Resolução dos Problemas 1 e 2

Departamento de Engenharia Civil

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS 1 E 2

Eng. José Monteiro

Setembro de 2009

Problema 1

Considere o pavimento representado em planta e em corte na figura seguinte. A laje, com 0.15 m de espessura, apoia nas vigas V1 e V2 com as dimensões indicadas em corte. Estas vigas apoiam nos pilares sendo o seu modelo de cálculo o representado. Na resolução do problema considere as acções do peso próprio das vigas e da laje, o revestimento desta (1.0 kN/m2) e uma sobrecarga de 2.0 kN/m2. Planta P1

P1

Modelo Estrutural das vigas

P1

A

C B

V1

V2

P2

6.0

V1

P2

6.0

P2 2.0 2. 0

γG

Corte

Para a viga V2:

2.0

= 1.35, γQ = 1.5

ψ0 4.0

D

= 0.7, ψ1 = 0.5, ψ2 = 0.3

4.0

0.60

a) Determinar os valores 0.25 da carga permanente e da sobrecarga que actuam sobre a 0.15 viga. b) Trace os diagramas de esforços para a carga permanente e para para a sobrecarga. c) Determinar os valores valores de cálculo cálculo dos dos esforços actuantes nas nas secções γG =

1.35, γQ = 1.5

ψ0 =

0.7, ψ 1 = 0.5, ψ 2 = 0.3

Para a viga V2: a) Determinar os valores da carga permanente e da sobrecarga que actuam sobre a viga. b) Trace os diagramas de esforços para a carga permanente e para a sobrecarga. c) Determinar os valores de cálculo dos esforços actuantes nas secções determinantes para a verificação da segurança aos Estados Limites Últimos. d) Determine os momentos flectores actuantes na secção C, correspondentes aos Estados Limites de Utilização.

Resolução

a) Determinar os valores da carga permanente e da sobrecarga que actuam sobre a viga. Para a obter a carga distribuída sobre V2 é necessário determinar a reacção da laje em V2, o que pode ser feito considerando uma secção transversal da laje apoiada nas três vigas (apoios simples). Se imaginarmos essa secção transversal com a largura de 1m, as reacções nos apoios vem logo por metro de comprimento também. Reacções de apoio no corte transversal:

A reacção no apoio extremo é R A

=

3 8

× p× L,e no apoio central

3

R × p× L) B = 2 × ( 8

A banda de laje que, em cada vão adjacente, descarrega na viga V2 é: 5 8

× L =

5 8

×4=

.

2 5m

As cargas actuantes na viga são:

•

pp da viga

Carga Permanente 3 1 × 0.60 m × 25 K = 3.75 K−m PPV= 0.25 m K−m

pp da laje

3 1 PPL m 25 K−m = ( 2 × 2.5 m − 0.25 )m× 0.15 × = 17.8 K−m

revestimento

2 1 REV= 5.0 m × 1.0 K−m = 5.0 K−m

CP = PPV + PPL + REV = 3.75 + 17.8 + •

sobrecarga

.

5 = 26 6Km

Acções Variáveis SB = 5.0m × 2.0 Km −2 = 10.0 Km−1

SB = 10.0 Km−1

−1

b) Trace os diagramas de esforços para a carga permanente e para a sobrecarga. •

Carga Pe manente CP W1= 26,6KN/m ΣM A = 0

CP × 8m × m − R B × 6 m = 0 R B =

.

26 6

m−1 × 8 m× 4 m = 141.87 K 6m

Σ F V = 0

CP × 8m − R A = 0 R A = 26.6

1 ×8 m − 141.87 K −m

R A = 70.93 K

M max = R A × 2.67

− CP × 2.67 m ×

M max = 94.58 K m M B = −CP × 2.0 M B = −53.2 K

×

.

2 0m 2

=

.

2 67 m 2

=

Cargas V riáveis

•

CASO 1 – SB actuando no 1º vão SB=W1 = 10,0KN/m R = R B =

M max =

SB × L2 8

=

10 × 6 8

2

=

.

5 0 Km

SB × 6m 2

= 30.0 K

CASO 2 – SB actuando no 2º vão SB=W1 = 10,0KN/m ΣM A = 0

SB × 2m × 7 m − R B × 6m = 0 R B =

.

10 0

m−1 × 2 m× 7 m = 23.3 K 6m

Σ F V = 0

SB × 2 m − R A = 0 R A = 10.0

−1 ×2 m − 23.3 K m

R A = −3.3 

M B = − SB × 2.0 m × M B = −20.0 Km

.

2 0m 2

=

CASO 3 – SB actuando nos dois vãos SB=W1 = 10,0KN/m

As reacções e diagramas de esforços obtêm-se imediatamente, a p rtir dos valores obtidos para a Carga Permanente, fazendo: Ed ( SB SB) = Ed ( CP CP) ×

SB CP

c) Determinar os valores de cálculo dos esforços actuantes nas secções determinantes para a verificação da segurança aos Estados Limites Últimos. •

COMB

Combinações possíveis

CARGA PERMANENTE

1

2

3

4

•

Combinações condicionantes

Combinação 2:

V Ed, A; M Ed, B

Combinação 4:

V Ed ;V Ed, C didirM Ed, C Ed, C es es q

SOBRECARGA

•

Combinação Combinação 2 CP W1= 1,35x26,6KN/m SB=W2= 1,5x10,0KN/m

•

Combinação 4 CP W1= 1,35x26,6KN/m SB=W2= 1,5x10,0KN/m

Determine os momentos flectores actuantes na secção C, corre pondentes aos Estados Limites de Utilização.

Combinação Característica M car,C = 53, 20 Km + 20, 0 K m = 73, 2 Km

Combinação Frequente M freq = 53, 2 Km + 0, 5 × 20,

K=m63, 2

Km

Combinação Quase-per anente M freq = 53, 2 Km + 0, 3 × 20,

K=m59, 2

Km

Problema 2 Para a caracterização das propriedades mecânicas de um betão em duas situações diferentes foram moldados cubos de 150x150x150 mm3. Numa situação foram moldados 3 cubos e noutra 15 cubos. Os cubos foram ensaiados aos 28 dias de idade tendo-se obtido os resultados que em seguida se apresentam. Situação a

Provete

1

2

3

Carga de Rotura (kN)

669

685

665

Situação b

Provete

1

2

3

4

5

6

7

8

9


677

687

666

658

597

672

656

620

667

Provete

10

11

12

13

14

15


678

683

657

673

601

692

Determine para ambas as situações: a) Tensão de rotura dos provetes provetes e tensão média de rotura à compressão. b) Tensão característica característica de rotura rotura à compressão. c) Classifique o betão.

Resolução Situação a

•

a) Tensão média de rotur à compressão.

rovete

1

2

3


669

685

665

Tens o de Rotura (MPa)

29.7

30.4

29.6

O valor médio da tensão d rotura à compressão do betão vem dado por: f cm,cubos =

Σ f ci,cubos

n

=

.

29 7

+3

.4 + 29.6 3

= 29.9 MPa

b) Tensão característica e rotura à compressão.

- Valor característico da resistência à compressão betão e que definida como: Valor da resistência cuja probabilidade de ser excedida é de 95 , ou, valor da resistência cuja probabilid de de não ser excedida é de 5%. ck

Da NP EN 206.1 tem-se:

Logo, para o caso dos três ensaios executados devem verificar-se o dois seguintes critérios:

Critério 1: f ≥

cm

f + 4 → 29.9 ≥

ck

f + →

ck

≤ f 25.9

ck

MPa

Critério 2 : − 4 → cfk ≤ cicfi + 4 fci ≥ fck ck

Das duas condições result

ck

≤f 29.6 + 4 →

ck

f= 25.9

c) Classifique o betão. De acordo com a NP EN 206.1:

25MPa

≤ f ck ,cubos ≤ 30 MPa

Trata-se então de um betão C20/25

MPa

ck

≤f 33.6

MPa

•

Situação b

a) Tensão média de rotura à compressão.

Provete

1

2

3

4

5

6

7

8

9


677

687

666

658

597

672

656

620

667

Tensão de Rotura (MPa)

30.1

30.5

29.6

29.2

26.5

29.9

29.2

27.6

29.6

Provete

10

11

12

13

14

15


678

683

657

673

601

692


30.1

30.4

29.2

29.9

26.7

30.8

O valor médio da tensão de rotura à compressão do betão vem dado por: Σ f ci,cubos

1

× (30.1 + 30.5 + 29.6 + 29.2 + 26.5 + 15 n +29.9 + 29.2 + 27.6 + 29.6 + 30.1 + 30.4 + 29.2 + 29.9 + 26.7 + 30.8) = 29.3MPa

f cm,cubos =

=

b) Tensão característica característica de rotura rotura à compressão. Para o caso dos 15 ensaios executados devem verificar-se os dois seguintes critérios:

Critério 1: f cm ≥ f ck + 1.48 × σ

O valor do desvio padrão vem dado por: n

σ

=

Σ ( f ci − f cm )

2

i =1

n −1

Tem-se: n

Σ ( f ci − f cm ) = (30.1 − 29.3) + (30.5 − 29.3) + ( 29.6 − 29.3) + ( 29.2 − 29.3) + (26.5 − 29 .3) + (29 .9 − 29 .3) + 2

2

2

2

2

2

2

i =1

( 29.2 − 29.3) ( 26.7 − 29.3)

2

+ ( 27.6 − 29.3) + ( 29.6 − 29.3) + (30.1 − 29.3) + (30.4 − 29 .3) + ( 29.2 − 29 .3) + (29 .9 − 29 .3 ) +

2

+ (30.8 − 29.3) = 24.60

2

2

2

donde, n

σ

=


2

i =1

n −1

=

.

24 60 14

= 1.33MPa

2

2

2

2

Então, cm

≥

ck

f+ 1.48 × σ →

ck

f≤

cm

f− 1.48 × σ →

ck

f≤ 29.3 − 1.48 × 1.33 →

Critério 2 : f≥

ci

f −4→

ck

f ≤

ck

f+

ci

4

→

f ≤ 26.5 + 4 →

ck

f ≤ 30.5 MPa

ck

Para verificação simultânea das duas condições terá de ser ck

= 27.3MPa

c) Classifique o betão. De acordo com a NP EN 206.1 tem-se: 25MPa

≤ f ck ,cubos ≤ 30 MPa


ck

f≤ 27.3

MPa

Problema 2A Para a caracterização das propriedades mecânicas de um betão foram moldados cilindros de 150mm de diâmetro por 300mm de altura. Consideraram-se duas situações distintas, tendo sido moldados 3 cilindros numa e 15 noutra. Os cilindros foram ensaiados aos 28 dias de idade tendo-se obtido os resultados que em seguida se apresentam. Situação A

Provete

1

2

3


512

636

674

Situação B

Provete

1

2

3

4

5

6

7

8

9


550

574

601

587

557

634

590

638

566

Provete

10

11

12

13

14

15


604

555

571

604

587

516

Determine para ambas as situações: d) Tensão de rotura dos provetes provetes e tensão média de rotura à compressão. e) Tensão característica característica de rotura rotura à compressão. f) Classifique o betão.

Resolução Situação A

•

a) Tensão média de r tura à compressão.

rovete

1

2

3


512

636

674

Tens o de Rotura (MPa)

29.0

36.0

38.1

O valor médio da tensão d rotura à compressão do betão vem dado por: f cm,cyl =

Σ f ci,cyl

n

=

29.0 + 36.0

38.1

3

= 34.4MPa

b) Tensão característica de rotura à compressão. Da NP EN 206 tem-se:

Logo, para o caso dos três ensaios executados devem verificar-se o dois seguintes critérios:

Critério 1: f ≥

cm

f + 4 → 34.4 ≥

ck

f + → ck ≤ f 30.4

ck

MPa

Critério 2 : fci ≥ fck ck − 4 → fck ≤ fci ci + 4

Das duas condições result

ck

≤f 29.0 + 4 →

ck

≤ f 30.4

MPa

ck

≤f 33.0

MPa

c) Classifique o betão. De acordo com a NP EN 206.1:

30 MPa

≤ f ck ,cyl ≤ 35MPa


Situação B

•

a) Tensão média de rotura à compressão.

Provete

1

2

3

4

5

6

7

8

9


550

574

601

587

557

634

590

638

566


31.1

32.5

34.0

33.2

31.5

35.9

33.4

36.1

32.0

Provete

10

11

12

13

14

15


604

555

571

604

587

516


34.2

31.4

32.3

34.2

33.2

29.2

O valor médio da tensão de rotura à compressão do betão vem dado por: f cm,cyl =

Σ f ci,cyl

n

=

1 15

× (31.1 + 32.5 + 34.0 + 33.2 + 31.5 +

+35.9 + 33.4 + 36.1 + 32.0 + 34.2 + 31.4 + 32.3 + 34.2 + 33.2 + 29.2) = 32.9MPa

d) Tensão característica característica de rotura rotura à compressão. Para o caso dos 15 ensaios executados devem verificar-se os dois seguintes critérios:

Critério 1: f cm ≥ f ck + 1.48 × σ

O valor do desvio padrão vem dado por: n

σ


2

i =1

=

n −1

Tem-se: n

Σ ( f ci − f cm ) = (31.1 − 32.9) + 2

(32.5 − 32 .9 )

2

2

i =1

(33.4 − 32.9) (33.2 − 32.9)

+

(34 .0 − 32 .9 )

2

+

(33 .2 − 32 .9 )

2

+

(31 .5 − 32 .9 )

2

+

2

+ ( 29.2 − 32.9) = 46.7

2

n

2

2

2

2

2

2

i =1

n −1

=

46.70 14

= 1.83MPa

Então, cm

≥

ck

+

+ ( 36.1 − 32 .9 ) + (32 .0 − 32 .9 ) + (34 .2 − 32 .9 ) + (31 .4 − 32 .9 ) + (32 .3 − 32 .9 ) + (34 .2 − 32 .9 ) +


=

2

2

donde,

σ

(35 .9 − 32 .9 )

f+ 1.48 × σ →

ck

f≤

cm

f− 1.48 × σ →

ck

f≤ 32.9 − 1.48 × 1.83 →

ck

f≤ 30.2

MPa

2

Critério 2 : f≥

ci

f − 4 → cfk ≤

ck

f+

ci

4

→

f ≤ 29.2 + 4 → cfk ≤ 33.2 MPa

ck

Para verificação simultânea das duas condições terá de ser ck

≤= 30.2 MPa

e) Classifique o betão. De acordo com a NP EN 206.1 tem-se: 30 MPa

≤ f ck ,cyl ≤ 35MPa


Resolução dos Problemas 1 e 2

Recommend Documents