Résumé N’oubliez jamais que le 1er professeur de la personne c’est lui même. Surtout Bien Dormir, Et Bien Manger
Résumé sur L’Echantillonnage Mohamed BARRADI
[email protected]. 19 avril 2014
Table des matières
1 Echantillonnage 1
2
3
4
2
Population - Echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1
Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Type des échantillons : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Les distributions d’échantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1 2.1
Impo Im port rtan ance ce des des dist distru rubu buti tion onss d’éc d’écha han ntill tillon onna nage ge.. . . . .
4
2.2
Distri Distribut bution ionss d’échan d’échantil tillon lonnag nagee de la Mo Moye yenne nne X X : . . .
4
2.3
Distri Distribut bution ion d’échan d’échantil tillon lonnag nagee de la Varianc ariancee S 2 : . . .
6
2.4
Distri Distribut bution ionss d’échan d’échantil tillon lonnag nagee de la Proport Proportion ion F F : . .
7
Champ d’application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.1
Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2
Applicatio Application n sur la distributi distribution on d’échant d’échantillon illonnage nage d’une moyenne (Exercice 1 TD2) . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
1.
Echa Echan ntillo tillonn nnag age e
Dans cette partie, nous allons faire connaissance aux caractéristiques d’une population de taille N taille N (ou (ou inconnue), et comment on peut extraire un echantillon c-à-dire les types des échantillons possibles , leurs caracteristiques et la relations entres celles du population et celles des échantillons.
1 1.1 1.1
Populat opulation ion - Echan Echantil tillon lon Popul opulat atio ion n Soit une population de taille N et N et on s’interesse à l’étude d’un caractére X (Poids, Age, Salaire, .....) et on obtient des valeurs X i :
1.2
Echa Echant ntillo illon n Comme tout le monde le sait, il n’est pas toujours possible d’étudier un caractére X caractére X sur sur toute la population, donc on va extraire juste un échantillon et on cherche des informations sur lui.
1.3
Inter Interpré prétat tation ion Sur un population on peut avoir sa moyenne m, m , sa variance (Ecart-type) 2 (); Ou sa proportion p: De même pour l’echantillon il y a sa moyenne x; sa variance (Ecart-type) s2 (s); Ou sa fréquence f fréquence f :
2
1
3
Popul Populatio ation n - Echan Echantill tillon on
Exemple : On : On cherche à étudier le poids chez les …lles inscritent à la faculté A (Aaa (Aaa 7chemet ngoul Ain Sebaa :D). :D). Alors on a pris un échantillon de taille 20 est on a obtenu ces résultats par K g : 67.5 58.2 75.6 98.3 54.1 66.8 61.06 89.4 61 78.6 Alors la moyenne du poids de l’echantillon est 1 x = 10
10
Xx
i
i=1
= 71: 71:056 Et sa variance est 2
s
1 = 10
10
X(x x)
2
i
i=1
= A Calculer
2
4
Les distribution distributionss d’échan d’échantillonn tillonnage. age.
1.4
Type des écha échant ntillo illons ns : Dans notre cours, nous allons travailler sur l’ échantillonnage échantillonnage aléatoire simple, avec simple, avec deux cas : 1. Non Exaustif : Avec Remise car la taille de la population est grande. 2. Exaustif : Sans Remise car Remise car la taille de population est …nie.
2 2.1
Les distributi distributions ons d’échan d’échantillon tillonnage nage.. Importanc Importance e des distrub distrubution utionss d’échan d’échantillon tillonnage nage.. L’importance de cette partie, c’est tout simplement répondre à la question suivante : Comment : Comment on peut avoir des informations sur l’échantillon à parti partirr des des donné données es de la popula populatio tion n? Le verse versa sera dans la partie d’estimation, c’est elle qui va répondre à la question : comment à partir d’une étude sur l’échantillon on peut avoir une idée idée sur la populat population ion?? Puisque on a trois caractéristiques de population, alors on aura 3 types de distributions d’échantillonnage : Moyenne, Variance et Proportion.
2.2
Distribut Distributions ions d’éch d’échan antillon tillonnage nage de de la Moye Moyenne nne X : Soit une population, et soit X V.A X V.A telque E telque E ((X ) = m et m et var v ar((X ) = 2 , et un échantillon de taille n; Et on sait que la moyenne de l’échantillon est 1 X = n
n
X X
i
i=1
Alors puisque E puisque E ((X ) = m et m et var v ar((X ) = 2 ; on a :
2
5
Les distribution distributionss d’échan d’échantillonn tillonnage. age.
1. La moyenne de X : E (X ) = m: 2. La variance de X : Pour la variance on a deux cas : (ça dépend des types des échantillons) (a) Non Exaustif : Avec Remise 2 V ar( ar(X ) = n X = n
p
(b) Exaustif : Sans Remise (Taille N (Taille N sera sera donnée) 2 N n n N 1 N n = N 1 n
r p
V ar( ar(X ) = X
3. La loi de X : Pour la loi de X on X on a deux cas (ça dépend de de )) (a) Si (ou 2 ) connue (Donnée) : (Donnée) : Non Exaustif : Avec Remise X
Donc T Donc T =
N ( N (m; X
p n )
m p n
N (0; (0; 1)
Exaustif : Sans Remise X
Donc T Donc T =
r N n
p n N 1 ) X m r N n N (0;(0; 1) p n N 1
N (m;
2
6
Les distribution distributionss d’échan d’échantillonn tillonnage. age.
(b) Si (ou 2 ) inconnue (Non Donnée) : Donnée) : s X N (m; ) n (Puisque (Puisque est inconnue on la remplace par s) s ) X m Donc T Donc T = t(n 1) [Student de n 1 degret de Libérté] Libérté] s n
p
p
2.3
Distribut Distribution ion d’écha d’échant ntillonn illonnage age de la Varia Variance nce S 2 : Soit une population, et soit X V.A X V.A telque E telque E ((X ) = m et m et var v ar((X ) = 2 , et un échantillon de taille n; Et on sait que la moyenne de l’échantillon est n
1 S = n
X(X X )
2
2
i
i=1
Alors puisque E puisque E ((X ) = m et m et var v ar((X ) = 2 ; on a : 1. La moyenne de S 2 : E (S 2 ) =
n
1 : 2
n
2. La variance de S 2 : 2
V ar( ar(S ) = 2(n S
2
=
4 1) 2 n
p 2(n 2(n 1)
2
n
S 2 3. La loi de n 2 : Si X Si X N ( N (m; ) Alors
S 2 n 2 n1 n1 :(Khi-deux : (Khi-deux n n 1 degret de libérté) Et si X si X ne ne suit pas loi normale donc on peut rien dire.
3
7
Champ Champ d’appl d’applica ication tion :
2.4
Distribut Distributions ions d’éch d’échan antillon tillonnage nage de la Proport Proportion ion F : Soit une population, qui se dévise sur deux parties : A et A et A A tel tel que P que P ((A) = p et P et P ((A) = 1 p ; et un échantillon de taille n:
Soit K Soit K n le nombre des indévidus qui ont l’evenement A l’evenement A.. F =
K n n
Alors puisque E puisque E ((X ) = m et m et var v ar((X ) = 2 ; on a : 1. La moyenne de F : E (F ) F ) = p: 2. La variance de F : V ar( ar(F ) F ) = F =
(1
n) p
r (1n n) n
p
3. La loi de F : Si K Si K n B (n; p) Alors
F
3
N ( p; p;
r (1 n) n
p)
Cham Champ p d’ap d’appl plic icat atio ion n:
Kifach ils ont obtenu tout had l3ejeb?!. C’est ce qu’on va voir dans Tout le monde va poser cette question :
cette partie sur des petites populations par exemple de Taille 3 et des échantillons de tailles 2.
Chaque problématique contient partie Théorique et Théorique et une autre Pratique. Les données Théoriques c’est ce qu’on a vu au dessus, et les données Pratiques sont eux qui nous ont donné la partie théorique, et c’est ce qu’on va voir maintenant.
3
8
Champ Champ d’appl d’applica ication tion :
3.1 3.1
Princ rincip ipe e Le principe se base sur l’étude statistique des distributions concérnées (Moyenne X ; Variance S Variance S 2 ou la fréquence F fréquence F )) et prendre le maximum des informations possibles, et pour celà nous allons passer par 8 étapes : 1. On détérmine détérmine la variable variable aléatoie aléatoie X X:: 2. On Calcule Calcule l’espérence et la variance variance de la popula p opulation tion : E (X ) = m et 2 V ar( ar(X ) = . 3. Extraire Extraire tous les échanti échantillons llons possibles possibles (ça dépend des types d’echand’echantillonnage : Avec Remise/ Sans Remis). 4. Calculer Calculer la distrubutio distrubution n de chaque chaque échantillon échantillon , ( = x la moyenne de chaque échantillon par exemple). 5. On obtient obtient une variable variable aléatoire aléatoire pour cette distributio distribution n . . 6. On calcule les probabilités pour avoir un tableau de probabilité du variable àléatoire . . 7. On calcule l’espérence et la variance variance mathématiques de la distrubution distrubution : E () = i:pi et V et V ar( ar() = (i ) 2 :pi [E ()] 2
X
X
8. On compare compare maintenan maintenantt avec avec les Résultats Résultats Théoriques. Théoriques.
3.2
Applicati Application on sur la distribut distribution ion d’échan d’échantillon tillonnage nage d’une d’une moyenn moyenne e (Exercice (Exercice 1 TD2) Nous avons une population de 3 indévidus (les cartes dans l’urne : 10; 10; 20 et 30), 30), donc la taille de population N = 3. D’abord on doit détérminer la variable aléatoire X . X . 1. Soit X Soit X une une V.A qui désigne le nombre marqué sur la carte. (X (X ) = 10; 10; 20; 20; 30
f
2. Calculons Calculons E E ((X ) = m et V et V ar( ar(X ) = 2 .
g
3
9
Champ Champ d’appl d’applica ication tion :
On a 1 E (X ) = m = 3 1 V ar( ar(X ) = 2 : = 3 200 = 3
X x = 1 (10 + 20 + 30) = 60 = 20 X(x 3m) = 1 ((10) +30 + (10) ) i
2
i
2
2
3
3. Notre Notre echant echantill illonn onnage age ce base base sur le tirag tiragee de 2 cartes cartes sans remise (Le cas de avec remise on va la voir dans nos séances de TD). Il faut bien marquer deux choses : la taille de l’échantillon n = n = 2; et le type d’echantillonnage : Sans : Sans remise (Exaustif). Nous allons extraire tout les échantillons possibles :
On a obtenu dans ce cas 3 échantillons possibles. 4. Puisque Puisque on s’intéréss s’intéréssee à la distribution distribution de la mo moyenn yenne, e, donc nous allons calculer la moyenne de chaque echatillon : Alors on a 1 1 1 E1 x1 = xi = xi = (10 + 20) = 15 n 2 2 1 1 1 E2 x2 = xi = xi = (10 + 30) = 20 n 2 2 1 1 1 E3 x3 = xi = xi = (20 + 30) = 25 n 2 2
! ! !
X X X
X X X
3
10
Champ Champ d’appl d’applica ication tion :
5. Comme Comme on remar remarque que on a obten obtenu u une variabl ariablee aléat aléatoir oiree X i tel que i 1; 2; 3 (X (X ) = 15; 15; 20; 20; 25
2f
g
f
g
6. On va calculer maintenan maintenantt la probabilité probabilité P P ((X = x i ) Alors on a P ( P (X = = 15) = P = P (( X 1 = 10; 10; X 2 = 20 ou X 1 = 20; 20; X 2 = 10 )
f
g f
g
e me X i ets la valeur du carte dans le i eme tirage.
P ( P (X = 15) = P ( P (X 1 = 10; 10; X 2 = 20) + P ( P (X 1 = 20; 20; X 2 = 10) = P ( P (X 1 = 10=X 10=X 2 = 20):P 20):P ((X 2 = 20) + P ( P (X 1 = 20=X 20=X 2 = 10):P 10):P ((X 2 = 10) e me On peut remarqué que le 2eme tirége n’in‡uance pas sur le 1er donc
P ( P (X 1 = 10=X 10=X 2 = 20) = P = P ((X 1 = 10) Donc P ( P (X = 15) = P ( P (X 1 = 10) P ( P (X 2 = 20) + P ( P (X 1 = 20) 1 1 1 1 1 = + = 3 2 3 2 3
P ( P (X = 10) 2
Par la même méthode on obtient 1 1 P ( P (X = = 20) = ; P ( P (X = = 25) = 3 3 Donc on a
Echantillon E Echantillon E i E1 E1 E2 E3 xi 15 20 25 1 1 1 pi 3 3 3
7. Nous Nous allons allons calcul calculer er l’espére l’espérence nce et la varianc ariancee mathé mathéma matiq tiques ues de la 2 distrubution : E : E ((X ) = xi :pi et V et V ar( ar(X ) = (xi ) :pi E (X ) 2
X
E (X ) =
X
X x :p = 15 + 20 + 25 2 5 i
i
60 = = 20 3
3
3
3
4
11
Conc Conclu lusi sion on
V ar( ar(X ) =
X (x ) :p E (X ) 15 20 25 2
i
2
=
3
2
+
2
i
3
2
+
3
20
2
50 3 8. Maintenant Maintenant nous allons allons faire la comparaison comparaison (F (F ra7 ra7eto 7it Salina Salina : D) D ) La partie théorie dans le cas de la distribution d’echatillonnage de la moyenne "Sans "Sans remise (Exaustif)" dit (Exaustif)" dit que : =
E (X ) = E ( E (X ) = m et V ar( ar(X ) =
2 n
Alors
n N 1 N
E (X ) = E (X ) = 20 obtenu 20 obtenu dans l’étape 1 200 2 N n 3 2 V ar( ar(X ) = = 3 n N 1 2 3 1 200 1 50 = = 6 2 3
Donc on peut voir, que les résultats obtenues pratiquement sont les même obtenu par la théorie.
4
Concl onclu usio sion J’espére que ce résumé va vous aider à un peu comprende le principe de l’échantillonnage, et vous devez apprendre par coeur les formules de la partie théorique, et comprendre les étapes de la partie pratique.
Bon Courage
