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Solución del examen de ingreso Matemáticas II-2017, …la 1 Mario Mario compró cierto cierto número número de libros libros idénticos idénticos por 600 bs. Si hubiera hubiera comprado comprado 14 menos del número de libros que compró por el mismo dinero, cada libro le habría costado 2 bs. más, entonces con el costo original de cada libro, cuatro libros le costaría (B) 24 (E) Ninguno (A) 28 (C) 30 (D) 16 A1.
Solución:
Sea Sea el número de libros 600 600 +2 = ¡ 4
resolviendo resolviendo = = 100 100 entonces el costo por libro es 6 es 6 y así cuatro libros cuestan 24. Andrés le dice a María: María: “yo “yo tengo tengo el doble doble de la edad que tú tenías tenías cuando cuando yo tenía tenía la edad edad que tú tienes. tienes. A2. Andrés Si la suma de nuestras nuestras edades actuales actuales es 42 años. ¿Cuál la suma de nuestras nuestras edades edades cuando tengas la edad que yo tengo?” (D) 54 (A) 64 (B) 60 (C) 52 (E) Ninguno Solución:
Sean Sean e nuestras edades actuales, entonces
½ = 2 ( ¡ ( ¡ )) + + = = 42
resolviendo tenemos = 24 24 = 18 18 luego la suma de nuestras edades cuando tengas la edad que yo tengo será: 24 + 30 = 54 Sean y las raíces de la ecuación A3. Sean 4 +4 44 = 16 ¢ 43 4¡2( +3) entonces entonces 2 + 2 es igual a: (E) Ninguno (A) 17 (B) 18 (C) 16 (D) 15 2
Solución:
Simpli…cando tenemos
2 + 4 4 ¡ (2 + 3 3) = 4 + 2( 2( + 3)
resolviendo resolviendo = = 4 y = = ¡3 entonces entonces 2 + 2 = 25 Sea la solución de la siguiente ecuación: A4. Sea log
µ 12 ¡ log ( () ¶ 4
log4 ( ()
=
1 log2 ( ()
entonces la suma de todos los dígitos de de es igual a: (C) 13 (A) 14 (B) 12 (D) 10 (E) Ninguno Solución:
log
µ 12 ¡ log ( () ¶ 4
log4 ( ()
12 ¡ log4 ( () = 2 2 log4 ( ()
=
1 = log (2) log2 ( ()
log4 ( () = 4
= 44 = 256
luego la suma de todos los dígitos de de es igual a 2 a 2 + 5 + 6 = 13 triángul guloo rectángu rectángulo lo de lados: lados: 5, 12 y 13, se traza traza una perpendic perpendicula ularr a la hipoten hipotenusa usa por su punto punto G5. En un trián medio, entonces el perímetro (simpli…que su respuesta) del triángulo pequeño es igual a: (C) 65/4 (A) 63/4 3/4 (B) 61/4 (D) 67/4 67/4 (E) Ningun ngunoo Solución:
1
Del grá…co se tienen las siguientes proporciones 13 5 13/2
a
b
12
=
5 12
=
65 24
=
12 13
=
169 24
13 2 13 2
65 24
169 24
13 2
entonces el perímetro buscado es: + + = 65 4 G6. Pedro (en el punto A) observa el punto más alto de una torre vertical con un ángulo de elevación de 45grados sexagesimales y Alfredo (en el punto B) observa el punto más alto de una torre con un ángulo de elevación de 30 grados sexagesimales, estos amigos distan 20 metros y el ángulo AOB es recto, entonces la altura de la torre es igual a:
O 0
90
B
A
(A) 12
(B) 14
(C) 11
(D) 10
(E) Ninguno
Solución:
De la …gura se tienen
h O a
b
0
90
B
A
tan(45) =
= 1
p
3 tan(30) = = 3 del teorema de Pitágoras
202 = 2 + 2
= =
400 = 2 + 32
G7.
3 3
p
= 10
En la …gura se tiene cuatro círculos blancos idénticos tangentes entre si e inscritos en un círculo mayor de color negro, entonces el cociente entre el radio del círculo negro y uno de los radios de los círculos blancos es igual a:
2
p
(A) 2 2 + 2
(B)
p
(C)
2+1
p
p
2+2
(D) 2 2 + 1
E) Ninguno
Solución:
De la …gura se tiene
p
(2)2 = 2 + 2
= 2
¡
si es el radio del círculo mayor entonces = + = 1 +
p
p = 2+1 G8.
¢
2 y así
Sea un ángulo del tercer cuadrante tal que tan() = 23 entonces simpli…cando la expresión 3 sin + tan(18 + ) 2 = cot(3 + )cos( ¡ 2)
µ
se obtiene: (A) = 25
(B) =
Solución:
¡25
(C) =
¶
¡45
(D) = ¡35
(E) Ninguno
Simpli…cando 3 sin + 2
µ
¶
= sin ()cos
µ 3 ¶
µ 3 ¶
+ sin cos() = ¡ cos() 2 2 tan(18) + tan () tan(18 + ) = = tan() 1 ¡ tan(18)tan() 1 ¡ tan(3)tan() 1 cot (3 + ) = = tan(3) + tan () tan() cos( ¡ 2) = cos ()cos(2) + sin ()sin(2) = cos()
