DISCIPLINA: ÁLGEBRA II
PROFESSORA FORMADORA: Odete Amanda ROTEIRO DE ESTUDO 4 13 DE OUTUBRO DE 2011
Definição de subanel: Seja
um anel e B um subconjunto não vazio de A. Dizemos que B é um
subanel de A se B é fechado para as operações de ;
tem-se:
.
Proposição 3.3 : Seja
um anel e seja B um subconjunto não vazio de A. Então B é um subanel
se, e somente se, para todo
são satisfeitas as condições:
;
.
Definição de ideal : Seja
temos:
e , ou seja, dados
um anel. Um subanel
e
é um ideal de
, se para cada
e
.
1. Mostre Mostre que L = { 0, 2, 4, 6 } é subanel subanel de
8
= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
.
Devemos verificar as condições da proposição 3.3, lembrando que – y indica o simétrico aditivo de y. Como os conjunt conjuntos os são f initos, devemos devemos fazer todas as verificações. Vejamos: -0 = 0 ; -2 = 6 ; -4 = 4 e -6 = 2. 0 0 0 0
-
0 2 4 6
= = = =
0+ 0+ 0+ 0+
0= 6= 4= 2=
0 x 0 0 x 2 0 x 4 0 x 6
0 6 4 2
=0 =0 =0 =0
2-2=2+6=0 2-4=2+4=6 2 - 6 = 2 + 2 = 4
4-4=4+4=0 4 - 6 = 4 + 2 = 6
6 - 6 = 6 + 2 = 0
Todos os resultados pertencem a L. 2 x 2 = 4 2 x 4 = 0 2 x 6 = 4
4 x 4 = 0 4 x 6 = 0
6 x 6 = 4
Todos os resultados pertencem a L.
Logo, L é ideal de ℤ 8 8.
2. Verifique se 2ℤ = { 2k; k ∈ ℤ } é subanel de
ℤ, +,
x
.
Vamos verificar as condições da proposição 3.3 atentando para o fato de que sendo os conjuntos infinitos, devemos trabalhar com a expressão genérica dos elementos: Sendo x, y ∈ 2 ℤ ℤ, temos que x = 2k e y = 2r, com k, r ∈ ℤ. Além disso, -y = 2(-r) = -2r. Então, x – y = 2k – 2r = 2(k – r), com k – r ∈ ℤ ∴ x – y ∈ 2ℤ. x x y = 2k x 2r = 2(k x 2r) = 2 ( 2kr), 2kr), com 2kr ∈ ℤ ∴ x x y ∈ 2ℤ. Portanto, como as condições da proposição 3.3 estão satisfeitas, 2ℤ é subanel.
3. Mostre que
3
= { 0, 1, 2 }
não é subanel de
6
= { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
. (capítulo 3 do módulo)
Para mostrar que não é subanel é suficiente mostrar que alguma das condições da definição (ou da proposição 3.3) não é satisfeita. A condição que não é satisfeita é a da inclusão: ℤ 3 3 ⊄ ℤ 6 . 6 Apesar de ℤ 3 elementos não são são iguais! iguais! Lembre 3 = { 0, 1, 2 } e ℤ 6 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } , os elementos 6 que ℤ m m indica o conjunto das classes residuais módulo m; o conjunto de todos os restos da divisão por m Por exemplo: 1 em ℤ 3 3 representa todos os números inteiros que deixam resto 1 na divisão por 3, enquanto 1 em ℤ 6 6 representa todos os números inteiros que deixam resto 1 na divisão por 6. Veja: 1 em ℤ 3 3 representa o conjunto { 1, 4, 7, 10, 13, 16, ...} 1 em ℤ 6 6 representa o conjunto { 1, 7, 13, 19, ...}
4. Determine todos os subanéis de
8
.
Lembrando que um subanel é um anel dentro de outro anel, e que para ser subanel o conjunto com a adição deve ser um grupo abeliano, devemos encontrar todos os subgrupos do grupo abeliano ℤ 8 8 ,
+
e verificar quais deles são f echados para a multiplicação.
Subgrupos de ℤ 8 8 , + : Pelo Teorema de Lagrange, esses subgrupos devem ter ordem 1, 2, 4 e 8. Assim, os subgrupos são: os triviais: L 1 = { 0 } L 2 2 = ℤ 8 8 os próprios: L 3 = { 0, 2, 4, 6 } 3 Sendo ℤ 8 8,
+,
L 4 4 = { 0, 4 }
x um anel, é claro que ele é subanel dele próprio; o subconjunto L 1, é
também, trivialmente, subanel de ℤ 8. 8. Que L 3 3 é subanel de ℤ 8 foi provado na questão 1. 8 Vamos testar o outro candidato: 0-0=0+0=0 0 x 0 = 0 0-4=0+4=4 0 x 4 = 0 4-4=4+4=0 4 x 4 = 0 Todos os resultados pertencem a L 4 4 ; logo, L 4 4 é subanel de ℤ 8 . 8 Portanto, ℤ 8 os triviais: L 1 = { 0 } L 2 8 tem quatro subanéis: 2 = ℤ 8 8 os próprios: L 3 L 4 3 = { 0, 2, 4, 6 } 4 = { 0, 4 }
5. Calcule todos os subanéis de
. (capítulo 3 do módulo)
Com as mesmas justificativas da questão anterior, os subanéis de ℤ 12 12 são: os triviais: L 1 = { 0 } L 2 2 = ℤ 12 12 os próprios: L 3 3 = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } L 4 4 = { 0, 3, 6, 9 }
6. Determine todos os subanéis próprios de são ideais.
8
e de
L 5 5 = { 0, 4, 8 }
L 6 6 = { 0, 6 }
e, em seguida, verifique quais deles
A definição de ideal diz: um subanel L, de um anel A, é ideal se para todo a ∈ A e para todo x ∈ L, tem-se xa ∈ L e ax ∈ L. No caso em questão não há necessidade de verificar os dois sentidos, pois o anel é comutativo.
a) Na questão 4, foram determinados os subanéis de ℤ 8 8 : os triviais são ideais: L 1 = { 0 } L 2 2 = ℤ 8 8 dos próprios, L 3 L 4 3 = { 0, 2, 4, 6 } 4 = { 0, 4 }, vamos verificar qual(is) atende(m) à definição de ideal. L 3 3 = { 0, 2, 4, 6 } 0 0 = 0 ∈ L 3 3
2 0 = 0 ∈ L 3 3
4 0 = 0 ∈ L 3 3
6 0 = 0 ∈ L 3 3
0 2 = 0 ∈ L 3 3
2 2 = 4 ∈ L 3 3
4 2 = 0 ∈ L 3 3
6 2 = 4 ∈ L 3 3
0 4 = 0 ∈ L 3 3
2 4 = 0 ∈ L 3 3
4 4 = 0 ∈ L 3 3
6 4 = 0 ∈ L 3 3
0 6 = 0 ∈ L 3 3
2 6 = 4 ∈ L 3 3
4 6 = 0 ∈ L 3 3
6 6 = 4 ∈ L 3 3
1 0 = 0 ∈ L 3 3
3 0 = 0 ∈ L 3 3
5 0 = 0 ∈ L 3 3
7 0 = 0 ∈ L 3 3
1 2 = 2 ∈ L 3 3
3 2 = 6 ∈ L 3 3
5 2 = 2 ∈ L 3 3
7 2 = 6 ∈ L 3 3
1 4 = 4 ∈ L 3 3
3 4 = 4 ∈ L 3 3
5 4 = 4 ∈ L 3 3
7 4 = 4 ∈ L 3 3
1 6 = 6 ∈ L 3 3
3 6 = 2 ∈ L 3 3
5 6 = 6 ∈ L 3 3
7 6 = 2 ∈ L 3 3
Logo, L 3 3 é subanel de ℤ 8 . 8 L 3 3 = { 0, 4 } 0 0 = 0 ∈ L 3 3
2 0 = 0 ∈ L 3 3
4 0 = 0 ∈ L 3 3
6 0 = 0 ∈ L 3 3
0 4 = 0 ∈ L 3 3
2 4 = 0 ∈ L 3 3
4 4 = 0 ∈ L 3 3
6 4 = 4 ∈ L 3 3
1 0 = 0 ∈ L 3 3
3 0 = 0 ∈ L 3 3
5 0 = 0 ∈ L 3 3
7 0 = 0 ∈ L 3 3
1 4 = 4 ∈ L 3 3
3 4 = 4 ∈ L 3 3
5 4 = 4 ∈ L 3 3
7 4 = 4 ∈ L 3 3
Logo, L 4 4 é subanel de ℤ 8 . 8 a) Os subanéis de ℤ 12 L 2 12 são: os triviais: L 1 = { 0 } 2 = ℤ 12 12 os próprios: L 3 L 4 6, 9} L 5 3 = {0, 2, 4, 6, 8, 10} 4= {0, 3, 6, 5 = {0, 4, 8} L 6 6 = {0, 6} Procedendo como acima, verificamos que todos os subanéis são ideais.
7. Verifique se ℤ, +, x
é ideal de
Lembrando que ℚ, +,
x
ℚ, +,
x
.
é anel comutativo, pois a multiplicação é comutativa, vamos
verificar se para para todo todo a ∈ ℚ e para todo x ∈ ℤ, tem-se xa ∈ ℤ. Se escolhermos a =
1 2
∈ ℚ e x = 7 ∈ ℤ, temos que 7
1
7
2
2
.
Logo, ℤ, +, x
não é ideal de
ℚ,
+, x .
8. Justifique as seguintes afirmações: a) nℤ é ideal de ℤ, qualquer que que seja n ∈ ℤ. Lembrete: nℤ = { nk; k ∈ ℤ } Sejam x = nk ∈ nℤ e a = w ∈ ℤ. Vamos mostrar que xa ∈ nℤ. De fato: xa = nk w = n(k w) ∈ nℤ, pois k w ∈ ℤ. Logo, nℤ, +, x não é ideal de ℤ, +, x . b) não é ideal de ℝ. Se escolhermos x =
1 2
∈ ℚ e a = 3 ∈ ℝ, temos que
Logo, ℚ, +, x
3
não é ideal de
3
1
. 2
2
ℝ,
+, x .
Vale ressaltar que os alunos devem fazer apenas os exercícios 1 a 6 da lista de exercícios que se encontra no capítulo capítulo 3.
