Universidad Nacional Mayor de San Marcos Faculta acultad d de Ciencia Cien ciass F´ısicas ısicas
F´ ısica ısic a del Estado Esta do S´ olido olido
Jaime Francisco Vento Flores Lima - Per´ u
´ Indice general 1. Introducci Introducci´ ´ on on
4
2. Modelo de Drude de los Metales
5
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. .5. 2.6. 2.6.
Introducci´ Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Concentr Concentraci´ aci´ on on o densidad electr´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mo delo de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cond Co ndu uctiv ctivid idaad el´ el´ect e ctrica rica de CC de un meta etal . . . . . . . . . . . . . . . C´ alculo alculo de la la cond conduct uctivi ividad dad el´ el´ectric ectricaa con con campo camposs apli aplicad cados os . . . . . . 2.6.1. Efecto Hall y magnetoresi esistencia . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Campo el´ectrico ectrico dependiente del tiempo (oscilante) (oscilante) y espacialmente uniforme: Conductividad el´ectrica ectrica a corriente alterna de un metal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Propagac Propagaci´ i´on elec electr trom omag agn n´etic e ticaa en un meta metall . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. 2.7.1. Caso de frecuenc frecuencias ias altas altas ωτ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Conductividad t´ermica de un metal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Efecto Seebeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 6 7 8 10 11
14 16 17 21 24 27
3. Modelo de Sommerfeld de los Metales
35
3.1. Propiedad Propiedades es del estado estado fundament fundamental al (T ( T = 0) del gas gas de electrone electroness libres libres 3.2. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Propiedad Propiedades es t´ ermicas ermicas del gas de electrones electrones libres: libres: La distribuci distribuci´´on o n de Fermi - Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. 3.4. Aplica Aplicacio ciones nes de la mec´ mec´ anic a nicaa esta estad d´ısti ıstica ca de Fermi ermi - Dira Diracc . . . . . . . 3.4. 3.4.1. 1. Ca Capa paci cida dad d t´ermi e rmica ca exper experim imen enta tall de los los meta metale less . . . . . . . . 3.5. Ejerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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35 37 44 48 57 59 62
´ Indice general 1. Introducci Introducci´ ´ on on
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2. Modelo de Drude de los Metales
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2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. .5. 2.6. 2.6.
Introducci´ Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Concentr Concentraci´ aci´ on on o densidad electr´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mo delo de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cond Co ndu uctiv ctivid idaad el´ el´ect e ctrica rica de CC de un meta etal . . . . . . . . . . . . . . . C´ alculo alculo de la la cond conduct uctivi ividad dad el´ el´ectric ectricaa con con campo camposs apli aplicad cados os . . . . . . 2.6.1. Efecto Hall y magnetoresi esistencia . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Campo el´ectrico ectrico dependiente del tiempo (oscilante) (oscilante) y espacialmente uniforme: Conductividad el´ectrica ectrica a corriente alterna de un metal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Propagac Propagaci´ i´on elec electr trom omag agn n´etic e ticaa en un meta metall . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. 2.7.1. Caso de frecuenc frecuencias ias altas altas ωτ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Conductividad t´ermica de un metal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Efecto Seebeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Modelo de Sommerfeld de los Metales
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3.1. Propiedad Propiedades es del estado estado fundament fundamental al (T ( T = 0) del gas gas de electrone electroness libres libres 3.2. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Propiedad Propiedades es t´ ermicas ermicas del gas de electrones electrones libres: libres: La distribuci distribuci´´on o n de Fermi - Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. 3.4. Aplica Aplicacio ciones nes de la mec´ mec´ anic a nicaa esta estad d´ısti ıstica ca de Fermi ermi - Dira Diracc . . . . . . . 3.4. 3.4.1. 1. Ca Capa paci cida dad d t´ermi e rmica ca exper experim imen enta tall de los los meta metale less . . . . . . . . 3.5. Ejerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Red de Bravais
67
4.1. Tipos de redes de Bravais . . 4.2. Red inifinita y cristales finitos 4.3. .3. N´ umero umero de coordinaci´on . . . 4.4. Celda primitiva . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de los Ejercicios . . . . .
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5. Red Rec´ ıproca
5.1.
. . . . . . . . . . . . 5.1.1. . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . Soluciones de los Ejercicios
67 69 69 69 71 73 76
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77 77 78 80
6. Determinaci´ on on de estructuras cristalinas por difracci´ on o n de de rayo rayoss-X X 83
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Electrones Electrones en un Potencial Potencial Peri´ Peri´ odico
7.1. 7.2. 7.2. 7.3. 7.4. .4.
El Potenc Potencial ial Peri´ Peri´ odico . . . . . . . . . . . . . . . . El poten potencia ciall peri´ peri´odico . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forma orma alter lterna nati tiv va del del teor eorema ema de Bloc Bloch h. . . . . . . 7.4.1. Primera prueba del teorema de Bloch och . . . . 7.5. 7.5. Con Condic dici´ i´ on de fr frontera de Born - von Karman . . . . 7.6. Segunda prueba del teor eorema ema de Bloch och . . . . . . . . 7.7. 7.7. Co Come men ntari tarios os gene genera rale less acer acerca ca del del teor teorem emaa de Bloc Bloch h 7.8. La superficie de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Densidad de niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10. Mod odeelo de Kronig-Penny . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Electr Electrone oness en un potencia potenciall peri´ peri´ odico d´ ebil
83 84 85
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. 85 . 86 . 86 . 87 . 87 . 89 . 91 . 93 . 95 . 96 . 98 . 106 107
8.0.1. Caso degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9. Teor´ ıa ıa cl´ asica asic a del cristal cris tal arm´ onico
109
9.1. Aproximac Aproximaci´ i´on on arm´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.2. Calor espec´ espec´ıfico de un cristal cl´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.3. Modos normales normales de una red de Bravais Bravais unidimensio unidimensional nal monoat´ monoat´omic o micaa . 113 113
2
9.4. Modos normales de una red de Bravais unidimensional con base . . . 116 9.5. Modos normales de una red de Bravais tridimensional . . . . . . . . . 117 Soluciones de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3
Cap´ıtulo 1 Introducci´ on El contenido del curso de F´ısica del Estado S´olido, que se presenta, y buena parte del material desarrollado tiene una gran influencia de textos como Solid State de Ashcroft - Mermin e Introduction to Solid State de Ch. Kittel. Algunos cap´ıtulos son adaptaciones de res´umenes de clase del curso F´ısica del Estado S´olido I del propio autor dictados durante los an˜os 2006-2008 en la Facultad de Ciencias F´ı sicas de la UNMSM. Por lo tanto, en ning´un momento el texto de los pr´oximos cap´ıtulos tiene la pretensi´ on de ser original o in´edito. Muchos pasajes son traducciones literales de las referencias arriba citados, el objetivo es, simplemente, proporcionar una referencia de estudio accesible al estudiante.
4
Cap´ıtulo 2 Modelo de Drude de los Metales 2.1.
Introducci´ on
En este cap´ıtulo vamos a estudiar algunas propiedades b´asicas de los metales. Iniciamos estudando el s´olido desde el punto de vista de la Mec´anica Cl´asica. En 1900 Drude propone la teor´ıa de conducci´on el´ectrica y t´ermica de los metales, tres a˜nos despu´ es, que J. J. Thomson descubre el electr´on. Drude consider´o un metal como un gas de electrones libres contenidos en una caja. El modelo del gas de electrones libres e independientes permite una explicaci´on cualitativa sencilla de la conductividad el´ectrica y t´ ermica de los metales. Dado que los electrones de conducci´o n son m´oviles, se puede trasladar por todo el s´olido bajo la acci´ on de fuerzas externas, producidas por campos externos aplicados y por tanto explicar por qu´e los metales son buenos conductores el´ectricos y t´ermicos.
2.2.
Metales
Los ´atomos que forman los metales est´a compuesto al menos por dos clases de part´ıculas: a) electrones (negativos) b) n´ucleos, part´ıculas muy pesadas (positivos). Un grupo de los electrones estan fuertemente ligados al n´ucleo (denominados electrones de coraza) y otro grupo (relativamente pocos) estan ligados d´ ebilmente al n´ucleo (electrones de valencia). Los iones (compuesto por el n´ucleo y los electrones de coraza) tienen carga positiva y forman la estructura del material, son representados por esferas duras, impenetrables y fijas. Los electrones (que forman el gas de part´ıculas) se mueven entre los iones y chocan entre ellos y con los iones. Sea umero de electrones) Z a n´umero at´omico (n´ 5
Figura 2.1: . 4 ,80 e = 4,
× 10
10
−
esu = 1, 1,60
/19
× 10
C
→ carga nuclear. ucleo. −eZ → carga total alrededor del n´ucleo. umero de electrones d´ebilemente ebilemente ligados al n´ucleo ucleo (son muy pocos). Z → n´umero ucleo (electrones de coraza). No Z − Z → electrones fuertemente ligados al n´ucleo eZ a
a
a
juegan un rol importante en las reacciones qu´ qu´ımicas. ımicas.
Cuando los ´atomos atomos se condensan para fornar el metal (s´olido) olido) los electrones de coraza se mantinen ligados al n´ucleo, formando el i´on. on. los electrones de valencia se mueven libremente por todo el s´olido y son llamados electrones de conducci´on on en el contexto met´alico. alico. Drude aplica la teor´ teor´ıa cin´etica etica al gas de electrones electron es de conducci´ conducc i´on, on, de masa m, que se mueven en un fondo positivo de los iones pesados.
2.3. 2.3.
Conc Concen entr trac aci´ i´ on on o densidad electr´ onica onica
La concentraci´ concentraci´on on o densidad electr´onica onica (n (n), se define como el n´umero umero de electrones (en general, g eneral, part´ part´ıculas) por unidad de volumen volum en n=
N V 6
(2.1)
Figura 2.2: . donde N n´umeto ume to de part´ıculas ıcu las y V volumen del sistema. Entonces: n=
N #mol = #mol V
donde vmol =
× Z N ×v
A
(2.2)
mol
A ρm
(2.3)
y ρm es la densidad de masa y A es la masa at´omica. omica. Remplazando ρm n = Z N A A Z ρm (2.4) n = 0,6022 10 24 A n´ umero umero de electrones por cm3 . Estas densidades son 1000 veces mayor que las densidades del gas cl´asico asico a p y T normales. Tambi´ en, en, se define el radio de la esfera es fera rs = rs(n)
×
−
1 4 V = = πr s3 N n 3 3 1/3 rs = 4πn
rs
≈ 10
2.4. .4.
8
−
(2.5) (2.6)
cm
Model odelo o de Dru rude de
El gas de electrones met´alicos alicos (denso) es estudiado estudiad o usando la teor´ teor´ıa cin´etica etica de los gases diluidos (cuya densidad es baja) de part´ part´ıculas neutras, con ligeras modificaciones. Suposiciones b´asicas: asicas: 7
Figura 2.3: . a) Entre las colisiones el electr´on on no interact´ua ua con la red (aproximaci´on on de electrones libres) ni con los otros electrones (aproximaci´on on de electrones independientes). b) Las colisiones colisiones son eventos eventos instant instant´´aneos aneos (se evita especificar los detalles de las y/o B ) el movimiento del eleccolisiones). En presencia de campos externos ( E tr´on on cumple con la ley de Newton. c) Las colisione colisioness ocurren con una probabilidad probabilidad por unidad unidad de tiempo 1 /τ , es decir, la probabilidad de que ocurra una colisi´on on en un intervalo de tiempo dt, dt, es dt/τ , donde τ es llamado tiempo libre medio o tiempo de relajaci´on. d) Los electrones electrones alcanzan alcanzan el equilibrio equilibrio t´ermico ermico con su vecindad vecindad s´olo olo a trav´es es de las colisione c olisiones. s. Despu´es es de una colisi´ c olisi´on on el electr´on on surge con una velocidad que depende de la temperatura circundante y es aleatoria (no est´a relacionada con la velocidad inmediatamente antes de la colisi´on). on).
2.5.
Conductiv Conductividad idad el´ el´ ectrica ectrica de CC de un metal
De la ley de Ohm V = RI
(2.7)
donde R es la resistencia del alambre, que depende de las dimensiones de la muestra y es independiente de V y I . Drude determina el valor de la magnitud de R. En vez de R, es mejor determinar el valor de la resistividad, ρ, que es una propiedad caracte cara cterr´ıstica ısti ca del metal. met al. Se define = ρ j E 8
(2.8)
Figura 2.4: . no es paralelo a j (es donde ρ es una constante de proporcionalidad, en general, E paralelo al flujo de carga). Si I es uniforme y la secci´on transversal del alambre es A, entonces j =
I A
(2.9)
puesto que I L V = EL = ρjL = ρ L = ρ I A A
(2.10)
entonces R=ρ
L A
(2.11)
Si n electrones por unidad de volumen se mueven con velocidad v ( j v ).
Figura 2.5: . El n´ umero de electrones que deben atravezar A perpendicular a la direcci´ on del flujo: 9
nV = nLA = nvdtA. La carga total: dQ =
−envdtA, entonces la corriente es I =
dQ = nevA dt
(2.12)
entonces, remplazando j =
−nev
(2.13)
En cualquier punto de un metal los electrones se mueven en diferentes direcciones con diferentes energ´ıas t´ermicas. La corriente neta es dada por ecuaci´on anterior, donde v es la velocidad electr´onica promedio (< v >). = 0, entonces, < v >= 0 y j = 0, ni hay corriente el´ectrica. Si E = 0, v = 0, entonces Si E
v = v0
−
eE t m
(2.14)
y la velocidad promedio
Entonces j = donde,
−nev
p
=
−ne
− emE τ
(2.15)
−
(2.16)
< v >=
eE ne2 τ τ = E = σ E m m
1 ne2 τ σ= = ρ m
(2.17)
es la conductividad. El tiempo de relajaci´on, τ , no es conocido y puede ser determinado si se conoce la resistividad (que puede se calculado experimentalmente) mσ m (2.18) τ = 2 = 2 ne ne ρ
2.6.
C´ alculo de la conductividad el´ ectrica con campos aplicados
En un tiempo t v =
p(t) m 10
(2.19)
donde p(t) es el momento total de un electr´on. Tambi´en sabemos −ne p(t) m
j =
(2.20)
En un tiempo t + dt, el momentum ser´a p(t + dt)
(2.21)
La probabilidad que el electr´on colisione en un intervalo de tiempo dt es dt/τ y que no colisione 1 dt/τ . Si el elctr´on no colisiona debe adquirir un momento adicional debido a una fuerza y/o B). producido por el campo externo ( E
−
+ 0(dt)2 f (t)dt
(2.22)
La contribuci´on de todos aquellos electrones que no colisionan p(t + dt) = (1
−
+ 0(dt)2 dt/τ ) p(t) + f (t)dt
+ 0(dt) − p(t) dt + f (t)dt τ p(t + dt) − p(t) p(t) + 0(dt) =− + f (t) dt τ En el l´ımite en que dt → 0 p(t + dt) = p(t)
2
d p p(t) + 0(dt) = + f (t) dt τ
−
(2.23)
(2.24)
El efecto de las colisiones de los electrones individuales introduce un t´ ermino de amartiguamiento friccional ( p(t)/τ ).
−
2.6.1.
Efecto Hall y magnetoresistencia
Sobre un placa met´alica paralela al plano xy (ver figura) se aplica un campo = E xˆi) y un campo magn´ el´ectrico en la direcci´on del eje x (E etico en la direcci´on ˆ Entonces, la fuerza que act´ua sobre cada electr´on es = H k). del eje z (H = f
−
1 v e E + c
× H
(2.25)
El campo magn´ etico ejerce un torque sobre el electr´on, que inicialmente se mueve en la direcci´on del eje x. Entonces, el campo magn´ etico crea una corriente transversal a 11
Figura 2.6: . la direcci´on inicial del flujo de electrones. Remplazando, la ecuaci´on de movimiento del electr´on viene dado por d p = dt =
p(t) τ p(t) τ
− −
− −
1 v H e E + c 1 e E + p H mc
× ×
(2.26)
Veamos el producto vectorial = ( py H ) ˆi p H
×
− ( p H ) jˆ
(2.27)
x
En el estado estable la corriente es independiente del tiempo, entonces d p = 0 dt
(2.28)
Escribiendo las ecuaciones en cada direcci´on p −eE − eH p − mc τ p −eE + eH p − mc τ Haciendo ωc =
eH , mc
x
y
y
x
x
= 0
(2.29)
y
= 0
(2.30)
entonces escribimos las ecuaciones
−eE − ω p − pτ −eE + ω p − pτ multiplicando por
x
c y
y
c x
x
= 0
(2.31)
y
= 0
(2.32)
neτ m
− −
ne2 τ E x m ne2 τ E y + m
neτ p − neτ ω p − m m τ neτ neτ p ω p − m m τ
x
= 0
(2.33)
y
= 0
(2.34)
c y
c x
12
Sabemos que j =
−nev = − ne p m
(2.35)
2
y σ0 = nem τ (conductividad DC del modelo de Drude en ausencia de campo magn´etico), las ecuaciones de movimiento toman la forma σ0 E x = ωc τ jy + jx σ0 E y = ωc τ jx + jy
−
(2.36) (2.37)
La corriente transversal (generada por H ) tiende a acumular cargas negativas en un lado de la muestra (y en consecuencia cargas positivas en el lado opuesto), surguiendo un campo el´ectrico transversal que aumenta con la acumulaci´ on de cargas. Esto es llamado efecto Hall. La diferencia de potencial debido a la acumulaci´on de cargas es llamado potencial de Hall (V H ). Ahora, cuando no hay corriente transversal, entonces, jy = 0, usando las ecuaciones de movimiento el campo del Hall viene dado por
− ωσ τ j H − nec j c
E y =
x
0
=
x
(2.38)
− jE H
(2.39)
1 − nec
(2.40)
El coeficiente de Hall se define como, RH =
y
x
remplazando, se tiene RH =
Si jy = 0, el efecto Hall causa un aumento en la resistividad del material, llamada magnetoresistencia, definidad como,
ρ(H ) =
E x jx
(2.41)
Podemos escribir la ecuaci´on en forma matricial: 1 1 jx + ωc τjy σ0 σ0 1 1 = ωc τ jx + jy σ0 σ0
E x = E y
−
13
(2.42) (2.43)
1 = σ0
E x E y
1 ωc τ ωc τ 1
−
jx jy
(2.44)
El tensor reisteividad es dfefinido por la relaci´on
E x E y
1 = σ0
ρxx ρxy ρyx ρyy
jx jy
(2.45)
Entonces ρxx = ρyy = ρyx =
−ρ
xy
1 σ0 ωc τ H = = σ0 nec
(2.46) (2.47)
As´ı, este modelo simple (de Drude) predice que la resistencia longitudinal es constante, mientras que la resistencia de Hall se incrementa linealmente con el campo magn´etico.
2.6.2.
Campo el´ ectrico dependiente del tiempo (oscilante) y espacialmente uniforme: Conductividad el´ ectrica a corriente alterna de un metal
Podemos calcular la corriente inducida en un metal sometido a un campo el´ectrico (t). De la ecuaci´on de movimiento de un electr´o n en un que depende del tiempo, E campo el´ectrico dependiente del tiempo d p p(t) = dt τ
−
− eE (t)
Figura 2.7: .
14
(2.48)
Resolvemos esta ecuaci´on diferencial aplicando la tramsformanda de Fourier
F −F − F
(2.49)
p(ω) −iω − eE (ω) p(ω) = − τ
(2.50)
d p = dt
p(t) τ
(t) E
e
se tiene
Despejando p(ω) =
− −e iω E (ω)
(2.51)
1 τ
Puesto que
− ne p(t) m − ne F { p(t) } m
= j(t)
F j(t)
=
(2.52)
entonces = j(ω)
− ne p(ω) m
(2.53)
Remplazando p(ω) = j(ω)
−
ne m
−
e
1 τ
(ω) = σ(ω)E
− iω E (ω)
(2.54)
donde σ(ω) es la conductividad el´ectrica de corriente alterna (CA) y es compleja. ne2 /m ne2 τ /m = σ(ω) = 1 1 iωτ iω τ σ0 σ(ω) = 1 iωτ
− −
−
(2.55)
con σ0 = ne2 τ /m la conductividad de Drude. Vemos que si ω = 0, esta se reduce a la conductividad de corriente continua.
15
2.7.
Propagaci´ on electromagn´ etica en un metal
Veamos el caso cuando λ l donde λ es la longitud de onda de la radiaci´on y l es el camino libre medio, donde se cumple
(r, ω) r , ω) = σ(ω)E j(
(2.56)
En presencia de un j particular, escribimos las ecuaciones de Maxwell
· E = 0 ×
= E
−
· H = 0
1 ∂ H c ∂t
×
4π 1 ∂ E H = j + c c ∂t
Tomando rotacional
× × E = − 1c ∂t∂ × H
(2.57)
El primer t´ermino
× × E
( · E ) − E − E 2
=
2
=
(2.58)
escribimos el segundo t´ermino Como j = σ E
×
4π 1 ∂ E H = σ E + c c ∂t
Remplazando
(2.59)
1 ∂ 4π 1 ∂ E 2 E = σ E + c ∂t c c ∂t
(2.60)
Tomando transformada de Fourier 1 4π 1 2 ( iω) E (ω) = σ E (ω) + ( iω)E c c c 2 4πσ ω (ω) = + 1 E i c2 ω Entonces la ecuaci´on de onda viene dado por
−
−
E (ω) 2
=
− ωc
2
2
(ω) ε(ω)E
−
(2.61)
(2.62)
donde ε(ω) = 1 + i es la constante diel´ectrica compleja. 16
4πσ ω
(2.63)
2.7.1.
Caso de frecuencias altas
ωτ
1
Sabemos que 4πσ ω 4π σ0 = 1+i ω 1 iωτ
ε(ω) = 1 + i
−
veamos el factor
1 1 1 + iωτ = 1 iωτ 1 iωτ 1 + iωτ 1 + iωτ = 1 + (ωτ )2
−
Como ωτ
1
(2.64)
−
1 1 iωτ
−
≈ ≈
1 + iωτ (ωτ )2 i ωτ
(2.65)
(2.66)
Remplazando ε(ω)
i ≈ 1 + i 4πσ ω ωτ ≈ 1 − ω4πτ nemτ 0
2
2
(2.67)
entonces ε(ω)
≈ 1−
ω p2 ω2
(2.68)
donde ω p2
4πne 2 = m
(2.69)
es la frecuencia de plasma. De la ecuaci´on de onda tenemos los siguientes casos: Si ω p > ω entonces ε(ω) es real y negativa. La radiaci´on decae exponecialmente en el espacio (no puede propagarse). Si ω p < ω p entonces ε(ω) es real y positiva. La radiaci´on es oscilatoria en el material (puede propagarse), se dice que el metal es transparente. 17
Ejerc´ıcios 1. Ecuaci´ on de Movimento para J - Obtenga la ecuaci´ on de movimiento de la corriente el´ectrica en campos E y B
dJ J σ0 E + + γ (B dt τ
−
× J) = 0
(2.70)
donde σ0 = ne2 τ /m es la conductividad el´ ectrica en el modelo de Drude y γ = es la raz´on carga-masa del electr´on. Use dp = dt
− pτ − e(E + mp × B)
−e/m (2.71)
donde p = mv. ˜ definida en la ecuaci´on 2. Matriz Producto Vectorial - Demuestre que a matriz β ˜ β
≡ γ B× = γ
−
0 Bz By
(2.72)
˜ (t, t )A(t )dt U
(2.73)
−B
By Bx 0
z
0 Bx
−
aplicada a un vector A es igual al producto vectorial γ B
× A.
on - Demuestre que a Ec. 3. Matriz de Propagaci´
˜ (t, 0)J(0) + J(t) = U
t
0
˜ (t, t ) es una matriz de evoluci´on temporal y que satisface la ecuaci´on hodonde U mog´enea ˜ (t, t ) 1 ˜ ˜ dU + + β U(t, t ) = 0 dt τ ˜ (t, t) = 1, es soluci´on de la Ec. con U
1 ˜ dJ + + β J = A(t) dt τ
(2.74)
˜ (t, t ) satisface la ecuaci´on diferencial siendo A(t) = σ0 E(t)/τ y donde U
˜ (t, t ) 1 ˜ ˜ dU + + β U(t, t ) = δ(t dt τ
−t)
4. Efecto Hall en un Cilindro - Considere el vector densidad de corriente el´ectrica J
en coordenadas cil´ındricas:
J = J ρ ρˆ + J φ φˆ + J z zˆ
18
Usando
σ0 J( ) = τ
∞
˜) es la matriz donde (1/τ + β
−
1/τ γB z γB y
1 ˜ + β τ
−γB
z
1/τ γB x
1
−
γB y γB x 1/τ
−
cuya inversa puede ser obtenida f´acilmente: 1 ˜ + β τ
1
−
(2.75)
E
τ 3 = 1 + γ 2 τ 2 (Bx2 + By2 + Bz2 )
(2.76)
×
y
×
1/τ 2 + γ 2 Bx2 (γB z /τ + γ 2 Bx By ) (γ 2 Bx Bz γB y /τ ) (γ 2 Bx By γB z /τ ) 1/τ 2 + γ 2 By2 (γ 2 By Bz + γB x /τ ) 1/τ 2 + γ 2 Bz2 γ 2 Bx Bz + γB y /τ (γ 2 By Bz γB x/τ )
−
−
−
(2.77)
ˆ encuentre las componentes estacion´arias de J para B = Bo zˆ y E = E o φ.
5. Distribuici´ on de Poisson - En el modelo de Drude la probabilidad de que un elec-
tr´on sufra una colisi´on en un intervalo de tiempo infinitesimal dt es dt/τ , donde τ es el tiempo de relajaci´on. (a) Demuestre que un electr´on selecionado aleatoriamente en un inst´ante dado no sufri´ o ninguna colisi´on durante los t segundos precedentes con probabilidad e t/τ . (b) Demuestre que la probabilidad de que ocurra dos colisiones sucesivas entre t y t + dt es (dt/τ )e t/τ . (c) Demuestre, como consecuencia de (a), que en cualquier inst´ante el tiempo medio entre colisiones calculado sobre todos los el´etrones es τ . (d) Demuestre, como consecuencia de (b), que el tiempo medio entre sucesivas colisiones de un electr´on tambi´en es τ . 6.Consideremos un cristal con solamente una clase de portadores, de carga q (= . Derivar las 1,6 10 19C ) y concentraci´on n. Aplicamos un campo elctrico fijo E en trminos de relaciones entre v (velocidad media), j (densidad de corriente), y E la movilidad µ () y la conductividad σ. Prestar particular atenci´on a los signos (por convenci´on la movilidad es una cantidad positiva). Aplicamos un campo magnetico fijo a lo largo del eje z (Bx = 0, By = 0, Bz = B). =σ j, ,, o equivalentemente j =ρ E Demostrar que la ley de Ohm se generaliza a E y demostrar expl´ıcitamente los tensores resistividad ρ y conductividad σ, referidas a los ejes Oxyz. En la literatura el ´angulo θ, con tan θ = µB, el llamado ”´angulo de −
−
± ×
−
∼
∼
∼
|
19
∼
|
Hall”. ¿Esto le sugiere una interpretaci´on geomtrica? Considerar una barra de longitud L a lo largo de Ox con secci´ on transversal peque˜na ∆x, ∆y, tal que la densidad de corriente se encuentre a lo largo del eje Ox. (a) Dar la relaci´on entre jx y E x (conductividad longitudinal). (b) Aunque la corriente es puramente longitudinal, notamos que aparece el campo elctrico transversal (el ¸campo de Hall”).; dar una expresi´on para este. Aplicaci´ on pr´actica: en una barra de silicio con dimensiones L = 2cm, ∆z = 0,2cm, ∆y = 0,2cm, con campo magnetico B = 0,1T , pasamos una corriente total de I x = 10mA. Medimos un voltaje V Q V P = 4,15V entre los extremos de la barra, y un voltaje V N V M = 0,21 10 3 V a travs de las caras MN de la barra. Calcular las caracter´ısticas de la muestra de silicio. Qu tipo de volt´ımetros se requieren en la pr´actica para estas mediciones? (Los contactos M y N son soldaduras de a´rea 0,1cm 0,1cm.) 7. Considerar un cristal con dos tipos de portadores (1) y (2), con cargas, densidades y movilidades q1 , n1 , µ1 y q2 , n2 , µ2 respectivamente (por ejemplo, electrones y huecos). En todos los casos q1 = q1 = e = carga del electr´on. Hallar el tensor conductividad. Considere una barra delgada. Calcule la conductividad longitudinal σlong = jx /E x . Calcula la constante de Hall RH = E y /jx B. Nota: el calculo exacto es laborioso. Use el hecho de que en general µ1 B 1 y 1 y calcule hasta segundo orden en estas cantidades. Discuta que sucede en µ2 B la superficie de la muestra en el caso de un solo tipo de portador, y en caso en que las densidades de electrones y huecos son iguales.
−
×
−
−
×
| | | |
20
2.8.
Conductividad t´ ermica de un metal
Se define j q como la densidad de corriente t´ermica, paralelo a la direcci´on del flujo de calor y j q la energ´ıa t´ermica por unidad de tiempo a trav´es de un ´area unitaria perpendicular al flujo. Para peque˜ nos gradientes de temperatura ( T ), se tiene la Ley de Fourier
| |
Figura 2.8: . j q =
(2.78)
−κT
donde κ (> 0) es la conductividad t´ermica, el flujo de corriente t´ermica es opuesto al a la direcci´on del gradiente de temperatura ( T es debido al caracter aleatorio de las colisiones). Consideremos el caso unidimensional. La ley de Fourier en una dimensi´on es dado por:
j q =
−κ dT dx
(2.79)
Considereremos el caso en el que T disminuye uniformemente en la direcci´on del eje x positivo. En el estado estacionario j q fluye en la direcci´on del eje x positivo. Calculamos j q usando la cuarta suposici´on de Drude, la cual establece que los electrones en los puntos de temperaturas altas deben tener m´as energ´ıa que los electrones en puntos de temperaturas bajas. Por lo tanto, se tiene un flujo neto de energ´ıa t´ermica hacia puntos de temperaturas bajas. En el modelo unidiemensional los electrones se mueven en la direcci´on del eje x, tal que, la mitad del n´umero de electrones llegan al punto x desde la izquierda y la mitad del n´ umero de electros desde la derecha. Sea ε(T ), la energ´ıa t´ermica por electr´on en un metal en equilibrio t´ermico a la temperatura T . Entonces, un electr´on cuya ´ultima colisi´on fue en x debe, en promedio, tener una energ´ıa t´ermica ε[T (x )].
21
Los electrones que llegan a x desde la regi´on de altas temperaturas deben de haber tenido su ´ultima colisi´on en x vτ y deben por consiguiente tener una energ´ıa t´ermica por electr´on de magnitud
−
Figura 2.9: . ε[T (x
− vτ )]
(2.80)
y su contribuci´on a j q en x debe ser n vε[T (x 2
− vτ )]
(2.81)
An´ alogamente, los electrones que llegan a x de regiones de temperaturas bajas deben tener una energ´ıa t´ermica por electr´on de magnitud ε[T (x + vτ )]
(2.82)
y su contribuci´on a j q en x debe ser n ( v)ε[T (x + vτ )] 2
−
(2.83)
Sumando j q =
n v ε[T (x 2
{
− vτ )] − ε[T (x + vτ )]}
(2.84)
Si el cambio de temperatura en el intervalo l = vτ es peque˜ no, podemos hacer un desarrollo en series de Taylos alrededor del punto x. ε[T (x
dε dT ± vτ )] = ε[T (x)] + (±vτ ) dT + ··· dx 22
(2.85)
Remplazando: dε j q = nv2 τ dT
− dT dx
En tres dimensiones, para v con simetr´ıa esf´erica se tiene 1 2 vx2 = vy2 = vz2 = v 3 y adem´as
1 dE dε N dε = = = cv dT V dT V dT donde cv es el calor espec´ıfico. Remplazando n
1 j q = v 2 τ cv ( T ) 3 De donde se tiene que que la conductividad t´ ermica viene dado por
−
(2.86)
(2.87)
(2.88)
(2.89)
1 1 (2.90) κ = v 2 τ cv = lvc v 3 3 Ahora hallamos el cociente entre la conductividad t´ermica y la conductividad el´ectrica (de Drude) κ = σ
1 2 3 v τ cv ne2 τ m
=
2 1 1 2 mv cv 3 ne2 2
(2.91)
Drude aplica las leyes de la teor´ıa cin´etica de los gases al gas de electrones libres, entonces 3 (2.92) cv = nkB 2 donde kB es la constante de Boltzmann, y del teorema de equipartici´on de la energ´ıa: 1 2 3 mv = kB T 2 2
(2.93)
Remplazando 3 κ = 2 σ
kB e
2
T
(2.94)
Se define el n´ umero de Lorentz: 3 κ = 2 σT 23
kB e
2
(2.95)
2.9.
Efecto Seebeck
Un gradiente de temperatura genera una corriente t´ ermica, tal que produce un acumulamiento de carga en los extremos del conductor y por lo tanto surge un campo el´ectrico, denominado campo termo el´ectrico, opuesto al gradiente de temperatura. Convencionalmente se tiene = Q T E
(2.96)
donde Q es denominado termopotencia. Veamos el caso unidimensional. La velocidad media electr´onica, vQ , en un punto x debido al gradiente de temperatura, dT/dx, es: vQ =
1 [v(x 2
− vt) − v(x + vt)]
(2.97)
vQ =
1 [v(x 2
− vτ ) − v(x + vτ )]
(2.98)
y cuando t = τ
Haciendo un desarrollo en series de Taylor alrededor de x v(x
dv dT + ··· ± vτ ) = v(x) + (±vτ ) dT dx
(2.99)
Remplazando vQ
1 dv dT = v(x) vτ 2 dT dx dv dT = vτ dT dx d v 2 dT = τ dT 2 dx
− −
−
− v(x) −
dv dT vτ dT dx
(2.100)
En tres dimensiones, para v con simetr´ıa esf´erica
vx2 = vy2 = vz2 =
1 2 v 3
(2.101)
Entonces, la velocidad t´ermica viene dado por vQ =
−
τ dv2 T 6 dT
24
(2.102)
ya velocidad media, del electr´on, debido al campo el´ectrico es
− emE τ
(2.103)
vQ + vE = 0
(2.104)
vE = Para alcanzar el equilibrio se requiere que
Remplazando
−
τ dv2 T 6 dT
− emE τ
= 0
(2.105)
Depejando el campo el´ectrico = E =
− −
m dv2 T 6e dT 1 d 1 2 mv 3e dT 2
(2.106)
(2.107)
T
De donde se tiene Q =
−
1 d 1 2 mv 3e dT 2
Adem´ as, de la definici´on de calor espec´ıfico cv =
−
1 dE N dε dε d 1 2 = =n =n mv V dT V dT dT dT 2
(2.108)
Q =
c − 3ne
(2.109)
Q =
− k2e
(2.110)
Remplazando v
Se sabe que cv = 3/2nK B , entonces
25
B
Ejerc´ıcios 8. Efecto Joule- Considere un metal en un campo el´ ectrico est´atico uniforme E. Un
electr´ on experimenta una colisi´on, y luego, despu´es de un tiempo t, una segunda colisi´ on. (a) Demuestre que la energ´ıa perdida en la segunda colisi´on, que ocurre despu´es de un tiempo t, es (eEt)2 /2m. (b) Si la probabilidad de una colisi´on en el inst´ante t es dada por (t) = e t/τ /τ , donde τ es el tiempo de relajaci´on, demuestre que la energ´ıa media perdida (a causa de los iones) por el electr´on por colisi´o n es (eEτ )2 /m, y por tanto, la energ´ıa media perdida por cent´ımetro c´ubico por segundo es (ne2 τ /m)E 2 = σE 2 . Compare con la potencia disipada en una varilla de longitud L, secci´on transversal A y resistencia R, por la cual circula una corriente I .
P
26
−
Soluciones de los Ejercicios 1.
La ecuaci´on de movimiento para una part´ıcula sometida a campos el´ectrico y magn´etico, en el modelo de Drude, es dp = dt Sustituyendo J =
− pτ − e(E + mp × B)
−nep/m en la ecuaci´on anterior, obtenemos: dJ = dt
−
(ne2 τ/m)E + + ( e/m)J τ τ
J
−
×B
Usando las definiciones σ0 = ne2 τ /m y γ =
−e/m podemos escribir: dJ J − σ E + + +γ B × J = 0 dt τ 0
2.
˜ es definida como La matriz β ˜ = γ β
−
−
0 Bz By
−B
z
0 Bx
By Bx 0
˜ por un vector A encontramos Multiplicando β ˜A = γ β
−
0 Bz By
−B
z
0 Bx
By Bx 0
−
Ax Ay Az
= γ
By Az Bz Ay Bz Ax Bx Az BxAy + By Ax
− −
Calculando ahora el producto vectorial γ B γ B
× A = γ [(B A y
z
× A encontramos − B A )i + (B A − B A ) j + (B A z
y
z
x
x
z
x
Comparando las dos ecuaciones anteriores verificamos que ˜A = γ B β
×A
3.
La soluci´on general para J es dada por ˜ 0)J(0) + J(t) = U (t, 27
t
0
˜ t )A(t )dt U (t,
y
+ By Ax )k]
Sustituyendo la soluci´on anterior en la ecuaci´on diferencial
1 ˜ dJ(t) + + β J(t) = A(t) dt τ encontramos
˜ 0) 1 ˜ ˜ dU (t, d + + β U (t, 0) J(0)+ dt τ dt
t
0
˜ ˜ (t, t )A(t )dt + 1 + β U τ
t
0
˜ t )A(t )dt = A(t) U (t,
Siendo la derivada realizada sobre la variable t y la integral sobre a variable t podemos escribir
˜ 0) 1 ˜ ˜ dU (t, + + β U (t, 0) J(0)+ dt τ
t
0
˜ (t, t ) 1 ˜ ˜ dU + + β U (t, t ) A(t )dt = A(t) dt τ
˜ t ) satisface la ecuaci´on Sabiendo que U (t,
˜ t) 1 ˜ ˜ dU (t, + + β U (t, t ) = δ(t dt τ
−t)
verificamos que el primer t´ermino se anula y la integral ser´a igual a A(t). 4.
La soluci´on estacion´aria de la ecuaci´on de movimiento de una part´ıcula cargada sumetida a campos el´etrico y magn´etico est´aticos es dada por σ0 J( ) = τ
∞
1 ˜ + β τ
1
−
E
En coordenadas cartesianas: B = Bx i + By j + Bz k
× j = k; k × i = j; j × k = i
i
o en coordenadas cil´ındricas B = Bρ ρ + Bφ φ + Bz k
ρ
× φ = k; k × ρ = φ;
φ
×k=ρ
Como no existen operadores de derivada, mas solamente de produtos vectoriais, podemos simplemente sustituir Bx By Bz
→B →B →B
ρ
φ z
28
i j k
→ ρˆ → φˆ → kˆ
Procediendo de esta manera encontramos la matriz
1 ˜ + β τ
1
3
−
=
τ 1 + γ 2 τ 2 B02
−
1/τ 2 0 γB 0 τ 2 0 γB 0 /τ 1/τ 2 0 0 1/τ + γ 2 B02
Sustituyendo en la soluci´on estacion´aria encontramos: σ0 E 0 J( ) = 1 + ω02 τ 2
∞
ω0 τ 1 0
para las componentes de J en coordenadas cil´ındricas. 5.
(a) Sean: dt/τ probabilidad de que ocurra una colisi´on en el intervalo de tiempo dt. P (t) probabilidad de que el electr´on NO haya sufrido ninguna colisi´on hasta el instante de tiempo t. P (t + dt) probabilidad de que el electr´on NO haya sufrido ninguna colisi´on hasta el instante de tiempo t + dt. Entonces tenemos P (t+dt) = P (t) (prob. de que no ocurra colisi´on en el intervalo de tiempo dt)= P (t) (1 dt/τ ) y
×
× −
P (t + dt) dP (t) =
−P (t)dt/τ
⇒
t
0
− P (t) = −P (t)dt/τ dP (t) = P (t)
−
t
0
dt τ
⇒ ln
P (t) P (0)
=
− τ t
sabiendo que P (0) = 1 encontramos t/τ
−
P (t) = e
(b) P (t) probabilidad de no colisionar hsta el instante t. dP (t + dt) probabilidad de colisionar entre los instantes t y t + dt. Entonces podemos escribir dP (t + dt) = P (t) (prob. de colisionar en intervalo
×
dt)
dP (t + dt) = P (t)dt/τ que es la probabilidad de que ocurra dos colisiones sucesivas entre el intervalo t y t + dt. (c) 29
El tiempo medio puede ser calculado a partir de
∞
< t >=
1 t (t)dt = τ
∞
P
0
t/τ
−
te
0
dt = τ
(d) t/τ
≈ dP (t) = e τ −
dP (t + dt)
dt
a partir de ah´ıpodemos calcular < t col > < tcol
1 >= τ
∞
0
t/τ
−
te
dt = τ
la fuerza es F = qE y la velocidad media es: 6. (a) Bajo un campo aplicado E v =
qτ E m
La movilidad se define como:
v E Esta cantidad es tomada convencionalmente como una cantidad positiva. As´ı tenemos: µ=
µ=
| q | τ m
v =
y
| q | µE q
La densidad de corriente j es j = nqv = n q µE
| |
La ley de Ohm:
(2.111)
j = σ E
donde la conductividad σ=n q µ=
| |
nq 2 τ m
es positivo. (b) Cuando son aplicados un campo el´ ectrico y un campo magn´ etico, la fuerza es: = q(E + v F
× B)
y la velocidad media es dada por la ecuaci´on: v =
qτ (E + v m 30
× B)
Usando j , µ y σ, encontramos:
= 1 j + q µB j E σ q
| | ×
Esta formula puede escribirse como: == ρ j E , donde el tensor resistividad respecto a los ejes xyz es: 1 σ
=
ρ=
y j no son colineales (ver figura), el Note que en el plano xOy los vectores E es dado en signo y magnitud por: ´angulo θ entre j y E tan θ =
q µB q
| |
=
=
El tensor conductividad σ es dado simplemente invirtiendo el tensor ρ: FALTA y la matriz = ρ= (c)En la barra delgada, asumimos jy = jz = 0. Usando el vector E encontramos jx = σE x Esta es la misma relaci´on como en la ausencia de campo magnetico. La conducci´on no cambia por la presencia de un campo magnetico para un solo tipo de portador (hemos adoptado en el modelo de transporte simple): no hay el efecto ”magnetoresistencia”. Sin embargo vemos que un campo el´ectrico transversal aparece, el cual de la definici´on de σ y µ toma la forma: E y =
jx B nq
Medidas de este “campo de Hall”E y nos permiten medir la densidad de portadores n y el signo de la carga. Conociendo n, una medici´on de σ = n q µ da la movilidad de los portadores. (d) Del signo de la medida del voltaje vemos que los portadores son huecos (positivamente cargados). La aplicaci´on num´erica de las formulas anteriores da:
| |
´ i) Angulo de Hall: µB
∼ 5×0
4
−
rad.
ii) Movilidad: µ = 0, 05m2 V 1 s 1 . −
−
31
iii) Conductividad: σ = 12S m
1
· (S Siemens). iv) Concentraci´on: n = 1,5 × 1021m . −
3
−
7. a) La corriente de los dos tipos de portadores :
j = j 1 + j 2 = (σ1 + σ2 )E Tenemos: σ = σ1 + σ2 debemos primero sumar los tensores conductividad (matrices tipo x) para obtener σ, primero invertimos esta matriz para encontrar σxx y σxy . Sea q1 q2 θ1 = µ1 B y θ2 = µ2 B q1 q2
σ=
| | σ (1 − θ ) + σ (1 − θ ) −(σ θ + σ θ ) 1
2 1
2 2
2
1 1
2 2
0
| |
σ1 θ1 + σ2 θ2 σ1 (1 θ12 ) + σ2 (1 0
−
−
0 2 0 θ2 ) σ1 + σ2
(2.112)
b) Como jy = jz = 0, las cantidades requeridas se obtienen inmediatamente del tensor ρ E x = ρxx jx y E y = ρyx jx Usando el hecho que σxx = σyy y σxy =
−σ
yx
encontramos
ρxx =
σxx (σxx )2 + (σxy )2
ρyx =
σyx (σxx )2 + (σxy )2
y
Expandiendo hasta segundo orden esto da: σlong = σ1 + σ2
− σσ+σσ (θ − θ ) 1 2
1
1
2
2
2
o con σ1 = q n1 µ1 y σ2 = q n2 µ2
| |
σlong
| |
(n1 µ1 n2 µ2 (q1 µ1 q2 µ2 )2 B 2 = q (n1 µ1 + n2 µ2 ) 1 + e2 (n1 µ1 + n2 µ2 )2
| |
−
Vemos que en este caso la conductividad longitudinal depende en segundo orden del campo magnetico a menos que los portadores tengan el mismo signo ( q1 = q2 ) y la 32
misma movilidad (µ1 = µ2 ). Este resultado, la variaci´on de la resistencia con el campo magn´etico, o magnetoresistencia, es gen´erico en cuanto no estamos tratando con un solo tipo de portadores con solo tiempo de relajaci´on. Del mismo modo, la constante de Hall es dado (todav´ıa a segundo orden) por E y σ1 θ1 + σ2 θ2 = B. RH = ρyx = (σ1 + σ2 )2 jx
·
q1 n1 µ21 + q2 n2 µ22 RH = 2 q (n1 µ1 + n2 µ2 )2 En el dominio de validez de estas formulas vemos que: La magnetoresistencia es siempre positiva (la resistencia se incrementa con el campo magn´ etico). Podemos medir la resistencia para B = 0, la magnetoresistencia (el cual bajo nuestras suposiciones es un efecto peque˜no), y la constante de Hall RH . De estas tres medidas independientes es en general imposible determinar las cuatro desconocidas (n1 , µ1 , n2 , µ2 )incluso si es posible adivinar el signo de las cargas. Si tenemos razon para suponer que n1 = n2 = n, para portadores de cargas opuestas (semimetal o semiconductores intr´ınsecos), podemos escribir σlong = q n(µ1 + µ2 )(1
| |
2
−µ µ B ) 1 2
µ21 µ22 1 RH = (µ1 + µ2 )2 nq Encontramos que para el efecto Hall es el portador con mayor movilidad que domina. Si µ1 = µ2 el efecto Hall desaparece (pero la conductividad y la magnetoresistencia se mantienen). Para el caso mas real de una distribuci´on de tiempos de relajaci´on debemos generalizar el anterior tratamiento usando la ecuacionde Boltzmann. Esperamos que el efecto Hall sea ligeramente modificado: all´ı aparece en la Ec. (E y =) un factor de correcci´on de la forma < τ 2 > / < τ > 2 . Aun para un solo tipo de portador de carga, una distribuci´on de tiempos de relajaci´on crea magnetoresistencia. Esta magnetoresistencia debe ser calculada usando la ecuaci´on de Boltzmann. (c) Con un solo tipo de portadores tenemos jy = 0 el campo el´ectrico E y que compensa la fuerza de Lorentz es causada por las cargas que se acumulan sobre las caras M y etico es encendido. Cuando hay dos tipos de portadores N una vez que el campo magn´ tenemos: jy = j1y + j2y = 0
−
pero j1y y j2y no son cero separadamente: hay corrientes transversales de tipos de portadores los cuales cancelan. Esta claro que las cargas no pueden acumularse indefinidamente sobre las caras, y tenemos un r´egimen estacionario donde los dos tipos 33
de cargas alcanzan la superficie (por ejemplo, electrones y huecos) se recombinan en pares. Esta recombinaci´on debe dar lugar a efectos medibles, tales como emisi´on de luz en energ´ıa del gap de la banda. 8.
(a) Debemos encontrar la velocidad de la part´ıcula a partir de F = ma = eE
⇒ a = eE/m
Conociendo la aceleraci´on encontramos eE t m
v= La energ´ıa cin´etica ser´a entonces
1 2 (eEt)2 E c = mv = 2 2m (b) La energ´ıa media es calculada a partir de
∞
< E c >= Usando
P (t) = e
E c (t)dt
P
0
t/τ
−
/τ y sustituyendo en la integral anterior, obtenemos (eE )2 < E c >= 2mτ
∞
0
2
(eEτ )2 dt = m
t/τ
−
te
La energ´ıa media total perdida por cm 3 por segundo ser´a igual a: < P c > N < E c > = = V V τ
ne2 τ E 2 = σ0 E 2 m
donde V es el volumen, n = N/V es la densidad eletr´onica y σ = ne2 τ /m es la conductividad el´ectrica del material, en el modelo de Drude. Comparando la expresi´on anterior con la potencia disipada en un hilo de longitud L, secci´on transversal A y resistencia R, sometido a una corriente I tenemos: P = σE 2 V siendo E = RI/L encontramos
(AL)σR 2 I 2 1 2 2 V σR 2 I 2 σA 2 2 = = = P = R I R I = RI 2 2 2 L L L R
34
Cap´ıtulo 3 Modelo de Sommerfeld de los Metales Sommerfeld aplic´o la Mec´anica Cu´antica al modelo de Drude, el gas de electrones cl´asico, libres e independientes para los metales. Hace uso de la estad´ıstica de FermiDirac, al gas ideal cu´antico: gas de fermiones, para explicar varias propiedades del gas son consecuencias de la naturaleza cu´antica del elect´on.
3.1.
Propiedades del estado fundamental ( T del gas de electrones libres
= 0)
Consideremos un gas de electrones (N ) confinados dentro de un volumen V . En la aproximaci´on de electrones independientes (los electrones no interact´uan) el problema de N part´ıculas (que es un problema de muchos cuerpos) se reduce a N problemas de una part´ıcula, todos id´enticos. Por lo tanto, el estado fundamental del sistema, se encuentra: hallando los niveles de energ´ıa de un electr´on dentro de una caja de volumen V . llenando los niveles (de un electr´on) con los N electrones (del gas de electrones libres) de acuerdo con el principio de exclusi´on de Pauli. La ecuaci´on de Schr¨odinger de una part´ıcula independiente del tiempo es Hψ k(r) = εψ k(r)
35
(3.1)
donde el hamiltoniano de un electr´on libre es H =
¯2 h 2m
2
− =−
¯2 h 2m
∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(3.2)
Resolviendo la ecuaci´on de Schr¨odinger ψ k(r) =
√1V e
i k ·r
(3.3)
y ¯ 2 k2 h ε = 2m
(3.4)
Un electr´on es caracterizado por su funci´on de onda (ψ(r)), la orientaci´on de su esp´ın ( o ) y ε( k), que es independiente del esp´ın.
↑ ↓
El confinamiento de los electrones en el volumen V (debido a la atracci´on de los iones), implica aplicar condiciones de frontera al problema. La funci´on de onda, ψ k(r), cumple la condici´on de normalizaci´on
V
d r ψ k(r) 2 = 1
|
(3.5)
|
que representa la probabilidad de encontrar un electr´on dentro de V . a) Significado de k. La nunci´on de onda del electr´on libre, ψ k(r), es un eigenestado del operador p: p =
(3.6)
¯ ¯ 1 i k r h h ψ k(r) = e i i V 1 h ¯ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ = i + j + kˆ ψ k(r)ei(kx x+ky y+kz z) ∂y ∂z V i ∂x 1 h ¯ ˆ i(kx x+ky y+kz z) = (ikxˆi + iky jˆ + ikz k)e V i 1 i k r = ¯ ke = ¯h h kψ k(r) V
pψ k(r) =
¯ ∂ ¯h h = i ∂r i
√ √ √
√
·
·
Un electr´on con funci´on de onda ψ k(r), tiene momentum ¯h k. 36
(3.7)
b) Velocidad ¯ k h = v = k m m
(3.8)
¯ 2 k2 1 h p2 = = mv2 ε= 2m 2m 2
(3.9)
c) Energ´ıa
Sabemos que una onda plana es constante en cualquier plano perpendicular a k (frente de onda), tal que k r = Cte, entonces, la onda plana es peri´odica a lo largo de la l´ınea paralela a k, con longitud de onda λ = 2π/k (longitud de onda de De Broglie).
·
3.2.
Condiciones de frontera
Los electrones est´an confinados en un volumen V (debido a la atracci´o n de los iones). Por lo tanto, aplicando condiciones de frontera a la funci´on de onda y asumiendo que las porpiedades del bulk (regi´o n del s´olido lejos de la superficie), no es afectada por la configuraci´on de la superficie. Podemos elegir: a) Condiciones de frontera fija. En una dimensi´on (1D) viene dado por ψ k(0) = ψ k(L) = 0
(3.10)
la cual da ondas estacionarias (inconveniente). b) Condiciones de frontera peri´odica. En 1D viene dado por ψ k(x) = ψ k(x + L)
(3.11)
la cual da ondas viajeras, conveniente porque, por lo general, estudiamos transporte de carga y energ´ıa. En tres dimensiones (3D) las condiciones de frontera peri´odicas o de Born-von Karman vienen dado por ψ k(x + L,y,z) = ψ k(x,y,z) ψ k(x, y + L, z) = ψ k(x,y,z) ψ k(x,y,z + L) = ψ k(x,y,z)
(3.12) (3.13)
37
Entonces, aplicando las condiciones de Born von Karman a ψ k(r), se tiene: En la direcci´on x: ψ k(x + L,y,z) = ψ k(x + L,y,z)
(3.14)
ei(kx (x+L)+ky y+kz z) = ei(kx x+ky y+kz z) eikx L = 1
(3.15) (3.16)
Remplazando
entonces, kx =
2π nx L
nx
(3.17)
∈ Z
An´ alogamente para la direcciones y y z eiky L = eikz L = 1
(3.18)
entonces ky =
2π ny L
kz =
2π nz L
(3.19)
donde ny y nz son n´ umeros enteros. Vemos que, los vectores de onda son discretos, estos representan los estados permitidos, en el espacio k (espacio rec´ıproco) y estan seperados por una distancia constante, 2 π/L (si el s´olido es un cubo de lado L), en cada una de las direcciones. Ell volumen por k permitido es ∆ k = ∆kx ∆ky ∆kz 2π 2π 2π = L L L
(3.20)
2π = L
3
(2π)3 = V
(3.21)
En el estado fundamental (T = 0) los estados permitidos ocupados son los de m´ as baja energ´ıa y necesitamos conocer cuantos estados permitidos ( k), contenidos en una regi´on del espacio k de volumen Ω, estan ocupados. Esta regi´on es enorme, en la escala 2π/L, y por consiguiente contiene un gran n´umero de puntos. En la pr´actica tratamos con regiones, en el espacio k, que son muy grandes y que contienen puntos del orden de 10 22 . Por lo tanto, podemos asumir que son regiones
38
Figura 3.1: . regulares, por lo general esferas de volumen Ω. Entonces, el n´umero de estados permitidos dentro de Ω es, Ω ΩL3 ΩV = = (2π/L)3 (2π)3 (2π)3
(3.22)
V (2π)3
(3.23)
donde
es la densidad de puntos, es decir, el n´umero de puntos permitidos por unidad de volumen. Asumimos, que los electrones no interact´uan (electrones independientes) y por lo tanto, construimos el estado fundamental del sistema de N electrones, ubicando cada uno de los electrones en los niveles permitidos de un electr´on, de acuerdo con el principio de exclusi´on de Pauli: en cada ¯ /2 ( ). Es k un electr´on con esp´ın ¯h/2 ( ) y/o h decir, por cada k permitido hay dos niveles electr´onicos de un electr´on, uno para cada orientaci´on de esp´ın. Puesto que ε k2 cuando N es enorme, entonces, la regi´on ocupada debe ser indistinguible de una esfera, cuyo volumen es
↑
−
↓
∝
4 3 Ω = πkF 3 39
(3.24)
Figura 3.2: . donde kF (llamado vector de onda de Fermi), es el radio de la esfera (esfera de Fermi), que es la superficie que encierra los niveles ocupados de un electr´on. El n´ umero de estados ocupados es igual a ΩV 4 3 V N = = πk 2 (2π)3 3 F (2π)3
(3.25)
3 N kF = 2 n= 3π V
(3.26)
de donde
El vector de onda de Fermi en t´erminos de la densidad del n´umero de electrones
kF = 3π 2 n
1/3
(3.27)
Tambi´ en podemos expresar en t´erminos de el radio rs (radio de la esfera que ocupa un electr´on): 1 4 V = = πrs3 N n 3
(3.28)
entonces kF = =
3π 2
3 4πrs3
1,92 rs
1/3
=
9π 4
1/3
rs
(3.29) 40
o 1,92/a0 rs /a0 3,63 = A rs /a0
kF =
1
−
(3.30)
La longitud de onda correspondiente a kF es λF =
2π kF
(3.31)
viene a ser la longitud de onda de De Broglie. La velocidad de Fermi ¯ pF h = kF m m 4,20 = 108 cm/s rs /a0
vF =
×
(3.32)
donde vF es del orden del 1 % de la velocidad de la luz. Recordando, de la mec´ anica cl´asica, que en T = 0 la velocidad es nula (v = 0) y a T amb la velocidad es solamente del orden de 107 cm/s. La energ´ıa de Fermi es 2 ¯ 2 kF ¯2 h h = = (kF a0 )2 2 2m 2ma0
εF
(3.33)
Se sabe que el radio de Born es ¯2 h a0 = me2
→
¯2 h = a0 e2 m
(3.34)
Remplazando εF
donde 1Ry = Tambi´en
e2 2a0
e2 = (kF a0 )2 2a0 = (kF a0 )2 Ry
(3.35)
= 13,6eV es la unidad de energ´ıa Rydberg.
εF
2
3,63 = a0 Ry rs /a0 50,1 = eV (rs /a0 )2 41
(3.36)
para elementos de densidades met´alicas la energ´ıa de Fermi varia entre 1,5eV y 15eV .
La energ´ıa del estado fundamental del gas de electrones (N ), contenidos en un volumen V , viene dado por
E =
ε( k) = 2
k
ε( k)
(3.37)
k
2 2 donde 2 es debido a la degeneraci´on de esp´ın ( , ), ya que ε( k) = ¯h2mk es independiente del esp´ın. La suma se realiza sobre todos los niveles de un electr´on dentro de la efera de Fermi. Para calcular la suma, de manera general, consideramos una funci´on suave F ( k), por lo tanto, calculamos
↑↓
F ( k)
(3.38)
k
sumando sobre todos los valores permitidos de k ocupados. Como el volumen por valor permitido de k es (2π)3 ∆k = V
(3.39)
Entonces, escribimos la suma como
F ( k)
k
En el l´ımite cuando ∆ k integral
V ≡ (2π)
3
F ( k)∆ k
(3.40)
k
→ 0 (V → ∞), podemos remplazar la sumatoria por una
F ( k)
k
≡
V (2π)3
k
F ( k)d k
(3.41)
Por lo tanto, la energ´ıa del estado fundamental, viene dado por
ε( k)d k
(3.42)
ε( k)d k
(3.43)
V E = 2 (2π)3
k
la enrg´ıa por unidad de volumen 2 E = (2π)3 V
42
k
Resolvemos la integral en coordenadas esf´ ericas d k = 4πk 2 dk, para el caso de electrones libres 2 h ¯2 E = 4π (2π)3 2m V 5 1 h ¯ 2 kF = 2 π 10m
k
k4 dk (3.44)
Dividiendo entre N 5 5 1 h ¯ 2 kF 1 1 h ¯ 2 kF 1 E/N = = V /N π 2 10m n π 2 10m kF 32
(3.45)
3π
donde V /N = 1/n.
2 3 h ¯ 2 kF E = 5 2m N 3 = εF 5
(3.46)
Se define la temperatura de Fermi, igualando la energ´ıa de Fermi a la energ´ıa t´ermica correspondiente a T F , εF = kB T F
T F = donde kB = 8,617
× 10
5
−
→ T
F
58,2 (rs /a0 )2
=
εF kB
4
× 10 K
(3.47)
(3.48)
eV K 1 . −
Sabemos que la enrg´ıa por electr´on en el gas cl´asico es ε =
3 kB T 2
(3.49)
en T = 0, vemos que la energ´ıa por par´ıcula en el caso cl´asico en nula (ε = 0). Igualando la energ´ıa por electr´o n cl´asica con la energ´ıa por electr´on (en el estado fundamental) en el caso cu´antico: εcl´asico = εcu´antico 3 3 3 kB T = εF = kB T F 2 5 5 43
(3.50)
vemos que la temperatura ser´ıa del orden de 2 (3.51) T F 104 K 5 Dada la energ´ıa del estado fundamental , se puede calcular la presi´on ejercida por el gas de electrones T =
≈
P =
∂E ∂V
−
(3.52)
N
Remplazando 3 E 2 V El m´odulo de compresi´ on B o la compresibilidad K P =
B =
1 = K
(3.53)
∂P − ∂V
(3.54)
Remplazando 5 P 3 5 3 E 10 E 10 E N 10 3 = = = = εF n 3 2 V 9 V 9 N V 9 5 2 = εF n 3
B =
B =
3.3.
×
(3.55)
(3.56)
5
6,13 rs /a0
1010 dy/cm2
(3.57)
Propiedades t´ ermicas del gas de electrones libres: La distribuci´ on de Fermi - Dirac
Cuando T = 0 es necesario examinar tanto el estado fundamental como los estados excitados, teniendo en cuenta los principios b´asicos de la mec´anica estad´ıstica. Si un sistema de N electrones est´a en equilibrio t´ ermico, a un temperatura T , sus propiedades se calculan promediando sobre todos los estados estacionarios (de energ´ıa E ) del sistema de N part´ıculas con un peso proporcional a e E/k B T . La probabilidad de encontrar al sistema de N electrones en un estado con energ´ıa E es
−
βE
e
−
P N (E ) =
α
44
e
N βE α
−
(3.58)
donde β = 1/kB T , E αN es la energ´ıa del α-´esimo estado estacionario del sistema de N electrones y
Q=
N βE α
−
e
(3.59)
α
es la funci´on de partici´on can´onica y esta relacionada con la energ´ıa libre de Helmholtz F = U T S
−
Q=
N βE α
−
e
βF N
−
=e
(3.60)
α
Remplazando, tenemos β(E −F N )
−
P N (E ) = e
(3.61)
Por el principio de exclusi´on de Pauli, para construir un estado de un sistema de N electrones deben llenarse N diferentes niveles de un electr´on. As´ı, cada estado estacionario de N electrones debe ser especificado listando cuales de los N niveles de un electr´ on estan ocupados en ese estado. Se define una cantidad ´util f iN , que representa la probabilidad de encontrar un electr´on en el nivel particular i de un electr´on, cuando el sistema de N electrones esta en equilibrio t´ ermico. Viene a ser, la suma de las probabilidades independientes de encontrar el sistema de N electrones en cualquir uno de estos estados de N electrones en el que el i-´esimo nivel esta ocupado. f iN =
α
P N (E αN )
(3.62)
La suma es sobre todos los estados α de N electrones en el cual hay un electr´on en el i-´esimo nivel de un electr´on. Evaluamos f iN siguiendo los siguientes pasos a) Expresamos f iN como f iN = 1
−
γ
P N (E γ N )
(3.63)
La suma es sobre todos los estados γ de N electrones en el cual no hay un electr´ on en el nivel i de un electr´on. b) Tomamos cualquier estado de un sistema de N + 1 electrones en el cual hay un electr´o n en el i-´esimo nivel de un electr´on (con el i-´esimo nivel ocupado). Apartir de esto podemos construir un estado de un sistema de N electrones en el que el i-´esimo nivel este desocupado, quitando el electr´on del i-´esimo nivel 45
y manteniendo el resto de estados ocupados, del sistema de N + 1 electrones, inalterados. El estado de un sistema de N electrones con el i-´esimo nivel desocupado construido a partir del estado de un sistema de N + 1 electrones con un electr´ on en el nivel i. Evidentemente, las energ´ıas de ambos sistemas son diferentes en εi , la energ´ıa del nivel de un electr´on cuya ocupaci´on es diferente en los dos estados. Entonces f iN
=1
P N (E αN +1
α
Ahora P N (E αN +1
−
−ε) i
−ε)
(3.64)
i
N +1 −εi −F N ) β(Eα
−
= e
N +1
F N +1 ) β(εi +F N = e β(Eα e N +1 β[εi (F N +1 = P N +1 (E α )e = P N +1 (E αN +1 )eβ[εi µ] −
−
−
F N +1)
−
F N )]
−
−
(3.65)
donde µ = F N +1
(3.66)
− F
N
es el potencial qu´ımico. Remplazando f iN = 1 =
− 1−e
P N +1 (E αN +1 )eβ[εi
µ]
−
α β(εi −µ) N +1 f i
(3.67)
Relaci´ on de probabilidades del nivel i de un electr´on ocupado a la temperatura T en un sistema de N electrones y un sistema de N + 1 electrones. c) Cuando N en muy grande (en nuestro caso N f iN +1 = f iN
22
∼ 10
) se puede amsumir que (3.68)
es decir, el adicionar un electr´on extra no altera apreciablemente la probabilidad. Entonces f iN = 1 Despejando f iN f iN =
β(εi −µ) N f i
(3.69)
−e
1 eβ(εi
µ)
−
(3.70)
+1
En adelante se obvia N en f iN (= f i ) y nos da el n´umero promedio de electrones en el nivel i de un electr´on (en el caso del gas de electrones usamos i k).
≡
46
Figura 3.3: .
Figura 3.4: . Puesto que el n´umero total de part´ıculas es N =
f i =
i
i
1 eβ(εi −µ)
+1
(3.71)
vemos que N = N (T, µ)
(3.72)
En muchas aplicaciones T y N (o n = N/V ) son conocidos, tal que, la ecuaci´on anterior se usa para determinar µ µ = µ(n, T ) que es una funci´on de inter´es temodin´amico.
47
(3.73)
3.4.
Aplicaciones de la mec´ anica estad´ıstica de Fermi - Dirac
Calculamos la contribuci´on electr´onica al calor espec´ıfico a volumen constante en metales. El calor espe´ıfico se define como T ∂S cv = V ∂T
∂u = ∂T
V
(3.74)
V
donde u = U/V . La energ´ıa del gas de electrones en equilibrio termodin´amico a una temperatura T es, U = 2
ε( k)f (ε( k))
(3.75)
k
donde 2 es debido a la degeneraci´on de esp´ın, ε( k) energ´ıa de los niveles de un electr´on y f (ε( k)) el n´umero promedio de electrones en el nivel ε( k). La funci´on de Fermi f (ε), f (ε) =
1 eβ(ε
µ)
−
+1
(3.76)
depende de k solo a trav´es ε( k). Remplazando la sumatoria por una integral
V U = 2 (2π)3
ε( k)f (ε( k))d k
(3.77)
y la densidad de energ´ıa por unidad de volumen,
1 U = u= 4π 3 V El n´ umero de part´ıculas N = 2
ε( k)f (ε( k))d k
(3.78)
f (ε( k))
(3.79)
k
Remplazando la sumatoria por una integral V N = 2 (2π)3
f (ε( k))d k
(3.80)
y la densidad de part´ıculas por unidad de volumen o concentraci´on 1 N = n= 4π 3 V 48
f (ε( k))d k
(3.81)
esta expresi´on se usa, por lo general, para determinar el potencial qu´ımico ( µ) y ya que el n´ umero de particulas es constante (no se crea ni aniquila par´ıculas) y la temperatura es un par´ametro que se puede fijar experimentalmente. El la aproximaci´on de electrones independientes los niveles de un electr´on son especificados por el vector de onda k y el esp´ın del electr´on s ( o ). La energ´ıa del electr´on = 0) es independiente del esp´ın (cuando H
↑ ↓
2 2 ¯ h k ε( k)) = 2m
(3.82)
En el estado fundamental (T = 0) los niveles ocupados son aquellos con ε( k) < εF , tal que la funci´on distribuci´on es f k,s = Para T = 0 (T
ε( k) < ε F ε( k) > ε F
1, 0,
(3.83)
→ 0) la funci´on distribuci´on
l´ım f k,s =
T →0
ε( k) < µ ε( k) > µ
1, 0,
Para que sea consistente en el l´ımite T
(3.84)
→0
l´ım µ = εF
(3.85)
T →0
el potencial qu´ımico es igual a la energ´ıa de Fermi. Para metales, por lo general se considera que µ = εF hasta temeraturas del orden T = T amb . En general µ = εF µ = εF
T = 0 T = 0
(3.86) (3.87)
F (ε( k))d k
(3.88)
Evaluamos integrales al forma 1 4π 3
donde F (ε( k)) =
para la energ´ıa ε( k)f (ε( k)), para el n´umero de part´ıculas f (ε( k)), 49
(3.89)
Usando el hecho de que el integrando depende de k solamente a trav´es de ε( k) = 2 2 ¯ k /2m. En coordenadas esf´ericas h 1 4π 3
1 F (ε( k))d k = F (ε( k))4πk 2 dk 3 4π k2 dk = F (ε( k)) π2
(3.90)
Haciendo un cambio de variable ¯ 2 k2 h ε = 2m m 2mε k2 dk = 2 ¯ ¯2 h h
1/2
(3.91)
dε
Entonces 1 4π 3
F (ε( k))d k = =
m ¯2 h
1/2
2mε ¯2 h
F (ε)dε
g(ε)F (ε)dε
(3.92)
donde m g(ε) = 2 ¯ h
2mε ¯2 h
1/2
(3.93)
es denominado denisidad de estados. Puesto que 1 V
k,s
1 F (ε( k)) = 4π 3
F (ε( k))d k=
g(ε)F (ε)dε
(3.94)
n´umero de niveles de un electr´on en el intervalo entre dε y ε + dε
(3.95)
entonces 1 g(ε)dε = V
×
donde g(ε) es la densidad de niveles por unidad de energ´ıa. Tambi´ en podemos escribir
3 n ε g(ε) = 2 εF εF
50
1/2
(3.96)
Densidad de niveles en el nivel de Fermi (ε = εF ) 3 n 2 εF
g(εF ) =
(3.97) (3.98)
o mkF ¯ 2 π2 h
g(kF ) =
(3.99)
Escribiendo densidad de energ´ıa y la concentraci’on en funci´o n de la densidad de estados:
∞
u =
g(ε)εf (ε)dε
(3.100)
g(ε)f (ε)dε
(3.101)
−∞ ∞
n =
−∞
Estas integrales tienen una estructura compleja y pueden ser resueltas realizando un desarrollo en series de Taylos alrededor del potencial qu´ımico y, que llamada Expansi´on de Sommerfeld. Las dos integrales pueden ser resumidas en la siguiente integral
∞
I =
H (ε)f (ε)dε
(3.102)
para la energ´ıa para la concentraci´on
(3.103)
−∞
donde H (ε) =
g(ε)ε, g(ε),
En metales para toda temperatura de inter´es correponde a T Para el gas electrones libres en 3D H (ε)
∼
para la energ´ıa εε1/2 = ε3/2 , 1/2 para la concentraci´on ε ,
T
F
(T F
4
∼ 10 K ). (3.104)
las cuales son funciones suaves, bien comportadas. La figura () muestra en comportamiento de la funci´on distribuci´on con la temperatura f (ε) =
1 e(ε
µ)/kB T
−
+1
(3.105)
y se observa que en T = 0 y T = 0 son diferentes s´olo alrededor de µ. Por lo tanto, los valores de las integrales para T = 0 y T = 0 son diferentes. Como H (ε) no cambia r´apidamente en el intervalo ∆ε = kB T alrededor de µ, para
51
T = 0 hacemos una expansi´on de Taylor de H (ε) alrededor de µ y tomamos los primeros t´erminos.
1 dn H (ε) H (ε) = dεn n=0 n! ∞
Definimos K (ε) =
(ε
ε=µ
− µ)
n
(3.106)
ε
H (ε )dε
(3.107)
−∞
tal que dK (ε) dε
H (ε) =
(3.108)
Remplazando en la integral
∞
I =
∞
H (ε)f (ε)dε =
−∞
−∞
dK (ε) f (ε)dε dε
(3.109)
Integrando por partes u = f (ε) dv =
du =
→ →
∂K dε ∂ε
∂f dε ∂ε
v = K (ε)
(3.110)
remplazando
−
∞
I ya que K (ε
= K (ε)f (ε)
∞
|
−∞
K (ε)
−∞
∂f dε ∂ε
(3.111)
→ −∞) = 0 y f (ε → ∞) = 0, entonces
∞
I
=
K (ε)
−∞
−
∂f dε ∂ε
(3.112)
La funci´on K (ε) es regular e infinitamente diferenciable alrededor de µ. Entonces, expandiendo K (ε) en potencias de ε alrededor de µ 1 dn K (ε) K (ε) = K (µ) + dεn n=1 n! ∞
= K (µ) + (ε
−
dK (ε) µ) dε
(ε ε=µ
− µ)
1 + (ε 2 ε=µ
52
n
−
2 2 d K (ε) µ) dε2
ε=µ
+
···
(3.113)
Figura 3.5: .
Figura 3.6: . Remplazando
− − ∞
I
=
K (µ) + (ε
µ)
−∞
∞
= K (µ)
−∞
1 d2 K (ε) + 2 dε2
dK (ε) dε
− − − − ··· 1 + (ε 2 ε=µ
∂f dK (ε) dε + ∂ε dε ∞
ε=µ
−∞
(ε
2
− µ)
µ)2
d K (ε) dε2
∞
(ε
ε=µ
−∞
∂f dε + ∂ε
Resolvemos cada una de las integrales:
53
2
µ)
+
ε=µ
∂f dε ∂ε
··· −
∂f dε ∂ε
(3.114)
La primera integral
− ∂f dε = ∂ε
∞
−∞
∞
δ(ε
−∞
− µ)dε = 1
(3.115)
La segunda integral ∂f ∂ = ∂ε ∂ε
1
eβ(ε µ) + 1 βe β(ε µ) = 2 (eβ(ε µ) + 1) 1 = β 1 e 2 β(ε µ) + e
−
−
−
−
−
−
vemos que ∂f/∂ε es una funci´on par de (ε
−
1 β(ε−µ) 2
− µ).
(3.116)
2
Por lo tanto, los t´erminos que contienen integrandos con potencias impares se anulan, entonces 1 d2 K (ε) ∂f 2 = K (µ) + (ε (3.117) µ) dε + 2 dε2 ε=µ ∂ε
−
∞
I
−∞
Veamos ahora el coeficiente de d2 K (ε)/dε2 β (ε µ)
−
∞
(ε
−∞
− µ)
−
···
| , haciendo un cambio de variables x = µ
−
1 ∂f ex 2 dε = x x dx ∂ε β 2 (e + 1)2 2 ex 2 = x x dx β 2 0 (e + 1)2 2 π2 = β 2 6
2
∞
−∞ ∞
Luego, remplazando
∞
I
=
−∞
2 π2 2 d K (ε) H (ε)f (ε)dε = K (µ) + (kB T ) 6 dε2
Usando la definicion de K (ε)
∞
I
=
H (ε)f (ε)dε =
−∞
=
µ
−∞
µ
−∞
π2 d H (ε )dε + (kB T )2 6 dε
2
H (ε )dε +
π dH (ε) (kB T )2 6 dε
ε=µ
···
Entonces, aplicando la expansi´on de Sommerfeld, para T 54
(3.118)
+ ε=µ
···
dK (ε) dε
ε=µ
(3.119)
··· (3.120)
T , tenemos para: F
La energ´ıa
∞
u =
g(ε)εf (ε)dε
−∞
µ
=
0
µ
=
0
π2 d (εg(ε)) g(ε)εdε + (kB T )2 6 dε
+ 0(T 4 ) ε=µ
2
π (kB T )2 [µg (µ) + g(µ)] + 0(T 4 ) 6
g(ε)εdε +
(3.121)
La concentraci´on
∞
n =
g(ε)f (ε)dε
−∞
= =
µ
0
µ
0
π2 d (g(ε)) g(ε)dε + (kB T )2 6 dε
+ 0(T 4 ) ε=µ
π2 (kB T )2 g (µ) + 0(T 4 ) 6
g(ε)dε +
(3.122)
Para resolver la integral, para u y n, tenemos que llevar en cuenta la correcci´on alrededor del potencial qu´ımico:
µ
0
εF
H (ε)dε =
0
H (ε)dε + (µ
F )H (ε)
(3.123)
−ε
Remplazando, tenemos
π2 u = εg(ε)dε + (µ εF )εF g(εF ) + (kB T )2 [εF g (εF ) + g(εF )] 6 0 εF π2 = εg(ε)dε + εF (µ εF )g(εF ) + (kB T )2 g (εF ) 6 0 2 π + (kB T )2 g(εF ) + 0(T 4 ) (3.124) 6 εF
−
−
y n = =
εF
0
εF
0
2
− ε )ε g(ε ) + π6 (k T ) [ε g (ε ) + g(ε π εg(ε)dε + (µ − ε )g(ε ) + (k T ) g (ε ) + 0(T ) 6 g(ε)dε + (µ
F
F
F
2
F
F
2
B
B
2
F
F
F )]
F
4
(3.125)
Los t´erminos independientes de T son los valores de u y n para el estado fundamental (T = 0). 55
Puesto que calculamos el calor espc´ıfico, cv , para n constante (independiente de T ), entonces
εF
n =
0
(3.126)
g(ε)dε
Remplazando 0 = (µ
−
π2 εF )g(εF ) + (kB T )2 g (εF ) + 0(T 4 ) 6
(3.127)
despejando µ, 2
−
= εF 1 Para electrones libres en 3D g
g (εF ) g(εF ) π2 g (εF ) (kB T )2 6 εF g(εF )
− π6 (k
µ = εF
1/2
∼ε
2 B T )
, entonces 2
µ = εF
− π6 (k
B T )
2
1 2εF
−
= εF 1 Remplazando µ en u u =
εF
0
(3.128)
1 3
εg(ε)dε +
πkB T 2εF
2
(3.129)
π2 (kB T )2 g(εF ) 6
π2 = u0 + (kB T )2 g(εF ) 6
(3.130)
donde u0 es la densidad de energ´ıa del estado fundamental (independiente de T ). El calor espec´ıfico se define cv =
∂u ∂T
(3.131)
n
entonces cv
π2 2 = k T g(εF ) 3 B
(3.132)
Para el gas de electrones independientes en 3D, g(εF ) = 3n/2εF , entonces cv
π2 = 2
kB T nkB εF
56
(3.133)
Una consecuencia importante de la estad´ıstica de Femi - Dirac es que cv T la cual representa una buena prueba de la teor´ıa del gas de electrones de un metal. A altas temperaturas la contribuci´on de los iones es dominante, para T < T amb cv T 3 y a muy bajas temperaturas la contribuci´on electr´onica se hace importante cv T :
∼
∼ ∼
3.4.1.
Capacidad t´ ermica experimental de los metales
A temperaturas bajas (T T F ), la capacidad t´ermica de los metales puede considerarse como la suma de las contribuciones de las vibraciones de la red (fonones) y de los electrones:
cv = γT + AT 3
(3.134)
donde γ y A son constantes caracter´ısticas del material. El t´ermino electr´onico es lineal en T y es el dominante a temperaturas suficientemente bajas. Es conveniente presentar los valores experimentales de C como una representaci´on gr´afica de C/T en funci´ on de T 2 : cv = γ + AT 2 T
(3.135)
ya que entonces los puntos deber´an caer sobre una l´ınea recta con pendiente A y ordenada en el origen γ . Los valores observados de los coeficientes γ tienen el orden de magnitud esperado,
Figura 3.7: . pero frecuentemente no concuerdan mucho con el valor calculado a parttir del modelo 57
del gas de electrones libres de masa m. Como π2 2 γ = kB g(εF ) 3
(3.136)
con g(εF ) =
3 n 3 2mn = 2 2 εF 2h ¯ 2 kF
(3.137)
Es una pr´actica com´ un expresar γ exp y γ (para el gas de electrones libre) en funci´on de una masa efetiva (t´ermica), m , y la masa del electr´on, m, respectivamente, entonces: ∗
γ exp γ
m m
∗
≡
58
(3.138)
3.5.
Ejerc´ıcios
1. Energ´ıa T´ermica - Cuando calentamos un metal, inicialmente a T = 0, solamente
los electrons dentro de una regi´on kB T pr´oxima al nivel de Fermi pueden ser excitados t´ermicamente. (a) Evalue la energ´ıa t´ermica total de excitaci´on y demuestre que esta es proporcional a T 2 . (b) Evalue el calor espec´ıfico. 2. Potencial Qu´ımico - La funci´ on de distribuci´on f (ε) para un gas de fermiones
es dada por:
1
f (ε) =
e(ε µ(T ))/kB T + 1 donde µ es llamado potencial qu´ımico. A T = 0 se tiene µ = εF . Para valores bajos de T se puede demostrar que µ(T ) difere muy poco de εF . (a) Demuestre, usando la expansi´on
+∞
H (ε)f (ε)dε =
−∞
µ
−
H (ε)dε +
−∞
que la densidad electr´onica, n =
n = n0 + (µ
+∞
−∞
−
7π 4 π2 (kB T )2 H (µ) + (kB T )4 H (µ) + . . . 6 360
g(ε)f (ε)dε, es igual a:
π2 εF )g(εF ) + (kB T )2 g (εF ) 6
donde n0 = εF g(ε)dε. (b) Suponga n constante e igual a n0 . Calcule el potencial qu´ımico. (Sugerencia: Descomponga la integral µ g(ε)dε = εF g(ε)dε + εµF g(ε)dε y considere que g(ε) es una funci´on suave entorno de ε = εF .) (c) Demuestre, usando los resultados de los items (a) y (b), que la energ´ıa interna, u= εg(ε)f (ε)dε, es igual a: −∞
−∞
−∞
∞
−∞
donde u0 =
π2 u = u0 + (kB T )2 g(E F ) 6
εF 0
εg(ε)dε.
3. Corriente de Probabilidad - La corriente de probabilidad es definida en Mec´anica
Cu´ antica por: J(r, t) =
¯ h [ψ 2mi
∗
59
∗
ψ − ψ ψ ]
Demuestre que si ψ fuera real J = 0. Calcule J asociada a una part´ıcula libre. Compare con la expresi´on cl´asica para la corriente el´ectrica debida a un ´unico electr´on: J = ev, donde v es la velocidad.
−
4. Condiciones de Born-von Karman - Demostrar las relaciones
kx =
2πn x 2πn y 2πn z , ky = , kz = L L L
(3.139)
donde nx , ny , nz son enteros. Aplicando las condiciones de frontera de Born-von Karman ψ(x,y,z + L) = ψ(x,y,z) ψ(x, y + L, z) = ψ(x,y,z)
(3.140)
ψ(x + L,y,z) = ψ(x,y,z) a la funci´on de onda de la part´ıcula libre ψ(x,y,z) =
√1V e
ikx x iky y ikz z
e
e
=
√1V e
ik·r
(3.141)
5. Energ´ıa de Fermi de Metales Simples - Calcule n, kF , vF , T F y εF para los siguientes
metales (Z es el n´umero de electrones de valencia): Be (Z=2) Mg (Z=2) Nb (Z=1) Fe (Z=2) Pb (Z=4) Zn (Z=2) 6. Densidad de Estados en 2D - ¿C´ ual es la relaci´on entre n e kF en dos dimensiones?
Demuestre que en este caso g(ε) es independiente de ε. 7. Electrones en una Caja - (a) Calcule la magnitud del vector de onda de Fermi (en
˚ A 1 ) para 4, 2 1021 electrones en una caja con un volumen de 1 cm3 . (b) Calcule la energ´ıa de Fermi en eV . (c) Si los electrones son sustituidos por neutrones, cuales son los valores de kF e εF ? −
×
8. Funci´ on de Distribuci´ on vs. Funci´ on Delta - (a) Demuestre que
df (ε) dε
∝ f (ε)[1 − f (ε)] 60
donde f (ε) es la funci´on distribuci´on de Fermi-Dirac f (ε) =
1 e(ε
µ(T ))/kB T
−
+1
(3.142)
(b) Graficar f (ε)[1 f (ε)] versus ε, y demuestre que cuando T es muy peque˜ no esta funci´ on puede ser aproximada por una funci´on delta.
−
61
Soluciones de los Ejercicios 1.
(a) El n´umero de electrones en un intervalo kB T pr´oximo al nivel de Fermi (N f ) es dado por N f 2 g(εF )kB T
≈ ×
donde el factor 2 es debido al esp´ın. Por otro lado, la energ´ıa de cada electr´on en relaci´on a εF es aproximadamente igual a kB T . Entonces la energ´ıa total en este intervalo, por unidad volumen (V ) es U
≈ N V k f
B T =
2 2g(εF )kB T 2 V
2
∝ T
(b) El calor espec´ıfico ser´a ∂U 4g(εF )kB2 = cv = T ∂T V
∝ T
2.
(a) A partir da expansi´on dada tenemos n=
µ
7π 4 π2 2 (kB T )4 g (µ) + . . . g(ε)dε + (kB T ) g (µ) + 6 360
−∞
Separando la integral µ g(ε)dε = no proporcional a T 4 tenemos −∞
n=
εF
εF
−∞
g(ε)dε+
µ εF
g(ε)dε y despreciando el t´ermi-
π2 g(ε)dε + g(ε)dε + (kB T )2 g (µ) 6 εF µ
−∞
Suponiendo que g(ε) sea una funci´on suave en torno de ε = εF el segundo t´ermino del lado derecho es g(εF )(µ εF ). Considerando µ εF en el c´alculo de la derivada de g(ε) encontramos:
−
≈
n = n0 + g(εF )(µ
−
π2 εF ) + (kB T )2 g (εF ) 6
donde n0 = εF g(ε)dε. (b) suponiendo n = n0 tenemos que −∞
π2 g (εF ) (kB T )2 6 g(εF )
µ = E F
−
62
(c) A partir de la expansi´on dada en el item (a) tenemos u=
µ
0
π2 εg(ε)dε + (kB T )2 (µg (µ) + g(µ)) 6
Considerando g(ε) una funci´on suave en torno de εF , podemos separar la integral anterior en dos t´ erminos, de 0 a εF y de εF a µ. Considerando g(µ) g(εF ) e g (µ) g (εF ), podemos escribir
≈
≈
u=
εF
0
εg(ε)dε + (µ
−
π2 εF )εF ε(εF ) + (kB T )2 (εF g (εF ) + g(εF )) 6
Reagrupando los t´erminos obtenemos
u = u0 + εF (µ
−
π2 π2 2 εF )g(εF ) + (kB T ) g (εF ) + (kB T )2 g(εF ) 6 6
En el item (b) obtenemos que, para n = n0 , (µ
−
π2 εF )g(εF ) + (kB T )2 g (εF ) = 0 6
y entonces la energ´ıa interna ser´a π2 u = u0 + (kB T )2 g(εF ) 6 3.
(a) Si ψ fuera real tenemos que ψ = ψ y entonces ∗
J = (¯ h/2mi)[ψ ψ
− ψψ] = 0
(b) para la part´ıcula libre tenemos ψ(r) = eik r y ψ (r) = e ψ obtenemos ψ = ikeik r ·
∗
∗
∗
calculando
ψ e
·
ψ
ik·r
−
=
ik·r
−
−ike
sustituyendo estos t´erminos en la expresi´on de J obtenemos J(r, t) = (¯ h/m)k(r, t) =
p
m
donde multiplicando el resultado anterior por la carga del electr´on, e, obtenemos el vector densidad de corriente el´ectrica. 63
4.
Condiciones de frontera de Born-von Karman ψ(x,y,z + L) = ψ(x,y,z) ψ(x, y + L, z) = ψ(x,y,z) ψ(x + L,y,z) = ψ(x,y,z) Funci´on de onda de la part´ıcula libre: ψ(x,y,z) =
√1V e
ik·r
Aplicando la primera condici´on de frontera tenemos ψ(x,y,z + L) = ψ(x,y,z) eikx x eiky y eikz (z+L) = eikx x eiky y eikz z eikz (z+L) = eikz z ekz L = 1 entonces coskz L + isenkz L = 1 Esta condici´on es satisfecha si kz =
2π nz L
An´logamente para las otras componentes, encontramos ky =
2π ny L
kx =
2π nx L
5.
kF = (3π 2 n)1/3 4 1/3
−
vF = ¯hkF /m
≈ 3, 6 × 10 n ε = (¯hk ) /2m ≈ 3, 6 × 10 n T = ε /k ≈ 4, 2 × 10 n F
F
2
19 2/3
−
15 2/3
−
F
F
B
64
donde kF , vF , εF e T F tienen unidades de m 1 , m/s, eV y K, respectivamente. n es dado por n = 6, 022 1024 Zρm /A, donde Z es el n´ umero de electrones de valencia, ρm es la densidad del metal y A es el n´umero de masa. Los valores de n para el Be, Mg, Fe, Pb e Zn son, respectivamente: 24,7, 8,61, 5,56, 17,0, 13,2 e 13,2 veces 10 28 eletrones/m3 . −
×
6. 2 (a) En dos dimensiones el c´ırculo de Fermi tiene un ´area igual a πk F . El n´ umero total de electrones ser´a igual a dos veces el ´area del c´ırculo dividida por la ´area elemental, (2π/L)2 = 4π 2 /A. 2 2 )A/(4π 2 ) = kF N = 2(πkF A/(2π)
√
siendo n = N/A tenemos kF = 2πn (b) En dos dimensiones tenemos
1 d2 k f (ε(k)) = A A
usando la relaci´on k =
k
0
2π
0
2π kdkdθf (ε) = A
f (ε)kdk
2mε/¯ h2 obtenemos 2π A
f (ε)kdk =
2mπ f (ε)dε A¯ h2
donde el t´ermino entre par´entesis es la funci´on densidad de estados g(ε) =
2mπ A¯ h2
y por lo tanto independiente de ε. 7.
(a) La magnitude del vector de onda de Fermi es dada por kF =
3π 2 N V
1/3
Sustituyendo los valores de N = 4, 2 1021 electrones y V = 1 cm3 = 10 encontramos A 1 kF 5 109 m 1 = 0, 50 ˚
×
≈ ×
6
−
−
(b) 65
−
m3
