asimótriG: gc g¡, ge', I,u', *t, tl,y ó¡, ó¡, ó3 para ca¡gas simétricas : 92, \,s, tpb, g¡¡, ó¡, ó1 ; ,, ,, antimétricas: g,:, g.g, p4,gi, gri, ! r, r/ !, rr¡r.
,,
;
¿r
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antim.: 92, 9g, tll, {:.
A1-
@
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r&
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a/
s
Fig,
A¡
A¡
@
@@
1F H JF
A,
Fig.
91"
32.
Para cgrgas uimétrieas : P3,, 91, 9s', Ps, 9s', th, riz; pa¡a cargaa simétricm:
Para cargas simétricaa : ?s,9¿, 9s', 9¡, 9s" ?¡', ar, ar para €¡g:as sieétricas:
9& 95; psr& carga antimét¡icae: qil, f1, E:), Vl, Ú:"
para c&tgas antinét¡ice: 93, P4, 9¡, 90, ar, a:.
l'ig.3$. Para cargas asinélricas: 93, V4, 9s', 9:, ?e, 9¡', ar, ar ; para cerges simét¡icu:
9s, P:,;
V3'
?;;
para ca¡gas antirnétricss: 93, ?.r, 95, 90, ar, a:.
@
Fic.
Pnr:{ ear¡{a$ asimót¡i¿as: ?:}, aimétricas: 93.
gj,,
g,+, 9.1
;
¿ntimétric$: ?:L gt, Ar.
fi')
@@CI Fig.
34.
g'j,,
A_
;
Já fá Jñ Já fñ Jñ Jf,
L
@@
JFñ
35.
Para cargas asiúétricas: 9g, ?{, 9'{', qj}', ?:., f
¡imét¡ieas: p3, 9í,
antiñétricas:
9.g, 91,
9r; 9:,
-¡Jl,
.-,'.
U,l,
!:.
Fi::s. 2S a 35. Astructuras portants simétrieas que sólo aa^ "ind,eepl4z&blee'" ¡ata cargas simr:tric¿¡s
d.
é
Jf, €
I
88. tps, V4, qs, p6, g?, p8,
vs', v4', g6', pz,, 6r
Fiss s6 s 89' Estluctur8s
2" Ecuaciones
Fig.
39.
Para ca¡g:u simétrieas;
tlt tltt:
para ca¡g:aa simétri@8 : Vg, Va, q,$,g1, A1 : ,, ,, antiruét¡icas: 9¡, ga, g5. ?6, p:,9s,
gg, f',t,
g
r, I t'. ,t't', ,l r'
ó1. ó¡, ó3:
*r,
para cargss simétrics : 9r, ú
,,
,, antimétricas;
qg,
g,q, q:,, dr
;
Tl, ft, ór, ór
aportieadas stmétricw que también son "do.wlazablr:o', parn
cars¡¡ ¡i,n(.rrr,r
nudales para estn¡cturas aportieadas indesp,lazahlos
En estas estructuras no se producen las rotaciones de las irarras \. I)r)r (=ol siguiente.en -las expresiones (7), para los pares extremos de barra .1-2, j,.n,,¡,,,., (en los términos ry', se obtiene:
.á
A,
^u_/
Jrñ
Fis.
Para carg:u simét¡icas :
Mt.t : k (2vt+ es) + Mzt: k (Zvz * pr) *
{I11,¿
[t-¿ r
(
1
,l
r
E'n coruecuencia, hay que piantcar tantas ecuacionrs como ángukrs rll r'r,r I existieran en ia estructura. Estas ecuaciones se clcnc,rrril¡;rr,.rn tn adelante ecuaciones nudales y se plantearán aquí en forma general. De una estructura aporticada cualquirra f,on n;dos clesplazabies. sc clts;rrtir.rrl;r tr¡t nudo z al cual concurren cuatro barras cargadas arbitráriamente y (lu{':rrr;rn cirrt dc los respectivos nudos 1,2. 3.4 (fig. 40). En este croquis tarnbirrr¡ r..,r.rrr consi5¡nadas ias respectivas constantes de barra k.
ción de los nudos
Desarrollo del cálculo E¡t¡uctura¡ aporticada! co¡ nudoa
t2
indesplazabies
¡rrcviamcnte todos los valores de ft con tablas y consignarlos en un esquema dt'l ¡rirrtit:<,r quc cn lo sucesivo llamaremos "esquema de los coeficientef'. 'I-abulando las ecuaciones, no sólo se obtiene una buena visión de conjunt(). sino también un control fácil de todos los términos del sistema de ecuacitt¡rt's. listt: aparece simétrico con respecto a la diagonal de la matriz de los coeficientcs, t¡ur: baja de izquierda a derecha. De esta manera se ponen en evidencia inmcdi;rt;¡rncntc posibles errores de escritura. Sin embargo, siguiendo este proccdimitnto, Ios ti'rminos diagonales "d" y los términos de carga en los nudos "J" no puedcll s('t controlados; por esta razón deben ser tabulados con tdc) cuidado. una vez resuelto el sistema de ecuaciones dado, con auxilio dei esquema dr' lc¡s cocficicntes se podrá caicuiar los parcs extremos de barra según la (f '1) Para tsto se necesita también los términos'Et hallados con anterioridad. <'u¿nrl,' se calculó los valores de s.
Segúnla(1'l)rlasecuacionesdelosparesextremosdebarrasenelnudoflc.otr
son: las norñenclaturas coresPonüentes' M¿t
e' * er) * I[',r k*z {2 en + ee) * $t''z
= k,1
b!*e: M¡*:
(2
k,.a (2 s¡ + eB) * Sl''¿ A4o¿: k*A \2 e' + e4) * l[l''+'
tric.,t0. Nudo r B€Darado ln 6tructura PortanE
de
(15 )
nudo es' que la La condición de la ecuación en el en él' sea igual lps pares extremos actuantes suma de -sl*i"¿" las expresiones (15) se obtiene:
i'J*.
Eln-,:
o
: e".e,Ei'', + f=j-''*'n EP"'
3.
(16)
t-
la ecua::Í:^."r""i::H#;: M* üT:::
gencrér,-uv' "::';; más generalizado' P¿rra un caso mas "l?odo "] momentos de voladiza y baras al q ui cra detr"'¡Ysrv'P t:u . -' ?d:*'á" :: l-t:i13, :::" siguiente: ciírn puede Plantearse de la manera : 0' &¡,¡p¡ i- Tlllto'i * E Mx 1-
!
e^.22ft".¿
cualqu-ier emPleada Para l':'*-:---' ecuación Pueqe Esta ecuacron Puede scr cruPtc.uo
":::
F F (s)
(17)
*l?,:-tff::f"Jil||: át ttt"tiooT^**t;:*:,?;',lTtfft.,ecuaciones incógnitas, los
rn^nera se obtiene
como
et)
"";;;; ilff ::T"":ii;n;ii::,'slT"i;ryj*f:***i{X*;x'"'1'.T:fr'J:: p, se ubicarán erL ta 6r&8Qn*r]"7liírí,
J-
,.oiifir,icntes de llnH"*::'ilTff i;ili",olr¡, y se los desiga estos términs " '.::#.IiiHi?"171'311",:l,l!*:::;i:,,",0::ti3o"',ü ¿",,o*i"a*
ü;';;;"*
nará con
laLe;:;t,
las dependrn exc_lusivamente de momentos l<;s inclusivt' o'-"'¿'i;noi d-'-,"o'ei' ill'''¡' cn ct nudo" la designaián"iii''1"''i"' 'd,.*,o'to er-Itonces tomará (17) nudal
términos de
,,rrsas extedores, es d"J,;;;i ,.,r'ios vola.di 'ics M*,td;;á;;;
la (12) que
,, lo represeRrai.emos;#]""il;;';'f.-V-^..tt".;¿" .--.l:r {t¡rma:
I a,*,*)ft',int+t--'o
hln
la cual
d^:22kn¡,
r":?ú.*l*2Mx voladizo cn caso de no existir momentos de
5,
: )
!lB",i.
(18) I
(1e
)
(20)
(20 a)
igual ai duplo
d.n para yl ,rldo t¿ es Por consiguien-te rígidamente k, á.- tida'. ra, burrur unidas ,igia de ia suma de los coefi-ii""tJ, á. ", al nudo. del "término diagonal"' a' v' f además La ecuación (18) contiene
Ei ,,térmi'' ¿iagonai,,
'l^léliti!
de rotaabsoiutoJr,tantostérminosk*'¡9¡'como,unionesrígidaidebarraexrstanenel t"¿"'tLo "i irodt'cto O:t i':fl]" nudo n. Estos términos rePresenta-n t" unlon' de barra de rigidez de la efectúa ción de un nudo "tti'-" c"i ¿ coeficiente *i "" valores numéricos' se calcular nudales ;;;t;d;tt El planteo dt lai ventajoso Lrtu .-¿.t es ...,".rori repitiendo
l"
iiái--.e,l" "t "u*."-poi
1J
e)
Desarrollo del cálculo
En resumen, el procedimiento práctico para ticadas con nudos indesplazables, es ei sigr,riente:
el cálcuio de estructuras
1. Determinación de las dimensiones de la estructura airorticada, r's tltt it, y dimensioncs transversales. 2. Cálculo de ios momentos de inercia "/ para las sccciones tralts','r'r's;¡lr r (caso de sección rectangular según tabla I) v de las constantes de bana /,, sr'. gún (24), para todas las barras. 3. Confección del "esquema dc los coeficientes". 4. Cálculo de los términos diagonales "d" según i19). 5. Cálcuio de los "términos de carga" Sl para cada uno de los cstados <1,' carga (tablas 2, 3 v4) y los "términos de carga en ios nudos" r según (20) ó l2() :r l 6. Planteo de la matriz dc los coeficientes según (18). utilizando cl ('s{llr('¡r.r Iargo dc barras
Att
dc ic¡s coeficientes, para lo cual se puede empezar con los términos d y
{{-
de los coeficientrs".
at-
tr {-
F ts ts ts ts ts ts F É
rl)()r
s.
7. Resolución de las ecuar:ioncs según los ejemplos I ó II (ver sexta st'ctitirr). 8. Cálculo de los pares extrcmos según (14), con cl auxiiio dol "r'sr¡ucrrr.r Frecuentemente es conveniente estudiar pctr separadr¡ los difercntt's t'str¡(lo,; de carga de un pórtico, p.ej.peso propio, sobrecarga, cmpuje dc ticrra, r,it'ntr,, termpe ratura, etc.. para poder abarcar mejor el estado de carga nr:is cl rl:r vorable. Pero, debido a que ios dilerentes estados dc carga influyen sólc, r'r¡ lr'. términos absolutos (s") sin influir en los demás términos. en el ca^so dc tcncr,¡u, consiclerar aquéllos, sólo influirán sobre la última coium¡a o sea Ia que ('()lli.n. ios valores s. Por consieuiente puede efectuarse simultáneamente la mavor partt' dcl tr:r bajo de resoiución de ecuacioncs, para los diversos estados de carga. Esta ventaja subsiste cuando se aplica a los pórticos el métodr, R(" tr¡.r capítulo IV, 5 dc csta sccción). En este caso deben ser considerados st'¡ru':rrl.rmente dos grupos de ecuaciones" dc los cuales uno considera los estados dr r';rrr1;r simétricos y el otro los antimétricos.
Ei ¡rlantco de las e<'uacioncs en lorrna general se muestra cn t'l ljtrrr¡rl,' siguiente. El cirlculo nun"rérico para lln pórtico con nudos indes¡rl:rz;rlrl,'s *,' da en Ia segunda parte de estc libro. cn los ejcmplos N' 1 a \" 5. li.
del
T.
En cl texto original: Bt-Verlahren "Belastungsumordnung" o
pación de cargas RC.
sr.;r ltr..rr:r
r¡
.aF
indesplazablcs Ectructuras aporticadas con nudos
14
4. El
Tabulación de las ecuaciones
o mal¡iz de los coeficie'rtes
esquema del Pórtico está representado
por la figura 41, tt'."I^ttt1l
hl:
.*-tá*iento Perfecto de los ft.' Debido ali emPotramiento l.t l. y,lO,i ,111:' @ i""tg' @ ángulos de rotación de los nudoi en ellos son g:0, Y
sido consignados los valores de
(o)@
ouedan como incógnitas sólo Po, Ez. 9e Y 99' Para deter-
minarios Por medio de las cuatro .c.raciones nudales deben calcularse Previamente los
términos da, dr, da Y ds seqún (19) y los corresPondien-
O@€) Fig. {1.
tes términos J6, J7. 5s ) se segun (20 a), es decir:
Esqueme de loe c@ficientes'
dt
:
2.(kr +
k5
*
*o -F
fts).
;::l i¿,+*' +*z*k*) + ** + ftrri
lir:l 1::l
i¡" + ¡" il'. + r, +
ktz)
tt
IIIo
u:l$tr -P
:
Slo'r
*
'Illu'u
*
lllte'z
*
Ilts'ro
"r$:-Fs' ){l}lo'
LTna vez .ul.rrluálr"
de Ia ecuación nudal (18)
tinPr*)&',¡9i*s':g que Para nuestro caso será:
y ordenadas según las incógnitas,.notán. Estas ecuaciones pueden ser tabuladas sólo aparecen en Ia última coiumna' eti'' cstados'd:-;;t€"-¡tt", 8""
clo:e que ios
Matriz de los coelicientes I
9t
gtls'
9¡
¡t
h.
tPt
É3
d1
hr
h
d.
h,
ú¡
h,
4
E1
9t
B{r)
B{2)
etc.
:
M*e:
+ff),i
n,
t, + Uir't
.r.]
87
Yul:2/uqa*{e'r (e;s :: ? \!u *,Í!te'¡ + I)16'? Uu',' k6 (2va.+i?) MaJo
# |rt # r*dF a-
5.
:
2 kg ea etc.
# e-
Aclaraciones sobre el uso de las constantes de barra
erñ 7. Já af-
*
IJle'to
6
1ñ ff, fJf-
l',
t
I E I cn $u de barra ,t*:--
a
aparecen a su vez en su verdadera magnitud. De este procedimiento se ha¡á uso para evitar en las ecuaciones valores nr¡nréricos demasiado grandes. Cuando en un aestructura aporticada también tendr:irr
que determinarse los coeficientes de deformación en su magnitud real, sólo rr deberá multiplicar por z los valores de ft que afectan a la incógnita. Asi, ¡ror' cjemplo, nos servirán las siguientes relaciones para las cuales las magnitudes afr( tadas del asterisco (*), indican el valor real, mientras que los homónimos sirr asterisco
(*)
dan el valor multiplicado po,
: P.z : ú* {.2
!. z
A* : A.z
Px
8x
:
E.z.
(21)
Elegimos como coeficiente de reducción
y para,/s :
-,_
I
(2e)
zEto
0,001 m{: 1000
ú)
F F
carga
Si se introdujeran en el cálculo las constantes valor real, entonces ee obtendrían no sólo los pares extremos, sino también lo¡ coeficientes de deformación en su verdadera magnitud. Introduciendo en el cálculo todos los valores de /r aumentados z veces, se obtienen todos los coeficientes de deformación multiplicados p"r + mientras gue los pares extremos de barra,
#
rÉ eá
t¡
(14)'I teniendo en::uenta lJna vez resueltas las ecuaciones anteriores' con las p'eJ': se .aiculan los pares extremos de barra,
J" iá, lo.fi.i.ntes, "t ".qir"lu M\e : /crso*Iltr,o Mzr *rni
e^+..a
e) tñ
g 0
* s6: dtPa* ks% : ¿', v', * &e eo -l- &r Ee * rz dePa* krvt* *aEs*rs:0 *s':0' d.sgg*ke¿a
ePt
JF ¡J..
Cálculo de los términos de
--
estados de carga B(1)' cuando se debe determinar separadamente diferentescalcularse por separado' deberán Bt2), etc., los términos r en este caso tamtién lJi't¿r*l.ro, anteriores se puede proceder a Ia resolución
9t
# at^+)
y con
(23 \
2E este
último val<¡r se obtienen los coeficientes de rigidez reducidos y aplir.;r-
blesalcálculo
eFI k: kx.r:T
o simplemente
looo
tr
k: +. looo,
(24)
debiéndose tomar J en m4 y I en m. En la práctica los coeficientes dc rigidt.z A pueden calcularse con tres cifras útiles, sin afectar sensiblemente la exictitt¡rl. Para facilitar el cálculo de Ios coeficientes de rigidez ,t se puede utilizar par;r l;r sección rectangular Ia tabla 1.
6. Cálculo de los términos de carga Como ya se ha indicado anteriormente, los términos de carga son los ¡r¡orncntcx de empotramiento de una viga supuesta rígidamente empotráda. En co¡-¡sr.cuencia pueden ser calculados y en forma más general con las fórmulas conocidas para la barra rígidamente empotrada. Recordándo la convención de los sigrros para pares extremo de barra. tendremos, p, ej. para una barra horizontal 1-2, cargada desde arriba (fig. 42), fir.¿
: - r. Zolor-
ato (25
)
!If:,r: +2'-Zazo'-a'o I En ellas
o10
tncrementados
E/
.
y alo son los ángulos de las tangentes extremas de la
clirstica,
veces. de una barra simplemente apo).ada v solicitada por fucr¿;rs
16
Estructuras aporticadas con nudos indesplazables
Influencia de las uniones articuladas dc las
exteriores. Estos ángrrlos son según er teorema de Morrn iguares a ras reacciones en el apoyo At y Az, considerañdo la superficie de los-;.;.;;,
Fo
de Ia viga gig. aU.
l'ls dccir, en er nudo
**o c.rg"
lf.,^:t: :Tpt:Tlr::T,..1jud..-y
o
ai'A,
*\m/* Fis. ¿2. Para la determinación de los valo¡e,!]t ¡¡stiendo de le valo¡s ao.
Fig.4$. para ls det€rminación de Ia8 .,Cruzada6 de Ritüer,,
X! partiendo
de los
valora
do.
los "¡namentos de Ritter" Kro y Kzo que se utilizan en el método de los focos. El momento de Ritter-rKro es igúar r.*.rrr: del ángulo "] divid'ido ,ob."'r.- a. *i..1¿" del apoyo c2o simpremente apJvada,
r"r-t;;
1: H?r,"t*"
K'o fara cargas simétricas:
: -tj{
y
Kzo:
ésta (fig. 43).
q¿
Kro: Kso: id
(26) (27)
En ciertos caso-c (x más conveniente determinar ros términos de carga sl r'c_ di¿r*te ias líneas de infrrenci' p"tu tor ."o-entos de en rígi_ darnente empotradas. Estc procedim["i;-;; 'ie.as ventajoso"rrrpo,rr*i"rrto cuando se trate -oJ-itur"ot", de muchas ci,rsas concentradas o bien, cargas uniformes irr.g"iu.., por una serie de cargas concentrádar. '
7. Influencia de las
uniones articuladas de las barras
A.
r.'i¡r. 44.
¡
GENERALIDADES
Si una barra estuviera articu]ada en un punto cual_ quiera. del nudo, tcndríamos q". a.t"..d"ur para este ,rr. r"qyt:r rotación dál nudo I por-.o.riguiente |r1q1l 9" -De también dos ecuacion", ;¡;i.i. manira que Nudo con una ba¡ra l]:lt* estamos entonces en el caso de dos nudos independientes articurada.
s;;;r$l"lr¿,1:r f*:1n.1.::il::: "r1*. :llr*; rr¡'rir( i()ncs de la figura " r.,,
1,. r os coef icien tes d
i
l¡rrll:r una articulación n',
44 donde inmediat¿mente a la izquierda dei nudo n.
dn'
: 2 kzt dn:
(20 a)
sn'
2 (h -f
ks
*
*+).
se
:
"' ""
: Wtn,,zi
(r,rt('s para ambos puntos n,
nan respectivamente:
F
É ú---
e)
F
fá
Jf, Já Jf f{
eñ
;{
F F
añ
JrJrfñ Já Jr{
aá
.f,
Já f,fl
l.i
la b¿rra (2), mientras ar nudo n c.¡r *o¿o
f,i"áh"^,.'.'J.,,r.¡u'
,* ;;
O
s, :!UL,r * fin,¡ * !Ít,.¿. .Scgún .la (18) las ecuaciones nu_
,i',
de.
¡^ójo está conectada
:liiX;lo':'.1:;^:"(ll; J,iJ.J J1l, r,'rrin
Para los estados d:."-*1 más comunes, las tablas Z, 3 y 4 de la parte tercera de este libro daa las fórmulas que permitl obtener numéricamente ros varores de co, como también de Dt. En'estÁ tablas figura. ,.-ii¿" ñ, valores del diagrama de momentos flectores decir, de lo"s diagr;; a"-árrr.rrros flectores {o, oque.servirár, p.r""di-b,r;", l.r-li"sr"mas defini_
::_.:j,l--1-1to::L"o.".lu,1ic_o; determinación de Ios términos de !;s-valores carga en er cárculo". "¡n1"",-,ru-i.".á",;;;^i; ¡. üG;;il;i¿#;;r;; sección quinta, III). Aplicando lás on también se obtienen con'mucha sencillez
,'
barras
r. n
o@
se_
'zz
Fig. 45. Incógnit¿: g¡.
Fig. ¿6. ¡ncógnit0 i
{)
dr'vn*kzpz*r,,:0, v
d,q,, { kt pt i t:r pa * k+p+ *
*s':9.
A.¡ilir ando este procedimiento. no tlrslo<'a la simetría de la
los cn.
c<¡eficientes.
matriz
se
Fig. 4?. Incógnitas:
de
g6, g?,9n
Dc csta manera obtcnd¡íamc¡s un pórtico con barras articuladas
rn¿is
ccuaciones de condiciOn.
q".
la ¡nisma fstructura con concxiones "" rí¡¡idas. Esta desventr;, desvenrriu ." O ," ,;i;;i;""i,*;^_ na cor facilidad, si ai piantear las ('cuac¡ones de condición, se r.onsidcra cada uno de to, árgl,lo, á" . rotación de los nudos ..ti.rlados a lal< ular, como función dcl d,: rr¡tar.ión corrcspondicntcángulo u" j" rlusn)a barra y situado frentc a los ;rnl('riore-s. corno {r. J)uecj(. \.Fr cr}
::_li-li:i:-"i**;.o.:J;llJ:il:: t'l núnrero da Io, aau".ior,,,,
rnt'ntt'
rrud;,lcs -cn ios pórticos con barras :trl t|uJadas. porque no
es
@
@
@
@
O
CI
Fig. 45. lncógnita6: l:¡, Í6,
g ?,
9,f
@lo
*" ló ló l;
nccesa_
n(r r¡(.1(.rmlltar ]os ángulos dr_ rota_ r loll dc lns articulacioncs. ,l.am_ lritill sc conser\-a para este método
Fis. 49. lncógnitas:
916,
g7. g.*, q,,.
Fiss. ,15 ¿ 49. E¡tructuras aporticndas l.r s¡rnetria dci sistema rje barras a¡ticuladas. ecuaciola diagonal. En las fisur¡s 45 a's4 u"-o, di'ers.s.pórticos con rrarras
,,in.¡rteprorttr,r, ¡,,
ncs con respecto a
las
incri(nira"orr"'p*Jir"ur- ;;;;";^r-li'n',
no trenen dcsplazan.rirnff n"r",.r.r"lqui,.. ras 50'
51' 53 r' 54' r,, so' sóro p".n
articrrradas ,,,
r..'
r,os pórricos crc ia. fir-,i¡ras 4:r .r,l :r de carsa; mientras Ios ck. las f.ilu "riado ,r,-, cstado de carsa simétrico
B. ECUACI()\ES DE CONDICION EcrecroxF:s NlrrALFts.. -_ para el ^iig)' nudo in). representado en la figur:r trtt ¡rrirrico indesplazable. lu .".io, ".,od¿r, d,, g,. + *,,1 91 * *,,:9: *
kn,s,et
* /t,.791
_!.r,,
_
(¡.
5i
rl,
Influencia de las uniones articuladas de las baras
Estructuras aporticadas con früdos indesplazables
En ella significan:
@
@
19
Fis. P&¡& cergae
dro
50.
uimétricas: 93, Yl, {'t' ,
,,
,,
antimétrices
:
: d, -* 0,5 >
(30)
Én,e,
u
9r;
,li"o
93, 94, A.
:
J' *- 0,5 > Inr,".
(31)
ll
Como vemos, el coeficicnte d.iagonal dno para un nudo, cuyas barras f,1 ,r1 rígidarnente empotradas en él y articuladas en el otro extremo, se obtiene. r'::lcrrlando como en los casos comunes el valor dn:2 ),ta,¿ para todas las barras conectsa.a Érgas asimétricas Bimétricas
,,
,.
antimétricas
: 9t, 9t', i 94; : 94, A'
L
;
tadas rígidameRte
rÉ
Fie.
52'
Para @rgss asimétricas:
,,
P:rr ,,
,,
simétricas antimétricas
: ¡
q,3, g'4, I'i,tt .: c/,3i, ó¡, ó;,6;¡;
'
t:l
i
?s, 9¿, {';, ó I ; ?3' 9'¡, 9¡, ót' ór'
¡ rg. có' cargas asimétricas: 9r,9:,' 9a' 9'r'
qi,a, simét¡icas: 9i' 95; ,, antimétricas: Ir, 9'r, 9'r¡, A
Fig f'¡i' asimét¡i*as: rf'",, gir'' qi',', ^ $imétricas: Si; q'i;, Aantim¿trieas: 9i.
Pe.ra carg:as
Fies.50 a 54. Est¡ucturaa "eimltticas" con a¡ticulacio¡res'
Ll r,ri{ulo rlc r¿;tarión
de la articr.riación (ver tabla
1 PT:-'29n1
Ül¿,*
k*
I, pág'4,
caso
2c)
cs:
\ I
vaior en la ecuación anterior y ordenando los térrllirrt's (28) (,1, 0.5/i,,r)'9n* knJPt I kn,zp::* kn,sPs * (s,, -0'5Ste'n) : 0 trr 1 lirr;rlrrrcntc utilizando la forma general dr la ecuación nudal, para un nílnrt l{ct,rrr1:laz.ando este
, rr.rlr¡uicra de barras articuladas: dno vn
* 2
kn,,
E,
*
sno
: ¡.
(2e)
+ .F ch tÉ
aÉ tÉ aá aÉ rÉ rá eñ
fá
rñ añ fñ añ rÉ aÉ rñ tñ eÉ fÉ
(ts 116)
a (z) y se deduce de éste A.6>k*,s o
sea
la semisuma de las
constantes de barra kr,o de todas las barras, unidas rígidamente ai nudo extremo y articuladas en el otro.
(n) en un
De ¡nanera parecida se halla la (31 ) para los términos de carga .r,,0 rn los nudos. Se halla primeramente rr: para todas las barras conrctadas
?*",0
al nudo y se le deduce 0,5 > !trtr,,,. es decir. la sernisuma de los trl¡minos de carga llte,, de aqueilas barras {ue están unidas rígidamente ai nudo en un extremo y articuladas en el otro. Ei término
rígidamente
!lllo,, es en este caso el término de carga en el extremo articulado. Los términor
?
n",, er se refieren a las barras
elásticamente empotradas en
el nudo vecino.
el nudo (a) y
en
Volvemos a insistir especialmente que las barras articuladas en el nudo no contribuven para rstablecer la ecuación (29). Para un nudo e¡ el cual todas las barras concurrentes están articuladas no debe est¿l¡lecerse ecuación nudal aiguna.
c.
Fig" 65. Part€ separada de una struc-
turs portante con una bar¡a articulsda.
EJEMPLO DE APLTCACTON
Se aplicará la (29) para el pórtico de la fiqura 56, cuyo tramo horiáontal esiá cargado arbi-@
trariamente.
Sélo del¡en ser determinadas dos incógnitas
o sea p6 y p¡. Los coeficientes diagonales se ob@(} tienen según (30) y considerando el esquema de Fig, 66. Egtructu¡a aporticada con &rticil¡alos coeficientes (fig. 56) : ciones" Esquema de los coeficients,
: dudao : dt -
dao
o@(}
+ /rr) : 2 {¡t, + kt * kq+ A,5 ki : 2 (kn+ /cs) - 0.5 *¡
0,5 (¿r
fro)
-
y los térn'tinos de carga en los nudos según (31)
: roo : r¡o
r5
:
l[t¡,¿ *- f]lr,s,
rs
-
0.5 !)t?,6
:
fllt6,5 -l-
Slqr
-
0,5 üt?.6.
0,5 (&r
*
kc),
E¡tructuras aporticadas co¡ nudc¡s desplazables
20
Aplicando
la {29),
Generalidades
las dos ecuaciones nudales soni
_b) cuyos nudos se desplazan también con cargas simétricas ^ Pórticos 2. asimétricos (figs. 57 a 65).
* *r 9o * s¡o : 0, dsogo * }'¿ps* ¡oo:0 dao Er,
o bien
(figs. 36, 37,38, 65).
LIna vez haliados los valores de 15 y ?6, los pares extre¡nos de barra son fát:ilr¡rtntc detenninables por !a (14) en ¡luestro caso 0 bien segrin la tabla I, página 4:
o Fis. 6?. Ineósnitas:
M+,s: É3 v5 * l$l*,r, Ms,+:2ksqs*Str,¿, k+ (2vs
Ms,a:
1,5 fr6 v5, ka (2va
aF aF
ESTITTJCTI-iRAS APORTICADAS CON NUDGS DESPLAZABLES
L" {ieneralidades l)cbirli: al estaCa de larga, tienen iugar en los pórticos ademá"s cle ias rpú¿(lr> l*s nudo.s, tarr:bién áesplazamientos de los nurlos. En estos cr,sos. además riiJ ;i¡r{t¡lo $e rritación del :ludá p. deben también ser determinados los ciesplazalrl ntos de ln:¡ nudos S o birn los despiazarnientos "relativos" A de ios extremos tir l,' l:;rpa'¡ !o:r ángulos dr ratación de las barras ry', considerados como coefi!tí)¡tr.\
,tr',; r.lL {lrfr)rn)ación. 1)or rcnslguirrrte. Fara un pórtico dado, el problerna se circ.unscnbe en deterlrir¡lir t.i nirr:r¡-x¡¡ elc nudos desplazatrles y cuantas rotaciones de barra ry' son prorj,,,.idas ifür'estüs Crsplaeamientos. En gentral se puede decir, que siempre apareccn 1.r¡¡i¡s rof¡.r.i':;i.,s rie ia {:,;rrra,¡ * bien desplazamientos "relativo$o'A coino apoyori !i, tit ios fur::',:¡¡ necesarios cn los nudos putá d.¡ur el pórtico "sin desplazamientos"' Ilar"a pocitr abarcar rr:ejor los diferentes pórticos y justipreciar rápidamentrr l^r r.rir¡nsiriu ,Ccl cálculo. es de much, conrr.rri..tcia reunirlos en varios grup(,s ,r,-''rin sr.rs características más salientes. En ronsecuencia distinguiremc¡s: I l)rirtir'os simétricos:
para cargas simétricas no son desplazablrs v pera (figs. 28 a 35,66. 67). :r..ir¡ri'rrit ns it, son
,r)
É
f-1uyos nudos
@
Fig. 59- Ir,cóenitas: q,],
@
fF
((lorrrpamr con el ejernplo numérico 6).
IV.
Frg. 58. Incógnitas: gi¡, q{, Aj.
:Dtá,€,
* p¡) * llllo,r, Me"z : 1,5 ksEa * tlls,t - 0,51[t?,6. Ma,s:
horizc¡nta¡,s
o 93, ga, 41
a^
&1 v5,
+ ?s) +
.i1))
Estos dos grupos principales pueden ser subdivididos en:
Matri¿ de los coelicieúes 2
1,5
(figs. 36 a
A: Pérticos con mallas triangulares (figr. 66 a 7l). B: Pórticos, cuyos nudos sufren desplazamientos verticales v
tabuia¿xm:
MsJ: Ms.*:
Zl
(:arg:rs
.t|arl)
e@e
CI@ Fig. 60. Incógnita8:
Fig. 61. Incógnitas: 9,{, Fs, pe, Ar
a
9:1, g:,,
@
{r.
fe,
@
eñ
JFt'' JF
Jt ,F
oñ tÉ tá
@ Fig. 62. Incógnita8: pi a gr8, A,
o
o
o@@ Fig. 63. Incóg¡¡itos:
@
9a a
fs, r,lr, V,:.
@
Jñ tF é
,F
F
@
c)
Fig. 6,t. Ineógnitas: ga a 9r, ar, Ár. Fic. 65. Incósnitas: 94 a gro, ú1, Fids' 5? a 65. E6tructr¡ras po¡tantes asimétricas, si¡ articulación y,,d+¡4ilazatilct,,.
V,:, ó¡
g-1,,\L
--loo
Estructuras aporticadas coo nudos derplazables
C: Pórticos con banas dispuestas en forma poligonal, de quebrada o con cualquier inclinación (fig". 79 a 75). Para complertentar esta clasificación de pérticos, agregaremos los detalles siguientes. En algunos casos, lor¡ pórticos descinptos en el grnpo 1" suf¡en desplazamientos horircntales relativamente pequeños cuando son sometidos a c¿rrgas asimétricas verticales, perrritiendo de esta
manera en el cálculo práctico despreciar estos desplazamientos y considerar €stos pórticor
como si no tuvieran desplaza-
mientos. De esta manera cl cálculo se simplifica considera, Fig. 66- Incógnits D¡rs 6r?a! simétric8!: 9&
Ftg. 07. Incógnit¡s tpr. ergu
sinétrica.:
92, 94.
@
blemente. Las consideraciones anteriores son aplicables a muchos pórticos con cargas ver-
y asimétricas. El método RC (Reagru,fación de las cargas), capitulo IV, 5, de esta sección, riñplifica considerablemente cl cáloulo de pórticos imétricos lometidos a estados dc ticales
@á@
TY
CD@ Incógnits:
o
Fis- 68.
o
@
Fig.69. Incógnii¡E : g{,95,
9s, 9r, 9s, th,
lD6.
er At.
ca¡ga
t'asimétricos.
Según
te métbdo se reemplaza
es-
el
estado dé cargas asimétricas
por otros dos, o sea uno rr-métrico y ot¡o antimétúco y ;e efectúa el'cálculo separadamente para cada uno dc los estados. De esta ma¡era
o
@@ Incógnitas:
Fig. ?0,
@ 96 a91r, At.
se logra reducir notairlemente el número de incógnitas. Par¿
poder abarcar mejor el problema se ha consignado de-
bajo de cada figura el nri-
mero de incógnitas que aparecen para cada estado de cargas.
En pórticos con
@
@
Fis. ?1. Incógniiu: P6aP1a,A1.
mallas
triangulares (figs. 66 a 71 ) hay que considerar que para
un desplazamiento paralelo de una barra, siempre A:0 y Figs. 66 8 71, Estructuns DolteDtc triangu¡¡ds. por consiguiente g : 0. Así ¡r ej. cn el pórtico representado por la figura 76, las rotaciones de las barras rp rl'l triángulo, son iguales a cerq a pesar de que durante la deformación los rrrrd
3, 4 y 5 sufren desplazamientos.
;+-
a,J.a.La
o'l-
Planteo de las ecuaciones de
condición
2I
Para la resolución de los pórticos reunidos en ei grupo C la aplicación tlel ¡r¡í.toclo de las rotaciones angulares, generalmente es incJnveniente. Én la mayoría rJr. los ca^sos hay que cleterminar más coeficicntcs de deformación que incógnitas hig.r-
arL. ¡r{'-
/ñ
@
iD
estáticas haya. Ademár debieran dete¡minarse los planos de desplazamiento, lo que nos indica con trxl:¡ claridad que en estos r.:rios no conviene el uso d, I
@
ol.'a
ol-. .+. ;tr ;tr
método de ia rotación
:rrr
gular y habrá qtre rt'sol ver el problema r.on los
Fis.
métodos elásricos cl.isi, ,,s, riernpre que para los ¡rrir"
?2.
ticos rnás sencillos no lr;ry:r
.+.F rl¡+olr+-
@
fórmulas dc apiicacirirr
@
rrr-
mrdiata.
eF
e¡ia'iOF
o t'ie. 74.
od{
e!+re
a;ri
.f .ñ
Ortrf
@ F'ic.
?5.
Figs. ?2 a 75. Estructuras aporticadas de eje quebrado o de ba¡ra¡ inclinadas.
rÉ{
fñ
@o 2.
Fig.
?6.
Incógnit&s:
g,f,,
I i, q,,.
Planteo de las ecuaciones de eondicién
En este caso habrá clue distinguir dos erupos de ccuaciones clc condit ii,¡¡ scrán tratados separadamente. El primer grupo es bicn conocidl. p(:rtt.rt.r r.rr rr él las ecuaciones nudales cuyo nírmerc, ,."i"*p." igual al de los ;ingulos rl,. ", *¡tat ii.¡n de los nudos g,. pero si además u.', ogr"guiu r ángulos dc rr,t,t ii,rr tlc barra r7i, o bien despiazarnientos verticalcu E c, l. rnton( r's s(' debcría. plantear r ecuaciones indr.¡x,ncJientes. dlno_ <¡uc.
¡¡¡i¡r:rd¡¡.¡ ecuaciones
de de.splazamiento.
(0
Para el planteo de estos dos grupos se empleará con -la r,t'ntaja tipo, .cómodu, piru aplicación ) cuya .ccr¡aciones tk'du<'ción hace partiendo de las coirdiciones ¡J.."ruí", .se rl'' r'r¡rriiibrio rstático.
EctiacroNE,s NUDALES. En este caso el rnétodo a se_ - srguido para lrril ls. t:l l¡lisrno quc hcrnos icns siste¡nas con FiF.7i. Nudo l sr.¡'nnr¡tl<'s indcsplazables. La figura ZZ rc¡:¡rsenta un nudo r ¡ado de l0 (,s1rl/ctr¡rtr ¡ rrr¡ t r¡atrr.r-barras v los nudos vecinos porto r¡ t0. I, Z, 3. 4, supuestos del portico. En el caso hipotetico á. q,r" en las cuatro barr:rs l¡ra, ','¡rrraclos r ccrt'r;rr¡ los ;ingulos de rotació¡r {,.. las ex¡rresiones para los pares t xtrt'nlos
r,l
,¿4
Entramado de edificio con columnas verticales de alturas iguales por
Estructuras aporticadas con nudos despiazables
Ia dt: barra en el nudo ¿ son según la ecuación (7) y considerando de la figura 77: Mo,r: knt (2 e" * er * 3 ú",r) f S"'r
cidas
2M*¡:0:9' r=l
i:4
i=4
i={
+ fi',, zfi^, i=l i=l
eo
+ !*i i=l
k^,¡ 9,.¿
l={* )'fi',¡' ¡=r
('l
i
una ecuación de condición aplicable. Ella establece siempre que la proyección de todas las fuerzas actuantes en la parte separada o restante del pórtico sobrc cualquier dirección debe ser igual a cero. Bligiendo convenientemente estos cortes en distintas partes del pórtico sc obtiene una serie de ecuaciones lineales independientes. En general estas últimas junto con las ecuaciones nudales son suficientes para calcular simultáneamcntc todas las magnitudes de deformación (r y r! o e y A). Sin embargo, para ecuaciones de desplazamiento y contrariamente a lo r¡uc vimos para las ecuaciones nudales, es imposible encontrar una expresión scncillrr y práctica para el uso, que tuviera aplicación para todas las clases de pórticos. Este inconveniente se subsana en parte para ciertos grupos de pórticos, tales conr
)
I nudo ¿ concurriera un número cualquiera de barras y se considt'rari'' Sialr (33) toma entonces la fonrr'r el voladizo, la ecuaciSn
:rdcrnás los momentos en srguientc:
*X v,'22fr',¡ í i
k',¡
e¿
* 23 i
k^"ote^'¡
*XfiIt''¡ x'
*
E Mr
: 0'
(34)
para cl ctx'fil,,rr:r simplificar la anterior se reemplaza como en la ecuación (18), ' i.rrtt'
dn: 2I k",r,
r":
(
lr')
t
el término de carga en el nudo
¡rara
y trr
diagonal
?lllt',r
3. El entramado
* 2Mr,
Jñ
(36 )
r.rl caso de no existir momentos en el voladizo
r' : ) III',¡.
oá oñ
(36a)
l)cfinitivamente la ecuación (34) será: doqo
* ) fr,.r r; + >3 ii
kn.¡*n.¡
* s' :
g'
(37)
si se compara esta ecuación (37J. para los pórticos con nudcs desplazablts" se verr;r <.r,n ir ecuación {18) planteada para los pórticos indesplazabl¿.t, entonces ,¡rr. anrbas difierLn t¿i" *" ei términ,: j3*",t{"'r teniendo los denrás térrninos iqr¡ak.s. Por consiguiente, ias explicaciones dadas allí son completamente válicl¡s l)¿rra nuestro caso.
Introduciendo en
el cálculo en vez det ángulo de rotación de ia barra r/''
(9) t.l tlcsplazamient.ot relativo de los extremos de barrá A, ,v recordando, que según
-\.,. ::-_ y ¿r.i
3kn'¡ : : /ra..i
'
(38)
a,icmás _;_;
¡n.l
{{r'r'rn¡rlazando, la ecuación nudal (37) resulta: doEn
* X
;i
4,.¿ Pl
* )7".0 A*.t *
5*
:
0'
(3e)
t¡ En la ecuación nudal tendremos tantos términos de la fonna 3 knJ tltn,¡ havarr a relativos 1,,.,1,., como i¡arras con ángulos de rotación ,y' o despiazamientos
r'¡r
ll
) H :0 y )V : 0 para Ia parte separada del pórtico. Expresando cnM, N,y Qen función de p y ry' o bien I Y A, se obticnc
tonces las características
(32):
.
2rt
Efectuando un corte en una parte cualquiera del pórtico y haciendo actuar en él las características M, N, Q, se podrán plantear las ecuaciones estáticas cono-
not¿rtii¡¡r
(32) u,B: k*fr{2v,* rr* 3{,B) *ffi",2 ali: kJs (2 e* * ee * 3 ú*") * lo,s M^,,n: k,,,o \2 Pr * rr * 3 'P",+) + tgL'{' La condición conocida 2M:0 en el nudo n, da para ia suma dc l¡'
cxpresiones
piso
rrudo considerado.
licu.q.cro¡¡lis DE DESPLAZAMIENT0" -_ Para la dete¡rninación simulthnea d<' Ir,:;'u,elores de r y f o bien I -v A habrá que planear tantas ecuaciont's dc
Jé fÉ fÉ fÉ
tÉ Jñ tá
Pueden ser considerados aquí tramos y alturas de pisos desiguales corno tan¡bién un número cualquiera de tramos y pisos. La figura 78 nos muestra a r¡n representante de este grupo de pórticos. Una parte de este pórtico en may()r escala y deformada, está representada por la figura 79. Se ve de primera intcnt'iri¡r que despreciando las deformaciones producidas por los esfuerzos normales. l<¡s desplazamientos relativos A en dirección horizontal que experimentan los extrr'' mos superiores de todas las columnas del mismo piso con respecto a los extn:lnos inferiores, son iguales, mientras que los ejes neutros de cada una de las vig:rs permanecen paralelas a la posición primitiva del eje. Luego, en todo cl pórtic<' aparecen tantos ángulos de rotación ry' como pisos existan.
s) Ecu¡c¡oNns ecuación general
Jñ fFG |ldr
oá fár
¡r4 Já tÉ
ts
de edificio con sargas arbitrarias y columnas v€rticale$ de alturas iguales por piso
NUDALES. es:
(37)
dn 9n
* X i
-
&n,¡
Ecuaciones de condición
Para el presente caso la expresión detallada
9¡
+
3 kp {p
*3
k¡r,r tlt¡r*t
*
¡,,
:
tl,'
llr
(40)
0.
En cada caso aparecen como máxrmo dos términos ry' y son ellos 3 *,, ,y',, y 3 *p*r úp+r gue se refieren a las columnas del piso inferior o del supcrior (ll¡t' terminan en el nudo considerado z.
En las ecuaciones de aquellos nudos del pórtico, donde sólo tcrmina u¡ut columna, aparece un término {t. Por ejemplo, los nudos superiores dt'l Jrórti
*
kz
e¡
*
ft¡ pg -F
*r:ers +
3
&3
rlt
*
3 knr/z
*
rs
:
0.
26
E¡tructuras aPorticada3 con nudos desplazables
Como hemos visto habrá que Plantear tantas ecuaciones de condición independiente.s como ángulos de rotación ry' hayan, cs decir, como pisos existan. Para este fin se supone practicado un corte horizontal en cada piso a la altura de ¡os
Eculcror¡ns DE DEspLAzaMIENTo.
# + + .F *
cxtremos superiores de las columnas
rh * *
@
lril¡. ?8. Entnm¡do de edificio c¡rgado arbitrsriament€-
@o@
Fic. ?9- P¡rte ¡epersd¡ de l¡ Gtructur¡ de la fig'
dn
?8
8u deformación-
aplicados a ellos las caracterísúcas M, N y Q. Par.1.-11 Parte-separada drl estático ) f/ : 0' i,',rt'ico puede establecerse entonces la condición de equilibrio en la del entramado-representado un aplicará a dicho se i,,, Piso ".,tcriormente figura 80 y cargado arbitrariamente. nn la figura 81 se ha r€P¡esentado la
y
parte del pórtico que se halla por encima de la sección r-J con todas las cargas
exteriores actuantes sobre é1, inclusive las
.r{.F é .á
ff, é
eñ Jf F Jñ Já Já Já
l.'ilr. flo. Fintramsdo de edificio con carSas Fig. 81. Parte reDand&
de-
l& structura
arbitr¿rias'
r;rr.rttcrísticas, que sólo se indican simbólicamente. La condición nclibirue para esta parte del pórtico en la siguiente forma: '
>P+)s+)Q:0,
:p ......... rq.........
representsd¡
en l¡ fii' t0 6n la8 csasterírtics'
2H:0
puedc
(41)
es la suma de las proyecciones horizontales de todas las {uerzas concentrada! por exteriores que actrian sobre Ia parte separada del pórtico que se halla
encima del corte s-s, es la suma de todas las cargas distribuídas horizontales que actúan por encima del corte s-s, es la suma de los esfuerzos de corte tra¡smitidos a las secciones'
i()- -........ C.oNvpNclóN DE s¡cNos.-Los
signos de P, q y Q seÉn positiaos cuando [-;]+]. Las fuerzas
.r,rÍrr dirigida s de izquierda a derecha y nigatiuas en caso contrario k'lx'n st'r reemplazadas en las ecuaciones con sus signos.
piro
27
Los términos ) Q coinciden numéricamente con las reacciones de vínculo ) I suponiendo practicados los cortes en los extremos sup€úores de las columnas. Los términos ) Q tienen dos componentes que son:
rimplemente apoyadas debidas a cargas exteriores que actúan directamente sobre ellas (fig. 89 a).
M" + M2. El término ac" licional :--i-'
donde M"
cl par extremo de barra en el extremo superior de la columna y M,, en el extremo inlerior de la r:olumna (fig. 82 b). cs
# # t
o @ @@
Entramado de edificio con columnas verticales de alturas iguales por
Jñ Jñ tñr
ts fá Iá
tÉ |'{
82
(
b)
¡ y b. Término adicion¡l cfueno de cort€-
dcl
Tendremos luego:
)e:ZA:>tf + >r"Ir".
(42)
y la ecuación (41 ) tomará la forma
>P +
)s
+>
2I
+ >-ry'+-Lr-
:
(43)
o
o bien, considerando que todas las columnas de un piso tendrán ig;ual altura:
(>P+ Xq + >2I). I + > (M.+ M") : O. La expresión >(M.+M") puede darse según (9) en función
(44)
de los cocfi'
cientes de deformación y los términos de carga
> (M" + M")
:
>3/re,
*)
3 kE"
*
>6eú +> (Dl" +,m").
(45)
En ésta, 9o y pu son los ángulos de rotación de los nudos situados resPectivamente en el extremo "superior" e "inferior" de las columnas. Introduciendo esta expresión en la (44), resultará:
|,3kv"+ >3*E" *X
6 k,tt
+ (>P +>q + >21) I +> (!n" +Olo)
: 0. (46)
El coeficiente de ry', o sea el término que se ubica cn la diagonal dc la matriz de los coeficientes se llamará D¡, (coeficiente diagonal del piso ¡r,) y para la suma de todos los términos que dependen de las cargas extcriores se pondni Sp (: término de carga del piso p) . Se obtiene entonces la ecuación de desplazamiento para un piso cualquiera en una forma adecuada
),r 3 /rv" + >3 kpo *
Dpr,lp
*
Sp
:
0.
(47)
It
Donde
D¡r:6)fr, p
¡á
Já
(¿) Fig.
cs igual al séxtuplo de
(48)
la suma de los coeficientes de rigidez de todas las
colun.¡nas
del piso considerado y Sp
:
(XP + > q +
>\).
lu+ >
(ü1,
+ tm,).
{
40¡
Estructurar aporticadas con rudos desplazables
2r,i
quc 2l
En rcsumen, el término ^9 reúne la suma de las fuerzas hori¿ontales P y ,t actúan por encima del piso considerado, como también las rcacciones 2I dc los extremos zuperiores de las columnas de e¡tc
l.'is. 83. Diasrams de earss- y
piso, suptr.estas simplemente apoyadas [. ]*], todo multiplicado por la altura del piso lp; y además la suma de los términos de carga superiores e infcriores de estas columnas. Los signos de las reacciones de vínculo 2f coinciden siempre con el de las fuerzas que las producen. En el transcurso del cálculo tienen lugar fn'cuentemente simplificaciones. Si, por ejemplo, actuaran solo fuerzas verticales sobre el pórtico, enton ces, ,Sp : 0; si actuaran cargas horizontales en los
6que nUdOS, entgnce5, ---i* m¿ de loe cericientc'
:
) P, etC. ;¿;rrá, ó .n p.reja para cada t olumna cn forma de 3 /r vu y 3 k vo. Su número "p"L.eí es entonces igual a la cantirl:rtl dc los ángulos de rotación 9u y 9o a determinar en el piso considcrado. Utilizando la ecuación de aplicación (47) y mediante un esquema de cocfit icntes, pueden ser eliminados muchos cálculos intermedios y la matnz dc los Sg
/
crx'fir:icntes se simplifica mucho. A continuación se dará un ejemplo numérico de
la ecuación (47) para cl
¡rtnr'rltimo piso de un pórtico múltiple simétrico. En la figura 83 se ha represent:r
St:grin
la (49)
Dp: 6XÉ : 6 ('1 + 5 + 6 + 3) : 108. t! Sp : lpxP : 3,50 ('f' * 2) : 21.
Y finalmcnte aplicando la (47) lLvs * 15pro * 18crr * 9Er¿
* l?pg* + 108113 * 2l :
15pu
*
18prr
*
9pta
*
A.
I)r' r¡ranera idfntica se dcbiera proceder para los demás pisos. h) Matriz de los coeficientes de un pórtico asimétrico, de tres columnas y de doe pi¡oÉr En la figura 84 ha sido represcntado ei esquema de dos coeficientcs dc r'stc ¡rr'rrtico. La marcha dei cálcuio cs sustancialmente la misma dc los pt'rr',it:os itrr
ltsyrlazables.
Para el pórtico de la figura habrá que determinar simultáneamente las incóg-
nil¡s materializadas por los sais ángulos de rotación de los nudos pr hasta qr' y los dos áng,rlos de rotación de la bara h y *2. Para plantear las corres¡xrrrdir:ntr:s ecuaciones a este pórtico deber:in determinarse previamente los si-
'''licntes valores:
(35) y sa hasta J0, según (36 a) ; l;¡s (a8) y 51, 52 según (49). ccuaciones desplazamiento D1, D1 de según l':rr':r Con estos valores y el esquema de coeficientes pu('de procederse al pianteo de la matriz de los cocficientes. Para este fin se utiliza la forma gencral dtr la ecuación del nudo (40): dne,i *t * 3kuPu * 3ft¡,tr *P't* s,, : 0 ?ft",t y la ecuación de desplaz.arniento (47) : 23kv*+>3e vo* Dp{p*S¡, : 0. 1r.rr';r l:rs ecuaciones en los nudos
dthasta
de, según
tr
l,
lf
x{. ¡.lnqu{'ma de los ceficientq-
lt
(Matriz de coeficientes 3).
# + +
Entramado de edificio con columnas verticales de alturas iguales por piso
Matriz de los cocficientes
.F
9t 9t
# #
9t 9t
*
9¡
# JF
# h -lr ¿¿*
# tF JF JF
F F
Já Jñ Jñ ,ñt
aár .Á
Jñ Já .á
Jñ É
9t
d.
b.
b.
dr
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b.
¡r.
h,
*.
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8b,
8k,
h. 3&.
7¡
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¡Ir
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B
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8tr
ar
8&
81. 81.
!:
9r
th,
t&t
83.
a, ea
81.
e¡
D.
8¡ 8r
I)r 8&.
,.
f.lna vez resueltas estas ecuaciones, aplicando la (7) se obtienen los ¡r:rrls extremos de barra, p. ej.: M\+: k7 (va * 3 9r) * 'Dlr,r, h{t¡ fu (2v+* 3 úr) I}ln,', Mz,¡ : kz (ps * 3,1,r) 1- Iftz,s, M+,r,: ka (2 vt qr) Üt.r,¡, : pz 3 gr) i- !Il.,,r, MLe És(v6*3/r) *Illa,a, M+.t k6 (2vt
:
:
* *
* *
*
etc.
c) Planteo do la matriz de los coeficient¿s de prirticoe eimétricos En el caso de pórticos simétricos y simétricamente cargados, el cálculo plifica considerablemente. Hay que distinguir dos casos: 1
.
sr: sirr¡-
El eje de simetría contiene nudcts
EI pórtico representado por la figura 85 es simétrico y está simé- A tricamente cargado. En él las únicas incógnitas son las rotaciones dt'l nudo ps, et, y pt. Debido al fCI t'nrpotramiento rígido de los pies Matriz de los coelicientes 4
.A
Jñ
9tis,
9t
úz
3
9t
9t
9t
Gr
f¡
g)
B
9t
d,
k,
9t
b.
d.
kr
a6
kr
d,.,
87
9t
6;
dr
""',"tu;"P#1""tT3oiJi"t""u'
F
i1;8 6";.Iii:i liii
illll'
r'
dt' las columnas: 9r : 9:: : pl' : 0. Como además la de{onnación t.s sirr¡ri. trica 9.i : 9r; -i q8 : 0 l' ry'r : t/,: : y,,-. 0. Por razoncs dc simetríl dr.l,t rr¡rtr tt'ncr adt:más g:t' : -pa, g¡i' : -Vr, 1, g'r/ : *9,i. For consiq¡iente. r.l ¡rr',rtrr,, ( on carga simétrica está calculado exa('tamcntc ('otno el de la figr.rra l'16 ( r)n \u., .orrcspondientes coeficientcs de rigidt'z I v cmpotrado rígidatncntc ('n los ¡,rrn tos '1. 6 1' 8. Aplicando l¿r (18) sólo habrír quc plantcar en tst( ('aso tl.s lr rr.r ci<¡ncs nudales
(ver matriz cic los r.oeficientes 4).
:10
.
Estructuras aporticadas con nudos desplazables
2.
El eje de sirnetría del pórtico pasa por el punto medio del trama Este caso está representado en la figura BZ donde figuran también los coefici<'ntes de rigidez &. Corno en ei caso ánterior tampoco" aquí aparecen ángulos dc rotación de la barra para cargas simétricas. Las únicas incógnitas son los ángulos de rotacién de l<¡s nudos v3, e4t gs, va. Suponiendo que los pies de columnas @
@
(D
@
nas sean rígidamente empotrados pr: ez : : q"t : qr' : 0. Debido a la deformación
simétrica gt' : -v4 y 9e' : -ge. Según la (18) la ecuación nudal en el punto 4 scrá:
* ksv.r * ktpt' * *o pa * 14 : Siendo g4': -v4la ecuación anterior dqEE
0.
puc-
de escribirse de la manera siguiente:
(do-
o F¡r.
? ()
@
@
87. Sstructura aporticada con de tramoa".
kn)
vt * ksea *
&oea
*
s¿
Como vemos, al coeficiente diagonal
:
0.
d
para
cada nudo vecino al plano dJ simetría, sc "simetría le reSta el ValOf del COefiCiiente de rigidez Á de la barra que termina en el nudo simétric<¡.
llt'sultará cómodo introducir para este valor disminuído del coeficiente diago¡¡:rl, la designación d'. Así por ejemplo d{ : dt - kE o en general, pu.u ,rnn barra entre dos nudos simétricos Malriz de los coeficicntp.¡ 5 n-n' con un coeficiente de rigidtz ko.n, .Pt B 9t 9t 9t 9t
¿tt
,c,
9_t
e.
ití
!r-
h.
tPt
b.
I
r.
t¡ b.
C1
ü
br
et
L,
dí
A¡
dr' :
dn
- ko,n'.
(50)
Sentado esto, se puede proccd('r al planteo de la matriz de los cocficientes, aplicando la (18). Scgún la (50 tendremls dn' : ¿n '
,'jr'
¡'lo rrumérico 4).
1" El entramado
de eüficio arbitrariamente cargado, con desplazamientos horizontales solamente y columnas verticales de alturas váriables
f)órtirc's de esta característica son frecuentes en las construcciones de tribunas, ' l¡r :rlonadas, cstructuras de techo, etc. L¿ figura 88 representa un caso g(.r¡r r;ri rir: este ti¡x;. En la figura 89 se ha representado una parte del pórtico t.rr .tt ;tl;t mnvor y los de-eplazamientos a producirse. Se deduce de illa que los extrer¡x)s stt¡rtriorcs de ias columnas del mismo piso sufren siempre igual desplazamiento a, t ott rt'spc{:to a los extremos inferiores. Debido a la deformación, Ios ejes baricórrItrro5 ¡11'las virias sólo se desplazan paralelamente a su posición inicial. Esto signilit:r r¡trc tambiérl en este caso los ángulos de rotación del eje baricéntrico dc lr¡s \rllirs son iguales a cero (ry' : 0).
Llna vez conocido A, desplazamiento relativo de las columnas de un ¡risr,, .sl;tr;irr dctcrminados los ángulos de rotación de todas ellas. Teniendo en cui.¡rt;r l.rs rl, signaciones de ia figura 89, se tendrá para la planta baja, p. ej.: (51
)
F. fñ
aá é
r-{ aá :á eá eÉ fá añ Já rñ eñ á aÉ rÉ
Qá
Entramado de edificio con columnas verticales de alturas
En este caso resulta más apropiado elegir como incógnita, el desplazamiento A, r'rr vcz de los ángulos de rotación de la barra ry', desiguales. El fin de este proccdiA?
fÉ
añ añ
fFe
lÉt lñ
rñ rÉ
rlr
Ecuaciones de condición
Ecu¿croNE,s NUDALEs.
la ecuación nudal (,10) d, en * )
&n,¿
donde
:
además A¡, contiguos É
ft¡,
Introduciendo las relaciones (51 la forma simplificada:
se obtiene
el + Iu ,\,, * ly-,
A¡*1
*
)
cn
(52)
so
+ )' tp-' : #,
(53
)
\
I
\
y A¡,*r son los desplazamientos relativos y (A * 1), respectivamente.
dc
los
pisos
Ecuac¡oxr,s DE DEsrLAZAMIENTo. Reemplazando valores en Fic. - ¡.t y considerando que en Notsci.nt'¡' la condición X Il : 0 para cualquier piso este caso las alturas de las columnas son desiguales. la ecuación de referencia fr.r,rrr parar también (47)] será: 1r{).
I k v"+ >i
fñ
rñ rñ
Fi:. Fq. Parte.errarada de la estructur¡r l¿ fis.8ti. con su detormación.
miento es, obtener además de los ángulos dc rotación dc los nudos g, tantos,ullores A, como pisos existan. El planteo de las ecuaciones para estos pórtir:os r. parecido a los anteriores. A^"
fñ
tñ
o@cr)
o @ @@
f ig, 88- Entramado de edifrcio con colum. n¿e de dife¡entg el¿u¡a8-
lÉ
rÉ lÉ rñ
tl
desiguales
donde:
eo
+ D,,Au *,S,
:
j: +, D,:22i;
0;
(54)
t5tr)
sp:)P+>q+>"*Fgl*g-, las
) ¡{
se ¡cfieren a las columnas dei piso ¡r considerado.
rninos P, q, 2I
y Dto. fi, son los mismos de la (4g).
El significado dc los
(6(i) rí,r',
MétoCo RC. desplazables Estructuras aPorticadas con nudos
32
La figura
gt
está
represenñ:
\
de cargas- para pórticos
simétricos
it
t'l
scgundo piso: 3,75 v6 * 4,0 vz * 3,6 ps + 3,75ee + 5.98a2 * 3,Q,,,, 0. A¡rlir ando las ecuaciones generales (52) v (54), entre otras, puedcn scr c:rl
l¡ en un ejemplo numérico' Hrr t.tt -ve.mejor piro., .urg.áo horizontalmentt' v ;;;;;."¿.-a.r
aplicación de esta ecuación
-reagrupación
l):rr:r
.1,0,¡,r
se
* 3,6v5 *
l:rrl
@
y
' en las figuras 29, 32, 33, 34, 58, 59, 69,
5-
Método RC de cargas- para pórticos simétricos (,) -reagrupación I-os pórticos simétricos. con cargas exteriores asirnétricas, presentan if{lrñl nriurt'ro dc incógnitas. como si fueran asimétricos. \{ediante el conocido procr.di rrit nlo llamado "Reagrupación dc cargas" o sea el rrétodo RC. tambión ('n r'f.l(' < ;rso ¡rucdt'n aprovecharse las ventajas de la simetría. l)l pror:edimiento se explicará brevemente mediante un cjemplo sencilk,. l,:r f iqrrrl 6 reprcscnta un pórtico simétrico con una carga P quc actúa asinri'tricr¡nrcrrt,' I',stl t'stltdo de cargas dado, puede ser recmplazado por otros dos reprcscrrtrrtlor
@ (A¡ h-tr5
esquen¡ dp lc codiciente' Fi8. 91. Di¡gr¡m¡ dG c¿r¡i¡r t
los valores
1,2y3.
ft
Se
cr¡ están rígidamente empotradas (5i) corresPondi€ntes' Las columnas Según pisos' ambos pide las ecuacrones otiopfL*iento Para
tcndremos:
^l ¡,
-
3 .5.5
3,3i
-4-
5,0
rr: 3#=
6,0;
l": 3# :
4'o; I
¡'is. 96. Carga aeinétrice Incósnitas: ?s, 94,9s',
A.
P.
f lg.
9b
P a. uarSia ttme8tlg¡-.:-. 2 Incógnita: gg
Fis.
96
b. Carga ¿nt.inr,it¡ic¡¡ ,''.I'
Incógnita: {;;,
91. a.
b. El estado de carga a presenta dos cirrgas # l( tír¿rr¡ 2L Ur" .rintétrícamenl¿. mientras <¡ue :l estado de carga b muestra las fuer¿as ,l rlrtliucstas antimétricanente. La superposición de ambos cstados de carga, r.ros rl,r por la figura 96 a y 96
cl t'stado primitivo. Los rtsultados numéricos obtenidos por la superposició¡r dc lo' (stados a y b, son los que corresponden a nuestro caso. La ventaja obtcnida con este procedimicnto es cvidente, pues en vcz dt'rt.solr, trn grupo extenso de ecuaciones, sólo se debe hacerlo con dos grupos rtduttlt,, . independientcs de ecuaciones, sumándose finalmente los resultados. Asi ¡r. r.¡ al rt'solvcr el estado dc carga de la figura 96 se debreran dt'ternlinar ru¿lro irlr oLi ¡ritas. a sabcr, los ángulos dc rotación de los nudos g,r,9{: 13'r,cl desplazlrrrricrrro rt:lativo a de las columnas. Aplicando el método RC, para cl r:stado de r:arg;rs lr tlt'bt'dctcrminarse sólo una incógnita, cl ángulo de rotación del nudo 13. t). l)ut.s J elr:0 )'v¡': *f3. Para el estado de cargas b har.que dcrel.nrinir-'lrt,s in<.r'rl nitas. a saber las rotaciones angularcs rr: y ?, .orro también cl dt:spl;rz;rnri('nto relativo r dc las columnas. Sumando "r' las dcformar:ioncs corrcsponclic¡rtr.s ;r :r ¡r:tbos cstaclos de carga rcagrupaCos, se obtienen las dcformacioncs para cl t'st:rt[r dt tarqas dado. Tendríamos entonces: r
Fig.
r'¡s. 9t.
94.
valo-
sido consignados los En la figura 91 también han Según (55) se tendrír: res k puestos entre paÉntesis'
D,:23+:r(
#"
#- *
Dz:el#*# *#)
r.ig.
95.
l'i.* 92 a 95. Estructurs sporti-
.,,iur """
columnas de diferentes alturas.
v finalmcnte segun (56) Sr : 3'0 * 6'0
:
: 1o¡)
:u,nt 9'0
3,3
vr
*
6,0 ee
*
6'10 Ar
*
9'0
:
16 .6 F)
t'
(54) de desplazamiento serán según ecuaciones las piso primer el Para
*
J''{rt JÁ
.4
3,0 t.
Sz: 4,0 e6
u't"'
o
:
Já Jé
9:r
=
F::
* qr:
gt':
-
g,,
- c,,:
l+: ?¡l
: =:.
Con los valores obtcnidos. se pucden dcterntinar los p¿¡., ertremos d,. lru.r.r Dt' la misma Inanera. podrían dctcrminarse separadamcrt.e los parcs (.\tr(,nr()\ ¡r:rra cada uno de los estados de carga. sumándolos después. t
t i--"f T.: En el orieinal BL.-tr'er'fahren
(BU.
-
Belastunqsumordnunq).
h{tlttdu [{.C. *reagrupació::
Estructuras aporticadas con nudos desplazables
34
b) sc En el caso de las cargas uniformemente distribuídas (figs. 97,97 a y 97 rnanera. misma procedería de la prestar cspecial Al efectuar .l .ái."f" según el método anterior, hay que ca¡gas stmét¡tco de. estado d9l los ut"rr.iáo que amhs sistemas áe ecuaciones, capltulo En el dy s términos dl los uno cada en se diferencien
I" (3!); ¡'
suponieniro u*a
aniímétrica. !a ec*a,:ió. dt,r /r rl, -carga ia figu¡a 9gr"es: 'rrrrr¡ i F; -! k¡ p.r r- l;69r, :_ F,,:, + r; *_ ir '''r r!r¡i' f¡ - {5, csta cctració¡r tarnrrién puede st-r csc¡ita ce ia ¡r¡ar:rr..i sir¡.rrr..rr {d¡ -i- .&,:) . er -,f *¡ q+ * ir; Á3 * ¡5 == {J. Vcrncrs que para la carga antimétrica al término d se k: _qtt¡na ,r,l r'r{r'd.z t de tra ba*a qué crxrlicir.rrlr. ,lr va hacia n'r nudo'sirnérrico, *i."a*r'q*. r':rg:rdos si.r'nétricanteitc,.sucedía en l's ¡rrirr ir':. lo .ori.u.io. T"a:nl:jen aqul sír rrt_rnlit.litr;¡ irrlrodrcción r;r e! término;
.:,iljl'
¡ri¡"1¡1 ¿r
l- ""lliallo,
n'¡rrcsrrlrt;iiJc¡ en
il;;;;;l.,
¡:ara
@'
@
@
T*;"l;l;""$i;:?fl;,i
Fig. e?¡. carsr simé*ic' -q-
Incógnitu:
Fig.
93' 9a.
b. Ccrg¡ ¡ntimétricr Incógnitse: 9s, 9r, a.
9?
:',,lli.:#ru,f;;:^:,' 7,::'^""u ou'Íi
r¿
.f:'1.'*
Antantcrior hemos tratado detalladamente sobre los estados de carga simétricos' antimétricos.. carga de estados pliaremos algunos conceptos sobre
Ltá optitetttado en la iigura 98. 9n este caso una dr puedc st:r trl-
las mitades con su carga correspondiente el pnexrnlc tada raqa coll¡u como pórtico PUrrrL( asimétrico y se tendrá -en (Dl(D rlr rotación de ángulos los incógnitas, ;toll"*" clmo i I )r a' relativo gs' y* desplazamiento el 9¡ nudos los áe rls' 98' E"quema de lG coeficient€s. csta manera ,. pr"á" aplicár la ecuación nudal (52) la matriz dr y la ecuación de desplazamiento relativo (54)' pata formar(/t1 * lr3) rm¡r' ds:2 ion: contiene ella que d ins coeficientes. Los términos
Mat¡it de los
dt:2
(&B
ecuación
+
0,5 &,.¡);
el término D Para
dc desplazamiento es según
i:
D: zt+ *
0.5*"\ Y#:l
l;r
(6rr)
.
(Ver ejemplo numérico 5).
2.
EI eje de simetrío del pórtico pasa por el punto medio del tramo
la fornr¡t¡:iólr Irara cargas antimétricas ha,v que tener especial .cuidado con Atlen¡;i¡ simetria' de eje al r,".lito, nudos lás dé d aiug;".ies r¡. ltrs coefici.rrt., Asi pórtico. del mitad ¡r' r¡ t:rmbión en este.urot-.u. ser considerada sólo la
@
1¡t1
1r. t,¡
si¡:,étri¡:os ,¡-,¡' r. ,,¡\,<, ,,i, ri
noml:nrí;,i^t'.;r';:i;" pru,.,,"", r;, n,¿rrri2,,,.,,,,,,1,,1
"
'"pt;'u',,,
lVaturalment" hu;., tarnüión pórticos .. crr .'ales et
i"
,*'o,;in"',,ucrar
í¡:, r
jos
eje de simitrín prr" .i;;;;ioun,..,r,.
del pórtico contiene nudos
Al plantear las ecuaciones, se recomienda en estos casos considerar sl'rlo la dil pórtico, con las .ttg". correspondientes' En.este,caso debe !:1.1; ^¡to¿ p.ru i" columria en el eje de simetria sólo la mitad drl ioeficiente de rigidez *- De esta manera se obtienc i¡¡mediatamente una matriz de los coeficientes complctnmente simétrica. Así p. ej., el caso visto en la figura 9li lr para carga antimétriCa, puede ser interpretado tal r:o¡nt¡
coelicientes 6
ru cucnta
u,ro ricsi¡Jnacróii espr:ciai- así
lll;*'-rros
l'll*lií.3¿r:::;1::,:'ifi; "'t;;'
H"y que considerar dos probabilidadcr' a^*O^'^rorr¡nÉrnrcos. quc sc detallarán ordenadamente a continuación: Est¡nos o"
t. El eie de simetría
de
jrlntríz de lo,r Pa 9¿
9a 9a
aF.
fF
JFtl
fra' Jf,'
Já Jf, fé fJfl
.Ps
¿,
ks
Ee
L
7o
tu5
¡lll-;dtt
A Él
rt
E,
-t-J-¡ &r lji
8! ,-
tu5
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E6
¿, ll kr lFo i__
J*r
Jñ fñ fFÉ
9a
coe.!i¿jsv¡¿.s 7
1r e6
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b'
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pr
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A'
_(' vt
.{
.Ds
t/, ' I '/\ *9, Fig. !r!. Iisquen'¿¡ rl¡ l''
pun¡os rncdios de los trarncs (fig. 100.;. ,rr'O,n;:;,"":'_.,,, ' irr: ¡¡y¡¡^¡i6.'orlrli.¡rcJ.s ,, ¡¡rc¡:e.drnie¡¡"*,:-,;,.rr,_r, arlpiia ¡r¡;jjc;l¡ iri,i JX,r nud.,s
P
,
P 2
F
I
I
l'¡;.. t',¡, (arg¡, ¡¡..¡¡,,t.r;"a
¡
1.
¡'ic.
100
a. Ca¡sa sjnr¡rt¡jta rJl
I I
l--r!:. 1il( 1'. (iarg¡
¡irrrri|,
lri,,,
I
,1,,._,,,,"111,1, ,;f:1, ...*", j": sc.¡í,n i;i jiEu*r r00. s¡'r .crsidt'ra.ic 1:i; j:::.T.,11,,l,11Í:,lll co¡¡r¡¡ a'tirnérrico í-i;;--"-:1, )" r,rr*r¡ ]' i,.rs ¡'sfuci-o¡ dr,. rorrr-" g; ;;,.,;,;,;';:-.,.',:li, ,,, - ..\,\
,i.
,:;g,*
,';,lli1";1," ;:il,l;,;;,"i;ruio,;:,,,',;::.,j;j-,.,,,r' :,:i1,1,.:.: cáit:uio dr"ll J's d;agrá,r'ui J,- u*o-,,;*,";'i;. '''1( rlli'l¡l.ri;r,,t¡*, l,rl,)]''
i
,
r,,,,t, r, ,
i
r,,
I
qt Esiruriuras a¡:orticadas con nudos despiazablc'
6. i)órtices
desplazables con barras artleuladas
A. Las figriras co¡tsignan ias
lll a t0'! h.ág"i*t u.
GENERALIDADE,S
represcntan -á!r"r*iout algunos pórticcs con barras articul;ttl;rs
tJ" tl
procedin'iento que se
El planteo de las ecuacion¿s.
in
¡l¿' ¡:ttrt'
dición pára estos pórticos se detalla a
(r()rr-
trnuacron.
lrirr
101, Incógnitss: g¡, A,
Fis.
Eculcroxr's NUDALES' - Sc plantcrr;i aqui la forma gettcralizada de la t't'uar iít¡t nJdul. ,upu.tienáo qu" un númcro intlt't.rmi.uáo de ba.ra..o.r.ll..ett al nudo (')' y t'tr Fig:- 102. Ineógn¡ta: están articuladas o empotradas en éstc o A. ('tl quc suPone se un nudo vecino. Además rotala lugar tiene barras @ muchas de estas .i¿" ¿.1 ejc baricéntrico ({) o bicn "" (A)' .tll':' olazamienio relativo de los extrcmos La figrrra 105 representa un nudo (n) r'r'rr
103. Incógnit¿s: 95' 96'
# # # .F
JF
r*-
# 1r*-
eF eá eé
v@ Fig.
104'.
lncógnit¿s: 9{' 95' A'
l0t a 104. Estructuras aporticadas des- Fif:' t,ifq. " l,lr¡z,abls cor b*rras a¡ticuladro'
105
Part4 aepa¡ada de una 6tructura
@n bq¡¡^¡
articuladas-
quisicrli t:ott-
si acicmás ,rrs nutjos vecinos, cotno parie clc un pórtico cualquicra. 9+ )'q;-;' enton(:('s' articulaciones las de rotación ,,i, 1,.,,,,.rn estc cálc*lo los'ángulos dc (37) : r.rrnlrión :iquí pueden ,". uili.udus las ecuaciones nudales se
doen*4t,,,0*o U?t kn,¡*n¡ *sn:0' cada ángultr .r.() dc Csta tnancra tendría que plantear una ecuación nudal para J), ".e exprcslr nccesario es csto. .1,. *rtlrcirl.¡l de la articular:ión a i"t"t*irrar. Para evitar al nt¡d<¡ frente hallan se que 9s torlos los ánguic,s A" rotuaiOn de las articulaciones baricóneje del ángulo de-rotación (rr), t.' funci,n o. ;;';|.*r.rp."ai"ntc la tabla I' página 4' caso 2ir' tendríamo" á*r*:,ior el cas., rritr {,,r,. F;rra
'"glít'
pl--
1[ t2,,*='"\. t;l l\o,-*JVn.¡=
v en {orma general' se oblit'lrt' l:i( ( iuiitlclo esi:i rlininaci
i',l,vn't ) k","1' -r X
(58)
E¡¡ clla los términos ¿9,, s*
Jé Já Já Já Já Já
Já Jrl JA Jñ JA JA
d2:
dn
¡f;:
so-0,5>tlIte,,.
-
0,5>
tT
significado al de
la (29), (5e)
kn,o,
(60)
) *,,, 9, y X 3 kn,, ún,, se refieren a las barras rígidamentc cnrpoen.-bá, extremos.'Los términos ) 1,5 kn,o*o,s son válidos para las barras
Los términos tradas
el nudo (z) y articuladas en el otro extremo. Si en vez del ángulo de rotación del eje baricéntrico ry', se cligiera com() incógnitas las magnitudes de los desplazamientos A, entonces la ecuación nudal
clásticamente empotradas en
serra: do,
donde
= f
s,
* 2 kn,, e, + > F",, An,, *
>
0,5 En, an,o
I
*
sf
: ¡.
(61 )
3k
Ecu¡cIoNns DE DESpLAZAMTENTo. De la misma manera. como la indicad¿r en los capítulos anteriores, para pórticos- sin articulaciones, se puede plantear par¡r Ios diferentes pórticos de nuestro caso, fórmulas prácticas, de aplicación inmediata. A continuación esto se efectuará para algunos casos importantes.
B.
PORTICOS DE VARIOS TRAMOS
Es de mucha conveniencia considerar aquí, separadamente, los difcrentes ('a!()$
dc un pórtico de varios tramos y de un piso, y plantear las correspondientes ecuaciones nudales, como también las ecuaciones de desplazamiento. Las ecuaciones de desplazamiento se obtienen siempre de tal manera, quc cn la expresión gneral (54) (69) > Feu*2É*"+Da*^s:0 los ángulos de rotación de las articulaciones, sc expresen en función de las otras magnitudes que dan la deformación de la barra considerada. Según la tabla I, página 4, caso 2, .t 4r, se obtiene para las diferentr.s barras representadas en la figura 106 a, b, c, que en estos pórticos puedcn a(:tt¡¿rr como columnas, las siguientes expresiones para el ángulo da rotación dc Ia atticulación:
a) e¡ :
- |G" * ?. *l caso b) eo: +1+ * +) caso c) eo: *(r" * ?. *l
caso
eá
'ñ ,ñ
articuladas
y 2k^,,e, tienen el mismo
JF
¿* *
ft'
Pórticos desplazables con barras
a)
fiI
Ecuecro¡rs
III q, a)
Pó,rücos de v¡rioa tramos, con los pies de las columnas rígidamente empotrados (fig. 10?)
S'o
b)
s c)
Considerando que en este Fig. 106 a, b y c- Bnrn¡ mrn condicio..¡ d. figurar -ur¿ término a, las ecuaciones dr€re'é sustentsc¡ón'
NUDALEs.
c'aso siempre puede
,"rán según ('52),
d,9,
* 2 kn,, e, + *" A r
r¡ =
0,
(6(t)
En-ella los términos ko,,9, se refieren sólo a las ügas que concurren al nudo (n), y k" A, a la columna correspondiente a éste.
Estructuras aPorticadas con nudos desplazables
3tt
ECU¡CIONSs DE DESpLAZAN{IENTO.
sicmpre es pü : 0:
-
Pórticos desplaz-ables con barras articuladas
Teniendo en cuenta que en este
la
I¡ie- L0?. Pórtico de vári@ trmos con los ¡¡le¡ rle las colunnas rig:idanente empotradc.
y
¡rl;tzrrrrdo
:
,a I Z>.L la
expresándola como
(56)
Ecunc¡oNns NUDALES..-Se deducen de d?,e,
la
(61
(fig'
108)
¡X
d
r" + :0.5 )É eo
dn
-
:
sn
(72) el coeficiente dt: rigi-
l.'ic- 108. Pértico de Yarios tramG eon de las columnas articulados.
EcuncroNrs
lc
y como en la (61 ) dez de la columna
pies
:xt:
DE DESPLAZAMTENTo.
,'n l:r (62) de la manera siguiente:
-
-
0,5
r",
(71¡
![1,,*
¿¡o
)'
So:S-)-
:
3k'
(7 1)
I
Estas se obtienen reemPlazando la ({rJ
)f
* D,a -1-,S" :
s!ry, Io-,1!!".
1,5t)1, s p *,2.r.1 str + )¿ +T.a'4-T.L-¿¿, I
de ¡arios tramos con las eabezas de las cotumnas articuladas
(7rr¡
(fig.
100)
Itct'rrr¡rhzando según
icnt la
ta (55), D:Z:-f la simplificación
ig. 109. Pórtico de varios tr¡mos @n cabezas de las columnas articuladas-
laa
* 2 k,,," e, *
Los términos las vigas.
kn,r
r
expresión más adecuada
;
se ob-
:
Fis. 110. Pórtico de va¡ios t¡amoe con r¡rt¡r'¡ lacio¡es en los pi6 o las cabez.ae ¡l, lr', ct¡iu mn
a
s.
¡9 ='
.r
1r
t'lla ) sc rcficri: a columnas sin articulaciones, micntras ), a las colu¡¡rr,;,. eg
*" - tJll ato'1I
In9,v ![¿l son ]os términos de carga para las colurnnas articuladas en uno ('xtrcmos o con m¡is propiedad. dt'l extrcmo con la articular:ión. Adcmlis
0. (77 I
9, sólo se rcfit'rtr¡
(8
-Err
So:S-1^5t
Ecu¿croNns NUDALEs. ruiente, estas ecuaciones son- independientes de las ecuaciones de desplazar¡ticl¡lo'
v,
lr
(82)
El té'rmino dc
d*
)
r¡i
0
Do:2Pf-*0,5?+
f,,¡ s5f¿ caso no hay términos a y por c.trri
f.
l. vo
(74,)
(Vcr cjemplo numérico 10). c) pórticos
(80
c
('ntonces. después de
)
(741
-
)
En clla los términos ¡ t e" se refieren a las columnas sin articulacirirr ) 0.5 A +n. a las columnas .lrn 1ri", articulados. El coeficiente diaqonal cs:
t
0,5
-,0'5
Dt".
(7e
es:
)0,5FEo+Doa*,So:0, rlonde
(78)
llct'¡c¡o¡¡Es DE DESrLAzAI,IIENTo. Estas sc obtienen rcemplazando dr'hirl¡r(63) r' (64) en la (62):
:
y según (60)
.D0a+,s,:0,
rrrt'nrt' las
(70)
g.
0,5
r(r(:Ir¡-
Iicuacloxns ellas valen las ecuaciones (66) , (70) ó (77) ^..UDALES.-Para stgíut que la coh¡mna quc concurrc al nudo considerada no tcnga articulaci<'rn, l;r t( ¡I¡lrr cn el pic o cn la c.abeza, rcspcctivamente. Si la colurnna Jlevara artict¡l;l, ion( s ('n :unbos cxtrcmos (péndolas) sc aplicaría la ccuación (77).
En ésta segun la (59) d2
y
:
de varios tramos, con articulaciones arbitrariamente distribuídas en los pies r¡ en las cabezas de las columnas (fig. 1J.0)
) y son:
* 2 kn,, e,+ 0,5 t, a * sl :
Ia (62)
d) I'érticos
rkurde P y g son las componentes horizontales de las fucrzas exteriores, que^actúatr , rr las vigas-y las otras mignitudes son las que se indican en la (49) ó (56)' de varios tramoa con los pies de las cotumnas articuladoe
(6.1) en
Do:0.5-ff '-t sl' .g,, : s - \,-1lgt,- : sp ; so + tzf 4 s t-l
(tt8)
(6e)
b) Pórticos
la
do¡rdt:
(55)
n
'l( )
I.lr:uncroNEs DE DESPLAZAMTENTO. _- Esta se obtiene para 9r:0,
(67)
¡,tv,+DA*S:0, donde según
('as()
s:IP+:si-:u-T
Ptej-Yns,
(
¡l.l
<1,'1,,s
¡H',i
) I' ) I q t. refiercn a las componcntes horizontales dc ias futrz:rs r \tr.r'r¡,rr ) 2I abarca todas las columnas. inch-rsir,c l:rs ¡rrlnrlolrr, ¡rtit tltr'¡s quc cl término !. es extcnsivo a todas las colut¡nas. menos las Jróntlol:r,. fl
tlrrc actúan sohre las vigas:
I
.
Estructuras aporticadas con nudos desplazables
Pórticos despiazables con barras
C" ESTRUCTURAS APORTICADAS CON BARI{AÍ;
EcuecroNEs
: r+ - 0,5> ÍIts,a: flto,, -l- flI14,5 + !Itn,, - 0,5 ([t¡r,4 * fir,¡), sl: s¡ - 0,5>{Ite,r: Iltop * lUtu,n * lDtr,o - 0,5II[,5, ¡3:so: )t6,sf!)lo,¡, s3: sa - 0,5 >lllte,6: lllte,r * Ilte,r - 0,5 (!tr¡E,s * $tz,e). 0
r¡
Ecuaciones de condicién
Para plantear l:¡s
NUD.{LES.
ecu:t
- la forma gencral (01 ) ci$nes nudales puede emplearse Los térlri.inos A sdlo se refieren en es1c caso a lírs ('() rígidamcnte emPotradas en el nudo consid('r:l(l()'
rll. pe¡re de o, uot*doiumnas ttc slificio ¿on artieulgcisnes" Ec¡-¡acrr:xr,s DF DEsIILAZ,A,&{IENTS.
F.ic.
li'rr¡rirros
de d*splazarniento para ciialquier piso -(¡t) dc un:r rs se obtiene introduciendo la (63) v ta (65) en la ((iil)
E,r"* npar+Sf ?f,r,-FX0.5Tv,* )F",+:0.5
==¡.
(t't(r)
Los términos A para cada uno de los nudos tendrán la siguientc cxprt'sirirr:
signilicado de caCa uno de los términos se ve claramentc en las aclarir< ior¡,'s rL'1.r (81) a (83). Ei tér¡r¡ino Jo se obtiene por compara¡:ión con las (6(i) y
ti:"
(84) o bien la (85)
)
(87
2r
r.rr5i¡1,'¡^¿o y en su otro extremo; mientras que los > 0,5 ,t-",e an,o valen par:r l:rs t t,lt¡¡rtnas que están rígidamente empotradas en el nudo considerado y articrrl;r rl;rs t'n rl nudo vecino.
l).1
,90:.S-1,5:gttgt-. t' ü?" t-&-. S : )P {- >q + >21 -l- \¡ 7t
la ecuación, hay en este caso dos clases de térrninos A. I¡¡s kn,, ar,, se refieren a las columnas rígidamente empotradas en cl nr¡t.lr,
Como surge de
La c(.¡.r(.i(¿}¡l
tnr{rtura aporticada (fig. 111)
P;rr;r
:
"l,t'
)
* d8 e, * d? vn
b) Ejernplo de aplicación
al ¡rrirlilr'
Scgún
poniendo somer-ido este ptirtico a Llnii (:rtqu <'u:rl' guiera, liabrá qur dtterminar los cuair¡r Jinqrrlos rlr' l.'ir. 112. Esque*a de ¡os caefieientip l¡ar¿ un €nt¡rEedo de edificio con
arrie¡r¡ae;one€. a?,
+,
¡
T
0"..
r, *
* T t,4,,,
20.5 k,.,j,,v
l,os u¡atro corficientes diagonales se deducen ele d!, :
dn
- 0,5:s kn*:
&:
du
-
dá:
dt
0,5
(h -l
k4
+
>s kr.o:2
(1, +
&u
+ l,.-,) -
(k.¿
l-
fto)
-
0,5
la (86) la ecuación
I.,.s coeficien,", Oru*o.r'ur.,
pisos.
kn ea
*
0,5 F,
,"
para el 2.do
¡ ft r, + :
a,
*
*
sf
sf
:
:
6,
¡.
s9:s,
kt:),
-
0.5 T
q" tD¡lap + Sf :
O.
ob,i"rrJ., ..g,i.,
D?:
loo lAa; ; l; (+ Z {-u- +' 0,5 "'-\ 11 l,
;\
;' -F l!
l
I
piso: D3: A,5l 7u k, \ \/rt1ri
Los términos dc carga correspondientes
*
X]#;
de desplazamiento es:
para el 1""" piso:
es'.
¡nu-= 0.
0,5 (/r1
ti: "ll" 3, :
0,5-h ar+ 0,5 f6 &
>k su+ >0,5 k Eu *
la (59) :
Z
:2
-
* k+pa, *
k¿en
¡si '
?s y los valon's clt"l tlrs
, cSrgún la (61 ) Ia ecuación nudal
a3'
desa*ksen*Trar+ro:0, df e¡* 0,58.,4*sg:9.
rr.rpresentadc en la figura 112 la ccuaciirn gcncrrrl rlcl nudo f 61i v la ecua<'ión de ciesplazamirnto (BG). Srr
fc.
kr6
(ti¡a. 112):
cargas exteriores horizontaies.
plazamiento Ar y A:, correspondientes a los dos
0'5
3',11:i:,v
^, 2kn,,e, sólo se refieren a las barr;rs
(¡il'l)
Aplicaremo,s ahora dctaliadamente
Í;
(lcrnsiderando además que los términos
P y X rJ hay que hacer actuar en la parte superior dci piso <'onsi
rotació¡l de los nudos g+, 9s,
4,1
la (60) :
Lt¡s ttirmino.r dc carga en los nudos son, según
AI¡,TICULADAS
a)
articuladas
sf y ,s! se deducen de la
(87 )
:
Dlo.rl 1.5(q'1.rTr.u): .sf 1.5[ q'.'- '\ h t, I h t' -1 -st- -:-r I¡
I-uego las ecuacion.es de desplazantiento para ambos pisos serán:
&2,
* 0,5[tp+ + 0,5 r s:. + ,lA1 * 51 :0, 0,57op+ + 0,5T7 qs + Dl a2 * S! : Q.
7a qn
&¡),
Iñ
Tabulando todas las ecuacioncs se obtiéne Ia matriz de los r.oefit.icntr.s
l,l '
Estructuras aporticadas con nudos de desplazamientos verticaleo
Estructuras aporticadas con nudos desplazables
Matriz
d.e los coeficientes
9¡
9t
dr,
kr
9t
Ic.
d"o
k6
0,6 E,
k5
d.
t-
9c
9a
9e
Ár
¿2
B
0,5 e,
0,5 kc
8ro
dr,
¿1
4,5 k,
¿2
0,5
lc6
0,5 kz
dc nudos (3-7-lt), {4'-8-12), (5-9-13)
k3
I
0,6 lcl
cales. Además debido a la simetría sólo tienen lug;rr tres diferentes dr:splazir-
8ao
sro
D.0
9"0
7- Estructuras
aporticadas eon nudos de desprazamientos verticares solamente Pírrticos de estas características son bastante frecur:ntes en las construc.iorrr.s. l)r'í'stos los más conocidos son los que se interpretan en el mundo tócni.o r..¡r r.l nonrlrrc de vigas de alma calada de montante, ,álo, o,,t,ila l,ierendeel aport.icuda,,
c)O
Fic" 118" Estructurt aporticada Vierendee] eimétrica'
Fig.
113,
Fis.
115.
mientos nudaies 0i. ¡r, üri. Estos tres desplazanricntos producen en conjunto ltrr diferentes ánsulos d
Los nudos ubicaclc¡s
si¡rrt1-
la misr¡ra rnagnitud. pero de sírntido cc¡rrlr:tlir', ¡,. cj. vr: - Vti eir: - Vzt 9;: - 94, etc. Adernás debido a la sirnt:tríii .s e,r, - ps : 91s : 0 y en la suposición de un empotranriento perfecto cs L¿u¡t bión v, : si : 0. trir:arnentc sufren rotaciones de
a)
---+----i----J;
s(:ri('s
los simétricos de éstos (4'-8'-72'), (3'-7'-tL'), sólo puedcn tr'ner despiazamientos verti-
86
Dro
0,587
y
8"0
63
9s
4'l
nración originada por un estado de cargas s¿métrico. Es evidente que las
8
9t
sólo
Ecuaciones de condición
Ecu¿cIoNns NUDALES-Puede aplicarse aqui la forma (40), deducida ¡rlrr,' las estructuras apofiicadas. Se estal¡lece previamente, que la letra ¡r, que st' refier a los pisos, es reemplazada por la letra ¡,, que en adelante indicar;l¡ r'l ní¡rrrt¡r, de orden para los tramos del pórtico. Ella será entonccs:
I
d"v"
*
?
p¡ ^,,,'
l-
3
k',
1',
*
3 k,*1,!,*r
-1-
s'
:
g.
(fi$)
El significado de los términos en ésta es el siguiente: A
-ü l-5-^
'J+[-S^¡
"lo / jf* ,,, I
l+-
16)
Fis. 116.
Fis. 1t?.
l"it¡s' 113 a 117- Estructurm aporticadas con nudos que oóIo se deplazan ve¡ticalmente.
tlir:r
114) .r'" lcs pórticos tipo entramado para tcchado con columnas latcralt's ('rrl¡ it¡rtts {,fig' 115) . ,.Además pertenecen a estc grupo pórticos, e¡r los cualcs ;rl¡lrrrras c
A.
ESTRUCTUR.A.S APORTIC.ADAS
\'IERE\DEEL SIMETRICAS
Y SIMETRICAMENTE CARGADAS I')r i, fiqura 118 se ha represcntado un ejemplo de este tipo cic estructura rrr)rli(;r(l'r. (on un esquema de los ejes neutros áe las barras, después de la dcfor-
-l/
-t \r{
,gl
I
'ru l'is.
',t '*
118 a. 118 &,
Fig.
los ángulos de ¡otación dc las r.igas cn el t¡;:lno p o r * 1, ts dlr ir,
*' \'{t,rt.'..
lu )' *,.r
Fis. 118 c. Fis. 118 bb. b y c. Partes separadas de la estructu¡a de la fig. i1S' ton Fus característics)r'
..
1,",
ánguios de rotación de las barras en el tranlo ala izquierda o e la dttLtlt,t, respectivamente, del nudo a considerado, son los coeficienles de rigidez de las r-igas a \a i:quirrdo <¡ z l:' d¿rtclLt. t' pectivamente, del nudo ¡.
Estructuras aporticadas con nudos desplazatlles
A continuación se hará :un;- aplicación nu¡néri,:a tl,' esta ecuación, para el nudo (.7 ) de la cstructura dc l;r figura 118. Por razones de claridad este nudo ha sirl,' rePresentado separadamente en la figura 119 <:on l¡r:; baras concurrentes, ios nudos vecinos, el esqucrn:r dc h,s coeficientes y el estado de carga actuant€, Inmediat¿rrr¡r'r¡ te se puede calcular el coeficiente diagonal d7, aplicirrr do la (35) di l"ic- ll9. Diag¡ame de c¿r{rs y eaquem& de los cmfieiente.
:
2?Ut,,
-
2 (8,5 + 3,5 + 4,,0 + 8,0)
:
48,0.
Utilizando la tabla 2, se obtienen los términos dr: Ill¡,e y t)17,g necesarios para calcular el término dt'
<:ar¡i,r t ar11,r
en el nudo ,ri:
qr) , qP _+,0.6,02 rt,.r, --72 --i2__: lrrcgo, segírn (36 a)
tt
:
+
12,0
tm;
: + 12,0 ?!)t7,¿
'!llh,s
6.25
:- g-t-5'91 12
: *
6,25 r,,r
DESeLAZAMIENTo. _-Se supone efectuados sucesivament(: lr,s t"orlt's I-1, II-II, III-III a la izquierda de cada uno de los tramos, o sea cn l;r stct ión infinitamente próxima a los nudos, poniendo así en evidencia las car:r, lcristicas M, N, Q,. Para las estructuras separadas de esta manera y reprcs('lrl;rrl:rs; t'specialmente en Ias figuras 118 a, b. c con sus características simbólit :r-
Ecu¡croNes DE
¡rrt"ntt'indicadas, debe cumplirse ahora la ecuación de equilibrio 2tr, :0. cs dctir, ,¡rrr'f;t srrma de las componentts uertical¿.i de todas las fuerzas actuarltes sobre l:rs (structuras separadas, debe ser nuia. La componentc vertical Z en ei purito (1) ¡rrrctlr: scr calculada inrnediatamente v es igual a la semisuma de la totalidad dt' l¡rs <'argas verticales actuntes, pues en este caso cspecial hay simctría. estructur:rl ), si¡n('tría de cargas.
La ecuación fundamental ) trz -- 0 puede escribirse más detaliadamcntr. ruutdo se consideren los diferentrs grupos de fuerzas de la siguiente maneri¡
:
Iirr t'sta significan:
I .:l
.......... ..
i"
(9ft;
. la cor)ponente vertical de la reacción en el punto ( 1 ) debida a la carga total. la suma de todas las cargas concentradas que actúan a la izquierda de la sección,
^'.,i .. ) (f
la
suma de todas las cargas uniformemente distril¡uídas a
la izquicrda de
la
sección,
.
l,u<'tJo cs
la suma de ias fuerzas de corte que actúan en la
v:lrf>r+¡q)
#
# # #
Gp
# #
'rl{ # F f, F F
i91l
JF CF
F
Jñ
sólo
4r)
así que, teniendo en cucnta
XQ:),{:->2I +>!j}!'-,
(e2)
rl,rrrl. M¡ y 'trr, son los pares en el extrcmo izquierdo y derecho, respectiva.r.r¡t(,
á-
ñ
secciírn.
L,rs r.rrlorcs de P'y g'detrn scr siempre deducidos dei estado de las cargas ext('rr,)¡('s. I'ln io demás, puede procederse de una marlera parecida al desarroilo dr. I:r .r r¡;r< irin (41 ). También pueden ponerse en los extrenlos de la barra en luqar H
rlr l;rs lut'rzas dc r:orte Q, las reacciones de vínculo A; r'l sr.¡rtido dc las fuerzas (i ;) , r. podrá escribir:
.r¡u,y,, izr¡uicrdo de las barras supurstas simplemente apo1.rrl:rr, y ticnen cl mismo sentido de las c:argas que las ril lt'¡lliln
Itt.t'mplazando (92) y (91) cn la (90) se tendrá utr,¡rcrs, para un estado de cargas dirigido desde arriba lr.rr i;r irbajo, con la convención dc signos indicada ,v consitl r:rndo que las barras del tramo v siempre tienen longi- Fic. r
120. Témino adici¡¡nrl del efue¡zo de corte.
trrtJcs igu:tlcs /a,
, t>p+>s) - >p,->s,-: r" *) Si sc efectuara
fdl-
5,75tm.
/+>P'+:q'+2Q:0.
# # #
l'lstrt¡ctur:rs aporticadas con nudos de desplazamientos verticales
*
ll¡¡:r vcz hallados cstos valores y con el esqucma de los coeficientes, 1a st' pultl, ,'scribir la ec"uación para el nudo (7). Aplicando la (89) : 4fl v,7 -F 8,5 ws * 3,5 e5 * 4,0 vs * 8,0 v11 + 10,5 ,l'1 + t2,0 {t2 * 5,75 .,' (\
t
#
.1-
(,ldi
la sustitución correspondiente en la
*.rr,)
\45)
.
:0.
(el)
reemplazanclo
l:r
srrrr:r. dc los pares extremos.de .barra por los coeficientes de dÉformacün 1, térrrit¡r¡s tlc carga, entonces resultaría finaimente la ecuación de despla:amienictt 1t¡,r,r
(':il¡u('luras aporticadas Vierendeel -¡imétricas ,v de cordones paraielos, como
:;iu.,.,,.,
(e4) (9t,
)
(fx;)
cn esta expresión tienen p, Q, p,, g,, 2I son válidos en la suposi. irin de que las fuerzas aótúan de arriba írutiu ufujo. Luego la ecuación de desplazamiento (94) tiene cuatro tipos de térrni¡r¡rs: )* 3 A vr "' . la suma-de ]o¡ productos cuyos factores son el triplo de los r.ocficientes de rigidóz ,r,- los ánguros de rotación de los nudos izquúrdos vt respectivos, para toáas las barras dcl tramo r,. la suma ) '3 Á r' los proáuctos cuyos factores son el triplo de los cor.fi-de ' cientes de rigidez y los áng;'los de rotación de los nudos d¿:rr,chos q, respectivos, para todis las barras del tramo v. l),,1'' " el término-diasoná1,'donde D,. según Ia (g5) es el séxtuplo dt. l¡r suma de los coeficientes * del tramo r,. .t' . . . el térrnino de carga, que debe ser calculado según (96). ) p, y ) g' representan siempre la suma de las cargas ioncentradu, dir_ l.
r
tribuídas. respectivamente, que actúan sobre "la estructura portant(." ala izquierda dcl corte efeciuado: mientras que : p y ) s abarcan todas las cargas. ) 2f significa la suma d. iur r.a..ior,", t.^r,rrlitidas a la sección. suponiendo las barras der tramo simplcmcnrr.
apovadas.
'
Nora rrx¡¡-..-Entrc otros casos la ecuación de desplazamiento (94) puecil, scr aplicada inmediatamente para estructuras aporticadai de Ia forma indicarl,, t'n la figura t2l. Para la detirminación de los iérminos de.arta s serún (g6
Estructuras aporticadas con nuCos dcsplazables
4(t
puedc aplicarse en e-st€ caso una simplificación. Esta consiste en que las cargas I', q, ctc., que figuran en la fórmula, sólo se tienen en cuenta para los cálculos
-6
o*o q,+q-!+l-gf/m
-T^Fig.
121. Fis. f21.
121 a.
quc se hallan dentro dc la abertura de la viga Vierendeel propiarnt'rrlr' rlitlra. como lo indica la figura 121 a; pues las cargas actuantes luera d,t" cst:r :rlrcrtt¡ra sc simplificarian ya de por sí en la fórmula. Así p. ej. para la estructura aporticada, con su estado dc carga cor¡<'sp()rrrlir.ntr. corno se ve en la figura 121, los términos de cargas Sr y Sl scgírn lrr lrir¡¡nrla. (96) serán: ,r<1trí'llas,
: t'^ _tl ii ) r';tril l t
02 + 5. 20)
É 6' - -, "-l ' 6.0 : * 246tm
scgundo tramo
r,:
[+
(,12
+ 5.20)
-
4,0
-
5
.6
-
cargas simétrico, rcsultará lll¡ : - IIt,, y dt' r'sll mancra la suma dc ambos valorcs scrá igual a ('r'rr).
En el t'jemplo siguiente sc mostrará la aplir'lcit"rr 12i1. Esquema
coefic entes.
de
los
dc las
ccuacicines plantcadas Vierendeel
Lrr cstructura aporticada. con su esquema de los coeficientcs, ha sido rr'¡rrr'..r'nlrrrl:i cn la fic-ura 122. Si se supusiera una carga simétrica. entonccs las ir¡trir' ¡il:rs sclian los cuatro ángulos de rotación de los nudos 92. 9¡.¡, 95. 96 y los do.r ltnqr¡1,'r ,l, rotacirjn ile la barra úr )'ú::.Los nudos 4 r'7 qtre se hallan sobre el t'jt'tll
ll s'lr'
simetría sufr<'n ulr desplazamicnlt¡ r'rt dirección vcrtir':rl. pero ningunA r()lirción. resultandr¡
,¡.t
ez : (). Si l,r', colunnas dt'ill)()\(, están perfectarrrlrr tc empotradas q :
:pi:0.
r
Estructuras aporticadas con nudos de desplazamientos verticales
dñ |.f-
# F
FL Jfl J¿ frfl Fl
?'1 Já J'A
ts Já JÁ
tÉ
f.{
Jt
Já é
sólo
47
Mediante la aplicación reiterada de la ecuac'ión nudal (89), de la ecuación r¡. d¡splazamiento (94) y mediante el esquema de los coeficientes, pueden escriSirs¡ las ecuaciones fundamentales en forma tabulada (ver matriz de los ccrficientcs 9). 'I'ambién pueden ser de aplicación inmediata las ecuaciones (89) y (94) p:rra estructuras aPorticadas simétricas distintas a las anteriores, como las indicadas en las figuras 123 y 124, si adcmás también las cargas actuantes fueran
simétricas (ver ejempio numérico
.ltñ
F
(89) .v (94).
b) )\Íatriz de las coeficientes para estructuras simétricas aporticadas
Matriz de los coefieientes I
.F .F # # eF F
LnLl*,0 : i- 48 tm.
El último término de la fórmula (96) no tien(' ¡(lt¡i valor numérico alguno, pues. debido al estadrr tlr'
l¡rc.
.t'' fF # + r-lta # .F
I-is.
Fis. 123.
l1).
124.
Fiss.123 y 124. Estructuras aporticadas simét¡icas que para simet¡ia de cargs, sólo se desplazan vertic¿lmente.
Iin
t'arnbio, en la estructura simi'trica rcprescntada crr la figura 125, y cargada simétricamente' cn los pisos su¡x'riorcs. no sólo aparecen des¡:lazamicntos nudalcs vt'r-
ticalcs, sino también horizontales.
B.
ESTRUCTURAS APORTICADAS \¡IERENDEEL ASIMETRICAS Y CON,{POYOS LATERALES
En la figura 126 sc ve una estructura de cstc tipo. I)cbido a los apoyos en los nudos 7 t 72. ésta no put'dc
Fis- f25. E6tructuE apo¡tiddü simét¡ica. con d6pluamient{8 ve¡tical6 y horiantalc.
dcsplazarse horizontalmente v por consiquit ntc. los nudos 4-!i. 5-10. 6-11 sólo sc dcsplazarán uerticalmente. Suponiendo que los puntos 1 y 2 estén úgidamente t'mpotrados, quedan todavía c'omo incógnttas dic: @ @ ringrrlos de rotación de los nudos g t' cuatro :.tt'¡-
culos de rotación dc barra
ú,.
Contrariamente a las estructuras aporticadas6 tratadas prccedentcmente. no se cono( e en estc t aso el valor numérico de las cornponcntes vertit'ales Z de las reaccion('s cn los puntos 1 r' 2. Prtr r:sta razón debe seguirse otro ca¡nino para cl planteo de ]a ecuación de desplazamiento. Ante todo. @ O cs conveniente introducir en cl cálculo en lugar Fig. 126. Est¡r¡ctura ¡porticsda siméde los ángulos de rotación de la barra ry' dc las trica cJn deplazamiotos ve¡ticals solamente. barras horizontales, los "verdadcros" desplazanrientos 6 de los nudos en dirccción vcrtical. Con esto st' obtienc en primer lugar, la expresión de los cuatro ángulos de rotación dc la harra *, por medio de fr¿s magnitudes de desplazamiento 6 r, con lo cual. dc e'ntrada. el número total de las incógnitas es disminuído cn uri¿. :\denlás. dc tsta nlancra resulta aquí inmediatamente un sistcma de ecuacioncs contpletarntntt. sirnétrito.
a)
ral
Ecuaciones de condicién
Ecu¡cro¡rEs NUDALE,s. En esrt' ('aso s(' puede partir dc la expresión gene(89). que se escribe:
dnp,+ )4,.,s. * J*"ú, -'Jii"-rú,-r - Jn:0.
(97)
.--
tF
Estructuras aporticadas con nudos desplazables
+tt
El significado de cada una de las magnitudes está descripto a continuación dr. la (89) y también puede deducirse de la figura 127. En ella, está represcntada
una parte de una estructura con desplazamientos verticalcs, designándose los "verdaderos" desplázamientos de las scrics de nudos (* - 1), ¡n y (m * t) con E-_1, E- y D-*r, n.spectivamente.
El nudo n, para el cual se plantea generalmcntr' lu ecuación nudal, pertenece a la serie nudal rrr. Los tranros vecinos tienen las longitudes Iv f 1y,1. Luego los corresporrdientcs ángulos de rotación de la barra son gu y ,!,,t. Ahora st' prrede introducir en la ecuación (97) prr.cedcnte y según la (3), los desplazamientos "vcrdadcros". en lugar de los ángulos de rotacién de las barras. Con las
tu $"1 rti.-. tz1.
nomen<'laturas elegidas tendremos
_ ,: vv_ - -ir".r ¿; .r,
Notacione.
Flli'<'tuando pocas operaciones
dnvn
Q-
.
6,n
--
l/u*t -
,
,-
6',*
,
(e8
-- -'
Lv +1
)
Ia ecuación nudal (97) toma la siguiente fornr¡r:
* ) i,.i q; r Í, i
6n-t
* xr6* -7r-16,,*1 i r, :
(ee)
0.
En ésta significan según figura 122:
üo, ü,¡ r
Y óm*l
cl desplazamiento vertica] de la serie de nudos que contiene al nudo
n,
.. los desplazamientos verticales de las se¡ies de nudos que se hailan a l¿ quierda o derccha, respectivamente, del nudo n,
,,=* y L*r= +,
Áu
ü-,
...
t
(100)
,n=Frr- i*
sr. rr.ficren:
. a'la barra que concur¡e al nudo z
iz-
(10r
desde
)
la izquierda (*),
.... a la barra que concurre al nudo n desde Ia derecha (-), x,, E,r, al nudo considcrado ¿ (i ). Como ejemplo se aplicará la ecuación nudal (99) para los nudos (5) y (10) . rlc la figura 126. Para este fin, se necesita el esquema de los coeficientes de figur;r 128, en cl cual han sido consignados los coeficientes * y el estado de cargas. 4,.,¡ 6n,
.,
Según (100) tendremos
@ @
ko
=
k-,:
a#& : o,o *,, : -1*o o-: 3,0 +#o-:4,0
¿.
y según (101) y"r :Í,
:
-Tt :4.0 y.ro : Er - E,* : 2,0 -
c) Í'ic. 128. Diagrama de cr8:as t 6que ma de los coeficiente.
d¡
:
Además segun
{fA : 3.0 : 6,0
(35) d^:22kn.¡
2(10,0 + 8,0 + 6,0) = 48,0 drc = 2 (6,0 l- 5.0 + 4,0) : 30,0.
:
z.o
2.0 1.0.
-+ J+
*
.# # # JF # tF # CF JF # f# JF # # # # JF F rl'{Jtln # rF FL{
F+-
ft' tf
Jtil-
é
'*1)
L:r tlt'tcrminación de los términos de carga Dt (para la barra) necesarios par:r cl r',ilt'r¡lo
II)l¡,.a:
lrlrr,,r,
:
+ 10,42tm; rJl5,6: - 5',0-'-6',02: * 10,42- 15.0: -4.58tm
*'ry: + -10.
r;: : *
q'Ot
rro : -f
8,33tm;
fi1¡.11
8.33 - 72.0 : --
-
15,0trrr
: - iIDq!: : -
12,0tr¡
3.67 tm.
(lon los valores calculados v utilizando del esclucrna d¡ 165 ¡¡cfir:icntcs. ¡rultlcrr cscril¡irsr: las ecuaciones nudales según (99). Ellas son para el nudo (5):
: 0 l I v l)rrr:r ll nudo (10) : J0,0qro -1- 6,0+s * 5,0ve * 4,0vrr + 3,051- 1,06: - 2.06s '* 3.67 : 0. J 1.8,0q,r
I
10,0v+
*
EcuacIoNes
8,0v6*6,0rro +
6,0E1
-2,06jr-4.06;r-4,58
{{l'}:r)
Supongamos separados dc la cstrut tr¡r';r (m), a la cual corrcsponde el desplazamicnto nudal 6n,i uclr¡irrr, tlo adcnlás las fuerzas cxteriorcs. como también todas las características (fig. 1lJ1)). Efei:tuando un corte cn la scccil,lt infinitamente próxima a los nudos, la ccuación de equilibrio )Z:0 <'s par:r t'l conjunto de l:arras scparadas conr¡rlr'1;rDE, DEsPLAZAMIENTo.
r¡n¡r scric dc nudos
mt'nte gcneral.
>P+
:,4í r:7,¡.r : 0.
(102)
MI
( Fig. 129. Serie de nudo5 (n) con las
Fig. 130. Témino adicional del esfuerzrr de corte.
caracte¡isticas.
En clla significan: la
suma dc las componentes úettical¿s dc todas ias fuerzas exterit>rts aplicadas en el coniunto dr las barras separado,
:P.. Sl.1| v \-,4.1 .rI-..... 2
2 t,
v+l
la suma de las reacciones a la derecha, de todas las l-¡arras dcl trarr¡tt , v de las rcacciones n la izquierd¿ de todas las barras del trrrrto (v
* 1).
Las reacciones qr.re figuran en la tcuación (102). sc obtienen. suFrtni('ncl() pares positivos en los extremos dt' la barra. según figura 130. de la sigrricntt'
manera \ll
:
tñ
añ
sólo
Irstructuras apo¡ticadas con nudos de desplazamientos verticales
f¡i: r¡ ) 1,,_., :
r'+ 1
-\2Ií-l.Úi-:'rríl, ,t r _ > 2rj,_, v+1
, :Mln r'-
1
I
1()J
Estructuras aPorticadas con nudos desplazables
50
Estructuras aporticadas con nudos de desplazamientos ve¡.ticares
El significado es idéntico a lo anteriormente explicado:
z aí v
según
pertenecientes al tra¡no (r * 1), respectivamente, ior pare3 extremos de barras izquierdos y ilerechos, ¡espectivamentc,
...
Ezrt
-
)-2li*r
- ?*
*
F,
co1 e1ry^valores puede
prantearse r"*r,'(105) nudos 5-10 con el desplazáúmiento 6", "
+ ^'1{,)
*;
(Ml,.a + Ml*t) :
o.
(1
04.)
Kv6n-t -f D*6* * Kvnt.dm*t * 5- : g'
v+1
!}r
ésta significan:
0-
K": iTr"
s.:*>P-?ur-)2fi*
()_
-:- ) ku"r v' Ku*r - Lv+l v,L D^: Ko * K,*t - a.: tgti - trtí) +
resP.
)
(107 )
(m¡.1 + stí.,). #e refiere ai tramo u-iu';rqi;rraa.y I{,,t (: cocficientt' (1oB)
Ku (== .o"fi.ir*t* cle 6nn-1) se de la strie de nudos considerada' .i,' d.*, ) , al tramo a la áeretha "ii')orfirirnte tJiatonal D,,, para ja seric dc nudos (m)' es rtsr:ltado de la st: surna de los valores K de los dos tramos advacentes' El ténninc de car.qa 'S'' dctaha sido términos, los de uno de cada <.alcula con la (108). Ei significado válidos llado cn (10?) y río:f i"", signos de p y w indicados en Ia (108), son abajo. ,,,., l:r iripótesis'dé que .rta, f,r.*ir actúen desde arriba hacia con [,qrs coeficientes ñ, lu*t y x,, (idéntico a *, de antes)' se calctrlan planteados ser deben x sólo Para i:r (100) v 3$1) ,,erp.ctiuumente. Los valores los nuclos con desplazamiento vertical. se puedt' sobre el número de términos de la ecuación precedente, resumiendo^ dccir io siguiente: cantidad de las barras qrtc 1 . Ei número d,e los términas 9m-7 es igual a la desde Ia izquierda concurren en la serie de nudos considerada' 2. El número de ]os términos 9r,+1 es igual a la cantidad de las barras existcntcs cn el tramo a la derecha de la serie de nudos considerada' 3. Ei número d'e términos gm' en general. cs igual a la cantidad de: nudos T'"'t' .xistente en la cadena de los nudos m. Sin embargo, tralándose de un nudo'Eu
sr.tendrá entonces según (101
) *:T,-r-i,:0:
con lo cual se climina t'l
lí'rrnino q,n corresPondiente a este nudo. 4. Los térmiios I aparecen s6lo una vez en cada ecuación'
-
3,0
: _
1,0;
,,
61
"l,,ru3ru" + 5.6 t2_
para Ia seric Z.O
6
rr,.
s* 52,5,, ().
asi m é tr
ic
¿.
ejemplo sólo ofrece una visión de conjunto de ra ,, Estepor marcha gcnt.rirr cr. cálculo, cuya razón, no se..harán aquí desarrálros nur¡éric.s. La figurr r3r de los cocficientes con todas las dcmás anotacioncs n.r.t.sírri;r. lt-t*ltu,tl :tqy:Tu lrtcee¡anog la hipótesis de quc los apoyos colocados en los nudos z r, 1) ri lrir.¡¡ J y ó ev¡tan eI desplazamiento horizonral del pórtico. para un cstado dr.,.;rr eas cualquiera sólo tendrán lugar desplarumierrto', ,rr:i;r"ílÁr, g, 6. r\rl.r¡¡,rr eSn"Samiento" rígido en los pies de las coiumnasr'' : er e,:: , o, ::.f]-tT:por "", ql¡edan calcuiar fliez ángulos de rotación áe los nudos p3 hasta p12. .Antes de-plantear las eiuaciones nudales según (99), deLen ser detcrnrin¡rrl.s previamente: los coeficientes diagonales d3 a d,e"segfrn rásl,-i"r.*ficicnrcs x.r, xr,, |16, xe, 'tlto¡ l'rt para los nudos desplazables y finaimente los términos @ bo O
lvl
*
L,0
ffiJ,:ÍT,u ;1* "*"
ocoeJi
[trosr (100
- 3,0 vs-2,0 vi-l,0pro *4,0 E6 *9,0 r11*3,6 (Ver además los ejemplos numéricos 12 13). ,v b ) M a tri z de os cisrtes*pa ra*u
6,0pr
I
se reemplaza en (10,1) la surna de ios pares- extremos.de barra según (11a) y teniendo Én .,r"rrtu'la notación aquí adoptada,_se -obtiene, después cle ,ocas ;p;;;;i;;;. de transformación, Ia e'cuación' de desplazamiento para cualquitr stirir: tle nudos (m) en su expresión senciila:
' )l'v^-t*2x*E** )á"* ag*l* v
i
:4,0 - 6,0: Z,0l úo: -.1-
Itecrnplazando ta fuerzas (i!), se tendrá:
- :P -
r+.5
Ke:*(6,0+3,0) :3,6; Kr:&{4,a+Z,a):L,o; scgún (107): Dz: Kz K3:3,6 * 2,0:5,6; sesún (108): Sz : -3,0* (5 + q +* (5 +4)"+ : _SZ,SI.
Ios pares extre'os de barras izquierdos y derechos, respectivamcntc, del tramo (r * 1). (103) en la (102) y teniendo en cuenta ei sentidc¡ dc las
(M!, 1-
(101):
según (106)
del tramo r,
Ml+ y Mí*t .......
5r
A continuación se hará un ejemplo numérico de aplicación práctica dt: ra ecuación (105), a I¿ serie de nudos 5-tO ¿. Ia estructü up"rtl.oa., repres(rltada cn.l1 .figura 128 con su estado de cargas y sus coeficientÁ.
p.,"t.' :i*?üX,Í;4ffi:::*:.,::*.::iJ#:?,j,':#jTi*il
U!, v Uí
sóro
de carga para los nudos s3 hasta s12. Para el planteo de las ccuacii_ nes de desplazamicnfo, se necesir"r, b
anterior y aplicando reiteraclamente
la ecuación nudal (99) v la ecua_ ción dc desplazamiento (105) con
I It
L?
l(r
K?
K5
O Fic. 131. Eequema de loe coeficien¿s
Fn F Fa l¡ñ
ts F ;ñ
Fic. !'ics.
132
y
133.
132.
Fic.
133.
Estructuas aporticadgs asimétlicas con desplazemientos rerticales
solame¡rL¡,
F,structuras aporticadas cuyos nudos tienen desplazamientos verticajes
Estructuras aporticadas con nudos desplazables
52
la simultánea ayuda del esquema de los coeficientes, se pudde plantear inmcdiatarnente el sistema de ecuaciones completo en form¿ de tabla (ver ecuación tabulada 10). Mat¡iz de los coelicicntcs 10 9t
4
9¡
&,
9t 9t
9t
9t
d.
&.
ta.
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Dr
s,
trU
^
,9,
Las ecuaciones generales (99) y (105) son también de aplicación inmediata rr las estructuras aporticadas de las figuras I32 y 133.
8. Estructuras
aporticadas cuyos nudos tienen desplazamientos verticales y horizontales
Como punto de partida par¿ las consideraciones que se harán aquí, se utilizará de nuevo la estructura representada en la figura 126 que allí estaba trabada en sus desplazamientos horizontales. Quita;do ahora estos apoyos, debido al estado de cargas los nudos 3-4,-5'6-7 v 8-e--10-11-12 sufrirán desPlazamientos..J.:*:lT"
!"{::":i"iirí.i*J:y::_
nudos 4-9, 5-10, 6-11 sufren desplazamientos 61, 6e, 83 en dirección uertical
a)
cstc suplem_ento consta, para el caso general, de dos términos de Ia forma [c¡rrr 3 hp úp
(fig. 134).
Ecuaciones de condición
134. Estructura aporticada con dspla-
(10e)
a¡r*t
(
109 a)
.
Con lo anterior se tiene en cuenta, que en el prescnte caso las barras verticales también sufren rotaciones y hacen aparecer en ia ecuación un
término r¿ (o término sigrrifica como antes:
A) (fig. 135). En ellos
-kr=+.&l¡,*r:iF
Fig. 135. Esquema de los cocficir.t¡t¿,¡
Pcrr. consiguientc,
agrceando a
,la ecuacíón nudal para estructuras aporticadas sc olrti'rrr la ecuación (99) Ia expresión (109) v la (109 a) rt.sprctir';rrur.ntr
Estas serán entonces:
v,
*
+ ñ. 6--,
6.
-
*-u*,
dnp.*Zk*,¡E¡* L 8--r * r.,6. í
-
ñ*r g",*r +Turu
dn
2.k
n, ¡ E
¡
1- z-,
E.., +
3
k trrl,
*
t,
3 k ¡,4
(t¡0)
{ ¡r,t
resp.
*
A-¡,*r
a¡,,r
-f
s,
(ll0
n)
. El significado dc cada uno dc los términos está dado detalladarnt.r)rr.:r r,¡¡ tinuación de la ecuación (9g). figura 128 ya tratado. si contrariamente a Io anteriir. r;ü;;; ahora cr ¡xirrir' desplazable en dirección horízontal . Para poder plurrt"u. l'a ccuaci,irr nr¡tl:rl r.rr 5 y 70, deberá determinarse el valor
;kn =_3.6,0 :4.5 T
a)' En este caso. ai nudo considerado conc'rrc cn el piso (2) ,tttt barra vertical (9), así que en la ecuación sólo aparece,n tó.rninc, a,. sr.:r 4'5 al' Tomando los otros coeficientes de la figuru t28, l.'tl'r,.r.,{ scgun (110a) para el nudo 5: "r.,lnnccs scgírn (109
48,0 es
*
10,0v.r
*
8,0 c6
-
6.0 cr,,
*
6,061
-
2,0E2
-
4,0 63
*
4,5
l, _ 4'.5tJ o
v para el nudo 10:
¡-4.0E¡ * l.0gl 1,06: _2.0Es + 4.5aj_ 1.61, o aquí plantcadas s,'distinguen cle ias ígg¿rr sola¡r¡(.r¡l{ l)(,r It*"iAecuaciones
rior (¡r) v la otra del piso superior (p * 1),
Ecuacroxes DE DEspLAzA!\rIF.\To. -- se deben prantear tAntas (.(.r¡ir{ i.'r.. rlr. tlcs¡rlazamiento inclepcndientcs. como magnitudes d.';;;i;;";i".,," a ,i ,\. ir¡rL. ¡r.rtrli.ntes entrc sí. havan. Para este fin- se disporr" d"'d;a;.j;r... d. r.(.r¡rrr irr¡r.s tlr' <'<¡uilibrio. a saber: : I' - n r II = 0
30.0pro
zmientos ve¡ticalc y horizontales-
3 k¡,*r,!¡,*t
Agregando un cstc utilizar puede se pequeño suplemento, -en que (99),
Ecu¡croNrs
t-ir:.
*
y [comparar (52)] Eu au + l¡,*¡
Í..
dtt
Ér.
a
-&.
¿r
u
ó.
h
parar (40)l
1:spectrvamente
b.
d.
h. t¡
ó¡
bt
b,
9r¡
6r
&r¡
br
-b,
9tt 9tt
¿.
&.
9rr
6,
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¿)
k?
lPtt
9t
a,
h
9¡
It
9¡
¿t
9t 9t
9¡
y horizontalrs
NUDALEs.
óasó lu deducción definitiva de la sólo sirve para estructuras con desplazamientos uerticales. Si al nudo considerado concurren sendas barras, procedentes una del piso infc-
*
6.0p¡
*
5.0E0
I
5+
Estructuras aporticadas con barras de secciones variables
La condición 2V:0 debe ser planteada para cada serie de nudos ¡rr.rlr¡¡l cltl pórtico. Para esto puede adoptarse la ecuación general (105) sin intnxh¡r'rr variantes.
La condición 2 H :0 se debe plantear en este caso para cada piso relrorndamente, como sucede en todos los pórticos con desplazamientos horizonlolat Pucde utilizarse para este fin la ecuación general (54), que aplicada con el srrl¡índice ,¡ correspondiente a cada piso, toma la siguiente forma:
)pt]krvu* )
kp po
*
DpA¡r
*
Su
:
0.
(lr!)
Iil significado de cada término ha sido dado ampliamente a continuación dc l;r ccrración (54). Sc prescinde de un ejemplo numérico, pues la aplicación de Ia ecuar,ir'ur r¡rrr' ¡rntcccde no aporta novedad alguna. SBccróN Sr,ou¡qne
ESTRUCTURAS APORTICADAS CON BARRAS DE SECCIONES VARIABLES
I.
INTRODUCCION Es bien sabido que la variabilidad de las secciones de la barra, o sca lor rtfutrzos en los apoyos conocidos corrro "cartelas" o'-'.alg.p4ar", tienen una gr¡u¡ irrflut'ncia sobre la-distribución d. Iot *o*.rtoi!r l,ou Éilc"s estáticamentc intlcllrr¡rinados 1. Se puede observar, sin embargo, que en muchos casos sc prcsr:indr. lr¡talrnente de la construcción de las cartelas, a pesar de su gran utilidad r-n rlt'tcrminadas circunstancias, cuando no se puede aprovechar suficientemcntr: ln vrntaja económica que implica su construcción. La razón de esto estriba t'n prirrrcr término que, teniendo en cuenta. la variación de la sección, el tí:c¡rictr ( slx'ra cncontrar frecuentemente cáiculos que se escapan a la üsión de conjurrto y prcscntan dificultades para su revisión, evitables si no se consideraría la influertci¡ dc las cartelas. Sin embargo, con la utilización de procedimientos de cálculo y medios auxili:rrcs adccuados, que serán tratados en esta sección, las desventajas mencionadirs árl)cnas aparecen. Con el agregado de las tablas numéricas y nomogramas cn llt "f);rrte Tercera" de este libro, se reduce a una expresión mínima el exceso de tr:rl':r.io y de tiempo originados por la influencia de las cartelas, confirmando con cslo l:r hipótesis de que se hará de ellas una amplia aplicación práctica.
II.
GENERALIDADES SOBRE LA INFLUENCIA DE LAS SECCIONPS YARIABLES DE LA BARRA
Existe generalmente, una idea poco clara de qué manera se hace sentir l¿r vrrriación de la sección transversal en las estructuras aporticadas, ,v como mediantr' r¡n:r r:lección adecuada de las secciones transversales se influye favorablemente sobn'
-i-S"o
Surnn' Neuere Methode,3. Aufl. Berlin: W. Ernst & Sohn, 1995. Mctlrodc der"""".: Festpunkte,2. Aufl. Berlin: Springer, 1932. M¡¡.¡¡;: Theorie der- Rahmenwrrkr'- Be¡lin: Springer, 1W7. Aufl. Berlin: SprinBsy¿n: Die Statik im Eisenbetonbau,2. gcr, 1().)3, etc.
.
-a ,lrl
r,lÉ
H añ H t-
fÉ fÉ á Já F¡ lÉ
rÉ rÉ fÉ
oú ,t sú t*
Generalidades sobre la influencia de las secciones variables de la
|t+
|¡+ r¡* :;+ a* a*
fÉ lÉ f*
af,
o*
55
el diagrama de momentos. Sin entbargo. se puede obtener una visién rápida sobre la influencia de las secciones variables de la barra, efectuando pret'iarnente el estudio de algunos casos límite en estructuras sencillas. Para este fin, se estudiará previamente la viga rigidamente enpotrada en los dos extremos. Si la barra es de sección constante, el diagrama de momentos para una carga uniformemente distribuida. tendrá la forma dibujada en la figura 136 con línea llena. Tendremc¡s en-!-.ler tonccs en las secciones de empotramiento i
ot' ,lll ¡ -
-,:t.t
y en el tramc:
ar l+
M¡: #
ttlN
Si ahora suponemos los dos extremos de la üga con cartclas igualcs,' para el mismo estado de cargas del caso anterior, resultarán mayores los momentos en los
Ér
= Fig.
136. Influencia de
la varia-
ción de la seción sobre el diagrama de momfltos flectores.
apoyos, en cambio, menotes los momentos en el tramo. como se indica con la línea llena más fina en la figura 136. Cuanto más desarrolladas estén las cartelas. más se acentúa
la diferencia.
Si suponernos una viga simétrica. cs dccir. una viga con cartelas simétricas, uniformemente cargada en toda su longitud. el diagrama de momentos tanlb;én resultará simétrico. El crecimicnto de ios momentos en los apoyos y la disminución del momento en el tramo puedc llegar en cl límite a
Mr,:9{ ,-6
r' Mr:g.
scgún la parabola de los momentos. indicada con trazos interrumpidos en negrita dc la figura 136. Este caso se produciría. si las cartclas llegasen hasta el centro de la pieza y la relacién de los momentos dc incrcia fuera
J, n:7i:0:
aÉF
fÉF Ct+
bar¡a
donde "I" v /.r son respectivamentc los momentos de inercia en el centro dr la barra v en los apovos. La viga empotrada en ambos extremos se comportanr entonces, como dos voladizos un;dcs por una articulación v cuva luz es respectivamente
rfig. 137\
{
.
Este razonamiento nos dicc. qur en una viga empotrada en ambos extremos Ios momentos de empotramiento pueden ser en el límite. mavores en un 5A /a para una viga con cartelas siml'tricas. qrte t'n una ','iga idéntica. iin ellas. Ampliarcmos este raciocinio en cl otro sentido. Si en los extremos de la viga doblemente empotrada se supusiera en vez de un au¡nento de la sección. una reducción dr' ésta .tt-tt*.,t*-t*entonces los momentos en los apovos disminuirían en magnitud. mientras que el rnomento en el tramo aumentaría cantidades iguales. según lo indicado en la figura 136 con líneas de trazos finos cortados. \ qu. r'n t'l límite. están representados Estc r'aso Iím
por lr línca de punto: \ la\a\ ,'n t' tr,'n, lugar u:tndo
ncgrita.
Fic. f gi. Cso l¡m¡p para
ratte¡s
Bimétrica¡
-
56
Gene¡alidades sobre ra influencia de las secciones variables de barra
Los momentos en los apoyos son entonces ¡náximo en el tramo alcanza el valor
M.: z.'r
Ma-- 0 y el correspondiente momento
De lo anterior se deduce que la influencia de la variación de sccción puede st'r de una-importancia consideiable. Más acentuadas aún se-presentan las rela<'ioncs en la viga doblemente empotrada, que sólo tiene q <'artela en uno de los extremos. Esta produce un considera- nrrmr.l-.nrrri*nrtlr-nblc crccimiento del momento de empotramiento del iado de
la cartela, mientras que simultáneamente disminuye el momcnto de empotramicnto correspondiente al extremo opuesto (fig. 138). En el límite, cuando la cartela
(línea
tlena).
T"
(fig.
138
Fie. 138 s. Caso límite pa-
ra certela simétrica.
a), la barra doblcmentc cmpotrada se com_
porta como una ménsula empotrada en un extremo, de l:r r'isma longitud /. como podemos ver en la figura 13g a, el momento en el irlx)yo, correspondiente a la cartela es M1 .l rrtro apoyo es Mz: 0. consiguiente, en i f*ia" se produce un incremento -Por rlt'l momento en el apoyo, igual al séxtuplo del valor qrr" .oi."rpondería a una viga crrr¡;otrada sin cartelas.
Si bien en 'los
casos prácticos, difícilmente se alcancen los valores límites It irricos, no es recomendable despreciar Ia influencia de las cartelas en el círlcul
,,,rr y sin cartelas, bajo la acción de una carea uniformemente distiibuída. La línt'a llcna ¡epresenta los _mornentos para la viga sin cartelas, mientras que la lírr.r cortada indica el diagrama de momentos para una viga con cartelas. 'lt rricndo en cuenta el dimensionamiento de esta viga, surgc -claramente, quc los ¡¡6¡¡¡¡¡os grandes en los apoyos son absorbidos coñ ielativa facilidad po¡. lo, secciones ampliadas de las cartelas en el contorno de aquéllos. Además, siempre es muy bien recibida la disminución del momento en cl tramo, pues generalmente en éstc.
:il:ilff l::nl
;.il :,::'ffi ; i :: : la viga ta manefa en IOSaS V Vigas dC gran_ 'riá",:_ des luces unu .orriid.ü¡1. .i,irr tL pt'so. Finalmente debe agregarse.,que la cartela es mu\.fa'orable para l, '¡lrsttrt'iírtr de los esfucrzos de cortcJq,r..rr-lás apoyos alc.anzan sr.rr','alo.", m¿lxinros. l"tc l3!.
>-------
Diagrama de momentos ftectore de continua con o sin certelas.
e+ a+ at a+ a+ e+
III.
FUNDAMENTOS DE CALCULO
Los ángulos de las tangentes extremas de la elástica de deformación de una barra del pórtico con secciones variables Dado el diagrama de momentos para un determinado estado de cargas, quc actúa sobre una bárra del pórtico con acartelamiento arbitrario (fig. 140 a), hallar los ángulos de las tangentes extremas r7, t2 de la elástica de deformación, con
l.
/¡-\
l1-},a
= -sl{
Fig.
-/al
(FF
ga, y las dimensiones son tales que
n:_t:o
et
Angulos dc las tangentes extremas de la elástica de deformación de una barra del pórtico..' 57
;F ;? G?
abarca toda la longitud de la vil,'is. l:i8. Diag¡ama de los morr¡¡'nt¡rs flRtores de la viga rífi(l[nronte empot¡ada con carr(.lr¡ e le izquierda (Ifna irlrrrumpida) y sin cert¿la
.+
O*
g=lt g t.
r's decir, que una viga "doblemente empotrada" con estas caracteústicas se comlnrta exactamente como una barra simplemente sustentad.a.
------$i'*
a'-
Fig.
140 e.
140 a.
C{
afr
t=wt
a*
É
Fic.
f¡f
Fie.
a* at
eÉ
;F
G É J+
140
f.
140 b.
#blr"
o
\o Fis.
140 c.
Fig.
140 d.
G+
G
O+
a+ F a+
f+
;F a+
Figs. 140 e ha8t8 g. Relaciones entre los ángulos de las tangqtes extremas y el diagrama de momer¡to¡ de visas de nórtico con s
al eje de la barra. La resolución dc cstc problcnra ¡:ltcde t'ncararst' ck' diferentes maneras. Para claridad del planteo, conviene aplicar en este t'aso cl conocido teorema de Mor¡n. Para una bara con el coeficicnte de clasticidad f constante. el momento de inercia "/ variable r- un valor dc comparat iírn ,/,, ado¡rtado. el enunciado de este tcorcma es: "Los ángulos de las tangentes extrerr.los de la ei¿tstica dt' dcforrnsción nlrrlti¡rlicados por E./,, son iguales a las reacciones 11 1' l3 prodttcidas por la su¡;crficic de respecto
momentos. considerada como carga
y reducida .r, + ".
]D 58
{
Fundamentos de cálculo
Siendo
rr y az los valores
aerdaderos de los ángulos de las tangentes extremas,
se tendrá
Ef'4: Ef.tz:
Ay
(112)
Az.
Para poder aplicar en foruia clara el teorema de Mor¡n al presente caso, es conveniente descomponer el diagrama de momentos en tr¿J partes y hacerlos actuar sobre una pieza estáticamente sustentada, de la siguiente manera:
1.
Diagrama de momentos debido
2.
Diagrama de momentos debido barra (fig. 1.S0 e). Diagrama de momentos debido
3.
la barra (fig. 1a0d).
a * M1 en el extremo 1 de
carga exterior
(fig. 140f)
t
.
Para estos trcs casos pueden determinarse separadamente los ángulos de las tangentes extremas como reacciones de los apoyos correspondientes a la superficie
de los momentos reducida
,n +,
obteniéndose sucesivamente tres coeficientes:
,, ,, tercer ,, clo, a2o.
Mediante Ia superposición de los tres casos y teniendo €n cuenta los signos de todos los ángrrlos deducidos de las figuras (sentido de las agujas del reloj : *), se obtiene según Ia (112):
"1: .tz:
(Ver también la fig. 1a0g).
* r{ - t7" * - rz'* n" -
,.1o
(113)
e2o.
Aplicando la'ley de la proporcionalidad, los estados de carga 1 y 2 referentes a los pares extremos de barra * Mt y ¡ Mz, pueden ser encarados ventajosamente de la siguiente manera: Se hace actuar primeramente los pares unitarios, es decir M1: + 1 en el pr;mer caso (fig. 140b) y el par Mr: * 1, en el segundo caso (fig. 1'10 c). Los ángulos de las tangentes extremas at y Pz o bien oz y Ft
multiplicados por Ef
correspondientes a estos pares unitarios, pueden ser determina", dos a su vez según Moun, como reacciones de los apoyos correspondientes a las su-
perficies de
F
reducidas en
f.
En las figuras
este raciocinio, indicándose asimismo en cada caso
1,10
by
140
c ha sido ilusrado
la elástica correspondiente.
Según el teorema de Maxwr¡,L sobre las deformaciones relativas, B1 : pz. Por esta raz6n el valor B debe ser calculado sólo una vez, y en lo suc¡sivo se escribirá simplemente (114) Bt: Bz: B
M:*1.
Según Ia ley de proporcionalidad, resultan pues, para el estado de carga 1 1' para un par Ml cualquiera, los ángulos de las tangentes extremas reducidos en EIc (fig. 140 d) :
11':M1 .a11 r{:Mt.F
(115)
140
¡{, :
M,¿ .
(fig.
1'$0
2'
extremos de barra Fórmulas para los pares
Las cxprc"ir¡nt.s
(1 1z ) .
..'.,1"::l"k:,':11';".H I'i:, )u pares
t* é É
Jt J*
F é. F.
J¡N
r¡
EI"az -,.,,, Mt: -- _-_fi: ' ;¡ -' -!!:P oro-- lf-
oror-
la picza i¿'{'1 n'{}) r't|l
ll
*
'artt
ct{rl
13'
,,
P
I)J"at
El"p
ur: ;ffi-'
ttltlr
t'
Cl o+ f -ru"r* 'nr" ll F:-_:=11, ', i- .r";- p':' " ".o..- F y¡.v".'ó" exprcsr()rrL) p:::::,'#"i;;,i,¡l3Juil'^":l;1,l' ,"1'l'o'Ji.,i:' de las para las constantes ;" notac si*plifi.ada, a sabcr una, introducirá se barra, la a" ,i""". E!"at : a')\ tr I ^ B ot LtJ'o"==. EJ, ' :: or.: _Q') otor*F' ;';;-P2 &1 4".1 P =ta¡
;illt''
d.- partid:r
pt"'t. iln"* r'" '"r" ",'.ry1'}''* fr¡nción d, los .i,rt1'tl"*
t
istas expr'
':;,il:,"1'":l
".tll"""tiJ^O;;;*. sift#*i,::o;",:":J::'::t5:
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aPorti--c:3-a-:'::::'i::'riffo.: de estructuras. aPoILrtduaJ,))". de estructuras para tangcntt's cxtrt las i::l:Xllli:''ii::l Para el cálculo de. i..;"gulos ;:til, *tl .'"j'lv,;;f,ir'io,,0 (onsrstc tonsiste que quc tt't(t'.iú -decuada. ¿inculc; d, la tt'tu'IItt.tt forma más adecuada. i.;"';;; ,rttÁnt ( r. los rincrlr; "",1-"ttll'^. i"rt d:'n'1,'^'l,n^!..i s.t' i"r'¡ sr ánsulos los 'ii)";;i,r".i¿"' lr i'ri"" 'li,".".trteci,l"s en ir ;;;';t ; r:j Por irrirrr.t:t '¡:'¡ " ".
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J-'1
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la (120): It41': 4r". * bpr * (ar + b) i' -
para reemPlazarlas en
Este valor representa siempre el ángulo de las tangentes extremas, reducidas en EI c, y se produce en el erctrerno opuesto de la pieza, a aquél en donde actúa el par
unitario
e)
F; 72,, : Itt2 . a2. rntroduciendoestas*T';::::""i;l:irr;,?TT.:inarmentc:' rrr, ;i";: - MtP * Mzaz-
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Delarrris¡rr2rfnan('raparaclest¿¡tlr¡cit:carga2y¡llrIlrulItI¡()rtl('r¡t(>M2t''v;i-
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Para el primer caso :,t', rzt, ,, ,, segundo ,, ,1", rz",
Ef Ef
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Mt
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samente, en forma generalizada para una ll[¡rr;r
Ceficienteg de una vigB oe portrco.
los extremos m
-con Mrrr,n
- atn,n gm * : Mn,* an,n 9n *
bv 9n bv gr.
y n (fig.
+ ,rr,r r/rrñ * cn,- {, *
14i )
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Wn,.^,
En estas significan: Qrn,¡
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Ot¡n,n' Qn,n .t tt ,n
Ef
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- Brt
lt, = "' Bo arr,,'an,n, -
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ctt,n:arrl.n+br,; (tn,n-an,nti_bvi
(Constante a para el extremo de
la
barra m)
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an._
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- Fr,
,
(Constante a para el extremo de la barra a) t ( (Constante á de la bana v)
(126)
)
(Constante c para extremo d,e barra m) (Constante c para extremo de barra z)
)
j
(crr,r*cn.rr)rlrr,+r!n*,r*.I[tn,_.
La tabla
(127)
(1Zg)
II de la página 61 contiene er resumen de las fórmuras correspon_ rlicrrtcs a los pares extremás de barra Ur* y M2,7, para diferentes condiciones de vírr.r¡lo' considerando.,los casos pu.ti;"i;ro que aparecen frecuentemente. Las ex¡rr.si.ncs expuestas alrí, son de gerr;ral para barras asimétricas. para barras si¡¡rí'trica.s debe ponerst at: "'"üd., a2:
É-rer¡¡:¡e.e"*-"
a y ct: c2: c.
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fii¡ralmente se dará la expresión (rt(' sc aplicará frecuentemente para Ia suma de ambos pares extremos de barr¿¡ en deducciones q¡Lcr¡urcs' Duma Lv¡¡\.¡ urteriores, sumando ambas ecua_ cirtncs (125) resulta: -L tr tvtn\n'-rMn,rrr:cn,ngm*cn.ngn* ^i
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Iltilizando como incógnita A en lugar dc ry', estas expresioncs s(,r;in: trÍ1
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Las constantes de barra a, ó,
C¿iiculo numérico de las const¿ntes de barra a, ü,
c
IV. LAS CO¡{STAI.{TES DE BARRA o' b, c 1. Interpretación estática
Vigas con estas características aparecen con mucha frecuencia rn las c()trc" tnrcciones civiles, razón por la cual requieren un estudio esPecialmente detallado. I';rr.ticnclo de la hipótesis, que los rnomentos de inercia vanan proporcionalnrenlr' :r l:rs potencias cúbicas de iás alturas de las secciones, pueden confeccionarsc talrl;r:r ,r,,,ní:ricas en las cuales se consideran las diferentcs longitudes y alturas dr lls r-rrrtc'las, y que son de uso inmediato para las constantes de barra al, a) .\'b. Hst;rr tahlas se hicieron aplicando Parcialrnente los "Nuevos h{étodos" de STnAssNt:ri. ,¡rr,' dan los desarrollos ana!íticos de los ángulos dr tan_*.-(,1) ^ ('xtrcrrlás d1 . ttz \' {3 para todas las iormes a¡'ii' {-;¡;f__-'.....*t't 'r'rt.s dc cartclas. calculándosc' a continuación Ias cons- "Y, ,;rlrlr's I I r.rn(r': d<' la barra at. az y b con ias exprcsiones (119¡. E:-'t -J
rl,'s:r¡rarr:cer sucesivamente los demás términos.
Poniendo por ejemplo:
[*-bt
@
hr' 'n"n
I^.'{:"
9r:0;
ú': 0; Ift*l: Oi IIt,,-:0,
la ecuación (125) tomará la forma
M-,n: am,neml 16n,^: b, Err. (129) pz¿ : 1 se tendrá Mn,o: a^.,n] Mn,* : br, (I29 a) es decir, en el extremo rígidamente empotrado plicane estáticamente como un momento M^,n, que aparece durante una rotación g^: t, cuando
)r' t'sta manera se hicieron tablas numéricas 1' n.rmol;' t; a saber: _.ü !'i¡r' Cr_L__ltllt 1 . Barras tot cartclas rectas en un e.rtremo -asj' J^'lffJ\*Iü^ ¡¡1[1¡i¡¿5- (tabla nunrérica 5, nomograrna 5 a) LL, i LI. t l+--t 2. llarras c.on cartalas parabóhcas €tL utt rxtri'nto --_i I'-ir. 116. asimétricas- (tabla numérica 6, nomograma 6 a). Firs. l,l5 l 1{6. l)imr¡¡¡ir¡t¡rr' I
1
grarrras para cuotro distintas formas de barras
Además para
.
3. Barras con cartelas rectas,
Ias demás magnitudes de deformación son iguales a cero, estando la bana descargada. De la misma manera, y haciendo idénticas hipótesis, puede considerarse ei cocficiente de la barra bv corno un momento que aparece en el extremo opuesto de ésta,
4.
p¡incipale de las vigu
simétricas con respec-
to al eje de la barra (tabia numérita
7, nomograma 7
cutr
e:rrteias.
a)'
Barras con cartelas parabólicas, simétricas con res-
pccto al cje de ia barra (tabla numérica 8. no¡nograrrre 8 a;. Í' Todas las tablas contienen los valores a 1' á redu- | 1l : 1' cidos cn Ouru una barra unitaria, de longitud I i¡ Para expresar en forma clara e inequívoca la correspol-
es decir en el extremo rígidamente empotrado
$is. Az).
Para la constante de la barra an,m es válido el mismo raciocinio (fig. 143). Para aclarar el significado de los valores c,
(E
I'AITA tsARRAS CON CARTELA EN UN EXTREMO O BIDN CON CARTELAS RECTAS O PARABOLICAS EN AMBOS EXTREMOS
II.
Las expresiones (125) de ios pares extremos aclaran el problema de las tlirnc-nsiones y el significado estático de las constantes de barra que representan sirrrultáneamente una meciida para la rigidez de ésta. Es inmediato, que los tres t'tx-'fi<:icntes a, b, c deben tener ias dimensiones del momento, pues los ángrrlos <1,' rotación emt en, ry' son números adimensionales. Finalmente se obtiene el significado estático más exacto de cada uno de los términos y coeficientes, haciendo
5o
(rl
c
dencia de estos valores tabulares reducidos con los z.terda- &z deros valores a* y b*, se indicaron los valores tabulares f con las correspondientes letras góticas or, o: Y b. Resul- |
tan así las siguientes relaciones: Fis.
144-
l \:r,. 142 a 144. Sig"nifieado eetático (le los va¡or6 o, b, c,
M*¡ : cn,n' Úr,i Mn,* : c",r"' tl'"1 (730) y para *u : I resulta finalmente M^,o : crr,n; Mr,* : cn,^, (130 a)
s rlccir, que los coeficientes (m,ny t*,m pueden ser interpretados estáticamente como
i',rrt's txtrr:rnos de barra M^,n ! fuln,^, que actúan en tn y n respectivamentc ',,i¡ ,rr1r' una rotación de la bara y,, --= 7, cuando las demás rnagnitudes de deforlr;rrxrr sc anulan 1' estando la barra descargada (fig. Wa) ,
2" C¿{Jeutro nurnérico de las constantes de barra a, b, c F)n general debcn distinguime dos casos.
A.
PARA tsARRAS CON SECCIONES YARIABLES CUALESQUIERA Lln e:stos casos, para la barra supuesta cstáticamente sustentada. deben ser r;rlt'ulados prcviamente los valores angulares o.t, e2, B con cargas Ñt: )- 1 r, lrit'n Mt:7. Estn puede efectuarse según el teorema de Mo¡¡n en la forma v:r rLsr:ripta. Luego se obtienen los valores definitivos mediante las fórmulas (119) o lrir.rr (126) ,v (127). Si las piezas son simétricas entonces resulta ea"n : a,,,- respectivamente cnt,¡ : cn,m. (131) H
rá
fÉ fá
F rá
rñ !á rÉ
Pará barras con cartelas en un cxtremo (fig' 145)
1. or*
: 4L sr; or* :
Efn a,r; b* :
EIJ
" b.
(
:
132 )
2.
Para barras con cartelas simétricarnrntc dispucstas (fig. 146) : on
: Ef a; u* : é*0.
{133)
I |
---.>n Fig. 14?. Esquema d(' l0¡ ñr' mogr&mas 5g Y 6a qu.'d¡Ir los valores ol o: ü Pnr[ ai E:as con cartela¡,
En éstas. "/" significa el momento de inercia en la parte constante de la b:rrr;r 1'l, la verdadera lóngitud de la barra. Las diferentes formas.v magnitudes dt: l;¡s cartelas están representadas en las tablas mcdiantc la-t relaciones tr y n' Siendo 1 ,,
"-
-
_:f
I
J
^ o
-
1,. lonqitud dc la - ¿ - loneitu,l dt' lr
cartela barra
(
r 34.)
Momento de inercia de la parte constante de la barra Momento dc inercia cn la sccción de apolcr
t Ver Gur,o¡x: Beitrag zur BerechnunFi con RahmentraFwerken mit J. Cer-l't, 1933 u. H.D.I. Mitteilungen, Jg. 1934.
Stabquerschnitten. Prag:
veráenderlichcrr
04
Las co¡¡stantes d,e bztra a, b,
D T
c
IJsando tablas, deben ser interpolados los valores intermedios de n o bicn dt. tr; esto puede realizarse con más comodidad empleando nomograrnas. En l:r x.¡rrr. sentación esquemática dada en la figura 1,47 se ve la disposición de los nomogr;rmas 5 a y 6 a para banas asimétricas y en las cuales sólo ha sido dibujada ula curva ),. Entrando con los datos ¿ y tr, se deducen de tres nomogramas succsiv¡¡r los valores de o¡ o2, 'b. Cada uno de estos nomogramas representa un haz tlc curyas ),, Ilevando además los valores n en las abscisas y las constantes de barra o o bien ú, en las ordenadas. (Ver ejemplos aclarato¡ios 1 a 4, págs. 202 a ZOt-)). Para el caso especial en que )" :0 o fl : L, estamos frente a una barra r:orr un momento de inercia constante. Las tablas numéricas y nomogramas dan sirrrr¡rrt' para este caso
Con estos valores
Or: O¿: O: 4; b:2. las (132) ó (133)' dan: o* :3iL;
además segun (122)
ó
(127)
c*:
a*
(13(t
)
(137
* áx: Sf"
M¿r:
3+"
e, +
2i4,
+ 3,+1"- {
-Z?
+
%
(138
)
)
* út,,,
(13e)
S:L.l, * Dt¿,r.
Las tablas numéricas y los nomogramas posibilitan además, la consideración del crecimiento repentino del momento de inercia en los puntos de interseccT¡n de las barras. En ellas puede suponerse una cartela con una pendiente muy pro-
y en el lírnite 17,78,19,21).
nunciada
C,
se podrá poner
": t-
0 (ver ejemplos numéricos
15,
PARA BARRAS CON CARTELAS DISTINTAS
siguicnte raciocinio 1. Por ejemplo, si para la barra unitaria, figura 148, se deseara determinar el valor ansular c1 reducido en Ef", se podría proceder según el conocido método dc Morrn, al determinar la reacción 11 correspondiente a Ia superficie de momentos
""
!i.f
Sin embargo, la forma de la barra dada, puede ser reemplazada
por otras barras. para las cuales pueden ser hallados inmediatamente los valores angttlarcs buscados. utilizando las tablas existentes. Se supone entonces tres barras rl'sustitución, en lugar de la barra dada con dos cartelas distintas (fig. 148), a saber, dos barras con sólo una carlela cada una v respectivamente de igual forma I Rcfcrcncia: Daser, Beton und Eisen irrrlc¡x'rrrlit ntcmente
TT
É É É É
(FF
IFF
IF fÉ FF fÉ
:i.*;;;ñ*á"
oPY"to r . ": '* olrl"',li; "É-o. "2". entonccs, con
1936, donde se hace referencia a estas relaciones,
de otros trabajos del autor ya muy anteriormente publicados.
1".
rfl
rÉ ¡l,J-
¡t¡lt
--ryfiggiggil-'o' ai'::-*';-----
^
Reemplazandoen]a(1,s0)ias*,.:''';;.l"|";,:Wo"' dc rotación en los
;;;;;i;-á"g"lo'
Fis'
quc
/,r.'
eÉ eÉ
,|{
'"i.'ii';";; tt ttrl"ti"
tras que los índiccs rras de sustitución'
ts
rfÉ r!ñ rfñ rpll
a
las reaccrones
En éstas, todos los valores '4 significan tut figtt'u'' -i"''dc las superficies dc ¡f' 'utud'-' t" l"t ¡^
se tendrá
fñ ,14
o lA
"..' i'il?;
At: Aln\ * Az(bt - ArG'i A: : A,:tnt * '{'tt'l - A't"¡ '
aÉ
F| tÉ
jj,*',:f"'."::
escribir:
considerando
l|É
Si las barras tienen cartcias distintas en ambos extremos, sus constantes ya no pueden ser deducidas directamente de las tablas anteriores, sino mediante el auxilio de las tablas 17, 18 ó bien 17 a, 18a, para los valores angulares o'1, a2 y p: operación que es relativamente sencilla. Este procedimicnto tiene como base el
reducida
T
tf>
a' b' ¿
(fig' 148 t:) ' b). y una tercera batra sín cartelas forma co¡tt'a la de la barra dada (fig' 148 a' la en determinarse como reat Ahora bien, para tu¿"t"'iu át ttiu''bá"as'Pueden d-r'' v F' aPoyos los en "ttiét"t 12 cida. los correspondie"tt"?ül*f,"-'otu"iá" representatl
;F
bx :2y=-,
En este caso especial, las ecuaciones generales (125) de los pares extremos de barra, se convierten en las (5) va vistas en la primera sección para barras con sccción constante, y son:
Mtz: 3+I" ,, *
(r
de barra Cá'lculo numérico de las constantes
'1 ^ P2
---
7-
;
Ar"'
:dl(d)*.rtb'_ -
D ('¿r
P2
+
: i1
í141
+'
(142\
t'
(b)
brr€&srslrhjsón I @r::-=--;-:-:-]CD
Fis'
1
Pl(r']
lCii
148 b'
(c) bema d? e,slituclm
- --'
rorÍ::;--:-=::@ ,l UC
: p' luego' : el teorema dt' \4exwr:'r-L {3t B' forrna: siguicnte la i" i"g""a" ecuación torna Seeún
13
:F'o'*
Ptur
-
---'
(143)
Fis.
Figs
l4R a' b t'
148 c
c' Rnrra¡ 'l'' ,^"'l
I
cuando sc desea dc- *:f'L":iu'" l3\""'"'1.'.lJl'1",,i"'i",' r 1¡na mejor |l- et riga" con cartclss (lcslEr¡¡¡rh tene Para ,ar*irtu, el valor c2' - a escribir las tres fórmu' sión dc conjunto, se vu<:lr'en distintas' rrtrlr or, o" 1' B para";;;;;; con cartelas Ias que dan los "tro* ..barra r¡nitaria,, la notación-ñr, á-:. p d" lu. tablas aurilirrrr'' zándose para la Esre razonamiento es
útil
1
ál=áttot*'u"t"'--)-
(r r l)
Determinación numérica de los términos de ca¡ga
En la figura 149 se ha consignado esquemáticamente el significado de los subíndices. ;? Con todo lo expuesto. se ve claramcnte la apiicación ¡irár tica. De las tablas 17 ó 17 a, para las cartclas rectas y de las @ t"blur 18 ó 18 a para Ias cartelas parabóIicas, se toman los valorcs angulares d,e las barras de sustitución (i') ,r (b). Rcemplazando en ias fórmulas (144), se pucden hallar fácilmentc los valores an6¡ - gulares buscad.os. Las constantes de la barra at,z, o,¿,L y á st: determinan entonces con las fórmulas (119) (ver el cjempltr aciararorio 4, pág. 207 ) .
u) (i) (?)
I¡ig.
H
lji
149.
3. Aplicación de los valores a, b, c en el cálculo de pórticos Pa¡'a el uso de las constantes de barra a, b, c en el ciilculo numérico dc l;rs {'slrucluras aporticadas. es prácticamente r"álido 1o va cxpresado en la secciirr l)trrrr('I.1. III, 5, sobre el coeficiente de rigiciez i;. Reemplazando en el cálcL¡lo Ios cor:ficicntes a, b, r en su uerdadera magnitud, st: obtendrán también los ¡norrr('trtos v los coeficientes de deformación r:n st t¿,rdadrra rnagnitud. En cambio. i¡rlr
it'rtlt's clc deformación resultarán todos alectados po.
t:rr¡¡lritl¡r elegine
-1. En t'ste caso pueclt:
t
'
(145 ¡ EJo t<,rrro coeficiente de rcducción. dondc./o es un rnomcnto dc inercia que frecuerr' t( urnt( rcaparece en el cálculo o bicn. un talor: exacto. arbitrariamcnte cleeido. ,\si p. t'j., poniendo -/o:0.001 rn1. cl cocficiente de reducción serii: 1000 r:-*-
::-1.
(146)
-
ET"
¡'I
b:
1()t)0 -l "/"-b,
, r,'';l
\"
rrrimera.
DETERHTNACI.OIV NUilIERICA DE LOS TERMINOS DE CARGA 1. Para, barras con seeeiones variables arbitrarias y estados
IJ.II
de carga cualquiera Los térlrrinos de carga son idénticos a los momcntos de empotramiento dr'
l;rs vigas cmpoiradas v r-es'¡-ronden por ello a la misnra conlención de -.iqnos. r'a r.ist.r
r'¡r la sección primera. I. 2. para los pares e\treüros de barra. En {encral. r'l r':ilculo prrede efectuarse según las exprcsiones /193) qlre con la nueva nota('i(irr lonllrrr las sigrricntes formas: - ;f
larx alo - ó* o:o)
;
arrr
- +,
(bx
ttla
*
¿:*
d:o)
i148)
a2,
Ias verdaderas constantes
ú ,.ie..nies
;n
TN fh
67
de ba¡ra aL*, az*, á*
se obtienen:
pa)r
(r4e)
¡L.L- ft.lrr*tfur** lllllllTllfiIfnllilTlllrffJ.jl "T;;;;-
--'
-v¿uv r,o y Azo lro Aoode de,":,':T]1i:' ::*o-Y:"n la superficie Mo reducj< s.iderada como carsa de una u;g.,;-pt".i:":: (rrg.
150)
i:ffOFlO
Para vigas con cartelas
IA
v .2rd.c "i*:.-:- se tendrá a1o: ooo: oo'' '1:-: _":1:* I simplificándose ra fórmura ", (149) de tu sigul"r,te manera:
C;f, ¡lh ¡rre
*;l.,rr;,"."1;"j'. ^.M ros valors
l
an
G,,
(l 50)
2.
lrr lrF
",¿" ?l+6i""caso'
er¡
Iülr
FF
:
Para barras sin cartelas o¡ :os:4y b - 2, transfornrándose
según (136)
z 2:t__"rr-;
_
Además para cargas
,i*étrl.u,
Los valo¡es
estánlesuriiá",
or,,
rltr : : jro
Zao
II\:
TEF
| =
2 2o"_o
_
gro
.i ,.r",,1_0"*
2co. - t , Dl.,- - -¡ | I)l J.,lr"li,?;rr?r.r; carrelas y para tos distintos
la ecua_ (1a9 a)
(150 a) estados de, carga,
B. para barras eon cartelas rectas o parabélicas
dererm;ación.de ros ,é,-i;;, cie carga. procediT",:';":t i{i;t*otiricar.ia prcparó ,;;i;';;',on'o. nu-¿..i.u, , d;;';"il:'[: :T,T#; "'" rngeniero calculjsta. usados con más e .."|"r".iJ" :: ,"- ;::f" ulu dcscripción fr..""r;l;-;;; posición y el uso a. hrcve sor¡re Ia dis_ "i ü. l^'-f"i^ r"il::,f;:X'#??;;"*iiarcs, "r,"r',áüi;J';i'',il,::t" ordcn.d";',4;;' ias distintas rorn,as nornogramas,
'F !L+r ta+ o'+
^ t;:ili,::"TL:.rs
t+
LrNA cARcA r_TNTF.RMEMENTE 'ARA DrsrRrBUrDA tn.cuenta ias siguientcs formas dc l. u;*;;^;r;L la ba¡ra: con cartetas ,,,,::^l::o!;;;?,iJ,d 2. ;iil:'"1.* nomosrama g a) :tncas con cattelas parabólicas ltautu,rumrrica 10, nomogra_ f 0a).-
]_+ ¡rF
ñ;;;
.
, uarras fu simétr. r. con cartctas rccras-(.tabla 4. B;;;;;"r,,,;:Tti", ll. nomosrama 11 a). ncas con cartclar paraltólicat numé-rica ,t"ul"'""-¿.i.o 12.). rz. ,o-ng.,i_ , ^--", Los valores pa.ra entrar -"- r-'¿ enf rar
e+
la cartela
¡t
y su significado se deduce
GF
}i
,;';;;;';ntraria,
ciones
F
arF erF
^
iTJ'j:T *,*"
(147:
,Lrtt<.lt'J" estir dado en tnl. Si por excepción sc ncccsitara cl valor verdadt'ro rl,' ios tollicientcs de deforrnación, entonces st tendría que multipiicar ulteriornlcnt, ¡ror:'" r'i valor lcducido surgido del cálculo lvcr tanrbién la r-'<:uación (21) dr lrr
ab
(132)
¡F
t¡rF
v tlr-l ¡lris¡no nlodo
d:::--lro:.::"r"
Reemplazando según
ros valores
t+r
or
i000
Para barras con carteias rectas y parabólicas
arF
l):rr:r un cálculo numérico sc pondría, p. cj.: o1
¡r{ ¡rÉ ¡r-
en estas tablas. sien.rpre dependen de la forma _ _ J, t
r",;r;f
rt,rlul
)-'
de
68
Determinación numérica de los términos de carga
H
[t
¡-
Todas las tablas han sido diseñadas de la manera tal que, Ios términos de calga'm, es decir los momentos de empotramiento de las vigas rígidamente empotradas, resulten de las siguientes fórmulas: Para barras simétricas:
lutr:-"'#, Ilt¿:**'{,
para barras asimétricas:
(151 )
-*rff; fiz: * *#
rltr :
(tíl
a)
la deducción de los valores x pueden utilizane las tablas numéricag y nomogramas. Los nomogramas para barras asimétricas han sido dispuestos en forma de nomogramas dobles y de manera tal, que la parte superior dé el valor xr y la parte inferior, za. En todos los nomogramas, que dan los términos de carga para Para
I
una carga uniformemente distribuída, los valores de ¿ están rrpresentados en forma de haz de curvas, mientras que los valorcs de tr y los valores buscados x, figuran en las abscisas y las ordenadas respectivamente. En la figura 151 se ha representado esquemáticamente el nomograma para barras simétricas, mientras que la figura 152, nos muestra la disposición de los nomogramar
I
-..--l Fis.
->-lFirs. 152.
161.
dobles para barras asimétricas (ver ejemplor aclaratorios 7, 2, 3, págs. 202 a 207).
y 152. Esquems de los nmo8rsmu I e y ll a, l0 a y 12 r rspetiv&e¡t€, qu€ d¿n los v¡loru lll p*r" vigea co! c¡rt€l¡¡. FigB. f51
De los nomogramas surge con gran claridad, la magnitud de la influencia dc las distintas formas de cartelas. Con los nomogramas se obtienen también referencias muy valiosas, pda la forma de las distintas barras de pórtico y sobre todo, para vigas rígidamente empotradas. B. TASLAS AUXILIARES PARA CARGAS CONCENTRADAS Y CARGAS PARCIALES UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS Teniendo en cuenta todas las posiciones de las cargas, se trazaron para los acartelamientos mas importantes, las líneas de inlluenci¿ de los momentos de em-
potramiento de la üga rígidamente empotrada, y se las reunió en las tablas auxiliares 13 a 16 y 13 a hasta 16 a. Las tablas nu¡néricas 13 a 16 contienen cada una, valores para líneas de influencia corresPondientes a doce
.q @,L-m **1,*-
T *:L llllrx",,,tu,,,,,*
:l
'r'u o#ffi$ñ@ s/l
puntos, y debido a su mayor exac-
Esto facilita mucho E
:
tra
tÉ ¡ra
¡:a :a f:a
FI rF¡ ¡l) H H H H H
rH l¡{
f¡rro
Dlr y
!Dl:r.
I y
los
(0);0,03); (0,05); (0,10); (0,20); (0,50); (1,0).
la interpolación tan frecuente de los distintos valore¡ de
z.
(il}
Teniendo en cada caso la línea de influencia de fl0t1, como también dr: !U13, la deducció¡ de los valores es sumamente sencilla, según puáde observarse en Ia figun 153 a. Para una carg¿ cualquiera P, que actúa áe rtribr hacia abajo u ,rn" jirtancia x y considerando la convención de signos (seccién primera, I, p)-, tendremos; {lll1 : - ry. Pl; Sts: * ry. Pt. (152) Para varias cargas concentradas e iguales
: -
P l}qt; Ilt¡ : * P¿)rp. (152 a) Las líneas de influencia también pueden aplicarse ventajosamente para carga.s parciales uniformemente distribuídas. Resulta ségún la figurá 15a b. flIt1
!frlr: - Ft' qlzi I)l¿: * Fp. elz,
(153 )
donde Ft y Fe son las superficies de las líneas de influencia de ,Dlr y lme resprctivamente, correspondientes al tramo cargado de una viga de / : í (.,r"r cj,,,,,-
plo numérico. pág. 203). si la barra estuviera sometida a distintos estados f\ de carga, el método más indicado para la determinación de los términos de carga ![t, y]fig, sería reempla-
M
u*gno
unca{Il'
zar el estado dado por una serie de cargas aislaáas. sumándose finalmente las influencias de éstas. CI @ Finalmente estos nomogramas pueden también ser empleados, para la determinación de términos de f x -t.f-x' '( -------*+J carga, cuando sobre la viga actúa un par. Fig. 154. vaiores de las ltn.e¡ d¡ Reemplazando este momento exterlor .il[ por un #;;;; o" [li o"i,u,, ;;;;;. par de fuerzas de brazo de palanca a, se tenárá
Iví:p.a,
p:Y.a
e54)
Deduciendo Para este par las ordenadas correspondientes a la línea de influenci¡r de !lt, se obtendrá según figura 754 para uná rotación que tiene el sentido dr: las agujas del reloj derechi- (ñ ),
rltr,g
-rotación : - *\t" - q{i fi:,r : * M tv" -'w'.
(155)
Para un par de sentido contrario
:{
Para el caso especial, en el cual ei par trl actúa en er extremo de la l:arra Ias fórmulas anteriores dan también los correspondientes términos dc ca¡ga fi con el signo correspondiente. si, por ejemplo. ei momento de rotacid¡u
IF¡ a¡ro
tñ
tr-
y parabólicas
lrf
f i*i'l?".tli:'ifi:#:l
mientras que los nornograrnat
términos de carga
z
f¡-
IFF
Cada nomograma, da un haz de líneas de influencia para un determinado v:rlorcs correspondientes de
H
!i:9'r :iry::lT,',1t"r*::::l: de éstas; para la construcción
vididas en diez partes, y por ello l'¡s. 15sb. Fig. 153a. son más ventajosos para la apliFiss. 163¡yb. Valorc de ts línas ile influencia de Íül CaCión direCta, eS deCir, p¿ra l" pe¡a cargs concentmdas y cargs parciale uniformemente . , , ,' t rnmeqlata oe los deterfnlnacron diet¡ibuítlas, r*Dectivsmente. I
r-
Para ba¡ras con cartelas rectas
¡+
fɡ
F
rÉ
fir.e: (1) ó (2),
't1t":- \t': Dl actúa en el extremo (1) de la pieza, entonces 1, pu<.s lir pendiente de la tangente a la línea de influencia de ,Etr,: en este punto es, conl() ya se sabe, igual a 1, lu-ego según (155) N\p: Simultáneamentt:, para este caso tendremos que IIte,1 : 0 pues la pendiente -74. de la línea de influencia ú11,¡ derecha
en este punto es igual a cero (es
ñ
¿..;, ]E":J]t'- :
0)
.
\'cmos cntonces. qrr(.
(,n
.u:o, especial. para la determinación ::t" las cartelas. ni otras variaciones
de los términos de carga Dt no influyr.n de las secciones de la barra.
lñ
rn
izquierda- ( tl ) , se tendrá en cambio: -rotación ¡¡4rt"-tlt' i St:.r - -Mnztt-wt. (155 a)
un
C. BARRAS CON CARTEL.AS DISTINTAS Los cálculos sc efectúan en este caso con ¡clativa sencillez, pues en él es virlido raciocinio semcjante al de la determinación de las .oíri"r, tes de Ia h¡"r,,
70 au
Determinación.numérica de los términos de carga &¿
H
$l
*
y b. Se aplican las fórmulas generales (149) : 1
!)11:-i{a,a1o-bc2o) {ltz: * | {o*' -
(156)
boro).
Los valores or, {ts Y b contenidos en estas expresiones deben ser determinados según IV,2, c, de esta sección; mientras que el valor de los ángulos de rotación en los apoyos alo,y aso, dependientes de la carga exterior, se calJula siguiendo un razonamiento análog_o al indicado en detalle, al deterrninar los valoreJ angularcs eb az y B en IV, 2, C. .Aqu-í los ángulos de rotación en los apoyos .rd y *.¡u aumentados e3 Et", son idénticos a las respectivas ¡eacciones ae superfici"' Mo, f reducida ,n t, correspondiente a una viga estáticamente sustentada. Según pucde deducirse .de la figura 755 la superficie Ftl del momento reducido Ms, puecl. ser ,reemplazada por las tres superficies de momentos F(o), F(¿), ltt"l d^e tal modo que F4 : prar + F(ó) - F("¡ 057) Esta misma relación, debe también ser válida para las reacciones de la superfi. cie reducida Mo, con lo cual, teniendo en clenta las notaciones de la 'figun 155 a, b, c, podemos escribir: ITÍÍÍÍITTTITITIITIITII|TITTIIIT A1o : lrotat + Aao(b't (158) - A.ro<"'¡ c1o : ¿ro(c) * sro{ü¡ - cro(c) (r5e) a2o : orolal * cro{ül - cgo{c¡
o'@o'
rurrn.r
Fis. batra
ds
r55.
s,$luom
(b)
e
según
su
estructura y s¡gnt cs.rucrura "r,tr significado a las las fórmulas (144) . Los valc¡o(c), c2o(c) vuelven g res 41o(o), ¿r1o(o), oro(Ó), o1o(Ó)., Ono{o), Q2"'*', 42"\"' o2olb) y A]-w\"', referirse a z las barras bnrrn.e de ic sustitución v¡ctit (a), (b), (c) corno
@ f----:-:::: :.--_l @ surge- cla.u-.r, t. ¿.i ;r.l; ;; ;; i ii6r; í O. Si se emplearan también aquí" las notaciones lr¡o(,,), S
^.
fzo(o), etc., de los ángulos de rotación en los apoyos, utilizada en las tablas auxiliares para una barra dL íongitrr,l
FigDarra
d¿
/ 1.55
a.
: 1. las fórmulas (159)
sushhnon tal
.^ Í----------'-Í-- @ ü L------------:
Fic.
155 b
Darra & srsütte{h
o[.-__:--:]@ (c)
precedentes
serían: ?1u
do!
:
-
¿totar
*
aruto¡
-
c-i'tc¡
6rora)
*
aro
-
6o(c).
(159
a)
barrÉ dado
CIF-t!ctr
l*-r-r-*l OF-r$) g_r!0) Bera&erd'luodnp
Para el cáiculo de las expresiones bara&$$ilrndn(b) (159) deben considerarse, según cl estado de carga, los siguientes casos: ! . Carga unilormemente distribuída ^ Berre&sstrl¡sdt(cl a Io largo de toda la barra Para barras U-(?r
de sustitución con cartelas rectas, los valores de qo se toman directamente de Ia
Fic.
1ó8.
tabla auxiliar 27 6 27 a; y para banas de sustitucirin con cartelas parabólicas, de la tabla auxiliar D2 ó LZ (ver ejemplo aclaratorio. pág. 208). 2 Cargas concentradas. En este caso se disponr.
u
¡ ¡s. 15b c.
lrigs. ll¡5 a hasta c. Bar¡as ¡k' srrxtitr¡¡ión (@) (ó) (c) ¡'nr¡r l¡r rlr.termin¿ción de los vlftrrrr o¡o y olo en vigas rar¡¡ crrrtelae desiguales.
ru=
H H til rlf
rt ¡t
¡l ¡l
t
tr
fl ;l T
Estructur¿s aporticadas con nudos
3.
Clrgas parciales unílormemente distribuídas
@
l.
Ecuaciones de condicién
medio de ésta.
t
tr tr D T O T
T t
O
+ rl ó
t
ü
Plrn
ESTRUCTURAS APORTICADAS CON NUDOS INDESPLAZABLTH . ET. los Pánafos siguientes siempre se hará refercncia a los correspondicntm desarrollos efectuados en la primera- sección. Con este procedimiento se evitarú, por una parte, repeticiones inútiles y por otra. surgirán posibilidades directas dr comparación, revelándose de esta manera ciertas diferencias en los dctalles de los cálculos.
T i ;
o carsas arbitrarias.
VI.
t'
lll
ll
cargas uniformemente distribuídas, la determinación de los valores puede efer. tuarse mediante líneas de influencia. como en el punto 2, teniendo además rrr cuenta lo descripto para el cálculo ie los varores irt, rig"* tsat. Estadog rlt carga más complicados se sustituyen por cargas simples, ef-ectuándose la deduccié¡r de los valores mediante la aplicación de las líneai dé influencia.
A los efectos de deducir una ecuación fundamental y cómoda para la aplicación, puede naturalmente seguirse igual camino como en el mismo caso de la primera sección. Aquí también volveremos a considerar un nudo a ^ de rrn nÁrti¡^ .l ^"^l de un pórtico, al cual concurren cuatro -^----barras V) con momentos de inercia variables (fig. lSZ )
T
indesplazablcs
.
Se supone conocidas las constantes d. la bu..u a y b. Estas están consignadas en el esquema adjunto, a saber, los valóres a, siempre en los
extremos de
Ia barra y los valores á en
el
Fig, 157, Esquema de los coeficiento¡.
La suma de todos los
pares extremos quc actúan en er nudo z es igtrlrr a cero' Por esta razón, para el planteo de Ia condición de equilibrio en el nüd,r, se consignan primeramente las :r _expresiones de los pares extremos de bana quc él concurren. Se aplica la (125i con la notación de la figura 157 y ,e 'ri",.,,. en cuenta, que cn este caso ry' es igual a cero para todas las piezas:
MnJ :
Qn,r 9n * brl pt * 9ll,,r : Mn,z an,2 9n * bn,e pz * {[lr,z Mn,s: Lni9n * bn,s 93 * IItn,3 Mn,q : av,4 Qn * br,+ pq * qltn,q. con la ecuación (16) también se obtienc aquí mediante la
De acue¡do las expresiones (160) 1=4
.2-Iú",¡ i=l
:
0
:
i:4
en2 an,r* i=1
i
=4
) t-l
á,,,¡ Eu
(160
suma dc
i=4
*'5:[1,,,.
(16r
;lt
Si se generalizara pata un número arbitrario de barras concurrentes al nudo rl supusiera además la acción de momentos correspondientes rroladizos,,ti-.-i. a
ción (161) sería [comparar ec. (12)]:
en}
iti
anJ
* X ó,,0 r¡ *- )'ftn.¡ * )
)
v
)
sc
"¿""-
rl,f*
:
6.
(162)
Introduciendo las notaciones simplificadas conocidas anteriormente. se obtiene
n ¡a
Est¡ucturas aporticadas con nudos indesplazables
72
la forma definitiva de la ecuación nudal para estructuras indesplazables [comparar ecuación (18)]
aPorticadas cor¡ rrtttlor
dn9,*2b,,¡9¡*ro=0.
(16¡r)
,
y dr:2ao,¡,
En ésta significan [comparar ecr¡ación (19) Xlllt".¿ ¡
(r6+)
* )M¡,
(164)
o bien, si no existen momentos correspondientes a voladizos sr
:
xi
Descripción de la ma¡cha del cálculo
El procedimiento a seguir para el planteo de las ecuaciones de pórticos puedr ordenarse en las siguientes secciones:
1.
2. 3. 4. 5.
6.
fijañ las dimensiones de la estructura aporticada: longitudes de barra¡. secciones, longitudes de cartelas, etc., Determinación de las constantes tr1, e2 y b según IV de esta sección, Se dibuja el "esquema de los coeficientes", Cálculo de los coeficientes diagonales d,, según (16'{'),
Se
Cálculo de los "términos de carga para barras" 'Ill, según V de .est¡r sección y los "términos de.atg".tt loi nudos" s, según (165) ó (165a)' Tabulación de las ecuaciones según (163) utilizando el "esquema de los coeficientes",
7. Resolución del sistema de ecuaciones según ejemplos I ó II, 8. Determinación de los pares extremos de barra según (125) ayuda del esquema de los coeficientes. (Ver tarnbién ejemplos numéricos 14 a t6).
3. Matriz de los coeficientes para un pórtico
y con la
indesplazable
La figura 158 representa el pórtico con las cargas correspondientes, mientras que Ia figura 159, el esquema de los coeficientes. En tátal deben determinarse en este caso cuatro ángulos de'rotación de los nudos pB¡ 97, eer 9s, es decir, plantearse cuatro ecuaciones. Después del cálculo de d6, d7, y de s6. 17, rs, re según (165a), puede iniciarse el .planteo de, ds, segun
(1&)
É
aplicación rcpctida de la. ecuación general (163) y con el empleo del esquema de coeficientcs. @
(D
@
@
r4 lt ra á
(16fí n)
III¿,¡.
El coeficiente d.iagonal do representa entonces la suma de los valores ¿ correl= pondientes a todas las barras rígidamente empotradas en el nudo ¿ considerad() El término de carga en los nudos r, es igual a la suma de los términos dc carg¡l de las barras ,Ill¡,¡, calculada numéricamente en V de esta sección, más la ¡u¡l¡¡¡ de los momentos correspondientes a voladizos, en caso que existieran, y que actúErt directamente sobre el nudo. Los términos Zbn,¡Ei aparecen en la ecuación nudal tantas veces com(r barras rígidamente empotradae concurran alnudoconsiderado. Si alguna de . e¡tr¡ barras esiuviera rígidamente empotrada en el nudo vecino 9¿, entonces tendrlnmor en él p¿ : 0 y los términos bn,¡ 9¿ cornespondientes a estas barras, desaparecerlrn'
2.
H rl.
ta
))
(90)]
I
r,:
ra
Estructuras aporticadas con conexiones a¡ticuladas
del gmpo-de ecuaciones 11 ó bien, la matriz de los coeficientes 11, mediante la
H fa
sü ¡-
r4
r, rr F) Id ;r ;r É
F} FI
;+
o@o Fig. 169. Eequema de lc cqefieiente,
bti 9i -l .i,¡ : ¡¡ 'i di v.¡ ári 9r; -i- ár p¡ t si - 0 ds Cs * b¡ V¡ -: &s 9r, -i- .rs =r () de 91¡ t
;fr
d
t* Ir
ar t
-+- .r.,
ü5 96
:
0
Una vez resueitas estas ecuacioncs. pucderr r:alcularsc lo: pares extremos dc
barra según (125) 1' con la aplicación del esc¡uena de los coeficientes. r:onsidcrando que ,! : 0. Se obtiene p. ej.: 111,6
:
b1
q,6,
.1/:.; b: e;, .1-l;r.. : &,q g.. A[a,s : ba vs,
.4 F¡ It+
11
dt 9t -T
*
á
Matriz de los taeficientes
Crupo de ecuaciones 11
If o,, l{a,t J{0,, =. ^\la,lc, :
60,1 96,
n6,5 e6,7
f6 * St6,¡, Íu * bs v¡ *
S?r,.r.
dt;.ro gc.
(Vcr ejemplos numéricos 14 a rol.
4.
Estructuras aportieadas con barras artieuladas
Para cstructuras aporticadas con barras de seccioncs i'ariabits ! co¡l (.¡rir:xi¡¡t.s articuiadas. r:s ráliclo en pr-incipio lo va cxprcsaclo cn íclrlra Sene;al en la sc¡r i,lrr primcra. P;ilina ll 6. T.n.'birn_aeui se ir'cde r"oi'er'r..}r..,u".-'los iingLl].s cl. r..lrr ción dc Ias articulaciones c'i-l función dr: l¿rs rotacioncs áei üxtrcmo oprrr'.slo clt' l:r misma barra. disminuvendo .on esto el númrrc¡ Ce ]as etuaaioncs dl r.onrli, ¡r',n como -s(' i¡ldica ¡. conti¡ruación.
74'
Estructuras apoñicadas con conexiones articuladas
Estructuras aporticadas con nudos indesplazables
a)
b) Ejemplo de aplicaeión
Ecuaciones de condicién
(n), perteneciente a la parte de un pórtico indesplazable írrdicada en la figura 160 y que tiene una corexión articulada (4), es, €n su exp¡sión geE6u¿c¡oNns NUDALES.-La ecuación nudal para el nudo n€ralizada, segun (163)
:
t bn¡Pt* b,pvz * ál,e9g * bnlq E *ro : 0. Pero según la tabla II, página 61, caso 9c; el ángulo de rotación de la articulación v¡ Puede ser dogn
reemplazado por
e; Fis.
160.
nudo'
rm
:
la
b',1\ \a" É)-"*
bn,se3
* s' - ,*, ''!l)l-*':0'
s,
*
4
r,,, n. -l
s"o
:
(166)
.
roo
161. Pó¡tico a¡ticulado.
t I ó,,, c, :-
Jnr'
:
g.
(f;g. 168),
sr: obticnt:
bt'''
\'_-: dt" : d¿ - o " oo,n -
{1q,1
-T
bu"
o1.7,
r at,i 'r a.t.'¡ - --j-, ui,4
- -- b2 r.o a;,2* a-u.at ai.o- or.^- b"2 d¡t': d.u-r'r-= -1, -
b -,:
".. la (169) los correspondientes lérminos de carsa en los ¡turiu,t. b^. bo j4o : s4 : Ülr.r r [Jt¡,r * Ulr,r :- Ut¡.i - -;:'tltt.. - >;:Ute,r u g,4 u ,v
según
i,4
g.
(167)
donde
dno:
Fic.
Sólo deberán calcularse como incógnitas
los ángulos de rotación de los nudos va y 15. Las ecuaciones nudales para pórticos sin desplazamientos son segun (167) :
según ( 168
A su vez, esta ecuación puede ser exPrlesada en forma más generalizada, considerándose en ella un número cualesquiera de conexiones articuladas: dno
ri\
Teniendo en cuenta el r:squema de los coeficientes ) los coet'iciente.r diagonaLes
(bni En* Ilt; ").
bnT
bn¡et* bnesz*
@
nudales.
dna qn
Barrs Fncurent6 a un IntrOduCiendg esta exPresión en la eCUaCión antet"o"* rior y ordenando los términcs, se obtiene : t'"'rlf"*i"i*:
(
con
cargas arbitrarias en vigas y columnas, se suponen articuladas las barras en 2, 6 y 7, donde deben plantearse las ecuaciones
siguiente expresión:
+-
a
En el pórtico de Ia figura 161,
dn_4t,
(
: r, - 4#'ffi','.
b." ^ r¡u:.s;->-=!ne.¡:{Ill¡ ua,l,
* fir.n -r l)t:,.c j-ür.*
b,,.ffir, i-SJ,r.r,. b. t)r,.:, Q:,:,
168)
(16e)
El coeficiente d,iagonal dnü para el nudo (z), cuyas barras rigidamente-empotradas en é1, están a¡:ticuladas en el extremo opuesto, se obtiene formando primean,i para todas las barras emiarxrente con el. método conocido el valor d" :
4
prrtradas elásticamente en
(n),
del cual se resta luego la sumatoria
2*
Este
últinrr¡ valor sólo se refiere a barras conectadas rígidamente en (n) y articuladas rr r.l cxtrcmo opursto. En este cnlsa as,n es el valor de ¿ en el extremo articulado
rl, 'iit ira barra. l),' r¡na manera parecida se obtiene segun (169) , el thmino de carga
,l
en
€n ia surnatoria Jn: Effio,¿ la sumatoria ?É?Ults,n, lr,, ll l.r', lr;rrras elásticamente empotradas en el nudo (n). F¡ta nfti*u expresión .,,1,, i, ¡i li.rt a l¡arras empotradas rígidamente en (z) y articuladas en el extremo rrlr¡¡ it', 'J)Iu,,, cs el término de carga para la barra y as,n el valor de a en el ,,,,,1,,
r,,11,
restando de
ett+¡tt¡,t ,t¡tit:ulado de esas barras. 1,,. tr'rrrrirurs ) bn,,en sólo se refieren a las barras del nudo (n) elástica-
Fig.162. Esquema de los coeficientes.
Considc:rando cl esquema de los coeficientes se obtienen las ecuaciancs nudales pianteadas en forma clásica c tabuladas.
* pr dno * dnu
vn
* ba, va, *
b+ Er,
: ¡:;o : J+o
0, 0.
lllt.+: A[t.t :
ór q+,l lItr.+. br cq r T¿:,r.
Flé*l
tr{.s.'):
d.¡,1
E-r¡--
t'it et ll o,' I li
;-ln.
i
r. ,..
la
Una vcz rcsucltas estas dr¡s ecuaciones. los part: e.ttrcntos tlt br¿rra poclrár:i ser. cal_culados st'giin ia (125) o bien con ias concspondicntes fónnulas rjc la tabla Il. pásina 61. Teniendo en cuenta el esquema clti los crx:ficientes. se lcldrri:
lllr r!lr i rirl''lr,rrl:rs r.n ambos extremos. I r, , I , ¡, r,rnlo siguicnte se expondrá detalladamente la aplicación de la ecua-
tlt,l'¡l (l{¡7).
Júatriz tic los roefiritnte:12
91
*
Tfl
1,1.
?F
;+ ttrF
Estructuras aporticadas con nudos desplazables
,76
: : M¿,s ML'¿
M+,t
:
Ms,z: M5,4 :
* a+s ee * aa,s
ea
Nt4,s, bE
vs
+
}il rrF
tlIt4,5,
^,,-#)ru+lrtn,, -**,,n, a6,2 !!ts,z * *ff*,,r, a5,4
ps
*
(FF
b¿ 9a -l* Íllt5,a,
*,Ins,o
;F
- *k*u,u,
e+
;+ IFF
(Ver también el ejemplo numérico 17).
VII.
ESTRUCTURAS APORTICADAS CON NUDOS DESPLAZABLES
l.
Generalidades
ya ha sido explicado detalladamente en la sección primera se entiende -bajo Cgmo el nombre del epígrafe, a aquellas estructuras portantes, en las cuales no sólo se producen rotaciones de los nudos. sino también rotaciones de las barras. En estos casos- aParecen como incógnitas de cálculo, las rotaciones de los nudos p y las rotaciones de las barras ry', o bien los desplazamientos "relativos" A o los desplazamientos de los nudos 6. Dc acuerdo con lo ante-
o
rior, deben distingrrirse dos clases de ecuaciones de condición para la determinación de estas incógnitas.
Ecu¡c¡oNEs NUDALEs. La figura 168 representa un nudo z- de un pórtico desplazable cualquiera, con cuatro barras y lus nudos rruuos vecinos vrctnos 7, l. z. 2. 3, ?. ). 4. ) los l?)u¿rrds
@
Adcmás han sido consignados cn ella (q') -* s¿
o Fis. :63. Esquema ¡le los coeficiente de las bar¡m de seeeión variable, concurrent€s a un nudo desplazable-
ordenadamente las constantes a.y a.2 | b, como también rr y c2 de cada una de las barras, en forma más conveniente para un esquema de los coeficientes. Se parte de la hipótesis qur las cuatro barras que concurren al nudo z pueden rotar. Reemplazando valores en la condi-
ción ) Mn,i :0 y utilizando la (t25) de la misma manera como se hizo anteriormente fcomparar (37)], se obtiene la forma seneral de la ecuación nudal
d,9, * 2bn,¡ v¡ * ).n., *,,¡ * r, : i.i Lc¡s r"alores d^ \, sn se determinan con
_ Los té¡minos
la (164)
0.
,v la (165).
(170)
ú,.it donde c,,¡ es siempre el valor c adyaccnte al nudo ,, sólo aparccen en las barras que rotan. Luego, en las ecuacionés nudales tan solo aparecen tantos términc ú, como barras rotables concurran al nudo considerado. cn,¡
pisos
ll
Como ya se a visto en la primera llt'. Ecu¡cro¡,les DE DEspLAzaMIENTo. - ecuaciones generales para los distinlnr ción, también en este caso pueden plantearse tipos de pórticos. Ese será el tema del próximo capítulo.
2.
;+
*).,-¡-
Mr,s: ( ou,u #)*r Ju[r,e : a5,¡ p5 * fi5,s, IVII.. : bz Es * !)te,¡.
Entramado de edificio con columnas verticales iguales, distribuídas.en
El entramado de edificio arbitrariamente cargado' con columnal verticales iguales, distribuídas en pisos a)
Ecuaciones de condición
En este caso debe tenerse en cuenta que en pól Ecu¡croNns NUDALEs. ticos a tratarse aquí. pueden- aParecer dos términos ry' como m:iximo, o sea, pnifi
F
'F ;F tÉ ;f
eÉ
}F arF f+ arF
;F trp f'f
e+ |lrF erF
;rr
;F }F ;F ¡F }F ;l *
Fig. 166. Eequema de los
Noteione. FiS:. 16¿. Noteion6. Fis:.
las barras que concurren desde arriba y desde abajo tonces en la ecuación (170) se rcemplazará
2
cn,¡
i
*n,¡ :
c
n,F *
p
*
cn, t
coeiicientes.
al nudo tonsiderado.
Elr,
(l7l
*t p,t ,1,
r
f /¡r+1 son los ángulos de rotación de las baras que concurren al nudO n el piso'inmediato inferior y superior respectivamente; cn,p I cn,F*t los vllll' res de c adyacentes al nudo n y correspondientes a las columnas en los pisol p,t' ¡, * 1 respéctivamente (fig. 16a). Por consiguiente, la expresión más detallrel¡ de la ecuación nudal (170) [comparar (40)] será:
donde ,l¡, desde
dnqn * lbn,ivt
{ cn.!{p *
cn,F*,,
i
ú¡*r * J':0.
(1?r)
A continuación se hará una apiicación práctica de esta ccuación para tlll nudo. En la figura 165 se representa el esquema de los coeficientes para U¡lt parte del pórtico. En él sólo figuran los coeficientes necesarios para el planterr üe e.u ecúación. Esos son los valores de a correspondientes al nudo (5), ltr finalmentc los valores d¡ l, respectivos valores de c, puestos entre paréntesis y 'Recordamos que según (1!1.) paia aquellas barras qrr. io.r.,rtt n al nudo (5). los valores de c siempre se obtienen como suma de los respectivos valorcr d¡ a y b, de la barra considerada. El coeficiente diagonal para el nudo (5) tc obtiene de la (164)
,r :
?
a¡,,i
:
8,2
+ 2.2 +
Con Io cual la ecuación para el nudo
*
(5)
5,0
+
es según
1,8
:
77,2.
la (172):
12,2pr - 8.3.¿:: * s¡:0. Para el planteo y uiterior desarrolhr EcuecroNns DE DEsrLAZAMTENTo. - : 0 para cualquier piso. también íl{llll de la ecuación de equilibrio estático ) H 17,2v-,
*
0,9va
*
1,1 po
3,3rs
+
3l
Estructuras arporticadas con nudos desplazables
78
puede partirse de la ecuación general (44), pues allí se establecieron las rnls¡rutl 'hipót.tit que en el Presente cáso. Esta ecuación es: (173) M") (>P + 2q+ >U) ¿
:0.
+>(M'*
ecuoción de ilesplazamiento pata un Piso ¡¿ con la notacjón aqri elegiJa, se obtiene, e*pres^ndo el -término de los sumandos (M" + M") úegti¡t de deformación y del estado dc caryl
La
la"(12á), como funciót d" lor coeficientes de la barra:
|,cnv"* X,¡ ¿o Po * t¡ donde
Sr,
Signos:
:
DpPp
*'Sp :
(17'll
0,
Dp:Efuo*c") p
()P + >q + >pp\) . Ip+ >
(17
\l
(t7(t)
(m" + $t").
-l+
Luego, la ecuación de desplazamiento se compone de: 1. Los términos Zcupu, es decir, la suma de los productos de los írngtrlrn de rotación inferiores f lo, .rr"lor.s de c inferiores de todas las barras del piso ¡r, 2. Los términos lcogo, es decir, la suma de los productos de los ángtrkrr de rotacién superiores f lo, .r^lor., de c superiores de todas las barras dcl pino ¡r,, 3. El coeficiente diagonal D¡rrl,¡r, donde según (175) Dp es la suma dc krr valores de c superiores e inferiores de todas las barras del piso. 4. El término de carga s¡,, que según la (176) debe ser determinado rtr función de las cargas exteriores.-(Explicaciones más detalladas ver en la socció¡r
primera,
IV, 3).
La aplicación práctica de la ecuación de desplazamiento -(174'), se-expliclr-i en el siguiinte ejemplo. En la figura 166 sólo han sido anodados los coeficir:ntr'¡ r de hs Jolumnur. Ségn la (175) los coeficientes diagonales tornan la for¡¡r;r
Dr: )(1) ko* co): 15,0 + 12,5 + 96,4'+ 2A,O + 13,0 + 10,2:97,1 cu): !2,5 + 10,0 +20,5 + 15,5 + 11,3 + 8,4:78,2 Dz:2fto* (2)
y según (176) los términos de carga serán: (4,0 + 2,0) 3,0 : : ^Sz: 2'0 3'5
,S1 :
@ e0r
40t
e
T'
o
@
Fig. 166. Esquena de los coeficientes.
18,0 tm
7'Otm' Luego, según la (I74) las ecuaciones dc dr:s¡lln' zamiento serán, para el Primer Piso: l5,0va * 26,4vs * 13,0ro + 97,1./r * 18,0 (t y pata el segundo piso: 10,0 v+ + 15,5 p¡ * 8,4 v6* 12,5 pz * 20,5 E¡ | + 1 1,3 qs * 7 8,2.1'z * 7,0 -- 0
b) Matriz ile lm coeficientes para un p¡i,rtico asimétrico de tres pisoe El pórtico está representado en la figurl 167 que simultáneamente t's ttrt .*qrr.rn^'d" Ios coeficientes. Se parte de la hipótesis de qrre las cargas son arlri ' trarias, y las luces y las alturas de los pisos, distintas.
;a ra f| fÉ
Entramado de edificio con columnas de alturas diferentes
Mat¡íz de los coelícicntes 9r
9t
9t
9¡
9t
d,
h at.
ü.
b.
¡t:.
br
la
9t 9t 9t 9¡
ü¡
b7
d.
á
9l^o
;r
9tt 9t¡ 9n 9y
á
a t ó Í Í
t trn t tp ü tt
i t rr t 0 *
O
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t
9to
9o
9tt
9tt
13
9tt
9tt
ór
b) ór¡
ür
d,
ütt
ótt
dro
ür,
ót'
d-
üt¡
üt.
4,
üt órt
c¡.
ll'¡
Gt.¡
G¡. ro
¡
Gz,t
c¡.
t
ct,tt
o¡.
rr cr. ¡
9¡
c¡.
cr. ro
¡
r
cr,
¡
ai; ar
¡,c¡. r¡
cro.¡
Dt.
G¡.
crt.l
cr¡.
..
crr. r¡
It t trr
ü
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c¡¡,¡
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4.
ct¡. ¡
ct¡
Q¡.r cr¡.¡
st D,
¡ ct¡.r ort.r
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r¡
!: ú¡o
Dr Gto.¡
B ot,
¡ c¡.tr
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ü.. ct,t
G¡.
c¡.
üt
tPt
Ql,t
9¡
G¡.t 6r, t¡
ótr
ü.
9t
?t
$_ s.
Dr
En total deben ser determinadas 13incógnitas, a saber: los ángulos dc rotar.ií,¡r de los nudos e5 hasta sr¡ y los ángulos de rotación d. ir; t;;"s {t,,1,¿, ús. Con t,, 9, """ "," @ ayuda del esquema de los ;l¡ ,. calcula, aplicando la (164),"o.fi.;.rrt.r, los coeficíen- V¡ JH
=3
"l; nes nuáales, y';;" i; (irs¡,1", lo.¡i- @l*3-gr#g!' h ""{l=¿}¿"} jl.} cientes diagonales D\ Dz, D3'áe las ecua- jld {lj "ilj . jlg, :::T,j;ff:l?íru'::*,*,oH':"1;"0:: g= n..,ál*, b,,.fl&,, "il; hasta sr¿ Sr, Sr, 53 aplicando (165 tes diagonales d5 hasta d.u de las ecuacio-
""',,CIO
la
I
a1
1;' I:ñ
Li#'{:r'fF:ll'ilii:i:*}jj"::*. (172)
y de las ecuaciones de despliza- O
miento, según (174).
Fis.
3. El entramado
@
'# 'J @
(4)
167. Esquema de los coeficiente*
de edificio cargado arbitrariamente con columnas de alturas diferentes
Se aconseja en este caso alegir como incógnitas los desplazamientos A c¡r vez de^los va-lores ry'.(comparar también las exlplicaciones dádas respc'cto a l;r figura 89 en la sección primera, IV, 4). Ecuaciones de eondición
Ecu¡,croNE,s NUD_ALEs--Reemplazando
en Ia ecuación (122) los v¿rl.rr.s de f_, ac^otados se6¡ún los pisos, por los correspondientes valores de a dc acut,rtl. con la (2), se obtendrá la forma seneral de ia ecuación nudal: dn p^
* 2 i
bn,¿
q¡
I é,,r A¡, 'f
Vn.p*r Ap*1 *
r, :
0.
(t77 \
80
Estructuras ¿porticadas con nudos desplazables
Siendo: -c¡,p--
cr.lt t-j Lp
cn,lt*l
-cn'¡t+l
-
(178)
,1.*1
Para el cálculo de los pares extremos de barra, partiendo de los coeficientes dc deformación, se aconseja la aplicación de los valores de Z, según (178), contt'nidos en la matriz de los coeficientes. La fórmula correspondiente a una column¿
¡n-n delpiso ¡r, y considerando que *u:ft,
M-¡: a^,rP* * b pn * M^,* : a¡,6 en * b p^ *
"r, V^,n AF
+ !lIL,"
dn,n ap
+ flIt*,-.
(1Ze)
La expresión general de la ecuación EcuecroNE,s DE DESrLAZAMIENTo. - antes, de la aplicación de la condide desplazamiento d,el piso ¡r resulta, como ción ) M:0 y tiene la forrna general fcomparar (5a)]:
)8"e"*Eéopo* tt$
DFAF
+ Ss:0.
(180)
Siendo:
¿u:?lru,*v*),
(181
)
(182)
Sisnos: + + A continuación se daní un ejemplo numérico en el cual se muestra la aplicación de la ecuación (180). En la figura 168 sólo han sido consignados los coeficientes (Z) de cada una de las columnas, necesarlos para el planteo de la ecuación de desplazamiento. Segrin la (181 ) resulta: 't1 (6,5 + 5.4) + j¡ f a,o + 6.2) = 7-71 D, :
ó-
A? or: #
(5,8
+ 4,4) +
y según la (182):
:
$-
tu,u + 5.3) '-. 6,53
+ 0,4'5 + 0,6 ' 1,2 :4,57 t ar :2,47 t. 0,4.5 + 0,6 . 1,2 Con estos valores, se obtiene según la (180) la ecuación dt desplazamiento de la planta baja:
+ 52 : 1,3 +
Sr
E-
ü I I
2,1
6,5 v3
_l
1,3
*
8,6 va
*
7,75
a.*
4.57
:
o
del mismo modb para el primer Piso: O : Fig. 168. Estad, de csrsias 4,4 ps * 5,3 va * 5,8 es * 6,6 v6 * 6,53 a, * 2,47 t* y 19)' (Vcr también los ejemplos numéricos 18 ' "t#lf:H1.J"
4. Pórticos desplazables eon barras A.
o.
articuladas
GENERALIDADES
Ecu¿,c¡oxrs N¡.IDALE5.-Para una barra que concure al nudo (n) v estri articulada en el extremo opuesto (g) (fig. 169), el ángulo de rotación de la
F a+ e!+
rÉ ¡+
Or+
r+ F FF
?+
G+ IF OF ;?
tr+ G+ o+
,+
trF trF ttF ti¡ ;F }F 7?
;r ;r trF
;rF
rÉ }F 'F ;t,
8t
articulación pq puede ser expresado en forma generalizada según la tabla página 61, caso 2a, en función de p, y ún,ot corÍto se ve a continuación: ec
: {
{u^,,
9,
*
cs,orl,n,o
*
está articulada en los nudos vecinos, mientras que las
II,
(183)
Tfto,n).
Si a un nudo (z) del pórtico concurre un nú- loqs mero cualquiera de barras, de las cuales una parte ,6.,I c*
os,",r,ar
bn.' "fn T *
-
Fig' demás están rígida o elásticamente empotraáo, ,., ellos, entonces, al introducir la expresión (183) para es enla ecuación (170), y ordenando los términos, se obtendrá la forma general de la ecuación nudal part pórticos desplazables con barras articuladas:
lF"
]+ ;+
articuladas
Pórticos desplazables con barras
gn
dntr
* 2bn,,9,
-F
o bien reemplazando, para ú: p,
* )
bn,,p,
)
cn,, ún,,
* 2
con,o
A
y
o-T:
c'
I
Para
* 2é",,
ao,,
*
16e'
úr,s
Zéon,, A.,c
*Joo : 0
*
rro
:
0.
(184)
(
r85)
En ésta significan como antes dno
:
dn
(18(t)
2_t
-4*
-o--
y
ót''' - sg ug,¡ '
*,.,
(187)
además con,s
:
c,,t
- fu.
(188
co,n
)
o bien
von,s:u,,0-*.u0,. La )
I
se refiere
(18!))
a las barras elásticamente empotradas en el nudo (n) y articula-
das en el otro extremo, mientras que
la
)t
se extiende sobre las barras rígidamt'ntr'
empotradas en ambos extremos. Los valores dn y sn deben ser determinados en forma conocida con las (164) y (165) respectivamente. En general son válidas en este caso las aclaraciones dadas en la página 36 de la sección primera.
Ecu¡croNEs DE DESILAZAMTENTo. En forma parecida a la sección primera (pág.37), se darán las ecuaciones- de desplazamiento y las correspondientcs ecuaciones nudales para las difercntes formas de pórtico con varios tramos v dt entramado de edificio. Aquéllas se deducen de la forma general
)2" e r -i >Vo 9o * ¡r
DpAp
+ S¡, :
0,
(190)
¡¡
al reemplazar los ángulos de rotación de la articulación pu o eo por los demás la correspondiente barra. A continuación se darán
coeficientes de deformación de las expresiones a aplicarse.
D¡t¡ uctur¡¡¡ &¡rortic¡ular
a)
F F ¡r? F?
a
B. PORTICO DE VARIOS TRAMOS tramos co{r los pies de las columnas rígidamente varios de Pórtico empotradoa (fig. f?f)
a F
Para esta forma de pórtico se deducen de la (177), ( 1e4) d,P,* )b'.¡9¡ * Vot*sn:0, zu, es el valor 7 supcrior de la colun:na que concurre al nudo (n). Los
Ecu¡croNes
v son:
a t{¡ ¡+ H¡ F ¡+
co¡l ¡¡udo¡ dcr¡rlaz;rhlcr
NUDALES.
¿
donde ,oalore,
l*
y s* se determinan en forma con,:cida <'cn las (164)
v (165)
respe<'-
tivame nte.
ECuecroNrs DE
Considerando que en este caso 9,.
DESPLAZAMIENTO.
la ecuación de desplazamiento según (190)
(1e5)
0.
D-I-77tv"-e,,¡ ?.r2,:' Fis.
r"?1.
thv'''
¿r:'
61
l"ui:T""$""Jilf"",';f,Tg..:fJ
()'
será:
XZ, en + ])'a * S: Donde según (181) significa
i{ L¡
:
¡r q¡
(1e6)
|f¡
v según (69)
r* S:)p+
Xs
-i-
:2I
+:,ryfryL'
(19i)
empoiradoB.
bi pórtico de varia¡ tra¡nos eon lcs pies de las coiumnas articulados (fig' 172) se deduccn de la forma general (185¡ y Ecu¡c¡on¿s NUDALES. escribe¡r
-Estas apropiadame;::;i"ttil,:-"
t
e,n.sa
*
s,,o
: 0.
I-cs túrmino s ¡-bn,"E, ,. l"fi.r"n sólo a las vigas v-el .término dci nudo correspondiente' Separadamente signi{ican: colunirla a la
@ á
Lr
Fis 1?2. Pórtico de varios tramos con lc
Segun (189) ¿0",
.,
(186)
,,
(187)
st'
(198)
:vn.!)*-*
Zo,',0 a.
sólt'
?r,"; (199)
dn":d,'--i-t
(200)
A g.zr
Jno: r,
pies de.las columnas articulados.
- +'$1r,,. a
(901
)
g,n
Ecuac¡oxr,s Drt DESI']LAZAI\{IuNTo. para e,,, se obticne. después dt'lrr tle sirrrpliiicación correspondiente, la' ecuación de spla:ami¿nf o en la forla: Rcr:nrplazando en
la i190) ia expresión. (191)
)
?oo
+.,
+ ,o J iSo : 0.
F E a q) E q)
(209)
et rf q¡
Pórticos desplazables con barras articuladas
En ella significan (fig. 170 a)
-l
t t ,l¡
:
zoo:éo_*.o_
(203)
Do:D_>_9*:>+
(é"*e")
;2
svü o aut
^so:s_>f.n" o bien, introduciendo .so
: )p
(204) (205)
la (69) + > q + > rr + >l8+l[según
^S
- >{.n",
(206)
(Comparar también ejemplo numérico 19).
c)
Pórtico de varioo tramos con las cabczas de lag colurnnas ¡rticuladas (fig. 178)
Ecuecro¡tr,s
En este
caso las ecuaciones nudales son idénticas a las de la viga continua -común. Anulando el término A, ellas se dcdur.c¡l de
NUDALEs.
la (198): doo 9,,
*
4U",,
*, *
sro
: 1¡.
(207)
En este caso las columnas no influyen en el planteo de las ecuaciones nudales, las que son completamente indepen-
dientes de las ecuaciones de desplazamiento y por ello pueden scr planteadas
y
Fig. 173. Pórtico de v¡rios t¡amos con I¡s c¡ba¡ de lu columns articulads.
resueltas separadamente.
Ecu¡cloNns DE DEsrLAZAM¡ENTo.-Reemplazando en Ia (190) Ia exprcsión (192) para eo, se obtiene, después de la simplificación correspondientc, la ecuación de desplazamiento en Ia siguiente forma:
Doa +
S0:0.
(208)
En ella significan: Do
q)
a Q qi rr rt
83
:
D
so:,s o bien, introduciendo
,S
_
>ii;: r+
(¿"
+ e,)
_ rE;!,
_>1.w"
(20e) (210)
según (69)
,so:Xp+>q+ d) Pórtico de varioa tramos
>2f
+>
->!m".
(211)
con disposición
arbitraria de las articulaciones en loe pies
o en las cabezas d,e las columnas (fis. lZ4)
Eculc¡oxr,s
NUDALEs,
Estas pue-
- las (194,), den expresarse de acuerdo con (198) ó (207) según que la columna correspondiente esté empotrada. o bien tenga una articulación inferior o superior respectivamente.
Fig. 174. Pórtico de varios t¡amos con disposición arbitraria de ls articulacione en los pie o en
ls €bezas de la¡ columns.
8,+
Estructuras aporticadas con nudos desplazables
EcuecroNns DE DEsrLAZAMIENTo.-Reemplazando en la (190) las expre. siones (191) y (192) para so ó p, resPectivamente, se obtiene la ecuación d¡ desplazamiento, cuya expresión general sería:
)?oo qo * 2éovo* c ot En ésta es análogo a la (203) Cou
además
)o
Doa
: Co -l'b-
*
JP
:
0.
(sls) (el3)
"",
uo
(sr4) (215)
?
" " "
"
TI
;l FT
con "articulación inferior".
,,
F tf,
"articulació¡ superior".
Pendularessolame¡te'
Debe hacerse constat esPecialmente que la expresión (215) de la So es válida para un estado de carga geniral y arbitrario de la columna. En muchos casos, la iolumna propiamente áicha no está cargada, entonces, cuando en el ángulo- suP€rior del p-Artiio actúa la fuerza horizontal P, resulta simplemente JP : P. Si tampoco existiera esta carga, JF : 0'
C, ENTRAMADO DE EDIFICIO En este párrafo se estudiará el entramado de edificio con columnas de altura variable y un núme¡o arbitrario de articulaciones (fig. 175)' En este caso puede apliEcu¡croN¡s NUDALEs. - Se produce una simpli' carse la fórmula general (185). ficacién, pues los términos A sólo se refieren a las columnas que concur¡en al nudo considerado.
P¡rte de un flt¡a-
Fig. ;;,i"-á; áiri"¡o; on ""ticilscione¡. 1?5.
ReemplazanEcu¡cro¡qns DE DEsPLAZAMIENTo. do en la (190) las expresiones (191) y-(192) para los ángulos de rotación dé la articulación Eo f 9r respecti,r"áettt '--:---:-' , se obtiene la ecuación de desplazamiento pata cualquier piso (¡r) del entramado de edificio. Su ex-
presión general es:
(216) * )vuo qu * )ioo vo * Dpoa¡, * S0 : 0. Lo, tér-irros X ?*o;- , > 7oo'|' ,. t ri.J"¡ a las columnas con "articulación su-
|,Vuvu + >¿"po 9o
9r
perior" y"articülación inférior" respectivamente. Análogo a la (203) el significado de los términos es:
b -'l Cuu : Cu -l'to, b-l Cou : Co -l' "".
t I
]l fo ;l ;l ;¡
.l debe calcularse con la (85). En las expresiones precedentes las sumatorias se refieren:
donde
,,
fl
Estructuras aporticadas con nudos de desplazamientos
(2r7)
¡¡
;r GI
f¡a frt
frt
ert
a+ l|F
.e0:^e
-7**"-7**",
sólo que para S debe tomarse el valor de
5.
lF IF IF
ta
su
(218)
la (56) referente al entramado
de edificio.
Estructuras aporticadas con nudos de desplazamientos verticales
A. VIGA VIERENDEEL
APORTICADA CON SIMETRIA ESTRUCTURAL
a)
Y DE
CARGAS
Ecu¿ciones de condición
Ecrr¡c¡oNEs NUDALEs.-En este caso puede adoptarse la ecuación (1/{)) planteada para el entramado dc edificio. y reemplazar la designación de pisos ¡. por la dc los tramos , (fig. 176). Ella será entonces: d,,vn * ) bn,r p¿ * cn,r,*r,* cn,r*r{o*t *
$o
:
(2re)
0.
i
Como se deduce de Ia figura 177, significan: los ángulos de rotación de la pieza en el tramo t ó v* 1, es dccit. en los tramos a Ia izquierda o a la derecha, respectivamente, del nudt'
*u ó \r*t
considerado.
cn,v 6 cn,v+t ,...
Ios valores de r de ias vigas que concurren desde la izquierda o al nudo considerado.
l;r
derecha, respectivamente,
Ecuecronns DE
DESPLAZAMIENTo.
Aquí son válidas también las deducciones generales de la sección primera, lV, 7 , A, siendo innecesarias por esto mayores expiicaciones. Reemplazando valores en la ll"r!u,rl
r---r-___*l
Fig. 1?6. Pó¡tieo simétrico con depl¿zamiente verticale debidos a eargss Eimétrics,
ecuación de equilibrio estático
2V :0.
de desplazamiento de un tramo (v)
{FF
rF
85
y )Voeo >U,p, eo
FF oqF FF FF (FF
verticales
se refieren a las columnas empotradas en extremo superior e inferior. El significado de Do se deduce de la (274). Pata la determinación de ,So es válida Ia (2t5)
Los ténrrinos
ñ
: D - rr# ?* 4l ,u" +e; - Z.t - l# ,s0:S->{*u,,-)$wt., g. c. oo ,,
n H xD
Du:)(r¡ S"
:
i1
Parta de un pórtico que a
1?7.
se obtiene en
foma clara la
,rvs,¡i(trt
:
) r, pr * )"n q, * donde
fig.
Dury',
*,9u :
0,
+.\
p+>s) -:¡"-E q,_ }Alt,+ X(Sr, -! il.t,) l-t (I
(220) ,)O1
r
t222\
86
Est¡uctu¡as aporticadas con nudos desplazables
Los signos que en esta expresión tienen P, 8, P, g', 2f son válidos cuando éstas actúan de arriba hacia abajo. Mayores aclaraciones sobre el significado de cada uno de los términos de
la (222)
en (90). Luego la ecuación (920) tiene cuatro términos distintos: se dan
b) M¡triz de los coeficientes pare una viga Vierendeel aporticada de tres eordones y con simetría e¡tructural
La figura 178 representa esta estructura portante donde también están anotados los principales coeficientes, a saber, los valores de a y b paru todas las ügas horizontales. Las incógnitas a determinarse son: los seis ángulos de rotación
92, 9s, 9s, 90, 9a, 9s y los ángrrlos de rotación de la barra ,l't y 92. Debido a la simetria 9r: pz: 9ro : 0, y debido al empotramiento rígido de los pies de las columnas, 91 :91' : Q. Aplicando las fórmulas correspondientes se hallan los coeficientes diagode los nudos
g
Fic. l?8. E¡qum¡ de lc coeficiente.
Matriz d¿ los coclicicttlcs
9t
etis,
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ü
ür
9¡
ór
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nales
s.
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Gt.t
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d y D, como también los términos
tt
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9t 9t 9t
I
B
ctt
t. ta
cr. rc
t) ,S¡
D, s¡ -ti:c¡.¡c de carga r y ,S. Luego con ayrrda del
y mediante la aplicación reiterada de la ecuación nudal (219) o bien de la ecuación de desplazamiento (220), se Procede al planteo de la matriz de los coeficientes 14.
esquema de Ios coeficientes
b--
,_
Estructuras aporticadas con nudos de desplazamientos
FI FF FI ;F FF ¡r?
r+ É É
r+
rr É
f* FF
r+
FF F? FT
?r?
FT FT
F?
rr !r ;l ;l
F
verticales
gZ
B. VIGA VIERENDEEL APORTICADA ASIMETRICA CON APOYOS LATERALES a) Ecuaeione¡ de condición Ecu¡c¡o¡,¡r,s NUDALEs. Para el cálculo de estas estructuras es más co4vcniente utilizar los desplazamientos de los nudos 8, en vez de los ángulos de rotación
(m-r)
¡¡-
;?
14
ó.
r-
f+
son los productos de los valo¡es de c izquierdos y los ángulos dc rotación de loe nudos izquie¡dos del tramo y considerado. son los productos de los valo¡es de c dercchos y los ángulos de rotación de los nudos derechos del tramo v considerado. donde el coeficiente diagonal Dv es, según la (221) , la suma de los valores de c izquierdos y derechos de todas las barras del tramo v. es el término de carga a determinarse con la (222).
o
É É ¡É
(m)
(m+t)
@
ot t@
@
v
l**l*-t
r.p Fisi.
{4¡t
l$"
129.
Fie.
179.
Fig. 181. Esquema dc
180.
vertics¡6.
la
I
mientos
verti6l6.
179).^Reemplazando en la ecuación
es váiida, ry'-por 6 según
pondientes,
kr¡
.coeficients de una partc :de¡ pórtico con desDl¡za-
Figs. 179 y 180. Acot¿ciones generale de pórticm co¡ desp¡az¡mient*
d. lT.barras ú (fig.
to)
(3), r. bbti.r,.,
después de las
ecuación nudal en forma aplicable:
dn9, * Zbr,¡ E¡ * Zr," 6,,-l * i
?tr 6,,,
Como antes, el significado de los términos
én,,':
fft
vn,u.7:
Zlg, que también aquí transioi*".iorr., corrcs-
--én,r,t 6-,r * J, :
0.
(223'
es:
+f
(224\
lln:6n,v+t-7rl. (225\ De la comparación ,dos términos ry' contenidoscon Ia ecuación nudal (p19) surge quc en lugar dc ros en-aq-uélla, en ésta apa¡ecen tres términos 6icuuo rignificado surge claramente de-la iigura 180. Luego E. r" r"fi...-ri.rrlpr" a la scri,de nudos que contiene el nudo coirsiderado (n ¡,tientra, d;6;_, y 3,¿.r son I(,s desplazamientos de las series de nudos rit.rados'respectivariente"'a la iiquierda y a la. derecha-.d. ("). Si uno de los tres valores de 6'se anula, ..,to.r.., dirsaparec,' en la ecuación el correspondiente término 6. El término 2", E* también desaparece cuando én,t, : Vn,v+t, pues según la (ZZ5) el coeficiente x, :0. Los coeficientes Zr,y y ón,n,*t que aparecen en Ia ecuación nudal. son siern_ pre los.yulo.T z, adyacentes al nuáo considerado (n), de las barras que concurren a él desde la izquierda y la derecha respectivamentc. A continuación se ilustrará con un ejimplo numérico la aplicación de la ecuación nudal recién hallada, al nudo (1ó¡ áer pórtico representado en la figura 179. l" fieura 181 han sido anotados los coeficientes ¿. b. Z necesarios para el _,- .tn de la ecuación. Los Planteo 7 están entre paréntesis. para poder distin'alores guirlos mejor de los valores ¿. Según (22.tr) es p.'ej.: Fr',o
:#
=
;,0,
Zro.r
: ff :
r.o
É
Estructuras aporticadas con nudos desplazables
88
fÉ
ts
y segun (225) Xrc
:Zto,rt-
Ero,s
:
3,4'
-
5,6
: -
2,2.
Además el térnino diagonal es: dro
: )a1s :
8,5
+
10,0
+
Con los valores anteriores puede aplicarse según
el nudo (10): 34,7 vrc
* 6,4rs *
6,8 ve
+ 8,2 : 34,1. la (223) Ia ecuación nudal para
7,4
* 5,4sll * 52qs + 5,6S1 -2,9A2-3,4,03 * s16:0.
Ecuecro¡.¡es DE DEspLAzi{MrENT'|o!
Para una serie de nudos superpuestos, - 199 y 130), la ecuación de separados de la estructura portante (fig. equilibrio stático puede plantearse según ¡a (104) en Ia siguiente ior-a (i!):
->P-?2t"-P.rlf'*r-?
11 ¡"
(M,t + M,'\ +,>
t';(Mt*t*
M'u*t)
:0.
(226)
Expresando según la (128) la suma de los pares extremos de barra, en función de los coeficientes de deformación y los términos de carga, y considerahclo además lo indicado en la figura 180
,i":-fuá*i
*u,t:
lv+t
(227)
resultará después de las transformaciones correspondientes, la ecuación de desplaza¡niento para la serie de nudos, anotada con Ia nomenclatura aquí elegida cn la siguiente forma:
* Zx^v^ * ZV^*r,^vm+t - ZV*-t,*p^¡ r'+1 7 Cu 8--r + D- tñ 6',*t Cv*r * Srn : 0. -
(228)
donde
Cr: Este es el coeficiente de E--1
v
X
lu
(22e)
la suma de todos los valores 7 en el izquierd¿ de la serie de nudos cc¡nsiderada),
rep¡esenta
tramo (v) (es decir en el t¡amo ala *}iv{¡lida por lu" uy+l
E*¡,n * V^,m-t
ém+t.m
-
* Vrr,n r lv+t
(229 a)
Sste es el coeficiente de 8r,,.1 y representa la suma de todos los valores Z en cl tramo (r * i) (es decir en ei tramo aladerecha de la serie de nudos considerada) diüdida por lu*¡. D,,,: Cn * Cv+tt (230)
Este es el coeficiente diagonal (coeficiente de 8,,,) y representa la suma dc los valores C, correspondiente a los tramos (u) y (, * 1) situados a la izquierda y a la dtrecha respectivamente, de la serie de nudos (m) considerada.
h:
(7^,-*r
- é^,^-t),
(231)
Yt l{
Estructuras aporticadas con nudos de despiazamientos
lÉ
rÉ lF fÉ
;+r
tt
F¡
rÉ CÉ
tÉ
fÉ fÉ fÉ lÉ fÉ It IF lñ
l+ F IF F F fF
lÉ cfi lF
lÉ
¡tg
Estos son los coeficientes de v- y representan la diferencia de los valores Z sitrraclos a la derecha e izquierda de la serie de nudos (m) considerada.
s-
: - )p - EU""--Ell,o*, - +?
(m"'
'rY+l
üÉ
aá
verticales
* il,e
(Ill'u*r
1-
srt,') +
* llll'u*r),
(ZiZ)
Este es el término de carga.para la serie de nudos (m). El significaclo de c:rrl:r uno de los términos ya ha sido dado para la (IOZ)'y Oe;. " lf Los signos de P -u u en Ia expresión precedente, son váridos cuando csr:r:r -fuerzas actúan de ar¡iba hacia abajo. Fara la acla¡ación de la ecuación (228) puede agregarsc Io siguientc: El núrner. de términos pr¡-1 eS igual al número de barras (lue concr¡rr(.r¡ desde la izquierda a Ia serie de nudos fm) considerada. De ]a misma manera, el número de términos pa+1 rS igual al núnrer<, rl,. barras que concurren desde la derecha a la serie d" t,-r¿or (ml consiclerada. El número de términos 9m es en general igual al nú¡nero dt- nucl.s tl. la serie (m) considerada. sin embareo, si en ui nudo y, : 0. o sca r.uar)d. V,..n nt - Vr,,,,,-1 :0, el términc ?r, .or.arpo.tdiente se anula. Los términos 6 aparecen sólo una vez en cada ecuación.
b) Matriz de los
coeficientes para una viga
Yierendeel aporticada asimétrica, cuyos nudos sélo se desplazan verticalmente
- , La figura 182 representa el esquema de ]os coeficientes de esta estructura portante. Esta tiene apoyos que evitan los desplazamientos horizontales de los nudos 6 y 10 y está rígidamente empotrada en 1y 2; luego las incógnitas a deterrninarse serán los ocho ángulos de rota-
O
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Fig. 182. Esquema de los coeficieni-es
Matriz de los coelicientes 9t
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90
f¡-
Estructuras aporticadas con nudos desplazables
cjón- pa y los desplazamientos verticales Sr y 6g. Con ayuda del esquema ^ !!o de Ios coeficientes, figura 182, deben todavía ser determinados otros ülores
de cálculo, a saber: - ds-a d1n con el procedimiento conocidoj xr, xs, lt6, lre con las (225)
Cr, Cr' y Dz: Cr, * Crrr. luego Cr,,
según
la (229) y Dr, D,
según (230), donde
Dr:
ó (231); C,
* C'
Finalmente deben ser deterrninados los términos de carga 13 ? 11¡ y según Ia (232),,- los ^s1 y ,s2. rnmediatamente puede plantearse la tatriz de los coeficrentes 15, utilizando la ecuación nudal (223) y la ecuación de desplazamiento (2.2-B) con ayuda del esquema de los 'coeficiéntes. (ver también er ejcmplo numérico 20).
6. Estructuras
aportic¿das eon nudos de desplazamientos verticales y horizontales En la sección primera, IV, 8, han sido tratadas las caracteústicas especiales " cste de tipo de estructuras. Luego sólo debe efectuarse una pequeña ampliación de las ecuaciones nudales ya deduiidas para sistemas con desplázamientos vérticales únicamente, mientras que las ecuacioies de desplazamienti planteadas anteriormente, pueden adoptarse sin aariantes.
a)
Ecuaciones de conilición
EculcloNns NUDALEs. Las ecuaciones nudales para estructuras aporticadas - vertic.ales, han sido con nudos de desplazamientos planteadas bajo la hipótesis de que sólo rotan dos barras como máximo, o $ea las vigas que concurren horizontalmente al nudo considerado (z). Luego en esta écuación hay sólo d<¡s términos ry'. Si se considera que en este caso los nudos sufren desplazamientos verticales y horizontales, entonces las barras verticales también rotan, y en consecuencia, deben agregarse a la ecuación nudal dos términos ú 6 A mas, de las misma^s características, como las vistas anteriormente en entramados de edificio. Estos términos tienen la forma [comparar (t7l)] (233) Cn,púp * co,prt y'p*t, ct¡ando se elijan como inceignitas los rílgulos de rotación de las barras verticales, o bien [comparar (177)] Zr"p Ap
*
E
(233 a)
,¡.*1 Ap*1,
cuando puedan aplicarse como incógnitas, los desplazamientos relativos de las barras verticales. Luego, agregando Ia expresión ¡2ZZ¡ o bien la (233 a), a la ecuación (223), se obtiene la ecuación nudal para una estructura portante con riistintos desplazamientos
d^9, * )
br,¿
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* E,,*r.t {p*r * r, :
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(234'
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l-
í234 al
Los subíndices v se refieren a los tramos, y los ¡., a los pisos de la estructura. Ecu¡,c¡oNE,s DE DEseLAZAMTENTo. Aquí se aplican las dos condicioncs conocidas del equilibrio estático 2V:0 - y ) H:0. Sin embargo, no son nccc-
b)Matriz'::r;:jil:H":fr ";lffi,:"Tffi
la F É É (
l,lff ;f "asimétrica
IJna estructura de este tipo está representada en la figura 183. Tendremos en incógnitas: los seis ángulos de rotación de los nudos 9s, z 9s, el desplazamiento 6r en dirección vertical de la serie de nudos 4-7 y las magnieste caso las siguientes
@ Fis. f88. Pórtico con desplazamientor verticale y horizontele.
@
Fig. 18¿. Eequen¿ de ¡oE @eficientd.
tudes de desplazamiento 41 y a2 correspondientes a ambos pisos. Para el plantco de lzs ecuaciones nudales según la (234a). deben determinane preuiamüte los coeficientes^diagonales d.r a dg, los términos de carga rs ? Js y los-valores yq y rlt s9gún la (225). Para ia ecuación de desplazamiento (228) deducida de la ion-
) V : O, deben determinarse el coeficiente diagonal Dr y el término dc 51. Finalmente para la ecuación de dcsplazarniento (1 80) que reprcscnta la .condición ) .F/ : 0, deben calcularse los coeficientes diagonal"i A, y .On y los términos de carga S¡ y Sn. _ con ayuda del esquema de los c'oeficientes, figura 184, y las ecuaciones indicadas, puede plantearse la matnz de los coeficientes 16. dición
carga
Matriz de los coclicíentes
ll.
t4
horizontales 9l
sarias nuevas deducciones, pues las ecuaciones anteriorcs pueden ser aplicadas inmediatamente. Así p. ej. la ecuacién (228) deducida para la condición )V : O de la estructura con desplazamientos verticales de los nudos solamente, tiene para este caso plena validez. De la misma manera puede adoptarse sin modificaciones para el entramado de edificio con nudos de desplazamientos horizontales, la ecuación de desplazamiento (7a) o bien (180), deducida de la condición ) H :0.
er+
F}
o bien
d^vn
¡{
Estructuras aporticadas con nudos de desplazamientos verticales y
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9t 9t 9t
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92
Líneas de influencia de
M
como el¿ásticas de una estructura (z
* 1)
veces hiperestiitica
Sr,cc¡ów Tnncnn¡
LINEAS DE INFLUENCIA DE ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
I.
Conociendo las Iíneas de influencia de los momentos extremos, pueden determinarse fácilmente las líneas de influencia de los momentos para una sección cualquiera
priir.r",
Lt ."fiII, 4, de esta sección). U. DETERMINACION DE LAS LINEAS DE INFLUENCIA DN M COMO ELASTICAS DE UNA ESTRUCTÚNA tulo
(n
)a f{
En esta sección se tratará detalladamente la determinaciói, d" lu, Iincas de influencia de los momentos 'fiectorer, pues éstas forman l" u"r.. a. cálculo de las demás fuerzas interiores, es decir, Ios esfuerzos tangenciales normales. Se estuv diará aquí dos procedimientos dife¡entes. Los pro6t.*"r r Lr"i".r se encararán para -una carga penna¡ente-,- pudiendo aplicane también aquí los métodos dc cálculo para pórticos, deducidos anteriorniente. del tramo de una barra. de pórtico. En general se procede a determina, a continuaiión las áemás (ver tambiér,
r-
É
INTRODUCCION
mgntg_ aquéllas, deduciendo
t
- r)
VDCES IIIPERESTATTCA 1. Fundamentos del método Ia . .Mecliante aplicación del teorema de M¡xwEr.r, puede determinarse de la srgu¡ente manera la línea de influencia del moment o, para una sección cualquiera
de una estructura estáticamente indeterminada. En la sección a estudiar se intercala
una acticulación, con Io t, y r.rrul. "ual el-gradode hiperestacidad dismin;t; actuar allí dos pares iguales y dé sentido cóntrario que tengan írr,"",rr"grrit,rd t^r, que hagan girar simultáneamente las dos secciones de la iticulación
i¡n á;ñ;
¡{l ¡*
r{'
¡rc FF ¡r ;F
fr
FF ;F ;F ;l ¡*
fr ft
;f ;F
Elástica pa.rtiendo de los ángulos de rotación de los nudos
9
y los desplaz. de los nudos
S
93
donde y son las ordenadas de la elástica p^r^ M: I y y, los correspondienteo ángulos formados por los planos de sección de la articulacién. Pa¡a determinar el valor numérico del ángulo 1, se lo supone dividido en dos partes pt y pt. Teniendo en cuenta la convención de signos, ya mencionada, de los ángulos de rotación de los nudos, resulta (236) Y:9¡-94 donde según la figura 185 b, c, el y vn significan respectivamente los ilngulos dc giro de las secciones situadas a la izquierda y la derecha de la articulación. Por coruiguiente, esos dos valores son idénticos con los ángulos de rotación de lo¡ nudos en la articulación, vistos en el cálculo de pórticos, y por esta razón podrán determinarse del modo conocido. Además deberá tenerse en cuenta lo siguiente: Si las constantes de barta a, b, c (para barras con secciones variables) o ft (para barras con secciones corutantes) que se utilizan para el cálculo de pórticoa, estuvieran reducidas en z, entonces, como ya se ha visto, todos los coeficientes de
deformación (p,
{, Ar 6, !, l, etc.) siempre resultarían reducidos.r, +. Si desig. namos los verdaderos valores con *, resultará según (235) rt'
ry* - ---=y^
^y,z y.z
y 'v
(237)
es decir, el aerdadero valor (q) de las ordenadas de la línea de influencia. se obtiene también utilizando los coeficientes de deformación reducidos 1, y y, o sea 9r y 9¡, obtenidos del cálculo
2.
Determinación de la elástica partiendo de los ángulos de rotación de los nudos e y los desplazamientos de los nudos 8 La forma de la elástica de una viga de pórtico (1-2) está determinada, cuando se conocen los desplazamientos de los extremos de barra E1 y 8e y los ángulos de las tangentes extremas rt y :2, donde según (4)
n:pt**i
t2:v2*{.
(238
)
GIF
G+ Fig.
É É
0i
186 a
I'igs.
185 a, b
y c,
tr'isi. r85 b. Fig. 186 c. Lí¡ea de inlluencis de .ilf, considerada como elástica par¿ 7= I en I¿ sección de
Ia articulación.
: (figs' tr85 a, b, c). La elástica de este estado de carga, es entonces la línea de influencia del momento br¡scada, en la sección de la aiticulación. Et.r].supuesto dc la validez de ra ley de proporcionalidad, ahora es claro, -influácia que- también pnede obtenerse Ia línea de del momento cuanto.en la sección de ia articulación actúan dos pares de la_magnitud M:1. il gr;;;t se produce -entonces una rotación de ias dos seccione"s de la articulaciónj d" ,,i ángulo y S 1' En este caso la correspondiente elástica representa la línea dc influencia de M" reducida r veces. -I,ulqo ra escala a. ..¿*.i* está dada por el valor del ángulo y, 9ue siempre deberá determina¡se t,r-éril"*.nte. Las verdaderas ordenadas de la línea áe influencia se deducirán de '{
1-.
Eil
(285)
FI
7|F
ü+ .FI a¡F
rÉ
*
;F
rÉ
Fic.
186, Elástic¿ de un¿
bura del pórtio.
Fig. 187, Signos de la línea de influencia.
como se deduce de la figura 186, las ordenadas de la línea de influcncia y se componen de dos segmentos lt e lz. Luego, para una sección cuatgTg.? de la barra y siempre que y se considere normai al eje de la posici6rr inicial de la barra, se tendrá: y: yt * y¿. (239) En ésta, y1 es el segmento de ordenada debido a la deformación de la barra. g }b, el . segmento de ordenada debido al desplazamiento de ios extremos de la
bana. Ambos valores pueden determinarse separadamente. Conaención de sígnos: Para una barra ñor'izontal, la curvatura es ltosititta cuando está dirigida hacia abajo, y para una barra airtical o inclinada. cuando la curvatura está hacia la de¡echa (fig. 187). De acuerdo con esto el despla-
9'f
Líneas de lnfluencia de r!/ como elásticas de una estructura (r¡
-
1)
veces hiperestática
Líneas de influencia de
Fig.
aquéllos pueden determinarse mediante los valores
l8B.
@
188 a
bólicas. El racior:inio es el sinriente: *ti"t': l]- :::'^*r" :'-'L _'19"i',"-t-''
La elástica de una barra con los ángulos de las tangentes ext¡¡emas 11 y dador "2 (fig. 188), puede obtenerse por superposici
de dos elásticas, haciendo. en cada una de ellas : 1t 0 y tz: 0 respectivamentc (fig. 188 a, b). tr'ic8. rs8, 189 a, b. Deteninuión de tr Luego, si para cualquier barra Con cartelas elástie de un¡ b¡¡r¿' m€di¿nte ¡6 órgu- rectas o pirabólicas t* u",fl,*;X'JH#lT,:]""$,: ", u" para delenninados iebe hallarse la el:istica vaiores de z1 y 22, se podriir utilizar las líneas de influencia dL los *á-.r,1?* dg-"Tpotramiento ^Dl de la viga rigidamente cmpotrada, dadas en las tablas 13- 16 ó 13a-16a. Pues estas üñeas de influencia son elásticas, cuando Fig. rssb
O\¡
zr-1 y r¿: 0 o bien rr:0
y r¿:1.
También en este caso es válida la ley de proporcionalidad y por consiguiente pod.ráp utilizarse- aquí estas líneas cuand. ; + I y ,r: 0 o' bien ,1": ¡ y sólo deberán reducirse en forma .orr"rporrdi.nte las ordenadás r¡ dá "r*7. Ias líneas de influencia de por ejemplo, ie obtiene la elástica op..r.n-!Il. Así i1 tada en la_.figura-188a, reduciendo vecés h tínea de influencia de,llllr iam l^ correspondiente forma de ba¡ra. De Ia misma manera se obtendrá li línca de influencia.rep.resentada en la figura 188 b, reduciendo r¿ vec€s la correspondiente línea de infl¡.rencia de IIl". -Superponiendo ambas líieas, se obtienei las ordenadas de la línea de influencia yi. Sólo deberá tenerse en cuenta, que las Iíneas de influencia de fi han sido construídas para / : 1, debiéndore Áliipli,ru, sus ordenadas por la verdadera longitud / de lá barra. sé tendrá entoncc.s:
: (lr
(240) - rp. z2) /. - El procedimiento aquí indicado para la determinación de las elásticas partiendo d: l-"r ángulos las tangentes extremas y sobre todo, mediante la ápli-de cación de las líneas de influencia de I)l para lás diferentes formas de barras, que figuran en la parte tercera de este texto, se facilita notablemente la consYr
' t1
tn-¡cción de las iíneas de influencia de los momentos de las estructuras aporticadas
{vm ejemplo numérico 21 ). La deducción de yz,.se efectúa partiendo de relaciones geométricas y sólo depende de los desplazamientos 61 y E, d. los dos extremos áe barra, tomados no¡malmente a la posición inicial de ésta. Según la figura 186 se tendrá:
i¡-tl.x, 1,, : Si los
-i-
E:
ó
,r:
L- !:_.r *
de los extremos no se produjeran, Entonces la (239) tomará Ia forma desplazemientos
1 Ver B¿y¡n (nota pág. 54)
Bd. 1. Berlin ru
1930.
! - )r' y Dourr,:
se
6¡.
(241)
tendría lr :
g.
(239 a) Handbuch
fuer Eisenbetonbau, 4,. Aufl.,
secciones de
un tramo convención de signos de ras líneas de infruencia y de ros momenr,r Partiendo O" t" l3s Raqe¡ qre actúan en ta articular.ión y yl, llryl:.ir.l^::" ducen la línea de infrurncia, tienen er ré"tiao'¡r,¿r.;;"'ili;ir,.u, rg9 y fttlr verticale, ,.,p".ti,,amente, se estailecc ru ,ig,i,.,,r iffi.l;:T'o:',?ff;Jlt"s v
3'
zamiento del nudo es positivo cuando sc prduce desde arriba hacia abajo o desde Ia izquierda hacia la derecha. _ _ Los valores y1 sólo dependen de la deformación de la barra, es decir dc Ios ángulos de las tangentes extremas rr y t2. Pa.ra barras de sección constante, Fis.
:!l en
fl-t tt-l
eÉ Ol". ;+ fñ
Fis.
prc M : L en,, .,lii;,liLl. ' La línea de influencia es positiua para una barra hori¿on úal, r.ua'
t+
Fic.
IFF
tt+ ;¡?
*+ ;+ É
F É
;{F É
G f+ ;+ É ú
18e
a. Senrido de ros
1
F.? fl f4 lÉ fÉ
t+
189.
Fiss. r8e y
'TF IFIF
eÉ
lJ-t
190.
Fic.
1gl
Figs. 190 y l9l. Signor de la eláetice y de lss moment06,
Ias barras horizontares acJúan dc arriba dc izquierda a derecha. E;-;^;.""ir*" hacia abajo, ) dc ias barras vt.rtir.;rlr.r, los signos también cambian. 3 ' En banas horizontares los momentos positivos pr.ducen tracción fibra inferior .rr r;¡
v compresión, en l; ü';;;;r,-y en las bárras z:ertical¿¡, t..r
ü ;:i;;.J.,1"r1, 1,2, para los pares exrre*.s barra, pero es más ventajosa |
pu.u-iu upf.^.iJr, ;;;;": 4. Líneas de infuenei a de M en seeciones de un tramo Según la figura r92, el momento en la sección momentos flectores extremos "r de una barra 1_g r.r,r¡ U, y jlr,"ri,
o
M,:ttt {+M,'+*}6ur,t
(242\
bicn
(2,13)
donde rl40t'
r' el momento debido a una carga exterior. en la
sección
.r rrr. I¡r
96
Líneas de influencia de .lly' como elásticas de una estructura
I
é
fÉ
veces hiperestática
bama supuestq simplemente apoyada. Si sobre Ia bana no actuara carga alguna, las fórmulas anteriores se simplificarían:
M,:Mt'i+*r'í e,
o
(242 a)
bien
M,:
Mt
*
(M"
- M) '+.
(243 a)
Con estas fórmulas pueden hallarse las ordenadas de las líneas de influencia de Ios momentos en las secciones del tramo, en función de las ordenadas de las líncas de influencia de los momentos en los apoyos ve-
eA é É
a*
oñ fá F
F
Figf- 192. Det¿ruinsción del
G+ J; f-
me
el trsmo ür, de una b¡rrs del ¡6rüco.
mento €n
FiB. 193. De¡rcllo de l¡ línee de influencia de M..
cinos. Es conveniente efectuar el cálculo numérico por tabulación. Este consistc en la aplicación de la fórmula (24,2), en la cual deben sumarse las ordenadas dc la línea de influencia de M1y M2, reducidas en ,? respectivamente. Cuando se aplica
la fórmula (243),
f
debe efectuarse previamente
la
diferencia de
las
la línea de influencia (Mz- M), y multiplicarla luego po. +. Las fórmulas generales (2+2) 6 (243) sólo son aplicables a la determinación de las ordenadas en el tramo donde se efectúa Ia sección, pues la carga móvil da el valor de Ms. Las ordenadas de los demás tramos puedén calcularse con las fórmulas (242a) 6 (2/+3 a). Este procedimiento ha sido indicado en la figura 193, donde se ha desarrollado Ia línea de influencia de M, de una viga continua. IN. DSTERMINACION DE LAS LINEAS DE INFLUENCIA DE M COMO ELASTICAS DE UNA ESTRUCTURA n VECES ordenadas de
HIPERESTATICA Nota preuia La diferencia esencial entre el procedimiento expuesto anteriormente y el que se pzrsará a explicar consiste en que la estructura dada no se deforma, cs decir, que Ia indeterminación estática no disminuye 1. Por consiguiente se obticnc una apreciable ventaja, pues la matnz de los coeficientes sólo deberá planteanc una ilez y la resolución de todos los casos de cargas ficticias podrá encararst. sírnultáneamente. Además existe la posibilidad de resolver simuftáneamcnte cor) la misma rnatriz dc los coeficientes cualquier número de estados de carga uerdaderos, asi por ejemplo, una carga permanente, carga uniformemente distribuída, peso propio. etc. l Ver L. Maxs: Theorie de¡ Rahmenwerke. Berlin, betonbau. Berlin, 1933.
a=-
19f27.
-
BEyrn: Statik im
Eiscn-
l.
97
Fundamentos del método
Según la (125) el par extremo M^,o de una bana de pórtico m-n, cot-l secciones variables, el:
fÉ
?4 G4
'r,1,-u,f-nrf-yy
Fundamentos del método
É
J* f*
Fr É
cr
c+
tÉ
(244) Esta expresión da el par extremo de bana M^,n en función de ambos ángulos ¡'otación de los nudos-pny pnlder ánguro-Je rot'ación ¿" l" ur.á'pu y de las
M¡xwp¡-'
sobre los
realizable mediante ia aplicación d. d.spra"amieni"r'*l^lr*. según éstc, la ríneadeldeteorem¿r infrucnr.i¿r
del ángulo de rotación aá
r-,;rl;;;." con ra erástica debida a un mo¡r)(:r¡t() ".ra" m. Dei *irÁá;;;;-;" obtiene r^ rí;;;;.'infruencia d. ry'" idéntica a la elástica. cuando sobre la bunu , actúa como carga cl par AI = l. Para el presente .uro neccsaria ra sunta .igru,ri;"ir;;r';"rd;:;"s de infru.ncia, ". afectadas por los o. ,o, coeficientes de deformacirin. "o.fi.i..,i"r-;';,";;,"-r:,", Por consiguiente, conviene más ¿.t".rrrirru. previamente la rínea de infrur.¡r<.i;r para esta suma M:1en
el nudo
M^,n :
Ji
f
l} t
ll
O , ,
J
anr,n
Pa t b, pn *
cn,n
(245)
{,
Esto se consigue con facilidad, haciendo actuar simultáneamente sobre el pórtic. dado las siguientes cargas y aár.Ái"""lJ-pur" éstas ra rínea de infruencia:
1. en el nudo m el momento M^ : err,n .7 : crnt,nt 2. en el nudo z el momento Mn:bu .7-br, (24ft) 3. en la barca v el momento M, : c^,n.!: cm,n. El momento Mv : ca,¡ que debe actuar sobre ra barra v, está represe'tad. Por un par con un brazo de palanca y cuyas f";.; ig;"r' y d" sentido contrario' actúan en ambos -/u extremos de
la úarra y que contiene la
sección
p: !ryt.= -Cm,, lv
G+ * *
ck.
cargas t.xteriores. .n g.r.rJ tr"y .iui.o-r..-a',dor. -ii']""* determinar l"sibie sln mayores ly:go, dificultades las líneas ie influencia de estos cuarro o'álo..r, se obten¿r.í:r entonces un método aplicable para.el cálculo de la, ü;;;; a. i'li.,.r,.ias d.e M. Esta exigencia es efectivamente
kffix*r
fi:l,J;T:
(247
ficticia cuando en lugar de Ia incósnita g, figura
)
cl
Si los momentos a^,n
y bv actuaran en los nudos en el sentido de las agu.ias entonces ra *1.:.]:jl de :l signos de los coefici*r., convención J.'a.formación ,"* de Ios pares extremos^de barra, *.i" l""."""ciada en la sección p. p.u.,
primera,
."..i.,."tiao ;;;;,;;, I,
En Ia figura-194 se indican las ..cargas @l-,, *l@ ficticias,, I @É,' su R-do,n p"r" lu á.,"*.r;',il.j¿r-';;1^ t -4tr e-'Enn ' --4D ;entido.., ?:.-T"l^^.,_L rínea de iniruencia
r*
a, ní1.'-c;; ."árto
:;;."il;1ff:.x.¡j: -
1
ricricia., "r';"ilJ;i. influencia Fig. rg¡. ..carga j;lfi?;.:";l inl'.,,.iu;¿io.l¡::#'i:'ij,11,i'i;,i'"i;r9ll.,i gitud de la barra .., lu crul-;; influencia de M.,". a investigar, pues ra misma -il l;ll"l" sección u ñ;;fi."d" .o' ia línea de influcncia
d: ::tof: T-r.
"l Esta rínea ¿.. "t"y1il1T,
É 9¡¡
Líneas de influencia de
M
ra
como elásticas de una estructura ¿ veces hiperestática
en los dos extremos, Sumando las líneas de influencia de finalmente la línea de influencia de M,an buscada.
2.
Ñ-,^ y M-,n,
se obtienc
Casos especiales
También podrán aplicarse las fó¡mulas y ecuaciones de la sección primera si el pórtico a investigar tuüera barras cuyas secciones diferirían de un tramo
a otro, pero fueran constantes en el mismo tramo. Para una barra entre los nudos m,n, según la (7) la expresión para los pares extremos es: Mn,,: k(9v* * p" * 3,1'o) +Wt*," : 2 k qn * h v, + 3 k,l'" + $t-,".
@
Para este caso especial la cxpresión fk. f95. "Cars. fiet¡c¡¡" p¿ta uD l)értico riD cart€I8s.
Ñ^,n
:
2 k pn
*
/r
(348)
(245) toma la forma
p. + 3 k4,,.
(2+e)
Luego, la carga f"^ticia pata la deter¡ninación de la línea de influencia de M,,,n [comparar {2.{6) ], será:
Mn--2k'Mn:k; El
momento
parar (2aZ)l
Mn:
3
t
v
@
p-frr
L_ t, otl
(-\
a ¿ñsññscffi
lu
o@@@Fis.
(7') @
cl
par
p:#:t
I
ccrr-
(e51)
con un brazo de palanca
/u.
Para este caso especial,
sc
ha representado en la figura 195 la carga ficti@ cia para la determinación
-l
Fiz.
19^-
t'
@
@
'@ Fig.
(250)
puede ser reemplazado en este caso por
({, @ rn@
r
Mn:3k.
197.
(5)
198.
de la línea de influencia dc
M*,n. Debido a la aplicación
de la "carga ficticia" pueden obteners e sím Piif ic ac io'
nes de muchos casos. Por ejemplo, si la barra considerada estuviera rígida-
mente empotrada en el nudo ¡¿ o n, entonces los respectivos ángulos de rotación de los nudos 9n y 9, se anularían para cualquier estado de carga. La "carga ficticia" que actúa en el extremo rígidamente empotrado de la barra no produce deformación alguna del entramado y por ello no se la considerará. Tampoco se tendrá en cuenta la "carga ficticia" debida al par, cuando para la barra ,¡' : g. En los pórticos de las figuras 196, 197 y 198, han sido indicadas las "cargas ficticias" para la determinación de la línea de influencia de M en la sección. figJ
196
e tg8. "'C¿rga fielimi¡" para la deternin¡cíón de Ia línea de inlluencia de M-
3. Desarrollo del crilculo En este método se divide previamente el par extremo M^,, en dos compoM^., lu", (245)l y ll)t,,.n. que pueden determinarse en form¡ inCependiente.
nentes H'
ffIta
r-
lf-
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FF
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FT Fp FF
t+ tÉ
r+
;t |tt lñ frÉ fÉ
rFÉl
¡rñ Fff rF¡I flÉ Arfl
eÉ aÉ aÉ
(-f
99
Notas finale¡
La expresión (244) también puede
escribirse:
M*,n: M-,n *'Nt*,n
(252)
rl*^,n: Y * f-,n,
(253)
la línea de influencia de M*,o e lem,n las ordenadag de Ia línea de influencia de III-,".
Como ya se ha recalcado anteriornente, la línea de influencia de Ül-,' el tramo que contiene la sección que se investiga. Fuera de este tramo yo*,n: 0, luego la (253)
sólo abarca será
\x^,n: !'
(254)
En la figura 199 está representada la aplicación de las fórmulas (253) y QSa) a un pórtico
de varios tramos indesplazable debido al apoyo ficticio. En él tenemos:
@v F.ig. 199,
Ds¡rnllo de l¿ línea dp influenci¡ de
/117,
¡'
1. la línea de influencia de frt3 (línea llena) ; 2. la linea de influencia de flllr,e (línea cortada) ; 3. la línea de influencia de M¡,a en el tramo 7'8, como suPerPosiciír¡r de las Iíneas de influencia de lllz,e y Mr,r, según (253) (línea de Punto y raya) ' La línea de punto y raya en el tramo 7-8, unida fuera del tramo a la línca M1,s, representa la línea de influencia de Mz,a buscada (ver ejemplo numérico 21 ), Sobre la resolución numérica pueden agregarse varios conceptos. La "carga ficticia" se compone según la (246) de Ios coeficientes a, b, ¿ que aparecen ett fotma de constantes de barra en el cálculo del pórtico. Como ya ha sido establccido en la sección segunda, IV, 3, para el planteo de las ecuaciones del pórti<'o, por razones de conveniencia, no se utilizan los valores aerdaderos de los cocficientes de rigidez a, b, c, sino los correspondientes valores reducidos. Si cstos valores reducidos se utilizaran como "carga ficticia" para la dete.rrninación de la línea de influencia deM-,n, los valores de los coeficientes de deformación 9,,y'. A, 8, y, etc., calculados con ella, apatecerian entonces, en su valor z,erdadero. I)" t'sla manera puede determinarse sin dificultad la elástica, que r'epresenta simultánca-
mente la línea de influenci a de ñ^,n. Para la deterrninación de la línea de influencia de 'llll.., de barras t'<¡¡r cartelas rectas o parabólicas, se dispone de tablas numéricas (13-16), qur dlut
las ordenadas de las líneas de influencia para doce puntos ; y nomogranas (13a-16a), que dan las ordenadas de las líneas de influencia pata diez puntos.
En cada una de estas tablas también han sido consideradas las líneas de influencia para una bana sín cartelas (n : l) . Ademas separadamente la tabla 4 contienc las líneas de influencia de fllt para barras de sección constante.
4. Notas
finales
Además, teniendo en cuenta la convención de signos adoptada de la primcr;r sección. l. 2. para la utilización de las tablas de las líneas de influencia dt lDl. 13a-16a de la pa¡te tercera, deberá considerarse lo siguiente. Para ahorrar' cspacio y sin considerar los signos, en aquéllas han sido llevadas hacia arriba lzts Iíneas de influencia de {Ilr v de flItz. Considerando los signos. por ser negativas deberían sólo llevarse hacia arriba las líneas de influencia de 'IItr: en cambio,
100'
Líneas de influencia dc
ü
como elásticas de una estructura r¿ veces
hiperertática
por ser positivas las líneas de influencia de '!llt2, debería llevarse hacia abajo (fig- 200). f,,s¡¿ gl¡srrnctancia debe tenerse en cuenta, al super¡rcnerse la line¡r de Ma, con la de !llti,". La figura 201 a nos indica, como deben dibujarr y superponerse de acr¡edo con los signos, Ias línea¡ dc influencia de Ms,t y llll¡,r de un pórtico de dos tramos, inderplazable debido al vínculo ficticio. La línea de influencir definitioa de Ms,a, ha sido dibujada entre los puntos 4 y 6 de la figura 201 b. Como resulta de la observación dc l¡ figurz %)2 a,b, la línea de influencia de Ms,e tiene unt fonrra semejante, pero es de signo negativo. Si se deseara mantener la convención de signos de lrrr par€s extremos, las líneas de inflr¡encia debería dibujane de la manera indicade. Al comparar las líneas de influencia de M5,a y Ms,a en las figuras 20t b y 202b, llama la atención el aspecto poco común de la línea de influencia dc M6¡, pues según la convención de signos anterior, ella es positiua y dibujada hacir abajo. En las revistas técnicas, las líneas de influencia de los momentos en lo'r aPoyos son frecuenteFente negativas y llevadas hacia arriba; como ya se him en el procedimiento para la dete¡rninación de la linea de influencia, anteriormcntc comentada. Para consen¡ar la uniforrnidad, se recomienda representar en la forma
¡¡ :
T
;
t O t
ü ñ
tt
It
t t
Determinación de las líneas de influencia de los esfuerzos de
En la "carga ficticia" de la viga no aparece el par de fucrz-as segtn (277). la rotación de la barra (/: (¡¡. Para el planteo de la matiz de los coeficientes 17, pueden utilizarse las ecuaciones nudales (t77) y las ecuaciones de desplazamiento (180). Las incírg' nitas son los tres ángulos de rotación de los nu.dos g4, 6o. ¡. o5,. @oil bs o.¡ @ 9s, 9o y el desplazamiento relativo A de las columnas. F Tl-¡ L! ¡- r-, ,Íl ld --ct lo Los términos de carga en los nudos s", es!án dados por I'g -ál la "carga ficticia" que actúa en éstos. Todos sus .a signos son negatiuos pues los pares, que actúan corno cargas exteriores en los nudos, giran en el sentido de @ ias agujas del reioj. En total deben estudiarse cuatro Fis. 203. Esquema de krs coeficientes. estados de carga, Bt a Bw representados en las figuras 204 a-d, que pueden tabularse conjuntamente en und ntatriz
r\b.
-
@
W"rFj'"yffi '/////
ó
I'is.
201 a-
9t
*
Fic.202r.
r4¡ @
@
Fis' 2or b" gyb- Líne de influe¡ci¡
@@@ Fig'
202 b.
!'fus.208¡yb. Llna de i¡flue¡ci¡ de ü¡'o' t51. indicada las líneas de influencia tabuladas. nsto se consigue cambiando el signo de la línea de influencia de M, en el ir¡stante de dibujarla Para una sección a la izquierda del nudo, como ya ha sido indicado con la linea cortada en figura ?01]j \í proceder de está orurr.r", es válida la convención de signos dada en la página 95 puá.1 trazado de las líneas de influencia (ver ejemplo numérico 21 )' 5. Ejemplo: Líneas de iaftuenci¿ de un pórtico de dos tramoe La estructura con el esquema de los coeficientes está re-presentado en la figura 203. Simultáneamente deberán hallarse las líneas de influencia de M en sei."ior"s situadas en los cr:atm extremos de las vigas. Para cada una de las líneas de influencia deÑ,la "carga ficticia" consta en este caso, según la (946), de los Figs,
201
de
siguientes términos:
Y ba{ ver fig. 2O4 a) estado ,, bl ,, ,, 204,b) ,, A!'u' as,6 ,, b¡ !. ,! 20,1 c) ,) Mas: Qa,s ,, b¡ ,, ,, 204,d) ),
Para M-0,r. ,t )t
Mz,tt
a5
a¡,+
de cargas B¡, ,) ,> 8,,, ,, ,, Brr, , ,, Brr.
;
tl
'|] ü
,?
t? '|?
;? ;F
;r ;r a T
r.is.
201 b
Fige.
204
Fief- 20¿
c.
Fis.
2()4 d
a baet¿ d. "Cargas ficticias"
Matriz de los coelicientcs 17
dr
tr tlr dr lr
101
pues en las vigas no se produce
ñ
@
corte
9t
9t
A
Bt
B¡l
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ü.
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-ol.¡
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8m i -á'.. -b!
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*o..
u
D
¡
IJna vez resuelto para los cuatro estados de carga cl sistcma de ecuaciol¡r's, y efectuada la determinación separada de los coeficientes cle defo¡rnacirin, ¡,ru, tl,' procederse a la determinación de las elásticas o bien dr ,q las]íneasdeinfluencia.deacuerdclconloindicado en III, 3, de esta ser:ción (ver ejrmplo numérico 21 ).
IY.
DETERMINACION DE LAS LINEAS DEU"¡ TNFLUENCIA DE LOS ESFUERZOS @
DE
Ei
CORTE
esfuerzc¡ de cortc en
la
sección
¡ de una barra
L*-
dc pórtico, situada entre los nudos nr-n. sc obtiene se- @ grin la figura 205. teniendo además en cuenta la convención de signos dada en III. 3, de esta sección.
Q, : Q.i'
it ':'n:'' - M*,n ,
/r
(
255)
Mu,"
(n)
t"
lqi i .'x ith" +'
(D
i
--
Fif..20á. I)iagramae dr.'lo¡ n¡r, menlos lloctores y de !'¡ n, fue¡zos de corte de una L¡t¡rr de pítrticos.
En general ha sido convenido. de que los esfuerzos de cortc positivos son llr''u';rtl,,, hac:ia arriba. a la izquierda de la seóción v hacia abajo, a ia dérecha de ést¿r.. (!(' ,.s
el esfuerzo de <'orte en la sección.r. de una barra simpiemerrte apovada. Ctll,'. ciendo. en un pórtico cualquiera. las líneas de influencia de los nromentos ('xtr,-
702
e ta
Determinación de las líneas de influencia de los esfuerzos de corte
Mm,¡ y Mr,* de una barca m-n, podrá procederse a la determinación de la línea de influencia de Qo según la (255). Para facilitar la representación gráfica mos
del problema, se rrecomienda la aplicación de la siguiente forma de ecuación (255), que da directamente las
%: o
+lero I, + (Ir^.^
-
M*,^)]
-
(256 a)
En ella significan:
4r=Oro.lv.'. ---.
\l=Mn,^-Mrr.,,
/,,
....
@i-fig.
las o:denadas de la línea de influencia de Q"o, aumentadas en lr,, que .rólo aba¡ca el tramo que contienc la sección a investigar, la diferencia de ordenadas de las líneas de influencia de los r¡romcntos extramos de barra, adyacentes, la longitud de la barra que contiene la sección a investigar.
Si, en cambio se deseara la deternrinación de las líneas de influencia dc Q rnediante cálculos y tabulación, se a¡rlio caría ventajosamente la ecuación (255) Esto ha sido representado para una viga de tres tramos en las figuras 206 a, b, < La figura 206 a representa las líneas d<' influencia de Mao y Mn,*, cuyas difr'rencias han sido rayadas para llamar mris la atención. La figura 206 b muestra l¿r diferencia de las líneas de influencia dc lV,
ry 2O6 ¿.
.
(In"-Mr.n)*
reducidas ut:
l¡ir'.
2t|6
206 b
Fis. Z0€ e. a hut¿ c. frearrcllo de l¡ üac influercia de Q,.
de
1
.n fi', y
referidas
a Ia
hori-
zontal. Simultáneamente ha sido llevada a la misma figura la línea de influtncia de Q¡o en el tramo m-¿. Finalrnt'¡rtr' la figura 206 c muestra la línea de influencia d. Q" definitiva, que se obticnc por la superposición de ambas líneas rt'presentadas en la figura 206 b. En este lugar queda todavía al¡1t' por decir sobre la determinación dc las li-
neas de influencia de los esfuerzos norrnales y de las rt:ar
-
ciones de aínculo. Siendo los esfue¡zos norma,les y l:rs CI reaccion€s de vínculo funciones de los esfuerzos de corlr', las correspondientes líneas de influencia resultarán dc ln superpcsición de las líneas de influencia de los esfuerzos de corte. Así, por ejemplo, teniendo en cuenta los signos. (9 se obtiene el esfuerzo normal en la columna (2-5) tl'l @ t¿iy. z,7. niasr&ma de i€s es- pórtico representado en la figura 207: f ¡¡r-.rzr¡s rle corte de un¿ viga a i _ ^ JY2,5 del pórtico. - V,f,A - Vs,q, Sólo cn casos muy contados, se dibujarán las líneas de influencia de los esfu,'rzt¡s ttttrmalcs, pues en general, debido a lás relaciones sencillas entre los esfuerzos tlc r orlt'. ser:i suficiente hallar las correspondientes líneas de influencia de los csfu('r'zos rlc corlt', para poder determinar los valores buscados de los esfuerzos norr¡talcs.
'.-,-.-
ta
Ca
(256)
U: |:(n, * q,)'
ea
ca Ca
ea ea
C -
sa ea
ta
ea G. G.
J. C. G. G. Ja
Ga
ta
ca Ja
Ca
ea
ca Ga ca e. G. Ca
,03
Variación uniforme de temperatura
Sa,cc¡óN Cu¡nre
INFLUENCIA DE LAS VARIACIONES DE TEMPERATUITA EN ESTITUCTURAS APORTICADAS ESTATICAMENT]i INDETERI\,{INADAS En'esta sección se investigará la influencia de las variaciones de temperatura' que actúan, ya sea sobre toda Ia estructura o sólo sobre partes de eila. Se partirá de la hipótesis, qrre la variación de temperatura se distribuírá unif ormemente en todali las secciont's tl,' la misma barra. Et I. r, le* el capítulo IV dc csta sección, se estu- f+.tt diará el aunrcnto t' la disminución no E 222' unif orme pcro lineal de la temperutura* Fic. 208. en una sec<'ió¡r dt' la barre.
L ESTRITCTURAS APORTICA. DAS EN LAS CIIALES DEBIDO A VARIACIONES UNIFORMES
DE TEMPERATURA, NO SE
PRODUCEN VARIACIONES DE TENSIONES
_tu_l
I I
También en estructuras hiperestáticas, una variación de temperatura puede no tenrr influencia sobre la distribución de la tensión. Esto tiene lugar, cuando debido a Ia variación de tempcratura. las barras de la estructura sólo sr desplazan. sin que en ninguna sección de ella se produzca
I I
-L J. ?>>y,
Fis.
209
Fis- 2lu
I,+ ll2+
l¡+¡,.
una rtsistencia a esta deformación. Por consiguiente, las barras no se deforman y no aparecen rnoricntos flectores. Fis.211. I-as figuras 208 a 211 represene 911. Estructllras que no ofree rsistenci¡ tan algunos pirrticos que perrna¡recen Figs.208 ¿ una variación unifo¡me de la tenpe¡atura. sin tensión. <'uando se produce una variación unilolme dc tcrnperatura. La transfor¡nación del sistema. d¡:hiCo a l:r vari¿ción uniforrnc dc tcmperatura, está indicada con la línea cortada.
II. ESI'RUCTURAS APORTICADAS, EN LAS CUALES LOS DESPLAZAMIENTOS DE LOS NUDOS, PRODUCIDOS POR I,A VARIACION DE TEMPERATURA, SON DETERMINABLES CTON RELACIONES GEOMETRICAS 1. Observaciones previas En los ¡rirrafos sisuientes queda establecido. que cada una dc las t¡itrr:t' de la estructura ticne secciones variables (cartelas) y que también. ias r-ariacio¡rrs de tcmpt'ratur;r ¡rucdcn diferir entre las barras. En las ('stru('turas aporticadas que se analizarán a continuación. los dcs1,l;,zamicntos dr: los nudos podrán ser determinados inmediataülente. partiendo cll l;r variación de loneitud v mcdiante la aplic.ación de relaciones geométricas. Po¡ t <¡nsiguiente, los írngulos de rotación de la barra r/ están va dados v sólo clcbcran
lO4
Despla¿amientos de los nudoÉ, determinables con relaciones geométricaE
st:r calculados los ángulos de rotacién de los nudos s. Las figuras 218 y zl\) rrruestran las estructuras, para las cuales sólo deben ser planteadas las ecuacirr
¡rcs
de nudo ) M :0.
Partiendo de las variaciones de longitud de las barras, en muchas estru('trrras aporticadas pueden ser deter¡ninados inmediatamente los desplazamientor
ir€ {;-+ l"
I
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effÉ rJt ff, fla
fÉ f-
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CIoI'ic.
Fis.
fÉ
o
CI 215,
216.
l¡ls¡" 212 ¡ 216. Pó¡tircs simétricos, en ]oe eulm los deplazanients de ¡G nude pueden determlnñr¡o gsmEtrieamentq cuaBdo
la varircién de
18
tmperatun e uaifome,
rtlativos de los nudos o bien los ángulos de rotación de las barras ry', t'uanclo l;r v¡riación de temperatura es igua! en barras simétricas. Ejemplos de lo antr.ri¡rr rrrrnstituycn los pórticor de las figuras 212 a 216, tn ios cuales tanibión est;ir¡ inclicados los desplazamientos de los nudos a producirse debido a un aurrc¡¡l() unilorme de ia temperatura.
2.
Eeuaciones nudales
Dc una estructura aporticada d.escargada y expuesta a una variación rlt. t('rnpcratura se supone separado un nudo (n). sentada la hipótesis, que tod:rr l;ts l¡arras que concur"€n al nudo (a) tienen diferentes ángulos de rotación de I¡r.¡ blrras y'r, los pares extremos según (125) seÉn: Ma¡ : aqJ gn * á',1 v1 * e ol *o,t M.,z * úq,e 9n { bnp v2 * cn,2 tftn,2 Mn,¿ : an,i 9n * bo,¿ 9¿ * co,¡ t!r,¡, Ptrr tanto, en este caso la condición 0 será:
2iiiiM.,t :
7*",t:
9*
X
an,¡
-f
2bo,¿ e¡
* 2
cn,¡
{n,¡
(257
:
A,
(95|i
I\'ro por hipótesis, se conocen aquí los ángulos de rotación de la barra
,'ttyos valores numéricos pueden ser introducidos
)
t
/,.
en las ecuaciones preccdcnlcs,
Ecuaciones
;a ;. tÉ
fÉ sro
fra tÉ
fÉ rFa :) É
105
nudales
!ér'¡nino por ello, el tercer término de la ecuaciin (257) toma el significado de un IlÍ' con sucesivo io en ;;' ,;;;; | ,.ta designado extremos cic una En ei caso que nos ocupa, ia*s expresiones de los pares barra v, entre los nudos rn Y ??, son:
Mrr,n: ü.a,vo$n * Mn,rrr: ü.n,pgn *
bu
bv
so * fft'*,* 9^ + strir'r,r,
(25s)
donde
tÉ
F
O Fi8:. 2f¡.
213.
e r-
b,
St',u,n
: cu,.n*,' +
'Au
W
:
' lr : l' '' -\' '
r,,rn
cr.n,
'¡
-
Vn'l
(96{l)
Los "términos de carga debidos a la temDeratura" ff¡7.-.**J****{¿lD Iltt*,n y St',,r, no representan otra cosar que ios pares extremos de una barra rígidamente e:nPotrada 'en' - 0 -l-- --lT *¿*4' a* sn:0), que gira de un ánguio rN o sca- cuyos rxtrrmos fl ""*f sieLos (fig-r 217)' ' uf5P¡é4r¡rrL¡r." ulr i"up"t**miento ..rfr.r, sL¡l¡tll ,r., - .\-"d ,--- ' 1""-l'" Á(T--r ""ütiuo'A ¿.'fu''-de signos i;;-;s;o, A cletenninan cletennt;; ios ncx de ii, ó a 'SItr' ,,*{ffi::, "*r--mlTr;rffiT':#=ff-i1--i-d En barras sirnétricas con rcspecto al cje mcclit C-:i"{--TruIJil}" H : üt'.,-. éstas, 6,,,,, : cnn> irr"g.*btl',,, :i:1,- r1.rn;ñ.*riee,rqn ro, valores dedu*''.#iJ'J#;:1,til;"-^ .."'.tu"' 1eiá¡ \-*-/ --tli'' v fli; :
'"*"'*Jo;il;;.
cidos
'
anteriormerite
: 2 ao.¡, Cel térrnino de carga en el nudo . ' do :4c',¡'!n,¡, deltérminodecargaenelnudo snt:;*',,, la etuación nudcl tendrá ]a misrna forma externa com. rn estnicturas con nudos indesplazal:tres tcorrrparar ( 1 63 ) I : d,, qn
* X &',¿ 9t 1- s,r :
(¡
''
(961 )
i?[.il) apa¡1ica'das
{
263)
i r'n ]as Obseruati.ó|t: Efectuando la resol¡.rción cie Ia est¡t¡ctur¡, aporticad;rrx'irernos pa!"es los ecuacicnes de la sección primera,, las expresiones (959) de dr tcm¡:crntura de acuercio con {7) v luu hipóteuis adoptadas para ias var:iaciones tomarán la forma:
M*,n : 2 k q,n 1- k s^ + frtt *.,n Mn.* : 2 k v* * k a* + Slt',,,,
(259 a)
aJT
valorcs: donde los "términos de carga debidos a ia temperatura" toman lc's siguientes
:)
l-a ecuación nutlal en este casü será lcolrlparar (18)
tÉ rd
Sltr,,n
:
do +n
Strn.t,
* )
:
?,L
3
&n., wr
= A J'
k'lt' = #j' ' il
1260 ;r I
i
{263 a)
F É
geométricas Desplazamientos de los nudos, determinables con rclaciones
106
¡a
3.Cálculonuméricodelos..términoedecargadebidos a la temPeratura" de los térnri¡¡r¡¡ Para lograr sencilla y claramente la determinación numérica
.
É
F
rr F'
previamente Para las diversas magnituder' conJención' de signos adecuada. Se designará t't'¡¡ ' notaciones precisas y la variación de longitud "real" de la barra v; trv . . . el "desplazamiento relativo", normal al eje de la pieza' dt: lor Av . . . extremos de la barra v;
a" .ur[. fr?-, st, aeürá"-;Jó;;;e -;;
ú"
: * Lv
..
T ñ
ángulo dc rotación de la barra producido por el desplazarrricrtlo relativo A".
..
Conaencíón
de
O
signos:
para dilatación, es positizto; para contracción' es negativo; de rotación cle se considen positiuo,cuPgo origina un án€ulo
trv . . . Av ...
!l
ln
It T ; t
rotacirir¡ tlr' u.or'"J*""'il;iirro, es decir, cuándo produc.e una rcloj' un de agujas las de la uará' '[nt'l*¡i al sentido P. ej., se tcndrá para el pórtico dc la figura 218:
y con
estos
t¡
Ar:trai
A'::0;
: f; rr,,
i,z:
As:trr-trr
(
2(r'l
)
o;
-*l
I
@ Fig'
218.
Flets. 2tB
y
219. Determin¿eión de
"" iTxn"ffi;T:
Fis:' 219' reletivoe
a partiendo del increm.rtltr
gnelpórticodelafigura2lg,losvaloresAdecadaunadelasll.¡t¡;tr.¡' obtienen en"función de las"variaciones de longitud conocidas:
: -troi l\¿: - (Is*Io) i As : - (I5*&*Iz) i A¿: ,lt--'Iri Ae:trc-,\r! Ar:trc-I¿i Aa:tr¿-tr¡'
Ai
(I5+16+tr? + ¡8)'
1,1,,',
¡
cada u¡t¿r tL' lr¡¡ Una vez detenrúnados los valores de A o bien de t/ de los "térrrrittt'n rlt. (260), fórmulas las con barras, se obtienen lrr*"iiutu*.nte carga debidos a Ia temperatur¿" III'' nurrlí'rir ¡r rlr Se recuerria aquí especialntente, que para la determinación llit.r¡ l t t. o ft de uerdaderos los términos ![tf. deberán emplearse los ,,alo,"s tlt'lritl0r los part's uerdaderc, 'r I't magnitud o bicn é, paraobtener también en su ttt ta¡¡rlrirltt consignar acción de la tempe.r*r". Por consigui.rri., ,. recomienda r'r A', \ o l¡i|rr cl Cuadro dc las constantes de barra, los valores verdaderos dc k* o bit'n Z{'. Sr: tendrá r-.*
L
- -:::
o sea Z*
c
* * * * * ó * * ó ó ó ó *
d o I
Pórtico asimétrico de varios tramos con vigas
horizontales
1O7
constantes de barra incrementadas z veces' Aden¡iis. unidades de los pares obtenidos por cálculo, coinque las debe tenerse en iuenta, verdaderos de /c* o Z* utilizados para la valores ciden con las unidades de los determinación de los "términos de carga debidos a la temperatura" lüt'. Para obtener los pares en tm, los valores de b, J y / deben ser rcemplazados en t/rrr3.
cuando F o
-n y *,
ó significan las
respectivamente.
III. ESTBUCTURAS APORTICADAS, EN LAS CUALES LOS DESPLAZAMIENTOS DE LOS NUDOS NO PUEDEN SER DETDRMINADOS CON RELACIONES GEOMETRICAS SOLAMENTD
l. Generalidades Los casos tratados hasta aquí, en los cuales se ha establecido la hipótt'sis' que todos los ángulos de rotación de la barra'ry' o bien los desplazamientos rcl¡tivos A, pueden-ser hallados mediante relaciones geométricas, partiendo. dt'.lrr variacidn'de la longitud de la bara y en fcrma independiente de los ángulos de rotación de los ni¡dos 9, no serán muy frecuentes en la práctica. En canrbio. frecuentemente se podrá determinar los valores de Ú y A de unas f:oca'r barr:is. mediante el métodó precedente, mientras que los demás ángulos de rotación dr' las bamas deberán sei calculados junto con los ángulos de rotación de los nr¡dos. al resolverse el sistema total de ecuaciones. En estructuras aPorticadas dc t'st¡ característica, los coeficientes de deformación ,lt o L, que no pueden ser detc¡minados con relaciones geométricas, deberán hallarse mediante la incorporación de las conocidas ecuacioies de desplazamiento. Esta resolución se aplicará a continuación a una estructura aporticada utilizada frecuentemente en la construcción. 2. El pórtico asimétrico de varios tramos eon vigas y de seeciones variables A.
horizontales
FORMULAS AUXILIARES PARA LA DETERMINACION
DE LOS DESPLAZAMIENTOS A La figura 220 muestra una estructura aporticada con estas característit'as y su deformación debida al aumento de temperatura. Supuesta conocida la var:.ación de longitud de cada una de las barras, sóio podrán calcularse inmediatamente los desplazamientos relativos A5, 46, 47 de las vigas. De la observac:ón de la figura 290 rrsulta: A¡: l: - trrlAe = trg - trzi Az: trr - tre trs ,\s - trr tr¿ ,\r - ,\r ,¡tr: tlt'¡: ,úo=--/u-:. h h ,Ar Utilizando estos valores, l--t se calcularán los términos llllr ¡¡ ,t¡ de las vigas, con las (260) 6 (260a). Los desplazamientos relativos Ar, Az, As, A¿ de las columnas no pueden ser detert minados inmediatamente, pues (A el punto neutro de la viga 220. Pórtico para el cual los desplazamientos dt h:. nudr¡s continua 5-8. desde el cual Fig. no pueden det€¡minarae gsmétricamente. r'ua¡¡d. r ana la t€mperatura. se produce la dilatación hacia ambos lados, no puede ser determinado de antemano. debido a la asimetúa del pórtico. I
I
t0ll []el¡rl*'nirnto¡
de
lol ,r¡dor no drtrrrnirul¡lr¡
a h
co¡r rtl¡r:io¡¡rr ¡¡e'rnétrit:rr ¡r¡l¿r¡¡rcni¡
I'ara cl cálculo re dirpone dc una ecuat:i(rn dc^dcrprazamicnto, pues lury ry'r¡r Por consiguicntc, solamena p""J" determinarlc Pi"l' ,n ,r.r.,. dt. ros derprrTzamrent(x relativos, el 41, Ioc dem¿s ¡c deducirán de las rtl..íorr". geométricer. con las notaciones de la figura -ggri teniendo en cucnta ra convul¡crón v de rignos, eerán:
F l :t
;r ñ
Ae:Ar*Ir As : A¿ - ),0 4.r : Aa - Ar :
Ar * (Io * f¿) g,$7) Ar - (,\¡ * ¡o * Iz). cuando, al rcemplaaar varores en esras expresiones, ras variaciones dc longitud l' se empleen de icuerdo con Ia .o""Á"i¿o de_ signos, es decir, arargamicnto positia-o y acortamiento negatiao. ;rtr;;, los valores a se obtendrán con ¡u¡ verdaderós dgnoe.
desca¡gada y
e*p,r.td.
una va¡iacióri d,
structura aporticrdr
t.*p.r"tura, $on segun (g59) ó (g60) : &a,n Pm * bv 9¡ * E*, L, Y^,n
M*,*: @s,m9¡ * bv 9m + El,; t", donde, como antes. F 9^ v\¡ :- -fc^,, -cr,^:- -l;Y=
:
(s68)
Al aplicar estas expresiones (268) a cada una de las barras de ta eetruch¡r¡ ü, á*r, l ' Los d6sptezvnis¡tt relativos-lpueden ser calculados con las variacione¡ dc longitud sotoktoti.., t;;;;;;t.",i,'ío, ,r.roro a pueden calcurarse indepcndientemente de los valorer n . iit*á-"liáo, .r, Ias wseL¡v¡¡Lr ecuaciones precedentes. E¡t¡r P ecuaciones son idénticas- a las ."proio*r-i*r.* 2. Los valores a deben t*ü;;;;; o incógnitasr pues no pueden scr .elcr_ rr¡inados mediante reraci9191.se";éoi;;;:-'n" .it"'.*J-ü.,"á;."e invariabre r¡r forma de las ocuaciones (g6gi s"*l la {267), rLs várore, a esrán dados en función linear de los derpraza--: ? relativos ¡nrrntos desconocidos ao, y una cantidad a" á"rpl"*^ientos r (varinde longitud de-ras barrari á J;;;inarse,separadamente y representadru ''ior'rs -;;;", por cl valor total I*. Fxtc es er cáro der pJrtico *i*ét¡"" ¿. tramos reprr* ¡¡'ntado en la figura pgO, donde to, airplu".mientos ."1J"*son Ae, A¡, Ar ---r lieneralizando, a¡rorticada, debenáa disiinguine
se puede
eicribir:
*rln; i3;^:"tLna
sier¡do a,, el despraeag.""t"" rin precedente tomará la forma:
rin
ésta, Au es ra
á;;r:;*
sa*y de
F, relativos corresponden los desplazamientos (t69a)
en Ja ig68) tendremos:
M-,n :
extrema izquierda. ,^
]:'i;"*rud "ao. a,
y
:
*
-
?:^,"' tr"(o) 7o,^. ,\ro¡
: ült*,t - ,!Itr",*.
t:Íl'
a a F
h F h Fr h
Fr ¡r Fr Fr
FI F' H
r¡l rr|
de ras vigas, ,"Jll'li:l Reempraándo "la reracirrn
dm,n em * bv p, * ó^,r(Ao - ¡"tul1 an,met bv em + e;:_iai _ i,,,, j. Co¡no el valor total tru(r) es siempre conocido, se podrá escribir:
M,,^
F
;t'
B. TERMINOS COMPLEMENTARIOS DE LAS ECUACIONES
DE LOS PARES EXTREMOS DE BARRA Las expresiones generares de ros pares extremos en una
FI
r{ r{
.{
(270)
(2711
'I'ar'bién aquí, este valor^tiene el significado de un térrnino de carga. por con¡i_ grrientc, las expresiones (L70) put "p"*, extremos de barra debidos a la tempr_
F h H) F
a
Pértico r¡imétrico de vario¡
tr.mr con vigu horiantelcr
t09
ratura, presentan la misma estn¡ctura, como para el estado de cargas co¡nún:
Mn,, : d¡,¡ 9s * bv 9¡ * -cn,. Le + 6lnt-,o Mr,-: h,,a9s * by9¡*ón-& +'!ft'o,-.
(272)
Después.de estos trabajos prrparatmios,
rc procedení a plaotear las ecuaciones generales de los pérticos para las $trucü¡ras que se indicarán.
C.
ECUACIONES NUDALES
La figura 991 ilustra sobre una parte de un pórtico de varios tramos, utilizando notaciones generalizadas de banas
y
nudos.
Las fór¡nulas de los parcs extremos de
en el nudo n son:
bara
F'tr.221. Not¿ción de nuds y b¡rrss de pórtim de yari6 trm6.
't Mr,n-¡: Q¡,r-rPo *br 9¡-r * !Ulf¡,r-r, M¡,t+!: 4*,r*t9n *br*t P*r * IIlt",*¡, I Mrp : a,ss gs * br 9* * ér,nA, * S'o,-. Con estas se obtiene Ia co¡¡dición 2 M^¡ :
I
dngn
*
bv
un
sesun (259) segtrn (272)
0 en el nudo a:
g*t * br9* * bt.t 9sr *
óo,. Ao -l-
rrr :
g.
(2?S)
&t : X{![t,*¡ [ver también {?.62\]. t En el presente caso 9- 6É dado por las condiciones
Donde
de los extrcmos. e,, : 0, cuando los pie* de las colurnnas están rígidamente empotrados, tomando la ecuación nudal la siguiente forma:
dr?, * D,
g¡-t * ó"*r 9¡*r * Eo,- Lo i- srt -
bv
0.
(273a')
ECUACIONES DE DESPLAZAMIENTO
Cuando sobre una estructura aporticada no actúa otra carga que ia variación : 0 segrin la i43), tendrá -temperatura, Ia ecuación de deiplazamiento ) rJ la forma simplificada: de
]fMo+Mn _n
\974,)
41",
I, significa la altura de la columna {r) En la fórrnula precedente los pares extremos de bara del¡erán ser reemplazados por los coeficientes de deformición. Esto se efectúa de acuerdo con la {t d8l . obteniéndose con la notación aquí elegida en lugar de ie74\ donde
??n'*P?" - ¡ Además, teniendo en cuenta
la i269 a
*,= ^,1:
512--,¡.
r,
\275,\
i
276\
!
10
Despiazamientos de los nudos no determina,bles con reiaciones geométricas solamcntc
Por consiguiente, introduciendo simultánearnente los valores
Vv"n" r,as
)
*
2é,po
* 4A*.ap - 4-*.
e
se tendrá:
,\s{o
- o.
(277)
a todas las coh¡mnas del pórtico. En la ecuación anterior, l:r ,iltimta sumatoria sólo contiene varorcs conocidos, luego podú calcularse inmediatamente. Por tanto, haya influencia de á. temperatura, crte sumatoria representa -""Tdq térr¡ino de carga de la".¡á.i""ecuación de dápl.o*i.nto. se refieren
Como antes,
,el se pondrá:
D:lS
zart r
7vo J-; t vu tr
(278)
l(r)
(27s)
Por consiguiente, Ia ccuacíón de desplazamiento toma
la forma apticable y clara:
St:_5r"o!"t -2I^a'
lt
¡
2éuvn+
:e
po
*
DAo
*
^st
:
o.
(280)
En su form¿^exterior, esta ecuación coincide con la ecuación general de desplaarpara entramados de edificio con columnas veiticares y de arturar lf:tl::1180), (ttlerentes.
s, : 0, cuando los pies de las columnas están rígidamente plificándose más la ecuación:
empotrados, sim-
Vu,r"+DA,p*sú:0. .
3" Deseripción del desarrollo del
(280 a) cálculo
con el fin de dar un:- mejor visión de conjunto, se indicará a continuacir,r¡r cn fr¡rrna ordenada y sucinta el procedimiento de .ál.,rio, cuando hay influenci;r rlr variación de ternperatura. 1. cálculo de la variación de longitud ), de cada una de las barras- I,;rr¡r *,,"u_ b"r"3 v, de. longitud I, y una variac'ión a. t.*p"rát,r;; este valor scr;i: iu = .1o . ü'. /v¡ siendo *, et coeficiente de diiatación iineat del;Jr, matÉrial de la barra. 2. cálcr¡lo de las constantes de barra a, b, c o bien ? utilizando las ta¡ln¡
o
rr(¡mogramas de
i"
la parte
tercera.
{ilanfección dél esquema de los coeficientes. "{'" Deter¡¡rinación .de iquellos desplazamientos relativos a, que puedt:n srr halJ;r¿los eon las vadaciones-de longitud y su cálculo ..gú" ad6d¡ . 5 - Hleceién de un- desplazarnieito relativo d. l; ;"i;il;; ao"1óo., preferen.i;r de Ia coiumna izquierda) iomo incógnita de cálc'lo, .x¡rresarán los demás desplazarnientos rerativos de las columnas, "" i"".í¿" de ra cu¿.I ¡c 6 ' cáieulo de ios términos fit para cada una de r* cor,.r-nas segrin (27 l ) , y parj c1d.1 viga,
(Z]S) f ^ft según (279). fl-
stgrin_
t). H
respectivamente.
Planteo de las ecuaciones se[ún eT3) y (pg0) y su resorución. Cálculo de los pares extremós según í,'B'de está .^pítrrto.
I
e ta e ¡ta
fa
r|a € ¡¡
ra
Matriz de los coeficientes de un pórtico de tres tramos asimétrico
llf
de los coeficientes de un pórtico de tres tramos asimétrico con s€,cciones de barra' yariabi'É, baio la influencia de las variaciones de temperatura La Íorrna de la estructura está rePresentada en la figura 222' La la.fily:a.zz? *r.rOr el correspondi.rrl. .rq.r.ma de los coeficientes. Partiendo de hipótesis
4. Matriz
q;;i"r pies cle ias'columnas csün á ce.o. Por consiguiente
rígidamente emPot!'ados, 91 hasta s¿ serán iguales
deberán determinarse como incógnitas, Ios cuatro ángu-
cD@@@
¡,
I { € €
f
r, {
e ¡¡. ¡})
|;a
f)
rr¡É é € ¡é ¡-
r¡, r¡-
o
@ Fis.
222.
Fígs. 222
y
223.
tris' 223' coeficientes' loe y de Pórtico squema
los de rotación de los nudos 9¡, 96, P7, 98 y el desplazamiento relativo a1" Aplitrt curr.lo tru : a . to.lv, se calculárán-prir.r"ru*.r,te lás variaciones de longitud de A valores los dc auxiliares fórmulas la, hasta tr7, pudiéndosá plantear luego cada una dc las barras. Por tanto:
....' incógnita de cálculo elegida, .... j Az:Ar-tr¡ tegún (267) ó bien (969a) As: Ar - (Ib + 16) | A¡:Ar-(Ir,*¡*Iz) ) según {966) A¡: tr:: - trti Aa: tra - '\:i Az: tr4 - trs Los "términos de carga en los nudos" ¡" se obtendrán con la (262) : r¡¿:'llllr¡,r * !)lt¡,ci ss¿: I)t¿o,e *'Illto,¡ * Sl'u,r, s¡t: )Ilttt; s6¿: )$t*'' a1
Los términos
$tt
se obtienen como sigue:
para las columnas, según (271)
: III¿0,¿ : 'llltt7,3 '!Ít¿6,n :
![lt¡.r
- 0 -Vn,r.),.irr -óo,r.)'8(2) *
-Vt's(\, * -Vr,r-trr(3): : - 2.,n.'\s(4) - Zt,, (trt *
y para las uisas, segun (260), decir Z-,,,
*é,,^)
(pues )'u{r) 7,t'"'
: lFlt6,7 : Slri,s :
'!lll¿5,6
- 6¡'
trn'
tro)' trr;
+ tr-)'
cuando se suPone que éstas son asirnétricas
: : : T,[¡s.i
A.,
Zr',6 A5,
Dtte,¡
Z,¡"r,
Za,i Aa,
St¿z,c
2i.,, Aa'
Zr,s Ai,
(es
Zr.i Ai
cuando las barras son simétricas,En,,n: vn.^. por consizuiente
stfr,- : IIl',-,''
Además deberán calcularse las términos diagonales para las ecuaciones nudales:
ds:2as;
do:)¿o;
d1:lai:
dr:I¿¡
É
Influencia de la variación no uniforme de te¡nPeratura
i12
y para la
Matriz ilc los coelicientas 18
É
Qr.t
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do.
ecuación miento segrin (278) -;
¡' :
de
desPlaza-
T -li-' (979) el -t7
además, segrln
términrr
de carga
8rt
""'
; -r- i .(-ú : ul-Yg-l--:s- S l, +
. tr*(',.
IJna vez calculados los valorcs 8,' €¡. r vr., cr. ¿ Dr as.z ár precedentes, se procederá al planteo ele la matriz de los coeficientes. Se tiene para ello la ecuación nudal (273 a) y la ecuación de despiazamicnto (280 a) . Finalmente, efectuadas las resoluciones de las ecuaciones, se caicularir
fu, de las columnas (2) , (-3,), (4), extremos según las fórmulas pares de los la determinación a püiétdor*-proceder conocidas (ver ejemplo numérico 9). 5" Observación final podrá efectuar el estudio de otras estructr¡ras aporticad-as, En forma a¡ráloga se como p. ej. entramados de edificios con columnas inclinadas, vigas a marcos (Vicrendeei), etc., hallando para ellas ecuaciones de aplicación inrnediata. Para este fin, se debería proceder, en esencia, como en ios casos indicados anteriormcnte. Pa.ra ¡Nrder hallir los valores ,5, necesarios en el cálculo de los "térr¡rinos de carga ttrbielos a la temperatura" l$tt, frecureniemente se deberán utilizar pianos de desplaearniento. En general, para todos }os tipos de estructuras aporticadas, los sistemas de ecr¡aciones tlndrán las rnismas características, aún considerando la influencia de la ternperatura, de los sistemas de ecuaciones correspondientes a- estados de carga tratadns detalladarnente en las secciones anteriores. Prácticamente consi"o**ri* drrado, el estudio de la influencia de la temperatura significa un estado de carga más. pudiéndose ut!.lizar además las mismas ecuaciones de pórtico. gV" INFLUENCIA DN I,A VARIACION tINEAt PERO NO UNIFORME DE TEMPERATURA 1. Hipótesis 1 " Aquí sólo sc cons;iderarán estructurasj cuyas barras tienen n:oruentos dc i:¡ereia diférentes, pero cada una de ellas presentará secciones igwales a todo
segun (267) los ciesplazamientos relativos az, Ae,
sL¡ largo,
2. La variación de temperatura Pdrá diferir de una a otra, pero para una misma barra eila deberá
barra
tener la misma distribución en todas sus secciones. 3, En una sección la vaciación cie temperatura es lineai. Sean f, y ú, las temperaturas que resPectiva¡nente ^''\'-"
t! fibra superior e inferior, entonces Af : ris. .ffi¡remtnra zz4. Llistrihueión de correspoilden a -la : e¡ uER ie f" Ío será la diferencia entre las temperaturas en las aeee¡o0,
fibras dc lcs bordes {fig. 224). Las rirl',;rrnaciones que tienen lugar a causa de las variaciones de tempeiaiilra scn tan pcqueñas, que los acortamicntos de ia barra que se producen debido a ia curvatura dei eje de ésta podrán despreciarse. 2" Términw de carga Deberán distinguirse dos términos complementarios: A. El compiemento debido a la uariación de longitud del eje de la barra. Il . El complemento debido a la curuatura del eje de la barra, producido por la variaciti¡r no uniforme de temperatura en las diferentes fibras de la sección.
4.
ru-
JT üa H) FT
;a ¡{ ñ
flrl f|{ É
FT FF
fr't
FF FF FF trF
FIF
FF FF FF
t+ tr¡ rÉ F É F
lñ
t+
añ F fÉ aÉ
rá Fl
Términos de
carga
1
I
i
DEBIDO A LA VARIACIO}J DE LONGITUT) DEL EJE DE LA BARRA La variación de temperatura tn en el eje de la barra, suponiendo que éstc
A. TERL{INO COMPLEME,NTARIO se halle
a una profundidad
^, *,
resultará
,:
.m
tu+
to
(281)
siendo tu y to las temperaturas que respectivamente corresponden a la fibra inferio¡
y superior (fig" 224). For tanto. el alargamiento del eje de barra
Irr:o.t-.1:*.
será
-t"lto'
(28?)
2
Efectuado el cálculo de los alargamientns tr- de ios ejes de las barras. sc a la determinación de los valores A de cacla una de las barras. para hallar finalmente, de ac.uerdo con lo indicado anteriormcnte, los térnrinos !Dl/. procederá
B, TERMINO COMPI,EME¡ITARIO DEBIDO .4 LA CURVATUR.A DBL EJE DE LA BARRA Este complemento solamente se tcndrá en cucnta en casos exccpciorlalt:s. ,Sdlo aparecerá, cuando en una barra cualquiera se produzca una variacitin tie temperatura entre las fibras superiores e infcriores de las secciones de ¿r.rl¿ brrra. Para interpretar correctarnente el signific.ado estático de los térntinos dc cu¡ !:u correspondientes a esta variación de temperatura, se rccordará las ecuaciont's t 7) de los pares extremos de barras con momentos de inercia constantes. Hstas son: MLe : k(2 et* p¿ * 3,/) + m1,2, Mzr : k (2 vz * pr * 3 ú) +'f"b,t. Los términos de carga lUlr,: ) !)l:,r de las ecuaciones anteriores. representart los momentos de empotrarniento de la viga rígidanrente empotrada cn a¡nbos cxtr('ntc,s y se calculan según (149 a), en forma €eneral, con las fórmr¡las (2tr3
)
y or" representan los ángulos de las tangentes extrcrnas, incrementados E/ veces, de la elástica originada por fucrzas exteriores que actrian sobre una barra estáticamente sustentada $ig. 225). Las mismas expresiones pueden emplearse ahora, para calcular los términos de carga debidos a la variación no uniforrne de tempcratura. Para este fin stilt cuando los valores *ru
r )".
'[j
de*q aa
w Fig.
225.
Fig,226. freterrrinación de los an8:ula¡s olot Y stor.
vukr¡cs
se tendrán que haliar los ángulos de rotación de las secciones extncmas dt'tttr:t barra supuesta estáticamente iustentada v sometida a una r-ariación no ulrifrirrrrr' de températura. multiplicarlos por EJ v lt'emplazarlos en la fórmula (283) La figura 226 rc¡rrcscnta en forma muv rxaqerada. ia deformtción dt hitlrr
.a
Diferentes influencias secundarias en estructuras aPorticadas
ll4,
sustentada' a la variación no uniforne de teurperatura de una viga estáti"amente tangentes de ambas ángulos los de simetría ru-ttes Pot ¿."fi"i" I y longitud-/valores los : y., aze aro* qzo' Siendó d.ú.r, ,!, isú.i p.t 1anto, dro ;;;* tendrá: se explicado anteriormente lo con verdaderos de lo, áng'rrlo{'d'. acu.rdo
df : Ef af+;
azo : Ef azo*'
(284)
de la figura 226 resulta' que el. valor numérico de los De la observación-¿"Jrr.. dt: aÉ ,i*pt.. relaciones geométricas. La variación ángulos oro* y ** ," u"fut"a áe lá fiu.a superior resPecto a la inferior es: (285) tro : o¡ . At .1. Porconsiguiente,enambosextremossedesPlazaelbordesuperiordelasccción .\, L"tgo con respecto al inferior, de una cantidad
tgoro* :
o
bien, siendo
el
*"f
(286)
,
ángulo muY Pequeño
cro* Según (984) se
f,' : t':n't
tendrá: clu:
y con ella, según
: '';i't
(287)
'
.
(288)
Zn -
(283)
-z,s-.Aj.J
2h Ilttr,¿ : - LEI' EI.a.At !lll'2'1 : + -=:-'i:-=:-' donde
Lt : t" -
2h
to'
EJ.o.At ,
(289)
l.Influeneiadelacontracciónenestructurasdehormigénarmado
la contracción en el interior de la barra se.prt'efecto de este acortami('nt(r Cuce unifortnemente-!"-"f t"'",ido longitudinal; el como una influencia d. l¡r cálculo, de puede resolverse con.i*ir*o procedimiénto reglamentos de la rnav¡rlos Efectivamente' temperatura. de áirmirrución uniforme de contracción cn el efectos los ría de los estados. p..-i,"" ioy .r, día encarar temperat"tt',:::,rY::i:::: de los efectos hormigón armado, .*u.,.-.,". como l¡t icadora\' l: contracción de Ia barra. Después de estas suposiciones simplif -isma"
oa-
?a ¡-
¡{t
rr !t ;r F' É)
ala
f;) É
rrt
(2e0)
debidos IJna vez hallados los valores numéricos de los "términos de carga se las comPlementarios' términos ambos a a la tempefatura", ";t;;;p";Ji."tes en este caso varía sumará, continuando el cáiculo en forma conocida. Tampocá calcularse cl podrá corrsiguiente,. por y )a forma de la matriz de los coeficientes carga' de estados ;;á; J. ."rgu debido a la temperatr¡ra, con los demás En piezas .o., ,...iorr.s váriables, el cálculo del térm:no complementario si se--deseara debido a la curvatur" J.f.;. a. la barra, ofrece ciertas dificultades, r'l simplificar Para influencia. esta exactitud toda .oi tomar en consideraciór, conrtérmino el calcular procedimiento, en la mayoria de los casos será admisible .i',-t" rt-rporición de que.las.alturas de las secciones seannoconstantt's' ;i;;;ñ * bien, que no ," ,."gu ; ;.*;¿"'r"ci¿tt la influencia dc la variación uniformr' de temperatura. V. DItr'ERENTES INFLUENCIAS SECUNDARIAS EN ESTRUCTURAS APORTICADAS
Establecida la hipótesis" que
.l.
¡-
-: .r¿.Aú'l EI
C2t:
.t
r;l tr¡ ;r
F} ofra
fa
¡a a fa É
]rD
:r -É
Influencia del descenso y desplazamiento de los
aPoyos
1
lr¡
consideración de los efectos de contracción en las estructuras dc hormigórt arrnado, no ofrecen ninguna novedad y podrán encararse en forma indicada en los ca¡ritulos I a III de esta sección.
2.
Consideración de las deformaeiones producidas por los esfuerzos
normales
Como es bien sabido, en las estructuras aporticadas, las influencias dc la. deformaciones debidas a los momentos flectores, prevaiecen notable¡nente solrrr' las de los esfuerzos normales y tangenciales. Por consiguiente, estos esfuerzos secundarios se desprecian en la mayoría de los casos, soble tc¡do. las defonnaci<¡.¡r's producidas por L:s esfuer¿os tangenciales, Pero en casos excepcionales, prrc'clr' ¡rr,' sentarse Ia necesidad de calcular los momentos adicionales. producidos ¡;or l:r deformación debida a los esfuerzos norrnales.
En la mayoría de los casos, será suliciente una deter¡linar:ión ulte¡ior rl,' los esfuerzos adicionales. Se calculan los momentos si¡: considerar la variacir',r¡ de longitud de la barra debida a los esfuerzos normales. E¡r un segundo paso se hallará con estos momentos, los esfuerzos normaies. qu(: rrl realidad srilt, s<,tr valores aproximados. Aplicando la conocida ley de Hoo¡rr:.. se utilizan cstos r.rlr,res aproximados para calcular la variación de longitud de cada barra dcl ¡xrrlil,. En una barra con sección constante F y longitud /. para un csfuerzo norr¡¡:rl /', la variación de longitud será:
. P.I L:-El'
¡2{}l
t
donde E es el módulo de elasticidad. Si la barra fuera de secciones variables, entonces, suponiendo Ia tensitin rr¡u formemente distribuída en cada sección, la variación total de longitud scría
It
o también
, iP.dx P t'dx ',- I EF EI F ;; .',:ls E2 ar F
(2e2
(299
:r
)
)
cuando se supone descompuesta la barra en tramos dc longitr.rd l¡. sicndo /t l;r sección media correspondientc a cada tramo de la pieza. lJna vez calculados con el procedimiento anterior todas las variacioncs
mente análoga a la indicada para la influcncia de la varición dc tcr¡p(.rtur':r Utilizando la misma matriz de los coeficientes, con la cual han sido hallados 1,,' momentos principales, se obtendrán mediante el cálculo del nurr.'c¡ r-'stado rll carpJa, los momentos adicionaies producidos por la dcfornración dcbida a lt's
esfuerzos normales. Sumando estos valores a los anteriormente halla.dos. se obtcnrlr,,
con bastante aproximación los valores definitivos buscados. Dcbido a su ('s( aslr influencia, en general se podrá prescindir de Ia repetición del cálculo que ti(.nc (.n cuenta los nuevos esfuerzos normales para afinar los resuitados. 3. Influencia del deseenso y desplazamiento de los apoyos Cuando una estructura aporticada opone una resistencia interna al clesr;t'¡rs,, o desplazamiento de los apolos. apare(err deformaciones que produccn tt lsir-r¡¡t ' en la estructura. Los momentos que sr producen debido a esta influt:ncia. pucde¡r caicularse en forma análoga a la vista en el estudio de la influencia dr tcnr¡x ratura. donde. debido a la variación de longitud de cada una de las barr;¡^s. ticrrcl
tlcuaciones complementarias de los ángulos de las talgentes extremas dc la clásticl
Viga continua de seccio¡es variables
116
caso dedes-pllamientos de los apoyos' . También en este lugar de los desPlazamientos los si estructura nende de la caracteústica de la "porti."á., ser determiestos descensos.
y
ffi;:fiil}iffiii*
p"y los descer¡sos de los apoyos,-Pu&eian g.olét i""" soramente. En cisó ahimativo, sólo deberán reraciones con nados nudales' Esto es apücable a muchas estruc*otr.*i;;;;;"it"es
;i.;;y
turas simétricas,
;;;'ifffi.
cuand;];áJ.o*t 'eóS¡ -li"
;ii:195,
de los apoyos también.seproducen simétrica-
.-u"'so,
.í g.tt"ol, te iendrá que r€solver
a,* J,{
t{ é
@
@
Fic' 22t'
Flis.227. F¡gE' 22?
casos donde para
a 229' I)erc€nso! simétrio¡ de
sfl
e e
@
Fia.
lo
228.
¡povo¡ de Dórticos'
también ecuaciones el cálculo de las incógnitas, deberán uliliz11se colsiderarse simultóneam¿nt¿ varios des-
de desplazami.rrto.
nn-J;n*b Ñt?"
censos de apoyos.
Sin embargo' en La magnitud del descenso del apoyo s€ suPon€ conocida' será fundaciones, las de ...ná-i.".os i* la mayoÁa a. to, ."á,-;;;.p. .L.ircorreJa. El problema se simplifica cuando muy difícil adoptar una aproximación apoyos esbeltos (p' ej' aPoyos solamente tendrá q.r.--*'ia.or*. la compresión.de armado aPoya en Parte en hormigón de o cuindJ ;;;ñrt, calcula con "n.-*,*.*ra casos, el des..iro de los apoyos se ü;;ñ;fir. -.iafü.-E";* consiguiente' Hooi¡'-,Por de ley las rcacciones de vínculo conocidas, aplicando-ia ."pitofo .ni.rior y son válidhs para é1, las problema cs anátogo ál ;;¡;;Lf el
consideraciones hechas allí'
Snccróx Qurxte
LA VIGA CONTINUA DE SECCIONES VARIABLES CASOS CON LA CONSIDERACION DE TODOS LOS ESPECIALES
I
T. GENERAíIDADES Elestudiodeestasestructuras,quedesempeñanunPaPel.sumamenteimpor. rcalidad ellas representan un tante en la construcái¿",-"á tf*ce'dificultad.t. E t Parnudos cuyos ,'o ,d.,ci.''den,están en los apovos. vigas caso especial de las ;ril.;;;;;rti;;á;r, de las estudio el apoyos tiendo de la hipótesis de que los
"indesplazables"' detalladacontinuas p,."a. .rr..--,j.|o*o .t de'las estructuras la iección segunda' VI' en bien lri' o mente descripto ." ;;;ttió;;;t"it-", se tendrán que plany sólo b"rr"s í", d. por tanto, no habrá ;g"il d" Lt"ciór, de los apoyos' número igual al tear ecuacion^ nudolri tr" ttot'"t, su número es cn simplemente exPresarse puedón Como los ángulos de rotacián tt io' aPoyos ecuaciones
habrá tantas función de ángulos-á. .ot.ciór, de los-"íaot'vecinos, como apovos intermedios.
é é
e é é é
En cambio, una estructura con descensos de los apoyos representa llna cslrrr( trrnL "desplazable". Si se conocieran de antemano los valores rluméricos dt'1,,,,
dc los apoyos intermedios. En forma general el cálculo podría efectuarse eligiendo corro
JJ* fle
a*
a,t .*
J1
ar9
a* a*
''fi .f .fi .P *_
l,'
parcs extremos de barra. Sin ernbargo, este procedimiento rro ofret:cría :rr¡rrr ventaja alguna" En carnbio, es más indicado utilizar inmediatamentr torno i2,," nitas de cálculo los ¡nomentos en los aqoyas. Se obtendrá así un grupo de t', tr,r ciones, conocido bajo el nombre de "ecuaciones de los tres momerltos". En t lll'" aparecen tantos momentos incógnitos, como apoyos lnterrnedios halarr. L¿r rrtlli¡ de los cceficientes de ias "ecuaciones de los tres momcntos", prcser¡ta adt'nr,¡s l,' misma estructura externa y las mismas propiedades, como aquéli¡L de ias corr(slx)r, clientes ecuacic¡nes nudales. Fero en nuestro caso, la resolución del sistcm;r dr r t u ,
r:iones da inmediatamente los momrntos buscados, con lo cuai todo cl ploccdirttilrrt,, de cáiculo se reduce considerablemente, si se comparara con el rnétodo de li¡ r'l'',
ción de los coeficientes de deformación como incógnitas. Por consiguir'nt('. al
lr'.r1.'r a<¡uí las vigas continuas, se dará preferencia a las "ecuaciones dc los tres nronrcr¡t('r"
Adoptando este punto de vista, se hará
a
continuac.ión
un estudio H(n(¡ttl
de la viga continua con tramos de luces diferentes y de secciones variabics (cart.l.rs; A continuación de lo anterior, se hará la consideracién de casos esp("cialls rl, frecuente aplicación.
.t
e* efr
inc.¿)frni1.:rs
lingulos de rotación de los nudos, lJna vez determin¿dos esios vaiores, se proct'tlrr,, al cáiculo de los momentos en los apoyos, aplicando ias conocidas ltirmulas d,'l,'"
II. LA VIGA
CONTINI]A CON MOMENTOS DE INERCIA ARBITRARIAMENTE VARIABI,ES EN TODOS
1.
LOS TRAII{OS Ec¡raciones complementarias de los ángulos de las tangentes exl,rcnr¡rs, de la elástica
Particndo dc ias ccuaciones (1I7). que dan los ángulos de las tang('nt{, cxtremas de Ia elástica de una barra de pértico en función ds l¡¡-s pares exlr'('ru,' y de las fuerzas exteriores, puede escribirse:
EI" EI"
: 12 : 11
tr41o1
M2
*
f3 (9lt l, ',1o Mz az - tlt F - .r!('. Todos ios valores angulares dados por estas elipresionls. st rr:lie¡r'n :r ulr;r lsana simpleme.nte apoyada y significan: a1 cl ángulo, en el punto (1). de la tangcnte extrcrna dt la cl;istir.,
a! {l aio
.v
a:o
multiplicado por EJc, cuando en cl extrenro (1) actíra cl ¡r,rr l,l: * 1 (fig. 230a). cl áneulo, en el punto {2). dc la tangente extrema de I;r r.l;islir',,. multiplicado por EI", cuando en ei extremo (2) actúa t'l ¡,:rr "t[ : 4- 1 (fig. 230 b). cl ángulo de ia tangente extrema de la elrlstica. multiplic:rtlo ¡r't EI". que aparece en ei :xtrerrn opuesto de la barra. donclt ,,¡, /ri,r cl par Al : + 1 (fig. ?30 a. b). son respectivamentc los :inguios. ¡¡ l¡5 r'xtrcnlos i1) ) i2l rlr' 1., barra. de las tangr:ntes extremas de la elástica. multiplicaclr,s ¡¡,¡ 8"I.. debidos a fuerzas exterio¡es (fig. 230 c'i
üa)
Viga continua con momentos de inercia a¡bi$ariamente va¡i¿bies
118
son los pares extremor de barra definitivos, mientras. quer -I" senta un'momento de inercia de comparación arbitraria¡nente elegido.
Mt'y Mr
¡¡-+ I
rcprc-
{*
O-
t¡a
ft
fis. tr'is.
2S0
23üa.
230b.
Fis.
23S a.
r, b. c. Determinsción
de log áugulos de las
t¡ngents extremas s2, B y
o{)
"lt' a7o, a2o-
(}+
u,,ou,}i'Tl?liu"J"ñ;:;::'u"JT;#i'?ui"1"l1uli'i.'1:'1:?.Iill"1tlH) idénticos a los corresF
*.g,,i.t 1á¡, q.,. io, ánguios de las tarigentes extremas son
19Ñ
;1, i i
¡ll
tr'is.
s'r.
renjT.n,-ff.1?:"H"tl":"HTfi,|; f#T:'ilil,*:'d',j"$- ¡;?
,ht-,^l,, i i I
lulaururl
I
or"*;u*"t;;""*;1;'"'r: *f
","'
upoy*
cont-inua'
uc ¡us ¡¡uuui
intermedios,
fflJt"i":T
¡:?
Pueden lt?
Íitnffi;T:tt:: ;;
tangentes extremas. Con las notaciones de la figura 231 -resr¡ltará p' .j. que el ángulo dr: rotación del nudo r' aparecerá como ángulo de.la tangente extrema r¿.,-1 dci laóo ierecho de la barra (u - 1) -v también como ángulo áe la tangente extreria ¡*.,rr del lado izquierdo de la bama (v) h{eciiante ia adecuadi aplicación de las expresiones (293) y con -referncia p"tu ioJ ángulos de las a la figura 23!, se obtendrán las siguientes
ft¡t G? Ft aIC "*ir".iorr., tangentes extremas: f¡? iil"t'-tt T*,t¡-r : Mn,rr,t . 4¡,n-1 - Mr-t,n 9, t - aon,o.l eg4) F? EJ"l'l tn,nr.t: Mn,nr1 ' o'n,rr- M¡+t,qp" * aon,trt' }tF En éstas, ,"",u,) y J"íu) son los momentos de inercia de comparacién dc los (v) (u rcspcctivamentc. trary¡os - li y ;F :___rrr:.,.^^:--_..pucs de algunas simpiificaciones, Lr¡s ecuaciones preredentes son suceptifules 'barra derecha yizquiercla igüales a son OIG ilrs rnagnitudes eje ios parcs extrernos de del a¡xyr,. f)ebe recaicarse especiaimente, qr" *.gútr la convención de sigrros FF r¡iiliza*la en las expresiones anteriores, los pares extrerno* u ,"ql-,i.iJ" y a"tétttu subsa puede dcsventaja rie r:ada a¡-rr,v<, ticnen distintos signos.- Sin embargo, gsta ts n¡lr:i* f,,:*.iinir,rrt,,. n.**plazando ádu u." en la eiuación {294) solamente el ¡:ar los de }|? . ,;' ii:r ,,, 1¡r ¡i:ir:r:ila dr,l apoyo. Entonces es inmediata ia coincidencia ;:T';L:J iff
,ff;:: ;T i:,T:;ffi:*"*
:l#:i"?jtrj,1'i5:r*3;¡l'ü:;";l sólo r¡n subíndice quc
r¿me la nr:tar:ión de los mornentos en lou up'oyos, utilizando s*ñala el aliii'lio a que petti:ricc¡ cl momento. Étt lo sucesivo se escribirá: Mn.r-l 'tt -'- Mn,nu1 :':: *- ]''1[n; Mn+7,n: -fuin,r.r:M6t1,n+Q: - Mn+t
'Mn¡,n:.iln-t,
-
(295)
I4oCon lo anterior ias ecuaciones (294) tomarán la forma: + -: t n,n-t
1
I'J-(r-l
r¡.¡¡L:7y¡;
tL 'il[n
ün,n-1
1
ltr4nan.n*v
* M^ t Fu-t a0r,r*r] -
tr D It Mn'tpu
L con,n*1]' I -0 -F
F }t+ ]?
a+ a+
(2e6)
r+ a+ tlrt
119
Traspaso a las ecuaciones de los tres mommtos I-os ángulos fn,n-7 y ra,¡a1 d€ las tangentes extremas, dados por las exprmio(296), áeben coincidir tanto en magnitud como en sentido, por consiguicnte, nes
2.
u.-,v!fi-. * *"\fffi=
a:+
'k#*;ia,-F-f;'Wl = Fia.
momentos
ambas ecuaciones pueden igualarse.
ofllllilttlu* Y^ 6f-drllfiIlliülllülqDr*';:l; F'"'
Ecuaciones de los tres
l,¡
+ fift-r1*
do¡,¡+l r dOr,r-l I1-r EW, -EI¡,T
Mn-,8#.
QsT)
O v.
Llamada ,,ecuación de los tres mornentos", pues representa una relación dc tres momentos consecutivos en los apoyos de una viga continua' Para obtener siempre en la aplicación práctica una categoría adecuada de las magnitudes de los coeficientes.v lás valores absolutos de las ecuacie,nc¡ cl,'los i¡t's moáentos, se multiplica la ecuación general (297) por un factor de ampliación I
y
se obtiene entonces:
u^-,ffi : i Mni;f+., * +f#- .]* M,-,8# .
ao'.'-t -) LJ,tr.r' .--
Como en el cálculo de los pórticos. se introducirá en notaciones simplificadas, obteniéndose entonces en forma más clara:
br: Mo,'t + d, Mn !
(lf)7 l
)
-!o"L:-.-:o I:J,.,,,
b,
la ecuación
antcrior
la ecuación de los tres momcntG
Iln.t *
.Sr
:
(2e8)
0'
En ella significan
. Pu-t .i b,-t:Effi.2:B*¡.-1
B' .--n* - - Pv
, -ut EJrtyt 'lo't,¡-7,dn,¡+\l- *;fr#'rl: a":lET¡;-t;':
o*,.n-r.
í299)
.',-
j I e*n.n-'t.i:
an,n-t
*
an,n-1 {300)
...| :on*n,,_r.:*
Las magnitudes que llevan el *. representan los valores angulares i,crdadrros (fig. 230 a, b, c). El factor de ampliación : es arbitrario. pero debe ser constant¡' para todo el sistema. Es aconsejable poner
::
( 302) Ef,'. bien' o aparece, que donde .Io es el momento de inercia más frecuentemente cualquier valor redondo apropiado. El coeficiente d,,. es según la 1300) igual a la suma de los valores n* an)pliados ¡ veces v situados a izquierda v derec.ha del apovo considerado. aParccc en la diagonal de Ia mat-riz de los coeficientes. por lo cual. taI'nbién en este cas() se lo llama "término diagonal". En la forma presentada. la ecuación '!$$ i puede plantearse tantas veccs como apoyos intermedioi havan. EI número de ecuaciones así obtenidas sójo t-s sttficicnte' cuando los extremos de la viga continua no estén rigidamcntc tmpotrados. En estc
caso deben agregarse dos ecuaciones complementarias para los momentos de empc,tramiento. "\{ás detalles ver capírulo II 5 de esta sección'
1?-0
Viga continua con mon¡entos de inercia arbitra:'iamer¡te variables
Para efectuar el cálculo numérico de vigas continuas con
apda de las
er:u¿r-
ciones de los tres momentos (298), deberán irailarse previamente las constantcs ó, segun (209),los términos diagonales d", según {300), de los apoyos intermedios y finalmente los términos de carga ,sr, según (301), también de'todos los apoyrx intermedios. El significado y el origen de estos valores se desprende de las fórmulas
detalladas. Fara traroos con rnornentos de inercia arbitrariamente variables, los valores ang"ulares a, P y co conte¡ridos en las fórmulas detailadas, deberán hallarsr. rnediante la aplicación del te<¡rema de Mo¡¡n. En cambio, para trarnos con cartelas rectas o parabólicas, todos estos valores deben sacarre de las tablas 17 hasta 28 o bien 17 a hasta 24a de la parte tercera. En ellas los valores angulares ot, o:, ti. multiplicados por.üJ", están dados para barras con carteias de longitud J: 1. por tanto, los valores aerdaderos c1*, d?*, É*, d. una barra de longitud I son: I
: d1 'Éf;t cl'a-.._
¿r::x =-
í::
I I ' E"l;; É* = ,, ET
(
301)
(304)
y según (300) el términa diagonal
dn:
r'n,n-l
* a¡.n*): (xn,,-l
z
*.
* d.n,n*t"-i, . ,
(305)
Fara ei cálculo de los términos dr carsa debe procedcrse dc acuerdo con lo indiuado. (Cornparar ejernplos numéricos 25, Z+1 .
fln Ia sección
seguntla, ÍY, 2 y V, 3, se ha tratado con detalles el uso dc las tablas auxiliares para barras con cartelas desiguales en ambos extremos. Son válidas, ante todo, las fórolt 0¿¡ ütr¡ Qst cr¡ A.¡ o¡¡ o¡.r o$ Osr muias (144) y (159). b, b" b. b. F------A ^ Con ei fin de evitar ü equivocaciones en el planIig" ¿82. Eeqpema de lcs ercfic:entes. teo de las ecuaciones, también aqui se rec.r:¡nitncta la confecr:ión de un esqu{rlria de li:s coeficientes, en r-l ¿-ual !e anctan tantn los v¿lcrr-'s cle á, cor-no io: de a. ta figura 239 muettra el csclucrrra ,'ie lcs coeficientes meacionado, donde los valores de 1 están siempre en el centro de ia bara Y los valores dc a, en los correspondientes extremos de ésta. Gracias a este esquema, se podrá determinar con facilidad, según la {300), Ios términos diagonales e¡r ios apoyos intermedios. Así se tendrá,"p_
OG)e
CDG)@
dz: Ii,r
$u¡ parles
dzJ
*
az,zi
:"JJ::,o*::
ds:
as,z
*
"j.,
¿e,+; etc.
fo'lff::,:":.::.,* incógnitas
es igua, a, de,as son los coeficientes de deformación.
estrlrctllras aportiradas. donCe ias Se resume e::: las siguientcs sec¡:iq;nes: 1. Determinación de las dimensiones de la estructura. es decir. longitud de las barras, dimensiones de las secciones, longitud de las cartelas 1- mcmentos de inercir. 2' Cálcuio de los valores angulares a y B (cuando hava cartelas. utilizandcr las tahlas 17 hasta 20 ó bien 17 i hasta 9Óa, parte t"r."rá1 v de lai consranr(.s dc barra c y b según (299) y (300).
-
Confección del esquema de los coeficientes diaconales d según (300). 3
v
¡|
¡rl
}{
f¡{
rÉ
}{
fHr
H)
lñ)
Hallados f,stos, se obtiene según {2ü9) la canstante de barra
t.*".-J _ p ._El" . , 0
H H) H)
cálculo de los términos
l4¡
la¡
l¡{ FI FO F¡
fE?
FF ;rF FF FF FF
f¡+ fr+
;+
IFF
a¡f
Ír }lF
l¡+ F
La viga continua de extrenios
121
4,. üáiculo de ios valores ang'ulares ao (cuando haya cartelas, utilizando l;rs tablas numéricas 2tr hasta 28 ó bien nomogramas 2tr a hasta 24 a dt: la partr' tercera) y de los té¡-minos de carga S* según (301 ). 5. i,lÍ.atnz de los coeficientes (o cuadro de ecuaciones) de las ecuacioncs tlt' los tres mornentos, seg-un {298) y su resoiución. (Ver también los ejemplos nurnéricos 22 a 94'). l['ambién en este caso es rnuy ventajoso reu¡rir en una matrie de jo:r t ot li cientes y tÍatz;r en conjunto, tocios ios esiados de carga a considerar.
4" Tabulacién de l¿s eeu&ciones de }os tres rsromen{,{:}s
para una viga contillua de einc* tras¡¡os La viga continua tiene ia forma indicada en la figura 933a. La figur;r .ll:J''lr reprrscnta el correspondientr esquema de los coef icientrr. hdedjante Ia aplit';tt'irirr reiterada de la ecuaclon (298), podrán tabularse las
lil/
!.r c
,
I.3, rc
l!;
J.'n
'rc
respec.tivas ecuaciones de
los tres rnomentos de los cuatro apoyos intermedios (ver rnatriz de ios coefi.-. ---" -""
!'ig.
cientes l9). En ias últimas columna.s aparecen los tér- 6 rninos de carga para los di-
versos estados de cargai para poderlos diferenciar,
't i, , : llevan las notaClOnes .B¡¡. . etC.
D .ót
5. La viga eontinua
de
.,
o{¡
ozl
23it a
o52 Qt,
üt: ot¡
ot" o5t
@
@
0
íñ
d:
ds
Fie.
d¡
d.r
s¡
s,
S.
-L
(c)
5^
283 b.
Fifas.233a y b. Viga continua de eir¡co t¡amo6 con rl e*r¡u(tttu rle los 1os ccfieients. c@fieients de
Matriz de los coelicientes
ll
extremos empotrados A. ECUACIONES COM.
¡r, i
Ms
I tr{ i
19
"ñ16
PLEMENTARTAS
ó;"i4 I o' i.s.nrisftn
Se di{erencia dcl caso anterior recientemente tra-
tado, donde se supuso el apoyo libre de los extremos, e!1 que debeir plilntearse cl¡,s ecuaciones rv¡ris; l,u('i, los mornentos de enrpotramiento en los apovos extrernos drL,,rrírr¡ clrtr:rrninarr¡'.ir¡rrlrr oQ\Z
ffi* O dr S,
d¡t
Oqr OI:
!? ¡t S¡
@
On-t¡-l
OFf n-? qFl n
On.n-l
p'.7 --T--T.T--E-*-T-:-{-_?: in-t) uv-r dn-t Sn"'
,
ir) dn Sn
Fie.234. Esquema de los eoeficientes.
con los dcrnás momentos en los apovos. Para el plairter,r de rstas nucv¿rs ( ( u;r cionrs, puede aplicarse la expresión generai {298). Co¡r las notacronci; (l( l;r figura 234 y para el apoyo izquierdo, esta ecuación es:
,|¡+
¡+ t+
empotrados
(
Como vemos. en este caso falta ei término
h,..1
l]{xi )
ll[n-',. pues a la i:quierda dcl rr¡,rt¡,'
Cascs especiales
Viga continua con momentos de inercia arbitrariarnente v¿riables
192
6. i"a vige *&at,ixrne
considerado no hay tramo,alguno.,-El c'rrespondiente término diagonal según (300), -
tiene la siguiente expresión simplificada: A1 o
dt : EiJl,'
z
: ü*!,2' z : tjzt
(307)
como también el término de carga según (301): col¿
^ s'I:77Íi'z:.,a*72'z'
(308)
:¡n empotramiento rígido del extremo derecho, la notaciones de la figura 234, será: Para
bu-t
Mn-t +
dn
Mn * .f, :
(298), con
ecuaciór¡
las
(30e)
0.
En.ésta desaparece el término buM_,*1, pues a la derecha del apoyo considcrado no hay tramo alguno. El correspondienie término diagonal ,.rá
ft.,
dn :
y el término de carga:
olt, n-l
E|¡r^--t,''
z : Q*n,n-t . z :
cor.r-l J":Tffi'z:ao*,,,-1
at,n-l
(310)
'2.
(311 )
Al considerar Ia extensión del cálculo, debe tenerse en cuenta, que se resolverá tantas ecuaciones, como apoyos^ hayan. si en este caso se consiierara Ia viga continua corno estructura lporticada, con los coeficientes de áeformación
como incógnitas, se obtendrían dos ecuacionás *rror. Además, ,rrr, *, .rrrelto el sistema de ecuaciones, aplicando las fórmulas conocidar, ¿.#rJ rruiiur." los momentos l_ltftoot; ürn embargo: pata el cálculo de la viga continua de extremos empo-
trados, el método de las rotaciones angulares ofiece ventajas considerables.
B. TABULACION Df, LAS ECUACIONSS DE tOS TRES MOMENTOS PARA UNA VIGA CONTINUA DE CINCO TRAMOS DE E,XTREMOS EMPOTRADOS
dtdz*d.4d.
qqsrft{sú 286, Esquema de log coeficientes.
Matriz de los coelicicntes 20
i]_trlu, ltur"lM, la, lu, M.
ru-
esquema
l_t__
l¿.
I
l-;l 4 l414
tabulación de
,9r ,S.
* *
rñ rÉ rn fn
rl$ .;{t
ecuaciones de los tres
,Sr
;¡r .{D
las
momentos (ver matriz de los coeficien-
tes 20) . La primera y la última ecuación de la tabla resulta dc aplicación de la
la
(306) y (309)
pectivamente.
res-
;a t t t
tÉ *
t * t
extr*rsss en
s*lsdázc¡
l-¿ infiuencia *ie los '¡oiadizos cargadcs reperc!.rtr, sóio er¡ hs iÉrr¡rinor; rl,' el segurudc y en el penúhimo apo)to de la r¡ratria ri.¡ las r:ocirr:icrrlr's. Aplicando ia ecuacié¡r gr:rir.rai (298) ai segr-lnd.* apl:l;i* de ia vig;r. i'clnrinr¡;i ifig. 236), se obliene (:t1ll; á1 &f1 + (i¿ A,f"¿ + b2 MB + J: : 0 Ahora bien, ei mornento llll es corrocido de anternano, pues es iguai al :nomentr¡ ,4'lr, del valadizo. Pc¡demos pon€:' entonce$: M1: !+I¡',queda esto deterurir¡acio valor el nurnérico d*l primer ténnino dc la r:r'u:r'Con ción {312) que pur:clc sucar€fa, en
marsc al valor nunrérico d'.'l
térmirro de carg... ,91. P.,l' tanio. el nuevo térr:inn'a,' carga
I
L*S}--ry Fis,236. Estluma de ios coefieie¡rles
r:s
*
tán anotados los valores correspondientes a los apoyos extremos. Por tanto, puede efectuarse la
B, ,s¡
Jt .+. r# ¡rlt
;*
ÍJ
,sr
rf, rfl)
de los coeficientes, en
el cual también esfig.
Mr Mr M,
el
¡d)
É)
La figura 235 present¿
rÉ rÉ)
eact
$r':,5.*br'14¡,
(31 J)
y la ecuación del segundo r¡poyo tienc la expresión d!
M! + b2.Mt,'l
S..'
Análoqamente se tendrá para el pcnúltimo apoyo
b" l! ^.t t
dn M ,,
=
(3r4)
(i.
?r
+ 5,,' -
11.
(3t 5)
donde
:
'i' b, . M¡,., ( t1(;\ Por consiguicntc, ia forma rxterior de la ¡natr'iz de ios r:or:fici{:ntÍi clc una vrqrr continua con extremos en vr:ia.dizo, tiene ei misrrio aspecto de la ¡natriz cil i¡n;¡ Jr,'
ó",
viga continua sin volaclizos.
III.
CASOS gST}ECtrAf,ES
En lo tra.ta¿lc¡ arlteriorr¡ente se supi¡s*¡ e¡r ge*erai. que le-s srcricr¡rs dt- la vili;r t'ontinu¿t diferían arhilrariamente rlt un trarro ¿ ctro. cl 6i.n. apareciari las cartcl;rr,, en forrna dc re{ur:rz,:s en lcs apovos. Corno todas ias tairia.s ,v n{.}üt{¡gt:arrla.s l)ilrir
la dctcrniinación de los coeficientrs v térrninos de carga de barras r:rin dif*nirrt,.s rn la partc iL:rcera, contiencri sir.xrpr-e "el cauo esper:iai rir: "birl.r':rs sin cartr:l¿rs" lcs dccir. n:1 {, "\,= l}). ento¡rces, iodas las *.ouucior-r.o plantt.:rtlus anteriorltlenl.c con la utilización de eslas tablas auxj.liares, podrán em,olúrsr n:rlu ralnrcntt I ott lctttaja. cuando la viga ¡ontinua a trat¡-r' tie¡re sinrirlt:ínr,¡uncntr. tramoi rolr v sin cartelag. cartel¿rs. clacios
Scría rlrtorrl'i's irlnccesario. insisti¡ eletalladamente sc¡Lrre los casos t's1rt'r'i;rlr.s. Sin lrnLrllq,,. t,llr,. sr.r.irt Lr.altdos sui-r qi1.¡ln.nt- cn los ,:apítuic. ,rq-ui"nt,.,,. ¡,,,,.,, den:o-qirai l;t re.lación r'\a(-til ent¡e la for'¡na g¿r;e¡"aJ de ias ec¡-raciorres di: l< s f l'r's rnonleilto-c 129E) i' las dir.ersas {ormas r¡sualcs dc r-'cuariones" elnpira"cl¡s r.¡ lo:l casos rsprciales, clue frct'ur:ntt:mente se r"ncuent!-an en las revistas tÉr:r¡ic.l¡:i.
c¿s.¡Fcia¡.i
t21
1. I¿ yia¿ continue de ¡om.!rto6 ile iDe¡cir¡ con8t¡nt¿g en cada Dero que
dificrc¡ dc 0n 1r¿mo ¡ o¿m
r
n,
Fr i.- *-l 'á -
É",=+ "**,:9, =t'. 4.{:t; L P":-6
e1?)
rnrtoduci€odo €¡tas e,.p{rsioa€s dc obtiene. despu..de criminar €r i€ror de E
',
(verfig.z37á)
p e¡ la eñációD ssreral (eez), cd,¡ranrc, ra ecuación m ",pu'to
M*,#+sM,(#.#) 6cor.r-t ' ¡tv-tt
, 6cor,r*1 l(v,
*Mn*t+* (31
s.
8)
- v'
con¡ta¡tes,
2. ,a úgs cotrtl¡¡s co¡ Doüeltos ile inerci¡ .firstartes en t¡dos bs lrstros .._ E¡.la ecu¡ción (3r8) !c pone rG\ =It", obt€niéodoÉe dcspuB de la 6in)ofifieación de etc v¿Lorc¡ Mn:i,-t'+ 2M" (1,-r * lu) + Mn*r l' + 6do','-1 * 6co',¡,*r :0. (3rf)) B. r,¡ vis¡ coútiÍu¿ co¡ rer¡eior.s co'srrrtes
I
Enertecaaosepuede poner€n¡aecuación lara¡ dBputu dÉ la sirnplificacion conespondiente:
Mn-tt 4M,+ Mn*t* +"*
er toao" bs
o
l¡t
É Ff Fl ;()
¡t-1t ea
;:; F ta 7a
¡r
tr¡mo6 ;f;
j3,=9,**n.'.
i**:
;.¡!
"" ;a a-
lo! v¿toE ao debcnán calcüla¡se con hs indicadoc á hs tabla! I ¿,f. Para cargas conccr tadas pu;den tio¡i¿" la¡ tíacas de i¡fluencia dc la t¡bla i. "titlz5r". La relación ¿ntrr lo! valorB.P y n de las tablas I a 4 s€ deduc. d. h\ múacion€s (149a) v (1504).
E¡ barts coú sccciones fórmülas y ertados de cargas
r-
(.i20)
: -a
i
te'1
lloñGdtoB
=r
l¡¿*'++¡¡'+v""-ff"'"'-'+'r"'¡=o | M*t *
Iv'
__-l n Ft ¡drb.
o.
(n)
a{¡
t úPd.tú¡.ú visd @rii¡ud
Bajo ecta hiÉr€sis,3e puede Pomr en la coración (318) I'i=l' -l roultiplicación por -] despues de la multiplicación ritslr: : J,') r,') := Jl. t ob[enicrdo6e .r!re.i.rdo6e d€spué¡ ,rtslr
-,rffi6o,,f ¡]* i i
L- -J- u --l " a¡.. ¡ttl xlr.d4
apoyo
É FT -
Ia vdiación d.
4. I.s Yisr..ontinü,d:jffi*J;mt"-¿s v
framq É+
Lo6 valoEs a¡gula¡Es quc ñgu¡an cú ta ccuáción (997) diüdidos !ob. Itr", pueden pr¡ed€n det€rminan€ con tod¡ facüdád to tanfacüdd cn co ba¡r¿s b¡¡ras de Ir¡om€trto6 r¡om€trtos dc i¡c¡cia i¡crcia (onltanfas J"(*1, ó bieo J"("), !€81n d cúnocido tortma dc Moan, cotroo Eaccion.s d.
'es"Ii-ín,
h¡u.¡.ia d.
-;
4
*f{oo",,-,
M^ + Mnt
-laln,n
i
v
(32r)
r):g'
INt'¿uENcIAiE'tr*.Y1¡t,1-4ggT,^r'}"E TEMPERATnRA DN vrcas coNTrNUAs
l.
Geúeraull¿dC8
ioales- produr idlas por rna variación
uailñc
de la ldP€rarura. dF
t,
I
F
$'x#,iu:*t^ffJj::1".:'t&H,:xY":,iffix,"iitrtrñ""1r".-iii,i ::**T f.ttr":i:. i,i,,i,** #'lliii;t'0.-T",Tltf'o"oi'lfH:": evita¡ ¡il;;it;;i;;
sin trabas; pues los apovos
'ig* '" P""a" cü¡vane ;"r:¡;"mm:¿:;'rTT'::'j"lirtrfr"'lT:fi:L':;lT.':',ilH",;:
r*"p"-.*"-G r. '.*ta", ,p"'*"" de corte' 2.
fa¡¡tos momentos flectores, como esrucrzos
HiPétesis
El estudio del problema anterior se efectúa con las siguientes hipótesis: t. Las secciones sólo varían de un trarno a otro; en cada tran¡o eiias so¡r totttil*?r,
variaciones de tcmperatura sólo difieren cle u¡r tramo a otro; {'¡r cada tEmo ell¡, son análoga en todas las secciones. 3. La tempcrntura váría unifo¡mene¡te en el a¡cho y linealrnente cn h .altur¿ de cada sección.
,t.
El m&ulo de r¡asdcidad E$constanrfentoda Ia viga conrjnua B. Cótculo de loe términos rte cargr
S€súD l2 hipóresis esrabl€cida eD el punto uDo,
de
b' ft'
en
i"n..
válidas aqui las ccua,
tiene la forna -omántos (318), donde el tir¡nino de erga
r": u/{:;:'
n "":'S'\ t"' l
t:zgl
lfl*i','fi:ru1i'H'lx:illJ'.iL'tr":i::J,.:?4"1",'T?i"":XJru::i:l h
::, notacioncs las Utiiizando influencia áe tempeiaiufa en estructuras aporticadas.
i:"t'rtlp:,33*;:":*¡,1'tr""i"lliH-rti--i*-k f",i+:14-:1,.;rl;;ll;:,:l;1li:r tu." i¡¡,,) rrta,
e(,,,n_t
--
EI':-"
__il_+_i_;' Fig' 238' Notaciones
';i;::'"
senerales'
(323)
I).1,,,r,,,'. tl, lot
|,¡lr
:rlrr¡r'r'r:
rl¡ l,t .¡l'r lorrlrrr¡rr
\',i':¡ /r, r l;t r','¡,", r"r, tl,' r{ ¡rLlt. I'rril¡.¡ .',,i, ¡1,.1(rt r,,, r\1,,. l, ( ill i ., ri:'),r,,,, j ,:, lL, f'r r l.;r¡iio :ir'Íirin l:! (,],?11) r I "rr1r¡li¡',r¡ d{ r'ilr{,,n. rJt'l¡i'lr; ;1 l,¡ 1r rn¡rt r;t{rrr';r" r' , ¡,.rr.r , ! ir;r'1,, (r'), lrrrt l,r "¡!tr¡i.t ri
¡
-r-----*;;-; ltt i;''l''1i l,\'-' Jrr,.,l . i:-" t l i -- AJ'. '- -il^'--*--_¡, --
rl,,lrir'
(:m4 ) (.12!
lo.
l';r.r'rr iri'iuras igrlalas r:n todos los trar:r;os, e$ decit-, Sn, =. -L-Eo^^ (adv-r .
i'ii
;,-r
hr '': !1,,0 "- ¡,
-i- a¿,, . /,,)
( t2'1'
)
:r )
irdrlr];!s, 1as variaciGnes de temperatura eñ. do-c lrarnr)s i:ontiqtros ft¡t'¡';r¡r ei tramo interrr¡edio {n) se tendría;
il'rr;rl.r.;, I¡ara
., --. 3Eo.Al :--:j.Jn'=.
lt(1, r -i /,). (324, l¡ ) [ ]ir;r i'c;,: rieterminados lcs "tén:rinos de cp-¡ga ilebidos a la ternper:rlura"' i,,r li¡! iril:ólesis establecidas, se Frocederá a la resolui:ión numérir:a, según (31i1), rll l;rs 'irr.rrior:rcrs tle ios tres mornentos. (Ver ejen-lplo nlrr$éricc i'). .1¡
\,r. fllt$ü&};s*s gln Lss A.P8Y*$ nE LA. 1¡IüA fl&NTTNUA
t.
I
apnly*os; cstfJs
tluflden
ascr-r.¡dt'r
,¡ ¡lt's;r'r'rlrk:r.
,.
l-,us dtspla¡¡mir:ntcs norr¡¡a.les
ai eje de Ia vlga s(fn iari
pequeítos,
(lrr('
s1,l{' i,¡'ocJrrcr,rn
2" Tér¿ninc¡s c*mpE{i}rnentall*-ii-- ri{-¡s de Ia *ri¡acidrr ¡le los J,-il.ó-., irss rsl*sre;rli¡c
ja
l,a fiqxra *3* dric.'rc;-rac;ún
rtor-*:srnta
d. iirlr
viq:r
continlla a|i:it¡a"riamente cargada. ccn despiazar::ientos positivos de ios apo-vex. es dccir, con los desr:ensos dc t-stos. Iin esta iigr:t'a han Ei'di, r:spcc:ial.
nt''nlc ronslL'rrad rc ]:'r. s,l'r:iili,lcs
"".¿.]r.;rcg
anguiáres
:
I ;1.....;i ;l¡e-üir¡s rr¿,e-.1 y formadcs pr:r la tangente ce-rr:aún 7'-T" a. la "*,r*1 I ,,,it r ¡r:r .-'i :..,;r:1,¡r i..:-si.,l¡¡;ado int), con los ejes defir:itivos iit: ias barras ,r,'j-iir,,-.i l .,, ia;t)-(:l ,r 3;. '1 1..,,: ir:gr;i,*s dt: ¿r,tar:ién rir,t y 2i,,,, es decir, ios áng*Ios que giran lcs eirs ,l, l:rr 'irlrrr;t: ,'-:;i los tr:¡rrros (, -- 7) ,v {r,) fesprctivayr}entc. dcbido al tjesce¡rEo
rlr'lolr i¡1ilc6s isrgiin la ccnr'¡'n¡.:ión de signo-c arloptada- positivcs en el -srniido cct{ r', r ir ' tir' 1a: arujas cic uri rc}oj ) . .i. Ei;r-ngLiio de rotación clcl nudo g?r" quc:rller -i.'¡lo-c:c¡.ii rrr¡¡ ¿lncxlc en , l r,r:r iir r" a gaber , ;! , I ir:rr-ro (r v" : ?r,n-r - Vt, t ,l )r. - 1) r
' (rr,r
(j t,lii.\ :tl'f,,
-.. :¡i,r¡_t
r
-l'_r.-
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ts ;{
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Jt
efl) f-
a{)
&ipóá.esis
. i,as se¡:¡-iones de las vigas $on variai]les. ,,1 I't¡t'd¡: reder uil númers arl¡itrario de
tÉ +4
;a
Jú Ga
*a
rll( l¡r¡rr lr,ñ lrr
r trrtlltrr
I l'r lllll¡lrn
Al¡t¡ra bit'rr, rr','lrr¡rl:rz;uldo <'rr l;t (.lll(r), ll,s.irrllulos tll l:ri l:trtlilttlcr' r'rltr
(2i)b), st: t.¡bticrtt:rt
¡rlas 7 scgún
vi: ¿frvlrl"1
pr :
t Ei@
I[,an,n
LMn an,n*t
:,)
t-
tja
Ja -oa € ó
(.127
)
{J2¿r)
ao¡,r-l ¡*l ', +, -El+-': * (iru-r -,1,)': : 0. + *ffi &o¡.
,
R,:emplazando el término que sólo depende del desplazamiento del a¡ro;'o (ú'-t - r!,,) .2 : Sn'
(Jgl))
y el término de carga dependiente de }as fuerzas exteri()res lconrparar
tiirrr-
bién (301)l
cnr,r-l , oltn,r-, ': (32f ) ;r ) - Jru Ellwi' 'z r jjd entonces, análogo a la (298), la ecuación (328) se puede cscribir li for¡r r;r
-r,
e
abreviada:
br¡Mo-t+ dnMn* brMunt + donde en correspondencia con (299)
y (300)
"9"
+ Sn':0,
(330)
significan:
Fu-t ' L - -t¡-t, ov-!: -.- :, l t ,Fu( bv: -1Ífiu ' :,
(331
)
)
J'aa
ero
Mn*t,
P I , M"., , -ol'**1 .l+ t' EJfy-. ', ¿l:;'' M*t ' *t'z . )-t Mni;;¡.t'. ^r l-g*:-. *+ -o1{*-
Ga
e-
*
F' t -- rrt'o'''r] -- '!t' t pu * a('r.na1) * tl,r.
Mn t
Igualando estas dos expresiones, se obtiene después de la correspondientc sinr¡rli. ficación y suposición de un factor de ampliación z para cada término:
F
ta ca
-
t
,
d" :
dn. n-1
Qn.n*l
" + -f-fi;'
Tjl*u'
i:
0n.n-1
i
an.n,r
(-11',."t.¡
El cálculo numérico de los cocficientes á y d y la elección del {actor dr' ;rrrpliación :. ya ha sido trarado en la página 119. Sobrc la sustitución de valores en la fór¡nula (329) para el cálculo dcl tór¡rrir¡r, de carga.f,'dcbido al desccnso de los apoyos, se puedc decir lo siguientt:. l,r,r vaiorcs nurnéricos de los descensos de los apoyos 6 están dados por hipt'rtt'sis, por consiguiente, se conocerán de inmediato Ios ángulos de rotación cl< l;rs barras {,. o sea
, _ P'-l:
E,'-r
- 6u ) it: 1,
6n
-
6,*r
(3lJ)
t,-
Introduciendo cstos valorcs en
la (329). se obtienc: n, _ I 6, r - 6n 6,_l - 6, \
",'=\ 1- --;;-J'.
(
Tratándose de un descenso del apoyo. el valor dc 6 se introducirá con el positíuo en la expresión anterior.
31.+
)
siqn
T 198
Determinación de las líneas de influencia de
la viga
--
continua
Cesos EspEcrALEs. Se puede prescindir en estos casos de Lin estudio más - novedad alguna. Fueden adoptarse de inmediato las detailado, pues no ofrecerían ecuaciones de los tres momentos deducidas en III, I a 4, complementadas por el térrnino de carga ,S'. Si sóIo se efectua¡a el estudio de la influencia de los descensos de los apoyos, entonces, desaparecerían los términos co originados por las fuer¿as exteriores y se obtendrían las expresiones detailadas: 1. Para viga.s continuas coir moürentos de inercia diterentes an cada tramo Wo constanf¿s en cada uno de estos [-comparar ec. (318)]
u,-,
* M,t$, #;+LM.(\r'l:;',r-, #\ r J I
- E'.'-Lt Eil = o.
1
,Mn.t
Paravigas continuas con la relaciótz
* 4,M,,+ Mn*t*or
4.
lta".,
-- 6")
|
,onstant" en todos los tramos
-/i:'l *
(3,*,
- t,)l#l:^0. (330c)
Fara vigas continuas con momentos de inercia J con.rtantes y luces iguales,
cn toCos los tramos.
M*t.
*
4
M^ + M,*r
vI'o*r.r'R*i*^fi
* S$LG,-, - zE.*
loTf uqr"T%;ffi
6**r)
: 0.
(330 d)
tt$$ADEINFLUEN.IA
1" Nota previa E¡¡ la secciérl :er:rrr;r se estudiaron dos procedimientos distintos para la dctersiirratió¡: de las lineas de influenc.ia de estructuras aporticadas, que tarnbión pueden apiicarse a la viga continua. En nuestro casó, el primer procedimiento, donde la lír:ea dt: infiuencia se halla como elástica de una estructura (n - 1) veces estáticarr:¡:nte ind.eterr.ninada, es el más indicado. A continuación se agregarán algunas cbsrrvaciones importantes para la viga continua.
i.
i-¿¿¡+
Íift*as dc influencia de M como elásticas de una estruetura in -* 1) veces estáticamente indeterminada
A.
F l;a F I-
(330 a)
I
2. Para vigas continuas con momcntos de inercia J constantes en todos ios trarros lcomparar ec. (319)] E'11 ( b) Mn-t !,-t'l 2 ivI^(1,-1 f Iu)t M,-1 1,. + 6 8/ ls" - 9* *' 1, -1"1. o 330 | /, r 3.
F.
Fa
J
+ 6ElD"-1-s' L lr-t
É) á
GENERALIDADES
En la viga continua sc presentan dos probabilidades para resolver por cálculo ei problema pianteado. 1. Áplicación del método de las rotaciones angulares. 2. Apiicación de las ecuaciones de los tres momentos. Sobre el primer caso, no hay nada nuevo que decir: la aplicación se efectúa t'n forma análoga a la vista detalladamente en estructuras aporticadas. Completarrrt'nte diferente se presenta en cambio, la aplicación de las ecuaciones de los tres rrromctttos, que ofrecen muchas ventajas en el cálculo de vigas continuas con ( \lr'('rnos a¡rovados o ernpotrados. Intercalando la articulación sobre un apoyo, "t'r'lrlicrttn dos estructuras más senciilas e independientes una de otra, en las cuales,
á
a ;a C. ffÉ É É É É
tto Gr
É
;o ra ta É É É
a O O O O
J
--
Lineas dc influencia de
M
como elásticas de una estructura (n
-
1)
veces estátic.
indct.
129
t:ada vcz se tienen que hallar tantos momentos incógnitos, como apoyos intcrmcdios
hayan. Así p. ej. al intercalar una articulación, la viga continua de dos tramoñ (fig.240) se convierte en dos vigas simplemente apoyadas; y la viga continua dc tres tramos (fig. 24t) , para ia determinación de la línea de influencia de lll2, rc descompone en una viga simplemente apoyada y otra viga continua de dos tramc¡s. Además, para la determinación de la línea de influencia de My la t'iga continr¡lr de cuatro tramos (fig. 242) se It-t !¡.4 descompone en una viga simple/\ mente apoyada y una viga continua de tres tramos (fig- 242 a) ; It'l U'l t para la determinación de la lírrrÍSl lFniln'n'* nea de influencia de Mj, en dos vigas continuas de dos tramos @ (fig. 242 b). Fis. 210, El c.álculo numérico de estos ll-l U-l estados de carga "ficticiosn' se
ffi
o@@
efectúa con las ecuaciones dadas en esta sección, con Io cual quedan determinados los mornentos flectores. La parte segunda del cálculo consiste en la determinación de las elásticas de cada uno de los estados de carga ficticios
r
o
v los correspondicntes ángulos de rotación pt f p,, de las seccionesO de la articulación. Esto será tratado en el siguiente capítulo. B.
DETERMINACION DE LAS
Fis. !12 a
ELASTICAS PARTIENDO DEL DIAGRAMA DE LOS MOMENTOS FLECTORES En forma conoci,la blema pLrede resolverse ".t"_p.omedian-
M-f
M-t
/ \
;;;;F;
te la apiicación del t Mo
considcrando
+
@o €) ',n, @ el diagrama ¿" ,no,,,.1,'j:lfái:t " @ Fic' 242 b' cidos. Sin embargo, este procedimientO eS baStante lafgo V pUe- Fig. .2{9_ a 942. Determinación de las líneas ilc influerrci¡r M' meliante la intercaler:ión de una ¡¡tict¡lacióu' de ser reemplazado pa;?;"';¿ todo más rápido, con el cual, mediante la aplicación de tabias v noüro5lrarrras de la parte tercera, se resuelven los problemas de las vigas continuas con cartclas
^-,']'.'Eo"a{ru
rectas o parabólicas.
Todo consiste en hallar para una barra con un diagrama de montntos clacl,,, la correspondiente elástica de deformación. Según ia figura 943, este diagrama cl,. momentos puede ser reemplazado por dos superficies triangulares de ,14. Segrin l:r iey de proporcionalidad, ias ordenadas de ias elásticas plra . ada ilna de estlr superficics parciales pueden determinarse con las ordenad¿r-s de la clástira r11 o bicu t2 para M : l. contenidas en las tablas 25 a 28. para difcrt'nte: formas dc barras. con I : 1. Pues bien. las líneas de influcncia de ios .rnsr¡ios cle las r¿lnq(,nrr.\ extremas a1o ó a1o representadas en ('stas tablas. no son otra cosa quc las e'lásl.ica., de una viea simplemente apovada de longitud ' = 1. ,-uando |n anlbos r'\rrem(), actúe alternativamente un par -|t -. I
Determinación de laE líneas de influe¡cia de la viga continua
f30
Líneas de influencia de
:
(M*
-
\t *
M,
t;?;;;;;
con cartelas aii.o*"t*u. Luego,-con las notaciones de ias 245 a, b se obtiene
ü;;;
forma conocida, es decir, son positiaos cuando el ¡¡x¡tttrt¡ to produce tracción abajo, y negatiaos, cuando pnxiulr @ tracción ar¡iba. --üUn Finalmente, para obtener ios valores vcrdadcnrr rlr'
pero como
fi i] : H[I,m[rxnn*.'* @ H ;'H,1* j:.:*l:.*f ;Íu"¡:t lfl @ .-4trunrrnTnnm,to l1"ijlTilJ3"J; *::i¿:" i:T i,ilril:,ff 'od;":l"i -f,n 248.
Ademas
P*n,r+1 :
DE LA ARTICULACION
ángulo de abertura
(336)
tienen signos contrarios, lo que nrt r-r siempre se produce en estructura¡
?is.2l4z.
.*,
Fis,
.*+,Fig.
24{ b.
con nudos desplazables, tratados c¡t capítulos anteriores. En el desarr¡r= llo ulterior del cálculo, el valor dc 7, que reprresenta el ángulo de abertur¡r en la articulación, puede considcr¡¡rsc por sencillez, como suma dc los valores absolutos Ir,I y Ir,l, sirt
h 7
245 a.
:
lp¡ I
+ le,l.
(336 a)
in*) tación en los apovos o sea con
."-.---*[Fie,
tn 245 b.
t t
.l3r)_'-r"*' IIJ ¡"
a)
se obtiene
a ;¡ ;r
los
ángulos de las tangentrs extremas a la izquierda y derecha de la articula-
lación, podrían calcularse según Mor¡n como reacciones de las superficies de los momentos reducidos. Para barras con cartelas rectas o paraMlicas, el procedimiento más sencillo es la aplicación dc las tablas auxiliares de la parte tercera.
!¡
rf ;r
É
a ;)
;f d
y* :
i
y
(337
exn,ntl* | e*r,"-r
(337 a)
,
el
vaior verdadero dcl
l
t I r-1u.1--t-f r" = É i (;',"-r - M^-t.n. vÉu r)¿,'-ñ + (a", ,.t - Mn*t., ¡', #l
(338)
Para simplificar la fórmula anterior, la expresión fntre corchftrs. vak;r cle 7* rrrrrltiplicado por E, se designa con l¡ obteniéndose
(338:r)
^,*-7 Í:'
la (335), las ordt:¡ratl;¡s en trn tranrt¡ r'tr¡tl flector definitivas q¡¡(i) de'ías iíneas de'inÍluencia del mo¡¡rento (i) quiera son, Finaimente, según
la (235)
n,.* llr'i' : j;-:
;,
Los valores 9t Y 9r, que están identificados con los ángulos de ro-
ro...
o bien
l5J/,¡
I
(dn.n.l -.ñfn,t,,
For consiguiente, aplicando (33?)
Donde pr y 9t son respectivamente los ángulos de rotación de las secciones derrtrhr e izquierda de la articulación. En vigas continuas con apoyos sin descensos, debido a aplicación en la articulación de pares r'ualer'üil"rr:.rt:i!:rr:";:;r;:,ri}i:i:
/ \
t...
i3'-:);-fr;' f,J c''
pefO COffiO iVl¡,¡a1 -4 - Lt
Segun (936)
ll-l
üIn-t.n.
-L, (Mr.n*t.En,n*l - Mn*t,n. ¡St)-¡;,,,
g¡* : 9*r,n*t:
SECCIONES
7:9t-9r'
-
(áu,t-l
g*n,n-r:
guiente capítulo se tratará sobre el cálculo numérico ¡l¡ este valor 7, en ügas con cartelas rtctas y parabólicnr
C. CALCULO DEL ANCULO DE GIRO 1 DE LAS
lr..t
-: p*n,o-t: {Mr,n-t.6n,"-t* blo-t,, 'É"-t) ¿7i*Lt Mr,*t:1, Vt*
,,:ilJ*"
i
Fic.
f;;"",
g:.m*i
En geenral, los valores M* o Mn se anulan en el primero y último r¡*¡r de una viga continua, por tanto, en la expresión (335) desapartce Parr ñltil tramos el corespondiente término M. I'os signos de M* y M, se considt'r¡lt rtt
M-_ ll]-UTIrlH t, l--
* 1) veces estátic' indet' l'Jl
¡4s ttoi*inttet utiliádas en esta$ tatúas queactúaenel.extreno' tr, .rr.rp", U:i t.'-----."A.A.^ L las figuras en esquemáticamente ffi'id. *pto""i'uJ.s Y "'3-' Ah";;'bien, las superficies de los momentos en ambos tramos 9"* *Yfl: ;L,:11*r,r' j apliMeáiante iia :,"? 945 b}."i?:*il:' ncgatira {{ig. ü51?fi cuales ur¡a es siemPre Fosltlva Y ñy p, pueden cación de la ley de proporcionalidad, eon-los valores nu:nérices dadot pa:':t buseados, ¿*,*r-i".rr* fkcihienü los valcres angulares verdadercs 9l* -y 9i* figuras 24 a,T: v
('r¡t
-tü#
como elásticas de una estf¡rctura (n
de rotació¡¡ Las tablas 1Z hasta g0 é bien 17 a hasta 90 a, dan ios ángulos ,:j:^*.ljl,."l io-r:Bitul de viga simplement€ apoyada ," s¡Á ¡s ¿Yv/vo ú t t"'
Por consiguiente, mediante la simple superposic;ón de los elemento¡ ¡rr¡tn¡ ¡rcndientes a ambos triángulos de M y la aplicación de estas tablas auxilie¡¡t, rF obtiene la expresión general de los valo¡es aerdaderos y¡* de las ordenndr¡ de lr elástica, en un tramo (i) de longitud l¡. Luego Y¡*
M
,v teniendo en cuenta
(Mn
1,2 \t -r Mn'tf:, Ut.,
I_. -,
o tarnbién 4¡¡(¿r
- *rno*tlt *
hlorlr)
*'t
(33e)
En el cálculn r,rJilo de las expresiones prcccdentes pucclc efectuars( rrtrir pequeíra simpiificació$n. cuan
: -1F.J"
(i40)
------T'f 132
Método abreviado de eliminación
donde
y
tendrá ^,: J
la
€ €
siguiente expresión:
l^\un,f-L - Mn-t,n . Frq) lu-t *
Por consiguiente, para un tramo cuaiquiera influencia 4u,t, buscadas son: ... t;\ rlir"'
:-
?¡^
F:
L ,,.
;(M-\t
(3.1 1 ) {án,*r, - Ma+y,6 .Er} Ir (i) las ordenadas de las líneas dr:
* M^rV)
I¡2.
(342)
Sncc¡óN Snxt¿
},TtrTODC AI}ECT]ADO DE RESCLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES },TET'ODO ABRH\,'IADO
DÉ ELII\{INACION
1" Generalidades I.a resolución dt-' l¡n sistema de ecuaciones lineales desernpeña un papel muy i¡r¡Forl¡ntc en ei cálculo de sisternas estáiicamente incleterninádos, Sin embargo, cxiste Eentralrnente un punto de vista bastante equivocado cc,n respectú ai tiempo necrseriÜ para la t"esolución de un grupo de ecuaciones, Irorque el irabajo rclacionacitr ccn Ésta, se sobreestima exageradarnente. Ücbe ser destacado especialrnente, llue los sistemas de ecuaciones resultantcs detr rnéte¡clo
ii' r1r, t141 {1s) ,.r: !,(;
:-::T
'''
rninirse de estas cuatro ecuaciones X:. obienióndr,s,. otro grupo de tres ecuaciones con ias incógnitas X¡, ti ,t"s.., Siguiendo el procedimiento, sc \lega a urrtt ecuación con una incógnita.
_-* (gl rv) - *.in. *u,,.?i.l?"11"::ti:ffi?,Y-;::JJJ','.T:1Í:,'::il: Esquema u",. del cálcuio conún' ciones daclas, como lambién ias -
ecuaciones de cad:t uno de los pasos. han sido reprcsentadas por sesmcntos. i.,r l,Iiri)('¡:r er:uación de cada grupo ha sido destacada por un segmento grucso ¡rr,i ist:t tit' una cifra romana. Con cstas ecuaciones (I) a (V) , que se llanrar¿irr '
¡J
rÉ
e-
é
fa .a fa é €
ra r.a ea €
F
sa
Descripción de cada uno de los m&odos de
ecuacione, principales, se puede calcular cada
|la ü
c'ü
t etü t ;+ t afr f* J*
a* F
a¡; Jfr
131
una de las incógnitas, operando
11 (V)',En el,método abrcviadrr de cada paso y sólo ¡c écuaciones las to'das escribii desistá de eliminación se plantea cada vez las "ecuaciones principales"' Para la rcalización numérica del cálculo es especialmente adecuada la tabulación. En ella deben estar comprendidas ,odas lai operaciones de cálculo, y dc fuera de la tabla no sea necesarió ningúrr cálculo secundario .,rru -"rr.r" tal, que 'solución para del sistema total de ecuaciones. Las disposiciones dc la esoecial incorporadas hace mucho al método de compensación de. la ;í;i;'f;-rid" problemas de la estática. S."d"-ri. y ," "-pl..n iada vez más en la resolución de Para la representación general de la marcha del cálculo se ha €mPleado Prfferentemente en los textos áe enseñanza de la estática, el método de compcnrad. la gcodesia adoptando las nomenclaturas según Geuss. Por no estar los "ión ingenieros álcutistas de estructuras suficientemente prácticos en la-aplicación rlr' esie método se ha elegido aquí una representación esquemática, cn la cual resalla más la marcha del cá'Ículo y se tiene úna visión de conjunto más fácilmente co¡rtrotable del ordenamiento de cada una de las operaciones de cálculo. La idea básica de esta representación esquemática de la resolución abreviadn de ccuaciones, que se aplica in los ejemplos-I, II, III de las tablas 99,30,31, rs en ¡esumen la siguieñte: En lugai de los aalores num¿ñcos se Ponen -simplcr símbolos y de una ñ'tanera tat, quJ en cada ecuación sólo aparezca ¿¿o de ello¡. Así por éjemplo, en la primerá ecuación un [, en .la segunda un O'- en la
á.rJ..trá,
puru
áa"t"nt.,.', d..ir;"*Pezando Por
terceia un A, etc. Para indicar la diferencia de cada uno de los coeficiente¡ en ta misma ecuación, se utilizan cifras, que coinciden con el número de orden de las incógnitas. Así por ejemplo, se designa el coeficiente de Xr en la primera ecuación con @, en la scgunda ecuación con@, fn la tercera ecuación con ¿\, ett-
€
Ca
cálculo
2. A.
Descripción de cada uno de los rnétodos de cálculo
EJEMPLO
I
PARA SISTEMAS SIMETRICOS DE f,,CUACIONES
La marcha del cálculo según este método sc vc inmediatamente s¡ l¡ ¡r'¡rrt'sentación esquemática de la tabla 29. Teniendo prcsentc la tabla, se darii lr¡rri una descripción detallada. En la primera columna de la tabla se ha consignado la notación de las ecr¡:rciones o bien de las filas que están subordinadas a los términos diagonah's /), mientras que del costado derecho, las filas llevan numeración corrida. AI efectuane cada uno de los pasos, perrnan€cen inalterablcs los símbolos clr' las ecuaciones originales. La diferencia entre los valores numéficos sólo se ex¡)l'('s;r mediante puntos sobre las figuras. Así por ejemplo, en la tabla 29 prcviarrrrn' te se multiplica la ecuación
(I)
sucesivamente por
- H, - B, ., - ff.
s"r,i,,
lo dicho la fila (6) correspondiente a la primero transformación, se indica cotl r,r,r punto, la fila (7) corespondiente a la segunda transformación, ccn dos puntos, clt' De esta manera se obtienen las filas (6) a (9). Debido a la simetría dcl .sislr'¡¡r;r de ecuaciones dado, las filas (6) a (9) no deben escribirse complctanrcntc, sorr suficientes los términos a la derecha de la nueva diagonal. La "ecuación principal" (II) se obtiene inmediatamente, como sum¿rto¡i.r de las ecuaciones designadas con (&) en la primera columna. Tanrbién at¡rri se conservan los símbolos de (Xs) correspondientes a la ecuación dc origcn. r¡r tg¡
r!l.l'
\¡¡¡rIr'
t
F'
Sin embargo, p¡ríl ('xpn'sar l:l rlifcrcncr:r cn sr¡ v:rlor ¡rr¡r¡ririr (), ( ()r¡ t(.$lr( t' a esta c('uación, se c-trnitt: el punlcaclo dcl sí¡nlxrlo y sc lxln(' ¡¡l¡onr r-¡r vr.¿ rlr D¿ y Bz, dz y bt fespectivamentc f ver fila (1{)) l. El paso siguiente es sólo una repetición dcl procedir¡rit'nto scguido lrlrtl
fEl
ahora, o sear se procede a multipticar sucesivamt'nrc
art
por - *, - * I la ecuación (II), asentando los resultados en las filas (11) hastl (13). 'I'am¡rrxi, aquí se han completado las filas, sólo se escribieron los términos a la dcrt','l¡a
de la diagonal. La "ecuación principal" (III) se obtiene como sumatoria de todas las er.uaciones (X3) que se hallan en la primera columna. Ella ha sido consigna
1" Escribir las ecuacic¡nes sin los fvu la fila (1) hasta (5)].
2.
Escribir los factores de transformación
puestos sucesivamente los términos de
(6)
3. M*ltiplicar la
izquierda ác
- át¡ ao"a.
"ecuación principal"
Ía
diag<,nar
para ;1 deben
ser
(I).
(I) por eitos factor.s Iver firas principal" (II), sunrando todas las ecuacio-
Escribir los factores de transformación
do.,d" pata z¿ deben s.r la "ecuación principal" (II). 6. . Multipiicar la "ecuación principal" (II) poi estos factores fver filas (t 1 )
puestos sucesivarnente los términos de
-
la
a la
"ecuación principal"
hasta (9)1. 4. Determinar la "ecuación nes (&) lvcr lila (10)1.
5.
términos
- f,
hasta (13)1. 7 . Dcterminar
la "ec.uación principal" ( III ) , sumando todas las ecuacir¡fila (1+;], etc., hasta el planteo de Ia última "ccuación principal". 8. Dcterrninar en st.ntido inverso las incógnitas, empezando por la úitima "er-r¡ación principal". (Vrr tarnbién el ejemplo numérico dc la tabla-29a). B. EJEMPLO II PARA SISTEMAS SIMETRICOS DE ECUACIONES Esta dispcsición del cálculo, representada esquemáticamente en la tabla 30, ,,,",1o ric," i¡ru('stra un orden distinto de cada una dc las operaciones de cálculo ,,rrrparaciór: con cl dc la tabla 29. iiir ¡rrir'cr térrnino, se escribe en Ia fila ( 1 ) Ia ccuación dada (1* ) , sin , ,rr,ri'i¡rll dc fo.rrna y considerándola "ecuación principal" (I). Inmediatanlente ' ri. r'¡r¡,tria:'de forma. se cscribe en la fila (2) la ecuación dada (2*) y debajo ,1., ,lla. la fila (3), representada por la "ccuación principal" (I) multiplicada ncs (,Y7) f*er
l¡¡'r
FÍI
ta fila (4) o sea la "ecuación principal" (II) -F-' Ut
se obtiene sumando
L', l¡l:rs (2) y (3).
(:()rr¡o se ve, en este caso se cjecutan sólo aquellas operaciones de cálculo ,.!,,' , ', .r'( ('sarias para la dctcrminación de la "ecuación principal" siguiente
lr, '
t.r ur,rn('rA, se agrupan una debajo dc otra las filas a sumar. l'¡r., r I ¡rlanteo de la "ecuación principal" (III) se escribe en la fila (5) la rf 'r' ,,',, ,l,t,ln i3*). sin cambiarla. v se pone debajo, la fila (6) representada
¡{
!{
|r{t ¡llt ¡É
rrt ñ
F}
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H
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x ;r ¡l ;;
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r| ¡?
'|t It * *
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It
t
ü
O
Drscripción dc cada uno dc tos nrétodo¡ dc
por la "ecuación principat"
(I)
multiplicada
por '
- +I)t
cÁlculo
t 16
Finalmente se escribc
La la fila (7), que es la "ecuación principaf' (II) multiplicada por + suma de las filas (5) a (7) nos da la "ecuación principal" (III) en la fila (8). De la misma manera debe efectuane la determinación de las demás "ecuaciones principales" como bien puede versc en el esquema de resolución. En resumen, la marcha del cóIculo se efectuará según el ejemplo Il, de la siguiente manera:
1. Escribir la ecuación dada (1*) a (5*) sin los términoa a la izquicrda de la diagonal. 9. Escribir la ecuación (l*) sin cambios, como "ecuación principal" (I) [ver fila (1)].
3. Escribir la ecuación dada (2*) como fila (2). ts 4. Multiplicar la "ecuaciónprincipal" (I) por el factor - -T lvcr fila (3) l. 5. Determinar la "ecuación principaf' (II) mediante la suma de las filas (2) y (3) [ver fila (4)]. 6. Escribir la ecuación dada (3*) ccmo fila (5). m yh 7. Multiplicar Ia "ecuación principal" (I) por el factor -6: ft) "ecuación principal" (II) porel factor -É fver filas (6) V (7)]. 8. Determinar la "ecuación principal" (III) mediante la suma de las filas (5) a (7) [ver fila (8)], etc., hasta el planteo dc la última "ecuación
principal". 9. Determinar en sentido inverso las incógnitas X¡ a X¡, empezando por la última "ecuación principal". (Comparar con el ejemplo numérico de la tabla 30a). lJna comparación de las tablas 29 y 30, nos muestra la relación de ambo¡ métodos de cálculo y las diferencias en el ordenamiento de ellos. Para la aplicación, ambos métodos son casi equivalentes.
c.
EJEMPLO
tII
PARA SISTEMAS ASIMETRICOS DE, ECUACIONES
La diferencia con respecto a la resolución de sistemas símélricos de ecuaciones sólo consiste en este caso en lo siguiente: los factores de transformación en la segunda columna, no se obtienen sencilla y directamente de cada uno de lo términos de la "ecuación principal" recién hallada, sino que aquéllos deben ser calculados separadamente, debido a la falta de simetria. Pero también este procedimiento puede ser completamentc mecanizado, según el ejemplo III dc la tabla 31. El procedimiento a seguir en este caso, también está ordenado en la segunda columna de la tabla. Los factores de tra¡uformación de la "ecuación principal" (I), todavía pueden ser deducidos inmediatamente de las ecuaci<¡nes dadas. También aquí estos factores de transformación tienen un denominador común D1, mientras que como numeradores aparecen sucesivamente, los demás coeficientes de X1 de las ecuaciones dadas. Con ello obtenemos las filas (6) a (9),
en las cuales tratándose de un sistema asimétrico de ecuaciones, deben escribirse todos los términos. La "ecuación principal" (II) se obtiene mediante una simple sr¡ma de ttodas las ecuaciones (Xg). Los factores de transformac.ión de la "ecuación principal" (II) tienen el común denominador d3, corlo en el caso de la resolución de un sistema simétrico. Los numeradores correspondientes son sucesivamente X(Xs:), X(X..2), )(Xar). El primer subíndice se refiere a la numeración de cada una de las
Cálculo simplificado de estructuras hiperestáticas de grado sul)(.rr)r
136
Método de iteración sirnple
en la primera. coiumna y el segundo subíncli<'r', ;r l;r rr'lu¡rutr delas incógnitas. Asi p.ej.>(&,2) significa la suma de aqucllos ti:r¡¡¡ir¡o¡ rlr lo¡ ecuaciones (&), qu. aparecen en la columna. X2. La "ecuación principal" (III) se obtiene como en los caso¡ ¡rnlr¡ior¡, sumando todas las ecuaciones {X3). El cálculo ulterior, es parecido al descripto recientementc. l,t¡s lar'k,rr'¡ rlt. transforrnación de la "ecuación principal" (III) tienen el común dcnorrrirrnrlrr rJ¡ Los numeradores correspondientes son sucesivamente )()la,rs), )(Xo,s). Ar,l ¡xrr ejemplo, )(Xr,r) es la suma de aquellos térmi'os de las ecuacic¡ncs (,\'¡), i¡rre aparecen en la columna &. La "ecuación principal" (IV) es la suma de todas las ecuacioncs (J¡). De la rnisma manera se obtiene la "ec¡.¡ación principal" (v). l)t'¡u.rrrrrl,, c_on lo explicado anteriormente, la determinación de cada una de las i¡rcrlg¡¡lt¡¡ X5 a Xy puede obtenerse de las (V) a (I), operando en sentido i¡rvr.ni,i. Resumiendo la marcha del cálculo según el ejemplo III, para ¡irrrruar asimétricos de ecuaciones, deberemos: 1. Escribir el sistema completo de ecuaciones lver fila (1) hasta (5) | 2. Escribir los factores de transformaeíón - $-, poniendo succsiv;rrnr.rrt¡' en lugar de 21, los coeficientes de Xr de las ecuaciones dadas. 3. _Multiplicar la "ecuación principal" (I) por estos factores Ivt.r (6) a (e)1. 4' Determinar la "ecuación principal" (II) mediante la suma dc trxJl¡ lnr ecuaciones (X2). ecuúciones dadas
5.
Escribir los factores de transformación ft-. Poner sucesivanrcntr rn lugar de z2 los valores )(X¡,c) ,Z(Xn,z), )(X0,"), dondc por ejemplo )(Xr,r1 significa la sr¡¡r:a de aquellos térrninos de las ecuaciones (i3¡ q". aparcc(.rr r.rl
la colurnna X2. 6. Muitiplicar la "ecuación principal" (II) por estos factores [vt'r (11) a (13)1. 7. Determinar la "ecuación principal" (III) mediante la suma de t<>dls lrrn ecuaciones (X3) iver fila {14)], etc.. hasta el planteo de ia última "ccnat.ir',rr
principal". 8. Determinar en ei sentido inverso las incógnitas, empezancio con la últi¡lrn "ecuación principal", (Compárese también el ejemplo numérico de
Ia tabla 31 a).
Ssccrór.r SÉpr¡lr¿
CAI,CULO SI}4PI.IF'ICADO DE ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS DE GRADO SUPERIOR I. ACLARACION PREVIA _ Los procedimientos para el cálculo de ios diferentes pórticos múltiples tratados hasta aquí, constan en su faz práctica sustancialmente de dos partei: tabulaciírn de las ecuaciones de condición o matriz de los coeficientes y la resolución de
estt-.
sistema de ecuaciones.
Para la ejecución de esta primera parte. deben hacerse previamente ciertos
lralta.ios preparatorios relacionados con Ia determinación de las constantes de barra
o I o
137
y los términos dc carg:r. Estos trabajos se simpiifican y facilitan considerablemcnttr mediante Ias tablas arixiliares que figuran en la parte tercera de este texto. En general, el planteo dc las matrices de los coeficients tampoco ofrece dificultadcs, pues para las difurcntes estructuras portantes han sido deducidas ecuaciones dc aplicación inmcdiata, pudiéndose efectuar el cálculo, en la mayoría de los casos, casi mecánicamL'nte. En cuanto a la segunda parte dei cálculo, o sea la resolución de las ecuaciones propiamentc dichas, se llega rápidamer:te a los resultados, aplicando el procedimiento simplificado de eliminación, indicado en las tabias 29 a 31. $in embargo, en estructuras hiperestáticas de ¡;rado superior. el núrnero de ecr:acioncs es muy grandc y cl c;iiculo se hace sumamente exteriso, aún aplirando 1or esqutrrnas para resoluciones abrcviadas. En estos casos se recomienda tener en cuenta los métodos quc pcrmitcn evitar la resolución dirccta del sistcma de ecuaciones dado. Naturalrnente, cl rnétodo más sencillo para sirnplificar cl c:ilculo, ,v sir:ruprt de acuerdo con la caracteristica del pórtico. sería su descorlposiciór.¡ crr varias partes. Dc esta manera en lugar de un extenso sistema der ecuaciones. siilo tendríamos que resolver varios pequeños grupos de ecuacioncs. I)e esta desconrposición ptrede hacerse uso preferentemente en pórticos inirltipies con nudos fijos o poco desplazables. pues en estos casos, en €feneral, es más fácil apreciar las influencias de los elementos de pórtico vecinos. En carnbio. cs mu) poco fá.t:il realizar la separación antcdicha en estructuras con grandes dcsplazan:ientcrs. por lo cual habrá que proceder con cierto cuidado al aplicar en este caso ios procedimientos de simplificación. En esta sección se establece definitivamente, quc lrts coeficientes de deformación deben ser determinados con la aproxirnación nccesaria en la práctica para toda Ia estructura. En esta parte s€ considerará eI método de iteración apli<:ado en las rnatemáticas y en los cálculos de compensación de la geodesia. tlitimamentc la itclación ha merecido una es¡:ecial atención por parte de los ingenieros de estru(:trrr¡s y ha encontrado miiltiples aplicaciones. Aplicando la iteración a la resolución de pórticos múltiples, se obtierre r¡¡cdiante procedinlientos sencillos una aceleración considerable de ios procedimicntos de cálculo corrientes, comc) se indica en el capítuio III de esta seccién. Sin cmbargo, se hablará previamente sobre la utilidad v aplicabilidad dc la iteración sirnple.
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I o I I I t t
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ü. EL
METODO DE ITERACION SIMPI-,E
l.
Generalidades
La hipótesis más impcrtante para la aplicación ventajosa dr: los difcrcntes métodos de iteración 1, es el planteo adecuado del sistema de ecuaciones a re$olvcr. Cuanto mayores sean los coeficientes de los términos diagonales en su valor nrrrnérico.
en comparación con los otros coeficientes del sistema de ecuacic¡nes. tanto rnás rápida será la convergencia, es decir, tanto menos repeticiones de cálculo son necesarias para obtener los verdaderos valores dr las incógnitas. En general. sólo se obtendrá una buena convergencia. cuando en cada ecuación el coeficicntr' del térrnino diagJonal sea mavor que la suma de los coeficientes de las dcmhs incirgnitas de la misma ecuación.
_ 1 Comparar entre otros Brvan, Do¡¡r¡ tnota al pie. pág. 4{ ' 96 'I".lx¡g¿}'¿. Rahmentafeln, (tablas pa-ra pórticos), Berlin, 1g30.
138
Método de iteración simple
El concepto de todos los métodos de iteración es el siguiente: Primero sr' trata de obtener valores aproximados de las incógnitas, utilizando luego estos
primeros valores, para determinar sucesivamente con cada una de las ecuaciones, los segundos valorcs aproximados mejorados. Mediante la repetición de este procedimiento, empleando cada vez los últimos valores obtenidos, puede afinane el resultado, hasta que finalmente los nuevos valores obtenidos no sufran variación alguna. Estos últimos pueden ser considerados como los valores aerd.aderos
de la incógnita buscada. Toda Ia marcha del cálculo puede efectuarse mecánicamente. Un probablc error de cálculo durante el proceso de resolución, se nota con el crecimiento de repeticiones a efectuar, pues este error, que influye naturalmente sobre una parte de las otras incógnitas, sólo desaparece poco a poco.
2. Aplicación de la iteración
en Ia estática de la construcción
Se puede aplicar la iteración a la resolución de un sistema de ecuaciones, siempre que éste sea de una estructuración adecuada, con el fin de obtener valorcs muy aproximados de una manera sencilla. Por ejemplo, haciendo en la primera ecuación todas las incógnitas desde X1 hasta X,, igual a X1', se obtiene la primera aproximación grosera del valor numérico de X1'. De la misma manera se pucdt: obtener de la segunda ecuación, el valor de X2'. utilizándose naturalmente para x1, su valor aproximado Xt', ya calculado.
Otro camino para obtener el primer valor aproximadó consiste en eliminar de cada ecuación todos los términos, con la excepción de los términos diagonales dnXo y el término absoluto so (es decir, del término de carga). De esta manera se llega a los primeros valores groseramente aproximados x' de cada una de las
incógnitas, calculadas sucesivamente con las ecuáciones arbitrariamente simplificadas
v,:
¿Ln
a^ -i!-.
(343)
Naturalmente, estos primeros valores aproximados pueden ser determinados por cualquier otro método, pero debe tenerse muy en cuenta, que el número de cálculos necesarios, disminuirá tanto rrrás cuanto más exacto sea este primer valor aproximado.
Al comparar con el método de las rotaciones angulares se podrá decir cn lo succsrvo. que para estructuras con nudos indesplazabl¿s las ecuaciones plantcadas se resolverán siempre sin mavores dificultades, aplicando
Ia iteración, pues
los
coefir:ientes de los términos diagonales preclominan cbnsiderablemente sobre ios otros. ',' ics demás térIninos. En contraposición con esto, tendrán que tratarsc con
É
cierto cuiCado las estructuras con nudos desplazables, pues para ellos cs notablemente arriesgado efectuar hipótesis de buena convergencia. Arí por ejemplo, en las ecuaciones nudales donde aparecen los términos 1.,, en la mayoría dc los casos los coeficientes de los términos diasonales. va no predominan sobre la sunra de todos los dt'más coeficientes de la ecuición. Este fenómeno tiene lugar también cn las ecuaciones de desplazamiento. sobre todo cr¡ando las incógnitas son A ó 6. Para obligar en esos sistemas de ecuaciones a converger favorablementc. Pueden efectuarse diferentes transformaciones que a su vez significarán un aumento del trabajo dc cálculo. Así por ejenrplo. se podría hacer desaparecer primeramente los términos ry' o bien, los A ó E del sistema total de ecuaciones. Esto st, ¡rrrede efectuar con relativa facilidad. cuando en cada ecuación sólo hay un tirmino ú, o bien A ó 6. Se determinan sucesivamente estos ,ralores con las
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Ventaji;u y desventajas del método de iteración
ecuaciones
simple
de desplazamiento en función de los ángulos
119
rotación de
los
-de nudos g, existentei cn ellos. Procediendo de esta manera, los valores tratados' que difióultan la convcrgencia, se eliminan también de las ecuaciones del nudo' disminúye el- número primitivo de ecuaciones en tantas' com() Si*,rltát "u*ente ,otu.i¿n de h tarra desconocidos o bien coeficientes de desplazamiento a"g"for d. recíproco debieran determinarse. Este procedirniento falla cuando en las ecuaciones de desplazamiento aparecen aarios términos ,y', o bien A ó E, como P. ej, en estructuras aporticadas asimétricas con desplazamientos verticalés, p"t. i"t iuales el método de iteración simple no es recomendable.
3. Ventajas y desventaias del método de iteración
simple
En primcr lugar habría que investigar en qué casos debiera..preferirse rl método de iteracióñ a una resólución dirécta. AI tratar esta cuestión v a Pcsar para aplicar el método de itcración' simuld. qr. la convergencia esté asegurada "cuenta 'dOs circunstancias importantes, a saber-: t'l táneamente dcberán tenerse en de estados de carga a analiz¿r' y cantidad número de las ecuaciones existentes la Ante todo, debe tenerse muy en cuenta gue Para la aplicación del método dr' iteración, todo el procedimiento tendrá que repetirse completamente v Por scplrado para cada uno de los estados de cárga, mientras que la resolución directn permiie encarar simultáneamente un númeio indeterminado de estados de carga' En las estructuras hiperestáticas de grado superior, el número de los estador (lrlr de cargas a calcular debé rcducirse a li mitad. El número de ecuaciones. naturaimente depende de la característica de la estructura, en^la nrayoría dt'lrts casos no es mayor que 10, en casos excepcionales sobrepasa 20 y sólo raramcnlt' es mayor que 30.
Ñaturalmente, es muy difícil, establecer una rtgla general que fije cual de los dos procedimientos es más ventajoso, pues en este caso influye tambjó¡r el criterio del calculista. Sin embargo, p^r^ fijar cierta norrna para la-.elecciórr entre los dos procedimientos, t. prr*.d.-decir de acuerdo con las expiicaciones precedentes qü deb.rá preferirse- la resolución directa según ei método alrrr'' rri^do d" eliminación, al método de iteración simple. cn los siguientt:s t'asos: 1 . Cuando sólo existen 8 a 10 ecuaciones' 2. Cuando se dispone de 10 a 15 ecuaciones con Por lo menos dos cstados de carga. 3. Cuando deben tratarse l5 a 20 ecuaciones. con Por lo menos lr|r
de carga. Por consiguiente, el método de iteración simple equivaldrá o avrntajar;'r en casos excep-cionales al método directo de resoluiión. La razón para. ello r"s Cuando se compara el número de cálculos, es decir, nrulfácil de ".r.ont."r. q,t. son necesaria? P?ra resolver p. r'j' tiplicaciones, divisiones, adiciones, "i.., según el método de iteración' con t:l incógnitas, un sistema de ccuacioies con 5 número de operaciones necesarias lara la resolución del mismo sistema dr' ecuaciones .piicundo el método abieviado de eliminación ítablas 29 a 31 ) entonces no'cs difícil de reconocer. que en este último. el trabajo de trilt'uk' es notoriamente más pequeño. A esto debe agregarse que. en el último ('as() disminuye notablcrncnü cl peligro de cometer errores de signos. pues-cn cadrr deben ser iguales o contrarios a ios dc l:r una de las filas. siempre l* .[-nor -resultando más cómoda la l'isión de conjurrlr' ecuacién principal prccedente, v más fácil el iontrol. En el método de iteración. en la mayoría de los cascts.
estados
", l4O i Método de "sistema¡ reducido¡"'
es
el
col una'apreciaciós relativa de las.incognitas vccinat
difícil descr¡b¡ir posibles ero¡es, pero estos influyen naturalmente a prolongar proceso de resolución, lx¡es traen coasigo el crecimiento del número dc
operacirones.
.*
t-
III. METODO I}E "ISISTEMAS
BEDUCIDOS' CON UNA
APNSCIACION ATLATTVA DE LAS INCOGI\IITAS YECINAS (MEI\ODO DE REDUCCION)
l.
Introducción
Desde hace mucho, los matemáticos se han esforzado para encontrar artificios que permitan la rapida convergencia del método de iteración simple, cuando la estn¡cturacién de las ecuaciones es desfavorable. Así C. F. Geuss I ha demostrado como mediante la introducción de incógnitas auxiliares, se podría alc,attzar este propósito. Sin embargo, este procedimiento se refiere en general a sistemas de ecuaciones, sobre cuyas- incógnitas no podemos informarnos de antemano en cuanto a sus magnitudes y sus signos. Estas circunstancias dificultosas no tienen lugar frecuentemente en las ecuaciones de la estática de construcciones. Aprovechando esteq circunstancias, par¡r muchot tipos de pórticos se pude obtener un acoÉamiento considerable de la operación de cálculo, en base a raciocinios estáticos, como también mediante la hábil
combinación del método directo de resolución con el método de iteración, efectuando simultáneamente una "estimación relativa" de algunas incógnitas. E¡te procedimiento de cálculo cornbinado, que el autor ya ha desarrollado en su conferencia 2, y gue en cierto grado representa el método de iteración abreviado, se llamaní en adelante, debido a su €special característica, brevemente "método de ¡educción". Este es especialmente adecuado para estructuras hiperestáticas de grado superiorr. y $e dará a conocer sucintamente a continuación,
2. Aclaración genenl para el método de reducción La figura 247 representa esquemáticamente un extenso sistema de ecuaciones
cualesquiera, en el cual los coeficientes de los términos diagonales ( :
), predominan sobre los de los dem¡is términos ( ) . Si se sacara de este sistema un pequeño Srupo, p. ej. las ecuaciones I a 5, entonces aparecerian en él naturalmente más incógnitas que ecuaciones (fig.948). Así, las incógnitas & a Xode las filas 6 a n son superfluas y deben hacerse desaparecer, si se quiere hacer posible la ¡esolución de este grupo de ecuaciones. Si se eliminara simplemente estos términos, lo quc equivaldú suponer en una primera aproximacióo Xa: Xz: XE: ... : X,: :0, o sea aceptar la hipótesis de que Í(Xe, Xz, ..., Xn):0 en las ecuaciones iniciales. La resolución del pequeño grupo de ecuaciones (fig. 949) obtenida bajo esta hipétesis artificiosa, daría valores aproximados para Xr hasta X5, que serían tanto más inexactos, cuanto mayores fuesen los errores cometidos por la simplificación. Es una evidencia a todas luces, que será más ventajoso introducir en lugar de las incógnitas hiperestáticas, valores aproximados utilizables, que igualarlas a cero separadamente o junto con sus coeficientes.
É
t, t-
I JonoeN: Manual de Topografia. Tomo I. Stuttgart, 1990. 2 Gu¡-o¡¡: Ein Beitrag zur Vereinfachung der Berechnung hochgradig statfuch uDbestimmter Tragwerke. HDl-Mitteilungen, Jg. 1931.
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I¡lterp¡etación estática
Enestoconsisteladiferenciafundamentalenlaresoluciéndetale¡sistema¡ y el signo' en contrad. ..rytJ i"tJg"it"t se desconoce la magni¡u{ construcción' donde l" dt estáticá la de posición con los .irt"*"r'á." ..rr..i*.t por lo ft€tuentefnente'es muy facil efectuar, caso este En aproximadas' ;;;;;, indicaciones l¡ T' Lt f. X¡ supouna hacer .es necesario absolutamente no las incogrf"li" tti* los valore' "absolutos" deestimar sus suficiente es *üt-ftip.t ttáticas; lalinde una a ptoporcionalment¿ *"g"it"i"t 'Esta cócnitas que perma¡recerá en la ecuación' ;üti-Uá" Jelativa" no sólo tiene la veltaja fácilmente re¿lizable, sino también' d;; rnas -ittno.ncit mas favorable en el cálculo' ;r; ü"L t"" """ estimación de valores "absolutos"'. --- ''";'"1-i; i""T"üy'i:¿f il""T'"'0"*";"'' Ti#:T'11'J'J"lX1liI}'"li'Li"'io".' -'o de ecuacioner,
contiene deforrrraciones' estudl2nc¡ "' r r____:__.^y desplazamientos rotación de Jr á""it, ángulos x. t 'Lt iniciales, que dan ,rta bare segura para el fr€'lE;lgi4EiEi ffi todo'.esante incógnitos;'entonces corresponde ltl=it=i-.=H=t:i H incógnitas.hiperestáttcas
que venlmos
ti*-+,*=Effi L Ef Xaain,proporcionándolasalasincógnitasini-|tFffiT=1= ciales Xi 7 lf , u determinar' Para facilitar esta *'n01"oil"?"1"rfr:'"to"* estimación, se darán más adelante reglas y con-
timai groserarrlente las
-t+
sejos para los casos más frecuentes'
-
b.
esta manera se logra obtener valores aproximados muy buenos para las incógnitas
iniciales, que dán una baie segura para el cálculo de las demás incógnitas' Estas se determinan luego ordenadamente, reemplaándolas en una ecriacién, en la cual ya han sido intro-
tr%, ouHilu"oilH":ilff'.X,:'Ji para d; dáp"é" d" lg elimin¡cién X3 td, incógait* hipereFtáticab' las allí contenidas se
ducidos los valores conocidos,'mientras que
to':
do
las incógnitas hiperestáticas puede vólver a efectuar una nueva "estimación también relativa". Después de calcular cada nueva-incógnita, P":d:. controlarse fin de el con someramente la "apreciación relativa" que titü¿ plá hailarla' groseros' determinar y corregir a tiempo posibles errores los valorts con esto re ci.rra-.I prihrr'puuo de cálculo. El aJinamiento decomo en el proceder puede Se *utt'u' difeiente i. obtenidos, puede lograr." sepacálculo, de paso método de iteración .i""¡r o ti"r, se efectúa un segundo Para solución' su efeciúa ecuaciones fse rando de nuevo un p.q;no grupo de drrl valores lo* las incógnitas hiperestática, i.,éaen introducirse directamente la "estimación apiicar a primer paso o bien en algunos casos, puede volverse fácil realizaciórl relativa" que con ayuda dJ to, valores ya.calculados' es de-más con.iunta de las determinación la de Desfués .af."lo. a" prirner p"r. que en el paso' Dc una ptimer el ;;;; ir,*goitt, irri.;"ü, .. p".a. continuar como enefeciuar cálcr¡los' nuevos a e'entualmente manera análoga se deberá proceder
3. Interpretaeión
estática
ya. explicad
1'f2 Método de
"sistema reducido". Esto se ve claramente en Ia estructura de la figura 950, dondc el "sistema reducido" elegido h. 199 dibujado con líneas más gruesas y representado separadamente en la figura 251 en una escala mayor. Las ecuaciónes funda-
mentales de este "sistema reducido' se plantean en forma tal que no quede afectada su relación con el resto de Ia estructura, resultando estas ócuaciotr.i po, el momento identificadas con las ecuaciones correspondientes al sistema geneial. sin embargo, - el -sistema de ecuaciones obtenido tiéae más incógnitas q.ré ..,r"ciones. Las- incógnitas superfluas, o sea los ángulos de rotación g6, 91e, 9¡.¿, 9rs, 9r¡ de los nudos vecinos y el ángulo rotación de ra barra ,/r, t¡al siaó
-de de rotación de la barra
ry'2,
han
sido
especialmente consignados en la figura 251. De esta manera deberán deúrminarse simultáneamente cuatro insógnitas inic'ales g7, 96, ps ! *t. EI ángulo de rotación de la barra 9rz, del pisJ inmediato superior, también podrl ser incluído como incógnita iniciál en el ,,sistema reducido de ecuaciones" (ver ejem-
plo numérico 26).
Fis.
250.
""t-"r"."""i1:rricada
con un ..ai¡tema
.r*
1u*uriHf"-: ""*:iit?r,l"of, l::.n?:l,;*
,-
Las incógniias hiperestáticas existentes deben ser eliminadas mediante la aplicación de la ."apreciación relativa" respecto a las incógnitas iniciales qr¡c aParecen en el "sistema reducido". El cálculo numérico de eJta apreciación, que g-eneralmente depende tanto de la estructura del pórtico, .o-o t"*tién del "rtudn de carga, se tratará después detalladamente. La resolución del "sistema reducido de ecuaciones" y la sucesiva determinación de las demás incógnitas, partiendo de cada una de las ecuaciones del qistema general, representa el primer paso, al cual siguen ulteriores operacioncs tle cálculo, según la sensibilidad del pórtico y la exactiiud requerida. Surge la p¡egunta, desde qué punto de vista deberá haierse la elección del "sistema reducido", para llegar más rápidamente posible a la meta. Evidcntemente son aquí también de fundamental importancia la característica y el esta"do de cargas del pórtico a tratar. Para estruct.rlu., con nudos izd¿s plazabíes se ncccsitarán menos incógnitas iniciales, que para las de nud,os despiazables. Sin embargo, la elección no está superditada J una regla determinada. Frecuenteme¡¡ie será de mucha ventaja elegir el "sistema reduciáo" de tal manera. que abarr¡ue también las condiciones en los extremos de la estructura, pues usí. ré ptd.a op"l", con un número mínimo de apreciaciones. Es evidente, que el "método de reducciones" también es aplicable cuand. en las ecuaciones aparecen como incógnitas ros momentos, corrrb p. ej. en las ecuaciones de los tres momentos para el cálculo de ügás continuas y-
É
sistemas similares.
Aplicación del método a las esttucturas
-€
"sistemas reducidos" con una apreciación relativa de las incógnitas vecinas
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Jfca F: Ga
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F F
4" Aplicación del método a las estructuras
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indesplazables
Para Ia aplicación práctica del "método de reducción", siempre es rec()n)r'n dable plantear ante todo las ecuaciones de condición completas, para tod¡r lrr estructura, y recién entonces proceder a la elección del "sistema reducido", conr
A. ELECCION DEL "SISTEMA REDUCIDO'' En las estructuras indesplazabl¿r se parte en general de un "sistcma reducidr," muy sencillo que contiene sólo do.r a tres incígnitas iniciales. Sin embargo, si l;r tstructura prescnta en algunos lugares irregularidades especialcs dc forma o estath, de cargas, en cuya zona de infiuencia se hace dificultosa Ia apreciación dt. lrrs incógnitas. entonces es recomendable incluir esta parte del pórtico en el "sislcr¡¡rr reducido".
.
B, R,EALIZACION DE LA "APRECIACION RELATI\:A'' Scgún la caractc'rística dc la estructura ).su estado dt'cargas, sr'prrrrltrr aplicar aquí varios procedimientos. Sin embargo, en el fondo cl problerna crtrr sistirá siempre en la apreciación aproximada dcl ángulo de rotación dcl nudo c',, en función de un ánguio de rotación s,, de un nudo vccino. Esto pucde t'x¡rrr. sarse en la siguiente forma: gr=7"9n
(J'l'1
I
o bien y,L -9¡
(34'l
;r )
En primer lugar se mostrará. como para la estimación dr'l coeficicnlt' r l, proporcionalidad y" de cada una dc las ecuacioncs pueden obtcncrsc fór¡¡rr¡1,r,, auxiliares utilizables. Para evitar complicaciones. se ha partido de un entramado de edificio dc estructura uniforme, en el cual las cargas de las vigas de los pisos vecinos no difiercn rnucho cntrc sí. Las ecuacioncs nudalcs para los dos nudos n y r situados uno cncima del otro. son según ia (18) : (r)
É
J* ;J
indcsplazablcs
dngn*)kn.;s,¡ *r,,:0
(3+5)
¡
d,c,*)4,.¡g;*s":0
(n)
Cr¡n la hipótesis aquí establecida, sc considerara los ángulos de rotaciírn 9, ) 9, en función dc Jos rcspcctivos ténnincx de carga en los nudos rn )' .r" ), los coeficicntes clc rigidcz dcl nudo dn y d,i mientras que los demás térFig. 252. Estructurn iD(1,¡ mino,s dc Ia ccuación. tendrán en estoi casos una imporplazablc. tancia mt'nor. Sentado esto. sc eliminarii los térniinos ) *n,¡ Er y ) 1",¡ s ¡ de las ecuacioncs dc los nudos \345) " para obtent'r lor ii
printt'ros 'u'alort's aproxirnados
dt'{,, r'+,
sencillas
9r*-r-
on
)
y. llegar de t'sta
c,=
) At
n¡¡)etit a l¡r-s f
3.1(i
)
conccptualrnente coincidente con la 1343). Estos valores sc podrían considerar exactos. si ias sumatorias simplificadas fut'r;rr¡
I
14,4, Método de "sistemas reducidos" con una apreciación relativa de las iacóg:nitas vecinas
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É',0
*r : g.
Pero cuanto más estos valores difieran de ccro,
? sn y Jr- resPec_tivanlent('' tanto rrrenos exacta será la estimaciór¡. En cambio, gracias a la hipótesis establecida la relación
es decir, cuando mayor fuese su influencia con respecto
e¡ . 4:-. *(lr :n
dn
)-
utu
9r:--,
d
r
Jl
(347
sn
será afectada de un error mucho mer¡or.
La razón de esto surge de la colnparación de ia fórmula aproxirnada (347) con ia expresión exacta, obtenida de la (34'5) o sea 9¡ 9n
s,*X4.,¡E¿ s,,*)&'.¡q¿
dn
¡
d,
(34,e
)
i
llebidc- a las hipótesis establecielas, rr ) s.. serán para los nucios (r) y (n), situados uno encina del otro. de aproximaclamente ig.ral categoía; asirnisn'ro ias sunras E¡ no diferirán mucho entre sí. Simplificancio entonces estos plr".o*u t
40,¡
y en el denominador de la ecuación (349), sc olriir:rii la rxpresiírn (347), sin que el l'alor dcl quebradc varie ir;rryormcntt. i-a ¡:stirnación seg';n la íórmula (347 t a bien (348) grrá en general, de burna aceptación para estos cascs. En caml¡io. estas fórmulas no satisfaccn en los casos donde ei ténnino .r", es igual a cr-'ro o bicn es muv pequeño, corr. respecto a s'" En estos casos, colrto en estructuras irregulares en general, scrá más adecuado elegir otra forma dt' apreciación. {-In método sencillo será aquéI. en el cuai se efectuará la represt'ntarión aproximada de Ia posible deformación de la estructura, teniendo en cu(^rrlrr Ia rigidez de los.diferentes nudos y procediendo luego a la estimación groscra dt' Ia,s reiaciones de magritudes buscadas dc los ángulos de rotación de los nudtts vecinos. Partiendo tam'bién aqr:i dc la fcr¡na gtntral (344) o sca (344) 9ri=1".9*, en i:ase a los razonamie¡rtr:s anteriores, será entonces sr¡ficientt adoprar un valr¡r rrdondo para y.. Se pondrá por ejemplo x:1, es decir, ,jos sumamdos en el numerador
9'::
9il
(350)
hava proi:atrilidad cle que v, y yn defieran rnucho. En el caso dc nt, r:;:.-:,,ri';-Ee de suficjentes eiementos de juicio para 7a estirnación de :," en (344') v ',;ue ni siqr.riera fr:cra ¡:csible justi¡rreciar con seguridad los signos de I' o bicrr dr ?r,, rn{.c}n{rfls se rr:comitnda hacer r,.:0, es decir, poner también
¡uando
¡rr-.
p,=0. Para otros o
casc,s
(351
)
:'rsuitar;i natr¡ralmente tarnbién
0{v.(1 x) l.
]a
;¡-
)
(348)
'-'9n
€ é ¡-
(352) (1,)1)
Frobal:les errores de tales apreciaciones tienen poca influencia" pues esos roPcl cutcn sirrnpre sobre términos secund¿rios de }a ecuacién. Si sc deseara en estos casos. donde el término de carga en ei nudo s" es iqr¡al ;r cct-{) (r rs mu\¡ pequeño. una navor eractitud en la apreciación de ,/' entonces scl.i;r también dc buena utilidad el siguiente raciocinio. Cuando Ja barra n-r cstri tit r-
te t€ €
I
ré r¡a ;a ;a f) ]) f?-
a{ ¡t é .-
aA É É ;* é ú É
e É
.Aplicación del método a ias estructuras
indesplazables
1'f)
cargada y el ángulo de rotación pn deberá estimarse en función de 9,, se tendrri prrá rrt'empotramiento rígido de esta barra en (t),9]e el ánguio de rotación i,: 0, en óambio, para una articulación, pr : - 0,56^. Sin ernbargo, cuando la ba;;ra está elasticámente empotrada en (r), el valor de 9r eslará entre 0 y - 0,5 9r, es decir, se podrá adoptar para
(354) g, : * 0,2 pn hasta - 0,3 e, consid(" influenciada (r) no estuviera además siempre que la rotación del nudo rablemente por otras barras que concurren a é1. Si se produjera este caso y debería tomarse en consideración, se procederá a investigar, si esta influerrcia tiene el mismo sentido que la estudiada primeramente o si tiene sentidc¡ contrario a ella. De este raciocinio dependerá, si para la estimación definitiva de e", su valor dado por la (354) tendrá que ser aumentado o ciisminuido; o bien, en casos de duda. para influencias de sentido contrario, poner simplemente 9n: 0, como se indica en (351).
C.
DESCRIPCION DE LA MARCHA DEL CALCULO
La marcha del cálculo según cl "método de reducción", se descompont' t'n principio en las siguientes seccionrs: 1. Planteo de todas las ecuaciones de condición. 2. Elección del "sistema reducido" y consideración de las r:cuacioncs i¡riciales contenidas en é1. 3. "Estimación relativa" de las incógnitas hipcrestáticas conte nidas en é1. 4. Resolución de ias ecuaciones iniciales y cálculo sucesivo de las dc¡¡l;is incógnitas, partiendo de cada una de las ecuaciones. 5. Realización del segundo paso, y en caso nt'cesario de otros pasc,s clr' cálculo.
Si en el pórtico de la figura 253 se eiigiera corno "sistema rcducido" la ¡rartt' dibujada con líneas más gruesas, entonces dcberían dc terminarse sinrultrirr(':rmente las incógnitas 9.r, 9r y pa cor¡o incógnitas iniciales, pertenecientes a las correspondientes ecuaciones de nudo. Pero en estas ecuaciones aparecen además corno incógnitas hiperestáticas adv¿centes los ángulos de rotación de los nudos 9,?,9!,90, rlue rnedian-
te la "estimación relativa" deben ser elimi¡rados en lelación a las incógnitas iniciaies. Aplicando la (348) se supondría hiego. ir. ej.: (¡7:-T-
d4 ' --'Pri r? A
i
.f.¡
g¡:
tl. - --;d
5
J¡ ' - -'9.-, 1 gl,: J;
dc sp ';A,.t --'9c -16
o bicn en rl caso prcsente;
trs:
9;.
Introducicndc) estos vaiores estirnados. que ¡lor supuesto pucden ser redondeados, como vaiores numéricos en las ecuacionc¡ iniciales, entonces desa¡:arecen en ellas las incógnitas hiprrrst:r- o.is. zb..- E$trucrr¡. ticas, mientras que simultáneamente los coeficientes dc los térmi- ra indetplaaable' *'.JJl,.;;:iil'"'" nos áiagonal";, á;. ir.- do ei ejemplo presente. sufren una varia"n Con esto qucda complctamentc rescién en su valor nu¡nérico. tablecida la simetría en el "sistema reducido dc ecuaciones". Después dc su rt'st,lución, se efectú:r la determinación de las otrac incógnita-* t'n sucesión adt'ct¡;rtlrr partiendo de una ecuación. También en cste caso se puede efectuar <'ada vt ¡ la estimación de Ia incógnita hiperestática cxistente. eri función
rotación del nudo buscado según las
i348). r350; ó i351).
iq6
.'sistemas reducidos" cotr una apreciación relativa de las incógnrtas vtf Método de
rrr;rr
dc
trrt;r
Puede efectuarsc El segundo paso presentará bien .pocos cambios'sucesivamente partit:ndo tlr t^Uu¿" ui. manera tal que.u¿.,r|u-¿. las incógniia.
urlasolaecuación,encuyocaso,los.,"lo,*_d"lsegundoPasorreciéncalculaclos. y efi forma análoga' rt' pueden ser aplicado, ¿.'i.r*.¿iáto. E" ..ro necesario sólo sobre partes dt:tcr' estos podrían efectuar otro, puro. sucesivos, .*terráiéniose N' 25)' numérico ejemplo el áo" minadas de la estruc,#"4;;;;;t'
5. Aplicacién a €structuras con desplazamientos A.
horizontales
GENERALIDADES
Comorepresentantecorrientedeestetipodeestructuras,debecitarst.a¡llt. En éstos, .r''".t.u1. el despiazamiento horizont¡rl todo el entrarnado ¿" "aifi.io.gsto dtr nt¡tlt's revela Ia estructura de las ecuaciones debido a la acción ¿.i "i."i.. sr' tarrt¡ií'' diagonaies' términos y de desplaz.*i"rto*,^..,-iu.."uf"u al lado ¿" l"t t.str' simplt:, iteración de método el En -i" destacan notablemente los términas 4,Y A. cambio, en el "mét.cl.
mediantelaap}icación¿.tu..estimación..ru,i"u,'.Enlodemás.lamarchatlr.l estructuras indesplazables' cálculo es para.t.,"rtro;";"t;;id"
t
lu ¿" las
,t' € € .{
fA
tA
.t
é
simas para entrarnados semejantes, que sóio en pocos ¡letalles cle su estructura
e e t'
JJ)
Jt
fJf-
lr-is8-
fis.
25ó.
t54 a 266' Entrameiio dt "difi"io' Eleceión del "sistema
I¡ig.
256
¡educido"'
existcn positivarrx'rrtt' En lo referente a la elección dcl "sistema reducido"' (fig. 25a), cn r'l inferior .rr-.i.",."*o Ias *es porilliauá", de eiegirlo ," ;"; medio(fis.255)obienene-iextrerno,.,p".io,delaestructura(fig'256). también en este caso ccua( r() EI .,sistrna"r;;;;;;.";..ru.ion"*' comprende extraídas sin variantes ¿cl sistt'rrr:r nes de nudo v de despiarami"rr,o. q.r"-p.r"d"r,"a. )' {', " . .\' J" r* valorcs hiperestáticos p"aPrt'trr^(r()rr general ¿" Ia mediante caso ".,i''.ilr5r.'T;';;;il;"fste contenidos ."-;;;¿i,";" eiectúa también en las estructuras del epigrafc cn fottr¡;t en se rncara embargo. sin cuai la rclativa", diferente a la dc los sistemai indesplazables' bÉ-*---
:€ € é é
I
é é € € é € €_
ff. tiilát"?LrcloN
horüontales
l4'7
RELATIVA"
Para realizar la estimación, deben elegirse en principio fórmulas arrxili;rrcs sencilias, cuya aplicación requiere un cálculo muy limitad<1. Para hallar estos vaiores auxiliares, es de mucha utilidad, obtener previanrcntr' una representación aproximadamente correcta de la deforrnación de la estrur:trrr¡¡ a ttatar. En este caso se p obtiene una visión bastante ? correcta, considerando previamente tipos de estructuras ideales como casos especiales y cornparando luego su comportamiento para los distintos estados de car-
f)
ilir4
B. REALTZA"tS$
€ € € €
at
!'ig.
Aplicación a estructuras con desplazamientos
ga. De
lo anterior
pueCen
dedr¡cirse conch.rsiones
difieren de aqtrellos
especiales"
utilí-
8 1 6
5
4
casos 2
Así por ejemplo, cn el piso superior de los entramados de edificio represen-
tados en las figuras 257, Fis" 257 ¿. Fig. 25? b. Fig. 25? c actúa una fuerza horizon!'igs. 25?a,byc, Diagrama de momentos debido a l¡ntr cnrln ro¡ tal P y en los cuales ade- centrada horizontal P en el ángulo exlremo de un entrnn¡¡rrlr¡ rl¡ edificio con valo¡es k congtant€s. más se ha supuesto iguales los coeficientes de rigrdez de todas ias barras, como también las alturas dt'l
en dichas figuras.
La "apreciaciÉ:n lelativa" del ánguio de rotación de la barra ry', cn dos ¡risos superpuestos, se efectúa en este caso con suma facilidad. Pues con excepcirirr rlr'
p,
9*
9¡
T.
9r th rl! Fic.
259.
rps
s
rp¡
Fft Fir¡.
258.
Figs- 25E y 259, Lí!1ea caract€ristica t- y g del entramado de edificio de ]a fi¡.
2r-r?
¡.
Ia planta baja v piso sriperior. que todavía están en la zona de influenci¿r rlc 1,", extremosl los r,alores de,y' tendrirn en los demás pisos un r.alor casi constrntl'
Si para una rnejor ilustiación se representasen los ángulos cle rotacióu rlr' l,r barra ,;i o bien los hngulos cie rotación de ios nudos q, para el caso irlt'lrl tlr'
la figura 257 a. L\txártdoios a partir dc un eje l'¡orizontal sotre oldcnaclas t't¡rrirli' tantes y en una escaia adecuada. entnnces se obtendrían los grhfir:os inclic¿rrlrts , rr las figuras 258 v 259. respectivanrente. (ir;ificc.rs parecirios si'c,btenclrírn. lrirr;r lr,', estados de carq:r dl l:. frglras 257 b v c. si sc ."¡rr"r.nr.r" sucesiramenlc los .inlu los de rotación d, l:rs hanas rJ t separadamenie l)ara las column¡s e\rrcrlrrs ( in termcCias los írngulos de rotación de ios nuclos p.
d
14,8 Método de "sistemas reducidos" con una apreciación relativa de las incógnitas vct:inas
¡á
Las consider¿ciones recientemente efectuadas se aplicaryán ahora a los est:rdos de carga indicados en la figura 3.6A a,b, c, donde en el nudo suPerior actúa l¿r D fuerza P. Las demás hipótesis f.uerza t , "" cada uno de los nudos inferiores la con respecto a la rigidez tlt'
fd) Já. lr|l Já
cada una de las barras, permanece por el momcntr) sin variantes. El diagrarna de mornentos correspon-
diente a esta hipótesis st' indica en la fig. 260 a, b, c. Las figuras 26t y 262 ihrstran sobre la representación aproximada de las líneas /, y I respecti\¡amente, del
entramado de edificio dc
planta baja. los valores tlr' e y ,lt disrninuyen casi liFis.
260 b"
Pig.
nealmente desde abajo ha-
260 c
cia arriba. Lo
Fige. 960 a, b y c- Diagrama de úomenlss det¡i¡io a cargas eo¡centrud&a horizontales P en los nudcs de uE entr¿ma¡io de edificio eor válo¡€ tt constantes.
mism<.¡ r's
válido para los coeficientes de deformación y los nr<>
mentos extremos de barr:r de ios entramados de edificio representados en las figuras 260 b, c. Por consiguiente, también para este estado de cargas. representativo de la influenci¿r
9\ 9r P¡ V. {'u {¿ l\ Fis.
|¡ Vc U"
I
8¡9¡?.8s?efiP¡P¡P,o Fig.
261.
262.
FigE. 261 v 26¿- Linea earuct€ristica c v g' del entramado del edificio de la fig' 260
a-
!a acción del viento, la "apreciación relarir,a" se efectúa con suma faciliclatl. Luego, cn la parte central de un pórtico de esta carac-terística, obsert'ando l,r ',:",-'ira
l]63. tendríamos:
_T*r-'-lll
Vn"l
o
1ün
tf
y análogamente en-
valor€s sueegivos de P. Caso especial,
-:
,!tn.'t
¡+
Fic.263. Relación
tre tres
.
,i'"
*n't *
2
tlt"*r
(.J56
)
( 3l'16
)
-
!.2 ,¡" - ,!r.t
9r'r*2vn-En-t.
(356 a)
el cálcuio sr-rcesivo desde abajo lr;rt'i;r arriba, en el presente caso se podrá efectuar la apreciacirirr prelia de las constantes angulares. según las fórmulas (356) v 356 a). l'ln Cuando se hace
Lvidente. que concefrtualrnente este tipo de estimación también puede ternr:r a¡rli" cación directa para los pares extremos de barra. Sc plantea ahora la- cuestión ¿qué formas tendrán las líneas? para los
Aplicación a estructuras con desplazamientos horieontajes
ll/)
rentes coeficientes de deformación de las estructuras aporticadas, cuyas brrrr;rr no tienen todas igual rigidez, como se ha supuesto tr*t, y,si en este c¡,*,, pueden hallarse valores auxiliares sencillos y simulráne.;;;;'útiles "q"1, p;;; ;;;;, 'japreciación relativa" de las constantes de ángulo vecinas. i.r.r""., ros ent¡.amado¡ de edificio las secciones de las corumnas de'Íos pir* i"i";*á lo' g".,".^lmcnrc mayores c:" los superiores, como también p,r"á*t, ser difererrtÁ las seccion.s ¿c "q", ras vrgas. nebldo a esto, resultan naturalmente distintas formas de las líneas ,!, y r,, Así, por ejemplo,-en r¡n entamado de edificio sobre el;;i ;;;"" 1i,,,;. zontales, los ángulos de rotación de las barras tienen por "u.gul caracterírti.a la línr.¡r 264, cuando l1 superiores. IJna Ia rigidez de lastolum.,u. ¿;r*;r,uy(.nor;,. pt:"r caracterísrica parecida también p,,"á.. ,,.,,,,, i^*,1"^1r"-,:i^1": ra ¡rnea de ros 9. A veces estas líneas toman una ligeia forma de ,s, como lo i¡rrlir..
finT:::*,.^l
li*.r
fFr
la figura 265.
;l.
.sin-embargo, ,también,en^estos casos puede apricarse ra apreciación exprt,s;rrl,r por las fórmr¡las (356) y (356a). El errár q.r*.i"r,trui.r,e.,tl pudiera comcr(.rsr., sá ilustra con ciaridad en las fi¡1rr^ ras 266 y 266 a. Para hacer ,,,*,,ir,,,
añ
r'+
gura 260 a. Es de not:lr' aquí, que con excepcitilr del piso superior y de la
26{i a.
lrta
;lo
dos coiumnas, según Ia fi-
!'is.
;{
.
Jñ
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FQ FQ F! ;G F" FIF
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¡r f{) fr
fÉ
264
Fig.
''
y? y.
v.
V¡ Vc rtb t0¡ tl. Fia.
Fíq.s,
266
Relación entr€ tres
de {'. Caso
valorc
generai..
¡ucr¡iv¡r¡
T,o ljt.
265,
y 266. Diferentq
fo¡mae de la line¿ .261. terístid ry' de un e¡rramado ¿u ál¡i"]"'iü"ñ#"J;carac_ desigu¿le.
Fig. 266a, Apreciación de {'r*¡ {" v {."_r.
Dartic¡rd(, rlr
más el error de aoreciación, se dibujó en ésas ia línea p, con una cur.\,^tr¡..r más pronunciada. buanao ," up.".iu'.1 -o'rto, ún*r mediante Ia fórmura (356), partiendo de los dos valores precedentes y rr,n-r. entonces el error cJe csta a¡rrr.!, cjación es aproximadarnente El ,r"rari".o .rro. depende n^trrral'entc ta'¡l¡irirr ¡. de Ia exactitud
de 111 valor¡s y *"_, ia halladosl n, que la a¡rrr,ciación será tanto más exacta. *" cuanto menos el trazo de "".-;J"rrt". la línea se irlcntif-ir¡rrr. con la curva' Sin embargo, en general la infiuencia clel error ser¿i
ia estimación se áxtiende sólo sobrc un ;r.,r"r..l"lo. Larelatil.a¡rr.l¡rt. línea r.r.r,r,r, que.se- utiliza para la apreciación. se aproximt co¡{j¡u¡rnente al 1r:rzo dc I;r lirrr,,r verdadera' Es así. que- disponie"¿o a"'¡u.nos valores inic.iales r,htcnidos metli,rr¡tr. la determinación simr¡rthnÉa d. r".áfnitas. ;s;; ;;;;;;i;;rro concrr¡<.,. r.,,rr suma.rapidez hacía la solución."".iu, también á aquellos casos doricle cl rlr. iteración simple falla compie,u*""i" á-uie-n 'rérrxl. r-\r{c urr exige t. un I}ullt('r(l númerr¡ grarirlc gl v ,r.lirl. rr,¡ de cálculos. .va. .Efectuando apreciación, -' rocar. aunque no mu,,. acertad¿r. ei grarr. rrt. 'nainfluí{o ¡otabremenr". ,;"-p." exactitud no será .r;;';;-rrar-an conr.rirrrr errores groseros. Estos se indi'idualizan de inniédiutol" ,.".in.*,¿" ;,i",,,,,;,,:;;;;: si los'alores recién obtenidos .rt,i"..*r, ,ur;.i"',r" up; ;;;;;; en rclaciri, t... los apreciados pre'iamente- Tambié., uq.r1-", mu' imporrantc ra cir-cunstanci:r rrr. que el cáicul. no sea infjuenciado drjriu*-oruhr"mente de errores. Lo or¡e antecede indica claramenle (lue por ninsuna pr.¡rrr¡;rr.i<.rrr nur)ca:e rlcht,r.slj¡¡,.,, ,,,, valor. partienclo d" otro varor apreciado. sino sóio .r" ,;;; .r¡.ul,o¿n. es rl'r.ir, el que ya dene un srado d" "tu.iit.rJ*u"* que la de la apreciación prcstrrt.rrrr.. pequeña,.pues
150 Método de "sistemas reducidos" con una
apreciación relativa de las incógnitas vecinas
Los razonamientos explicados hasta aquí sólo deben mostrar de que manera se puede llegar a fórmulas auxiliares senc;llas con estimaciones utilizables. Naturalnrente, para cada uno de los casos, aquéllos Pueden ser variados, ampliados o también-afinados. De esta manera es posible en pórticos que tienen una iITegularidad estructural o de carga locales, tomar en consideración este inconveniente, ya sea mediante una hábil elección del "sistema reducido" o también mediante una "apreciación relativa" a sentimiento.
La ejecución práctica del primer paso se efectúa en su parte sustancial según las explicaciones ya dadas al tratarse las estructuras indesplazables. Asimismo aquí se quiere indicar. gue en algunos pórticos desplazables que se distinguen por su estructura más regular, se aplica con ventaja, tarnbién en el segundo paso una "apreciación relativa". Esta puede efectuarse muy fácilmente, utilizando los valores ya conocidos en el primer paso. Si por ejemplo, se tuviera que estimar el ángulo de rotación del nudo 9,", para el segundo Paso, en relación al ángulo de rotación vecino po", entonces se podría escribir: (357
)
generalizando con palabras: En estos pórticos los valores a obtener de los ángulos de rotación de los nudos en el nueao paso, estarán aproximadamente en la misma relación como en el paso que precede. Se deduce entonces que
o bien
vn
,r.9/, I
(358) ,rt
De esta manera se anticipa en cierto grado, la "apreciación" de la variación de las incógnitas.vecinas que probablemente se producirán y también su influencia sobre las demás incógnitas. La convergencia del procedimiento puede de esta manera ser influenciada favorablemente (ver ejemplo numérico 26).
D.
EJEMPLO NUMERICO
Basándonos en la explicación precedente, se dará la marcha del cálculo de un pórtico simétrico, de cuatro columnas, diez pisos y con cargas horizontales (fig.267). El cálculo en sí ha sido efectuado en el ejemplo numérico 26, en la parte segunda de este libro, mientras que aquí sólo se describirá brevemente la marcha del cálculo. Después de la deterrninación de los coeficientes de rigidez, asentados en el esquema de los coeficientes. figlr:a 427, pueden plantearse las ecuaciones Para todo el pórtico. Resultan 20 ecuaciones de nudos y 10 ecuaciones de desplazamiento. Para a"hor-rar espacio eilas no han sido tabuladas, sino que se escribieron una debajo de otra. Como "sistema reducido" se ha elegido la planta baja y el primer piso (fig. 267 a), con las incógnitas iniciales ss. e¿, sa, ea y *b ,1,2, ,l's, las que deben ser deducidas juntas, partiendo del "sistema reducido de ecuaciones". Sólo se estimará aquí como incógnitas hiperestáticas los ángulos de rotación de los nudos p7 ] p6. Para ello se recomienda aquí el valor auxiliar simple:
97
-L (P5;
9s
3
96.
¡F ¡É
¡+
C. PROCEDIMIENTO DE CALCULO
gf'L
H F F H tñ
(359)
fñ frt\ ¡F tF
¡r+ ¡ñ Fr
Apiicación a estructuras con desplazarnientos
CEF
fñ ¡F
trF
aF
FrF FF
:+ ¡+ ¡+
¡rS ¡rr?
¡+ ¡r ts H H H H
151
con toda prerreditación no se efectúa en las ecuaciones iniciales la aprt'ciaciJn según üs fórmulas (356) ó (356a),- P9"t aquí todavía se hacc scnti¡ perturbadora de las'condiciones de los extremos y además se pcr
ñ-4
I I Iñ
fl-Ut
P.'€! P.-4Ot
IJna vez resuelto este sistema de ecuactones, se procede sucesivamente al cálculo de las demris incógnitas, empleando exclusivamente ias fórmrrl:rr
auxi*ares (356) ó (356a), para la apreciacirin previa de las incégnitas vecinas.
o @ rl
1-491
I' *iÍ2--*
ó ó
P..4Ot
o @
P..4.ll
ff,
hostoFo-
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ñ-4,5t
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o
l?{5t
o'
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¡F
IF
horizontales
;
,f,1
6.0c ts--
Fig.26?. Entramado de edifieio. Dimensiones y e:tsdo de carg:as,
Fig. 26? ¡. "Sistem¡ reducido" !ara el primer pso del cálculo. Incórnitas a consider¿r: 9s.9r,9i, 9r;,
ül'
Ú::' Ú*.
Fig, 267 b. "Sisteme r¡rlrrcido" para el tagun
Para efectuar el segundo llaso se elige aquí el "sistema reducido" se¡¡írn l:r 267 b con las tres incógnitas de iniciales p¡. vt \ *2, Las incírqrrit;r"
tigura
ú¡ se estiman según la fórmula auxiliar (3¡rfi) c.rr primo paso y como función de los valores inir'inlr't Después dc la resolución de los pequciros €iruPos de ecuaciones. se vttclvt'It ;t determinar sucesivarntntc las otras incógnitas partiendo de sólo una e cuación. Para ello /Linca V ,i"*p." se emplean directamente los valores I I I -l existéntes del trgundo paso. mientras que las l, .1" -1. .[ ]. I gs ttt lps IPG 10c 1\ q\ ttl 9' demás se introdtrcet *"gút la (358) propor-l$ :(ih r F¡(. cionaimentr¡ a la respectir.a incógnita a hallar. Los valores proporcionales necesarios para esto. t-íne¿ p vecinas g;.¡. fr;. fs,99 )'ú:, ayuda de los resultados del
[*T--l-_ffiI l=-T..-rl--:=-. t I I .q se efectuó' F I S S' p,r fn k f,, p
para simultárr"u*"r,t" Para pueden u". á"r"'.*i.,ados srr.t¡rriirlealliurrle torlo ouro.'t" paso. todo el .repun,o segundo "r"-"--
Par¡ facilitar la comparación.
\
cuar¿o paso, no utilizándose "sistema reducidci'. Los resulta.dos reve larr¡n tan sólo rrna desviación insignificante. En las figuras 268 a. b. c. se han
además un tcr(er
más. sin embargo.
Fis.
cl
268 b
Línea p¡
!
{," repiesentaclo las iíneas r/ r' las líneas n pu.u S Fis. 268 c. esta estructura aporticada. La línea caractertstica (fig. 268 b) muestra los ángulos de ro- Fiss. !68 a, b y c. Línes característic¡r r' tación dc los ni¡dos cle la columna estrema. " n,",1i."|Tol'1;""*1i,,*lo"i"tfft'íií|" " mientras quc la fieura 268 c. la de los ángulos de rotación de los nudos de la columna intermedia. En la fisura 430 han sidci representados los rnomentos obtenidos del cuarlo ¡nso
152 Método de "sistemas reducidos" con una apreciación relativa de las incógnitas
6. Aplicacién a estructuras con desplazamientos
É ¡{
vecinas
r{l
verticales
EJEMPLO NUMERICO
Todo lo dicho anteriormente sobre la simplificación del cálculo de estruc'turas hiperestáticas de grado superior puede también aplicarse convenientemcnt(' a sistemas con nudos de desplazamientos aerticales. Esto se ilustrará a continuación con un ejemplo numérico. La figura 269 representa un entramado de edificio, donde salta inmediatamente a la vista el pórtico dibujado con líneas gruesas y que ha sido realizad<¡ como estructura de acero soldada, mientras que la otra parte está ejecutada en hormigón annado. El desplazamiento de la serie de nudos 7 -29 ó bicrr 7'-22' influirá en todo el entramado. Naturalmente, para el cálculo deben tomarse en consideración dos distintos módulos de elasticidad E¿ y
Ii" dt
los dos materiales de constn¡ccirin. En la parte sesunda del libro sr. da bajo el N'q 27 el cálculo numérico de este entramado, mientras
c¡rrc
aquí, sólo se disentirá a fondo marcha completa del cálculo.
Fig.269. EntÉmado de edificio. Dime¡siones.
Debido
l:r
Fig.2?0, "Sistema reducido" para el prizrr paso del cálculo.
a la carqa simétrica (r'er fig. 431) sólo resultan en total 19
r'cr¡rr.
ciones nudales v una ecuación de desplazamiento, que se consignan comJrlctas r.rr el ejemplo numérico 27. Su resoiución según el método de iteración simple, lk'vrrría a un resultado sólo con dificultad. pues ei sistema de ecuaciones tiene ¡r:rrir este método una estructuración desfavorable y no promete una converg,.rrt i;r buena. Al aplicar, en cambio, el "método de reducción", la irregularidad molr.st;r en la estructura del pórtico, puede ser encarada ventajosamente mediante un "siste¡na reducido" según Ia figura 270, que contiene simultáneamenre tambión l;rs condiciones en los extremos. Como incógnitas iniciales deben ser determinados sir¡rrrl táneamente los Z ánguios de rotación de los nudns 9a, p5, p6,971 98, 90, 9r1 \,
el
desplazarniento I de la seric de nudos V-22. Es decir, que sóio detrcn sr.r sacadas del sistema general de ecuaciones las 8 ecuaciones corresponclict¡tr.¡ En éstas, para las ecuaciones de 9a, 9;. 9t;, 9i sóio existen valores inici¿rlr.¡. En cada una de las ecuaciones de 9s, 9e, 9r1 aparece sólo utt valor, qur: tlr,lrr. ser apreciado, mientras que en la ecuación de despiazamiento aparece para 0 rrrr maYor número de estos valores, que deben ser estimados proporcionalmcntr' ¡r 1,r,,
incógnitas iniciales. La relación de las magnitudes correspondientes a los valores de Es. 9,rr, j r¡. 9r?,9:.:o (ángulos de rotaciones de los nudos en las columnas extrern:rs (lll pórtico). puede ser determinada según (346) 6 (34.7) de tal manera (I* r.rl
:_-
¡{
t¡t trl
r{ f{ r{
rla f-
r-
sf,, :l{ fJ. l{ F¡ ;l FT GI ;r¡ rFl f¡l 'f;l F}
6 tl
É ñ ü) ñ
rp
t
Aplicación a estructuras con desplazamientos
verticales
las ecuaciones de los nudos sólo sean considerados el término absoluto mino^ diagonal, omitiéndose en esta instancia todos ros demás ; 9r+
I9rz:pm
o bien
y cr ttlr-
términos.
Se obtendrá luego:
9e:9rr
lt¡l
5'27 5,56 5.56 5,56 3,66 == t3's6 8"66-: l,+e¡ 8,02 3,50 --:- 1 :1,65: 1169:1,Tg:2,69. :
(36{)
)
En la "apreciación relativa" de.los ringulos cle ro,.ción los nudos 96, ?¡s, 9r¡, e21 situados uno encima der otró en Ia corum.u de .,"airru, influenciador -..r-y fuertemente por el d"rprrrumier,;-u;";;.i*]rriri"uy que eshirr rnucho tomando en consideración en las coresponáientes ecuaciones de los nr¡dos sólo trl término I y el término cliagonar. La árrrisi¿r, de este tipo .n-L, utili_ zadas, sólo tiene sobre los 'Tuarores proporcionares,, una influencia "cuaciones ínfina. Resulta por consiguiente: 916,
gs:grzigr¡ :prs , rr, o bien
-
2,57 1,34 1.34 . lr34
td5d Eñ'
'-ttJ6 -:- 1 :0,89:0,90:0,93 : TóBo
0,57 5,09
(3(i1
I
0,92.
es decir,-que la relación de los ángulos de rotación de los nudos situados Lrl()s encima de otros, es aproximadamen"te igual al cociente dc los coeficientes dc los términos 6 v de los términos diagonales ¿'"i", del nrrdo corres¡ron
o"
"j;ff:,*ente
pro : qrs : pro : qrs i
gn,
. = 2,51 1,34 1.34 16.06 m,st' ro,¡t
1,34 '
9,89
--:- 1 :0,81 :0.83:0.87 :
o bien
0.57
4.29
(
t62)
0.85.
Efectuado lo a¡rleri<¡r se pueden reempiazar los térn¡inos hipcr.estáticos en l;rs ecuaciones nudales,
En la ccuación nudal (v") t.
: l.Z8vn: l,Zg. 1.65. cr :2.11 Es.
l!
,i :,
(vtu):
1.28 prs
=
1.28. 0,81. sr,, : 1.()4 rrr,.
Análogarnente deben--ser reernplazados los términos hiperestáticos ¿e la .r.rr;¡ción de dc'spJazamiento. con esto'.r" o¡ii"r.," "sistema reduciclo cle ecuacion.s', el con el cual deben scr calculadas. por solucián directa. las incósnita-. iniciates. La determinación racron oe de las l^r'd;*;, demás rncógnitas i;;;g;;';; se efectúa .r".ror'I"'t de laz" mancra corr.iente. partiendo de una ecuación r- con la rrtilirr,.iírr_, @ I t
oe lalorcs_ pro¡;orcionalcs según (360) a . T6-" Para la rcalización de.rie:unrn purá. G62j p,,"a" ereeirse r¡n ,,sisre- | 'p1." ma reducidr"' nrás (fis' 2i1). el cual ,óln ,1"h",l lo ':,1:l]1" ser detcrnrinadas sirrultáneamente tres inóógnitas. a saber: krs árrFjc. 2i1 gulos dr: rotación crc ros n'dos ';'' ';,. ..sisiema e6, r; .';';;"i";;;i;,; r, j,;?,,,:11';;l;.,t"":l: i;;;'," l.l'. i,-,1:g; ",,,11i"",\',Xii,i,l;",T;" srn nacer uso de una "apreciación relativa,,en el sentido i" i" tjS-S-i. ;;i';áñi,;. Como surge
lt";r_ii
154 Método de los focos en su aplicación simplificada a estructuras aporticadas
indesplazablrs
SsccróN Ocr¡ve
DISTINTOS N{ETODOS Y PROCEDIMIENTOS APROXIMADOS PARA EL CALCULO DE ESTRUCTURAS APORTICADAS . En esa sección se estudiarán dos procedimientos, que se parecen en cierta
forma y pueden ser aplicados indistintamente como métodos piácticamente exactos y como cálculos aproximados. son éstos, el método de los foros, que bie. puede considerarse uno de los métodos de cálculo más conocido en la práctica, y el método de la distribución de los momentos, últimamente tratado ton frecuencia en la literatura técnica 1. La aplicación del método de los focos se harii solamente a estructuras aporticadas indesplazables y sín cartelas, pues sus ventajas resaltan sólo en estos casos, mientras que en la explicación dél método de l¿r distribución de los momentos, se tendrán en cuenta también los pórticos desplazables y con secciones variables o sea con cartelas.
¡a
¡{ É
J.
¡;ú .ú
f;a
á
;f,
rÉ
I. EL METODO DE LOS FOCOS EN SU APLICACION SIMPLIFICADA A ESTRUCTURAS APORTICADAS INDESPLAZABLES
.-
Aquí se omitirá tratar detalladamente la teoría del método de los focos, pr¡cs esto ya se hizo con gran prolijidad en muchos textos y obras técnicas 2. A cc¡¡rtinuación sólo se explicarán sucintamente aquellas relaciones cuyo conociuricnr.,
¡¡-
es necesario para
Ia aplicación simplificada de este método. l. Determinacién de los focos
GnNrner.rp¿oÉs.
El
foco F1
o punto fijo, de una barra 7-2 está en
c()-
o bien se produce allí una rotación rp,1. En la
figrrra 272 se pueden apreciar estas relaciones. La posición del punto fijo depende solamente de la relación dcl
la barra, con respecto a la resistencia a la rotación de su "apovo opuesto" en 1. Para esta resistencia a la rotación no sólo debe tencrst' en cuenta la rigidez de las "barras concurrentes" al nrrdo 1, sino también el grado de empotramiento dc los
coeficiente de rigidez kt,z de
extremos de estas barras que no terminan en dicho nudo. En barras con sección constante se aprecia mejor la ma¡4-
infle¡ión
Cuando por ejempio, todas las "barras concurrentes" que terminan en el nudo 1de la barra 1-2 del pórtico, están rígidamente empotradas en su extremo opuesto (|ig.273 a). entonces se tendrá
at: 3l1'
(i64)
o-5k' I + -tx'
l Fonxenoo, M.: Cálculo del pórtico múltiple mediante el método de la alsebraica de momentos. Schweizerische Bauzeitung, 1933. de vigas continuas y pórticos. Bauingenieur, 1938.
-
distribuci
D¡nN¿¡on: Cálculo aproximado
2 Suren, Srn¡ssxen )'otros (ver nota al pie de la pág.5,+).
._---
!.l
En cambio, cuando todas las "barras concurrentes" que terminan en el rludo
I
focos
de la barra 1-9, están articuladas en su extremo oPuesto (fíg,273b),
¿1 o,: T'-
entorrccs
r f :a6r' --lr.-
(365
)
Donde I significa la longitud de la barra, cuya distancia focal a1 sc dr:$t:;r hallar, /r su coeficiente de rigidez y K : h + k2 -i- #s o bien generalizando,
K:2k*,
(36(i)
es lia suma de los c<¡eficientes de rigidez de las "barras concurrentes". rígidarnerrlc empotradas en 1. Generahnente, para los coeficientes de rigidez ,t, tarnpoco dcbcrr
tomarse aquí los valores verdaderos
.
ry/, ,;no como antes, puede
volvcr a trr-
10001 o mas slmPtemente I
Plearse I
7-'
Por consiguiente, mediante las fórmulas (36,1) y (365) han sido fijarlt's los límites máximos posibles de la distancia focal d1, para cualquier relacitin rl' rigidez
k k y
puru Ios distintos grados de empotramiento en
el
extrer¡ro ol)r¡('st(,
de las "barras concurrentes". Tablas auxiliares para la determinacién de las distancias focales. * La tabla 32 ó bien los nomogramas 32 a se han obtenido reemplazando vrlt¡rt's están da, '
a
!:.
en las ecuaciones (36a)
É
cieron en estas tablas los ualores tnedíos entre los dos casos limite. Estos valc¡rr.s medios corresponden a aquellos casos, donde una parte de las barras quc con-
;+ ;+
curren al nudo
o-
rrespondencia con el -momento de ordenada nula y el punto de inflexión dr la elástica de deformación de esta barra, cuando en el extrémo 2 actúa un par M3,1
¡.ic. 272. El foco 11 en cotrespondencia eon el cual se a¡ula el momento fleto¡ y ¡a elástica tiene el punto de
¡ra
I
Determinación de ios
eÉ
y (365). Estos valores limites
distintas ¡elaciones de los coeficientes
[.on tu rigidez $) 2l
o"
',;;;; F ;;;;;,""":':
"r,e.,
lr,il;:-
rígidamente empotradas en el exrrcrno
trt
FiF
rrf
r*
fr{r el{r
a* ar? a* É r* JT á
Fís.273a. Ba¡ra de pórtico 1-2, con barrae con- Fig.2?3b. Bar¡a de pó¡tico 1-2, co¡ lrarrus currentes empotradas en ABC. currentes articuladaÉ en ¡ /J (
co¡
opuesto, mientras que la otra parte de aquéllas, está articulada; o bicr.r. lrar:r el caso en que todas las barras concurrentes tengan un empotramiento clírsticr¡ "medio" en su extremo opuesto, etc. Uso de las tablas auxiüares. Con ayuda
den determinarse muy rápidamente -y con suficiente precisión ias dist¿r¡tci;¡r' focales de cualquier barra de una estructura aporticada, sin tener que c()u(x'('r Al rrt, los focos de las barras vecinas. Para esto sólo se necesitan los t.lo.e, K -l--' disponerse de uno de los vaiores límites según la ecuación (364) ó (365), r'' generalmente suficiente considerar los valores buscados
.orno "valores u¡etlio\" Sin embargo, al efectuar la lectura de estos valores. también debe tomars,' r'rt consideración, si los grados de empotramiento de la totalidad de las barras t¡rr,' concurren al nudo. corresponde aproximadamente a este valor medio o si el r':rltl leído se aproxima más al valor límite superior o bien, al inferior.
f
aporticadas indesplazables 156 Método de los focos en su aplicación simplificada a estfucturas
la la aplicación práct'fa de estas tablas.para la.barra 4*5 de lT '.;-i;consignadas fidra-274.. En ella han siáo estructura que se "" 'S^ Se aclarará
;;diil
1;d;uai.ul.r, "o"'o'ta'mbién
los
;T:i:'ffl:sJt;n H'';:
i'"J;r|;T rÍ
ma de los coeficientes de ngidez Kt,s de las barras que concutren al nudo 4 de la barra 9,6; : 'l-5, es becir Ka,s 4r0 + 3rZ + 2,4': luego tendremos t-I-,u
-2:o.s+.
Kt'a - 9'6 - "'" " La lectura exacta se hallaría algo por Frs. Z'11. Esquma de lG coeficie¡tcs' enCima del ValOr medio, pueS predOmina el alcance coeficiente de rigidez de las barras rígidamente empotradas. Dentro de este se puede por consiguiente y valores'límrtes, de-Ios las diferencras pequen"as ;;;;y :O,nUf, correspondiente a la curva del valor medio' El valor utilizar el valor
f
exacto es 0,256. Para la determinación de
la distancia focal derechd Ka,t: 2,1 + 2,5 * t,6: 6,2
Q¡,q>
La lectura en la curva del valor medio O" t : 0,224,. El valor verdadero es 0,222 y está algo debajo de la curva del valor medio, pues predomina el coeficiente de de las barras articuladas' rigidez -e Cor, .l propósito de comparar, a continuación se consignan también todos referidos a la curva del valor medio de todas las barras, enfrentando los valores
f
a los valores verdaderos (entre
paÉntesis)
t i* : : (o.zg4,i 4'2-: o.zs5 , 9L v'-vv \e'-v'/' J¡,0 l¡,2
+i :
0,274 (0,2781
:
t +Í: 0,300 (0'300) 0,L87 (0,288) t +É- : 0.304 (0,305).
0,287 (0,287)
;
minación del "coeficiente de influencia" 1'
|
"":
ae-
"rrl
Aa
'tet: 17fi
(36e)
Determinación de los coeficientes de distribución en los nudos
Análogamente se obtiene para
trario (fig'
275b)
la
p
157
transmisión de un momento en el sentido con-
(369 a) yLp: # @. Luego estos "coeficientes de influencia" 7 de las barras del pórtico sólo depen' den de Ia posición de los focos.
de las tablas 32 6 32a, de los valores f: ^ escribirse de la siguiente manera:
Entonces partiendo
la
Ja üa
fór¡r¡ula (369) puede
a-
Yt'z- 1-¡,' Luego, los "coeficientes de influencia" y pueden determinarse sencillamente rnt'diante las distancias focales ¿ o en función de los valores x : +' Tambií'¡r pueden ser sacadas inmediatamente del ábaco 32a, en función de la relaciór¡
J-
€ :)
Oa S)
Ja J-
ea-
trra :-
coefieientes de influencia v cuando en el nudo 2, de labarra 1-2 de un pórtico, actía un momento M2,1. que entonces se obtiene el diagrama de momentot t"gú.t ilustra la figura 27 5.a, ," u.üu en F1. Luego, entrJ el momento de referencia Mz,t t" produce en el extremo 1de la h y el momenti Mr,"-q,t. CI iente relación: @",r sigui l,lp existe la e) 6arm, Mt.z : Mzt - at i (I- ar)' osea Mt.z : 7?¿' M"'' (367) M,, O @b) o bien lfir (368) ,"r. donde
¡¡-
Fe
2. Determinación de los
' --. Fig. 275 a y b. Deter-
f-
f-
l¡,e
Como se ve las diferencias de los valores es ínfima.
L-
{
a) ¡-
se necesrta
!:'n:*:s,84. Ku.n - 6,2
Y
ra
t-
eJat-
é €
!a
É Á
tz't:
de los coeficientes de rigide,
f
-¿
trt.l --li
)u¿
- l.*^1 tr
(369 b)
'
3. Determinacién de los eoeficientes de distribución en los nudos ¡r . Cuando a un nudo n indesplazable de un pórtico se transr:rite un momento,4,l, debido
a una barra o una
mcénsula cargadas (f.ig.
276), en las demás barr¡¡s
concurrentes a este nudo y rígidamente unidas a é1, aparecen momentos dc st'llticltt contrario, cuya suma mantiene en equilibrio el momento
originario. La distribución del momento originario sobre cada una cle las barras, depende de su rcsistencia a la rotación. Cuando todas estas barras están rígida.mente empotradas, articuladas o bien todas elásticamente empotradas en' su extremo opuesto, entonces esta distribución se efectúa proporcionalmente a sus coeficicntes de rigidez ,t. Así p. ej., la distribución del momento M Fig. 2?6. DistribuciÓn del no' del voladizo de la figura 276 sobre las tres barras que mento M en el nudo n. concurren al nudo, estando rígidamente empotradas en el extremo opuesto, y cuyos coeficientes de rigidez son kt, kz, &3, es la siguientt':
Ivtn¡:*-F *t donde
Mn,z:-k'*,
M,.i:-$-u
K:k.t+k|+-k|
(370) (,371)
en (366) la suma de los coeficientes de rigidez de las barr¿rr concurrentes al nudo. En general, del momento M,,rn corresponde a cada barra conclrrrent(' rl -, . una participación significa como
Mn.r:
¡tn,r. Mr,,r,.
Donde /aa,¡ €s el coeficiente de distribución en el nudo para valor es ,, : kn'' PN,T
V t\n.m
(312) la
barra n-r,
y
clrv(r
(37J)
En ésta, K,.r, es la suma de los coelicientes * de las barras concurrentes al rlt¡tlo. con excepción de la barra cargada n-m. Si en cambio, no fueran del todo iguales los grados de empotrarniento clc las barras concurrentes, entonces la distribución ináicada por (372). no daria
156 Método de los focos en su aplicación simplificada a estructuras aPorticadas
Dete¡minación de los coeficientes de distribución en los nudos
indcsplaz-ablcr
Análogamente se obtiene para Ia transnrisión de un momento en el sentido co'-
Se aclarará la aplicación Práctica de estas tablas.para la.barra 4'5 dt'l;r 274.- En ella han sido consignadas toclas l¿rs estructura que se ve Ln la figura -también_ de rigidez de la barra Á los como *"Ji¿r. loigitudinales,' -coeficientes
trario (fig. 275b)
n,z:
Para la determinación de 446 s€ necesita la stl-
Luego estos "coeficientes de influencia', den de la posición de los focos.
ma de los coeficientes de ngidez Ka,6 dt: las baras gue concurren al nudo 4 de la b¿rrr¿ 4-5, es decir Ka,5 :4,0 + 3,2 + 2,4'- 9,(i; luego tendremos
r,l.'u
Kt,s
:9:9,6
¡rt ft
o-s+.
IHF IFF
2?4. Esquema de log co€ficient€.
utilizar ei valor
:
f
0,254, correspondiente a la curva del valor medio. El
exacto es 0,256. Para Ia determinación de
la distancia focal derechd K¡,¿:2,L + 2,5 * 1,6: 6,2
,
H:
:
|
los valores
4
É É
0,224'. El valor verdadero cs O,ZL')
y está algo debajo de la curva del valor medio, pues predomina el coeficiente Con el propósito de comparar,
rFF l-rF F F
4-¡,t> se necesita
#:0,84.
La lectura en la cun,a del valor medio da rigidez de las barras articuladas.
;+
vakrr.
a continuación
+
se consignan también tcxlor
*
referidos a la curva del valor medio de todas las barras, enfrentan(l()
f¡l
L
a los valores verdaderos (entre paréntesis):
ti :0,287 (0,287) t T: *rf : o.zsl (0,zs4,t t 3* : o,zl7 (0,288) t #: +*:0,274
(0,2781'
;t
rr+
0.304 (0-305).
Como se ve las diferencias de los valores es ínfima.
2.
Determinación de los coefieientes de influencia v Cuando en el nudo 2, delabarra 1-2 de un pórtico, actia un momento Ms,1' entonces se obtiene el diagrama de momentos según ilustra la figura 275.a,
^'
MzJ
o bien L-Ba
L-- '
Fis. 2?5 a y tr. Dete¡minación del "coeficiente de influencia" Y.
b)
donde
|
"'":
,''' '
"^l
At 'tz,t:7Tf
I
* 0,300 (0,300);
(368) (
36()
)
¡3;'
r+ It c+
F F
sólo dc¡xlr-
de los valores de las tablas 32 ó ?: fórmula (369) puede escribirse de la siguiente ^manera:
It.I yz,t- t_¡t Luego, los "coeficientes de influencia"
fr+ ¡é ¡É ¡É
¡+
32
¿.
l¡t
:T-^{L (3(i0
).' yr,:: ¡-f.
7
pueden determinarsc scncillar¡e¡¡lr,
l¡
)
¡¡¡r.-
diante las distancias focaies ¿ o en función de los valores : r +. .l.a¡¡¡lrirlr¡ pueden ser sacadas inmediatamente der ábaco 3za, en función de la rt,l:r<.ir,,rr de los coeficientes de rigidez
t'.. Determinación de los eoeficientes de distribución en los nudrs rr ' Cuando a un nudo n indesplazable de un pórtico se trilnsriite r¡n momcnr() ¡t. debido a una barr¿ o. .,.u_*"é.rr,rla cargadas (fig. 276), demás lx¡r.r;* concurrentes a este nudo y rígidamente unidas a é1,áparecen "rr'tiu, nromentos rlt.sr.¡rritlr,
3.
contrario, cuya suma mantiene en equilibrio el momento originario. La distribución del *.r*ér,to originario sobre cada une Ce las barras. depende.le rr., .cristencia a la rotación. Cuando todas esias barras están rígidarnente empotradas, articuladas o bien todas elásticamenrc empotradas en su extremo opuesto, entonces esta distribución
efectúa proporciánalmÉnte a sus coeficicntes *. Así p. ej.. la distribución del mome¡rto ,4y' {e. del voladizo.de la figura LT6 sobre las tre;;;;;;;; al nudo, estando rígidamente empotraclas en _concurren -se
rrglde-1
"'.;::L?"T,iu:i'Í,J,,11..1.^,"
el extremo opuesto, y cuyos coeficientes de iigidez son &1, k",
tu[n,t: donde
--f u,
significa como-
en (366) la
concurrentes
al
nudo.
la siquierlr,:
ku, es
Mq.r: *f- u Mn.s: _ i;_ I{ : kt + k,2 + .ks
,
(320) (
suma de los coeficientes de rigidez de las
li
1)
6ar.r.rrs
En general, del momento Mn,,r, corresponde a cada barra concurrcnr(, rr./ una participación
¡+ lÉ
(5['9 a)
y de las barras del pórtico
Entonces partiendo
fÉ
La lectura exacta se hallaría algo ¡ror encima del valor medio, pues predomina cl coeficiente de rigidez de las barras rígidamente ernpotradas. Dentro de este alcartct' son muy pequenas las diferencras de los valores'límrtes, y por consiguiente sc ptrtrtlt' Fig.
p
(37? )
valor
es
la bara
7¿-r.
v
( u\,()
k,,,
En ésta, Kn.,, es la suma o.,.r.l"rt.;*; r" las barr.as cor)c.rrenres,,, :l:l] con excepción de la barra carga¿u ,_Á,.' Si en cambio- no fue.urr'l"i-r"a.'iguales los grados de em¡rolranri.'r. tlr" las barras conc.rrentes. entonces la distribución indicada por (3Tz). ,<¡
158 Método de los focos en su aplicación simplificada a estructuras aporticadas
indesplazablcs
más resultados rigurosamente exactos. Aplicando esta fórmula, el error es entonces tanto mayor, cuanto más difieran entre sí los distintos grados de empotramiento. Alcanzará su valor máximo cuando algunas barras estén articuladas, mientras que las otras, rígidamente empotradas; resultando, por consiguiente, los momentos de las barras rígidamente empotradas algo menores y los de las barras articuladas, algo mayores. Sin embargo, si en estos casos de aplicación de las fórmulas (372) y (373) se introdujera para los coeficientes É de las barras articuladas los valores 0175 k, entonces se volvería a obtener resultados sin errores. Como en los casos corrientes los errores son relativamente pequeños, Pues en ellos no se presentan los dos casos límite mencionados, se podrá prescindir en general, para la determinación de los coeficientes de distribución en los nudos, de la corrección indicada anteriormente. Las convenciones de signos enunciadas en la página 2 para los pares extremos de barra también pueden aplicarse aquí ventajosamente. Luego, según lo anterior, los momentos distribuídos en un nudo tiene siempre el signo contrario al momento a distribuirse; v el momento inducido en el otro extremo de la barra, tiene siempre igual signo al momento a transmitirse. Así p. ej. en la figura 276 el momento del voladizo es negativo, mientras que los momentos distribuídos MnJ> Mn2, Mn3 de' ben ser positivos. De la misrna manera todos los momentos inducidos en el otro extremo (M1,n, M2,n, Ms,r)
son positivos.
4. Determinación de los
momentos extremos de una barra de pórtico cargada
En la aplicación práctica del método de los focos debe determinarse por separado el diagrama de los momentos flectores para cada tramo cargado de la estruc-
tura. Con
fin
deben determinarse previamente los extremos" en el tramo cargado, que se dis"momentos FiE- 277, Determinacién de le "momentos extremo6". tribuyen segun (372) sobre las barras que concurren al nudo y deben ser influídos luego según (368) sobre los nudos vecinos, para volver a distribuirlos allí, etc. Los momentos extremos de una barra de pórtico l-Z cargada desde arriba, se obtienen en general de las distancias focales at, a2 y de las cruzadas de Ritter Kro, K;¿o según ilustra la figura 277 y cuya expresión es:
Mt : - fi
tx*
. ez
este
- Kf . a2) : - \l*f - ff tx,'+ ¡(r')l
Mz: *fi{x,o.t:1 -Kpo.o,): +}[x:-fftxro +/rr')] Para una carga simétrica, donde Kro
:
K"o
:
(374)
Ko, esta fórmula se simplifica de
M1_ *-#e_za2)
*-#e-Za).
(375)
Para obtener los valores numéricos de las expresiones precedentes, las tablas 2 a 4 nos dan las cruzadas de Ritter. Kto y K=o o bien Ko para los diferente estados
É
de
carga.
€ € €
f
tt{
f e{ ;a €
ca
;t ;t é * ;* *
CT'
;p
O*
t* t* F ü*
Descripción del procedimiento de cálculo para Ia aplicación del rnétodo dc los
F F F F F
Já
F F cf É
focos
169
sin embargo, para la determinación de los momentos de empotramienrrr de barras simétricamer¡te cargadas, puede emplearse con ventaja en vez clc la fórmula (375),la tabla 33 de valores numéricos o bien el nomograma 33a. p. ej., ennando en ra tabla 33 con ambas disrancias focares
(t) r (f ) , ." t ,tt f
intersección de las columnas y filas correspondientes se halran Io. t u.io.", y se ob-tienen inmediatamente para una barra de pór- lx, \ tico l-2 cargada desde arriba:
Mz: *+# i#, De la misma manera pueden los
Mt: -
tu¿
GT6)
leerse valores x rq como coordenadas correspon-
en el nomograma 33 a, dientes a la intersección de las rectas Í-, t On" ha sido esquematizado en la figura 277 a. q. Descripción del procedimiento de ailculo para ,.í'" 27,¡". n}""-o ¿,,r ,,ll la aplicación del método de los focos a estructuras ;;;"ü; B3a, para rr rr¡r* aporticadas indesplazables y vigas continuas nil?*:l",T"r,l:?,¿"TJl,l'l'::l';: sa 'in¡ótrica' Según las explicaciones precedentes, el método de los focos puede aplicarse utilizando las correspondientes tablas auxiliares, y sr. resume en las siguientes secciones. 1. Determinación de los coeficientes de los coeficientes de rigidez k v srr sumatoria
2.
K
según (366).
Determinación de las distancias focales
(+) t
los coeficientes cle infh¡c¡r-
cia 7, utilizando la tabla 32 ó bien el nomogram a 32 a mediante la relación . 7t 3. Determinación de los coeficientes de distribución ¡r según (373). 4. Determinación de los momentos extremos, a saber: puru crrgu,' asimi.trica según (374) y para cargas simétricas según (375) ó 'bien utiiizanclo lt tabla 33 ó el nomograma 33 a. 5. Distribr¡ir e infiuir los "momentos extremos" para cada tramo carg;rrl.
separadamente.
6. obtención del diagrama de momentos definitivo, mediante sición_de los diagramas de momentos de todos los estadoi de carga. Para Ias vigas continuas la relación de los valores es: kk K
la
supcr¡u,-
i7i ) k,n' pues sólo hay una barra concurrente Si las secciones de todos los tramos fucnrrr constantes, entonces la expresión anterior serítr
é
la siguiente manera:
M,:
e
Fic. 2?8. Determi¡ación de los focoe uns vig¡ ontinua-
de
simnlemente -----r----""-"
(
k I* i; : :a'
(3711)
donde según la fígura 278, k," siempre significa el coeficiente de rigidez y lu, l. longitud de la barra concurrente. mientral que rt / se refieren a li bo.rá .,,y.,* ,v focos deben scr determinados. Este método es especialmente adecuado para un cálculo superficial a¡rroxi*F?. q.ej.. cuando sc.t¡:a_ta de cualquier birra de una estructura ml¡y:urr¡rlilr e indesplazable, caracterizada por g.u.rd". ruces o cargas, y cuyo cliagrarna'rk. momentos se debe determinar, entonces se llega rápidariente a una solirci
"ito
Método de
1d0
Dercripción general del
la distribución de Pares
1. Dcscripción gelrerol del
6.
Ejemplo de aplicación Determinar con aproximación en el pórtico indesplazable de la figura 279-, el diagrama de momenios correspondientes a la carga que actúa en la barra 6-7. En el-croquis se indican también los coeficientes de rigidez k de cada una de las barras. Segun (366) obtendremos Para la barra 6'7 Ka,z:5,8 + 9,0 * 3,5 : 18,3; Kz,e : 3,2 + 2,3 * 2,8: 8,3; Iuego se tendrá
+*: # : o,tel; +*: # : 0'4'34" el nomograma 32 a, se obtienen las distancias
Entrando con cstos valores en focales en la forme'!"
1- : 0,266. Con éstos, se obtie¡re del nomograrna 33 a: Y'1 - 32,2, ra : 24,6' Las cruzadas g+91-:200tm. de Ritter según tabla 2 son: *":3J; +:0,299;
Luego según (376) los momentos extremos de barra tendrán el siguiente valor:
: - 64,4tmi Mz.e : * +o# : n ff#Q : * 4e,ztm. Mít: -
+# : -
u,'?#uo
Si se quisiera distribuir los momentos extremos sobre las banas que concu-
a.a
Fis. 280. Diagrama de momentc flecto¡s.
rren a los nudos 6 y 7. se podría proceder con aproximación según (372). Para poder establecei .rttt cómpatación, en la figura 280 se han inscripto los valores aproximados (entre paréntesis) y a su lado los momentos obtenidos mediante un cálculo exacto.
II.
METODO DE
LA
DISTRIBUCION DE PARES
Este procedirniento que ha sido tratado frecuentemente en la literatura técnica
i;ajo el nómbre de método de Cross 1, realmente es un procedimiento de iteración, en el cual, en todos los pasos se ve claramente el significado estático de cada una de las operaciones dé cálculo. A pesar de que en el cálculo ploplamente dicho no tienen aplicación los coeficientes de deformación, existen relaciones bastante simples y claras con el método de rotación de los ángulos. 19. consiguiente, pueáen ser inmediatatnente aplicadas ai método de la distribución de páres, sobi'e todo para entramados con uigas con cartelas, las tablas y los nomogramas detallados en la parte tercera de este libro. De esta manera se obtienin considerables simplificaciones en la determinación de los valores auxiliares, necesarios para el cálculo y cuya obtención con el procedimiento corriente insumiría mucho liempo. A continuación se expondrá detalladamente io anterior. I \"er nota al pie de la
pág¡na 154.
Brocedimicnto
PORTICOS INDEEPLAZABLES
En r¡n primer paso se suponen toda$ tas barras del pértico rígüamcnta
fra
J.
método de las rotaciones angulares, se distribuye ahora pro_porcionalmente a las resistencias a la rotación, en
elaaaoaará
ala
aoJ. FI
as.
A.
l6t
empotradas, es decir, todos los nudo¡ sin rotación. Para e¡¡ta hipotesis y con el est¿do de carg-as dado se determina¡r lc pares €xtreinoñ de Lnrra, e¡ docir, Ioo que son idénticos con los términos d.e cárga !l[ (: momentoo extremo cn totalmente empotradas) aplicados enel"método de l.as rotaciones angul.arcí'. !.oT En el segundo pTo -se sr¡-pone inexistente el vínculo que impide b lotación z cualqrriera (lo más conveniente es allí donáe ia ¡u¡na de lor parer *:" nudo difiere mucho de cero), mientras que todavía pennanese invariebie cl e,, ? empotramiento total de las barras en todos los demas nudos. Así p. ej., resulta en el caso representado esquemáticamente en la figura p81, que un núdo ¿ del pórticq cuyas barras esján rígidamente empotradai en el óxtremo opuesto, ertá solicitado por un pr Mr:I!D?,.r. Este-par Mn,
tFig. 279. Esquma de los coelieientes y eI etado
proccdimicnto
FT FT FT
rá
t-
;a een alra lf{
idéntico con el término
d, ,o)go en el nudo
ro, del
cada una de las baras concurrentes al nudo n y se transmite a sus extremo,s empotradc lr L, 3, 4. A continuación se supone, que el nudo z¿ anteriormente considerado en Cl cual han sido distribuídos o equiübrados los momentos, nuevamente sin rotación,
ttro nudo. EI mis¡¡ro procedimiento se Dbtribucién der nomar. I^:^Yt;*. repilg I debe observarse en é1, gue en el nudo nuevo Ficr. zrl. to ü. en el rudo ¡, también debe ser distribuído el par existente por influgncp y correspondiente al-pajoanterior. Se continúa de est¿ ¡na¡rera hasta quc I* pares inclusive los influídos, hayan sido equilibrados en todos los nudor. 1ST Mediante la suma de todos- Ios pares r*ir.-* p.t*i"Lt con los correspondientcr tér¡rrinos de carga If, de la barra, se obtienen fiialmente los mornentos definitivo¡ para Ia estructura indespl.azabte Para la realización practica del cálculo se puede lograr una mejor virión de- conjuntq escribiendo- todos los valores intennedios ."r, ,rrru tabla especial o bien en los extremos de las barras. de un esquema del pórtico. En este caso se de ros nudos de ra estructurE y de un modo t¿l que ella no experimente rotaciones ni desp¡azannientos (fig- 282)'. En este estadopueden hallai:se los momentos de la misma manera como en el caso anterior, es decir, mediante una distribución transmisión v sr¡cesivoa; determinándose a continuación lo reacciones ;l;;;d;* ficticios. Esta¡ reacciones o "fuerzas de sostén" apricadls en sentido contrario.'pueden adoptar*e como nuevas fuerzas exteriores que actúan sobre la estructurá.' El diagrama cle correspondiente a este estado de cargas, puede obtenerse ahora con loT.ttt* v-anos Pasos, admitiendo previamente sólo los despláamientos pero no la rot¿ció¡¡ de los nudos (fig.283). L* *o*.rrtos extremos de la barra itry M" que enronces aPanecen en las columnas de cada uno de los pisos. sólo dlpenden del .,emd,!f.qitA'originado por-las fuerzas exteriores: *i p.'"j.. en los entra_ llJ:^l"PI macos cle edrficio estos momentos dependen de la sr¡¡na de las fuerzas que actúan por encima del piso de referencia* de la-rigid.r-d, horizontales *d" una de
'"oLJ;H"T;"?ljtf"ffituno
las columnas-
---Cilesplazamientos cn la figura. (N. del T.).
del sistema se impiden introducieqdo los apoyos ficticios indicado-
F
Método de la distribución de Parct
t62
dt l¡u de.1odg los momentos en los extrc¡Ix)suno tk: Después de la determinación cada en ¿"'"quifiutio )M:0
J-
columnas, está transtori;;;-;;;Ji"i¿" de-los pares se efectúa nuevamente segufr los nudos. La distribuciáJl o."*"irian y, de acuerdo con lo esta-
{ é é € é €
¡tt¿*ofuables la hipótesis, de que,ofl'il'rirJ.r rr" *t"'""o por'vez (fig.-281)' lJna vez blecido anteriormenr":; il;il"roio, terminado este procedimiento.' - se P-ued.el *if-? 11"#L"lio:':Tl ;:%::*:,ñt*Ti".H:ll,lJ.il"tJi,iitá;Jp'*'ai-ientoyerectuandocui' rr---t>+ ffi---B
il"*-g,
.B
JJ-
r-
F Fie.
Fig.
282 e.
Fig.
282 b.
de la etructurs Fiss. 282 s yy b' Deformación d¡e8:rama oe momentG flatores' soo¡ticada -'";;';ñ; lós nudóa no rotqn' ni se dcr¡Iazan'
Fies.
288 a
Fig.
288 a.
J-
28$ b.
yb. Derorneci::.1;f ,?jü:*:?"i?.1J;
;;¿""i-*'t¡¿o"o'Í?0i..i""u.ff"":3"'"3'i'F"ff nudos no rci8n perc se daplrzan' ;;;"T; l&
;;'ñ,
dadosamenteelcálculo,sepuedeaJinar'segúnlanecesidad'la'exactituddelos se considerután como exactos' resultados. L* ,rutor"f'd; lü;;;-"ri'oUti"i¿os t"-pt" en todos los nudos la cuando no aparezcan'L;t ilJ;;;";;¿;; " .!.r condición )M:0. r,lo le. convergencra ^^^r--.. l,u-l:"tu -^-^ acelerat para También aquí existen varias- posibilidadesSin emaporticadas' estructuras en de este procedimientg;; A""t t'igu' -luchasse.desarrollará'n y reunirán a cont¡arso. aquí no se rnsrstiiá sobre esto; "r"o*bio, aúxiliares necesarios para las opel?tir,,i.ái¿,i las fórmulas;;t;;;;;t-y'estructuras ""lo'e' aporticadas con cualquier secctón ciones de cálculo, tarito para las v lai de sección i#*t# P;;;#;;5'*;-*"'i" uariabte de barra,
"#l constante Por tramo. r.
r vsÚvraur 2.Determinacióndeloscoeficientesdedistribuciéndelosparesp .,a a resolverse aquí' trata sobre Según lo exPuesto anteriormen*^:]-nl:*o-,,^^ ¡ sobre las barras concu;;'¡'. ai,s,iffl"i;i TJ::i;;' ñ Yse ev'-"i ^ll*,i: estando sus extreen él' :i:":3f::,':fi:: unidai :*:i rrentes y rigidamente ^^..^^rr^o o' o' lnc '"ll^J 'w J ."*pmismos "l-1d:',';, " ^'oll*$ 28'l)' (fig' los de á;;kid." .""il"i""i"t '¡E¡¡LL¡ eL :uación en el nudo (163) Haciendo uso de la e< - L^
ü;;'
:*
J:;.;¡il*i
r
p"."'J;;;J"p'"i""a''-11::nl:"lt;',:,t^:llrl'; l#i¿".""..-;;'T;;;ils, tendreimos aquí debido a que so:Mn Y 9¿:0 dnqn* Mn:O
Fig. 284. Digtribución de Mo el nudo 4'
MrJ:
Ln,t ' 9r
eo
- -
Y
9n
M^ dn
(37e)
Na 3 d' págiCon éstas se obtiene según la tabla II, tt: en na 6!, los pares extremos de barra
::!-.
M,t
M,p: - :L*. !y!,
etc.
(380)
é € € é € € € €
e-
€
J-
e)
Lretefmlnlr.lon oc ¡o¡ cocl¡(llerllcr qG ln¡¡u(¡rr rr
o bien, siendo según (t6,$) d^-4atJ, p^Ía. una barra n-i, la exprerión
:-
Jf)
e
M,: - t,i'
M,,t: - É#'
M,
(88r)
anl
donde
,Lr,i -
(3Ee)
\r Z/ ..¡'l I
Luego, en barras con secciones aariables la dhtribución del par Mn en t]l nudo n ü .fe"tú. proporcionalmente al coeficiente de rigidez- a,.¿ ' Estos coeficientes de rigidez o, ton pttt barras con cartelas rectas,o parabólicas y $e toman de las tabtai5 hasia 8 ó bi"tt de los nomogramas 5 a hasta 8 a respectivamente' Para barras con secciones constantes ie tendrá segun (19) dn:2X&",1' Luego con (379) y según tabla I, Nq 3 d, página 4, los pares de extrenlot en ¿ son: Mn etc' (383) M'2: -
Mn,t:_#.Mo:_fi.u^;
#'i
ii
o en general para una barra n'i:
t,
rvt n,i,
Donde
k',' -^, tr' ¡' 2i kr.¡
--
pn,i_
(88{)
ko,t
(3E5)
>/r*, n
la distribución de los pares sobre las barras de sección constantc, qv¡ concurren- al nudo z, se efectúa próporcionalmente a sus coeficientes de rigidez ft, es decir, que
3. Determinación de los coeficientes de influencia
y
Para trasmitir los pares que actúan sobre cada una de las barras coDCU' al nudo n, hacii el extiemo opuesto rígidamente empotrado, se utiliza el "coeficiente de influencia" 7. En barras con secciones conslanles es'-
rrentes
y:-1, 1
(386)
pues la línea de los momentos pasa por el foco situado
Mzr
:i
1
cuando el par M1p debe ser transmitido Mzt
f-
f-
gene-
ralizada será:
J-
ttá
J
I
t+-
r
wt
@
-----J
Fis. 285. Bura con gección consts¡t€.
"r,
trlt.r,
f
{fis. 285). Luego
er
(387)
al extremo 2.
grfrñ#i,w3" Fig. 286. Barra con Beccionc v¡riablo¡'
Si se trata de secciones aariables de una barra v, con un extremo n rígidamente empotrado y el otro extremo m con apoyo fijo, los pares extremot según (129) están en una relación
M^., i Mn,*: a-, r br.
t
De
JF ?úa tÉl
Método de Ia distribución de pares
{r4
donde b,
Mr,* : Luego, si un par
U^n ¿.At
st".-3"'i',:""Jil,#¿"rT:
, .
@m,*
M^.n:
y*,n . M^,r,
'-- (196) o bien comparando con \---'
transmitiq".,li":
"t^,:
ta¡nbién ,oo: :" tñ"" T^,¡: lm'i y^,*:
(389)
Fl
¿"
a)
6 6
o también
- .
"frrr"":
p o'
(3eo
Para estructuras aporticadas con cartelas !'ectas
6
F
(390) rFll
*"
'^ a) Érr
o parabólicas, las constantes IÉ
8 ó 5a hasta 8a de barra a y b p.r"de't -" obrenerse de las iablas 5 hasta t7 a hasta 20a' 6 20 hasta 17 p tablas las de y ñ ;;i";.t uíg,rl"r., 4. Determinación de los momentos extremos {)l
y
F 6 é
Sonestoslosmomentosdeempotramientoenbarrasdepórticosupuestased|
"términos de carga" !)t, que ,igiar*;"ü "*potrua*. itl* son idénticos con losangulares. Estos momentos sc ,oiu.;*"t las de también se utilizan en el método tablas 2 a 4, en determinan en barras con secciones constantes, mediá:rte ^las 12 ó bien 9a hasta t tablas barras con cartelas y can carga uniforrne,con'las las tablas de con concentradarJ y cargas cartell,as hasta lZ a, y en barras con* ii"""t a. infi.tei¡cia 13 hasta t6 6 13 a hasta l6a' A :- Ir Í'dLe a 5. Determinaeión de los momentos de desplazamiento, para y para nudos sin rotación ecuación (130) ' En barras con seccione s aariables se estudia este caso en la : según la figura 287 ,1, : Reemplazan¿o + Y a 1, resultará "r, "ttu M^,n A-1 I M^.*: at : z-,n i ,oor.
-p'''ó"'' ,P-T Tr I ¡i !II i i VI
'X (t') L ^'
lr^^: "i'' :u,.^.1 , |
Mo.^
Los valore* de c son según (122)
v
(127)
',::=::I',
É I -
\uo" (3e1 )
9^ i,i;;"-; á*pr"ra-r.o:'i,':;"t :"i::;'" H =
_
: 9n: 0 y flt : 0 en ia (10) se tendrá 3J_:7. -*: - - - k' M^'n:: Lif'tn'^
lÉ É é 6 Ge elñ FÉl
(F t+
Of+
F (3e2) ;+
6.
l"r-r"á.iorr"rltrg.rhró. Se estudiará este caso especial (fig. 288) ' _ ?---.---E Es conveniente distinguir dos casos: T H - .l Entramado dé edificios con columnas de alturas diferentes."olI i I
DehÉcuación (180),combinadaconla (124a) ypara
tendremos:
¡3g3) 5n1) t
6 Jf, l* 6 Á
@: o
xonoe donde
oo
.,S; Mu:
tu ' S,
; 7u y ., : :UTT;
= ¿o .o: -- ¿jT
et: eo:0 I f A (Be4)¿'I-l-11
Momentosti('l¡l
f"X"lit'S""1';'i: (395) ;;¿;ü;í;-ii., barra'
La suma se refiere a todas las columnas del piso considerado. b) Entramado de edificio con columnas de alturas iguales. En este se obtiene
cas<¡
(3e6)
El signficado de los términos c o bien z se deduce de las (392) y (391) rcspectiiamente. Para barras simétricas, siempre se tiene o)o: <',u y por consi' IvI". guiente - En Mo: banas con secciones constantes se tiene: a) Para un entramado de edificio con columnas de alturas diferentcs:' oo
:
tdt
:;J
E
(3s7t
"21 b) para un entra¡nado de edificio con columnas de alturas iguales: kl (3e8) 0)o: /ot: Z>T Son aplicables relaciones análogas, a estructuras aporticadas con nudos t¡rtc tienen desplazamiento vertical y con los valores S conocidos. 7. Ejemplo de aplicacién para una estructura aporticada indesplazable Determinar mediante el método de la distribución de pares, el diagrarrrlr de momentos flectores correspondiente a la estructura representada en la fir¡rr'
ra 289 para
cargas
qt:ít/m
Para la bárra 1-3 supuestirígida en 3,
y Qe:4t/m que actúan simultáneamentr" !"= 0,009m{; ln=Q, entonces ¿=0; )\=0,10 y
la tabla 5: o1 :6,09; c.2-4,*4; $=2,96, luego aplicando (147) 73,70; a" - 9,99; , - 6,66' bar¡a 2-3 ei, J.- 0,0072ma: lA-0,0576m4, entonces ¡=0,725; tr=0,25, y rt¡rfrn la tabla 7 a: s=9,24;b =6,33, luego aplicando (la7) a-8,32; b-5'70: y según la tabla 77a x=1,29, entonces S!.s= -32,53tm: [1.,': según
ar=
Para
la
Para
la barta i-4
É+
pueden determinarse con Ias tablas mencionadas. F : Mm'n-cm'n -^ - que también En barrás con secciones constatttes; haciendo A 1'
Fig. 28?. Momentos.de-
@
ñt
166
(38s) ;l L^__^ 6
(389
Para barras simétricas:
indesplazable
Determinacién de los coeficientes de distribución t¡ de los momento¡l de desplazamiento en nudos sin rotación Para el cálculo de los momentos de desplazamiento Mo y Mu en un piso totat del piso" S, suponiendo sécciones de barra aariables y nudor "i;t*p,rje "o, ri" ."r""iü"r, p,r"d"tt oút.t.tt" expresiones muy sencillas, cuando sedelsustittryen método i.'"*ptesiOtr general de ias ecuaciones de .despl.azamiento ;;;
:l^::::::: ]"!ÍrriiÍ"r2"'Jr?. de inrluencia es" Lilfi:'Tj:;bi;;'"'¡;'íÁ" ser
Ejemplo de aplicación pÍ¡ra una estructura aporticada
- *
32'53 tm.
0,0072ma; I.n=0,0576m4, entonces n=0,125; l' = 0,30, y regún - 8,35; gn = 4,77; h - 3,72, luego aplicando (147) o, : 10,02: ot- 8,65; b - 4;46;.v según la tabla I a: z, - 1,57: rc' = 0,75\'
es:.I"
=
la tabla 5 a': 6,
-
= - 18,8'l tm; 9ta,3 = $ 9,06 tm' la bana i-5 es: I"="rr';0,00521 ma, entoniei, n=1: \=0, I según la tabla o-4,0: h-2,0, luego aplicando (147) a=5,95: ó-9'98' entonces Slc.t
Para
6r
q. t
Método de la distribución de
60
o++.
pares
Los coeficientes de rigidez eiltáln consignados en el esguema dc v¿lores auxiliarc¡ (fis.290). El par disuibuído en el nudo 3 es Mr -- sr= th, = { 32,53 - 18,&$ = f 13,69 tm'
?
Segun (381)
se obtiene con
-
13,70
Mt= -
"UÉ
X "r,¡ = dt
+
5,95
+
10'02 +8,39
=
37,99
los riguientcs pares distribuídos:
M's,t=-
t¡g,r.
-
th,z.
Ms=
tl=.,q.
Ma=
M's,z=
M's,t= -
- ff
'uu= -#'
13'69=
*r= -
13,69=
.
-'f'94tm;
M's,s= - ltg,5. Mg=
.+.
.i+. dlo ¡t|o .to4.
;-
f-
f-
?a fF¡
Fig' 290' Esquema de lc coeficientc'
de cargra.
Se$ún (388) y (3E9), respcctivamente, se obtiene:
t.s=ya,r . M's.r
M'¿.s--
^.- 3,' ^ts,z . M's.z
:
M's,t=
*.
b"','
- M',z= -- ¿,g2 -.- 3)z
- ffi gr32 - a*.
M't,s=,trq. M'sr. = !Y' . M's,'= - #' M's,s=.ts,s. M'e.n =
M'g,s=
*.
- #'
'
- 2,4a tm;
4,94
=
3,00
=-
2,05 tm;
3,61
- -
1,61
tm;
2,14
=-
1,07
tm'
cqr lFo
Itr
o{ É
Mediante la adición de los pares influídos parciales en c¿da uno de los exüemos de la barra con los correspondientes té;inos de carga fi, resultan aquí ya los valores definitivos¡
2,{f,tm; Mt,= =Me,'= -2,05 -32,53= - 3'l,58tm;
Mn,= -
Ms,g=
1,61
+
* 7,45Un; =- 1,07tm;
9,06=
Ms,t= =- d94'tm; Msz,= - 3,00 +32,53 = f 29,53tm; Ms,+=-3,61 - 18,84= -92,4ótm;
Ms,=
=-
2,74tm'
Con el fin de verificar y poder comparar el presente ejercicio, a continuación
serán calculados los pares extremos con el método de las rotaciones angular¿s. Procerliendo de esta manera se ve claramente las relaciones directas de ambos métodos' l;t'gún (163) las ecuaciones nudales para el Presente caso son:
drvs*.rr=o
o sea
e3
=
- I;= - ffi* - 0,36'
se obtienen los pares extremos de ba¡ra:
Mt,z= - 6,66.0,36 = Mz,a: - 5,70.A36 - 32,53: -
Mt,= -
4,46.0,36+
2A0
tm;
M8J:
34,58tm Mae: -9,06 - { 7,44tm; Ms.+=-
lg,7\.AJ,6 8,32,0,A6 10,09.0,36
= _
4,94
tm;
+ 92,52= -¡ pg,53 tm; - 1g,g4:* * ee,4ítm:
Mt,z= - 2,98.0,36 = - 1,07tm; Mg,a= - 5,95.0130 - 2,14tm. A la figlra 291 han sido llevados estos pares extremos en escala. Cornparanclo ambos procedimientos de cálculo. se ve qrl" ér, ambos casos se emplean operaciones
rÉ aea-
M'
la (125)
167
et Jñ
mediantc Estos pares distribuídos son transmitidos hacia los otros extremos de las barras los cocficientes de influencia 7.
f'lg. 289. Dimeneiones de t¡ etructur¿ v el est¿ito
Aplicando
indesplazable
.J.
- 3,00tm; -- - ffi. 13,69 = - 3,61 tm; =-ffi.13,09- -2,14tm.
ffi'
.¡lfa
Ejemplo de aplicación pa¡a una estructura aporticada
FT
eto ello
;C
r{ ?a rr{ ú
Fia.29l, Dirgrama de monenlo fleto¡e.
de cálcula análogas, pero con el método ele ias rotaciones angulares, ios resultados finaies se obtienen coÍ¡ menos aplicacicnes de raciocinios estátic<¡s v sálcuios.
la
O. ¡-
¡a
ara f¡ra ¡-
fta
rf-
PARTE SEGUNDA
¡-
ÉJtrMPLOS NUMERICOS Nota previa AI elegir los ejemplos numéricos, siempre se prestó atención de resolver primcramente lai estructuras aporticadas simples para pasar paulativamente a los casos más difíciles. Ante todo, se indicará la aplicación práctica de los métodos de cálcr¡lo, descriptos en la parte primera de este manuai y como se efectúa el cáiculo numérico más apropiado y ventajoso. En ús dos secciones siguientes se consideran pórticos con el mismo estado de cargas, primero sin y después con cartelas, para hacer ver con más claridad la influencia numérica de éstas sobre la distribución de los momentos en la construcción de estructuras, y comparar simultáneamente la forma y el alcance dcl procedimiento de cálculo con o sin cartelas.
Con el propósito de no perturbar Ia claridad y el desarrollo del cálculo corl explicacioneJ lu.gar, sólo se intercalan las aclaraciones necesarias para el procedimiento. Pero como se concede especial importancia de conservar en todas las partes la relación con la parte primera de este libro. se indicarán con númerr¡s ias ecuaciones y fórmulas que se aplicarán. Para facilitar la consulta con la partt' teórica y estimular un estudio más detallado de las cuestiones generales concernientcs a los ejemplos, se llamará especial atención sobre los párrafos correspondientt's, donde sea más indicado.
Ejemplo numérico I
L
ESTRUTIURAS INDESPLA. ZABLES Ejemplo numérieo I (ver también l.l, 14,) Parte de pórtico con ménsula. Empotramiento rígido en los nudos 1,3, 4, es decir, 9r: Ps: 9¿:0. Por tanto, sólo deberá determinarse una íncígnita, o sea e2. Las longitudes de las barras y las dimensiones de las secciones están consignadas cn la fisura 992; mientras que Ia figura 293 muestra el estado de Los valores de
¡-
Según (19), la expresión eencral es:
En los ejemplos siguientes, elegidos de las construcciones de hormigón armado, se aplicó con preferencia la tabla auxiliar 1 para la determinación de los momentr¡s de üercia J. Pan estructuras aporticadas de acero o madera los valores de -I st' toman de tablas contenidas en los manuales más conocidos. El cálculo de los tórminos tle carga llll para los más diversos estados de carga, se efectúa mediante las fórmulas de las tablas 2, 3,4. Las constantes de barra ft siempre se determin:rrr
la (24), en forma reducida o = -!ry9¿' Para cl cálculo numérico de los valores k, Wt y It, como también para la resolución tL' las ecuaciones, se obtienen resultados suficientemente exactos con la regla rlc por medio de tablas, o sea con
cálculo común.
-.-
1
O Fis.292. I)ime¡sione de la estructt¡rn
I
I I
Ternino diagonal d,.
l-,
2-3 2-4
r)\rt -2"n.7t
f I
I
t
@
rIa ela
F,
arl
FI FT
o
Ii'i¡l.293. Estsdo de eargas.
por tanto, scgrin
f-
¡a f]a ¡a H
ta
ra
H
Fig.29{.
de los coeficientes (fig. 29,1) d. = 2 (7 ,BA + 1,52 + 0,61 i ,=
/¡ v
Esquema de los
ceficicnte-
r.:l csqilema
7,86.
7'ótrninos de carga D? (ver fig. 293). Barra 2-i. Segin las tablas 2 ó bien 4, se obtiene
qP 3,0'7,52-- - -72 - 12 . _ zPl 2.5-7.5 (i'a¡-
.i(n.:r''? ')ti.-.rrr.r
o-
ESTR.UCTURAS APORTICADAS SIN CARTELAS
cstl
ftra
a{ ¡a
SrcclóN Pn¡uBn¡
B8rñ
tes (fig. 29.1).
,l " tr --
t
5.oo
Cuadro de las consts.ntes tle barra
Á
F af) ff) f-
l+-
cargas. están anotados en el esquema de los coeficien-
¡ra)
@
!l)i.:.1
q =
Slr,s
Ménsulo.
Mr,r,
=+
2,0 .
Término dc crtrga en el nudo
.,$,06
1
tm: Sh,r,nr, : f
=:_J,31_,,;SLg,:(",t:-: = - 22,39 tm: Sta.: = *
$ * g,5.5,0+
5,0.t,5
= $ 5o,ootm.
s.,.
Scqí¡n (20), la expresiéri general es:
t"=?*',0 *IMt, por tant(),
Ecunriól nu,ltl. Seeún
''',
= 9Q.:
*
Mz,t,-
-
2!.39
+
50,00
- {
(lti). Ia expresión general es:
d*s,*X&,,¡$¡fs,=0.
27.61 tm
14,06 tm: g,J3_,, 22,39 tm.
t
ftl [¡l¿¡lt Ici
I
Sicndo los ángulos dc roltci(')n dc l<¡s ¡¡udos vccino¡ al rrr¡do 2 igualct r (.rt"o¡ ¡e olrl i¡ r¡r rimplcmente:
t I t
dzW,* 12-0 o sca 7,86%¿*27,61 =O
y dcspejando
sr:
27.61
zÉ6 --3'51.
Parcs cxtrcmos.
Según (1,*), para
la barra !-2 r¡: Mt.z= &(2qr * ae) +'l!¿r.2.
Con la anterior y utilizando el elqurrrrrr rlc L¡¡
M\z= Mz'= -Mz,g: Mz.t: Ms,z= Mtp: -
1,80.3,51
2,1,80.3,51 2.1,52.3,51 2.0,61 .3,51 1,52.3,51 +
-
22,39
22,39
fi,
-
,=.-
-
l7,O\
=-
0,61 .3,51
1'/,
t t
2,1+ ,,
fl€ctor6. de momentos. Ejemplo numérico 2 (comparar también con N, 15) Viga de dos tramos rígidamente unida a las columnas dcl ¡riro n¡lr¡irl y superior (fig.296). Empotramiento rígido en los nudos l, 2,3,'7, U, tt lll apoyo lateral irnpick. el rk r¡rln @ zamiento, por tanto, iólo lrly lrrr ---T- incógnitas, 94, 96, 9¡¡. l.nr lrgl __ )/5o ¿ ras 296 v 297 muertr¿¡r¡ lH¡ rlt P mensiones y el estado rlr rnr¡qor
o
@
3o/8o
o o
.q
t.
@@
resPectivamente. Los valores de ft rc ir¡¡li¡ lrr r,¡¡ el esquema de los cocfir ierrlrr, ll
gura 298. Térmí¡o diagonal
neral
d.
Según (19), la ex¡rrrrrí,rr ¡t es:
dr=22kn,1. i
F¡c- 296. Dinengione de l¡ et¡uctura.
. .-
D/¡(cD)
llom. de lnerci¿ J(D')
60/60
0,00900
¿,0
2,26
60/60 30/80 30/80
o,0lo80
1,O
2,70
0,0t280 0,0r280
8,0 6,0
I,60 2,t3
B-9
50l60
0,00521
3,5
1,49
5-8
66156
0,00763
3,5
2,t8
Sccción I
l-4
8-8 2-5 4-5 6-6 4-7
to(nJ
- ¡-
Con los valores anteriores y la aplicación del esquema de los coeficientes se obticncn
d4-2(295 + 1,60 + 1,49) = 2 (2,70 + 1,60 + 2,13 + 2,18) = du:2(2p5+2,13+t,49) du
10,69 17,22 71,74.
f
O
o o o t o
o o
o
-91,30tm;üüo,n(c,)
@
f
27,17 tm.
o@@
carsas. Barta 5-6 (ver tabla 2 ó bien 4).
: -#=
![lo,utc,t
=|
@CI
Pig. Fig. 298. Esquem¿ de los coeficientes. coefir
Fig. 297. Estado de
-
P .l - ;j=
*'u;f'0" --
13,5rm; $ts,5(q¡)
=f
13,5tm:
6. 6,0
- - 4,5,, " Ito.¡{P,) = * 4,5,, *u'o- - 18'0tm; !rh'r'= f 18'0trn' Té¡minos d,e carga en los nudos r. Según (90a), la expresión geMatrk dc los coelicicntcs 2 ¡eral es: ,, = *,,r, 9t 9t 9t Ul5,¡;rP,)-
- -iñ
:
B
?
por tanto,
14--24,81 tm; re : * 27,17 - 18,0 = f ro=*18,0tm.
9,17
tm:
9t
10,08
l,6o
9t
l,60
17,22
2.t3
2,ts
11,74
9c
-
+
+
24,81 9,17 18,0
Ectacio¡es nudal¿s
r|
{ { {
Slr,¿
: t-jf-l:
q¡¿'¡
Con la antr:rior y la aplicación del esquema de los crx'fir icntcs, pueden tabularse de inmediato las ccuaciones de los tres nudos 4, 5, 6 (vcr rrr;rtriz dc los coeficientes 2). Resolvicndo la anterior según las tablas 2f) í¡ 30
e rl + O
* A#+
o9
Según (18), la expresión general es:
ol
* 2l,il0 tnr;
=
= --LE-:j.n)t5,4(P,) =
tl)
ol
Cuad¡o d¿ las consta¡tcs dc barra 2
o*"
5'5'9':'02
-
Uil,r=-2,tr,81 tm;
o
,,
Fis. 296. Di¿gram¡ de mome¡tos
-
*'oii'o'
=
t t
tu¡
La figura 295 muestra el correspondirnrr rlrn¡rnlrr
AJ
-+= güa,6(p,) : - "'#u' : -
s]l.,utc,r
o
lrll
.lr¿,(r1 ,, | l,Ofi ,, '1,!lll ,,
-+,
Barta 4-5. Según las tablas 2 ó bicn'S se obticnc:
,
cientes se obtienen:
@
Tlrmi¡os da carga flL.
dn t¡'n
* X rtr.,¡ e¡ { s,.= I
9¡.=*2,41 ; qo=-0,58;
e6=-1,43.
Par¿s cxltct¡tos-
@
0.
Fig.299. Diagrana de momentos fl@tor6.
Srgún (14), la expresión general para la barra 1-2 es: M\e: I (2 qr * pz) * [ür,2.
El esqucrrra dc los coeficientes, nos da los valo¡es de lr; luego, con la rciterada aplicat:iólr dc e¡ta fórrnula, se obtiene: Mt,t-- 2,2rt.2,41 - { 5,42tm --f . lo,8't trrr M|J=2,ZS.Z.D,4I Mo,,t= '.-2,70.0,58=-1,57 ,, ü¡,o: --'2,25.7,43- - 3,22 ,,
= -0,58) -24,81 - - lu,0J,, Ms,z:I,4,9.2.9,47 - -f '/,1U ,,
M4,b=1,6(2-2,4,1
1?2
tÉ ;t !r rl
Estructuras indesPlazables
y del mismo Ma,g= -
- 3,13tm U1,,"=+29,17 ,, Ut,"= -93,52 ,, Ms,a= - 2,53 ,, Ms,z=
modo:
Mt,t= * 3,59tm Ma,r=-1,26,, Mg,u= -2'13 ,,
6,43tm
Mo.s-*10,68 u Mu,g- - 4126 ,,
La figura 299 muestra el correspondiente diagrama de
momentos'
Ejemplo numérico 3 Pértico de teeho, simétrico con Pies de columnas rígidamente empotrados' Las figuras 300 a, b dan las dimensiones del pórtico y el_ estado de cargas. Et,.* son simétricas, por tanto no habrá desplaiamientos de los nudos. Además,
,/,@
TT
rr ;r ;l ;r J)
Ejemplo nunérico Ecuación nudal Según (18),
--r¡50/60 I 6!0
Lil Fis,
300
¡2.oo
a
;a
CIo
----'.1
Fic.
a. Dimensiones de le etructu¡8.
Csadro dc las constantes dc barta
300
y
a cero, por tanto, la expresión precedente será simplemente: d2p2* s2=O ó 9,32p2-22,2-0
despejando
ComO93:9¿:0
3
sólo habrá que deter-
minar una incógnita, O sea 92
:
-
92'.
Los valores dc
t-2
2-3
It
están consignados en cl esquema de los coef icientes, figura 301.
Término diagonal d-.
d, = 2 (1,80 + 1,90 + 0,96) = 9,32. lll (ver tabla 2 ó bien '1).
Términos de carga
o
Parcs extremos. SegÍrn (14), la expresión general para la barra 1-2 es:
Mt,¿=
[-ig.301. Esquema de
ceficiente..
pl¿,.r:
los
12 -
''-i;' =-
1-8.6-02 4.,0.6,0
D?:,t(P' = -
+W4@t = Término de carga en cl nudo s2.
5,4
|Ii-¿,41'1)
=-
5,4,,
3,0,,
- 3,0= - 8,4tm; 9?a,1 = f
Según (20a), Ia expresión general es:
s' es decir, rz
=
Sb,e
*
D?e,u
= )i
=-
$ln,¡, 13,8
-
8,4
=*
úa
22,2tm.
8,4tm.
,a ;a ;a
7a rl al,
;r É
ft (2
qr
*
ar)
*
Uh,¿.
Aplicando el esquema de los coeficientes (fig. 301), se obtiene con la reitcrada apiicación de esta fórmula:
- +
+ 1,80.2,38 t.z: -J-
M M z.t
:
2,38 M¿.:t= +2.1,9O.2,38 13,8 Mz.q= +2.0,96.2,38 - 8,4,= Mt.z: + 1.oO.2 38 + 13.9 Mt': + 0,96.9,38 + 8,4 2. 1,80.
La figura 302 nuestra cl diagrarna de
Ejemplo numérico
4,,28
tm
+ 8,56 ,, ,, - 4,76 3,83 ,, - 19,33 + ,, + 10,69,,
momentos.
o Fig. 802, Diagrama de
fletore,
4 (cornparar
tarnbién con
N"
mr¡n¡r'r¡t¡¡¡
16)
Pórtico simétrico de dos pisos, apoyado en tres columnas rígidarrrentt. crrr. potradas (r'cr figs. 303 y 304). Debido a las cargas simétricas. no hay des¡rlaz;rmientos dc los nr:dos; además s¿ : 0, por tanto, sólo deben deterrninalsc r/rrr incógnitas, a saber: 98: 9:t' y I r 'i -- q5,. Los valores de ,t figuran cn cl csquenlír de los cocficientes, figura 305.
Cuadro de las constantes de barta 4
t-3
Términos diagonales d.
dn .=
0,01582 0,00810 0,01296 o,o2?94
B-4 B-6
Según la (t9), la expresión gtncr;rl es:
(rra
cl
4-6.6-O2
)Dfu,nto"r=-
a ;t
Ca
x
\ll ) ;u(23 --
a
Ga
Sesún (19) la exPresión general es: dn - 2l kn,i, es decir,
o) t) ;a
22-2
Q::=* gÉ=+2,38'
oa
b. Eotsdo de erga6-
expresión general es:
En este caso los ángulos de rot¿ción p¿, de los nudos del pórtico vecinos al nudo 2, rlrr
iguales
aa
6.00
17.1
doeo*l&r,¿q¿*¡r=0.
rt
@)
la
4,
6-6'
3,80 6,60
4,t 0
4,00
9,22 2.10
l3,OO
1,25
2l kr,,¡,
o
@
por tanto,
ds-2(4,16 + 1,25 + 3,22) =17,26 d5- 2(3,22 + 2,10) * 10,A+. Tratárrdr,s, tlr. r¡nr (structura simétri..a, @ en la cual t l cjt Jc simetría pasa por ei punto rrredio dc la barra 5-5', según (50) en vez de r/., st' dcbcrá poner
O
dr,
-
d,,
-.
Á...,
-
10,6,+
-
2,10
-
9,54
(ver partc prirrrt'ra, sección primera, IV, 3, c) Términos
dr carga \)1.
Barra l-.1 (r'rr rabla 2 ó bien ,Í).
6,50
Fic. 303. Dirrensione de la structura
útr,nto')
lflu,,
4,.0.6.52
QP
=-
- -:18:--:
t2 P
(o, )
Nls,4(P,\
ú
Estructuras indesplazables
.174,
,
a.b2
14',lohiDl¿,stq')
-
''''\:;u'n' - -
P.a.b2 *-_-=
f
-
6,55 ,, ;gfn,r(P,):
- 2 JtLe: -
* u#,:¿7'0'!'2)--'1'3
,, tüt¡,(p.)= * 22,11 tm; $fu,a = -
12
|
t,46
!f1,3
4,37
,,;
$
5,&r p ;
: +
g,t,30 rm.
=
o'9"
14,t0 tm;
d ú f É É
I
É
d É
d I
Ejemplo numérico
Ejemplo numérico
l7lt
5
5
@
-1
Silo celul¿r de cuatro secciones de planta rectangular (fig. 307). Deben de-
.-8úl
terminarse los momentos producidos por el estado de cargas horizontal, que muestra la figura 308. Suponiendo los nudos indesplazables, el cálcülo se efectúa p^rt @
una franja de la pared de la celda de 100cm de altura y 90cm de espesor. Debido a la simetría de Ia estructura y para una distribución asimétrica de la carga podrá aplicarse con ventaja el ft) método de la Reagrupación de Cargas (ver parte primera, sección pri-RC- IV, 5). mera, Cuadro de las consta¡t¿s
d¿
ol t
Iúl
_l L6,00
I I
6.00
I
o
I
Fig.
barra
30?.
Dimensions de la etructura-
5
É Fic. $04. Est¡do de cargs.
m Jr5,é',--
¡'is.
3,6.13,02
_
n
Términos da carga, erz los nudos
5A,7
-
-
305. Eequen¿ de Io¡ Io8 co€{icient6.
tr:r,; fltr.,,
- f
É
50,7 tm.
r-
J.
Segúa (20 a) la expresión general
É É
es:
r,:
? ü,,0,
;a) ;f
por tanto, rs
Ecuaciones nudales.
Según {18),,
Cc¡n
: !fh,r, -
29,11
s6
=
ü15.5,
- -
50,20 tm.
r-
la expresión general es: dngn*2kn,+etgs,=0.
la anterior se obtienen las
ecuaciones nudates
'!7,26
Resarviendo se
tm;
obtienen:
q, { f
3'22 q3
3,22 8'54
qs=*0,186;
Pcres extremos.
q, 9" -
3y 22,11
50'70 :
S,5=f
rr
r¡a
S:
ri r{¡
0,
0'
5,87,
r{i
Según (14) se tiene
Mt.z=
@
k
¡{t
(2 tpt * q:) * S¿r.:. Con la anterior y utilizando el esquema de Ios coeficientes, se obtienen (fig. 305):
".tüll!ilifiilliiltiiililttilitilH[]1r' @
Mta:4,16.0,186 Mat:2.4,16.0,186
Mz,t= 2.1,25.A,786
= | 0,775 tm - + 1.55 ,,
Mz,s : 3,22(2.0,186 + 5,BZ) M+.a: 1,95.0,186 + 24,30 Mr,i= 3,22(2.5,87 + 0,1S6) M-u,t,:2,10.5,87 - 50,70 Fic.306. Di¿sr¡ua de momentm fleto¡es.
d
22,11
-
+ + 24,,53 ,,
+
38,42,,
-
38,37,,
El diagrama de momentos la figura 306.
sentado en
21,65,, 20,15,,
está repre-
d) r{l |{ f{l
t{
t É t
t-2-3, 4-6-6 l-4, 2-6, 3-6
Fis.
808.
do de
Drti-
artu.
Los valores de lr figuran en el esquema de los coeficientes, figura 309, dondc adc¡nfu Eegun
QD r:;* La
p
+ {, ." simétrica y ll otra, t es antímétrica (fig.910b). En el caso dc simetria p+: gs= 96 = 0, por tanto, { ¡ólo tendrán que calcularse simultáneamente tres incógnitas, gt,= -g !,0 92= - V9,, pB:= - *o,. En cambio, en el caso de antimetría tendrán que calcularre ¡imultlcarga dada
se reemplaza por dos ca¡gas, una de ellas
neamente seis incógnitas, a saber: p1.::r r/¡,¡ 99:92,t 9g = 9¡,, 94t 9y,: 94,.
o q N
@ o
ó N
o-@v Fis.
AOg.
E¡quma de lq
coeficienteg.
a)
Términos diagonales d.
utilizando el
esquema
Fi!:r.
Fic. 310 a. tr'ic. 910 b. ¿ y b. Cargas de sugtitución simét¡lo¡¡ y antimétriBs.
810
Caso de simetría (fig. 310 a)
de los coeficientes, se obtiene con la aplicación de la (1g)
dn=9)*r,¡, dr = d: - I (9,00 Términos de carga !Jl.
tu" $=0,6tlm
+
son:
1,66)
=7,33; d,-g
(2,00
+
2,00
+
1,66)
=
11,33.
Estructuras indesplazables
Nl2,s=*-9#g-1-r,25tm; sb,r =
-
o'uif'o'=
Según (20a),
-
1,80
,,
ü¡,2: f
I
-
1;80 ,,
9?6,3 = *
1,80
;
",
=!
aFt
- -0,55tm;
Sto,¡'
13: -
1,25
+
1,80
la expresión general es: dnQn*2É',¿tp¿fsr=0' (fig. 309), nos da los valo¡es de É; luego, con la los coeficientes de El esquema
reitt'rati:r
aplicación de esta fórmula, pueden tabularse los valores obtenidos, según consta en l¿¡ ln¡tri¿
Matriz de los coeficientes
5a
caso de simetría)
(
De la anterior se
ol¡tic,r¡t'¡r
ql = -
0,0186,
s.:
0,0683,
=* q, = -
b) Caso de antinretría (fig. 310b) Para la¡ seis incógnitas a determinar, deben tam!:ién hallarse ios correspondicntcs r¡l términos diagonales. Se recornienda considerar sol?.rnrnte la mitad de toda la tslru c t t¡ I ir
. Para ias t¡arras que están en ei ¡rlanr: de simetria. clebe adoptaro. -f ' .,, ' (cornparar parte primera, sección primera, I\', 5). Del csqrit'nrr' rl'' It"' i ^ 1,66 ($)l coeficientes (fig.311) se deduce que dr, d2, d3 sotr idinticos al t';ts"
31 1 )
A¡>lit:an
{ 1,A) - 5,33, + 1,66 + 1,0) =7,33"
(1,66
d":2
(1,0
Según el esiado de cargas, figura 310 b' y considerando qrlt s¡I" Fig. s11. Esqueme .le lc coeficientc6 st: tendrá en cuenta ia mitad de la estmctura, se obtend¡án los ntisrttt,: pa¡a c¿rqas.enti- valores del caso anterior:
^: + 1.25 tm: ili:,¡ = - 1,80 ,, ; S-ls,r = f 1,80 ,' \lJ,'-
:
1,25
,,
:
S?e,:=-1,25tüi }t¡,r = 1 1,Bo ,, : m ¿'16.;j
-
-
Ulg.¡ = t
i:'!r¡!¡n ,r
t'J) ,'
-
fF fF fÉ |Fa
F
lñ
Términos diagonales d.
d,r=Z
gt
rt rt
rn
0,0936.
d5, ds.
Matrü d¿ los
trF
de los coeficientes 5 a.
= --
I,g0 7,&O
_ I
la estructura
f __
1,ZS_
0,55tm;
l,L5
O,S5 ,,
se obtiene:
.
pueden volver a tabula¡¡c las ecuaciones.
;ú
- f 0,55tm.
Según (18),
}li,,.c
Iuego para Ia mitad de
Ecuacioncs nudalcs.
Ecuacíones nudales.
(fig.
=)ffir,¿,
s2- -0,55tm; r¡ = * = * 0,55 ,, ; 16 = _
.
t77
s.
rs
es:
Por tanto, 1,80
Términos de carga cn los nudos
5
En forma análoga a la anterior, utiliza¡do el esquema de lo¡ coeficienter, figura
la expresión general
1,25
tm;
s.
s'
rz: *
1,25
Según (9Oa), s,
ffia,o=*3+rqg=r1,80,,: 'férminos de carga en los nudos
Ejernplo numérico
Nlsp= *
tñ F ]tl
+q FT
far
tá fá Gt
rá É
tá
tPt
9t
+ +
9t
+
2,00
+
1r,33
+
&00
+
+
9t
Qr.: -
r,0é
0,03,1.,1;
=* 93 - Qz
9r 9¡
0,0978;
+
1,66
+
0,66
-
0,66
l,0o
+
7,38
+
1,00
+
r,o0
+
6,:13
=* =-
0'1259; 0,17M.
a y b, se obtienen, para el estado de :":-#0.,11.^ti:"_ifl]i* la figura 308, los valores de 9 buscador. l_, ,,r*u * ;i;.;;':J;irü;;;";"or;
tt I
9.
0,66
0,0342;
casos_
Clr¡r .lnétriq Carg¡ ¡¡tibótrln
0,66
+
+
eo: *
o,1444;
de los
cargas dc
s.
t_
-o,rzoe l+ erzor
C¡rar tot¿l
0.oilr2
Pares extrcmos para la carga total Sgnn (1a) se dene
Los términos de carga con
b
j-0,6t/m,
Sl
f = l,2t/m, en una celda. Mu=k(Zqt*qz) *Slr,¿.
utilizados en los cálculos anteriores, que fueron determinado¡
deberán dupricarse para el cárculo de los pares extremos, con
Aplicando reiteradamente la fórmula anterior, se obtiene: Mt,z: + 0,190 tm Mt,={0,0P6tm Mt,q= 0,120 ,, Mn,t,- + 0,088
-
Mz.t= *
,,
Mn.rr=-01114,,
0,558tm
Fr
Msa=
d
+ r,06
De la anterior se obtienen:
rá f-
B
9e
1,6ó
+ 5,33 + 1,00
+ l,oo
Mz,s= + 9,690 ,, Mz,s= 3,255 ,,
r-
9t
+ ¿00 + ?,39
1,6ó
9r
9t
+
&00
l.
b (caso de antímetrla)
9t
?,83
9t 9t
cocficientes 5
31
-
-
3,104'tm
Ma,e= + 3,104 ,,
M¡,q=-0,439tm Ms,r¡=-2,660,, M¡,2'= 0,368 ,, Msz=+3,459,,
Ma,:f2,931
tm
Ma.s.: + 9490 ,, Mt:,s=-3,422,"
,: r,zr/nt.
Mt,2,= - 0,004,tm Mt,,s=+0,004r,
Mz,.t,- + Mz,.a,- +
0,0g6tm o,og;+ ,,
Mz,,t=-0,110r, Ms,c,= Ms,,s
-
=+
0,128 tm
0,128 ,,
Estructuras indesplazables
El diagrama de morncntos está representado e¡ la figura 312. Con los resultados del estado rle cargas tratado, podrán detcrminarse fácilmente los mo-
mentos de otros estados de carga. P. ej. ri estuvieran cargadas dos celdas adyaccntes, se obtendría el correspondiente diagrama de momentos mediante una simple superposición del diagrama de la figura 312 con su imagen ea-
pecular. Si estuvieran cargadas dos celdas ¿áicadas en didgonal, el diagrama de momentos que muestra la figura 312, se debería suponer
girado 180' en el plano del dibujo, y superponer dicha figura con el diagrama inicial de Fig.
momentos.
812. Dlagr¡me de ¡os momento6 flectoro.
Ejemplo numérico 6 Viga de tres tramos con columnas del piso inferior y superior. Dimensiones y estado de cargas, ver figuras 313 y 31,S. Las
columnas están en parte articuladas y en parte rígidamente em-
potradas. Sólo deberán hallarse lres incógnitis, 95, 96, 9?, pues
Fic. 318. Dimensiones de ¡a estructura.
tanto los empotramientos rígidos
en 3, 8, 10,
Caadro de las constantes d¿ bona 6
- rqnJ "'--T-
2-6 3-7 4-5 5-6 6-7 s-8 6-9
40/50
0,004t7
4,6
40145
0,0o3(N
4017O 4017O 4017O
o,0l143
3,4
0,93 o,89
6,O
2,29
4al5o
0,01t43 o,0r t{3 0,00417 0,00213 0,00304
9,6 6,2 3,6 3,6 3,6
.ru/4o
7-10
40145
@
@
I,l9
1,84
I,l6
o,59 0,84
como
también las articula-
ciones en 1, 2, 4, I no dan incógnitas de cálculo; además la viga está trabada en sus movimientos laterales. Los valores de ft
figuran en el esquema de los coeficientes (figura 315).
@
Fig- 814. Est¿do de cargas.
Fis. 315. Esquema de los coeficients.
Tétminos diagonales d y /o. Para los nudos 5 y 6 con barras articuladas en dno
=
d,n
- O,5>
el extremo opuesto, es según (30)
kn,s.
Con la anterior y utilizando el esquema de los coeficientes:
=2
(2,29
+
ta ta É
;a
1,16
+
1,19)
0,5.2,29 = 8,13, 0,5 (q59
duo-2 (1,19+ 0,59 + 1,84+-0,93) Según (19) para el nudo 7 d., = 2 (l,M + 0,84 + O,89) - 7,14.
-
+
0,93) =8,3,$.
Ejemplo numérico 6
:vq,5--
¡a ra t
r-
T. !-
F
fr
fL.
rF,
r€ o-
:€
a'-
aa:-
--6,67tmj IIJI¡,+-+6,62rm.
L 6 bien 4).
4"6&62
ry
=-3s,33tm; ry¿jqr2r-f
= -',,.uó9oÍ,u" = _
6,08
35,33tm;
tm;
*&W:t__ r 1o,13tm;
s'd:;=
fils,c= -35,33-6,08- -41,41 tm; Ille,s = + 35,33 + 10,13 * * 46,46tm. Barra 6-7. (Ver tabla 2).
rlt6,7=
-#=
--u,t;3,'1--
-
12,17tm; !]lr,u
-{
12,17tm.
Ménsula.
Mt,t"
10 D
12
=
Términos de cargas en los nudos s. Según (31), la expresión general para el nudo 5 cs: Jro
por tanto,
=
Jn
* 0r5: mr,r, g
sro=s,
- 0,5,$¿4,6= { 6,62 _ 41,41+ 0,5. 6,6/ = Según (20), Ia expresión general para los nudos 6 y Z es:
l¡t)
tfD É J. J.
3,2.5.02
-#--
mi?= -
É
12 n
q
Barra 5-6. (Ver tabla
ml,o"'L
F
l7!
Términos dc carga $1. Barra 4-5. Scgún tabla p se obtiene:
á
¡¡-
9.60
d¡o
t;+
so
si
- jlliu,, + 9J¡0,? - + =fit7,6{ M¡, * +
Según (29), para los nudos 5
en cambio, para er nudo
31,41 tm.
_ t2,j,T= * _ 15,50_ _
33.29 tm
r,=!ffio,¡ +2L'Ik,
por tanto,
Ecuaciones nudalcs.
_
z ,"
y 6 se tiene: *''" $¡
45,46 12,17
*
s"0
i;,,:; i;
=
3,3.1,,.
Q'
drrn*]fr,.ic.i*¡n=0. Con las dos fórmulas anteriores utilizando el esquema de los coeficrentes, se tabulan la¡ ecuaciones de los tres nudos 5, 6, i ( r.er mat¡iz . oe Ios coeficientes 6). La resolución dc las ecuacio_ y'.
Matriz d¿ los coeficientes
nes da:
Q¡=*,f,60; qr, =-5,04; q7 = + 1,765.
6
*
81,{ I
+ s8,t0
- t,tt
Pares extremos.
Según (tr4), para una barra 1-2 se tendrá:
Mtc=*(2qr*q?)+g¿1.2.
Estructu¡as desplazables
lbo
Para una barra articulada et 2, según la fórmula 2c de la página 4, ¡e tendrá: Mtc = 1,5 & e, * fl\¿- Oóflfh.r. La aplicación adecuada de estas fórmulas da en combinación con el esqucma de lor cocficie¡tes:
Ms,q =1,5.2P9.4,& + 6'67 Mnj* :1,19 (9.4,60 - 5,04)
- + 95,81 tm - 41,+1 = - 36,*5 ,,
+ 0,5.6,67
(9.7,76 Mz,to= 0,U.9.1,76
=
7,84
-
5'04)
+
=* -+ -+ =| - + -+
12,17
M7g ;= 0,89.2.1,76 Ma,o
=
1,16'4,50
Mto,z:0,U.1,7ú Ms,z = 0,89.1,765
5,34 ,, 7,48 ,,
1,57,,. 316,
.U.
ESTRUSIURAS DESPLAZABLES Ejemplo numérico 7 Pórtico shed de tres naves (fig.317). Los pies de las columnas
están Longitudes, secciones y
ra ra ra
aÉ tÉ ;l frrt J* ft. ft
Ff Já
tlQ
oÉa
af, rr af,
55/45
35140
3514A
¡r estado de cargas, ver figuras 317 y 318. Incógnitas: Siete ángulos de ¡otación de los nudos ó0, pa, p7, 98, 9e, 9ro, 911 y z¿ ángulo de rotación de la barra ,y'. H
tmoJ
l-6, 4-8 2-4, 8-7 6-{-7-8 6-0, 0-10, ?-ll
0,ü)to0
s6146
86/.0
80/60 80/60
o-0, ?-r0, E-rr
4,60 ¿,b0
0,60
9,00
0,30
0,ü)310
6r?0
0,17
0,00¡80
9,00
o,ool87 o,üt813
80/.o
O,42
o,u
Los valores de É figuran en el esquema de los coeficientes (fis. 319), ¡2,00, t200t 60o+,* ,* c**l--t-
svry lq.{lst¡n
r.stm iozsri"
,2o0,
6.00--'i.*i
-r.sv' iqrri'
É
3,14, ,,
Fig. 816. Diacram¡ de bom€Dtos flctore.
: 9z:9g : 9¿: 0.
I -
¡-) I '--¡-
e
@
rígidamente empotrados, luego Vr
7
Lonc.
rra
987,,
r8t
7
Cuadro de las co¡stantcs dc barra
fa
%€,,
El correspondiente diagra-a de momentos e3tá rePresentado en la figura
Bjemplo numérico
ea
M6,,8=1,16.9.'*,00 -+10,67,, Ms5 = 1,19 (- 9.5,04 + 4,60) + 45,46 = + 38,94' ,, M,,7 = 1,8'$ (- 2.5,04 + l'76) - 19'77 - - 27,46 ,, Ma,g:-1,5.O,59.5,M =- 4,46,, Mee=-1r5.0,93-5r04 =- 7,O3,, Mz,a
e r, oa e |Fa
f* |l. ;A rÉf ffl rÉf Ü. é
o@@@ Fig. 8t¡. Estsdo de c¿rAru. Térmi¡os diagoralcs d y D, Scgún (35), la expresión general
Fis. 819. Esquems de lm ceficimta. es: d,n
luego,
I
dt=
d6.= d, -
(0,59
2 (0,49 2 (0,59 2 (0,47
+ + + +
da: ds= dto= dttSegún (4tl), la exprcsión general
=
2l
ko,¡,
0,39 + 0,,$7) 0,39 + 0,39 + 0,.t4 0,39 + 0,44) 0,+4)
+
0,47)
=2190,
=
4122,
=2184,
-
1,82.
es:
D$- 6>k, luego,
tt
D
-
Té¡mi¡os de ca¡ga fiL. Según
fDro,o=
la
tabla
2 ó bien
6 (2. 0,59
+ 2.0,42)
a) Cargas
-
19,,19.
Yerticales
,1, se obtiener
út6,7=w7,s=-#- P'"(t-"¡ :-
o'u;i,,o'
-2,66 - 8,60= - 11,26tm; Sfo,5=ÉÍ17,6 :![üe,z =f t'u ulu,e=0fu,16=![tz,rr = ;3'o' = Süe,s=fülro"o=Ílrr.r -* sls,s='slro,z= slrr,e = -o'75'2'02 = Sh,o :rfi7,16 : S16,11 | = Términos dc carga cn los nudos s. Segrún (36a), la expresión general es:
-
rr=*11,26+0,25
Por tanto,
11,96tm;
4,s0,, i
4,50,,: 0,95,, i 0,25 ,,
= - 15,76 tm: 4,25,,; -16= r, = + 11,26 + 4,,50 ll,ZO - + 4,25,,, . 15=-71,26-4,50 ,,; ,, = ü,,r. -1-ll,5l ? Jg
=
Jlo
=
Jl1
= +
4,50
0,25
0,25
5,!'3:,?!,5
-
.
=
# r*¡¡-
Estructuras desplazables
1.82
¡t¡J41.. dffl
b) Yiento - O,8 t/m.
u Térmiros de carga ü1.
Dtr,s
= *\iE--+1,3stmi
sls,ir
=
* gi*g- -
Té¡mínos de iarga en los nudos
18= -
1,35
+
0,60 ,,
flflte,¿
--1,35tm;
; sl',s: -
o,6o ,,
.
s.
+
0,60
= - 0,75tm; rtt = - 0,60t'n.
caso P
= 0, y siempre llt - - Dlo, luego, según ('lg)
por consiguiente, sin considerar en el cálculo .l .1..ro de deslizamiento de una parte de la fuer¿a del viento, resulta:
s
:
-(o,s.a,o+
!!-fff
¡
4,5o=
-
r8,eotm.
Planteo de las ecuaciones
La expresión general de las ecuaciones nudales según (40), considerando que se anula el término 3k¡r*t.úp*r, pues las rotaciones de barras sólo tienen lugar en las columnas,
es :
dnvn I )ftn,¡ 9¡ | 3 kp,i'¡t* s', :
¡É
0.
3 kp'!p, pues para todas las barras de despiazamiento es: la ecuación Según 0. $7) = f *"+ :3 ft po * Dp9¡r * S¡, = 0. |U Con las dos tcuaciones anteriores y el esquema de los coeficientes, se plantea la matriz de los coeficientes 7. Los dos estados de carga, Btsl y Btbr, a considerarse simultáneamente, sólo se diferencian por la última columna de la matriz'
En los nudos 9, 10, 11 desaparece también el término que concurren a ellos
ry'
Matriz de los coeficientes
etlP'
9t
9t
9s
9n
7
9rr
tP
+ + +
16,76
ttu ll+
+
+
0,39
1,26 + 0,44 + 0,47 +¿,zzl+o,ae - 1,26 l'26 + 0,44 + 0,47 + 0,391 + 4,22 + 0,30 - 4,26 + 0,44 + l.l + ll,5l + 0,39 +2,81 + 4,26 + 1,82 + 0,44 + 4,25 + 1,82 +0,4?l+0,44 + 4,26 + 1,82 +0,47 +0,44 + 12,12 + 1,26 1+ 1,26 1+ t,77
Q¡
{Pn
9rr tp
1,77
¿
9a
9s
+0,47
+
0,47
+ 1.77 il+t,zzl+t'zt La resolución
de
* P6: |
p,u--
-
-
0,76
-
0,60
las ecuaciones da: 6,42: 7,2ó;
a) Para cargas verticales (B{o)) p¡= - 2,00: 9e =-4,30 vi=12,00: ,¡, - - 0,76. vs=-3,54: r1u=-3,15 b) Para viento lBtur v¡: ! 0,721 ; g7= - 0,564'; 9e - * 0,439; ,/ - + 1,996. 0,267; 9s = | 9s - - 1,016: t
V5: 96 = -
B{D)
Et'a,
¿,so
0,39
7,222:
0,507:
.ir ¡ln ¡4n rÉ .t
18,90
fÉ
a) I'ara cargars rerticales (B(s) ) Mt,s= * 2,45tm M,;,s = -. 0,54tm lf s,n - - 5,59tm M2' = - 0,43 ,, MqJo= - 4,80 ,, ME.z = f 9,98,, -= Ms.¡ Mz.z = 0,12 9,50 i/s.rr= -3,75 ,, ,, ,, ME,t=
La
ü,1+ 5,76 0,48
fjgur¿r 320 muestra
ci corrcspondientr diaqrama de
\,
rA\ L,tJ
5.48
6.24
mon:e¡rtos
rf.\ v t2 z! tJ.J t
@
//et g 0.54 0.r0
rln
2.45
fr* ft
o
fr S;Cn e4 La figura
Mt.;= f 2.82tm if,:.,, = + l,li] ., M:t.i: + 2,28 ,. Mn,^= + 4'29 ,, M:,.t: + J,0! ,, .41.,,, = - 0,9+ ,. h[r,,,,= - 1,15 ,, ,41n.. = - (),EZ ,. M$.!= +2,o9 " 3.21 nrucstra
b) Para viento {B{otr Mn',=-0,25tm |v{6,n= - 0,35 ,, Alt;.; : - 0,62 .. tr{r.,. - + 2,04 ,, )111.,, = - 0,64 ,. M.,.u= - 0,36 ,. Mi¡.t= - 0,1q .. Ml.' = - 0,6+ ,,
Me.q=*0,99tm If s,z =
-
1,01
,.
ifs.r, - + 0,02 .. trte.r,
- - 0,16 ,. = + 0,16 ,. j1ro.,, : + 0,01 ,, M¡¡:= - 0,01 ,, l1.,r,-__ -t g,.tri ., ifrr.^= -a,41 ,,. M:t.¡
cl corrts¡:ondicntc diagrama de rnonrentos.
o
Orf .* É * * .-
lli.:t - + 0,72 ", ' ifo.r-+3,48.. .11 ,,,, ,:ll..n = --. 3,48 ,, = - 13,31 ,. trt-,.ru= + 0,69 ,, Mx,,t,: + 2,13 ,, lI¡,rt-- * 3,65 ,, trf tt,..¡= - 2,13 ,. iy'r.. :: - 11,09 ,, AÍtt,;= + 3,56 ., M tt,s= - 3156 ,,
,, ,, M:,.c = ,, ,4f.,.u = ,, }fo.: = -r- 0.1C ,, Me,.r,= + 14,74, ,, 3,+1
-
Mr,r-- -
É
a* at{ a* a,+ a*
es:
k (2 vt * eg * 3 9) + W\e. Mediante la aplicación reiterada de esta fórmula se obtienen todos los pares extremos.
Mta=
¡{'t
Sp: (Xq * X!l)tp;
18]
Z
I'a¡¿r ctlrcmos, Scgún (7), la expresión general pa.a una barra 1-2
rJl
Térmíno de carga S de la ccuación de desplazamieúo.
En este
Ejemplo numórico
o,41
@
@
035
.
10-62
,0,02
oño'
@
@ l.0r
0,87
2,82
@,ffi
Fis 321. Dissrama de mome¡¡tos fletore
@#
4.29
@
debido al viento de la de¡eha.
Estructurás desplazables
184,
Ejernplo numérico 8 (comparar también'con Nq 18) Pórtico pera tribüna, con pies de columnas empotrados (f.íg. 3ZZ). Lucgo
lr
+! :1,-::-----
r-
vr: 9z: 9s : 0. Por consiguiente, sólo deben detenninarse simultáneaf rn mente cinco ángulos de roración dt. f _____::"____]l__qe I --------_-----iJlos nudos yú> y6, y7) es yE y do' y.tu.\ -rd,ao ^:",:*""",y4t .eq, et, e6,.e7, :=i?g5=licu, -|=- despiazamientos relativos Ar Y A'. Longitudes y secciones, ver figrrI 8. ra 322. Deben estudiarse dos casos: 'i a,o¡ __--ol.l,
ij--
y,ffi*i;;.
\t
l
iff,'."ilui tt¡
L-s.oo -+1<-
ff.
I i*g; ,.#.*,."..1::uu.
8.oo
D,r=
Cuadro de las constantes de barra
2-6 3-6 1-6 6-B 6-? 6-8 ?-8
Scción
U.om. de lne¡ciq
¿dco')
¡(D9
16146
0,003{2 o,q)469
4,00 6,@
0,00624 0,01286 0,01286
9,00 6,38 8,65 ?,80 4,00 9,03
46/60 46166 4817O
46/70
0,0(n08
30180 461ñ6
0,00624 0,02201
4sl86
É ¡*
¡É *
tr+ É
F
0,88 o,78 0,89 2,39
0,645 0,390 0,230
o,o9 1,68 2,74
0,036
:+ É É
¡+
I
¡r+
:-
:
CI@o
o@
@
Fig. 824. Prción del viento.
creficientm.
luego, para el piso bajo
0'390 0.230 \ 0'504' D. _ 2( .r,,0+ ' \ tt,o - + -p Jo'64i
para el piso alto
Fic.325. Esquema de
D,,-z(+F * +p)=o,,on
los
.5,02
7r0 '
rrD
4r0 . gr02
Mr,r
-
21,33
,,
I
Sls,¡
ms,7
- +
21,33 ,,
,
:
+
!:,or__ f
ze,oo tm.
ln,¡*2M¡,,
14 = _ 14,5g tm; 17 _ 21,33 + 72,0A _ _f 50,62 tm: rs.=*14,58_37,33 __22,75,,; rs= _+21,33,,. 16 37,33 { ,, ; "flli"f.rde las ecuacio"" d. desplazamientos son issales a ccro, r).cr lil "t:lüTf,ui:, b) yiento u = 7,05 t/m (fis. 32a\ .
Términos de carga.
_ _1,05 .4.02 _ n_ = 1'05 '2'P ül+s= =fl) *vl,4
-
![t¡,,c=
1'05-'3'02
-
$D ¿'tc.s=
1,05 . 4,02
fitz'=+
-1+l¿-
1,4e
tm; gt¡,r _ f
1,40 tm;
0,35
, ; :IJtr,l- f
0,35
= - 0,7g. ;
g]¿6,5
M.,.=-
¡{t ¡{¡
Términos
f,o5'0,62
)
;
9Jt6,6=*1,{rj
--1,40,,:: + 0,06,
,,
: { 0,79,, ;
i
t¡¡.7
Par d.ebido a la ménsula.
¡{t
¡{ ¡¡¡É
tm;
',=?
Iuego,
Térmínos de carga en los nudos
¡{i
74,58
- + l,l,58tn; - 37,33 u i il16,¡ * | 37,33 ,, ;
8,Ú t2
\)l)
-
Términos de carga cn los nudos s, Según (36), la expresión general es:
tr{
E
7,O
- ----fE-=
Momento en la ménsula.
üFt t{¡
I,170
a) Cargas verticales (fig. 39j)
12
É¡
l,60
8
fil.
\m )trL+,:,=
f;+ 3+ F+ ¡É
Fig. 329, Cargas verticelc.
7-érminos de carga
¡f
¡rl
Z2|,
Ejemplo ¡umérico
¡+ rÉ
É
----| tris,822. Dimensione de Ia etructu¡¿-
1--4
I fr+
=
- 0,06,,.
-= -0'19tm'
s.
rr= * 1,n -0,35 - f 1,05tm: r¡= * 0,06_ 0,1g= _ 0,13tm rr,= *0,35-0,79rs= * 1,,f,0_0,06 =17,34,,. -0,44,,; re= * 0,79 1,40- 0,6i,, ; de carga
S de las ecuacíones de En este caso P = 0, ), siempre Dtn
desplazamientos.
_
[t1,,, luego, según (56):
= sr=Xs+:U.
Por tanto, en el primcr piso
sr =
*
1,05. 70,4a
en el segundo piso
Sr¡=*7,05.1,4
+
-105;1{_ 1'05:4,0
- + 13,02t, =*
3,52t.
¡a H rr
Estructuras desplazables
186
Flanteo de las ecuaciones Ecuaciomes audales, según
doyn
* I
J-
(59): &r,¡ 9¿
*
&p A¡,
*
&¡*r Ap*1
*
sr
=
tt
*
X7 E" * tpar, +,Su =
o.
lt
Aplicando reiteradament€ estas ec:uaciones generales con el esquema de los coeficicnies, figura 395, se tabulan los valores obtenidos (matriz de los coeficientes 8). Los dos estados de carga, sólo se diferencian por la última columna de la mat¡iz.
Mctriz dc los coelicientes
a) Para cargas verticales (B(¿) ) Mr,u-- * 0,75tm Mr,+: f 33,55tm Mr,r,= Mp,.s= + 2,65 ,, Mn,p= + 5"37 u M¡.rMu,u-- - 5,79 ,, Ms,z= + D,# ,, Ma,a_ M¡3= - 39,40 ,, Mq, = + 1,58 ,, lfs.- Mt*,= - 1,58 ,, Ma,g= - 11,54 ,, M,:,a= _ 6,00,, Ma.;= + 17,53 ,,
,!rC
rñ
¡'?
t+ f* F ;+ t+
8
La figura 396 muestra el correspondiente diagrama de
b) Para viento
.F+
Fr F
Resolviendo se obtiene:
a) Para cargas verticales (Btal;
er 95 96
- * = { = *
0'979 ' 3,481
8,34:
9a= {
2,84f,:.
=f
0,191:
9u
A, =92--8,84; 9s= - 0,588; Art= {
96=f3,001
b) Para Yiento {3(b}) : V7= -0,631;,A, Arr: 1,529: 9s= { -
c'+
0,153: 17,90'
|F+
t'+ Ff
31,02; 14,91'
.F+
:
Pores ext¡emos,
Según (10), la expresión general para una barra 1-9 es:
Mt.z=o (n *, +
e2
+
#)*
,r',, @ 6.59
59{6
@
n,80
o@@ Fig.326. Diagrama de momentos fleto¡a
la c¡¡8:a
vertical.
de
Fig. 32?. Dia8rama de momentos flctprc pan e¡ viento de L¡ izquierda.
;.e É F GQ F
La figura 327 ¡nuestra ei
+ -
f*
t*
rÉ
á
6,10 ,, 6,10 ,,
(B(bi)
f 8,06 tm - 11,B0 ,, Ms.z= - 0,54,. Ms,t= + 4,28 ,, Mc,z: * 2,99 " Me,s= + 10,08 ,, ,L/6.r- - 7JA ,,
M.,r,: -
0,61 tm
t,t;: M s,, - +
6,59 ,, 6,59 ,,
Mz-s: +-0,79 M
,,
correspon-
diente diagrama de momentos.
--
(5)
Ejemplo numérico 9 Pórtico asimétrico de tramos (fig. 328) t_1"1s
o
Ifi)
tres i
Nlso
¿olss
li
_"t_
:. ói
.1" lumnas rígidamente empotradas, luego e1 : 92 : 9a : 9¿ :0" Deberán dererminarse cinco íncógnitas, a saber: cuatra ángulos
de rotación de los nudos 95,
p6,
i-
4)8 ,{
40145
I'ig.328. Dimer¡siones de lB est¡uctr:ra
pz, 9e y el desplazamiento relativo A. l)r'lrlrr
estudiarse dos casos:
a) b)
Carga completa (fig. 329).
Aurnento de temperatura (fig. 330).
\!, 18. @
25'
@
2A'
c8)
(5)
É
t+ ts rÉ
0,66tm T1,36 u
mornentos.
Mr;.+= Ms.B=
,," -* - 18,96 tm .llr,o: - 11,85 ,, ilf s,6.= - 5,06 ,, M+,= - 13,71 ,, Mt': + 13,7I ,, M
É
+2,74 l+8,60
187
9
Con la anterior se obtiene:
tÉ F+
0'
Ecuaciones de desqlazamieato, según (54):
E? s*
Ejemplo numérico
@)lm'
@O ['ig. 32.9. Viga tota]mente cargada
(Do
@
Fis, 330. \'a¡iació¡r de tem¡reratura
Cuadro de las constantes de barra 9 Este contiene los valores de k de todas las barras, como tmbién de & de las rolurrrr¡:¡s
y los valores uerdaderos t* :
3
f* llr =:!L
de todas las barras, donde .E -.1.100.0üi
r.,rn1'
f,stos valores servirán para la determinación de los términos de carga debidos a la ter)pcratu¡1.
I
¡a
Estructuras dcsplazables
188
,
ldom. de lnc¡ci¡
(r)
(2), (3)
II
) | (5) (6) I| (? ) | (4
r
¡E)
*¡* 40/65
0,0041? 0,00555 o,00304 o,007?0 0,01143 0,01143
4014r,
40/60 4ot70 40170
r0@J
- -]-
2too
6,00 ?,00
o,83 0,?s
4,60
0q68
6,00
1,20
8,00 8,50
t,43
225t
1,35
t994
0,498 0,339
t428
t,:,
l89l
2520
Los valores de É y f (entre paréntesis), figuran en el esquema de los coeficientes (fig.33t Términos iliagotales dvD.
J
Sesún (35)
"n
tuego,
@
du
rzo
*.
L nn,í -oStr-
= 4,06; du.= 6,84; d, = 7,14; ds- 4,06. Según (55), la expresión general es L'
831. Eequema de
lo¡ ceficienta-
a) Carga completa q=4,,9t/m
'férninos dc carga fl}. rB /15,6
-
+ s. -0'331 *
-
4-9 . 6-02 '
T--
- -
14,,7
tm;
!)10.,
- |
74,7
#¡
0,5e4.
tm;
ffio,z:- 4'qj'ot --26,1 ,,i ffir,u:!2G,1 ,,; qn --.d9'8'502 co. ,, ; fre,r + 29,5 ,, . Nh$= 12 -_ --'=
Térm.inos de carga en los nudos
s.
Segrin (36a) es:
_ 14,,7 tm; s7 = 96,7 _ i5 = so=*14,7-26,1 - -ll,4.i 18=
\raríaciones de longítudes de las barras
(¡)
(2), (3)
l8
5,00 7,00 4,60 6,00
25 20
gg,S
_ _
3,4.
tm;
+Zg;,5,,. b) Temperatura (Para la descripción detallada del procedimiento de cálculo ver parte primera, sección cuarta, III,
L
3y4).
0,001080 0,002100 0,001080 0,001298 0,o02400 o,002040
Para calcular la variación dc longitud lu de cada una de las bat8 rras (z), se recomienda la tabula25 8,OO ción, donde se adopta o 0,000012. 20 8,50 La expresión generat de los desplazamientos "relativos" A' de cada una de las barras (r) es según (969a). A, = A,o ¡,s (v). Eligiendo ccmo incógnita Ar, se obtiene sucesivamente con la consideración de la figura 330: í4) {5) {6) (?)
& - ar - I; a*= al - (l¡ * \) =al a¿-ar- (I¡*16+17)
(0,001996
Según (266) se obtiene para las vigas: A¡ - l: trr = 0,002100
au= Az =
+
a,
0,002400)
-_ =a; :a; _
_ 0,001080 = * \-0,002100_ 0,009100- tre \ - = 0,001080 _ 0,009100 = _ )\3
0,001296; 0,003696;
o,ooízza.
0,001090;
0; 0,001020.
;a ¡r!a
r-
luego,
4=z(#
H) ¡-
¡, D..:2S FAI
@o Fic-
¡¡¡É ¡{
¡É .-
f-
FI ;i arl FT F? Frr ;rF
FIF .FF aF? ¡É
FF ¡r+
e+
¡+
F ¡É aÉ oÉ
d
Ejemplo numérico
t8
9
Términos de carga Ntt.
1. En
columnas.
i el valor verdadero ó*, según (271), Ia expresión genernl cr fltt -,n ='Últ o,^ = - ói . )trtt). 6El u=!-, P' además según ( 178¡ c. -. Según (138), para una barra sin cartelas c{, Poniendo en lugar de
luego para el presente caso
6EI c- =--p-=_ k,. =*_
Para cada pieza €stos valores figuran en la última columna del cuadro de las constantc¡ rl¡ barra, Luego, para las columnas Wt
Co¡ la anterior Barra
-,, =
se obtiene:
Wt n,*
-- - F* . ¡",ut.
(1) Sltr,s: ![tto,r - - ir* . trs(1) - 0 (o sea tr"(r)= 0); Q) nntz,e- üts,2: - Lr* . ¡,s{!) - - 14.26. 0,001296 = - 1,85 tm; (3) lltte,z-llltt,r: - na*. ¡,s(3) - -1426.0,003696=- 5,27 ,,; (4) Dtr¡,a - Dt'r,n: - in* trrt'' = - 1891 .0,a05736: - 10,85 ,, .
2.
En las vigas.
Reemplazando /r
por el valor verdadero /r*, según
(260
a), la
expresión gcncral
Últ^''=Üttn'''=r*'a''
con la anterior se obtiene:
Bara (5) ![trs,o : ffito,s :4* . ou - Z5gO. 0,00109¡ - ] 2,51 tm; :0; ,, (6) ú1t6' - DIt7.6: fo* . ao ,, (7)'Slrz,s=Slrs,z= kz*.At - - 1994.0,001020- -2,03tm.
Té¡minos de carga cn los nud,os st. Según (20a)
!2,57tm; s.t=- 5,27-2,03=- 7,30tm; = ,ol=- 1,85+2,57-+O,72,, i r8r--10,85 -2,03= -19,98,,. s5f
Término de carga dc la ecuación de desllazamie¡to. Partiendo de
la
misma hipótesis, según (979)
Sr=_5eo?,-a
| ^* -, TUq
r
Reemplazando se
obtiene
s' =
'r ;*-^t -o
--u
t_
- ,\+.
^ I 1426.0,001296 =_rt_____r_
r,(2)
,
+
- 2¡ J:-
.tr(¡):
r?*
.
¡"t,r,
=k+.
*
.
^,,,, 1426.0,003696
+.
r¡(4)). =
1891 .0,005736 \
Planteo de las ecuaciones Cómo sólo hay un piso, el término Ep*r Ap*r se anula, luego toma la forma: dn
9, * X ,t,,¿ 9¡ *7p al, * ¡,:
Según (54), la ecuación de desplazamíe¡to
la ccuacíó¡ nudal (52\
o.
es
r, + )i po * Dt!Lp+,Su: 0. ?7 t'. I Con las ecuaciones anteriores y el esquema de los coeficientes (fig.33f), táneamente los valores de ambos estados de carga.
se tabulan si¡rn¡l-
t-
Estructuras despiazabies
190
Matriz de los toeficicntes rPs
9t
9c
+ 0,498 + 0,339 + 0,339 + 0,453 + 0,6s4
4,06
+
9t 9t
+
1,20
+6,84
+
+
+7,14
+.1,35
+
+{,06
1,20
1,43
9c
á,
+0,4s8
+0,83S
Resolviendo, se obtiene
1"43
1,36
+0,8:m
d.ot |
AL
+
+0,453
Jr-
9
9s
9s
-t4,2 | + I -11,4 + 3,4 i-
Z,S0
Jf-
+29"5 l-12,88 |
6,E6
-
¡.€ É
b) Para temperatura (B(b)): p6
=-
1,985: 9s
- -F
96= - 0,392;,1, - + 97
Pares extremos"
=f
Según (10), la expresión generai para una barra
ht,,r= o( , *r-' er * \
u
l-2
1,772;
11,96.
0,f97:
r-
es:
f-
o
-"'t"I I\. l,t.
Con-la anterior y el esquema de lcs coeficientesr se obtirnen los pares extremos ¿c
estatios de carga.
!-,a
r{
0,72
a) Para carga compteta l&iot¡ Mt,r,=13,69tm Mt,t: f 6,33 trn M¡,e : f 32,09 tm Mz.t= + 7,22 ,, Ma,a= * 6,33 ,, M7,"= * 3,53 _ Ms"z= +2,13 ,, Mr,, = * 35,63 ,, Mt3= + 20,0i ,, lr rvr4.R=--¡r)t,, Ma2: * 1,72 ,, Ma,z: + i0,04 ,, Ma,z -: - 21,75 ,, Mrn * - 10,04 ,,
a¡'lrr¡s
,É
f-
rÉ .
f-
Jra
(il v
lw vigas stán totalmente srgadu.
1,85
- + 1,89 ,,
5,27
: -*
.-
+. t#) trr2,6:0,7e{ - 0,3e2+, -?F)M:t.z=o,zel + o,rez +, #f )Mq,a=o,o*( + i,TTz +:. rulre.6 ro,ss ).&r1.5-_0,$(
-
¡.{
:ra rt-
(B(ó)
1,e85
)
- + 4,37 tm
1106 ,,
' ,-- _ aoo
,t
correspondiente diagrama de momentos.
Ejemplo numérico 10 (comparar también con Ne 19)
Portico simétrico de han-
gar de cuatro naves, con pies de columnas articulados (figu-
ra
334).
Deberán estudiarse los siguientes estados de carga:
cf
á
b) Fara temperatura
s,zt
+#)_
La figura 333 muestra el
É
F3
""?
11.g6 \ 3.ffi]_
= _ 0,ei ,, Mt,e= 1,35(+ Z.0,I9T + 1,772) _ó,OE f 0,90 ,, Me.t:1,35(+ 2.i,772+0,197) _9,02 = = {3,02 ,, Me.q=0,68(+ 2.7,272*, 10,85 - * 3i,02 ,, . +
r¿o
FiS. 338. Di¿grama de mobentog fletore debldo n l¡ variación de tempqatura.
ca
FC
flectores cuando
I
t, M7.B= 0,1e[+ s.o,rs7
É
figura 332 mucstra el correspondiente diagrama de momentos.
Fis. 3S2. Diagrana de mom
\
= -¡ 2'66 tm - z. t,gls + 3 . -15'^oo- ) \ Ma,a= 7,2n (- 2.1,985 0,3y¿) + Z,S7 = D,66 ,, Me':1,20 (- 2.0,3y¿ -- 1,985) + g,ST - -_ 0,75 ,, Ma.z=0,7g( - z.0,3y2+ 3.-11.96 \ 7Po-J- 1'85= f 1'58 " \(1,43 2 .0,392 0,197) + 4u., -= - 0,8.1, ,, Mt'= 1,43 (+ 2.0,197 - + 0,00 ,, - O,3y2)
f-
2,67
10
t'96
Mr.t :0,83 (
.-
",0,
:
a) Para carga eornplets (B(a)): ?¡=*3,172: qr--8,095; 9c=*0,633; Ar*12,1 35: E, - | 1,778;
Ejemplo numérico
.-
r.-
.a
20,00
--'f'-?i00
25,00
---i-- de l,a etructura. Fis. 334. Dimemions -*-'O.OO
a) Carga vertical (figura 335) )-
q.5,5t/m ut
b) Viento (fig. 336).
@
Para el estado de carga @ simétrica a, deben hallarie i dos incógnitas, ., y En | 7 .,( o _-, q4 t e5. _-v/. m *2 esta, estructura, para el cálcuzqm{¡ f,;].-m,oo*j--?s.00 r5.0' -+_?1oo_J_ Io de los p"rÁ,'el estado d"'1n' F¡9. 335. Carga vertical. carga b puede reemplazarse por un.estado.de carga antimétrico, figura 339 (ver pág.35), para el cual clelx.rán hallarse simultáneamente cuatro incógnitas, pt, pi, 9u,'¡:
|
Cuadro de las constantes de barra 10 Itrrh
l-4
2*6 H F-6 H
3
66165 65156
LI'ÚJ ) - --T-
o,fi)?69
6rO
o,s6
ó5155
o,oo763 o.00?63
9.8
851125
o,o569? o.0669?
g5/126
t2,$
o,78 O,6{
?o.r$
¿,86
¿6,0
2.2E
: ¡¡
ü¡ - -lo,366 o,g3c
ofu
1$2
Estructuras desplazables
Para las longitudes de las barras inclinadas, se aplicaron los valores redon-
deados la-5:20,0 y Is-o : lú'4'0t r¡r \Y
25,0.
rrr'l'St @ tt-tP! +E-
6¡-aooo
Frs. 886. Pr6ión del viato.
¿) Carga vertical (fig. l,os valores de
(fig. 337). Términos diagonalcs
*
335)
hallados en el cuadro 10, figuran cn el esquema de los coeficientes
&.
Considerando las articulaciones,
la
erpresión general dno
(30) =
dn
es:
- 0,5>kn,o.
Con el esquema de los coeficientes:
+ 2,85) - 0,5 ' 0,95 =7,72, dso = 2 (485 + 2,ül + 0'78) - 0,5. 0,78 -
=2
dro
(0,95
Términos de ca¡ga ñ1. F¡s, 33?. Egquem¡ de lo¡ codiciotc stsdo de c¡rg¡¡ ¿.
[1a,5=
- +--
-
del
Barra 4-5. (Ver ta,bla 9).
3'5-;gW
t16,7
=-
tmi
=f
Süs,+
116,7 tm.
Bor¡a 5-6. (Vcr tabla 2).
slr,s:
-+:
-
u'uif*
=
-
rilL,3tm; ![16,5-
+ 18s,3tm.
Mé¡sula,
M+.b= +
+= *
''u'-:'o'-
*'r3,8tm.
Términos dc carga cn los ¡udos s, Todas las barras articuladas están descargadas, luego según (31 ra rs
= 91.5 * M+¡,- = sl¡.¿ * sla.o - +
116,7
la expresión general
es:
116,7
+ 4.3,8 - - 189,3- -
72,9
dno gn
* 2
ko,r
gr
{
s,o
=
) r.o.-r,:
tm,
65,6tm.
7,72 qa
2,85 e5
la expresión general pa¡a una barra 1-2 es: Mr,z= k (2 pt + e2) + tf¿rp para una barra con articulación en 9, según página ,1, fórmula 1,5
k
s1*
8,82 + 3,54,) M s,q = 2,85 (2 . 3,54 + 8,89) + Ma,a=2,9i1 ,2.3,54 182,3 Ms,z= 1,5.0,78.3,54M o,r,: 2,28 . 3,54 + 182,3 MqJ=
Ulr,¿
-
0,5
Sb,r.
2c
EI correspondiente diagrama de b) Viiento (fig. 339)
aJra
¡a
aa
d-
776,7 176,7
- + : + = 7_
1P,6
tm
56,3 ,, 169,0 ,,
1ffi,2 ,,
-+ 4,1 u -+f90,4,,,.
momentos está representado en
la figura 338.
(Caso antimétrico)
Los valores de ft y 7
el cuadro 10, figuran en el esquema de Ios hallados en
coeficientes (fig. 3a0). Términos diagonales d{ y Do. Del estado dc carga a pueden adoptarse sin va¡iantes
l0tm
Fie 338. Diagrama de momentc
:
= 7,72' doo = 11,43. Según (30) y el esquema de los- coeiicierries, figrra 34O' dao - da-0,5kr,o=Z(2,A1 +
al atado de ergas
d^o
+
0,32)
Según
luego,
-
O,5
.0,32
-
fletore¡
debido
o.
vtl?'Ot-@.
o o
5,04.
I
(75): _ x, ¿,,-g-55 ,41
/4.
tl
l¡ol
Fii*-rqo
-+-
2s,o
rl ---.¡* n,o --f-,s.0
Fic. 339. Carga sntimét¡ica.
j41e o-o8o \ ' \ B,o* e,8- + rsp ,|- o'03i8
Término de carga de la ecuacíón de despla-
f-
t9r
10
1,5 . 0,95 .
M+,s=2,85 (2.8,82
É
ara ¡a
Segun (1,1),
Mt'=
tanto,
Do
.-
11,43 95
Pa¡es cxtr¿mos.
además,
Por
ora
¡ta
5:
- 72,9 =0, - 65,6 = 0. 9¿=*8,82;9r={3,54,
2,85 pa
Su resolución da:
+ +
y
af) ca-
€ ¡¡-
0.
Con ésta, se obticnen las dos ecuaciones de los nudos 4
11,4'3.
¡F¡É ¡É :¡É É € É á
á
Ecuaciones nadales.
Según (29),
Ejemplo numérico
¡r
@
@
tz lr
aÉ ¡ñ aÉ
_ o 4l 0,356
zcntiento.
Según (76), la expresión gcneral er:
so=)P + :s r > ir + : Por tanto, cn nucstro
})'o
uli,, Fic.
:
EP
Ecuacioncs nudales según (70): dno gn de
o'5
caso
So
Ecuación dc
-
2,0
+
0,75
340. Esquema de los coeficientee del de cargas ó.
+0,5
ctrdr¡
- + 3,95 t.
Plant6o de las ecuaciones
* )*,., n, +
0,57^
J
¡
sno
=
0.
sltlnzamicnto según (74):
>0,5ftse0*D0a+So-0. Con éstas,; r'l csquema de los coeficientes, fieura 34O, se completa el siguiente cr¡adro
Matriz de los coelicientes
10
19,f
F arH) f¡¡l'|} H)
Estructuras desplazables
La resolución de
estas ecuaciones da:
A- -
98,69; ea=
*0,636;
9u
- |4927; s4= +2,337.
Parcs crt¡emos. Estos se calculan segrin (1,1), considerando que
$f =
0,
Mt,z=k(Zpt+
q2).
Los pares en las cabezas de las columnas, se halian con
la fórmula 2b, pigina
4,
A
cuando ú = T
s Fig. 841. Diagmm de momstos flectoru del et¿do de carSas
b.
M\s=trst(vt
b.
.+)
Luego:
M+'=
- +fl)
1,5.0,95
lo,zzz M+.¡:=2,85 (2.2,337 + A327) M s.+ = 2,85 (2 . 0,327
+
2,337
)
M¡,2= t,s.0,78 (o,oao - Srn, ) M¡,t :9,28 (2 , 0,327 + 0,636) M t¡.¡ = 2,28 (2 . 0,636 + 0,327 ) M a.s
=
1,5 . o,3z
(r,zu,
EI diagrama de momentos, ver figura
-+F)
- - + ={ 1: {
-+ =-
14,25
tm
14,25 ,, 11,40 ,,
2,94 ,¡
FF
3,64 ,,
IFF
ll
r,*, lr.,
@!
-T-
o,ogg03
6,0o
Id
4,81
I I
o
@
46t
I
0' 5P/E0
_J_-
__l
Fic. 3{2. Dimengione de la
Fig. 848. Estado de cargu.
FiC.
H) ¡H H tIE¡
3,&,,
Estructura aporticada simétrica Vierendeel (fig. 3aD. Los pies de las columnas están rígidamente empotrados, luego rr : 9r' : 0. Debido- al estado de cargas simético (fig. 343), sólo hay cinco incógnitas. a saCuadro de las constantes dc barra 11 ber: los cuatro ángulos de rota. IüI)J ción de los nudos 92: -e2', rD&(cD)f --T: 93 9B', 94: - 9n', $r: : - 9r' y el ángulo de rotación l-2 0,02133 0,60 3,29 24 de la barra ,1.¡t. Fara ias barras 0,02r33 3,go 5,61 2-g o,ol186 3,60 3,88 del tramo central fe : 0. (Ver 4-6 0,02303 3,60 6,68 parte primera, sección prime3-6 0,00046 3,80 o,l2 ra, fV, 7, A) . 3-3', o,ol286 5,OO 2.,57 6-6'
¡{
tn ¡a
8,52 ,,
341.
Ejemplo numérico
af)
84¡1.
Eequm¡ de lo
ceficiente.
F} F¡
trt FF ;rF fñ
Ejemplo numérico
11
Esqucma de los coeficier¡tes, ver figura 344. Té¡ninos diagonales d y D. Sesún (35)
¡e
o'= n4
obtiene
rn'o
d, _ 95,14,; ds_ lZ,T4; dn _ 24,3g; du = 22,62. En este caso, el eje de simetría pasa por el punto medio de Ias barras 3-3' y 5-5,, luc¡r los correspondientes términos diagonalás ,on iün (50)
ds' ds'
Según (951
= ds- *s,.. - 19,74 _ 2,57 _ 10,17 = ds- *¡,¡, - 22,62_ .1,61 _ rg,0l.
D,,=6)*,
luego,
Dr Términos de carga \)1. Barra
=
* ir.r; =
6 (&s.a
6 (3,68
+
6,58)
l-2: Par debido a la ménsula Mx= 7,5 . t,s + +,t ';,9¿__
*
61,56.
10,95 tm
La fór¡nula 23 de la tabla 3 da el valor de gt,
,_#)=n 10,15 ?;5*('- ,;i,r)- { ffi2.1=*, +( r-#)=_ 10,15.+}('- ,;;,t)= * r,0,
sl,,:_ +^4.:( Además, según
2,1D,m,
la fórmula 1 de ia
tabla
rm uv2a
J, el r-alor de }}i
es:
: - --4,9 .3,52 12 -= - s,oot-, $h,r- * 5.1 . 3.5:r orl r(4,; = - --t = - 5,27,, : .üL,.r = * +,9. 5,0:r rfD iu3,3'10121 = -
,,
,,
S,ootm:
5,21,,
:
:
5,1 . 5.0_ \r) ¿.r;.5,- - =--= _ 10,62 ,,. Términos de carga en los nud.os s. Según (36a) r, = )Din,, se obtienc rg = * 2,91 - 5,OO = g,0g tm: 14 = r¡=*5,00_j021__<¡t t
'r. ||{ ¡¡ñ ¡É ¡á
rÉ
H H lÉ fÉ |H|
rérntino de carga Según (96)
,=
s d,
;,;;,:;'
,i: o|,,:0,-.""Llil-
10,62-
-
5,21
-5,41
tm; ,,
la expresión general para un uamo (/l t't
I
' i()r.¡xq) - Xr, _xs, _ xu Jr,*i($t¿*St,).
Los términos ) P' r. X g, ,. anuian r sc obtiene,
v
s,= 1,q,0*4,9 12,0+5,1 12,0 +,9*1rr_ 1.1_ 1,5_+r64.,5tm. Eeuactones nudales según
gg drcn-2k,
Ecuaeión de desplazamt"nrn
Planteo de las ecuaciones
rlgún I¡tq
g - )a.,_
i, i!r
(t+
I.i'.
D,i, *.s, =r,
196
af)
Estructuras desplazables
Con las anteriores y el esquerna de los coeficientes, figura 344, se forma e1 siguientc cuadro:
Matriz dc los coefíeientes
9¡
+26,1¿
9t 9t
+ 8,08 + 6'0r
9¡
+
9¡
La
11,04
resolución da:
. pares
cxtremo.e-
sesun (7)
y el
esquema
9t
9t
9t
+
8,08
+
11
+ 11,04 + ll,(x + 19,74 + 19,74
6,01
+ ro,l7
,B
9t
9r
+
o,l2 8,58
+ 24,3t
+
+
o,rl
+
6,6t
+
11,04
+
19,71
+ r8,0r + 10,74
+
q2- * tr,49; va= ! 4,764; 9t-- 99 - * 9,363; e5: f 8,067; Mt.z= k (zqt+ ee + 3il * fitr,z
01,60
2,09 6,21 6,21
6.ll +
104,ü0
8'737'
de los coeficientes se calculan los pares extrcmos.
M,z = f 6,99tm M¿,t =+72,65,, Mz,¿:+4,3,38,, Mz.g= -56,01 ,, Mg.z=-17,02,,
M's=+
3,22,,
Ma,s,- +
73,85 ,,
Mq'=+67,78,, Me,s=-61,78,, Ms,s = + 3,06 ,, Mu.n--29,63,, Mt,¡,= + 26,57 ,,
.
El diagrama de momentos, vcr fi. Fig. 845- Diagrama de momentoe fletor6-
gura
34'5'
Ejemplo numérieo 12 Estruetura asimétriea c{n desplazamientos verticales (fig. 3a6). Empotramiento rígido en los nudos 1r 21 3,7,8, 12, por tanto, pt: vz: 9s:9?: : ps : prp : 0. Incógnitas: Los s¿¡s ángrrlos de rotación de los nudos p+, qr, 90, 9e, 9ro, 9rr y el desplazamiento vertical I de la serie de nr¡dos 5-10. Diagrama de cargas, ver figvra 34.7. qr'.o t/ñ
/6\
v
q?-E5t/m @ q,-ooY'
@FEúry
@
qr-¿5 t/n
@
f-
arD
Ér-r¡ru
l*l' 2-o 3-4, 8-9 4-6 6-0 0*7, I l-12 {-0,0-l¡
afD
FI ;O ñ 7a ;rr 7a
Fl fl.
rrl. rará É
f-
Mom. de I nercia
Sección
FT FT F'
rrl. rr¡r(r/, ¡rr ;r F
l9:
12
Cua.dro de las constantes de barra 12
FD
r-
Fic 34?. Estado de ca¡ga8.
Ejemplo numérico
6-10
s-r0 to-l I el
ü/¡(otn)
/E)
4017O
0,0u43
30/60 36/66 36/66 80/60 40/?0 B0/ilo
0,00313 0,00486 0,00486 0,00313
dn)
I
I
3¡ ,
2,25 0,78
¡,21
0,908
o':'
0,81 0,63
6,00 4,00
0,00068 0,02047 0.02047
,-
1000J
-
6,00 4,00 4,00 6,00
o,0l lé3
10lE6 40/86
,-
Long
I
,,86
4,00
0,17
4,00
6,t2
6,00
3,11
Los valores de i y lc (entrc paréntesis) figuran de los coeficientes (fig. 3'18).
@o.ta
3,8.1
I,705
I
@ e'e @
5,¿l
CD or,
(¡
06f
ú\
esquema
?86 078
Coeficientesxy K.
la expresión general ,n = Fu*, -Ír,
Según (101), luego,
según (106)
l3) (u¿ rr) d (r)
lgo8)
cs:
Fic.348.
x¡ :&¡,0 - &s,t =0,405 - 0,908- xlo : &¡o,rr- &to,o : 7,705 * 3,84, -
es
,'
^u -n - i)
dy D.
(0,908
+
3,8+)
r, = +
(0,,105
+
1,105)
dn
=
21,
n - 14,,28: du = du= 4,38; ds-
d
la
k,,
K, = 4,0
luego,
Segun (107)
9,135;
()
en el tramo II: Términos diagonales Según (35)
dc lor
r,
't'
por tanto, en el tramo I:
Eer¡uem¡r coeficientec.
0,503;
-
2,37+;
- o,zo3.
kn,o
13,1 8
;
dro
77,52; dr1
expresión general es:
= -
77
--
3,077.
,44 13,80.
,
D.=Ku]-Kv+t, por
consiguiente,
D Términos de carga fr|.
= K, * K¡r =
Aplicando
2,374,
+
0,703
^,2 lllr,z=-Str,t=-+-
se obtiene
Sto.r -] 4,00tnr; =-6,00tm; Slro,rr=-10,50tm; Ílro,c ={ 4,67,,. =-9,38,,; Shr,r:=- 6,25,,; fie,s =-4,,00,,; [ü¡,a -* 6,00,,; !ftro.rr=910,50,,: Sh,ro=-4,67,,i Stz,o -f 9,38,,; Str¿,rr=+ 6,25,,.
![fu,a
ffio,z
Además aplicando simultáneamente
la tabla 4, )Udr,¡
y
=
análogamente con
fis,o:
4,5
- -t
.4,v
2,0
- t=
la fórmula anterior, y la fórmula de ll)i, 25, rlr
.4"0
_
-
7,00tmj St¡,¿ =
{
7,0tm
la fórmula de 9?,
4 6,02 ^ -
96: 2 . 2,0 .6,0
9
_ --76,17tm: !It6,5={16,17tm.
F r{l+
Estructuras desplazables
198
Términos de carga en los nudos Según (36a)
s.
,n
fFF
= !I Sr,¿
se obtiene
r+:* 6,00- 7,00: s¡=* 7,00-76,17= ro=*76,17- 9,38: rz=
6,00
-
tm;
# r{+ r*F
- 4,00 tm; rs =* 4,A0- 4,67: - 0,67 ,, ; rro=* 4,67-10,50= - 5,38 ,, rrr:*70,50- 6,25= L L0< r1:= + 6,25 ,, 18
-1,00,,; -9,77,, j f 6,79,,; +9,38,, i
=
I
trar
I
Tórmino de carga S de la ecuación de desplazamienlo. Se aplica la (108), teniendo en cucnta que los términos cada barra fiU = - fll',
$lt
se
,,
t
?++
anulan, pues par;¡
S=-XP-Xü,,"-},!,',*r.
Por tanto,
- (4,5+3,5)+- +-
s:-6,0
g,5-+3,5)ry -2,0=-4e,0t.
Planteo de las ecuaciones Ecuaciones nudales según (99):
drvn Ecuacién
d"
* I
*n.¡ q.¡
*
I,, ó-r
*
zn
8- -Iu-r 6-*r f s, :
0.
desplazainiealo según (105), con una simplificación, pues en este caso sr
3*-r y * >;" 9m¡ * 2*^
anulan ambos términos Ku
á-*r:0: qn *,It"r, lnt+t * Dm6m +J- = 0. Kr-t
6ro11¡
por ser 8- , =
Con el esquema de los coeficientes, figura 348, puede plantearse la matriz de los coeficientes 12, donde tddos los valores figuran solamente con dos decimales.
Matriz de los coelitientes 9t 9r 9o eFt
9ro
9n
9n
+ + 14"28 + + l,2l + 4,38 + 0,81 + 0,17 + 9,86 + o,8l + 13,18 2,80 17,62 6,12 + + + + 5,I2 + 17,40 + 3,41 + 0,1? + 3,41 + t3,80 + 2,80 * o9l * 0"60 + o,4l - 3,84 - g,l3 + l,7l L,gl
9s
d
9t
9t
9t
12
2,86
B
ó
-
0,9t 0,60
-
+ 0,4r +
I,O0 9,17 6.70
- 3,84 - 0,6? - 2,13 - 5,83 + 1.71 + 1,26 + 3,08 - 49,00
La resolución da:
91= f 0,365; p6= -0,759; p16= f 3,0301 s. = ¡ 5,D15; 9n- { 5,236; q¡- - 4,371; Pares extremos, Según (10 a), para una barra
Mr,z=t
[z
7,2
:f
98,02.
con desplazamientos de los extremos de barra 61 .v 62:
v, + e, +
Mz, = oln *"
6
-1!fj¿]
*n, * i!#]
+ uq."
* *,,.
ffi
J+ d+ rl'r F
I-jcmplo numérico (
lon
la.q ¿rntcriorcs se
tÉll
F F Fo ñ F €
Jñ
f, f, F F F € F et
Mr,t:*
M+t: * 1,67 tm M*s= + 6,58 ,, Ma,g= + 17,A6 ,, ME5: - 25,9+ ,, Ms,q= - 5,72tm Mr"a= * 8,S.
5,37tm
Ms"rc=+ Ms^ = +
9,29,,
Ma"z
3,48tm
Mu.r,
3,01 ,,
=: +30,51 ,,
MaJt=-16,84,, Mu.i --10,34,,, ffs.s = * 0"08tm Mtz,tt= + 3,50 ,,
Mp,, -' + 30,99 tm Mo.^ =!12,16,, Mg,ro = -43,74,, iuf ,n,r, = * 1,92 tm Mto.) = -45"09,, Mto.tt: ¡ 43,03 ,, Mtt.t; -*27,17tm ilrr.r¡, =- + 38,80 ,, Mtt.tx= - 11,76 .,
rnomentos, ver figura 349 58.80--
--,i.14 10?
F F F F ñ
obticnen los siguientes pares extramos:
Mt't = -l- 0,84 trn Mz'r= - 7,74 ,,
El diagrama de
13
5,72
)4,34
6,58.
t,67
o
l0tm 1,74
f?)
Fia. A¿9. Di¿grama tle m
Ejemplo nurnérieo 13 (cornparar también cc,'n Nq 20) Pértico con desplazamiento v€rtical, c¡ryo piso alto esth retirarlr' qli¡r,rr ra 350). Empotramiento rígido en los nudos 1, 2,6,9, lueso ?r -- er '/rr : ps:0. Incógnitas: Las cinca ángulos de rotación de lc¡s nudos ,i;r, ry' ¡. (/¡, pt, ea y el des¡riaz¿rniento \,ertica1 6 de la -\erie de ntrclos 4-7. I)iagtlrrr;r .lt cargas, ver figura 351. Cuadro de las constanles da barra g€cción D/t¡(ctr¡)
l-3, 2*6 34 4-6 6-6 4-7
46148
35/60 36180
36/00 3o/30
5-8
401s0
8*0
36174
/-8
30/60
Losvalorcstyt (rntre Coeficientes x y K.
Mom. de lnercia
l'r)
0,00240 0,006g0 0,00830 0,00880 o,@068 0,00090 0,00313
o,0lo00
I
Lona
I
t(r!)
_ k-
13
1000J
t-
3,00
0,80
3,80 3,20 2,74 2,70 3,80 3,¿0
I,S6
l'?0
3,?l l'9?
0,26 0,33 0,88 3,12
¿-
lil
8,66
':' 0,66
paréntesis) figuran en el esquema de los coeficientes (fi¡1. J'rl)
Según (101), la expresión general es:x,
,r=k0..-Ío.r=1,i\ z;=ft:.E
= f,r-, - k' Iuego -6.\i - -5,2+, =*C,6í.
r-J,m-f--
I
---*-
3.Bo
Según (106)
s.zo---4
oi ir ojil¡-Ed-ltr-'''la;-r
r
_l_ t
lr} trF
Estructuras desplazables
200
o_
- ;>
K,
i
o4 aÉ
es
k,,
frF FrF ;t+ fáF ar?
por tanto, en el tramo (I): 'o
Kt= * (6,55) =7,70; tl
@
L
e en el tramo (II):
s/60
I
o o x)'
o.
K,, =
I
860. Dimensione¡ de
li.
-¡ 0,65) =
1,03.
Términos díagonales d y D. Sesún (35)
J Fis.
(1,31
la estructun. -
lFf f{¡
il.
,
dt - 9,52; d, =2,74;
- 9,02;
dn= 77,24;
dB
-
8,54,.
rr?
rít
Drr=Kr*Ku*1, por consiguiente, D
= Kr*
K¡¡
=
7,70
+
1,03
-
fnt
8,73.
r-r
7t
e;r frl ;r¡ Fig. 352' Esquema de los coeficientc
Fig.'861. Estado de cargaE.
Térmínos de cargo
fl}.
Con las fórmulas de $?, 1
y
34, se
tm;
=-
1,01
flt+.¡= - 5,05 ,, I 9lr,o = - 3,58 ,, i
th.s=
St¿,e
tm;
Nls,+
----f=-5,71tm;
-'f¡-,
q,4.3,82r 3,6.1,42.2,4 3,7.2,72.1,1 _ "; rZ ' 3,8:,j --tff--t6'11 qn __ 2,4,.3,22 _12,0.1,4,.1,82 _ =-7,37,,: ''E'u 3,22 12 12,0 . 1,42 .7,8 2,4 .3,22 {ÍD r-L , #ve,E_ , =f6,18,,. - )_ 12 3,92
!Ila.r=i-
Términos de carga cn los nudos Según (36 a)
i
s.
rt=xDl''¿ ruego, Jg= =-1,01 tm: s7: rs= * r¿= * 1,01 -5,05 = -4,é4 r, : rs= * 1,01 - 5,05 = | 7,47,,
Reemplazando valores de acuerdo con
=-5,74tm; 6,71 7,37 = - 1,26,, -
v4,,,,,)
el diagrama de cargas (tig. 3Sl): r I
Ecuaciones nudales según (99):
dng,, * Iftr,¡ q¿ *Er6^-t*
y-n8-
-fuol ó-nr {
s,,
=
0.
Ecuaeioncs a, a"rpt)ro^;¿¡fo seeún (105), con una simplificación, anulándos(. r:¡rl,r{:,r en este caso los términos Ky 6.*t y (u*t 6zr*1 , pues los desplazamientos lin,- ), órr, t r
de las series nudales vecinas, se anulan:
- 27" emt * Con las anteriores coeficientes 13.
9. *"i Ir-,
X x,,
p¿¡*r
*
D¿¡ ¿,,
+
S",
=
0.
y el esquema de los coeficientes, figura 352, se plantea la m¿trjz cll Mat¡iz dc los coeficientes 1j 9¡
9t
9.02
+
3,7t
3,?l
+
11,24
9t
+
1,66
9t
+
0,25
It 9t
+ +
9s
r +
ó ll -
6,5s
-
+
9e
0.25
9,52
0,33
+ t.3l
t,24
La resolución da: v3= | 6,725; 9z= -
9z
1,66
+
9¡
0,641
+ 2,14 + 0,82 + 0,65
+ 0,33 + o,82 + 8,54 + 0,65
B
ó
- 6,55 - 5,24 + l,3l + 0,85 + 0,65 + 8.i3
t,0
t
-
4,O4
+
1.47
*
5.?4
-
37,50
1,26
:
=f 3,436; 9s=- 0,487; 3-+10,227. 9s=-2,1**:
V1
;)
Pare
s
cxtrcmos.
Según (10a), para una barra
frr
desplazamientos
rrr
Mz.r=rllvr+
,
+
Planteo de la ecuación
''qa a.f
ar}
*f:,r,,".r
4'2:3'8-- 9'4'3'8 3,6'2,4 , ry U - --2 ----z*_ -3S---r;u 6,1r - 5,74,+ - - 27,50 t. 3,8
2
+
(Fr¡ orla F.
f4
Dt,')
4"2'1'7
s--2,5s-5,00-
FrD
Frr
es
->P-?*"'-;r*',', -*;(.üt"'+
F! Fr¡
:
e
s-=
(F¡
=f - -¡ 5,05 ,, ; l]ta,s - f 3,58 ,, ; o 3,7 . 2,7 . 7 r12 _ ,4 . 3,82 3,6 . 7,4 . 2,42 [ü¡,a
1,01
Según (108), la expresión general
(Fr
obtiene,
t()l
13
Términos de carga S dc ta ccuación de dcsplazamiento.
fr?
, _o\kn,, un -
luego,
Ejemplo numérico
de los extremos
t 3t6,-3.. Mt.,¿= * o, * s- - JIt-":: it
ó
¡,
l-2 6.
-.
:
con
960
üir.:r
I
",
* -l!:-6.
-:!1.:.r
Fic.353. Diagrema de momentos f¡ectorG
lo¡
2V) Determinación de las
constantes de barra a, b, c
Con Ias anteriores se obtienen los pares
e
carga !-li
€ é € :.)
extremos:
tm Mr,t= f lr72 ,, Ms,a= Ms,e = 9,80 tm Mr,r= 9,80 ,, Ms,e= - 17,74tm Ma,a= Mt,z= * 7,56 ,, M+,= + 16,20 ,, Mt,s= f Mz,t= Ms,t= f M*+= -
y de los términos de
f 0,54tm Mt,a= - 0,54 ,, Ma,s= - 1,03 tm Ma,z= + 11,4,1 ,, Ma,g= - 7Q,47 ,, Ms,s= f 4,66 tm
Mz.+=
17,04 tm
4,90
1,58 ,, 72,03 ,,
3,43 ,, 0,64tm
Los momentos están representados en escala en la figura
con cartelas rectas
Las longitudes y dimensiones de las secciones están dadas en la figura 354; la figura 355 muestra eI estado de cargas. A. Determinaeión de las constantes de barra ¿, b, c La tabla 1 da:
:30/50
por tanto
n- l," -
0,003125
o.ot5¡:r
x:
_
(cm)
/" :
0,003125 ¡rrr,
J¿
0,015353 ,,
:
+: *3$ :
o
?s0
Fig. 354. Dirnensiones de la barra.
b:5,10,
¿es
* * '
Fig. 355. Est€do de carges'
: a.): a :l!T¿.
Fig. 356. Esquema de coeficientc.
_ "t-6.00 t t)=--
1000,/"
o
-
L_ u:
7,8'+
1000.-q¿q03125 . 7,84
1000.0,003125 -----_
:
4,08;
'5,70:2,66.
r-
é
Jfff-
:
a
*
b
:
+ 2,66 :
4,08
6,74. r,¡r
Determinación de los términoe de earga !p
a) carga completa uniformemente distribuída qt:5.G t/m, b) carra parcial uniformemente distribuida qt: 3.2 ,, , c) tres cargas concentradas: P1 : 3,0 t, Pz: 4,3 t. Ps: A continuación, estos tres casos serán tratados separadamente.
6,5 t.
a) Carga completa unifornzemente distribuída Qt:5,6t/m De la tabla numérica 11 ó del no¡rlosrana 11a. se obtiene con los de entrada n: A,2Q y A :0,25. el lalor y.: 1.183. r. con rll
llltr: -"t: b)
gtP _
,,." 5.6.0,0:: -1.183-=;-.-:
nr'¡rnr.r,r,s
- 19.8i: IIt-= r19.87tr'.
Carga parcial unif ormemente distríbuída
q:: 3,2t/rn
En este caso ofrece una resolución más rápida. la utilización de la líncrr ,lt' Dl. La tabla l5a. da la correspondiente línea de influerrci;r l)irlir n : 0,20 y A. : 0,25. Para hallar los valores numéricos, se recomicnrl;r tlr.scomponer la superficie a determinar en un trapecio (Ft') r- un sector cxr.r.tllntr. influencia de
R-5.c Fr-43 P¡-€5r
Jt
J*
J* J-
J* .*
los
cz,t
Según figura 355, deben considerarse Éres estados cle ¡¿¡q¿,
é ;ú
Jt
@ o*#3-lo
luego, según (147)
a\
b:
--P
:
;
e e
.*
0,25.
7, para obtener o nu Con los valores n v ,\ se entra en la tabla numérica
l7 t--
B.
Jé .-
:
, Las constantes a, b están consignadas en Ia figura 356,' o sea, los valc¡res ¿ los extremos de barra y el valor á en el medio de ésta.
é
Se desarrollarán a continuación algunos casos ilustrativos completos, sobrc cl "trabajo previo" a realizarse en el cálculo de estructuras aporticadas, para efectt¡aI' la determinación numérica de las constantes de barra a, b, c y de los términos de carga fi que se obtienen mediante las tablas numéricas ,v nomogramas' En los ejemplos numéricos que se presentarán luego, y en los cuales estos valores s(' tabulan, se prescindirá de largas explicaciones en cada uno de los casos, pucs prácticamente se seguirá siempre el mismo procedimiento, como se explicará detalladamente a continuación.
IJC
ctp
t)
353.
ESTRUCTURAS APORTICADAS CON C^.\RTELAS I. DETERMINACION DE LAS CONSTANTES DE BARRA A b C Y DE LOS TERMINOS DE CARGA M MEDIANTE LAS TABLAS NUMERICAS Y NOMOGRAMAS
p¿ra el tramo de sección constante de barra, b/h para la sección de apoyo, b/ha : 30/85 (cm)
Segun (127)
J-
SsccróN SEculvo¡
1. Barra simétrica
Barra simétrica con cartelas rectas
Jl é
f* * *
Fic.
865 a. Valo¡es de l¿ línea de influencia de par& @rga parcial uniformemente distribuída.
9l
Fis.
g65 b.
(Ft") , como sc indica en la figura 355 a. Así se obtiene Ft : Ft' I I; i, o bien Fz: Fz'1-F"". En nuestro caso es Ft : 0.0374: Fz: 0"0567, donde las_ superficies F1 y F2 están referidas a una viga cie longitud /: 1. sr.gun (153 ) , se obtienen los térninos de carga coriespondient*r a la (:arllir parcial gz, de la viga dada con / : 6.0 m: I)lr : - Ft. Qt.12 : - 0.0374.3.9. 6.0: : - 4.31 tm: IJlr : * F":. Q-2./2 : -i 0.0567. 3.2. 6.0: : + 6.53 .. .
c)
:
t. P., :
t. P: : 6.5 t Para obtener los valores numéricos. puede utilizarse la misnra línea ck, influencia del casc¡ anrerior (tabla 15^, n =.0,90. En general ,lpr =. ^:0.25). Tres carga.t conce¡trada-r.' Pr
3.0
.1.3
2O4, Determinación de las constantes de barra a, b, c y de los términos de carga $t
: -
üft2: * rV'P 'L Las dimensiones
.P.l; situd /: 1 están ,'i:i rlr
a una viga de
referidas
:: '1j5:a:uuo,l;,1'1,0?;,,'"'
lon-
carsas se obtienr':
.... 0,025; 0,091; 0,188.
r12....
+
0,191 .4,3
[0,025.3,0+
0,091 .4,3
[0,158.3,0
+ 0,099.6,5].6,0: +0,188.6,5].6,0: *
ó
Út
l2t
ü)
Fig. 36?. Diagrama de momentc flecto¡6 p8r¿ un @-
11,63tm; 10,13 ,,
Resumen
€
E
Superponiendo los efectos de los tres estados de carga calcrrlados anteriormente, se obtiene: Iltl: - 79,87 * 4,31 - 11,63: - 35,81 tm; 'I)lz 36,53,, + 19,87 + 6,53 + 10,13 Para este caso (ambos extremos rígidamente empotratlos)
: *
:
e;a É €
Por tantq
llltr: lllt2:4-
oa oa
pot¡miento Detel diagrama de momentos está representado en la figura 357 fetor. 2. B¿rra disimétrica con cartela parabólica Las longitudes y dimensiones de las secciones están dadas en la figura 358; la figura 359 muestra el estado de cargas. A. Determinacién de las constantes de barra af a2, b, cr, c"
¡a ¡a :a ;a ;a f{¡ J. f-
Fig:.868. Dimensiones de Ia bem.
para la sección donde empieza la cartela, b/h : 50/70 para la sección üe apoyq b/ho : 50/200 (cm) Por tanto
: +: WW:
,
0,04,3
(cm', I" :
L:
y tr :+
0,014292 ma, 0,3 mn;
:iffi :
1,0.
Con estos dos números de entrada, se obtiene del nomograma 6 a: o1
:28,00; tt2:6,30; b:7,64
y con ellas, según (r47) F-3.6t
ro.oo Fis. 359. Egtado de
o,
.
-
Fig. 360. Esqueme de los ceficient€s.
carsaa.
: !T4.
o,
-
'02 :
AA:
Segun (127)
I
ct
:
at
*
b
:
4o,o;
9,0; b : J9+J-'b : :4'0,0 +
c2: ctz* b :
Las constantes de barra et, e2¡ b, tes (fig. 360). %_
1ooo.-q¿q14292 .28,0
10,9
: :
50,9;
10,9.
1919. 9r0 + 1019 c1, c2 figuran en el esquema de los coeficien-
!()5
Determinación de los est¿dos de carga flt Scgúr¡ la lirirrr':r.359, el estado de cargas consta de una carga uniforrncn('rrlc distribuicl¿ q ,, t udt ro calqas concentradas P. A continuación se estudiarír st'¡t;rradamcntc cstos cstados de carga.
Ii.
'¿) Carsa unilorrnemente distr;buíCa q
y
Corr
}b
:
?r
,...0,04,3 y
0,545.
^:
:
2.4 t/rn
1,0 se obtiene del nomograma 10a los valores 7,r
:
1,t)0
Por lanto:
nl,
=- ,., #: - 1.90 3'0--190:: ,."+- - 0.5*5 2'o '-10'o:r - I b) Cuatro
cargas concetttradas P
:
Jl'{i/
t¡rtr
g.o8 ..
.
3,6 t
En este caso es ventajosa la aplicación de las líneas de influenc:ia tl, l¡r tabla 14 a. Considcrando, que en este caso las cuatro carqas concentradas :otr igLrales
J.
Con los números de entrada n : 0,043 )' ,\ : 1,0, se obtienen sucesivamentl ordenadas rlr y lz, correspondientes a las cuatro cargas:
a.* * *
afr
OÉ,
.¡f
F
fÉ
offio
cartela
á
e La tabla 1 da:
columna con
F Fr e*r F{
F
TÉ Já
rÉ Jf,
¿
Slr: -P.lXnt;
flt2: n P.lXrP.
.... ....0,77A; 0,262 0.237: 0,007; 0,033; 0,074; l:....... rlr
l,rr'
0,103: 0.096.
En este caso deberá interpoiarse entre las líneas de i¡rfh¡encia Con los valores anteriores se obtiene
: - 3,6. 10,0 (0.170 + 0,262 + 0,237 -1- 0,103) Dt:: i- 3.6.10.rJ (0.007 + 0,033 + 0,0741- 0,096) fi1
der r¿
=' 0.03 v 0 ()i
- 27.79 un + i.56 ,.
.
Resumen
Actuando simultáneamente ambos estados de car-!
ga se obtiene
(o
t'
rü
ütr : - 31.67 - 27,79 : - 59.46 tm, fi,.: : -l- 9,08 + 7,56: + 16.{i4, ..
o Ú)
Suponiendo la barra rígidamente empotrada )' $::i.::"t para el estado de cargas total, el diagrama de monentos está representado en ia figrrra 361.
3.
Columna con cartela
La figura 362 replesenta una columna cono elenlt-nlo clt pórtico. cc,n la carga actuante. longitudes l dimensioncs dc l¿rs seccione,s. En t'l lusar de las cartelas. re acostr¡mbra intrc.dircir en el cíilcrilo un trarrro corto rígido. ,\ contintración sc r:alcularán ]os dos casos l se c{)rnpararán los rt'sr¡ltados. p "' : {)"156
;¡
E
de ¡¡
mpotr
906 Determinación de las constantes de barra a, b, c y de los términos de carga $t,
A.
Primer procedi¡niento: Barra con cartela recto Det¿¡minación de l¿s constantes de b¿rra ay a2, b, c1, c2
La tabla I da:
para el tramo de barra de sección constante b/h:30/50 (cm).I" :0,003125 ma, para la sección de apoyo b/hn: 30/250 (cm) /¿ : 0,390625 ,,
Portanto,
*=+:ffiá#:o,oo8 y ^: + :ffi:0,15.
Con estos valores de n o1
y ), se obtiene del nomograma
: 7,00;
c2
: 4,60;
5a
b -- 3,35
luego, según (147)
_ 1000 /. at:7.o1
sp
1000 . 0,003125 :_-ffi.7,4:5,47; o": #L.oz : 3.59: u : l-t-orq I-,-.b :
'lg 8l.s xt^
ct: 4t * b :5,47 + 2,62: c2 : a2* b : 3,59 + 2,62 :
rl@
Fig.
362
a.
Ee-
lc
ceficientes.
;-
frr
8,09; 6,21.
la fi-
B" Determinación de Ios términos de carga $? Para los números de entrada rr : 0,008 y ), - 0,15, la tabla 9 a da los valores x1 : 1.53 y x2:0,76. Con ellos, para Ia carga uniformemente distribuída y aplicando la convención de signos:
: * 1,94tm;
= a *,$:+
1,53 -qPU!q1
ül-
- - *=-#: -
0.Z6 !Q7.1,9-:
-
0.96
A.oo3l25 r_1,* o,5o*. :o- Y I:i:fj,,:0,125' ,_J,u ./, :=n CI d 6o
6'
¡-ó
Tt^ JI@
Fig.
369 a.
Fiqrr, 1163 y 363 a. Dimensio¡rs de la bura y esque rnn de los creficie¡ts.
%:
Para los números de entrada tabla 5 a da:
.!¿
M olo' ol I b- l -o,
t¡ic. 363.
de las constantes de barra a7, d2, b, cy
o1
v con
:6.80;
a1
o, : !Tá
.o:
:
¿
rl{
Frr t'-l Fll ¡rt
.6.80
la
lt{
segun (127)
:
: -1!PL .b :
5. 11
L54
:
* a2 *
Q7
llllr IR'.:
-
+
: -
7"1
o?= + --iz t ' '¿ '-09-5" ,o't"- * l.gjrn; - ' 1.52 1¿
aP v-:-*-: t ¿
0'765
-
'
0.9á "" . 4
o, -- -- 0f.li
';'::-
(l)
lil' tt' r.¡r.
:r¡,:r
r,
r,,¡
;1,:'i',i^''ii,::;i;
'.
r.sr'¡,r,¡,¡,¡,,,, ¡¡,(rttnr.,iltt¡
rrrrrt*r,
4. Barra con cartelas diferentes en ambos extremos La figura 364 muestra ia forma de ia barra con tr¡das las clil¡rt'¡rst,,¡', A. Determinación de las constantes de barra ar &:, b, ct, e-
s.
También en este caso pueden r-rtilizarse ias tablas numéricas. Las c()nsl:urtls de barra ab &2, b no pueden tomarse directamente de las tablas, sino <¡ut' rlt'lrcrril¡ calcularse apiicando la (144) con los vaCrD lores c1, or, p d.. las barras de sustitu- O ción "a" y "b", disimétricas (fig. 364 a, b) .3,4o2t3m1
(Ver parte primera, da, IV, 2, C).
Jc-q0063
seccron segunFic,364.
J^.q0¡3n' 6orc ü stihEói
CI;ffii'{D
Boñ
-
Rarra de sustitución "a" con cartela recta Según figura 364 a 0,0063 J J
0,158.
i \J'-
qü?ñ'
llarra de
-l
sust.it¡.rción
''ü" con
t'al
tll.r
Según figura 364b
-
0,30:
: 01242; {r!(') : A$32:
-
ss¡&ron 'ü'
parabólica
dc sustitucióÍt "a": Ptat
@
i t-qoo€Jñ'I'lD
F_. t.gm _-_..1 Fis. 36'1 b.
-:1.900-l Fig' 364 a.
a1(ú)
Dimensiones de ls btrr¡r.
.c
Con estos números de entracla se obtiene de la tabla l7 para la barra
lt
lr;rrr ir
como vemos. estos valores difieren poco clr lc,s hallaclos ánteriormcnt('. La distribución de los momentos correspondientes a ambos procedinrit'ntos. l);rt,¡ un empotramiento rígido, se ve en ia fi-q.ura 353b.
ürt tri
l:r
con cartelas, están consignados en ia figura 363 a. ss - t1 B. Determinación de los términos de carga Ul Cc¡n los números de entrada ¿:0 )' ),:0,125 se obticne dc la tabla 9 a x1 : 7,52 y rc: 0.765. Con éstos y aplicando la convención de signos.
rÉl ¡{ |{t
¿/01
b : 5,31 + 2,54 : 7,85; b : 3,59 + 2,54 : 6,13. que difieren poco de los valores hallados para Estos coeficientes,
c2 :
ct
n:-:-:01296 " " a 4,0273 _^ ,_ /u _2,25 -v'25' A:,-:9.0
üt
:4.60; b:3,25
3,59;
art
á
c2
r¿:0 y ),:0,125,
1000 . 0.003125 : -:-i:--i,,-
¡;-
;'rl
estos según (147)
1000 /. at: T.01
¡rt
oE
,,
F'n reemplaza de la cartela, se supone un tramc) de rigidez infinita de longi1,,:0,50m (fig. 363), por tanto
Deter¡ninación
ü-
}{
Segundo procedimiento: Barra con tramo rígido
tud-
y
üi
2,62;
Todas las constantes de barra están consignadas en gura 362 a.
Ftr
Barra con cartelas diferentes
ft
además se.q-rrn (127)
s-13.
}O F? F H F' F ¡rrl fr¡ ¡la tFl
,. - 0.006-3 _: o'15r -ii tñ'"C' " J
1,, 2.7t) "I:-"- | = {).0 - -
{}30.
Con estos nítmcros de cnlr¡ttll¡ s'' obtiene de la tabla 18 para lr¡ lr:¡¡.nr cic sustitución "/"': ár,b,
: 0.227: ñ:{}) :0.3.Jf * 0-156' Btnt
:
908 Determinación de las constantes de bana a, b, c y de los términos de
carga
en la (tM), se obtienen los valores angulares or, ár, para la barra dada en la figura 364, a saber: Reemplazando
-+: d.1:6r@t *a¡rur -+: p: pw * ptr't -+: az:-o.2.) *artor
+0,24'2+0,g32-0,333
:
+0,332 +0,227 -0,333
:10,226;
+
:
0,158
+
0,156
Con estos valores, referidos todavía a la longitud
-
0,167
l:
F F?
$l F
*0,241; + 0,147-
1, se obtiene según (119)
a2 _ 0,226 _0,29Á ':6187:' 0,241 .0.226 - 0,1472 0,0329 &ra, - F' 0'24! :7,33; n: F - o,!47 :4,4.7. a2: ---3--== o-, o, i.t:,"." - F2 0,0329 - F2 0,0329 ^_ ul--
Finalmente segun (1'fZ) se obtiene:
o, : #L. * : !ffL.
o, : !Q*@ sz
. 6,8T
: 5,r3; u : lfL.b
y segun (127)
ct: tzt * cz: &2 *
^ ro.-4.8r b-5.13 o,-5.13 I u/ffi
b :4',81 b :5,13
r.is. 866. Esquem¿ de tos ccfici€nt€s. Estas constantes
:
4,81;
+ 3rl3 : + 3,13 :
7,94; g,26.
están consignadas en la fi-
gura 365.
B. Determinación de loe térrninos de carga Ul procedimiento es análogo al visto en la determinación de las constantes tlc lrarra. Se hallan primeramente los valores angulares Aro/@t)-q!o@r; ñro(D), ¿.ttrr't y ?lro("), Arorct para las barras de sustituciótr "a", "b" disimétricas y par:l l;r l¡¿lr¡r de sustitución "c" sin cartelas, mediante las tablas numéricas, nornof{rir¡r¡;ls
El
y t:l cstado de cargas dado (carga uniformemente distribuída q : 4,7 tln). lltcrnplazando los valores precedentes en la (159 a), se determinan los valolrs ;¡n{r¡lares dro y ázo de la barra con cartelas diferentes dada. (Ver parte primera, sección segunda, V, 3 C). fi:rlra de sustitución
"a"
con cartela
Barra de sustitución
recta
Con ios números de entrada -. 0,30 )- : 0,25 se obtiene de la tabia 21 ^ r¿
:
aro(o)
- 0,0378;
d2o
"b"
con carttl:r
parabóIica
:
0,04,1 1.
Con los números de entr¡rtl¡r n: 0,15 y ,\ : 0,30 se obtiene t|' la tabla 22l arotbt - 0,0372; árota¡ - 0,0410.
Para La barra de sustitución "c" sin cartelas, se puede obtener de crralr¡rrir.r.r clt: las tablas anteriores: drorcl _,"rotü _ O.O4,IT,
la (159 a) ürr' : ¿rotu) a ¡"oiÜ) - ür0rc¡ :0,0378 + 0,0.{,10 il- 0 - a2o(o) * árt,,t,t - a-o(c) : 0,0411 + 0,0372-
l{r'r'rrrplazando en
H
0.0417 0,0417
: :
0,0371; 0,0366
con lo cual se obtienen los ángulos de rotación en los
erlo
apoyos, multiplicados
¡{
q
F' }(l F} FT r{ FI FT GT
;r l;f ¡f¡
:3,r3
Estructuras indesplazables
FT arr
FT F' art
FT rt trl FI FI
.r. É á
r.-
J4 arl el. c{t
r-
2n9
,1'4il tln
ffi
por EI", para Ia carga dada
:4,7 t/m: aro : dro . qF : 0,0371 .4,7 .9,ú : l27rl; azo : dzo .qI! :0,0366 .4,7 .g,ff : 125,4.
Apücando la (156), se obtienen finalmente los términos de carga lDt:
E
6
of ,al
@ Ffs.866. Dlsgram¿ de
momentrrr
flectorc par& un eEpotrmi"nto tprfeto.
llltr: - i,orcro - bd2o):-S {u,tt .lz\,l - 4,,4.7 .t25,4,) : * 34,74tn; llllz: * iA"oro-boro)= -ft{r,*,.tz\,1 -7,33.125.4}: *.39,01 ,. La figura 366 representa el correspondiente diagrama de momentos de r¡na viga rígidamente
5. Barras de pórtioo
empotrada.
a
Jr-r 8l :l .lI
inclinadas,
¡
i
con cartelas En barras con estas característi-
E
rl
"i
cas frecuentemente no surgirá con cla-
ridad, qué valores deberán tomarse Fig. 86? a. Fig. 867 b como longitud de la cartela l, y la Fige. 86? a y b. Barra' inclinadae con cart€iaÉ. altura de la sección de apoyo h¡. Las figuras !67 a y 367 b áclann las consideraciones que deberán haccrsr, r'¡r estos casos. Ta¡nbién podrá reemplazarse cualquier refuerzo no uniforme, por t'j. ensanches de las columnas en entrepisos sin i'igas. por simples cartelas ,, t"-bién por trarnos cortos infinitamente rígidos. EI cáicirlo uiierior sc efecrúa cn forma conocida, utilizando las tablas ur*iliut.. de la parte tcrcera de esre manr¡al.
II.
ESTRUCTURAS INDESPLAZABLPS
- Nota previa. I-os ejemplos numéricos que se rratarjin en esta sección. ya fueron calculados detalladamet te et la sección primera. Es clecir, que los de pórticos presentados en esta sección, tienen ias mismas dimensiones de"l"*"rrto* longitucl y el mismo estado de careas, diferiendo de los anteriores por las cartelas er, barras. Por esta razón se recomienda comparar los resLrliados obtenicios, es"i*.t", decir. Ia distribució¡l dc los nlomentos en las esiructuÍas con. r si¿ cartelas, áon el fin de ejercitarse en l¿r aprcciación aproximada de Ia influen.iu ¿" ia variación de ias secciones
si
de barr;r-
se desca¡¿ comr)arar también los coelicientes d.a def ormacién
d.e ambo¡ casos, clebería tenerse en cuenta, que en el cálculo stn cartclar, Por razoncs de conveniencia se aplicó según (23)
1000
" - - z ¡:-'
de ias
q,
ry', a. E esrruc.tura:
el factor de re{ucción
mrcntr:ls qr¡e en estructuras ror¿ cartelas se eligió, en
la
mavoría
de los casos, scr{ri' (146) ¿: 1$)0. por tantcr las consranres de ba*a obrecon esta lri¡rótesis del>erin drrplicarse. para que puedan r.ompararsc inmt 1id1 oratamente coll los vale¡res corrcs¡rondientes al primer cálculo (sirr tarterl;rs). En el presente caso debe ináicarse especiaimente. que las notaciones de las constantes de barra at y az siem¡r,.e deberán elegirse de manera tal. que en las
¡ta
Estructuras indesPlazables
Í2lO
con cañela-y a,.la cong' barras disimétricas, a1 S€á la constante en el extremo visión de conjunto' los buena una tante en el ex6eño iin cartela. Para obtener los números de columna última su en llevarán á. brrr", cuadros ¿* lu, *¿, v b, eno,t, "orrri.rrLrsido tomados los valores las tablas
."*iti;;;;;-ñ;;br'han
trando en ellas con n Y tr'
1) Ejemplo numérieo 14 (comparar también con Ne Ul Pa¡te de pórtico con ménsula'. Emp.otramiento.ríSifo,¡-n !::¡*'l., 1: n:Lt11 q:o: '"l';-,li; '^:::.:*,T',::,:'ilf n* .b.-s"b estadtr el 354; figura 1á en dados f"",i*tilt]i i'ifJ"ri.";s de tras secciones están t^ r:-,-. a66 En F"n figura 355' de cargas muestra la @ carla el cálculo deberá considerarse tela de la barra 2-3.
,i#',ü:"ü;;4Ol40
I
@
5,00
H r:{t ar-
O
O
Fis. 869. Estedo de a¡gs,
de las barras se efectúa La determinación de las constantes a1, a2, b para cada una los cálculos intermedios' todos c-omprendidos estin éste en .rradro, ,rr, .o ventajosamente Cuadro de las constantes de barra 14 Jc
"'ÍÁ
blha | .trtt't lltt 0,00720 o,0o720
40/60 40/60 40/40
0,002r3
I
l-2 21
40/loo 10140
4 6,60 4
0,210
2-?
I
o,0o?20 0,03333 0.00213
¿0/60
4,47
2 3.10
4
2
4
4,olo ?,6 t,88 3.6
Los coeficientes a1t 42, b con la (147):
@
0.¿l (,
o,28
lo
7,20 0,34 2,44
I
o
|
I
o
i
7,24 4,28 2,44
3,60 2,98 1,22
del cuadro anterior se obtienen
looo Jc . J" L looo /. b. o=-l a"=- looo,L'a2; or--!JJi::-.a1:.
esquema de los Todas las consta¡tes han sido consignadas en. el extremos de las los a en tulores-de los 370; *.Ji"l*r.r, figura Uutt.u y lá ,rálot.s de b, en el medio de éstas'
Fig. gtO. Esquema de
los
coe4icientc.
según
el
esquema
Término diagonal d2. Según (164) la expresión general
il^=)an.¡, de los coeficie"ttt', fig"tt 370'- -^ d.,=7,20 + 6,34 + 2,44=15'98'
aplicadas
¡l{
ülr,rtv''
*xz#=
y
según
el nomograma
r¡te rl¡r{
¡ra l¡{ ¡4
r{ ;t
F'F FF ;r? F? FTF FF FC
r{)
a{¡ a4¡ ril
a una d¡star¡cr iF-= =o,t
t
ya -!)t;=u,6
=
+
1,3e.
+#
=-
0,826
'
-
''oí,!r'u'
1e,6otm;
+ tt,6o ,, ;
13 a
- - Ir . P . I = - 0,210' 5,0 . 7,5 = - 7,87 tm1' ;qJt3,¡¡1P') = * 4::' P' t = + 0'0'l'7' 5'0' 7'5 = -¡ 1'76 " ; !&''('') - - tlr 'P 'l- - 0'113 '5'0 '7'5= - 4'2A "; n)i'''tt" = * 4e' P' l - + 0'132' 5'0'7'5 = ! 4'95 " ;
Sl2,s(Pr)
rñ
ert
2'5
respectivamente, se determinan scparadamente ¡umándolos luego' Según la tabla 9a se obtiene:
- x1 #=-
|'É es:
las cargas concentradas Pg=P4:5t
se,rta,t =
!{i fr{t
2ll
14
da carga !l7. Términos - - "Borro 2-j. Cartela recta disimétrica con n: Opl6; )r = 0,25; I = 7 ,5 m' Los valol¡s correspondientes a la carga uniformem€trte disU¡buída 92= 3r0-l/.n
||r.
;r¡ FI
Fic. 868' Dimengiones de la dtructura'
por tanto,
Itl} ¡¡-
EjemPlo numérico
luego, rtsumiendo:
lltz,a=lBr,rtc,rll)l¿,s(P.)+St2,3(P')--19,60-7,87-4'24=*31'71tut; m.r=9lr,otr"r * s(,2(P,) +n)h.z(P.)=.+ 11'60 +1'76+4'95=} 18'31 " ' Ménsula.
Mz,tr= + z,o.+ + 2,5. 5,0 + 5,0. 2,5= a T'é¡mino dc carga en cl nudo so. Según (165), la expresión general es:
50,00 tm.
r¡-?D?,,i *2Mx,
luego s,
=
9)12,3
* Mz.r= - 3l'71 +
Ecuación tudal, Según (163), la expresión general
50,0
- f
18,29 tm.
es:
dngr*2bn,¡Etlr"=o' Como en este caso todos los ángulos de rotación de los nudos vecinos al nudo 2 iguales a cero, 3e obtiene la expresión simplificada o sea 15,989r * 18,29=0 devt*s2-0 y despejando
¡or
e2:-+#=-7,t4s. Par¿s c*tremos,
Según (124), la expresión general para una
barra 1-2 con {, = 0 Mt,z =
es:
a1 p1
*
b 92 *'fr1y,2.
Con esta expresión y utilizando el esquema de los coeficientes (fig. 370) para los valores de a y &, se obtiene:
Mz,t= -
Mr.s- M:..t= -
7,20.7,145 6,31. .1,74.5
2,++.1,145
= -
-
31,71-
Mt.t= -
-
-
_
8,94tm 38,97 ,,
)7A
3,60. 1,1'S5 2,98. 1,745
o
Fis. 3i1, Diagrama de momcnto¡ flc0t¡tl,
- + 18,31 - +
.t,1ltm
1'1,90 ,, Ms2= Mt,z= - 1,22.117+5 En Ia figura 371 rl diagrama de monentos ha sido representado
en escala.
alr
¡
.J.?
Estructuras indesplazables
21:¿
@
@
Ejemplo numérico
n-5,0r
.J-.
16
rJ+
(comparar t¿mbién con Ne 9)
o 6
Í,
I
Yiga de doe tramog rlgida' mente unida a las columnas del I piso inferior y superior. Empotrn3' miento rígido en los nudos 1,2, 3, @ | 7, 8, 9. Lateralmente sustentl(l¡t -----l- para evitar desplazamientos, Irrt'grr
@
@ rlt
a saber: e¿r 9s. La figura 372 da el eet$-*i*y e¡t¡do do de cargas, las longitudes y laa l-ir. dimensiones de las secciones. En el cálculo deberán considerarse cartelas rectas en las vigas 4-5 y 5-6; micntras que en los extremos superiores de las columnas 1-4 y 2-5, en el lugar tlc las caitelas se supondriin tramos rígidos de longitud /o : 0,36 m y 0,40 rrr rcspectivamente) en los cuales Jt: q. L '.---.-
B,oo
6,00
(t) $?2- Dimensione de lc 6tructut8 de c¿¡as,
s6lo tres incógnitas,
---]
95,
t-4 3-6 4-5 5-6
{-7, B-0 ó-8
t*4
tt
o¡r,{c*li Jc(Er) lot^
2-6 3-6 4-5 6-6 4-?, 6-9 6-8
60/60 60i60
0,0o9o0
60/60 30/55 30/55 50/50
0,00000 0,00416
35165
o,0l08o
"Tl
l.r.tt'l
60/o 60/o
oo
4,00
6
4,OO
o,lo
o o o,228 o,326
o,o9
0,30
o,{o
0,00900 0,01823 0,01280
4,00
o
8,00
¡,80
o o,225
0,oo4l6
60/60 30/90 30/80
6,OO
1,60
0,26
0,0052r
6O/60
0,ü)621
0,00763
65/66
0,00763
3,50 3,50
o o
o o
0,09
O,l0 0
I
0,225
a,228
O,25
0,326
I I
o 0
6,90 6,09 4 7,00 5,86 4 4
o o
16,44
9,90 12,00
6,41 ?,90
2
9,00
9,00
4,60
4,46 2,79 2
4,05
3,64 3,01 6,96 8,72
2,31 1,93
4,40 1,44 4 7,00 4,35 4
2,86 2,56
4
2
LX,24
8,6{
6,96
i
8,i2
2,98 4,38
el
o
sea, los valores
LY
(9/
o
esquema
F
t I
,{
f,
F ñ É
7t
i
Éqt t{¡
373, los extremos de las
barras y tos valores de ü, en el medio de éstas' Términos diagonales d.
Según (164) la expresión general
dn=
4
cs
o,,t'
Utilizando el esquema de los coeficientes, figura 373, se obtiene para el presente caso:
+ 3,64'+ 5,95 d5 =. 16,44 + 3,64 + 4'05 + dn= $00+3,01 +5,95 du=
l'ira. 379. Esquems de
lc co¿flciente.
73,24
8,72 -
por tanto,
22,83: 32,85;
=17,96.
'-lD 71¡
F} ?1 F
^ IZ-- = - r.4 - --
1.162 -151,0:12
--
24,79
tm; $i.,or
$lu,ntr,r
=*
rb
"P.t- +
=
0,186.d.0.8"0=
rrrr.
* 7.4i ,,
;
$1a,5 -.lDfu,rir'r -l )Iiq,¡,(p,) * + 24.,7s + 3,64 - f Jg,43 rrr: Illi5,a: $lr,rro,i + $?5,4(p,) = ]- e4,79 --t- 7,44: + 32,¿3 ,, .
Según
tabla 9 a
r¡
se obtiene:
- -xl +;= - t,2g|. +,>-.tL.o:_: __ ri.{5tr,,: s"..'n,'= + )'2 -n",?= + O.Bil . 4'^-U: * li.77 ,. :ltr,orr"'
t*
Según
el nomograma 13 a imi,6(P")
$t0..("")
por tanto,
ll?5,u Stu"o
- =*
se obtiene: rtr
= $i.,^rc-t *
-
P.l - - A,lf1 . 6,0. 6,{}- _ 6,1iitm - + 0,i05. 6,0.6,0 = -r_ 3.ZB ,,
rl: P .t
g)}.,e,p")
Düu,rto"r +,y)?6..(p")
- * ={
17,45
_- 6,16
11,77 +- 3,2g
Términos de carga ¿n 1as nudos.sSegún (165a), la expresión qeneral rs,
=_ - +
2J,61 tm 15,55 ,,
¡ -\lcln .f-ár'.lr¡,ir I
luego
14=-28,43trn;
r¡ = f 32.23 _23,61 ,C-ttr,)ftm.
- *
g,62tm
Ecuaciones nutlalts.
Según (163), la expresión general es:
,;;;,j"n."T:,::;,,:il;1"i,-
'.1;-;rl"lj':"';i..i.l.,,cs,
íigura 323 sc ¡,ii,rrt,;r
Malriz de los coeficientes.!5
f{
.L
á
t
d
2,!,lfi
¿.j,()Í) ¡,1
_* 3,64im;
á
;a
-j_
Barra 5-6. Di¡i¡nét¡ica con ca¡tela recta. siendo n : e,325 ]. I = 0,!5; / :: li,[) Carga: q- * 4,5 tim; P: 6,0 t en el punto mcdio de l¡r l¡ii¡ra =
á
6o 6e
= -
Interpolando" se obtiene del nomograma 15 a: * 0,091 . 5.0" g,0 lJt*,otr,r - 4r . P . t
;{
de los coeficientes, figura de ¿ en
flt¿..,e,) ú'v4,b -¡
tr4
I
q=#L.ar; b= lW1" .'.
-Io
IFF ÉrF .FF
ias diferentes cr!¡gas sc iitf{:¡t:lj}.t¿¡ s|llírr.;rrl,iriri rl,
r¿ =0,ggg ,,, ),:.0,t;,,E5; l:: earge: qr=4,{}t/rn y .Fr=5,0r en ei punto +=_*: =0,61.1. $egún ia tabla 11a se obtiene:
F
,:+
Já
Earra 4-5. Sia¡étrica eon ca¡!.ela* rectas, sie*rlc
fÉ
Los coeficientes ay et ó de la tabla anterior se calculan según (147):
or=J.9SL.or,
LL.b valor rs ccrr i.sporidiel.tcr ¡ .ru:nárrdolos luego.
rÉ
Cuad¡o dc las constant¿s dc bar¡¿ 15 Bafta
r+. ffi aÉ aÉ
iljernplo ¡runóri¿c" 'i'éiminos de targa 'lli.
q A.) ri),j.)
,
gf.F
¡{)
Estructuras indesplazabies fi.esol'/ier:do se ot¡tiene: pn = f 1"2i6t 9s = -' Ü,303:
Fe: -
0,833'
Pores axtremos.
Según { 124), !a expresirirr gtneral para una ba¡ra 1-Z con
=0
p
Mt,z:{e1 * bvz*üt\.2. Con la anterior y utilizando cl los coeli::ientes ifigura 3i3) para los valc¡res d y bo se obtiene: _. { 8,18 tm + 6,41 .l,Zf6 !l-r,u: Mz,¡: - 7,99'0,303 s*q g;,; = *- '1,50. CI;833 :-- - ?,;í':, Y"n.r=+13,2+.1,276 - + 16,89,. {-u.r: + 3,ffi .1,276 - 9,31 .0,303 -- 28,43 : - pA',48 ,,
trig.3?4. Iliagrxma de Eomentss fletom. esquena de
es:
{-o.r: + 5,SS .1,276 l{5,2=-16,4.,{,.0,303 M-
lli¿ nttt? _t_ I 2,Ji rli . t.276 3.{i4,.0,Jü3
,]{u.o=
+
- + :_
32,23
_
7,5g ,,
4eR _¡ 3+,08 ,,
- 1,86.0,303-1,93.0,833 -23,61 - *26,+5,, tf-u,r=* 8'72'0'303 -* 2,64,, ?,5t} ,, {0,* =' *- 9,00 . 0,833 -+ tg;46 3,Cl .0,833 _ 1,93.0,303 + j,5,55 !f-o.r,: ,, = 5,95"0,833 4,s6,, l{u.n=* -9',88 .1,276 f 3,80 ,, !f-r,n= + := ,* 1,32 ,, 436 ' 0,303 Y*,r: _ _ g^4n ,, ff.q,a = - 9,98. 0,833
.
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I
I
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ra\
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v rd_,_*
6,50
'\l)
s.sc
:-j o
Fig.3i6. Dimensior.,e: de la estructr¡ra.
olo Fig.3Í6.
I
Es¿ado de cargas.
la fipira 376. Debido a la carga simétrica, no har, drx;;la,,.anientc¡s de j':,'s nr-rdr:s. ar-lemás p+:0; por tanto, sóro deberán hailarse d¿.i incósnir¡s. ¿tr sal-,¿r ?: y {:, -. * p5'. En él cálculo deberán tomarse r:;rrtr,las ri:r.tas cle la,s yigu, 3-4 "" """ri¿.r"J;;;^;;. ,v 5-5, v de la columna 3_5. carr{r:i$. r'lr:
b--
4517rJ
ó-5',
o,0l98g
46/r00
45/80
0,00810
B¡r¡a
.ln 0ll
l-3
o,2o 0,21 0,28
3-5
5-5',
esquema
fEr JA
por
i I I
1i
0.00r? 0,125
1000 ¿
3,80 8,50
o I,B0
4"fr)
0"845 3,06
lg,o0
4l
z
s,to 4.30
z,lo
á han sido calculados 1000 J -I --l-.Ol: ar=---¡J*.o2)-
,-+ ,-qJa I
o 0,20
O,2l 0,28
0,ts0
o,ool7
o,l2ó
Trbl¡
tr
aa
16,60
18,86
1,76
gl,lg
3,25
8,33 2,24
r6.08
13,82
ór¡
0,39
6,$9
4,42
7o
6
0,601 4,6o I 9.701 6,00 I t0,261 10,26 I
0,t26
4(o)
según (147),
o
b
6u
sea:
1000 J -
ó ----------l-.b.
de los coeficientes, figura 377. Términos diagonales d. Según (164) la expresión general es: dn=\ on,,, tanto
- 16,66 + 3,25 + do-31,19*6,39 d.
16,08
-
35,09; 37,58.
Como el eje de simetría pasa por el punto medio de 5-5', entonces, según (50) en lugar de du deberá ponerse dd'
= d, -
bu.o,
37,58
-
-
4,+2
-
33,16.
Fig. 37?. Eqquema de lc coeflclmta,
Términos de carga fl1.
Los valores correspondientes a las diferentes cargas sc dete¡minan
scpar:rtl;rrrrcrrlr
sumándolos luego.
Bar¡a 3-4. Disimótrica con c¿rtela recta en el extremo derecho, siendo n ;0,196 = 0,20; I.- 6,5 m. lt Carga: 41 = 4,0 t/m y Pr- P-- 7,Ot en los puntos 4=*' t /' ' t 6:=u;t
=#
: 0,6 respectivamente, tomados del l¿do de Ia Según tabla 9
trr} F}
;-
46ltzO
fE)
Todos los valores están ctnsignados en el
FIF
FD fr{¡
461682
orl,.
¿r ---
F{¡
É¡ É)
0,m589 o,03760 ?,30266 0,06480
Los coeficientes o1¡ a2r
X
.r+
'c_
46116
0,00469
,rt¡ Ft H)
Frt
I
_Y__i_
46176 46160
o,ol682
3--4
3-4
r{
/¿(!o')
Jc(e')
3*5
fF{
ttl¿,
D/i(cm)
r-3
FTF
FTF 5.9t
B¡rr¡
rr+
Frr FQ Frt FI Frt
16
Cuadro dc las constantes dc barra 16
tñ¡ Frt
FIF
I
Ejemplo numérico
fÉ) fÉ)
Fr
Hjemplo numérico lG (comparar rambié¡r con Nq 4J Fórtieo gixrcdlriec ¿te dos pisos con coluÍnnas rígidar*ente ernpctradas. Las loncitudes y dirnensio:ie5 de las seccir-¡nes se to¡nan de Ia figura 3T5i ú.rru¡o ¿" i, I
Fp
Según
a
se obtiene:
gJtr.rto,i
- - x2.+= -
frn,.,'.,
: *yt +=
el nomograma
ó
cartela.
13
= -lJt3.1(¡") 9)t4,3(P,) = ffi.g.n(P.)
D1..",",,
0,81
.
:#t-=
-
+ 1,+3. J#f--
tm:
11,41
+s0,74,
,,
a se obtiene:
- rb .P .l - - 0,121 .7,0.6,5 * rr .p.t- + 0,1.{€ .7,0.6,5 - 42 .P.I- - 0,013 .7,a.6,5 * 4r . P.l : + 0,77L.7,0.6,5 -
f +
5,51
tm:
6,73 ,, 0,59 ,,
7.78,,
; ; .
fl
1
2t6
É ¡ñ
Estructuras indesplazables
=Sün,s = +
!Iüs,r
- 5,51 - 0,59 - 20,14 + 6,73 + 7,78 = { 11,41
17,57
tm;
Según tabla 11
a
É ¡ñ
34,,65,,
Barra 5-5'. Simétrica con cortelas rectas, siendo n=0,725 y Cargo: qr=3,6t/m.
I -0p8; J -
13,0m.
14
¡r
se obtiene:
ffu,u,,n",=
- #= - 1,23.:f#Y- - 62,36tm. x.
Términos de carga cn los nudos s. Según (165 a), la expresión grne¡al es:
t'=?fr''o'
luego
ra=-17,51 tm: rr-, = - 62,36 ,' .
Ecuaciones nudales.
Según
neral
( 163 )
, la
t'xpresiórr rrc-
es:
dngn*lbr,tvilsr=o' Con la anterior y utilizando el esqucma de los coeficientes, figura 377, st obtienen las ecuaciones (e3) . . . 35,99e3* 13,82e5- 1 7,51=o ; ( qs) . . . 13,82e s|33,16e5-62,36:0.
o@o Fig.8?8. Disgmma de momentos f¡etor€.
Lir rt:solución da: p,
- *
2,00;
Pnres cxtrcmos.
vs- -
0,282.
Scgún (124), la expresión general para barras con ry'=O,
Mt,z=a1 (l
la anteriory utiiizando el
sir¡rrientes pareg extremos
es:
*b92*W\.2. de los coeficientes, figura 377, se obtienen
p1
esquema
los
:
Mt, = - 8,33.0,?Á2 Ms, = - 16,ffi.0,282 Ms.E = * 3,25.0,282 - 17,51 Mz.s = - 16,08.0,282+ 13,82.2,00 M¿.s : - 2,24.0,A12 + 3+,65 Ms.s : + 31,19.9,00 - 13,82.0,282 Mn,t' = + (6,39 4,,+2).2,00 - GZ,ZG -
tlt
v columnas. l,;rs constantes de barra a1, au,
l;rs vigas
al --/
1000
,/" !.Ot;
b
se calculan según (147),
aZ=-l
1000
,/" L.Al:
ó:
o sea
1000 -----c./-
.lr.
L;rs constantes están consignadas en el esquema de los coeficientes, figura 381.
J.(D')l¡t¡^l.rrt.1 2-1 4-4' +-5 3---4
50l7O 40186 40165
5-6',
40l7O $5/60
40/r{0
0,0r420
60/
0,fr)9r5
40/r¿0
0,00916
0,oll43
4Ol
a
t-J oo
612
0,09147 0,09147
7'0 12,0 6,0
G)
35/¡30
0,00630
2--4
0,t 16
o 0,1(x)
4-5
0,329 0,250 0,10o o,267
u +-4'
.É ¡ñ ¡É ¡É
5-5',
o
6,60 0,45 9,96 6,09
0,098
10,60
0,t00
rÉ
l2,o
0,00408
to
o,oo
o,u6
2,30 3,0o 0,50
0,329 0,260
o,l0o
o,l0o
3,29
o,267
0,008
o
0,100
o
g,l6
1,52 a,86 9,05 4,41 10,00
l,l0 6,97 2,96 7,00
l?,96
12,42
12,35 7,69
6,34 ?,69
I3,92
10,16
6,67
6,67
8,66 6,36
6o 6a
6,31
7
8,77 3,09
6
7¿
40170
.É
aÉ
.ñr a;r ar+ a;" arF ;tC
Ejemplo numérico l7 Pórtico simétrico de dos pisos con apoyos arriculados v columnas per)rl¡¡i;rrcs. Dirnensiones v cargas están dadas en las figuras 379 y 380 respeciivatrr{'trl('.. Conrn la carga es simétrica y las articulaciones en los nudos no áportan rrrr',it¡nitas al chlculo, sólo deben determinarse los ángulos de rotaciones dc los ttrrtlos 91 Y g¡. A efectos de cálculo deben tenerse en cuenta las cartelas re('t¿rs
Cuadro dc las const¿tttcs dc barra 17
¡ríF
orq" escal:r.
217
17
¡ñ
FF
SB,4Z,,
El diagrarna de momentos que muestra la figura 378 ha sido representado en
¡4
GqF
2,35 tm - 4,70 ,, - 18,43 ,, +23,71 ,, + 34.02 ,, + 58,48,,
-
Ejemplo numérico
F
Sumando se obtiene:
ar{¡
.4 tí? a{¡ trF
aá¡ ;-
,r{
,tra
'á
Fig. 879. Dimensione de la gtructura.
Términos diagonales d y do, Para nudo ,*, donde una parte de las ba¡ras concurrentes están articuladas, según
( t 6fl
) cr
doo=d,->-Ürt". oo,o ot
Por tanto, según (181) y cl esquema de los coeficientes: dno
=
17,86
+
12,35
Se$ún (16,$) para nudo
+ 10,15 +
5
I'8,662
7,59
es:
- fr
536e
- ffi
-
i7,39.
dn=2ar,i, luego
7
d5=13,92{5,57=19,4Q. Como el eje de simetría pasa por el punto medio de las barras 4-4' y 5-5', se pondrá según (50): dno' - ¿no - bq,o, - 37,39 - 5,31 = i2,Q',l, d¡' - do - bs.s,- 19,¿t9 - 3,99 = 15,50. Fig. 980. Estsdo de cargu. Té¡minos dc catga fi| Bar¡a 3-4. Disimétrica con ca¡tela recta en el exFemo derecho, siendo n - (),10 y l=0,329; l=7,0m. Carga: q - 5,0 t/m y un par de rotación izquierda 1 que actúa en cl extrc¡rro
de barra 3:
Mh-:'o*'52--
r5,63 tm.
l Sentido contra¡io a las agujas de un reloj. (N. del T.).
¡¡€ ¡-
Estructuras indesplazables
218 Según tabla
9a
es:
t[{ol = ,¡Dlol
-,". +
=,
- 0,7L. J{#
--
= + *r. #= + 1,67. :8#
14,70
tm;
- + 34,t0,,
os-
.
Del momento dc la mén¡ula
lr¿Íll:
-lln
-
15,63
tm;
!n{}J
=
f-
á á
f-
á
J-
Resumiendo se obtiene: 14,70
=-
+ 15,63: +
t-; SL¡ - +
0,93
Bana 4-4'. Siméuica con cartelas rectas, siendo z=0,10 carga
q:6,41/m.
3.1,10
tm.
y )r:0,25; l-
12,Om;
Según tabla 11 es:
i
úlo,r.--
- r .#:
-
\23s.
6,4'-12,002
--
Band 5-5'. Simétrica con cartelas rectas, siendo z-0r098 m¡ga
q= 42,t/ú.
Según
tabla 1l a ü!i15,6,
es:
=
- r. += -
Térninos dc corga cn los ¡ados Segun (165a),
la
o'''rT'* t,246.
9+,85tm.
y \:0,9Á7; l- !2,0m;
--
6e,r5 rrn.
s.
Según (169), para nudos a los cuales coacurreñ b¿rras articuladas extremo opuesto, se tiene
= gJ¿4,s * w+,e,- fiw",r: sr.:'![t¡,r, = - 62,75 tm.
*
ur,ro
-
g4,B:ffio,na:
Ecuaciones nudalcs. Para nudo 4. al cual concurren barras empotradas la expresión general (167) es: dno gn
Para nudo
5 según (163)
y
empotradas en el
= r, _ 4*,*rr.
""t'*t'ro"
*2bn,rp, {
sro
-
(pr) .. .... ...
..
.
y articuladas en el extr€mo opuesto,
=
9t
6,77 9o
* +
6,77 95 15,50 95
qo- +
3,536,
ry' - 0, se tiene Mt,z:hqt*bq2*ú\a.
Pa¡a una ba¡ra con articulación em 9, la fórmula
Mrp:\"-
según (125)
9c, prígina 61, es:
*)r, *üt,,2- n wr''
La aplicación de estas fórmulas con el esquema de los coeficientes da: Mt,,: =(rr,ro 1,172= 13,86tm;
tr#)
r
=\tz,ts -ffi) 1J72 + 3.$,10 - #o,ru Mt.t,= (7,59 - 5,31) 7,172 - 94,85 = - 99,18 tm; Mt.r = 70,75 .7,172 + 6,77 .3,536 - * 35,84 tm; Ms,* =73,V¿.3,536 + 6,77 .1,772= { 57,16tm; Md.n,= 15,57 - 3,99) 3,536 62,75 = 57,!6tm. El diagrarna Mt.s
- f 4e,zrrltm;
de momentos está representado en la figura 382. Con el fin de compararlos, en la figura 383, se representó el diagrama obtenido para la misma estructura sin carte ias.
de nlon)cfrl0s
rá r-
á ;É
Fig. 382. I)iagrama de momentos flecto¡es del pórtico co¿ cartelas
F{ f{ Itl
tÉ
-
61,5462,75
or+
tF?
0.
*|br,¡v¡ { r, = 0.
32,07
1,172;
Parcs cxtremos. Para una barra 1-2 sin articulación, cuando
Ot+
Con las anteriores y el esquema de los coeficientes, se plantean las sig"uientes ecuaciones:
(ps)
p¿: *
18
ñ
61,54tm;
es:
dnpn
á É
F
expresión Scne.rall: s, =.x sl,,¿
rro
Resolr¡ie¡do se obtiene:
¡-
o.
a-
r Süa.r
Ejemplo numérico
O,
=0.
É á É É É_
III. ESTRUCTURAS DDSPLAZAtsLES Ejemplo numérico 18 (comparar también con Nq 8) Pórtico de tribuna c-on pies de columnas rígidamenre empotraclas (fig.3tt,t). se tiene 9t: e2: ps:0; por consiguiente, deberán determinarse simirltirne,,mente como incógnítas cinco ángulos de rotaciones de los nudos E¿, pr. s.. P¡, 9a y dos desplazamientos relativos a, y arr. Longituces y dimensiones dc las seccionés, ver figura 384. En el cálculo deberán considerarie las barras disimú.-
tricas inclinadas 4-5, 5-6 y 7-8 con cartelas rectas, como también los rí¡Jidos en el extremo superior de las columnas 2-5 y 5-7. Deberán considerarse dos estados de carga:
a) Carga vertical (fig. b) Viento (fig.385b).
s(.FÍrnr.r¡t()r
l{ fFf FrD fFD
385 a).
Los valores a, b, a del cuadro 18 ¡e calculan de la sigu.ieote mane¡a: Según (147)
1000 J1000, ar- --j3. ar; n - -:::::.s-.
Frr
ar;
sr:gírn (122)
f;l
* b; cr- ap * b; g.OO 6,00 +;4----i
cr=
a1
o
a;t
----j--jsü-
:= rt
f\ qs5
tFr
I J
4.60 ___¿_525 -4.s0 -_*.jE,05
5d30 5d30 *6b - ' -atD
#
¿
o@
Fts.
386
@
a. CB¡g¡ vart¡crl
'{oÉQ'
'ó €'o
44É0
S00
-*.1
Fig. 884. ?im¿nsione de Ia etroetura. Cuadro de las tonttant¿s de barro 18
I*4 3-*8
,t--6 : -{i it"^'¡ {i-- I
'l-8
l---4
|
orrt.'r
J"inr¡
ülbt
J¿(D')
46146
0"003{2
46146
46i60
0,00460 0,00624
46166 4s160
30/30 46165 ,¿6/ó0
0,oo8t0 0,008I0 0,0006?6 o,o0s24 0,00460
o
r,000
0,08
0
o
t,000
6--0 5--7
0,316 0"9s3 0,0?o
0,125
?*8
o
0 r,000
0,608
0,126
2-6
3-B
4*6
$8
0,1 26
Fr
Grr
dD)
to(u)
0,00342
4,00
co
B,OO
o o,s6
0 0,06
0,00624 o,06480 0,08480
9,@
l,70
o
1,000
0,316 0,2s3 0,070
0,126
"-*
I
45/60
;a
Fl FO F! FI
45150
'u,"*
ftIF¡ ¡Fl .FD
Frr
1,70
l- s,ob
aÉ)
46lo
46166
L5lr20 46lLzA
46la
46166 461100
414
| 4i4
6,r5
{,26
I
0,00024 0,03?60
2
2,66 2
8,661 4.?5 8,201 4,70 5,36
6
4,27
2
5,03
4o@ 8,Og
9,12 4,02 2,77
9,42 3,33 2,77
7,76 0,464 6,24 8,80
4,46
g,8l t3,02 3,88 2,84
6,38 8,66 ?,80
?,
l6
6,24 ¿,go
o
2,60 0,66 0 4,80
l,7
t
1,99
r,39 6,74 s.48
t,(no o
0.t26 o
0
1,000
0.698
o,¡26
1,285 1,286 1,002 0,887
o,!,
of,
6¿
6s 6s
o,228 0,089 0.07?
6a
3,¡2 2,9{
6a
2,34
2"94
c!
;f F,
Ejemplo numérico
rcgún (178) para una ba¡ra de longitud
ed
W
/u
et=,,t-=ftU, %_t-=_k#. y ?¿"¡ól,o deben hallarse para .lar coluanas, lol "rl"* 4rotacione¡. re producen 8n el esquema de los coeficientes, figura han rido consignadas las concta¡tes a1t ú2t á, como386, también los valores 4 y %, (entre parcntesl).
paes en
la¡
demós
ba¡r¡¡
Tl¡minos diagonales d y D. Segrún
(lfr.) on
¡e
=4
on't
obtiene
do:3,42 + 7,15 d6- 4,02 + 13,09 + 7,76 + d6- 2,77 + 4,45 + 6,24 d7-0,464+ g,30 dr=6,24 + 9,96
[/ab"s
0,37
-
da 6
10,57; 25,77; 13,46;
9,76; 9,20.
Según (181), la expresión general p¿ra un piso p
es:
ou:Plru"*r"r, por tanto, para el piso
bajo
2'!e85
s.o,6s Dr- 4'0- +-l,o0sjl9,saz +, -- sp----6py para el piso alto
ñ _ 0,099+0,077 "'r -----T¡b--- a)
Términos de carga fl1.
"iln"ic¿ ^=líit,1tt:f,,i Carga: q-7,0t/m. Según tabla
ga
2.2.34
4ir---
=
1'060
1,191.
Cargas verticales (fig. 3g5 a)
con cartela recta en er exrremo derecho, siendo a =g,rLS
y
es:
- r" += - 0,75.',';A' - - to,gztm; sfr., - * *r. 3L- + f,59 . 7,0:5,02 = {pa,D,,. $l¡,o=
t{
FT F' FI ;t FT ttl G) ;f
1g
,71 u,f,l.-u,.t.a
con cartela recta en el ext¡emo izquierdo, siendo
^=o!,n?r1i Carga: q=7,Ot/m. Según tabla
ga
z -0,1e5 y
es:
n!,
lDi¡.6=
- "r.
$?o.r=
*r.#=
\ = 03i;: tll ,.|}u"utttta Carga: q 4,A t/m. =-
=-
1,56
.
7,0.8,02
- -
f o,z6.r,oífL-
58,3tm;
+28,4
con cartrla recta en el extremo izquierdo, siendo n
-
0,125
y
222
É
¡a
Esüucturas desplazables Según tabla
9a
es:
nnif*
!h,e:
-\.#=-r,64 u[,7: +*r.+= f ezr. .rifo Mom¿¡to
ct
ü{ É
=*35ptm;
t{¡
=+15,16,,.
eÉ
l¿ mé¡súo:
er-
Mt.*=l+gq - + le,otn Té¡mi¡os dc cargd cn
los
.n¿dos
ü:+ ft !4
s.
Scsf¡n (165)
r¡:?&'t*)M* ¡cobtiene * lQ@ tm; r? = r.: r¡=*23,2-58,3=-35,1 ,,i 18=
+
79,0
-+
- Actuando eólo cargar verticaler, sc a¡rulan todos cioncs de derplazamientor b)
u: Tátmi¡os dc ca¡ga th Ba¡ra 74. Sin cartelas;
sh
,1:
9l¡¡ =
lo¡ té¡mi¡os dc carga,s de las ecua-
Yicnto
t/m (fig. 385 b).
l,O5
l=4,0m; q-
-
- +=
32,0 tm;
+15,16,,.
+ 28,4 ,, i
16-
l,
35,0
l,O5
t/m, por
t*rin*
--
fÉ
tanto,
c:a
r,,r0 rm;
+ t,4o ,, .
= Q3l6;
Corgo: q=1,ú5t/m. ScSún t¿bla 9a cs:
- k. #
=
Itt'.a= +
54. Disimét¡ica l,: 0,293; l'= 3,0 m, Ba¡ta
=-
o,ts.'nurin'* =
*r-#= { r,5e l\#-
-
0,26
+
o,5o ,,
.
Or79.5
y
=
se5 =
. t'ou.iu'* =
- *r.4-= -
t,5o
* r.#-
0,26.
+
-
1,23
tm;
1g#g= * Offi ..
l-4,0m; 9= l,Oít/m, por tanto, como para la ba¡ra i-,f Slc.s = - l,4O tm; $ils,o: f 1,4O tm. Batra 7-8. Disimétrica con cartela recta en cl extremo izquícrdo, pero cargada desde abajo; n-0,125 y I-Q598; l'=0,8mi q=1,05¡/m. Bana 6-8. Sin cartelas;
Segrln tabla
9a
es:
&,s= + rr' 3-L= !frte,z
=
*
Mz.*: - l'05'0'6, -- 2 Tlrminos dc carga cn los tudos
ts
{ 1,64' 1'05#'8' - } o,o9tm;
r..#= - o,lt. t't;ntt = - o@,.
r+
a¡lP
.+
c?
ff
e* .*
rÉ
'q*
o,rgtm.
s.
Según (165)
,n:?Wt,,i*2M¡ ¡e obticne
- O,?Á: $ 1r1,l tm; r? = - 0,19 + 0,09= * 0,10tm; - 7,93- - 0167,, i rs: * 1,4O - 0,0,1= 1 1,36,, . 0,60 - 1,{O: - 0,80 ,, ; dc carga J de las ecuacione¡ de desplazaaientos. =* =* re = *
Té¡minos
r+
7,4O
rs
0,56
Considerando que en el presentc caso P
la (182) toma la forma simplificada
=
0 y que para columnas cargadas 'sür=
-
E¡u,
sp=Ec*XQI; por tanto, para el piso bajo S¡
y
pa^ra
el piso
=
*
* 19?.J,0 = f
13,02t
a J'os-' to-
3,s7 r.
1,05. 10,40
alto
s¡¡: *
1,05 . t,4o
-
+
Plant¿o de las ecuaciones Ecuacion¿s ¡udalcs segin (177):
dogo * 7 bn,t g¿ * óo,t, Atr* ér,p*, Ap*1 *
.tn
=
0.
Ecracioncs dc des¡lazanicafo según (180):
f,é"v"
*
?u"
po
*
Dpap
*
Su
=
0.
Aplicando reiteradamente estas ecuaciones y con el esquema de los coeficientcs, figrr. ra 38Q se puede proceder al planteo de la matriz de los coficientes 18. Los dos e¡tad<¡¡ elc carga sólo se diferencian por las última¡ columnas de este cuadro.
Matriz dc los coclicientes
É
f+
Carga: q-1,ú5t/m, Segrin tabla 9a es: !fd,6
a;Q
art arF trF
tm;
con cartela recta en el extrcmo izquiado, ¡icndo a -
e{
223
18
Momc¡to en la mé¡sula:
fr)
Bana 4-5. Disimét¡ica con cartcla recta cn el cxtremo dcrccho, siendo ¡ =Orl?,5 y I'- 2,0m.
!tr1¡,0
É É É É É
Ejemplo numérico
9¡ 9t
+
10.6?
e:.
+
ó.?r
9t
+ G?{ + 26,r?
+ 3,rE + o.22E
lt 9¡ 9¿
dt ¿D
+
t,285
+
r,002
+
o,o77
q.
9t
+
B,4E
+
13,40
+
3,12
+ +
0,{62
+
0.228
+ +
E,?0
2,94
9¡
18
ltr
aa
d(.r
dr.,
+ 1.2E6 - t0,92 + l,¡ + t,ooz + o,o?? -36.r - 0.0? + &12 + o,e8z + 9,34ú + ¿E,r - o.to + z,ea + o.o88 + E?,O * o,¡0 + 9"20 + 2,8{0 + 16,10 + I,E0 + 1,000 + 18,0t
+ r,l0l
2,340 + 0,OE0 +
Resolviendo se obtiene:
a) Para carga verticat
18tol
¡
9a=-0,079; v6=-4,456; A, -{ 0,148; 95: 19,014'; 9r= -3,568; Arr- + 13,821. es - - 9,510;
+--l¡.or
29,+
e-
r{t
Estructuras desplazables
b) Para viento 18tar¡ A¡ = v+- * l'755; 96= !2,0&; Arr- 9u- -0,O08; 9z:-0,636; os= ! 2959;
Pat¿s ¿xt¡cmos.
Según (179)
Con la antcrior
la
y el
Mt,+= + 0,05 tm Mz.¡= + 4,14 ,, Ma.a=
á 15,ü37; 11,389.
-
6,12 ,,
Mt.r= - 0,08 ,, Mt.;= + 0,08 ,,
¡e
obtiene:
¿) Pora cargs Yertical Mt¡: Ma.+= $ 48,97 tm
Mtp= + 895 ,, M,a= - 58,18 ,, Ms.z= + 0,99 ,, Ma.¡= + 15,58 ,, Me'= - 19,27 ,, Ma,e= - 3130 ,,
14
0,00 tm
Mt.e: - 7l,Eg ,, Ma,t=- 2,77,, Ms.s= + 2,77 ,,
r{
trr
a) Carga vertical (fig. 390) y b) Viento (fig. 391).
Para el estado de carga simétrico deben hallarse dos incógnitas, a saber: er ! rpo. Para determinar los pares extremos en la estructüra del caso que nos ocupa, el estado de carga b puede reemplazarse por el antimétrico de la figura 304 (ver pág. 35), para el cual deben calcularse simultáneamente cuat¡o incógnitas,
a saber: 9$ 95, 9e, A.
e.4
a a ñ
@
ffi Fis.
zAm
2100
?q00
ls,ool
r4
Diagrama de momentos, vcr figura 387.
w5
19
Dcberán considerarse dos estados de carga:
r4)
FrG
expresión gencral pa¡a rura ba¡ra 1-9 es:
Mtz=a1 91 * bW* ctA*&¿. esquema de los coeficicater, figura 386,
Ejcnplo ¡umérico
la et¡uetur8. TrsmoB rlgidos en de las columna¡ centrals: 0,80 m.
8E9. Dimeasions de
á á á á
t-r rrr (4
lm
extremoe supeúore
Fie. 390. C¿¡ga vertic¡l.
71D
ít
ffi
o@@ sgz. Di¡grama d€ momeDtoa
l¡¡ car¡x vertielc.
F'
fleto¡a
o@@ de
Fis. 888. Diagr¡m¡ dc momentoa parr el vlento dc l¿ izquierde.
b) Par¡ viento Mt.E= - 18,04,tm Ms,t= f 10,53tm Ma.s= + q66tm Mz,s: * 13158 ,, Mr,z- - 75135 ,, M6,s- - 7,& ,, Ma3= * 4rD ,, M6.6 - + 5r8l ,, Mo.g= - 8r2Á ,, Mt1= - 1924 ,, Mo3 - - 1,03 ,, M7*= - 7,31 ,, Mt,s= + 12,24 ,, Ms'- + 4,78 ,, Mi,E= ! l,*5 ,, . Ma,a= - 4178 , Ejemplo numérico 19 (comparar también con Ne 10) Pórtico simétrico de hang¿r de cuatro naves con apoyos articulados. Lony dimensiones de las secciones, ver figura 389. En el cálculo deberán <:r¡nsiderarse las cartelas parabólicas de las ügas, como también los segmentos ríliitlos en el extremo superior de las columnas. gitudes
?t{a á
Fi€:. 891.
t;a r--
,-
r;a á s1
á á á á
Preión del viento.
Cuadro de las conslantes de barra 19
t(.)
D/¡(ca)
l---4
2-6 3-6 L-6
H
0,0o763 0,00703 0,00763 0,02917
66166 66166
65/6ó
35/r0o
o,ossu
36/r0o
66/65
€
8,0 q,8
oo
t2,o
0 o,go 0,80
0,45573 0,45573
20,0
6,fro
26,O
6,26
0,00763
65/ oo
ó61
361250 351260
o
I,0(¡()
0,08 o,o{t 0,30 o,26
(,
0 0,08¡l O,O0¡l
B¡nc
l---4
2-6 3-6 4-5 5-6
o
I r,ooo 0,08 | o o,od a 0,30 | 0,064
I
4,00 6,50 6,20 7,órl 8,35
4,00 4,35 4,30
| 2,00 | 2,74 i 2,62
{,64 I
3,48
8,35 I 5,63
3,82 4,28 3,31 t
3,92 3.39 2,74
r.06
o,a I
9,74
9,71
t,9I o,?r6lo,?ro
g,l3 1,6?
6,08 8,67
0,6aí I 0,663 0,416 j 0,368
-l -l
6¡r 6¿
6a
8s
%
Orf-
Estructuras dcsplazables
Lo¡ valore¡ a, b, é dcl cuadro 19 ¡c obticncn de la siguiente ScsúD (1+7)
ar:
qtu
(lee)
J- aú q- 1000.rff,.o,; -j3. 1000
ct=or* b; cr=q*
b
1000
!-
manera:
¡-
r-
=.-:=fL.b;
b:
legúD (178) para una ba¡ra de longitud l* -
vr
C¡ _ -__, 'lt
C^
2_ T-
Sólo deben calcula¡rc los valores 4 y %.d? las columnas, puer ea las vigas no !e prduccn ¡otaciones- Debido a la poca infliencii que tiene .tr .ti. cáso la aendlente de tas ba¡rnr inclinádas, se adopto para las longitudes los valo¡L¡ redondead* ¡i-s:- 90,0 y 15-6 - 25,0 m.
a) Carga verticsl (fig.
-
390)
Las constantes o1, a2, b que figuran cn cl cuadro anterior, estáa consignadas, de acucrdo c¡n
la necesidad, en el (fts. 392).
Fig, 892. Eequema de lo¡ coeficiate.
esquema
de los coeficicntc¡
es:
dn=\aai' d4- 3,82 + 6,77 * 10,59, du= 11,O6 + 9,74 + 4,28 articuladas, se aplica la (168)
luego Co¡sidera¡do la¡ bar¡as
doo
por
tantor doo
-
- #-
10,59
-#=?3,2+. 0,d64
-,"+- -a,76-3é#-- 88,ztm; flts,= * *r# - + 1,55:é#- + 180,8 ,, .
S;:¡ro 5-d. Simétrica con cafielas paraMlicas, siendo z
- ,. 3,5 t/m.
,fi5.6
=
- 0,0fi. y I - 0,25; l' =eS,On;
es:
- "# - *
7,zol
:é#
=
-
zzo,ot,o; ülo,s
-
a
220,0tm.
Momcnto cn Ia ménsula.
M.--QP--j5'6'o' ítJr= * -Z = + --L-
*
¿13,8tm.
Términos dc carga ct los ¡udos 9. Estando todas las barras articuladas descar.qadas, según (169) o bien (165) se tiene:
por
t¿nto,
r.o=rr=?tr",,*XMr;
sno=rn.- r"o = r. - +
+ 43,8: - 44,9tm, 180,8 - 220,0 - - 39,2,,. 88,7
tr¡ JA
Frt
flta,5=
a
*a=4p74; 96= +
0, se
Según fórmula
-
obtien¿:
tendrá para las vigas segúa (195)
M'¿: het *
9d, pígina 61,
b
Ez* fl\¿.
se tendrá para las colum¡as:
Mt,z=(" -
+)-,
Por coasiguiente:
Mr'-(u,az M.,"
-
- #)rrro
6,77 .4,274
ur,r:(+,za
+
- #)
Ms,E=
11,06 .0,737
M s,a
9,74 . 0,737
= M a,,u =
0,737.
6,57 . 0,737
5,0g . 0,737
+
gg,7
- r
o,ru
+
-
_
- + lzptrl -- 56,0.
5,08 .4',974
99n,0 ?9.0,0
oo
-r-
t,
+ 180,8 = + 210,0 ,, 1 _ 212,9 ,, - + 224,8 ,,
"
71D
Según tabla 10a es:
1?,
JI-
!c
(F
l'=20,0; q=3,5t/m.
Según tatrla
fa
Jla
Tlrminos dc cbrga fll Barrd 4-5. Disimétrica con cartela parabólica en el extremo derrcho, siendo n =
y I:0,30;
,Fa t-
Rc¡olvicndo
á
d¡o-95,08
9,63;
J-
Pa¡c¡ c*t¡cmo¡. Sieodo ,y':
r{
;rD
= dn- 2&"-, s 4s''
cs:
9.*2bn,,9, * ¡J = 0.
doo
Coa écta ¡e obtienen las dos ecuariones en los nudos 4 y 5: (pr) ... '.. 9,63 e* -l- 5,08 9s- 44,9:O, (po) ..'... 5,08 et * 23,74eo 39P:0.
J25,08.
Ecaub¡¿s ¡tdala. Scgliu (167), la exprerión geacral
8f
19
Já f4 J-
e-
Términos diagonalcs do. Según (1&1),
&jemplo numérico
É á á
7a á á
clD
É ..-
FT
á
Fig. 893. Diagrama de mmentos fletore con y ein influenci¡ de ertets.
La figura 393 muestra el correspondiente diagrama de momentos. Con el fin de compararlos, se dibujaron en la misma fi.gura, con línea cortatla, l,r momcntos del pórtico ¡n cartelas (ver ejemplo numérico l0).
b) Viento (fig.
39a) (Caso de antimetría)
Los valores ap a2, b, como también óo, cu (entrc paréntesis) hallados en ¡l <.¡¡rdr. de las constantes de barra, están consignados en ei esquema de los coeficientes (fig. lfrr) Como en el pre sentr caso se considera ia mitad de la estructura, análogo a )a f ig,r v&-?0t
^ Yr¿"050t -r:! \9,| o
lo
"o
@u,lz
s'
Fig. 394. Ca¡sa antimétrica.
ra 98, sólo deberá tenerse en cuenta para la columna central la mitad
|J=
g,jl
Estructr¡ras desplazables
Tá¡mi¡os diagonales d y D. Del estado de carga a pueden adoptarse sin variantes: d*o
= $63;
¿60
23,74.
-
el esquema de lor y ..94" llOe¡ o U;.r, 1tO+¡'
duo se obtiene con
9l
cüntes
duo
:
1,66
+
g,74,
Según (204,)
-
-o
no
_
2.0,716-
8,0
,
+ 0,563
9,8
O,'2IB
ol2:
-
;2
-
1,37
0,5632
t,39
0,083'r'
Término d,a carga de la ecuación dc desllazamiento. Según (206) para la carga actuaRte:
=XP-
.9o
2,0
+
0,75
+
-
0,5
3,25 t.
doú gn
* 2 bn,, p, *
con,sA
{
sro
=
X
En ésta, según {199)
?no
9n
+
Do A
-.'1t-
Stt
-
=Go|
=
óo
- -!- 't,
o,zrr, - ?]'fl-. al
0,358,
lor,,z --0,654
-#
c0..s .
- +. tj)t
l
l+n ios
, =0.716 '
v;r.lores obtenidos se
=
0,208
0,d63
=
o,3oo,
0,18-1
=
0.095.
Mat¡iz de los coelicientes
9t
9t
9a
9,63
6,08
Pt
6,08
2!,74
0,67
0,300
0,67
10.88
0,095
9c
Á
0.368
0,300
0,0934
B
1,671
: *¡: { 0,148: 9c: *
1,5 b vo
lF? ;fF
M,-,,u= t!,0G. 0,148 + 5,08 . 1,671 Ms,q= 9,74.0,148 + 6,57 . 0,3914
FrF
Ma,z=(,,00
t¡{
Mt:,.r:
:
= (+,es -
0,148
K)
-
- ffi\o,ez*-
g,T4 .0,3214
+
3,26
J,- -
y c,,' n.,
+ a,5io a).
Me"¡
te'06'lm'
- i¿1;r?tu' ) o,,*:
( o,os*
- f - f =f
ir,6fi tm,
10,13 trn, 3055
tm,
- -t+Lr#-) *t,uo= - {,1(i t,,r,
( o,tor
6,sT . c,14d
--
4,10 tm.
I,a figura 396 rnriest¡a el co¡respondiente diagrama de n:orncntc's para todu i;r rstrrr¿ tura. Por consigrrirnte, rn la columna crntral aparece e! rnomentc' rVu,r; * Ll .'l,l{l
: -
B,2tm.
4'r0\ l/q?O 1q& tQtS;¡g,rJ.68
g,,a &@ H &@
t
5,ss\
"-
t0,15
,ls,68
#.@ 8p
Fig. 396. Dlegrama de momertos flectores para el vimto de is izquierda.
Eje¡nplo numérico 20 icomparar también con lüe 13) Estructura con desplazamientos verticales ecn planta alta re{irad:r (fir.397). f)ebicio al errpotramiento rígido de los nurios 1.2.6" !:). ,¡, . e:, :'+o: pn:0, po, ..rnr¡q,.riente. en tJtal cleben detelrninarsr sirnultánr:¡rrr.rrrr seis inc
1g
cl{
0,32'14:
t-.
,
La resoiución de las ecuaciones da:
9o: f
%
É-'---*---9'ffi-e-.-,.',|j,.:.::::.'.:"':,"l;:.í'l.,,]'..J'l,. ;]-*-|ffiTcor'scccionesr'ariab1c:,Esllrll;r F r'zo , {i,bl* -{ifó* . ..s ,.,"' ",',rri.l:;. ,#,r !j g lllovoo lil*^' i g t'f
0,358
0,095
-
%lyor-\-o
;!F
-
19
¿
.-o:\-"-
f,:::7',:,1;l'i);,''il,;i;i;,L'.-ffi;
Ff? É FIF -
puedc plantear Ia matriz dc los cocficientes
9t
F
FF
O 8¿t
b vz.
la fórmula 9b, plgina 61, re tendrá para las columnas:
la forma Mo:
FrF
luego iou
Según
FID
0,
es: Eon,s
Mt:z= argy*
FIF
Ecuación de desplazamiento seg,in (2A2) :
re tendrá para las vigas según {195):
t-
FF
0.
g-0 y $t:0,
Siendo
tomando
}t+ =
(F{¡.
Ecuaciones nudales según (198):
t¿¿(t
Pancs cxtr¿mo.r.
.rr*-v,
FF
Planteo de las ecuaciones
90
(En columnas con.y'=ctc. csta expresión se simplifica, pues ¿o:au:Zb
- z-;:
+ 0,1g4 0,71e 12,0 3,8¿
,
EjemPlo numérico
1g,3g.
POr tanto,
lc coeficiat¿g,
0,65.t
-
es:
Do:X j{e"+e"t FiS, 895. Esquems de
Jt
cocfi-
}¡f añ et+| JÉt+f
47,04.
t-
ra
l_lll o i-
lll
i
5,r" -:i. @ 5.zo *i
Fic. 3!i. trrimensione da la estructura.
j
*
*
Fis. 896. Est¿¡lo de ca¡sa,
9n
E¡tructuras dcsplazables
$a7-8,que p¡esenta una cartela recta a todo su (^ : +: r). n" el apoyo "rr: izquierdo b/h:40/44 (c*), y. en el derecho 40/\00 (cm), p6r tanro ul": :0,00213 aa, f o:0,03333 m4 y n: En¡ando en la tabla 5 a con ). : 1,0 y ú:.0,064, se obriene:
+: +ffi*:0,0&t.
11
:32,6; *¿=8,9; ó:8,05, oe :4 y b :9.
para las demás barras or : . Los valores siguiente ma¡¡era:
c, á, c del cuadro de las
codsta¡¡tes
de ba¡ra 90 se obtienen de la
Según (147)
.a2; b= tTt"
,.-J9PJ" .ati az cr=a1*b;
FF F{t ¡4
cr=a2lb"
(178) pa¡a una ba¡ra de longitud Iu: r",-"
l;
^ -c2 -4*b ,u "r:Tí-=
-at*b --|.-,
IFF !É tÉF
Cuadro de las consta¡tcs d¿ bana 20
r-3.
¿-6
4c/ito
o.0o2{o s.oo
3--4
36160
0.{D630'r u.r Ju x¡¡ru I rr t,?O
{--6
36/S0
6--8
s5/so
+*7
30/$o
5-8
*0/30
?*g
4Qrcq
8-.--$t
*o/l
I
¡t
a
z
3.20
3,8o
*
e
2
I
14.82
l{.t2
2
a
2
6.63 ?,88
t
z
t,oo
4
2
t
o.0o6so I 3.8o
o.fi)ffi0
4 13.20 o.ooos?6! 2-?o a ¡l o.sooeCI s,7o | 0.00213 ¡ 3,8o 32,s
o.osssa | 3.2{,
4
q
2
constantes d1, az, b, como también co, en el esquema de los coeficientes (fig" 399).
-Las
{e6l8}
I*t
óq
6 -volorrs
o
@
á"3? {t6fr.}
r3,o76
0.68 ?.88
3,32
'j,'
2.6r8
t.oo
o.60
'!*
p¡gr $t'
3.S4
xy
consignados
C,
Según (225), la expresión gcneral del desplanto \.ert;cal de un nudo ( n ) ntre los tramos (z) y (z{1) es:
zamie
e
-en _; un,v*1 -
luego,
s:r€
y\: + *7:
2,618
en,r,
*
13,$70
* * +
mo
(r)
10,458;
Fis. 399. Esquema de los coeficientc"
9,397.
la expresión general de un tra- 1) y rn cs: *r,"^'^ t, a,.: !L-''!
entre dos series de nudos (rz
@
?
;rF fr¡
c+
FrF
7rr
7r?
",=Lffi*
r5,J83;
Crr
Seg:rún
f-
f-
rra
2,397
+
5,995
3,8
-
3,586
dn=1on,¡
v
reemprazando varores
j;'='il:;;""r1": ;:ff:"'":,': ;[;:''
dz - 5,6J d +.- 22,45 : la exprrsión general para una serie despiazabl: dc nudos (lr) ;
SeSún (230),
lostramos(v)y(vfl)esr o
sea para
r, _r
la serie de nudos D
:
rrrtrr
L
(4-7)
C,
* C, =
15,383 -+ 3,586
=
i8,969.
Términos de carga fi1. Pa¡a barras sln cartelas, los tármincs lli pueelen adoptarse del ejemplt' rir¡¡¡r¿rrr,, I pues alli se calculó con la misma carga. Es decir: Sir.,r -- *- 3,58 tm; St.s.¿ : - 1,01 tm; !.)ir.¡ - .1- 3,58 ., ; .Si¡.3 -- + 1,01 ,,
: - 5,05 ,, i Si:.,¿- + 5,05,, ; S¿.,1
Ü¿B.c
- -- 7'"¿7 -,
n=0,0ff, I-1; i =3,8m. Carga: qr- 2,4tin; c-argtr concentradas P. :3,ii t y r,]¿-:0,29 respectivamente, tomados del "J _ =-2]!--0.63 3,8 J,B
l:r b;Lrra, si<'rrrl,,
= 3,i t en los ¡lr)t(rt ladc de la r:arr¡l;r. P¡¡
Sr hallan separadanirntc ias influe ncias de las ca.rgas, rumándola.s lucqoSegún tabl;, 9a es. qlz :.+ , i.8: .9Jir.¡'u,r = .. y-,. = 0,if0. -.i: .-= - 1.56t'r:
i:
Jl^
2t1'1'8'- + = * xr i:'-= + l'61; 'tr')
1'6q "
Oon el nr:mograma 13 a se obtienc:
= - rl, . P . I * - 0,078, J,6. 3.E :-: -' 1,07trrr. !'t*.r(""' = * r'lr' P. I= + 0,180. 3'6. 3.8 -- * 2"46,, Yli7,"{r'j) * *rir.P.l-* *0'020 3,i.1.8= - 0'28 ,. .St¡.7(¡,) : * tr . P . l -- + 0,198 . 3,? . 1,,9 : r 2,78 ,, Dt7.g(ro)
: :
.
Surnando sc obtienc:
Términos
d¿ co.t'gü
Según
(165
en
ffi.a = * 1,56 llls.i = +'1,69 + It¡s nudos
a)
1.07 2,4'6
0,¿B = * 2,91 rm1 +'2,78: + 9,93 ,,
-
.
s.
. : \'!)? d --I,¡
"n
se obtiene
.r¿: *
r¡= *
1,01 5,05
-
5.05 3,58
- l,0l tnr; =- 4.04,, - +'1,47,, ;
:
1
,
:ll¿!r.E- + 6,fI,, . Ba¡ra 7-8, Disirnétrica con cartela recta en el extremo derecho de
É
ara
+
2 .2,618
(1Al)
É
7lI
=
Tá¡mi¡osdiagonaldyD.
rt
É
por tanto para el tramo (I):
Ejemplo numérico 20
para el tramo (II):
f{¡
Gí'^
Según (229),
pü¡Éntssig
tat
o
.41
éu (entre paréntesis), están
Copficientcs
O
f{¡
1.60 7
r.33 1.33 o.{t? t8,2? {,60 4,51 {1.68 {1"66 ,o_83
8.2 I,06
F ;+ F l+
t+
.u.
Según (122) Seg:ún
ll frr"¡ ¡4 ll Or+ ¡!+ ft+
j:= - 2,f)l trrr r¡ = -i- q,q3 * 7,3i = -r' 2,5ii .,
9;32
Término dc carga S dc l¿ ccuación dc dcsplu,amicato. Seg:un (S32) la expresióa gcrcral pa¡a una ¡erie de nudos ^Tñ
era o{r ar-
Estructura¡ despl.-"hles
--> -? P
ü,'
- **
0[¡,*r
-*
],*'
+ E],') +
(rn
)
f
es:
> tml,*r
Esta expresióo sólo se distingue n¡rméricamente por su último términ"
+üh,B), de la aplicada en el ejemplo numérico 13. Se
.s-
- ¿s5 -
5,60
obtiene
- i¿;L - -4#!- - -'9'4;,8 9'93 +' -2'91-t 3,8
:
+f{ -
* [ut',*r). (üh,, *
*
3'7-:1'1-
á",t et f cry 0¿-1 * xr6- ¿n,rt\E-*1 f s, :
pm*t
9t'l*¡lP.
! Dz 6r¡ + S- --
sustentados
2,9t
fÉ á
ii?,":: ,fln"i?3].:
z.6t¡
0.
+ +
9¡
t8"o2
-¡
7"4I
?,41
+
xg,4s
+
3,32
+ +
3,32
+
18,04
o.6t)
9.
q: ll
-
¡e,ozo
-
+
o.ó{)
+ + 4,61 + 9,39? ü,00
t0,458
Resolvirndo se obtit ne
B
n
91
t3"0?6
9a
¿
20
9¡
+ +
o"E?
2,6¡8
+ +
0.6?
+
61,28
+
4.5¡
6,S95
* 10"4s8 + 2.618 + 2-397
+
+
ó"99ó
+
+
18,96$
4,04 1.4?
2,6.76
:
v3: f 2,631 gr=ff,i3b
9¡=
*
0,939: 1,2D7
9¡ = 6=
:.
( 125 r, la
6., cuando por (3) se rermplaza
Mt'= a1 91 t M:.t :a, e..: * ru
*
c1 (¿r
*
jr - 3'' - ) cr:c' ,r' = ¡
+ fr + e3 (6r - 6"i *
á 93 ó
6x)
t)ir.-, lDt,:.r.
t{ t{ f-
tra
expresión eeneral para una ba¡ra 1-2 con desplazalnientos dt. los
extremos de ba¡ra ór ¡-
ar' Grr crt á
- 0,375 + 4,419
Pares exlternos.
Según
Mz,t= +
=-
0,4,1 tm 0,44 u
MB'= - 1,73 ,, MaJ- +gÁ,,12 ,, Mr,g= - 22,*) ,, Mo.s = - 1,63 ,, .
han sido representados
en
escala.
;a ar{
a{¡ tÉt fEl trt O. tñr
Con ia anterior y el esquema de los cotficientes, figura 399, puede plantearse la matriz de Ios coeficientes ?J. Matriz de los caclicicntcs
Mt,+
1,50 10,98
f-
0.
Ecuación de dcsplazamiazto según (228), con una simplificación, pues al anula¡sc los desplazarnientos 6--1 y 6-n, de las scries de nudos vccinos, .ro .. .orrid"ran los térrnin
* X 0n-r,a 9n-r * 2** qr, * X ó-*r,-
En la figura 4O0 los momentos
tm ,, ', 3,00 ,, A,12 u
15,49
frl
Ecuaciones nud,al¿s según (223):
!
Me,t: { M5,6 Mu2 ,u5- Ms,e=
É1
Planteo de las ecuaciones
dnQ, *
4,,27 tm Mr,"- - 7,50 ,, Ms1= + 8,42 ,, fule3: - 8,+2 ,, Mt.z= - 14,51 ,, Mt.z- + 0,93,, Mq,¡= + f3,58 ,,
Mt* = !
e!{ arD
-zs,7st.
2Jl
21
Utilizando el esquerna de los coeficientes, figura 399, se obtienen los sig"uientes pa¡er extrcn¡or
¡{ ;-
¡{ ¡{ .-
+
Ejemplo numérico
cs:
;-
f-
;a oa
Fig. 400. Diagrams de momcntos f.letores.
Ejemplo numérieo 2l
Pórtico de puente de tres tramos asimétrico con extremos
librc¡rrr'¡¡r,
y dos columnas intermedias (fig.401 ). Los pies de las columnas esliin rígidamente empotradol ,+s7ss ,120 @ r ¡le5 ,4sle5 195, ¡ 6) r,zo , .4t,itu Por tanto, 9t : 9: :0. Se determinarán los momengbo a,oo tos debidos u tu .urgu'f";- @i 8- i zso.lif -.1 -j g5o lll. r Pares extrem os M a,s y
M
f: i '----+:u' qs, i
teniendo en cuenta a efectos de cálculo, las cartelas
rectas
de las barras 3-4-
|--
,tro
i-
Fic'
.
?600
llt6
v)),2;----rqgo
--_*j*_l8 €tructur&
'101' Dimensione de
4,:5, 5-6 y los tramos rígidos en los exrrernos superiores de las columnas 1-4 ,t 2-5. Según Io tratado en la primera parte. sección -t tercera, III, estos dos problemas deberán resoh.erse simultáneamente. Cuindo se apiique a esrri.rcturas articuladas el procedimiento r:ipiicado en la p.igiFig 102. Estado de car|tas. na 82, sólo se deberán calculár sim¡,rltrinearncnt¿ como incógnitas. los do¡ ¿'rngulos dc rotación rle los nuclos qr. 9'; ei desplazanrit'rrto )'
relativo A de las colurnnas. valores a, b, é que figuran en el siguiente cuadro -Los
se calculan:
de
las constantes d¡ l¡.ur;r,
l¡l{)
FtF
Estructuras desplazables
234
Sesún (l.l7)
1000.r.ar; a2ar- --j-:-s-.
1000
Seg¡i¡
Scgún (178)
"=
-.
(19e)
rrc a{r tr{F t+
r- 02; b _::_.b 1000.t-
'donde, debido a las grardc¡ reccioncr, re eligión según (1.+6)
cr= a1-* b; c"= p"á .m" ba¡ra dc longitud l,
a2
*
#1.
b.
er--t; ér=? 'rt 'tt Los valores ó, y é, s6lo deben determinane para las columnas, pues en las demás barras g : 0
Cuadto d¿ las constantes dc ba¡¡a 21 Ja ,-7;
¡{ t-l
t--6 4-5 5-8
l-4 H t{ H H
{5/00
#leo d6ls6 úls6
46/r00
t6lo
0,02?3 0,0273 0,o328
aúlr0ó
o,o3t8
46/106
0,¡tE o,ro
o o
o,lt
0,!0
olt
0,t¡
Orft6
0,60
0,978r 0,878r o,2?8r
.6/106
o,08?6
a'u 6,0r lt,8t
6,00 12,62
12,t8
ll,eo
l,20 1,20
4r7 l.te
&00
4,81 9,21
2,68 1,60 9,48
{'96 +00
o O'1, o,¡2
0,60 0,36 0,60
0,00 0,(x)
18,00
o
0,139
o,l0
?'60
to,(x)
ll'02 3rao
7,16
0,00 12,00 16,00
G'
€
16lo
0,136
Id0
r,o3 0,368 0,270
6¡
Ir0?
o,07 1,03
6
r,or
1,69 1,03
o{,
0,:ro 6
I,l{
a
üo
0,90
En el esquema de los coeficientes, figura 403, figuran las constan:cs a* h, b y los valores E1 y cg (entre paréntesis
).
Términos diagonalcs do y D. Seeún (186) y (16,1) e:. Ftc.
y por dna
de
t103. Esquemc
t
g
-g,n
tanto:
-2,68+
1,59
Segtún (181)
+
zJT
- #-
5,6;
d5o
:e,48+
la expresión general para un piso (p)
1,59
+ 1¡9 -
ffi -
4,57.
es:
D=
0,356
+
9r0
Té¡minos dc carga. 1 . Carga permanente: g : 2,7 Términos de carga gl.
0,140
+
0,172
+ o,1fi 12,O
Frl FQ
rñ
Fll F" FQ
FI FT FI F} FT FII Flt FI
t'o
744 É
0,096.
t/m (fig. 4AU.
Barra 34. Disimétrica con cartela recta en el extremo n-0,72 y L=0,50; l-75,0m.
;Q
de la barra,
siendo
es:
- ,h.#= - o,7to. n,, .rL],o' = _ 35,e tm; slr,s = + \.#+ r,683 . 2,7 '-15,02 - { 858 ,, con cartclas rectas, riendo n=0,12 y r-e35; J=96,0m. !:ffiÍá;"iruTt* 2,7'!'6,02 * ill+s- ".#= - r,p56 . - rgr,otm; .s16¡- f r91,0tm. =
.
con
cartela recta' siendo n=0,135 v l'=0,50; /= 18,0n¡. !:#"t;Í;"?':'T::"* 9t¡,s= -*r.+= - r,64o .2,7 '1-8,v - - 119,6tm;
uh,¡
= +,,
i# - + 0,725 +:t-
Té¡minos dz carga en los nudos Según (182) y (165) es
-
'"0=?ffn'i
luego
|
52,e ,,
= f85,2 -
?fi'"'''
+ -+:3i
- - 71,2 tm: roo: * 191,0 11q6ffi sz,o = { 22,1,, soo
1e1,0
35.e
.
ae carsa de la ecuac:ión de desptazamiento 'f es iguai a cero, pues no hay "J":,urfii;;
.-*.
2' "carga ficticia" para la determinación de la-rínea de influencia d.e Mo,, (fig. aoa), En ei presente caso, esta carg'a está rep¡esentada por pa¡es que actúan en los r¡udo¡ 4 y 3, cuyo valor es respectivameni-e (comparar pa¡te primerE
,."",ui-;:;,?,uiJi:^:i,.*.t11 ,,rn
se obtiene
O
@ Fis. 404. Carga ..¡¡s¡¡.¡r,' de inftuencia uli"t?,Y"* Término dc carga en el nudo:
le líne
r,o=-2.0g+
í;
a y s,
Fig
¿06. Cs¡ge
nudJrn':o:
s*o=s,
o,i n,
t'un v
- - 1,59;
.14q,5.
i'',",1,'rl',,nuencia
está representada por pares que
ta
,n to,
o
1'03
.iT:i.*i'.:il,*j';:;;JJf
"uyo;j¡o;';r;r?fiTjff.|
er
"ficticia', que produce Ia lln¡r
. qe r¡flueDe¡a del
Plant¿o de las ecuaciones Ecuaciones nudales según (1g5), teniendo en cue¡
;f)_
=
{,
r{ É
gi5
21
Términos de carga
* derecho
9
sh,¿
fr4¡
FD -
Seg{rn tabla
F ;{I ;rF F?
É
,u=P l{e"+e,),
en el presente caso:
H
L2
dro:Ior,o-2*-
lq mficiate.
Ejenplo numérico
bt'¡
=
sao=su
de M,.o (Íis aar actúanln'los ,'udá¡
7'14'
=-
1,14,.
í) o;;,; t:j:;;:;,"T': llo '"'=
o'
236
Estructuras despla"ables
L)cuación de desplazamiezfo según (195):
}éoeo+D.L+S-0.
Con las plantearse
la
ecuaciones anteriores y el esquema de los coeficientes, figura matriz de los coefiicentes 91, cimultánea,mentc para los tres
carga (B(1), B(2), B(s)).
Matríz de los coeficicntes
9t 9¡
+
6,45
9s
+
1,14
A
+
0,866
+ t,l4 + t1,67
+ + + o'us +
La resolución da: Primer caso (carga permanente)
- f V5 = a- ea
iB'10; 7,33;
53,42;
:
0,356
-
+
4,172
A(l)
B{st
71,2
-
l,8s
;{
F! 'a+ FO ;! ;G
- 1,69 - I,l4
22,1
0,006
Segundo caso
Tercer caso
("carga ficticia" de Mn.r) :
("carga ficticia"
9¿: * 95 = A=-
e+=
de Mn,6)
* 9¡: * !r - -
0,414O; 010'$[18;
1,,+366;
.FF
:
0"3569:
0,2256; 1,7183.
Pa¡a la determiaación de la línea de influe¡cia se necesitarán también los valort.s 9,s y po. Estos se obtienen eon la fórmula 2 c, página 61. Por tanto, según ésta se obtiene para el 2e caso:
1 ,. ?3 = ft; ttt.nea *
lri3,a)
: - l,0i (1,oJ.o,41+r
1,031
: |
0,5641
o'?9 .o.o48g-+0,04.58"
,,e6:- üs,o 4.u " -
= -- j#
0,356e
- - 0,i436: et: - #:-
0,zzs6
- - 0.20e5.
l'arts extrernos'del primer caso {carga permanente): Según (179), la expresión general para una barra 1-9 es:
Mt.t=a¡ g¡ * b E- 4 cra * 9Jli.:. Para una barra 1-2, articulada en 2, se aplica la fórmula 2c, página Mt.z= I
b2
\
[,, -. * )r, *
Str.z
rFr t4
¡a ;r |;{ TE¡
1,03
Pa¡a el 3."" caso es: e:r
;{'
f{¡
21
B{r)
A
9r
403, purdr cstado¡ dr
¡a ¡a ¡{ rÉ
61.
b
- -;W,t
l]tilizando el esquema dr: los coeficientes, figura 4Q3, se obtienen los pares extrrmos:
f¡,l fEr (FF ;rF FIF FIF FrF orF
FF tFF (FF
A) Fig- 406. Diagrama de EomeDtos fleto¡e 1á0,3 tm
Ms,c=
M
170,6
Ms,e
t.s: Ma..t: -+
",
2!J,3 ,,
hll diagrama de momentos, figura
b%
debido a la carga permane¡te g = 2,7 l,/rc.
f 199"9tm Mt.q= * M2.r,: = - 180,5 ,, Ms.z= - 79,4 ,, ,1O6,
M+,t= f
4.2tm 12,1
está rrrpresentado en escala.
,,
.
FF trF
;+ lr+ rn rt
Ejemplo numérico
2i7
91
Linea de influencia de Mr,t y M+,¡ En el cálculo práctico, Ia expresión (253) para la determinación de la¡ ordenadas las líneas de influencia 1*-,, correspondientes u M*,n, puede escribirse en la forma
rl,
(r
1*-,r=ltd^n
)
En ésta, y son las ordenadas de la elistica debidas a la "carga {icticia" e !om,¡ las ordcnadas de la línea de influencia de .sl-,r, que 8e reemplazará con sigto positivo, cuando lir sección a investigar se halla en el exFemo derecho, y con signo negatixo, er¡ el cxtrcrrlr¡ izquíerdo de la barra (comparar parte primera' sección tercera' lli' 3). La línea de influencia de S?*,o, es decir, el ¡nomento de empo*a^mientc¡ ¡lr l;' sección nr del tramo 7n-" supuesto rÍgJidamente empotrado eólo a.barca esie tramo' P()r tanto, fuera del mismo segun (954) es sirnplemente ( 1 ;r
^,, = Las ordenadas ]' t j,onr,n para baras con ca¡telas rectas o parattólicas prredcn tolu;rrst clt' los nomogramas dc lineas de influencia dc la parte terce¡a de tste rrrantral. a) Determinación de las ordenadas 'r' Aqui son válidas las expresiones geaerales de la parte prinrera, serción tercera, Il, sobre la determinación de las elásticas, partiendo de las ángulos de rotación de los ntrrl,s ,/ y ios desplazamientos de los nudos 6. En el presente caso los dr:splazarnientcrs de los rrrrtlr,. no influyen, por consiguiente, en la fórmula grneral (239) desaparece el valo¡ 11, h:rtiirr' dose simpiemente J': 3,'1. Luego según (940) yl= jt = (11 . tr - tu. r'2) l, y como aquí los ángulos de las ta.:rgentes ext¡ernas r son idénticos a los ángulos rl. rt'l.r ción de los nudos 9, la ecuación precedente toma la forma (!) t = (r!1 9r -- 4: v3) / = !.1 de aplicación inmediata. En ésta, r¡r r- rb son las ordenadas qr¡e se toman de las línr"¿rs dl influencia ¿. lltr y !ft2 respectivamente, para Ia forma correspr¡ndiente de bar¡¡r tlc )'
4+
)
.1"
longitud
I.
b) Deter¡ninacién de las ordenadaS ]'orn.,, a las ordenadas r¡ de la línea de influencia de $1, pcr¡ stilo s,' utilizan en el tramo que contiene la sección a investigar. Los valores dei nomograma r¡..n están referidos a la barra de lonEitud / :: l , ¡', 'r consiguiente, para un tramo de luz /, las ordenadas son: (J) )'o^,r=flrr,n'I' Por tanto, la fórmula general (1), válida para el tranlo quc co¡rtie¡rc 1¿r sección a itrr',s tigar, considerando además para la aplicación práctica (9) y (3), puedc utilizarst trr l:r Estas son idénticas
siguiente lorma: 4*..,n
=i /t
lir,,n .¡
= (i' t
4nr,,r)
l
Según (254) para los demás tramos ts: !'l*or,.n
= f l'
c) I'rocedimiento de cálculo Lo mas indicado es disponer el cálculo en un cuadro. ln la coiumna 1 figurarr l,,r valores I de la línea de influencia de Si, tomados de las tablas auxiliares en funcrión dc lris rtr¡ meros dc e ntrada r¡ ), X. En la columna 2 cstas orde nadas cstán rrultiplicada.s ¡rot lor ánguios dc rotación g de los nudos situados rn ios rxtrcmos de la barra. ya dctc'rrriltirtl,'s con las cargas ficticias. Estos prcd.uctos se sum;rn en la coh¡mna 3. Adenás, ttl esta t c¡lutrttr.r debe tenerse en cucnt¡ la sum¡l (l' - rjr,,.n: de ia fór¡nula (4), para aqucl frltnc qur { r)rrli( r' la sección a investigar. Esto sucedc p. ej. en ia determinación de la líne¿ de infiuenci;r tlo ,1f.,.,, en el tramo 3-4, dondc lcs valores a cc,llsid('rar sc,n (1,J- r1r), pues sc trata dc una setri,i¡i rt' el extremo dererho de la barra. Pa¡a deterrninar la linea de influencia de M1." r'n cl tra
to ()
Determ¡nación de la linea de influencia del M1,s vgo
j:
ilg,. fr:
j:ii$-
* B:fÍit
* ?rfr -?t9t
4s
Pq,
Viga 1-s
S-¿
4t
fr.r,
v
i*rr.
t
0,ol
2
I
0,t64
0,028 4,217
3
4
0,049
0
0,078
o,239
6
0,to$ 0"r99
0,248
0,1
7
t8
0,137
o,t t4 0,07r 0,0?{ o,o2l
I I
+
0,00¡¡
-+ 0,03?7 0,0002 0,0679
+
0,0104 0,0898
-
+
0,0276 0,1006
-
+
0,0440 0,0089
-
+
0,058r
0,0824 - 0,0666 *+ 0,0567
+
-
+
-
0,0643 0,0294 0,0417 0,009?
*
+
*
+ -+
*
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* 'lt9t *?¡P¡
¡
2
4,
I
t
!{
o,oog 0,091
l-
-(J+a.)
Í;:18:átáB
0,0360 0,0544
+
0,816
0,094 0,006
+ 0,0389 + 0,0003
0,061? 0,1023
I
tr6t6
0,163 0,025
F 0,0676
0,073{ 0,14s6
+ trl64
0,206 0,069
0,0?30 0,1?oo
+
0,660
0,206 0,114
0,0540
+
2,?6¿
+
¿,sgl
+
t,¿04
+
1,68,q
+
0,810
-+ 0,1841 -+ 0,024s 0,17{7
+ 0,0099 + 0,1409 + 0,0349 + 0,1059 + 0,0330 + 0,0540
-
I
(Tabl¿ t6
ú-
?.9¡ -- t¡ 9r
-l- 0,0992
0,0853 0,0029
l- 0,085s
+ 0,168 + 0,0690 0,r08 + 0,0082 u,n4 + 0,0472 0,206 + 0,010t 0,059 + 0,0244
'i
11019
0,003 0,004
+
11780
F 0,0881
+
21898
0,?14 0,090
+
91868
0,939 0,053
0,0909
+
0,0?78
+
0,230 91029 0,081
+
0,05?3
+
1,490
+
0,0345
+
01897
0,163
0,0080
+ 0,0184
0,006 0,094
+ +
0,0025 0,0046
+
0,00?l
-nir.
t
a
+
* ri¿e¡ I
tlt tlt
?t¡,¡o Í,
-* -*
0,196
0,0046 0,0002 0,0081 0,0006 0,010,4
0,0019
- 0,0117 - 0,0024 - 0,01l¡ 0,0037 - 0,0093 - 0,0049 - 0,0064 --- 0,005ó
0,t90 0"107 0,131 0,1 20
-
0,021
0,076
&*'nt, !,
,
tI-+¿.n-tr.c.lr'r.r-i |
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0,069 l- 01478 0,1 14
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lrrgtJ"i'-'-r,*r. e¡ - * o'0t68 o
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2,t68
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-0,004? l-0,0s6 *o,oo8?
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:,ffi1-,:,:
0,0034 0,0052
-0,0086 -o,ror
0,0010 0,0035
-0,0046 | -0,08t
|
$ll llt tt tr I tt t r rt tr ttrrtrf Determinación de la linca de influencia del V;ga
j:ill-
Er:;3:3i33 *?sf¡ -ré9.
4t '"lt t{__l
0,002
0,09r
5 6
*-
0,10'1
0,028 4,212
- 4,0774 ..-
0,049 0,243 0,078 0,230
0,00s6
-
-*-
0,01ri8 0,0867
-_
-
0,1035
--
0,0268 0,0853
-
0,r tzr
0,103 0,1s9
--
0,0354 0,0710
0,1t8
- 0,0405 - 0,0489 --* 0,03$2 0,0253
0,1t4 0,071 0,074
0,02t
-
0,0254 0,0075
=6-qcl .l
0,08?0
137
0 z + 6 Eit {T¿bla lt s)
u' ' l -4¡?r-trgr
-*
0n
4-5
j: ill- i:: i 3:3lel
{Table lS a}
0,0007 0,0325
--,- 0,0038 0,0585
0,01I
Viso
S-4
,41r. ¡
--
0,094
0,4s8 0,006 01986
lr$t
i
11658
0.?06
0,0465
0,025 0,206 0,059
ú,206 0"1
l4
0,0894
"*
1n841
0,059 0,206
-
0,0645
*
00908
0,025 0,1ff3
--
{),0329
0,494
0,00t4
0,1 14
0,163
-
*
0"0336
-+ 0,058s -+ 0,0056 0,0735 -+ 0,0133 0,0735 a,a%1 -+- 0,0600 - 0,03?9 0,0407
lr6gg 0,168 0,1 68 1,696
+
0,00$ 0,094
+
--+ 0,0?l l -
0,0465
-+
0.0368
l-0,008s
-
c',0021
0,02i2
+
-
+
0,0321 0,0619 0,0526 0,1 104
- 0,0602 *+ 0,1458 + -+
0,0478 0,1582
0,022t
- 0,1459 - 0,0058 -0,rt98 - 0,0254 - 0,0844 - 0"02?9 - 0,0529 - 0,019r -,0.0251
-
l,$09 2,870
+ 0,0210 + 0,0008 0,166 + 0,0374 o,or4 + 0,0029 0,214 + 0,0483 o,ozs + 0,0061 i 0,239 + 0,0539 0,053 t- 0,01I t I 0,230 + 0,051s 0,08r + 0,0170 0, ls0 + 0,0429 0, l0? + 0,022"{ 0,¡31i + 0,0296 0, r20 t- 0,025r i -t 0,0156 0,06e 0.r !4 + 0,0239 0,02 ¡ | + 0,004? 0,0?6 + 0,0r59
0,093 0,004
+
0,0218
+
0,808
+
0,0403
+
0r?gó
+
0,0544
+
0,079
+
0,0650
+
0,0689
+
+
0,0653
+ I,l?6
+
0,054?
+
+
0,0395
+ 0,?ll
+
0,0206
+ 0,8?l
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I
*- ft.1l6
o
0,086
|
|
de infl',iencia del ,11*., ': orde n:id:ri ri*.í --l .,' d.:i .lfn.- {= ordenadas I*.1.., Ir:in sido rlprr:scntadas en las fieuras 4OZ r' 408 'scb¡e .l méte.dc, para trez¡rlas, r, . ir firrt. rri:;r, ¡:r. s,:i:ión tercera, III, +;.
ó ó t9
24,0 l)eternlinación de las constantes de barra at¡a2, B y de ios términos dc carga a,n, a,o rno 4-5, deben torna¡se en el cálcr¡lo los valores en el extremo izquierdo de la bar¡a.
(l-
¡u),
Barra simétrica con cartclas parabólicas
pues la sección ¿ investigar sr. h;rll;¡
l. Barra simétrica con cartel¿s parabélicas Las longitudes y dimensiones de las secciones, como también el estaclo
Finalmente, en ia columna 4 figuran las ordena
La tabla 1 da: para el tra¡no constante de barra, b/h: para la sección de apoyo, b/h¡ : -Por tanto
üfñ
rr+ FF trF FF
v
A.
at ¡F
fñ IFF IIFF ¡EF
M,
d,e
Fig.
-
408.
I)¡be obsen'arse a.demás, que coincidiendo con las tablas auxiliares, en lrarra¡ disi¡nétricas. la división de la luz en partes iguales empieza desde el extremo de ia ca¡tela. Las demás indicaciones pueden tornarse de lcs encabezamientos de las tabla.s.
Snccéx
i.A VIGA X" BETHRIs{g}JAfllüN
Y IIE
L*
TancE,RA
CONTINLTA
!}E LAS
CONSTA¡{TES DE tsARRA r'1, a2, [] THÍ{.MnI\ff}S DE CAftGA
En prirner tórrnino, en dos ejemplos se volverá a tratar detailadamentc ci llso de las tablas auxi]iares. para el cálculo numérico de constantes de barra r lérminos de carga de la viga continua con cartelas. Conceptrralmenre cl procccli-
rniento es el mismo que se aplicó para la determinación de las constantes de irar.r;, I'tén¡linos de carga de las estructuras a1;orticadas. por consiguiente, la resohrci,ir, clctail:rr1a de estos probiemas puede cor)sr¡ltarse en la secclón prececlente v ll explicación siguiente, reducirse en algo.
frF ,lilF ,FF
{ITF ¡4rF
lf
I
*
¡F? frt ¡É
¡r?
¡r{¡ É
frrt¡
cñ)
{a{
ñ/70 (cm) 4{/lS0 ),
J"
Fig,
Determinación de tas constantes de barra c, p Con los números de entrada z : 0,10 y .1. : 0,30
se obtiene de
0,0114 rnr, .
{09
la tabla numérica 20 --^ v,212; F :0,14'3. a:
Estos valorer.t y.É- están multiplicados por
ndos a una longitud de barra
EJc,y
refe-
i: 1, Los valores ver_ .- ! r - r c*:a'Éft
daderosson: Sin embargo,
:
J¿:0,7125 ,,
": #: #|j+: o,ro1 - o,1o : o,3o ^ +: ¿#:
¡ñ
Línea de infiuenci¿
i¿41
F*:F if.
Plfl
cálculo es conveniente utilizar estos valores aumentados ¿ vc(.es Ef o. Eligiendo Jo: !", se obtiene
-el donde según (302) z
--
:
;
4* . 2 : d. I : 0,212.13,00 : 2,T56; F* ., : -8. t : 0,143 .13.00 : 1.g59.
Estos valores están consi¡qnados en ia figura 40g b. de acuerdo con ]as ner.r'sidades del cálculo ,es decir, o.en los extremoi de la bama v B en el medio dr' í.sr.r.
B. Según
Determinación de los términoe de carga oto,
ia figura 40gb actúan dos tipos de
o?o
cargas:
y"" carga compleia uniformemente distribuída g : 3) b) las cargas concentradas p1 : 4,,5 t; p, : t. V
2,0 t/m,
"5
Los dos casos se resolverán por separado:
a) Carga unilorme q : 2,0 t/ut 24 para r¿:0,10 y tr:0,30 es: dto:o-:o:ño:0^0357. Estos valores,.multiplicados-por EI", se refieren a un' barra de longitud / v carga q:7. Según tabla
í
Por tanto, ios valores verdaderos son: ao*
:
do gL EJ,,
M.ultiplicando por el factor .¿ : EI, estahlecido anteriormente. se obtien. t,l mino de carga en la forma a utilizar en ei cáiculo: ao* . z
:
do
.qlt : 0,0357.2-0.
13,00,s
:
156,9 tme.
rí.r
'9/$2
b) La posición de
oT
o,
Cargas concentradas
y
rr
pr:4,5t, p2:7,5 I
É
a la rongitud de la barra dividida r.¡r 4,62 r 7l,z'i. por tanto, dc ra
estas cargas referida
:
:
l':t:' 4L W tabla de üneas de influencia ?,á, con los
y
¡-
Viga continua
:
i# números
:0,30
de entrada n:0,70 y mediante la interpolación lineal, se obtienen las siguientls ordenadas: para c1o: rlr --+ 0,055 y 0,049; para a2o: rl2 -) 0,049 1, 0,055. Suponiendo que ¿ : E./", se tiene:
t reeatptazando los
: a.2o* .z : atox . z
ozo*
'z -
¡É
fÉ lÉ
(0,055 .4,,5 + 0,049. 7,5) . 13,02 : 103,9 tme; (0,049 .4,,5 + 0,055. 7,5) . !3,02 : 102,0tm2.
: a2o* . ::
oto* . z
156,9 + 103,9 : 260,8 tm2; 156,9 + 707,0: 263,0tm3.
2. Barra disimétrica
sc obricrt.
el estado de carga y
las
para el tramo de sección constante de barra, b/h: 15/35 (cm)!" :0,000536rn,, para la sección. de apoyo, Uilro : 15'/60' ,:'j;: 0,'002200 ., .' 0,000536 : _n: I" j';:_ -*,(,,
0.199
-
0.20
r:
r.
+:
-1.4,,,-!: 0.30.
A. Determinacién de las constantes ;'_L.lS
F'
--r_,_áoo !
--j
-
410 a.
It
ae
: 0.330;
F : 0,15t.
Por tanto, ios ','alores verdaderos para una barra
de longitud / son:
ar*=ür
+, Volviendo : E./".
ar: (t1*.1 : a: : d.:+. j : b : B* .::
a,.:*:d:
tl";
B*:B
+
a elegir el factor de incremento : : EIo:
se obtienen los valores de cálculo
.l:0.207.5,0: 1.035: d:.r. / : 0.330. 5.0 : 1.650: 13 .t : AJ51 .5.0:0.755. á¡
Estos valores están consignados en la figura 410b.
H
barra a1, ú,,
Entrando con los valores n : A,20 y tr 0,30, sc obtienen de Ia tabla 17 los valor"r urrg,riu.". refericlos a la barra unitaria ,v multiplicado. po. .E-l"
d1: 0,207; Fig.
d,e
la
fÉ 'f{ É fÉ ¡É
tÉ fÉ fÉ fÉ
,JÉ fÉ
rñ tñ
Determinación de los términos de carga o1o, ,.¿o e: 1,1 t/m, de la tabia 2I, para
carga uniforme
:
0,0351; ázo :0,0404. dro Los valores verdaderos se obtienen para una barra de longitud clo*
: aro'-ff;;
a,ffi
z
II. EJEMPLOS NUMERICOS
4.83 tm2;
5,56
,.
COMPLETOS
Ejemplo numérico 22 (comparar tarnbién con Nn 23) Viga continua de do.s tramos de luces diferentes, irero de sección constarr('. La figura 477 da el estado de carga v las dimensiones. Deben tratarse dos cst:rtlos de cargas, a
1l
saber:
Óarga cOmpleta uniforrrremcntc
,g-o.iur
trr''"rrnr-i-:iTn-ir-Fr'r'nrrr':T-ir'rrrñFTr'rl
di:
tribuídaq:0.5,/^.,ouIll]UIIIl(,Iil(IltCul'5-
2. Yariación no uniforme de telr¡pera- Ftura Aú : tu to: * t5o.
--*:-_-
i'|-soñ
Fig.
L,-¿s" 411.
1. Carga completa uniformemente distribuída .q =A,5t/n"t Mr:M,:0, por tanto, según (319) la ecuacidr¡r dc
Para el presente caso momentos toma la fo¡ma:
2M2 Ur
*
lz)
i
la tabla 2
Para la carga uniforme, según
6a1,10
*
6¿r.,{)
=
-.jY los trr',
0.
es;
aro=aro:3!:-, 24 luego
6 (o2 10 -la '0) +a2,s")
Además
o / --01 t1'01 =o( = -f¿- - -
0'5 ' 7'53
\
,'.'._,|-68,36tnr::.
es
F?r
dcspejando se obtiene
;ñ ñ *
cary;.r t¡,
: ,"" #f
- aro. ql3 :0.0351 .1,1 .5,0r : uzox . z: Alo.g/3 :0.0404.1,1 . 5,0n : cttox .
con lo cual la ecuación anterior toma la forma:
fá ;il
Iy
Con el factor de incremento z: E!", fijado anteriormente para ia dctr.rrr¡inación de los valores c1. as y É, se obtienen los valores de cálculo
fá fñ
Ffr
2'l.l
la barra urritaria con la carga g: I, se obtiene con los números de entrada n: O,20 \, )l : 0,30, los siguientes valores angulares incrementados E"/" veces.
¡É
con cartela reeta
I-as figuras 410 y 410 a muestran respectivamente dimensiones. La tabla 1 da:
rÉ rÉ
"rl,"r';J.,:"j'
a ",., ): b.
!#
B. Siendo
¡#
v¡2P '12
cuando actúen simultáneam""r"T;i;lru, ,.u,udu,
t
29
Ejemplo numérico
l, + lr= 26,0
M.,: -
5,0
+
M. *
7,5
-
68,36
=,6:'36 25,0
: -
-
12,5 m.
0:
2,73 tm.
Fis.
412.
La figura 412 muestra el correspondiente diagrama de momentos. Con el firr rlc compararlos, en la figura 414 se trazó con línea cortada el diagrama de momcntos hr¡ll¡u|,, recientementc v para el mismo estado de cargas, el diagrama dt' nrornt ntos (:n un;r \ r,.r con
cartelas.
2. Variación no uniforme de temperatura Como en el caso precedente, se puede aplicar aqui la misma expresión
de los tres
momentos:
2 M2 Qt-¡ lr) * 6a2.10 * 6^..r0 - 0. Por tanto, sólo deben hallarse aquí los valores ao debidos a la temperatura.
d, lrr ,,,¡,,, ,,,r,
2#
¡a
Viga continua
Siendo J, = Jr- 0,000g m4, E 910O^OO t/'n2 (para . el hormigon), o = 0,0(XX)l?, = h=O,4O m y Af - 15., se tendrá según (323) o bien (393 a):
y coD
!a
estos
6 (qz,lo 3
+
%,so)
3
-
El
.2100000.0,0008. 0.0000t2.
:. Lt 15
f
o-@ rtm ,
Fig.
(5,0
+
.-
* Iil = 7,5)
=-
I,a figura 419a muestra diagramade momentos.
412 a.
?ti,35 tmz.
el
correspondiente
ñ Fis.
y según (301)
-,-.,-l'.d"
Carga uniforne q _O,St/m Según (298), la ecuación de los tres
f
,t ,o.r;.;.nt 3!2 4'e=
er término
adopta¡se
l.
tos en el apoyo intermedio (Z) en este caso M, M, e, ss:
418.
Segrin (300), se bbtiene
da en toda la loneitud longitud de la.pieza la nie", q: a : 0,5 É tt/m /^ ^ y luego determinarse Ia líneá d" infl,r"r,ái, h"l momento en el apoyo M2.
a1';-::.1
el.ract*
=
S' = 0' a2't* ' z
momen_ considerando quc
=
(r)
+
,t;=1íi!.uir,:#;t;
(II)
'z
a2s+
tramos. en los ejemplos de iniroducción, s. ottiirr"r, l* .orrrturrt., para barra l: az,t= oz,t* .2= d2,t.lt:dt, tL- 0,179.5,0.-0rgg5,
srg-urente, como
,,'!
2:
ambos
"""t:::l
%,s=qz,at.z.= -uz,s.lz=&t./2-0,1gg .7,5=I,4g3.
i:'rios {iguran t-n las últimas columnas del cuadro de constantes de barra 23. tlc la penúltima colurnna' fueron tomados de la r^au .Los valores.Dl i"Jr"ru.rorr., n=0,70, )':0,30 y n:0,tr0, r=0,g5 respectivamente, y setr,..rourra-po, refieren ar-cxnÁo con ca¡tela de ra barra. En este caso no se utilizan los valores % y B, Reemplazando los valores precedentes en la (II) se obtiene d2-0,895 +1,4€.3=9,38g. Cuadro d.e las conüantes de barra 23 8a.ru
t-2
2-3
lD) ¡n(t) o,3o 0,26
I I
0.t0
o,¡o
o,r?e o,t9g
Carga: q:0r5 t/m. Con lo¡ número¡ dc cntrada z y l, rc obticne dc la tabla 21 el valor a.ngular correrpondiente al cxtremo de la ban"¿ con cartela
i 0,8e5 I t.493
Sicndo z =
t7 t7
aro
EI"
se obtiene:
=
0O333'
oz,to* . z-aLo . qlts = 0,0333.0,5.5,03 = 2,08 tm2. Ba¡¡a 2-3. Disimétrica con cartela recta, siendo a-0,10 y L=0,25; I2=7,5m.
Carga:
q-0,5t/m.
La tabla 91 da:
por tanto según
¡ü¡r¡{
la (I) 2,388 M2 { 9,57 = O, y despejando O 9157 tt Mz=-fu=-4,0ftm. Para apreciar mejor la influencia de las cartelas, re representó en la figura 414, el correspondiente
rt'
(¡ra r¡ra
Con
ñro
z: El"
:
0,0355.
se obtiene: *.r,3o*' z -- dto ' qlzs
(III)
^9,
Reemplazando en
-
=
2,08
0,0355 ' 0,5 '7,53
+ 7,& -
-
7,49tn2;
9,57 tmz.
con cartels sin cartelas
Fig.
2. Determin¿ción de la línea de influencia de M" Se aplicará aquí el procedimiento detalladamente explicado en la parte primera, sccciórr quintas YI,2,para un sistema (¿ 1) veces estáticamente indetcrminado, mediante la intrr-
-
(t(¡-
7,5 m (fig. a15). Según (349) las orde-6 de la linea de influencia para un tramo (i) 'l entre los apoyos (1-9) son: I r,-5,00m.: ¡ l:,@
rfl
(t4 {É {¡{
Procediendo de esta manera, se obtienen dos v.igas simplemente apoyadas con longitudes /, - 5,0 m
,/ 12nadas
,¡+ {l+ f+
ts r|{ É (-
|
t2'l5om Lr-7,
12'
q(i)= (Mr \¡ * M2qz) ._-Fig. 416. Y Para la obtención del valor numérico, se estudia por separado cada tramo. Para coincidi¡ con la notación de las tablas, se fija la condición que en tramos disimétricor M, se refiere al extremo con cartela y M2, al extremo sin é1. Por tanto, (IV) en el ramo (1) siendo Mt:-1, Mo=O: q(r)=-qr.l; Y
il+
,l+
414.
diagrama de momrntos, como también los momentos obtenidos en el ejemplo numérico anterit¡r
calación de una articulación en el apoyo (2).
{}+
'J;*...en
S.
¡¡¡-
r-
9A6
Según (III), se necesitan para ello los valores ao correspondientes al apoyo intermcdio. Bo¡ra 1-2. Disimétrica con cartela recta, siendo z =0,10 y I.-0,30; lr.=5r0m.
¡ta
il#;;ffj;;Jtrf;"fr'J:'i*t:
l5/35
D¿tcrminació¡ dcl término dc carga
¡-
Ejemplo numérico 28 (comparar también con Ne pp) viga continua de d-os !r1moo, asimttrica con cartelas rectas. Las di¡'ensiones de Ia estructura estín dadas ;. l" ftg"* 413. como ." anterior debe hallarse.el diagram. "i.¡.*plo d" ;;;;;*';;;, r5/5s
Ejemplo numérico 23
!a
?;ü':*:.í:;:' €)'": y despejando ' ur=#.+ 1,13¿rtm.
u,rtff
I
(tt
o*o'
.,
¡¡¡-
" ,'
,
(2)
,,
Mr= - 1, M"-02
q(2)
= -
rl1
.-b2.
(V)
'v
Donde r¡1 es el valor de las ordenadag de la linea de influencia del ángulo de rotución en el apoyo aro tomado de la tabla 25. El valor de 7 se obtiene de la (341 ), recordando además que los momentos cn Lr¡ apoyos
M, = M,:0,
luego
\ = az,t. Jt +
Az,B , 12
-
0,895
+
7,493
-
2,388,
donde los valores a . / se toman de la última columna del cuadro de las constantes de barra 2J. Pa¡a obtener los valores numéricos de las expresiones I\¡ .v \¡ todavía puede rfi'ctu;rrrr' una pequeña simplificación. Se tiene
+: j#
-t0,47;
b2
1
_
7,52
9,388
-
23,56,
9ñ
r,(l) frffffrrfrÍl*g"J ry¡4 E carcurá
ea
ts
Viga continua
doce;*;:
v *-,1"'#;;#;,1",Jffi*ra,4,z\, 'r1*l?i.t".,X'l¡¿
Línea de influencia del trIz Tdeo ,-Z d, ?mno p-S Ol__ I 0.90
,,
eto " ¡,; z{2) - * Zs,oe.
tat¡" ¿i
i-o;ro
e";i-;iTl
¡(r)--14{?.¡r;
rrbla
4 - U,Z5
s5
ttt
I 5
0,0t46
6
0,0526 0,0492 0,0427 0,0340 0,0238 0,0122
t
8
I II
t0
-0,66r 0,616
-or447 - 01966
-0,s49
q0r26
-orl2g
Fts. {16.
. El diagrama
de
momentos de una carga
uniformemente distribuí_ da extendida en roda l:¡ longitud de la estructura q : 2,5 t/m.
der momento en er apoya M^;.r,, i il::: Líne1 Í: de *i1::::3 inriuencia ;;r ;"#;,;.J'J,lHiL: M2z
it nna d'stancia
x: S
La derenninación Iln r¡a
,1
t
J"(mt¡
JA(mt)
tomrda desde el apoyo
de
en er primer trarn'
1.
las,:T:,1:.::_0."
efectúa en et sigrriente cuadro lr*i desebarra Cuadro de las constantes 24
,r'r
f
,,r"0
?f ,,,rtuu / o,u,nn il,001 u,0 'r 0.0265 o,srs+ rz,oo | f I r r,o
T-L T
1,00 o,50
Jc
JA
",
dz
0,05
0,058 o,24r
0,05
a,p3
i
"'.¿
I i.t
o,068 o,oas j o,z+s I | o, r 2s I o,oe4 r,.,oul ,,our
l
Tabl¡
l8 20
(F¡
,Fl {Fl 'Fl ,ñ ,Fl ,fir
'fa {
,
+
+ 0,3752
a la figura
0,00056e5
0,2Á67
dorrrll stqún (300)
= 0,02ú
#r:#
ma
TE s.dera!
417 b
Fig.
{1?
¡.
+
dl=a=,t
rrgirrr ( ll()f)) y r,¡rrirr
* oz.t:o2,t* L uo-Pa -O1
(.i01 )
se@d ¡,&,X
Fig. 4t?
b.
.2 * o-..*.:: '. -
Sr:e2,1o*.2+o2,go*.2
l,rrr v¿16.., angulares u¿¡x, a2,g* y É2*, figuran en las últimas columnas dci cuadro rlr l¡r¡,r,nstantes de bar¡a 24. l" es constante en todos los tramos, por t¿nto, pucdc volver n r.le¡qirnr. z = Elo- El". Luego se tiene:
a¡ rff ,f,
'Fl
o,oo720
f
,T'
rlql rff rf¡f
+
1,0752.":t'Ji9éi:h = 0,5te.r mr. L l)i:rgrama de momentos de una carga uniforme g=2,5t/m l.;r rcuación de los trcs momentos sólo debe plantearse pan I+12, ¡rrr I n'r razones de simetría MZ- My Considcrando que en este caso o y Ms=Mr, la (298) tomará l¿ forma trl , (d2 + b; M2 * S2:0, (I) t
s t
,1, rf, rff
o,ow5625
1, lrr rrrisnro con ¡especto
t t
Ejemplo numérico 24
cnrc
,
vr¡q;r
t,
* ó
J¿¿ cartelas-
de las secciones de viga placa de
Fr, se refieren a la losa y 12, F2, al nervio de la ¡ección placa, siendo ¡ la distancia entre los baricentros de ambas rrr¡rcrficies. Por tanto, para la sección de la figura 417a ¡e tiene
s
." dicha figura se úazó adem:ís con lín¡a cortada esta para la misma viga continua, 3:: "* -influencia pero
J¿,
I+7
dorrrlc ,I1¡
rle
¡l
En la fi.gura 4j6 está representada la línea de de Mr. Con el ri, a. _rip"i;i;.
l" y
F,'F, l=!,rJ^.:-x2 Fr+ F2
T
infl.uen-cia
1
t
t
- 11230 - I,Slg - 1,903 - Ir2l3 - lr05l *- 01936 - 01699 - 0,29?
o,o557 0,0553 0,0515 0,0446 0,0355 o,0247
lll cálculo de los momentos de inercia ¡rr,lrlcrrra se efectúa con la fórmula
;
ü
0,394 0r?36 1,084
o,0522
Ejemplo numérico 24
O
oter:_lrlfr
0,0312 0,0439
-ü - 0r4lg 607 *-00,660
0,0526
I
o,0r63
-0rr6s 808
0,0290 o,0399 0,0484
?;11,I;
n--
Po¡.
2 3 4
F
son respectivame-nte r¡r1)
oz,t, .r:0,638;
oz,e*,z-2,706;
Rrrrrr¡rl.rz;rndo en las fórmulas ¿nteriores: ¿/., :0,638 +2,706- 3,344,y bz= 2,068, además I¡or rorrrigrricnte la ecuación (I) toma la forma: 5,4,12 (
l¡u
t:
()r¡
por
.S,
=
d2+ b2-
r
5,34,4,
i,r¡
+
9,068
-
5,4,12.
0.
'alores
l¡.¡r¡,¡r
/r
.z=L.}GB.
Determinación del término de carga S. r'stc propósito deben determinarse previamente los
a0 de
cada
(
I',)
una
dc
llu¡¡u 1-2" Disimétrica con cartela parabólica, siendo n 0,05 ) tr 1,0; /r 11,0 ¡¡r. = = (:'u t'.t: q 2,5 t/m. l..r t.rl¡l:r 22 da el valor álo -0,0121 del extremo correspondicnte a la cartcla; con
/, ¡r
¡[¡1¡.na
o2.to* ,z
(
M2 f
8.2+
-¿
tir0 . qltS :0,0127 .2,5 .11,03 = 4O,3 tm2. It't¡t,t ll-1. simétrica con cartelas parabólicas, siendo ¡=0,05 y r=0,50; 12-zz,0n, (;ru t!¡t q * 2,5 t/m. 1..¡ t,rl¡lr 24 da áro=áro = áo = 0,02361 /,.
/,
=
sc obtiene
= á0. qI"3 - 0,0236.2,5.22,03 = Sz = o:,rs + o2,3o* - 40,3 + 6?3,2 t'stc valor en la ecuación (I'), se obtiene: 5,412 M" * 668,5 =0 o2,Bo*. z
t¡rr¡l(,,
Introtlr¡r'in¡rlo .v dclpc.j;rrrrlo
628,2tn2; 668,5.
M2--ffi:-tz3,ltm.
l')n l;r firirrrir 4lll se representó el diagrama de momentos correspondiente. Con cl fin de corrr¡r:rr:rrlos, st' trzír en esta figura el diagrama de momentos para la misma carga, pero sin consi
"248
Viga continua
lÉ)
;a f-
rra
Moments co¡ influenci¿ de l¡s c$t€lu
Fi8.
418.
2. Determinación de la línea de inftuencia de M, También aquí se aF/ricarí er procedimiento explicado .r, lu p.rí. primera, sccción quinta, Yr,2, para un sistema (¿ 1) veces estátiiamente indeterminado. Inte¡calando una articulación en el apoyo (2), donde deberán a.tuar los dos parcs Mr, la viga continua de tres tramos se descomponc en una viga simplemente apoyada y otra viga continua de dos tramos (fig. 419b). Para considerar la elástica como línea de in_ flu-encia, en la viga continua de dos tramos 23-4, h. debe trazarse !¡ a¿a¡ sc primeramente p¡ rr¡rc¡ ar¡rcnrc eelI qlag"ama diagrama Oe de momenios /r^ ¡.--". Fic.
,119
(2t
a.
dr-á544
@ .Fier. {19 b.
^\v llectores producido por la carga M - I. Considcrando que Ms- O y S.g:0, la ecuación dc los trts (3) momentos de M, es según (298) y con las notaciones de la figura 4l9b: b2M2+drMr=O. @_ rero en este caso M2- 1, y además según cl cálculo anterior
fÉ
r-
;t frt
rÉ
\ = -%,.r .l, * Del cuadro de las
-oz,t.
y de la figura
y
qti) = (Mt!1 * Mrry) .ltEs conveniente disponer en un cuadro el cálculo de la expresión anterior, donde . los valores r¡, Y ng de las correspondientes formas de barras deben tomarse de las tablas de líneas de influencia de 410 y aoo respectivamente. Para obtener la coincidencia de las notaciones con las tablas auxilia¡es a,utilizarse y evitar equivocaciones, se estab6ce que en bar"as disimétricas M1, de la fórmula precedente, es siempre el par en el extremo de cartela y M2, en el extremo sin ella. Sentada esta hipótesis, se tiene: para el tramo
(1
), siendo
,, (2), ,, (3),
,, ,,
Mt= -
M"- 0; q(1) (I) = - nr{; Mt: - 1; Mt- f 0,618: t(2) = (- q, i 0,618 q:) (II) +; Mt= * 0,618: Mr=0; (III) n(B) - + 0,61g r¡r.a' 1;
(f(l(frd
.tz.
tr-
2,068
v
-
0,638
+
2,700
L2
-
0,618 . 9,068
2,066
=
1l.V
i=Zóm-=5ó'5/' también 22,02
2_
2,066 -
T
q\a 17
Con estos valo¡es se obtienen las expresiones I, II, III de las ordenada* de las líneas de influencia en los tramos (1), (2) )'(3)' en una fo¡ma adecuad¿ Paxa la tabulación:
(r')
I(1)=_59,5Tqr; ,tzt - 234,27 ( - qr * 0,618 rb) ; q(3) - + 0,618. 58,57 4r = - 0¡618. qrrt. El crilculo
se efectuó en
el cuadro
(II') (III')
siguiente:
Determinación de la línea de influencia del Mz
fw ,-2 (r) I - l,0o lil .-J I nf,t6+20 r(1) - -58,6?r¡; bbL 26
!-
(Fr (Fl (t{
-B2.
(3'11):
M"=0,618. 1
r;l ;a
crt
- Ms.F)
lt= 0,638; dz3. Iz- 2,7O6;
'$19 c
finalmente
!!-
(Fl (F!
Gzs
la
Con lo cual sc obtiene
eF
con este valor se trazz er diagrama de momentos (ver fig. 4r9c), del cuar se debe h¿llar la el¡ástica y el valor angular 7 (fig. ,+19a). según (3'12), la expresién generar de las ordenadas de línea de influencia de un tramo (i) entre los apoyos I y 2 es:
se obtiene de
constantes de barra se toman:
r-
G|l Frr FO arr
:0, el valor de 7
Considerando que M1
¡r-
aa;a
949
Ejemplo numérico 94
4t
a(1)
- - 58,6?.?r
I
0,004?
o
0,0o89
-
01621
3
0,0125
-
0r?82
4
0,0156
-0914
6
0,0177
-
1108?
6
0,0189
-
11107
7
0,0187
-
1109ó
I I
0,0174
-
0,0146
-
0r8óó
l0
0,0r06
0,c21
t¡
0,0056
-
-01276
lrt
19
0,s98
Tmw 3-l
frew 2-E I * 0,50 r¡ - O,05 ql?)-
Zg4,Z7
(r)
(- ?t +
0,618
?!);
-!, ?r |l* - 7,¿* :0,61841
'r
0,01E
-+ o,0t0l 0,0048 -+ 0,0195 0,0096 0,0279 -+ 0,0143 -+ 0,0345 0,0186 -+ 0,0383 0,0220 0,0386 -+ 0,0239 0,0356 -+ 0,0237 -+ 0,030r 0,0213 0,0232 -+ 0,0172 0,0156 -+ 0,0r2r -+ 0,00?8 0,0062
(21
!:-:1 0 2 4 6 t otl
-
t¿bt8 28 a,Jl) -ss4,27 ¿¡
/3)
-
*e,61s
aU )
+
011?0
grgl9
+
0r8gg
-
81186
+
0,462
0,0159
-
8r?95
*
O6St¡
0,0163
-
81819
+
0,041
0,0147
-
8,44.1
+
0,084
0,0119
-
2r?E8
r-
01077
0,0098
-
91062
+
0,680
0,0060
-
11406
+
0,6!8
0,0035
-
01820
+
0,s84
0,0016
-
018?5
+
0,90s
0,0053
-tr242
0,0099
-
0,0136
259
*
Viga continua
La línea de influencia de M2, cstá representada en la figura ,12O. En esta figura, también se trazó la ünea de influencia de Mr, sin considerar la influencia de las cartelas-
raú é
Ll¡s
fú J*
de inlluenci¡ de ü¿
Ejemplo numérico g5
i-- t, ' ll,oo ---{
Jt con
----
'¡4.
490.
Fig.
3. Línea de influencia del
momento en
el tramo M¡,,
. = + desde el apoyo 1 del prirner tramo en cuenta que Mr:0, según (243) con la notación aqui empleada Mr,: M2+ * Mo=0,76 M2 + Mo.
Determinación de la línea de influencia del momento en T"&M t-?
T"arre
k|-qgl r+.
.
.-..1
M¡
,(r) tr)
0.1é
',
o
t
{i
B
e
lo
!t
- 0,275 0,046 - 0,621 - 0,08? *-0,792 0,L22 -* -*
0,914
0,i52 r,03? 0,1?3
t,lo7
o 2 + 6 I A2
ts)
,(s)
+
0,153
+
0110?
*1,242
+
s,s06.
+
01218
-
2,319
+
0,458
+
0r&36
-
3,186
+
0,611
+
01460
+
0,764
+
01691
-3,726
-
Q)
0 z t o r e¿
@
ller-o,r;are
I
2
Jt
3,819
lpr-o,r¿ ?(9)
I
-
0rg0?
+
0,¡70
+0088
0,890
+
0,322
+
-
016gl
+
0,452
+ g0?6
-
0169l
+
0,665
+
-
01086
+
0,641
+0r07
01064
0,094
+.0,01?
+0?8s
-9,444
-
016?4
+
0,684
+ 0rrr4
+ 1,0?0
a
0,888
-2,788
-
0,466
+
0,677
l
QrrB
+ t,222
+
11062
-2,062
-
0,844
+
0,630
+
0,106
0,855 0,142
+
1,3?6
+
11988
-
l,¿06
-
0,984
+
0,628
+
0,088
0,621 0"103
+
1,628
+
11496
-
0,920
-
0rl8?
+
0,384
+
0100{
0,328 0,055
+
0,764
+
0r?09
-
0,3?5
-
0,009
+
0,203
+
0r0st
- 0,194 1,095 - 0,t82 - I,r',i¡s --- 0,r?o -
(t)
o)
rÉ Jfr
¡1
l-J-J'.,¡..j'd
I
t
l
iy'rr-,r, n,r,
M
Ttaao g-g
g_s
ftr Fr-q
stot6lz0
el tramo
es:
J) ff, ¡l) J-
Jt Jt
fú Jú
et
J1
r+
ü+ ürt c{l
{Frc
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fF+
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(l\f{ C.
tt
?456r0
24
/zl
@
'l
ar;*
421.
en el punto
Pqs.
p664rffi
aú
aia c¡¡telas
Teniendo
!
fñ
drtels
Z5l
Recmplazando en esta expresión ros valores de M2 y Mr, por las ordenadas dc líne¡r de influencia (q) va halladas, se obtienen las ordenadas-de únáa- de infruencia (1,) dr M,,. Las ordenadas de línea de influencia d,e Mo, que sólo apareccn en el primer tramo, s. rrnrr representado en la figura 4p1. Sentado lo anterior, se procede a disponer rn un cuadro er cálculo de la exprerión d¿rdn
Líne¿ de influencia de
Mr,
Con cartelas
-____ Sin
cartelas
-
En Ia figura 422 se han representado las líneas de influencia
con y sin consideración de la influencia de las
dri
mon¡ento en
cI rr'*t M,,
cartelas_
Seccrów Cuenr¡
PORTICOS HIPtrRESTATICOS DE GRADO SUPEITI(,I{ A continuación se desarrollarán. con los cleralics rnás irnporrantcs. rr(.s r.r(:r¡r plos nurnéricos según el "Método ¿. r.¿u..i¿nl, á.¿.'"r"r^'r5J.i¿" sé¡rtirrr;r tr. r;r parte primera. Además, .l 11.página 150 ,v'rcá. p"'r"'-aoi"i" t:jerrr¡rr<,s (26, 27), ya fué expuesto detailada'ment. "r,o,la rrc<.r.iri, p.o..á#i*;. 1"" .jl.rlo, del "sistema reduciáo" y ra ,"aritu.i¿"- ai. "t la ,,apreciación relatir.a,,. Debe además agregarse, que la resoiución de estructuru,-tipa."rr,iti.¡¡5 grado superior con árñus p"éa" .".u.^.re en forma anált-¡ea. 111.
Ejemplo numérico 25 Entramado de edificio_simétrico, de diez pisos y de tres corumn¡*¡" cargado simétricamente (fig.4z3). Incógnitas: l":ü;; á;g;in, de rotar:ii,. tr. los nudos 9g,. v;, g7, v|t, 9ll,- 9r:1. Etr. qt¡, grl. 9:.:1. Esc¡rrerna de los r.rx,fi,.ir.¡r tes y dimensiones de las secciones. rler ficura 424. rr\': I_os r/a¡(\ ¡.iarr.. t,\lrt,lrr.s (l'l¡r.rr hallarsc con el "método de reducción,, (;l;. &:,;;' I \' / \ ¡---F ¡ Términos diagonales d. Según (19), la expresión general es: por tanto, utilizando los
ds:2
r-alores
a.,
"i:ll ij",., du
.""'.,"ntcs se riene:
-D0,84; =2 (3,90_{ 3,74+2,13) _ 1g,5.\ d.rr=12,80; d'-:9,12; d'.=6,66: _17.,19t ao= 1.1,96; /r._ 10,60; d.,r=7,74: djr=1.,30. Términos de carga en las bar_ras fll y términos d,e carga en los nudos t. Según (20 a) es s, = ? St",o. Además, con las ftjrmulas de ll)i Ce ias tablas 2 v y el estado de carga (ftg. ;%) se obtiene:
v
(4,39
también
13
+ 3,1 +
0,,
-'llt3,4(q)
s._,=f,[_."r4r
sr=!/fr.*ror
sn:
D,r3)
lftr,ro(o)
n. n : _ .12,4 tm; - {ra _ a,1 $lr.urrr = _ _ 2.4,!2: _ "r-r' ]e.) q tz;tr *.!)?r.*rr,=-lfz.jt : - '-'-l)r I' l: ---3,5.9 I
* f
.s?r.rf r =
u-0.
4. gr
=-----_ 1)
=_
27,0 ,,
.t,
H
y
l-
Pórticos hiperestáticos de grado superior
252 también s11
rrg
= Sl1.p - -27'0; = !Ilre,r+ - - %,7 i
Ecuuíon¿s ¡udalcs.
¡rs=$lrs,ls = -25,7; s1e=ü[e,2e = -93,6; trz = Shz,re = - 23,6; l¿1= ÑLa,22= - 90,3.
drgo*IÉr,¡9¡*sr:0. Por tanto, utilizando el erquema de los coeficientes se pueden plantear de inmediato las ecuaciones nudales. En este caso es conveniente poner en primer lugar los "términos diagonales".
-f-
IE.
a{ rfl.
;a Cñ¡ ;a
iIn'
;f
frr
_1_
I
g.
IED
_t_ t
Grt
R
É É
+
o
al{
_t_ t
c{
B _1_
tti
c*rsns'
Fig. 429. Dimeneio¡e y v etado de c*rgns.
á?*.f""#Hii.u'#"""fft:'f5:*
Ecuaciones nudalcs
9r f 9u * 17,30 E7 ! 1'*,86 9e | 19,80 911 { 10,60 91, * 9,72 9r, | 7,74 gr., | 6,66 91e * 3,30 921 f
Int¡oducicndo cste valor en la ecuación (ps) se obtiene
+
3
19,54
¡-
¡¡É
+
3,90 3,90 3,74 3,15 3,01
95
9s gtt 2,37 prs 2,37 qrt | 2,73 9s 2,13 pp { 7,73 9y 1,73 96 + 1,5+ 9rg 7,54 9y, | 7,19 92t 1,19 91e qe + s5 | 97 { 9e {
3,74 3,75 3,01
P7
-
42,4 39,2 = 32,3 = 27,0 27,0 =
o a o
=o
25'7
25,7 93,6
23'6
0 o
---
0
=
o
-
o
%),3=O
I'r
n,=+.*.n_ o
+ Ira' o o n'
Prhncr faso de cálcúo elegido es la parte inferior de la estructura (fig. '$25) con l¡¡ dor reducido" "sistema En las ecuaciones correspondientes sólo aparece una incógnite incógnitas iniciales 9g Y 9¡. ..hifircstática", o sea" 97. -Mediante una "apreciación relativa" esta incógnita puedc, re¡lrn (348), eer cl;'ninada en fu¡ción de gu. Por tanto,
Xl
ar-
rrt
fr_
90,8'f
¡-
fr-
1_
II
(Ea) (Es) (Ez) (pg) ( qrr ) (prs) (prs) (Erz) ( prg) (qzr)
¡f)
r-
Según (18), la expresión general es:
4.6tln
a-
963
Ejemplo numérico 95
8eq
o
*,
*
*.
4.
19,54 96
+
*, --
3,90 pa
bien 23,02 96
*
ffi#'
*
eo
-
39P
-
39'2
=
ol--
o,e3 e6'
39,2
-
3,74'. 0,93 9s
3,90 Ea
=
=
,L_
0
,L
0.
Por consiguiente, agrupando, las correspondientes ecuaciones inicialcs del Fig. ¡126. "8h" "sistema reducido" son: tema reducldo". 42,4' -- O lncórnlt¡r r %),84 9" + 3'90 v5 3,90 9s
+
23,02 9u
--
con¡ldcnf
0.
¡
9s, 90,
resolución da: 9"'=7,77; 95':7,4O. El cálculo de las demás incógnitas se efectúa sucesivamente, partiendo cada vez dc ur¡¡t ecuación. Las incógnitas hiperestáticas que apa¡ecen en estas operaciones, también se eliu¡inan mediante una "apreciación relativa" según (3.fi8). Este trabajo previo puede re¿¡lizar¡r de inmediato para todas las incógnitas:
La
no
y
je-.
= 4. dn s7
ez
=
:,* 4*. 1+,E6 .32,3
,,,:*' li'', = ffi#'
análogamente
e,
-
o,e7 e7)
ee
=
r,16 so
1,15 gtt; 91s := 1,16 gtr; 917 := 1,08 gtu; 919 := 1,16 gtt; 921 * 1,74, gt ' Utilizando cada vez las incógnitas ya determinadas y las incógnitas de la "apreciación previa", se tiene de la ecuación (97) 3,7+.7,& 913
*
,
32,3 = r,5r; =- filaTll.ogT -3,75.7,33 _1e^ ^,_- 27,0 Ye 14,86+3,01 .1,16 -''-'
ez
de la ecuación (9e)
y en forma análoga de las ecuaciones (grt) hasta (grt) v¡1' = 1150; 913' = 1,69; vy5' = 2,01i p*' - 2,11 ;
7ys'
:2,33;
pgt'
=
5,37.
Segundo Paso de -cólculo
cra
En este paso, no se adopta un "sistema reducido" y se procede a efectuar de inmcdirto el cálculo sucesivo de todas las incógnitas, utilizando directamente los valores hallador cn cl primcr paso. Se obtiene de la ecuación (9s)
(l{
de la ecuación (p5)
(É (¡-
¿|{
c(f-
cc(;a
eu"
eu"
y
=
#(-
=
#
3,9 .
(-
t,+
+
3,9. 1,77
-
42,4)
- 1,77
3,?4 .1,33
;
+
39,2)
=
l,4O
análogamente de las ecuaciones (V7) hasta (e21)
g7"
= lr34;
9s"
= 1,231 9¡" = 1,57; 913" = 2,70;
913"
7et"
= 1,68; = 5,39.
975"
=9103; g¡" =9,13;
IJna comparación de los resultados de ambas operaciones de cálculo, sólo mucrtr¡ la parte superior del pórtico. Por consiguiente, en €sta parte (parl
va¡iaciones sensibles en 919"¡
etzr pts, q¿t) re cfectúa vn tcrcer paso de
cálculo.
€
2r)+
Hl
Pórticos hiperestáticos de grado superior
Tercar paso dc cálculo También en esta operación son de aplicación directa los resultados obtenidos en
¡raao anterior. Se obtiene dc la ecuación (prs)
str"' =
-
1,?3.2,r3
+
z5,z) --z,o\;
r,z3 .2,u2
-
r,54.z,ro
+
23,6)
r-n,tu.
+
r-
el
y
=L,18
(gre) y (pzt) p$"'= 2,08; qtt"' = 5,4O. Con el fin de compararlos, en el cuadro siguiente se consignaron los valores de
;rnálogamente de las ecuaciones
,¡/.r
lrasos de cálculo.
_t
r5,35
@ @
@
}lI F}
Ht
Ht
,J,)4
¡a
19.27
'.77
l0 tm
Fig. ¿¿0. Diag:rama de momentc flectores. Rcsultados de los tres fasos de cálculo
erlt.lt,ln,le,,
7,77 tm Ms,t:+15,54 u Me,,L = - 34,86 ,, Ms* : + 19,27 ,,
M\a = {
Mt,s=+4,6,77,,
= + 17,82 ,, = - 33,24 ,, Ma' : + 15,48 ,, Me,t = + 42,18 ,, M1,s : + 15,26 ,, Mz,t = - 27,58 ,, Mz.s = + 12,32 ,, Me,t = + 34,66 ,, Ms.t -- + 11,97 Mr,.s
Ms.e
M:t.t¡t=
¡-
¡a¡
¡a ¡{¡ .a
ts ril
-
Ms.tt= +
23,88 11,95
9, ya suficient€mente exactos,
Mta'z=*2,1,91
Mto.o = * 28,56 tm Mtt,s =!12,79,,
u u
La figura 426 representa el
Mrs,zt=
+
11,38 ,,
Mtt,n=-15,33,, Mn,y= +22,78 ,,
.
27,17 ,,
Mn,r, - + 11,04 ,, Mn.rB= * 20"98 ,, Mtz¡g= | 9,92 ,, correspon-
I I 200
tt!@ s @ aó 95,s ic
Entramado de edificio simétrico, Ad 9q,o { de diez pisos y de cuatro columnaü oo. J:
representado da *(9 un diagrama de ¡¡romentos antimétrico, es 49¡ &' ' 6.5 decir, que a efectos de cálculo sólo deberá j+e) considerarse la mitad de la estructura v ..t 3. 3.o !t,o f de la carga (ver pág. 34¡. En este caso, i @ o debe tenerse en cuenta que g4' : q4, 3. g
3'e
96' : 96, . ..)
9.¿2' : 0"., d"]^ mismo{!-6f modo deberán hallarse en total 30 incóg- E nitas, o sea. 20 ángulos de rotación de los O
q r' 10 ánguios de rotación de
las
barras ry'. El cálcuio se efectuará de acuerdo con el "método de reducción" expuesto en la sección séptima de la parte primera.
h\
ie >
7.0
z,s
@,
@
np"
---T-
6 EJ
ó¡¡
@
órt
@
'¡3jP, -+ Sl 'P¡ _qD
@
/í?\ \ttl
@
@D__E_l_e'
s.o
@
@)
s.s
@
\^u
c @eo
@
G1 D
con cargas horizontales. Las longitud1_y :¿:.ó = 4.5 el estado de carga muestra la figwa 427, o en la cual también están consignados to- 4tj-é 9.0 ; dos los coeficientes de rigidez k y (entre J-C paréntesis), los valores 13k] de las co-40r F fci 5,5 +@ i.rrr,rrur. ne¡i¿o ul rígido o ic "ttrpoira*lientot gl :92.:0.+ot F o do.o s de los pies de ias columnas
El estado de carga
@
q
f-c
Ejemplo numérico 26 (Ver explicación páe. 150)
nudos
+
Mx's= + 9/+,85 ,, Mzt.ts= + 15,33 ,,
Mrr¡s- + 27,04 ,, Mr1t"- + 12,78 ,, Mt¡,s: - 22,87 ,, Mtr,.t.¡ - + 10,76 ,, Mt,.r,1r,-
se obtiene:
tm
Mts'z=+ 9,76,, Mts,o= * 21,10 ,,
Mtr¡z= - 23,9 ,, Mtr,ts- + 71,74 ,, M.,z't: + 43,54 ,, Mr"¡r- + 11,54 ,, Mn,u= - 2i,0t ,, Mt3.t¡- + 11,46 ,,
diente diagrama de momentos.
;t
¡{r
@
Reemplazando cn esta ecuación tos últimos valores
H) ¡{r H) F tí F ¡r¡¡ EI
¡{¡
@
o
los
tsF
15.26
Según (14), la expresión general pa¡a una barra 1-9 es: Mt,z= k (2 Et + e2) + ú1r2.
:{¡ ¡{¡
FT FT ;?
1t.97
Pa¡cs cxtremos.
H) H)
dc la ecuació., (Erz) stz"' =
t¡{
r,68
#
¡-
255
Ejemplo numérico 26
@
¡
é
@+o
DñIE I
e'
@ +.0
g
@ s @ c
o.o
3l
---f o{
@
3'l
td'
t ól 3' I @"
ll),
'____t_
^)
@
IL.__:__-rr____ eoo I ;ir _..'.I eoo¡l
rr' -
2¡l l.
o
@
ol
3-l 'l' -t_
r
FiE. 12'í. Estado de cargs y equema de lc cef iciente.
Ejemplo numérico g6
Pórticos hiperestáticos de grado superior
Ecuacíones d.c condición
Términos diagonales d y D.
(v':,) (e,{) tv,nf !u,u) Ít'] Ín" ) ).
(35) drr=21kn,i; nrir"rrtr;rs para la serie de nudos 4-22 vecina al eje de simetría, debe aplicarse la exprcsión (5/.1 -que dr= dn* ko,n,. Utilizando el esquema de los coeficientes se obtiene p. ej. * 78 d":2 (2.16 + 7)
án:2 y en forma
10,f
74; 7u:100;
7. =89,5; ,1, =5b: 2ro= 7g:
65;
d"r:47;
?rn-5g;
dr--D0;
-d2(t--,)(t,rr.
7r"=68,5;
drr-2g;
drr=
dr, = 38;
áru- 47,6:
7rr- 37; d,,, = 13:
H:
?"^ -_ lr,.
Según ('18), la expresión general del término diagonal Du de la ecuació¡ dc tJ¡sJrl:rzamiento de un piso p es: Du:: *. Considerando, que en este caso & sólo s, r,fi,.,,.
)
a la mitad de la estructu.u,.. obtif,r. para
Dr-Dt-6(16f 18)-20a; Du-6(14+16)-180; D*=6(12+14) =156; Tér¡ninos de
*
t9a*n +
7Et
ca.da
uno de los pisos:
D,,-6 (10+12) -132; (8+10) -108; De -6 Dr=b (6+ S)- 84;
D* -6(4f 6) :60: Du =6(2f a) =3{1 Dro:6(1 +g) -18
* 429e * ,18 r¿s *369+ * 429+
*30/s *36ú¡ *24{a
.erga.
.9rn= 0,5 .
- 3,15 tm: S.r:0,5. 5,5.3,5: 9,63,, i S. : 0,5 . 9,2 .3,5 - 16,10 ,, : ,S? -0,5 .72,9.3,8- 24,51,, ; Ju :0,5.16,9.3,8-32,1I ,,;
enrpr'-
3Q,21
51
-0,5.24,9.3,8-47,31 ,,: : 0,5 . g8,g. 3,8 :54,97 ,, S--0,5.33,0.,1,0=66,00,, ; S:r
.t1
dn e,,
y
:
-0,5.37,5.4,5 -84,39,,
* I
considerando que en este caso siempre s = 0: kn,.i g¿
i
3
k¡r*¡t ¡ 3 kp+t/¡*1 =
0.
iU
r
*"+
>3
,t po
fñ i4 Cñ ,FÉG
Ecuaciones de desplazamiento segin (47):
*
Dpgp
*
Su
=
0.
Utilizando ei esquema de los coeficientes, figura 427, st procede al planteo de las ecuaciones. En el presente caso, no se utiliza la matriz de los coeficientes, colocándose cada vez en el primer lugar el término diagonal.
la
*18ú¡
*
24ú¡
.: :
,t. -L 1O ' - v8
:
* 18/s r 6gc * 12,¡,n .u 3 /ro 4 6,lto
(l () () ()
ll (,
:
*
l)
:0 {6(i,00:-{) { 54,f)1 :'t) 81.,3E
f.l7,ll : o { 3{),71 : lt * 32,11 -- o | 24,51 : tl i 16,10:: {) i 9,fi.J:: (r -l- 3,15 :: (r 9,
r!.ry1i ry 4,tt
n
45t
12tl Fig.
{2,a-
"sislema rrrlr¡r.irl¡¡,,
r,r¡r ¡ el primer paso de cri¡cul{, llrí,t. nius ¿r clnsidcrsr: V.!, g.t, j
fu. úr,
ü
r,
V:,
sentado lo anterior, puede plantcarsr "el sisrcma redu.ido dr ct.uar i.rrr.s I.. ( \ r donde, para obt.n.. u'u ri-.t.iu completa l1*1"" en la esrructur. d¡. l¡rs rr¡¡,¡ crones, se "*j:ite.), dividió sobre p
la ecuación a. a."pi*^_iento, de
,1,..
La resolución de estas ecuaciones da las incógnitas iniciares del printer pas. rr. r.;irrr¡r¡, 9s'
= 11,074; 9-,'- f
1,0g3:
9a'= 10,927: q6'= 10,957:
út'= -0,912: ,r3'={z' : - 1,330:
Las demás incógnitas se determinan sucesi'amente, partiendo cada
F
La apreciación de las incógnitu. tip...riiti""r"r".r.",,r"
É üÉ
l'(356)
aÉ
0 (l
()
EE hdsh
éste debt'n determinarse simuitáneamente síeia irrcógnitas iniciales, a saber, los ángulos de rotación ¿. fo, ,,,lJo. e3, pa, 9,r-,, 9r; Y los ángulos de rota,ción de las ba¡ras gt, ,!2, *.¿. oomo surge de las correspondientes del sistema general, sólo ha1, aru i".Og"liu., ".uu"ion., dJ condición hip'erestáticas, ez y gú que según la fórmula (359) se toman en primera aproximación gz + gr Y 9s + 9e.
tm:
Planteo de la ecu¿ción Ecuaciones nudales según (4O)
La parte inferior de la estructura representada en . fj.lura se eiige como,,sistema."d,rcidoi,.- para
f28
S. - 0,5 .20,9 .3,8 =
1,8 . 3,5
:.0 ::0
*30úc
Primer paso de cóIculo
= (X P) .lp, la mitad de la carea,
()
:: ()
s,t.
.
En este caso los valores Sü y s se anulan, pues todas las barras estárr descargadas. Los términos de carga ,S, de las ecuaciones de desplazamiento para un piso p se obtien(.n de la ecuación (49), o sea, Jr,
-: 0 rl)
f
e
pues los demiís términos se anulan. Como sólo se calcuia con zando desde el piso superior, se obtiene sucesivamente:
.0 -' () ::0 :: ()
7eu
O
análoga:
dr:
dt:
+ 7 + 6) + 6:
(2 .18
TBes
+f!eo *48h *48,?z {18e6 +5+g, +54p; *16ps + !e; +ftEz +4s*; llnu 1T *u * 18 p¿ + + 16 ee + S+',f" ly" +lzei * 9,sr, Fy,*r *14qa * 16 po + 6,5 Ei + 14 e;o +4sp; + 4s ,/; 99's 1s,', !9 nn * 12 p¡ * 6 pro + tO Er, + 36 {,; 1n,r,,) 79 prc * 14 pa 1 en' + n vl, + +Z 9i (,,,'r) * S,5Er-+ aer"+g0g-., llyr,nr, **10ps 12 pro + 5,5 e;; + lo e,., + ao,¿, {u,,r) 9,5 (v,;¡3) 38pra 18rir* 5pr¿ + Oerr+z4g:; 58 Er¿ + ro e; a s vi, + 8 ;;; + 30 9; 10,,r) (c,,,) z2yr" + oeil * 4,5 dro ¡ +vii + rs9, seii + +,sv)i+ oqr, *2+,1,'a 1o',') !7^,5*ro (r¡7) 20_qv +vli + 4e1s'- ¡ zoio+ 12ú; (c,rs) 37p$ + +v)i + +n"í+18rr; (qrp) ]! vro ¡a zoriu¡ vii -F 3,5 ero a er, + o ,¿" + 4e;;+ 1,5prn+ ze;+n{,; !qro) 29,5*ro (,¡,rr) _! *r, + e;; + 3 v;" + 3,!;; 1l+) _16qzz + zvril avr, + 6;r; ú'l 2^9!v, + 48 e;' * 5+ cl' 9z + +8 es + 54 e; * ,[8 E¡ + 54 \ú*) 20-! *, + +z vs + 4s e; + +z ei + +s s. \v'). 199 (,ú.'l ll9vt e: + +z vi + 36 e: * 42 8.t,, (,{r). l1zp, ++ 36 30 e; + 36 ero + ao ó,, + 36 e;; 2avit+ ?0n,, +s1;;; + 30e;; i ÍY.] t991. 18 pra + s4 e;; + 18 e;: + g+ E,u lú.rl 8^1P, *+ 12er+ (,9.h). lsErá lpv;:+ tse;. + Pú* + osi, 12e1; + 6;;; + ÍY'), ?9*, * (útu) 18úr, + aqiu+ eqr,, + tE.r+ nE.,o, 0s,.,
Para Ia serie de nudos 3-21 es válida la fórmula general
9¡+li2qn-qn-., !n-t!2ún-rln-t
1,320
u¡r;r .r r¡;rr i.rr 'ez d.' según las fórmulas (i56¡r)
,
258
Pórticos hiperestáticos de grado superior
El cálculo
se efectúa progresivamente desde abajo hacia arriba, determinándose alternativamente dos ringulos de rotación de los nudos y un áng"ulo de rotación de la barra. Sistcma ¡cducido d¿ ccuaciottcs
eí
IPí
9;
9t' t8
7
l0
9t'
7
t(N
l6
9¿
l8
9t' gt'
48
64
9¡t
4t
64
9r'
9c'
I
gt'
h'
{8
4t
u
6a
t8
gt'
88
7
48
12
7
l16
6{
48
B
¡{t ¡t{
a{¡
84,38
?,04
48
64
42
48
2U
06,00 90
27.*A
de 9t de la ccu¡ción (g?). Apreciado: pr' =2 Fri - 9¡' - 2.O,gi7 0,927 - 0,987; ps' +2vz' - 1,31. Por tanto, - 9-r' - 2pz'- 1,083; ga' =29"'-gz' : -2.7,32 f 1,33 ::
Determinación
- -
9z= -
1,S.1,083
w
6,5.0,987
-
+
19.1,083
+42.1,32 + 36.
1,31
- +
1,060
Dcterminación de ,/'n' d,e la ecuación (ú4). Apreciado: 99':ZVz' - g6'.=2. 1,06 ea'-2.0,W7 - | 1,037; pp'22pe'- +0,897. Por tanto,
Y4¿
-
36. (1,06
+
-0,957 1,037) - 42. (0,927
+
0,897)
156
-
Dctcrminación dc ar' de la ecuación (re). Apreciado: prc' i2
47,31
9a'
- po'
-
1,083
=,
1,278.
-
2 .0,927
* 0,897; es'-2ss' - q7 -Zps - 1,06; !s'=2*t' - -gs'.= -2.7,278 -+ -0,957 + 1,32- - 1,236. Por tanto, 12. 1,06 - 6.0,897 + 10. 1,06 + 36 . 7,278+ 30. 1,236 = g 0,995. 90= 56
+ 2.10
dt prc' de la ecuación (pro). Apreciado: pe'+2 9ro'O,927; gr' = - 1,236. Por tanto, - 74 .0,927 - 6 . 0,995 + 12 .0,927 + 42 1,278 + 36 .1,236 9to
Dcter¡ninación
=
Determinación de ,l,u' de
É
9e'
:2p.to' -
ecuación
(gr).
Apreciado:
9rr'* 2gs'-
e7'=2.0,995
f 0,93; e.','=2erc'- 9e'-2.0,877 -0,927 - +0,827. Por tanto, .t 30 (0,995 + 0,930) V6' = - 36 (0,877 + 0,827) - 39'71)- - 7,21)2. 132 [-
1,06=
Fl ¡rfEr trl Gi Frl Ft
¡t
Frl
Fll
Ff FI
'!Fl
79+2.12
la
¡r{¡ Fl frt f;r ¡l Ft ¡r{
Ejemplo numérico 26
En form¿ análoga se obtiene de las
-
;rl arl' arl (É
c-
2\t)
demás ecuaciones de condición:
= { 0,898; v1*'.= } 0,827 ; v16' = { 0,676; 917' = { 0,4,$8; e$' - * O,2ll; vp' = { 0,79*; v4' = ! 0,733; e16' = f 0,690; 9rr' = f 0,448; v2¡' = f 0,266; *7'=-l,O3l; 96' :-1,138; 9s'=-0,847; *16'=*0,3i.1 ; 9n'--0,621; g21' - * O,ÚM; 922' - + 0,080. v11'
Scgundo paso de cálculo
La ba¡e de é¡te con¡tituye cl "si¡tema reducido" representado en Ia figura 429, r'orr tres incógnitas iniciales p6t 97> tl3. Las incógnitas hipercstáticas 9a, 961 9ú 9s, ú! *t de las ecuaciones conespondientes, se determinan según (358) con los valores del prrrtrr paso y como función de las incógnitas iniciales. Se obtienc, luego,
=#r#' es" = 0,992ei" : ro" =#' Er" =0,93ee7"; nu" =#.e¡" =t#l'et" =0,88'$e5"; *r" =#'*s" - 1,008ú,3"; *r" =#'ez" =ffi'e¡" =0,875er"; 't"" =#'*"" =0,e68'y''J"' *""
=#'
e6'
El sistema "reducido de ecuaciones valores en las ecuaciones iniciales.
II"
se obtiene introduciendo estos
Sist¿ma rcducido dc ectaciones
;{
9"' de la ecuación (pa). Apreciado: p1o -2qa' - g6'=2qr' - 0,957: 1,31. Por tanto, - 16.0,957 - 6,5.1,06 + 14,.0,957 + 49.1,32+42.1,31 - + 0,927. 9g= E9,5 + 2 ,14
Dc.tcrminación de
9t'-
F H¡ H) H ¡rFE ¡r-
9c"
gt"
Vt"
9r"
96,06
l4.o
90,38
gz"
14.0
81,96
76,85
Vs"
84,43
84,0
r
80,0
9¡
II
*io -- 9¡
B
',I-i
54,9 t
%
La resolución da los valores inicialcs del segundo paso de cálculo:
= ] 1,038; e7" = f 1,003; gs" - - 1,259. La operación siguiente en la cual se hallan sucesivamente, )
Fic.129. "Si"tema redu¡:id0" Dara el olP¡¡r¡¡lo
95"
partiendo
siempre de una sola ecuación, las incógnitas que faltan del segundo paso de cálculo, se determinan introduciendo directamente los valo¡es l¡allados en el primer paso para determinar 9t;", ú¿", v+", ps", ,/'t". Aquéllas pertenecen en su mayoría al primer "sistema reducido" y posiblemente sean exactos. Se obtiene, luego, e6"
=1fu- (-
't'2"
= 2,lt-48(1,074-
1
18.0,v27
I
-
2.1,038
-
1,038)
54'(0,Y¿7
-
9,
16.0,927 +54..1,33
+
+0,938) -661
4.8. 1,959)
-
-
paso de cÍ¡lct¡lr¡,
lncógnitnx ¡¡ con¡ider¡¡:
9:, 9;'
suf ic iert t t
r¡
V
rr
rl ll
I
r'
10,938:
-1,314
¡- análogamente
va" = f 0,920; ps" = { 1,072: ú1" = - 0,910.
Para la determinación de las demás incógnitas, la apreciación de los valores hipcrcstÍtitt,., se vuelve a efectuar según (358):
*r" srr"
*ffi i ffi"
. q7"
=0,939er"i e1¡" *
.es" =0,903 ee";
ey¿"
ffi.
es" =0,9.[5e*"r Y+ :
!W.ert,"
=
0.905
e¡e";
1,278
73f]o-'vt ' - 0,967 '/,.r"
1,2n')
;
v¡ : 1,27g-'*t - 0,9+2 úa" ct<.
F
zffi
ifF e¡{¡
Pórticos hiperestáticos de grado ruperior
ñ
Finalente se obtiene gs"
= -
16. 0,938
91"
= -
36 . 1,939 . 1,q)3
-
6,5 . 1,003
89,5
-
+
+
1,9á9 (45
+
42. 0,967)
_
47,37
14.0,946
42 .1,W . O,g?5 156
- * 4875; --
FF 6.
19tt;
ñ
análogamente
9s" - f 0,935; pto,' = \ 0,g24; ús" = - l,l3e etc.
tt!
Tcrcer y c{arto paso de cálculo Con cl fin decompararlos, se efectúan dos repeticiones de cálculo más, sin el uso det "sistema reducido". Por consiguiente, todas las incógnitas se hallan sucesivamente, utilizando una- sola ecuación, o sea, en el terccr paso se calculan los ángulos g5r g6r *2, g+, gg, út, utilizando directamente los resultados del segundo paso. Las aÁa" i""'ág"iias íe ¿ei"trñina", como antes' según (358) utilizando las relaciones de las incógnitas recién haltadas. En cl cuarto paso de cálculo se aplican directamente tos resultado¡ del tercc¡o. Todos los rcsultados se ordenan en el cuadro siguiente:
@
@
@
!T
lv PG 9¡
9t 9¡ 9¡
9¡
9t
tPt
9tq 9r¡ Prr @t¡ @r¡
tP¡t
9rr Qt,
9ta
T\¡ 0,r" (P¿¡
9zt 9¡ 9¿
9r
9t 9r
o
@
@
@
rltz
9. 9t
Fr l0tm
Fig. 180. Diagr¿m¿ de mohentoa
9¡
9r f¡ectores,
¡'
+ 1.074 + O,92? + I,O83 + 0.96? + I,060
+ O,g,t ? + 0,906 + O,87? + 0.898 + 0,794 + O,82? + 0,733 + 0.676 + 0,02O + O,a4E + 0,448 + 0,233 + 0,206 + 0,004 + O,O8O
+ I,O?2 + O,92o + I,O38 + 0,938 + l.Ooa
+ 0.876 + 0.936 + 0.824 + 0,836 + 0,762 + 0,767 + 0,609 + 0,603 + o,8¡7 + 0,397 + 0,390 + o20e + O,2Sg + 0,o6E + o,o?9 o,9t2 o'9ro r,330 - l,3l{
+ I,O7O + I,O6e + 0.022 + O082 + I,O5t + I,O6t + 0,93. + 0.038 + 0,000 + l.ü¡f + o,t82 + o,Eg) + 0,920 + o'9nt + O,8f8 + o,rrt + o,&tg + O.8rtt + o,?43 + o,7/4,
+ 0,712 + 0,667 + 0,684 + 0,628 + o,sg? + 0,38* + o,2rr + o,21? + 0,06? + o,Ogl oJlo
+ O,1ga + 0.6,62 + 0,680 + 0,526' + O,4lOl + o39¡ + 0,212 + O,?.15 + 0,06? + o,ogl
- 1,310 - t,320 1,269 -- 1,266 - 1,278 - l,2ll - r,202 - t,132 - 1,208 l,lgt - I,l3t - I,063 - 1,0{3 - I,O3l - 0,038 - 0,917 - 0,764 - 0,733 - o,84? 0,621 - 0,670 - 0,670 - 0.833 - 0,323 - o.E80 -
o,0oe 1,316
l,2t t l,2ltl
o,ou
0,73? 0.82e
utilizando el esquema de los coeficientes, figura 427, obtienen los pares extremos siguientes:
y
los valores del crarto paso,
¡lIF
re
(FF ftO
f,:Y;|=:izf;'
,,
--
Mrr,B
I f,!:= 'ii," -,T;ii,',:,, fn:ll Mr2.r0 21,42 ,, Uo,,i
=+
=-
9,59
7,?l
,,
--895tm
,, MLz.rr = * 1480 ,, =
,,
M;:;'-- +
16,85
i,::::---
llli
,,
rn::::=:l::'":' Mrr',u
-
=
5'4D
"
I 'uulul':, [;:.:,==I?Il',:, Mte'zo
= Mts.tt =
79,gs
r,i::=;T;,i1',:, rn:;;'=:'3'ii 6,43 MLr,r,
14,52
;i
- 0, según (7) se tendrá Mt,z=k(2qtle2*3*).
16'60
+ Mr,,ro= -
;lF {FF
o,5t¡
Uti*'= +
::
lEll t+ Ol+
F?
I,O3t
r,:i::=;li:13
8,17
*+ "FF ;i
'M:rl.':.t
1'::fi r':T:"'=r?t'':' r;::i= 'li;'.;=+21",4{2,u -'?:,',, f",:,i\ üre'ta:-+'62" Mto'8 = =-15'4E" Mto.e:+t59,9"' ML,,''o=-3'32" u"i=-tt,??.
Mr* = -
fE FIF tt
961
':,
Ms't --
M\s:-9$,53-tm
FD
FF
I,t20
Pa¡es cxtremos.
Siendo 9t
ñ Ff
FF
Rcsultados de los pasos de cólculo
@
;¿ F
97 9'1'ttm
EjemPlo numérico
=-
,:
fn"li:
:1'1"fl
;
,,
Mrq,ra
: t
,,
10,19
9'87
1'8'l
r'::;=13:lÍ
,,
',:,,
-
Mzore
: -
3'46
" " ::
"
Y'::';=Ii:t'":' Mzt¡s
= - o,fl "
ro:i::'=:: l:12':, i,";:=:itr"" #::=;\i':,i':, Me'zt = * ,, M*'r'=
En la figura
,, 74,55 ,,
,$30
Mr5,1s Mr6,L6
Mt¡,tt
=-
O'ffi
5,03 7,58
M*.o'= {
,, - + 2,ü,, =-
0"18
' "
'
los momentos se han representado en escala.
EjemPlo numérico 2? (Ver también explicación en la pag' 152)
Entramado de edificio de hormigón a¡mado y acero, simétrico, con ¿""plo",""ri-e"t"* l""tiot"", de seis pisos, seis columnas y carga vertical'
:lil%:
fl
T:a'; *:,x".3:iri:'1ff:,'at,u?,'Hff',*Jff"T:'ti:J""1, pórtico está
áiO;, alU":"das con trazos gruesos, son de acero, mientras el resto del
;,,T?lt[,?"'ffi'9":,"d?1fr"i::
1"jrffiil"T'H#::fff#J*"lTñff;
de momentos.
o.*"no'.,.#,;:i;:"',"i:&;L:iB"lffi[:':.'::'*# 7-22' de desplazamiento 6 de
E¡
la
serie
oL' ,3,
'""1;, iT.
nudos
el cuadro de las constantes de barra 97, se determinaron los valores
::,:i: ff;::"':;'*',:.': ;:; elro, el cuadro
;.m;;"
;:'1. tiene una columna;".. ;" relación
*
o""
L:,"'
es igual
: try j- '+
ffJ;*jff
*
a 1 ó 10, tt tl oTf
acero respectivamente. Aderrás, se calculó
son de hormigón armado o de las barras que sufren una rotación.
r
":T;t'T:i
el valor ¡i = -'T'
969
F FF (FF
Pórticos hipcrcrtáticor de grado superior Cuadto dc las co¡súo¡t¿s dc bar¡a 27
'24 t-4 3-O
4-6
0,0f4HO
TOl8r'
o,029t7 o 0001t
6-O
8-7
o,0r6at
qqrrlm 0,00200
a-t
4-8, 6- 9, ?-tO 8-9, 9-rO, r0-rg
E-¡r, 9-r2, t0-t8 I l-t2, lz-t3, ¡3-r3', 14-t5, 16-16, l0-¡d l7-18, lt-19, tg-ry I l-14, t8-¡6, l3-I0 l+-t?, r6-18, t0-10 17-w,lt-21, l0-2t
?.0-2t,21-22,ü¿-22' En el
esquema (entre paréntesis).
o,(xlt8t
a,rt 416 r,l5 +r0 &ze r,40 a,r0
I
0 00783
¡,19
66146
o,m¿l8
3,66
I
16116
0,0034t
36/18,6
8,ó6
o,(xr333
I I
8,66
4,lg
de los coeficientes, figura 432,
se
Térmi¡os diagonales d. Según (19), la expresión general es do='4f"¡' vecinos al eje de sirnetría es dn' coeficicntes (fig.432), s€ tiene:
;+
1,91 2,00 8,60 1,28
trF fF
l,8l
l,g7
t+
I,lg 0,00 0,70
IFF
O+
o,o,
consignó todos los valores
rl)
kvi
.+
-2(7,17 +14P9) dr'=2(14,29 +4,3+) -4,34 ds
@
@
CÉ?
Lsz
f.18
O
t,B7
a{)
tE7
(\u)
É
lt8
O
@
t,BT
r,¡z
(1,3+) I,rE
úD
18?
fu
CFF
ilE
,tE
18?
[87
(.|"54')
w
D
O
rl
tri it
@
É
100
468
Ozrz @uc
-
@ol@ F¡r¡. 431. Dimmsicnes d€ la estructura
4i4
F? ;t?
r{
z?-
4,19
f+
t{¡
lbo lz,rt)
w
IFF É
t,28
s.so
trF
y 6t¿do de
f-
o@@ cargas.
Fiet, 432. Esquena de coeficiate¡.
Ia
.il ¡-
|{f
+ 1'98)
3,50
-42,92;
=32,92;
-
13,56'
l'r, = 9,89; dzo = 3150:' d" = 5,08;
d'o=
4,29
En el nudo 10 debe tenerse en cuent¿ la articulación de la barra en 7; dc la en combinación con Ia (50) se obtiene d'lo- d\o-0,5 k7o,7-2 (2,0 +2.3'5 + 1'28) - 3'5 - 0'5.2'0 = 16'06. Térmi¡os dc carga fli. También estos se consignan en un cuadro' Se obtienen con
$|r,n=-q0td""
(rrr))
la fórmula
=--!#'
Térmínos de carga cn las barras frl
Ga
qs6
0.96
@
@
0.m Q,57)
+
d, =%),56; d'1.6:10,53; d'tu=10,33; dr, = 8,66; drn - 8,46; dt, = 8,02; du= 12,4O; dr5 = 72,20; dM -- 11,76;
trt
2,6vn
(2,00
=2
Análogamente se tendrá:
ar"
+-419
: d, -
Scgún (50), para loc nudor
ko,n" Utilizando los valores del esquema dc lor
= 18,30; =9 (3,47 + 3,68 + 9'00) 7,17 +2'O) -'1O,10; 3,68+ =2(7,W+
dn du da
|rl frF
t,0t 7,17 l{,r9
IO
85/4E
4,16
+n
7,2O
I
o,(x)a50
o,or106
!+
0,48
to to
60115
0,00838
IrF
,ra1
¡ l0
I I I I
60/66 9616t
fÉ
r-+
l00J t
6 T'E
r0/oo
twl67
¡-
,
¡/¡(cc)
2l
Ejemplc numérico 27
4-6
{)-o
6-7 7-7' 8-9, 9-10, 10-10' I l-12, l2-13, l3-13', t4-16, Ió-16, 16-16'
l7-lr, 18-19, l9-19', 20-2t,2t-22, 22-22'
¡
4,19 2,79
0ro 613
t,40
6,6
4,19 4,19
6'6 3r0
4,19
3'8
4,19
216
e¡ los nudos s. .r, = D,,,, se obtiene ? 14=-8,78tm;
_ _
8,78 4,09 0,90 g,06 6'27
-
3,06
6,56
+ 8,74 +,l.Oo + 0,00 + s.06 + 5,27 + 5,56 + 3,60
Términos de carga
a)
Según (36
=* ro.= * rz: *
rr,
- + ,{.,09 0,90 - f 0,90 - 8,05 = 8,78
4¡09
4,69tm; 3,19 ,, ; 7,75 ,,
18:-5r27tm; Jtl=Jt4:Jt?=-5156tm; J2o=-3,66tm.
1
Plant¿o de las cctactones Según (99)rla expresión general de las ecuaciones nudales de las estructuras con de¡plazamientos verticales es:
*Efrr,¿ 9¡ + 4ó.-r * xró- - lr,16r,*r * s,, = 0' Pa¡a la serie de .rtr¿o, Z-SS debe ponerse 6n-1 = 0 y 6. = 6n,*, = E' Además, rrpor tanto, para estos puntos la ecuación nudal toma la form¡ gún (101 ) xn:kurl-Ir, (l) d,9n *!/r,,¡ 9i - 4, ¿ + sn = o. dnpo
I
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*.*;'J*: aft :"r1;3¿í;?',;:-ft i];i;il;i:;';;ff;.tT#¡;?;#:;;;:::.J*ji"".lt,"ü"#Jñ¿.'l,ii,*.l'--'¡il¡."¡tien. ¡Gr 0. Ob¡eñudo ¡dcú&, *sú! (101) & ¡udq l91 ¡o ti@. dcip¡a@¡.rto, Esür (160'
iü"'i-':lY-,#-e"x"lT"f;
quc
=
r*=f*r_¡,y[F!¡(l07)D-=\'*K"l'po¡r¡nb,l.ccuació¡dcdc,PtuuiG¡lo .t. La Bic 7,99 pu.d. ¿pli@E €¡ ¡a fo6. ris¡,r€¡t.:
(N)
-?*,e*,-?4q-+ry¡-+rñ=0. E¡ 6ta' Feú! (too)
*"=,2-1'=,(T,# y
csú!
i¿'u.-
(10s) ps¿ E¿
r. eti€ d. ¡ud6
* *u'*u.1É**0."¡='','u
7-22, @$i
- -',1-, p"6 sú isua¡d dd. ild y ti.¡.¡ -^- '' í" i" "'-
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=-+t,zs-ss,J\-9-3,0.4re-3.3,8.4,1e
or¡ario:
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-
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r",
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: :llf: ;l-l-T-
es:etr:er.:elr:9so=1:1,66:1,69:1,7E:9,69;
- (¡@r
f4t -
7e á
I
ero:
n*,rr", nrn,ro=r,0,81
: o,g3 : O,g7 : 0,85.
¡r,+:
",,_f,'*.;t;:':'.j:Tokñ@pr¿á¡.¡r¿¡ftúc¡o'€sinidaree.rrnadd.¡ ." t -*t o"or tr"t, 1,ga er1= 1ps. r,65 es = %1r es.
J* ." : : l;:j;, lü;*=ffi:8;lifi"=llll;; F rfFa -
O.t
E.,s.i.ne'¿¿..n¿üui
',',?H:."il.:il"1il¡nw)[email protected]¡@cfichDtqfisuE€9.kPIut.d=
acaapbzoicnm(ó):-l3a(er+es+er+ero+ets+e1o).. -o,57le2r+eú)=-1,34(0'89e0+q8le1o+0,90e0+q$r\o + 0,93 e0 + o'87 ero) '0,57 (0'92e. +0'85ero)=_4!17ee t8¡e," co¡ t¡! úr¡ion. r prcedc ál pldté d.l "'i¡r@¡ Fdu.i
,"
un
"
I
'u'd.'
Sistema reducido de ecuacis¡es
eí
9¡t
9c'
9r'
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I
9t'
B
6'
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-5-lii*H*l ".1-l*l """i-l-l _11'6 *ll llt -:*h-l:l-i;l;i-l-fr:;ál--',," ,,- i ',"[--l frr"." i-l-l-"."' -at --Lr-, 9:
r8,30
S,6B
9t'
3,69
40,10
2,Oo
_*8:?
[;:] ffiiil'ifrí:,11á#;'-i:frit''"=" É Í;:j t¡xÍt;l*i:;irÍt;:i:l;:,",=, i i l:í3;:; !fri',:*iil;J-",",=" 4 r-+ t''.1_rrylflg'l-¡q'L--"t': l;iíl l ----:-ii____r-i-l---T---l iiiji iii i t,j4ii i iil + r,sze,i+r;rsv,o-r,ra¡=o R -,rr"l_ r¡ i T-_ Í;Í]'3'i3;li;lÍ3;j:il:3í;;il,i3;i:_lI31;'?a," e;r, r9,!oer6+1,18ej2+,,87er.+l,E7e,d+1,!Eers-1,346=0 I 1.18e¡0-1,34¡=0 pe 9;
7
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3:33t;
2,00
9a
9t'
i,az
rr,ro
42,92
r4,29
14,29
32,92
-30,02
-30,62
t5,67
3,50
3,60
21,70
3,50
3,60 s¡"
I?,t0
2,00
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1,87er6+
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7,L7
- 057 r,3+ ier: * oB + elb + er + e,s + iEro) n,j'14511E¡ -w,&-1e"¡ + ere) - 0,57 (e21 + ez) + 4414¡ - 139,05 = 0. 0,96e1e
0,79 e2r
4 at
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',*' er'=+11,5E; e5'=-1,635; '";=*
*
2,61 2,61
+ 4?,13
d. cúj.ülo
es'=-qlaa; e'$=+ e0'=+1'679; 3'
1,e65i
=+t5'75
"*'HJf:"n#"":f,'n*"::':Ta;'i:]"ff:";":*ff*::t:n,""Tf-";:,'ili diú!. un¡ e!ftriar;ón. cmo !ur8r d. la' p¡oprciorcs p¡a¡L¿da c¡ (360) a (36!), rx ÁDslro¡ d€ ;taciós d€ ros Dudos iit*dos !" i¡* --ii*., e¡ h ú;yo¡ia dc t6 ,rs\ difi.ren p6o cn 5u ,alor nüméri.o, por r¡nb, e¡ la prihcra ¿pdi¿.ió¡ y con
rl
rn, ,lr
zffi
a-
Pórticos hiperestáticos de grado superior
simplificar, se los adopta del mismo valor. SóIo cuando pudieran existir mayores difcrcnr.ias, éstas deberán tenerse en cuenta para la apreciación. Aplicando estos conceptos, se efectúa la determinación de las incúgnitas quc faltan. En este caso se utilizan sucesivamente las ecuaciones de condición del sistema gent:ral. D¿tc¡mi¡dcün de pt de la ecuación (prr). Apreciados e72'*0,899n'; ptl * vtt'. Por ta¡¡to, 5,56 + 1,9t3.0,1M - 1,87 .0,89. 1,679 + 0,300. g'lt = + 8,66 + 1,18
-
Dctcrmi¡ación Por tanto,
p12-
dc atz' de la 7,34 . 15,75
ecuación 7,% . 7,679
-
(pr¿). Apreciado: 91s'*
-
l,g7 . O,3O
0,81
grn'; pt'' :: gtl
1,87 . 0,91 . t,965
-
-=
t ¡,lJrr.
Dctetminació¡ de pn' de la ecuación (pls). Apreciado: pro'i
_ Yr3^,._
grg'. Por tanto, + 7,34.15,75 -_l:94.l,ry_- 1,87 .1,130 _ _L 7,4O7. 10,53+t,ig
de la ecuación (pr+) con g'1o*p'tz ! v'y *#n'rn,
" ,, " "
(Pls) ,, I't6= 0,83 9'19 .Y 9're * --9'r¡: (9ro) ,, g'19 * g'ro: (Prz) ,, 9'7g*9'r¡ Y g'¿o * #n'u, (Ers) ,, P'ts * 9'ro Y 9'21 =! 9'rr: (qrs) ,, I'8, * g'le: (Pzo) ,, 9'21-= g'ls: (Pzt) ,, 9'22 * 9'19:
,, ,,
,,
" "
=f P't-- I p'.16= { V'17: f r'1s = { e'1.9 - * V'2¡: I 9'2y = { p'22: + v'1a
,, ,, . ,,
(qzz),
'
0,319; 7,2O5;
1,282;
1,562; O,672; 1,526.
absolutos
q, + 3,19¿ - 7,17 .1,635 + 3,19 - - 8,53; de desplazamiento (8): - 2,51 (po * gro) - 1,34 (pr¿ * 9rs * 9l¡, * * pro * e1s * ?rs) - 0,57 (pgr * ezz) - 732,05'- 2,51 (1,67s + 1,965) - 1,34,(1,13 + 7,4A7 + 1,n5 + 7,494 + 1,282 + 1,562)
,, ,,
,,
7,77
1
-
0,57 (1,178
+
1,526)
-
132,05
= -
153,57.
La ecuación (pz) no va¡ía en absoluto, pues sólo contiene incógnitas inicialcs. el "sistema reducido de ecuaciones II" puede plantearse en el cuadro.
consiguiente,
Sistemo rcducido de ecuaciones
(Pc"
|
II
*r"
Por
ñ
'}l {F ata CtO
47,13
ala
é
97"
siguiente, de las ecuaciones de condición del sistema general se obtiene: 1
gs" = 4,.,1e
* - 7,li '7,1'B
3,bü.0,82t
2.1,679
1',69)
-
- -
1,614,
- I
0,f31¿0
,|
(J'b8,l'614,+ 9.0,1'l'4 f
e4" -;J 1
ss" = lj,5ó i- 2.0,8: 1
sg" = 2\56 ). l,t,l{ * eto"
=
7
l-
l6Jf6 I
1
st2"
=Tr,4l-
rbFT
3,5.1,679 3,5.0,194
3.'-).l,tt82
ett" = r,;6 ',t,
;a fra ;e É ;l rre 7|l GI
= } 17,42;
6" = | 75,54, Los demás valores vuelven a detersrinarse utilizando cad.a vez una ecuación. T¿unbién aquí ee prescinde de nuevas apreciacionel, y las incógnitas hiperestáticas se recmplazan p
,v anáIogamente
É +
v6" = { 7,48;
prg,,= l
É
At7
Efcctuando la resolución, se obtienen las incógnitas iniciales del segundo paso dc cálculo:
fl.
tFl
7,178;
esta operación se toman de las ecuaciones de cond.ición del sistema gcncral. Para las incógnitas hiperestáticas, en este caso se utilizan directamentc los r'alores hallados en el primer paso. Por tanto, se obtienen los nuevos l1'r-
:
:+ lle r+ ;? ;r
¡l. ;'.
0,309;
la figura 434, para el cual sólo deben diterminarse simultáneamentc !r¿-¡ incógnitas iniciales, a saber: g6", g7" y 6". Las ecuaciones necesarias para
para la ecuación nudal (90)
f+
¡ll
1,4941
Segrndo paso de cálculo Se elige.como "sistema reducido" la parte del pórtico represcntada en
l'ie. 484. "Sigb-1 Ldl:lgd' el aegunÍtata - do paso ie minos
tt+ ¡{ rr+
F? G? ;?
En forma análoga se obtiene
Ejemplo numérico 27
¡l.
0,1cr!
-
1,28.0,3
-
3,5.1,965
-
1,28. 1,4{7
1,8¡.1,13
-
8,78,r
+
+
5"27)
*
-
0,1{H
-
1,98.1,13 + 2,51 .15,5+)
* f
l,(rttl
2,51 .15,54)
1,18.0,319
-
1,28,1.682
-
1,87.0,383
1,28.1,95
-
1,87.1,121
+
5,56)
-1,87.1,4,07
gtt" = f 0,294: pt:i' = | 1,'ü0: 9¡6
1,18.1,205
+
1,34.15,54\
1,18-1,494
-
Vts" = t 1,544; pt,i' = f 0,705: v:t"
-
- * - *
cálculo y se encara la inmediata drterminación de los momentos.
1"1'631
gtz"
,
1,158;
pn" = +
Segírn
y el
esquema
+ 3É) + llir,2
dc los coeficientrs (fig. 439),
con los resultados del segundo
pasr.r de cálculo se procede a la determinación de ios pa¡es extremos. Para la barra 6-7 el valor
de
3
'¿
3 ú0.;
cs:
= Para
este tramo
l¡ ¡li las
= ?
-
3.
15.5+
t.+0
= -
5513.
viga-. situadas encima
de
-
-l-
1,121
+. t,a7+
1,2ti3;
1,506.
+ 0,822 1,836 -+ 7,60 u,68
9t 9c 9c
+
9tt 9tt 9¡¡
9u 9¡¡
9tt
9t't 9t¿
9n
9to
9n 9tr
+
ó
2,_ 3,1'=--llg:-:--- _ 3.15,54
0,144
-+ l,g7g + 1,906 + 0,300 + 1,t30 1,407 + 0,319 + + l,2oó + 1,494 + 0,309 + 1,282 + 1,662 + 0,672 + I,178 r,626 + 16,76
9to
12
+ 1,34.15,54 -
Pm
9¿
(7)
-l- 0,3tt3
Sco¡¡d¿
9t
Mt.z=k (2vt +
-
R¿sútad,os
Qz
Determinaeión de los pares etlremos
-f- 1,!)50
= + 0,271i gr¡" - -f
,
Los resultados dc ambos pasos de cálculo se agruparon en el cuadro adjunto. A pesar de la notablc variación quc existe entre algunos r'¡lores del segundo paso de cálculo 1' los del printcro, se prescinde en este caso dc un tercer paso de
-
-
11,13.
+ 0,820 1,614 -+ 7,4E 11,42 +
-+ 0,104 1,6E2 + 1,960 + 0,8t8 I,l2l + 1,071 + o,2e4 + l,t(xt + l,4et + 0,271 + 1,288 + 1,6¡{ + 0,706 + + I,168 1,600 + 16,64 +
Pórticos hiperestáticos de grado superior
Los pares cxtrt'mos de barra son:
Mt,q=f 2,85tnr Mz,r=-71,62,, M+J -_
+ 5,69 ,, Mn,s* - 8,68,, Mt*=+ 2,89,, Mr,z=-23,24,, Ms.+ = * 0,08 ,, Mt,e :+26,+0,, Ms",t):- 3,09,, Mt:.¡=+99,78,, Ma.r =*99,78,, Mz,e
= - 41 ,68 ,, Mr,r'=+41,51.,, Ms.+= + 0,86,,
Me,c:@
trn ,, Mro,to' : * 1,55 ,, Mro,ra:+ 6,75,, Mtt3 .= + 0,73 ,, Mtt'z=2,03,, Mtt,t+ -* + 1,25 ,, Mtz,s = -i- 5,02 ,, Mtz,tt=+1ü,47,, Mtz,ts = - 19'60 ,, Mp,Ja=+ 4,06,, Mro,z
- +
Mto,s - -
Mta,to= +
Mtz'z.: Mrr,r.s'- Mtz.ts:+
6i01 ,, 8,01 " 2,99 ,,
4,97.,
1,15 tm
2,22 ,, 1,A1 ,,
Mts,tz=+ 4,75,, Mta,t+:+10,60,, Mn,e:-79,14,, Mts,':+ 4,32,, Mt6.tt=+ üre.r¡:Mr"o,r,t'- Mt¡:,tt¡:+
5,28,,
Mt¡,tt: + tr(tz.tt:Mt.¡.zrr=*
2,19,, 1,20,,
Según Ne 2 d, página 4, Mtt,,¡
=
5,07,, 7,53,, 2'82 ,,
0,99 ,,
Mtr.¡:+
3,50,,
Ms'o: - 25,61 ,, Ms',: + 5,74' ,,
flectores,
Mt+'t = * Mrn'¡ = Mt+,n : *
5,85
14.,75
0,74,,, 0,01 ,,
Mg.s=+16,37,,
l0 tm
figi.435. Dia8:rama de momentos
Ma,n= -
Mrs,r; = f 4,40¡m Mts'¡ : + 10,80 ,, Mt,,g: - 18,7'1 ,, Mt,.z.t"=+ 3,54,, Mtrr..tt¡=+ 5,17,, Mlrr.rs=- 7,49,, Mro,rn'= * 2,67 ,, M$.n=+ 4,41 ,, Mzt,..t¡ =* 1,61 ,, M2o,zt=- 7,63,, Mzt's=+ 3,43,, M,:¿t.zo: _| 6,0'f; Mzt.zz=- 9,43,, Mzt.tt¡:+ 4137 r, M:r.zt=- 1184r, Iltz,tt'= - 2,47 ,,
1,5 A . qr,,.
En la figura 435 los rlornentos fueron rcprcsentados en cscala. A pesar de las opt'r:rt:ioncs de cálculo, su exactitud es sumamente satisfactoria, como
t:aciones
2M=0
en cada uno de los nudos v Il'=0
pocas
lo muestran las verifi-
en la serie de nudos
7-22.
PARTE TERCERA TABLAS AUXILIARES
Tal¡la
iH-',,:# 0,083
o,uo,|,,rnrl,,rrol s,urrl u,rrrl t,uotlr0,4rz ls,86l rs,ool,r,rol,r,usl sr,tol
l5
0,125
t,.r
10
n,uo,
-n:ll1 o.r08
4,84{
_lfol
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o,2s2
1,260
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I
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1
l---l---
i -
t,*r I ur*lt;;l',,,ruriro,nurlt;;r;l;p*l ;rrtl-ttpr j'r,neitnt,nrlitr;rlrrt,*ir*,r;l;;l *t,rlntu,ot
r,n_oj
l-1
o,,,rl *,rol,r,nul,r,r,
-ao,rolroo.ooltrr,oulrns,rrlrrn,,rirtt,utlruo.otlrnt.o, ,,nutl u.rorl s,ooolro,rorl'.r.,,iro.tttlnr.ourl uu,nul tt,ool nr,onlrrn.rrltnn,u.lrro.orlzon,rrlrnr.oolreo,relgrr,r, --l__l-l_il-_l__l_-l-l-l--l__j___l-_l r,coo o,aonl to,rzri ro,o:al rr,orcl ar,rzzl ro,s:;l oe,aol at,ooi roz,orl ree,orl rse,zol roz,ool zro,eoj zzr,salszr,ozi rzs,oo I
_1',11:
1ó
1
,,r',rl n,,utt ot,*l n.ouri z.rtrlrr,uurlrr.oorltn,orrlr..or,rl ..__lt__'._...trll__t_*_..t_.lt¡_t_,-r_tl
r,l?5
50
nz,orl
l-;,rorl;;l r*rl ;,.,nol',,rn, l,u,urnl trrl rr* ;,o; .r,rr j nr,rrl un,*l t;,rtl;l;ltrr',,lt*,.,,,, ,.r,,u *'É' l l,iiu l ;,;.^n; l l',';l ll;rs' l 'r*' ',o l ri.;l '.,'* l- 'ñ l "," 1- nu,fi l-r,.r,l ;dl i,ou, l-u,ruu l-rr* ¡-nrrr | ,r,.r,l',*,0*n ] ,u,*, I r.r,* I ;tñf ir,ri¡ ,r.,nr I rrt,*-l-;üllrr¡; I ror,rt ",,.1-rtr", ,,0* l-;.;l-;;i ,o,i,ol,n,uon;rr,r., l;,';l 4r,601 rrrl ;*.1;;';ltoi,nil '*poltr*rl**lrti,rnlruopo
20
56
'1it_l
191
60
0,500
1,088
6ó
0,6{2
tr"-
:
(!
Momentos de inercia de secciones rectangularcs cn dma
l0
ii
1
;,;;l x- lt**lt-,"1*,rrrloi,,uulnrrrl ^,*l-rrooltrro'ltr',rtltor,iulrrn,rl*t,nil*n,trl'*,;l;;; ,',u..1*19i *lyqll*l;1;l{s-I,",'il'lll;lf"l:ry,ryI"f:;
,J D
z
¡ f
"tglf1'll:',*I'i,'_1lJ'-'l
I a*ltn,u"l",rtnirn,*'i::i:'lg,'*i *¡zl1t',*,:f':l t*Ínl?_r:,lr_irr',*l_r",uul_rn,s._l *un,n'lun',n' .,uor ot,ol Irzu,ooi,uo,r,.-. 1z*,oslrno,oolroa,ozlror,zll --'- ¡-''- jur.ruoltr,ntrl -l l---'--l-''-- l-' I o,ttolrr,trolss,orol3r,¡rg i-]-l l l -1:--,1--''--l--'r- .'--' l-:-.: --l --l l---'-- nu,rtlooo,tnlutt,t, te,,rul rr,,u.l tp.. l;';;l;*;l u,* tu,rrul *,rn, ru,rn, no,nooi uu,n'l ror,nal ,'n,"lrut,uil;';erl;;ptl.uo.u'ju'usul*u,oo z,n,ral rut,utl ttt,ttl.uo.orj n,tuuj t*,ool rro,ool oru,rul | Ilno,nooluu,n"l",';l;;',*l"i,ool"i,uil u,"'_l ,o,nrrlrr.'*lrr,orrjir.oorluo,'ool*rrrl;r;,r;lrr,,;llt;;;; u,rrr-l tt,i,ntl;r,"*l;.ñrl*n,ntl*ooirti,;l.t*; ,ojll'''*|Lo9.ji'..01Iuo,'oo|*r"I;l*l;,*ll';;;;,?:,1.'I'rf*I':ñll_.ggl:fgi "i,;|.'*; n."t
''11
uzu,oo
''191_ ¡.t0
o,067
,,r!?
tt5
0,708
2.391
{r0
0,760
tot.rt o.ooz I rr.ooal ,o,rro u,.ut-l;,;;l ro.le¡l ,o,rlo:rs,r¡¡lor,onrlrr,uorltiittlrur.ooi,n*,ur1tit,ouiroattl*t,uil;ttetl;;Jtl*t,tt ro.rroi ourrrl or.unrl rr.oorl rrr.rrl tur.noi tn*.usi znt.oul zoe.t¡l s0z.0z 436.011 oro.tal sot.ttllt*,rt l ,'*,rnr .rT"_l tt,ttrl ,o,rro s2,r56 4*,0uc I *,tro I trn,tt t;r.rl _;f:ll;r'* l;t;,tt l;¡; li*,* I ttcrtl t*,* I t*,tt u,*r | *,rto ¡ r,,rt, ss,e{3 r 60,a0?' ;:,rrr ;"* ;,t;i ttt- ttt.ii tit,u* ttr,nt I o*,tt j;ttJt ;t,t;i utt"t"¡ tntri -t,¡t u-, I ir,,rr, :-,: r ,r,rrn, ur,rr, ,,,-,. ,n,,ro, ,-..J5 ;'"; -ttatt ;,t, trtru I *,t l urr.r, . uot¡o l ,tr,rt
0,792 r{)0
0,833
2.613
I
IIIIIII¡¡¡ I¡¡I IIII TIT ¡¡¡T¡TT TI¡T¡¡T Tabla 1 (continuacit'rrr)
dtn{ lVlomt'ntos dt: inercia dc scccio¡rcs rr:ctangulares cn
,,i t,, ' 1ró I ,,
Ilcrrr)
I'ill
r10,e
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Tabla 6 Cartela parabólica €n un ex:remo.
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Tablas auxiliares
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Tablas auxiliares
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Tablas auxiiiares
Tabla 19 Ca¡tctas ¡cctar
Constantes de barraaB (= á¡gulos de las tangentes extrem¡¡
¡imétricas.
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334
335
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22
(continuaci6n)
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Tabla 23'
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Tabla 21
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Tablas auxiliares
341
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Tér¡ninos de carga ce de ur¡a uiga conlinua {= ángulos de las tangentes cxtrernas de ta elástica de una viga simplernente apoyada) debidos a una €arga
C¿rtelas rectas simétricas.
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Tabla 94
(imrrlrr pubólices ¡¡métric¡¡.
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Tén¡inos de cargE
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Tabla 25 cartcla rccta cn un cxtremo.
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343
Tablas auxiiiares
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344
Tablas auxiliarcs
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Tablas auxiliares
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Tablas auxiliares
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Tablas auxilia¡es
352
Tablas auxiliares
Tabla 29 Sistema simétrico de ecuaciones.
Sistema sirnétrico de ecuaciones.
Procedimiento a.breviado de resolución. Ejemplo I
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Tablas auxiliares
354
355
Tablas auxiliares
Tabla 30 a
Sistrma simétrico de ecuacior¡es.
Tabla 30
Ejennplo numérica Rc¡olución nbrevi¿da eegún ejcmplo
Sistema simétrico de ecuaciones.
Procedimiento abreviado de reeoluciónEjemplo II (Reprercnración tabulada
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(I) = (l+)
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(4 )=t2).(5)
(s) (6) (7)
{8)-I(s)a(z) (e) fi0) (tr) $2)
(t5) I(9)a{:2) u4) (15)
(t8) (rg)=E(r4)a(ts) DETER,l4¡llAc¡oN DE l-As iNcoGNITAS 15 a DE (Y) a
(I).
(C0/T4PARAR
cofi IAbrA 29)
st
EN ORDEN DECRECIENTE
-
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0,148 O,9Tl
+
60108 :
7,14
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21,28
119)
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Tablas auxiliares
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Tablas auxiliares
31
Sistema asimétrico de ecuaciones'
Proeedimiento a'breviado de reolueión" EiemPIo III {
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Sistema asimétrico de ecuaciones'
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potradas.
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Parte Tereera Tabl¡s auxiliares p¡rs el cálculo de las etructuras aporticadas y vigas continuas Pá¡rlne 1. Momentos de iacrcia de secciones rectangulares
Ir'
Vigas ¡iz
cartelas:
rérminos de
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carsa
I
llürflt¿ (= momentos de empotramiento) { oto ozo (= ángulos tangentes extremas) | Éro kro (= moúentos de Ritter) | UI.
t
cargas
paciares uni-
cargas
triangulares,
t;#:*l.l]ll1':
Tab'
1
rab.
2
momentos, tempe-
".ror"con<'entradas carg¿s
,, ] + "
Vigas ¿o¿ cartelas: -Gonstantts de barra y términos de carga para el cálculo de ¿sA. . tructa¡as aPotticadas. I certela recta en un extremo Tab.
constantca í de ba¡ra {
at%b
t
Tablas numéricas
|
parab. , ,, ,, cartelas rectas simétricas
,,
,,
parab.
,,
cartela recta ef¡ un extremo
Nonogramas
,, ,, , -1, cartelas rcctas simétricas ,, parab. ,, ,,
parab,
5
6
9;70-271
e?s
27}1275 976-277
9;78-279 980-281
7
289
8
983
5a 6a
984-.'A$ 987-289
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29oi99t 999-993
