FACULDAD FACULDAD DE INGENIERÌA INGENIERÌA CIVIL CIVI L - ANÀLISIS ESTRUCCTU ESTRUCCTURAL RAL “AÑO DE LA PROMOCIÓN PROMOCIÓN DE LA L A INDUSTRIA INDUS TRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMÁTICO”
FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ESCU ELA ACADÉMICO ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS CON ARCOS
A nálisi isis s Estru E structur ctural al CURSO: Anál AUTOR:
Lara Fernández Manuel
ASESOR:
Díaz García Gonzalo Hugo SECCION :
TURNO: Noche
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CHIMBOTE – CHIMBOTE – PERÚ PERÚ 2014
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1.
INTRODUCCIO INTRODUCCION N ................ ........ ................ ................ ................ ................ ................ ................ ............... ................ ................. ................ ................ ............1 ....1
1.
ARCOS TRIARTICU TRIARTICULADOS LADOS ................ ........ ................. ................ ............... ................ ................. ................ ............... ................ ................. ...............2 ......2 1.1.
2.
3.
CALCULO CALCULO ANALITICO................. ......... ................ ............... ................ ................. ................ ............... ................ ................. ................ ............... ............3 .....3 2.1.
METODOL METODOLOGIA OGIA DE CÁLCULO CÁLCULO ................. ........ ................. ............... ............... ................. ................. ............... ............... ................. ..........3 .3
2.2.
CALCULO CALCULO DE ARCO SIN TIRANTE TIRANTE ................. ......... ................ ............... ................ ................. ................ ............... ................ .............5 ....5
2.3.
CALCULO CALCULO DE ARCO CON TIRANTE TIRANTE ................ ........ ................. ................ ............... ................ ................. ................ ............... ...........9 ...9
CALCULO CALCULO ANTE CARGAS CARGAS MOVIBLES MOVIBLES ................ ........ ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ .............. ...... 15 3.1.
4.
ANALISIS CINEMATICO INEMATICO ................ ........ ................ ................ ................ ................ ................. ................ ............... ................ ................. ...........2 ..2
LINEA DE INFLUENCIA INFLUENCIA DE LAS REACCIONES REACCIONES ................. ......... ................ ............... ................ ................. ................ .......... .. 15
LINEA DE INFLUENCIA INFLUENCIA DE LAS FUERZAS FUERZAS INTERNA INTERNAS............ S..................... ................. ............... ............... ................. ............. .... 16 4.1.
LINEA DE INFLUENCIA INFLUENCIA DEL MOMENTO MOMENTO FLECTOR FLECTOR ................. ........ ................. ............... ............... ................. ............ ... 16
4.2.
LINEAINFLUE LINEAINFLUENCIA NCIA DE LA FUERZA FUERZA CORTANTE................ ........ ................. ................ ............... ................ ................. ......... 17
4.3.
LINEA DE INFLUENCIA INFLUENCIA DE DE LA FUERZA FUERZA AXIAL AXIAL O NORMAL ................ ........ ................. ................ ............... .......... 18
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1. INTRODUCCION Un arco es una estructura plana constituida por un elemento curvo de sección transversal despreciable frente a su longitud, y cuya curvatura es pequeña comparada con su sección transversal. Los dos puntos extremos ex tremos pueden estar susten tados tados de distintas di stintas formas y las cargas exteriores son habitualmente verticales. verticales. Los arcos son una de las l as estructuras estructuras más utili zadas desde la l a antigüedad. antigüedad. Ello es debido de bido a que, si si su geometría ge ometría es adecuada, soportan soportan grandes cargas transversales y las transmiten transmite n a los apoyos apoyos extremos trabajando básicamente a compresión, con muy poco esfuerzo de flexión. Esto permite utilizar en su construcción material que no soportan bien la tracción, como el hormig h ormigón ón en masa o sencillamente sencil lamente ladrillos o bloques de piedra independientes, adosados unos uno s a otros.
La figura figura 1 muestra muestra la s di sposi ciones más más habi tual tual es de los a rcos.
Los arcos están normalmente sometidos a fuertes cargas verticales, aplicadas bien desde la parte superior del arco o desde la inferior inf erior (figura 2), así como a cargas cargas horizontales debida debidas a empujes empuj es de viento, vie nto, frenado, etc. Son ta tambié mbién n frecuentes las cargas cargas térmicas o las l as debidas de bidas a los asientos de los apoyos, que pueden ser importantes en arcos de gran tamaño.
Es posible po sible encontrar también arcos formando parte de otras estructuras estructuras planas más comple jas, jas, del tipo celosía o pórtico pórtico (figura (fi gura 3).
Lara Fernández Manuel
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1. ARCOS TRIARTICULADOS TRIARTICULADOS 1.1.
ANALISIS CINEMATI CINEMATICO CO
Un arco triarticulado plano, pl ano, es e s un sistema estáticamente determinado determinado,, formado f ormado por dos dos barras curvas curvas y unidas por una articulación o rótula. La condición de estabilidad estabilidad geométrica geométrica del arco se comprueba por la sigui ente fórmula: f órmula: G.I. = 3D − 2A − R
(1)
Donde: G.I. - grado grado de indeterminación indeterminación del sistema; D
- número de discos;
A
- número de articulaciones o rótulas simples;
R - número de reacciones . El arco sin tirante (refu (refuerzo) erzo) unido a la cimentación (tierra) (tierra) forma t res discos disc os unidos unidos por tres articulaciones, que no están en una misma línea (figura 1).
Figura (1) Tal sistema estructural, estructural, ante la acción de cargas cargas verticales verti cales posee componente de reacció reacción n horizontal, horizontal, llamado empuje. El arco con tirante está formado por dos discos, unidos por una articulación y una barra, cuyo eje no pasa por la rótula (figura 2).
Figura (2) Las reacciones en e n los apoyos y l os métodos de cálculo son los mismos mi smos que cuando se trat trataa de de una viga simple. simple. En el caso del tirante, el empuje empuj e lo l o absorbe absorbe dicho di cho elemento y no los apoyos.
Lara Fernández Manuel
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2. CALCULO ANALITICO 2.1.
METODOLOGIA DE CÁLCULO
En el arco sin s in tirante, las reacciones verticales se determinan a partir de la sumatoria de momentos respecto a los apoyos apoyos (figura (figura 1.4).
∑M
A=
0
∑M
B=
0
(1.2)
La componente horizontal de la reacción se determina a partir de la ecuación de la sumatoria de momentos respecto a la articulación C, analizando la parte izquierda o derecha del arco.
∑M
C=
0
(1.3)
El momento flector en tal punto del arco es igual igual a la suma de los momentos de t odas las fuerzas fuerzas ubicadas a un lado de la sección, es decir, izquierda o derecha. derecha. La fuerza fuerza cortante en tal secc ión es igual a la suma de las proyeccione proyecciones s de todas todas las fuerzas, fuerzas, ubicadas a un lado de la secc ión, sobre el eje perpendicular perpendicular a la tangente que forma forma con c on el eje del arco. La fuerza axial o normal en tal sección es igual a la suma de las proyecciones de todas las fuerzas, ubicadas a un lado de la sección, sobre el eje paralelo a la tangente que forma con el eje del arco. El momento flector es positivo positivo si tracciona las fibras inferiores inferiores del arco y es negativ negativo o en caso opuesto. Las fuerzas cortantes serán positivas si gira en sentido horario la sección analizada del arco. En caso contrario será negativa. La fuerza normal es positiva pos itiva en el caso cas o de tracc ión y negativa en compresión. compres ión. Para efect efectos os de cálculo cálc ulo se divide divide el arco en tramos, cuyo c uyo número número no debe ser menor de ocho. Los momentos flectores, flectores, fuerzas cortantes y fuerzas fuerzas axiales en una determinada determinada secc ión y bajo la acc acc ión de fuerzas verticales, ertic ales, se determinarán a través través de la siguiente siguient e fórmula:
MK = M
v K
− H.y
VK = VK v cosϕ− Hsenϕ M K =−(V =−(VK vsenϕ+ Hcosϕ)
(1.4)
Lara Fernández Manuel
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FACULDAD FACULDAD DE INGENIERÌA INGENIERÌA CIVIL CIVI L - ANÀLISIS ESTRUCCTU ESTRUCCTURAL RAL Donde:
M Kv ,VKv : momento y fuerza cortante cortante en la se cción “K” “K” de la viga vi ga simplem simple ment ente apoyada con longitud longi tud igual a la luz del arco; arco;
Y: ordenada, orden ada, calculada de la línea l ínea que une l os apoyos hasta el centro de la sección sección analizada (hasta (hasta el eje e je del arco)
Φ: ángulo que forma la tangente en un punto determinado determin ado con el eje del arc arco
y la línea horizontal;
H: empuje empuj e del arco.
Cuando el arco es reforzado ref orzado con tirantes, tirantes, los valores de M K , VK y N K hasta el ni vel del de l tirant tirante, e, se determinan dete rminan por la fórmula fórmul a 1.4 cuando H = 0 y superior al nivel ni vel del de l refuerzo, tambi también én se se calculan por dicha fórmula, pe ro con la condición condición que H ≠ 0, siendo H la fuerza fue rza en el tirant tirantee y la ordenada "y" se calculará a partir del nivel nive l del refuerzo. ref uerzo. Para determinar la fuerza que que surge en el tirante, se hace un corte y se elaboran las ecuaciones de momentos de las fuerzas ubicadas a la izquierda izqu ierda o derecha (así como como el e l del d el tirante) de la articulación C, en en forma análoga a la obtención del empuje del arco sin refuerzo por la fórmula 1.3. El ángulo ϕ se determina dete rmina a partir de la relación tgϕ=
donde y = f(x) es la de
Ecuación Ecuación de la forma del arco. Si el arco tiene forma de parábola cuadrática, entonces:
En el caso que el arco tenga la forma sinoidal, se tendrá:
Para el caso de arco, cuyo eje tiene ti ene la forma de un arco de circunferencia (fi gura gura 1.3), 1.3), es mejor trabajar con las siguie ntes ecuaciones ecuaciones
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FACULDAD FACULDAD DE INGENIERÌA INGENIERÌA CIVIL CIVI L - ANÀLISIS ESTRUCCTU ESTRUCCTURAL RAL Siendo:
Figura (1.3)
2.2.
CALCULO DE ARCO SIN TIRANTE
Se pide analizar un arco triarticulado sin tirante, tal como se muestra en la figura 1.4, siendo la ecuación ecuación de su eje ej e tipo sinoidal.
Figura (1.4) Iniciamos el e l cálculo, determinando las caracterí características sticas geométricas de su eje eje,, siendo sie ndo la ecuac e cuació ión n del eje e je del arco arco la siguiente (fórmula 1.6): 1.6): π.x
y = 8sen 20 Lara Fernández Manuel
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FACULDAD FACULDAD DE INGENIERÌA INGENIERÌA CIVIL CIVI L - ANÀLISIS ESTRUCCTU ESTRUCCTURAL RAL Se toma como inicio de las coordenadas el centro del apoyo A. El ángulo de inclinación de la tangente en e n dicho punto p unto respecto a la l a línea horizontal se determina de termina también también por la fórmula fórmul a 1.6: 1.6: π.8
tgϕ=
π.x
cos 20
π.x
1,257cos
=
20
20
Generalmente, la l a luz del de l arco arco se divide di vide en 8 a 16 intervalos i ntervalos iguales. i guales. En En este caso asumimos 10 10 intervalos intervalo s de 2m cada cada uno. Como resultado re sultado tenemos 11 secciones regulares, en las cuales se se deben de calcular calcul ar sus características características geométricas ge ométricas y diagramas de fuerzas internas. También También es es necesario calcular las secciones infinitamente infinitamente cercanas cercanas al punto de acción de la carga puntual, puntual, es decir, a la izquierda izquie rda (-0) y a la derecha de recha (+0), (+0), siendo si endo en total 13 seccione seccioness de cálculo, cálculo, tal como se muestra mue stra en la figura figu ra 1.5,a. 1.5,a. Los resultados de cálculo se dan en la tabla 1.1. Tabla 1.1 Nº de sección
x
y
(m)
(m)
1
0
0
1,257
2
2
2,47
3
4
4
senϕ
cosϕ
0,900
0,783
0,622
1,195
0,874
0,767
0,642
4,70
1,017
0,794
0,713
0,701
6
6,47
0,739
0,636
0,594
0,804
5
8
7,61
0,388
0,370
0,362
0,932
6
10
8
0
0
0
1
7
12
7,61
-0,388
-0,370
-0,362
0,932
8
14
6,47
-0,739
-0,636
-0,594
0,804
9-0
15
5,66
-0,889
-0,726
-0,664
0,747
9+0
15
5,66
-0,889
-0,726
-0,664
0,747
10
16
4,70
-1,017
-0,794
-0,713
0,701
11
18
2,47
-1,195
-0,874
-0,767
0,642
tgϕ
ϕ
(rad)
12 20 0 -1,257 -0,900 -0,783 0,622 Determinamos las reacciones de los apoyos, a partir de l as ecuaciones de equi librio librio del arco: ∑M A = 0;
2.10.5+ 20.15− VB .20 = 0
2.10.15− 20.5 = 0
⇒
⇒
VB = 20kN ↑ ∑M B = 0 ;
VA .20 −
VA = 20kN ↑ Lara Fernández Manuel
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FACULDAD FACULDAD DE INGENIERÌA INGENIERÌA CIVIL CIVI L - ANÀLISIS ESTRUCCTU ESTRUCCTURAL RAL Realizamos el control de los cálculos efectuados: ∑Fy = 0; 20 + 20 − 2.10 − 20 = 0
El empuje lo determinamos a través de la fórmula 1.3:
∑Mizq C = 0; 2.10.5− 20.10 + H.8 = 0
H =12,5kN =12,5kN →
⇒
Para determinar de terminar las fue rzas internas internas utilizamos la fórmula 1.4. El El resultado resul tado de los cálculos se muestra en la l a tabla 1.2. 1.2.
Nº
M K v
(kN.m)
− H.y
(kN.m)
M K
(kN.m)
VK v (kN)
VK v cosϕ
− Hsenϕ
(kN)
(kN)
VK
(kN)
VK v
Hcosϕ
senϕ
(kN)
N
K
(kN)
1
0
0
0
20,0
12,4
-9,8
2,6
(kN) 15,7
2
36,0
-30,9
5,1
16,0
10,3
-9,6
0,7
12,3
8,0
-20,3
3
64,0
-58,8
5,2
12,0
8,4
-8,9
-0,5
8,6
8,8
-17,4
4
84,0
-80,9
3,1
8,0
6,4
-7,4
-1,0
4,7
10,1
-14,8
5
96,0
-95,1
0,9 0
4,0
3,7
-4,5
-0,8
1,4
11,7
-13,1
6
100,0
-100
4,9
0
0
0
0
0
12,5
-12,5
7
100,0
-95,1
19,1
0
0
4,5
4,5
0
11,7
-11,7
8
100,0
-80,9
29,2
0
0
7,4
7,4
0
10,1
-10,1
9-0
100,0
-70,8
29,2
0
0
8,3
8,3
0
9,3
-9,3
9+0
100,0
-70,8
21,2
-20,0
-14,9
8,3
-6,6
13,3
9,3
-22,6
10
80,0
-58,8
9,1
-20,0
-14,0
8,9
-5,1
14,3
8,8
-23,1
11
40,0
-30,9
0
-20,0
-12,8
9,6
-3,2
15,3
8,0
-23,3
12
0
0
-20,0
-12,4
9,8
-2,6
15,7
7,8
-23,5
7,8
-23,5
Todos los esquemas e squemas de cálculo y diagrama di agramass de fuerzas f uerzas internas internas se mues mue stran en la figu f igurra 1.5: a) El arco con sus cargas, dimensiones y secciones de cálculo. b) La viga v iga correspondiente al arco triarticulado, con la misma luz l uz y las mismas mi smas carga cargass. c) Los diagramas de momento flector f lector en la viga vi ga M Kv y H.y. d) El diagrama de momento flector del arco M K . e) El diagrama de fuerza fue rza cortante cortante en la l a viga VKv . f) Los diagramas VKv cos ϕ y − Hsenϕ. g) El diagrama de fuerza fue rza cortante cortante en el arco VK . h) Los diagramas VKv sen ϕ y Hcosϕ. i)
El diagrama de fuerza axial o normal del arco N K . Lara Fernández Manuel
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FACULDAD FACULDAD DE INGENIERÌA INGENIERÌA CIVIL CIVI L - ANÀLISIS ESTRUCCTU ESTRUCCTURAL RAL Figura (1.5)
Lara Fernández Manuel
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FACULDAD FACULDAD DE INGENIERÌA INGENIERÌA CIVIL CIVI L - ANÀLISIS ESTRUCCTU ESTRUCCTURAL RAL 2.3.
CALCULO DE ARCO CON TIRANTE
Determine en e n forma analítica analítica las fuerzas fu erzas internas en el e l arco triarticulado con tirante tirante y grafique grafique el diagrama de esfuerzos normales en la sección más peligrosa, considerando que es rectangular. El eje del arco tiene la forma sinoidal (figura 1.6).
Figura (1.6) El cálculo lo iniciamos i niciamos determin d eterminando ando las l as características características geométrica geométricass del eje e je del arco, ta tan igual como en el problema anterior. anterior. Dividimos Dividi mos el eje del d el arco arco en 8 partes y al punto donde se aplica la carga puntual pun tual eleg ele gimos imos una sección adicional (figura 1.6, sección 3). Calculamos las características características geométricas del eje del arco, por ejemplo eje mplo en la sección 7, 7, cuando x =15m =15m y a partir de la fórmula fórmul a 1.6 tenemos: y = 8sen tgϕ=
= 7,39m cos
=−0,401
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FACULDAD FACULDAD DE INGENIERÌA INGENIERÌA CIVIL CIVI L - ANÀLISIS ESTRUCCTU ESTRUCCTURAL RAL Las caracterí características sticas geométricas geométri cas de los puntos p untos del arco se muestran en l a tabla 1.3. Tabla 1.3 Nº de sección
x
y
(m)
1
tgϕ
ϕ
senϕ
cosϕ
0
(m) 0
1,047
(grad) 46,320
0,723
0,691
2-0
3
3,06
0,967
44,040
0,695
0,719
2+0
3
3,06
0,967
44,040
0,695
0,719
3-0
4
4,00
0,907
0,672
0,741
3+0
4
4,00
0,907
0,672
0,741
0,595
0,804
42,210 0
42,21
4
6
5,66
0,740
5
9
7,39
0,401
36,500
0,372
0,928
6
12
8,00
0
21,850
0
1,000
7
15
7,39
-0,401
00
-0,372
0,928
8
18
5,66
-0,740
-21,850
-0,595
0,804
9-0
21
3,06
-0,967
-0,695
0,719
9+0
21
3,06
-0,967
-0,695
0,719
10
24
0
-1,047
-0,723
0,691
-36,500 -44,040 -44,040 -46,320
Como el ángulo ϕ del semiarco se miarco de la derecha dere cha CB se encuentra en el cuarto cuadrante, es, por por ello, que el sen ϕ es negativo. negativ o. Determinamos las reacciones reacciones en los apoyos apoyos a partir de las l as siguientes ecuaciones de equilibrio:
∑M
A=
0;
16.4 + 2.12.18− 2.12.18− VB .24 = 0 ⇒
VB = 20,67kN ↑
∑M
B=
0;
−16.20 − 2.12.6 + VA .24 = 0 ⇒
VA =19,33kN ↑
Realizamos el control de los cálculos efectuados:
∑F
y=
0;
20,67
19,33− 19,33−16 − 2.12 = 0
+
La fuerza fue rza interna en el tirante se determina determi na de la condición que el mome nto flector en en la articulación C es cero:
∑M
C=
0;
19,33.12 −16.8− 16.8− H.4,94 = 0 ⇒
H
=
21,04kN →
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Para determinar las fuerzas internas en las secciones transversales del arco utilizamos la fórmula 1.4: 1.4: M
K=
M
v K
− H(y − a)
VK = VK v cosϕ− Hsenϕ N
K
=−(V =−(VK vsenϕ+ Hcosϕ)
Donde: a - distancia de la línea de los apoyos AB hasta el tirante. Los resultados del cálculo se muestran en la tabla 1.4. Tabla 1.4 M K v
Nº
(kN.m)
− H(y − a) (kN.m)
(kN.m)
VK v (kN)
VK v cosϕ (kN)
− Hsenϕ (kN)
M K
VK
VK v senϕ
(kN)
(kN)
Hcosϕ
(kN)
N
K
(kN)
1
0
0
0
19,33
13,36
0
13,36
13,98
0
-13,98
2-0
58,00
0
58,00
19,33
13,90
0
13,90
13,43
0
-13,43
2+0
58,00
0
58,00
19,33
13,90
-14,62
-0,72
13,43
15,13
-28,56
3-0
77,32
-19,78
57,54
19,33
14,32
-14,14
0,18
12,99
15,59
-28,58
3+0
77,32
-19,78
57,54
3,33
2,47
-14,14
-11,67
2,24
15,59
-17,83
4
83,98
-54,70
29,28
3,33
2,68
-12,52
-9,84
1,98
16,92
-18,90
5
93,97
-91,10
2,87
3,33
3,09
-7,83
-4,74
1,24
19,53
-20,77
6
103,96
-103,96
0
3,33
3,33
0
3,33
0
21,04
-21,04
7
105,03
-91,10
13,93
-2,67
-2,48
7,83
5,35
0,99
19,53
-20,52
8
88,02
-54,70
33,32
-8,67
-6,97
12,52
5,55
5,16
16,92
-22,08
9-0
53,01
0
53,01
-14,67
-10,55
14,62
4,07
10,20
15,13
-25,33
9+0
53,01
0
53,01
-14,67
-10,55
0
-10,55
10,20
0
-10,20
10
0
0
0
-20,67
-14,28
0
-14,28
14,94
0
-14,94
a) b) c) d) e) f) g) h) i)
La viga vi ga correspondi correspondiente ente al arco triarticulado, triarticulado, con la mi sma luz y cargas. Diagrama de momento flector en la viga. Diagrama de fuerza cortante en la viga. Diagramas M Kv y − H(y − a). El diagrama − H(y − a) se inicia i nicia en la sección termina termina en la sección 9. Diagrama de momento flector del arco, mostrado en el eje horizontal. Diagramas V Kv cosϕ y − Hsenϕ. Diagrama de fuerza cortante en el arco, mostrado también en el eje horizontal. Diagramas − VKvsen ϕ y − Hcosϕ. Diagrama de fuerza axial o normal en el arco.
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Figura (1.7) Todos los esquemas de cálculo cálcul o y diagramas de fuerzas internas inte rnas se muestran en la figura 1.7: 1.7:
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En las zonas no cargadas o en e n las l as zonas con con cargas uniformemente unif ormemente distribuidas, distribuidas, todos los los diagramas en dichos di chos tramos son curvos. En los lugares l ugares donde actúan las cargas cargas puntuales, puntuales, en los l os diagramas diagramas se tienen variaciones. variaciones. En las l as secciones donde actúan actúan los momentos, momentos, en el diagrama diagrama M K debe deb e haber una un a variació variación n igual al valor val or de dicho momento, y en la sección se cción donde actúa actúa una carga vertical ve rtical puntual, puntual, el diagrama M K varía en forma inclinada incli nada tangente a la curva del arco y los diagramas di agramas VK y N K
tienen tiene n variaciones variaciones igual a Pcosϕ y Psenϕ . En el punto donde actúe una carga puntual puntual
horizontal (en ( en el e l presente problema problema en los l os nudos extr e xtremos emos del tirante), en el diagram diagrama MK existirá un pico y en los l os diagramas diagramas VK y N K se tendrán variaciones iguales a Hsenϕ y Hcosϕ respectivamente. Los esfuerzos esfue rzos normales se determinan por la conocida fórmula de resistencia compuest compuesta:
Donde:
e - excentricidad excentricidad de la l a acción acción normal o axial.
Determinamos el esfuerzo en la sección 2+0 2+0, es decir cerca al apoyo A, pero superior al al tirante y de acuerdo a los diagramas tenemos M=58kN.m y N=-28,56kN. A través de fórmulas f órmulas muy conocidas, determinamos determinamos las dimensi di mensiones ones de la sección se cción transversa transversall del arco en el intervalo:
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FACULDAD FACULDAD DE INGENIERÌA INGENIERÌA CIVIL CIVI L - ANÀLISIS ESTRUCCTU ESTRUCCTURAL RAL De donde:
En la figura 1.8 se muestra el núcleo de la sección y el punto de aplicación de la fuerza axial excéntrica. excé ntrica. Los esfuerzo esfuerzoss
normales son:
Figura (1.8) En la l a figura f igura 1.9 se muestra la distribución de esfuerzos normales en la sección transversa transversall y la aplicac apli cación ión de la fuerza axial N .
Figura (1.9)
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FACULDAD FACULDAD DE INGENIERÌA INGENIERÌA CIVIL CIVI L - ANÀLISIS ESTRUCCTU ESTRUCCTURAL RAL Por cuanto el punto de acción acción de la fuerza fue rza axial se encuentra encuentra fuera del núcleo de la se cción ión (figura (fi gura 1.8), 1.8), entonces e ntonces en el arco se tendrán esfuerzos esf uerzosde tracción, recomendándose recomendándose el us uso de acero o concreto armado como como materiales materiale s del de l arco.
3. CALCULO ANTE CARGAS MOVIBLES 3.1.
LINEA DE INFLUENCIA DE LAS REACCIONES
Ubicamos una carga carga unitaria uni taria vertical P =1 =1 a una distancia x del apoyo izquierdo izqui erdo (figura 1.10 1.10,, a) y efectuamos la sumatoria de momentos respecto a los apoyos:
Las expresiones
V A
y
V B
concuerdan con con las reacciones de una viga simplemente apoyada, en
consecuencia, las líneas de influenc inf luencia ia de
V A
y
V B
no se diferenc dife rencian ian de las líneas de influenci infl uenciaa
de las reacciones reaccione s en los apoyos de una viga simple, si mple, tal como se muestra en la figura 1.10, 1.10, b, c.
Figura (10) El empuje H se determina dete rmina por la expresión: expresi ón:
Si la fuerza f uerza P =1 se desplaza, desp laza, entonces la fórmula 1.13 1.13 se transforma en:
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4. LINEA DE INFLUENCIA DE LAS FUERZAS INTERNAS INTERNAS 4.1.
LINEA DE INFLUENCIA DEL MOMENTO MOMENTO FLECTOR
Figura (1.1 ( 1.11) 1) El momento flector en la sección “K” se dete rmina por la fórmula:
M K = M K v − H.y
K
Si la fuerza P =1 se desplaza, entonces: L.I.M
K=
L.I.M
v K
− y K .L.I.H
De donde, la l a línea de influencia inf luencia M K es igual a la suma de dos líneas de in influe fluencia: ncia: línea línea de de l a sección “K” “K” de la viga vi ga simple (figura (fi gura 1.11, influencia del momento flector fl ector M Kv en la 1.11, b) y
la línea l ínea de influencia influe ncia del empuje H, cuyas ordenadas ordenadas se multiplican por − y K (figura (fi gura 1.11, 1.11, c). Sumando ambos gráficos obtenemos la línea de influencia M K (figura 1.11, d, e). El punto
D
en el punto
M se
D
M,
denomina punto c ero de la línea de influencia
M
K . Si la
carga carga P se encontrara
bido a entonces el momento mome nto flector M K en la sección “K” es igual a cero (de bido
que la línea l ínea de acción acción de la reacción pasa por el punto K) (figu ra 1.11, 1.11, a). a) . La igualda igual dad da cero de la línea l ínea de influencia influ encia del momento M K en el punto D M, viene vie ne a ser la comprobació comprobación n de la l a veracidad de la obtención obte nción de la línea de influe inf luencia ncia M K Tal comprobación com probación es obligatoria obligatoria y se llama ll ama comprobación del punto cero .
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LINEAINFLUENCIA DE LA FUERZA CORTANTE
Figura (1.1 ( 1.12) 2) Para graficar graficar la línea de i nfluencia nflu encia de la fuerza cortante cortante VK en la l a sección “K”, se uti liza liza la siguiente expresión: VK = VK v cosϕK − HsenϕK
Si la fuerza P =1 se desplaza, entonces se tendrá : L.I.VK = cosϕK .L.I.VK v −senϕK .L.I.H De donde, la línea de influencia VK es la suma de las dos líneas de influencia: línea de
influencia infl uencia VKv , cuyas ordenadas se multiplica multipl icarán rán por cosϕK (figura (f igura 1.12, 1.12, b, línea abcd) y la línea de influencia del empuje H , cuyas ordenadas se multiplican por −sen ϕK (fi ( figu gurra 1.12, 1.12, b, línea aed). En la figura f igura 1.12, 1.12, c se muestra la misma línea de influencia, i nfluencia, pero cuya cuyas ordenadas están ubicadas a partir del eje de la abcisa. El punto pun to Dq se llama punto nulo de la línea de influe inf luencia ncia VK. Si la fuerza P se encuentra encuentra en en acción de el punto Dq , entonces la fuerza cortante cortante VK será cero en e l punto “K” (línea de acción
la reacción R A paralela a la tangente al arco en la sección “K”, en consecuencia, su proyección a la cortante del arco en la sección “K” se rá cero) (figura 1.12 1.12,, a). La igualdad
a cero de esta ordenada es la l a comprobación comprobación de la correcta gráfica gráfica de la l a línea l ínea de influenc inf luencia ia VK . Tal comprobación es obl obligatoria igatoria y recibe el e l nombre nom bre de comprobación comprobación del punto cero. cero. Lara Fernández Manuel 17
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LINEA DE INFLUENCIA DE LA FUERZA AXIAL O NORMAL
Figura (1.1 ( 1.13) 3) arco, Para graficar la línea de iinflue nfluenc ncia ia de la fuerza fue rza axial axial o normal N K en la sección “K” d el arco,
se utiliza la l a siguiente fórmula: N K = VKv sen ϕK + HcosϕK Si la fuerza P =1 se desplaza, entonces se tendrá: L.I.N K = senϕK .L.I.V Kv + cosϕK .L.I.H De donde, la l a línea de influencia N K es igual a la suma de dos líneas de influ i nfluencia: encia: línea de influencia VKv , cuyas ordenadas se multiplicarán por sen ϕK (figura 1.13, b, línea abcd) y línea de influencia influe ncia del empuje H , cuyas ordenadas ordenadas se multiplicarán multiplicarán por cosϕK (figura (fi gura 1.13, 1.13, b, línea aed). En la fi gura 1.13 1.13,, c se muestra dicha línea de influe inf luencia ncia,, per pero o donde sus ordenadas están a partir del eje de la abcisa.
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