Problema No.1 En una etapa inicial del procesamiento mecánico de piezas de acero, se sabe que una herramienta sufre un deterioro gradual que se refleja en cierto diámetro de las piezas manufacturadas. Para predecir el tiempo de vida útil de la herramienta se tomaron datos de horas de uso y el diámetro promedio de cinco piezas producidas al final de la jornada. Los datos obtenidos para una herramienta se muestran a continuacin! "oras de uso &' )( ' - /' &&( &(& &' &+' &/( ((( ( (*' (+( (-) )(
a%
#iámetro $mm% ('.( (*.+ ('. (+.+ (-.) (/.* ).& )&.)&. )). )).' )(.+ )*. )'.& )*.+ )'.( )'.)/.& )-.+ )/.(
0En este este problema problema cuál cuál variable variable se considera considera indepen independient dientee y cuál dependie dependiente1 nte1
2! La variable dependiente serán las horas de trabajo mientras que la independiente independiente será el diámetro de la pieza. b% 3ediante un diagrama diagrama de dispersin analice analice la relacin entre entre estas dos dos variables. 04u5 tipo tipo de relacin observa y cuáles son algunos hechos especiales1 2elacin positiva fuerte c% "aga "aga un análisis análisis de regresin regresin $ajuste $ajuste una l6nea l6nea recta a estos estos datos, apliqu apliquee pruebas pruebas de hiptesis y verifique residuos% d% 0La calid calidad ad de ajuste ajuste es satisfa satisfactoria ctoria11 7rgum 7rgumente ente
e% 8i el diámetro diámetro má9imo má9imo tolerado tolerado es de *, *, 0:uántas 0:uántas horas horas de uso estima estima que tiene esa esa herramienta1 f%
8e;ale 8e;ale el valor valor de la la pendien pendiente te de la recta e interp interpr5te r5telo lo en t5rmino t5rminoss prácticos prácticos
g%
graca de dispersion
f(x) = 0.05x f(x) 0 .05x + 24.86 R² = 0.98
a) La variable independiente independiente son las horas de uso y la variable dependiente dependiente es el diámetro de las piezas. b) Diagrama de dispersión: se puede observar que e9iste una correlacin lineal positiva entre las horas de uso y el diámetro, ya que conforme aumentan las horas de uso aumenta el diámetro.
Gráfico de Diámetro vs Horas de uso
40
37
o 34 r t e m á i D 31
28
25 0
100
2 00 Horas de uso
300
400
c) Análisis de regresión, regresión , como podemos observar la l6nea recta que mejor e9plica la relacin entre las horas de uso y el diámetro está dada por! Diámetro = 24.862 ! "."464"#8$%oras "."464"#8$%oras de &so La cual se puede observar en el grafico del modelo ajustado! Gráfico del Modelo Ajustado Diámetro = 248!32 " 0 04!40#8$Horas de uso 40
37
o 34 r t e m á i D 31
28 25 0
100
2 00 Horas de uso
300
400
Pr&eba de %ipótesis: "! =&> o "! El modelo no se ajusta "! =&? o "! El modelo si se ajusta #e acuerdo a la tabla de coeficientes podemos ver que si e9iste una pendiente, lo cual significa que entre las variables horas de uso y diámetro si e9iste una relacin. 'oe(icientes Mínimos
Está Estánd ndar ar
Esta Estadí díst stic ico o
Parámetro Estimado
Error
T
@ntercepto (.-')( Pendiente .'/-
.)()(' +'./('+ .&'-'(/ (+.*(&-
Cuadrados Valor-P
. .
Para poder rechazar o aceptar la hiptesis nula tenemos que tomar en cuenta el análisis de varianza del modelo, el cual se presenta a continuacin!
Análisis de arian*a Fuente
Suma de
Gl
Cuadrados
3odelo )''.'+ 2esiduo -.+&)'* Aotal $:orr.% )+*.)--
Cuad Cuadra rado do
Razón-F Valor-P
Medio
& )''.'+ &- .-/( &/
+*+.*
.
7nalizando esta tabla podemos concluir que el modelo si se ajusta ya que el valorBP es menor al nivel de confianza de .*, por ello podemos decir que con un nivel de confianza del /*C se r echaza la hiptesis nula. eri(icación eri(icación de s&p&estos: +l s&p&es s&p&esto to de ,arian ,arian*a *a consta constante nte si se cumple ya que al graficar los residuos contra los predichos, los puntos caen aleatoriamente dentro de la banda horizontal sin que sigan algún patrn definido.
Gráfico de %esiduos Diámetro = 248!32 " 004!40#8$Horas de uso 12 08 04 o u d i s e r
0 (04 (08 (12 25
28
31 34 &redic'o Diámetro
37
40
+l s&p&esto de independencia si si se cumple ya que los puntos o residuos se encuentran dispersos de forma forma arbitr arbitrari ariaa dentr dentroo del del grafic graficoo de residu residuos os vs número número de corrid corrida, a, sin cumpli cumplirr ningun ningunaa tendencia. Gráfico de %esiduos Diámetro = 248!32 " 004!40#8$Horas de uso 12 08 04 o u d i s e r
0 (04 (08 (12 0
4
8 12 )*mero de fila
1!
20
d) el coeficiente de determinacin 2 (ajustado es de #-.6-88 lo #-.6-88 lo cual indica que nuestro modelo tiene #-.6 de la variabilidad en #iámetro. una calidad de ajuste satisfactoria, ya que e9plica el #-.6 de e) El valor ser6a de )).-/ horas a un diámetro de * mm, sin embargo realizar una e9trapolacin la cual está más allá de la regin que contiene a las observaciones originales está mal ya que probablemente el modelo ya no se ajuste adecuadamente fuera de la regin, ya que nuestra regin de estudio va de (*.+ a )/.( mm de diámetro. () el () el valor de la pendiente es de "."464"#8/ esto nos indica la razn de cambio en el diámetro $y% con respecto al cambio de las horas de uso $9%, es decir cuánto va a variar el diámetro cuando se var6en las horas de uso. g) El error estándar de la estimacin fue de ".6#0-6-, ".6#0-6- , lo cual indica que la calidad de ajuste de nuestro modelo es buena, ya que si el error estándar de estimacin es menor la calidad del ajuste será mayor.
Problema No. 2 8e piensa que el vapor ccoonsumidas una planta qu6mica temperatura $en D% de ese mes. se muestra la consumo anual!
3es Enero ebrero 3arzo 7bril 3ayo Gunio Gulio 7gosto 8eptiembre
Aemperatura (& ( )( + * */ '+ '( * & )
:onsumoF& &-*.+/ (&.+ (--.) (.- *.**)/.) '(&.** '*+.' *'(.) *(./) )'/./* (+)./-
número de libras de mensualmente por se relaciona con la ambiente promedio En la tabla siguiente temperatura y el
7% Arace race un diag diagra rama ma de disp disper ersi sin n de los los dato datos. s. 0Par 0Parec ecer er6a 6a apro apropi piad adoo un mode modelo lo de regresin lineal simple en este caso1
2> 8i, con la finalidad de saber cmo la temperatura afecta el consumo y as6 poder predecir a que temperatura es conveniente tratar el consumo.
I% 8uponie 8uponiendo ndo que un modelo modelo de regresin regresin lineal lineal simple es apropiado, apropiado, ajuste ajuste el modelo de regresin que relacione el consumo de vapor $ y % con la temperatura promedio $ x %. 0:uál es la estimacin del consumo esperado de vapor cuando la temperatura promedio es **D1 2> /+.)**
:% 04u5 04u5 cambio se espera espera en el consumo de vapor vapor promedio promedio cuando cuando la temperatu temperatura ra mensual mensual promedio cambia &D1 2> (.&*C 2> &-.+*' consumoF& #% 8uponga 8uponga que la temperatu temperatura ra mensual mensual promedio promedio es de +D. +D. :alcule el vapor ajustado ajustado y el residual correspondiente. correspondiente. J7P<2> (.- 2E8@#K7L> B.(+&-)
Problema No.
En un art6culo de ear se presentan los datos del desgaste por rozamiento del acero dulce y la x viscosidad delaceite visc viscoosida sidadd del aceit ceitee. Los Los datos tos repr repres eseentat ntativ ivoos, con con y =
y
=
volumen volumen del desgaste desgaste $
4
−
10
mm %, son!
Y
x
( &-& &/) &** &+( && &&) +* /
& .' / . &*.* (. ((. )*.* ). .* )).
a% :onst :onstruy ruyaa un diagram diagramaa de dispers dispersin in de los datos. datos. 0Pare 0Parecer cer6a 6a plausib plausible le un model modeloo de regresin lineal simple1 2> 8i, parece correcto usar el diagrama
b% 7juste 7juste el modelo modelo de regresi regresin n lineal lineal simple simple usando usando m6nimos m6nimos cuadrad cuadrados. os.
c% Estime Estime el desgas desgaste te por por rozamien rozamiento to cuando cuando la viscosida viscosidadd es x
=
30
.
2> '(.)+'d% &+( 2esidual> &*.&&+/-(&
y cu cuando
x
22.0
=
y calc calcul ulee el resi residu dual al
Problema No. 4 En un proceso de e9traccin se estudia la relacin entre tiempo de e9traccin y rendimiento. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.
Aiempo $minutos%
2endimiento $C%
& &* ( &( &) &* &(
' -&.+ +'.( '-.* ++./ -(.( +.( +
& ( &/
+' -).( -*.)
a% 0En este problem problemaa cuál variable variable se considera considera independ independiente iente y cuál dependi dependiente ente11 b% 3ediante 3ediante un diagra diagrama ma de dispersi dispersinn analice analice la relacin relacin entre estas estas dos variable variables. s. c% "aga "aga un anális análisis is de regres regresin in $ajust $ajustee una l6nea l6nea recta recta a estos estos datos, datos, aplique aplique pruebas pruebas de hiptesis y verifique residuos%. d% 0La calida calidadd del ajuste ajuste es satisfact satisfactoria oria11 7rgum 7rgumente ente e% #estaque #estaque el valor valor de la pendient pendientee de la recta e interpr5t interpr5telo elo en t5rminos t5rminos práctico prácticos. s. f%
Estime Estime el rendim rendimien iento to prome promedio dio que que se espera espera a un tiempo tiempo de e9tracci e9traccin n de (* minutos minutos y obtenga un intervalo de confianza para esta estimacin.
a) La a) La variable dependiente es el C rendimiento y la variable independiente es el tiempo dado en minutos. b) Diagrama de dispersión: se puede visualizar que no e9iste una relacin ya que los puntos son muy dispersos, algunos incrementan y otros decrecen sin importar el tiempo, sin embargo se tendr6a que verificar los supuestos y comprobar si en verdad e9iste una relacin entre el rendimiento y el Gráfico de %e)dimie)to vs +iem&o
tiempo, si no es asi los datos que miden la calidad de ajuste nos lo indicaran. 88 84 o t ) 80 e i m i d 7! ) e % 72
!8 !4 8
10
12
14 +iem&o
1!
18
20
c) Análisis de regresión, regresión , como podemos observar la l6nea recta que mejor e9plica la relacin entre el tiempo y el porcentaje de rendimiento está dada por! endimiento = 0-.#0-8 ! 1.1#4#2$iempo 1.1#4#2$iempo La cual se puede observar en el grafico del modelo ajustado! Gráfico del Modelo Ajustado %e)dimie)to = 57#578 " 11#4#2$+iem&o 88 84 o t 80 ) e i m 7! i d ) e % 72
!8 !4 8
10
12
14 +iem&o
1!
18
20
Pr&eba de %ipótesis: "! =&> o "! El modelo no se ajusta "! =&? o "! El modelo si se ajusta #e acuerdo a la tabla de coeficientes podemos ver que si e9iste una pendiente, lo cual significa que entre las variables tiempo y porcentaje de rendimiento si e9iste una relacin. 'oe(icientes Mínimos
Estándar Estándar Estadísti Estadístico co
Cuadrados Parámetro Estimado
Error
T
Valor-P
@ntercepto *+./*+Pendiente &.&//(
'.(-) /.(()) .&/*/ (.-+/'(
. .&'
Para poder rechazar o aceptar la hiptesis nula tenemos que tomar en cuenta el análisis de varianza del modelo, el cual se presenta a continuacin! Análisis de arian*a Fuente
Suma de
Gl
Cuadrados
Cuad Cuadra rado do
Razón-F Valor-P
Medio
3odelo ().'- 2esiduo (/).-+( Aotal $:orr.% *)+.**+
& ().'- & (/.)-+( &&
-.(/
.&'
7nalizando esta tabla podemos concluir que el modelo si se ajusta ya que el valorBP es menor al nivel de confianza de .*, por ello podemos decir que con un nivel de confianza del /*C se r echaza la hiptesis nula. eri(icación eri(icación de s&p&estos: +l s&p&esto de ,arian*a constante si se cumple ya que los puntos se encuentran dispersos de forma aleatoria por toda la gráfica a lo largo de la banda horizontal. Gráfico de %esiduos %e)dimie)to = 57#578 " 11#4#2$+iem&o 75
45 o u d i s e r
15
(15
(45
(75 !7
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73 7! &redic'o %e)dimie)to
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Gráfico de %esiduos %e)dimie)to = 57#578 " 11#4#2$+iem&o
+l s&p&esto de independencia si si se cumple ya que los puntos o residuos se encuentran dispersos 75
de forma forma arbitr arbitrari ariaa dentr dentroo del del gráfic gráficoo de residu residuos os vs número número de corrid corrida, a, sin cumpli cumplirr ningun ningunaa 45
tendencia. o u d i s e r
15
(15
(45
(75 0
2
4
! )*mero de fila
8
10
12
d) el coeficiente de determinacin 2 (ajustado es de .#86 lo .#86 lo cual indica que nuestro modelo no tiene una #.860 de la variabilidad en 2endimiento. buena buena calidad de ajuste, ajuste, ya que solo nos e9plica e9plica el #.860 7demás en general, para fines de prediccin se recomienda un 2 (ajustado de al menos .+ o +C de e9plicacin del modelo. e) el e) el valor de la pendiente es de 1.1#4#2/ esto nos indica la razn de cambio en el C2endimiento $y% con respecto al cambio de Aiempo$9%, es decir cuánto va a variar el 2endimiento cuando se var6e el tiempo. () 8e podr6a calcular el valor que piden con respecto a los ( min, sin embargo realizar una e9trapolacin la cual está más allá de la regin que contiene a las observaciones originales originales está mal ya que probablemente el modelo ya no se ajuste adecuadamente fuera de la regin, ya que nuestra regin de estudio va de - a ( min de Aiempo.
,ro-lema .o 5 En un artículo de Jour Journa nall of Envi Enviro ronm nment ental al Energ Energin inee eeri ring ng se report reportan an los los resultados de un estudio sobre la presencia de sodio y cloruros en corrientes superficiales de la parte central de Rhode Island. Los datos que se presentan a continuación corresponden a la concentración de cloruros y (en mg/l) y al rea de carretera de la !ertiente x (en "). x
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a) -race -race un diagrama diagrama de dispersión dispersión de los datos. datos. arecería arecería apropiado apropiado un modelo de regresión lineal simple en este caso0 R1 2i3 para !er la relación aunque presentan un índice de error alto
4) 56uste 56uste el modelo de regresión regresión lineal simple simple usando el m7todo m7todo de mínimos mínimos cuadrados.
b) Estime Estime la concentració concentración n de cloruros cloruros media de una !ertient !ertiente e que tiene $" del rea de carretera.
R1 ,#.'
Encuentre el !alor a6ustado que corresponde a x R1 $#.$+
=
0.47
