Cap.1. Introducere în Rezistenţa Materialelor 1. Generalităţ Generalităţii Rezistenţa materialelor este disciplina inginerească ce studiază comportarea materialelor concretizată în elemente de construcţii supuse la diferite solicitări, astfel încât să se obţină o siguranţă maximă în exploatare la un preţ de cost cât mai redus. Rezistenţa materialelor se ocupă cu rezolvarea următoarelor tipuri de probleme: 1. Determinarea eforturilor interioare şi a deformaţiilor ce iau naştere într-un material sub acţiunea sarcinilor exterioare cunoscute; 2. Verificarea pieselor unei construcţii existente, comparând valorile maxime ale tensiunilor şi deformaţiilor cu anumite limite admisibile; 3. Dimensionarea pieselor unei construcţii noi, adică alegerea materialului şi calculul dimensional astfel încât să fie asigurată funcţionarea ireproşabilă a acstora luând în calcul aspectul economic al consumului de materiale şi manoper ă. O dimensionare completă şi precisă presupune calculul dimensiunilor respectând următoarele condiţii: condiţia de rezistenţă; condiţia de rigiditate (de deformaţii); condiţia de stabilitate. Rezistenţa materialelor s-a desprins din Mecanică aceasta fiind la rândul său o ramur ă a fizicii. Rezistenţa materialelor se bazează pe cunoştinţe de matematică, fizică, chimie, tehnologia materialelor, etc. Rezistenţa materialelor se înrudeşte cu o serie de discipline înglobate într-o disciplină largă, numită Mecanica aplicată sau Mecanica tehnică. Aceste discipline sunt: Teoria elasticităţii, Teoria plasticităţii, Teoria vibraţiilor mecanice, Teoria stabilităţii elastice, Statica şi Dinamica construcţiilor, Încercările mecanice ale materialelor. Pe baza rezistenţei materialelor se studiază: Organele de maşini, Teoria mecanismelor. Pentru rezolvarea celor trei tipuri de probleme, Rezistenţa materialelor utilizează aparatul matematic şi deducţia logică asociate cu studii experimentale. Trebuie specificat că principalele legi ale Rezistenţei materialelor sunt legi stabilite pa cale experimentală (chiar Legea fundamentală a Rezistenţei materialelor, Legea lui Hooke, este experimentală). De asemenea, în calculele de rezistenţa materialelor intervin anumite caracteristici cantitative ale materialelor care sunt evaluate doar pe cale experimentală.
2. Noţ Noţiuni de Rezistenţ Rezisten ţa materialelor 2.1.Clasificarea materialelor După natura deformaţ deformaţiilor că căpătate: După elastice - corpurile se deformează iniţiale după îndepărtarea acestora;
sub acţiunea for ţelor aplicate, dar revin la forma şi dimensiunile
plastice - corpurile se deformează sub acţiunea for ţelor aplicate, dar nu mai revin la forma şi dimensiunile iniţiale după îndepărtarea acestora; elastoplastice - corpurile se deformează sub acţiunea for ţelor aplicate, dar revin par ţial (mai mult sau mai puţin) la forma şi dimensiunile iniţiale după îndepărtarea acestora; Observaţ Observaţie: Între anumite limite, toate materialele prezintă o comportare elastică încât calculul de rezistenţă se va face în ipoteza că toate materialele sunt elastice în anumite limite precizate.
După După mărimea deformaţ deformaţiilor că căpătate înainte de rupere: fragile sau casante - prezintă deformaţii foarte mici,
neglijabile, înainte de rupere (fonta, sticla,
etc.); tenace sau ductile - prezintă deformaţii apreciabile înainte de rupere (cuprul, plumbul, aluminiul, etc.);
După După proprietăţ proprietăţile ile manifestate pe diverse direcţ direc ţii în spaţ spaţiu, plecând din acelaş acelaşi punct:
1
izotrope - prezintă aceleaşi proprietăţi de-a lungul tuturor direcţiilor care pleacă dintr-un punct determinat (metalele turnate, etc.); anizotrope - prezintă proprietăţi diferite de-a lungul diferitelor direcţii care pleacă dintr-un punct determinat (lemnul, etc.).
După După proprietăţ proprietăţile ile manifestate în diverse regiuni ale spaţ spaţiului: omogene: prezintă aceleaşi proprietăţi în tot volumul ocupat (aluminiul pur, etc.); neomogene: prezintă proprietăţi diferite în diferite zone ale volumului ocupat (beton armat) 2.2.Clasificarea corpurilor Bare- corpuri sau elemente de construcţii la care mare decât celelalte două ca ordin de mărime.
una dintre dimensiuni (lungimea) este mult mai
Ele pot fi:
după mărimea axei longitudinale: bare scurte; bare lungi;
după forma axei longitudinale: bare drepte; bare curbe: bare în plan; bare în spaţiu;
după mărimea secţiunii: bare sub ţiri (fire); bare groase; după forma secţiunii: bare cu secţiune regulată; bare cu secţiune constantă; bare cu secţiune variabilă; bare cu secţiune neregulată; bare cu secţiune constantă; bare cu secţiune variabilă;
Observaţie: Firele sunt bare cu secţiune neglijabilă, flexibile şi lucrează doar la întindere.
Ele pot fi:
corpuri sau elemente de construcţii la care două dintre dimensiuni (lungimea şi lăţimea) sunt apropiate ca ordin de mărime şi mult mai mare decât cea de-a treia (grosimea).
Plă Plăci -
după mărimea suprafeţei mediane: plăci mici; plăci mari;
după forma suprafeţei mediane: plăci plane; plăci curbe; plăci cu curbur ă simplă; plăci cu curbur ă dublă;
după mărimea grosimii suprafeţei mediane: plăci subţiri (membrane); plăci groase;
după forma grosimii suprafeţei mediane: plăci cu grosime constantă; plăci cu grosime regulată; plăci cu grosime neregulată; plăci cu grosime variabilă;
2
plăci cu grosime regulată; plăci cu grosime neregulată;
Observaţie: Membranele sunt plăci cu grosime neglijabilă, flexibile şi pot prelua numai for ţe situate în planul propriu. Blocuri - corpuri sau de mărime. 2.3. Clasificarea forţ for ţelor:
elemente de construcţii la care cele trei dimensiuni sunt apropiate ca ordin
♦ După poziţia în spaţiu a punctului de aplicaţie: ♦ for ţe de suprafaţă - acţionează pe anumite păr ţi ale suprafeţei exterioare a corpului; ♦ for ţe de volum - acţionează în toate punctele corpului exterior; ♦ După locul punctului de aplicaţie: ♦ for ţe exterioare: ♦ for ţe direct aplicate (sarcini); ♦ for ţe de legătur ă (reacţiuni); ♦ for ţe interioare; ♦ După domeniul de acţiune: ♦ for ţe concentrate - acţionează pe un domeniu atât de mic încât poate fi considerat un punct; ♦ for ţe distribuite - acţionează pe un domeniu finit; ♦ for ţe uniform distribuite- intensitatea sarcinii distribuite p este constantă; ♦ for ţe liniar distribuite - intensitatea sarcinii distribuite p variază de la 0 la o valoare maximă pmax ♦ dstribuite după o lege oarecare p(x); ♦ După modul în care variază în timp intensitatea lor: ♦ for ţe statice - sunt constante în timp ca intensitate, sau pleacă de la 0 (zero) şi cresc până la o valoare finală după care r ămân constante; ♦ for ţe dinamice - intensitatea lor variază în timp: ♦ for ţe de şoc - se aplică brusc astfel încât intensitatea lor variază foarte mult în timp foarte scurt; ♦ for ţe variabile - la care intensitatea variază continuu în timp după o lege periodică;
3.Forţ 3.Forţe interioare sau eforturi secţ sec ţionale For ţele interioare se pun în evidenţă prin metoda secţiunilor. Fie un corp supus acţiunii sistemului for ţelor exterioare:F1 , F2 ,F3 ,F4 ,F5 Se practică prin acest corp o secţiune S ce împarte corpul în două păr ţi: partea I şi partea a II-a. Cele două păr ţi separate nu se mai găsesc în echilibru. Bucata I astfel separată nu mai este în echilibru. Pentru a se p ăstra totusi echilibrul, trebuie ca în secţiunea S să se introducă nişte elemente mecanice echivalente cu efectul pe care bucata a II a îl avea asupra bucăţii I înainte de separare. Convenim să aplicăm aceste elemente în centrul de greutate al secţiunii S. Pentru bucata a II-a situa ţia este similar ă. În acest caz, R şi M se numesc eforturi în sec ţiunea S. Aceste eforturi reprezintă efectul rezultant al tuturor for ţelor care acţionează între perechile de puncte corespunzătoare celor două feţe ale secţiunii S. Dacă se ia în studiu una din p ăr ţi (de exemplu, partea a II-a), ce se raportează la un sistem de axe ortogonale Oxyz, se constată că for ţa R şi momentul M pot fi descompuse după cele trei direcţii, deoarece ele au direcţii oarecare în spaţiu. Se observă că în cazul cel mai general, în secţiunea unei bare, a unui corp, lucrează 6 mărimi mecanice, numite for ţe interioare sau eforturi secţionale:
3
N - for ţa axială; T (TY ,TZ) - for ţa tăietoare (de forfecare); Mi(MiY ,MiZ) - momentul încovoietor; Mt - momentul de torsiune. Dacă în secţiune lucrează numai una din aceste mărimi mecanice avem de-a face cu o solicitare simplă, iar dacă în secţiune lucrează două sau mai multe mărimi mecanice diferite avem de-a face cu o solicitare compusă. Solicitările simple sunt: ♦ solicitările axiale: ♦ întinderea (în secţiune există doar +N); ♦ compresiunea (în secţiune există doar -N); ♦ forfecarea sau tăierea (în secţiune există doar T) ♦ torsiunea sau r ăsucirea (în secţiune există doar Mt ) ♦ încovoierea (în secţiune există doar MI) Convenţ Convenţii de semne:
• • • •
For ţele axiale se consider ă pozitive dacă sunt de întindere şi negative dacă sunt de compresiune; For ţele tăietoare se consider ă pozitive dacă produc rotirea secţiunii în sens orar şi negative dacă produc rotirea secţiunii în sens invers; Momentul încovoietor este pozitiv dacă deformează bara astfel încât să devină convexă şi negativ dacă deformează bara astfel încât să devină concavă; Momentul de torsiune este pozitiv dacă este un moment motor şi negativ dacă este un moment rezistent.
4.Reazeme şi reacţ reacţiuni În raport cu corpurile înconjur ătoare, elementele de construcţie pot avea mai multe tipuri de rezemări (sau legături): reazemul simplu (articulaţia mobilă); reazemul dublu (articulaţia); reazemul triplu (încastrarea); legătura prin fire. Se ştie că un corp liber în spaţiu posedă 6 grade de libertate (6 posibilităţi de mişcare): 3 translaţii de-a lungul sistemului triortogonal Oxyz şi 3 rotaţii în jurul celor trei axe. ţă de legătur ă (o Dacă o legătur ă împiedică unui corp o translaţie, atunci ea intervine cu o for ţă reacţiune) având direcţia mişcării sustrase (împiedicate) şi sensul - invers acesteia. Dacă o legătur ă împiedică unui corp o rotaţie în jurul unei axe, atunci ea intervine cu un cuplu de for ţe (moment concentrat) având direcţia mişcării sustrase (împiedicate) şi sensul - invers acesteia.
4
1.Reazemul simplu (articulaţ (articulaţia mobilă mobilă)
Este reazemul care împiedică o mişcare de translaţie corpului rezemat. Ca urmare, reazemul simplu ţă de legătur ă (o reacţiune) având direcţia normalei la suprafaţa de contact în introduce ca necunoscută o for ţă acel punct. In plan rezultă că celelalte două posibilităţi de mişcare (cealaltă posibilitate de translaţie şi posibilitatea de rotaţie în jurul punctului de sprijin) există. 2.Reazemul dublu (articulaţ (articulaţia fixă fixă)
Este reazemul care îi permite corpului să aibă în permanenţă un punct fix. Poate fi de două feluri: articulaţia spaţială (sferică) - apare în cazul unor solicitări în spaţiu al corpului şi care asigur ă trei posibilităţi de rotire în jurul celor trei axe ale sistemului triortogonal Oxyz, şi împiedicând cele ţă de reacţiune cu direcţie oarecare în spaţiu, trei translaţii. Ea introduce ca necunoscută o for ţă practic introducând trei necunoscute şi anume cele trei componente pe axe ale acetei for ţe. articulaţia plană (cilindrică) - intervine când bara este solicitată de un sistem de sarcini în plan. Ea ţă de introduce ca necunoscută o for ţă reacţiune în plan, deci practic intervine cu două necunoscute: componentele pe cele două axe ale for ţei. Articulaţia plană împiedică cele două translaţii şi permite doar rotirea în jurul celei de-a treia axe. 3.Reazemul triplu (încastrarea )
Este reazemul care se obţine prin pătrunderea unui corp cu o por ţiune a sa într-un alt corp fix. Dacă asupra unui corp acţionează un sistem de for ţe şi momente spaţiale, încastrarea împiedică toate cele 6 posibilităţi de mişcare. Practic, încastrarea introduce ca necunoscute cele 3 componente pe axe ale for ţei de reacţiune şi cele 3 componente ale momentului concentrat din încastrare. Dacă asupra unui corp acţionează un sistem de for ţe şi momente în plan, încastrarea împiedică toate cele 3 posibilităţi de mişcare din plan (două translaţii în plan şi o rotaţie în jurul axei perpendiculare pe plan). Practic, încastrarea plană introduce ca necunoscute cele 2 componente pe axe ale for ţei de reacţiune şi momentul concentrat din încastrare. 4.Legă 4.Legătura prin fire
Este tipul de reazem prin intermediul căruia un corp este legat prin mai multe fire care sunt solicitate la întindere. Acest reazeme introduc ca necunoscute tensiunile din fire, care sunt for ţele ce au direcţia firelor întinse, sensul orientat către interiorul firului, iar punctul de aplicaţie este punctul de legătur ă dintre fir şi corp.
5.Tensiuni şi deformaţ deformaţii 5.1.Tensiuni
Se consider ă un corp în echilibru sub acţiunea unui sistem de for ţe exterioare şi una din cele două bucăţi obţinute prin secţionarea corpului cu o secţiune oarecare, S. În toate punctele elementului de arie ∆A acţionează for ţe interioare care determină o rezultantă ∆F, numită efort elementar şi care are mărime, direcţie şi sens oarecare. Acest efort elementar se poate descompune în două elemente, ∆ N şi ∆T, conform figurii. Toate componentele ∆ N însumate însumate pe întreaga secţiune S vor determina o rezultantă axială, numită for ţa axială N, iar toate componentele ∆T însumate însumate pe întraga secţiune S vor determina o rezultantă pe direcţia normală pe ţ ă ă ţ ă direc ia axial , numit for a t ietoare sau for ţa de forfecare forfecare T din acea acea secţiune.
5
Se consider ă că ∆A se micşorează treptat, restrângându-se în jurul centrului său de masă, la limită tinzând spre acest punct. Ca urmare, rezultanta ∆F se modifică şi, la limită, va tinde către for ţa interioar ă din punctul ce marchează centrul elementului de arie. Tensiunea medie reprezintă raportul dintre rezultanta DF şi elementul de arie D A.
∆ F într-un punct reprezintă limita raportului dintre rezultanta ∆F şi p = m elementul de arie ∆ A, când 0. ∆A ∆A tinde la 0. Tensiunea efectivă efectivă
p =
lim ∆ F d F = ∆A → 0 ∆A dA
normală şi se Componenta lui p dirijată după normala la secţiunea barei se numeşte tensiune normală notează notează cu tangenţială ială Componenta lui p dirijată după direcţia tangentei la secţiunea barei se numeşte tensiune tangenţ notează cu şi se notează
Tensiunea p şi cele două componente ale sale, σ si τ sunt elemente mecanice de ordin superior vectorilor, numite tensori, între ele existând următoarele relaţii de legătur ă:
σ + τ = p σ2 + τ2 = p 2 ⎡σ, τ, p ⎤ = F ⎣ ⎦ S.I. L2 5.2.Deplasări şi deformaţii
Sub acţiunea sarcinilor (for ţe şi momente) exterioare, corpurile se deplasează şi, ca urmare, particulele lor componente capătă deplasări. Deformaţiile pot fi: 1. elastice (reversibile) - acele deformaţii care dispar complet după îndepărtarea sarcinilor exterioare; 2. plastice (ireversibile) - acele deformaţii care nu dispar după îndepărtarea sarcinilor exterioare; 3. elasto-plastice (reale) - acele deformaţii care dispar doar par ţial după îndepărtarea sarcinilor exterioare; În Rezistenţa materialelor se consider ă că între anumite limite deformaţiile corpurilor sunt perfect elastice. Se consider ă un corp oarecare şi 3 puncte ale sale situate la distanţe foarte mici, dar finite. Cele 3 puncte definesc segmentele de dreaptă AB şi AC şi unghiul din A. Se notează
l = AB
α = ∠ (AC, AB)
Se introduc următoarele definiţii: Deformaţia liniară liniară totală totală sau absolută absolută este diferenţa dintre lungimea finală şi lungimea iniţială a unui 1. Deformaţ segment de dreaptă.
∆l = l1 − l0
[∆l]S.I = m
Deformaţia liniară liniară specifică specifică sau relativă relativă este raportul dintre deformaţia liniar ă totală şi lungimea iniţială 2. Deformaţ a segmentului de dreaptă.
∆l l − l ε= = 1 0 Deformaţia liniar ă specifică este o mărime adimensională. l0 l0 l1 > l0 ⇒ ε > 0 si ∆l > 0 Când a ) b) l1 < l0 ⇒ ε < 0 si ∆l < 0 6
In cazul a) deformaţiile se numesc: alungire specifică, respectiv, alungire totală, iar în cazul b) deformaţiile se numesc: scurtare specifică, respectiv, scurtare totală. Deformaţia unghiulară unghiulară totală totală (lunecarea totală total ă) este diferenţa dintre mărimea finală şi mărimea iniţială 3. Deformaţ a unui unghi.
[∆α]S.I. = rad, 0.
∆α = α1 − α0
Deformaţia unghiulară unghiulară specifică specifică (lunecarea specifică specifică) este valoarea cu care se modifică mărimea 4. Deformaţ unghiului drept. Deformaţia unghiular ă specifică este o mărime adimensională.
γ=∆
π 2
6.Legă 6.Legătura între tensiuni şi deformaţ deformaţii 6.1.Curba caracteristic ă a materialelor
Legătura între tensiuni şi deformaţiile specifice se numeşte legea fundamentală a Rezistenţei Materialelor şi se determină exponenţial cu ajutorul unor probe confecţionate din materialul care ne interesează, probe denumite epruvete.Forma şi dimensiunile epruvetelor depind de tipul încercării. În cazul încercării la întindere epruveta are forma de bar bar ă cu secţiune circular ă şi prezintă două capete de secţiune mai mari, necesare pentru prinderea epruvetei în dispozitivul maşinii de încercat (Fig1.). d0 F
F l0
Fig.1 Partea centrală a epruvetei, având diametru d0 se numeşte por ţiune calibrată şi ea se calibrează la ambele capete.Pe por ţiunea calibrată se trasează două repere la o distanţă l0 numită lungime iniţială. Pentru deducerea legii fundamentale, epruveta se fixează la o maşină de întindere care aplică la capete for ţe egale cu valori care cresc de la 0, treptat, la valori din ce în ce mai mari.
πd02 Secţiunea S0 a por ţiunii calibrate se calculează cu relaţia: S0 = 4 For ţa F se repartizează uniform în punctele secţiunii transversale. În orice moment se poate calcula tensiunea normală σ cu formula: σ = De asemenea se poate calcula deformarea specifică: ε =
F . S0
∆l l − l0 . = l0 l0
Cu aceste elemente se întocmeşte următorul tabel: F
l
ε
σ
F 0 = 0 F 0 ≠ 0
l 0 l 1
σ 0
F 0 > F 1
l 2
F n
l n
=0 l − l ε o = 1 0 l 0 l − l ε o = 2 0 l 0 l − l ε o = n 0 l 0 ε o
l 1
=0 F σ 0 = 1 S 0 F σ 0 = 2 S 0 F σ 0 = n S 0 7
Într-un sistem de axe ε,σ, ortogonal se reprezintă valorile găsite şi rezultă o cur curbbă cont contin inuuă, numită curba caracteristică a materialelor, care exprimă legătur ă grafică între tensiune şi defor deformar mareea specif specific ică. (Fig.2).
σ n
σn P 2
σ2 σ1 α
1
ε1
ε2
εn
ε Fig.2
Se duce tangenta la curbă într-un punct P (∀) ∈ curbei şi se exprimă tangenta unghiului α format de tangenta la grafic cu orizontala:
tgα =
dσ = f / (ε ) = E . dε
E= modulul de elasticitate longitudinal (Young). In cazul încercării de r ăsucire, se obţine o legătur ă grafică similar ă între tensiunea tangenţială şi lunecăr ile ile specifice γ. (Fig.3). τ τ = g (γ )
P
β Fig.3 tgβ = g / (γ ) =
γ
dτ =G; dγ
G = modul de elasticitate transversal (Coulomb). După curba caracteristică, materialele se împart în: - materiale care ascultă de legea lui Hooke şi la care curba are o por ţiune iniţială rectilinie. - materiale care nu ascultă de legea lui Hooke. 6.2.Curbe caracteristice ale materialelor care ascult ă de legea lui Hooke
În această categorie intr ă oţelurile, lemnul, etc. Aceste curbe prezintă o por ţiune iniţială rectilinie. Tipică pentru această curbă este curba caracteristică a oţelului moale. (Fig.4).
σ σr
F
σ C σ B σ AD E α Fig.4
ε 8
Por ţiunea OA e un segment de dreaptă puţin înclinat spre dreapta. Se notează cu α unghiul pe care OA îl face cu abscisa.
tgα =
dσ σ = = E ⇒ σ = Eε dε ε
(1)
Relaţia (1) exprimă legea lui Hooke sau legea fundamentală a rezistenţei materialelor pentru întindere. Pe toată zona rectilinie tensiunile σ sunt propor ţionale cu deformările liniare specifice ε. Factorul de propor ţionalitate este egal cu modulul de elasticitate longitudinal (Young). La oţeluri: E=2,1 105 Mpa. Tensiunea corespunzătoare punctului A se notează σ p si se numeşte limită de propor ţionalitate. După punctul A, curba nu mai este o dreaptă, ci o curbă propriu-zisă care se apleacă treptat spre dreapta. Tensiunea corespunzătoare punctului B se notează σe si se numeşte limită de elasticitate pentru că până la acest punct materialul se comportă perfect elastic. În punctul C curba are o tangentă orizontală. Tensiunea corespunzătoare punctului C se notează σc si se numeşte limită de curgere sau limita marilor deformaţii. Până în C, deformaţiile sunt mici, dar după C ele devin foarte mari. După C apare o zonă CDE, unde σ oscilează ca valoare (scade) dar deformările cresc foarte mult. E o zonă în care materialele îşi pierd rezistenţa. În M se observă o revenire a rezistenţei materialelor, încât pe EF se constat ă din nou o creştere a tensiuni σ concomitent cu creşterea deformării ε. În F, tangenta la curbă este orizontală. Tensiunea corespunzătoare lui F este σr si se numeşte rezistenţa la ruper e (tensiune maximă). Pe ramura FG, deformarea continuă să crească, dar eforturile unitare scad până când în G se produce ruperea. Defor eform marea area speci peciffică corespunzătoare punctului G este εr –lungire specifică la rupere (alungire la rupere). Curba caracteristică obţinută astfel este curbă caracteristică convenţională (aparentă). Din curbă reiese, paradoxal, că ruperea are loc pentru o valoare a efortului unitar mai mică decât o valoare deja suportată σr . Aceasta, pentru că în permanenţă σ a fost calculată cu formula: σ =
F , unde S0 s-a S0
presupus constant. În realitate S0 nu este constant pentru c ă pe măsur ă ce epruveta se lungeşte, secţiunea se micşorează. Dacă se calculează valoarea lui σ prin raportul
F S real
din fiecare moment, atunci valorile obţinute
permit trasar e unei curbe caracteristice reale la care ultimul punct corespunde efortului unitar maxim. Până în E, curba caracteristică reală coincide cu curba caracteristică convenţională. După depăşirea punctului F, subţierea epruvetei se localizează în zona viitoarei secţiuni de rupere (apare un fenomen local de gâtuire). Raportul dintre valoarea secţiunii transversale şi secţiunea iniţială se numeşte gâtuirea la rupere a materialului şi exprimă deformabilitatea materialului pe direcţie transversală.
Ψ=
S0 − Sr S0
(2)
În procente:
Z = 100 ⋅ Ψ =
S0 − S r 100% S0
(3)
Limita de elasticitate tehnologică este egală cu tensiunea corespunzătoare unei deformări permanente de 0,02% din lungimea iniţială a epruvetei (σ0,02). Limita de curgere tehnologică este egală cu tensiunea corespunzătoare unei deformări de 0,2% din lungimea iniţială a epruvetei (σ0,2). 6.4.Curbe caracteristice pentru alte tipuri de solicit ări
Legea lui Hooke care exprima legătura între tensiunea tangenţiala (τ) şi lunecările γ poate fi găsită prin r ăsucirea unei epruvete. (Fig.8).
τ = g(γ)
τ = Gγ
unde G este modulul de elasticitate transversal, care este o constanta de material.
9
Pt. otel, G Ol = 8,1 ⋅ 10 4 MPa Oţelurile se com portă în general identic la compresiune şi la întindere. Singura diferenţă apare în zona finală a curbelor. La întindere, curba se ter mină brusc, iar la compresiune ea merge la ∞, pentru că materialul se deformează oricât de mult, f ăr ă a se rupe. (Fig.9). Fonta este un caz tipic de comportare diferită la întindere faţă de compresiune. (Fig.10).
σ
σ
întindere
ε
-ε
℘
compresiune Fig. 8
-
Fig. 9
7.Contracţ 7.Contracţia transversală Din studiul experimental al întinderii s-a observat că în timp ce epruveta se lungeşte pe direcţia solicitării, pe direcţia transversală are loc un fenomen de mişcar e a secţiunii = contracţie transversală. Considerând o bar ă în situaţia iniţială şi apoi în situaţia ulterioar ă după aplicarea for ţei F la capetele barei (Fig.11).
lo do F
d1
F l1
Fi .11
ε=
∆l l1 − l0 = ⇒ ∆l = εl0 ⇒ l1 = l0 + ∆ l = l0 (1+ ε ) l0 l0
(4)
Şi pe direcţia transver sală:
∆d d1 − d0 = < 0 ⇒ ∆d = d 0ε t d0 d0 ⇒ d1 = d 0 + ∆d = d0 (1 + ε t )
εt =
(5)
7.1.Legătura dintre
şi
t
S-a găsit că raportul dintre cele două deformaţii liniare specifice e o constantă pentru un material dat. Modulul s-a notat cu ν şi se numeşte coeficientul lui Poisson (coeficient de contracţie transversală). υ =
ε t ε
⇒ ε t = -υε
(6)
În general υ ∈ [ 0;0,5] . Din experienţe s-a găsit că pentru cele mai multe materiale υ = 0,25 ÷ 0,35 . Pentru oţeluri υ = 0,3 ; Pentru lemn υ = 0,25 ; Valorile lui ν s-au găsit pe cale experimentală şi se află în tabele. În locul lui ν se mai foloseşte m =
1 υ
numită constanta lui Poisson.
10
7.2.Variaţia secţiunii transversale
Secţiunea transversală are aria iniţială: A0 = Cd 1d 2 unde d1 şi d2 sunt cele două dimensiuni ale secţiunii transversale. Cele două dimensiuni se deformează conform relaţiilor:
d1f = d1 (1 + ε t ) = d1 (1 − υε ) d 2f = d 2 (1 + ε t ) = d 2 (1 − υε )
(7)
După deformare, aria transversală devine: 2 2 A1 =d1f d 2f 2f = C1d1d 2 (1 − υε ) = A0 (1 − 2µε + µ ε )
⇒ A1 = A 0 (1 − 2υε )
(8)
S-au eliminat termenii ce conţin infiniţii mici de ordinul al doilea. Pentru determinarea variaţiei volumului barei, în urma deformării se porneşte de la relaţia volumului iniţial V0, şi apoi se exprimă volumu volumull final final V1.
V0 = C2 A0l0
2 V1 = C2 A0 (1 − νε ) l0 (1 + ε ) = V0 ⎡⎣1 + ε (1 − 2µ )⎤⎦
(9)
La întindere, pentru ε>0, volumul barei creşte. La compresiune, volumul se micşorează. Variaţia volumului este: (10) ∆V = V1 − V0 = V0ε (1 − 2ν ) . Deformaţia volumică specifică este raportul dintre ∆V şi volumul iniţial.
εV =
∆V = ε (1− 2ν ) V0
(11)
Pentru o bar ă solicitată la întindere sau compresiune, ε≠0 şi εV poate fi nul numai dacă 1 − 2ν = 0 ⇒ ν = 0,5 , este cazul lichidelor ideale şi al cauciucului. Dacă ν=0 (pentru plută), apare o variaţie maximă a volumului.
8.Rezistenţ 8.Rezistenţe admisibile şi coeficienţ coeficienţi de siguranţă siguranţă Scopul principal al rezistenţei materialelor este de a evita apariţia fenomenelor de rupere a elementelor de construcţii. Principiile economiei de materiale impun ca tensiunile reale să fie cât mai apropiate de rezistenţele de rupere. Acest lucru însă nu poate fi realizat pentru că orice suprasolicitare neprevăzută poate duce la depăşirea rezistenţei de rupere şi deci la distrugerea construcţiei. Mai mult, în diferite aplicaţii şi-n construcţia de maşini se impune ca deformaţiile că pătate-n funcţionare să nu depăşească anumite limite. Rezultă că tensiunile reale trebuie să fie mult mai mici decât rezistenţa de rupere sau chiar decât limita de curgere. În general, tensiunile reale trebuie să aibă valorile cuprinse în domeniul elastic. Definiţ Definiţie: Rezistenţa admisibilă reprezintă valoarea maximă a tensiunilor la care poate fi solicitat acel material în deplină siguranţă. Se notează: σa sau τa. Definiţie: coeficientul de siguranţă (c) reprezintă raportul dintre tensiunea limită şi rezistenţa admisibilă.
c=
σ r σ a
> 1 sau c =
τ r τ a
>1
(12)
În construcţia de maşini se prefer ă folosirea unui coeficient de siguranţă calculat în raport cu limita de curgere:
cc =
σ c σ a
> 1 sau c c =
τ c τ a
>1
(13)
Alegerea coeficientului de siguranţă, respectiv a rezistenţei admisibile este subordonat unor anumite cerinţe le gate de natura materialului, tipul solicitării, destinaţia construcţiei, durata funcţionării. Valorile lui c şi σa sau τa se găsesc în tabele în căr ţile de specialitate.
11
9.Ipoteze de bază bază în rezistenţ rezistenţa materialelor Pentru a studia realitatea prin aparatul matematic, rezistenţa materialelor schematizează această realitate pe baza unor ipoteze simplificatoare. 1. Ipoteza mediului material continuu – consideră că materialul umple continuu volumul unui corp. Ca o consecinţă importantă trebuie precizată posibilitatea utilizării comode a calculului diferenţial şi integral. 2. Ipot Ipotez ezaa izotr izotrop opie ieii – consi conside der r ă că materialul are aceleaşi proprietăţi în toate direcţiile care pornesc din acelaşi punct. 3. Ipoteza omogenităţi perfecte – consider ă că materialul are aceleaşi proprietăţi în toate punctele. 4. Ipoteza micilor deformaţii – consider ă că sub acţiunea sarcinilor, corpurile capătă deformaţii foarte mici com parativ cu dimensiunile acestora, deformaţii care nu modifică configuraţia generală a construcţiei. 5. Ipoteza valabilităţii legii lui Hooke – pentru toate materialele se poate aplica legea lui Hooke în domeniile de solicitare existente. 6. Ipoteza lui Bernoulli (ipoteza secţiunilor plane) – consider ă că o secţiune plană şi normală pe axa barei înainte de deformaţie r ămâne tot plană şi normală pe axa barei şi după deformare.
C A
F
B A
C
D D B 7. Ipoteza lui Saint-Venant – consider ă că modul de distribuţie locală a sarcinilor influenţează apreciabil modul de solicitare în zona respectivă, dar devine neglijabil în zone mai depărtate. De exemplu, pentru o bar ă încastrată, tensiunile în capătul liber depind foarte mult dacă sarcina P e concentrată sau distribuită pe o anumită lungime. În schimb, în secţiunea din încastrare, tensiunile sunt aceleaşi în cele două cazuri.
P
P
Cap.2.Reprezentarea diagramelor de eforturi Diagramele de eforturi sunt reprezentari grafice sugestive care indica modul de variatie al eforturilor de-a lungul barei, fiind foarte utile in calculele de verificare sau de dimensionare. 2.1 Eta . Eta pele de lucru pentru reprezentarea diagramelor de eforturi:
1) Se figurează bara cu dimensiunile şi modul de rezemare respectiv şi cu toate sarcinile ce sunt aplicate. 2) In funcţie de tipurile de reazeme, se figurează necunoscutele (reacţiuni şi cupluri). 3) Se determină necunoscutele din reazeme, utilizând condiţiile de echilibru mecanic. Pentru problemele cu bare încărcate complex în spaţiu se pot scrie 6 condiţii scalare de echilibru:
∑X = 0 ∑Y = 0 ∑Z = 0 ∑ Mx = 0 ∑ M y = 0 ∑ Mz = 0
12
Pentru problemele cu bare încărcate în plan, se pot scrie trei condiţii scalare de echilibru:
∑ X = 0 ∑ Z = 0 ∑ My = 0
Observa ţ ie: ie: Sensurile iniţiale ale necunoscutelor sunt arbitrare. Dacă în urma calculelor, rezultă valori pozitive pentru necunoscute, înseamnă că sensurile reale de acţiune ale acestora coincid cu sensurile arbitrare alese iniţial. Dacă valorile rezultă negative, înseamnă că sensurile reale sunt inverse celor alese iniţial.
4)Se stabilesc intervalele de monotonie ale barei, adică intervalele pe care nu se produc modificări în ceea ce priveţte distribuţia for ţelor exterioare. 5)Se stabileşte un sens de parcurs al barei, de regul ă de la stânga la dreapta, dar, după necesităţi, se poate alege şi sensul de parcurs de la dreapta la stânga (de obicei sensul de la dreapta se alege pentru ultimele intervale ale barei, în vederea simplificării calculelor). 6)Se scriu expresiile analitice ale eforturilor secţionale într-o secţiune curentă de pe fiecare interval monoton al barei, utilizând regulile de calcul. Pentru determinarea corectă a expresiilor analitice ale eforturilor se ţine cont că: a)secţiunea curentă împarte bara în 2 păr ţi; b)se aplică metoda secţiunilor, adică se elimină o parte a barei şi se păstrează cealaltă (de exemplu, dacă sensul de parcurs este de la stânga la dreapta, se elimină partea din stânga secţiunii şi se păstrează partea din dreapta). c)toate for ţele şi cuplurile de for ţe aplicate pe partea de bar ă îndreptată se reduc la centrul de greutate al secţiunii considerate ţinând cont de regulile de reducere şi de convenţiile de semne. 7)Se reprezintă grafic expresiile analitice de mai sus, având în vedere următoarele: -pentru fiecare efort se alege o axă de referinţă (o origină) a diagramei, care respectă configuraţia şi dimensiunile barei; -se stabileşte o scar ă de reprezentare; -în raport cu liniile de reper (axele de referinţă), se trasează diagramele de eforturi cu ajutorul segmentelor pe perpendiculare, pr propor ţionale (la scara aleasă) cu valorile calculate; pe fiecare câmp al diagramelor de eforturi se precizează semnul acestora, închis într-un cerc; -prin convenţie, valorile pozitive pentru N, T, Mt se reprezintă deasupra liniei de reper, iar pentru Mi sub linia de reper. Pentru barele nesolicitate de momente repartizate care să determine încovoierea, construirea diagramelor T şi M, ca de altfel şi controlul corectitudinii lor se efectuează cu ajutorul relaţiilor diferenţiale între N, T, M şi sarcina distribuită p. In cazul barelor drepte, relaţiile diferentiale intre M, T si p sunt:
dM dT =T = −p dx dx Din aceste relaţii se pot formula câteva observaţii necesare pentru reprezentarea diagramelor: a)intensitatea sarcinii distribuite, luată cu semn schimbat, este egală cu panta diagramei for ţei tăietoare din secţiunea respectivă; b)pe intervalele de bar ă neincărcate, diagrama T se prezintă valori constante; c)în secţiunile în care acţionează for ţe exterioare, diagrama for ţei tăietoare prezintă salturi egale în valoare şi in acelaşi sens de acţiune cu acele for ţe; d)intensitatea for ţei tăietoare dintr-o secţiune este egală cu panta diagramei momentului încovoietor din acea secţiune; e)pe intervalele in care: -for ţa tăietoare este pozitivă, momentul încovoietor creşte; -for ţa tăietoare este negativă, momentul încovoietor descreşte; -for ţa tăietoare este nulă, momentul încovoietor este constant; f)în secţiunile în care for ţa tăietoare se anulează, momentul încovoietor prezintă extrem;
13
g)diagrama momentului încovoietor prezintă salturi numai în secţiunile în care sunt aplicate cupluri exterioare, salturi egale în valoare şi in acelaşi sens de acţiune cu momentele acestor cupluri; h)pe fiecare interval de bar ă, expresia for ţei t ăietoare este cu un grad superioar ă expresiei funcţiei de sarcină, iar expresia momentului încovoietor este cu un grad superioar ă funcţiei for ţei tăietoare (pentru legi p olinomiale ale lui p). i)dacă pe toată lungimea barei sau numai pe una din păr ţi, diagrama for ţei t ăietoare este antisimetrică atunci pe aceleiaşi păr ţi, diagrama momentului încovoietor este simetrică şi invers; f)în secţiunea dreaptă care coincide cu axa de simetrie directă a barei, for ţa tăietoare este egală cu zero şi în secţiunea dreaptă, coincizând cu axa de simetrie indirectă, momentul încovoietor este nul. ţă concentrată exterioar ă acţionează în secţiunea ce coincide cu axa de simetrie directă a Dacă o for ţă barei, valorile numerice ale for ţei tăietoare în secţiunile din stanga şi din dreapta axei de simetrie sunt egale cu ţă. jumătate din această for ţă 2.2.Regulile de calcul ale eforturilor sec ţionale A)Forţ A)Forţa axială axială (N) într-o secţiune curenta a unei bare este egală cu suma proiecţiilor pe axa barei ale tuturor for ţelor situate în stânga secţiunii, sau ale celor din dreapta, conform convenţiilor de semne. B)Forţ B)Forţa tăietoare(T) într-o secţiune curenta a unei bare este egală cu suma proiecţiilor pe o perpendicular ă la axa axa bar barei ei (T (Ty, Tz) ale ale tutu tuturo rorr for for ţelor din stânga sau ale celor din dreapta, conform
convenţiilor de semne.
C)Momentul de torsiune (Mt) într-o secţiune curenta a unei bare este egal cu suma proiecţiilor pe axa barei ale tuturor momentelor for ţelor şi ale cuplurilor din stânga secţiunii sau ale celor din dreapta, conform convenţiilor de semne. D)Momentul încovoietor(M i) într-o secţiune curenta a unei bare este egal cu suma proiecţiilor pe o
normală la axa barei (My, Mz) ale tuturor momentelor for ţelor şi ale cuplurilor din stânga secţiunii sau ale celor din dreapta conform convenţiilor de semne. 2.3.Reguli de reducere a înc ărcărilor ţă P, aplicată într-un Din Mecanică se cunoaşte că o for ţă ţă paralelă, egală şi de punct A, se reduce în alt punct O la o for ţă acelaşi sens cu for ţa dată, precum şi la un cuplu al cărui moment este egal cu momentul for ţei date faţă de punctul de reducere Momentul M este perpendicular pe planul haşurat, definit de for ţa dată şi de punctul de reducere.
Cazuri particulare de înc ărcări: 1)Reducerea în cazul barelor drepte
a)Dacă în punctul O al unei bare acţionează for ţa dirijată longitudinal, atunci într-o secţiune oarecare ţă axială de întindere N=+P, indiferent de poziţia x a secţiunii. A a barei, apare o for ţă
ţă axială de compresiune N=-P, indiferent de poziţia x a secţiunii. b) Dacă for ţa are sens sens invers, rezultă o for ţă
14
Reducerea unei for ţe dirijată perpendicular pe bar ă face să se obţină în secţiunea oarecare A o ţă tăietoare T= +P şi un moment încovoietor M = P x for ţă Dacă for ţa are sens invers se obţine: T= -P si M = - P x c) Dacă pe intervalul OA=a al barei acţionează sarcina uniform distribuită p, aceasta se poate reduce la o rezultantă, aplicată în punctul de la jumătatea intervalului OA. Ca urmare, în secţiunea oarecare B se obţine o ţă tăietoare T= pa/2 si un moment incovoietor M= pa (x-a/2) for ţă Dacă sarcina distribuită este orientată invers, se vor obţine, prin reducere, expresii identice, având însă semnul minus. d) Dacă pe intervalul OA=a acţionează o sarcină liniar distribuită cu intensitatea maximă p, ea poate fi redusă la o rezultantă. ţă tăietoare T=Tz=+P Reducerea la secţiunea B conduce la o for ţă =pa/2 şi la un moment încovoietor M= P (x-2a/3)
Dacă reducerea se face în raport cu un punct C aflat în intervalul OA, atunci rezultă: pa x 2 px 2
⎛ ⎞ = 2 ⎜⎝ a ⎟⎠ 2a px 2 x px 3 M= = 2a 3 6a
T=
Dacă sarcina distribuită este orientată invers, se vor obţine, prin reducere, expresii identice având semnul minus. e) Dacă pe intervalul OA=a acţionează o sarcină distribuită după o lege oarecare, astfel încât intensitatea sa este p=p(x), atunci sarcina totală este: a
P = ∫ p(x )dx
0 şi trece prin punctul G' , a cărui poziţie este dată de:
15
a
∫ p(x)xdx
OG ' = x G = 0 a ∫ p(x)dx
0 ţă tăietoare T=+P şi un moment încovoietor M=P(x-xG) Atunci, în secţiunea oarecare se obţine o for ţă
f) Momentul unui cuplu de for ţe, dirijat în lungul barei se reduce într-o secţiune oarecare A, la un moment de torsiune Mt = +M0.
Dacă M0 are sens contrar, se obţine Mt = -Mo. g) Momentul unui cuplu de for ţe dirijat perpendicular pe axa barei, se reduce într-o secţiune oarecare la un moment încovoietor Mi=My=M0. Aplicatii
1)Se cere sa se reprezinte diagramele diagramele de eforturi pentru pentru bara simplu ă ă ă ţ ă rezemat , înc rcat cu for a concentrat P din fig.1 . Rezolvare: Din ecuaţiile de echilibru static:
⎧⎪∑ Z = 0 ⇒ V1 + V2 = P ⎨ M = 0 ⇒ P ⋅a − V ⋅ l = 0 2 ⎩⎪∑ (1) rezultă reacţiunile:
V1 =
P⋅b P⋅a ; V2 = ; l l
Fig.1 For ţa tăietoare este constantă pe cele două por ţiuni
T1−3 = V1 =
P ⋅ b P⋅a ; T3−2 = V1 − P = − ; l l
În secţiunea 3, în diagrama T apare un salt egal cu P. Momentul încovoietor are expresiile pe cele doua intervale:
M1−3
⎧pt.x = 0 ⇒ M1 = 0 P ⋅ b = V1 ⋅ x = ⋅ x ; ⎪⎨ P⋅b l p t . x a M = ⇒ = ⋅a 3 ⎪⎩ l
16
M 2−3
P⋅a = V2 ⋅ x ' = ⋅ x' l
⎧pt.x ' = 0 ⇒ M 2 = 0; ⎪ ;⎨ P⋅a p t . x ' b M = ⇒ = ⋅b 3 ⎪⎩ l
Valoarea maximă a momentului incovoietor este M max =
P ⋅ a ⋅ b şi se înregistrează în secţiunea 3 l
unde curba for ţei tăietoare intersectează axa absciselor. 2) Se cere sa se reprezinte diagramele diagramele de eforturi pentru bara simplu rezemată, încărcată cu sarcină uniform distribuită (fig.2) Rezolvare :Se înlocuieşte sarcina distribuită cu o rezultantă ţă concentrată egala cu 6ql aplicată la mijlocul por ţiunii 3care e o for ţă 2. Din ecuaţiile de echilibru static:
⎧⎪∑ Z = 0 ⇒ V1 + V2 = 6ql ⎨ M = 0 ⇒ 6ql ⋅ 7 l − V ⋅10l = 0 2 ⎩⎪∑ (1) se calculează reacţiunile:
V1 = 1, 8ql; V2 = 4, 2ql; Expresiile for ţei tăietoare pe intervale sunt: ⎧T1− 3 = 1, 8ql = cst ⎪ ⎧pt.x = 0 ⇒ T3 = 1, 8ql ⎨ = − ⋅ ⇒ T 1 , 8 q l q x ⎨ ⎪ 3− 2 ⎩pt.x = 6l ⇒ T2 = −4, 2ql ⎩ Fig.2. For ţa tăietoare se anulează ( T 3− 2 = 0 ) în punctul 4, situat la distanţa x=1,8l faţă de secţiunea 3. Expresiile momentului încovoietor pe intervale sunt:
⎧ M ⎧⎪pt.x = 0 ⇒ M1 = 0 ⎪M1−3 = V1 ⋅ x = x ⎨ l ⎪⎩pt.x = 4l ⇒ M3 = 7, 2ql 2 ⎪ ⎨ ⎪ qx 2 ⎧⎪pt.x = 0 ⇒ M 3 = 7, 2ql 2 ⎪M3− 2 = V1(4l + x ) − 2 ⎨ ⎪⎩ ⎩⎪pt.x = 6l ⇒ M 2 = 0 Pe por ţiunea 3-2, momentul încovoietor variază parabolic. În secţiunea 4, pentru x =1,8 l, se obţine valoarea maximă:
q M max = 1, 8ql ⋅ 5, 8l − (1, 8l) 2 = 8, 82ql 2 2 3) Se cere sa se reprezinte diagramele de eforturi ă, solicitată de un cuplu pentru bara simplu rezemat concentrat (fig.3). Rezolvare: Ecuatiile de echilibru static:
⎧⎪∑ Z = 0 ⇒ V1 − V2 = 0 ⎨ M = 0 ⇒ V ⋅l − M = 0 1 ⎩⎪∑ (1) Reacţiunile sunt:
V1 = − V2 =
M l
For ţa tăietoare este constantă în lungul barei:
17
T1− 3 = T3− 2 =
M = const l
Momentul încovoietor:
⎧ ⎧pt.x = 0 ⇒ M1 = 0 M ⎪M = V ⋅ x = x ⎪⎨ M ⎪ 1−3 1 l ⎪pt.x = a ⇒ M 2 = − a ⎪ l ⎩ ⎨ ⎧pt.x ' = 0 ⇒ M 2 = 0 ⎪ M ⎪M 2 −3 = − V2 ⋅ x ' = − x ' ⎪⎨ M l ⎪pt.x ' = b ⇒ M 3 = − b ⎪ l ⎩ ⎩ În
punctual
3
apare
un
salt
egal
cu
M,
valorile
în
secţiunile
adiacente
fiind
b M3stg = M ; M3dr = −M ; l l a
ţă 4) Se cere sa se reprezinte diagramele de eforturi pentru bara în consolă încărcată cu for ţă concentrată P=10 ql şi sarcină distribuită q pe lungimea egala cu 8l (fig.4).
Rezovare: Din ecuaţiile de echilibru static:
⎧⎪∑ Z = 0 ⇒ − V1 + 10ql − 8ql = 0 ⇒ V1 = 2ql > 0 ⇒ sens corect ⎨ 2 l + 8ql ⋅ 6l 6l = 0 ⇒ M1 = 28ql2 ⇒ sens corect ⎪⎩∑ M(1) = 0 ⇒ −M1 − 10ql ⋅ 2l se calculează reacţiunile din încastrare:
V1 = 2ql; M1 = 28ql 2 For ţa tăietoare are experesiile:
⎧ ⎪ ⎪T1− 2 = −V1 = −2ql = const. ⎪T = −V + P − qx = −2ql + 10ql − qx ⎨ 2−3 1 ⎪ ⎧pt.x = 0 ⇒ T2 = 8ql ⎪ ⎨ ⎪⎩ ⎩pt.x = 8l ⇒ T3 = 0 având un salt egal cu P=10 ql în secţiunea 2. Momentul încovoietor are expresiile pe intervale:
Fig.4.
⎧ ⎧⎪pt.x = 0 ⇒ M1 = −28ql 2 2 ⎪M1− 2 = −28ql − 2ql ⋅ x ⎨ ⎪⎪ ⎪⎩pt.x = 2l ⇒ M 2 = −32ql 2 ⎨ ⎪ qx 2 ⎧⎪pt.x = 0 ⇒ M 2 = −32ql 2 2 ⎪M 2 −3 = −28ql − 2ql(2l + x ) + 10ql ⋅ x − ⎨ 2 ⎩⎪pt.x = 8l ⇒ M3 = 0 ⎩⎪
18
5)Se cere să se construiască diagramele T şi M la bara din figura 5. Se cunoaste q= 4 N/m Rezolvare Din ecuaţiile de echilibru static:
⎧⎪∑ Z = 0 ⇒ V1 + V2 − 4 ⋅ 3 = 0 ⇒ V1 + V2 = 12 ⎨ M = 0 ⇒ −4 ⋅1⋅ 0, 5 + 4 ⋅ 2 ⋅1 − V ⋅ 3 = 0 2 ⎩⎪∑ (1) se calculează reacţiunile:
V1 = 10N; V2 = 2 N Semnele sunt pozitive, ceea ce inseamnă că sensurile alese iniţiale sunt corecte. Expresiile for ţei tăietoare pe intervale sunt:
⎧ ⎧pt.x = 0 ⇒ T3 = 0 = − ⇒ T qx ⎨ ⎪ 3−1 ⎩pt.x = 1m ⇒ T1 = −4 N ⎪ ⎪⎪ ⎧pt.x = 0 ⇒ T1 = 6N ⎨T1− 4 = −q(1 + x ) + V1 ⇒ ⎨ ⎩pt.x = 2m ⇒ T4 = −2 N ⎪ ⎪T4 − 2 = − V2 = −2 N = cs cst ⎪ ⎪⎩ For ţa tăietoare se anulează ( T1− 4 = 0 ) în punctul situat la distanţa x=1,5 m faţă de secţiunea 1. Expresiile momentului încovoietor pe intervale sunt: Fig.5.
⎧ qx 2 ⎧pt.x = 0 ⇒ M 3 = 0 ⇒⎨ ⎪M3−1 = − 2 ⎪ ⎩pt.x = 1m ⇒ M1 = −2 Nm ⎪ ⎧pt.x = 0 ⇒ M1 = −2 Nm q(1 + x) 2 ⎪M V x = − + ⋅ ⇒ ⎨ 1− 4 ⎨ 1 2 ⎩pt.x = 2m ⇒ M 4 = 2 Nm ⎪ ⎪ pt.x ' = 0 ⇒ M 2 = 0 ⎪T4 − 2 = V2 ⋅ x ' ⇒ ⎧⎨ ⎪⎩ ⎩pt.x ' = 1m ⇒ M 4 = 2 Nm pt x=1,5 m se obţine valoarea de extrem a momentului incovoietor: Mmax=2,5 Nm
Cap.3.Caracteristici geometrice ale sectiunilor plane 3.1.Definitii si formule generale de calcul
Se considera o sectiune plana oarecare raportata la un sistem de axe yOz. Se delimiteaza un element de arie infinit mic dA situat la distantele z, y si r de axele Oy, Oz si, respectiv, de punctul O. 1. Momentul static S al unei suprafete plane calculat in raport cu o axa este egal cu suma produselor dintre elementele de arie dA si distanta acestora la axa considerata. (1) Sy = zdA Sz = ydA
∫
A
∫
A
19
2. Momentul de inertie axial al unei suprafete plane calculat in raport cu o axa este egal cu suma produselor dintre elementele de arie dA si patratele distantelor acestora la axa considerata. I y = z 2 dA I z = y2 dA (2)
∫
∫
A
A
3. Momentul de inertie centrifugal al unei suprafete plane calculat in raport cu o pereche de axe Oy si Oz este egal cu suma produselor dintre elementele elementele de arie dA si si distantele acestora la cele doua axe considerate. (3) I yz = zydA
∫
A
4. Momentul de inertie polar al unei suprafete plane calculat in raport cu un pol este egal cu suma produselor dintre elementele de arie dA si patratele distantelor acestora la polul considerat. (4) I O = r 2 dA = ( z 2 + y 2 ) dA = I y + I z
∫
A
∫
A
Observatia 1: Momentul de inertie polar este este egal cu suma momentelor de inertie axiale calculate in raport cu o pereche de axe perpendiculare ce trec prin acel pol. Observatia 2: [S] = m3 , mm3 [I] = m4 , mm4 inerţie a unei figuri plane în raport cu o ax ă sau cu un punct este r ădăcina pătrată a 5. Raza de inerţ raportului dintre momentul de iner ţie respectiv şi aria totală a figurii. Semnificaţia fizică a razelor de iner ţie este aceea că raza de iner ţie reprezintă distanţa de la axa sau polul considerat pân ă la un punct fictiv în care ar fi concentrată intreaga arie a secţiunii.
⎧⎪ I ⎨i z = z A ⎪⎩
iy =
Iy A
i0 =
Io A
(5)
rezistenţă al unei secţiuni plane în raport cu o axă sau cu un punct este egal cu raportul 6.Modulul de rezistenţă dintre momentul de iner ţie respectiv şi distanţa de la axa sau polul considerat până la cel mai îndepărtat punct al secţiunii.
Iy ⎧ = W ⎨ y Zmax ⎩
Wz =
I WO = O r max
Iz ymax
3.2.Variaţ 3.2.Variaţia momentului de inerţ inerţie cu translaţ translaţia axelor de coordonate Consider ăm o secţiune plană raportată
(6)
la două sisteme de axe
paralele ZOY si Z'O'Y', astfel încât: z' = z-a y' = y-b (7) Momentul de iner ţie axial Iy calculat cu relaţia de definiţie, va fi: I y ' = z 2 dA = ( z − a ) 2 dA =
∫
A 2
∫
A
= ∫ z dA − a ∫A zdA + a 2 ∫ A dA A
I y ' = I y − 2aS y + a 2 A
(8)
Iz ' = I z − 2bSz + b2 A IO' = IO + e2 A − 2aSy − 2bSz Iz ' y ' = Izy − bSy − aSz + abA Relaţiile (8) se mai numesc şi formulele lui Steiner. Obs. Daca sistemul ini ţial este un sistem central de axe (adică originea O a sistemului coincide cu centrul de greutate al secţiunii) atunci momentele statice sunt nule, adică Sy=Sz=0 Ca urmare, formulele lui Steiner se simplifică şi devin:
20
I y = I yG + a 2 A ≥ I yG I z = I zG + b 2 A ≥ I zG
(9)
2
IO = IG + e A ≥ IG I yz = I yG zG + abA Se observă că momentele de iner ţie axiale şi polare prezintă cele mai mici valori în raport cu sistemul central de axe. Reguli ce decurg din formula (9): 1. Momentul de iner ţie axial al unei secţiuni plane în raport cu o ax ă este egal cu momentul de iner ţie axial calculat în raport cu axa centrală paralală la care se adaugă produsul dintre aria secţiunii şi pătratul distantei dintre cele două axe. 2. Momentul de iner ţie polar al unei secţiuni plane în raport cu un pol oarecare este momentul de iner ţie polar în raport cu centrul de greutate al secţiunii la care se adaugă produsul dintre aria secţiunii şi pătratul distanţei dintre cele două puncte. 3. Momentul de iner ţie centrifugal al unei secţiuni plane în raport cu două axe perpendiculare este momentul de iner ţie centrifugal în raport cu sistemul central de axe paralele cu primele la care se adaugă produsul dintre A şi distanţele între axe. 4.Momentul de iner ţie centrifugal al unei secţiuni plane in raport cu două axe perpendiculare este egal cu suma tuturor produselor dintre elemente de arie şi distanţele acestora la axele considerate. Se observă că momentele de iner ţie axiale şi polare sunt nişte scalari totdeauna pozitivi, pe când momentele de iner ţie centrifugale pot fi pozitive, negative sau nule. Dacă secţiunea plană prezintă o ax ă de simetrie, atunci momentul de iner ţie I zy în raport cu un sistem ce conţine axa de simetrie, e nul. 3.3.Variaţ 3.3.Variaţia momentelor de inerţ inerţie în raport cu rotaţ rotaţia axelor de coordonate
Elementul de arie dA are coordonatele y şi z în raport cu sistemul yOz, iar noile coordonate, y1 şi z 1, în raport cu noul sistem de axe, y1O z1, rotit cu unghiul a faţă de vechiul sistem, sunt:
⎧ y1 = y cos α + z sin α ⎨ ⎩z1 = z cos α − y sin α Aplicând relaţiile de definiţie pentru momentele de iner ţie rezultă următoarele expresii ale momentelor de iner ţie în raport cu noul sistem:
Iy1 =
Iy + Iz Iy − Iz
+ ⋅ cos 2α − I yz sin 2α 2 2 I y + Iz I y − Iz = − ⋅ cos 2α + Iyz sin 2α Iz1 2 2 I y − Iz = ⋅ sin 2α + I yz cos 2α Iy1z1 2 IO = I y + I z
(10)
Valori extreme ale momentelor de iner ţie Pentru determinarea valorilor extreme ale momentelor de iner ţie se calculează derivata în raport cu unghiul 2α şi se anulează:
⎧ dI y1 Iy − Iz = − sin 2α − I yz cos 2α = −I y1z1 = 0 ⎪⎪ d 2α 2 ⎨ ⎪ dI z1 = Iy − Iz sin 2α + I cos 2α = I yz y1z1 = 0 ⎪⎩ d 2α 2
(11)
21
ie principale, iar axele Valorile extreme ale momentelor de iner ţ ie ie axiale se numesc momente de iner ţ ie ie. se numesc axe principale de iner ţ ie. Direcţiile principale de iner ţie sunt date de:
tg 2α =
2 Iyz π ⇒ α1 şi α2 = α1 + 2 I y − Iz
(12)
Din (12) rezultă că axele principale de iner ţie sunt perpendiculare între ele. Faţă de una din axe avem cel mai mare moment de iner ţie, iar faţă de cealaltă, cel mai mic. Prin înlocuirea lui (12) în relaţia (10) rezultă valorile extreme: I y + Iz 1 (13) = ± (I y − Iz) 2 + 4 I2yz Imax,min 2 2 Momentul de iner ţie este maxim faţă de axa principală din primul cadran dacă Izy, < 0 şi este minim, dacă Izy > 0. Pentru determinarea valorilor extreme ale momentelor de iner ţie centrifugale, se calculează derivata de ordinul I in raport cu unghiul dublu a momentului de iner ţie centrifugal şi se anulează:
dI y1z1 (I y − I z ) Iy − Iz = cos 2α − I yz sin 2α = 0 ⇒ tg 2α = d 2α 2 2I yz
(14)
π 2 Momentele de iner ţ ie ie centrifugale au valori extreme fa ţă de un sistem rotit cu 45 în raport cu axele principale centrale de iner ţ ie. ie. Valorile momentelor de iner ţie centrifugale extreme sunt: ⇒ 2α = 2α1 + K π ⇒ α = α1 + k
1 I yz1, 2 = ± 2 (I y − Iz) 2 + 4 I2yz
(15)
Dacă se notează cu u şi v axele principale centrele de iner ţie, ecuaţia elipsei centrale de iner ţie este:
unde:
u 2 v2 + 2 =1 2 iv iu I I i v = v ; iu = u A A
(16) (17)
iar Iu, Iv sunt respectiv Imax, Imin. Dacă cel puţin una din axele centrale este axă de simetrie, atunci axele principale centele de iner ţie coincid cu axele centrale.
3.4.Caracteristici geometrice ale secţ sec ţiunilor plane simple 1. Dreptunghiul
Se consider ă o secţiune plană în formă de dreptunghi, cu laturile b şi h, raportată la sistemul central de axe yOz. Un element de arie al acestui dreptunghi se poate considera ca o fâşie îngustă, de lungime b şi în ălţime dy, situată la distanţa y de axa Oz. Momentul de iner ţie axial al secţiunii dreptunghiulare, în raport cu axa Oy, se poate scrie:
22
h 2
bh 3 I y = ∫ z dA = ∫ z bdz = l2 −h A 2
2
2
Procedând în mod similar, se găseşte momentul de iner ţie axial al secţiunii dreptunghiulare, în raport cu axa Oy. b 2
hb 3 I z = ∫ y dA = ∫ y hdy = l2 − b A 2
2
2 Momentul de iner ţie polar, în raport cu punctul 0, se calculează cu relaţia: bh 3 hb 3 A 2 I O = Iy + Iz = + = d
l2
l2
l2
în care: A este aria secţiunii dreptunghiului; d - diagonala dreptunghiului. Izy = 0.
Datorită simetriei faţă de axele Oy şi Oz, momentul de iner ţie centrifugal al dreptunghiului este nul, Razele de iner ţie se calculează cu relaţiile:
bh 3 Iy h = l2 = = 0,289h; iy = A bh 2 3
hb 3 I b = 0,289 b; i z = z = l2 = A bh 2 3
Ad 2 i d = 0,289d; i O = O = l2 = A A 2 3 respectiv, modulele de rezistenţă:
Wy =
Iy z max
bh 3 hb 3 Ad 2 Iz I bh 2 hb 2 Ad l 2 l 2 ; Wz = ; WO = 0 = l2 = = = = = h b d 6 y max 6 r max 6 2 2 2
2. Pătratul
Dacă secţiunea plană are forma de pătrat, formulele de calcul pentru caracteristicile sale geometrice se pot deduce, foarte uşor, înlocuind în formulele de la secţiunea dreptunghiular ă b=h=a. Momentele de iner ţie:
a4 2 IO = ; 2 3
a4 Iy = Iz = ; l2
Iyz = 0
Razele de iner ţie:
i y = iz =
a 2 3
= 0,289a;
iO =
a 2 ; 2 3
Modulele de rezistenţă:
a3 Wy = Wz = ; 6
a3 2 WO = ; 6 23
3. Cercul
Se considera un cerc de diametru d raportat la sistemul de axe yOz avand originea in centrul cercului.
πr 4 πd 4 = IO = 2 32
Din cauza simetriei figurii faţă de cele două axe, există relaţia:
I O = I y + I z = 2I y = 2I z de unde rezulta expresiile momentelor de iner ţie axiale:
I O π ⋅ r 4 πd 4 Iy = Iz = = = 2 4 64 Datorită simetriei, momentul de iner ţie centrifugal este nul, Izy = 0. Razele de iner ţie ale secţiunii circulare sunt:
Iy d r πd 4 4 iy = iz = . 2 = = ; = A 64 πd 4 2
IO d r πd 4 4 iO = . 2 = = = . A 32 πd 2 2 2
Modulele de rezistenţă:
I y πd 4 2 πd 3 Wy = Wz = = ; ⋅ = d 64 d 32 2
I O πd 4 2 πd 3 WO = = ⋅ = d 32 d 16 2
4.Semicercul
In raport cu sistemul de axe ce trece prin centrul cercului din care provine semicercul, momentele de iner ţie vor avea expresiile:
πd 4 I y = Iz = 128
πd 4 πd 4 IO = 2 ⋅ = 128 64
I zy = 0
In raport cu axele ce trec prin centrul de greutate G al semicercului, avem:
πd 4 πd 2 ⎛ 2d ⎞ 2 − I yG = ⎜ ⎟ 128 8 ⎝ 3π ⎠ πd 4 πd 2 ⎛ 2d ⎞ 2 − I G = I yG + I zG = 2 ⋅ ⎜ ⎟ 128 8 ⎝ 3π ⎠
I zG
πd 4 = 128
I zGyG = 0
5.Triunghiul dreptunghic
Se consider ă o secţiune plană în formă de triunghi dreptunghic, cu laturile b şi h, raportată la sistemul central de axe yOz, avand originea in centrul de greutate al triunghiului. Momentele de iner ţie axiale ale secţiunii triunghiulare în raport cu axele Oy şi Oz sunt:
bh 3 hb 3 Iy = ; Iz = 36 36 Momentul de iner ţie polar, în raport cu punctul 0, se calculează cu relaţia:
24
bh 3 hb 3 A 2 I O = Iy + Iz = + = d ; 36 36 18 unde: A este aria secţiunii triunghiului;
d - ipotenuza triunghiului dreptunghic.
h 2 b 2 Momentul de iner ţie centrifugal: Izy = 72 Razele de iner ţie se calculează cu relaţiile:
bh 3 Iy h = 36 = iy = ; A bh / 2 3 2
hb 3 I b i z = z = 36 = ; A bh / 2 3 2
Ad 2 I d i O = O = l8 = ; A A 3 2
respectiv, modulele de rezistenţă:
bh 3 hb 3 Iy Iz bh 2 hb 2 36 36 = = = = Wy = ; Wz = ; 2h 2 b z max 24 y max 24 3 3 unde r max = max(d1 , d 2 ) 2 2 2 2 ⎧ b ⎞ ⎛ 2h ⎞ h ⎞ ⎛ 2b ⎞ ⎪ ⎛ ⎛ d2 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎨d1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ; 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎪⎩
WO =
IO r max
3.5.Caracteristicile geometrice ale sec ţiunilor plane compuse
În cazul secţiunilor plane compuse, pentru determinarea caracteristicilor geometrice, se procedează astfel: 1)Se descompune figura (secţiunea) dată în figuri simple. 2)Se alege un sistem de axe convenabil. 3)În raport cu acest sistem se determină coordonatele zGI, yGI, ale centrelor de greutate G, ale figurilor simple componente. 4)Se calcutează coordonatele zG şi yG ale centrului de greutate G al figurii cu formulele:
⎧ ∑ A i z Gi ⎪z G = ∑ A ⎪ i ⎨ ⎪ y G = ∑ A i y Gi ⎪⎩ ∑ Ai
i = 1, n
(1)
5) Se figurează sistemul central de axe yGGzG 6) Se calculează momentele de iner ţie ale secţiunii compuse ca fiind sume algebrice ale momentului de iner ţie ale figurilor componente (pentru momentele de iner ţie ale figurilor suprafeţelor care se extrag din secţiune se adoptă semul (-) n ⎧ i ⎪I ZG = ∑ I ZG i =1 ⎪ n ⎪ i = I ⎪ YG ∑ I YG ⎪ i =1 ⎨ n ⎪I = I + I = ∑ IiG G ZG YG ⎪ i =1 ⎪ n ⎪I i = I ∑ ZGYG ZGYG ⎪⎩ i =1
(2)
25
⎛ IiZ = I Z + Ai di2 ; di = dist (z G ,z , z Gi ) Gi ⎜ G di' = dist ( yG , yGi ) unde ⎜ IiYG = IYGi + Ai d i' 2 ; ⎜ ' ⎜ Ii I A d di ; = + Z Y Z Y i i Gi Gi ⎝ G G i ≡ 1, n; n= nr. figurilor componente
(3)
7) Se calculează modulele de rezistenţă ale figurii compuse folosind relaţiile de definiţie:
WZG =
I ZG IY I ; WYG = G ; WG = G ; unde, I ZG , I YG , I G sunt calculate cu (2) y max z max r max
8) Se calculează razele de iner ţie cu relaţiile din definiţie. 9) Caracteristicile geometrice ale secţiunii compuse date în raport cu orice alt sistem de axe translatat faţă de sistemul central de axe se calculează aplicând formulele lui Steiner relativ la întreaga figur ă. Aplicatii 1. Să se calculeze caracteristicile geometrice ale secţiunii din figur ă.
Rezolvare Datorită simetriei figurii în raport cu cele două axe, centrul de greutate al acesteia coincide şi cu centrul cercului şi cu cel al dreptunghiului. Ca urmare, sistemul central de axe are originea în O Figura se descompune în cercul de diametru = 4a şi în dreptunghiul cu dimensiunile b = 2a şi h = a, care se extrage din suprafaţa totală. Momentele statice în raport cu sistemul central de axe sunt nule. Momentul de iner ţie centrifugal este nul pentru că cele două axe ale sistemului sunt axe de simetrie. Momentele de iner ţie axiale şi momentul de iner ţie polar sunt:
πd 4 bh 3 π(4a )4 2a ⋅ a 3 − = − = 12,4a 4 Iy y y = 64 12 64 12 4 hb 3 π(4a )4 a ⋅ (2a )3 ( ( 1) 2) πd − = − = 11,9a 4 Iz = Iz − Iz = 64 12 64 12 4 4 I O = I y + I z = (12,4 + 11,9 )a = 24,3a = I (1)
− I (2 )
Modulele de rezistenţă se calculează cu formulele de definiţie:
Wy =
Iy
Iz 12,4a 4 111,9a 4 3 = = 6,2a Wz = = = 5,95a 3 2a y max 2a
z max IO 24,3a 4 WO = = = 12,15a 3 r max 2a Razele de iner ţie sunt:
Iy 12, 4a 2 iy = = = 1,1a A 10, 56a 2
Iz 11, 9a 4 iz = = = 1,08a A 10, 56a 2
IO 24,3a 4 io = = = 1, 5a A 10,56a 2
A = π ⋅ ( 2a ) − 2a 2 = 10, 56a 2
2
Întrucât cele două axe ale sistemului central sunt axe de simetrie, momentele de iner ţie principale centrale coincid chiar cu Iz şi I y, iar axele centrale sunt şi axe principale centrale de iner ţie. Semiaxele elipsei centrale de iner ţie coincid cu iz şi iy.
26
2. Să se calculeze momentele de iner ţie axiale şi modulele de rezistenţă pentru secţiunea din figur ă
in raport cu sistemul yz..
In raport cu axa z, momentul de iner ţie axial al întregii figuri se determină ca sumă algebrică a momentelor de iner ţie ale figurilor componente 7
I y = ∑ I(yi ) = I(y1) + I(y2) + I(y3) + I(y4) + I(y5) + I(y6) + I(y7) i=1
b1 ⋅ h13 10 ⋅ 123 = = 1440mm 4 Iy = 1 12 12 b2 ⋅ h32 18 ⋅ 43 2) ( 2) ( 2 + b2 ⋅ h 2 ⋅ d22 = + 18 ⋅ 4 ⋅ 82 = 4704mm4 I y = I y + A2 ⋅ d2 = (1)
12
2
12
I(y3) = I(y2)
I(y4)
b 4 ⋅ h 54 b 4 ⋅ h 4 ⎛ 1 ⎞ 2 9 ⋅ 63 9 ⋅ 6 2 6 + 4+ ⋅6⎟ = = + + ⋅ 12 = 3942mm 4 ⎜ 36 2 ⎝ 3 ⎠ 36 2
I(y5) = I(y6) = I(y7 ) = I(y4 )
⇒ I y = 1440 + 2 ⋅ 4704 + 4 ⋅ 3942 = 26616mm 4 In raport cu axa z, momentul de iner ţie axial va fi: 7
I z = ∑ I (zi ) i =1
h1 ⋅ b13 12 ⋅ 103 = = 1000mm 4 z = 12 12 3 4 ⋅ 183 ( ( 2) 3) h 2 ⋅ b 2 = = 1944mm 4 Iz = Iz = 12 12 2 3 6 ⋅ 93 9 ⋅ 6 2 4) 5) 6) 7) h 4 ⋅ b 4 h 4 ⋅ b 4 ⎛ 1 ⎞ ( ( ( ( + ⋅⎜ ⋅9 ⎟ = + ⋅ 3 = 12 I z = Iz = I z = I z = 121, 5 + 243 = 364, 5mm 4 36 2 ⎝3 ⎠ 36 2 I (1)
Rezultă:
I z = 1000 + 3888 + 1458 = 6346mm 4 I zy = 0 I o = Iz + Iy = 26616 + 6346 = 32962mm 4 Modulele de rezistenţă axiale şi polar sunt:
Wy =
Iy
z max I Wz = z y max I WO = O r max
26616 = 166,35mm 3 160 6346 = = 70,5mm 3 90 32962 = = 206mm 3 160
=
27
Cap.4. Solicitari axiale simple 4.1.Tensiuni la solicitarile axiale simple simple (tractiune si compresiune) compresiune)
O bara dreapta este supusa la o solicitare axiala simpla (la intindere sau compresiune) daca bara este solicitata la capete de doua forte axiale, egale si de sens opus. Se considera o bara dreapta solicitata la tractiune prin aplicarea la capete a doua forte egale si de sens opus P, orientate catre exteriorul barei (daca fortele sunt orientate catre interiorul barei are loc solicitarea de compresiune). Datorita solicitarii exterioare, in bara apar tensiuni normale considerate constante in orice punct al sectiunii transversale a barei, avand formula:
P A
σ=
(1)
Relatia (1) stabileste marimea tensiunii normale s la solicitarea axiala de intindere (sau tractiune) a unei bare cu aria sectiunii transversale A si solicitata de forta P. Conditia de rezistenta a barei barei cere ca valoarea tensiunii efective dezvoltata in bara sa fie mai mica decit rezistenta admisibila a materialului din care este confectionata bara. Cu relatia (1) se poate calcula aria sectiunii transversale A, daca se cunoaste forta de intindere si se alege valoarea rezistentei admisibile. In acest caz, relatia foloseste foloseste la dimensionare si se scrie sub forma: forma:
A nec ≥
P σa
(2)
Atunci cand sunt cunoscute fortele exterioare care actioneaza asupra barei si dimensiunile acesteia, relatia (1) poate folosi la verificarea eforturilor unitare ce iau nastere pe sectiune si se scrie sub forma
σef =
P ≤ σa Aef
(3)
Cand se cunosc dimensiunile sectiunii transversale si materialul din care este executata piesa, cu ajutorul relatiei (1) se poate calcula sarcina pe care o poate suporta. In acest caz, relatia se scrie sub forma: Pmax = Pcap ≤ Aef ⋅ σa (4) Observatii 1.Relatiile (1), (2), (3) si (4) sunt valabile si pentru solicitarea de compresiune. 2.Pentru o bara supusa simultan si la forte de intindere si la forte de compresiune, trebuie sa se adopte semnul + pentru intindere si semnul – pentru compresiune. Ca urmare, si tensiunile vor fi pozitive pentru intindere si negative pentru compresiune. 4.2.Deformatii si deplasari la barele drepte solicitate l a intindere
Daca tensiunile ce se produc intr-o bara dreapta de sectiune constanta de arie A si de lungime l, solicitata la intindere nu depasesc limita de elasticitate, intre tensiuni si deformatii exista relatia: (5) σ = E⋅ε numita Legea lui Hooke. Inlocuind in relatia (5) relatia (1) si, tinand cont cont de relatia de definitie a deformatiilor liniare specifice :
∆l l
(6)
P ∆l = E⋅ A l
(7)
ε= se obtine:
de unde rezulta ca deformatia absoluta totala a barei:
∆l =
P⋅l E⋅A
(8)
28
Din aceasta relatie se observa ca deformatia totala a barei este proportionala cu lungimea acesteia si invers proportionala cu produsul E A, care poarta poarta numele de rigiditate la solicitare axiala. Aceasta relatie, ca si relatia (1), poate fi scrisa ca relatie de dimensionare, de verificare sau pentru determinarea fortei capabile, dupa cum urmeaza: - pentru dimensionare,
P ⋅l E ⋅ ∆la
A nec ≥
(9)
- pentru verificare,
∆lef =
P ⋅l ≤ ∆l a E ⋅ Aef
(10)
-pentru determinarea fortei capabile,
Pcap ≤ A ⋅ E in care
∆l a
∆l l
(11)
este deformatia liniara absoluta admisibila (alungire sau scurtare). In cazul in care forta axiala variaza in lungul grinzii, sectiunea acesteia ramanand constanta, in relatiile (2), (3), (9) si (10) se foloseste valoarea maxima a fortei axiale. Daca bara este formata din n tronsoane, astfel incat tronsonul i are lungimea l i , forta axiala variaza in functie de x, aria sectiunii transversale transversale variaza in functie de x si materialul din care este confectionat tronsonul este E i , atunci formula de calcul pentru deformatia absoluta este: n
∆l = ∑ ∫ l i =1
i
Pi (x ) ⋅ dx Ei ⋅ Ai (x ( x)
(12)
De obicei, cand se impune unei piese sa raspunda si conditiei de rezistenta si celei de rigiditate, pentru dimensionare se folosesc relatiile (2) si (9), alegandu-se, in final, solutia cea mai favorabila, adica dimensiunea cea mai mare. 4.4.Tensiuni şi deformaţii la bare drepte ţinând cont de greutatea proprie
La barele de lungime mare care se află în poziţie verticală este necesar să se ţină cont de greutatea proprie în calculul la întindere sau compresiune. Se consider ă bara dreaptă verticală de lungime l , cu sectiunea constata A, cu rigiditatea EA=ct. confecţionată din material omogen cu greutatea specifică γ . Bara este incastrată la capătul superior şi solicitată la întindere de o for ţă ţă P la capătul liber, precum şi de greutatea proprie. Într-o sec ţiune aflata la distanta x de capătul liber, for ţa axială este egală cu
N x = P + γAx A
iar efortul unitar
σx = B
N x P = + γx (18) A A Deci, N x şi σ x variază liniar de-a lungul barei. La
extremităţile barei valorile tensiunilor normale sunt:
P = σ min A P σ 2 = + γl = σ max A
σ1 = P
C
(19)
secţiunea periculoasă este la capătul încastrat al barei. Pentru dimensionare se egalează σ max = σ a şi se obţine
A nec =
P σ a − γl
(20)
La bare cu lungimi foarte mari se poate produce ruperea acestora sub greutate proprie (P=0; σ r = γl r ). Lungimea de rupere sub efectul greutăţii proprii se calculează cu relaţia:
29
l r =
σ r γ
(21)
Aungirea ∆l a întregii bare se obţine integrând pe lungimea l :
⎛ P + 1 γlA ⎞ ⎜ ⎟ Pl γl 2 ⎞ l 1 ⎛ P ⎠ . ∆l = ∫l ∆ dx = ∫ 0 ⎜ + γl ⎟ dx = + = ⎝ E ⎝ A ⎠ EA 2E EA Ţinând de greutetea barei G = γlA , se obţine: l ⎛ G ⎞ ∆l = P+ ⎟ EA ⎝⎜ 2⎠ Gl iar pentru P = 0 , ∆l = 2EA 2
(22) (23)
Bara de lungime mare şi secţiune constantă este o soluţie neeconomică egal ă rezistenţă rezistenţă de utilizare a materialului. Soluţia corectă o constituie bara de egală la întidere sau compresiune, la care efortul unitar normal este constant în lungul barei. Aria secţiunii barei trebuie să varieze de-a lungul acesteia după o lege exponenţială. Legea exponeţială de variaţie a secţiunii barei este
Ax = A0 ⋅ e
γ x σa
(25) In cazul barei de egală rezistenţă, aria secţiunii inferioare este:
A0 =
P ; σa
(26) iar aria sectiunii superioare:
A max =
γl P σa e
(27)
σa
Greutatea barei de egală rezistenţă se determina din conditia de echilibru static a tuturor fortelor axiale care solicita bara: G = A max ⋅ σa − P (28) iar alungirea totala este: l
l
σ σ ∆l = ∫ εdx = ∫ a dx = a l E E 0 0
(29)
Constructiv, o bar ă de egală rezistenţă este dificil de executat. Ea se bară cu variaţ variaţie în trepte a secţ sec ţiunii înlocuieste printr-o bară transversale, realizabilă constructiv mai simplu. Aplicând succesiv formula de dimensionare (20) pentru bara din figura se obţine
P ; G1 = γl1A1 ef ; σ a − γl1 P + G1 = ; G 2 = γl 2 A 2 ef ; σ a − γl 2
A1 nec =
(30)
A 2 nec
(31)
A n nec =
P + G1 + ... + G n −1 ; G n = γl n A n ef ; (32) σ a − γl n
Alungirea totală se determină prin însumarea alungirilor tronsoanelor componente ale barei: (33) ∆l = ∆l1 + ∆l 2 + ... + ∆l n
30
unde:
l1 ⎛ 1 ⎞ P + G . EA ⎜⎝ 2 1 ⎟⎠ l 1 ⎞ ∆l2 = 2 ⎛ P + G1 + G 2 ⎟ ⎜ EA2 ⎝ 2 ⎠ l 1 ∆ln = n ⎛⎜ P + G1 + G 2 + ..... + G n ⎞⎟ EAn ⎝ 2 ⎠
∆l1 =
(34) (35) (36)
Observa ţ ie ie F ormulele ormulele de calcul stabilite pentru barele verticale lungi solicitate la întindere sunt valabile şi pentru barele verticale solicitate la compresiune ţinând cont şi de greutatea proprie, care este de asemenea o for ţă ţă de compresiune dacă nu intervin fenomene de pierdere a stabilităţii. 4.5.Sisteme static nedeterminate solicitate axial
Sistemele static nedeterminate solicitate axial sunt sisteme de bare la care numărul necunoscutelor depăşeşte numărul condiţiilor de echilibru mecanic (cel mult 6). Diferenţa dintre numărul total de necunoscute şi numărul condiţiilor reprezintă gradul de nedeterminare al sistemului. Pentru rezolvarea unor asemenea probleme se completează numărul condiţiilor de echilibru cu un număr corespunzător de ecuaţii deduse din analiza modului de deformare a sistemului respectiv, astfel incât să se obţină un sistem cu număr egal de ecuaţii si necunoscute. În general, pentru un sistem dat static nedeterminat, rezolvarea problemelor presupune parcurgerea următoarelor etape: 1) se scriu ecuaţiile de echilibru static; 2) se stabileşte gradul de nedeterminare G=N-n, unde: n= numărul de ecuaţii de echilibru static, N= numărul de necunoscute; 3) se stabilesc condiţiile de compatibilitate a deformaţiilor, adică relaţiile geometrice între deformaţiile diferitelor bare din sistem; 4) cu ajutorul legii lui Hooke se explică deformaţiile axiale ale barelor în funcţie de eforturi şi se introduc în ecuaţiile deformaţiilor; 5) se rezolvă sistemul complet de ecuaţii obţinut şi se determină eforturile longitudinale din toate barele sistemelor. A. Bară Bară dublu articulată articulată solicitată solicitată axial
Se consider ă o bar ă dreaptă articulată la ambele capete şi ţă axială P. acţionată pe deschidere de o for ţă Din condiţiile de echilibru static: ΣZ=0, 1) ΣM=0 2) rezultă reacţiunile verticale din reazeme: V1=V2=0 Condiţia de echilibru static din mecanică: ΣX=0 =>
H1 + H2 = P
Rezultă o ecuaţie şi două necunoscute, deci problema este simplu static nedeterminată, întrucât gradul de nedeterminare este egal cu 1. Se completează ecuaţia (1) cu o ecuaţie ce decurge din analiza deformării barei. Bara, fiind articulată la ambele capete, nu poate să-şi modifice lungimea iniţială (nu are posibilităţi de deplasare pe orizontală), deci:
lf = li =〉 =〉 ∆ltot = 0 ∆l tot = ∆l1+3 + ∆l 3−2 = ∆a + ∆ b = 0 ⇒ ⎧H + H 2 = P => ⎨ 1 => ( ) ⋅ + = + H a b P b ⎩ 1
⇒ H1 ⋅ a + (H1 − P) ⋅ b = 0
31
P ⋅ b 1 P⋅a H2 = 1 H1 =
=>
H1 ≤ σ1a = σ at A H σ 2 = 2 ≤ σ ac A
σ1 =
Pentru verificarea barelor se calculează tensiunile la tracţiune şi compresiune şi se compar ă cu rezistenţele admisibile ale materialului la cele două solicitări:
N max t ≤ σat A N σmax c = max c ≤ σac A
σmax t =
Obvervaţie. La oţeluri care se comportă aproape identic la întindere faţă de compresiune, adică σat = σac, se ia în calcul max(σmax t , σmax c ) şi se face verificarea pentru această valoare. La alte materiale, cum este, de exemplu, fonta, care au comportări diferite la întindere faţă de compresiune, adică σat ≠ σac cele două condiţii trebuie satisf ăcute simultan. B. Sisteme de bare paralele solicitate axial
Se consider ă o bar ă foarte rigidă (deci, practic, nedeformabilă) dispusă orizontal şi suspendată prin bare verticale sau fire având rigidităţi mult mai mici. Fiecare bar ă i e caracterizată prin mărimile: Ei , Ai , Ii. Distanţa de la bara i la bara n se noteaz ă: d i, n . Distanţa de la suportul for ţei P la bara n se notează: d P, n . În bare se creează tensiuni datorită solicitării cu for ţa P. Apar n necunoscute: Ni ; unde i=1....n. Pot fi scrise două condiţii de echilibru: n ⎧ ⎪∑ y = 0 ⇒ ∑ N i = P ⎪ i =1 (1) ⎨ ⎪ M = 0 ⇒ n −1 N ⋅ d = P ⋅ d ∑ i i ,n p,n ⎪∑ n i =1 ⎩
Se obtine un sistem de 2 ecuaţii cu n necunoscute, adica se obtine un sistem sistem de (n-2) ori static nedeterminat. Bara rigidă, având rigiditatea foarte mare, nu se deformează sub acţiunea sistemului de for ţe, doar barele i se deformează, suportând alungiri, astfel N1 N2 Ni Nn încât bara rigidă se deplasează pe verticală în jos, putând fi supusă unei rotiri cu un P unghi α faţă de direcţia iniţială a axei sale. Deci mai pot fi scrise următoarele relaţii din triunghiurile asemenea care se formeaza:
tgα =
∆l 2 − ∆l1 ∆l 3 − ∆l 2 ∆l − ∆l n −2 ∆l n − ∆l n −1 = = ... = n −1 = = cst d1,2 d 2,3 d n −2,n −1 d n −1,
(2)
În relaţiile (2) apar n-2 egalităţi, deci rezultă în final un sistem format din (1)+(2), din n egalităţi cu n necunoscute, deci un sistem determinat. În relaţia (2) se înlocuiesc cu deformaţiile absolute prin expresiile corespunzătoare solicitărilor axiale:
32
∆li =
N i li Ei Ai
(3), unde i= 1, n
În final, se verifică barele articulate: σi =
N i ≤ σai (4), unde i= 1, n Ai
C. Bare cu secţ secţiuni neomogene solicitate axial
Sunt barele la care în secţiunea transversală apar cel puţin 2 sau mai multe materiale diferite. Se consider ă o bar ă de construcţie simetrică, la care materialele componente reprezintă cilindrici concentrici. Bara este supusă la compresiune prin intermediul a 2 plăci pentru ca efectul compresiunii să apar ă la toate materialele. Lungimile iniţiale ale pieselor ansamblului sunt: lii = l Compresiunea, prin intermediul plăcilor, determină ca toate materialele să se deformeze la fel, adică cu aceeaşi cantitate astfel încât lungimile lor finale:
lif = ct, i = 1, n
⇒ ∆l i = l if − lii = ct, i = 1, n ∆l ∆l ⇒ ε i = i = i = ct li l adică, ε1 = ε 2 = .... = ε n N i Dar: ε i = Ei ⋅ Ai
(1) (2) (3) (4)
Condiţia de echilibru mecanic: n
∑ Ni = P
(5)
i =1
=> 1 ecuaţie; n necunoscute, adica sistem de (n-1) ori static nedeterminat n
N1 N 2 N n Din (3) şi (4) => = = ... = = E 1 ⋅ A1 E 2 ⋅ A 2 En ⋅ An
∑ N i
i =1 n
∑ Ei ⋅ Ai
i =1
=
P n
(6)
∑ Ei ⋅ Ai
i =1
Egalând pe rând, fiecare raport cu ultimul, se determină necunoscutele: ⎧ ⎪ ⎪ N = P ⋅ E1 ⋅ A1 ⎪ 1 n Ei ⋅ Ai ⎪ ∑ ⎪ i =1 ⎪.......... => ⎪ => i = 1, n ⎪ P ⋅ Ei ⋅ Ai ⎨ N i = n ⎪ ∑ Ei ⋅ Ai ⎪ i =1 ⎪ ⎪.......... ⎪ ⎪ N n = P ⋅ E n ⋅ A n n ⎪ ∑ Ei ⋅ A i ⎪ i =1 ⎩ În final, se verifică materialele: σi = Ni = P ⋅ E i ≤ σai , i = 1, n n Ai ∑ Ei ⋅ Ai i =1
33
D. Solicită Solicitări axiale produse de variaţ varia ţii de temperatură temperatură
Variaţiile temperaturii produc lungirile sau scurtările barelor. Dacă aceste deformaţii sunt împiedicate, atunci în bare apar eforturi de întindere sau compresiune, chiar în lipsa unor for ţe exterioare. Avem o bar ă montată fix între 2 pereţi rigizi la o temperatur ă t 0 . Se cunosc; temperatura iniţială, lungimea şi aria secţiunii barei, precum şi materialul acesteia (constanta de material E), adică: t 0, i ,E, A. Are loc o creştere de temperatur ă cu ∆t. Dacă bara ar fi liber ă să se dilate, ea s-ar alungi cu: ∆l∆t = α ⋅ l ⋅ ∆t (1) unde α=coeficient de dilatare termică dar pereţii nu permit dilatarea şi deci apare o solicitare de compresiune pe care o exercită pereţii asupra barei. Problema este static nedeterminată. Pentru că, în final, ∆ltot = 0, atunci putem scrie:
∆l tot = ∆l ∆t − ∆l N = 0 ⇒ α ⋅ l ⋅ ∆t =
N ⋅ l ⇒ N = E ⋅ A ⋅ α ⋅ ∆t E⋅A
unde N= for ţa de reacţiune a pereţilor
σ=
N = E ⋅ α ⋅ ∆t ≤ σa A
N
N l
D1. Bara prezintă prezint ă un joc iniţ iniţial până până la perete Ca să apar ă solicitarea datorită variaţiei de temperatur ă, trebuie ca:
∆l∆t > δ adică α ⋅ l ⋅ ∆t > δ ∆t >
δ α⋅l
În acest caz, condiţia de definire este:
∆l∆t − ∆l N = δ ⇒ N =
E⋅A ⋅ (α ⋅ l ⋅ ∆t − δ ) l
În final se calculează, în mod obişnuit, tensiunile din bar ă. Aplicatii
1. O bar ă dreaptă este articulată la capete şi solicitată de for ţele din figur ă. Bara are secţiunea inelar ă constantă cu d/D = 0,8. S ă se reprezinte diagrama for ţelor axiale şi să se dimensioneze bara, dacă se admite σa = 120 MPa şi să se calculeze deplasarea punctelor de aplicaţie ale for ţelor. Se cunoaşte unghiul de inclinare a fortelor fata de axa longitudinala a barei: α= 60° Rezolvare Datorită simetriei for ţelor faţă de axa x a barei, reacţiunile verticale sunt nule, iar reacţiunile orizontale XA şi XB din cele două articulaţii nu se pot determina numai cu ajutorul ecuaţiei de echilibru:
H A − 30 + 2 ⋅ 60 ⋅ 0, 5 + H B = 0 Articulaţiile fiind fixe, lungimea finală este identică cu cea iniţială, deci alungirea totală a barei este egală cu 0:
∆l = ∆l1−3 + ∆l3− 4 + ∆l 4− 2 = H * 600 (H A − 30) *1000 (H A + 30) * 800 = A + + =0 EA EA EA 34
Astfel, din condiţia de deformaţie se obţine 24 HA = 60 kN , ceea ce permite să se calculeze din ecuaţia de echilibru reacţiunile: HA = 2,5 kN şi HB = - 32,5 kN. În figur ă este trasată diagrama for ţelor axiale. Dimensionarea se face pentru for ţa axială maximă Nmax = 32,5 kN. Condiţia de rezistenţă a barei la solicitarea axiala este:
σ=
4 N N = 2 max 2 < σ a A πD (1 − (d / D) )
D=
4 N max = 2 πσ a (1 − (d / D) )
4 * 32500 = 27,43 mm 2 π *120(1 − 0,8)
Se adopta D = 30 mm şi d = 0,8D = 24 mm Deplasarea punctului de aplicatie al fortei P1
H1l1−3 2, 5 ⋅ 103 ⋅ 600 ⋅ 4 ,94 ⋅ 10 −2 mm δ1 = = = 2,94 5 2 2 EA 2 ⋅ 10 ⋅ π(30 − 24 )
Deplasarea punctului de aplicatie ale fortelor P2
H 2 l2 − 4 32, 5 ⋅103 ⋅ 800 ⋅ 4 −2 mm δ2 = = = ⋅ 5 1 ,083 ,08 3 10 EA 2 ⋅105 ⋅ π(302 − 24 2 ) 2. O bar ă dreaptă rigidă este articulată la un capăt şi menţinută în poziţie orizontală de patru bare articulate la capete, verticale, având aceeaşi lungime şi rigiditate, ca în figur ă. Se cere să se determine eforturile produse sub acţiunea for ţelor P în barele verticale precum şi deplasarea capătului liber al barei orizontale. Rezolvare: Cele patru bare articulate sunt supuse la tracţiune şi în ele vor apare eforturile N1, N2, N3 şi N4 , orientate dinspre articulaţii către interiorul barelor. In articulaţie apar două reacţiuni, una orientată pe direcţie orizontală, iar cealaltă, pe direcţie verticală. Pot fi scrise 3 ecuaţii de echilibru static ale for ţelor ce solicită bara rigidă:
∑ X = 0; ∑Y = 0 ∑ M0 = 0
X0 = 0 Y0 + N1 + N 2 + N 3 + N 4 − 2P = 0 l1 ⋅ N1 + 2l1 ⋅ N 2 + 3l1 ⋅ N 3 + 5l1 ⋅ N 4 − 4l1 ⋅ P − 5l1 ⋅ P = 0
deci problema este triplu static nedeterminată. Pentru stabilirea ecuaţiilor de deformaţie se consider ă poziţia deformată a sistemului. Bara orizontală fiind rigidă, se roteşte dar nu se deformează. Între alungirile ∆l1, ∆l2, ∆l3 şi ∆l4 se pot scrie relaţiile de propor ţionalitate:
∆l3 N l ∆l2 ∆l4 N N l = 2; = 3; = 5 unde ∆l1 = 1 ; ∆l2 = 2 ∆l3 = 3 şi ∆l1 ∆l1 ∆l1 EA EA EA
N l ∆l4 = 4 EA
Prin înlocuire se obţine N2 = 2N1, N3 = 3N1, N4 = 5N1,
35
iar ecuaţiile de echilibru permit acum determinarea reacţiunilor: −21 9 18 27 45 H 0 = 0 V0 = P N1 = P N 2 = P N3 = P N4 = P 39
39
39
39
39
Deplasarea capătului liber al barei rigide coincide cu alungirea absolută a barei articulate 4 şi este: N l 45Pl ∆l 4 = 4 = EA 39EA 3.O grindă rigidă, având greutatea P, este suspendată cu trei bare de oţel cu secţiuni egale. La montaj se constată că barele laterale au lungimea l1=3m, iar bara din mijloc este mai scurtă cu ∆l=3 mm. Bara se montează for ţat. Să se determine tensiunea normală produsă în cele trei bare dacă se dau P = 45 kN şi A = 500mm2. Să se compare valorile obţinute cu tensiunile care s-ar produce dacă cele trei bare ar avea lungimi egale. Rezolvare: Ecuaţiile de echilibru static sunt: N1 = N3, N2 – 2N1 – P = 0. După deformarea barelor, grinda r ămâne orizontală, datorită simetriei fizice şi geometrice, deci lungimile celor trei bare deformate trebuie să fie egale. Notând cu ∆l1 deformaţia barelor laterale care sunt comprimate şi cu ∆l2 pe a celei din mijloc care este întinsă, se poate scrie: N l Nl ∆l = ∆l1 + ∆l2 ⇒ 2 2 + 1 1 = ∆l EA EA P ∆l ⋅ EA P 2∆l ⋅ EA N1 = - + ; N2 = + 3 3l 3 3l N N P ∆l ⋅ E P 2∆l ⋅ E σ1 = 1 = - + + ; σ2 = 2 = A 3A 3l A 3A 3l Numeric se ob ţine: σ1 = 45000 / 15000 + 3*2,1*105 / (3*3000) = 40 MPa σ2 = 45000 / (3*500) + 2*3*2,1*105 / (3*300)=170 MPa
Barele exterioare sunt comprimate, iar cea din mijloc este întinsă. Când barele sunt executate corect, l1 = l2 deci ∆l = 0. Ca urmare, rezultă:
σ1 = σ 2 =
P 45000 = = 30 N / mm 2 3A 3 ⋅ 500
5. Se cere să se dimensioneze o tij ă de oţel de secţiune circular ă, cu lungimea l=900m, solicitat ă la întindere de o for ţă ţă P=270kN. Dimensionarea se va face în trei ipoteze: a – ca bar ă de secţiune constantă b – ca bar ă de egală rezisten ţă la întindere; c – ca bar ă compusă din trei tronsoane, fiecare de lungime l 1= 300m, Se dau: σa = 90MPa , E = 2,1 *105 MPa şi γ=78,5kN/m 3 Se vor calcula lungimea şi greutatea fiec ărui tip de bar ă. Rezolvare a) Pentru bara de sec ţiune constantă aria secţiunii este:
A=
P 270000 2 = = 13953 mm σ − γl 90 − 78,5 *10−6 * 9 *105 36
Greutatea barei în acest caz este: G = Aγl = 13953 * 900 *103 * 78,5 *10−6 = 985,8kN, iar lungimea total ă va fi: l ⎛ 1 ⎞ 9 * 105 ⎛ 27 * 104 + 1 * 9,858 *105 ⎞ = 234mm ∆l = * ⎜P + G⎟ = ⎜ ⎟ EA ⎝ 2 ⎠ 2,1 *105 *13953 ⎝ 2 ⎠ b)În cazul barei de egală rezisten ţă, aria secţiunii inferioare este: P 270000 = = 3000 mm 2 , d 0 = 62mm, A0 = σa 90 iar secţiunea superioar ă: γl 7,85⋅10−5 ⋅9⋅105 4 P σa 27 ⋅ 10 90 ⋅e = 6561mm2 , A max = e = σn 90
d max = 92mm.
σa Greutatea barei în acest caz este: Q = A max ⋅ σa − P =
= 6561* 90 − 27 *104 = 320,5kN, iar alungirea total ă este: σ l 90 * 900000 ∆l = a = = 386mm E 2,1*105
A max
+
A min
P b) c) În cazul barei format ă din trei tronsoane egale, de lungime l 1 = 200m, dimensionarea se face cu relaţia: Pσia−1 Ai = (σa − γl1 )(σa − γl2 )........(σa − γli ) Aria necesar ă pentru fiecare tronson se calculeaz ă începând de jos în sus, adic ă de la cea mai mică arie către cea mai mare: A 1nec
P 27 * 10 4 = = = 4063 mm 2 − 5 5 σ a − γ l1 90 − 7 ,85 * 10 * 3 * 10
A 2nec
Pσ a 27 *10 4 * 90 = = = 5503mm 2 2 2 (σ a − γl1 ) (90 − 7,85 *10 −5 * 3 *105 )
A 3nec
Pσ a2 27 *10 4 * 81*10 2 = = = 7453mm 2 3 3 (σ a − γl1 ) (90 − 7,85 *10 −5 * 3 *105 ) Greutatea total ă a tijei compus ă din tronsoane va fi:
G = l1γ (A1 + A 2 + A 3 ) = 3 *105 * 78,5 *10 −6 * (4063 + 5503 + 7453) = 400kN, greutatea fiecărui tronson fiind: =95,6 kN, kN, G 2 =128,7 =128,7 kN, kN, G 3 =174 =174 kN. kN. G i = Ai γl1, respectiv: G1 =95,6 37
Alungirile tronsoanelor vor fi: l1 ⎛ 1 ⎞ 3 *105 ⎛ 27 *104 + 1 * 95, 6 *103 ⎞ = 111, 7mm ∆l1 = P + G1 ⎟ = * ⎜ ⎜ ⎟ EA1 ⎝ 2 ⎠ 2,1* 2 ⎠ ,1*105 *406 *4063 ⎝ l21 ⎛ 1 ⎞ 3 *105 1 ⎛ 270 + 95 ⎞ ⋅ 10 ∆l2 = + P + G1 + G 2 ⎟ = * 9 5 , 6 1 2 8 103 = 111, 7mm ⎜ ⎜ ⎟ 5 EA 2 ⎝ 2 ⎠ 2,1* 2 ⎠ ,1*10 *5 *55503 ⎝ l1 ⎛ 1 ⎞ 3 *105 ⎛ 270 + 95, 6 + 128, 7 + 174 ⎞ *103 = 111, 7mm ∆l3 = P + G1 + G 2 + G 3 ⎟ = ⎜ ⎜ EA3 ⎝ 2 ⎠ 2,1* 2 ⎟⎠ ,1*105 *745 *7453 ⎝ Alungirea total ă va fi: ∆l = Σ∆li ≅ 335mm În comparaţie cu bara de egal ă rezisten ţă, consumul de metal la celelalte dou ă bare este mai mare cu: 400 − 320,5 100% = 24,8% pentru bara din tronsoane, 320,5 985,8 − 320,5 100% = 207,6% pentru bara de sec ţiune constantă. ∆G = 320,5 În comparaţie cu bara cu tronsoane, la bara de sec ţiune constantă consumul de metal este mai mare cu: 985,6 − 400 ∆G = 100% = 146,45%. 400
∆G =
În figura a), b) şi c) s-au trasat şi diagramele cotate ale tensiunilor normale în MPa în lungul celor trei bare.
σmax +
+
σmin
P
P
a)
c)
Cap.5. Calculul conventional al barelor la forfecare 5.1.Tensiuni si deforma ţii P=T
a
h
γ
P=T
Dacă asupra unei bare acţioneaz ă două for ţe transversale P, egale şi de sens contrar, perpendiculare pe axa longitudinală a barei, atunci se produce o solicitare de ă iere forfecare sau de t ă iere. Sub acţiunea for ţelor, bara se deformeaz ă, producându-se lunecări γ, iar in secţiunile transversale solicitate se dezvolt ă tensiuni tangenţiale τ. Calculul convenţional este aplicat frecvent in cazul barelor de secţiune mică şi admite c ă tensiunile tangen ţiale sunt paralele cu for ţa aplicată şi repartizate uniform pe suprafa ţa secţiunii transversale a barei 38
P (1) A Relatia (1) stabileste marimea tensiunii tangen ţiale la solicitarea de forfecare a unei bare cu aria secţiunii transversale A şi solicitat ă de for ţa P. Condiţia de rezistenţă a barei cere ca valoarea tensiunii efective dezvoltat ă in bara să fie mai mică decât rezistenţa admisibil ă a materialului din care este confec ţionată bara. Atunci cand sunt cunoscute fortele exterioare care actioneaza asupra barei si dimensiunile acesteia, relatia (1) poate folosi la verificarea tensiunilor ce iau nastere pe sectiune care se compar ă cu tensiunea admisibil ă sau cu cea de rupere si se scrie sub forma P (2) τef = ≤τ A ef a unde, in cazul materialelor omogene si izotrope, se poate admite τa = (0.5-0.8)σa, in conformitate cu teoriile de rezistenta. Cu relatia (1) se poate calcula aria sec ţiunii transversale A, daca se cunoa şte for ţa de tăiere şi se alege valoarea rezisten ţei admisibile. In acest caz, rela ţia foloseste la dimensionare si se scrie sub forma: P (3) A nec ≥ τa Cand se cunosc dimensiunile sectiunii transversale si materialul din care este executata piesa, for ţ a t ă i etoare capabilă) pe care o poate cu ajutorul relatiei (1) se poate calcula sarcina maxim ă ( for ăietoare suporta sau al for ţa de rupere prin forfecare: (4) Pmax = Pcap = Aτa , respectiv Prup = Aτr . Relaţiile de mai sus se utilizeaz ă la calculul la forfecare al elementelor de imbinare, ca nituri, buloane, pene, suduri, etc. Deformaţia de forfecare const ă dintr-o deplasare relativ ă a unei secţiuni faţă de alta situat ă la distanţa a . Dacă materialul satisface legea lui Hooke, atunci se ob ţine: v ⎫ tgγ γ = ⇒ v = γa ⎪⎪ P⋅a a (5) ⎬⇒ v = τ P ⎪ G⋅A Dar τ = Gγ ⇒ γ = = G GA ⎪⎭ unde g este deformaţia unghiular ă specific ă Aceasta relatie, ca si rela ţia (1), poate fi scris ă ca relaţie de verificare, dimensionare, sau pentru determinarea for ţei capabile, dupa cum urmeaz ă: - pentru verificare, P ⋅a (6) ≤v va ef = G ⋅ Aef a - pentru dimensionare, P⋅a (7) A nec ≥ G⋅v -pentru determinarea fortei capabile, v (8) Pcap ≤ GA = GAγ a unde produsul GA dintre modulul de elasticitate transversal şi aria secţiunii transversale se nume şte modul de rigiditate la forfecare . Deformaţia relativa sau specifica este v P γ= = a GA
− P + ∫ A τdA = 0 ⇒ − P + τA = 0 ⇒ τ =
39
5.2.Probleme de calcul al imbinarilor Dimensionarea buloanelor solicitate la întindere Diametrul bulonului se calculează din condiţia de rezistenţă la intindere a tijei bulonului:
P P = 2 ≤ σa (9) A πdi 4 în care: σ a este rezistenţa admisibilă la întindere a materialului. d i
σ=
2
⎛ di ⎞ ≈ 0,75 (11) ⎜d⎟ ⎝ ⎠ De regulă, materialul din care se confec ţionează buloanele este OL 38 şi se recomandă valori σa = 48MPa ÷ 60MPa pentru rezisten ţa admisibil ă, in funcţie de precizia prelucr ării filetului (valori mai mari - pentru filetare la strung, şi valori mai mici – pentru filetare la cu filiera). Dacă se ţine cont şi de solicitarea la r ăsucire a tijei datorat ă strângerii cu efort a piuli ţei, se recomandă ca rezistenţele admisibile s ă fie 75% din valorile recomandate, adic ă σa = 36MPa ÷ 45MPa . Înă l l ţ imea imea hc a capului bulonului se determin ă din condiţia ca tija să nu se smulgă din capul bulonului după o secţiune cilindric ă, datorită strângerii. Se pune condi ţia de rezisten ţă la forfecare sau tăiere a capului bulonului: P P (12) τ= = ≤τ A1 πdh c a πdi2 σ unde P = (13) 4 a Rezultă: 1 2 πd σ = πdh cτa , 4 i a de unde rezultă 1 ⎛ d i ⎞2 σa hc = ⎜ ⎟ d . (14) 4 ⎝ d ⎠ τa Considerând valorile rezisten ţelor admisibile: σa = 60MPa τa = 14MPa , se obţine relaţia: h c ≈ 0, 7d (15) ţ ei Înă l l ţ imea imea h p a piuli ţ ei se calculează din condiţia de rezistenţă la forfecare a filetului: P P τ= = ≤τ (16) A 2 πdh p a Rezultă: 1 2 πd σ = πdh pτa 4 i a 2 1 ⎛ di ⎞ σa h p = ⎜ ⎟ d =0,7d (17) 4 ⎝ d ⎠ τa 40
Datorit ă neuniformit ăţii transmiterii for ţei de întindere se recomand ă majorarea valorii obţinute pentru în ălţimea piuliţei la: h p = 0, 8d (18) DIMENSIONAREA BULOANELOR SOLICITATE LA FORFECARE În acest caz, buloanele sunt supuse la forfecare în una sau mai multe sec ţiuni, depinzând de numărul tablelor care se îmbin ă. La îmbinarea cu un singur bulon, având o singur ă secţiune de forfecare (fig. 1), diametrul bulonului se calculează din condiţia de rezistenţă la forfecare: P P τ = = 2 ≤ τa (19) A πdi 4 Se obţine: 4P di = (20) πτa iar dacă îmbinarea este f ăcută cu n buloane 4P di = (21) nπτa În cazul îmbin ării cu un bulon supus la forfecare dup ă două secţiuni (fig. 2), se pleac ă de la formula 4P di = (22) 2πτa Condiţia de rezisten ţă a îmbinării la presiunea de contact se poate utiliza pentru dimensionare sau pentru verificare, daca deja dimensionarea a fost realizat ă:
σc =
P P = ≤ σac (23) A3 dt
unde d este diametrul bulonului, iar t grosimea plăcii pe care are loc contactul Rezisten ţa admisibilă de contact σ ac se determin ă conform relaţiei: σ ac = (1,5 − 2 )σ a , (24) în care σa este rezistenţa admisibilă minimă a materialului din tij ă, respectiv din plac ă. BULONAREA TABLELOR
Grosimea t a tablei se calculează din condiţia de rezistenţă la presiunea de contact. Dac ă bulonul are o singur ă suprafaţă de forfecare, se poate scrie: P P 1 τ = = 2 ≤ τa ⇒ P = π d 2τ a , (25) A πd 4 4
41
1 2 πd τa P 4 σc = ≤ σac ⇒ σc = ≤ σac (26) dt dt Făcând înlocuirile: τ a = 0,8 σ a şi σ ac = 2σ a , se obţine t ≈ 0, 3d (27) Lăţ imea imea b a tablei se determină din condiţia de rezisten ţă la solitarea de trac ţiune in dreptul sec ţiunii slă bite (fig. 4a.IV), adică: 1 (28) P = πd 2 τa = ( b − d ) tσ a 4 Înlocuind t = 0, 3d şi τ a = 0.8σ a , se obţine (29) b = 2, 5d Ţinând cont de neuniformitatea repartiz ării tensiunilor pe secţiune, se majoreaz ă valoarea: b = 3d (30) Distan ţ a de la capă tul tul platbandei pân ă la axul golului se determină din condiţia de rezisten ţa la forfecare dup ă secţiunile C-D şi E-F (fig. 4a.). 1 2 πd τa P 4 τ= ≤τ ⇒e= (31) 2et a 2t pentru se ob (32) t = 0, 3d ţine e ≈ 1, 3d Neuniformitatea repartiz ării tensiunilor τ pe secţiunile considerate conduce la o majorare a e = 1, 5d dimensiunii e la valoarea: (33) Aplicatii
1. Un arbore canelat transmite un moment de torsiune M t=50 kNm. Dimensiunile arborelui şi ale canelurilor sunt: D=80mm, d=68mm, h=8mm, b=14mm si l=120mm. Arborele are n=6 caneluri şi este confec ţionat din oţel la care se admite p a=340MPa şi τ a=160Mpa. Se cere s ă se facă verificarea arborelui. Rezolvare Daca se admite ca for ţa este preluata in mod egal pe fiecare canelura, atunci forta pe una dintre ele are expresia: 2M t 2 ⋅ 50 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 = = 245,1kN P1 = dn 68 ⋅ 6 Tensiunea de forfecare este: P1 245,1 ⋅ 10 3 τt = = = 145MPa < 160MPa , bl 14 ⋅ 120 iar presiunea pe suprafata de contact: P1 245,1 ⋅ 10 3 = 255,31MPa ≤ p a = 340MPa p = = hl 8 ⋅ 120 2. Se cere să se calculeze dimensiunile a, b, b1, c si d pentru îmbinarea din figur ă. Se cunosc : P=200 kN şi rezistenţele admisibile σa = 180MPa , τ a = 135MPa , pa=350 MPa. 42
Rezolvare Se pune condiţia de rezisten ţă a tijei la trac ţiune: P σ ef = ≤ σ a unde aria secţiunii transversale este : A = a 2 A P Se obţine: a 2 ≥ , de unde rezult ă: σa P 200 ⋅ 103 = = 34mm. a≥ σa 180 Din condiţia de rezisten ţă la presiunea de contact dintre capul tijei şi manşon: P ≤ p a p ef = A1 P se obţine: ⇒ A1 = b12 − a 2 ≥ p a P 20 ⋅ 10 4 2 +a = + 34 2 = 41,56 ⇒ b1 ≅ 42mm. respectiv: b1 ≥ p a 350 Dimensiunea d se ob ţine din condi ţia de rezistenţă la forfecare a umărului manşonului: P P τ ef = ≤ τa ⇒ A 2 = 4 b1d ≥ , τa A2 P 20 ⋅ 10 4 respectiv: = = 8,81 ≅ 9mm. d≥ 4 b1τ a 4 ⋅ 42 ⋅ 145 Din conditia de rezisten ţă la tracţiune a manşonului se obţine: P P , σ ef = ≤ σa ⇒ A 3 = b 2 − b12 ≥ σa A3 P 20 ⋅ 10 4 2 + b = + 42 = 53,62mm ≅ 54mm respectiv: b ≥ σa 1 180 ţă P = 540kN solicit ă o îmbinare cu doua bol ţuri ca în 4. O for ţă figura . Se cere să se determine dimensiunile d, h, b, l. Se cunosc: σa=180Mpa; τa=140Mpa si pa=350Mpa.
obtine:
Rezolvare Din condiţia de rezisten ţă la forfecare a celor dou ă bolţuri se
P τ ef = ≤ τa A1 de unde:
πd 2 P ⇒ A1 = 4 ≥ , τa 4
P 54 ⋅ 10 4 ⇒d≥ ⇒ d = 35mm d≥ πτa π ⋅ 140 Din condiţia de rezisten ţă la presiunea pe gaur ă se determină grosimea h a tablelor: P P ≤ p a ⇒ A 2 = 2hd ≥ , de unde: p ef = A2 p a P 54 ⋅ 10 4 ⇒h≥ = 22.04mm ⇒ h = 22mm. h≥ 2 p a d 2 ⋅ 350 ⋅ 35 43
Din condiţia de rezisten ţă a tablelor la trac ţiune se obţine dimensiunea b P h P , σ ef = ≤ σ a ⇒ A 3 = ( b − 2d ) ≥ A3 2 2σ a P 54 ⋅ 10 4 respectiv: b ≥ + 2d = + 2 ⋅ 35 = 206,36 ≅ 207 mm. hσ a 22 ⋅ 180 Cota l se determin ă din condiţia de rezistenţă a teblelor la forfecare P P τ ef = ≤ τ a ⇒ A 4 = 4lh ≥ , τa A4 de unde se obţine: 54 ⋅ 10 4 = 43,83 ≅ 45mm. l≥ 4 ⋅ 22 ⋅ 140 5. O for ţă ţă P=210kN solicită îmbinarea din figura Elementele îmbinarii sunt din otel cu σ a=100Mpa. Se cere să se facă verificarea imbin ării. Rezolvare: Tija se verifica la urm ătoarele solicit ări: -întindere: P 210.000 σ ef = = = 75 ≤ σ a ; A1 (70 − 30) ⋅ 70 -forfecare: P 210.000 τ ef = = = 25 ≤ τ a ; A 2 2 ⋅ 60 ⋅ 70 -strivire: P 210.000 = = 100 < p a ; p ef = A3 30 ⋅ 70 Pana se verifică la următoarele solicit ări: P 210.000 -forfecare: σ ef = = = 70MPa < τ a A 4 20 ⋅ 30 ⋅ 50 P 210.000 -strivire: p ef = = = 63,63MPa < p a A 5 (180 − 70) ⋅ 30
Cap.6. Solicitarea de rasucire a barelor drepte O bar ă dreaptă este solicitată la r ăsucire dacă în secţiunea transversală acţionează un moment dirijat în lungul axei barei. Se va studia r ăsucirea barelor de secţiune axial-simetrică. 6.1.Calculul momentului de ră r ăsucire Atunci când o asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare, cu componente (sau dirijate) în lungul axei barei, este necesar ă construcţia unei diagrame de momente de r ăsucire. Dacă un arbore transmite puterea N (CP) la turaţia n (rot/min), momentul de r ăsucire se calculează cu
N
relaţia: M t = 70258 [ N • mm ]. n Dacă se cunoaşte puterea P (kW) şi turaţia n (rot/min), atunci:
P M t = 95493 [ N • mm]. n
44
6.2. Tensiuni în bare de secţ secţiune axial-simetrică axial-simetrică
Se constată că dacă pe suprafaţa cilindrică a unei bare se trasează generatoare şi cercuri paralele, formând o reţea de pătrate curbilinii, după solicitarea barei la r ăsucire, pătratele devin romburi, lungimea laturilor r ămânând neschimbată. De asemenea, secţiunile transversale r ămân plane. Se deduce că un element de bar ă decupat în vecinătatea suprafeţei este solicitat numai de eforturi unitare tangenţiale, altfel eforturile unitare normale ar fi produs lungirea laturilor. Dacă dintr-o bar ă încastrată la un capăt, solicitată la r ăsucire, se decupează un element central de rază r si lungime dx (fig.1), atunci generatoarea CB ocupă ˆ B ' = γ este unghiul de poziţia CB′ în urma solicitării, iar raza OB se deplasează în poziţia OB' . Unghiul BC lunecare specifică, iar BOˆ B ' = d ϕ . Se constată că B B ' = γ • dx = r • dϕ ; deci:
γ = r
d = r • θ dx
unde: θ =
ϕ d ϕ ; dx
(1)
ă sucire specific ă . se numeşte unghi de r ă Aplicând legea lui Hooke pentru tensiuni tangentiale, rezultă
τ = G ⋅ γ = G ⋅ r ⋅θ ⋅θ
(2) deci tensiunile tangenţiale variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii. Se consider ă că acestea sunt perpendiculare pe rază (fig.2), ceea ce pe contur se deduce direct, pe baza dualităţii eforturilor unitare tangenţiale. Pentru a stabili legătur a între momentul de r ăsucire M t şi tensiunile τ, se calculează suma momentelor elementare τ·dA·r faţă de punctual O:
Mt =
∫
A
r ⋅ dF = ∫ r ⋅ τ ⋅ dA = Gθ ∫ r 2 ⋅ dA = G ⋅ θ ⋅ I p A
A
unde I p = ∫ r 2dA este momentul de iner ţie polar al secţiunii A
transversale.
θ=
Rezultă expresia unghiului de r ăsucire specifică
Mt GI p
(3)
care, înlocuit în (2), duce la relaţia căutată pentru tensiune:
τ=
M t r I p
(4)
Tensiunea tangenţiala maxima este:
M t ⋅ rmax M t M t = = ; I p I p Wp r max I p W p = ; r max
τmax =
iar
(5)
(6)
este modulul de rezisten ţă polar al secţiunii transversale. La secţiunea circular ă cu diametrul d avem:
πd3 W p = 16
(7)
La secţiunea inelar ă, având diametrul exterior D şi cel interior d , rezultă:
45
π(D4 − d 4 ) I p π( D 4 − d 4 ) 32 W p = = ; = D D 16D 2 2
(8)
Relaţia (5) este utilizată sub următoarele trei forme: -formula de dimensionare:
W pnec =
Mt τa
(9.a)
-formula de verificare:
τef =
Mt ≤τ ; W p a
(9.b)
-formula momentului de r ăsucire capabil:
M t cap = Wp ⋅ τa ;
(9.c)
În relaţiile (9), τ a este rezistenţa admisibilă la r ăsucire. 6.3.Deformatii la rasucire
Din relaţiile (2) şi (3) rezultă unghiul de r ăsucire pentru un element de bar ă de lungime d x:
⋅ θ ⋅ Ip ⇒ θ = M t = G ⋅θ dϕ =
dϕ M t = dx G ⋅ I p
M t dx ; GI p
(10)
ă sucire. unde GI p este modulul de rigiditate la r ă Pentru o bar ă de lungime l , unghiul de r ăsucire totală este: 1
M dx ϕ = ∫ t ; GI p 0 Dacă bara are secţiune constantă şi M t = const. pe toată lungimea, atunci:
ϕ=
Mt l ; GI p
(11)
Uneori se impune o valoare admisibilă θ a a unghiului de r ăsucire specifică, astfel că din relaţia (3) rezultă o formulă de dimensionare:
θ=
Mt M ≤ θa ⇒ I pnec = t ; Gθa G ⋅ I p
(12)
6.5.Calculul arcurilor cilindrice elicoidale
Arcul cilindric elicoidal poate fi considerat o bar ă curbă în spaţiu. Dacă înclinarea spirelor este mare, for ţa P, redusă în centrul de greutate al secţiunii transversale, produce toate cele patru solicitări simple: compresiune, forfecare, încovoiere şi r ăsucire. La arcurile cu s pire strânse, la care înclinarea elicei este foarte mică, for ţa axială şi momentul încovoietor se pot neglija, r ămânând for ţa tăietoare T=P şi momentul de r ăsucire M t = P • R. ăşurare, în comparaţie cu diametrul sârmei, efectul La arc arcur urii cu cu rază mare de înf ăş forfecării este neglijabil, solicitarea principală fiind r ăsucirea.
46
Din formula de dimensionare la r ăsucire (9,a), în cazul secţiunii circulare, rezultă:
deci:
πd3 M t PR = = W p = ; 16 τa τa 16P ⋅ R d=3 ; π ⋅ τa
(13) (14)
relaţie cu care se calculează diametrul sârmei arcului. Numărul de spire n se calculează pe baza formulei săgeţii arcului. Aceasta se deduce uşor, egalând lucrul mecanic produs de for ţa P când arcul se comprimă cu săgeata f , cu energia de deformaţie la r ăsucire.
M 2t dx M t l 1 = P ⋅ f = ∫ ; 2 2 G I 2 G I p p l unde
πd 4 M t = P ⋅ R; l = 2πRn Rn; Ip = ; 32
Rezultă săgeata arcului:
64 P ⋅ R 3 ⋅ n f= ; G ⋅ d4
(15)
Gd 4 P= f = kf ; 3 64 R n
(16)
Relaţia (15) se mai scrie sub forma:
unde k este constanta elastică a arcului. Dacă se impune valoarea constantei elastice
k =
∆ P ; ∆ f
Gd 4 n= ; 64R 3 ⋅ k
din relaţia (16) rezultă numărul de spire:
Daca se tine seama si de efectul fortei rtei ta ta ietoare, toare, tensiune nsiuneaa maxim maximaa intr intr-un -un arc elicoi elicoidal dal se stabil stabilest estee astfel :
τ1 =
Tensiunea maxima, datorita rasucirii, este :
τ2 =
Tensiunea datorita forfecarii, este : Tensiunea maxima totala este :
16PR . 3 πd
τmax = τ1 + τ 2 =
P 4P = 2 A πd
16 PR ⎛ d ⎞ + 1 ⎜ ⎟ πd3 ⎝ 4R ⎠
Pentru oţelurile de arcuri,
τa = 400 − 600 N / mm 2 ; G = 8, 5 ⋅10 4 N / mm mm2 . 6.6. R ăsucirea barelor cu secţ secţiune dreptunghiulară dreptunghiulară Studiul r ăsucirii barelor de secţiune dreptunghiular ă se face în cadrul teoriei acest caz ipoteza lui Bernoulli nu mai este valabilă, secţiunile barelor se deplasează.
elasticităţii, deoarece în
In cazul sectiunii dreptunghiulare, tensiunea maxima se produce la mijlocul laturii mari a dreptunghiului: Mt τmax = τ yxmax = ; α ⋅ h ⋅ b2 La mijlocul laturii mici:
τzx max = γ ⋅ τ yxmax ; Unghiul de r ăsucire specifică se calculează cu relaţia:
47
Mt ; β ⋅ h ⋅ b2 ⋅ G Valorile coeficienţilor α, β şi γ sunt date în tabelul 1: 1 1,5 2 2,5 h
θ=
3
10
∞
0,267 0,263 0,753
0,313 0,313 0,742
0,333 0,333 0,742
b 0,208 0,141 1
α β γ
0,231 0,196 0,859
0,246 0,229 0,705
0,258 0,249 0,766
În general, pentru secţiuni oarecare se pot utilize relaţii generalizate de forma:
Mt M ; θ = t ; unde Wt este modulul de rezistenţă la torsiune (r ăsucire), iar I t -momentul de Wt G ⋅ It
τmax =
iner ţie la torsiune (r ăsucire al secţiunii. Valorile acestora se dau în manuale de specialitate. Aplicatii
1.Se cere sa se dimensioneze un arbore cu sectiune circulara, care transmite o putere N=80kw, sub o turatie n=1000 rot/min, astfel incat sa satisfaca simultan criteriile de rezistenta si rigiditate. Se dau: τ a =35N/mm si θ a =0,3 0/m. Rezolvare
a) Dimensionarea din conditia de rezistenta la torsiune. Se aplica formula:
N 80 = 9 55 0 ⋅ = 76 4 N m n 10 00 πd '3 764 ⋅103 3 = = 25, 47 ⋅10 = 30 16
M t = 9 55 0
W p =
Mt τa
16 ⋅ 25, 47 47 ⋅103 ⇒ d' = = 49, 9mm. π Se alege d’=50mm. b)Dimensionarea din conditia de deformatie. Mt 764 ⋅103 ⋅ 32 −5 rad / mm θef = = = ⋅ 1 , 49 4 9 1 0 mm GI p 8,1 ⋅104 ⋅ π ⋅ 504 π 0,3 0, 3 ⋅ 180 rad / mm = 5, 24 ⋅ 10 θa = 0, 30 / m = 10−6 rad/mm 1000
(1)
(2)
Se constata ca deformatia data de relatia (1) este mai mare decit deformatia deformatia admisibila, data de de relatia (2). Pentru a nu nu depasi aceasta deformatie, se face dimenionarea dimenionarea pornind de la conditia de deformatie, cu ajutorul relatiei (1) .Se aplica formula: M j 764 ⋅103 πd "4 4 4 I p = = = 181 ⋅10 mm = ⇒ Gθa 8,1 ⋅10 4 ⋅ 5, 2244 ⋅10 −6 32
32 ⋅181 ⋅10 4 '' d = = 65, 4mm
π
Se adopta d=66 mm. se cere:
2.Asupra barei din figura se aplica doua cupluri si
48
a) sa se reprezinte diagrama momentelor de rasucire ; b) sa se dimensioneze bara, cunoscand θ a =55N/mm , M0=2 KNm, i =0,3 m ; I p1 =2 I p2 = 2 I p. Rezolvare. a)Problema este simplu static nedeterminata datorita faptului ca in sectiunea din incastrare apar doua momente necunoscute, M1 si M2. Ecuatia de echilibru echilibru mecanic scrisa pentru momente fata de de axa barei este: este: M1 - 3M0 + M0 - M2 = 0 Bara fiind incastrata la capete ,unghiul total de rasucire,pe lungimea ei este egal cu zero . Se aplica reatia :
M 1 l (M 1 − 3M 0 )l (M 1 − 3M 0 )2l (M 1 − 3M 0 + M 0 )l + + = =0 G ⋅ 2 I p G ⋅ 2 I p G ⋅ I p G ⋅ I p 19 3 Rezulta: M 1 = M 0 = 4,75kNm, M 2 M 0 = 0,75kNm. 8 8
∆ ϕ =
b)Dimensionarea se face pentru sectiunea sectiunea periculoasa, adica pentru sectiunea momentului de torsiune maxim:
corespunzatoare
19 M 0 4,75 3 ,75 ⋅10 6 16 ⋅ 95 ⋅103 3 3 πd1 8 Wpnec = = = 95 ⋅10 mm = ⇒ d1 = = 78, 8mm τa 50 16 π Se verifica portiunea de bara cu diametrul d : 4 1 π d 4 1 I p1 d1 78, 8 32 = 2; d1 = 2; = = = = 65,6mm d 2 4 I p2 πd 4 1 2 2 d2 2 32 5 5 ⋅ 2 ⋅106 ⋅ 1 6 M0 τef = 8 3 = 8 = 23,5N/mm 2 < τa 3 π ⋅ 65, 6 d2 16 3) Trei bare din materiale diferite sunt solicitate la torsiune ca in figura 2. Stiind ca sectiunea lor este inelara, sunt montate concentric, incastrate la un capat si legate intre ele printr-o placa la capatul liber, sa se calculeze tensiuniile tangentiale care se produc in cele 3 bare. Rezolvare : Cele trei bare fiind prinse la capete prin intermediul placii, se vor deforma identic, deci:
M M t2 M t3 θ1 = θ 2 = θ 3 ; t1 = = . G 1I p1 G 2 I p2 G 3 I p3
(1)
unde s-au notat Mt1 Mt2 Mt3 momentele de torsiune suportate de fiecare bara. Ecuatia de momente fata de axa barei este M 0 = M t1 + M t 2 + M t 3 . (2) Folosind proprietatile sirului de rapoarte, relatia (1) se mai poate scrie : M t1 M M M0 = t 2 = t3 = G1I p1 G 2I p 2 G 3I p3 G1I p1 + G 2I p 2 + G 3I p3
(3)
Egaland pe rand, primele trei rapoarte cu ultimul, se obtin expresiile momentelor de torsiune corespunzatoare fiecarei bare :
49
M t1 =
M 0G1I p1 ; G1I p1 + G 2I p2 + G 3I p3
M t2 =
M 0G12Ip 2 ; G1Ip1 + G 2I p2 + G 3I p3
M t3 =
M 0G13Ip3 G1I p1 + G 2I p2 + G 3I p3
(4)
Conform relatiei de determinare a tensiunii tangentiale la solicitarea de torsiune, obtinem: τ1 =
M t1 2I p M0d1G1 ; Wp1 = 1 = W p1 2 ( G1Ip + G 2 Ip + G3Ip ) d1 1 2 3
Mt2 2I p 2 M 0 d 2G 2 ; Wp2 = τ2 = = W p12 2 ( G1Ip + G 2 Ip + G3Ip ) d2 1 2 3
τ3 =
M t3 W p3
=
(5)
2I p M 0d3G3 ; Wp3 = 3 d3 2 ( G1Ip1 + G 2 Ip 2 + G3Ip3 )
4.Sa se dimensioneze un arc elicoidal cu raza raza de infasurare R=50 mm, avand numarul de spire spire n=10, 4 stiind ca este solicitat cu o forta P=1200 N si ca materialul are rezistenta admisibila τ a = 8,5 ⋅10 N / mm 2 . Sa se determine tensiunea tangentiala maxima care se produce in arc. Se va considera G = 8,5*104 N/mm2 Rezolvare: a) Se foloseste formula de dimensionare din conditia de rezistenta la torsiune: πd 3 M t PR 16PR 16 ⋅ 1200 ⋅ 50 = = = = 7,98mm W p = ;d = τa τa πτa 16 600 ⋅ π
Se adopta d=8mm b) Sageata arcului elicoidal se calculeaza cu formula : 64PR 3n 64 ⋅ 1200 ⋅ 503 ⋅ 10 = = 276mm f = Gd 4 85000 ⋅ 8 4
c) Valoarea tensiunii tangentiale tangentiale maxime se calculeaza cu formula formula : d ⎞ 8 ⎞ ⎛ τ max = τ1 ⎛ ⎜1 + ⎟ = 600⎜1 + ⎟ = 624 N / mm 2 ⎝ 4R ⎠ ⎝ 4 ⋅ 50 ⎠
50
Cap.7. Solicitarea de incovoiere a barelor drepte O bar ă dreaptă este solicitată la încovoiere dacă în secţiunea transversală acţionează un moment al cărui vector este perpendicular pe axa barei. Incovoierea pur ă ă este solicitarea produsă atunci când în secţiunea transversală acţionează numai un moment încovoietor, dirijat în lungul unei axe centrale principale de iner ţie a secţiunii. Incovoierea simpl ă ă este solicitarea produsă de acţiunea simultană a unui moment încovoietor şi a unei for ţe tăietoare. Incovoierea oblică este produsă de un moment a cărei direcţie nu coincide cu direcţiile axelor centrale principale de iner ţie a secţiunii. 7.1 Incovoierea pură pur ă a barelor drepte
Se consider ă o por ţiune de lungime dx dintr-o bar ă de secţiune constantă, solicitată la încovoiere pur ă (fig. 1). In urma aplicării momentelor încovoietoare M , bara se deformează ca în figura, cele două secţiuni situate iniţial la distanţa dx rotindu-se relativ cu unghiul d φ, dar r ămânând plane, conform ipotezei lui Bernoulli. Dacă s-ar presupune că bara este formată din fibre longitudinale, atunci s-ar observa că, în urma încovoierii barei, unele fibre se întind, altele se comprimă. Formula tensiunlor , sau formula lui Navier, este:
σ=
M⋅z Iy
(5)
Tensiunea normala maxima are expresia:
M ⋅ z max M M = = , Iy Iy Wy z max Iy Wy = z max
σmax =
unde:
este modulul de rezisten ţă axial al secţiunii transversale. La secţiunea circular ă cu diametrul d , π ⋅ d4 Iy π ⋅ d3 64 = Wy = = d d 32 2 2 D şi cel interior d , La secţiunea inelar ă, având diametrul exterior D π D4 − d 4 π D4 − d 4 Iy 64 = Wy = =
)
(
D 2
)
(
D 2
32D
La secţiunea dreptunghiular ă, cu baza b şi înălţimea h, b ⋅ h 3 Iy b ⋅ h 2 12 . = Wy = = h h
6
2
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
2
Relaţia (6) este utilizată sub următoarele forme:
51
formula de dimensionare:
Wynec =
M ; σa
formula de verificare:
σef =
M ≤ σa ; Wy
(11,a)
(11,b)
formula momentului încovoietor capabil: Mcap = Wy ⋅ σa (11,c) În relaţiile (11), σa este rezistenta admisibilă la încovoiere, iar M – cel mai mare moment încovoietor din bar ă, care se spune că acţionează în „secţiunea periculoasă”. O grindă rezistă cu atât mai bine la încovoiere cu cât Wy este mai mare. Forma secţiunii transversale este cu atât mai raţională, cu cât Wy este mai mare, pentru un consum de material cât mai mic, deci pentru o valoare cât mai mică a ariei secţiunii transversale A.
Aplicatii
1.Pentru bara simplu rezemată, încărcată ca în figur ă, se cere: a)Să se reprezinte diagramele de eforturi. b)Să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă la încovoiere, cunoscâdu-se rezistenţa admisibilă la solicitarea de încovoiere σa = 120MPa. c) Să se reprezinte diagrama tensiunilor normale a pe înălţimea secţiunii (6) situată la distanţa egală cu 1,5m faţă de reazemul din dreapta. Se cunosc: P = 10 kN; q = 20 kN/m; M 1 = 20 kN*m ; M2 = 10 kN*m Rezolvare: a).Determinarea reacţiunilor se face din condiţiile de echilibru static. în reazemele simple(l) şi (2) apar numai reacţiunile V1 şi V2. Alegem sensurile iniţiale orientate de jos în sus.
⎧∑ Z = 0 ⇒ V1 + V2 − 2q − P = 0 ⎨ ⎩∑ M 0 = 0 ⇒ M1 + 2q ⋅ 2 + 4P − M 2 − 5V2 = 0 ⇒ V1 = 24 > 0 V2 = 26 > 0 ⇒ Sensurile adoptate initial coincid cu sensurile reale. Determinarea expresiilor analitice ale eforturilor pe intervale:
a) Forta taietoare T T1−3 = V1 = 24kN = cst.
⎧ x = 0; T1 = 24kN T3−4 = V1 − qx = 24 − 20x ⇒ ⎨ ⎩ x = 2; T4 = −16kN b)Momentul încovoietor
⎧ x = 0; M1 = 0 M1−3 = V1x = 24x ⇒ ⎨ ⎩ x = 1; M3 = 24kNm 52
⎧ x = 0; M 2 = 0 M3− 4 = V1 (1 + x ) + M1 − qx 2 / 2 = 24 (1 + x ) + 20 − 10x 2 = 44 + 24x −10x 2 ⇒ ⎨ ⎩ x = 1m; M 4 = 52kNm ⎧ x = 0; M 4 = 52kNm M4 −5 = V1 ( 3 + x ) + M1 − 2q (1 + x ) = 72 + 24x + 20 − 40 − 40x = 52 −15x ⇒ ⎨ ⎩ x = 1; M5 = 26kNm
⎧ x ' = 0; M 2 = 0 M 2 − 5 = − ( − V2 x ') = V2 x ' = 26 x ' ⇒ ⎨ ⎩ x ' = 1m; M 5 = 26kN m În intervalul 3-4, for ţa tăietoare se anulează: T3-4 = 0 => 24 – 20x= 0 => x = 1.2 m Ca urmare, în această secţiune momentul încovoietor va avea un extrem care se calculează înlocuind pe x =1,2m în expresia momentului încovoietor din acea secţiune ptr: x=1,2m Mmax = M3-4(1.2) = 44 + 24 * 1,2 – 10 * 1,2 2 = 58,4 kN*m b). Dimensionarea barei constă, practic, în determinarea dimensiunii "a" a secţiunii transversale, pornind de la formula lui Navier: σmax =
M1max ≤ σa Wy
⇒ Wy ≥
M1max σa
unde ׀Mimax ׀reprezintă valoarea cea mai mare în mărime absolută a momentului încovoietor (care se ia din diagrama de momente) Mimax = 58,4 kN*m = 58,4*106 N*mm σa = 120 MPa = 120 N/mm2 Rezultă:
M1max = 58,4*106/120 = 487000 mm3 = 487 cm3 σa Modulul de rezistenţă axial Wy se calculează pentru secţiunea dată cu definiţia:
Wy =
Iy z max
unde Iy se determină ca sumă algebrică a momentelor de iner ţie axiale ale celor două figuri simple în care se descompune figura dată (cerc şi dreptunghi) calculate în raport cu axa centrală orizontală. Datorită simetriei figurii faţă de cele două axe, centrul de greutate coincide chiar cu centrul cercului şi cu centrul de greutate al dreptunghiului care se extrage. Rezultă: I y
= I (1) y
− I (2 ) y
π(8a )4 2a (4a )3 = − = 190a 4 64 12
Datorită coincidenţei axelor y1, y 2 şi y3, pentru calculele momentelor de iner ţie se folosesc relaţiile obişnuite, f ăr ă a se aplica formulele lui Steiner.
190a 4 ⇒ Wy = 47.5a 3 4a
Se egalează expresia lui Wy (care depinde de a) cu valoarea calculată: 487cm3.
47.5a 3 = 487 ⇒ a = 3
487 ≅ 2.2cm 47.5 53
c). Tensiunea normală a variază liniar pe înălţimea unei secţiuni, luând valoarea egală cu 0 în axa neutr ă şi valori extreme în fibrele extreme ale secţiunii. Datorită simetriei secţiunii faţă de axa y-y, valorile lui s din fibrele extreme: inferioar ă şi superioar ă, sunt egale.
σ61−1 =
M 6 z1−1 Iy
σ 6 2− 2 =
M6 z2 − 2 Iy
Întrucât secţiunea 6 se află în intervalul (4-5), valoarea momentului încovoietor M se determină înlocuind pe x = 0,5m (distanţa de la (4) la (6)) în expresia momentului din intervalul 4-6.
x = 0.5m ⇒ M 4−6 (0.5) = 52 − 16 ⋅ 0.5 = 52 − 8 = 44kNm z1−1 = z 2−2 = 4a = 4 ⋅ 22 = 88mm
I y = 190a 4 = 190(22 4 ) = 44.508 ⋅ 10 4
⇒ σ 61−1 = σ 62−2
44 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 ⋅ 88 = = 88.99MPa 4 190(22 )
Cum M4 > 0, semnul lui σ se stabileşte în funcţie de efectul pe care încovoierea îl are asupra fibrelor longitudinale ale barei. Prin deformare, bara devine convexă, adică fibrele situate sub fibra neutr ă sunt supuse la întindere, deci σ va fi pozitiv, iar pentru fibrele situate deasupra fibrei neutre, fibre care se scurtează, σ va fi negativ.
2. Pentru grinda cu console încărcată ca în figur ă se cere: 1)Să se reprezinte diagramele de eforturi 2)Să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă la încovoiere, cunoscând σa = 70MPa 3) Să se reprezinte diagrama tensiunilor σ în secţiunea (2) Se cunosc: q=20kN/m; P=60kN; M==60kN*m. Rezolvare 1) a)Determinarea reacţiunilor din reazemele simple (1) şi (2). Se scriu condiţiile de echilibru static: Z = 0 ⇒ V1 + V2 − 7q − P = 0
∑ ∑ M(1) = 0 ⇒ −q ⋅ 2 ⋅1 + q ⋅ 5 ⋅ 2.5 + P ⋅ 6 − V2 ⋅ 7 + M = 0
630 = 90kN > 0 ( sens corect ) 7 ⇒ V1 = 200 − 90 = 110kN > 0 ( sens corect )
⇒ V1 + V2 = 200 ⇒ V2 =
b) Determinarea expresiilor analitice ale for ţei tăietoare. Variabila x care poziţionează secţiunea curentă se alege de la capătul din stânga al intervalului până la secţiune
54
⎧ x = 0; T3 = 0 T3−1 = −qx = 20x ⇒ ⎨ ⎩ x = 2m;T1 = −40kN ⎧ x = 0; T1 = 70kN T1−4 = 2q − qx = 70 − 20x ⇒ ⎨ ⎩ x = 2; T4 = −30kN T4−5 = −q ⋅ 7 + V1 = −140 +110 = −30kN = cst T2−5 = − ( V2 ) = −90kN = cst T6−2 = 0 c) Determinarea expresiilor analitice ale momentului încovoietor.
⎧ x = 0; M 3 = 0 M3−1 = −qx 2 / 2 = −10x ⇒ ⎨ ⎩ x = 2m; M1 = −40kNm ⎧ x = 0; M1 = −40kNm M1−4 = −q ⋅ 2 ⋅ (1 + x ) − qx 2 / 2 + V1x = −10x 2 + 70x − 40 ⇒ ⎨ ⎩ x = 5; M 4 = 60kNm ⎧x = 0; M 4 = 60kNm 7 M 4−5 = −q ⋅ 7 ⎛⎜ + x ⎞⎟ + V1 ( 5 + x ) = −30x + 60 ⇒ ⎨ ⎝2 ⎠ ⎩x = 1m; M5 = 30kNm ⎧ x ' = 0; M 2 = −60kNm M 2−5 = − ( M − V2 x ' ) = −60 + 90x ' ⇒ ⎨ ⎩ x ' = 1m; M5 = 30kNm M6−2 = −M = −60kNm Se constată că for ţa tăietoare se anulează în interiorul intervalului (1-4). Ca urmare, momentul încovoietor va avea un extrem care trebuie determinat.
T1−4 = 0 ⇒ 70 − 20x = 0 ⇒ x = 3,5 pentru x = 3,5m ⇒ M 3−4 (3,5) = −10(3,5)2 + 70(3,5 )2 − 40 = 72,5kNm Diagramele sunt reprezentate în figur ă Din diagrama de momente se adoptă valoarea maximă (în valoare absolută) a momentului încovoietor:
M i max = M i max = 72.5kNm = 72.5 ⋅ 10 6 N ⋅ mm M i max 72.5 ⋅ 10 6 ⇒ = = 1.036000mm 3 70 σa Pentru secţiunea barei, care este reprezentată printr-o figur ă compusă, trebuie determinată expresia modulului de rezistenţă axial Wz în funcţie de necunoscuta a.
Wy =
Iy z max 6
unde: I y = ∑ I (yi ) = I (y1) − I (y2) + I (y3) + I (y4) + I (y5) + I(y6) i=1
este momentul de iner ţie axial calculat în raport cu axa centrală orizontală. zmax- este distanţa maximă de la axa centrală orizontală, la fibra cea mai îndepărtată, inferioar ă sau superioar ă a secţiunii. Se descompune figura în: (1) - pătratul de latura 6a, (2) - cercul de diametru 4a, (3), (4). (5), (6) - triunghiuri dreptunghice isoscele de latura 3a. Datorită simetriei, centrul de greutate al figurii coincide cu centrul cercului şi cu centrul pătratului. Datorită faptului că cele 4 triunghiuri dreptunghice au dimensiuni egale, iar centrele lor de greutate sunt dispuse la aceeaşi distantă de axa z, momentele lor de iner ţie Iz vor fi egale.
55
1 2 I y = I(y ) − I(y ) + 4I(3) y =
=
( 6a )4 π ( 4a )4 12
−
64
⎡ 3a (3a )3 9a 2 ⎛ 3a ⎞2 ⎤ ⎥ = 122.44a 4 + 4⎢ + ⎜ ⎟ 2 ⎝3⎠ ⎥ ⎢ 36 ⎣ ⎦
122.44a 4 ⇒ Wy = = 40.8a 3 3a 1036 ⇒ 40.8a 4 = 1036 ⇒ a = 3 = 2.95cm 40.8 Se adoptă a=30mm. 3) Diagrama tensiunilor normale a variază liniar pe înălţimea secţiunii, trecând prin 0 în axa neutr ă şi luând valori maxime în fibrele extreme ale secţiunii. Trebuie să calculăm numai σ în fibra inferioar ă a secţiunii (2), care este identică cu cea din fibra superioar ă a acesteia.
σ max 2
M1−2 y M12 3a 60 ⋅ 10 6 = = = = 54.47MPa 3 Iz Iz 40.8(30)
sau M I2 M I2 σ max 2 60 = ⇒ σ max = σ a = 70 = 57.9MPa M I max 72.5 σ maxmax M Imax Diferenţa de valori se datoreaz ă faptului că am adoptat pentru a o valoare majorată, de la 29,5 mm la 30mm. Dacă s-ar fi calculat σmax(2) luând pe a=29,5mm ar fi rezultat exact σmax2 = 57,9/MPa. Diagrama tensiunilor σ arată ca în figur ă. 7.3.Deformaţ 7.3.Deformaţiile barelor drepte solicitate la încovoiere
Admiţând valabilitatea ipotezei lui Bernoulli, studiul deformaţiilor barelor drepte solicitate la încovoiere se reduce la studiul formei deformate a axei barei, denumită linia elastică a barei. Se notează cu v – săgeata barei (deplasarea pe direcţia z) în secţiunea x şi cu φ unghiul de rotire al secţiunii transversale, egal cu înclinarea tangentei la linia elastică a barei. Admiţând ipoteza micilor deformaţii, se fac următoarele aproximări:
dv = tg ϕ ≅ ϕ , dx
Fig.2.
1 = ρ
d 2v dx 2
d 2v ≅ . 3 dx 2 ⎡ ⎛ dv ⎞2 ⎤ 2 ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ dx ⎠ ⎥⎦
1 M d2v = = Din relaţia (14) se obţine: ρ E ⋅ I y dx 2
(13)
(14)
(15)
56
d 2 v În cazul sistemului de axe din figura, deoarece derivata a doua este negativă când momentul M dx 2
este pozitiv, relaţia (15) devine: d2v
M(x) = − . 2 ⋅ E I dx y
(16)
ă a liniei elastice a barei. ia diferen ţ ial ial ă Relaţia (16) se numeşte ecua ţ ia Prin integrarea acestei ecuaţii se obţin expresiile analitice ale pantei şi săgeţii în orice secţiune a barei. Metoda integr ării analitice a ecuaţiei liniei elastice a barei, prezentată în continuare prin două exemple, se aplică la bare cu încărcare relativ simplă, cu maxim două deschideri cu ecuaţii diferite ale momentului încovoietor. a). Metoda integră integr ării analitice Se porneşte de la ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate:
d 2z M = dx 2 EI y care se integrează de 2 ori succesiv, obţinându-se ecuaţia rotirii şi, respectiv, ecuaţia săgeţii: x
dz M((x ) = ϕ = − ∫ dx + C1 = E( x) + C1 dx EI y 0
(17)
x
z = ∫ ϕdx + C2 = ∫ (E( x ) + C1dx ) = F( x ) + C1x + C2
(18)
o
Se consider ă cunoscute expresiile momentului M(x) ca funcţii de sarcini şi de distanţa x. Dacă bara are n intervale, atunci ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate se integrează de 2 ori pentru fiecare interval, obţinându-se n sisteme de câte 2 ecuaţii şi rezultând 2n constante de integrare. Determinarea constantelor se face utilizând: a) condiţii la limită, specifice fiecărui tip de reazem: - în reazemele fixe sau mobile, săgeata este egală cu 0; - în încastrare, săgeata şi rotirea sunt egale cu 0. b) condiţii de continuitate – care afirmă că într-o secţiune k care apar ţine la 2 intervale consecutive, săgeata şi rotirea calculate din relaţiile corespunzătoare intervalului din stânga sunt egale cu cele calculate din relaţiile corespunzătoare intervalului din dreapta. ( k ) zst(k ) = zdr ⇔ 2n − 2 = 2( n − 1) ecuaţii ( k ) ( k ) ϕst = ϕdr
Se obţine, astfel, un sistem de 2n ecuaţii cu 2n necunoscute: C1..........C2n . După determinarea constantelor, problema determinării deformaţiilor într-o secţiune curentă se rezolvă astfel: 1-se stabileşte cărui interval al barei apar ţine secţiunea curentă. 2-se determină distanţa x de la capătul din stânga al acestui interval până la secţiunea curentă. 3-se înlocuieşte această a lui x în cele 2 ecuaţii corespunzătoare intervalului respectiv, obţinându-se, astfel, rotirea şi săgeata în secţiunea curentă. b).Metode energetice pentru calculul deplasă deplas ării linear elastice
Metodele energetice permit determinarea diferitelor tipuri de deformaţii pornind de la expresia energiei potenţiale de deformaţie totale a sistemului material considerat: Ty2dx M 2y dx Tz2dx M 2t dx M 2z dx N 2dx U= + ky + k + + + l 2 EA l l 2EIy 2GA l z 2GA l 2GIt 2EIz Pentru un sistem de bare drepte şi curbe:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
57
Ty2ds Tz2ds N 2ds + + + U = ∑∫ k k li 2EA ∑ ∫li y 2GA ∑ ∫ li z 2GA i i i M 2yds M 2t ds M z2ds +∑ ∫ + + li 2GI t ∑ ∫li 2GI y ∑ ∫ li 2GIz i i i
În practică, în majoritatea sistemelor supuse la încărcări complexe, termenii proveniţi din for ţele axiale şi cele tăietoare sunt neglijabile faţă de cele ce provin din încovoiere şi r ăsucire. În relaţiile de mai sus, valorile coeficienţilor k sunt: pentru dreptunghi k=6/5 iar pentru cerc k=10/9. deplasărilor liniar elastice prin metoda lui Mohr-Maxwell b1)Calculul deplasă
Relaţia generală de calcul a deplasărilor:
M t m t ds Nn i ds Tt i ds M i m i ds f i = δi = ∑ ∫ k + + + ∑ ∑ ∑ ∫l GA ∫l GI ∫l EI l EA în care: - n este for ţa axială produsă de sarcina fictivă egală cu 1; - t este for ţa tăietoare produsă într-o secţiune oarecare de sarcina fictivă, iar k este un factor ce depinde de forma secţiunii; - m t este momentul de r ăsucire produs într-o secţiune oarecare de sarcina fictivă egală cu unitatea, iar Ip este pentru barele circulare momentul de iner ţie polar al secţiunii barei; - mi este momentul încovoietor produs într-o secţiune oarecare de sarcina fictivă egală cu unitatea şi dirijată în direcţia deplasării. Pentru calculul deplasărilor se pot folosi şi expresii simplificate: - la arce:
Nn ds Mm i ds f i = δ i = ∑ ∫ l i + ∑ ∫ l EA EI - la cadre:
M m ds f i = δ i = ∑ ∫ l i i EI i - la grinzi cu ză brele:
Nn ds f i = δ i = ∑ ∫ l i EA Exemple: 1. Bara în consolă consol ă încă încărcată rcată cu o forţă for ţă în capă capăt Se consider ă bara din figura. Momentul încovoietor în secţiunea x are expresia:
M ( x ) = − P ⋅ l + P ⋅ x . Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate este: d2v E ⋅ Iy = −M ( x ) = P ⋅ l − P ⋅ x . 2
dx
Prin două integr ări succesive se obţine:
dv P ⋅ x2 E ⋅ Iy = E ⋅ Iy ⋅ ϕ = P ⋅ L ⋅ x − + C1 , dx 2 x 2 P ⋅ x3 E ⋅ Iy ⋅ v = P ⋅ l − + C1 ⋅ x + C2 . 2 6 Constantele de integrare C 1 şi C 2 se determină pe baza condiţiilor la limită; în încastrare, pana şi săgeata ϕ x =0 = 0 ; v x =0 = 0 . sunt nule:
58
Rezultă C 1=C 2=0, deci expresiile pantei şi săgeţii devin: P ⋅ l ⎛ x2 ⎞ ⎜x − ⎟ , ϕ= E ⋅ I y ⎜⎝ 2l ⎟⎠
P ⋅ l3 ⎛ x 2 x3 ⎞ ⎜ − ⎟. v= E ⋅ I y ⎝⎜ 2l2 6l3 ⎟⎠ În capătul barei, pentru x = l , săgeata maximă este: P ⋅ l3 vmax = f = . 3E ⋅ I y 2.Grinda încastrată încastrat ă la un capă capăt şi încadrată încadrată cu o sarcină sarcină uniform repartizată repartizată
Dacă se ia originea axelor de coordonate în extremitatea liber ă a grinzii în poziţia iniţială, momentul încovoietor este dat de expresia x px 2 M = − p ⋅ x ⋅ = − ,
2
2
care păstrează aceeaşi formă pentru toate secţiunile. Ecuaţia diferenţială a axei deformate va fi d 2 v px 2 EI y = . 2 2
dx
Integrând de două ori, se obţin ecuaţiile generale pentru unghiuri şi săgeţi: dv px 3 EI y = + C1 dx 6
px 4 EI y v = + C1x + C2 . 24 Constantele de integrare C1 şi C2 se determină scriind că în secţiunea de încastrare unghiul şi săgeata sunt nule, adică: pentru x = l ,
dv = 0 şi v = 0. dx
Înlocuind aceste valori în ecuaţiile generale, se găseşte: pl3 pl4 C1 = − , C2 = , 6 8 iar ecuaţiile definitive pentru unghiuri şi săgeţi vom avea forma: dv p EI y = EI y tgϕ = ( x3 − l3 );
dx
EI y z =
6
p 4 ( x − 4l3 x + 3l4 ) . 24
Din aceste situaţii, pentru x = 0 se obţin valorile maxime ale unghiului şi săgeţii la extremitatea liber ă a grinzii: pl4 pl3 ⎛ dv ⎞ v1 = f = = tgϕ1 = − ≈ ϕ1 ; ⎜ dx ⎟ 8EIz 6EIz ⎝ ⎠x =0
59
3.Grinda simplu rezemată rezemată la capete încă încărcată rcată cu o sarcină sarcină concentrată concentrată
Să consider ăm grinda de deschidere l , încărcată cu o sarcină concetrată P , aplicată la distanţele a şi b de cele două reazeme. Pe cele două intervale a şi b, momentul încovoitor variază după legi diferite; în consecinţă şi axă deformată va fi reprezentată prin două curbe diferite, care se racordează în dreptul sarcinii.În acest caz, se scrie ecuaţia diferenţială a axei deformate pentru fiecare por ţiune de grindă şi se integrează separat. Pentru aceasta, se calculează mai întâi reacţiunile: V 1
P P = b , V 2 = a l 1
şi apoi se scrie expresia mometului încovoietor în două secţiuni, din care una pe primul de reazemul din stânga şi cealaltă pe al doilea, la distanţa x’ de reazemul din dreapta:
Pb M x = V 1 x = x l Pa M x′ = V 2 x ′ = x ′ l
interval, la distanţa x
pentru x ≤ a ; pentru x ′ ≤ b .
Ecuaţiile diferenţiale ale axei deformate pentru cele două por ţiuni sunt: d2v Pb EI y x = − pentru x ≤ a , 2 l
dx d2v Pa EI y x′ = − 2 l ′ dx
pentru x ′ ≤ b ,
în care v şi v’ reprezintă săgeţile corespunzătoare secţiunilor considerate. Prin integrarea ecuaţiilor de mai sus, se obţin ecuaţiile unghiurilor : dv P bx 2 EI y = − + C1; dx 2l
dv Pax ′2 EI y =− + C1 . dx ′ 2l Integrând din nou, rezultă ecuaţiile săgeţilor: Pbx 3 EI y v = − + C1x + C2 ;
6l Pax′3 + C '1 x ′ + C '2 . EI y v = − 6l
Cele patru constante de integrare se determină din condiţiile pe reazeme şi din condiţia de continuitate a axei deformate. Se scriu întâi condiţiile pe cele două reazăme, în dreptul cărora săgeţile sunt nule: - în secţiunea 1, pentru x = 0, s ăgeata z = 0 ; - în secţiunea 2, pentru x’= 0, săgeata z’= 0 ; C2 = 0 ; C '2 = 0 . deci, prin înlocuirea în ecuaţiile săgeţilor, rezultă: De asemenea, axa deformată fiind o curbă continuă, cele două ramuri se racordează în dreptul sarcinii, şi adică: pentru x = a x’ = b, săgeţile corespunzătoare celor două ramuri sunt egale, iar unghiurile egale şi de semne opuse:
v = v' ;
dv dv ' . =− dx dx ′
Înlocuind în ecuaţiile generale pentru unghiuri şi săgeţi pe x = a , x ′ = b , C 2 egalând între ele păr ţile din dreapta, conform condiţiei de continuitate, se obţine:
= C 2′ = 0 şi 60
Pba 3 Pab3 − + C1a = − + C '1 b , 6l 6l Pba 2 Pab 2 − + C1 = + + C '1 , 2l 2l Pab P ab Pb 2 2 l − b ; ( 2b + a ) = (l + b) = 6l 6l 6l P ab P ab Pa C '1 = ( 2a + b ) = ( l + a ) = ( l2 − a 2 ) . 6l 6l 6l
)
(
de unde: C1 =
Cu aceste valori ale constantelor, ecuaţiile unghiurilor devin: dv Pbx 2 Pab Pb + EI y = − (2b + a ) = ⎡⎢ l2 − b 2 − 3x 2 ⎤⎥ , ⎦ dx 2l 6l 6l ⎣ dv ' Pax′2 Pab Pa =− + EI y ( 2a + b ) = ⎡⎢ l2 − a 2 − 3x′2 ⎤⎥ , ⎦ dx ′ 2l 6l 6l ⎣
(
)
(
)
iar ecuaţiile săgeţilor: Pbx 3 Pab Pbx ⎡ 2 2 2⎤ ; EI y v = − l b x + − − ( 2b + a ) x = ⎥⎦ 6l 6l 6l ⎢⎣
)
(
Pax′3 Pab Pax ′ ⎡ 2 2 ′2 ⎤ EI y v ' = − l a x + − − ( 2a + b ) x ′ = ⎥⎦ 6l 6l 6l ⎢⎣
(
)
Unghiurile de înclinare ale tangentelor la linia elastică în punctele de reazem se obţin f ăcând x = 0 în ecuaţia tangentelor şi x ′ = 0 în ecuaţia , cu observaţia că pentru ramura din dreapta unghiurile sunt negative:
P ab ⎛ dv ⎞ = tgϕ1 = ( 2b + a ) ; ⎜ dx ⎟ 6lEI y ⎝ ⎠x =0 P ab ⎛ dvz ⎞ t g ( 2a + b ) . = ϕ = − 2 ⎜ dx ′ ⎟ 6 l E I ⎝ ⎠ x ′= 0 y Săgeata comună ambelor ramuri în dreptul sarcinii când aceasta are o poziţie oarecare pe grindă. Poziţia şi valoarea săgeţii maxime în acest caz (când a ≠ b ) vor avea loc în punctul unde unghiul de înclinare al tangentei la linia elastică este nul. Săgeata maximă se produce la stânga sarcinii, în secţiunea de abscisă a (2b + a ) x = 3 Dacă sarcina este aplicată la mijlocul grinzii, adică a = b = l / 2 s-a văzut mai înainte că săgeata maximă are loc în secţiunea x = l / 2 din dreptul sarcinii. În acest caz, valoarea săgeţii va fi Pl3 , v 1= 48 ⋅ E I y a = b= 2
iar unghiurile în dreptul reazemelor sunt egale între ele tgϕ1 =
Pl2 = − tgϕ2 16 ⋅ EI y
Aplicatii
1. Să se determine rotirea secţiunii (2) şi săgeata secţiunii (6) pentru bara încastrată încărcată ca în figur ă, prin două metode: a) metoda parametrilor iniţiali; b) metoda Mohr-Maxwell. P 1 = 2ql, P 2 = ql, M = 2ql2.
61
Solu ţ ie ie Se determină necunoscutele din încastrare, şi anume: reacţiunea verticală V 1 şi momentul din încastrare M 1 (H 1 = 0).
ΣZ = 0 ⇒ V1 − 2I q − P1 + P2 = 0 ⇒ V1 = 3ql Σ 1 = 0 ⇒ − M1 + 2ql ⋅ 3l + P1 ⋅ 5l − M − P2 ⋅ 6l = 0
⇒ M1 = ( 6 + 10 − 2 − 6 ) ql 2 = 8ql 2
Ecuaţiile rotirii şi săgeţii pentru metoda parametrilor iniţiali sunt:
x 2 EIϕ = EIϕ 0 + M1x − V1 2 P1 ( x − 5l )2 + + M ( x − 5l ) 2
1− 2
q ( x − 2l )3 + 6
+ P1
3
6
+ M
3− 4
4−5
x 2 x3 EI Z = EI Z 0 ⋅ x + EI EIϕ 0 ⋅ x + M1 − V1 2 6
( x − 5l )
2−3
q ( x − 4l )3 − + 6
1− 2
q ( x − 2l )4 + 24
2−3
q ( x − 4l )4 − + 24 3− 4
2 ( x − 5l )
2
4−5
A doua relaţie, cea a săgeţii, se obţine prin integrarea primei relaţii. Parametrii iniţiali, şi anume rotirea şi s ăgeata în secţiunea din încastrare sunt egali cu 0, astfel încât ecuaţiile devin:
x 2 EIϕ = 8ql x − 3ql 2 2
1− 2
q ( x − 2l )3 + 6
2−3
q ( x − 4l )3 − + 6 3− 4
2ql ( x − 5l ) 2 + + 2ql 2 ( x − 5l ) 2
4 −5
x3 − ql EI Z = 8ql 2 6 2 x
+2ql
( x − 5l ) 6
2
3
+ 2ql
1− 2
q ( x − 2l )4 + 24
2 ( x − 5l )
2
2
2−3
q ( x − 4l )4 − + 24 3− 4
4−5
Pentru determinarea rotirii φ2 a secţiunii (2) se înlocuieşte x = 2l (care determină poziţia secţiunii (2) faţă de capătul din stânga al barei) în to ţi termenii situaţi în stânga barei verticale care are indicii 1-2:
1 ⎡ 2 ( 2l ) ⎢8ql ⋅ 2l − 3ql ϕ 2 = EI ⎢ 2 ⎣
2⎤
10ql 3 ⎥= ⎥⎦ EI
Pentru determinarea săgeţii y6, mai întâi observăm că secţiunea (6) apar ţine intervalului (2-3) şi că ea se g ăseşte la distanţa x = 3l faţă de capătul din stânga al barei. Ca urmare, se înlocuieşte x = 3l în ecuaţia a doua, cea corespunzătoare săgeţii; în toţi termenii situaţi în stânga barei verticale care are indicii 2-3. 2
3
( 3l ) ( 3l − 2l ) 1 ⎡ 2 ( 3l ) Z 6 = ⎢8ql ⋅ − 3ql +q EI ⎢ 2 6 24 ⎣
4⎤
2 2,54 ql 4 ⎥= EI ⎥⎦
62
Metoda Mohr-Maxwell Pentru determinarea rotirii φ2, se introduce în secţiunea (2) a barei un cuplu = 1 cu sens ini ţial pozitiv (se face abstracţie de încărcarea exterioar ă a barei) şi se determină expresiile momentului încovoietor în acest caz. În încastrare apare un moment egal cu 1, dar de sens opus,
m1− 2 = −2; m2 −3 = m3− 4 = m4 −5 = −1 + 1 = 0.
Expresiile momentului încovoietor pentru încărcarea exterioar ă dată iniţial sunt:
M1− 2 = −8ql 2 + 3qlx qx 2 x2 2 M 2−3 = −8ql + 3ql ( 2l + x ) − = −ql + 3qlx − q 2 2 M 3− 4 = −8ql 2 + 3ql ( 4l + x ) − 2ql (l + x ) = 2ql 2 + qlx 2
4−5
= −8ql 2 + 3ql ( 5l + x ) − 2ql ( 2l + x ) − 2ql 2 − 2qlx = ql 2 − qlx
Se foloseşte formula:
1 ϕ 2 = ∑∫ EI i li
⎤ 1 ⎡ 2l ⋅ mdx = ⎢ ∫ ( −8ql 2 + 3qlx ) ( −1)dx ⎥ = EI ⎣ 0 ⎦
( 2l )2 10ql 3
= 8ql 2 ⋅ 2l − 3ql
2
=
EI
Celelalte 3 integrale erau identice cu 0, datorită expresiilor m = 0 de pe ultimele trei intervale. Determinarea săgeţii Z6 ţă concentrată = 1 pe direcţia necunoscută ce trebuie determinată, În secţiunea (6) se introduce o for ţă adică pe direcţie verticală, cu sens iniţial orientat de sus în jos. Se determină necunoscutele din încastrare, şi anume: V1 = 1 şi M1 = 1*3l= 3l, cu sensurile din figur ă, şi se scriu expresiile momentului încovoietor m' corespunzătoare acestei încărcări.
m '1− 2 = 3l + 1⋅ x = −3lx m '2− 6 = −3l + 1( 2l + x ) = −l + x
m '6 −3 = 3l + 1( 3l + x ) − 1⋅ x = 0 Analog m '3− 4 = m '4 −5 = 0 Săgeata Z6 se determină cu relaţia:
1 1 ⎡ 2l Z6 = ∑ ∫li M ⋅ mdx = ⎢ ∫ ( −8ql 3 + 3qlx ) ( − 3l + x ) dx + EI i EI ⎣ 0 1⎛ ⎤ 1 ⎡ 2l )2 2l ) 2 qx 2 ⎞ ( ( 2 3 2 2 + ∫ ⎜⎜ −2ql + 3qlx − − 8ql + ⎟⎟ ( −l + x ) dx ⎥ = ⎢ 24ql ⋅ 2l − 9ql EI 2 2 2 ⎢ ⎥⎦ 0⎝ ⎠ ⎣ 3 2 ql l 3 l 3 q l 4 ⎤ 22,54 ql 4 ( 2l ) 3 2l +3ql + 2ql ⋅ l − 3ql + − 3ql − ⎥= 3 2 2 3 3 2 4 ⎥⎦ EI
Observaţie:
Deoarece, prin calcul, φ2 a rezultat pozitiv, înseamnă că sensul rotirii secţiunii (2) coincide cu sensul momentului egal cu 1 introdus în acea secţiune, adică sensul orar. Analog, y6 a rezultat pozitivă, ceea ce înseamnă că deplasarea reală a secţiunii (6) este pe direcţie verticală, de sus în jos, adic ă sensul săgeţii coincide cu sensul sarcinii egale cu 1 care a fost introdus ă în secţiunea 6.
63
2. Pentru bara încărcată ca în figur ă se cere: 1) să se reprezinte diagramele de eforturi 2) să se dimensioneze bara din condiţia de rezistenţă la încovoiere, ştiind că σ a = 100 MPa, şi să se determine σ max max. 3) să se calculeze apoi, rotirea secţiunii 4, situată la distanţa x = 4,5 m faţă de capătul din stânga al barei, folosind metoda parametrilor iniţiali. Se cunosc: q1=30 kN/m;q2 = 20 kN/m, P1 = 15 kN, P2 = 25 kN; M1 = 10 kN m; M2 =35 kN m. Rezolvare:
1. Determinarea reacţiunilor:
ΣZ1 = 0 ⇒ P1 − 2q1 + V1 − 2q 2 + V2 = 0 ΣM (1) = 0 ⇒ − M1 − P1 ⋅ 2 − q1 ⋅ 1 + 2q 2 ⋅ 1 + P2 ⋅ 2 + M 2 − V 2 ⋅ 5 = 0
⇒ V1 + V2 = 140kN ,V2 = 5kN ⇒ V1 = 135kN . Determinarea expresiilor analitice ale eforturilor.
⎧ x = 0; T0 = 15kN T0 −1 = − P1 − q1x = −15 − 30 x ⇒ ⎨ ⎩ x = 2m;T1 = −75kN ⎧ x = 0;T1 = 60kN T1− 2 = − P1 − 2q1 + V1 − q2 x = 60 − 2 x ⇒ ⎨ ⎩ x = 2m;T2 = 20kN T3− 2 = − (V2 ) = −5kN
⎧ x = 0; M 0 = −10kNm x 2 M 0 −1 = − M1 − P1x − q1 = −10 − 15x − 15x 2 ⇒ ⎨ 2 ⎩ = 2m; M1 = −100kNm x 2 M1− 2 = − M1 − P1 ( 2 + x ) − 2q1 (1 + x ) − q2 + V1x = 2 −10 − 30 − 15 − 50 − 60 x − 10 x 2 + 135 x = −100 + 60 x − 10 x 2 ⎧ x = 0; M1 = −100kNm ⇒⎨ ⎩ x = 2m; M 2 = −20kNm
⎧ x ' = 0; M 3 = 0 M 3− 2 = − (V2 x ') = 5 x ' ⇒ ⎨ ⎩ x ' = 3m; M 2 = 15kNm 2. Dimensionarea secţiunii transversale Datorită faptului că figura dată are axa verticală ca axă de simetrie, centrul de greutate se găseşte pe axa z a sistemului z G y ales ca sistem iniţial. 2.1) Figura se descompune în dreptunghiul 1, dou ă triunghiuri (2) şi (3) şi cercul (4) => YG = 0
64
4
∑ Ai Z Gi
Z G = i =14
=
∑ Ai
A1ZG1 + A2Z G 2 + A3Z G 3 − A4Z G 4 = A1 + A2 + A3 − A4
i =1
=
24a 2 ⋅ 0 +
a ⋅ 4a 2 a ⋅ 4a 2 4a + 4a − π a 2a 2 3 2 3 = 2,234a 2 2 2 24a + 4a − π a
Se figurează sistemul central de axe zG G yG. 2.2. Dimensionarea secţiunii barei. Se utilizează formula lui Navier: σ max
=
M i max M ≤ σ a ⇒ W y ≥ i max W y σ max
Se calculează momentul de iner ţie axial IyG în raport cu axa centrală orizontală:
⎡ 6 a ( 4 a )3 ⎤ 2 2 I yG = I y + 2 I y − I y = ⎢ + 24a ( 0, 234a ) ⎥ + G G G 12 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ a ( 4 a )3 ⎤ ⎡ π ( 2a )3 ⎤ 2 2 2 2 2⎢ 0, 43a ) ⎥ − ⎢ + 2a ( 0, + π a (1, 234 a ) ⎥ = 32a 4 ⎢⎣ 36 ⎥⎦ ⎢⎣ 64 ⎥⎦ (1)
( 2)
(4)
I yG 32a 4 W yG = = = 14,3a3 Z max 2,234a Z max = max ( 2, 234a;1,766 ,766 a ) Se foloseşte formula lui Navier şi rezultă: W yG
≥
M i max σ a
.
La limită, mergand la egalitate se obţine:
10 0 ⋅ 10 6 14, 3a = = 106 mm3 ⇒ a = 41, 2mm 100 3
Tensiunea tangenţială maximă se înregistrează în fibra neutr ă a secţiunii în care se înregistrează valoarea absolută maximă a for ţei tăietoare, adică în secţiunea (1), în stânga ei înregistrându-se valoarea 75kN. τ max
b y − y
Tmax S y − y by − y I yG 2,234a = 6a + 2a = 7,157a 4a
=
S y − y = S − 2S∆ = 8a
(1,766 a )
2
− 2 ( a − 0, 558a )
2 75 ⋅103 ⋅ 12,172 ( 41, 2)3 ⇒ τ max = = 2,348 Pa 7,157 ⋅ 41, 2 ⋅ 32 ⋅ 41, 24
1,76 ,766 a 1,76 ,766 a = 12,172a 3 2 3
65
3. Pentru determinarea rotirii secţiunii 4 se scriu ecuaţiile rotirilor şi săgeţilor:
x2 15 x 2 EIϕ = EIϕ 0 + 10 x + + 30 2 6
0 −1
30 ( x − 2 )3 135 ( x − 2 )2 20 ( x − 2 )3 − − + 6 2 6
1− 2
25 ( x − 4 ) 2 10 ( x − 4 )3 + − − 35 ( x − 4 ) 2 −3 2 3 1 0 x 2 15 x 3 3 0 x 4 EIz = EIz0 + EI ϕ 0 ⋅ x + + + 2 6 24 20 ( x − 2 ) 4 24
1− 2
0 −1
30 ( x − 2 ) 4 135 ( x − 2 )3 − − + 24 6
25 ( x − 4 ) 3 10 ( x − 4 ) 4 3 5 ( x − 4 ) 2 + − − 6 12 2
2− 3
Pentru determinarea parametrilor iniţiali se pun condiţiile la limită în reazeme relativ la deformaţii. Se ştie că în reazeme săgeata este nulă. pentru x = 2m ⇒ Z1 = 0 ⇒ 0 = EI y 0 + 2 EIϕ 0 + 20 + 15
8 16 + 30 3 24
pentru
15 3 7 6 30 30 135 3 20 4 25 3 5 4 35 2 + 7 4 − 54 − 5 + 5 + 3 − 3 − 3 24 24 6 24 6 6 2 x = 7m ⇒ Z3 = 0 ⇒ 0 = EI z 0 + 7 EIϕ 0 + 5 ⋅ 49 +
Prin rezolvarea sistemului de două ecuaţii cu necunoscutele φ0 şi y0 se obţine:
EIϕ 0 = −630kNm2 EI Zo = 1200knm3 Ca urmare, în ecuaţia rotirilor, cunoscând EIϕ 0 = −630kNm 2 înlocuind pe x = 4,5m în toţi termenii situaţi în stânga barei cu indicii 2-3 (secţiunea (4) apar ţine acestui interval) se obţine: 3
15 30 ⋅ 2, 53 135 ⋅ 2, 52 20 ⋅ 2, 53 2 30 ( 4,5) EI ϕ 4 = −630 + 4.5 ⋅ 10 10 + + 4, 5 + − − + + 2 6 6 2 6 20 ⋅ 2, 52 25 ⋅ 0, 52 10 ⋅ 0.53 kNm2 + − − 35 ⋅ 0, 5 = −443, 33kNm 6 2 3 443,33 ,33 ⋅103 ⋅106 o 0 , 0 2 2 8 1 , 3 1 2 rad ra d ⇒ ϕ 4 = = − = − 2.1⋅105 ⋅ 32 ⋅ 41, 24
2. Pentru grinda rezemată, cu încărcarea din figur ă, se cere: 1)Să se reprezinte diagramele de eforturi; 2)Să se dimensioneze bara, ştiind că pe intervalul 3 - 4 are secţiunea transversală ca în figur ă, iar pe restul lungimii are secţiunea dreptunghiular ă 5a x 4a. Se cunosc: q = 10kN/m, P = 10 kN, P = 20kN, M=50kNm . Solu ţ ie ie 1) Diagramele se reprezintă obişnuit şi arată ca in figur ă.
66
Reactiunile rezulta din ec. de echilibru: V1 = 6kN, V2 = 4kN 2)Secţiunea dreptunghiular ă este solicitată de momentul maxim M = 46 kNm, deci se aplică formula lui Navier în secţiun. (5): 2 M max 46 ⋅106 bh2 5a ⋅ ( 4a ) W y = = = = 6 6 σ a 102
Rezulta: a3 = 34500mm3.
Secţiunea slă bită este solicitată de momentul M = 22 kNm. Se calculează poziţia centrului de greutate ( situat pe axa de simetrie a figurii la distanta egala cu 2,8 a fata de fibrele inferioare ale sectiunii) şi se calculează modulul de rezistenţă axial in raport cu axa y care trece prin centrul de greutate : Wy = 2,857a3. Se aplică formula lui Navier şi rezultă: 2,857a3 = 220000mm3 , a3 = 77004mm3 adica a = 43mm. Evident, soluţia care se adoptă este a = 43mm, adică cea mai mare dintre cele două variante.
Cap.8. Stabilitatea echilibrului elastic al barelor drepte Când s-a studiat solicitarea simplă de compresiune axială, dimensiunile transversale ale pieselor au fost determinate pe baza condiţiilor de rezistenta. σ
=
p ≤ σ a A
Fenomenul de trecere a unei piese din starea de echilibru stabil in cea de echilibru nestabil, atunci când sarcinile aplicate ajung la o anumită valoare critică se numeşte flambaj. Flambajul poate să apar ă nu numai ia barele solicitate la compresiune, dar şi la cele solicitate la încovoiere sau r ăsucire. A calcula o piesă la flambaj înseamnă a determina valoarea for ţei critice Pf şi a alege foiţa reală P de (c) ori mai mică, numărul c purtând numele de coeficient de siguranţă la flambaj, deci:
P f P = c For ţa critică de flambaj produce in bara comprimata o tensiune normala denumită tensiune critica. σ f
=
P f
Comparând valoarea tensiunii normale critice de flambaj cu limita de proportionalitate a materialului, se poate întâmpla ca ea sa fie inferioar ă sau superioar ă acestei limite. In primul caz avem de-a face cu fenomenul de flambaj elastic, iar in al doilea, de flambaj plastic. Tensiunile normale critice sunt tensiuni periculoase pentru bara comprimată. De aceea, pentru a asigura stabilitatea formei rectilinii a barei comprimată de for ţa P, este necesar ca la condiţia de rezistenţă σ
=
p ≤ σ a A 67
să se mai adauge şi condiţia de stabilitate σ
=
p ≤ σ af A
in care af este rezistenţa admisibilă la flambaj, care poate fi calculată cu relaţia: σ f σ af =
c
8.1. Formula lui Euler pentru calculul forţ for ţei critice de flambaj la barele drepte comprimate For ţa critică de flambaj Pf , adică for ţa de comprimare axială minimă capabilă să menţină in echilibru o bar ă comprimată, uşor curbată, este necesar ă pentru aflarea tensiunilor normale critice f . Există patru cazuri clasice de bare solicitate la compresiune care difer ă intre ele numai prin felul reazemelor şi anume: 1- bara articulată la ambele capete: 2- bara încastrată la un capăt şi liber ă la celălalt: 3- bara încastrată la un capăt şi articulată la celălalt: 4- bara încastrată la ambele capete. La flambaj se consider ă că axa barei este deformată intr-o secţiune x, cu o săgeată y şi se caută valoarea sarcinii P de compresiune axială care produce o astfel de deformaţie. Pentru rezolvarea problemei se poate utiliza ecuaţia diferenţială simplificată a axei deformate a barei, cunoscută de la studiul încovoierii:
( x ) d 2z = − EI dx 2
Valoarea minimă a for ţei critice de flambaj in cele patru cazuri clasice se determină cu o relaţie ce are forma generală unitar ă:
P f =
π 2 EI min
l f 2
care se numeşte formula lui Euler. Mărimea lf reprezintă distanţa intre două puncte de inflexiune consecutive ale axei deformate, presupusă prelungită la infinit şi poartă numele de lungime de flambai a barei. La barele cu secţiune pătrată, circular ă, inelar ă, la care momentele de iner ţie in raport cu axele centrale sunt egale intre ele, flambajul se poate produce in orice direcţie. Daca secţiunea barei are momente de iner ţie diferite pe diverse direcţii, aşa cum este cazul secţiunii dreptunghiulare, flambajul barei se va produce pe direcţia cu moment de iner ţie minim. Lungimea de flambaj depinde de lungimea reală a barei şi de felul de rezemare al acesteia si are, pentru cele patru cazuri studiate, următoarele valori: - cazul 1). lf = l; - cazul 2). lf = 2l; - cazul 3). lf = ½ = 0,71; - cazul 4). 1f = 1/2 = 0,51; unde l este lungimea reală a barei. 8.2.Formulele Tetmayer-Iasinski pentru flambajul plastic
Cunoscând expresia generală a for ţei critice de flambaj pentru barele drepte solicitate la compresiunea axială, se poate calcula tensiunea normală critică de flambaj Qf dacă se împarte valoarea for ţei Pf prin aria A a secţiunii transversale a barei: P f π 2 EI min π 2 E σ f = = 2 = 2
a
l f A
⎛ l f ⎞ ⎜i ⎟ ⎝ min ⎠
Notând coeficientul de subţirime sau de zvelteţe rezultă:
68
λ
=
l f imin
⇒ σ f =
π 2 E 2
λ Soluţia teoretică obţinută de Euler se verifică experimental numai pentru barele subţiri şi lungi, cu un coeficient de zvelteţe mare şi unde se aplică legea lui Hooke. In practică, se folosesc pentru studiul flambajului peste limita de propor ţionalitate formule obţinute pe cale experimentală, cele mai cunoscute fiind formulele stabilite de L. Tetmajer si F.lasinski. Pentru barele de oţel şi lemn tensiunea normală critică de flambaj variază după dreapta: σ f = a − bλ
Iar pentru barele de fontă variază cu parabola σ f = a − bλ + cλ 2 Coeficienţii a, b şi c din formulele de mai sus se determină prin încercări directe pentru fiecare material. Pentru o serie de materiale, mai des întâlnite in practică, valorile acestor coeficienţi se găsesc in STAS-uri şi manuale inginereşti. 8.3.Calculul la flambaj al barelor comprimate
For ţa reală care acţionează asupra unei bare cu lungimea mare şi secţiunea mică in lungul axei sale longitudinale trebuie să fie mai mică decât sarcina critică de flambaj. Tensiunea normală efectivă de compresiune care apare intr-o secţiune normală pe axa barei trebuie să fie mai mică decât cea critică de flambaj. Calculul la flambaj al barelor comprimate constă in: 1.- a dimensiona o bar ă, dacă se cunoaşte coeficientul de siguranţă, c; 2.- a verifica valoarea lui c dacă bara este dimensionată şi i se cunosc toate elementele geometrice. Pentru dimensionarea unei piese se parcurg următoarele etape: -se stabileşte modul de rezemare şi lungimea de flambaj lf ; -se alege un coeficient de siguranţă c, după importanţa piesei, din STAS-uri şi mărimile lf şi c se introduc in formula lui Euler: P f π 2 EI min
P =
c
=
c (α l )2
din care rezultă momentul de iner ţie:
I min
Pc (α l ) 2 = π 2 E
-se adoptă forma optimă a secţiunii şi se calculează aria A a acesteia. -se alege materialul şi anume, atât timp cât tensiunile normale critice nu depăşesc limita de propor ţionalitate a materialului, singura caracteristică mecanică care determină rezistenţa barei la pierderea stabilităţii este modulul de elasticitate longitudinală E. I Observa ţ ii: ii: 1. Pentru piesele care pot să flambeze, cele mai recomandabile forme de secţiuni sunt cele care au acelaşi moment de iner ţie pe toate direcţiile, adică secţiunile circulare, inelare sau pătrate. 2.Secţiunea inelar ă este mai avantajoasă decât cea circular ă, având, pentru aceeaşi cantitate de material, un moment de iner ţie mai mare decât cea circular ă . 3.Dacă este nevoie să realizăm o secţiune compusă din două profile I sau U, trebuie să avem in vedere faptul că acestea nu lucrează bine la flambaj, când sunt luate individual, deoarece se înregistrează o diferenţă mare intre momentele de iner ţie centrale. Pentru a evita această deficienţă, cele două profile trebuie depărtate una de alta şi solidarizate cu ză brele de dimensiuni mici, astfel incât cele două profile să lucreze ca o singura bar ă. - cunoscând momentul de iner ţie minim lmjn şi aria secţiunii A, se calculează raza de iner ţie minimă:
imin =
I min
apoi se determină coeficientul de zvelteţe:
69
λ =
l f imin
=
α l
imin
Valoarea lui λ poate determina apariţia a două situaţii: 1) λ > λ 0 deci piesa este solicitată in domeniul flambajului elastic, adică dimensionarea cu formula lui Euler este buna. 2) λ < λ 0, adică piesa este solicitată in domeniul plastic, deci dimensionarea cu formula lui Euler nu este corectă. In aceasta situaţie, calculul se continuă cu formulele flambajului plastic, după cum urmează: - cu valoarea lui X se determină efortul unitar critic de flambaj, aplicând formulele Tetmajer-lasinski; - se calculează apoi tensiunea normală de compresiune simplă: σ =
P
- se calculează coeficientul de siguranţă la flambaj: σ f P f
c=
=
σ P Dacă valoarea obţinută pentru c cu această relaţie este egală sau mai mare ca valoarea aleasă pentru coeficientul de siguranţă, atunci dimensionarea f ăcută este corectă. In cazul când se obţine o valoare a lui c mai mică decât cea aleasă, se vor mări treptat dimensiunile piesei si apoi se recalculează mărimile imin, λ şi σ, până când se obţine coeficientul de, siguranţă dorit. Dacă se cere verificarea la flambaj a unei piese, ale cărei elemente geometrice sunt cunoscute, atunci trebuie să determinăm coeficientul de siguranţă la flambaj. In această situaţie se procedează după cum urmează: - Se calculează coeficientul de zvelteţe şi se compar ă cu λ 0 stabilind zona de flambaj in care se află piesa. -Daca λ > λ 0 se determina Pf şi apoi se determină c; - Daca λ < λ 0 se determină σf , apoi se calculează for ţa critică P f = Aσ f şi apoi rezultă c, care se compar ă cu cel admisibil.
Metoda de calcul la flambaj a pieselor comprimate, folosind formula lui Euler, are dezavantajul că depinde de coeficientul de zvelteţe şi de coeficientul de siguranţă, ori, valorile coeficientului c sunt variabile şi nu există norme tehnice oficiale pentru ele, r ămânând ca acestea sa fie alese de proiectanţi. Valorile extreme ale lui c sunt: minim c=4 si maxim c=28. Rezistenta admisibila la flambaj σaf este definită de relaţia: σ f P = σ af =
c
A
Aplicatii
ţă axială 1. O bar ă dublu articulată la ambele capete, confecţionată din oţel este solicitată de o for ţă P=1400 N. Ştiind că : 1=18 m, diametrul secţiunii circulare a barei este d=24 mm, să se calculeze coeficientul de siguranţă faţă de pericolul de flambaj al barei. Se cunoaşte constanta E = 2 x 105MPa .
Solu ţ ie ie
Se calculează aria secţiunii
=
π d 2
4
= 452.16mm
Se calculează momentul de iner ţie axial minim al secţiunii:
I min = I z = I y =
π d 4
64
Raza de iner ţie minimă se calculează cu relaţia de definiţie:
70
π d 4
I min = 642 = 6mm A π d 4
imin =
Pentru bara dublu articulată la ambele capete lungimea de flambaj este:
l f = l = 1800mm
Ca urmare coeficientul de zvelteţe: λ =
l f imin
= 300
Tensiunea critică de flambaj se calculează cu relaţia lui Euler: π 2 E π 2 2 ⋅105 = 22 Pa σ f = 2 = 2 300 λ Tensiunea efectivă se calculează cu relaţia: σ ef
=
P = 3.1 Pa A
Coeficientul de siguranţă:
c=
σ f σ ef
= 7.1
2. Să se calculeze for ţa critică de flambaj P cr cr şi tensiunea critică de flambaj în cazul unui stâlp încastrat la un capăt şi articulat la celălalt, de lungime 1=1,5 m si având sec ţiunea inelar ă cu D=40 mm iar d=30 mm . Se cunoaşte constanta elastică a materialului E= 0,7 x 105MPa şi limita de propor ţionalitate a acestuia σ p = 180MPa. Solu ţ ie ie Momentul de iner ţie al secţiunii circulare inelare este:
I =
(
π D
4
− d 4 )
64
=
⎡ 404 − 304 ⎤ = 175 π [cm 4 ] ⎦ 64 64 ⎣ π
Aria secţiunii drepte a barei este:
=
7 2 2 − = π [cm 2 ] D d ( ) 4 4
π
Raza de iner ţie a secţiunii:
imin =
I = 1.25cm A
In cazul barei încastrate la un capăt şi articulată la celălalt, lungimea de flambaj este:
l f = 0.7l = 1.05m
Ca urmare, coeficientul de zvelteţe: λ =
Dar λ0
= π
E σ p
= 62
l f imin
= 84
Deci λ > λ 0.
In acest caz , for ţa critică de flambaj se determină cu formula lui Euler: π EI min 3
Pcr =
l f 2
= 54.6 ⋅10 N = 54.6 k N
71
Tensiunea critică de flambaj este:
P σ cr = cr = 100 A
pa
3. O bar ă este articulată la un capăt şi încastrată la celălalt, de lungime l, fiind confecţionată dintr-un E= 2,1 x 105 N/mm2 material la care se cunoaşte coeficientul de zvelteţe şi modulul de elasticitate longitudinal: E=
I z = 32 ⋅ 104 mm 4 ⇒ I min = 32 ⋅ 104 mm 4 . Se cunosc si: I y = 72 ⋅ 104 mm 4 ; Să se calculeze for ţa de compresiune P astfel încât bara să nu flambeze, cunoscând coeficientul de siguranţă c = 3,5 si l = 1 m. Se cunoaşte pentru cazul flambajului plastic relaţia σ f = 3040 − 11.2λ .
λ0 = 105,
Soluţie
c=
P f ⇒ P f = 3.5 ⋅ P P
Cum bara este articulată la un capăt şi încastrată la celălalt, lungimea de flambaj flambaj este: l f = 0,707 x l000 = 707mm Formula lui Euler, valabilă pentru domeniul flambajului elastic este:
P f =
{
unde: I min = min I z , I y
π 2 EI min
( l f )
2
}
Momentele de iner ţie axiale ale secţiunii transversale sunt:
I y = 72 ⋅104 mm 4 ;
I z = 32 ⋅ 104 mm 4 ⇒ I min = 32 ⋅ 104 mm 4
⇒ P = 390 ⋅ 10 4 N Verificăm dacă ne situăm in domeniul elastic: λ =
l f
,
imin =
I min , A
A = 2400mm mm 2 ⇒ imin = 11, 54mm
imin ⇒ λ = 61.265 < λ 0 deci ne situăm in domeniul plastic, deci calculul anterior nu este corect Folosind formula lui Tetmeyer-Yasinsky, avem: σ f
= 3040 − 11, 2 ⋅ 61, 265 = 2353, 83
daN N = 2 3 5 , 3 8 3 cm 2 mm 2
⇒ P f = c ⋅ P = 235,38 ,383 ⋅ 24 235,38 ,383 ⋅ 24 ⇒ P = = 1614,054 N 3,5
72
