Resumen Cengel Capitulos 2,3 y 5

FORMULARIO DE MANEJO DE SOLIDOS Y LIQUIDOS

¿QUÉ ES UN FLUIDO? Una sustancia en la fase líquida o en la gaseosa se conoce como fluido. La diferencia entre un sólido y un fluido se hace con base en la capacidad de la sustancia para oponer resistencia a un esfuerzo cortante (o tangencial) aplicado que tiende a cambiar su forma. Un sólido puede oponer resistencia a un esfuerzo cortante aplicado por medio de la deformación, en tanto que un fluido se deforma de manera continua bajo la influencia del esfuerzo cortante, sin importar lo pequeño que sea. La densidad se define como masa por unidad de volumen, es decir:

El recíproco de la densidad es el volumen específico v, el cual se define como volumen por unidad de masa; es decir:

Gravedad específica o densidad relativa, se define como la razón de la densidad de una sustancia a la densidad de alguna sustancia estándar, a una temperatura especificada (por lo general, agua a 4°C, para la cual ρH2O = 1000 kg/m3). Esto es,

Nótese que la gravedad específica de una sustancia es una cantidad adimensional. Sin embargo, en unidades SI, el valor numérico de la gravedad específica de una sustancia es 3 exactamente igual a su densidad en g/cm . El peso de una unidad de volumen de una sustancia se llama peso específico y se expresa como:

R es la constante del gas. Esta constante R es diferente para cada gas y se determina a partir de R = R u/M, en donde R u es la constante universal de los gases y equivale a 8.314 kJ/kmol*K. Las diversas escalas de temperatura se interrelacionan por:

Para un gas ideal de volumen V, masa m, y número de moles N=m/M, la ecuación de estado del gas ideal también se puede escribir como PV = mRT o Pv = NR uT. Para una masa fija m, si se escribe dos veces la relación de los gases ideales y se simplifican, las propiedades de un gas ideal en dos estados diferentes se interrelacionan por P 1V1/T1=P2V2/T2. Un gas ideal es una sustancia hipotética que obedece la relación Pv=RT.

PRESIÓN DE VAPOR Y CAVITACIÓN A una temperatura dada, la presión a la cual una sustancia pura cambia de fase se llama presión de saturación P sat. La presión de vapor P v de una sustancia pura se define como la presión ejercida por su vapor en equilibrio de fases con su líquido a una temperatura dada. P v es una propiedad de la sustancia pura y resulta ser idéntica a la presión de saturación Psat del líquido (P v = Psat).

ENERGÍA Y CALORES ESPECÍFICOS En el análisis de los sistemas en los que se tiene flujo de fluidos, con frecuencia se encuentra la combinación de las propiedades u y Pv. Por conveniencia, esta combinación se conoce como entalpía h; es decir,

en donde g es la aceleración gravitacional. La ecuación de estado más sencilla y conocida para sustancias en la fase gaseosa es la ecuación de estado del gas ideal, expresada como:

en donde P/ ρ es la energía de flujo, también llamada trabajo de flujo, la cual es la energía por unidad de masa necesaria para mover el fluido y mantener el flujo.

IVAN RODRIGO ROJAS REYES - 2030987


Los cambios diferenciales y finitos en la energía interna y la entalpía de un gas ideal se pueden expresar en términos de los calores específicos como:

donde cv y c p son los calores específicos a volumen constante y a presión constante del gas ideal. Si se utilizan los valores de los calores específicos en la temperatura promedio, los cambios finitos en la energía interna y la entalpía se pueden expresar de manera aproximada como:

Para las sustancias incompresibles, los calores específicos a volumen constante y a presión constante son idénticos. Por lo tanto, c p ≈ cv ≈ c para los líquidos y el cambio en la energía interna de éstos se puede expresar como ∆ u = cprom ∆T. Nótese que ρ = constante para las sustancias incompresibles, la diferenciación de la entalpía h = u +P/ρ da dh = du + dP/ ρ. Si se integra, el cambio en la entalpía queda:

Por lo tanto, ∆h = ∆u ≈ cprom ∆T para los procesos a presión constante y ∆h = ∆P/ρ para los procesos a temperatura constante de los líquidos.

Asimismo, el coeficiente de compresibilidad representa el cambio en la presión correspondiente a un cambio relativo en el volumen o la densidad del fluido, mientras la temperatura permanezca constante. Entonces se llega a la conclusión de que el coeficiente de compresibilidad de una sustancia verdaderamente incompresible (v = constante) es infinito. Un valor grande de k indica que se necesita un cambio también grande en la presión para causar un pequeño cambio relativo en el volumen y, de este modo, un fluido con un k grande en esencia es incompresible. El coeficiente de compresibilidad de un gas ideal es igual a su presión absoluta, y el coeficiente de compresibilidad del gas se incrementa cuando aumenta la presión. Si se hace la sustitución k = P en la definición del coeficiente de compresibilidad y se reordena se obtiene:

El inverso del coeficiente de compresibilidad se llama compresibilidad isotérmica α y se expresa como:

La compresibilidad isotérmica de un fluido representa el cambio relativo en el volumen o la densidad correspondiente a un cambio unitario en la presión.

COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD COEFICIENTE DE EXPANSIÓN VOLUMÉTRICA Es una observación común que un fluido se contrae cuando se aplica más presión sobre él, y se expande cuando se reduce la presión que actúa sobre él. Es decir, los fluidos actúan como sólidos elásticos respecto a la presión. Es apropiado definir un coeficiente de compresibilidad k para los fluidos como:

Para cuantificar estos efectos se necesita una propiedad que represente la variación de la densidad de un fluido con la temperatura a presión constante. La propiedad que suministra esa información es el coeficiente de expansión volumétrica β, definido como:

También se puede expresar de manera aproximada en términos de cambios finitos como:

El cambio relativo en el volumen (o la densidad) debido a cambios en la presión y temperatura se puede expresar de manera aproximada como:



VISCOSIDAD Es una propiedad que representa la resistencia interna de un fluido al movimiento o la “fluidez” . La fuerza que un fluido fluyente ejerce sobre un cuerpo en la dirección del flujo se llama fuerza de arrastre, y la magnitud de ésta depende, en parte, de la viscosidad.

superior de la figura 2, a una velocidad constante de V al mismo tiempo que la placa inferior permanece estacionaria, es:

En el flujo tangencial unidimensional de fluidos newtonianos, el esfuerzo cortante se puede expresar mediante la relación lineal:

donde la constante de proporcionalidad m se llama coeficiente de viscosidad o viscosidad dinámica (o absoluta) del fluido, cuya unidad es kg/m·s, o de modo equivalente, 2 N·s/m (o Pa · s, en donde Pa es la unidad de presión pascal). Una unidad común de la viscosidad es el poise, el cual equivale a 0.1 Pa · s (o el centipoise, el cual es un centésimo de poise).

Figura 2. Comportamiento de un fluido en flujo laminar entre

dos placas paralelas, cuando la placa superior se mueve con una velocidad constante.

Figura 3. Variación del esfuerzo cortante con la razón de

deformación para fluidos newtonianos y no-newtonianos (la pendiente de una de las curvas en un punto es la viscosidad Figura 1. La razón de deformación (gradiente de velocidad)

aparente del fluido en ese punto).

de un fluido newtoniano es proporcional al esfuerzo cortante, y la constante de proporcionalidad es la viscosidad.

La fuerza cortante que actúa sobre una capa de fluido newtoniano (o, por la tercera ley de Newton, la fuerza que actúa sobre la placa) es:

donde, una vez más, A es el área de contacto entre la placa y el fluido. Entonces la fuerza F requerida para mover la placa

Los fluidos para los cuales la razón de deformación es proporcional al esfuerzo cortante se llaman fluidos newtonianos. Los fluidos cuya viscosidad aparente se incrementa con la razón de deformación (como las soluciones con almidón o arena suspendidos) se conocen como fluidos dilatantes o espesantes al corte, y los que exhiben el comportamiento opuesto (el fluido que se vuelve menos viscoso a medida que se le sujeta a un corte más intenso, como algunas pinturas, las soluciones de polímero y los fluidos con partículas suspendidas) se conocen como fluidos seudoplásticos o adelgazantes al corte. Algunos



materiales, como la pasta de dientes, pueden resistir un esfuerzo cortante finito y se comportan como un sólido, pero se deforman de manera continua cuando ese esfuerzo sobrepasa el del punto de fluencia, y en consecuencia, se comportan como un fluido. Esos materiales se conocen como plásticos de Bingham. La viscosidad de los gases se expresa como función de la temperatura por la correlación de Sutherland como:

tensión superficial, se llama efecto de capilaridad. El ascenso o descenso por capilaridad se expresa por:

donde φ es el ángulo de contacto. El ascenso por capilaridad es inversamente proporcional al radio del tubo y es despreciable para tubos cuyo diámetro sea mayor a 1 cm.

PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS donde T es la temperatura absoluta y a y b son constantes que se determinan en forma experimental. Para el aire, los 6 1/2 valores de estas constantes son a = 1.458*10 kg/(m s K ) y b = 110.4 K a las condiciones atmosféricas. La viscosidad de los gases es independiente de la presión, a presiones bajas hasta moderadas (desde un pequeño porcentaje de 1 atm hasta varias atm). Pero la viscosidad aumenta a presiones elevadas debido al incremento en la densidad. Para los líquidos, la viscosidad se expresa en forma aproximada como:

donde, una vez más, T es la temperatura absoluta y a, b, y c con constantes que se determinan de manera experimental. 5 2 Para el agua, se emplean los valores a = 2.414*10 N s/m , b = 247.8 K, y c = 140 K que conduce a un error de menos de 2.5 por ciento en la viscosidad, en el rango de temperatura de 0°C a 370°C.

El efecto de tracción sobre las moléculas del líquido en una interface, causado por las fuerzas de atracción de las moléculas por unidad de longitud se llama tensión superficial σs. El exceso de presión ∆P dentro de una gota o burbuja esféricas se expresa por:

La presión se define como una fuerza normal ejercida por un fluido por unidad de área. Se habla de presión sólo cuando se trata de un gas o un líquido. La contraparte de la presión en los sólidos es el esfuerzo normal. Puesto que la presión se define como fuerza por unidad de área, tiene la unidad de 2 newtons por metro cuadrado (N/m ), la cual se llama pascal (Pa).

La presión real que se encuentra en una posición dada se llama presión absoluta, y se mide en relación con el vacío absoluto (es decir, presión cero absoluta). La mayoría de los instrumentos para medir la presión se calibran para que den una lectura de cero en la atmósfera, de modo que indican la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica local. Esta diferencia se llama presión manométrica. Las presiones por abajo de la atmosférica se conocen como presiones de vacío y se miden con instrumentos de vacío que indican la diferencia entre la presión atmosférica y la absoluta. Las presiones absoluta, manométrica y de vacío son todas cantidades positivas y están interrelacionadas por:

donde Pi y Po son las presiones dentro y fuera de la gota o burbuja. El ascenso o descenso de un líquido en un tubo de diámetro pequeño insertado en un líquido, debido a la IVAN RODRIGO ROJAS REYES - 2030987


PRINCIPIO DE LOS VASOS COMUNICANTES

Figura 4. Presiones absoluta, manométrica y de vacío.

Si se toma el punto 1 en la superficie libre de un líquido abierto a la atmósfera (Fig. 5), donde la presión es la atmosférica Patm, entonces la presión a una profundidad h a partir de la superficie libre queda:

Figura 5. La presión en un líquido en reposo aumenta en

forma lineal con la distancia a la superficie libre.

La presión es la misma en todos los puntos sobre un plano horizontal en un fluido dado, sin importar la configuración geométrica, siempre que los puntos estén interconectados por el mismo fluido.



LEY DE PASCAL La presión aplicada a un fluido confinado aumenta la presión en toda la extensión de éste en la misma cantidad. La fuerza aplicada por un fluido es proporcional al área superficial.

Figura 8. Medición de la caída de presión a lo largo de la

sección horizontal de flujo o en un dispositivo de flujo, con un manómetro diferencial.

Figura 6. Levantamiento de un peso grande mediante una

fuerza pequeña, por la aplicación de la ley de Pascal.

Se puede obtener una relación para la diferencia de presión P1 P2 si se parte del punto 1 con P 1, y se desplaza a lo largo del tubo por medio de la suma o sustracción de los términos ρgh hasta alcanzar el punto 2 e iguala el resultado a P 2:

La razón A2 /A1 se llama ventaja mecánica ideal del elevador hidráulico. Cuando el fluido que fluye en el tubo es un gas, entonces ρ1≈ρ2 y la relación de la ecuación se simplifica a P 1P2=ρ2gh.

EL BARÓMETRO Y LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA La presión atmosférica se mide con un instrumento llamado barómetro; por tanto, con frecuencia se hace referencia de la presión atmosférica como presión barométrica.

Figura 7. Manómetro básico.

donde r es la densidad del fluido en el tubo. Nótese que el área de la sección transversal del tubo no tiene efecto sobre la altura diferencial h y, por tanto, sobre la presión que ejerce el fluido. Sin embargo, el diámetro del tubo debe ser suficientemente grande (más de unos cuantos milímetros) para garantizar que el efecto de la tensión superficial y, por tanto, el ascenso por capilaridad es despreciable.

Figura 9. Barómetro básico.



entre dos puntos cualesquiera sobre la misma línea de corriente como:

Presiones estática, dinámica y de estancamiento

Figura 10. La longitud o el área de la sección transversal del

tubo no tienen efecto sobre la altura de la columna del fluido en un barómetro, siempre que el diámetro de ese tubo sea

La ecuación de Bernoulli determina que la suma de la energía de flujo, la cinética y la potencial de una partícula de fluido a lo largo de una línea de corriente es constante. Por lo tanto, la energía cinética y la potencial del fluido pueden convertirse a energía de flujo (y viceversa) en el curso del flujo, lo cual hace que cambie la presión. Este fenómeno puede hacerse más visible cuando se multiplica la ecuación de Bernoulli por la densidad ρ:

suficientemente grande como para evitar los efectos de la tensión superficial (de capilaridad).

Una unidad de presión que se usa con frecuencia es la atmósfera estándar, la cual se define como la presión producida por una columna de mercurio de 760 mm de altura a 0°C ( ρHg = 13 595 kg/m3) bajo la aceleración 2 gravitacional estándar (g = 9.807 m/s ). Si se usara agua en lugar de mercurio para medir la presión atmosférica estándar, se necesitaría una columna de agua de alrededor de 10.3 m.

Cada término de esta ecuación tiene unidades de presión y, por tanto, cada uno representa alguna clase de presión: 



P es la presión estática (no incorpora efectos dinámicos); representa la presión termodinámica real del fluido. Ésta es la misma que la presión usada en la termodinámica y las tablas de propiedades. 2

ρV /2 es la presión dinámica, representa el aumento en la

presión cuando el fluido en movimiento se detiene de manera isentrópica. LA ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación de Bernoulli es una relación aproximada entre la presión, la velocidad y la elevación, y es válida en regiones de flujo estacionario e incompresible en donde las fuerzas netas de fricción son despreciables.

Ésta es la famosa ecuación de Bernoulli, la cual es de uso común en mecánica de fluidos para el flujo estacionario e incompresible, a lo largo de una línea de corriente, en las regiones no viscosas del flujo. El valor de la constante puede evaluarse en cualquier punto de la línea de corriente en donde se conozcan la presión, densidad, velocidad y elevación. La ecuación de Bernoulli también puede escribirse



ρgz es la presión hidrostática, la cual no es presión en un

sentido real, porque su valor depende del nivel de referencia seleccionado; explica los efectos del aumento, es decir, del peso del fluido sobre la presión. La suma de la presión estática, la dinámica y la hidrostática se llama presión total. Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli expresa que la presión total a lo largo de una línea de corriente es constante. La suma de la presión estática y la dinámica se llama presión de estancamiento y se expresa como:



de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio":

Donde:

Figura 11. Presiones estática, dinámica y de estancamiento.

La presión de estancamiento representa la presión en un punto en donde el fluido se detiene totalmente de manera isentrópica. En la figura 11 se muestran la presión estática, la dinámica y de estancamiento. Cuando la presión estática y de estancamiento se miden en un lugar especificado, puede calcularse la velocidad del fluido en ese lugar a partir de:



Vt es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio



v0 es la velocidad de aproximación o inicial.





h es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio. g es la aceleración de la gravedad

EFECTO VENTURI

La ecuación anterior es útil en la medición de la velocidad del flujo cuando se usa una combinación de una toma de presión estática y un tubo de Pitot, como se ilustra en la figura 11.

Figura 12. Cuando el flujo es irrotacional, la ecuación de

Bernoulli se vuelve aplicable entre dos puntos cualesquiera a lo largo del flujo (no sólo sobre la misma línea de corriente).

TEOREMA DE TORRICELLI El teorema de Torricelli o principio de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema


Resumen Cengel Capitulos 2,3 y 5

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