Résumé
N’oubliez jamais que le 1er professeur de la personne c’est lui même.
Révision globale Echantillonnage, Estimation & Test Mohamed BARRADI
[email protected]. 14 janvier 2015
Table des matières
1
Variable aleatoire continue : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1
Calcul des integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Fonction densité f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Fonction de Répartition F X (x) . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Espérence E (X ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
La variance V ar(X ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.6
Calcule de Probabilité : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Lois Usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1
Loi Uniforme U [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Exponnentielle "() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Loi Normale N (; ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3
Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4
Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.1
Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.2
Echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.3
Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.4
Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.5
Estimation par intervalle de con…ance de la moyenne m :
9
4.6
Estimation par intervalle de con…ance de la proportion p : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2
1
1
2
Variable aleatoire continue :
4.7 5
1 1.1
Taille de l’échantillon n : avec marge d’erreur e donnée. 11
Tests d’hypothése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.1
Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2
Type des tests d’hypothése . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3
Test de la moyenne m : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.4
Test de la proportion p : . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Variable aleatoire continue : Calcul des integrales
On a
Z Z Z Z
axn dx = a
xn+1 n + 1
adx = [ax]
n
m
x + x dx = eax dx =
1.2
xn+1 xm+1 + n + 1 m + 1 eax a
Fonction densité f (x)
f est un densité si et seulement si : 1. f est dé…nie sur R et f (x)
Z
+
2.
1
1
f (x)dx = 1:
0 ( 8x 2 R):
1
3
Variable aleatoire continue :
1.3
Fonction de Répartition F X (x)
La fonction de Répartition nous aide à calculer les probabilités :
Z
x
F X (x) =
f (x)dx
1
Et on discute F X suite au cas de x pour détérminer la valeur de f (x): 1.4
Espérence E (X )
Z
+
E (X ) =
1
x:f (x)dx
1
E (X ) = E (X ) ; E ( ) = E (X + ) = E (X ) + E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
Z Z
+
2
E (X ) = E (g(X )) =
1
1 +1
x2 :f (x)dx g(x):f (x)dx
1 2
telque g est une fonction de X
)comme g(X ) = X
1.5
La variance V ar(X ) :
V ar(X ) V ar(X ) V ar( ) V ar(X + ) V ar(X + Y )
= = = = =
E (X 2 ) E 2 (X ): 2 V ar(X ) 0 2 V ar(X ) V ar(X ) + V ar(Y )
2:Cov(X; Y )
si les variables sont indépendents donc C ov(X; Y ) = 0
2
4
Lois Usuelles
1.6
Calcule de Probabilité :
P (X P (a P (X
2 2.1
a) = F (a) X b) = F (b) F (a) a) = 1 P (X a) = 1 F (a)
Lois Usuelles Loi Uniforme U [a; b]
1. Les Paramétres : a et b telque la longuer d’intervalle de la loi uniforme est : b a 2. La densité 1 si x [a; b] ba f (x) = sinon 0
8< :
2
3. La Fonction de Répartition F X (x) = 4. E (X ); V ar(X ) :
0 xa ba
1
si x < a si x [a; b] si x > b
2
b + a (b a)2 E (X ) = ; V ar(X ) = 2 12
2.2
Exponnentielle "()
1. Les Paramétres : 2. La densité
f (x) =
ex si x 0 0 sinon
3. La Fonction de Répartition F X (x) = 4. E (X ); V ar(X ) : E (X ) =
0
si x < 0 0
ex + 1 si x
1 1 ; V ar(X ) = 2
2
5
Lois Usuelles
2.3
Loi Normale N (; )
Comme vous voyez, les paramétres de la loi normale sont deux : et telque = E (X ) = la moyenne =
p
V ar(X ) = ecart-type
Pour calculer P (X a) telque X suit une loi normale N (X ; X ); on fait toujours un changement de variable pour rendre
N (X ; X )
N ( 0;1)
(Loi normale centrée réduite) pour utiliser sa table. Le changement sera : si
L(X ) =N (
; X )
X
on pose T = alors automatiquement
X
X
X
=
X
E (X ) V ar(X )
p
L(T ) =N (0;1) On appliquant ce changement on a appliqué TCL "Théorème Centrale Limitée" Comment on utilise la table de N ( 0;1)?
Supposons qu’aprés le changement de variable P (X a) est devenu P (T 1:31) = (1; 31) telque est la fonction de répartition de la loi N (0; 1):
Pour obtenire la valeur de (1; 31) on utilise la table NCR on divisant 1,31 on deux parties 1; 31 = 1:3 + 0:01 Donc on aura P (T
1:31) = (1; 31) = 0:9049
3
3
6
Echantillonnage
Echantillonnage Dans cette partie il y a 3 types de questions :
1. Donner espérence et la variance de X ou F 2. Donner la loi de X ou F 3. Calculer P ( X < a);:::: Donc on résumera tous cela dans un tableau (Façon pratique de résoudre un exercice) : On sait qu’on doit savoir est ce que la loi de X est connue ou pas , si oui on passe au tirage, si non nous seront obligés de voir la taille de l’échantillon n et qu’elle sera n > 30 et aprés on passe au tirage;Donc onva vous résumé le …nale des résultats : Distribution
Espérence
Variance
Loi
La moyenne X
E (X ) = m
Exhaustif 2 N n V (X ) = n N 1 Non Exhaustif 2 V (X ) = n p(1 p) V (F ) = n
Loi de X est 2 N N m; n N Loi de X est 2 N m; n
E (X ) = m
La proportion F
E (F ) = p
r ! r ! r
si n > 30 Et np > 5 F
Pour le calcul des probabilités :
n 1
N ( p;
p(1 p) ) n
4
7
Estimation
Distribution
Calcule de Probabilité
La moyenne X Tirage
Pour calculer P ( X < a) X m Exhaustif on pose : T = N (0; 1) 2 N n n N 1 Tirage Pour calculer P ( X < a) X m Non Exhaustif on pose : T = N (0; 1) 2 n La proportion F Pour calculer P ( F < a) F p on pose : T = N (0; 1) p(1 p) n
r r r
Sur une population on cherche à estimer sa moyenne m, sa variance (Ecarttype) 2 (); Ou sa proportion p: comme exemple : estimer la taille moyenne des nouveaux nés au maroc, estimer le poids moyen des …lles à une faculté, estimer le taux de chômage au maroc .... pour cette raison on a besoin d’un echantillon.
4 4.1
Estimation Population
Sur une population on cherche à estimer sa moyenne m, sa variance (Ecarttype) 2 (); Ou sa proportion p: comme exemple : estimer la taille moyenne des nouveaux nés au maroc, estimer le poids moyen des …lles à une faculté, estimer le taux de chômage au maroc .... pour cette raison on a besoin d’un echantillon. :
4
8
Estimation
4.2
Echantillon
Comme tout le monde le sait, il n’est pas toujours possible d’étudier un caractére X sur toute la population, donc on va extraire juste un échantillon et on cherche des informations sur lui. 4.3
Interprétation
Sur une population on peut avoir sa moyenne m, sa variance (Ecart-type) 2 (); Ou sa proportion p: De même pour l’echantillon il y a sa moyenne x; sa variance (Ecart-type) s2 (s); Ou sa fréquence f : Exemple : On cherche à étudier le poids chez des jeunes inscritent à la faculté A . Alors on a pris un échantillon de taille 10 est on a obtenu ces
résultats par K g : 67.5 58.2 75.6 98.3 54.1 66.8 61.06 89.4 61 78.6 Alors la moyenne du poids de l’echantillon est 1 x = 10
10
X
xi
i=1
= 71:056 Et sa variance est s2
1 = 10
10
X
(xi
i=1
2
x)
= A Calculer
=
X ! 1 10
10
xi 2
x2
i=1
Donc on peut résumé les informations précédentes dans un tableau :
4
9
Estimation
Symbole
1 n
x s2
n
1 n s2
p
s f 4.4
Relation
X X i=1 n
Signi…cation
xi
i=1
xi 2
La moyenne de l’échantillon x2
K n
n
Espérence
La variance de l’échantillon
E (X ) = m n E (s2) =
L’ecart-type de l’échantillon la fréquence
E (F ) = p
1
2
n
Estimation ponctuelle
Alors, comme on a vu, on cherche à faire une estimation d’une moyenne de population, variance , ecart-type ou proportion, donc aussi on va le résumer dans un tableau. Paramètre
Estimateur
m
x
2
b b
p
s2 s
f
Relation
X r 1 nn n
n i=1
s2
1 n
n
K n
n
xi
1
Signi…cation
La moyenne de l’échantillon E (X ) = m La variance corrigée
s2
Justi…cation
L’ecart-type corrigée la fréquence
E (s2 ) = 2
b
E (F ) = p
Vous allez voir un exemple dans l’examen Blanc. 4.5
Estimation par intervalle de con…ance de la moyenne m :
On commecera par Intervalle de con…ance de la moyenne, mais avant celà nous allons voir trois exemples : 1. On cherche à estimer le poids moyen de sacs de farine sachant que le poids suit une loi normale avec un ecart-type = 2g: 2. On cherche à estimer le poids moyen de sacs de farine sachant que le poids suit une loi normale N (m; ): 3. On cherche à estimer le poids moyen de sacs de farine. Revenant à l’intervalle du con…ance de la moyenne avec un risque : IC m = [x
e; x + e]
4
10
Estimation
x est déjà calculé, mais e à 3 cas possible : 1. Si Loi connue + connue : e = z(1
2 ): p n
Avec z(1 2 ) obtenue de la table fractile de la loi normale centrée réduite. Exemple : = 5% donc d’aprés la table on aura : z(1 2 ) = z(1 0:205 ) = z(0:975) = 1:96
2. Si Loi connue + inconnue : on observe la taille n Si n 30, donc s e = t n1 (1 ): 2 n
p
Avec s est déjà calculé et t n1 (1 2 ) obtenue de la table fractile de la loiStudent. Exemple : n = 10; = 5% donc d’aprés la table on aura : tn1 (1 2 ) = t 101 (1 0:205 ) = t 9 (0:975) = 2:262 Si n > 30 , donc s e = z(1 ): 2 n
p
3. Si Loi inconnue : on observe la taille n (Comme le 2éle cas) Si n 30, donc : On peut rien dire. Si n > 30 , donc : s e = z(1 ): 2 n
Avec z(1 réduite. 4.6
2
p
) obtenue de la table fractile de la loi normale centrée
Estimation par intervalle de con…ance de la proportion p :
On commecera par deux exemple pour mieux connaitre la fréquence f : 1. On cherche à étudier le taux de chômage au maroc, donc on a pris un echantillont de taille 100 et on a trouvé parmis eux 32 chômeurs. 2. Pour savoir l’impact des a¢ches publicitaires d’une X société, sur un échantillon de taille 275 personnes on a trouvé 21% qui s’intéresse à ces a¢ches.
4
11
Estimation
Dans le 1er cas on a : n = 100 et K n = 32 f =
K n 32 = = 0:32 n 100
Dans le 2éme on a : n = 275 mais ici on a donné diréctement f = 0:21; car ce est sur l’echantillon. Revenant à l’intervalle du con…ance de la proportion avec un risque : IC p = [f
e; f + e]
avec e = z(1 Avec z(1 4.7
2
r
): 2
f (1
f )
n
) obtenue de la table fractile de la loi normale centrée réduite.
Taille de l’échantillon n : avec marge d’erreur e donnée.
On peut demander calculer la taille de l’echantillon dans deux cas : 1. dans le cas d’estimation de la moyenne m : (a) Si est connue, alors
b 0@ 1A U (1 e
) 2
2
n =
) 2
2
n =
s U (1 e
(b) Si est connue, alors
2. dans le cas d’estimation de la proportion p :
) 2
U (1
n = f (1
f )
e
2
5
12
Tests d’hypothése
5 5.1
Tests d’hypothése Principe
Parfois quelqu’un nous balance une information, alors la logique demande de tester si on doit a¢rmer cette information ou pas. Pour celà on procéde par les tests des hypothéses, on pose l’hypothèse et par une procédure bien dé…nie soit on accepte ce que cette personne nous a dit ou pas. 5.2
Type des tests d’hypothése
On doit d’abord savoir si le test et de la moyenne ou la proportion, pour le teste de la moyenne on parle juste de la moyenne et pour la proportion on parle du %. On a deux types de tests : 1. Bilatéral : dans le cas d’égale ou = :(ici on travaille avec Z accept et 1 ) 2 2. Unilatéral : (ici on travaille avec Z rejet et 1 ) et on a deux types unilatéral
6
(a) A Droite : Superieur, plus que , au moins , augmenter ... en général les térmes de croissances ">". (b) A Gauche : Inférieur , Moins que , au plus , diminuer .... en général les térmes de croissances "<" . Alors dans chaque test on parlera de 4 points importantes 1. Hypothése 2. Variable de décision 3. Seuil 4. Zone acceptation / Rejet 5. Test & Décision.
5
13
Tests d’hypothése
5.3
Test de la moyenne m :
On travaillera sur le cas de connue et x donnée. Bilatéral
Unilatéral A Gauche
A Droite
H 0 : m = m 0 H 0 : m = m0 H 0 : m = m 0 H 1 : m = m 0 H 1 : m > m0 H 1 : m < m 0 n 1 x = xi ou donnée comme la moyenne de l’echantillon i=1 n Donnée (5% , 10% ou 1%) Zaccept = [m0 e; m0 + e] Z= [m0 + e; + [ Zrejet =] ; m0 e] p Si est connue : e = z(1 2 ): n Si connue : e = z(1 ): p n inconnue+ n < 30 : e = t n1 (1 2 ): p sn inconnue et n < 30 : e = t n1 (1 2 ): p sn inconnue+ n > 30 : e = z(1 2 ): p sn inconnue et n > 30 : e = z(1 ): p sn Si x Zaccept on accepte H0 Si x Zrejet on rejete H0 et On accepte H1 et on Rejete H1 alors m = m 0 de seuil alors m > m0 m < m0 Si x = Z accept on rejette H0 Si x = Zrejet on accepte H0 et On accepte H1 et on Rejete H1 alors m = m0 de seuil m = m 0 de seuil
X6
2
)
2
)
6
1
b
b
2
)
2
)
1
b
b
5
14
Tests d’hypothése
5.4
Test de la proportion p : Bilatéral
Unilatéral
H 0 : p = p0 H 1 : p = p0
H 0 : p = p0 H 1 : p < p0 K n f = n Zrejet = [0; p0
6
Zaccept = [ p0
A Gauche
A Droite
H 0 : p = p0 H 1 : p > p0
e; p0 + e] e] Zrejet = [ p0 + e; 1] p0 (1 p0 ) p0 (1 p0 ) e = z(1 2 ): e = z(1 ): n n f Z accept on accepte H0 f Z rejet on rejette H0 =On accepte H1 on Rejete H1 ,alors p = p0 alors p < p0 p > p0 f = Zaccept on rejette H0 = f = Zrejet on accepte H0 = on Rejete H1 et On accepte H1 alors p = p0 p = p 0
2 2
) )
r
6
2 2
) )
r
