1A AVALIAÇÃO UNIDADE II -2015 COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
01 - (MACK) Em uma das provas de uma gincana, cada um dos 4 membros de cada equipe deve retirar, ao acaso, uma bola de uma urna contendo bolas numeradas de 1 a 10, que deve ser reposta após cada retirada. A pontuação de uma equipe nessa prova é igual ao número de bolas com números pares sorteadas pelos seus membros. Assim, a probabilidade de uma equipe conseguir pelo menos um ponto é a)
4 5
b)
7
c)
8
9
d)
10
11
e)
12
15 16
RESOLUÇÃO: Como após cada retirada há a reposição da bola, a chance de cada membro da equipe retirar da urna, uma bola com um dos 5 números pares que existem no intervalo de 1 a 10 é
5 10
1 2
.
Cada equipe tem 4 membros, logo, a probabilidade de uma equipe conseguir pelo menos um 4
1 15 1 ponto é 1 1 . 16 16 2
RESPOSTA: Alternativa e.
02 - (FGV) Sejam M3x3 e N4x4 as matrizes quadradas indicadas a seguir, com a, b, c, d, e, f, g, h, i, j sendo números reais. 2a 2 b 2i 2c a b c 0 0 2 j 0 M d e f N 2d 2e 2a 2f g h i 2g 2h 2c 2i
Se o determinante de M é o número real representado por k, então o determinante de N será igual a a) – 16jk. 16jk.
b) 16jk.
c) – 2jk. 2jk.
d) 2jk.
e) 0.
RESOLUÇÃO: 2a det N
2b
2c
2d 2e
2 f
2 g 2h
2i
2a
det N 2 j (1)
23
2b
2c
a
b
3
c
2d 2e
2 f 2 f .2 d e
f
2 g 2h
2i
i
g h
RESPOSTA: Alternativa a. 1
03 - (UFPel) 1 / 2
Sendo A uma matriz real de ordem 2 com det(3A) = – 30 e A 1
6 / 5
r
, r
3 / 5
R, a solução
3x 2 y r ,é 7 x 8y 2r
do sistema
a) x = 4, y = – 13
c) x = 8, y = – 26
e) x = 0, y = 0
b) x = – 4, y = 13
d) x = – 26, y = 8
RESOLUÇÃO: Sendo A uma matriz de ordem 2: det(3A) = 32. det(A) 1/ 2
r
6/5
3/ 5
9. det(A) = – 30 det(A) =
10 3
det(A 1) =
3
–
10
3 3 6r 3 3 12r 3 12r 0 10 10 5 10
19 x 0 3 x 2 y r 3 x 2 y 0 12 x 8 y 0 Substituindo esse valor de r no sistema x 0 x y r x y x y 7 8 2 7 8 0 7 8 0 y 0
RESPOSTA: Alternativa e.
04 - (UFT) x y 2z 0 O sistema x py z 0 admite solução diferente de (0,0,0) se e somente se: px y z 0
a) p 0
c) p = 1
b) p2 – p 0
e) p = 1 e p = – 2
d) p = 0 ou p = – 1
RESOLUÇÃO: x y 2z 0 Para que o sistema x py z 0 admita solução diferente de (0,0,0) , o determinante dos px y z 0
coeficientes das variáveis deve ser igual a zero: 1
1
2
p 1 0 p 2 p 2 p 2 1 1 0 2 p 2 2 p 0 p 1 1 1
RESPOSTA: Alternativa d.
2
05 - (PUC) A tabela abaixo apresenta o gasto calórico correspondente à prática de cada atividade, durante uma hora, por indivíduos de 60kg, 70kg e 85kg: Musculação Alongamento
Aeróbica
60kg
177
236
354
70kg
211
281
422
85kg
259
345
518
Um professor de Educação Física vai planejar uma aula com x minutos de musculação, y minutos de alongamento e z minutos de aeróbica, de maneira que o indivíduo de 60kg gaste 315 calorias, o de 70kg gaste 380 calorias e o de 85kg gaste 460 calorias. Os valores de x, y e z satisfazem o sistema: 177x 236y 354z 60 a) 211x 281y 422z 70 259x 345y 518z 85
177x 211y 259z 18900 d) 236x 281y 345z 22800 354x 422y 518z 27600
177x 211y 259z 315 b) 236x 281y 345z 380 354x 422y 518z 460
177x 236y 354z 18900 e) 211x 281y 422z 22800 259x 345y 518z 27600
177x 236y 354z 315 c) 211x 281y 422z 380 259x 345y 518z 460
RESOLUÇÃO: Considerando o indivíduo de 60 kg, ao efetuarmos a operação 177x + 236y + 354z, ele terá como resultado um gasto calórico de 315·60 = 18900 calorias. Perceba que devemos multiplicar o número de calorias por 60, visto que a tabela apresenta os gastos por hora, e x, y e z representam tempos de exercícios em minutos. O mesmo procedimento deve ser efetuado para os indivíduos de 70 e 85 kg, o que resulta na alternativa E Calorias (M 60kg 70kg 85kg
Al
AE)
(V)
TC
177 236 354 x 315 60 211 281 422 y 380 70 259 345 518 z 460 85
RESPOSTA: Alternativa e.
3
06 - Sobre poliedros, considere as seguintes afirmativas: I) O número de vértices do icosaedro regular é 12. II) Se um poliedro convexo é formado exclusivamente por uma face hexagonal, 5 faces quadrangulares e 2 faces triangulares, então ele possui exatamente 16 arestas e 10 vértices. III) Se um poliedro tem todas as faces congruentes entre si então ele é um poliedro regular. Sobre as afirmativas acima, temos que: a) Somente a afirmativa I é falsa b) Somente a afirmativa I I é falsa c) Somente a afirmativa I I I é falsa
d) Somente uma afirmativa é verdadeira. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
RESOLUÇÃO: I)
Verdadeira.
O icosaedro regular é um poliedro cujas 20 faces são triângulos equiláteros. Possui (20×3):2 = 30 arestas. Aplicando a relação de Euler: V – A + F = 2 V – 30 + 20 = 2 V = 32 – 20 V = 12. II)
Verdadeira.
Número de faces do poliedro convexo em questão: 1 + 5 + 2 = 8. Número de arestas: (1 × 6 + 5 × 4 + 2 × 3) : 2 = 32 : 2 = 16 Aplicando a relação de Euler: V – 16 + 8 = 2 V = 10. III) Falsa. Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares congruentes e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas.
RESPOSTA: Alternativa c.
4
07- Arquimedes (287 – 212 a.C.) de Siracusa, na Grécia, figura entre os maiores matemáticos da Antiguidade e de todos os tempos. Explorou tanto a Geometria, que desejou que, em seu túmulo, fosse gravada a figura de uma esfera inscrita em um cilindro circular reto.
Supondo-se que a vontade de Arquimedes fosse satisfeita e considerando-s e um cilindro equilátero de raio R, pode-se afirmar que o valor absoluto entre a diferença dos volumes dos sólidos, em questão, seria dado pela expressão a)
1 3
R 3
2
b)
c) R 3
R 3
3
d)
3 2
R 3
e) 2 R 3
RESOLUÇÃO: Um cilindro é equilátero quando a sua altura é igual ao dobro do seu r aio. V ESFERA ESFERA
4 R 3 3
.
V CILINDRO R 2 H R 2 2 R 2 R3 O valor absoluto entre a diferença dos volumes dos sólidos, em questão, seria dado pela expressão 2 R 3
4 R 3 3
2 R 3 3
RESPOSTA: Alternativa b.
08 - Sendo os pontos A (2 ; 1), B(2 ; 5) e C(6 ; 1) vértices de um triângulo ABC, é verdade que: a) O triângulo ABC é isósceles. b) O triângulo ABC é acutângulo. acutângulo. c) O baricentro do triângulo ABC é o ponto 3 ; 5 2 . d) A área do triângulo ABC é 25 u.a. e) A medida da mediana relativa ao vértice C é maior que 8 u.c.
RESOLUÇÃO: a) Falsa. O triângulo ABC será isósceles se possuir pelo menos um par de lados congruentes. AB
2 22 1 52
16 16 4 2
.
AC
2 62 1 12
64 4 2 17
.
BC
2 62 5 12
16 36 2 13 .
5
b) Verdadeiro. O triângulo ABC será acutângulo se o quadrado do maior lado for menor que a soma dos quadrados dos outros dois lados.
2 17 ........2 13 4 2 2
2
2
68 52 32 .
c) Falsa.
xa xb xc ya yb yc , . 3 3
Coordenadas do baricentro de um triângulo ABC: G
2 2 6 1 5 1 5 , 2, . 3 3 3
O baricentro do triângulo em questão é: G
d) Falsa.
A área do triângulo ABC é S
1
2
1
1
2
5
1
6
1 1
2
1 2
10 2 6 30 2 2
1 2
40 20 u.a.
e) Falsa. A mediana relativa ao vértice C(6 ; 1) é a ceviana que liga este vértice ao ponto médio do l ado 2 2 1 5 , AB que é M = 0,3 2 2 CM (6 0) 2 (1 3) 2 36 16 2 13 u.c
RESPOSTA: Alternativa b. 09 - Dados os pontos A(6, 3), B(1, 5), C(0, 1), D(8, – 3), determine a área do quadrilátero ABCD. a) 31 u.a.
b) 33 u.a.
c) 35 u.a.
d) 37 u.a.
e) 39 u.a.
RESOLUÇÃO: Resolução 1 SABCD = SABC + SACD SABCD = 1 6 1 0 6 6 0 8 6 1 30 1 6 3 6 24 18 8 3 5 1 3 3 1 3 3 2 2 1
. 22 40 2
Resolução 2
S ABCD
1 6 1 0
8
6
2 3 5 1 3 3
1 2
30 1 24 18 8 3
RESPOSTA: Alternativa a.
6
10 - Uma circunferência de centro no ponto O(a ; b) passa pelos pontos A(7;7) , B(5;9) e C(1;1). Calcule a + b . a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
e) 10
RESOLUÇÃO: Resolução 1: O centro da circunferência que circunscreve um triângulo (passa por seus três vértices) é o ponto de intercessão de suas mediatrizes (retas perpendiculares aos lados pelos seus pontos médios). Determinando a equação da mediatriz do lado AB:
7 5 7 9 , Ponto médio do lado AB: M 6,8 . 2 2 Coeficiente angular da reta determinada pelos pontos A e B: y y A 9 7 a B 1 x B x A 5 7 Coeficiente angular da reta mediatriz do lado AB:
1 a
1.
Equação da reta mediatriz do lado AB: y x b 6 b 8 b 2 .
Finalmente: y = x + 2 (I)
Determinando a equação da mediatriz do lado AC:
7 1 7 1 , Ponto médio do lado AC: M 4,4 . 2 2
Coeficiente angular da reta determinada pelos pontos A e C: a
Coeficiente angular da reta mediatriz do lado AC:
1 a
yC y A xC x A
1 7 1 7
1
1 .
Equação da reta mediatriz do lado AB: y x b 4 b 4 b 8 .
Finalmente: y = x + 8 (II)
y x 2 2 y 10 y 5 a, b 3,5 a b 8 Resolvendo o sistema y x 8 y 5 x 3
Resolução 2 : Construindo a figura percebe-se imediatamente que o circuncentro é o ponto médio do lado BC o que indica que o triângulo ABC é retângulo e o lado BC a hipotenusa. Determinando o ponto médio do lado BC tem-se o ponto (a, b) pedido: 5 1 9 1 O(a, b) , 3,5. 2 2
Podíamos também ter determinado a natureza do triângulo. Descobrindo-se que ABC é um triângulo retângulo, determina-se o ponto médio da hipotenusa e procede-se como acima. RESPOSTA: Alternativa d. 7
11 - Na figura abaixo ABCD é um quadrado de lado 6 m e BD é um arco de centro em A. Calcule o volume do sólido gerado por uma rotação completa da região hachurada em torno do lado AD . a) b) c) d) e)
36 m3 72 m3 108 m3 144 m3 216 m3
RESOLUÇÃO: O sólido gerado por uma rotação completa da região hachurada em torno do lado AD , é um cilindro vasado e de altura 6m e raio 6m, representado na figura ao lado. Seu volume é igual: V cilindro V semiesfera 36.6
1 4 .216 . 216 144 72 2 3
RESPOSTA: Alternativa d. 12 - (UFBA-2004 / ADAPTADA) Uma empresa fabrica copos plásticos para refrigerante e café. Os copos têm a forma de tronco de cone e são semelhantes. O copo de refrigerante mede 9,5 cm de altura e tem capacidade para 480 ml. Sabendo-se que o copo de café tem 3,8 cm de altura, determine a sua capacidade em mililitros, aproximando o resultado para o número inteiro mais próximo. a) 21
b) 31
c) 23
d) 33
e) 35
RESOLUÇÃO: Sendo semelhantes os dois sólidos, a razão entre seus volumes é igual ao cubo da razão entre as suas medidas correspondentes. 3
480 9,5 480 857,375 x 30,7208.. . x x 54,872 3,8
RESPOSTA: Alternativa b.
8
13 - Um recipiente em forma de tronco de cone reto de bases paralelas foi projetado de acordo com o desenho ao lado com altura igual a 12 cm e raios das bases iguais, respectivamente a 2 cm e 6 cm. O volume desse recipiente, aproximadamente, é igual a : (Use = 3,14) a) 678 ml b) 653 ml c) 703 ml d) 628 ml e) 659 ml
RESOLUÇÃO: O volume do tronco de cone pode ser calculado pela seguinte fórmula: V V
12 3
6
2
h
R 3
2
r 2 Rr
22 6 2 4 3,14 52 653,12
Poderia ter sido resolvida a questão deste outro modo: Prolongando-se AC, OH e BD até o ponto V tem-se dois cones semelhantes. Os triângulos retângulos VOB e VHD são semelhantes, logo, VO VH
2 6
x x 12
1 3
3 x x 12 x 6 .
O volume do tronco é: V V VCD V VAB
36 18 3
4 6 3
216 8
V 208 653,12
RESPOSTA: Alternativa b. 14 - Qual a distância entre as retas r: 3x – y + 7 = 0 e s: 3x – y – 13 = 0 ? a) 2 10
b) 10 2
c) 3 5
d) 5 3
e) 20
RESOLUÇÃO: A distância entre duas retas paralelas pode ser determinada do seguinte modo: Toma-se um ponto de uma das retas e calcula-se a distância entre este ponto e a outra reta. Na reta r considere-se o ponto (0, y): 0 – y + 7 = 0 y = 7 (0, 7) é um ponto da reta r. Distância de (0,7) à reta 3x – y – 13 = 0:
9
0 7 13 9 1
20
10
RESPOSTA: Alternativa a. 15 - O mapa de uma certa região foi colocado em um sistema de coordenadas cartesianas. A reta r de equação x – 2y + 4 = 0 representa uma estrada que passa perto de uma atração turística de difícil acesso que esta localizada no ponto P(10 ; – 3). Deseja-se construir um novo acesso ligando o ponto Q da estrada r a atração localizada no ponto P, em linha reta, com o menor comprimento possível. Determine o ponto Q. a) ( 6 ; 5 )
b) ( 5 ; 6 )
c) ( 6 ; 7 )
d) ( 7 ; 6 )
e) ( 5 ; 7 )
RESOLUÇÃO: A distância entre a reta r: x – 2y +4 = 0 e o ponto P(10, – 3) é: 10 6 4 20 d 4 5 OP 4 5 4 1 5 x 4 2
Q r Q x,
x 4 A distância de Q x, a P 10,3 é 4 5 . 2 2
2
5 x 2 60 x 500 x 4 x 10 2 ( x 10) 80 3 4 5 x 20 x 100 4 5 4 2 2 2
5 x 2 60 x 180 0 x 2 12 x 36 0 ( x 6) 2 0 x 6 x 6 y
64 2
x 6 e y 5
RESPOSTA: Alternativa a.
10
