RESPUESTA COMPLETA DE CIRCUITOS RC Y RL
Profesor: Ing. Ivan Eduardo Diaz Pardo
INTRODUCCIÓN ●
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Los circuitos que contiene capacitores e inductores pueden representarse mediante ecuaciones diferenciales. El orden de la ecuación diferencial es igual al numero de capacitores mas el numero de inductores presentes en el circuito. Los circuitos que contienen un solo inductor o un solo capacitor puede representarse con una ecuación diferencial de primer orden.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
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Los circuitos de primer orden pueden representarse por una ecuación diferencial de primer orden. Los equivalentes de Thévenin y Norton simplifican el análisis de los circuitos de primer orden al establecer que éstos son equivalentes a uno de los dos circuitos de primer orden simples.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
La siguiente figura muestra el proceso.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
En la figura a el circuito es separados en dos.
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Una parte es el capacitor o el inductor nico que esperar!a encontrarse en un circuito de primer orden.
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La otra parte es el resto del circuito"
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La parte b del circuito depende si nuestro elemento almacenador de energ!a es un capacitor o un inductor.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
#i es un capacitor el resto del circuito se rempla$a con un circuito equivalente Thevenin.
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El resultado es otro circuito de primer orden sencillo" un circuito en serie que consta de una fuente de volta%e" un resistor y un capacitor.
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#i el elemento es un inductor se rempla$a por un equivalente Norton.
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El resultado es otro circuito de primer orden sencillo" un circuito en paralelo que consta de una fuente de corriente" un resistor y un inductor.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
&hora si consideramos el circuito de la figura" la entrada a este circuito es vs't(.
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La salida de este circuito es a través del capacitor.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
Este circuito se encuentra en estado estable antes que el s)itch se cierre en t*+.
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,uando la entrada al circuito es senoidal" la respuesta en estado estable también es senoidal.
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&demas la frecuencia de la respuesta sonoidal debe ser la misma frecuencia de la entrada senoidal.
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El volta%e en estado estable del capacitor" entes de cerrar el s)itch esv ( t )= B cos ( 1000 t +ϕ) , t < 0
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
&l momento de cerrar el s)itch el volta%e del capacitor en t*+ esv ( 0 )= B cos (ϕ) , t =0
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espués que el s)itch está cerrado" la respuesta queda conformada por dos partes●
Una parte llamada trasciente" que después desaparece.
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/ una segunda parte llamada estado estable"
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La parte de estado estable será senoidal y
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tendra la misma frecuencia de la entrada. 0ara un circuito de primer orden" la respuesta de la parte trasciente es e1ponencial.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
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#e considera los circuitos de primer orden por separado para aprovechar la parte transitoria de estos circuitos. Una ve$ el s)itch esta cerrado el volta%e en el condensador es−t
v ( t )= Ke τ + M cos ( 1000 t +δ) ●
,uando t*∞" 2e3t4 *+" cuando el estado τ
trasciente desaparece el volta%e en el condensador esv ( t )= M cos ( 1000 t +δ)
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
La siguiente comportamiento
figura muestra del volta%e en
el el
condensador antes y después de cerrar el s)itch.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
& la suma de la parte trasciente y la parte de estado estable se le conoce como respuesta completa. repuesta completa =transciente + estado estable
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#in embargo" en términos de ingenier!a el comportamiento de un circuito de primer orden se le conoce también como la suma de la respuesta natural mas la respuesta for$ada.
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En general" la suma de las dos partes es también la respuesta completa. respuesta completa =respuesta natural + respuesta forzada
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
La respuesta natural es la solución de la ecuación diferencial que representa el circuito de primer orden" cuando la entrada es cero.
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La respuesta for$ada es una solución particular de la ecuación diferencial que representa el circuito.
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La respuesta completa de un circuito de primer orden dependerá de una condición inicial" usualmente de un volta%e en un condensador o la corriente de una bobina en un tiempo particular.
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#e toma t+ como el tiempo en el cual se mane%a la condición inicial.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
La respuesta natural de un circuito de primer orden será de la forma−(t − t ) Ke τ 0
Respuesta Natural = ●
onde t+*+" luego se tieneRespuesta Natural = Ke
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−t τ
La constante 2 en la respuesta natural depende de las condiciones iniciales" por e%emplo el volta%e del capacitor en t +.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
#e consideraran tres casos en el que la entrada del circuito después de la perturbación puede ser●
Una ,onstante●
v s ( t )= V 0
Una e1ponencialv s ( t )= V 0 e
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−t τ
Una senoidev s ( t )= V 0 cos (ω t +θ)
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Estos tres casos son especial ya que la respuesta for$ada tendrá la misma forma que la entrada.
CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ●
,uando la entrada es una constante o una senoide" la respuesta for$ada también es llamada respuesta de estado estable.
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& la respuesta transitoria.
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El plan para encontrar la respuesta completa es como sigue-
Natural
se
le
llama
respuesta
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Encontrar la respuesta for$ada antes de la perturbación" evaluar esta respuesta en t*t + para obtener la condición inicial de la carga de los elementos.
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Encontrar la respuesta for$ada después de la perturbación. #umar la respuesta natural y la respuesta for$ada. Usar las condiciones iniciales para encontrar 2.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE 0ara una entrada constante se tomará como e%emplo el circuito de la figura.
RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE ●
El circuito se encuentra en estado estable antes de que el s)itch se cierre.
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El tiempo en cual el circuito es perturbado es t +" en el circuito de e%emplo t+*+.
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,errando el s)itch se retira la resistencia 5 6 del circuito. espués de cerrado el s)itch el circuito puede ser modelado como el de la figura b.
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La parte del que por estaunconectado al capacitor es circuito rempla$ado equivalente Thevenin.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE Luego se tieneR3 V oc = R 2 + R3
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R2 R 3 Rt = R 2 + R3
Luego tomando el circuito equivalente la corriente en el capacitor esi ( t )=c
d v (t ) dt
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&plicando la L27 se obtiened V = R i ( t )+ v ( t )= R C v ( t ) + v ( t ) oc
t
t
(
dt
)
●
RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE Luego la ecuación diferencial del circuito serav ( t ) V oc d v ( t )+
dt
=
Rt C
Rt C
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Esta e1presión corresponde a una ecuación diferencial de primer orden.
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&hora tomando el circuito d la figura.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE Este circuito se encuentra en estado estable antes de que se cierre el s)itch en el tiempo t+*+. espués de cerrar el s)itch el circuito puede ser representado por la siguiente figura-
RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE ●
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La parte del circuito que esta conecta al inductor se ha rempla$ado por su equivalente Norton. Entonces se tieneI sc =
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Vs R2
Rt =
El volta%e del inductor es mane%ado porv ( t )= L
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R2 R 3 R 2 + R3
d i (t ) dt
&plicando la L2, se tieneI sc =
v (t ) + i ( t )= Rt
L
d i (t ) dt +i ( t ) Rt
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE &l igual que en el circuito 5," se tiene una ecuación diferencial de primer orden. d i ( i )+ R t i ( t )= Rt I sc dt L L
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e forma general la ecuación diferencial de primer orden se pude e1presar comox (t ) d x ( t )+ τ = K dt
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onde τ se conoce como constante de tiempo y es determinado por 5 y , para el circuito 5, y por 5 y L para el circuito 5L.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE &hora se dará la solución de la ecuación diferencial por separación de variables.
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Teniendo la solución general se tendrá la solución del circuito 5, y 5L.
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5eesribiento la ecuación general se tienedx K τ− x = τ dt dx x− K τ
=
−dx τ
∫ x −dxK τ = −τ1 ∫ dt + D
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE onde es la constante de integración. 5esolviendo la integral se tieneln ( x − K
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τ)= −τt + D
5esolviendo para 1 se tienex ( t )= K τ + Ae
●
−t τ
onde &*e." el cual se determina de la condición inicial 1'+(. 0
x ( 0 )= K τ+ Ae = K τ+ A −τ
A = x ( 0 )− K τ
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE 5empla$ando & se tienex ( t )= K τ +[ x ( 0 )− K τ ] e
●
−t τ
onde 2τ se puede interpretar comox (∞)= lim x ( t )= K τ t →∞
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Luego 1't( se puede escribir comox ( t )= x (∞)+[ x ( 0 )− x (∞)] e
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−t τ
Tomando la derivada de 1 con respecto a t podemos tener un procedimiento para determinar la constante de tiempo τ.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE erivando con respecto a t se tiened
x ( t )=
dt ●
−1
−t
[ x ( 0 )− x (∞)] e τ
τ
Tomando a t*+ se tiene-
|
d −1 x ( t ) = τ [ x ( 0 )− x (∞)] dx t =0 ●
espe%ando τ se tieneτ= x (∞)− x ( 0 ) d x (t ) dx
|
t =0
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE En la siguiente figura se muestra 1't( con respecto a t.
RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE ●
& partir de la gráfica puede determinarse los valores de● ● ●
La pendiente de la gráfica en el tiempo t*+. El valor inicial de 1't(. El valor final de 1't(.
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La e1presión de 8 puede usarse para determinar la constante de tiempo a partir de estos valores.
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La gráfica anterior indica como medir 8 a partor de 1't(.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE &hora aplicando los resultados para el circuito 5, anali$ado anteriormente" podemos tener equivalencias-
las
x ( t )= v ( t ) , τ= Rt C , ∧ K = ●
siguientes
V oc Rt C
5eali$ando la sustitución en 1't( se tienev ( t )= V oc +( v ( 0 )− V oc ) e
−t Rt C
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE ,uando t se incrementa el termino del lado derecho tiende a cero.
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En t*+" e3+*6 y v'+(*v'+(.
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,uando t*98" e39*+.++:;<+" luego en t*98 el volta%e en el capacitor será. v ( 5 τ)= 0.9933 V oc + 0.0067 v ( 0 )≈V oc
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La respuesta anterior corresponde a la repuesta for$ada o respuesta en estado estable.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE La respuesta for$ada es una constante" igual que la entrada" lego la respuesta natural serárespuesta natural =( v ( 0 )−V oc ) e
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&hora aplicando el resultado de 1't( al circuito 5L se tiene quex ( t )=i ( t ) , τ=
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−t Rt C
L L , K = I sc Rt Rt
#ustituyendo se tienei ( t )= I sc +( i ( o )+ I sc
( ) )e −
Rt t L
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE Luego al igual que en 5, la respuesta natural corresponde arespuesta natural =(i ( 0 )+ I sc
( ) )e −
Rt t L
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE E%emplo 6- Encontrar el volta%e del capacitor después de abrir el s)itch en el circuito mostrado en la figura. =,ual es el valor del volta%e del capacitor 9+ms después de abrir el s)icth>
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE #olución- La fuente de ? voltios al estar en paralelo con el capacitor fuer$a al capacitor a estar en ?7 hasta que el s)itch se abre.
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,omo el volta%e del capacitor no cambia instantáneamente" el volta%e del capacitor será ?7 inmediatamente después de abrir el s)itch.
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Luego la condición inicial esv ( 0 )=2 V
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE espués de abierto s)itch tenemos el circuito equivalente mostrado en la siguiente figura.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE el circuito anterior tenemos queRt =10 K Ω , V oc =8 V
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La constante de tiempo 8 se determina comoτ= Rt C =(10 x 10 )( 2 x 10− )=20 x 10− =20 ms 3
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6
#ustituyendo estos valores en v't( se −t tienev ( t )=8 − 6 e 20 V
●
3
En t*9+ ms se tiene−50
v ( t )= 8 − 6 e
20
=7.51 V
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE La siguiente figura muestra el comportamiento el volta%e del capacitor en función del tiempo.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE E%emplo ?- Encontrar la corriente a través del inductor después de cerrar el s)itch en el circuito de la figura. =En cuanto tiempo el inductor alcan$ará una corriente de ?m&>
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE #olución- La corriente en el inductor será cero hasta que se cierre el s)itch. ,omo la corriente en el inductor no cambia de forma instantánea esta será cero inmediatamente se cierra el s)itch.
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Luego la condición inicial serái ( 0 )= 0
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espués cerrar s)tch la corriente empie$a ade fluir por laelbobina.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE Luego se tiene queRt =1000 Ω , I sc = 4 mA
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La contante de tiempo para este circuito de primer orden es−3
L 5 x 10 τ= = = 5 x 10−6 =5 μ s Rt 1000 ●
#ustituyendo estos valores en i't( se tiene−t
i ( t )= 4 − 4 e 5 mA
●
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE 0ara encontrar el tiempo necesario para que el inductor llegue a ?m& es necesario despe%ar t de i't(" #ustituyendo i't(*?m& se tiene−t
2= 4− 4 e ●
5
mA
espe%ando t" se tiene2− 4
t =−5 ln −4 =3.47 μ s
( )
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE La siguiente figura muestra la respuesta completa de la corriente del inductor en función del tiempo.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE E%ercicio 6- En el circuito de la figura el s)itch ha estado abierto por un largo tiempo" también ha estado en estado estable antes que el s)itch se cerrara en t*+. Encontrar el volta%e del capacitor para t@+.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE #olución- &ntes de cerrar el s)itch en t*+ el circuito se encuentra en estado estable. La entrada del circuito es constante" luego todas las corrientes y volta%es del circuito son constantes.
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El capacitor tendrá un volta%e constante y la corriente serai ( t )= C d v ( t )= C d ( constante )=0 dt dt
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE El capacitor acta como un circuito abierto luego el circuito equivalente es el que se muestra en la figura.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE El volta%e del capacitor es el mimo v'+(" luego se tiene quev ( 0 )=
60 K Ω 40 K Ω+ 60 K Ω
12 = 7.2 v
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,omo el volta%e en el capacitor no cambia de forma instantánea esta será la condición inicial.
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Una ves se cierra el s)itch hay perturbación en el circuito y e1istirá corriente en el capacitor.
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE 0ara obtener el circuito equivalente es necesario aplicar Thevenin. 0ara el volta%e Thevenin se tieneV oc =
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60 K Ω 30 K Ω+ 60 K Ω
12 =8 V
/ para la resistencia Thevenin se tiene30
60
Rt = 30 K K Ω∗ Ω+ 60 Ω Ω =20 K Ω
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE La constante de tiempo esτ= Rt C =(20 K Ω)( 2 μ ! )= 40 ms
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0ara la respuesta completa se tiene−t
v ( t )= V oc −( v ( 0 )− V oc ) e 40 V −t
v ( t )= 8 − 0.8 e 40 V
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RESPUESTA DE UN CIRCUITO DE PRIMER ORDEN PARA UNA ENTRADA CONSTANTE E%ercicio ?- En el circuito de la figura el s)itch ha estado abierto por un largo tiempo" también ha estado en estado estable antes que el s)itch se cerrara en t*+. Encontrar la corriente del inductor para t@+.
