Retroalimentaci´ on on quiz 1 Luisa Fernanda ernand a Ram´ Ram´ ırez Ochoa
Las soluciones a los ejercicios, est´an an basadas en las ecuaciones de la cinem´atica: atica: 1 x = xo + v + vo t + at2 2 + at v = vo + at
(1) (2)
Pregunta 1 Una pelota se lanza hacia arriba alcanzando una altura m´axima axima de 3. 3.2 m. El valor de la velocidad inicial es: Nota: Use el punto como separador decimal y e su respuesta a tres cifras significativas.
Soluci´ on on Este problema es identificado con Caida libre . Es decir, el objeto est´a sometido a la aceleraci´on on de la graveda gravedad. d. Para Para resolve resolverr el ejercici ejercicioo debemos debemos tener en cuenta que: 1. Al lanzar un objeto hacia arriba, la de la aceleraci´ aceleraci´ on on de la gravedad va a disminuir esta velocidad hasta que llegue a m´ınimo v ınimo v = 0. 2. La altura m´ axima h axima h max se alcanza cuando esta velocidad v = 0 es alcanzada por el objeto. Entonces, primero debemos identificar los valores e inc´ognitas ognitas del problema:
• • • • • •
vf = 0 vo =? yo = 0 a =
−g
t =? yf = h = h = 3.2m
hacer uso de la ecuaci´on on (2) para encontrar el tiempo que demora el objeto en alcanzar dicha velocidad. Es decir:
1
vf = vo + gt, 0 = vo gt, vo t = g
Reemplazando los valores conocidos: Despejando el tiempo:
−
Ahora usando la ecuaci´on (1) de la cinem´atica: 1 yf = yo + vo t + at2 , 2 1 vo 3.2m = 0m + vo g g 2 vo2 1 vo2 3.2m = g 2 g vo2 1 3.2m = (1 ) g 2 1 vo2 3.2m = 2 g
−
Reemplazando los valores conocidos:
v
2
o
Rompiendo los par´entesis:
g
Sacando factor com´ un:
−
−
2(3.2m)g 62.72m /s
vo
=
vo vo vo
2 = = 7.919m/s = 7.92m/s.
Despejando la velocidad:
2
Aproximando:
Pregunta 2 Se lanza una pelota directamente hacia abajo con una rapidez inicial de 8m/s, desde una altura de 30 m. El tiempo que gasta la pelota en llegar al suelo es:
Soluci´ on Al igual que en el ejercicio anterior, determinamos los valores conocidos y las inc´ ognitas del problema:
• • • •
vo =
−8m/s
yo = 30 yf = 0 a =
−g
Haciendo uso de la ecuaci´on (1): yf
= yo + vo t
− 12 gt
− (8m/s)t − 12 gt − 12 gt − (8m/s)t + 30m 2
0 = 30m 0 =
2
2
2
Haciendo uso de la soluci´on a las ecuaciones cuadr´aticas de la forma ax2 + bx + c = 0: b b2 4ac x = (3) 2a
√
− ±
−
Obtenemos que en nuestra ecuaci´on a = Entonces:
t = t = t =
8
−1 2
g =
−4.9, b = − 8 y c = 30.
2
± (−8) − 4(−4.9)(30) 2(−4.9) √ 8 ± 64 + 588 8
9.8 25.53 9.8
± −
Entonces, tenemos dos posibles soluciones matem´aticas: t = 1.79s y 3.42s. Sin embargo, tenemos s´olo una soluci´on f´ısica; ¿por qu´e?, porque el tiempo nunca puede ser negativo. Entonces, la soluci´ on a nuestro problema es: t = 1.79s.
−
Pregunta 3 Un cami´on cubre 40m en 8.5 s, mientras frena suavemente hasta una rapidez final de 2.8 m/s. La velocidad inicial es:
Soluci´ on Como en los ejercicios anteriores, identificamos inc´ognitas y constantes.
• • • • • •
v0 =? t = 8.5s xf = 40m x0 = 0m vf = 2.8m/s a =?
Haciendo uso de la ecuaci´on (2): vf = vo + at 2.8m/s = vo + a(8.5s) (2.8m/s vo ) a = 8.5s
Reemplazando los valores que conocemos: Despejando la aceleraci´on:
−
Ahora haciendo uso de la ecuaci´on (1):
3
1 xf = xo + vo t + at2 Reemplazando los valores que conocemos: 2 1 (2.8m/s vo ) 40m = 0 + vo (8.5s) + (8.5s)2 2 8.5s 40m = vo (8.5s) + 11.9m 4.25svo 40m = 4.25sv0 + 11.9m
−
−
vo
= 6.61m/s
Problema 4 Una catapulta lanza un cohete a un ´angulo de 53o por encima de la horizontal con una rapidez inicial de 100m/s. El motor del cohete arranca inmediatamente y por 3s se mueve a lo largo de su linea inicial de movimiento con aceleraci´on 30m/s2 . Entonces el motor falla y el cohete procede a moverse en ca´ıda libre. El valor de la altura m´axima es:
Soluci´ on Este problema debe ser dividido en dos partes; la primera consiste en el movimiento del cuerpo sujeto a la aceleraci´on del motor, y la segunda consiste en el movimiento del cuerpo sujero a la aceleraci´on de la gravedad (caida libre). Para cada caso vamos a calcular la altura correspondiente para finalmente sumar ambos resultados. Caso I - aceleraci´ on del motor
En este caso, tenemos un movimiento en dos dimensiones, entonces debemos dividir por componentes las cantidades necesarias. Como vamos a analizar el movimiento en la direcci´on vertical (cateto opuesto del ´angulo que forma la trayectoria con la horizontal), tenemos que multiplicar las variables indicadas por el senθ. Entonces, definimos los par´ametros e inc´ognitas:
• • • • • •
θ = 53o vo = 100m/s t = 3s a = 30m/s2 voy = 100senθ m/s ay = 30senθ m/s2
Haciendo uso de la ecuaci´on (2), obtenemos: vf y = voy + ay t vf y = (100m/2)senθ + (30m/s2 )senθ(3s) vf y =
190senθ 4
Reemplazando los valores que conocemos:
Con esta velocidad, podemos encontrar la altura de la parte I del problema, haciendo uso de la ecuaci´on (1).
1 y = h I = yo + vo t + at2 2 1 = 0 + 100senθ(3) m + 30senθ(3)2 m 2 = 435senθ m = 347.406 m Caso II - aceleraci´ on de la gravedad
En este caso, tambi´en haremos uso de la descomposici´on de componentes en la direcci´ on vertical y horizontal. Para esta segunda parte, la velocidad inicial del movimiento va a ser igual a la velocidad final del caso anterior. Es decir, la velocidad que el cohete lleva en el momento en que el motor deja de funcionar, que corresponde a la velocidad final del caso I. Tambi´en debemos tener en cuenta que en este caso la aceleraci´on tambi´ en cambia y pasa a ser la gravedad. tal que:
• • • •
θ = 53o voy = 190senθ m/s t =? ay =
−g
Entonces, haciendo uso de la ecuaci´on (2), obtenemos: vf 0
= vo + at = 190senθ 190senθ t = g t = 15.48s
Reemplazando los valores que conocemos: Despejando el tiempo:
− gt
Con este tiempo podemos encontrar la altura de la parte II, haciendo uso de la ecuaci´ on (1):
y = hII =
190senθ(15.48)m
= 1174, 76m
− 12 g(15.48s)
2
(4) (5)
Finalmente, tenemos que la altura total est´a dada por: H = H I +H II = 347.406 m +1174.76 m = 1522, 166 m = 1.52 103 m
×
5
