REPLANTEO O METODOLIGIA DE CURVAS DE TRANSICIÓN En la aplicación de esta metodología, la variación programada de la aceleración centrífuga y de la evolución de la velocidad puede ser establecida mediante expresiones analíticas o simplemente de forma empírica, con tal de que satisfagan las exigencias dinámicas impuestas. En los desarrollos que a continuación se efectúan se utilizan modelos matemáticos sencillos en función del recorrido S.
USOS DE LAS CLOTOIDES a !ransic !ransición ión entre entre recta recta y arco arco de círculo. círculo.
b Enla Enlace ce de de círc círcul ulos os..
c "omo "omo curva curva de tran transic sición ión total. total.
d "urva revertida.
e #roblemas de distribuidores.
f "lotoide como curva compuesta.
Curvas de transición
$as curvas de transición son elementos geom%tricos donde la variación de la curvatura es lineal a lo largo de su desarrollo, por lo que evitan las discontinuidades de curvatura. En la normativa espa&ola se indica la necesidad de las curvas de transición para enlazar las alineaciones rectas y las curvas circulares con el fin de procurar la continuidad de curvaturas. $a curva de transición que se emplea es la clotoide. $as curvas de transición tienen por ob'eto evitar las discontinuidades en la curvatura de la traza, por lo que, en su dise&o deberán ofrecer las mismas condiciones de seguridad, comodidad y est%tica que el resto de los elementos del trazado. Se adoptará en todos los casos como curva de transición la clotoide, cuya ecuación intrínseca es(
R·L A! Siendo( •
) * radio de curvatura en un punto cualquiera.
•
$ * longitud de la curva entre su punto de inflexión +) * infinito y el
punto de radio ). •
* parámetro de la clotoide, característico de la misma.
•
VENTA"AS DE USO DE LAS CURVAS TRANSICIÓN
-. Se obtiene un cambio gradual de curvatura desde cero, en el punto de unión de las tangentes con las curvas de transición a / en la unión de la curva de transición con la curva circular correspondiente.
0. #rev% suficiente longitud para efectuar la transición del peralte y del sobreanc1o y para que en cada punto el peralte est% de acuerdo con el grado de curvatura. 2. #ermite que los ve1ículos puedan circular a mayores velocidades, con la seguridad y comodidad debida y que los conductores de %stos puedan y est%n animados a mantenerse dentro del carril por donde circulan. 3. Su uso tiende a aminorar el efecto de las fuerzas centrífugas y por tanto a disminuir la incomodidad y el peligro en las curvas. 4. #ermitirá conducir a una velocidad uniforme en todo el recorrido de la vía.
TIPOS DE CURVAS DE TRANSICIÓN
$as curvas de transición inicialmente se aplicaron en el trazado de líneas f%rreas a finales del siglo 565 mientras que para las carreteras su uso se inicia en la d%cada de los 555. la largo de todos estos a&os se 1an planteado diferentes tipos de curvas de transición dentro de las cuales tenemos(
7 "lotoide o Espiral de euler 7 $a $emniscata de 8ernaulli 7 "urva de !ransición de 9valos de "assine 7 $a #arábola "ubica 7 $a Espiral "ubica 7 "urva de !ransición de :lein 7 "urva de !ransición senoidal de 8loss 7 "urva de !ransición de sc1ram +parábola de cuarto grado 7 "urva de !ransición de $ange +parábola de quinto grado 7 "urva de !ransición de s%ptimo grado 7 Espiral de Searles 7 Espiral $ogarítmica
;entro de las anteriores las más usadas son la clotoide o espiral de euler, la lemniscata de 8ernaulli y la cuerda elástica. Siendo la primera las conveniente y empleada en ferrocarriles y carreteras
Curvatura # Pera$te #eralte significa ligeramente curvado o inclinado. $a palabra peralte se utiliza normalmente para describir un tipo de arco o viga. En la construcción, 1ay muc1os diferentes tipos de arcos y vigas. $o que distingue a un peralte es su ligera curva 1acia arriba. $os peraltes se utilizan en ventanas, puertas interiores y dispositivos estructurales como vigas y arcos. El t%rmino peralte data de principios de -<== y es de origen franc%s y latín.
%PARA &U' SE UTILI(A EL PERALTE)
>n peralte a&ade soporte estructural adicional a un palmo de anc1o o espacio. El peralte se utiliza en tramos largos con el fin de contrarrestar la deflexión debida a la carga. El peralte se utiliza en la construcción de puentes y edificios, iglesias y cubiertas debido a que los cálculos pueden 1acerse para compensar cargas particularmente pesadas en peso, con lo que dicta la curva actual 1acia arriba o peralte a ser utilizado.
Curvatura
$a curvatura de una curva en el plano, en un punto de la curva, mide la rapidez con la que la curva abandona la tangente en ese punto. ?"ómo medimos la curvatura@ #or un lado, una recta no tiene curvatura, luego su curvatura es cero, por otro lado, una recta podemos imaginarla como una circunferencia de radio infinito, entonces la curvatura podemos medirla por el inverso del radio de curvatura +- A )
El radio de curvatura de una circunferencia, es el radio de la circunferencia. #ara el caso de una curva cualquiera, el radio de curvatura en un punto, es el radio de la circunferencia que pasa por ese punto y otros dos infinitamente próximos +por tres puntos sólo pasa una circunferencia. En general, el radio de curvatura varía en cada punto de la curva.
Curvatura de una su*er+icie El concepto es similar. $a curvatura de una superficie, en un punto, mide la rapidez con la que la curva abandona el plano tangente a la curva en ese punto. En una superficie la curvatura depende de la dirección en la que nos movamos +este detalle no tiene sentido en el caso de curvas lineales, pues sólo nos podemos mover a lo largo de la curva. Euler demostró que en cada punto de una superficie existen dos direcciones en las que la curvatura alcanza su máximo y su mínimo y que estas direcciones son perpendiculares entre si. #odemos visualizar la curvatura de una superficie viendo un cilindro. Si nos movemos a lo largo del cilindro +sobre la generatriz la curvatura es cero y si nos movemos en dirección perpendicular a la generatriz +recorriendo una circunferencia la curvatura será máxima +igual a - A ), siendo ) el radio de la circunferencia.
GEOMETR,A DE LAS CURVAS DE TRANSICIÓN En un trazado de rectas y curvas circulares, la curvatura pasa de = en la recta, a un valor finito y constante en la curva, lo que produce incomodidad y puede causar accidentes por la aparición brusca de la fuerza centrífuga. #ara alcanzar el peralte requerido en una curva debe pasarse del bombeo a dic1o peralte, lo cual se reparte 0A2 antes del !E y -A2 despu%s.
Estas cusas 1acen necesario el empleo de un alineamiento de transición.
Btras causas( C C C
Se tiende alentar la uniformidad de la velocidad. #ermite el cambio gradual de la deflexión de las ruedas. El mayor número de accidentes se relaciona a efectos de entrada y salida.
CLOTOIDE O ESPIRAL DE EULER Es la figura geom%trica que cumple con las condiciones necesarias para ser una curva de transición, además de ser la más mane'able comparando con otras figuras como la lemniscata de 8ernoulli o la parábola cubica. $a clotoide, tambi%n denominada radioide de arcos o espiral de "ornú en 1onor de Darie lfred "ornu, es una curva tangente al e'e de las abcisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el radio es infinito.
$a expresión matemática usual es(
Siendo( * el radio de curvatura. s *
el desarrollo o arco.
C *
la constante de la espiral.
Fumerosas curvas cumplen las condiciones requeridas de cambio de curvatura( El ovalo. $a parábola cúbica. $a lemniscata de 8ernoulli. $a espiral de "ornu o "lotoide. +7 +7 vanzada por Dax Gon $eber -H<=, introducida en la práctica de la ingeniería por $. Berley en -I2J.
Venta-as de $a C$.t.ide/ -. $a clotoide es una espiral cuya curvatura varía proporcionalmente con la longitud comenzando en cero desde el origen.
0. Esta característica le da la propiedad de que un móvil que la recorra a velocidad constante experimente una variación uniforme de la fuerza centrífuga. 2
K*
W V gR
2. $a parte de la clotoide a usar es un segmento que no permite apreciar la forma de la espiral.
Tc
Le
L
3. $a fórmula de la "lotoide es sencillaL el producto del radio de curvatura +) por la longitud +$ desde el origen 1asta ese punto, es constante +: 0 donde : se denomina el parámetro de la curva.
) x $ * :0
#ara : * H
) 0 3 H -<
$ 20 -< H 3
)x$
:0 <3 <3 <3 <3
4. $a magnitud de : se denominaL parámetro de la curva. <. !odas las "lotoides poseen la misma forma pero distinto tama&o, son 1omot%ticas con :, pueden desarrollarse tablas para la clotoide unitaria :*- y obtener valores para otra clotoide por simple proporción.
J. $as "lotoides de parámetro grande aumentan más lentamente su curvatura, siendo apropiadas para marc1a rápida de ve1ículos. $as de parámetro peque&o aumentan rápidamente la curvatura, siendo aptas para velocidades reducidas y para suavizar sinuosidades del trazado.
ECUACIONES DE LA CLOTOIDE $os radios de curvatura están en razón inversa a los desarrollos de sus respectivos arcos. ) 5 $ * :0 ;onde( $* longitud del arco. )* radio de curvatura. :* parámetro.
#ara reducir el valor del parámetro se 1ace(
"onsid%rese la siguiente figura(
"onsid%rese un elemento diferencial dl( dl * )dM
dM *
2
)*
K L
dl R
L dl
dM *
2
K
2
L θ= 2 2 K
Sustituyendo :0 * ) x $
6ntegrando(
θ=
L
2
θ=
2 Rl
K =
2
L 2 R
L K = 2θ 2
L √ 2 θ
En el punto param%trico o punto característico $ * )( 1
180
2
Π
θ= x
o
0Ho 2HN 40,3O
)efiriendo la clotoide a un sistema de coordenadas cuyos e'es son la tangente y su perpendicular en el origen, donde $ * =
dx = dl cos θ
dy = dlsenθ
L
∫
x = dl cos θ 0
L
∫
y = dl sen θ 0
;esarrollando en serie cos M y sen M e integrando se obtiene(
a. Ecuaciones que definen la clotoide por su longitud. 2
4
6
θ θ θ + − +.. ) x = l ( 1− 5 x 2 ! 9 x 4 ! 13 x 6 !
θ
3
5
7
θ + θ − θ + .. ) y =l ( − 3 7 x 3 ! 11 x 5 ! 15 x 7 !
b. ;efinen a la clotoide por su parámetro. Sustituyendo 2
4
6
θ + θ − θ + .. )] x = K [ √ 2 θ ( 1− 5 x 2 ! 9 x 4 ! 13 x 6 !
θ
3
5
7
θ + θ − θ +.. )] y = K [√ 2 θ ( − 3 7 x 3 ! 11 x 5 ! 15 x 7 !
ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE
l = K √ 2 θ
Punt.s/ !E * tangente C espiral. E! * espiral P tangente. E" * espiral P curva. "E * curva P espiral. #" * punto donde se desplaza el !E o !S de la curva circular. #6 * punto de intersección.
0n1u$.s/ Qo * ángulo de deflexión entre tangentes. R * deflexión entre tangente de entrada y tangente de un punto. Re * deflexión entre tangentes de extremos de la clotoide.
Distancias/ )c * radio de la curva circular. ) * radio de la curvatura de la espiral en cualquier punto. $e * longitud total de la espiral. $ * longitud de la espiral desde el origen a un punto. !$ * tangente larga. !" * tangente corta. !! * tangente total. 5c, c * coordenadas del E". :, # * coordenadas de #".
CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE
!opografía( Gproy.
)c
;ato
Te
) x T * )c x Te Rc . l e
)*
l
)adio a una longitud T del origen M*
l² 2 k ²
en E"
Me *
Θe *
l e² 2 k ²
Me *
le ² 2 Rc l e
le 2 Rc l e
)adianes Te * 0 )c Me )c *
le 2θe
M *
l² 2 Rc l e
l²
*
2
( ) le
2 θe
l² le
θ * +
*
le²
Me * +
l ¿ ² le
ngulo de deflexión a una distancia l del origen Es una transición de tipo clotoide P curva circular P clotoide
l ¿ ² le
Me
Υ = Δ c = Δ −2 θe
L=¿+ lc +¿=2 ≤+ lc
L= 4 Rc θe + Rc Δ c
L=ℜ ( 4 θe + δ )
Siendo $ la longitud de la curva,
θe y Υ
en radianes
Sistema de coordenadas cartesianas +5, en el origen de la clotoide. × = l ( 1−
Y =l (
θ 3
2
θ 10
−
θ 2
Y
+
θ 216
4
−… )
3
+… )
#ara E" 5c, c se obtienen 1aciendo l * le Sistema de coordenadas polares de un punto +U, "( C =√ x + y 2
2
y Ø = Arctng [ ] x
;onde( "* cuerda V* ángulo de la cuerda #ara Ec( "$ * √ c ² + Yc ²
Ve * arc!ang +
Yc c
Si la curva circular se prolonga en θe se obtiene la coordenada k " #
k = !c − Rc sen θe
#= Yc − Rc ( 1 − cos θe )
• •
k es
aproximadamente igual a la mitad d la longitud de la clotoide. $a clotoide bisecta a en partes prácticamente iguales.
#ara "lotoides iguales a la entrada y salida( !t * k W +)c W !ang +QA0 !angente !otal Ee * + W )c Sec +QA0 P )c Ee * )c +Sec +QA0 P - W Sec +QA0 Externa En t%rminos de la Semitangente y la Externa de la curva circular(
!t * !W Sen +QA0 W k
Ee * EW Sec +QA0
#ara calcular la !angente $arga y la "orta( !$ * 5c P c "otg Me
!c * Galores de 5,
Yc $enθe
!ablas, #rogramas
FB)DS GEFEXB$FS $ongitud de transición para anc1o de rotación de - canal )c 4= <= J= H= I= -== -0= -3= -4= -<= -H= 0== 33= 34= 40= 43= <== J== J4= H== H4=
$e 44 <= <= <4 J= J= J4 H= H= H4 H4 I= I= H4 H4 H= H= J= J= <4 <=
I== I4= -=== --== -0== -2== -3== -4==
<= 44 44 4= 34 3= 24 2=
USO DE LAS TA2LAS #ara resolver un problema de clotoide necesitamos dos datos en un punto cualquiera. eneralmente Ec. $os datos pueden ser( + l e " Rc ¿ ( % " Rc ) ( K " le ) ( K " Rc )( K "θ e ) ( θe "l e ) ( θe " R c ) (Cl"&e ) #ara encontrar en la tabla el punto de seme'anza entramos con un coeficiente de forma( C
>n ángulo.
C
)elación de dos elementos lineales.
En la fila del coeficiente de forma leemos todos los elementos. #ara la clotoide real los multiplicamos por el parámetro.
