Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Pato Branco
Engenharia De Computação
Laboratório de Física III
RELATORIO EXPERIMENTAL 5
CIRCUITO RC
Professor: Emir Baude Acadêmicos: Cristiano Alexandre G. Dal Posso Igor Gustavo Hoelscher Luis Felipe Benedito Vagner Martinello
Pato Branco – PR 08/11/2010
PR
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERALDO PARANÁ
1. INTRODUÇÃO Dispositivos como marcapassos, semáforos, pisca-piscas automotivos e flash eletrônico funcionam carregando e descarregando um capacitor alternadamente. Para saber como ocorre essa carga e descarga nesses capacitores temos que antes entender esse tipo de circuito elétrico.1 Muitos dispositivos incorporam circuitos em que um capacitor é carregado e descarregado, alternadamente. Dentre eles estão os marcapassos, semáforos, pisca-piscas automotivos e unidades de flash eletrônico. (SEARS, 2009, p.182)
O circuito elétrico característico desses tipos de dispositivos é denominado circuito RC, tais circuitos recebem esse nome por apresentarem em sua estrutura somente uma resistência e um capacitor ligados em série ou em paralelos entre si, alimentados por uma fonte de tensão. Os circuitos RC são usados como temporizadores de sinais, eles controlam quando um determinado dispositivo é acionado ou não. Isso acontece, pois nesses circuitos é possível variar o tempo de sua carga dependendo da capacitância e da resistência usados.2 Para cada circuito RC existe uma constante de tempo capacitiva. Assim o objetivo do experimento é calcular a constante de tempo para cada o processo de carga e descarga.
2. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO Num circuito RC encontramos elementos como resistência, capacitores e uma fonte de potência. Vamos então estudar um pouco sobre esses dispositivos. A resistência elétrica é uma grandeza que mede a dificuldade do movimento das cargas elétricas num determinado condutor. Quanto maior a resistência menor é o movimento das cargas elétricas no condutor.3 A resistência elétrica (R) é uma medida da oposição ao movimento dos portadores de carga, ou seja, a resistência elétrica representa a dificuldade que os portadores de carga encontram para se movimentarem através do condutor. Quanto maior a mobilidade dos portadores de carga, menor a resistência elétrica do condutor. (COC, (...), p.19)
A resistência elétrica é uma característica que depende do material constituinte do condutor, da forma, dimensão e da temperatura qual o condutor esta sujeito, assim podemos manipular a resistência para um fim específico, alterando qualquer uma dessas características. 4 A resistência elétrica é uma característica do condutor, portanto, depende do material de que é feito o mesmo, de sua forma e dimensão e também da temperatura a que esta submetido o condutor. (COC, (...), p.19)
O cálculo da resistência R de um dispositivo é feito através do quociente entre a tensão V e a corrente elétrica i nos terminais do dispositivo: =.
(Equação 1)
O capacitor é um dispositivo capaz de armazenar energia elétrica. Este dispositivo é constituído basicamente por duas placas condutoras separadas por um material isolante, denominado dielétrico. Os dielétricos possuem uma resistência alta ao fluxo da corrente elétrica. Temos como exemplo de material dielétrico o papel, a cerâmica, plásticos, vidro e outros mais.5 Com a utilização do dielétrico podemos colocar as placas dos capacitores bem próximas uma da outra sem que aconteça o contato entre elas. A carga q de um capacitor é proporcional a tensão V aplicada nos terminais do capacitor: =.
(Equação 2)
Na equação acima notamos a existência de uma constante C . Denominada constante de capacitância do capacitor, ela depende da forma geométrica de qual é feita as placas condutoras, e indica a medida da quantidade de carga que precisa ser acumulada nas placas para produzir uma certe diferença de potencial entre elas, assim, quanto maior a capacitância maior número de carga necessário.6 A constante de proporcionalidade C é chamada de capacitância do capacitor; seu valor depende da geometria das placas, más não depende da carga nem da diferença de potencial. A capacitância é uma medida da quantidade de carga que precisa ser acumulada nas placas para produzir uma certa diferença de potencial entre elas. Quanto maior a capacitância, maior a carga necessária.(HALLIDAY, 2009, p.112)
No sistema internacional de unidades, a capacitância é o farad (F). Existem capacitores de placas paralelas, cilíndricos e esféricos e podem ser associados como os resistores, tanto em paralelo quanto em série. Nos capacitores de placas paralelas o cálculo da capacitância é feito da seguinte forma: = ∈
(Equação 3)
Onde ∈ é a constante de permissibilidade do espaço, A a área das placas e d a distância entre elas. A fonte de tensão é um dispositivo que, através de um trabalho realizado sobre os portadores de carga, faz com que surja uma diferença de potencial entre dois terminais, surgindo assim uma corrente elétrica. Uma fonte de tensão produz uma força eletromotriz ε, o que significa dizer que os portadores de cargas estão submetidos a uma diferença de potencial.7
Conhecendo um pouco sobre os elementos básicos de um circuito RC, podemos agora estudar a carga e a descarga de um capacitor em um circuito desse tipo.
2.1. Carga de um capacitor Considere um circuito RC em série, onde o capacitor, no qual a corrente varia com o tempo, esta inicialmente descarregado e que a corrente não flui quando a chave esta aberta:
Figura 1
Se a chave for fechada em t=0, a carga começa a fluir criando uma corrente no circuito, fazendo com que o capacitor seja carregado:
Figura 2
Durante o carregamento, as cargas não saltam de uma placa à outra do capacitor porque o espaço entre as placas do capacitor representa um circuito aberto, ou seja, não há passagem de carga. Contudo, devido ao campo elétrico nos fios estabelecido pela fonte, os elétrons se deslocam dos fios para a placa superior e da placa inferior para os fios até que o capacitor esteja inteiramente carregado. O valor da carga máxima depende da força eletromotriz da fonte pois o carregamento sessa quando a tensão nos terminais do capacitor torna-se igual a força eletromotriz da fonte, assim, a corrente neste instante torna-se nula e a corrente deixa de fluir.8 Essas correntes acumulam uma carga q cada vez maior nas placas do capacitor e estabelecem uam diferença de potencial Vc (=q/C) entre as placas do capacitor. Quando essa diferença de potencial é igual a diferença de potencial entre os terminais da fonte(que é igual, por sua vez, à força eletromotriz ε) a corrente deixa de circular.(HALLIDAY, 2009, p.182)
Escolhendo o sen tido horário para analise do circuito, po tanto analisando no sentido da corrente, apliicando a segunda lei de kirchhof, diminuímos os potenciais calculados, e através da s equações 1 e 2 temos: . =
(Equação 4)
Se analisarmos o circuito em t=0, temos que a carga no capacitor também é zero. Portanto, a equação 4 nos dá a corrente máxima inicial: =
(Equação 5)
Porém, quando capacitor encontrar-se totalmente carregado, a corrente elétrica deixará de fluir no condutor passando a ser nula. A corrente elétrica é definida como sendo a quantid ade de carga que atravessa um condutor n um intervalo de tempo: =
(Equação 6)
Substituindo a eq ação 6 na equação 4, temos: ε
= .
(Equação 7)
Observando atentamente, temos uma equação d iferencial, portanto precisamos encontrar u a função q(t), que satisfaz a equação acima e também a condição onde o capacit or esta inicialmente descarregado. Resolvendo a e uação encontramos a equação de c rregamento de um capacitor nesse circuito: = . ε 1
(Equação 8)
Graficamente, para a carga de um capacitor, temos:
Gráfico 1 – Carga de um capacitor
Podemos ainda, diferenciando a equação acima, em r elação ao tempo e usando equação 6, ob temos a seguinte expressão para o cálculo da corrente elétrica:
= ε .
(Equação 9)
Para a corrente d carga de um capacitor, temos graficamente:
Gráfico 2 – Corrente na carga de um capacitor
2.2. Descarga de um capacitor Considerando um circuito inicialmente aberto, constituído de uma resistência e um capacitor totalmente carregado notamos a existência d uma diferença de potencial nas placas do capacitor, e uma diferença de potenci l nula no resistor já que a corrente no circuit é nula:
Figura 3
No momento em ue a chave é fechada em t=0, o capaci tor inicia o processo de descarga através do resistor do circuito. Num determinado omento, durante o processo de descarga, a corrente no circuito é i e a carga no capacitor é q :
Figura 4
O circuito da fig ra 4 é semelhante ao circuito da figura 2, tendo como diferença a ausência de uma fonte de tensão.
Assim, analisand o circuito no sentido horário, e aplican do a segunda lei de kirchhof obtemos expressão a seguir para a descarga de um capacitor: . =
(Equação 10)
Substituindo a eq ação 6 na equação 10, temos: . = = 1 .
(Equação 11)
Integrando dos d is lados da igualdade, obtemos como olução da equação diferencial a seguinte expressão para a descarga de um capacitor: = .
(Equação 12)
Graficamente:
Gráfico 3 – Descarga de um capacitor
Diferenciando a equação 12, em função do tempo, o btêm-se a corrente elétrica de descarga no apacitor: = .
(Equação 13)
onde = . Graficamente:
Gráfico 4 – Corrente na descarga de um capacitor
O sinal negativo da equação 13 indica a direção da corrente no circuito no momento da descarga, essa direção é oposta ao sentido da corrente no momento da carga do capacitor.9 Observa-se que a carga e a corrente num capacitor decrescem exponencialmente a uma taxa caracterizada por uma constante de tempo τ: τ
=.
(Equação 14)
A constante de tempo fornece a medida da velocidade durante o processo de carga do capacitor. Quando o valor da constante de tempo é pequeno, o capacitor carrega mais rapidamente, caso contrário, o carregamento é mais lento. Se analisarmos a resistência, observamos que se for pequena a corrente fluirá com mais facilidade, e conseqüentemente a constante de tempo será pequena, ou seja, a constante de tempo é diretamente proporcional a resistência.10 Podemos ainda calcular a potência fornecida pela fonte de tensão ao circuito e a potência dissipada pela resistência presente no circuito. Para calcular a potência fornecida pela fonte, basta fazer o produto entre a força eletromotriz da fonte pela corrente produzida: = .
(Equação 15)
Entretanto, o produto da corrente ao quadrado e o valor da resistência no dispositivo fornece o valor da potência dissipada no resistor: = .
(Equação 16)
3. DESENVOLVIMENTO PRÁTICO 3.1. Material Utilizado • • • • • •
Multímetro Digital; Resistor; Capacitor; Cabos de ligação; Fonte de corrente contínua; Cronômetro.
3.2. Descrição do experimento Primeiramente, verificamos com ajuda de um multímetro se o capacitor estava totalmente descarregado, caso estivesse, descarregamos o dispositivo para o inicio da prática.
Iniciamos a p ática conectando em série um capa ligamos ainda uma onte de tensão em série ao circuito, aj com ajuda de um multímetro. No mesmo instante, conecta capacitor, um multí etro para leituras da tensão periodic minutos, enquanto o capacitor era carregado:
itor e um resistor, stada em 2,0 Volts os, em paralelo ao mente, durante 20
Figura 5 – Carga do capacitor
Após o capacitor ser carregado, durante os 20 minutos, retiramos a fonte do circuito, anotam s o valor da tensão incial no moment da descarga e no mesmo instante começamos, novamente a medir a tensão p riodicamente:
Figura 6 – Descarga do capacitor
Posteriormente, após a conclusão do experimento, c letamos o valor da capacitância do cap citor e a resistência do dispositivo utiliz do.
3.3. Resultados obti os Após coletarmos o valor da capacitância do capa citor e o valor da resistência do circuito calculamos a constante de tempo teórica do circuito através da equação 14:
Tab la 1 – Constante de tempo τ teórica do cir uito Capacitância µF)
Resistência kΩ)
Co stante de tempo τs
4700
98,4
462,48
Porém, para obter a constante de tempo experimental do circuito usamos a expressão de tensão no capacitor calculando a constante de tempo conforme a tensão medida durante o processo de carga e descarga durante os 20 minutos, assim fizemos uma média para determinar o valor da constante de tempo experimental. Para o processo de carga do capacitor, temos a expressão da tensão no capacitor abaixo: = 1
(Equação 16)
A expressão acima pode facilmente ser escrita da seguinte forma: = 1
(Equação 17)
Aplicando as propriedades logarítmicas para eliminarmos a constante , temos: ln = ln 1
(Equação 18)
Assim, temos: = ln 1
(Equação 19)
Portanto, isolando a constante de tempo, para o processo de carga temos a seguinte expressão: = ln1
(Equação 20)
Agora, para A descarga, a expressão da tensão característica do processo é a seguinte: =
(Equação 21)
Usando algumas propriedades algébricas, podemos escrever a equação acima de uma outra forma: =
(Equação 22)
Assim como na equação 17, aplicando as propriedades logarítmicas nos dois lados da expressão acima, eliminamos a constante : = ln
(Equação 23)
Contudo, isolando a constante de tempo, no processo de descarga, temos a seguinte equação: = ln
(Equação 24)
Através da equação 20 e 24, calculamos as constantes de tempo para o processo de carga e descarga, respectivamente, e construímos uma tabela com os valores calculados:
Tabela 2 – Carga e descarga do capacitor Tempo s
VCARGAVolts
VDESCARGAVolts
τCARGAs
τDESCARGAs
30,00 60,00 90,00 120,00 180,00 240,00 360,00 480,00 600,00 720,00 840,00 960,00 1080,00 1200,00
0,100 0,193 0,280 0,362 0,514 0,649 0,880 1,070 1,222 1,347 1,448 1,530 1,582 1,637
1,550 1,473 1,400 1,330 1,205 1,090 0,894 0,735 0,606 0,500 0,411 0,340 0,283 0,234
584,87 591,25 596,73 600,99 605,94 611,77 620,88 626, 86 635,47 643,24 652,50 662,90 689,91 703,19
549,35 568,37 575,47 577,79 587,49 590,13 595,13 599,44 603,78 607,08 607,80 610,81 615,32 616,87
Analisando a tabela acima, tomando a média entre as constantes de tempo para o processo de carga, encontramos a constante de tempo experimental com o valor de 630,46s. Teoricamente, como mostra a tabela 1, a constante de tempo do circuito teria o valor de 462,48s. Assim podemos através da equação abaixo calcular a margem de erro entre o valor teórico e o valor experimental da constante: = ∗ 1
(Equação 25)
onde E é o erro, Vt o valor teórico da constante de tempo e Ve o valor experimental encontrado. Substituindo os valores na equação 25, obtemos uma margem de 36,32% de erro em relação a teoria. A partir dos dados coletados acima, construímos um gráfico característico do carregamento e descarregamento do capacitor:
) s t l o V ( o a s n e T
1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0
250,0
500,0
750,0
1000,0
1250,0
1500,0
Tempo (s) Vcarga
Vdescarga
Gráfico 5 – Carga e descarga do capacitor
4. ANÁLISE DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO O experimento realizado explicou um pouco do funcionamento de um circuito RC, tais circuitos estão presentes diariamente em nossas vidas, sejam nos semáforos de trânsito ou até mesmo implantado em nosso organismo através de um dispositivo chamado marca-passo, tal dispositivo consiste em armazenar energia e liberá-la quando necessária, impulsionando o coração à manter batidas constantes. Analisando os dados numéricos do experimento, notamos que o valor médio da constante de tempo, no processo de carga no experimento, apresentou uma grande distância do valor teórico, mantendo uma margem de erro de 36,32%. Contudo, esse erro provavelmente pode ter sido causado por falha humana, já que a margem de erro é muito grande, não podendo ser causada por milésimos de segundos no cronômetro por exemplo. Portanto, observando o gráfico 5, comparando com os gráficos 1 e 3, notamos que a carga e a descarga nos capacitores foram realizadas conforme a teoria, ou seja, o gráfico do processo de carga do capacitor se comportou aumentando exponencialmente sua carga conforme a constante de tempo, já o processo da descarga da energia no capacitor diminuiu exponencialmente, assim ambos os processos foram realizados conforme a teoria.
5. REFERÊNCIAS [1] SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física 3. 12 ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. [2] http://www.ebah.com.br/circuito-rc-pdf-a21475.html [3] EDITORA COC. Eletrodinâmica. [4] EDITORA COC. Eletrodinâmica. [5] http://www.brasilescola.com/fisica/capacitores.htm [6] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física 3. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. [7] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física 3. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. [8] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física 3. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. [9] SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física 3. 12 ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. [10] SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física 3. 12 ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008.
