TOPOGRAFÍA AUOMATIZADA FACUL ACULT TAD DE INGE INGENIER NIERIA IA CIVIL CIVIL
ING. RANDO PORRAS OLARTE
Medición de ángulos.- En el desarrollo desarrollo de una trian triangulac gulación, ión, es importante determinar importante determinar el grado de precisión que se requiere y el objetivo de la red, red, en función a estos parámetros se puede fijar el método de medición de ángulos, pudiendo ser por repetición repetición para poca precisión y precisión y por reiteración reiteración para mayor precisión. precisión.
Compensación de Base ..- Después Después de finalizado la medición de una base de triangulación se procede a realizar a realizar las correcciones necesarias para luego compensar la base final.
Medición de ángulos.- En el desarrollo desarrollo de una trian triangulac gulación, ión, es importante determinar importante determinar el grado de precisión que se requiere y el objetivo de la red, red, en función a estos parámetros se puede fijar el método de medición de ángulos, pudiendo ser por repetición repetición para poca precisión y precisión y por reiteración reiteración para mayor precisión. precisión.
Compensación de Base ..- Después Después de finalizado la medición de una base de triangulación se procede a realizar a realizar las correcciones necesarias para luego compensar la base final.
Compensa Compe nsació ción n de áng ángulo ulos. s.-- Es una técn técnic icaa qu quee co cons nsis iste te en dist di strib ribuir uir eq equit uitat ativa ivame ment ntee lo loss er erro rore ress de ci cier erre re an angu gula lar r de d e t al manera que cumpla los principios los principios geométricos de geométricos de la suma interna de los ángulos, existen diferentes redes para compensar ángulos, loss mi lo mism smos os qu quee re requ quie iere renn tr trat atam amie ient ntos os es espe peci cial ales es en entr tree el ello loss tenemos: •Compensación para redes de triángulos simples. •Compensación para redes de cuadriláteros. •Compensación para redes de polígonos con punto central.
Red de Triángulos simples.simples.- Para Para compensar una red de triángulos podemos realizar de dos formas: •Co Comp mpen ensa saci ción ón de es estac tació iónn, cuando la suma de los ángulos alrededor del punto sea 360º. Se suma los ángulos alrededor del punto, punto, el resultado se resta 360o y la diferencia se divide entre el número de ángulos, luego se suma algebraicamente con el signo cambiado a cada ángulo, quedando compensado. •Compensación del triángulo, triángulo, comparar que la suma de los ángulos internos del sea 180º. Se suman los ángulos internos del triángulo, triángulo, del resultado se resta 180º esta diferencia se divide entre 3 y se suma algebraicamente con el signo cambiado a cada ángulo.
Compensar las siguientes redes de triángulos, los ángulos son promedios de una lectura por repetición. 1) 38o 20’ 6) 58o 07’ 11) 255o 29’ 2) 72o 40’ 7) 46o 25’ 12) 238o 43’ 3) 69o 02’ 8) 93o 14’ 13) 321o 39’ 4) 52o 14’ 9) 40o 23’ 14) 124o 29’ 5) 69o 38’ 10) 319o 36’
Para compensar una cadena de triángulos, tenemos que iniciar compensando
los vértices y luego por triángulos.
Vértice A 1 + 13 = 360° 38º 20’ + 321o 39’ = 360o 359o 59’= 360° Er.C = 359o 59’-360 = -1’ f c C = +1’/2 =30” sumando + 30” a los ángulos 1 y 13 38o 20’ 30’’ + 321o 39’ 30” = 360o 360° = 360o
Con el mismo procedimiento compensar los demás vértices. Vert
A
B
C
D
E
Angulos Lect. Campo
Compensado
1
38° 20’
38°20’30”
13
321°39’
321°39’30”
suma
359°59’
360°00’00”
2
72°40’
72°39’45”
5
69°38’
69°37’45”
8
93°14’
93°13’45”
14
124°29’
124°28’45”
suma
360°01’
360°00’00”
9
40°23’
40°23’30”
10
319°36’
319°36’30”
suma
359°59’
360°00’00”
6
58°07’
58°06’40”
7
46°25’
46°24’40”
11
255°29’
255°28’40”
suma
360°01’
360°00’00”
3
69°02’
69°02’20”
4
52°14’
52°14’20”
12
238°43’
238°43’20”
suma
359°59’
360°00’00”
Compensando por i=180°, Se suma los ángulos internos, la diferencia que existe al restar 180° se divide entre 3, el resultado se suma o resta a cada ángulo.
ABE
BDE
BCD
Comp. de Vert. Vert. Compensado
1
38°20’30”
38°19’38.333”
2
72°39’45”
72°38’53.333”
3
69°02’20”
69°01’28.333”
suma
180°02’35”
180°00’00”
4
52°14’20”
52°14’45”
5
69°37’45”
69°38’10”
6
58°06’40”
58°07’05”
suma
179°58’45”
180°00’00”
7
46°24’40”
46°24’01.666”
8
93°13’45”
93°13’06.666”
9
40°23’30”
40°22’51.666”
suma
180°01’55”
180°
COMPENSACION DE UNA RED DE CUADRILATEROS. Dentro de la lectura de ángulos de una red de cuadriláteros se tiene los ángulos internos que sumado debe ser 360°, para ello se tiene en cuenta las siguientes propiedades: •Propiedad geométrica o de figura. •Propiedad trigonométrica o de lado.
Condición Geométrica.- Un cuadrilátero puede descomponerse en varios triángulos, los mismos que se encuentran superpuestos entre sí. En la figura se tiene los siguientes triángulos:
ABC, ACD, ABD, BCD, en cada uno de ellos la suma de los ángulos debe ser 180°. ABC = 3+4+5+6 = 180°0´ 0´´ ACD = 2+7+8+1 = 180°0´ 0´´ ABD = 1+2+3+4 = 180°0´ 0´´ BCD = 5+6+7+8 = 180°0´ 0´´
Otras de las condiciones geométricas que debe cumplir, que la suma de sus ángulos de los cuadriláteros debe ser 360°. ABCD = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 360° 0´ 0´´
Además geométricamente se dice que los Ángulos opuestos por el vértice y en la intersección de las diagonales deben ser iguales. •
1+2 = 5+6 3+4 = 7+8
La secuencia para compensar un cuadrilátero es: 1. Las lecturas de los ángulos del cuadrilátero deben ser el promedio de mediciones por reiteración o repetición. 2. La suma de los ángulos debe ser 360°0´ 0´´, si existe discrepancia, esta se divide entre 8 y se suma algebraicamente con signo cambiado a cada ángulo. 3. Se compara los ángulos opuestos por el vértice en la intersección de las diagonales, estas deben ser iguales, la discrepancia se divide entre 4, el cociente se compensa a cada ángulo, aumentando a los dos cuya suma es menor, y disminuyendo a cuya suma es mayor.
Condición Trigonométrica.- Para el cálculo de lados de un triángulo, los lados están en función al seno opuesto, por lo tanto la condición trigonométrica es, la suma de los Logaritmos Seno de los ángulos impares debe ser igual a la suma de los Logaritmos Seno de los ángulos pares. (Lg Sen ángulos imp). = (Lg Sen ángulos par).
El procedimiento a seguir después de la compensación Geométrica es como a continuación se indica: 1.- Anotamos los ángulos pares e impares en su columna respectiva. 2.- Calculamos el Logaritmo Seno para cada ángulo. 3.- Hallamos la diferencia tabular para un segundo en el sexto lugar decimal.
Ejempo La diferencia tabular de 38°20’18” es: Log Sen 38°20’18” = 9.792604541, La diferencia tabular para un segundo será restando del ángulo inmediato superior ó el inferior. Log Sen 38°20’19” = 9.792607204. 9.792607204-9.792604541 = 0.000002663; en el sexto lugar decimal será 2.66. 4.- Restamos la (Lg Sen ángulo impares) menos (Lg sen ángulo pares) () 5.- Se suma las Diferencias Tabulares para 1 ” en el sexto lugar decimal () 6.- Dividimos / que viene a ser el Factor de corrección expresados en segundos. 7.- El resultado de /, adicionamos a cuya suma de los Log. Senos es menor y disminuimos a cuya suma del Log. Sen. es mayor.
EJEMPLO Los datos que a continuación se enuncian son de lectura promedios por método reiterativo, calcular y compensar los ángulos del cuadrilátero.
Para compensar un cuadrilátero se toma en cuenta la condición geométrica y trigonométrica.
A) De acuerdo a la condición geométrica se tiene que: i = 360° i = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 359°59’52” Er .C = 359°59’52” – 360°= -8”
El error es por defecto, por lo tanto la corrección es aditiva. Fc = 8/8 = 1 ” Los nuevos valores angulares son:
1 49°43’31” 5 59°24’52” 2 47°01’25” 6 37°20’02” 3 39°05’11” 7 34°16’35” 4 44°09’52” 8 48°58’32” i(1+2+3+4+5+6+7+8) = 360°
•La segunda propiedad geométrica.
1+2 = 5+6
7+8 = 3+4 Del último resultado tenemos: 1 + 2 = 5 + 6 49°43’31” + 47°01’25” = 59°24’52” + 37°20’02” 96°44’56” = 96°44’54” Er .C = 96°44’56” - 96°44’54” Er.C = 2”
Fc = 2”/4 = 0.5” cantidad que se aumenta a los ángulos 5 y 6 porque la suma es menor y se disminuye a los ángulos 1 y 2 por ser la suma mayor, siendo los nuevos valores:
1 2 5 6
49°43’30.50” 47°01’24.50” 59°24’52.50” 37°20’02.50”
Continuando con: 7+8 = 3+4 34°16’35”+48°58’32”=39°05’11” + 44°09’52” 83°15’07”=83°15’03” Er .C = 83°15’07” - 83°15’03 = 4”
Fc = 4”/4 = 1” con el mismo principio anterior los nuevos valores de los ángulos serán:
3 4 7 8
39°05’12” 44°09’53” 34°16’34” 48°58’31”
En resumen los nuevos valores de los ángulos de la compensación geométrica son:
1 2 3 4 5 6 7 8
49°43’30.50” 47°01’24.50” 39°05’12” 44°09’53” 59°24’52.50” 37°20’02.50” 34°16’34” 48°58’31”
Compensación trigonométrica Con los resultados de los valores anteriores se tiene: Log sen im par 1 2 3 4 5 6 7 8
49°43’30.50” 47°01’24.50” 39°05’12.00” 44°09’53.00” 59°24’52.50” 37°20’02.50” 34°16’34.00” 48°58’31.00”
9.882497238 9.799681782 9.934938363 9.750648432
39.36776582
Log Sen Par 9.864293305 9.843060496 9.782802679 9.877616895 39.36777338
D.Tx1” 1.78 1.96 2.59 2.17 1.24 2.76 3.09 1.83 17.42
1.- Calculamos el Log Sen Para cada ángulo y luego la diferencia tabular para 1”, como muestra la tabla. 2.- Restamos (Log Sen impar) - (Log Sen Par) = 0.00000756 en el sexto lugar decimal 7.56, (). 3.- (DTx1”) = 17.42 () 4.- La corrección f c = 7.56/17.42 = 0.43” el resultado se aumenta a los ángulos 1, 3, 5 y 7 porque la (Log Sen) es menor y se disminuye a los ángulos 2,4,6 y 8 porque la (Log Sen) es mayor, el resultado final de los ángulos será: 1 2 3 4
49°43’30.93” 47°01’24.07” 39°05’12.43” 44°09’52.57” Respuesta
5 6 7 8
59°24’52.93” 37°20’02.07” 34°16’34.43” 48°58’30.57” 360°00’00.00”
Compensación de polígono con punto central. Se presentan casos cuando el terreno tiene una visibilidad amplia, con un punto central se puede visar los vértices del polígono, y posteriormente se visa desde cada vértice, el método puede ser por reiteración o repetición, la secuencia es la siguiente: 1.- La suma de ángulos del punto central debe ser 360°0´ 0´´, si existe discrepancia se suma algebraicamente a cada ángulo si es por exceso o defecto. 2.- debe ser 180°0´ 0´´, la discrepancia o diferencia se distribuye entre 2 ángulos sin considerar el ángulo central. 3.- (Log sen impar) = (Log Sen par), se procede con el mismo criterio del cuadrilátero.
Ejemplo: Una red de apoyo con punto central se visa a 5 vértices los mismos que son tomados por método reiterativo siendo sus promedios
SOLUCIÓN:
Aplicando el principio geométrico y trigonométrico.
Compensación Geométrica. 11+12+13+14+15= 360° 360°00’15” = 360° Er .C = 360°00’15” - 360° = 0°0’15”, el error es por exceso, la compensación será sustractiva f c = -15”/5 =-3” los nuevos valores de los ángulos del punto central será:
11 12 13 14 15
78°27 22 59°58 32 60°30 53 69°47 02 91°16 11 360°0’00” ’
”
’
”
’
”
’
”
’
”
Compensando los triángulos independientes. Triángulo I 1+10+11 = 179°59’47” Er .C = 179°59’47” – 180 = -13” La compensación será aditiva, dividiendo entre 2 el Error de Cierre, se suma a los ángulos 1 y 10, el ángulo 11 no es afecto por que se compensó en el proceso anterior. f c = 13”/2 = 6.5”, la compensación será aditiva porque el error es por defecto. Los nuevos valores serán: 1) 59°43’45” + 6.5”= 59°43 51.5 10) 41°48’40” + 6.5”= 41°48 46.5 ’
’
Triángulo II 2+3+12=179°59’57” Er .C. = 179°59’57” – 180 = -3” Fc. = 03”/2 = 1.5”
”
”
Compensación aditiva se suma a los ángulos 2 y 3, los nuevos valores serán: 2)42°51’55” +1.5”= 42°51’56.5” 3)77°09’30” +1.5”= 77°09’31.5”
Triángulo III 4+5+13 = 179°59’58” Er .C = 179°59’58” – 180 = -02” Fc = 2”/2=1” Compensación aditiva, sumando a 4 y 5. Los nuevos valores serán: 4)77°00’45” +1”= 77°00 46 5)42°28’20” +1”= 42°28 21 ’
”
’
”
Triángulo IV 6+7+14=179°59’52” Er.C =179°59’52”-180°=-8” Fc = 8”/2=4” Compensación es aditiva, sumando a 6 y 7. Los nuevos valores serán: 6)75°22’25”+ 4” = 75°22 29 7)34°50’25”+ 4” = 34°50 29 ’
”
’
”
Triángulo V. 8+9+15 = 179°59’53” Er .C = 179°59’53”-180°= -07” Fc=7”/2-=3.5” Compensación aditiva, sumando a 8 y 9, los nuevos valores serán: 8) 36°45’20”+ 3.5”=36°45 23.5 9) 51°58’22”+ 3.5”=51°58 25.5 ’
”
’
”
Resumen de los nuevos valores: 1.- 59°43’51.5” 2.- 42°51’56.5” 3.- 77°09’31.5” 4.- 77°00’46.0” 5.- 42°28’21.0” 6.- 75°22’29.0” 7.- 34°50’29.0” 8.- 36°45’23.5” 9.- 51°58’25.5” 10.- 41°48’46.5” 540°00 00 ’
”
11.- 78°27’22” 12.- 59°58’32” 13.- 60°30’53” 14.- 69°47’02” 15.- 91°16’11” 360°00 00 ’
”
Compensación trigonométrica Si (Log.sen impar) = (Log sen par) La discrepancia se procede a compensar como un cuadrilátero
Luego: 49.4080485 - 49.408064156 = - 0.000015655 en el sexto lugar decimal 15.65 (se considera el valor absoluto)
(DTx1”) = 17.16
Fc = 15.65/17.16 = 0.912” Según la técnica de compensación por aproximaciones sucesivas, 0.912” se aumenta a cuya suma de los Log Seno sea menor, y se disminuye cuya suma sea mayor, entonces sumamos a los ángulos impares y restamos a los pares. Se teniendo como resultado final.
Los resultados son iguales por lo tanto puede utilizarse cualquiera de ellas. Para encontrar el camino más favorable, el cuadrilátero se descompone en todos los caminos o cadenas existentes.
Ejemplo Descomponer el cuadrilátero.
CALCULO DE LADOS. En un trabajo de triangulación todo se reduce al cálculo de lados de un triángulo aplicando la Ley de Senos.
Ejemplo En el ejemplo anterior tomamos la cadena I para calcular sus lados, si su base mide 543.25 mts.y sus ángulos compensados son: Ang. 1= 49°43’31” 2= 47°01’24” 3= 39°05’12” 4= 44°09’53” 5= 59°24’53” 6= 37°20’02” 7= 34°16’34” 8= 48°58’31”
CALCULO DE AZIMUTES. Para el cálculo de azimut de un cuadrilátero se procede con el principio mecánico ó la fórmula nemónica a partir de los datos de la base, el mismo que debe tener una orientación conocida. Zf = Zi + D180° Donde: Zf = Azimut a calcular. Zi = Azimut anterior o inicial en el sentido del recorrido. D = Angulo a la derecha. 180°; (+)180° si la suma de Zi+D es menor de 180° y (-) cuando la suma es mayor de 180°, para el cálculo es recomendable seguir en sentido antihorario.
