EJEMPLO LIBRO 1 (UNA COLA INFERIOR) - La hipótesis de investigación es, entonces, que el nuevo sistema de inyección de combustible proporciona un rendimiento medio mayor a 24 millas por galón de combustible; es decir, μ > 24. Como lineamiento general, una hipótesis de investigación se debe plantear como hipótesis alternativa. Por tanto, en este estudio las hipótesis nula y alternativa adecuadas son
Ho: μ>24
i nvestigación Ha: μ< 24 – La hipótesis de investigación
Si esta conclusión dice rechace Ho proporciona a los investigadores el apoyo estadístico necesario para afirmar que el nuevo sistema aumenta el rendimiento medio en millas por galón.
EJEMPLO LIBRO 1 (DOS COLAS) Por ejemplo, con base en una muestra de las piezas de un pedido recibido, el inspector de control de calidad tiene que decidir si acepta el pedido o si lo regresa al proveedor debido a que no satisface las especificaciones. especificaciones. Suponga que una especificación para unas piezas determinadas sea que su longitud media deba ser de dos pulgadas.
Ho: μ=24
Ha: μ ≠ 24
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EJEMPLO 1 – CHEQUEO TIPO HIPOTESIS (UNA COLA SUPERIOR) El gerente de Danvers-Hilton Danvers-Hilton Resort afirma que la cantidad media que gastan los huéspedes en un fin de semana es de $600 o menos. Un miembro del equipo de contadores observó que en los últimos meses habían aumentado tales cantidades. El contador emplea una muestra de cuentas de fin de semana para probar la afirmación del gerente. ¿Qué forma de hipótesis deberá usar para probar la afirmación del gerente? Explique.
H0: μ ≤ 600 Ha: μ > 600 assuming that you give benefit of doubt to the manager.
b. ¿Cuál es la conclusión apropiada cuando no se puede rechazar la hipótesis nula H0?
Se concluye que los huéspedes en un fin de semana gastan 600 o menos
c. ¿Cuál es la conclusión apropiada cuando se puede rechazar la hipótesis nula H0?
Se concluye que los huéspedes en un fin de semana no gastan 600 o menos
EJEMPLO 2 – CHEQUEO TIPO HIPOTESIS (UNA COLA INFERIOR) El gerente de un negocio de venta de automóviles está pensando en un nuevo plan de bonificaciones, con objeto de incrementar el volumen de ventas. Al presente, el volumen medio de ventas es 14 automóviles por mes. El gerente desea realizar un estudio para ver si el plan de bonificaciones incrementa el volumen de ventas. Para recolectar los datos una muestra de vendedores venderá durante un mes bajo el nuevo plan de bonificaciones. bonificaciones. a. Dé las hipótesis nula y alternativa más adecuadas adecuadas para este estudio.
H0: μ ≤ 14 Ha: μ > 14 (Hipotesis de investigacion)
b. Comente la conclusión resultante en el caso en que H0 no pueda rechazarse.
c.
El plan de bonificaciones bonificaciones no va a incrementar el volumen de ventas
Comente la conclusión que se obtendrá si H0 puede rechazarse.
El plan de bonificaciones va a incrementar el volumen de ventas
EJEMPLO 3 – CHEQUEO TIPO HIPOTESIS (DOS COLAS) Una línea de operación está diseñada para llenar empaques de 32 onzas de detergente para lavar. Con periodicidad se selecciona una muestra de los empaques y se pesan para determinar si no se están llenando con un peso mayor o menor del indicado. Si los datos muestrales llevan a la conclusión de que hay exceso o falta de llenado, se suspende la producción y se ajusta al llenado correcto. Formule las hipótesis nula y alternativa que ayudarán a determinar si se debe detener la producción y ajustar el peso.
Ho: μ=32 Ha: μ≠32 (Hipótesis de investigación)
b. Comente sobre la conclusión y la decisión en caso en que H0 no se pueda rechazar.
Continua la producción
c. Comente acerca de la conclusión y la decisión en caso en que H0 se pueda rechazar.
Se suspende la producción y se ajusta el llenado
EJEMPLO 3 – CHEQUEO TIPO HIPOTESIS (COLA SUPERIOR) Debido a los costos y al tiempo de adaptación de la producción, un director de fabricación antes de implantar un nuevo método de fabricación, debe convencer al gerente de que ese nuevo método de fabricación reducirá los costos. El costo medio del actual método de producción es $220 por hora. En un estudio se medirá el costo del nuevo método durante un periodo muestral de producción. Dé las hipótesis nula y alternativa más adecuadas para este estudio.
H0: μ > 220 Ha: μ< 220
b. Haga un comentario sobre la conclusión cuando H0 no pueda rechazarse.
El costo del nuevo método durante un periodo muestral resulto ser mayor al costo actual
d. Dé un comentario sobre la conclusión cuando H0 pueda rechazarse.
El costo del nuevo método durante un periodo muestral resulto ser menor al costo actual
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EJEMPLO 1 – CHEQUEO TIPO ERRORES (COLA INFERIOR) Nielsen informó que los hombres jóvenes estadounidenses ven diariamente 56.2 minutos de televisión en las horas de mayor audiencia (The Wall Street Journal Europe, 18 de noviembre de 2003). Un investigador cree que en Alemania, los hombres jóvenes ven más tiempo la televisión en las horas de mayor audiencia. Este investigador toma una muestra de hombres jóvenes alemanes y registra el tiempo que ven televisión en un día. Los resultados muestrales se usan para probar las siguientes hipótesis nula y alternativa. En esta situación, ¿cuál es el error tipo I? ¿Qué consecuencia tiene cometer este error?
H0: μ < 562 Ha: μ>56.2 Rechazar H0: μ<56.2 siendo verdadera
b. En esta situación, ¿cuál es el error tipo II? ¿Qué consecuencia tiene cometer este error?
H0: μ < 562 Ha: μ>56.2 Aprobar H0: μ<56.2 siendo falsa
EJEMPLO 2 - CHEQUEO TIPO ERRORES (COLA INFERIOR) En la etiqueta de una botella de jugo de naranja de 3 cuartos (de galón) dice que el jugo de naranja contiene en promedio 1 gramo o menos de grasa. Responda a las preguntas siguientes relacionadas con una prueba de hipótesis para probar lo que dice en la etiqueta. Dé las hipótesis nula y alternativa adecuadas.
H0: μ < 1
Ha: μ > 1
b. En esta situación, ¿cuál es el error tipo I? ¿Qué consecuencia tiene cometer este error?
Rechazar Ho, siendo verdadera
c. En esta situación, ¿cuál es el error tipo II? ¿Qué consecuencia tiene cometer este error?
Aceptar Ho, siendo falsa
EJEMPLO 3 - CHEQUEO TIPO ERRORES (COLA INFERIOR) El personal de ventas de Carpetland vende, en promedio, $8000 semanales. Steve Contois, vicepresidente de la empresa, propone un plan de compensaciones con nuevos incentivos de venta. Steve espera que los resultados de un periodo de prueba le permitirán concluir que el plan de compensaciones aumenta el promedio de ventas de los vendedores.
Ho<8000 Ha>8000
b. En esta situación, ¿cuál es el error tipo I? ¿Qué consecuencia tiene cometer este error?
Rechazar Ho, siendo verdadera
c. En esta situación, ¿cuál es el error tipo II? ¿Qué consecuencia tiene cometer este error?
Aprobar Ho, siendo falsa
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PRUEBA DE HIPOTESIS 1 COLA – PRUEBA VALOR P - σ CONOCIDA Proconsumidor, realiza periódicamente estudios estadísticos con objeto de comprobar las afirmaciones de los fabricantes acerca de sus productos. Por ejemplo, en la etiqueta de una lata grande de Café Santo Domingo dice que la lata contiene 3 libras de café. Proconsumidor sabe que el proceso de producción de Café Santo Domingo no permite llenar las latas con 3 libras exactas de café por lata, incluso si la media poblacional del peso de llenado de todas las latas es de 3 libras por lata. Sin embargo, mientras la media poblacional del peso de llenado sea por lo menos 3 libras por lata, los derechos del consumidor estarán protegidos. Por tanto, Proconsumidor interpreta que la información de la etiqueta de una lata grande de café Santo Domingo tiene una media poblacional del peso de llenado de por lo menos 3 libras por lata. Se mostrará cómo verificar esto realizando una prueba de hipótesis de la cola inferior. Muestra de 36 latas de café, =2.92 lbs, σ=0.18, α = 0.01, 1. Seleccionar hipótesis nula y alternativa Nota: Al menos es mayor o igual
H0: μ > 3 - Si la media poblacional es mayor a 3, entonces Café Santo Domingo esta en lo correcto
Ha: μ<3 - Si la media poblacional es menor a 3, entonces Café Santo Domingo esta en lo incorrecto
2. Calcular Valor Z
=
=
2.923 = = 2.67 0.03
( ) 0.18 = = 0.03 √ ( ) √ 36
3. A partir del valor Z se busca en la tabla distribución normal el valor p Nota: Si z da positivo será p(z>#) PEROOOOO Si z da negativo será p(z<#) Si es mayor o igual hay que 1-p(z<#)
( < 2.67) = 0.0038 (Buscado en la tabla) 4. Comparar valor p con α (nivel de significancia)
Rechazo Ho si p< α
0.0038 < 0.01 Con un 99% de seguridad se concluye que la media poblacional es menor a 3 entonces café santo domingo esta en lo incorrecto.
PRUEBA DE HIPOTESIS 1 COLA – METODO VALOR CRITICO - σ CONOCIDA Proconsumidor, realiza periódicamente estudios estadísticos con objeto de comprobar las afirmaciones de los fabricantes acerca de sus productos. Por ejemplo, en la etiqueta de una lata grande de Café Santo Domingo dice que la lata contiene 3 libras de café. Proconsumidor sabe que el proceso de producción de Café Santo Domingo no permite llenar las latas con 3 libras exactas de café por lata, incluso si la media poblacional del peso de llenado de todas las latas es de 3 libras por lata. Sin embargo, mientras la media poblacional del peso de llenado sea por lo menos 3 libras por lata, los derechos del consumidor estarán protegidos. Por tanto, Proconsumidor interpreta que la información de la etiqueta de una lata grande de café Santo Domingo tiene una media poblacional del peso de llenado de por lo menos 3 libras por lata. Se mostrará cómo verificar esto realizando una prueba de hipótesis de la cola inferior. Muestra de 36 latas de café, =2.92 lbs, σ=0.18, α = 0.01, 1. Seleccionar hipótesis nula y alternativa Nota: Al menos es mayor o igual
H0: μ > 3 - Si la media poblacional es mayor a 3, entonces Café Santo Domingo esta en lo correcto
Ha: μ<3 - Si la media poblacional es menor a 3, entonces Café Santo Domingo esta en lo incorrecto
2. Calcular Valor Z
=
=
2.923 = = 2.67 0.03
( ) 0.18 = = 0.03 √ ( ) √ 36
3. A partir del valor Z se busca en la tabla distribución normal el valor p Nota: Si z da positivo será p(z>#) PEROOOOO Si z da negativo será p(z<#) Si es mayor o igual hay que 1-p(z<#)
( < 2.67) = 0.0038 (Buscado en la tabla) 3. Buscar y comparar Z α Nota: Para buscar Z α, hay que buscar la tabla normal y buscar el valor que mas se aproxime y de ahí sacar el valor Z Si es de cola inferior el valor z va a ser negativo y si es de cola superior el valor z va a ser positivo Se rechaza H0 si Z < Z α
α=0.01 y buscando en la tabla se obtiene -2.33
-2.67<-2.33
Con un 99% de seguridad se concluye que la media poblacional es menor a 3 libras entonces café santo domingo esta en lo incorrecto.
PRUEBA DE HIPOTESIS 2 COLA – METODO VALOR P - σ CONOCIDA La U.S. Golf Association, USGA, establece reglas que deben satisfacer los fabricantes de equipos de golf si quieren que sus productos se acepten en los eventos de USGA. MaxFlight emplea procesos de fabricación de alta tecnología para producir pelotas de golf que tienen una distancia media de recorrido de 295 yardas. Sin embargo, algunas veces el proceso se desajusta y se producen pelotas de golf que tienen una distancia media de recorrido diferente a 295 yardas. Cuando la distancia media es menor que 295 yardas, a la empresa le preocupa perder clientes porque las pelotas de golf no proporcionen la distancia anunciada. Cuando la distancia es mayor que 295 yardas, las pelotas de MaxFlight pueden ser rechazadas por la USGA por exceder los estándares respecto de distancia de vuelo y carrera. El programa de control de calidad de MaxFlight consiste en tomar muestras periódicas de 50 pelotas de golf y vigilar el proceso de fabricación. Con cada muestra se realiza una prueba de hipótesis para determinar si el proceso se ha desajustado. α= 0.05, σ =12,
= 297.6
1. Seleccionar hipótesis nula y alternativa Nota: Al menos es mayor o igual y se escoge la que se supone que el proceso está funcionando correctamente
H0: μ= 295
Ha: μ ≠ 295
2. Calcular Valor Z
=
=
297.6 295 = = 1.53 1.7
( ) 12 = = 1.7 √ ( ) √ 50
3. A partir del valor Z se busca en la tabla distribución normal el valor p Nota: En pruebas de dos colas el valor p se multiplica por 2 Se calcula p con las dos z, pero dan igual Si es mayor o igual hay que 1-p(z<#)
( > 1.53) = 1 0.9370 = 0.063 ( < 1.53) = 0.063 valor P = 0.063*2 = 0.1260 4. Comparar valor p con α (nivel de significancia)
Rechazo Ho si p< α
. < 0.05 = = ℎ Con un 95% de seguridad se concluye que no es necesario tomar medidas para ajustar el proceso de fabricación de MaxFlight.
PRUEBA DE HIPOTESIS 2 COLA – METODO VALOR CRITICO - σ CONOCIDA. La U.S. Golf Association, USGA, establece reglas que deben satisfacer los fabricantes de equipos de golf si quieren que sus productos se acepten en los eventos de USGA. MaxFlight emplea procesos de fabricación de alta tecnología para producir pelotas de golf que tienen una distancia media de recorrido de 295 yardas. Sin embargo, algunas veces el proceso se desajusta y se producen pelotas de golf que tienen una distancia media de recorrido diferente a 295 yardas. Cuando la distancia media es menor que 295 yardas, a la empresa le preocupa perder clientes porque las pelotas de golf no proporcionen la distancia anunciada. Cuando la distancia es mayor que 295 yardas, las pelotas de MaxFlight pueden ser rechazadas por la USGA por exceder los estándares respecto de distancia de vuelo y carrera. El programa de control de calidad de MaxFlight consiste en tomar muestras periódicas de 50 pelotas de golf y vigilar el proceso de fabricación. Con cada muestra se realiza una prueba de hipótesis para determinar si el proceso se ha desajustado. α= 0.05, σ =12, 297.6
=
1. Seleccionar hipótesis nula y alternativa Nota: Al menos es mayor o igual y se escoge la que se supone que el proceso está funcionando correctamente
H0: μ= 295
Ha: μ ≠ 295
2. Calcular Valor Z
=
=
297.6 295 = = 1.53 1.7
( ) 12 = = 1.7 √ ( ) √ 50
3. Buscar y comparar Z
Nota: Para hacer el método de valor critico si es de dos colas se divide el alfa/2 y se busca un numero en la tabla que contenga ese valor z.
0.05 = = 0.025 2 2 Z0.025 = 1.96 = Buscamos en la tabla de distribución normal un numero que tenga 0.025 y ese será Z. 0.025 = 1.96
4. Comprobar Z
Se rechaza Ho si z<- Z
2
o z> Z 2 ; si cualquiera de las dos es verdadera rechazo
Z <-Z α/2 = 1.53 < -1.96 = Falso ; No rechazo Ho
Z > Z α/2 = 1.53 > 1.96 Falso ; No rechazo Ho
Con un 95% de seguridad se concluye que no es necesario tomar medidas para ajustar el proceso de fabricación de MaxFlight.
RESUMEN – METODO VALOR CRÍTICO Y VALOR P - σ CONOCIDA.
EJEMPLO 1 ESTIMACION POR INTERVALO DOS COLAS - σ CONOCIDA.
La U.S. Golf Association, USGA, establece reglas que deben satisfacer los fabricantes de equipos de golf si quieren que sus productos se acepten en los eventos de USGA. MaxFlight emplea procesos de fabricación de alta tecnología para producir pelotas de golf que tienen una distancia media de recorrido de 295 yardas. Sin embargo, algunas veces el proceso se desajusta y se producen pelotas de golf que tienen una distancia media de recorrido diferente a 295 yardas. Cuando la distancia media es menor que 295 yardas, a la empresa le preocupa perder clientes porque las pelotas de golf no proporcionen la distancia anunciada. Cuando la distancia es mayor que 295 yardas, las pelotas de MaxFlight pueden ser rechazadas por la USGA por exceder los estándares respecto de distancia de vuelo y carrera. El programa de control de calidad de MaxFlight consiste en tomar muestras periódicas de 50 pelotas de golf y vigilar el proceso de fabricación. Con cada muestra se realiza una prueba de hipótesis para determinar si el proceso se ha desajustado. α= 0.05, σ =12,
= 297.6
1. ESTABLECER LA HIPOTESIS H0: μ= 295
Ha: μ ≠ 295
2. SABER
Nota: Se busca dividiendo primero el alfa entre dos y luego con el valor negativo y positvo se busca en la tabla.
0.05 = = 0.025 2 2 Z0.025 = 1.96 = Buscamos en la tabla de distribución normal un numero que tenga 0.025 y ese será Z. 0.025 = 1.96
3. HACER INTERVALO DE CONFIANZA
(el resultado de la muestra) ±
( 2) ∗ 2
297.6 + (1.96 ∗ 1.7) = 300.932 297.6 (1.96 ∗ 1.7) = 294.2682 =
( ) 12 = = 1.7 √ ( ) √ 50
Este resultado quiere decir que el intervalo va desde 294.2682 hasta 300.932 4. Saber si se rechaza o no. Nota: Si el valor que tenemos como hipótesis NO está en este intervalo se rechaza Ho. Si esta no se rechaza
EJEMPLO 2 ESTIMACION POR INTERVALO DOS COLAS - σ CONOCIDA. En la Western University, la media histórica poblacional en las puntuaciones de los solicitantes de una beca es 900. La desviación estándar poblacional histórica que se considera conocida es σ = 180. Cada año se toma una muestra de los solicitantes para determinar si esta media ha cambiado.
Establezca las hipótesis H0: μ= 900
Ha: μ ≠ 900
b. ¿Cuál es el intervalo de 95% de confianza para la estimación de la media poblacional de las puntuaciones en el examen, si en una muestra de 200 estudiantes la media muestral es SABER
= 935?
= 0.05/2 = 0.025 ; Buscando valor para -0.025 y 0.025 se encuentra que:
Z-0.025= -1.96
& Z0.025=1.96
Hacer intervalo de confianza con la formula =
±
∗ = 935 ± 1.96 ∗ 12.7279 2 =
180 √200
= 12.7279
Intervalo desde 910.0533 hasta 959.9466 c. Use el intervalo de confianza para realizar una prueba de hipótesis. Usando α= 0.05, ¿a qué conclusión llega?
Ho se rechaza porque μ no está incluida en el intervalo.
d. ¿Cuál es el valor-p? Z= (x-μ)/σx = (935-900)/12.7279 = 2.7498 p(z>2.7498)= 1- p(z<2.7498) = 1-0.9969=0.0031*DAN IGUAL p(z<-2.7498)= 0.0031* DAN IGUAL p*2= 0.0031*2= 0.0062 0.0062<0.05 Verdadero ; Rechazo Ho.
PRUEBA DE HIPOTESIS 1 COLA – PRUEBA VALOR P - σ DESCONOCIDA SE USA TABLA T!!!
Una revista de viajes de negocios desea clasificar los aeropuertos internacionales de acuerdo con una evaluación hecha por la población de viajeros de negocios. Se usa una escala de evaluación que va desde un mínimo de 0 hasta un máximo de 10, y aquellos aeropuertos que obtengan una media mayor que 7 serán considerados como aeropuertos de servicio superior. Para obtener los datos de evaluación, el personal de la revista entrevista una muestra de 60 viajeros de negocios de cada aeropuerto. En la muestra tomada en el aeropuerto Heathrow de Londres la media muestral 7.25 y la desviación estándar muestral es s= 1.052 con nivel de significancia α= 0.05 . De acuerdo con estos datos muéstrales, ¿deberá ser designado Heathrow como un aeropuerto de servicio superior? Aquí hay 4 datos y en los σ conocida hay 5.
Establezca las hipótesis H0: μ<7
Ha: μ> 7
Usar la formula
=
( )− ( ) ( )/√( )
.−
.
= ./√ = . = 1.84( )
Calcular grado de libertad y buscar en la tabla t n-1 = 60-1 = 59 En la tabla no aparece el valor 1.84 pero p esta entre 0.05 y 0.025 por lo que se dice valor p < 0.05 (nivel significancia) = Verdadero y se rechaza Ho. Con una significancia de 0.05 se concluye que Heathrow debe ser considerado como aeropuerto de servicio superior.
es
PRUEBA DE HIPOTESIS 2 COLA – PRUEBA VALOR P - σ DESCONOCIDA Esta empresa distribuye sus productos a través de más de 1 000 puntos de venta. Al planear su producción para la temporada de invierno siguiente, la empresa debe decidir cuántas unidades de cada producto fabricar, antes de saber cuál será la verdadera demanda en cada punto de venta. Para la temporada venidera, el gerente de marketing espera que la demanda de su nuevo juguete sea en promedio 40 unidades por punto de venta. Antes de tomar la decisión final de producción, con base en dicha estimación, la empresa decide hacer una encuesta en una muestra de 25 puntos de venta con objeto de obtener más información acerca de la demanda del nuevo producto. A cada uno de estos puntos de venta se le proporciona información sobre las características del nuevo juguete e información sobre el costo y el precio de venta sugerido. Después se le pide a cada punto de venta que anticipe la cantidad que pedirá.
= 37.4 s =11.79 unidades, 0.05 (nivel significancia) Establezca las hipótesis H0: μ=40
Ha: μ/=40
Usar la formula
=
( )− ( ) ( )/√( )
.−
−.
= ./√ = . = 1.1026 ( )
Calcular grado de libertad y buscar en la tabla t Nota: Si es de dos colas no me importa que t me de negativo, en la tabla se puede buscar igual. Nota: Si es de dos colas los valores p de la tabla t se deben multiplicar x 2
n-1 = 25-1 = 24 (Grado de libertad) Buscando en la tabla t en el grado de libertad 24: 1.10 En la tabla no aparece el valor 1.10 pero p está entre 0.20 y 0.10 por lo que se multiplican ambos valores p Nueva P #1 = 0.20 * 2 = 0.40 Nueva P#2 = 0.10*2 = 0.20 Ahora, chequeamos ambos valores p con el nivel de significancia: 0.40 < 0.05 = FALSO 0020 < 0.05 = FALSO NOOO SE RECHAZA HO, Con una significancia de 0.05 se concluye que la demanda será diferente de 40 unidades por punto de venta.
