SOLUCIONES ALGEBRA-ARITMETICA 31/03/2016 A1.- Oscar y Ana son vecinos y utilizan mangueras de las dos casas para llenar llenar la piscin piscina a de Oscar. Oscar. Ya saben saben que se requie requieren ren 18h si se usan ambas mangueras. mangueras. También ambién saben que si se usa la manguera de Oscar, se tarda 20% menos menos de tiempo tiempo que cuando cuando se utiliz utiliza a la manguera manguera de Ana sola. sola. ¿Cuán ¿Cuánto to tiempo requiere Oscar para llenar la piscina utilizando solamente su manguera? Solución:
Sea x e y las "velocidades" de las mangueras de Oscar y Ana resp ectivamente, ectivamente, para llenar la piscina piscina de Oscar, Oscar, entonces entonces 1 = 18 x+y 1 = 0 :8 y1 x
resolviendo se obtiene los tiempos x1 = 32:4 ; y1 = 40:5 en horas, en el que se tarda en llenar la piscina de Oscar, utilizando las mangueras de Oscar y Ana respectivamente. A2.- Se tiene previsto que una caja abierta con una base cuadrada tenga volumen de 12 de 12 cm3 . Encuentr Encuentree la altura altura que tiene tiene que tener la caja para reducir reducir al mínimo la cantidad de material empleado. Solución:
Si x es el lado de la base cuadrada e y es la altura de la caja, entonces el volumen y el área de la caja es: V = x 2 y = 12 A = 4xy + x2
de donde se obtiene la relación A = 48 + x2 x p p cuyo máximo se da en x = 2 3 ; y = 3. A3.-Encuentre el número de ceros reales (distintos) del polinomio P (x) = 2x5 3x4 16x3 + 24x2 + 32x 48 3
3
Solución:
Factorizamos el polinomio y obtenemos 2
2
P (x) = (2x 3) (x 2) (x + 2) luego los ceros son x = 2; x = 23 y x = 2.
A4.- Encuentre el número de ceros reales (distintos) de la expresión exponencial: 2e2x + 4ex 6 Solución:
Hacemos y = e x entonces 2e2x + 4ex 6 = 2y 2 + 4y 6 = 2 (y + 3) 3) (y 1) x descartamos y = e = 3 quedando y = e x = 1 de donde x = 0.
1
Soluciones examen de Geometria y Trigonometria FILA 1
1. Trazamos tres arcos circulares desde tres vértices de un hexágono de 5 cm de lado, ver …gura 1, entonces el área y el perímetro de la …gura sombreada es:
Solución 1. Observemos que el ángulo
=
2 3
el área es 3
¡2 ¡ 3
2
5
¢¢
= 50 y el perímetro es 3
¡2
¢
(2 5) = 20 3
2. Sobre un cuadrado de lado 2 se p one un triángulo equilátero, ver …gura adjunta, un rayo de luz sale de un foco formando un ángulo de 30 0 con la horizontal, entonces la longitud de la sombra del cuadrado y el triángulo es:
o
30 SOMBRA
Solución 2.
De la …gura se tiene
3
2 o
30 1
p
1 3+2 tan(30) = p = 1+ 3
p
resolviendo = 2 3 + 2 8 3. Sea cot() = 15 donde siguiente expresión,
es
un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, entonces el valor de la 1 17 1 3
(sec () + tan ()) es igual a: sin() ¡ 12 cos ()
Solución 3. Como cot() =
8 15
se obtiene:
tan() =
entonces
15 15 8 17 sin() = cos() = sec() = 8 17 17 8
1 17 1 3
(sec () + tan ()) = sin () ¡ 12 cos ()
1 17 17 8 1 15 3 17
¡ ¢ + 15 8 ¡ ¢ 1 ¡ 8 ¢ =4 ¡ 2 17
4. En la …gura P es el punto medio del lado del cuadrado, entonces el ángulo P
es
igual a:
Solución 4.
P
del grá…co se sigue
+ 90 ¡ + 45 = 180, resolviendo = + 45 donde = arctan (05) = 2656505118
FILA F.9
x v0t 12 a t 2 v v0 a t
v0
v at
x (v a t )t 12 a t 2 2
x v t 12 a t
2
x 5 2 12 2 2 x 6 m F.10
N F sin θ N
W
mg F sin θ
F cos θ
µ m g µ F sin θ
ma µ m g
F
cos θ
µ sin θ
1 2 12 1 10
F F
2 1 2 2
28
3 2
2 2
N
F.11
k
q2 2
d
d
d d
mg
k q2 mg 9 109 10
12
0.0110 0.3 m
ma
I
F.12
ϕ
k
2 q1
k
2 q2
d d 2 ϕ k (q1 q2 ) d 2 ϕ 9 109 (10 8 3 10 8 ) 2 ϕ 180 v
SOLUCIONARIO EXAMEN DE QUÍMICA Q13.- Calcular los moles de azufre que existen en 98 mL de una solución al 60 % de pureza de H 2SO4 3
en masa y densidad 1,5 g/cm . Solución:
98 mL soln*
,
∗
∗
∗
= 0,9 moles S
Q14.-
El aluminio reacciona con el ácido sulfúrico para formar sulfato de aluminio, Al2(SO4)3 y gas hidrógeno. ¿Qué masa de aluminio, en gramos, se necesita para formar 3 moles de gas hidrógeno?. El rendimiento de la reacción es del 54 %. Solución:
2Al + 3H2SO4 → Al2(SO4)3 +3 H2 3 moles H2*
∗
∗
=
100 g Al
Q15.- Calcular la masa de hidróxido de sodio que se necesita para preparar 100 mL de una solución al 20% de pureza en peso de hidróxido de sodio y densidad 2 kg/L. Solución:
2 Kg/L*
= 2g/mL
∗
.
100 mL soln.*
∗ .
.
= 40 g NaOH
Q16.- Calcular la temperatura de congelación de una solución que resulta de la mezcla de 58,5 g de cloruro de sodio, con 100 g de agua. La constante de congelación o crioscópica para el agua K c, es de 1,86 °C/ molal. Solución: ∆Tc
58,5 g NaCl *
,
∆Tc
= Kc* molalidad
= 1 mol NaCl ; 100 g H2O = 0,1 Kg H 2O => molalidad =
= 1,86*
,
= 18,6 °C
Tc soln. = Tc solv. -
∆Tc = 0 – 18,6
= -18,6 °C
