1 – ANÁLISE COMBINATÓRIA As primeiras atividades matemáticas da humanidade estavam ligadas à contagem de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. O homem sempre precisou da contagem e isso fez com que as técnicas fossem aperfeiçoadas. DEFINIÇÃO: Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda os problemas de contagem. EXEMPLOS: Uma mulher possui cinco vestidos, quatro shorts, três casacos e cinco pares de sapatos. De quantos modos diferentes ela poderá se vestir? De quantos modos distintos uma pessoas podem se sentar lado a lado em uma fila de cinema? Quantas placas de automóveis podem ser formadas sem repetição de letras e de algarismos De quantas maneiras diferentes pode-se definir a chave as chaves de seleções da primeira fase de uma Copa do Mundo de futebol? Esses e outros problemas podem ser resolvidos por meio da Análise Combinatória 1) PRINCIPAIS FERRAMENTAS USADAS NA ANÁLISE COMBINÁTORIA 1.1 Árvore das possibilidades 1.2 Princípio fundamental da contagem ou Princípio multiplicativo. 1.3 Fatorial
2) PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 2.1 Permutação Simples 2.2 Arranjo Simples 2.3 Combinação Simples 2.4 Permutação com Repetição 2.5 Arranjo com Repetição 2.6 Combinação com Repetição. 1.1)
ÁRVORE DAS POSSIBILIDADES: É um esquema que facilita o estudo e a sistematização da contagem dos possíveis agrupamentos. EXEMPLO: 1) Para eleição da Associação de Pais e Mestres da escola, há três candidatos a presidente (Arnaldo, Fábio e Carmem) e dois a vice-presidente (Beatriz e Dárcio). Sendo as eleições de presidente e vice-presidente independentes, quais são os possíveis resultados dessa eleição?
1.2)
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DEFINIÇÃO: Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na primeira é 𝒎 e para cada possibilidade da primeira etapa o número de possiblidades da segunda é 𝒏, então o número total de possibilidades do evento ocorrer é dado pelo produto 𝒎 ∙ 𝒏.
Obs: O produto do número de possibilidades vale para qualquer número de etapas independentes. EXEMPLO: 1) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?
2) Num restaurante há dois tipos de salada, 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quais e quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?
3) Os números de telefone de uma cidade tem 8 algarismos. Qual a quantidade máxima de telefones a serem instalados, sabendo que os números devem começar com zero?
4) Ao lançarmos uma moeda e um dado temos quantas possiblidades para resultado.
1.3)
FATORIAL: Produto de (multiplicação) cujos fatores são números naturais consecutivos.
Dado um número natural 𝑛, definimos o fatorial de n (indicado por 𝑛!) através das relações: Obs: n! lê-se: “Fatorial de n” ou “n fatorial” para
𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
Considera-se 1! = 1 e 0! = 1
Obs:
5! 5 4 3 2 1 120 3! 3 2 1 6 6! 6 5 4 3 2 1 720 EXEMPLOS 1) Calcule o valor de
10! 7!
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 𝑒 𝑛 > 1
2
3
Para explicar isso veja o Livro Matemática Fundamental Uma Nova Abordagem – Boonjorno. p. 383
11
2) Qual o valor de
4! +5! 6!
?
(𝑛+1)!
3) Resolva a equação (𝑛−1)! = 6
4) Obtenha o valor de x, tal que: (x 2)! 720
1.1 PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM n = nº de objetos – elementos p = posições
‘ Arranjo Simples Arranjo com repetição Combinação Simples Permutação Simples Permutação com Repetição Combinação com Repetição
OBSERVAÇÕES:
0! 1, 1! 1 e n p
Ordem
Repetição
Fórmula
Sim
Não
Sim
Sim
𝐴𝑛,𝑝= 𝑛𝑝
Não
Não
𝐶𝑛𝑝 = 𝐶𝑛,𝑝 = (𝑝𝑛 ) =
Sim
Não
Sim
Sim
Não
Sim
𝐴𝑛,𝑝=
𝑛! (𝑛 − 𝑝)! 𝑛! (𝑛 − 𝑝)! 𝑝!
𝑃𝑛= 𝑛! 𝑛! 𝑎! 𝑏! 𝑐! 𝑑! … (𝑛 + 𝑝 − 1)! (𝑛 − 1)! 𝑝!
𝑃𝑛𝑎,𝑏,𝑐,𝑑… =
1) Combinação: NÃO – A ordem não é importante. Se for Combinação Simples não tem repetição e a fórmula da Combinação Simples é um Arranjo simples dividido por uma Permutação simples (considerando p! em vez de n!).
Cn, p
n! n! ou Cn, p (n p)! p ! p ! (n p)!
2) Demonstração da Fórmula do Arranjo:
DEFINIÇÂO: Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados p a p, qualquer sequência ordenada de p elementos escolhidos entre os n existentes. Como encontraremos a quantidade de arranjos formados por p elementos, escolhidos entre os n disponíveis? Vamos usar o PFC (Princípio Fundamental da Contagem): O primeiro elemento da sequência pode ser escolhido de n formas possíveis. O segundo elemento pode ser escolhido de n 1 maneiras distintas, pois já fizemos a escolha anterior e não há repetição de elementos. Feitas as duas primeiras escolhas, há n 2 maneiras de escolher o terceiro elemento da sequência, pois não pode haver repetição.
Para escolher o p-ésimo elemento, a partir das p 1 , escolhas anteriores, sobram n (k 1) n k 1 opções. Assim, pelo PFC a quantidade de arranjos possíveis (indicada por An , p ) é:
An , p n (n 1) (n 2)
1
(n p 1)
Podemos obter uma expressão equivalente a 1 se multiplicarmos e dividirmos tal expressão por (n p)! (n p) (n p 1) 3 2 1 . Temos:
An, p n (n 1) (n 2)
(n p 1)
(n p)! (n p)!
n! An, p n (n 1) (n 2)
(n p 1)
(n p) (n p 1) (n p)!
3 2 1
Notando que o numerador da expressão acima é n! , obtemos uma expressão para An,p: ( n p ) . Portanto:
An, p
n! (n p)!
Atenção: Agora é fazer exercícios e pegar este conteúdo como os livros que tenho como: Dante (vol.) Gelson Iezzi vol. Único; e Joamir Souza Matemática Novo Olhar. Usar principalmente o Livro Matemática Fundamental Uma nova Abordagem – Bonjorno para montar exemplos de arranjos simples, combinação simples e permutação simples e com repetição.
