FENÓMENO ALEATORIO ALEATORIO La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los fenómenos que ocurren de forma aleatoria !n fenó fenóme meno no alea aleato tori rio o es aque aquell que" que" al ser ser obse obser# r#ad ado o ba$o ba$o las las mism mismas as condiciones" su percepción no es siempre la misma" es decir" se presenta con re%ularidad de tipo estad&stico" pero no siempre es la misma" por e$emplo" el peso de un reci'n nacido" suele coincidir en peso" pero no en %ramos" coincide" pero no es lo mismo En los los fenó fenóme meno noss alea aleato tori rios os no se pued puede e pred predec ecir ir el resu resultltad ado o de cada cada e(periencia ) obser#ación Tener incertidumbre es simplemente no poder ase%urar un resultado pre#io a el mismo" mismo" no se puede ase%urar lo que #a a ocurrir" ocurrir" en este sentido" e(isten muc*as cosas inciertas para el *ombre Tal #e+ el estudio de la probabilidad toma sentido cuando se percibe ) se acepta la e(istencia de la aleatoriedad en di#ersos aspectos de la #ida diaria ,in embar%o" consideramos aleatorio aquello que ba$o las mismas circunstancias no tiene un resultado -nico .odemos concluir que un fenómeno es aquel que de un e(perimento se repite #arias #eces" pero no siempre se obtiene el mismo resultado" este cambia de manera constante con el se%uimiento del e(perimento o problemática El fenómeno aleatorio #a cambiando" aunque se realice del mismo modo la problemática este fenómeno no siempre es el -nico resultado
IN/ERTI0!M1RE .RO1A1IL2,TI/A La incertidumbre pro#iene de tres elementos fundamentales3 primero la instancia" el fenómeno en si es incierto4 son demasiados los factores que inter#ienen en la ocurrencia del fenómeno ) en la forma que este ocurre" de tal manera que el fenó fenóme meno no no pued puede e pred predec ecir irse se con con cert certe+ e+a a aun aun teni tenien endo do un con$ con$un unto to de información disponible ) con alto %rado de conocimiento del fenómeno Esta es
una incertidumbre probabil&stica" natural" intr&nseca al fenómeno )" por tanto" es irreducible
E,TA02,TI/A El se%undo elemento de incertidumbre es aquel que pro#iene de la falta de información" de la i%norancia de la e(istencia de fenómeno o del desconocimiento de como este puede ocurrir Esta incertidumbre puede reducirse conforme #a)a e(istiendo más información del fenómeno ) se ten%a el conocimiento de la misma información4 tambi'n depende de la ocurrencia del fenómeno por lo que se dice que esta es un tipo de incertidumbre estad&stica
0EL MO0ELO Finalmente" la incertidumbre pro#iene del modelo" cu)o creador" al abstraer la realidad" al tratar d presentarla en forma simplificada" puede omitir las propiedades que son rele#antes Esta incertidumbre tambi'n es deducible depende en %ran parte del análisis" del modelador4 mientras el modelo sea más ape%ado a la realidad" mientras más se acerque a esta" será menor la incertidumbre
E5.ERIMENTO, RE.ETI1LE, 6 NO RE.ETI1LE, E(isten e(perimentos que pueden ser repetidos una ) otra #e+" en condiciones aparentemente id'nticas o mu) similares ) que" cada #e+ que se reali+an" se tiene incertidumbre en cuanto a su resultado ,on e(perimentos aleatorios repetibles indefinidamente ) cada reali+ación de tales e(perimentos se le conoce como ensa)o 7a) tambi'n e(perimentos que no pueden repetirse" pues corresponden a situaciones mu) particulares" cu)as condiciones nunca se *an presentado ) no #ol#erán a presentarse4 se trata de e(perimentos aleatorios no repetibles4 por e$emplo" el 1i% 1an% En ocasiones se puede tener un e(perimento determinista que" si se repitiera una ) otra #e+" se obtendr&a siempre el mismo resultado4 sin embar%o" si el e(perimento nunca se *a reali+ado" su resultado puede ser
totalmente incierto En este caso se trata de e(perimentos deterministas inciertos 8!NAM" 9:;;<
,IM.LE, 6 /OM1INA0O, Los resultados de un e(perimento pueden tener una o #arias componentes4 conforme a esto" los e(perimentos se clasifican en dos tipos3 !n e(perimento simple es aquel cu)os posibles resultados tienen una sola componente !n e(perimento combinado es aquel que considera simultáneamente dos o más e(perimentos simples" o que in#olucra reali+aciones repetidas del mismo e(perimento Los posibles resultados de un e(perimento combinado tienen dos o más componentes 8!NAM" 9:;;<
E,.A/IO M!E,TRAL 0E E=ENTO, En nuestra #ida cotidiana estamos constatemente e(puestos a sucesos aleatorios" nos enfrentamos a e(perimentos aleatorios ) necesitamos anali+arlos para poder tomar decisiones adecuadas" pero mientras que el resultado que presentará simpre" en el caso aleatorio no es asi" ) para anali+arlo se requerira de un modelo que posea tambien la caracteristica de producir resultados distintos a circunstancias i%uales .or tal ra+on" es claro que los modelos probabilistas no permiten predecir el resultado de un e(perimento" sino que solamente indican la frecuencia con que cabe esperaar ue ocurra un resultado especifico" al repetir el e(perimento un n-mero %rande de #eces" o bien la certidumbre quese tiene con respecto a la obtención de ese resultado en una sola e$ecución del e(perimento 0ebido a la %ran importancia ) necesidad de estudiar este tipi de modelos se *a desarrollado toda una diciplina de las matematicas" LA .RO1A1ILI0A0 No obstante" se utili+a el mismo t'rmino de probabilidad para denominar a la medida del %rado de certidumbre que se tiene en la ocurrencia de un resultado especifico del e(perimento aleatorio
Nuestro ob$eti#o es el estudio de los e(perimentos aleatorios" el primer paso es conocer todos los resultados posibles del e(perimento" para contemplar aquellos que sean de ma)or inter's 8>uáre+" 9:;?< Espacio muestral: se conoce que el
espacio muestral es el resultado de todos los casos posibles del e(perimeento ) se denota con una , E$emplo3 •
El e(perimento que consiste en obser#ar el resultado que se obtiene al lan+ar un dado El espacio muestral de dic*o e(perimento es ,@ 8;" 9" ?" "
•
B"< El e(perimento consiste en obser#ar el mes de nacimiento de tres personas El espacio muestral correspondiente a dic*o e(perimento es el con$unto de ternas ordenadas3 ,@ 88;" ;" ;<" 8;" ;" 9<" 8;" ;" ?
Un evento3 es cualquier sub con$unto del espacio muestral
,e
acostumbra
denotar
a
los
e#entos
mediante
letras
ma)-sculas"
preferentemente las primeras del alfabeto 0esde esta concepción es -til identificar ) definir al%unos e#entos notables ) que por su importancia reciben un nombre propio Al%unos de ellos los definimos a continuación
E=ENTO, NOTA1LE, Eventos simples: son aquellos que constan de un solo resultado posible4
esto es" son de cardinalidad ; Eventos compuestos: son los que constan de más de un resultado posible Evento seguro: es aquel que con se%uridad ocurrirá Es" por tanto" el espacio muestral ) denota por , Evento imposible: es aquel que nunca ocurrirá ,e denota por D Eventos excluyentes o mutuamente excluyentes 3 son aquellos cu)a intersección es #ac&a
0EFINI/IÓN /LA,I/A 0E .RO1A1ILI0A0 E(isten formas distintas de asi%nar probabilidades a e#entos Estas formas se conocen com-nmente como interpretaciones de probabilidad" ) aunque en al%unos casos cualquiera de ellas se podr&a utili+ar" esa probabilidad no siempre e(iste .or tal ra+ón es importante conocer cada una de estas interpretaciones" as& como las premisas de cada una de ellas no solo para poder aplicarlas adecuadamente" sino tambi'n para tratar de encontrar coincidencias entre ellas" que nos permitan desarrollar una teor&a %eneral ;< Interpretación clásica3 si un e(perimento tiene un espacio muestral finito ) todos los resultados son i%ualmente factibles" entonces la probabilidad de que ocurra el e#ento A es el cociente entre el n-mero de e#entos simples en A ) el n-mero de e#entos simples en el espacio muestral , esto denota como . 8A<@ A /, E$emplo3 en un tiro al blanco se tienen ;9 resultados posibles4 a saber ;" G" :" ;" ;" G:" :" ;::" ;:" ?::" ::" ;:::" todos i%ualmente probables /alcular3 a< La probabilidad de acertar a un n-mero ne%ati#o Llamemos A al e#ento de acertar a un n-mero ne%ati#o entonces .8A<@ 9H;9 b< La probabilidad de que el resultado sea un n-mero positi#o c< La probabilidad de acertar cero ,ea / el e#ento de acertar al cero d< La probabilidad de acertar a un n-mero ne%ati#o
(
)=
P B ∪ C
¿(B ∪ C ) 10 = ¿S 12
