“Resolución de Problemas con ecuaciones a través de material concreto y/o gráfico en 6º año básico”
Carmen Gloria Aguayo
[email protected] Noviembre de 2010
RESUMEN Esta propuesta esta diseñada para aplicarse con alumnos de 6º básico, según el curriculum chileno, pero en el fondo se puede aplicar en cualquier nivel donde se introduzcan las ecuaciones de primer grado. El objetivo es que los alumnos representen secuencias numéricas, áreas, perímetros y relaciones angulares, angulares, mediante expresiones algebraicas y utilizar estrategias para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números naturales y verificar sus soluciones, utilizando material concreto y/o grafico.
PRESENTACIÓN A los alumnos se les debe platear como desafío donde podrán ocupar el material que consideren necesario y que este trabajo se hará en grupos.
PALABRAS CLAVE Ecuaciones de primer grado – Material concreto y grafico - dinámica grupal valores
CONSIGNAS •
•
•
•
Esta propuesta propuesta esta pensada para ser aplicada antes antes de la unidad correspondiente a ecuaciones, como una actividad previa y que mejoré y facilite los aprendizajes cuando los alumnos alumnos se vean enfrentados a esta unidad. Se trabajara como un taller de resolución de problemas, donde por cada clase se trabajarán de 3 a 4 problemas como máximo, ya que la idea es que una vez que se da el ejercicio se da un tiempo adecuado para que los alumnos en grupo (no mas de 4 integrantes) busquen las posibles soluciones, y en caso de dificultad se les guíe guíe en algunos aspectos para llegar la respuesta correcta. Luego se invita a hacer la puesta en común del ejercicio, y para ello se invita a un par de alumnos a salir a la pizarra y explicar sus procedimientos. Una vez que se han conocido unas 2 ó 3 estrategias diferentes, y que llegan a la misma respuesta, se pasa al problema siguiente. s iguiente. Las primeras tres clases se centrará netamente en la traducción de lenguaje común a un lenguaje algebraico a través de material concreto y gráfico, con la intención de activar conocimientos previos.
•
Luego en las clases siguientes se comienza con el trabajo de resolución de problemas, para lo cuál se utiliza el siguiente criterio para seleccionar los problemas:
a) Problemas de ecuaciones con adición y sustracción. b) Problemas de ecuaciones con multiplicaciones y adiciones. c) Problemas de ecuaciones con incógnitas a ambos lados.
REFERENCIAS CURRICULARES La resolución de problemas se ha convertido en uno de los temas centrales de la educación matemática desde hace algunos años. La resolución de problemas es una actividad compleja que pone en juego un amplio conjunto de habilidades y que incluye elementos de creación debido a que la persona carece de procedimientos preaprehendidos para el efecto. Por esta razón, el desarrollo de la capacidad para resolver problemas es un proceso de largo aliento que requiere de una orientación persistente de parte del educador. Es necesario organizar los procesos de enseñanza de modo de incluir un trabajo sistemático orientado a lograr que los estudiantes vayan consolidando paulatinamente las distintas facetas de la resolución de problemas. Las Matemáticas surgen por las necesidades de la vida cotidiana, que a través del tiempo se han desarrollado, desarrollado, hasta formar un inmenso sistema de variadas y extensas disciplinas. Sirven y apoyan a las demás ciencias como así misma, para el conocimiento y dominio de la naturaleza. El alto nivel de abstracción que caracteriza a las Matemáticas propicia que el estudio de sus ramas no sea de fácil acceso. Reflejo de esta situación es la problemática que se presenta en el proceso de enseñanza-aprendizaje, por ejemplo: el rechazo de esta ciencia por parte de los estudiantes que la llegan a considerar aburrida, inservible, los conceptos les parecen irreales, artificiales, etc. Estos son algunos elementos que al reflexionar sobre ellos se hace necesario buscar alternativas para la enseñanza de las Matemáticas. Es por esto, que lo que quiero proponer en este trabajo se basa en las diferentes formas de aprendizaje que existen dentro de un salón de clase, por lo que proponemos cambiar el ambiente de trabajo formulando actividades que le faciliten al alumno desarrollarse plenamente, en diferentes ambientes de trabajo tanto individual como grupal utilizando material concreto y gráfico para solucionar problemas, y así familiarizar a los alumnos para luego pasar al algoritmo propio.
EVALUACIÓN DE LA ACTIVIDAD El propósito de mi trabajo ha sido elaborar un material que ayude en la enseñanza enseñanza de las ecuaciones y así poder mejorar las prácticas pedagógicas y los resultados que obtienen nuestros alumnos.
El enseñar, y sobre todo aprender álgebra y luego, seguir con ecuaciones es un proceso complejo ya que los alumnos no están acostumbrados a un lenguaje lenguaje abstracto, por lo tanto, creo que es muy importante, antes de este proceso de traducir directamente de un lenguaje lenguaje común a un lenguaje algebraico el comenzar con un proceso de familiarización del lenguaje, a través de material concreto y gráfico, siendo que esto haga más sencillo y más fácil el camino para llegar a trabajar con lenguaje simbólico. Es con esta finalidad que he creado este material, el cual creo será un aporte positivo a la introducción de ecuaciones teniendo en cuenta que los alumnos que trabajaran con este material, son alumnos que anteriormente no se han visto enfrentados a este contenido, ya que antes del ajuste curricular chileno este contenido se trabajaba en 8º año básico, pero ahora se trabajará a partir de 6º año, con alumnos de 10 y 11 años aproximadamente y necesitan entender de manera gráfica y concreta los conceptos básicos de álgebra, para que la tarea sea más fácil y quede clara desde un comienzo y para evitar así vacíos posteriores, que perjudican el aprendizaje de los alumnos en los cursos curs os posteriores. Para que se cumpla el propósito de nuestro trabajo, he diseñado este material pensando en que clase a clase se haga una puesta en común común y los alumnos expliquen sus procedimientos, y de esta manera poder evaluar el trabajo desarrollado por cada uno de los alumnos.
MATERIALES NECESARIOS Para trabajar este taller solo se necesita una sala de clase, formar grupos de trabajo y las guías que se anexan a continuación.
TIEMPO ESTIMADO Para un buen trabajo cada hora de taller es de 45 minutos, una vez a la semana.
COMENTARIOS Y SUGERENCIAS Que la hora del taller no sea en la tarde. Que la formación de los grupos sea bien heterogenia. Utilizar palitos de mondadientes no es el mejor material ya que cuesta mucho cortar y puede ser peligroso, recomiendo algún material mas flexible ( puede ser cartulina)
ADAPTACIONES PARA OTROS NIVELES Por experiencia propia este mismo material se puede ocupar en 5º, 7º y 8º aparte de 6º básico. También es interesante poder utilizar esta estrategia (utilizar material concreto y grafico) para resolver problemas con cualquier contenido.
ANEXOS – GUIAS DE TRABAJO Clase nº 1 Objetivo: Reconocer las operaciones y su inversa, y expresarlo verbalmente. 1. Calcula el número que que hay que poner en el rectángulo, para que sean ciertas las igualdades y a continuación exprésalo verbalmente. Operación
5
– 21 = 13 25
25 + 24 5 = 42
24 5 + 31 = 59
54 - 24 5 = 33
24 5 x 2 = 98
180 = 2 45 ÷ 6
12 x 24 5 = 60
150 ÷ 2 45 = 30
14 + 2 45 = 28 – 5
15 + 9 = 24 5 – 8
3 x 24 5 + 73 = 5 x 2 45 + 41
Expresión Verbal “ Si a un número le quito 21, obtengo como resultado 13”
Clase nº 2 Objetivo: Relacionar la forma gráfica con la simbólica y expresarla verbalmente. Actividad: A continuación te presentamos una serie de representaciones, calcula el valor de “a” en cada caso, y luego expresa verbalmente la situación.
Ejemplo:
Calcular valor de “a” a + 7 = 25 25 – 7 = 18
a
7
Respuesta: “a” vale 18 Expresión Verbal: “Un número sumado con 7 es igual a 25”
25
Calcular valor de “a” 1.
a
Respuesta:
27
Expresión Verbal: 42 2.
a
Calcular valor de “a”
a
a
a
Respuesta: Expresión Verbal:
32 3.
a
Calcular valor de “a”
a
a
5
Respuesta: Expresión Verbal:
26
4. Calcular valor de “a”
a
a
a
a
a
a
3 Respuesta: Expresión Verbal:
33 5.
Calcular valor de “a”
a
7
9 Respuesta: Expresión Verbal:
42 6.
Calcular valor de “a”
a
7
7 Respuesta: Expresión Verbal:
19 7.
Calcular valor de “a”
a
a
11 Respuesta: Expresión Verbal:
37 8. Calcular valor de “a”
a
a
a
3
4 Respuesta:
25
Expresión Verbal:
Clase nº 3 Objetivo: Activación de conocimientos previos, traducir a lenguaje algebraico con material concreto. 1. Si la longitud del siguiente “palito” representa un número desconocido, realiza las siguientes actividades:
a) El doble del número
b) El triple del número
c) El cuádruple del número
d) La mitad del número
1 2
e) La tercera parte del número
1 3
f) La cuarta parte del número
1 4
g) Las tres cuartas partes del número
3 4
h) Los dos tercios del número
2 3
Clase nº 4 Objetivo: Activación de conocimientos previos, traducir a lenguaje algebraico con material gráfico. 1.
Representa las siguientes cantidades:
segmento representa un número “a”, representa “a” aumentado en a) Si el siguiente segmento su doble.
a Reflexión del Problema:
a
a
2 veces “a” b) Si el siguiente segmento representa un número “a”, representa “a” aumentado en su mitad.
a Reflexión del Problema: a
a
2
2
“a” dividido en 2 partes iguales (mitades)
a
a
2
“a” más su mitad
c) Si el siguiente segmento representa un número “a”, representa “a” aumentado en 5.
a Reflexión del Problema:
a
1
2
3
4
5
“a” más 5 unidades d) Si el siguiente segmento representa un número “a”, representa “a” disminuido en 2.
a Reflexión del Problema:
a
1 2 “a” menos 2 unidades
e) Si el siguiente segmento representa un número “a”, representa “a” aumentado en su tercera parte.
a Reflexión del Problema: a
a
a
3
3
3
“a” dividido en 3 partes iguales (tres tercios) a
a
3
“a” aumentado en un tercio
f) Si el siguiente segmento representa un número, representa el 10% del número.
a Reflexión del Problema:
“a” dividido en 10 partes iguales
10 % de “a” g) Si el siguiente segmento representa un número, representa el número aumentado en un 50%.
a Reflexión del Problema:
50%
50%
“a” dividido en 2 partes iguales
a
50%
“a” aumentado en su mitad (50 %)
h) Si el siguiente segmento representa un número, representa el número aumentado en
2 4
a Reflexión del Problema: 1
2
3
4
4
4
4
4
“a” dividido en 4 partes iguales (4 cuartos)
a
1
2
4
4
“a” aumentado en 2 cuartas partes i) Si un número se multiplica por 4 y se le suman 3 unidades se obtiene 39. Representa la situación y obtén el resultado. Reflexión del Problema:
a
a
a1
a 2
a3
a4
a3
a4
“a” multiplicado 4 veces
a
a1
a 2
1 2 3
“a” multiplicado 4 veces sumado con 3 unidades Procedimiento: 39 – 3 = 36: 4 = 9
Clase nº 5 Objetivo: Resolver problemas de ecuaciones con adición y sustracción. 1. Problema: Andrés se quiere comprar una bicicleta que cuesta $ 35.000 y tiene ahorrado cierta cantidad de dinero. Si lo que le falta para comprarla son $23.000, ¿cuánto dinero tenía ahorrado? Reflexión del Problema:
Bicicleta $ 35.000 Ahorro 23.000 ? 12.000 + 23. 000 = 35. 000 Respuesta: El dinero que Andrés tenía ahorrado para comprar la bicicleta es $12.000 pesos. 2. Problema: Cierto número sumado con 24, da como resultado 120, ¿cuál es el número? Reflexión del Problema:
?
24 120
12.000
+ 24 = 120
Respuesta: El número es 96; 96 + 24 = 120
3. Problema: Jorge compró un kilogramo de manzana, manzana, si pagó con $ 1 000 y recibió de vuelto $ 260, ¿cuánto cuesta el kilogramo de manzana? Reflexión del Problema:
$ 260 $ 1.000 12.000 + 260 = 1.000 Respuesta: El kilogramo de manzana cuesta $740. 4. Problema: Nicolás quiere comprar un libro que vale $ 7 600. Si tiene cierta cantidad de dinero y le falta $5800 pesos para comprarlo, ¿cuánto dinero tenía ahorrado? Reflexión del Problema: ? dinero ahorrado
$ 5.800
12.000
+ 5.800 = 7.600
$ 7.600 Respuesta: El dinero que tenía ahorrado para comprar el libro es $ 1800 pesos.
Clase nº 6 Objetivo: Resolver problemas de ecuaciones con adición y sustracción. 1. Problema: Un número sumado con 15 da como resultado 55, ¿cuál es el número? Reflexión del Problema: ?
15
12.000
55
+ 15 = 55
Respuesta: El número que sumado con 15 da 55 es 40 2. Problema: Fernanda tiene $750 pesos y compra un dulce que le cuesta cierta cantidad de dinero, si ahora tiene $420 pesos, ¿cuánto le costó c ostó el dulce? Reflexión del Problema: precio del dulce
$420
$750 750 – 12.000 Respuesta: El precio del dulce es $330 pesos.
= 420
3. Problema: Jesús tenía $1.850 pesos, y su mamá le regala cierta cantidad de dinero para comprar un juguete que cuesta $2.500 pesos. ¿Cuánto dinero le regala su mamá? Reflexión del Problema:
$1.850
? Dinero regalado
1850 + 12.000 = 2.500
$ 2500 Respuesta: El dinero que le regalo su mamá para comprar el juguete es $ 650 pesos.
Clase nº 7 Objetivo: Resolver problemas de ecuaciones con multiplicaciones y adiciones. 1. Problema: He comprado 8 CD vírgenes y he pagado con un billete de $1.000, me han dado de vuelto $40 pesos ¿Cuánto vale cada CD? Reflexión del Problema: CD
CD
$ 40
CD
CD
CD
CD
CD
CD
$ 1.000 1000 – 40 = 960 960 ÷ 8 = 120 Respuesta: Cada CD cuesta $ 120 pesos. 2. Problema: En un bolsillo Julieta tiene una cantidad de dinero y en el otro tiene el triple. Si en total tiene $ 10. 000, ¿cuánto dinero tiene en cada c ada bolsillo? Reflexión del Problema:
Bolsillo 1
Bolsillo 2
Bolsillo 2
Bolsillo 2
$10.000 Respuesta: En total tiene $10.000 pesos y eso se ha dividido en 4 partes iguales; por lo tanto, en el 1º bolsillo tiene $2.500 $2.500 y en el otro bolsillo e triple de dinero, entonces, tiene $7.500. 3. Problema: Javiera compró el doble de la cantidad de chocolates en dulces. Si la cantidad total suma 36, ¿cuántos dulces y chocolates compró? Reflexión del Problema:
CHOCOLATES 12
36
DULCES 12
DULCES 12
24 DULCES Respuesta: Javiera compró 12 dulces y el doble de chocolates, es decir, 24 chocolates.
4. Problema: La edad de Mariana es el triple de la edad de su hijo Pablo. Si la suma de las edades es 48, ¿cuáles son las edades de Mariana y Pablo? Reflexión del Problema:
? Edad Mariana
? Edad Mariana
36
48 años
? Edad Mariana
? Edad Pablo
12
Respuesta: 48 se ha dividido en cuatro partes iguales y de eso 3 partes corresponden a la edad de Mariana; por lo tanto Pablo tiene 12 años y Mariana 36 años.
Clase nº 8 Objetivo: Resolver problemas de ecuaciones con multiplicaciones y adiciones. 1. Problema: El triple de un número, menos cinco es igual a 16. ¿Cuál es el número? Reflexión del Problema:
A 1
A
2
3
4
A
5 16
16 + 5 = 21
÷
3= 7
Respuesta: El número es 7 2. Problema: Juan va a comprar un pantalón y una camisa. Las 2 prendas cuestan $49.500 pesos. Si el pantalón vale el doble que la camisa más $2.000, halla el precio de cada prenda. Reflexión del Problema: PANTALON
CAMISA
$ 2.000 $ 46.500 PANTALON
PANTALON $ 31.000
CAMISA $ 15.500
$ 31.000 + $ 2.000 = $ 33.000 Pantalón $ 15.500 Camisa $ 48.500
Total
Respuesta: El pantalón cuesta $33.000 pesos y la camisa $15.500 pesos.
3. Problema: Juan, Pedro y Rosa reúnen $900.000 pesos para realizar un viaje. Pedro aporta el doble que Juan, y Rosa el triple que Pedro. ¿Cuánto dinero pone cada uno? Reflexión del Problema: ? Dinero Juan
? Dinero Pedro
? Dinero Rosa
$ 900.000 ? Dinero Juan $ 100.00
? Dinero Pedro
? Dinero Pedro
? Dinero Rosa
? Dinero Rosa
$ 200.000
? Dinero Rosa
? Dinero Rosa
? Dinero Rosa
? Dinero Rosa
$ 600.000
Respuesta: Juan aporta para el viaje $100.000 pesos, Pedro aporta $200.000 pesos y Rosa aporta $600.000 pesos. 4. Problema: Una cuerda de 20 metros de longitud se corta en seis trozos iguales y sobran 2 m. ¿Cuál es la longitud de cada trozo de cuerda que se cortó? c ortó? Reflexión del Problema:
20 metros
2 metros 18 metros
3 metros Respuesta: La longitud de cada trozo es de 3 metros. metros .
Clase nº 9 Objetivo: Resolver problemas de ecuaciones con incógnitas a ambos lados. 1. Problema: La edad de Juan es el doble que la de Andrés y la edad de Antonio es el triple de la edad de Andrés, si entre todos ellos suman 30 años ¿Cual es la edad de cada uno? Reflexión del Problema: ? Edad Andrés
? Edad Juan
? Edad Juan
? Edad Antonio
? Edad Antonio
? Edad Antonio
30 años 30 ÷ 6 = 5 Respuesta: Andrés tiene 5 años, Juan 10 10 años y Antonio tiene 15 años. 2. Problema: Las edades de Francisca y Javiera suman 44 años. Si Francisca es mayor que Javiera por cuatro c uatro años, ¿cuál es la edad de Javiera? Reflexión del Problema:
Francisca Javiera
4 años
44 – 4 = 40 Respuesta: Francisca tiene 24 años y Javiera tiene 20 años y es menor cuatro años que Francisca. 3. Problema: Juan tiene el doble de dinero que Andrés y entre los dos tienen $12.300 pesos ¿Cuánto dinero tiene Andrés? Reflexión del Problema: ? Edad Andrés
? Edad Juan
? Edad Juan
$ 12.300 12.300 ÷ 3 = 4100 Respuesta: Andrés tiene $4.100 pesos y Juan tiene $8.200 pesos.
4. Problema: Antonio se gastó los dos tercios de su dinero en compras y le sobraron $4.000 pesos. ¿Cuánto dinero tenía?
Dinero gastado Respuesta: El vuelto corresponde a
vuelto $4.000 1 3
por lo tanto lo que ha gastado en compras
corresponde a $8.000 pesos, que es el doble del dinero del vuelto.
