Resumo de Álgebra Linear I. Vetores:
I unidade
É comum pensarmos em vetores como „setas‟ no espaço
, mas, na verdade, vetor é um elemento de um conjunto vetorial, podendo ser também polinômio, matriz, etc.
Falamos em entradas entradas dos vetores como cada valor que usamos para caracterizá-lo, por exemplo: Sendo o vetor , os valores são as entradas entradas desse vetor. Outro exemplo: Sendo o vetor , os coeficientes são as entradas desse vetor. Outro exemplo: Sendo o vetor desse vetor.
, os valores
são as entradas
O Vetor Nulo é o elemento do conjunto onde todas as entradas são entradas são nulas. Quando falamos na for ma mai mai s g eral de um vetor, representamos as entradas dos vetores como letras, ou seja, sem especificar nenhum vetor. Exemplo, a forma mais geral de
um vetor de é . A forma mais geral de um vetor de (espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3) é . A forma mais geral de um vetor de
(espaço vetorial das matrizes 2x3) é
II. Espaços Vetoriais:
.
A definição de Espaço Vetorial é: entidade formada pelo conjunto dos números reais, r eais, um conjunto de vetores e uma operação entre esses conjuntos. De uma forma mais simples, Espaço Vetorial é uma “coleção” (conjunto) de vetores que obedece a 8 axiomas, sendo 4 aditivos e 4 multiplicativos:
Axiomas: Sendo V um V um conjunto de vetores e o conjunto dos números reais, dizemos dizemos que V é um Espaço Vetorial se os 8 axiomas abaixo são obedecidos:
Aditivos:
1) , tem-se que 2) Existe um elemento
(Comutatividade); , chamado de Vetor Nulo, tal que (Existência de um elemento neutro); 3) , existe um elemento tal que . Temos daí que de um elemento oposto); 4) , tem-se (Associatividade). (Associatividade).
tem-se
(Existência
Multiplicativos: 1) 2) 3) 4)
, tem-se que
, onde
e
, tem-se que
e
, tem-se que , tem-se que
e
é o unitário de
;
;
;
.
Obs.: Na prova não será pedido a prova de que um conjunto é um Espaço Vetorial. Ao invés disso, pede-se para verificar se um conjunto é um S ubes paço Vetori al de um outro Espaço. 1
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III. Subespaços Vetoriais: Subespaços Vetoriais (de algum outro Espaço ou Subespaço Vetorial) são subconjuntos vetoriais que obedecem aos 8 axiomas apresentados anteriormente. Mas o fato de serem subconjuntos nos permite apenas verificar 4 propriedades para que possamos provar (ou negar) que são Subespaços Vetoriais.
Condições: Sejam Vetorial de
1) 2) 3) 4)
Espaço Vetorial e
conjunto vetorial, dizemos que
se:
; (Vetor nulo de também é o vetor nulo de ; ( é um subconjunto de ); , ; e
,
Obs.: Quando falamos do conjunto
é Subespaço
);
;
, estamos nos referindo à reta dos números reais, portanto
representamos um ponto (ou um vetor) por uma única entrada na forma . Para , estamos falando do plano e representamos um ponto (ou um vetor) por duas entradas na forma . E assim por diante até chegarmos em (a noção geométrica vai apenas até representamos um ponto (ou um vetor) por entradas na forma .
Ex.: Seja
espaço vetorial e
vetorial de .
, diga se
) quando
é subespaço
Para resolver essa questão, basta conferir se as 4 condições de subespaço vetorial são obedecidas:
1) Para fazer esta verificação, olhamos para a condição imposta
, e verificamos
se o vetor nulo satisfaz a condição.
Lembrando que o vetor nulo em questão ( Neste caso satisfaz, pois
)é
.
;
2) Para esta verificação, é olhar na definição de
que ele é formado por vetores que
pertencem a ;
3) Para esta verificação, temos que pegar dois vetores de
na sua forma mais g eral, somar e ver se o vetor obtido ainda obedece à condição imposta : Escolhemos os vetores e . Sabemos que e que . Então fazemos: , agora verificamos a condição: . Então a condição é respeitada e, por tanto, ;
4) Semelhante à condição anterior, temos que escolher um vetor de
em sua forma mas g eral, multiplicarpor um escalar qualquer e ver se o vetor obtido ainda obedece à condição imposta : Escolhemos o vetor Sabemos que
2
e . . Então Fazemos:
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, agora verificamos a condição: . Então a condição é respeitada e, por tanto, .
Como as 4 condições foram respeitadas, então
é subespaço vetorial de .
Obs.: Se repararem, geometricamente temos,
é o espaço tridimensional e (que passa pela origem e, por isso,
é o plano
contém o vetor nulo).
Ex².: Seja
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o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e , diga se é subespaço vetorial de
.
Para resolver essa questão, basta conferir se as 4 condições de subespaço vetorial são obedecidas:
1) Para fazer esta verificação, olhamos para as condições impostas
e , e verificamos se o vetor nulo satisfaz estas condições. O vetor nulo em questão é o polinômio , daí temos: e . Condição satisfeita;
2) Pela definição, percebemos que os vetores de 3. Condição satisfeita;
são polinômios de grau menor ou igual a
3) Para esta verificação, temos que pegar dois vetores de
na sua forma mais g eral, somar e ver se o vetor obtido ainda obedece às condições impostas : Escolhemos os vetores e . Sabemos que: ; ; ; . Então fazemos: , agora verificamos as condições: . . Então as duas condições são respeitadas e, portanto, ;
4) Novamente vamos escolher um vetor de
na sua forma mais g eral, multiplicar por um escalar qualquer e ver se o vetor obtido respeita as condições: Escolhemos o vetor e . Sabemos que: ; . Então Fazemos: , agora verificamos as condições:
3
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.
. Então as duas condições são respeitadas e, portanto,
Como as 4 condições foram respeitadas, então
;
é subespaço vetorial de .
Obs.: Você pode escrever o vetor na forma mais geral substituindo as entradas por equivalentes. Exemplo: Se
, pela condição:
. Então podemos escrever: , onde
é o vetor na forma mais geral.
IV. Geradores:
Um conjunto de geradores é um conjunto de vetores que podem resultar em qualquer vetor de um espaço. Porém, os vetores geradores não precisam ser LI (a combinação linear deles dando o vetor nulo tem como única solução todos os coeficientes iguais a zero (conhecida como solução trivial)). Podemos caracterizar um espaço vetorial pelo seu conjunto de geradores.
Obs.: Os geradores são representados por um conjunto de vetores entre colchetes . (Pelo o amor de Deus... NÃO COLOQUEM CHAVES!!). V. Bases: Base é um conjunto de vetores (semelhantemente ao conjunto de geradores, a diferença é que todos os vetores devem ser LI entre si) que, através de uma combinação linear, conseguimos obter qualquer vetor do espaço.
Obs.: A base é representada por um conjunto de vetores entre chaves . (Pelo o amor de Deus... NÃO COLOQUEM COLCHETES!!).
Para achar uma base basta seguir um „pass o-a-passo‟ bem simples. Após saber o espaço em questão:
1) Olhar (simplificar) a condição de existência (deixar com o menor número possível de „letras‟); 2) Escrever um vetor na forma mais geral (e mais simplificada); 3) “Separar” em uma combinação linear variáveis independentes; 4) Colocar as variáveis em evidência (achando os g eradores ); 5) Achar um conjunto LI dos vetores obtidos.
Ex.: Seja
, determine uma base de
.
1) Condição:
;
;
Ficamos com a condição simplificada:
2) Forma mais geral: 4
;
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Escolhemos um vetor
, substituindo a condição simplificada na forma geral
apresentada, ficamos com
;
3) “Separando” as variáveis:
;
4) Colocar em evidência:
.
Achamos os vetores:
e
;
5) Conjunto LI:
Fazemos uma combinação linear dos vetores obtidos resultando no vetor nulo, se a única solução for a trivial, então eles formam a base do espaço:
Fazendo o sistema:
Resolvendo o sistema, a única solução é
Portanto, os vetores ,
e
é uma base de
.
são LI e temos: .
Ex.: Seja
um espaço vetorial, represente
pelos seus geradores. Um
vetor
pode
ser
escrito:
.
Temos daí que os vetores , e são geradores de já que, com uma combinação linear deles, podemos obter qualquer outro vetor. Representamos
.
(Repare que o conjunto não é uma base, pois seus vetores não s ão LI ).
Obs.: Muito cuidado para não trocar as formas de representação de uma base e de um conjunto gerador. São coisas muito diferentes e a maioria dos professores podem cortar a questão inteira por isso.
Obs².: Tente refazer a questão seguindo até o 4º passo do „passo-a-passo‟ para achar uma base.
5
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VI. Dimensão: A dimensão de um espaço vetorial é definido como o número de vetores de uma base (lembrando que, embora existam infinitas bases para um mesmo espaço, todas tem o mesmo número de vetores). Representamos a dimensão de um espaço como dim . Para espaços
sem restrições (condições) temos: dim
Ex.: Seja
; dim
; dim
.
, determine uma base e diga a dimensão de
.
Esse exemplo já foi feito ( V. B as es ). A resposta foi
,
é uma base de
dimensão é, por definição, o número de vetores de uma base, portanto dim
Obs.: Uma relação importante de dimensão é, sejam
e
.
.A
dois subespaços vetoriais de um
mesmo corpo: dim
dim
+ dim
– dim
.
VII. Coordenadas:
As coordenadas são um conjunto de valores que, dada uma base, caracterizam um vetor. O número de coordenadas de um vetor é o número de entradas do mesmo. Correspondem aos coeficientes de cada vetor da base na combinação linear. Para achar as coordenadas de um vetor em relação a uma determinada base, basta você:
1) Achar a base; 2) Escrever o vetor que você quer como combinação linear dos vetores da base; 3) Resolver o sistema e as coordenadas serão os coeficientes.
Obs.: A maneira de representar as coordenadas de um vetor é:
, onde
é a -ésima coordenada para
.
Ex.: Seja
base de
em relação a uma base
. Onde
, determine as coordenadas do vetor
.
1) A base já foi dada; 2) Como os vetores de formam uma base, o vetor pode ser escrito como: , ficamos com o sistema:
;
3) As coordenadas do vetor em questão são: :
6
, então precisamos apenas achar
e
Resumo de Álgebra Linear
Podemos resolver escalonando ou de qualquer outro método. Esse
sistema em particular fica mais rápido de resolver por substituição: Da segunda equação temos: Na primeira ficamos: Temos no fim:
I unidade
e ficamos com
, portanto
.
.
VIII. Mudança de base:
Imagine agora que você tem duas bases de um mesmo espaço e é pedido que você diga as coordenadas de alguns vetores em ambas as bases. Levaria muito tempo para resolver fazendo do jeito tradicional para cada vetor em cada uma das bases. Um jeito mais fácil seria usando a relação:
Onde:
Coordenadas do vetor em relação à base
;
Coordenadas do vetor em relação à base ; Matriz de mudança de base de (de cima) para (de baixo).
A matriz de mudança de base corresponde a uma matriz onde as colunas são as
coordenadas dos vetores da base “de cima” em relação à base “de baixo”: Imagine que temos
e
, a matriz mudança de base fica:
Para achar a matriz mudança de base, fazemos:
1) Achar as bases; 2) Achar as coordenadas de cada um dos vetores da base “de cima” em relação à base “de baixo”; 3) Montar a matriz; 4) CASO peça a matriz de mudança de base “inversa” (trocando a ordem das bases),
você pode refazer o passo-a-passo ou achar a matriz inversa da já achada ( );
Ex.: Calcule
onde
. Depois calcule
é base de
e
é a base canônica de
.
1) As bases já foram dadas; 2) Temos que achar os vetores de com relação à base : Para o primeiro vetor de :
Para o segundo vetor de
7
:
e
, então:
;
Resumo de Álgebra Linear
e
, então:
3) Montando a matriz:
I unidade
;
;
4) Para achar
podemos repetir o processo, ou calcular a matriz inversa de . Calculando a matriz inversa, coloca a matriz identidade do lado direito e escalona até achar a identidade do lado esquerdo:
;
E a matriz resultante do lado direito é a inversa que procuramos, portanto: .
8
