Rezistenţa materialelor Întindere - compresiune 1. O bară cu secţiune inelară având d=0,8D este solicitată la întindere cu o forţă P=250 kN. Să se dimensioneze bara şi să se calculeze lungimea lungimea totală. Se dau : σa=1500 daN/cm2; E=2,1*106 daN/cm2; l=250 cm;
Rezolvare : Forţa axială axială este este consta constantă ntă în în lungul lungul barei şi are valoarea valoarea : Pentru dimensionare se aplică relaţia : Anec =
N σ a
=
N=P=250kN N=P=250kN=250 =25000da 00daN; N;
25000 =16,667 cm2 ; 1500
Secţiunea barei fiind inelară se poate scrie : π
( D 2 − d 2 ) =16,667 cm2 ;
4 de unde, înlocuind d=0,8D obţinem :
D = 7,679cm ≅ 7,7cm
,
d = 0,8 ⋅ D = 0,8 ⋅ 7,7 = 6,16cm ≅ 6,2cm
.
Lungirea barei se calculează cu relaţia :
∆l =
N ⋅ l E ⋅ A
=
( 2500 ⋅ 250) 6 π
2,1⋅10 ⋅
4
( 7,7 − 6,2 ) 2
= 0,177cm
2
2. Să se verifice tija pistonului unei maşini solicitată la întindere cu o forţă P=20kN, dacă are diametrul d=2cm şi este prevăzută cu un canal de pană de lăţime d/4. Rezistenţa admisibilă a materialului este σa=1000daN/cm 2.
Rezolvare : Verificarea tijei se face în secţiunea slăbită (secţiunea în care este prevăzut canalul de pană), valoarea efortului unitar fiind : σ max
=
N max Aef
=
2000
P
2 = = 〈σ a 935 daN / cm π ⋅ d 2 d π ⋅ 2 2 2 2 − ⋅ d − 4 4 4 4
Întrucât este îndeplinită condiţia σmax<σa înseamnă că tija rezistă.
3. O bară din profil cornier cu aripi neegale L100x150x10 este asamblată de un guşeu cu trei nituri de diametru d=2cm. Bara este solicitată la întindere cu forţa P=61kN. Să se verifice bara în ipoteza că forţa P se repartizează în mod egal pe cele trei nituri. Se dă σa=1500daN/cm 2.
Rezolvare : Aria brută a secţiunii barei este A brut=24,2cm2. Ariile secţiunilor slăbite au valorile : A II = Abrut − d ⋅ t = 24,2 − 2 ⋅1 = 22,2cm 2
,
A III = Abrut − 2 ⋅ d ⋅ t = 24,2 − 2 ⋅ 2 ⋅1 = 20,2cm
Forţele axiale în cele trei secţiuni considerate sunt : N I = P = 6100daN
,
N II = P = 6100daN
,
N III = P −
P
3
= 4067 daN .
iar eforturile unitare au valorile : σ 1
=
N I A I
=
6100 = 252daN / cm 2 〈σ a , 24,2
2
.
σ 2
=
N II
σ 3
=
N III
A II
A III
=
6100 = 275daN / cm 2 〈σ a , 22,2
=
4067 = 201daN / cm 2 〈σ a 20,2
Secţiunea II este secţiunea periculoasă a barei întrucât în această secţiune efortul unitar are valoarea cea mai mare. 4. Să se determine diametrul "d", lungimea specifică " ε" şi lungimea totală " ∆l" ale unei bare rotunde din oţel cu rezistenţa admisibilă σa=1000daN/cm 2 şi având lungimea l=3000mm cunoscând că este supusă la o forţă f orţă de întindere F=15000daN.
Rezovare : Pentru dimensionare se aplică relaţia : A =
F σ a
=
15000 =15cm 2 1000
Diametrul barei rezultă din relaţia : π
⋅ d 2
=15cm 2 de unde
4
d =
4 ⋅15 = 4,36cm ≅ 4,4cm 3,14
Efortul unitar maxim în bară va fi,în acest caz : 15000 = 986daN / cm 2 〈1000daN / cm 2 15,2 Pentru determinarea lungirii specifice utilizăm legea lui Hooke : σ
σ E ε =
⋅
=
de unde
ε
986 = 0,00048cm E 2,1⋅10 6 σ
= =
iar lungirea totală va fi :
∆l = ε ⋅ ⋅l = 0,00048 ⋅ 3000 =1,44mm
Forfecarea 1. Să se determine forţa necesară pentru ştanţarea unui disc din tablă de oţel OL-60, cu diametrul d=50mm şi grosimea de 3mm.
Rezolvare : Suprafaţa de ştanţat este dată de relaţia :
A = π ⋅ d ⋅ h = 3,14 ⋅ 5 ⋅ 0,3 = 4,71cm 2
Rezistenţa la forfecare τf este dată de relaţia : τ f
= 0,8 ⋅σ r = 0,8 ⋅ 6000 = 4800daN / cm 2
Cunoscând că forţa de forfecare este dată de relaţia τ f =T/A =T/A rezultă : T = τ f ⋅ A = 4800 ⋅ 4,71= 22608daN
Încovoierea 1. O bară de oţel rotundă, lungă de 24cm, este sprijinită la ambele capete pe reazeme. Să se determine diamet diametrul rul barei barei cunos cunoscâ când nd că la mijloc mijlocul ul ei acţion acţionea eată tă o sarcin sarcinăă F=200 F=2000da 0daN N şi că rezist rezistenţ enţaa 2 admisibilă este σa=600daN/cm . Rezolvare : Momentul maxim de încovoiere, în acest caz, este dat de relaţia : F ⋅ l 2000 ⋅ 24 =4 =12000daN ⋅ cm M max = 4 Modulul de rezistenţă al barei rezultă din relaţia : M 12000 = 20cm 3 W = max = σ a 600 Cunoscând că modulul de rezistenţă al unei secţiuni circulare este : W =
π
⋅ d 3
32
, rezultă că
π
⋅ d 3
= 20cm 3 , de unde :
32 20 ⋅ 32 d = 3 ≅ 5,9cm 3,14
2. O grindă de brad de secţiune dreptunghiulară, lungă de l=2,4m, este încastrată într-un perete la una din extremităţi. Asupra acestei grinzi acţionează o sarcină uniform repartizată de p=150daN pe fiecare metru de lungime şi o forţă de F=600daN aplicată la distanţa a=1,6m de la încastrare. Să se calculeze dimensiunile grinzii astfel ca dimensiunile ei să fie cele mai economice. Rezolvare : Cunoscând că secţiunea cea mai periculoasă a unei console încărcată cu forţe care lucrează în acelaşi sens este în dreptul încastrării, modulul de rezistenţă se determină cu formula : W =
M i max σ a
În aceast aceastăă formulă formulă înlocu înlocuim im pe σa=110daN/cm 2 (pent (pentru ru lemn lemnul ul de brad) brad) şi mo mome ment ntul ul încovoietor pentru secţiunea de încastrare, prin relaţia : M i max = F ⋅ a + p ⋅ l ⋅
l
= 600 ⋅160 + 150 ⋅ 2,4 ⋅120 =139200 daNcm 2 Obţinem astfel, efectuând înlocuirile :
139200 1265cm 3 σ a 110 Pentru stabilirea laturilor grinzii, astfel ca dimensiunile să fie cele mai economice, se ţine seama de faptul că, din punct de vedere al rezistenţei la încovoiere, secţiunea dreptunghiulară este cea mai economică atunci când h/b=7/5. Deoarece pentru o secţiune dreptunghiulară modulul de rezistenţă este dat de relaţia : W =
M i max
=
W =
b⋅h2
6
putem putem scrie că : de unde :
5⋅ h ⋅ h 2 5⋅ h3 = =1265cm 3 W = 7⋅6 42 h=3
iar b=
1265 ⋅ 42 ≅ 22cm 5
5 ⋅ l ≅ 16cm 7
3. O grindă simplu rezemată în A şi articulată în B este încărcată cu sarcinile P şi p. Să se dimensioneze grinda din oţel având σa=1500daN/cm 2, în două variante : a) cu secţiu secţiunea nea dreptu dreptungh nghiul iulară ară când când h=2 h=2b; b; b) din profil I laminat.
Rezolvare : Calcu Calculul lul de dimens dimension ionare are presup presupune une stabil stabilire ireaa solici solicităr tării ii ma maxim xime, e, care care se face face pe baza baza diagramelor de eforturi. Calculul reacţiunilor : M ( B ) = 0 ; V A ⋅ 3,4 − 6 ⋅ 2,6 − 4 ⋅1,4 ⋅ 0,7 = 0 ⇒ V A = 5,74kN M ( A) = 0 ; 6 ⋅ 0,8 + 4 ⋅1,4 ⋅ 2,7 − V B ⋅ 3,4 = 0 ⇒ V B = 5,86kN
∑ ∑
Momentele încovoietoare : M A = 0 M 1 = 5,74 ⋅ 0,8 = 4,592kNm = 45920daNcm M 2 = 5,74 ⋅ 2 − 6 ⋅1,2 = 4,28kNm = 42800 daNcm M B
=0
Pentru dimensionare se calculează modulul de rezistenţă necesar, cu relaţia : M 45920 W nec = max = = 30,61cm 3 σ a 1500 a) La secţiu secţiunea nea dreptu dreptungh nghiul iulară ară,, vom vom avea avea : 2 b ⋅ h 2 b( 2 ⋅ b ) 4 ⋅b3 = = W z = 6 6 6 de unde : 6 ⋅ 30,61 = 3,58cm b=3 4 pentru pentru care se adoptă adoptă : b=36mm; b=36mm; h=72m h=72mm; m; b) Profilul Profilul laminat laminat se alege alege din STAS în funcţie funcţie de W z. Se găseşte profilul I10 având modulul de 3 rezistenţă Wz=34,2cm .
Torsiunea 1. Într-un atelier se foloseşte ca arbore de transmisie o ţeavă cu diametrul exterior de 120mm şi diametrul interior de 50mm. Să se calculeze rezistenţa maximă în materialul arborelui cunoscând că prin acest acestaa se transm transmit it 300CP, 300CP, cu cu 150rot/m 150rot/min. in.
Rezolvare : Momentul de răsucire pe care-l transmite arborele este dat de relaţia : P 300 =143240 daNcm M r = 71620 ⋅ = 71620 ⋅ n 150 Modulul de rezistenţă la răsucire (polar) al arborelui este dat de relaţia : ( D 4 − d 4 ) 12 4 − 5 4 W p = 0,2 ⋅ = 0,2 ⋅ = 335cm 3 D 12 Introducând aceste valori în relaţie, se deduce valoarea maximă a rezistenţei tangenţiale τ r : M r 143240 = = 430daN / cm 2 τ r = W p 335 Utilizând pentru arborele de transmisie un material cu rezistenţă admisibilă la răsucire de 500daN/cm2 avem certitudinea că dimensionarea arborelui este bună. 2. Un arbore primeşte primeşte puterea puterea P=120kW la turaţia turaţia n=500rot/min n=500rot/min şi transmite transmite puterile P 1=70kW şi P2=50kW. Să se dimensioneze arborele din oţel cu secţiunea circulară plină şi să se calculeze rotirea relativă dintre roţile de la capete. Se dau : τ a=300daN/cm 2; G=8,1*105daN/cm2.
Rezolvare : Momentele Momentele corespunzătoare celor trei roţi sunt : P 120 = 22920 daNcm M = 95500 ⋅ = 95500 ⋅ n 500 P 70 M 1 = 95500 ⋅ 1 = 95500 ⋅ =13370daNcm n 500 M 2
=
95500
⋅
P 2 n
Diametrele arborelui sunt : 16 ⋅ M t 1−2 d 1 = 3
=
95500
=3
⋅
π τ a
16 ⋅ M t 2−3
50 ⋅
500
=
9550 daNcm
16 ⋅ 22920 = 7,30cm 3,14 ⋅ 300
16 ⋅ 9550 = 5,46cm π ⋅τ a 3,14 ⋅ 300 Se adoptă valorile : d 1=75mm şi d2=55mm. Rotirea relativă dintre roţile 1 şi 3 se calculează cu ajutorul relaţiei : d 2 = 3
ϕ
=
=3
M t 1− 2 ⋅ a M t 2−3 ⋅ b G ⋅ I p1
+
G ⋅ I p 2
, în care :
⋅ d 1 4 3,14 ⋅ 7,5 4 = = 310cm 4 I p1 = π
32
32 4 π ⋅ d 2 3,14 ⋅ 5,5 4 I p 2 = = = 89,8cm 4 32 32 Înlocuind rezultă : 22920 ⋅ 20 9550 ⋅ 25 + = 5,108 ⋅10 −3 rad ϕ = 5 5 8,1⋅10 ⋅ 310 8,1⋅10 ⋅ 89,8
