Resistencia de Materiales II - Ecuación de Los Momentos .

______________________ _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________ ____

L ANDEO ANTEZANA, S ANDRO UNIVERSIDAD N ACIONAL DE HUANCAVELICA CIVIL – HUANCAVELICA HUANCAVELICA

Huancavelica – Perú Perú ______________________ _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________ ____

[email protected]

INGENIERÍA CIVIL

S ANDRO L ANDEO A.

_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

W

P

i

j

Iij=I ji Mi

Lij

I jk=Ikj

k

Ljk

M j

MK

 ∗ +  ∗    +   +  ∗  =   ∗∗ ∗ ∗ã    ∗  ∗ ∗ ã  t1

t2

i

j Mi

Lij

M

k Ljk

MK

 ∗  +  ∗  ( +  ) +  ∗   = .  ..  + .   :: ó     : diferencia entre las temperaturas de las fibras inferiores y superiores. UNH

RESISTENCIA DE MATERIALES II

2

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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

W

P

yi i

y j j

Iij=I ji Mi

Lij

yk I jk=Ikj Ljk

M j

k MK

∆ =  ∆ =   ∆=   ∗ +  ∗    +   +  ∗  +  ∗ ∗ ∗ã  +  ∗∗  ∗ ∗ ã  =  ∗  ∗ ∗ ∆  ∆ + ∆   ∆  ∗ +  ∗    +   +  ∗  +  ∗ ∗ ∗ã  +  ∗∗  ∗ ∗ ã      =  ∗  ∗ ∗  +   MM ∶∶ Moment Momentoo enen elel puntpuntoo oo apoyo apoyo ji ML L∶ongiMomenttud delo entrelamopuntooeloementapoyoo kij; L  = L LI L Longiongitutudddeldeltrtarmoamoooelelementementooij;jkI;L = I= L I Longitud del tramo o elemento jk; I  = I

UNH


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Para la viga mostrada calcular:

∆ = 1,∆ = 0.4 ,∆ = 0.6   = 5000   2

Dibujar el Diagrama de Fuerzas Cortantes y Diagrama de Momentos Flectores debidamente acotado: Considerar y . 12 tn

18

3 tn/m

tn A

B

2I 6m

C 4m

2m

E

3I

F

I

I 8.0 m

16 m

12m

____________________________________ _____________________________________________________ _________________________________ ________________________ ________

′

Viga real empotrado

Representación Representació n del empotrado 18

18 tn A

I=infinito c

B

2I 6m

L=0m

Diagrama de momentos máximos según el tipo de carga 6m

B

A'

2m

c

B

A

A'

2m

A

tn 2I

2m

6m

análisis de asentamiento

A'

A

B

c

c 1cm

27

Aplicando la ecuación de los tres momentos para el tramo.

 ∗ + 2  +  ++    + 6 ∗∗ ∗ ∗ā1 + 6 ∗∗ ∗ ∗ā2 = 6 ∗  ∗ ℎ + ℎ UNH


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

 ∞0  + 2 ∗ 1∞0 + 28∗  2+  2 81∗  + 0 + 6 1 2∗  ∗ 27 ∗ 6 ∗ 3 ∗ 62+∗∗2 ∗∗ 827 ∗ 2 ∗ 6 + 3 ∗ 2 = 6 ∗  ∗ 00 + 8001  4 ∗∗  + 4 ∗  + 189189 = 66 ∗  ∗  ……………………. .  1 

______________________ _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________ ____

Viga real

12 tn 18 tn

A

3 tn/m

B

2I 6m

c

E

3I 4m

2m

12m

Diagrama de momentos máximos según el tipo de carga 12 tn

18 6m

2I

tn

12m

4m

2m

B

A

27

E

3I

c

36 3 tn/m

2I A

B

c

E

3I

96

Análisis de asentamiento

UNH


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

C

A

0.4cm

E

1.0 cm


M LI  + 2 ∗ M LI + LI + M LI + 6 ∗A∗IA ∗ L∗ā1 + 6 ∗A∗IA ∗ ∗Lā2 = 6 ∗ E ∗ Lh + Lh M 218∗∗  + 2 ∗M∗ M2 2 8∗  + 1316∗  + M 316∗ 1 + 66 2 ∗ 27 ∗ 6 ∗ 3 ∗ 22+∗2 ∗8∗∗ 82727 ∗2∗ 2 ∗2∗ 2 + 3 ∗ 6 2 1 2 1 1 ∗ 16 ∗ 96 9 6 ∗8 ∗ 8 + ∗ 3 6 ∗4 ∗ 4 ∗ ∗  ∗ 4  + ∗ 36 ∗ 12 1 2 ∗4 ∗ 4 + ∗ 12 3 2 3 2 3 + 66   3 ∗∗  ∗ 16 = 6 ∗ E ∗ 8001 + 16000.6  4 ∗M∗ M +  ∗ M +  ∗ M + 1399 = 6 ∗ EI∗EI ∗  + . …………. .  2 CEF

______________________ _________________________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________ ___ TRAMO

Viga real

12 tn 3 tn/m

C

E

3I 4m

12m

I

F

16 m

Diagrama de momentos máximos de carga puntual y distribuida

UNH


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ 12 tn 12m

4m

C

E

3I

36

C

16 m

F

I

3 tn/m

E

3I

I

F

96

96

Análisis de asentamiento asentamiento C

0.4 cm

E

F 0.6 cm

1cm

Reemplazamos en la ecuación.

M LI + 2 ∗ M LI + LI + M LI + 6 ∗IA ∗ ∗Lā2 + 6 ∗A∗IA ∗ ∗Lā1 = 6 ∗ E ∗ Lh + Lh M 3162∗∗  + 2 ∗ M 316 1∗∗  + 16 + M 16 1 1 2 ∗ 16 ∗ 96 9 6 ∗8 ∗ 8 + ∗ 36 3 6 ∗4 ∗ 4 ∗1 ∗ 12 2 + ∗ 4  + ∗ 3 6 ∗ 1 2 ∗ ∗  ∗ 1 2  3 2 3 2 3 + 66   3 ∗  ∗ 16 2 + 66 3 ∗ 16∗∗1696 ∗8∗ 8 = 6 ∗ E ∗ 16000.6 + 16000.2 163 M + 1283 M + 16M + 13613600 + 3072 3072 = 6∗6 ∗ E∗E ∗ 16000.8 

El voladizo que existe en el extremo libre del tramo FG, lo convertimos en un momento para el apoyo móvil “F” la cual será el

momento negativo en

dicho apoyo y reemplazamos en la ecuación anterior. UNH


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

 = 3 ∗ 8 ∗  = 96     M +  M + 169 16966++ 13613600 + 30730722 = 6∗6 ∗ E ∗ .   M +  M + 289 28966 = 6∗6 ∗ E ∗ . …………………………………3

______________________ _________________________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________ ___ Juntando las tres ecuaciones

4 ∗∗  + 4 ∗  + 189189 = 66 ∗  ∗   ……………………. .  1 4 ∗M∗ M +  ∗ M +  ∗ M + 1399 = 6 ∗ EI∗EI ∗  + . …………. .  2  M +  M + 289 28966 = 6∗6 ∗ E ∗ . …………………………………3 1800 18  189 9  6 ∗    ∗ ∗  44 56/34 16/30  ∗∗  = 13 1 0. 6  1399 99 + 6 ∗EI ∗ EI∗ ∗  +  800 1600 0 16/3 128/3  28 0. 8  2896 96  6 ∗ EI E I ∗  1600 ] [ 1800 18  189 9  6 ∗ 500 5 000 0 ∗ ∗  44 56/34 16/30  ∗  = 1399 1 0. 6 1 399 + 6 ∗500 ∗ 5000 0 ∗  +  800 1600 0 16/3 128/3  289 0. 8 2 896 6  6∗ 6 ∗ 5000 50 00 ∗ ∗  1600 ] [ 44 56/34 16/30  ∗  = 453/2  5401/4 0 16/3 128/3  − 2911  = 44 56/34 16/30  ∗ 453/2  5401/4  0 16/3 128/3 2911  =  54.2.2376794821     61.44196    UNH


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

______________________ _________________________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________ ___ Teniendo los momentos pasamos a calcular las fuerzas cortantes en cada extremo de la viga utilizando la siguiente gráfica y formula. P

W

a

Mij

i

j

Mji

Mij

Mji Mj i

Lij

Carga Puntual

Carga Distribuida Qij

j

i

Lij

b

Qji

Qij

Qji Qji

Cortante debido a las cargas

 = + ∗ ;   = ∗ 

 = + ∗ ;   = ∗

 =    ∗ (   ) ……………………   =      ∗ (   ) ……………………

______________________ ____________________________________________ __________________________________ _______________________ ______________ ___

Reemplazamos los valores y las cargas en la formula.

  =      ∗     = + 188∗ 2  2.34821  854.27679   =    ∗     =  188∗ 6  2.34821  854.27679 

4 4196  =    ∗    = + 12∗1216 + 3 ∗216  54.2767961.  16 4 4196  =    ∗    =  1216∗ 4  3 ∗216  54.2767961. 16 

 =    ∗    = + 3 ∗216  61.4419616 96  =    ∗    =  3 ∗216  61.4419616 96  UNH


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

  == 19.1.999107142857   910714286 9 10714286     == +32.27.54521763393    478236607     == 26.+21.18598772321 401227679 

______________________ _________________________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________ ___

Diagrama de fuerzas cortantes 32.55218 ton 21.84012 ton 20.55218 ton

24.000 ton

8.55218 ton

A

B E

C

G

F

1.99107 ton 26.15988ton

19.99107 ton

27.44782 ton

Diagrama de Momento Flector - 54.27679 54.27679 t-m t-m - 61.44196 61.44196 t-m t-m

- 61.44196 61.44196 t-m t-m -96.000t-m

- 14.29464 14.29464 t-m t-m - 2.34821 2.34821 t-m t-m

B

A

G

F

E

C

18.05653 t-m 51.93192 t-m 64.12187 t-m

UNH


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Para la figura mostrada se tiene una carga uniformemente distribuida de1.2 ton/m se pide.

∆ = 11, ∆∆ =

0.0.44 , ∆∆ = 0.0.88 , ∆∆ = 0.0.66  Dibujar

el

DMF

Y

DFC:

Considerar y una sección de la viga de 70*90 cm con con resistencia a la compresión de f’c =210kg/cm2. =210kg/cm2. 1.2 tn/m

A

2I

B

I

C

3m 0.4 cm

4m

3m

D

I

5m

I

F

1m 0.6 cm

0.8 cm

1 cm

E

I

Asentamientos en los apoyos de la viga

CALCUOS PREVIOS.

   ∗ℎ ∗ ℎ 0 . 7 0∗ 0 ∗ 0. 90 9 0  = 12 = 12 = 0.042525   = 1500 150000 ∗  ′ = 1500 150000 ∗ √210 210 = 217370.651193 /   = 217370. 217370.651193 51193∗∗ 0.042525 42525 = 9243.686942 686942   

______________________ _________________________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________ ___ TRAMO A’AB

1.2 tn/m

1.2 tn/m I=inf.

A

2I 3m

UNH

A

B A'

0m

2I

B

3m


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Diagrama de momentos máximos debido

Análisis de asentamiento

a la carga distribuida

1.2 tn/m

A'

B A'

A

B 1 cm

A

1.35 Aplicando la ecuación de los tres momentos para el tramo.

 ∗ + 2  +  +    + 6 ∗ ∗ ∗ā1 + 6 ∗∗ ∗ ∗ā2 = 6 ∗  ∗ ℎ + ℎ        + 2 ∗   + ∗ +  ∗ + 0 + 6 ∗ ∗.∗∗∗∗.. = 6 ∗  ∗  + −     2 ∗∗  ∗ +  ∗ + 0 + 6 ∗ ∗.∗∗∗∗.. = 6 ∗  ∗ −  3 ∗∗  + 32 ∗∗  + 4.0500 = 6∗  ∗  3001 ……………….  1

______________________ _________________________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________ ___ TRAMO ABC Asentamiento y viga 1.2 tn/m

A

2I

B

I

C

4m

3m

0.4 cm 1 cm

UNH


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Diagrama de momentos máximos debido a la carga distribuida

1.2 tn/m

A C

B 2.4

1.35


M LIBBB  + 2 ∗ MB LIBBB + LIBB + M LIBB + 6 ∗IABB ∗ ∗Lā1BB + 6 ∗A∗IABB ∗ ∗Lā2BB = 6 ∗ E ∗ LhB + LhB 2 3 3 4 4 M 2 ∗I∗ I + 2 ∗ MB 2 ∗ I + I + M I +6+ 6 ∗ 3 ∗ 1.35325∗∗∗3∗ 3∗ ∗∗3 1.1.5 + 6 2∗ 3 ∗ 2.4040 ∗4∗ 4 ∗∗ 2 = 6 ∗ E ∗  1 + 0.6  4 ∗∗  300 400  M + 11 ∗ MB + 4 ∗ M + 23.3.2 2525 = 6 ∗ EIEI ∗  + .……………………. .  2

______________________ _________________________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________ ___ TRAMO BCD Asentamiento y viga 1.2 tn/m

B

I 4m

1 cm

UNH

C

I

D

3m 0.4 cm 0.8 cm


13

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S ANDRO L ANDEO A.

_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Diagrama de momentos máximos debido a la carga distribuida

1.2 tn/m

C

B

D 1.35

2.4


MB LIBBB  + 2 ∗ M LIBBB + LIDD + MD LIDDD + 6 ∗A∗IABB ∗ ∗Lā1BB + 6 ∗A∗IADD ∗ ∗Lā2DD = 6 ∗ E ∗ LhBB + LhDD 2   ∗ 2 . 4 0 ∗ 4 ∗ 2 4 4 3 3 3 MB I + 2 ∗M∗ M I + I + MD I + 6 ∗  4 ∗∗   + 6 2∗ 3 ∗ 1.3535 ∗3∗ 3 ∗ 1.1.5 = 6 ∗ E ∗ 0.6 + 0.4 ∗3 400 300 4 ∗M∗ MB + 14 ∗ M + 3 ∗ MD + 27.7.2 3030 = 66 ∗EI∗ EI∗∗ . + .…………………3

_____________________ ________________________________ ______________________ _______________________ _______________________ _______________ ____

TRAMO CDE

UNH


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

1.2 tn/m

C

D

I

I

3m 0.4 cm

E

5m 0.6 cm

0.8 cm

Asentamientos en los apoyos de la viga Diagrama de momentos máximos debido a la carga distribuida

1.2 tn/m

C E

D 3.75

1.35 Aplicando la ecuación de los tres momentos para el tramo.

M LIDD + 2 ∗ MD LIDD + LIDD + M LIDD + 6 ∗IADD ∗ ∗Lā1DD + 6 ∗A∗IADD ∗ ∗Lā2DD = 6 ∗ E ∗ LhD + LhD M = 0.6        . 2   ∗ 1 . 3 5 ∗ 3 ∗ 1. 1 . 5 3 3 5 3 3 M I  + 2 ∗ MD I + I + M I + 6 ∗   ∗3∗ 3  + 6 2∗ 3 ∗ 3.7575 ∗5∗ 5 ∗∗ 2.2.5 = 6 ∗ E ∗  0.4 + 0.2  5 ∗∗  400 300 PERO

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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

2   ∗ 1. 1 . 3 5 ∗ 3∗ 3 ∗ 1. 5 3 3 ∗M∗ M + 1616 ∗M∗ MD + 00.6 ∗ 5 + 6 ∗∗   ∗ 3  + 6 2∗ 3 ∗ 3.7575 ∗5∗ 5 ∗ 2.2.5 = 6 ∗ EI ∗  0.4 + 0.2  5 ∗∗  400 300 3 ∗M∗ M + 1616 ∗M∗ MD + 42.42.600 = 6∗6 ∗ EI∗EI ∗ . + .………………….  4

______________________ _________________________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________ ___ Juntando las tres ecuaciones

3 ∗∗  +  ∗∗  + 4.0500 = 6 ∗∗  ∗ −……………….  1  M + 11 ∗ MB + 4 ∗ M + 23.3.2 2525 = 6 ∗ EIEI ∗  + .……………………. .  2 4 ∗M∗ MB + 14 ∗ M + 3 ∗ MD + 27.7.2 3030 = 66 ∗EI∗ EI∗∗ . + .…………………3 3 ∗M∗ M + 1616 ∗M∗ MD + 42.42.600 = 6∗6 ∗ EI∗EI ∗ . + .………………….  4 4.050050  6 ∗  ∗130010.6 33/2 3/211 04 00  ∗∗  = 23  23. . 2 5 + 6 ∗ EI E I ∗  +  300 400 00 40 143 163  27 27..30  6 ∗ EIEI ∗ 4000.0.64 + 3000.0.42 42..600+00 + 6 ∗ EI ∗ 400 + 300] [42 4.050  6 ∗ 9243.686942 ∗13001 0.6 33/2 3/211 04 00  ∗  = 23.25+ 6 ∗ 9243.686942 ∗ 300 + 400 00 40 143 163  27.30 6 ∗ 9243.686942 ∗ 4000.6 + 3000.4  [42.600 + 6 ∗ 9243.686942 ∗ 4000.4 + 3000.2 ] UNH


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33/2 3/211 04 00  ∗  = 188. 9 2374 +244. 8 1692  4 4268 00 40 143 163  184. +53. 5 3434  = 3/2 3 3/211 04 00 − ∗ 188. 9 2374 +244. 8 1692   00 40 143 163 184. 4 4268 +53.53434  == 84.+43.8895184119     == 27.+8.5506530 2336     = 0.600000 00000  

______________________ _________________________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________ ___ Teniendo los momentos pasamos a calcular las fuerzas cortantes en cada extremo de la viga utilizando la siguiente gráfica y formula. W

Mij

i

j

Mji

Lij

Carga Distribuida Qij

Qji

Cortante debido a las cargas

 = + ∗ ;   = ∗ 

 =    ∗ (   ) ……………………   =      ∗ (   ) ……………………

______________________ ____________________________________________ __________________________________ _______________________ ______________ ___

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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Reemplazamos los valores y las cargas en la formula.

  =      ∗     = + 1.1.22∗ 3  84.89518 3+43.84119  =     ∗     =  1.22∗3  84.89518 3+43.84119  =    ∗    = + 1.1.22∗ 4  +43.84119 427.52336  =    ∗    =  1.22∗4  +43.84119 427.52336  =    ∗    = + 1.1.22∗ 3  27.52336 3+8.506530  =    ∗    =  1.22∗3  27.52336 3+8.506530  =    ∗    = + 1.1.22∗ 5  +8.506530 5 0.60000  =    ∗    =  1.22∗5  +8.506530 5 0.60000   == +44.+41.7112121212  == +10.+13.2809960996   == 20.15.244114 4114   == +1.4.187869    2131 

______________________ _________________________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________ ___

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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Diagrama de fuerzas cortantes 44.7121ton

41.112ton

13.81 ton 10.21ton 1.178ton

A

C

B

1.2 ton

F

E

D

-15.44ton 4.821 ton -20.24ton

Diagrama de Momento Flector -84.8952 ton-m -27.523ton -0.600 ton-m

D

B A

C

43.8411ton-m

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F

E 8.507ton

9.085 ton-m


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_________________________ ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____



Resistencia de materiales I y II. (A. Arteaga. N, P. Iberico C, Gonzales, A. Mego C.)



Análisis estructural (Teoria y Problemas Resueltos, Ing. I ng. Biaggio Arbulú G.-UNI)



Calculo de Estructuras Hiperestáticas (Volumen II, Ing. Biaggio Arbulú G.-UNI)



Calculo de Estructuras Hiperestáticas (Volumen III, Ing. Biaggio Arbulú G.-UNI)



Apuntes de Clases de Resistencia de Materiales I y II – “Universidad Nacional de Huancavelica”

(2014-I, 2014-II) ING.

CABALLERO SANCHEZ, Omar. 

Apuntes de clases de Análisis Estructural I - II –“Universidad Nacional

de

Huancavelica

“2015-I,

ING. CABALLERO

SANCHEZ, Omar. 

Apuntes de Clases de Resistencia de Materiales I y II – “Universidad Nacional de Huancavelica” ING. BENDEZÚ BOZA,

Reyder E. 

Apuntes de clases de Análisis Estructural I – II –“Universidad Nacional de Huancavelica “2015-I,

ING. BENDEZÚ BOZA,

Reyder E.

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Resistencia de Materiales II - Ecuación de Los Momentos .

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